Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, элементы математической статистики: Методические указания к выполнению лабораторных работ

Министерство образования Российской Федерации Северо-Западный государственный заочный технический университет Кафедра информатики и вычислительной математики

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Основы теории вероятностей, элементы математической статистики Методические указания к выполнению лабораторных работ

Факультеты все Специальности все Санкт-Петербург 2001

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 519.2.06(07) Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, элементы математической статистики: Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб.: СЗГТУ, 2001, - 51 с. Методические указания предназначены для студентов всех спе-циальностей всех форм обучения и представляют собой руко-водство к выполнению лабораторных работ по разделу “Основы теории вероятностей, элементы математической статистики” курса вычислительной математики. Содержат описание двух лабораторных работ. Разработаны на основе рабочей программы по теории вероят-ностей и математической статистике. Рассмотрено на заседании кафедры информатики и вычисли-тельной математики 5.06.2001 г., одобрено методической комис-сией факультета информатики и систем управления 03.12.2001 г. РЕЦЕНЗЕНТЫ: Каф. информатики и вычислительной математики Северо-Западного государственного технического университета (зав. кафедрой, канд. физ.-мат. наук, доц. Ткаченко Г.Г.), Востоков С.В., д-р. физ.-мат. наук, проф. мат.-мех. факультета СПбГУ 2

СОСТАВИТЕЛИ:

В.В. Тарасенко, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.Г. Ткаченко, канд. физ.-мат. наук, доц., М.Б. Шабаева, канд. физ.-мат. наук, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2001.

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Практика решения научно-технических задач в большинстве случаев приводит к необходимости обработки экспериментальных и статистических данных. Статистические методы позволяют учесть данные опыта для уточнения вероятностной модели, знание которой позволяет прогнозировать будущие события, что важно для принятия решений. Цель выполнения лабораторных работ по курсу “Основы теории вероятностей, элементы математической статистики” – углубление и обобщение теоретических знаний, освоение основных статистических методов и приобретение практических навыков использования MS Excel для обработки статистических данных. В лабораторных работах рассматриваются следующие типичные задачи математической статистики. Оценка неизвестных параметров распределения. Задача ставится так: случайная величина имеет закон распределения определенного вида, зависящий от параметра, 3

значение которого неизвестно. Требуется на основании опытных данных оценить значение этого параметра. Статистическая проверка гипотез. Одна из основных задач статистической проверки гипотез ставится так: на основании некоторых соображений можно считать, что закон распределения исследуемой случайной величины f ( x ) . Требуется установить, совместимы ли опытные данные с гипотезой о том, что случайная величина действительно имеет распределение f ( x ) . Средством решения указанных задач является табличный редактор MS Excel. Одной из целей выполнения работ является освоение возможностей MS Excel для решения сложных статистических задач. К этим возможностям можно отнести мощные и удобные средства анализа данных, составляющие так называемый Пакет анализа, аппарат формул и функций из категории Статистические, графические средства. В каждой лабораторной работе излагаются необходимые для ее выполнения теоретические сведения, приводятся решения типичных задач и варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы. В приложении приведены необходимые для выполнения лабораторных работ статистические таблицы. Нумерация рисунков и таблиц сквозная, а формулы нумеруются в каждой лабораторной работе автономно. К выполнению лабораторных работ допускаются студенты, изучившие основные теоретические положения и ознакомившиеся с порядком выполнения работ.

4

ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1983. 2. Ильичев В.С., Сланевский А.В. Элементы теории случайных процессов и математической статистики. – Л.: СЗПИ, 1979. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1999. 4. Рахмина Г.В. Excel 2000. Руководство пользователя с примерами. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. Дополнительная: 1. Ильичев В.С. Теория вероятностей. – Л.: СЗПИ, 1980. 2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения . – М.: Наука, 1988. 3. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов/ Под ред. А.В. Ефимова – М.: Наука, 1990. 4. Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере. Под ред. В.Н. Макаровой – М.: Финансы и статистика, 1997.

