一般力学30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シリーズ1戸田盛和 著

一般力学30講

朝倉書店

は

し

が

き

力学 に 関す る著 書 は きわ め て多 い.そ こへ 新 た に1つ の テ キ ス トを加 え るに つ い て は,そ れ な りの方 向が なけ れ ば な らな い.私 は 多 くの 興 味 あ る問題 を 取 り上 げ て 力学 とい う木 の幹 や枝 を飾 ろ うと考 え た.こ れ が 多 数 の 人 の力 学 に 対 す る興 味 を再 び呼 び起 こす こ とに なれ ば これ に過 ぎ た 喜 び は な い. 力 学 は ガ リ レイ,ニ

ュー トン以 来,も

っ と も早 く確立 され た 学 問分 野 で あ る.

そ の 後 に 流 体 力 学,熱 力学,電 磁 気 学 が 始 め られ,20世

紀 に な って相 対 性 理 論 と

量 子 力 学 が 加 わ った が,こ れ らの分 野 は古 典 力 学 を踏 ま え て発 達 し,力 学 と並 ぶ 完 成 度 を 目ざ して い る とい え る. しか も現 在 に お い て も力 の釣 り合 い か ら探 査 衛 星 の 打 ち上 げ まで,き わ め て 広 い分 野 で 力 学 は 絶 えず 用 い られ て い る.し た が って理 工 系 の 人 は ほ とん どす べ て 力 学 の 門 を く ぐ らな けれ ば な らな い わ け で あ る. 他 方 で 日常 の体 験 には 力 学 的 な事 柄 が 多 く,そ れ に対 して疑 問 を も った り解 答 を 求 め た りす る機 会 も多 いが,そ

うい うあ りふ れ て い て しか も興 味深 い問 題 に は

案 外解 決 が むず か し い もの が あ る.そ の よ うな問 題 もい くつ か 取 り上 げ てで き る だ けわ か りやす く解 説す る こ とにつ とめ た.大 れ た点 まで もっ と も速 く降 下 す る経 路,ぶ

きな 振 幅 の振 り子 の周 期,与 え ら

らん こを こ ぐ運 動,な

わ とび の ひ もの

形,両 端 を保 持 した ネ ック レス の形 な どの具 体 的 な 問題 を解 説 した の は この方 針 に 沿 った か らで あ る.こ れ らの 問題 を解 くに は ヤ コ ビの楕 円関 数 とか 変 分 法 な ど を 説 明 しな け れ ば な らな い.こ の よ うな数 学 的 な説 明 もで き るだ け て いね いに わ か りや す く した つ も りで あ り,こ れ らの 具体 的 な 解 説 を 通 って 非 線 形 の 問題 な ど に関 す る読 者 の興 味 が深 まれ ば 幸 いで あ る. 本 書 の終 わ りの3分 の1は い わ ゆ る解 析 力学 に あ て た.ニ め られ た 力 学 は オイ ラ ー,ラ グ ラ ンジ ュ,ハ

ミル トン,ヤ

ュー トンに よ って始

コ ビな どに よっ て い ろ

い ろ の 観 点 を 与 え られ た.観 点 を変 え る こ とに よ って 新 た な発 展 が 起 こ る こ との

よ い例 であ る.ラ グ ラ ンジ ュの 方 法 を 用 い れ ば 具体 的 な 問題 が た い へ ん や さ し く な る こ とが 多 い の で,力 学 を学 び始 め る段 階 で この方 法 に習 熟 す る の が 望 ま しい が,力 学 の 演 習 をす る の が 本書 の 目的 で は な いか ら,ラ グ ラ ン ジ ュの運 動 方 程 式 によ る解 法 の例 は あ ま り多 く記 さ な か った.ハ

ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 と正 準

変 換 に 関 して例 題 的 な 記 述 を い く らか 多 くした.こ れ は 私 の興 味 の ため で もあ る が,解 析 力学 を全 体 に わ た りて いね いに 扱 うには多 くの紙 面 が 必 要 な の で,む し ろ 他 書 に あ ま りみ られ な い断 面 を記 述 し てみ る こ とに した の で あ る.い

うまで も

な く解 析 力学 は 統 計 力 学 や 量 子 力学 を学 び,あ る い は研 究 す る うえ で確 か な 足 が か りとな る もので あ るの で,こ の点 を重 視 した 記 述 を加 え てお い た. 力 学 は 広 く深 い が,本 書 で は 記 述 や証 明 の厳 密 さ よ りもテ ー マや 観 点 に対 す る 興 味 を重 ん じ る こ とに した.こ の よ うな方 面 か ら力 学 に 近 づ くの も１ つ の よい道 では ない か と思 う.い ずれに

し て も興 味 を もつ こ とが 理 解 へ の最 短 距 離 で あ ろ

う.読 者 が そ れ ぞ れ興 味 を もつ テ ー マ を発 見 して そ こを 掘 る こ とに す れ ば 自分 で 納 得 で き る理 解 が 得 られ るに ち が い な い． この よ うに 考 え てい くらか 他 書 と異 な る力 学 の テ キ ス トを 書 い た つ も りで あ る.こ の 目的 に 達 す る こ とが で きた か ど うか 十分 の 自信 は な いが,本 書 を 手 に し た の を機 会 に 読 者 が 力 学に 対 す る新 し い視 野 を得 る こ とが で き れ ば よい が と望 ん で い る. 終 わ りに 本 書 の 出版 に 際 しい ろ い ろ お世 話 に な った 朝 倉 書 店 の方 々に 厚 くお礼 を 申 し上 げ た い. 1994年１ 月 著

者

目

次

第

１ 講  力 の 釣 り合 い と 力 の ベ ク トル  TeaTime：

1

力 の分 解  6

第 ２ 講  力 の モ ー メ ン ト と釣 り合 い の 条 件  TeaTime：

第 ３ 講  垂 れ た ひ も の 形(懸 TeaTime： 第 ４ 講  摩

擦

垂 線) 

12

ア ル キ メデ ス と静 力学  15

力 

TeaTime：

17 摩 擦 力  20

第 ５ 講  力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則  TeaTime：

7

ベ ク トル  11

エ ネ ル ギ ー26エ

22 ネルギーの

単 位  27 第 ６ 講  回 転 の エ ネ ル ギ ー  TeaTime： 第

７ 講  角 運 動 量  TeaTime：

第

34 惑 星 の角 運 動 量  39

８ 講  単 振 動 と減 衰 振 動,強 TeaTime：

第

28

坂 道 を こ ろが る球  32

制 振 動 

９ 講  連 成 振 り子  TeaTime：

第10講 

48 つ る巻 きば ね の振 動  53

ぶ ら ん こ の 力 学  TeaTime：

40

電 気 的 な振 動  45

電 気 的 な 励 振  58

54

第11講 

第12講 

支 点 の 上 下 す る 振 り子  Tea

Time:マ

単 振

り 子 

Tea 第13講 

Time:ア

59

シュー の 方程 式  63 65 ー ベ ル と ヤ コ ビ  72

な わ と び の ひ も の 形  Tea

Time:ひ

73

もを 回す と き77楕

円関数 ・

３角 関 数 ・双 曲線 関数  78 第14講 

最 速 降 下 線  Tea

第15講 ア

第16講 

第17講 

Tea

Time:振

Tea

Time:質

衝

ロケ ッ トの 加 速  100 101

に は た ら く太 陽 と地 球 の 引 力  105

惑 星 の 運 動  Time:太

107 陽 系  113

惑 星 の 位 置 と 時 間 の 関 係  Tea

第20講 

93 量99 

平 面 の 極 座 標  Time:月

Time:ベ

115

ッセ ル 関数  118

惑 星 の 運 動 を 単 振 動 に す る 変 換  Tea

86

り子 時計  91

突 

Tea 第19講 

79 線 を 比べ る  84

ー ベ ル の 問 題 と サ イ ク ロ イ ド振 り子 

Tea 第18講 

Time:曲

Time:ティコ

・ブ ラーエ とケ プ ラー  123

120

第21講 

惑 星 の 軌 道 を 定 め る ラ プ ラ ス ・ベ ク トル  Tea

Time:惑

第22講 ラグランジュ Tea 第23講 

Time:尺

Time:断

第30講 ハ

Time:統

引 

Time:量

156

165

度 変 換  172 174 熱 変 化  179 181

計 力学  187

ミルトン− ヤ コ ビ の 方 程 式  Tea

149

ジ ャ ン ドル変 換  163

無 限 小 正 準 変 換 と 括 弧 式  Tea

索

Time:ル

143

動 方 程 式 の積 分  154

断 熱 定 理  Tea

第29講 

Time:運

136

小 作用 の原 理 と 目的 論  147

正 準 変 換 の 例 と 応 用  Tea

第28講 

Time:最

正 準 変 換 の 母 関 数  Tea

第27講 

定 理 

性 の数 学 者  142

正 準 運 動 方 程 式 と正 準 変 換  Tea

第26講 

Time:女

130

体 的 な 問題  134

最 小 作 用 の 原 理  Tea

第25講 

の 運 動 方 程 式 

保 存 則 とネーターの Tea

第24講 

Time:具

125

星 の軌 道 の決 定  129

188

子 力 学 へ の道  192

195

第 １講 力 の 釣 り合 い と力 の ベ ク トル

テーマ ◆ 力 とは何か,ベ

ク トル ◆ベ ク トルの加法 と力の釣 り合 い

◆ Tea Time:力

の分解

力 とい うもの 力 学 で は太 陽 ・地 球 ・月,あ

るい は 斜 面 ・物 体 な どが あ って,そ れ らの もの が

力 とい うも のを 通 して 相 互 に 影 響 し合 うと考 え る.自 然 現 象 を 構 成 要 素 に 分 け て,要 素 間 の 相 互 作用 を考 え る の は い ろ い ろ の 自然 科 学 に共 通 す る分 析 的方 法 で あ るが,力 学 で は 力 とい う相 互作 用 に よ って生 じる現 象を 扱 うので あ る. で は,力

