Математика. Числовые ряды. Функциональные ряды (сборник задач): Учебно-методическое пособие

Ф е де рал ь ное аг е нт с т во по образованию В ороне ж с к ий г ос ударс т ве нны й униве рс ит е т

М АТЕМ АТИКА Ч ис л овы е ряды . Ф унк ционал ь ны е ряды (с борник задач) Уче бно-ме т одиче с к ое пос обие дл я с т уде нт ов Cп ециа л ьно с т и: 020804 – гео эко л о гия, 020304 – гидро гео ло гия иинж енерна я гео л о гия

В ороне ж 2005

2

Ут ве рж де но научно-ме т одиче с к им с ове т ом мат е мат иче с к ог о фак ул ь т е т а 2 с е нт ября 2005 г ода П рот ок ол № 1

Сос т авит е л и: Савче нк о Ю .Б., Тк аче ваС.А.

Уче бно-ме т одиче с к ое пос обие подг от овл е но нак афе дре уравне ний в час т ны хпроизводны х и т е ории ве роят нос т е й мат е мат иче с к ог о фак ул ь т е т а В ороне ж с к ог о г ос ударс т ве нног о униве рс ит е т а Ре к оме ндуе т с я дл я с т уде нт ов 2 к урс а дне вног о от дел е ния г е ол ог ичес к ог о фак ул ь т е т а, обучаю щ ихс я по с пе циал ь нос т ям: г е оэ к ол ог ия, г идрог е ол ог ия и инж е не рная г идрог е ол ог ия.

3

В В ЕД ЕН ИЕ У ч ебно-м етодич ес к ое п ос обие нап ис ано в с оот вет с т вии с дейс т вую щ ей п рог рам м ой к урс а « М ат ем ат ик а» дляс т удентов г еолог ич ес к ог о фак ульт ет а, с одержит к рат к ие т еорет ич ес к ие с ведения и п одробное решение т ип ич ных п рим еров п оразделу « Ч ис ловые ряды. Ф унк циональные ряды». 1. Ч ИСЛ О В Ы Е РЯ Д Ы 1.1. П о няти е чи с л о в о го ряда

П ус т ь дана ч ис ловаяп ос ледоват ельнос т ь a1 , a2 , a3 ,..., an ,... В ыра ж ение вида ∞

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an

(1)

n =1

называет с ячис ло вымрядо мили п рос т орядо м. Ч ис ла a1 , a2 , a3 ,..., an ,... называю т ч ленам и ряда, ч лен an с п роизвольным ном ером – о бщ им чл ено м ряда . Сум м ы к онеч ног о ч ис ла ч ленов ряда

S1 = a1 ; S 2 = a1 + a 2 ; S 3 = a1 + a 2 + a3 ;...; S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n ; называю т с яча с т ичнымис умма миряда (1). Так к ак ч ис ло ч ленов ряда бес к онеч но, то ч ас т ич ные с ум м ы образую т бес к онеч ную п ос ледовательнос т ь ч ас тич ных с ум м : S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ... . (2) Ряд (1) называетс я с хо дящ имс я, ес ли п ос ледоват ельнос т ь ч ас тич ных с ум м (2) с ходит с я к к ак ом у – нибудь ч ис лу S , к от орое в эт ом с луч ае называет с яс уммо йряда (1) ∞

S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... или S = ∑ an

(3)

n =1

Ес ли же п ос ледовательнос т ь ч ас тич ных с ум м рас ходитс я, т о ряд (1) называет с яра с хо дящ имс я. Рас ходящ ийс яряд с ум м ы не им еет . ∞

П рим ер 1. Ис с ледоват ь на с ходим ос т ьряд Рас с м от рим с ум м у

Sn =

1 ∑ n(n + 1) . n =1

S n - п ервых n - ч ленов ряда

1 1 1 + + ... + . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n(n + 1)

4

Слаг аем ые эт ой с ум м ы м ог ут быт ьп редс т авлены в виде

1 1 1 1 1 1 1 1 =1− , = − , = − ,… . 1⋅ 2 2 2⋅3 2 3 3⋅ 4 3 4 О ч евидно,

1 1 1 = − , ( n = 1, 2 ,3,...) n(n + 1) n n + 1

П оэт ом у

1 1 1   1 1 1 1 1  =1 − S n = 1 −  +  −  +  −  + ... +  − . n n ( n + 1 ) n ( n + 1 )  2  2 3 3 4   1  1 lim S n = lim  −  =1. n→ ∞ n→ ∞ n n ( n + 1 )  

П рим ер 2. У с т ановим , с ходит с яили рас ходит с яряд

1−1+1−1+ ...+ (−1)

n−1

∞

+ ... = ∑(−1)n−1 n=1

П ос ледоват ельнос т ь ег о ч ас тич ных с ум м им еет вид: S1 = 1, S 2 = 0 , S 3 = 1 , S 4 = 0 , … и, с ледоват ельно, не с ходит с яни к к ак ом у п ределу, п оэт ом у данный ряд рас ходит с я. П рим ер 3. Рас с м от рим ряд, с ос тавленный из ч ленов г еом етрич ес к ой п рог рес с ии

1, q , q 2 , q 3 ,..., q n −1 ,... : ∞

1 + q + q + q + ... + q ... = ∑qn−1 . 2

Ес ли

q ≠ 1,

n−1

3

n=1

т о, к ак извес т но,

Sn = 1+ q + q + q + ...+ q 2

3

n−1

qn−1 ⋅ q −1 = , q −1

или

1− qn 1 qn Sn = = − . 1− q 1− q 1− q 1. При | q |< 1 , Sn =

1 , 1− q

т .е. ряд с ходит с яи ег ос ум м а S =

1 . 1− q

2. При q = 1 п олуч аем ряд Следоват ельно, Sn = n и

1+1+1+ ...+1+ ....

lim S n = ∞ ,

n→ ∞

т.е. ряд п ри q = 1 рас ходит с я.

