Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração

CAPÍTULO 1 EDITORA MAKRON Books NÚMEROS REAIS Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos d...

Author: Diva Marília Flemming | Mirian Buss Gonçalves

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CAPÍTULO 1

EDITORA

MAKRON Books

NÚMEROS REAIS

Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3, ...}. Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}.

2

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos: Q= {x I x mln , m, n

e Z, n O}.

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln, n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por 1? = Qu Q'

A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:

1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.

1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e

a-b=b-a.

1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então a + (b + c) = (a + b) + c

e a (b c) = (a•b) • c. -

1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então a• (b + c) = ab + ac.

1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a e a • 1= a, para qualquer a E R.

Números reais

3

1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a, tal que a + (—a) = O.

1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por 1 1/a, tal que a • — = 1. a Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.

1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida por a — b = a + (—b).

1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por —a

= a

b•

1.2 DESIGUALDADES Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.

1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que: (i)

se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a é positivo;

(ii)

a soma de dois números positivos é positiva;

(iii) o produto de dois números positivos é . positivo.

1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo. 1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos: (i)

a < b b — a é positivo;

(ii)

a > b .:;=> a — b é positivo.

4


1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: (i)

a 5_ b a < b ou a =-- b;

(ii)

a ba>boua=b.

Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESIGUALDADES. ab são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são desigualdades não estritas.

1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N. (i)

Sea>b eb>c, então a > c.

(ii)

Se a>bec> O, então ac > bc.

(iii) Se a>be c< O, então ac < bc. (iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c. (v)

Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d.

(vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd. As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo:

Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c). (def)

Se a > b

(a — b) > O. (def)

Se b > c

(b — c) > O.

Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O (def)

ou

a—c>0a>c.

Números reais

5

Prova da Propriedade ii). (Se a > b e c > O, então ac > bc). (def.)

Se a > b

(a — b) > O.

Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela definição, ac > bc.

1.3 VALOR ABSOLUTO 1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como

lal = a, se a O lal = — a, se a < O.

1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então lal = .

1.3.3 Propriedades. (i) (ii)

lxl < a —a < x < a, onde a > O. >ax>aoux O.

(iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl. (iv) Se a,bEReb O, então

(v)

a b

lal Ibl •

(Desigualdade triangular) Se a, b e IR, então la + bl

(vi) Se a, b E

R,

lal +

então la — bl 5 lal + Ibl.

(vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl.

6


Vamos provar algumas das propriedades citadas.

Prova da Propriedade i). (Ix1 < a — a < x < a, onde a > 0). Provaremos por partes:

Parte 1: — a < x < a, com a > O

Ixl < a.

Se x _ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a. Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluímos que — x < a. Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a.

Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a. Se x . 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0, segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a<x 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a.

Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl). Usando 1.3.2, vem labl = I(ab) 2 = 'Va 2 • b2 = .Va 2 • 'NFo T

lal • Ibl.

Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então

a b

Usando 1.3.2, vem

a b

= "\I

=

*NW 1 a 1 — — b1 b2 I

b O.

la 1 ). lb 1

Números reais

7

Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1). Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em qualquer caso vale,

ab

labl = tal Ibl.

(1)

Multiplicando (1) por 2, temos

2ab 2 lal IbI.

(2)

Da igualdade (a + b) 2 a 2 + 2ab + b2 e de (2) vem que

(a + b) 2 a2 + 2 lal Ibl +b 2 (a + b) 2 la1 2 + 2 lal Ibl + Ib1 2 (a + b) 2 5_ (Ial + 1b1) 2 .

(3)

Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos la + bl 5_ lal + Ibl.

Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1). Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v). Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl lal + Ibl.

Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl

la — b1).

Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem lal = Ic + bl

Icl + 1bl

lal — Ibl

Icl

lal — Ibl

la — bl .

8


1.4 INTERVALOS Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue: 1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a < x < b} denota-se (a, b) ou ]a, b[. 1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b]. 1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a < x b} denota se (a, b] ou ]a, b]. -

1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x < b} denota se [a, b) ou [a, b[. -

1.4.5 Intervalos Infinitos.

(i)

{x I x > a} denota-se (a, + oo) ou ] a, + oo[;

(ii)

{x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + oo [;

(iii) {x 1 x < b} denota-se (-00, b) ou ]— ao, b{; (iv) {x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b].

Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos que seguem: ex. 1.4.1 — (2, 3) ex. 1.4.2 — [O, 3] ex. 1.4.3 — (1, 4] ex. 1.4.4 — [O, 4)

O

1

2 3

4

E O

1

2 3

4

O

1

2 3

4

O

1

2 3

4

Números reais

9

ex. 1.4.5 —

(i)

(O, + ao)

(ii)

[1, +

(iii) (-0., 3)

4

(iv) (-00, 4]

4

O

1

2

3

4

O

1

2

3

4

O

1

2

3

4

0

1

2

3

3-4

1.5 EXEMPLOS 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. 3+7x < 8x+9 3+7x-3 < 8x+9-3

(propriedade 1.2.5 iv)

7x < 8x + 6 7x-8x < 8x + 6 — 8x


—x < 6 x >

(propriedade 1.2.5

Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 00) é a solução, e graficamente

6

iii)

10


7 < 5x+35.9 (propriedade 1.2.5 iv)

7-3 < 5x+3-3 ^ 9-3 4 < 5x-7 x

< 5 (x + 7)

(propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5

x < 5x + 35 x — 5x < 5x + 35 — 5x


— 4 x < 35 x > — 35/4

(propriedade 1.2.5 iii)

Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 00) é a solução do Caso 2.

Então,

4:354? 1.

x+7 < O ou x< —7. 5(x + 7) x > 5x + 35 x < —35/4

Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2.

Números reais

11

A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co) ou ainda x e [-35/4, —7]. Graficamente, -35/4 (iv) (x + 5) (x — 3) > O.

A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:

Caso 1.

(x + 5) > O e (x — 3) > O ou x > — 5

e x> 3

ou

x > Caso 2.

x + 5 < Oex-3 b.

A solução deste caso será x > b ou (b, + 00). Caso 2.

x—a < O e x—b — 3 — 3x —7

e)

x2 _^ 9

1)

g)

1— x — 2x 2 O

h)

i)

x3 +1>x2 +x

k)

2 x+2 x2

1

q)

x 3 -3x+ 2 50

r)

1 x + 1

s)

8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O

t)

12x3 — 20x2 _ — 11x + 2.

a) 15x — 3 I = 12

b)

I —4+12x1=7

c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I

d)

3 x—2

2. Resolver as equações em R.

x+2 x—2

=5

16


e)

g)

3x + 8 2x — 3

—4

I9x1-11 = x

f)

13x+2I=5—x

h)

2x-7=Ix1+1.

3. Resolver as inequações em R. a)

I x + 1214

j)

• g)

i)

k)

2 +x 3 —x

>4

1)

7 — 2x 5 + 3x

< —2

_1 1

1, se x < O e g(x) = 2x, se O < x < 1 1, se x > 1 . Determinar fo g.

Sex1? definida porflx) agn+ a ix"

1+ ...+a n1 x+atz onde a 0' a 1 , • •' a ,, a 0 O, são números reais chamados coeficientes e n, inteiro não negativo, determina o grau da função. -

Funções

39

O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções com auxilio das derivadas. O domínio é sempre o conjunto dos números reais. Exemplos. (i)

A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.

(ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 1 2 grau. (iii) A função quadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a # O é uma função polinomial do r grau. (iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica. (v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.

2.11.7 Função Racional.

É a função definida como o quociente de duas funções

polinomiais, isto é 4 f(x) = p(x) , q(x)'

p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O.

O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais que q(x) = O. Exemplos. x—1 (i) A funçãoftx) — é função racional de domínio D(f) = R — (-1 } (Figura 2.14). x

Figura 2-14

40


(ii) A função f(x) —

(x2 + 3x — 4)(..x= — 9) (f. + x — 12)(x — 3)

é racional de domínio

D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►.

-4 -3

Figura 2-15

2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo x no domínio de f, f (—x) = f (x). Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplos. (i)

A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-4 2 = x2 = f (x).

(ii) A função f (x) = x 5 + x 3 é ímpar, já que f (—x) = (—x) 5 + (—x) 3 = — x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x).

(iii) A função f (x) = x 3 + 4 não é par nem ímpar.

Funções

41

2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal que f (x + T) = f (x) para todo x E D(f). O número T é chamado período da função f (x). O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI.

Exemplos. (i)

Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n.

(ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número T O.

(iii) A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas.

Figura 2-16

2.14 FUNÇÃO INVERSA Seja y = f (x) uma função de A em B ou f: A —> B. Se, para cada y E B, existir exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g: B —> A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f -1 .

42

Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

Exemplos. (i) A função f: R -' E definida por y = 2x - 5 tem como função inversa f

(ii)

-1 :

1?-> R, definida por x =

A função f: - {3} -' a função inversa f x=

-1 :

(y + 5).

- {-1} definida por y -

- 1

3 -x

admite

E - {-1} -' R - {3} definida por

1 + 3y

y+1

Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. A Figura 2.17 ilustra a função f: E-> E dada por y = x 2 que não possui inversa. Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por exemplo, para x z O existe a inversa x 1 = .6 e para x s O existe a inversa x2 = - V.

Figura 2 17 -

Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x e observarmos a simetria. Exemplos. (i) A função f: [O, + 00) -> [O, + 00), definida por f (x) = x2 tem como inversa a função g: [O, + 00) -0 [O, + 00) dada por g (x) = Vi (ver Figura 2.18).

Funções

43

(ii) A função f: I? ---> 11? dada por y = x 3 admite a função inversa g:

R dada por g (x)= 3'\11x (ver Figura 2.19).

Figura 2-18

Figura 2-19

2.15 ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES 2.15.1 Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a, a função f de IR em I? que associa a cada x real o número real ax, sendo a um número real, 0 < a 1, ou, f: R — > R x ---> y = ax.

O domínio da função exponencial é D(f) = R. A imagem é Im(f) = (0, o.). Podemos também denotar Im(f) = (0, = R+*. Com relação ao gráfico da função f (x) = ax (Figura 2.20) podemos afirmar: 1)

a curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois y = ax > O para todo x e R;

2)

corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);

3) f (x) = a' é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a
[O, n]. onde f -1 (x) = arc cos x. Simbolicamente, para O ^. y S TC, escrevemos: y= arc cos x x = cos y O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27). Observação:

A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação

arc cos x = - arc sen x 2

Funções

Figura 2-27

De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos:

Figura 2-28 Os ângulos a e 13 são complementares, ou o 7c a+p=

—

2

x = sen a = cos 13. Portanto, a = arc sen x e = arc cos x. Concluímos que It

arc cos x = 2 — arc sen x.

51

52


FUNÇÃO ARCO TANGENTE A função inversa da tangente é definida para todo número real. Seja f: it12) ----> /2 a função definida por f (x) = tg x. A função inversa de f, será chamada função arco tangente e denotada por f -1 : 1? (-n/2, +n/2), onde f -1 (x) = arc tg x. Simbolicamente, para -n/2 < y < n/2, escrevemos y = arc tg x x = tg y O gráfico nos mostra que quando x se toma muito grande, arc tg x aproxima-se de n/2. Quando x se toma muito pequeno, arc tg x se aproxima de -n/2. É uma função crescente (ver Figura 2-29).

Figura 2-29

OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Podemos definir a função inversa da cotangente como

y = arc cotg x = — - arc tg x 2 onde O < y < 7C.

Funções

53

As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de x no domínio 1 xl z 1, desde que adotemos as definições: y = arc sec x = arc cos (1/x) y = arc cosec x = arc sen (1/x).

A Figura 2.30 mostra o gráfico dessas funções trigonométricas inversas. y

n/2 -1

X y = are cotg x

y = are sec x

Ay

Tu/2 -1 1 --a/2

y = arc cosec x Figura 2-30

X

X

54


2.15.5 Funções Hiperbólicas As expressões exponenciais e

ex +

2

ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada. Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x e cosseno hiperbólico de x. O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas. SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico, denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por:

senhx -

" - x 2

e

cosh x=

' + e 2

O domínio e imagem das funções senh e cosh são: D (senh)

+ °°),

(-

D (cosh)

=

(-

Im (senh)

=

(-

Im (cosh)

=

[1, +

00

,

°°), + .0) e

O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos 1 das funções - e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas. 2 2 Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh [Figura 2.31 (b)].

Funções

(a)

55

(b)

Figura 2-31 A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura. Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível mostrar que a equação correspondente é: y = cosh (x/a), a

E

R.

Esta curva recebe a denominação catenária.

Figura 2-32 As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de senh e cosh.

56


TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por: tgh x

= senh x coshx ex + e x —

-

cotghx —

coshx + — senhx ex — e - x

2 sechx = 1 = coshx ex + cosechx =

e

1 2 senhx eX _ e-x

Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33. Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que cosh 2 u — senh 2 u = 1. Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen 2u = 1 e pode ser usada para justificar o adjetivo "hiperbólico" nas definições. De fato, a identidade cosh 2u — senh 2 u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas (cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x 2 — y 2 = 1. Fazendo u variar no conjunto dos reais, o ponto P descreve o ramo direito da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro u. Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por 1 A C = 2 t (1) 2

1 =— t 2 e portanto, t = 2Ac.

I

Funções

X

57

X -1

-1 y = tgh x

(a)

y = cotgh x

(b) AY

y = sech x

(c)

y = cosech x

(d) Figura 2-33

Uma relação análoga a esta, é válida para as funções hiperbólicas. De fato, é possível mostrar que a área A h , do setor hiperbólico QOP da Figura 2.34(b), é dada por A =2 u e dessa forma, u = 2A h

.

58


P (cosh u, senh u)

(a)

(b)

Figura 2 34 -

Relacionamos abaixo, outras identidades que podem facilmente ser verificadas: tgh u —

1

cotgh u

1 — tgh 2 u = sech 2 u e

1 — cotgh2 u = —cosech2 u. 2.15.6 Funções Hiperbólicas Inversas Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas. Para isso, devemos nos lembrar das definições da seção 2.15.5 e observar os gráficos das Figuras 2.31(a) e (b) e 2.33. FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO

Analisando o gráfico da função y = senh x [Figura 2.31 (a)], vemos que a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio. Assim, podemos definir a sua função inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg senh, é definida como segue: y = arg senh x x = senh y

Funções

59

Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R. O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x.

Figura 2-35

FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio Seja f: [O, + -4 [1, + a função dada por f (x) = cosh x. A sua função inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh. Simbolicamente, para y O, escrevemos y = arg cosh x x = cosh y Temos D(arg cosh x) = [1, +

e Im(arg cosh x) = [O, +

O gráfico pode ser visto na Figura 2.36.

oo).

60

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração AY

X

Figura 2-36

INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)]. As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cossecante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são definidas como segue:

y =

arg tgh x

x = tgh y

y =

arg cotgh x

x = cotgh y

y =

arg cosech x

x = cosech y

A Figura 2.37 mostra um esboço dos gráficos dessas funções.

Funções

y= arg cotgh x

Jay

61

y= arg cosech x

y= arg tgh x Figura 2-37

INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA

Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico, para definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio Seja f: [O, + co) --> [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa é denotada por arg sech. Para y O, temos y = arg sech x x = sech y Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech.

62


Y

X

Figura 2-38 Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa. A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na integração. arg senti x = ln (x + 11x2 + 1 ), x qualquer; arg cosh x = ln (x + 11x2 — 1), x . 1; 1 (1 + x arg tgh x = — 2 ln 1—x r x + 1 1 arg cotgh x = — 2 ln , x 1

arg sech x = In

+

-‘11 - X2

—1<x 1 ;

, O<X.^ 1;

-11 + x2 \ arg cosech x = ln[1 + , x x lx1 ) —

O.

Funções

63

EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x. Sejam xeRey= arg senh x. Então, x = senh y —

eY — e Y 2 -

e portanto,

- 2x — = O. Multiplicando ambos os membros da igualdade por e, temos e2Y — 2xeY — 1 = O. Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos

_

2x + •Ni 4x2 + 4 _ x ± x2+ 1 . 2

Como e > O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, ey

= x + x2 + 1 .

Tomando o logaritmo natural, temos y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja, arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) .

2.16 EXERCÍCIOS 1. Construir os gráficos das funções de 1 9 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2 (b) y=x+b, se b=0,1,-1 (c) y = 1,5x + 2.

64


2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = ax2 , se a = 1, 1/2 e -2

(b) y = x2 + c, se c = O, 1, 1/2, -3 (c) y = yo + (x- 1) 2 , se y o = O, 1, -1 (d) y = ax2 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5.

3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = 2 + (x - 1) 3

4.

Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.

(a) y = -

5.

(b) y = x4 (c) y = 2x2 - 4.

2

. 1

b) y = ( (x - 1) 2 X

(c) y

x-1 4

X -I-

A função f (x) é do 1 2 grau. Escreva a função se f(-1)= 2 e f (2) = 3.

6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares (a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1

(b) f (x) = 5x3 - 2x

(c) f (s) = s2 + 2s -I- 2

(d) f (t) = t6 - 4 3

(e) f (x) =I xl f(y)

(g) f(x) =

x-1

x+1

(i) f(x) = ln

1+x 1-x

-

Y

Y

y2 +1

1 (h) .ft x) =- (a' + a-x)

2

(j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) .

Funções

65

7.

Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares.

8.

Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares.

9.

Mostre que a função

1 —

2

[f(x) + f(—x)] é par e que a função

1

ff (x) — f (—x)] é ímpar.

—

2

10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par com uma função ímpar.

11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar (a) f (x) = x 2 2 (c) f(x) —

x—1 x+1

(b)

(x) = x3 — 1

(d) f(x)=Ix1+Ix-11.

12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar esse gráfico no domínio x < O, se: a)

f (x) é par;

b)

f (x) é ímpar.

13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa. (a) y = 3x + 4

(c) y=

a + + Xx a

1 x—a

(b) y —

(d) y =

1, x>

O

66

Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (e) y = .Nrx - 1, x>_1

(g) Y -

x2 x- + 1

(f) y = -

x O

(i) y = x2 - 4 , x

- x, x5 a

(h) y = x2 - 4 ,

O

O.

x+2 14. Mostrar que a função y = f(x) coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y) 2x - 1 ou f (f (x)) = x.

15. Dada a função y = f(x) = é a função x = g (y) \h.

16. Seja f(x) = x2, 27 -\rx- ,

definida para todo x real, demonstrar que sua inversa "\1 1+ y2 definida para ly I < 1.

se x < 1 se 1 .^ x 5 9 se x > 9 .

Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x). 17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que: (a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T. (b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T. (c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T.

18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f 19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico.

Funções

20.

Se f (x) = 2x, mostrar que f (x + 3) -f (x -1) = 15/2f (x).

21.

Seja 4)(x) = 1/2 (ax + a-x) e 111(x) = 1/2 (a' - a-x) . Demostrar que 4T(x + y) =4)(x) 4)(Y) + Ni(x) • NI(Y) e

ni(x + =4)(x) - V(Y) +4)(Y) • 11 1(x). 22. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais. (a) y = ax, se a = 2, 1/2, e (e = 2,718 ...) (b) y = 10 1 Ix (c) y = e-x2 (d) Y = -

2x

1-x verifique a igualdade 4)(a) + 4)(b) 1+x

23.

Dada 4)(x) = ln

24.

Sejam f (x) = log x e g (x) = x3 .

r

a+b 1 + ab

67

68

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Forme as expressões (a) f [g (2)]

(b) f [g (a)], a > O

(c) g[f (a)], a > O.

25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas. (a) y =ln (—x)

(b) y= ln I xl

(c) y=ln(x+1)

(d) y = logax se a = 10, 2 e 1/2

(e) y=x1nx.

26. Se f (x) = arc tg x prove que

I. .f(x) +

KY) — f (ir xYy) •

27. Prove que arc tg a — arc tg b = arc cotg b — arc cotg a.

28. Sejaft0) = tg O . Verifique a igualdade f (2 O) =

2 f (0) 1—

LAO) 1 2

29. Seja f (x) = arc cos (log 10 x). Calcular f (1110), f (1) e f (10). 30. Determinar o domínio das seguintes funções:

2 x

(a) y = arc cos 1+ x

(b) y = arc sen (log 10 x/10)

(c) y = Nisen 2x .

31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em caso afirmativo determinar o período.

Funções

69

(a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3

(b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1

(c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2

(d) y =- sen (x — rc/2)

(e) y = cos (x + n12)

(I) y = tg (x — 37r/2)

(g) y = cotg (x + rc/4)

(h) y = tg 2x

(i) y = 1 + sen x

(j) y=l+Isen2x1

32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0). 33. Prove as identidades: (b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u.

(a) 1 — tgh2 u = sech2 u

34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico. 35. Mostre a validade das expressões: (a) arg cosh x = ln (x + "si x2 — 1), x 1;

(b) arg tgh x = 1/21n

(c) arg sech x = ln

1+x ) 1—x

r i+ 11 ,

, —1 < x < 1;

— x2 \

x

, O < x 1.

36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que f [In ( x + "\Ix2 — 1)] = x 37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares. 38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares.

CAPÍTULO 3

EDITORA DAU

MAKRON Books

LIMITE E CONTINUIDADE

O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das funções usando limites.

3.1 NOÇÃO INTUITIVA Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer regra pré-estabelecida. Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas. (1)

1, 2, 3, 4, 5, ...

(2)

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...

(3)

1, 0, —1, —2, —3, ...

(4)

1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...

Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon70

Limite e continuidade

71

trar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Denota-se X

->

00 .

Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que

De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3) x —> — 00 . Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite. Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE para os diversos casos de Limite de uma função. Observemos as seguintes funções:

Exemplo 1. Seja y = 1 — 1/x (ver Figura 3.1 e Tabela 3.1). Tabela 3.1 x

1

2

3

4

5

6

500

1000

y

O

1/2

2/3

3/4

4/5

5/6

499/500

999/1000

x

—1

—2

—3

—4

—5

.

2

3/2

4/3

5/4

6/5

.

.

—100

—500

101/100

501/500

...

72


X

Figura 3-1 Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o gráfico para constatar que: y -4 1 quando x —> + 00 . Denota-se

lim (1 - 1/x) = 1. X

Exemplo 2. A função y = x2 + 3x - 2 tende para + Denota-se

ao

quando x --> ±

lim (x2 + 3x - 2) = +

X

—) ±

00

De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico (Figura 3.2) e as sucessões da tabela (Tabela 3.2). Tabela 3.2 x

x

1

2

3

4

5

6

7

100

1000

2

8

16

26

38

52

68

10298

1002998

-1

-2

-3

-4

-5

-6

. . .

-100

-500

-4

-4

-2

2

8

16

. . .

9698

248498

..


Figura 3-2

Exemplo 3. A função y = . hm

2x + 1 tende para 2 quando x > ± co, e escrevemos x —1 —

2x + 1 — 2. x— 1

Tabela 3.3 x

2

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

1,0001

3002

30002

y

3,5

5

8

14

32

302

x

—1

O

0,9

0,99

0,999

0,9999

y

0,5

—1

— 28

— 298

— 2998

— 29998

73

74


Figura 3-3 Observando a Figura 3.3 e a Tabela 3.3 ainda podemos dizer que y —> + quando x —> 1 através de valores maiores do que 1 e que y —> — 00 quando x —> 1 através de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais denotados por: lim x 1+ x

+00

lim

e

-00,

respectivamente chamados limite à direita e limite à esquerda.

Exemplo 4. A Figura 3.4 nos mostra o gráfico da função Y—

1 (x + 1) 2

Esta função tende para o infinito quando x tende para —1, e escrevemos 11111 x _>

1 (x + 1) 2

- Ce


ou ainda, lim

1

2 x->-1 + + 1)

lim

1 + 1) 2

— +00.

Tabela 3.4 x

—3

y

0,25

2

0,25

y

—1,25

—1,1

—1,01

—1,001

4

16

100

10000

1000000

1

O

x

—1,5

1

—

0,5 4

—

0,75

—

16

0,9

100

—

0,99

10000

—

0,999

1000000

-1

Figura 3 4 -

Exemplo 5. A Figura 3.5 mostra o gráfico da função Y=

-1 (x - 2) 2

Escrevemos lim

x->2

- 2) 2

— — 00

ou y —> —

oo

quando x > 2. —

75


76

Tabela 3.5 2,5

2,1

— 4

— 100

1

1,5

1,9

— 1

— 4

— 100

3

x

—0,25

y

x

—0,25

y

2,01

2,001

— 10000 — 1000000

1,99

1,999

— 10000 — 1000000

2

Figura 3-5

Exemplo 6. Na Figura 3.6 temos o gráfico da função y = 3x -1. De modo análogo aos exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3.6, podemos escrever que lim (3x - 1) = lim (3x - 1) = 2, x-41 + x-41 ou ainda,

lim (3x -1) = 2. x-41


77

Tabela 3.6 x

0

0,25

0,5

0,75

0,9

0,99

0,999

0,9999

y

—1

— 0,25

0,5

1,25

1,7

1,97

1,997

1,9997

x

2

1,75

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

1,0001

4,25

3,5

2,75

2,3

2,03

2,003

2,0003

y

Figura 3 6 -

Podemos agora analisar os exemplos dados de outro modo.

No Exemplo 3.6, observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de 2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas não necessariamente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença y — 2 tão pequeno quanto desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x — 1 suficientemente pequeno. (Observe a Tabela 3.6.) Estamos agora aptos a formular as definições formais.

78


3.2 DEFINIÇÃO Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos lim j(x) = L x a se para todo e > 0, existe um 8 > 0, tal que If (x) — LI < e sempre que 0 < lx — al < 8. -

3.3 EXEMPLOS Usando a definição 3.2 provar que: lim (3x — 1) = 2.

(i)

x-->1

De acordo com a definição 3.2 devemos mostrar que, para todo E > 0, existe um 5 > 0, tal que I (3x — 1) — 2 I < E sempre que 0 1 lim x2 = 16. x—>4

(i)

Vamos mostrar que dado e > O, existe 3 > O, tal que 1x2 — 16 1 < e sempre que O < Ix — 4 1 < 6. Da desigualdade que envolve E, temos lx2 — 16 1 < E IX-41 IX+ 4 1 < E

Necessitamos agora substituir Ix + 41 por um valor constante. Neste caso, vamos supor O < 8

1,

e então, de O < Ix — 4 1 < 8, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: lx — 4 1

O arbitrário. Como lim f(x) = L 1, existe 8 > O tal que x-> a I f (x) - L 1 1 < E /2 sempre que O < lx - a 1 < S i .

Como lim f(x) = L2, existe 5 2 > O tal que -) a I f (x) - L2 1 < E /2 sempre que O < Ix - a I < 8 2 .

Seja 8 = min {8 1 , S 2 }. Então, If(x) - L 1 1 < E/2 e If(x) - L 2 1 < E./2 sempre que 0 < ix - al < 8. Seja x tal que O < lx - al < S. Então, podemos escrever IL i - L2 I = IL 1 - f (x) + f (x) - L2 I ^ If (x) - L 1 1 + If (x) - L 2 1 < E/2 + e/2 = e. Como e é arbitrário, temos IL 1 - L2 I = O e portanto L 1 = L2 .

3.5 PROPRIEDADES DOS LIMITES - , Na Seção 3.3, usamos a definição de limite para provar que um dado número era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares, que se tornou complicado para funções mais elaboradas. A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa do número 8 que aparece na definição 3.2.

3.5.1 Proposição. Se a, m e n são números reais, então lim (mx + n) = ma + n.

x —> a


81

Prova. Caso I: m O. De acordo com a definição 3.2, dado e > O, devemos mostrar

que existe 8 > O, tal que

1 (m x + n) — (m a + n)I < e sempre que O < 1 x — al < 8. Podemos obter a chave para a escolha de 8 examinando a desigualdade que envolve E. As seguintes desigualdades são equivalentes: 1 (m x + n) — (m a + n)I < iM X — m

E

al < E

Iml I x — al < E

1 x — al <

E

1m 1

A última desigualdade sugere a escolha 8 =

1m 1

E

De fato, se 8 = 1m ' temos 1 1(m x + n) — (m a + n)I = Iml lx — al < Iml •

e

Iml

—

sempre que O < lx — al < 8,

e portanto, lim (mx + n) = ma + n.

x —> a

Caso 2: m = O. Se m = O, então 1 (m x + n) — (m a + n)I = O para todos os valores de x. Logo, tomando qualquer 8 > O, a definição de limite é satisfeita.

Portanto, lim (mx + n) = ma + n, para quaisquer a, m e n reais. x a

Da proposição 3.5.1, decorre que: (a)

Se c é um número real qualquer, então lim

.x 4 a -

C = C.

82


(b) lim x = a. x -› a

3.5.2 Proposição. Se lim f(x) e lim g(x) existem, e c é um número real qualquer, então: x -4 a x (a)

lim [f(x) ± g(x)1 = lim f(x) ± Hm g(x); x—>a

—)(1

(b)

x—>a

lim f(x) • g(x) = Hm f(x) • lim g(x); x—>a

(d) lim x -4 a

(e)

x—>a

x-->a

lim f(x)

f(x) g(x)

x-->a

Hm g(x) x-4 a

, desde que lim g(x)

x-->a

lim V.gx) = x-4a

lim f(x) , se lim f(x) > O e n inteiro ou se x-4a

x—>a

lim f(x) 5 O e n é um inteiro positivo ímpar; x -› a (g)

lim ln [f(x)] = ln [ Hm f(x)], se lim f(x) > O; x—>a

(h)

x—>a

lim cos [fix)] = cos [ lim f(x)]; x-->a

(i)

x—>a

lim sen [f(x)] = sen [ lim f(x)]; x—>a

x—>a lim f (x)

(i

)

O;

x —> a

lim [Rx)]n = [lim f(x)]" para qualquer inteiro positivo n; x—>a

(t)

x—>a

lim cf(x) = c • lim f(x); x-->a

(c)

a

lim e f x—>a •

x)

(

=e

x—'a

x—>a


Provaremos o item (a) desta proposição usando o sinal positivo.

Prova do item (a). Sejam lim f(x) = L, lim g (x) =M e E > 0 arbitrário. Devemos prox a x—>a var que existe S > 0 tal que (f (x) + g (x)) — (L + M)1 < E sempre que 0
0, existe S i > 0 tal que [f(x) —Li < E/2 x—>a

sempre que 0 < — ai < S i Como lim g (x) = M, existe 8 2 > O tal que 1g(x) — Al < E/2 sempre x—>a

que 0 a —

3.5.3 Proposição. Se f(x) s h(x) s g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se lim f(x) = L = lim g(x)

x—►a

x—>a

84


então, lim h(x) = L.

x —> a

Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim flx) = L, existe S i > O tal que If (x) — LI < x —> a

sempre que O < Lr — al < 8 1 . Como lim g(x) = L, existe 32 > O tal que Ig (x) — LI < e X

a

sempre que O < lx — al < 82 . Seja 8 = min {8 1 , 82 }. Então, se O < Lr — a! < 8 temos que If (x) — LI < e e Ig (x) — LI < e, ou de forma equivalente, L — e < g (x) 2

x —+ 2

x --)22

= lim x2 + 3 lim x + lim 5

2

= 22 +

= 15.

x-422

32+5

x 2

Limite e continuidade x

(ii) Encontrar lim

— L1 < e

—5

x3 — 7

x-93

x —5 Hm x x-, 3 3 — 7

85

lim (x — 5)

x->3

3 — 5 —1 27 — 7

lim (x3 — 7)

10

x->3

L1 <e (iii) Encontrar lim -‘ix4 — 4x + 1 . x-4-2

Hm \ix4 — 4x + 1

de forma

\I Hm (X4 - 4x + 1)

x -> - 2

x ->- 2

= -\](-2) 4 —4(-2) + 1

= 5. X2 -

(iv) Encontrar hm

1(x) =

-

1

—1

Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois im (x — 1) = O . -41 Porém, se fatoramos o numerador obtemos

x2 — 1 (x — 1)(x + 1) x — 1

x —1

— x + 1 para x # 1.

Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1, ias diferentes de 1, temos X2 - 1- 1)

lim 11111 x-,1

x — 1

x->1

(v) Encontrar Hm x 2 x

(X

x—

+ 1)

- Hm (x + 1) = 2 x-41

1 sen —

x

Vamos usar a proposição 3.5.3. Como todos os valores da função seno estão tre —1 e 1, temos

86


0

< sen 1 x

1, V x O.

Multiplicando a desigualdade por x2 , temos

o x2

sen 1 x

x2 , V x O.

Como lim 0 = O e lim x 2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que x->I3

lim x2

x->0

1 x

sen -

x->I3

=0.

3.6 EXERCÍCIOS 1.

Seja f (x) a função defmida pelo gráfico:

Intuitivamente, encontre se existir: e(a) lim flx). x->3

.(d)

6

(b)

lim f(x). x->1+

(e)

lim f(x). x->

-

lim f(x). x ->

e(c)

lim f(x). x -> 3

lim f(x). x -> 4


2.

Seja f(x) a função definida pelo gráfico:

Intuitivamente, encontre se existir: ',(a) lim f(x). x -> -2+ x c (c)

3.

lim f(x).

(b) ->

-2

lim f(x).

.(d)

lim f(x). x -> -2

X ->

Sejafix) a função defmida pelo gráfico:

Intuitivamente, encontre se existir: e (a) lim f(x). x->0+ 0+ x b(d) lim f(x). x -> +

->

lim f(x). (b) O- x $(e)

lim f(x). -

X -3

(c) lim f(x). O lim f(x).

x -> 2

87


88


4.

Intuitivamente, encontre se existir: e (a) lim f(x).

.(b)

x 2+

(d) lim f(x).

0(e)

x

lim f(x).

(c)

lim f(x).

x ì+ -

lim f(x).

x


5.

Intuitivamente, encontre se existir: .,

(a)

lim ,fix).

x -4 1 +

((d) x

lim f(x). -9 + m

(b)

o (e)

lim f(x). x-) 1 lim f(x). x--t- oo

'(c)

lim f(x). 1


89

u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7. 7.

Mostrar que lim x 2 = 9. x —› 3 Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado x >a —

tal que If(x) — LI < e sempre que O < I x — al < S. 8.

9.

lim (2x + 4) = 8

e

=

0,01.

lim (-3x + 7) = 10 ,

e

=

0,5.

=

0,1.

=

0,25.

=

0,75.

x 2

x-*-1

10. lim e

x2 — 4

x —> —2 X + 2

— —4

1 —1 11. limE x —> 5

12.

2— x 3

X2 — 1

lim — 2 X > 1 x— 1

e

—

13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0. x >O —

14. Mostrar que:

(0 Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a. x 4a -

(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então lim g(x) = g(a)•

x —> a

Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.

45.

lim (3 — 7x — 5x2 ).

x —> O

16. lim (3x2 — 7x + 2). x —> 3

90

17.

19.


Em (-x5 + 6x4 + 2). x->-1 -1

18. Hm (2x. + 7). x -> 1/2

Hm [(x + 4) 3 (x + 2)-11.

20. lim [(x - 2) 10 (x + 4)].

x- -1

21.

23.

25.

lim

x ->2

lim

29.

.31.

33.

X2

lint

1.

22. Em t->2

. 24. hm

t + 2. t2 +St + 6

t+2

t->2

t2 - 5t + 6 s +4 t 2 26. s -3 1/2 2s -

lim 3N2x + 3.

x -34

lim x -) .5/1

3

+

-1

x -)1 x

t-2

27.

x + 4 t 3x -

x ->

2x2 - x 3x

lim [2 sen x - cos x + cotg x].

x -37c/2

Em (2x + 3) 1/4 .

28. fim (3x + 2) 2/3 . x -37

30. Hm

x -32

x

-3x - 4

032. lim (ex + 4x). ,21 i x->4

34. lim

x ->2

senil x 4

3.7 LIMITES LATERAIS 3.7.1 Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um núMero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e

escrevemos

lim f(x) = L, x a-F


91

se para todo e > O, existe um 8> O, tal que f(x) - LI < e sempre que a < x < a + 8. Se Hm f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela x _> a +

direita. Usamos o símbolo x a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores do que a. De maneira análoga, definimos limite à esquerda.

3.7.2 Definição. Sejaf uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para a, e escrevemos lim f(x) = L, se para todo e > O, existe um 8 > O, tal que If(x) - LI < e sempre que a - < x < a. Neste caso, o símbolo x —> a indica que os valores de x considerados são sempre menores do que a.

Observação. As propriedades de limites, vistas nas proposições 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3 continuam válidas se substituirmos x —> a por x --> a+ ou x —> a . -

3.7.3 Exemplos (i) Dada a função f(x) = (1 + Vx - 3 ), determinar, se possível, -

lim f(x) e lim f(x). x -)3 + x-)3 A função dada só é definida para x 3. Assim, não existe lim f(x). x-43

Para calcular lim f(x), podemos aplicar as propriedades. Temos, x->3 +

lim f(x)

x-)3 +

lim (1 +

x -> 3

+

- 3)

OCV le4 0 -1

; 1.6 o 6 CP, .‘

92


lim 1 + lim x ->33 + x -> 3+

•

•

1 +

-3

lim (x - 3) + 3

•

1+0

-cri • (ii) Seja f(x) =

se x O

x

1,

se x = .

Determinar Hm flx) e lim f(x). Esboçar o gráfico. x->o+ x-r Se x > O, então Ixl = x e f (x) =

=

Logo, lim f(x) = Hm -1 = - 1. x-,o+ Se x < 0, então Ixl = -x e f(x) = = 1. x Portanto, Hm f(x) = Hm 1 = 1. x x O gráfico da função pode ser visto na Figura 3.7. Observamos que

x

lim f(x) # lim f(x). x-30


93

Figura 3-7 (iii) Seja f(x) = Ixl. Determinar lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico. x-:■+ x-)o Se x O, então f(x) = x. Logo, lim f(x) = lim x = O. x-o+ x->o+ Se x < O, então f(x) = -x. Logo, lim f(x) = lim (-x) = O.

A Figura 3.8, mostra o esboço do gráfico da função. Neste exemplo, podemos observar que lim f(x) = lim f(x). x x o+

Figura 3-8

94


O teorema a seguir nos dá a relação existente entre limites laterais e limite de uma função.

3.7.4 Teorema. Se fé definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então Hm f(x) = L se e somente se lim f(x) L x- a x—►a+ e lim f(x) = L. x- a -

Prova. Provaremos apenas a condição suficiente. A condição necessária é conseqüência imediata das definições dos limites envolvidos. Suponhamos que Hm f(x) = L e Hm f(x) L. Então, dado e > 0 arbitráx -a+ rio, existe S i > O tal que if (x) - L < E' sempre que a < x < a + 8 1 e existe 8 2 > 0 tal que tf (x) - Li < e sempre que a - 8 2 < x < a. Seja 8 = min {S i , 8 2 }. Então a - 8 2 s a - 8 e a+Ssa+ 8 1 , e, portanto, se x a e a-S<x2 x-)2+ x->2 da função. Se x > 2, então, f (x) = 9 - x2 . Assim, lim f(x) = Hm (9 - x2) = lim 9 - Hm x2 =9 - 4 = x-42+ x->21- 2+ x-2+ Se x < 2, então, f(x) = x 2 + 1. Portanto, Hm f(x) = lim (x2 + 1) = lim x2 + lim 1 = 4 + .1 = 5. x->2

x->2

x-)2

x->2

Como Hm f(x) = lim f(x) = 5, concluímos que x_)2

+

lim f(x) = 5. x->2 A Figura 3.9, mostra o gráfico de f(x).

96


Figura 3 9 -

3.8 EXERCÍCIOS

1.

Seja f(x) =

Calcule: 3(a) lim f(x).

x -› 3 x

Em flx).

)(b)

) 3 + ‘""(

-

,,(d) lim f(x).

x

-

>5

-

-(e)

Hm f(x). x_5+

-

Esboçar o gráfico deflx).

.2.

Seja h(x) =

{x2 - 2x + 1 , x 3 7

x

3.

•Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).

x-)33

(c)

lim fiz). x -4 3 Em f(x).

x-)5

Limite e continuidade 3.

Seja F(x) = Lx — 4L Calcule os limites indicados se existirem: e(a) lim F(x).

sa(b)

x->4 +

s(c)

lim F(x).

lim F(x). x -> 4

x->4

Esboce o gráfico de F(x).

4.

Seja f (x) = 2 + 15x — 11. Calcule se existir: (a)

(b)

lim f(z). x —> 1/5 +

hm f(x). x —> 1/5

e(c)

lim Rx). x -> 1/5

Esboce o gráfico de f(x).

-5.

— 31 x — 3

Seja g(x) =

x ,

3

x=3.

(a) Esboce o gráfico de g(x). '(b) Achar, se existirem lim g(x), lim g(x) x > 3+ x —> 3 -

x/lx 1 , se x e6.

e

lim

g(x).

x -> 3

O

Seja h(x) = {

O

, se x = O .

Mostrar que h(x) não tem limite no ponto O.

el.

Determinar os limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x -* O.

a8.

1 Verifique se lim existe. X > x— 1

97

98


1/x

9.

,

x2 ,

Seja f(x) =

2 , 2—x,

x < 0 O

X

1.

Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem: é (a) lim f(x). x —) —1

,*(19)

,(d) lim f(x) . x—)

'(e)

,(g) lim f(x). x- 2

•(h)

lim f(x). x —)

a(c)

lim f(x).

lim f(x). x )0+ lim f(x). x ->2+ 2+

x —> O

lim f(x). x— 2

10. Seja f(x) = (x2 - 25)/(x — 5). Calcule os limites indicados se existirem: *(a) lim f(x). x O _

1(b)

((d) lim f(x). x —> 5

s(e)

lim f(x). x -> 5 + x

,(c)

lim f(x).

-> -

lim f(x).

x --> - 5

3.9 CÁLCULO DE LIMITES Antes de apresentar exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:

o o

'

-

00

,00

—oo,O x

3

O° ..°

são indeterminadas. O que significa isto?


99

O

Vejamos, por exemplo, - • O Sejam f e g funções tais lim f(x) = lim g(x) = O. Nada se pode afirmar, x-*a

x—>a

a priori, sobre o limite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de indeterminação. Para comprovar o que dissemos acima, vejamos dois exemplos: (i)

Sejam f(x) = x 3 e g(x) = x2 .

Temos, lim f(x) = lim g(x) = O x x e lim

(ii)

3

= lim x -5 = lim x = O. g(x) x --)13 x

Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2 .

Temos, lim f(x) = lim g(x) = O e, neste caso, x-4c■ x->o lim

x

f(x. ) x2 - lim - lim 1 = -1 2 x2x2 g(x) x-'0 2

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários. São os casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto. Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0/0.

x3 - 3x + 2 Exemplo 1. h lim x2 - 4 x -4 -2

100


Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as simplificações possíveis. Aplicamos então a proposição 3.5.2. Temos, lim

x---2

- 3x + 2 x2 - 4

= hm -2 x--2

= lim x --2

(x2 - 2x + 1)(x + 2) (x - 2)(x+ 2) x2 - 2x + 1 x - 2

lim (x2 - 2x + 1) x->-2 um (x - 2) 2

x

- 9/4.

Exemplo 2. hm x-›0

função.

+ 2 -

Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da Segue então,

+ 2 esix + 2 - (Nix + 2 + lim = lim x-)o x Xe■ix + 2 + x->0

= lim x

(Nix + 2 ) 2 -(Nr2-:) 2 x ( "■ix + 2 +

x+2-2

= lim

x->0 X( 1.7C .

2 +')

)

Limite e continnifkrk

1 = lim , x—)o "Vx + 2 + N12—

1 2 *Ni2.-3fX

Exemplo 3. lim r

—

—

x-41 Nx

—

1

Neste caso faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos. Por exemplo, x = t6 , t O. Quando t6 —+ 1, temos que t -->.1. Portanto,

lim

x

3-■&"

— 1 — 1

— 1 = lim r—› Nt6 — 1

= llim- 1 t-91

=lim

rol

=

lim

r—1

(t — 1) (t + 1) (t +1) (t2 + t + 1) t+ 1

t -41 , + t + 1

= 2/3.

101

102


Exemplo 4. lim

(x + h) 2 — x2 h

h->0

Neste exemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar as simplificações. Obtem-se:

x

. ( + h) 2 — x2 + x2 2xh + h 2 — x2 —l im hm h->0

h

h

h->0

=um

2xh + h 2

h->0

h

um h(2x + h) h->0

h

= lim (2x + h) h->0

2x.

3.10 EXERCÍCIOS 1. Para cada uma das seguintes funções ache f(x) — f(2) hm —2 2 xx -• 2 ?,(u) f(x) = 3x2 .

(b) f(x) = 1/x, x O.

e(d) f(x)= 3x2 + 5x — 1. 6 (e) f(x) =

x+1

, x —1 .

• (c) f(x) = 2/3 x2 . a (f) f(x) = x3.


103

Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.

x3 + hm , x- - 1 x .

a.

E4.

06.

x->2

3x2

— 5x — 2

410.

x —a

x2 + 6x + 5

X2 - 4 x ->2 x — 2

.r.14.

lim

16.

x

D11.

(2 + h) 4 — 16 h

t.17.

h-->1 h — 1

—2

x->2 XL —12x + 20

(4 + 0 2 -16

bt — a

+

, a, b > O .

,a>O

'N/2(h2 — 8) + h

11111 h->-4

19. lim x->0

h

17 (

,

x2 + 3x + 2 (/ -IJ)

r->0

"\ix2 + b 2 — b

(m-}, y,,y--n__L

x2 — 5x + 6

m15. lim

"V x2 + a 2 — a

•

— > tr)

1 \Àt,

tf

2t — 5

3. fim 01

•

t

-3\1 8 +

2t2 — 3t — 5

x2-1

lim

'125 + 3t — 5 .N1a2

r —> o

lim x

lim —> 5/2

3x2 — 17x + 20 3 lim x->4 4x2 — 25x + 36 Li

▪

lim

lim

.

97.

lim x-->_1 x— 3x — 4

42.

—

1$.

x2 + (1 — a)x — a

lim x-*a

* 8.

(t + 2) (t — 3)

x2 + 3x — 10

lim

t3 + 4ê + 4f

3. lim

•21. lim

h+4

.■11. + x — 1 —x

Vx' — 4a

x —> a x — a

a O.

104


1

• 22.

te lim

•t; 24.

3 - \/5 + x Hm -X x ->4 1 -

—

x ->1

23. lim x

4\1; - 1 -

FI

-2

1

25. lim

ï; +

- 1)2

+ x —

—x

3.11 Limites no Infinito No exemplo 1 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função f(x) = 1 - 1/x para valores de x muito grandes. Intuitivamente, vimos que podemos tomar o valor de f(x) tão próximo de 1 quanto desejarmos, tomando para x valores suficientemente elevados. (Observar a Tabela 3.1.) Da mesma forma, fazendo x decrescer ilimitadamente vemos que f(x) se aproxima desse mesmo valor 1. Temos as seguintes definições:

3.11.1 Definição. Seja_ f uma função definida em um intervalo aberto (a, + oe Escrevemos,

fim f(x) = L, x-,++quando o número L satisfaz à seguinte condição: Para qualquer e > O, existe A > O tal que If (x) - LI < e sempre que x > A.

3.11.2 Definição. Seja f definida em (- 00, b). Escrevemos, lim f(x) = L, X

-)

se L satisfaz a seguinte condição: Para qualquer e > O, existe B < O tal que If (x) - LI < e sempre que x < B.


105

Observação.As propriedades dos limites dadas na proposição 3.5.2 da seção 3.5, permanecem inalteradas quando substituimos x —> a por x —> + .0 ou x —> — oo. Temos ainda o seguinte teorema, que nos ajudará muito no cálculo dos limites no infinito. /

3.11.3 Teorema.

Se n é um ral ero inteiro positivo, então:

(i)

lim

(ii)

hm — = 0. xn

1= 0.

Xn

Prova. Vamos demonstrar o item (i). Devemos provar que, para qualquer e > 0, existe A > 0, tal que < e sempre que x > A.

O exame da desigualdade que envolve c nos sugere a escolha de A. As seguintes desigualdades são equivalentes: — —0 xn

< E

< E

106


A última desigualdade nos sugere fazer A = 1/ W. Temos que x > A

— -o

< E e desta forma

hm — = O. lim

x—>+.0 Xn

A demonstração do item (ii) se faz de forma análoga. Sugerimos ao aluno que tente fazê-la.

3.11.4 Exemplos (i) Determinar lim

2x – 5 x+8

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo — • Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as propriedades de limites juntamente com o teorema 3.11.3. Temos,

2x – 5

2 – 5/x

lim lim x–>+. 1+ 8/x x–>+– x + 8 lim (2 – 5/x) lim (1 + 8/x)

lim 2 – lim 5/x lim 1 + lim 8/x


107

2 — 5.0 1 + 8.0 =

(ii) Encontrar lim

2.

2x3 3x + 5 4x5 — 2

Novamente temos uma indeterminação do tipo 00/co. Para usarmos o teorema 3.11.3, dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que neste caso (X--.5 Temos,

x

lira

2x3 — 3x + 5 4x5 — 2

—

x2

lim

3

+

x4

5 x5

4 — 2/x5

x -÷ -

lim (2/x2 — 3/x4 + 5/x5

)

X —) —

x

lim (4 — 2/x 5 )

2 lim 1/x 2 — 3 lim 1/x4 + 5 lim 1/x5 X

x

—) — 00

x

-) -0

lim 4 — 2 lim 1/x5

x

—

2.0 — 3.0 + 5.0 4 — 2.Ó

.=

2x + 5 (iii) Determinar lim J , 9 x +— LX- 5

X

—) — cc.

-- o0

108


Neste caso, dividimos o numerador e o denominador por x. No denominador tomamos x = &, já que os valores de x podem ser considerados positivos (x --> + co). Temos, hm '

2x + 5 *V2x2 - 5

-

+ 5/x lim , x->+- "%12x2 - 5 / yx /72 lim (2 + 5/x)

x

2x2 - 5 x2

lim x->+-

lim 2 + 5 lim 1/x x->+- x->+x->+-

•■12 - 5/x2

2 + 5.0 lim (2 - 5/x 2) x 2 I2 - 5.0

2x + 5

(iv) Determinar lim x->-- "V2x2 - 5

Como no exemplo (iii), dividimos numerador e denominador por x. Como neste caso x —> - co, os valores de x podem ser considerados negativos. Então, para o denominador, tomamos x = --517 2 . Temos,

2x + 5 2 + 5 / x lim = lim , x->-- N2x2 _ 5 "V2x2 _ 5 / (-


109

2 + 5/x

2x — 5

x2 lim (2 + 5/x)

x — V lim (2 — 5/x 2)

2 + 5.0 — \12 — 5.0 2 —

=—

3.12 LIMITES INFINITOS No exemplo 4 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função f(x) = 1/(x + 1) 2 quando x está próximo de —1. Intuitivamente, olhando a Tabela 3.4, vemos que quando x se aproxima cada vez mais de —1, f(x) cresce ilimitadamente. Em outras palavras, podemos tornar f(x) tãó grande quanto desejarmos, tomando para x valores bastante próximos de —1. Temos a seguinte definição.

3.12.1 Definição. Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que lim ftx) = + 00, .

x —> a

se para qualquer A > 0, existe um 0 O tal que f(x) > A sempre que

110


De modo semelhante, observando a Figura 3.5, do exemplo 5 da seção 3.1, podemos ver o que ocorre com uma função f(x) cujos valores decrescem ilimitadamente nas proximidades de um ponto a.

3.12.2 Definição. Seja f(x) definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que

lim ffx) = x -3 a se para qualquer B< O, existe um 8 > 0, tal que f(x)

lim f(x) = +

ao

D3

+

e

, lim f(x) = -

->

, lim f(x) = a°

lim f(x) =

x -> a- x

, lim f(x) = + x -> a- x

x -> a+

00

,

00

,

a+

lim x -> +oo

f(x) = -

lim f(x) =

Por exemplo, dizemos que lim f(x) + a° se para qualquer A > 0, existe x -> a+ um 8 > O tal que f (x) > A sempre que 0 < x < a + 8. A seguir apresentamos um teorema muito usado no cálculo de limites infinitos.

3.12.3 Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: (i)

lim — = + co.

x - > O+ X"


111

se n é par se n é impar .

Prova. Vamos provar o item (i). Devemos mostrar que para qualquer A > O, existe 8 > O, tal que

xn

> A sempre que O < x
O, as desigualdades abaixo são equivalentes:

1 >A x"

1 xn < — A x < V1/A.

Assim, escolhendo 8 , = !■11/A , temos 1/x" > A sempre que O < x
a, x —>a+, x —> a , x —> + 00 ou x --> — 00. As demonstrações não são difíceis. Provaremos o item 01 como exemplo. -

Na Tabela 3.7, 0 + indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero por valores positivos e 0- indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero, por valores negativos.


112

Tabela 3.7

01

lim f(x)

lini g(x)

h(x) =

lim h(x)

± ao

±00

f(x) + g(x)

f00

+ ao

f(x) - g(x)

?

02

simbolicamente +.+.=+. (+ ao) - (+ oo) é indeterminação

03

+ ao

k

f(x) + g(x)

+00

+00+k=+00

04

-ao

k

f(x) + g(x)

- 0.

-00+k= - .**

+

05

06

-

00

f(x) - g(x)

...

f(x) • g(x)

_ ....

(+ c°) • (- °°) = - a°

(+ °e) - (+ c°) = + a°

07

+ c.

. k>0

f(x) • g(x)

+00 .

+00 •k=+00,k>0

08

+ co

k O

f(x)/g(x)

+00

+ 0010 + = + 00

0-

f(x)/g(x)

- oo

k10- = - 09, k > O

r

f(x)1g(x)

- o.

+ 0010- = - c.

O

f(x)/g(x)

09 k

10 11

±

12

k>O

13

+ c.

14

k>0

ao

15

16

O

-

010 é indeterminação

Prova do item 01. Sejam f e g tais que lim f(x) = +co, lim g(x) = + co e x —> a

x —> a

h(x) = f(x) + g(x). Vamos provar que lim h(x) = + x —> a

Devemos mostrar que dado A > 0, existe 5 > 0, tal que h(x) > A sempre que 0 < Lx — al < 5.


113

Seja A > O qualquer. Como lim f(x) = + 00, 3 S i > O tal que f(x) > A/2 sempre X -9

a

que O < Ix — al < 8 1 . Como lim g(x) = + 00, existe 8 2 > O tal que g(x) > A/2 sempre x—>a

que O < lx — al < 82 . Seja 8 = min {S 1 , 842 }. Temos, então h(x) = f(x) + g(x) > A/2 + A/2 = A sempre que O < Ix — al < 8 e desta forma

lim h(x) = + 00. x—>a

3.12.5 Exemplos (i)

Determinar lim (x 3 + x

+ 1/x2).

Temos,

lim (x3 +

x—>0

+ 1/x2) = lim x3 + lim x—>0

=

=

(ii)

+ lim 1/x2

x—>0

x—>0

O + O + 00 oo

Determinar lim (3x5 — 4x3 + 1). X

—>

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0.0 — °O. Para determinar o limite usamos um artifício de cálculo. Escrevemos,

x

lim (3x5 — 4x3 + 1)

= lim

4

X5 3 — - I-

1 "X"'

114


+.0(3-0+0) =+

oo

lim (iii) Determinar lim —1x1 —1x1 x -> o I- x2 x x -)0

e

lim

x

lx1 X2

Para x > 0, temos Ixl = x. Assim, lim

IX I

x

= lim

x -> 0+ x

r2

+

->

1

=

- = °.

Para x < 0, temos lx1 = - x. Portanto, lx1

m lim = h

-x

x -> 0 X- x -->

= lim

-1

-

x -> 0- X

=+

i . I Como Hm= , concluímos que lim IX I = co x2 = hm x -› o x-> o x- x o x2

(iv) Determinar lim -> -1

x

5x + 2

lx + 11

Quando x —> - 1 , Ix + 11 --> O + . Assim, 5x + 2 x

lim x -› -i lx + 11

lim (5x + 2) -1 -

lim lx + 11 x -)-1

(v) Determinar lim

x2 + 3x + 1

x -) 2+ X2 +

e lim x -> 2

_ -3 _ - ... . 0+

x2 + 3x + 1

x2 + x - 6

X

-

lim x -> 2

x2 + 3x + 1

x2 + x - 6

+


115

Temos, lim

x2-1- 3x + 1 x2

,

x

+ x - 6

-

+ 3x + 1 l x->m2+ (x 2) (x + 3) •

lim (X2 + 3.X + 1)

x -> 2 +

lim [(x - 2) (x + 3)]

x -> 2+

o+ =

o°.

Ainda, lim (X2 + 3x + 1) x 2.lim [(x - 2) (x + 3)]

x2 + 3x + 1 h m , 6 X x -> r"-

x -> 2

11 '

= —00

Como

+ 3x + 1 . x2 + 3x + 1 , lim hm X - 6 x -> 2+ X + X - 6 x + -

x2 + 3x + 1 • 2 X +X-6

não existe o lim

-

Porém, muitas vezes, calculando limites de urna maneira menos formal, escrevemos que

x2 + 3x + 1 x -> 2 x2 + x - 6 lim

00

sem nos preocuparmos com o sinal.

116


x2 + 3 x+2•

(vi) Determinar lim

Dividindo o numerador e o denominador por x 2 , temos

lim

x2 + 3 Y + 2

3 1+— x2 lim x-›+-

1

2 x2)

lim [ 1 + x-›+x

lim

3

2 1 + x x2

+ 00,

- x3 8x + 2

(vii) Determinar lim 5


lim

5 - x3 8x + 2 -

lim X

-+ oo

8

2

x2 lim (5/x3 - 1)

X

-

lim (8/x2 + 2/x3 )

X

---


— o+

(viii) Determinar lim

2x4 + 3x2 + 2x + 1 4 - x4

Dividindo o numerador e o denominador por x 4 , temos 2

3

lim

2x + 3x2 + 2x + 1 4 - x4

= lim x —› +

2 + —2 + — x X3 +

1

4 , x4 3

2

1

2+ + — x3 + x4

lim

44 _ 1

.% —4 4- c.

2

-2.

x2 + 3x - 1

(ix) Determinar lim .x-9+0 x3 - 2


x2 + 3x - 1 ->

x3 - 2

lim x-›+-

1 3 1 + x x2 x3 1-X3

117

118


lim lim

X —)

o 1

= (x) Mostrar que se P(x) = acre + a i xn - 1 + + a n e Q(x) = b oiln + b re" -1 + + b m , então

lim

x->±-

P(x)

-

lim

x ->

a ux-n boXin

Temos, lim

aoxn + a 1xn-1 + b oxm + b i xm-1 +

+ an + bm •

(

ai an -1 an xn ao + + + xn-1 + — vn = lim x

1‘.

b b b bo + + + f-1 m- + — /

ao

= lim — • x -)-4-

X

—>

ai X

b

bo + 11 +

. . .

an - 1 xn - 1

I-

n

xn

+ xin-1 bm-1 + .„rn m


lim ▪

+

X`

Xrn

•

ao bo

aoxn

= lim ▪ -4± boxm

3.13 EXERCÍCIOS 1.

3x + lxl Se f(x) — 7x 5ixi , calcule: 9(a)

lim f(x).

o(b)

lim f(x) . x - ) --

#(b)

lim f(x) . x -4+

—>

2.

Se f(x) =

t(a)

1

•

(x + 2)`:

calcule:

lim f(x) . x -4 —2

Nos exercícios 3 a 40 calcule os limites.

o3.

%S.

x

lim

(3x3 + 4x2 — 1) .

.9 4.

1 4\ 2——+ lim x x2 a + 00

. Um

t + 1 r +1

,o6.

hm lim

• 8.

lim

lim

99.

lim

t2,

—

2t + 3

2t` + 5t — 3 3x5 — x2 + 7 2 — X2

5

x

,

r

+1 +1

2x5 — 3x3 + 2 —

—x` + 7

-

'10.

— —5x 3 + 2 lim x -4 -- 7x3 + 3

119

120


11.

Hm X

13.

15.

x2 + 3x + 1 x

CO

t2 — 1

*12. lim '"rx

14.

lim + OD t - 4

V VV — 1 lim + v r 3v - 1

lim x(Vx2 - 1 - x).

x►+

20.

23.

25.

27.

5x3 - x2 + x - 1 lim x -00 x4 + x3 - x + 1

V

lim 2x

lim +

29.

lim Y

31.

33.

4-

CO

lim (13x 2 + 2x + 1 - Vfx ).

x + co

26. lim (116x4 + 15x3 - 2x + 1 - 2x

4

O

lim X

30.

x 24- X2 —

+

28.

2s 7 + 1

X2 — 1

- 00

- s

3s / - 4s 5

3

+ x3 -2x+1

lim x

24. hm lim + OD VS2 + 7

c° V 5 + 4y2 Y

lim

x+ 1

lim ( Vx2 + 1 - 1/x2 - 1) .

x

„V

x 3+ X —

lim

-7

2

3x2 - 5 sen x + 1

x +

10X2 - 3x + 4

4 21. 22. lim 3x2 - 1 x

)

Nix2 + 1

lim

Vx2 + 1 1 17. 8. lim x -.-00 x + 1

19.

CO

16.

x3

x (2x - 7 cos x

lim X

+ 3x - 10

32.

lim

+ CO

V2x2 - 7 x+ 3

3 - y NI 5 + 4372

x 3— — 3

34.

lim x

x x.- - 4


,35.

037.

x

439.

lim

2

+

+ 6 .36. lim Y y - 6 y` - 36

6

y 6+ y - 36

3

-

x

.38.

lim x -)4+ - 2x - 8

lim

3

1

121

3-x lim , x -)41 - - 2x - 8

•40.

3 1 x

lim

-) 3+

1 31

3.14 LIMITES FUNDAMENTAIS Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0/0, 1 - e 00 ° .

3.14.1 Proposição. O

lim

x -)0

x

x é igual a 1.

Prova. Consideremos a circunferência de raio -1 (Figura 3.10).

Figura 3-10

Seja x a medida em radianos do arco AOM . Limitamos a variação de x ao intervalo (O, n/2).

122


Observando a Figura 3.10, escrevemos as desigualdades equivalentes: área A MOA <

área setor MOA <

área A AOT

OA • MM' <

OA • AM

OA • AT

2

<

2

MM'

<

sen x

<

2

AM

AT

x

tg x.

Dividindo a última desigualdade por sen x, já que sen x > O para xE

—Tc

(0, 2

,

temos

x sen x

1

1 cos x

sen x

1

cos X.

x

(1)

Por outro lado, sen x/x e cos x são funções pares. Então,

sen x) sen x (-x)

e

cos (-x) = cos x.

Portanto, a desigualdade (1) vale para qualquer x, x # 0. Como lim cos x = 1 e lim 1 = 1, pela proposição 3.5.3, segue que x x ->cs lim hm x

enx

- 1.


3.14.2 Exemplos se. n 2x

(i)

hm

x

x

Por 3.14.1, podemos calcular limites do tipo

sen u

lim

u

onde u é uma função em x. Neste exemplo, u 2x e u -> O quando x ---> O. Portanto,

sen 2x

lim x -› o

(ii)

x

sen. u sen = 2 lim uso u/2 u soo

- hm

u

u - 2 • 1 = 2.

sen 3x

lim x sen 4x

Neste caso, faremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como segue:

lim

x

-

sen 3x • 3x 3x sen 4x

sen 3x

o sen 4x

4x

• 4x

• sen 3x lim 3 x o 3x 4 sen 4x lim 4x x 3 1 4 1 3 4

123

124


(iii) lim x -)

•

Temos neste caso, sen x cos x lim x x -> O

. tg x hm x -) o

lim x -13,

1 sen x • cos i x sen x

x >O

x

• lim

1

x _,(;) cosi

1•1 1.

3.14.3 Proposição. lim (1 +

1/x)x = e , onde e é o número irracional neperiano ±cujo valor aproximado é 2,718281828459 .... x

Prova. A prova desta proposição envolve noções de séries, por este motivo será aqui omitida.

3.14.4 Exemplos (i) Provar que lim (1 + x) i/x = x -O

Em primeiro lugar provaremos que lim (1 + x) l 'x = e . x -)o+


De fato, fazendo x = 1/t temos que t lim (1 + x) 1 x x

>+

—

oo

125

quando x —> 0+ . Logo,

(1 + 1 / t) t = e .

r->+-

Da mesma forma, prova-se que lim (1 + x) l 'x = e . x-* Portanto, lim (1 + x) lix = e . x>o

(ii) Determinar lim ln (1 + t) In . r -> o Usando a proposição 3.5.2(g), temos lim ln (1 + t) i n

▪

t

▪

3.14.5 Proposição. lim

x -> O

-

-x

in

[

hm (1 t-> O

+ 0 1/1

ln e

1

- ln a (a > O, a

1).

PrOva. Fazendo t = ax - 1, temos = t + 1.

(1)

Aplicando os logaritmos neperianos na igualdade (1), vem ln

ln (t + 1)

xlna =

ln(t+1)

126


ln (t + 1) x ln

a

Quando x -3 O, x O temos que t —> O, t O e então podemos escrever

ax

t

- 1

lim x - o

x

lim ln (t + 1)

t -> O

In a

1

lim ln + 1) t -) o lim 1 ln a lira m t-> 0

ln t + 1)

Considerando o exemplo 3.14.4(ü), concluímos que lim

ax

-1

- ln a.

x->o

3.14.6 Exemplos (i) li m x -) o

aX -17' x

Temos,

lira x-> o

aX

x

ax bx bx -1

tr" x-›o

x

Limite e continuidade r

a jx

b lim bx • lim x x-)0

127

- 1

X

1•ln a ln a/b.

U i)

ex 1 ax - 1

lim - >1

x2 - 1

Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a proposição 3.14.5.

lim ->1

ex - _ ax -

x2 - 1

= lim m

(ex

— 1) — (ax

— 1)

(x + 1)(x - 1)

X -> 1

_ 1

=

ex 1 [ lim x 1 x-1

_, 1 x + 1

1 2

lim

x-+

1

ex _1 x-1

1

lim x -> 1

ce _

_

lim x _41 x - 1 I

- - 11 1

x-1

Fazemos t = x - 1 e consideramos que, quando x > 1, x 1, temos t O, —

t

O. Portanto,

lim

x-11

ex - 1

ax - 1

X2 - 1

t 1 [ lim et -

2 t -5 0 t

a - 1 ]


128

1

- (ln e - ln a)

2

1

- (1 - ln a 2

3.15 EXERCÍCIOS Nos exercícios 1 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

01.

b .3.

lim x

hm

sen 9x

.2.

•

se. n 10x

x sen

. sen 4x hm x -)0 3x

4. lim sen

ax

O.

sen bx

x

7x

6. hm . sen x/2 o 5. lim tg x -)0 x x

Àx+1 tg. 4 lim , • x -)-1 (x + 1)J

o

x3

,

lim x > o

11.

lim x

13.

1 - cos x x2

x --) o

10.

1 - cos x x

•

lim (x - 3) coser x --> 3

6x sen 2x • 2x + 3 sen 4x

lim 1 - 2 cos x + cos 2x x

.8. um

X2

12.

14.

lim x

cos 2x - cos 3x x2

lim (1 + 1/n)n 1- 5 n-).0

7C X.


15.

16.

2n +

17. n -->

19.

l

> —>

[

1+

129

X .)

\n + 1

2n +

lim (1 + cos x) licc"

lim (1 + l/tg Atg X .

18.

TC x )2

lhn

20.

37e 2

1+

10

\rx

x

x+3 21.

23.

25.

27.

10x-2 — 1 x -2 x-32

lim

lim

- 25

x—>2 x — 2

lim x -K)

lim

e-aX — CbX x

45—1 22.

x -› —3

x+3

x —1 4

3 24.

- 1

11111

x,1 sen [5 (x - 1)]

tg. h ax

x—>I3

X

26. hm

e" - e b

x 0 sen ax - sen bx

3.16 CONTINUIDADE Quando definimos lim f(x) analisamos o comportamento da função f(x) para x-> a valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que lim f(x) pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em x -> a a e lim f(x) existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a). x —> a

130


Quando lim f(x) = fla) diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é x a contínua em a.

3.16.1 Definição.

Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas: (a)

(b)

f é definida no ponto a;

lim f(x) existe;

x —› a

(c) lim f(x) = fla). x —> a

A Figura 3.11, mostra esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a.

a

a

X

Figura 3 11 -

X


131

3.16.2 EXEMPLOS (i) Sejam f(x) —

X2 - 1

{ x2 — 1 .•

g(x) =

x —1

1

x —1

se x

e

1

se X = 1 .

As funções f e g não são contínuas em a = 1. A função f não está definida em a = 1. Portanto, não satisfaz a condição (a) da definição 3.16.1. Já para a função g, temos g (1) = 1, mas lim g(x) = hm x—>1 x ->11

(x — 1)(x + 1) —lim (x + 1) = 2 . x— 1 x -)1

Logo, a condição (c) não se verifica no ponto a = 1. A Figura 3.12, mostra um esboço do gráfico dessas funções.

Figura 3-12


(ii) Sejam f(x) =

(x - 2) 2

g(x) = 1 (x 2) 2

e

se x # 2

3

se x = 2 .

As funções f e g não são contínuas no ponto a= 2. A função f não está definida neste ponto e a função g, embora esteja definida em a= 2, não cumpre a condição (c) da definição 3.16.1 pois lim g(x) g(2). x->2

A Figura 3.13, mostra os gráficos dessas funções.

2

Figura 3-13

(iii) Seja f(x) =

x lx I

se x #O

O

se x = 0 .

f não é contínua no ponto a = O. De fato, se x > O, .ftx) = x

hm f(x) = 1. Se x < O, f(x) = = - 1. -x x -› o

x

= 1. Assim,


133

Logo, lim f(x) = -1. Portanto, não existe lim f(x) e dessa forma f não é x-)o x--)13 contínua em a = O. Na Figura 3.14, podemos ver um esboço do gráfico dessa função.

Figura 3-14

(iv) Seja h(x) =

x+3,

- x + 1,

se

x>-1

se x < - 1 .

h é contínua em todos os pontos. De fato, seja a E R . Se a > - 1, temos lim h(x) = lim (x + 3) = a + 3 = h(a). x—*a

x—>a

Se a < - 1, temos lim h(x) = lim (-x + 1) = -a + 1 = h(a).

x-4a

x-)a

Se a = - 1, temos lim h(x) = lim (x + 3) = - + 3 = 2 = h(-1) e x -1 +

134


lim h(x) = lim (-x+ 1) = -(-1) + 1 = 2.

x->-1

x-3-1

Logo, lim h(x) = 2 = h (-1).

Podemos ver um esboço do gráfico de h(x), na Figura 3.15.

AY h(x)

X

Figura 3-15

se x -2

(v) Seja g(x) = 3

se x = - 2 .

Então, a função g não é contínua em x = - 2, pois

1

lim g(x) = lim 1 e lim g(x) = lim -+ x -> -2 + x -> -2+ x +2 x->-2 x -> -2 x+ 2

C° .

Neste caso, embora a função g seja definida em a = - 2, lim g(x) não x->- 2

existe. Podemos ver um esboço do gráfico de g (x) na Figura 3.16.


Figura 3-16 PROPRIEDADES DAS EVIVOES CONTÍNUAS

3.16.3 Proposição. Se as funções f_e g são contínuas em um ponto a, então: (i)

f + g é contínua etn,A;

(ii)

é contínua em cr:

(iii) f g é contínua em a; (iv) f/ g é contínua em a, desde que g(a)

Prova. Vamos provar o item (iv). Os demais ficam como exercício. Suponhamos que g(a) O. Então f /g é definida no ponto a. Como f e g são contínuas no ponto a, temos lim f(x) = fia) e lim g(x) = g(a). x-+a

x-*a

Assim, pela proposição 3.5.2, temos lim f(x) — lim — (f/g)(a) g(x) lim g(x) g(a) X-->a f(x) x—>a f(a) x—>a

Logo, f /g é contínua no ponto a.

135

136


3.16.4 Eroposição. (i)

Uma função_nolinogiál é contínua para todo número real.

(ii) Uma_ função racional é contínua em todos os pontos de seu do 'aio. (iii) As funções f(x) = sen x e f(x) = cos x são contínuas para todo número real x. (iv) A função exponencial f(x) _ = e é contínua para todo número real x.

A prova dessa proposição segue diretamente das propriedades de limites. 3.16.5 Proposição. Sejam f _e_gfunções tais que lim

x-*a

em b.

b e g é contínua

Então lim (g o f)(x) = g(b), ou seja,

x-*a

lim g[f(x)] = g [ lim f(x)]. x-*a

x-*a

Prova. Queremos mostrar que lim (g

o f)(x) = g(b), isto é, dado e > O, 3 8 > 0,

x—>a

tal que 1(g o f)(x) — g(b)I < e sempre que O < Lic

—

al < S.

Como g é contínua em b, por definição, Hm g(y) = g(b). Portanto, dado y—>b

e > O, 3 S i > O, tal que Ig(y) — g(b)I < e sempre que O < ly — bl < 8 1 . Como para y = b, temos Ig(y) — g(b)I = O < e, podemos escrever Ig(y) — g(b)I < e, sempre que ly — bl < S i .

(1)


137

Como lim f(x) = b e 8 1 > 0, pela definição de limite, 3 8 > 0, tal que x -> a

1f (x) - bl < S i sempre que 0 < lx - al < 8. Portanto, se O < Lr - al < 8, y = f (x) satisfaz (1) e dessa forma I g[f (x)] - g(b)1 < e.

_

3.16.6 Proposição. Se f é contínua em aeg é contínua em ,ffa), então a função composta g af é contínua no ponto a..

Prova. Como f é contínua no ponto a, temos lim f(x) = f(a). x -) a

Como g é contínua emf(a), podemos aplicar a proposição 3.16.5. Temos, então

lim (g o f )(x) = g E lim fix)1 = g [(f(a)] x —› a

x a

(g of ) (a)• Logo, g 0 f é contínua em a.

3.16.7 Proposição. Seja v = fix) ima fanção-de • . 1

ua num IL • II J -› I, então

-

Seja J =1(aSefadnúte_umafunção_inmersa_g_ contínua em todos os pontos de J.

Observamos que, com o auxílio desta proposição, podemos analisar a continuidade das diversas funções inversas definidas no Capítulo 2. Por exemplo, a função

g: R+ * -> 1?

2-

X —> 111 X

é contínua, já que ela é a inversa da função exponencial f (x) =

*.%

ex.

138


3.16.8 Definição. Seja fdefmida num intervalo fechado [a, b].

(i)

Se hm f(x) = f(a), dizemos que f é contínua à.direita no ponto a. X

a

(ii) Se lim f(x) = f(b), dizemos que f é contínua à esquerda no ponto b. x—b

(iii) Se f é contínua em todo ponto do intervalo aberto (a, b), f é contínua à direita em a e contínua à esquerda em b, dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a, b].

3.16.9 Teorema do Valor Intermediário. Se f é contínua no intervalo fechado [a, b] e L é um número tal que f(a) S L f(b) ou f (b) L 5_ 1(2), então existe pelo menos um x E [a, b] tal que f(x) = L (Ver Figura 3.17).

Figura 3-17

Esse teorema nos mostra por que as funções contínuas em um intervalo muitas vezes são consideradas como funções cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel, isto é, não há interrupções no gráfico. Não apresentamos sua demonstração aqui. Conseqüência. Se f é contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número c entre a e b tal que f (c) = O (Ver Figura 3.18).


Figura 3-18

3.17 EXERCÍCIOS 1.

Investigue a continuidade nos pontos indicados: sen x

(a) f(x) =

x O

em x = O.

x

,

x =O

(b) f(x) = x — x I em x = O.

X3

(c) f(x) =

-8

X2 -

3

(d) f(x) =

1 sen l/x

4

x2

em x = 2.

x=2

em x = 2.

{ x2 sen 1/x , x O (e) f(x) = x=0

emx=0.

139


140

.x2

-

(I) f(x) =

(g)

1

x1 x=1

, ,

x2 — 4 , x 2

f(x)

em x =1:

2

x

em x = 2.

x=2

a

x -1

(h) f( x) =

1_,x,,

(i) f(x) = x2

• 0) .f(X) =

2.

x — 2 (£0 itx) =

—1

—3 < x — 2

Limite e continuidade 1 - cos x , xO

x2 - 4

a) f(x) =

x

c) f(x) =

lx I

1

x=-2

{ ln (x + 1) , x > O

x O

dj f(x) -= -x

x=O

e) f(x)

x-2

x + 2

f(x) b) f(x)

, x -1

141

142


e2x

x O

1'3 — 7 ,

x=O.

(c) f(x) =

5.

Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.

(a) f(x) —

(c) f(x) =

x

(x 3)(x + 7)

1

1 + 2 sen x

(b) f(x) = '/(3 — x)(6 — x)

(d) .f(x)

x2 + 3x 1 x 6x + 10 —

—

- —

6.

Prove que se f(x) e g(x) são contínuas em x o = 3, também o são f+g e f -g.

7.

Defina funções f, g e h que satisfaçam: (a) f não é contínua em 2 pontos de seu domínio; (b) g é contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em I? ;

(c) h o f é contínua em todos os pontos do domínio def;

Faça o gráfico das funções f, g, h e h of. 8.

Dê exemplo de duas fimçõesf e g que não são contínuas no ponto a= O e tais que h =f•gé contínua neste ponto. Faça o gráfico das funções f, g e h.

9.

Sejam f, g e h funções tais que, para todo x,f (x) ^ g (x) h(x). Sef e h são contínuas no ponto x = a e f(a) = g(a) = h(a), prove que g é contínua no ponto a.

10. Sejam a E R ef: R —> R uma função definida no ponto a. Se lim

que f é contínua no ponto a.

x —› a

f(x) — fia)

x—a

— m, prove

Neste capítulo, estudaremos a DERIVADA. Veremos, inicialmente, que ela representa a inclinação de uma curva num ponto. Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc.

4.1 A RETA TANGENTE Vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto dado. As idéias que usaremos, foram introduzidas no século XVIII, por Newton e Leibnitz. Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), como na Figura 4.1. Sejam P(x 1 , y 1 ) e Q(x2 , y2) dois pontos distintos da curva y = f(x). Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo retângulo PMQ, na Figura 4.1, temos que a inclinação da reta s (ou coeficiente angular de s) é tg =

Y2 Y1 Ay

x2 -

—

X1

Ax

143

144


Figura 4-1

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante (Ver Figura 4.2.). Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.

Figura 4-2

4.1.1 Definição. Dada uma curva y = .ffx), seja P(x 1 , y 1 ) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por

Derivada

m (x l ) = lim ->

Q

Ay

A =

1-1-4

"

flx2)

145

(1)

x2 -> X I x2 - x 1

quando o limite existe. Fazendo x2 = x 1 + Ax podemos reescrever o limite (1) na forma m(x 1 ) = lim

-› O

f(x i + Az) — fiz ) Ax

(2)

Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P. 4.1.2 Equação da Reta Tangente. Se a função f (x) é contínua em x 1 , então a reta tangente à curva y = f(x) em P(x 1 , f (x 1 )) é:

(i) A reta que passa por P tendo inclinação m(x 1 )

lim Ax -> O

f(x / + Ax) — f(x 1 ) , se este limite existe. Neste caso temos a Ax

equação y — J(x 1 ) = m (x —x 1 ).

(3)

(ii) A reta x = x i se lim Ax -> O

+ Ar) — J(x1)

Ax

for infinito.

4.1.3 Exemplos

(x 1 , y 1 )•

(i)

Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x 2 — 2x + 1 no ponto

Se f (x) = x2 — 2x + 1, então f(x 1 ) = x 1 2 - 2x + 1 e

Ax

146

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração + Ax) = (x 1 + Ax)2 —2(x 1 + Ax) + 1 = x 1 2 + 2x i Ax + (Ax) 2 —2x 1 — 2Ax + 1.

Usando (2), vem m(x ) = —>

fixi + Ax) — J(x 1 ) lim Ax O xi + 2x Ax + (Ax2) — 2x 1 —2Ax + 1 — 2x1 Ax

lim

AX

—> O

•

•

•

(x 1 , y 1 ) é

lim

Ax O

lim

— 2x 1 + 1)

2x 1 Ax + (0x) 2 — 2Ax Ax Ax(2x 1 + Ax — 2)

Ax -> o

Ax

2x1— 2.

Portanto, a inclinação da reta tangente à curva y = x 2 — 2x + 1 no ponto m (x 1 ) = 2x 1 — 2. (ii) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 no ponto cuja

abscissa é 2.

O ponto da curva y = 2x2 + 3, cuja abscissa é 2, é o ponto P(2 , f(2)) = (2, 11). Vamos encontrar a inclinação da curva y = 2x 2 + 3 no ponto P (2, 11). Para isso, encontraremos primeiro, a inclinação da curva num ponto (x 1 , y 1 ). Temos,

147

Derivada

m(x 1 ) =

=

lim Ax->oo

lim

Azoo

•

•

lim Az -4 O

lim

f(xi + Ax) — J(x1) Ax 2(x1 + Ax) 2 + 3 — (24 + 3) Ax 24 + 4x 1 Ax- + 2(Ax) 2 + Ax Ax(4x 1 + 2Ax)

Ax -) o

•

4x 1 .

Como m (x 1 ) = 4x 1 , então m (2) = 4 2 = 8. P(2, 11).

Usando (3), escrevemos a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 em Temos, (xi) (x —x 1 ) y — 11 = 8 (x — 2), ou ainda, 8x — y — 5 = O.

(iii) Encontre a equação da reta tangente à curva y = à reta 8x — 4y + 1 = O.

, que seja paralela

Antes de desenvolvermos este exemplo, convém lembrar que duas retas são paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais. Vamos primeiro encontrar a inclinação da reta tangente à curva y = ■ijc num ponto (x 1 , y 1 ). Temos, -

_L

•

148


m(x i ) =

lim est -“)

•

lim Ar -> 0

•

lim eximo

f(xi + Ax) - .fixe) Ax

+ Ax -

+ Ax +

Ax (•■Ix i + Ax + •fx ) -

x1 + Az - x 1 lim e z -Ks Ax ('Ix 1 + Ax + Ax Ax(Ix 1 + Ax +

Portanto, m (x 1 ) -

1 2 •Ni.