とは何 か,と い う と簡 単 に は 答 え られ な い.最 近 の 力 学 では 力 に よ っ

て 生 じ る運 動 状態 の変 化 に着 目 して力 を定 義 す る.物 体 に は た らい て,そ

の運 動

を 変 化 させ るのが 力 で あ り,そ の変 化 に よ って力 の大 き さな どが 測 られ る とい う ので あ る.こ の と き,物 体 と,こ れ に力 を及 ぼす 別 の物 体 とが 要 素 と して考え ら れ て い る.こ の ２つ の物 体 を ま とめ て １つ と考 え て しま っ ては 分 析 的 方 法 が 適 用 しに く くな る.そ こで物 体 を切 り離 して それ ぞれ が力 を受 け る と 考 え る の であ る.こ れ か らわ か る よ うに,力 学 は も と も とい くつ か の物 体 に 関 す る現 象 の多体 問 題 な の で あ るが,そ れ ぞ れ の物 体 を 切 り離 して あた か も一 体 問題 で あ るか の よ うに 扱 い,こ の とき これ に 影 響 を 与 え る他 の物 体 は 力 とい ういわ ば 実 体 の な い も

ので 置 き換 え,代 用 され るの で あ る. そ こで も と も と存 在 しな い力 とい うもの を除 い て力 学 を建 設 し よ うとい う試 み もあ り うる.た とえ ば 太 陽 と地 球 とが これ これ の位 置 に あ る と き,地 球 は これ こ れ の 加 速度 を生 じ る,な

どとい うい い 方 をす る こ とに よ って,力

とい うも のを 除

外 す る こ と もで きな い わ け で は な い.し か し,こ れ は物 事 を わ か りに く くす る. や は り力 とい う概 念 を 使 って 述 べ た ほ うが わ か りや す い よ うで あ る. 力 とい う概念 が わ か りや す い よ うに 思わ れ る のは,人

間 が 大 昔 か ら重 い 石 を 持

ち上 げ る な ど して働 い て きた歴 史 が あ るか ら で あ ろ う.力 を 出す,力

持ちな どと

力 とい う言 葉 が 日常 多用 され るこ と も この こ とを物 語 って い る. 石 が 重 い の は地 球 が これ を 引 い て い るか ら で あ り,さ ら に 人 間 が 石 を 持 ち上 げ る の は地 球 と石 と人 間 の 三 角 関係 で あ る.こ の こ とを い ち お う忘 れ て,石 が持 ち 上 げ られ る の は石 に は た ら く力 の影 響 であ る と考 え る.こ や 人 間 の こ とは 除 外 され て,石

う考 え る と きに は地 球

と力 との関 係 だ け が 着 目され る.こ の よ うに力 学

に お い て は,あ る物 体 と,こ れ に作 用 して そ の 位 置,運 動 状 態,あ

るい は形 な ど

を 変 え る力 とい う力 学 の対 象 の世 界 を 切 り取 って 考 察 す る.こ の とき そ の まわ り の地 球 や 人 間 な ども い っ し ょに 考 え るの は 無 駄 で あ り,か え って 力 学 的 考 察 の じ ゃ まに な る ので,し

ては な ら な い こ とで あ る.

重 い物 を 持 ち 上 げ た り投 げ た りす るの に は 力 が 必 要 で あ るが,こ れ を 手 の上 に 保 持 す るだ け で も力 が 必 要 であ る.こ の 場合 の 手 の 力 は,物 体 を 引 く地 球 の 引 力 に 対 抗 す るた め に必 要 な の で,保 持 す る手 の 力 が な けれ ば 物 体 は 地 球 に 引 か れ て 下 へ 落 ちて し ま う.物 体 が 落 ちな い の は地 球 が 引 く力 と手 の 力 とが 釣 り合 って い るか らで あ る. この よ うに い くつ か の 力 が は た らい て物 体 が静 止 し,あ る い は 運 動 状 態 を 変 え な い 場 合,こ れ らの 力 は 釣 り合 って い る とい う.力 の釣 り合 い を考 え る学 問 を静 力学 とい う.静 力 学 の 歴 史 は 古 い.古 代 エ ジ プ トで ピラ ミッ ドを建 設 した とき に は 当 時 の 静 力 学 の 知 識 が 大 きな 役割 を演 じた であ ろ う.ギ リシ ア時 代 の 末期 に ア ル キ メデ ス(Archimedes,267BC‐212BC)に

よ っ て完 成 され た て こ の釣 り合 い

の原 理 は 静 力 学 の 大 きな成 果 で あ った.静 力 学 に よ っ て理 解 で き る現 象 も多 い の で,本 書 で は 静 力 学 の 力 の 釣 り合 い か ら始 め る こ とに す る． しか し,き わ め て単

純 な こ とが 多 い か ら詳 しい 説 明 は しな い こ とに す る. 力 の ベ ク トル 力の大 き さは,て

こ の原 理 に よ っ て比 べ る こ とが で き る.ま た 物 体 の１ 点 に 力

が は た ら くと き,そ の力 の 向 き に よ っ ては た ら きが 異 な る.こ の よ うに力 は大 き さ と向 き とを もつ量 で あ り,力 の大 き さに 比 例 す る長 さの矢 印 で 表 す こ とが で き る. １つ の物 体 に は た ら く ２つ の力 が 釣 り合 うのは,こ れ らの 力 が は た ら く点 を 通 って 力 の向 きに 引 い た 直 線(力 の 作 用 線)が 一

図１

致 し,力 の 大 き さが 等 し く向 きが 逆 向 きの とき で あ る(図１)． １つ の物 体に は た ら く３つ の 力 が釣 り合 うの は,こ れ ら の力 の 作用 線 が１ 点 で 交 わ り,３ つ の力 の矢 印 を つ ぎつ ぎにつ な いだ とき,こ

れ が 閉 じた ３角形 を つ く

る とき で あ る(図２).

図２

図 ３

図 ２に お い て矢 印Ｃ を逆 向 き に した矢 印 を力Ａ と力Ｂ の合 力 とい い,こ A+B と書 く.３ 力Ａ,Ｂ，Ｃの釣 り合 い は,Ａ,Ｂの 合 力A+BがＣ とで あ り,図 ３の よ うに,力 の 矢 印ＡとＢ 形 を つ くる と,合 力A+Bは

れを

と釣 り合 うこ

を そ れ ぞ れ 平 行 にず ら し て 平 行４ 辺

この平 行４ 辺 形 の対 角 線 の 矢 印 で 与 え られ る.こ の

こ とを 平 行４ 辺 形 の 法則 とい う.

力 の よ うに,大

き さ と 向 き を も ち,平

ベ ク トル と い う.ベ 3力 が 図2の

ク トル はA,Bな

行4辺

形 の 法則 に よ って 合成 され る量 を

ど の 太 文 字 や,OA,0Bな

よ う に 釣 り合 っ て い る と き A +B=-C 

あ る い は A+B+C=0 

(1)

と 書 く.A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)な

ど が 成 り立 つ.

1つ の 物 体 に 平 行 な 力 が は た ら く と き に も,上 で き る.た

ど の 記 号 で 表 す.

と え ば,図4の

よ うに,1つ

述 の こ とを 拡 張 して 扱 うこ とが

の 物 体 に 平 行 な3力A,B,Cが

は た ら く

図4 場 合,釣 とCと

り合 う力fと-fをAとBに

それ ぞ れ追 加 してA'とB'と

の釣 り合 い を考 えれ ば よ い.こ の 場 合,簡

し,A'とB'

単 な 計算 に よ り,釣

り合 い の

条件 は aA=bB(2) で 与 え られ る こ とが 示 され る.こ こでAとBは bは 支点0か

ら力AとBま

力AとBの

で の 距 離 で あ る.(2)を

大 き さで あ り,aと て この 原 理 とい う.ア ル

キ メデ ス が 明 らか に した もの で,お そ ら く物 理 学 の数 理 的 な 法 則 の最 初 の もの で あ ろ う. こ の場 合 の よ うに,た が い に釣 り合 う力 を 追 加 した りす るこ と も含 め て,多 の力 が は た ら く場 合 の釣 り合 いを 調 べ る こ とが で き るが,こ

く

こ で は省 略 す る.

な お,空 間 の 中 に選 んだ 原 点 か ら引 い た 矢 印 の 先 端 の 位 置 と して 空 間 内 の 位 置 を表 す こ とが で き る.こ れ を位 置 ベ ク トル と い う.変 位 もベ ク トル で あ り,速

度,加

速 度 も ベ ク トル で あ る.こ

れ に 対 し,質

量,エ

ネ ル ギ ー な ど の よ う に 向 きを もた な い 量

は ス カ ラ ー と呼 ば れ る. 図 ５の よ う に ベ ク ト ル 矢Ａ (Ax,Ay,Az)で

の先端 の座標 が

あ る と き,A=(Ax,Ay,Az,),

あ る いは

図5 と 書 く.ま

たｘ,ｙ,ｚ 方 向 の 単 位 長 さ の ベ ク トル(単

位 ベ ク トル)を

そ れ ぞ れｉ,ｊ

,ｋと す る と

であ る. 釣 り合 いの 例 棒 を ２本 の ひ もで 図 ６の よ うに 吊 る した と きの 力 の 釣 り合 い を 調 べ よ う. 【説 明】 棒 の 重 心 をＧ と し棒 の質 量 をｍ とす る.棒 の 張 力T1,T2が ６(a)).ま

に は 重 力F=mgと

ひも

は た ら いて い る.こ れ らは １点 で交 わ ら な け れ ば な ら な い(図

た 力Ｆ,T1,T2の

ベ ク トル 矢 は 閉 じた ３角形 を つ く らな け れ ば な らな

図 ６

い(図

６(b)).こ

れ らが 平 衡 の 条 件 で あ る.

棒 の重 心 の位 置,ひ

もの長 さな どの 関 係 で い ろ い ろの 形 に な るが,上 の 条 件 が

満 た され な けれ ば釣 り合 わ な い.

Tea

Time

力の分解 質 問  力 の 分 解 ・合 成 は い つ ご ろ か ら 考 え られ た の で し ょ う か. 答  オ ラ ン ダ のステ

ビ ン(S.