5

3. При

| q |> 1 ,

1 − qn lim Sn = = ∞ , т. е. ряд рас ходитс я. n→∞ 1− q

1.2. С в о йс тв а с хо дящ и хс я рядо в Ес ли в ряде (1) отброс ит ь к онеч ное ч ис ло п ервых ч ленов, нап рим ер mч ленов, топ олуч им ряд

am+1 + am+2 + am+3 + ...+ am+k + ...,

(3)

к от орый называет с яm-м о с т а т ко мряда (1). Те оре ма1.1. Ряд (3) с хо дит с я (ил ира с хо дит с я) о дно временно с рядо м (1). Т . е. на с хо димо с т ь ряда не влияет о т бра с ыва ние лю бо го ко нечно го чис ла чл ено в. О бознач им ч ерез rm - m- ый ос т аток ряда. Те оре ма2.1. Предел с уммы rm m- го о с т а т ка с хо дящ его с я ряда (1) п ри m → ∞ ра вен нул ю . Те оре ма3.1. Ес лиряд (1) с хо дит с я иего с умма ра вна S, ∞

т о иряд

∑ can , где c - неко т о ро е чис л о , т а кж

е с хо дит с я, иего с умма ра вна

n =1

cS .

∞

Те оре ма 4.1. Ес ли ряды с о о т вет с т венно ра вны S

∑ an n =1

∞

и

и σ , т о и ряд

с умма ра вна S + σ .

∑ bn n =1 ∞

с хо дят с я и их с уммы

∑ (an + bn ) n =1

с хо дит с я и его ∞

Те оре ма 5.1(не о бхо ди м ы й при знак с хо ди м о с ти ряда). Ес л и ряд с хо дит с я, т о его о бщ ий чл ен с т ремит с я к нул ю , т .е.

lim a n = 0 .

∑ an n =1

n→ ∞

О братное ут верждение неверно. П рим ер 4. Рас с м от рим ряд ∞ 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... = ∑ . 2 3 n n =1 n

(4)

Так ой ряд называет с я г арм онич ес к им рядом . О ч евидно, ч то для г арм онич ес к ог оряда вып олнено необходим ое ус ловие с ходим ос ти, так к ак

6

lim a n = lim

n→ ∞

n→ ∞

1 =0 n

Д ок ажем рас ходим ос т ь ряда (4). Предп оложим , ч то ряд с ходит с яи ег о с ум м а равна S . Тог да

lim ( S 2n − S n ) =

n →∞

1 1 1 1 + ... + > n⋅ = . n +1 2n 2n 2

Следоват ельно, г арм онич ес к ий ряд рас ходит с я. Дл я с хо димо с т иряда (1) нео бхо димо идо с т а т о чно , чт о бы для вс яко го п о ло ж ит ел ьно го чис ла ε > 0 мо ж но было п о до бра т ь т а ко е N, чт о п ри n>N ил ю бо мп о ло ж ит ельно м p вып о лнял о с ь нера венс т во

| an +1 + an + 2 + ... + an + p |< ε

(кри те ри й Ко ш и ). Конт рол ь ны е приме ры Н ап ис ат ь п рос т ейшую форм улу n-г оч лена ряда п оук азанным ч ленам : 1 1 1 1. 1 + + + + ... 3 5 7 1 1 1 1 2. + + + + ... 2 4 6 8 2 3 4 3. 1 + + + + ... 2 4 8 1 1 1 4. 1 + + + + ... 4 9 16 3 4 5 6 + + + + ... 5. 4 9 16 25 2 4 6 8 6. + + + + ... 5 8 11 14 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... 7. + + + + 2 6 12 16 20 30 42 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + + + ... 8. 1 + 1 ⋅ 4 1 ⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10 9. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... 1 1 1 10. 1 + + 3 + + 5 + + ... 2 4 6 Н ап ис ат ь 4-5 п ервых ч лена ряда п оизвес т ном у общ ем у ч лену a n

7

3n − 2 ; 11. a n = 2 n +1

(−1) n n 2 + (−1) n 12. a n = ; 13. a n = ; 2n n2 nπ    2 + sin  cos nπ 1 2   14. a n = ; 15. a n = . ( 3 + ( −1 ) n ) n n!

1.3. Ряды с не о три цате л ьны м и чл е нам и ∞

Те оре ма6.1. Дл я т о го чт о бы ряд

∑ an n =1

с нео т рица т ел ьнымичл ена ми

с хо дил с я, нео бхо димо и до с т а т о чно , чт о бы п о с л едо ва т ел ьно с т ь ча с т ичных с уммэт о го ряда был а о гра ничена . Д ос т ат очны е ус л овия с ходимос т и чис л овы х рядов. 0 ≤ an ≤ bn , на чина я с Те оре ма 7.1(при знак с рав не ни я). Ес л и неко т о ро го n = n0 , иряд ∞

b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... = ∑ bn

(5)

n =1

с хо дит с я, т о и ряд (1) т о ж е с хо дит с я. Ес л и ряд (1) ра с хо дит с я, т о ра с хо дит с я иряд (2). Те оре ма8.1(о бщ и й при знак с рав не ни я). Ес лиряд (1) п о л о ж ит ел ьный, а ряд (5) с т ро го п о л о ж ит ел ьный ис ущ ес т вует

lim

n→ ∞

an = c, bn

где c=const, c ≠ 0, т о из с хо димо с т иряда (5) с л едует с хо димо с т ь ряда (1),а из ра с хо димо с т и ряда (1) с л едует ра с хо димо с т ь ряда (5) . В ча с т но с т и, ес ли a n ~ bn , п ри n → ∞ , т о ряды с чл ена ми an и bn с хо дят с я ил ира с хо дят с я о дно временно . ∞