Лабораторная работа 1 5

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Цель работы Изучение методики статистического оценивания параметров распределения, освоение инструментов статистического анализа MS Excel. 2.

закона

Основные теоретические положения 2.1. Точечная оценка Если вид закона распределения случайной величины ξ , характеризующей генеральную совокупность, известен, то естественно возникает задача оценки (нахождения приближенного значения) параметров, которыми определяется это распределение. Обозначим неизвестный параметр закона распределения случайной величины ξ через a , а его числовое значение, которое требуется подобрать по результатам опытных данных, - a * . Пусть проводится n независимых наблюдений над случайной величиной ξ . Математически такой опыт описывается с помощью выборки. Выборкой объема n называют n независимых случайных величин X 1 , X 2 , ..., X n , каждая из которых распределена по тому же закону, что и случайная величина ξ . Числа x1 , x 2 , ..., xn , получаемые при однократном проведении опыта, представляют собой реализацию выборки. Очевидно, при повторном проведении опыта (при повторении n независимых наблюдений) будет получена другая реализация выборки. Оценкой 6

неизвестного параметра a закона распределения случайной величины ξ называется произвольная функция элементов выборки a n * = a n * ( X 1 , X 2 ,..., X n ) .

(1)

Из соотношения (1) видно, что a n * как функция случайных величин сама также является случайной величиной. Таким образом, в качестве приближенного значения параметра a , в качестве его точечной оценки, принимают конкретное числовое значение функции (1) при реализованных значениях выборки X i = xi , i = 1,..., n , т. е. полагают, что a ≈ a n * ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Для вычисления значения оценки могут быть использованы различные функции. Чтобы оценку можно было считать хорошим приближением к неизвестному параметру, она должна обладать свойствами несмещенности и состоятельности. Оценка a n * называется несмещенной оценкой параметра a , если ее

[ ]

математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. M a n * = a . a n * называется состоятельной оценкой параметра a , если при n → 0 P{an * − a < ε } → 1 для любого ε > 0 .

Оценка

7

Свойство несмещенности означает, что оценка не имеет систематической ошибки. Свойство состоятельности обеспечивает сближение оценки с измеряемым параметром при увеличении числа измерений n . Состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности служит выборочное математическое ожидание 1 n * mξ = ∑ X i . (2) n i =1

Выборочная дисперсия

(

)

2 1 n Dξ = ∑ X i − mξ * (3) n i =1 является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является величина *

(

1 n * s = ∑ X i − mξ n − 1 i =1 2

)2 .

(4)

Заметим, что формулы (3) и (4) отличаются лишь знаменателем, и при больших значениях n выборочная и несмещенная дисперсии отличаются мало. Однако при малом объеме выборки (n < 30) следует пользоваться соотношением (4). Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения), характеризующего наряду с дисперсией рассеяние значений случайной величины ξ , определяется формулой 8

σ ξ * = Dξ * .

(5)

Для малых выборок оценку стандартного отклонения вычисляют по формуле: s = s2 .

(6)

Как отмечалось выше, оценка an* параметра a представляет собой случайную величину. Разброс ее значений характеризуется дисперсией. На практике дисперсию оценки отождествляют с ошибкой оценки, а среднее квадратическое отклонение оценки называют стандартной (или средней) ошибкой. Таким образом, стандартная ошибка оценки a * определяется формулой

µ a * = D(a* ) . В курсе статистики доказывается, что оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины ξ , определяемая формулой (2), имеет нормальный закон N (m,

σ2

σ2 n

) (с математическим ожиданием m и дисперсией

). Следовательно, стандартную ошибку этой оценки следует вычислять по

n формуле

9

µ m* =

σ2 n

2.2.

.