Stevin,1548‐1620)が1605年に

図 ７の よ うな 図 が あ っ て,そ な い 」 と 書 い て あ る.つ う に 考 え た.図

の上 の と ころ に

出版 した本 の扉 に

「 驚 くべ き こ と で あ る が 驚 く必 要 は

ま り 「わ か っ て み れ ば 当 然 」 と い う わ け だ.彼

は次 の よ

の よ うに な め ら か な 斜 面 に 等 間 隔 に 球 を つ け た ひ も が か け ら れ た

とす る.こ の とき左 側 の 斜面 の ほ うが 長 い か ら,こ こ に乗 っ てい る球 の数 は右 側 の斜 面 よ り多 く,し た が っ て左 側 の斜 面 に か か って い る ひ もの ほ うが 右 側 の斜 面 に かか って い る ひ もよ りも強 く下 へ 引 かれ て い るだ ろ う.そ の た め ひ もは 左 へ 向け て絶 えず ず れ 落 ち,ひ も は絶え ず 回 転 す るだ ろ うか.実 際 には そ ん な こ と(永 久 運 動)は あ りえ な い に ちが いな い.と す れ ば,こ の 場 合 ひ もを 斜 面 に 沿 って 左 へ 引 く力 と,右 へ 引 く力 と が 等 しい わ け で あ る.

図 ７

ステビ ン は こ れ を 斜 面 の 原 理 と し て 理 解 し,こ

れ を 使 っ て １つ の 物 体 に い くつ

か の 力 が は た ら くと き の 釣 り合 い を 明 ら か に し た.こ 葉 で い え ば,力

う し てステ ビ ン は 現 在 の 言

が 平 行 ４辺 形 の 法 則 に よ って 合 成 あ る い は分 解 で き る もの で あ る

こ と を 示 し た. ステ ビ ン は 土 木 な どに 通 じた 技 術 者 で あ っ た.こ ド・ダ・ヴィンチ(Le

onardo

取 り組 む 必 要 が あ っ て,力

da Vinci,1452‐1519)に

の こ ろ の人 た ち は レ オ ナ ル し て も,技

術 的 な 問題 に

の モ ー メ ン トな ど の 概 念 も 考 え だ し,力

の性 質 を理 解

す る よ うに な っ た わ け だ.ルネサンス

は 文 芸 や 美 術 ば か りで な く,科 学 的 な 視 野

も 同 時 に 開 か れ る 時 期 だ っ た の で あ る.

第２講 力 の モー メン トと釣 り合 い の 条 件

テーマ ◆ ベ ク トル の か け 算 ◆力 の モ ー メ ン ト と力 の 釣 り合 い ◆

Tea

Time:ベ

ク トル

ベ ク トル の か け 算 ベタ トル の積 に は ス カ ラ ー積 とベク トル積 の ２種 類 が あ る． 例 を あ げ て 説 明 し よ う. ス カ ラー 積 

な め らか な 斜面 に 沿 って物 体 がす べ り降 りる と き,重 力 が この

物 体 にす る仕 事 を考 え よ う(図 ８).物 体 の 質 量 をｍ と し,重 力 の加 速度 をｇ とす る と, 物 体 に は た ら く重 力Ｆ は 鉛 直 下 方 を 向 き, そ の 大 き さはF=mgで

あ る.斜 面 が 鉛 直 と

な す 角 を θとす る と,重 力 は 斜面 に沿 う大 き さFcosθ

の 力ｆ と斜 面 に垂 直 な力f'と の合

力 とみ る こ とが で き る(こ の と きｆ とf'はＦ

図8

の成 分 であ る とい い,ま た 力Ｆ はｆ とf'分

解 で き る とい う).斜 面 に沿 って 物

体 が距ｌ

だ け す べり 降 りる と き,斜 面 に 沿 う力ｆ(大 き さf=Fcosθ)が

に す る仕 事 は

物体

(１) で あ る.物

体 の 移 動 の 向 き に そ の 長 さｌ の 大 き さ を も つ ベ ク トルｌ を 考 え (２)

と 書 き,こ

れ をＦ

とｌ の ス カ ラ ー 積 と い う.一

般 に ベ ク トルＡ

とＢ の ス カ ラ ー

積 はＡ とＢ の 間 の 角 を θ と し て

(３) で 与 え ら れ る(図

９).こ

こ でＡ

とＢ は そ れ ぞ れＡ

とＢ の 大 き さ で あ る．

図 ９ ベ ク トル 積 

原 点 ０ か ら ベ ク トルＦ

トル をｒ と す る.ｒ 10)で

図10 が は た ら く点(作

とＦ を 含 む 面 に 垂 直 で,ｒ

か らＦ

回 し た と き に 右 ね じ が 進 む 向 き の ベ ク トル で,そ

ら れ る 平 行 ４ 辺 形 の 面 積rFsinθ 書 く),原

点Oの

引い た ベ ク

へπ よ り も 小 さ い 角θ(図 の 長 さ がｒとＦ

に 等 しい ベ ク トル をr×Fと

ま わ りの 力 の モ ー メ ン ト と い う.ま

用 点)へ

で つ く

書 き([r,F]と

た 一 般 にr×Fを

も

ベ ク トル

ｒとＦの ベ ク トル 積 と い う.

(４) ベ ク トルＡとＢ

と す る と き,ス

をｘ,ｙ,ｚ 成 分(直交

カ ラ ー積 は

座 標 系)で(５)

(６) で与 え られ る.ま たベク トル 積 は ベ ク トル

(７)

で与え られ る.こ れ らは 直交 座 標 系 の座 標 変 換に 対 して 不 変 で あ る こ とが示 さ れ る(証 明略). 力のモーメン ト 1.  1点Ｏ か ら力Ｆ の 作 用 線上 の 任 意 の 点Ｑ まで 引 い た ベ ク トルをｒ とす る と き,Ｏ の まわ りの 力 の モ ー メ ン ト (８ ) は 作 用 線 上 の点Ｑ の位 置に よ らな い.

図12

図11

【説 明 】Ｎ

は Ｏ とＦ を 含 む 面に 垂 直 で あ り,そ

した 垂 線 の ベ ク トル をｐ

と す る と き￨N￨=￨p￨・￨F￨に

の 大 き さ は Ｏ か らＦ へ お ろ 等 し く,作

用 線 上 の 点Ｑ

の 位 置に よ ら な い(図11). ２.  て こ の 支 点 を Ｏ と し,て こ が 釣 り合 う条 件 は,Ｏ す なわ ち

こ に は た ら く ２力 をF1,F2と

す る(図12).て

の ま わ り の 力 の モ ー メ ン トが 全 体 と し て ０に な る こ と,

(９) で あ る.

釣 り合 い の 条 件

力 を 加 え て も 変 形 しな い 物 体 を 剛 体 と い う.１ つ の 剛 体 に 力F1,F2,…,Fnが は た ら い て 釣 り合 う条 件 は,F1,F2,…,Fnの

総 和 が０,す

な おち (10)

で あ り,１ 点Oの

ま わ り の 力 のモ ー メ ン トの 総 和 が０,す

な わ ちrjを

Ｏ か ら力

Fjの 作 用 線 上 へ 引 い た ベ ク トル と し て (11) と な る こ と で あ る. こ れ は 次 の よ うに 述 べ る こ と も で き る. １つ の 剛 体 に 力F1,F2,…,Fnが

は た ら い て 釣 り合 う条 件 は,任

わ りの 力 の モ ー メ ン ト,す な わ ち 任 意 の 点 か らFjの をrjと

意 の１ 点 の ま

作 用 線 上 へ 引 い た ベ ク トル

して (12)

と な る こ と で あ る. 【説 明 】 =rj'+r0と

ベ ク トルrjの す る と,上

始 点 は 任 意 で あ るか ら,こ

れ を 一 様 にr0だ

け ず ら し てrj

式は

(13) と な る.r0は

任 意 で あ る か ら,こ

れか ら (14)

を 得 る.こ

れ は １.の 釣 り合 い の 条 件に ほ か な ら な い.

Tea

Time

ベ ク トル 質 問  力 が ベ ク トル で あ る と い うの は 経 験 法 則 な の で し ょ うか.そ

れ と も 力 はベクトル

と し て 定 義 さ れ る の で し ょ うか. 答  力 の 釣 り合 い を い ろ い ろ の 場 合 に つ い て 調 べ た り考 え た り す る こ と に よ っ て,力

を 力 の 大 き さに 比 例 し,力

の 向 き に 引 い た 線 分 に よ っ て 代 表 さ せ る と,力

の 合 成 や 分 解 が う ま く表 せ る こ と が 経 験 的 に 理 解 さ れ た の が は じ ま りだ と い っ て い い で し ょ う.今

の 言 葉 で い え ば 平 行 ４ 辺 形 の 法 則 が 発 見 さ れ た.こ

れ を使 って

ガ リ レイ も ニ ュ ー ト ン も 力 学 を 発 展 さ せ る こ と が で き た の で す . ベ ク トル 解 析 と い う数 学 が 確 立 さ れ た の は ず っ と あ と の こ と で

,19世

で す.こ

れ に つ い て は イ ギ リ ス の 数 学 者ハ ミ ル ト ン(W.R.Hamilton,1805‐

1865)と

ア メ リカ の 物 理 学 者 ギ ブ ス(J.W．Gibbs,1839‐1903)と

い が あ っ た と い わ れ る ほ ど新 し い の で す.で

す が,そ

の間 で 先 陣 争

れ よ り も 前に 力,速

速 度 な ど が 平 行 ４辺 形 の 法 則 に 従 う こ と が 十 分 に 認 識 さ れ て い て,ベ う概 念 は 自 然 に 発 生 し て い た と思 わ れ ます.こ

紀後半

度,加

ク トル と い

れ を 線 形 代 数 と し て把 え る こ と に

よって ベ ク トル 解 析 が 整 備 さ れ た. 一 度 整 備 さ れ る と 数 学 は た い へ ん 使 い や す くな

って 物 理 の 各 方 面 に応 用 され て

そ の 発 展 に 大 い に 役 立 つ よ うに な る ． こ れ は い つ で もそ う で す.そ

れ で力 は ベ ク

トル で あ る と い う と 力 の 性 質 が い っ ぺ ん に 明 白 に 把 握 さ れ る こ と に な る. マ ク ス ウ ェ ル(J.C.Maxwell,1831‐1879)が

電 磁 気学 を 確 立 し た と き に は,

ベ ク トル 解 析 が ま だ 十 分 発 達 し て い な か っ た の で,電 々 と した 式 を 使 わ な け れ ば な ら な か った し,そ

の た め 電 磁 気学 を 理 解 す る の は 当

時 た い へ ん む ず か し か っ た と い わ れ て い る.ベクトル い ろ 便 利 な 記 号(〓,grad, rotなど)が

磁 気学 の 法 則 を 書 く の に 長

あ っ て,電

の 場 を 扱 う のに 今 で は い ろ 磁 気学 だ け で な く流 体 力 学 な

ど で も こ れ ら の 記 号 を 使 うの で 式 を い ち い ち 成 分 で 書 か な く て も よ い の で あ る が,マ

ク ス ウ ェ ル の 時 代 は そ うは い か な か っ た の で あ る.

