Метрические пространства. Функции нескольких переменных: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1

Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû

. . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Îêðåñòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ . 10

1.4

Îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ

1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6

Ïîëíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . 18

1.7

Êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ 22

2

Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . 30

3

Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4

Ëèíåéíûå îïåðàòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1

Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ . . 33

4.2

Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5

Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé . . . . . . . . . . . . 39

6

Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé è âåêòîð-ôóíêöèé íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . 51

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 66

2

Îãëàâëåíèå

1 Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà Îäíîé èç îñíîâíûõ îïåðàöèé àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.  îñíîâå ýòîé îïåðàöèè ëåæèò òîò ôàêò, ÷òî íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé îïðåäåëåíî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè. Îáîáùàÿ ïðåäñòàâëåíèå î äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ êàê î ìíîæåñòâå íà êîòîðîì ââåäåíî ðàññòîÿíèå ìåæäó åãî ýëåìåíòàìè, ìû ïðèõîäèì ê ïîíÿòèþ

ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.

1.1 Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû Ïóñòü X  ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ëþáîé ïðèðîäû.

Îïðåäåëåíèå 1.1 Ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ïàðà (X, ρ), ñîñòîÿùàÿ èç ìíîæåñòâà X è îäíîçíà÷íîé, íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè

ρ : X × X −→ R+ , óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì (íàçûâàåìûì àêñèîìàìè ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà):

1) ρ (x, y) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y (àêñèîìà òîæäåñòâà); 2) ρ (y, x) = ρ (x, y) (àêñèîìà ñèììåòðèè); 3) ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) (àêñèîìà èëè íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà). Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà X îáû÷íî íàçûâàþò ýëåìåíòàìè èëè òî÷êà-

ìè ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ), ôóíêöèþ ρ  ìåòðèêîé , ÷èñëî

ρ (x, y)  ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè x è y èëè îò òî÷êè x äî òî÷êè y .  ñëó÷àÿõ, êîãäà íåäîðàçóìåíèÿ èñêëþ÷åíû, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) òåì æå ñèìâîëîì, ÷òî è ìíîæåñòâî åãî ýëåìåíòîâ, ïðîñòî X . Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

3

O0

rH y 0 '$ ¡ Hr H x0¡ r H HH ¡ HHr r r ¡ &% H yH ¡x O ¡

-

˙ Ðèñ. 1: R 1) Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R ñ ìåòðèêîé ρ (x, y) = |x − y| ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. 2) Ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ÿâëÿåòñÿ è ìíîæåñòâî R (ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R ïîïîëíåííîå ñèìâîëàìè −∞ è +∞), åñëè ìåòðèêó îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó

ρ (x, y) = |arctg x − arctg y| . Çäåñü ïîëàãàþò

π arctg (−∞) = − , 2

arctg (+∞) =

π . 2

Èíîãäà ýòî ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Rarctg . 3) Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R ïîïîëíåííîå ñèìâîëîì ∞ (áåççíà÷íàÿ áåñêîíå÷íîñòü) ñòàíîâèòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ðàññòîÿíèå ρ (x, y) ìåæäó òî÷êàìè x è y ïîëîæèòü ðàâíûì äëèíå ìåíüøåé äóãè

x0 y 0 (ñì. ðèñ. 1). Íà ðèñóíêå 1 ðàäèóñ îêðóæíîñòè ìîæåò áûòü ëþáûì ïîëîæèòåëüíûì. 4) Èíòåðâàë (a, b) ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ñ ìåòðèêîé ρ (x, y) =

|x − y|. 5) Ìíîæåñòâî Q  ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñòàíîâèòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ìåòðèêó çàäàòü ôîðìóëîé ρ (x, y) = |x − y|.  ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ, ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ àêñèîì ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. 6) Ìíîæåñòâî Rn óïîðÿäî÷åííûõ ãðóïï èç n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )

4

Îãëàâëåíèå

íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì . Ïðîñòðàíñòâî Rn ñòàíîâèòñÿ ìåòðè÷åñêèì, åñëè îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ρ (x, y) ìåæäó òî÷êàìè x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) è y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ïî ôîðìóëå

v u n uX ρ (x, y) = t (ηk − ξk )2 .

(1.1)

k=1

Ñïðàâåäëèâîñòü àêñèîì òîæäåñòâà è ñèììåòðèè äëÿ Rn î÷åâèäíà. ×òîáû óñòàíîâèòü âûïîëíåíèå àêñèîìû òðåóãîëüíèêà íàì ïîòðåáóþòñÿ íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî è Ìèíêîâñêîãî.

Ïðåäëîæåíèå 1.1 Äëÿ ëþáûõ a1 ,a2 , . . . , an , b1 ,b2 , . . . , bn ∈ R ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî n X

v u n uX ak bk ≤ t a2k ·

k=1

v u n uX t b2 ,

k=1

(1.2)

k

k=1

íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâîì Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äëÿ ñóìì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ : R −→ R, çàäàííóþ ðàâåíñòâîì

ϕ(t) =

n X

(ak t − bk )2 ,

t∈R.

k=1

Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ϕ íåîòðèöàòåëüíà. Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó îïðåäåëÿþùóþ ôóíêöèþ ϕ.

ϕ(t) =

n X

(ak t − bk )2 =

k=1

à n X

! a2k

à t2 − 2

k=1

n X k=1

! ak bk

t+

n X

b2k .

k=1

Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ϕ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì. À ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ϕ íåîòðèöàòåëüíà, äèñêðèìèíàíò D ýòîãî òðåõ÷ëåíà íåïîëîæèòåëåí, ò. å.

Ã !2 Ã n !Ã n ! n X X X D := 4  ak bk − a2k b2k  ≤ 0. k=1

k=1

Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (1.2).

k=1

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

5

Ïðåäëîæåíèå 1.2 Äëÿ ëþáûõ a1 ,a2 , . . . , an , b1 ,b2 , . . . , bn ∈ R ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

v v v u n u n u n X uX u uX 2 2 t t (ak + bk ) ≤ ak + t b2k , k=1

k=1

(1.3)

k=1

íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâîì Ìèíêîâñêîãî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, âûâîäèì n X

(ak + bk )2 =

k=1

n X

a2k + 2

k=1

n X

ak bk +

k=1

n X

b2k ≤

k=1

v v v v 2 u n u n u n u n n n X X uX X X X u u u ≤ a2k + 2t a2k t b2k + b2k = t a2k + t b2k  . k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

Òåïåðü èçâëå÷åì êâàäðàòíûé êîðåíü èç îáåèõ ÷àñòåé ýòîé îöåíêè è ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî (1.3).

Äîêàçàòåëüñòâî àêñèîìû òðåóãîëüíèêà â Rn . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), z = (ζ1 , ζ2 , . . . , ζn ) è y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ Rn . Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî, ïîëó÷àåì v v u n u n uX ¡ uX ¢2 2 (ζk − ξk ) = t (ηk − ξk ) + (ζk − ηk ) ≤ ρ (x, z) =t k=1

k=1

k=1

k=1

v v u n u n uX uX 2 (ηk − ξk ) + t (ηk − ζk )2 = ρ (x, y) + ρ (y, z) . ≤t

Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå Rn åùå äâå ìåòðèêè

ρ1 (x, y) = max {|ξk − ηk | : k = 1, 2, . . . , n} ,

ρ2 (x, y) =

n X

|ξk − ηk | .

k=1

Ïðîâåðêà àêñèîì 1) è 2) òðèâèàëüíà. Äîêàæåì âûïîëíåíèå àêñèîìû 3). Çàôèêñèðóåì ëþáîé íîìåð k = 1, 2, . . . , n. Èç èçâåñòíîãî àðèôìåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà  ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé  ñëåäóåò, ÷òî

|ξk − ζk | ≤ |ξk − ηk | + |ηk − ζk | .

6

Îãëàâëåíèå

Íà îñíîâàíèè ýòîãî íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì

|ξk − ζk | ≤ max {|ξi − ηi | : i = 1, 2, . . . , n} + + max {|ηi − ζi | : i = 1, 2, . . . , n} = ρ1 (x, y) + ρ1 (y, z) . Òàê ýòà îöåíêà ñïðàâåäëèâà ïðè ëþáîì k = 1, 2, . . . , n, òî ñïðàâåäëèâà è îöåíêà

ρ1 (x, z) = max {|ξk − ζk | : k = 1, 2, . . . , n} ≤ ρ1 (x, y) + ρ1 (y, z) . Ñëåäîâàòåëüíî, ρ1 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé. Òåïåðü âûâåäåì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà äëÿ ìåòðèêè ρ2 .

ρ2 (x, z) = =

n X

|ξk − ζk | ≤

n X ¡

k=1

k=1

n X

n X

k=1

|ξk − ηk | +

¢ |ξk − ηk | + |ηk − ζk | =

|ηk − ζk | = ρ2 (x, y) + ρ2 (y, z) .

k=1

7) Ìíîæåñòâî C [a, b] ôóíêöèé íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå [a, b] ñòàíîâèòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ìåòðèêó îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó

ρ (x, y) = max {|x(t) − y(t)| : t ∈ [a, b]} . Ñïðàâåäëèâîñòü àêñèîì 1) è 2) î÷åâèäíî. Äîêàæåì, ÷òî àêñèîìà 3) (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà) òàê æå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ñóììû íå

ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, èìååì

|x(t) − z(t)| ≤ |x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)| ,

t ∈ [a, b] .

(1.4)

Îòñþäà, ôèêñèðóÿ ëþáîå t ∈ [a, b], ïîëó÷àåì

|x(t) − z(t)| ≤ max {|x(τ ) − y(τ ) : τ ∈ [a, b]|} + + max {|y(τ ) − z(τ ) : τ ∈ [a, b]|} = ρ (x, y) + ρ (y, z) . Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà t, ýòà îöåíêà âëå÷åò íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

7

Òàê êàê âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà íåì, â ïðîñòðàíñòâå C [a, b] ìîæíî îïðåäåëèòü åùå îäíó ìåòðèêó ïî ïðàâèëó

Zb ρ1 (x, y) =

|x(t) − y(t)| dt. a

Î÷åâèäíî, ÷òî â äîêàçàòåëüñòâå íóæäàåòñÿ ëèøü àêñèîìà òðåóãîëüíèêà. À äëÿ åå ïðîâåðêè äîñòàòî÷íî ïðîèíòåãðèðîâàòü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1.4) è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 8) Ìíîæåñòâî C = {z = x + iy : x, y ∈ R}  âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ñ ìåòðèêîé ρ, çàäàííîé ôîðìóëîé

q ρ (z1 , z2 ) = |z1 − z2 | =

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .

