集合への30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

  集 合 に関す る30講 を 書 くに当 って,集

合論 を どの よ うな 観 点 に立 って 見 るの

が一 番 よい だ ろ うか とい うこ とが,ま ず 最 初 の 問題 とな った.集 合 論 の記 述 の仕 方 と して は,集 合 概 念 を あ ま り限 定 しない,ゆ るや か な枠 組 の 中 で述 べ る述べ 方 と,公 理 に よって 集 合 を 規定 して,論 理 的 に厳 密 な理 論 構 成 を 目指 す,公 理 論 的 集 合 論 に した が うもの とが あ る.後 者 は,数 学 の専 門家 向 きの もの であ って,専 門家 以 外 の人 が この理 論 に な じめ る とも思 え ない.も っ と も,数 学 を 専 門 に学 ん で い る人 た ちに して も,公 理 論 的集 合 論 に は無 縁 な人 も多 い.集 合 概 念 は,水 が 平 野 を潤 す よ うに,現 代 数 学 全 体 の 中に 静 か に広 が って い る.こ の集 合 の もた ら す 感 触 は,必 ず し も純 粋 に論理 的 な ところ か ら生 ず る もの で は な くて,何 か もっ と 自然 に数 学 者 の 意識 に融 け こん でい る よ うな気 が して い る.こ の意 識 は,無 限 概 念 を育 て る,豊 か な,し か し把 え難 い数 学 の 深奥 か らや っ て くる もの の よ うに みえ る.   一 般 の人 た ち に,集 合 論 へ の 関心 を もって も ら うた め に は,ま ず無 限 に対 す る 興 味 を よび お こ して も らわ な くては な らない だ ろ う.そ のた め に は,公 理 論 的 集 合 論 の立場 は適 当 で な く,い わ ば ゆ るや か な枠 組 の中 で,集 合 概念 を 波 打 た せ, 揺 り動 かす のが よい と思 う.こ れ は,ふ つ う素朴 集合 論 の立 場 と よば れ て い る. しか し,素 朴 集 合論 とい う よび 名 は誤 解 を招 きや す い.   公 理論 的 集 合 論 の樹 立 と,そ こか ら連 続 体仮 設 や選 択 公 理 な どの い くつ か の基 本 命 題 の独 立 性 を示 した こ とは,20世

紀 数学 の一 つ の 金 字 塔 だ った の か も しれ

な いが,私 の 考 えで は,こ の 演繹 理 論 の壮 麗 な 体 系 も,カン

トルの 精 神 を捧 げ て

克 ち とった,集 合 論 本 来 の もつ 独 創 性 に は及 ば な い と思わ れ る.   実際,集 合論 の本 質 は,数 学 の根 源 的な 意 味 で のそ の 素朴 性 にあ る とい って よ い の では な か ろ うか.私 が 本 書 で 示 した か った こ とは,カ ン トル を 捉 えて 離 さな か った,ど

うに も動 か し よ うの な い,集 合 論 の中 に ひ そむ 永遠 の素 朴 性 と'無 限'

の秘 密 とで もい うべ き もの を,で きる 限 り明 らかに してみ た い とい う ことで あ っ た.こ こで は,数 学 史 家 の 眼で もの を見 るわ け には い か な い のだ が,数 学 を通 し て,カン

トル の 中 で生 じた 思 想 の劇 を,な るべ くわ か りや す く述べ て み た い と思

った.   数学 の もつ 堅 固な 論理 の形 式 と,私 た ち の中 に 育 っ てい る無 限 に対 す る茫漠 と した 思 い の葛 藤 の中 に,集 合 論 の世 界 が,た ゆ と うよ うに広 が って い る.集 合 論 を近 くに 引 き寄 せ よ うとす る と,無 限 が遠 ざか る よ うな,不 思議 な感 触 を,私 は 今 まで時 々感 じた.こ の本 を 通 して,読 者 ひ と りひ と りが,集 合 論 の創 った数 学 の世 界 を,自 らの 心 の中 に 感 じ と って頂 けれ ば よいが,と 望 ん で い る.   終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろい ろ とお世 話 に な った 朝倉 書 店 の 方 々に,心 か らお礼 申 し上 げ ます. 1988年4月

著

者

目

次

第1講

  身近 な と ころ に あ る集 合

第2講 

自然 数 の集 合 

6

第3講

 集 合 に関 す る基 本 概 念

第4講

 有 限集 合 の 間 の演 算,個 数 の 計算

第5講 

可 算 集 合

第6講 

可 算 集 合 の和 集 合 と直積 集 合    数 直 線 上 の可 算 集 合

第8講

  実 数 の 構造―

第10講

2進 法,3進

 11   17   25

第7講

第9講 

 1

小 数展 開 法,…

 実 数 の 集 合

第11講 

一 般 的 な 設定 へ

第12講 

写

像

30   36  42   49   56   63  70

第13講   直 積 集 合 と写 像 の集 合

 77

第14講  濃

度

 84

濃度の大小

  90

第15講 

第16講   連 続 体 の濃 度 を もつ 集 合 第17講   連 続 体 の濃 度 を もつ集 合(つ づ き)  第18講   ベ キ集 合 の濃 度

 95 101  107

第19講   可 算集 合 を並 べ る

  113

第20講 

  119

順 序集 合

第21講 

整列 集 合

  124

第22講 

整列 集 合 の 性 質

  130

第23講   整列 集 合 の 基 本定 理 第24講 

順

序

数

第25講 

比 較可 能 定 理,整 列 可能 定 理

第26講 

整 列可 能 定 理 と選 択公 理

 136   142   148   153

第27講   選択 公 理 の ヴ ァ リエ ー シ ョン

 158

第28講   選択 公 理 か らの帰 結

 165

第29講   連 続体 仮 設

 170

第30講

 175

 ゲオ ル グ ・カン トル

問 題 の解 答 索

引 

 183 185

第1講 身近 な と ころ に あ る集合 テーマ

◆ もの の 集 りとそ の元 ◆ 地 球 上 に あ る砂 粒全 体 の 集 合 ◆ 日本 全 国 の家 庭 に あ る皿全 体 の集 合 ◆ 一 つ の ま とま った もの と して の,全 体 の 認識

ま わ りを 見 回 し て み る   私 た ちの まわ りにあ る もの を 見 回 して み る と,本 箱 の 中 に あ る本 も,食 器棚 の 中 に並 ん で い る皿 も,果 物 屋 の 店先 に積 ん で あ る リンゴ も,そ の総 数 は す べ て有 限 で あ る.た とえば,本 は全 部 で220冊 あ り,皿 は 全 部 で85枚 あ り,リン 全 部 で60個 あ る とい うよ うに,こ れ らは すべ て 数 え 上げ る こ とが で きる.も

ゴは

少 し視 野 を 広 げ て み て も,A中

う

学 の生 徒 の 総 数 は1370人 で あ る とい うよ うに,

や は り有 限で あ る.   この よ うに,有 限で,個 数 の少 な い ものは,そ の全 体 の集 りも,必 要 な らば, い つ で も1つ に ま とめ て み る ことが で き る.た

とえ ば,1370人

の 中学 生 の集 り

を み た けれ ば,生 徒全 員 を 校庭 に集 め る と よい.   私 た ち が生 きて 経験 す る世 界 の 中 にあ る'も のの 集 り'は,こ

の よ うにす べ て

有 限 個 の ものか らな ってい る.も ち ろん,こ こで,'も の の集 り'と は 何 か を,も う少 しは っき りさせ てお か な くて は な らな い だ ろ う.私 た ちは,集 'もの'の1つ1つ

りを構 成 す る

が,互 い には っき りと区別 で き る よ うに 識 別 で き,ま たそ の

集 りの 全 体 を指 定 す る範 囲が 明確 に与 え られ て い る よ うな とき,こ れ を'も の の 集 り'と い うこ とにす る.た とえば,現 在 世 界 に棲 息 す るパ ン ダの全 体 も,ま た 昨 年1年 間 に,日 本 で 生産 され た 自動 車 の全 体 も,'も のの 集 り'と な っ てい る.   しか し,「 あ の 谷 川 のあ た りか ら湧 き上 っ てい る霧 の水 滴 の全 体 」 とか,「 東 京

近 辺 に 住 ん で い る 人 の 全 体 」 な ど は,考

え る範 囲 が は っ き り し な い か ら,'も

の

の 集 り'と は 考 え な い.ま

た 「落 葉 を 焚 火 した と ぎ 出 た 煙 の 全 体 」 とい っ て も,

1つ1つ

の 場 合 何 を 考え て い る の か は っ き り しな い か ら,こ

も'も

の も の と し て,こ の の 集 り'と

 'も の の 集り'と

は 考 え な い. い うい い 方 は,少

し ま わ り く ど い の で,こ

い う こ と に し よ う.集 合 と い う言 葉 は,単 け で は な くて,講

が 進 む に つ れ て,も

れ か ら は'集

に 日常 見 な れ て い る'も

の'を,こ

  た と え ば,本

箱 に あ る220冊

の 本 は,1つ

元 は,1冊1冊

の 本 で あ る.ま

た 食 器 棚 に 並 ん で い る 皿 も,1つ

1つ1つ

の 集 合 の 元 と か,要

本 全 国 に あ る 中 学 校 全 体 も1つ

の 中 学 校 が,こ

合'と

の の 集 り'だ

っ と広 い 対 象 も含 む よ う に な る.集

成 し て い る'も

て い る.日

れ

合 を構

素 と い う.

の 集 合 を つ く っ て お り,こ

の集 合 の

の集 合 をつ くっ

の 集 合 を つ く っ て い る.こ

の と き は,

の 集 合 の 元 で あ る と考 え て い る.

『 砂 の 計算 者 』   上 に述 べ た 集 合 の例 よ りも,も っ と も っと元 の個 数 の 多 い集 合 を 考え て み よ う とす る と,世 界 に あ る砂 粒 全 体 のつ くる集 合 とい った もの も考 えて み た くな る.   古代 ギ リシ ャの,か

の 有 名な 数学 者,科 学 者 で あ った ア ル キ メデス に,『 砂の

計 算者 』 とい う著 作 が あ る.ボ スは,こ

イヤ ーの 『数 学 の 歴史 』 に よ る と1),ア ル キ メデ

こで,全 宇 宙 を うめ つ くす ため に必 要 な 砂 の粒 よ りも,さ ら に大 き な数

を書 き表 わ す こ とが で き る と 自慢 してい るそ うで あ る.ア ル キ メデ スは,そ のた め,西 暦 前3世 紀 の 中 頃 に,サ モ ス の ア リス タル コス の提 唱 した考 え,す なわ ち 地 球 を太 陽 の まわ りを め ぐる軌道 上 にお くとい う考 え に した が って,当 時 の観 測 か ら推 定 され る量 を 用 いて,全 宇 宙 と考 え られ て い た太 陽 と地 球 軌 道 の つ くる部 分 の面 積 を評 価 し,こ れ と,砂 粒 一 つ の 大 き さを比 較 す る こ とに よ り,全 宇宙 を み たす の に必 要 な 砂粒 の数 は,1051を 越 え な い と結論 した の で あ る.

地球上にある砂粒全体の集合 今か ら2200年

も前 に,す

で に 『砂 の計 算 者』 の よ うな 著 述 が あ った とい う こ

1)  ボ イヤ ー 『数 学 の歴 史 』(加 賀 美 鉄雄 ・浦 野 由 有 訳)第2巻(朝

倉 書 店)参

照.

とは,本 当 に驚 くべ き こ とで あ る.し か し,大 き な集合 を思 い 浮 かべ よ うとす る と,ア ル キ メデ ス の よ うに,宇 宙全 体 に まで視 野 を広 げ な い と して も,地 球 上 に 現 に存 在 して い る砂 粒全 体 の集 合 とは どん な も のか と考 えて み た くな る.   そ こで まず 問 題 とな るの は,こ の よ うな 砂粒全 体 の集 合 は,確 定 した集 合 と し て 存 在 して い る と考 え て よい だろ うか とい うこ とで あ る.砂 粒 とい って も,ど ん な微 小 な もの もあ るか も しれ ないか ら,直 径 何 ミ リ以 上 か ら何 ミ リ以下 まで と, 砂 粒 の 大 きさ を指 定 して おか な くて は な らない だ ろ う.ま た,セ

メン トの小 片 は

砂 粒 とは いわ ない だろ うか ら,あ る もの が 砂粒 か ど うか,選 別 で き る よ うな規 準 も与 え て おか な くて は な らない.1つ

の 砂粒 が2つ に割 れ る こ と もな い としな く

て は な らな い.衣 類 に 付着 して い た り,空 中を 浮遊 して い る砂粒 な どを ど うす る か も決 め てお か な くて は な ら ない.   この よ うな ことが す べ てで きた として も,私 た ち は,地 球 上 の 砂粒全 体 の 集合 を,1つ

に ま とめ て,そ の存 在 を確 認 す る よ うな現 実 の 操 作 をす る こ とは,も ち

ろ ん不 可 能 で あ る.   しか し,も

しか りに,「 地 球上 にあ る砂 粒」 とい う概 念 が 明確 に定義 され る も

の と仮 定 して み るな ら ば,そ の とき私 た ちは,地 球 上 にあ る 砂粒全 体 の集 合 が存 在 す る と考 え るの に,そ れ ほ ど抵 抗 は ない だ ろ う.実 際,明 確 な概 念 は,そ の概 念 を みた す 個 々の もの を規 定 して い るだけ で は な くて,そ の概 念 に よって 与え ら れ る もの全 体 の 範 囲 も同時 に 規定 して い る.し

たが って,「 地 球 上 にあ る砂 粒全

体 の集 合 」 とい うもの も,現 実 にそ の存 在 を確 認 す る手 段 は ない と して も,概 念 そ の もの に よ って 自立 した対 象 とな り,1つ

の ま とま った も の と して考 え る こと

が で き る よ うに な る.

