Математика

у&ГИСГр

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ ^О

9000

ТЕСТЫ МАТЕМАТИКА ВАРИАНТЫ И ОТВЕТЫ централизованного (абитуриентского) тестирования Пособие для подготовки к тестированию

Москва

ББК 74.202.5 УДК 37.1 М20 Тесты. Математика. Варианты и ответы централизованного (абитуриентского) тестирования - М.: Федеральное государственное учреждение «Федеральный центр тестирования», 2005.

Сборник «Тесты» (варианты и ответы централизованного (абитуриентского) тестирования 2005 года) - в книге представлены образцы тестов, использованных при проведении централизованного тестирования в 2005 году по математике и математике повышенной сложности. Тесты составлены в соответствии с Обязательным минимумом содержания образования и действующими программами и учебниками. Приведена структура тестов. Даны ответы для всех представленных тестов. Дан краткий анализ характерных ошибок в ответах испытуемых. Сборник предназначен для самостоятельной подготовки выпускников общеобразовательных учреждений к итоговой аттестации и к вступительным экзаменам в вузы, а также в помощь преподавателям и методистам, использующим в своей работе тестовый способ контроля знаний.

ISBN 5-94635-226-1

О ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2005 © Обложка - дизайн Полиграфический Дом «Коммерсант», 2005

Содержание 1. Введение

4

2. Структура абитуриентского теста по математике

5

3. Тест по математике № 1

6

4. Тест по математике № 2

12

5. Тест по математике № 3

18

6. Тест по математике № 4

24

7. Тест по математике № 5

30

8. Тест по математике № 6

36

9. Тест по математике № 7

42

10. Тест по математике № 8

48

11. Тест по математике № 9

54

12. Разбор заданий теста по математике № 10

60

13. Правильные ответы к тестам по математике

75

14. Статистика ответов учащихся к тестам по математике

76

15. Анализ типичных ошибок, допущенных при выполнении абитуриентских тестов по математике 2005 года

85

16. Структура абитуриентского теста по математике-П

88

17. Тест по математике-П № 1

89

18. Тест по математике-П № 2

95

19. Правильные ответы к тестам по математике-П

101

20. Статистика ответов учащихся к тестам по математике-П

102

ВВЕДЕНИЕ Российское образование последних лет широко использует современные технологии для оценки учебных достижений учащихся. Наиболее известны механизмы централизованного тестирования и единого государственного экзамена. Объективная оценка учебных достижений осуществляется, как правило, стан­ дартизированными процедурами, при проведении которых все учащиеся нахо­ дятся в одинаковых (стандартных) условиях и используют примерно одинаковые по свойствам измерительные материалы (тесты). Такую стандартизированную процедуру оценки учебных достижений называют тестированием. Правильно составленный тест представляет собой совокупность сбалансиро­ ванных тестовых заданий. Количество заданий в тесте по различным разделам должно быть таким, чтобы пропорционально отражать основное содержание предмета. Использование тестовых заданий различных трудностей должно обеспечить равносложность различных вариантов тестов и измерение учебных достижений учащихся в широком диапазоне их знаний. Разработка современных педагогических тестов возможна только при наличии большого количества тестовых заданий, свойства которых определены до мо­ мента использования теста. Централизованное тестирование оценивает уровень подготовленности уча­ щихся по стобалльной шкале с учетом трудности и дифференцирующей силы верно и неверно выполненных заданий. При оценке учебных достижений Центром тестирования используются доста­ точно сложные математические модели. Ознакомиться с ними можно в специальной литературе Центра тестирования. Тестируемый учащийся должен знать, что число верно выполненных им зада­ ний неоднозначно определяет его тестовый балл. Трудности верно и неверно выполненных заданий могут значительно повлиять на оценку результатов тес­ тирования. Соответствие между количеством верно выполненных заданий и тестовым баллом представлено на диаграмме в конце сборника, которая получена в ре­ зультате статистической обработки результатов централизованного тестирова­ ния в 2005 г. Средний балл по России принят равным 50. Приводимые в сборнике тестовые материалы и результаты могут быть ис­ пользованы как ориентиры для подготовки к централизованному тестированию в 2006 г. Практическое использование современных тестов учебных достижений дает учащимся возможность объективно оценить уровень своих знаний, а также оп­ ределить свое место (рейтинг) среди множества российских учащихся, прохо­ дивших централизованное тестирование. Эта услуга пользуется возрастающим спросом. Ежегодно около миллиона учащихся принимают участие в централизованном тестировании. Свыше половины государственных вузов России принимают результаты централизованного тестирования в качестве оценок вступительных испытаний. Десятки тысяч абитуриентов, представивших в приемные комиссии вузов сертификаты централизованного тестирования, еже­ годно зачисляются в государственные вузы России. Технология и методики централизованного тестирования широко использу­ ются при проведении единого государственного экзамена в России.