第３講 垂 れ た ひ もの形(懸 垂 線)

テーマ ◆両端 を固定 したひ もが垂れ下が った形 ◆ひ もの線密度が一様 でな いひもの場合 ◆ Tea Time:ア

ルキ メデスと静力学

ひ もの 静 力 学 一 様 な 重 力 の下 で 垂 れ 下 が った ひ もの 釣 り合 い が こ の講 の テ ーマ で あ る.垂 れ た ひ もが１ つ の 鉛 直 面 内 に あ る のは 当 然 で あ るか ら,こ の面 内 で水 平 方 向 にｘ軸 を,鉛 直 上 方 にｙ 軸 を と る.ひ もの あ る点 か らひ もに 沿 っ て測 った 長 さ をｓ,ひ もの 線 密 度(単 位 長 さ の 質量)を

σと し,ひ もの張 力 をＴ とす る.ひ

も は 完全

に自由 に 曲げ る こ とが で き る と し,ま た 力 を加えて もひ もは 伸 び な い とす る(図 13参 照)． 長 さ も密 度 も等 しい ひ も を ２本 用 意 し,両 端 を そ れ ぞれ 同 じ と こ ろに 保 持 す れ ば,２ 本 のひ もは 同 じ形 で 垂 れ る.そ

こ で ２本 の ひ もを い た る と こ ろで くっつ け

れ ば 質 量 が ２倍 の １本 の ひ もに な るが,垂 れ た形 は変 わ らな い.３ 本,４ 本,… で も同 じ こ とで あ る. これ か らわ か る よ うに,垂 れ た ひ もの形 は,ひ

もの絶 対 的 な 質 量 に は よ らず,

各 点 の 質 量 を 一 様 に 何 倍 か して もひ もの形 は変 わ らな い.各 点 の質 量 を 一様 にｎ 倍に す れ ば線 密度 はｎσに な り,張 力 はｎTに な る.し か し ひ もの 垂 れ た 形 は変

わ らな い ので あ る. dsには た ら く力 の釣 り合 い を 考 え よ う.こ の 部 分 の 両端 に は た ら く張 力 の 水 平 成 分Tx(s)とTx(s+ds)は

釣 り合 わ な

け れ ば な らな い か ら (１) 鉛 直 方 向 に は微 小 部 分 の 重 さgσdsが 張 力 と釣 り合 うの で,張 力 の鉛 直 成 分 に つ いては (２)

図13

した が っ て (３) で あ る. ひ も に 沿 うdsの

成 分 をdx,dyと

する と (４)

で あ る か ら,(３)を

積分す ると 一 定(T0と

す る) (５)

と な る.た だ し垂 れ た ひ もの最 下点 をs=0と

した.こ れ らの 式 の比 を つ くれ ば (６)

あ るい は 微 分 して

(７)式(７)に 与 え れ ば,ひ

は ２つ の使 い 方 が あ る.線 密 度 σを 定 数,あ もの形y=y(x)が

るい はｓ の 関 数 と して

得 られ,ま た ひ もの形y(x)を

決 め れ ば そ の形 を

与 え る よ う な ひ も の 密 度 σ=σ(s)が

求 め ら れ る.こ

こで (８)

で あ る か ら(７)は

(９)

と書 け る.こ のほ うが わ か りや す いか もしれ な い. い ろ い ろ な場 合 【例 １】σ=一

定(σ0と す る)の 場 合(い わ ゆ る懸 垂 線) (９)はL0=σog/Toと

して

(10)

で満 た され る.こ れ が 懸 垂 線 の 方 程 式 で あ る.た だ しひ もは 原 点x=y=0が れ を(８)に

最 低 点 で あ る と し た.こ

入れて積分すれば (11)

図14

を 得 る.ひ

もの 長 さを2lと し,そ の両 端 を 同 じ高 さ の ２点x=±

αに 固 定 す る と

すれば (12) に よってL0が

定 ま り(T0も

σ0に比 例 して定 め られ る),そ

し て こ の よ うに ひ も

を保 持 す る両 端 の 高 さy=bは (13) で 与 え られ る(図14). 【例 ２】 水 平 方 向に 等 間 隔 なお も りが か か って い る場 合 ひ もの 重 さを 無 視 す る.一 定 の重 さの 橋 げ た を 吊 って い る吊 り橋 の形 を 想 像す

れ ば よい(図15),水 長 さ の荷 重 をWと

平方向の単位 し,こ の場 合 は

(14) と 書 け ，(7)は

(15) 図15 と な る.し

たが って

(16) これ は放 物線 で あ る. 【例3】

ひ もの形 が 円 弧 に な る よ うな ひ もの 質量 分 布

円 弧 の 方程 式 を

(17) とす る.こ

の とき

(18) し た が っ てdtanθ/dθ=1/cos2θ

に よ り(7)か

ら

(19) とな り,最 低 点 か ら上 が るに つ れ,線 密 度 を大 き くす

図16

れ ば よい. 円 の 半 径aを

決 め て お く と き は,s=aθ

な の で σ0を 定 数 と し て,線

密度 を

(20) とす れ ば よ い こ と に な る.

TeaTime

アルキ メデス と静力学 ア ル キ メデ スは て この 原 理 や 重 心 の研 究,液 体 中 の 物 体 に は た ら く浮 力 の 解 明

な どで 有 名 で あ る.ま た 面 積 や 体 積 を小 さな部 分に 分 割 し て総 和 を 求 め る方 法 を 開発 し た が,こ れ は 積 分 学 の もと に な る考 え方 で あ っ た.彼 が 羊 皮 紙 に書 い た研 究 が 発 見 され て,彼 の 研 究 方 法 も明 らか に され て き た と い う.そ の 方法 の １つ は 数 学 的 な研 究に も実 験 を併 用 す る こ とで あ った ら しい.た

と えば 平 面 の 形 を した

物 体 の重 心 を 数 学 的に 求 め,他 方 で この形 の 板 の重 心 を実 験 的 に 調 べ る とい った 方 法 で あ る. ア ル キ メデ ス の 時 代 は 古 代 ギ リシ アの 末 期 で,彼 の 生誕 地 は ギ リシ アの 植 民地 だ った イ タ リア 南 部 の シチ リア 島 の シ ラ クサ で あ った.シ

ラ クサ は最 後にローマ

の軍 に攻 め られ て 落城 したが,ア ル キ メデ ス は シ ラ クサ 王 を助 け て,反 射 鏡 で太 陽 の光 を集 め て ロ ーマ の 軍艦 を焼 い た りし て ロー マ軍 を 悩 ま し た とい う． 落 城 の とき に ロー マ の兵に殺 され た.浮 力 の 研 究 は シ ラ クサ 王 が つ くらせ た 王 冠 に 混 ぜ もの が あ る とい う うわ さの た め,王 が ア ル キ メデ ス に検 査 を 依 頼 した こ とか ら生 まれ た の であ る. ガ リ レイは アル キ メデ ス を唯 一 の 師 とし て尊 敬 した． ア ル キ メデ ス は 実 験 的 に 示 され る て こ の釣 り合 いの 原 理 を も とに し て一 般 の力 の釣 り合 い,す

なわ ち静 力 学 を幾 何 学 の よ う

図 １7 アルキ メデスが考 えた重 さの釣 り合い に 論 理 的 に 考 え よ うと した が,実 験 と論 理 を 組 み 合 わ せ る科 学 の方 法 は アル キ メデ ス か らガ リレイに 引 き継 が れ た と い って も よい で あ ろ う.

第４講 摩

擦

力

―テーマ ◆ 静止摩擦 と動摩擦 ◆円柱にかけたひ もの摩擦 ◆ Tea Time:摩 擦力

静 止 摩 擦 水 平 な台 の上に 物 体 を の せ,水 平 な 力Ｆ を 加 え る.力Ｆ

が小 さ け れ ば摩擦の

た め 物 体 はす べ りだ さな い.こ の と きの摩 擦 力 は 加 えた 力Ｆ と大 き さが 等 し く, 向 きは 反 対 で あ る(図18). この 場 合,台 は物 体 の重 さの 力Ｗ で押 され て い る. 物 体 が 台 を押 す面 を 変 え な い で,物 体 にお も りな どを の せ て重 くす れ ば重 くす るほ ど,力Ｆ

を大 き くし な

け れ ば動 きだ さな い.こ れ に は 以 下 の 法則 が あ る. １.接

図18

触 面 の性 質 を 同 じに し て お く.物 体 が接 触 面 を押 す 力 をＷ

物 体が す べ りだ す と きの 力 を す べ りの最大 静止 摩 擦 力 と いい,そ る と きFmはＷ

に 比 例 す る.

(１)を す べ りの静 止 摩 擦 係 数 とい う.

とす る と き,

の 値 をFmと

す

２.接

触 面 の性 質 が 同 じな らば,静

止摩 擦 係 数 μ0は接 触 面 の面 積 に よ らな い.