(7)

Интервальная оценка

Наряду с точечной оценкой в статистике используется интервальная оценка неизвестного параметра закона распределения случайной величины ξ , которая дает представление о точности и надежности оценки. Точечная оценка a * является случайной величиной и отличается от постоянного истинного значения параметра a . Обозначим точность оценки (которую также называют предельной ошибкой) через ε (ε > 0) , тогда a − a * ≤ ε . Доверительной вероятностью (надежностью) называют вероятность β , с которой осуществляется

неравенство a − a * ≤ ε , т. е.

(

)

P a − a* ≤ ε = β .

Заменив неравенство

(8)

a − a * ≤ ε равносильным ему двойным неравенством

− ε ≤ a − a * ≤ ε , или a * − ε ≤ a ≤ a * + ε , получим

(

)

P a* − ε ≤ a ≤ a* + ε = β . 10

(9)

(

Доверительным называют интервал I β = a * − ε ;a * + ε ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью β . Точность оценки ε определяет длину доверительного интервала. Вероятность α = 1 − β называется уровнем значимости и характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. Предположим, что случайная величина ξ в генеральной совокупности распределена по нормальному закону N (m, σ 2 ) с неизвестным математическим ожиданием m и известной дисперсией D = σ 2 . Оценку математического ожидания вычислим по формуле (2). Доверительный интервал, соответствующий надежности β , определяется из условия (8), которое в нашем случае имеет вид

(

)

P m* − m ≤ ε = β .

Введем новую случайную величину

(10) m* − m . События σ n

  *  m −m ≤ε  

и

 m * − m  ε ≤ ≡ z β  эквивалентны, поэтому соотношение (10) можно записать в  σ n  σ n  виде 11

 m * − m  P ≤ zβ  = β . (11)  σ n  Поскольку, как отмечалось выше, оценка m* имеет нормальный закон распределения N (m,

σ2

) , то введенная случайная величина также имеет нормальный закон N (0,1) (с

n математическим ожиданием 0 и дисперсией, равной 1), а значит, вероятность в левой части формулы (11) можно выразить через нормальную стандартную функцию распределения:   m* − m  P ≤ z β  = 2Φ z β − 1 .   σ n  

( )

(12)

Приравняв правую часть формулы (12) заданной доверительной вероятности β , 1+ β получим уравнение Φ (z β ) = . Корень этого уравнения z β называется квантилью 2 1+ β стандартного нормального распределения и определяется из таблиц. порядка 2 Предельная ошибка ε

вычисляется по формуле ε =

12

σ

n

z β . Таким образом,

доверительным интервалом математического надежности β , является интервал

(

)

ожидания,

σ σ   I β = m* − ε , m* + ε =  m* − z β , m* + zβ  . n n  

соответствующим

(13)

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. Пусть случайная величина ξ в генеральной совокупности распределена по нормальному закону N (m, σ 2 ) с неизвестным математическим ожиданием m и неизвестной дисперсией D = σ 2 . Несмещенные оценки параметров m и σ 2 вычисляются по формулам (2) и (4). m* − m . Как показано в курсе статистики, эта Введем новую случайную величину s n случайная величина распределена по закону Стьюдента, который не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа наблюдений n . Напомним, что k = n − 1 называется числом степеней свободы закона Стьюдента. Рассуждая аналогично случаю, когда дисперсия известна, получим следующий доверительный интервал для математического ожидания:

13

(

)

s s   tβ . t β , m* + I β = m* − ε , m* + ε =  m* − n  n 

(14)

Замечание 1. В отличие от формулы (13) в формуле (14) используется оценка s вместо точного значения σ , а t β определяется по таблице распределения Стьюдента, а не по таблице стандартного нормального закона распределения. Замечание 2. Поскольку с увеличением числа степеней свободы k распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, то для больших выборок (n > 30 ) доверительный интервал для математического ожидания находят по формуле (13), подставляя в качестве σ оценку s . Пример. По выборке объема n = 10 , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены оценка математического ожидания m * = 3,62 и несмещенная дисперсия s 2 = 0,61. Найти доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности β = 0,90 . Решение. Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (14). По таблице А приложения для β = 0,90 и n − 1 = 9 находим t β = 1,83 . Точность оценки математического ожидания равна

ε = tβ

s 0,61 = 1,83 = 1,83 ⋅ 0,247 = 0,45 . 10 n 14

Подставляя m* и ε в формулу (14), находим доверительный интервал для математического ожидания I β = (3,62 − 0,45;3,62 + 0,45)

или I β = (3,17;4,07 ) . 3.