Çäåñü z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f : C −→ R2 , ïîëàãàÿ f (z) = f (x + iy) =

(x, y). Èç îïðåäåëåíèÿ ìåòðèê â ïðîñòðàíñòâàõ C è R2 ñëåäóåò, ÷òî ρ (z1 , z2 ) = ρ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ,

(1.5)

ãäå ρ (z1 , z2 )  ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè z1 è z2 â ïðîñòðàíñòâå C, à

ρ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 ))  ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè (x1 , y1 ) è (x2 , y2 ) â ïðîñòðàíñòâå R2 . Î÷åâèäíî, ÷òî îòîáðàæåíèå f áèåêòèâíî.

Îïðåäåëåíèå 1.2 Áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) íà ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (Y, r) íàçûâàåòñÿ èçîìåòðè÷åñêèì, åñëè

ρ (x1 , x2 ) = r (f (x1 ), f (x2 )) äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X . À ïðîñòðàíñòâà X è Y , ìåæäó êîòîðûìè ìîæíî óñòàíîâèòü èçîìåòðè÷åñêîå ñîîòâåòñòâèå, íàçûâàþòñÿ èçîìåòðè÷íûìè ìåæäó ñîáîé. Ââèäó (1.5), ïðîñòðàíñòâà C è R2  èçîìåòðè÷íû ìåæäó ñîáîé.

8

Îãëàâëåíèå

1.2 Îêðåñòíîñòè Òåïåðü ââåäåì ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.

Îïðåäåëåíèå 1.3 Îòêðûòûì øàðîì B (x0 , r) â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü òî÷åê x ∈ X , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ρ(x, x0 ) < r, ò. å.

B (x0 , r) := {x ∈ X : ρ(x, x0 ) < r} . Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ öåíòðîì, à ÷èñëî r > 0  ðàäèóñîì ýòîãî øàðà.

Îïðåäåëåíèå 1.4 Çàìêíóòûì øàðîì ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 è ðàäèóñà r â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàþò ìíîæåñòâî B (x0 , r) := {x ∈ X : ρ(x, x0 ) ≤ r} .

Îïðåäåëåíèå 1.5 Îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a ∈ X íàçûâàþò ëþáîé îòêðûòûé øàð B (x0 , r) â X ñîäåðæàùèé òî÷êó a.

Îïðåäåëåíèå 1.6 Øàð B (x0 , ε) â X íàçûâàþò ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 ∈ X ïîëó÷àåòñÿ èç εîêðåñòíîñòè íóëÿ ñìåùåíèåì åå öåíòðà â òî÷êó x0 .

Îïðåäåëåíèå 1.7 Øàð B (x0 , ε) â X íàçûâàþò çàìêíóòîé ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 .

Îïðåäåëåíèå 1.8 Ïðîêîëîòîé ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 â X íàçûâàþò ìíîæåñòâî

B˙ (x0 , ε) := B (x0 , ε) \ {x0 } . Èçó÷àÿ ôóíêöèè îäíîé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé , ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ îêðåñòíîñòÿìè â ïðîñòðàíñòâå R. Ïðèâåäåì ïðèìåðû îêðåñòíîñòåé â äðóãèõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

(a)

ξ2 6 ε '$

(b)

-

ε ξ1

9

ξ2 6 ε

¡@ ¡ @ ¡ ε ξ1 −ε @ @¡

-

ε ξ1

−ε

&%

(c)

ξ2 6 ε

−ε

−ε

Ðèñ. 2: Îêðåñòíîñòè â R2 Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî R2 . Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíû ε-îêðåñòíîñòè íóëÿ: (a) â ìåòðèêå ρ, (b) â ìåòðèêå ρ1 , (c) â ìåòðèêå ρ2 . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó a ∈ Rn è ëþáîå ÷èñëî ε > 0. Ïóñòü

B0 (a, ε), B1 (a, ε), B2 (a, ε)  ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè a ñîîòâåòñòâåííî â ìåòðèêå ρ, ρ1 è ρ2 .

Ïðåäëîæåíèå 1.3  ïðîñòðàíñòâå Rn äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a ∈ Rn êàæäîãî âèäà ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ëþáîãî äðóãîãî âèäà, êàê ñîäåðæàùàÿñÿ â äàííîé, òàê è ñîäåðæàùàÿ åå, ò. å.

∀ε > 0 ∃ε1 , ε2 :

Bk (a, ε1 ) ⊂ Bl (a, ε) ⊂ Bm (a, ε2 ) ,

k, l, m = 0, 1, 2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùóþ öåïî÷êó âêëþ÷åíèé:

¡ √ ¢ ¡ √ ¢ B0 (0, ε) ⊂ B2 0, ε n ⊂ B1 0, ε n ⊂ B0 (0, εn) .

(1.6)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ B0 (0, ε). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

v u n uX 2 ξi < ε. ρ(0, x) = t i=1

Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, âûâîäèì v v u n u n n n X X uX 2 uX √ ξi t 12 < ε n. ρ2 (0, x) = |ξi | = |ξi | · 1 ≤ t i=1

i=1

i=1

i=1

√

Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ B2 (0, ε n). Ïîýòîìó

¡ √ ¢ B0 (0, ε) ⊂ B2 0, ε n .

(1.7)

10

Îãëàâëåíèå

√ Òåïåðü âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ B2 (0, ε n). Òàê êàê

ρ2 (0, x) =

n X

√ |ξi | < ε n,

i=1

√

òî |ξi | < ε n äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n. Ïîýòîìó è

√ ρ1 (0, x) = max {|ξi | : i = 1, 2, . . . , n} < ε n. √ Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ B1 (0, ε n). Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî âêëþ÷åíèå ¡ √ ¢ ¡ √ ¢ B2 0, ε n ⊂ B1 0, ε n .

(1.8)

√ Ïóñòü òåïåðü x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) åñòü ýëåìåíò øàðà B1 (0, ε n). Èç óñëîâèÿ

√ ρ1 (0, x) = max {|ξi | : i = 1, 2, . . . , n} < ε n

√ ñëåäóåò, ÷òî |ξi | < ε n äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n. Áëàãîäàðÿ ýòîé îöåíêå, ïîëó÷àåì

v v u n u n √ uX 2 uX ξi < t ε2 n = ε2 n2 = εn. ρ(0, x) = t i=1

i=1

Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ B0 (0, εn). Ýòèì äîêàçàíî âêëþ÷åíèå

¡ √ ¢ B1 0, ε n ⊂ B0 (0, εn) .

(1.9)

Îáúåäèíÿÿ (1.7)  (1.9), ïîëó÷àåì öåïî÷êó (1.6).  ïðîñòðàíñòâå C[a, b] ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x ∈ C[a, b] ÿâëÿåòñÿ øàð

B(x, ε) := {y ∈ C[a, b] : max {|x(t) − y(t)| : t ∈ [a, b]} < ε} , ò. å. ýòî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ y = y(t) ôóíêöèé, ãðàôèêè êîòîðûõ ëåæàò â ¾êîðèäîðå¿ ìåæäó x(t) − ε è x(t) + ε (ñì. ðèñ. 3).

1.3 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Òàê æå, êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ, âàæíóþ ðîëü â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ èãðàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ ýëåìåíòîâ.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

y

11

x(t) + ε

6

x = x(t) x(t) − ε

O

a

b

x

-

Ðèñ. 3: ε-îêðåñòíîñòü â C [a, b]

Îïðåäåëåíèå 1.9 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f : N −→ X , ò. å. âñÿêàÿ ôóíêöèÿ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà ñî çíà÷åíèÿìè â X . Ïîëàãàÿ f (k) = xk , k ∈ N, áóäåì ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàïèñûâàòü â âèäå (xk )k∈N èëè ïðîñòî (xk ).

Îïðåäåëåíèå 1.10 Ïóñòü (xk )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X . Ãîâîðÿò, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x ∈ X , åñëè êàæäàÿ ε-îêðåñòíîñòü B (x, ε) òî÷êè x ñîäåðæèò âñå òî÷êè xk , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé, ò.å. åñëè äëÿ êàæäîãî

ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ρ (x, xk ) < ε

äëÿ âñåõ

k ≥ m.

Òî÷êó x íàçûâàþò ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) è ïèøóò

lim xk = x.

k→∞

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.

Ïðåäëîæåíèå 1.4 Âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäèí ïðåäåë.

12

Îãëàâëåíèå

Ïðåäëîæåíèå 1.5 Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x, òî è ëþáàÿ åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê òîé æå ñàìîé òî÷êå. Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ äâóõ ïðåäëîæåíèé äîñëîâíî ïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íûõ óòâåðæäåíèé äëÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Òàêæå èç îïðåäåëåíèÿ 1.9 ñëåäóåò, ÷òî

lim xk = x

k→∞

⇐⇒

lim ρ (x, xk ) = 0.

k→∞

Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ïðåäëîæåíèÿ 1.3 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ïðåäëîæåíèå 1.6  ïðîñòðàíñòâå Rn ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) ê ýëåìåíòû x ïî îäíîé èç òðåõ ìåòðèê âëå÷åò ñõîäèìîñòü ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê x ïî îñòàëüíûì äâóì.

