الرياضيات للصف الخامس الادبي

‫‪¥Gô©dG ájQƒ¡ªL‬‬ ‫‪á«HÎdG IQGRh‬‬ ‫‪ègÉæª∏d áeÉ©dG ájôjóŸG‬‬

‫‪äÉ«°VÉjôdG‬‬ ‫‪»HO’GC ¢ùeÉÿG ∞°ü∏d‬‬ ‫‪∞«dÉC J‬‬ ‫د‪ .‬ﻋﺒﺪ ﻋﻠﻲ ﺣﻤﻮدي اﻟﻄﺎﺋﻲ‬ ‫د‪ .‬ﻣﻬــــﺪي ﺻـــﺎدق ﻋﺒـــﺎس د‪.‬ﻃﺎرق ﺷﻌﺒﺎن رﺟﺐ اﳊﺪﻳﺜﻲ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﻋﺒﺪ اﻟﻐﻔـﻮر اﳉﻮاﻫﺮي ﺣﺴـــــــﺎم ﻋﻠــــــﻲ ﺣﻴـــــــﺪر‬ ‫ﺻﺒـــــــﺎح ﻋﻠـــــــﻲ ﻣــــــــﺮاد ﺳﻌﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴـﲔ اﻟﺒﻐﺪادي‬ ‫ﻧﻈﻴـــــــــﺮ ﺣﺴـــــﻦ ﻋﻠــــــﻲ‬

‫اﻟﻄﺒﻌﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪ ١٤٣١‬ﻫـ ‪٢٠١٠ -‬م‬

‫اﻹﺷﺮاف اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺒﻊ‬ ‫ﻣﺎﺟﺪ ﻛﺎﻣﻞ ﺣﺴﻦ‬ ‫اﻟﺘﺼﻤﻴﻢ‬ ‫واﻹﺷﺮاف اﻟﻔﻨﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺒﻊ‬ ‫ﺷﻴﻤﺎء ﻋﺒﺪ اﻟﺴﺎدة ﻛﺎﻃﻊ‬

‫ﺑﺴﻢ ﺍﷲ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣـﺔ‬ ‫ﺗﻌﻨﻰ وزارة اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ ﺑﺈﻋﺎدة اﻟﻨﻈﺮ ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎب اﳌﺪرﺳﻲ ﻣﻦ ﺣﲔ إﻟﻰ آﺧﺮ وﺗﻌﺪﻳﻠﻪ ﺣﻴﻨ ًﺎ آﺧﺮ‬ ‫واﺳﺘﺒﺪاﻟﻪ ﺣﻴﻨ ًﺎ آﺧﺮ وﻓﻖ ﻣﺎ ﺗﻘﺮرﻩ ﳉﺎن ﻣﺨﺘﺼﺔ ﺗﺆﻟﻒ ﻟﻬﺬا اﻟﻐﺮض ‪ .‬وﺗﻠﻘﻰ ﻛﺘﺐ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻧﺼﻴﺒﻬﺎ اﻟﻮاﻓﻲ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﻌﻨﺎﻳﺔ‪.‬‬ ‫وﻫﺬا اﻟﻜﺘﺎب اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻛﺘﺐ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻹﻋﺪادﻳﺔ ﻟﻠﻔﺮع اﻷدﺑﻲ ‪ ،‬وﻗﺪ‬ ‫رﺗﺒﻨﺎ ﻫﺬا اﻟﻜﺘﺎب ﺑﺎرﺑﻌﺔ ﻓﺼﻮل ‪ ،‬ﻳﺒﺪأ اﻟﻔﺼﻞ اﻷول ﲟﻮﺿﻮع اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت‪ ،‬واﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻧﺪرس ﻓﻴﻪ ﻣﻮﺿﻮع اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت‪ ،‬أﻣﺎ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻴﺘﻨﺎول ﻣﻮﺿﻮع اﳌﺼﻔﻮﻓﺎت واﶈﺪدات‪،‬وﻳﻨﺘﻬﻲ‬ ‫اﻟﻜﺘﺎب ﲟﻮﺿﻮع اﻹﺣﺼﺎء ‪.‬‬ ‫ﻟﻘﺪ ﰎ وﺿﻊ ﻫﺬا اﻟﻜﺘﺎب وﻓﻘ ًﺎ ﻟﻠﻤﻨﻬﺞ اﻟﺪراﺳﻲ اﳌﻘﺮر وﺣﺎوﻟﻨﺎ إن ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻄﺮق اﻟﺘﺮﺑﻮﻳﺔ‬ ‫اﳊﺪﻳﺜﺔ ﻓﻘﻤﻨﺎ ﺑﻬﺬا اﳌﺠﻬﻮد واﺿﻌﲔ ﻧﺼﺐ أﻋﻴﻨﻨﺎ ﺷﺮح ﻛﻞ ﻣﺎدة ﻣﻦ ﻣﻮادﻩ ﺷﺮﺣ ًﺎ ﻳﻘﺮ ﺑﻬﺎ ﻣﻦ‬ ‫اﻻﻓﻬﺎم وﺗﻮﺧﻴﻨﺎ اﻹﻛﺜﺎر ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺼﺎدﻓﻬﺎ اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻲ ﺣﻴﺎﺗﻪ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ‪ ،‬وﻣﺘﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺴﻬﻞ إﻟﻰ اﻟﺼﻌﺐ ‪.‬‬ ‫وﺧﺘﺎﻣ ًﺎ ﻧﺮﺟﻮ إن ﻧﻜﻮن ﻗﺪ وﻓﻘﻨﺎ إﻟﻰ ﺧﺪﻣﺔ أﺑﻨﺎﺋﻨﺎاﻟﻄﻠﺒﺔ ‪ ،‬وﻧﺮﺟﻮ ﻣﻦ إﺧﻮاﻧﻨﺎ اﳌﺪرﺳﲔ أن‬ ‫ﻳﻮاﻓﻮﻧﺎ ﲟﻼﺣﻈﺎﺗﻬﻢ ﺣﻮل ﻫﺬا اﻟﻜﺘﺎب ﻟﻜﻲ ﻧﺘﻼﻓﻰ اﻟﻨﻘﺺ ﻓﻴﻪ واﻟﻜﻤﺎل ﷲ وﺣﺪﻩ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺆﻟﻔﻮﻥ‬

äÉjƒ`````````àëŸG äɪàjQÉZƒ∏dG : ∫h’GC π°üØdG

7 ............................................. 9 .............................................

äɪàjQÉZƒ∏dG øY Iöüà IòÑf á«°S’GC ádGódG [1-1]

11 ...........................................

᫪àjQÉZƒ∏dG ádGódG [1-2]

12 ...........................................

᫪àjQÉZƒ∏dG ádGódG ¢UGƒN [1-3]

15 ...........................................

ájöû©dG äɪàjQÉZƒ∏dG [1-4]

16 ...........................................

á«©«Ñ£dG äɪàjQÉZƒ∏dG [1-5] áÑ°SÉ◊G ád’GB ΩGóîà°SG [1-6]

19 ...........................................

äÉ©HÉààŸG : ÊÉãdG π°üØdG

27 ..........................................

áeó≤e [2-1]

32 ..........................................

á©HÉààª∏d ÊÉ«ÑdG π«ãªàdG [2-2]

36 ..........................................

(ájOó©dG) á«HÉ°ù◊G äÉ©HÉààŸG [2-3]

42 ..........................................

á«HÉ°ù◊G •É°Sh’G [2-3-1]

43 ..........................................

á«HÉ°ù◊G á©HÉààŸG OhóM ´ƒª› [2-3-2]

49 ..........................................

á«°Sóæ¡dG äÉ©HÉààŸG [2-4]

53 ..........................................

á«°Sóæ¡dG •É°Sh’G [2-4-1]

54 ............................ á«°Sóæg á©HÉààe OhóM øe Ú©e OóY ´ƒª› [2-4-2] 58 ájƒæ°ùdG á©aódG á∏ªLh á«dÉ◊G ᪫≤dG ´ƒ°Vƒe ‘ á«°Sóæ¡dG äÉ©HÉààŸG [2-4-3] 59 ..........................................

á«dÉ◊G ᪫≤dG [2-4-4]

äGOóëŸGh äÉaƒØ°üŸG : ådÉãdG π°üØdG

67 ........................................

áeó≤e [3-1]

68 ........................................

É¡°UGƒNh äÉaƒØ°üŸG [3-2]

70 ........................................

áaƒØ°üŸG áÑJQ [3-3]

74 ........................................

äÉaƒØ°üŸG ´GƒfG [3-4]

75 ........................................

äÉaƒØ°üŸG ™ªL

[3-5]

77 ......................................... ™ª÷G á«∏ª©d áÑ°ùædÉH áaƒØ°üŸG Ò¶f [3-6] 79 .......................................... äÉaƒØ°üŸG ⋲∏Y ™ª÷G á«∏ªY ¢UGƒN [3-7] 81 .........................................

»≤«≤M Oó©H áaƒØ°üŸG ÜöV [3-8]

83 .............................áaƒØ°üe ‘ OóY ÜöV á«∏ª©d ¢UGƒÿG ¢†©H [3-8-1] 85 ........................................

É¡°UGƒNh äGOóëŸG [3-9] á«f’GB ä’OÉ©ŸG [3-10]

87 .........................................

91 ........................................ á©HôŸG áaƒØ°üŸG äGOó [3-11] ¤h’GC áLQódG øe É«fk GB ä’OÉ©e çÓK πM ‘ äGOóëŸG ΩGóîà°SEG [3-12] 95 ......................................... ôeGôc ⋲ª°ùJh äGÒ¨àe çÓãH

AÉ°üM’E G : ™HGôdG π°üØdG

102 .......................................

áeó≤e [4-1]

103 ......................................

âà°ûàdG ¢ù«jÉ≤e [4-2]

103 ....................................... 107 .......................................

…QÉ«©ŸG ±Gôëf’E G [4-2-1] •ÉÑJQ’G [4-3]

108 .......................................

•ÉÑJQ’G πeÉ©e [4-4]

108 .......................................

§«°ùÑdG »£ÿG •ÉÑJQ’G πeÉ©e [4-4-1]

108 .......................................

¿ƒ°SÒH •ÉÑJQ’G πeÉ©e [4-4-2]

115 .......................................

(»ÑJôdG) ¿ÉeÒÑ°S •ÉÑJQG πeÉ©e [4-4-3]

120 .......................................

QGóëf’E G [4-5]

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻻول‬ ‫‪CHAPTER 1‬‬

‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤـــــــﺎت‬ ‫ﻧﺒﺬة ﻣﺨﺘﺼﺮة ﻋﻦ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت‬ ‫اﻛﺘﺸﻔﺖ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ﻓﻲ اواﺋﻞ اﻟﻘﺮن اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﺸﺮ‪ ،‬ﻻﻫﻤﻴﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺗﺒﺴﻴﻂ اﳊﺴﺎﺑﺎت اﳌﻌﻘﺪة ﻟﻠﻌﻠﻮم‬ ‫اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ واﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ‪ .‬واﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ اﳊﺴﺎﺑﺎت اﻟﺘﺠﺎرﻳﺔ واﻟﻔﻜﺮة اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻋﻠﻴﻬﺎ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت‬ ‫ﻫﻲ ﲢﻮﻳﻞ اﻻﻋﺪاد ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ أس واﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﻬﺎ ﻋﻮﺿ ًﺎ ﻋﻦ اﻻﻋﺪاد اﻻﺻﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫❍ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻪ ﻓﻲ ﻗﻴﺎس ﻗﻮة اﻟﺰﻟﺰال ﻋﻠﻰ ﻣﻘﻴﺎس رﻳﺨﺘﺮ‪.‬‬ ‫❍ ﻳﺼﻒ اﻟﺮﻗﻢ اﻟﻬﻴﺪروﺟﻴﻨﻲ ﻟﻠﻤﺎدة )‪ (pH‬درﺟﺔ ﺣﻤﻮﺿﺔ اﳌﺎدة وﻧﺤﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ﻟﻼﺳﺎس‬ ‫‪ 10‬ﺣﻴﺚ اﻟﺮﻗﻢ اﻟﻬﻴﺪروﺟﻴﻨﻲ )‪pH = - Log (H+‬‬ ‫‪ H+‬ﺗﺮﻛﻴﺰ اﻳﻮن اﻟﻬﻴﺪروﺟﲔ ﻓﻲ اﳌﺎدة‬ ‫❍ ﻳﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ ﻗﻴﺎس ﺷﺪة اﻟﺼﻮت )‪ (L‬ﺑﺎﻟﺪﻳﺴﻴﺒﻞ ﺣﻴﺚ‬ ‫‪a‬‬ ‫ــــــــــ ‪ L = 10 Log‬ﺣﻴﺚ‬ ‫˚‪a‬‬