П рим ер 5. Ис с с ледоват ьна с ходим ос т ь ряд

1

∑ (n + 1) 2 . n=1

Сравниваем данный ряд с ос ходящ им с ярядом (с м . п рим ер 1). ∞

1 ∑ n(n + 1) . О ч евидно, n=1 1 1 < , (n=1,2,3,… ) 2 n(n + 1) (n + 1) О т с ю да, с ог лас нот еорем е 7, п олуч аем , ч т оданный ряд с ходит с я. П рим ер 6. Ряд

8

с ходит с я, т.к . здес ь

1 1 1 1 + + + ... + + ... 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n an =

1 1 < , n ⋅ 2n 2n

∞

п рич ем ряд, с ос т авленный из элем ентов г еом етрич ес к ой п рог рес с ия знам енат ель к оторой q =

1

∑ 2n , n =1

1 , с ходит с я. 2

П рим ер 7. Ряд

1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 5 2n −1

рас ходит с я, т.к .

1 1 1  lim  ÷  = ≠ 0 , n→ ∞ 2n − 1 n 2 а ряд с общ им ч леном a n =

1 рас ходит с я. n

П рим ер 8. Ряд

1 1 1 1 + 2 + 3 + ...+ n + ... 2 −1 2 − 2 2 − 3 2 −n

с ходит с я, т. к .

1 1   lim  n ÷ n =1≠ 0, n→ ∞ 2 − n 2  т .е.

1 1 1 ~ , а ря д с о бщ им ч лен о м с ходит с я. 2n − n 2n 2n ∞

Те оре ма 9.1(при знак Д ал ам бе ра).

Пус т ь да н ряд

п о ло ж ит ел ьнымичл ена ми ис ущ ес т вует п редел

∑ an n =1

an+1 = ρ . Т о гда n→∞ a n lim

а ) п ри ρ < 1 ряд с хо дит с я; б) п ри ρ > 1 ряд ра с хо дит с я. При ρ = 1 о с хо димо с т иряда ничего с ка за т ь нел ьзя.

с

9 ∞

П рим ер 9. Ряд

1

∑ n! n =1

с ходит с я, т ак к ак

an+1 n! 1 = lim = lim = 0 < 1. n→∞ a n→∞ ( n + 1 )! n→∞ n + 1 n lim

П оп ризнак у Д алам бера этот ряд с ходит с я. ∞

nn рас ходит с я, т ак к ак П рим ер 10. Ряд ∑ n ! n =1 an +1 ( n + 1 )n +1 n!  n + 1 lim = lim = lim   = e > 1. n n→∞ a n → ∞ ( n + 1 )!⋅n n → ∞ n  n n

∞

Те оре ма 10.1(при знак Ко ш и ).

Ес л и ряд

∑ an n =1

п о л о ж ит ел ен

и

lim n an = q , т о п ри q < 1 эт о т ряд с хо дит с я, а п ри q > 1 ра с хо дит с я.

n→∞

При q = 1 о с хо димо с т иряда ничего с ка за т ь нел ьзя. ∞

Те оре ма11.1(и нте грал ьны й при знак Ко ш и ). Пус т ь чл ены ряда т а кие, чт о

∑ an n =1

a1 = f (1) , a2 = f (2) ,… , an = f (n) , где ф ункция f (x) п риx ≥ 1 ∞

неп рерывна , п о л о ж ит ел ьна и убыва ет . Т о гда ряд ∞

инт егра л

∑ an n =1

и нес о бс т венный

∫ f ( x)dx с хо дят с я ил ира с хо дят с я о дно временно . 1

∞

1 П рим ер 11. Рас с м отрим ряд ∑ α , ( α > 0 ). (6) n =1 n 1 Ф унк ция f ( x) = α , x ≥ 1 удовлет воряет ус ловиям теорем ы 11. Ч лены ряда x (6) равны

знач ениям

эт ой

функ ции

п ри x=1,2,3,… . К ак

извес тно,

∞

нес обс твенный интег рал

1 ∫ xα dx п ри α > 1 1

с хо дит с я, а

п ри α ≤ 1

ра с хо дит с я. Следоват ельно, данный ряд с ходит с яп ри α > 1 и рас ходит с яп ри α ≤ 1. Зам етим , ч топ ри α ≤ 0 т ак ие ряды так же рас ходятс я, т ак к ак их общ ий

10

ч лен не с трем итс як нулю п ри n → ∞ , т .е. нарушает с янеобходим ое ус ловие с ходим ос т и ряда (с м . т еорем у 5). Конт рол ь ны е приме ры Ис с ледоват ь с ходим ос ть рядов, п рим еняя п ризнак и с равнения (или необходим ый п ризнак ): 1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + ( −1 )n−1 + ... 2

3

n

2 1  2 1 2 1 2 +   +   + ... +   + ... 2. 5 25 35 n5 3. 4. 5. 6. 7.