Òåîðåìà 1.1 (Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ïðîñòðàíñòâå R ). Ïóñòü (xk )k∈N , ãäå xk = n

³

(k) (k) (k) ξ1 , ξ2 , . . . , ξn

´

, k ∈ N,  ïîñëåäî-

âàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Rn . Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèëàñü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ êàæ³ ´ (k) äîãî i = 1, 2, . . . , n ñõîäèëàñü ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξi . k∈N

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà (è ïðåäëîæåíèþ 1.6) íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî

¯ o n¯ ¯ ¯ (k) ρ1 (xk , x) = max ¯ξi − ξi ¯ : i = 1, 2, . . . , n < ε,

k ≥ m.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n

¯ ¯ ¯ ¯ (k) ξ − ξ ¯ i i ¯ < ε ïðè âñåõ k ≥ m. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâà³ ´ (k) ñõîäèòñÿ ê ξi . òåëüíîñòü ξi k∈N

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

13

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) òàêîâà, ÷òî äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

³

(k)

ξi

´

k∈N

ñõîäèòñÿ ê

ξi . Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ ê x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî

¯ ¯ ¯ (k) ¯ ¯ξi − ξi ¯ < ε ïðè âñåõ k ≥ m è äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n. Ñëåäîâàòåëüíî,

¯ o n¯ ¯ (k) ¯ ρ1 (xk , x) = max ¯ξi − ξi ¯ : i = 1, 2, . . . , n < ε ïðè âñåõ k ≥ m. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.10 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ ê x.  ñâÿçè ñ ýòèì, ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ïðîñòðàíñòâå Rn íàçûâàþò ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòüþ . Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâà C è R2 èçîìåòðè÷íû ìåæäó ñîáîé, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ñëåäñòâèå 1.1 (Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë). Ïóñòü (zk )k∈N , ãäå zk = xk + iyk , k ∈ N,  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà C. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zk ) ñõîäèòñÿ ê c = a + ib ∈ C òîãäà, è òîëüêî òîãäà, êîãäà (xk ) ñõîäèòñÿ ê a, à (yk ) ñõîäèòñÿ ê b.

1.4 Îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Îïðåäåëåíèå 1.11 Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè â ïðîñòðàíñòâå X íàéäåòñÿ çàìêíóòûé øàð B (a, r) ⊂ X òàêîé, ÷òî M ⊂ B (a, r).

Ëåììà 1.1 Åñëè ìíîæåñòâî M îãðàíè÷åíî â ïðîñòðàíñòâå X , òî äëÿ ëþáîé òî÷êè b ∈ X íàéäåòñÿ ÷èñëî rb òàêîå, ÷òî M ⊂ B (b, rb ).

14

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ìíîæåñòâî M îãðàíè÷åíî, íàéäåòñÿ çàìêíóòûé øàð B (a, r) ⊂ X òàêîé, ÷òî M ⊂ B (a, r). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó b ∈ X è ïîëîæèì rb = r + ρ(a, b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ M ñïðàâåäëèâà îöåíêà

ρ(x, b) ≤ ρ(x, a) + ρ(a, b) ≤ r + ρ(a, b) = rb . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî M ⊂ B (b, rb ).

Çàìå÷àíèå. Ïðè âûáîðå çàìêíóòîãî øàðà ñîäåðæàùåãî îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ÷òî öåíòðîì ýòîãî øàðà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà 0.

Òåîðåìà 1.2 Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà îãðàíè÷åíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ ê a. Òîãäà íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ρ(xk , a) < 1 ïðè âñåõ k ≥ m. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè

r = max {ρ(x1 , a), ρ(x2 , a), . . . , ρ(xm−1 , a), 1} øàð B (a, r) ñîäåðæèò â ñåáå âñå òî÷êè xk .

Òåîðåìà 1.3 (Òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà â Rn ). Èç ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Rn ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì n = 2. ´ ³ (k) (k)  îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïî îïðåäåÏóñòü xk = ξ1 , ξ2 ëåíèþ îãðàíè÷åííîñòè ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé øàð

© ª B 1 (0, r) := x = (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 : ρ1 (x, 0) ≤ r òàêîé, ÷òî xk ∈ B 1 (0, r) ïðè âñåõ k ∈ N, ò. å. íàéäåòñÿ ÷èñëî r òàêîå, ÷òî

n¯ ¯ ¯ ¯o ¯ (k) ¯ ¯ (k) ¯ ρ1 (xk , 0) = max ¯ξ1 ¯ , ¯ξ2 ¯ ≤ r,

k ∈ N.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

15

Îòñþäà ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü îáåèõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ³ ´ ³ ´ (k) (k) ξ1 è ξ2 . Íî òîãäà, â ñèëó òåîðåìû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà k∈N k∈N ³ ´ (k) ìîæäëÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 k∈N ³ ´ (k ) íî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 l . l∈N ³ ´ (k ) Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ2 l . Îíà îãðàíè÷åíà l∈N

ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâà³ ´ (k) .  ñèëó òîé æå òåîðåìû èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîòåëüíîñòè ξ2 k∈N ³ ´ (k ) äÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ2 lm . m∈N ³ ´ (k ) ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñõîäÿÓ÷èòûâàÿ, ÷òî ξ1 lm m∈N ³ ´ (k ) ùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 l , ïîëó÷àåì ÷òî îáå ïîäïîñëåäîâà³ ´ l∈N ³ ´ (k ) (k ) òåëüíîñòè ξ1 lm è ξ2 lm ñõîäÿòñÿ. À ïî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè m∈N m∈N ¡ ¢ â ïðîñòðàíñòâå Rn ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xklm m∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(xk ) ñõîäèòñÿ.

1.5 Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, M  ìíîæåñòâî â X .

Îïðåäåëåíèå 1.12 Òî÷êà x0 ∈ X íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà M , åñëè ëþáàÿ åå îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó èç M .

Îïðåäåëåíèå 1.13 Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà M íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì ýòîãî ìíîæåñòâà è îáîçíà÷àåòñÿ M èëè [M ].

Îïðåäåëåíèå 1.14 Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîâïàäàåò ñî ñâîèì çàìûêàíèåì. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ. 1) Ïóñòîå ìíîæåñòâî è âñå ïðîñòðàíñòâî çàìêíóòû.

16

Îãëàâëåíèå 2) Âñÿêîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ò. å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíå÷-

íîãî ÷èñëà òî÷åê, çàìêíóòî.

Ïðåäëîæåíèå 1.7 Çàìêíóòûé øàð ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b  òî÷êà ïðèêîñíîâåíèÿ øàðà B(a, r). Äîêàæåì, ÷òî b ∈ B(a, r). Ïî îïðåäåëåíèþ 1.12 òî÷êè ïðèêîñíîâåíèÿ äëÿ êàæäîãî n ∈ N íàé1 äåòñÿ xn ∈ B(a, r) òàêîé, ÷òî ρ(xn , a) < . Îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó n òî÷êàìè b è a: 1 ρ(b, a) ≤ ρ(b, xn ) + ρ(xn , a) ≤ r + . n  ýòîì íåðàâåíñòâå ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè n → ∞. Ïîëó÷èì ρ(b, a) ≤ r. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî òî÷êà b ïðèíàäëåæèò øàðó B(a, r). Ïî îïðåäåëåíèÿì 1.13 è 1.14 øàð B(a, r) çàìêíóò. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî ôàêòà ïîïóòíî áûë ïðèâåäåí ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòè ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.

Òåîðåìà 1.4 Äëÿ òîãî ÷òîáû òî÷êà x0 ∈ X áûëà òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà M , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê èç M , ñõîäÿùàÿñÿ ê x0 . Äîñòàòî÷íîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíà.

Îïðåäåëåíèå 1.15 Òî÷êà x0 ∈ M íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíîæåñòâà M , åñëè íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, ñîäåðæàùàÿñÿ â ìíîæåñòâå M .

Îïðåäåëåíèå 1.16 Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè âñå åãî òî÷êè âíóòðåííèå. Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå

Ïðåäëîæåíèå 1.8 (Êðèòåðèé îòêðûòîñòè ìíîæåñòâà). Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîæåñòâî M áûëî îòêðûòî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åãî äîïîëíåíèå X \ M äî âñåãî ïðîñòðàíñòâà X áûëî çàìêíóòî.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

17

Ïðèìåðàìè îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûé øàð, ïóñòîå ìíîæåñòâî, âñå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.

Ïðåäëîæåíèå 1.9 Îòêðûòûé øàð ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x ∈ B(a, r) è äîêàæåì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé øàðà B(a, r). Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è a ìåíüøå r, ÷èñëî ε =

r − ρ(x, a) ïîëîæèòåëüíîå. Ïîêàæåì, ÷òî ε-îêðåñòíîñòü B(x, ε) òî÷êè x ëåæèò â øàðå B(a, r). Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ B(x, ε) ñïðàâåäëèâà îöåíêà

ρ(y, a) ≤ ρ(y, x) + ρ(x, a) < ε + ρ(x, a) = r. Ñëåäîâàòåëüíî, B(x, ε) ⊂ B(a, r). Ïî îïðåäåëåíèþ 1.15 òî÷êà x åñòü âíóòðåííåé òî÷êîé øàðà B(a, r), à ïî îïðåäåëåíèþ 1.16 ìíîæåñòâî B(a, r) îòêðûòî.

Îïðåäåëåíèå 1.17 Òî÷êà x0 ∈ X íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M , åñëè ëþáàÿ åå îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó èç M îòëè÷íóþ îò x0 .

Ïðåäëîæåíèå 1.10 Òî÷êà x0 ∈ X ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â M ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê, ñõîäÿùàÿñÿ ê x0 . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìû ïðåäîñòàâëÿåò ÷èòàòåëÿì.

Îïðåäåëåíèå 1.18 Òî÷êà x0 ∈ M íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M , åñëè íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé íåò òî÷åê ìíîæåñòâà M , îòëè÷íûõ îò x0 . Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

18

Îãëàâëåíèå

Ïðåäëîæåíèå 1.11 Âñÿêàÿ òî÷êà ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà M åñòü ëèáî ïðåäåëüíàÿ, ëèáî èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà ýòîãî ìíîæåñòâà. Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî çàìûêàíèå M ìíîæåñòâà M ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâà M ñ ìíîæåñòâîì åãî ïðåäåëüíûõ òî÷åê.

1.6 Ïîëíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà Âàæíóþ ðîëü â àíàëèçå èãðàåò ñâîéñòâî ïîëíîòû ÷èñëîâîé ïðÿìîé, ò. å. òîò ôàêò, ÷òî âñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó âåùåñòâåííîìó ÷èñëó. ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòåéøèé ïðèìåð òàê íàçûâàåìûõ ïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.

Îïðåäåëåíèå 1.19 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) òî÷åê ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî

ρ (xk , xl ) < ε

äëÿ âñåõ

k≥m

è

l ≥ m.

(1.10)

Èç àêñèîìû òðåóãîëüíèêà íåïîñðåäñòâåííî âûâîäèì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.