皿の 集合   砂 とい うも と も と多 少概 念 的 な もの よ り,日 常,食 事 のた び に,い つ も手 に取 っ て い る皿 を 考え てみ る方 がわ か りや す い か もしれ な い.1枚1枚

の皿 の 実体 は

誰 に と って も明 らか な もので あ って,こ の存 在 の 確 か ら しさ につ いて 改 め て議 論 す る こ とな どは,意 味 の な い こ とに思 われ る.   しか し,視 点 を かえ て,「 日本全 国の家 庭 に あ る皿 全 体 の つ くる集 合」 を考 え

よ うと した ら,一 体 ど うい う ことに な る だ ろ うか.こ の よ うな集 合 が 存在 す るか ど うか とい うこ とは,1枚

の皿 が 存在 す るか ど うか とい うこ と と,全 然 別 の認 識

で あ る ことに 気が つ くだ ろ う.日 本全 国 の家 庭 に あ る尨大 な量 か らな る皿 の集 り を,現 実 に確 認 して,そ の存 在 を確 かめ る な ど とい うこ とは,も ちろ ん で き る こ とで は ない.だ が,'日 本全 国 の家 庭 にあ る皿'と い うい い方 が,明 確 な'も の' を指 示 して い る と考 え るな らば,こ の総 体 も,1つ

の ま とま った もの と して,確

か に存 在 して い る と,私 た ちは 考え る こ とが で き る.そ れ は,私 た ち の 中 に あ る 認 識 の力 に よって い る.   ア ルキ メデ ス に な らえば,「 日本 全 国 の 家庭 にあ る皿 全 体 の 個 数 は1051よ りは 小 さ い」 とい うよ うない い 方 に,私 た ち は ふつ うは何 のた め らい も感 じな い.た め らい を 感 じ ない の は,私 た ち が この よ うな全 体 の存 在 を,意 識 す る にせ よ,無 意 識 で あ るにせ よ,す で に認 め てい るか らで あ る.

1つ1つ

の 認 識 と全 体 の 認 識

  考 え て い る対 象全 体 の 個 数 が小 さい とき には― る対 象 はそ の よ うな もの で あ るが―,1つ1つ

日常,私 た ち がつ き合 って い の'も の'の 認識 と,そ の'も

の'全 体 が つ くる'も の の集 り'の 認 識 とは,そ れ ほ ど異 な る もの とは 考 えて い な い.1冊

の本 の存 在 と,本 箱 の 中 に あ る本全 体 の存 在 とは,私 の感 じ方 か らい

え ば何 の違 い もない.し か し,上 でみ て きた よ うに,1つ 象 の個 数が 多 くな って くる と,1つ1つ

の概念 に包 括 され る対

の'も の'の 認 識 の 仕方 と,全 体 を1つ

の ま とま った もの と して認 識 す る仕 方 は 異 な って くる.   数 学 で い えば,た

とえば,1つ1つ

つ くる集 合 を,1つ

の まと ま った もの と考 え る認 識 の仕 方 は 異 な って い る.こ れ

の 自然数 を認識 す る こ と と,自 然 数 全 体 の

か ら少 しず つ述 べ,明 らか に して い きた い 集合 論 の考 えは,こ の,全 体 を1つ の まと ま った もの と して 考 え る,私 た ち の 認 識 の 仕方 を 基 盤 と して で き上 って い る.   実 は,こ の よ うな,私 た ち の 中に ひ そか に育 て られ て い た認 識 の場 所 を,数 学 とい う学 問 の 中に,は

っ き りと して 取 り 出 して みせ た と ころに,集

者,ゲ オル グ ・カン トル(1845-1918)の

合論 の 創 始

独創 性 が あ った とい って よい ので あ る.

Tea

Time

質 問  僕 の まわ りを見 回 して も,実 に い ろ い ろな 集合 が あ ります.「 ボ ー ルペン の集 合 」 「ノー トの集 合 」 「カ セ ッ トテ ー プの集 合」 な ど.こ ん な多 種 多様 の もの が,数 学 の対 象 に な る とい うこ とは,信 じ られ ませ んが,数 学 で は 集 合 の どん な こ とを問 題 とす る ので し ょ うか. 答   この 段 階で この 質 問 に 答 え る こ とは難 しい が,た とえば,5つ くる集 合 と,5本

の リン ゴの つ

のボール ペ ン のつ くる集 合 は,共 有 す る性 質 と して,個 数 が 同

じ とい う性 質が あ る とい え る.す

なわ ち,こ の2つ の 集 合 は,'も の'が ただ単

に存 在 して集 ま って い るに す ぎ ない とい う見 地 に立 てば,と

もに 同 じ5つ の'も

の'か らな る集 合 で あ る といえ るだ ろ う.集 合 論 で は,2つ

の集 合 が与 え られ た

とき,そ

の 集合 を つ くる'も の'の 性 質 は一 切 無 視 して,単

に抽 象的 な'も の'

の集 りとみた と き,共 有 す る 性 質 が あ るか ない か を 調 べ るの で あ る.し た が っ て,1つ1つ

の'も の'の

え去 って しま う.

もつ,さ

まざ まな 多様 な相 は,集 合 論 の 観点 か らは 消

第2講 自然 数 の 集 合 テー マ

◆ 自然数 の機 能―

基 数 と序数

◆ 自然数 の集 合N ◆ 有 限集 合 と無 限 集合 ◆ 自然 数 の集 合 は,偶 数 の 集合 と1対1に ◆ 全 体 と部 分 の1対1対

対応す る

応:無 限 集 合 の特 性

自然数の機能   自然 数1,2,3,… も う1つ

に は,2つ

ょ う ど9個

とえ ば リン ゴの 集 合 が あ っ た と き,そ

を 示 す 働 き で あ る.こ

ゴ と,1か

の 場 合,数

い か え れ ば,図1で ら9ま

れ を数 え て み

あ っ た と い う よ う な 働 き,

す な わ ち 集 合 の 元 が 何 個 か ら な る か,そ

とは,い

は 基 数 と し て の 機 能 で あ り,

は 序 数 と して の 機 能 で あ る.

  基 数 と し て の 機 能 とは,た た ら,ち

の 機 能 が あ る.1つ

の個数

え る とい うこ

示 す よ うに,リ

で の 自然 数 を1対1に

  中 学 校 の 生 徒 の 総 数 が1370人

ン

図1

対 応 さ せ る こ と で あ る.

で あ る とい う と き,こ

中 学 校 の 生 徒 全 員 の つ く る 集 合 と,1か

ら1370ま

の1370と

い う 自然 数 は,

で の 自 然 数 の 集 合 と が,1対

1に 対 応 で き る こ と を 示 し て い る.   こ れ に 対 し,序

数 と して の機 能 とは,順

に 番 号 を つ け て,そ

あ る も の を 特 定 で き る よ うな 働 き で あ る.た 番 号 で も何 で も よ い が)1番

か ら1370番

と え ば,1370人

ま で の 番 号 を つ け て お け ば,「1番

50番 ま で の 生 徒 は グ ラ ン ドの 清 掃 」 「51番 か ら100番 の よ うに,1人1人

の 生 徒 は す べ て,番

の 番 号 に よ っ て, の 中 学 生 に,(学

籍 か ら

ま で の 生 徒 は 残 って 補 習 」

号 に よ っ て 特 定 す る こ と が で き る.

  日本 語 の イ チ,ニ,サン,…

とい う 呼 び 方 は,基

し て の 働 き を 区 別 し て い な い が,英

数 と し て の 働 き と,序

数 と

語では

  基 数:one,two,three,four,…   序 数:first,second,third,fourth,… と は っ き り区 別 さ れ て い る.   野 球 で は,ア い る が,塁

ウ トの 数 は,ワ

ン ・ダ ゥン,ツ

ゥ ・ダ ゥン と基 数 を 用 い て 数 え て

の 方 は 順 序 の 指 定 が 重 要 だ か ら,フ

ァ ー ス ト,セ カ ン ド,サ

ー ド,と

序 数 を 用 い て 並 べ て い る.   原 始 社 会 で,自 比 べ る こ と― あ る い は1番 機 能― が,私

然 数 が 最 初 に 誕 生 した 契 機 は,2つ

基 数 と して の 機 能― 目,2番

目,3番

の'も

の の 集 り'の

個数 を

を 抽 象 化 す る こ と に よ っ て 生 じ た も の か,

目 と 目 印 し を つ け る よ うな こ と―

を 抽 象 化 す る こ と に よ っ て 生 じ た も の か,い

序 数 と して の

ろ い ろ の 説 が あ る よ うだ

は 詳 し い こ と は 知 らな い.

自然 数 全 体 の つ く る集 合   さ て,1か か し,基

ら1000ま

数 に し て も序 数 に して も,た

を つ け 加 え て,こ 1000ま

で の 自 然 数 を ひ と ま ず 用 意 し て お い た と し て み よ う.し の リ ン ゴに も う1つ

ら に1001と

い う数 を 必 要 とす る.こ

ん な 大 き な 自 然 数 を と っ て も 生 ず る こ と で あ る.自

自 由 に 行 な え る よ う に し て お くた め に は,自 こ と は で き な くな っ て,自 て は な ら な い.こ

リン ゴ

の リ ン ゴ の 総 数 を 数 え 上 げ た り並 べ た りす る た め に は,こ

で の 数 で は足 りな くな っ て,さ

う な こ と は,ど

とえ ば1000個

の の よ

然数 の働 きを

然 数 の系 列 を 途 中で 断 ち切 って お く

然 数 は ど こま で も続 い て存 在 して い る と して おか な く

の よ うに して,自

然数 の無 限 系 列 1,2,3,4,…

が 生 ま れ て く る.こ

の 最 後 の … は,途

い て い る の だ が,こ

こ で 私 達 は,考

が1つ

中 で 止 め る こ とが で き な い と い う意 味 で か え 方 の 上 で1つ

の ま と ま っ た 集 合 を つ くっ て い る と考 え, N={1,2,3,4,…}

と お く.Nを

自 然 数 の 集 合 とい う.

の 飛 躍 を 行 な っ て,こ

の全 体

  この集 合Nの

存 在 を 認 め る の は,前 講 で 述べ た よ うな,全

った もの とみ る こ との で きる,私

体 を1つ の ま とま

た ち の認識 の 力 に よ って い る.末 尾 の … と書

か れ て い る 部 分 に あ る 自然 数 を1つ1つ

全 部 確 か め る こ と に よ って,Nの

存在

を確 認 して い る とい うこ とでは な い ので あ る.

有限集合と無限集合 私 達 は,自 然 数 の集 合Nの 集 合Mが

存 在 は 認 め る とい う立場 を とる.

有 限集 合 で あ る とは,適 当 な 自然kを

と る と,Mと

集合

{1,2,3,…,k}

とが1対1に

対 応 す る と きで あ る と定 義 す る.こ の ときMの

元 の個 数 はkで あ

る とい う.私 達 が 日常 出会 う集 合 は,す べ て 有 限集 合 で あ る.そ して そ こでは, 集 合 をつ くる元 の個 数 はい くつ か とい う ことは いつ も きま って い る.   MとNを

有 限 集 合 とす る.そ の とき 明 らか に MとNの ⇔

 Mの

元 の 間 に は1対1の 元 の個 数 とNの

対 応 がつ く 元 の個 数 は等 しい

が 成 り立 つ.   た と え ば,12個 1対1の

の リン ゴ か ら な る集 合 は,12冊

対 応 が つ くが,8個

の 本 か ら な る集 合 との 間 に は,

の ナ シ か らな る集 合 と の 間 に は,1対1の

か な い.