Структура абитуриентского теста по математике Разработчики: Нейман Ю.М., Королева Т.М., Кувекина Н.А., Лисеев И.Л., Маркарян Е.Г., Суворченкова ГА. Рецензенты: Гаиашвили М.Я., Голубев В.И. Вычисления и преобразования 1. Действительные числа. Тождественные преобразования числовых, иррациональных и логарифмических выражений. 2. Действия с алгебраическими дробями. 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента, нахождение значения тригонометрического выражения. 4. Преобразование и нахождение значений логарифмических выражений. 5. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. 6. Арифметическая и геометрическая прогрессии. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Уравнения и неравенства Рациональные, дробно-рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Тригонометрические уравнения. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства. Смешанные неравенства. Текстовые задачи. Система уравнений и неравенств. Уравнения, системы уравнений и задачи с параметром.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Функции Связь между свойствами функции и ее графиком. Графическое решение уравнений. Свойства числовых функций: экстремумы, возрастание и убывание. Уравнение геометрического места точек. Геометрический смысл производной. Область определения и множество значений функции.

1. 2. 3. 4.

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин Треугольник, четырехугольники, окружность и круг. Параллелепипед, пирамида, конус, сфера, цилиндр. Действия с векторами. Скалярное произведение векторов. Метод координат.

Вариант № 1/2005 Задание А1. Вычислите значение дроби -—^ -—f при условии, что ^ = —2, ^ = — 1 4?/ — yz — 2z ^ У 1) 1,6

2) 2,5

3) 3,0

4) - 1 , 5

1 Yin Задание А2. у / оЫ Выражение Кл /'^и

5) - 2 , 0

баб можно привести к виду

1)|3а + 26| 2) - ( З а - 2 6 )

3) (За + 26) 4) За - 26 5) |3а - 26|

Задание A3. Квадратное уравнение, корни которого равны (—4xi) и (—4x2), где Xi,cc2 - корни уравнения ж^ — 4ж + 1 = О, имеет вид х"^ — Ьх -\- с = 0. Найдите значение b ~ с 1) О

2) 32

3) 16

4) - 32

5) - 16

Задание А4. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции У = —-^ в точке с абсциссой хо = 1 1) 10

2) 11

3) 12

4) 13

5) 14

Задание А5. Сумма корней или корень, если он единственный, уравнения \/2х^ + х^ — 2х — 3 = \/2х^ + 1 при­ надлежит промежутку 1)(1;2)

2)[2;3)

3) [3;4)

4) [4; 5)

5) [5; 6)

Задание А6. Найдите ctga^ если выполняется равенство Qctga + ?>ctga • sina — Ъзгпа — 10 = О 1) 1

2) 2

3) 1§

4) l \

5) I

Задание А7. Упростите выражение 2sin (а — 5 ) • cos(27r + а) — 2cos l^J- — а\ • sin(37r — а) + 2cos^а 1) 1 2) cos 2а

3) sin 2а

4) 2sin2a

5) cos^ а

Задание А8. Вычислите ctg i \ — arcctgi)

1)|

2) I

3)l|

4)l|

5) I

Задание A9. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения (ж^ — 16)(4^^"^^^ — 4^^^) = О 1) 1,0

2) 2,5

3) 3,0

4) - |

5) ^

Задание А10. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения log2._(_4(2ic^ + 7ж + 4) = 2 1) 1

2) 2

3) - 3

4) 4

5) - 12

Задание A l l . Найдите область определения функции f{x) — Wlogg 2 i'lTtf

1) (-5;!]

