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物理学30講 シリーズ８ 戸田盛和 著

量子力学30講

朝倉書店

は

し

が

き

  19世 紀 末 に は,ニ

ュ ー トン力 学 とマ ク ス ウ ェル の 電 磁 気 学(あ

わ せ て古 典 物

理 学 とい う)が 物 理 学 の 基 礎 と考 え られ,自 然 現 象 は これ ら に よ っ て す べ て 理 解 で き る で あ ろ う と思 わ れ て い た.と

こ ろが この 考 え は,ま ず 熱 輻 射 の 問 題 で 重 大

な困 難 に直 面 した.熱 輻 射 は あ らゆ る振 動 数 の 光(電 磁 波)が

ま じ った もの で あ

り,温 度 を上 げ れ ば熱 輻 射 は強 くな るが,こ の 様 子 は ニ ュ ー トン力 学 と電 磁 気 学 とで 説 明 す る こ とが で きな い こ とが 明 らか に され た の で あ る.   これ を救 うた め,プ ラ ン ク は1900年

に量 子仮 説 とい う もの を 導 入 した.こ

れ

に よ れ ば,振 動 数ν の光 は,エ ネ ル ギ ー がhν の粒 か ら な る と しな けれ ば な ら な い.こ

こでｈ は,プ

ラ ン ク定 数 と よば れ る こ とに な っ た定 数 で あ る.

  1905年 に ア イ ン シ ュ タ イ ン は,量 子 仮 説 を光 電 効 果 に応 用 した.こ

れ は,金

属 な どに振 動 数 の 高 い光 を あ て る と,そ の 表 面 か ら電 子 が 飛 び 出 して くる現 象 で あ る.こ の現 象 は,光 が エ ネル ギ ーhν の粒 か ら な る とす る 量 子 仮 説 に よ っ て 説 明 さ れ た.   熱 輻 射 の 問題 と並 ん で 古 典 物 理 学 で 説 明 で き な か っ た 重 要 な現 象 に,固 体(結 晶)の 比 熱 が 低 温 で 小 さ くな る とい う実験 事 実 が あ っ た.他 方 で プ ラ ン ク は,原 子 が 振 動 数ν で 振 動 す る と き,そ の エ ネル ギ ー はhν の 整 数 倍 に 限 られ る と考 え て い た(こ れ も量 子 仮 説 に含 まれ る)が,ア

イ ン シュ タ イ ン は,こ の 考 え を固 体

原 子 に適 用 す れ ば,固 体 の 比 熱 が低 温 で 小 さ くな る こ とが 説 明 で き る こ と を指 摘 した.1907年

の こ とで あ る.

  さ ら に1913年

に,ボ ー ア は,水 素 原 子 の 出 す 光 の振 動 数 が 特 定 の もの に 限 ら

れ る こ と を取 り上 げ,こ れ が 量 子 仮 説 に よ っ て説 明 さ れ る こ と を明 らか に した.   こ う して,古 典 物 理 学 で 理 解 で きな か った 現 象 が,量 子 仮 説 を適 宜 に 用 い る こ とに よ って,つ

ぎ つ ぎ と説 明 さ れ て い った ので あ るが,こ の よ うな,い

わば場 あ

た り的 な 成 功 を抜 け 出 して 統 一 的 な 理 論 体 系 で あ る量 子 力 学 が つ く られ た の は,

1925年 か ら1926年

の こ とで あ っ た.

  古 典 物 理 学 は 目に 見 え る物 体 の運 動,す

なわ ち 巨視 的 な世 界 にあ て は ま る 法則

で あ る の に対 して,量 子 力 学 は電 子 の よ うな 微 視 的 な 世 界 を支 配 す る法 則 で あ る といわ れ る こ とが あ る.し か し,量 子 力学 が 熱 輻 射 とい う 巨視 的 な 現 象 か ら 出発 した こ とか ら もわ か る よ う に,こ れ は必 ず し も正 し くな い.超 電 気 伝 導 や 液 体 ヘ リウム の超 流 動 な どを挙 げ る まで も な く,半 導 体 素 子 な ど にお い て も,量 子 力 学 的効 果 は 巨視 的 な世 界 に お い て絶 えず 現 れ る もの で あ る.原 子 が 大 き さ を も ち, そ れ に よ っ て 巨 視 的 な物 体 が大 き さ を もつ とい う事 実 さ え も,量 子 効 果 の現 れ で あ る.量 子 力 学 を抜 き に して現 代 の物 理 学 を語 る こ とは で きな い.   本 書 で は,１ 個 の 電 子,あ

る い は １個 の 原 子 の運 動,す

な わ ち １体 問 題 を主 な

テ ー マ と し て量 子 力 学 の 大 筋 を解 説 す る.２ 個 以 上 の 電 子 か らな る体 系 に つ い て は,別 の 巻 を あ て る 予定 で あ る.   量 子 力 学 に関 して は,い わ ゆ る観 測 の 問 題 の よ うに,基 礎 的 で深 刻 な 問題 が あ る.観 測 技 術 の 発 達 に よ っ て 量 子 力 学 が将 来 さ ら に大 きな 発 展 を とげ る こ と も期 待 され る が,そ れ は本 書 の範 囲 を大 き く超 え る事 柄 で あ る.   お わ りに,本 書 の 校 正 に あ た っ て助 力 と助 言 を頂 い た 東 京 大 学 大 学 院 生 の 津 田 照久 君 に感 謝 した い.ま

た本 書 の 出版 に際 して い ろ い ろ お世 話 に な った 朝 倉 書 店

の方 々 に厚 くお 礼 を申 し上 げ た い.

 

1999年 １月   著 

者

目

次

第

１講   量

子

  １

  Tea Time:19世

紀 末 の物 理 学   ８

第 ２ 講   粒 子 と波 動

 10

  Tea Time:プ

ラ ン ク  15

第 ３ 講  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 方 程 式   Tea Time:光

第 ４ 講  古 典 的 な 極 限     Tea Time:物 第 ５ 講 波

束 

  Tea Time:不 第

31

 

36

確 定 性 原理  41 43 ンネル 効果   47

８ 講  エ ネ ル ギ ー 固 有 値   Tea Time:固

第

ー ア  34

７ 講   トン ネ ル 効 果     Tea Time:ト

第

25

質 波   29

  Tea Time:ボ 第 ６ 講  不 確 定 性 原 理

９ 講  調 和 振 動 子

第10講

 

54 点 振 動   57

 非線形振動   Tea Time:非

49

有 振 動   52

 

  Tea Time:零

 17

子 の 数  23

  59 線 形   64

第11講 

水 素 原 子     Tea

第12講 

Time:ス

Time:電

Time:ゼ

第19講 

Time:博

Time:衝

  107

間 の可 逆性 ・不 可逆 性   111 114

率 的 解 釈  120 122

覧 会 と奨 学 金   124

  散 乱 と位 相 の ず れ     Tea

  100

ー マ ン効 果   105

ク ー ロ ン力 に よ る散 乱     Tea

第20講

Time:確

  94

気 の 素量   98

散 乱 問 題― ボ ル ン 近 似    Tea

  86

ピ ンの発 見   92

時間的変 化の摂動法   Tea Time:時

第18講 

子 の大 き さ とス ピ ン  85

  電 磁 場 に よ る摂 動   Tea

第17講 

Time:電

  81

 定常状 態の摂動 法   Tea

第16講

運 動量 と は  79

電 磁 場 と局 所 ゲ ー ジ 変 換   Tea

第15講

Time:角

  76

電子 のス ピン   Tea

第14講 

66 ュ レー デ ィ ンガ ー   73

角 運 動 量   Tea

第13講 

Time:シ

突 現 象  130

126

第21講 

ヴ ィ リア ル定 理   Tea Time:私

第22講

第24講 

Time:交

Time:順

Time:ハ

第28講 

索

引 

Time:シ

  167

ィラ ック,そ の他 の こ と  171  173 ・ブ ロイ  178  180 イ ン シ ュタ イ ンの疑 問  184

 経 路 積 分 の摂 動 法     Tea

162

イ ゼ ンベ ル ク  165

調和 振 動 子   Tea Time:ア

第30講

序 の交 換   160

経 路 積 分   Tea Time:ド

第29講 

156

作 用 積 分 と波 動 方 程 式   Tea Time:デ

149

換 関係   155

 行 列 力 学 と波 動 力 学 の 関 係     Tea

第27講 

数・ 複 素数  147

行 列 力 学     Tea

第26講

  145

量 子 条 件 とポ ア ソ ン 括 弧     Tea

第25講 

Time:虚

  138

ェル マ ー の原 理   143

交 換 関 係   Tea

132

の 「ヴ ィ リア ル定 理 」   137

  エ ネ ル ギ ー 固 有 値 と変 分 法   Tea Time:フ

第23講 

 

186

ュ レー デ ィ ンガ ー の猫  191

193

 第 １ 講  量

子

―テ ー マ ◆ 熱輻 射 ◆

プラ ンク定数

◆ 振動 の量 子化 ◆Tea

Time:19世

紀 末 の物 理 学

 原 子 と物 質   19世 紀 に は熱 現 象,電 気 お よ び磁 気 の現 象,物

質 の性 質 な ど に関 す る物 理 的

な知 識 が 急 速 に増 加 し,そ れ につ れ て 自然 を統 一 的 に理 解 し よ う とす る気 運 も生 まれ,「 エ ネ ル ギ ー 」 とい う総 括 的 な概 念 もつ く られ た.エ

ネルギー はやや抽 象

的 で あ るが,比 較 的 わ か りや す い 概 念 と し て い ま で は広 く受 け 入 れ られ る よ う に な っ た.   し か し,た てmv(運 あ った.ま

とえ ば 運 動 エ ネ ル ギ ー に して も,質 量ｍ

動 量)が 考 え られ た り,mv2が

と速 度ｖ か ら な る量 と し

運 動 エ ネ ル ギ ー とされ た りし た 時 代 が

た ヘ ル ム ホル ツの 時 代 に は,エ ネ ル ギ ー は ク ラ フ ト(Krafkt)す

なわ

ち 力 とよ ば れ た し,い まで も原 子核 エ ネ ル ギ ー を原 子 力 とい っ た り して,物 理 学 以 外 で は 言葉 の 混 同 が 残 っ て い る.  物 理 学 の基 本 的 な量 に 目 を転 じ る と,電 磁 気 学 で は電 子 や 陽 子 の電 気 量 の 素 単 位 ｅが あ り,相 対 性 理 論 を代 表 す る量 と し て は真 空 中 の 光 速 度ｃ が あ る.そ い う意 味 で,量 子 力 学 を代 表 す る基 本 定 数 は プ ラ ン ク定 数(記

う

号 ｈで 表 され る)

で あ る．   プ ラ ン ク定 数 は,物 質 の性 質 を深 い と こ ろ で 決 定 して い る基 礎 的 な 定 数 で あ る.な ぜ 原 子 に は大 き さが あ るの か,な ぜ 鉄 や ニ ッ ケル,あ

るい は フ ェ ラ イ トな

どは磁 石 に な る の か とい った 物 理 的 な問 題 か ら,な ぜ 原 子 は結 合 し た分 子 を つ く っ た りす るの か とい っ た 化 学 的 な 問 題 まで の す べ て の物 質 の性 質 の 根 底 に は,プ ラ ン ク定 数 が あ る の で あ る.科 学 の 目 ざす と こ ろが い ろ い ろ の知 識 の統 一 で あ る とい う立 場 か ら見 れ ば,プ

ラ ンク 定 数 は,物 質 の科 学 を統 一 す るか な め の よ うな

もの で あ る.   一 番 わ か りや す い例 は,原 子 が な ぜ 大 き さ を もつ か と い う理 由 で あ る か も しれ な い.原 子 は,中 心 に 原 子 核 とい う粒 子 が あ り,そ の まわ りを電 子 が 回 っ て い る 構 造 を し て い る.そ の 電 子 が 回 っ て い る半 径 が 最 小 の 運 動(つ さ)を

ま り原 子 の 大 き

きめ るの は プ ラ ン ク定 数 で あ る.電 子 が 原 子 核 に 引 か れ て くっつ い て し ま

わ な い の は,プ

ラ ン ク定 数 の お か げ だ とい う こ と もで き る.

  ま た,電 子 は地 球 の よ う に 自転 運 動(ス

ピ ン)も

して い るが,そ

の ス ピ ン運 動

もプ ラ ン ク定 数 で き ま っ て い る.   こ の よ うに,物 質 の 構 造 を支 え て い るの が プ ラ ン ク定 数 で あ る が,そ れ が 最 初 に見 つか っ た の は熱 輻 射 の研 究 とい う思 い が け な い研 究 分 野 で あ っ た.

 プ ラ ンク定 数   固 体 を熱 して温 度 を上 げ る と赤 熱 し,さ ら に高 温 に な る と 白熱 の状 態 に な る. 炉 の 温 度 を上 げ た と き も,炉 の 熱 輻 射 は 同 じ よ うな 変 化 を す る.す な わ ち温 度 を 上 げ れ ば熱 輻 射 は 波 長 の 短 い光 が 強 くな る.ど の よ う な波 長(あ の光(輻

射)が

る い は 振 動 数)

どの くら い の強 さで 出 るか とい う こ とを,熱 輻 射 の ス ペ ク トル と

い う.熱 輻 射 の スペ ク トル は,温 度 を上 げ る と波長 の 短 い方 へ移 動 す る.   最 も輻 射 の 強 い 波 長 は絶 対 温 度 に反 比 例 す る.こ れ を ウ ィー ン の変 位 則 と い う.   輻 射 の 全 エ ネ ル ギ ー は 絶 対 温 度 の ４乗 に 比 例 す る.こ

れ を

シ ュ テ フ ァ ン ・ボ ル ツ マ ン の法 則 とい う.   輻 射 の 理 論 は輻 射 の ス ペ ク トル を説 明 し,も ち ろ ん上 の ２つ の 法 則 も説 明 す る

もの で な けれ ば な らな い.し か し,ニ

ュー トン

力 学 と統 計 力 学 とを用 い た 理論 式(レ

イ リー ・

ジ ー ンズ の 式)は,波

長 の 長 い と ころ で 実 験 で

知 られ た ス ペ ク トル と一 致 す るが,波

長の短 い

と こ ろで 全 く合 わ ず,し か も輻 射 の全 エ ネ ル ギ ー が 無 限 大 に な っ て し ま う とい う奇 妙 な 結 果 を 与 え る.   ま た,輻 射 を分 子 運 動 に な ぞ らえ た(根 拠 が 不 十 分 な)ウ

ィー ン の式 とい うの は,波 長 の 短

い と こ ろで は実 験 の スペ ク トル に よ く合 うが,

図 １ 熱 輻射 のェ ネ ル ギ ー密 度

波 長 の長 い とこ ろ で正 しい ス ペ ク トル を与 え な い.   1900年 に,プ

ラ ン ク は これ らの ２つ の 理 論 式 を内 挿 し た 形 の 式 を 提 出 し,こ

れ が 実 験 と きわ め て よ く合 う こ と を示 した.こ

の式 に よれ ば,単 位 体 積 内 の 輻 射

で,振 動 数 がν とν+dν の 間 に あ る 熱輻 射 の エ ネ ル ギ ー を ρνdνとす る と き (１)

で 与 え られ る.こ こ で ｃ は光 速 度,ｋ

はボ ル ツ マ ン定 数, Ｔ は絶 対 温 度 で あ り,

ｈ は プ ラ ンク定 数 とよ ばれ る定 数 で あ る.理 論 と実 験 とを合 わ せ る こ と に よ りプ ラ ン ク定 数 は (２)

で あ る こ とが わ か る.プ

ラ ン ク定 数 ｈは 作 用 量 子 と よ ば れ,量 子 力 学 の 基 本 的

な 定 数 で あ り,本 書 で も い た る と こ ろ で現 れ る定 数 で あ る.理 論 的 に は ｈ を2π で割 っ た もの をｈ(エ い.そ

ッチバ ー と よ む)と 書 き,こ れ を用 い る と便 利 な こ とが 多

の値 は (３)

で あ る.

 プ ラ ン ク定 数の 次 元   プ ラ ン ク の 輻 射 式(１)に お い て,kTは

エ ネ ル ギ ー の 次 元 を もつ.し

たがっ

て,hν の 次 元 も エ ネ ル ギ ー で あ って, νは振 動 数 で あ る か ら時 間 の 逆 数 の 次 元 を も っ て い る.し た が っ て,プ

ラ ン ク 定 数 ｈの 次 元 は エ ネ ル ギ ー と時 間 の 積 で

あ る. (４)

と書 こ う.質

量ｍ,速

元 を 表 す の に,質

度ｖ の 粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は(1/2)mv2で

量 を Ｍ,長

さ を Ｌ,時

間 を Ｔ と す れ ば,エ

あ る か ら,次

ネル ギーの次元 は (５)

とな り,プ ラ ン ク定 数 の 次 元 は これ に時 間 Ｔ を掛 け て (６) と な る.   さ ら に,運

動 量 はmvな

の で,そ

の 次 元 は[MLT-1].し

た が っ て,プ

ラ ンク

定 数 の次 元 は (７)

と書 くこ と もで き る.ま た,運 動 量 の モ ー メ ン ト(す なわ ち 運 動 量 ベ ク トル へ あ る点 か ら下 ろ した 長 さ と運 動 量 の 積)は,角 が っ て,プ

運 動 量 と よ ばれ る もの で あ る.し た

ラ ン ク定 数 の 次 元 は 角運 動 量 の 次 元 と同 じで あ り,角 運 動 量 は 回 転 の

運 動 量 と よば れ る こ と も あ る か ら,

(８)

で あ る.   プ ラ ン ク定 数 は,運 動 量 や エ ネ ル ギ ー よ り もわ か りに くい もの で あ る か も しれ な い.(エ 作 用 量(作

ネ ル ギ ー)× （時 間),あ 用 変 数)な

るい は(運 動 量)× （ 長 さ)と い う次 元 を もつ 量 は

ど とよ ば れ るの で,プ

ラ ン ク定 数 は作 用 量 子 と もい う.こ

れ が な ま で現 れ る の は,電 子 の ス ピ ン や 電 子 の 回 転 運 動 の 場 合 の 角 運 動 量 で あ る.し か し,電 子 の ス ピ ン の 角 運 動 量 の 大 き さ は,プ h/2π で もな く,ｈ の 半 分 で あ る.す な わ ち

ラ ン ク定数 ｈで もｈ=

(９)

で あ る.

 振 動 子(調 和 振 動 子) １次 元 の 単 振 動 の ハ ミル トニ ア ン を(ｐ は運 動 量,p=mv） (10）

とす る.ω は 角 振 動 数(ω=2πν,ν (H=E)の

運 動 は,xp平

面(相

は 振 動 数)で

平 面)で

あ る.エ ネ ル ギ ー Ｅ が 一 定

図 の よ うに 楕 円 に よ っ て 与 え られ,質

点 は この 楕 円 を時 計 まわ りに 回 る.古 典 的 に は エ ネ ル ギ ー Ｅ は す べ て の 値 を と りう る の で,単 振 動 の 定 常 運 動 は この相 平 面 を埋 め つ くす こ と に な る.

図 ２ 調 和 振動 子(単 振 動)

図 ３ 調和 振 動 子 のエ ネ ル ギ ー準 位

  し か し,プ ラ ン ク は単 振 動 の エ ネ ル ギ ー が,振 動 数ｖ に ｈ(プ ラ ン ク定 数)を 掛 け た値 の整 数 倍 の 励 起 しか許 され な い こ とを知 っ た.後 に は最 低 エ ネ ル ギ ー が hv/2で あ る こ とが わ か った の で,単 振 子 の と りう るエ ネル ギ ー は離 散 的 で

(11) に限 られ る.こ れ は相 平 面 に お け る軌 道 が 離 散 的 で,各 軌 道(あ 動)は 面 積 ｈず つ を 占 め る こ と を表 す(図

る い は定 常 運

４).相 平 面 は 面 積 ｈの 素 領 域 に 分 け

られ,そ れ ぞ れ の 素 領 域 に は た だ １つ の 量 子 状 態 が 存 在 す る.こ

れ を拡 張 す れ

ば,自

由 度 ｆ の 力 学 系(x1,x2,…,xf;p1,p2,…,

pfで 表 さ れ る体 系)で られ,そ

は体 積hfの

素 領 域 に分 け

の １つ に は た だ １つ の 量 子 状 態 が 存 在 す

る と い う こ と に な る.こ

れ は,厳

密 で はな いが 正

し い と い っ て よ い 事 柄 で あ る. 図 ４ 相 平面 の ハ ミル トニ ア ン を Ｈ,定

  単 振 動 に 限 ら ず,ポ

テ ン シ ャ ルU(x)の

振動 子

常 運 動 の エ ネル ギ ー を Ｅ とす る と

(12) で あ り,運 動 量 は

(13) で 与 え ら れ る.振 と き,許

動 の 折 り返 し 点 をx1,x2と

す る

さ れ る ｎ番 目 の エ ネ ル ギ ーEnは,x1と

x2を 通 る 軌 道 を 一 周 す る 積 分 が プ ラ ン ク 定 数 ｈ の 半 整 数(半

奇 数 と も い う)倍

で あ る条 件

(14)

で 与 え られ る(単 振 動 以 外 で は近 似 式 で あ る).こ れ を プ ラ ン ク ・ゾ ン マ ー フ ェル トの量 子 条 件 と い う.こ の 条 件 式 は シ ュ レー デ ィ ンガ ー の波 動 方 程 式 図 ５ 一 般 の振 動

か ら導 か れ る近 似 式 で あ って,ヴ

ェ ン ツ ェ ル ・ク ラ

マ ー ス ・ブ リル ー ア ンの 近 似 とよ ば れ る.   大 雑 把 に い う と,形 式 的 に プ ラ ン ク 定 数 ｈを ０に近 づ け た と き,量 子 論 的 な 式 は古 典 力 学 の 式 に な る.た

とえ ば(14)は,ｈ

た 近 似 で一 般 に成 り立 つ 式 で あ る.

の ２乗 以 上 の 高 次 の 項 を無 視 し

 比

熱

  【固 体 の 比 熱 】 金 属 の 結 晶 の 多 くは 原 子 が 集 ま っ て で き て い る.そ (6.023×1023個 の 原 子)の 比 熱 を古 典 力 学 に基 づ い た統 計 力 学(古

の １モ ル

典 統 計 力 学)

で求 め る と

(15) と な る(デ 数),ｋ

ュ ー ロ ン ・プ テ ィ の 法 則).こ

は ボ ル ツ マ ン定 数, R=Nkは

こ で Ｎ は １モ ル の 原 子 数(ア

気 体 定 数 で あ る.気

た が う ボ イ ル ・シ ャ ル ル の 法 則PV=RT（

ボ ガ ドロ

体 定 数 は理 想 気 体 が し

１モ ル の 気 体)に

出 て くる Ｒ で あ

る.

  しか し,き わ め て低 い 温 度 に な る と,金 属 や 一 原 子 分 子 固 体 の 比 熱 は3Rよ り も小 さ くな り,絶 対 零 度 で ０に な る.こ れ は ケ ル ヴ ィ ンが 黒 い 雲(Tea

Time)と

よ ん だ 事 柄 の １つ で あ

る.   ア イ ン シ ュ タ イ ン は,原 子 の振 動 は プ ラ ン ク の量 子 論 的 な 振 動 子 と して 扱 わ な けれ ば な らな

図 ６  固体 の 比 熱

い こ とに 注意 し,量 子 論 的 な 固 体 比 熱 の 式 を導 いた.こ

れ に よれ ば,比 熱 は

(16) よ りも低 い温 度 で 急激 に小 さ くな る.こ

こで ｈ は プ ラ ン ク定 数,ｋ

定 数 で あ り,ア イ ン シ ュ タ イ ン は原 子 が す べ てｘ,ｙ,ｚ

は ボ ル ツマ ン

の ３方 向 に 同 じ振 動 数

νで振 動 す る と仮 定 した.   ア イ ン シ ュ タ イ ンの比 熱 式 は,極 低 温 で 実 際 の比 熱 よ りも急 激 に ０に近 づ く. これ は原 子 が す べ て 同 じ振 動 数 を もつ とした か らで,実 際 に は固 体 の 結 晶 格 子 は 連 続 的 な 振 動 数 分 布 を も つ.こ の こ と を考 慮 す る と,実 測 値 に よ く合 う比 熱 式 (デバ イ の比 熱 式)が 得 られ る.極 低 温 で比 熱 が 絶 対 温 度 の ３乗 に比 例 す る こ と も導 か れ る.

  【熱 輻 射 】 炉 の 中 の熱 輻 射 は電 磁 波 自身 の振 動 で あ っ て,極 低 温 に お け る固体 原 子 の 熱 振 動 と よ く似 た状 態 で あ る とい う こ とが で き る.プ

ラ ン ク の輻 射 式(１)

は,固 体 の 量 子 論 的 な比 熱 式 と同様 な 考 察 で 導 くこ とが で き る.そ し て熱 輻 射 の 全 エネル ギーは

(17) とな り,絶 対 温 度Ｔ 則 で あ る.そ

の ４乗 に 比 例 す る.こ れ は シ ュテ フ ァ ン ・ボ ル ツ マ ン の 法

して,熱 輻 射 の比 熱Cv=∂E/∂TはＴ

の ３乗 に比 例 す る が,こ れ

は極 低 温 の 固体 の比 熱 と同様 で あ る.

 T ea

Time

 19世 紀 末 の 物 理 学   ニ ュー トン の 力 学 の 主 著 で あ る 「プ リ ン キ ピ ア 」 が 出 版 さ れ た の は,17世 末 近 い1687年 が,19世

で あ っ た.以 後 約250年 る い は整 備 され,い

殿 堂 が で き上 が っ た.そ

の 当 時,物

紀

理学 に根本 的な変化 は なか った

紀 の 中頃 まで に は 流 体 力 学,熱 力 学,電

で完 成 され,あ ら,あ

の 間,物

磁 気 学,統

計力 学が あ いつ い

まで は 古典 物 理 学 と総 称 さ れ る立 派 な 科 学 の 理 学 に は 基 本 的 な問 題 は残 さ れ て い な い か

とは あ ち こち の不 備 な 点 を修 正 した り補 充 す る仕 事 が 残 され て い る にす ぎ

な い と考 え る人 さ え見 られ た.こ の 世 紀 末 に は,い

まの 世 紀 末 とは対 照 的 な こ と

だ が,楽 観 的 な 気 持 ちが 支 配 的 で あ った と思 わ れ る.進 歩 に対 す る希 望 が あ り, 科 学 が い ず れ は あ らゆ る 問題 を解 決 し,調 和 と正 義 の支 配 す る世 界 が 目 の前 に き て い る よ う な感 じが 強 か っ た,よ

き時代 だ っ た わ けで あ る.

  この 時 代 を代 表 す る物 理 学 者 の １人 で あ っ た ケル ヴ ィ ン〓(Ｗ.ト ム ソ ン)は, 1900年 ４月 に 「熱 と光 の力 学 的理 論 の 頭 上 に あ る19世 紀 の 雲 」 と題 す る講 演 を お こな った が,そ

の 中 で 解 決 され て い な い ２つ の 問題 と して,地 球 に対 す る エ ー

テル の運 動 が 観 測 され て い な い とい うマ イ ケ ル ソ ン ・モ ー レー の 実験 に関 す る問 題 と,熱 輻 射 と物 質 の 比 熱 の 理 論 の結 果 が 実 験 に合 わ な い とい う問題 を挙 げ て い る.

  こ の 第 １の 問題 は,1905年

に ア イ ン シ ュ タ イ ン が 提 出 した 特 殊 相 対 性 理 論 に

よ っ て一 挙 に 解 決 さ れ,こ れ は時 間,空 間 とい う物 理 学 の 基 礎 を支 え る概 念 を書 き か え る大 問題 で あ っ た こ とが 明 らか に され た.ま

た 第 ２の 問 題 は,1900年

の

お わ りに提 出 され た プ ラ ン クの 輻 射 式 が き っ か け に な り,量 子 論 の 誕 生 とい う, ニ ュ ー トン力 学 そ の もの を書 き直 す理 論 へ と発 達 した の で あ っ た.こ

う して み る

と,ケ ル ヴ ィ ン は深 い と こ ろ ま で見 通 す こ とが で き な か った とい え るが,相 対 論 と量 子 論 とい うニ ュー トン以 来 の 科 学 を根 底 か ら改 革 す る20世 紀 の 新 し い科 学 の に お い を か ぎわ け て い た の は さす が に ケ ル ヴ ィ ン で あ っ た とい う こ と もい え る よ うで あ る.ケ ル ヴ ィ ンは 頑 固 にニ ュ ー トン力 学 に こだ わ った 人 で あ っ た が,そ の 頑 固 な精 神 が か え っ て彼 に こ の よ うな 予 見 を もたせ た の か も しれ な い.と に か く,そ う い う意 味 で ケ ル ヴ ィ ン の1900年

の講 義 は有 名 で あ る.そ れ は ま さ に20

世 紀 の 幕 が 切 っ て 落 とさ れ る寸 前 の こ とで あ った.そ

して,1900年

月 に プ ラ ン ク は,量 子 論 の端 緒 とな る研 究 を発 表 し て い る.

の10月

と12

 第 ２ 講  粒 子 と 波 動

―テ ー マ   ◆ 光子   ◆ 水素 原子模 型  ◆

ド ・プ ロ イ 波

  ◆Tea

Time:プ

ラ ンク

 光

子

  プ ラ ンク は力 学 的 な単 振 子 につ い て エ ネ ル ギ ー の励 起 がhν の 整 数 倍 に 限 ら れ る と考 え た が,ア

イ ンシ ュタ イ ン は こ の関 係 を光(電 磁 波)に

あ て は め て,振 動

数ν の光 はエ ネル ギ ーhν の 粒 か らな る と い う説 を唱 え た.こ の エ ネ ル ギ ー の 粒 を光 子 とい う.す な わ ち,光 子 １個 の エ ネ ル ギ ー は

(１)

で与 え られ る.   後 に ア イ ンシ ュタ イ ン は,各 光 子 が 光 の 進 行 方 向 に 向 い た運 動 量 を もち,そ の 大 き さｐ は

(２)

で 与 え ら れ る こ と を 示 し た.こ

こ でｃ は 光 速 度,λ

は 光 の 波 長(c=λν)で

あ る.

したが っ て，光 子 の エ ネ ル ギ ー は (３)

とも書 け る.   【光 電 効 果 】 紫 外 線 の よ う に波 長 の短 い 光 が 金 属 な どに あ た る と,光 が 弱 くて も電 子 が 飛 び 出 す.こ

れを

光 電 効 果 とい う.あ て る光 が 赤 外 線 の よ う に波 長 が長 い と,光 が 強 くて も電 子 は飛 び 出 さな い.ア タイ ン は,光

インシ ュ 図 ７  光電 効 果

は エ ネ ル ギ ー がhν で 与 え られ る粒 で あ

る と考 え て これ を説 明 し,光 電 効 果 の研 究 に基 礎 的 な 指 針 を与 えた.光 量 子 と よ ばれ た が,い

まで は光 子(フ

ォ トン)と

の粒 は光

よ ばれ る.

 ボ ー アの 水 素 原子 模 型   水 素 原 子 は １個 の 陽 子 が 原 子 核 で,そ の まわ りを １個 の 電 子 が 回 っ て い る.陽 子 の 電 荷 を+eと (ク ー ロ ン力)の

す る と,電 子 の 電 荷 は-eで,こ

れ ら の 間 に は た ら く引 力

大 きさ は (４)

で あ る(ε0は 真 空 の 誘 電 率).電 型)と

し,電 子 の質 量 をｍ,速

子 が 半 径ａ の 円 運 動 を し て い る(ボ ー ア の 模 さ をｖ とす る と,上 の 引 力 は遠 心 力mv2/aと

り合 っ て い る こ と に な る の で (５)

 他 方 で クー ロ ン力 の 位 置 エ ネ ル ギ ー は (６)

で あ り,電

子 の エ ネル ギ ー は

(７)

釣

と な る.し

た が って

(８)

これ が 負 に な っ て い るの は位 置 エ ネ ル ギ ー Ｕ が負 で あ るた めで あ る .  ボ ー ア は電 子 の運 動 に対 して量 子 条 件

(９)

を お い た.こ

こ でｐ は 電 子 の 運 動 量(p=mv）,ｑ

は∮dq=2πa)で  (８)と(９)か

は そ の 軌 道 に 沿 う 長 さ(円

周

あ る. ら量 子 数 ｎ の と き の エ ネ ル ギ ーE=Enに

対 して

(10) を 得 る.Ｒ

を リ ー ドベ ル ク 定 数 と い う.

  エ ネ ル ギ ーEnの ー 差En-E

定 常 状 態 か らEn’ の 定 常 状 態 に 電 子 が 移 っ た と き,エ

n’は 振 動 数νnn'の 光 子 と な っ て 放 出 さ れ る(振

動 数 条 件)と

ネル ギ す る と

(11) し た が っ て,波

長

λnn'=c/νnn',波

数1/λnn'に

対

して

(12) 図 ８  ボー アの 水素 原 子模 型

と な る.こ

の 式 は水 素 原 子 の 出 す光 の スペ ク ト

ル とよ く一 致 す る.

 ド ・ブ ロ イ 波(物

質 波)

 波 と考 え られ て い た光 が 光 子 とい う粒 子 と して の 性 質 を もつ な らば,粒 子 と考

え られ て い る電 子 は逆 に波 と して の性 質 を もつ で あ ろ う とい うの が,ド の説 で あ った.彼

は,光 子 に対 す る(１)と(２)の 式 ε=hν とp=h/λ

して も成 り立 つ と した.そ

の 際,エ

・ブ ロイ

が 電 子 に対

ネ ル ギ ー ε と運 動 量ｐ は特 殊 相 対 性 理 論 に

お け る値 を用 い た が,電 子 の速 度 が あ ま り大 き く な い と す れ ば,こ

れ ら に対 して ニ ュー トン力 学 の

値 を用い て

(13)

図 ９  ド ・ブ ロイ波 と電 子 の軌 道 と し て も よ い.電

子 に 限 ら ず,質

量 ｍ を もつ粒 子 に は この よ うな 波 が付 随 す る

と考 え ら れ る.こ

れ を 電 子 波(物

質 波,ド

・ブ ロ イ 波)と

い い,λ

を ド ・ブ ロ イ

波 長 と い う.

(14)

で あ る.   ド ・ブ ロ イ 波 の 進 む 速 さ(位

相 速 度)vpは

(15) で あ って,こ

れ は 電 子 の 速 度 とは異 な る.し か し,波 長 が ご くわ ず か ちが う ２つ

の波 を重 ね る と

(16) ただ し

図10  波 の 重ね 合 わせ  波 を重 ね合 わ せ る と波束 に な る.波 束 の 進 む速 度(群 速 度)は 成 分 波 の速 度(位 相速 度) と異 な る.

(17) とな るが,最 後 の 式 の 第 ２項 が も との波 で,第

１項 は振 幅 の場 所 に よ る変 化 を与

え る とみ な さ れ る.振 幅 の 波 は

(18)

と書 け るか ら,振 幅 の 波 が 速 む速 さ(群 速 度)vgは

(19)

と な る.(13)に

よ り ∂ν/∂ （1/λ)=∂ ε/∂p=∂（v2/2)/∂v=v.し

た が っ て

(20) す な わ ち,ド

・ブ ロ イ 波 の 群 速 度 は電 子 の速 度 に一 致 す る こ とが わ か る.

  【ボー ア の理 論 との 関 係 】   ボ ー ア の水 素 原 子 の 理 論 で は(９)に よ り

(21) で あ る.他

方 で,ド

・ブ ロ イ 波 に 対 し て は(14)に

よ り λ=h/mvで

あ る か ら,こ

れ を上 式 に 入 れ れ ば

(22)

した が っ て,電 子 の 定 常 運 動 に よ る ド ・ブ ロ イ 波 を軌 道 に 沿 っ て考 えれ ば,軌 道 を １周 す る長 さ2πaで きち ん と閉 じ た 形 に な る.１ 周 の 長 さ2πaが 波 長 の 整 数 倍 にな らな い ド ・ブ ロ イ波 が 何 回 も回 る と,干 渉 に よ っ て打 ち 消 し合 っ て し ま う の で 定 常 状 態 に な ら な い と,ド

・ブ ロ イ は考 えた.

 

Tea

Time

 プ ラ ン ク   科 学 の 歴 史 を反 省 して み る と,す べ て の 気 体 が ボイ ル の 法 則 や シ ャル ル の 法則 に した が う とい う発 見 が もつ 意 義 の大 き さ に は改 め て 驚 か され る.そ れ は科 学 が ま だ混 沌 と して いた 古 い 時代 の 発 見 で あ っ た が,一 般 的 で 理 想 的 な科 学 の 目標 が そ こに あ る こ とを教 え て くれ た 画 期 的 な事 柄 で あ っ た.こ の 発 見 か ら理 想 気 体 の 性 質 を一 般 的 に導 くた め に気 体 分 子 運 動 論 が 考 え られ,エ

ネル ギ ー や温 度 の 概 念

が 確 立 され て,熱 力 学 や統 計 力 学 へ の道 も開 か れ た の で あ った.   黒 体 輻 射 は理 想 気 体 の よ う にわ か りや す くは な い が,科 学 の 発 達 の上 で 同 じよ う に重 要 な 役 割 を し て い る.黒 体 とい うの は,こ れ に あ た るす べ て の電 磁 波 を完 全 に吸 収 す る物 体,あ

る い は体 系 で あ る.キ ル ヒ ホ ッ フ は,(黒 体 が 何 で で き て

い る か に 関係 な く)黒 体 と熱 平 衡 に あ る輻 射 の(振 動 数 に対 す る)エ ネ ル ギ ー 分 布 は温 度 だ けに よ っ て き まる とい う こ とを,熱 力 学 を 用 い て 証 明 した.炉 な どの よ う な空 調 の 小 窓 も,こ

こへ 入 るす べ て の電 磁 波 を 吸収 す るの で 黒 体 とみ な され

る.そ の た め,黒 体 輻 射 は空 調 輻 射 と もよ ば れ,炉

の小 窓 か ら出 て くる輻 射 を分

析 す る こ とに よ って 調 べ られ る.振 動 数 に対 す る黒 体 輻 射 の エ ネ ル ギ ー 分 布 は, 理 想 気 体 の分 子 の エ ネ ル ギー 分 布 に比 べ られ る.も ち ろ ん これ ら は全 く異 な るの で あ って,量 子 力 学 が 発 達 して か らわ か っ た こ とで あ る が,黒 体 輻 射 は,電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー を に な う光 子(フ

ォ トン)か

  プ ラ ンク(MaxPlanck,1858‐1947)は,基

らな る量 子 論 的 な理 想 気体 で あ る. 礎 的 で 一 般 的 な 問題 に 愛 着 を も

っ て い た が,黒 体 は ま さ に そ の よ うな対 象 で あ っ た.黒 体 輻 射 の 問題 と取 り組 ん だ プ ラ ン ク は,実 験 とぴ た り と一 致 す る輻 射 式 を見 つ け 出 して,1900年10月19 日に ベ ル リン大 学 の物 理 学 セ ミナ ー で発 表 して い る.こ れが,量 とな った プ ラ ン ク の輻 射 式 で あ る.プ

子論 の は じ ま り

ラ ン ク は,こ の 式 と実 験 とが一 致 す る よ う

に １つ の定 数 の値 を定 め た が,こ の 定 数 は作 用量 子,あ

る い は プ ラ ン ク定 数 と よ

ば れ る よ う に な っ た もの で あ る.こ の と き プ ラ ン ク は,ボ ル ツ マ ン定 数 をｋ と 書 き,プ ラ ン ク定 数 を ｈ と書 い た.彼

に は,尊 敬 して い た ボ ル ツ マ ン に あ や か

ろ う とい う心 が あ った の か も しれ な い(ボ ル ツ マ ン気 体 の 不 可 逆 現 象 を 調 べ て Ｈ 定 理 を発 見 して い る.こ の Ｈ とい う字 に も プ ラ ン ク は惹 か れ て い た の か も し れ な い.統 計 力 学 の基 礎 原 理 で あ るボ ル ツ マ ンの 原 理 はS=klogWと

表 す が,

ボル ツ マ ンはS=logWと

ル ツマ ン

書 い た.い

まの 形 に した の は プ ラ ン ク で,ボ

の 墓 碑 に もｋ が つ け られ た 式 が 書 い て あ る).プ

ラ ン ク以 来,ｋ

と ｈ は これ らの

定 数 を表 す の に 使 わ れ て い る.な お ， プ ラ ン ク は この と き,ボ ル ツ マ ン定 数ｋ の 値 も輻 射 式 が合 う よ うに 決 定 した.気 体 定 数 Ｒ,ア ボ ガ ドロ数 Ｎ とｋ の 間 に はR=Nkと

い う関 係 が あ る の で,プ

ラ ン ク は １モ ル の 分 子 の 個 数Ｎ

も間 接 的

に 求 め た こ とに な る.   1900年 とい う記 念 す べ き年 は明 治33年 に あ た る.こ の 年 の 秋 に は,夏 目 漱 石 が ２年 間 の留 学 の た め に は じめ て ロ ン ドン に 到 着 し て い る .物 理 学 に お い て も 「降 る雪 や 明 治 は遠 くな りに け り(草 田男)」 で あ るが,量 の 問 題 を か か え こ ん で い て,決

して 古 くはな い.

