Турбулентность: модели и подходы

Ì èíèñòåðñòâî îáù åãî è ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ô åäåðàöèè Ï åðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåì è ïðîöåññîâ

Ï .Ã.Ô ðèê

ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ: Ì ÎÄÅËÈ È Ï ÎÄÕÎÄÛ Êóðñ ëåêöèé ×àñòü II

Ðåêîìåíäîâàíî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ïî íàïðàâëåíèþ «Ýëåêòðîíèêà è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà» â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè «Ï ðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà»

Ï åðìü 1999

2

ÓÄÊ 532.517.4 Ô 88 Òóðáóëåíòíîñòü: ìîäåëè è ïîäõîäû. Êóðñ ëåêöèé. / Ï .Ã.Ô ðèê; Ï åðì. ãîñ. òåõí. óí-ò. ×àñòü II. Ï åðìü, 1999. 136 ñ. Âòîðàÿ ÷àñòü êóðñà ëåêöèé âêëþ ÷àåò â ñåáÿ ââåäåíèå è ÷åòûðå èç ñåìè ðàçäåëîâ êóðñà «Òóðáóëåíòíîñòü: ìîäåëè è ïîäõîäû» (òðè ïåðâûõ ðàçäåëà: «Îñíîâû», «Õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ»è «Ï îëóýìïèðè÷åñêèåìîäåëè» âîø ëè â ïåðâóþ ÷àñòü êóðñà).  ÷åòâåðòîì ðàçäåëå èçëàãàþòñÿ ìîäåëè îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè, íà÷èíàÿ ñ òåîðèè Êîëìîãîðîâà è êîí÷àÿ ñîâðåìåííûìè ìîäåëÿìè ïåðåìåæàåìîñòè â ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï ÿòûé ðàçäåë ïîñâÿù åí íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûì òóðáóëåíòíûì ïîòîêàì. Ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè è òóðáóëåíòíîñòè, âûçâàííîé ñèëàìè Àðõèìåäà.  ø åñòîì ðàçäåëå èçëàãàþ òñÿ ìîäåëè, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ, íàçâàííûõ èåðàðõè÷åñêèìè, è äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå âåéâëåòàíàëèçà, ñ ïðèìåðàìè åãî ïðèìåíåíèÿ ê ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì. Ï îñëåäíèé, ñåäüìîé ðàçäåë ïîñâÿù åí êàñêàäíûì ìîäåëÿì òóðáóëåíòíîñòè ïðîñòåéø èì ìîäåëÿì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, äîêàçàâø èì ñâîþ ýôôåêòèâíîñòü â ìîäåëèðîâàíèè ñâîéñòâ òóðáóëåíòíîñòè â èíåðöèîííûõ èíòåðâàëàõ ïðè î÷åíü âûñîêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. È ë.89. Áèáëèîãð.: 35 íàçâ. Ðåöåíçåíòû:

êàôåäðà îáù åé ôèçèêè Ï åðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, ä-ð ôèç.-ìàò.íàóê, ïðîôåññîð Ä.Â.Ëþáèìîâ

ISBN 5-88151-193-Õ 1.

1999

©

Ï åðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò,

3

ÂÂÅÄÅÍ È Å

4

1. ÎÑÍ Î ÂÛ

5

2. ÕÀÎÑ Â ÄÈ Í À Ì È × ÅÑÊÈ Õ ÑÈÑÒÅÌ ÀÕ

5

3. ÏÎËÓÝÌ Ï È ÐÈ × ÅÑÊ È Å Ì ÎÄÅËÈ

5

4. ÎÄÍ Î ÐÎÄÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ

6

4.1. Î Ä Í Î ÐÎ Ä Í À ß È È ÇÎÒÐÎ Ï Í À ß ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÜ 4.2. ÁÀËÀÍÑ ÝÍÅÐÃÈ È Ï Î Ì ÀÑØ ÒÀÁÀÌ . ÊÀÑÊÀÄ 4.3. ÒÅÎÐÈ ß Ê ÎËÌ ÎÃÎÐÎÂÀ 1941 ÃÎÄÀ (Ê41) 4.4. Ë ÎÃÍ Î ÐÌ ÀËÜÍÀß Ì ÎÄÅËÜ (Ê62) 4.5. Ô ÐÀÊÒÀËÛ È ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÜ 4.6. Ë ÎÃÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÈÅ Ì ÎÄÅËÈ 5. ÄÂÓÌ ÅÐÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ 5.1. ÇÀÊÎÍÛ ÑÎÕÐÀ Í ÅÍ È ß È È Í ÅÐÖ È Î Í Í Û Å È Í ÒÅÐÂÀËÛ 5.2. Ë ÀÁÎÐÀÒÎÐÍ Û Å ÝÊÑÏÅÐÈ Ì ÅÍÒÛ 5.3. × ÈÑËÅÍ Í Û Å ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß 5.4. Ï ÅÐÅÌ ÅÆ ÀÅÌ ÎÑÒÜ Â ÄÂÓÌ ÅÐÍ Î É ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍÎÑÒÈ 5.5. Ê Î Í ÂÅÊÒÈ ÂÍÀß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍÎÑÒÜ 6. È ÅÐÀ ÐÕ È × ÅÑÊ È Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ È ÂÅÉ ÂËÅÒÛ 6.1. È ÅÐÀÐÕ È × ÅÑÊÈ É ÁÀÇÈÑ ÄËß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Û Õ ÏÎËÅÉ 6.2. È ÅÐÀÐÕ È × ÅÑÊÀß Ì ÎÄÅËÜ ÄÂÓÌ ÅÐÍ Î É ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ 6.3. ÂÅÉ ÂËÅÒÛ 6.4. Í ÅÏ ÐÅÐÛ ÂÍÎÅ ÂÅÉÂËÅÒ-Ï ÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ 6.5. Ä ÈÑÊÐÅÒÍ Î Å ÂÅÉÂËÅÒ-Ï ÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ 6.6. ÂÅÉ ÂËÅÒ-À Í À Ë È Ç ÂÐÅÌ ÅÍ Í Û Õ ÊÎËÅÁÀ Í È É ÃÈÄÐÎ Ä È Í À Ì È×ÅÑÊÈ Õ ÑÈÑÒÅÌ 7. ÊÀÑÊÀÄÍ Û Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ 7.1. Ê ÀÑÊÀÄÍ Û Å Ì ÎÄÅËÈ 7.2. Ì ÎÄÅËÜ Í ÎÂÈÊÎÂÀ - Ä ÅÑÍ ß Í ÑÊÎÃÎ 7.3. Ì ÎÄÅËÜ GOY 7.4. Ñ ÊÅÉ Ë È Í Ã È Ï ÅÐÅÌ ÅÆ ÀÅÌ ÎÑÒÜ Â ÊÀÑÊÀÄÍ Û Õ Ì ÎÄÅËßÕ ÐÀÇÂÈÒÎÉ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ 7.5 Ì ÎÄÅËÜ ÊÎÍÂÅÊÒÈ ÂÍÎÉ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍÎÑÒÈ 7.6. Ê ÀÑÊÀÄÍ Û Å Ï ÐÎ Ö ÅÑÑÛ Â Ì ÃÄ-ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ 8. ÇÀÊËÞ ×ÅÍ È Å

6 9 13 22 27 35 45 46 51 53 59 65 71 71 80 87 90 95 102 109 109 110 113 119 124 130 136

4

ÂÂÅÄÅÍ È Å Í àñòîÿù èé êóðñ ëåêöèé ñòàâèò ñâîåé öåëüþ äàòü ïðåäñòàâëåíèÿ î ðàçíîîáðàçíûõ ïîäõîäàõ è ìåòîäàõ, ïðèìåíÿåìûõ â èññëåäîâàíèÿõ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Êóðñ ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé. Ï åðâàÿ ÷àñòü âêëþ ÷àëà òðè ãëàâû: 1.Îñíîâû, 2.Õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, 3.Ï îëóýìïèðè÷åñêèå ìîäåëè. Ï åðâàÿ ãëàâà ñîäåðæàëà áàçîâûå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé è ðåàëüíîé æèäêîñòè è êðàòêèé îáçîð ìåòîäîâ è íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Âî âòîðîé ãëàâå îáñóæäàëèñü ìåòîäû è ïîäõîäû òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïîçâîëèâø åé çíà÷èòåëüíî óãëóáèòü ïîíèìàíèå ïðîöåññîâ ïåðåõîäà îò äåòåðìèíèðîâàííîãî ïîâåäåíèÿ ê õàîòè÷åñêîìó. Òðåòüÿ ãëàâà êðàòêî çíàêîìèëà ñ ïîäõîäîì Ðåéíîëüäñà ê îïèñàíèþ ñðåäíèõ ïîëåé â ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ è âûòåêàþ ù èìè èç íåãî ïîëóýìïèðè÷åñêèìè ìîäåëÿìè òóðáóëåíòíîñòè. Í óæíî îòìåòèòü, ÷òî â ïåðâóþ ÷àñòü êóðñà áûëè âêëþ÷åíû â îñíîâíîì ñâåäåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî íàéòè â ðàçëè÷íûõ ó÷åáíèêàõ è ìîíîãðàôèÿõ. Í àñòîÿù àÿ, âòîðàÿ ÷àñòü ñîäåðæèò ðåçóëüòàòû, êîòîðûå, çà ðåäêèì èñêëþ ÷åíèåì, íå âîø ëè åù å â êíèãè è ìîãóò áûòü íàéäåíû òîëüêî â îðèãèíàëüíûõ ñòàòüÿõ. Ýòà ÷àñòü, ïðåäëàãàåìàÿ âíèìàíèþ ÷èòàòåëÿ, ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ãëàâ (ñ ÷åòâåðòîé ïî ñåäüìóþ , òàê êàê äëÿ îáåèõ ÷àñòåé ïðèíÿòà ñêâîçíàÿ íóìåðàöèÿ). ×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿù åíà ìîäåëÿì îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè. Çäåñü ñîáðàíû ìîäåëè ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, íà÷èíàÿ ñî çíàìåíèòîé òåîðèè Êîëìîãîðîâà 1941 ãîäà. Îïèñàíû ïåðâûå ïîïûòêè ó÷åòà ïåðåìåæàåìîñòè (ëîã-íîðìàëüíàÿ ìîäåëü, áåòà-ìîäåëü). Ï îêàçàíî, ÷òî äàëî ïðèìåíåíèå ê òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè èäåè ôðàêòàëüíîñòè è êàê èñïîëüçîâàíèå íîâûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ î ñòðóêòóðå ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè è î ïîâåäåíèè âûñø èõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ ìîäåëåé, îñíîâàííûõ íà ëîã-ïóàññîíîâñêîé ñòàòèñòèêå òóðáóëåíòíûõ ïîëåé. Ï ÿòûé ðàçäåë ïîñâÿù åí íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûì òóðáóëåíòíûì ïîòîêàì. Ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, â êîòîðîé íàëè÷èå äîïîëíèòåëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî èíîìó ïîâåäåíèþ ìåëêîìàñø òàáíîãî òå÷åíèÿ. Í à ïðèìåðå òóðáóëåíòíîñòè, âûçâàííîé ñèëàìè ïëàâó÷åñòè (ò.å. êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè), ïîêàçàíî, êàê ìîæåòìåíÿòüñÿ äèíàìèêà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïîä äåéñòâèåì äîïîëíèòåëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ.

5

 ø åñòîì ðàçäåëå èçëàãàþ òñÿ ìîäåëè, îñíîâàííûå íà ïðèìåíåíèè ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ, âîñïðîèçâîäÿù èõ ñòðóêòóðó òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ. Ýòè áàçèñû ïîëó÷èëè íàçâàíèå èåðàðõè÷åñêèõ è ïî ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè îòíîñÿòñÿ ê âåéâëåò-áàçèñàì. Âåéâëåò-àíàëèç (âîçíèêø èé çàìåòíî ïîçæå ïåðâûõ èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé) ïðåâðàòèëñÿ íà ñåãîäíÿ â ðàçâèòóþ îáëàñòü ìàòôèçèêè è åãî çíà÷åíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è òóðáóëåíòíîñòè íå èñ÷åðïûâàåòñÿ ïðèìåíåíèåì âåéâëåò-áàçèñîâ äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òå÷åíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äî íàñòîÿù åãî âðåìåíè ëèòåðàòóðà î âåéâëåòàõ íà ðóññêîì ÿçûêå ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, â ýòîé æå ãëàâå äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå îñíîâ âåéâëåò-àíàëèçà, ñ ïðèìåðàìè åãî ïðèìåíåíèÿ ê ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì. Ï îñëåäíèé, ñåäüìîé ðàçäåë ïîñâÿù åí êàñêàäíûì ìîäåëÿì òóðáóëåíòíîñòè - ïðîñòåéø èì ìîäåëÿì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, äîêàçàâø èì ñâîþ ýôôåêòèâíîñòü â ìîäåëèðîâàíèè ñâîéñòâ òóðáóëåíòíîñòè â èíåðöèîííûõ èíòåðâàëàõ ïðè î÷åíü âûñîêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Ýòè ìîäåëè, ÿâëÿÿñü äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè îòíîñèòåëüíî âûñîêîãî ïîðÿäêà (íåñêîëüêî äåñÿòêîâ óðàâíåíèé), îïèñûâàþ ò êàñêàäíûå ïðîöåññû â ø èðîêîì èíòåðâàëå ìàñø òàáîâ. Äàíî èçëîæåíèå ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ýòîãî òèïà, ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé äëÿ ðàçëè÷íûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé è ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû èõ ïðèìåíåíèÿ. Êóðñ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè "Ï ðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà", îðèåíòèðóþ ù èõñÿ íà ðàáîòó â íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ó÷ðåæäåíèÿõ è íà êàôåäðàõ, â îñîáåííîñòè òåõ, ÷òî ñâÿçàíû ñ ðåø åíèåì çàäà÷ ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà.  òî æå âðåìÿ, â êóðñå ðàññìàòðèâàþ òñÿ è îáù èå ïîäõîäû ê ìîäåëèðîâàíèþ ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëåçíûìè ñïåöèàëèñòàì, çàíèìàþ ù èìñÿ ìîäåëèðîâàíèåì ñàìûõ ðàçëè÷íûõ (è íåòîëüêî ìåõàíè÷åñêèõ) ñèñòåì è ÿâëåíèé.

1. ÎÑÍ Î ÂÛ 2. ÕÀÎÑ Â Ä È Í À Ì È × ÅÑÊ È Õ ÑÈÑÒÅÌ ÀÕ 3. ÏÎËÓÝÌ Ï È ÐÈ × ÅÑÊ È Å Ì ÎÄÅËÈ

6

4. ÎÄÍ Î ÐÎÄÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ 4.1. Îäíîðîäíàÿ è èçîòðîïíàÿ òóðáóëåíòíîñòü Í à÷èíàÿ èçó÷åíèå ñâîéñòâ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, ñäåëàåì íåñêîëüêî âàæíûõ çàìå÷àíèé, ÷àñòè÷íî ïîâòîðÿþ ù èõ âûâîäû, îáñóæäàâø èåñÿ â ïåðâîé ÷àñòè êóðñà. Ï ðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ðàññìîòðåíèåì òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè Í àâüå- Ñòîêñà, êîòîðûåçàïèø åì â âèäå ¶t vi + v j ¶ j vi = - r - 1¶i p + n¶2jj vi + f i , ¶k v k = 0 .

(4.1) (4.2)

Çäåñü v i - êîìïîíåíòû ñêîðîñòè, f i - êîìïîíåíòû ñèëû, r - ïëîòíîñòü, p - äàâëåíèå, n - âÿçêîñòü. Ï ðè ýòîì íóæíî íå çàáûâàòü, ÷òî ñàìà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèé (4.1)-(4.2) ê îïèñàíèþ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé ïðè îãðîìíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíîé, òàê êàê ïðè èõ âûâîäå èñïîëüçîâàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé òîëüêî ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ ñêîðîñòè (ñì. ââîäíûåçàìå÷àíèÿ ê ðàçäåëó 3). Âàæíî òàêæå ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàçâèòàÿ òóðáóëåíòíîñòü, õàðàêòåðèçóåìàÿ íàïîëíåííûìè ñïåêòðàìè Ô óðüå (êàê âðåìåííûìè, òàê è ïðîñòðàíñòâåííûìè), ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñóù åñòâîâàíèè ìíîãîìàñø òàáíîé ñòðóêòóðû ïîëÿ ñêîðîñòè. È ìåííî ìíîãîìàñø òàáíîñòü è ÿâëÿåòñÿ âàæíåéø èì ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè, ïðèâîäÿ ê âîçáóæäåíèþ ãèãàíòñêîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ì û óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ëþ áîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ïî ñóòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîò èëè èíîé ñïîñîá îãðàíè÷åíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïðèâîäÿù èé ê ñîîòâåòñòâóþ ù èì ìîäåëÿì.  ãëàâå 3 áûë ðàññìîòðåí ïîäõîä Ðåéíîëüäñà, ñîñòîÿù èé â ïðåäñòàâëåíèè âõîäÿù èõ â (4.1)-(4.2) ïîëåé â âèäå ñóìì ñðåäíèõ ïîëåé è ïóëüñàöèé: r r r vi (r , t ) = U i ( r , t ) + u i ( r , t ) ,

r r r r r r p (r , t ) = P (r , t ) + p ¢(r , t ) , f (r , t ) = F (r , t ) + f ¢(r , t ) . (4.3)

Ï îäõîä ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì äëÿñðåäíèõ âåëè÷èí ¶tU i + U j ¶ jU i = - r - 1¶i P + n¶2jjU i - ¶ j u j ui + Fi ,

¶k U k = 0 ,

(4.4) (4.5)

7

âêëþ ÷àþ ù èì íîâûé ÷ëåí - òåíçîð íàïðÿæåíèé Ðåéíîëüäñà (óãëîâûå ñêîáêè ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àþò îñðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé). Ðàçëè÷íûå ñïîñîáû çàìûêàíèÿ óðàâíåíèé (4.4)-(4.5) ñîñòàâëÿþ ò ñóòü ïîëóýìïèðè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ï îäõîä Ðåéíîëüäñà (è ñâÿçàííûå ñ íèì ïîëóýìïèðè÷åñêèå ìîäåëè) íàïðàâëåí íà îïèñàíèå ñðåäíèõ ïîëåé ñêîðîñòè, âîçíèêàþ ù èõ â êîíêðåòíûõ ïîòîêàõ. Êàæäàÿ ïîëóýìïèðè÷åñêàÿ ìîäåëü àäàïòèðóåòñÿ äëÿ çàäàííîãî (êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî óçêîãî) êëàññà òå÷åíèé è âêëþ÷àåò ðÿä ïàðàìåòðîâ, ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëÿåìûõ èìåííî äëÿ äàííîãî êëàññà òå÷åíèé è ñïðàâåäëèâûõ â îïðåäåëåííîì äèàïàçîíåçíà÷åíèé ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. Òàêèì îáðàçîì, äåëàåòñÿ ïîïûòêà îãðàíè÷èòüñÿ îïèñàíèåì êðóïíîìàñø òàáíûõ ïîëåé, à âëèÿíèå ìåëêîìàñø òàáíûõ ïîëåé îõàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîù üþ íåáîëüø îãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ. Çàäàäèìñÿ òåïåðü âîïðîñîì î òîì, åñòü ëè ó òóðáóëåíòíîñòè íåêèå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà, íå çàâèñÿù èå îò êîíêðåòíûõ óñëîâèé åå âîçáóæäåíèÿ? Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññ÷èòûâàòü íà îáíàðóæåíèå òàêèõ óíèâåðñàëüíûõ ñâîéñòâ ìîæíî òîëüêî âäàëè îò ãðàíèö è íà ìàñø òàáàõ, ñóù åñòâåííî ìåíüø èõ ðàçìåðîâ îáëàñòè, çàíÿòûõ òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì. Òàêèì îáðàçîì, ìû íà÷èíàåì èçó÷åíèå ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, â ñìûñëå, ÷òî îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò äëÿ íàñ ìàñø òàáû l - < v1k v 2i > + < v1i v1k >

è ó÷òåì, ÷òî â ñèëó îäíîðîäíîñòè ïîòîêà îäíîòî÷å÷íûå êîððåëÿöèè íå çàâèñÿòîò ïîëîæåíèÿ òî÷êè < v 2i v 2 k >=< v1i v1k >=

à â ñèëó èçîòðîïèè

dik < v2 > , 3

< v1i v 2 k >=< v1k v 2i >

(ïðè ïåðåñòàíîâêå òî÷åê ìåñòàìè ðåçóëüòàò íå ìåíÿåòñÿ). Òîãäà B ik =

2 < v 2 > dik - 2bik , 3

(4.31)

ãäå bik =< v1i v 2k > åñòü âñïîìîãàòåëüíûé, ñèììåòðè÷íûé òåíçîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè l ® ¥ (áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êè ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû). Âûðàæåíèå (4.31) ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè 2 è âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè: ¶2 k B ik = - 2¶2 k bik = - 2 < v1i ¶2 k v 2 k >= 0 .

(4.31)

Äèôôåðåíöèðîâàíèå Bik ïî êîîðäèíàòå âòîðîé òî÷êè ýêâèâàëåíòíî äèôôår ðåíöèðîâàíèþ ïî ñîîòâåòñòâóþ ù åé ïðîåêöèè âåêòîðà l , ïîñêîëüêó òåíçîð çàâèñèò òîëüêî îò ýòîãî âåêòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ¶2 k Bik = ¶k Bik = 0 è, ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó âûðàæåíèå (4.30), ïîëó÷èì ¢ (l )¶k l + (Bll¢(l ) - Bnn ¢ (l ) )ni nk ¶k l + (Bll (l ) - B nn (l ) )¶k (ni n k ) = ¶k Bik = dik Bnn 2 æ ö = çBll¢ + ( Bll - B nn )÷ni = 0 l è ø

ãäå ø òðèõîì îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî l . Ï ðè âû÷èñëåíèÿõ áûëî ó÷òåíî, ÷òî ¶k l = ¶k x i = x k / l = n k , 2

¶k ni = ¶k ( xi / l ) = (dik - ni n k ) / l , ¶k n k = 2 / l , ¶k ( n i n k ) = n k ¶ k n i + n i ¶k n k = 2 n i / l .

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå, íàçûâàåìîå ïåðâûì óðàâíåíèåì Êàðìàíà - Õîâàðòà, ïîëó÷åííîå ýòèìè àâòîðàìè â 1937 ãîäó.

18

Bll¢ +

2 (Bll - Bnn )= 0 . l

(4.32)

Ýòî óðàâíåíèå äàåò ñâÿçü ìåæäó ïðîäîëüíûìè è ïîïåðå÷íûìè êîððåëÿöèÿìè Bll è Bnn . Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè åãî âûâîäå èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè. Óðàâíåíèå (4.32) ïåðåïèø åì â âèäå B nn

¶l (l 2 Bll ) l ¢ = Bll + Bll = 2 2l

(4.33)

è ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíàìè Bll è Bnn ïðè êîíêðåòíûõ ñòåïåííûõ çàêîíàõ äëÿ êîððåëÿöèé. Ï óñòü l ñòîëü ìàëû, ÷òî ñîîòâåòñòâóþò äèññèïàòèâíîìó èíòåðâàëó ( l < l ).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿïåðâûì ÷ëåíîì ðÿäà Òåéëîðà è, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî dv l ~ l , çàïèñàòü B ll = cl 2

(4.34)

ãäå c - íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ï îäñòàâëÿÿ (4.34) â (4.33), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî Btt n = 2cl 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, â äèññèïàòèâíîì èíòåðâàëå êîððåëÿöèè ñâÿçàíû êàê B nn = 2 Bll .

 èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ( l = - < v 2i v 2 k v1m > .

(4.36)

Òåíçîð bik ,m ñèììåòðè÷åí ïî ïåðâîé ïàðå èíäåêñîâ, îòíîñÿù èõñÿ ê îäíîé òî÷êå, è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêåròî÷åê ìåñòàìè, òàê êàê ýòà ïåðåñòàíîâêà ýêâèâàëåíòíà èçìåíåíèþ çíàêà l , à èíâåðñèÿ êîîðäèíàò ìåíÿåò çíàê òåíçîðà òðåòüåãî ðàíãà. Ï ðè l ® ¥ âñå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ (4.35) è (4.36) äîëæíû ñòðåìèòüñÿê íóëþ. Ðàñêðûâàÿ ïðîèçâåäåíèå â (4.35) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî < v1i v1k v1m >=< v 2i v 2 k v 2 m >= 0 (ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íå÷åòíîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ ñîìíîæèòåëåé, ñðåäíåå çíà÷åíèå êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíî íóëþ ), ïîëó÷àåì Bikm = 2(bik ,m + bkm ,i + bmi ,k ) . (4.37) Çàòåì çàïèñûâàåì îáù èé âèä òåíçîðà, ñèììåòðè÷íîãî ïî ïåðâîé ïàðå èír äåêñîâ è çàâèñÿù åãî îò êîìïîíåíò åäèíè÷íîãî âåêòîðà n : bik ,m = C (l )dik n m + D (l )(dim n k + dkm ni ) + F (l )ni n k n m .

(4.38)

Òðåáóåòñÿ âûðàçèòü ôóíêöèè C (l ) , D(l ) è F (l ) ÷åðåç èìåþ ù èå ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ¶2 m bik ,m =< v1i v1k ¶2 m v 2 m >= 0 .

(4.39)

Ï îäñòàâëÿåì â (4.39) âûðàæåíèå (4.38) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ¶2 m (ni nk nm ) =

2ni nk , l

ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþ ù èå âûðàçèòü ôóíêöèè D(l ) è F (l ) ÷åðåç C (l ) : D=-C-

lC ¢ , 2

F = lC ¢- C .

 ðåçóëüòàòå bik , m = Cdik n m - (C +

1 lC ¢)(dim n k + dkm ni ) + (lC ¢- C )ni n k n m 2

è âûðàæåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçîðà òàêæå âêëþ ÷àåò òîëüêî îäíó íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ C (l ) : Bikm = - 2(lC ¢+ C )(dik n m + dim n k + dkm ni )+ 6(lC ¢- C )n i n k n m .

(4.40)

20

r

r

Âíîâü íàïðàâèì âåêòîð l âäîëü îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò ( n = (1,0,0) ) è âûïèø åì êîìïîíåíòû òåíçîðà (4.40): B lll = - 12C , Blnn = - 2(C + lC ¢) ,

Blln = B nnn = 0 .

