Определение индексов отражающих плоскостей: Описание лабораторной работы по курсу ''Рентгеноструктурный анализ''

Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный университет

УДК 539.26 ББК В361я73 О 62

Рекомендовано к изданию на заседании бюро редакционно-издательского совета ОмГУ 21.05.2004 г.

О 62

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ ОТРАЖАЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Определение индексов отражающих плоскостей: Описание лабораторной работы по курсу «Рентгеноструктурный анализ» / Сост.: Т.В. Панова, В.И. Блинов. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 20 с. В работе даются основы методов индицирования порошковых рентгенограмм поликристаллов. Приводятся необходимые теоретические сведения, определен порядок выполнения работы, представлен список контрольных вопросов, включен список рекомендуемой литературы. Для студентов IV курса физического факультета.

Описание лабораторной работы по курсу «Рентгеноструктурный анализ»

УДК 539.26 ББК В361я73

Издание ОмГУ

Омск 2004

© Омский госуниверситет, 2004 2

Лабораторная работа ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ ОТРАЖАЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ Цель работы: ознакомиться с методами индицирования порошковых рентгенограмм; определить индексы отражающих плоскостей кристаллов кубической и гексагональной сингоний. Принадлежности: дифрактометр «ДРОН-3М», образцы с кубической и гексагональной сингонией, компьютер PENTIUM. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Под индицированием линий рентгенограммы понимают операцию определения индексов интерференции (HKL) каждой линии рентгенограммы. Установление индексов всех линий на рентгенограмме поликристалла позволяет рассчитать размеры и форму элементарной ячейки. Индицирование рентгенограмм при неизвестной кристаллографической системе представляет задачу, не всегда решаемую однозначно. Задача индицирования существенно облегчается, если известен структурный тип анализируемого вещества или хотя бы его кристаллическая система. Однако по рентгенограмме поликристалла возможно определить и сингонию, к которой относится вещество, и индексы интерференции для всех линий. Как правило, при индицировании рентгенограммы неизвестного вещества желательно, чтобы на ней присутствовало не менее 20–40 линий во всем диапазоне углов дифракции, полученных при отражении Кα-излучения. Индицирование рентгенограмм, снятых по методу порошка Индексы дифракционных линий на порошковой рентгенограмме вещества с кубической решеткой определяются очень легко. Сложнее индицировать рентгенограммы веществ с гексагональной и тетрагональной решетками; в этом случае применяют графические методы. Еще более сложно индицировать рентгенограммы веществ с ромбической, моноклинной или триклинной решетками. Индексы интерференции (HKL) равны произведению индексов семейства плоскостей (hkl), благодаря отражению от которых получилась данная линия на рентгенограмме, на порядок отражения n: Н = nh; K = nk; L = nl. 3

Так как числа, образующие индексы hkl, не могут иметь общего делителя, то, зная индексы HKL данной линии, мы можем определить, за счет отражения какого порядка и от каких плоскостей получилась эта линия. Так, линия с индексами HKL, равными (200), получилась в результате отражения второго порядка от плоскостей (100), а линия (400) – благодаря отражению четвертого порядка от тех же плоскостей. Линия (420) – результат отражения второго порядка от плоскостей (210), и т. д. Определение индексов интерференции производится «методом проб» разными способами для разных сингоний. Исходной формулой для определения HKL во всех случаях является формула Вульфа – Брэгга 2dHKL sin θ = λ. Подстановкой в эту формулу значений dHKL различных для разных сингоний (см. таблицы приложения [2]), получают соответствующие равенства для каждой сингонии, которые называют квадратичными формами (табл. 1). Таблица 1 Сингония Кубическая Тетрагональная Ромбическая

Межплоскостные расстояния dHKL 1 H + K 2 + L2 = d2 a2 2

1 H 2 + K 2 L2 = + 2 d2 a2 c 2 2 1 H K L2 = + + d 2 a2 b2 c2

Ромбоэдрическая

1 (H 2 + K 2 + L2 )sin 2 б +2(HK + KL + HL)(cos 2 б −cosα ) = d2 a 2 ( 1−3cos 2 б + 2cos 3 б)