子 力 学 は い ま で も多 く

 第 ３ 講  シ ュ レ ー デ イ ン ガ ー の 方 程 式

―テーマ   ◆ 演算子   ◆ 波動関 数   ◆ 存 在確 率  ◆Tea

Time:光

子 の数

 演 算

子

 非 相 対 論 的 な粒 子 の ド ・ブ ロ イ 波 の波 長 を λ,振 動 数 をν,運 動 量 をｐ,エ ネ ル ギ ー を Ｅ とす る と

(１) で あ り,ド

・ブ ロ イ 波ψ

は

(２) と書 け る(i=√-1).故

に

(３)

したが って,運 動 量ｐ とエ ネ ル ギー Ｅ をψ に はた ら く量(演

算 子)

(４)

と考 え る こ と が で き る.粒 と,エ

子 に は た ら く力 の 場 の ポ テ ン シ ャ ル をU(x)と

す る

ネ ル ギ ー が Ｅ で あ る とい う式

(５)

は (６)

とな る.こ れ を書 き か えれ ば ド ・ブ ロイ 波ψ が満 た す 式 と して

(７)

が 得 られ る.こ れ を シ ュ レー デ ィン ガ ー の 方 程 式(波 動 方 程 式)と

い う.こ の 式

にお い てψ は波 動 関 数 とよ ば れ る.   ３次 元 的 な運 動 で は,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー 方程 式 は (８)

と な る.   ポ テ ン シ ャ ルU(x,y,z)が る.こ

の と き,ド

時 間 を 含 ま な い と き は,エ

ネ ル ギ ー Ｅ は一 定 で あ

・ブ ロ イ 波 を

(９)

と書 く と

(10)

と な る.こ

れ も シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 と よ ば れ る.

  ド ・ブ ロ イ も シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー も,ド う と し た.し た,時

か し,電

子 が 連 続 的 に 空 間 に 広 が る と い う こ と は 考 え られ な い.ま

間 的 に 変 化 す る ド ・ブ ロ イ 波 は 虚 数ｉ を 含 み,一

は 本 質 的 な の で,ψ =1,2,…

・ブ ロ イ 波 を 電 子 自 身 で あ る と 考 え よ

,Nか

般 に複 素 数 で あ る の が 実

自 身 を 電 子 と 考 え る の は 無 理 が あ る.さ

ら に,多

ら な る 体 系 に 対 す る シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は,た

数 の 粒 子j とえ ば

(11) と な り,ψ

は3N次

元(x1,y1,z1,x2,…,zN)の

空 間 の 中 の 波 で あ る.そ

ψ を ３次 元 空 間 の 波 と考 え る こ と は で き な い.し

か し,波

動 関 数 ψ は全 く数 学

的 な 道 具 で 完 全 に 測 定 で き な い も の と考 え る こ と も で き な い.こ 定 で き る も の で あ る か と い う こ と は,実 で あ る ら し い.量

子 力 学 で は,そ

の た め,

れ が どの程 度 測

験 の設 定 の 仕 方 と実 験 技 術 に も よ る こ と

の よ う な 疑 問 は し ば ら く不 問 に し て お い て,理

論 を 進 め る の が よ い と 思 わ れ る.   波 動 関 数 の 時 間 的 変 化 が ψ∼exp(-iEt/〓)で す る 演 算 子 をE=(-〓/i)∂/∂tと

定 め た.ψ

採 用 す る こ と は し な か っ た の で あ る.こ p=-(〓/i)∂/∂xと

あ る と し て,エ

∼exp(iEt/〓）

の こ と は,運

し な か っ た こ と と 関 係 が あ る.こ

ネル ギー に相 当

と し てE=(〓/i)∂/∂tを

動 量 をp=（〓/i)∂/∂xと

し,

の こ とにつ い て 説 明 して お こ

う.   粒 子 がｘ 軸 の 正 の 方 向(右 る(mv＞0).こ ろ う.す

方)へ

進 む と し,こ

の 場 合 の 運 動 量mvを

正 とす

の 粒 子 に 付 随 す る ド ・ブ ロ イ 波 も右 へ 進 む と す る の が 当 然 で あ

る と こ の 波 は(符

号 に 注 意)

(12) と な る(ψ ∼exp{i(px+Et)/〓｝

と す れ ば 左 へ 進 む 波 に な っ て し ま う).し

て,Eψ=(-(〓ｔ/i)∂/∂t） ψ で あ り,演

算 子 と し てE=-（〓/i)∂/∂tと

たが っ

と らな け れ ば

な らな くな る の で あ る.   ψ を用 い ず に そ の複 素 共 役

(13) を 用 い る こ と も で き る(こ て,す

れ も 正 へ 進 む 波 で あ る)． ψ を 用 い た 量 子 力 学 に お い

べ て の ψ を ψ*で お き か えｉ を-iに

く る こ と が で き る わ け で あ る(こ ネ ル ギ ー はE=（〓/i)∂/∂tと   な お,ド

か え て も,全

く等 価 な 量 子 力 学 を つ

の と き は 運 動 量 はp=-(h/i)∂/∂xと

な る).し

・ブ ロ イ 波 の 位 相px-Etの

な り,エ

か し本 書 で は こ の 立 場 は と ら な い. 微分形 を とる と

(14) と な る.p=mxと る とE=K+Uで

し,運

動 エ ネ ル ギ ー をK=p2/2m,ポ

あ り,上

式 の()の

テ ン シ ャ ル を Ｕ とす

中 は

(15) と な る.p2/2m+Uな

ら ば 全 エ ネ ル ギ ー Ｅ で あ る が,L=p2/2m-Uは

学 で ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 と よ ば れ る も の で あ っ て,古

古 典 力

典 力 学 に お け る運 動 はハ ミル

トン の主 関 数

(16) が極 小 値 を と る よ う な もの で あ る とい う の が力 学 の 原 理 の 教 え る と こ ろで あ る. Ｓ は作 用 積 分 と よ ば れ る.   量 子 力 学 に移 れ ば,作 用 積 分 Ｓ は ド ・ブ ロ イ 波 の 位 相 を与 え る.こ の 観 点 を ひ ろ げ て 量 子 力 学 を構 成 す る と き,経 路 積 分 に よ る量 子 力 学(第27講 講)が

と第28

見 え て く るの で あ る.

 存 在 確 率  粒 子 の存在 確率(確 率 密度)は (17)

に比 例 す る と考 え られ る.こ

こで ψ*は,波

動 関 数 の複 素 共 役(虚

数ｉ を-iで

お きか えた もの)で あ る(ψ*ψ は 波 動 関 数 の絶 対 値 の ２乗 とい う).そ

し て,確

率密度 の流れ は

(18)

で 与 え ら れ る.こ る.確

こ でgradは(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)を

率 密 度 が 保 存 さ れ る こ と,す

成 分 とす る 微 分 演 算 子 で あ

なわ ち

(19) を証 明 し よ う.  【 証 明 】  １次 元 の場 合 に つ い て 証 明 し よ う.波 動 方 程 式(７)の 複 素 共 役 を と る と(ポ テ ン シ ャ ルU(x)は

実 数 とす る)

(20) そ こ で(７)に

ψ*を,(20)に

ψ を掛 け て 差 を と る と

(21) と 書 き 直 せ る.し

たが って

(22) ただ し

(23)  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式 は,２ 階 の(偏 微 分)方

程 式 で あ り,そ

の性

質 に よ り波 動 関 数 ψ(あ る い は ψ)は,次   ポ テ ン シ ャル Ｕ の 特 異 点(U=±

の 条件 を満 た す こ とが 要 求 さ れ る.

∞ ）以 外 で は波 動 関 数 は連 続 で あ っ て,１ 次

お よ び ２次 の 導 関 数 ∂ψ/∂x,∂2ψ/∂x2をもち,１ 次 の 導 関 数 ∂ψ/∂xは連 続 で な け れ ば な らな い.   Ｕ の 特 異 点 を 除 き １次 の 導 関 数 が連 続 で あ る こ と は,粒 子 の確 率 密 度￨ψ｜2の 流 れj=-(ih/2m){ψ*∂

ψ/∂x-ψ(∂ ψ*/∂x)}が連 続 で な け れ ば な ら な い こ とか ら

も明 らか で あ る.   故 に 遠 方(x→ ±∞)で ψ,∂ ψ/∂xが０に な れ ば

(24)

とな り,全確率∫ρdxは

保 存 され る.

 ３次元 の 運 動 で も同様 に して,保 存 則

(25) が 導 か れ,

(26) す な わ ち全 確 率 は保 存 され る.

 期  古 典 力 学 的 な 物 理 量A(x,p)に

待 値

対 し,量 子 力 学 で は 演 算 子

(27) が 対 応 す る.そ は

し て物 理 量 Ａ を測 定 した と き に 得 られ る値 の 平 均 値(期 待 値)

(28)

で 与 え ら れ る.

 

Tea

Time

 光子の数   光 は電 磁 気 的 な 波 で あ るが,粒 子 と して の性 質 も もっ て い る.光 の粒,す

なわ

ち光 子 の数 は どの く らい で あ ろ うか.大 雑 把 な計 算 を して み よ う.   た とえ ば,電 灯 の 光 を考 え る と100Wと

い っ て も可 視 光 に な る 電 力 は そ の う

ち の一 部 で 多 くは熱 に な る だ ろ うが,光 子 の 数 の 程 度 を 知 る た め に は,か 100Wの

りに

消 費 電 力 の 全 部 が 可 視 光 の 青 の 光 に な っ た と し て み よ う(以 下 の計 算 で

数 値 は す べ て大 雑 把 で あ る).   青 の 波 長 は １万 分 の5mmの

程 度 で あ る.光

の速 度 は １秒 間 に30万kmで

あ

るか ら,青 い光 の 振 動 数 をν とす る と

  プ ラ ン ク 定 数 はh=6.6×10-34J・sで

あ る か ら,青

の 光 子 １個 の エ ネ ル ギ ー を

Ｅと す る と

で あ る.

 1Wは1J/sの の 数(Ｎ

仕 事 率 な の で,100Wの

とす る)に 換 算 す る と

仕 事 率 を １秒 間 に 放 出 され る青 の 光 子

とな る.  100Wの

電 球 か らあ らゆ る方 向 へ 一 様 に光 が 放 出 され る と し よ う.こ の 光 源 か

ら100m隔

った球面の面積 Ｓ は

した が っ て こ の面 の1m2あ

と 計 算 さ れ る.1m2=104 

す な わ ち100Wの

た りに １秒 間 に あ た る光 子 の 数 は

cm2で

あ る か ら,こ

光 源 か ら100m隔

れ は

っ た と こ ろで は1cm2の

面 積 あ た り １秒 間 に

約1011個 の光 子 が く る こ とに な る.こ れ は け っ こ う大 き な数 で あ る.光 が 連 続 体 の 流 れ の よ うに見 え るの も当 然 と思 うが,い

か が な もの で あ ろ うか.

 第 ４ 講  古 典 的 な 極 限

―テ ーマ ◆ 平均 的 な運動 ◆ 古典 力学 的 な極限 ◆ 量子 論的 なゆ らぎ ◆Tea

Time:物

質波

 エ ー レ ン フ ェ ス 卜の 定 理

波動 関数 ψ を

(１ ）

に規 格 化 して お く と,粒 子 の位 置(x,y,z)の

平 均 値(期

待 値)は

(２)

と書 け る(ｙ,ｚ

に つ い て も 同 様).こ

れ を 時 間ｔ で ２回 微 分 す る と

(３)

が成 り立 っ.こ

こでｍ は粒 子 の 質 量,Ｕ

は粒 子 に は た ら く力 の ポ テ ン シ ャル で

あ り,こ の 式 は,平 均 に お い て 古 典 力 学 の 運 動 法 則 が 成 り立 つ こ とを 示 して い

る.こ

の こ と を エ ー レ ン フ ェ ス トの 定 理 と い う.

  【証 明 】  (２)をｔ に つ いて 微 分 す る と (４)

と な る が,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式

(５)

とそ の複 素 共 役 式 とを 用 い れ ば,部 分 積 分 を用 い て

(６)

た だ し遠 方(x→ ±∞ ）で ψ→0と し た.さ

ら に,部 分 積 分 に よ り右 辺 第 ２項 を 書

き直 せ ば (７)

と書 け る.(h/i)∂/∂xは 運 動 量 演 算 子 なの で,こ の 式 はわ か りや す い.  さ らにｔ で微 分 す れ ば

(８) と書 き 直 せ る.し

か し こ の 右 辺 の は じ め の ３ つ の 積 分 は,遠

方 で ψ,∂ ψ/∂x,

ｙ

∂2ψ/∂x2等が ０ に な る こ と か ら す べ て 消 え る.し

たが って

(９)

,ｚ 成 分 に対 し て も 同 様 で あ り,エ

ー レ ン フ ェ ス トの 定 理 が 成 り立 っ て い る.

 古典 的 な極 限   形 式 的 に〓→0と す れ ば,古 典 力 学 の 法 則 が 導 か れ る こ と を示 そ う.ま ず,波 動 関 数 ψ を 実 関 数 Ａ と Ｓ を用 い て (10) と書 く.ｔ お よびｘ で 微 分 す れ ば

(11)

と な る.こ

れ ら を シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式(５)に

代 入すれ ば

(12) を 得 るが,こ

れ を実 部 と虚 部 と に分 け る と

(13)

と な る.た

だ し こ こで

(14) は 確 率 密 度 で あ り,ｖ は 成 分 が

(15) で 与 え られ る ベ ク トル で,確

率 密 度 の 速 度 と 解 釈 さ れ,(13)の

第 ２式 は 確 率 密 度

の 保 存 を 表 す 連 続 の 方 程 式 で あ る. (13)の 第 １式 は,右

辺 の 最 後 の 項 はh2の

程 度 の 量 で あ り,こ

れ を 無 視 す れ ば,

こ の 式 は 古 典 力 学 に お け る ハ ミル ト ン ・ヤ コ ビ の 方 程 式 で あ っ て,粒 表 す も の で あ る.そ

し て,h2の

程 度 の 項(h2/2m)∂2A/∂x2/Aは

子 の運 動 を

確 率 密度 の 量子

論 的 な ゆ ら ぎ に よ る 拡 散 を 表 す も の と 解 釈 で き る.   古 典 力 学 に あ る種 の ゆ ら ぎ を 付 け 加 え た 方 程 式 に よ っ て 量 子 論 的 な 運 動 方 程 式 を 導 く こ と に つ い て は,E.Nelson:Derivａtion from

Newtonian

Mechanics(Phys.

of

the

Schrodinger

Rev.,150,1966,1079‐1083),江

「物 理 学 の 視 点 」(培 風 館,1983,p.196‐206)を

Equation 沢

洋:

参 照 さ れ た い.

 (13)に お い てｈ の ２次 の 項 を 無 視 し て 差 支 え な い た め に は

(16) あ るい は

(17) で な け れ ば な らな い.物 質 波 を 多 数 の 波 の 重 畳 と考 え る と,主 な 波 の 波 長 を λ とす る と き

(18) で あ る か ら,こ の条 件 は

(19) と書 け る.し た が っ て,物 質 波 の代 表 的 な 波 長 λの 程 度 の距 離 で は振 幅 Ａ の 変 化 は き わ め て 小 さ く,い い か え れ ば,物 質 波 は あ る程 度 ひ ろが っ て い て,そ の 中 に多 数 の 波 が 含 まれ て い る も の,す な わ ち波 束 で あ る場 合 で あ る.   こ の よ うに 物 質 波 が 波 束 と な っ て い る とき,確 率 密度 が い く らか ひ ろ が っ た 粒

子 像 が成 り立 つ こ とに な る.

Tea

Time

物質波   原 子 の 中 で 運 動 し て い る電 子 の 波(ド 程度(10-8cm)で

・ブ ロ イ波)の

波長 は,原 子 の大 き さ の

あ る.ふ つ うの 物 体 に つ い て も ド ・ブ ロイ 波 は考 え られ る が,

その 波 長 は大 変 小 さ い.こ れ は,ふ つ うの物 体 の波 動 性 が 認 め られ な い理 由 の １ つ と考 え られ るが,そ の 波 長 の程 度 を計 算 して み よ う.   質 量ｍ の物 体 に 付 随 す る物 質 波(物

体 波 とい った 方 が い い と思 うが,ふ

つう

は物 質 波 と よば れ て い る)の 波 長 を λ とす る と

で あ る.た

だ し,ｈ

は プ ラ ン ク 定 数 で あ り,υ

は 物 体 の 速 さ で あ る(h=6.64×

10-34kg・m2/s).   い ま,か

りに

質量 速さ と す る と,そ

の波 長 は

と計 算 され る.こ れ は とて も小 さ くて 見 え な い は ず で あ る.   つ い で に,原 子 の 中 の 電 子 の 速 さvを

調 べ て み よ う.水 素 原 子 の 基 底 状 態 の

電 子 の軌 道 の半 径 をａ,電 子 の 質 量 をｍ とす る と(本 文 参 照) で あ る,ａ

は 原 子 の 半 径 で10-10mの

で あ るか ら,電 子 の速 度 は(MKS単

程 度 で あ り,電

位 系)

子 の 質量 は

で あ る． これ は相 当大 き な速 度 で あ るが,光 るか に小 さ い.し

の速 さc=3×108m/sに

比 べ る とは

た が っ て,原 子 の 中 の 電 子 の 軌 道 運 動 は,古 典 力 学 的 に は(相

対 論 的 力 学 で な く)ニ ュー トン力 学 で 扱 って よ いわ け で あ る.   電 子 の軌 道 の 半 径 は2πa≒10-9mで あ るか ら,水 素 原 子 の 基 底 状 態 の 電 子 は, １秒 間 に 約1015回 も原 子 核 を 回 っ て い る こ とに な る.こ れ は 光 の 振 幅 数 と同 程 度 で あ る こ と も注 目 され る(前 講 のTea  Time参   こ こ で,マ

ク ロ的 な 物 体 の例 と し て,1kgの

よ うな マ ク ロ的 物 体,た

照). 物 体 の 物 質 波 を 考 えた が,そ

の

と え ば人 間 の ド ・ブ ロイ 波 を真 面 目 に考 え る人 は い な い

だ ろ う.ガ モ フ が 書 いた 「不 思 議 の 国 の トム キ ンス 」 とい う本 に は,プ

ラ ン ク定

数 が マ ク ロ的 に大 きか っ た り,光 速 度 が全 く小 さか った りす る仮 想 的(バ ー チ ャ ル リア リテ ィ?)な 世 界 の 話 が 出 て くるが,私

に は1kgの

物 体 の ド ・ブ ロ イ 波 と

い う よ うな概 念 は全 くわ か らな い .こ の 物 体 も電 子 や 原 子 核 の 集 合 で あ り,こ れ らの粒 子 の ド ・ブ ロ イ 波 の 集 合 で あ るわ け で あ る が,そ の よ うな構 成 要 素 の 個 々 の ド ・ブ ロイ 波 が 干 渉 し て大 きな物 体 の ド ・ブ ロ イ 波 に な る とい う こ と はな い. マ ク ロ的 な物 体 の ド ・ブ ロ イ波 とい う考 え を許 容 す る に は,全 念 へ 移 らな け れ ば な らな い.し か し中 間 的 な存 在,た

く次 元 の 異 な る概

と え ば分 子 の ド ・ブ ロ イ 波

の 干 渉 とい う こ とは あ りう るわ け で,近 い 将 来 に は そ うい う中 間 的 な ス ケ ー ル の 現 象 に対 す る実 験 技 術 が 進 み,量 子 力 学 に 新 し い風 が入 っ て くる可 能 性 が あ るに ちが い な い.

  第５

講

 波

束

―テー マ

◆ 波束 ◆ 不確 定性 原理 ◆ 不確 定性 原理 の証 明 ◆Tea

Time:ボ

ーア

 波

束

 典 型 的 な 自 由粒 子 の 波 束 を記 して お こ う.は じめ に １次 元 の場 合 を考 え る と波 動 方程 式 は (１)

で あ る.こ れ は線 形 方程 式 で あ るか ら,波 は 重 ね 合 わ せ で 書 く こ とが で き る.波 長 が 少 し異 な る波 を重 ね れ ば"う な り"が 生 じ る.波 を適 当 に多 数 重 ね れ ば,一 部 分 だ けで 振 幅 が 大 きい 波 もつ くれ るだ ろ う.こ れ が 波 束 で あ る.  (１)は 拡 散 方 程 式 の形 を して い るの で,そ

の特 殊 解 と同 形 の 解 (２)

を と り,x0の

ち が う もの を 多 数 重 ね て 波束 をつ くる こ とが で き る.

  しか し正 攻 法 は

(３)

の 周 期 条 件 を満 た す(１)の 解

(４)

を 用 い て ψ(x,t） を 展 開 す る こ と で あ る.L→∞

とす る と

(５) と な る.   特 にt=0と

お くと

(６) と な る.こ

れ は フ ー リエ 積 分 で あ っ て,公

式 に よ り逆 変 換 は

(７) で 与 え ら れ る.

 不確定性原理   波 束 をせ まい 領 域 に 限 るた め に は多 数 の 波 を重 ね 合 わ せ な けれ ば な らな い が, そ うす る と重 ね 合 わ せ る波 の 波長 が 広 い範 囲 に ひ ろが っ て し ま う.こ れ の粒 子 の 位 置 をせ ま く制 限 し よ う とす れ ば,運 動 量 の不 確 定 さが ひ ろが る とい う こ とで あ る.こ の た め 位 置 の 不 確 定 さ⊿xと 運 動 量 の 不 確 定 さ⊿pの 積 は,h/2の

程度 よ

り も小 さ くで き な い と い う定 理 が 導 か れ る.こ れ を不 確 定 性 原 理 と い う.す なわ ち

(８)   【証 明 】  (６),(７)に

お い て ψ(x)を 波 束 と す る.波

数ｋ

と 波 長 λ と運 動 量ｐ

=h/λ の 関 係 は

(９) で あ る か ら,ｋ

の 代 わ り にｐ を使 う と(６),(７)は

(10）

と な る.こ

こで

(11) は(必 要 に 応 じ て 実 部cosか 幅a(p)の

虚 部sinを

とれ ば よ い)平 面 波 を 表 し,ψ(x)は

波 を重 ね た も の と解 釈 で き る.そ

こ で 振 幅a(p)がｐ

振

の 範 囲⊿p∼ σに

ひ ろが っ て い る と して

(12) (σは定 数)と 仮 定 す る と,ｘ とｐ の関 係 す る項 を ひ ろ い 出 して

(13) これ は波 束 がｘ の範 囲⊿x∼〓/σ に ひ ろ が って い る こ とを意 味 す る.し た が っ て

(14) で あ り,⊿x・⊿p∼〓

と な る.一

す よ う に 正 確 に は⊿x・⊿p〓〓/2と

般 に は も っ と 不 確 定 さ は 大 き く な る(次 な る).

講 で示

 

Tea

Time

 ボ ー ア

  ニ ー ル ス ・ボ ー ア(Niels で 生 まれ た.父

Bohr,1885‐1962)は

デ ン マ ー ク の コペ ン ハ ー ゲ ン

は有 名 な 生物 学 者 で 母 は裕 福 な銀 行 家 の 娘 で あ っ た.ニ

学 生 の と きに 液 体 の噴 流 と表 面 張 力 に関 す る論 文(大

ール ス が

変 長 くて め ん ど う な論 文)

を書 いた と き は,父 の研 究 室 で 実 験 もお こな っ て い る.弟 の ハ ラ ル ドは 数 学 者 に な っ た.こ

の 兄 弟 は サ ッカ ー にお いて もす ぐれ て い た が,中 学 の頃 に は す で に秀

才 の 誉 れ が高 か った とい う.   ニ ー ル ス は 金 属 電 子 を テ ー マ に した 博 士 論 文 を書 い て か らイ ギ リス へ わ た り, J.J.トム ソ ンや ラ ザ フ ォー ドと知 り合 っ た.1911年

に ラ ザ フ ォー ドは 原 子 核 を発

見 し,原 子 核 の まわ りを電 子 が 回 る土 星 型 の原 子模 型 を考 えた が,原 子 が大 き さ を もち安 定 した もの で あ る こ とを保 障 す る理 論 的 な 手 が か りをつ か む こ とが で き なか っ た.ボ

ー ア は この 問 題 に大 変 強 く惹 かれ た が,友 人 か ら水 素 の スペ ク トル

を ど う考 え る か,と い わ れ て は じめ てバ ル マ ー 系列 の 公 式 を調 べ た とこ ろ,問 題 の 解 決 へ の道 が た ち ま ち 明 らか に な った.こ

れ は1913年

の は じ め の 頃 で,こ

の

年 の ４月 ５日 に は,す で に ボ ー アの 水 素 原 子 に関 す る有 名 な論 文 が 発 表 され て い る.   この 論 文 は 矛 盾 を明 白 に 述 べ な が ら,こ の 矛 盾 が 解 消 され れ ば こ うい う こ とが 解 決 され るで あ ろ う,と い う よ うな ス タ イ ル を とっ て い る.こ の態 度 は ボー アの そ の 後 の 仕 事 で も一 貫 して い る もの で あ る.考

え方 の進 め 方 に は い ろ い ろな タ イ

プ が あ る.量 子 力 学 の構 造 を きれ い に ま とめ上 げた デ ィ ラ ッ ク は,次 の よ う に い っ て い る(セ グ レ:「 Ｘ 線 か らク ォ ー ク まで 」 み す ず 書 房,p.172に

よ る).

  「私 自 身 の 考 え 方 の 進 め 方 は,ち ゃ ん と した 方 程 式 で 書 き表 され る よ う な思 想 に重 き を置 き が ち で あ った が,ボ もの で,ど

ー ア の 考 え方 は,多

くの場 合 も っ と広 い性 格 の

ち らか と言 え ば数 学 か ら離 れ た もの で あ った.…

  「ボー ア は い つ も慎 重 で批 判 的 な姿 勢 を示 し て い た.彼

」

は 理 論 を しっ か り した

基 礎 の 上 に 置 く必 要 を説 き,ま だ 残 さ れ て い る 大 き な矛 盾 を強 調 した.」(セ グ レ,同 上)   ボー ア の量 子 力 学 に対 す る考 え は,い わ ゆ る コペ ンハ ー ゲ ン正 統 派 的 解 釈 とよ ば れ る こ とが 多 い.そ の 中 の ど こ ま でが ボ ー ア 自身 に よ る もの か,あ

る い は彼 が

将 来 変 更 した か も しれ な い もの なの か,大 変 興 味 が あ る と こ ろ で あ る.し か しい

ず れ に し て も,量 子 力 学 は 大 き な矛 盾 を か か え て い る と思 わ れ る.古 典 物 理 学 は,ど ち らか とい え ば貴 族 的 で 形 而 上 学 的 で あ り,相 対 性 理 論 も量 子 論 と触 れ な い限 りで は この 色 彩 を もっ て い る.こ れ に比 べ る と,量 子 論 に お い て は観 測 す る とい う行 為 が観 測 され る物 質 に影 響 を与 え,そ れ と同 時 に 観 測 者 で あ る人 間 も影 響 を受 け る の で,量 子 力 学 は物 質 と人 間 か ら離 れ る こ とが で き な い と い う宿 命 を も って い る の だ が,そ

れ に もか か わ らず客 観 的 な 物 理 学 が 成 り立 つ と い う こ と 自

身 が 不 思 議 に も思 わ れ る.

 第 ６ 講  不 確 定 性 原 理

―テー マ

◆ 量 子 論的 な不確 定 さ ◆ 不 確 定最小 の波 束 ◆ 波 束 の拡散 ◆Tea Time:不

確 定性 原理

 波 束 と不確 定 さ   不 確 定 さ⊿x・⊿pは,波

束 の つ く り方 に よ っ て 異 な る値 を とる.不 確 定 さ は ど

の 程 度 まで 小 さ くで き るで あ ろ うか と い う問 い に 対 して は,確 定 し た 答 え が あ る.そ れ に よれば,波

動 関ψ

を∫￨ψ￨2dx=1に

規格 化 した と き

(１)

で 定 義 さ れ る 不 確 定 さ⊿xと⊿pに 一 般 に は これ よ りも大 き い

.す

対 し,積⊿x・⊿pはh/2が

最 小 値 で あ っ て,

なわ ち

(２)

  【 証 明 】  位 置ｘ と運 動 量p=（〓/i)∂/∂xの (３)

か らの 差 を

(４)

と す る.α2に

つ い て は 単 に 書 き 直 し,β2に

つ い て は部 分 積 分 に よ り

(５)

が 示 され る.こ

こ で不 等 式

(６)

に 注意 す る.こ れ を書 き直 す と (７)

と な る.さ

らに

(８)

と お く と(５)に

よ り

(９)

と な る.さ

ら にαβ=1/2(αβ-βα)+1/2(αβ+βα)な

の で(７),(９)に

よ り

(10) を 得 る.右 辺 第 １項 は

(11) とな り.第

２項 は必 ず 正 で あ るか ら(10)は

(12) す な わ ち(２)を

与 え る.

 不 確 定 最 小 の波 束   (６)に お い て 等 号 が 成 り立 つ の は,γ こ と に 注 意 し よ う.こ

れ は(８)に

を 定 数 と し てf=γgの

と き に 限 られ る

よ り

(13) の と きで あ る.さ

らに不 確 定 性 原 理(２)の 等 号 が 成 り立 つ た め に は(10)に よ り

(14) で あ る こ と も 必 要 で あ る.(13)を

考 慮 す れ ば(14)は

(15) と な る.し

た が って γは純 虚 数 で あ って

(16) に規 格 化 す れ ば(15)は

(17) を 与 え る.他

方 で(13)は

(18) と書 き直 せ るが,こ

れ は簡 単 に積 分 で きて

(19) を 与 え る(Ｎ

は 規 格 化 定 数).(17)を

考 慮 し(16)に

よ っ て 規 格 化 す れ ば(19)か

ら

(20) を 得 る.こ

れ か ら⊿x, ⊿pの

分 散(⊿x)2,(⊿p)2を

計算 す る と

(21)

した が っ て

(22) が確 か め られ る.

 波束 の 時 間 変 化   あ る時 刻 に お い て 波 束 ψ を与 え,そ の 後(あ よ う."あ

る時 刻"をt=0に

る い は 前)の 波 束 の 変 化 を調 べ

選び

(23)

と,こ の ときの 波 束 と して不 確 定 さが 最 小 の 波 束(20),す

なわ ち

(24) を 用 い よ う.前

講(７)に

よ り,ψ(x,0)の

成 分 波 の振 幅 は

(25) で 与 え ら れ,各

成 分 波 の 位 相 はkx-Et/h=kx-h2k2t/2mhで

あ る か ら,こ

の波

束 は

(26) とな る.粒 子 の存 在 確 率 は

(27) で 与 え られ る.  粒 子 の 速 度 ｖが ０で な い と き は

(28)

とお くと

(29)

ただ し

(30) とな り

(31) を 得 る(３ 次 元 の と き はｘ,ｙ,ｚ の ３方 向 に 対 し て ψ(x,t）,￨ψ(x,t）2￨の

積 を とれ

ば よ い).   (29)を 用 い て 分 散(Δx)2と(Δp)2を

計算 す る と

(32)

を 得 る.こ

れか ら

(33) を 得 る.t=0で くず れ,そ

は(Δx)2(Δp)2=〓2/4が

れ に つ れ て 不 確 定 さΔxΔpは

 

Tea

成 り立 つ が,時 大 き くな る.こ

間 が た つ と波 束 は 次 第 に れ を波 束 の 拡 散 とい う.

Time

 不確 定性 原理   不 確 定 性 原 理 に よれ ば,粒 子 の位 置ｘ とそ の 運 動 量ｐ を 同 時 に 測 定 し よ う と す る と き,ど

う して も誤 差 が 生 じる.こ の 誤 差 は粒 子 に関 す る情 報 の 不 確 定 さ と

な る.位 置 に関 す る不 確 定 さ を⊿xと と,⊿xと⊿pの

し,運 動 量 に 関 す る不 確 定 さ を⊿pと す る

積 を プ ラ ン ク定 数 ｈの程 度 よ り も小 さ くす る こ と はで きな い,

と い う の が不 確 定 性 原 理 で あ る.

  古 典 力 学 で は,粒 子 の位 置 と運 動 量 は い くらで も くわ し く知 る こ とが で き る と し て い る の で,不 確 定 性 原 理 は,量 子 力 学 にお け る粒 子 とい う概 念 が 古 典 的 な も の と全 く異 な る こ とを 宣 言 す る もの で あ って,理 解 しに くい.   こ の理 解 を助 け る た め に,ハ

イ ゼ ンベ ル ク は空 想 的 な 実 験(思 考 実 験)を 考 え

た.思 考 実 験 は,現 在 は不 可 能 で あ っ て も測 定 技 術 な どが 進 歩 す れ ば 可 能 に な る と考 え られ る 実 験 で あ る.実 際,ハ

イ ゼ ンベ ル クが 考 え た 頃 に比 べ て 格 段 に測 定

技 術 が 進 歩 した い ま で は,彼 の 考 え た よ うな 実 験 は実 験 室 に お い て現 実 に実 行 さ れ て い るの で は な いか と思 わ れ る.し た が っ て,い

つ まで も思 考 実 験 といわ な い

で も よ さ そ うで あ る.   ハ イ ゼ ンベ ル ク が 考 え た よ う に,電 子 の位 置 と運 動 量 を 同 時 に測 定 し よ う とす る 目的 で,光 学 的 な 顕 微 鏡 を用 い る こ とに し よ う.   光 学 的 な顕 微 鏡 は,① 光 の 波 長 の 程 度 よ り小 さ い位 置 は 見 分 け られ な い とい う 制 限 を もつ(そ

こで 波 長 の きわ め て 短 い光 で あ る ガ ン マ 線 を使 う こ とが 考 え ら

れ,こ れ を ガ ンマ線 顕 微 鏡 とい う.し か しガ ンマ線 以 外 で もか まわ な い).   次 に,② 光 は粒(光

子)と

して運 動 量 とエ ネ ル ギ ー を もち,電 子 に よ って 散 乱

され る と運 動 量 とエ ネ ル ギ ー が 変 化 し,同 時 に電 子 の 運 動 量 とエ ネル ギ ー が 変 化 す る(コ ン プ トン散 乱 とい う).そ こで,光 子 の散 乱 さ れ る方 向 とそ の エ ネ ル ギ ー(振 動 数)の 変 化 を知 れ ば,電 子 の 運 動 量 とそ の 変 化 が わ か る.   そ こで① に よ り,位 置 を くわ し く見 るた め に は光 の 波 長 を小 さ く(さ ら に光 学 に よれ ば対 物 レ ン ズ を大 き く)し な けれ ば な らな い.し か しそ うす る と,② に よ り電 子 に与 え る運 動 量 の 大 きさ が大 き くな る(同 時 に 散 乱 され た 光 子 が進 む 方 向 が,対 物 レ ン ズ が 大 きい た め に も不 確 か に な る).①

と② との 関 係 は 「あ ち ら を

立 て れ ば こち らが 立 た ず 」 で あ っ て,位 置 の 測 定 を くわ し くす れ ば 運 動 量 は不 確 か に な り,運 動 量 の不 確 か さ を小 さ くし よ う とす れ ば位 置 の 測 定 が あ い まい に な る の で あ る.   この よ うに,測 定 は そ の 対 象 物(電 子)に

与 え る.そ の た め に測 定 対 象 に 関 し

て わ れ わ れ が知 り う る情 報 は,古 典 物 理 学 の 場 合 に比 べ て 制 限 さ れ た もの に な る.こ れ が 古 典 的 な概 念 を も とに した と きに 可 能 な不 確 定 性 原 理 の 説 明 で あ る.

 第 ７ 講   トン ネ ル 効 果

―テ ー

マ

◆ 階 段 型 の ポ テ ン シ ャル ◆ 波 の浸 み込 み ◆

ト ン ネル 効 果

◆Tea

Time:ト

ンネル効 果

 階 段 型 の ポ テ ンシ ャル   １次 元 の ポ テ ン シ ャル が 図11の

よ う に階 段 型 で

(１)

で あ る と し よ う.左

方 か らエ ネ ル ギ ー

(２)

(ｋ は 波 数)の

粒 子 が き て ポ テ ン シ ャ ル 障 壁V0に

衝 突 す る と す る.シ

ュレーデ ィ

ン ガ ー 方程 式 をx＜0とx＞0に 分 け て書 け ば

図11 

階 段 型 ポ テ ン シ ャル(E＜V0の

と き)

(３)

【E＜V0の と き】  こ の場 合,上

式の解 は

(４)

と書 け る.   【境 界 条 件 】x=0に

お い て,x＜0の

解 とx＞0の

解 を つ な ぐ 条 件 は（ψ'=dφ/

dx)

(５)

  左 方 か ら粒 子 が 入射 して く る前 は右 方 に粒 子 は な く,ψ(x)→0(x→+∞)で あ る とす る.左 方 か ら粒 子 が ポ テ ン シ ャル 障 壁 に衝 突 す る と,一 部 はx＞0へ 入 し,結 局,x＜0の

浸

領 域 へ は ね返 る と考 え られ る.