Ïðåäëîæåíèå 1.12 Âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ ê x. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ñõîäèε ìîñòè íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ρ(xk , x) < äëÿ âñåõ k ≥ m. Òîãäà 2 ρ(xk , xl ) ≤ ρ(xk , x) + ρ(x, xl ) < ε äëÿ ëþáûõ k ≥ m è l ≥ m.

Îïðåäåëåíèå 1.20 Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè â íåì âñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó, ÿâëÿþùåìóñÿ ýëåìåíòîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

19

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. 1)  ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (R, ρ), ãäå ìåòðèêà çàäàíà ôîðìóëîé ρ(x, y) =

|x − y|, åñòü ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. 2) Ïðîñòðàíñòâî Q ñ ìåòðèêîé ρ(x, y) = |x − y|  íåïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî a = a0 , a1 a2 . . . ak . . . ∈

R, ãäå a0 ∈ Z, è îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë xk , ïîëàãàÿ xk = a0 , a1 a2 . . . ak 00 . . . . Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ôóíäàìåíòàëüíàÿ, íî ðàñõîäÿùàÿñÿ â Q. 3) Åñëè íà ìíîæåñòâå âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R ìåòðèêó çàäàòü ôîðìóëîé

ρarctg (x, y) = |arctg x − arctg y| , òî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (R, ρarctg ) áóäåò íåïîëíûì. Çäåñü îäíîé èç ðàñõîäÿùèõñÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ), ãäå xk = k , k ∈ N.

Òåîðåìà 1.5 Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (Rn , ρ1 )  ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâà-

´ ³ (k) (k) (k) òåëüíîñòü (xk )k∈N ⊂ Rn . Ïóñòü xk = ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , k ∈ N. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1.19 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ¯ o n¯ ¯ (k) (l) ¯ ρ1 (xk , xl ) = max ¯ξi − ξi ¯ : i = 1, 2, . . . , n < ε,

k, l ≥ m.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n ¯ ¯ ¯ (k) (l) ¯ ¯ξi − ξi ¯ < ε ïðè âñåõ k, l ≥ m. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êàæäîì i = 1, 2, . . . , n ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ³ ´ (k)  ôóíäàìåíòàëüíà.  ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè êàæäàÿ ïîñëåäîâàξi k∈N

20

Îãëàâëåíèå

³ ´ (k) òåëüíîñòü ξi

k∈N

, i = 1, 2, . . . , n, ñõîäèòñÿ. Ïî òåîðåìå 1.1 ïîñëåäîâà-

òåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ. Ââèäó ïðåäëîæåíèÿ 1.6 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå

Ñëåäñòâèå 1.2 Ïðîñòðàíñòâà (Rn , ρ) è (Rn , ρ2 )  ïîëíûå. Íà ìíîæåñòâå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë âàæíóþ ðîëü èãðàåò óòâåðæäåíèå î ñòÿãèâàþùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñåãìåíòîâ.  òåîðèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ àíàëîãè÷íóþ ðîëü èãðàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, íàçûâàåìàÿ

ïðèíöèïîì âëîæåííûõ øàðîâ .

Òåîðåìà 1.6 Äëÿ òîãî ÷òîáû ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) áûëî ïîëíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â íåì âñÿêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãà çàìêíóòûõ øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, èìåëà è ïðèòîì åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) ïîëíî è ¡ ¢ ïóñòü B k k∈N , ãäå B k := B k (xk , rk ),  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãà çàìêíóòûõ øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk )k∈N ôóíäàìåíòàëüíà. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (rk )k∈N ñõîäèòñÿ ê íóëþ, íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî

ε rm < . 2

(1.11)

À ïîñêîëüêó B k ⊂ B m ïðè âñåõ k ≥ m, òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà

ρ (xk , xm ) ≤ rm

ïðè

k ≥ m.

(1.12)

Èç îöåíîê (1.11) è (1.12) âûâîäèì

ρ (xk , xl ) ≤ ρ (xk , xm ) + ρ (xm , xl ) ≤ 2rm < ε ïðè âñåõ k, l ≥ m. Ýòèì äîêàçàíà ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ). Â ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó x ∈ X .

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà Ïîêàæåì, ÷òî x ∈

∞ T m=1

21

B m . Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé øàð B m ñîäåðæèò

âñå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) ñ íîìåðàìè k ≥ m. Ñëåäîâàòåëüíî òî÷êà x ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé øàðà B m . Íî ïî ïðåäëîæåíèþ 1.7 ìíîæåñòâî B m çàìêíóòî è ïîýòîìó ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.  ÷àñòíîñòè îíî ñîäåðæèò è òî÷êó x. Äîêàæåì, ÷òî x åñòü åäèíñòâåííàÿ îáùàÿ òî÷êà âñåõ øàðîâ B k . Ïðåä∞ T B k . Òîãäà èìååì ïîëîæèì, ÷òî è òî÷êà y ∈ m=1

ρ (x, y) ≤ rk

ïðè âñåõ

k ∈ N.

(1.13)

Íî òàê êàê ρ (x, y) ≥ 0, à rk → 0, èç (1.13) ñëåäóåò, ÷òî ρ (x, y) = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïî àêñèîìå òîæäåñòâà y = x.

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü (xk )k∈N  ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äîêàæåì åå ñõîäèìîñòü.  ñèëó ôóíäàìåíòàëüíîñòè íàéäåòñÿ íîìåð m1 òàêîé, ÷òî

ρ (xk , xm1 )
m1 òàê, ÷òîáû

ρ (xk , xm2 )
r2 . Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M , îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:

ρ (xk , a) > rk := ρ (xk−1 , a) + 1 ïðè âñåõ k ∈ N.

(1.17)

Ïîêàæåì, ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) íåëüçÿ âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Âîçüìåì ëþáûå äâà íåðàâíûõ ìåæäó ñîáîé íîìåðà k è l (äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî k > l). Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1.2 è èñïîëüçóÿ (1.17), ïîëó÷àåì

ρ(xk , xl ) ≥ ρ(xk , a) − ρ(xl , a) ≥ ρ(xl+1 , a) − ρ(xl , a) > 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) íå ñîäåðæèò íè îäíîé ôóíäàìåíòàëüíîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ïî ïðåäëîæåíèþ 1.12 è íè îäíîé ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà M . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1.7.

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

25

Ñëåäñòâèå 1.3 Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîæåñòâî M ⊂ Rn áûëî êîìïàêòíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî áûëî îãðàíè÷åííûì è çàìêíóòûì. Îòìåòèì, ÷òî íè â êàæäîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.

Ïðèìåð 1.1 Äîêàçàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå C[−π, π] çàìêíóòûé øàð B (0, 1) íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.

Ðåøåíèå. Ïîíÿòíî, ÷òî ìíîæåñòâî B (0, 1) îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ñîñòîÿùóþ èç ôóíêöèé, çàäàííûõ ðàâåíñòâàìè xk = xk (t) = sin kt, t ∈ [−π, π], k ∈ N. Î÷åâèäíî, ÷òî (xk ) ⊂

B (0, 1). Äîêàæåì, ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) íåâîçìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå k, l ∈ N (k 6= l). Ïóñòü M = ρ(xk , xl ), ò. å. M = max {|xk (t) − xl (t)| : t ∈ [−π, π]}. Ïî ñâîéñòâàì îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èìååì Zπ (xk (t) − xl (t))2 dt ≤ 2πM 2 . −π

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå ÷èñëà M , âûâîäèì  π  21 Z 1 ρ(xk , xl ) = M ≥ √  (xk (t) − xl (t))2 dt . 2π −π

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî Zπ Zπ (xk (t) − xl (t))2 dt = (sin kt − sin lt)2 dt = 2π. −π

−π

Ïîýòîìó

ρ(xk , xl ) ≥ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) íå ñîäåðæèò íè îäíîé ôóíäàìåíòàëüíîé, à òåì áîëåå è ñõîäÿùåéñÿ, ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî B (0, 1) íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì, à ïîýòîìó îíî íå ÿâëÿåòñÿ è êîìïàêòíûì.

26

Îãëàâëåíèå

Êîìïàêòíîñòü â òåðìèíàõ îòêðûòûõ ïîêðûòèé Îïðåäåëåíèå 1.24 Ïóñòü M  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X . Ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà ìíîæåñòâ {Gλ }λ∈Λ , îáðàçóåò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà M , åñëè äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà x ∈ M íàéäåòñÿ λ ∈ Λ òàêîå, ÷òî x ∈ Gλ . Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà ìíîæåñòâ {Gλ }λ∈Λ îáðàçóåò ïîêðûòèå ìíîæåS ñòâà M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M ⊂ Gλ . λ∈Λ

Îïðåäåëåíèå 1.25 Ïîêðûòèå {Gλ }λ∈Λ ìíîæåñòâà M íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè êàæäîå ìíîæåñòâî Gλ îòêðûòî.

Îïðåäåëåíèå 1.26 Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì, åñëè èç ëþáîãî åãî îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿêîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå êîìïàêòíî. Âñïîìíèì êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå R. Îí ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîæåñòâî M ⊂ R áûëî êîìïàêòíûì íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî áûëî îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Ïîêàæåì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå C[−π, π] çàìêíóòûé øàð B (0, 1) íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ò. å. ÷òî ñóùåñòâóåò ïîêðûòèå øàðà

B (0, 1) îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè èç êîòîðîãî íåâîçìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Äåéñòâèòåëüíî, ñîâîêóïíîñòü îòêðûòûõ øàðîâ

© ¡ 1 ¢ª B x, 2 x∈B(0,1) îá-

ðàçóåò ïîêðûòèå øàðà B (0, 1). Íî êàê ñëåäóåò èç ðåøåíèÿ ïðèìåðà 1.1 ¡ ¢ â êàæäûé øàð B x, 12 ïîïàäàåì íå áîëåå, ÷åì îäèí ýëåìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ), ãäå xk = xk (t) = sin kt. Ñëåäîâàòåëüíî, íè îäíî êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå, ðàññìàòðèâàåìîãî ïîêðûòèÿ, íå ìîæåò ïîêðûòü ñðàçó âñå ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ), à òåì áîëåå âñå òî÷êè øàðà B (0, 1).