‫‪ :a‬ﺷﺪة اﻟﺼﻮت‬ ‫˚‪ :a‬اﻗﻞ ﺷﺪة ﻟﻠﺼﻮت ﺗﺴﺘﻄﻴﻊ اذن اﻧﺴﺎن ﻋﺎدي ان ﲤﻴﺰﻩ‬

‫❍ ﺣﺴﺎب ﺳﺮﻋﺔ اﻟﺼﻮارﻳﺦ )‪ (V‬ﺣﻴﺚ‬ ‫)‪V= - 0.0098 N + v0 Ln (R‬‬ ‫‪ :N‬زﻣﻦ اﺷﺘﻌﺎل وﻗﻮد اﶈﺮك‬ ‫‪ :v0‬ﺳﺮﻋﺔ اﻧﻄﻼق اﻟﺒﺨﺎر‬ ‫‪ : R‬ﻧﺴﺒﺔ ﻛﺘﻠﺔ اﻟﺼﺎروخ ﻣﺤﻤﻞ ﺑﺎﻟﻮﻗﻮد اﻟﻰ ﻛﺘﻠﺘﻪ ﺑﺪون وﻗﻮد‬ ‫‪ : Ln‬ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬

‫‪7‬‬

‫❍ ﻓﻲ اﻻﺣﺼﺎء ﻳﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ ‪:‬‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﻔﺎﺋﺪة اﳌﺮﻛﺒﺔ اﳌﺴﺘﻤﺮة ‪ a‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪a = M e R×N‬‬ ‫‪ :M‬اﳌﺒﻠﻎ اﳌﺴﺘﺜﻤﺮ‬ ‫‪ :R‬اﻟﻔﺎﺋﺪة‬ ‫‪ :N‬ﻋﺪد اﻟﺴﻨﻮات‬ ‫❍ ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬ ‫√‪Geometric Mean = n‬‬ ‫‪X1 . X2 . X3 . ...... Xn‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺒﻨﻮد اﻟﻼﺣﻘﺔ ﺳﻨﺪرس اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ واﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬

‫‪.kÉØ«¶fh kÉ«ë°U ¬∏©L ⋲∏Y πª©æ∏a ... ÒÑμdG Éæà«H áÄ«ÑdG‬‬

‫‪8‬‬

‫اﻟﺪوال اﻷﺳﻴﺔ واﻟﺪوال اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬ ‫‪Exponential and Logarithmic Functions‬‬ ‫ﺗﻮاﺻﻞ اﳌﻮﺿﻮع‬ ‫ﻟﻘﺪ ﺗﻌﺮﻓﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ واﻻن ﺳﻨﺪرس اﻧﻮاع اﺧﺮى ﻣﻦ اﻟﺪوال ﻣﺜﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﻴﺔ‬ ‫واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬

‫]‪ [1 - 1‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ‬ ‫ﻟﻨﺎﺧﺬ اﻟﺪاﻟﺔ اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ‬

‫‪R+‬‬

‫‪Exponential Function‬‬ ‫‪f:R‬‬

‫اﳌﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﻘﺎﻋﺪة ‪f (x) = 2x‬‬

‫اﳉﺪول )‪ (1 - 1‬ﻳﻌﻄﻴﻨﺎ ﺑﻌﺾ اﻻزواج اﳌﺮﺗﺒﺔ ﻟﺒﻴﺎن اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫اﳉﺪول )‪(1 - 1‬‬ ‫ان ﻛﻞ زوج ﻣﺮﺗﺐ ) ‪ (x , 2x‬ﻳﻌﲔ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ .f‬وﺑﺘﻤﺜﻴﻞ اﻻزواج اﳌﺮﺗﺒﺔ ﻓﻲ اﳌﺴﺘﻮي‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (1 - 1‬اﻟﺬي ﳝﺜﻞ ﺟﺰء ًا ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫‪f (x) = 2x‬‬

‫‪9‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪(3,8‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪(2,4‬‬

‫‪3‬‬ ‫)‪(1,2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(0,1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫)ـــــــ ‪(- 1 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(1 - 1‬‬ ‫ﻣﻦ ﻫﺬا اﻟﺸﻜﻞ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﲢﺪﻳﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f (x) = 2x‬ﻋﻨﺪ اي ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ ،x‬وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x = 1.4‬ﻓﻤﻦ اﻟﺸﻜﻞ ﳒﺪ ان ‪ 2 1.4 = 2.7‬ﺗﻘﺮﻳﺒ ًﺎ‬ ‫واذا ﻛﺎن ‪ 2x = 6.2‬ﻓﻤﻦ اﻟﺸﻜﻞ ﳒﺪ ان ‪ x = 2.65‬ﺗﻘﺮﻳﺒ ًﺎ‬ ‫ان ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﺳﻴﺔ وﺗﻌﺮف ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪(1 - 1‬‬ ‫‪ a≠1 ،‬ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ‪:‬‬

‫اذا ﻛﺎن ‪> 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ f (x) = ax ، ∀x ∈ R‬ﺣﻴﺚ ‪R+‬‬

‫‪f:R‬‬

‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ ﻟﻼﺳﺎس ‪a‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬ ‫‪f(x) = ax‬‬ ‫ﺳﻨﻘﺒﻞ ﺑﺄن اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ ﺗﻘﺎﺑﻞ‪.‬‬

‫•ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫اذ اﻛﺎن ‪ a = 1‬ﻓﺎن ‪ f(x) = 1x = 1‬داﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ وﻫﺬا وﻣﺎ ﺟﻌﻠﻨﺎ ﻧﻘﻮل ‪a ≠ 1‬‬

‫‪10‬‬

‫]‪ [1 - 2‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬

‫‪Logarithmic Function‬‬

‫ﺗﻮاﺻﻞ اﳌﻮﺿﻮع‬ ‫‪ f (x) = aX‬ﺣﻴﺚ ‪R+‬‬

‫ﻟﻘﺪ درﺳﻨﺎ ﺳﺎﺑﻘ ًﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ‬ ‫وﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ . f -1‬وﻫﻲ داﻟﺔ ﺗﻘﺎﺑﻞ‬

‫‪f: R‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪f -1: R+‬‬

‫ﻓﻤﺠﺎﻟﻬﺎ ‪ R+‬ﻫﻮ اﳌﺠﺎل اﳌﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ ‪ ،‬وﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﻘﺎﺑﻞ ‪ Codomain R‬ﻫﻮ ﻣﺠﺎل ‪Domain‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ واﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ اﻳﻀ ًﺎ واﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪(1 - 2‬‬

‫ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪y = a x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ x = Loga y‬وﻧﻘﻮل ان ‪ x‬ﻫﻮ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ‪ y‬ﻟﻼﺳﺎس ‪ a‬وﳝﻜﻨﻨﺎ ان ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻵﺗﻴﺔ‬ ‫‪y = ax‬‬

‫‪x = Loga y‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪x ∈R , y∈R+‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫اﻛﺘﺐ ‪ 125 = 5 3‬ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪ 125 = 5 3‬ﻳﻜﺎﻓﺊ ‪ y = ax‬ﺻﻮرة أﺳﻴﺔ‬ ‫‪ x = Loga y‬ﻳﻜﺎﻓﺊ ‪Log 125 = 3‬‬

‫‪í‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫اﻛﺘﺐ ‪ Log2 32 = 5‬ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻷﺳﻴﺔ‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪ Loga y = x‬ﻳﻜﺎﻓﺊ ‪ Log32 = 5‬ﺻﻮرة ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y = ax‬ﻳﻜﺎﻓﺊ ‪ 32 = 25‬ﺻﻮرة أﺳﻴﺔ‬

‫!‬

‫ﺗﺪرﻳـﺐ اﻛﺘﺐ اﻟﺼﻮرة اﳌﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪Log 10000 = 4 ، 7 3 = 343 ، Log 1/25 = -2 ، (0.01)2 = 0.0001‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫]‪ [1 - 3‬ﺧﻮاص اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻮاص اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ‪ ،‬وﻟﻴﺲ ﻟﻼﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ واﻟﺼﻔﺮ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫)‪ (b‬ﲟﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻓﺎن‪:‬‬ ‫‪Loga x =Loga y ، x،y ∈ R+‬‬

‫‪x=y‬‬

‫‪+‬‬

‫)‪ (c‬ﳌﺎ ﻛﺎن ‪ a > 0 ، a ≠ 1‬ﻓﻠﻜﻞ ‪ x ، y ∈ R‬ﺳﻨﻘﺒﻞ اﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻻﺗﻴﺔ ﺑﺪون ﺑﺮﻫﺎن ‪:‬‬ ‫)‪Loga x y = Loga x + 2Loga y (1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ = Loga x - Loga y (2‬ــــ ‪Loga‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪ ، Loga x n = nLoga x (3‬ﺣﻴﺚ ‪n ∈ R‬‬ ‫)‪Loga a = 1 (4‬‬ ‫)‪Loga 1 = 0 (5‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ــــــ( ‪34 ) +2 Log‬‬ ‫أﺛﺒﺖ ان ‪2 ) = 1‬‬ ‫‪Log 2 ( 17‬‬ ‫ــــــ ( ‪ ) - Log 2‬ــــــ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪5‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪34‬‬ ‫اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ ‪22) :‬‬ ‫ــــــ ( ‪) - Log 2‬ــــــ‬ ‫‪Log 2 (17‬‬ ‫ــــــ( ‪) + Log 2‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪45 4‬‬ ‫‪Log 2 17‬‬ ‫ــــــ × ــــــ × ــــــ‬ ‫‪34 9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪Log 2 2‬‬ ‫= ‪ 1‬اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ‬ ‫)و‪ .‬ﻫـ‪.‬م(‬

‫‪12‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪(a) Log3 x = 4‬‬ ‫‪(b) Logx 64 = 6‬‬ ‫‪1 =x‬‬ ‫ــــــــ ‪(c) Log5‬‬ ‫‪125‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪x = 81‬‬

‫‪x= 3 4‬‬

‫‪(a) Log3 x = 4‬‬ ‫}‪∴ S = { 81‬‬

‫‪x=∓2‬‬

‫‪2 6 = x6‬‬

‫‪64 = x6‬‬

‫‪(b) Logx 64 = 6‬‬ ‫∴‬ ‫‪x = 2 ∈ R+‬‬ ‫}‪∴ S = {2‬‬

‫‪5 -3 = 5 x‬‬

‫‪1 =5x‬‬ ‫ــــــــ‬ ‫‪125‬‬

‫‪1 =x‬‬ ‫ــــــــ ‪(c) Log5‬‬ ‫‪125‬‬

‫‪∴x=-3‬‬

‫}‪∴ S = {-3‬‬

‫‪13‬‬

[1- 1] ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬ .‫ وﺑﲔ ذﻟﻚ‬x = a ، y = a ‫ اﻋﻂ‬،‫ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻋﻼﻗﺎت ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺤﺔ داﺋﻤﺎ‬/1‫س‬ (a) Loga (x + y) ≠ Loga x + Loga y Loga x (b) Loga (x - y) ≠ ‫ــــــــــــــــــ‬ Loga y (c) Loga x y ≠ Loga x Loga y (d) Loga x2 ≠ (Loga x)2 x ‫ ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ‬/2‫س‬ (a) Log10 0.001 = x 1 = -3 (b) Logx ‫ـــــــ‬ 8 (c) Log10 x = 5

40 ) + 4 Log 5 + 2 Log 6 (a) Log10 (‫ـــــــ‬ 10 10 9 (b) 2Log10 8 +Log10 125 - 3 Log10 200

:‫ ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬/3‫س‬

(x-1) (c) Loga (x2 -1) -2 Loga (x -1) + Loga ‫ـــــــــــــــ‬ (x+1) (d) Log28 - Log327 - Log5625 ‫ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ‬

Log102 = 0.3010 ، Log103 = 0.4771 ‫ اذا ﻛﺎﻧﺖ‬/4‫س‬

(a) Log100.002 (b) Log103000 (c) Log1012 ‫ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻵﺗﻴﺔ‬/5‫س‬ (a) Log3 (2x-1) + Log3 (x+4) = Log3 5 (b) Log2 (3x+5) - Log2 (x-5) = 3

14

‫‪Decimal - Logarithms‬‬

‫]‪ [1 - 4‬اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‬ ‫ﺗﻮاﺻﻞ اﳌﻮﺿﻮع‬ ‫ﺳﺒﻖ وان درﺳﻨﺎ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﻻي اﺳﺎس ‪a > 0 ، a ≠ 1‬‬

‫واﻻن ﺳﻨﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﺳﺎﺳﻪ ‪ . a = 10‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺸﺮي ) اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻻﻋﺘﻴﺎدي(‪ .‬وﻗﺪ‬ ‫اﺗﻔﻖ ﻋﻠﻰ ﻋﺪم ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻻﺳﺎس )‪ (10‬ﺣﲔ اﺳﺘﻌﻤﺎﻟﻪ‪ .‬ﺣﻴﺚ ‪ Log10 y‬ﻳﻜﺘﺐ ﺑﺸﻜﻞ ‪Log y‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ ‪ Log107 :‬ﻳﻜﺘﺐ ﺑﺸﻜﻞ ‪ Log7‬وﻛﺬﻟﻚ ‪ Log10 0.05‬ﻳﻜﺘﺐ ﺑﺸﻜﻞ ‪ Log 0.05‬وﻣﻦ اﳌﻔﻴﺪ ﻫﻨﺎ‬ ‫ان ﻧﺬﻛﺮ ﺑﻌﺾ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ﻟﻠﻘﻮى اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪ 10‬ﻣﻌﺘﻤﺪﻳﻦ ﻋﻠﻰ ‪Log 10 n = n :‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-‬‬