 有限集合 でない集合を無 限集合 とい う.Nは 無限集合である. Nの 無 限 集 合 と して の1つ の 性 質   自然 数 の 中 で,特

に 偶 数 全 体 の つ く る集 合 をE0と

す る:

E0={2,4,6,8,…} E0も

ま た 無 限 集 合 で あ る.E0はNの

一 部 分 に す ぎ な い.し

か し

対 応 がつ

とい う対 応 に よ って,E0の

元 は,Nの

わ ち 「一 部 分 が全 体 と1対1に

元 と完全 に1対1に

対 応 して い る.す な

対 応 して い る」 とい う こ とが お きた ので あ る.

  有 限 個 の元 か らな る 集 合 で は,決

して こん な こ とは お き な い.10個

と,そ の 一 部 分 で あ る5個 の リンゴ とは,決 して1対1に   Nの 一 部 分 で あ るE0が,Nと1対1に

の リンゴ

対 応 しな い.

対 応 して い る とい うこ とは,Nが

無

限 集 合 で あ る こ との1つ の特 性 で あ る.実 は集 合 論 の主 要 な テ ー マは,有 限 集合 で はな くて,無 限集 合 を 調べ る こ とに あ るが,有 限性 と無 限 性 とは,こ の よ うに そ の一 部 分 と1対1の

対 応が 存在 す るか ど うか とい う観 点 か らみ て も,全 く異 な

った 様 相 を呈 して い るの で あ る.

Tea

Time

大 きな数 自然数 の集 合 N ={1,2,3,4,…}

の,こ の … と書 いた 部 分 に は,10100と か,1010000と か,そ

の程 度 の 大 き さの 自

然 数 だけ で は な く,私 達 の想 像 を絶 す る よ うな大 きな 自然数 も含 まれ て い る.も ち ろ ん,集

合Nを,1つ

の ま とま った もの として,そ

の存 在 を認 めて し ま うだ

け な らば,こ の よ うな大 きな 自然数 が,… の 中 に含 まれ て い る こ とな ど,あ ま り 気 に しな くと も よい.し か しいつ で も気軽 に … と書 くだけ で,こ の … の 意 味す る,果 て しな く続 く自然数 の 系列 の こ とを,す っか り失 念 して し ま うの も,あ ま りよい ことで は な い だ ろ う.   実 際 の と ころ,現

在 の数 学 で も,こ の … の世 界 に積 極 的 に踏 み こんで い った

とき,ど の よ うな こ とが お き るの か は,ま だ ほ とん ど調べ られ てい な い.エ ル ゴ ー ド理 論 や ラ ムジ ー理 論 と よばれ る もの の 中 に,い くつ か の興 味 あ る結 果 が 見 出 され る だけ で あ る.   この大 き な数 の 世 界 に強 い 関 心 を も って 眼 を 向け た の は,む し ろ古 代 イ ン ドの 数 学 だ った か も しれ な い.こ の こと につ いて,つ い で だか ら,多 少 触 れ て お こ う. 私 は数 学 史 の 専 門 家 で は ない か ら,全 く常 識 的 な こ と しか い え ない の だが,イン ドで は,億,兆,京(け

い),垓(が

い)と どん どん大 きな単 位 を導 入 して,夢 の

よ うな大 き な数 の世 界 を現 出 させ てみ せ た.大 きな単 位 を導 入 して い くこ とは, 大 きな 数 の世 界 を,ど ん どん 眼 の前 に引 き寄 せ て くる ことに対 応 して い る.た と え ば 兆 とい う単 位 を 導 入す れ ば,2350億

とい う大 きな数 は0.2350兆

位 を捨 て て し まえば,私 た ち は0.2350と

い う数 をみ て い る ことに な る.

とな り,単

  数学 的 に いえ ば,自 然 数 の 限 りな く大 き くな る方 向へ と走 っ てい く現 象 を,大 きな 単 位 を どん どん導 入 して観 察 してみ よ う とす る こ とは,こ の現 象 を,く し,く

り返 し[0,1]区

ことに な る.[0,1]区

間へ と引 き 戻 して,眼

り返

の 前 の現 象 と して捉え よ うとす る

間 に 引 き戻 され た 場所 を,点 と して し る してお くと,無 限

の方 向 に走 って い く現 象 の 列 に対 応 して,[0,1]区

間 の 中で の無 限点 列 が得 られ

る.こ の 無 限点 列 は必 ず 集 積 点 を もつ.集 積点 に近 づ く点 列 を,単 位 を か け て, 再 び,も との大 き くな る 自然 数 へ と戻 してみ る と,こ の 自然 数 列 は,単 位 を無 視 す る と,し だ いに,現 象 が く り返 して い くよ うな様 子 を示 して い く よ うに な る こ とが わ か る だ ろ う.   大 きな 数 の世 界 に踏 み こん で い くと,現 象が く り返 され る よ うな状 況 が 時 々お きる よ うで あ る.こ れ は,ど こか で輪 廻 とか,永 遠 回 帰 の思 想 とか に結 び つ くと ころが あ るの だ ろ うか と,Tea 空 想 す る こと もあ る.

Timeに

ふ さわ し く,お 茶 を飲 み なが ら,勝 手 に

第3講 集合 に関す る基本概念 テー マ

◆ 集 合 と元 ◆ 部分集合 ◆ 空集合 ◆Mの

元aと,aか

らな る部 分 集 合{a}

◆Mの

部 分 集 合 全体 のつ くる集 合〓(M)―

ベ キ集 合

集 合 と元   数学 にお け る集 合 論 の 関 心 は,主 に無 限集 合 で あ るが,も ち ろん 有 限集 合 も集 合 論 の対 象 とな る.し た が って,リン

ゴ3個 か らな る集 合 も,集 合 論 の対 象 とな

る とい って よい の だが,こ の と き も

M={a,b,c} の よ うに記 号 を 用 い て表 わ し,各a,b,cは

リン ゴを表 わ す と注 をつ け て お くのが

ふ つ うで あ る.こ の 表 示 の仕 方 を あ らか じめ 了承 して おい て も らえば,こ れ か ら は,集 合 とそ の 元 を表 わ す の に,具 体 的 な 事物 を 特 に表 わ さな くとも,数 学 で用 い るふつ うの記 号 を 用 い て も よい だ ろ う.   集 合Mが

元aを 含 む と き a∈M

と 記 す.(と が,こ

き に は,aとMの

左 右 の 位 置 を と りか え てM∋aと

の よ うな 便 宜 上 の い れ か え は,以

Mに 属 し て い る と い う.aがMに

と記 す.  自然 数 の集 合 をNと

すると

記 す こ ともあ る

後 い ち い ち 断 ら な い.)こ

属 して い ない こ とを

の と き,aは

で あ る が,

で あ る. 集 合Mが,元a,b,c,…

か ら な る こ とを 明示 す る とき M={a,b,c,…}

の よ うに表 わす.し た が って,自 然数 の 中で 偶 数全 体 のつ くる集 合E0は E0

={2,4,6,…,2n,…}

と表 わ され る.こ の場 合

と表 わ す こ とも あ る.こ の記 法 で は,E0の 定 され て い る.す なわ ち,m=2nで とき得 られ る数 全 体―

元mは,右

あ って,こ

偶数 全 体―

がE0で

辺 の た て ケイ の右 側 に指

こでnと して1,2,…

を代 入 した

あ る こ とが 示 され てい る.

  た とえ ば 同 じ記 法 を 用 いれ ば,自 然 数 の 中 で 奇数 全 体 のつ くる集 合E1は

と 表 わ され る.

部 分 集合 集 合Nが

集 合Mの

一 部 分 で あ る と き,す なわ ち,Nの

って い る とき,NはMの

元 は必 ずMの

部 分集 合 で あ る とい い,記 号 で

N⊂M と表 わ す.M自

身 もまたMの

部分集合 であ る

と考 え る.   た とえば,Nを

自然 数 の 集 合,E0を

その中

で 偶数 全 体 のつ くる集合 とす る と E0⊂N で あ り,ま

で あ る.

た

図2

元 とな

明 らか に

で あ り,ま た包 含 関 係 の推 移 性

が 成 り立 つ.  NがMの

部 分 集 合 で あ るが,Mと

違 う とい うこ とを 明示 した い とき には,NはMの

真 部 分集 合 で あ る といい,記 号 で

と表わす.   これか ら,い ろい ろ の集 合 を 考 え る とき,元 を 何 も もた な い集 合―

空 集 合―

も考 えて,こ の集 合 は,任 意 の集 合 の部 分 集 合 とな っ てい る と考 え る方 が 都 合 の よい こ とが 多 い.部 分 集合 の中 に空 集 合 も 自然 に 含め る よ うにす るに は,部 分集 合 の定 義 を 改 めて,次 の よ うに して お くとよい.   集 合Mが

与 え られ た と き,M,お

る集 合 を,Mの

よびMか

らい くつか の元 を 除 いて得 られ

部 分集 合 とい う.

  この定義 に したが え ば,Mか

らMの

す べ て の元 を 除 い た もの も,Mの

部分

集 合 とな る.こ の 部 分集 合 を空 集 合 とい い,φ で 表わ す.   した が って,た

とえ ば 集 合M={1,2,3}の

部 分集 合 は,次

の8つ の集 合 か ら

な る: ,φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

元aと,aか   すぐ 上 の 例 で も,{1},{2},{3}と で あ る が,{1}⊂Mで 表 わ して い る が,{1}と

あ る.1と

ら な る部 分 集 合{a} い うMの

部 分 集 合 が 現 わ れ て い る.1∈M

書 く と き に は,集

書 く と き に は,元1だ

合M={1,2,3}の1つ

け か ら な るMの

の元 を

部 分集 合 を 表 わ

し て い る.   こ の 違 い は わ か りに くい か も し れ な い か ら,例

を 述 べ て お く.い

まA市

に住 ん

で い る 人 全 体 の 集 合 をMと 1人 の 人 で あ る.A市 は,Mの

す る.Mの

元 は,こ

に 住 ん で い る 人 た ち は,そ

部 分 集 合 を つ く っ て い る.夫

ら な るMの

の 市 民 だ か ら,a∈Mで

調 べ が き た と き,'aさ {a}⊂Mで

あ る.1人

  こ の 例 で,私

ん'は,1人 の 人 と,1人

達 は,さ

ら に,A市

に 住 ん で い る1人

れ ぞ れ 家 族 を も っ て い る.家

婦2人,子

部 分 集 合 と な っ て い る.い

'aさ ん'はA市

の 場 合,A市

供1人

ま,'aさ あ る.し

の 家 族 は,3つ

ん'は か し,市

役 所 か ら 家 族 調査 の 族 とい う立 場 で は

念 が 違 うの で あ る.

に お け る 家 族 全 体 の つ く る集 合 とい う も の も

考 え る こ と が で き る だ ろ う.1つ1つ

の 家 族 は,Mの

た が っ て,家

部 分 集 合 の 集 りで あ る.こ

族 全 体 の 集 合 は,Mの

部 分 集 合 の つ くる 集 合 と い う も の が,ご ろ ん,Mの

部 分 集 合 の 中 に は,家

の 中 学 生 全 体 と か,い

部 分 集 合 と考 え ら れ る.し の よ うに し て,

く自 然 に 考 察 の 対 象 と な っ て く る.も

ち

族 だ け で は な く,美 術 館 の 職 員 全 体 と か,A市

ろ い ろ な もの が 含 ま れ て い る.こ

の つ く る 集 合 を 考え る こ と が,す

の元か

家 族 が い な い とす る.

家 族 だ とい うだ ろ う.家 家 族 は,概

族

の よ うな,部

分集 合 全体

ぐ次 に 続 く話 題 と な る.

部分集合全体のつ くる集合 M={1,2,3}の

と き,Mの

部 分 集 合 全 体 の つ くる 集 合 は

{φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} と な る.

N={1,2}の

と き,Nの

部 分 集 合 全 体 の つ くる 集 合 は {φ,{1},{2},{1,2}}

で あ る.   一 般 に,集 合Mが と表わ し,Mの

与 え られ た と き,Mの

部 分 集 合全 体 のつ くる集 合 を〓(M)

べ キ集 合 とい う.こ の よ うな 考 え の 重 要 さは,Mと

い う1つ の

集 合 が与 え られ る と,そ の部 分集 合 全 体 を集 め る こ とに よ り,ま た1つ の新 しい 集 合〓(M)が

〓(M)も1つ

生 まれ て くる とい う点 にあ る:

の集 合 だか ら,〓(M)か

ら,ま た 新 しい集 合〓(〓(M))が

生

ま れ て く る だ ろ う.ま

たMと

して 自 然 数 の 集 合Nを

と った と き,〓(N)は

ど

ん な も の だ ろ うか.   こ の よ う に し て,集

合 論 が 少 しず つ 動 き 出 し て くる の で あ る.