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

27

Òåîðåìà 1.8 Êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà îãðàíè÷åíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (X, ρ)  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, K  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â íåì. Ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ {B (x, 1)}x∈K , ÿâëÿþùóþñÿ îòêðûòûì ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà K . Òàê êàê K êîìïàêòíî, èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå, ò. å. ìîæíî óêàçàòü ýëåìåíòû x1 ,x2 ,. . ., xl ∈ K òàêèå, ÷òî

K⊂

l [

B (xj , 1) .

(1.18)

j=1

Òåïåðü âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó a ∈ X , îïðåäåëèì ÷èñëî r ïî ôîðìóëå

r = max {ρ (x1 , a) , ρ (x2 , a) , . . . , ρ (xl , a)} + 1 è ïîêàæåì, ÷òî

K ⊂ B(a, r).

(1.19)

Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ëþáîé ýëåìåíò x ∈ K è îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è a. Ââèäó (1.18), ñóùåñòâóåò íîìåð j0 òàêîé, ÷òî x ∈ B (xj0 , 1). Ñëåäîâàòåëüíî, ρ (x, xj0 ) < 1. Ïîýòîìó

ρ (x, a) ≤ ρ (x, xj0 ) + ρ (xj0 , a) < 1 + ρ (xj0 , a) ≤ r. Îòñþäà ñëåäóåò (1.19).

Òåîðåìà 1.9 Êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà çàìêíóòî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (X, ρ)  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, K  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â íåì. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó a ∈ X \ K è äîêàæåì, ÷òî íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà K . ρ (x, a) . Òàê Äëÿ êàæäîãî x ∈ K îïðåäåëèì ÷èñëî δx ïî ôîðìóëå δx = 2 êàê a 6∈ K , âñå ÷èñëà δx ïîëîæèòåëüíû, ïðè ýòîì

B (x, δx )

\

B (a, δx ) = ∅.

(1.20)

28

Îãëàâëåíèå

Òàê êàê ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ {B (x, δx )}x∈K îáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà K , íàéäåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð ýëåìåíòîâ

x1 ,x2 ,. . ., xl ∈ K òàêèõ, ÷òî K⊂

l [

¡ ¢ B xj , δxj .

(1.21)

j=1

© ª Ïîëîæèì δ = min δxj : j = 1, 2, . . . , l . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå ÷èñëà δ ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå

¡ ¢ B (a, δ) ⊂ B a, δxj ,

j = 1, 2, . . . , l.

À òàê êàê, ââèäó (1.20)

¡ ¢\ ¡ ¢ B a, δxj B xj , δxj = ∅, òî è

B (a, δ)

\

¡ ¢ B xj , δxj = ∅,

Îòñþäà è (1.21) çàêëþ÷àåì, ÷òî B (a, δ)

j = 1, 2, . . . , l,

j = 1, 2, . . . , l. T

K = ∅. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî a

íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà K . Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâà K ñîäåðæèò âñå ñâîè òî÷êè ïðèêîñíîâåíèÿ, ò. å. îíî çàìêíóòî.

Ëåììà 1.3 (Ëåììà Ãåéíå-Áîðåëÿ äëÿ çàìêíóòîãî øàðà â Rn ). Â ïðîñòðàíñòâå Rn çàìêíóòûé øàð

B 1 (x0 , r) := {x ∈ Rn : ρ1 (x, x0 ) ≤ r} êîìïàêòåí.

Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê îáû÷íî, áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå: x0 =

³

(0) (0) (0) ξ1 , ξ2 , . . . , ξn

´

. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å., ÷òî øàð B := B 1 (x0 , r)

íåêîìïàêòåí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå {Gλ }λ∈Λ ýòîãî ìíîæåñòâà, èç êîòîðîãî íåëüçÿ âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. (0)

Ðàçîáüåì øàð B ïëîñêîñòÿìè ξi = ξi , ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì

1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà

29

ïëîñêîñòÿì, íà 2n çàìêíóòûõ øàðîâ. Ñðåäè ýòèõ øàðîâ èìååòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí øàð äëÿ êîòîðîãî èç ïîêðûòèÿ {Gλ }λ∈Λ íåâîçìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Îáîçíà÷èì åãî B 1 := B 1 (x1 , r1 ). Ïî ïîr ñòðîåíèþ r1 = . 2 (1)  ñâîþ î÷åðåäü øàð B 1 ðàçîáüåì ïëîñêîñòÿìè ξi = ξi íà 2n çàìêíóòûõ øàðîâ. È ñðåäè ýòèõ øàðîâ íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäèí øàð äëÿ êîòîðîãî íå ñóùåñòâóåò êîíå÷íîãî ïîäïîêðûòèÿ ïîêðûòèÿ {Gλ }λ∈Λ . Îáîçíà÷èì r1 r ýòîò øàð B 2 := B 1 (x2 , r2 ). Î÷åâèäíî, ÷òî r2 = = . 2 4 Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìêíó¡ ¢ òûõ, âëîæåííûõ øàðîâ B k k∈N , ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî Rn ïîëíîå (ñì. òåîðåìó 1.5), ïî êðèòåðèþ ïîëíîòû ¡ ¢ (òåîðåìà 1.6 ), ó øàðîâ B k k∈N ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì åäèíñòâåííàÿ îáùàÿ òî÷êà a. Ñëåäîâàòåëüíî, a ∈ B è, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò λ0 ∈ Λ òàêîå, ÷òî

a ∈ Gλ0 . Òàê êàê ìíîæåñòâî Gλ0 îòêðûòî, òî÷êà a èìååò ε-îêðåñòíîñòü B(a, ε) ⊂ Gλ0 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàäèóñû rk øàðîâ B k ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà âñå øàðû B k ïîïàäàþò â ε-îêðåñòíîñòü

B(a, ε) òî÷êè a, à, ñëåäîâàòåëüíî, è âî ìíîæåñòâî Gλ0 . Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïîñòðîåíèþ øàðîâ B k . Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî.

Ëåììà 1.4 (Ëåììà Ãåéíå-Áîðåëÿ äëÿ îãðàíè÷åííîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà â Rn ). Îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå

Rn êîìïàêòíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K  îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå Rn . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ïîêðûòèå {Gλ }λ∈Λ ýòîãî ìíîæåñòâà. Òàê êàê ìíîæåñòâî K îãðàíè÷åííî, ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé

e îáîçíà÷àåò äîøàð B = B 1 (a, r), ñîäåðæàùèé ýòî ìíîæåñòâî. Ïóñòü G e = Rn \ K . ïîëíåíèå ìíîæåñòâà K äî âñåãî ïðîñòðàíñòâà Rn , ò. å. G e îòêðûòî. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî K îãðàíè÷åííî, ìíîæåñòâî G Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ {Gλ }λ∈Λ âìåñòå ñ

e îáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå øàðà B . Ïî ïðåäûäóùåé ìíîæåñòâîì G

30

Îãëàâëåíèå

ëåììå 1.3, èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Ïðè ýòîì âîçìîæíû ñëåäóþùèå äâà ñëó÷àÿ:

e, ò. å. B ⊂ 1) â âûäåëåííîå ïîäïîêðûòèå íå âõîäèò ìíîæåñòâî G eS 2) B ⊂ G

Ã

l S

j=1

l S j=1

Gλj ;

! e íàõîäèòñÿ ñðåäè ìíîæåñòâ Gλj , ò. å. ìíîæåñòâî G

âûäåëåííîãî ïîäïîêðûòèÿ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî K ⊂ B , â ïåðâîì ñëó÷àå ñðàçó ïîëó÷àåì

K⊂

l [

(1.22)

Gλj .

j=1

Ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé. Òàê êàê K ⊂ B , èìååì à l ! [ [ e Gλ . K⊂B⊂G j

(1.23)

j=1

e = ∅, èç (1.23) ñëåäóåò (1.22). Òàêèì îáðàçîì, êîíå÷Íî ïîñêîëüêó K ∩ G íîå ïîäïîêðûòèå ïîêðûòèÿ {Gλ }λ∈Λ ìíîæåñòâà K âûäåëåíî.

Ñëåäñòâèå 1.4 Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîæåñòâî M ⊂ Rn áûëî êîìïàêòíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî áûëî îãðàíè÷åííûì è çàìêíóòûì. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèÿ êîìïàêòíîñòè 1.22 è 1.26 â ïðîñòðàíñòâå

Rn ýêâèâàëåíòíû.

2 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà Î÷åíü ÷àñòî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ è ëèíåéíûì ìíîæåñòâîì. Ñðåäè íèõ âûäåëÿåòñÿ âàæíûé êëàññ ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ.

Îïðåäåëåíèå 2.1 Ïóñòü X  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Íîðìîé íà X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ k · k : X −→ R+ ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

2. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà

31

1) kxk = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = 0; 2) kλxk = |λ| kxk (îäíîðîäíîñòü íîðìû); 3) kx + yk ≤ kxk + kyk (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà). Ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà íàçûâàþòñÿ àêñèîìàìè íîðìû , à ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì îïðåäåëåíà íîðìà, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì

ïðîñòðàíñòâîì . Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ. 1) Ïðîñòðàíñòâî R ñ íîðìîé kxk = |x| ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. 2) Ïðîñòðàíñòâî Rn ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè íîðìó çàäàòü ëþáîé èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë: v u n uX kxk = t ξk2 , kxk1 = max {|ξk | : k = 1, 2, . . . , n} ,

kxk2 =

k=1

n X

|ξk | .

k=1

3) Ïðîñòðàíñòâî C ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì ñ íîðìîé

kzk = |z|. 4) Ïðîñòðàíñòâî C [a, b] ñ íîðìîé

kxk = max {|x(t)| : t ∈ [a, b]} . Ñïðàâåäëèâîñòü àêñèîì íîðìû ïðîâåðÿåòñÿ òàê æå êàê ïðîâåðÿëàñü ñïðàâåäëèâîñòü àêñèîì ìåòðèêè. Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî (X, k · k) ñòàíîâèòñÿ ìåòðè÷åñêèì, åñëè çàäàòü ìåòðèêó ôîðìóëîé

ρ (x, y) := kx − yk,

x, y ∈ X.

(2.24)

Ñïðàâåäëèâîñòü àêñèîì ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ñâîéñòâ 1)  3) íîðìû.