‫‪n‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪....‬‬

‫‪Log10 n‬‬

‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ ‪..... Log 10 7 = 7 ، Log 10 4 = 4 :‬‬ ‫‪..... Log 0.01 = Log 10 -2 = -2 ، Log 0.00001 = Log 10 -5 = -5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪Natural Logarithms‬‬

‫]‪ [1 - 5‬اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺗﻮاﺻﻞ اﳌﻮﺿﻮع‬

‫ﺗﻌﺮﻓﺖ ﻋﻠﻰ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﺣﻴﺚ ﻛﺎن اﻻﺳﺎس ‪a = 10‬‬ ‫واﻻن ﺳﻨﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﺘﻲ اﺳﺎﺳﻬﺎ ‪a = e ⋍ 2.71828‬‬ ‫واﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ واﻟﺘﻲ ﺗﻜﺘﺐ ﺑﺸﻜﻞ‬ ‫‪ ln y‬ﺣﻴﺚ ‪e = a ⋍ 2.71828‬‬ ‫اذا وﺿﻌﻨﺎ ‪ a = e ،‬ﻓﻲ ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪ (1 - 2‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪y=ex‬‬

‫‪x = ln y‬‬

‫•ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻟﻼﻃﻼع‬ ‫‪e = 2.718281828459045‬‬ ‫وﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎدﻫﺎ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬

‫ــــــ ‪1 +‬‬ ‫ــــــ ‪1 + ...‬‬ ‫) ‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ــــــ ‪(2 +‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪8‬‬ ‫∞‬ ‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪or‬‬

‫‪1 +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ــــــ ( ‪lim‬‬ ‫)‪+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪∞ n‬‬

‫!ﻧﺘﻴﺠﺔ‪1‬‬ ‫‪ln (ex) = x ، ∀ x ∈ R‬‬

‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ ‫‪ln e x = x ln e‬‬ ‫‪=x×1‬‬ ‫‪=x‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬اذا ﻋﻠﻤﺖ ان‬ ‫‪e 2x - 1 = 8‬‬ ‫اﳊﻞ ﻧﺄﺧﺬ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ‬

‫‪ ln e 2X - 1 = ln 8‬وﺣﺴﺐ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ )‪(1‬‬

‫‪∴ 2X - 1 = ln 8‬‬ ‫‪2X = 1 + ln 8‬‬ ‫)‪(1 + ln8‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ = ‪ ∴ X‬‬ ‫‪2‬‬

‫!ﻧﺘﻴﺠﺔ ‪2‬‬

‫)ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻻﺳﺎس(‬ ‫‪ ∀ a > 0 ، a ≠ 1‬‬

‫‪ln x‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪Loga x‬‬ ‫‪lna‬‬ ‫أو ﳝﻜﻦ أن ﻳﻜﺘﺐ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪Log x‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪Loga x‬‬ ‫‪Log a‬‬

‫‪17‬‬

‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ ‫اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ‬ ‫ﻧﻔﺮض)‪x = a y ..........(1‬‬

‫‪y = Loga x‬‬

‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ )‪(1‬‬ ‫‪ln x = ln a y‬‬ ‫‪ln x = y ln a‬‬ ‫‪ln x‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪ y‬اﻟﻄﺮف اﻷﳝﻦ‬ ‫‪ln a‬‬ ‫وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ وﺑﺄﺧﺬ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺸﺮي ﻟﻄﺮﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ إن ‪:‬‬

‫‪Log x‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪Loga x‬‬ ‫‪Log a‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ــــــــــــــــــ ‪ +‬ـــــــــــــــــــ‬ ‫‪Log5 15‬‬ ‫‪Log3 15‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ )‪(2‬‬

‫‪1‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪ln15‬‬ ‫ــــــــــــــ‬ ‫‪ln5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪ln15‬‬ ‫ــــــــــــــ‬ ‫‪ln3‬‬

‫‪ln5‬‬ ‫ـــــــــــــ‬ ‫‪ln15‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ln3‬‬ ‫ـــــــــــــ‬ ‫‪ln15‬‬

‫)‪(ln 3 + ln 5‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪ln 15‬‬ ‫‪ln15 = 1‬‬ ‫ـــــــــــــ‬ ‫‪ln15‬‬

‫‪18‬‬

‫]‪ [1 - 6‬اﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﳊﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺗﻮاﺻﻞ اﳌﻮﺿﻮع‬ ‫ﺑﻌﺪ دراﺳﺘﻨﺎ ﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ واﻟﻌﺸﺮﻳﺔ وﺑﻌﺾ ﻗﻮاﻧﲔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت‪ ،‬اﻻن ﺳﻨﺪرس ﻛﻴﻔﻴﺔ اﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﳊﺎﺳﺒﺔ ‪ Calculater‬ﻻﻳﺠﺎد ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﻋﺪد وﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻻﻋﺪاد اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ وﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﻛﻤﺎ درﺳﻨﺎﻩ ﺳﺎﺑﻘﺎً‪.‬‬

‫اوﻻً‪ :‬اﻳﺠﺎد ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺪد‬ ‫)‪ (1‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ‪(Log) :‬‬ ‫❍ ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد اﳌﺮاد إﻳﺠﺎد ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻪ ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﳌﻔﺘﺎح ‪ Log‬ﻓﻴﻈﻬﺮ اﻟﻨﺎﰋ ‪.‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫ﺟﺪ‪:‬‬

‫‪(a) Log 7 ، (b) Log 13 ، (c) Log 0.08 ، (d) Log 1.5‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫)‪ (a‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 7‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ Log‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ ‪0.84509804‬‬ ‫اي ‪Log 7 = 0.84509804‬‬ ‫)‪ (b‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ 13‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ Log‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ ‪1.11394335‬‬ ‫)‪ (c‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ 0.08‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ Log‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ‬

‫‪- 1.096910013‬‬

‫)‪ (d‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ 1.5‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ Log‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ ‪0.176091259‬‬

‫‪19‬‬

‫)‪ (2‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ‪(ln):‬‬ ‫❍ ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد اﳌﺮاد إﻳﺠﺎد ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻪ ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﳌﻔﺘﺎح ‪ ln‬ﻓﻴﻈﻬﺮ اﻟﻨﺎﰋ‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫ﺟﺪ‬

‫‪(a) ln 7‬‬ ‫‪(b) ln 13‬‬ ‫‪(c) ln 0.08‬‬ ‫‪(d) ln 1.5‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫)‪ (a‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ 7‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ ln‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ ‪1.94510149‬‬ ‫)‪ (b‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪13‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ ln‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ ‪2.564949357‬‬ ‫)‪ (c‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ 0.08‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ ln‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ‬

‫‪- 2.525728644‬‬

‫)‪ (d‬ﻧﻜﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪1.5‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ ln‬ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ ‪0.405465108‬‬

‫‪20‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴ ًﺎ ‪ :‬إﻳﺠﺎد اﻟﻌﺪد اﳌﻘﺎﺑﻞ اذا ﻋﻠﻢ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤ ُﻪ‬

‫)‪ (1‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ‪:‬‬

‫❍ ﻧﻜﺘﺐ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺪد )اﳌﻌﻄﻰ( وﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎح ‪ 2ndF‬وﻳﻜﻮن ﻣﻐﺎﻳﺮ ﻟﻼﺳـــﻮد‬ ‫)اﺻﻔﺮ ‪ ،‬ازرق‪ (...‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎح ‪ Log‬ﻓﻴﻈﻬﺮ اﻟﻌﺪد اﳌﻄﻠﻮب‪.‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﺟﺪ اﻻﻋﺪاد اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎﺗﻬﺎ اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪(a) 0.84509804‬‬ ‫‪(b) 1.113943352‬‬ ‫‪(c) - 1.096910013‬‬ ‫‪(d) 0.176091259‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫)‪ (a‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 0.84509804‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ 2nd F‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎح ‪ Log‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪7‬‬ ‫)‪ (b‬ﻧﻜﺘﺐ ‪1.113943352‬‬

‫ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ 2ndF‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎح ‪ Log‬ﻓﻴﻈﻬﺮ‬

‫‪13 ≃ 12.99999999‬‬ ‫)‪ (c‬ﻧﻀﻐﻂ ﻣﻔﺘﺎح ‪ -‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 0.096910013‬وﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ = ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪-1.096910013‬‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ 2nd F‬ﺛﻢ ‪ Log‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪0.08‬‬ ‫)‪ (d‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 0.176091259‬ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ‪ 2nd F‬ﺛﻢ ‪ Log‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪1.5‬‬

‫•ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫)ﻗﺎرن ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﺜﺎل)‪ (1‬ﻣﻊ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل(‬

‫‪21‬‬

‫)‪ (2‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ )‪(ln‬‬ ‫‪ m‬ﻧﻜﺘﺐ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺪد )اﳌﻌﻄﻰ( وﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎح ‪ 2ndF‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﺎح ‪ ln‬ﻓﻴﻈﻬﺮ‬ ‫اﻟﻌﺪد اﳌﻄﻠﻮب‪.‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫ﺟﺪ اﻻﻋﺪاد اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎﺗﻬﺎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪(a) 1.945910149‬‬ ‫‪(b) 2.564949357‬‬ ‫‪(c) - 2.525728644‬‬ ‫‪(d) 0.405465108‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫)‪ (a‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 1.945910149‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ 2ndF‬ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎح ‪ ln‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪7‬‬ ‫)‪ (b‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 2.564949357‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ 2ndF‬ﺛﻢ ﻣﻔﺘﺎح ‪ ln‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪13 ≃ 12.99999999‬‬ ‫)‪ (c‬ﻧﻀﻐﻂ ‪ -‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 2.525728644‬ﺛﻢ‬

‫=‬

‫ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪- 2.525728644‬‬

‫ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ ‪ 2ndF‬ﺛﻢ ‪ ln‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪0.08‬‬ ‫)‪ (d‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ 0.405465108‬ﻧﻀﻐﻂ ‪ 2ndF‬ﺛﻢ ‪ ln‬ﻓﻴﻈﻬﺮ ‪1.5‬‬

‫‪22‬‬

‫اﻣﺜﻠﺔ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻮاﻋﺪ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت )اﺳﺘﺨﺪم آﻟﺘﻚ اﳊﺎﺳﺒﺔ(‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬

‫ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪Log8 5‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﺑﺘﺒﺪﻳﻞ اﻻﺳﺎﺳﺎت اﻟﻰ اﺳﺎس ‪ 10‬ﻳﻜﻮن )ﻧﺘﻴﺠﺔ ‪(2‬‬ ‫‪0.69897‬‬ ‫‪Log 5‬‬ ‫‪ ⋍ 0.77397‬ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ‪Log8 5‬‬ ‫‪0.90309‬‬ ‫‪Log 8‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ln 3 + Log 3‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪í‬‬

‫‪Log 3 = 0.4771‬‬ ‫‪ln 3 = 1.0986‬‬ ‫‪ln 3 + Log 3‬‬ ‫‪= 1.0986 + 0.4771‬‬ ‫‪= 1.5757‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪Log5 14 - Log5 7‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪Log5 14 - Log5 7‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪Log5 14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻻﺳﺎس ‪Log5 2‬‬ ‫‪Log 2‬‬ ‫‪0.3010‬‬ ‫ـــــــــــــــ‬ ‫ـــــــــــــــــــ‬ ‫=‬ ‫‪⋍ 0.4307‬‬ ‫‪Log 5‬‬ ‫‪0.6989‬‬

‫‪23‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫√‪x = 3‬‬ ‫ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪(65.26 )2‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪x = ( 65.26 )2/3‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﳊﺎﺳﺒﺔ ‪2 Log 65.26‬‬ ‫ـــــــ = ‪Log x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 × 1.8147‬‬ ‫ـــــــ = ‪Log x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Log x = 1.2098‬‬ ‫‪x ⋍ 16.2106‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪7 3x = 81‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪73x = 81‬‬ ‫ﻧﺄﺧﺪ ‪ Log7‬ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ‬ ‫‪Log 81‬‬ ‫ــــــــــــــــــ = ‪3x Log7 7‬‬ ‫‪Log 7‬‬

‫‪Log7 7 3x = Log7 81‬‬

‫‪Log 81‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﳊﺎﺳﺒﺔ ــــــــــــــــــ = ‪3x‬‬ ‫‪Log 7‬‬ ‫‪1.9085‬‬ ‫ــــــــــــــــــــ = ‪3x‬‬ ‫‪0.8451‬‬ ‫‪3x ⋍ 2.2583‬‬ ‫‪x ⋍ 0.7528‬‬

