УРАВНЕН1Я СЪ ЧАСТНЫМИ ДИФФЕРЕНТАМИ КАКОГО НИБУДЬ ПОРЯДКА. Ю А. Давидова. (Читано 20-го феврали 1865 г.)
Йзсл^довашями Я...
4 downloads
195 Views
1020KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
УРАВНЕН1Я СЪ ЧАСТНЫМИ ДИФФЕРЕНТАМИ КАКОГО НИБУДЬ ПОРЯДКА. Ю А. Давидова. (Читано 20-го феврали 1865 г.)
Йзсл^довашями Якоби и Коши интегращя уравненш съ частными дифференщалами 1-го порядка разрешена въ самомъ общемъ вид*; замечательные способы, употребленные этими учеными, приводятъ интеграц1ю всякаго уравнешя съ частными дифференщалами 1-го порядка къ интеграцш си стемы дифференюиальныхъ уравненШ. Пусть будетъ
подобное уравнеше, въ которомъ z изображаетъ функщю отъ х и у а р и q частныя производныя отъ z относительно хпу9 ш означймъ полный дифференщалъ выражешя F чрезъ
Xdx + Ydy + Zdz + Vdp + Qdq; тогда вопросъ приводится къ интегрировашю еоовм^стныхъ дифференщ льныхъ уравненШ
Ï + Z , + Q£=O, 23*
— 352 — къ кото^ымъ присоединяемъ еще четвертое уравнеше floß
dz=pdx
+ qdy = (pV + qQ) — .
Предстоягщя изсл1>довашя им^ютъ ц^лью обнаружить, что подобныя дифференщальныя уравнешя существуютъ для всякаго уравнешя съ частными дифференщалами дакого нибудь порядка, и что если интегращя этихъ дифференщальныхъ уравненш возможна, то ею разрешается и уравнеше съ част ными производными. I. Означивъ чрезъ х и у независимые перем^нныя и чрезъ z функщю ихъ, изобразимъ чрезъ F= 0 уравнеше съ частными дифференщалами, содержащее xfy,z и п первыхъ производныхъ отъ z. Условимся для краткости въ сл'Ьдующемъ обозначеши
fil-,® r s r
dx dy ~~ ' такъ, что подстрочный указатель z означитъ число диффе ренцировали относительно х и верхнш указатель число дифференцированш относительно у. Согласно съ этимъ всякое новое дифференцироваше относительно х увеличитъ на еди ницу подстрочный указатель, а всякое новое дифференциро ваше относительно у увеличитъ на единицу верхшй ука затель: dx ~*
r
+l ' dy ~
r
Очевидно, что на основаши этого обозначешя будемъ ИМЪТЬ
— 353 — dz® = z®r+ldx +
z/+4y.
Согласимся въ подобномъ же обозначенш для производныхъ даннаго выражешя F. Положивъ — = Хdx dF y d¥ _ _ dl~ ; изобразим* производную отъ F относительно производной z(s)
чрезъ такъ что d¥
_ 7 W
Согласно съ этимъ полный дифференщалъ выражешя F изобразится въ вид* d¥===Xdx^Ydy+Zdz+Zldzi+Zil)dz{i)+Z2dz2+....==0. Введемъ вместо у новое независимое переменное и, пред полагая и изображая чрезъ ç совершенно произвольную функщю. Всл*дств1е этого предположешя я и ВСЕ производныя отъ z становятся функщями отъ х и и. Вообразимъ» что функщя ср (х, и) получаетъ безконечно малое измЗшеше Щ9 и что ВМЕСТЕ СЪ т^мъ Х И M получаютъ совершенно произвольныя приращен]'я Sx и «5%. Означимъ чрезъ характеристиЕу о изм^нетя, произходящ1я всл^дстше этого въ величинахъ, зависящихъ отъ х, и и
