Magnétisme et supraconductivité

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Magnetisme et supraconductivite

DANS LA MEME COLLECTION

Photons et atomes. Introduction d I'electrodynamique quantique, par C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg. 1987, 422 pages. Processus d'interaction entre photons et atomes, par C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg. 1988, nouveau tirage 1996, 648 pages. Physique des plasmas, par J.-L. Delcroix, A. Bers. Tome 1. — 1994, 416 pages Tome 2. — 1994, 532 pages. Hydrodynamique physique, par E. Guy on, J.-P. Hulin, L. Petit. 1991, nouveau tirage 1996, 520 pages. Gravitation relativiste, parR. Hakim. 1994, 328 pages. Theorie statistique des champs, par C. Itzykson, J.-M. Drouffe. Tome 1 — 1989, 408 pages. Tome 2 — 1989, 408 pages. Des phenomenes critiques aux champs de jauge, Une introduction aux methodes et aux applications de la theorie quantique des champs, par M. Le Bellac. 1990, 640 pages. Analyse continue par ondelettes, par B. Torresani. 1995, 256 pages. Dynamique des systemes complexes. Une introduction aux reseaux d'automates, par G. Weisbuch. 1989, 212 pages.

Laurent-Patrick Levy Professeur a I'universite Joseph-Fourier (Grenoble I) Membre de I'lnstitut universitaire de France

Magnetisme et supraconductivite

S A V O I R S

A C T U E L S

InterEditions / CNRS Editions

Ce logo a pour objet d'alerter le lecteur sur la menace que represente pour I'avenir de I'ecrit, tout particulierement dans le domaine universitaire, le developpement massif du «photocopillage». Cette pratique qui s'est generalised, notamment dans les etablissements d'enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibility meme pour les auteurs de creer des ceuvres nouvelles et de les faire editer correctement est aujourd'hui menacee. Nous rappelons done que la reproduction et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites. Les demandes d'autorisation de photocopier doivent etre adressees a I'editeur ou au Centre frangais d'exploitation du droit de copie: 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris. Tel. : 01 44 07 47 70.

Illustration de couverture : Reseau de vortex d'Abrikosov observe par microscopie tunnel sur le compose NbSe2. La structure en etoile autour de chaque vortex indique une anisotropie spatiale du « gap ». D'apres H. Hesse et al., Phys. Rev. Lett. 62, 214 (1989).

Nous avons fait tout ce qui etait en notre pouvoir pour obtenir les autorisations de reproduction necessaires pour cet ouvrage. Toute omission qui nous sera signalee se verra rectifie dans la prochaine edition.

© 1997, InterEditions, 5, rue Laromiguiere, 75241 Paris Cedex 05 et

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Avant-propos a ete prepare dans le cadre du diplome d'etudes approfondies Matiere et Rayonnement » de Grenoble. C E «LIVRE Malgre 1'etendue des sujets que recouvrent le magnetisme et la supraconductivite, ces phenomenes realisent des etats thermodynamiques brisant une symetrie continue : 1'invariance par rotation dans le cas du magnetisme, et Tinvariance de jauge dans le cas de la supraconductivite. Le cours a done ete congu de fagon a mettre en valeur 1'importance des symetries brisees en physique de la matiere condensee. Le livre necessite des bases assez minimales, et les techniques mathematiques utilisees restent assez elementaires. Neanmoins, la mecanique quantique etant le fondement du magnetisme et de la supraconductivite, des bases sur le spin et le moment angulaire sont indispensables. Le chapitre 2 resume les connaissances necessaires. Le premier chapitre explique comment construire les fonctions thermodynamiques en presence d'un champ magnetique. Comme le livre est constitue de deux parties, Magnetisme (I) et Supraconductivite (II), celles-ci sont specifiees entre parentheses dans les renvois aux sections et aux chapitres. Je me suis attache a traiter les phenomenes induits par le magnetisme et la supraconductivite a partir d'exemples concrets. Quelques applications technologiques de la supraconductivite sont egalement traitees. Les limites de ce livre ont naturellement necessite des choix difficiles. Les omissions les plus importantes portent sur le magnetisme des impuretes dans les metaux. Ainsi 1'effet Kondo et les fermions lourds ne sont pas abordes. Parmi les modeles exacts du magnetisme, la solution de la chaine de Heisenberg par 1'ansatz de Bethe n'est pas decrite car plusieurs excellentes monographies existent. Ont ete egalement omis, les aspects du magnetisme lies au desordre comme les verres de spins et les aimants a champ aleatoire. C'est dommage, car ces sujets ont ont apportes d'importants progres conceptuels sur les organisations complexes d'etats qui seront probablement exploiters dans la decennie a venir pour comprendre les organisations biologiques. Enfin, de nombreuses applications importantes (diffusion de neutrons, magneto-optique, enregistrement magnetique) ne sont pas traitees, car il existe d'excellents ouvrages sur ces sujets. En ce qui concerne la supraconductivite, les aspects formels necessitant les fonctions de Green a temperature finie ont ete omis. Je n'ai finalement pas pu