Гексагональная

1 4 (H 2 + KH + K 2 ) L2 = + 2 d2 3 a2 c

Моноклинная Триклинная

1 2 HLcosв H2 K2 L2 = 2 2 + 2 + 2 2 − 2 d a sin в b c sin в acsin 2 в

1 1 = [ s11 H 2 +s22 K 2 + s33 L2 +s12 HK +s23 KL+s13 HL ] d2 V 2

4

5

Кубическая решетка типа алмаза (К 4)

HKL

Н2 + К2 + L2

HKL

Н2 + К2 + L2

100 200 211 220 310 222 321

3 4 8 11 12 16 19

111 200 220 311 222 400 331

3 8 11 16 19 24 27

10.0 00.2 10.1 10.2 11.0 10.3 11.2

32

111 220 311 400 331 422 333, 511 440

422

35

531

20.2

333, 511

40

620

10.4

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 8

8

9

16

400

20

420

9

10

300, 221 310

18

24

10

11

311

20

411, 330 420

27

6

Гексагональная компактная решетка (Г 12)

Гранецентрированная кубическая решетка (К 12)

Н2 + К2 + L2 2 4 6 8 10 12 14

HKL

Объемноцентрированная кубическая решетка (К 8)

HKL 100 110 111 200 210 211 220

HKL

Примитивная кубическая решетка (К 6)

Индексы интерференции первых десяти линий рентгенограммы

Н2 + К2 + L2

Законы погасания Закономерности погасания зависят от симметрии решетки и расположения атомов в элементарной ячейке (т. е. от типа решетки) и определяются из условий равенства нулю структурного фактора интенсивности. В случае объемноцентрированной решетки гасятся линии, для которых сумма квадратов индексов (Н2 + К2 + L2) есть число нечетное. В случае гранецентрированной решетки гасятся линии, для которых индексы Н, К и L есть числа разной четности. В случае кубической решетки типа решетки алмаза гасятся линии, для которых Н, К и L числа разной четности, и те линии с четными индексами, сумма которых не делится на 4. В случае гексагональной компактной решетки гасятся линии, для которых индекс L есть число нечетное, а сумма Н + 2К кратна трем, и линии вида 00L при нечетном L. Систематика всех возможных погасаний дана в таблицах приложения [2]. Возможные индексы интерференции для первых десяти линий наиболее важных решеток приведены в табл. 2. Не следует рассматривать значения (H2 + K2 + L2} как натуральный ряд целых чисел, так как в натуральном ряду имеются числа, разложить которые на сумму целых квадратов невозможно. Таковы числа 7; 15; 23; 28; 31; 39; 47 и т. д. Данные табл. 2 показаны графически на рис. (с. 7), на котором виден также характер взаимного расположения линий для веществ с рассмотренными решетками.

Таблица 2

Номер линии в порядке возрастания угла θ

Таким образом, каждому значению sin θ, а следовательно, и dHKL, соответствуют определенные значения индексов интерференции HKL. Обратное положение о том, что каждой тройке индексов HKL соответствует определенное значение dHKL и sin θ справедливо только для некоторых примитивных решеток. В случае сложных решеток с базисом некоторые отражения гасятся закономерно и линии с соответствующими индексами HKL на рентгенограмме отсутствуют.

20.1

Индицирование рентгенограмм веществ с кубической решеткой Из квадратичной формы для кубической сингонии следует, что отношения квадратов синусов углов отражения для разных линий рентгенограммы должны быть равны соответственному отношению сумм квадратов индексов и, следовательно, отношению целых чисел: sin 2 θ H 2 + K 2 + L2 i = i i i =Q . sin 2 θ H 2 + K 2 + L2 k k k k