+ ^. г*(п) = о. Разумея подъ г ц-Ьлое число, небольшее п, положимъ
+ zB"-(l)M--z(r,»-];---w верхшй знакъ поеледняго члена соответствуешь нечетному г, а нижнш — четному, такъ что этотъ членъ, во всякомъ слу чае имеетъ отрицательный знакъ. Предъидущее выражеше удовлетворяетъ для всякаго г, небольшаго п, следующему уравнению a
У)
H_r
. третье на a(2)n__2 и т. д., последнее на a1(w"""4) и приложимъ сумму ихъ къ выражешю dx. $F, тогда уничтожатся всЬ члены той части л15, коеффищентъ при какой нибудь вар1яцш разсматриваемой части, напр. при &s(r)n__r состоитъ во первыхъ изъ члена
принадлежащаго выражешю dx . 8F, и потомъ еще изъ двухъ членовъ, происходящихъ отъ уравненш (a); a именно изъ члена a (r) „_ r . dx происходящаго отъ г -f- 1-го уравнешя системы (а) и изъ члена
происходящаго отъ г-го уравнешя этой системы, такъ что разсматриваемый коэффищентъ будетъ Z * V , • dx + a( V , • to + a ^ î L , • dy. Но вслФдств1'е уравнешя (5) это выражение обращается въ нуль. Что касается до коэффищента при варшцш oz{n\ то зам*тивъ» что онъ будетъ Z . dx + a/»"1» . dy, находимъ его равнымъ — a(n) . rfa? потому что, принимая въ уравненш (5) г = я, находимъ
— 358 — Z (n) . dx + a i (n - 1) . dy = — a(n> . dx. Такимъ образомъ та часть выражетя dx.SF, которая зависитъ отъ измФненШ производныхъ я-го порядка, приво дится, вследствие сказаннаго преобразовашя, къ виду
— епЧх . Szn, где
да .., = _ ( _ 1Г [ ги (4)-- 21 .._.(|)"-' + г И "-(1Г' • • • - * " ] • Следующая часть выражешя dr . . . . . Остальныя части выражешя dx§Ft остаются безъ изм^внеHÎH, за исключешемъ части, зависящей отъ Вх и By, кото рая получить новое прирощеше
- (ßn-An-i + P ( V ^ ( V - 2 •••• + ß^dV"-*)
ix
- (P, t _ I ^ ( V 2 +ß < , , M _ 1 ^ ( 3 , „_3--+ß/"- 2 , ^ ( n - 1 Vy.. (13). Означимъ такимъ образомъ измененное выражеше dxSF чрезъ d^>)Sz^
— 36?
-
Положим?»
z
—K2)- '4$
+zw
] (19)
er
O—Z ^ - Z (1) 4- о ^ ! - У - о ( 1 )^iÜ )
и помножимъ первое изъ уравнешй (я — 1) на сг2, второе на с1(1) и приложимъ сумму ихъ къ выражение dxS¥n_{, тогда первые два члена той части (18) этого выражешя, которая зависитъ отъ изм1шешй производныхъ 2-го порядка, уничто жатся, а ПОСЛ'БДШЙ членъ приметъ видъ
потому что всл*дств1е уравнешй (19) Z2dxoz^.
Сл-вдующШ за т*мъ членъ выражешя dxS¥n_l будетъ (20)
(Z.Ac -f < ^ )
0
\
+
(z{4x
+ c/1^)
W
и часть этого выражешя, зависящая отъ Sx и By, получитъ новое приращение
Пусть будетъ измененное такимъ образомъ выражеше dx№ 24*
— 368 — Выраженш dœ$Fn KpoMt части, зависящей отъ & и оу и члена (20), содержитъ еще одинъ только членъ Uz. Принявъ наконецъ въ уравнения (3) г = 0 и 5 = 0, находимъ равенство dpSz — d^ax — $ri{i)$y + dxoz{ + dySz{i) = 0
(n).