vi

Avant-propos

eviter la seconde quantification pour traiter la theorie BCS. Les aspects plus exotiques de la supraconductivite dans les materiaux quasi-uni et bidimensionnels ont naturellement ete omis. J'aurais particulierement aime discuter les possibilites de coexistence entre le magnetisme et la supraconductivite. Parmi les sujets modernes, les aspects mesoscopiques de la supraconductivite sont assez facilement accessible a partir de ce cours. Un ensemble de problemes d'examens sont reunis en annexe. Des corriges peuvent etre obtenus sur le serveur national dedie aux etudes de troisieme cycle, atlas.lpthe.jussieu.fr. Je tiens a remercier toutes celles et tous ceux qui ont contribue a 1'elaboration de ce manuscrit par leurs encouragements et leurs conseils. Les etudiants ont particulierement contribue par leurs questions a 1'amelioration du livre.

Table des matieres I

Magnetisme

1

1 Champ et induction magnetique. Thermodynamique 1.1 Magnetostatique 1.2 Facteur demagnetisant 1.3 Theoreme de reciprocite 1.4 Travail et energie magnetique 1.5 Potentiels thermodynamiques 1.6 Effets magneto-caloriques 1.7 Effet Einstein-de Haas

3 3 6 10 11 13 19 20

2 Magnetisme orbital et de spins sans interaction 2.1 Electrons dans un champ magnetique: Hamiltonien 2.2 Effet Aharonov-Bohm et courants permanents 2.3 Niveaux de Landau 2.4 Effet Hall quantique 2.5 Magnetisme orbital, diamagnetisme de Landau 2.6 Effet de Haas-van Alphen 2.7 Paramagnetisme de Pauli des electrons de conduction 2.8 Effet Zeeman 2.9 Interaction spin-orbite 2.10 Thermodynamique des spins localises 2.11 Paramagnetisme de van Vleck 2.12 Champ d'anisotropie ionique 2.13 Champ cristallin 2.14 Distorsion de Jahn-Teller 2.15 Disparition du moment orbital des ions de transition

23 23 26 29 34 38 41 43 44 46 47 50 51 52 55 58

3 Interactions d'echange 3.1 Echange direct entre spins 3.2 Atonies a deux electrons de valence 3.3 Regies de Hund 3.4 La molecule d'hydrogene 3.5 Hamiltonien effectif d'echange pour un solide 3.6 Methodes de Hartree-Fock 3.7 Super-echange

62 62 63 67 69 72 75 78

viii

Table des matieres 3.8 Energie des etats magnetiques

80

4 Transitions de phases 4.1 Transitions du second ordre 4.2 Longueur de correlation, fluctuations, theorie de Ornstein-Zernike 4.3 Exposants critiques, renormalisation des fluctuations 4.4 Lois d'echelles

84 84 91 94 98

5 Champ moyen 5.1 Champ moleculaire 5.2 Susceptibilite et aimantation spontanee 5.3 Champ de reaction 5.4 Antiferromagnetisme 5.5 Aimants exotiques