Порядок выполнения лабораторной работы

Лабораторная работа состоит из двух частей. Первая часть включает в себя выполнение заданий 1 и 2 и представляет собой контрольный пример, решение которого приведено ниже. Во второй части самостоятельно выполняется индивидуальное задание, включающее задания 3 и 4. Задание 1. 1.1. Получить с использованием Пакета анализа выборку объема n = 40 из генеральной совокупности, в которой случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами m = 4 и σ = 0,5. 1.2. Найти точечные оценки математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, а также стандартную ошибку оценки математического ожидания а) по данным малой выборки (n = 20 ); б) по данным большой выборки (n = 40 ). Задание 2. 2.1. Найти доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности β = 0,95 , для оценок математического ожидания, полученных в задании 1.2, без использования MS Excel. 2.2. Выполнить задание 2.1 с использованием MS Excel. 15

2.3. Построить с использованием инструмента Описательная статистика Пакета анализа статистический отчет для выборки малого объема. Задание 3. 3.1. Смоделировать с использованием Пакета анализа выборку случайной величины ξ , распределенной по нормальному закону с параметрами m и σ . Значения параметров и объема выборки n следует выбрать в соответствии с последней цифрой шифра из таблицы 1 (случайное рассеивание возьмите равным предпоследней цифре шифра). Таблица 1 Последняя 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 цифра шифра 1;0,4 1;0,5 2;0,5 2;0,4 3;0,5 3;0,6 5;0,6 6;0,7 7;0,6 8;0,7 m, σ 42 44 46 48 50 49 47 45 43 41 n 3.2. Выполнить с использованием MS Excel точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности по данным выборки, полученной в п. 3.1. Значение доверительной вероятности возьмите равным 0,90. Задание 4. По результатам выполнения заданий 1 и 2 сформулировать и обосновать выводы о том, как изменяется точность найденных параметров в зависимости от объема выборки. 16

Выполнение задания 1.1. Инструмент Генерация случайных чисел Пакета предназначен для проведения статистического моделирования. Для анализа моделирования выборки заданного закона распределения выполните следующие действия: 1. Выберите команду Сервис – Анализ данных. Откроется окно диалога “Анализ данных” (рис. 1 ). 2. Из списка инструментов анализа выберите Генерация случайных чисел и нажмите кнопку OK. На экране появится окно диалога “Генерация случайных чисел” (рис. 2). 3. Введите в поле Число переменных 1 (поскольку требуется смоделировать один закон распределения), а в поле Число случайных чисел - 40 (объем выборки). 4. Закон распределения моделируемой случайной величины задается параметром Распределение: выберите из списка Нормальное. Откроется окно диалога для ввода параметров нормального распределения. 5. Введите в поле Среднее число 4, в поле ввода Стандартное отклонение - 0,5, а в поле Случайное рассеивание - число 4. 6. В разделе “Параметры вывода” установите переключатель Выходной интервал. В одноименном поле укажите ячейку $А$6, начиная с которой будут выводиться на экран выборочные значения. 7. Нажмите кнопку OK. В столбце А, начиная с ячейки А6, появятся генерируемые значения выборки. 8. Значения ячеек А26:A45 перенесите в ячейки B6:B25 для удобства дальнейшей обработки. 17

Создаваемая электронная таблица представлена в таблице 2 в режиме вычислений и в таблице 3 в режиме формул. Завершая выполнение первого задания, оформите таблицу так, как указано ниже: Ячейка Значение B1 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ A2 выборка из нормального распределения с параметрами