Îïðåäåëåíèå 2.2 Ïîëíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì (èëè ïðîñòðàíñòâîì Áàíàõà).

32

Îãëàâëåíèå

3 Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà Îäíèì èç ñïîñîáîâ ââåäåíèÿ íîðìû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå â íåì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 3.1 Ïóñòü X  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íà X íàçûâàþò ôóíêöèþ (·, ·) : X 2 −→ R, óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

1) (x, y) = (y, x) (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî); 2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî); 3) (λx, y) = λ (x, y); 4) (x, x) ≥ 0, ïðè÷åì (x, x) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = 0. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôèêñèðîâàííûì â íåì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì .  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ââîäèòñÿ íîðìà ïî ïðàâèëó

kxk =

p

(x, x).

(3.25)

Èç ñâîéñòâ 1)  4) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âñå àêñèîìû íîðìû ïðè ýòîì âûïîëíåíû. Îòìåòèì, ÷òî â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íåðàâåíñòâî Êîøè- Áóíÿêîâñêîãî ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:

|(x, y)| ≤ kxk · kyk. Èç ðàññìîòðåííûõ íàìè ïðèìåðîâ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, ëèøü ïðîñòðàíñòâî Rn ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì

(x, y) =

n X i=1

ξi ηi .

4. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû

4

33

Ëèíåéíûå îïåðàòîðû Îäíèì èç âàæíåéøèõ è íàèáîëåå õîðîøî èçó÷åííûõ êëàññîâ îòîá-

ðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ êëàññ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ.

4.1 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ Îïðåäåëåíèå 4.1 Ïóñòü E è F  ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà. Îòîáðàæåíèå A : E −→ F íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ X è

λ ∈ R âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà

(a) A(x + y) = A(x) + A(y) (ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè), (b) A(λx) = λA(x) (ñâîéñòâî îäíîðîäíîñòè). Âûïîëíåíèå ñâîéñòâ (a) è (b) ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ ñëåäóþùåãî ðàâåíñòâà:

A(λx + µy) = λA(x) + µA(y). Èç ñâîéñòâà (b) ñëåäóåò, ÷òî A(0) = 0. Äëÿ ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ îáû÷íî ïèøóò Ax âìåñòî A(x). Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå íàçûâàþò òàêæå ëèíåéíûì îïåðàòîðîì. Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, îòîáðàæàþùèõ E â F , áóäåì îáîçíà÷àòü L(E, F ). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî L(E, F ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ïîëîæèòü

(A + B) x = Ax + Bx, x ∈ E, (λA) x = λAx,

A, B ∈ L(E, F ),

x ∈ E, A ∈ L(E, F ),

λ ∈ R.

Ïðèâåäåì ïðèìåðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. 1) Ïóñòü E  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Çàäàäèì îïåðàòîð A : E −→ E ðàâåíñòâîì

Ax = x äëÿ âñåõ x ∈ E.

34

Îãëàâëåíèå

Òàêîé îïåðàòîð, ïåðåâîäÿùèé êàæäûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì îïåðàòîðîì . 2) Ïóñòü E è F  ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà è îïåðàòîð O : E −→ F çàäàí ðàâåíñòâîì

Ox = 0 äëÿ âñåõ x ∈ E. Îïåðàòîð O íàçûâàåòñÿ íóëåâûì îïåðàòîðîì . 3) Èç ñâîéñòâ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿ A : C[a, b] −→ R, îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì

Zb x(t) dt,

Ax = a

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. 4) Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì è îïåðàòîð A : C[0, 1] −→ C[0, 1] , çàäàííûé ðàâåíñòâîì

Zt Ax =

x(τ ) dτ. 0

5) Ïóñòü

C 1 [a, b] = {x ∈ C[a, b] : x0 ∈ C[a, b]} . Èç ñâîéñòâ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî C 1 [a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà C[a, b]. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ D : C 1 [a, b] −→ C[a, b], çàäàííûé ðàâåíñòâîì

Dx = x0 , ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì.

Îáùèé âèä ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, ïåðåâîäÿùåãî Rn â Rm Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâà L (Rn , Rm ) ââåäåì íåñêîëüêî ïîíÿòèé, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì â äàëüíåéøåì.

Îïðåäåëåíèå 4.2 Ïóñòü x1 ,x2 ,. . .,xm  ñèñòåìà ýëåìåíòîâ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå E è λ1 ,λ2 ,. . .,λm  íàáîð ÷èñåë. Òîãäà âûðàæåíèå

λ1 x1 + λ2 x2 + . . . λm xm íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ x1 ,x2 ,. . .,xm ñ êîýôôèöèåíòàìè λ1 ,λ2 ,. . .,λm .

4. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû

35

Ïðè ýòîì ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ íåòðèâèàëüíîé, åñëè ñðåäè ñêàëÿðîâ λ1 ,λ2 ,. . .,λm åñòü îòëè÷íûé îò íóëÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé.

Îïðåäåëåíèå 4.3 Ñèñòåìà x1 ,x2 ,. . .,xm ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî-çàâèñèìîé, åñëè õîòÿ áû îäèí åå ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ åå ÷ëåíîâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî-íåçàâèñèìîé. Ïðèìåðîì ëèíåéíî-íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ýëåìåíòîâ â ïðîñòðàíñòâå

Rn ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ i

z }| { ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), | {z }

i = 1, 2, . . . , n.

n

Âåêòîðû ei îáû÷íî íàçûâàþò îðòàìè.

Îïðåäåëåíèå 4.4 Ñèñòåìà S : x1 ,x2 ,. . .,xm ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàåòñÿ ïîëíîé â E , åñëè êàæäûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà E ïðåäñòàâèì õîòÿ áû îäíèì ñïîñîáîì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ ñèñòåìû S . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñèñòåìà îðòîâ â ïðîñòðàíñòâå Rn ïîëíà.

Îïðåäåëåíèå 4.5 Ñèñòåìà S : x1 ,x2 ,. . .,xm ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàåòñÿ áàçèñîì â E (èëè áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà E ), åñëè îíà ëèíåéíî-íåçàâèñèìà è ïîëíà â E . Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà îðòîâ â ïðîñòðàíñòâå Rn îáðàçóåò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Rn . Ïóñòü A ∈ L (Rn , Rm ), f = (fi )i=1,2,...,n  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Rn , g =

(gj )j=1,2,...,m  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Rm . Åñëè x  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Rn , òî

x=

n X i=1

λi fi

36

Îãëàâëåíèå

è, â ñèëó ëèíåéíîñòè îïåðàòîðà A,

Ax =

n X

λi Afi .

i=1

Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð A çàäàí, åñëè èçâåñòíî, âî ÷òî îí ïåðåâîäèò áàçèñíûå ýëåìåíòû f1 ,f2 ,. . .,fn . Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ Afi ,

i = 1, 2, . . . , n, ïî áàçèñó g . Èìååì Afi =

m X

aij gj .

j=1

e = (aij ), ßñíî, ÷òî îïåðàòîð A îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ A e . ò. å. åñëè y = Ax, òî y = Ax  ÷àñòíîñòè, åñëè ðàññìàòðèâàòü â ïðîñòðàíñòâàõ Rn è Rm áàçèñû îðòîâ, òî äåéñòâèå  η  1   η2 Ax = y =    ...  ηm

îïåðàòîðà A : Rn   a a12   11     a21 a22 =     ... ...   am1 am2

Òàêèì îáðàçîì,

ηi =

n X

ai,j ξj ,

−→ Rm èìååò âèä  . . . a1n ξ  1  . . . a2n   ξ2   ... ...  ...  . . . amn ξn

    e  = Ax.   

i = 1, 2, . . . , m.

(4.26)

(4.27)

j=1

4.2 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ïóñòü E è F  ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà.

Îïðåäåëåíèå 4.6 Îïåðàòîð A : E −→ F íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M > 0 òàêàÿ, ÷òî

kAxk ≤ M kxk

äëÿ ëþáîãî

x ∈ E,

(4.28)

ãäå kxk íîðìà â ïðîñòðàíñòâå E , à kAxk íîðìà â ïðîñòðàíñòâå F .

Ïðåäëîæåíèå 4.1 Êàæäûé îïåðàòîð A ∈ L (Rn , Rm ) îãðàíè÷åí.

4. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû

37

Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó (4.26) è (4.27), èìååì

v v !2 u m à n u m uX X uX kAxk = t ηi 2 = t aij ξj . i=1

i=1

(4.29)

j=1

Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, ïîëó÷àåì v v ¯ ¯ v uX uX n n n ¯X ¯ u X u u n 2 ¯ ¯ u 2 2 aij ξj ¯ ≤ t aij · t ξj = t aij · kxk . ¯ ¯ ¯ j=1

j=1

j=1

j=1

Îòñþäà è èç (4.29), âûâîäèì

v uX n u m X kAxk ≤ t a2ij · kxk . i=1 j=1

Ñëåäîâàòåëüíî,

kAxk ≤ M kxk ,

v uX n u m X t ãäå M = a2ij . i=1 j=1

Ïðèìåð 4.1 Ïóñòü C 1 [a, b] = {x ∈ C[a, b] : x0 ∈ C[a, b]} . Ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ D : C 1 [a, b] −→ C[a, b], çàäàííûé ðàâåíñòâîì Dx = x0 , íå îãðàíè÷åí.

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äåéñòâèå îïåðàòîðà D íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ), ãäå xk = xk (t) = sin kt, k ∈ N. Î÷åâèäíî, ÷òî kxk k = max {sin kt : t ∈ [a, b]} ≤ 1 äëÿ êàæäîãî k ∈ N. À òàê êàê x0k = k cos kt, ïîëó÷àåì

kDxk k = max {k cos kt : t ∈ [a, b]} = k

ïðè âñåõ

k>

π . b−a

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííîé M > 0 òàêàÿ, ÷òîáû îöåíêà

kDxk k ≤ M kxk k âûïîëíÿëàñü äëÿ âñåõ k ∈ N. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð D íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì.