こ の ２つ の 法則 を ク ー ロ ン(Coulomb)の

法則 とい う こ と が あ る.静

電気 の

間 に は た ら く力 を調 べ た ク ー ロ ン と同 じ人 で あ る. 動

摩

擦

物 体 が す べ りだ し てか らの 摩 擦 力 を す べ り摩 擦 力 とい う.す べ り摩 擦 力 はすべ りの最 大 静 止 摩 擦 力 よ りも小 さい.こ 押 す 力Ｗ

の場 合 に す べ ら せ て い る力Fと

接触面 を

との 比

(２)

を す べ りの動 摩 擦 係 数 とい う.こ れ は完 全 な定 数 で は な く,一 般 にす べ る速 さが 速 い ほ ど動 摩 擦 係 数 は小 さ くな る. 木 の 物 体 が 木 の 台 の上 を す べ る場 合 に は 接 触 面 の 凹 凸 が 摩 擦 の 原 因 で あ るが, 接 触 面 を 油 な どで ぬ らす と摩擦 力 を小 さ くす る こ とが で き る.金 属 面 が た が い にす べ る と きは 小 さな 凹 凸に よ って面 が ひ っか き合 っ て,部 分 的 に 高温 に な って融 け る.こ の と きの 仕 事 が 摩 擦 力 を生 じる. 図19

車 輪 や ころ な どが転 が る と き も,小 さい が 摩

擦 力 が は た らい て運 動 を減 衰 させ る.こ れ を転 が り摩 擦 とい い,接 触 面 の変 形 な どが そ の 原 因 で あ る(図19). 円柱 に か け た ひ もの 摩 擦 円柱 に ひ もを か け,ひ

もの両 端に 力 を 加 え る と,大 き な力 の ほ うへず れ よ う と

す るが 静 止 摩 擦 のた め は じめ は動 か な い.し か し一 方 の 端 を 引 く力 を十 分大 き く す る と摩 擦 が 負 け て い っぺ ん に ず れ 始 め る.ひ もが ず れ始 め るち よっ と前 の と き は,ひ

もを 引 く力 と最 大 静 止 摩 擦 力 とが釣 り合 って い る わ け で あ るが,ひ

もの 張

力 は ひ もの場 所 に よ って違 い,円 柱 を押 す 力 も場 所 に よ って違 うの で,は た らい

て い る最 大 静 止 摩 擦 力 もひ もの 場 所 に よ って異 な る. ひ もの一 端 に 加 え る力 をT1と

し,ず

ま る直 前 の と きの 他 端 の力 をT2と

れ が始

し,図20の

よ うに そ の 間 の角 度 を θ とす る と

図20

(3) の 関 係 が あ る.こ

こで μ0は静 止摩 擦 係 数 で あ る.

【証 明】 図21の

よ うに 円柱 に か か る ひ

もの 微 小 部 分PQを

考 え,こ れ に相 当す る

角 度 をdBと T,Qにお

す る.ま

お け る張 力 を

け る張 力 をT+dT(dT＞0)と

す る.PQの T+dTの

たPに

部 分 に は た ら く力 は張 力T, ほ か にPQの

部 分 の ひ も と円柱

とが押 し 合 う力dNと

この 部 分 に は た ら く

最 大 静 止摩 擦 力dFと

で あ る.力 の 釣 り合

い を考 え る と,PQに

平 行 な方 向 の釣 り合 い は

図21

(4) で あ り,PQに

垂 直 な 方 向 の 釣 り合 い は

(5) と な る,こ

こ でdBが

十 分 小 さ い とす る と(4)は

(6) と な り(5)は

(7) と な る.こ

こ でdFとdNの

間 に は摩 擦 の 法則

(8) が 成 り立 つ.し

た が っ て(6)と(7)を(8)に

代 入 して

(９) を 得 る.こ (T2>T1)と

れ をdT/T=μ0dθ し,こ

と 書 い て 積 分 し,一

の 間 の 角 を〓

端 の 力 をT1,他

端 の 力 をT2

とす れ ば (10)

と な る.こ

れ を 書 き 直 せ ば(３)を

得 る.

最 大 静 止 摩 擦 力 の 限 度 を 越 え て 大 き な 力 を 加 え る と,ひ す るす る とす べ る が,こ

もは 円 柱 に 沿 い な が ら

の と き ひ も の 両 端 に 加 え て い る 力 をT1,T2と

す る と(10)

のμ0を す べ りの 摩 擦 係 数 μ で 置 き換 え た 式 が 成 り立 つ で あ ろ う. 円 柱 に ひ も を 巻 き つ け れ ば,小 と が で き る こ と に な る.μ0〓0.3と と き はT2/T1〓e2〓7.4,２ な お,ひ

さ な 保 持 力T1で

大 き な 外 力T2に

す る と2πμ0〓2と

な る の で,１

回 巻 き つ け た と き はT2/T1〓e4〓55と

も の 途 中 の 角 度 が θの と こ ろ の 張 力 をＴ

対抗す るこ 回巻 きつ け た

な る.

とす れ ば,(９)の

積 分か ら (11)

を 得 る.

Tea

Time

摩擦 力 質問  静 止摩 擦 係 数 の 値 は どの く らいで す か. 答  摩 擦 係 数 は 面 の け ず り方,な め らか さ,材 料,油

な ど の存在 な ど,い ろ い ろ

の違 いに よっ て さ ま ざ まです.し か し大ざ っぽな 値 で も知 ってお くと よい で し ょ う.表 面 が な め らか で,完 全 に 汚 れ てい ない 場 合,静 止 摩 擦 係 数 は 非 常 に 大 き く 1∼10の 値 を示 す.し

か し完 全 に汚 れ の な い表 面 は 超 真 空 な どの 特別 な条 件下 で

なけ れ ば あ りえな い.現 実 的に い っ て油 な どで 汚 れ てい な い 表面 ど うし の摩 擦 を 乾 燥 摩 擦 とい い,そ の 静止 摩 擦 係 数 は0.5∼1.5程

度 で あ る.表 面 が液 体 でぬ れ

てい た りす る と この値 は0.1程 度 に な り,流 体 の 膜 で へ だ て られ た面 で は0.001 以 下 に もな る.ふ つ うの乾 燥 状 態 の一 応 な め らか な 表 面 で は,す べ りの静 止 摩 擦 係 数 は0.4程 度 とみ て よい だ ろ う.動 摩 擦 係 数 は 約 １割 ぐ らい小 さい.一 般 に摩

擦係 数 は 金 属 表 面 で 大 き く,プ ラス チ ッ クで は小 さ い. 自動 車 の タ イ ヤ と道 路 との間 の 動 摩 擦 係 数 も道 路 の材 料 な ど に よ っ て 異 な る が,乾 燥 状 態 で 約0.5な の が ぬ れ た 状 態 で は0.3程 度 に な る.ま た 自動 車 の ス ピ ー ドが20km/時 の と き摩 擦係 数 が0 .6で あ っ て も80km/時 に な る と0.3程 度に な っ て し ま うか ら,高 ス ピー ドほ ど制 動距 離 を 十 分 長 くと らな け れ ば な らな いわ け で あ る.運 転 す る人 は この こ とを よ く考 え なけ れ ば な ら な い.

第５講 力学的 エネル ギー保存の法則

―テーマ ◆ 等加速度運動 ◆力学 的エネルギ ーの保存 ◆ Tea Time:エ ネルギー,エ ネルギ ーの単位

等加速度運動 まず 一 直 線上 の運 動 を扱 お う.こ の 直線 をｘ 軸 に とる と速 度 は (１) で あ り,加 速度 は (２) で与 え られ る.物 体 の質 量 をｍ と し,こ れ に は た ら く力(ｘ 方 向の 力 とす る)を ｆとす れ ば,運 動方 程式 は

(３)

で 与 え られ る. そ こで,力 が 一 定 の 場 合 を 考 え る と α=f/mは と きの 速度 をv0と し て(３)を

定 数 に な る の で,時 刻t=0の

積 分 す れ ばv=v0+αtあ

るい は

(４) を 得 る． これ を さ らに 積 分 し,t=0の

と きの位 置 をx0と す れ ば (５)

とな る． これ が一 直 線 上 の 等 加 速度 運動 で あ る. 一 様 な重 力 がは た ら く場 合 ,鉛 直 下 方 にｘ軸 を と り,重 力 の 加 速 度 をｇ とす る と (６) この と きはα=gで

あ る．t=0でx0=0か

ら 自由 落 下 す れ ばv0=0で

あ り,

(７)

し た が ってv2=g2t2=2gx,あ

るい は

(８)

が 成 り立 っ. (８)は (９) と書 く こ と が で き る.こ

こ でmv2/2を

ネ ル ギ ー と 呼 べ ば,(９)は

運 動 エ ネ ル ギ ー と 呼 び,−mgxを

位置 エ

こ れ ら の 和 が 一 定 で あ る こ と を 示 し て い る.こ

れ は

エ ネ ル ギ ー 保 存 則 の 一 番 簡 単 な 場 合 で あ る.

力学 的 エ ネ ル ギ ー

質 量ｍ の 物 体 の 位 置をｘ,こ

れ に は た ら く力 をｆと す る と,運

動方程式 は

(10)

こ こ で(dx/dt)dt=dxを

両 辺に か け る と

(11)

とな るが左 辺 で は (12)

と 書 け る.ま

たv=dx/dtは

物 体 の 速 度 で あ るか ら (13)

これ を 積 分 す れ ば (14)

を 得 る(図22).左

辺 は 運 動 の エ ネ ル ギ ー の 増 加 分 で あ り,右 辺 は 力ｆ の し た仕事

と解 釈 で き る.し た が って上 式 は,運 動 の エ ネ ル ギ ーの 増 加 は,な

され た 仕 事 に 等 しい こ とを 表 し て い る.こ の こ と

は 一 直 線 上 の 運 動 に 限 ら な い.力 の 成 分 をfx,fy,fzと し,物 体 の 移動 をdx,dy,dzと

す れ ば上 式 は,出 発 時 の 速

度 をv0と し て

(15) 図22 と 書 け る.こ (dx,dy,dz)を

こ でｆ は 力 の ベ ク トルf=(fx,fy,fz)を 表 す.さ

ら にf・drは

表 し,drは

微 小 変 位dr=

ス カ ラ ー積 (16)

を 表 し て いる． こ こ でfsは

変位dsの

方 向 の 力ｆ の 分 力 で あ り,∫f・dr=∫fsds

は 物 体 に な され る 仕 事 で あ る. 力ｆ が 物 体 の 移 動drに 方 向 にdx=0で

あ り,ま

垂 直 な 場 合 は,た たfy=fz=0で

体 の 移 動 が 力ｆ に 垂 直 な 場 合 は,こ 力ｆ が あ る 関Ｕ

か ら

と え ば 力 の 方 向 にｘ軸

あ る か らf・dr=0と の 力 は 仕 事 を し な い.