2) ( - 5 ; - ! )

Z) {-Щ

4) ( - | ; 1] U {-5}

5) (-co; 1]

Задание A12. 3

Найдите все значения a, при которых функция у = — ^ + (а + 2)х'^ — 4ж + 3 имеет две точки экстремума 1) (-оо; 0) и (4; оо)

2) (-оо; - 4 ) U (0; оо)

3) [-4; 0]

4) (-4; 0)

5) (-оо; - 4 ] U [0; оо)

Задание А13. Уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух прямых у = —Зх-\-9 и у = —Зж + 21, имеет вид 1) у-Зх-\-12

= 0 2) 2/ + Зж - 15 = О 3) у - Зх - 12 = О 4) у - Зх + 15 = О 5) у-Зх-15

=0

Задание А14. Материальная точка движется по оси ОХ по закону x{t) = у^ — 2^^^ + 7 (ж - координата, t - время). Найдите момент времени, когда ускорение равно нулю 1) 9

2) 8

3) 7

4) 6

5) 5

Задание А15. В цилиндре периметр осевого сечения равен 40 см, диагональ этого сечения образует с плоскостью основания угол 45^. Найдите объем цилиндра (в куб.см) 1) ЮОтг 2) 1507Г 3) 2007Г 4) 2507г 5) ЗООтг

Задание А16. Даны точки Л(1; —2;3),В(5;-1;-2),С(-1; 1;2). Найдите сумму координат точки D{x',y\z), если

Аё - Ыб + 2R6 = t 1) - 1

2) 2

3) - 3

4) 6

5) 8

Задание Б 1 . Найдите наибольший общий делитель трех чисел 117, 156, 312

Задание Б 2 . Найдите произведение корней уравнения

2 X

о

г

~ 1

Н~ оХ "т 1 0

Задание БЗ. о , [ Зу - а:2 - 13 - 4ж Найдите сумму ZXQ Н- ?/О, где XQ, уо - решение системы < _ [ X -\- у — о Задание Б 4 . тт . {х + 3)(х^ -\-2x-S) Найдите наименьшее целое решение неравенства -^^ ^-\ ^

^^ —^

ихо-2/о>0

Задание Б5. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения |ж — 9| = 5гг — 33

Задание Б6. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств

л/7, 5 - X < \/12 л/(х - 1)2 > 2

Задание Б 7 . Найдите число корней уравнения {cosx-\-l) {ctgx — 3) = О, принадлежащих промежутку

Задание Б 8 . Вычислите

—27г; Щ-

log^/5 /- —г= + bgi /о ^— ^ ^ \ / 7 + \/2 ^/-^9 + 24/14

Задание Б 9 . Найдите сумму всех целых решений неравенства

|rt^x-~A—Z — ^ (1/2) -8

Задание Б10. В прямоугольном треугольнике длина катета, лежащего против угла 60^, равна 4\/3. Найдите (в см) радиус описанной около треугольника окружности

Задание Б11. В окружности вписанный угол ip = 75^ опирается на дугу АВ. Площадь сектора с дугой АВ равна 5 ^ Г..Л Йтг см . Найдите радиус окружности (в см)

Задание Б12. Найдите сумму значений t или значение t, если оно единственное, при котором числа 3; t + 3; 3t + 21 являются тремя последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии

Задание Б13. Найдите суммарную длину интервалов возрастания функции f(x) на отрезке [—4; 8], если график ее производной /'(ж) на этом отрезке имеет вид /'(X)

Задание Б14. График функции у = ^гцг^ ~ ^ получается из графика функции переносом на б единиц вправо и на 5 единиц вверх. Найдите а — b

. I 2 — 2 параллельным

Вариант № 2/2005 Задание А1. Вычислите значение дроби —^—-—^—^ при условии, что ^ = 2, § = 4 Z — 2xz -\- ху л ^ 1) - 4 , 1 6