38

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 4.7 Ïóñòü îïåðàòîð A : E −→ F îãðàíè÷åííûé. Íàèìåíüøàÿ èç ïîñòîÿííûõ M , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (4.28), íàçûâàåòñÿ íîðìîé îïåðàòîðà A è îáîçíà÷àåòñÿ kAk. Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû îïåðàòîðà A : E −→ F âûòåêàåò, ÷òî ÷èñëî

kAk îáëàäàåò ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè:

1) kAxk ≤ kAk · kxk äëÿ âñåõ x ∈ E ; 2) ∀ ε > 0 ∃ xε ∈ E : kAxε k > (kAk − ε) kxε k. Ïðèìåíÿÿ ýòè ñâîéñòâà, âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîðìû îïåðàòîðà.

Ïðåäëîæåíèå 4.2 Ïóñòü E è F  ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà, A : E −→ F  îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð. Òîãäà

kAk = sup {kAxk : kxk ≤ 1} .

(4.30)

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè kxk ≤ 1, òî ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó íîðìû èìååì

kAxk ≤ kAk · kxk ≤ kAk . Ñëåäîâàòåëüíî,

sup {kAxk : kxk ≤ 1} ≤ kAk .

(4.31)

Òåïåðü âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî âòîðîìó ñâîéñòâó íîðìû íàéäåòñÿ xε ∈ E òàêîé, ÷òî

kAxε k > (kAk − ε) kxε k .

(4.32)

Î÷åâèäíî, ÷òî xε 6= 0, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îáå ÷àñòè íåðàâåíxε ñòâà (4.32) ðàâíÿëèñü áû íóëþ. Âîçüìåì yε = . ßñíî, ÷òî kyε k = 1. kxε k Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (4.32), âûâîäèì îöåíêó

kAyε k =

1 1 kAxε k > (kAk − ε) kxε k = kAk − ε. kxε k kxε k

5. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé

39

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî kyε k = 1, ïîëó÷àåì

sup {kAxk : kxk ≤ 1} ≥ kAyε k > kAk − ε. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

sup {kAxk : kxk ≤ 1} ≥ kAk .

(4.33)

Èç íåðàâåíñòâ (4.31) è (4.33) ñëåäóåò ðàâåíñòâî (4.30).

Ñëåäñòâèå 4.1 Ïóñòü E è F  ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà, A : E −→ F  îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð. Òîãäà ½ ¾ kAxk kAk = sup : x 6= 0 . kxk

5

(4.34)

Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé Ïóñòü E è F  ìåòðè÷åñêèå (íîðìèðîâàííûå) ïðîñòðàíñòâà, D 

ìíîæåñòâî â E , a  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà D.

Îïðåäåëåíèå 5.1 (Êîøè) . Ýëåìåíò b ∈ F íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì (èëè ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì) îòîáðàæåíèÿ f : D −→ F ïðè x → a, åñëè äëÿ

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ x ∈ D è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 < ρ(x, a) < δ

(0 < kx − ak < δ)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

ρ (f (x), b) < ε

(kf (x) − ak < ε).

Ñôîðìóëèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå îêðåñòíîñòåé.

Îïðåäåëåíèå 5.2 Ýëåìåíò b ∈ F íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì (èëè ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì) îòîáðàæåíèÿ f : D −→ F ïðè x → a, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ε-îêðåñòíîñòè B(b, ε) ⊂ F òî÷êè b íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ

˙ δ -îêðåñòíîñòü B(a, δ) ⊂ E òî÷êè a òàêàÿ, ÷òî ³ ´ ˙ f B(a, δ) ∩ D ⊂ B(b, ε).

40

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 5.3 (Ãåéíå) . Ýëåìåíò b ∈ F íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì (èëè ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì) îòîáðàæåíèÿ f : D −→ F ïðè x → a, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) → a, xk ∈ D, xk 6= a, k ∈ N, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (f (xk )) çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ñõîäèòñÿ ê òî÷êå b.

Òåîðåìà 5.1 Îïðåäåëåíèÿ (5.1) è (5.3) ýêâèâàëåíòíû. Äîêàçàòåëüñòâî ïîäîáíî äîêàçàòåëüñòâó àíàëîãè÷íîé òåîðåìû äëÿ ôóíêöèé f : D(⊂ R) −→ R. Ïóñòü E è F  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, D  ìíîæåñòâî â E , a ∈ D.

Îïðåäåëåíèå 5.4 (Êîøè) . Îòîáðàæåíèå f : D −→ F íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå a, åñëè äëÿ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 òàêîå, ÷òî

ρ (f (x), f (a)) < ε ïðè âñåõ x ∈ D è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

ρ(x, a) < δ.

Îïðåäåëåíèå 5.5 (Ãåéíå) . Îòîáðàæåíèå f : D −→ F íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå a, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xk ) ⊂ D ñõîäÿùåéñÿ ê a, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

(f (xk )) çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ñõîäèòñÿ ê f (a).

Îïðåäåëåíèå 5.6 Îòîáðàæåíèå f : D −→ F íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì íà ìíîæåñòâå D, åñëè îíî íåïðåðûâíî â êàæäîé òî÷êå x ∈ D.

Òåîðåìà 5.2 (î íåïðåðûâíîñòè ñóïåðïîçèöèè îòîáðàæåíèé) Åñëè îòîáðàæåíèå g : E −→ G íåïðåðûâíî â òî÷êå a ∈ E , à îòîáðàæåíèå

f : G −→ F íåïðåðûâíî â òî÷êå b = g(a) ∈ G, òî îòîáðàæåíèå f ◦ g : E −→ F íåïðåðûâíî â òî÷êå a.

5. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé

41

Òåîðåìà 5.3 Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â E è F  ëèíåéíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Åñëè îòîáðàæåíèÿ

f, g : D −→ F íåïðåðûâíû â òî÷êå a ∈ D, òî îòîáðàæåíèÿ f + g : D −→ F è λf : D −→ F íåïðåðûâíû â òî÷êå a.

Îïðåäåëåíèå 5.7 Ïóñòü E è F  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, D  ìíîæåñòâî â E . Îòîáðàæåíèå f : D −→ F íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûì íà ìíîæåñòâåD, åñëè äëÿ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x0 , x00 ∈ D è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ρ(x0 , x00 ) < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

¡ ¢ ρ f (x0 ), f (x00 ) < ε.

Òåîðåìà 5.4 (Òåîðåìà Êàíòîðà) Ïóñòü E è F  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, K  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â E . Åñëè îòîáðàæåíèå f :

K −→ F íåïðåðûâíî íà K , òî îíî è ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî íà íåì.

Ñêàëÿðíûå ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 5.8 Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â X . Îòîáðàæåíèå f : D −→ R íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé èëè ïðîñòî ôóíêöèåé.

Òåîðåìà 5.5 Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â E è F = R èëè C. Åñëè îòîáðàæåíèÿ f, g : D −→ F íåïðåðûâíû â òî÷êå a ∈ D, òî îòîáðàæåíèå f · g : D −→ F , à åñëè g(x) 6= 0 äëÿ âñåõ f x ∈ D, òî è îòîáðàæåíèå : D −→ F íåïðåðûâíû â òî÷êå a. g

Òåîðåìà 5.6 (Òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè) Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â E , f : D −→

R  îòîáðàæåíèå íåïðåðûâíîå â òî÷êå a ∈ D. Òîãäà, åñëè f (a) 6= 0, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè a, â ïðåäåëàõ êîòîðîé f (x) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü è èìååò çíàê, ñîâïàäàþùèé ñî çíàêîì f (a).

42

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 5.7 (Ïåðâàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà) Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, K  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â E . Åñëè îòîáðàæåíèå f : K −→ R íåïðåðûâíî íà K , òî îíî îãðàíè÷åíî íà K , ò. å. ñóùåñòâóþò ÷èñëà m è M òàêèå, ÷òî

m ≤ f (x) ≤ M

äëÿ âñåõ

x ∈ K.

Òåîðåìà 5.8 (Âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà) Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, K  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â E . Åñëè îòîáðàæåíèå f : K −→ R íåïðåðûâíî íà K , òî îíî äîñòèãàåò íà K ñâîèõ òî÷íûõ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé, ò. å. ñóùåñòâóþò ÷èñëà a ∈ K è

b ∈ K òàêèå, ÷òî f (a) = sup {f (x) : x ∈ K} ,

f (b) = inf {f (x) : x ∈ K} .

Âåêòîð-ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 5.9 Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â X . Îòîáðàæåíèå f : D −→ Rm íàçûâàåòñÿ m-ìåðíîé âåêòîðôóíêöèåé èëè ïðîñòî âåêòîð-ôóíêöèåé. Ïðè ýòîì ïèøóò

y = (η1 , η2 , . . . , ηm ) = f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) . Ôóíêöèè fi , i = 1, 2, . . . , m, íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè. Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäàÿ êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé.

Òåîðåìà 5.9 Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â X , f : D −→ Rm . Äëÿ òîãî ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ f = (f1 , f2 , . . . , fm ) áûëà íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ∈ D, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êàæäàÿ êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ fi , i = 1, 2, . . . , m, áûëà íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xk ) ⊂ D, (xk ) → a. Ïóñòü f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) .

5. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé

43

Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè èìååì

f

íåïðåðûâíà â òî÷êå

a

(f (xk )) → f (a);

(5.1)

(fi (xk ))k∈N → fi (a).

(5.2)

⇐⇒

äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , m

fi

íåïðåðûâíà â òî÷êå

a

⇐⇒

Ïîñêîëüêó â ïðîñòðàíñòâå Rm ñõîäèìîñòü ïîêîîðäèíàòíàÿ,

(f (xk )) → f (a) ⇐⇒ (fi (xk ))k∈N → fi (a),

i = 1, 2, . . . , m.

(5.3)

Èç (5.1)  (5.3) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû.

Òåîðåìà 5.10 Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ìíîæåñòâî â X . Åñëè âåêòîð-ôóíêöèè f, g : D −→ Rm , ãäå f = (f1 , f2 , . . . , fm ),

g = (g1 , g2 , . . . , gm ), íåïðåðûâíû â òî÷êå a ∈ D, òî è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (f, g) : D −→ R, çàäàííîå ðàâåíñòâîì

(f, g) (x) =

m X

fi (x)gi (x),

i=1

íåïðåðûâíî â òî÷êå a. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåì 5.9, 5.5 è 5.3.

Ñâÿçíûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 5.10 Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Êðèâîé L, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè a è b ïðîñòðàíñòâà E , íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ϕ ñåãìåíòà [α, β] ⊂ R â E òàêîå, ÷òî ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Ïðè ýòîì òî÷êè a è b íàçûâàþò íà÷àëîì è êîíöîì êðèâîé L.