問   M={1,2,3,4}の

と き,〓(M)は

ど の よ う な 集 合 か.

Tea

Time

質 問  集 合 の包 含 関 係 を示 す の に,ど の 本 で も大 体 図2の 円 に 近 い形 にか い て い ます が,ど

よ うに,集 合 を 円か,

う して な ので し ょ うか.僕 は図2よ

りも,図3

の よ うに か いた 方 が も っ と楽 し く変 化 が あ る よ うに 思 い ます が. 答  集 合 を 円 の よ うな もの で表 わす 特 別 の理 由 は ない と思 う.包 含 関係 を示 す だけ な らば,も ち ろん 図3の が,図3を

よ うにか い て も 同 じ こ と で あ る

見 る と,集 合 の 包含 関係 を この図 が

示 してい る と感ず る よ り先 に,右 の 方 に延 び て い る のは,手 の よ うだ とか,Nを

表 わす 図形 は

図3

何 か に似 て い る よ うだ とか,い ろい ろの こ とを 思 って し ま う.そ う した 余 分 な こ とを思 わ ぬ よ うに す る ため に は,円 を か い て お くのが 一 番無 難 な の だ ろ う.

  この質 問 で 思 い 出 したが,以 前 次 の よ うな こ とが あ った.あ る 日,私 の と ころ へ,よ

くで き る 知 り合 い の高 校 生 が遊 び に来 て,「 平 面 上 に あ る三 角形 全 体 のつ

くる集 合 とい うのは,ど

うも よ くのみ こめ ませ ん」 とい う.彼 の納 得 いか な い点

を 問 い 質 して みた ところ,「 この 集合 を,教

科 書 で集 合 を 図 示 して あ る よ うに,

円 の中 に お さめ る よ うに考 え るた め に は,ど の よ うに想 像 した ら よい のか,イ ー ジが 湧 か な い ので す 」 とい う答 で あ った.

メ

  これ は笑 い 話 と して は 済 ま され な い だ ろ う.抽 象 的 な記 号 に比べ れ ば,図 の 方 が は るか に 印 象 が強 い.だ か ら,図 を用 い る と きに は,か え って 慎 重 さが要 求 さ

れ る.こ の高 校生 の よ うな誤 解が 生 じな いた め に は,一 切,図

を用 い な い で集 合

を 説 明 して い く こ とが,一 番 よい の で あ る.し か し,そ うは い って も,や は り図 を 用 いた 方 が,説 明 しや す く,わ か りやす い とい う こと もあ る.こ の 本 で も,時 時,図 を 挿 入す る.だ が,読 者 は,図 は あ くまで便 宜 的 な も ので あ る こ とを い つ も注意 して 頂 きた い.

第4講 有限 集 合 の間 の演 算,個 数 の計 算 テーマ

◆ 有限集合の元 の個数 ◆ 有限集合 の和集合 と共通部分 ◆ 有限集合の直積集合 ◆ 集合MN ◆Mか

らNへ の写像全体 のつ くる集合Map(M,N)

◆ 部 分集合の個数:￨〓(M)￨

有限集合の元の個数 有 限 集 合Mに

対 して,Mの

元 の個 数 を￨M￨と

表 わ す.た

とえば

￨{a,b,c,d}￨=4 Mを ア ル フ ァベ ッ トの つ く る集 合 と す る:￨M￨=26

空 集 合 φ も有 限 集 合 と考 え る こ とが あ る.こ の と き￨φ￨=0と

定 義 す る.

和集合と共通部分   2つ の有 限 集 合MとNに

対 し,MとNの

少 くと も一 方 に は含 まれ て い る元

全 体 のつ くる集 合 を

M∪N と 表 わ し,MとNの とNの

和 集 合,ま

た はM

結 び とい う.

  また,Mの

元 で あ る と と もにNの

元に

もな って い る元 全 体 のつ くる集 合 を

M∩N と表 わ し,MとNの

共 通部 分,ま た はM

図4

とNの

交 わ りとい う.MとNに

共有 す る 元 の な い ときに は,M∩N=φ

とお

く.  た とえば

M={1,2,3,4,5,6},N={3,6,9,12} の とき M∪N={1,2,3,4,5,6,9,12} M∩N={3,6}

で あ る.  和 集 合 と共 通 部 分 の元 の個数 につ き,次 の公 式 が 成 り立 つ.

【証 明 】 Mの

元 でM∩Nに

属 してい な い もの全 体 のつ くる集 合 をA,Nの

M∩Nに

属 して い ない もの 全 体 のつ くる 集

合 をBと

す る.明 らか に

またM∪Nは,互

元で

い に 共 通 の 元 の な い3つ

の 集 合,A,M∩N,Bの した が っ て,M∪Nの

和 と な っ て い る. 各 元 は,こ

の3つ

図5

の

集 合 の どれ か1つ に配 分 され て い る.し た が っ て また

が成 り立 つ.

直 積 集合   2つ の 有 限集 合M,Nが

与 え ら れ た と き,Mの

(a,b)を 考 え る.こ の よ うな1つ1つ った 集 合 と考 え た ものを

元aとNの

元bか

らな る対

の対 を元 と考 え,こ の全 体 を1つ の まと ま

M×N と表わ し,MとNの

直 積 集 合 とい う.

 た とえ ば

M={1,2},N={a,b,c} の とき M×N={(1,a),(1,b),(1,c), (2,a),(2,b),(2,c)} M={1,2,3,4,5},N{a,b,c}

とな る.

の と き のM×N

図6

  直 積集 合 の元 の個 数 に つ いて 次 の 公 式 が成 り立 つ.

【証 明 】 ￨M￨=m,￨N￨=nと

し,M={a1,a2,…,am},N={b1,b2,…,bn}と

表

わ す と

この こ とから￨M×N￨=mn=￨M￨×￨N￨が

  3つ の有 限 集合L,M,Nに

成 り立 つ こ とが わ か る.

対 して も同様 に 直 積 集合L×M×Nを

定義 す る こ

とが で き る:

  さ らに 一 般 にk個 の 有 限 集合M1,M2,…,Mkが

与え られ た とき,こ

積 集合

も考 え る ことがで き る.

集 2つ の有 限集 合M,Nが

合MN

与 え られ た とき,ベ キ の形 で かか れ た集 合 MN

を 考 え る こ とが で き る. 一 般 的 な定 義 を か く前 に,ま ず い くつ か の例 を 与 え てみ よ う.

れ らの 直

  この よ うに,集 合MNは,Nの

元 の個 数 だけ,Mを

直 積 した もの として 定義

す る. N={b1,b2,…,bn} の とき,MNは

で あ り,し た が っ てMNの

元cは

c =(a1,a2,…,an)(各aiはMの と表 わ さ れ る.Nの

元b1,b2,…,bnは,MNの

cのb1-成 分 はa1,cのb2-成

元) 座 標 成 分 を 指 示 し て い る と考 え て,

分 はa2,…,cのbn-成

分 はanで

あ る とい うこ とも

あ る. ￨M￨=m,￨N￨=n とお く と,積

集 合 の 元 の 個 数 の 公 式 か ら,

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

Mか   M,Nを

らNへ

有 限集 合 とす る.Mの

仕 方 が 与 え られ て い る と き,Mか っ て,Mの

元aがNの

元bへ

の写 像 全 体 の つ くる 集 合 各 元aに 対 して,Nの らNへ

あ る元bを

対 応 させ る

の 写像φ が 与 え られ た とい う.φ に よ

うつ さ

れ るとき φ(a)=b と 表 わ す.   た と え ば,M={p,q,r},N={0,1}

の と き,Mか る.

らNへ

の写 像 は,次 の8個

図7

の 対 応 の ど れ か1つ で与 え られ てい

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

(ⅴ)

(ⅵ)

(ⅶ)

(ⅷ)

を 元 と 考 え て,そ

の全 体 を1つ

一 般 に,Mか

らNへ

の 写 像 の1つ1つ

の まと

ま っ た 集 合 と考 え た も の を

Map(M,N) で 表 わ す.(Mapと の 例 で(ⅰ)か

か い た の は,写 ら(ⅷ)ま

像 を 英 語 でmappingと

い うか ら で あ る.)上

で の 対 応 に よ っ て 与 え ら れ る 写 像 をφ1,φ2,…,φ8と か

くと Map({p,q,r},{0,1})={φ1,φ2,…,φ8}

で あ る.   Map(M,N)の

個 数 に つ い て 次 の 公 式 が 成 り立 つ.

し た が っ て￨M￨=m,￨N￨=nと

【証 明 】 M={a1,…,am,N={b1,…,bn}と る と,φ は,Mの

元a1,…,amが,Nの

す る と,￨NM￨=nmだ

す る.φ

か ら

をMap(M,N)の

元 とす

ど の 元 に 移 る か で 完 全 に き ま る.す

なわ

ちφ は (φ(a1),φ(a2),…,φ(am))  (1)

に よ って完全 に き ま る.φ(a1)∈N,φ(a2)∈N,…,φ(am)∈Nだ

か ら,(1)は

見方をかえると

と な っ て い る と し て よい. 逆 にNMの

元c=(bi1,bi2,…,bim)が

与 え られ る と,Mか

らNへ

の 写 像φ が,

φ(a1)=bi1,φ(a2)=bi2,…,φ(am)=bim で き ま る.し 元φ と,NMの 等 し い.こ

元 が1対1に

対 応 し て い る.し

た が っ てMap(M,N)の

た が っ て こ の2つ

の集 合 の個 数 は

れ で 公 式 が 証 明 され た.

  た と え ば 前 に 述 べ たM={p,q,r},N={0,1}の

と き に は,Map(M,N)の8

つ の 元φ1,φ2,…,φ8に 対 し て

の よ うに,ベ

キ 集 合{0,1}{p,q,r)の

元 が 対 応 し て い る.

部分集合の個数  Mの

部 分集 合 全 体 の つ くる 集 合〓(M)の

元 の個 数―

す な わ ち,Mの

部分

集 合 の個 数 を知 りた い.   最初 に 例 と して

M={p,q,r} の 場 合 を 考 え て み よ う.Mの 定 義 し て お い た か ら,ど ま る.取

部 分 集 合 と は,い

くつ か の 元 を 取 り除 い た 残 り と

の 元 を 取 り除 くか 目 印 しを つ け て お く と,部

り除 く元 に 目印 し と し て0を

1と い う 目 印 し を つ け て お く.そ

つ け て お く.つ い で に,残

うす る と1と

分 集 合が き

され た 方 の元 に

い う目 印 し の つ い た 元 だ け が,1

つ の 部 分 集 合 を つ くる こ とに な る.た

とえ ば,pに0,qとrに1の

け る とい う こ と は,部

取 り 出 した と い う こ と に な る.pとqに

0,rに1と

い う 目 印 しは,部

  そ う思 っ て,改 る と,こ

分 集 合{q,r}を

分 集 合{r}に

め て 前 節 の{p,q,r}か

れ は,p,q,rに

どれ を 取 り除 き,ど

の とみ る こ と が で き る.こ

目印 しを つ

対 応 す る.

ら{0,1}へ

の 対 応(ⅰ)∼(ⅷ)を

み

れ を取 るか とい う目 印 しをつ け た も

の よ うに み た と き,(ⅰ)∼(ⅷ)と

部 分 集 合 との対 応 は

と な っ て い る こ と が わ か る.こ q,r}の

れ で{p,

す べ て の部 分 集 合が つ くされ て

い る か ら,部

分 集 合 の 個 数 は23=8で

あ

る.   同 じ よ うに 考 え る と,有

限 集 合Mに

対 し て,そ

の 部 分 集 合Sを1つ

と は,Mか

ら{0,1}へ

とるこ

の 写像φ を1つ

が わ か る.こ

の 写 像φ に よ って1に

部 分 集 合Sを

つ く る と 考 え る(図8).

  した が っ て〓(M)の 対1に

対 応 す る.こ

元(Mの

図8 き め る こ と と1対1に

うつ さ れ る元 が,こ

対 応 して い る こ と

の 写像 に 対 応 す るMの

部 分 集 合!)と,Map(M,{0,1})の

元 と が1

の こ と か ら,￨〓(M)￨=￨Map(M,{0,1})￨の

た.￨Map(M,{0,1})￨=2mに

注 意 す る と,結

こ とが わ か っ

局 次 の 公 式 が 得 ら れ た こ と に な る.

問1  を 示せ. 問2

を 示 せ.