2) - 2 , 3

3) - 1 , 8

Задание А2. \ ^^—_г!и Выражение

4)Щ

5)2^

+ баб можно привести к виду

1 ) - | 2 а + 36| 2 ) | 2 а - 3 6 |

3)|2а + 36| 4) - |2а - 36| 5) 2а + 36

Задание A3. Квадратное уравнение, корни которого в два раза больше корней уравнения ж^ — 6ж + 1 ==0, имеет вид х"^ — Ьх -\- с = 0. Найдите значение b • с 1) 60

2) 48

3) 36

4) 24

5) 12

Задание А4. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у = ^ в точке с абсциссой XQ = 1 1) 12

2) 7

3) 8

4) 10

5) 5

Задание Сумма А5. корней или корень, если он единственный, уравнения у/х^ + х^ — бж + 3 = у/х^ — 1 при­ надлежит промежутку 1)[2;3)

2)[3;4)

3)[4;5)

4) [5; 6)

5) [6; 7)

Задание А6. Найдите ctga, если выполняется равенство Set да + Qctga • sina — 3sina — 4 = 0 1) 1

2) - 1

3) 1,5

4) - 1 , 5

5) 0,5

Задание А 7. Упростите выражение cos ( 5 + '^) * -^^^С^ -\- а) -\- tg l^^ -j- а) • sin la~^)1) 1 2) sin2a

3) sin^a

4) cos2a

cos ( ? "~ ^)

5) cos'^a

Задание A8. Вычислите cos ( S — arccos^) l ) f

2)1

3)2^2

4 ) ^

5)1

Задание A9. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения (ж^ — 16) • (3^^^^^ — 9^~^) = О 1) 2^

2) ^

3)^

4) 5^

5) 3^

Задание А10. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения log23._|_3(2a:^ + 11ж + 10) = 2 1) 1

2) 2

3) ^

4) - ^

5) - 1

Задание A l l . Найдите область определения функции f{x) = л/logo 5(3 ~ ^) ~ ^^ёо 5(^ + '^) 1)(-4;3]

2) [-^;3)

3)(-^;3)

4) (-«>;-4)

5)(-^;оо)

Задание А12. 3

Найдите все значения а, при которых функция у = % экстремума 1) ( - о о ; - 4 ) и (0; оо)

2) ( - о о ; 0) U (4; оо)

(а Н- 2)х^ + 4а: — 5 имеет две точки

3) ( - о о ; - 4 ] U [0; оо)

4) ( - о о ; 0] U [4; оо)

5) ( - о о ; оо)

Задание А13. Уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух прямых у = Ах — 8 и у = Ах -\-16, имеет вид 1)^ + 4ж + 4 = 0 2)2/ + 4 а : - 4 - : 0

3 ) 2 / - 4 х - 4 = 0 4)|/-4ж + 4 - 0

Задание А14. Материальная точка движется по оси ОХ по закону x{t) — —^+2t Найдите момент времени, когда ускорение равно нулю 1) 6

2) 2

3) 3

4) 4

5)4?/ + х - 4 = 0

— 5 (ж - координата, t - время).

5) 5

Задание А15. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде длины сторон оснований равны 8 см и 2 см, длина бокового ребра равна 5 см. Найдите площадь (в кв.см) полной поверхности этой пирамиды 1) 80 2) 98 3) 140 4) 148 5) 162

Задание А16. Даны точки Л( —1;3; 2),В(3; —1;4),С*(4; 2; —6). Найдите сумму координат точки D{x;y;z), AS - 2 B S + 3AS = "б" 1) - ^

2) 2

3) б

4) - I

если

5) 22

Задание Б 1 . Найдите наибольший общий делитель трех чисел 144, 540, 288

Задание Б 2 . Найдите произведение корней уравнения ж"^ — Зх^ + 3 Н- 7;г^гц — ^ '

Задание БЗ. и " j х'^ + 32 = -2у-1Ьх Найдите произведение хо-уо,где XQ, уо ~ решение системы < ^

у х^у = 2

Задание Б4. (х-^2)(х'^ — Ах ~ 12) Найдите наименьшее целое решение неравенства ^^^-\ ^ >О X — Ах