を とる と こ の

な る.す

なわ ち物

(17)

に よ っ て 導 か れ る 場 合,こ

の 力 を 保 存 力 と い う.こ

の と き(16)は (18)

と な る． こ の 場 合(15)は,U0を

出 発 点 に お け るＵ

の値 として (19)

あ る いは

(20)

と書 け る.こ て(20)は

こ でＵ

は 位 置 エ ネ ル ギ ー(あ

る い は ポ テ ン シ ャル)で

あ る.そ

運 動 エ ネ ル ギ ー と 位 置 エ ネ ル ギ ー の 和 が 一 定 に 保 た れ る こ と,す

し

なわ

ち 力 学 的 エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 表 し て い る. 一 様 な 重 力 のmgがｘ る か ら,(20)は(９)を

方 向 に は た ら く場 合 はf=mgで

あ り,U=-mgxで

あ

与 え る.

斜 面 上 の す べ り運 動

な め ら か な(摩

き,物

擦 の な い)斜

面 上 を 物 体 が す べ り降 りる と き を 考 え る.こ

の と

体 は重 力 と 斜 面 か ら の 抗 力 を 受 け る

が,な め らか とい うこ とは,抗 力 の 斜 面 に 沿 う成 分 が な い こ と,し た が って抗 力 は 斜 面に 垂 直 で あ る こ とを意 味 し て い る.こ の 場 合, 物 体 の 移 動 は抗 力 に垂 直 であ るか ら物 体 に 対 して 仕事 を し な い.そ

こで 物 体 が 静 止 の 状 態

図23

か らす べ りだ し て高 低 差ｘ だ け 降 りた と きの 速 度 をｖ とす る と(８)の

式 (21)

が斜 面 の傾 きに よ らず成 り立 つ(図23).

こ こ で 斜 面 に 沿 っ た 移 動 距 離 をｌ,斜 を θ とす れ ば,図23か

面 の傾 き

ら (22)

した が って (23) と 書 け る.こ

れ は 斜 面 に 沿 っ てmgsinθ

は た ら い た と き の 速 度 で あ る.重 図24

な力f‖=mgsinθ

の力 が

力 は 斜 面に 平 行

と 垂 直 な 力f⊥=mgcOsθ

と

に分 解 で き,後 者 は 抗 力 と釣 り合 うの であ る(図24).

Tea

Time

エネルギー エ ネ ル ギ ー とい う言 葉 は い まで は 日常 語 で あ るが,ニ に は この言 葉 は な い.彼

ュー トンの 書 い た 本 な ど

の力 学 の 主 著 で あ る 『プ リ ンキ ピア』 で扱 って い る惑 星

の 運動 で は運 動 法則 と万 有 引 力 か ら運 動 を 導 い て い るが,こ れ に エ ネ ル ギ ー とい う概 念 を し い て使 う必 要 は な い.し か しガ リ レイ は力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法則 を ほ とん ど発 見 し て いた.た

とえば 斜 面 を ころ が り降 りた 球 が そ の 向 こ うに あ る

別 の斜 面 を こ ろが り上 が る と きは,は とがで き る こ とに 彼 は 注 意 し,第

じめ に 出発 した 高 さに 近 い高 さ ま で上 る こ

２の 斜 面 が平 ら で あ った ら球 は い く らで も遠 く

まで 運 動 を 持 続 す るに ち が い な い と述 べ て い る.ま た 振 り子 の糸 が 振 れ る と ころ に釘 を お け ば 糸 が これ に ぶ つ か った あ とで釘 よ り下 の部 分 が さら に 前進 し て お も りは上 昇 す るが,お

も りは は じめ の 高 さに近 い と こ ろ まで 上 昇 す る.こ の よ うな

こ とか ら空気 の抵 抗 な どが な い 理想 的 な場 合 の 運 動 の 持 続 を ガ リ レイは 考 え て い る.理 想 的 な場 合 を推 定す る こ とは彼 の す ぐれた 思考 方 法 の １つ で あ った. 彼 は また杭 に石 を落 とす と きは石 を 杭 の上 に お く よ りも大 きな 力 が は た ら くこ とに注 意 し,衝 突 に よる運 動 の伝 達 も考 えて い る が,運 動 量 や エ ネ ル ギ ーの 概 念 を 明確 にす る こ とは で きな か った.デ

カルト は質 量ｍ と速 度ｖ の積 を運 動 の量 と

考 え,ニ ュ ー トンは これ を 運 動 の法則 に取 り入 れ た.ラ von Leibniz,1646‐1716)はmv2で

イプニッツ(G．W.F.

運 動 の量 を表 す こ とを 主 張 した が,こ の ころ

は まだ 力 と運 動 の量 との 区別 が 十 分 明 らか で は な く,し ば しば 論 争 のた ね に な っ た.エ ネ ル ギ ー の概 念 が確 立 され た の は 力学 的 エ ネ ル ギ ーが 熱に な る現 象が 大 き な 関 心 を よび,熱 の学 問 が発 達 し始 め て か らで あ った.

エネルギーの単位 力 の 単 位:ニ

ュ ートン(記

1N=1kgの

号N)

物 体 に は た ら い て1m/s2の

加 速 度 を 生 じる力

=1kg･m/s2 1kg重=9.8N(9.8は

重 力 加 速 度g=9.8m/s2に

エネ ルギー および 仕 事 の 単 位:ジ

ュ ー ル(記

よ る)

号J)

1J=1N×1m=1kg(m/s)2 1 kW時=3.6×106J 熱 量 の 単 位 に もＪ を 用 い る が,補 で は キ ロ カ ロ リ ー(kcal)が

助 的 に カ ロ リー(cal)も

用 い ら れ る .栄

養学

用 い ら れ る．

1cal=4.18J,1kcal=1000cal 仕事率 :ワ ッ ト(記 号Ｗ) 1W=1秒

間 に1Jの

仕 事 を す る仕 事 率

=1J/s １馬 力(フ ラ ン ス,PS)=735.499W, １馬 力(イ ギ リ ス,HP)=745.700W 圧 力 の 単 位 ：パ ス カ ル(記 1Pa=1m2に

号Pa)

１Nの

力 が 加 わ る と きの圧 力

=1N/m2 補 助 的 に ヘ ク トパ ス カ ル(hPa)も ー ル(=10-3bar

,記

号mb)も

用 い ら れ る.以

前 は バ ー ル(bar),ミ

リバ

用 い ら れ た.

1hPa=100Pa=1mb １気圧(記 Hgで

表 す.以

号atm)は

水 銀 柱760mmに

前 は トー ル(torr)と

1atm=760mmHg=1013.25hPa 1mmHg=1torr

相 当 す る 圧 力 で あ る.水 銀 は 原 子 記 号 い う単 位 も用 い ら れ た .

第６講 回転 の エ ネル ギ ー

―テーマ ◆斜面 を降 りる回転体 ◆回転 のエネルギー ◆ Tea Time:坂 道を ころが る球

回転 と重 心運 動 図25の

よ うに 中央 に 回 転 軸 をつ けた 重 い亜 鈴 形 の物 体 を 考 え,軸

が斜 面 上 を

す べ らず に こ ろが る とす る.こ の 回転 体 は ゆ っ く り加 速 され な が ら斜 面 に沿 って 降 りる.こ の加 速 がゆ るや か な のは 回 転 の ため に エ ネ ル ギ ー が食 われ るか ら で あ る.言 い換え る と,降 下に よっ て 位 置 エ ネ ル ギ ーが 運 動 エ ネ ル ギ ーに 変 わ る と きに,そ の大 き な部 分 は回 転 の 図25

運 動 エ ネ ル ギ ー とな り,降 下 運 動 に は

少 し しか与え られ な いの で,加 速 は ゆ っ く りした も のに な る ので あ る. そ こで まず 降 下 運 動 は 考 えず に,回 転 の エ ネル ギ ーを 調 べ よ う. 図25と

同 じ亜 鈴 形 の 回 転 体 が 回転 軸 の ま わ りに 単 位 時 間 にｎ回 の速 さで 回 転

し て い る とす る. (１)

は単 位 時 間 に 回転 す る角度,す

な わ ち 角速 度 で あ る.中 心 軸 か ら両 側 の お も りま

で の長 さをｌ とす る と,お も りは単 位 時 間 にlω だ け の 距 離 を 進 む の で,そ

の速

さは (２) で あ る.２ つ のお も りの質 量 が 等 し くｍ で あ る とす る と,こ の 回 転 体 の 回 転 の 運 動エネルギーは (３) とな る. 図25の

よ うに 回 転 し なが ら重 心 運 動 を す る物 体 の運 動 エ ネ ル ギ ー は重 心 運 動

の エ ネ ル ギ ー と回転 エ ネ ル ギ ー との 和

(４) で与 え られ る.こ こで 回 転 体 の 質 量 をM（=2m),重

心 の 速度 をvGと す れ ば,重

心 運動 の エ ネ ル ギ ー は (５) で あ る.(４)を

証 明 し よ う.

【証 明】 図25の 回 転 体 の ２個 の お も りを１,２と名 づ け る.重 心(回 転 軸 の 中 心)の

位置 をベ ク トルrGで

表 し,重 心

か らお も り １ま で引 い た ベ ク トル をr1', とす れ ば,お

も り１の 位 置 は (６)

とな る.こ れ を 時 間 で微 分 す れ ば,お り １の 速度v1は

も 図26 (７)

で 与 え られ る． こ こ でvG=drG/dtは り １の 速 度 で あ る.