Tea

質 問  MとNが

有 限集 合 で,M,Nの

通 な 元が な い ときに は,M∪Nの

Time

元 の個 数 をm,nと 個 数 が,mとnの

らか な こと と思 い ます.し か し,自 然数 の 積mnは

します.MとNに

和m+nと

な る こ とは,明

直 積 集合 の個 数 として,ベ キ

mnは,写 像 の つ くる集 合 の個 数 か ら出て くるの には驚 き ま し た.そ よ うに考 えれ ば,m≧nの

と きの 自然 数 の差m−nに

共

れでは同じ

対 応 す る 集合 演 算 が あ って

も よ い と思 い ま す. 答  確 か に そ うで あ る.M⊃Nの M−Nと

か い て,MのNに

ら 述 べ る と き に は,Mに

と き,Mの

元 で,Nに

よ る差 集 合 と い う.(あ 対 す るNの

属 し て い な い も の を,

とで,も

補 集 合 と い う.)こ

う少 し別 の 視 点 か

の とき

で あ る.   しか し,一 般 的 に は,M⊃Nで

ない

と きに も差 集 合 を 考 えた い.こ

の とき

は,図9で 元 でNに

斜 線 の部 分,す なわ ち,Mの 属 して い ない も の を,や

はり

差 集 合 とい って,

M＼N

図9

とい う記 号 で 表わ す.こ の 記号 は妙 に み え るか も しれ な いが,マ め におか れ た とみ る とよい.

イナ ス記 号 が 斜

第5講 可

算

集

合

テー マ

◆ 個数 と1対1対 応 ◆1対1対

応 と濃度

◆ 可算集合 ◆ 可算集合の例 ◆ 高々可算集合

個 数 と1対1対   基 数 の立 場 か らみ る と き,自 然 数 は,た ナ シの集 合 との 間 に1対1の

応

とえば1O個 の リン ゴの集 合 と10個 の

対 応 が あ るが,こ

そ うとい うことか ら生 まれ て きた.第2講

の と き共 有 す る 性 質 を10で 表 わ

で述 べ た よ うに,こ の よ うに,有 限 個

の もの か ら な る個 数 とい う概念 か ら抽 象 され て きた 自然 数 は,全 体 と して 一つ の ま と ま った もの と して 認 識 され て,そ こに 自然 数 の集 合 N={1,2,3,…

 }

が 形 成 され て きた.し か し,こ のN「 は もはや 有 限集 合 で は ない.   このNと

い う集 合 の 存在 を 認 めた とい うこ とは,数 学 は,単 に 有 限集 合 だけ

で は な く,無 限集 合 とい う対 象 に も,考 察 の範 囲 を広 げ る こ とが で きる とい うこ とを 意 味す る もの であ る.   さて,無 限 集合 を数学 の対 象 とす る と き,最 初 に 問題 とな るのは,有 限集 合 の と きの'元 の個数'に 対 応 す る概 念 を どの よ うに 導 入 した ら よいか とい うこ とで あ る.   有 限集 合 の場 合,{1,2,3,…,10}と は,す べ て 同 じ個 数10を 集 合Nと1対1に

い う標 準 的 な 集合 と1対1に

対 応 す る集 合

もつ として い る.同 じ よ うに考 え るな らば,自

対 応 して い る集 合 は,Nと'同

じ個数 の元'を

然数の

もつ と考え て

よ い だ ろ う.し か し,無 な い の だ か ら,'同

限 集 合 の 場 合,元

じ 個 数'と

を す べ て 数 え 上 げ る とい う こ と は で き

い うい い 方 は,適

当 で な い.私

た ち は,1対1の

対 応 が 存 在 す る と い う点 だ け に 注 目す る こ と に す る.

1対1対 【定 義1】  集 合MとNが 対 応 し,ま たNの

応 と濃度

与え られ た とす る.Mの

任 意 の元bに 対 して,Mの

元aにNの

元aで,aがbに

のが た だ1つ 存 在 してい る とき,MとNは1対1に

元bが た だ1つ 対応 して い る も

対 応 して い る とい う.

  有 限 集合 の場 合 と同様 に,一 般 の 集合 に 対 し て も,Mか

ら

Nへ の写像 と い う 概念 を定 義 す る こ とが で きる.す なわ ち, Mの

各 元aに 対 し て,Nの

あ

る元bを 対 応 させ る仕 方 が与 え られ て い る と き,Mか

らNへ

図10

の 写 像φ が 与 え られ た と い う.

  こ の 写 像 の 言 葉 を 用 い る と,定 義1は 【定 義1′ 】  集 合Mか

ら 集 合Nへ

の 写 像φ で,次

も の が 存 在 す る と き,MとNは1対1に   (ⅰ)a,a′   (ⅱ)任

∈Mでa≠a′ 意 のb∈Nに

この と き,φ 【定 義2】

はMか

集 合Mと

次 の よ うに い っ て も 同 じ こ と に な る. の(ⅰ),(ⅱ)の

性 質 をみ たす

対 応 し て い る とい う.

な らば,φ(a)≠φ(a′). 対 し て,あ

らNへ

るa∈Mが

の1対1対

集 合Nが1対1に

存在 して

応 で あ る と い う. 対 応 し て い る と き,MとNは

同 じ濃度

を もつ とい う.   こ の 言 葉 で は,10個

の リン ゴ の 集 合 と,10個

つ とい う こ と に な る.10個 つ.こ

の ナ シ の 集 合 は,同

の リン ゴの 集 合 と,10匹

じ濃度を も

の 犬 の 集 合 も 同 じ濃 度 を も

れ ら の 集 合 が,「 同 じ 濃 度 を もつ 」 と い う こ と を 指 示 す る の に,基

用 い た と い う こ と に な る. 【定 義3】   自 然 数 の 集 合Nと

同 じ 濃 度 を も つ 集 合 を,可

算 集 合 とい う.

数10を

  す な わ ち,Mが

可 算 集 合 で あ る と い う こ と は,Nか

らMへ

の1対1対

応φ が

存 在 す る こ と で あ る.   Mが

可 算 集 合 の と き,Mは

ロ と よむ.〓

は,ヘ

濃 度〓0を

ブ ラ イ文 字 のAに

ントル が この 文 字 を 使 っ て か ら,集 た.〓0は,自 目 は,有

も つ と い う.記

号'〓0'は

相 当 す る 文 字 で あ っ て,集

ア レ フ ・ゼ

合 論 の創始 者 カ

合 論 で は こ の 文 字 の 使 用 は慣 用 の も の と な っ

然 数 の 濃 度 を 示 す 一 つ の 基 数 と 考 え られ る も の で あ っ て,こ

限 集 合 の 濃 度(個

数!)を

示 す 基 数1,2,3,…

と 同 じ 役 目 を,可

の役 算集合

に 対 し て 果 し て い る と い え る.

可算集合の例  (1)  自然数 の集 合N,偶

数 の 集合E0,奇

数 の集 合E1は

可算 集 合 で あ る.

 (2)  整 数 の集 合 Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

は 可 算 集合 で あ る.   な ぜ な らNか

らZへ

の写 像φ を

に よっ て定 義 す る と,φ はNか

らZへ

の1対1写

像 を 与え て い るか らで あ る.

φは,偶 数 を正 の整 数 に,奇 数 を0と 負 の整 数 に うつ してい る.)   (3)  Mを

可算 集 合 とす る.SをMの

部 分 集 合 で,か

つ無 限 集 合 とす る と,

Sは 可 算 集 合 で あ る.   なぜ な ら,Nか

らMへ

の1対1対

応 を1つ 与 えて お くと,Mは

M={a1,a2,a3,…,an,…}

と表 わ す こ と が で き る.Sの に 現 わ れ る も の をai2,…

元 で,こ

の 並 び 方 の 最 初 に 現 わ れ る もの をai1,次

とす る と,Sは S={ai1,ai2,ai3,…,ain,…}

と表 わ され る.Sは

無 限集 合 だか ら,こ

の 系 列 が 途 中 で 止 ま る こ とはな い.N

か らSへ の写 像φ を φ(n)=ain

と定 義 す る と,φ は1対1写   この応 用 と して,た

像 で あ る.し た が ってSは 可 算 集 合 で あ る.

とえば

  (3a)  整 数 の 中で,5で

割 りきれ る もの全 体 は可 算 集合 をつ くる.

 (3b)  素 数全 体 のつ くる集 合 は 可 算集 合 で あ る.  素数 とは,1よ

り大 きい 自然 数 で,自 分 自身 と1以 外 に は約 数 を もた な い数 の

こ とで あ る.素 数 の最 初 の部 分 を か くと次 の よ うにな る: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,…

任 意 の 自 然 数 は,素

数 の 積 と して 表 わ さ れ る.

  素 数 が 無 限 に あ る こ と は,背 限 個 し か な か っ た と し て,そ 5,…,pn}と

表 わ さ れ る.自

理 法 を 用 い て 次 の よ うに 示 さ れ る.い の 総 数 をnと

っ て も1余

る.し

割 っ て も,3で

た が っ て,こ

に な り,矛 盾 で あ る.し

数 全 体 は,{2,3,

…pn+1

割 っ て も,5で

の 自 然 数qは,ど

た が っ て,素

  素 数 の つ く る 集 合 は,Nの

の と き,素

然数 q =2・3・5・

を 考 え る と,qは,2で

す る.そ

ま素 数 が 有

割 っ て も,ど

の素 数 で割

ん な 素 数 で も割 りき れ な い こ と

数 は 無 限 に 存 在 す る.

部 分 集 合 で,か

つ 無 限 集 合 だ か ら,可

算集合であ

る.   (4) 

自 然 数 の 対(m,n)(m,n=1,2,3,…)全

体 のつ くる 集 合 は 可 算集 合 で

あ る.   実 際,自

然 数 の 対(m,n)に

は,次

と に よ り,自 然 数 の 集 合Nと1対1に

の よ うに 斜 線 に 沿 っ て 順 次 番 号 を つ け る こ 対 応 さ せ る こ と が で き る:

高々可算集合

  集 合Mが,有

限 集 合 か,可

  可 算 と い う形 容 詞 は,英 bleの 訳 で あ る.ぎ

算 集 合 の と き,Mを

語 でcountableで

あ り,高

こ ち な い 日 本 語 だ が,数

と い う 言 葉 を 用 意 し て お く と,た

高 々可 算 集 合 とい う. 々 可 算 はat

most

学 で は 慣 用 とな っ て い る.高

counta 々可 算

と え ば 次 の よ うな 事 実 を 述 べ る の に 便 利 で あ

る.

Mを 可 算集 合 とす る と,Mの   この こ とは,Mの

任 意 の部 分 集 合 は高 々可 算 集 合 で あ る.

部 分集 合 は,有

限集 合 な らば(3)に

限集 合 か 無 限集 合 か の どち らかで あ り,無

よ り可 算 集合 とな って い る こ とか ら,す ぐに わ か る.

Tea

質 問  高々 可 算 と は,数 most

countableと

た.つ

い で で す か ら,集

答  集 合 は,英

学 の 用 語 と し て は,妙

い う英 語 を 聞 い て,か 合 とか,濃

語 で はsetと

数 学 で は リン ゴ の 集 合 もa natural

numbersと

Time

な も の だ と思 っ て い ま し た が,at

え って納 得 した よ うな 気 分 に な りま し

度 の 英 語 も 教 え て 頂 け ま せ ん か.

簡 明 に い う.応 接 セ ッ トは 日本 語 と な っ て い る が, set of applesで

な る.濃

度 は,potencyま

基 数 と い う英 語 を そ の ま ま使 っ て,cardinal

あ り,自

然 数 の 集 合 はthe

た はpowerで numberと

あ るが,あ

も い う.日

度 の こ と を こ の 英 語 ど う りに カ ー ジ ナ ル 数 とい う こ とが あ る.た な い い 方 を す る.'可 setで

算 集 合 の カ ー ジ ナ ル 数 は〓0で

よい が,enumerable

setと い うい い 方 も,よ

あ る'.可

set of るい は

本語 で も濃

とえ ば 次 の よ う

算 集 合 はcountable

く用 い ら れ る.

第6講 可算集合の和集合 と直積集合 テーマ

◆ 自然 数 の集 合Nを,可

算 集合に 分 け る.