Справедливым будет также выражение d

H K L H 2 + K 2 + L2 k k k = i i i = Q. d H 2 + K 2 + L2 H KL k k k i i i

Из данных табл. 2 следует, что ряд отношений Q для всех линий рентгенограммы в порядке возрастания углов θ (где θi – угол данной линии, a θk – угол первой линии) должен представлять собой строго определенный ряд чисел, различный для решеток разного типа. Задача индицирования сводится к тому, чтобы найти значения sin2 θ для всех линий рентгенограммы (по одной из волн, обычно Кα-излучению) и ряд отношении

sin 2 θ k = Qk и сопоставить полуsin 2 θ1

ченный ряд данными табл. 3. Таблица 3 Ряд Q для кубических решеток Qk =

Тип решетки

Схемы рентгенограмм веществ с различной решеткой: 1 – примитивная кубическая структура; 2 – объемноцентрированная кубическая структура; 3 – гранецентрированная кубическая структура; 4 – структура алмаза; 5 – гексагональная компактная структура 7

Примитивная (К 6) Объемноцентрированная (К 8) Гранецентрированная (К 12)

H k2 + K k2 + L2k H12 + K12 + L12

1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 11 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 1; 1,33; 2,66; 3,67; 4; 5,33; 6,33; 6,67; 8; 9 1; 2,66; 3,67; 5,33; 6,33; 8; 9; 10,67; 11,67; 13,33

Тип алмаза (К 4)

8

Значения индексов (HkKkLk) данной линии находятся затем по сумме ( H k2 +K k2 + L2k ), которая определяется из произведения H k2 + K k2 + L2k = Qk ( H12 + K12 + L12 ) ,

где ( H 12 + K12 + L12 ) в соответствии с табл. 2 равно: 1 – для простого куба (К6), 2 – для ОЦК (К 8), 3 – для ГЦК (К 12) и решетки типа алмаза (К 4). На первый взгляд существует известная неопределенность для решеток (К6) и (К8). Действительно, ряд отношений Qk совпадает для решеток обоих типов и поэтому остается неясно, что принимать за сумму ( H 12 + K12 + L12 ) – единицу или двойку. Эту неопределенность легко устранить, применив один из следующих способов: 1. Относительная интенсивность линий рентгенограммы с близкими углами θ определяется прежде всего их множителем повторяемости Р. Для линий (100) и (200), с одной стороны, и (110) – с другой, множитель Р равен, соответственно, 6 и 12. Таким образом, для решетки К6 из первых двух линий на рентгенограмме более интенсивной должна быть вторая, а для решетки К8 – первая. Сравнив на рентгенограмме интенсивность первых двух линий от α-излучения, можно таким образом однозначно установить тип решетки. 2. Если для седьмой α-линии по счету со стороны малых углов значение Q7 оказалось равным 7, то ( H 12 + K12 + L12 ) должно быть равно 2 (а не 1), и (НКL) – (110), так как ( H 2 + K 2 + L2 ) не может быть равно 7. Следовательно, решетка кубическая является объемноцентрированной. Если Q7 равно 8, то решетка простая кубическая и (H1K1L1) – (100). Среди чистых металлов решетка К6 почти не встречается. Индицирование рентгенограмм веществ с решеткой, принадлежащей к средним сингониям (тетрагональной, гексагональной и ромбоэдрической)

Так, для гексагональной сингонии выражение, связывающее индексы плоскости с межплоскостным расстоянием, представляет собой многочлен (табл. 1) 1 4 ( H 2 + KH + K 2 ) L2 = + 2 . a2 c d2 3

Поэтому отношение d2 sin 2 θ k = i =Q d 2 sin 2 θ i k

не равно отношению целых чисел. В частных случаях для плоскостей вида НК0 или 00L квадратичная форма превращается в одночлен и для этих систем плоскостей отношения окажутся пропорциональными отношению целых чисел. Ряды этих отношений Q приведены в табл. 4. Таблица 4 Ряды Q для средних сингоний Симметрии решетки

Величина Q

Для систем плоскостей НК0 при

sin 2 θ

=

HK 0

sin 2 θ100

d 100 = QHK 0 2 d HK 0

Гексагональная (а также ромбоэд- 1; 3; 4; 7; 9; 12; 13; 16; 19; 21 рическая в гексагональных осях) Тетрагональная 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17; 18; 20 Для систем плоскостей 00L при

sin 2 θ

00 L

sin 2 θ001

=

d 2 001 = Q00 L 2 d 00 L

Гексагональная, тетрагональная и 1; 4; 9; 16; 25; 36; … ромбоэдрическая

Из квадратичных форм для средних сингоний следует, что отношения квадратов синусов углов отражения или отношение обратных квадратов межплоскостных расстояний для разных линий рентгенограммы не могут быть приравнены к отношению целых чисел.