(4.41)

Òàêèì îáðàçîì, îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî äâå êîìïîíåíòû òåíçîðà, êîòîðûå ìîæíî ñâÿçàòü ñîîòíîø åíèåì Blnn =

1 (lBlll )¢. 6

(4.42)

Êîìáèíèðóÿ ôîðìóëû (4.38)-(4.41), âûðàçèì âñïîìîãàòåëüíûé òåíçîð bik , m ÷åðåç êîìïîíåíòû òåíçîðà Bikm (ýòî åñòü 2-å óðàâíåíèå Êàðìàíà - Õîâàðòà) bik ,m = -

1 1 (lBlll¢ + 2 Blll )(dim nk + dkm ni )- 1 (lBlll¢ - Blll )ni nk nm . Bllldik n m + 12 24 12

(4.43)

Åù å ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Êàðìàíà - Õîâàðòà èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè. ×òîáû ñâÿçàòü êîððåëÿöèîííûå òåíçîðû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà íóæíî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèåÍ àâüå- Ñòîêñà. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò òåíçîðà bik =< v1i v 2k > , èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Í àâüå- Ñòîêñà äëÿ ïðîèçâîäíûõ îò ñêîðîñòè ¶t bik =< v2 k ¶t v1i > + < v1i ¶t v2 k >=

= - ¶1 j < v1 j v1i v2 k > - ¶2 j < v1i v2 k v2 j > - r - 1 (¶1i < p1v2 k > + ¶2 k < p2 v1i > )+

(

)

+ n ¶12 jj < v1i v2 k > + ¶22 jj < v1i v2 k > .

Äâóõòî÷å÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè ðàâíà íóëþ . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ñèëó èçîòðîïèè ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü âèä r r < p1 v 2 >= n f (l ) ,

à åå äèâåðãåíöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ ( ¶2 k < p1v 2k >=< p1¶2 k v 2 k >= 0 ). Äåéñòâèòåëüíî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ, íóæíî ïîëî- 2 2 1 2ö n k + 2 ÷ = 0 ), à òàê êàê ïðè l ® 0 êîððå3 l lø èl

æèòü f ( l ) = c / l 2 (òîãäà ¶2 k æç nk ö÷ = cæç c èl

ø

ëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü êîíå÷íà, òî åäèíñòâåííî âîçìîæíîå çíà÷åíèå êîíñòàíòû åñòü c = 0 .

21

Ñëåäóþ ù èé ø àã ñîñòîèò â çàìåíå ïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòàì òîr ÷åê 1 è 2 íà ïðîèçâîäíûå ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà l . Ýòî îïðàâäûâàåòñÿ òåì, ÷òî âñåêîððåëÿöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè â îäíîðîäíîì ïîòîêåçàâèñÿò òîëüêî îò ýòîãî âåêòîðà. Ï ðè ýòîì ¶1k = - ¶k , à ¶2 k = ¶k . Ï îëó÷àåì ¶t bik = ¶ j < v1 j v1i v 2 k > - ¶ j < v1i v 2 k v 2 j > + 2nD < v1i v 2 k >

è, îêîí÷àòåëüíî,

¶t bik = ¶ j (bij , k + bkj ,i ) + 2nDbik .

(4.44)

 óðàâíåíèå (4.44) íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ òåíçîðîâ bij ,k (4.43) è bik (4.34). Ï ðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïîñëåäíåãî ïîÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ñðåäíåãî êâàäðàòà ñêîðîñòè, êîòîðàÿ åñòü ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè ¶t

< v2 > 3 = e. 3 2

Îïóñêàÿ äîñòàòî÷íî äëèííûå âû÷èñëåíèÿ, ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíîå óðàâíåíèå -

¢ n ¢ 2 1 1 e - ¶t B ll = 4 l 4 Blll - 4 l 4 Bll¢ . 3 2 6l l

(

)

(

)

(4.45)

Ðàññìàòðèâàÿ ñòàöèîíàðíóþ èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, êâàçèñòàöèîíàðíóþ òóðáóëåíòíîñòü, êîãäà ÷ëåí ¶t Bll âñå ðàâíî ìíîãî ìåíüø å ñêîðîñòè äèññèïàöèè, ìîæíî îòáðîñèòü ñëàãàåìîå ñ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. È íòåãðèðîâàíèå(4.45) ïî l äàåò óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà Blll = -

4 el + 6nBll¢. 5

(4.46)

Êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèíÿòà ðàâíîé íóëþ â ñèëó òðåáîâàíèÿ îáðàù åíèÿ â íóëü êîððåëÿöèé ïðè l ® ¥ . Óðàâíåíèå (4.46), êàê è óðàâíåíèå (4.45), âêëþ ÷àåò äâå íåçàâèñèìûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè è íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ. Ï îïûòêà íàïèñàòü äîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðèâåäåò ê óðàâíåíèþ , ñîäåðæàù åìó òåíçîð ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ñíîâà âîçíèêàåò ïðîáëåìà çàìûêàíèÿ, ñ êîòîðîé ìû óæå ñòàëêèâàëèñü ïðè ðàññìîòðåíèè óðàâíåíèé äëÿ îäíîòî÷å÷íûõ ìîìåíòîâ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé. Óðàâíåíèå (4.46) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ l 10 . Òåì íå ìåíåå, óæå ïåðâûå èçìåðåíèÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî íåâûñîêèõ ïîðÿäêîâ ïîäòâåðäèëè ñïðàâåäëèâîñòü çàìå÷àíèÿ Ëàíäàó - ëîêàëüíûå âàðèàöèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè íà-

Ðèñ.4.5

24

ðóø àþ ò êîëìîãîðîâñêèé ñöåíàðèé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè. Í àðóø åíèå ëîêàëüíîé îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè ïîëó÷èëî íàçâàíèå «ïåðåìåæàåìîñòè». Ñóòü ýòîãî ÿâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â òóðáóëåíòíîñòè äàæå ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà àêòèâíûå îáëàñòè ñîñóù åñòâóþ òñïàññèâíûìè, â êîòîðûõ òå÷åíèå êâàçèëàìèíàðíî. Ï åðâóþ ïîïûòêó ñêîððåêòèðîâàòü çàêîí (4.22) ïóòåì ó÷åòà ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ñäåëàë ñàì Êîëìîãîðîâ â 1962 ãîäó (ýòó ìîäåëü áóäåì íàçûâàòü Ê62). Äëÿ ó÷åòà ñòðóêòóðû ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè Êîëìîãîðîâ ââåë â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó el , êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþ þ ñêîðîñòü äèññèïàöèè, èçìåðåííóþ âíóòðè îáúåìà ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l (íàïðèìåð, ñôåðû èëè êóáà). Ì îäåëü äåðæèòñÿ íà äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ãèïîòåçàõ. Ï åðâàÿ ãèïîòåçà- ýòî ãèïîòåçà ïîäîáèÿ S q (l ) =< dv l > ~< elq / 3 > l q / 3 , q

(4.50)

îáîáù àþ ù àÿ ôîðìóëó (4.22) â òîì ñìûñëå, ÷òî òåïåðü â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò íå ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà e â ñòåïåíè q / 3 , à ñòàòèñòè÷åñêèé ìîìåíò ïîðÿäêà q / 3 , õàðàêòåðèçóþ ù èé ñòðóêòóðó ñëó÷àéíîãî ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè íà ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìàñø òàáàõ l . Ãèïîòåçó ïîäîáèÿ (4.50) ìîæíî çàïèñàòü â äðóãîì âèäå. Åñëè ïðåäïîëîæèòü ñóù åñòâîâàíèå ñòåïåííûõ çàêîíîâ âèäà (4.49) è äëÿ ìîìåíòîâ ïîëÿ äèññèïàöèè, òî åñòü t q < el > ~ l , (4.51) q

òî ãèïîòåçà (4.50) âûðàæàåòñÿ â âèäå ïðîñòîãî ñîîòíîø åíèÿ ìåæäó ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíè â (4.49) è (4.51): Vq =

q + tq/3. 3

(4.52)

Î÷åâèäíî, ÷òî (4.52) âîçâðàù àåò íàñ ê ìîäåëè Ê41, åñëè t q = 0 äëÿ ëþ áûõ q . Âòîðàÿ ãèïîòåçà Ê62 êàñàåòñÿ âèäà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ âåëè÷èíû el . Îáû÷íî â êà÷åñòâå ïðîñòåéø åé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, îäíàêî, â íàø åì ñëó÷àå îíî íå ãîäèòñÿ, òàê êàê äèññèïàöèÿ - âåëè÷èíà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à õâîñò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óõîäèò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé. Êîëìîãîðîâ ïðåäëîæèë èçáåæàòü ýòó òðóäíîñòü ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåí ëîãàðèôì äèññèïàöèè ýíåðãèè)

25

P (el ) = ce

-

(ln e- a ) 2 2sl 2

.

(4.53)

Çäåñü P - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, a = ln e , sl 2 - äèñïåðñèÿ, ðàâíàÿ íà ìàñø òàáå l âåëè÷èíå s l = A + m ln( L / l ) . 2

(4.54)

Ëîãíîðìàëüíàÿ ìîäåëü ïðèâîäèò ê ñëåäóþ ù èì âûðàæåíèÿì äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè: tq =

m q (1 - q ), 2

Vq =

q m + q (3 - q ) . 3 18

(4.55)

Âåëè÷èíà m , íàçûâàåìàÿ êîýôôèöèåíòîì ïåðåìåæàåìîñòè, èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë - ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ýòî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè äëÿ ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ( t 2 = - m ), ò.å. < el > ~ l - m . 2

Ñâÿçàííûé ñî âòîðûì ìîìåíòîì ïîëÿ äèññèïàöèè ø åñòîé ìîìåíò ïîëÿ ñêîðîñòè òàêæå ïîçâîëÿåò ïðîñòî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàåìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (4.55), V6 = 2 - m , òî åñòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàåìîñòè ðàâåí îòêëîíåíèþ ñòåïåííîãî ïîêàçàòåëÿ V6 îò çíà÷åíèÿ, ñëåäóþ ù åãî èç ìîäåëè îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè Ê41. Ãèïîòåçà î ëîãíîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè áûëà îïðîâåðãíóòà è ýêñïåðèìåíòàëüíî, è òåîðåòè÷åñêè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçìåðåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî â êîîðäèíàòàõ ( lne, ln P ) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò íåñèììåòðè÷íûé âèä, â òî âðåìÿ êàê ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â òàêèõ êîîðäèíàòàõ äîëæíî ïðèâîäèòü ê ïàðàáîëå. Îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ôóíêöèè V(q ) áûëî äîêàçàíî äâà óòâåðæäåíèÿ 1 . Âî-ïåðâûõ, V(q ) - ôóíêöèÿ âûïóêëàÿ, ò.å. V¢¢< 0 è, âî âòîðûõ, Vq + 1 ³ Vq äëÿ ëþ áûõ q . Ô îðìóëà (4.55) óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó òðåáîâàíèþ (à òàêæå îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèé V0 = 0 è V3 = 1 ), íî íå óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó - ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè q ôóíêöèÿ (ýòî ïàðàáîëà) èìååò ìàêñèìóì, ïîñëå êîòîðîãî çíà÷åíèÿ V(q ) íà÷èíàþ ò óáûâàòü. 1

U.Frisch. Turbulence. Cambridge University Press. 1995. 296 p.

26

 îòëè÷èå îò âòîðîé ãèïîòåçû, ãèïîòåçà ïîäîáèÿ (4.50) èñïîëüçóåòñÿ äî íàñòîÿù åãî âðåìåíè, õîòÿ åå èíòåðïðåòàöèÿ ïðåòåðïåëà ñóù åñòâåííûå èçìåíåíèÿ. Äåëî â òîì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå (4.50) ýòà ãèïîòåçà íåñåò â ñåáå äâà ïðîòèâîðå÷èÿ. Âî-ïåðâûõ, ëåâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ ñîäåðæèò âåëè÷èíó, îòíîñÿù óþ ñÿ ê èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, à ïðàâàÿ - âåëè÷èíó, ýôôåêòèâíóþ òîëüêî â äèññèïàòèâíîì. Âî-âòîðûõ, äèññèïàöèÿ ýíåðãèè åñòü âåëè÷èíà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à ïóëüñàöèè ñêîðîñòè - íåò.  òàêîì ñëó÷àå òðóäíî ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòèõ âåëè÷èí îäèíàêîâû, à èìåííî â ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ãèïîòåçû ïîäîáèÿ. È çáåæàòü îòìå÷åííûõ ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ñëåäóþ ù èì îáðàçîì. Âûäåëèì â ïðîñòðàíñòâå, çàíÿòîì òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì, ïðîèçâîëüíûé îáúåì ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l è ðàññìîòðèì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè â ýòîì îáúåìå: ¶t el = ¶t

r n r r r 1 rr r 1 v2 r 1 r rr r 1 r dr = - òv(Ñ v)vdr vÑ Pdr + òvDvdr + òvfdr = ò ò VV 2 VV Vr V VV VV =

éæv2 P örù r 1 div êç + ÷ ÷v údr - el + ql = V Vò ëç è 2 rø û

1 æv2 P ör r ç ç2 + r÷ ÷vds - el + ql = Vò ø Sè = h l - el + ql .

=

Çäåñü el åñòü äèññèïàöèÿ ýíåðãèè çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû, q l - ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ðàáîòû âíåø íèõ ñèë (òàêæå çà åäèíèöó âðåìåíè è íà åäèíèöó ìàññû). Ï åðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, îáîçíà÷åííîå êàê h l , îïèñûâàåò ïðèòîê ýíåðãèè â âûäåëåííûé îáúåì ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü. È çñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ìîæíî âûäåëèòü åå ñðåäíåå çíà÷åíèå el = e + el¢. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìàÿ òóðáóëåíòíîñòü, òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äèññèïàöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîòíîñòè ïðèòîêà ýíåðãèè çà ñ÷åò âíåø íèõ ñèë, ò.å. ql = e . Òîãäà ¶t el = h l - el¢,

(4.56)

òî åñòü èçìåíåíèÿ ýíåðãèè â âûäåëåííîì îáúåìå îïðåäåëÿþòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü è âàðèàöèÿìè äèññèïàöèè. È çáåæàòü îòìå÷åííûõ âûøå ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ íå ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â îáúåìå çàäàííîãî ìàñø òàáà, à ïîòîêîâ ýíåðãèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ýòîãî îáúåìà. Ï îñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèåì íåëèíåéíîãî

27

÷ëåíà â óðàâíåíèè Í àâüå - Ñòîêñà, òî åñòü èìåííî òîãî ÷ëåíà, êîòîðûé îïðåäåëÿåò íåëèíåéíóþ äèíàìèêó ïîòîêà ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. È ìåííî âåëè÷èíà h l è áóäåò èñïîëüçîâàíà â äàëüíåéø åì êàê õàðàêòåðèñòèêà ïîòîêîâ ýíåðãèè íà ðàçëè÷íûõ ìàñø òàáàõ äâèæåíèÿ. Í åîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïåðåõîä îò èñïîëüçîâàíèÿ el ê h l ïðîèçîø åë ñîâñåì íåäàâíî, à òðàäèöèÿ ïðèìåíåíèÿ â ìîäåëÿõ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ñòîëü êðåïêà, ÷òî ÷àñòî äàæå â ðàáîòàõ, ãäå ðåàëüíî ïîëüçóþòñÿ âåëè÷èíîé h l , àâòîðû, òåì íå ìåíåå, èñïîëüçóþò òåðìèí «ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè».

4.5. Ô ðàêòàëû è òóðáóëåíòíîñòü Êîëìîãîðîâñêàÿ ìîäåëü îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè (Ê41) ïîäðàçóìåâàåò ðàâíîìåðíîå çàïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà âèõðÿìè êàæäîãî ìàñø òàáà. Òàêóþ ñòðóêòóðó òóðáóëåíòíîñòè èëëþñòðèðóåò ðèñ.4.6,à, íà êîòîðîì ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåí êàñêàä ýíåðãèè îò âèõðåé áîëüø åãî ìàñø òàáà ê âèõðÿì ìåíüø åãî ìàñø òàáà è äëÿ ïðîñòîòû ïðåäñòàâëåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà êàæäûé âèõðü äàííîãî ìàñø òàáà èìååò ïîä ñîáîé äâà âèõðÿ ìåíüø åãî. Ï ðè ýòîì âèõðè êàæäîãî ìàñø òàáà çàíèìàþò âñå ïðîñòðàíñòâî (íà ðèñóíêå îíî îäíîìåðíî). È íàÿ êàðòèíà ñîîòâåòñòâóåò òóðáóëåíòíîñòè ñ ïåðåìåæàåìîñòüþ (ðèñ.4.6,á).  ðàìêàõ àíàëîãè÷íîé ñõåìû â ýòîì ñëó÷àå ÷àñòü âèõðåé íå ïîëó÷àåò ýíåðãèþ îò âèõðåé âåðõíåãî óðîâíÿ. Í à ñëåäóþ ù åì óðîâíå ýíåðãèÿ îñòàâø èõñÿ (àêòèâíûõ) âèõðåé âíîâü ïåðåäàåòñÿ òîëüêî ÷àñòè âèõðåé è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå â ïðîñòðàíñòâå îáðàçóåòñÿ ìíîãîìàñø òàáíàÿ ñèñòåìà àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ îáëàñòåé, êîòîðàÿ ïî ïîñòðîåíèþ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôðàêòàëüíîå ìíîæåñòâî (ñì. ï.2.6 ÷àñòè 1).

Ðèñ.4.6 È äåÿ èñïîëüçîâàíèÿ ôðàêòàëîâ äëÿ îïèñàíèÿ ñòðóêòóðû ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè âïåðâûå áûëà âûñêàçàíà â ðàáîòå Í îâèêîâà è Ñòüþ àðòà â

28

1964ã.2 Ï ðîñòåéø àÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, ïðèâîäÿù àÿ ê ôðàêòàëàì, ïðåäëîæåíà â ðàáîòå 3. Ýòà ìîäåëü, íàçâàííàÿ àâòîðàìè b -ìîäåëüþ , îïèñàíà â ñëåäóþ ù åì ïàðàãðàôå. Ô ðàêòàëû ïðèíåñëè â òåîðèþ òóðáóëåíòíîñòè åù å îäíó âàæíóþ èäåþ - èäåþ î íåîäíîçíà÷íîñòè ìàñø òàáíûõ ïîêàçàòåëåé, èíà÷å ãîâîðÿ, èäåþ î ñîñóù åñòâîâàíèè â ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ ïîëÿõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ìàñø òàáíîãî ïîäîáèÿ (ñêåéëèíãà). Í àïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà ïîä÷èíÿþ òñÿ ø åñòè ïðèíöèïàì èíâàðèàíòíîñòè, òî åñòü, äîïóñêàþ ò ø åñòü âèäîâ ïðåîáðàçîâàíèé, rr ïðè êîòîðûõ ëþ áîå ðåø åíèå óðàâíåíèé v (r , t ) îñòàåòñÿ ðåø åíèåì ýòèõ óðàâíåíèé: 1) ïðîñòðàíñòâåííûé ñäâèã, 2) ñäâèã ïî âðåìåíè, 3) ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ, 4) ÷åòíîñòü, 5) âðàù åíèå, 6) ìàñø òàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü (ñêåéëèíã). Ï îñëåäíåå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà èíâàðèàíòíû ê ïðåîáðàçîâàíèþ r r r r t , r , v a l1+ a t , lr , l- a v . Äåéñòâèòåëüíî, òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ ñëåäóþ ù èõ ìíîæèòåëåé r rr r r l- 2a - 1¶t v + l- 2a - 1 [(v Ñ )v + r - 1Ñ P ] = nl- a - 2 Dv .

Ï ðè êîíå÷íîé âÿçêîñòè èíâàðèàíòíîñòü (ïîäîáèå) îáåñïå÷èâàåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ðåø åíèåì a = 1 , ýêâèâàëåíòíûì òðåáîâàíèþ ïîñòîÿíñòâà ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èâàåòñÿ ìàñø òàá, âî ñòîëüêî æå ðàç äîëæíà áûòü óìåíüø åíà ñêîðîñòü). Îäíàêî, ïðè n ® 0 ìàñø òàáíîå ïîäîáèå îáåñïå÷èâàåòñÿ ëþ áûì a . Ê41 äàåò ðåø åíèå a = 1 / 3 , ìîíîôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü òèïà b -ìîäåëè ïðèâîäèò ê äðóãîìó, íî òàêæå åäèíñòâåííîìó, ðåø åíèþ. Áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü (ïàðàãðàô 4.5.2) ïðåäïîëàãàåò ñîñóù åñòâîâàíèÿ â ïîòîêå äâóõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ïîäîáèÿ (ðàçëè÷íûìè a ), à ìóëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü (ïàðàãðàô 4.5.3) ðàññìàòðèâàåò íåïðåðûâíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ ïîäìíîæåñòâ, ïðèâîäÿ ê ïîíÿòèþ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà.

2

Í îâèêîâ Å.À., Ñòüþ àðò Ð.Â. Ï åðåìåæàåìîñòü òóðáóëåíòíîñòè è ñïåêòð äèññèïàöèè ýíåðãèè // È çâ.ÀÍ ÑÑÑÐ: Ñåðèÿ ãåîôèçè÷åñêàÿ. 1964. N.3. C.408-413. 3 Frisch U., Sulem P.-L., Nelkin M. A simple dynamic model of intermittent fully developed turbulence // J.Fluid Mechanics. 1978. Vol.87. P.719-736.

29

4.5.1. b -ìîäåëü Îáðàòèìñÿ ê òóðáóëåíòíîñòè â êóáè÷åñêîé îáëàñòè è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàñø òàáîâ ln = l0 2 - n . Í à êàæäîì ìàñø òàáå n èñõîäíàÿ îáëàñòü ðàçáèâàåòñÿ íà êóáèêè ñ ðåáðîì l n , îáù åå÷èñëî êîòîðûõ åñòü N = (l 0 / l n ) 3 = 2 3n . Ñëåäóÿ ñõåìå ðèñ.4.6,á, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê êàæäîìó ñëåäóþ ù åìó ìàñø òàáó àêòèâíîé îñòàåòñÿ òîëüêî çàäàííàÿ ÷àñòü êóáèêîâ b , ïðè÷åì ýòà ÷àñòü åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, ÿâëÿþ ù àÿñÿ ïàðàìåòðîì ìîäåëè. Äâóìåðíàÿ êàðòèíêà, ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ òàêîìó ïîñòðîåíèþ ñ b = 3 / 4 , ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.4.7. Í à ìàñø òàáå n ÷èñëî àêòèâíûõ âèõðåé åñòü M = Nb n , ãäå æl 0 bn = b = ç çl èn n

D- 3

ö ÷ ÷ ø

= 2 n ( D - 3) ,

(4.57)

à D åñòü ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü àêòèâíîé îáëàñòè. Âåëè÷èíà d = 3 - D , ðàâíàÿ ðàçíîñòè ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è ðàçìåðíîñòè ôðàêòàëüíîãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ êîðàçìåðíîñòüþ è ïðîñòî ñâÿçàíà ñ ïàðàìåòðîì b : d=

ln 2 . ln b

(4.58)

Ðèñ.4.7

Ðàññìîòðèì òåïåðü êàñêàä ýíåðãèè â òàêîé ìîäåëè. Õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ïóëüñàöèè ñêîðîñòè íà ìàñø òàáå l n îáîçíà÷èì êàê dv n . Òîãäà õàðàêòåðíîå âðåìÿ (âðåìÿ îáîðîòà âèõðÿ ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ìàñø òàáà) åñòü t n ~ l n / dv n . Ï ðè ñïëîø íîì çàïîëíåíèè ïðîñòðàíñòâà (ñëó÷àé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè) ïëîòíîñòüýíåðãèè ïóëüñàöèé ìàñø òàáà n E n ~ dv n2 ,

à ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè ÷åðåç äàííûé ìàñø òàá åñòü

(4.59)

30

E dv en ~ n ~ n . tn ln 3

(4.60)

Òîãäà èç ãèïîòåçû ïîñòîÿíñòâà ïîòîêà ýíåðãèè â ëþáîì ìàñø òàáå, îòíîñÿù åìñÿê èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, en = e = const (4.61) íåìåäëåííî ïîëó÷àåòñÿêîëìîãîðîâñêîå âûðàæåíèå dv n ~ (l n e ) .

(4.62)

1/ 3

 b - ìîäåëè ýíåðãèÿ äàííîãî ìàñø òàáà ñîñðåäîòî÷åíà òîëüêî â àêòèâíîé ÷àñòè ïîòîêà è ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè íà ýòîì ìàñø òàáå ðàâíà 2

E n ~ dv n b n .

(4.63)

Ãèïîòåçà (4.61) îñòàåòñÿ â ñèëå - ïîòîê ýíåðãèè ïî-ïðåæíåìó ïîñòîÿíåí, íî, ïî ìåðå äâèæåíèÿ ê ìàëûì ìàñø òàáàì, îí ñîñðåäîòà÷èâàåòñÿ âñå â ìåíüø åé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà. Ñëåäîâàòåëüíî, E n b n dv n =e, ~ tn ln 3

en ~

(4.64)

à âìåñòî (4.62) ïîëó÷àåòñÿñëåäóþ ù àÿ îöåíêà äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè: dv n ~ (l n e ) b - n / 3 ~ e 1 / 3 l n 1/ 3

( D - 2 )/ 3

.

(4.65)

Î÷åâèäíî, ÷òî ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü D íå ìîæåò áûòü ìåíüø å äâóõ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå èíòåíñèâíîñòü ïóëüñàöèé ñêîðîñòè áóäåò íàðàñòàòü ñ óìåíüø åíèåì ìàñø òàáîâ. Ï îëó÷èì òåïåðü îöåíêó äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà. È ìååì S q (l n ) =< dv l > ~ b n dv n ~ e q / 3 l n q

q

èëè Vq =

q/3

b n (1- q / 3) ~ e q / 3 l n

q (3 - D )(3 - q ) + . 3 3

q / 3+ (3- D )(3- q )/ 3

(4.66) (4.67)

 îòëè÷èå îò ëîãíîðìàëüíîé ìîäåëè, êîòîðàÿ äàåò êâàäðàòè÷íóþ ïîïðàâêó ê êîëìîãîðîâñêîìó çàêîíó q / 3 äëÿ ìàñø òàáíûõ ïîêàçàòåëåé, b -

31

ìîäåëü äàëà ëèíåéíóþ ïîïðàâêó, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ V3 = 1 , íî íàðóø àåò òðåáîâàíèå V0 = 0 .