 そ こ でA=1,B≠0,C=0,D≠0と

す る と,上

式 か ら

(６)

と な る.し

たが って (７)

これ は粒 子 が 全 部 反 射 され る こ とを意 味 す る.し か しD≠0な シ ャル 障 壁V0の

ので粒子 は ポテ ン

中 へ い く らか浸 入 す る.浸 入 距 離 は (８)

の程 度 で あ り,V0→0と

す れ ば浸 入 距 離 は ０に な る.

  【E＞V0の と き】  こ の場 合 の 解 は

(９)

と お く.入

射 波 はA=1,反

だ け が あ っ てD=0で

射 波 はB≠0で

表 さ れ,x＞0に

あ る と す る と,x=0で

対 して は透 過 波 Ｃ

つ なが る解 と して

(10) と な る.す

なわ ち

図12  階段 型 ポ テ ン シ ャル(E＞V0の

とき)

(11)

で 与 え ら れ る.

(12) は,入 射 粒 子 の 流 れ に対 す る反 射 粒 子 の流 れ の 比 で,反 射 係 数 で あ る.入 射 粒 子 の速 さ とポ テ ン シ ャル 障 壁V0を

越 え て 進 む粒 子 の 速 さの 比 はk'/kで

あ る の で,

入 射 す る流 れ に対 す る透 過 粒 子 の 流 れ の比 は

(13) で あ り,こ れ は透 過 係 数 とよ ば れ る.入 射 粒 子 の流 れ の 強 さが１ の とき反 射 粒 子 の流 れ の 強 さ は Ｒ,透 過 粒 子 の強 さ は Ｔ で,こ れ ら の間 に

(14) の関 係 が成 り立 っ ．

  トン ネ ル 効 果  図13の

よ う な ポ テ ン シ ャ ル 障 壁(高

さV0,幅

Ｌ)

図13  トンネ ル効 果

(15)

が あ る と す る.こ れ に左 か らエ ネ ル ギ ー Ｅ の 粒 子 が 入 射 した と き,E＜V0な

ら

ば,古 典 力 学 的 に は粒 子 は 障壁 を越 え る こ と はで き な い が,量 子 力 学 で は 波 動 関 数 が 障 壁 の 中 に浸 み込 む か ら,障 壁 を越 え て い く らか の粒 子 が 透 過 す る.こ れ を トンネ ル 効 果 とい う.   トン ネ ル効 果 は ３つ の 部 分,(x＜0)と(0＜x＜L)と(L＜x)の

それ ぞ れ につ

い て 波 動 方 程 式 を解 き,つ な ぎ合 わ せ る こ とに よ っ て求 め る こ とが で き る わ け で あ る.そ の 結 果 だ け を記 して お こ う.   E＜V0の

と き粒 子 が 透過 す る確 率(透

過 係 数)は

(16) ただし

(17) で 与 え られ る.障 壁 で反 射 され る確 率(反 射 係 数)は (18) で与 え られ る.   E＞V0と

きの透 過 係 数 は

(19) ただ し

(20) (反射 係 数 は1-T）

で 与 え られ る.

  トン ネ ル効 果 は,化 学 反 応 の理 論,金

属 や 半 導 体 の 理 論,放 射 性 原 子 核 の 理 論

な どで 大 き な役 割 を演 じて い る.

  Tea

Time

  トン ネ ル 効 果   放 射 線 は放 射 能 を も つ元 素(放 射 性 元 素)の

原 子 核 か ら出 る もの で,自 然 界 に

存 在 す る放 射 線 に は α線， β線,γ 線 の ３種 類 が あ る こ とが,キ

ュ リー な ど に よ

っ て 明 らか に さ れ た.α 線 は 実 はヘ リウム の 原 子 核 と同 じ も の,β 線 は電 子 で あ り,γ 線 は波 長 の きわ め て短 い 電 磁 波(光 子)で

あ る(原 子 核 反 応 で つ くられ る

人 工 放 射 性 元 素 の 原 子 核 は 陽電 子 な どを 出す もの も あ る).   α線 はヘ リウム の原 子 核 と同 じ もの で,α 線 の 粒 子 １個 は ２個 の 陽 子 と ２個 の 中性 子 が 強 く結 び つ い た もの で あ る.こ れ が 原 子 核 か ら 出 て くる こ とか ら,原 子 核 の 中 で も α線 の 粒 子 が 存 在 す る と考 え られ る が,こ

れ が 原 子 核 の 中 か ら出 て

くる の はエ ネ ル ギ ー の 壁 を通 りぬ けな けれ ば な らず,こ れ は量 子 論 的 な トン ネ ル 効 果 で あ る.こ

の現 象 を考 え て α線 に適 用 した の は ガ モ フで あ った.

  古 典 力 学 に し たが え ば,ポ テ ン シ ャル 障壁 の高 さが 粒 子 の運 動 エ ネ ル ギ ー よ り 少 しで も大 き けれ ば,粒 子 は障 壁 を越 え る こ とは で きな い.し

か し量 子 論 で は,

障 壁 の高 さ が有 限 な らば,粒 子 の波 動 関 数 は い く らか 障壁 の 中 へ 浸 み込 み,不 確 定 性 原 理 に よ るエ ネ ル ギ ー の 不 確 か さ を利 用 して 障 壁 を越 え る可 能 性 を もつ こ と に な る の で あ る.   障 壁 の 高 さ をV0と

し,障 壁 の 外 にお け る粒 子 の エ ネ ル ギ ー を Ｅ とす る と,

障 壁 へｘ だ け入 っ た と こ ろ の 波 動 関数 は ψ∼e-axの 形 に な り,シ ュ レ ー デ ィ ン

ガ ー 方 程 式 か らV0-E=（h2/2m)a2と 1/aの 程 度,そ

の 運 動 量 はha,速

な る.電 子 が 障 壁 の 中 へ 浸 み 込 ん だ 幅 は 度 はha/mの

時 間 は⊿t∼ （1/a)/（ha/m)=m/a2hの 確 か さ は⊿E∼h/⊿t∼a2h2/m∼2(V0-E)と

程 度 な の で,障 壁 内 に滞 在 す る

程 度 で あ る.し

たが っ てエ ネル ギー の不

な る.こ れ は 障壁 の 高 さの 程 度 で あ

るか ら,粒 子 は障 壁 を越 え る可 能 性 が あ るわ けで あ る.   電 子 な どの トンネ ル効 果 は,半 導体 素 子 な どに 広 く応 用 され て い る.ま た,走 査 型 トンネ ル 電 子 顕 微 鏡 で は,金 属 針 を試 料 に近 づ け た と きに 流 れ る トン ネ ル 電 流 を検 出 し,表 面 の構 造 を原 子 レベ ル で 調 べ る こ とが で き る.

 第 ８ 講  エ ネ ル ギ ー 固 有 値

―テ ー マ ◆ 固 有値 ◆ 固有 関数 ◆ 井 戸 型 ポ テ ン シ ャル ◆Tea

Time:固

有 振動

 固 有値 問題  エ ネ ル ギ ー Ｅ が 一 定 の 運 動(定

常 状 態)と

し て,ポ

テ ン シ ャ ルU(x,y,z)に

よ っ て あ る 領 域 に と じ こ め られ た 粒 子 の 運 動 を 例 に と る と,エ

ネルギー Ｅ は

(１)

で あ り,運

動 量(px,py,pz)は

一 般 に 位 置(x,y,z)の

関 数 で あ る.波

動関数 は (２)

で あ る.し

たが って

(３)

で あ っ て,時 間ｔ を含 む 因 子 は分 離 され て波 動 関 数 は (４)

と書 け る こ と に な る.こ

の とき シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は

(５)

と な る(こ

れ も シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 と よ ば れ る).

  こ の 方 程 式 は 与 え ら れ た 境 界 条 件 の も と で 解 か れ る べ き も の で あ る が,任 Ｅ を 仮 定 し た と き に は,一 ば,こ

般 に 境 界 条 件 を 満 た す 解 が 得 ら れ な い.い

の 方 程 式 は Ｅ と し て 特 別 な 値(E1,E2,…

を 満 た す こ と が で き る.こ

意 の

いか えれ

）を と っ た と き に 限 っ て 境 界 条 件

の 特 別 な 値(El,E2,…

）を エ ネ ル ギ ー 固 有 値 と い い,

こ れ に 対 す る 波 動 関 数(ψ1,ψ2,… ）を 固 有 関 数 と い い,(５)を

固有 値 方 程 式 と い

う.

 エ ネ ル ギ ー 固 有 値   わ か りや す い 例 と し て,１ 次 元 の ポ テ ン シ ャ ル の 箱 (長 さ Ｌ)の 中 に と じ こ め られ た 粒 子 を 考 え よ う.こ の 場合 (６)

で あ る.U=∞

の 領 域(x〓0とx〓L)で

は,ψ=0と

し な い と こUφ=∞ と な っ て 固 有 値 方 程 式 は 満 た さ れ な い か ら,こ が っ て,こ

の 領 域 で はφ=0と

し な け れ ば な ら な い.し

の場 合 の境 界 条 件 は

図14  エ ネル ギー固 有値

(７)

で あ る.固 有 値 方程 式 は こ の場 合 (８)

で あ り,境 界 条 件(７)を 満 た す 解 と固有 値 をφn,Enと

書 けば (９)

(n=1,2,3,…

）と な る.

た

 固 有 関 数   １次 元 の ポ テ ン シ ャル と し て,も

う

少 し複 雑 な例

(10) 図15  井 戸 型 ポ テ ン シャル

を考 え よ う.波 動 方 程 式 は

(11) で あ る.こ

れ を 数 値 的 に 解 く こ と を 考 え,領

し てx=nε

と し,ψ(x)=ψ(n)と

域x=0∼Lを

小 さ な長 さ εに分 割

書 け ば ２階 の 微 係 数 は

(12) で 近 似 で き る.し

た が っ て(11)は

(13) で 近 似 さ れ,ψ(n)と に な る.い

ψ(n-1)を

い か え れ ば,ψ(n)と

与 え れ ば そ の 右 の 値 ψ(n+1)が

計算 で きる こ と

こ の 点 に お け る ψ の 微 係 数({ψ(n)-ψ(n-1)}/ε

で 近 似 さ れ る)を

与 え れ ば ψ(n+1)が

き ま る.

  そ こ で ψ(0)と

ψ(1)の 値 を 仮 定 し た と す る と ψ(2)が き ま り,こ

ψ(３)が き ま る と い う風 に つ ぎ つ ぎ と き ま っ て,結 こ と に な る.図16で ル ギ ー Ｅ,Ｕ

は,こ

の よ う な 計 算 の し か た を 模 式 的 に 示 し て あ る(エ

ネ

域0＜x

あ る た め,ψ(x)∼sinkx

あ る い は ψ(x)∼coskxの 領 域 で は,E-U0＜0で

形 に な る が,x〓0とｘ あ る た め ψ(x)∼

e±αxの 形 に な る こ と を 考 え れ ば,波 16の

局 全 領 域 の ψ(n)が 求 め ら れ る

と波 動 関 数 ψ を 同 じ 図 の 上 で 示 し て あ る こ と に 注 意).領

＜Lで は,E-U>0で

〓 Lの

れ らを用 いて

動 関数 が 図

よ う に な る こ と が 理 解 で き る で あ ろ う.

 粒 子 が 箱 に よ っ て と じ こ め ら れ て い る 状 態

図16  ポ テ ン シ ャル と波動 関 数

(束縛 状 態)に

お いては

(14) で な けれ ば な らな い の で,こ Ｅ が特 定 の値(E1,E2,…

れ が境 界 条 件 で あ る.こ の境 界 条 件 は,エ ネ ル ギ ー

）で あ る場 合 に 限 っ て満 た さ れ,こ れ が エ ネ ル ギ ー 固 有

値 な の で あ る.

  Tea

Time

 固有振 動   シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 が 知 ら れ た とき(1926年),こ

れ は多 くの 人 に よ っ

て大 変 歓 迎 され た.そ の １つ の理 由 は,そ の 前年 に発 表 され た ハ イ ゼ ンベ ル ク の 行 列 力 学 が,当 時 物 理 学 で ほ とん ど使 わ れ て い な か っ た 行 列 の 数 学 を使 っ て い る た め に 大 変 わ か りに くか った の に比 べ て,シ

ュ レー デ ィ ン ガ ー の 理 論 が 波 動 方 程

式 とい うわ か りや す い形 を して い た とい う こ とが 挙 げ られ る.ケ ル ヴ ィ ンや レ イ リー な どの 仕 事 で も代 表 され る よ う に,19世

紀 末 か ら20世 紀 は じ め に か け て の

時 代 に,数 理 的 な分 野 で 流体 や 弾 性 体 の 波 動 の研 究 は大 き な ブ ー ム で あ り,多 の 人 に共 通 した 教 養 で あ り関 心 事 で あ った(そ

く

の頃 の博 士 論 文 な ど は流 体 力 学 を

テ ー マ に す れ ば 通 りが よ か った とい う).ニ ュ ー トン力 学 が 本 質 に お い て 粒 子 の 力 学 で あ っ た の に対 して,量 子 力 学 が な じみ 深 い波 動 の力 学 と して 出 現 した こ と は大 き な喜 び で あ っ て,多   固 有 振 動,す

くの 人 が そ の研 究 に殺 到 した の も不 思 議 で は な い.

な わ ち定 常 的 な 振 動 とい うテ ー マ もその １つ で あ る.量 子 力 学 系

の定 常 的 な状 態 は,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー波 動 方程 式 で 与 え られ る固 有 振 動 に ほ か

な らな い.し た が っ て,こ れ は楽 器 の 出 す音 や水 面 の 波,あ

る い は鐘 の音 な ど と

共 通 性 の 多 い事 柄 で あ る.   都 会 の 鐘 の 音 は高 く響 き,お 寺 の 鐘 の音 は低 く籠 っ て き こ え る と い う よ う な こ とを い った 人 が あ る.物 体 の 発 す る固 有 な音 は,そ の発 音 体 の 構 造 を反 映 し て い る.数 学 者 の マ ー ク ・カ ッ ツ は,「 太 鼓 の音 で 太 鼓 の 形 が わ か るか 」 と い う意 味 の論 文 を書 い た そ う で あ るが,形

や構 造 が わ か っ て い る と き に 固有 振 動 を 求 め る

の を順 問題 とい い,固 有 振 動 を知 っ て その 体 系 の形 や構 造 を推 定 す るの を逆 問題 とい う.

  水 素 原 子 の 出 す 光(バ ル マ ー 系 列 な ど)を 手 が か りに して 水 素 原 子 の構 造 を知 ろ う と した ボ ー ア の 仕 事 は逆 問題 の 一 種 で あ るが,バ

ル マ ー 系 列 な どが 与 え られ

た だ け で は完 全 な 解 答 を得 る こ とが で きな か った.ボ

ー ア は 真 理 の一 部 を か ぎ つ

けた にす ぎな か っ た わ けで あ る.し か し彼 は,量 子 条 件 や光 子 の 扱 い で確 か に上 手 な 取 扱 い を 示 して くれ た.そ

れ が 量 子 力 学 の 進 む べ き方 向 を示 す 道 し るべ とな

っ た の で あ る.   雪 の 結 晶 の 形 は上 空 の 様 子 を伝 え て くれ る.「 雪 は 空 か らの 手 紙 で あ る 」 と い うの は中 谷 宇 吉 郎 さ ん の 有 名 な 言 葉 で あ る.そ れ を まね て い え ば,「 光 の ス ペ ク トル は原 子 の 世 界 か らの 手 紙 で あ る」.い ず れ に し て も,自 然 か らの か す か な 情 報 に 何 が か く され て い るか をか ぎ つ け る こ とが で き るの は,心 あ る少 数 の人 た ち で あ る に ちが い な い.

 第 ９ 講  調 和 振 動 子

―テー マ ◆ 調和振 動子 の固有値 問題 ◆ 固有 関数 と固有 値 ◆ エル ミー ト多項 式 ◆Tea Time:零 点振 動

 調 和 振 動 子   解 析 的 に エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を求 め る例 と し て,調 和 振 動 子 を考 え よ う.角 振 動 数 ω の 調 和 振 動 子 の ポ テ ン シ ャ ル はU(x)=mω2x2/2で

与 え られ るか ら,シ

レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は

(１)

で あ る.エ ネル ギ ー 固 有 値 は

(２)

とな る.  【 証 明 】  尺 度 を変 えて (３)

とお く と(１)は 無 次 元 の 式

ュ

(４)

と な る.さ

らに (５)

とお くと

(６)

と な る.こ qn-2 ,第

の 式 で ｆ をｑ の べ キqnの

２項 と 第 ３項 はqnを

多 項 式 Σanqnと

与 え る の で,qn-2の

が 関 係 づ け ら れ る こ と が わ か る.そ

仮 定 す る と,第

係 数an-2とqnの

１項 は

係 数anと

こで

(７)

とお く と

(８)

を 得 る.し

た が っ て,s=0かs=1で

  次 に,も

し も(７)が

あ る.

無 限 に 続 く級 数 で あ る と す る と,(８)に

よ っ てν → ∞ に

対 し

(９) と な り,ｑ

の大 きな と こ ろで ｆ は漸 近 的 に

(10) の形 で 発 散 し,境 界 条 件 ｆ→0(q→

∞ ）を満 た す こ とが で きな い.故

限 級 数 で な く,途 中 で切 れ る級 数 で な けれ ば な らな い.そ

に(７)は 無

こで

(11) で あ る よ うな 正 の 整数ｊ が 存 在 す る とす れ ば(８)か ら

で な け れ ば な ら な い.し

た が っ て,s=0とs=1に

対 して

よ っ て(３)に

よ り

と な る. 【エ ル ミー トの 多 項 式 】  こ の と き

([n/2]はn/2を り,こ

越 え な い 最 大 の 整 数)と

な

れ を エ ル ミ ー トの 多 項 式 と い う.こ

れ

を 用 い,規

格 化

図17  調和 振 動 子 の波 動 関 数

を す れ ば,エ ネ ル ギ ー の固 有 関 数 は

(12) と な る.  エ ル ミ ー トの 多 項 式 は,本 る.こ

に よ っ て ちが った 定 義 が 用 い ら れ て い る こ とが あ

こで 用 い て い る の は

(13) で あ る.

  Tea

Time

 零 点振 動   エ ネ ル ギ ー の最 低 状 態 は体 系 が 静 止 した状 態 で は な く,最 低 状 態 で も振 動 が 残 っ て い る.こ れ を零 点 振 動,あ

る い は零 点運 動(エ

ネ ル ギ ー)と

か ら導 か れ る事 柄 の 中 で 最 も著 し い も の の １つ で あ る.た

い い,量 子 力 学

と え ば,振 動 数ν の

単 振 動 の 零 点 エ ネ ル ギ ー はhν/2で あ る.   零 点 エ ネ ル ギ ー は,エ して い るが,こ

ネ ル ギ ー 最 低 の状 態 で も運 動 は ０に な ら な い こ とを意 味

れ は 不 確 定 性 原 理 か ら も想 像 され る こ とで あ る.

  も し も振 動 す る物 体 の 運 動 が 完 全 に な くな って 静 止 した とす れ ば,そ の 位 置 は 確 定 して し ま う こ とに な る.し か し不 確 定 原 理 に よれ ば,位 置 の 不 確 定 さ⊿xと 運 動 量 の 不 確 定 さ⊿pの 間 に は

とい う 関係 が 成 り立 つ.し

た が っ て,完 全 に 位 置 の き ま っ た 状 態(⊿x=0)が

あ

れ ば運 動 量ｐ は全 く不 確 定 に な る が,そ れ は エ ネ ル ギ ー が 無 限 に大 き い こ と を 意 味 し,こ れ は 不 可 能 で あ る.ま

た,逆

に運 動 が 完 全 に 静 止 した 状 態(⊿p=0)

が あ れ ば,位 置 は全 く不 確 定 に な るが,振 動 子 の よ う に運 動 範 囲 が 限 られ た 物 体 で は これ は不 可 能 で あ る.し た が っ て,振 動 体 の エ ネ ル ギ ー は 最 低 状 態 で も ０に な らな い で 有 限 の零 点 振 動 が 残 る こ とに な る.   電 子 は質 量 が 小 さ い た め,一 般 に振 動 数 が 大 き く,そ の た め 零 点 エ ネ ル ギ ー も 大 きい.こ

のた め金 属 内 の 電 子 は大 き いエ ネ ル ギ ー を もつ が,本

書 で は金 属 内 電

子 な ど を扱 わ な い の で,こ の 問 題 に は触 れ な い.   ヘ リ ウム 原 子 は,ふ つ うの 状 態 で 一 番 質 量 の小 さい 原 子 で あ る.こ れ が 密 集 し た液 体 ヘ リウム で は,零 点 振 動 の エ ネ ル ギー が 大 きい た め,圧 力 を加 え な い と固 体 に な らず,液 体 で 極 低 温 の と きは超 流 動 とい う特 殊 な 現 象 を ひ きお こす.   空 洞 輻 射(黒 体 輻 射)は,真

空 中 の電 磁 場 の振 動 で あ る(第

１講 参 照).電

磁

場 の振 動 に も零 点 振 動 が あ って,電 磁 場 の 固 有 振 動 は無 限 個 数 あ り,し か も高 い 振 動 数 の振 動 も無 限 に あ るの で,電 磁 場 は無 限 に大 きな 零 点 振 動 の エ ネル ギ ー を 内 蔵 して い る こ と に な る.こ の エ ネ ル ギ ー の 影 響 が 現 れ る現 象 は ふ つ う は お こ ら な い.し か し,た

とえ ば ２枚 の 金 属 板 の 間 に は さ まれ た 空 間 の 電 磁 場 の 零 点 振 動

は,金 属 板 の 間 隔 を変 化 させ る とそ の エ ネ ル ギー が 変 わ るの で,そ

の影響 は金属

板 の 間 の 引 力 と し て 現 れ る.こ (H.B.G.Casimir)が よ る 力 は,単

れ を カ シ ミ ア 効 果 と い う.1948年

予 言 し,1958年

に 実 験 的 に 確 認 さ れ た.カ

位 面 積 あ た り(π2/240)hc/a4の

大 き さ を も つ(ａ

に カ シ ミア シ ミア 効 果 に

は 金 属 板 の 間 隔).

 

 第10講  非 線 形 振 動

―テ ー マ ◆ テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ ン シ ャ ル ◆ モ ース ポテ ン シャル ◆ エ ッカ ー トポ テ ン シ ャ ル ◆Tea

Time:非

線形

 非 線 形の 振 動   本 講 で は １次 元 の振 動 子 を扱 う.ポ テ ン シ ャルU(x)が

変 位ｘ の ２乗 に比 例

す る振 動 子 で は,力 は 変 位 に比 例 す るの で線 形 で あ る とい い,こ れ 以 外 の 場 合 は 非 線 形 振 動 子 とい う.シ ュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式 は (１)

で あ る.こ

こ で は 束 縛 状 態En(n=0,1,…

） に つ い て だ け 述 べ,固

有 関数 に つ

い て は 簡 単 な 説 明 を 加 え る だ け に す る.

 テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ ン シ ャ ル 【Ⅰ】 Ａ,B＞0と

して

(２)

を テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ ン シ ャ ル と い う.便

宜上

 

(３)

(α,β ＞1)と く(比

お く.図18に

α+β=4と

較 の た め α=1.0の

した と き の ポ テ ン シ ャ ル の 形 を 示 し て お

場 合 も示 し た).

 固 有 関数 を

(４)

と お く.x〓0の

付 近 を 調 べ れ ば,a0≠0で

あ る こ と が わ か る.係数akの

満 た す

方程 式 は

(５)

とな る.こ れが 有 限 の と こ ろ で切 れ な け れ ば な ら な い こ とか ら,エ ネル ギ ー 固 有 値が (６)

で 与 え ら れ る.図18に,こ

【Ⅱ】 ν＞1,μ

の 値 をn=0,1,2,3,4に

＞0と

し て,(２)で

図18 

つ い て 示 し た.

三 角 関 数 の か わ りに双 曲線 関 数 を使 っ た ポ

テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル ポ テ ン シ ャ ル(１)

  x*は 極 小 の 位 置 図19 

テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル ポ テ ン シ ャ ル(２)と

モ ー ス ポテ ンシ ャル

テ ン シ ャル

(７)

は 図19の

よ う な 形 で あ る(こ

μ-ν ＞-1の

れ も テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ ン シ ャ ル と い う).

場 合 に 極 小 値 を も ち,そ

の と き のｘ

をxeと

す る と

(８)

で あ る こ とが 容 易 に確 か め られ る.固 有 関 数 を (９)

とお く と,係 数akの

関 係 式 が有 限 で切 れ な け れ ば な ら な い こ とか ら,エ ネ ル ギ

ー の 固 有 値 と して ,-μ+ν+2n＜0の

と き に離 散 的 な値

(10) が 得 ら れ る.こ

れ は-μ+ν

とｎ の 値 で き ま る.

 モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル (11） を モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル と い う.ａ,D＞0で

あ り,xeは

Ｕ の 極 小 値 を と るｘ の

値 で あ る.   図19に

も 示 し た よ う に モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル(11)は

テ ラ ー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ

ン シ ャ ル(７)に

お い て極 限

(12) を と り

(13) と し た も の で あ る.  モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は,し

たが って

(14) ただ し

(15) と な る.書

きか え る と

(16) この 式 で右 辺第 １項 は ポ テ ン シ ャ ル の 極 小 値,第 動 数),第

２項 は微 小 振 動(ω

はその角振

３項 は非 線 形 の 影 響 を表 し て い る.  ロ ー ゼ ン ・モ ー ス の ポ テ ン シ ャ ル

(17) を ロ ー ゼ ン ・モ ー ス の ポ テ ン シ ャ ル と い う(図20参 -tanh-1B/2Cで

照).こ

れ はx0/d=

最小値

(18) にな る.ま たx→-∞

でU→-Bと

な り,x→+∞

でU→Bに

な る.

  こ の ポ テ ン シ ャル に よ る束 縛 状 態 の 固 有 関 数 は,超 幾 何 級 数(ヤ 式)で 書 け,エ ネ ル ギ ー 固 有 値Enは

コ ビの多項

図21  図20 

エ ッ カ ー トポ テ ン シ ャ ル(束

線

準 位 が １つ の と き)

ロ ー ゼ ン ・モ ー ス の ポ テ ン シ ャ ル

(19) で与 え られ る.ポ テ ン シ ャル の 谷 が 深 い場 合 は

(20) とな る.た だ し ω0は微 小 振 動 の 角振 動 数 で

(21) で あ る.

 エ ッ カー トポ テ ン シ ャ ル

(22) を エ ッ カ ー トポ テ ン シ ャ ル と い う.こ ル でB=0,1/d=α

れ は 前 項 の ロ ー ゼ ン ・モ ー ス の ポ テ ン シ ャ

と し た も の で あ る か ら,束

縛状 態の エネルギー固有値 は

(23) と な る.   特 に,Ｃ

がC1=h2α2/mの

と きは

(24) ま た,特

に Ｃ がC2=3h2α2/mの

とき は

(25) と な る.

 

Tea

Time

 非線形   非 線 形 とい う言 葉 は だ い た い ２通 りの 意 味 で使 わ れ て い る.   そ の １つ は,フ ッ ク の 法則 に よ っ て代 表 され る.こ の 法則 に よ れ ば,バ ネ な ど の よ う な弾 性 体 の 変 形 と,こ れ に よ っ て 生 じ る力 とは た が い に比 例 す る.バ ネ の 自然 の 長 さ をl0と し,こ れ がｌ にな っ た と きの 力 を ｆ とす る と

が成 り立 つ(こ

こでｋ は比 例 定 数 で力 の 定 数 と よ ば れ る こ とが あ る).力

軸 に と り,変 形(l-l0)l0を

横 軸 に と る と,力 と変 形 の 関 係(比

ｆ を縦

例 関 係)は

原点

を通 る直線 で 表 され る.こ れ が線 形 関 係 で あ り,線 形 法 則 で あ る.物 理 学 にお い て は線 形 法 則 が きわ め て 多 い.そ れ は物 質 の特 性 を表 す 比 例 定 数 が き わ め て 多 い こ とか ら もわ か る.応 力 と変 形 との 関 係 を表 す ヤ ング 率 や 剛 性 率,あ 率,流

れ の 特 性 を表 す 粘 性 率,そ

ど,き

りが な い く らい で あ る.

の 他 に も拡 散 率,分

極 率,誘

る い は圧 縮

電 率,磁

化率 な

  しか しバ ネ にお い て も変 形 が あ ま り大 き くな る と,力 と変 形 は た が い に比 例 し な くな る.こ の とき変 形 と力 の 関 係 を 表 す グ ラ フ は直 線 で な くな り,そ の よ う な 関 係 を非 線 形 とい う.線 形 の と き そ の 現 象 は簡 単 で あ るが,非 線 形 に な る と １つ の比 例 定 数 な どで 特 徴 づ け られ な くな っ て わ か りに く く,扱 い に く くな る.そ の た め 線 形 法 則 が もて はや され,線 形 関 係 を見 出 す こ とが物 理 学 の 王 道 で あ る か の よ う に思 わ れ た の も不 思 議 で はな い.こ の よ う に,自 然 現 象 の 中 に 「線 形 」 を見 つ け出 す の が 物 理 学 の 重 要 な仕 事 で あ る(あ

った).

  これ に対 して,も う １つ の 「線 形 」 は数 学 的 な もの で あ る.た x1(t)とx2(t)と が あ った と き,a1とa2と を定 数 と して

とえ ばｔ の 関 数

をx1とx2の

線 形 結 合 とい う.さ

ら に,ニ

ュ ー ト ン 力 学 で 調 和 振 動(単

振 動)を

表す式

を 考 え る と,こ の 方 程 式 の ２つ の 特 解x1(t)とx2(t)の +x2(t)も

線 形 結 合x(t)=x1(t)

この 方 程 式 を満 足 す る.そ の 意 味 で この 方 程 式 は線 形 で あ る と い う.

  フ ック の 法 則 に し たが うバ ネ で つ く られ た 振 動 子 に対 す るニ ュ ー トンの 運 動 方 程 式 は,こ

う して み る と ２重 に 線 形 で あ る.つ

数 学 的 に も線 形 で あ る.も

ま り これ は物 理 的 に線 形 で あ り,

し もバ ネ の力 が 変 形 に比 例 しな い 非 線 形 的 な もの で あ

った と きに は,そ の力 をf(x)と

す る と運 動 方 程 式 は

とな り,こ の 方 程 式 の ２つ の 特 解x1(t)とx2(t)を

見 出 し て も,こ れ らの 線 形 結

合 は一 般 的 に も はや この方 程 式 の 解 で は な い.こ の場 合 は ２重 に非 線 形 で あ る.   第10講 で扱 った テ ラー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ ン シ ャルU(x)な どの 場 合,力f =-dU/dxは 変 位ｘ に対 し て非 線 形 で あ る の で,そ の 量 子 力 学 的 な 振 動 を 非 線 形 振 動 と よん だ.し

か し この よ う な場 合 を含 め て,シ

ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式

は波 動 関 数ψ に対 し て線 形 で あ る(特 解ψ1(x,t） とψ2(x,t）の 線 形 結 合 も 同 じ シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 を満 た す).そ あ る.と

うい う意 味 で,量 子 力 学 は 線 形 理 論 で

きお り量 子 力 学 は 古典 力 学 よ り もや さ しい とい わ れ る の は,そ の 線 形 性

をい っ て い るの で あ る.

 第11講  水

素

原

子

―テー マ

◆ 水素 原子 の波 動方 程式 ◆ 球 面 調和 関数 ◆ エネ ル ギー固有 値 ◆Tea

Time:シ

ュ レー デ ィ ン ガ ー

 水 素 原 子   水 素 原 子 で は 中 心 に 電 荷+eの

原 子 核(陽

ン力 の ポ テ ン シ ャル はU(r)=-e2/rで 核 と電 子 の間 の距 離).陽

子)が

あ り,電 子 との 間 の ク ー ロ

あ る(便 宜 上 静 電 単 位 で 表 す.ｒ

子 は電 子 に 比 べ て1800倍

は原 子

の 大 きな 質 量 を もつ の で,原

子核 は不 動 と考 え て よ い.原 子核 を座 標 原 点 に選 ん で シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 を書 く と

(１)

と な る.極

座 標(r,θ,φ)を

とる と

(２)

で あ り,

(３)

と な る(証

明 略).波

る 部 分Y(θ,φ)の 関 数Ф(φ)に

動 関 数 ψ(r,θ,φ)をｒ

積 と お き,さ

に 関 す る 部 分R(r)と(θ,φ)に

ら にY(θ,φ)を

θ だ け の 関 数Θ(θ)と

分 離 す る と,R(r),Θ(θ),Ф(φ)そ

関す φだ け の

れ ぞ れ に関 す る 方 程 式

(４)

(５)

(６)

に 分 離 さ れ る(変   【 証 明】

数 分 離).た

だ し こ こ で λ とm2は

ψ=R(r)Y(θ,φ)と

定 数 で あ る.

お い て(１),(３)を

代 入 した結 果 は

(７)

と な る.こ

こ で 左 辺 は ｒ だ け の 関 数 で あ り,中

こ れ ら は 別 々 の も の で あ っ て,そ (θ,φ)に も よ ら な い あ る 定 数(λ (４)を 得 る.さ 数m2を

ら にY=Θ(θ)Φ(φ)と

用 い て(５)と(６)が

辺 は θ と φ だ け の 関 数 な の で,

れ が 等 し い と い う こ と は,こ と お く)に

れ らが ｒに も

等 し く な け れ ば な ら な い.こ

お く と,同

れ で

様 に して θ と φ に よ ら な い 定

得 ら れ る. 

 球面調和関数  そ こで ま ず(６)を 解 く.こ の 方程 式 の 解 は簡 単 に (８)

と得 ら れ る.こ

こ で1/√2π

が １ ま わ り(φ=0→2π)し

は 規 格 化〓1の た と き にФ(φ)が

た め の 定 数 で あ り,角

φ

も と の 値 に も ど る よ う に す る た め,

ｍは ０あ る い は 正 ま た は 負 の 整 数(0,±1,±2,…

） で な けれ ば な ら な い の で あ

る.  次 にcosθ=qと

お く と(５)は

(９) と な る.特

にm=0,Θ=P(q)に

対 す る式

(10）

は ル ジ ャ ン ドル の 微 分 方程 式 と よ ばれ

(11) の と き に だ け0＜ つ.こ

θ＜ π で 正 則 な 解(ル

ジ ャ ン ドル の 多 項 式)P=Pl(cosθ)を

も

れ は

(12) で 与 え られ る.

  m≠0の

場 合 の(９)の 解 は(ル ジ ャ ン ドル の 陪 多 項 式)

(13) で 与 え ら れ る.

 した がっ て(７)の 解Y(θ,φ)は

規 格 化〓１

の定 数 を含 め て

(14) と表 さ れ る.Ylm(θ,φ)を

球 面 調 和 関 数 と い う.

  特 にｌ の 小 さ い と き のPl(q)を

記 す と

(15)

と な る.

(16)

 エ ネ ル ギ ー 固 有 値  (４)を 書 き 直 す と λ=l(l+1)を

考 慮 して

(17) とな る.こ

こでE＜0(束

縛 状 態)だ

け を考 え

(18)

とお く と

(19) と な る.

 さ ら に

(20) とお く と

図22  水素 原 子 の原 子 雲 の模 型

(21) とな る の で

(22) とす る と各 べ キ の 係 数 か ら

(23) を 得 る.x→

∞ でｙ が 収 束 す る た め に は,f(x)は

な い こ と が わ か る の で,ak≠0,ak+1=ak+2=…=0と で あ り,こ

有限 項 で終 わ らな ければ な ら な る よ う な ｋが あ る は ず

の とき

(24) (こ の 場 合 ｆ は ラ ゲ ー ル の 陪 多 項 式 と い う もの に な る).k+1+ｌ=nと

書 くと

(25) と な り,エ

ネ ル ギ ーE=Enは

(26)

で 与 え ら れ る こ と が わ か る.こ

こで

(27)

は ボ ー ア半 径 とよ ばれ る.エ ネ ル ギ ー 固 有 値 はｎ(主 量 子 数)だ やｍ に関 係 しな い.ｌ を方 位 量 子 数,ｍ   原 子 核 の 電 荷 がZeで,電 類 似 原 子(ヘ

け で き ま り,ｌ

を磁 気 量 子 数 とい う.

子 １個 が そ の まわ りを回 っ て い る よ うな もの を水 素

リ ウ ム イ オ ンHe+な

どが この例 で あ る)と

い う.そ の 電 子 の 束 縛

状 態 の エ ネル ギ ー 固 有 値 は

(28) で 与 え ら れ る.  l=0,1,2,3,4,…

の 電 子 の 波 動 関 数(軌

道)を

そ れ ぞ れ ｓ,ｐ,ｄ,ｆ,ｇ,…で 表 す.

さ ら に 主 量 子 数 ｎ の 値 を つ け て,ls(n=1,l=0),2p(n=2,l=1)な

ど と

書 く こ と が 多 い.   【 水 素 の 動 径 波 動 関 数 】  主 量 子 数ｎ が 小 さ い と き の 動 径 波 動 関 数 は 簡 単 で あ り,基

準 と さ れ る の で,そ

て,Rnlを

の い くつ か を 示 し て お く.a0を

規 格 化 し て お く(1sはn=1,l=0の

電 子,2pはn=2,l=1の

電 子 な ど を 表 す).

ボ ー ア 半 径(27)と

電 子,2sはn=2,l=0の

し

図23  動径 波 動 の 関数Rnl

(29)

 な お こ こで,水 素 原 子 で は

(30) で あ る が,原 me2で

子 核 がZeの

電 荷 を も つ 水 素 類 似 原 子 で はRnlに

お き か え た 式 が 成 り立 つ.