^ _ и yo — XQ 2

Задание Б 7. Найдите число корней уравнения {cosx + l){ctgx — 2) = О, принадлежащих промежутку Задание Б 8 . Вычислите

log^/E ^

19"^

г- + logo 2

—27г; ^

1

^—7=

Задание Б 9 . Найдите сумму всех целых решений неравенства

20,2а;-0,6 _ i

-4-ж—7^ — ^

Задание Б10. В прямоугольном треугольнике длина катета, лежаш,его против угла 60^, равна 3\/3 дм. Найдите (в дм) радиус описанной около этого треугольника окружности

Задание Б11 /1 о В окружно В окружности радиуса R = у ~ см вписанный угол tp = 40^ опирается на дугу АВ. Найдите площадь сектора (в кв.см) с дугой АВ

Задание Б12. Найдите сумму значений t шли значение t, если оно единственное, при котором числа 2]t;2t -f 6 являются тремя последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии

Задание Б13. Найдите количество интервалов возрастания функции f{x) на отрезке [а; 6], если график ее про­ изводной /'(ж) на этом отрезке имеет вид

f-^X

Задание Б14. График функции у = log2(a; -\- с) — d получается из графика функции у = log2(a; — 2) -(- 2 парал­ лельным переносом на б единиц влево и на 4 единицы вниз. Найдите с~\- d

Вариант № 3/2005 Задание А1. 2ж2^ ~\~ 1/ — 4:Z

Вычислите значение дроби

1) - 6 , 5

2) - 5 , 2

3)-1,5

З а дт.а н и е А/21. Ьсли а < 1, то выражение 1)1

2) - 1

3)^/3 + а

т

и

^ при условии, что =^ = — 1, ^ = 3 ху — 2х + yz ^ X 4)2,5

5)3,6

\/а2 - aVu + 3 т= можно привести к виду V3— а 4)a-v^ 5) \ / 3

Задание A3. Квадратное уравнение, корни которого на 2 единицы больше корней уравнения ж^ — бж + 3 = О, имеет вид х'^ — Ьх -\- с = 0. Найдите значение Ь + с 1) 10 2) 15 3) 19 4) 26 5) 29 Задание А4. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции У = ^ в точке с абсциссой жо = 2 1)8,0

2)8,5

3)9,0

4)9,5

5)10,0

Задание А5. Сумма корней или корень, если он единственный, уравнения надлежит промежутку 1)[1;2)

2)[2;3)

3) [3; 4)

4) [4; 5)

5) [5; 6)

\/х^ -\- х"^ — 2х — Ъ = \/х^ + 2 при­

Задание А6. Найдите tga^ если выполняется равенство Ыда -Ь tga • cosa — 2cosa — 10 = О 1) - 2

2) 2

3) - 5 4) 4

5) 5

Задание А 7. Упростите выражение Ictg ( ^ + а ] -h tg{7r + а) + sin (а — тг)) : cos (о; — S) 1) 1 2) tga

3) - ct^a

4) - 1 5) ctga

Задание А8. Вычислите ctg Ij — arcctg^j 1) I

2) 2

3) 3

4) 9

5) 5

Задание A9. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения {х"^ ~ 1) • (J^^^^^'^^ — 49^) = О l)li

2)|

3)1

4)|

5)ll

Задание А10. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения log^_3(x2 + 3) • log4(x - 3) = log4(2x2 -9х + 23) 1) 9

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

Задание A l l . Найдите область определения функции f{x) = w ^—т 1)(2;10]

2) (2; 10)

3) ( - о о ; 10)

4)(-оо;2)

т

^

5)(10;оо)

Задание А12. Найдите все значения а, при которых функция у — —х^ + 6(а — 1)ж^ — 108а; + 4 убывает на всей числовой прямой 1) ( - о о ; - 2 ) и (4; оо)

2) ( - о о ; - 2 ] U [4; оо)

3) ( - 2 ; оо)

4) ( - 2 ; 4)

5) [-2; 4]

Задание А13. Уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух прямых ?/ = — 2а:: + 6 и у = —2х — 10, имеет вид I) у + 2х + 2 = 0