18

Рис. 1. Окно диалога “Анализ данных”

19

Рис. 2. Окно диалога “Генерация случайных чисел” 20

Ячейка Значение Ячейка Значение F2 мат ожид G2 4 F3 станд откл G3 0,5 F4 дов вер G4 0,95 F5 объем выборки G5 40 Назовите ярлык рабочего листа Оценки. Выполнение задания 1.2. Для нахождения значений точечных оценок воспользуемся функциями, которые содержатся в категории Статистические. Функция СРЗНАЧ возвращает значение оценки математического ожидания, вычисленное по формуле (2), функции ДИСПР и СТАНДОТКЛОНП - значения выборочных дисперсии и стандартного отклонения (формулы (3) и (5)). Для вычисления значений несмещенной оценки дисперсии и оценки стандартного отклонения по формулам (4) и (6) воспользуемся функциями ДИСП и СТАНДОТКЛОН соответственно. Введите формулы для вычисления значений точечных оценок параметров закона распределения для малой выборки в строку 8 (ячейки D8:H8), для большой выборки в строку 9 (ячейки D9:H9). Ячейка Значение D8 =СРЗНАЧ(A6:A25) D9 = СРЗНАЧ(A6:B25) 21

E8 E9 F8 F9 G8 G9

=ДИСП(A6:A25) =ДИСП(A6:B25) =СТАНДОТКЛОН(A6:A25) = СТАНДОТКЛОН(A6:B25) =ДИСПР(A6:A25) =ДИСПР(A6:B25)

Ячейка Значение H8 =СТАНДОТКЛОНП(A6:A25) H9 = СТАНДОТКЛОНП(A6:B25) В ячейках С8 и С9 укажите объемы большой и малой выборок - числа 20 и 40. Формулу (7) для расчета стандартной ошибки наберите в ячейках I8 и I9. Ячейка Значение I8 =F8/КОРЕНЬ(С8) I9 =F9/КОРЕНЬ(С9) Чтобы электронная таблица была удобной для анализа результатов вычислений, введите следующие поясняющие заголовки: Ячейка Значение Ячейка Значение D6 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ С7 объем выб 22

D7 выб среднее E7 несм дисп F7 несм станд откл G7 выб дисп Н7 выб станд откл I7 станд ошибка Выполнение задания 2.1. Задача о нахождении доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины решена в Примере. В расчетах следует использовать вычисленные при выполнении задания 1 значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии. Выполнение задания 2.2. 1. Доверительный интервал для математического ожидания в случае малой выборки определяется по формуле (14). Расчет выполним в ячейках C13:G13. 1.1. Введите значения объемов малой и большой выборок (числа 20 и 40) в ячейки C13 и C14 соответственно. 1+ β 1.2. Функция СТЬЮДРАСПОБР возвращает квантиль порядка 2 распределения Стьюдента с n − 1 степенью свободы t β . В качестве аргументов функции следует указать уровень значимости α = 1 − β и число степеней свободы. Введите в ячейку D13 формулу =СТЬЮДРАСПОБР(1-$G$4;C13-1). 1.3. Для вычисления предельной ошибки ε = 23

s t β введите в ячейку E13 формулу n

=D13*F8/КОРЕНЬ(С13). 1.4. Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала вычислите в ячейках F13 и G13. Ячейка Значение F13 =D8-E13 G13 =D8+E13 2. Расчет границ доверительного интервала для математического ожидания большой выборки по формуле (13) выполните в ячейках D14:G14. Для нахождения 1+ β воспользуйтесь квантили нормального стандартного распределения порядка 2 функцией НОРМСТОБР. Введите следующие формулы: Ячейка Значение D14 =НОРМСТОБР((1+$G$4)/2) E14 =D14*F9/КОРЕНЬ(C14) F14 = D9-E14 G14 =D9+E14 Введите комментарий так, как указано ниже. Ячейка Значение D11 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ Ячейка Значение Ячейка Значение 24

