Задачи с параметрами: Методическая разработка для учащихся Заочной школы ''Юный математик''

÷óåòïóóéêóëáñ úáïþîáñ íîïçïðòåäíåîáñ ûëïìá íïóëï÷óëéê ãåîò îåðòåòù÷îïçï íáåíáéþåóëïçï ïâòáúï÷áîéñ

ó. á. âÅÌÑÅ×

úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ íÅÔÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ úÁÏÞÎÏÊ ÛËÏÌÙ €àÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉˁ ÒÉ ÷úíû É íãîíï

íÏÓË×Á éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï 2009

õäë 51 (023) ââë 22.1 â43

÷ × ÅÄ Å Î É Å

âÅÌÑÅ× ó. á.

â43

úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ: ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÄÌÑ ÕÞÁÝÉÈÓÑ úÁÏÞÎÏÊ ÛËÏÌÙ €àÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉˁ ÒÉ ÷úíû É íãîíï. | í: íãîíï, 2009. | 28 Ó. ÷ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ; ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÄÅÌÅÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÀ Ó×ÏÊÓÔ× Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ. ÷ÓÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÙ ÒÉÍÅÒÁÍÉ É ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍÉ.

ââë 22.1

âÅÌÑÅ× óÅÒÇÅÊ áÎÁÔÏÌØÅ×ÉÞ

úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ òÅÄÁËÔÏÒ

ä. ç. íÕÈÉÎ

ÅÈ. ÒÅÄÁËÔÏÒ

ä. å. ýÅÒÂÁËÏ×

ðÏÄÉÓÁÎÏ × ÅÞÁÔØ 20/V 2009 ÇÏÄÁ. æÏÒÍÁÔ 60 × 84 1=16. æÉÚ. ÅÞ. Ì. 1;75. âÕÍÁÇÁ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. ðÅÞÁÔØ ÏÆÓÅÔÎÁÑ. çÁÒÎÉÔÕÒÁ Computer Modern. ÉÒÁÖ 3000 ÜËÚ. úÁËÁÚ ‚ . éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÅÎÔÒÁ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ 119002, íÏÓË×Á, âÏÌØÛÏÊ ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., 11. ÅÌ. (499) 241 74 83. ïÔÅÞÁÔÁÎÏ × ïïï €ÉÏÇÒÁÆÉÑ óáòíá\. "

© íãîíï, 2009.

äÏÒÏÇÉÅ ÒÅÂÑÔÁ, ÜÔÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ: ÚÁÄÁÞÁÍ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ. ðÒÉ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÕ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÕÖÎÏ ÒÏÑ×ÉÔØ Ó×ÏÉ ÏÚÎÁÎÉÑ ÓÒÁÚÕ × ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÉÞ£Í ÎÅ ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÆÁËÔÏ×, ÎÏ ÇÌÕÂÏËÏ, ÁËÔÉ×ÎÏ É Ô×ÏÒÞÅÓËÉ. úÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ËÁË ÂÙ ÎÅÂÏÌØÛÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÂÕÄÕÝÅÊ ÓÅÒØ£ÚÎÏÊ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ. ÷ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÉ£ÍÏ×, ÅÎÎÙÈ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÌÉÞÎÏÓÔÉ, ÎÏ É × ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÎÁÕÞÎÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ.

§1.

ë × Á Ä Ò Á Ô É Þ Î ÁÑ Æ Õ Î Ë É Ñ × Ú Á Ä ÁÞ Á È Ó ÁÒÁÍÅÔÒ ÏÍ

òÅÛÅÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÅÔÙÒÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÁÒÁÂÏÌÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÅÔ ×ÌÉÑÔØ ÁÒÁÍÅÔÒ. üÔÏ | ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ, ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ, ÁÂÓ ÉÓÓÁ ×ÅÒÛÉÎÙ ÁÒÁÂÏÌÙ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÁÂÏÌÙ × ÔÏÞËÅ. äÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ É ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ

÷ÌÉÑÎÉÅ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÎÁ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ É ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ× Ë ÒÅÇÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ËÏÒÎÅÊ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÂÏÌØÛÅ ÎÕÌÑ, ÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ; ÅÓÌÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ | ËÏÒÅÎØ ÏÄÉÎ; × ÓÌÕÞÁÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÔ. ð Ò É Í Å Ò 1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÔÒÏÊËÁ ÞÉÓÅÌ (x; y ; z ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ x + y + z = x2 + 4y 2 É x + 2y + 3z = a. ò Å Û Å Î É Å. ÷ÙÒÁÚÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ z = x2 + 4y 2 − x − y É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ.

x + 2y + 3(x2 + 4y 2 − x − y ) = a:

åÓÌÉ ÔÅÅÒØ ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ (x; y ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÔÏ ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z , ÔÁË ËÁË z ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ Ï x É y . ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ËÁË Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x: 3x2 − 2x + (12y 2 − y − a) = 0:

õÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÇÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï x ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ: 1 − 3(12y 2 − y − a) = 0. üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÏ ËÁË Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ y : 36y 2 − − 3y − 1 − 3a = 0. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ y ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ: 9 + 4 · 36(1 + 3a) = 0. ïÔÓÀÄÁ a = −17=48. ï Ô × Å Ô: a = −17=48.

ð Ò É Í Å Ò 2. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ax2 + + (2 − a)x + 3 − 2a 6 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x? 4

ò Å Û Å Î É Å. ðÒÉ a = 0 ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2x + 3 6 0. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ x; ÏÜÔÏÍÕ a = 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. ðÒÉ a < 0 ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ. çÒÁÆÉË ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÁÒÁÂÏÌÁ, ×ÅÔ×É ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ×ÎÉÚ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ x0 , ÞÔÏ ÒÉ x > x0 ÁÒÁÂÏÌÁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ (ÉÌÉ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x | ÜÔÏ ÓÌÕÞÁÊ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ), ÔÏ ÅÓÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÒÉ ÏÄÎÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍ x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÓÅ a < 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÑÔ. åÓÌÉ ÖÅ a > 0, ÔÏ ×ÅÔ×É ÁÒÁÂÏÌÙ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ××ÅÒÈ É ÄÁÎÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÄÎÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÍ x ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ D = 0. (ðÒÉ ÜÔÏÍ x ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï.) éÍÅÅÍ

D = (2 − a)2 − 4a(3 − 2a) = 9a2 − 16a + 4 = 0;

ÏÔËÕÄÁ a = ÏÔ×ÅÔÏÍ.

√

8±2

ï Ô × Å Ô:

7

9

8±2 9

. ïÂÁ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ É ÏÔÏÍÕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ

√

7

.