◆ 可 算 集 合 の和 集 合:有 限個 の和 集 合,可 算 個 の 和 集 合 ◆2つ

の可 算 集 合 の 直 積 集合

自然数の集合の分解   可 算 集 合 に 対 して も,有

限 集 合 の場 合 と 同 様 に 和 集合 を 定義 す る ことが で き

る.た とえ ば,自 然 数 の 集 合Nは,偶

数 の つ くる集 合E0と,奇

数 のつ くる集 合

E1の 和 集合 と な って い る: N=E0∪E1 

(1)

も う少 し見 やす くか くと {1,2,3,4,5,…}={2,4,6,…}∪{1,3,5,…}

で あ る.   和 集 合(1)の

右 辺 に 現 わ れ るE0とE1に

強 調 し た い と き,Nは,E0とE1の

は,共

直 和(ま

通 の 元 が な い.こ

た は 直 和 集 合)で

の こ とを

あ る と い っ て,

記号

(2) で表 わ す.記 号 〓は,和 集 合 の記 号 ∪が少 し角 ば って も の もの し くな った と見 る と よい.記 号 の こ とよ りは,可 算 集合Nが,2つ

の 可算 集 合E0,E1か

ら組 み立

て られ て い る こ とに注 意 す べ きで あ る.有 限 集 合 の とき に は,た とえば100個 か らな る'も の の集 り'が,同

じ個 数100個

の もの を2つ 合 わ せ て で きる な ど とい

う ことは,絶 対 に お こ り得 な い.し た が って,こ 個 の'個 数'と は,全  実 は,Nは,も

の点 で は 可算 濃 度N0は,有

く異 な る状 況 を示 す ので あ る.

っ と多 くの可 算 集 合 の直 和 に 分解 す る.そ れ を み るた め に,

限

E0′={1}∪E0={1,2,4,6,8,…}

と お く.次

にE(3)に

よ り,3の

倍 数 で,2で

割 りき れ な い も の 全 体 か ら な る 集

合 を 表 わ す: E(3)={3,9,15,21,…}

次 にE(5)に

よ り,5の

倍 数 で,2で

も3で

も割 りき れ な い も の 全 体 か ら な る 集

合 を 表 わ す. E(5)={5,25,35,55,…}

以 下 同 様 に し て,た

と え ばE(7)は,7の

体 で あ る と定 義 す る.E(7)の E(7)は

無 限 集 合 で あ る.各

倍 数 で,2,3,5で

中 に は,7,72,73,…,7n,… 素 数pに

割 りきれ ない もの全 が 含 ま れ て い る か ら,

対 して,E(p)を,pの

倍 数 で,pよ

さ い 素 数 で 割 り き れ な い 数 全 体 か らな る集 合 と し て 定 義 す る.E(p)は

り小

無 限集 合

で あ る.   そ の と き,Nは

(3) と分 解 され る.各E(p)は 分 集 合E(p)の

可 算集 合 で あ って,pが

素 数全 体 を わ た る とき,部

全 体 は可 算 で あ る.

  標 語 的 に い え ば,自 然 数 の集 合Nは,可

算 個 の 可算 集 合 の 直和 と して 表 わ さ

れ る.   もち ろ ん,自

然数 の集 合Nは,任

意 の有 限個 の,た

とえ ば,100個

合 の 直 和 と して表 わ す こ と もで き る.そ れ に は,素 数2,3,5,… 2番 目 と数 えて い った とき,100番

と,か

の 可 算集

を順 に,1番

目に くる素 数 をp100と し,(3)の

分解 を

き 直 し て お く と よ い.

可算集合の和集合

M,Nを

可 算 集 合 とす る と,和 集 合M∪Nも

可 算 集 合 で あ る.

目,

【証 明 】  こ の 証 明 に は,第4講 る.第4講

で は,有

Ｎ＼Mは,Nの

のTea

Timeで

述べ て あ る 差 集 合の 概念 を 用 い

限 集 合 の場 合 し か 取 り扱 わ な か っ た が,そ

元 で,Mに

の と き と同 様 に,

属 し て い な い も の 全 体 か ら な る 集 合 とす る.そ

の と

き

が 成 り立 つ(図11).N＼Mが 比 べ て,Mの

元 をE0の

可 算 集 合 な らば,こ 元 と1対1に

の 分 解 を,(2)の

対 応 させ,N＼Mの

に 対 応 させ る こ とに よ り,M∪NとNと

の 間 の1対1対

元 をE1の

分 解 と見 元 と1対1

応 が 得 られ る.

図11   N＼Mが

有 限 集 合 で,た

とえ ば{b1,b2,…,bn}と

表 わ され て い る と き に は,M

の元 を {n+1,n+2,…}

と1対1に

対 応 さ せ,N＼Mの

と の 間 の1対1対

元 を{1,2,…,n}に

対 応 さ せ る と,M∪NとN

応 が 得 られ る.

  この こ とか ら,M1,M2,M3が で あ る こ とが わ か る.な

可 算 集 合 な ら ば,M1∪M2∪M3も

また 可算 集合

ぜなら

で あ り,一 方M1∪M2は

上 の 結 果 か ら可 算 集 合 だ か ら,M1∪M2とM3に,も

う

一 度 上 の 結 果 を 用 い る こ とが で き る か ら で あ る.   同 様 の 推 論 を く り返 す こ と に よ り, M1,M2,…,Mnが M1∪M2∪

可 算 集 合 な らば,

… ∪Mnも

可 算 集 合 で あ る.

  も う一 歩 進 め て 可 算 個 の 和 集 合 の 場 合 も考え て お こ う.M1,M2,…,Mn,… 可 算 集 合 の 系 列 とす る.こ

の と き,少

く と も1つ のMnに

を

含 まれ る元全 体 を 考え

る こ とに よ っ て,和

集合

が 得 られ る.こ れ を簡 単 に

とか く こ と も あ る.こ

の と き,次

の こ と が 成 り立 つ.

各Mn(n=1,2,…)が

可 算 集 合 な らば

も また可 算 集合 で あ る. 【証 明 】 M1,M2,…,Mn,… も 共 有 す る 元 が な い 場 合,す

の ど の2つ

を と って

なわ ち

Mi∩Mj=φ(i≠j) が 成 り立 つ 場 合 だ け 示 し て お こ う.こ

の と き,

(4) と 表 わ せ る.Nの

分 解(3)と

見 比 べ て,M1と

E0′,M2とE(3),M3とE(5),…,MnとE(pn) と を1対1に る.こ

対 応 さ せ て お く と,結

れ で 証 明 さ れ た.(な

M1,M2,…,Mn,…

図12 局(4)とNと

おMiとMj(i≠j)の

の 系 列 を,共

の 間 の1対1対

応 が 得 られ

間 に 共 通 の 元 の あ る と き に は,

有 点 の な い系 列

に 直 して か ら,同 様 に考 え る.こ の系 列 に有 限 集合 が 現 わ れ る と きは,適 当 に補 正 す る.)

  可 算 集合 だけ で は な くて,有 限集 合 も考 えに 入れ る と きに は,上 の命 題 よ り, 次 の形 の 命題 の方 が使 い やす い こ と もあ る. 各Mn(n=1,2,…)が

高 々 可 算 集 合 な ら ば,

も また 高 々可算 集 合 で あ る.

可算集合の直積集合

M,Nを

可 算 集 合 とす る と,直 積 集 合M×Nも

【証 明 】

可 算 集合 で あ る.

  M={a1,a2,…,am,…},N={b1,b2,…,bn,…}

と す る と, M×N={(am,bn)￨m,n=1,2,…}

で あ る.前 あ る.こ

講(4)に

よ り,自 然 数 の 対(m,n)全

の 集 合 とM×Nと

に よ っ て,1対1に

は,対

体 の つ くる 集 合 は 可 算 集 合 で

応

対 応 し て い る.し

た が っ てM×Nも

可 算 集 合 で あ る.

  こ の こ と を く り返 し て 用 い る と M1,M2,…,Mnが Ml×M2×

可 算 集 合 な らば,直

… ×Mnも

積集 合

可 算 集 合 で あ る.

こ とが わ か る.   こ こ でM1×M2×

…×Mnは,M1か

らai1,M2か

らai2,…

…,Mnか

らainを

任 意 に と って 並 べ た (ai1,ai2,…,ain)

の よ うな形 の 元全 体 か らな る. Tea

Time

質 問   和集 合 と直 積集 合 の結 果 を見 比べ てみ る と,和 集 合 の方 は,可 算個 の和 集 合M1∪M2∪

… ∪Mn∪ … まで考 え て い る の に,直 積 集合 の方 は,有 限個 の直 積

しか考 え なか った の は,何 か理 由が あ る こ となの で し ょ うか. 答  確 か に理 由は あ った ので あ る.可 算 集 合 の 系列M1,M2,…,Mn,…が れ た とき,私 た ち は,直 積集 合

与え ら

M1×M2× を 考え る こ とが で き る.し

か し,あ

… ×Mn×

…

と の 講 で み る よ うに,こ

算 集 合 で は な い の で あ る.可

算 集 合 よ り,'も

ま う.可 算 個 の 和 集 合 と,可

算 個 の 直 積 集 合 と は,濃

の 集 合 は,も

っ と 濃 度 の 高 い'集

はや可

合 とな って し

度 の 点 か ら み る と,全

く異

な っ た 様 相 を 呈 し て く る.   有 限 集 合 の 場 合 を ふ り返 っ て み る と,い そ れ ぞ れ の 元 の 個 数 は10で

あ る とす る.こ

ま 有 限 集 合M1,M2,M3,M4が

あ っ て,

の とき

で あ るが

で あ る.す なわ ち,直 積 集 合 を とる方 が,和 集 合 を と る とき よ り,は るか に元 の 個 数 が多 くな る.こ の状 況 が,無 限 個 の 直積 集 合 を と った とき,も っ と強 い形 で 反 映 して くるの で あ る.実 際,驚

くべ き こ とに,2つ

の元 か らな る集 合{0,1}の

可 算個 の直 積 集合 {0,1}×{0,1}×{0,1}×

で さ え,も

は や 可 算 集 合 で は な く な っ て,'も

の こ とに つ い て も,第8講

…×{0,1}×…

っ と 濃 度 の 高 い'集

合 と な る.こ

以 下 で 少 しず つ 説 明 し て い く こ と に す る.

第7講 数直線上の可算集合 テー マ

◆ 数 直線 ◆ 有 理 数 の集 合Q ◆ 有理 数 の集 合 は 可 算 集合 ◆ 数直 線 上 の 有 理 点 の稠 密 性 ◆ 互 い に重 な り合 わ な い線 分 の つ くる集 合 ◆(Tea

Time)代

数 的 な数

数   直 線 上 に 相 異 な る2点OとEを りO,Eに

目盛 り1を

与え る と,こ

直

と り(ふ つ うEはOの

の 方 向 に2,3,4,…

ぶ 点 に は,0に

等 間 隔 に 並 ぶ 点 を,Eの

と 目盛 り を つ け る.Oの

近 い 点 か ら 順 に−1,−2,−3,…

ｎ等 分 して,0に一番

右 側 に と る),Oに

れ を 基 準 点 と し て 数 直 線 が 得 られ る.す

ち 物 差 し の 目盛 りを 刻 む の と 同 じ要 領 で,OEと に,右

線

近 い 分 点に1/nと

左 の 方 向 にOEと

て,m/n(m=0,1,2,…;−1,−2,…)の目盛

なわ

右 か ら順 等 間 隔 に並

と 目 盛 り を つ け る.次

目 盛 りを つ け る.今

目盛

にOEを

度 は これ を基準

とし

りを つ け る点 が き ま っ て く る.

図13 こ の よ う に し て,ど

んな有理数m/nを

と っ て も,m/nの

目盛 りを もつ 点 が,直

線

上 の ど こにあ るか が確 定 す る.実 際 は,数 直 線 とい うと きに は,さ らに,任 意 の 実 数 に対 して も,直 線 上 の点 を対 応 させ て,直 線上 の点 は,必 ず あ る1つ の実 数 を 表わ して い る と考 え るの で あ るが,さ

しあた りは,有 理 数 の 目盛 りが きめ られ

て い る上 の よ うな直 線 を,数 直 線 とい う ことにす る.

有理数の集合 分 数 と い っ ても有理数 n=0,±1,±2,…)と

と い っ て も本 質 は 同 じ こ とで,そ

表 わ さ れ る数 の こ とで あ る.し

こ の 表 わ し方 ま で 注 目 し て い る こ と が 多 い.そ は,表

わ し方 は 無 視 し て,た

は,'有理数1/4は2/8に

れはn/m(m=1,2,3,…;

か し,分

数 と い う と き に は,

れ に 反 して 有 理 数 とい うときに

とえ ば

等 し く,0.25と表わ

され る'と い うよ うな いい方も で き

る.以 下 で は,有 理 数 とい う用 語 の方 を 採 用す る こ とにす るが,こ れ は数 学 で は 慣 用 の こ とで あ る.   有理 数 全 体 のつ くる集 合 をQと て,よ

りわ け て み る と,Qは

こ こでm=1,2,3,…

表わ す.有 理 数 を 表 わ す 分 数 の 分母 に 注 目 し

次 の よ うな部 分 集 合 か らな って い る ことがわ か る.

で あ る.Q(m)に属

す る有理数は,数直線上

で 等 間 隔 に お か れ た 分 点 と し て 表 わ さ れ て い る.   す な わ ち,

と な っ て い る.