4.5.2. Áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü  îñíîâå b -ìîäåëè ëåæèò ïðåäñòàâëåíèå î òóðáóëåíòíîì ïîëå ñêîðîñòåé, êàê îá îäíîðîäíîì ôðàêòàëå, õàðàêòåðèçóåìîì åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì. Äàâàåìûé ýòîé ìîäåëüþ ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì äëÿ áîëüø èõ q , ãäå ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü V(q ) õîðîø î ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûìè ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, îäíàêî âñòóïàåò â ÿâíûå ïðîòèâîðå÷èÿ è ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, è ñ òåîðåòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè ïðè q ® 0. Ñðåäè ïîïûòîê óñîâåðø åíñòâîâàíèÿ b -ìîäåëè ìîæíî âûäåëèòü äâå. Ï åðâàÿ - ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ñëó÷àéíàÿ b -ìîäåëü. Åñëè â ñòàíäàðòíîé b -ìîäåëè îáëàñòè äåëÿòñÿ íà àêòèâíûå è ïàññèâíûå, òî åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òóðáóëåíòíîñòü â äàííîé òî÷êå ñóù åñòâóåò, ðàâíà ëèáî íóëþ, ëèáî åäèíèöå, òî â ñëó÷àéíîé b -ìîäåëè ââîäÿòñÿ äâà äîïîëíèòåëüíûõ ïàÐèñ.4.8 ðàìåòðà p1 è p 2 , îïðåäåëÿþ ù èå âåðîÿòíîñòü ñóù åñòâîâàíèÿ òóðáóëåíòíîñòè ïðè î÷åðåäíîì äðîáëåíèè íà áîëååàêòèâíóþ è ìåíåå àêòèâíóþ ÷àñòè. Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà âòîðîé ìîäèôèêàöèè b -ìîäåëè, ïîëó÷èâø åé íàçâàíèå áèôðàêòàëüíîé ìîäåëè. È äåÿ ýòîé ìîäåëè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîñóù åñòâîâàíèå äâóõ ôðàêòàëüíûõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ñêåéëèíãà âèäà (4.65) è ñîîòâåòñòâóþ ù èìè ðàçìåðíîñòÿìè D1 è D2 . Äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè íà ìàñø òàáå n ïîëó÷àåì îöåíêó a

a

dv n ~ m1l n 1 P1 + m 2 l n 2 P2 ,

32

ãäå m i - íåêîòîðûå ÷èñëîâûå ìíîæèòåëè, à âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâ îïðåäåëÿþòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóù åì ïàðàãðàôå è ðàâíû Pi = b i n = (l n / l 0 ) 3- D .  ðåçóëüòàòå, äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè èìååì i

dv n ~ m1 (l n / l 0 ) a 1 + 3- D1 + m 2 (l n / l 0 ) a 2 + 3- D2 ,

à äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà S q (l n ) =< dv l > ~ m1l n q

qa 1

P1 + m 2 l n

qa 2

P2 ~ m1 (l n / l 0 ) qa 1 + 3- D1 + m 2 (l n / l 0 ) qa 2 + 3- D2 . (4.68)

Í àñ èíòåðåñóåò âèä ìàñø òàáíûõ ìíîæèòåëåé â ñòåïåííûõ çàêîíàõ V S q (l ) ~ l (4.49). Ï îñêîëüêó (l n / l 0 ) åñòü âåëè÷èíà ìàëàÿ, òî îïðåäåëÿþ ù èé âêëàä â âûðàæåíèè (4.68) äàåò ñëàãàåìîå ñ íàèìåíüø èì ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè. È çýòîãî ñëåäóåò, ÷òî Vq = min (qa 1 + 3 - D1 , qa 2 + 3 - D 2 ). (4.69) q

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îäíî èç äâóõ ïîäìíîæåñòâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíîå êîëìîãîðîâñêîå ïîëå ( D1 = 3, a 1 = 1 / 3 ), à âòîðîå- ôðàêòàëüíîå( 2 < D2 < 3, a 2 = ( D2 - 2) / 3 ). Óñëîâèå (4.69) ïðèâîäèò ê ìq ï ï3 Vq = í ïðè ï q + (3 - D 2 )(3 - q ) ï 3 î3

q£3

(4.70) q > 3.

Ï îëó÷åííûé ðåçóëüòàò èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.4.8, íà êîòîðîì ïîêàçàíû ðåø åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþ ù èå Ê41, b -ìîäåëè è èõ êîìáèíàöèè (4.70), ê êîòîðîé ïðèâîäèò áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü.

4.5.3. Ì óëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü Åñòåñòâåííûì îáîáù åíèåì îïèñàííîé âûøå áèôðàêòàëüíîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ îñíîâàíà íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî â òóðáóëåíòíîñòè ñóù åñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì ïîêàçàòåëåì a . Çíà÷åíèÿ a ëåæàò â èíòåðâàëå a min < a < a max . Ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïîëó÷àþò âêëàä îò âñåõ ïîäìíîæåñòâ è îïðåäåëÿþ òñÿ èíòåãðàëàìè

33

qa

a max

ö ÷ ÷ P (a )da , ø

æl S q =< dv l > ~ ò ç çl a min è 0 q

æl â êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè çàïèñûâàåòñÿ â âèäå P (a ) ~ çç èl 0

- f (a )

ö ÷ ÷ ø

.

Òîãäà a max

æl S q =~ ò ç çl a min è 0

qa - f (a )

ö ÷ ÷ ø

da .

(4.71)

Ï îñêîëüêó l / l 0 ~< elq / 3 > l q / 3 ,

(4.50)

q

êîòîðàÿ çàïèñûâàëàñü âûøå è â âèäå Vq =

q + tq/3, 3

(4.52)

ïðåäïîëàãàþ ù åì ñóù åñòâîâàíèå ñòåïåííîãî çàêîíà < el q > ~ l t äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ì îäåëü ñîäåðæèò â ñåáå è èäåþ ìóëüòèôðàêòàëüíîñòè ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Í àïîìíèì, ÷òî îñíîâíîé (êà÷åñòâåííûé) âûâîä èç ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ïîäõîäà ê ïðîáëåìå ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïîòîêå ñîñóù åñòâóþ ò îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ñêåéëèíãà è ÷òî äëÿ ìîìåíòîâ (ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé) ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿþ ù óþ ðîëü èãðàþò îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûì ñêåéëèíãîì.  ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äèññèïàöèÿ ýíåðãèè el õàðàêòåðèçóåòñÿ «èåðàðõèåé ôëóêòóèðóþ ù èõ ñòðóêòóð» el (q ) , êîòîðûå îïðåäåëÿþ òñÿ êàê îòíîø åíèå ïîñëåäóþ ù èõ ìîìåíòîâ ïîëÿ äèññèïàöèè q

el

(q)

=

< el

q+ 1

>

< el > q

.

(4.79)

Ï îñëåäîâàòåëüíîñòü îòíîñèòåëüíûõ ìîìåíòîâ el (q ) îãðàíè÷åíà, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷ëåíîì el (0) , êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ñêîðîñòè äèññèïàöèè ( el (0) = e ), è ÷ëåíîì el

(¥ )

= lim q® ¥

< el

q+ 1

>

< el > q

(4.80)

ñ äðóãîé ñòîðîíû. Îòíîñèòåëüíûå ìîìåíòû (4.79) óäîáíû òåì, ÷òî âñå îíè èìåþ ò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè. Ï îëå äèññèïàöèè êðàéíå íåîäíîðîäíî è ôîðìèðóåòñÿ ñòðóêòóðàìè ñ ðàçëè÷íûìè ñêåéëèíãîâûìè ñâîéñòâàìè. ×åì áîëüø å íîìåð îòíîñèòåëüíîãî ìîìåíòà q , òåì áîëåå íåîäíîðîäíûå ñòðóêòóðû îí îïèñûâàåò. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (4.80) ñóù åñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì ïðåäåëüíûõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð, â êîòîðûõ ñêîðîñòü äèññèïàöèè äîñòèãàåò ýêñòðåìàëüíî áîëüø èõ çíà÷åíèé. È ñõîäÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ íàáëþ äåíèé ïîñëåäíèõ ëåò, àâòî-

37

ðû ìîäåëè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ýòè ïðåäåëüíûåñòðóêòóðû èìåþ ò âèä âèõðåâûõ íèòåé ñ ðàçìåðíîñòüþ D = 1 . Äâå îñòàâø èåñÿ ãèïîòåçû êàñàþòñÿ ñâîéñòâ îòíîñèòåëüíûõ ìîìåíòîâ (q ) el . Ãèïîòåçà 2 ââîäèò óíèâåðñàëüíóþ ñâÿçü, ñâÿçûâàþ ù óþ ñòàðø èé ìîìåíò ñ ìëàäø èì, ( q + 1) (q) b ( ¥ ) (1- b ) el = Aq el el . (4.81) Ñîîòíîø åíèå âêëþ÷àåò íåèçâåñòíûé ïîêà ïàðàìåòð b è ÿâëÿåòñÿ, ïîæàëóé, ñàìûì ñèëüíûì ïðåäïîëîæåíèåì, ñäåëàííûì ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ñâÿçè ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ åñòü, ïî ñóòè, ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ìîìåíòû êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ. Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì, ÷òî ãèïîòåçà (4.81) ïîäðàçóìåâàåò ëîãïóàññîíîâñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ýòîò ôàêò áûë îáíàðóæåí ïîçæå, íåçàâèñèìî ×.-Ç.Ø å è Á.Äþáðþëü). Òðåòüÿ ãèïîòåçà êàñàåòñÿ âåëè÷èíû el (¥ ) . Ï ðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíà ïîä÷èíÿåòñÿñòåïåííîìó çàêîíó (¥ ) el ~ l - 2 / 3 . (4.82) Ô èçè÷åñêàÿ ìîòèâèðîâêà (4.82) ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, âåëè÷èíà el (¥ ) çàâèñèò îò ïðåäåëüíûõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð è èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ðàçìåðíûõ ñîîáðàæåíèé el

(¥ )

~

dE ¥ , tl

ãäå dE ¥ åñòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè, äîñòóïíîé äèññèïàöèè â òåõ íèòåâèäíûõ ñòðóêòóðàõ, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â ýòèõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóðàõ èìååò ìåñòî êâàçèðàçðûâ, òî åñòü íåçàâèñèìî îò ìàñø òàáà dv l » dv 0 è ýíåðãèÿ íå çàâèñèò îò ìàñø òàáà l . Ì àñø òàá âðåìåíè ïðèíèìàåòñÿêîëìîãîðîâñêèì ( t l ~ e - 1 / 3 l 2 / 3 ), ÷òî ïðèâîäèò ê îöåíêå el

(¥ )

~

1 ~ l - 2/3. tl

Í à îñíîâå ââåäåííûõ ãèïîòåç ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïîëÿ äèññèïàöèè, à çàòåì è ïîëÿ ñêîðîñòè. È ç òðåòüåé ãèïîòåçû (4.82) ñëåäóåò, ÷òî ïðè q ® ¥ el

(q)

=

< el

q+ 1

>

< el > q

~

l

tq+ 1

l

tq

~ l - 2/3

38

è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè áîëüø èõ q tq = -

2 q+ C. 3

(4.83)

Ï îëüçóÿñü ïðåäñòàâëåíèÿìè î ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðå ñ ðàçìåðíîñòüþ D ìîæíî çàïèñàòü (ïî-ïðåæíåìó äëÿ áîëüø èõ q ) < el > ~ l - 2 q / 3l 3- D , q

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî êîíñòàíòà C èìååò ñìûñë êîðàçìåðíîñòè, à ïîñêîëüêó ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ñòðóêòóðû åñòü íèòè, òî èõ êîðàçìåðíîñòü ðàâíà äâóì. Òàêèì îáðàçîì, C = 2 . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé q ê âûðàæåíèþ (4.83) ñëåäóåò äîáàâèòü ôóíêöèþ, âèä êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîù üþ âòîðîé ãèïîòåçû. È òàê, t q = f (q ) -

2 q + C, 3

(4.84)

ïðè÷åì f (q ) ® 0 ïðè q ® ¥ . Âûðàæåíèå (4.81) ïåðåïèø åì â âèäå < el

q+ 2

< el

q+ 1

b

æ< el q + 1 > ö ( ¥ ) (1- b ) ÷ el = Aq ç , q ç ÷ > è < el > ø >

ýêâèâàëåíòíîì óðàâíåíèþ t q + 2 = (1 + b )t q + 1 - bt q -

2 (1 - b ) . 3

Ï îëüçóÿñü ôîðìóëîé (4.84), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè f (q ) f ( q + 2 ) - ( 1 + b ) f ( q + 1 ) + bf ( q ) = 0 ,

(4.85)

ðåø åíèå êîòîðîãî åñòü f (q) = ab q è, ñëåäîâàòåëüíî, t q = ab q -

2 q + C. 3

Âõîäÿù èå â ðåø åíèå êîíñòàíòû îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé t 0 = t 1 = 0 ( < el 0 >= 1, < el 1 >= e ~ l 0 ). È çïåðâîãî óñëîâèÿ èç âòîðîãî -

a = - C = - 2,

39

b=

C - 2/3 2 = . C 3

Îêîí÷àòåëüíî èìååì æ æ 2 öq ö 2q tq = + 2ç1 - ç ÷ ÷ , ç è3 ø ÷ 3 è ø

(4.86)

à ïîëüçóÿñü ïåðâîé ãèïîòåçîé - ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Ê62 (4.52), ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôîðìóëó äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïîëÿ ñêîðîñòè q Vq = + 9

Ì îäåëü Ø å - Ëåâåêà ïðåòåíäóåò íà òî, ÷òî îíà ëèø åíà ïàðàìåòðîâ. Ýòî íå ñîâñåì òàê, ïîñêîëüêó ëåæàù èå â åå îñíîâå ãèïîòåçû ñîäåðæàò â ñåáå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè (íàïðèìåð, ñòåïåíü äâå òðåòè â ãèïîòåçå 3). Òåì íå ìåíåå, ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà çàìå÷àòåëüíûì îáðàçîì âîñïðîèçâîäèò ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå äëÿ âåëè÷èí Vq . Í à ðèñ.4.10 ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, âçÿòûå èç ðàçëè÷íûõ ðàáîò, ïðèâåäåíû âìåñòå ñ êðèâûìè, ñîîòâåòñòâóþ ù èìè âñåì ðàññìîòðåííûì íàìè ìîäåëÿì.

q ö æ ç æ2 ö3 ÷ 2ç1 - ç ÷ ÷ . ç è3 ø ÷ ø è

(4.87)

Ðèñ.4.10

4.6.2. Ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü Ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü (â îðèãèíàëå - Extended Self Similarity, äàâø àÿ óæå óñòîÿâø óþ ñÿ àááðåâèàòóðó ESS, êîòîðîé ìû òàêæå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ) - ýòî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåííûé ôàêò, íå íàø åäø èé åù å äîñòàòî÷íîãî òåîðåòè÷åñêîãî îñìûñëåíèÿ. Ï åðâûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû ïðè èçìåðåíèÿõ ñâîéñòâ ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè â àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáå è îïóáëèêîâàíû â

40

ðàáîòå 6. Ö åëü ðàáîòû ñîñòîÿëà â èçó÷åíèè ñâîéñòâ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé S q (l ) è Tq (l ) = (4.20). Âî-ïåðâûõ, â ýòîé ðàáîòå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèè Tq ñòàòèñòè÷åñêè áîëåå óñòîé÷èâû (äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ òðåáóåòñÿ ìåíüø åå ÷èñëî ðåàëèçàöèé) è ïîä÷èíÿþòñÿ òåì æå ñòåïåííûì çàêîíàì, ÷òî è ôóíêöèè S q (ðå÷ü èäåò î ôóíêöèÿõ íå÷åòíûõ ïîðÿäêîâ, ïîñêîëüêó äëÿ ÷åòíûõ ôóíêöèè ïðîñòî ñîâïàäàþ ò). Âî-âòîðûõ, áûëà îáíàðóæåíà èíòåðåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ñòðóêòóðíûìè ôóíêöèÿìè ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ. Í àïîìíèì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòåïåííûõ ïîêàçàòåëåé Vq îáû÷íî èñïîëüçóþò äâîéíûå ëîãàðèôìè÷åñêèå êîîðäèíàòû, îòêëàäûâàÿ ëîãàðèôì ñîîòâåòñòâóþ ù åé ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò ëîãàðèôìà ìàñø òàáà. Í à ãðàôèêàõ âûäåëÿþ ò ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê è, ñ÷èòàÿ, ÷òî èìåííî îí ñîîòâåòñòâóåò èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, îïðåäåëÿþ ò ïî åãî íàêëîíó ïîêàçàòåëü Vq . ×åì âûøå ïîðÿäîê ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè, òåì êîðî÷å è ìåíåå âûðàæåííûì ñòàíîâèòñÿ ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê íà ãðàôèêå. Í à ðèñ.4.11 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åííûå äëÿ òå÷åíèÿ â àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáå ïðè òðåõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (êâàäðàòû - Re = 6000 , êðóæêè - Re = 22500 è êðåñòû - Re = 47000 ). È çó÷àÿ ýòè äàííûå, ìîæíî âèäåòü, ÷òî âîïðîñ îá èäåíòèôèêàöèè èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà äàëåêî íå ïðîñò äàæå äëÿ äîñòàòî÷íî âûñîêèõ çíà÷åíèé ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. Îáðàáàòûâàÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, àâòîðû ïðåäëîæèëè íåîáû÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äàííûõ. Ï î îñè àáñöèññ âìåñòî ìàñø òàáà l áûëà îòëîæåíà ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà S 3 .  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå, ñîãëàñíî çàêîíó «÷åòûðåõ ïÿòûõ» (4.46), ýòà çàìåíà òîæäåñòâåííà è íå ìîæåò èçìåíèòü íàêëîí êðèâîé. Í åîæèäàííûé ðåçóëüòàò ñîñòîÿë â òîì, ÷òî ïðè ïðåäñòàâëåíèè ðåçóëüòàòîâ â êîîðäèíàòàõ (ln S q , ln S 3 ) èíåðöèîííûé èíòåðâàë ñòàíîâèòñÿ áîëåå âûðàæåííûì - ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê ãðàôèêà ïðîäëÿåòñÿ äî ìàñø òàáîâ,

6

Benzi R., Ciliberto S., Tripiccione R., Baudet C., Massaioli F., Succi S. Extended self-similarity in turbulent flows // Physical Review E, 1993. Vol.48. P.R29-R32.

Ðèñ.4.11

Ðèñ.4.12

41

ëèø ü â íåñêîëüêî ðàç ïðåâûøàþ ù èõ äèññèïàòèâíûé ìàñø òàá l . Âàæíî, ÷òî íàêëîí êðèâîé îñòàåòñÿ ïðè ýòîì ïðåæíèì. Í à ðèñ.4.12, âçÿòîì èç òîé æå ðàáîòû, âñå äàííûå ïðåäûäóù åãî ðèñóíêà ïðåäñòàâëåíû â òàêèõ êîîðäèíàòàõ. Âèäíî, ÷òî âñå äàííûå (äàæå ïðèíàäëåæàù èå ðàçíûì ðåæèìàì òå÷åíèÿ) ëåãëè íà îäíó ïðÿìóþ, îïðåäåëåíèå íàêëîíà êîòîðîé íå âûçûâàåò òðóäà. Òàêèì îáðàçîì, îáíàðóæåííûé ýôôåêò ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé Vq . È íòåðåñíî, ÷òî ESS ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ «èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà» è ïðè îòíîñèòåëüíî íèçêèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà, êîãäà â îáû÷íîì ïðåäñòàâëåíèè èíåðöèîííûé èíòåðâàë íå îáíàðóæèâàåòñÿâîâñå.  áîëååîáù åì âèäå ðàñø èðåííàÿ àâòîìîäåëüíîñòü (ESS) ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè âèäà S q (l ) = S p

Vq / Vp

,

(4.88)

òî åñòü ðàñø èðåíèå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïðîèñõîäèò ïðè èñïîëüçîâàíèè â êà÷åñòâå îñåé êîîðäèíàò ëþáîé ïàðû ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé.

4.6.3. Ì îäåëü Ø å- Ëåâåêà - Äþáðþ ëü  çàêëþ ÷åíèå ðàññìîòðèì îáîáù åíèå ìîäåëè Ø å - Ëåâåêà, ïðåäëîæåííîå Á.Äþáðþ ëü.  îñíîâå îáîáù åíèÿ ëåæàò ñëåäóþ ù èå èäåè. Âîïåðâûõ, èñïîëüçóÿ ðàñø èðåííóþ àâòîìîäåëüíîñòü, èçáàâèòüñÿ îò àáñîëþ òíîãî ìàñø òàáà l . Âî-âòîðûõ, îòêàçàòüñÿ îò ïîïûòêè ïîëó÷åíèÿ áåñïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëè. Ï îñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî óìåíüø àåòñÿ ÷èñëî ãèïîòåç, àïðèîðíî çàëîæåíûõ â ìîäåëü, íî â ðàñïëàòîé çà ýòî ÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû, òðåáóþ ù èå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ. Âòðåòüèõ, âìåñòî âåëè÷èíû el ðàññìàòðèâàåòñÿ áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà pl =

el el

(¥ )

,

(4.89)

ÿâëÿþ ù àÿñÿ áåçðàçìåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè (ëèáî ïîòîêà ýíåðãèè) íà ìàñø òàáå l . Â ôîðìóëèðîâêå Äþáðþ ëü òðè ãèïîòåçû Ø å - Ëåâåêà ïðèîáðåòàþò ñëåäóþ ù èé âèä: I) ìîäèôèöèðîâàííàÿ ãèïîòåçà ïîäîáèÿ

42

dvl

3

stat

=

< dvl > 3

el pl = , < el > < p l >

(4.90)

stat

ãäåçíàê = îçíà÷àåòíàëè÷èå îäèíàêîâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ; II) èåðàðõèÿ ìîìåíòîâ < pl

q+ 1

< pl

q

b

æ < pl q > ö ÷ ; = Aq ç ç< p q - 1 > ÷ > ø è l >

(4.91)

III) ãèïîòåçà î ïåðåìåæàåìîñòè (î íàëè÷èè ñòåïåííîãî çàêîíà äëÿ âåëè÷èíû < p l > ) D

æ< dvl 3 > ö ÷ < pl > ~ ç ç el ÷ . ø è

(4.92)

Ñâÿçü ìîäèôèöèðîâàííîé ãèïîòåçû ïîäîáèÿ ñ ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Ê62 áóäåò îáñóæäåíà íèæå. Âòîðàÿ ãèïîòåçà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷íóþ êîïèþ ñîîòâåòñòâóþ ù åé ãèïîòåçû Ø å - Ëåâåêà, ïåðåïèñàííîé â òåðìèíàõ âåëè÷èíû p l .  òðåòüåé ãèïîòåçå ïîÿâèëñÿ íåçàâèñèìûé ïàðàìåòð D , õàðàêòåðèçóþ ù èé ñêåéëèíãîâûå ñâîéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ ñòðóêòóð (â âûðàæåíèè (4.98) âçíàìåíàòåëå ñòîèò âåëè÷èíà el (¥ ) ). Ãèïîòåçû (4.90)-(4.92) ïîçâîëÿþ ò ïîëó÷èòü ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ôîðìóëó äëÿ ïîêàçàòåëåé Vq . Äëÿ ýòîãî, ïîëüçóÿñü âòîðîé ãèïîòåçîé, ïîëó÷àåì ñâÿçü âûñø èõ ìîìåíòîâ âåëè÷èíû p l ñ ïåðâûì. Äåéñòâèòåëüíî, (4.91) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå q+ 1 q q- 1 < p l >=< p l > b + 1 < p l > - b (4.93) è ïîñòðîèòü öåïî÷êó âûðàæåíèé < p l >=< p l > 1+ b , 2

< p l >=< p l > 1+ b < p l > - b =< p l > 1+ b + b , 3

2

2

..........................., q- 1

å

< p l >=< p l > k = 0 q

bk

.

Âû÷èñëèâ ñóììó ðÿäà q- 1

å

k =0

ïîëó÷àåì

¥

bk = å bk k =0

¥

å

k =q

bk =

1 bq 1- b q , = 1- b 1- b 1- b

43

< p l >=< p l > q

1- b q 1- b

.

(4.94)

È ñïîëüçóÿ òðåòüþ ãèïîòåçó (4.92), ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ < p l > ~< dvl > q

D

1- b q 1- b

.

(4.95)

×òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ïóëüñàöèé ïîëÿ ñêîðîñòè, íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïåðâîé ãèïîòåçîé (4.90) < dvl > ~ < dvl > 3

q/3

q

(1- D ) + D < pl > 3 3 v =< > d l < pl > q /3 q/3

q

1- b q / 3 1- b

.

Òîãäà ôîðìóëà äëÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè åñòü Vq =

q/3 q (1 - D )+ D 1 - b . 3 1- b

(4.96)

 ðåçóëüòèðóþ ù óþ ôîðìóëó âõîäÿò äâà ïàðàìåòðà, êîòîðûå äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû îïûòíûì ïóòåì: b è D .  ïîñëåäóþ ù èõ ãëàâàõ ìû óâèäèì, ÷òî ýòè ïàðàìåòðû â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ ìîãóò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, äåëàÿ ìîäåëü ðàáîòîñïîñîáíîé â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ. Î÷åâèäíî, ÷òî âûáîð b = D = 2 / 3 äåëàåò ôîðìóëó (4.96) ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëåØ å- Ëåâåêà (4.87). Åù å îäèí âàæíûé ðåçóëüòàò ðàáîòû Äþáðþ ëü ñîñòîÿë â òîì, ÷òî áûë ïîêàçàí ñìûñë ãèïîòåçû îá «èåðàðõè÷åñêîé ñâÿçè ìîìåíòîâ». Òî÷íåå ãîâîðÿ, åé óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ãèïîòåçà (4.91) ïðè Aq º 1 ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèþ î ëîã-ïóàññîíîâñêîì ðàñïðåäåëåíèè âåëè÷èíû p l . Ðàñïðåäåëåíèþ Ï óàññîíà ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè âèäà P ( y) =

m y e - my , G( y + 1)

(4.97)

ãäå m =< y > , à G åñòü ãàììà-ôóíêöèÿ. Ëîãïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, óäîâëåòâîðÿþ ù ååãèïîòåçå(4.91), ïîëó÷àåòñÿïðè y=

ln p l . ln b

Í åêîòîðûå àðãóìåíòû â ïîëüçó ëîãïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè â òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèÿõ áóäóò äàíû íèæå. Ñïðàâåäëèâîñòè ðà-

44

äè, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ïîñëåäíèå ãîäû áûëè ñäåëàíû ïîïûòêè îïèñàòü ñëó÷àéíûåòóðáóëåíòíûå ïîëÿ è ñ ïîìîù üþ äðóãèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð, ëîã-ëåâè) è îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè â òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ äàëåêî íå ÿñåí.

Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû 1. ËàíäàóË.Ä., Ëèôø èö Å.Ì . Ãèäðîäèíàìèêà. Ì .: Í àóêà, 1988. 736 ñ. 2. Ì îíèí À.Ñ., ßãëîì À.Ì . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. Ì .: Í àóêà, 1965. ×.1. 639 ñ. 3. Ì îíèí À.Ñ., ßãëîì À.Ì . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. Ì .: Í àóêà, 1967. ×.2. 720 ñ. 4. Frisch U. Turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. 296 p.

45

5. ÄÂÓÌ ÅÐÍ À ß ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ Ðàñïðîñòðàíåííûì ñïîñîáîì óïðîù åíèÿ ôèçè÷åñêîé çàäà÷è ïðè åå òåîðåòè÷åñêîì è ÷èñëåííîì ðåø åíèè ÿâëÿåòñÿ ñíèæåíèå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. È ìåííî äëÿ äâóìåðíîé ïîñòàíîâêè ïîëó÷åíû ïî÷òè âñå òî÷íûå ðåø åíèÿ óðàâíåíèé Í àâüå- Ñòîêñà. Êàê ïðàâèëî, è ÷èñëåííûå ðåø åíèÿ çàäà÷ î ëàìèíàðíîì òå÷åíèè æèäêîñòè ïðîâîäÿò äëÿ äâóìåðíîé ãåîìåòðèè. Ï ðè ïåðåõîäå ê òóðáóëåíòíûì òå÷åíèÿì, êîãäà ÷èñëî òî÷åê, íåîáõîäèìûõ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîòîêà, ðàñòåò ñîãëàñíî îöåíêå (4.26) êàê ÷èñëî Ðåéíîëüäñà â ñòåïåíè «9/4»è áûñòðî äîñòèãàåò ïðåäåëîâ âîçìîæíîñòåé âû÷èñëèòåëüíûõ ìàø èí, òàêæå êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì íà÷àòü ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå òóðáóëåíòíîñòè ñ ðàññìîòðåíèÿ ïëîñêèõ òå÷åíèé. Îäíàêî, òóðáóëåíòíîñòü - ÿâëåíèå ñóù åñòâåííî òðåõìåðíîå è â ñëó÷àå òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ ïåðåõîä ê ïëîñêîé ãåîìåòðèè ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì ñâîéñòâ òå÷åíèé. Ô àêò, ÷òî äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ óïðîù åííîé ìîäåëüþ òðåõìåðíîé, áûë óñòàíîâëåí íåçàâèñèìî Êðåé÷íàíîì è Áýò÷åëîðîì â ñåðåäèíå ø åñòèäåñÿòûõ ãîäîâ. Ï ðàêòè÷åñêè ñðàçó ñòàëî ÿñíî è òî, ÷òî ø àíñîâ íà ðåàëèçàöèþ ÷èñòî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè â ïðèðîäíûõ è äàæå â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ ôàêòè÷åñêè íåò. Í åñìîòðÿ íà ýòî, äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ïðèâëåêëà ê ñåáå çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå èññëåäîâàòåëåé, êîòîðîå íå îñëàáåâàåò è ïî ñåãîäíÿø íèé äåíü. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî íåñêîëüêèìè ïðè÷èíàìè. Âî-ïåðâûõ, êà÷åñòâåííîå ñâîåîáðàçèå äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè äàåò ïðåêðàñíûå âîçìîæíîñòè äëÿ îïðîáîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé òóðáóëåíòíîñòè (ìîäåëü, ïðåòåíäóþ ù àÿ íà àäåêâàòíîå îïèñàíèå òóðáóëåíòíîñòè, äîëæíà áûòü ÷óâñòâèòåëüíîé ê èçìåíåíèþ ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà è ïðàâèëüíî îòðàæàòü åå ñâîéñòâà â ñëó÷àå òðåõ è äâóõ èçìåðåíèé). Âî-âòîðûõ, äâóìåðíàÿ òóðáóëåíòíîñòü ñòàëà äîñòóïíîé äëÿ ïðÿìûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ óæå â 70-õ ãîäàõ (â 80õ ñ ïîÿâëåíèåì ÝÂÌ òèïà «Cray» óäàëîñü âûéòè íà ñåòêè ðàçìåðîì 1024õ1024, äîñòàòî÷íûå äëÿ ïðèëè÷íîãî âîñïðîèçâåäåíèÿ èíåðöèîííûõ èíòåðâàëîâ), à òàêîå æå ðàçðåø åíèå äëÿ òðåõìåðíûõ ïîòîêîâ ñòàëî âîçìîæíûì òîëüêî â ïîñëåäíèå ãîäû. Òðåòüÿ ïðè÷èíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî, õîòÿ ñòðîãî äâóìåðíûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé è íå ñóù åñòâóåò, íåêîòîðûå ÷åðòû äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðîÿâëÿþò ìíîãèå êðóïíîìàñø òàáíûå ãåîôèçè÷åñêèå è àñòðîôèçè÷åñêèå òå÷åíèÿ (â ýòèõ ñëó÷àÿõ îáû÷íî ãîâîðÿò î êâàçèäâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè).

46

5.1. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è èíåðöèîííûå èíòåðâàëû Ñíîâà âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèÿì Í àâüå - Ñòîêñà è îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñå îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ, òî åñòü âåëè÷èíàõ, ñîõðàíÿåìûõ óðàâíåíèÿìè ïðè íåâÿçêîé ýâîëþ öèè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèø åì â ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà r r r d t v = - r - 1Ñ p + nDv ,

(5.1)

óìíîæèì íà ñêîðîñòü è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáúåìó V , âêëþ ÷àþ ù åìó âñþ äâèæóù óþ ñÿæèäêîñòü r r r r v2 d t ò dV = - r - 1 òÑ pv dV + n òv Dv dV . 2 V V V

(5.2)

Ï åðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5.2) ðàâåí íóëþ . Äåéñòâèòåëüíî, r r

r

rr

r

r

r r

r

òÑ pv dV = òÑ ( pv )dV - òpÑ v dV =òÑ ( pv )dV = òpv dS = 0.

V

V

V

V

S

Ï ðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è òåîðåìà Ãàóññà, ñ ïîìîù üþ êîòîðîé îò èíòåãðàëà ïî îáúåìó ïåðåø ëè ê èíòåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè. Ï îâåðõíîñòü âûáèðàåòñÿ òàêîé, ÷òî îíà îõâàòûâàåò âåñü îáúåì, çàíÿòûé äâèæóù åéñÿ æèäêîñòüþ , è ñêîðîñòü â ëþáîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ. Ï îñëåäíåå ñëàãàåìîå â (5.2) ïðåîáðàçóåì, èñïîëüçóÿ äâå ôîðìóëû âåêòîðíîãî àíàëèçà, r r r r r rr Ñ ´ (Ñ ´ A )= Ñ (Ñ A )- DA , (5.3)

(

) (

) (

)

))

( (

))

r r r rr r rr r Ñ A´ B = B Ñ ´ A - A Ñ ´ B ,

è ïîëó÷èì

( (

(5.4)

rr r r r r rr r v v D v dV = v Ñ ´ Ñ ´ v dV = Ñ ò ò ò v ´ Ñ ´ v dV -

r r ò(Ñ ´ v )(Ñ ´ v )dV =

V

V

V

r r r = ò(v ´ rot v )dS S

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå r

V

r2 ò(rot v ) dV = -

V

r r w = rot v

r

r

r2 ò(rot v ) dV .

V

(5.5)

(íàïîìíèì, ÷òî w íàçûâàåòñÿ çàâèõðåííîñòüþ ), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ äëÿ ýâîëþ öèè îáù åé ýíåðãèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè

47

r d t Å = - n ò| w | 2 dV = - 2nW ,

(5.6)

V

ãäå âåëè÷èíà W=

1 r 2 | w | dV , 2 Vò

(5.7)

ðàâíàÿ èíòåãðàëó îò êâàäðàòà çàâèõðåííîñòè ïî âñåìó îáúåìó, íàçûâàåòñÿýíñòðîôèåé. Ñâîáîäíàÿ ýâîëþ öèÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ, êàê ìû âûÿñíèëè âûøå, ïåðåíîñîì ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñø òàáàì.  òåðìèíàõ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè E (k ) ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåíîñó ýíåðãèè ê áîëüø èì âîëíîâûì ÷èñëàì. Äëÿ ýíñòðîôèè òàêæå ìîæíî ââåñòè ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü W (k ) , ïðè÷åì â ñèëó (5.5) îíà ñâÿçàíà ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ïðîñòûì ñîîòíîø åíèåì W (k ) ~ k 2 E (k ) , (5.8) èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïåðåíîñ ýíåðãèè ê áîëüø èì âîëíîâûì ÷èñëàì (ìàëûì ìàñø òàáàì) âëå÷åò çà ñîáîé ðîñò ýíñòðîôèè. Ðîñò ýíñòðîôèè, â ñâîþ î÷åðåäü, ñîãëàñíî (5.6) ïðèâîäèò ê ðîñòó ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ( e º d t E ). Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþ ù åé êà÷åñòâåííîé êàðòèíå äëÿ ýâîëþ öèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ðèñ.5.1): íà ðàííèõ ýòàïàõ ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè äèññèïàöèè ñ ïîÐèñ.5.1 ñëåäóþ ù èì åå óáûâàíèåì. È çìåíåíèå e íîñèò ïðè ýòîì êðàéíå íåðåãóëÿðíûé õàðàêòåð, èçîáèëóÿ êðàòêîâðåìåííûìè âñïëåñêàìè è ïðîâàëàìè. Êà÷åñòâåííî ïðîöåññû ïåðåäà÷è ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñø òàáàì ñ îäíîâðåìåííûì ðîñòîì çàâèõðåííîñòè îïèñûâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûì «ìåõàíèçìîì ðàñòÿæåíèÿ âèõðåâûõ òðóáîê». Ýòîò ìåõàíèçì ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. Âèõðü, ïîïàäàÿ â çîíó äåôîðìàöèè âèõðÿ áîëüø åãî ìàñø òàáà, ðàñòÿãèâàåòñÿ è ðàñêðó÷èâàåòñÿ â ñèëó äåéñòâèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ï ðè ýòîì äåôîðìèðóþòñÿ âèõðè, îðèåíòèðîâàííûå ïåðïåíäèêóëÿðíî áîëüø îìó âèõðþ , òî åñòü ìåõàíèçì èìååò ïðèíöèïèàëüíî òðåõìåðíóþ ïðèðîäó. Îòìåòèì, ÷òî òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà èìåþò åù å îäèí èíòåãðàë äâèæåíèÿ.  íåâÿçêîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿñïèðàëüíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ êàê

48

H=

1 rr v w dV . 2 Vò

(5.9)

 îòëè÷èå îò ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, ñïèðàëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé âåëè÷èíîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîñêàëÿðîì (ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå îò ïðàâîâèíòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëåâîâèíòîâîé) è îòëè÷íà îò íóëÿ â ñëó÷àå, åñëè â òå÷åíèè ñóù åñòâóþ ò ñïèðàëüíûå âèõðè è êîëè÷åñòâî ñïèðàëåé ñ ïðàâîé çàêðóòêîé áîëüø å (ìåíüø å), ÷åì ëåâîé. Ýòà âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ ñóù åñòâåííîé òîëüêî â íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ òå÷åíèÿõ, êàê ïðàâèëî, àíèçîòðîïíûõ. Ê òàêèì òå÷åíèÿì îòíîñÿòñÿ ìíîãèå ãåîè àñòðîôèçè÷åñêèå òå÷åíèÿ. Îñîáåííî âàæíóþ ðîëü èãðàåò ñïèðàëüíîñòü â çàäà÷àõ âîçáóæäåíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé â òå÷åíèÿõ ïðîâîäÿù åé æèäêîñòè (ïðîáëåìà ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî äèíàìî). Çàïèø åì óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè, äëÿ ÷åãî íà óðàâíåíèå (5.1) íåîáõîäèìî ïîäåéñòâîâàòü îïåðàòîðîì rot , r rr r rr r r ¶t w + (v Ñ )w = - (w Ñ )v + nDw

(5.10)

è ðàññìîòðèì âîïðîñ îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ ïðè äâóìåðíîì äâèæåíèè æèäêîñòè. Äâóìåðíîñòü äâèæåíèÿ ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âåêòîð ñêîðîñòè r èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû v = (v x , v y ,0) , à çàâèõðåír íîñòü - òîëüêî îäíó w = (0,0, w ) , ñòàíîâÿñü, òàêèì îáðàçîì, ïñåâäîñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé. Óðàâíåíèå (5.10) ïðèíèìàåò â ýòîì ñëó÷àå ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòîé âèä rr ¶t w + (v Ñ )w = nDw ,

(5.11)

ñîâïàäàÿ ñ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà ñêàëÿðíîé ïðèìåñè. Í à ñõîäñòâå è ðàçëè÷èè óðàâíåíèÿ äëÿ çàâèõðåííîñòè è óðàâíåíèÿ äëÿ ïàññèâíîé ïðèìåñè ìû îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íèæå, à ñåé÷àñ çàïèø åì (5.11) â ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà d t w = nDw .

(5.12)

È ç (5.12) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò, ÷òî ïðè n ® 0 æèäêàÿ ÷àñòèöà ïåðåíîñèò çàâèõðåííîñòü áåç èçìåíåíèé, à ñëåäîâàòåëüíî, ëþ áàÿ ôóíêöèÿ f (w ) ñòàíîâèòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíûé ïîòîê â íåâÿçêîì ïðåäåëå îáëàäàåò áåñêîíå÷íûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Ñðåäè ýòèõ èíòåãðàëîâ îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ýíñòðîôèÿ (5.7), êîòîðàÿ, êàê è ýíåðãèÿ, îñòàåòñÿ ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíîé è ïðè êîíå÷íîìåðíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé ñêîðîñòè è çàâèõðåííîñòè (ïðè îáðûâå ðÿäîâ Ô óðüå, åñëè ãîâîðèòü î ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé). Çàïèø åì óðàâíåíèå äëÿ ýâîëþ öèè ýíñòðîôèè ïðè äâóìåðíîì òå÷åíèè

49

( )

r r w2 d t W = d t ò dV = n òw Dw dV =n òw Ñ Ñ w dV = 2 V V V r r r 2 r 2 = n òÑ w Ñ w dV - n òÑ w dV = - n òÑ w dV .

(

)

V

Òàêèì îáðàçîì,

( )

V

( )

r 2 d t W = - n òÑ w dV = - ew ,

( )

V

(5.13)

V

ãäå ew åñòü ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíñòðîôèè. Îòëè÷èÿ â ñâîáîäíîé ýâîëþ öèè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè îò ýâîëþ öèè òðåõìåðíîé ñëåäóþ ò èçñîâìåñòíîãî àíàëèçà óðàâíåíèé (5.6) è (5.13). Ï ðè íóëåâîé âÿçêîñòè ýíñòðîôèÿ åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, à ïðè êîíå÷íîé âÿçêîñòè ýíñòðîôèÿ, êàê âèäíî èç (5.13), ìîæåò òîëüêî óáûâàòü ñî âðåìåíåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî è ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè â äâóìåðíîì ïîòîêå ìîæåò ëèø ü ìîíîòîííî óáûâàòü ñî âðåìåíåì (ðèñ.5.2). Ô èçè÷åñêè â äâóìåðíîì ïîòîêå áëîêèðîâàí ìåõàíèçì ðàñòÿæåíèÿ âèõðåâûõ òðóáîê, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò ðîñò ýíñòðîôèè â òðåõìåðíîì òå÷åíèè. Ï îÿâëåíèå âòîðîé ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíû ìåíÿåò è õàðàêòåð êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíîñòè.  äâóìåðíîì òóðáóëåíòíîì ïîòîêå èìåþ òñÿ äâå êâàäðàòè÷íûå âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìûå îò îäíèõ ìàñø òàáîâ ê äðóãèì, è ïðîöåññû ïåðåíîñà îïðåäåëÿþòñÿ òåïåðü äâóìÿ âåëè÷èíàìè - ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíåðãèè e è ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíñòðîôèè ew . Åñëè ýíåðãèÿ è ýíñòðîôèÿ âíîñÿòñÿ â ïîòîê íà íåêèõ ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ k I , äàëåêèõ îò äèññèïàòèâíîãî ìàñø òàáà, òî îíè îáå äîëæíû âîâëåêàòüñÿ â êàñêàäÐèñ.5.2 íûé ïðîöåññ. Îäíàêî, ñâÿçü ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ýíåðãèè è ýíñòðîôèè (5.8) çàïðåù àåò îäíîâðåìåííûé ïåðåíîñ îáåèõ âåëè÷èí ê ìåëêèì ìàñø òàáàì. Ï ðè ñâîáîäíîé ýâîëþ öèè òóðáóëåíòíîñòè ñðåäíèå ñïåêòðàëüíûå ïîòîêè ýíåðãèè è ýíñòðîôèè äîëæíû áûòü íàïðàâëåíû ê ïðîòèâîïîëîæíûì êîíöàì ñïåêòðà, ïðè÷åì ê ìàëûì ìàñø òàáàì íàïðàâëåí ïîòîê ýíñòðîôèè, à ê áîëüø èì - ïîòîê ýíåðãèè.  ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ äâóõ èíåðöèîííûõ èíòåðâàëîâ.  áîëüø èõ ìàñø òàáàõ (ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ k < k I ) êàñêàäíûé ïðîöåññîïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ äèññèïàöèè ýíåðãèè e è àíàëèç ðàçìåðíîñòè åñòåñòâåííî ïðèâîäèò íàñ ê ôîðìóëåÊîëìîãîðîâà

50

E ( k ) = Ce 2 / 3 k - 5 / 3

(5.14)

ñ òåì ñóù åñòâåííûì îòëè÷èåì, ÷òî ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ îò ìåíüø èõ ìàñø òàáîâ ê áîëüø èì - èìååò ìåñòî îáðàòíûé (êðàñíûé) êàñêàä ýíåðãèè. Äëÿ ìàëûõ ìàñø òàáîâ ( k > k I ) îïðåäåëÿþ ù åé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíñòðîôèè. Åå ðàçìåðíîñòü [ew ] = 1 / ñ3 è åäèíñòâåííî âîçìîæíàÿ êîìáèíàöèÿ äàåòñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå E (k ) = Cw ew

2/3

k-3,

(5.15)

îïèñûâàþ ù åå èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. Êàñêàä ýíñòðîôèè - ýòî ïðÿìîé êàñêàä, òî åñòü ýíñòðîôèÿ ïåðåíîñèòñÿ îò áîëüø èõ ìàñø òàáîâ ê ìåíüø èì. Êà÷åñòâåííóþ ñòðóêòóðó ñïåêòðà äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.5.3. Í à ðèñóíêå ïîêàçàíû îáà èíåðöèîííûõ èíòåðâàëà ñ çàêîíàìè (5.14) è (5.15) è íàïðàâëåíèÿ ïåðåíîñà Ðèñ.5.3 ïî ñïåêòðó ýíåðãèè è ýíñòðîôèè. Ãðàíèöà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé âÿçêîñòè è ïîòîêîì ýíñòðîôèè îò áîëüø èõ ìàñø òàáîâ. Òðåáóåìóþ ðàçìåðíîñòü äàåò âûðàæåíèå æe ö kn ~ ç w3 ÷ . èn ø 1/ 6

(5.16)

Ëåâàÿ ãðàíèöà èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè íå ìîæåò áûòü ïîñòîÿííîé, òàê êàê äèññèïàöèè ýíåðãèè â ýòèõ ìàñø òàáàõ íå ïðîèñõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàñø òàá, íà êîòîðûé ïðèõîäèòñÿ ìàêñèìóì ýíåðãèè â ñïåêòðå, k E = f (e, t ) è ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè äàþ ò îöåíêó - 1/ 2

æe ö kE ~ ç 3 ÷ èt ø

,

(5.17)

êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ ýíåðãèè â áîëüø èõ ìàñø òàáàõ è ñîîòâåòñòâóþ ù èé äðåéô ìàêñèìóìà â ñïåêòðå â ñòîðîíó ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñåë.

51

5.2. Ëàáîðàòîðíûåýêñïåðèìåíòû Ñîâåðø åííî îñîáåííîå ïîâåäåíèå äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè äåëàåò èíòåðåñíûì äåòàëüíîå èçó÷åíèå åå ñâîéñòâ è çàñòàâëÿåò çàäóìàòüñÿ íàä âîïðîñîì, ñóù åñòâóåò ëè òóðáóëåíòíîñòü ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè. Í àäåÿòüñÿ íà ñóù åñòâîâàíèå ÷èñòî äâóìåðíîãî òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà, ïî-âèäèìîìó, íå ïðèõîäèòñÿ. Îäíàêî, ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü íà ñóù åñòâîâàíèå «êâàçèäâóìåðíûõ ïîòîêîâ», îáëàäàþ ù èõ íåêîòîðûìè ÷åðòàìè äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï ðîñòåéø èé ôàêòîð, ïðèâîäÿù èé ê «äâóìåðèçàöèè» òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà - ýòî ãåîìåòðèÿ ïîëîñòè, â êîòîðîé ñóù åñòâóåò òóðáóëåíòíîñòü. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ðå÷ü èäåò î òîíêèõ ñëîÿõ æèäêîñòè, â êîòîðûõ îäèí ðàçìåð îáëàñòè çíà÷èòåëüíî ìåíüø å äâóõ äðóãèõ. Í à÷èíàÿ ñ ïåðâûõ æå ðàáîò ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, îáñóæäàëàñü âîçìîæíîñòü îáíàðóæåíèÿ ñâîéñòâ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè â êðóïíîìàñø òàáíûõ òå÷åíèÿõ îêåàíà è àòìîñôåðû. Äåéñòâèòåëüíî, òîëù èíà ïëîòíîé àòìîñôåðû âñåãî ëèø ü 10 êì, â òî âðåìÿ êàê õàðàêòåðíûé ìàñø òàá êðóïíîìàñø òàáíûõ âèõðåé (öèêëîíîâ è àíòèöèêëîíîâ) ñîñòàâëÿåò òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ. Ãåîìåòðèÿ - òîëüêî îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ïîäàâëåíèÿ äâèæåíèé âäîëü îäíîé èç êîîðäèíàò. Ê äðóãèì âîçìîæíîñòÿì îòíîñÿòñÿ óñòîé÷èâàÿ ñòðàòèôèêàöèÿ æèäêîñòè, ñèëüíîå âðàù åíèå, ìàãíèòíûå ïîëÿ. Ï åðâàÿ ïîïûòêà ðåàëèçîâàòü äâóìåðíóþ òóðáóëåíòíîñòü â ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ áûëà îñíîâàíà íà èäåå ïîäàâëåíèÿ îäíîé êîìïîíåíòû ïîëÿ ñêîðîñòè ìàãíèòíûì ïîëåì. Îïûòû ïðîâîäèëèñü â È íñòèòóòå ôèçèêè â Ðèãå, ãäå èññëåäîâàëîñü òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå æèäêîãî ìåòàëëà (ðòóòè) çà ðåø åòÐèñ.5.4 êîé ïðè âêëþ ÷åíèè ñèëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî äâèæåíèÿ âäîëü ïîëÿ äåéñòâèòåëüíî ìåíåå èíòåíñèâíû, ÷åì â äâóõ äðóãèõ íàïðàâëåíèÿõ, íî èçìåðåííûå ñïåêòðû ñ òðóäîì ïîääàâàëèñü äàæå êà÷åñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè. Ñëåäóþ ù èé ýêñïåðèìåíò ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè áûë ïðîâåäåí È .Êóäåðîì, êîòîðûé èçó÷àë äâèæåíèÿ æèäêîñòè â ìûëüíûõ ïëåíêàõ. Â

52

ýòèõ îïûòàõ óäàëîñü ïîêàçàòü íàëè÷èå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè (òî÷íåå ãîâîðÿ, áûë çàôèêñèðîâàí ðîñòñðåäíåãî ðàçìåðà âèõðÿ ñî âðåìåíåì). Í àèáîëåå óäà÷íûì ýêñïåðèìåíòîì ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè îñòàåòñÿ ðàáîòà Ñîììåðèà7, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî.  ýòîé ðàáîòå èññëåäîâàëñÿ îáðàòíûé êàñêàä ýíåðãèè â ïëîñêîì òå÷åíèè â òîíêîì ñëîå ðòóòè, âîçáóæäàåìîì ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñèëàìè íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ. Ñõåìà ýêñïåðèìåíòà ïîêàçàíà íà ðèñ.5.4. Í à ïëîñêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ êþ âåòó ðàçìåðàìè 120õ120õ22ìì, çàïîëíåííóþ ðòóòüþ , íàêëàäûâàëîñü âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, äîñòèãàâø åå âåëè÷èíû 1 Òë. Òàêîå ñèëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïðàêòè÷åñêè ïîäàâëÿåò âåðòèêàëüíûå äâèæåíèÿ è ïðèâîäèò ê ôîðìèðîâàíèþ ãîðèçîíòàëüíîãî òå÷åíèÿ ñ âåðòèêàëüíûì ïðîôèëåì, îïèñûâàåìûì èçâåñòíûì ðåø åíèåì Ãàðòìàíà. Ãàðòìàíîâñêèé ïðîôèëü õàðàêòåðèçóåòñÿ íàëè÷èåì ÿäðà ñ îäíîðîäíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñêîðîñòè è óçêèì ïîãðàíè÷íûì ñëîåì, òîëù èíà êîòîðîãî òåì ìåíüø å, ÷åì ñèëüíåå íàëîæåííîå Ðèñ.5.5 ìàãíèòíîå ïîëå. Ï ðåäïîëàãàåìûé ïðîôèëü ñêîðîñòè òàêæå èçîáðàæåí íà ðèñ.5.4. Äëÿ îïèñàíèÿ ïëîñêèõ òå÷åíèé â òîíêèõ ñëîÿõ æèäêîñòè ñóù åñòâóåò ïðîñòîé, íî ýôôåêòèâíûé ñïîñîá, ñîñòîÿù èé â òîì, ÷òî ïîëå ñêîðîñòè r v = (v x , v y ,0) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå r r v ( x, y , z ) = v ( x, y ) f ( z ) , (5.18) ãäå ôóíêöèÿ f (z ) îïèñûâàåò ñòðóêòóðó ïðîôèëÿ ïîïåðåê ñëîÿ ( â íàø åì ñëó÷àå ýòî ðåø åíèå Ãàðòìàíà). Âûðàæåíèå (5.18) ïîäñòàâëÿåòñÿ â òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðûå èíòåãðèðóþòñÿ çàòåì ïîïåðåê ñëîÿ

( )

rh rh r r rh rh rh ¶t v òf ( z )d z + v Ñ v òf 2 ( z )d z = - r - 1Ñ òpdz + nD ^ v òf ( z )d z + nv òf ¢¢( z )d z . 0

0

0

0

0

Îïåðàòîð Ëàïëàñà ïðåäñòàâëåí â âèäå D = D ^ + ¶zz , ãäå D ^ = ¶xx + ¶ yy . Ï îëó÷àåòñÿäâóìåðíîå óðàâíåíèå

( )

r r rr r r r ¶t v + a v Ñ v = - r - 1Ñ p + nD ^ v - mv ,

(5.19)

â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû a è m çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî ïðîôèëÿ òå÷åíèÿ â ñëîå. Óðàâíåíèå (5.19) íàçûâàþ ò ÷àñòî óðàâíåíèåì ñ ëèíåéíûì òðåíèåì. 7

Sommeria J. Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box // J.Fluid Mechanics. 1986. Vol.170. P.139-168.