ð Ò É Í Å Ò 3. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( 3y + 2 + xy = 0; x(y + 1 − a) + y (2a − 3) + a + 3 = 0

ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. ò Å Û Å Î É Å. ðÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ y (3 + x) = −2. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÁÒÁ (−3; y ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y ÎÅ ÍÏÖÅÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ. óÌÅ2

ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ y ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: y = − x + 3 É ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÇÏ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ:   2 2 x − x + 3 + 1 − a − x + 3 (2a − 3) + a + 3 = 0;

x(−2 + (1 − a)(x + 3)) − 2(2a − 3) + (a + 3)(x + 3) = 0;

(1 − a)x2 + ((a + 3) − 2 + 3(1 − a))x − 2(2a − 3) + 3(a + 3) = 0; (1 − a)x2 + 2(2 − a)x + 15 − a = 0:

(1)

üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ ×ÔÏÒÏÊ ÒÉ a = 1 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2x + 14 = = 0, ÔÏ ÅÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ É ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ x = −7. ÁË ËÁË y ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ Ï x ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. éÔÁË, a = 1 ÏÄÈÏÄÉÔ. 5

ðÒÉ a 6= 1 ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ É ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ: (2 − a)2 − (1 − a)(15 − a) = 0 ⇔ a = 11=12:

÷ÁÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ, ÞÔÏ a = 1 É a = 11=12 ÅÝ£ ÎÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÔ×ÅÔ ÚÁÄÁÞÉ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÅÍÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏ −3. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ÒÉ ËÁËÏÍ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ x = −3. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÍ x = −3 × (1): 9(1 − a) − 6(2 − a) + 15 − a = 0 ⇔ a = 3:

ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ x = −3, ÏÄÎÁËÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ÄÒÕÇÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ. ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x2 + x − 6 = 0. ëÏÒÎÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = −3 É x = 2. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÓÔÏÒÏÎÎÉÊ, ÔÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (−3; y ), Á ×ÔÏÒÏÊ ËÏÒÅÎØ ÄÁ£Ô ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (2; −2=5) ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ï Ô × Å Ô: a = 1, a = 11=12, a = 3. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ 1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ sin a + os a f (x) = (sin a)x2 + 2x os a + 2

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. 2. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ a ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 2x2 + y 2 + ax − ay − xy + a2 = 1. 3. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( 3 axy + x − y + 2 = 0; x + 2y + xy + 1 = 0 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. 4. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ b, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + ax + b = 0. 2 5. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ a, b, , d ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a os 2x = b sin x + + sin x + d Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ? 6. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 16x2 + axy − y > x − 16y 2 − 64 1

×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÁÒ ÞÉÓÅÌ (x; y ) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ | x | = | y |. 6

÷ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ

ð Ò É Í Å Ò 4. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ x, y É a ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ( x + y = 2a − 1; x2 + y 2 = a2 + 2a − 3: ðÒÉ ËÁËÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ a ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ? ò Å Û Å Î É Å. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ x É y , ×ÅÄØ × ÚÁÄÁÞÅ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ! óÒÁÚÕ ÎÁÊÄ£Í

xy = 2 ((x + y )2 − (x2 + y 2 )) = 2 ((2a − 1)2 − (a2 + 2a − 3)) = 2 a2 − 3a + 2: 1

1

3

ÁË ËÁË ×ÅÔ×É ÁÒÁÂÏÌÙ f (a) = 2 a2 − 3a + 2 ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ××ÅÒÈ, ÔÏ Ó×Ï£ 3

ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÎÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ × ×ÅÒÛÉÎÅ a0 = ÒÉ a = 1 ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ ( x + y = 1; x2 + y 2 = 0

3

2 · 3=2

= 1. ïÄÎÁËÏ

É ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ. ëÏÎÅÞÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÇÏ×ÏÒÉÔØ Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÒÅÛÅÎÉÊ. üÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÏÚÎÉËÌÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÅ ÎÁÛÌÉ, ÒÉ ËÁËÉÈ x ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÏÏÂÝÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. üÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ a É ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (a). äÌÑ ÉÈ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ×ÙÒÁÚÉÍ y ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y = 2a − 1 − x É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ×Ï ×ÔÏÒÏÅ:

x2 + (2a − 1 − x)2 = a2 + 2a − 3;

2x2 − 2(2a − 1)x + (2a − 1)2 − a2 − 2a + 3 = 0; 2x2 − 2(2a − 1)x + 3a2 − 6a + 4 = 0:

ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ = (2a − 1)2 − 2(3a2 − 6a + 4) > 0; h i 1 1 2a2 + 8a + 7 6 0 ⇔ a ∈ 2 − √ ; 2 + √ :

D 4

2

2

7

ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎË ÉÑ f (a) = 2 a2 − 3a + 2 ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÒÉ a ∈ i h 1 1 1 ∈ 2 − √ ; 2 + √ . ÁË ËÁË a0 = 1 < 2 − √ , ÔÏ ÎÁ Ó×ÏÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅ3

2

2

2

ÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÑ f (a) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ É ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ 1

a=2− √ . 2

1

ï Ô × Å Ô: 2 − √ . 2

ð Ò É Í Å Ò 5. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ y = | −2x2 + x + a | ÎÁ ÒÏÍÅÖÕÔËÅ 0 6 x 6 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ. ò Å Û Å Î É Å. ÷ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ f (x) = −2x2 + x + a ÉÍÅÅÔ ÁÂÓ ÉÓÓÕ

x0 = 41 . ðÏÜÔÏÍÕ f (x) ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÌÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ) × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË: 0, 1=4 ÉÌÉ 1 (× ÔÏÞËÅ ÍÉÎÉÍÕÍÁ x = x0 ÉÌÉ ÎÁ ËÏÎ ÁÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ | f (x) | ÍÏÖÅÔ ÒÁ×ÎÏ    ÂÙÔØ 1 1 1 ÔÏÌØËÏ | f (0) |, f ÉÌÉ | f (1) |. éÍÅÅÍ | f (0) | = | a |, f = a + , 4 4 8

1 | f (1) | = | a − 1 |: ÷ÙÑÓÎÉÍ, ÒÉ ËÁËÉÈ a ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a + 8 >

> | a − 1 |.

  1 1 2 a + 8 > | a − 1 | ⇔ a + 8 > (a − 1)2 ⇔   1 2 ⇔ a+ − (a − 1)2 > 0 ⇔ 8    1 1 ⇔ a+ 8 −a+1 a+ 8 +a−1 >0 ⇔ ⇔ 2a −

7 8

7

> 0 ⇔ a > 16 :

1 1 ðÒÉ ÔÁËÉÈ a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ ÔÏÌØËÏ a + 8 > | a − 1 |, ÎÏ ÔÁËÖÅ a + 8 > 1 7 ÎÅ ÔÏÌØËÏ | a − 1 | > a − , ÎÏ É | a − 1 | > | a |. ðÒÉ a < 0 > | a |. ðÒÉ a < 16 8 7

ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Á ÒÉ 0 6 a < 16 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ | a − 1 | = | a | ÔÏÌØËÏ 1

ÒÉ a = 2 . (÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÏÌÅÚÎÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÇÒÁÆÉËÉ 1 y = | a |, y = | a − 1 | É y = a + 8 × ÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.) éÔÁË,   a + 1 ; a > 7 ; 8 16 F (a) = max f (x) = | a − 1 |; a 6 7 : [0;1℄ 16

8

ðÒÉ ÜÔÏÍ min F (a) = F 7

ï Ô × Å Ô: a = 16 .



7 16



7

9

= 1 − 16 = 16 .