Como a reta que queremos deve ser paralela a 8x - 4y + 1= O, podemos escrever m (x 1 ) -

1

2 Nx i

- 2 , já que o coeficiente angular de 8x - 4y + 1 = O é 2.

1

De - 2 concluímos que x 1 = 1/16. 2 Nx i Portanto, a reta que queremos é a reta tangente à curva y = Cx no ponto (1/16,.ft1/16)), ou seja, (1/16, 1/4). Temos,

Derivada

y

149

= m (x — x 1 )

y — 1/4 = 2 (x — 1/16) 16y — 4- = 32x — 2 32x — 16y + 2 = O, ou ainda, 16x — 8y + 1 = 0. Graficamente, este exemplo é ilustrado na Figura 4.3.

* y= NiX 1/4

-1/8

1/16 Figura 4-3

(iv) Encontre a equação para a reta normal à curva y = x 2 no ponto P(2, 4).

Para resolvermos este exemplo, devemos lembrar que a reta normal a uma curva num ponto dado, é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto. Duas retas t e n são perpendiculares se mn =

-1,

(4)

onde m t e m n são as inclinações das retas t e n, respectivamente, num dado ponto P. Vamos então calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2, 4). Usando (2), temos f(x i + Ax) — f(x )

mr(xi) = lim

.-K)

Ax

150


mt

(x 1 ) = 2x 1'

Quando x 1 = 2, temos m t (2) = 2 2 = 4. Usando (4), podemos encontrar a inclinação da reta normal à curva y = x 2 no ponto (2, 4). Temos, m t • mn = —1

4m M

n

—1 — 1/4.

Aplicando os dados à equação da reta, vem y —,f(x 1 ) = m (x x 1 ) y — 4 = — 1/4 (x — 2) O U,

4y + x — 18 = 0. Portanto, x + 4y — 18 = O é a reta normal à curva y = x 2 em (2, 4). Graficamente, este exemplo é ilustrado na Figura 4.4.

Figura 4-4

Derivada

4.2 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO A derivada de uma função f (x) no ponto x l , denotada por f' (x i ), (lê-se/linha de x, no ponto x 1 ), é definida pelo limite - % f(x i

f (x 1 ) = lim Ax

f

->

+ Ax)

-

.f(x l )

Ax

O

quando este limite existe.

Também podemos escrever f '(x ) = lim f(x

2)

-

x2 "1 x2 - x1 -

Como vimos na seção anterior, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x 1 : f(x 1 )). Portanto, geometricamente, a derivada da função y f(x) no ponto x l , representa a inclinação da curva neste ponto.

4.3 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f ' (x), (lê-se f linha de x), tal que, seu valor em qualquer x E D (f) é dado por '(x)

=

hm

-> O

f(x + Ax) - f(x)

, se este limite existir.

Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. Outras notações podem ser usadas no lugar de y' = f (x): (i)

D x f (x)

(ii)

D xy

(lê-se derivada de f (x) em relação a x).

(lê-se derivada d,e y em relação a x).

152

dy (tu) — ( lê-se a derivada de y em relação a x). dx

4.4 EXEMPLOS

Az

Ax

Ar


(i)

Dada f (x) = 5x2 + 6x – 1, encontre f ' (2).

Usando a definição 4.2, temos

f ' (2) = ->

lim O

f(2 + Ax) – fl2) Ax

ulin 5(2 + Ax) 2 + 6(2 + Ax) – 1 – (5 • 2 2 + 6 • 2– 1) ->

Ax

0

lhn

20 + 20Ax + 5(Ax)` + 12 + 6Ax – 20 – 12 Ax

Ax->OO

lim ->

O

26Ax + 5(Ax) 2 Ax

urn Ax(26 + 5Ax) Ax -> O

lim (26 + 5Ax) Ar --> O

26.

(ii)

Dada f(x) –

x– 2 , encontre f ' (x). x+ 3

Derivada

Usando a definição 4.3, temos

f ' (x) =

•

•

•

•

•

+ i\x) — f(x)

lim

Ax-->0

Ax--)0

x + Ax — 2 x — 2 x + Ax + 3 x + 3 Ax

lim eX o

(x + Ax — 2)(x + 3) — (x — 2)(x + Ax + 3) (x + Ax + 3)(x + 3) • Ax

hm

2 m x x+xAx+ Ma— 6— x2 — xdx — x + 2Ax + 6 lim ± Ax + 3)(x + 3) • Ax Az -4 CI

lim

Ax-)0 (x + AX

.

5Ax + 3)(x + 3) Ax, 5

lim

-) O (-X ±

1-

3)(x + 3)

5 (x + 3) 2 •

(iii) Dada f(x) = Cx, encontre f ' (4).

f ' (x i ) =

lim

f(x) — f(x i )

.

■Tx —2 x —4

153

154


•

•

lim

4

(L-2)('+2) (L— + 2) (x — 4) ( x —4

11111 x —> 4 (x — 4)("G +

2)

2

x—>4 \. +

1 4

(iv) Dada f(x) = x 1/3 , encontre f '(x). Usando a definição 4.3, temos x

f ' (x) =

•

.

hm

• —> O

fim • —› O

+ Az) — f(x) Ax

(x + AX) 1/3 — X 1/3

Ax

Resolveremos este limite como no exemplo 3, da Seção 3.9, fazendo troca de variáveis. Sejam (x + Ax) = t3 e x = a 3 . Então, f ' (x) =

lim t a

•

t—a a3

1

lim 2 t a t2 + at + a

1 3a 2

Derivada

155

Como a = X 1/3 , vem 1 f '(x) — 3x2 "3 Observamos, neste exemplo, que f(x) = 1 f '(x) = 33 não é definida em O.

X 1/3

é contínua em O, mas

4.5 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS De acordo com a observação feita no exemplo (iv) da Seção 4.4, concluímos que f(x) contínua em x i , não implica na existência de f ' (x 1 ). A recíproca porém é verdadeira, como mostra o seguinte teorema. -

4.5.1 Teorema. Toda função derivável num ponto x 1 é contínua nesse ponto.

Prova. Seja f(x) uma função derivável em x 1 . Vamos provar que f(x) é contínua em x 1 . Em outras palavras, vamos provar que as condições da definição 3.16.1 são válidas. Isto é: (i)

f(x 1 ) existe;

(ii)

lim f(x) existe; x

(iii) lim f(x) = f(x 1 ) . x xl Por hipótese, f (x) é derivável em x 1 . Logo, f ' (x 1 ) existe e, pela fórmula

f '(x) = lim xx1

f(x) — f(x 1 ) x—x

concluímos que f(x 1 ) deve existir para que o limite tenha significado.

156


Além disso, temos

lim [RA x ix i

f(x) — f (x lim (x — x)_ x —> x 1 "1

- f (x l )] =

• X

lim— x 1 ) -)

.f(x) — f(x 1 )

lim

x

-

X

-

X

1

O f' (x 1 ).

•

Portanto, lim [f(x) — f(x i )] = O . x x1 Temos então, lim f(x) = 1 •

lim [f(x) — f(x + f(x)] . x x

lim [f(x) — f(x i )] + lim f(x1) X1

•

O + f(x 1

)

Valem então as condições (i), (ii) e (iii) e conclui-se que f (x) é contínua em x 1 .

4.6 EXERCÍCIOS 1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

Derivada

a)

157

f(x)=x2 -1;x=1,x=0,x=a,ae R.

b) f(x)=x2 -3x+6;x=-1,x=2. c)

f(x)=x(3x- 5) ; x = 1

1

2

, x =a,ac R.

1

d) f(x) = - ; x - , x =3.

3

1

, ae R-{-2,4)

e)

f(x) =

f)

f(x)= 2' ; x=0, x=3, x=a, a>0.

x- a

2.

Em cada um dos itens do. exercício (1), determinar a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico, em cada caso.

3.

Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 - x 2 , que seja paralela à reta y = 1 - x.

4.

Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y x 2 - 2x + 1 no ponto (-2, 9).

5.

Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 1, que seja perpendicular à reta y = - x.

6.

Dadas as funções f (x) = 5 - 2x e g (x) 3x2 - 1, determinar: a) f' (1) + g' (1)

2f' (0)- g' (-2)

c) f (2) -f ' (2)

e) f( 5- ) -

2

7.

d)

[g' (0)] 2 + 1 g' (0) + g(0)

2

f '(5/2)

g'(5/2)

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: a) f(x) = 1- 4x2 b)

1-x

d) f(x) x+3

f(x) = 2x2 - x - 1

e) f(x) -

1 -■12x - 1

1

f(x) x+2 f(x) = '34x + 3 .

158


8. Dadas as funções f(x) —

1

x— 1

a) f o f' b)

9.

e)

c)

go f

f ' + g'

f)

f'

-

2g '

- g' ff

Dada a função f(x) =

x — 1 , x O „ x

10.

0f

f'

d) g O f

g)

e g (x) = 2x2 — 3, determinar:

Dada a função f(x) —

, x 2

x->2

x--►2

e finalmente, lim f(x) = ff2) = 5 . x->2

(b)

Obtemos!: (2) usando a definição 4.7.1. Temos,

(2) =

um A2 + dx) - f(2) Ar -› o+ [7.;. - (2 + dx)] - 5 hm dx az-4o+ lim 5 - dx - 5 dx Ax-40 +

Derivada

•

•

lim (-1)

Ax -> O+

- 1.

Usando a defmição 4.7.2, obtemos f (2) . Temos,

f' (2) =

•

lim

Ax) /(2) Ax

lim

[3 (2 + Ax) - 1] - 5 Ax

Ox -3O

Ax -> O

•

lim m Ax -> õ

•

6 3Ax - 1 - 5 Ax

lim 3 Ar -> O

•

3.

Como

. f(2 +

hm

Ax -> O +

Ax)

- f(2)

#

. f(2. +

bm

Ax)

Ax -> O

concluímos que não existe o

lim Az -> O

f(2 + Ax) - f(2) Ax

Portanto, a função f(x) não é derivável em x 1 =

- ft2)

161

162


Dizemos que x 1 = 2 é um ponto anguloso do gráfico de f(x).

(ii) Seja a função f(x) = (x - 2) 1 x 1. Encontre f; (0) e f" (0) . Podemos reescrever a f(x) como:

(x - 2) • x = x2 - 2x

, se x O

f(x) = (x - 2) • (-x) -x2 + 2x , se x < O . A Figura 4.6 mostra o gráfico de f (x).

Figura 4-6 Usando 4.7.1 e 4.7.2, respectivamente, obtemos f+ (0) e r (0) . Temos,

(0) =

lim

lim Ax

-> O

f(0 + Ar) - f(0)

+ Ax) 2 - 2 (0 + Ar)] - 0 Ar

Derivada

+

•

lim 4x -+ O

•

lim

Ax_,O+

r

•

(Ax) 2 — 2Ax Ax

(Ar Ax — 2) Ax

lim (Ax — 2) Ax -40+

(0)

•

—2.

=

lim

• A z

Az

• ->

lim -3 0-

.ff0 + Ax) — f(0)

[— (0 + Ax) 2 + 2 (0 + Ax)] — 0 AX

lirn — (Ax) 2 + 2Ax Ax 0

• Az-)

lim ó

Ax (—Ax + 2) Ax

lim (—Ax + 2) Ax -> 0

•

2.

Concluímos, então, que não existe f ' (0) porque f_ 1' (0) f ' (0) .

163


164

Ainda podemos concluir que o gráfico da função f tem duas tangentes no ponto x = O. A Figura 4.6 mostra estas tangentes, dadas por y — O = (-2) (x — O) , ou seja, y = —2x e y — O = 2(x — O), ou seja, y = 2x.

4.9 EXERCÍCIOS Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico. x

1.

f(x) = 2Lx - 3 I

3.

.nx) = I2x + 4 I + 3

2.

f(x) = 2x- 1,

4.

{1 - x2 ,

j(x) =

O

2 - x2 , -2 2x - 6 ,

5.

f(x)

6.

Seja f(x) =

x < -2 tx I 5 2 x 1 .

3.

a)

Esboçar o gráfico de f

b)

Verificar se f é contínua nos pontos - 1 e 1.

c)

Calcular!' (-

d)

Calcular f ' (x), obter o seu domínio e esboçar o gráfico.

),

f ' (-1 + ), f ' (1 - ) e f ' (1 + ).

Derivada 7.

165

Encontrar as derivadas laterais das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os intervalos onde f ' (x) > O e f ' (x) < O.

4.10 REGRAS DE DERIVAÇÃO Nesta seção, deduziremos várias regras, chamadas regras de derivação, que permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.

4.10.1 Proposição (Derivada de uma Constante). f(x) = c para todo x, então f ' (x) = O.

Se c é uma constante e

166


Prova. Seja f(x) = c. Então, f ' (x) = A x->

+ Ax) - f(x)

lim o

Ax

c - c lim Ax *oo Ax

•

•

hm Ax —> O

•

O

O.

4.10.2 Proposição (Regra da Potência). Se n é um número inteiro positivo e então f ' (x) = n xn -1 .

f(x) = xn,

Prova. Seja f(x) = x". Então, ft +

lim

f '(x) =

Ax

•

Ax

Ax-

0

lim

->O

Ax) - .fix)

± AX) n — Xn Ax

Expandindo (x + A x)" pelo Binômio de Newton, temos f '(x) = [xn +

lim Ax^

n(n - 1) 2!

—> O

_ _ xr,

2 Axe nx(Ax)n —1 ± (A (Ax)"

Ax

O

Ax[nxn lim

-1 Ax

- 1 ) xn -2 Ax nx(Ax)" — 2 + (A —1 (Ax)" 2! Ax

- + 101

xn

167

Derivada

n( n — 1) .11 2!

lim [nXn Ax —) O

2

Ax +

+ nx(Ax)n

2 +

(&)n

11

n x" .

4.10.3 Exemplos (i)

Se f(x) = x5 então f ' (x) = 5x4 .

(ii)

Se g(x) = x então g' (x) = 1.

(iii) Se h(x) = xl° então h' (x) = 10x9

4.10.4 Proposição (Derivada do Produto de uma Constante por uma Função). Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c f (x). Se f ' (x) existe, então g' (x) = c f' (x).

Prova. Por hipótese, existe . f '(x) = lun Ax O

x + Ax) — f(x) Ax

Temos, urn g(x + Ax) — g(x) Ax O

g ' (x) = —)

=lim

cf (x + Ax) — cf (x) Ar

Ax -o

lim c Ax —>

x + Ax) — f(x)1 Ar

x. Ax) — f(x) f( + Ax —) 0

c hm

c f ' (x).

168


4.10.5 Exemplos (i)

Se f (x) = 8x2 então f ' (x) = 8(2x) = 16x.

(ii)

Se g(z) = -2z 7 então g' (z) = -2(7z 6 ) = -14z 6 .

4.10.6 Proposição (Derivada de uma Soma). Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f (x) + g(x). Se f ' (x) e g' (x) existem, então

h' (x) = f ' (x) + g' (x).

Prova. Por hipótese, existem f '(x) = lim ar -3 o

,Rx + Az) - j(x) e Ax

g '(x) - lim

g(x + Ax) - g(x) Ax

Temos,

h '(x) =

•

lim ex -4 o

lim

h(x + Ax) - h(x) Ax [f(x + Ax) + g(x + Az)] - [f(x) + g(x)]

Ax -+ O

AX

lini [fix + Ax) - f(x)] + [g(x + Ax) - g(x)] Ax • -> o

•

•

fix + Ax) - f(x) lim g(x + Ax) - g(x) Ax Ax • —> O Ax -* o lim

f' (x) + g ' (x).

Derivada

169

A proposição 4.10.6 se aplica para um número finito de funções, isto é, a derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.

4.10.7 Exemplos (i) f ' (x)

(ii)

Seja f (x) = 3x4 + 8x + 5. Então, =

3•(4x3 ) + 8 1 + 0

=

12x3 + 8.

Seja g(y) = 9y 5 — 4y 2 + 2y + 7. Então, 9 • (5y4 ) — 4 • (2y) + 2 1 + O

g' (.Y)

45y4 — 8y + 2.

4.10.8 Proposição (Derivada de um Produto). Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x) • g(x). Se f ' (x) e g' (x) existem, então h' (x) = f(x) • g' (x) + f ' (x) • g(x).

Prova. Por hipótese, existem f '(x) = lim Az->

f(x + Ax) — f(x) Ax

o

e g '(x) — lim

g(x + Ax) — g(x)

Ax -> o

Ar

Também podemos concluir, pelo teorema 4.5.1, que f é contínua e assim lim fiz + Ar) = f(x) . Temos, Az -* o h 'fx) =

lim

h (x + Ax) — h(x)

lim

f (x + Ar) • g(x + Ax) — f(x) g(x) Ax

Ax —> O

—> O

Ar

170


Adicionando e subtraindo ao numerador a expressão f (x + A x) g(x), vem

h '(x) = lim f (x + o AX

=

Ax) g (x + Ax)—f(x + Ax)g(x) + f(x + Ax) g(x) — flx) gexl Ax

(. + Ax) [g(x + Ax) — g(x)1 + g(x)[f (x + Ax) fix)] fx Ax Ax -) O

lim Ax

-> O

f + Ax) . g (x Ax) - g Ax

+

lim

[ ( x.)

Az

f + Ax) - f (x) Ax O

-)

lim f (x + Ax) • lim g (x Ax) g Ax Az-) O Ax -> O

+

=

11111 g (X) -) O

lim O

f

f (x) • g ' (x) + g (x) f ' (x).

4.10.9 Exemplos (i)

Seja f (x) = (2x3 — 1) (x4 + x2 ). Então,

f ' (x) = (2x3 — 1) (4x 3 + 2x) + (x 4 + x2 ) (6x2 ). (ii)

1 Seja f(t) t) =- (t2 + 5) (t6 + 4t) . Então, 2

f '(t) = — 1 [(t [(r.2 + 5)(6t 5 + 4) + (t6 + 40(20] . 2

±

(x)

Ax) f(X) Ax

Derivada

171

4.10.10 Proposição (Derivada de um Quociente). Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x)/g(x), onde g(x) O. Se f' (x) e g' (x) existem, então h '(x) =

g(x) • f '(x) - f(x) g '(x) [ g(x)] 2

Prova. Por hipótese, existem f , (x)

lim f (x + Ax) - f(x) Ax Ax -> O

e g '(x) = lim ex -) o

g(x + Az) - g(x)

Ax

Temos também, pelo teorema 4.5.1, que g é contínua e assim lim g(x + Ax) = g(x). Temos, -> o hm h(x + Ax) - h(x)

h '(x) =

Ax

-> O

lim Ox

lim

f (x + Ax) f(xl g (x + Ax) g (x)

O

1

f (x + Ax) g(x) - j(x) g(x + Ax)1

r

g(x

Ax

g(x) AX --)13

Subtraindo e adicionando f(x) • g(x) ao numerador, obtemos h '(x) =

= hm

1 [f(x + Ax)g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x)g(x + Ax)]

Ax ->0 Ax

[.

g(x + Ax) g(x)

172


f (x + Ax) — f (x)

=

g(x) — f (x)-

Ax

Ax

g (x + Ax) - g (x)

ex -> o

lira

g(x + Ax) — g (x)

f (x + Ax) — f (x)

Ax ->O

Ax

. g (x + Ax) — g(x)

um g (x) — lim f (x) • lira

Ax -*O

Ar -) O

Az->O

lim g (x + Ax) • lim g (x)

Az->o

Arom o

f '(x) • g(x) — f(x) • g '(x) g(x) g(x)

f '(x) g(x) — f(x) g'(x) [g(x)] 2

4.10.11 Exemplos (i)

Encontrar f ' (x) sendo f(x) — x2

2x4 _ 3

5x +

3

Temos,

f '(x) =

(x2 — 5x + 3)(2 • 4x 3 — O) — (2x4 — 3)(2x — 5) (x2 — 5x + 3)2 (x2 — 5x + 3)(8x 3 ) — (2x4 — 3)(2x — 5) (x2 — 5x + 3) 2

1

(ii) Se g(x) = — , encontrar g'(x).

Ax

Derivada

173

Temos, g '(x) =

—1 X2

4.10.12 Proposição. Se

f(x) = x-n onde n é um inteiro positivo e x então f ' (x) = - n•x- n - 1 .

Prova. Podemos escrever f(x) = 1 xn Aplicando a proposição 4.10.10, vem

f '(x) =

xn•O - 1 -

(xn )2

nxn -1

nxn - 1 x2n _ n xn -1 x-2 n - n x- n -1

4.11 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas. 1. f(r)= nr2

2. f(x)=3x2 + 6x - 10

3. ,ftw) = aw2 b

4. f(x) = 14 - - x3

1

2

,

174


5. f(x) (2x + 1) (3x 2 + 6)

6 f(x) = (7x -1) (x + 4)

7. f(x) = (3x5 - 1) (2 -x4 )

8. f(x) = - (5x - 3) -1 (5x + 3) 3

2

10. f(s) = (s 2 -1) (3s -1) (5s 3 + 2s)

9. f(x)= (x -1) (x + 1) 11. f(x) =7(ax 2 + bx + c) 13. f(x) =

15. f(t) -

17. f(x) =

f(x) =

12. f(u) = (4u2 - a) (a -2u)

2x + 4 t 3x - 1

3ê + 5t - 1

16. f(t) -

t- 1 4-

ê

t - 2

5x + 7

X 1-

3

2

18. f(x) - 2x 2

x5 .x2

-'"4

X + 2

-1

14. f(t) t+1

6X)

5

21. f(x) = — + — X4 x5

20. f(t) -

(t - a)2 t- b 1 4

22. f(x) = - x +

2

2

.

23. Seja p(x) = (x - a) (x - b), a e b constantes. Mostrar que se a # b então p (a) p (b)= O, mas p' (a) # O e p ' (b) # O. 24. Dadas as funções f(x) = x2 + Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de tal forma que f '(x) + g '(x) = 1 + 2x f(x) - g(x) = x2 . 25. Dada a função f(t) = 3t3 - 4t + 1, encontrar f(0) - T'(0). 26. Encontrar a equação da reta tangente à curva y

x +1 3x - 4

no ponto de abscissa x = -1.

27"; Encontrar a equação da reta normal à curva y = (3x 2 - 4x) 2 no ponto de abscissa x = 2.

Derivada 7-,

Encontrar as equações das retas tangentes à curva y y 1

29. Em que pontos o gráfico da função y = —3 x

3

—

175

x —1 x + 1 que sejam paralelas à reta

3 2 + 2x tem tangente horizontal? —— 2

30.) Seja y ax2 + bx . Encontrar os valores de a e b sabendo que a tangente à curva no ponto (1, 5) tem inclinação m = 8.

4.12 DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f(x).

Para todo x tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y = g(u) = g [f(x)], isto é, podemos considerar a função composta (g 0 f) (x). Por exemplo, uma função tal como y = (x 2 + 5x + 2) 7 pode ser vista como a composta das funções y = u 7 = g(u) e u = x2 + 5x + 2 = f(x). A seguir apresentamos a regra da cadeia, que nos dá a derivada da função composta g 0 f em termos das derivadas de f e g.

4.12.1 Proposição (Regra da Cadeia).

e as derivadas dy/du e du/dx existem, então a função composta y = g [f(x)] tem derivada que é dada por cly _dy du dx du • dx

Se y = g(u), u f(x)

ou y '(x) = g '(u) f '(x) .

Prova Parcial. Vamos fazer a demonstração supondo que existe um intervalo aberto I contendo x, tal que Au = (x + Ax) — 1(x)1 # O sempre que (x + Az) E 1 e Ax # O. .

(1)

Isso se verifica para um grande número de funções, porém não para todas. Por exemplo, se f for uma função constante a condição acima não é satisfeita. Porém neste

176

Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração

caso, podemos provar a fórmula facilmente. De fato, se f (x) = c então f ' (x) = O e y = g [f (x)] = g(c) é constante. Assim, y' (x) = O = g' (u) • f ' (x). Então provemos que y' (x) = g' (u) • f ' (x) quando f(x) satisfaz a condição (1). Como y = g [f (x)], temos

Ax)] - g [f(x)] Y '(x) = lim g [x Ax Ax -*o

se este limite existir.

Vamos considerar primeiro o quociente g [f(x + Ax)] - g [f(x)] Ax

Seja Au = f(x + Ax) - f(x). Então Au depende de Ax e Au -> O quando Ax -> O. Temos,

g [f(x + Ax)] - g [f(x)] Ax

g [f(x) + Au] - g [l x)] Ax g (u + Au) - g(u) Ax

Pela condição (1), Au O em um intervalo aberto contendo x. Assim, podemos dividir e multiplicar o quociente acima por Au. Temos então,

g [f(x + Ax)] - g [f(x)] Ax

g (u + Au) - g(u) Au Ax

Au

g(u + Au) - g(u) Au Au

Ax

g (u + Au) - g(u) f (x + Ax) -f(x) Au

Ax

Derivada

177

Aplicando o limite, temos

lim g [f(x + Ax)] — g [Rx)] Ax —> o

y '(x)

lim Au

-›

O

g u + Au) — g(u) lim f(x + Ax) — f(x) Az Au

g '(u) • f '(x).

4.12.2 Exemplos (i)

Dada a função y = (x 2 + 5x + 2) 7 , determinar dy/dx.

Vimos anteriormente que podemos escrever y = g(u) = u7 , onde u = x2 + 5x + 2. Assim, pela regra da Cadeia,

dy dx

du du dx 7u6 • (2x + 5) 7(x2 + 5x + 2) 6 (2x + 5).

(ii)

Dada a função y =

(3x + 2)s ■

2x + 1

Podemos escrever y = u 5 , onde u temos

, encontrar y'.

3x + 2 —+ 2x 1

. Aplicando a regra da cadeia,

178


dy

dy du

dx

du • dx

5u 4 (2x + 1) - 3 — (3x + 2) - 2 (2x + 1) 2 4

▪

5•

•

5

3x + 2)

2x

3x + 2x+ 1

\4

)

6X + 3 — 6x — 4 + (2x +1 1) 2

—1 (2x + 1) 2

(iii) Dada a função y = (3x 2 + 1) 3 • (x — x2 ) 2 , determinar dy/dx.

Neste caso temos o produto de duas funções f(x) = (3x 2 + 1) 3 e. g(x) = (x — x2 ) 2 . Assim, pela proposição 4.10.8, y ' (x) = f(x) - g ' (x) + f ' (x) g(x). Encontrando f ' (x) e g' (x) pela regra da cadeia, temos f ' (x) = 3(3x 2 + 1) 2 • 6x e g ' (x) = 2(x

—

x2 ) • (1

—

2x).

Logo, y '(x) = (3x2 + 1) 3 • 2(x — x2) (1 — 2x) + 3(3x 2 + 1) 2 • 6x (x — x2) 2 = 2(3x2 + 1) 3 (x — x2) (1 — 2x) + 18x (3x2 + 1) 2 (x — x2)2.

Derivada

179

4.12.3 Proposição. Se u = g(x) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então

dx

[g(x)r = n • [g(x)r

• g '(x).

Prova. Fazendo y = un, onde u = g(x) e aplicando a regra da cadeia, temos y '(x) = n I u ' ou — dx [g(x)]n = n • [g(x)r 1 • g '(x).

A regra da potência pode ser generalizada como segue: Se u = g(x) é uma função derivável e r é um número racional não nulo qualquer, então [g(x)] r = r [g(x)] r-1

•

g '(x),

ou ainda, (u•) ' = r

ur -1

.

4.12.4 Exemplos (i) Dada a função f(x) = 5x2 + 3 , determinar f ' (x).

Podemos escrever

f(x) - 5 (x2 + 3 ) 1/2 . Assim, f '(x) =

1 (x2 ± 3)-1/2 _ 2 \ 5x

4/

180


(ii) Dada a função g(t)

-

31

t2

' determinar g (t).

-\it3 + 1

Escrevendo a função dada como um produto, temos

g(t) = t2 . (t3 + 1) -1 /3 . Assim, f

g ' (t) =

-1 3

-1 -1 2

t' + 1 () 3 3t2 + t3 + 1) -1/3 2t

= - ê (t3 + 1) -4/3 + 2t (t3 + 1) -1/3 . Podemos resumir as proposições da Seção 4.10 e 4.12 na seguinte tabela de derivadas.

4.12.5 Tabela. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis e c uma constante qualquer. (I) y = c

y' =

(2) y = x

y ' = 1.

(3) y = c•u

y' = c • u'

(4) y = u + v

y ' = u' + v'

(5) y = u v

y' = u v' + v • u'

(6) y

y, = vu' - uv ' v2

V

(7) y=u a,0 aE Q

a - 1 u' = u •

.

A Tabela 4.12.5 nos ajuda a determinar as derivadas de algumas funções.

Derivada

4.12.6 Exemplos. Determinar a derivada das funções: (i)

y

=

x8 + (2x + 4) 3 + 2 +1 2 x -1 /2

8x7 + 3(2x + 4)

8x7 6+(2x + 4) 2 + 2\rx_

(ii) Y =

x+1 -\.1x2 -

3

CV x2 — 3

— (x + 1)

Y=

x2 _ 3 ) 2

1x2 — 3 — x(x + 1)t1lx2 — 3 x2 — 3

(x2 — 3) — x(x + 1) '\ix2 — 3 x2 — 3 —3 — x (x2 — 3)11x2 — 3,

• y'

1

3x (8x3 — 2). 3x (24x2 ) + (8x3 — 2) 3

•

72x 3 + 24x3 — 6

•

96x3 — 6.

(x2 — 3) -1/2

•

2x

181

182


(iv) y= \I6x2 + 7x + 2 .

Podemos escrever y = (6x2 + 7x + 2)1'3. Temos, y' =

(6x2 + 7x + 2)-273 - (12x + 7)

3 1

12x + 7

3 .N1 (6x2 + 7x + 2) 2

4.13 TEOREMA (DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA) Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos que f(x) admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f ' (x) existe e é diferente de zero para qualquer x E (a, b), então g = f -1 é derivável e vale 1 1 g '(Y) = f , (x) f ' [g(y)]

Prova. A Figura 4.7 nos auxiliará a visualizar a demonstração que segue. Sejam y = f(x) e Ay = f(x + Ax) - f(x). Observamos que, como f possui uma inversa, se Ax # O temos que f(x + Ax) f(x) e portanto, Ay # O. Como f é contínua, quando Ax O temos que Ay também tende a zero. Da mesma forma, quando Ay --> O, Ax = g(y + Ay) - g(y) também tende a zero. Temos então, Ax —>0 Ay --> O.

(1)

Derivada

AY f(b) y + Ay = t(x + Ax) Ay y= f(x) f(a)

Ax a x x + Ax b x g (y) g (y+Ax)

Figura 4-7

Por outro lado, para qualquer y = J(x) vale a identidade g(y + Ay) — g(y) Ay

(x + Ax) — x f(x + Ax) — f(x)

Ar f(x + Ax) — flx) 1 f (x + Ax) — f (x) Ax

Como f ' (x) existe e f ' (x) O para todo x E (a, b), usando (1), vem fim g (y AY) g(Y) Ay ey --> O

1

-

lim f (x + Ax) f(x)

Ax -40

Ax

1 f '(x)

Concluímos que g '(y) existe e vale g '(y) —

1 f '(x)

183

184


4.13.1 Exemplos (i) Seja y = f(x) = 4x — 3. A sua inversa é dada por x = g(y) =

1 (y + 3) . 4

—

Podemos ver que as derivadas, f '(x) = 4 e g '(y) = 1/4 são inversas uma da outra.

(ü) Seja y = 8x3 . Sua inversa é x =

y.

Como y ' = 24x 2 é maior que zero para todo x # O, temos 1 dy 24x2 dx

1

1

1 3 --- )2 63'2/3 24 2

Para x = O, temos y = O e y ' = O. Portanto, não podemos aplicar o teorema 4.13.

4.14. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES Nesta seção apresentaremos as derivacraS das funções elementares: exponencial, logarítmica, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas. Apresentaremos uma tabela de Regras de Derivação que será usada no decorrer de todo o estudo de Cálculo Diferencial e Integral.

Derivada

4.14.1 Proposição (Derivada da função exponencial)

185

Se y = ax, (a > O e

a # 1) então

y'=axlna(a>0ea#1).

Prova. Seja y = ax (a > O e a # 1). Aplicando a definição 4.3, temos

y ' = lim Az

—5

= hm Ax

ax +

ax

Ax

O

ax (a te — 1)

O

Az

aA'r — 1 Ax Ax —> 0

= lim a' • lim —>

O

•

aAx — é o limite fundamental provado na Seção 3.14.5, vem Ax e x imo Como

lim

y' = ax • ln a. Caso Particular:

Se y = ex então y' = ex - in e = e', onde e é o número neperiano.

4.14.2 Proposição (Derivada da função logarítmica). Se y = log a x (a > O, a

1), então

y'=

lx logae (a > O , a # 1).

186


Prova. Seja y = log o x (a > O, a

1).

Aplicando a definição 4.3, temos

y' = lim A x -> o

log a(x + Ax) - log ax Ax

Ioga = lim

x + Ax Ax

ex

= lim [1 Ax

logo

+

Ax —

x

—)

= 11111 Ax O

■ logo 1

1/4x -I-

Usando a proposição 3.5.2(g), podemos escrever 1/u

y ' =

logo

-

Ax

1+—

lim

x

1/Ax

=

Ioga

filim

Ax

O

1/Ax

=

logo [

lim

-

Ax/Ax x/ Ax

I+

1

—> O x/Ax

x/x

-

Derivada x/Ax

logo [ Axlim o

=

1 —

log

a

lim Ax —> O

1 +

/

•

187

1/x

1

x /Ax

1+

1

x/Ax

x/Ax 1 1

Usando o limite fundamental da Seção 3.14.3, vem y ' = 1— logoe . x Caso Particular:

Se y=lnxentãoy'=

1 lne 1 x

4.14.3 Proposição (Derivada da função exponencial composta).

Se y = uv, onde u = u (x) e v = v (x) são funções de x, deriváveis num intervalo I e u (x) > O, Vxe I então y' = v • ui' u' + uv•ln u • v'.

Prova. Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever y = 14V =

eV •

ln

u

Portanto, y = (g f)(x), onde g(w) = ew e w = f(x) = v ln u. Como existem as derivadas g' (w) = ew e f' (x) = (v ln

= v' • ln u + v u u

188


pela regra da Cadeia, temos y' = g' (w) • f ' (x)

v ' ln u + v •

u ' u

u' ev • ln u [12 ' ln u + v • — u

= uv • lnu • v' + vuv -1 • u'. Se u(x) é uma função derivável, aplicando a regra da Cadeia podemos generalizar as proposições da Seção 4.14. Acrescentamos as seguintes fórmulas em nossa tabela de derivadas.

(8) y = a" (a > O, a 1)

y' = a"• ln a - u'

(9) y = e"

y' = e'• u'

(10) y = ioga u

y' =

(11) y = ln u

,

u

log e

u' u

y' = v - u

(12) y =

a

-1 •u'

4.14.4 Exemplos. Determinar a derivada das funções: y

3 2X2 + 3x - 1

+ uv - ln u• v', u > O .

Derivada

Fazendo u = 2x2 + 3x - 1, temos y = 3". Portanto, y' = 3" ln 3 •

u'

32x2 + 3x -

(i

1

\"`-/

Y=

1 j onde u 2

Temos y =

y'

•ln 3 • (4x + 3).

1 (2

(

2

ui

1 2 •u

In 21

)

. Assim,

=

21 1x

x+1

(iii) y = e

x-1

Fazendo y = e" com u -

x

+x 1

-1

, temos

= e" u' x+I

= e

x

-1

(x - 1)•1 - (x + 1) - 1

- 1) 2 x +

= e

x

-1 •

-2 (x - 1) 2

189


(i v ) y eX

ln x

.

Neste caso fazemos y = eu, onde u = x In x. Então, y' =

e" • u'

=

ex -lnx

cx xr

ex" inx

x • 1+ lnx

11

= ex • inx (1 + lnx).

(v) y = log 2 (3x2 + 7x

—

1).

Temos y = log 2 u, onde u = 3x2 + 7x

y' =

u'

—

1. Portanto,

• log 2 e

6x + 7 • log e . 2 3x2 + 7 x — 1

(vi) y = In

ex

+1

Ternos y = ln u , onde u —

Y' =

ex

x+ 1

• Logo ,

Derivada (x + 1)?

-

191

ex 1

(x + 1) 2 et

x+1

(vii) y = (x2 + 1) 2

1

.

Temos y = uv, onde u = x2 + 1 > O e v = 2x - 1. Assim, y' = (2x -1) (x 2 + 1) 2x -1-1 .(x2 + 1)' + (x2 + 1) 2x -1 • ln (x2 + 1) • (2x - 1)' = (2x - 1) (x 2 + 1)2'

2

2x + (x 2 + 1) 2'

1

• ln (x2 + 1)•2.

Derivadas das funções trigonométricas

4.14.5 Proposição (Derivada da função seno). Se y sen x então y' = cos x. Prova. Seja y = sen x. Aplicando a definição 4.3, temos y' = lim Ax--“)

sen (x + Ax) - senx • Ax •

Para desenvolvermos o limite aplicaremos a fórmula trigonométrica: sen

p

-

p + q sen q = 2 sen P • cos 2 2

-

Então, 2 sen =

x + Ax - x x + Ax + x • cos 2 2 Ax

192


Ax 2 sen — Em --> O

2x + Ax 2

Ax Ax \ 2 Ar 2

2 sen lim Ax -o

cos

2

2

•

1 • cos x

•

cos

—

lim cos Ax -*o

2x + Ax 2

4.14.6 Proposição (Derivada da função cosseno). y ' = — sen x.

Prova. Seja y = cos x. Aplicando a definição 4.3, temos cos (x + Ax) — cosx

y' = lim

Ax

Ax-->0

Aplicaremos a fórmula trigonométrica: cosp — cos q = —2 sen

p +q Pq sen • 2 2

Então,

=

•

—2 sen Em

Ax *o

x + Ax + x x + Ax sen • 2 2 Ax

lim (-2 sen est o

2x + Ax) 2

—

sen. Ax/2

hm Ax —>o 2. Ax

x

Se y = cos x, então

Derivada

193

1 —2 • sen x — • 1 2 — sen x.

4.14.7 Derivadas das demais funções trigonométricas. Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas. Por exemplo, se y = tg x =

sen x cos x

, então y' = sec2 x .

De fato, usando a regra do quociente, obtemos

=

cos x • cos x — sen x (— sen x) cos 2X cos e x + sen2 x cos e x

cos e x sec 2 x. Similarmente, encontramos: Se

y = cotg x

então

y' = — cosec 2 x ;

se

y = sec x

então

y' = sec x • tg x

se

y = cosec x

então

y' = — cosec x • cotg x.

e

•

194


Usando a regra da cadeia, obtemos as fórmulas gerais. Acrescentamos os seguintes itens na tabela de derivadas.

, (13) y = sen,u

=

y' = cos •/‘ - u'

(14) y = cos u

=3

y' = - sen u - u'

(15) y = tg u

=3

y' = sec 2 u -u'

(16) y = cotg u

=,

y' = - cosec 2 u • u'

(17) y = sec u

=

y' = sec u - tg u • u'

(18) y = cosec u

y' = - cosec u • cotg u • u'.

4.14.8 Exemplos. Determinar a derivada das seguintes funções: (i) y = sen (x2). sen u, u x2 . y' = (cos u) u' •

[cos (x2)] • 2x

•

2x cos (x2 ).

(ü) y cos (1/x).

•

cos u, u = (1/x).

y' = (- sen u) • u' •

[- sen ( 1/x)] - 1/x 2 1

x2

sen (1/x) .

Derivada

(iii) y = 3 tg \rx + cotg 3x . .

y' = (3 tg

+ (cotg 3x)'

3 - sec2 (G)'

+ (—

coseu 3x) • (3x)'

3 sec2 -\/. • 1 — ( cosec2 3x) 3 .

2L

(iv)

y' =

cos x 1 + cotgx — cos x (1 + cotg x)' (1 + cotg x) (cos (1 + cotg x) 2 (1 + cotg x) (—sen x) — cos x (—cosec 2 x) (1 + cotg x) 2 — sen x — sen x cotg x + cos x cosec 2 x (1 + cotg x) 2

(v) y = sec (x2 + 3x + 7). y = secu,u=x 2 +3x+7. y' = sec u • tg u • u' [sec (x2 + 3x + 7) • tg (x2 + 3x + 7)] • (2x + 3) (2x + 3) sec (x2 + 3x + 7) • tg (x 2 + 3x + 7).

i) y = cosec y = cosec u , u —

x+1 x—1

195

196


y' = — cosec u• cotg u- u'

= [— cosec

x+1 — 1 • cotg x

x + 1 1

x

—

—2 (x — 1) 2

2 x +[ 1 x + 1 cotg 1 x—1• (x — 1)2 cosec x -

—

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

4.14.9 Proposição (Derivada da função arco seno).

Seja f: [- 1, 1] —>[- 7c/2, n/2] definida por f(x) = arc sen x. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e 1 y' — N1 —x2

Prova. Sabemos que

y = arc sen x x = sen y , y E [- na, 7C/2]. Como (sen y)' existe e é diferente de zero para qualquer y E (-7t12, vc/2), aplicando o teorema 4.13, vem 1 Y = (sen y) '

1 cos y

(1

)

Como para y E (-7C/2, n/2) temos cos y = — sen2 y , substituindo em (1), vem y' — , 1 Como sen y — x temos y' — , 1, para x E (-1, 1). "V 1 — sen2 y .‘11 — x2

4.14.10 Proposição (Derivada da função arco cosseno). Seja f.• [-1, 1] —> [0, n]

definida por f(x) = arc cos x. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e —1 Y— "\/1 — x2

Derivada

197

Prova. Usando a relação arc cos x = — arc sen x e a proposição 4.14.9, obtemos 2 y =

— arc sen x

1

x2

, para x E (— 1, 1).