53

Ëèíåéíîå òðåíèå, â îòëè÷èå îò îáû÷íîé âÿçêîñòè, îäèíàêîâî ýôôåêòèâíî íà âñåõ ìàñø òàáàõ (ôèçè÷åñêè ýòî òðåíèå â âÿçêîì ïîãðàíñëîå) è îñóù åñòâëÿåò îòâîä ýíåðãèè èç òå÷åíèÿ íà ýíåðãîñîäåðæàù èõ ìàñø òàáàõ k E . Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ýòîò ìàñø òàá ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò âðåìåíè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî òðåíèÿ m èìååò ðàçìåðíîñòü îáðàòíîé ñåêóíäû, ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêó k E = k E ( e, m ) ~

m3 . e

(5.20)

Âîçáóæäåíèå òå÷åíèÿ â îïûòàõ ïðîèçâîäèëîñü ñ ïîìîù üþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë.  äíî êþâåòû áûëè âñòðîåíû 36 òî÷å÷íûõ ýëåêòðîäîâ, ê êîòîðûì ïîäâîäèëîñü ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå (ïîëÿðíîñòü ÷åðåäîâàëàñü â ø àõìàòíîì ïîðÿäêå). Ðàñòåêàþ ù èåñÿ â ñëîå ýëåêòðè÷åñêèå òîêè âçàèìîäåéñòâîâàëè ñ âåðòèêàëüíûì ìàãíèòíûì ïîëåì è ïðèâîäèëè ê ôîðìèðîâàíèþ 36 ïëàíàðíûõ âèõðåé, çàêðó÷åííûõ òàêæå â ø àõìàòíîì ïîðÿäêå. Âàðüèðóÿ çíà÷åíèÿ ïðèëîæåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ñèëû òîêà, ìîæíî áûëî ìåíÿòü èíòåíñèâíîñòü äâèæåíèÿ è âåëè÷èíó ëèíåéíîãî òðåíèÿ.  îïûòàõ èññëåäîâàëèñü òóðáóëåíòíûå ðåæèìû, â êîòîðûõ óäàëîñü íàáëþ äàòü ôîðìèðîâàíèå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè ñî ñïåêòðîì «-5/3» è ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè (5.20). Í à ðèñ.5.5 ïðèâåäåí ýêñïåðèìåíòàëüíûé ñïåêòð ïóëüñàöèé ñêîðîñòè, ïîëó÷åííûé â ýòîé ðàáîòå, è îòìå÷åí îæèäàåìûé íàêëîí ñïåêòðà. Î÷åâèäíî, ÷òî äèàïàçîí ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ìîæíî îæèäàòü ôîðìèðîâàíèÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, äîñòàòî÷íî ìàë è ðåçóëüòàò íîñèò ñêîðåå êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð, íî èìåííî ýòà ðàáîòà óáåäèòåëüíî äîêàçàëà âîçìîæíîñòü ñóù åñòâîâàíèÿ (è íàáëþ äåíèÿ) îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè â êâàçèäâóìåðíûõ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêàõ.

5.3. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ Ì û óæå óïîìèíàëè î òîì, ÷òî îñíîâíûì îáúåêòîì ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè ÿâëÿþòñÿ äâóìåðíûå òå÷åíèÿ. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïîëó÷åíû ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè. Ì û êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ìåòîäàõ ðåø åíèÿ óðàâíåíèé è ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.  ñëåäóþ ù åì ïàðàãðàôå ìû îòäåëüíî îáñóäèì ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ê äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ìîäåëè, îïèñàííîé â ïàðàãðàôå4.5.3. Ï ðè ÷èñëåííûõ ðåø åíèÿõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàþ òñÿ, êàê ïðàâèëî, â ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿ òîêà - çàâèõðåííîñòü (âûâîä ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â ïàðàãðàôå1.5 ÷àñòè 1) ¶t w + {y , w }= nDw + f + D , w = Dy ,

(5.21) (5.22)

54

ãäå y - ôóíêöèÿ òîêà, w -çàâèõðåííîñòü. Óðàâíåíèÿ äîïîëíåíû äâóìÿ ÷ëåíàìè: f - ýòî ôóíêöèÿ, îïèñûâàþ ù àÿ ñèëû, âîçáóæäàþ ù èå òå÷åíèå, D ôóíêöèÿ, îïèñûâàþ ù àÿ äîïîëíèòåëüíóþ äèññèïàöèþ ýíåðãèè. Ââåäåíèå âíåø íèõ ñèë íåîáõîäèìî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàöèîíàðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Äîïîëíèòåëüíàÿ äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ òàêæå íåèçáåæíà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàöèîíàðíîé êàðòèíû, òàê êàê â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðîèñõîäèò íàêîïëåíèå ýíåðãèè íà êðóïíûõ ìàñø òàáàõ, è òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü åå îòâîä èìåííî èçáîëüø èõ ìàñø òàáîâ. Ðåø åíèå ïðîâîäèòñÿ ïðàêòè÷åñêè âñåãäà äëÿ êâàäðàòíîé îáëàñòè ñ ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.  êà÷åñòâå ìåòîäîâ ðåø åíèÿ â ðàííèõ ðàáîòàõ èñïîëüçîâàëè ëèáî ñåòî÷íûå, ëèáî ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû, íî ïîñëå ïîÿâëåíèÿ àëãîðèòìîâ áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå (ÁÏ Ô ) ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçóþ ò ñïåêòðàëüíî-ñåòî÷íûé ìåòîä Îðñçàãà. Ñóòü ìåòîäà ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì: 1) íà êàæäîì ø àãå ïî âðåìåíè ñíà÷àëà ðåø àåòñÿ óðàâíåíèå (5.21) ìåòîäîì ñåòîê è ïîëó÷àþ ò ïîëå çàâèõðåííîñòè, 2) èñïîëüçóÿ ÁÏ Ô , ïîëó÷àþ ò ôóðüå-ðàçëîæåíèå ïîëÿ çàâèõðåííîñòè, 3) â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå ðåø àþ ò óðàâíåíèå (5.22) (ìû óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ðåø åíèå óðàâíåíèÿ Ï óàññîíà â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå òðèâèàëüíî, òàê êàê ñâîäèòñÿ ê äåëåíèþ àìïëèòóäû êàæäîé ãàðìîíèêè íà êâàäðàò âîëíîâîãî ÷èñëà), 4) âíîâü èñïîëüçóþò ÁÏ Ô äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëÿ ôóíêöèè òîêà â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Ì åòîä èñïîëüçóåò ëó÷ø èå ñâîéñòâà è ñåòî÷íûõ, è ñïåêòðàëüíûõ ìåòîäîâ è äàåò çíà÷èòåëüíûé âûèãðûø â ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé. Âñå ÷èñëåííûåýêñïåðèìåíòû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû. Ï åðâàÿ ãðóïïà - ýòî ýêñïåðèìåíòû ïî ñâîáîäíîìó âûðîæäåíèþ òóðáóëåíòíîñòè, âòîðàÿ - ïî ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìîé òóðáóëåíòíîñòè. Ñâîáîäíîå âûðîæäåíèå ïîäðàçóìåâàåò îòñóòñòâèå âíåø íèõ ñèë.  ýòîì ñëó÷àå â (5.20) f = D = 0 è ðåø åíèå çàâèñèò òîëüêî îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ñ òî÷êè çðåíèÿ äèíàìèêè èíåðöèîííûõ èíòåðâàëîâ (5.14) è (5.15) áîëåå èíòåðåñíû ýêñïåðèìåíòû ïî ìîäåëèðîâàíèþ ñòàöèîíàðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåæèìîâ íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ïîäâîä ýíåðãèè.  äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè èíòåðåñíû äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû ïî îáå ñòîðîíû îò ìàñø òàáîâ âîçáóæäåíèÿ, ïîýòîìó ñèëà f çàïèñûâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíà ïîääåðæèâàåò íà çàäàííîì óðîâíå ýíåðãèþ ãàðìîíèê ñ çàäàííûì ìîäóëåì âîëíîâîãî ÷èñëà r | k |= k I . Îñîáîãî ðàçãîâîðà çàñëóæèâàåò äèññèïàòèâíûé ÷ëåí D . Âî-ïåðâûõ, îí äîëæåí îáåñïå÷èòü îòâîä ýíåðãèè èç òå÷åíèÿ íà áîëüø èõ ìàñø òàáàõ (ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ). Âî-âòîðûõ, äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå âûðàæåííîãî èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè ÷àñòî ìîäèôèöèðóþò è õàðàêòåð òðåíèÿ â ìàëûõ ìàñø òàáàõ (áîëüø èõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ). Ï ðè íàïèñàíèè îáû÷íîãî äèññèïàòèâíîãî ñëàãàåìîãî â ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè ïîëó-

55

÷àåì ÷ëåí âèäà D(k ) ~ nk 2 .  ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ èñêóññòâåííûì îáðàçîì ïîâûøàþòñòåïåíü âîëíîâîãî ÷èñëà è çàïèñûâàþò äèññèïàöèþ â âèäå D (k ) = - mk - n - nk m

(5.23)

ñ òèïè÷íûì çíà÷åíèåì ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè n = m = 8 . Äèññèïàòèâíûé ÷ëåí âèäà (5.23) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî äåéñòâèå äèññèïàöèè êîíöåíòðèðóåòñÿ â óçêèõ èíòåðâàëàõ âáëèçè ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ðàññìàòðèâàåìûõ âîëíîâûõ ÷èñåë. ×èñëåííûå ðåø åíèÿ óðàâíåíèé (5.21)-(5.22) äëÿ áîëüø èõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà ïðèíåñëè ìíîãî íåîæèäàííûõ ðåçóëüòàòîâ. Áîëüø îé íåîæèäàííîñòüþ ñòàë î÷åíü êðóòîé ñïåêòð â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. Âìåñòî çàêîíà (5.15) ñ íàêëîíîì «-3» ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû äàëè çíà÷åíèÿ îò -3.5 äî -5. Í àïîìíèì, ÷òî â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïåðåìåæàåìîñòü äàåò ïîïðàâêè ê çàêîíó «-5/3» ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîòûõ, à â äâóìåðíîé ðàñõîæäåíèå ñîñòàâèëî åäèíèöû! Ðàññìîòðèì òðè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòà, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü À,  è Ñ, âçÿòûå èç ðàáîòû 8. Ýêñïåðèìåíò À ìîäåëèðóåò ïðÿìîé êàñêàä ýíñòðîôèè. È ñïîëüçóåòñÿ ñåòêà 1024õ1024, ñëó÷àéíàÿ ñèëà äåéñòâóåò íà âîëíîâûõ ÷èñëàõ k I = 10 , äèññèïàòèâíûé ÷ëåí èñïîëüçóåòñÿ â ôîðìå (5.23). Ýêñïåðèìåíò  ìîäåëèðóåò îáðàòíûé êàñêàä ýíåðãèè. Ñåòêà òàêæå 1024õ1024, íî ñèëà äåéñòâóåò íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ ( k I = 256 ).  òðåòüåì ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå (Ñ) äåëàåòñÿ ïîïûòêà îäíîâðåìåííî ïîëó÷èòü îáà èíåðöèîííûõ èíòåðâàëà. È ñïîëüçîâàíà ñåòêà 1728õ1728 è âîçáóæäåíèå íà ïðîìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ ( k I = 40 ). Í à ðèñóíêàõ 5.6-5.8 ïîêàçàíû ñïåêòðû ýíåðãèè äëÿ âñåõ òðåõ ñëó÷àåâ.

8

Babiano A., Frick P., Dubrulle B. Scaling properties of numerical two-dimensional turbulence // Physical Review E, 1995. Vol.52. N.4. P.3719-3729.

56

Ðèñ.5.6

Ðèñ.5.7

Ðèñ.5.7

Ðèñ.5.8

Ðèñ.5.10

Í à ðèñ.5.9 ïîêàçàí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîòîêà ýíñòðîôèè ïî ñïåêòðó, ïîëó÷åííûé â ýêñïåðèìåíòå À. Âèäíî, ÷òî â êðóïíûõ ìàñø òàáàõ (ìàëûõ k ) ïîòîê ýíñòðîôèè ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, à â ìàëûõ ìàñø òàáàõ âûäåëÿåòñÿ èíòåðâàë ñ ïîñòîÿííûì çíà÷åíèåì âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìîé ïî

57

Ðèñ.5.11

Ðèñ.5.12

ñïåêòðó ýíñòðîôèè. Í à ñëåäóþ ù åì ðèñóíêå (ðèñ.5.10) ïîêàçàí ñïåêòðàëüíûé ïîòîê ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþ ù èé ÷èñëåííîìó ýêñïåðèìåíòó Â.  ýòîì ñëó÷àå âèäåí ó÷àñòîê ñ ïîñòîÿííûì îòðèöàòåëüíûì ïîòîêîì, ÿâëÿþ ù èìñÿ ïðèçíàêîì èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè ê êðóïíûì ìàñø òàáàì (îáðàòíûé êàñêàä). È ìåííî íàëè÷èå èíòåðâàëîâ ñ ïîñòîÿííûì ïîòîêîì è ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþ ù èì ïðèçíàêîì íàëè÷èÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà (ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ êâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà ïåðåíîñèòñÿ îò ìàñø òàáà ê ìàñø òàáó áåçäèññèïàöèè). Í à ðèñ.5.11 ïîêàçàí ïðèìåð ïîëÿ çàâèõðåííîñòè, ïîëó÷åííûé ïðè ìîäåëèðîâàíèè èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè (ýòîò è äâà ïîñëåäóþ ù èõ ðèñóíêà âçÿòû èç ðàáîòû 9). Í à ðèñóíêå ïîêàçàíû ëèíèè ðàâíîé çàâèõðåííîñòè. Òåìíûå ïÿòíà óêàçûâàþ ò íà îáëàñòè ñ âûñîêîé çàâèõðåííîñòüþ , õàðàêòåðèçóåìûå áîëüø îé ïëîòíîñòüþ èçîëèíèé. Ýòè îáëàñòè èìåþ ò áëèçêèå ðàçìåðû è ïîëó÷èëè íàçâàíèå«êîãåðåíòíûõ ñòðóêòóð», õîòÿ ýòî íàçâàíèå íåëüçÿ ïðèçíàòü óäà÷íûì. Ï ðàâèëüíåå ãîâîðèòü îá èçîëèðîâàííûõ âèõðÿõ, êîòîðûå, êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéø åãî èçëîæåíèÿ, ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþ ò ñ îêðóæàþ ù èì èõ òóðáóëåíòíûì ïîòîêîì. È ìåííî ýòè èçîëèðîâàííûå âèõðè è ÿâëÿþòñÿ ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ ñòîëü êðóòûõ ñïåêòðîâ.  öèòèðóåìîé ðàáîòå áûë ïðîâåäåí èíòåðåñíûé ýêñïåðèìåíò. È çîëèðîâàííûå âèõðè ðàçðóø àëèñü èñêóññòâåííî òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïðè ýòîì íå èçìåíÿëîñü ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî ñïåêòðó (ýòî äåëàåòñÿ ïóòåì âíåñåíèÿ ñëó÷àéíûõ ñäâèãîâ ôàç â ôóðüå- êîìïîíåíòû).  ðåçóëüòàòå ñïåêòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè âîçâðàù àëîñü ê âèäó (5.15). 9

Babiano A., Basdevant C., Legras B., Sadourny R. Vorticity and passive-scalar dynamics in two-dimensional turbulence // J. Fluid Mechanics. 1987. Vol.183. P.379-397.

58

Ì û óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè (5.11) ñîâïàäàåò ïî âèäó ñ óðàâíåíèåì äëÿ ïåðåíîñà ïàññèâíîé ñêàëÿðíîé ïðèìåñè.  êà÷åñòâå ïàññèâíîé ïðèìåñè ìîæåò âûñòóïàòü, íàïðèìåð, òåìïåðàòóðà, óðàâíåíèå äëÿ êîòîðîé èìååò âèä ¶t T + {y , T }= cDT , (5.24) ãäå c - òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü æèäêîñòè.  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ãäå ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ñëåäóåò çàêîíó (5.15), ñïåêòð ýíñòðîôèè ñîãëàñíî ñîîòíîø åíèþ (5.8) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó W (k ) ~ k - 1 .

(5.25)

Ñîîáðàæåíèÿ ðàçìåðíîñòè î÷åâèäíûì îáðàçîì ïðèâîäÿò ê òàêîé æå ôîðìåçàâèñèìîñòè è äëÿñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû. Îäíàêî, àíàëîãèÿ ìåæäó óðàâíåíèÿìè (5.11) è (5.24) íå ðàáîòàåò. Í à ðèñ.5.12 ïîêàçàíî ïîëå êîíöåíòðàöèé ïàññèâíîé ïðèìåñè (òåìïåðàòóðû), ïîëó÷åííîé â òîì æå ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå, ÷òî è ïîëå çàâèõðåííîñòè, ïîêàçàííîå íà ïðåäûäóù åì ðèñóíêå. Ñóù åñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïîëå ïàññèâíîé ïðèìåñè íåò ñòîëü âûðàæåííûõ èçîëèðîâàííûõ ñòðóêòóð. Ñëåä îò êàæäîãî èçîëèðîâàííîãî âèõðÿ ìîæíî ÿñíî óâèäåòü è â ïîëå ïàññèâíîé ïðèìåñè, è ýòî êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì, íî ïðè ýòîì íå íàáëþ äàåòñÿ èíòåíñèâíûé ðîñò êîíöåíòðàöèè ê öåíòðó âèõðÿ, êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå çàâèõðåííîñòè. Í à ðèñ.5.13 ïîêàçàíû ñïåêòðû ïóëüñàöèé çàâèõðåííîñòè è êîíöåíòðàöèè ïàññèâíîé ïðèìåñè, ñîîòâåòñòâóþ ù èå ïîêàçàííûì ïîëÿì. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî ñïåêòð ïàññèâíîé ïðèìåñè ñîîòâåòñòâóåò çàêîíó (5.25), â òî âðåìÿ êàê ñïåêòð çàâèõðåííîñòè (ýíñòðîôèè) ïîñëå ñðàâíèòåëüíî êîðîòêîãî ó÷àñòêà, áëèçêîãî ê íàêëîíó «-1», äàåò êðóòîé ñïàä ñ çàêîíîì, áëèçêèì ê «-3»(ýòî çàêîí «-5» äëÿ ñïåêòðà ýíåðãèè). Ðàçëè÷èå â ñïåêòðàëüíîì ïîâåäåíèè çàâèõðåííîñòè è ïàññèâíîé ïðèìåñè îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè âñåì ñõîäñòâå óðàâíåíèé (5.11) è (5.24) ìåæäó íèìè ñóù åñòâóåò ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå. Ñîñòîèò îíî â òîì, ÷òî â óðàâíåíèè (5.24) ôóíêöèÿ òîêà (ïîëå ñêîðîñòè) äåéñòâèòåëüíî íå çàâèñèò îò ïîëÿ òåìïåðàòóðû (ïðèìåñü ïàññèâíà), à â óðàâíåíèè (5.11) ôóíêöèÿ òîêà è çàâèõðåííîñòü îäíîçíà÷íî ñâÿçàíû óðàâíåíèåì (5.12). Ñïåêòð ýíåðãèè, ïîëó÷åííûé â ýêñïåðèìåíòå Ñ (ñì. ðèñ.5.8) ïîêàçûâàåò îáù óþ ñòðóêòóðó ñïåêòðà äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ïðè íàëè÷èè ø èðîêîãî èíòåðÐèñ.5.13 âàëà ìàñø òàáîâ è âîçáóæäåíèè íà ïðî-

59

ìåæóòî÷íûõ ìàñø òàáàõ. Âëåâî îò ìàñø òàáà âîçáóæäåíèÿ ôîðìèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíåðãèè è ñïåêòð áëèçîê çàêîíó «-5/3» (5.14). Ñïðàâà îò ìàñø òàáà âîçáóæäåíèÿ ïðèñóòñòâóåò äîñòàòî÷íî ø èðîêàÿ îáëàñòü ( k I < k < k KS ), â êîòîðîé íåò âûðàæåííîãî ñòåïåííîãî çàêîíà. Ýòà îáëàñòü ìàñø òàáîâ ñîîòâåòñòâóåò òåì ñàìûì èçîëèðîâàííûì âèõðÿì (êîãåðåíòíûì ñòðóêòóðàì), î êîòîðûõ ø ëà ðå÷ü âûøå. Äàëåå( k KS < k < k D ) âèäåí èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, íàêëîí ñïåêòðà â êîòîðîì â ýòîì ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå áëèçîê ê «-4».

5.4. Ï åðåìåæàåìîñòü â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè Ì û âèäåëè, ÷òî â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, êàê è â òðåõìåðíîé, ïîëó÷àåìûå ñïåêòðàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îòëè÷àþ òñÿ îò çàêîíîâ, ïðåäñêàçûâàåìûõ èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè. Ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà îêàçûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ñëîæíåé, ÷åì ïðåäïîëàãàåò ãèïîòåçà î ñòàòèñòè÷åñêîé îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè.  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîïûòàåìñÿ äàòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïåðåìåæàåìîñòè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè íà îñíîâå ìîäåëè Ø å - Ëåâåêà - Äþáðþ ëü è ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå õàðàêòåðèñòèêè ñ òåìè, ÷òî áûëè ïîëó÷åíû äëÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ì û áóäåì èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû òåõ æå òðåõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ (À, Â, Ñ), î êîòîðûõ óæåø ëà ðå÷ü âûø å. Ï ðèëîæåíèå ìîäåëè, îïèñàííîé â ïàðàãðàôå 4.5.3, ê äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè òðåáóåò ðÿäà äîïîëíèòåëüíûõ êîììåíòàðèåâ. Ï ðåæäå âñåãî, íóæíî îñòàíîâèòüñÿ íà âîïðîñå î òîì, ÷òî ïîíèìàòü ïîä âåëè÷èíîé p l . Ýòîò âîïðîñ ðàñïàäàåòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, íà äâà: êàêóþ èç äâóõ êâàäðàòè÷íûõ âåëè÷èí (ýíåðãèè è ýíñòðîôèè) ðàññìàòðèâàòü è ÷òî êîíêðåòíî è êàê èçìåðÿòü â ÷èñëåííîì

Ðèñ.5.14

60

ýêñïåðèìåíòå? Ì û óæå îáñóæäàëè âûøå âîïðîñ î òîì, ÷òî âìåñòî ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè, êîòîðàÿ òðàäèöèîííî ïðèñóòñòâóåò âî âñåõ ìîäåëÿõ òóðáóëåíòíîñòè, ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ñïåêòðàëüíûé ïîòîê, êîòîðûé ðåàëüíî îïðåäåëÿåò äèíàìèêó èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà.  äâóìåðíîì ñëó÷àå ðå÷ü ìîæåò èäòè î ïîòîêå ýíåðãèè, ëèáî î ïîòîêå ýíñòðîôèè. ×èñëåííûå îïûòû ïîêàçûâàþò, ÷òî èñïîëüçîâàòü ìîæíî è òó è äðóãóþ âåëè÷èíó, ïðè÷åì íåçàâèñèìî îò òîãî, ðàññìàòðèâàåòñÿ ëè èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíåðãèè èëè ýíñòðîôèè. Ñòàòèñòè÷åñêè áîëåå óñòîé÷èâûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ ïðè âû÷èñëåíèè ïîòîêîâ ýíñòðîôèè. È òàê, îïðåäåëèì â êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèêè ñïåêòðàëüíîãî ïîòîêà íà ìàñø òàáå l âåëè÷èíó

( )

rr h l = l - 2 ò| w v Ñ w | dS = l - 2 òw 2 v n dl , S

(5.26)

L

ðàâíóþ ïîòîêó çàâèõðåííîñòè ÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè (êâàäðàòà) ñî ñòîðîíîé l . Äàëåå, ñëåäóÿ ìîäåëè Ø ËÁ (ñì. ï.4.5.3), ââåäåì âåëè÷èíó pl =

Ðèñ.5.15

hl hl

¥

,

¥

h l = lim q® ¥

< hl

q+ 1

>

< hl > q

. (5.27)

Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ãèïîòåç è ïðåäïîëîæåíèé, ëåæàù èõ â îñíîâå ìîäåëè. Ì îäåëü Ø ËÁ âêëþ ÷àåò â ñåáÿ èäåþ ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè (ESS). Äëÿ íà÷àëà íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îíà ðàáîòàåò â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Í à ðèñ.5.14,à ïîêàçàíû ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïîëÿ ñêîðîñòè ÷åòíûõ ïîðÿäêîâ ( q = 2,3,4,6,8,10,12. ) è òðåòüåãî ïîðÿäêà, âû÷èñëåííûå â ýêñïåðèìåíòå  è ïðåäñòàâëåííûå â äâîéíûõ ëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ êàê ôóíêöèè ìàñø òàáà. Í à ðèñ.5.14,á ýòè æå ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì èäåè ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè, òî åñòü ïî îñè àáñöèññ îòëîæåíà ñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî ëèíèè íà ãðàôèêå âûïðÿìëÿþ òñÿ, íî îñîáåííî íà-