ð Ò É Í Å Ò 6. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞËÕ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ( y − 2x > 0; −x2 + 2ax − a2 + a + 1 − y > 0: ò Å Û Å Î É Å. ÷ÔÏÒÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÉÓÔÅÍÙ y 6 −x2 + 2ax − a2 + a + 1 ÚÁÄÁ£Ô ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÏÄ ÁÒÁÂÏÌÏÊ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÁ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÓÁÍÏÊ ÁÒÁÂÏÌÅ, É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:

y = −x2 + 2ax − a2 + a + 1 = a + 1 − (x − a)2:

÷ÅÒÛÉÎÁ ÜÔÏÊ ÁÒÁÂÏÌÙ ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (x0 ; y0 ) = (a; a + 1) É ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÅÒÅÍÅÝÁÅÔÓÑ Ï ÒÑÍÏÊ y = x + 1. íÏÖÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØÓÑ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. åÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ ÌÅÖÉÔ × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ y > 2x, ÔÏ ÔÏÞËÏÊ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ É ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÁ ÜÔÁ ×ÅÒÛÉÎÁ. îÁÊÄ£Í ÒÉ ËÁËÏÍ a ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÏÊ ÓÌÕÞÁÊ.

y0 > 2x0

⇔

a + 1 > 2a

⇔

a 6 1:

éÔÁË, ÒÉ a 6 1 ÉÓËÏÍÁÑ ÔÏÞËÁ ÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÁ (a; a + 1). åÓÌÉ ÖÅ a > 1, ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅ ÌÅÖÉÔ × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ y > 2x. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÞËÏÊ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ, ÁÂÓ ÉÓÓÁ ËÏÔÏÒÏÊ | ÍÅÎØÛÉÊ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ −x2 + 2ax − a2 + a + 1 = 2x;

x2 + 2(1 − a)x + a2 − a − 1 = 0:

åÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D=4 = (1 − a)2 − a2 + a + 1 = 2 − a ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ ÒÉ a 6 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ a > 2 ÁÒÁÂÏÌÁ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÒÑÍÏÊ y = 2x (ÌÅÖÉÔ ÎÉÖŠţ) É ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÒÉ 1 < a 6 2 ÍÅÎØÛÉÊ √ ËÏÒÅÎØ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ √ x = a − 1 − 2 − a. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÒÁ×ÎÁ y = 2(a − 1 − 2 − a). ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÓÌÕÞÁÊ a = 2 | ÜÔÏ ÓÌÕÞÁÊ ËÁÓÁÎÉÑ ÁÒÁÂÏÌÙ É ÒÑÍÏÊ y = 2x. ðÒÉ ÔÁËÏÍ a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ | ÏÎÏ É ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÏÊ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ: (1; 2)) Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ. 9

ï Ô × Å Ô: ðÒÉ a 6 1: (a; a + 1);
√ √ ÒÉ 1 < a 6 2: a − 1 − 2 − a; 2(a − 1 − 2 − a) ; ÒÉ a > 2 ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ a ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ y = ax2 + √ + 4x 24 − 2a − a2 ÍÅÎØÛÅ 4? 8. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ x, y É a ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ( x + y = a − 1; xy = a2 − 7a + 14: 7.

ðÒÉ ËÁËÉÈ a ÓÕÍÍÁ x2 + y 2 ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ? 9. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ÁÒÁÂÏÌ y = = x2 − 2ax É y = x2 − (a + 3)x + 1 ÌÅÖÁÔ Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÒÑÍÏÊ y = 2x. ÅÏÒÅÍÁ ÷ÉÅÔÁ

ÅÏÒÅÍÁ ÷ÉÅÔÁ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ × ÔÅÈ ÚÁÄÁÞÁÈ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÈ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÔÁËÉÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ËÏÒÎÅÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÞÅÒÅÚ ÓÕÍÍÕ É ÒÏÉ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ð Ò É Í Å Ò 7. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÍ√ ÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + x a2 − 4a − a − 2 = 0 ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.

ò Å Û Å Î É Å. ÷ ÜÔÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ D = a2 − 4a + 4(a + 2) = a2 + 8 > 0. ïÄÎÁËÏ ÏÛÉÂÏÞÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ ÒÉ ÌÀÂÏÍ a. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÎÏ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ ÒÉ ÌÀÂÏÍ, ÎÏ ÒÉ Ì À Â Ï Í Ä Ï  Õ Ó Ô É Í Ï Í ÚÎÁÞÅÎÉÉ a, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÉ a2 − 4a > 0 ⇔ a ∈ (−∞; 0℄ ∪ ∪ [4; +∞). éÍÅÎÎÏ ÒÉ ÜÔÉÈ a ÍÏÖÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÓÕÍÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÒÎÅÊ: p x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = ( a2 − 4a)2 + 2(a + 2) = a2 − 2a + 4:

þÔÏÂÙ ÔÅÅÒØ ÎÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÏÊ ÖÅ ÏÛÉÂËÉ, ÞÔÏ É × ÒÉÍÅÒÅ 4, ÂÕÄÅÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f (a) = a2 − 2a + 4 ÔÏÌØËÏ ÒÉ a ∈ (−∞; 0℄ ∪ [4; +∞). ÷ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ f (a) ÉÍÅÅÔ ÁÂÓ ÉÓÓÕ a0 = 1, ÞÔÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ 10

ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f (a). úÎÁÞÉÔ, f (a) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÌÉÂÏ ÒÉ a = 0, ÌÉÂÏ ÒÉ a = 4. ÁË ËÁË f (0) = 4 É f (4) = 12, ÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ 4. ï Ô × Å Ô: óÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÒÎÅÊ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 4 ÒÉ a = 0. ð Ò É Í Å Ò 8. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x2 + ax − 1 < 0 ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÄÌÉÎÙ 5? ò Å Û Å Î É Å. ÁË ËÁË ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D = a2 + 4 Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÓÔÏÑÝÅÊ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ×ÓÅÇÄÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÏ ÜÔÁ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ x1 É x2 ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a. îÁÊÄ£Í ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. p p | x1 − x2 | = (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 : √ ðÒÉÍÅÎÑÑ ÔÅÅÒØ ÔÅÏÒÅÍÕ ÷ÉÅÔÁ, ÏÌÕÞÁÅÍ | x1 − x2 | = a2 + 4. óÌÅÄÏ√ √ ×ÁÔÅÌØÎÏ, a2 + 4 = 5, ÏÔËÕÄÁ | a | = 21. √ ï Ô × Å Ô: ± 21. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË

íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÁÒÁÍÅÔÒÏÍ Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÇÕÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØÓÑ Ä×Å ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ ËÏÒÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ñ×ÎÏ, ÔÏ É ÏÔ×ÅÞÁÔØ ÎÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ×ÏÒÏÓÙ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÁÒÁÂÏÌÙ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÁËÏÊ: €ðÒÉ ËÁËÉÈ a ×ÓÅ ËÏÒÎÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÂÏÌØÛÅ 1) Ó×ÏÄÉÔÓÑ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ë ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ. éÈ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÒÕÄÏ£ÍËÏ É ÞÒÅ×ÁÔÏ ÏÛÉÂËÁÍÉ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÒÉ£Í, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÉÖÅ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÑÓÎÉÔØ, × ËÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. éÎÏÇÄÁ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ ÒÉÍÅÎÑÔØ ËÁËÉÅ-ÌÉÂÏ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÌÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á, Á Ñ×ÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÌÑ ÎÉÈ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÄÁÎÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ. ð Ò É Í Å Ò 9. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 − 3(a + 1)x + 12a − 4 = 0 ÂÏÌØÛÅ 3? 11

ò Å Û Å Î É Å. ëÏÒÎÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x1 = 4, x2 = 3a − 1. ÁË ËÁË x1 > 3 É ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÄÏÌÖÅÎ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÔÏ ÎÕÖÎÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x2 = = 3a − 1 6 3, ÏÔËÕÄÁ a 6 4=3.

x1

1

x2

x

x1

1

x2

x

ï Ô × Å Ô: a 6 4=3.