お い てa0をh2/Z

  Tea

Time

 シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー   エ ル ヴ ィ ン ・シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー ィ ー ン 生 ま れ で あ る.シ が,エ

（Erwin

Schrodinger,1887-1961)は,ウ

ュ レー デ ィ ンガ ー家 は も と はバ ヴ ァ クア 地 方 の 出 で あ る

ル ヴ ィ ン の 祖 父 の 頃 は ウ ィ ー ン で リ ノ リ ウ ム 工 場 を 営 ん で い た.そ

の息子

ル ー ドル フ は 工 業 大 学 で ア レ キ サ ン ダ ー ・パ ウ エ ル の 下 で 化 学 を 勉 強 し,ア

レキ

サ ン ダ ー の 次 女 ゲ オ ル ギ ー ネ と結 婚 し て エ ル ヴ ィ ン が 生 ま れ た の で あ る.エ

ルヴ

ィ ン は ひ と り っ 子 で 母,伯 集 め て 育 っ た.祖 あ っ た し,父

母,叔

母,そ

して 祖 父 ア レキ サ ン ダ ー の 愛 情 を一 身 に

父 は オ ー ス ト リ ア の 化 学 の 長 老 と し て 成 功 し社 交 界 で も有 名 で

ル ー ドル フ は リ ノ リ ウ ム 工 場 な ど を 相 続 し て い た.エ

父 か ら 芝 居 の 面 白 さ を 教 え ら れ て 夢 中 に な っ た が,山

ル ヴ ィ ン は祖

登 り も 大 好 き に な り,ま

た

ギ ム ナ ジ ウ ム で は 常 に ク ラ ス の 一 番 の 秀 才 で あ っ た.   エ ル ヴ ィ ン は1906年 大 学 は,ド

に ウ ィ ー ン 大 学 へ 入 学 し,物

頃 に は ド ッ プ ラ ー 効 果 の ド ッ プ ラ ー,1860年 ァ ン,つ

理 学 を 勉 強 す る.ウ

イ ツ 語 圏 で プ ラ ハ に つ ぐ古 い 大 学 で,1365年

ィー ン

に 創 設 さ れ た.1850年

頃 に は黒 体 幅 射 で有 名 な シ ュ テ フ

い で 分 子 の 数 を は じめ て推 定 した ロ シ ュ ミ ッ トな どが この 大 学 に席 を お

い て い た こ と が あ る .ボ グ ラ ー ツ,ミ

ル ツ マ ン は シ ュ テ フ ァ ン の 下 で ウ ィ ー ン大 学 を 卒 業 し,

ュ ン ヘ ン を 経 て,シ

学 へ 戻 っ て い る.し

か し,翌

さ れ た の で 我 慢 で き ず,一

に 自 殺 し,し

に ウ ィー ン大

年 に 原 子 論 に 大 反 対 を し て い た マ ッハ が 同 僚 に 任 命

時 ラ イ プ チ ッ ヒ大 学 へ 転 じ た の で あ る が,マ

康 上 の 理 由 か ら 引 退 し た の で,ボ マ ン は1906年

ュ テ フ ァ ン の 後 任 と し て1894年

ッハ が 健

ル ツ マ ン は ま た ウ ィ ー ン 大 学 へ 戻 っ た.ボ

ル ツ

ば ら く して ボ ル ツ マ ンの 学 生 だ っ た ハ ー ゼ ン エ ー ル

が そ の あ と を つ い で 理 論 物 理 学 の 教 授 に な っ た.   シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー が ウ ィ ー ン大 学 へ 入 学 し た1906年 あ っ た.1910年

に は 実 験 的 研 究 でPh.Dの

リ ア ・ハ ン ガ リ ー 帝 国 の 兵 役 義 務 に し た が っ て,一 れ を 終 え て か ら ウ ィ ー ン 大 学 へ 戻 り,実 い て 委 員 会 に提 出 し,1914年

は,こ

学 位 を と っ て い る が,当

の よ う な時 代 で 時 のオース ト

年 志 願 士 官 を勤 め て い る.そ

験 担 当 の 助 手 を し な が ら理 論 の 論 文 を 書

１月 に は物 理 学 教 室 私 講 師 に 任 命 さ れ た .

  こ の 時 期 の 彼 の 最 も優 れ た 仕 事 は,１ 次 元 の 格 子 振 動 を 扱 っ た も の で あ る.こ の 体 系 の運 動 方 程 式 は

(n=0,±1,±2,…

） と 書 け る.こ

こで

と お く と,

と な るが,こ

れ は ベ ッセ ル 関 数 の 漸 化 式 で あ っ て,解

が 得 ら れ る.こ   1914年

の 美 し い 結 果 は い ま で も し ば し ば 引 用 さ れ る も の で あ る.

に 戦 争 が は じ ま り,７ 月 に は シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー も 召 集 さ れ た.こ

争 は 第 １次 世 界 大 戦 へ と発 展 し た が,1918年 戦 後 の2∼3年

の 間 に エ ル ヴ ィ ン は 父,母

ニ ー ） と結 婚 し

,イ

そ し て 祖 父 ま で も亡 く し て い る.イ

エ ナ 大 学 へ 移 っ た が,イ

ン フ レの た め よ りよ い 収 入 を ら に ブ レ ス ラ ウ,

に は ス イ ス の チ ュ ー リ ッ ヒ 大 学 の 教 授 に 任 命 さ れ た.こ

れ は ア イ ン シ ュ タ イ ン,デ バ イ は 固 体 の 比 熱,気

ン

ル ヴ ィンはア ンネマ リ

求 め て 間 も な く シ ュ ト ッ トガ ル ト工 科 大 学 の 助 教 授 と な り,さ そ し て 最 後 に,1921年

の戦

に オ ー ス ト リ ア は 共 和 国 に な っ た.

フ レ ー シ ョ ン の た め に も ひ ど い 目 に あ っ た.1920年,エ ー(ア

と して

バ イ,ラ

ウ エ の 後 任 と い う 輝 か し い 地 位 で あ っ た.デ

体 の 誘 電 率,イ

オ ン 溶 液 な どの 研 究 で 有 名 な 人 で あ る .

  そ の 当 時 デ バ イ は ス イ ス 連 邦 工 科 大 学(E.T.H.)に リ ッ ヒ 大 学 と合 同 セ ミ ナ ー を お こ な っ て い た が,雑

い て,す

ぐ近 くの チ ュ ー

誌 に 出 た ば か りの ド ・ ブ ロ イ

の 論 文 に つ い て セ ミナ ー で 話 す よ う に シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー に 頼 ん だ.1925年 の こ と で あ る.話

を聞 い た デバ イ は

「ど う も子 供 じみ て い る と 思 う.ち

を 扱 う た め に は 波 動 方 程 式 が な く て は 駄 目 だ 」 と批 判 し た.そ 後 に シ ュ レー デ ィ ン ガ ー は 説 明 し た.こ が,発

秋

ゃ ん と波

れ か ら2∼3週

間

「そ の よ う な 波 動 方 程 式 を 見 出 し た 」 と い っ て そ れ を

れ は ド ・ブ ロ イ の 論 文 と 同 様,相

表 さ れ る こ と は な か っ た.こ

対 論 的 な も の で あ っ た と思 わ れ る

れ が 水 素 の ス ペ ク トル を 与 え な か っ た た め ら

し い.   シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー は,1925年 い の 医 師 の 山 荘 で す ご し た.こ 動 方 程 式)が   1926年

の ク リ ス マ ス 前 か ら 翌 年 の １月 ま で を 知 り 合 の 短 い 休 暇 の 間 に シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式(波

生 ま れ た の で あ る.

は,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー が 最 も 輝 い た 奇 蹟 の 年 で あ る.第

１論 文

「固

有 値 問 題 と し て の量 子 化 」 は １月27日 に,第

３論 文 は ５月10日

に 受 理 さ れ,続

に受 理 さ れ て い る.６ 月23日

く第 ２論 文 は ２月23日 に 受 理 さ れ た 第 ４論 文

は,時 間 的 に 変 化 す る 問題 を扱 う もの で あ った .こ の よ う に短 い期 間 に天 才 が す ば ら し い開 花 を示 した例 は まれ で あ る.ア イ ン シ ュ タ イ ン を は じめ 多 くの 人 が, シュ レー デ ィ ンガ ー の 仕 事 を絶 讃 した 。   彼 は い っぺ ん に 有 名 人 に な り,ド イ ツ語 圏 ば か りで な く,ア メ リカ に まで 招 か れ て講 演 を して まわ り,多 忙 な 日々 をす ご した.し か し,ナ チ ス の勢 力 が 拡大 す る に つ れ て,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー は ユ ダ ヤ 系 で は な か っ た が,彼

に とっ て ドイ ツ

もオ ー ス ト リア も安 住 の 地 で は な くな っ て しま う.彼 は あ ち こち とし た末,ア ル ラ ン ドの ダ ブ リ ンで17年

イ

間 を す ご して,有 名 に な った 著 書 「生 命 と は何 か 」

を出版 し,戦 後 に よ うや くオ ー ス トリア に 帰 っ て そ こで 亡 くな っ た.

 第12講  角

運

動

量

―テ一 マ

◆ 角運 動量 演算 子 ◆ 角運 動量成 分 の交換 関係 ◆ 角運 動量 の行 列表現 ◆Tea

Time:角

運 動量 とは

 角 運 動 量   位 置r=（x,y,z)を

運 動 量p=（px,py,pz)の

粒 子が通 る とき (１)

を原 点 の まわ りの 角運 動 量 とい う.成 分 で書 け ば (２)

で あ る.量 子 力 学 で は これ に対 し演 算 子

(３)

図24  角 運 動 量L=r×p

を角 運 動 量 演 算 子 とい う.極 座 標 を用 い れ ば

(p=mvは

運 動 量)

(４)

と な り,

(５)

こ こでΛ は前 講(３)に 記 し た演 算 子 で あ る.  第11講

で 水 素 原 子 に 関連 し て 示 した よ う に,原 子 内 の 電 子 に つ い て,エ

ギ ー Ｅ とL2=〓2Λ

とLzと

ネル

は 同時 に 固 有 値 を もつ.こ れ は (６)

と書 か れ る.し

か し,Ylm(θ,φ)は

L2,Lz,Lx,Lyの

こ の と きLxやLyの

す べ て が 同 時 に 固 有 値 を もつ よ う な 固 有 関 数 は な い の で あ る

(も と も とｚ 軸 の 方 向 は 任 意 に と れ る の で,た 値 を も つ よ う な 固 有 関 数 は あ る が,こ い).あ な い(同

固 有 関 数 で は な い.Ｅ,

と え ば Ｅ,L2とLxが

れ に 対 し てLyやLzは

る 方 向 へ の Ｌ の 成 分 が 固 有 値 を も つ 表 示 で は,他 時 に 固 有 値 を も つ 量 は 同 時 に 観 測 で き,こ

AB-BA=0で

同 時 に固 有 固 有値 を もた な

の成 分 は固 有 値 を もた

れ ら の 量 は 可 換,す

なわ ち

あ る).

  Lx,Ly,Lzの

交 換 性 を調 べ て み る と容 易 に

(７)

す な わ ちLx,Ly,Lzは

た が い に 可 換 で な い.ま

た (８)

が 確 か め ら れ る.す

な わ ちLx,Ly,LzはL2と

可 換 で あ る.

 行 列 表 現   L2とLzの

同 時 固 有 関 数 系 を と る と,L2とLzは

は こ の 表 示 を と る こ と に す る.す +1)h2で 2l+1個

あ る 状 態 に はLzの の 状 態 が 属 し て(縮

  こ こ で はL2の

で に 前 講 で も知 っ た よ う に,L2の

固 有 値 がmh(た 退 し て)い

固 有 値 をJ(J+1)h2と

の 固 有 値 を 対 角 線 上 に な ら べ て(行 -Jの 順 と し て),そ

対 角 行 列 で 表 さ れ る.以

下 で

固 有 値 がl(l

だ しm=-l,-l+1,…,l-1,l)の

る. 書 こ う.そ

し て 縮 退 し た2J+1個

のLz

と 列 を そ れ ぞ れm,m'=J,J-1,…,-J+1,

の 成 分 を(Lz)mm'と

す る と (９)

と 書 け る.こ

の とき

(10) とお くと

(11) (そ の 他 の(L±)mm'=0),Lx,Lyは

(12)

と な る.ま

た

(13) こ れ ら が 交 換 関 係(７),(８)を

満 足 す る こ と を 直 接 確 か め て み る と よ い.

  Tea

Time

 角 運 動 量 とは   力 学 をは じめ て学 ぶ人 や,コ マ な どの 回 転 運 動 の性 質(ジ

ャ イ ロ効 果)を

理解

し よ う とす る人 た ち に と って,角 運 動 量 とい う物 理 量 はな か な か わ か りに くい も の ら し い.角 運 動 量 で な く,ふ つ うの 運 動 量 とい う言 葉 で も,た

と え ば30分

の

ジ ョギ ング の 運 動 量 とい う よ うな 用語 とは ち が う物 理 用 語 の運 動 量 の 区別 が は っ き り しな い とい う こ と もあ る ら しい.   ニ ュー トン力 学 に お い て は,運 動 量 は質 量 に速 度 を掛 けた もの で あ っ て,直 進 運 動 の慣 性 の 大 き さ を表 す も ので あ る と い う こ とが で き る.こ れ に 対 し,角 運 動 量 は 回転 運 動 の 慣 性 の大 き さ を表 す 量 で あ る.   円 板 型 の コマ で は,同

じ速 さ の 回 転 で も 円板 の 質 量 が 大 き い ほ ど回 転 の 勢 い

(慣 性)は 大 き い.そ れ も同 じ質 量 な らば,円 板 の ふ ち に鉛 の 輪 を つ け る な ど し て軸 か ら遠 い と ころ の重 さ を大 き く した 方 が,回 転 の 慣 性 は大 きい.   角 運 動 量 は,回 転 運 動 に限 らず 定 義 され る量 で あ る.力 学 の復 習 み た い に な る が,少

し説 明 して お こ う.

  質 量ｍ の物 体 が 速 度ｖ で等 速 直 線 運 動 を し て い る と き,１ つ の 点 Ｏ を 原 点 と し て,そ

の 物 体 の 位 置 を ｒ とす る(本 文 の 図24参

照).こ

の とき Ｏ の ま わ り

(Ｏ に対 す る)の 物 体 の 角 運 動 量 Ｌ は,ｒ と運 動 量 ｐ の ベ ク トル 積 で 定 義 され る(こ っ て,ｒ

こでp=mvは

運 動 量 で あ る).角 運 動 量 Ｌ は ベ ク トル 量 で あ

とｖ に垂 直 で あ り,そ の 大 き さ は 物 体 が 運 動 す る直 線(あ

に 接 線)へ

Ｏ か ら下 し た直 線 の長 さ と運 動 量mvの

で は,こ の 積 はベ ク トル ｒ とp=mvの

積 に 等 しい.等

るい は一般 速直 線 運動

つ くる ３角 形 の面 積 の ２倍 に 等 し く,し

た が って 一 定 で あ る こ とが 図 か ら も明 らか で あ る.こ の よ うに,一 般 に 自 由 な運 動 で は,固 定 点 Ｏ の まわ りの 角 運 動 量 は 一 定 で あ る(角 運 動 量 の 保 存 則).   ２つ 以 上 の 質 点(あ

るい は ひ ろ が りの あ る物 体)の 場 合 に も,自 由 な 運 動 で は

角運 動 量 は保 存 され る.質 点 の 数 が ２つ以 上 い くつ で あ っ て も同 じだ か ら,２ つ の質 点 の場 合 を と ろ う.点 をm1,m2,そ

Ｏ を原 点 と し,重 心 の 座 標 をRGと

の 座 標 を そ れ ぞれR1,R2と

す る.質 点 の 質 量

し,重 心 に 関 す る質 点 の 座 標 をr1,

r2と す る と で あ り,重 心 は質 量 の 中 心 な の で

した が っ て

で あ る(r1,r2はr1,r2の

時 間 微 分).ま

た 全 運 動 量(直

進 運 動 量)を

ｐ とす

ると

で あ る.こ れ ら を考 慮 し て原 点 Ｏ の まわ りの 角運 動 量

を計 算 して み る と

と な る.た

だ しここで

は重 心 Ｇ の まわ りの 角運 動 量 で あ る.   し た が っ て,原 点 Ｏ の ま わ りの 角 運 動 量 は,重 心 に 全 質 量 が 集 ま っ て い る と 考 え た と き の 重 心 運 動 の 角 運 動 量RG×pと,重 心 の ま わ りの 角 運 動 量LGと の 和 に 等 し い.こ の よ う に重 心 運 動 の 角 運 動 量 は分 離 され る の で,重 心 の まわ りの 物 体 の 角 運 動 量(た

と え ば電 子 の ス ピ ン角 運 動 量)は

独 自性 を もつ の で あ る.

  外 力 が 加 わ ら な け れ ば 角 運 動 量 は保 存 され る.ま た 外 力 が 加 わ る と きは,角 運 動 量 の時 間 的 変 化 の割 合 は,外 力 の モ ー メ ン ト(原 点 か ら外 力 の 作 用 点 へ引 い た ベ ク トル と外 力 とのベ ク トル 積 の 和)に 等 しい .

 第13講  電 子 の ス ピ ン

―テ ーマ ◆ 電子 の ス ピン角運 動量 ◆ ス ピンの成分 の行 列表 現 ◆ パ ウ リ の ス ピ ン行 列 ◆Tea

Time:電

子 の大 きさ とス ピン

 電 子 の ス ピ ン   軌 道 運 動 の 角 運 動 量Lzの

固 有 値 はJ〓,(J-1）〓,… で あ っ てＪ は 整 数 で あ る

が,電 子 は 自転 に た と え られ る角 運 動 量 を もち,そ の 大 き さ はJ=1/2で

あ るこ

とが 知 られ て い る.電 子 ス ピ ン の角 運 動 量 を特 に (１)

と書 く.Szの

固 有 値 はm=1/2とm=-1/2に

相 当 す る〓/2と-〓/2で

あ り,

電 子 ス ピ ン は プ ラ スｚ 方 向 と マ イ ナ スｚ 方 向 の ２方 向 し か とれ な い こ と に な る. 前 講 の(９),(12),(13)に

よ り

(２)

(３ ）

すなわ ち

(４)

と表 せ る.こ

れ はszとS2を

対 角 化 し た 表 示 で あ る.

  こ の 表 示 に お い て,szの

２つ の 固 有 値〓/2と-〓/2に

ぞ れ α,β

属 す る固 有 関 数 を そ れ

とす る と

(５)

した が っ て

(６)

とす れ ば よ い.α

と β の 成 分 を α(σ),β(σ)(σ=±1/2)と

書 けば

(７)

で あ る.α と β は そ れ ぞれ 規 格 化 され て,た が い に直 交 して い る.す な わ ち

(８)

が成 り立つ.

(９)

は容 易 に確 か め られ る.   非 相対 論 的 な量 子 力 学 で は電 子 ス ピ ン は独 立 な実 験 事 実 で あ るが,デ (P.Dirac)は,電

ィ ラ ック

子 の相 対 論 的 な量 子 力 学 を つ く り,電 子 の ス ピ ン が 電 子 固 有

の もの で あ る こ と を 明 らか に し た.こ の 理 論 に よれ ば,ス

ピ ン 角 運 動 量ｓ に 対

応 して,電 子 は磁 気 モ ー メ ン ト

(10) を もつ。 そ の た め,電 子 が 磁 場Ｂ の 中 に あ る と き は,磁 場 との 相 互 作 用 の た め

(11) の エ ネル ギ ー を もつ こ とに な る.   軌 道 角 運 動 量Ｌ に は

(12) で 与 え られ る磁 気 モ ー メ ン トが 付 随 し,磁 場 との相 互 作 用 は

(13) で あ る.磁 気 モ ー メ ン ト と角運 動 量 の比 は,軌 道 運 動 の とき に比 べ て 電 子 ス ピ ン の場 合 は２ 倍 に な っ て い る こ とが 注 目 され る.

(14) を ボ ー ア 磁 子 とい う.  原 子 の ス ペ ク トル な どに 関 係 す る電 子 の磁 気 モ ー メ ン トに は,軌 道 運 動 に よ る もの と,ス ピ ン に よ る もの との 両 方 の寄 与 が あ る.そ

こ で,電 子 の 角 運 動 量 を Ｊ

と し て見 か けの磁 気 モ ー メ ン トのｚ 成 分 を(電 子 の ス ピ ンで はJ=sz)

(15) と書 くと,ｇ は磁 気 モ ー メ ン トと角 運 動 量 の比 を表 す の で 磁 気 回 転 比(磁 量 因 子)と

気運 動

よ ばれ る.電 子 の 軌 道 運 動 につ い て は磁 気 回 転 比 は １で あ るが,電

の ス ピ ン に つ い て は磁 気 回 転 比 は ２で あ る こ とが,デ

子

ィラ ックの理論 で導 か れ

る.し か し この 理 論 は,電 子 と量 子 化 され た 電 磁 場 との相 互 作 用 を考 え て い な い.こ

れ を 正 し く と り入 れ る と,g=2

.0023… とな る こ とが 実 験 的 に も理 論 的 に

も明 ら か に され て い る(電 子 の異 常 磁 気 モ ー メ ン ト.こ の 理 論 は朝 永 振 一 郎,シ ュ ウ ィ ン ガ ー,フ

ァイ ンマ ン に よっ て 独 立 に つ くられ た) .

  な お 電 子 の ス ピ ン を(２)の 代 わ りに

(16) と 書 く こ と が あ る.こ

こで

(17)

を パ ウ リの ス ピ ン行 列 と い う.  sz=〓/2の

状 態 α を 上 向 き ス ピ ン と い い,sz=-〓/2の

と い う こ と も あ る.

図25  電 子 の ス ピ ン 状 態 β を 下 向 きス ピ ン

 

Tea

Time 

 電 子 の 大 き さ とス ピ ン    相 対 性 理 論 で 明 らか な よ うに,質 量 ｍ の物 体 は エ ネ ル ギ ーmc2(cは を も っ て い る.電 子 の場 合,こ

光 速 度)

れ が静 電 的 な エ ネ ル ギ ー に よ る もの で あ る と し,

電 子 の 半 径 をreと す る と

(ε0は真 空 の誘 電 率)な

と な る.こ

の で 

れ は 電 子 の 古 典 的 半 径 と よ ば れ て い て,電

子 の 実 際 の 半径 も この程 度

で あ ろ う と い わ れ て い る.数

値m=9.1×10-31kg,e=1.6×10-19C,4π

107C2/kg・m(MKS単

代 入 す る と 

す な わ ち10-13cm程

位 系)を

ε0c2=

度 とな る.

  次 に,電 子 の ス ピ ン を 古 典 的 に 考 え て み よ う.電 子 ス ピ ン の 角 運 動 量szの 大 き さ は〓/2で あ る.こ れ が 電 子 の 古 典 的 な 自 由 運 動 に よ る も の と仮 定 し,回 転 半 径 をreに 等 しい とみ て,そ

と し て よ い だ ろ う.こ

の 回転 の 速 度 をｖ とお い て み る と  

れ で 計 算 し て み る と 

とな る.し か し こ れ は 光 速 度c=3×108m/sに

比 べ て100倍

程 度 大 き い.す べ て

の 速 度 は光 速 度 を超 えな い とい う相 対 性 理 論 に よ れ ば,電 子 の ス ピ ン を古 典 的 に 説 明 す るの は不 可 能 だ とい う こ とに な る.電 子 の ス ピ ン は本 質 に お い て量 子論 的 な もの で あ る.

 第14講  電 磁 場 と局 所 ゲ ー ジ変換

―テー マ

◆ 局 所 ゲー ジ ◆

ゲー ジ原理

◆ 電磁 場 ◆Tea

Time:ス

ピ ンの 発 見

 局 所 ゲ ージ変 換  波動関数 ψ(x)を (１)

に 変 換 す る こ と を 考 え る.た は 実 数 で 位 置ｘ 変 え る 変 換(位 ー ジ変 換

,ま

だ し 右 辺 で 肩 上 のｅ は 粒 子 の 電 荷 で あ り,θ （x,t）

と 時 間ｔ の 関 数 で あ る と す る.(１)は 相 変 換)で

あ る が,θ(x,t）

波 動 関 数 ψ(x,t） の 位 相 を

が 位 置 の 関 数 な の で,(１)を

た は第 １種 ゲ ー ジ 変 換 と よ ぶ.

  波 動 関 数 ψ（x,t）が 満 足 す る 理 論(方

程 式,物

て も 満 足 さ れ な け れ ば な ら な い と い う こ と,す

理 量 な ど)は,ψ'（x,t)に な わ ち,ψ'(x,t）

れ を ゲ ー ジ 原 理 と い う.

  さ て,運

含 み,こ

動 方 程 式 は 演 算 子 ∂/∂x,∂/∂tを

よ っ

が ψ（x,t） と 同

じ運 動 方 程 式 を 満 足 す る こ と を 要 請 す る.こ

しか し

局所 ゲ

れ ら に 対 し て 線 形 で あ る.

(２)

と な り,右

辺 は 単 純 にeieθ/〓∂ψ/∂x,eieθ/〓∂ψ/∂tには な ら な い.そ

∂/∂ｘ,∂/∂tの

こで演 算 子

代 わ り に演 算 子

(３)

(A'x,φ'はｘ

とｔ の 関 数)を

導 入 し,ゲ

ー ジ変 換

(４)

が 成 り 立 つ よ う な,Ax(x,t),φ(x,t)を

考 え る.(２)と(４)の

差 を つ くる と

(５)

を 得 る.故 のｎ

にAxと

φ が こ の よ う に 変 換 さ れ れ ば,(４)が

成 り立 ち,さ

ら に任 意

に対 して

(６)

が成 り立 つ こ とが 示 され る(ｙ

とｚ成 分 につ い て も ｘ 成 分 と同 様 な 式 が 成 り立

つ).   た と え ば,自 由粒 子 に対 す る シ ュ レー デ ィン ガ ー の 波 動 方 程 式

(７) を ゲ ー ジ 不 変 と す る に は,(３)に

よ りお きか え

(８)

を お こな えば よい.こ

れ に よ り方 程 式 (９)

を得 るが,(６)に

よ り この式 の 両 辺 を書 き直 す と

(10) と な る.す

な わ ちp=（〓/i)∂/∂xと

して

(11)

を得 る が,こ れ は ま さ に電 磁 場(ス

カ ラー ポ テ ン シ ャル φ,ベ ク トル ポ テ ン シ ャ

ルＡ)の

対 す る波 動 方 程 式 で あ る.

中 の荷 電 粒 子(電

荷ｅ)に

  (５)は この と き

(12)

とな り,こ れ は電 磁 場 の ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル Ａ とス カ ラ ー ポ テ ン シ ャル φ の ゲ ー ジ変 換 に ほか な らな い.(12)を

第 ２種 の ゲ ー ジ変 換 とい う こ と も あ る.

  この よ う に,量 子 力 学 の運 動 方 程 式 に 局 所 ゲ ー ジ変 換 に対 す る不 変 性 を 要 請 す れ ば,自 然 に電 磁 場 が 付 随 す る こ とに な る.   こ こで この電 磁 場 にお い て

(13) とい う量 を考 え る と,こ れ らは上 の ゲ ー ジ変 換(13)に 対 して 不 変 で あ る こ とが 容 易 に確 か め られる． す なわ ち

(14) が 成 り 立 つ.(13)の ー ジを変 えたた め

Ｅ は 電 場 で あ り,Ｂ ,(φ,A）

が(φ',A')に

は 磁 束 密 度 で あ っ て,電

磁 場 を見 る ゲ

変 わ って も Ｅ や Ｂ は変わ らない ので

あ る.

 ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数   電磁 場 の 中 の荷 電 粒 子 の運 動 を考 え,電 場 を Ｅ,磁 束 密 度 を Ｂ と し,粒 子 の 質 量 をｍ,電

荷 を ｅとす る.運 動 方 程 式 は(ｘ

は粒 子 の 座 標,ｖ

は速 度)

(15) で あ る.こ

こ で ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル φ と ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルＡ

を導 入 す る

と

(16)

と書 け る.  運 動 方 程 式(16)を 与 え る ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は

(17) で与 え られ る.   【証 明 】ｘ 成 分 だ け に つ い て 書 こ う.ラ グ ラ ン ジ ュ の運 動 方 程 式 は

(18) で あ る.ラ

グ ラ ン ジ ュ 関 数(17)は

(19) で あ り,φ

は 座 標 の 関 数 φ=φ(x,y,z)な

ので

(20)

し た が っ て(18)は

(21)

 ハ ミル トン関 数  ハ ミル トン関 数 Ｈ は

(22)

で 与 え ら れ る.し

た が って

(23) あ るいは

(24) で あ り,

(25) す なわ ち ハ ミル トン関 数 は

(26)

で あ る.  運 動 方程 式 は正 準 運 動 方 程 式

(27)

に よ っ て 与 え ら れ る.こ

れ を 直 接(27)か

ら証 明 す るの は省 略 し よ う.

 シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式  電磁 場 に お け る荷 電 粒 子 に対 す る シ ュ レー デ ィ ン ガー 方程 式 は

(28) で与 え られ る.し た が っ て 電磁 場 が あ る と き は

(29)

と書 け る こ と に な る.

 

Tea

Time

 ス ピ ンの 発 見   電 子 の ス ピ ン は,原 子 の スペ ク トル と元 素 の周 期 律 を説 明 す るた め にパ ウ リが 1924年 に考 え 出 した もの で あ り,翌 年 に ウー レ ンべ ッ ク とハ ウ シ ュ ミ ッ トは, これ が 電 子 の 自転 に よ る もの で そ の角 運 動 量 の 大 き さ は〓/2で あ る と い う模 型 を提 出した． ク ロ ー ニ ッヒ も同様 の意 見 を も った が,パ 全 に反 対 され た の で 発 表 を あ き らめ て し ま った.ウ

ウ リに相 談 した と ころ 完

ー レ ンべ ック た ち はパ ウ リの

批 判 を耳 に して もっ と もだ と思 い,論 文 を取 り下 げ よ う と思 っ た が,彼 で あ っ た エ ー レ ン フ ェ ス トが す で に雑 誌 へ投 稿 し て し ま っ て い て,彼

らの先 生 らは まだ 若

い の だ か ら少 し ぐ らい怪 し げ な論 文 を 出 した って か まわ な い だ ろ う とい っ て取 り 下 げ に反 対 した.こ

の よ う な こ とが あ っ て,電 子 ス ピ ンの 発 見 は ウー レ ンべ ッ ク

とハ ウ シ ュ ミ ッ トの ２人 に よ る も の と さ れ て い る の で あ る(セ ら ク ォ ー ク ま で」 み す ず 書 房,p.186).ひ で あ る.他 方 で,1928年

グ レ:「 Ｘ 線 か

との 意 見 を あ ま り き くの も考 え も の

に デ ィ ラ ック は 電 子 の 相 対 論 的 量 子 力 学 を つ く り,電

子 の ス ピ ン が相 対 論 の要 請 か ら 自然 に導 かれ る もの で あ る こ とを示 した.   電 子 は ス ピ ン角 運 動 量 の他 に,ス

ピ ン に よ る磁 気 モ ー メ ン トを もっ て い る.原

子 は一 般 に,電 子 の 軌 道 運 動 に よ る磁 気 モー メ ン ト も もっ て い て,原 子 全 体 の 磁 気 モ ー メ ン トは,電 子 の軌 道 運 動 に よ る磁 気 モ ー メ ン トと,電 子 の ス ピ ン に よ る 磁 気 モ ー メ ン トを合 わ せ た もの にな る.   原 子 の磁 気 モ ー メ ン トを測 定 す る方 法 が,シ 発 され た の は,1922年

ュ テ ル ン とゲ ル ラ ッハ に よ って 開

に逆 の ぼ る.

  この 実験 で は,真 空 中 で炉 の 中 の 銀 を熱 し て銀 の 原 子 線 をつ く り,こ の 流 れ に 垂 直 な不 均 一 磁 場 を か け る(図(a),(b)).原

子 の 角 運 動 量 は不 均 一 磁 場 の 方 向

に量 子 化 され て 向 く(配 向)と 同 時 に,磁 気 モ ー メ ン トの 向 き に不 均 一 磁 場 か ら 力 を受 け,そ の た め 原 子 線 の進 行 方 向 が 曲 げ られ る.こ れ に よ り角 運 動 量 が 量 子 化 に よ っ て 特 定 の 向 き に な る こ とが確 か め られ,曲

が り方 か ら磁 気 モ ー メ ン トの

大 きさ が わ か る の で あ る.   この際,原 子 は小 さな 磁 石 で あ っ て,磁 場 の 強 い 方 へ磁 極 が 引 か れ る と考 え る と,原 子 に はた ら く力 が 理 解 しや す い.磁 場 に よ る磁 極 の ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー(磁 位)を 考 えれ ば わ か る よ う に,磁 場 Ｈ がｚ 方 向 に あ っ て不 均 一 さ ∂H/∂z が あ る と き,磁 気 モ ー メ ン トのｚ 成 分 が μzであ る原 子 に は た ら く力 は

で与 え られ る(図(ｃ)参 照).   シ ュ テ ル ン とゲ ル ラ ッハ は,水 銀 の 原 子 を用 い た.水 銀 の原 子 は閉 殻 の 外 側 に ｌ(方位 量 子 数)=0の

状 態 の 電 子 １個 を も っ て い る だ け な の で,角 運 動 量 と磁 気

モ ー メ ン トは この 電 子 の ス ピ ン に よ る もの だ け で あ る.   銀 の場 合,不 均 一 磁 場 の た め,原 子 線 は ス ピ ンが ±1/2の ２本 に分 か れ る.こ れ は上 向 きス ピ ンの 原 子 と下 向 き ス ピ ンの 原 子 とが分 離 され た こ と を意 味 す る. 同 様 な実 験 は,そ の 後 に銀 以 外 に つ い て も な され た.水 素 原 子 に つ い て もお こな わ れ,原 子 線 は不 均 一 磁 場 の た め に や は り ２本 に分 か れ る こ とが 示 さ れ た.水 素 原 子 は １個 の電 子 しか もた な い か ら,こ の 分 裂 は電 子 の ス ピ ン に よ る もの で あ る こ と は明 らか で あ る.

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

均 一 な磁 場 に お け る配 向  不 均 一 な磁 場 に よ る 力 Ｆ シ ュ テ ル ン ・ゲ ル ラッ ハ の 実 験 の 模 式 図

第15講 定 常状態の摂動法

―テー マ

◆ 摂動 法 ◆ １次 の 摂 動,２ 次 の 摂 動 ◆ 縮 退 の あ る場 合 ◆Tea

Time:電

気 の素量

エ ネル ギー 固有 値 の 摂 動 法   ハ ミル トニ ア ンHが

２ つ の 部 分H(0)と

λH(1)と か ら な り(λ は 小 さ さ を 表 す

パ ラ メ ー タ)

(１)

であって (２)

は厳 密 に 解 け る とす る.H(0)を

無 摂 動 系 とい い,λH(1)以 下 を摂 動 とい う.無 摂

動 系 の 固 有 関 数 ψn(0)(x)と固 有 値En(n=1,2,…)は H=H(0)+λH(1)の

固 有 関 数 ψn(x)と 固 有 値Enを

わ か っ て い る と して,摂 動 系 近 似 的 に 解 く方 法 を 摂 動 法 と

い う.   無 摂 動 系 の 固 有 値 が縮 退 し て い な い,離 散 固 有 値 で あ る と き,摂 動 系 の 固有 値 Ekと 固 有 関 数 ψk(x)に 対 し て,λ に 関 す る展 開

(３)

を仮 定 す る.ψk(0)は 規 格 化(∫￨ψk(0)￨2dx=1)さ れ て い る とす る.こ の と き固 有 値 の １次 摂 動 は

(４)

で 与 え られ る.ま

た (５)

とお く と (６)

と な る. ２次 の 摂 動 エ ネ ル ギ ー は

(７)

  【 証 明】

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は,(H-Ek）ψk=0で

あ る.こ

れ に(３)を

代 入 し て λ0,λ1,…の 項 を と りだ せ ば

(８)

を 得 る.(８)の

第 ２ 式 に(５)を

代入 すれ ば (９)

とな り,(８)の 第 １式 を考 慮 す れ ば

(10) を 得 る.  こ の 両 辺 に ψm（0)＊ を 掛 け て 積 分 す れ ば,ψl(0） の 規 格 化 直 交 性 に よ っ て

(11) し た が っ て(４),(６)が

得 ら れ る.

  高 次 の 摂 動 も 同 様 に し て 求 め られ る が,省

略 す る.

 縮 退 の あ る場合   無 摂 動 系 のｋ 番 目 の 固有 値Ek（0） が ｇ重 に縮 退 して い る と し,こ れ らに 属 す る 独 立 な規 格 化 直 交 化 され た 固有 関 数 を

(12) と す る.こ

の と きψkμ(0)(μ=1,2,…,g)の

任 意 の

１次 結 合

(13) もH(0)固 有 関 数 で あ り,こ れ を規 格 化 す れ ば

(14) で あ る.そ

こで 摂 動 λH(1)が加 わ った と きの 近 似 的 な 固 有 値 と固 有 関 数 を

(15) と お く.摂 動 に よ りEk〓Ek(0)+λEk(1)は 26),Ek(1)は

最 大 ｇ個 の 異 な る 準 位 に 分 離 し(図

ｇ次 の 行 列 式

図26  縮 退 と摂 動

(16)

の 根 に よ っ て与 え られ る(こ の 行 列 式 を摂 動 の 永 年 方 程 式 とい う).た

だ し,こ

こで

(17) で あ る.   【証 明 】  固 有 値 方 程 式(H-Ek）

ψk=0に(15)を

代 入 し,λ0,λ1,λ2,… の 各 べ キ

の係 数 を ０と お け ば

(18)

を得 る.こ の 第 ２式 を解 くた め 展 開

(19) を 仮 定 す る.Ek(0)に

属 す る 波 動 関 数 ψkμ(0)に,摂 動 の た めEl(0)に

数 ψlλ(0)(El(0)も 一 般 に 縮 退(ν=1,2,…

）が あ る もの と す る)が

く る と 考 え て い る の で あ る.(19)を(18)の

属 す る波 動 関

混 ざ っ て ψk(1)を つ

第 ２式 に 代 入 す る と

(20) を 得 る.こ

の 両 辺 に ψkν(0)*を掛 け て 積 分 す る と

(21) と な り,こ

れ を 満 た す ｇ個 のEk(1)は

永 年 方 程 式(16)で

与 え られ る.