103 103 108 110 112 115

6 Modele d'lsing 6.1 Fonction de partition a une dimension 6.2 Solution en 1'absence de champ 6.3 Matrices de transfert 6.4 Fonctions de correlation 6.5 Dynamique de Glauber 6.6 Ralentissement critique 6.7 Gaz sur reseau

119 120 120 121 123 128 131 132

7 Le modele X-Y 135 7.1 La chaine X-Y de spin 1/2 137 7.2 Le modele X-Y classique a une dimension 141 7.3 La transition de Kosterlitz-Thouless du modele X-Y a deux dimensions 143 8 Reponse lineaire 8.1 Reponse isotherme 8.2 Reponse adiabatique, theoremefluctuation-dissipation 8.3 Difference entre susceptibilite isotherme et adiabatique 8.4 Proprietes des fonctions de reponses 8.4.1 Formules de Kubo 8.4.2 Relations de Kramers-Kronig 8.4.3 Symetries par rapport au renversement du temps . . . 8.4.4 Reponse non-lineaire 8.5 Applications aux phenomenes de resonances 8.5.1 Equations de Bloch 8.5.2 Relaxation entre spins electroniques et spins nucleaires 8.5.3 Relaxation dipolaire 8.5.4 Retrecissement d'echange 8.5.5 Resonance ferromagnetique 8.5.6 Resonance ferrimagnetique et antiierromagnetique . . .

150 153 155 162 164 164 165 . 167 168 169 169 . 173 174 175 176 . 179

Table des matieres 9 Ondes de spins 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

Hydrodynamique des spins Excitations elementaires, magnons Interactions dipolaires et modes magnetostatiques Thermodynamique des magnons Termes non-lineaires Spectroscopie d'ondes de spins Pompage parallele Autres representations Methodes hydrodynamiques

10 Chaines de spins quantiques

ix 183 183 188 196 199 201 203 204 205 206

210

10.1 Les systemes X-Y planaires a une dimension 214 10.1.1 Theorie des champs: equation sinus-Gordon 214 10.1.2 Fonctions de correlations de la phase X-Y, Instantons . . 219 10.2 Quelques theoremes 222 10.2.1 Le theoreme de Lieb-Schultz-Mattis 222 10.2.2 Theoremes de Marshall 223 10.3 Les etats a liaisons de valence 223 10.3.1 Les etats a liaisons de valence solides 226 10.4 Le modele a non-lineaire des chaines antiferromagnetiques . . . 232

11 Magnetisme itinerant 11.1 11.2 11.3 11.4

II

Singularite de Kohn Le modele de Stoner. Magnons dans les metaux L'isolant excitonique. Ondes de densite de spins Le modele de Hubbard 11.4.1 Correlations electroniques 11.4.2 Destruction de 1'antiferromagnetisme par des trous 11.4.3 Supraconductivite a haute temperature

Supraconductivite

1 Aspects macroscopiques de la Supraconductivite 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Quatre phenomenes L'interaction electron-phonon Le modele a deuxfluides Les equations de London Supraconducteurs de London et de Pippard Thermodynamique de la transition L'etat intermediate Courant critique d'un fil supraconducteur Deux types de Supraconducteurs

240 244 247 253 258 261 . . . 263 265

269 271 271 275 278 279 281 282 284 289 292

X

2 Theorie de Ginzburg-Landau 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

295

Motivation 295 L'energie libre de Ginzburg-Landau 297 Les equations de Ginzburg-Landau 301 Quantification du flux 305 Effet Little-Parks 309 Courant critique d'un film mince 310 Energie d'une interface entre 1'etat normal et supraconducteur . 311 Equations de Ginzburg-Landau linearisees 313 Nucleation de la supraconductivite a Hc2 313 Nucleation de surface: Hc3 315