ð Ò É Í Å Ò 10. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÅ (

| x2 + 7x + 6 | + x2 − 5x + 6 − 12| x | = 0; x2 − 2(a + 2)x + a(a + 4) = 0:

ðÒÉ a 6= 1 ÎÁÊÄ£Í ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D = 13a2 − 20a + 8. ÅÅÒØ ÏÎÑÔÎÏ, 4 ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ  D  = 13a2 − 20a + 8 > 0;   4  √   2a − 13a2 − 20a + 8 < 1; x1 = 2(a − 1)   √  2   x2 = 2a + 13a − 20a + 8 > 1 2(a − 1) 1

:

ò Å Û Å Î É Å. òÅÛÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÏÌØËÏ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ. ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÏÔ×ÅÔÏÍ x ∈ [−6; −1℄ ÉÌÉ x = 2 ÉÌÉ x = 3. (ðÏÌÕÞÉÔÅ ÜÔÏÔ ÏÔ×ÅÔ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ.) ëÏÒÎÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÏÖÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ñ×ÎÏ x1 = a, x2 = a + 4. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ËÏÒÎÑÍÉ ÒÁ×ÎÏ 4: x2 − x1 = 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ x1 = 2 ÉÌÉ x1 = 3, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÓÉÓÔÅÍÅ. åÓÌÉ ÖÅ x1 ∈ [−6; −1℄, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ: x2 ∈ [−6; −1℄ ÉÌÉ x2 = 2 ÉÌÉ x2 = 3, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ  −6 6 a 6 −1;    −6 6 a + 4 6 −1;   a + 4 = 2;    a + 4 = 3: òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÁ£Ô ÏÔ×ÅÔ.

ï Ô × Å Ô: a ∈ [−6; −5℄ ÉÌÉ a = −2 ÉÌÉ a = −1. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÕÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÔÒÅÈÞÌÅÎÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÄÒÕÇÉÈ ÞÉÓÅÌ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÍÏÇÁÀÔ ÎÅÓÌÏÖÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÉÖÅ. ð Ò É Í Å Ò 11. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÞÉÓÌÏ 1 ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ ÍÅÖÄÕ ËÏÒÎÑÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (a − 1)x2 − 2ax + 2 − 3a = 0?

ò Å Û Å Î É Å. ðÒÉ a = 1 ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍ É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ −2x − 1 = 0. ñÓÎÏ, ÞÔÏ a = 1 ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÔ×ÅÔ. 12

òÉÓ. 1.

ÓÏÒÑÖÅÎÏ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÒÕÄÎÏÓÔÑÍÉ. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÒÏÝÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ a − 1 > 0, ÔÏ ×ÅÔ×É ÁÒÁÂÏÌÙ f (x) = (a − 1)x2 − − 2ax + 2 − 3a ÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ ××ÅÒÈ É ÞÉÓÌÏ 1 ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏ ÍÅÖÄÕ Å£ ËÏÒÎÑÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ f (1) < 0 (ÒÉÓ. 1). åÓÌÉ ÖÅ a − 1 < 0, ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ × ÚÁÄÁÞÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ ÒÉ f (1) > 0. éÔÁË, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ: ( a − 1 > 0;   f (1) < 0; (   a − 1 < 0; f (1) > 0:

üÔÕ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (a − 1)f (1) < < 0. ÷ ÉÔÏÇÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (a − 1)(−4a + 1) < 0;  1 ∪ (1; +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÏÍ Ë ÚÁÄÁÞÅ. ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ a ∈ −∞; 4   1 ï Ô × Å Ô: a ∈ −∞; 4 ∪ (1; +∞) 

13

åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÅÛ£ÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÉÓËÁ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ p ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ ËÏÒÎÑÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = Ax2 + Bx + C . ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÄÁ£Ô ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ.

 1  a2 − 2 (a2 + 1) > 0;       a2 + 2a + 3 > 0;

 Å Ï Ò Å Í Á 1. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ p ÎÁÈÏÄÉÌÏÓØ ÍÅÖÄÕ ËÏÒÎÑÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = Ax2 + Bx + C , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Af (p) < 0. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÁ×ÁÔØ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, Á ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁÇÌÑÄÎÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÔÏÉÔ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ ÚÄÅÓØ ÎÅ ÏÎÁÄÏÂÉÌÉÓØ: ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙ. òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÅÄÕÔ ÎÁÓ Ë ÏÂÏÂÝÅÎÉÀ É ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÅÝ£ ÏÄÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ð Ò É Í Å Ò 12. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

2

3   a2 − 2a + 2 > 0;      −1 6 − a 6 1: 2

a

+1

å£ ÒÅÛÅÎÉÅ a ∈ (−∞; −1℄ ∪ [1; +∞).

ï Ô × Å Ô: a 6 −1 ÉÌÉ a > 1. ïÂÅÝÁÎÎÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ | ÚÁÄÁÞÁ: ÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = Ax2 + Bx + C ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [p; q ℄? çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 2; ÓÉÔÕÁ ÉÀ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ:   A > 0;      D > 0; f (p) > 0;    f (q ) > 0;    p 6 x 6 q 0

1 (a2 + 1) sin2 x + 2a2 sin x + = 0 2

ÉÍÅÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ. ò Å Û Å Î É Å. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t = sin x ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ

ÉÌÉ

  A < 0;      D > 0; f (p) 6 0;    f (q ) 6 0;    p 6 x 6 q: 0

(a2 + 1)t2 + 2at + = 0: 2

ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÓÉÓÔÅÍ ÍÏÖÎÏ ÓÏÂÒÁÔØ × ÏÄÎÕ ÓÉÓÔÅÍÕ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ × ×ÉÄÅ ÔÅÏÒÅÍÙ.