 

Tea

Time

 電気の素量   電 気 の素 量 は電 子 の もつ電 荷(-e)の は+eで

大 き さｅ で あ り,陽 子 や 陽 電 子 の 電 荷

あ る.陽 子 や 中性 子 は ク ォ ー ク と よば れ る粒 子 か らで きて い て,ク

ク の電 荷 はe/3で

あ る とい わ れ て い るが,こ

ォー

れ を 除 け ば,自 然 界 に半 端 な 電 荷

は 存 在 しな い.   電 気 の研 究 が は じ ま った 頃,電 気 は 流体 の よ う な連 続 体 と考 え る人 が 多 か っ た か も しれ な い.電 気 の 素 量 が あ る と考 え られ る よ うに な っ た の は,電 気 分 解 の 法 則(フ

ァ ラ デ ー)か

らで あ ろ う.こ の 法 則 に よれ ば,電 気 分 解 の 際 に は,一 定 の

電 気 の 移 動 に は一 定 量(当 れ て い た か ら,原 子(イ

量)の 物 質 の移 動 が 伴 う.物 質 は原 子 か らな る と思 わ

オ ン)が そ れ ぞれ 電 気 の 素 量,あ

るい は そ の整 数 倍(原

子 価 に 関 係 す る)だ け の 電 気 を運 ぶ と い うの が この 法 則 で あ る と解 釈 さ れ る.こ の こ とか ら,電 気 の素 量 と １当量 あ た りの 原 子 の 質 量 との 比 も推 定 され た で あ ろ う.   真 空 放 電 は や は り フ ァ ラ デ ー に よ っ て 研 究 さ れ た が,ド

イ ツの プ リュ ッカー

は,放 電 管 に磁 石 を近 づ け る と放 電 が 少 し振 れ る の を認 め た.プ

リ ュ ッ カ ー は数

学 者 で あ る が,物 理 学 の 研 究 も し た の で あ る.ガ ウ ス も数 学 者 で あ る と同 時 に電 気 の 実 験 もす る物 理 学 者 で あ っ た(科 学 の よ き時 代 だ っ た ！).プ リュ ッ カ ー の 弟 子 で あ っ た ヒ ッ トル フ は,放 電 の 際 に陰 極 の 前 に お い た物 の 影 が 真 空 管 の ガ ラ ス の 上 に映 る こ とを発 見 し た.陰 極 線 と い う名 前 は,1879年

に ゴ ル トシ ュ タ イ

ンが つ け た もの で あ る.ド イ ツ で は陰 極 線 は波 で あ る と考 え られ,イ

ギ リス で は

粒 子 で あ る と考 え られ た とい う話 で あ る.   1895年 に,フ

ラ ンス の ジ ャ ン ・ぺ ラ ン(ブ

ラ ウ ン運 動 の研 究 で も有 名)は,

陰 極 線 を集 電 箱 に 導 い て,こ れ が 電 気 を運 ぶ こ と を明 らか に し,こ れ に よ っ て陰 極 線 は電 気 を もつ粒 子(電

子)で

あ る こ とが確 定 した.ぺ

ラ ン の ブ ラ ウ ン運 動 の

研 究 は,ア ボ ガ ドロ数(１ モ ル の 原 子 の 数)を 決 定 す る もの で あ っ た の で,彼

は

電 子 の電 荷 を間 接 的 に測 定 した こ とに な る.   電 子 の 発 見 は,J.J.ト ム ソ ン に よ る もの と され て い る(1897年).彼

は放電 管

を用 い て 陰 極 線 の性 質 を くわ し く研 究 し,電 子 の 電 荷 と質 量 の 比e/mを た.こ れ に よ っ て,電 子 の 質 量 は 原 子 の 質 量 に比 べ て1000倍 で あ る こ とが 明 らか に され た.

求め

以 上 も小 さ い もの

  ふ つ うの 本 で は,電 場 と磁 場 で 陰 極 線 を 曲 げ,そ の 結 果 か らe/mを う に 書 い て あ る が,1897年

求 め るよ

の 実 験 で は,陰 極 線 に よ っ て 運 ば れ た 電 気 量 と,そ

れ を集 め た 際 に発 生 す る熱 量 とか ら求 め た 陰 極 線 粒 子 の エ ネ ル ギ ー,そ れ に磁 場 に よ る 曲 が り方 の 曲率 半 径 とか らe/mを 求 め て い る(セ ー ク ま で 」 久 保 亮 五 ・矢 崎 裕 二 訳 ,み す ず 書 房).1899年 ン は電 子 が 水 蒸 気 か ら霧 をつ くる(ウ

グ レ:「 Ｘ 線 か らク ォ に な っ て,J.J.ト ム ソ

ィル ソ ン霧 箱 の 原 理)こ

と を利 用 して,霧

粒 の 数 と電 気 量 とか ら電 子 １個 の 電 荷 を直 接 求 め て,電 荷 と質 量 を別 々 に測 定 す る こ とに成 功 した.こ

れ は後 に ミ リカ ン に よ っ て 改 良 さ れ(1910年),こ

れ は教

科 書 に よ く引 用 され て い る.   1923年 に,ド Time参

照).実

・ブ ロ イ は電 子 が 波 動 性 を もつ こ と を 予 言 し た(第28講Tea  験 で電 子 の 波 動 性 が 確 認 さ れ た の は1927年

ベ ル 研 究 所 の ダ ヴ ィ ッ ソ ン とガ ー マ ー,ま て な され た.G.P.ト

で あ る.こ の検 証 は

た これ と独 立 にG.P.ト ム ソ ン に よ っ

ム ソ ン は電 子 の 発 見 者J.J.ト ム ソ ン の 息 子 で あ っ て,父

子 と し て の電 子 を発 見 し,息 子 は波 とし て の 電 子 を検 証 した の で あ っ た.

は粒

 第16講  電 磁 場 に よ る摂 動

―テー マ

◆ ゼ ー マ ン効 果 ◆ 分極 率 ◆

シ ュ タル ク効 果

◆Tea

Time:ゼ

ーマ ン効果

 ゼ ー マ ン効 果   原 子 に磁 場 を か け る と,電 子 の 軌 道 運 動 が 変 わ るた め に エ ネ ル ギ ー 準 位 が シ フ トす る.こ れ を一 般 に ゼ ー マ ン効 果 とい って い る.   古典 力 学 的 に考 え る と,次 の よ う な こ とが い え る.原 子 内電 子 は軌 道 運 動 の た め に電 流 と見 る こ とが で き る の で,そ

の た め の磁 石 とし て の性 質(磁

ト)を も っ て い る(量 子 力 学 で は,後 に述 べ る よ う に磁 気 量 子 数mzが は軌 道 運 動 に よ る磁 気 モ ー メ ン トは な い).こ

気モ ーメ ン ０の と き

れ に外 か ら磁 場 が 加 わ る と,磁 気

モ ー メ ン トが 磁 場 の 方 向 を 向 い た り,歳 差 運 動 を した りす る わ けで あ る(こ れ は 量 子 論 で は磁 場 に よ る一 次 の 摂 動 で あ る).ま トが な い 場 合(mz=0の

場 合)で

は,外 か ら磁 場 を加 え る と磁 場 の 変 化 の た め

電 場 が 生 じ,原 子 の 中 に 電 流 が 生 じ るが,こ き に生 じ る(レ ン ツ の法 則)の

た,軌 道 運 動 に よ る磁 気 モ ー メ ン

で,こ

の電 流 は外 か ら の磁 場 に反 発 す る 向

う い う原 子 は反 磁 性 を もつ こ とに な る(こ

れ は磁 場 に よ る ２次 の摂 動 で あ る).   一 般 に,磁 場 Ｂ はベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルＡ で表 され

(１)

で あ り,電 子 に磁 場 が 加 わ る と き,粒 子 系 の ハ ミル トニ ア ン

(２)

とな る.ｚ 方 向 に静 的磁 場 が あ る とき は

(３) と し て よ い.こ

の とき は

(４) と な る.こ

こで (５)

はｚ 方 向 の 角 運 動 量 成 分 で あ り,そ の 値 は〓mzに す な わ ち 電 子 の状 態(n,l,m）

等 し い(mzは

磁 気 量 子 数) .

を ｎで 代 表 させ る と (６)

で あ る.(４)の

右 辺 第 ３項 は磁 場 Ｂ に つ い て １次 の摂 動 で あ り,こ の た め の 準

位 の変化 は

(７) で 与 え ら れ る.磁 -1,lに

場 の 作 用 に よ り 縮 退 し て い た 準 位 は,mz=-l,-l+1,…,l

し た が っ て 等 間 隔 に 分 か れ る.こ

れ を 正 常 ゼ ー マ ン 効 果 と い う.こ

こで

(８)

は 電 子 の軌 道 運 動 に よ る磁 気 モ ー メ ン トの 単 位 で あ り,ボ ー ア磁 子 と よ ばれ て い る.

  mz=0の ず,B2に

状 態(方 位 量子数l=0(ｓ

状 態)な

ど)で は上 の １次 の摂動 は お こ ら

比 例 す る ２次 の 摂 動 が 生 じる.こ の た め の 準 位 の シ フ トは (９)

と な る.電

子 の 軌 道 運 動 の 半 径 の ２乗 の 平 均 を 〈r2〉 と す る と,〈r2〉=(x2+y2

+z2)nn=（3/2）(x2+y2)nnな

の で

(10) とな る.こ れ は常 に正 で あ る の で,原 子 は この た め に 反 磁 性 を もつ こ とが わ か る.   Ｓ状 態(l=0)は

縮 退 が な い の で,上

記 の 正 常 ゼ ー マ ン効 果 は お こ ら な い が,

実 際 に は ２本 の準 位 が 観 測 され て い る.こ れ は,電 子 が ス ピ ン と よ ばれ る(自 転 に相 当 す る)磁 気 モ ー メ ン トを も つた め で あ る.こ の よ うに 正 常 ゼ ー マ ン効 果 で な い もの は,異 常 ゼ ー マ ン効 果 と よ ばれ て い る.

 分 極

率

  原 子 に 静 電 場 を か け る と,電 子 はプ ラ ス極 に,原 子 核 は マ イ ナス 極 に 引 か れ る た め分 極 が お こ る.古 典 力 学 で考 えて,原 子 内 の電 子(電 荷 を −eと す る)が 半 径ｒ の球 内 に 一 様 に 分 布 して い て,電 場 Ｅ が か か る と,原 子 核(電

荷ｅ)がｘ

だ け 移 動 す る とす る.半 径ｘ の 球 の 中 の 電 荷 は-ex3/r3で

あ り,そ の 中 心 と原 子 核 の

間 の 距 離 はｘ な の で,原 分極 のない分子

子核 が マ イ ナ ス電

荷 に引 か れ る力 は−e2x3/r3x2=−e2x/r3で あ る.こ れ が,電 場 に よ り原 子 核 に は た ら く 力eFに

等 し くて 釣 り合 うか ら

(11)

分極 した分子

した が っ て,分 極 に よ る電 気 的 双 極 子 の モ ー 図27  電 気 的 な分 極

メ ン トμ と分 極 率 α は

(12) とな り,原 子 の体 積4πr3/3に

ほぼ 等 しい.

 量 子 力 学 的 に扱 う具 体 例 と して,水 素 原 子 を考 え よ う.こ の と きは 原 子 核 を原 点 に と り,電 子 にｘ 方 向 の 電 場 Ｆ が はた ら く とす る.摂 動 は 電 子 と電 場 との 相 互作 用 の エ ネル ギ ー

(13) で あ る.原

子 が 基 底 状 態1s(n=1,l=0)に

あ る と す る と,そ

の 波 動 関 数φ1s

は球 対 称 な の で

(14) で あ る.上 の 準 位2P0も

球対 称 なので

(15) で あ る.こ

こ で(a0は

ボ ー ア 半 径)

(16)

であ り

(17)

とな る.ま た 無 摂 動 系 の エ ネル ギ ー は

(18）

で あ る.基

底 状 態1sを

０ と略 記 し,励

起 状 態2p0,2p±

を ｋ と 略 記 す れ ば,２

次の摂動 エネル ギーは

(19) で与 え られ る.  他 方 で こ の場 合,電

場 Ｆ の た め に電 子 雲 が

(20) (αは分 極 率)だ

け移 動 す る の で,電 場 に与 え る 仕事 は

(21)

で あ る.こ

れ は(19)のE(2)と

等 し い わ け で あ る か ら,水

素 原 子 の 分 極 率 αは

(22) で与 え られ る こ とに な る.こ れ は 古典 力 学 的 に予 想 し た値a03と 同 程 度 で あ る.  電 場 に よ る準 位 の 変 化 を一 般 に シ ュ タル ク効 果 とい う.

Tea

Time

 ゼ ー マ ン効 果   エ ー ル ス テ ッ ドは電 流 の磁 気 作 用 を発 見,ア

ンぺ ー ル は電 流 ど う しの 間 に 力 が

はた ら く こ とを発 見 して い る.さ

に は,フ

ァ ラ デ ー が磁 場 の 変 化 に

発 見 した.こ

う して 磁 気 と電 気 の間 に

ら に1831年

よっ て 電 流 が 発 生 す る こ と(電 磁 誘 導)を

は密 接 な関 係 が あ る こ とが わ か った の で あ る.   フ ァ ラ デー は,さ

ま ざ まな 自然 の力 の 間 に はす べ て関 係 が あ る で あ ろ う とい う

考 え を も った.最 近 の 言 葉 で い え ば,「 力 の 統 一 」 とい う考 え方 で あ る.フ デ ー が 特 に注 目 した の は光 に対 す る電 場 と磁 場 の 影 響 で あ る.し

ァラ

か し,電 場 をか

けて も光 に対 す る影 響 は認 め られ なか っ た.   そ こで 次 に磁 場 の影 響 を調 べ,磁 場 が光 の偏 光 面 を 回転 させ る こ と を発 見 した の で あ る(1845年).ガ

ラ ス 中 を通 る光 の進 む 方 向 に磁 場 をか け た と き偏 光 面 が

回転 し,磁 場 の 向 きを 逆 に す る と偏 光 面 は逆 の 向 き に回 転 す る.磁 場 が光 の 進 行 方 向 に垂 直 の と きは偏 光 面 は 回 転 しな い.こ の よ う な偏 光 面 に対 す る磁 場 の 影 響 は,フ

ァ ラ デ ー効 果 と よ ば れ る.こ の 実 験 の と き に,フ

ァラ デ ー が 以 前 に王 立 協

会 か らの 委 嘱 で 開 発 した,屈 折 率 の 大 き い フ リ ン トガ ラ スが 役 に立 っ た.フ

リン

トガ ラス を手 に した フ ァ ラ デ ー の 肖像 は,こ の 発 見 を伝 え て い る もの で あ る.   彼 が成 功 しなか っ た 実 験,す

な わ ち光 に対 す る電 場 の 効 果 は,フ

くな った８ 年 後 に発 見 され て い る.こ れ は カ ー効 果(1875年)と

ァラ デ ー が 亡 よ ばれ,等

方

性 の物 質 に光 を通 して電 場 を か け る と複 屈 折 が お こ る現 象 で あ る.   フ ァ ラ デ ー 効 果 の 発 見 を き っ か け に し て,彼 (反磁 性)と 磁 気 に 引 き寄 せ られ る物 質(常

は物 質 に,磁 気 を反 発 す る物 質

磁 性)が

あ る こ と も見 出 し て い る.

物 質 は す べ て磁 気 に反 応 す るの で あ る.   1859年 に な る と,キ ル ヒホ ッ フ は,物 質 を 燃 や した と き に 出 る光 を分 光 器 に か け て調 べ るス ペ ク トル分 析 の 方法 を開 発 し,こ れ は新 しい 元 素 の 発 見 に 用 い ら れ た.1862年

に フ ァ ラ デ ー は,磁 場 をか け た と き に ス ペ ク トル 線 に 変 化 が 生 じ

る の で は な い か と期 待 した が,期 待 に 反 し何 の 効 果 も見 出 せ な か った.し フ ァ ラ デ ー が1867年

に 亡 くな っ て 約30年

よ り もず っ と よい 実 験 装 置(回

析 格 子)を

か し,

た った と きに,ゼ ー マ ン は フ ァラ デ ー 使 う こ とに よ って,ス ペ ク トル 線 が 磁

場 に よ っ て 変 化 す る こ と を発 見 し た の で あ る.こ れ は ゼ ー マ ン効 果(1896年) で あ っ て,ナ

ト リウム の ス ペ ク トル 線(Ｄ

線 とよ ば れ る著 し い黄 色 の 輝 線)が,

磁 場 の影 響 で い くつ か に分 か れ た の で あ る.こ れ を聞 い た ロー レ ン ツ は,原 子 内 で 電 子 が 振 動 して い る とい う原子 模 型 を使 っ て,こ の 現 象 を説 明 した.こ の こ と は,原 子 の 中 に電 気 を もっ た粒 子(電

子)が

あ る とい う原 子 構 造 の解 明 に,有 力

な 手 掛 か り と な っ た の で あ る(ロ ー レ ン ツ とゼ ー マ ン は電 子 の 電 荷 と質 量 の比 e/mを

求 め,電 子 が 原 子 に比 べ て は るか に小 さ な 質 量 を も つ こ と も明 らか に し

て い る).

 第17講  時 間 的変 化 の摂 動 法

―テー マ

◆ 定 数変 化 の方法 ◆ 遷移 確 率 ◆ 遷 移速度 ◆Tea

Time:時

間 の可逆 性 ・不可 逆性

 定 数変 化 の 方 法   H(0)を る.無

無 摂 動 系 の ハ ミ ル トニ ア ン,λH(1)を

摂 動 と し,H=H（0）+λH(1)と

す

摂 動 系 の シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式

(１)

の解 と固 有 値En(0)と 固有 関 数 ψn(0)はわ か っ て い る もの とす る.こ

の と き摂 動 系

の 方程 式 (２)

の 解Ψ(x,t)(任

意 の 初 期 条 件 を 満 た す)を

有 関 数 系φn(0)(x)で

求 め る の が 問 題 で あ る.Ψ(x,t)を

展開 し

(３)

固

と お く(時 間 に よ らな い問 題 で は,ｃnは 初 期 条 件 で き ま る定 数 に な る.こ れ に 対 し て,cnを 時 間 に よ る と して 解 を求 め る 方 法 を定 数 変 化 の 方 法 とい う).こ

こ

で 右 辺 第 １項 のcn（0） は初 期 値 を展 開 して (４)

と し た 式 の 係 数cn（0）で 与 え ら れ る.１ 次 の 摂 動 近 似 は

(５)

で 与 え られ る.  【 証 明 】  (３)を(２)に 代 入 す る と

(６)

すなわ ち (７)

を得 る.こ の両 辺 にeiEm(0)t/〓φm(0)*を 掛 け て積 分 す る と,φn(O)の 規 格 化 直 交 性 に よって (８) を 得 る.こ

れ は 近 似 式 で な く,厳

  こ こ で 近 似 解 を 求 め る た め,展

密 な 式 で あ っ て,摂 開Cn=Cn（0)+λCn(1)+…

し,λ の 各 べ キ の 係 数 を 両 辺 で 等 し い とお く と

動 方 程 式 と よ ば れ る. を 仮 定 し て(８)に

代 入

(９)

と な る.こ

の 第２ 式 を ｔに つ い て 積 分 し て,t=0でCn(1)=0と

お け ば(５)が

得 ら

れ る.

 遷 移 確 率   体 系 がφn(0)に あ る と き,t=0か

らｔ ま で 摂 動H(1)が

加 わ る と し,こ

の 間 に体

系 が 状 態ｎ か ら ｍ へ 移 る 確 率 を 考 え よ う.   t=0で

はCn(0）=1,Cm(0)=0(m≠n)と

振 幅Cm(1)は(９)に

す る と,時

刻ｔ に お け る 状 態 ｍ の 確 率

より

(10) さ ら に(９)の

第３ 式 か ら

(11) と な る.   体 系 が 状 態 ｎ か ら ｍ へ 遷 移 す る 確 率P(n,m）

は

(12) で あ る.し れ ばm(≠n)の

か し 初 期 条 件 をCn(0)=1,Cm(0)=0(m≠n)と

し て い る か ら,λ2ま

で と

遷 移確率 は

(13) で与 え られ る.状 態ｎ に止 ま る確 率P(n,n)は

(14) と な る が,(10),(11)でm=nと

し た式 か ら

(15)

よって

(16) を得 る.摂 動 に よ り初 期 の 状 態φn(0)に 見 出 さ れ る確 率 は 時 間 が た つ と減 少 す る が,そ の 減 少 分 だ けｎ 以 外 の 状 態 に移 っ て い る こ とを この式 は 示 して い る.

 遷 移 速 度   摂 動H(1)が

時 間 を含 ま な い 場 合 を考 え る.こ の と きHmn(1)は 時 間 を含 まな い

の で,ｔ に つ い て の 積 分 は す ぐ に実 行 で きて

(17) と な る か ら,Em(0)≠En(0)に

対 して

(18) とな る.   終 わ りの状 態Em(0)が,En(0)に

ほ とん ど等 しい 連 続 的 な準 位 で あ る場 合 が 重 要

で あ る.簡 単 の た め,終 状 態 は 離 散 的 な量 子 数ｍ

と連 続 な エ ネ ル ギ ーE(0)と で

指 定 さ れ る と し,固 有 関 数φm,Eを

(19) に よ っ て規 格 化 した 場 合,Ｅ

とE+dEの

間 の終 状 態 へ 遷 移 す る確 率 は

(20) とな る(ρ(E)は

準 位 密 度).こ

保 存 則E−En(0)=0を

こで 時 間 ｔが 十 分 大 き い とす る と,エ ネ ル ギ ー

満 た す 状 態 の 近 くへ の 遷 移 だ け が 著 し くな る の で,ρ(E)

を積 分 の 外 へ 出 して

(21) を用 い る こ とが で き る.そ の た め,時 間ｔ の 間 に遷 移 す る全 確 率 は

(22) と書 け,遷 移 速 度 は

(23) と な る.

Tea

Time

 時 間 の 可 逆 性 ・不 可 逆 性   時 間 の 矢 と い う こ とが い わ れ る.時 間 は過 去 か ら未 来 に 向 け て 一 方 的 に 流 れ る.逆 向 き に す る こ とはで き な い.し か し科 学 の 基 礎 で あ るニ ュ ー トン力 学 は, 時 間 を逆 転 して もそ の ま まで 成 り立 つ.力 学 が 不 完 全 な の だ ろ うか.そ

れ ともど

こか に この 矛 盾 と思 わ れ る こ とを解 消 す る手 段 が あ る の だ ろ うか.  量 子 力 学 で は ２つ の 段 階 が あ る と考 え られ て い る.１ つ は 基 礎 方 程 式(た ば シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式)に 化 で あ る が,こ

よっ て 記 述 さ れ る状 態(波

れ は 決 定 論 的 な変 化 で あ る.第

動 関 数)の

とえ

時間的変

２に は,観 測 に よ る対 象 の 変 化 が

あ り,こ れ は観 測 者 が 関 与 す る もの で,非 決 定 論 的 で あ る と考 え る の が ふ つ うで

あ る.観 測 者 の 関 与 とい う こ とが物 理 学 の枠 外 の こ とで あ る とす る な らば,こ

の

第 ２の段 階 は 量 子 力 学 の外 に お か れ る こ とに な り,時 間 の 矢 の 問題 もそ こへ 移 し お か れ る こ と にな る.お そ ら く科 学 は,人 間 の認 識 の 過 程 ま で踏 み 込 む よ う に な るだ ろ うが,そ れ まで は ひ とま ず お あ ず け に して お けば よい わ け で あ る(シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 猫 で 代 表 さ れ る話 は ,決 し て無 視 で きな い か ら,決 し て安 閑 と し て い られ な い の で あ るが).   第 １の段 階 の話 に も どろ う.シ ュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式 は 自 由粒 子 の場 合 (１)

とい う形 を して い て,あ

る時 刻 の 波 動 関 数 を与 えれ ば そ の前 後 の 波 動 関 数 が つ ぎ

つ ぎ とわ か る構 造 を して い る.あ

る時 刻 に そ れ が 一 部 に集 中 した 波 束 で あ っ た と

す る と,そ れ は す ぐに ひ ろ が っ て し ま う(本 文 参 照).し

か し これ は 未 来 へ 向 け

て ば か りで な く,過 去 へ 向 け て も波 束 は ひ ろ が っ て し ま う の で あ る(不 確 か さ を もつ現 在 の 知識 か ら過 去 を推 測 す る と き は,過 去 へ さか の ぼ る ほ ど推 測 が ます ま す 不 確 か に な るか ら,こ れ は 当然 で あ る とい え る).   この点 で 方 程 式(１)は,拡

散(あ

るい は熱 伝 導)の 方 程 式 (２)

と似 て い て非 な る もの で あ る.そ れ は,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 の 時 間ｔ に 虚

数ｉ が つ い て い るか らで あ る.熱 伝 導 方 程 式(２)の 特 解(ξ は定 数) (３)

に 着 目 し よ う.こ

の 場 合ｕ

は 実 数 で あ る と し て い る の で,こ

の 解 はt＜0で

通 用

し な い.   (３)で

Ｄ をi〓/2mで

も の で は な い.し

特 解 に な る が,そ

れ は興 味 の あ る

か し そ れ を い ろ い ろ な ξ に つ い て 重 ね 合 わ せ て,(１)の

つ く る こ と が で き る.そ

と 書 け る.た

お き か え れ ば(１)の

れ はt=0に

と え ば,t=0の

を と る と,粒 子 の確 率 密 度 は

お い てΨ(x,0)=f(x)と

波 束(ｓ,ｍ

は 定 数)と

して

して

解 を

(４)

とな る(第

６講 の 式(33)参 照).こ

して も通 用 す る.時 刻t=0で

れ は,正

の 時 間ｔ に 対 して も負 の 時 間 ｔに 対

波 束 の 幅 が ｓで あ った の が,未 来 へ 向 け て も過 去

へ向 けて も

とい う風 に広 が っ て い くの で あ る.   余 談 で あ るが,過 去 は確 定 し て い る,未 来 は未 確 定 で あ る とい うの は本 当 で は な い.過

去 は次 第 に消 え去 る も ので あ ろ う.ど ん な に くわ し く記 録 して も,完 全

な デ ー タ を残 す こ とは で きな い.残

さ れ た 記 録 も記 憶 も次 第 に不 確 か に な る.考

古 学 が い くら進 歩 して も,過 去 の 再 現 は 時 と共 に不 確 か に な る の が運 命 だ ろ う.

 第18講  散 乱 問題― ボル ン近 似

―テーマ ◆ 剛体球 に よる散 乱 ◆ 微 分 断面積 ◆ ボル ン近似 ◆Tea Time:確

率 的解 釈

 散乱断面積   本 講 で は,原 子(あ

るい は中 心 力)に

る現 象 を扱 うの で あ る が,は

よ っ て電 子(あ

るい は粒 子)が 散 乱 され

じめ に散 乱 の わ か りや す い例 と し て,剛 体 球 に よ る

質 点 の 散 乱 を考 え よ う.   図28の

よ う に,原 点 Ｏ に半 径ａ の 剛 体 球 が 固 定 され て い て,こ

れ に 小 さ な粒

子 がｚ 軸 方 向 に速 度ｖ で 衝 突 して 散 乱 さ れ る とす る.衝 突 前 の 粒 子 の 軌 道 とｚ 軸 の距 離ｂ を 衝 突 パ ラ メ ー タ とい う. 衝 突 に よ っ て 粒 子 は 角 θの 方 向 に 散 乱 さ れ る と し,衝 突 す る 点Ａ と Ｏ を 結 ぶ 半 径 がｚ 軸 と な す 角 を α とす る とき

(１)

図28  剛体 球 の微 分断 面 積

で あ る.  ｚ 軸 に垂 直 な断 面 を通 り,一 様 な粒 子 の 流 れ が あ る と考 え る と,衝 突 パ ラ メ ー タ がｂ とb+dbの

環 状 の 断 面 積(面

積2πbdb)は,散

乱 角 が θ と θ+dθ の 間

に くる散 乱 を お こす 剛 体 球 部 分 の 断 面 積 で あ る こ とが わ か る.こ の散 乱 は,立 体 角dΩ=2πsinθdθ

の 中 に あ るの で (２)

と お き,σ(θ)を

微 分 断 面 積 と い う.し

たが って

(３)

で あ る.こ

こで 絶 対 値￨db/dθ￨を と った の は, db＞0の

と きdθ ＜0で あ る か らで

あ る.   (２)は 一 般 的 な 散 乱 微 分 断 面 積 の 式 で あ るが,特 は,(１)が

に剛 体 球 に よ る散 乱 の 場 合

成 り立 っ か ら (４)

した が っ て (５)

で あ り,sin2α=2sinαcosα

に よ り

と な る.

(６)

を衝 突 の 全 断 面 積 と い う.特 り,∫dΩ=4πな

の で,そ

に 剛 体 球 の 場 合 は,微 分 断 面 積 σ(θ)は定 数 で あ

の全断面積 は

(７)

とな る.こ れ は,衝 突 前 の粒 子 か ら見 た 半 径ａ の 球 の 幾 何 学 的 な 断 面 積 と同 じ で あ る.   【クー ロ ン力 に よ る古 典 的 な散 乱 】 原 子 核 に よ る α粒 子 の 散 乱 は,ラ

ザ フォ

ー ドが 原 子 核 を発 見 した 実 験 と して有 名 で あ る.ラ ザ フ ォ ー ドは古 典 的 な 計 算 に よ り,原 子 核 の ク ー ロ ン力 に よ っ て α粒 子(共

に 正 の 電 荷 を もつ)が

る微 分 断 面 積 を求 め,こ れ が 実 験 と一 致 す る こ とに よ って,原 た の で あ る.こ の 場 合,散

散 乱 され

子 核 の存 在 を知 っ

乱 パ ラ メ ー タｂ と散 乱 角 の 関 係 は (８)

で 与 え ら れ る こ とが 示 さ れ る(Z1e,Zeは は α粒 子 の速 度).こ

そ れ ぞ れ α粒 子 と原 子 核 の 電 荷,υ

れ か ら微 分 断 面 積 は,ラ ザ フ ォー ドの散 乱 公 式

(９)

で 与 え られ る.こ が θ→0で

の 場 合sin4(θ/2)

発 散 す るの で,全 断 面 積

は 無 限 大 に な る． これ は,ク ー ロ ン 力 が 遠 達 力 で あ っ て α粒 子 が ど ん な に 離 れ て い て も,い

くらか 散 乱 が

お こる た め で あ る. 図29  クー ロ ン力 に よる散 乱

  な お,ラ

ザ フ ォ ー ドの 散 乱 公 式

は,非 相 対 論 的 な量 子 力 学 で扱 っ た 結 果 と一 致 す る.こ れ は偶 然 の 結 果 と考 え ら れ る.

 量 子 力 学 に お け る断 面積   衝 突 パ ラ メ ー タ とい う概 念 は,量 子 力 学 に あ ま りな じ ま な い もの で あ る.微 分 断 面 積 は,次 の よ うに 考 え た方 が わ か りや す い.

  散 乱 体(標

的)に

向 けて 入 射 粒 子 が 一 様 に 流 れ て くる と し,単 位 体 積 あ た りの

入 射 粒 子 の 数 をN0,速

さ をｖ とす る.単 位 断 面 積 を通 る入 射 粒 子 の 流 れ は

(10) で あ り,環 状 の 面 積2πbdbを

通 る流 れ は

(11) で あ る.量 子 論 で は 粒 子 がｚ 軸 に平 行 に 入 射 し,そ の 波 動 関 数 は,√N0eik0zと 書 け る.こ れ が 原 点 に あ る散 乱 体 で 散 乱 され て,散 乱 波g(θ)を 生 じ る とす る. 弾 性 散 乱 で は,散 乱 後 の 速 さ は 入 射 速 度 と同 じでｖ で あ り,波 数k0=mv/〓

も

変 わ ら な い か ら,原 点 か らｒ の 距 離 にお け る散 乱 波 は

(12)

の形 に 書 け る.そ

して距 離ｒ に お け る散 乱 され た 粒 子 の密 度 は

(13) で あ る.単 位 面 積 をｒ 方 向 に進 む粒 子 の 流 れ は

(14) で あ っ て,半 θ と θ+dθ

径ｒ の 球 面 上 に お け る 角 の 間 の 面 積 は2πr2sinθdθ=

r2dΩ で あ る か ら

,立

体 角dΩ

中 に あ る

散 乱粒 子 の 流 れ は

(15) 図30  立 体 角dΩ

b +dbの

で あ る.こ

れ は衝 突 パ ラメ ー タ が ｂと

間 に あ る粒 子 の 流 れ に等 しい か ら

(16) したが っ て,微 分 断 面 積 σ(θ)は

(17) で 与 え ら れ る こ と に な る.も れ ば,散

乱 振 幅f(θ)の

し も 入 射 波 がeik0z(N0=1)に

２乗 の￨f(θ)￨2そ

の も の が,微

規 格 化 され て い る とす 分 断 面 積 を与 え る こ と に な

る.

 ボル ン近 似   量 子 力 学 に お い て,散 乱 ポ テ ン シ ャル の １次 まで とっ た近 似 を ボ ル ン近 似 とい う.こ の 扱 い に お い て は,電 子 が原 子 との 相 互 作 用V(r)に

よ って 散 乱 さ れ る過

程 を電 子 の 定 常 的 な 流 れ と考 え る．こ の近 似 に よれ ば,散 乱 ポ テ ン シ ャルU(r)が 球 対 称 の場 合,微 分 断 面 積 σ(θ)は

(18)

で 与 え られ る.た だ し,入 射 す る電 子 の速 さ をｖ,波 数 を

(19)

と し,散

乱 角 を θ と して

(20)

で あ る.

  【証 明 】 電 子 に対 す る シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は

(21) で あ る.電 とお き

子 はｚ 方 向 に 入 射 す る と し,入

射 波 をeik0zと

す る.散

乱 波 をg(r)

(22) とお く.ｇ と Ｕ に つ い て １次 の 項 だ け を と り,２ 次 の 項Ugを

無 視 す れ ば,波 動

方程式 は

(23)

とな る.こ の方 程 式 の解 は

(24)

で与 え られ る(こ れ を示 す に は,直 接∇2gを 計 算 す れ ば よ い).  散 乱 断 面 積 を求 め るの に,ｒ の 大 き な と こ ろ(｜r｜≫｜r'｜)で

(25) と 近 似 す る(ｋ トル).す

は 大 き さk0,方

向 が ｒの ベ ク

る と

(26) 図31  散 乱 と な る.(θ,φ

は ベ ク トル ｒ 方 向 を 表 す 極 座 標)こ

こで

(27) で あ る.U(r)が

球 対 称 の と きは

(28）

と お く と,f(θ,φ)は

φ に 無 関 係 なf(θ)に

な り

(29) すなわ ち

(30)

と な る.入

射 波 はφ0=eik0zで,￨φ0￨2=1に

規 格 化 さ れ て い る.こ

れ は,単

位 体

積 に つ き １個 の 密 度 で 入 射 す る 電 子 の 流 れ を 意 味 し

(31) は,立

体 角dΩ=2πsinθdθ

乱 の 微 分 断 面 積 は,￨f(θ)￨2そ

中 へ 散 乱 さ れ る 電 子 の 流 れ で あ る.し

た が っ て,散

の ま まに な り

(32) で 与 え ら れ る.

Tea

Time

 確 率的解釈   波 動 関 数Ψ の 絶 対 値 の ２乗｜Ψ｜2=Ψ*Ψが 存 在 確 率 を表 す とい う 解 釈 を考 え つ い た の は,ボ ル ン(M.Born,1882‐1970)で あ る.彼 は散 乱 の 問 題 を 扱 い(ボ ル ン近 似),そ

の結 果 か ら この 解 釈 を考 え 出 した(1926年).

  この1926年 は,シ ュ レー デ ィ ンガ ー が 量 子 力 学 を 発 表 した 年 で も あ る.シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー を 中 心 と して量 子 力 学 は,こ の 年 の 短 い期 間 にめ ま ぐる しい速 度 で 展 開 され た の で あ っ た(第11講Tea

Time参

照).

  ド ・ブ ロ イ もシ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー も,電 子 に 付 随 す る波 を考 え た わ け で あ る が， これ が い っ た い 何 の 波 で あ る か とい う問 い に う ま く答 え る こ とが で きな か っ

た.電 磁 波 は電 気 的,磁 気 的 な 波 で あ り,こ れ は実 体 の あ る波 で あ る と い っ て よ い だ ろ う.し か し,電 子 の 波 と は何 だ ろ うか とい う問 い で あ る.   シ ュ レー デ ィ ン ガ ー は,波 動 関 数Ψ の ２乗 が 電 荷 密 度 を 表 し て い て,電 子 そ の もの が 雲 の よ う に ひ ろ が って い るの で あ る と考 えた.し

か し こ の説 明 は,き わ

め て 奇 妙 で あ っ た し,電 子 は小 さ な領 域 に局 在 した りち ぎれ た りす る こ とは な い と思 わ れ る.多

くの 人 が シ ュ レー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式 を讃 え たが,彼

関 数 に対 す る解 釈 に は反 対 した.シ

の波動

ュ レー デ ィ ンガ ー は,量 子 論 的 な現 象 も時 間

空 間 的 に連 続 した もの と して理 解 され る もの と考 えた が,ボ

ー ア は,量 子 過程 は

不 連 続 に お こ り う る と い う見 解 を も った.コ ペ ンハ ー ゲ ン で,シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー は波 動 力 学 に つ い て講 演 した が ,ボ ー ア は風 邪 を引 い た彼 の枕 元 に座 って 議 論 を続 けた.   結 局 の と ころ,シ 派(ハ

ュ レ ー デ ィ ンガ ー は,ボ ー ア を中 心 とす る コペ ン ハ ー ゲ ン学

イ ゼ ンベ ル クな どを含 む)の 考 え に同 調 で きな か った.

 Ｗ.ム ー ア 著 「シ ュ レー デ ィ ンガ ー,そ 訳,培 風 館)に

の 生 涯 と思 想 」(小 林澈 郎 ・土 佐 幸 子

は次 の よ う な文 章 が あ る(p.259).