3 Theorie BCS de la supraconductivite

319

3.1 Interaction electron-phonon 319 3.2 Hamiltonien BCS 321 3.3 Approximation de champ moyen et diagonalisation de 1'Hamiltonien BCS 324 3.4 Fonction d'onde BCS et etats coherents 329 3.5 Temperature finie 331 3.6 Proprietes thermodynamiques 333 3.7 Effet tunnel 334 3.8 Relaxation nucleaire et absorption des ultrasons 337 3.9 Ecrantage electromagnetique 341 3.10 Conclusions 346

4 Vortex dans les supraconducteurs de type II 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Vortex isoles Interactions entre vortex Le reseau de vortex d'Abrikosov Les courbes d'aimantation Potentiel d'un vortex au voisinage d'une surface Dissipation associee a 1'ecoulement des vortex Observation du mouvement des vortex Ancrage des vortex Limite d'ancrage fort: modele de Bean Trainage thermique des lignes deflux

5 L'effet Josephson, les interferometres quantiques 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Courant tunnel de quasi-particules L'effet Josephson Origine microscopique de 1'effet Josephson L'effet Josephson en champ magnetique L'effet Josephson AC Interferometres quantiques: le SQUID AC Transformateur deflux

349 349 353 354 356 357 358 362 363 363 364

367 367 370 373 375 378 382 385

Table des matieres 5.8 Analogie mecanique du SQUID AC 5.9 Le SQUID DC 5.10 Ondes electromagnetiques

xi 386 388 390

6 Supraconductivite inhomogene 6.1 Les equations de Bogoliubov-de Gennes 6.2 Approximation semi-classique 6.3 Les etats de coeur d'un vortex 6.4 Interface entre un supraconducteur et un metal normal: reflexion d'Andreev 6.5 Jonctions s-n-s: etats d'Andreev 6.6 Proprietes electromagnetiques des structures en proximite . . . 6.7 Supraconductivite sans « gap » 6.8 Modes collectifs 6.9 Conclusions et perspectives

401 408 .411 412 414 416

Annexe A Representations des groupes continus et ponctuels

422

A.I A.2 A.3 A.4 A.5

Notions generates Representations du groupe des rotations Groupes ponctuels Representations des groupes ponctuels Application au champ cristallin

Annexe B Seconde quantification B.I B.2 B.3 B.4

Espace des etats de N fermions sans interaction Autres representations Representation des operateurs en seconde quantification Theorie des perturbations

Annexe C Problemes d'examens

393 393 396 398

422 425 428 431 431

436 436 438 439 441

443

C.I Magnetisme 443 C.I.I Etude de textures magnetiques 443 C.I.2 Interaction d'echange a longue portee entre spin 1/2 et P approximation du champ moyen 444 C.I.3 Transition « spin-flop » d'un aimant antiferromagnetique 446 C.I.4 Ondes de spins et fluctuations quantiques d'un aimant antiferromagnetique 447 C.I.5 Ordre par le desordre: processus de selection d'un etat fondamental dans les antiferromagnetiques frustres . . . 449 C.2 Supraconductivite 452 C.2.1 Supraconducteurs sous pression 452 C.2.2 Etude d'un reseau supraconducteur 453 C.2.3 Supraconductivite dans un champ magnetique inhomogene455 C.2.4 Etude de 1'etat intermediate d'un supraconducteur de type I 456

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Premiere partie Magnetisme

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Chapitre 1 Champ et induction magnetique. Thermodynamique E LIVRE est avant tout consacre aux aspects microscopiques du magnetisme. Son objectif est 1'etude des principaux etats magnetiques rencontres dans la nature et de leurs proprietes. Les solides magnetiques sont le plus souvent constitues d'electrons en interaction. La nature des interactions est souvent complexe et il n'est pas toujours facile de construire les modeles microscopiques qui les decrivent de fagon realiste. Neanmoins, il existe de nombreuses situations ou ces modeles microscopiques peuvent etre justifies de fagon precise. II suffit alors d'en faire 1'etude pour determiner 1'etat fondamental et les niveaux de basse energie de chaque systeme magnetique. A 1'aide de la physique statistique, ces informations permettent de determiner les proprietes thermodynamiques du solide, et en particulier 1'equation d'etat M(H, T] reliant 1'aimantation M au champ magnetique H applique. Une fois cette equation d'etat connue, les equations de Maxwell donnent acces a toutes les proprietes macroscopiques des solides magnetiques et en particulier a la distribution spatiale du champ et de 1'induction magnetique. Ce chapitre est consacre a ces aspects macroscopiques. D'abord, le role des champs dipolaires inherents aux solides magnetiques et les methodes approchees de resolution des equations de Maxwell sont abordees. Ensuite, leurs influences sur les proprietes thermodynamiques font 1'objet d'une etude complete.