4.14.11 Proposição (Derivada da função arco tangente). definida por f (x) = arc tg x. Então y = f (x) é derivável e

--> (- na, 7c/2) 1 1 + x2

Prova. Sabemos que y = arc tg x x = tg y , y E (— n/2, n/2). Como (tg y)' existe e é diferente de zero para qualquer y E (—n/2, n/2), aplicando o teorema 4.13, vem

Y' —

1 (tg y)'

1 sec2 y

Como sec 2 y = 1 + tg2 y, obtemos y'

1 1 + tg 2 y

Substituindo tg y por x, temos y—

1 1 + x2

198


4.14.12 Derivadas das Demais Funções Trigonométricas Inversas.

As de-

mais funções trigonométricas inversas possuem derivadas dadas por:

(i) Se y = arc cotg x então y' = (ii)

Se y = arc sec x, Ix 1

1 + x2

1, então y' -

1 lx 1 "Vx2 - 1

(iii) Se y = arc cosec x, Ix 1 _ 1, então y' -

-1 lx I "Nix 2 - 1

lx 1 > 1 .

lx 1 > 1 .

A implicação (i) pode facilmente ser verificada se usarmos a relação arc cotg x = 2 - - arc tg x e a proposição 4.14.11. Provaremos a implicação (ii). Seja y = arc sec x = arc cos (1/x) para lx1

1. Então y ' = [arc cos (1/x)]'.

Usando a proposição 4.14.10 e a regra da Cadeia, temos

-1 -‘11 - (1/42

.\/

x2

x2

ir )9

x

x2

1

x2 -Jx2 -42 -

lx 1 x2 1ix2 - 1 1 Ix1 N1x2 .

onde lx 1> 1.

Acrescentamos os seguintes itens na tabela de derivadas: (19) y = arc sen u

y' — '\11 — u2

(20) y = arc cos u

y' — -V1 — u 2

—u'

u' y = 1 + u2

(21) y = arc tg u

r

(22) y= arc cotg u

—

u'

1 + u2

(23) y = arc sec u

.Y' —

iul 1

(24) y = arc cosec u

y' —

¡ui 1

u' lu I .‘11£2

lul> 1 - 1'

— u' , lul > lu I 1/u2 — 1

4.14.13 Exemplos. Encontre a derivada das segii~mMes; -

(i)

y = arc sen

(x + 1).

y = arc sen u, u = x + 1. u' \11 — u 2 —

(ii)

1 — (x + 1) 2

y = arc tg

1

• X2 1 +x2

y = arc tg u , u —

1—

1 +x2

200


y'

1 + u2 ( 1 + X2 ) • (-2x) - 1 - X 2) •

(1 + x2)2

y' =

1+

2x

[ 1+x2 1 x:

-2x

4.14.14 Derivadas das funções hiperbólicas. Como as funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, podemos facilmente determinar suas derivadas, usando as regras de derivação já estabelecidas. Por exemplo, se y = senh x, então

Y

=

=

{

-

2 1 -

2

(e' - e x)' -

1 (ex + e x) 2

-

-

= cosh x. Similarmente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas. Podemos acrescentar na tabela de derivação as seguintes fórmulas. (25) y = senh u

y' = cosh u u'

(26) y = cosh u

y' = senh u•u'

•

Derivada

(27) y = tgh

u

(28) y = cotgh -

y' = sech2

u

u • u'

y' = — cosech2

u • u'

(29) y = sech u

y' = — sech u- tgh

(30) y = cosech u

y' = — cosech

u • u'

u • cotgh u • u'.

4.14.15 Exemplos. Determinar a derivada das seguintes funções: (i)

y

senh (x 3 + 3). senh u,

y' = cosh

u = x3 + 3.

u • u'

= cosh (x3 + 3) 3x2 .

(ii)

y

sech (2x). sech

u, u = 2x.

y' = — sech •

u tgh -u'

— sech (2x) tgh (2x) • 2.

(iii) y = ln [tgh (3x)]. y = ln

u, u = tgh (3x).

u' u

sech2 (3x) 3 tgh (3x)

201

202


3 cosh2 (3x) senh (3x) cosh (3x) = 3 sech (3x) - cosech (3x). (iv)

cotgh(1 - x 3 ).

y

• y'

cotgh u, u = 1 - x3 . -cosech2 u - u'

•

-cosech 2 (1 - x3 ) • ( -3x2 )

•

3x2 cosech 2 (1 - x3 ).

4.14.16 Derivadas das funções hiperbólicas inversas. Na Seção 2.15.6 vimos que y = arg senh x pode ser expresso na forma y = ln (x + -gx2 + 1) . Assim, fazendo u = x + 11x2 + 1 e aplicando a regra da cadeia, obtemos Y' -

(X -I- '\/X2

1)'

x +

2+ 1

1 1 + - (x2 + 1) -1/2 • 2x 2

X \x2

1+ X

x

.VX2 ± 1 VX2 ± 1

+1

Derivada

1lx2 + 1 + x 1- 1

203

1 x + .\f x2 ± 1

1

Portanto, se y = arg senh x então y' —

1 •Nix2 + 1

De maneira similar podem ser obtidas as derivadas das demais funções hiperbólicas. Apresentamos as fórmulas que completam nossa tabela de derivadas. (31) y = arg senh u

y

'

(32) y = arg cosh u

(33) y = arg tgh u

"\itê + 1

-‘1/42 u

—

u>1

1

,

y' = 1 — u2

lul < 1

(34) y = arg cotgh u

y'

u, 1 _ u2 lul > 1

(35) y = arg sech u

Y' —

,0 o)

y' = cos u • u'

(14) y = cos u

y' = -sen u • u'

(15) y = tg u \

y' = v • uv - 1 •u' + te • ln u • v'

(13) y = sen u

.

__-

y' = sec 2 u • u'

(16) y = cotg u y' = - cosec 2 u u'

1

206


(17) y = sec u

y' = sec u • tg u • u' y' = — cosec u cotg u u'

(18) y = cosec u

u'

(19) y = arc sen u

u2

(20) y arc cos u

—u'

y'

- u2 u' 1 +u 2

(21) y = arc tg u y' =

y = arc cotg u y' = (23) y = arc sec u, lul

1

(24) y = arc cosec u, lu! 1

1 + u2

y' —

,

u'

lul Nu2 — 1

y' —

u

lul > 1

'

lul Nu2 — 1

(25) y = senh u y' = cosh u u' (26) y = cosh u y' = senh u u' (27) y = tgh u y' = sech 2 u u' y' = — cosech 2 u • u'

(28) y = cotgh u (29) y = sech u

y' = — sech u • tgh u • u'

(30) y = cosech u y' = — cosech u • cotgh u u' X(31) y = arg senh u y' —

(32) y = arg cosh u

u'

- \lu2 + 1

u' y' — -\1/42 — 1

u>1

lul >

Derivada

(33) y =

arg tgh u

(34) y = arg cotgh u

(35)

7;(36)

y = arg sech u

y ' -

y

u 1 - u2 '

y ' -

u

y = arg cosech u y' =

,

lul < 1

u 1 - u2

=

lul > 1

-u

, O < u O A t At —> o lim

Como já vimos no capítulo anterior, esse limite é a derivada da função s = s(t) em relação a t. Portanto,

v (t) = s '(t) =

ds

dt

•

5.1.2 Aceleração. O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga ao de velocidade. A aceleração média no intervalo de tempo de t até t + At é dada por

am –

v (t + At) – v (t) At

Observamos que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de tempo no intervalo de tempo At. Para obtermos a aceleração do corpo no instante t,

242


tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo At cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite v (t + At) — v (t) — v '(t) . At At -> O

a (t) = lim

Logo, a derivada da velocidade nos dá a aceleração. Como v(t) = s '(t) , temos a(t) = v '(t) = s "(t).

5.1.3 Exemplos (i) No instante t O um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por s(t) = 16t — t 2 . Determinar: (a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4]; (b) a velocidade do corpo no instante t = 2; (c) a aceleração média no intervalo [O; 4]; (d) a aceleração no instante t = 4.

(a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo entre 2 e 4 é dada por v —

s (4) — s (2) 4—2 (16 4 — 42 ) — (16 • 2 — 2 2 ) 4—2 48 — 28 2

= 10 unid. veloc. .

Aplicações da derivada

ponto

(b) A velocidade do corpo no instante 2. Como s(t) = 16t — t 2 , temos

t=

243

2 é o valor da derivada s '(t) no

t=

v(t) = s '(t) = 16 — 2t. No instante t = 2, a velocidade é = 16 — 2 • 2

v(2)

= 12 unid. veloc.

(c)

A aceleração média no intervalo [0, 4] é dada por am—

v (4) — v (0) 4- 0

Como v(t) = 16 — 2t, temos (16 — 2 4) — (16 — 2 0) 4

am

8-16 4 = —2 unid. aceler. .

A aceleração no instante t = 4 é dada pela derivada v ' (4). Como v(t) = 16 — 2t, temos a(t) = v ' (t) = — 2. Portanto, (d)

a(4) = —2 unid. aceler. .

(ii) A equação do movimento de um corpo em queda livre é 1 — gt2 s—2 —

244


onde g 9,8 m/s 2 é a aceleração da gravidade. Determinar a velocidade e a .aceleração do corpo em um instante qualquer t. Num instante qualquer t, a velocidade é dada por

v(t)

= s' (t) 1 = — g • 2t 2 = gt m/s.

A aceleração num instante t é a(t)

= v ' (t) = g In/s 2 ,

que é a aceleração de gravidade.

5.2 TAXA DE VARIAÇÃO Na seção anterior vimos que quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equação do movimento s = s(t), a sua velocidade é dada por v = s' (t). Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s' (t) é a taxa de variação da função s(t) por unidade de variação t. O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t) = v' (t). Ela representa a razão de variação da velocidade v(t) por unidade de variação do tempo t. Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x + Ax, a correspondente variação de y será Ay = f(x + Ax) — f(x). O quociente


245

Ay fix + Ax) — jlx) Ax

LX

representa a taxa média de variação de y em relação a x. A derivada

f '(x) = lim —> o

f(x + Ax) — f(x)

é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x. A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. Vejamos alguns exemplos.

5.2.1 Exemplos (/) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar: (a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m.; (b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m.

Solução. Sejam A a área do quadrado e 1 seu lado. Sabemos que A = 12 .

(a) A taxa média de variação de A em relação a 1 quando 1 varia de 2,5 m a 3 m é dada por AA Al

A(3) — A(2,5) 3 — 2,5 9 — 6,25 0,5

246


2,75 0,5 = 5,5.

(b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por (p)

dA dl

dl 2 1.

Quando 1= 4, temos

dA dl

24=8,

OU,

dA dl

(4)

=8.

Portanto, quando 1 = 4 m, a taxa de variação da área do quadrado será de 8 m2 por variação de 1 metro no comprimento do lado.

(2) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por f(t) = 64t — 3 (a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? (b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?

(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5 2 dia?


247

Solução. A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função f(t) em relação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por f ' (t) = 64 — t2 . (a) No tempo t = 4, temos f ' (4) = 64 — 16 = 48.

Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por dia.

(b)

No tempo t = 8, temos f ' (8) = 64 — 64

= 0. Portanto, no tempo t = 8 a epidemia está totalmente controlada. (c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1 9 dia de epidemia, o 5 9 dia corresponde à variação de t de 4 para 5. •0 número de pessoas atingidas pela moléstia durante o quinto dia será dado por 1(5) — fl4)

64 • 5 —

= 320 —

53\ 43 — 64 4 — — 3 3

125 64 — 256 + 3

43. No item (a), vimos que no tempo t = 4 (início do 5°), a epidemia se alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5 9 dia 43 pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer do dia.

248


(3) Analistas de produção verificaram que em uma montadora x, o número de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por f (t) =

50 (t2 + t), para O _5 t 5 4 200 (t + 1), para 4 5 t 5 8.

(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas? (b) Quantas peças são produzidas na 8' 1 hora de trabalho? Solução. (a) t < 4, temos

A razão de produção após 3 horas de trabalho é dada por f '(3). Para

f '(t) = 50(2t + 1). Portanto, f '(3)

50(2 • 3 + 1) = 350.

Logo, após 3 horas de trabalho a razão de produção é de 350 peças por hora de trabalho. A razão de produção após 7 horas de trabalho é dada por f ' (7). Para t > 4, f '(t) = 200. Logo, após 7 horas de trabalho a razão de produção é de 200 peças por hora de trabalho. (b)

O número de peças produzidas na oitava hora de trabalho é dado por f(8) — f(7) = 200(8 + 1) — 200(7 + 1) = 200.


249

Neste exemplo, o número de peças produzidas na 8 4 hora de trabalho coincidiu com a razão de produção após 7 horas de trabalho. Isso ocorreu porque a razão de produção permaneceu constante durante o tempo considerado.

(4) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50(80 — t) 2 . Determinar: (a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. (b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.

(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. Solução. (a) A taxa de variação média do volume nas 10 primeiras horas é dada por Av_ At

50 (80 — 10) 2 — 50 (80 — 0) 2 10 50 [70 2 — 802 ] 10 50 • (-150)

—7.500 1/hora. O sinal negativo aparece porque o volume de água está diminuindo com o tempo.

250


(b) A taxa de variação do volume de água num tempo qualquer é dada por dV dt

50 2(80 — t) (— 1) —100(80 — t).

No tempo t = 8, temos dV dt

(8)

—100 (80 — 8) = —100.72 = —72011h.

dada por

(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas é V(0) — V(5)

= 50(80) 2 — 50(75) 2 = 38.750 1.

Em muitas situações práticas a quantidade em estudo é dada por uma função composta. Nestes casos, para determinar a taxa de variação, devemos usar a regra dá cadeia. Vejamos os exemplos que seguem. (5) Um quadrado de lado 1 está se expandindo segundo a equação 1= 2 + t2 , onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t = 2.

Solução. Seja A a área do quadrado. Sabemos que A = 1 2 e que 1= 2 + t2 .

A taxa de variação da área em relação ao tempo, num tempo t qualquer é dada dA por dt


251

Usando a regra da cadeia, vem dA dt

dA dl dl dt •

21. 2t

•

4/ t

•

4(2 + t) - t.

No tempo t = 2, temos dA dt

(2)

•

4 (2 + 2 2) • 2

•

48 unid. área/unid. tempo.

(6) O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo?

Solução. Sejam

r = raio da circunferência, t = tempo, 1 = comprimento da circunferência .

Da geometria, sabemos que 1 = 2 Ir r. Por hipótese, a taxa de crescimento de r em relação a t é A taxa de crescimento de 1 em relação a t é dada por cadeia, vem dl _ dl dr dr dt dt

dr = 21 cm/s. dt

—

dl • Usando a regra da dt

—

252


= 2n •

dr — dt

= 2 n 21 = 42 n cm/s.

(7) Um ponto 13 (x, y) se move ao longo do gráfico da função y = 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x = 1/10? Solução. Temos dy dx

dt

dx • dt •

dt Como x varia à razão de 4 unid./seg, — = 4 . Como y = 1/x, dx — dt dy

Então, dy

dt

_ 1 4 x2

—4 X2

Quando x = 1/10, temos dy = —4 dt (1/10)2

= —4. 100 = — 400 .


253

Portanto, quando a abscissa do ponto P é x = 1/10 e está crescendo a uma taxa de 4 unid./seg a ordenada decresce a uma razão de 400 unid./s. Intuitivamente, podemos perceber isso analisando o gráfico de f (Ver Figura 5.1).

Figura 5-1

(8) Acumula-se areia em um monte com a fora de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m? Solução. Sejam

V = volume de areia, h = altura do monte, r =

raio da base,

A = área da base. (Ver Figura 5.2.)

Figura 5-2

-

254

Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração

Da geometria, sabemos que A = 7C /2

V =Ã7cr2 h.

Por hipótese, 1 V = — 7c r3 3

(2)

dV

dt

= 10 m 3/h e h = r. Substituindo h = r em (2), temos

(3 )

.

Queremos encontrar a taxa de variação

dA

dt

quando r = 4 m.

Derivando (1) em relação a t, temos dA

dA dr

dt dr dt = 2 Tc r

dr

dt

.

Precisamos determinar

dt

• Derivando a equação (3) em relação a t, vem

dV dV dr

dt dr dt r2 dr

dt dV

Como — = 10 m 3 /h, temos dt 1 it r2

dr dt -

10 r2

10


255

Portanto, dA dt

= 27c r

10 r2

20

r •

Quando r= h=

dA 20 6 • m ' dt 4

Logo, quando a altura do monte é de 4 m, a área da base cresce a uma taxa de 5 m 2/h.

5.3 EXERCÍCIOS 1.

Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por , f(t) = 16t + t2 , O t 5. 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros. (a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h], 0 b < 8. (b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3; 3,1], [3; 3,01] e [3; 3,001]. (c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t. (d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3. (e)

2.

Determinar a aceleração no instante t.

Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu movimento retilíneo é y=

b —

+ ct ,

onde y é o deslocamento e t o tempo.

(a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2? (b) Qual é a equação da aceleração? 3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação x = 3t2 — t3 , em que x vem expresso em metros e t em segundos.

256

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração (a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? (b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? (c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?

4.

Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física, use a equação y= v ot — 1 g t2 para determinar a posição y do corpo, onde v o é a velocidade inicial e g 9,8 m/s 2).

5.

2

Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas

W(t) =

{ 20+2 (t + 4) 2 , O < t < 60 , 60

24,4t + 604

t < 90 ,

onde t é medido em dias. (a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50? (b) Quanto a ave aumentará no 51 2 dia? (c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80? 6.

Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = O. Após t horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por 4 T (t) = 30 — 5t + +

t

1

O < t

5.

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas? 7.

A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm3 e volume v em cm 3 estão relacionadas pela igualdade vp = c, onde c é constante. Achar a razão de variação do volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm 3 .

8. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t 2 litros, determinar: (a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;


257

(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5]; (c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.

9. Um apartamento está alugado por Cr$ 4.500,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de Cr$ 1.550,00. (a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos. (b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos. (c) Qual a porcentagem de variação do aluguel depois de 1 ano do primeiro reajuste? (d) Que acontecerá à porcentagem de variação depois de alguns anos?

10. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de p (t) = 20 —

t

+ 1 milhares.

(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? (b) Qual será a variação real sofrida durante o 18° mês?

-11. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação de r em relação a x quando x for igual a 8. 12. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t — t1'2 litros no recipiente. Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em 1/hora, quando t = 16 horas? 13. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura. No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m 3/h. Com que velocidade o nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio? 14. Achar a razão de variação do volume v de um cubó em relação ao comprimento de sua diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação do volume quando a diagonal mede 3 m? 15. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.

258


(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. (b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m? 16. Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s.

(a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de comprimento? (b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de comprimento? 17. Um objeto se move sobre a parábola y = 2x 2 + 3x — 1 de tal modo que sua abscissa varia à

taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto estiver no ponto (0, —1)?

18.

Um trem deixaffia estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação.

19. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra? 20. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h. Determinar a taxa de variação da

área da base em relação ao volume do cone.

Análise do Comportamento das Funções

Dada uma curva y = ftx), usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva. Por exemplo, discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os intervalos onde a curva é crescente ou decrescente. Esses dados nos levam a um método geral para construir esboços de gráficos de funções.


259

5.4 MÁXIMOS E MÍNIMOS A Figura 5.3 nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), onde assinalamos pontos de abscissas x l , x2 , x3 e x4 .

Figura 5-3 Esses pontos são chamados pontos extremos da função. f(x i ) e f(x 3 ) são chamados máximos relativos e f(x2 ),flx4 ) são chamados mínimos relativos. Podemos formalizar as definições.

5.4.1 Definição. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo x E 1 n D(f).

5.4.2 Definição. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo xe I n D(f).

5.4.3 Exemplo. A função f(x) = 3x4 — 12x 2 tem um máximo relativo em c = O, pois existe o intervalo (-2, 2) tal que f(0) f(x) para todo x E (-2, 2).

Em c 2 = — -\/2: e c 3 = .\ff, a função dada tem mínimos relativos pois f(— f(x) para todo x E (-2,0) e f f(x) para todo x E (O, 2) (ver Figura 5.4).

260


♦Y -2 Nffi ' 2 X

-

12

Figura 5 4 -

A proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos extremos de uma função.

5.4.4 Proposição. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x e (a, b) e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f '(c) existe, então f ' (c) = O.

Prova. Suponhamos que f tem um ponto de máximo relativo em c e que f ' (c) existe. , Então, f '(c) = lim x c

.1(x) - f(c)

x - c

-

fim =

.ffx)

C+

-

f(c)

x - c

f(x) - f(c) - lim • _ x - c -)

Como f tem um ponto de máximo relativo em c, pela definição 5.4.1, se x estiver suficientemente próximo de c temos que f(c) f(x) ou f(x) f(c) O. Se x -->c+, temos x - c > O. Portanto, j( x. ) - f(c) f '(c) = lim + x- c

flx) - flc) O e então x- c

O.

Se x —>c , temos x- c < O. Portanto, f(x) -1(c) O e então x- c -

(1)

261


f '(c) = lim fix) fic) > O . _x—c X -, c

(2)

Por (1) e (2), concluímos que f ' (c) = O. Se f tem um ponto de mínimo relativo em c, a demonstração é análoga. Esta proposição pode ser interpretada geometricamente. Se f tem um extremo relativo em c e se f '(c) existe, então o gráfico de y = f(x) tem uma reta tangente horizontal no ponto onde x = c. Da proposição, podemos concluir que quando f '(c) existe, a condição f '(c).= O é necessária para a existência de um extremo relativo em c. Esta condição não é suficiente (ver Figura 5.5(a)). Isto é, se f ' (c) = O, a função f pode ter ou não um extremo relativo no ponto c. Da mesma forma, a Figura 5.5(b) e (c) nos mostra que quando f ' (c) não existe, .Rx) pode ter ou não um extremo relativo em c. Y

X

(a)

X

(b)

Figura 5 5 -

O ponto c E crítico de f.

D(

f ) tal que f ' (c) = O ou f '(c) não existe, é chamado ponto

Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto crítico. É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é

262


chamado máximo absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é chamado mínimo absoluto. Por exemplo, a função f(x) = 3x tem um mínimo absoluto igual a 3 em [1, 3). Não existe um máximo absoluto em [1, 3) . A função f(x) = —x2 + 2 possui um máximo absoluto igual a 2 em (-3, 2). Também podemos dizer que —7 é mínimo absoluto em [-3, 2] . Temos a seguinte proposição, cuja demonstração será omitida.

5.4.5 Proposição. Seja!: [a, b] —> 1? uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em [a, b].

Para analisarmos o máximo e o mínimo absoluto de uma função quando o intervalo não for especificado usamos as definições que seguem.

5.4.6 Definição. Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f, se c e D( f ) e f(c) ffx) para todos os valores de x no domínio de f. .

5.4.7 Definição. Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f se c e D( f ), e f(c) f(x) para todos os valores de x no domínio de f.

5.4.8 Exemplos (i) A função f(x) = x 2 + 6x — 3 tem um mínimo absoluto igual a —12 em c = —3, já que f(-3) = —12 ^ f(x) para todos os valores de x e D( f ) (ver Figura 5.6(a)). (ii) A função f(x) = —x 2 + 6x — 3 tem um máximo absoluto igual a 6 em c = 3, já que f(3) = 6 f(x) para todos os x e D( f ) (ver Figura 5.6(b)).


(a)

263

(b)

Figura 5-6

5.5 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS 5.5.1 Teorema de Rolle. Seja f uma função definida e contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f(a) = f(b)= O, então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que f ' (c) = O. Prova. Faremos a prova em duas partes. lg parte. Seja f(x) = O, para todo x, a x b. Então f '(x) = O para todo x, a < x < Portanto, qualquer número entre a e b pode ser tomado para c. 2g parte. Seja f(x) O, para algum x, a < x < b. Como f é contínua em [a, h], pela proposição 5.4.5, f atinge seu máximo e seu mínimo em [a, b]. Sendo f(x) O para algum x E (a, b), um dos extremos de f será diferente de zero. Como f(a) = f(b) = O, esse extremo será atingido em um ponto c e (a, b).

Como f é derivável em c E (a, b), usando a proposição 5.4.4, concluímos que f ' (c) = O.

264


5.5.2 Teorema do Valor Médio. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um número c no intervalo (a, b) tal que

f ' (c) —

f(b) — fia) b—a

Antes de provar este teorema apresentaremos sua interpretação geométrica. Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a função y = f(x) é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um ponto c entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda que une os pontos P (a, f(a)) e Q (b, f(b)) (ver Figura 5.7).

Figura 5-7

Prova do Teorema do Valor Médio. Sejam P (a, f(a)) e Q (b, f(b)). A equação da reta é y

b) — f(a) — f(a) f(b (x —— a a) .

Fazendo y = h (x), temos h (x) —

f (b) — f (a)

b — a

(x — a) + f (a) .


265

Como h (x) é uma função polinomial, h (x) é contínua e derivável em todos os pontos. Consideremos a função g (x) = f(x) — h (x). Esta função determina a distância vertical entre um ponto (x, f(x)) do gráfico de f e o ponto correspondente na reta secante Temos, g(x) = f(x) —

f(b) — f(a) (x — a) — f(a) . b—a

A função g (x) satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [a, b]. De fato,

(i)

g (x) é contínua em [a, b] já que f(x) e h (x) são contínuas em [a, b].

(ii) g (x) é derivável em (a, b) pois f(x) e h (x) são deriváveis em (a, b). (iii) g (a) = g (b) = O, pois g(a) = f (a) —

f( a) f b) ( (a — a) — f(a) = O b— a

e f(b) — f( a) g(b) = f(b) — (b — a) — f(a) = O . —a b Portanto, existe um ponto c entre a e b tal que g' (c) = O. Como g '(x) = f '(x) —

g '(c) = f ,(c) —

f(b) — f( a) —O b—a

e desta forma,

f ' (c) —

f(b) — f(a) temos b —a '

1T b) — f(a) b—a

266


5.6 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 5.6.1 Definição. Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x l , .x2 E I, x 1 < x2 , temos f(x l ) 5_ flx2 ) (ver Figura 5.8).

x,

X

x2

Figura 5-8

Figura 5-9

5.6.2 Definição. Dizemos que uma função f, definida num intervalo /, é decrescente nesse intervalo se para quaisquer x l , X2 E I, x 1 < x 2 temos f(x l ) f(x2) (ver , Figura 5.9). Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é

monótona neste intervalo.

Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os intervalos onde uma função deriv ável é crescente ou decrescente. Temos a seguinte proposição. .

5.6.3 Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b). (i)

Se f ' (x) > O para todo x e (a, b) então f é crescente em [a, b];

(ii) Se f '(x) < O para todo x E (a, b) então f é decrescente em [a, b].


267

Prova. Sejam x 1 e x 2 dois números quaisquer em [a, b] tais que x 1 < x2 . Então f é contínua em [x 1 , x2 ] e derivável em (x 1 , x2 ). Pelo teorema do valor médio, segue que ) - f (x 1 2 3 c E (x i , x2) tal que f '(c) — f (x • x2 - x 1 )

(1)

(i) Por hipótese, f '(x) > O para todo x E (a, b). Então f '(c) > O. Como x 1 < x2 x2 - x 1 > O. ,

Analisando a igualdade (1), concluímos que f(x 2 ) — f(x 1 ) > O, ou seja, f(x2 ) > f(x i ).

Logo, f é crescente em [a,

(ii) Neste caso, f '(x) < O para todo x E (a, b). Temos então f '(c) < O e x2 - X 1 > O.

Analisando a igualdade (1), concluímos que f(x 2 ) — f(x 1 ) < O e dessa forma f(x2 ) < f(x / )•

Logo, f é decrescente em [a, b]. Observamos que a hipótese da continuidade de f no intervalo fechado [a, b] é muito importante. De fato, tomando por exemplo, a função f: [O, 1] —> R x + , para O x < 1 f(x) = 1

, para x = 1

temos que f '(x) = 1 > O para todo x E (O, 1) e no entanto, f não é crescente em [O, 1]. A proposição não pode ser aplicada porque f(x) não é contínua no ponto 1.

268


5.6.4 Exemplos. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. (i)

f(x) = x3 + 1.

Vamos derivar a função e analisar quais os números x tais que f ' (x) > O e quais os números x tais que f ' (x) < O. Temos, f ' (x) = 3x2 .

Como 3x2 é maior que zero para todo x O, concluímos que a função é sempre crescente. A Figura 5.10 ilustra este exemplo.

Figura 5-10 (ii) f(x) = x2 - x + 5.

Temos f ' (x) = 2x - 1. Então, para 2x - 1 > O ou x > 1/2 a função é crescente. Para 2x - 1 < 0 ou x < 1/2 a função é decrescente (ver Figura 5.11).


Figura 5-11

(iii) f(x) =

2x2 — 4,

se x

1

—x — 1,

se x

1.

O gráfico de f(x) pode ser visto na Figura 5.12.

Figura 5-12 Se x < 1, então f ' (x) 4x. Temos, 4x > O para x e (O, 1); 4x < O para x (-03, O).

269

270


Se x > 1, temos f '(x) = —1. Então, f '(x) < O para todo x e (1, + ao). Concluímos que f é crescente em [O, 1] e decrescente em (— oo, O] u [1, +

5.7 CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO A seguir demonstraremos teoremas que estabelecem critérios para determinar os extremos de uma função.

5.7.1 Teorema (Critério da derivada primeira para determinação de extremos). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente num ponto c.

(i) Se f '(x) > O para todo x < c ef' (x) < O para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c. (ii) Se f '(x) < O para 'todo x .V7/3 , f ' (x) é positiva e então, f é crescente em [ .V7/3 , + .0) . Pelo critério da derivada primeira concluímos que f tem um máximo relativo em —117/3 e f tem um mínimo relativo em + -■17/3 . A Figura 5.14 mostra um esboço do gráfico de f.

272


Figura 5-14

(ii) Seja (x — 2) 2 — 3 , se x ^. 5

f(x) =

1/2 (x + 7) , se x > 5 . Se x < 5, temos f ' (x) = 2 (x — 2) e se x > 5 temos f ' (x) =.1/2. Ainda ponto crítico de f.

(5) = 1/2 e f' (5) = 6. Logo, f '(5) não existe e então 5 é um

O ponto x = 2 também é ponto crítico, pois f ' (2) = O. Se x < 2, f ' (x) é negativa. Então pela proposição 5.6.3, f é decrescente em (—

, 2]. Se 2 < x < 5, f ' (x) é positiva. Então f é crescente em [2, 5]. Se x > 5, f ' (x) é positiva. Entãof é crescente em [5, + 00) .

Pelo critério da derivada primeira, concluímos que f tem um mínimo relativo em x = 2. Apresentamos o gráfico de f na Figura 5.15.


273

Figura 5-15

5.7.3 Teorema (Critério da derivada V para determinação de extremos de uma função). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' (c) = O, com a < c < b. Se f admite a derivada f " em (a, b), temos: (i)

Se f "(c) < O, f tem um valor máximo relativo em c.

(ii) Se f "(c) > O, f tem um valor mínimo relativo em c.

Prova. Para provar este teorema utilizaremos o seguinte resultado que não foi mencionado no Capítulo 3. "Se lim f(x) existe e é negativo, existe um intervalo aberto x a

contendo a tal que f(x) < O para todo x a no intervalo".

Prova de (i). Por hipótese f f _

"(c)

existe e f "(c) < O. Então,

Hm f (x) f ,(c)

x _,,

x—c

" "

Portanto, existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que

f '(x) f '(c) < O , para todo x E I. x—c

(1)

274


Seja A o intervalo aberto que contém todos os pontos x e I tais que x < c. Então, c é o extremo direito do intervalo aberto A. Seja B o intervalo aberto que contém todos os pontos x E I tais que x > c. Assim, c é o extremo esquerdo do intervalo aberto B. Se x e A, temos x — c < 0. De (/), resulta que f '(x) > f '(c). Se x E B,x—c> 0. De (/), resulta que f ' (x) < f ' (c). Como f ' (c) = 0, concluímos que se

x E A, f ' (x) > 0 e se x e B, f ' (x) < 0. Pelo critério da derivada primeira (teorema 5.7.1), f tem um valor máximo relativo em c. A prova de (ii) é análoga.

5.7.4 Exemplos. Encontre os máximos e os mínimos relativos de critério da derivada segunda. (i)

f aplicando o

f(x)= 18x + 3x2 — 4x 3 .

Temos, f ' (x) = 18 + 6x — 12x 2

e f "(x) = 6 — 24x. Fazendo f ' (x) = O, temos 18 + 6x — 12x2 = 0. Resolvendo esta equação obtemos os pontos críticos de f que são 3/2 e —1. Como f " (3/2) = —30 < O, f tem um valor máximo relativo em 3/2. Como f "(—J) = 30 > O, f tem um valor mínimo relativo em —1. (ii)

f(x) . = x (x — 1) 2 .

Neste exemplo, temos f '(x)

x• 2

(x — 1) + (x 1) 2 1

3x2 — 4x + 1


275

e f "(x) = 6x — 4. Fazendo f ' (x) = 3x2 — 4x + 1 = O e resolvendo a equação obtemos os pontos críticos de f, que neste caso são 1 e 1/3. Como f "(1) = 2 > O, f tem um valor mínimo relativo em 1. Como f " (1/3) = —2 < O, f tem um valor máximo relativo em 1/3.

(iii) f (x) = 6x — 3x2 +

1 2x

3

.

Temos, f '(x)

6 — 6x +

3 2

x

2

.

e f "(x) = — 6 + 3x. Fazendo f ' (x) = O, temos 6 — 6x + —23 x2 = O Resolvendo a equação, obtemos x = 2 que neste caso é o único ponto crítico de f. Como f " (2) = O nada podemos afirmar com auxílio do teorema 5.7.3. Usando o critério da derivada primeira, concluímos que esta função é sempre crescente. Portanto não existem máximos nem mínimos relativos.

5.8 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva. Vamos introduzi-lo, analisando geometricamente a Figura 5.16. Na Figura 5.16(a) observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos próximos de c o gráfico de f está acima da tangente à curva no ponto P (c, f(c)). Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a, b).

276


y

(a)

(b)

Figura 5-16 Como f ' (x) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se na Figura 5.16(b), que podemos descrever esta mesma situação afirmando que no intervalo (a, b) a derivada f ' (x) é crescente. Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita. Analogamente, a Figura 5.17 descreve uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo (a, b).

(b)

Figura 5-17 Na Figura 5.17(b) vemos que a tangente gira no sentido horário quando nos deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ' (x) é decrescente em (a, b).


277

Temos as seguintes definições:

5.8.1 Definição. Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, b), se f ' (x) é crescente neste intervalo.

5.8.2 Definição. Uma função! é côncava para baixo no intervalo (a, b), se f ' (x) for decrescente neste intervalo.

Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada para cima ou para baixo, auxilia muito no traçado de seu gráfico. Faremos isso, analisando o sinal da derivada f "(x).

5.8.3 Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável até 2 4 ordem no intervalo (a, b): (i)

Se f "(x) > O para todo x e (a, b), então f é côncava para cima em (a, b).

(ii)

Se f "(x) < O para todo x E (a, b), então f é côncava para baixo em (a, b).

Prova. (i). Como f "(x) = ' (x)r , se f "(x) > O para todo x e (a, b), pela proposição 5.6.3, f ' (x) é crescente no intervalo (a, b). Logo, f é côncava para cima em (a, b). Analogamente, se prova (ii). Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda de sentido. Esses pontos são chamados pontos de inflexão.

5.8.4 Definição. Um ponto P (c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chama-

do um ponto de inflexão, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes situações ocorra: (i)

f é côncava para cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b).

(ii)

f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b).

Na Figura 5.18, os pontos de abscissa c l , c 2 , c 3 e c 4 são pontos de inflexão. Vale observar que c 2 e c 3 são pontos de extremos de f e que f não é derivável nestes

278


pontos. Nos pontos c 1 e c4 , existem as derivadas f ' (c 1 ) e f '(c 4 ). Nos correspondentes pontos (c 1 , f(c 1 )) e (c4 , f(c 4 )) a reta tangente corta o gráfico de f.

Figura 5-18

5.8.5 Exemplos. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo. (i) f(x) = (x — 1) 3 . Temos f '(x) = 3 (x — 1) 2 e f "(x) = 6 (x — 1). Fazendo f "(x) > O, temos as seguintes desigualdades equivalentes 6 (x — 1) > O x—1>O x > 1.


279

Portanto, no intervalo (1, + 00), f "(x) > O. Analogamente, no intervalo (– co, 1),f "(x) < O. Pela proposição 5.8.3 f é côncava para baixo no intervalo (– 1) e no intervalo (1, + f é côncava para cima. No ponto c = 1 a concavidade muda de sentido. Logo, neste ponto, o gráfico de f tem um ponto de inflexão. Podemos ver o gráfico de f na Figura 5.19.

Figura 5-19 (ii) f(x) = x 4 – x2 .

Temos, f ' (x) = 4x3 –2x

e f "(x) = 12x2 – 2. Fazendo f "(x) > O, vem 12x2 -2 > O x2 > 1/6. Então, x >

'‘W 6

■W 6

ou x < – — -

280


Portanto, f tem concavidade para cima nos intervalos ( \

( \W 6 i ■ 6 ' + c° • • -

'

( .Nr6-- -■1-6--No intervalo – — , — 6

6

, f "(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava

para baixo. Nos pontos c 1 –

e c2 – a concavidade muda de sentido. Logo, 6 6 nestes pontos o gráfico de f tem pontos de inflexão. A Figura 5.20 mostra o gráfico de f onde assinalamos os pontos de inflexão.

Figura 5-20

.12 para

x

1

(iii) f(x) = 1-(x - 1) 2 ,

para x > 1 .

Para x < 1, f ' (x) = 2x e f "(x) = 2. Para x > 1, f ' (x) = –2(x – 1) e f "(x) = –2. Logo, para x e (– 00, 1),f "(x) > 0 e portanto f é côncava para cima neste intervalo. No intervalo (1, + 00), f "(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava para baixo. No ponto c = 1, a concavidade muda de sentido e assim o gráfico de f apresenta um ponto de inflexão em c = 1.


281

O gráfico de f pode ser visto na Figura 5.21. Observamos que no ponto c = 1, f tem um máximo relativo.

Figura 5-21

5.9 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se • aproximam de uma reta a medida que x cresce ou decresce (ver Figuras 5.22 e 5.23).

X

Figura 5-22 Estas retas são chamadas assíntotas.

282


Y

-

Figura 5-23 Particularmente, vamos analisar com um pouco mais de atenção as assíntotas horizontais e as verticais.

5.9.1 Definição. A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = flx), se pelo menos urna das seguintes afirmações for verdadeira: (i)

(i

lim f(x) = + x -> a+

liM j(X) = x -> a -

00

F1111 j(X) = x -> a +

(iv)

lim f(x) = — 00 . x-3 a

5.9.2 Exemplo. A reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de Y—

1 — 2) 2


De fato,

x

1

=. 1 = + oe , ou também, lim x 2+ (x 2 ) 2O +

1

H m

2-

283

(X

=1=

— 2)2 0+

A Figura 5.24 ilustra este exemplo.

2

Figura 5-24

5.9.3 Definição. A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de y = f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: Hm J(x) = b

(i) x

lim Rx) = b .

(ii) x

5.9.4 Exemplo. As retas y = 1 e y = —1 são assíntotas horizontais do gráfico de Y—

x

"‘ix2 + 2

284


, porque lim — 1 e lim — — 1 (ver Figura 5.25) . +— Nx2 + 2 x 1x2. + 2

Figura 5-25

5.10 ESBOÇO DE GRÁFICOS Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função, podemos fazer um resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos.

ETAPAS

14

PROCEDIMENTO Encontrar D( f

DEFINIÇÕES E TEOREMAS UTILIZADOS

)

24

Calcular os pontos de intersecção com os eixos. (Quando não requer muito cálculo.)

31

Encontrar os pontos críticos

Seção 5.4.

O

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x)

Proposição 5.6.3.


ETAPAS

PROCEDIMENTO

285

DEFINIÇÕES E TEOREMAS UTILIZADOS

54

Encontrar os máximos e mínimos relativos.

Teoremas 5 7 1 ou 5.7.3.

6á

Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de f

Proposição 5.8.3.