  「ボー ア と シ ュ レー デ ィ ン ガ ー が もっ と効 果 的 に互 い の 考 え を伝 え合 う こ とが で きな か った １つ の根 本 的 な理 由 は,２ 人 の 考 え方 が 互 い に 異 な る範 疇 に属 して い た か らで あ る.フ ラ ン シ ス ・ゴ ー ル トンの 人 間 の性 格 の 分 析 に よれ ば,シ ュ レ ー デ ィン ガ ー は視 覚 型 で あ り,ボ ー ア は非 視 覚 型 で あ る.一 方 が イ メー ジで 具 体 的 に考 え るの に対 し,他 方 は抽 象 化 して 考 え る.し た が って,こ

うい う ２人 の 間

で は,い か な る種 類 の 議 論 を して も合 意 に達 す る こ とな ど事 実 上 で き な い相 談 で あ る.」

 第19講  ク ー ロ ン 力 に よ る散 乱

―テー マ ◆ 遮 蔽 さ れ た ク ー ロ ン力 ◆

ク ー ロ ン力 の 場 合

◆ 量 子 論 に よ る厳 密 な 扱 い ◆Tea

Time:博

覧 会 と奨 学 金

遮 蔽 され た ク ー ロ ン力   ク ー ロ ン力 の ポ テ ン シ ャル はｒ に反 比 例 し,U(r)∼1/rで ル ン近 似 の 式,前 講 の(30)に 代 入 す る と,f(θ)は

あ るが,こ

発 散 して し ま う.そ

因 子e-κrを 掛 けた ポ テ ン シ ャル(原 子 核 の電 荷Ze,入

れ をボ

こで収 束

射 粒 子 の 電 荷Z1e) (１)

を考 え る.こ れ は 遮 蔽 され た ク ー ロ ン ポ テ ン シ ャル とい い,原 子 が 多 数 の 電 子 を もつ と き,電 子 雲 の た め に原 子 核 の ク ー ロ ン 力 が 遠 方(r＞1/α)で

遮蔽 され て

い る実 効 的 な ポ テ ン シ ャル を表 して い る.ラ ザ フ ォ ー ドの した 原 子 核 発 見 の 実 験 で は,α 線 を金 箔 に 当 て て い る.こ の 際 に α粒 子(ヘ

リウ ム の原 子核 と同 じ)に

は た ら くポテ ン シ ャル は,金 原 子 の電 子 に よ っ て遮 蔽 され た ポ テ ン シ ャル で あ る か ら,は だ か の ク ー ロ ンカ で な く遮 蔽 され た ク ー ロ ン力 の ポ テ ン シ ャル(１)を 用 い た 方 が 合 理 的 だ っ た わ け で あ る.   さ て(１)を 前 講(30)に 代 入 す る と,積 分 公 式 を 用 い て

(２)

こ こ で 入 射 粒 子 の 波 数 をk0,エ

ネル ギーを Ｅ として

(３)

で あ る.散 乱 の微 分 断 面 積 は前 講(32)に よ り (４)

と な る.ま

た 全 断 面 積 は． κ≠0の

と き収 束 し て

(５)

と な る.

  クー ロ ン 力 の 場 合 遮 蔽 の な い は だ か の ク ー ロ ン 力 の 場 合 は,κ →0と

した ポ テ ン シ ャ ル

(６)

に よっ て 与 え られ る.こ の場 合 の散 乱微 分 断 面 積 は上 式 か ら

(７)

とな る.こ れ は第18講 (９)式)と

で述 べ た,古 典 的 な ク ー ロ ン散 乱 の微 分 断 面 積(第18講

同 じ で あ る.こ の よ うに,ボ ル ン近 似 が 古 典 的 な値 と全 く同 じ結 果 を

与 え る の は,著

し い偶 然 だ とい わ ざ る を え な い.ラ

ザ フ ォー ドが古 典 的 な式 を用

い て 原 子 核 の 存 在 を つ き とめ る こ とが で きた の は,大

き な僥 倖 だ っ た わ け で あ

る.

 厳 密 な扱 い   は だ か の クー ロ ン力 に対 し て,ボ ル ン近 似 で な い 量 子 論 的 な散 乱 の 厳 密 解 を求 め よ う とす る と,や や 高 度 の 計 算 技 術 が 要 求 され る.こ

こで は結 果 を記 す だ け に

留 め た い.そ れ は,波 動 関 数 の 位 相 の部 分 が 複 雑 な 式 (８ ）

で 与 え ら れ る.た

だ し こ こで

(９)

ま た,μ

は 衝 突 す る と 粒 子(電

m1m2/（m1+m2）

荷ZeとZ1e,質

で あ り,argГ(1+in)は

量m1とm2)の

複 素 数1+inの

ガ ン マ 関 数 の 偏 角

δ(Г(1+in)=￨Г(1+in)￨eiδ)を

意 味 す る.

  上 式 でm2→

ザ フ ォ ー ドの 散 乱 公 式 が 得 ら れ る.

∞ と す れ ば,ラ

  こ の 計 算 に つ い て は,L.I.Schiff: Hill, New

York,1968)を

Quantum

換 算 質 量 μ=

Mechanics(3rd.

ed. McGraw-

参 照 さ れ た い.

  Tea

Time

 博 覧会 と奨学金   原 子 核 を 発 見 し た の は ラ ザ フ ォ ー ド(E.Rutherford,1871‐1937)で

あ る.彼

は ス コ ッ トラ ン ド系 の 移 住 者 の 子 孫 と し て ニ ュ ー ジ ー ラ ン ドで 生 ま れ て,そ カ レ ッ ジ を 卒 業 し た.彼   1851年

この

の 父 は 農 業 や 紡 績 工 場 で 成 功 を 収 め て い た.

に ロ ン ド ン で 博 覧 会 が あ り,当

時 の ヴ ィ ク トリ ア 女 王 の 夫 君 の コ ン ソ

ー ト公 の望 み が 実 現 さ れ て ,博 覧 会 の収 益 金 に よ り奨 学 金 制 度 が 創 設 され た.ラ ザ フ ォ ー ドは これ に応 募 し,旅 費 を借 金 して1895年 に着 い て,J.J.ト

ム ソ ン(電 子 の 発 見 者)の

に イ ギ リス の ケ ンブ リ ッ ジ

と こ ろ の研 究 生 とな る こ とが で き

た.こ れ が ラザ フ ォ ー ドの輝 か し い研 究 生 活 の は じ め に な っ た の で あ る.後 に こ の 奨 学 金 を廃 止 しよ う とす る提 案 が な され た と き,ラ ザ フ ォ ー ドは あ らゆ る影 響 力 を駆 使 して その 存 続 に努 め た と い う こ とで あ る.   量 子 力 学 に 大 き な寄 与 を残 した デ ィ ラ ッ ク も,こ の奨 学 金 の 恩 恵 を受 け て い る.彼 は は じめ 電 気 工 学 を修 学 した が,ケ

ン ブ リ ッ ジ大 学 の数 学 へ移 り,上 記 の

奨 学 金 を受 けて 勉 強 を続 けた.博 覧 会 の収 益 金 も この よ うに奨 学 金 に使 わ れ れ ば 大 変 有 意 義 な こ とで あ る.

 第20講  散 乱 と位 相 の ずれ

―テー マ

◆ 位 相 のず れ ◆ 平 面波 の球 面波 によ る展開   ◆ 微 分断 面積 の一 般式 式 ◆Tea

Time:衝

突現 象

  散 乱 に よ る位 相 の ずれ   原 点 に球 対 称 な 散 乱 体 が あ っ て,散 乱 され る粒 子 に対 す る球 対 称 な ポ テ ン シ ャ ル をU(r)と

す る.シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は

(１)

で あ り,入

射 波 をeikz,散

乱 波 をeikrf(θ)/rと

す る.  す な わ ち, r→

∞(U

→0)で

(２) と な る と仮 定 す る(部

分 波 の 方 法).

  極 座 標(r,θ,φ)を

用 い て,(１)の

一 般 解 を 第11講

にな らって

(３)

とお く.Yl（ θ,φ)は球 面 調 和 関 数,lは

角 運 動 量 を表 す 整 数 で あ り,動 径 部 分 の

波 動 関 数Rklに 対 す る方 程 式 は (４)

と な る.   r→ ∞ で 上 式 の 第 ２項 の 因 子 はk2に

近 づ くの で

(５)

し た が っ て,Rklの

漸 近 形 はrRkl∼sin(kr+const）

あるいは

(６) と な る こ とが 期 待 さ れ る(ク づ くの で,こ Rklの

れ は あ て は ま ら な い.次

式(４)を

講 参 照).こ

あ ま り に ゆ っ く り0に

面 調 和 関 数Ylm(θ,φ)と

い.し

た が っ て(３)は

か し こ こで は

乱 微 分 断 面 積 を ηlで 表 す こ と を 考 え よ う.

球 対 称 と し て い る の で,散

ら,球

乱 は 明 ら か にｚ 軸 の ま わ り に 対 称 で あ る か

し て ル ジ ャ ン ド ル の 多 項 式Pl(cosθ)を

とれ ば よ

(７)

とな り,漸 近 形 は (８)

と な る.

 他 方 で 入 射 波(平

面 波)をPl(cosθ)(球

面 波)で 展 開 す る公 式 (９)

が あ る.た

近

こ で ηlは 位 相 の ず れ を 表 し,

厳 密 に 解 く こ と に よ っ て 求 め ら れ る も の で あ る.し

こ れ を 解 く こ と は や め て,散   U(r)は

ー ロ ン 力 の 場 合 はV(r)が

だ し こ こ でJl+1/2を 半 奇 数 の べ ッ セ ル 関 数 と し て

(10) はl次 の球 ベ ッセ ル 関 数 と よ ばれ る もの で あ る.そ の漸 近 形 は

(11) で あ る.し た が っ て漸 近 的 に

(12) と な る.

  (２)の 漸 近 形 は(８),(12)を

用 いて

(13) あるいは

(14) と な る.そ

こで

(15) と お く と,e-ikr(内

向 き の 波)は

消 え て,外

向 き の 波eikrだ

け が 残 る の で,

(14)は

(16) と な る.し

た が って

(17)

 散乱の断面積 (15)に よ りclは

定 ま っ た の で,(７)は

(18) と求 め ら れ る.こ

れ が 位 相 の ず れ ηlを用 い た 厳 密 解 で あ る.

  入 射 波 をφ0=eikzと 散 乱 の微 分 断 面

し て い て,入

射 粒 子 の 密 度 はN0=｜

ψ0｜2=1で あ る か ら,

σ(θ)は,｜f(θ)｜2そ の ま ま で 与 え ら れ る.す

な わ ち,(17)に

り

(19) ただ し

(20)

この 結 果 は

と書 く こ と もで き る.  Pl(cosθ)は

直 交 系 をつ く り

(21) で あ る.し た が っ て全 断面 積 σは

(22) こ こで

(23) な の で,全 断 面 積 は

よ

(24) で 与 え ら れ る こ と に な る.

Tea

Time

 衝 突現象   大 学 生 の とき量 子 力 学 の輪 講 を した.同 輩 が １人 い て,先 生 と ３人 の 輪講 で, Mott&MasseyのAtomic Collisionと い う本 を 読 ん だ.い ろ い ろ の こ と を 学 び,ま た い ろ い ろ な疑 問 や 問 題 を か か え る こ とに な っ た.   学 ん だ こ との １つ に,accommodation coeffcientと い うの が あ る.適 応 係 数 と訳 され て い る ら しい.固 体 表 面 に気 体 分 子 が 当 た っ た と きに,ど の く らい の エ ネ ル ギー を 固 体 表 面 か ら も ら うか と い う係 数 で あ る.accommodationと

い う言

葉 は ホ テ ル な どの 収 容 能 力 の 意 味 が あ る こ と を知 っ た の は後 の こ とで あ る.こ の 問題 につ い て計 算 を して み た が,固 体 表 面 の原 子 の 振 動 の 様 子,原

子 と衝 突 分 子

との相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル な ど,い ろ い ろ近 似 し な け れ ば な らな い こ とが 多 く て,計 算 は成 功 しな か っ た.   電 子 が 原 子 に衝 突 し て エ ネ ル ギ ー を失 う現 象 に つ い て は,卒 業 して か ら ブ ロ ッ ホ の論 文 を読 ん だ.高 速 電 子 の衝 突 の 場 合,原 子 内 の 多 数 の 電 子 が エ ネ ル ギ ー を もら うが,電 子 を統 計 的 に扱 う トー マ ス ・フ ェ ル ミの模 型 を使 う と,電 子 の 集 ま りは振 動 を お こ す こ とに な る.入 射 電 子 が 原 子 か ら少 し遠 い と こ ろ を通 る と き は,こ

う して 半 古 典 的 に 扱 う こ とが で き るが,原 子 の 中 心 近 く を通 る と きは,量

子論 的 に扱 わ な けれ ば な らな い.ブ ロ ッホ の論 文 は形 式 的 だ が,こ の ２つ の扱 い を う ま くつ な い で,衝 突 に よ って 入 射 電 子 が失 うエ ネ ル ギ ー を定 式 化 し て い る. 高 速 電 子 に対 す る原 子 のstopping

power(阻

止 能)の

問 題 で あ る.

  トー マ ス ・フ ェル ミの模 型 をそ の ま まで 用 い るの は大 変 な の で,原 子 を一 様 な 球 と して,電 子 は球 形 の井 戸 型 ポ テ ン シ ャル の 中 の 自 由粒 子 で あ る とす る と,そ の固 有 振 動 を求 め る こ とに よ っ て 阻 止 能 が 求 め られ る.こ の 計 算 を 実行 して み た ら,阻 止 能 と原 子 番 号 との 関 係 が知 られ て いた 実 験 式 と大 変 よ く一 致 した.し か しす ぐに,全

く同 様 の 計 算 が イ エ ンゼ ン と い う人 に よ っ て な され た の を知 っ て が

っ か り し,そ れ な らば と,電 子 間 の 交 換 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー(物 リー ズ ９巻 「物 性 物 理 学30講

」 参 照)を

理 学30講

を解 い て み た ら,こ ん ど は実 験 式 との 一 致 が わ る くな って し まっ た.そ で,こ

の 問 題 に つ い て はベ ッ セ ル 関 数 を用 い たDiniの

解 説 を書 い た りした だ け に 終 わ っ た.

シ

と り入 れ て 複 雑 に な っ た 固 有 振 動 の 式 ん なわ け

展 開 を勉 強 し た り,短 い

 第21講  ヴ ィ リア ル 定 理

―テー マ

◆

ヴ ィ リア ル 定 理

◆

クー ロン力の場 合

◆ 有 限の体 系の圧 力 ◆Tea

Time:私

の 「ヴ ィ リ ア ル 定 理 」

 ヴ ィ リ ア ル   ハ ミル トニ ア ンが 運 動 エ ネル ギ ー と粒 子 に対 す る ポ テ ン シ ャル か らな る場 合 を 考 え よ う.こ れ を簡 単 に (１)

とす る.実 際 に は 多 粒 子 系 で,ポ テ ン シ ャル は粒 子 の相 互 作 用 を含 む もの と して も よい が,ま

た 水 素 原 子 に お け る電 子 の よ うに,ポ

テ ン シ ャル は原 子 核 に よ る ク

ー ロ ンカ の ポ テ ン シ ャル を考 え る とわ か りや す い.１ 次 元 の よ うに 書 き −∞ ＜x ＜∞ とす るが,３ 次 元 の 運 動 に拡 張 す る の は容 易 で あ る.体 系 の エ ネ ル ギ ー Ｅ は

(２)

を極 小 にす る もの と して 与 え られ る.こ の 極 小 条 件 は

(３) と書 け る(ヴ

ィ リ ア ル 定 理).こ

こで

(４)

は運 動 エ ネ ル ギ ー の期 待 値 で あ り,

(５)

は ヴ ィ リア ル とよ ば れ る量 の期 待 値 で あ る(ヴ ィ リア ル は気 体 分 子 運 動 論 に お い て ク ラ ウ ジ ウ ス に よっ て 導 入 さ れ た).   【証 明 】  試 行 関 数 をφ(x/λ)と し,

(６)

が極 小 値 を とる よ うに λを きめ る.書 き直 す と

(７)

こ こ で(１)に

よ り

(８)

さ ら に λ を δλ だ け 変 え た と き のE(λ)の

変 化 を δE(λ)と す る と

(９)

に よ り

(10) よ っ て 極 小 条 件 δE(λ)=0は

〈K.E.〉=〈V.R.〉

  【例 １:調 和 振 動 子 】  U(x)=kx(k=定

と 書 け る.

数)

(11) し た が っ て,ヴ

ィ リ ア ル 定 理 に よ り 〈K.E.〉=〈U(x)〉.す

運 動 エ ネ ル ギ ー の 平 均 値(期

待 値)は,ポ

なわ ち調和 振動 子 の

テ ン シ ャル エ ネ ル ギー の平 均 値 に等 し

い.

  【 例2:3次

元 の 場 合 】 ３次 元 の 場 合,ヴ

ィ リア ル 定 理 は

(12) とな る.Ｕ

が 球対 称 でU(r)で

あ る とす る と

(13) 特 に ク ー ロ ン 力 の 場 合 は,U(r)∝1/r,rdU/dr=-U(r).し エ ネ ル ギ ー の 平 均 値 は,ポ も の で あ る.水

た が っ て,運

動

テ ン シ ャ ル エ ネル ギ ー の 平 均 値 の半 分 の符 号 を変 え た

素 原 子 の 場 合,実

際 に そ う な っ て い る(第

２講 と第11講

参 照).

 領域が有限の場合   粒 子 が容 器 の 中 に入 っ て い るた め に,そ の 運 動 領 域 が有 限(0〓x〓l） の場 合 を 考 え よ う.   体 系 が境 界 条 件 とし て

(１)周 期 条 件 (２)

(14)

(３)

の い ず れ の 条 件 を満 た す と きで も,エ ネル ギ ー 固 有 値 の体 系 の大 き さｌ に対 す る 変 化− ∂E/∂lは

(15) と書 く こ とが で き る(− ∂E/∂lは容 器 の 壁 に対 す る圧 力 を 表 す).   【証 明 】  シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 方 程 式 を

(16) と す る.E(l)は

領 域 の 大 き さ がｌ で あ る と き エ ネ ル ギ ー 固 有 値 で あ る.こ

こで

(17) と お い て(16)を 書 き直 す と ξに 対 す る領 域 がl' の体 系 の 波 動 方程 式

(18)

図32  体 系 の大 きさの 変化(l→l') を 得 る.た

だ し こ こ でH(0)はH(x)のｘ

を λξ で お き か え た も の で

(19) を 意 味 す る.な し,ｘ

お(18)に

お い て,ξ

を ξ と し た も の)で

あ る.書

に 対 す る 境 界 条 件 は(14)と

同 様(ｌ

をl'と

き 直 す と(19)は

(20) で あ る.   他 方 で,領 をH(ξ),固

域 を0〓

ξ〓l'と し た と き の 実 際 の 波 動 方 程 式 は,ハ

有 関 数 をΨ,領

域 がl'の

と き の 固 有 値 をE(l')と

ミ ル トニ ア ン

書 くと

(21) で あ る.  (21)と(20)を

比べ る と

(22) ただし

(23) で あ り,H(1)はH(0)に

対 す る 摂 動 と 考 え る こ と が で き る.こ

こで

(24) とす る と,⊿ λの 高 次 の項 を無 視 す る と き は

(25)

と し て よ い.す

ると

(26) と な る.こ

れ を 摂 動 と し て 摂 動 論 を 用 い れ ば,(26)に

よ り

(27) が 得 ら れ る.こ

れ を 書 き 直 せ ば(15)に

な る.

  【３次 元 の場 合 】 ３次 元 の と き は容 器 の 体 積 をV=l3と

して

(28) が成 り立 っ こ とが示 され る.

Tea

Time

 私 の 「ヴ ィ リアル 定 理 」   ヴ ィ リアル(Virial)は,ド

イ ツ の ク ラ ウ ジ ウ ス が 定 義 した も の で あ る.エ

トロ ピー もク ラ ウ ジ ウス に よ る名 称 で,彼

ン

は熱 力 学 第 ２法 則 の発 見 で 有 名 だ が,

気 体 分 子 運 動 論 に も貢 献 し,気 体 が理 想 気 体 の法 則 か ら は ず れ るの は分 子 間 力 に よ る もの で あ る ヴ ィ リア ル に帰 せ られ る と い う こ と を明 らか に した の で あ る.   大 学 生 だ っ た と き に 著 者 は,フ Mechanics,1936)で,ヴ

ァ ウ ラ ー の 本(R.H.Fowler:

Statistical

ィ リア ル 定 理 の こ と を知 っ た.当 時 この 定 理 は依 然 と

し て ク ラ ウ ジ ウ ス の方 法 で証 明 され て い て,統 計 力 学 の 正 統 的 な理 論 や 量 子 力 学 と関 係 づ け られ て い な か っ た の で,ヴ 思 った.ま

ィ リア ル 定 理 を そ う い う方 向 で整 え よ う と

ず 古 典 力 学 の ヴ ィ リアル 定 理 を解 析 力 学 の ハ ミル トン原 理 か ら変分 法

に よ っ て 導 け る こ とに気 付 き,次 に量 子 力 学 で も似 た考 え を使 っ て ヴ ィ リア ル 定 理 を証 明 した.こ の とき用 い た の が,本 文 に 記 し た一 風 変 わ った 摂 動 論 で あ る. さ ら に同 様 な考 えで,古 典 的 お よび 量 子 論 的 な統 計 力 学 に お け る ヴ ィ リア ル定 理 を 導 い た.   こ う し て,１ つ の立 場 で,ヴ ィ リア ル 定 理 の 適 用 範 囲 を ひ ろ げ る こ とが で きた が,こ れ を論 文 に ま とめ る と きに い ろい ろの 応 用 を盛 り込 ん だ.不 完 全 気 体 の ヴ ィ リア ル 展 開,金 属 の 凝 縮 エ ネ ル ギ ー と電 子 の エ ネ ル ギ ー の 関 係,水 素 分 子 の ハ イ トラ ー ・ロ ン ドンの 理 論 の ヴ ィ リア ル 定 理 に よ る修 正,そ 論 まで,そ

れに原子核の統計理

の頃 に勉 強 して いた こ とに ひ っか け て い くらか 雑 多 な こ と を書 いた.

これ は 第 ２次 世 界 大 戦 の 困 難 な 時 代 を越 え て,昭 和23年 本 に載 っ て い る(落 合 雄 一郎 ・山 内 恭 彦 編:「 士 還 暦 記 念― 」 中 の戸 田盛 和:ヴ

に よ うや く出版 され た

最 近 物 理 学 の諸 問題 」― 寺 沢廣一博

ィ リア ル 定 理 に つ い て,岩

波 書 店,1948,p.93

‐112).   この 論 文 に は,い ま読 ん で み る と大 変 雑 多 な こ とが 書 い て あ るが,そ れ は若 気 の い た り とい う こ とだ ろ うか.し か し長 い年 月 の 間 に や っ て きた 仕 事 の 中 で,こ れ は最 も私 の性 に合 った 仕 事 の １つ だ っ た よ うに 思 う.

 第22講  エ ネ ル ギ ー 固 有 値 と変 分 法

―テー マ

◆ 最 低 エ ネ ル ギ ー 固有 値 ◆ 変分 法 ◆ 分極 率 ◆Tea

Time:フ

ェルマ ーの 原理

 変 分  φ(x)を 任 意 の 関 数 と し,ハ 固有 値E0に

法

ミル トニ ア ン を Ｈ とす る と き,最 低 の エ ネ ル ギ ー

対 して

(１)

が 成 り立 つ.い い か え れ ば,最

低 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は∫φ*Hφdx/∫φ*φdxの

最 小 値 で与 え られ る.φ を (２)

に規 格 化 して お けば,こ

れは変分法

(３)

に よ っ て 与 え ら れ る.模

式 的 に 描 け ば 図33の

う に，変 分 δφに 対 し て∫φ*Hφdxの な る と き の 値 がE0を   【証 明 】

図33  変 分 法 δE=0

変 化 が ０に

与 え る と い う こ と で あ る.

エ ネ ル ギ ー 固 有 値 をE1,E2,…

固 有 関 数 を,φ1,φ2,…

よ

と す る.簡

と し,

単 の た め 関数

系φjは 規 格 直 交 化 され て い る とす る.す な わ ち (４)

さ らに 関 数 系φjは 完 全 系 で あ る と仮 定 し,任 意 の 関 数(試

しの 関 数)φ

を展 開

し,規 格 化 して (５)

と す る.こ

の とき

(６) と な る が,E0を

最低 のエネルギー固有値 とし (７)

と す る と,ΣEj｜aj｜2の

値 は,Ejを

す べ てE0で

お き か え る と必 ず 小 さ く な る か ら

(８ ）

と な る.し

か しφ は

(９)

に規 格 化 され て い る とす るか ら,任 意 のφ に対 し て

(10) が成 立 す る.

 励 起状 態 に対 す る変分 法   変分 法 は,最 低 状 態E0に

対 して だ けで な く,励 起 状 態 瓦E1,E2,…に対 して も適

用 で き る.   原 理 的 に は,ま ず 前 項 で 述 べ た 方 法,す

なわ ち

(11) に よ って 最 低 固 有 値E0と

正 確 な 固 有 関 数φ0を 求 め る こ とが で き る.次

に,φ0

と直 交 す る試 しの 関 数φ1を 考 えて

(12) の制限 の下 で (13) に よ っ て,固

有 値E1と

こ と に よ っ て,原

正 確 な 固 有 関 数φ1が

理 的 に は,す

求 め ら れ る.こ

べ て の 固 有 値E0,E1,E2,…

の 手 続 き を続 け る

が 求 め られ る こ と に な

る.   も ち ろ ん,変

分 法 を完 全 に 実行 して 正 確 な 固有 関数 を求 め る こ とは実 際 に は不

可 能 で あ る.し

か し,試

関 数 系 を 用 い て,変 使 う こ と を 意 味 し,こ

し の 関 数φ(0),φ(1),… と し て,た

分 法 を 用 い る こ と が で き る.こ

が い に直 交 す る 適 宜 な

れ は あ る制 限 の 下 で変 分 法 を

れ に よ っ て 得 ら れ る期待 値∫φ(j)*Hφ(j)dxは,必

固 有 値Ejよ

り も 高 い こ と が 示 さ れ る.し

E0,E1,E2,…

を 求 め る こ と が で き る.

た が っ て,こ

ず正確

な

の方 法 で固有値 の近似値

 変分法の例―分極率   第16講

で扱 った 分 極 率 の 問題 を考 え て み よ う.水 素 原 子 内 の 電 子 に電 場 が 加

わ っ て い る と きの ハ ミル トニ ア ン は

(14) こ こ でH(0)は,電 値 をH(0),固

場 の な い と き の 水 素 原 子 の ハ ミル トニ ア ン で あ り,そ

の固有

有 関 数 をφ(0)(r)と す る と

(水素 の基 底 状 態)

(15)

(a0は ボ ー ア半 径)で

あ る.

  電 場 Ｆ の た め に電 子 はｘ 方 向 にず れ る か ら,摂 動 を受 けた 状 態 は試 行 関 数(ｃ は 定 数)

(16) で 近 似 で き る だ ろ う(図34参

照).そ

こで

図34  波動 関 数 の変 化φ(1)(x)

(17) と な る が,∂r/∂x=x/rを

用 いて

(18) と書 き 直 せ る.さ

らに

(19)

な ので

(20)   〈Ｈ 〉 を 最 小 に す るｃ は,d〈H〉/dc=0あ

るいは

(21) c≪ １ と す る と

(22) し た が っ て,

(23) が 〈Ｈ 〉の最 小 値 で あ る.こ れ を第16講(19)の

摂 動 論 に よ る値

(24) と比 べ る と,変 分 法 に よ る本講 の 値 の方 が低 く,こ の 方 が 本 当 の値 に近 い わ け で あ る.試 行 関数 を上 手 に とれ ば,摂 動 法 よ りも よ い答 が や さ し く得 られ る例 で あ る.

(25) と書 け ば分 極 率 α と して

(26) を 得 る.

Tea

Time

 フ ェ ル マ ー の 原 理

  物 理 学 で はあ る量 が 最 大 に な る,あ

る い は最 小 にな る とい う形 で,法

則や原理

を述 べ る こ とが 多 い.   最 も よ く知 られ た 例 は,幾 何 光 学 に お け る フ ェル マ ー の原 理 で あ ろ う.１ 点 か ら出 た 光 が 反 射 ・屈 折 な ど を し て 他 の １点 に達 す る と き,は

じ め の 点 Ａ と終 わ

りの 点 Ｂ を き め て お く と,光 は極 小 の 時 間 で 到 達 で き る よ うな 経 路 を と る.い い か え る と,Ａ か ら Ｂ へ 行 く仮 想 的 な 道 を い ろ い ろ 考 え た と き,屈 折 率 と進 路 の 長 さ の積 を加 え合 わ せ た もの(光 学 距 離,光 路 長)が 極 小 に な る道 が,実

際の

光 線 の道 筋 で あ る(場 合 に よ って は極 大 に な る こ と もあ るか ら,極 値 を と る とい った 方 が 正 しい).式

で 表 す と,ｎ を 屈 折 率 と し,ｓ を進 路 の 長 さ と し て

 極値 真 空 中 の 光 速 を ｃ と す れ ば,c/nが dtが 長 さdsを

各 点 に お け る 光 の 速 さ を 与 え,ds/（c/n)=

通 る 時 間 で あ る か ら,フ

ェルマーの原理 は

極値 と書 け る.す な わ ち,光

は Ａ か ら Ｂ へ 到 達 す るの に要 す る時 間 が 極 値 を と る よ

うな 経 路 を とる.   力 学 に お い て は ハ ミル トン原 理 が 用 い られ る.時 刻t0とt1に x1を 与 えた とき,そ の 間 を結 ぶ運 動 は

お け る 位 置x0と

 極値 で定 め られ る.こ れ がハ ミル トン原 理 で あ っ て,Ｌ

は ラグ ラ ン ジ ュ関 数 と い う.

  変 分 原 理 は,座 標 系 や 独 立 変 数 の 選 び方 に よ ら な い一 般 性 を もつ表 現 な の で, 法 則 の 最 も基 本 的 な 述 べ 方 とい え る.

 第23講  交

換

関

係

―テー マ

◆ 演算 子 の交換 関係 ◆ 代数 的 な関係 式 ◆ ポア ソ ン括弧 ◆Tea Time:虚 数 ・複 素数

 運 動 量 と座 標  運 動量ｐ は微 分演算子 (１)

で 表 さ れ る.こ

こで

(２)

に注 意 し,左 側 の演 算 子 は そ の 右 にあ る量 のす べ て に はた ら く も の と約 束 す る と (３)

あるいは

(４)

を 得 る.こ

れ をｐ とχ の 交 換 関 係 と よ ぶ.

 こ れ を 一 般 化 し,ｆ

を がpnxm（n,mは

整 数)の

形,あ

る い は そ の和 とす る と き

(５)

が 成 り立 っ.   【証 明 】 f=xお

よ びf=pに

対 し て(５)は

自 明 で あ る.次

にf=x2に

対 し

(６) と な り,第

１式 が 成 り立 つ.さ

ら にf=x3に

対 し

(７) f=x4,f=x5,…

に 対 し て も 同 様 で あ る.ｆ

成 り立 つ こ と も同 様 に し て 示 さ れ る.さ

がpnの

形 の と き に(５)の

ら にｆ がpnとxmの

第 ２式 が

両 方の積 の場 合 に

(５)が 成 り立 つ こ と も示 せ る が 証 明 は 略 す.

 代数的関係式  α,βを ｐ と ｘ の 関 数 と し,次 の 代 数 的 関係 式 を満 た す 括 弧 式(α,β)を 考 え る.

(８)

この と き (９)

が成 り立 つ こ とが 示 され る.   【交 換 子 】 α,β を運 動 量 と座 標 の 演 算 子ｐ とｘ の 関 数 と し,そ の 交 換 子(あ

るい は これ に定 数1/i〓 を掛 け た もの)を 括 弧 式 とす れ ば,上

の代数 的 関数式 は

す べ て 満 た され る.す な わ ち

(10) と す る こ と が で き る.特

に α=x,β=p=（〓/i)∂/∂xと

す る と き は,(10)に

よ り

交 換 関係

(11) が 成 り立 つ.多 は,交

数 の 座 標x1,…,xf,こ

れ に 共 役 な 運 動 量p1,p2,…,pfが

ある とき

換 関係

が 成 り立 つ.   【ポ ア ソ ン 括 弧 式 】 α,β をｐ,ｘ の 関 数 と し

とす れ ば,上 の 代 数 的 関 係 式 が 満 た さ れ る.こ

の 式 を ポ ア ソ ン括 弧(式)と

い

う.

Tea

Time

 虚 数 ・複 素 数   数 の う ち で 最 も基 本 的 な の は,自 の 整 数 ０,１,２,…,-1,-2,… ば1/2,2/3,… 1.414…

然 数 １,２,３,…で あ る.こ

が 考 え ら れ,さ

） が 考 え ら れ,有

理 数 で な い 数 と し て 無 理 数(た

…,π=3.14159…,e=2.71828…

  他 方 で,代

数 方 程 式(た

の 便 宜 の た め に,虚

とえ

と え ば,√2=

等 ） が 考 え ら れ た.

と え ばx2+1=0等)の

数i=√-1や

れ を拡 張 して 正 負

ら に こ れ ら を 用 い て 有 理 数(た

複 素 数a=ibが

算 の 便 宜 の た め と い う だ け で な く,オ

解,あ

るい は 解 を 求 め る 途 中

用 い ら れ る よ う に な っ た.計

イラーの公式

は最 もひ ろ く使 わ れ る もの で あ る.実 部(cosφ)を

横 軸 に,虚 部(isinφ)を

縦

軸 に とっ た ガ ウ ス 平 面 で,ψ は 点eiφ の 偏 角 を表 す.複 素 平 面 や 複 素 解 析 は流 体 力 学 や 電 磁 気 学 に お け る等 角写 像 を は じめ,物 理 学 の す べ て の 分 野 で ひ ろ く用 い られ て い る.   量 子 力 学 に お い て も,基 礎 に な る交 換 関係,px-xp=〓/iに 虚 数ｉ が 含 まれ て い る こ とか ら もわ か る よ う に,複 素 数 を 用 い るの は本 質 的 な こ とで あ る.こ れ か ら,運 動 量ｐ は(〓/i)∂/∂x,速度 はv=（1/m)[(〓/i)∂/∂x-eA］(Ａ

は ベ ク トル ポ

テ ン シ ャル)で 表 さ れ る こ とに な る.   波 動 関 数φ の 絶 対 値 の ２乗φ*φ は確 率 を表 す が,こ れ はφ の もつ 情 報 の 一 部 で あ っ て,そ の 水 面 化 でφ の 実部 や 虚 部 は シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 に よ っ て 運 動 す る.そ の 時 間 変 動 は,や

は り虚 数 を 含 む 演 算 子i〓 ∂/∂tによ っ て 規 定 され

る の で あ る.こ の よ う に(特 別 な場 合 を除 き),量 子 力 学 は 虚 数 な し に は 成 立 し な い.   複 素 数 とい うの は,２ つ の数(実 部 と虚 部)を 合 わ せ た もの で あ る.波 動 関 数 が 複 素 数 で あ るの で,シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は,２ つ の 方 程 式 か ら な る連 立 方 程 式 で あ る と もい え る.力 学 的 な ポ テ ン シ ャルU(x)が

実 数 で あ る体 系 の 定 常

状 態 を記 述 す る シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 に は虚 数 は現 れ な い か ら,エ ネ ル ギ ー 固 有 状 態 の 波 動 関 数 は実 数 だ け で よ い(純 虚 数 で あ っ て も よ い).シ

ュレー デ ィ

ンガ ー 方 程 式 は 波 動 関 数φ に 対 して 線 形 で あ るか ら,エ ネ ル ギ ー 固 有 値 の 等 し い 波 動 関 数 を加 えた り引 いた り(線 形 結 合)す

る こ と もで き る.は じ め に エ ネ ル

ギ ー 固 有 状 態 だ け を 扱 っ て い た シ ュ レー デ ィ ンガ ー は,波 動 方程 式 を解 くの に便 宜 上 複 素 数 を用 い て も,そ の 実 部 あ る い は虚 部 を とれ ば い い と思 っ て い た ら し い.   しか し電 磁 場 を考 え る と,シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は一 般 に虚 数 を含 む こ と に な る.こ の と き波 動 関 数 をφ=Aeiφ

と書 く と,実 部 と虚 部 の 位 相 差 δが 体 系

の 情 報 を担 う こ とに気 が つ く.や は り波 動 関 数 は,一 般 に複 素 数 な の で あ る.

 第24講  量子 条 件 とポ ア ソ ン括 弧

―テー マ

◆ 振 動数 条件 ◆ 量 子条件 ◆ ポア ソ ン括弧 ◆Tea Time:交 換関 係

 対 応 原 理   ボ ー ア の 水 素 原 子模 型 の 理 論 は,古 典 力 学 に これ と矛 盾 す る よ うな ２つ の条 件 を つ け た,い わ ば木 に竹 をつ い だ よ うな理 論 で あ っ た.こ

の理 論 の後,ボ

ーアは

古 典 力 学 と量 子 論 と の 関 係 を 考 察 し,こ れ ら の 間 に橋 を か け る 努 力 を した. 対 応 原 理 と よ ばれ る もの で あ る.こ

こで は ボ ー ア の考 え その ま まで は な い が,こ

れ と関 係 が あ る事 物 を い くつ か 説 明 す る こ と にす る.対 応 原 理 は,ハ イ ゼ ンベ ル クの 行 列 力 学 を誕 生 させ た点 で も重 要 で あ る.   ボー ア は,水 素 の 原 子 核 を まわ る電 子 の 軌 道 は,量 子 条 件 (１)

に よっ て 与 え られ る と した.ま た,量 子 数ｎ の 軌 道 か らn'の 軌 道 へ 電 子 が 移 る と きに は (２)

に よ っ て与 え られ る振 動 数νn,n'の光 を 出す と した(振 動 数 条 件).   他 方 で,古 典 電 磁 気 学 に よ れ ば,電 子 が 振 動 数ν で振 動(あ

る い は軌 道 運 動)

を し て い る と,振 動 数ν の 光 が 放 出 され る.単 純 に考 えれ ば,ボ

ー ア の軌道 運

動 の 振 動 数 と,水 素 原 子 の 出 す 光 の 振 動 数 が 一 致 す る だ ろ う と予 測 され る か も し れ な い が,こ

れ ら は共 に約1015/s(第

４講 のTea

Time参

照)で

程 度 は一 致 す

る もの の,実 際 に は その よ うな簡 単 な関 係 は な い.   しか し,こ れ は水 素 原 子 の軌 道 が,古 典 的 な ス ケー ル に比 べ て あ ま りに も小 さ い か らで あ っ て,軌 道 半 径 の大 きな 運 動 を考 えれ ば,古 典 電 磁 気 学(古

典 力 学)

が成 り立 つ ので は な い か と思 わ れ る.   こ こで,周 期 運 動 に対 し て (３)

とい う量(作

用 変 数)を

と る と,古 典 力 学 で は作 用 変 数Ｊ と角 変 数 ω と い う も

の が 共 役 な 力 学 変 数 で あ っ て,エ ネ ル ギ ー Ｅ も こ れ らの 関 数 で あ る.そ の 上, 周 期 運 動 の 振 動 数ν は,古 典 力 学 に よれ ば (４)

で 与 え ら れ る.   量 子 論 で は 古 典 力 学 の 対 応 は(１),(３)と(２),(４)か

ら (５)

と考 え られ るか ら,(２)は

正 に(４)に 対 応 す る こ とに な る.ボ ー ア の 水 素模 型 で

は,量 子 数 ｎの 大 き な 軌 道 で は エ ネ ル ギ ーEnが

密 集 し て い る か ら,差 分(En

-En'）/hは,微 分 ∂E/∂Jに対 応 す る と考 え るの は きわ め て 自然 で あ る.