Таким образом, рассчитав ряды QHKO, можно отличить рентгенограмму гексагонального вещества от тетрагонального (в первом случае второй член ряда QHKO равен 3, а во втором – 2). Однако для

9

10

целей фазового анализа аналитическое индицирование неприменимо, так как оно оставляет неучтенным большинство линий рентгенограммы. Помимо этого, положение линии (100) на рентгенограмме определяется отношением с/а исследуемой решетки, так что часто неизвестно, к какой из первых линий рентгенограммы относить ряд QHKO. Следует также иметь в виду, что само наличие линии (100) определяется правилами погасаний, и, следовательно, во многих случаях ряд QHKO не может быть построен. То же может быть сказано и о ряде QOOL. Поэтому индицирование рентгенограмм средних сингоний производится графически. Для построения номограмм графического индицирования квадратичные формы следует преобразовать так, чтобы обратная величина квадрата межплоскостного расстояния Q'HKL явилась функцией отношения с/а. Так, для тетрагональной сингонии 1 d

2

HKL

=

H 2 + K 2 L2 + 2 . a2 c

Следовательно, прибавив к обеим частям равенства получим 1 1 1 1 1 1⎤ ⎡ = ⎢ H 2 ( 2 + 2 )+ K 2 ( 2 + 2 )−( H 2 + K 2 −L2 ) 2 ⎥ , 2 d HKL a c a c c ⎦ ⎣

или 1 2 d HKL

1 ⎡ 2 1 1 ⎢ 2 = ( 2 + 2 ) ⎢ H + K 2 −( H 2 + K 2 −L2 ) c 1 1 a c ⎢ ( 2+ 2 a c ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥, )⎥ ⎦⎥

или 1 2 d HKL

⎤ ⎡ ⎥ 1 1 ⎢ 2 1 2 2 2 2 = ( 2 + 2 ) ⎢ H + K −( H + K −L ) ⎥. c 2 ⎥ a c ⎢ ( ) +1 ⎥⎦ ⎢⎣ a

11

H 2 +K 2 , c2

Логарифмируя последнее выражение, имеем ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 1 1 1 lg 2 = lg( 2 + 2 )+lg ⎢ H + K 2 −( H 2 + K 2 −L2 ) ⎥. c d HKL a c ⎢ ( )2 +1 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ a 1 1 Так как lg( 2 + 2 ) = const, то для данной рентгенограммы поa c 1

лучим lg

или

1 2 d HKL

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 1 2 2 2 2 = const +lg ⎢ H + K −( H + K −L ) ⎥; c ⎢ ( )2 +1 ⎥ a ⎦⎥ ⎣⎢

lg θ′HKL = const + FHKL

lg θ′HiKiLi – lgθ′HkKkLk = const + FHiKiLi – FHkKkLk. Так как индексы интерференции числа целые, то при данном отношении с/а функция FHKL прерывна. Однако значение FHKL вполне определено, и оно может быть нанесено на координатную плоскость как некоторая точка с абсциссой FHKL и ординатой с/а или lgc/а (последнее необходимо для охвата большего интервала ординат). Для одних и тех, же значений HKL и для разных с/а функция FHKL непрерывна. Соединяя точки FHKL для одних и тех же значений HKL и разных значений с/а, получают номографические кривые, расстояние между которыми по горизонтали будет, очевидно, равно разности логарифмов обратных величин квадратов межплоскостных расстояний. Для данных HKL эта разность будет функцией только одного переменного с/а. Поэтому для индицирования следует, отложив на масштабной линейке в масштаба номограммы значения lgdHKL, наложить эту линейку на номограмму горизонтально, т. е. при с/а = const так, чтобы точка lgdHKLmax масштабной линейки совпала с номографической кривой с наименьшими индексами. Далее необходимо двигать масштабную линейку вдоль избранной кривой до совмещения всех значений lgdHKL с кривыми номограммы. Добившись совпадения точек lgdHKL с кривыми номограммы, каждому значению dHKL приписывают индексы HKL, принадлежащие той кривой, которая пересеклась с отметкой dHKL номографической линейки. 12