2 3 4 n +1 + + + ... + + ... 3 5 7 2n + 1 1 1 1 ( −1 )n+1 −3 +4 − ... + n+1 + ... 10 10 10 10 1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 4 6 2n 1 1 1 1 + + + ... + + ... 11 21 31 10 n + 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... 1⋅ 2 2⋅3 3⋅ 4 n( n + 1 )

2 2 23 2n + + ... + + ... 8. 2 + 2 3 n 1 1 1 1 + + + ... + + ... 9. 1 + 2 n 3 4 1 1 1 1 + ... 10. 2 + 2 + 2 + ... + 2 5 8 ( 3n − 1 )2 3 3 1 3 2 3 n + + + ... + + ... 11. 2 3 2 4 3 (n + 1) n

Ис с ледоват ь с ходим ос т ь рядов (с п ом ощ ью Д алам бера): 1 3 5 2n − 1 + + + ... + + ... 12. 2 2 2 2 ( 2 )n 2 2⋅5 2⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8...( 3n − 1 ) + + ... + + ... 13. + 1 1⋅ 5 1⋅ 5 ⋅ 9 1 ⋅ 5 ⋅ 9...( 4 n − 3 )

п ризнак ов К оши и

11

2  3  4  n +1   + ... 14. +   +   + ... +  1  3  5  2n − 1  2

3

n

3

5

2 n −1

1  2  3  n   15. +   +   ... +  2  5 8  2n − 1 

+ ...

Ис с ледоват ь с ходим ос т ь знак оп оложит ельных рядов: 1 1 1 1. 1 + + + ... + + ... 2! 3! n! 1 1 1 1 + + + ... + + ... 2. 3 8 15 (n + 1) 2 − 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... 3. (3n − 2) ⋅ (3n + 1) 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10

1 4 9 n2 + + + ... + + ... 4. 3 9 19 2n 2 + 1 1 2 3 n + + + ... + 2 + ... 5. 2 5 10 n +1 3 5 7 2n + 1 + 2 2 + 2 2 + ... + + ... 6. 2 2 2 ⋅3 3 ⋅4 4 ⋅5 ( n + 1) 2 ⋅ ( n + 2) 2 2

2

3 6  9  3n +   +   + ... + + ... 7. 4  7   10  (3n + 1)2 1

3

n

 3 2 5  7 2  2n + 1  2  + ... 8.   + +   + ... +  7  10  4  3n + 1 

n3 1 8 27 + + + ... + n + ... 9. e e 2 e3 e 10. 11. 12. 13. 14.

2 4 2 n −1 1 + 2 + 3 + ... + n + ... 2 3 2 +1 1! 2! 3! n! + 2 + 3 + ... + n + ... 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 4 2 n −1 1 + + + ... + + ... 1! 2! ( n − 1)! 1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) + + + ... + + ... 4 4 ⋅ 8 4 ⋅ 8 ⋅12 4 ⋅ 8 ⋅12 ⋅ ... ⋅ 4n (1!) 2 ( 2!) 2 (3!) 2 (n!) 2 + + ... + + ... 2! 4! 6! (2 n)!

12

1000 ⋅1002 1000 ⋅1002 ⋅1004 1000 ⋅1002 ⋅1004...( 998 + 3n ) + + ... + + ... 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7...( 3n − 2 ) 2 2 ⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅11 ⋅14...( 6n − 7 )( 6n − 4 ) + ... + + ... 16. + 1 1⋅ 5 ⋅ 9 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅13 ⋅17...( 8n − 11 )( 8n − 7 ) 1 1⋅ 5 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 3 ) + ... + + ... 17. + 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅10 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 4 )( 4n − 2 ) 1 1 ⋅ 11 1 ⋅ 11 ⋅ 21 1 ⋅ 11 ⋅ 21 ⋅ (10 n − 9) + ... + + ... + 18. + 1! 3! 5! ( 2 n − 1)!

15. 1000 +

1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 9 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ n 2 + + ... + + ... 19. 1 + 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 1 3 5 2n − 1 + + + ... + + ... 20. 1 + n 2 2 2 2 2

( )

∞

21. 23. 25. 27. 30. 32.

1 ; n =1 n ∞  1 ln1 +  ; ∑ n =1  n ∞ 1 ; ∑ n =2 ln n ∞ 1 ; ∑ 2 n = 2 n ⋅ ln n ∞ 1 ; ∑ n =1 n( n + 1 ) ∞ 1

∞

∑ arcsin

∑

22.

∞

π  35. ∑ 1 − cos  ; n n =1  ∞ 3 n n! 38. ∑ n ; n =1 n

n =1

2

;

 n2 + 1 ln 2  ; ∑ n =1  n  ∞ 1 ; ∑ n = 2 n ⋅ ln n ∞ 1 ; ∑ n = 2 n ⋅ ln n ⋅ ln ln n ∞ 1 ; ∑ n =1 n( n + 1 )( n + 2 ) ∞ 1 ; ∑ 3 n= 2 n ⋅ n− n ∞

24. 26. 28. 31. ;

n ⋅ ln n + ln 3 n 3 ∞ n 34. ∑ ; 3 n =1 ( 2 n − 1 ) ⋅ ( 5 ⋅ n −1) n=2

1

∑ sin n

33.

∞

n! 36. ∑ n ; n =1 n ∞ e n n! 39. ∑ n ; n =1 n

∞

∞

29.

2 n n! 37. ∑ n ; n =1 n ∞ 5 n n! 40. ∑ n n =1 n

∑n n=2

2

1 ; −n

13

1.4. Знако че ре дующ и е с я ряды П ерейдем к рас с м от рению рядов, ч лены к от орых им ею т ч ередую щ иес я знак и. Будем с ч ит ать, ч то п ервый ч лен т ак ог о ряда п оложит елен. Тог да знак оч ередую щ ийс яряд м ожнозап ис ат ь в виде

a1 − a2 + a3 − a4 + ... + (−1) n+1 an + ... ,

(7)

г де an > 0 . Те оре ма12.1(при знак Ле йбни ца). Ес лиа бс о лю т ные величины чл ено в зна ко чередую щ его с я ряда (6) мо но т о нно убыва ю т :

a1 > a2 > a3 > ... > an > ...