С12 объем выб D12 квантиль E12 пред ошибка F12 ниж гран G12 верх гран 3. Функция ДОВЕРИТ возвращает предельную ошибку для заданной доверительной вероятности. Аргументами этой функции являются уровень значимости, несмещенное стандартное отклонение и объем выборки. Введите в ячейку E15 формулу =ДОВЕРИТ(1-$G$4;F9;C14). Убедитесь в том, что значения ячеек E14 и E15 cовпадают. Выполнение задания 2.3. Инструмент Описательная статистика позволяет построить статистический отчет для входных данных (заданной выборки). Выходная таблица содержит два столбца: левый столбец содержит названия статистических данных, правый – статистические данные. Для получения результатов обработки выборки в выходной таблице выполните следующие действия: 1. Выберите команду Сервис – Анализ данных – Описательная статистика. 2. В открывшемся окне диалога “Описательная статистика” задайте параметры (рис. 3). Введите входной интервал $A$6:$A$25. Для параметра Группирование установите переключатель по столбцам. 3. Установите флажки Итоговая статистика, Уровень надежности, в одноименное поле введите 95%. 25

4. В разделе Параметры вывода установите переключатель Выходной интервал и в поле Выходной интервал введите адрес ячейки $D$17.

26

27

Рис. 3. Задание параметров в окне диалога “Описательная статистика” 5. Параметры окна диалога “Описательная статистика” установлены. Нажмите кнопку OK. На экране появится таблица, созданная инструментом Описательная статистика для заданной выборки. Рассмотрите внимательно эту таблицу. Сравните приведенные в ней значения для среднего, дисперсии и стандартного отклонения малой выборки, а также стандартной ошибки с результатами расчетов тех же величин с использованием формул (со значениями в ячейках D8, E8, F8, I8). Уровнем надежности в таблице названа предельная ошибка. В таблице приведены и другие характеристики выборки. Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Интервалом названа разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки. Максимум – это наибольший элемент выборки, а сумма и счет – это сумма значений элементов выборки и ее объем. 4. Содержание отчета

1. Название работы и задание. 2. Результаты ручного счета по заданию 2.1. 3. Две распечатки таблицы, созданной при выполнении задания 3 (одна содержит результаты вычислений, другая - сами формулы). 28

4. Результаты анализа данных по заданию 4. Литература: [1], гл. 16; [2], c. 29 – 47; [3], c. 126 – 138; [4], гл. 9. 6. Параметры окна диалога “Описательная статистика” установлены. Нажмите кнопку OK. На экране появится таблица, созданная инструментом Описательная статистика для заданной выборки. Рассмотрите внимательно эту таблицу. Сравните приведенные в ней значения для среднего, дисперсии и стандартного отклонения малой выборки, а также стандартной ошибки с результатами расчетов тех же величин с использованием формул (со значениями в ячейках D8, E8, F8, I8). Уровнем надежности в таблице названа предельная ошибка. В таблице приведены и другие характеристики выборки. Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Интервалом названа разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки. Максимум – это наибольший элемент выборки, а сумма и счет – это сумма значений элементов выборки и ее объем. 5. Содержание отчета

5. Название работы и задание. 6. Результаты ручного счета по заданию 2.1. 7. Две распечатки таблицы, созданной при выполнении задания 3 (одна содержит результаты вычислений, другая - сами формулы). 29

8. Результаты анализа данных по заданию 4. Литература: [1], гл. 16; [2], c. 29 – 47; [3], c. 126 – 138; [4], гл. 9.

Лабораторная работа 2 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА 4. Цель работы Освоение методики проверки гипотезы о нормальном законе распределения с использованием инструментов статистического анализа MS Excel. 5. Основные теоретические положения Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, то оценить его по экспериментальным данным можно с помощью гистограммы. Окончательный вывод о согласованности опытных данных с предполагаемым законом распределения устанавливается в результате проверки гипотезы о модели закона распределения. 5.1.