‫}‪∴ S = {0.7528‬‬

‫‪24‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪6‬‬

‫ﺑﻔﺮض اﻧﻚ ﺗﺴﺘﺜﻤﺮ )‪ (2‬ﻣﻠﻴﻮن دﻳﻨﺎر ﺑﻔﺎﺋﺪة ﻣﺮﻛﺒﺔ ﺳﻨﻮﻳﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻗﺪرﻫﺎ ‪ . 5.5٪‬اوﺟﺪ ﺟﻤﻠﺔ ﻣﺎ‬

‫ﺳﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﺑﻌﺪ )‪ (5‬ﺳﻨﻮات‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﺣﺴﺎب اﻟﻔﺎﺋﺪة اﳌﺮﻛﺒﺔ اﳌﺴﺘﻤﺮة ﻫﻮ ‪a = M e R × N‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ M‬اﳌﺒﻠﻎ‪ : R ،‬اﻟﻔﺎﺋﺪة ‪ N ،‬ﻋﺪد اﻟﺴﻨﻮات‬ ‫‪55 × 5‬‬ ‫ـــــــــ‬ ‫‪1000‬‬

‫‪a = 2000000 × e‬‬

‫ﺑﺎﺧﺬ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ ‪a = 2000000 e 0.275‬‬ ‫‪ln a = ln 2000000 + 0.275 Ln e‬‬ ‫‪ln a = 14.78365774‬‬ ‫‪a ⋍ 2633061‬‬

‫‪í‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪7‬‬

‫ﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻼﻋﺪاد ‪.105 ،93 ،110 ،120 ،99 :‬‬

‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ‪× X2 × X3 ×...... × Xn = Geometric mean‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ = ‪× 93 × 110 × 120 × 99‬‬

‫‪n‬‬

‫‪√X‬‬

‫‪1‬‬

‫‪√105‬‬

‫‪5‬‬

‫]) ‪1 [(Log 99 + Log 120 + Log 110 + Log 93 + Log 105‬‬ ‫ـــــ = ‪) Log‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ (10.105881‬ـــــ =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 2.021176‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻵﻟﺔ اﳊﺎﺳﺒﺔ ﻻﻳﺠﺎد اﻟﻌﺪد اﳌﻘﺎﺑﻞ ﳒﺪ ان‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ = ‪104.996851‬‬

‫‪25‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ] ‪[1 - 2‬‬ ‫س‪ /1‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ‪Log10 8 ، ، Log5 11 ، ln 20 :‬‬ ‫س‪ /2‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬

‫س‪ /3‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫س‪ /4‬ﺣﻞ ﻛﻼ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬

‫)اﺳﺘﺨﺪم آﻟﺘﻚ اﳊﺎﺳﺒﺔ(‬

‫‪(a) 2 Log4 58 - Log7 21‬‬ ‫‪(b) Log6 26 + Log 26 + ln 26‬‬

‫‪(b) (11.023)9‬‬

‫‪√0.0562‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪(a) 2x = 25 (b) e 2x+1 = 10‬‬ ‫س‪ /5‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻔﺎﺋﺪة اﳌﺮﻛﺒﺔ ‪ a = m e R × N‬ﻻﺳﺘﺜﻤﺎر ﻣﻠﻴﻮن دﻳﻨﺎر ﺑﻔﺎﺋﺪة ﻗﺪرﻫﺎ ‪ 3.5 ٪‬وﳌﺪة‬ ‫)‪ (3‬ﺳﻨﻮات‪ .‬ﺟﺪ ﺟﻤﻠﺔ ﻣﺎ ﺳﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫س ‪/6‬ﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻼﻋﺪاد‪93 ،84 ،96 ،88 ،60 ،71 ،89 ،90 ،82 ،4 :‬‬ ‫س‪ /7‬اﺛﺒﺖ ان ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ = 1‬ـــــــــــــــــــــــــ ‪ +‬ـــــــــــــــــــــــــ ‪ +‬ـــــــــــــــــــــــــ )‪(a‬‬ ‫‪Loga a b c Logb a b c Logc a b c‬‬ ‫‪(b) Log 40/9 + 2(2Log 5 + Log 6) = 5‬‬

‫س‪ /8‬اي ﻣﻘﺪار )ﻣﻘﺎدﻳﺮ( ﻳﻜﺎﻓﺊ اﳌﻘﺪار ‪3Log a + Log b‬؟‬

‫س‪ /9‬اﺧﺘﺮ اﻻﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اذا ﻋﻠﻤﺖ ان ‪ Log a × b‬ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪26‬‬

‫‪(a) Log (ab)3‬‬ ‫‪(b) Log a3 b‬‬ ‫‪(c) Log a3 × Log b‬‬ ‫‪(d) Log a3 + Log b‬‬ ‫‪(a) Log a × Log b‬‬ ‫‪(b) Log a + Log b‬‬ ‫)‪(c) Log (a + b‬‬ ‫ﻟﻴﺲ اي ﻣﻨﻬﺎ )‪(d‬‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪CHAPTER 2‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺎت‬

‫‪Sequences‬‬

‫]‪ [2-1‬ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﻟﻘﺪ درﺳﻨﺎ ﻛﺜﻴﺮ ًا ﻣﻦ اﳌﻔﺎﻫﻴﻢ )اﳌﻌﻠﻮﻣﺎت( ﻓﻲ اﻟﺴﻨﻮات اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت وﻟﻜﻦ ﻣﺎﻳﻬﻤﻨﺎ‬ ‫اﺳﺘﺬﻛﺎرﻩ ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﻣﺎﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬

‫‪ (1‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ )‪ ( Integers‬اﳌﻮﺟﺒﺔ }‪ Z+={1,2,3,4,...‬اﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اﻻﻋﺪاد اﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ اﳌﻮﺟﺒﺔ ) ‪. {...,1,2,3,4}=+N (Natural‬‬ ‫‪ (2‬ﻣﻌﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ)‪ ( Function‬وﲤﺜﻴﻞ ﺑﻌﺾ اﻧﻮاع اﻟﺪوال‬ ‫‪ (3‬ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻣﺘﻰ ﻣﺎﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪة اﻗﺘﺮاﻧﻬﺎ وﻣﺠﺎﻟﻬﺎ)‪ ( Domain‬وﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﻘﺎﺑﻞ‬ ‫)‪ ( codomain‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺎً‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ اذا ﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ وﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﻘﺎﺑﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ »‪. Real Numbers «R‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﺪرس دوا ًﻻ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ﺧﺎص ﻳﻜﻮن ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﳌﻮﺟﺒﺔ ‪Z+‬‬ ‫]او ﻧﻔﺲ اﳌﻌﻨﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاداﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ اﳌﻮﺟﺒﺔ ‪ [ N+‬وﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﻘﺎﺑﻞ اي ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﻴﺮ ﺧﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬

‫‪27‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪(2-1‬‬

‫ﻛﻞ داﻟﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﺠﻤﻮﻋﺔ ‪] Z+‬او ‪ [ N+‬او ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ‪ Z+‬ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ }‪{ 1,2,3,...,n‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ }ﺻﺤﻴﺢ{ﻣﻮﺟﺐ ﻣﻌﲔ وﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﻘﺎﺑﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ »‪. «sequense‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﺮﻛﺰ اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﻋﻠﻰ دراﺳﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﻘﺎﺑﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت‬ ‫ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ »‪.«R‬‬ ‫ﲟﺎ إن ﺟﻤﻴﻊ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ اﳌﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ Z+‬او ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ ﺑﺎﻟﻔﻌﻞ } ‪{1,2,3,...,n‬‬ ‫ﺳﻮف ﻧﻬﻤﻞ ذﻛﺮ اﳌﺠﺎل وﻧﻜﺘﻔﻲ ﺑﺬﻛﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻻﻗﺘﺮان ﻓﻘﻂ‪.‬‬

‫‪í‬‬ ‫اﻣﺜﻠﺔ‬

‫‪ ] ∀ n∈Z+ U(n)= 2n-5‬او ﻧﻘﻮل ‪ [ ∀n∈N+‬وأن‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﻻول ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪U1‬‬ ‫‪U(1)=2×1-5= -3‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪U2‬‬ ‫‪U(2)=2×2-5= -1‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪U3‬‬ ‫‪U(3)=2×3-5 =1‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﻟﺮاﺑﻊ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪U4‬‬ ‫‪U(4)=2×4-5 = 3‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﳋﺎﻣﺲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪U5‬‬ ‫‪U(5)=2×5-5 = 5‬‬ ‫‪U(6)=2×6-5 = 7‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﻟﺴﺎدس ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪U6‬‬ ‫وﻫﻜﺬا ‪ U(n)= 2n-5‬ﻳﺴﻤﻰ اﳊﺪ اﻟﻨﻮﻧﻲ )اﳊﺪ ‪ (n‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪Un‬وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن‬ ‫}‪U = {(1,-3),(2,-1),(3,1),(4,3),(5,5),...,(n,2n-5),...‬‬ ‫او ﺗﻜﺘﺐ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫}∀‪U = {(n,2n-5):n∈Z+‬‬ ‫وﻟﻜﻦ ﻛﻤﺎ ذﻛﺮﻧﺎ اﻧﻨﺎ ﺳﻮف ﻧﻬﻤﻞ ذﻛﺮ اﳌﺠﺎل ﻓﻠﺬﻟﻚ ﳝﻜﻦ أن ﻧﻬﻤﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﳌﺴﺎﻗﻂ اﻻوﻟﻰ وﻧﻜﺘﻔﻲ‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﳌﺴﺎﻗﻂ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫‪28‬‬

‫‪U1,U2,U3,U4,...,Un,...‬‬

‫وﻟﺘﻤﻴﻴﺰﻫﺎ ﻋﻦ اﳌﺠﻤﻮﻋﺎت ﺳﻨﻜﺘﺐ ﺣﺪود اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﲔ ﻗﻮﺳﲔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ »> ‪= ‪‪1) = ‪ = ‪= ‪2) = ‪ = ‪= ‪ = ‪= ‪ = ‪= < 1,2,6,24,...,(U1 =1, Un+1 = (n+1) .Un),...‬‬

‫•ﻣﻼﺣﻈﺔ )‪(١‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ ان اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ >‪ =‪=‪1) = ‪2) = ‪< Un > = < -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3‬‬ ‫> ‪= < U1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول‪ U1 = -7‬وﺣﺪﻫﺎ اﻻﺧﻴﺮ ‪ U6 = 3‬وﻋﺪد ﺣﺪودﻫﺎ ‪n = 6‬‬

‫‪31‬‬

‫‪R‬‬

‫‪Hn = n+1‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ــــــــــ‬ ‫ّ‬ ‫‪n‬‬

‫}‪2) H : {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10‬‬

‫‪3‬‬ ‫ــــــــــ = ــــــــــ‬ ‫‪H2 = 2+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ــــــــــ = ــــــــــ‬ ‫‪H4 = 4+1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ــــــــــ = ‪6+1‬‬ ‫ــــــــــ = ‪H6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ــــــــــ = ‪8+1‬‬ ‫ــــــــــ = ‪H8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ــــــــــ = ــــــــــ‬ ‫‪H10 = 10+1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ = 2‬ــــــــــ‬ ‫‪H1 = 1+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ــــــــــ = ــــــــــ‬ ‫‪H3 = 3+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ــــــــــ = ‪5+1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ــــــــــ = ‪H5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ــــــــــ = ‪7+1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ــــــــــ = ‪H7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ــــــــــ = ‪9+1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ــــــــــ = ‪H9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫> ‪< Hn > = < H1 , H2 ,H3 ,H4 , H5 , H6 , H7 , H8 , H9 , H10‬‬ ‫ــــــــــ ‪3 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪8 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪4 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪5 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪6 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪7 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪9 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪10 ,‬‬ ‫> ‪11‬‬ ‫ــــــــــ ‪= < 2 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺣﺪﻫﺎ اﻻول‬

‫‪H1 = 2‬‬

‫ﺣﺪﻫﺎ اﻻﺧﻴﺮ‬

‫‪11‬‬ ‫ــــــــــ = ‪H10‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻋﺪد ﺣﺪودﻫﺎ‬

‫‪n = 10‬‬

‫] ‪ [2 - 2‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‪:‬‬ ‫ﲟﺎ ان اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت ﻣﻮﺿﻮع دراﺳﺘﻨﺎ ﻫﻲ دوال ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أﻣﺎ ‪ Z+‬او ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫] ‪ [ 1,2,3,4 , ..., n‬ﺑﺸﺮط أن )‪ (n‬ﻋﺪد ًا ﺻﺤﻴﺤ ًﺎ ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ ﻣﻌﲔ وإﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻞ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت ﺑﺎﺷﻜﺎل‬ ‫ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ اﻻﻣﺜﻠﺔ اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪32‬‬

‫‪í‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫ﻣﺜﻞ اﻻﺷﻜﺎل اﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬

‫> ‪1) = < 7 - 3n‬‬

‫ﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﻧﻜﺘﺐ ﻋﺪد ًا ﻣﻌﻘﻮ ًﻻ ﻣﻦ ﺣﺪودﻫﺎ اﺑﺘﺪاء ًا ﻣﻦ اﳊﺪ اﻻول ﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﺤﻮري اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت‬ ‫]ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ‪ x - axis‬وﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ‪ [y - axis‬وﻧﻌﲔ اﳌﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻧﻌﺘﺒﺮ اﳌﺠﺎل‬ ‫اﳌﻘﺎﺑﻞ »‪] «R‬اذا ﻟﻢ ﻳﺬﻛﺮﻩ[ واﻟﺬي ﻳﻌﲔ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻓﻨﻘﻮل‪:‬‬ ‫‪U1 = 4 , U2 =1 , U3 = -2 , U4 = -5 , U5 = -8‬‬ ‫وﻧﻌﲔ اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫) ‪( 1 , 4 ) , ( 2 , 1) , ( 3 , -2) , (4 , -5 ) , ( 5 , -8‬‬ ‫)‪(1,4‬‬

‫‪Y‬‬

‫)‪(2,1‬‬

‫‪X‬‬

‫)‪(3,-2‬‬

‫)‪(4,-5‬‬ ‫)‪(5,-8‬‬

‫وﻧﻌﲔ اﻟﻨﻘﻂ‬

‫>‪2) < Hn > = < (-1)n‬‬ ‫‪H1 = -1 , H2 = 1 , H3 = -1 , H4 = 1 , H5 = -1 , H6 =1‬‬ ‫)‪(1,-1) , (2,1) , (3,-1) , (4,1) , (5,-1) , (6,1‬‬

‫‪Y‬‬ ‫)‪(6,1‬‬

‫)‪(2,1) (4,1‬‬

‫‪X‬‬ ‫)‪(1,-1) (3,-1) (5,-1‬‬

‫‪33‬‬

‫‪(-1)n‬‬ ‫> ــــــــــ ‪3) < Gn > = < 1 +‬‬ ‫‪n‬‬

‫ــــــــــ = ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ــــــــــ ‪G2 =1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ــــــــــ = ‪1‬‬ ‫ــــــــــ = ‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ــــــــــ ‪G3 = 1-‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ــــــــــ ‪4 = 1+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ــــــــــ = ‪1‬‬ ‫ــــــــــ = ‪1‬‬ ‫ــــــــــ ‪G5 = 1-‬‬ ‫ــــــــــ ‪G6 = 1+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ــــــــــ ‪3 ) ، ( 3 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪5 ) ، ( 5 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪2 ) ، ( 4 ,‬‬ ‫ﻧﻌﲔ اﻟﻨﻘﺎط ) ‪7‬‬ ‫ــــــــــ ‪4 ) ، ( 6 ,‬‬ ‫ــــــــــ ‪(1 , 0 ) ، ( 2 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪G1 = 1-1 = 0‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)ـــــــ ‪(4,‬‬ ‫)ـــــــ ‪(6,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪X‬‬

‫‪4‬‬ ‫)ـــــــ ‪(5,‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫)ـــــــ ‪(2,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫)ـــــــ ‪(3,‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪(1,0‬‬

‫> ‪4) < Hn > = < -4 ,-2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ان ﻫﺬﻩ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻲ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ وﻋﻠﻴﻪ ﻧﺮﺳﻢ ﺣﺪودﻫﺎ ﺑﺘﻌﻴﲔ اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫)‪(1,-4) ، (2,-2) ، (3,0) ، (4,2) ، (5,4) ، (6,6) ، (7,8‬‬

‫‪Y‬‬

‫)‪(7,8‬‬ ‫)‪(6,6‬‬ ‫)‪(5,4‬‬ ‫)‪(4,2‬‬

‫‪X‬‬

‫)‪(3,0‬‬

‫)‪(2,-2‬‬ ‫)‪(1,-4‬‬

‫‪34‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ]‪[2 -1‬‬

‫ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻻﺗﻴﺔ اﻛﺘﺐ اﳊﺪود اﻟﺴﺒﻌﺔ اﻻوﻟﻰ ﺛﻢ ﻣﺜﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً‪:‬‬ ‫> ‪1) < Un> = ‪2) < Hn > = ‪3) < Hn > = ‪4) < Un > = ‪5) < Gn > = ‪7) < Mn > = < -3 (-1)n‬‬ ‫>‪8) < Gn > = ـــــــــــــ < = > ‪9) < Mn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪8‬‬ ‫> ــــــ < = > ‪10) < Un‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪35‬‬

‫]‪ [2-3‬اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ )اﻟﻌﺪدﻳﺔ( ‪Arithmetic Sequences‬‬

‫‪í‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫ﻟﻨﻼﺣﻆ اﻻﻣﺜﻠﺔ اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫> ‪1) < Un > = < 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22‬‬ ‫> ‪2) < Hn > = < 30 , 25 , 20 , 15 , 10 , 5 , 0 , -5 , -10 , -15‬‬ ‫> ‪3) < Gn > = < 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ﻓﻲ اﳌﺜﺎل اﻻول ان‬ ‫‪, U3 - U2 = 3 , U4 - U3 = 3 , U5 - U4 = 3 ...‬‬

‫‪U2 - U1 = 3‬‬

‫وﻫﻜﺬا ﻧﺎﰋ ﻃﺮح ﻛﻞ ﺣﺪ ﻣﻦ اﳊﺪ اﻟﺬي ﻳﻠﻴﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة =‪ 3‬وﻫﻮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ اي ان ‪Un+1-Un =3‬‬ ‫]ﻋﺪد)ﻣﻘﺪار(ﺛﺎﺑﺖ[‪.‬‬ ‫وﻓﻲ اﳌﺜﺎل اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﺎن‬ ‫‪H2 - H1 = -5 , H3 - H2 = -5 , H4 -H3 = -5 , H5 - H4 = -5 , H6 - H5 = -5‬‬ ‫وﻫﻜﺬا ﻧﺎﰋ ﻃﺮح ﻛﻞ ﺣﺪ ﻣﻦ اﳊﺪ اﻟﺬي ﻳﻠﻴﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة = ‪ -5‬وﻫﻮ ﻋﺪد)ﻣﻘﺪار( ﺛﺎﺑﺖ أي أن‪:‬‬ ‫‪Hn+1 - Hn = -5‬‬ ‫اﻣﺎ ﻓﻲ اﳌﺜﺎل اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪G2 - G1 = 3 , G3 - G2 = 5 , G4 - G3 = 7 , G5 - G4 = 9‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ان ﻧﺎﰋ ﻃﺮح ﻛﻞ ﺣﺪ ﻣﻦ اﳊﺪ اﻟﺬي ﻳﻠﻴﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﺘﻐﻴﺮ‪ ،‬اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﺘﻲ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﳌﺜﺎﻟﲔ )‪(2) ،(1‬‬ ‫واﻟﺘﻲ ﲢﻘﻖ اﻟﺸﺮط ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ = ‪] Un+1-Un‬ﻧﻔﺮض اﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ ‪ [ d‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪(2-2‬‬

‫ﺗﺴﻤﻰ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ >‪ ‪ ‪ = < a , a + d , a + 2d , ... , a + (n-1) d , ...‬‬

‫‪í‬‬ ‫اﻣﺜﻠﺔ‬

‫اﻛﺘﺐ اﳊﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪﻫﺎ اﻻول ‪ H1 = -7‬واﺳﺎﺳﻬﺎ‬

‫‪d=2‬‬

‫> ‪< Hn > = < -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , ...‬‬

‫‪5‬‬ ‫ــــ‬ ‫‪ (2‬ﺣﺪﻫﺎ اﻻول ‪ U1 = 2‬واﺳﺎﺳﻬﺎ ‪d = -1‬‬ ‫‪5 3 1 -1 -3 -5‬‬ ‫> ‪ , ...‬ــــ ‪ ,‬ــــ ‪ ,‬ــــ ‪ ,‬ــــ ‪ ,‬ــــ ‪ ,‬ــــ < = > ‪< Un‬‬ ‫‪2 2 2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬ﺣﺪﻫﺎ اﻻول ‪ M1 = 10‬واﺳﺎﺳﻬﺎ ‪d = -3‬‬

‫>‪<Mn > = < 10 , 7 , 4 , 1 ,-2,-5,...‬‬

‫‪37‬‬

‫‪í‬‬ ‫اﻣﺜﻠﺔ‬

‫‪ (1‬اﻛﺘﺐ اﳊﺪ اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪ -3‬واﺳﺎﺳﻬﺎ )‪(7‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻗﺎﻧﻮن اﳊﺪ اﻟﻌﺎم ‪Un = a + (n-1) d‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪) n = 8 , d = 7 , a = -3‬ﺗﺮﺗﻴﺐ اﳊﺪ اﳌﻄﻠﻮب(‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻧﺤﺼﻞ ‪U8 = -3 + (8-1) . 7‬‬ ‫اﳊﺪ اﻟﺜﺎﻣﻦ ‪= -3+49‬‬ ‫‪= 46‬‬ ‫‪ (2‬اﻛﺘﺐ اﳊﺪ اﻟﻌﺎﺷﺮ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول )‪(12‬واﺳﺎﺳﻬﺎ )‪(-3‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪Un = a+(n-1).d‬‬ ‫‪a = 12 ,d = -3 , n = 10‬‬ ‫‪U10 = 12+(10-1) .-3‬‬ ‫‪=12-27‬‬ ‫‪=-15‬‬ ‫‪ (3‬اﺳﺘﺆﺟﺮ ﻋﺎﻣﻞ ﻓﻲ اول ﺳﻨﺔ ﺑﺮاﺗﺐ ﻗﺪرﻩ )‪(200000‬دﻳﻨﺎر ﻋﻠﻰ ان ﻳﻌﻄﻰ زﻳﺎدة ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ ﺷﻬﺮ‬ ‫ﻣﺒﻠﻐ ًﺎ ﻣﻘﺪارﻩ )‪ (15000‬دﻳﻨﺎر ﻓﻜﻢ ﻳﺒﻠﻎ راﺗﺒﻪ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺴﻨﺔ ؟‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ان راﺗﺐ اﻟﺸﻬﺮ اﻻول = ‪ 200000‬دﻳﻨﺎر‬ ‫راﺗﺐ اﻟﺸﻬﺮ اﻟﺜﺎﻧﻲ = ‪ 215000‬ﺑﻌﺪ اﻟﺰﻳﺎدة ﻟﻠﺸﻬﺮ اﻻول‬ ‫راﺗﺐ اﻟﺸﻬﺮ اﻟﺜﺎﻟﺚ = ‪ 230000‬ﺑﻌﺪ اﻟﺰﻳﺎدة ﻟﻠﺸﻬﺮ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫راﺗﺐ اﻟﺸﻬﺮ اﻟﺮاﺑﻊ = ‪ 245000‬ﺑﻌﺪ اﻟﺰﻳﺎدة ﻟﻠﺸﻬﺮ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ان ﻣﺒﺎﻟﻎ اﻟﺮواﺗﺐ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول ‪ a = 200000‬اﺳﺎﺳﻬﺎ ‪d = 15000‬‬ ‫واﳌﻄﻠﻮب اﻳﺠﺎد اﻟﺮاﺗﺐ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺬي ﻫﻮ)‪ (Hn‬ﺣﻴﺚ ‪] n = 12‬اﻟﺴﻨﺔ )‪ (12‬ﺷﻬﺮاً[‬ ‫‪Hn = a+(n-1)d‬‬ ‫‪H12 = 200000+(12-1).15000‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻮن‬ ‫‪=200000+165000‬‬ ‫‪=365000‬‬ ‫دﻳﻨﺎر راﺗﺒﻪ اﻟﺸﻬﺮي ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺴﻨﺔ‬

‫‪38‬‬

‫‪ (4‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول=‪ 7‬وﺣﺪﻫﺎ اﻟﺴﺎدس= ‪ -8‬ﺟﺪ اﺳﺎﺳﻬﺎ واﻛﺘﺐ اﳊﺪود اﳋﻤﺴﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫‪Un = a+(n-1).d‬‬ ‫‪a = 7,U6 = -8, n = 6‬‬ ‫)‪-8 = 7+(6-1)(d‬‬ ‫‪-8 -7 = 5d‬‬ ‫‪-15 = 5d‬‬ ‫‪d = -3‬‬ ‫‪U1 = 7 , U2 = 4 , U3 = 1 , U4 = -2 , U5 = -5‬‬ ‫‪ (5‬ﻓﻲ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ > ‪ ‪< Un > = < 17 , 22 , 27 , 32 , ...‬‬ ‫‪ (7‬ﺟﺪ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻟﺘﺎﺳﻊ = ‪ 5‬وﺣﺪﻫﺎ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﺸﺮ = ‪-3‬‬ ‫‪Un = a + (n-1).d‬‬ ‫? = ‪U9 = 5 , U13 = -3 , a = ? , d‬‬ ‫‪5 = a + (9-1) d‬‬ ‫‪(1 ....... 5 = a + 8d‬‬ ‫‪-3 = a + (13-1)d‬‬ ‫‪(2 ...... -3 = a + 12d‬‬ ‫‪± ± ±‬‬ ‫‪5 = a 8d‬‬ ‫‪-8 = 4d‬‬