Îïðåäåëåíèå 5.11 Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ìíîæåñòâî D ⊂ E íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî òî÷êè ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû íåêîòîðîé êðèâîé, ëåæàùåé â D.

44

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 5.12 Îáëàñòüþ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.

Òåîðåìà 5.11 (Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè) Ïóñòü E  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, D  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî â E , f : D −→ R  íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, a, b ∈ D  ïðîèçâîëüíûå òî÷êè. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà C , çàêëþ÷åííîãî ìåæäó f (a) è f (b), íàéäåòñÿ òî÷êà

ξ ∈ D òàêàÿ, ÷òî f (ξ) = C .

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê D  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî, ñóùåñòâóåò êðèâàÿ L, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè a è b è ëåæàùàÿ â D, ò. å. ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ϕ : [α, β] −→ D òàêîå, ÷òî ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Ïî òåîðåìå 5.2 î íåïðåðûâíîñòè ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèé ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ F : [α, β] −→ R, çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì F (t) = f (ϕ(t)) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [α, β] è F (α) = f (ϕ(α)), F (β) = f (ϕ(β)). Ïî òåîðåìå î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè îäíîé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé ÷åðåç ëþáîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå íàéäåòñÿ òî÷êà γ ∈ [α, β] òàêàÿ, ÷òî F (γ) = C . Ïîëàãàÿ ξ = ϕ(γ), ïîëó÷àåì

f (ξ) = f (ϕ(γ)) = F (γ) = C.

Ïðåäåë âäîëü êðèâîé Îïðåäåëåíèå 5.13 Ïóñòü E è F  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, f : E −→ F , L  êðèâàÿ â E ñ íà÷àëîì â òî÷êå a. Ýëåìåíò b ∈ F íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì îòîáðàæåíèÿ f â òî÷êå a âäîëü êðèâîé L, åñëè

(Êîøè) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ L, ρ(x, a) < δ =⇒ ρ(f (x), b) < ε; (Ãåéíå) ∀ (xk ) ⊂ L : (xk ) → a, xk 6= a =⇒ f (xk ) → b è ïèøóò

b = lim f (x). L

x→a

5. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé

45

Ïðåäëîæåíèå 5.1 Îïðåäåëåíèÿ Êîøè è Ãåéíå ýêâèâàëåíòíû. Ïóñòü E  íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, a, b ∈ E , h ∈ E  åäèíè÷íûé âåêòîð, ò. å. òàêîé, ÷òî khk = 1. Ìíîæåñòâà

{x ∈ E : x = a + th, t ≥ 0} ,

{x ∈ E : x = a + th, t ∈ R} ,

{x ∈ E : x = (1 − t)a + tb, 0 ≤ t ≤ 1}  íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî, ëó÷îì, âûõîäÿùèì èç òî÷êè a, ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì h, ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó a, ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì h è îòðåçêîì [a, b]. Åñëè â îïðåäåëåíèè 5.13 L  ëó÷, âûõîäÿùèé èç òî÷êè a, ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì h, ãîâîðÿò, ÷òî b ∈ F åñòü ïðåäåë îòîáðàæåíèÿ f â L

òî÷êå a â íàïðàâëåíèè âåêòîðà h.  ýòîì ñëó÷àå, x → a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà t → 0. Ïîýòîìó

lim f (x) = lim f (a + th). L

x→a

t→0

Òåîðåìà 5.12 Ïóñòü E è F  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, f : E −→ F . Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë b îòîáðàæåíèÿ f â òî÷êå a ∈ E , òî â òî÷êå a ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòîáðàæåíèÿ f âäîëü ëþáîé êðèâîé L, íà÷èíàþùåéñÿ â ýòîé òî÷êå, è îí ðàâåí b.  ÷àñòíîñòè, åñëè E  íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, òî â òî÷êå a ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòîáðàæåíèÿ f â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå f â òî÷êå a ïî äâóì ðàçëè÷íûì êðèâûì (â ÷àñòíîñòè, â äâóõ ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ) èìååò ðàçëè÷íûå ïðåäåëû, òî f â òî÷êå a ïðåäåëà íå èìååò. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.

2xy (x2 + y 2 6= 0) â + y2 òî÷êå (0, 0) èìååò ïðåäåë â ëþáîì íàïðàâëåíèè, íî íå èìååò ïðåäåëà â

Ïðèìåð 5.1 Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) =

ýòîé òî÷êå.

x2

46

Îãëàâëåíèå

Ðåøåíèå. Íàéäåì ïðåäåë ôóíêöèè f (x, y) = íàïðàâëåíèè âåêòîðà h = (cos ϕ, sin ϕ):

2xy â òî÷êå (0, 0) â x2 + y 2

2t2 cos ϕ sin ϕ = sin(2ϕ). t→0 t2 cos2 ϕ + t2 sin2 ϕ

lim

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåë â òî÷êå (0, 0) â ëþáîì íàïðàâëåíèè ñóùåñòâóåò, íî åãî çíà÷åíèå ìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ. Ïîýòîìó

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y)

íå ñóùåñòâóåò.

xy 2 (x2 + y 2 6= 0) â x2 + y 4 òî÷êå (0, 0) èìååò ïðåäåë â ëþáîì íàïðàâëåíèè, íî íå èìååò ïðåäåëà â

Ïðèìåð 5.2 Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) =

ýòîé òî÷êå.

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ f íà âåêòîðå h = (cos ϕ, sin ϕ), ïðèëîæåííîì â òî÷êå (0, 0), ïðèíèìàåò âèä f (x, y) =

t cos ϕ sin2 ϕ t3 cos ϕ sin2 ϕ = . t2 cos2 ϕ + t4 sin4 ϕ cos2 ϕ + t2 sin4 ϕ

Ïîýòîìó, ïðè cos ϕ 6= 0, lim f (th) = 0. À åñëè cos ϕ = 0, òî f (th) = 0 è, t→0

òåì áîëåå, lim f (th) = 0. t→0

Ñëåäîâàòåëüíî ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå (0, 0) â ëþáîì íàïðàâëåíèè ñóùåñòâóåò è ðàâåí íóëþ. Ïóñòü L  ëþáàÿ âåòâü ïàðàáîëû x = y 2 . Íà ýòîé êðèâîé ôóíêöèÿ f â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó

f (x, y) = Ïîýòîìó

lim L

1 y4 = . 4 4 y +y 2 1 1 = . y→0 2 2

f (x, y) = lim

(x,y)→(0,0)

Òàê êàê

lim L

(x,y)→(0,0)

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) íå ñóùåñòâóåò.

f (x, y) 6= lim f (th), t→0

5. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé

47

Ñêàëÿðíûå è âåêòîð-ôóíêöèè n äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ Åùå â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè íàì ïðèõîäèëîñü ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ïëîùàäü S ïðÿìîóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå S =

a · b, ãäå a è b  äëèíû ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà. Çäåñü a è b ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè. Îáúåì V öèëèíäðà ìîæíî âû÷èñëèòü, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó V = πr2 h, ãäå r  ðàäèóñ îñíîâàíèÿ, à h  âûñîòà öèëèíäðà.  ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ, ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà è îáúåì öèëèíäðà ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Îáúåì V óñå÷åííîãî êîíóñà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ  ðàäèóñîâ R, r åãî îñíîâàíèé è âûñîòû H : V =

πH 3

(R2 + rR + r2 ).

Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ïðèâåñòè ïðèìåðû ôóíêöèé è áîëüøåãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.

Îïðåäåëåíèå 5.14 Ïóñòü D  ìíîæåñòâî â Rn . Îòîáðàæåíèå f : D −→ R íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé n äåéñòâèòåëüíûõ (âåùåñòâåííûõ) ïåðåìåííûõ. Ïðè ýòîì ïèøóò

y = f (x) = f (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ). Ôóíêöèè, ðàññìîòðåííûå â ïðèìåðàõ 5.1 è 5.2, ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè ôóíêöèÿìè äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ.

Îïðåäåëåíèå 5.15 Ïóñòü D  ìíîæåñòâî â Rn . Îòîáðàæåíèå f : D −→ Rm íàçûâàåòñÿ m-ìåðíîé âåêòîð-ôóíêöèåé n äåéñòâèòåëüíûõ (âåùåñòâåííûõ) ïåðåìåííûõ. Ïîñêîëüêó

y =(η1 , η2 , . . . , ηm ) = f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) = = (f1 (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), f2 (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), . . . , fm (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )) , êàæäàÿ êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé n äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ.

48

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 5.16 Ïóñòü D  ìíîæåñòâî â Rn , f : D −→ R. Ãðàôèêîì ôóíêöèè f íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ïðîñòðàíñòâà Rn+1 ñ êîîðäèíàòàìè

¡

¢ ¡ ¢ x, f (x) = ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , f (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ,

x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ D.

Ãðàôèê ôóíêöèè f îáû÷íî íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ, çàäàííîé óðàâíåíèåì y = f (x). ***** Çäåñü áóäóò íàðèñîâàíû ãðàôèêè ôóíêöèé z = x2 +y 2 , z = p z = x2 + y 2 .

p 1 − x2 − y 2 ,

**** ****

Ïîâòîðíûå ïðåäåëû Äëÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u = f (x1 , x2 , . . . , xn ) íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò ïîíÿòèå ïîâòîðíîãî ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ . Óÿñíèì ýòî ïîíÿòèå íà ïðèìåðå ôóíêöèè z = f (x, y) äâóõ ïåðåìåííûõ x è y . Ïóñòü

© ª D = (x, y) ∈ R2 : 0 < |x − x0 | < d, 0 < |y − y0 | < d è f : D −→ R. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî y , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ 0
0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ (x, y) ∈ D ∩ B˙ 1 ((x0 , y0 ), δ) ñïðàâåäëèâà îöåíêà

ε |f (x, y) − b| < . 2

(5.4)

Çàôèêñèðóåì ëþáîé ýëåìåíò y , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ 0 < |y − y0 |
0. Òàê êàê îïåðàòîð A îãðàíè÷åí (ïðåä¡ ¢ ëîæåíèå 4.1), à r(h) = o khk , íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî

kAhk