C

1.1

Magnetostatique

La description macroscopique des phenomenes magnetiques requiert deux champs de vecteurs, le champ magnetique H et 1'induction magnetique B. Les sources qui determinent le champ magnetique H sont uniquement les sources macroscopiques de courant c'est a dire les electro-aimants. Le champ H peut alors etre determine par le theoreme d'Ampere et les conditions aux limites que H doit satisfaire a 1'interface entre deux materiaux magnetiques differents.

4

Chapitre 1: Champ et induction magnetique

II existe egalement des sources microscopiques, c'est a dire des courants atomiques orbitaux et des moments magnetiques dus aux spins. On definit alors 1'aimantation M comme la densite de moments microscopiques par unite de volume. L'induction magnetique B est alors la moyenne macroscopique du champ magnetique microscopique dont les sources sont d'une part les courants macroscopiques produits par les electro-aimants et d'autre part la densite microscopique de moments magnetiques. Une fois cette moyenne effectuee, 1'induction magnetique s'exprime en fonction de 1'aimantation et du champ magnetique comme

suivant les systemes d'unites (c.g.s. ou M.K.S.A.) choisis qui sont decrits plus loin. Champ et induction magnetiques satisfont les equations de Maxwell avec les conditions aux limites appropriees. En general, 1'induction magnetique ne peut pas etre determinee sans une equation constitutive supplementaire qui relie 1'aimantation M au champ magnetique H, car la distribution des moments atomiques n'est pas donnee a priori mais depend des proprietes physiques specifiques du systeme etudie. La relation M(T, H) est l'« equation d'etat » du systeme magnetique. Grace a cette equation constitutive, 1'equation (1.2) s'ecrit comme Cette equation peut devenir extraordinairement complexe pour les systemes ferromagnetiques car la valeur de B depend de toutes les valeurs que H a prises precedemment. C'est 1'hysteresis magnetique dont 1'origine provient du grand nombre de configurations que peuvent prendre les domaines magnetiques d'un systeme ferromagnetique. Ces configurations ne peuvent pas etre toutes explorees par les fluctuations thermodynamiques laissant alors le systeme dans un etat metastable. Le but de ce livre est d'etudier cette equation constitutive pour les principaux solides magnetiques connus, et on ne fera appel aux equations de Maxwell qu'occasionnellement. Deux systemes d'unites magnetiques sont particulierement utiles. Dans le systeme c.g.s. Gaussien, le champ magnetique H qui se mesure en Oersteds coincide dans le vide avec 1'induction magnetique B qui se mesure en Gauss. Comme 1'aimantation M d'un materiau s'exprime egalement en Gauss, la susceptibilite x = M/H est sans dimension et s'exprime en « e.m.u. » c'est a dire en unites electromagnetiques du systeme Gaussien, puisqu'elle est sans dimension dans ce systeme d'unite. Comme 1'aimantation est une variable extensive, on definit les susceptibilites par unite de volume xv = X/V •> gt par unite de masse XM = X/M. Si le materiau etudie se comporte de fagon lineaire B = //H, la permeabilite p, s'exprime en fonction de la susceptibilite comme

Magnetostatique

5

Dans le systeme c.g.s., la vitesse de la lumiere intervient explicitement dans les equations de Maxwell qui s'ecrivent comme

La premiere equation exprime 1'absence de monopole magnetique alors que la seconde est le theoreme d'Ampere. Le courant de deplacement (entre crochets) est rarement considere dans ce livre. Les conditions aux limites imposent la continuite de la composante normale a la surface de B, et le saut de la composante tangentielle a la surface depend du courant de surface K