 量 子 条 件   古 典 力 学 に お い て,振 動 数ν の 周 期 的 な 運 動 を す る粒 子 の 運 動 量ｐ と座 標ｑ は,高 調 波(振 動 数sν)を

用 い て(s=0,±1,±2,…

）

(６)

の よ う に展 開 で き る.こ れ を 用 い て 作 用 変 数Ｊ を 書 く と

(７)

と な る.積

分 は １周 期(t=0∼1/ν)に

つ い て お こ な う.こ

の とき

(８)

に注意す る と (９)

これ をＪ で偏 微 分 す る と

(10) た だ し,右 辺 第 ２項 で ｓを −sと 書 きか え た.こ

こ ま で は古 典 力 学 の式 で あ る.

  この 古典 力 学 の式 か ら量 子 力 学 の式 を導 き 出 そ う とい う こ とな の で あ る が,こ れ は合 理 的 に で きる もの で は あ りえ な い(合 理 的 な処 方 箋 が あ るの な ら ば,古 典 力 学 だ け で す ませ て,量 子 力 学 の 式 は す べ て こ こか ら導 け る こ と に な っ て し ま う).そ

こで,手 品 的 な トリ ック を使 う.

  古 典 力 学 で は,ｐ,ｑ

が ふ つ うの量 で あ る の に対 して,量 子 力 学 で は,ｐ,ｑ

行 列 で あ る と考 え る.そ え,上 式 右 辺 第 １項 で は

は

し て た と え ばpsの 添 字 ｓを ２つ の 添 字 γ,α で お き か

(11) と し,さ

ら に,振

動 数 条 件(２)と

同 様 にdJ→hと

して

(12) と 書 き 直 す.こ

こ でsνtあ

る い は ｓが 角 変 数 に あ た り,∂ps/∂Jは

し た 偏 微 分 で あ る こ と を 考 慮 し て,pr,α 進 め た も の を,−s∂ps/∂Jと

の 添 字 γ と α を,共

し て 用 い た の で あ る.同

様 に(10)の

角 変 数 を不 変 に

に −s=α

− γだ け

右 辺 第 ２項 で も

(13) と す る． さ ら に(12),(13)を

行 列 の α番 目 の 対 角 成 分 と解 釈 す る と,(10)の

成分 は

(14) と な る.こ

こ で 右 辺 第 ３項 で は2α − γ=γ',γ=2α

− γ'と い う 書 き か え を し た.

さ ら に 第 １項 と 第 ３項 は 打 ち 消 し合 う か ら 上 式 は

(15) と な る(こ れ は対 角 行 列 の α成 分 に つ い て の 式 で あ る).   した が っ て,量 子 条 件

(16) は,行

列q=（qα,β),p=（pα,β ）に 対 す る 量 子 力 学 の 交 換 関 係

(17) に対 応 す る こ とが 示 され た.

α

ポ ア ソ ン括 弧   古 典 力 学 に お い て,qjとpj(j=1,2,…,f)を と運 動 量 と し,Ｐ

自由度 ｆ の力 学系 の 共 役 な座 標

と Ｑ を これ らの 関 数 とす る と き

(18) をポ ア ソ ン括 弧 とい い,こ

れ を 用 い る と運 動 方 程 式 は

(19)

な ど と書 け る(Ｈ

はハ ミル トニ ア ン).ポ

ア ソ ン括 弧 は解 析 力 学 で 大 変 重 要 な も

の で あ る.   ポ ア ソ ン括 弧 が,量 子 力 学 の 交 換 関係 と関 係 づ け られ る こ と(対 応 関 係)を

示

そ う.簡 単 の た め 自 由 度 を １と し,共 役 な 量 と し て 角 変 数 ω と作 用 変 数Ｊ を使 う こ とに す る.   まず 古 典 力 学 に お い て ポ ア ソ ン括 弧 を

(20) と す る.前

節 と 同 様 に し て(ω=νt)

(21)

とお く と

(22) こ こで 前 節 と同様 に

(23)

とお きか え,(20)の

両 辺 を行 列 に対 応 させ る と α,β 成 分 は

(24) と な る が,さ

らに

(25)

とお きか え る と,上 式 は前 節 と同 様 な計 算 の結 果

(26) とな る.  ｑ とｐ が 共 役 な座 標 と運 動 量 の対 で あ る とす る と,古 典 力 学 で は

(27) が 成 り立 つ.量

子 力 学 に 移 行 す る に は,(q,p)=1は

辺 の１ は 単 位 行 列1=(δα,β)で

行 列 の 方 程 式 と 解 釈 し,右

あ る とす る.

(28) とす るの で あ る.す る と これ に対 応 して,量 子論 で は交 換 関 係

(29) が 成 り立 つ こ とに な るわ け で あ る.

 

Tea

Time

 交換 関係   調 和 振 動 子 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 の計 算 は,最

もわ か りや す い例 で あ るが,シ

ュ

レー デ ィ ンガ ー の 波 動 方 程 式 の 方 法 とハ イ ゼ ンベ ル ク の行 列 力 学 の 方 法 は,一 般 に全 く同等 な結 果 を与 え る.そ の理 由 は,シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー 自身 に よ っ て 明 ら か に され た.あ

る問題 に対 して,シ

ュ レー デ ィ ン ガ ー の 方程 式 の 解 き方 が わ か れ

ば,ハ イ ゼ ンベ ル クの 行 列 の計 算 は た や す くで き る し,そ の 逆 も い え る.そ れ は い わ ば １つ の 問題 を幾 何 学 的 な 方 法 で解 くか,代 数 的 な 方法 で 解 くか と い う よ う な もの で あ る.   デ ィ ラ ック の量 子 力 学 もハ イ ゼ ンベ ル ク の も シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー の も,具 体 的 な 問 題 に適 用 す れ ば 同 等 な結 果 が 得 られ る.い ず れ の場 合 で も,古 典 力 学 か ら量 子 力 学 へ の移 行(す

な わ ち量 子 化)を

とい う交 換 関 係 で あ る.デ

ひ きお こす も とに な る の は

ィ ラ ッ ク の 理 論 で は,ｐ

えた 積 が ち が っ た も の に な る,Px≠xpと よば れ る)数 で あ る.ハ

とｘ は非 可 換 性(順

序 をか

い う性 質)の 代 数 に し た が う(ｑ 数 と

イ ゼ ンベ ル クの 場 合 は,ｐ とｑ は行 列 で あ り,シ ュ レ ー

デ ィ ン ガ ー の 場 合 に はｘ は た だ の 数 で,ｐ は微 分 す る演 算 子p=（〓/i)∂/∂xで あ る(第26講

参 照).

 第25講  行

列

力

学

―テー マ

◆ ユニ タ リ変換 ◆ 行 列力 学 ◆ 固 有値 ◆Tea Time:順

序 の交換

 運動方程式   行 列 力 学(マ

ト リ ック ス 力学)で

は,物 理 量 を す べ て 行 列 で あ る と考 え る.こ

れ を太 文 字 でＡ な ど と表 す こ とに し よ う.括 弧 式 は この と き (１)

と書 か れ,特

に座 標 ｑ と これ に共 役 な運 動 量 ｐ に対 して は (２)

とす る.こ

こ で １ は 対 角 成 分 が １で,他

  ハ ミ ル トニ ア ン(エ

ネ ル ギ ー)を

Ｈ

の 成 分 は ０の 行 列 で あ る. とす る と

(３)

で あ り,行 列 力 学 に お け る運 動 方 程 式 は 古典 力 学 の場 合 と同 じ形 の 式

(４)

で 与 え ら れ る.一

般 にｑ,ｐ の 関 数A=A（q,p,t)に

関 す る運 動 方程 式 は

(５)

で与 え られ る.   行 列 力 学 にお け る基 本 法 則 は,交 換 関 係(２)と 運 動 方 程 式(４)で あ る.こ れ ら の 関係 を 満 足 す る行 列 が 求 め られ れ ば,こ れ は この運 動 の 解 で あ る.し か し この 解 は一 義 的 で はな い.そ れ は,時 間 に無 関 係 な行 列 Ｓ で 逆 行 列 Ｓ-1を とれ ば (６)

も(２),(４)と

同 じ交 換 関 係 と運 動 方 程 式 を満 足 す る こ とが 示 され るか ら で あ

る.   行 列 Ｓ の行 と列 と を と りか え,各 成 分 の複 素 共 役 数 を と った も の を Ｓ の エ ル ミー ト共 役 とい い,S+で

表 す.行 列 Ｓ が逆 行 列S-1を

い と き,こ れ は ユ ニ タ リ行 列 と い い,(６)を

もち,そ

れ がS+に

等し

ユ ニ タ リ変 換 とい う.量 子 力 学 で は

変 換(６)を ユニ タ リ変 換 に 限 るの が ふ つ うで あ る.   行 列Ａ の ユ ニ タ リ変換 を成 分 で 書 け ば (７)

とな る.   特 に ハ ミル トニ ア ンＨ が 対 角 行 列 Ｅ とな れ ば,そ

の対 角 成 分 は エ ネ ル ギ ー

固 有 値 を与 え る.   も し もハ ミル トニ ア ン Ｈ が 非 対 角 型 に求 め られ た と き は,こ れ を対 角 化 す る 行 列 を Ｓ とす る と き

(８)

と な る.Ｈ

が 求 め ら れ た と き,こ

の 式,あ

る い はSH=ES,す

なわ ち (９)

を 解 い て,Ｓ

と エ ネ ル ギ ー 固 有 値(E0,E1,…

）が 同 時 に 求 め ら れ る.

 調和振動子   行 列 力 学 で運 動 を解 く具 体 的 な例 と し て,最

も簡 単 な調 和 振 動 子(単 振 動)の

場 合 を 示 そ う.   ハ ミル トニ ア ン は

(10) で あ る.運 動 方 程 式 は

(11)

こ こで

(12) を導 入 す る と

(13) ま た,変

換 関 係 ｑp-pq=i〓1に

より

(14) した が って

(15) とな って

(16) と 書 け る.エ

ネ ル ギ ー 固 有 値 をE0,E1,…

と し, Ｈ を 対 角 線 的 に す る 表 示 を と れ

ば

(17)

と な る.  Ａ,Ｂ

は,(13),(15)を

解 い て 求 め な け れ ば な ら な い が,こ

を 示 す こ と に し よ う.Ａ, Ｂ

こで は結果 だ け

の 簡 単 な と り方 は

(18)

と す る こ と に よ っ て(13),(15)が

満 た さ れ,(18),(17)か

ら

(19) を与 え る.こ れ が 調 和 振 動 子 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 で あ る.   な お,こ の 表 示 に お い て

(20)

こ れ が 交 換 関 係qp-pq=i〓1を

満 た す こ と は,直

 

Tea

接 確 か め ら れ る.

Time

 順序 の交換   ふ つ う の 数ａ,ｂ

の 間 の 関 係 式a+b=b+a,ab=baな

も 結 果 は 同 じ で あ る.デ 古 典 的(classical)の

ィ ラ ッ ク は こ の よ う な 数 を ｃ数 と 呼 ん だ.ｃ

と い うの は

で は,ab≠ba,す

な わ ち積 の 順 序 を変 え る とち が っ た

ィ ラ ッ ク の 命 名 で は こ の よ う な 量 は ｑ 数 と よ ば れ る.ｑ

は 量 子 論 的(quantum）   日 常 の 世 界 で は,順 が 多 い し,命

序 を変 え て

略 で あ る.

  こ れ に 対 し て 行 列ａ,ｂ も の に な る.デ

どで は,順

とい う の

の 略 で あ る. 序 の 大 切 な こ と,順

に か か わ る こ と も あ る.熱

序 を と りか え た ら 意 味 が な くな る こ と

い 風 呂 を う め て か ら 入 る の と,入

ってか

らう め る の とで は大 変 話 が ちが う とい うわ け で あ る.家 具 な ど を い くつ か の ね じ で 組 み立 て る と き,順 序 を ま ち が え る とや り直 し を しな けれ ば な らな い こ と もあ る.   日常 の こ とで順 序 とい うの は,ほ れ ひ と り,あ

とん ど時 間 的 な順 序 で あ る.「 お 山 の 大 将 わ

とか ら くる も の つ きお とせ 」 で あ る.時 間 が不 可 逆 な の と同様 に,

順 序 も不 可 逆 で あ る.む

し ろ 時 間 と は,も の ご との 順 序 で あ る とい う こ と で あ

る.   これ に対 し て,数 学 で い う順 序 は 時 間 で は な い.時 間 的 で な い 事柄 は 日常 生 活 で は少 な い の だ が,初 る こ とに よ ってab=baが

等 的 な数 学 を 学 習 す る段 階 で は,少 な い例 をた く さん挙 げ あ た り前 だ と思 い込 ませ て い るの だ ろ うか.

  算 数 の で き な い子 供 が 多 くな っ て い るの で は な い か とい う記事 を新 聞 な どで 読 む と き に,こ の よ うな余 計 な こ とを考 え て し ま うの で あ る.

 第26講  行 列 力学 と波 動 力学 の 関係

―テー マ

◆ 波動 方程式 ◆ 固有 関数 の完全 性 ◆ 運 動 方程式 ◆Tea  Time:ハ

イ ゼ ンベ ル ク

 行 列 表 現   シ ュ レー デ ィ ン ガ ー方 程 式 か ら,行 列 力 学 の 運 動 方 程 式 を導 くこ とが で き る. これ に よ っ て 波 動 力 学 と行 列 力 学 の 関 係 を示 す こ とに し よ う.   シ ュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式 と波 動 関 数 を

(１)

と す る.こ

こ でEn,ψnは

固 有 値,固

有 関数で あって

(２)

こ こ で,δ(x'-x)は

任 意 の 関 数ｆ に 対 し て

(３)

と な る よ う な 関 数(超

関 数)で

あ る(x'→xで

ち が う と ０に な り,〓

非 常 に大 き く,x'とｘ

がわず か

に な る関 数 の 極 限 と して 考 え て お く).

この （３)は 完 全 性 の 条 件 で あ り,こ れ が 満 た され て い る と仮 定 す る.   こ こ でｘ と ｐ の 行 列 表 現 と して

(４)

を導 入 す る と

(５)

に規 格 化 され て い る もの とす る.   さ らに 固 有 関 数 ψnの 集 ま りの 完 全 性 を仮 定 す る.完 全 性 とは任 意 の 関 数 を (６)

の よ う に,ψnで

展 開 で き る と す る こ と で あ る.こ

の と き(５)に

より

(７)

し たが っ て

(８)

よって

(９)

同様 に (10) よって

(11) こ れ は,行

列xmnとPmnを

そ れ ぞ れ 成 分 と す る行 列

(12) の間 に交換関係 (13) が 成 り立 つ こ とを意 味 す る.

 運動方程式  (４)を 時 間ｔ で微 分 す る と

(14) 同様 に

(15) これ らを行 列 の 形 で 書 く と

(16)

とな り,こ れ ら は行 列 力 学 の運 動 方 程 式 に ほか な らな い.

 

Tea

Time

 ハ イ ゼ ンベ ル ク   大 きな 仕 事 を した学 者 が どの 家 に 生 ま れ,ど

うい う環 境 の も とで 育 っ た か,遺

伝 的 お よび 後 天 的 な影 響 は ど う か な ど とい う こ と は,誰 で も知 りた い と こ ろだ ろ う.量 子 力 学 は ほ とん ど ヨー ロ ッパ で つ く られ た の で あ っ た が,そ

の時代 には ２

つ の あ い つ ぐ世 界 大 戦 が,ヨ ー ロ ッパ を と こ とん まで いた め つ けた 時 代 で も あ っ た.第

１次 大 戦 で は ドイ ツ とオ ー ス ト リア ・ハ ンガ リー 帝 国 が崩 壊 し,急 速 に イ

ン フ レ が進 行 して,共 産 化 をお それ た財 界 が ナ チ ス に荷 担 した こ と も あ っ て,第 ２次 大 戦 へ と暴 走 し て し まっ た.こ

の お そ ろ し い 時 代 が,量

子 力 学 の 発 達 した 時

期 と重 な っ て い る ので,量 子 力 学 の創 造 ・発 展 に 貢献 した 人 た ち に及 ぼ した戦 争 の 重 た い影 響 の こ とを考 え ざ る を え な い.す ガ ー の 場 合,彼

で に述 べ た よ う に,シ

ュ レー デ ィ ン

の 幸 福 だ っ た 家 族 は ドイ ツ ・オ ー ス ト リア の 崩 壊 と共 に 消 え 去

り,イ ン フ レに 追 い打 ち され て 数 ヶ月 の 間 に何 度 も職 を変 え,ヒ

ッ トラー を き ら

っ て ア イ ル ラ ン ドの ダ ブ リ ン まで さ ま よわ な けれ ば な らな か った.そ

して,オ

ー

ス ト リアへ 帰 っ た の は,死 の直 前 だ っ た の で あ る.   多 くの人 た ち が,ド イ ツ圏 か らア メ リカ や イ ギ リス へ逃 げ た.ボ ー ア も イ ギ リ ス へ逃 れ,さ らに ア メ リカへ 渡 っ て,戦 後 に よ うや くコペ ンハ ー ゲ ン へ戻 っ た. ボ ル ン も イ ギ リス へ 渡 り,戦 後 に ドイ ツ へ帰 った.ア の プ リン ス トン へ移 っ た.

イ ン シ ュ タ イ ン は ア メ リカ

  しか し プ ラ ン ク とハ イ ゼ ンベ ル ク は,第

２次世 界 大 戦 中 ドイ ツ に留 ま っ た.ド

イ ツ の物 理 学 界 を代 表 す る立 場 に あ っ た プ ラ ン ク は,ヒ

ッ トラ ー の お そ ろ しい振

舞 い を や め させ よ う と した が,相 手 に さ れ な か った 上 に,息 子 を殺 され,自 分 自 身 も ソ連 軍 と ドイ ツ軍 の戦 線 の 間 に は さ まれ て,あ や う く命 を お とす と ころ を, ア メ リカ 軍 に助 け 出 され る とい うひ ど い 目 に あ った.   ハ イ ゼ ンベ ル ク は ドイ ツ に 留 ま っ て困 難 な 時代 をす ご した が,ド 造 計 画 に 協 力 した とい わ れ て 非 難 もされ た.彼 と しな か った が,古

イ ツ の原 爆 製

は 自己 弁 護 的 な発 言 を い さ ぎ よ し

き よ き ドイ ツ と ドイ ツ人 を 心 か ら愛 して い た と思 わ れ る.ハ

イ ゼ ンベ ル ク夫 人 は彼 の死 後 に,夫 に対 す る誤 解 を い く らか で も解 きた い気 持 ち に 動 か さ れ て,「 ハ イ ゼ ン ベ ル ク の 追 憶 」 を 書 い て い る(山 崎 和 夫 訳,み 房).  ハ イ ゼ ンベ ル ク(Werner まれ た.父

Heisenberg,1901−1976)は,ヴ

は ミ ュ ンヘ ン大 学 で 学 び,ミ

開 き,終 生 そ の主 任 教 授 を つ と めた.ヴ

すず 書

ェ ル ツ ブ ル クで 生

ュ ンヘ ン大 学 の 近 代 ギ リ シ ャ語 の 講 座 を ェ ル ナ ー は,ミ

ュ ンヘ ン大 学 で ゾ ン マ ー

フ ェ ル ト教 授 の下 で 学 ん で か ら,コ ペ ンハ ー ゲ ンの ボー ア に つ い て研 究 を は じめ た.行 列 力 学 の端 緒 を つか ん だ1925年

に,彼

は23歳 で あ っ た.

 第27講  作 用 積 分 と波 動 方程 式

―テー マ

◆ 位 相 と ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 ◆ 作用積 分 ◆ 経路 ◆Tea

Time:デ

ィ ラ ッ ク,そ

の他 の こ と

 〓 →0の

と き

 物 質 波 ψ の 波 長 を λ,振 動 数 をν と し,こ の 粒 子 の運 動 量 をｐ,エ

ネル ギ ー

を Ｅ とす る と

(１)

と書 き直 せ る.運 動 量 とエ ネル ギ ー は (２)

であ り

(３)

は ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 とよ ば れ る もの で あ る.ま た (４)

は作 用 積 分,あ

る い はハ ミル トンの 主 関 数 とい う.

  粒 子 の 時 刻t0に お け る 位 置 をx0,時 x(t)を 結 ぶ 任 意 の 曲線(経 路)に

刻ｔ に お け る位 置 をｘ と し て,x0(t0)と

つ い てS(t0,t） を求 め て 物 質 波 をつ く り,こ れ

を経 路 につ い て加 え合 わ せ る と (５)

が 時 刻ｔ,位 置 ｘ に お け る波 動 関 数 を与 え る と考 え られ る(た だ し経 路 に つ い て加 え合 わ せ る方 法 な ど につ い て は,後 で くわ し く考 え る こ とにす る).   経 路 の ちが う波 はた が い に干 渉 す る の で, 定 数〓 を非 常 に 小 さ い と み なせ る状 況 に お

図35  作 用積 分 い て は,(x,t）

平 面 の ほ とん どい た る と こ ろ で 波 は 干 渉 の 結 果 打 ち 消 し合 っ て

し ま う だ ろ う.そ

し て波が 残 る の は,〓が停留値

に な る と 考 え ら れ る.こ

の 経 路 は,し

を と る よ う な経路

だ け

たが って

(６)

で 与 え られ るが,こ

れ は古 典 力 学 に お け るハ ミル トン原 理 に ほ か な ら な い.す な

わ ち,こ の 変 分 方程 式 は ラ グ ラ ンジ ュの 運 動 方 程 式 (７)

あるいは

(８)

を与 え る の で あ る.

 波動方程式   時 刻tkに

お け る 波 動 関 数 を ψ(xk） と し,こ

け る 波 動 関 数 を ψ(xk+1)と

れ に 接 近 し た 時 刻tk+1=tk+ε

す る.(xk,tk)と(xk+1,tk+1）

にお

を結 ぶ 経 路 に つ い て 作 用

積 分 を

(９)

と お き,ψ(xk+1,tk+1)ガ

（10)

で与 え られ る と,そ の 時 間 的 変 化 は

(11) す な わ ち シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 で 与 え ら れ る.た

だ し

(12) と す る.   【証 明 】 

tk=t,tk+1=t+ε,xk+1=x,xk=x-ξ

と書

く と

(13)

と な る.こ

こで

(14) で あ る.こ

こで

(15) なの で

(16) こ こで フ レネ ル 積 分 の公 式 に よ り

(17) で あ る.し

た が って

(18) とお け ば

(19)

と な る.故

に,ε →0の

極 限 に お い て1/α2,1/α4,…

の 項 は無 視 で き て

(20) あるいは

(21) と な り,(11)が

得 ら れ る.

 

  デ ィ ラ ッ ク,そ

Tea

Time

の他 の こ と

  この 頃 は物 理 学 が 小 さ な分 野 に分 か れ て い る し,物 理 学 者 の 数 も飛 躍 的 に増 え て し ま った.こ い か な い.す

れ は物 理 学 が盛 ん に な っ た た め で もあ るが,一 概 に喜 ぶ わ け に も こ しち が う分 野 の 人 と交 流 す る こ と もむ ず か し くな っ た し,学 問 が

専 門化 され る に した が っ て,興 味 の あ る こ とは何 で も知 りた い とい う学 問本 来 の 要 求 が 満 た さ れ な くな っ て い るか らで あ る.   私 が 生 まれ た の は,ボ ー ア の 水 素 模 型 の理 論 と ド ・ブ ロ イ の物 質 波 の 理 論 の ほ ぼ 中 間 の 時 代 で あ っ て,ハ イ ゼ ンベ ル クや シ ュ レー デ ィ ンガ ー の 量 子 力 学 が 出 る 前 の こ とで あ る.私 の 先 輩 の先 生 方 は,ボ ー ア や ハ イ ゼ ンベ ル ク の も とで 勉 強 し た 人 が 多 く,こ れ ら大 先 生 につ い て の話 もち ょい ち よい きか せ て い た だ い た.後 輩 で も,素 粒 子 論 な どを専 門 と した 人 の 中 に は,ハ イ ゼ ンベ ル ク な どに 教 わ った りした 方 も何 人 か お られ る.し か し,私 が 量 子 力 学 を勉 強 した 頃 に は,量 子 力 学 は一 応 完 成 さ れ て い て,量 とん どな か っ た(ボ

子 力 学 を つ くっ た天 才 た ち に直 接 お 会 い す る機 会 は ほ

ー ア の 来 日(1937)の

と き は 東 大 で 講 演 を き く こ とが で き

た).   ア イ ン シ ュ タ イ ン生 誕 百 年祭(1979)が 学 に い た.い

あ っ た と き,た

また ま プ リ ンス トン大

い機 会 だ か ら百 年 祭 の講 演 会 場 へ行 こ う と い う こ とに な っ て,数

学 ・天 文 学 教 室 の クル ス カ ル教 授 に つれ られ て,高 級 研 究 所 へ 行 っ た.ウ ィ グ ナ ー の講 演 を き き,デ ィ ラ ッ クの 姿 を遠 くか ら見 る こ と もで きた .会 場 の研 究 所 に は写 真 や ポ ス タ ー が た く さん貼 って あ っ て,ア イ ン シ ュ タ イ ン に つ い て そ れ ま で 知 らな か っ た こ と もい ろ い ろ と知 る こ とが で きた.郵 便 局 へ行 っ て記 念 切 手 を買

い,町

の 通 り で ア イ ン シ ュ タ イ ン ・シ ャ ツ を 買 っ た り し た.

  デ ィ ラ ッ ク は,写

真 で 知 っ て い た よ う に す ら り と し た や せ 型 の 人 で,い

寡 黙 で 考 え 深 い 人 の よ う な 感 じ で あ っ た.そ

か に も

れ は彼 自身 が 書 い た 次 の 文 章 を思 い

出 さ せ た.   「… こ の 頃,日 で し た が,ふ

曜 日 に は １人 で 長 い 散 歩 を し な が ら こ う い う 問 題 を 考 え る 習 慣

と こ ん な 考 え が 浮 か ん だ の も,や

は り散 歩 の 時 で し た.…

」

  彼 は １人 で 静 か に 散 歩 し な が ら も の を 考 え る の を好 ん だ の で あ る.   量 子 力 学 を つ く っ た 人 の な か で,ず

っ と後 の 時 代 だ っ た フ ァ イ ン マ ン は,デ

ラ ッ ク と正 反 対 と い っ て も い い か も し れ な い.彼 を た た くの が 好 き で,酒 得 た と い う の も,彼

ィ

はに ぎや か に ア フ リカ の た い こ

場 の パ ー テ ィ ー で の 会 話 か ら彼 の 量 子 力 学 へ の ヒ ン トを

ら し い 逸 話 で あ る.

  私 が 世 話 に な っ た ノ ル ウ ェ ー の ヴ ェ ル ゲ ラ ン ド(H.Wergeland,1912−1987) 教 授 は,朝

永 振 一 郎 先 生 とハ イ セ ン ベ ル ク の と こ ろ で 短 い 期 間 だ が 一 緒 だ っ た 人

で あ る.ヴ

ェ ル ゲ ラ ン ド さ ん が 大 阪 府 大 で 講 義 を し た と き に,朝

一 緒 に熱 海 で再 会 し

,コ

  ヴ ェ ル ゲ ラ ン ド さ ん か ら,そ 1965)の

論 文 集(２

巻)を

永先生御 夫妻 も

ペ ンハ ー ゲ ン の 昔 話 に 花 が 咲 い た こ と も あ っ た. の 先 生 の ヒ レ ロ ス(E.A.Hyl1eraas,1898−

い た だ い た.こ

れ は1925年

か ら1966年

までの論 文 を

集 め て あ る.   い ろ い ろ な 縁 で イ ギ リ ス の テ ル ・ハ ー ル(Ｄ.ter テ ル ・ハ ー ル さ ん は ク ラ マ ー ス(H.A. 最 近 ク ラ マ ー ス の 論 文 選 集(1925−1946)に く れ た.ヒ あ る の で,ハ 文,共 い.

レ ロ ス も ク ラ マ ー ス も,量

Haar)教

授 と知 り合 っ た が,

Kramers,1894−1952)の

弟 子 で あ っ て,

注 釈 を つ け た もの を 出版 し て 送 っ て

子 力 学 が で き た 頃 か ら仕 事 を し て き た 人 で

イ ゼ ン ベ ル ク の 仕 事 や シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の した 仕 事 に 関 連 し た 論

著 論 文 が これ ら の 本 に 含 ま れ て い る.昔

の時 代 の もので あるが大 変 面 白

 第28講  経

路

積

分

―テーマ ◆ 経路積 分 の核 ◆ 古 典 的 な作 用 積 分 ◆ 自 由粒 子 ◆Tea  Time:ド

・ブ ロ イ

 経 路 積 分   前 講 の 結 果 に よ り,波

動 関 数 ψ(xb,tb)は 初 期 値 ψ(xa,ta)か

ら

(１)

に よ っ て 導 か れ る.こ

こ で Ｋ を 核(積

分 核)と

いい

(２)

た だ しxa=x0,xb=xnと

して

(３)

(ε→0の

極 限 を と る)で

あ る.(２)に

お い て,積

分 は 図36の

領 域 を お お う経 路 に つ い て の 積 分 で あ る の で,(２)は

よ うな

（x,t） 面 の

経 路 積 分 と よ ば れ る.フ

ァ

イ ン マ ン に よ っ て 導 入 さ れ た.(２),(３)を

簡 略 化 して

(４)

と書 く.   前 節 に示 した よ うに,経 路 積 分 の 方 法 は シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー 方 程 式 と同 じ内 容 を もつ が,量 図36 

経 路(ta,xa）

→ （tb,xb）

子力

学 の 問題 を解 い た り,近 似 を求 め た りす るの に も

使 え る.   taとtbの

間 に 時 刻tcを

考 えれば

(５)

が 成 り立 つ.

  自由粒 子  具 体 例 と して,自

由粒 子 の 場 合 を 示 そ う. (６ ）

古 典 的 な経 路 を〓(t)と す る と,自 由粒 子 は一 直 線 上 を進 む の で (７)

した が っ て

(８)

と な る.さ

らに

(９)

と書 く と

(10) そ こで

(11)

と お い て,∫y2dtをｆ(t,t0)の

中に く り こ ま せ る と （５）に よ り

(12)

した が っ て

(13) と求 め ら れ る.

 核 の 固 有 関 数展 開   シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 の エ ネ ル ギ ー 固有 値 をEnと

し,規 格 化 さ れ た 固 有

関 数 を ψn(x)と 書 く と

(14) こ こで,す べ て の 固有 関 数 は直 交 化 さ れ て い る とす る と

(15) で あ り,任 意 の関 数f(x)は

関 数 系 ψn(x)で 展 開 で き る とす る.す な わ ち 完 全 性

(16) が 成 り立 っ て い る とす る.こ

の と き核K(b,a）

は

(17)

で与 え られ る.   【証 明 】  任 意 の 時 刻ｔ の 波 動 関数 を ψn(x)で 展 開 し

(18) と す る.t=taと

す る と

(19) この逆 変 換 は

(20) で あ る.他

方 で,t=tbに

対 して

(21) こ れ は 核 Ｋ を 用 い て(x=xb,x'=xa）

(22) と 書 け る.し

た が っ て(１)と(21)を

  具 体 例 と し て,自

比 べ て(17)を

得 る.

由 粒 子 を 扱 っ て み よ う.

  【自 由 粒 子 】 運 動 量 をp=mv,領

域 を0＜x＜Lと

する と

(23)

で あ る.x=xb,x'=xaと

して

(24) で あ る が,t=tb-taと

書 く と

(25) た だ し,L→

∞ の 極 限 を考 え,ｎ に つ い て の和 をｐ に つ い て の積 分 で お きか え

(26) と し た.書

きかえて

(27) とな るの で,積 分 公 式

(28) によ り

(29) を得 る.こ

れ は(11)と

同 じ で あ る.

 

Tea

Time

 ド ・ ブ ロ イ

  量 子 力 学 の 端 緒 に な っ た プ ラ ン クの 黒 体 転 射 の 式 は1900年 年 に は ア イ ン シ ュ タ イ ン の 光 子 の 説,1913年 れ て い る.こ

う し て量 子 論,原

に提 出 さ れ,1905

に は ボー ア の 水 素 原 子 模 型 が 出 さ

子 模 型 は い ろい ろ な成 果 をあ げ た が,統 一 的 な 量

子 力 学 は な か な か 生 ま れ な か った.難 産 だ っ た わ けで あ る.こ の 間 に,ア イ ン シ ュ タイ ン は1905年 成,そ

に 特 殊 相 対 性 理 論 を提 出 し,1915年

に は一 般 相 対 性 理 論 を 完

の 後 の ア イ ン シ ュ タ イ ン人 気 の過 熱 を別 に して,相 対 論 の 方 は一 応 の決 着

を 見 た わ けで あ っ た.そ

の 間,量 子 論 の方 は つ ぎつ ぎ に現 れ る新 発 見 の 現 象 や,

種 々 の新 奇 で 一 貫 性 を欠 くつ じつ ま あわ せ 的 な考 え方 の応 対 に い と ま な い状 況 が 続 い て い た と い っ て よ いで あ ろ う.   そ うい う と き に,１ つ の 画 期 的 な論 文 が 突 然 出 現 して きた.そ ブ ロイ(Louis

de Broglie,1892−1987)と

れ は ル イ ・ド ・

い う新 参 者 に よ っ て 提 出 さ れ た も の

で あ っ た とい う の も面 白 い.   ド ・ブ ロ イ家 は,18世

紀 以 来 多 くの 有 名 人 を 出 した 貴 族(公

爵)で

あ る.ル

イ ・ ド ・ブ ロイ の兄 モ ー リス ・ ド ・ブ ロイ は,物 理 学 者 で パ リの 大 き な邸 宅 に住 み,そ の 中 に つ く られ た研 究 室 で,Ｘ 線 に 関 す る研 究 を お こな っ て い た.17歳 年 下 のル イ は,歴 史 の勉 強 を して い た が,ソ ル ベ イ会 議 の 世 話 役 を し て い た兄 に 感 化 され て,物 理 学 に転 じた.ち

な み に,こ の 会 議 は ソー ダ工 業 で 財 を な した ベ

ル ギ ー の実 業 家 アー ネ ス ト ・ソル ヴ ェ イ に よ って 創 設 され た 国 際 会 議(第 1911年)で

１回 は

あ る.

  ル イ ・ド ・ブ ロイ は,光 の 二 重 性 にか らむ ジ レ ンマ を深 く考 え た.多 この ジ レ ン マ の解 消 法 を考 えて い るの に対 して,彼

くの人 が

は も う少 し ひ ろ く物 事 を逆 説

的 に考 えた.   光 の 粒 子 説 で は,光 の 粒 子 の エ ネ ル ギ ー をE=hν

と い う式 で 定 義 し て い る

が,純 粋 な粒 子 説 な ら ば,振 動 数ν な ど とい う もの が 含 まれ る は ず が な い.   他 方 で,原 子 の 中 の 電 子 は,ボ ー ア の 理 論 とバ ル マ ー 系 列 の 式 が 明 らか に し て い る よ うに,安 定 な運 動 が 整 数ｎ(量 子 数)に よ って き ま るが,物 理 学 で 整 数 を 含 む現 象 は,波

に お け る干 渉 と規 準 振 動 の 場 合 だ け で あ る.

  この ２つ の事 実 を比 べ る と電 子 の 方 もた だ の 粒 子 と考 え るべ きで は な く,そ れ に は波 の周 期 性 が 付 随 して い る は ず で あ る.こ う い う風 に 彼 は考 えた の で あ る.

 彼 は この 考 え を1923年 に した.ラ

か ら1924年

に か けて 発 表 し,さ らに ま とめ て 博 士 論 文

ンジ ュバ ン(フ ラ ンス の 有 名 な物 理 学 者)は 強 い 印 象 を受 け,そ の写

し をア イ ン シ ュ タ イ ン に送 っ た.ア

イ ン シ ュ タイ ン は,こ の論 文 に は非 常 に重 大

な 発 見 が 含 まれ て い る と い っ て 賞 賛 した.

 第29講  調 和 振 動 子

―テ―マ

◆ 古典 的 な作用 積分 ◆ 調和 振動 子 ◆ 駆 動 され る調和 振動 子 ◆Tea

Time:ア

イ ンシュタ インの疑 問

 古典 的 な経 路  調 和 振 動 子 の ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は (１)

で あ る.古 典 的 な経 路 を〓(t)と す る と き,単 振 動 は (２) と表 さ れ, (３)

したが っ て

(４)

とな るが

(５)

なので (６)

を得 る.  一 般 の経 路x(t)と

古典 的 な経 路x(t)の

差 をｙ とお くと

(７)

した が っ て

(８)

であ り

(９)

こ こで 古 典 的 な経 路 は

(10) を 満 た す も ので あ る こ と,あ るい は部 分 積 分 して

(11) す な わ ち(δyが 任 意 な の で) (12) を満 た す もの で あ る こ と を思 い出 せ ば

(13) と 書 け る.  さらに

(14) と す る ので

（13） の翻

∫（y2-ω2y2)dtはT=tb-taだ

け で き ま り，taに

はよ

らな い の で

(15) と書 け る.そ

して フー リエ 級 数 を用 いてy(t)を

(16) と表 せ ば

(17) 同様 に (18) と な る.   さ て,前

講 の(２)と(11)を

参 照 し てK(T)=f(T)exp(iS古/〓）

と お き,時

間

Ｔ を Ｎ 個 の 微 小 間 隔 ε に 分 割 す れ ば(T=Nε)

(19) と 書 け る.こ

こ でＪ は,積

ヤ コ ビ ア ン で あ る(Ａ

分 変 数 をy(ε),y(2ε),…

も適 当 な 因 子).さ

らに

か らa1, a2,… に 変 え る 変 換 の

(20) し た が っ て,F(T)は

(21) に比 例 す る が,こ

の式 の 右 辺 の第 １の 積 は ω を含 まず,他

せ て あ る定 数 を与 え る.ま た 第 ２の積 は ω を含 み,N→

の 因 子Ｊ やＡ

とあ わ

∞ の極限 で

(22) を与 え る.そ の た め Ｃ を あ る定 数 と し て

(23) こ こで Ｃ は ω に よ ら な い.そ

し て ω→0の

と き経 路 積 分 は 自 由粒 子 の経 路 積 分

とな り,こ れ は す で に求 め た も ので あ る.し た が っ て

(24) であり

(25) と な る.  調 和 振 動 子 に対 す る経 路 積 分 は,全 体 と して

(26)

で 与 え られ る こ と に な る.

 駆 動 され る調 和 振 動子  外 力f(t)が 加 わ っ た調 和 振 動 子 の運 動 方 程 式

(27) に対 す る ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は (28）

で あ る.こ の振 動 子 に対 す る古 典 的 な 作 用 積 分 はT=tb-taと

して

(29)

で 与 え ら れ る(証

明 略).そ

し て 核 Ｋ(b,a）

は

(30) と な る(証

明 略).