‫ﺑﺎﻟﻄﺮح‬

‫اﻻﺳﺎس ‪ d = -2‬ﺗﻌﻮض ﻓﻲ )‪(١‬‬ ‫)‪5 = a + 8 (-2‬‬ ‫‪5 + 16 = a‬‬ ‫اﳊﺪ اﻻول ‪a = 21‬‬ ‫> ‪ < Un > = < 21 , 19 , 17 , 15 , ...‬اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‬

‫‪40‬‬

‫‪ (8‬اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ > ‪< Un > = < 3n + 1‬‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ارﺑﻊ اﺟﺎﺑﺎت واﺣﺪة ﻣﻨﻬﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪ .‬اﺧﺘﺮ اﻻﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬ ‫أ( اﺳﺎﺳﻬﺎ = ‪ 3‬وﺣﺪﻫﺎ اﳋﺎﻣﺲ = ‪15‬‬ ‫ب( اﺳﺎﺳﻬﺎ = ‪ -3‬وﺣﺪﻫﺎ اﻟﺮاﺑﻊ = ‪13‬‬ ‫ﺟـ( اﺳﺎﺳﻬﺎ = ‪ 4‬وﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪6‬‬ ‫د( اﺳﺎﺳﻬﺎ = ‪ 3‬وﺣﺪﻫﺎ اﻟﺜﺎﻟﺚ = ‪10‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ >‪< Un > = < 3n + 1‬‬ ‫> ‪ = < 4 , 7 , 10 , 13 ,16‬‬ ‫ﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪ 4‬اﺳﺎﺳﻬﺎ = ‪3‬‬ ‫اﻟﻔﺮع أ ﺧﻄﺄ ‪ ،‬اﻟﻔﺮع ب ﺧﻄﺄ ‪ ،‬اﻟﻔﺮع ﺟـ ﺧﻄﺄ‬ ‫اﻟﻔﺮع د ﺻﺤﻴﺢ‬

‫‪41‬‬

‫]‪ [2-3-1‬اﻻوﺳﺎط اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ‬

‫‪Arithmetic Means‬‬

‫اذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﻌﺪدان ‪ k,a‬وادﺧﻠﻨﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﺗﺒﺔ ‪ b,c,g , ...‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن >‪‪ ‪ = < U1, U2 , U3 , U4 , ...‬‬ ‫>‪= ‪ = < 17 , 22 , 27 , 32 , ...‬‬ ‫]‪ [2a+ (n-1).d‬ـــ‬ ‫‪Sn = n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n =10 , a =17 , d =22-17=5‬‬ ‫]‪ [2×17+(10-1)×5‬ـــ‬ ‫‪S10 = 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S10 = 5 [ 34 + 45 ] = 5×79 = 395‬‬

‫‪43‬‬

‫او ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ اﺧﺮى‬ ‫‪a =17 ,n =10 ,d = 22-17 = 5‬‬ ‫‪Un = a+(n-1).d‬‬ ‫‪U10 = 17+(10-1)×5‬‬ ‫‪= 17+45 = 62‬‬ ‫‪n‬‬ ‫]‪2 [a+ Un‬ـــ = ‪Sn‬‬ ‫‪ [ 17+62] = 5×79 = 395‬ـــ‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ّ (2‬ﺑﲔ ﻧﻮع اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻟﻌﺎم >‪ < Hn>=‪ = ‪ ‪ ‪< 4 , 12 ,-4 , ...‬‬ ‫‪ (3‬ﺟﺪ ﻋﺪد اﳊﺪود واﻻﺳﺎس ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﳌﻨﺘﻬﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول =‪ 9‬وﺣﺪﻫﺎ اﻻﺧﻴﺮ = ‪ -6‬وﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫= ‪.24‬‬ ‫‪ (4‬ﺟﺪ ﻋﺪد اﻻﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ )‪ (1000) ،(100‬واﻟﺘﻲ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (12‬ﺑﺪون ﺑﺎق‬ ‫ﺛﻢ ﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (5‬رﺗﺒﺖ ﻣﻘﺎﻋﺪ ﻗﺎﻋﺔ ﻓﻲ )‪ (25‬ﺻﻔ ًﺎ ﻳﺤﺘﻮي اﻟﺼﻒ اﻻول ﻋﻠﻰ )‪ (20‬ﻣﻘﻌﺪ ًا واﻟﺜﺎﻧﻲ ﻋﻠﻰ )‪ (21‬ﻣﻘﻌﺪ ًا‬ ‫واﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﻠﻰ )‪ (22‬ﻣﻘﻌﺪ ًا ﻓﻤﺎ ﻋﺪد اﳌﻘﺎﻋﺪ ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻋﺔ ؟‬

‫‪ (6‬ﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮع اﻻﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻏﻴﺮ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ اﻟﺘﻲ اﻗﻞ ﻣﻦ )‪.(500‬‬

‫‪47‬‬

‫‪ (7‬اﻛﺘﺐ اﳊﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول=‪ 7‬وأﺳﺎﺳﻬﺎ ‪ d = -4‬ﺛﻢ ﺟﺪ ﺣﺪﻫﺎ‬ ‫اﳋﺎﻣﺲ ﻋﺸﺮ وﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﻌﺸﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ (8‬ﺿﻊ ﺛﻤﺎﻧﻴﺔ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺤﺔ ﺑﲔ ‪ 2 , 38‬ﻟﺘﺘﻜﻮن ﻟﺪﻳﻚ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪ 38‬وﺣﺪﻫﺎ اﻻﺧﻴﺮ=‪2‬‬ ‫ﺛﻢ ﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺬﻩ اﻻﻋﺪاد‪.‬‬ ‫‪ (9‬اذا ﺑﺪأ ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ 5‬ﻓﺎن اﻻﻋﺪاد اﻟﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (5‬ﺑﺪون ﺑﺎﻗﻲ ﻫﻲ ‪ 5,10,15,...‬ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮع اول‬ ‫)‪(30‬ﻋﺪد ًا ﻣﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (10‬ﻛﻢ ﻣﻦ اﻻﻋﺪاد ﻳﺠﺐ ان ﺗﺄﺧﺬ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ >‪ ‪ ‪1) < 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , ...‬‬ ‫> ‪2) < 64 , -32 , 16 , -8 , 4 , -2 , ...‬‬ ‫> ‪3) < 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , ...‬‬ ‫ﻧﺸﺎﻫﺪ ﻓﻲ اﳌﺜﺎل اﻻول ان‪:‬‬

‫‪6 18 54 162‬‬ ‫‪ = ... = 3‬ــــــــ = ــــ = ــــ = ــــ‬ ‫‪2 6 18 54‬‬

‫اي ان ﻧﺎﰋ ﻗﺴﻤﺔ اي ﺣﺪ ﻋﻠﻰ اﳊﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ )او ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ( ﻫﻮ )‪ (3‬ﻓﻲ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل‬ ‫وﻓﻲ اﳌﺜﺎل اﻟﺜﺎﻧﻲ ان‪:‬‬

‫‪-32 16 -8 4 -2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ـــــ =‪ = ...‬ـــــ = ــــ = ــــــ = ـــــ = ـــــــ‬ ‫‪64 -32 16 -8 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(-1‬ﻛﻞ‬ ‫اي ان ﻧﺎﰋ ﻗﺴﻤﺔ اي ﺣﺪ ﻋﻠﻰ اﳊﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻘﺪار )ﻋﺪد( ﺛﺎﺑﺖ ﻓﻲ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل ﻫﻮ ) ـــــ‬ ‫‪2‬‬

‫اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﺘﻲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻳﻦ اﳌﺜﺎﻟﲔ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ اي ان اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﻫﻲ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن‬ ‫ﻓﻴﻬﺎ ﻧﺎﰋ ﻗﺴﻤﺔ اي ﺣﺪ ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﳊﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻘﺪار )ﻋﺪد( ﺛﺎﺑﺖ ﻳﺴﻤﻰ اﺳﺎس اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ‬ ‫ﺑﺎﳊﺮف )‪ (r‬وﺑﺸﺮط ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﺪ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺻﻔﺮ‬ ‫‪9 7‬‬ ‫اﻣﺎ اﳌﺜﺎل اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻼ ﳝﺜﻞ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﻷن ــــ ≠ ــــ‬ ‫‪7 5‬‬

‫‪49‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪(2-3‬‬ ‫اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ >‪ ‪ ‪ = < U1 , U2 , U3 , U4 , ..., Un , ...‬‬ ‫>‪= < a , ar , ar2 , ar3 , ... , arn-1 , ...‬‬ ‫ﻷن ﻛﻞ ﺣﺪ ﻓﻲ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ = اﳊﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻪ ﻣﺒﺎﺷﺮة × اﻻﺳﺎس‬ ‫اي ان اﳊﺪ اﻟﻌﺎم )اﳊﺪ اﻟﻨﻮﻧﻲ( ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫‪Un = r.Un-1‬‬

‫‪í‬‬

‫‪Un = arn-1‬‬

‫اﻣﺜﻠﺔ‬

‫‪-1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪ (1‬اﻛﺘﺐ اﳊﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪ 64‬واﺳﺎﺳﻬﺎ ) ‪( 4‬‬ ‫‪U1= 64‬‬

‫‪50‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪ = -16‬ـــــ × ‪U2 =U1.r = 64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ = 4‬ـــــ × ‪U3 =U2.r = -16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪U4 =U3.r = 4 × 4 = -1‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫ـــــ = ـــــ × ‪U5 =U4.r = -1‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ = ـــــ × ـــــ = ‪U6 =U5.r‬‬ ‫‪4 16‬‬ ‫‪4‬‬

‫او ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪U1 = a = 64‬‬

‫‪ (2‬ﺟﺪ اﳊﺪ اﻟﺴﺎدس ﻓﻲ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ >‪‪ ‪ , 1 , -5 , ...‬ـــــــــ ‪ ,‬ـــــــــ < = > ‪∴ < Un‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪52‬‬

‫]‪ [2-4-1‬اﻻوﺳﺎط اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬

‫‪Geometric Means‬‬

‫اذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﻌﺪدان ‪ a,h‬وادﺧﻠﻨﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﺗﺒﺔ ‪ b,c,g،...‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن >‪‪ = ‪ = ‪ ‪ < a , a , a , ... a‬وﻳﻜﻮن ‪Sn = na‬‬

‫‪í‬‬ ‫اﻣﺜﻠﺔ‬

‫‪ (1‬ﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ >‪‪ = < 2,6,18,54,...‬‬

‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻻوﻟﻰ ‪a + ar + ar2 = 26‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪوداﻟﺜﻼﺛﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪ar3 + ar4 + ar5 = 702‬‬ ‫‪26‬‬ ‫)‪a(1+r+r2‬‬ ‫)‪a(1+r+r2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a+ar+ar2‬‬ ‫ــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫=‬ ‫ـــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪702‬‬ ‫‪ar‬‬ ‫‪(1+r+r‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ar3(1+r+r2) 27‬‬ ‫‪ar +ar +ar‬‬ ‫ ‬ ‫‪r3 = 27 r = 3‬‬ ‫‪a=2‬‬

