ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи
Тюменцев Владимир Александрович
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УРАВНЕН...
82 downloads
275 Views
690KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи
Тюменцев Владимир Александрович
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА 01.04.02 — теоретическая физика
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук доцент, Клишевич Владимир Владимирович
Омск — 2006
Работа выполнена в Омском государственном университете Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент Клишевич Владимир Владимирович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Багров Владислав Гаврилович кандидат физико-математических наук, Михеев Виталий Викторович
ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ГОУ ВПО Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина
Защита состоится 27 декабря 2006 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 212.179.02 в Омском государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, Омский государственный университет, ул. Нефтезаводская 11, каб.210. С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Омского государственного университета.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент
Вершинин Г.А.
Содержание Введение
4
1 Уравнение Дирака в римановом пространстве 1.1 Понятие риманова пространства . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Понятие оператора симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Определение уравнения Дирака в римановом пространстве 1.4 Операторы симметрии уравнения Дирака . . . . . . . . . . 1.5 Векторное поле Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Векторное поле Яно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Тензорное поле Яно-Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Тетрадный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Плоское пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Пространство де Ситтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
7 7 8 9 10 10 11 12 13 14 14 15
2 Методы интегрирования уравнения Дирака 2.1 Метод полного разделения переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Метод некоммутативного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 18 20
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3 Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры 3.1 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве 3.2 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера 3.3 Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Структура алгебры симметрии уравнения Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 О некоммутативном интегрировании с помощью подалгебр . . . . . . . . . . . 3.6 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера 4.1 Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования . . . . . . . 4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве . . . . . . . . . . 4.2.1 Выбор подалгебры и построение λ- представления . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмассовый случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера . . . . . . . . . 4.3.1 Выбор подалгебры и построение λ- представления . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией 4.4 Анализ решений и спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Одна модель асимптотически плоского пространства . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 К вопросу о склейке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Резюме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключение.
21 21 21 23 24 26 27
28 28 29 29 29 30 31 31 31 34 36 37 38 40
2
Приложение A. Матрицы Дирака.
41
Приложение B. Разложения матриц вида e(−Gt) γ b i e(Gt)
43
Приложение C. Алгебра операторов симметрии.
45
Приложение D. Операторы симметрии уравнения Дирака в 4-сферической системе координат
57
Приложение E. Случай уравнения (126) с условием j12 = j22
59
Библиография
60
3
Введение В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют следующие две основные задачи из многих других не менее важных: получение точных решений уравнений математической физики и разработка и применение наиболее общих или эффективных методов для их точного решения. К настоящему времени уже есть множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики, таких, как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака и др., и еще больше задач до сих пор не решены даже приближенно. Это связано с тем, в частности, что уравнения со временем распространяются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Так открытие уравнения Дирака для релятивистской частицы спина 1/2 в плоском пространстве позволило открыть новые частицы и их античастицы, предсказать новые эффекты, такие, как рождение частиц из вакуума в сильных электромагнитных полях и т.д. Теория уравнения Дирака для плоского пространства хорошо изучена: указаны пределы применимости этого уравнения, построены модели взаимодействия частиц спина 1/2 с электромагнитным полем, развит формализм уравнения Дирака с точки зрения теории групп и т.д., этим вопросам посвящено множество книг и монографий, некоторые из них [38, 41, 42, 43, 57, 63]. Затем уравнение Дирака и другие волновые уравнения были естественно обобщены на случай искривленных пространств. Прекрасное изложение теории и данных экспериментальных наблюдений можно найти, например, в [35, 56, 66] Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера. Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. В основе метода разделения переменных лежит теория В.Н. Шаповалова [71], С. Бененти, М. Франкавиглия [3],[4] согласно которой провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделана группой В.Г. Багрова [6],[7]. Отметим, что для разделения переменных в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Существуют разные подходы, которые в Штеккелевых пространствах дают, по-видимому, одинаковый результат. Ситуация с процедурой разделения в матричных уравнениях осложняется тем, что существуют примеры гравитационных полей Штеккелева типа, в которых нельзя последовательно провести процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, в то время как для уравнения Клейна-Гордона такая процедура возможна [22]. В.Н. Шаповаловым доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [72]. Для уравнения Дирака в настоящее время известны только необходимые условия о разделении переменных. Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств, где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные решения в работах В.Г. Багрова, В.В. Обухова, В.Н. Шаповалова, А.В. Шаповалова и др. [37],[34]. Отметим также значительный вклад математиков Е. Калнинса, B. Миллера [21] и Р. Рудигера [27]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличны-
4
ми от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить. В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах Х. Тетрода [31], В.А. Фока [13] и Х. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В.Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спиндела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабусом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г.В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит критерий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26]. Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл. В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симметрии выражаются через себя полиномиально, более точно [Li , Lj ] =
n X
kl Cij Lk Ll +
k,l=1
n X
k Cij Lk .