2) у + 2х~2

= 0

3)у + 2 ж - 4 = 0

4)2|/ + ж - 2 - 0

5) у-2х

+2= 0

Задание А14. Две точки движутся по оси ОХ по законам движения xi(t) = hy- -{- 8 и X2{t) = i + 3^ — 7 (х координата, t - время). Определите промежуток времени, в течение которого скорость первой точки меньше скорости второй 1)(2;8)

2)(3;оо)

3)(5;оо)

4)[0;3)

5) (1;4)

Задание А15. В усеченном конусе площади оснований равны 257г см'^ и б47г см^, образующая составляет с плос­ костью основания угол 60^. Найдите площадь (в кв.см) боковой поверхности этого конуса 1) 247Г

2) Збтг

3) 427Г

4) 787г

5) 1547г

Задание А16. Даны точки Л(—1; 2; 1), 5(3; —1; 2),(7(1; 2; —1). Найдите сумму координат точки M{x;y;z), 2А§ - СА} + 2Вд = "б" 1) - 1

2) 2

3) О

4) - 6

если

5) 5

Задание Б 1 . Найдите наименьшее общее кратное трех чисел бб, 363, 36

Задание Б2. Найдите произведение корней уравнения х^ — Зх^ + 12 +

_ о = Ах — ту—

Задание Б З . [ 52/-8 Найдите произведение жо • г/о? где хо, уо ^ решение системы ^ ^^^ ^ о — п

Задание Б4. „ „ ^ (ж^ - 1б)(аг2 - бх + 8) ^ ^ Найдите наибольшее целое решение неравенства -^^ ^—— О

Задание Б10. В прямоугольном треугольнике длина катета, лежащего против угла 45^, равна 2\/2 см. Найдите (в см) радиус описанной около этого треугольника окружности

Задание Б11. В окружности радиуса R = у/40 ^ см вписанный угол (f — 21^ опирается на дугу АВ. Найдите площадь сектора (в кв.см) с дугой АВ

Задание Б12. Найдите сумму значений t или значение t, если оно единственное, при котором числа 2; ^ + 2; 3t + 14 являются тремя последовательными членами знакочередующейся геометрической прогрессии

Задание Б13. Найдите суммарную длину интервалов убывания функции f{x) на отрезке [—3; 6], если график ее производной /'(ж) на этом отрезке имеет вид

Задание Б14. о

График функции у = х — а ~~ ^ получается из графика функции у = переносом на 3 единицы влево и на 5 единиц вниз. Найдите а + Ъ

о

_ и + 2 параллельным

Вариант № 5/2005 Задание А1. Вычислите значение дроби -f^—-^^—— при условии, что ^ = - 2 , ^ = 3 4ж - Ъху - yz У -^ 1) - 2 , 5

2) - 3 , 0

3) - 2 ^

4)2,7

5)3^

Задание А2. Если а G (0; л/З), то выражение (а^ — 3) : W [ ^ ot 1) 1

2) V ^ 2 ^ ^

3) - л/^2~=^ 4) 2а

) — 3 можно привести к виду

5) - 2а

Задание A3. Квадратное уравнение, корни которого на 3 единицы меньше корней уравнения х^ — Зх — 2 = О, имеет вид х^ — Ьх -\- с = 0. Найдите значение 6 + с 1)7

2) 9

3) - 7

4) - 5

5) - 9

Задание А4. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции У = -^ ^ точке с абсциссой XQ = —4 1)3,5

2)7,0

3)2,5

4)8,0

5)4,5

Задание А5. Сумма корней или корень, если он единственный, уравнения \/х^ -h Зх^ + 6х = \/х^ + 3 принадле­ жит промежутку 1)[-2;-1)

2)[-1;0)

3) [0; 1)

4)[1;2)

5)[2;3)

Задание А6. Найдите tga, если выполняется равенство At да — 2tga • sina — Zsina + 6 = 0 1) - 1 , 5

2) - 2

3) - 0 , 5

4) 0,5

5) 1,5

Задание А7. Упростите выражение sin (а — 57г) • cos ( S — сЛ + ctg (тг + а ) • cos [а — ^у 1) 1

2) cos2a

3) sin2a

Задание A8. Вычислите ctg 1)|

2)1

4) cos^a

sin ( ^ "I" ^ )