7a

Encontrar as assíntotas horizontais e verticais se existirem.

Definições 5.9.1 e 5.9.3.

84

Esboçar o gráfico.

5.10.1 Exemplos. Esboçar o gráfico das funções: (i) f(x) = 3x4 — 8x3 4- 6x2 + 2. Seguindo as etapas propostas temos: lg etapa. D( f ) I?. 2g etapa. Intersecção com o eixo dos y. f(0) = 2. 3g etapa. f ' (x) = 12x3 — 24x2 + 12x. Resolvendo 12x 3 — 24x2 + 12x = O, encontramos x 1 = O e x2 = 1 que são os pontos críticos. 4' etapa. Fazendo f ' (x) > O, obtemos que 12x 3 — 24x2 + 12x > O quando x> O. Portanto, f é crescente para x O. Fazendo f '(x) < O, obtemos que 12x 3 — 24x2 + 12x < O quando x < O. Portanto, f é decrescente para x O.

286

Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração

etapa. Temos f "(x) =

_

36x2 — 48x + 12.

Como f " (0) = 12 > 0, temos que o ponto O é um ponto de mínimo e f(0) = 2 é um mínimo relativo de f. Come(f "(1) = 0, nada podemos afirmar. Fazendo f "(x) > 0, temos que 36x2 — 48x + 12 > O quando x E [(— , 1/3) u (1, + 0.)}. 6 etapa.

Então, f é côncava para cima em (— , 1/3) u (1, + ao). Fazendo f "(x) < 0, temos que 36x2 — 48x + 12 < 0 para x E (1/3, 1). Então f é côncava para baixo em (1/3, 1). Os pontos de abscissa 1/3 e 1 são pontos de inflexão. 75 etapa.

Não existem assíntotas.

cV etapa. Temos na Figura 5.26 o esboço do gráfico.

Figura 5-26

x2

(ti) f(x) — x—

3

O domínio de f é D( f ) = I? — {3 }.


287

Temos, x (x — 6)

f '(x) =

(x — 3) 2

54 f "(x) — 18x — • (x — 3) 4 Fazendo f ' (x) = 0, temos x (x — 6)

=o

(x — 3) 2 e então, x=0ex=à são pontos críticos.

em (—

00

Vemos que f ' (x) > O quando x E [(— oo , 0) u (6, + oo)]. Assim, f é crescente , 0] u [6, + oe). Fazendo f '(x) < 0, vemos que f é decrescente em [0, 6].

Como f "(0) < 0, temos que O é ponto de máximo relativo e como f " (6) > 0, temos que 6 é ponto de mínimo relativo. Ainda f (0) = O é o máximo relativo de f e f (6) = 12 é o mínimo relativo de f. Fazendo f "(x)

18x — 54 (x — 3) 4 > 0

obtemos que f é côncava para cima em (3, + c.) e fazendo 18x — 54 f "(x) —< 0 , (x — 3) 4 obtemos que f é côncava para baixo em (—

ao

, 3).

288


Determinando os limites lim

x 3+

x2 = — 9 = + 00 X

- 3

0+

e

x2 = 9_ =

lim

0-

encontramos que x = 3 é assíntota vertical. Não existe assíntota horizontal. A Figura 5.27 mostra o esboço do gráfico de f(x) -

x2 x-

Figura 5-27

(iii) f(x) -= (x + 1) 1 /3 . O domínio deflx) é D( f ) = 1?.. f (x) corta o eixo dos y no ponto y = 1 já que f (0) = 1. Corta o eixo dos x em -1 já que resolvendo (x + 1) 113 = 0, obtemos x = -1. Fazendo

f (x)

= 3 (x + 1)- 2/3 = 0


289

concluímos que não existe x que satisfaça f ' (x) = O. Como f ' (-1) o único ponto crítico de f é x = -1. Como f '(x) é sempre positiva concluímos que a função é sempre crescente. Não existem máximos nem mínimos Como -2

f "(x) =

9

(x + 1)- 5/3

,

concluímos que para x < - 1, f "(x) > O e portanto f é côncava para cima em (- 00 , -1). Quando x > -1, f "(x) < O e então f é côncava para baixo em (-1, + 0.0). O ponto de abscissa x = -1 é um ponto de inflexão. Não existem assíntotas. A Figura 5.28 mostra o gráfico de f(x).

Figura 5-28

5.11 EXERCÍCIOS 1.

Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b), tal que

290

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração f , (c) _ f(b) — f(a)

b—a

Interpretar geometricamente. a) fix) = 1 ; a = 2 , b = 3 .

b) f(x) = I ; a = -

c) f(x)=x3 ;a= O ,b= 4 .

d) f(x) = x3 ; a = —2 , = O .

e) .ffx) = cos x ; a = O , b = 7c/2.

f)

g) f(x)=tgx;a=0;b=n14.

h) f(x) = 111 — x2 ; a = —1 , b =

i) f(x) =

31

—

x

; a = —1 , b = 1 .

j)

f(x) = tg x ; a = ir.14 , b = 37c/4.

f(x) = lx I ; a = —1 , b = 1 .

2.

A função f(x) = x213 1 é tal quef(-1) = ftl) = O. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle no intervalo [-1, 11?

3.

Seja /(x) = —x4 + 8x2 + 9. Mostrar quef satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [-3, 3] e determinar os valores de c E (-3, 3) que satisfaçam f ' (c) = O.

—

.

.

4. Usando o teorema do valor médio provar que:

5.

a)

Isen0—senal5.10—a1,V 8,cce R;

b)

sen85_0,0 0.

Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. a)

y =3x + 4

b)

y = x2 —3x + 8

c)

y=2+2x — x2

d)

y = (x — 2) (x + 4)

e)

y=3 —x3

f)

y=x3 +2x2 +5x+3

g)

y=x4 +4x3

h)

y = sen x

Aplicações da derivada i)

y = cos x

k)

y

m) y =

ex — x x

f(x)

y = sen x — cos x Y

n)

x2 — 4

x , o)

j)

(x2 — 9 ) 2/3

y = 1 2x — 3 1

xO

6.

Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.

a) f (x) = 2x — 1

b) f (x) = 3 — 5x

c) f (x) = 3x2 + 6x +7

d) f (x) =- x 3 2x2 — 4x + 2

e) f (x) (x —1) (x —2) (x + 3)

fj f(x) = x + se n x

g) f (x) = 2x

h) f (x) e—x .4_ —

i) f (x) = x e—x

D f(x) = x — 1

2

x2

k) f (x) = x + 1 l)

7.

f(x) = e X sen x , x e [O, 2n].

Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

a)

f (x) =1-3x , [-2, 2]

b)

f (x) = x2 — 4 a-1 3]

c)

f (x) = 4 — 3x + 3x 2 , [0, 3]

d)

f (x) = x3 — x2 , [O, 5]

e)

f(x) =

f)

f(x) = I x — 21 , [1, 4]

g)

f(x) = cosh x , [-2, 2]

h)

f (x) = tgh x , [-2, 2]

1 + x2

— 2 , 2]

,

291

292

Cálculo A— Funções, Limite, Derivação, Integração i) f(x) = cos 3x , [O, 27r]

j)

,ffx) = cos e x , [O, 27t]

k) f(x) = sen a x — 1 , [O, n./2].

8.

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções. a)

f(x)=2x+ 5

b)

f(x) = 3x2 + 6x + 1

c)

g(x) = 4x3 — 8x2

d)-

h(x) = 3 X3 +

e)

f(t)

f)

f(t) = t + —1

g)

g (x) = x

h)

h(x)

i)

f (x) = 1 2 —

j)

g(x) =

= t—1

t+1

1

6x + 5

x+4,

x —2

—

1 + x , x < —1

3 — 4t , t > O 4t + 3 , t 5 O

—

1 — — Nx

x2

k) h(t) =

X2

1)

,f(x) = 1 — x2 , x —1

10 — (x — 3)2 , x 5 —2 m) g(x) = 5(x — 1)

— 9.

—2 < x 5 —1

+ (x — 2) 2 , x > —1

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. a) f(x) = 7 x 2 — 6x + 3

b) g(x) = 4x — x 2

c) h(x) = x 3 + 3x2 — 7 x + 9

d) h(x) = _1x4 — x3 + 4x2 — 4x + 8

4

3


e)

f(t) = {ê

t 1.

11.

Determinar os coeficientes a e b de forma que a função f(x) = x 3 + a x2 + b tenha um extremo relativo no ponto (-2, 1).

12.

Encontrar a, b, c e d tal que a função f(x) = 2ax3 + bx2 — cx + d tenha pontos críticos em x=0 ex= 1. Se a > O, qual deles é de máximo, qual é de mínimo?

13.

Demonstrar que a função y = a x2 + b x + c, x e R, tem máximo se, e somente se, a < O., e mínimo se, e somente se, a > O.

tem seu valor máximo em x = e (número neperiano) para todos os

14. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo. a) f(x) = —x 3 + 5x2 — 6x c) f(x)

1

x+4

b) f(x) = 3x4 — 10x3 — 12x2 + 10x + 9 d) f(x) = 2x e-3x

e) f(x) = x2 ex f) 2

t g) .t)— • (t

+9

3) 2

h)

f(x) = 4 .Nix + 1 —

f(t)=

2

cos t , t E [O, 27t]

x2 — 1

294

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração { 2x

i) f(x) =

- x2 , x < 1

.f(x) =

, x> 1

x

x2 — 4 , x < 2 4 — x2 , x > 2

15. Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: a) f(x) — 4 x —4

c) f(x) —

4 x2 — 3x + 2

f)

2x2

g) f(x) — -gx

2

f(x)

f(x)

— 16

i) f(x) e 1/X k) f(x)

x+2

d) f(x) —

1 , Nx + 4

e) f(x)

—3

b) f(x) —

j)

—1 (x — 3) (x + 4) 2 "Nix — 3 x -\lx2 + x — 12

f(x) = eX —1

x.

16. Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) y=x2 +4x+ 2

b) y (x — 3) (x + 2)

c) y = —x3 + 3x2 — 2x + 3 2 6

d) y = x3 — 9 x2 — 12x + 3 2

—

e) Y =

1 4

5 _3

x + 2

g) y = x + —

i) y =

3x + 1 (x + 2)(x — 3)

,, _2

f)

y = x4 - 32x + 48 y—

y =

2x x 2

2 x2 — 2x — 3


k) y —

4

= X3/2 n) o) y =

ln (2x + 3)

y=

cosh x

=

x2

I)

y

p)

y =

295

ln (x2 + 1) .

5.12 PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO A seguir apresentamos alguns problemas práticos em diversas áreas, onde

aplicamos o que foi visto nas Seções 5.4 e 5.7 sobre máximos e mínimos O primeiro passo para soluCionar estes problemas é escrever precisamente qual a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em função de uma ou mais variáveis. Quando a função é de mais de uma variável devemos procurar expressar uma das variáveis em função da outra. Com a função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado e então proceder a rotina matemática aplicando definiçõe e teoremas.

5.12.1 Exemplos (1) Na Biologia, encontramos a fórmula = V • A, onde é o fluxo de ar na traquéia, V é a velocidade do ar e A a área do círculo formado ao seccionarmos a traquéia (ver Figura 5.29).

Figura 5-29 Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Sendo ro o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traquéia durante a tosse é dada por V (r) = a r2 (r0 — r), onde a é uma constante positiva.

296


(a)

Calcular o raio r em que é maior a velocidade do ar.

(b) Calcular o valor de r com o qual teremos o maior fluxo possível. Solução.

(a) O raio r da traquéia contraída não pode ser maior que o raio normal r o , nem menor que zero, ou seja, O r 5_ ro . Neste item vamos encontrar o máximo absoluto da função V(r) em O r ro . Temos, V(r)

= a r2 (ro — r);

V '(r) = 2a ro r —3a r2 .

Fazendo V '(r) = 2a 1 -0 r — 3a r 2 = O, obtemos os pontos críticos r 11 = —23 O r e r2 = O .

Temos V "(r) = 2a 1- 0 — 6a r. Como V " (0) = 2a rei > O, concluímos que r2 = O é um mínimo relativo. Como V "(2/3 r o ) é um valor negativo, concluímos que r 1 = 2/3 1-0 é um valor máximo relativo. Para r E [O, ro], temos que o máximo absoluto é V(2/3r 0) = 4a/27r(3) . Diante deste resultado afirmamos que a velocidade do ar na traquéia é maior quando o raio r da mesma, é dois terços do raio r o da traquéia não contraída. (b) Podemos escrever a função (1) = V • A em função do raio r da traquéia: 414(r) = ar2 (ro — r) • TC /2 . Queremos encontrar o máximo absoluto da função cgr) em O r ri:) . Temos, O' (r) = 4a TC ro r3 — 5a 7C tA . Fazendo 4'- (r) = 4a Te 1-0 r 3 — 5a TC r4 = O, obtemos r 1 = O e r2 = 4/5 ri) como pontos críticos de 0(r).


297

Temos 0"(r) = 12a 7E r o r2 — 20a TC r3 . Logo, 0" (0) = O e 0"(415 O= —64/25 a it ti . Concluímos que em 4/5 r0 temos um ponto de máximo relativo. O ponto r 1 = O é um ponto de mínimo relativo, pois a função (1)(r) decresce em (— 00, 0] e cresce em [0, 4/5 r o ]. O máximo absoluto em [0, r0 ] será 0(4/5 r 0) que é igual à 256/3125 a it go . Portanto, o maior fluxo possível é obtido quando r = 4/5 r 0 . (2) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de Cr$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa Cr$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?

Solução. A Figura 5.30 esquematiza a função que dará o custo da obra: f(x) = (2000 — x) - 312,00 + -six2 + 5002 • 640,00. x

(2000 - x) CONJUNTO HABITACIONAL

CENTRAL DE ABASTECIMENTO

Figura 5 30 -

Nosso objetivo será calcular o mínimo absoluto dessa função para O x 2000. Temos,

f '(x) = —312,00

+ 640,00 x .Vx2 + so02

298


Resolvendo a equação — 312,00 +

640, 00x — O , "\ix2 + 5002

obtemos que x E 279,17 m é um ponto crítico. Temos, f "(x) =

5002 • 640,00 (x2 + 5002) 3/2

Como f" (279,17) > 0, temos que x = 279,17 é um ponto de mínimo relativo. Resta-nos saber se este mínimo é absoluto no intervalo O 5 x 5_ 2000. Como o único ponto crítico de f no intervalo aberto (0, 2000) é x E 279,17, este ponto é mínimo absoluto neste intervalo. Como f(0) > f(279,17) e f(2000) > f(279,17), concluímos que a obra poderá ser realizada com o menor custo possível se a canalização de água alcançar o outro lado do rio 279,17 m abaixo da central de abastecimento. (3) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m 2 . A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. Solução. A Figura 5.31 ajuda a definir a função que vamos minimizar.

Figura 5-31


Sabemos que A = 12100 m2 = x • y.

299

(1

)

A função que definirá a área do lote é

S = (x + 12+ 12) (y + 25 + 20) = (x + 24) (y + 45).

De (1), obtemos que y =

S(x) = (x + 24)

r

(2) 12100 . Substituindo em (2), vem x

12100 + 45 X

Esta é a função que queremos minimizar. Temos,

S ' (x) =

45x2 — 290400 x2

44 -00 45x2 — 290400 é = 0 , obtemos que x = 3 x2 um ponto crítico. (x é uma medida e portanto consideramos só o valor positivo.) Resolvendo a equação =

Temos que S "(x) =

580800 e portanto S x3 3

44 NW

> 0.x =

44 30 3

um

ponto de mínimo Fazendo x =

y =

44 ..■ 30 80,33 m, obtemos que 3

12100 = 12100 = 150,62m, x 4430I3

e então, a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (80,33 + 24) m x (150,62 + 45) m.

300


(4) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2500 m 3 . O material da base vai custar Cr$ 1200,00 por m2 e o material dos lados Cr$ 980,00 por m 2 . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo Solução. Observando a Figura 5.32, escrevemos a função que dá o custo do material: C = x2 1200,00 + 4xy 980,00.

(1)

X

x

4x

Figura 5-32

Como V = x 2y = 2500 cm 3 , temos que a dimensão y pode ser escrita como y = 2500/x2. Substituindo esse resultado em (1), obtemos

C (x) = 1200,00 • x 2 + 9.800.000,00/x, que é a função que queremos minimizar.


301

Temos, C '(x) —

2400 00 x3 — 9.800.000,00 xz

Resolvendo a equação x= 5

3

00 2400,00x3 — 9.800.000, — 0, encontramos x2

98 = 15,983 m, que é o ponto crítico que nos interessa.

3

De fato, para x 15,983 vamos ter um ponto de mínimo, já que C" (15,983) > 0. Portanto, as dimensões da caixa de modo a obter o menor custo possível são E 9,785 m.

x a.. 15,983 mey

5.13 EXERCÍCIOS • 1. Um fio de comprimento / é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. a)

Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?

b)

Como devemos cortar o fio a fim

de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?

2.

Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = 1, que está mais próximo da origem.

3.

Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou Cr$ 380.000,00 para criar os bois e continuará gastando Cr$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois

aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de Cr$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?

4. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.

302


5.

Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, deseja-se construir urna caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

6.

Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a sua área total seja mínima.

7. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo 1, já existente. Em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima?

B

RESERVATÓRIO C- 12 Km 8.

Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm?

9.

Traçar uma tangente à elipse 2x2 + y2 = 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a área mínima.

10. Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 4/9 do volume do cone. 11. Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centro da base do cone dado, tenha volume máximo? 12. Determinar o ponto A da curva y = x 2 + x que se encontra mais próximo de (7, O). Mostrar que a reta que passa por (7, O) e por A é normal à curva dada em A. 13. Uma folha de papel contém 375 cm 2 de matéria impressa, com margem superior de 3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm.


303

Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel. 14. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semi-círculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível. 15. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação a. Seja 1 o alcance do canhão, dado por 1 =

2v2

sena cos a , onde v e g são constantes. Para que ângulo o

alcance é máximo? 16. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros tem uma velocidade média de 50 km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível?

Fl

ESTAÇÃO CIDADE 100 Km 17. Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca? 18. Seja s uma reta que passa pelo ponto (4, 3) formando um triângulo com os eixos coordenados positivos. Qual a equação de s para que a área desse triângulo seja mínima? 19. Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m, consiste de 2 semi-círculos e dois segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.

304


20. Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura H = 6 m e raio da base R = 3,5 m. Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume máximo. 21. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por C = 2x3 + 6x2 + 18x + 60, e o valor obtido na venda é dado por V = 60x — 12x2 , determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V —C. / 22. Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R. Determinar esse cilindro, de forma que seu volume seja máximo. 23. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 m 2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo. 24. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m 3 . Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação das caixas, quais devem ser suas dimensões? 25. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm. Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na figura a seguir.


305

•

5.14 REGRAS DE L'HOSPITAL Nesta Seção apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0/0 ou Esse método é dado pelas regras de L'Hospital, cuja demonstração necessita da seguinte proposição.

5.14.1 Proposição (Fórinula de Cauchy). Se f e g são duas funções contínuas -

em [a, b], deriváveis em (a, b) e se g' (x) # O para todo x E (a, b), então existe um número z E (a, b) tal que f(b) — f(a) _ f '(z) g(b) — g(a) g '(z)

Prova. Provemos primeiro que g(b) — g(a) # O. Como g é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), pelo teorema do valor médio, existe c e (a, b) tal que g '( c) = g(b) — g(a) b—a

(1)

Como, por hipótese, g' (x) # O para todo x E (a, b), temos g' (c) # O e assim, pela igualdade (1), g(b) — g(a) # O. Consideremos a função f(b) — fl a )][g (x ) — g(a)] h(x) = Í(x) — fia) — [ g (b) — g(a) A função h satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle em [a, b], pois: (i)

Como f e g são contínuas em [a, b], h é contínua em [a, b];

(ii)

Como f e g são deriváveis em (a, b), h é derivável em (a, b);

(iii) h (a) = h (b) = O.

306


Portanto, existe z E (a, b) tal que h' (z) = O. Como h '(x) = f ' (x) —

f(b) — f(a)

f'(z) — g(b) — g(a)

f(b) — f(a)

g(b) — g(a)

g '(x), temos

• g '(z) = O .

(2)

Mas g' (z) # O. Logo, podemos escrever (2) na forma f(b) — fia)

f'(z)

g(b) — g(a)

g '(z)

5.14.2 Proposição (Regras de L'Hospital). Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, em um ponto a E I. Suponhamos que g' (x) # O para todo x # a em I. (i)

Se lim • (x) = lim g(x) = O e

x

—)

a

x --> a

x

lim

f '(x)

a g (x)

= L, então

lim = lim f (X) = L ; x —> a g(x) x —> a g

(ii) Se lim f(x) = lim g(x) = oo e lim x —> a

lim x)

x —> a g(x)

x--> a

x —> a g(x)

'

,

= L, então

= lim f (X) — L . x —> a g

Prova do item (i). Suponhamos que lim lim f (X) = x —> a g ( C)

f '(x)

x —> a g (x)

L . Queremos provar que lim

tome a forma indeterminada 0/0 e que ) = L.

x —> a g(x)


307

Consideremos duas funções F e G tais que g(x),

f(x) , sexta F(x) =

e

G(x) =

O , se x = a

O

sext a se x

Então, lim F(x) = lim f(x) = O = F(a) x —> a

x —> a

lim G(x) = lim g(x) = O = G(a) . x —> a

x —> a

Assim, as funções F e G são contínuas no ponto a e portanto, em todo intervalo I. Seja x E I, x a. Como para todo x a em I, f e g são deriváveis e g '(x) O, as funções F e Gsatisfazem as hipóteses da fórmula de Cauchy no intervalo [x, a] ou [a, x]. Segue que existe um número z entre a e x tal que F(x) — F(a) G(x) — G(a)

vem

F '(z) G '(z)

.

Como F(x) = f(x), G(x) = g(x), F(a) = G(a) = O, F '(z) = f '(z) e G '(z) = g '(z), f(x) = f '(z) g (x) g '(z)

Como z está entre a e x, quando x —) a temos que z --> a. Logo,

x

lim f(x) — lim f (Z) x a g '(z) a g (x)

—

lim f

(Z)

z _> a g '(z)

—L.

308


Observamos que se

lim f(x) = lim g(x) = O ou u m f(x) = lim g(x) = 00 , x —> a

e lim x— > a

rx (

)

g (x)

x — > a

= ao,

x —> a

x >a

a regra de L'Hospital continua válida, isto é

lim ftx) = lim •f (X) x a g '(x) g(x)

= 00

x —> a

Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito. A seguir apresentaremos vários exemplos, ilustrando como muitos limites que tomam formas indeterminadas podem ser resolvidos com o auxilio da regra de L'Hospital.

5.14.3 Exemplos (i) Determinar lim

2x

x,o ex —

Quando x'—> O, o quociente do a regra de L'Hospital, vem

ex

•

2x toma a forma indeterminada 0/0. Aplican1

2 2 = lim — = = 2. x,o e —1 x,o e e° lim

2x


309

x2 + x - 6 x2 - 3x + 2

(ii) Determinar lim X-32

O limite toma a forma indeterminada 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital, temos 2

lim m x,

x-2 X'-`"

+ - 6 =. lim 2x + 1 2 2 + 1 = 5 . 2 2 - 3 - 3x + 2 2 2x - 3

(iii) Determinar lim x o

sen x - x + e' - 2

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital uma vez, temos lim sen x-*o ex +

x - x lim cos x - 2 x-,oe X éX -

Como o último limite ainda toma a forma indeterminada 0/0, podemos aplicar novamente a regra de L'Hospital. Temos, lim x -> O

cos x - 1 -

= lim

x O

Logo, lim sen + x-. 1:-.)

- sen x = = . ex + e- x 2

x- x X- 2

eX

= .

-1

(iv) Determinar lim x + x3 + 4x Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 00/ao. Aplicando a regra de L'Hospital sucessivas vezes, temos ex 1 eX lim = + - x3 + 4x X-->+oo 3x2 + 4

lim

—

310


= lim -›+ - 6x = lim x ->

6

(v) Determinar hm (3x x->+Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 00 ° . Vamos transformá-la numa indeterminação do tipo ../00 com o auxílio de logaritmos e em seguida aplicar a regra de L'Hospital. Seja L = lim (3x + 9) 1/x . Então, lnL = ln lim (3x 4. 9) 1/x . x-)+- x Aplicando a proposição 3.5.2(g) e as propriedades de logaritmos, vem In L =

lim ln (3x + 9) 1/x" x + lim 1 ln (3x + 9)

hm x

-)

ln 3x + 9) X

Temos agora uma indeterminação do tipo 00/00. Aplicando a regra de L'Hospital, obtemos ln L = hm lim

+ 9) . - hm 1 x

3 3x +. 9


311

Como ln L = O, temos L = 1 e dessa forma lim (3x + 9) 1 tx = 1 . + 00

x^

(vi) Determinar lim x sen 1/x . Neste caso temos uma indeterminação do tipo .0 • O. Reescrevendo o limite dado na forma sen 1/x 1/x

lim x sen 1/x = lim x-›+temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Aplicando a regra de L'Hospital, vem

lim x sen 1/x =

lim sen 1/x .7c -›+- 1/x

lim

lim cos 1/x + cos O 1.

312


(vii) Determinar Hm x —> o

1

(

1

x2 + x cos i — 1

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. — .... Reescrevendo o limite dado, temos 1

1

(

lim

= lim cos x — 1 — x2 — X

x-->0\ x2 + x cos X — 1 /

vem

x —> 0 (X2 + X) (cos X — 1)

Temos então uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,

f

lim x —> o

1 1 _ x2 + x cos x — 1

"

—

=

lim x —> o

cos x — 1 — x2 — x (x2 + x) (cos x — 1)

— sen x — 2x — 1 lim o (x2 + x) • (— sen x) + (cos x —1) (2x + 1)

x

—1

o

(viii) Determinar lim+ (2x 2 + x) x . xo Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0 ° . Com o auxilio de logaritmos, vamos transformá-la numa indeterminação da forma 00/00. Seja

L = lim

x

ln L

=

(2x2 + x) x . Então,

in [ lim (2x2 + x

x

-


▪

1.,_ x->0

rr, .2 + (

L

•

lim x • ln (2x2 + x) x->0o+

•

lim ln (2x2 + x) 1/x x-)0+

Temos agda uma indeterminação do tipo L'Hospital, vem

lnL = lim x-> o+

x-)o+

4x3 + x2 2x2 + x

Aplicando novamente a regra de L'Hospital, obtemos ln L =

lim x o+

12x2 + 2x

4x + 1

o 1

o. Como ln L = O, temos L = 1. Logo, x o+

313

(2x2 + x) = 1 .

Aplicando a regra de

314


1+ 1 2x

(ix) Calcular lim

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo I – . Usando logaritmos, vamos transformá-la numa indeterminação da forma 0/0. Seja L =

ln L

=

lim

1+

ln

lim X -->

1 2x

x . Então,

—

1 1+ + — 2-x\

=

x

1 2x

lim [ ln

1+

lim x ln

1+ 1 2x

x

In = lim

x

1 + 1 2x 1/x

X

Temos agora uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital, obtemos

ln L =

lim X

--

+00

( 1 –1 / 1 +2x2 -

1/2 lim -x –)+– 1 + 1 2x

1/x2


1/2 1 1/2.

Portanto, ln L =

1 —

2

lim

dessa forma L = e112. Logo,

=e

1/2

5.15 EXERCÍCIOS Determinar os seguintes limites ccim auxilio das regras de L'Hospital. x-2 - 4x + 4 x —> 2 X2 — x - 2

lim

1.

3.

x

6 - 2x + 3x2 - x3 lim x - 33 x4 — 3x3 - x + 3

5.

7.

9.

11.

x2 + 6x O x3 + 7x2 + 5x

lim

x

lim

lim

EM

x2 - 6x + 7

x3 + 7x

- 1 •

2. lim

x-1

4. lim

X2

— 1

x2 +

+3

2x2 + x

-

1

x —> 1/2 4X 2 — 4X + 1

x+1 6. lim x --+ -1 2x" + 2x 3 + 3x2 + 2x - 1 5 - 5x3 8. lim 2 - 2x3 x

7x5 - 6 4x2 - 2x + 4

5 - x + x2 10. lim x-9+.0 2 - x 2x2

eX

12. lim

-

X99

315

316

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.


x

lim

x_,0 ex — cos

14. lim x2 (e l — 1)

x

x

cos x lim x —)7v2 (x — ir/2) 2 2x 1

lim

1

— x — 2 x —> 2 [2x — 4

lim x —)

)

+

ln x

22. lim

3 —> +

x 2 tg + cos 4x —

x

cosh x — 1 —> 1 —cos i x

24. lim

Hm (1 — cos x) cotg x x

x+1

20. Hm tgh x

lim senh x sen x X -3 0

x —> ir./4

x )

18.

x

2

2x 1

16. lim —

cotg x 2 cos x

lim sec

-> + m

26. Hm [ln x ln (x — 1)]

—>

—> 1

3 1

27.

lim x— n. [2(1

29.

fim x sen x „+ x —>

— -Ct )

)

1

28. hm

o

—> +

30. lim x 7t x

Hm (1 — x)

2

32. lim x sen 71/x X

—> +

X2/3

33.

lim

—>

(x2 + 2) 1/3 0.

1—x

—>1

cos

31.

1 3(1 —

x4 + ln x

34. Hm

senh x


lim

35.

(2x - 1)

2/x

x

37.

39.

41.

43.

ln (sen a x) lim, In (sen x)

x-) 0+

x

1 lim + x tg x O

lim (1 - tg x) sec 2x x -› n/4

36.

38.

40.

42.

lim (cos 2x)

x --> 0

3/2

1 x-3

lim x -) 3

lim + x

2

317

5 x2 - x - 6

2 ln x

+

x ->0

lim +

x In x x + ln x

lim (ex + x) x -) o

5.16 FÓRMULA DE TAYLOR A Fórmula de Taylor consiste num método de apróximação de uma função por um polinômio, com um erro possível de ser estimado.

5.16.1 Definição. Seja f: 1 --> I? uma função que admite derivadas até ordem n num ponto c do intervalo 1. O polinômio de Taylor de ordem n de f rigponto c, que denotamos por P n (x), é dado por P n (x) = f(c) + f '(C) (x - c) +

.„(n) (x - c) 2 + . + 3

n!

) (x - c)

n

Observamos que no ponto x = c , P n (c) = .gc) .

5.16.2 Exemplo. Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f (x) = no ponto c = O.

318


Temos, f(x) = f ' (x) = ...= f f(0) = f '(0)

(iv)

(x) = e x e assim,

..= f (1v) (0) = e ° = 1 .

Portanto, P 4(x) = 1 + 1 (x

=1+

X

+

–

X2

O) +

(x

0) 2 +

(x

2! 3!

—

–

—

—

3 O) +

4!

(x 0)4

X3

2!

X4 — 3! 4! '

é o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = ex no ponto c = O. Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f(x), denotamos por R n (x) a diferença entre f(x) e P n (x), isto é, R n (x) = f(x) – P (x) (ver Figura 5.33). n

c

X

Figura 5-33 Temos então, f(x) = Pn (x) + R n (x), ou mais explicitamente,

f(x) = .Ac) +f ' (c) (x – c) +

f "(c) (x – c) 2 + 2!

f(n)

(x – cr + R (x) n . (1) n!


319

Para os valores de x nos quais R n (x) é "pequeno", o polinômio P n (x) dá uma boa aproximação de f(x). Por isso, R n (x) chama-se resto. O problema, agora, consiste em determinar uma fórmula para R n (x) de tal modo que ele possa ser avaliar..! Temos a seguinte proposição. 5.16.3 Proposição (Fórmula de Taylor). Seja f: [a, b] > 1? uma função defmida num intervalo [a, b]. Suponhamos que as derivadas f ' , f " , f (n ) existam e sejam contínuas em [a, b] e que f (n + 1) exista em (a, b). Seja c um ponto qualquer fixado em [a, b]. Então, para cada x E [a, b], x # c, existe um ponto z entre c e x tal que —

f(x) = f(c) + f (c) — c) + + f

(n)

(C)

n!

— C)n f(n+1) ( z

)

(n + 1)!

— c)n + 1

(2)

Quando c = 0, a Fórmula de Taylor fica

f(x) = f(0) + f '(0) x

f (a ) ( 0 ) xn + 1) (Z) xn + 1 n! f(n + 1)!

e recebe o nome de Fórmula de Mac-Laurin. Prova. Faremos a demonstração supondo x > c. Para x < c, o procedimento é análogo. Sejam 13 n (t) o polinômio de Taylor de grau n de f no ponto c e R n (t) o resto correspondente. Então, f(t) = P n (t) + R n (t), para qualquer t e [a, b]. Portanto, no ponto x, temos ) (C)

f(x) = f(c) + f '(c) (x — c) +f "(c) (x — c) 2 + + f (n 2! n!

(x — c) n + R n(x) .

Para provar (2), devemos mostrar que R n (x) =

.f(n + 1) (

`

(n + 1 )!

(x — c)" 1

,

onde z é um número entre c e x.

320


Para isso, vamos considerar a seguinte função auxiliar:

g: [c, x] —> 1? f"

g(t) = f(x) — f(t) — f ' (t) (x — t) — f

(

n ) ( t)

n!

t ()

2!

(x — t) 2 —

+1 _ (x — tr — R ,z (x) • (x (x — c)n + 1

Pelas propriedades das funções contínuas, segue que g é contínua em [c, x]. Pelas propriedades das funções deriváveis, segue que g é derivável em (c, x). Além disso, podemos verificar que g(c) = g(x) = O. Logo, g satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [c, x] e portanto existe um ponto z, entre c e x, tal que g' (z) = O. Derivando a função g com o auxílio das regras de derivação e simplificando, obtemos

R n (x) —

f(n +1)

z) (n+1) v ' (x — c) , (n + 1)!

e, conseqüentemente, a fórmula (2) fica provada. Observando as fórmulas (1) e (2), vemos que na Fórmula de Taylor apresentada, o resto R n (x) é dado por f(n + 1) (,A

Rn (x) = "' ) (x — c)n + 1 (n + 1) ! Essa forma para o resto é chamada Forma de Lagrange do Resto e a fórmula (2) é dita Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. Existem outras formas para o resto, como a forma da integral, que não abordaremos aqui.

5.16.4 Exemplos (i) Determinar os polinômios de Taylor de grau 2 e de grau 4 da função f (x) = cos x, no ponto c = O. Esboçar o gráfico de f e dos polinômios encontrados.

•


321

Usando o polinômio P4 (x) para determinar um valor aproximado para cos —7t g o que se 6 pode afirmar sobre o erro cometido? Solução. Para determinar os polinômios pedidos, necessitamos do valor de f e de suas derivadas até ordem 4, no ponto c = O.

Temos, f(x)

=

cos x , ft0)

=

cos O =

1

f '(x) = — sen x , f '(0) = — sen O = O f "(x) = — cos x

f "(0) = — cos O = —1

f "'(x) = sen x , f "'(0) = sen O = O

f `v(x) =

cos x

f iv(0) =

cos O =

1.

O polinômio de Taylor de grau 2, no ponto c, é dado por f "( c)

P2(x) = f(c) + f ' (c) (x — c) + 2 , (x — c) 2 .

Como no nosso caso c = O, vem P2 (x) = f(0) + f'(0) x + f (1 0) .x2 =1+O•

= 1 -

X2

X

+

1) 2!

x2

•

O polinômio de Taylor de grau 4, no ponto c, é dado por P4 (x) = f(0) + f ' (0) (x) + f ';(,°) x2 + f 3" 1(°) x3 + f 4v (,2c) x4

322


= 1+0-X+

=

—

( 22! 0

x2

+

+ 1 x4 x3 3! 4!

X2 X4 r •

2 24

A Figura 5.34 mostra o gráfico de f(x), P 2 (x) e P 4 (x). Comparando esses gráficos, podemos observar que o gráfico de P 4 (x) está mais próximo do gráfico de f(x). Se aumentarmos n, o gráfico de P n (x) se aproxima cada vez mais do gráfico de f(x)•

Figura 5-34

Usando o polinômio P 4 (x) para determinar um valor aproximado de cos —n , 6 pela Fórmula de Taylor, temos cos

n —

6

= P4 (n/6) + R4 (n/6)

1 7c =1—— — 2! 6

1 ' 4! 6

— J

onde z é um número entre O e n/6.

\

f (5)(z ) 5!

`5

6


323

Como f v (x) = —sen x e I — sen x I 1 para qualquer valor de x, podemos (

)

afirmar que o resto R 4 ( 6 ) satisfaz —

I R4 (n/6) I=

I- sen z I 5!

n 1 5! 6 (

6 E

0,000327 .

Logo, quando calculamos o valor de cos —7c pelo polinômio P 4 (x), temos 6 = 1 cos —11 6

(7c/6) 2 (n/6) 4 24 2!

E 0,86606 e podemos afirmar que o erro cometido, em módulo, é menor ou igual a 0,000327.

(iii) Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f (x) = sen 2x no ponto c = 4 Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para sen

3

Fazer uma estimativa para o erro.

Solução. Devemos calcular o valor da função e suas derivadas até ordem 6, no ponto 7C C= 4 . —

Temos,

f(x)

= sen 2x

f '(x) = 2 cos 2x

, f(n/4)

,

f (n14) '

f "(x) = — 4 sen 2x , f "(n14) f '" (x)

—8 cos 2x , f "'(7c14)

= sen Tc/2

= 1

= 2 cos n/2 = O =—4 = 0

324


f iv(x) = 16 sen 2x , f iv(n/4)

= 16

f v(x) = 32 cos 2x , f v(7c14)

= O

f vi(x) = — 64 sen 2x , f (n14) O polinômio de Taylor de grau 6, no ponto c = it/4,, é dado por

P6(x) = f 4

±

+

2

f ' (n/4)) TC

TC

f " ( n/4) x 4 ± 2!

1!

f(vi) (n/4)

6!

x -

z—

) 4

TC )6 4

2

4

=

(— 64) x — — 1 -1- 0 + (-4) x—n) +0+16 ) +0+ 4 4 4! x-4 2! 6!

=

)2, 22 24 — 1 X - - - X - 2! 4 4! 4

6 - 26 6!

ir 4

x

•N 6

6

Usando o polinômio P 6(x) para determinar sen 3 , obtemos pela Fórmula de Taylor, TC

sen — = sen (2 7r./6) = f (7E/6) = P6 (7C/6) + R 6 (n./6) 3 2

2 2 (ir ?L 24 = 1 - - - - 1-

2! 6 4 \.

n n 4! 6 4

f (vio (z)

0,86602526 +

7!

4

-

26 ir 6! 6

7C 7

6

4

n 4

6

+

Pvii) (z) "7C 7! 6 k

7L

4

∎7

À


Como f ( vii) (x) = - 128 cos 2x e 1 cos 2x 1 ^ 1 para todo x, o resto satisfaz

325

R6

Z [

IR 6 (7E/6) 1

128

7!

\7

6

4

2,1407 x 10-6 .

Logo, usando o polinômio P 6 (x) obtemos sen tido, em módulo, será inferior a 2,1407 x 10 -6 .

3

=

0,86602526e o erro come-

Usando a Fórmula de Taylor, pode-se demonstrar a seguinte proposição que nos dá mais um critério para determinação de máximos e mínimos de uma função.

5.16.5 Proposição. Seja f: (a, b)

R uma função derivável n vezes e cujas derivadas, f ' , f " , f ( n) são contínuas em (a, b). Seja c E (a, b) um ponto crítico de f tal que f ' (c) = = -1) (c) = O e f ( n ) (c) 0. Então,

(i)

se n é par e f ( n) (c) 5 0, f tem um máximo relativo em c;

(ii) se n é par e f (n) (c) 0, f tem um mínimo relativo em c; (iii) se n é ímpar, c é um ponto de inflexão.

5.16.6 Exemplos (i) Determinar os extremos da função f(x) = (x - 2) 6 .

Temos f' (x) = 6 (x - 2) 5 . Fazendo f' (x) = 0, obtemos x = 2, que é o único ponto crítico de f. Calculando as derivadas seguintes no ponto x = 2, temos f" (x) = 30 (x - 2) 4 , f" (2) = O f,.. (x) = 120 (x - 2) 3 , f"' (2) = O f iv (x) = 360 (x - 2) 2 , f iv (2) =

326


f (1') (x) = 720 (x — 2) , f (") (2) = O

, f (14) (2) = 720 # 0.

f" (x) = 720

Logo, x = 2 é um ponto de mínimo relativo. (ii) Pesquisar máximos e mínimos da função f (x) = x5

—

x3 .

Fazendo f ' (x) = 5x4 3x2 = 0, obtemos os pontos críticos que são x i = 0, x2 = .■i3/5 e x3 = — -V-3/5 . —

Calculando o valor das derivadas seguintes no ponto x 1 = 0, temos f " (x) = 20x3 f "' (x) = 60x2

—

-

6x , f " (0) = O

6

, f "' (0) = 6 # 0. —

Como f "' (0) 0, concluímos que O é um ponto de inflexão. No ponto x 2 = -■r3/5, temos f "(x) = 20x3 — 6x , f "(NTD) = 20 (3/5) 32 — 6 .Nii75-

=

20 • — 6 5

= 6I7>0. Logo, concluímos que x 1 = No ponto x3 =

temos

é um ponto de mínimo relativo.


f

"(x) = 20x 3 - 6x , f "( - .\13/5 )

3 = — 20 — 5

327

3/2

)

— 6 ( — 'N/3/5 )

= — 6 -■/3/5 < 0 . Logo, o ponto x3 = — 'N/3/5 é um ponto de máximo relativo.