61

ãëÿäíî ýôôåêò âèäåí íà ðèñ.5.15, ãäå ïîêàçàíû ñòåïåííûå ïîêàçàòåëè Vq ,

Ðèñ.5.16

Ðèñ.5.17

âû÷èñëåííûå ñîîòâåòñòâåííî ïî äàííûì ðèñóíêà 5.14,à è 5.14,á. Åñëè â ïåðâîì ñëó÷àå (ðèñ.5.15,à) íà ãðàôèêå âîâñå îòñóòñòâóþò ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè (à èìåííî îíè è äîëæíû ïîäòâåðæäàòü íàëè÷èå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà), òî âî âòîðîì ñëó÷àå (ðèñ.5.15,á) âûðàæåííûå ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè ïîÿâëÿþ òñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ q < 8 . Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, êàê áûñòðî ðàñòåò óðîâåíü îø èáîê ñ ðîñòîì ïîðÿäêà ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ESS äåéñòâèòåëüíî ïîìîãàåò âûäåëèòü èíåðöèîííûé èíòåðâàë è îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ñòåïåííûõ ïîêàçàòåëåé. Ñëåäóþ ù èì ïîëîæåíèåì, òðåáóþ ù èì ïðîâåðêè, ÿâëÿåòñÿ ñóù åñòâîâàíèå ïðåäåëüíîé âåëè÷èíû ¥ h l (5.27) è âîçìîæíîñòü åå ïîëó÷åíèÿ ñ ïîìîù üþ ïîääàþ ù èõñÿ èçìåðåíèþ ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåáîëüø îãî ïîðÿäêà. Í àëè÷èå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (5.27) ïîäòâåðæäàåò ðèñ.5.16, ïðè÷åì ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ óæå ïðè q » 10 . Óáåäèâø èñü â ñóù åñòâîâàíèè ïðåäåëüíîé âåëè÷èíû h l ¥ , ìîæíî ïðèñòóïèòü ê íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêå òðåòüåé ãèïîòåçû ìîäåëè Ø ËÄ (4.92), êàñàþ ù åéñÿ íàëè÷èÿ ñòåïåííîãî çàêîíà ó âåëè÷èíû p l . Í à ðèñ.5.17 Ðèñ.5.18 ïîêàçàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðà-

62

ôèêîâ âåëè÷èí< h l > / < h l (q) > äëÿ âñå âîçðàñòàþ ù èõ çíà÷åíèé q , ïîëó÷åííûõ òàêæå äëÿ äàííûõ ýêñïåðèìåíòà Â. Ï î îñè àáñöèññ îòëîæåíû çíà÷åíèÿ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè ïîëÿ ñêîðîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà. È ñïîëüçîâàíû ëîãàðèôìè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ è â èíòåðâàëå êàñêàäíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè ( k E < k < k I ) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ ñòåïåííîìó çàêîíó. Í àêëîí ïðÿìîé äàåò çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè â çàêîíå (4.92) D = 0.47 . Àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ, ïðîâåäåííûå â ýêñïåðèìåíòå À äëÿ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, äàëè çíà÷åíèå D = 0.13 . Áëèçêèå çíà÷åíèÿ áûëè ïîëó÷åíû è â ýêñïåðèìåíòå Ñ, ãäå îäíîâðåìåííî íàáëþ äàëèñü îáà èíòåðâàëà ( D = 0.4 äëÿ èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíåðãèè è D = 0.1 äëÿ èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè). Çàìåòèì, ÷òî ìàëûå çíà÷åíèÿ D ñîîòâåòñòâóþò íèçêîìó óðîâíþ ïåðåìåæàåìîñòè (â òðåõìåðíîì ñëó÷àå D = 0.67 ) è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî èìåííî â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè ïåðåìåæàåìîñòü ïî÷òè îòñóòñòâóåò (íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îòêëîíåíèå îò îæèäàåìîãî çàêîíà «-3» î÷åíü çíà÷èòåëüíî). Âòîðàÿ ãèïîòåçà ìîäåëè Ø ËÄ (4.91) ìîæåò áûòü ïðîâåðåíà äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ì îæíî ñòðîèòü ìîìåíòû ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà < p l q > êàê ôóíêöèè ìîìåíòà ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïðîâåðÿÿ òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîø åíèÿ (4.94), âûòåêàþ ù åãî èç (4.92). Ï ðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû íà ãðàôèêàõ äîëæíû âûäåëÿòüñÿ èíåðöèîííûå èíòåðâàëû, à óãëû íàêëîíà äàäóò îöåíêó ïàðàìåòðà b . Òàêîé ãðàôèê, ïîñòðîåííûé äëÿ ýêñïåðèìåíòà Ñ, ïîêàçàí íà ðèñ.5.18, íà êîòîðîì õîðîø î ðàçëè÷èìû îáà èíåðöèîííûõ èíòåðâàëà. Âîçìîæíà è ïðÿìàÿ ïðîâåðêà ôîðìóëû (4.92). Ýòîò ñïîñîá èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.5.19, íà êîòîðîì ñâåäåíû âìåñòå ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé äëÿ ýêñïåðèìåíòîâ À è Â.  òî÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (4.92) ñòðîÿòñÿ îòíîø åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìîìåíòîâ äðóã îò äðóãà. Êàæäàÿ ãðóïïà òî÷åê ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîìó çíà÷åíèþ âåëè÷èíû q . Ï ðè íåâûïîëíåíèè ñâÿçè (4.92) ýòè ãðóïïû òî÷åê äàëè áû íåïàðàëëåëüíûå îòðåçêè (ëèáî âîîáù å íå îòðåçêè), à ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâà ñ îòëè÷àþ ù èìèñÿ êîíñòàíòàìè Aq îòðåçêè áûëè áû ïàðàëëåëüíû, íî íå ëåæàëè áû íà îäíîé ïðÿìîé.

Ðèñ.5.19

63

Òàêèì îáðàçîì, ðèñóíîê ñâèäåòåëüñòâóåò î âûïîëíåíèè ñîîòíîø åíèÿ (4.92), ïðè÷åì ñ îäèíàêîâûìè êîíñòàíòàìè Aq . Ï îñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ñâèäåòåëüñòâóåò â ïîëüçó ëîãïóàññîíîâñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b äàëè áëèçêèå, íî îòëè÷àþ ù èåñÿ çíà÷åíèÿ ( b = 0.7 â èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíåðãèè è b = 0.55 - â èíòåðâàëå ïåðåíîñàýíñòðîôèè). Âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î ôèçè÷åñêîì ñìûñëå ãèïîòåç, ëåæàù èõ â îñíîâå ìîäåëè.  ñîîòíîø åíèå (4.91) (è/èëè (4.81)) âõîäÿò îòíîñèòåëüíûåìîìåíòû, êàæäûé èç êîòîðûõ òàêæåìîæíî çàïèñàòü â ñòåïåííîé ôîðìåâèäà hl

(q )

=

< hl

q+ 1

>

< hl > q

~l

- dq

.

(5.28)

Ï îñëåäîâàòåëüíîñòü ïîêàçàòåëåé dq îãðàíè÷åíà, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷ëåíîì d0 , õàðàêòåðèçóþ ù èì ïîâåäåíèå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïîòîêà h l

( 0)

=< h l > , è

÷ëåíîì d¥ , îòâå÷àþ ù èì çà ïîâåäåíèå h l (¥ ) , ñ äðóãîé ñòîðîíû. Ðÿä dq îáðàçóåò íåóáûâàþ ù óþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è ìîæåò èìåòü îäíó èç ñëåäóþ ù èõ ÷åòûðåõ ôîðì (ðèñ.5.20): ñëó÷àé à) ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè Ê41 ( dq º 0 ); ñëó÷àé á) õàðàêòåðèçóåò ñèòóàöèþ , êîãäà äàæå ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà çàâèñèò îò ìàñø òàáà, íî ñòåïåíü íåîäíîðîäíîñòè íå ðàñòåò ñ ðîñòîì ïîðÿäêà ( dq º Ñ ); ñëó÷àé â) âîñïðîèçâîäèò êàðòèíó, çàëîæåííóþ â ìîäåëü Ø å - Ëåâåêà (ñðåäíåå çíà÷åíèå íå çàâèñèò îò ìàñø òàáà óñðåäíåíèÿ, íî ñóù åñòâóåò ïðåäåë äëÿ áîëüø èõ ìîìåíòîâ, d0 = 0 , d¥ = 2 / 3 ); è ïîñëåäíèé ñëó÷àé ã) îïèñûâàåò ñèòóàöèþ, êîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå çàâèñèò îò ìàñø òàáà, íî ïîêàçàòåëü ðàñòåòñðîñòîì q . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãèïîòåçà (4.92) ýêâèâàëåíòíà óòâåðæäåíèþ D=

d¥ - d0 , V3

(5.29)

òî åñòü ïàðàìåòð D â ìîäåëè Ø ËÄ õàðàêòåðèçóåò ðàçíîñòü d¥ - d0 . Ðÿä dq ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîãäà â âèäå

Ðèñ.5.20

64

dq = d¥ + V3 Dh(q ) ,

(5.30)

ãäå h(q ) åñòü ìîíîòîííî óáûâàþ ù àÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ, ÷òî h(0) = 1 , à h(¥ ) = 0 . Ï ðîñòåéø àÿ ïîäõîäÿù àÿ ôóíêöèÿ åñòü ýêñïîíåíòà h(q ) = exp{- aq} , ïðè÷åì ¢ a = dq (0) /(V3 D ) . Í åïîñðåäñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà (5.30) â (4.81) ïîêàçûâàåò,

÷òî âòîðàÿ ãèïîòåçà Ø å - Ëåâåêà ðàâíîñèëüíî ïðåäïîëîæåíèþ îá ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìåôóíêöèè h(q ) è b = exp{- a} . Âîçâðàù àÿñü ê ðåçóëüòàòàì ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, íóæíî îòìåòèòü, ÷òî åå ïîâåäåíèå ðàçëè÷íî â èíòåðâàëàõ ïåðåíîñà ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, íî íèãäå íå ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè Ø åËåâåêà (ò.å. ðèñ.5.20,â).  èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè óðîâåíü ïåðåìåæàåìîñòè íèçîê ( D áëèçêà ê íóëþ ), íî ïåðâûé ìîìåíò ïîòîêà h (ñðåäíåå çíà÷åíèå) çàâèñèò îò ìàñø òàáà óñðåäíåíèÿ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ îòâå÷àåò ñëó÷àþ, ïîêàçàííîìó íà ðèñ.5.20,á, è âûçâàíà íàëè÷èåì ñèëüíûõ èçîëèðîâàííûõ âèõðåé. È ìåííî ñ âèõðÿìè ñâÿçàíî ñèëüíîå îòëè÷èå â ñïåêòðå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ýíñòðîôèè (à íåñïåðåìåæàåìîñòüþ, êàê òàêîâîé). Áîëåå ñëîæíî ïîâåäåíèå â èíòåðâàëå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè. Óðîâåíü ïåðåìåæàåìîñòè â íåì áëèçîê òîìó, ÷òî ïîëó÷àåòñÿ â òðåõìåðíûõ òå÷åíèÿõ, íî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíèõ d0 ¹ 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàðóø àåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçà Êîëìîãîðîâà îòíîñèòåëüíî ïîñòîÿíñòâà ïîòîêà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó! Åñòåñòâåííî, ðå÷ü íå èäåò î íàðóø åíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è íóæíî åù å ðàç îáðàòèòü âíèìàíèå íà îïðåäåëåíèå Ðèñ.5.21 âåëè÷èí h l (5.26) (è âåëè÷èíû el â ñëó÷àå òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Ýòà âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ýíåðãèè íåçàâèñèìî îò èõ íàïðàâëåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëó÷åííûé íàìè ðåçóëüòàò ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ïîòîêîâ ýíåðãèè, îáðàòíûõ îñíîâíîìó íàïðàâëåíèþ ïåðåíîñà, è îáù àÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòîêîâ èçìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì ìàñø òàáà. Êà÷åñòâåííî òàêîé ñöåíàðèé ïåðåíîñà ýíåðãèè ïî ñïåêòðó èëëþñòðèðóåò ðèñ.5.21. Ï îñëåäíèé âàæíûé âîïðîñ êàñàåòñÿ ñâÿçè ãèïîòåçû ïîäîáèÿ â ôîðìå (4.90), èñïîëüçîâàííîé â ìîäåëè Ø ËÄ ñ ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Ê62 (4.50). È ç (4.90) ñëåäóåò, ÷òî

65

< dvl > q

< dvl > 3

q/3

~

q/3

,

à ýòî ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ q Vq = (V3 + d0 ) + t q / 3 . 3

(5.31)

Î÷åâèäíî, ÷òî (5.31) ñîâïàäàåò ñ ìîäèôèöèðîâàííîé ãèïîòåçîé ïîäîáèÿ Êîëìîãîðîâà (Ê62) òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà V3 = 1 è d0 = 0 . Îáà óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, íî íàðóø àþ òñÿ â äâóìåðíîé, ãäå, òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíèìà òîëüêî ãèïîòåçàïîäîáèÿ â âèäå(4.90).

5.5. Êîíâåêòèâíàÿ òóðáóëåíòíîñòü  çàêëþ ÷åíèå ýòîé ãëàâû ðàññìîòðèì ïðèìåð òóðáóëåíòíîñòè, ðàçâèâàþ ù åéñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëîâîãî ïîëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ñàìèì òå÷åíèåì. Òàêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ êîíâåêòèâíîå òå÷åíèå ïðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåëåÿ (Ãðàññãîôà). Ì û ðàññìîòðèì ñïåöèôèêó êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè êàê â ñëó÷àåòðåõìåðíîãî, òàê è â ñëó÷àå äâóìåðíîãî äâèæåíèÿ. Âûïèø åì óðàâíåíèÿ òåðìîãðàâèòàöèîííîé êîíâåêöèè â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà, êîòîðûåìû âûâîäèëè â ðàçäåëå1.3 ÷àñòè 1 ýòîãî êóðñà, r r r r r ¶t v + (v Ñ )v = - Ñ P + Dv + GTe z , r ¶t T + (v Ñ )T = s - 1 DT , r div v = 0.

(5.32) (5.33) (5.34)

Óðàâíåíèÿ çàïèñàíû â áåçðàçìåðíîé ôîðìå è âêëþ ÷àþ ò äâà áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðà: ÷èñëî Ãðàññãîôà G = gbT0 L3 /n 2 è ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ s = n / c (ñìûñë ýòèõ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ îáñóæäàëñÿ â ï.1.3). Ì àëûå ÷èñëà Ãðàññãîôà ñîîòâåòñòâóþ ò ñèòóàöèè, êîãäà âëèÿíèå òåìïåðàòóðû íà ïîëå ñêîðîñòè ìàëî è òåìïåðàòóðà âåäåò ñåáÿ êàê ïàññèâíàÿ ïðèìåñü, íå âëèÿÿ íà ñâîéñòâà ïîëÿ ñêîðîñòè. Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà âîçìîæíîì ïîâåäåíèè ïàññèâíîé ïðèìåñè â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Âèä ñïåêòðà ïóëüñàöèé ïàññèâíîé ïðèìåñè ìîæíî îöåíèòü, èñõîäÿ èç ñëåäóþ ù èõ ñîîáðàæåíèé.  ïðåäåëå ìàëîé òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè ñèñòåìà (5.32)-(5.34) ñîõðàíÿåò êâàäðàò ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû, à âåëè÷èíîé, ðåãóëèðóþ ù åé ïðîöåññû ïåðåíîñà ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïî ñïåêòðó, ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà eT - ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû. Ýòà âåëè÷èíà ñâÿçàíà ñ ïóëüñàöèÿìè òåìïåðàòóðû dTl íà ìàñø òàáå l ñîîòíîø åíèåì

66

dT eT ~ l . tl 2

Ï îâòîðÿÿ êîëìîãîðîâñêèå ðàññóæäåíèÿ, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü òåìïåðàòóðû âíîñèòñÿ â ïîòîê íà ìàêðîìàñø òàáå, à òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü (äèññèïàöèÿ) ñòàíîâèòñÿ ñóù åñòâåííîé òîëüêî íà ìèêðîìàñø òàáå è â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå äîëæåí ñóù åñòâîâàòü ïîñòîÿííûé, íå çàâèñÿù èé îò ìàñø òàáà ïîòîê ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû, ðàâíûé ñêîðîñòè åå äèññèïàöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, dT dT dv eT ~ l ~ l l = const . tl l 2

2

(5.35)

×òîáû ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû îò ìàñø òàáà, íóæíî â (5.35) ïîäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþ ù óþ çàâèñèìîñòü äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè. Òàê, åñëè ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñëåäóåò çàêîíó Êîëìîãîðîâà «-5/3»(5.14) è dvl ~ e1 / 3l 1 / 3 , òî ïîëó÷àåì îöåíêó dTl ~ eT

1/ 2

e- 1 / 6l 1/ 3 ,

(5.36)

ñîîòâåòñòâóþ ù óþ ñïåêòðó ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû âèäà ET (k ) = CT eT e - 1 / 3 k - 5 / 3 .

(5.37)

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñïåêòð (5.37) èìååò îäèíàêîâûé âèä è äëÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè è äëÿ èíòåðâàëà îáðàòíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè, ïðè÷åì è â òîì è â äðóãîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå êàñêàäà ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïðÿìîå, òî åñòü ýíåðãèÿ ïóëüñàöèé ïåðåíîñèòñÿ â ìàëûå ìàñø òàáû íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ êàñêàäà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.  èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, ãäå ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñëåäóåò çàêîíó (5.15), à ïóëüñàöèè ñêîðîñòè îöåíèâàþòñÿ êàê 1/ 3 dvl ~ ew l , (5.35) ïðèâîäèò ê ñîîòíîø åíèþ dTl ~ eT

1/ 2

ew

- 1/ 6

è ñïåêòðó ET (k ) = CT¢eT ew

- 1/ 3

k - 1.

(5.38)

Ï ðîâåäåííûå îöåíêè ñïðàâåäëèâû, âîîáù åãîâîðÿ, äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ s ~ 1 , òî åñòü âÿçêîñòü è òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü èìåþ ò îäèí ïîðÿäîê âåëè÷èíû. Ï îñìîòðèì òåïåðü, êàê âåäåò ñåáÿ ïàññèâíàÿ ïðèìåñü ïðè ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ. Ï óñòü s > 1 : âÿçêàÿ æèäêîñòü ñ ïëîõîé òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòüþ (òàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ìíîãèå ìàñëà).  ýòîì ñëó÷àå êàñêàä ïóëüñàöèé ñêîðîñòè áûñòðî çàòóõàåò ïîä äåéñòâèåì âÿçêèõ ñèë, íî ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû óíîñÿòñÿ â çíà÷èòåëüíî áîëåå ìåëêèå ìàñø òàáû, ÷åì ìàñø òàá âÿçêîé äèññèïàöèè. Ñóù åñòâóåò òàê íàçûâàåìûé âÿçêî-êîíâåêòèâíûé èíòåðâàë. Åãî äèíàìèêà îïðåäåëÿÐèñ.5.22 åòñÿ êðóïíîìàñø òàáíûì ïîëåì ñêîðîñòè, òàê êàê íà ýòèõ ìàñø òàáàõ ïóëüñàöèè ñêîðîñòè ïîäàâëåíû âÿçêîñòüþ . Òîãäà

(5.40)

68

dT eT ~ l = const tL 2

è dTl ~ l 0 . Ï îëó÷àåì ñïåêòð, íà êîòîðûé âïåðâûå óêàçàë Áýò÷åëîð, ET (k ) ~ k - 1 .

(5.41)

Ñâîäíàÿ êàðòèíà âîçìîæíûõ ñïåêòðàëüíûõ çàêîíîâ äëÿ ïóëüñàöèé ïàññèâíîé ïðèìåñè ïðèâåäåíà íà ðèñ.5.22. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ñîáñòâåííî ê êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè, òî åñòü òóðáóëåíòíîñòè, â êîòîðîé îñíîâíîé äâèæóù åé ñèëîé ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîñòü òåìïåðàòóðû. ×èñëî Ãðàññõîôà G >> 1 , à ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü ïîðÿäêà åäèíèöû. Ï óñòü äâèæåíèå âûçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì íàãðåâîì íà ìàêñèìàëüíîì ìàñø òàáå L , è âîçíèêàþ ù åå äâèæåíèå ñòîëü èíòåíñèâíî, ÷òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ òóðáóëåíòíûì.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå äâà ñöåíàðèÿ ðàçâèòèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Ï åðâûé (êîëìîãîðîâñêèé) ñîñòîèò â òîì, ÷òî òóðáóëåíòíîñòü ðàçâèâàåòñÿ ïî îáû÷íîìó èçîòåðìè÷åñêîìó ñöåíàðèþ è äèíàìèêà ìåíüø èõ ìàñø òàáîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ïîòîêîì ýíåðãèè, êîòîðûé îêàçûâàåòñÿíà ýòèõ ìàñø òàáàõ ñóù åñòâåííåå, ÷åì ðàáîòà ñèë Àðõèìåäà. Í à âîçìîæíîñòü äðóãîãî ñöåíàðèÿ âïåðâûå óêàçàëè íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà À.Îáóõîâ è Ð.Áîëäæèàíî. Ýòîò ñöåíàðèé (áóäåì íàçûâàòü åãî îáóõîâñêèì) ïðåäïîëàãàåòñóù åñòâåííóþ ðîëü ñèë Àðõèìåäà â ø èðîêîì èíòåðâàëåìàñø òàáîâ. Òàê êàê ðåæèì äâèæåíèÿ çàâåäîìî íåëèíåéíûé, òî ýòî âîçìîæíî â ñëó÷àå, åñëè íà êàæäîì ìàñø òàáå èìååò ìåñòî áàëàíñ ìåæäó íåëèíåéíûì è àðõèìåäîâûì ñëàãàåìûìè â óðàâíåíèè (5.32). Ýòî óñëîâèå âûðàæàåòñÿ (â ðàçìåðíîì âèäå) ñîîòíîø åíèåì dvl ~ gbd Tl . l 2

(5.42)

Í àðÿäó ñ ýòèì óñëîâèåì îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì óñëîâèå (5.35), òðåáóþ ù åå ïîñòîÿíñòâà ïîòîêà ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïî ñïåêòðó. Îíî äàåò âòîðîåñîîòíîø åíèå dTl dvl . l 2

eT ~

(5.43)

Ðåø àÿ ñèñòåìó (5.42)-(5.43), ïîëó÷àåì

( gb )2 / 5 l , 2/5 - 1/ 5 ~ eT ( gb ) l 1 / 5 .

dvl ~ eT

dTl

1/ 5

3/5

(5.44) (5.45)

69

Îöåíêè (5.44)-(5.45) ñîîòâåòñòâóþ òñïåêòðàëüíûì çàêîíàì Å(k ) ~ k - 11 / 5 , E T (k ) ~ k - 7 / 5 .

(5.46) (5.47)

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííûå ñïåêòðàëüíûå çàêîíû íå çàâèñÿò îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà, òî åñòü îíè ìîãóò âîçíèêíóòü êàê â òðåõ-, òàê è â äâóìåðíîì òå÷åíèè. Ï îä äâóìåðíûì êîíâåêòèâíûì äâèæåíèåì ìû ïîäðàçóìåâàåì ïðè ýòîì òå÷åíèå â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, òî åñòü ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæèò âåêòîð óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Òàêèå äâóìåðíûå êîíâåêòèâíûå òå÷åíèÿ ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû â âåðòèêàëüíîé ù åëè ñ íåðàâíîìåðíûì íàãðåâîì. Êîíâåêòèâíûé (îáóõîâñêèé) èíòåðâàë âèäà (5.46)-(5.47) íå ìîæåò ðàñòè íåîãðàíè÷åííî äàæå â ïðåäåëå áåñêîíå÷íî áîëüø èõ çíà÷åíèé ÷èñëà Ãðàññãîôà. Äåëî â òîì, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðø àåìàÿ ñèëàìè Àðõèìåäà çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû 3/ 5 P A ~ ( gb )dvl dTl ~ eT ( gb ) 6 / 5 l 4 / 5 , (5.48) ïàäàåò ñ óìåíüø åíèåì ìàñø òàáà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæåí ñóù åñòâîâàòü ìàñø òàá, íà êîòîðîì îáû÷íûé êîëìîãîðîâñêèé ìåõàíèçì ñòàíåò ýôôåêòèâíåé êîíâåêòèâíîãî è íà ñìåíó îáóõîâñêîìó ðåæèìó äîëæåí ïðèéòè êîëìîãîðîâñêèé. Ýòîò ìàñø òàá ïðèíÿòî íàçûâàòü ìàñø òàáîì Áîëäæèàíî è îí ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ïðèðàâíÿòü (5.48) ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè L B ~ ( gb )

- 3/ 2

e5 / 4eT

- 3/ 4

.

(5.49)

Îæèäàåìàÿ êàðòèíà ñïåêòðàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýíåðãèè äëÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè ïîêàçàíà íà ðèñ.5.23.  äâóìåðíîì ñëó÷àå ñèòóàöèÿ íà ìàñø òàáàõ l > LB ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ñèòóàöèè â òðåõìåðíîì òå÷åíèè. Îòëè÷èÿ âîçíèêàþò íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ, òàê êàê ïðÿìîé êàñêàä ýíåðãèè â äâóìåðíîì ïîòîêå íåâîçìîæåí.