÷ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁË: ÒÉ ËÁËÉÈ a ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−1; 1℄? ÁË ËÁË ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ

f (x) = Ax2 + Bx + C ÎÁÈÏÄÉÌÉÓØ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [p; q ℄, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁ-

1

 Å Ï Ò Å Í Á 2. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ

f (t) = (a2 + 1)t2 + 2at + 2 1

ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ

p

q

x

p

q

x

D > 0, f (−1) > 0, f (1) > 0. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ | ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ×ÅÒ-

a ÛÉÎÙ t0 = − 2 ÁÒÁÂÏÌÙ ÏÔÒÅÚËÕ [−1; 1℄. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ ÓÉa +1 ÓÔÅÍÕ 14

òÉÓ. 2. 15

ð Ò É Í Å Ò 14. îÁÊÔÉ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

ÔÏÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ   D > 0;  Af (p) > 0; Af (q ) > 0;    p 6 x0 6 q:

óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÎÑÔÎÁ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÏÂÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÎÁ ×ÓÅ ÓÌÕÞÁÉ ÖÉÚÎÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÕÖÎÏ ÕÑÓÎÉÔØ ÓÏÓÏ ÉÈ ÎÁÇÌÑÄÎÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÌÕÞÅÎÉÑ. (îÁ ËÏÎËÕÒÓÎÏÍ ÜËÚÁÍÅÎÅ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÎÕÖÎÏ ÉÍÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ!) 1. îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÁÒÔÉÎËÕ, ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÁ. (óÔÒÏÇÏÓÔØ ÎÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÎÅ×ÁÖÎÁ. óÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ | ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ.) 2. ÷ÙÉÓÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ (ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ) ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÁÒÁÂÏÌÙ: ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ D, ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ A, ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ B × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÞËÁÈ f (p) É ×ÅÒÛÉÎÁ ÁÒÁÂÏÌÙ x0 = − . (îÅ ×ÓÅÇÄÁ 2A ÎÕÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ: ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÁÈ ÉÎÏÇÄÁ (ËÁË × ÔÅÏÒÅÍÅ 1) ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÉÓÙ×ÁÀÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ.) 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ×ÙÉÓÁÎÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍÉ ÄÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ. (ÁË, × ÒÉÍÅÒÅ 12 ÛËÏÌØÎÉËÉ ÞÁÓÔÏ ÒÏÕÓËÁÀÔ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÅÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ: p 6 x0 6 q .) ð Ò É Í Å Ò 13. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×p ÎÅÎÉÅ 2(x2 − x − 2a2 + 2a + 2) = x + 1 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁËÏ×.

ò Å Û Å Î É Å. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ x > −1, ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ×ÏÚ×ÅÓÔÉ × Ë×ÁÄÒÁÔ: 2(x2 − x − 2a2 + 2a + 2) = (x + 1)2 . ðÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÔÁË: ÒÉ ËÁËÉÈ a ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 − 4x − 4a2 + 4a + 3 = 0 ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÔÏÞËÉ 0, ÒÉÞ£Í ÏÎÉ ÏÂÁ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ −1? ðÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÓÉÓÔÅÍÅ: ( ( −4a2 + 4a + 3 < 0; f (0) < 0; ⇔ f (−1) > 0; −4a2 + 4a + 8 > 0: òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÁ£Ô ÏÔ×ÅÔ. h   i 1 3 ï Ô × Å Ô: a ∈ −1; 2 ∪ 2 ; 2 . 16

p 2 − | x |( tg2 (sin x) − 2a tg(sin x) − a) 6 0

ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÊÔÉ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ.

ò Å Û Å Î É Å. ðÏÄËÏÒÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ: | x | 6 2 . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ x = ±2 ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (ÒÉ ÜÔÉÈ x ÎÅ ÏÒÅÄẠ̊Πtg(sin x)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÄÉËÁÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ ÄÌÑ | x | < 2 , É ÎÁ ÎÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ. óÄÅÌÁÅÍ ÚÁÍÅÎÕ t = tg(sin x), ÇÄÅ | t | > tg 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ | t0 | > tg 1 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−2 ; 2 ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ tg(sin x) = t0 ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÊÄ£Í ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ (

t2 − 2at − a 6 0; | t | > tg 1

ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. åÓÌÉ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (t) = t2 − 2at − a ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ, ÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. D = a2 + a = a(a + 1) = 0, ÔÏ ÅÓÔØ a = 0 ÉÌÉ a = −1, ÔÏ ÒÅÛÅåÓÌÉ 4

ÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ t = a. ÁË ËÁË ÒÉ a = 0 ÉÍÅÅÍ t=0∈ = (−∞; − tg 1℄ ∪ [ tg 1; +∞), ÔÏ ÏÄÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ a = −1. ïÔÓÀÄÁ 

tg(sin x) = −1, sin x = − 4 + n, n ∈ Z. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ   ÔÏÌØËÏ ÒÉ n = 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ sin x = − 4 , x = (−1)k+1 ar sin 4 + k . îÅÓÌÏÖÎÏ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔØ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−2 ; 2 ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÒÎÉ    − ar sin 4 , ± + ar sin 4 É 2 − ar sin 4 .

åÓÌÉ D > 0, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÒÅÚÏË [t1 ; t2 ℄, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÏÄÎÕ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ (−∞; − tg 1℄ ∪ [ tg 1; +∞). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t1 = − tg 1 ÉÌÉ t2 =

t1 − tg 1

t2

t1

t

tg 1

− tg 1

t2

t

tg 1

òÉÓ. 3. 17

= tg 1 (ÒÉÓ. 3). úÎÁÞÉÔ, ÉÓËÏÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÍÙ ÎÁÊÄ£Í, ÒÅÛÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÓÉÓÔÅÍ:     f (− tg 1) = 0; f ( tg 1) = 0; ÉÌÉ f ( tg 1) > 0; f (− tg 1) > 0;     − tg 1 < t0 < tg 1 − tg 1 < t0 < tg 1:

éÍÅÅÍ

 2

tg 1   a = − ;   2 tg 1 − 1 2

tg 1

a < 2 tg 1 + 1 ;     − tg 1 < a < tg 1

ÉÌÉ

 2

tg 1   a = ;   2 tg 1 + 1 2

tg 1

a < − 2 tg 1 − 1 ;     − tg 1 < a < tg 1:

îÅÓÌÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÔÏÌØËÏ ×ÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÁÊÄÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ a ÏÔ×ÅÞÁÅÔ t = tg 1. éÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ tg(sin x) =  = tg 1, sin x = 1 + k . ÏÇÄÁ sin x = 1, x = 2 + 2n. éÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−2 ; 2 )  3 ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÒÎÉ 2 É − 2 .   ï Ô × Å Ô: ÅÓÌÉ a = −1, ÔÏ x = − ar sin , ÉÌÉ x = ± + ar sin , ÉÌÉ 4 4 2

tg 1   3 x = 2 − ar sin 4 ; ÅÓÌÉ a = 2 tg 1 + 1 , ÔÏ x = 2 ÉÌÉ x = − 2 . ðÒÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÂÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÉÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (a − 1)x2 − − 2(a + 2)x + a = 0 ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−1; 2)? 2 11. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (a − 1)x − 2ax + + 2 − 3a = 0 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ x > 1? (ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ×ÓÅ ÌÉ ÓÌÕÞÁÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ, ÍÅÎØÛÅÇÏ 1, ×Ù ÒÁÚÏÂÒÁÌÉ?) 12. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (a − 1)x2 − − (a + 1)x + a = 0 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ 0 < x < 3? 13. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ( 10.

| x2 − 5x + 4 | − 9x2 − 5x + 4 + 10x| x | = 0; x2 − 2(a − 1)x + a(a − 2) = 0:

18

14.

îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p p tg2 ( os 4 2 − x2 ) − 4a tg( os 4 2 − x2 ) + 2 + 2a 6 0

ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. îÁÊÄÉÔÅ ÜÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ. 15. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï sin6 x + 6 + os x + a sin x os x > 0 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ×ÓÅÈ x?

§2.

í Å Ô Ï Ä Ù  Ï É Ó Ë Á Î Å Ï Â ÈÏ Ä É Í Ù È Õ Ó ÌÏ × É Ê

äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÍÅÔÏÄÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÓÅÊÞÁÓ ÏÊÄ£Ô ÒÅÞØ, ÒÁÚÂÅÒ£Í ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ. ð Ò É Í Å Ò 15. òÅÛÉÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ p p √ x2 − x + 2 − x − x2 = x − 1:

ò Å Û Å Î É Å. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÞÁÓÔÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ | ÛÁÇ ÍÁÌÏÒÉÑÔÎÙÊ É, Ï ×ÓÅÊ ×ÉÄÉÍÏÓÔÉ, ÂÅÓÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÊ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ïäú ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ.  2  x − x > 0; 2 − x − x2 > 0;   x > 0;

⇔

x = 0 ÉÌÉ x = 1:

ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÅÅÒØ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÅÛÁÔØ É ÎÅ ÎÕÖÎÏ! óÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÎÅÇÏ x = 0 É x = 1, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÄÅÌÁÔØ ÒÏ×ÅÒËÕ. ðÏÄÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ x = 1. ï Ô × Å Ô: x = 1. ðÏÄÈÏÄ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ, ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ËÁËÉÅ ÉÍÅÎÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÏÔ×ÅÔ. ÁË, × ÒÁÚÏÂÒÁÎÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ x ∈ {0; 1} | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ, Á x = 1 | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÔØ ÏÔ×ÅÔÏÍ. ä×ÕÍÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ É ÍÅÔÏÄ €×ÙÇÏÄÎÏÊ ÔÏÞËɁ. ÷ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á €ÏÄÏÚÒÅ×ÁÅÍÙȁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏÓÔÕÅÎÞÁÔÙÍ. íÅÔÏÄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ

úÁÄÁÞÉ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉÍÅΣΠÍÅÔÏÄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÔÁË: ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ? ðÒÉ ÜÔÏÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ÚÁÄÁÞÅ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ. îÁÒÉÍÅÒ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Þ£ÔÎÙÍÉ Ï 20

ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ (ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÒÉÍÅÒ | ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï y = f (x), ÇÄÅ f (x) | Þ£ÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ), ÉÌÉ ÖÅ ÎÁÒÑÄÕ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ (x; y ) ÉÍÅÀÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (y ; x). âÏÌÅÅ ÏÂÝ Ï, ÅÓÌÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÔÏÞËÉ A Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÓÉÓÔÅÍÙ), ÔÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ A′ , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÅ A, ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÅÓÌÉ ÔÏÞËÉ A É A′ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ É ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÓÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ, ÔÁË ËÁË ÎÁ ÏÓÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÏÇÕÔ ÌÅÖÁÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÔÏÞËÉ. ð Ò É Í Å Ò 16. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÓÉÓÔÅÍÁ ( (| x | + 1)a = y + os x; sin2 x + y 2 = 1 ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ? ò Å Û Å Î É Å. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ (x0 ; y0 ) ÄÁÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (−x0 ; y0 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ x0 = −x0 , ÔÏ ÅÓÔØ x0 = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅ x = 0 | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ: ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ (0; y0 ) ÉÌÉ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÒÅÛÅÎÉÊ ×Ï×ÓÅ. ïÄÎÁËÏ, Å Ó Ì É ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÏ Í Ï Ö Å Ô ÉÍÅÔØ ×ÉÄ Ô Ï Ì Ø Ë Ï (0; y0 ). ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ x = 0 × ÓÉÓÔÅÍÕ ( a = y + 1; y 2 = 1: ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ a = 0 É a = 2. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ a ÒÉÎÉÍÁÌÏ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÉÈ ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ. ðÒÉ a = 0 ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ( y + os x = 0; sin2 x + y 2 = 1: ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ y = − os x ×Ï ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ sin2 x + + os2 x = 1, ÒÅÛÅÎÉÅÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. 21

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ a = 0 ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÔ, É a = 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. ðÒÉ a = 2 ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ( 2(| x | + 1) = y + os x; sin2 x + y 2 = 1 éÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ | y | 6 1. ÏÇÄÁ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ | y + os x | 6 | y | + | os x | 6 1 + 1 = 2, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÏÚÍÏÖÅÎ ÔÏÌØËÏ ÓÌÕÞÁÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. éÔÁË, y = 1 É os x = 1, ÔÏÇÄÁ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ x × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ os x = 1; ÚÎÁÞÉÔ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, É a = 2 ÏÄÈÏÄÉÔ. ï Ô × Å Ô: a = 2. ð Ò É Í Å Ò 17. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÓÉÓÔÅÍÁ ( x2 − (2a + 1)x + a2 − 3 = y; y 2 − (2a + 1)y + a2 − 3 = x ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (x; y )? ò Å Û Å Î É Å. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (x0 ; y0 ), ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ É ÒÅÛÅÎÉÅ (y0 ; x0 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x0 = y0 . ðÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 − (2a + 1)x + a2 − 3 = x ÉÌÉ x2 − 2(a + 1)x + a2 − 3 = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ, 1 D = (a + 1) 4

2 − (a2 − 3) = 2a + 4 = 0;

ÏÔËÕÄÁ a = −2. ðÒÉ ÜÔÏÍ a ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ( x2 + 3x + 1 = y; y 2 + 3y + 1 = x: ÷ÙÞÉÔÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÞÌÅÎÎÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ: (x − y )(x + y + 4) = 0. 1) x = y . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x2 + 2x + 1 = 0, ÏÔËÕÄÁ x = −1 = y . 2) y = −x − 4. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏÔ y × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÉÍÅÅÍ x2 + 4x + + 5 = 0. õ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÒÎÅÊ ÎÅÔ. ï Ô × Å Ô: a = −2. 22

ð Ò É Í Å Ò 18. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÓÉÓÔÅÍÁ  2(a + 2y ) − y 2 = (x − 2)2 + z 2 ;    (xy + 4) sin(x + y ) + os(x − y ) = 1;    (a − 2)   2 − xyz √ (a tg2 z + x + y ) = 0 1 − 2xy

ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ? ò Å Û Å Î É Å. ÷ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÎÅ ÔÁË ÌÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÓËÒÙÔÕÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÄÏÇÁÄÁÔØÓÑ ÅÒÅÉÓÁÔØ ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ × ×ÉÄÅ 2(a + 2) = (x − 2)2 + (y − 2)2 + z 2 ;

ÔÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÝÅ: ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (x0 ; y0 ; z0 ), ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (y0 ; x0 ; z0 ). úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï x0 = y0 . ðÒÉ x = y ×ÔÏÒÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (x2 + 4) sin 2x = 0, ÏÔËÕÄÁ x = 1 n = 2 , ÇÄÅ n ∈ Z. ÒÅÔØÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÁ£Ô ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ xy < 2 , ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ xy =

 2 n2

1

< 2 , ÔÏ ÅÓÔØ n = 0 É x = y = 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ x É y × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÉÍÅÅÍ z 2 = 2(a − 2). üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÒÉ a = 2. éÍÅÎÎÏ ÜÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ a É Ñ×ÌÑ4

ÅÔÓÑ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ù Í Õ Ó Ì Ï × É Å Í × ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÅ. ðÒÉ a = 2 ÉÚ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ 2 tg2 z + x + y = 0, ÔÏ ÅÓÔØ x + y 6 0. äÁÌÅÅ, ÏÄÓÔÁ×ÉÍ a = 2 × ÅÒ×ÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ. éÍÅÅÍ x2 + y 2 + z 2 = 2(x + y ), ÔÏ ÅÓÔØ x + y > 0. óÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ x + y = 0 É x2 + y 2 + z 2 = 0, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ËÒÏÍÅ x = y = z = 0. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÒÏÊËÁ (0; 0; 0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ËÁÖÄÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ. ï Ô × Å Ô: a = 2. õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ 16.

îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( √ √ (2 − 3)x + (2 + 3)x − 5 = a − 2y + y 2 ; : x2 + (2 − a − a2)y 2 = 0

ÉÍÅÅÔ ÔÁËÏÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÞÔÏ 0 6 y 6 2.

23

17.

îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ a É b, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁ ( xy − 1 xy + 1 = a;

x2 + y 2 = b

ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ (x > 0). 18. íÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË (a; b) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (20a + 21b + 63)x4 + (3b − 4a + 9)x2 + | b2 − 4 | + b2 − 4 = 0

ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ ÒÅÛÅÎÉÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ËÏÔÏÒÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M , ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, É ÎÁÊÄÉÔÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÅÎÔÒÁ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. íÅÔÏÄ €×ÙÇÏÄÎÏÊ ÔÏÞËɁ

ÉÉÞÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ €×ÙÇÏÄÎÏÊ ÔÏÞËɁ, ÔÁËÏ×Á: ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÓÉÓÔÅÍÁ) ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ? ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÒÏÓÔÁ: ÅÓÌÉ ÞÔÏ-ÔÏ (ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÓÉÓÔÅÍÁ) ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÏ  Ò É × Ó Å È ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÚÎÁÞÉÔ, ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ É  Ò É Î Å Ë Ï Ô Ï Ò Ù È, €×ÙÇÏÄÎÙȁ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ËÁË ÒÁÚ É ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÂÏÒÅ €×ÙÇÏÄÎÙȁ ÔÏÞÅË. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÏÓÌÏÖÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞËÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ €ÂÏÌÅÅ ×ÙÇÏÄÎÙÍɁ, ÞÅÍ ÄÒÕÇÉÅ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÒÉÍÅÒ | ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. ð Ò É Í Å Ò 19. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

a sin2 x + a2 os2 x = 1

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ? ò Å Û Å Î É Å. ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏÌÖÎÏ ÉÍÅÔØ ÍÅÓÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ x, ÔÏ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ É ÒÉ x = 0. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 0, ÏÌÕÞÁÅÍ a = −1 É a = 1. ÷ÁÖÎÏ ÏÎÉÍÁÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ÜÔÉÈ a ÍÏÖÎÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÏÌØËÏ ÒÉ x = 0 É ÎÉ ÒÉ ËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ a ÔÒÅÂÕÀÔ ÒÏ×ÅÒËÉ. ðÒÏ×ÅÒËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÄÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ a = 1. 24

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÏÄÓÔÁ×ÉÌÉ €ÂÏÌÅÅ ×ÙÇÏÄÎÕÀ ÔÏÞËÕ 

x = 2 , ÔÏ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï Å ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÌÏ ÂÙ ÔÏÌØËÏ a = 1 É ÒÏ×ÅÒËÁ ÂÙÌÁ ÂÙ ×Ä×ÏÅ ËÏÒÏÞÅ. ï Ô × Å Ô: a = 1.

ð Ò É Í Å Ò 20. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï √ 2 log2+a2 (4 − 7 + 2x) = log2+a2 x2 (4 − 3x)

×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a. ò Å Û Å Î É Å. ðÒÉ €×ÙÇÏÄÎḮ ÚÎÁÞÅÎÉÉ a = 0 ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ √ √ 2 log2 (4 − 7 + 2x) = log2 (4 − 3x) ⇒ (4 − 7 + 2x)2 = 4 − 3x √ √ 23 − 8 7 + 2x + 2x = 4 − 3x ⇒ 8 7 + 2x = 19 + 5x:

÷ÏÚ×ÏÄÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ, ÉÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 25x2 + 62x − 87 = 0, ËÏÒÎÉ ËÏÔÏ87

ÒÏÇÏ x1 = 1 (ÔÁË ËÁË ÓÕÍÍÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ) É x2 = − 25 . îÁÊÄÅÎÎÙÅ x ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ; ÉÓËÏÍÙÅ x ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ. ðÒÉ x = 1 ÉÍÅÅÍ 2 log2+a2 1 = log2+a2 1, 0 = 0. üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ a. 87

ðÒÉ x = − 25 ÉÍÅÅÍ 2 log2+a2

19 5

= log2+a2 ( 87 )2 25

361 25

;

log2+a2

19 5

= log2+a2 ( 87 )2 25

19 5

:

ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a 6= 0, ÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÒÎÏ. ï Ô × Å Ô: x = 1. ð Ò É Í Å Ò 21. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ b ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ( (x2 + 1)a + (b2 + 1)y = 2; a + by + x2 y = 1: ò Å Û Å Î É Å. åÓÌÉ ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ b, ÔÏ É ÒÉ

b = 0. ðÒÉ ÔÁËÏÍ b: (

(x2 + 1)a = 1; a + x2 y = 1;

⇔

(

x = 0; a = 1;

ÉÌÉ

(

a = 0; x2 y = 1:

éÔÁË, ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ b Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ a ∈ {0; 1}. 25

ðÒÉ a = 0 ÉÍÅÅÍ (

| ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t2 + t = 0. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ t = 0 É t = −1. ïÄÎÁËÏ, ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ sin x = 0 É sin x = −1 ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÔÒ£È ËÏÒÎÅÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, a = 3 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ.