‫‪a(1+3+9) = 26 13 a = 26‬‬

‫‪57‬‬

‫]‪ [2-4-3‬اﻣﺜﻠﺔ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﻮﺿﻮع اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳊﺎﻟﻴﺔ‬ ‫وﺟﻤﻠﺔ اﻟﺪﻓﻌﺔ اﻟﺴﻨﻮﻳﺔ‬ ‫اﻟﺮﻣﻮز اﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ‪:‬‬ ‫اﳌﺒﻠﻎ )‪ (Amount‬ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ »‪ «A‬اﻟﺴﻌﺮ )‪ (Price‬ﳝﺜﻞ رﺑﺢ اﳌﺌﺔ ﻓﻲ ﺳﻨﺔ واﺣﺪة ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ »‪ «P‬اﻟﺮﺑﺢ‬ ‫)‪ (Profit‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ )‪ (Pr‬اﻟﺰﻣﻦ )‪ (Time‬ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ »‪. «T‬‬ ‫اﳉﻤﻠﺔ ﻫﻲ ) اﳌﺒﻠﻎ ‪ +‬اﻟﺮﺑﺢ( ] ‪ [Wholesale‬وﻫﻲ ﻣﺎﻳﺆول اﻟﻴﻪ اﳌﺒﻠﻎ اﳌﻮﺿﻮع ﺑﺴﻌﺮ ﻣﻌﲔ ﺑﻌﺪ ﻓﺘﺮة‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳊﺎﻟﻴﺔ ] ‪ [Current Value‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ »‪ «C‬واﻟﺮﺑﺢ اﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﺑﺴﻴﻄ ًﺎ )‪(Simple profit‬‬ ‫او ﻣﺮﻛﺒ ًﺎ )‪. (Compound profit‬‬ ‫اﻟﺮﺑﺢ اﻟﺒﺴﻴﻂ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ )‪ (S.pr‬وﻳﺤﺴﺐ ﻋﻠﻰ رأس اﳌﺎل )اﳌﺒﻠﻎ( ﻓﻘﻂ وﻓﻖ اﻟﻘﺎﻧﻮن‪:‬‬ ‫‪A.T.P‬‬ ‫ـــــــــــــــــ = ‪S.pr‬‬ ‫‪100‬‬ ‫اﻣﺎ اﻟﺮﺑﺢ اﳌﺮﻛﺐ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ )‪ (C.pr‬ﻳﺤﺴﺐ ﻋﻠﻰ رأس اﳌﺎل وﻋﻠﻰ اﻟﺮﺑﺢ اﻳﻀ ًﺎ وﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﺟﻤﻠﺔ اﳌﺒﻠﻎ‬ ‫اﻟﺬي ﻳﺤﺴﺐ ﻟﻪ رﺑﺤ ًﺎ ﻣﺮﻛﺒ ًﺎ وﻓﻖ اﻟﻘﺎﻧﻮن ‪:‬‬ ‫‪W = A(1.0P)T‬‬ ‫وﻗﺪ ﺗﻀﺎف اﻻرﺑﺎح ﻓﻲ ﻛﺴﻮر ﻣﻦ اﻟﺴﻨﺔ ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ ﻗﺪ ﺗﻀﺎف اﻻرﺑﺎح ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ ﺳﺘﺔ اﺷﻬﺮ اي ﻣﺮﺗﲔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺴﻨﺔ او ﻛﻞ ارﺑﻌﺔ اﺷﻬﺮ اي ﺛﻼث ﻣﺮات ﻓﻲ اﻟﺴﻨﺔ وﻫﻜﺬا ﻓﻴﻜﻮن اﻟﻘﺎﻧﻮن ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪0.0P n‬‬ ‫ــــــــــــ ‪W = A [ 1 +‬‬ ‫] ‪n‬‬ ‫ﺣﻴﺚ )‪ (n‬ﻋﺪد اﳌﺮات ﺗﻀﺎف اﻻرﺑﺎح ﻓﻲ اﻟﺴﻨﺔ‬

‫‪58‬‬

‫]‪ [2-4-4‬اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳊﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪Current value‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﻘﻀﺎﻳﺎ اﻟﺘﺠﺎرﻳﺔ ﻗﺪ ﻳﺤﺘﺎج اﻟﺒﻌﺾ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﺎل ﻗﺒﻞ ﻣﻮﻋﺪ اﻻﺳﺘﺤﻘﺎق ﻟﺪﻓﻊ اﳌﺒﻠﻎ ﻓﻲ ﻣﺜﻞ‬ ‫ﻫﺬﻩ اﻻﺣﻮال ﻳﻌﻤﺪون اﻟﻰ ﺗﻨﺰﻳﻞ ﻗﻴﻤﺔ اﳌﺒﻠﻎ وﻋﻨﺪﺋﺬ ﻳﺨﺼﻢ ﻣﻦ اﳌﺒﻠﻎ ﻣﻘﺪار ًا ﻣﻦ اﳌﺎل ﻳﺴﻤﻰ ﻋﻤﻮﻟﺔ )او ﺗﻨﺰﻳﻞ‬ ‫داﺧﻠﻲ(‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫اذا ﻛﺎن ﻟﺪى اﺣﺪﻫﻢ ﻛﻤﺒﻴﺎﻟﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ )‪ (A‬ﺗﺴﺘﺤﻖ اﻟﺪﻓﻊ ﺑﻌﺪ )‪ (t‬ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ ﺑﺎﻟﺴﻨﲔ واراد ان ﻳﻨﺰﻟﻬﺎ‬ ‫ﻋﻨﺪ اﺣﺪ اﳌﺼﺎرف ﻓﺈن اﳌﺼﺮف ﻳﺄﺧﺬ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻤﻮﻟﺔ وﻫﺬﻩ اﻟﻌﻤﻮﻟﺔ ﻫﻲ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ رﺑﺢ اﳌﺒﻠﻎ اﳌﻌﻄﻰ ﻟﺼﺎﺣﺐ‬ ‫اﻟﻜﻤﺒﻴﺎﻟﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﻟﻮ وﺿﻊ ﺑﺎﻟﺮﺑﺢ اﳌﺮﻛﺐ ﳌﺪة )‪ (t‬ﻣﻦ اﻟﺴﻨﲔ وﺑﺴﻌﺮ)‪ (%P‬ﺗﺼﺒﺢ ﺟﻤﻠﺔ )‪ (A‬وﻫﻜﺬا اﳌﺒﻠﻎ‬ ‫اﳌﻌﻄﻰ ﻟﺼﺎﺣﺐ اﻟﻜﻤﺒﻴﺎﻟﺔ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳊﺎﻟﻴﺔ )‪ (C‬ﺑﻴﻨﻤﺎ )‪ (A‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻼﺳﻤﻴﺔ ﻟﻠﻜﻤﺒﻴﺎﻟﺔ وﻋﻠﻰ‬ ‫ﻫﺬا ﻓﺈن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳊﺎﻟﻴﺔ ﳌﺒﻠﻎ ﻣﻌﲔ ﻫﻲ اﳌﺒﻠﻎ اﻟﺬي ﺗﻌﻴﺮ ﺟﻤﻠﺘﻪ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﳌﺪة ﲟﻘﺪار اﳌﺒﻠﻎ اﳌﻌﲔ وﻋﻠﻴﻪ ﻳﻜﻮن‪:‬‬ ‫‪A = C . (1.0P)t‬‬

‫‪í‬‬ ‫اﻣﺜﻠﺔ‬

‫‪A‬‬ ‫‪t‬ــــــــــــــــــ = ‪C‬‬ ‫)‪(1.0P‬‬ ‫‪C = A.(1.0P)-t‬‬

‫‪ (1‬ﻟﺪى رﺟﻞ ﻛﻤﺒﻴﺎﻟﺔ ﲟﺒﻠﻎ )‪ (3‬ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر ﺗﺴﺘﺤﻖ اﻟﺪﻓﻊ ﺑﻌﺪ ﻣﺮور )‪ (5‬ﺳﻨﻮات وﻟﻜﻨﻪ اراد ان ﻳﺴﺘﻠﻢ‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ اﻻن ﻓﺈذا ﻛﺎن ﺳﻌﺮ اﻟﺮﺑﺢ اﳌﺮﻛﺐ ‪ % 5‬ﻓﻲ اﻟﺴﻨﺔ ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪار ﻣﺎ ﻳﺴﺘﻠﻤﻪ ؟‬ ‫‪C = A.(1.0P)-t‬‬ ‫‪A= 3000000‬‬ ‫‪, P = %5 , t = 5‬‬ ‫‪C = 3000000(1.05)-5‬‬ ‫ﻻﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ »‪ «C‬ﺳﻨﺴﺘﺨﺪم اﻟﻠﻮﻏﺎرﲤﺎت )اﺳﺘﺨﺪم آﻟﺘﻚ اﳊﺎﺳﺒﺔ( ﻛﻤﺎل ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻣﻦ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﻴﻜﻮن‪:‬‬ ‫]‪Log C = Log [3000000(1.05)-5‬‬ ‫‪Log C = Log 3000000 + Log(1.05)-5‬‬ ‫)‪Log C = Log 3000000 -5 Log(1.05‬‬

‫‪59‬‬

‫)‪Log C = 6.4771 -(5)×(0.0212‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‪Log 3 = 0.4771 :‬‬ ‫‪Log 105 = 2.0212‬‬ ‫‪Log C = 6.4771 - 0.1060‬‬ ‫‪C = 2351000‬‬

‫‪Log C = 6.3711‬‬

‫•ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﳒﺪ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت اﻣﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺒﺔ او اﳉﺪاول اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ او ﺗﻌﻄﻰ ﻓﻲ اﻟﺴﺆال ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻳﻮدع رﺟﻞ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻛﻞ ﺳﻨﺔ ﻣﺒﻠﻎ )‪ (5‬ﺧﻤﺴﺔ ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر ﻟﻴﺮﺑﺢ رﺑﺤ ًﺎ ﻣﺮﻛﺒ ًﺎ ﺑﺴﻌﺮ)‪ (% 4‬ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺴﻨﺔ ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪار رﺻﻴﺪﻩ ﻋﻨﺪ اﻳﺪاﻋﻪ اﳌﺒﻠﻎ اﻟﻌﺎﺷﺮ؟‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺮﺻﻴﺪ ﻫﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﺟﻤﻠﺔ ﻋﺪة ﻣﺒﺎﻟﻎ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ‪،‬وﺿﻌﺖ ﳌﺪة ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ وﻋﻠﻴﻪ ﻳﻜﻮن‪:‬‬ ‫اﻟﺮﺻﻴﺪ ﻟﻠﻤﺒﻠﻎ اﻻول = ‪ = W1‬ﺟﻤﻠﺔ )‪ (5‬ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر وﺿﻌﺖ ﳌﺪة ﺗﺴﻊ ﺳﻨﻮات اي ان ‪:‬‬ ‫‪W1=5000000(1.04)9‬‬ ‫اﻟﺮﺻﻴﺪ ﻟﻠﻤﺒﻠﻎ اﻟﺜﺎﻧﻲ = ‪ = W2‬ﺟﻤﻠﺔ )‪ (5‬ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر وﺿﻌﺖ ﳌﺪة ﺛﻤﺎن ﺳﻨﻮات اي ان ‪:‬‬ ‫‪W2=5000000(1.04)8‬‬ ‫اﻟﺮﺻﻴﺪ ﻟﻠﻤﺒﻠﻎ اﻟﺜﺎﻟﺚ = ‪ = W3‬ﺟﻤﻠﺔ )‪ (5‬ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر وﺿﻌﺖ ﳌﺪة ﺳﺒﻊ ﺳﻨﻮات اي ان ‪:‬‬ ‫‪W3=5000000(1.04)7‬‬ ‫وﻫﻜﺬا ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪60‬‬

‫إﻳﺪاع اﳌﺒﻠﻎ اﻟﻌﺎﺷﺮ‬

‫ﺑﺪاﻳﺔ اﻟﺴﻨﺔ اﻷوﻟﻰ‬

‫‪W10 = 5000000‬‬

‫‪W3= 5000000 (1.04)7‬‬

‫‪W2= 5000000 (1.04)8‬‬

‫‪W1= 5000000 (1.04)9‬‬ ‫وﻟﻮ ﻓﺮﺿﻨﺎ ان‪:‬‬ ‫ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪W=W1+W2+W3+...+W10‬‬

‫]‪W= 5000000[(1.04)9+ (1.04)8+ (1.04)7+...+1‬‬ ‫وﻟﻮ ﻧﻈﺮﻧﺎ اﻟﻰ اﳌﻘﺪار اﶈﺼﻮر ﺑﲔ اﻟﻘﻮﺳﲔ ﳒﺪ أﻧﻪ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﳝﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر ﺣﺪﻫﺎ اﻻول=‪] 1‬اﺧﺬ‬

‫اﳌﺠﻤﻮع ﻣﻦ اﻟﻴﺴﺎر[واﺳﺎﺳﻬﺎ = ‪ 1.04‬وﻋﺪد ﺣﺪودﻫﺎ )‪ (10‬ﻓﻴﻜﻮن‪:‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻠﻮﻏﺎرﲤﺎت ﳒﺪ ﻗﻴﻤﺔ )‪ (1.04‬ﻓﻨﻘﻮل ‪:‬‬

‫)‪1(1-(1.04)10‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫[ ‪W= 5000000‬‬ ‫]‬ ‫)‪(1-1.04‬‬ ‫‪1-(1.04)10‬‬ ‫] ــــــــــــــــــــــــــ [ ‪W= 5000000‬‬ ‫‪-0.04‬‬ ‫‪X = (1.04)10‬‬ ‫‪Log X = 10.Log1.04‬‬ ‫‪Log X = 10× 0.017‬‬ ‫‪Log X = 0.17‬‬ ‫‪ ∴ X = 1.479‬‬