Для гексагональной сингонии справедливо ⎫ ⎧ ⎪⎪ 4 2 1 1 1 1 ⎪⎪ ⎡4 2 2 2 2⎤ lg 2 = lg ( 2 + 2 ) + lg ⎨ ( H + HK + K ) − ⎢ ( H + HK + K ) − L ⎥ ⎬, d HKL a c ⎣3 ⎦ ( c )2 +1⎪ ⎪3 a ⎭⎪ ⎩⎪

или

lgQ'HKL = const + FHKL

, так что изменяется лишь функция разложения F'HKL, а техника индицирования остается той же. Номограммы Бьерстрема для тетрагональной и гексагональной сингонии даны в таблицах приложения [2]. Соответствующие масштабные линейки dHKL даны внизу под номограммами. Так как 1 lim =0 c c →∞ ( ) 2 + 1 a a и 1 = 1, lim c c →0 ( )2 + 1 a a кривые номограммы Бьерстрема складываются в пучки, тяготеющие при с/а→∞ к lg(H2+K2) и при с/а→0 к lgL2 для тетрагональной сингонии и соответственно к lg(4/3) (Н2 + НК + К2) и lgL2 для гексагональной сингонии. При практическом выполнении графического индицирования необходимо иметь в виду, что каждая отметка dHKL должна совпасть с какой-либо кривой, тогда как не каждая кривая обязательно должна совпасть с какой-либо отметкой. Некоторые кривые могут оказаться вне отметки. Это означает, что линия с соответствующими индексами (HKL) на рентгенограмме решетки данного типа погашается. Так, на рентгенограммах веществ с решеткой Г12 погашаются линии, индексы интерференции которых удовлетворяют требованиям Н + 2К = 3 n (кратно трем) и L = 2n + 1 (нечетное число). К числу погашаемых линий, таким образом, относятся (001), (003), (111), (113) и др. lg Q'H i K i Li − lg Q'H k K k Lk = FH i K i Li − FH k K k Lk

13

На рентгенограммах веществ с тетрагональной объемноцентрированной решеткой погашаются линии с нечетной суммой индексов интерференции. На рентгенограммах веществ с ромбоэдрической структурой, проиндицированных в гексагональных осях, погашаются линии, индексы интерференции которых удовлетворяют неравенству +Н – К + L ≠ 3 n. Ряд других погасаний может возникнуть вследствие наличия в некоторых структурах элементов симметрии с трансляцией. Тем не менее следует стремиться проиндицировать рентгенограмму в наименьших индексах, т. е. добиваться совмещения линейки с номограммой в правой ее части. Графическое индицирование части рентгенограммы с большими брэгговскими углами θ может при жестком излучении оказаться невозможным или мало достоверным. В таком случае следует для высших порядков рассчитать теоретическую рентгенограмму по значениям периодов решетки, полученным из отражений с меньшими углами θ. Периоды решетки рассчитываются решением системы равенств из двух квадратичных форм для двух последних проиндицированных линий рентгенограммы. Рекомендуется пользоваться следующими формулами: для тетрагональной сингонии А1В2 − А2 В1 A1B2 − A2 B1 а2 = ; c2 = , В2 B1 A1 A2 − − d H2 1K1L1 d H2 2K2L2 d H2 2 K 2L2 d H2 1K1L1 где A = H2 + К2; В = L2; для гексагональной сингонии 4 А1В2 − А2 В1 A1B2 − A2 B1 , а2 = ; c2 = A A2 В B 3 1 2 1 − − d H2 2 K 2L2 d H2 1K1L1 d H2 1K1L1 d H2 2 K2 L2 где А = Н2 + НК + К2; В = L2.