5.17 EXERCÍCIOS 1.

Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções: b) f(x) =

c) f(x)=1n(1—x); c=0 e 1/2; n = 4

d) f(x) = sen x ; c = rt12 ; n = 8

e) f(x) = cos 2x ; c = O e n/2 ; n = 6

2.

; c = —1 e 2; n=4

a) f(x) = ex12 ; C = 0 e 1; n = 5

X

1 f (x) - 1 + x ,c-0 e 1;n=4.

Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto na forma de Lagrange, das seguintes funções: a) y=coshx;n=4;c=0 c) y =

; n = 3 ; c = 1

b) y = tg x ; n=3; d) y= e

x2

C = 7C

; n = 4 ; c = O.

3.

Usando o resultado encontrado no exercício 1, item (c), com c = O, determinar um valor aproximado para ln 0,5. Fazer uma estimativa para o erro.

4.

Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = 1 + cos x no ponto c = it. Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para cos (5n/6). Fazer uma estimativa para o erro.

5.

Demonstrar que a diferença entre sen (a + h) e sen a + h cos a é menor ou igual a — h .

1 2 2

328

6.


Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária y = a cosh —x . a

Demonstrar que para valores pequenos de Ixl,a forma que o fio toma pode ser representada, x2 aproximadamente, pela parábola y = a + — 2a

7.

Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções: a) f(x) = 2x — 4

b) f(x) = 4 — 5x + 6x2

c) f(x) = (x — 4) 10

d) f(x) = 4 (x + 2) 7

e) f(x) = x6 — 2x4

f(x) _ x5

1325 x3

EDITORA

CAPÍTULO 6

DAVFSt

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INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO

Neste capítulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação. Em seguida, veremos a integral definida, que é a integral propriamente dita, e sua relação com o problema de determinar a área de uma figura plana. Por fim, apresentaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que é a peça Chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração.

6.1 INTEGRAL INDEFINIDA 6.1.1 Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de ftx)), se para todo x e 1, temos .

F ' (x) = f(x).

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo

e nos referimos a duas primitivas da mesma função são primitivas de f no mesmo intervalo 1.

f,

entendemos que essas funções

329

330


6.1.2 Exemplos (i) F ' (x) =

F (x) =

x3 \

3

é

uma primitiva da função f(x) = x2 , pois

1/3 3x2 = x2 = f(x).

(ii) As funções G(x) = x3 /3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas da função f(x) = x2 , pois G ' (x) = H' (x) = f(x). (iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c é uma constante, é primitiva da

função f(x) = cos 2x.

(iv) A função F(x) = 1/2x2 é uma primitiva da função f(x) = —1/x 3 em qualquer intervalo que não contém a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = fiz). Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Temos as seguintes proposições.

6.1.3 Proposição. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) F(x) + c também é primitiva de f(x).

Prova. Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim, G ' (x) = (F(x) +

= F ' (x) +

O = f(x),

o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).

6.1.4 Proposição. Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo constante em

I,

então f é

Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que f (z) f(Y) - flx) y—x

Introdução à integração

331

Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.

6.1.5 Proposição. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x E I.

Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo

I, temos

F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I. Assim,

H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E

Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo x E I. Logo, para todo x E 1, temos G(x) — F(x) = c.

Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma G(x) = F(x) + c,

• onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume em achar uma primitiva particular.

6.1.6 Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva

da função flx) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma G(x) = sen x + c,

para alguma constante

c.

6.1.7 Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por

f .ffx) dx = F(x) + c .

332


De acordo com esta notação o símbolo

1 é chamado sinal de integração, f(x) .

função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. Da definição da integral indefinida, decorre que:

(i)

f (x) dx = F (x) + c F ' (x) = f (x).

(ii)f f (x) dx representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando).

Propriedades da Integral Indefinida

6.1.8 Proposição. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então:

(i)

J K f (x) dx = K J f (x) dx.

(ii)f

(f (x) + g (x)) dx = Jf (x)

g (x) dx.

Prova. (i) Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K flx). Desta forma, temos IKf(x)dx = KF(x)+c=KF(x)+Kc i = K [F(x) + c] = K Jf (x) dx.

(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente. Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]' = F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).


333

Portanto,

J(f (x) +g(x))dx = [F (x) + G (x)] + c = [F(x) + G(x)1 + c + c 2 , onde c = c i + c2 = [F(x) + c 1 ] + [ G(x) + c 2 ] = f (x) dx + S g (x) dx.

O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma dada função nós queremos descobrir a função. Podemos obter uma tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares.

6.1.9 Exemplos (i)

Sabemos que (sen

(ii)

Como (—cos

= cos x. Então cos x dx = sen x + c.

= sen O, então sen 8 d6 = — cos 6 + c.

(iii) J ex dx = eX + c, pois (e)' = ex. (iv)

(v)

X2/3

J

dt

dx =

3 x5/3 + c, pois (3/5 x5/3 )'= 5

—

= 2 ' + c, pois (2 Vi5' = 1/Nií .

X213 .

334


6.1.10 Tabela de Integrais Imediatas

c

(1) du

(2)

— = ln ru I + c

(3)

u a du —

J

f

u a +1 + c (a é constante —1) a+1

a" au du = a+c ln

(5);

e" du = e" + c

(6)

sen u du = — cos u + c

(7)

cos u du = sen u + c

(8)

sec 2 u du = tg u + c

(9)

s..

$ cosec 2 u du = — cotg u + c 5,..— k' „.K.,

(10) f sec

c/ = sec u + c

, >c d 1 ct5)' x cosec u cotg u du = — cosec u + c )

(11) (12)

(13)

du

— arc sen u + c '■1 1 — u2 du

.1 1 +

- arc tg u + c

Introdução à integração du (14) j . — are sec u + c u .\44 2 — 1 4's (15) S senh u du = cosh u + c

(16) J u du = .

cosh

senh u + c

(17) S sech2 u du = tgh u + c (18)

cosech 2 u du =

(19)

sech u • tgh u du =

—

cotgh u + c

—

sech u + c

At(20) f cosech u • cotgh u du = (21)

(22)

du J

du —1

(23)

u + -5,/u 2 + 1

+c

— arg cosh u + c = ln I u + 'Vu 2 — 1

+c

arg tgh u + c

du 1 — u2

=

(24)

(25)

du u

cosech u + c

arg senh u + c = ln

"\11 + u 2

f

—

—u 2

,

se lul < 1

arg cotgh u + c ,

se lul > 1

1

—

2

ln

1+u 1—u

+c

— —arg sech lu I+ c

du — —arg cosech lu I + c . u + u2

335

336


Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos calcular a integral indefinida de algumas funções.

6.1.11 Exemplos. Calcular as integrais indefinidas. (i)

5 (3x

2

+5+ -Cx) dx

.

'NA

Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais;temos

J

3x2 + 5 +

dx = 3 f x2 dx + 5 f dx + f x 1/2 dz X3

= 3 — + 5x +

3

x3/2

3/2

+c

2 = x3 + 5x + – x3/2 + c . 3

(ii)

(3 sec x • tg x + cosec 2 dx.

Temos, (3 sec x • tg x + cosec2 x) dx = 3 sec x tg x dx + cosec 2 x dx = 3 sec x – cotg x + c.

sec2 x dx . (iii) iii)

cosec x

Neste caso, temos sec2 x dx = i• 1 sen x dx = cosec x J cos x cos x

tg x • sec x dx = sec x + c .


(iv)

( 3 .•VX-2 + 1/3x) dx .

Temos,

f ( -‘172 + 1/3x)

=I jdx 3 x2 dx + j. 1/3x dx f

x2/3 dx + 1 dx 3 x

x5/3 1 + — ln lx 1 + c 5/3 3 3 x5/3 ln lx 1 + c 5 3 x4 + 3x 1/2 + 4

(v )

?Cic

V

dx .

Temos, • 1,,

3x4x + 3x- 1/2 + 4 dx 3 1— J .

( x4 3

-1/2

1r;

4

dx

(x 111. + 3x-516 + 4x 9 dx

x 11/3 dx + 3 .1' x-5/6 dx + 4 j. x-1/3 dx x 14/3 14/3

•

=

14

X

1/6

X2/3

+ 3 • 1/6 + 4 •2/3 + c

X1413 + 18x 1/6 6X273 + c .

337

•

338

•


1\ (vi) f 2[ cosx + -,- dx . Nx --

Temos, (

1\

2 cos x+ rNx

f 2 cos x dx +

dx

•

2 cos x dx + S x112 dx

= 2 sen x +

= 2 sen x +

2 e -

(vii)

F_dx

NX

X1/2

1/2

+c

+ c.

sen x 2

+ — dx

cos2 x X7

Temos,

f

2 ex -

sen x 2 2

+

cos x X

J 2 e dx - S

dx

•

sen x cos

2

x

2 dx

dx +

x7

21ex -I secx-tgxdx + 2 f x 7 dx s

= 2ex - sec x + 2 •+ c -6 = 2ex - sec x -

1 3x6

+ c.


339

6.2 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados. _

1.

X3

N

2.

3.

(ax4 + bx3 + 3c) dx

5.

(2x2

7.

'■/2y

dx

x3

10.

dx

dx2 x sen 'dt

8.

dy

dt

3

"\rx-

6.

1

9t2 + 11Nt3 1 ± x

4.

3)2 dx

.12y -

9.

f

—

3/2 + 3

J

x5 + 2x2 - 1

dx

X4

Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas.

f

x2 ± 1 x2 2 + 1 dx

sen x 1'

cos

J

2

x

\4/ 4 X ( et 2

x2

1

dx

)

-N/ 1 _

X2

dx

Á. 8x4 - 9x3 + 6x2 - 2x + 1

4 7

x2

X-

1

17. f — + "\it + -

19.

-

dx

-

- e -x) dx

t

dt

dx

cos O • tg OdO

20. f(t +

dt


340

21.

x-1/3 - 5 x

J

f sec 25.

27.

f

(cos a x + 1) dx

x2 — 1

J x2 J

29.

31.

2x

4

) dt

16t +

tg2 x cosec 2 x dx dt

J

26.

d + 1x

(et -

- 1/2) t"

— h et + cosh t) dt

22.

dx

O, constante. (a,2 a2 , a

'3N1 8 (t - 2) 6 (t + ) 3 dt

2

28.

ln x dx x ln x`-

30:

(x - 1) 2 (x + 1) 2 dx

onde n E z.

32.

Encontrar uma primitiva F, da função f(x) = x213 + x, que satisfaça F(1) = 1.

33.

Determinar a função f(x) tal que

5

f(x) dx = x2 +

2

cos 2x + c .

34.

Encontrar uma primitiva da função f(x) = — + 1 que se anule no ponto x = 2.

35.

Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade f( x) dx = sen x - x cos x -

1

+ c , determinar f (n/4).

36. Encontrar uma função f tal que f '(x) + sen x = O e ,ff0) = 2.


341

6.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Este processo é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificad-o como segue. Sejam flx) e F(x) duas funções tais que F ' (x) = f(x). Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos considerar a função composta F o g. Pela regra da cadeia, temos

[F(g(x))]' = F ' (g(x)) • g ' (x) = f(g(x)) • g '(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) • g ' (x). Temos, então f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c .

(1)

Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx e substituindo em (1), vem

f (g (x)) g ' (x) dx = f (u) du = F (u) + c. Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal forma que a integral obtida seja mais simples.

6.3.1 Exemplos. Calcular as integrais: (i)

\1-

1 2x + x2 dx ,s

Fazemos u = 1 x2 . Então, du = 2x dx. Temos, du 1 + x2 dx u

,1 1 1

r

342

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração = 111 114 +

C

= ln (1 +x 2 )+ c.

(ii)

sen 2 x cos x dx.

Se fizermos u = sen x, então du = cos x dx. Assim, sen 2 x cos x dx = Ju2du U3

=

3

-

+

C

sena x +c 3

(iii)

sen (x + 7) dx.

Fazendo u = x + 7, temos du = dx. Então,

J

sen (x + 7) dx =

J

sen u du

= - COS

U+C

= - cos (x + 7) + c.

(iv) f tg x dx.

Podemos escrever tg x dx =

sen x dx cos x


343

Fazendo u = cos x, temos du = — sen x dx e então sen x dx = — du. Portanto, tg x dx = r — du

du

u

— — ln lu I + c

= — ln I cos x 1 + c.

I

(v)

(3x dx — 5) 8

Fazendo u = 3x — 5, temos du = 3 dx ou dx = 1/3 du. Portanto, (3x d_x 5)8 .1* 1/3 du u8

1 1 u- 7 3 j. ir 8 du = 3 _ 7 + c

—1 +c. 21 (3x — 5) 7

(vi)

(x + sec 2 3x) dx.

Podemos escrever,

f (x + sec

2

3x) dx = f x dx +

J sec 3x dx 2

x2 — + f sec 2 3x dx . 2

J

(1

)

Para resolver sec 2 3x dx fazemos a substituição u = 3x. Temos, então du = 3dx ou dx = 1/3 du Assim,

344


J

1 1 sec2 u • — du = — sec2 u du 3 3

sec2 3x dx =

=

1

—

3

1 tg u + c = — tg 3x + c .

3

Substituindo em (I), obtemos X2 1 (x + sec 2 3x) dx = — — tg 3x + c .

2

du 2

u + a2

3

, (a O).

Como a O, podemos escrever a integral dada na forma

du1 f. u2 + u2 + a2

Portanto,

du 2 +1 a

•

Fazemos a substituição v = u a. Temos então, dv = 1/a du ou du = a dv.

du 1 f a dv u 2 + a 2 a 2 J v2 + 1

1f dv a -1 v2 1- 1 1 =— arc tg v + c

a

=

1 a

arc tg

—

a

+c.


r2

345

dx + 6x + 13 •

Para resolver esta integral devemos completar o quadrado do denominador. Escrevemos, x2 +6x+13 = x 2 +2•3x+9-9+13 = (x + 3) 2 + 4. Portanto, dx

dx

(x + 3) 2 +

x2 + 6x + 13

Fazendo u = x + 3, du = dx e usando o exemplo anterior, obtemos du + c u.. ± 22 — 12 arc tg 2

dx =

/ .x2 + 6x + 13

1

= — arc tg 2

x+3

2 +

c.

(ix) — 2 x+1

Neste caso, fazemos a substituição u = ou ainda, dx = 2 u du.

— 2 . Então, u2 = x — 2 ou x = u2 + 2,

Substituindo na integral, vem —2 x+1

dx

2 u2 + 2 + 1

u du

2 u2 du 2 u2 du u2 + 3 u2 + 3

346


Efetuando a divisão dos polinômios, temos —2

x+1

dx

—3

2 ( 1 + u2 3 ) du

du u2 + 3

2 [ du 3

1

du u2 + 3

= 2 u — 6 J.

6 .N13

arc=2u— tg

+ c

'‘1 3

6 •Ni x — 2 = 2 -■ix — 2 — arc tg +c.

(x) J .Nit2 - 2 t4 dt .

Escrevemos, 'Vt2 —2 t4 d = f t2 (1 — 2 t2 ) dt =

J

t

— 2 t2 dt .

Fazendo u = 1 — 2t2 , temos du = — 4t dt e então t dt =— du Assim,

.\it2 - 2 t4 dt

u1/2 — du

4

_—

4 u

1 u 3/2 — 1 4 3/2 4- c

1/2

du

— 2 t2) 3/2 +

C

.


6.4 EXERCÍCIOS Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. (x3 — 2) 1/7 x2 dx

(2x2 + 2x — 3) 10 (2x + 1) dx f

5

x dx

5x "‘/4 — 3x2 dx

.

.\1X —

f

1 1Ix2 + 2x4 dx

e i/x + 2

e t dt

1

et + 4

u

tg x sec2 x dx

sen x

11.

COS 5X

15.

1

ex cos 2 et dx

sen (50 — 7t) de

.

a + b tg 0

19(

10.

1

dx

15.

(e 2t + 2) 1/3 e 2t dt

2 sec 2 0

dy y` — 4y + 4

de

x2

dx

senil x cos x dx

2 sen x — 5 cos x cos x

cos X2 dx y 3i. arc sen dy

—y2

18.

(

).‘./ S

16dx + r2

sen 0 cosg O de

dx

347

348

21.

23.

25.

27.


ln x2 \, dx

x

f 'N/3 t

3 dx -I x2 - 4x + 1

+3

x-1

29.

f (sen

31.

f xe

33.

dx

4x + cos 27c) dx

3x2 dx

dt t

35.

+ t2 dt

4

22.

(e" + e-arf dx

24.

4 dx 4 xa + 20x + 34 est dx

26.

e2x +

3 dx x ln a 3x

28.

30.

( 2x2 1- x dx

32.

dt

(2 +

34.

ln t

.f (e + 2) 2x

5 e 2x dx

16

36.

8x \I1 -

f

e

2x2 dx

4 t dt

'‘/4 t2 + 5

37.

f 3 -cossenx x dx

38.

l' dv i 'i-v- (1 + 'Nfv-) 5

39.

5 x2 -V1 + x dx

40.

f x4 e- xsdx

41.

f t cos t

42.

5 8x2 16x3 + 5 dx

43.

1 sen 1/2 2 O cos 2 O dO

44.

5 seca (5x + 3) dx

2 dt


45.

sen O dO

•/ (5 - cos 0) 3

47. f (1 + e-at) 3/2 e-at dt , a > O

49.

r ,Ft - 4 dt

46.

$ cotg u du

48.

1 cos

50.

$ x (sen 2x

x

2

349

dx

3

+ 4x) dx

6.5 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,

[f(x) g(x)]' = f(x) - g ' (x) + g(x) • f ' (x)

o u, f(x) • g ' (x) = [f(x) g(x)]' - g(x) • f ' (x)• Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos

f (x) • g ' (x) dx = f [f (x) g (x)r dx - g (x) • f ' (x) dx, ou ainda,

f (x) • g ' (x) dx = f (x) • g (x) -1 g (x) • f ' (x) dx.

(1)

Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de integração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem ser representadas por uma única constante c, que introduziremos no final do processo. Na prática, costumamos fazer

u = f(x)

du = f ' (x) dx

350


e

v = g(x)

dv = g '(x) dx.

Substituindo em (1), vem

que é a fórmula de integração por partes.

6.5.1 Exemplos (i) Calcular

j x e-2x dx.

Antes de resolver esta integral, queremos salientar que a escolha de u e dv são feitas convenientemente. Neste exemplo, escolhemos u = x e dv = e -2x dx. Temos,

u= x

du= dx

dv = e-2x dx

v=

j e-2x dx =

1 e -2x .

2

Aplicamos então a fórmula

f udv=u•vivdu e obtemos

dx =

—1 2

e- 2x

—1 1 2

dx


351

Calculando a última integral, vem

x • e-2x dx —

1 2

1 xe——— e —+c.

4

Observamos que se tivéssemos escolhido u = C2x e dv = x dx, o processo nos levaria a uma integral mais complicada.

(ii) Calcular ln x dx. Seja u

x

du = llx dx v = dx = x.

dv = dx

Integrando por partes, vem

5 ln xdx = (ln x)• x — x•

1

dx

= xlnx—f dx x ln x — x + c.

(iii) Calcular x2 sen x dx. Neste exemplo, vamos aplicar o método duas vezes. Seja

u = x2 du=2xdx dv = sen x dx

v = sen x dx = — cos x.


Integrando por partes, vem x2 •sen x dx

= x2 (— cos x) — J(— cos x) 2x dx = —x2 cosx+2fxcosxdx.

A integral x cos x dx deve ser resolvida também por partes. Fazemos,

u =x

du = dx

dv = cos x dx

v = J cos x dx = sen x.

Temos,

x cos x dx = x sen x — J sen xdx. Logo,

j. x2 sen x dx =

cos x + 2 [x sen x — sen x dx] —x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c.

(iv) Calcular e ax sen x dx. Este exemplo ilustra um artifício para o cálculo, que envolve também duas aplicações da fórmula de integração por partes. Seja

u = e2x

du = 2 e2x dx

dv = sen x dx

v = sen x dx = — cosi.

J


353

Aplicando a integração por partes, vem

e21` sen x dx

e2r (- cos x) - f (- cos x) 2e2x dx —e2x COS X 1- 2 e2x cos x dx.

Resolvendo 1 e 2x cos x dx por partes, fazendo u = e 2x e dv = cos x dx, encontramos .

S

e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 [e2x sen x - f sen x • 2 e lt. dx]

= -e2x cos x + 2 e 2x sen x - 4 f e a' sen x dz.

(2)

Observamos que a integral do 2 membro é exatamente a integral que queremos calcular. Somando 4 f e2x sen x dx a ambos os lados de (2) , obtemos 5 1 e2x sen x dx = -e 2x cos x + 2 e2x sen x. .

Logo, e2x sen x dx =

5

(2 e2x sen x - e 2x cos x) + c .

(v) Calcular f sena x dx.

.r,

Neste caso, fazemos

u = sen 2 x

dv = sen x dx

du = 2 sen x cos x dx v = f sen x dx = - cos x. ,

C' s

ttik V --

-

354


Então,

J sena x dx = sen2 x (- cos x) -

- cos x • 2 sen x cos x dx

- sen 2 x cos x + 2 cos2 x sen x dx

= - sen 2 X

COS X —

COS

3X

2 + c.

3

6.6 EXERCÍCIOS Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. 1. $ x sen 5x dx

3. f

t e 4t dt

G 5

4.

ln (1 — x) dx

f x+1 (

)

cos 2 x dx

5. f x ln 3 x dx

6. i cos 3 x dx

7. f ex cos ";, dx

8. 5 \r x ln x dx

9.

cosec3 x dx

11. $ x cosec2 x dx

10. $ x2 cos a x dx

12. j. arc cotg 2x dx

Introdução à integração ln (ax + b) dx "■Iax + b

13. f e" sen bx dx

14.

15.

16. J 1n3 2 x dx

X3

— X2 dX

17. j are tg a x dx

18. 5 x3 sen 4x dx

19. f (x — 1) e' dx

20. f x2 ln x dx

21. f x2 ex dx

22. i arc sen ; dx

.

23.

(x — 1) sec2 x dx

25.

x"- ln x dx , n E N

26.

27.

ln (x + 1 + x2 ) dx

28.

x arc tg x dx

30.

x cose x dx

29.

31.

dx

J

(x+ 3)2 ex dx

33.

cos (ln x) dx

35.

seca x dx

J 24.

32.

34.

36.

e3x cos 4x dx

5

in(x2 +1)dx

J x

+ 1 dx

arc cos x dx

evx x3

dx.

355

356


6.7 ÁREA Desde os tempos mais antigos os matemáticos se predcupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por P n (Figura 6.1(a)). Seja A n a área do polígono P n . Então, A n = n A T , onde A T é a área do triângulo de base /n e altura h n (Figura 6.1(b)).

(a)

(b)

Figura 6-1

Como A T —

An = n •

In

•

2 h

n

e o perímetro do polígono P n é dado por p n = nin , vem

In hn pn h n

2

2

Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n + co, o polígono Pn toma-se uma aproximação do círculo. O perímetro p n aproxima-se do comprimento do círculo 2nr e a altura h n aproxima-se do raio r.


357

Temos, lim A n

n --)

2 icr r = — n r2 , que é a área do círculo. 2

Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos métodos da geometria elementar. Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b (ver Figura 6.2).

Figura 6-2 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos a = o x < x < < x.1-1< x. < ...< x n = b . Seja Axi = xi - xi_ 1 o comprimento do intervalo [x i_ 1 , xi ]. Em cada um destes intervalos [x i_ 1 , xi ], escolhemos um ponto qualquer c i . Para cada i, i = 1, (ver Figura 6.3).

n, construímos um retângulo de base Ax i e altura f(c i )

358


Figura 6-3 A Figura 6.4 ilustra esses retângulos nos casos n = 4 e n = 8.

Figura 6-4 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn , é dada por:

Sn = f(c 1 ) Ax i +1(c2) &2 +... +.ficn) An

=

fici) Axi . i

=1

Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).


359

Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada Az i , i = 1, n, torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área de S.

6.7.1 Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva y =flx), de a até b, é definida por A = Hm

n

flc i) A xi ,

máx A x. —> O i = 1

onde para cada i = 1,

n, c i é um ponto arbitrário do intervalo [xi_i , xi l.

É possível provar que o limite desta definição existe e é um número não negativo.

6.8 INTEGRAL DEFINIDA A integral definida está associada ao limite da definição 6.7.1. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia introduzida na seção anterior, temos a seguinte definição.

6.8.1 Definição. Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por

r

a

f(x) dx ,

é dada por fb flx) dx = lim a

máx Ari —> O

desde que o limite do 2° membro exista.

360


Se fb f(x) dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b]. a

s

Na notação b f(x) dx , os números a e b são chamados limites de integração a

(a = limite inferior e b = limite superior). Se f é integrável em [a, b], então Sb f(x) dx = a

f

f(t) dt = b f(s) ds , a

a

isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente. Quando a função f é contínua e não negativa em [a, b], a definição da integral definida coincide com a definição da área (Definição 6.7.1). Portanto, neste caso, a integral definida f(x) dx a

é a área da região sob o gráfico de f de a até b. Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim, em nossa definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior.

6.8.2 Definição (a)

Se a > b, então J(x) dx = —

r

f(x) dx ,

se a integral à direita existir. (b)

Se a = b e f(a) existe, então

f

a

f(x) dx = O .


361

É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas. O teorema abaixo, cuja demonstração será omitida, garante que elas são integráveis.

6.8.3 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b]. Propriedades da Integral Definida

6.8.4 Proposição. Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então k f é integrável em [a, b] e

Sb k f(x) dx = k

f f(x) dx a

a

Prova. Como f é integrável em [a, b], existe o lim

máx Ax.

O

i i

f(c ) Ax , =1

e portanto, podemos escrever

Sb k f(x) dx a

máx

lim

k f(c Axi

máx exi O

=. 1

n

k Az

= k

lim .

O=

ta f(x) dx .

(c. Axi

1

362


6.8.5 Proposição. Se f e g são funções integráveis em [a, b], então f + g é integrável em [a, b] e

r

a

„(x) ,g(x)1dx f(x) dx + g(x) dx. a a

Prova. Se f é integrável em [a, b] existe o limite fiC i ) ,\x , que é a fb f(x) dx .

lim máx Az. --> O

a

i = 1

Se g é integrável em [a, b] , existe o limite n

lim

máx Ax —> O

E =

g(c i) Axi , que é a fb g(x) dx . a

Escrevemos então,

fb + g(x)1 dx = a

lim

máxAxi-÷0 i=1

máx

Ç

a

lim

Cffci) + g(c) ) Ax i

f(c i) Axi +

O i = 1 máx

lim

O i=1

g(c i )

f(x) dx + g(x) dx a

Observamos que esta proposição pode ser estendida para um número finito de funções, ou seja,


r [Ti (x) + f2(x) + a

fi (x) dx + Sb f2 (x) dx

+ fn (x)] dx =

a

363

...

+ fb fn (x)dx a Vale também para o caso de termos diferença de funções, isto é,

fb [f(x) — g(x)] dx = r f(x) dx — a a

a

g(x) dx .

6.8.6 Proposição. Se a O i=r+i

i

f(x) dx + fb fix) dx a

c

Esta propriedade pode ser generalizada: "Se f é integrável em um intervalo fechado e se a, b, c são pontos quaisquer desse intervalo, então

fb flx) dx = S c f(x) dx + fb fix) dx ." a

a

c

A Figura 6.5 ilustra a proposição 6.8.6, para o caso em que f(x) > O. A área do trapezóide ABCD adicionada à área do trapezóide BEFC é igual à área do trapezóide AEFD.

Figura 6-5


365

6.8.7 Proposição. Se f é integrável e se f(x) >_ O para todo x em [a, b], então

Sb f(x) dx O . a

Prova. Como .Ac i ) O para todo ci em [xi_ 1 , xi ], segue que f(c i) Axi O . =1 Portanto, n

lim

O

MáXAXi -4

=1

.Ac i )A ^. O

e dessa forma f b f(x) dx O . a

6.8.8 Proposição. Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) g(x) para todo x em [a, b], então

.ftx)

dx r g(x) dx .

a

a

Prova. Fazemos I = r f(x) dx a

—

a

g(x) dx .

366


Devemos mostrar que 1 _^ O. Usando a proposição 6.8.5, podemos escrever 1 = Sb f(x) dx — jb g(x) dx a

a

= fb Ú(x) — g(x)) dx . a

Como f(x) g(x) para todo x e [a, b] temos que f(x) — g(x) O, para todo x e [a, b].

Usando a proposição 6.8.7, concluímos que I _^ O.

6.8.9 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], então fb f(x) dx a

Sb I f(x) dx a

Prova. Se f é contínua em [a, b], então a)

f é integrável em [a, b];

b)

I f 1 é contínua em [a, b];

c) I f 1 também é integrável em [a, b].

Sabemos que — I f(x) I f(x) I f(x) I . Usando a proposição 6.8.8, escrevemos

fb — ifix) dx fb f(x) dx r,fix)I dx . a

a

a


367

Pela proposição 6.8.4, vem

f

— b 1f(x) 1 dx 5 a

a

f(x) dx 5_ fb Igx) 1 dx . a

Usando a propriedade 1.3.3(i), segue que

a

f(x) dx

s

b f(x) dx a

Na proposição a seguir, cuja demonstração será omitida, apresentamos o Teorema do Valor Médio para integrais.

6.8.10 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], existe um ponto c entre a e b tal que

fb flx) dx = (b — a) f(c) . a

Seflx) O, x e [a, b], podemos visualizar geometricamente esta proposição. Ela nos diz que a área abaixo da curva y =f(x), entre a e b, é igual à área de um retângulo de base b — a e altura f(c) (ver Figura 6.6).

Figura 6-6 ■

. 368


6.9 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função contínua f: [a, b] —> I?, podemos calcular a sua integral definida

a

f(t) dt . Com

isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos que envolvem o cálculo da integral definida. Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma importante função auxiliar, como segue. Tomamos a integral definida ff(t)dt , a

fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior. Então, o valor da integral dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por x. Fazendo x variar no intervalo [a, b], obtemos uma função G(x), dada por

G(x) =

r

a

flt) dt .

Intuitivamente, podemoS compreender o significado de G(x), através de uma análise geométrica. Conforme vimos na seção 6.8, se f(t) _^ O, V t E [a, b], a integral

a

f(t) dt

representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b (ver Figura 6.7(a)). Da mesma forma,

G(x) =

f

a

f(t) dt

nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x (ver Figura 6.7(b)). Podemos observar que G(a) = O e G(b) nos dá a área da Figura 6.7(a).


369

Y=f

Y = f(t)

(a)

(b)

Figura 6 7 -

lição.

Vamos agora, determinar a derivada da função G(x). Temos a seguinte propo-

6.9.1 Proposição. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b]. Então a função G: [a, b] —> definida por

n

f(t) dt ,

G(x) = a

tem derivada em todos os pontos x E [a, b] que é dada por G ' (x) = f(x), ou seja,

dx

,fft) dt = f(x) .

Prova. Vamos determinar a derivada G ' (x), usando a definição G '(x) = lim G(x + Ar) — G(x) Ax Ax —> O

370


Temos, G(x)

=

r

a

f(t) dt ;

G(x + Ax)

=

r

+Ax

,f(t)dt ;

a

G(x + dx) — G(x)

= J

+Ax

f(t) dt

a

— J f(t) dt . a

Usando a proposição 6.8.6, podemos escrever

ix+Ax j a

f(t) dt

=

r

f(t) dt

a

+ r+Ax f(t) dt

e então, G(x + Az) — G(x) =

f(t) dt

a+Ax

J x

+

r

+Ax

f(t) dt

—

f

a

,fit) dt

flt) dt

Como f é contínua em [x, x + Ax}, pela proposição 6.8.10, existe um ponto x entre x e x + Ax tal que

rx+Ax

f(t) dt = (x + A x — x) f( x )

= f(x ) Ax -

■


371

Portanto, lim G(x + A x) — G(x) lim Ar -4 0

Ax o

=

f( ) A x Ax

Az —> O

).

Como x está entre x e x + Ax, segue que x x quando Ax —> O. Como f é contínua, temos lim f(x ) = lim f( x ) = f(x).

Ax —>

X -) X

Logo,

hm

G(. x + A x) — G(x)

Ax

— f(x) , ou seja,

G '(x) = f(x).

Observamos que quando x é um dos extremos do intervalo [a, b], os limites usados na demonstração serão limites laterais. G '(a) será uma derivada à direita e G' (b) uma derivada à esquerda. Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contínua num intervalo [a, b] possui uma primitiva que é dada por G(x) =

r

a

f(t) dt .

Outro resultado importante obtém-se da análise geométrica. Voltando à Figura 6.7, podemos dizer que a taxa de variação da área da Figura 6.7(b) com relação a t é igual ao lado direito da região. Podemos agora, estabelecer formalmente' o Teorema Fundamental do Cálculo.

372


6.9.2 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então

f f(t) dt = F(b)

— F(a) .

b

a

Prova. Como f é contínua sobre [a, b], pela proposição 6.9.1, segue que G(x) =

r

a

f(t) dt

é uma primitiva de f nesse intervalo.

Seja F(x) uma primitiva qualquer de f sobre [a, b]. Pela proposição 6.1.5, temos que F(x) = G(x) + C, V x E [a, b]. Como G(a) = ja f(t) dt = O e G(b) = Sb f(t) dt , calculando a diferença a

a

F(b) — F(a), obtemos F(b) — F(a)

= (G(b) + c) — (G(a) + c) = G(b) — G(a) = fb f(t) dt — O a

= r f(t) dt a

Observamos que a diferença F(b) — F(a) usualmente é denotada por F(t)

b

. Também escrevemos, a b

fb f(x) dx = F(x) a

= F(b) — F(a) . a


373

6.9.3 Exemplos. Calcular as integrais definidas: (i)

53 x dx .

1 Sabemos que F(x) = x2 é uma primitiva de f(x) = x. Portanto, 2 x dx _ 1 2 x2

(ii)

2

o

3

1

—

32 2

1

-

2

12 9 1 4 2 2

cos t dt

A função F(t) = sen t é uma primitiva de f(t) = cos t. Logo,

Jo

n/2

cos t dt = sen t

= sen —7t — sen O = 1. 2

o

(iii) (x3 — 4x2 + 1) dx .

o

Usando as propriedades da integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo, temos

(x3 — 4x2 + 1) dx =

1 O

x3 dx — 4 x 2 dx + dx

x4 4

o

—4

x3

3 4

o

1

+ x

1

o

= ( — — O) — ( — — O) + (1 — O) 4 3 = —1/12.

•

374


(iv)

1

1 x dx

0 X2

±

1

Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida /

x dx

x2 + 1 •

Para isso, fazemos a substituição u = x2 + 1. Temos então, du = 2x dx ou

x dx =

du

2

—

. Portanto, du/2

1 du

2 u

J u •

– 1 ln lul + c 2

1 ln (x2 + 1) + c . 2

–

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos

1.1

x dx

J0 x2 + 1

•

1

2

ln (x2 + 1)

1 = – ln 2 – 2 2

1

1

ln 1

In 2 .

Observamos que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudança de variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos limites de integração. Ao efetuarmos a mudança de variável fazendo u = x2 + 1, vemos que: x = O

u = 1;

x = 1

u = 2.

■


375

Então,

1 -I

x dx

2 du 1

2 du/2 1

—

2 1 u

o x2 ± 1 —

2

2

ln I u I

1

1 1 = — (ln 2 — ln 1) = — ln 2 . 2

(v) 12 x e -X.2 +1 dx . 1 Calculamos primeiro a integral indefinida 1= x e

2

x+1

du Fazendo u = —x 2 + 1, temos du = —2x dx ou x dx = -- • Assim, 2

= S eu — du — 1 s eu du —

—1

2 2

2

eu + c

1 c_x2 + + c . 2 Logo,

2 —1 x e - x + 1 dx — 2 .1

x2 + 1

2

—1 4C + 1 + 1 - 1 + 1 2 2

—

—1 e 3+ 2 2

6.10 EXERCÍCIOS 1.

2

Calculando as integrais / 1 = f x2 dx , 12 =

2

x dx

e 13 =

2

dx ,

obtemos // = 7/3, / 2 = 3/2 e I3 = 1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:

376


a)

12

b)

c-1) dx

d) 52 (3x + 2) 2 dx

c) 2 (x - 1) (x - 2) dx

2.

2x (x + 1) dx

1

Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:

a)

f

c)

3

(3X2 + 4) dx

1

$ 3(2x2 + 5) dx 1

-1 dx
x3 . Logo, A = J.° (x3 - x) dx + -1 o -1

=1 u.a. 2

O

(x - x3) dx

x2 x4 (— 2 — 4

1


387

Observamos que poderíamos ter calculado a área da seguinte forma: A = 2

O

(x - x3 ) dx =

1

2

-

u.a. ,

pois a área à esquerda do eixo dos y é igual a que se encontra à sua direita.

(iii) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x 2 - 1 e y = x + 1. As curvas y = x2 -1 e y = x + 1 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2 (ver Figura 6.17).

Figura 6-17 No intervalo [-1, 2], x + 1 _^ x2 - 1. Logo, A =

2

-1

f

[(x + 1) - (x2 - 1)] dx

2

-1 ( x2

2 = 9/2 u.a.

— X2 ± 2)

dx

2

+ 2x

388


(iv) Encontre a área da região S limitada pelas curvas y - x = 6, y - x3 = O e 2y + x = O. Devemos dividir a região em duas subregiões S 1 e S 2 (ver Figura 6.18).

Figura 6-18

No intervalo [- 4, O], a região está compreendida entre os gráficos de y=

x 2

e y= 6+ x (região S i ). No intervalo [O, 2], está entre os gráficos de y = x 3 e y = x + 6 (região S 2).

Se A l é a área de S 1 e A 2 é a área de S 2 , então a área A procurada é dada por A = A l + A 2'

Cálculo de A 1- • No intervalo [- 4 , O] , 6 + x - x . Assim, 2

-

A =

-4

[(6 + x) - (-x/2)] dx

J t) ( 6 -4

+

dx

2


o + 3x2

4

—4

= 12 u.a. Cálculo de A 2 : No intervalo [O, 2], 6 + x ?_ x3 . Então,

A = j.2 [(6 + x) — x3 ] dx O

2

6x +

x2 x4

2

4 ) o

= 10 u.a. Portanto, A = A l + A 2 = 12 + 10 = 22 u.a.

6.12 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitaria pelas curvas dadas. y2 = 2x e x2 = 2y

1.

x=1/2, x='■47 e y= x+2

3.

y=5—x2 e y=x+3

4.

y =

5.

y=1—x2 e y=-3

6.

x+y=3 e y+x2 =3

7.

x=y2 , y—x=2 , y2 e y=3

8.

y=x3 x e y=0

9.

y=e' , x=0 , x=1 e y=0

.

10.

x2 e y = 6

—

x = y3 e x = y

389

390


11. y=lnx , y=0 e x = 4

12. y=lnx , x=1 e y = 4

13. y = sen x e y = - sen x , x E [O, 2n]

14. y = cos x e y = -cos x, x e

3n 1 22

7G

[

- -

15. y = coshx , y=senhx , x=-1 e x=1

16. y = tgx , x=0 e y=1

17. y=e-x , y=x+1 e x = -1

18. y=sen2x , y=x+2 , x=0 e x=7"c/2

19. y=-1-x2 , y=-2x-4 20. y = cos x , y -

21. y -

22.

- 3 3 7t 4n x+ 5n 10 x E 2 3

1 1 - ,y= 2x+lex=-3 x - 11 ,y= x

1

x = y2 e y = - - x 2

23. y=4 -x2 e y = x2 - 14

y=rx e y=4

24. x=y 2 +1 e x+y=7

25. y= x ,

26. y = arc sen x , y = na e x = O

2 , x=-2,x=-2ey=0 27. y = 2cosh X

28. y=lx- 2 I e y = 2 - (x- 2) 2 29. y = - 1 , y= -x e x = 1. 30. Encontrar a área das regiões S1 e S2 , vistas na figura a seguir


391

CAPÍTULO 7 MAKRON Books

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

Neste capítulo, apresentaremos, inicialmente, alguns métodos utilizados para resolver integrais envolvendo funções trigonométricas. A seguir veremos a integração por substituição trigonométrica e a integração de funções racionais por frações parciais. Finalmente, abordaremos as integrais racionais de seno e cosseno usando a substituição universal e as integrais envolvendo raízes quadradas de trinômios do segundo grau.

7.1 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7.1.1 As integrais

f sen u du e f cos u du .