Положивъ T (i) =
d z 1
J L _ Z (i) ^ ff ibil-a^ÉÉ. i
dx
' dx dx
dx (22)
**
*2 dx
и помноживъ первую часть равенства (п) на т £ , сложимъ его съ выражешемъ dxSFn, тогда первый членъ выраженш (20) сократится, потому что ВСЛ'ЕДСТВШ уравнешй (22) им'Ьемъ Z{dx -+- сг2(/[л1 -|~ т^а? = 0, а посл^дшй членъ этого выраженш примегъ видъ — 4{i>dx2z{i\ потому что всл'Ьдствш т'Ьхъ же уравнешй (22) имгЬемъ Ъ^Чх + <j/1}tf|x(l} + T4dy = — 4{i)dx. Сл'ЬдующШ за т1>мъ членъ выражешя dxS¥n будетъ (Zdx-+-4tdp.)$z, и положивъ
(23)
— 369 — представимъ этотъ членъ въ вид* (25)
vdxSz.
Часть выражешя dx$Fn, зависящая отъ 8х и ~ — w
riy&g
~
У*
Вставляя эти выражешя в ъ предъидущее уравнеше и е о кративъ множитель Sxdy — dxSy находимъ Мы предположили, что у есть произвольная функщя о т ъ х m и; отличимъ производныя, взятыя в ъ этомъ предположе н а , с ъ помощью знака ( ) ; тогда им'Ьемъ
— 373 —
\ du )
dy \duj
\dx)
dx
+
du l
dy \dx)
\dx)
Опред'Ьливъ изъ этихъ двухъ уравненШ производныя находимъ (n+t)
(^\ Z
(n)
/dz^\ \ du) ~ (dy\ \duj
(dj\
(dJL) _ (^H\
\ dx ) \duj
\ du )
\dx)
m \duj
Вставляя эти выраженш въ предыдущее уравнеше и опуетивъ общШ знаменатель / * \
\duj' получаемъ
\duj
[\dx
J \duj
\du
J
\dxjj
или
[A+'(2)](£)-»(C)-@)-'акъ какъ у совершенно произвольная функцш отъ х и и, Р е м , ь эту функщю такъ, чтобы она удовлетворяла Уравнешю
Г0
выбе
ci*ÄCTBie этого находимъ, по предъидущему уравнение
— 374. — B = 0, а потому также будемъ им^ть А = 0. Изъ двухъ уравнешй А= 0 и В= 0 по уравнению (31), сл^дуетъ а{п) =
0.
Мы заметили, что выражеше а(7г) (6) независитъ отъ мно жителей фи Можно показать, что всл,Едств1е уравнешй (30), выражешя А и В становятся также независимыми отъ этихъ множителей. Въ самомъ лЪлЪ, замФтивъ, что по уравнешю (2)
d^r+l-=^r+id^
+ dz^r+i
представимъ выражеше (27) въ сл'бдующемъ ВИД'Е.
Adx = Xdx
- («.Л. + a ' V ^ V i .... + а,«»-^«—>) -(h-Sn-^n-г
+ ß { V . « ( 1 , * - . W . ••-
— (Т й _ 2 г й _^[л й _з + f
- (PArffc + P.( W -(?idz3
+ p^dz^
l,
n _,a
(l,
f l _ J dfV_ t
....
+ P,(2 W ) +
?^dz^)
— (* 1 MftWV 1 V 1 , MM*»+^ ( W , )^«Mf*i-V*,-
— 375 — Но первый членъ каждой строки со вторьшъ членомъ сле дующей строки даетъ выражеше, независящее отъ множите лей dfA. Такъ зам'Ьтивъ, что -
dzn_, = zndx + z{i)n_{dy dz{i)n^ = z{i)n^dx
+ zMn_.2dy
dzf-V = z^dx
+ %p-4y
находимъ
wJv-n-i + a ' V / L V V . •••• + «, (n -V"-V -0 + &_, = 0, это выражеше приводится къ
- ( г „ _ Л _ . + z)
тогда
(33) B^=Y1^-(aw^V1+«