 

Tea

Time

 ア イ ン シ ュ タ イ ンの 疑 問   本 書 の 第 ２講 で 述 べ た よ う に,量 子 論 の は じめ て の有 効 な 応 用 は,ア タ イ ン の光 子 の 説(光 電 効 果)で

イン シュ

あ っ た.そ の 後 もア イ ン シ ュ タ イ ンは,何 度 も

量 子 論 あ る い は量 子 力 学 に大 きな 寄 与 を して い る.彼 は ま さ に,量 子 力 学 を創 造 した 人 た ち の １人 で あ る.そ れ に もか か わ らず,彼 こ と に そ の確 率 的 解 釈 に不 満 で あ った.彼

は量 子 力 学 に不 満 で あ った.

は,基 礎 的 な物 理 学 は決 定 論 的 で な け

れ ば な らな い と信 じて い た の で あ る.   1935年 に 彼 は,共 同研 究 者 の ポ ドル ス キ ー と ロ ー ゼ ン と共 に,量 子 力 学 は 不 完 全 で あ る こ と を示 そ う とす る論 文 を提 出 した.彼

らの 名 前 か ら,こ れ をEPR

論 文 とかEPRパ

ラ ド ック ス とか い う.こ れ は デ リ ケ ー トな話 で あ っ て,ア

イン

シ ュ タイ ンの 主 張 は こ うで あ る と簡 単 に述 べ る こ と はで き な い が,そ れ は お そ ら く次 の よ うに い え る で あ ろ う.   空 間 的 な領 域 Ａ と Ｂ が十 分 離 れ て いれ ば,領 域 Ａ で どん な(た と え ば 粒 子Ⅰ の ス ピ ン の 向 きの)測 定 が お こな わ れ よ う と も,そ れ が 領 域 Ｂ に 実 在 す る も の (た と え ば別 の粒 子Ⅱ の ス ピ ン)に 影 響 す る はず が な い― 局 在 的 実 在―.   他 方 で,量 子 力 学 に よれ ば,(粒 て確 認 さ れ る もの で あ る.

子 の ス ピ ン の よ うな)実 在 は測 定 し て は じ め

  し か し,た とえ ば 粒 子Ⅰ と粒 子Ⅱ が 相 互 作 用 し て か ら領 域 Ａ と領 域 Ｂ に別 れ て か ら,領 域 Ａ に お い て お こな った 測 定 結 果 が 領 域 Ｂ の 物 理 的 実 在 に 直 ち に 影 響 を与 え る よ う な 実 験(EPRの

実 験)が

考 え ら れ る.そ の た め,領 域 Ａ と領 域

Ｂ が 十 分 離 れ て いれ ば(局 在 的 実 在 を信 じ る限 り),「 得 体 の知 れ な い 遠 隔 作 用 」 が(場 合 に よ って は光 速 度 よ り速 く)伝 わ る と仮 定 しな けれ ば な らな くな る.こ れ は とん で もな い こ とだ.   これ に 対 して,次 の よ うに い う こ とが で き る.相 互 作 用 を して か ら粒 子 が 遠 く 離 れ て も,そ れ ら は測 定 装 置 と共 に分 け て考 え る こ との で き な い一 体 をな し て い る― 非 局 在 的 実 在―.   こ の よ うな 議 論 は,哲 学 的 で は あ って も物 理 学 的 で は な い か も しれ な い と思 わ れ て きた が,1964年 に ジ ョ ン ・ベ ル とい う人 が,実 験 的 に 可 能 な 検 証 方 法 を 提 案 し た.こ れ に した が って 精 密 な実 験 が お こ な わ れ て,量 子 力 学 が 正 し く,ア イ ン シ ュ タ イ ンの 局 在 的 実在 論 は誤 っ て い る と結 論 づ け られ た ら し い.

 第30講  経 路積分の摂動法

―テ ー マ ◆ 摂動 ◆ 散乱 ◆ 散乱 の微分 断面 積 ◆Tea

Time:シ

ュ レー デ ィ ン ガ ー の 猫

 摂 動 展 開  経路積 分の核 を (１)

と書 こ う.展

開

(２)

を用 い (３) とす る.こ

こ でK0は

自 由粒 子 の 核

(４)

で あ り,K（1）(b,a） は 途 中 で １度U(x)の

影 響 を受 けた 項

(５)

あ るい は

(６)

図37  経 路 積 分 の摂 動

で あ る.こ れ は高 次 の 項 を 打 ち切 っ た 式 で,ボ

ル ン の 第 １近 似 に相 当 す る(第

18講 参 照).   次 の 高 次 の項 は

(７)

ただし (８) で あ り,tc,tdでU(r)の

影 響 を 受 け た こ と を 表 す.

  さ ら に 高 次 の 項 を 全 部 寄 せ 集 め て Ｋu=K0+K(1)+K(2)+…

と す れ ば,こ

れ は

厳 密 に積 分 方程 式

(９)

を 満 足 す る.波

動 関 数 は,t=taに

お い て ψ(a)と す れ ば

(10) で 与 え られ るか ら

(11) とな る.こ の 右 辺 の第 ２項 まで と った の は第 １ボ ル ン近 似,次

の 項 まで とっ た の

は第 ２ボ ル ン近 似 で あ る.   自 由粒 子 に対 し て は

(12) が 成 り立 ち,ポ

テ ン シ ャ ルU(x)が

存 在 す る と き は(９)に

よ り

(13) が 導 か れ,ψ=ψ(b)に

対 し て(t=tb,x=xb)(10)は

シュ レーデ ィンガ ー方程

式

(14) を与 え る.

 散

乱

  原 子 が 原 点 に あ り,こ れ に よ っ て電 子 が散 乱 され る 問題 を,ボ ル ン の第 １近 似 で扱 う こ とに し よ う(第18講

参 照).

 ３次元 的 な 散 乱 で あ る こ とを考 えれ ば,は

じめ に τで 積 分 して

(15) ただ し

(16) (i1,i2は,原

点 か ら そ れ ぞ れR1,R2の

方 向 へ 引 い た 単 位 ベ ク トル)を

得 る.こ

こで

(17) を 用 い た.さ

ら に ｒ に つ い て 積 分 し て(1/r1+1/r2は1/R+1/R2で

お きか えて

よ い と 考 え ら れ る)

(18) ただ し

図38  散 乱 の経 路

図39  散 乱 Ｏ は散 乱体 の中心(原 子核),ｒ 乱 す る位置,i1とi2は

は散

単 位 ベ ク トル.

(19)

で あ る.   散 乱 さ れ た 電 子 の存 在 確 率 は,単 位 体 積 に対 して

(20) で あ る.原

子 に よ る 散 乱 が な い と きR1+R2の

来 る確 率 は,(４)か

距 離 を直 進 した 点 Ｐ の単 位 体 積 に

ら(T=tb-ta)

(21) し た が っ て,T2=(R1+R2)2/v2を

使 っ て

(22) とい う関 係 が 得 られ る.   さて,ａ か ら出 た 粒 子 が ｃに あ る面 積(微 の 中 へ散 乱 され,R2だ

分 断 面 積)dσ

け進 ん で ｂ点 の 面 積R22dΩ

に よ っ て 立 体 角dΩ

へ 到 達 す る数 は単 位 時 間 に

(23) で あ る.他

方 で,こ

来 る と き は,立 が り,そ

の 粒 子 が 散 乱 さ れ ず に ｃ を 通 り,さ

体 角dσ/R12の

ら にR2だ

け進 ん で ｄへ

中 を 進 む の でｄ で は 面 積￨R1+R2￨2・dσ/R12に

ひ ろ

の数 は 単 位 時 間 に

(24) で あ る.(23)と(24)は,共

に ｃに お い て 面 積dσ

が い に等 し くな け れ ば な らな い か ら

を 通 過 し た 粒 子 数 で あ っ て,た

図40  散 乱 の微 分 断 面積 (実際 のdσ は 原子 大)

(25) した が っ て

(26) これ に(22)を 代 入 す れ ば,微 分 断 面 積 と して

(27) を 得 る.こ

こ でN(q)は(19)で

式(26)は,第18講

与 え られ る も の で あ る か ら,こ

の微分 断面積 の

で ボ ル ン 近 似 で 求 め た も の(第18講(32),(29)参

照)と

同 じ で あ る.

  Tea

Time

 シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 猫

  シ ュ レー デ ィ ンガ ー も量 子 力 学 をつ くっ た人 の １人 だ った が,ア

イ ンシュタイ

ン と 同 様 に で き上 が っ た 量 子 力 学 に は 大 変 不 満 足 で あ っ た.彼

は,前 講Tea

TimeのEPR論

文 に刺 激 さ れ て,有 名 な シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 猫 と よ ばれ るパ

ラ ド ック ス め い た 話 を提 出 し た.こ れ は次 の よ うな 話 で あ る.

  猫 を １匹,外

か ら内部 の 見 え な い箱 の 中 に 入 れ る.箱 の 中 に は猫 が さ わ る こ と

が で き な い よ う に した 装 置 が あ っ て,そ の 中 に は微 量 の 放 射 性 物 質 が 入 っ て い る.そ れ は大 変 微 量 な の で,１ 時 間 の 間 に た か だ か １個 の原 子 が 崩 壊 して 放 射 線 を 出 す よ う に加 減 さ れ て い る とす る.も し も崩 壊 が お こ る と,ガ イ ガ ー カ ウ ン タ ー が そ れ を感 知 し,リ レー が はた らい て小 さ なハ ンマ が 動 き,青 酸 カ リが 入 れ て あ る ビ ンが 割 れ て 猫 は死 ぬ が,崩 壊 が お こ ら な い間 は 猫 は生 きて い る.   さて,猫

の状 態(装 置 全 体 で もあ る が)を,量

子 力 学 的 に記 述 す る こ とを考 え

よ う.量 子 力 学 に よ れ ば,猫 の 状 態 は放 射 線 元 素 が まだ 崩 壊 せ ず 猫 が 生 き て い る 状 態 を表 す 波 動 関 数 ψaと,放 射 線 元 素 が 崩 壊 して 猫 が 死 ん で い る状 態 を表 す 波 動 関 数 ψbと の重 ね 合 わ せ で表 さ れ る.は

じ め は 崩 壊 が ま だ お こ ら な い で 猫 が 生 き て い るの で あ るか ら,

Ca2=1,cb2=0で な る の で,ca2は

あ る.時 間 が た つ と崩 壊 が お こ っ て い る確 率 が 次 第 に大 き く 小 さ く な り,cb2が

増 大 す る.つ

ま り,時 間 が １時 間 ぐ ら い た

っ て 猫 が 死 ん で い る確 率 が 次 第 に大 き くな る.し か し猫 は,生

きて い る状 態 と死

ん だ状 態 が 混 じ った 状 態 にお か れ る こ とに な る.   わ れ わ れ の常 識 か らい えば,猫

は生 き て い るか 死 ん で い るか の ど ち らか で あ っ

て,そ れ が 混 じ った 中ぶ ら りん の 状 態 な ん か で あ る は ず が な い.こ れ は量 子 力 学 の確 率 的 解 釈 が,わ

れ わ れ の 常 識 に反 す るパ ラ ド ック ス 的 な もの で あ る と,シ ュ

レー デ ィ ン ガ ー は考 え た の で あ る.   猫 を １匹 ず つ 入 れ た 同 じ装 置 を多 数 用 意 して,同 時 に この よ うな 実 験 を した と 仮 定 し,あ れ ば,生

る時 刻 に い っ せ い に箱 を あ け て猫 が 生 き て い るか ど うか を調 べ た とす

き て い る猫 の 数 と死 ん だ猫 の 数 との 比 は,そ

の 時 刻 に お け るCa2とcb2

の比 に 等 しい こ とが 確 か め られ る で あ ろ う.こ れ は,量 子 力 学 の 正 統 的 な解 釈 に 一 致 す る結 果 で あ る(そ して この 検 証 の瞬 間 に,各 箱 の 中 の猫 の 波 動 関 数 は,生 き て い る状 態 ψaか 死 ん だ 状 態 ψbの ど ち らか に き ま る.こ

れ を観 測 に よ る波 動

関数 の収 縮 とい う).   物 理 的 な 観 測 をす る装 置 は,わ れ わ れ 自身 と同様 に マ ク ロ な もの で,量 子 力 学 的 な対 象 に含 め られ な い と考 え るの が ふ つ うで あ る.し か し,シ ュ レー デ ィン ガ ー の猫 の 場 合 に は,猫 は む りに量 子 力 学 的 な対 象 に含 め られ て し ま うの で,不 思 議 な 問題 が 発 生 す るの で あ る.   これ に対 して,猫

もわ れ わ れ も含 め て,す べ て が 量 子 力 学 に した が う,量 子 力

学 的 な対 象 で あ る と考 え る立 場 も あ る.   この 問 題(観 測 の 問 題)は,い

まで も万 人 が 納 得 す る解 決 に達 して い な い.

索

引

エー レ ン フ ェ ス トの定 理  26  

ア  行

ア イ ン シ ュ タ イ ン  ７,10,165, 171,179,191  ―

の疑 問   184

 ―

の 比 熱 式  ７

虚 数   147

演 算 子   18,22 駆 動 さ れ る調 和 振 動 子   183 オ イ ラ ー の公 式   147  カ 

行

ク ラ ウ ジ ウ ス   133,137 ク ラ マ ー ス   172 ク ー ロ ン 力   123

α 線  47

可 換   77 核(積

分 核)  173

異 常 ゼー マ ン効 果   102

 ―

の 固 有 関 数 展 開   175

位 相 速 度   13

角 運 動 量   76,79

経 路 積 分   173

位 相 の ず れ   127

角 運 動 量 演 算 子   76

 ―

１次 摂 動   95

確 率 的 解 釈   120

ゲ ー ジ原 理   86

井 戸 型 ポ テ ン シ ャル   51

確 率 密 度   20

ゲ ー ジ変 換   86

EPRパ

 ―

ケ ル ヴ ィ ン卿  ８

ラ ドック ス  185

陰 極 線  98

の 流 れ   21

群 速 度   14

経 路   168

の 摂 動   187

カ ー効 果   105

ゲ ル ラ ッハ  92

カ シ ミア 効 果   58

原 子  ２

ウ ィグ ナ ー   171

ガ ー マ ー  99

ヴ ィ リア ル  133,137

ガ モ フ  30

原 子 核   116

ヴ ィ リア ル 定 理   133

完全 性   163

元 素 の 周 期 律  92

ウ ィ ー ン の 式  ３

幾 何 光 学   143

光 学 距 離   143

ウ ィ ー ン の変 位 則  ２

期 待 値   22

交換 関 係   145,147,155

ヴ ェル ゲ ラ ン ド  172

気 体 定 数  ７

交換 性   77

ヴ ェ ン ツ ェ ル ・ク ラ マ ー ス ・ブ

軌 道   71

光子   10,15

軌 道 角 運 動 量  83

光電 効 果  11

逆 問 題   52

光路 長   143

ｑ数155,160

固体 の比 熱  ７

永 年 方 程 式  97

球 面 調 和 関 数   67

古典 的 な極 限   27

エ ッチ バ ー  ３

境 界 条 件   52

古典 的 な経 路   181

行 列 表 現   162

古典 物 理 学  ８

エ ネ ル ギ ー 固 有 値   50

行 列 力 学   156

古典 力 学   168

エ ネ ル ギ ー 準 位  ５

局在 的 実 在 論   185

コ ペ ン ハ ー ゲ ン正 統 派 的 解 釈

エ ル ミー トの 多 項式   56

局所 ゲ ー ジ 変 換   86

 ― の 磁 気 モ ー メ ン ト  92

ウ ィ ル ソン霧 箱  99

リル ー ア ンの 近 似  ６ ウー レ ンべ ッ ク  92

エ ッカ ー トポテ ン シ ャル

63

34

固有 関 数   50

水 素 類 似 原 子   71

電 子 の古 典 的 半 径   85

固有 振 動   52

ス ピ ン  ２,４,80,81,102

電 子 の ス ピ ン  81

固 有 値 方程 式   50

 ―

の 発 見   92

コ ン プ トン散 乱   42  

サ  行

電 子 の発 見   98 電 子 波   13

正 常 ゼ ー マ ン効 果   101 生 命 とは 何 か   75

電 磁 場   91  ―

の 中 の 荷 電 粒 子   88

作用 ４

摂 動   94

作 用 積 分   20,168

摂 動 法   94

透 過 係 数   45

作用量子 ４

摂 動 方程 式   108

動 径 波 動 関 数   71

散 乱   188

ゼ ー マ ン効 果   105

ド ・ブロ イ  178

散 乱 振 幅   118

零 点 運動   57

ド ・ブ ロ イ 波  12

散 乱 断 面 積   114

零 点振 動   57

トー マ ス ・フ ェ ル ミ の 模 型

散 乱 波   117

遷 移 確 率   109

散 乱 微 分 断 面 積   127

遷 移 速 度   111

トム ソン,Ｇ.Ｐ.  99

線 形 結 合   65

トム ソン,Ｊ.Ｊ.  34,98

時 間 的 変 化 の摂 動 法   107

線 形 法則   64

時 間 の 可 逆 性 ・不 可 逆 性   111

線 形 方程 式   31

磁 気 回 転 比   84

全 断面 積   115,129

  130

トム ソン,Ｗ. 

８

朝 永 振 一 郎   84 トン ネ ル効 果   46,47

磁 気 モ ー メ ン ト  83  

ナ  行

磁 気量 子 数   71

相 対 論 的 な量 子 力 学  83

思 考 実験   42

相平面 ５

遮 蔽 さ れ た クー ロ ン力   122

束 縛 状 態   52

シ ュ ウ ィ ンガ ー   84

阻 止 能   130

熱 輻 射  ２

自 由粒 子   174

素領域 ５

 ―

のエ ネル ギ ー密 度   ３

縮 退  78

存 在 確 率   20

 ―

の スペ ク トル  ２

 

 

２次 の摂 動   95

シ ュ タ ル ク効 果   104 シ ュ テ フ ァ ン  73

タ  行

ハ  行

ダ ヴ ィ ッ ソ ン  99

ハ イゼ ンベ ル ク  42 ,165,171 ハ ウ シ ュ ミ ッ ト  92

主 量 子 数   71

超 流 動   57

 ―

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー  73,165,

調 和 振 動 子   ５,54,158

波 束   31

シ ュ テ フ ァ ン ・ボ ル ツ マ ンの法 則 ２

第 １次 大 戦   165

シ ュ テル ン   92

パ ウ リ  92

171,191

の ス ピ ン行 列   84

 ―

の 拡 散   41

定 常 状 態   12

 ―

の 時 間 変 化   39

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー方 程 式

定 数 変 化 の 方 法   107

波 動 関 数   18

 

デ ィラ ッ ク  34,83,125,155,

 ―

 ― の 猫   191

18,52,169

衝 突 の 全 断 面 積   115

160,171

の収 縮   192

波 動 方 程 式  18

衝 突 パ ラ メ ー タ  114

デバ イ の比 熱 式   ７

ハ ミル トン関 数  90

振 動 数条 件   150

デ ュ ー ロ ン ・プ テ ィの法 則   ７

ハ ミル トン原 理   143,168

テ ラー ・ペ ッ シ ェ ル の ポ テ ン シ

ハ ミル トンの 主 関 数   168

水 素 原 子   11,66  ―

の分 極 率   104

水 素 の スペ ク トル   34

ヤル   59

バ ル マ ー 系列   34

テ ル ・ハ ー ル  172

反 磁 性   102

電 子 ス ピ ンの 角 運 動 量   81

反 射 係 数  45

非 局 在 的 実 在   185

変 数 分 離   67

非線 形   64

変分 法   138

  ラ  行 ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数   89,144,

非線 形 振 動 子   59 ヒ ッ トラ ー  165

ボ ー ア   34,149,171

微 分 断 面積   115,190 ヒ レロ ス  172

168,180

 ― の 水 素 原子 模 型   11 ボ ー ア磁 子   84,101

ラグランジュの運動方程式  

ポ ア ソ ン括 弧(式) 

147,153

168

ラザ フ ォ ー ド  34,116,129

フ ァイ ンマ ン  84,172

ボ ー ア 半径   71,72

ラザ フ ォ ー ド散 乱 公 式   116

フ ァウ ラ ー  137

ボ イ ル ・シ ャル ル の 法則   ７

ラ ン ジ ュバ ン  179

フ ァラ デ ー   105

方位 量 子 数   71

フ ァラ デ ー 効果   105

放射 線  47

フ ェ ル マ ー の 原 理   143

ポ テ ン シ ャル 障壁   46

フ ォ トン  11,15

ポ ドル ス キ ー   184

量 子 化 され た電 磁 場   84

不 確 定 最小 の波 束   38

ボ ル ツ マ ン  16,73

量 子 条 件   12,149

不 確 定 性 原 理   32,36,41,57

 ―

量子状態 ５

複 素 数   147

ボ ル ツ マ ン定 数  ７,16

不 思 議 の 国 の トム キ ンス  30

ボ ル ン  120

物 質 波   12

ボ ル ン近 似   118,191

の原 理   16

部 分 波 の 方 法   126

  マ  行

プ ラ ンク  3,15,166  ―

の輻 射 式  88

プ ラ ン ク ・ゾ ン マ ー フ ェル トの

離散的 ５

 ―

マ ト リ ック ス 力学   156

分 極 に よ る電 気 的 双 極 子   102 分 極 率   102,141

レ イ リー ・ジ ー ン ズ の 式   ３

ロ シ ュ ミッ ト  73

ミ リカ ン  99

ロー ゼ ン ・モ ー ス の ポ テ ン シ ャ

モ ー ス ポ テ ン シ ャ ル  61

ロー レ ン ツ   106

ル   62

  ヤ  行 ユ ニ タ リ行 列   157 ベ ル   185

ル ジ ャ ン ドル の 陪 多項 式   68

ロー ゼ ン  184

の 次元   ４

プ リュ ッカ ー  98

量 子 数   12

マ ッハ   73

量 子 条件  ６ プ ラ ン ク定 数   １,16

リー ドベ ル ク定 数   12

ユ ニ タ リ変 換   157

著 者   戸

田

盛

和

   

1917年  東 京に生 まれ る 1940年  東 京大学理 学部物 理学科 卒業

 

現

在 東 京教育大 学名誉 教授  ノル ウェー王立 科学 アカデ ミー会員  理 学博士

物理学30講 シリーズ ８ 量 子 力 学30講 1999年

２月25日

2002年

８月20日

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  初 版 第 １刷  

第 ３刷

著 者 戸

田

盛

和

発行者 朝

倉

邦

造

倉 書

店

株式

発行所  会社 朝

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵便 番号 電

FAX 

〈 検 印 省略 〉 〓 1999〈無 断複写 ・転載 を禁ず 〉  ISBN

4―254―13638―2C3342 

 162-8707

話03 

(3260)0141

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 ◆朝倉物理学大系◆  荒船次 郎 ・江沢  洋 ・中村 孔一 ・米沢 富美 子 編 集 駿 台予備学校 山本 義 隆 ・明大 中 村 孔 一 著

満 を持 して登場 す る本格的教科書。 豊富な例 題 を 通 して リズ ミカルに説 き明かす。本巻 では数学的 準備 か ら正準変 換 まで を収め る。 〔 内容〕 序 章―数 学 的準備／ ラグラン ジュ形式の力学／変分 原理／ ハ ミル トン形式 の力学／正準変換

朝倉物理学大系 １

解

析

力

13671‐4 C3342 

A5判 

学Ⅰ

328頁 本 体4800円

駿台予備学校 山 本 義 隆 ・明大 中 村 孔 一 著

満 を持 して登場す る本格 的教 科書。豊富 な例題 を 通 して リズ ミカルに説 き明かす。本巻 にはポア ソ ン力学か ら相対論 力学 までを収 め る。 〔 内容〕ポア ソン括弧 ／ハ ミル トン‐ ヤ コビの理論／ 可積分 系 ／摂動論／拘束系の正準 力学／相 対論的力学

朝倉物理 学大系 ２

解

析

力

13672‐2 C3342 

学Ⅱ

A5判  296頁  本 体5200円

前阪大長島順 清著 朝倉物理学 大系 ３

素 粒 子 物 理 学 の基 礎 Ｉ 13673‐0 C3342 

A5判 

288頁 本 体4800円

前阪大長 島順清著 朝倉物理学大系 ４

素 粒 子 物 理 学 の 基 礎Ⅱ 13674‐9 C3342 

A5判 

280頁 本 体4800円

前阪大長島順清著 朝倉物理 学大系 ５

素粒子標準理論 と実験的基礎 13675‐7 C3342 

A5判 

416頁 本体7200円

前阪大長島順 清著 朝倉物理学大 系 ６

高 エネ ル ギー 物理 学 の発 展 13676‐5 C3342 

A5判 

376頁  本体6500円

北大新井朝雄 ・学習院大江沢

洋著

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ A5判 

328頁 本 体5500円

北大新井朝雄 ・学習院大 江沢 洋著 朝倉物理 学大系 ８

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅱ 13678‐1 C3342 

A5判  320頁  本 体5800円

東大高 田康民著 朝倉物理学大系 ９

多 13679‐x

体 C3342 

問 A5判 

392頁 本 体6800円

実 験 物 理 学 者 が 懇 切 丁 寧 に 書 き下 ろ した 本格 的 教 科 書。本 巻 はⅠを 引 き継 ぎ,ク オー ク とレ プ トン に つ い て 詳 述 。 〔内容 〕ハ ドロ ン ・スぺ ク トロ ス コ ピ ィ／ クォ ー クモ デ ル ／ 弱 い 相 互 作 用 ／ 中 性 Ｋ 中 間 子 とCPの 破 れ ／ 核 子 の 内部 構 造 ／ 統 一 理 論 実 験 物 理 学 者 が 懇切 丁 寧 に 書 き下 ろ した本 格 的 教 科 書 。 本 巻 は 高 エ ネ ル ギ ー 物理 学 の 標 準 理 論 を扱 う。 〔内容 〕ゲ ー ジ理 論 ／ 中性 カ レ ン ト／QCD／ Ｗ ボ ソ ン／ Ｚ ボ ソ ン／ ジ ェ ッ トの 性 質 ／ 高 エ ネ ル ギ ー ハ ドロ ン反 応 実 験 物 理 学 者 が 懇 切 丁 寧 に 書 き下 ろ し た本 格 的教 科 書 。 本 巻 は高 エ ネ ル ギー 物 理 学 最 前 線 を扱 う。 〔内 容 〕小 林―益 川行 列 ／ ヒ ッ グス ／ ニ ュー ト リ ノ ／ 大 統 一 と超 対 称 性 ／ ア ク シ オ ン／ モ ノ ポー ル／ 宇宙論 量 子 力 学 の デ リケ ー トな部 分 に 数 学 と して 光 を 当 て た待 望 の解 説 書 。 本 巻 は 数 学 的 準 備 と して,抽

朝倉物理学大系 ７

13677‐3 C3392 

実験物理学者が懇切丁寧 に書 き下ろ した本格 的教 科書。本書 は基礎部分 を詳述。 とくに第 ７章 は著 者の面 目が躍如。 〔 内容 〕イン トロダ クション／粒 子 と場／デ ィラック方程式／場 の量子化／量子電 磁力学／対称性 と保存則／加速器 と測定器

題

象 ヒルベ ル ト空 間 と線 形 演 算 子 の 理 論 の 基礎 を展 開 。 〔内容 〕ヒルペ ル ト空 間 と線 形 演 算 子 ／ ス ペ ク トル理 論 ／ 付:測 度 と積 分,フ ー リエ 変 換他

本巻 は Ｉ  を引 き継 ぎ,量 子力学の公理論 的基礎 を 詳 述。 これ は,基 本 的には,ヒ ルベル ト空間に関 わる諸々の数学 的対象 に物理 的概 念 あるいは解釈 を付与す る手続 きである。 〔内容〕量子力学の一般 原理／ 多粒子系／付:超 関数論要 項,等 グ リー ン関数法 に基づ いた固体 内多電子系の意欲 的 ・体系的解説の書。 〔 内容 〕 序／ 第一原理か らの 物性理論の出発点／理論手法 の基礎／ 電子ガ ス／ フ ェル ミ流体理論／不均一密度の 電子ガス:多 体 効 果 とバ ン ド効果の競合 ／参考文献 と注釈

近大西川恭 治 ・広島大森 弘之著 朝倉物理 学大系10

統

計

物

13680‐3 C3342 

A5判 

理

学

376頁 本 体6500円

前東大 高柳 和 夫 著 朝倉 物碑 学 士 系11

原

子

13681‐I

C3342 

分

子 A5判 

物

理

学

440頁  本 体7300円

前九大 高 田健 次 郎 ・前新潟大 池 田清 美 著 朝 倉 物 理 学 大 系18

原

子

13688‐9

核

構

A5判 

C3342 

造

論

416頁 本体7200円

前九大河合 光路 ・前東北大吉 田思郎著 朝倉物理学大 系19

原

子

13689‐7

核

C3342 

反

A5判 

応

論

400頁  〔近

刊 〕

量子力学 と統計 力学の基礎 を学んで,よ リグレー ドア ップ した世 界 をめ ざす人がチ ャレンジす るに 好個 な教科書 … 解説書。〔内容〕熱平衡の統計力学: 準備編／熱平衡 の統 計力学:応 用編／非平衡の統 計力学／相転移 の統 計力学／乱れの統計力学 原子分子 を包括 的に叙述 した初 の成書。 〔 内容〕水 素様原子／ヘ リウム様 原子／電磁 場中の原子／一 般の原子／光電離 と放射再結合／ 二原子分子の電 子状態／二原子分 子の振動 ・回転／多原子分 子／ 電磁場 と分子の相互作 用／原子間力,分 子間力 原子核構造の最 も重要 な ３つの模 型(殻模型,集団 模 型,クラス ター模型)の考察 か ら核構 造の統一的 理解 をめ ざす。 〔 内容〕原子核構造論 への導入／殻 模 型／核力か ら有効相 互作用へ／ 集団運動／ クラ ス ター模型／付:回 転体 の理論,他 核 反応理論 を基礎か ら学ぶ ために,そ の起 源,骨 組 み,論 理構成,導 出の説 明に重 点を置 き,応 用 よ りも確 立 した主要部分 を解 説。 〔 内容〕 序論／核 反応の記述／光学模型／ 多重散乱理論／ 直接過程 ／複合核 過程 一共鳴理論 ・統計理論／非平衡過程

大系編集委貝会 編

21世 紀初 め に 当 り現 代 物 理 学 を俯瞰 す る本 書 は,

朝倉物理学大 系20

日本 物 理 学 会 誌 の 特 集 「50年をか え りみ る」に連 載 さ れ た30編 の 加 筆 ・再 録 と,今 回新 た に書 き下 ろ さ れ た50編 か ら な り,そ の 歴 史が 臨場 感 を もっ て 語 られ.ま た 今 後 を 占 う道 標 とな る もの で あ る

現 代 物 理 学 の 歴 史 13690‐0

A5判600頁

C3342 

東大 小 柳 義 夫 監 訳 法大 狩 野 住友化学工業 善 甫康 成 訳

  〔近 覚 ・法大 春 日

計 算 物 理 学― 13086‐4

A5判 

C3042 

基 礎 編

320頁 本 体4600円

東大 小 柳 義 夫 監 訳 法大 狩 野 住友化学工業 善 甫康 成 訳

覚 ・法大 春 日

計 算 物 理 学― 13087‐2 C3042 

A5判 

刊〕

隆 ・

隆 ・

応 用 編

212頁 本 体4400円

Ｉ.プリゴ ジ ン／ Ｄ.コ ン デ プ デ イ著 前日大 妹 尾 学 ・東海大 岩 元 和 敏 訳

現

代

熱 A5判 

C3042 

力

学

388頁 本 体6000円

名城大槌 田 敦著

熱

学

外

論

 ―生命 ・環境 を含む開放 系の熱理論― 13061‐9

C3042 

A5判 

212頁 本 体3400円

拓殖大後藤尚久著

ポイント 電 13080‐5

C3042 

磁 A5判 

〔内 容 〕メ モ リー とCPU／ 並 列 計 算 とPVM／ オブ ジ ェ ク ト指 向 プ ロ グ ラ ミン グ／ 熱 力 学 シ ミュ レ ー シ ョン／ 量 子 経 路 上 の 汎 関 数 積 分／ フ ラ ク タ ル／ 静 電 ポ テ ン シ ャ ル／ 熱 流／ 弦 を伝 わ る波 動／ ソ リ トン,KdV／ 閉 じ込 め られ た 電 子 波 束／ 他 ノ ー ベ ル 賞 学 者 Ｉ.プリ ゴ ジ ン と そ の 仲 間 に よ り 1999年 に刊 行 さ れ た 本 格 的 教 科 書 の 全 訳 。 ５部 構

 ―熱機 関か ら散逸構造へ― 13085‐6

各 モデル を課題→理論→手法→ プログラ ミング→ 検討 の順 を追 って丁寧 に解説。 〔 内容 〕 数値計 算の 誤差 と不確 実 さ／積分／デー タ解析／決定理論 世 界 のランダム現象／ モンテカル ロ法／微分方程 式 と振動／ 量子力学の 固有値問題／非調和振動／他

気

168頁 本 体2800円

学

成20章 で"散 逸 構 造"に 辿 り着 く。 〔内容 〕熱 機 関 か ら コ ス モ ロ ジー へ／ 平 衡 系 熱 力 学／ ゆ ら ぎ と安 定 性／ 線 形 非 平衡 熱 力 学／ ゆ ら ぎに よ る秩 序 形 成

数式 を極力抑 えかつ章末に例 題 を付 し,文 科系学 生 でも読 み通せ る よう配慮 したツチ ダ熱学の決定 版。生命,地 球環境,人 間社 会 を熱化学機関の見 地か ら洞察 する。 〔内容〕基礎 編:開 放系の熱学／ 応用編:自 然環境 と人間社会 高校で学ぶ範 囲の数 学 を用いて電磁気学の根幹 を クー ロン力 とロー レ ンツ力で体 系的に解説 した画 期的教科書。大学初年 度学生に最 適。〔内容 〕 電荷 ／電界／電流／磁荷 と磁 界／電荷 と磁荷の相互作 用／電磁誘導／電磁 波／付録／ 演習問題詳細解答

 ◆ 物 理 学30講

シ リー ズ 〈 全10巻 〉◆

 著者 自 らの言 葉 と表現 で語 りか け る大好 評 シ リー ズ 戸田盛和 著 物理 学30講 シリー ズ １

一

般

力

13631‐5 C3342 

学30講

A5判 

208頁 本 体3600円

戸田盛和著 物理学30講 シリーズ ２

流

体

力

13632‐3 C3342 

学30講

A5判 

216頁 本 体3600円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リー ズ ３

波 動 と 非 線 形 問 題30講 13633‐1 C3342 

A5判 

232頁  本 体3700円

戸 田盛和著

現

l3634‐x

象30

C3342 

A5判 

240頁  本 体3700円

戸田盛和著 物理学30講 シ リー ズ ５

分

子

運

13635‐8 C3342 

動30

A5判 

224頁  本体3400円

戸田盛和著 物理学30講 シリー ズ ６

電

磁

気

13636‐6 C3342 

学30講

A5判 

216頁 本 体3400円

戸田盛和著 物理学30講 シリーズ ７

相

対

性

13637‐4 C3342 

理 A5判 

論30講 244頁 本 体3800円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ ９

物

性

物

13639‐0 C3342 

A5判 

理30講 240頁  本 体3500円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リー ズ10

宇

宙

と 素

粒

13640‐4 C3342    A5判212頁

多 くの親 しみやす い話題 と有名 なパ ラ ドックスに 富む流体力学 を縮 まない完全流体 か ら粘性流体 に 至 るまで解説。 〔 内容〕 球 形渦／ 渦糸／渦列／ 粘性 流体の運動方程式／ ポア ズイユ の流れ／ス トー ク スの抵抗／ず りの流 れ／境界層／他 流 体 力 学 に 続 くシ リー ズ 第 ３巻 で は,波 と非 線 形 問 題 を,著 者 自身 の 発 見 の 戸 田格 子 を 中心 に解 説。 〔内容 〕ロ トカ-ヴ ォ ル テ ラの 方程 式／ 逆 散 乱 法／ 双 対 格 子／ 格 子 のNソ リ トン解／ ２次 元KdV方 程 式／ 非 対 称 な剛 体 の 運 動／ 他 熱 の伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と りま く熱 現 象 を熱 力 学 か らて い ね い に 展 開 して い く。〔内 容 〕熱 力 学 の 第 １,２ 法 則 ／ エ ン ト17ピ ー ／ 熱 平 衡 の 条件 ／

物理学30講 シ リー ズ ４

熱

力学 の最 も基本 的 な ところか ら問いか け る。 〔 内 容〕力の釣 り合 い／力 学的 エネル ギー／単 振動／ ぶらんこの力学／単 振 り子／衝 突／惑星の運動／ ラグランジュの運動 方程式／最小 作用の原理／正 準変換／ 断熱定理／ ハ ミル トン‐ ヤ コビの方程 式

子30講 本 体3400円

ミ ク ロ状 態 とエ ン トロ ピ ー ／希 薄 溶 液 ／ ゆ ら ぎの 一 般 式 ／分 子 の 分 布 関 数 ／ 液体 の 臨 界 点 ／ 他

〔内容〕気体 の分 子運動／初 等的理論への反省／ 気 体 の粘 性／拡散 と熱伝導／ 熱電効果／光の散乱 ／ 流体 力学の方程 式／重 い原子の運動／ ブラウン運 動／拡散 方程 式／拡散率 と易動 度／ガ ウス過程 ／ 揺 動散 逸定理 ／ウイナー ・ヒンチ ンの定理／他 〔 内容〕電荷 と静電場 ／電場 と電荷 ／電荷に働 く力 ／磁場 とロー レンツ力／磁場 の中の運動／電気 力 線 の応 力／ 電磁場 のエネ ルギー／ 物質中の電磁場 ／分極 の具体例／光 と電磁波／ 反射 と透過／電磁 波 の散乱／種 々のゲー ジ／ ラグラ ンジュ形式／他 〔 内容〕 光 の速 さ／時 間／ ロー レンツ変換／運動量 の保存 と質量／特殊相 対論的力学／保 存法則／電 磁場の変換／ テンソル／一般相対性理論 の出発点 ／ アインシュタインのテ ンソル／ シュワル ツシル トの時空／光線 の湾 曲／相対性理論 の検 証／他 〔 内容 〕 水素分子／元素 の周期律／分 子性 物質／ ウ ィグナー分布関数／理 想気体／ 自由電子気体／ 自 由電子の磁性 とホー ル効 果／ フォ トン／ス ピン波 ／フェル ミ振子 とボー ス振子／低温 の電 気抵抗／ 近藤効果／超伝導／超伝 導 トンネ ル効果／他 〔 内容〕宇宙 と時間／曲面 と超曲面／ 閉 じた空間 ・ 開 いた空間／重力場の方程 式／膨張宇宙 モデル／ 球対称な星／相対性理論 と量子力学／ 自由粒 子／ 水素類似 原子／電磁場の 量子化／ くり込 み理論／ ラム ・シフ ト／超多時間理 論／中間子の質 量／他  上 記 価 格(税 別)は2002年

７月現 在