ио бщ ийчл ен ряда с т ремит с я к нулю : lim a n = 0 , т о ряд с хо дит с я. n→ ∞

П рим ер 12. Ряд

1−

∞ 1 1 1 1 1 + − + ... + ( −1) n +1 + ... = ∑ ( −1) n +1 , 2 3 4 n n n =1

с ходит с я, т. к . удовлет воряет ус ловиям п ризнак а Л ейбница: 1) 1 >

1 1 > > ... > … ; 2 3

1 = 0. n→∞ n

2) lim

Рас с м от рим теп ерь ряды с ч ленам и п роизвольных знак ов. Так ие ряды называю т знак оп ерем енным и рядам и. В озьм ем к ак ой-нибудь зна ко п еременный ряд ∞

a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ... = ∑ a n , n =1

(8)

г де ч ис ла a1 , a2 , a3 ,..., an ... м ог ут быт ь к ак п оложит ельным и, так и от рицат ельным и, п рич ем рас п оложение их в ряде п роизвольно. Рас с м от рим ряд, с ос т авленный изм одулей ч ленов данног оряда (8): ∞

| a1 | + | a2 | + | a3 | +...+ | an | +... = ∑ | an | n =1

(9)

Те оре ма 13.1(при знак с хо ди м о с ти знако пе ре м е нны х рядо в ). Ес ли с хо дит с я ряд (9), т о с хо дит с я иряд (8). Опреде л е ни е 1. Ряд (8) на зыва ю т а бс о лю т но с хо дящ имс я, ес ли ряд (9) с хо дит с я. Ес лиж е ряд (8) с хо дит с я, а ряд (9) ра с хо дит с я, т о ряд (8) на зыва ю т неа бс о лю т но с хо дящ имс я ил иус л о вно с хо дящ имс я. Д ля ис с ледования на абс олю т ную с ходим ос т ь ряда (8) ис п ользую т с я извес т ные п ризнак и с ходим ос т и знак оп оложит ельных рядов. В ч ас т нос ти, ряд (8) с ходит с яабс олю тно, ес ли

14

lim |

n →∞

an +1 |< 1 an

lim n | an | < 1 .

или

n →∞

В общ ем с луч ае израс ходим ос т и ряда (9) не с ледует рас ходим ос т и ряда (8). Н оес ли

lim |

n →∞

an +1 |> 1 an

lim n | an | > 1 ,

или

n →∞

т орас ходит с яне тольк оряд(8), нои ряд (9). Д ляос т ат к а ряда rn в эт ом с луч ае с п раведлива оценк а | rn |≤ bn +1 . П рим ер 13. Ис с ледоват ь с ходим ос т ь ряда 2

3

4

 2 3  4 1 −   −   +   + ... + (−1)  3 5 7

n ( n −1) 2 

Сос т авим ряд изабс олю тных велич инч ленов ряда: 2

3

4

n

n    + ... .  2n − 1 

n

 2 3  4  n  1 +   +   +   + ... +   + ...  3 5 7  2n − 1 

Т.к .

n

n 1 1  n  lim n  = lim = ,  = lim 1 2 n → ∞  2n − 1  n → ∞ 2n − 1 n→∞ 2− n

т оданный ряд с ходитс яабс олю тно. Ряд, рас с м отренный в п рим ере 12, с ходит с яус ловно (неабс олю т но), т.к . ряд 1 +

1 1 1 + + ... + + ... - рас ходитс я(г арм онич ес к ий ряд). 2 3 n

Конт рол ь ны е приме ры Ис с ледоват ь с ходим ос т ь с ледую щ их знак оп ерем енных рядов. В с луч ае с ходим ос т и ис с ледоват ь на абс олю т ную и ус ловную с ходим ос т ь.

1 1 (−1) n−1 + ... 1. 1 − + − ... + 3 5 2n − 1 1 1 ( −1) n −1 1 − + + ... + + ... 2. 2 3 n 1 1 (−1) n −1 1 − + − ... + + ... 3. 4 9 n2

15

2 3 ( −1) n−1 n − ... + + ... 4. 1 − + 7 13 6n − 5 3 5 7 2n + 1 − + − ... + (−1) n −1 + ... 5. 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n ⋅ ( n + 1) n2 + n

1 2 3 n + ... 6. − − + − ... + ( −1) 2 2 4 8 2n 2 3 4 n +1 + − + ... + ( −1 )n + ... 7. − 2 2 3 3 −1 4 4 −1 ( n + 1) n + 1 − 1 3 5  7  n  2n + 1   + ... 8. − +   −   + ... + ( −1)  4  7   10   3n + 1  3 3⋅5 3⋅5⋅ 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1) + − ... + (−1) n −1 + ... 9. − 2 2 ⋅5 2 ⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) 1 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2) + ... + − ... + (−1) n −1 10. − 7 7 ⋅ 9 7 ⋅ 9 ⋅11 7 ⋅ 9 ⋅11 ⋅ ... ⋅ (2n + 5) sin α sin 2α sin 3α sin nα + + − ... + + ... 11. 2 3 ln 10 (ln 10) (ln 10) (ln 10 ) n 2

∞

12.

∑

n =1

3

( − 1 ) n ln n ; n

n

∞

13.

∑ ( −1 ) n =1

n −1

tg

1 n n

.