5) sin^a

(arcsin^j

3)|

4)4

5) I

Задание A9. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения (5^ ^ — 5^^^ ^^)(ж^ — 25) = О 1) - §

2) ^

3)l|

4)2|

5)4,5

Задание А10. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения log^^2(2:r2 + 1) • log3(x + 2) = log3(3x2 - 2а; - 2) 1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

Задание A l l . Найдите область определения функции f{x) = y^log2(x -f 4) — log2(2a; — 3) 1) (-4,0; 1,0]

2) (-4,0; 1,5)

3) (1,5; 7,0]

4) (1,0; 1,5)

5)(-oo;l,0]

Задание A12. Найдите все значения а, при которых функция у =^ х^ -\- 3(а 4- 1)х'^ + 48а: — 12 возрастает на всей числовой прямой 1) (-оо; -5] и [3; оо) 2) (-5; 3) 3) (-ос; -5)

4) (3; оо) 5) [-5; 3]

Задание А13. Уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух прямых у = —Ах + 12 и у = —Ах + 20, имеет вид 1) 4у - X Н- 16 = О 2) 4?/ + X - 16 = О 3) 2/ -Ь 4х + 16 = О 4) у - 4х + 16 = О 5) у + 4д: - 16 = О Задание А14. Материальная точка движется по оси ОХ по закону x{t) = t'^ -\- Qt — А {х- координата в метрах, t - время в секундах). Через сколько секунд после начала движения ее скорость будет равна 10 м/сек ? 1)2,5

2)2,0

3)3,0

4)4,0

5)3,5

Задание А15. В правильной треугольной усеченной пирамиде длина стороны меньшего основания равна 2 см, а боковое ребро длиной \/2 см образует со стороной большего основания угол 45^. Найдите площадь (в кв.см) боковой поверхности этой пирамиды 1) 6

2) 9

3) 3

4) 12

5) 15

Задание А16. Даны точки А(—3; 1;2),Б(1; —3;4),С(3; 1; —2). Найдите сумму координат точки M{x;y;z)^

А§ -f 2лб - гвй = "б" 1) 1

2) 8

3) - 3

4) 4

5) - 14

Задание Б 1 . Найдите наименьшее общее кратное трех чисел 180, 75, 135

Задание Б 2 . тт », —^ Найдите произведение корней^ уравнения т^ ^А- IT^^ — 4 т—

Задание БЗ. тт . , j 2у + х^ = 20-3х Найдите сумму жо + ?/о, где жо, у^^ - решение системы < _ (^ У ~ X — '

Задание Б4. гт .

(:Е + 2 ) ( Ж ^ - 2 Ж - 8 ) . ^

Найдите наименьшее целое решение неравенства -^'

^^^2—77; X — 16

>О

^ . иа:о'?/о 3

Задание Б 7 . Найдите в градусах среднее арифметическое всех различных корней уравнения ^^^^~fJ^Jl принадлежащих промежутку (—90'^;270^)

Задание Б 8 . Вычислите

= О,

Ig 5 • Ig 20 + (Ig 2f

Задание Б 9 . Найдите сумму всех целых решений неравенства

4 — 2^~'^ _^ ^)) : tg {а — п) 4) cosa

5) - ctg'^a

Задание А8. Вычислите sin ( 5 " 0 . Найдем производную функции: f\x)

= Зх - бах + 75, тогда

Зх^-6(Зх + 7 5 > 0 . Приравняем к нулю дискриминант квадратного трехчлена Зх" - бах + 75, найдем значение параметра а: D=^36a^-4-3-75 = 0, а^=5, а2=-5. Если -5^о ~ решение системы [2>;-х^=13х + 48 х - ; ; + 10 = 0 Решение. Решим систему методом подстановки: 2 j ; - x ^ = 1 3 x + 48,

[2х + 2 0 - х ^ = 13х + 18,

jF = x + 10 [j; = x + 10 Решим первое уравнение системы: 2х + 2 0 - х ^ = 1 3 х + 48, х^+ 11x4-28 = 0, тогда х^=-1, Х2=-4. Из соотношения у = х-\-\0 находим У\=?>, У2=^Условию XQ + JFQ 4

91

4)а