Ðèñ.5.23

Ðèñ.5.24

70

Êîíâåêòèâíûé èíòåðâàë îáåñïå÷èâàåò ïðÿìîé ïîòîê ýíåðãèè ïî ñïåêòðó, à íà ìàñø òàáå Áîëäæèàíî êàñêàä áëîêèðóåòñÿ. Ñïðàâà îò ýòîãî ìàñø òàáà äîëæåí óñòàíîâèòüñÿ èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè, à ñëåâà íà÷íåòñÿ ôîðìèðîâàíèå èíòåðâàëà îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè. Îáù àÿ êàðòèíà ñïåêòðîâ â äâóìåðíîé êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè ïîêàçàíà íà ðèñ.5.24. Îòìåòèì åù å îäèí èíòåðâàë, êîòîðûé ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ïðè òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè â æèäêîñòè ñ áîëüø èì ÷èñëîì Ï ðàíäòëÿ. Ñèëüíàÿ âÿçêîñòü ïîäàâëÿåò äâèæåíèå íà ìàñø òàáàõ, íà êîòîðûõ åù åñóù åñòâóþò ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû. Áåç ó÷åòà ñèë ïëàâó÷åñòè ýòî ïðèâîäèò ê ñïåêòðó Áýò÷åëîðà (5.41). Ï ðè áîëüø èõ ÷èñëàõ Ãðàññãîôà âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà íåëèíåéíûå ÷ëåíû â óðàâíåíèè äëÿ ñêîðîñòè ñòàíîâÿòñÿ ìàëû, à äèíàìèêà ïóëüñàöèé îïðåäåëÿåòñÿ áàëàíñîì ñèë Àðõèìåäà è ñèë âÿçêîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî gbd Tl ~

dvl . l2

(5.50)

Ñ÷èòàÿ, ÷òî ïóëüñàöèè òåìïåðàòóðû ñëåäóþ ò çàêîíó Áýò÷åëîðà (5.41), ïîëó÷àåì èç(5.50) ñïåêòðàëüíûé çàêîí äëÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè E (k ) ~ k - 5 .

(5.51)

 çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ î ñïåêòðàëüíûõ çàêîíàõ â êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè äàëåê îò ñâîåãî îêîí÷àòåëüíîãî ðåø åíèÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçìåðåíèÿ êàñàþ òñÿ, â îñíîâíîì, òîëüêî ïîëåé òåìïåðàòóðû è äàþ ò ðàçíîðå÷èâûå ðåçóëüòàòû. Í à ñåãîäíÿ íåò äàæå åäèíîãî ìíåíèÿ îòíîñèòåëüíî òîãî, ìîæåò ëè ðåàëèçîâàòüñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë Îáóõîâà. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû âåðíåìñÿ â ïîñëåäíåé ãëàâå êóðñà.

71

6. È ÅÐÀÐÕ È × ÅÑÊÈ Å Ì ÎÄÅËÈ ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÈ È ÂÅÉ ÂËÅÒÛ Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ìîäåëè, îñíîâàííûå íà èäåå ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà ñïåöèàëüíîãî òèïà, íàèáîëåå òî÷íî ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ñòðóêòóðå òóðáóëåíòíûõ ïîëåé. È äåÿ òàêîãî áàçèñà âïåðâûå áûëà ïðåäëîæåíà Â.Çèìèíûì â êîíöå ñåìèäåñÿòûõ ãîäîâ è ñîñòîÿëà â èñïîëüçîâàíèè ñåìåéñòâà ñàìîïîäîáíûõ ôóíêöèé ïðîãðåññèâíî óáûâàþ ù åãî ìàñø òàáà10. Áàçèñ áûë íàçâàí èåðàðõè÷åñêèì è íà åãî îñíîâå áûëè ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ìíîãî÷èñëåííûå ìîäåëè, òàêæå íàçâàííûå èåðàðõè÷åñêèìè (ñì. êíèãó Â.Çèìèíà è Ï .Ô ðèêà11).  êîíöå âîñüìèäåñÿòûõ ãîäîâ â íàó÷íîé ëèòåðàòóðå ïîÿâèëîñü ñëîâî «âåéâëåò», à ê íà÷àëó äåâÿíîñòûõ âåéâëåòàíàëèç ïðåâðàòèëñÿ â ñàìîñòîÿòåëüíóþ, õîðîø î ðàçâèòóþ îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. È äåè, ëåæàù èå â îñíîâå òåîðèè âåéâëåòîâ, ñîâïàäàþ ò ñ èäåÿìè èåðàðõè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé è â òåðìèíàõ ýòîé ìîëîäîé íàóêè èåðàðõè÷åñêèå ìîäåëè - ýòî ìîäåëè, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîù üþ âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèÿ îïèñûâàåìûõ ïîëåé. Ï îñêîëüêó öåëü íàø åãî êóðñà ñîñòîèò â èçëîæåíèè ïîäõîäîâ ê ìîäåëèðîâàíèþ òóðáóëåíòíîñòè, òî ãëàâó ìû íà÷íåì ñ èäåé, ïðèâåäø èõ ê èåðàðõè÷åñêèì ìîäåëÿì.  òî æå âðåìÿ, íåëüçÿ íå îñòàíîâèòüñÿ è íà ôîðìóëèðîâêå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé âåéâëåò-àíàëèçà, êîòîðûé îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíûì ïðè àíàëèçå âðåìåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðû íåëèíåéíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Êðàòêîå èçëîæåíèå îñíîâíûõ èäåé íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî âåéâëåò-àíàëèçà è íåêîòîðûå ïðèìåðû åãî èñïîëüçîâàíèÿ ñîñòàâÿò âòîðóþ ïîëîâèíó ýòîé ãëàâû.

6.1. È åðàðõè÷åñêèé áàçèñ äëÿ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé Ðàññìàòðèâàÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåø åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ æèäêîñòè, ìû ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ÷àù å âñåãî äëÿ ýòèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ ëèáî ñåòî÷íûå, ëèáî ñïåêòðàëüíûåìåòîäû, ëèáî èõ êîìáèíàöèÿ. È òå, è äðóãèå ìîæíî îòíåñòè ê ïðîåêöèîííûì ìåòîäàì ðåø åíèÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, êîãäà äëÿ ðåø åíèÿ èñïîëüçóþò ïðîåêöèè âñåõ ïîëåé íà ôóíêöèîíàëüíûå áàçèñû.  ñåòî÷íûõ ìåòîäàõ ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿìè â òî÷êàõ, ïëîòíîñòü êîòîðûõ ñâÿçàíà ñî ñïåêòðàëüíûìè ñâîéñòâàìè ðàññìàòðèâàå10

Çèìèí Â.Ä. È åðàðõè÷åñêàÿ ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè // È çâåñòèÿ À Í ÑÑÑÐ: Ô èçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà. Ò.17. N.12. Ñ.1265-1273. 11 Çèìèí Â.Ä., Ô ðèê Ï .Ã. Òóðáóëåíòíàÿ êîíâåêöèÿ. Ì .: Í àóêà, 1988. 178 ñ.

72

ìûõ ïîëåé (ìåëêîìàñø òàáíûå âèõðè íå äîëæíû ïðîâàëèâàòüñÿ ìåæäó òî÷êàìè ñåòêè). Áîëåå ñòðîãî ýòà ñâÿçü âûðàæàåòñÿ òåîðåìîé Êîòåëüíèêîâà, ñîãëàñíî êîòîðîé ôóíêöèÿ f (x) , ñïåêòð êîòîðîé îãðàíè÷åí ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòîòîé 2p / h , ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà ñóììîé ôóíêöèé îòñ÷åòîâ (ñèíêóñîâ), öåíòðû êîòîðûõ ðàçìåù åíû íà ñåòêå ñ ø àãîì h . Î÷åâèäíî, ÷òî ñåòî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ýôôåêòèâíî ïðè îïèñàíèè ëîêàëüíûõ ñòðóêòóð ìåëêîìàñø òàáíûé âèõðü îïèñûâàåòñÿ íåáîëüø èì ÷èñëîì òî÷åê, íàõîäÿù èõñÿ â ñîîòâåòñòâóþ ù åé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà.  òî æå âðåìÿ, äëÿ îïèñàíèÿ äàæå î÷åíü ïðîñòîãî ïî ñòðóêòóðå êðóïíîìàñø òàáíîãî âèõðÿ òðåáóåòñÿèñïîëüçîâàíèå âñåõ áàçèñíûõ ôóíêöèé. Ñïåêòðàëüíûåìåòîäû èñïîëüçóþ ò ðàçëîæåíèå ïî ôóðüå-ãàðìîíèêàì.  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåò, ïî ñóòè, ñèñòåìó êîãåðåíòíûõ âèõðåé, çàíèìàþ ù óþ âñå ïðîñòðàíñòâî.  òàêîì ïðåäñòàâëåíèè î÷åíü ïðîñòî îïèñàòü âèõðü, çàíèìàþ ù èé âñþ îáëàñòü, èëè ïåðèîäè÷åñêóþ ñèñòåìó âèõðåé - è â òîì, è â äðóãîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî îäíîé áàçèñíîé ôóíêöèè. Îäíàêî, åñëè òðåáóåòñÿ îïèñàòü îòäåëüíûé âèõðü, çàíèìàþ ù èé ìàëóþ ÷àñòü ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè, òî ïîòðåáóåòñÿ âåñü ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä. Âûø å óæå îáñóæäàëèñü è ïðåèìóù åñòâà è íåäîñòàòêè îáîèõ ìåòîäîâ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåø åíèÿ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè. Ñåòî÷íûå ìåòîäû ýôôåêòèâíû ïðè âû÷èñëåíèè íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, òàê êàê ïîçâîëÿþò âûðàçèòü çíà÷åíèå â òî÷êå ÷åðåç íåáîëüø îå ÷èñëî ñîñåäíèõ òî÷åê, íî ïðèâîäÿò ê áîëüø èì çàòðàòàì ìàø èííîãî âðåìåíè ïðè ðåø åíèè óðàâíåíèÿ Ï óàññîíà, òðåáóþ ù åãî ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, â êîòîðûé âîâëå÷åíû âñå òî÷êè îáëàñòè. Ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû, íàîáîðîò, äåëàþò ðåø åíèå óðàâíåíèÿ Ï óàññîíà òðèâèàëüíûì, íî ïðèâîäÿò ê î÷åíü ñëîæíîé ñòðóêòóðå íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ. Ï ðîáëåìû äâóõ ôóíêöèîíàëüíûõ áàçèñîâ ñâÿçàíû ñ èõ ëîêàëèçîâàííîñòüþ â ôèçè÷åñêîì è â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâàõ. Ñåòêè ñòðîãî ëîêàëèçîâàíû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, íî ñïåêòð òî÷êè (äåëüòà-ôóíêöèè) åñòü áåëûé ø óì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè äåëîêàëèçîâàíû â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Îáðàòíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò ïðè ðàçëîæåíèè Ô óðüå. Êàæäàÿ ãàðìîíèêà ïðåäñòàâëÿåò ñòðîãî îäíó ÷àñòîòó, íî ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ åé ôóíêöèÿ çàíèìàåòâñåôèçè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.  òóðáóëåíòíîì ïîòîêå ñîñóù åñòâóþò âèõðè ñàìîãî ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà, íî íàèáîëåå ýôôåêòèâíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèñõîäÿò ìåæäó âèõðÿìè (ñòðóêòóðàìè), áëèçêèìè è â ôèçè÷åñêîì, è â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå. Ï åðâîå î÷åâèäíî - ÷òîáû âèõðè âçàèìîäåéñòâîâàëè, îíè äîëæíû ïåðåêðûâàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò îñíîâó êîíöåïöèè êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ - âçàèìîäåéñòâóþò âèõðè ñðàâíèìûõ ðàçìåðîâ (åñëè ðàçìåðû íå ñîïîñòàâèìû, òî ìàëåíüêèå âèõðè ïðîñòî ïåðåíîñÿòñÿ áîëüø èìè áåçîáìåíà ýíåðãèåé). Ýòî çàñòàâëÿåò îáðàòèòüñÿ ê ïîèñêó ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé, áîëååòî÷íî ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ñòðóêòóðå òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà.

73

 òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè âàæíóþ ðîëü èãðàåò èäåÿ ìàñø òàáíîãî ïîäîáèÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî èñêîìûé áàçèñ äîëæåí áûòü ñîñòàâëåí èç ïîäîáíûõ ôóíêöèé. Åù å îäèí íåäîñòàòîê èñïîëüçîâàíèÿ ðÿäîâ Ô óðüå ñîñòîèò â íèçêîé èíôîðìàòèâíîñòè âûñîêèõ ÷àñòîò. Õîðîø î ïîíÿòåí ñìûñë ðàññìîòðåíèÿ âèõðåé ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì L, L / 2, L / 3,... , íî îòäåëüíîå îïèñàíèå ìàñø òàáîâ L / 957, L / 958, L / 959,... è ò.ä. ìàëî îïðàâäàíî. Ýòî ñîîáðàæåíèå íàâîäèò íà ìûñëü î íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ôóíêöèé, ìàñø òàá êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ïðîãðåññèâíî - òàêîå ñîîòíîø åíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàâíîìåðíîì ðàçáèåíèè ïðîñòðàíñòâà ìàñø òàáîâ â ëîãàðèôìè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè. Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ: 1) ôóíêöèè áàçèñà äîëæíû áûòü ëîêàëèçîâàíû è â ôèçè÷åñêîì, è â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâàõ; 2) ôóíêöèè äîëæíû áûòü ïîäîáíû è îïèñûâàòü èåðàðõèþ âèõðåé ïðîãðåññèâíî óáûâàþ ù èõ ìàñø òàáîâ; 3) ìåëêîìàñø òàáíûå âèõðè äîëæíû ïåðåíîñèòüñÿ â ïîëå âèõðåé áîëüø åãî ìàñø òàáà; 4) ïðè ïîäñòàíîâêå â óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ äîëæåí ïðèâîäèòü ê ñëàáîñâÿçàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå.

Ðèñ.6.1 Ï îïðîáóåì ïîñòðîèòü áàçèñ, óäîâëåòâîðÿþ ù èé ýòèì òðåáîâàíèÿì. Ï îñòðîåíèÿ áóäåì ïðîâîäèòü äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ, òàê êàê ýòî óïðîù àåò èëëþ ñòðàöèþ ðåçóëüòàòîâ è çàïèñü ôóíêöèé. r È òàê, èìååì äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî r = ( x, y ) è ñîîòâåòñòâóþ ù åå åìó r ïðîñòðàíñòâî âîëíîâûõ âåêòîðîâ k = (k x , k y ) . Ô óðüå-ïëîñêîñòü ðàçîáüåì íà êîëüöåâûåçîíû (ðèñ.6.1) òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ çîíû ñ íîìåðîì N

74

r k N / < p np - 1 > . Âåðõíèé ãðàôèê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ e = 0.42 (ïàðàìåòð íåçíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì íàñòóïàåò ñòîõàñòèçàöèÿ ðåø åíèé) è ïîêàçûâàåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå, ãèïîòåçà íå Ðèñ.7.7 âûïîëíÿåòñÿ - ãðóïïû òî÷åê, îòíîñÿù èåñÿ ê ìîìåíòàì ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà, îáðàçóþò îòðåçêè ñ ðàçíûìè óãëàìè íàêëîíà. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ e < 0.45 . Ï ðè áîëüø èõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà (ïîêàçàíû ñëó÷àè: b) e = 0,7 ; c) e = 1,25 ; d ) e = 3,0 ñîîòíîø åíèå (7.34) õîðîø î âûïîëíÿåòñÿ - âñå òî÷êè ëîæàòñÿ íà îáù óþ ïðÿìóþ , íàêëîí êîòîðîé ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþ ù ååçíà÷åíèå ïàðàìåòðà b . Ðèñ.7.7 êàñàåòñÿ ïðîâåðêè òðåòüåé ãèïîòåçû. Îí äàåò çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî ïîòîêà ýíåðãèè îò ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ òðåõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà e . Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ìîæíî âûäåëèòü ïðÿìîé ó÷àñòîê, ñîîòâåòñòâóþ ù èé ñòåïåííîìó çàêîíó (7.35), è îïðåäåëèòü çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà D . Âåðõíÿÿ ãðóïïà òî÷åê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ e = 5 / 4 (ïðè ýòîì ìîäåëèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Òî÷êè ëåæàò ïî÷òè ãîðèçîíòàëüíî ( D = 0.013 ), ÷òî ãîâîðèò îá î÷åíü íèçêîì Ðèñ.7.8 óðîâíå ïåðåìåæàåìîñòè. Ýòîò

123

ðåçóëüòàò õîðîø î ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ïðè îáðàáîòêå äàííûõ ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èíòåðâàëà ïåðåíîñà ýíñòðîôèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ïàðàãðàô 5.4). Ðåçóëüòàòû îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ D è b ñóììèðóåò ðèñ.7.8, íà êîòîðîì ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ýòèõ âåëè÷èí îò ïàðàìåòðà ìîäåëè e (íàïîìíèì, ÷òî ýòîò ïàðàìåòð ñâÿçàí ñ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ). Í à ðèñóíêå ðàçäåëåíû ðåçóëüòàòû äëÿ e < 1 è e > 1 , òàê êàê ñâîéñòâà ñèñòåìû â ýòèõ äâóõ îáëàñòÿõ îòëè÷àþ òñÿ ïðèíöèïèàëüíî, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóåòè ðèñ.7.8. Ï îñëåäíèé ðèñ.7.9 ïîêàçûâàåò ðåçóëüòàòû íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ ïîòîêà ýíåðãèè P (p n ) ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ e : à) e = 0.42 , á) e = 3.0 . Í à îáîèõ ãðàôèêàõ ïóíêòèðîì ïðîâåäåíà ëèíèÿ, ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ ëîã-ïóàññîíîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ .  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äàëåêà îò ýòîé êðèâîé (÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðèñ.7.6,à), â òî âðåìÿ êàê íà âòîðîì - ñîâïàäåíèå äîñòàòî÷íî õîðîø åå. Âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåñèììåòðè÷íà (íàïîìíèì, ÷òî ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â òàêîì ïðåäñòàâëåíèè äîëæíî áûëî áû äàòü ñèììåòðè÷íóþ ïàðàáîëó).  çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ b è D ïðè ïîäñòàíîâêå â ôîðìóëó (7.36) äàëè çíà÷åíèÿ Vq , ñîâïàäàþ ù èå ñ òî÷íîñòüþ íå íèæå10% ñî çíà÷åíèÿìè, ïîëó÷åííûìè íåïîñðåäñòâåííî ïî ðàñ÷åòàì íàêëîíà ãðàôèêîâ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé. Ï îäòâåðæäåíèå ôîðìóëû (7.36) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ïðîâåðêîé ðàáîòîñïîñîáíîñòè ìîäåëè òóðáóëåíòíîñòè Ø ËÄ. Ðèñ.7.9

124

7.5 Ì îäåëü êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè Ðàññìîòðèì òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ, îïèñûâàåìûå â ðàìêàõ ïðèáëèæåíèÿ Áóññèíåñêà äëÿ òåðìîãðàâèòàöèîííîé êîíâåêöèè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèø åì â áåçðàçìåðíîé ôîðìå r r r r r ¶t u + ( u ×Ñ )u = - Ñ P + Gr - 1/ 2 Du + eT , r ¶t T + u ×Ñ T = s- 1Gr - 1/ 2 DT , r Ñ ×u = 0 , r

(7.36) (7.37) (7.38)

r

ãäå u - ñêîðîñòü, P - äàâëåíèå, T - òåìïåðàòóðà, e - åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè, Gr = gbL3T * n- 2 - ÷èñëî Ãðàññãîôà,s = n c - ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ, n - êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü, c - òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü.  êà÷åñòâå åäèíèöû äëèíû âûáðàí ìàêðîìàñø òàá L, åäèíèöû òåìïåðàòóðû - õàðàêòåðíàÿ äëÿ ýòîãî ìàñø òàáà ðàçíîñòü òåìïåðàòóðû T * , åäèíèöû ñêîðîñòè V = ( gbLT * )1/ 2 è åäèíèöû âðåìåíè - t=L/V. Ï ðè âûáðàííîé åäèíèöå ñêîðîñòè ÷èñëî Ãðàññãîôà ïðîñòî ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà Gr = V 2 L2 n- 2 = Re 2 . Ì û ïîñòðîèì êàñêàäíóþ ìîäåëü, ïîçâîëÿþ ù óþ ðàññìîòðåòü ñïåöèôèêó êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ âáëèçè ìàñø òàáà Áîëäæèàíî â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè (ñìîòðè ïàðàãðàô 5.5), à òàêæå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ ïðè î÷åíü íèçêèõ è î÷åíü âûñîêèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ. Ýòè çàäà÷è âûáðàíû ïîòîìó, ÷òî ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðîì ñëó÷àÿ, êîãäà ðàññìîòðåíèå íåëîêàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñòàíîâèòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì è ìîäåëü òèïà GOY ìîæåòïðèâåñòè ê íåïðàâèëüíûì ðåçóëüòàòàì. Êàñêàäíàÿ ìîäåëü äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè, âêëþ ÷àþ ù àÿ íåëîêàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, áûëà ïîñòðîåíà â ðàáîòå 22 è èìåëà âèä d t U n = å Tn ,m ,l U mU l - Re - 1 k n2U n + Fn Q n ,

(7.39)

m ,l

d t Q n = å H n ,m ,l U m Q l - k n2 ( s Re) - 1 Q n ,

(7.40)

m ,l

ãäå Fn = F0 2 n , Tn ,m,l = 2 N T0,m- n ,l - n , H n ,m,l = 2 N H 0,m- n ,l - n , à çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ äëÿ öåíòðàëüíûõ ÷àñòåé ìàòðèö T0,m,l è H 0,m,l ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ. Ñòðóêòóðà ìàòðèö ñëåäóåò èç ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû è 2 èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè EV = å n U n , ýíñòðîôèè W=

22

å

2

2n U n è ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû E T = n

å

2

2n Q n . n

Ô ðèê Ï .Ã. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè // Æ óðíàë ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè è òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 1986. N.2. Ñ.71-79.

125

T0,m ,l l \m

4 3 2 1 0 1 2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 0.155

0.242 0.431 -0.0088

-0.0257

-0.0796

0.0032

0.0096

0.0269

-0.269

H 0,m ,l l\m

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-0.0058

-0.0145

-0.0374

-0.0996

-0.221

-0.125 -0.365

0.0018

0.00468

0.0125

0.0277 0.00196 0.00018 0.00001

0.0457 0.0113 0.00291 0.00073

0.0181 0.00239 0.00030 0.00004

-0.0941 -0.720 -0.145

3 -0.0537 -1.493 -0.153

Ýòà ìîäåëü áûëà ìîäèôèöèðîâàíà â ðàáîòå 23. Âî-ïåðâûõ, â ðàññìîòðåíèå áûëè ââåäåíû êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå, èñïîëüçîâàíèå êîòîðûõ ñóù åñòâåííî ñíèæàåò âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñòîé÷èâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Âî-âòîðûõ, â ìàòðèöå H n ,m,l áûëè îñòàâëåíû òîëüêî ÷ëåíû, îïèñûâàþ ù èå ãåíåðàöèþ íåîäíîðîäíîñòåé òåìïåðàòóðû êðóïíîìàñø òàáíûì ïîëåì ñêîðîñòè (ñòðîêè l = ±1, m < 0 ), è äèàãîíàëè m=n è l=m, êîòîðûå î÷åâèäíî äîìèíèðóþ ò íàä ñîîòâåòñòâóþ ù èìè áîêîâûìè ñòîëáöàìè. Òîãäà, ñ ó÷åòîì ñâÿçåé ìåæäó ýëåìåíòàìè ìàòðèöû, ñëåäóþ ù èõ èççàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü ì 3 ×2 j d t U n = i2 å T0 ,- j ,- 1 í U n*+ j U n*+ -2j j =1 î4 - 2 J

n

dt Q n = i 2

n

(

å {H J

j =1

0, - j , - 1

j+ 1

(U

- U

* n- j

* n- j

U

ü U n*- 1 ý þ 2 -1 - k n Re U n + Fn Q n ,

* n+ 1

Q *n- 1 - 8Un*-

)}

22 j - 1 * + 2 j+ 3 U n- 2 2

j+ 1

)

Q *n+ 1 +

+ H0,0,- j Un*Q *n- j - 2 3 j Un*+ j Q *n+ 1 - kn2 (s Re) Q n .

j- 1 j

(7.41)

(7.42)

-1

Ï àðàìåòð J ôèêñèðóåò íàèáîëåå äàëåêèå âçàèìîäåéñòâèÿ (ïðè J =1 ñèñòåìà âîçâðàù àåòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó êàñêàäíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþ ù èõ òîëüêî ëîêàëüíûåâçàèìîäåéñòâèÿ). 23

Ëîæêèí Ñ.À., Ô ðèê Ï .Ã. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè ïðè ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ // Ì àòåìàòè÷åñêîåìîäåëèðîâàíèåñèñòåì è ïðîöåññîâ, Ï åðì. ãîñ. òåõí. óí-ò, Ï åðìü, 1996. N.4, Ñ.53-60.

126

äåëè.