14

В литературе имеются также и другие номограммы для индицирования рентгенограмм веществ средних сингоний, например Хелла – Девея, отличающиеся от изложенных номограмм Бьерстрема функциями разложений. Так, для тетрагональных номограмм Хелла – Девея 1 f HKL = H 2 + K 2 + L2 c ( )2 a и для гексагональных номограмм Хелла – Девея 4 2 1 , ' f HKL H + HK + K 2 + L2 = 2 3 ⎛c⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ lgd = lga – lgfHKL. Индицирование по этим номограммам принципиально не отличается от индицирования по кривым Бьерстрема. Однако для больших индексов интерференции оно менее надежно ввиду наложения в левой части номограммы большого числа кривых. В случае необходимости индицирование может быть проведено не по значениям dHKL, а по величинам sin θ. В этом случае необходимо соответствующие значения sin θ пересчитать для приведения их в соответствие с масштабом номограммы. Поскольку масштабы логарифмические и дается обычно один порядок, то пересчет значений sin θ в масштабные осуществляется умножением на наибольшее, крайнее правое число шкалы масштаба. Индицирование по значениям sin θ следует производить по перевернутой линейке, так как малым значениям HKL, кривые для которых расположены в правой части графика, должны соответствовать малые значения sin θ, расположенные на масштабной линейке слева. Расчетные формулы для индицирования по sin θ имеют вид: для гексагональной сингонии λ2 λ2 А1В2 − А2 В1 A1B2 − A2 B1 2 = а2 = ; c , 2 2 3 В2 sin θ1 − B1 sin θ 2 4 A1 sin 2 θ 2 − A2 sin 2 θ1

(

)

где А = Н2 + НК + К2 и В = L2; 15

для тетрагональной сингонии λ2 λ2 А1В2 − А2 В1 A1B2 − A2 B1 2 = а2 = ; c , 2 2 4 В2 sin θ1 − B1 sin θ 2 4 A1 sin 2 θ 2 − A2 sin 2 θ1 где А = Н2 + К2; В = L2. Таким образом, если попытка индицирования в гексагональной или тетрагональной решетках не принесла успеха, то далее должна быть испытана ромбическая решетка. Наличие уже трех параметров в этом случае чрезвычайно затрудняет индицирование рентгенограммы поликристалла и делает его малонадежным. Существует общий аналитический метод индицирования для низкосимметричных решеток – метод Ито. Индицирование по методу Ито трудоемко и без использования ЭВМ практически невозможно. Поэтому индицирование дебаеграммы вещества неизвестной сингонии проводят, предполагая последовательно, что вещество принадлежит к кубической, средним и затем к низшим сингониям. Индицирование рентгенограмм кристаллов низших сингоний Индицирование рентгенограмм кристаллов низших сингоний проводят методом Ито, суть которого состоит в том, что любую порошковую рентгенограмму можно рассматривать в предположении триклинной системы. Когда истинная сингония вещества выше триклинной, можно найти соответствующие соотношения путем преобразования осей, основанного на способе приведения Делоне. В связи с тем что индицирование по методу Ито трудоемко даже в случае использования ЭВМ, индицирование дебаеграммы вещества неизвестной сингонии проводят последовательно, предполагая, что вещество принадлежит к кубической, средним и затем низшим сингониям. В практикуме имеется программа ITO, взятая из пакета программ CCP14 (Дарсберийская лаборатория, автор программы – J. W. Visser). ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ I. С помощью преподавателя получить дифрактограммы поликристаллов с кубической сингонией и гексагональной с использованием дифрактометра «ДРОН-3М». 16

II. Построить в любом графическом редакторе (можно в «FPEAK» или «ORIGIN» и провести расчет дифрактограммы, получив спектр dэксп. и использовав формулу Вульфа – Брэгга. III. Провести индицирование линий рентгенограммы. 1. Для кристаллов кубической сингонии: 1.1. Заполнить таблицу (только для линий α). Номер θточн. линии