As integrais indefinidas da função seno e da função cosseno estão indicadas na tabela da Seção 6.1.9. Temos,

f sen u du =— cos u+ C e f cos u du -= sen u + C . 392

Métodos de integração

393

7.1.2 Exemplos. Calcular as integrais: (i) J (x + 1) sen (x + 1) 2 dx .

Usando o método da substituição (Seção 6.3), fazemos u = (x + 1) 2 . Então, du = 2 (x + 1) dx. Temos, + 1) sen (x + 1) 2 dx

(x

=

21 sen u du 1

= — — cos u + C 2 = — — cos (x + 1) 2 + C . 2

(ii)

o

cos (e 2x) dx .

Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida I = e2x cos (e2x) dx

Para isso, fazemos a substituição u = e 2x . Temos então, du = 2e 2x dx. Portanto, 1

=

— cos u du 2 1

= — sen u + C

1

= — sen (e2x) + C . 2

394


Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos f

o

cos (e2') dx =

2

sen (e2')

= 2 (sen e 2 - sen 1) .

7.1.3 As integrais 1 tg u du e ..

f cotg u du .

As integrais indefinidas da função tangente e da função cotangente são resolvidas usando o método da substituição, como foi visto no exemplo 6.3.1(iv). Temos, $ tg u du =

sen

J cos uudu

= - ln I cos u I + C = in I (cos u)-1 I + C = ln I sec u I + C ; e cotg u du =

cos u

f sen u

du

= ln I sen u I + C . 7.1.4 Exemplos. Calcular as integrais (i)

tg .■[:í dx f.X • .-


395

1 Fazemos u = c . Então, du — , dx . Temos, 2 •Nlx

f tg .N/lx (ii)

dx = 21n I sec

S cotg (ln x)

I + C.

dx .

Fazemos u =1n x. Então, du = llx dx. Temos,

r cotg (In x) x

dx = in I sen (ln x)1 + C .

7.1.5 As integrais sec u du e

cosec u du .

Nestas integrais usamos um artifício de cálculo para podermos aplicar o método da substituição. Na integral da secante, multiplicamos e dividimos o integrando por sec u + tg u. Temos, f sec u du =

sec u (sec u + tg u) du. sec u + tg u

Fazemos v = sec u + tg u. Então, dv = (sec u • tg u + sec 2 u) du. Portanto,

5 sec udu

dv

v = ln lv + C = In I sec u + tg u I + C .

396


Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por cosec u - cotg u. Temos, cosec u du

J

cosec u (cosec u - cotg u) du . cosec u - cotg u

Fazemos v = cosec u - cotg u. Então, cosec u cotg u - (- cosec 2 u)] du

dv =

(cosec 2 u - cosec u • cotg u) du. Portanto, cosec u' du =

dv v

= lnlvl+C = ln I cosec u - cotg u I + C.

7.1.6 Exemplos. (i)

Calcular as integrais

J sec (5x - n) dx .

Fazemos u = 5x sec (5x - ic) dx

\\

7L. Então,

du = 5dx. Portanto,

('

yn

1 sec u du 5

=

=

j,,`,,(\)(

-

1 ln sec (5x - n) + tg (5x - n) + C . 5

-


(ii)

397

3

d :6 sen 2 0

1

Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida í

d sen 2 0

Para isso, fazemos u = 28. Então, du = 2d0. Portanto,

1 send20

cosec 20 de

1 cosec u du 2

1

= — ln 1 cosec 20 — cotg 201 + C . 2 Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos n/3

r/3

d9 1 — ln cosec 2 8— cotg 2 8 4/6 se n 2 2

1 27t 27c = — ln cosec — — cotg — 2 3 3

1

= — ln 3. 2

n/6

-

2

cosec

IC Ir — cotg — 3 3

—

398


7.2 INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7.2.1 As integrais sen a u du e S cosa u du , onde n é um número inteiro positivo. Nestas integrais, podemos usar artifícios de cálculo com auxílio das identidades trigonométricas sen2 x + cos 2 x =1 sen2 x —

cos 2 X

—

1 — cos 2x 2

1 + cos 2x 2

3

visando a aplicação do método da substituição. Os exemplos que seguem ilustram os dois possíveis casos: n é um número ímpar ou n é um número par. Estas integrais também podem ser resolvidas com auxilio das fórmulas de redução ou recorrência, conforme veremos na Seção 7.2.11.

7.2.2 Exemplos. Calcular as integrais (i)

cos5 x dx .

Vamos inicialmente preparar o integrando para a aplicação do método da substituição. Observamos que o artifício que usaremos é válido sempre que n for um número ímpar. Fatorando convenientemente o integrando e aplicando a identidade (1), temos cos 5 x = (cos 2 x) 2 • cos x = (1— sen2 x) 2 cos x


399

= (1 — 2 sen2 x + sen4 x) cos x = cos x — 2 sen 2 x cos x + sen 4 x cos x.

Portanto, cos 5

x

dx

(cos x

—

cos x dx

2 sen 2 x cos x

—

2

J sen

2

x

+

sen4 x cos

cos x dx +

J sen

2 1 = sen x — — sen a x + — sen" x + C . 3

(ii)

5

f sen3 29 d0 .

Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, temos sen3 20 = sen 2 29 sen 20 (1— cos e 20) • sen 20 sen 20 — cos 2 20 sen 20. Portanto,

f sen 29 d0 3

=

J =

(sen 20 — cos 2 20 sen 20) d0 sen 20 d0 — cos 2 29 sen 20 de

1 1 = — — cos 29 + — cosa 29 + C . 2

6

x) dx

il

x

cos x dx

400


(iii) f seno x dx . Neste exemplo n é um número par. Na preparação do integrando, usamos agora as identidades (2) e (3). Temos, sen4 X = (sen2 )2

1 — cos 2x

,2

2 1 = — (1 — 2 cos 2x + cose 2x) 4

-""

1 4

1 — 2 cos 2x +

1 + cos 4x 2

3 1 = — — cos 2x + cos 4x . 8 2 8 Portanto, J seno x dx =

1 1 cos 2x + — cos 4x) dx

1 3 8 x — 1 =— — 4 sen 2x +

sen 4x + C .

Observamos que o raciocínio usado neste exemplo é válido para as potências pares.

7.2.3 A integral senm u cosa u du, onde m e n são inteiros positivos. Nestas integrais, a preparação do integrando deve ser feita visando à aplicação do método da substituição, da mesma forma que foi feito em 7.2.1 e 7.2.2.


401

Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar usamos a identidade (1) e quando os dois expoentes são pares usamos (2) e (3) e, eventualmente, também (1).

7.2.4 Exemplos. Calcular as integrais

(i)f sen x • cos x dx 5

2

Preparando o integrando, temos sen5 x cos 2 x = (sen2 x) 2 • sen x • cos 2 x = (1— cos 2 x) 2 • sen x cos x = (1 — 2 cos 2 x + cos4 x) sen x cos2 x = cos 2 x sen x — 2 cos 4 x sen x + cos 6 x sen x. Portanto, sen5 x cos 2 x dx =

(cos2 x sen x — 2 cos 4 x sen x + cos 6 x sen x) dx cos 2 x sen x dx — 2 cos4 x sen x dx + cos 6 x sen x dx 1 — 2 5 cos x — cos' x + C . cos" x + 31 5 —

(ii)

sen2 x cos4 x dx .

Preparando o integrando, temos

402


sen2 x cos 4 x = sen2 x • (cos 2 x) 2

1 + cos 2x

1 - cos 2x 2 =

1

2

2

(1 + cos 2x - cos 2 2x - cos a 2x)

1

- [ 1 + cos 2x 8 1

1

1 +co s 4x

= — - — cos 4x + 16 16

2 1

- (1 - sen2 2x) cos 2x

sen2 2x cos 2x .

Portanto, 1 1 f sen2 x cos4 x dx = f — - — cos 4x + - sen2 2x cos 2x dx 16 16 8 -

1 1 1 x sen 4x + sen a 2x + C .

16

64 4 8

sen4 x cos4 a x x, .

(iii)

Quando m e n são iguais, também podemos usar a identidade 1

sen x cos x = - sen 2x. 2

(4)

Temos, 4

sen4 x

COS

4

x = -2 sen 2x 1 = 16 (sen 2 24 2


1 16

---

-

64

403

1 — cos 4x \2

r

2

(1 — 2 cos 4x + cos e 4x)

1 (

1 — 2 cos 4x +

64

3 1

—

128

32

cos 4x +

1 +cos 8x

2 1

128

cos 8x .

Portanto, seno x cos o x dx

3 1 1 — cos 4x + cos 8x dx 128 32 1288

=

-

1288

1

sen 4x + sen 8x + C . 12 8 1024

7.2.5 As integrais tgn u du e cote u du, onde n é inteiro positivo. Na preparação do integrando, usamos as identidades tg2 u = sec 2 u — 1 e

(5)

cotg2 u = cosec 2 u — 1.

(6)

Os artifícios são semelhantes aos usados nas seções anteriores. Temos, tez u = tgn u tg2 u = tgn- 2 u (sec 2 u — 1)

• •

404


e cotg" u = cotg" -2 cotg2 u cotg" u (cosec 2 u — 1).

7.2.6 Exemplos. Calcular as integrais (i) f tg3 30 d0 . Preparando o integrando, temos tg3 30 = tg 30 • tg 2 30 tg 30 (sec 2 30 —1) -

tg 30 sec 2 30 — tg 30.

Portanto, tg3 30 de

(tg 30 sec 2 30 — tg 30) d0 •

(ii)

1 1 — tg2 30 + — ln I cos 30 I + C . 6 3

cotg4 2x dx .

Preparando o integrando, temos cotg4 2x

cotg2 2x • cotg2 2x •

cotg 2 2x (cosec 2 2x -1)


405

= cotg2 2x • cosec 2 2x — cotg 2 2x cotg 2 2x cosec 2 2x — (cosec 2 2x — 1) cotg2 2x • cosec2 2x — cosec 2 2x + 1. Portanto, cote 2x dx =

(cotg2 2x cosec 2 2x — cosec 2 2x + 1) dx

=—

1 1 cotg -2 2x + — cotg 2x + x + C . 6 2

—

7.2.7 As integrais seca u du e coses" u du, onde

n é inteiro posi-

tivo. Estas integrais, para o caso de n ser um número par, são resolvidas utilizando as identidades (5) e (6). Temos, n-2

secn x = (sec 2 x)

2 •

sec 2 x

n-2 2

= (tg X + 1)

2 •

sec 2 x

e n-2

COSeC n x =

(cosec 2 x) 2c osec 2 x n-2

= (cotg 2 x + 1) 2c osec 2 x . Quando n for ímpar, devemos aplicar o método da integração por partes visto na Seção 6.5.

406



cosec6 x dx .

Preparando o integrando, temos (cosec2 x) 2 cosec 2 x

cosec 6 x •

(cotg 2 x + 1) 2 • cosec 2 x

•

(cotg 4 x + 2 cotg2 x + 1) cosec 2 x

•

cotg4 x cosec 2 x + 2 cotg 2 x cosec 2 x + cosec 2 x.

Portanto, _r x dx = cosec 6

(cotg4 x cosec 2 x + 2 cotg 2 x cosec 2 x + cosec2 x) dx

= - - cotg5 5

(ii)

2

- cotg3 - cotg x + C . 3

seca x dx .

Nesta integral, vamos usar o método de integração por partes. Seja u = sec x

du = sec x • tg x dx

dv = sec 2 x dx

v =

sec2 dx = tg x .

Então, seca x dx = sec x • tg x - tg x • sec x • tg x dx


=

sec x • tg x

tg2 x sec x dx

=

sec x • tg x

(sec2 x

1) sec x dx

sec3 x dx +

sec x tg x

407

sec x dx

Adicionando sec a x dx a cada membro, obtemos 2 sec 3 x dx = sec x tg x + sec x dx = secxtgx+lnIsecx+tgx1 OU

f sec

3

1 1 x dx =2 sec x tg x + ln 1 sec x + tg x I -F C . —

—

7.2.9 As integrais f tg m u seca u du e cotgm u cosecn u du, onde m e n são inteiros positivos. Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar o método da substituição. Quando m for par e n for ímpar a integral deve ser resolvida por integração por partes. Os exemplos que seguem ilustram os diversos casos.


te x secó xdx.

Neste exemplo n é par. Podemos, então, preparar o integrando para aplicar o método da substituição. Temos,

408


te x sec 6 x = te x(sec 2 x) 2 sec 2 te x(tg 2 x + 1) 2 sec 2 x te x (tg4 x + 2 tg2 x + 1) sec 2 x tg 11 x seu se c2 X + 2 tg9

x sec2 x + te x sec 2 X.

Portanto, (tg 11 x sec 2 x + 2tg 9 x sec2 x + tg 7 x sec2 x) dx

tg7 x sec 6 x dx =

1 1 12 x + -1 tg 10 x + tg8 x + C . 12 tg 5 8

(ii) f te x sec5 x dx . Neste exemplo m é ímpar. Podemos, então, preparar o integrando como segue te x sec 5 x = (tg 2 x) 3 tg x sec 4 x sec x = (sec 2 x - 1) 3 seê x sec x tg x = (sec l° x - 3 sec 8 x + 3 sec 6 x - sec4 x) sec x tg x. Portanto, te x sec5 x dx =

c l° x - 3 sec 8 x + 3 sec 6 x - sec4 x) sec x tg x dx 1

11

3 7 1 secll x - 1 - sec 9 x + sec x - - sec5 x + C . 3

7

5

Observamos que, no exemplo (i), poderíamos preparar o integrando de forma idêntica à preparação do exemplo (ii), pois m = 7, isto é, m é ímpar. Os resultados seriam equivalentes.


(iii)

409

tg2 x sec3 x dx .

Reescrevendo o integrando, temos tg2 x sec a x dx = f (seca x — 1) sec 3 x dx (sec5 x — sec 3 x) dx

1

sec 5 sec

CLÃ.

j. seca x dx .

Recaímos em duas integrais que devem ser resolvidas por partes, como foi feito no exemplo 7.2.8(ü). Temos,

f

tg2 x sec3 x dx = f sec 5 x dx — f sec 3 x dx

1 1 = — sec a x tg x — — sec x tg x 4 8 1 — — ln I sec x + tg x I + C . 8 Observamos que as integrais sec 5 x dx e ; sec3 x dx também podem ser calculadas usando a fórmula de recorrência que será dada na seção seguinte.

7.2.11 Fórmulas de Redução ou Recorrência. O método de integração por partes pode ser usado para obtermos fórmulas de redução ou recorrência. A idéia é reduzir uma integral em outra mais simples do mesmo tipo. A aplicação repetida dessas fórmulas nos levará ao cálculo da integral dada. As mais usadas são:

1

n—1 sena u du = —1 sena - 1 u cos u +

senn-2 u du ;

(7)

410


1

j" cos a u du =

-

n

cosa 1 u sen -

u+

n-1 cos" u du ; n

(8)

1 secn - 2 u tg u + n 2 secn - 2 u du ; n - 1 n-1

secn u du -

cosecn u du -

-1 n-2 coses" -2 u cotg u + -1J COSeC n- 2 u du . n-1 n

(9)

(10)

Prova de (7). Seja u = senn-1 u

du* = (n - 1) senn -2 u cos u du

dv = sen u du

v

sen u du = - cos u .

Integrando por partes, vem sena u du = senn -1 u (- cos u) -

- cos u) • (n - 1) • senn -2 u • cos u du

= - senn -1 u cos u + (n - 1) S senn -2 u cose u du

= - senn -1 u cos u + (n - 1) 5 senn -2 u (1 - sen2 u) du

- senn -1 u cos u + (n - 1)

5

(senn -2 u - senn u) du

= - senn -1 u cos u - -1) senn u du

+ n - 1) senn 2 u du .


411

Somando (n - 1) 1" senas u du em ambos os membros, obtemos .

J senn udu=- senas

1

u cos u + (n - 1) senn -2 u du

O U,

senas u du =

-1

n

-

senn -1 u cos u +

n-1

n

senn-2 u du ,

o que prova (7).

7.2.12 Exemplo. Aplicar uma fórmula de recorrência para calcular a integral

f sen 2x dx . 5

Fazendo u = 2x, temos du = 2 dx. Então, sen5 2x dx = s en5 u du 2 -1

4

2[ 5 sen =

1

10

4 1* u cos u + - n3 u du] 5.

2 -1 — — se seno 1.£ cos ± n 5 3

n

2

cos u +

3

J

sen u du

1 2 4 sseno u cos u - — sen2 u cos u - — cos u + C 15 10 15

—

=

A

2

4

seno 2x cos 2x - — sen2 2x cos 2x - — cos 2x + C . 11 15 15

412


7.2.13 Integração de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes. As identidades trigonométricas

1

sen a cos b = - [sen (a + b) + sen (a - b)] 2 1 sen a sen b = - [cos (a - b) - cos (a + b)]

2

cos a cos b =

1 [cos (a + b) + cos (a - b)] 2

auxiliam na resolução de integrais envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes. Os exemplos seguintes ilustram alguns casos.

7.2.14 Exemplos. Calcular as integrais (i) J sen 4x cos 2x dx . Usando (11), vamos preparar o integrando. Temos, sen 4x cos 2x =

1 [sen 6x + sen 2x] . 2

-

Logo,

f sen 4x cos 2x dx

1 [sen 6x + sen 2x] dx

1 [

sen 6x dx +

j sen2xdx ]

•

• •


1 [ 1 2 6 •

(ii)

—

4[3

cos 6x) +

1

(— cos 2x)

cos 6x + cos 2x + C .

sen 5x sen 2x dx.

Usando (12), temos

S sen 5x sen 2x dx =

S [cos 3x — cos 7x] dx

12 [1 cos 3x dx — f cos 7x dx]

—2

1 [ 1 1

(iii)

3 sen 3x — 7 sen 7x + C.

—

—

cos 5x cos 3x dx.

Usando (13), temos cos 5x cos 3x dx

2 [cos 8x + cos 2x] dx 12 1

[f cos 8x dx + cos 2x dx]

1 [ 1 sen + 1 sen 2x + C 8x 2 2 8 4 4 sen 8x + sen 2x + C [

+C

413

414


7.3 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de uma integral. Se o integrando contém funções envolvendo as expressões N/a 2 — u2 , -\/a2 + u2 ou -siu2 — a2 , onde a > O , é possível fazermos uma substituição trigonométrica adequada. As Figuras 7.1 (a), (b) e (c) nos sugerem tal substituição.

a

a

(b)

(c)

Figura 7-1

(i) A função integrando envolve •a2 — u 2 .

Neste caso, usamos u = a sen O. Então, du = a cose dO. Supondo que 2

O —

2'

.\/(2 2

temos u2 =

.Va2 — a2 sen2

= Ja2 (1 — sen 2 O) = -ga2 cos e O a cos


415

(ii) A função integrando envolve -\/:4 2 + a2 .

Neste caso, usamos u = a tg O. Então, du = a sec 2 O dO. Supondo que —

71

2

4, temos que sec O = > 1 e portanto , 0 = arc sec ,

o

4, temos dx f x3 •\/x2 — 16

f'

1 1/x2 x — 4 16 arc sec + 128 4 x2

N

+C )

e para x < — 4, 1

x3 'N xdx 2 — 16

X

27z — arc sec + 128 4

L1 I X2 - 16

x2

■ 1 x 4 'si x2 — 16 — arc sec + 128 4 x2 onde C = — 7t + C 64

7.4 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 35, calcular a integral indefinida.

1.

i' Se 1 Nx r-

m dx

2. .1 cos x • cos (sen x) dx .

3. .

sen 2x

4. f x tg (x2 + 1) dx

5. (

cotg (1/x) dx

6. f sec (x + 1) dx

i

J cos x dx

•1 x2

7. f sen (cot + O) dt 9. f cos x • tg (sen x) dx

8. f 10.

x cosec x2 dx

f sena (2x +

1) dx


11.

J cos (3 — 3x) 5

dx

12. J 2x sen4 (x2 -1) dx

13.

e2x cose (e2' — 1) dx

14.

15.

sena (1 — 20) cos 3 (1 — 20) d0

16.

1 .; — tg, - (ln 0) d0

18. f tg 3

17.

19.

0

J cos

o x dx

sen2 x

21.

COS

4

X

dx

sena 20 coso 20 d0

S sen

19 (t — 1) cos (t — 1) dt

x cos4 x dx

20. f tg 4 x dx

22. 5 15 sen 5 x dx

15 sen2 x cos 3 x dx

24. f 48 sen 2 x cos 4x dx

6 3x dx cos

26. f

sen 3x cos 5x dx

28. i 2 .-- dx

29.

sen cot sen (mt + 0) dt

30 .

31.

seco t cotg 6 t sen 8 t dt

32.

33.

sec a (1 — 4x) dx

34. i cosec4 (3 — 2x) dx

23.

25.

27.

1

35.J

421

3 cose x sen4 x

5 cosa X sen4 x

dx

dx

5 x

tg3 ,six2

.‘1X2 — 1

x cotg 2 (x2 — 1) cosec 2 (x2 — 1) dx

36. Verificar as fórmulas de recorrência (8), (9) e (10) da Seção 7.2.11.

1 dx

422


37. Verificar as fórmulas: (a)

S tgn u du - 1-1

(b)

S cotg" u du = n -1 1 cotgn -1 u -

n

$ tgn 2 u du

u du

3n

38. Calcular a área limitada pela curva y = cos x, pelas retas x 7c e x = 2 2 39.

Calcular a área limitada por y = 2 I sen x I , x = O, x = 2n e o eixo dos x.

40.

Calcular a área da região limitada por y = tg 3 x,y= 1 ex= O.

e o eixo dos x.

41. Calcular a área sob o gráfico de y = cos 6 x, de O até n. 42. Calcular a área sob o gráfico de y = sen 6 x, de O até n. 43.

Calcular a área sob o gráfico de y = sen 3 x, de O até 7C.

44. Calcular a área entre as curvas y = sen 2 x e y

cos 2 x, de -1C até 4

3n 4

Nos exercícios de 45 a 67, calcular a integral indefinida. 45.

47.

dx x2„/„:2_5

.1

.

X3

1IX2 - 9

• f

dx

49. S X2 .‘i4 - X2 dx

5x + 4

51. i J

53.

5

dx

dt -‘19

- 16 ê

48. S (1 - 4 l2 )3/2 dt

50. f X3 -N/X2 -f- 3 dx

52. j (x +1) 2 "■Lc2 + 1 dx .

1 2+ X3 \X

.,

I '7 r5

vr + 16

dt

54. $ .,/ dx 6r ,e 2r + 1


55.

57

f r

x +1

58.

'511 + x2 dx 3 x3

60.

VX2 — 1

(6x + 5) dx

61.

f ‘14 — 2x dx e

-

dx

J

59.

56.

X2

"\12 — X2 dx

S 'N/x2x2— 1 dr

(x + 1) dx

J

62.

J

"\19x2 + 1

— x2 (x + 3) -Vx2

dx.

+ 2x

63.

f.\14

x2 dx

64.

f Jx2 — 4 dx

65.

f -V4 + X2 dx

66.

.{ (*Ni 1 + x2 + 2x) dx

67.

f

-

x2

sen x + -

\11 + x2

423

dx

Nos exercícios de 68 a 72, calcular a integral definida.

68.

70.

72.

dx

69.

O '`1 3x2 + 2 dt 4

f1 t

+t

2

dt (t — 1) 2 \i(t — 1) 2 — 9

fa/2b

o

71.

— b2 x2 dx, 0 O e o trinômio x 2 + x - 6 apresenta raízes reais r 1 = 2 e r2 = -3. Podemos, então escolher entre (1) e (3). Escolhemos (3) com r = 2. Temos, •Nix2 + x - 6

=

(x - 2) t

x2 +x-6

=

(x - 2) 2 t2

(x - 2) (x + 3)

(x - 2) 2 t2

x+3

(x - 2) t2 212 + 3 t2 - 1

x C

=

- 10t (t2 - 1) 2

e 1x2 + x - 6 =

r

212 + 3 12 - 1

5t t2 - 1

Substituindo em 1, obtemos

I

=

I

.

-10t - 1) 2 d (12 2t2 + 3 5t t t2 - 1 t2 - I

2

•t


=r

—10t

10r + 15t dt

j* — dt

t2 +

= —

2

1

+C

arc tg 2

2 f arc tg

■

'■/x2 + x — 6 2 x

+ C.

—

7.9 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 14, calcular a integral indefinida.

1. 3.

5.

7.

9,

11.

j

r (1 +

sen x) dx sen x (1 + cos x)

2.

dx J 1 + sen x + cos x

2 dx sen x + tg x

4.

5

dx 4 + 5.cos x

dx

6.

f

l — cos x

3 + cos x 1 + cos x dx 1 — sen x í

cos (2t — 1) dt 2 — cos (2t — 1) dx

4 sen ex — 3 cos

8.

10.

12.

dx

dx

3 + sen 2x dt

J 3 + sen t + cos t í cos 0 d 1 + cos

463

464

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração dx

13.

14

sen x + cos x

de

*J 4 — sen 9 + cos e

1 ' de x = O a x = — 27t 2 + sen x

15.

Calcular a área sob a curva y =

16.

Calcular a área limitada pelas curvas y —

1 1 , entre —7/ e — 7; e y — 2 — cos x 2 2+cosx

Nos exercícios de 17 a 33, calcular a integral indefinida. dx

17.

x "‘/5x — x2 — 6 dx

19.

x "\14x2 + x — 3

21.

_

23.

_

1) IX2 -

2x — 3

dx

25.

"`ix2 + 3x + 2

f

27.

dx

(2x + 1) .\ 14x2 + 4x dx

29.

(2x — 1) x2 — x + 5/4 dx

31.

33.

dx

x '‘Ix2 — 4x — 4

dx .3 — 2x —

(x + 4) "%/x 2 + 4x + 9 dx

20.

1/1 + x + x2 22.

J x .2 + x—

dx

18.

5

x+1 ,

r — 'N/1 + x + x2

24.

i

2x2 \11 + x + x2

26.

dx

"\ix2 + 2x — 3

dx

28

9x2

+ 12x + 5 dx

30. x

32. f

dx

(2x + x2) . \ i2x + x2

x

x + 3

'‘ix2 + 2x

_3

dx

dx

s3)

CAPÍTULO 8

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K\

\

APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

No Capítulo 6, estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo de área de regiões planas. Neste capítulo, outras aplicações da integral definida serão discutidas.

8.1 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA A representação gráfica de uma função contínua y = f(x) num intervalo [a, b], pode ser um segmento de reta ou uma curva qualquer. A porção da curva do ponto A(a, .ffa)) ao ponto B(b, f(b)) é chamada arco (ver Figura 8.1). AY

y = f(x)

b

X

Figura 8-1 465

466


Queremos encontrar um número s, que intuitivamente, entendemos ser o comprimento de tal arco. 8.1.1

O gráfico de y = f(x) num intervalo [a, 11] é um segmento de reta. Neste caso, observando a Figura 8.2, vemos que s

= -\/(b — a) 2 + (f(b) — f(a)) 2 . AN,

B

f(b) f(a)

a

b

X

Figura 8-2

8.1.2

O gráfico de y = f(x) num intervalo [a, b é uma curva qualquer.

Sabemos da Geometria, que o perímetro de uma circunferência é definido - como o limite dos perímetros dos polígonos regulares nela inscritos. Para outras curvas, podemos proceder de forma análoga. Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f é contínua e derivável em Queremos determinar o comprimento do arco da curva C, de A até B (ver Figura 8.3). [a, b].

Seja P a

uma partição de [a, b] dada por

= x0 < x 1 < x2 <

Figura 8-38 A Figura 8.39 mostra diversos pares de coordenadas polares do ponto P. Podemos observar que este ponto pode ser representado por todos os pares ordenados da forma r

re

3 , 6 + 21c7t),k e Z

k

OU,

77c -3, — + 21c7t , k e Z.

6

[

Aplicações da integral definida

P

7n 9 = 6

P .. ,k- - O= 31n

0_19n > A

O (k (k = O)

O ,À"

P

k'

P

, -•

,,t''

..

0, ,'' ''

-

o = -57c

6 2) (k = -1)

= (k= 1)

509

A

> o = -17 n A

6

(k = -2)

Figura 8-39

8.8.2 Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares e o Sistema de Coordenadas Polares. Em várias situações, surge a necessidade de nos referirmos a ambas, coordenadas cartesianas e coordenadas polares de um ponto P. Para viabilizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual O = n/2 com o eixo positivo dos y (ver Figura 8.40). A

Y

=2 A

O

Figura 8-40

510


Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, e), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante. A Figura 8.41(a) e (b) ilustra o caso para r > O e r < O, respectivamente.

(a) r >

O

(b)r O, temos cos 8 = x e sen 8 = r

r

(ii) Para r < O, temos cos =

— x

x

—y

r

—r

— e sen O

Portanto, x = r cos y = r

O

sen .

(1)


511

Pode-se verificar a validade das relações encontradas, no caso em que o ponto

P se encontra sobre um dos eixos ou num outro quadrante.

Usando (1), podemos deduzir outra relação muito usada. escrever

Elevando ambos os membros das equações em (1) ao quadrado, podemos x2 = r2 cos2 y2 = r2 sen2 e . Adicionando membro a membro, obtemos: x2 + y2 = r2 cos 2 e + r2 sen 2 O ou x2 + y 2 = r2 . Portanto, r = ± -Nix2 + y2

.

8.8.3 Exemplos (i) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são (— 4, 77t/6). Solução. A Figura 8.42 ilustra este ponto.

Figura 8-42

512


Temos,

x = r cos O

e

7 n = — 4 cos 6

y = r sen = — 4 sen

7 ic 6

-‘&

——4

—4E1 2

2

= 2 ■F3 -

--

Portanto, (2 ï, 2) são as coordenadas cartesianas do ponto dado.

(ii) Encontrar (r, 9), supondo r < O e O 5_ 9 < 27c para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são ('J, —1) . Solução. A Figura 8.43 ilustra o ponto P.

Figura 8-43


513

Temos, •

—"gx2 + y2 = —\1 3 + 1 —2 ;

•

O=

—— r _ 2 2

1 1 sen O = — r — 2 2•

Portanto, O =

5 7c

6.

8.8.4 Gráficos de Equações em Coordenadas Polares. O gráfico de F(r, O) = O é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita, isto é, ✓ f(0). Na prática, os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico: (i)

calcular os pontos de máximos e/ou mínimos;

(ii)

encontrar os valores de O para os quais a curva passa pelo pólo;

(iii) verificar simetrias. Se, — a equação não se altera quando substituirmos r por — r, existe simetria em relação à origem; — a equação não se altera quando substituirmos O por — O, existe simetria em relação ao eixo polar (ou eixo dos x); — a equação não se altera quando substituirmos O por It — 9, existe 7r simetria em relação ao eixo O = — eixo dos y). 2


514

8.8.5 Exemplos (i) Esboçar a curva r = 2 (1 — cos O).

Como a equação não se altera ao substituirmos O por —O, isto é, r = 2 (1 — cos 0) = 2 (1 — cos (— 0)),

concluímos que existe simetria em relação ao eixo polar. Logo, basta analisar valores de 0 tais que O 5_ O 7t. Para O O 5. n, encontramos um ponto de máximo (4, n) e um ponto de mínimo (O, O). Observamos que, considerando r = f(0), os pontos de máximos e mínimos podem ser encontrados de maneira análoga aos da Seção 5.7. A Tabela 8.1 mostra alguns pontos da curva, cujo esboço é mostrado na Figura 8.44. Tabela 8.1 O

r

o

o

lt

1

3 2 2n 3

3

lt

4

Figura 8 44 -

(ii) Esboçar a curva r = 2 cos 20.

Analisando as simetrias, temos que (a) A curva é simétrica em relação ao eixo dos x, pois r = 2 cos (-20) = 2 cos 20.


515

(b) A curva é simétrica em relação ao eixo dos y, pois r = 2 cos [2(7c — 0)] = 2 cos (27t — 20) = 2 cos 20.

Logo, basta fazer uma tabela para O 5 O 5 7c/2. Em O ^. 0 5 —Tc , a curva passa pelo pólo quando 0 = —Tc , pois 2 4 7Z

r=f

\

4 )

Te = 2 cos — = 2 cos 2 • — Tc = 0 . 4 2

Podemos ainda verificar que, para O O — Tc , temos um ponto de máximo 2 (2, 0) e um ponto de mínimo (— 2 , 7t/2) . Usando a Tabela 8.2 e os resultados anteriores, esboçamos a curva vista na Figura 8.45. Tabela 8.2

O

r

o

2

7C

6 rc 4 7C

3 7C

2

—2

Figura 8-45

516


8.8.6 Algumas Equações em Coordenadas Polares e seus respectivos Gráficos. (1) Equações de retas. (a) 0 = 0 ou O = 0 0 ± nn, n e Z é uma reta que passa pelo pólo e faz um ângulo de ° 0 ou 0 0 ± mu radianos com o eixo polar (ver Figura 8.46).

Figura 8-46

(b) r sen 0 = a e r cos 0 = b, a, b E I?, são retas paralelas aos eixos polar e 7c/2, respectivamente (ver Figura 8.47). 7C

2

A

a A

a

[r sen 0= a, a0] Figura 8-47


517

2

A

b

A

[r cos 0= b, b>0]

b

A

[r cos 0= b, b O, o gráfico está à direita do pólo; — se a < O, o gráfico está à esquerda do pólo (ver Figura 8.49).

5 18


[r= 2a cos e, a0] Figura 8-49

(c) r = 2b sen O é uma circunferência de centro no eixo o eixo polar:

2

—

e que tangencia

— se b > O, o gráfico está acima do pólo; — se b < O, o gráfico está abaixo do pólo (ver Figura 8.50).

2b sen O, b>0]

[r 2b sen O, b a, então o gráfico tem um laço (ver Figura 8.51);

[b>al

r = a + b sen 0

r = a - b sen 0 [b>a]

Figura 8-51 — se b = a, então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como Cardióide (ver Figura 8.52);

520


r. a(1 + cos

a(1 - cos

r= a(1 + sen O)

r= a(1 - sen

Figura 8-52

— se b < a, então o gráfico não tem laço (ver Figura 8.53).


521

[b O

espiral de Arquimedes;

r = eae

espiral logarítmica;

r2 = O

espiral parabólica.

(c)

(d)

4

As Figuras 8.57 a 8.60 ilustram estas espirais.

r0 = a (0>0)

r0 =a(6 2

+ 3

25.x-1

SEÇÃO 2.16 5. f (x) = x +

3

3

6. a) par

b) ímpar

c)

não é par nem ímpar

d) Par

e) par

f) ímpar

g) não é par nem ímpar

h) par

i) ímpar

j) ímpar

30. a) [-1/3, 1]

U

b) 1 x 100

nn,nrc + 1-c l

2

nE Z

CAPÍTULO 3 , SEÇÃO 3.6 1. a) —1/

b) 3" c) -.

IV

2. a) 0/

b) O'

c) 0

3. a) O

b) 0,

c)

4. a) 0,

b)

0- d)

ci) —1.

A3

e) 3

+°°7

e)

—oof

f) 4 < e) 1,

588


5. a) +.

b) 1/2

c) 3

8. 0,005

9.

15. 3

16. 8 - 21. 6/5

20. 4096 25. -1

30.

0,166 ...

-■F2-

2

d) 1/2

10. 0,1

11. 1

12. 0,75

17. 9

18. 8

19. 27

22. 5/4

23. 2

24. 5

3

26. 9 /2

27. N11

31. 2

32. e 4 ' + 16

3

28.

23 Z

29.

33. 11 7/3

34.

2'N[2-- -

1

3 senh 2 4

SEÇÃO 3.8 1.

a) 2'

c) 2

b)

2.

3.

4. a) 2 9.

a) -

10. a) 5

b) 2

a) O'

c) 2

c) 0

b) O' 5. b) 1,-1 e A/

c) 0,

b) 1

e) 8--

d) 8

-e) 3

d)

b) 10'

c) 0

b) -1/4

c) 8/3

7.

7t

2

e

- 7C

2

g) O/

.f)

d) 10_

e) O

SEÇÃO 3.10 1. a) 12 2. -3/2 1 5 . 7.

1

d) 17

3.

O

4.

1

8.

-4/5

9.

-2

e) -1/9

7/2

f) 12' 6. a + 1'

10. 4

11. 1/8,

12. 32

13. 8

14. 3/10

15. b/2a

16. 1/2

17. -1

18. 1/12

19. -1/2

20. bl a

‘. 1/3 '3Nic7

24. -1/3

1

22. 4/3 23. 1/9 2 5.

589

Respostas dos exercícios

SEÇÃO 3.13

3.

b) 0

b) 1/6

1.

4.

+0.

2

O

5.

8.

O

6.

7.

1/2

10. -5/7

11. +.0

12. '0

13. +.0

14. 2/3

15. +00

16.( 1

17. -1

18. O

19.-1/2

20. +00

21. 10/3

22.

23. O

24. -1

25. -

26. +00

27.

28.

29. -1/2

30. 1/2

31. +00

32.

+00

34. -.

35. -Fee

36. -00

37. -00

38. +.0

39. +00

40. +.0

33.

2---

- 00

"3\13/2

SEÇÃO 3.15 1.

9

2.

4/3

3.

10/7

4.

alb

5.

6.

1/8

7.

1/64

8.

O

9.

1/2

10. -1/7t

11. 2/7

12. 5/2

13. -1

14. e

15. e 2

16. 1/e

17. e

18. e

19. e

20. e l.°

21. In 10

22. 2/5 1n 2

23. 25 ln 5

24.

25. b - a

26. a

27. 1

1 20

SEÇÃO 3.17 1.

b) c) d) e) i) são contínuas;

2.

a) -1

4.

a) -8/3

5.

a) 3, -7

b) 3

c) 3 b) 1

b) xe (3,6)

a) f) g) h) j) não são contínuas

d) -3 e -2

e) O

f) 3

g) 1

h) 3

c) 2 7C

7 7c

6

6

c) x = -- + 2kit , x -

+ 2kn , k E Z

d) 3

590

Cálculo A— Funções, Limite, Derivação, Integração

CAPÍTULO 4 SEÇÃO 4.6 1. a) 2x — y — 2 = O ; y = —1 ; 2a x — y — a 2 — 1 =

o

b) 5x+y-5=0;x—y+ 2 = O

c)

8x + 4y + 3 = O ; (6a — 5) x — y — 3a 2 = 0

d) 9x+y-6 = 0;x+ 9y-6 =O e)

x + (2 + a) 2 y+4+a=0;x+ (4 — a) 2 y — 8 + a = O

f) x= O ;x—

y + 3 =O ;x—Niy+a=0

2. a) x+2y-1=0;x=0;x+2ay-2a 3 +a=0

b) x-5y+ 51= 0;x+y-6=0 c)

x — 2y — 4 = O ; x — (5 — 6a) y — 18a 3 + 45a 2 — 26a = O

d)

3x — 27y + 80 = O ; 27x — 3y — 80 = O

e) (2 + a) 3 x — (2 + a) y + 2 (2 + a) 3 —1 = ; (4 — a) 3 x — (4 — a) y — 4 (4 — a) 3 + 1 =0 f) y= O ; .N&x+y— 5 .\& = O ; '‘ia.x+y— 2 -‘íií —a"■=0 3.

4x+ 4y-5=0

5. 3 Vix— 3 .N&y— 3 6. a)

4

8. a)

2 =O; 3 -jx— 3 .Viy— 3+ 2 =O

b) 8

7. a) —8x

e)

c) —1 b)

4x — 1

(x —1) 2

+ 2x — 2

b)

cl) —1 c)

—1 (x + 2) 2

e) 2/15 d)

—4 (x + 3) 2

1

—1 (2x — 1) \i2x — 1

—

6x+y+ 3= 0;x-6y+56=0

4.

f)

—

rx

—

2—

1

c)

3

3 '4(x + 3) 2

2 (x — 1)4

ar)

—4 (x — 1)2

Respostas dos exercícios 4x3 - 8x2 + 4x - 1 (x - 1) 2

e)

11. a) (3/4, A..)

-1 - 8x (x - 1) 2 (x - 1) 2

fl

591

-4x g) x - 1

b) (-00, 3/4)

SEÇÃO 4.9 1.

f ' (3 + ) = 2 ; f '(3) = -2

2. f ' (1 + ) = 2 ; f ' (1 -) = 1

3.

f ' (-2 + ) = 2 ; f'(-2-) = -2

4. f'(-1 ± )= 0 ; f ' (-1 -) = 2 ;f'(1 4") = -2 ;f'(1 -) = O

5. f '(-2 4") = O ;n-r) = 4 ;f '(2 ÷ ) = 2 ; f '(r) = o

6.

é contínua

b)

c) 2 ; -2 ; 2 ; -2

2x , se lx1 < 1 ,

d) f '(x) {

-2x , se lxl > 1 , D = R

-{ 1 , 1}

SEÇÃO 4.11 1. 27c r

4.

3

2x4

7. -27x8 + 30x4 + 4x3

2. 6x + 6

3. 2 a w

5. 18x 2 + 6x + 12

6. 14x + 27

8.

- 20 (5x - 3) 2

9. 2x

10 (s2 - 1) (3s - 1) (15s 2 + 2) + 3 (s 2 - 1) (5s 3 + 2s) + 2s (3s - 1) (5s 3 + 2s) 11. 7 (2a x + b)

14.