(b2 + 1)y = 1; by + x2 y = 1:

ÁË ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y = 0 ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ×ÔÏÒÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÔÏ a = 0 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. ðÒÉ a = 1 ÓÉÓÔÅÍÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ ( x2 + (b2 + 1)y = 1; by + x2 y = 0 É ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ (0; 0) ÒÉ ÌÀÂÏÍ b. ï Ô × Å Ô: a = 1. îÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÚÁÄÁÞÅ ÍÙ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÉÒÕÅÍ ÒÁÂÏÔÕ ×ÓÅÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÜÔÏÊ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ. ð Ò É Í Å Ò 22. îÁÊÄÉÔÅ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ

sin2 x + (a − 2)2 sin x + a(a − 2)(a − 3) = 0

1 − (a − 2)2 + a(a − 2)(a − 3) = 0:

üÔÏ ËÕÂÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ1 , ÞÔÏ 12 − (a − 2)2 = (3 − a)(a − 1):

(2)

ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ËÏÒÎÑ. ò Å Û Å Î É Å. ðÏÓÌÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ t = sin x ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ (3) t2 + (a − 2)2 t + a(a − 2)(a − 3) ≡ f (t) = 0;

ÇÄÅ −1 6 t 6 1. 1) ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ É Õ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. 2) åÓÌÉ (3) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ t = t0, ÔÏ (2) ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ËÏÒÎÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ sin x = t0 ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ËÏÒÎÑ. îÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2 ℄ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ t0 = 0 ÓÉÎÕÓ ÒÉÎÉÍÁÅÔ × ÔÒ£È ÔÏÞËÁÈ. äÌÑ ÏÉÓËÁ ÔÅÈ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ t0 = 0, ÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ × (3). ðÏÌÕÞÉÍ f (0) = a(a − 2)(a − 3) = 0, ÏÔËÕÄÁ Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï, ÞÔÏÂÙ a ÂÙÌÏ ÒÁ×ÎÏ 0 ÉÌÉ 2 ÉÌÉ 3. | ðÒÉ a = 0 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t2 + 4t = 0. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ t = 0, Á ×ÔÏÒÏÊ ËÏÒÅÎØ t = −4 ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÉÎÕÓ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a = 0 ÏÄÈÏÄÉÔ. | ðÒÉ a = 2 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ t2 = 0 É ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ t = 0. úÎÁÞÉÔ, a = 2 ÔÏÖÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. 26

3) åÓÌÉ ÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÒÎÑ t1 É t2 , ÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ (ÎÁÒÉÍÅÒ, t1 ) ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÁ×ÅÎ 1 ÉÌÉ −1, Á ×ÔÏÒÏÊ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−1; 1). éÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÄÁÓÔ ÏÄÉÎ ËÏÒÅÎØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin x = 1 (ÉÌÉ −1) É ÅÝ£ Ä×Á ËÏÒÎÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin x = t2 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; 2 ). ÷ÓÅÇÏ ÔÒÉ. Á) úÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ t1 = 1, Á t2 ∈ (−1; 1), ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ÷ÉÅÔÁ t1 + t2 = −(a − 2)2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t2 = −(a − 2)2 − t1 = −(a − 2)2 − 1 < −1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a. Â) ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ t = −1 × (3) ÄÁ£Ô Î Å Ï Â È Ï Ä É Í Ï Å ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ a:

éÍÅÅÍ (3 − a)(a − 1) + a(a − 2)(a − 3) = 0; (a − 3)(a2 − 3a + 1) = 0:

√ 1 ïÔÓÀÄÁ a = 3, a = 2 (3 ± 5).

| ðÒÉ a = 3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ t2 + t = 0 É ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ t = 0 É t = −1. üÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÕÖÅ ÒÁÚÏÂÒÁÎ É ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. √ 1 | ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a = 2 (3 ± 5) × (3) ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÚÁÍÅÔÎÙÍ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍ ÔÒÕÄÎÏÓÔÑÍ. õËÁÖÅÍ Ä×Á ÓÏÓÏÂÁ ÏÂÈÏÄÁ ÜÔÉÈ ÔÒÕÄÎÏÓÔÅÊ.

√ 1 ð Å Ò × Ù Ê Ó  Ï Ó Ï Â (Ô Å Ï Ò Å Í Á ÷ É Å Ô Á). þÉÓÌÁ a = 2 (3 ± 5)

Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ a2 − 3a + 1 = 0 (×ÅÄØ ÉÍÅÎÎÏ ÉÚ ÎÅÇÏ ÏÎÉ É ÎÁÊÄÅÎÙ), ÉÌÉ a2 − 3a = −1. ÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3) ÒÁ×ÎÏ

t1 · t2 = a(a − 2)(a − 3) = (a − 2)(a2 − 3a) = 2 − a:

1 åÓÌÉ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÔÏ ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ  ÚÁÔÒÁÔÙ ÎÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ.

27

ÁË ËÁË t1 = −1, ÔÏ t2 = a − 2. t2 ∈ (−1; 1) ⇔ 1 < a < 3. ÁË ËÁË, ÏÞÅ×ÉÄ√ √ 1 1 ÎÏ, 2 (3 − 5) < 1, Á 1 < 2 (3 + 5) < 3, ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ √ 1 ÔÏÌØËÏ a = (3 + 5). 2 ÷ Ô Ï Ò Ï Ê Ó  Ï Ó Ï Â (Ò Á Ó  Ï Ì Ï Ö Å Î É Å Ë Ï Ò Î Å Ê). ÒÅÂÕÅÔÓÑ √ 1 ÎÁÊÔÉ, ÒÉ ËÁËÏÍ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ a = 2 (3 ± 5) Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÔÒ£ÈÞÌÅÎ f (t) ÉÍÅÅÔ ËÒÏÍÅ ËÏÒÎÑ t1 = −1 ×ÔÏÒÏÊ ËÏÒÅÎØ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1). ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÁ 1

ÁÒÁÂÏÌÙ t0 = (t1 + t2 ) ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ (−1; 0). (ÁË ËÁË ÁÂ2 Ó ÉÓÓÁ ×ÅÒÛÉÎÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÒÅÄÉÎÏÊ ÏÔÒÅÚËÁ [t1 ; t2 ℄.) ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ÷ÉÅÔÁ

t0 = 2 (t1 + t2 ) = − 2 (a − 2)2 . 1

1

√ √ 1 1 √ 1 | åÓÌÉ a = (3 − 5), ÔÏ t0 = − ( 5 + 1)2 < −1, ÔÏ ÅÓÔØ a = (3 − 5) 2 8 2 ÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ. √ 1 √ 1 | åÓÌÉ a = 2 (3 + 5), ÔÏ t0 = − 8 ( 5 − 1)2 . õÂÅÄÉÔÅÓØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØ√ 1 ÎÏ, ÞÔÏ t0 ∈ (−1; 0). éÔÁË, a = (3 + 5) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. 2 √ 1 ï Ô × Å Ô: a = 0; a = 2; a = 2 (3 + 5).

õ Ò Á Ö Î Å Î É Ñ 19.

îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ √ √
log2 a2 x3 − 5a2 x2 + 6 − x = log2+a2 (3 − x − 1)

ÒÉ ÌÀÂÏÍ a. 20. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ b, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÒÁ (y ; z ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÅ ( 2(1 + | y |)b + (a2 − 2a + 2)z = 3; yz (z + a + 1) = 2b2 − 3b + 1: 21. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ x ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ y ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÔÁËÏÅ z , ÞÔÏ   | y3 + 1 | 4

os(2x − y + z ) = | y 3 − 1 | os 3 − 2x + 2 sin x ?

ðÒÉ ËÁËÉÈ a É b ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï | 2x2 + ax + b | > 9 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−1; 5℄? 22.