2. Ф унк ционал ь ны е ряды . 2.1. Ос но в ны е о преде л е ни я П ерейдем к рас с м от рению рядов, ч ленам и к оторых являю тс яне ч ис ла, а функ ции: u1 ( x ) + u 2 ( x ) + u3 ( x ) + ... + u n ( x ) + ... (1) Так ие ряды называю т с я ф ункцио на л ьными. Н ап рим ер, ряд

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x 3 + ... являет с яфунк циональным . Ес ли в ряде (1) п ридат ь x к ак ое-либознач ение x0 изоблас т и оп ределения функ ции u n (x) , n = 1,2,3,... , топ олуч им ч ис ловой ряд

u1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

(2)

Э тот ряд м ожет с ходит ьс яили рас ходит ьс я. Ес ли он с ходит с я, то точ к а x0 называет с я т о чко й с хо димо с т и функ циональног о ряда (1). Ес ли ряд (2) рас ходит с я, то точ к а x0 называет с яточ к ой рас ходим ос т и функ циональног о

16

ряда (1). Д ляодних т оч ек , взятых изоблас т и оп ределенияфунк ции u n (x ) , ряд (1) м ожет с хо дит ьс я, а длядруг их - ра с хо дит ьс я. Опреде л е ни е 2.1. Совок уп нос т ь вс ех точ ек с ходим ос ти функ циональног о ряда называю т о бла с т ью его с хо димо с т и. Сум м а S (x ) функ циональног о ряда (1) являет с янек от орой функ цией от x , оп ределенной в облас ти с ходим ос ти ряда (1). В этом с луч ае п ишут

S (x ) = u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + ... + un ( x0 ) + ... Сум м у n п ервых ч ленов ряда ( n -ю ч ас т ич ную с ум м у) будем обознач ат ь ч ерез S n (x) , а ос т аток ряда – ч ерез rn (x) .

S n (x) = u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + ... + u n ( x0 ) + ... rn ( x) = S ( x) − S n ( x) Изоп ределения облас ти с ходим ос т и функ циональног оряда с ледует , ч то длялю бой точ к и x эт ой облас ти с ущ ес т вует п редел ч ас т ич ной с ум м ы S n (x) п ри n → ∞ . В т оч к ах, не п ринадлежащ их облас т и с ходим ос т и, ч ас т ич наяс ум м а S n (x) не им еет п редела. Ес ли ряд с ходитс я, п ри нек отором знач ении x , то

lim S n ( x ) = S ( x ) , lim rn ( x ) = 0 n→ ∞

n →∞

Д ляоп ределенияоблас т и с ходим ос т и ряда (1) дос тат оч но п рим енит ь к эт ом у ряду извес т ные п ризнак и с ходим ос ти, с ч ит аяx фик с ированным . П рим ер 1. О п ределит ь облас т ь с ходим ос т и ряда

x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 3 ( x + 1) n + + + ... + + ... 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n О бознач им ч ерезu n (x) общ ий ч ленряда, п олуч им :

| un+1( x ) | | x + 1|n+1 2 n n | x + 1| lim = lim n+1 = . n →∞ | un ( x ) | n→∞ 2 ( n + 1 ) | x + 1|n 2 Н а ос новании п ризнак а Д алам бера м ожно ут верждать, ч т оряд с ходит с я | x +1| < 1, т.е. п ри –3< x 1 , т.е. ес ли 2

г арм онич ес к ий ряд: 1 +

− ∞ < x < −3 или 1 < x < ∞ . При x = 1 п олуч аем

1 1 + + ..., к от орый рас ходит с я, а п ри x = −3 -ряд: 2 3

17

1 1 − + ..., к от орый (в с оот вет с т вии с п ризнак ом Л ейбница) с ходитс яне 2 3 абс олю т но. Следоват ельно, ряд с ходит с яп ри − 3 ≤ x < 1. −1+

Конт рол ь ны е приме ры Н айт и облас т ь с ходим ос т и ряда ∞

∞

1 1. ∑ x . n =1 n

2.

∞

3.

1

∑ ( − 1) n + 1 n ln x n =1 ∞

5.

x

∑ 2 n sin 3n . n =0 ∞

7.

∑ ( −1 )

e

− n⋅sin x

n =0

.

.

sin( 2n − 1) . 2 n =1 ( 2n − 1) ∞ cos nx 6. ∑ . e nx n =0

4.

∑

8.

∞

11.

n!

∑ xn . n =1

∞

∞

1 9. ∑ n . n =1 n! x n =1

n

.

( −1 ) 13. ∑ n n . n =1 n ⋅ 3 ( x − 5 ) ∞ 1   n 15. ∑  x + n n  . 2 x  n =1  ∞

n −1

1

10.

∑ ( 2n − 1 ) x

12.

∑ ( n + 1)

n =1 ∞

n

∑( x − 2)

.

n =1 ∞

∞

n +1

1

∑ ( − 1) n + 1 n x

n=0

n

.