17.

2 (t + 1) 2

-x2 + 8x - 5 (5 - x2)2 (2x

12. -24u 2 + 8a u + 2a

15.

18.

-

3t2 - 6t - 4

13.

-14

(3x - 1) 2

- t2 + 4t - 2

16. ,, (t - 1) 2 t' - 4t + 4 -24

6x3 + 27x2 + 36x + 12

1 9. 2) 2 (x

+ 2)2

-

592


10. t2 - 2bt - a2 + 2ab

- 12 25 21. (t - b) 2 x5 x6

22. 2x3 - 17 26. 1 lx + 49y + 4 = O

24. A = B = 1/2

25. 4t + 1

27. x + 64y - 1026 = 0

28.x-y- 2'Nii+ 2 = O ;x-y+ 2 +

29. (2, 2/3) ; (1, 5/6)

•

30. a = 3 ; b = 2

SEÇÃO 4.15

3

0 (2x5 6x_3)4 (5x4 - 9x-4)

2.

1. 100 (3x 2 + 7x - 3) 9 (6x + 7)

4. 60(3x2 + 6x) 9 (x + 1) +

(bx- + ax) 2 (2bx + a)

3.

-

5.

(7t2 + 60 6 (3t - 1) 3 {12 (7t 2 + 6t) + 7 (3t - 1) (14t + 6)]

a

6. (5x - 2) 5 (3x - 1) 2 (135x - 48)

8.

8 (2x - 5) 3 -

7. 3

1 9. 2 'srx + 1) 2 1

1 10. 3 (4r - 5t + 2) -4/3 (8t - 5)

21

12. - - X2 (3x + 10

13.

6/5 + 7x (3x +

11.

(7t + 1) 2 (-14ê - 4t + 21) (2t2 11_ 3)4

3i

4 (x + 1)

N3x2 + 6x - 2 3x - 2 (3x - 1) '\13x - 1

1)-" + (3x + 1) -1/2 2

-3 14. 12e 3x2 + 2 (t - 1) 3/2 (2t + 1)1/2

16. ,- 17. 23x2 + 2 Nx 19. 6 [(7s 2 + 6s - 1) 2 (7s + 3) - e-3s ] *P.

x3

6x

6x + 7

(x + 1)

15. -

1 8.

6 (x + 1) 1n 2

20.

- 2t2 e t2

-

t2

t2 - 1

1

3

3

e -x

2111 2x

1n 2


et 22. -\ é 1- 1 23. et - 1 (et + 1) 2

21. e t/2 (1121 2 + 9/2t + 5)

9

4.

27.

2bx2 - a

25.

LIX

log3 e

26.

2 (s + 1)

2x

2

+4

593

log e 2

7x ,

7 x` - 4

- - 2 2 28. x (x + 1) 1 - X2

3 (In a) x a - ct3x (6x - 6) ln b .79. 3 b3x2 - 6x

30.

i

a b

\-j

, \ 1 a ln .b • 2'4

31. 2t (2t + 1) 12-1 In (2t I- 1) + 2(2t + I) ? -2 (t2 - 1)

ln (ex2 + 4) 2

32. (e" +

33.

1

+ 2x .NU (ex2 +

b (a + bS) in + bs) ln (a + bs)

a + bs

35. sen[ 7-c - u 2

1 e X2

34. 2 cos (2x + 4)

36. - 2 sen (20 2 - 30 + 1) (40 - 3)

37. 4 cos 02 cos 20 - 40 sen 20 sen 0 2 38. - sen 2 a 39. 3 sen 2 (3.? + 6x) cos (3x2 + 6x) (6x + 6)

40. O

41. 6 sec2 (2x + 1) + 2 i,rx 42. -16 (2s - 3) cotg 3 (2s - 3) 2 cosec 2 (2s - 3) 2 43.

1

6x sec2 x tgx - 3 sec2x

- 2 cos x

4 4. x2 sena

45. e 2x (2 cos 3x - 3 sen 3x)

46.

x

cos (x + 1) - sen (x + 1) ex

594


47. 6 02 cosec 2 03 cotg 0 3 49.

— ab sen bx

48. —sena cos 2 2

3

COS

X —

2

sen

50. — 2 tg t

2 .Nicos b x

3 + 2 sen 2x log2 e 3x — cos 2x

51. 2u 2 sec 2 u tg u + 2u tg 2 u

52.

53. _ acotg6 ln a cosec 2O

54. — 4 sen 2t e 2e 's 2t

55.

2 arc sen x 11— x2

56.

—2 19 — 4x2

57.

— 3t + arc cos 3t -\11 — 9t2

58.

1 s +1 s , — arc sen 2 s + 1) 2 CÍ4 —

59. — 1

61.

63.

2x

60

,

1

2x . x4 — 2x2 + 2

62. 2 cosh (2x — 1)

—1

— 2t2 + 2t arc cosec (2t + 3) 12t + 31 "\/(2t + 3) 2 — 1

64. 2t tgh (t 2 — 1)

65.

66. 16t (4t2 — 3) sech 2 (4t2 — 3) 2

67.

68.

69.

—

x cotghx — ln (senhx)

x2 — (t + 1) cosech2 (t + 1) 2

'Vcotgh (t + 1) 2

— sech (ln x) tgh (In x)

3

cosech

71. arg cosh x

3x + 1 \

3

cotgh

70.

72.

2 arg senh x

+1 4x 4 — x4

2

Respostas dos exercícios (x + 1)

2,x2 - 2 74. + arg cotghx

73.

b)

76. a) f'(x) = - e' , x > 0

r •

77. - 1 90. a)

78.

7t (2k + 1) 4

2x arg coshx2

, + arg sech2x 75. "\11 - 4x2 '‘ix4 -

1 - x4 x

1

2 eix- 1 , x > 1/2

4

c) f '(x) = 4x - 3

3 + 2 436

kEZ

- 2 e 1 -2x , x < 1/2

79. 1- x

b)kn,kEZ

SEÇÃO 4.20 1. y v = O

-3

4. y

3. y (10) = o

5. y iv 24

6. y '" = 8 e2x 4" 1

8. y " =

ex

1 , 10. y = sen 2

12. y„ =

18. a)

2. y"' = 6a

(x - 1) 5

7. „iv = 1

-x2 y

-1

2

e) -1

19. retas tangentes: x -

9. yvii = - a7 cos a x

X2

11. y "' = 2 sec 4 x + 4 sec 2 x• tg 2 x

13. a) sen x

2x (1 + X2) 2 b)

3x2

-

x2 + 2y

sec2 Y y - x

b) cos x

2xy1 c) -

g)

595

1 eY - 1

y+2=0 e x + 4-3- y + 2 -= O

retas normais: .N&x + y - 2 4í = O e -\1x - y - 2

=0

- y3 3xy2 + 4y3 + 1


596

3 23. a) - t , t > O

21. (1/8 ; - 1/16)

b) - cotg 2t , t c (0, n/2)

d) - tg t , t (- n/2 , 0)

c) - 4/3,cotg t , t (n, 2n)

.

3 e) 2 t2 , t e R

f) - tg t , t E (O, n/2) u (n/2 , n) 24. 2y + 3x - 6

= O

26. a) 3 (dx) 2 b)

25. 2 "■& x - 2y + •■& = 0 ;x+ -\13- y- 1 =0 . 2Ax

+ x +

A x -

'Cr

3Ax 3 A x c) (2x + 2 A x - 1) (2x - 1) (2x - 1)2

27. a) -0,000998 ; -0,001

b) -0,118 ; -0,12

c) -0,078 ; -0,075

28. a) 7,071

b) 3,9895

c) 1,906

b)

c) 10x cos (5x2 + 6) dx

29. a)

6x - 4

3x2 - 4x

dx

32. 60000 cm 3

ex

34. 11,3097 cm3

33. 0,0044209

35. + 24.000 m 2 36.

2,5%

CAPÍTULO 5 SEÇÃO 5.3 1. a) 16 + 2b + h mis d) 22 m/s

b) 22,1 m/s ; 22,01 m/s ; 22,001 m/s

e) 16 + 2t m/s

e) 2 m/s 2

-b + c 4

2b

2.

a)

3.

a) -16 m b) 3 m/s ; O m/s ; -9 m/s ; -24 m/s c) OIII„2 ; _6 nils 2 ; 12 m/s 2 ; -18 m/s2

4. - 4,9 m; -9,8 m/s e -19,6 m; -19,6 m/s

b)

t-3

597


5. a) 54 gramas/dia

54,5 g

b)

c) 24,4 gramas/dia

7. -c/100 cm 3/kgf/cm3

6. -5,444 ...°C/hora 8. a) 6 horas 9.

a) f (t) =

17.500 1/hora

b)

4500 + 1550 t

c) 25,6% 10. a)

0,8 milhares de pessoas/ano

11. 1/12 13.

1

7t

-

b)

1.550,00/ano

d)

Tenderá para zero.

b)

0,068 milhares de pessoas

12. 4,875 1/hora

m/hora ; 10n horas

15. a)

c) 10.000 1/hora

4 rc r2

14.

17. 18 unidades,min

m2 6 {3 m 3 /s

16. a) 15 {3- cm 2/s

b) 1.066 n m 3 /s

3

d2

19. 1,45 m/s

18. 119,09 km/hora

b) 7,5 3

20.

cm/s

2n

3V

SEÇÃO 5.11 1. a) V6 g)

5.

arc sec 2/ -■1

a)

;

b)

3/2;

c) 1;

-

O ; 3 ; -3;

m)

6. a) (-00 +co) crescente c)

[-1 , +00)

e)

3

arc sen 2/7c

3. 0 ; -2 ; 2

tt +kn,kEZ; h) 2 1)

-2

a)

d) -1;

e)

i) kn,kEZ; n)

j)

3/2;

0;

3a

4

f)

;

+ kn, k E Z;

o) 0. b) (-00, +00)

crescente ; (-co, -1] decrescente

d) (-00, -2] U [2/3, +co) crescente ; [-2, 2/3] decrescente

decrescente

g)

-.

0 ; -3; k) 0;

Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração e)

(-00 — C7731 U N7/3, + .0) crescente ; [— \1 7/3 , .N/7/3] decrescente

f)

[2 n 3+2n

.

7C

4 TC

3 +2nn ,nE Z decrescente;

[— 2 TC

3 + 2 n rc, 3

ir

+ 2 n ic

, n E Z crescente

g) (-00, +00) crescente

h) (-00, +00) decrescente

i)

(-00, +1] crescente ; [1, +oo) decrescente

j)

(-0., 0] u [2, +oo) crescente ; [0, 1) u (1, 2] decrescente

k) (-00, —1] u [1, +00) crescente ; [-1, 0) o (0, 1] decrescente

33 1) [0, crescente 4

•

7.

a)

g) 9.

7 ; —5 e

2

+ e- 2

2

b) 5 ; —4

, 1

[3 rc7 it

;

c) 22; 13/4

decrescente

4

d) 100 ; — 4/27

i) 1 ; —1

h) tgh 2 ; tgh —2

e) 1/2 ; —1/2

j) 1 ; O

f) 2 ; O

k) O ; —1

a)

E ; 3/7

b)

2 ; E

c)

—7; 1

d) 3; 1

e)

E;0

f)

8 ; 0

g)

E;E

h) E ; —3/2

i)

2 ; —2

j)

—1+

11. a = 3 ; b = —3 14. a) (5/3, f (5/3)) ;

; —1 — ■ã -

k) —2 ; —4/5

1) 64/5 ; O

12. a é qualquer real ; b = —3a ; c = 0; d é qualquer real 5/3) côncava para cima; (5/3, +o.) côncava para baixo

b) (-1/3, f (-1/3)); (2, f (2)); (—e% 1/3) u (2, +.0) côncava para cima; (-1/3, 2) côncava para baixo c)

A; (-4, +oo) côncava para cima; (-0., —4) côncava para baixo

d) (2/3,f (2/3)); (2/3, +o.) côncava para cima; (-0., 2/3) côncava para baixo


, f (-2 ±

(-2 ±

e)

;

u (— 2 +

, — 2 —

, +

599

côncava para cima;

(-2 — \/2 , —2 + 'õ) côncava para baixo - -

-

f)

E ; (-1, +o.) côncava para baixo

g)

(-6, f (-6)) ; (-6, +...) côncava para cima;

—6) côncava para baixo

h) (n,f (7)) ; (O, 7c) côncava para cima; (n, 2n) côncava para baixo

i)

3 ;

j)

(2, O);

1) côncava para baixo 2) côncava para cima; (2, +...) côncava para baixo b) y = O ; x = —2

15. a) y = O

c) y=0;x= 2 ;x=1

d) y=0;x= 3 ;x=— 4 e) y=0 ;x=— 4

f) y=0;x=3

g) x = ± 4

h) y=±1;x= 3 ;x=-4.

D Y = —1

k) x = O

-

i) y=1;x=0

SEÇÃO 5.13 1. a) 1° pedaço

41

4+n

,

r

In pedaço 4+n

b) Deve-se fazer somente um círculo de raio

2. i 1. 1) ou (-1, —1) 6. raio da base

7.

■1

-

4. 35 ; 35

3. 67 dias V

27c

; altura

2 TC 5. a/6

4V

8 km do encontro da canalização 1 com a perpendicular que passa por A.

8. quadrado de lado \ 288 cm 9. (1/ ‘ii,l) ; dr; equação da tangente pedida é y + -

-

11. 1/3 da altura do cone dado

12. (1, 2)

x —2=O 13. 22,01 cm x 26,91 cm

Cálculo A - Fu n ç õ e s , Limite, Derivação, Integração

6 00

14. base 0,88 m ; altura 0,44 m

18. 3x + 4y - 24 = 0

17. 'fim

20. raio da base 7/3 m ; altura 2 m 23. a -

16. 84,56 km da cidade

15. 7t/4

19. a -= 100 m ; r= -

100 7Z

2 R' 22. raio \1-í- R - altura ,-

21. 1000

3

40 3Vã- •\1-6-m \r6-in 24. 2 m x 2 b = 10 -\T3--2

'

25. 4,5 cm x 6 cm

SEÇÃO 5.15 1. O

2. -1

3. 6/5

4.

6. -1/6

7. O

8. 5/2

9. +..

10. -1/2

11. +°°

12. O

13. 1

14. +.

15. ao

16. 1

17. ao

18. O

19. -1

20. 1

21. 1

22. O

23. 1/2

24. 1

25. 0

26. O

27. 1/12

28. e 3

29, 1

30. 1Ie

31. 1

32. 7i

33. 1

34. o3 5.

38. 1/5

39. 1

1

36. 1/e 6 37. 41. 1

42. ao

ao 5.

-11/26

40. e 2

43. e 2

SEÇÃO 5.17 2. a) 1 +

x2 x4 senh z x5 2 + 24 ; 5!

(x - 70 3 [16 seco z • tg z + 8 sec2 z tg3 z] (x - it) 4

b)

x - +

c)

1 + - (x - 1) -

1

2

4!

3 1 -

8

(x - 1) 2

-15 1 1 , (x - 1)- • -1- 1 6 16?•■Tí 24

1

- 1) 4

601


4

d) 1 — x2 + x

2

9 1 24 2

2

4

4. — (x —7c) - -- (x — -7c) +

720

COS (x — 70 6 ; cos

5 it [

— 0,8660331;

R6

/

5 7c

6

0,00002

c) 4 é ponto de mínimo

b) 5/12 é ponto de mínimo

7. a) fi

3. —0,6822 ; I R 4 (0, 5) I < 0,2

e z (160 z3 — 120 z — 32 z5 ) x5 120

e)

O é ponto de máximo; ± 2/' são pontos de mínimo

f)

—5 é ponto de máximo; 5 é ponto de mínimo

CAPÍTULO 6 SEÇÃO 6.2 11. x — are tg x + c 14. 3 arc sen x + c 3 17.2 e`

20.

22.

1

12. x — — + c

13. sec x + c

15. 2 arc sec x + c

16.

2 t3/2 lt + c 3

ln2

—

é + senh t + c

25. x — 2 arc tg x + c

1

28. — ln lx I + c 2

2

19. cosh x + c

18. — cos O + c

2 t2 t5/4 + /3/2 + 3-- t4/3 + 4 5 2 3 t

8.x3 9x2 1 + 6x — 21n lx 1 — — + c —

5

3

21. 3 — 51n lx I + c

— t6/5 + c

6

"Sli x 23. sen x + tg x + c

7t3 é 2—— 3 + 2t2 + 4t + c 26. —

29. tg x + c

1 arc tg x + c a2

24.

27. e t —

5

t5/4 —

X5 2 .4

2t`

30. — — — x- + x + c

5

3

+ c


21n It I

31.

+ c , se n = 1 ti

-

32. X5/3 +

n

(n - 1/2) (1 - n)

33. 2x - sen 2x

+ C , se n

34. -

5

1

+ x -

35.

2

X2 1

Tc

2 - 10

- 2)

36. cos x + 1

8

SEÇÃO 6.4 212 (2x2 4. 2x _

1.

4.

5

7.

10.

9

(4 - 3x2) 3/2 + c

ln (e t + 4) + c sen5 x

+c

5

2

1

2 - y

In

- (1 + 2X2) 3/2 + c 6

6.

3 (ê + 2) 4/3 + c

8.

-

9.

1

1

2 + c - 4

x + -‘& - 2

+2- x

27. 2'■ x + 3 - 2 In

8

tg2 x

2

+c

sec x + c

12. -2 ln I cos x I - 5x + c

14. sen x2 + c

15. - cos (50 - 7c) + c 5

-

4

1

I + c 18. i arc tg "1c + c 4

21. (ln x) 2 + c

4

23.

a

2

5.

3 seno/3 0 + c 20. -

+ c

senh 2 a x 22. + 2x + c

25.

- (x2 - 1) 4/5 + c

17. - ln la + b tg b

4

1

3.

2

16. - (arc seny) 2 + c

5

3 - 2) 8/7 + c

24 (x

11.

1 13. - sen 2ex + c

19.

7

+c

1

9

(3r + 1) 3/2 + c

+c

2+ +3 2 - + 3

26.

+ c

28.

41

24.

e

2 2 (x + 5/2) arc tg +c 3 3

arc tg- + c 4

ln 3x

+c


29. 32. 35.

41

-1

2+t

12 38.

30.

cos 4x + x + c

2X

2

In 2

1

31. - e3'2 + c 6

+ c

4

+ c

33. In I ln t I + c

34. L (1 - •-• x- ) 3/2 + c 3

+ 2) 6 + c

36. '\/4t2 + 5 + c

37. - ln 13 - sen x I + c

- 1

+ c

2(1 -4-.Vv

5 1 _ x5

39.

4 2 _1 +x - (1 +x) 2 'I 1 +x + - (1 + x) \11 + x + c (1 +x) 3 v1 5 3

1 41. - sen t2 + c 2

42.

1 43. - (sen 28) 3/2 + c 3

1 44. - tg (5x + 3) + c 5

45.

46. In I sen u 1 + c

47. -

40.

603

e

+ c

27

- 1 ,+c 2 (5 - cos

2 (1 + e at) 5/2 + c 5a

2 2 , 8 49. - (t - 4) Nt - 4 +3 (t - 4) .Nit - 4 + c 5

(6x3 + 5) 3/2 + c

48. 2 sen

50.

1 6

+c

cos 2x3 x4 + C

SEÇÃO 6.6 -x

1. - cos 5x + sen 5x + c 5 25 3.

5.

e41 1

4 x2

t -

4

+c

4.

1 [ ln 3 - - + c x 2

7. 5 e" [ sen + 2 cos 2 2

2.

- 1) ln (1 - x) x + c / (x + 1) 1 sen 2x + - cos 2x + c 2 4

6. cos2 x sen x +

+ c

2 sena x

2 4 8. - ln x - - x 3 9

3

+ c

+c


604

1 1 9. - - cosecx cotgx + - In 1 cosecx - cotgx 1+ c 2 2 2 x2 Zr — cos ax - — sen ax + c 10. — sen a x + a2 a a3 1

11. — x cotg x + ln 1 sen x 1 + c

12. x arc cotg 2x + - ln (1 + 4x2 ) + c 4

a b eax 2 13 " a 2 + b 2 - cos b x + - sen b x + c b

14.

X2 15. — — (1 - x2 ) "\il -x 2 -

3

1 vax+ b [ln (ax + b) - 2] + c

(1 -x2)2 "\il - x2 + c

16. x [ln 2x - 3 1n 2 2x + 6 In 2x - 6] + c

17. x arc tg a x -

1 2a

In (1 + a2 x2) + c

3 23 3 7 3x cos 4x - 128 sen 4x + c sen 4x + 18. - — cos 4x + 4 16 32 19. -x e' + c

1 x3 20. — [ In x - -1 + c 3 3

21. ex [x2 - 2x + 2] + c

23. (x - 1) tg x + ln 1 cos x1+ c

22. x arc sen -x-- + 4 - .x2 + c 2

Qi) 4 [ 3, 25.xn +1 [ ln x — e sen 4x + 3 - e3x cos 4x + c n + 1 +c n+1 4 25

e

iè x ln (x2 + 1) - 2x + 2 arc tg x + c

27. x ln (x + \11 + x2 ) - 'N/1 + x2 + c

1 X2 1 ha. — arc tg x - - x - arc tg x + c 2 2 2

29.ér 2+1 ' '' - X+ 4

2[

4

1_ _ ,.

1 30. - [ + x sen 2x + cos 2x 4 2

+c

31. ex [x2 + 4x + 5] + c

c

605


32. - x (x + 1) 3

+ 1 -

4

(x + 1) 2 + 1 + c

15

1 33.2 x cos (ln x) + -2 x sen (ln x) + c

- x2 + c

34. x arc cos x -

1

35. - [ sec x tgx + ln 1 secx + tg x1 ] + c 36. 2

_1 . e ux ± c _ e _1/x

SEÇÃO 6.10 1.

(a)

23

8

3

5

3. - 7

5. (a)

4• - 4

6.

(a) .Nix +

7.

(a) 9

11. (a)

(c)

(b) -

4

15 ; 20

(b)

(b)

4

(c) (b)

2

0 ; 192

,

-1/6

(d)

positivo; (b) nulo; (c) positivo; (d) negativo.

2y +

(c)

9 (d)

-1/2

(e)

16. 2/3

17. O

18.

Z .& [ 3

20. 25

21. 3 5

25.

15 28. 64

29.2

32. 2 ln 2 - 3/4

33. 9/2

36

22. 4 ln 3 26.

116 15

30. 2 6

34. - 3

r

-

- 2

4

0 ; 720

15 844 5

31 160

26

(f) (d)

14.

24. 3

4

O ; 9

13. 48

17

O sen O

(c)

12. 0

81

43

19. 4 23. 2/15 27. -

4

8 'Ni-531 +31. - - 5 ln 2 3 2 36. (a) O

(b)

O

(c)

16


606

SEÇÃO 6.12 2 1. 1/3 . 2 5.

2

3

4/3

3.

9/2

4.

48

6.

1/6

7.

115/6

8.

1/2

9. • e - 1

10. 1/2

11. 8 ln 2 - 3

12. e4 - 5

13. 8

14. 8

15. e - 1 -e

16.1 [

17. e - 3/2

1 g 18. -8 (n- + 8n - 8)

20.

•■ii 5 TE +1 2 24

24. 1 6 5

25. 2 [ 8 - 1n 2

28. 7/3

29. e - 3/2

23.

30. ln 2; 16(1 + 2 ln 2)

SEÇÃO 7.4 +c

3. -2 cos x + c

2. sen (sen x) + c

1 4. - ln I sec (x 2 + 1) I + c

5. - ln I sen 1/x I + c

6. ln I sec (x + 1) + tg (x + 1) I + c

7.

2

8.

1 -

2

In cosecx2 - cotgx2 + c

72

27. 4 [e - 1/e]

26. 1

CAPÍTULO 7

1. -2 cos

- ln

19. 32/3

22. 4/3

21. In 12

1

cos (wt + 0) + c

9. ln I sec (sen x) I + c

2


1 1 10. - - cos (2x + 1) + o 2

607

sa (2x + 1) + c

c

2 1 — sen (3 - 3x) + ena s (3 - 3x) - — seus (3 - 3x) + c

3

12. -

9

15

sena (x2 - 1) cos (x 2 - 1) -

sen (x2 - 1) cos (x2 - 1) +

1 13.4 (e 2x - 1) + - sen (2e2x - 2) + c

1 5 1 7 14. — coS 20 + cos 20 + c

8

14

10

1 6 1 a 15.- - sen (1 — 20) + — sen (1 - 20) + c 12

1 17. - tg2 (ln 0) + ln 1 cos (ln 0) 1 + c

16. 1 sen20 (t - 1) + c 20 18.4 sena x + c

2

19. 4

(x2 - 1) + c

3 3 cos a senx + - cosx senx + - x + c 8

8

3

1

20. - tg x - te x + x + c

21.

22. -15 cos x + 10 cos a x - 3 cos s x + c

23. 5 sen a x - 3 sen s x + c

3

3

tg- x + c

24. 2 cos 3 sen x - 8 cos s x sen x + 3 sen x cos x + 3x + c 1 18

25. — cos 3x sen 3x + 1 26. cotg 3 x + c

29. 1 cos 0 2

72

5 5 cosa 3x sen 3x + — cos 3x sen 3x + — x + c

27.

48

16

16

1 1 cos 8x + - cos 2x + c

28. - tg 5x -x + c

4

1 sen (2wt + 0) + c 11'

1 1 31. - t - — sen 4t + c 8 3 2 1

30.

5

1

-13 x+ sen x + c 3 sen 9

32. - tg. - vx - 1 + ln 1 cos 2

-

1 33. - sec (1 - 4x) tg (1 - 4x) - - ln 1 sec (1 - 4x) + tg (1 - 4x) 1 + c 8 8

11+c


608

1 34. 2 cotg (3 - 2x) + -6- cotg3 (3 - 2x) + c 38. 2 u.a.

41.

u.a.

16

1

35. - cotg3 (x2 - 1) + c 6 40. [

42.

43.3 u. a.

16 It u. 1 "42 - 5

44. 1 u.a.

45.

1 4t 46. - arc sen — + c 4 3

f1 47. - x + )1Ix2

49. 2 arc sen

6

-

arc sen 2t +

8

4

2

-

t 11 1

x x "\/4 - x2 x 4 - x2 ) "\14 x2

2

4

u. a.

+c

x

5

3

48. t (1 - 4t2) 111 - 4t2 + 4

- + I ln 2 2 2

39. 8 u. a.

9+ c

- 4t2 + c

+ c

50. -1- "V(x2 + 3) 5 - 'Ni(x2 + 3) 3 + c 5

51.

+ x2 2 \I1 + x2

-5

x2

1r1 + x2

-

x

1

+ c

3 2 3 (x2 + 1) 'Nix2 + 1 + - X N r + 1 + — (x" + 1) 11.'2 + 1 + -8 In I 'N,Ix+ 1 + x + c 3 8

1

52. - x

4

1 5

- 2 In

16) 2 \i-2- + 16

g

53. - (r +

32

—

3

1

(r + 16) 1It2 + 16 + 256 1112 + 16 + c 55. arc sen

54. In I "■/e2x + 1 + eX I + C

■

■ é + C 56. arc sen 2 ) r

I

58. 1n x + "Nlx2 - 1

- x 1/2 - x2 4- C 2

57. *N1x2 - 1 +lnlx+Nix2 - 1 1 +c 1fx2 - 1 x

+ c

59.

- '111 +x 2 1 + In 2 2x'

1✓ + x2 - 1 x

+c

1.


– x2 + arc seri

60. –

62. 1/x2 + 2x + 2 In

r 2

63. 2 arc sen - +

1

+ c

2

2

'■/1 + X2 —

\lx2 – 4

64.

2

In 1 .V 1 + X 2 + X

I2

69.

\rã-

71. _ 1 ,\143 – ,h7-7

3

16

I i9x2 + 1 + 3x +

a2

1c

b

12

.

■

+c

r370.

8

1

(N2 + 2

72. 1 (.\1"/ – 4

9

6

5

/

SEÇÃO 7.6 x2 –

-r

2 ln 1 x + 1 + c

2.

2

– ln

x–

5

3.

3 1 ln lx– 2 + -2 ln ix+ 1 1 - - ln ix+ 2 1 +c 4 1 2 3

4.

2

5.

x + 7 In

1n

7. ln (-1x

– 1 1+ 2 In 1 x + 1 I– I 1n 2

x – 1

_

+

1

c

– 2 ln I x + 11x2 – 4 I + c

In x + -\11 + x2 + c

; ±

f \

+ 1 +31n

3

"g4 +xx2 + x + c

2 x "V1 + x.-2 + x-2 + 66. 1

68.- ln

61.

1\14 – x2 x

2

1 –

+ c

+ 1 + -■/x2 + 2x + c

x

1 + x2 + In 65. x

67. – cos

2

609

10 1+ c

+

6. 3 ln

x–

x 22 – (x – 2)2 +

1 x - 2

c

8.

1

16

In

3 + – ln 1x + 2 5

+ c

c

x–2 x–3 x–4 x

1

2

x–2x–3

1 4x

+— +

C

+c

610


x2 1 9. — + x - - In (x2 + 1) + arc tg x + c

x2 - x + 1 +

12

1

2 (x2 + 2x + 3)

2

-v2

arc tg

4

x +1

- x + 1 + 5

14. ln I x I - 1 ln 2

1

- 2x + 4

24

-x - 2

1

+c

ln lx1 - - ln (x2 + 4) 2

4

arc tg 2x ,- 1 + c "V3-V3

1 1 12. — In x + 2 - — ln

13.

10.

4

4

arc tg

1

x .\13

+ c

+c

-Nr2-

x + 1

9

+c arc tg 2x 1 + N3 3 (.x2 - x + 1)

16

68

+ c 15. 4z+ - ln lx + 1 1 - 41n 1 x + 2 + — In ix - 2 1 - 3 (x - 2) 9 9

16.3 x+

10

1 ln x - 2

1 17. - [1n 1 x

19. x +

3

2 45

1

1 I n x+ 3

- - ln (x2 + 9)] + c 2

+ c

1 1 x 18. - arc tg x - - are tg - + c 6 2 3

ln 1x- 1 1 - iln lx2 +x+1l +c 3

1 20. - In (x2 + 2) + 2

22.

-

1

+2+

1 ( 1 1 ) 4 `x+ 1 x- 1

23. ln 1 x - 11 -

25.3 ln 2 u.a.

21. In

x-1

1

x

x-1

c

1 x

c

12

ln (x2 + 1) - are tg x + c

3 26.2[are tg - - are tg 2

1 2

u.a.

1 2 (x - 1)2

+c


2

3

27. [- ln 4 + — 25 20

u.a.

2 + 21

28. n

& 9 are tg

11.a.

SEÇÃO 7.9 1.

1 tg2

3.

ln

4

2

+ tg

-‘122

ln

tg

+ c

1 X tg- - + c 2 2

tg

— —

r

5.

2 + 2

tg

arc tg

2

+ c

In

4.

-31 1n

6.

2

-1

tg

+ c

+ 3 +c

tg 2 - 3

+ c

tg -

)

7. -21n

- +1

2.

2

9

tg - - 1 2

+ ln

x 2

tg- - + 1

tg - - 1

+c

2

9.

- arc tg

4

(3 tg x + 1

arc tg

8.

(

tg

2t - 1 2

2 tg 10. * are tg

+C

2

2

+

2 y3

arc tg ["\ii tg

2t1

+c

2

+1

tg + c

vif

-

ex tg — +

+ c

2

0 ` 12. - tg - + 2 arc tg (tg I ( +c 2

2

13.

1 N2

tg - 1 + NIÏ 1n

+ c tg - 1 - 'NÕ

611

612

Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (

3 tg 2 -1 + c

14.c ,-- ar tg N14 16.

2 -j 9

Vx2 + 4x + 9 - x - 7 I x2 + 4x + 9 - x - 1

20. - In

1 - 2 "\11 +x+x2 + 2x1 +c

+ c

1

22.

"\I 1 + X ± X2 — X .4- 1

x + 1 - "\ix2 + 3x + 2

31. arc tg

+ c

2 \à-2 - x + 5/4 - 2x - 1 2 "‘lx2 - x + 5/4 - 2x + 3

f 11x2

•

- 4x - 4 - x 2

3

+c

tg

.\1 2 (3

x)

3 (x -2)

+c

23. arc gt

c

2"&d2+x-x 2 -'NÕ)

1

,-1 n 1 N2 r'Nix2

- 2x - 3 - x + 1\ 2

2 dl + x + x2 - x + 1)

27. arc tg (2 "\lx 2 + x -2x- 1) + c

29.2 ln

..\1-2-arc

3

+ x + x2 - x - 1

x + 1 + "\x2 + 3x + 2

21.

u.a.

(1/4x2 + x - 3 - 2x 2 rarc tg

19.

+ c .\12x + x2 - x - 2

.\/2x + x 2 - x

25. In

9

17. -

u.a.

18.3 ln

1 24. - ln 4

-■&

15.

+c

+ c

+ c

26. -1n hix 2 + 2x - 3 - x - 1 + c

28.

I

3

2

I

ln 2-11 9x2 + 12x+55 + 3x + c

+ c 30. ,- arc tg N3

f*Nix2 + x - 3 - x

+

C


1 1

32. -

\IX2 2x - x - 1

± 1 ._1 eu- + 2x - x) - 21n

.

- 2x

33. - 2 arc tg

-

Vx2 + 2x -x-11+c

2

X2 -

613

+ C

x

CAPÍTULO 8 SEÇÃO 8.4 1.

4

3.

12 u.c.

6.

9.

u.c.

53 6

u.c. -1

ln

2-

j

4.

12 u.c.

5.

7.

senh 1 u.c.

8. 1 + ln - u.c.

13. 16.

111 + 4.12 dx

24. 2

32

80 \fIll - 13 X13 27

5:

19.

-\/1 + 9 cose

7t U.C.

u.c. 3 2 2

.„xx2+ 4

8 u.c. 14. - (10 •Nii 6 - 1) u.c. 27

1

dx

--À

22.

1

-2NÕ 4

"NILlx2 + 8x+ 5 dx 20.

I-

-

(85 N85 - 13 v1.3

25. [ '\/1 + 7c2 + 2

2

-

17. 1. 2'12- "V

dx

1

"\11 + eZt dx 2 Ic

u.c.

1 23

4

18. "í oo

o

13 '‘

1

2

21.

-

8

2

o

1 [(9 • 2 2 + 4) 3/2 27

10. - (10 N10 - 1) u.c. 11. - (37 -■&/ - 1) u.c. 27 54

U.C.

'

12. (54 -Ví - 17 -\/7 ) u.c.

15.

2.

) u. c.

2

V1 + '

4x

-

--

23. 8 u.c.

1n (7t + -V1 +

)

1 + 2y 2 dy + y2 1


614

26. 2 Vlã u.c.

1 27. - (5 V - 1) u.c. 3

28. VI (e2 -

29. u.c. 4

30. 24 u.c.

31. 2 a ut u.c.

32.2 n u.c.

33. -

u.a.

36.

-

35.

1

1

2

u.a.

3

( 43

5n 34. - u.a. 2 37. 3 n u.a.

u.a.

38. ( - - V3- u.a.

39. 7 n u.a.

41. 6 ;c u.a.

42. 3 n k2 u.a.

2

u.c.

40.

144 - 27 n u.a. 32

SEÇÃO 8.7 1.

26 n u.v. .3

5.

2.

6.

n u.v.

206 15

n u.v.

2 e

2

3. - n u.v. 35

7.10 u.v.

4 - 1 e2

15 n 95 4

397 15

2 7C 2

U .V. 10. 8. 7C U.V. 9. u.v.

12.

16.

18.

8

13.

n u.v.

2304

4 12 15

7t U.V. ; ,

nu.v.

1024

152

n u.v.

16

14. - TE u.v.

412 15

n u.v.

11.

172 3

7C U.V.

15.

32

u.v.

17.3 n u.v.

u.v. ; 64 :c u.v.

19.

4. -7t U.V. 2

20. 9 n2 u.v.

21. (

4 3

n -

3 32

n 2 ) U.V.

Respostas dos exercícios 22.

54

(577 '[[577 - 1) u.a.

25. 4

TC

u.a.

23.6 (17 •Ni-U7 - 5 ') u.a. 6

26. 4 n u.a.

29. (a) 16 17 t u.a.

27. 48

(b) 4 -\1177

7C

TC u.a.

615

24. 53,226 u.a.

8

28. — it (28 'NF7 - 3 •N)) u.a. 3

u.a.

SEÇÃO 8.11 2. (a)

(c)

3.

2

4.

-7n

S ir

5

3

(a)

[

i

-\

2

(d) -4 ,

5. (a)

(""

2 '

2

(e) (0, 10)

/ 11 li 1 6. (a) P 1 2 , .P 2 6 ) 2

5 le '

4

i

2 (b)

4 " 6

6

3 -3

Nril

[-

(c)

a 3

(d)

2 2

3

2 ' 2

3 .■ií - 3 2

(c) [N1 , 5 47C

(b) P I - 2

-4n

n

[

117c

5n 3

'

2

(f) (1, 0)

, 3 Tc 4 )

■

7. (a) r = ± 2

(c)

(b) (-1,5307 ; 3,6955)

(b)

(c) P 1 [2

- 3 \T

J.\ 3

(a) (1 - \3)

(d) (O, -10)

31c

(b)

- 2 4 ; 2 ' 74

r cos O = 4

(d) õ 74 c '

5n '

6

-7 7c (d) P L. 2 , 6

(c) r sen 0 = 2

P2

-2

P2

4

2

-7n 4

1

616


(d)O-

3 oir 4

+kn,kEZ

(e) r = 2 cos

8. (a) x 2 + y 2 - x = U

(b) x2 + y 2 - =

33. õ (e E- 3 1) u.c.

34. 8 u.c.

'

36.

(9 + 7E2) 3/2 -

27

n d0 f 39. 12 5 4 o ecos 2 0

41. 64

8

(f) r = 6 sene (d) x2 .4_ y2 =, a

(c) x + y = 1

35. 2a n u.c.

u.c. 37. 2- (e 3 - 1) u.c.

38. 80 u.c.

It 6

_

1116 sen2 4 0 + cos 2 4 0 d 0

/ N9 cos2 3 0 + sen 2 30 d0

40. 18

o

42. 12 f

4

d 'Nisen 2 0

7C

43. 2 1' .,113_ 12 cos 0 d 0 o

f

44. 4

27: - 4 sen 0 d0

2 rz

rz

45. 2

o

X13 + 12 cos 0 d 0

47. 9 u.a. 51.

21 u.a.

55. 24 n u.a.

46. 4 1. 2 + 4 sen 0 d0 2 9 rc

48.4 u a • •

49.

52. 11 rc u.a.

53. 24 rt u.a.

56. 24 nu.a.

57. 377r3

59. (32 - 4 7r) u.a.

60.

62. (100 arc cos 3/5 - 48) u.a.

63. (a)

2592

u.a.

2

a2

50. 16 u.a. 54. 24 7t u.a.

( TC -

2) u.a. 58. 4 Tc u.a.

2

u.a.

rc 9 .■& 2 - 8

61. (n - 3 u.a. 2

u.a.

(b)

14 rt - 9 8

u.a.

617


SEÇÃO 8.16 Observação. Nos exercícios que envolvem o centro de massa, é dada a sua posição sobre um eixo coordenado cuja origem coincide com a extremidade esquerda da barra.

4.

1

3. 10 kg ; 3,75 m

2. 54 kg ; 2,125 m

1. 444 kg ; 7,62 cm 5.

3 a b—

kg ;

2

6. (a) 1,8 kg - m 2 (b) 7,2 kg • m2

m

(b) 1228,8 kg • m 2

8. (a) 443,73 kg - m 2

. 49,07 kg ; 4 m

9. Para barra do ex. 1: (a) 12672 kg • cm 2 (b) 29952 kg • cm 2 (c) 5328 kg • cm 2 Para barra do ex. 3: (a) 20,83 kg - m 2 (b) 145,83 kg • m 2 (c) 20,83 kg 10. ln 5 u.m. :

r

4 —1 1n5

u.c.

11. 12 u.m.i.

12. (e — 1) u.m. ;

i

1

e—

13. (e — 2) u.m.i.

14. 2,5 kg/m

15. (a) 187,5 J

(b) 100 J

16. 216 J

17. 4083,33 J

18. 1875 J

19. 63549,36 J

21. 340106,66 n J

22. 746901,12 J

20. (a) 44131.5 n J

(b) 44131,5 n J

23. 117684 N

24. 14710,5 N

25. 167372,8 u. força

27. 588420 N

28. 7322560 N

29. 2615200 N

31. 12 x 10 3 N

32. 2194,28 N

33. 312 x 102 N

2

U. C.

26. 2 x 104 N 30. 197447,6 N

Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração

Sobre El Limite

Al Limite Estremo

El Cielo Es El Limite

La Mia Vita al Limite

Analyse asymptotique et couche limite

Analyse asymptotique et couche limite

Analyse asymptotique et couche limite

A CESARE E A DIO

A Casa e a Rua

A. E. Housman

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