Ï åðå÷èñëèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîù üþ ýòîé ìî-

Óìåðåííûå ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ ( s ~ 1 ). Ðàññìîòðèì ýâîëþ öèþ ñïåêòðîâ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè ïðè î÷åíü áîëüø èõ ÷èñëàõ Ãðàññãîôà, êîãäà áîëüø îé èíòåðâàë çíà÷åíèé âîëíîâûõ ÷èñåë ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü çà ôîðìèðîâàíèåì ñïåêòðîâ ïî îáå ñòîðîíû îò ìàñø òàáà Áîëäæèàíî. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.41)-(7.42) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ ðàâíî åäèíèöå, à ÷èñëî Ãðàññãîôà Gr = 1014 (÷òî ñîîòâåòñòâóåò Re = 10 7 ), èíòåãðèðîâàëàñü ìåòîäîì Ðóíãå - Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì ø àãîì ïî âðåìåíè äëÿ 0 £ n £ 30. Ðàâíîìåðíûé íàãðåâ íà ìàêðîìàñø òàáå ìîäåëèðîâàëñÿ ïóòåì ïîääåðæàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ ïåðåìåííîé | Q 0 |= 1 .  îòëè÷èå îò òðåõìåðíîãî ñëó÷àÿ, â äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè ñóù åñòâîâàíèå èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà ñ ïðÿìûì êàñêàäîì ýíåðãèè íåâîçìîæíî. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðåïÿòñòâóåò óñòàíîâëåíèþ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ïî ñïåêòðó. Ï ðîöåññ ïåðåäà÷è ýíåðãèè ê ìåëêîìàñø òàáíîìó äâèæåíèþ áëîêèðóåòñÿ íà ìàñø òàáå Áîëäæèàíî L B , âïðàâî îò êîòîðîãî ôîðìèðóåòñÿ èíåðöèîííûé èíòåðâàë ïåðåíîñà ýíñòðîôèè. Âëåâî îò LB ðàçâèâàåòñÿ èíòåðâàë îáðàòíîãî ïåðåíîñà ýíåðãèè ê êðóïíûì ìàñø òàáàì ñî ñïåêòðàëüíûì çàêîíîì "-5/3", ïðè÷åì ãðàíèöà ýòîãî èíòåðâàëà ïðîäâèãàåòñÿâëåâî ïî ìåðå íàêîïëåíèÿ ñèñòåìîé ýíåðãèè. Ñòàöèîíàðíîé ñèòóàöèè óäàåòñÿ äîáèòüñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé äèññèïàöèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íà áîëüø èõ ìàñø òàáàõ (â óðàâU n , òàê íàçûâàåìîå ëèíåéíîå íåíèå äëÿ U n äîïèñûâàåòñÿ ÷ëåí âèäà - g òðåíèå, îáû÷íî èñïîëüçóåìîå è ïðè ïðÿìûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ñ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòüþ ). Í à ðèñ.7.10 ïîêàçàíû îñðåäíåííûå ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû â îòäåëüíûõ îêòàâàõ EV n è E T n . Ï ðîâåäåíû ëèíèè, ñîîòâåòñòâóþ ù èå ñòåïåííûì çàêîíàì äëÿ ñïåêòðîâ EV ( k ) è E T ( k ) . Ýòîò ðèñóíîê íóæíî ñðàâíèòü ñ ðèñ.5.24, ãäå êà÷åñòâåííî áûëè èçîáðàæåíû îæèäàåìûå ñïåêòðàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè. Ï ðè ðàññìàòðèâàíèè ðèñóíêîâ ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè äëÿ âåëè÷èíû E n ( k n ) íà åäèíèöó ìåíüø å, ÷åì äëÿ ñàìîãî ñïåêòðà E ( k ) , ÷òî ñâÿçàíî ñ ïðèíÿòûì äåëåíèåì îñè âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû. Ãðàíèöû ðàçëè÷íûõ èíòåðâàëîâ áîëåå÷åòêî âûðàæåíû â ñïåêòðå ïóëüñàöèé ñêîðîñòè.  ñïåêòðå ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïåðåõîäû ðàçìûòûå è ñòåïåííûå ó÷àñòêè íåñòîëü ÿðêî âûðàæåíû. Ì àëûå ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ ( s > 1) ñïîñîáñòâóþò ôîðìèðîâàíèþ âÿçêî-êîíâåêòèâíîãî èíòåðâàëà, â êîòîðîì ñîîòâåòñòâóþ ù èå ìàñø òàáû ïîëÿ ñêîðîñòè ïîäàâëåíû âÿçêîñòüþ , íî îñòàåòñÿ ñïåêòðàëüíûé ïîòîê ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû, ïîääåðæèâàåìûé ëèø ü êðóïíîìàñø òàáíûì ïîëåì ñêîðîñòè. Ï îñêîëüêó äèôôóçèÿ òåïëà ïðîèñõîäèò íà ñóù åñòâåííî ìåíüø èõ ìàñø òàáàõ, òî ïîòîê ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû ïî ñïåêòðó îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, íî õàðàêòåðíîå âðåìÿ ïåðåíîñà îïðåäåëÿåòñÿ êðóïíîìàñø òàáíûìè ïóëüñàöèÿìè ñêîðîñòè è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äëÿ ýòîãî èíòåðâàëà ïîñòîÿííûì. Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê ñïåêòðó Áýò÷åëîðà (5.41), ET ( k ) ~ k - 1 .

(7.44)

Ì åæäó êîíâåêòèâíûì (îáóõîâñêèì) è âÿçêî-êîíâåêòèâíûì èíòåðâàëàìè ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ èíòåðâàëà (5.51), â êîòîðîì âÿçêèé ÷ëåí ñòàíîâèòñÿ âåñîìåå íåëèíåéíîãî, íî îñòàåòñÿ ñóù åñòâåííîé ñèëà ïëàâó÷åñòè. Òîãäà áàëàíñ àðõèìåäîâûõ è âÿçêèõ ñèë âìåñòå ñ (7.44) ïðèâîäèò ê ñïåêòðó EV ( k ) ~ k - 5 .

(7.45)

Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé äëÿ ñëó÷àÿ s = 10 6 ,Re = 10 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.7.12 è ïîêàçûâàþò, ÷òî èíòåðâàë, â êîòîðîì óñòàíàâëèâàþòñÿ çàêîíû (7.44-7.45), ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ïðîòÿæåííûì. Ì îæíî âèäåòü, ÷òî óâå-

129

ëè÷åíèå J ïðèâîäèò ê ðàñòÿæåíèþ èíòåðâàëà (7.44), íî ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿåòíà ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè.

Ðèñ.7.12

130

7.6. Êàñêàäíûå ïðîöåññû â Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè  êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ìîäåëü ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè ïðîâîäÿù åé æèäêîñòè. Ñïåöèôèêà äâèæåíèé æèäêîñòè ñ ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ ñîñòîèò â òîì, ÷òî æèäêîñòü íå òîëüêî ïîäâåðæåíà äåéñòâèþ äîïîëíèòåëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ (â ìàãíèòíîì ïîëå âîçíèêàåò ñèëà Ëîðåíöà), íî è ñàìà îêàçûâàåò âîçäåéñòâèå íà ìàãíèòíîå ïîëå. Ï ðè ýòîì âàæíî, ÷òî âîçäåéñòâèå íå ñâîäèòñÿ ê çàïóòûâàíèþ ñèëîâûõ ëèíèé è ðàçìåëü÷åíèþ ñòðóêòóðû ïîëÿ (êàê ýòî ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåìåø èâàíèè ïàññèâíîé ïðèìåñè èëè òåïëà), à ìîæåò, â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ, è ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ. Õîðîø î ïðîâîäÿù èå æèäêîñòè - ýòî æèäêèå ìåòàëëû, íî â ñôåðó äåéñòâèÿ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè (Ì ÃÄ) ïîïàäàþò è ìíîãèå äðóãèå ñðåäû - ýëåêòðîëèòû, ïëàçìà (îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþòñîëíå÷íàÿ è çâåçäíàÿ ïëàçìà), ìåæçâåçäíàÿ ñðåäà.

Ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêîé ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ âåêòîð ìàãíèòr íîé èíäóêöèè B . Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âêëþ ÷àþò óðàâíåíèå Í àâüå - Ñòîêñà, äîïîëíåííîå ñèëîé Ëîðåíöà, óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðà èíäóêöèè, óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè è óñëîâèå ñîëåíîèäàëüíîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå r r r ræ r rr r B2 ¶t v + (v Ñ )v = ( BÑ ) B - Ñ ç + P ç 2 è r rr r rr r 1 r ¶t B + (v Ñ ) B = ( BÑ )v + DB , Rm rr Ñv = 0, rr ÑB = 0.

ö 1 r ÷ ÷ + Re Dv , ø

(7.46) (7.47) (7.48) (7.49)

Çäåñü Re = UL /n - îáû÷íîå ãèäðîäèíàìè÷åñêîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà, à Rm = UL / n m = Re×Prm - ìàãíèòíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà, îïðåäåëåííîå ÷åðåç ìàãíèòíóþ âÿçêîñòü n m = 1 / ms ( m - ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû, s - ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü). Îòíîø åíèå êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè ê ìàãíèòíîé âÿçêîñòè íàçûâàåòñÿìàãíèòíûì ÷èñëîì Ï ðàíäòëÿ Prm = n / n m . Îñíîâíûå îñîáåííîñòè Ì ÃÄ-òå÷åíèé ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî ïðîâîäÿù àÿ æèäêîñòü óâëåêàåò ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.  ïðåäåëå èäåàëüíîé ïðîâîäèìîñòè íàñòóïàåò ýôôåêò âìîðîæåííîñòè - ñèëîâûå ëèíèè ïîëÿ îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ æèäêèìè ÷àñòèöàìè. Í àèáîëåå èíòðèãóþ ù èì ñâîéñòâîì Ì ÃÄ-ïîòîêîâ ÿâëÿåòñÿ èõ ñïîñîáíîñòü ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ. Âïåðâûå èäåþ Ì ÃÄ-äèíàìî, à èìåííî èäåþ î òîì, ÷òî èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ Ñîëíöà ÿâëÿþòñÿ òå÷åíèÿ â åãî íåäðàõ, âûñêàçàë Ëàðìîð åù å â 1919 ãîäó. Îäíàêî, ïîïûòêè ïîñòðîèòü òåîðèþ äèíàìî èëè õîòÿ áû äàòü ïðèìåðû òå÷åíèé, ñïîñîáíûõ ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíûå ïîëÿ, äîëãîå âðåìÿ îñòàâàëèñü íåóäà÷íûìè. Ï åðâûå òî÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè íåãàòèâíûìè è âûëèëèñü â òàê íàçûâàåìûå

131

òåîðåìû çàïðåòà (èëè àíòèäèíàìî òåîðåìû). Ï åðâóþ òåîðåìó äîêàçàë Êàóëèíã (1934ã.), ïîêàçàâ, ÷òî íèêàêîå îñåñèììåòðè÷íîå òå÷åíèå íå ìîæåò ãåíåðèðîâàòü ìàãíèòíîå ïîëå. Âòîðóþ òåîðåìó çàïðåòà äîêàçàë Çåëüäîâè÷ â 1956ã. Ñóòü òåîðåìû â òîì, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëÿ íå ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ äâóìåðíûìè ïîòîêàìè (ýòî íå èñêëþ ÷àåò âîçìîæíîñòè âðåìåííîãî óñèëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íî çàïðåù àåò åãî óñòîé÷èâûé ðîñò è ñòàöèîíàðíîå ïîääåðæàíèå). Òàêèì îáðàçîì, áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìåõàíèçì äèíàìî ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí òîëüêî â ñóù åñòâåííî òðåõìåðíîì ïîòîêå, ïðè÷åì âàæíåéø óþ ðîëü â ýòîì ïðîöåññåèãðàåò ñïèðàëüíîñòü.  êîíòåêñòå èçëîæåíèÿ ñâîéñòâ è âîçìîæíîñòåé êàñêàäíûõ ìîäåëåé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòü èíòåðåñíà êàê ïðèìåð ñëîæíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ, õàðàêòåðèçóåìîãî îñîáûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (7.46)-(7.49) â áåçäèññèïàòèâíîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþò òðè êâàäðàòè÷íûå âåëè÷èíû.  ñëó÷àå òðåõìåðíîãî äâèæåíèÿ ýòî îáù àÿ ýíåðãèÿ E , ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü H C è ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü H B :

(

)

r r r E = òv 2 + B 2 dr , r r r H C = òv ×B dr , r r r H B = ò A ×B dr ,

( (

) )

(7.50) (7.51) (7.52)

r

r

r

ãäå A åñòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ìàãíèòíîãî ïîëÿ ( B = rot A ).  ñëó÷àå äâóìåðíîãî òå÷åíèÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë çàìåíÿåòñÿ êâàäðàòîì âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà

( )

r r a = ò A 2 dr .

(7.53)

Í àëè÷èå ó êàñêàäíûõ ìîäåëåé òèïà (7.22) çíàêîïåðåìåííûõ èíòåãðàëîâ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü íà ïîñòðîåíèå ìîäåëè, óäîâëåòâîðÿþ ù åé âñåì èçâåñòíûì â Ì ÃÄ çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ. Òàêàÿ ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå24 â ôîðìå

(d

2

t

) -

(d

)

e * * (1 - e) * ü Un- 1Un+ 1 - Bn*- 1 Bn*+ 1 + Un- 2Un*- 1 - Bn*- 2 Bn*- 1 ý + fn , 2 4 þ

(

)

(

)

)

- Rm - 1 k n Bn = ik n {( 1 - e - em )(U n* + 1 Bn* + 2 - Bn* + 1U n* + 2 )+ 2

t

+

24

{(

- nkn Un = ikn Un*+ 1Un*+ 2 - Bn*+ 1 Bn*+ 2 -

em * * (U n - 1Bn + 1 - Bn* - 1U n* + 1 )+ ( 1 - em ) (U n* - 2 Bn* - 1 - Bn* - 2U n* - 1 )üý + g n . 2 4 þ

(7.54)

(7.55)

Frick P.G., Sokoloff D.D. Cascade and dynamo action in a shell model of turbulence // Physical Review E, 1998, Vol.57.N.4. P.4155-4164.

132

Ï ðè Bn º 0 ñèñòåìà (7.54)-(7.55) ñîâïàäàåò ñ ìîäåëüþ GOY (7.22).  îáù åì ñëó÷àå ìîäåëü ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð em . Îòìåòèì, ÷òî ýíåðãèÿ è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü, âûðàæàåìûå â ìîäåëè â âèäå

(

) B ),

E = å | U n | 2 + | Bn | 2 , n

(

H C = å U n B n* + U n*

n

(7.56) (7.57)

n

ñîõðàíÿþòñÿ ñèñòåìîé ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà em . Òðåáîâàíèå ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû -1 (7.58) H B = å (- 1) n k n | Bn | 2 , n

ñëóæàù åé àíàëîãîì ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè (7.53), ïðèâîäèò ê îäíîçíà÷íîìó îïðåäåëåíèþ îáîèõ ïàðàìåòðîâ: e = 1 / 2 , em = 1 / 3 . Îòìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð e ñîâïàäàåòïðè ýòîì ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷àåìûì â ìîäåëè òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèáëèæåíèè ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ñèñòåìà (7.54)-(7.55) âíîâü ñîõðàíÿåòãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ñïèðàëüíîñòü. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè íóæíî ïîòðåáîâàòü ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû -2 (7.59) a = å k n | Bn | 2 n

(êâàäðàòà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà), ÷òî ïðèâîäèò ê ñëåäóþ ù èì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ: e = 5 / 4 , em = - 1 / 3 . Ì û ïðèâåäåì òîëüêî íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, êàñàþ ù èåñÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñâîáîäíî âûðîæäàþ ù åéñÿ Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè, õîòÿ êàñêàäíàÿ ìîäåëü, î êîòîðîé èäåò ðå÷ü, äàëà íîâûå ðåçóëüòàòû è ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè. Ñâîáîäíîå âûðîæäåíèå ïîäðàçóìåâàåò ðàâåíñòâî íóëþ ñèë f n è g n â óðàâíåíèÿõ (7.54)-(7.55) è ðåø åíèå çàäà÷è ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.  êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî ñïåêòðó, ñîîòâåòñòâóþ ù åå ñïåêòðàëüíûì çàêîíàì âèäà EV ~ E B ~ k - 2 (äëÿ âñåõ n ³ 0 ), óðîâåíü ìàãíèòíîé ýíåðãèè ñóù åñòâåííî íèæå ñîîòâåòñòâóþ ù åãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ( EV » 1, E B » 0,0001 ). ×èñëî Ðåéíîëüäñà Re = 10 7 , ìàãíèòíîå ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ Prm = 10 - 3 . Í à ðèñ.7.13 ïîêàçàí õàðàêòåð ýâîëþ öèè êèíåòè÷åñêîé (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) è ìàãíèòíîé (òîíêàÿ ñïëîø íàÿ ëèíèÿ) ýíåðãèè â òðåõìåðíîé Ì ÃÄòóðáóëåíòíîñòè (óðàâíåíèÿ ðåø àþ òñÿ äëÿ ñëó÷àÿ : e = 1 / 2 , em = 1 / 3 ). Âèäíî, ÷òî çà êîðîòêîå âðåìÿ (áåçðàçìåðíîå âðåìÿ, îïðåäåëåííîå ïî õàðàêòåðíîìó âðåìåíè îáîðîòà ìàêðîñêîïè÷åñêîãî âèõðÿ L / U , ïîðÿäêà åäèíèöû) ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ äîñòèãàåò óðîâíÿ ïîðÿäêà 1/10 îò óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé

133

ýíåðãèè. Çàòåì íàñòóïàåò îòíîñèòåëüíî äîëãèé ïðîìåæóòî÷íûé ýòàï (ïîðÿäêà äâàäöàòè áåçðàçìåðíûõ åäèíèö âðåìåíè), â òå÷åíèå êîòîðîãî ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ îñòàåòñÿ íà òîì æå óðîâíå. Ï îñëå ýòîãî ïðîèñõîäèò íîâûé ðîñò ìàãíèòíîãî ïîëÿ è åãî ýíåðãèÿ ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé, îñòàâàÿñü âñå æå ìåíüø å åå. Îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò ìåäëåííîå ñíèæåíèå îáù åãî óðîâíÿ ýíåðãèè, îáóñëîâëåííîå âÿçêèìè è îìè÷åñêèìè ïîòåðÿìè. Í à òîì æå ðèñ.7.13 òîëñòîé ñïëîø íîé ëèíèåé ïîêàçàíà ýâîëþ öèÿ ìàãíèòíîé ýíåðãèè â òàê íàçûâàåìîì êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Êèíåìàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïðåäïîëàãàåò ðàññìîòðåíèå óðàâíåíèÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ äëÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòè, òî åñòü ïðåíåáðåæåíèå îáðàòíûì äåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîëå ñêîðîñòè.  íàø åì ñëó÷àå ýòî ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñòâóåò îòáðàñûâàíèþ ÷ëåíîâ ñ ïåðåìåííûìè Bn èç óðàâíåíèÿ (7.54). Ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ êðèâàÿ ýâîëþ öèè ìàãíèòíîé ýíåðãèè äàåò íåîãðàíè÷åííûé ðîñò (ñèñòåìà óðàâíåíèé íå óäîâëåòâîðÿåò áîëåå çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ), õîòÿ íàðàñòàíèå ýíåðãèè è íå ïðîèñõîäèò ìîíîòîííûì îáðàçîì, à âêëþ ÷àåò è îòäåëüíûå èíòåðâàëû, â òå÷åíèå êîòîðûõ ýíåðãèÿ ïîëÿ ïàäàåò. Òàêîå ïîâåäåíèå ñîîòâåòñòâóåò êà÷åñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì î ïîâåäåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òóðáóëåíòíîé ïðîâîäÿù åé ñðåäå.  òî æå âðåìÿ, èçâåñòíûå ïîïûòêè ïðÿìîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Ì ÃÄòóðáóëåíòíîñòè, âîïðåêè îæèäàíèÿì, äàþò ðîñò ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîëüêî äî óðîâíÿ, â íåñêîëüêî ðàç ìåíüø åãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîòîêà. Ï ðèâåäåííûé ðåçóëüòàò ðåø åíèÿ êàñêàäíûõ óðàâíåíèé äàåò âîçìîæíóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî ôàêòà. Äåëî â òîì, ÷òî ñàìûå ïðîäîëæèòåëüíûå ÷èñëåííûå ðåø åíèÿ ïîëíûõ óðàâíåíèé íå âûõîäÿò çà âðåìåííîé èíòåðâàë

Ðèñ.7.13

Ðèñ.7.14

( t » 10 ).  ñâåòå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà íå óñïåâàåò âûéòè çà ðàìêè ïðîìåæóòî÷íîãî ýòàïà ýâîëþöèè. Í à ðèñ.7.14 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ âûðîæäàþ ù åéñÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï óíêòèð ïî ïðåæíåìó ïîêàçûâàåò óðîâåíü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðàÿ â äâóìåðíîì ïîòîêå óáûâàåò êðàé-

134

íå ìåäëåííî. Òîíêàÿ ñïëîø íàÿ ëèíèÿ îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ìàãíèòíîé ýíåðãèè â ïîëíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìå, à òîëñòàÿ ëèíèÿ - â êèíåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå è ðåø åíèÿ ïîëíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû, è ðåø åíèÿ â êèíåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå äàþ ò çàòóõàíèå ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñî âðåìåíåì (âûïîëíÿåòñÿ òåîðåìà çàïðåòà Çåëüäîâè÷à, èñêëþ ÷àþ ù àÿ âîçìîæíîñòü óñòîé÷èâîãî äèíàìî â äâóìåðíîì ïîòîêå). Õàðàêòåðíîå âðåìÿ çàòóõàíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâî, õîòÿ ýâîëþ öèÿ â íåëèíåéíîì ñëó÷àå èìååòçíà÷èòåëüíî áîëååãëàäêèé õàðàêòåð.  òî æå âðåìÿ õàðàêòåð ñâîáîäíîé ýâîëþ öèè äâóìåðíîé Ì ÃÄòóðáóëåíòíîñòè ñóù åñòâåííî îòëè÷àåòñÿ è îò õàðàêòåðà ýâîëþ öèè äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè. Í àïîìíèì, ÷òî â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ýíñòðîôèÿ, à âìåñòå ñ íåé è ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè, ñî âðåìåíåì ìîãóò òîëüêî óáûâàòü. Ï ðèñóòñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàðóø àåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíñòðîôèè.  ïðîöåññå ñâîáîäíîãî âûðîæäåíèÿ ýíñòðîôèÿ âîçðàñòàåò, à ýòî ïðèâîäèò ê ðîñòó ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ï ðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå â ïîâåäåíèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â âûðîæäàþ ù åéñÿ äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé è ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.7.15 (ñðàâíèòå ñ ðèñ.5.2, ãäå ïîêàçàíà ýâîëþ öèÿñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè). Ï îìèìî ýâîëþ öèè èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê, êàñêàäíûå ìîäåëè ïîçâîëÿþò ïðîñëåäèòü è çà èçìåíåíèåì ñïåêòðàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýíåðãèè. Í à ðèñ.7.16 ïîêàçàíû ðàñïðåäåëåíèÿ êèíåòè÷åñêîé (ñâåòëûå òî÷êè) è ìàãíèòíîé (òåìíûå òî÷êè) ýíåðãèè äâóìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè ïî ñïåêòðó (òî÷íåå, ïî îêòàâàì), ïîëó÷åííûå îñðåäíåíèåì ïî ðàçëè÷íûì èíòåðâàëàì âðåìåíè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà çíà÷èòåëüíîå ïðåâûøåíèå îáù åãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íàä ìàãíèòíîé, ñóù åñòâóåò äèàïàçîí ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ èìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è êèíåòè÷åñêàÿ. Ýòî îòíîñèòåëüíî ìåëêèå ìàñø òàáû, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþ ù èå ê äèññèïàòèâíîìó Ðèñ.7.15 èíòåðâàëó ( 5 £ n £ 8 ). Ýâîëþ öèÿ ñïåêòðîâ ýíåðãèè â òðåõìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè ïîêàçàíà íà ðèñ.7.17.  ýòîì ñëó÷àå ñóù åñòâóåò ïðîòÿæåííûé èíòåðâàë ìàñø òàáîâ, â êîòîðîì ìàãíèòíàÿ è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèè áëèçêè ïî âåëè÷èíå. Ì àãíèòíàÿ ýíåðãèÿ çàòóõàåò íà áîëåå êðóïíûõ ìàñø òàáàõ, ÷åì êèíåòè÷åñêàÿ - ýòî åñòåñòâåííûé ðåçóëüòàò, òàê êàê ìàãíèòíîå ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ ìàëî (10 - 3 ). Ñïåêòð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñ õîðîø åé òî÷íîñòüþ ñëåäóåò çàêîíó «-5/3» ( íà ðèñóíêå ýòîìó çàêîíó ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìàÿ ëèíèÿ). Ñïåêòð ìàãíèòíîé ýíåðãèè áîëåå êðóò (÷òî-òî ïîðÿäêà «-2»).

135

 çàêëþ ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèïèàëüíûå îòëè÷èÿ â ïîâåäåíèè äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ Ì ÃÄ-ïîòîêîâ ïðèíÿòî îáúÿñíÿòü òîïîëîãè÷åñêèìè àðãóìåíòàìè è òîò ôàêò, ÷òî ïðîñòûå êàñêàäíûå ìîäåëè, êîòîðûå òåðÿþ ò âñÿêóþ èíôîðìàöèþ î ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðå òå÷åíèé, âîñïðîèçâîäÿò ýòè ðàçëè÷èÿ, ñâèäåòåëüñòâóåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, î ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîé ðîëè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (òîëüêî ÷åðåç íèõ è ñîõðàíÿåòñÿ â ìîäåëè ïàìÿòü î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà) è, ñ äðóãîé ñòîðîíû, î òîì, ÷òî âîçìîæíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â ìîäåëèðîâàíèè ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì äàëåêî íå èñ÷åðïàíû.

Ðèñ.7.16

Ðèñ.7.17

Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû 1. Ãëåäçåð Å.Á., Äîëæàíñêèé Ô ., Îáóõîâ À.Ì . Ñèñòåìû ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà è èõ ïðèìåíåíèå. Ì .: Í àóêà, 1981. 366 ñ. 2. Çèìèí Â.Ä., Ô ðèê Ï .Ã. Òóðáóëåíòíàÿ êîíâåêöèÿ. Ì .: Í àóêà, 1988. 178 ñ.

136

8. ÇÀÊËÞ ×ÅÍ È Å Òóðáóëåíòíîñòü, ñîñòàâèâø àÿ ïðåäìåò íàñòîÿù åãî êóðñà, ñòîëü ñëîæíà è ïîäõîäû ê åå èçó÷åíèþ ñòîëü ðàçíîîáðàçíû, ÷òî îíà íå îñòàâëÿåò ø àíñîâ íà ñèñòåìàòè÷åñêîå è, ãëàâíîå, ïîëíîå èçëîæåíèå â ðàìêàõ ãîäîâîãî êóðñà. Àâòîð ñòàâèë ïåðåä ñîáîé áîëåå ñêðîìíóþ öåëü, ñîñòîÿù óþ â òîì, ÷òîáû îñòàâèòü ó ñëóø àòåëåé öåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îá ýòîì ðàçäåëå ãèäðîäèíàìèêè è äàòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì ø èðîêîì íàáîðåìåòîäîâ è ìîäåëåé, êîòîðûå ïðèìåíÿþ òñÿ â ýòîé îáëàñòè. Óäàëîñü ëè äîñòè÷ü ýòó öåëü ñóäèòü ÷èòàòåëþ. Ëþáûå êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ è ñîâåòû áóäóò âîñïðèíÿòû àâòîðîì ñ áëàãîäàðíîñòüþ .

137

138

Ô ðèê Ï åòð Ãîòëîáîâè÷

ÒÓÐÁÓËÅÍ ÒÍ Î ÑÒÜ: Ì ÎÄÅËÈ È Ï ÎÄÕÎÄÛ Êóðñ ëåêöèé

×àñòü II

Ðåäàêòîð È .Í .Æ åãàíèíà Êîððåêòîð Â.À.Êîçüìèíà

Ëèöåíçèÿ ËÐ-020370 îò 29.01.97 Ï îäïèñàíî ê ïå÷àòè 15.03.99. Ô îðìàò 60 õ 90/16. Óñë.ïå÷.ë.

Ï å÷àòü îôñåòíàÿ.

Í àáîð êîìïüþòåðíûé. Òèðàæ 100 ýêç.

Çàêàç88 Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë è ðîòàïðèíò Ï åðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Àäðåñ: 614600, Ï åðìü, Êîìñîìîëüñêèé ïð., 29à