2n + 1 5 2n . x

nn 14. ∑ n n . n =1 x ∞

2.2. С те пе нны е ряды Опре де л е ни е 2.2. Ст еп еннымрядо м называет с яфунк циональный ряд

a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + a3 ( x − x0 )3 + ... + an ( x − x0 )n + ... = ∞

= ∑ an ( x − x0 )n n =0

(3)

18

a0 , a1, a2 , a3 ,...,an ,... называю т с я ко эф ф ициент а ми с т еп енно го ряда . В ч ас тнос т и, ес ли x0 = 0 . Будем им ет ь с т еп енной ряд, рас п оложенный п ос теп еням x : a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 + ...+ an xn + ... (4) Ч ис ла

В дальнейшем будем рас с м атриват ь им енно т ак ие с теп енные ряды, п отом у ч т о вс який с теп енной ряд (1) п одс тановк ой x − x0 = x1 п реобразует с я к ряду ук азанног овида. Те оре ма 2.1(те о ре м а Абе л я). Ес л ис т еп енно й ряд (4) с хо дит с я в т о чке

x = x0 , x 0 ≠ 0 ,

т о о н с хо дит с я, и п ри т о м а бс о лю т но , дл я вс ех x ,

удо влет во ряю щ их ус л о вию

| x || x1 | Очевидно , чт о с т еп енно йряд (4) с хо дит с я п ри x = 0 . Д ляк аждог о с т еп енног о ряда, им ею щ ег о к ак т оч к и с ходим ос ти, т ак и т оч к и рас ходим ос т и, с ущ ес т вует так ое п оложит ельное ч ис лоR, ч тодлявс ех x, т ак их ч т о: | x |< R , ряд абс олю т нос ходит с я, а длявс ех x , т ак их ч т о: | x |> R, ряд рас ходит с я. Опре де л е ни е 2.3. Ра диус о м с хо димо с т ис т еп енног о ряда (4) называет с я т ак ое ч ис ло R , ч т о длявс ех x, | x |< R , с т еп енной ряд с ходит с я, а длявс ех x, | x |> R , рас ходит с я. Инт ервал ( − R, R ) называет с яинтервалом с ходим ос ти. Д ля с т еп енных рядов вида (3) интервалом с ходим ос т и будет инт ервал ( x0 − R , x 0 + R ) .

lim

Те оре ма 2.2. Ес ли с ущ ес т вует п редел с хо димо с т ис т еп енно го ряда (4) ра вен

R= lim n→∞

n →∞

| an + 1 | | an |

≠ 0, т о ра диус

| an | . | a n +1 |

П рим ер 2. Н айдем радиус с ходим ос т и ряда

1+ x + Им еем

R= lim n→∞

1 2 1 x + ... + x n + ... 2! n!

| an | ( n + 1 )! = lim( n + 1 ) = ∞ . = lim n→∞ | a n +1 | n→ ∞ n!

Следоват ельно, ряд с ходит с я абс олю тнона вс ей ч ис ловой п рям ой. ∞

П рим ер 3. Ряд т оч к и

x = 0 , так

∑ n! x n n =1

рас ходитс яна вс ей ч ис ловой п рям ой, к ром е

к ак ег орадиус с ходим ос т и

19

R=lim n →∞

1 | an | n! =0. = lim = lim | a n +1 | n → ∞ ( n + 1 )! n → ∞ ( n + 1 ) ∞

| xn | П рим ер 4. Н айдем радиус с ходим ос т и ряда ∑ . n =1 n 1 | an | n +1 lim ( 1 + ) = 1 . = lim = R=lim n→∞ n →∞ | an+1 | n→∞ n n Следоват ельно, п о т еорем е 2.2 данный ряд с ходит с яна интервале (-1,1). Ис с ледуем п оведение ряда на к онцах интервала с ходим ос т и, т .е. в точ к ах ∞

x = −1, x = 1. П ри x = 1 п олуч аем г арм онич ес к ий ряд ∞

∑ (−1) n

x = −1, ряд

n =1

1

∑ n , а п ри n =1

1 , к оторый с ходитс яв с илу п ризнак а Л ейбница. Так им n

образом , данный ряд с ходит с яв лю бой т оч к е п олуинт ервала [− 1,1) и рас ходит с я вне ег о. Конт рол ь ны е приме ры Н айт и инт ервал с ходим ос ти с т еп енног оряда и ис с ледоват ь с ходим ос т ь на к онцах инт ервала с ходим ос ти: ∞

∞

n x ∑ 1. .

xn 2. ∑ n . n =1 n ⋅ 2

n =0

x 2 n−1 3. ∑ . n =1 2n − 1 ∞

2 n −1 x 2 n −1 4. ∑ 2 . n =1 ( 4n − 3) ∞

(−1) n−1 x n 5. ∑ . n n =1 ∞

∞

7.

∑ (−1)

n −1

∞

(n + 1) 5 x 2 n 6. ∑ . 2n + 1 n =1

(2n + 1) x . 2

n =1

∞

9.

∑ n! x

∞

8.

∑

n =1

xn . n!

∞

n

10.

n =1 ∞

n

 n   11. ∑  n + 2 1   n =1

2 n −1 n

x .

xn ∑ nn n =1 ∞

12.

.

∑ 3n x n n =0

2

2

.

20 2

n  x2  ⋅   . 13. ∑ n =1 n + 1  2 

n! x n 14. ∑ n . n =1 n

x n−1 15. ∑ . n n = 2 n ⋅ 3 ⋅ ln n

( x − 5 )n 16. ∑ ( −1 ) n ⋅ 3n n =1

∞

∞

∞

( x − 3) n 17. ∑ n . n =1 n ⋅ 5 2n ∞ n−1 ( x − 2) 19. ∑ ( −1) . 2n n =1 ∞

21.