Dans le systeme M.K.S.A., le champ magnetique s'exprime en Ampere-tour par metre puisque le theoreme d'Ampere fait intervenir la densite de courant. Un Ampere-tour/m vaut 47rlO~ 3 Oersted: c'est done une petite unite de champ magnetique. L'induction magnetique B s'exprime en Tesla ou encore en Weber/m2 et dans le vide est reliee au champ magnetique par

ou la permeabilite du vide est definie par ^0 — 47rlO~ 7 Henry/metre. Un Tesla vaut 104 Gauss: il s'agit d'une grande unite. L'aimantation M s'exprime aussi en Tesla mais est reliee par un facteur 104/(47r) a 1'aimantation exprimee en Gauss en unite c.g.s. (cf. Eq. 1.2). Dans ce systeme d'unites, les equations de Maxwell s'expriment plus simplement

Les conditions aux limites du champ et de 1'induction magnetique sont

Dans le systeme M.K.S.A., on introduit souvent la polarisation magnetique (a ne pas confondre avec la densite de courant) definie a partir de 1'aimantation comme, La susceptibilite x = M/H est egalement sans dimension et vaut 4rr fois la susceptibilite e.m.u. (c.g.s.). De meme, la polarisabilite magnetique, x — J/H, n'est autre que

6

Chapitre 1: Champ et induction magnetique

et s'exprime en Henry/metre, 1'unite de ^ 0 - Comme pour le systeme c.g.s., on definit egalement les susceptibilites volumique et massique. La permeabilite IJL et la permeabilite relative ^r sont definies a partir de la polarisabilite et de la susceptibilite

Dans le systeme M.K.S.A., 1'introduction d'une permeabilite du vide est tres artificielle: neanmoins c'est le systeme adopte dans ce livre, car il s'impose de plus en plus comme un standard international. Le tableau I facilite les conversions d'un systeme d'unites a 1'autre. En dehors de toute source de courant, le champ magnetique obeit a V x H = 0. II est done possible de definir un potentiel scalaire magnetique (p tel que

Ce potentiel magnetique n'est defini que dans les portions de 1'espace ou il n'y a pas de sources de courant. En revanche on peut toujours definir un potentiel vecteur pour 1'induction magnetique

qui est defini a un gradient pres. Le potentiel vecteur a une signification physique particulierement importante en mecanique quantique comme on le verra au prochain chapitre. Comment mesure-t-on un champ ou une induction magnetique? Si on creuse dans un materiau une longue cavite cylindrique colineaire avec le champ magnetique local, les conditions aux limites (1.13) indiquent que le champ magnetique a 1'interieur et a 1'exterieur de la cavite sont identiques. Le champ mesure a 1'interieur est H — B///Q- On suppose maintenant que la cavite est un galette plate perpendiculaire au champ magnetique. Les conditions aux limites (1.13) donnent 1'induction magnetique a 1'interieur B = /^oH, egale a 1'induction a 1'exterieur. II existe d'autres cas simples ou Ton peut determiner le champ et 1'induction a 1'interieur d'un materiau sans avoir a resoudre explicitement les equations de Maxwell comme on le montre maintenant.

1.2

Facteur demagnetisant

Lorsque le systeme etudie a une forme ellipsoidale ((x/a)2+(y/b}2+(z/c)2 — 1) [2], il est possible de determiner les champs internes et externes a 1'aide de trois nombres, Nx, Ny et Nz, les facteurs demagnetisants, sans qu'il soit necessaire de resoudre explicitement les equations de Maxwell. Un long cylindre (c = oo) ou un disque plat (a = b = oo) peuvent etre consideres comme des ellipsoides. On suppose que des sources distantes produisent un champ uniforme H0z le long de z, loin de 1'echantillon. Pour obtenir le champ a

Facteur demagnetisant

7

I'interieur de 1'ellipsoide, on peut par exemple utiliser le potentiel magnetique