重 心 の 速 度,v1'=dr1'/dtは

回転 に よ るお も

回 転 軸(重 か ら,回

心)か

ら お も り １ ま で の 距 離 はｌ で あ り,回

転 に よ りお も り １が もつ 速 度v1'方

転 の角 速度 は ωで あ る

向 の 単 位 ベ ク トル をuと

す れ ば, (８)

と 書 け る.回

転に よ る お も り ２ の 速 度v2'はv1'と

逆 向 きな の で

(９)

で あ る． 全 運 動 エ ネル ギ ー は (10) で あ る.こ

れ に(８),(９)を

代入すれば (11)

を 得 る.こ

の 右 辺 の 第 １項 は 重 心 運 動 の エ ネ ル ギ ー で あ り,第

２項 は 回 転 の た め

の 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ る.

回転 しなが らの 降 下

回 転 軸 の 半 径 をｒ と し,回

転 軸 と 斜 面 の 間 で す べ りが な い と す る と (12)

が 成 り立 つ.し

た が っ て(５),(３)か

ら

(13)

と な り,(11)は (14) と書 け る. こ の 回 転 体 が 斜 面 の 上 で 静 止 の 状 態 か ら 降 下 を 始 め,鉛 りた と す る と,位

置 エ ネ ル ギ ー の 減 少 は2mgxで

重 心 運 動 と 回 転 運 動 の エ ネ ルギーに

あ る.こ

直 距 離 に し てxだ

け降

れ だ け のエ ネル ギ ーが

な っ た わ け で あ る か ら, (15)

が成り 立 つ.こ

こ でＫ は 静止 の 位置x=0か

ら鉛 直 距 離xだ け回 転し な が ら降 下

した とき の運 動 エ ネル ギ ー で あ る.こ れ に(14)を

代 入す れ ば (16)

した が って,お

も りが あ るた め,回 転 体 は ゆ っ く り加 速 され て 降 下 す る.回 転 の

た め にエ ネル ギ ーが くわ れ るか らゆ っ く り降 りる の で あ る. 慣 性 モ ー メン ト 物 体 が 固定 され た 回 転 軸 の まわ りに回 転 す る と す る.軸 か らljの 距 離 に 質 量 mjが あ る よ うな 質 量 分 布 の と き

(17) を こ の 軸 の まわ りの 物 体 の 慣 性 モ ー メ ン トと い う.回 z)に

お け る 密 度 を ρ(x,y,z)と

転 軸 をｚ 軸 に と り,(x,y,

すれば

(18)

で あ る.積

分 は 物 体(剛

体)の

全 体 積 に つ い て 行 う.

物 体 の全 質 量 は (19) で あ り,

(20)

と書 い て,ｌ を 回 転 半 径 と い う. こ の 物 体 が 角 速 度 ω で 回 転 す る と き の 回 転 の エ ネ ル ギ ー は(３)を(17)に

よ

り拡 張 し た 式

(21)

で与 え られ る.こ の 物 体 の 軸 の半 径 がｒ で あ る と き,図25の 沿 って 降下 す る な らば,そ の 速度 は(16)で

よ う に し て斜 面 に

与 え られ る.た だ し この と きはｌ と

し て 回 転 半 径 を とら なけ れ ば な らな い. た とえ ば,一 様 な密 度 の半 径ａ の球 にお い て,中 心 を 通 る直 線 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トは (22) で あ り,し た が って回 転 半 径 の ２乗 は (23) で あ る.球 が 斜 面上 をす べ らず に ころ が り降 りる と きは,(18)に

お い てr=aと

お き上 のl2を 用 いれ ば (24) これ は こ ろが らず にすべり 降 りる と きの速 さ√2gxに

Tea

比 べ て 約 ２割小 さい.

Time

坂 道 を ころ が る球 質 問  坂 道 の上 で球 を こ ろが す と,坂 道 が あ ま り急 で な け れ ば 球 はす べ らず に こ ろが る で し ょ うが,坂 道 の 傾 きを 急に した 極 限 で 坂 道 が 鉛 直 に な った とす る と球 は こ ろ が ら ない で 落 下す るの で は な い で し ょ うか.ガ

リ レイ は 坂 道 に 沿 う落下 が

等 加 速 度 運 動 で あ る こ とを 確 か め て,自 由 落 下 の 場 合 を 類 推 した とい わ れ て い る よ うです が. 答  ガ リレイ は坂 道 で物 体 を す べ らせ る実 験 を して,坂 道 が 急 に な った極 限が 自 由 落 下 で あ る とい って い ます が,実 際 に この よ うな 実 験 を した か は 疑 わ しい.坂 道 で物 体 をす べ らす とい うの も不 自然 で,も

し も実 験 を して い た とす れ ば 球 を こ

ろ がす 実 験 だ った だ ろ う.す る と球 がす べ らず に ころ が る坂 道 の場 合 と,こ ろ が らず に落 下 す る 自 由落 下 の 間 に は ギ ャ ップ が あ るわ け で す.お そ ら くガ リレイ は この よ うな実 験 を し ない で頭 で考 えた の で し ょ うが,球 が 回 転 す るか ど うか とい

うこと に は あ ま り注 意 をは らわ な か った の で し ょ う. 球 が 坂 道 を こ ろが り落 ち る と きは だ ん だ ん 速 くな るの で,球 の 回 転 も加 速 され るわ け で す.こ の 回 転 の加 速 は 球 が 坂道に 接 触 し て い る と ころ で は た ら く摩 擦 力 で,こ の 摩 擦 力 が 十 分 であ れ ば す べ りは起 こ らな い.し か し坂道 を 急 にす る と球 が 斜 面 を 押 す 力 は 小 さ くな るの で,そ れ につ れ て最 大 摩 擦 力 も小 さ くな る.そ こ で,斜 面 の 傾 きが あ ま り大 き くな る と,最 大 摩 擦 力 がは た らい て も回 転 は 十分 に 加 速 され な くな り,接 触 面 で す べ りが起 こる よ うに な る.す べ りが 起 こ る と動 摩 擦 は 小 さい の で 回 転 の 加 速 は さ らに小 さ くな る.傾

きを 大 き くす る とそ の た めに

動 摩 擦 は ます ます 小 さ くな り,つ い には ほ とん ど回転 し な い で 自由 落下 す る よ う に な る.

第７講 角 運

動

量

―テーマ ◆ 回転の運動 方程式 ◆角運動量 ◆ Tea Time:惑

星の角運動量

回転 の 運 動 方 程 式 自 由に 回 転 で き る物 体 の 軸 に つ け た 車 輪 に ひ もを かけ て 回転 させ る.物 体 の慣 性 モ ー メ ン トをＩ,角 速 度 を ω とす る と回 転 のエ ネル ギ ーはIω2/2で あ り,こ の エ ネ ル ギ ー は ひ もを 引 く仕 事 に よっ て増 加 す る .ひ も を かけ た車 輪 の 半径 をａ とす る と,ひ もを 引 く速 さは awで あ っ て,ひ

も を 引 く力ｆ が 単 位 時 間 に す る仕 事

は (１) こ こでN=afは

軸 の まわ りの力 の モ ー メ ン トで あ る.

この 仕 事 は 回転 エ ネ ル ギ ーの増 加 率 に等 し いか ら (２)

図27 が 成 り立 つ.dw2/dt=2mdω/dtで

あ るか ら

(３)

とお け ば(２)は

(４)

とな る.こ こでＬ は 軸 の ま わ りの 角 運 動 量 と呼 ば れ る量 で あ り,(４)は

角運動

量 の 増 加 率 は 力 の モ ー メ ン トに 等 しい こ とを 示 し て い る. と くに軸 の まわ りの 外 力 の モ ー メ ン トが な い と きはdL/dt=0と

な り,し た が

って (５) とな る.こ れ は 角運 動 量 の保 存 の法 則 を 表 す. 図27で

は 固定 され た 回 転 軸 が あ る と した が,と

点 の まわ りの 外 力 の モ ー メ ン トが ０で あ れ ば,そ

くに回 転 軸 が な く て も,あ る の点 の まわ りの角 運 動 量 は 保 存

され る. ま た,回 転 す るスケーター が自 分 で 姿 勢 を 変 え る と きの よ うに,回 転 す る物 体 が そ の 中 で作 用 す る力(内 力)に 変え る と き も(４)は

よ って 変 形 す る こ とに よ って慣 性 モ ー メン トを

成 り立 つ. 一 般 的 な証 明

物 体 が 質 点 の集 ま りに よ って 構 成 され て い る と考 え て(４)を j =1,2,…,nと

し,質 点ｊ の 質 量 をmj,そ

の 位 置 をrj(任

導 こ う.質 点 を

意 の 点 を原 点 とす る)

とす る と運 動 方 程 式 は (６) で あ る.こ

こで 質 点ｊ に は た ら く力Fjは

く内力Fkj(k=1,2,…)と

外 力Fj，'の和 で あ る(Fj=F1j+F2j+…+Fj').質

間 の力 は作 用 ・反 作 用 の法 則Fjk=-Fkjを ベ ク トルrj-rkと 力Fkjは

この 物 体 の 中 の 他 の 質 点ｋ か ら は た ら

満 足 す る.さ

点

ら に 質 点ｋ とｊ を 結 ぶ

平行なので (７)

とな る.し た が っ て力 の モ ー メ ン トrj×Fjの 総 和Ｎ を つ く る と きは外 力Fj'の 寄 与だけにな り

(８)

を得 る. さ て原 点 の まわ りの 角 運 動 量 は (９) で 与 え られ るベ ク トル で あ る.た だ し こ こでPjは 運 動 量 (10) で あ る(rj=drj/dtは

速 度).恒

時 間 的 変化 は(６)を

用 いて

等 式rj×rj=0が

成 り立 つ の で,角

運 動量Lの

(11) とな る． した が って

(12)

これ が 角 運 動 量 に 対 す る運 動 方 程 式 で あ り,内 力 に よ って物 体 が変 形 す る と き も 成 立 す る.外 力 が な い と きはN=0でL=一