∑ n n ( x + 3) n . n =1

( x − 2) n 23. ∑ n . n =1 ( 2n − 1) ⋅ 2 ∞

∞

(3n − 2)( x − 3) n . 25. ∑ 2 n +1 n =1 ( n + 1) 2

∞

∞

n −1

∞

( x − 1) 2 n 18. ∑ . n n =1 n ⋅ 9 ∞

( x + 3) n . 20. ∑ n2 n =1 ∞ ( x + 5) 2 n−1 22. ∑ . n n =1 2n ⋅ 4 ( x − 3) 2 n 24. ∑ . n =1 ( n + 1) ⋅ ln(n + 1) ∞

∞

( x − 3) n . 26. ∑ ( −1) (2n + 1) n + 1 n =1 n

2.3. С в о йс тв а с те пе нны х рядо в П ус т ь функ ция f (x ) являет с яс ум м ой с теп енног оряда

f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ..., (5) инт ервал с ходим ос т и к от орог о ( − R, R ) . В эт ом с луч ае г оворят, ч то на

инт ервале ( − R , R ) функ ция f (x) разлаг ает с я в с теп енной ряд (или ряд п о с т еп еням x). Те оре ма 2.3. Ес ли ф ункция f (x) на инт ерва л е ( − R, R) ра зла га ет с я в с т еп енно й ряд (5), т о о на диф ф еренцируема на эт о м инт ерва л е и ее п ро изво дна я f ' ( x ) мо ж ет быт ь на йдена п о чл енным диф ф еренциро ва нием ряда (5), т .е.

f ' ( x ) =( a0 +a1x +a2x2 +...+anxn +...)' = a1 +2a2 x +3a3x2 +...+ nan xn−1 +..., А налог ич ном ог ут быт ь выч ис лены п роизводные лю бог оп орядк а функ ции f (x) . П ри этом с оот вет с т вую щ ие ряды им ею т т от же инт ервал с ходим ос т и, ч то и ряд (5). Те оре ма 2.4. Ес ли ф ункция f (x) на инт ерва л е (− R, R ) ра зла га ет с я в с т еп енно й ряд (5), т о о на инт егрируема в инт ерва л е ( − R, R ) и инт егра л о т

21

нее мо ж ет быт ь вычис л ен п о чл енным инт егриро ва нием ряда (5), т .е., ес ли x1 , x2 ∈ (− R, R) , т о x2

x2

∫ f ( x)dx = ∫ (a0 + a1 x + a2 x

x1

x1

2

x2

x2

x2

x1

x1

x1

+ ... + an x + ...)dx = ∫ a0 dx + ∫ a1 xdx + ... + ∫ an x n dx + ... n

Конт рол ь ны е приме ры П рим еняя п оч ленное дифференцирование и интег рирование, найти с ум м ы рядов: x 2 x3 xn + + ... + + ... 2 3 n x2 x3 xn 2. x − + − ... + ( −1 )n −1 + ... 2 3 n x3 x5 x 2 n −1 3. x + + + ... + + ... 3 5 2n − 1 x3 x5 x 2 n −1 4. x − + + ... − ... + ( −1 )n −1 3 5 2n − 1 5. 1 + 2 x + 3x 2 + ... + ( n + 1 )x n + ... 6. 1 − 3x 2 + 5x 4 − ... + ( −1 )n −1 ( 2n − 1 )x 2 n −2 + ... 7. 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3x + 3 ⋅ 4 x 2 + ... + n( n + 1 )x n−1 + ... 1. x +

Н айт и с ум м ы рядов: 1 2 3 n 8. + 2 + 3 + ... + n + ... x x x x 5 9 x x x 4 n −3 9. x + + + ... + + ... 5 9 4n − 3 2.4. Разл о ж е ни е функци й в с те пе нны е ряды Те оре ма 2.5. Ес л и ф ункция f (x) на инт ерва л е ( x0 − R, x0 + R ) ра зла га ет с я вс т еп енно й ряд 2 3 n f (x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + ... + a n ( x − x0 ) + ... , (6) т о эт о ра зло ж ение единс т венно .

22

Ряд f ( x) = f ( x0 ) +

f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f (n) ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x 0 ) 2 + ... + ( x − x 0 ) n + ..., (7) 1! 2! n!

называет с ярядо мТ ейло ра функ ции f (x) , к оэффициент ы этог оряда

f ( n ) ( x0 ) f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) a0 = f (x0 ), a1 = , a2 = , , … , an = 1! n! 2! называю т ко эф ф ициент а миТ ейло ра ф ункции f (x) вт о чке x . Так им образом , ес ли функ ция f (x ) разлаг ает с я в с т еп енной ряд п о с т еп еням x − x0 , т о эт от ряд обязат ельно являет с я рядом Тейлора эт ой функ ции. Ес ли в ряде Тейлора п оложит ь x0 = 0, то п олуч им ч ас т ный с луч ай ряда Тейлора, к оторый называю т рядо мМ а кл о рена : f ' (0 ) f ''(0) 2 f (n ) (0 ) n f ( x ) = f (0) + x+ x + ... + x + ... (8) 1! 2! n! За меча ние. В с е рас с уждения были с деланы в п редп оложении, ч то функ ция f (x) мо ж ет быт ь ра зло ж ена вс т еп енно йряд. П ус т ь т еп ерь функ ция f (x ) в интервале ( x0 − R, x0 + R) им еет п роизводные лю бог о п орядк а. Тог да длялю бог о x из эт ог о инт ервала и для лю бог оn будет с п раведлива ф о рмул а Т ейл о ра

f ( x) = f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 ( x − x0 ) n + ... + rn ( x), ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) + = f ( x0 ) + 2! 1! n!

(9)

г де

f (n+1) (x0 +θ (x − x0 )) rn (x) = (x − x0 ) (n +1)!

(10)

Ф о рмула М а кло рена длялю бой бес к онеч нодифференцируем ой функ ции им еет вид f ' (0 ) f ' ' (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0 ) + x+ x + ... + x + ... + R n ( x ), n! 1! 2!

г де ос т ат оч ный ч лен

(11)

23

f ( n+1) (ξ ) n+1 Rn ( x) = x , ξ = θx, 0