(1)
k=1
В литературе такие объекты называются W -алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация W -алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами W -алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является 5
общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание Котаеску в работах [9],[10] в случае пространственного интервала. Мы используем этот факт для построения решений уравнения Дирака в плоском пространстве по известному решению в пространстве де Ситтера. Краткое содержание работы. В первой главе даны общие определения теории уравнения Дирака в римановом пространстве и его операторов симметрий, которые условно делятся на киллинговые (лоренцевы) и спинорные. Киллинговые (лоренцевы) симметрии строятся по векторному полю Киллинга, спинорные симметрии строятся по спинорным полям, к которым относятся поля Яно и Яно-Киллинга. Во второй главе изложены основные положения метода разделения переменных и метода некоммутативного интегрирования. Проведено сравнение этих двух методов. В третьей главе найдены поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. По этим полям, а также по полям Киллинга построены операторы симметрии и показано, что эти операторы в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера совпадают (эквивалентны). Соответственно алгебры симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера эквивалентны. Построенная алгебра является квадратичной, но содержит линейные подалгебры, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости. В четвертой главе построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера, найдены точные решения – волновые функции, проведен анализ спектра де частицы и приведена одна точно решаемая модель с граничным условием склейки плоского пространства и пространства де Ситтера. В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации. Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие: 1. Нахождение полного числа решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера. 2. Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования; выделение подалгебр Ли, удовлетворяющих условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости, из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии. 3. Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования, нахождение нового класса точных решений. 4. Подход к построению точных решений уравнения Дирака в одной модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского пространства.
6
1
Уравнение Дирака в римановом пространстве
1.1
Понятие риманова пространства
Отличие римановых пространств от евклидовых начинается с отличия геометрии. Евклидово пространство является частным случаем риманова, когда равны нулю все символы Кристоффеля. Вводится риманово пространство с помощью двух специальных конструкций: линейной связности и римановой метрики. Приведем ниже определение метрики. Определение 1 Пусть M – открытое множество из пространства Rn . Рассмотрим на множестве {M } поле симметричного тензора gij (M ) = gij (x1 , ..., xn ), где x1 , ..., xn – координаты точки M . Подчиним поле gij следующему требованию: квадратичная дифференциальная форма gij dxi dxj (2) (квадратичная форма от дифференциалов координат) в каждой точке множества 1) невырождена; 2) имеет постоянную сигнатуру (нормальный вид квадратичной формы (2) не зависит от выбора точки из множества {M }). Форму (2) обозначают через ds2 : ds2 = gij dxi dxj
(3)
и называют линейным элементом. При этом говорят, что форма (3) определяет в открытом множестве {M } риманову метрику. Поясним, что под этим понимается. Рассмотрим в области {M } гладкую кривую L, определяемую параметрическими уравнениями xi = xi (t), t0 ≤ t ≤ t1 , (i = 1, ..., n). (4) Длину кривой L определим посредством соотношения Zt1 r s=
gij
dxi dxj dt. dt dt
(5)
t0
Таким образом, при помощи линейного элемента (3) в области {M } можно вычислять длины кривых. Это и означает, что форма (3) определяет метрику в области {M }. Впервые такой способ введения метрики был предложен Риманом в 1854 г. Множество {M } точек из пространства Rn , в котором введена риманова метрика, называется n – мерным римановым пространством и обозначается символом V n . Тензор gij , определяющий риманову метрику, называется метрическим тензором риманова пространства. В римановых пространствах можно построить содержательную геометрию. Эти пространства находят широкое применение в механике и физике. Наиболее подробное изложение теории римановых многообразий приводится, например, в [64].
7
1.2
Понятие оператора симметрии
В современных исследованиях по математической и теоретической физике все возрастающую роль играет принцип симметрии. Это связано прежде всего с тем, что основные физические законы, уравнения движения, различные математические модели обладают явной или скрытой, геометрической или негеометрической, локальной или нелокальной симметриями. Все основные уравнения математической физики – Ньютона, Лапласа, Даламбера, Эйлера – Лагранжа, Ламе, Гамильтона – Якоби, Максвелла, Шредингера и т.д. – обладают высокой симметрией. Именно это свойство выделяет их из множества других дифференциальных уравнений, рассматриваемых в математике. В этом параграфе будут даны общие понятия симметрийного анализа основных уравнений квантовой физики и вместе с тем будут изложены доступным языком основные идеи и принципы теоретико-алгебраического подхода к анализу дифференциальных уравнений. Одним из основных уравнений релятивистской квантовой физики является уравнение Дирака, которое записывается в виде: LΨ = γ k Pk − m Ψ = 0. (6) здесь γ = γ(x) – зависящие от x матрицы Дирака, Pk – оператор обобщенного импульса (см. главу 1.3), а также по повторяющимся индексам идет суммирование γ k Pk = γ 1 P1 + γ 2 P2 + γ 3 P3 + γ 4 P4 . Сформулируем задачу исследования симметрии уравнения (6). Основным понятием, которое будем использовать при изучении алгебраических свойств этого уравнения и вопросов его интегрируемости (как и других уравнений математической физики), является понятие оператора симметрии. В широком смысле оператором симметрии считается произвольный (линейный, нелинейный, дифференциальный, интегральный и т.д.) оператор Q, переводящий решения уравнения (6) в решения, т.е. удовлетворяющий условию L(QΨ) = 0
(7)
для каждого Ψ, принадлежащего множеству решений уравнения (6). Однако если исходить из определения (7), то представляется невозможным найти все неэквивалентные операторы симметрии заданного уравнения, т.к. наряду с Q условиям (7) удовлетворяют также Q2 , Q3 , ..., т.е число операторов симметрии для каждого дифференциального уравнения, вообще говоря, бесконечно. Поэтому на практике обычно предполагается, что операторы Q принадлежат некоторому сравнительно узкому классу