定 とな る.こ れ が 角 運 動 量 保 存 の 法

則 で あ る. こ この 証 明 で は 内力 が 質 点 間 を 結ぶ 直線 上 に は た ら く とした が,よ

り一 般 的 に

は 内 力 が ポ テ ンシ ャル を もつ もの で あれ ば角 運 動 量 保 存 の法 則 が 成 り立 つ.な この 法則 に つ い ては 第23講

お

のネーターの 定 理 を参 照 の こと．

角運動量保存の例 １.ス

ケ ー タ ーが ス ピ ンを しな が ら,腕 を 外方 へ伸 ばす と 回転 が遅 くな り,腕

を か らだ に 近 づ け れ ば 回 転 が 速 くな る.腕 を 簡単 化 し て質 量ｍ,か 距 離 をｌ と し,角 速度(ス

らだ か らの

ピ ン)を ω とす れ ば,角 運 動 量 はL=ml2ω=一

定.し

た が ってｌ を 大 き くす れ ば ωは小 さ くな り,ｌ を 小 さ くす れ ば ωは大 き くな る. ２.ネ

コの足 を上 に し て 吊 る し,少 し高 い と ころ か ら放 す と空 中 で か らだ をう

ま くひ ね って 足 を 下 に して着 地 す る.ネ コは か ら だ の形 を うま く変 え る こと に よ って この 芸 当 を な し とげ る の で あ る.ま ず うし ろ足 を 伸 ば した ま ま で 前足 を か ら だ に ひ きつけ て前 半 身 を回 し て顔 を 下 向 きにす る.こ の と き後 半 身 は 少 し逆 向 き に回 るが,後

半 身 の慣 性 モ ー メ ン トが大 きい の で,そ

の 回 転 は 微 小 で あ る.次 に 前 足 を 下 へ 伸 ば し,後 ろ足 をか らだに ひ きつ け て後 半 身 を 回 して正 常 の 姿 勢 に な る.こ の と き前 半 身 は 少 し逆 向 きに 回 るが,前 半 身 の慣 性 モ ー メ ン トが 大 き い の で,そ の 回 転 は 微 小 で あ る.こ の よ うに して ネ コは部 分 的 に慣 性モーメ ントを 変 化 させ て 空 中 で か らだ を うま くひ ね って 着 地 す る の で あ る. ３.体 操 選 手 の 演 技 で は ネ コ よ りも上 手に 空 中 で か らだ を 回転 させ るが,ふ

つ

うの 人 に は そ の まね は で きな い.し か し,な め らか な 回転 椅 子 の上 で 腕 を 左 方 へ 伸 ば して右 へ速 く振 る とか らだ と椅 子 は左 へ 少 し回 る.次 に 腕 を か らだ へ 引 きつ け る.こ の動 作 を繰 り返 せ ば か らだ と 椅子 は しだ い に左 へ 回 る こ とに な る.こ の 場 合,全

体 の角 運 動 量 は 常 に ０で あ るが,右 へ 振 る腕 の 角 運 動量 と逆 向 きの 角 運

動 量 で か らだ と椅 子 が左 へ動 くの で あ る. ４.回

転 軸 の まわ りに な め らか に 回 転 す る こ とが で き る水 平 な 円板 の上 で,虫

が 軸 か ら 円周 まで ま っす ぐ歩 き,次 に 円周 に沿 って左 へ 歩 くと 円板 は右 へ 回 る.次 に 軸 まで ま っす ぐ歩 け ば 虫 はは じめ の位 置 に戻 り,円 板 は右 へ 回 った こ とに な る． 虫 が 歩 くと き円 板 を蹴 って押 す 反 動 で 円板 は 回 る とい っ て も よい が,虫 が歩 く左 回 りの角 運 動 量 と同 じ 大 き さで 逆 向 きの 角 運 動量 で 円板 は右 へ 回 る とい う こ と もで き る.は じめ虫 と 円板 が 静 止 し てい れ ば 角 運 動

図29

量 は 虫 が 歩 い て い る とき も ０で,虫 が 止 まれ ば 円板 も止 ま るわ け で あ る.次 に 虫 が 円 板 上 で 円 を画 い て歩 くと きの 円板 の回 転 を 計 算 して み よ う.

虫 が 歩 くとき の 円板 の 回転 中心 の回 転 軸 の まわ りに な め らか に 回転 で き る水 平 な台 の上 で 虫 が 円板 に描 か れ た 円 に沿 っ て歩 く.虫 が １回 り した と きに 円板 は ど の くらい 回 転 して い る か.た

だ し円板 の質 量 をＭ,

虫 の 質 量 をｍ と し,円 板 の半 径 をａ と し,虫 は 中 心 を 通 り,直 径ａ の 円 を 描 い て歩 く とす る. 虫 が 軸Ａ か ら出 発 してＰ に 達 して い る と す る(図 30).虫

の静 止 空 間 に 対 す る 速 度 のAPに

をｖ とす る と虫 の 角運 動 量 はmvrで

図30

垂 直 な成 分

あ る.円 板 は 逆

向 きに 回 るが,そ の 角 速 度 を-ψ と し,円 板 の慣 性 モ ー メン トをＩ とす る と,円 板 の 角 運 動 量 は-Iψ で あ る

角 運 動 量 の 総 和 は ０で あ るか ら (13)

円 板 に対 す る虫 の位 置 を 表す 角θ の変 化dθ は,静 止 空 間 に対 す る 虫 の 位 置 の 角 変 化(v/r)dtと,静

止 空 間 に対 す る円 板 の 回転 角dψ=ψdtの

和 で あ る.す な わ ち (14)

これ に(13)を

代入すれば (15)

とな る が,図30に

よ りr=asinθ

であるか ら (16)

こ こでψ は 虫 が １周す る と きに 円 板 が 静止 空 間 に対 し て回 転 す る角 で あ り

(17) こ こで積 分 公 式 (18) を 利用 す れば

(19) を 得 る.円

板 が 一 様 な 密 度 を も つ とす れ ば (20)

で あ る の で,円

板の回転角は (21)

と な る.

Tea

Time

惑星 の角運 動量 惑 星 に は た ら く力 が 太 陽 の 引 力 だ け で あ る とす る と,太 陽 の まわ りの 力 の モ ー メ ン トは ０で あ る.し た が っ て太 陽 の まわ りの惑 星 の角 運 動 量Ｌ は一 定 で あ る. 惑 星 の 質量 をｍ,速

度 をｖ とし,太 陽 か ら惑 星 へ 引 い た ベ ク トル をｒ とす る と,

この こ とは

と書 け る. 角運 動量 ベ ク トルＬ は一 定 で あ るか ら,空 間 内 で一 定 の方 向 を 向 い て い る. そ して 惑星 の 位置ベクトル も惑 星 の速 度 ベ ク トル も これ に垂 直 で あ る.し た が っ て 惑星 は角 運 動 量 ベ ク トル に垂 直 な不 動 の平 面 の上 で 運 動 す るわ けで あ る.言 い 換 える と惑 星 は太 陽 を 含 む 不 動 の平 面 上 を 運 動 す る.こ の こ とは 惑 星 の 速 度 の変 化⊿vが常に 太 陽 の 向 きに あ る ことか ら も幾 何 学 的 に 理 解 で き る.⊿vと 太 陽 と は １つ の 平面 を決 定 し,惑 星 は この平 面 か ら外 へ 出 る こ とが で きな い か らで あ る. 太 陽 の 引 力は 常 に太 陽 を 中 心 とす る 向 き に はた ら く.こ の よ うな 力 を 中 心 力 と い う.１ つ の中 心 力 だ け を 受 け る運 動 に お い ては,力

の 中 心 の まわ りの 角 運 動 量

は一 定 で あ り,運 動 は 中 心 力 の中 心 を 含 む １つ の面 内で 行 わ れ る. な お,こ の場 合 に力 の 中 心 か ら物 体 まで 引 いた ベ ク トル(動径)が掃

過 す る面

積Ｓ の変 化 の速 さはdS/dt=￨r×o￨  /2で あ り,角 運 動 量 の大 き さ の1/2m倍 等 し く,し た が って一 定 で あ る.dS/dtを

面 積 速 度 とい う(第18講

参 照).

に

第８講 単振動 と減衰振動,強 制振 動

―テーマ ◆ 単振動,減

衰振動

◆変位 ・速度 の相平面 における軌道 ◆ Tea Time:電 気的な振動

単

振

動

１個 の 質 点 に 対 す る １次 元 の運 動 方 程 式 は (１) と書 け る.ｍは

質 量,f(x)は

力 で あ る.力 が 変 位ｘ に比 例 し,原

点 に 向か うな

らば,ｋを 定 数 とし て

(２)

これ はｘ に 関 す る線 形 方 程 式 で,単 振 動 の方 程 式 で あ る.そ の 解 はａ,ｂを定 数 と して

(３) あ るい は δを定 数 と し て

(４)

あるいは

(５)

と書 け る.こ

こで

(６)

は 角 振 動 数 で あ り,振 動 数 は

(７)

で 与 え られ る.

減

速 度 に 比 例 す る 抵 抗-adx/dtが

衰 振

動

加 わ る と単 振 動 の 式 は (８)

と な る.ω02=k/m,2r=α/mと

書 く と,こ

の式 は

(９)

こ の 解 は 次 の よ うに な る. １ .抵

抗 が 小 さ く γω 。) t=0でx=0(1)お よびx=0(Ⅱ 》 【説 明 】x=ceλtと

こ れ を 過 減 衰 と い う.

お く と(９)か

ら (13)

こ れ は 根λ を 定 め る 式 で 特 性 方 程 式 と い う.根

は

(14)

と な り,線

形 方 程 式(９)の

解は (15)

(９)は

２階 の 微 分 方 程 式 で あ り,２ つ の 独 立 な 定 数 を も つ 解 が 一 般 解 で あ る.

(15)でＡ,Ｂは

た が いに 独 立 な 定 数 な の で,(15)は(９)の

と γ の 大 小 関 係 に よ り λ1と λ2は 複 素 数に な っ た り,実

一 般 解 で あ る.ω0 数 に な っ た り し,３ つ の

場 合 が 生 じ る.１ .γ