では,1/mの

幅

  Q(2)の

中 で,約

分 す る と 整 数 と な る も の を 除 い た も の をQ(2)'と

の 中 で,Q(1),Q(2)に

す で に 属 して い る もの を 除 い た も の をQ(3)'と

般 にQ(m)'はQ(m)か

ら,Q(1),Q(2),…,Q(m−1)に

い た も の 全 体 とす る.Q(m)か

らQ(m)'へ

し,Q(3) す る.一

属 して い る 有 理数 を除

と移 る こ と は,数

直 線 の 点 で い え ば,

0か らは じ ま って1/mの 幅 で 等 間 隔 に並 ん で い る分 点 の 中で,整

数 点 お よび 

の 幅 で並 ぶ 分点 と重 な って い る もの を取 り除 くこ とに相 当 して い る.   こ の と き,明

らか に

(1) と な る.   各Q(1),Q(2)',…,Q(m)',… 果 か ら,次

は す べ て 可 算 集 合 で あ る.し

たが って 前 講 の結

の こ とが 示 さ れ た.

有理 数 の集 合Qは

可 算 集 合 で あ る.

有理数の集合 と積集合   有理 数 の 集 合Qが

可算 で あ る ことは,次

の よ うに 考 え て もわ か る.説 明 の簡

単 の た め に,正 の有 理 数全 体 のつ くる集 合Q+が,可

算 で あ る こ とを 示 す こ とに

す る.   自然数 の集 合Nの

直 積集 合N×Nは,自

って,し たが って第5講(4)か

然 数 の対(m,n)か

ら,N×Nは

らな る 集 合 で あ

可算 集 合 で あ る.正 の有 理数 を,

約 分 した分 数 の形 n/m(mとnに で か い て お く と,こ

Sは,N×Nの

外 に共通 の約 数 は ない)

の 表 し方 は 一 通 りで あ る.

し た が っ てn/mに(m,n)を 部 分 集 合Sの

は,1以

上 へ の1対1対

対 応 さ せ る こ と に よ り,Q+か

ら,N×Nの

ある

応φ が 得 られ る:

無 限部 分 集 合 と して可 算 だ か ら,し

たが って またQ+も

可算集合

と な る.

数直線上の有理点   数 直 線 上 で,有 理 数 の 目盛 りを もつ点 を 有 理 点 とい う.PとQが ば,PとQの

中 点Rも

また有理 点 で あ る.な ぜ な ら,点Pが

点Qが 表わ す有 理 数 をr′ とす る と,Rの

で あ っ て,こ

有理点 なら

表 わ す 有 理 数 をr,

目盛 りは

れ は また有 理 数

だ か ら で あ る.   図14か

ら もわ か る よ うに, 図14

こ の こ と か ら ま た,PとRの

中点R′,RとQの

中点R"も

また 有 理 点 とな る.こ

れ を く り返 して い くと,P

とQの 間 に,す き間 の ない くら い,ぎ っ し りと有 理 点 が存 在 して い る こ とが わ か る.   PとQは,ど

この有 理 点 を とって も よい のだか ら,結 局,数 直線 か ら どん な短

い 線 分 を取 り出 してみ て も,必 ず そ の 線分 の中 に,有 理 点 が(実 は無 限 に)含 ま れ て い るわ け で あ る.こ の事 実 を,有 理 点 は数直 線 上 に稠 密 に存 在 す る とい い表 わ す.   有理 点 は稠 密 に存 在 して い るが,数 直線 上 にあ る点全 体 か らみれ ば,実 は,有 理 点 は まば らに しか 存在 してい ない と数 学 者 は感 じて い る.こ の'ま ば ら'と い う感 じ は,稠 密 に存 在 して い る とい う感 じ と相反 す る よ うで あ が,そ れ は 無 限 に 存 在 す る有理 点 の状 態 を,日 常 の 言葉 を用 い て表 現 して い るか らで あ る.こ こで は有 理 点 の全 体 は,等 間 隔 に並 ぶ点 を 順 次数 え上 げ て い くこ とでつ くされ る とい う状 況 を 想像 す る こ とに よって,'ま

ば ら'と い った 言 葉 の響 きを 少 しは 感 じ と

って も らえ るので は な か ろ うか.

互 い に 重 な リ合 わ な い線 分 の つ くる 集 合 有 理 点 の全 体 が,数 直線 上 に稠 密 に存 在 して,か つ可 算 で あ る とい うこ とは,

図15

い ろい ろな こ とを示 す の に用 い られ る.   た とえ ば,図15の

よ うに,数 直 線 上 で,互

与え られ た とす る.こ の線 分 の1つ1つ 集 合Aは

を元 と考 えた 集合 をAと

とる.有 理 点 の集 合Qは Q∩I≠

た が っ てQの

す る.

高 々可 算 集 合 で あ る.

【証 明 】  Aに 属 す る線 分Iを1つ

で あ る.し

い に重 な り合 わ ない 線 分 の集 りが

分 解(1)を

稠 密 だ か ら,

φ

考 え る と,

で あ るが Q(m)'∩I≠ と な るmが

存 在 す る.(m=1か

こ の と き 線 分Iの

も しれ な い.こ

し,そ

の 中 で 一 番 左 に あ る も の をrIと

す る.

  こ の よ うに し て,Aに 属 す る2つ

rI∈I,rJ∈Jだ

か ら,rI≠rJで ら,Qの

の 線 分I,Jに

対 し て,有

対 し て,I≠Jな

あ る.し

あ る部 分 集 合Sの

φ で あ る.)

は 含 ま れ る.ち

ょ うど

うで な い と き は こ の 形 の 有 理 点 の 中 で,I

属 す る 各 線 分Iに

が で き る.Aに

SはQの

の と き はQ(1)∩I≠

中 に はn/mの 形 の 有 理 点 が 少 く と も1つ

1つ の と き は こ の 有 理 点 をrIと

応 は,Aか

φ

た が っ てIに

上 へ の1対1対

部 分集 合 と して高 々可 算 だか ら,Aも

理 点rIを

対応 させ る こ と

ら ばI∩J=φ 対 してrIを

で,一

方

対 応 させ る対

応 ψ を 与 え る:

また 高 々可 算 な集 合 とな る.

Tea

Time

代数 的 な数 全体 の つ くる集 合   や 

は有理 数 で ない ことは知 られ て い るが,そ れ ぞ れ は2次 方 程式 x2−2=0,x2−3=0

の 解 に な っ て い る. 

も有 理 数 で はな いが,3次

方程式

(x−2)3−2=x3−6x2+12x−10=0

の 解 に な っ て い る.

この よ うに,一 般 に整 数 を係 数 とす る代数 方 程 式 (a0≠0)(2) の 解 と な っ て い る数 を,代

数 的 な 数 と い う.n=1の

の解 とな る 代 数 的 な 数 は,ち

場 合,す

な わ ち1次

方程式

ょ う ど有 理 数 で あ る.実 際 

で あ る.し たが って代 数 的 な数全 体 の つ く る 集 合 は,有 理 数 の 集合Qを 部 分 集 合 として含 んでい る.   方 程式(2)の

解 とな る代数 的 な数 をn次 の代 数的 な数 とい うこ とにすれば,

代 数 的 な数 の集 合 は,1次,2次,…,n次,… い る.こ の こ と と,1次

の代 数 的 な数 の和集 合 とな って

の 代数 的 な 数 の全 体Qが

可算 集 合 で あ る こ とに 注 意す

る と,次 の結果 が 成 り立 つ ことが予 想 され るだ ろ う. 代 数的 な数全 体 のつ くる集 合 は可 算 集合 で あ る. この証 明 の要 点 は,代 数方 程式(2)に

対 して

h =n+￨a0￨+￨a1￨+…+￨an￨

とい う数 を考 え る ことに あ る.hを(2)の

高 さ とい うが,高 さhを 与 え た とき,

この高 さを もつ 代数 方 程式 は 有 限個 で あ る.た

とえばh=5と

す れ ば,少

方程 式 の 次数 は5以 下 で,係 数 の絶 対値 も5以 下 で な くて は な らない.1つ

くと も の代

数方 程 式 は,有 限個 の解 しか もた な い か ら,結 局,高 さhの 代 数 方 程式 の 解 の個 数 は有 限 個 で あ る.h=1,2,…

と動 か す と,代 数 的 な数全 体が 得 られ るの だか ら,

したが って代 数 的 な数全 体 のつ くる集 合 は,可 算 で あ る.

第8講 実数の構造―

小数展開

テーマ

◆10進

法 と小 数

◆ 無限小数展開 ◆ 無 限 小 数展 開 と数 直 線上 の点 ◆ 数 直 線 と実 数 ◆(Tea

Time)デ

デキ ン トの切 断

10進

法

私 た ち は,ふ つ う10進 法 を 用 い て数 を表 わ して い る.た とえば 10.561と

か121.863401

な ど で あ る.数

直 線 を 用 い て,こ

て お き た い.私

た ち に 特 に 関 心 の あ る の は,小

況 で あ る.そ

の た め に は,あ

の 範 囲 を0と1の

法 を,も

う 一 度 よ く見 直 し

数 点 以 下 の と こ ろ に 続 く展 開 の 状

ま り大 き い 数 ま で 考 え る 必 要 も な い の で,考

え る数

間 に 限 っ て お く こ と に す る.

  数 直 線 の0と1の お く.も

の 使 い な れ た10進

間 を10等

分 し,得

う少 し正 確 に い う と,区

ら れ た 区 間 を 左 か ら 順 にJ0,J1,…,J9と

間[0,1)={x￨0≦x0 の と き (α−1).999…99… α≧0 の と き α.α1α2α3…(αn−1−1)999…9… と 同 じ 数 を 表 わ す とす る,α0)の

と し て ベ キ を 定 義 す る.ま

お く.こ の よ うに して,す べ て の有 理 数 γに対 して まで,mの

の 定 義 を拡 張 した ときに も,(7),(8)が

な

と して ベ キ の 定 義

と き, 

を 拡 張 し,次 に 負 の数− γに対 して は  m0=1と

参 照).

然 数 の べ キ の 定 義 を 思 い 出 す と,す

つ い て 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て)示

式(4),(5)は(7),(8)を   一 方,数

公 式 で,M,Γ1,Γ2

た

ベ キmr

成 り立 つ こ とを 確か め る.

  す なわ ち,集 合 を 背 景 と して考 え るか,数 の世 界 を背 景 と して 考 え るか に よ っ て,自

然 数で の公 式(7),(8)は,そ

れ ぞれ 別 の道 を 歩み なが ら一般 化 され て

い く.数 学 で は,概 念 とか公 式 を一 般 化す る場合,そ れ は常 に背 景 に あ る世 界 の 広 が りの中 で考 え られ て い る.

質 問  こ こで の話 以 外 に,数 N)―

学 の い ろ い ろな 分野 で 写像 のつ くる 集 合Map(M,

これ は 僕 に は まだ 想 像 しに くい 集 合 な ので すが―

な どを考え る 場 合 が

あ る の で し ょ うか.僕

た ち が ふ つ う 出 会 う関 数,y=3x2−5x+2やy=cos 

3xな

ど に 対 し て は,1つ1つ

の 関 数 の グ ラ フ を か い た り,微 分 した り し て 調 べ て い ま

す.こ

の 関 数 も,Map(R,R)の1つ

の よ うな1つ1つ

る とい う こ とで す が,こ

の よ う な 観 点 が,現

の 元 と見 な す こ とが で き

実 に必 要 とな る ことが あ るので し ょ

うか. 答   最 近 の 数 学―20世

紀 に な っ て 発 展 し て き た 数 学 の 中 で,実

際,こ

の よう

な 観 点 が 重 要 な も の と な っ て き た.   質 問 に 答 え る 前 に,少

し脇 道 に 入 る.2次

因 数 分 解 して 解 い て み る と,解 こ の 式 に 含 ま れ て い るxに と だ け で あ る.一 −5x+8が,い

方,関

つ2と

y=x2−5x+8と

はx=2,x=3と

項 して

い う こ と が わ か る.す

つ い て の 情 報 は,xは2か,ま 数 とい う立 場 で,こ

た は3で

い うRか

らRへ

の 方 程 式 を み る と,2次

の 写 像 を ま ず 考 え て,次

値 しか と らな か っ た の に 比 べ て,今

の と き,最

な わ ち,

あ る とい うこ

い う値 を と るか と い う問 題 に な っ て い る.い

と な る の は い つ か と 聞 く の で あ る.こ

上 をxが

方 程 式x2−5x+8=2を,移

関 数y=x2 い か え る と,

に こ の 値(像!)が2

初 の 方 程 式 の 未 知 数xが2つ

の

度 の 観 点 で は,ま ず 連 続 濃 度 を も つ 集 合Rの

動 い て い る こ と に 注 意 す る必 要 が あ る.