1

2

sin2θ

sin 2 θ k = Qk sin 2 θ i

3

4

H2+K2+L2

HKL

приблизительно истинное значение 5 6

7

Примечание. Столбцы 1, 2 и 3 не требуют пояснений. Столбец 4 – отношение квадрата синуса угла отражения данной линии к квадрату синуса угла первой линии. Столбец 5 содержит сумму квадратов индексов интерференции для данной линии, получаемую из произведения H k2 + K k2 + L2k = Qk ( H12 + K12 + L12 ) . Полученное произведение вследствие неточности в определении величины Q будет несколько отличаться от целых чисел. Столбец 6 – истинные значения Н2 +К2 + L2, полученные из суммы H k2 + K k2 + L2k приближенным округлением их до ближайшего целого числа. Отклонение ( H k2 + K k2 + L2k )прибл. от (Н2 +К2 + L2)ист. не должно превышать ±0,1. Столбец 7 – значения HKL по найденным (Н2 + К2 + L2). Они легко находятся с помощью табл. 2 или в уме. 1.2. Из анализа ряда чисел в столбце 4 и значений HKL определить тип решетки Бравэ. 2. Для кристаллов с гексагональной сингонией: 2.1. Проиндицировать рентгенограмму для α-линий, записав данные в таблицу: № п/п 1

I 2

sinθ 3

sinθ М 4

17

dHKL 5

HKL 6

Примечание. Заполнение столбцов 1, 2, 3 и 5 таблицы не нуждается в пояснениях. Столбцы 3, 4 заполняются при индицировании по значениям sin θ, а столбец 5 – при индицировании по значениям dHKL. В столбце 4 записывают произведение синуса угла θ на масштабный множитель М. На масштабных графиках значение М равно максимальной цифре, отвечающей sin 90° = 1. 2.2. После заполнения столбца 4 или 5 полученные значения нанести на полоску бумаги в том масштабе, в каком построен вспомогательный график [2]. Логарифмическая шкала масштабов содержит один порядок (например, 8–80). Если необходимо по масштабной линейке изобразить в масштабе ряд чисел, выходящих за этот порядок, например 3,2–0,62, то правый конец линейки ставят около 35-го и отмечают ряд 3,2 (масштаб 32) и т. д., до 0,8 (масштаб 8). Затем отметкой 0,8 линейку переносят к делению 80 шкалы и отмечают меньшие значения 0,8–0,62. 2.3. Произвести индицирование линий рентгенограммы по описанному выше методу, занося результаты в столбец 6. IV. Провести сравнение полученных результатов, построив теоретическую дифрактограмму (использовать данные программы PowderCell). КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Для чего необходимо индицирование рентгенограмм и дифрактограмм? 2. В чем заключается закон погасания для кристаллов различных сингоний? 3. Каким образом производится индицирование кристаллов кубической сингонии? 4. Каким образом производится индицирование гексагональных и тетрагональных кристаллов? 5. Для чего необходимы кривые Бьерстрема? СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Русаков А.А. Рентгенография металлов: Учебник для вузов. М.: Атомиздат, 1977. 480 с.

18

2. Горелик С.С., Расторгуев Л.Н., Скаков Ю.А. Рентгенографический и электроннооптический анализ. Приложения. М: Металлургия, 1970. 107 с. 3. Миркин Л.И. Рентгеноструктурный контроль машиностроительных материалов: Справочник. М.: Изд-во МГУ, 1976. 140 с. 4. Миркин Л.И. Справочник по рентгеноструктурному анализу поликристаллов. М.: Физматгиз, 1961. 863 с. 5. Уманский Я.С., Скаков Ю.А., Иванов А.Н., Расторгуев Л.Н. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. М.: Металлургия, 1982. 632 с. 6. Горелик С.С., Расторгуев Л.Н., Скаков Ю.А. Рентгенографический и электронно-графический анализ металлов. М: Металлургиздат, 1963. 256 с.

Учебное издание

Составители: Панова Татьяна Викторовна Блинов Василий Иванович

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ ОТРАЖАЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ Описание лабораторной работы по курсу «Рентгеноструктурный анализ»

Технический редактор Н.В. Москвичёва Редактор Е.В. Коськина Подписано в печать 12.07.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 1,25. Усл.-печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 50 экз. Заказ 376. Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

19

20