‫‪61‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻠﻮﻏﺎرﲤﺎت ﻧﺴﺘﺨﺪم اﳉﺪاول او اﳊﺎﺳﺒﺔ او ﺗﻌﻄﻰ ﻓﻲ اﻟﺴﺆال ‪:‬‬ ‫)‪(1-1.479‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ × ‪∴ W = 5000000‬‬ ‫‪-0.07‬‬ ‫‪0.479‬‬ ‫ـــــــــــــــ × ‪W = 5000000‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪W = 59875000‬‬ ‫‪ (3‬أﻣﻦ رﺟﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﻴﺎﺗﻪ ﲟﺒﻠﻎ )‪ (10‬ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر ﻟﺪى اﺣﺪى ﺷﺮﻛﺎت اﻟﺘﺄﻣﲔ ﻋﻠﻰ ان ﻳﺪﻓﻊ ﻗﺴﻄ ًﺎ ﺳﻨﻮﻳ ًﺎ‬ ‫ﻗﺪرﻩ )‪ (350000‬دﻳﻨﺎر ﻳﺪﻓﻊ ﻓﻲ اول ﻛﻞ ﺳﻨﺔ وﳌﺪة )‪ (20‬ﺳﻨﺔ وﻳﺪﻓﻊ اﻟﻘﺴﻂ اﻻول ﺑﻌﺪ اﻟﺘﻌﺎﻗﺪ‬ ‫ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻓﻤﺎ رﺑﺢ اﻟﺸﺮﻛﺔ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﳌﺪة اذا اﺳﺘﺜﻤﺮت اﻣﻮاﻟﻬﺎ ﺑﺮﺑﺢ ﻣﺮﻛﺐ ﺳﻌـــــــــﺮﻩ )‪ (% 6‬ﻣﻊ‬ ‫اﻟﻌﻠــــــﻢ ان ‪. Log1060 = 3.0253 , Log(0.32.6) =1.506 , Log2396 = 3.3790‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺸﺮﻛﺔ ﺗﺴﺘﺜﻤﺮ اﻻﻗﺴﺎط ﺑﺎﻟﺮﺑﺢ اﳌﺮﻛﺐ ﺑﺴﻌﺮ ‪ % 6‬ﻓﻲ اﻟﺴﻨﺔ ‪.‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ :‬اﻟﻘﺴﻂ اﻻول ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﳌﺪة ﻳﺼﺒﺢ ﺟﻤﻠﺔ اﻟﻘﺴﻂ ﳌﺪة )‪ (20‬ﺳﻨﺔ = ‪W1‬‬ ‫واﻟﻘﺴﻂ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﳌﺪة ﻳﺼﺒﺢ ﺟﻤﻠﺔ اﻟﻘﺴﻂ ﳌﺪة )‪ (19‬ﺳﻨﺔ = ‪W2‬‬ ‫واﻟﻘﺴﻂ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﳌﺪة ﻳﺼﺒﺢ ﺟﻤﻠﺔ اﻟﻘﺴﻂ ﳌﺪة )‪ (18‬ﺳﻨﺔ = ‪W3‬‬ ‫وﻫﻜﺬا وﻳﻜﻮن ‪:‬‬ ‫‪W = W1+W2+W3+...+W20‬‬ ‫وﻳﻜﻮن‪:‬‬ ‫‪W1= 350000(1.06)20‬‬ ‫‪W2 = 350000(1.06)19‬‬ ‫‪W3 = 350000(1.06)18‬‬ ‫)‪W20= 350000(1.06‬‬ ‫وﺑﺎﳉﻤﻊ ﻳﻜﻮن‪:‬‬ ‫])‪W = 350000[(1.06)20+ (1.06)19+(1.06)18+...+(1.06‬‬ ‫]‪= 350000(1.06)[(1.06)19+(1.06)18+...+1‬‬ ‫اﳌﻘﺪار اﻟﺬي داﺧﻞ اﻟﻘﻮس ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﻓﻴﻜﻮن‪:‬‬ ‫]‪1 [(1.06)20-1‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ×)‪W = 350000.(1.06‬‬ ‫)‪(1.06-1‬‬

‫‪62‬‬

‫)‪350000.(1.06‬‬ ‫×‬ ‫]‪ [(1.06)20-1‬ـــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪37100000‬‬ ‫]‪ [(1.06)20-1‬ــــــــــــــــــــــــ = ‪W‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪W‬‬

‫ﳒﺪ ‪ (1.06)20‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ﻟﻴﻜﻦ‪:‬‬

‫‪x = (1.06)20‬‬ ‫)‪Log x = 20.Log(1.06‬‬ ‫‪Log x = 20×0.253‬‬ ‫‪Log x = 0.5060‬‬ ‫‪x = 3.206‬‬ ‫‪37100000‬‬ ‫]‪ [3.206-1‬ــــــــــــــــــــــــ = ‪∴ W‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪37100000‬‬ ‫‪ × 2.206‬ــــــــــــــــــــــــ = ‪W‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻓﻴﻜﻮن رﺑﺢ اﻟﺸﺮﻛﺔ ‪:‬‬ ‫دﻳﻨﺎر رﺑﺢ اﻟﺸﺮﻛﺔ‬

‫‪W = 13640430‬‬ ‫‪13640430-10000000 =3640430‬‬

‫‪63‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ]‪[2 -3‬‬ ‫‪ (1‬ﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻛﻞ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫> ‪a) < 1 , 2 , 4 , ... 128‬‬ ‫> ‪b) < 3 , -6 , 12 , ... , -512‬‬ ‫ــــــــــ ‪1 , ... ,‬‬ ‫‪1 , -1‬‬ ‫> ‪1‬‬ ‫ـــــ ‪ ,‬ـــــ‬ ‫ـــــ < )‪c‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪ (2‬ﺟﺪ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪ -16‬وﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎوي )‪(-48‬‬ ‫‪ (3‬ﺟﺪ اﳊﺪ اﻟﻌﺎﺷﺮ ﻣﻦ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺴﺒﻌﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻨﻬﺎ )‪ (547‬واﺳﺎﺳﻬﺎ‬ ‫)‪(-3‬‬

‫‪ (4‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﻪ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول = ‪ 256‬واﺳﺎﺳﻬﺎ ) ـــــ‬ ‫‪ ( -1‬وﻣﺠﻤﻮع )‪ (n‬ﻣﻦ ﺣﺪودﻫﺎ اﺑﺘﺪاء ًا ﻣﻦ اﳊﺪ اﻻول‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي ‪1‬‬ ‫ـــــ ‪ 170‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ )‪(n‬؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (5‬ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮم ان ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻌﺎت رﻗﻌﺔ اﻟﺸﻄﺮﱋ = ‪ 64‬ﻣﺮﺑﻌﺎ ﻓﻠﻮ اراد ﺷﺨﺺ ان ﻳﻀﻊ ﻋﻠﻰ اﳌﺮﺑﻊ اﻻول ﺣﺒﺔ‬ ‫ﺣﻨﻄﺔ واﺣﺪة وﻋﻠﻰ اﳌﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﺣﺒﺘﲔ وﻋﻠﻰ اﳌﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ )‪ (4‬ﺣﺒﺎت وﻋﻠﻰ اﳌﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ )‪ (8‬ﺣﺒﺎت‬ ‫وﻫﻜﺬا ﻓﻤﺎ ﻋﺪد اﳊﺒﻮب اﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ وﺿﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﳌﺮﺑﻊ اﻻﺧﻴﺮ وﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺒﻮب ﻋﻠﻰ اﻟﺮﻗﻌﺔ ]اﺳﺘﻌﻦ‬ ‫ﺑﺎﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ﻻﻳﺠﺎد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ[‬ ‫ﻋﲔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪﻫﺎ اﻻول ﻫﻮ )‪ (-16‬وﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎوي )‪(-48‬‬ ‫‪ّ (6‬‬ ‫‪ (7‬اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﲔ ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻻرﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ ﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺜﻤﺎﻧﻴﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﻬﺎ ﻛﻨﺴﺒﺔ ‪1‬‬ ‫ـــــــ ﻓﻤﺎ اﺳﺎس اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ؟‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ (8‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﺣﺪﻫﺎ اﻟﺜﺎﻧﻲ )‪ (128‬وﺣﺪﻫﺎ اﻟﺴﺎﺑﻊ )‪ (4‬ﻓﻤﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺘﺴﻌﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻨﻬﺎ؟‬ ‫‪ (9‬ﻳﻮدع رﺟﻞ ﻓﻲ ﺑﺪاﻳﺔ ﻛﻞ ﺳﻨﺔ ﻣﺒﻠﻎ )‪ (5‬ﻣﻼﻳﲔ دﻳﻨﺎر ﻓﻲ ﻣﺼﺮف ﻟﻴﺮﺑﺢ رﺑﺤ ًﺎ ﻣﺮﻛﺒ ًﺎ ﺑﺴﻌﺮ ‪ % 5‬ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪار‬ ‫رﺻﻴﺪﻩ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺴﺎدﺳﺔ ﻣﻊ اﻟﻌﻠﻢ ان ‪Log(105)=2.0212 , Log3767=3.5767‬؟‬ ‫‪ (10‬وﺿﻊ رﺟﻞ ﻣﺒﻠﻎ )‪ (500000‬دﻳﻨﺎر ﻓﻲ ﻣﺼﺮف ﺑﺤﺴﺎب اﻟﺮﺑﺢ اﳌﺮﻛﺐ ﺑﺴﻌﺮ )‪ (% 4‬ﳌﺪة ‪ (20‬ﺳﻨﺔ ﻓﻤﺎ‬ ‫ﺟﻤﻠﺔ اﳌﺒﻠﻎ ﻣﻊ اﻟﻌﻠﻢ ان ‪Log(104)=2.0170 , Log500=2.6990 , Log1094=3.0390‬؟‬

‫‪64‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺼﻞ‬ ‫‪ (1‬ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺗﻮﺟﺪ ارﺑﻊ اﺟﺎﺑﺎت واﺣﺪة ﻣﻨﻬﺎ ﻓﻘﻂ ﺻﺤﻴﺤﺔ‪ .‬اﺧﺘﺮ اﻻﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪:‬‬ ‫أ( اذا ﻛﺎﻧﺖ >‪ ‪1 ,...‬‬ ‫ـــــ < ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪3 3 6‬‬ ‫‪192‬‬ ‫‪1 (4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪ (3‬ـــــ‬ ‫‪-8 (2‬‬ ‫‪8 (1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ (2‬ﻳﻮﺟﺪ )‪ (n‬ﻣﻦ اﻻوﺳﺎط اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﺑﲔ ‪ 36،3‬وﻧﺴﺒﺔ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﻰ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺬي ﺗﺮﺗﻴﺒﻪ )‪ (n-1‬ﻫﻲ‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــ ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ )‪(n‬؟‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ (3‬اوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮع اﻻﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﻟﺘﻲ اﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪ 100‬واﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ 1000‬واﻟﺘﻲ ﻻﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫ﺑﺪون ﺑﺎق‬ ‫‪ (4‬ﺛﻼﺛﺔ اﻋﺪاد ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ = ‪ 14‬وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﺎ = ‪ 64‬ﻓﻤﺎ ﻫﺬﻩ اﻻﻋﺪاد ؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (5‬اذا ﻛﺎن اﻟﺰﻳﺖ اﳌﺴﺘﻬﻠﻚ ﻣﻦ اﺣﺪ اﳋﺰاﻧﺎت ﻓﻲ ﻛﻞ ﻳﻮم = ـــــ ﻣﺎ ﻳﺴﺘﻬﻠﻚ ﻣﻨﻪ ﻓﻲ اﻟﻴﻮم اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮة‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻓﺈذا اﺳﺘﻬﻠﻚ ﻣﻨﻪ ﻓﻲ اﻟﻴﻮم اﻻول )‪ (243‬ﻟﺘﺮ ًا ﻓﺒﻌﺪ ﻛﻢ ﻳﻮم ﻳﺴﺘﻬﻠﻚ ﻣﻨﻪ )‪ (665‬ﻟﺘﺮاً؟‬ ‫‪ (6‬اذا ﻛﺎن >‪ <x,7,...,y,25‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ وﻛﺎﻧﺖ ‪ y = 5x + 2‬ﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﺪود اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‬ ‫وﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫‪ (7‬اي اﻟﻌﺒﺎرات اﻻﺗﻴﺔ ﺻﺎﺋﺒﺔ واي ﻣﻨﻬﺎ ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫أ( اذا ﻛﺎن )‪ (r‬اﺳﺎس اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ >‪ ‪ ‪ ،...‬ــــ ‪ < 32 ,a ,2 ،-‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﻓﺎن ‪. a =- 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د( اذا ﻛﺎﻧﺖ >‪ < 4 , x ,16‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﻓﺎن ‪x = -8‬‬ ‫ﻫـ( ﻓﻲ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔﺣﺴﺎﺑﻴﺔ >‪ < 3,7,11,...,x,63‬ﻓﺎن ‪x = 59‬‬ ‫و( ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﺣﺪﻫﺎ اﻟﺜﺎﻟﺚ = ‪ 9‬وﺣﺪﻫﺎ اﻟﺴﺎﺑﻊ = ‪ -3‬ﻓﺎن ﺣﺪﻫﺎ اﻟﻌﺎﺷﺮ = ‪. -12‬‬ ‫‪ (7‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﻣﺠﻤﻮع اﳊﺪود اﻟﺴﺒﻌﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻨﻬﺎ ‪35‬‬ ‫ـــــــ وﺣﺪودﻫﺎ اﻻول واﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺴﺎﺑﻊ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ ﺟﺪ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (8‬ﻛﻢ ﺣﺪ ًا ﻳﻠﺰم اﺧﺬﻫﺎ اﺑﺘﺪاء ًا ﻣﻦ اﳊﺪ اﻻول ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ >‪