  同 じ よ う に,た

と え ば,微

分 方程 式 ｙ′+2y=x2

を解 くと き,こ れ を 微分 方 程 式 の解 法 に した が って 解 く考 え 方 と(こ れ は上 の話 で2次 方程 式 を 解 く考 え に対 応 す る),あ

る 関数 の集 合 か ら,あ

る 関数 の集 合へ

の写 像 y→y′+2y

が与え られ て,こ

れ がx2と 一 致 す るの は いつ か と問 う 観 点 もあ る(こ れ は上 の

話 で2次 関数 を 考 え る考 え に 対 応 す る).こ く ことは で きな い が(な ぜ な ら,yは きない か ら),Map(R,R)の

の とき,yはMap(R,R)全

体 を動

微 分 で きる関 数 で ない と上 の写 像 は定義 で

あ る部 分 集合 上 を 動 くと考 え て い る.こ の よ うに,

関数 方 程式 を 解 くと きに は,そ の背景 にあ る関数 の 集 りを考 え る こ と も,ご く自 然 な ことで あ る と,考 え られ る よ うにな って きた の で あ る.

第14講 濃

度

テー マ

◆MとNは

同 じ濃 度 を もつ

◆ 濃 度 の 演 算:和,積,ベ

キ

◆ ◆

濃度を表わす記号 濃 度 の定 義 は,第5講

の 定義2で す で に 与 え てあ る.2つ

と い う関 係 が あ る と き,MとNは

  集合Mの

の 集 合M,Nが, 

同 じ濃 度 を もつ と い うの で あ っ た.

濃度 を表わ す の に,対 応す る ドイ ツ文 字 の小 文字mを

例 で あ る.同 様 に,集 合A,B,L,Nな

用 い るのが 慣

どの濃 度 を 表わ す の に,対 応 す る ドイ ツ

小文 字a,b,I,nを 用 い る.し た が って,濃

度 の定 義 を記 号 を用 い て簡 単 に書 くと

(1) と な る.   ま た,Map(M,N)や,集 の 記 号 の 上 に,2本

と表わ す.た

で あ り,ま

た

とえば

合{a,b,c,d}な の 横線 を引 い て

ど の 濃 度 を 表 わ す と き に は,集

合

で あ る.

濃度の演算― 濃 度 の和:集

合M,Nの

和

の濃 度 を

直 和  m+n

と 表 わ し,mとnの

和 と い う. か ら,(1)に

よ り ｍ+n=n+m

か 成 り立 つ こ と が わ か る.ま

た 

(第11講

の(ⅲ)

参 照)か ら Ｉ+(m+n)=(I+m)+n

が 成 り立 つ.   M,Nが

有 限集 合 の ときに,濃 度 の和 は,自 然 数 の 和 とな って い る.

  第6講 か ら,2つ

の可 算集 合 の和 集 合 は可 算集 合 だか ら

で あ る.ま た,有 限集 合 と可 算集 合 の和 集 合 は可 算 集合 だか ら

と な る.

濃 度 の 積:集

合M,Nの

濃度の演算―

積

直 積集 合M×Nの

濃度 を

mn

で 表 わ し,mとnの

積 と い う.   で あ る.実

N×Mの

際,M×Nの

元(x,y)(x∈M,y∈N)に

元(y,x)の を対 応 させ る対 応 は,M×Nか

与 え る.し た が って(1)と

濃 度 の積 の定 義 か ら

らN×Mへ

対 し,

の1対1対

応を

mn=nm

同 じ よ うに考 え て Ｉ(mn)=(Im)n

も成 り立 つ.   3つ の 集 合L,M,Nに

が 成 り立 つ.実

対 して

際,左

辺 に 属 す る 元 は,(w,x)(w∈L,x∈M)と

か,(w,y)(w∈L,y∈N)と

表 わ され る元

表 わ さ れ る 元 の い ず れ か か ら な り,こ

を 分 け て か く と,右 辺 に な る.し

た が っ て 濃 度 へ 移 っ て,等

の それ ぞれ

式

Ｉ(m+n)=Im+In

が示 され た ことに な る.  M,Nが

有 限 集 合 の ときは,濃 度 の積 は,自 然数 の 積 とな って い る.

 第6講 か ら,2つ

の可 算 集 合の 直 積 集 合は,可 算 集 合 だ か ら

(1) で あ る.ま た,有 限集 合 と可 算集 合 の直 積集 合 は,可 算集 合 だか ら

(2) と な る.

濃 度 の 演算― 濃 度 の ベ キ:集

合M(≠

ベキ

φ),Nに 対 し,集 合NMの

濃度を

ｎm

で 表 わ し,nのmべき 第13講

の(4)と(5)か

とい う. ら,次

の 等 式 が 成 り立 つ こ と が わ か る:

(3)

(4)   M,Nが

有 限 集 合 で,そ

の 濃 度(自

濃 度 は,ち

ょ う ど 自 然 数 の べ キ 乗nmと

然 数!)を

そ れ ぞ れm,nと

な っ て い る(第13講,Tea

Map(M,N)と〓(M)の

第13講

の(1)と,濃

す る と,NMの Time参

照).

濃度

度 の べ キの 定義 か ら

(5) で あ る.   第13講

の(3)と,濃

度 のベ キ の定 義 か ら

(6) で あ る.

〓(N)の 自然 数 の集 合Nの  だ か ら,(6)に

で あ る.し

濃度

部 分集 合全 体 のつ くる集 合〓(N)の

濃 度 を 求 めて み よ う.

よ り,

た が っ て2〓0を 求 め る と よい.こ

れ に つ い て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理】

【証 明 】  濃 度2を

も つ 集 合 と して,{0,1}を

と る.こ

P={0,1}×{0,1}×{0,1}×…×{0,1}×

の 濃 度 に 等 し い.一

方,区

間(0,1]の

の と き,2〓0は,直

積集 合

…

実 数 全 体 の つ く る集 合 の 濃 度 は〓 で あ

る.し

た が っ て,定

理 を示 す に は

(7) を 示 す と よ い.   Pの

元 は,0と1か

ら な る数 列 と し て (α1,α2,α3,…,αn,…)

と表 わ さ れ てい る.こ れ に対 して,2進

小数 で か き表 わ された 実 数

0.α1α2α3…

αn…

を考 え た い.こ こで まず,有 限2進 小 数 は,無 限2進 小 数 と して も表 わ さ れ る こ とを思 い 出 して お こ う.た とえ ば 0.001(=0.00100…00…) =0.000111…11…

で あ る.ま た,(0,1]に

属 す る実数 を無 限2進 小 数 と して 表わ す こ とに す れ ば,

この表 わ し方 は,た だ1通   い ま,区 間(0,1]に の つ く る集 合 をSと で あ る),SはQの

りで あ る.

属 す る実 数 の 中で,有

す る.Sの

限2進 小 数 に表 わ され る もの 全 体

元 は 有 理 数 だ か ら(た と え ば0.01101は 

部 分 集 合 で,し

た が って

(8) で あ る. そ こで,Pか

へ の写 像φ を 次 の よ うに 定義 す る.

ら 

x∈Pが x=(α1,α2,α3,…,αn,0,0,0,…,0,…)

と,あ

る 所 か ら 先 す べ て0と

な っ て い る と き に は, φ(x)=0.α1α2…αn∈S

と し,そ

うで な い と き, x=(α1,α2,α3,…,αn,…)

に対 して φ(x)=0.α1α2…αn…

を対 応 さ せ る.上 の 注意 か ら,φ は,Pか い る.

∈(0,1]

ら 

へ の1対1対

応 を与 え て

した が って

が 証 明 さ れ た.   第10講,(*)と(8)に (7)が

よ り,こ

に 等 し い か ら,こ

の 右 辺 は, 

証 明 さ れ た.

  この定 理 の重 要 さ は,可 算 濃度〓0と,連

続 体 の濃 度〓 との 間 に,1つ

が得 られ た こ とに あ る.こ の 定理 の,い ろ いろ な応 用 は,第16講

Tea

た ら1,裏

が 出 た ら0と

n回 投 げ た と き,表 際 は,無

で述 べ る.

の銅 貨 を投 げ る とき,表

し て 記 録 を と っ て い く こ と に し ま す.で

す か ら,銅

と 裏 の 出 た 仕 方 はα1α2…αn(αiは0か1)と

貨 を 無 限 回 投 げ 続 け て い く こ と を 考 え る こ と に し ま す.そ

が出 貨を

して 記 され ま

限 回 投 げ 続 け て い く こ と な ど で き な い の で す が,'頭

ろ い ろ な 仕 方 は,ち

の 関係

Time

の証 明 を み て 思 った のです が,1枚

質問 

す.実

れで

の と き,裏

の 中 で'銅 表の出るい

ょ うど P={0,1}×{0,1}×…×{0,1}×…

の点 と1対1に

対 応 してい ます.し た が って銅 貨 を無 限 回投 げ 続 け る とい う試 行

で,裏 表 の 出 る'仕 方 の個 数'は,連

続 体 の濃度〓 も あ る こ とに な ります が,こ

の推 論 は 正 しい で し ょ うか. 答  この 推 論 は 正 しい.銅 ら,区 間(0,1]の1点

貨 を 投 げ る各 々の無 限 回 試行 に対 して,上

が(可 算 個 の 集合Sに

の 証 明か

対 して は 補 正 は あ るが)対 応 して

い る こ とに な る.こ の こ とか ら,た とえば,銅 貨 をn回 投げ た と きの 裏表 の 出方 を,2進

小数 で0.α1α2…αnと表 わ した と き,こ の2進 小 数 が,投

どん どん 大 き くして い くと き,区 回 の試 行 の うち,1回 的 な 考 え方 で あ る.

間(0,1/4)の

げ る 回数nを

中 にあ る よ うなことは,大

体4

は お き る だろ うとい うこ とが 推論 され る.こ れ は,確 率論

第15講 濃 度 の 大 小 テ 一 マ

◆ 濃 度 の大 小 関係 ◆ ベ ル ン シ ュタ イ ンの定 理: な らば, 

◆L⊂M⊂Nで 

濃度の大小関係  有 限個 の もの か らな る2つ の集 合 で は,ど ち らの 方 が 多 いか 少 な いか を 比 べ る こ とが で き る.そ して,そ れ は 個 数 の上 で は,2つ

の 自然数 の大 小 関係 に反 映 し

て くる.一 般 の濃 度 に 対 して も,大 小 関係 を 定 義 した い.  いま

とす る. 【定 義 】 Mか

らNの

中へ の1対1写

像 が存 在 す る とき mn2>…>nk>… と な っ て い な くて は な ら な い.n1よ ら,こ

れ は 矛 盾 で あ る.し

り 小 さ い 自 然 数 はn1−1個

た が っ て,同

Tea

しか な い のだ か

型 対 応ψ は 存 在 し な い.

Time

環 状 線 の駅 は 順 序集 合 に はな って いな い   東 京 の 山手 線 は環 状 線 で あ って,1周

約60分 を か けて,電

車が ぐる ぐる回 っ

て い る.東 京 駅 か ら出発 して,時 計 と逆 回 りの方 向 の電 車(内 回 りの 電 車 とい っ て い る)に 乗 る と 東京

→神 田 → 秋葉 原

→ 御 徒町

→上野

→…

と駅 が続 い て い く.こ の とき,山 手 線 の駅 全 体 の 集合 に,電 車 が 順 次 到 着 す る順 に 東 京ψ(x0) 

(1)

こ の 両 辺 に ψ を 適 用 す る と,ψ は1対1で,順

序 を保 つ か ら

ψ(x0)>ψ(ψ(x0))

と な る.こ

の 式 は,ψ(x0)∈Sを

示 し て い る が,(1)を

み る と,x0がSの

最小

元 で あ った こ とに矛 盾 して い る ことが わ か る.   背 理 法 を 使 った こ の よ うな 証 明 か ら で は,(*)の い か も し れ な い.い

ま,Mの

て み る.図42(a)か

ら わ か る よ う に,も

xに 対 して は,左

か ら 押 さ れ る 形 でxx0} と お く.Sx0=φ き に は,Sx0の

な ら ば,x0は 代 表 元 をy0と

す で に 求 め る極 大 元 と な っ て い る.そ す る.こ

(今 ま で の 説 明 で は,図49で,線 て き た が,そ

の と き,x0の

次 にy0へ

うで な い と

進 む と指 定 す る.

分 上 の 両 端 の 点 を 辿 っ て 右 へ 進 む よ うに 説 明 し

れ は 便 宜 上 で あ っ て,実

際 はMの

中に

a0