Гистограмма

Если количество различных значений в выборке (вариантов) слишком велико, опытные данные представляют в виде интервального вариационного ряда 30

распределения. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивают на k частичных интервалов точками z0 < z1 < ... < zi −1 < zi < ... < zk . Для каждого частичного интервала ( zi −1 , zi ) определяют частоты – количество mi элементов выборки, попавших в i–й интервал. При этом в интервал включают значения, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы. Если значение попадает на границу двух соседних частичных интервалов, то число значений случайной величины в каждом из них увеличивают на 1/2. Далее находят относительные частоты m (статистические вероятности) pi * = i , где n -число элементов в выборке. n Обычно считают, что все частичные интервалы имеют одну и ту же длину h . Эту длину следует выбрать так, чтобы построенный ряд не был громоздким и в то же время позволял выявить характерные особенности изменения случайной величины. Для определения величины частичного интервала можно воспользоваться формулой Стерджеса h=

( xнаиб − xнаим ) , (1 + 3,32 lg n )

(1)

где xнаиб - наибольшее, а xнаим -наименьшее значения в выборке. За начало первого интервала рекомендуется брать величину z0 = xнаим − 0,5h . Промежуточные интервалы получают прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h . 31

Если опытные данные представлены в виде интервального вариационного ряда распределения, то точечные оценки параметров распределения находятся так. Каждому i–му интервалу приписывается одно возможное значение случайной m z +z величины, равное xi = i −1 i , и соответствующая ему частота pi * = i . Значения n 2 оценок математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения вычисляются по формулам k 1 k m = ∑ xi mi = ∑ xi pi * , n i =1 i =1 *

(

)

(2)

(

)

n k 1 k * 2 * 2 * s = x − m m = x − m pi , ∑ i ∑ i i n − 1 i =1 n − 1 i =1 2

(3)

s = s2 . (4) Для наглядного представления интервального вариационного ряда используется гистограмма. Для ее построения на оси абсцисс откладывают частичные интервалы длиною h , и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник. В результате такой операции получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которую называют гистограммой. При построении гистограммы частот высота i–го частичного прямоугольника равна отношению m i h (плотность частоты). Площадь i–го частичного 32

прямоугольника численно равна k

mi ⋅ h = mi , а площадь гистограммы частот численно h

равна ∑ mi = n , т. е. объему выборки. i =1

При построении гистограммы относительных частот высота i–го частичного m /n прямоугольника равна отношению относительной частоты к длине интервала i h (плотность относительной частоты). Площадь i–го частичного прямоугольника m n m численно равна i ⋅ h = i , а площадь гистограммы относительных частот численно h n k m равна ∑ i = 1, т. е. единице. Гистограмма относительных частот является i =1 n статистическим аналогом плотности вероятности генеральной совокупности. 5.2. Понятие статистической гипотезы о виде распределения Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (например, f ( x) ), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону f ( x) . Выдвинутую гипотезу называют нулевой (основной) и обозначают H0. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и альтернативную ей гипотезу H1, исключающую основную гипотезу. Выдвинутая гипотеза H0 может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Гипотезу проверяют на основании выборки, 33

полученной из генеральной совокупности. Из-за случайности выборки в результате проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неверное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что H0 отвергают, хотя в действительности она верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают H0, хотя в действительности верна H1. Допустимая вероятность ошибки первого рода обозначается через α и называется уровнем значимости. Значение α обычно мало и устанавливается самим исследователем в зависимости от характера и важности решаемых задач. Уровень значимости, например, α = 0,05 , означает, что в среднем в 5 случаях из 100 имеется риск отвергнуть верную гипотезу H0. Решение относительно гипотезы H0 принимается по значению некоторой случайной величины K , которая называется критерием согласия. Это такая специально подобранная величина, которая подчиняется при выполнении гипотезы H0 некоторому известному закону распределения. Значения K зависят от выборочных данных и позволяют судить о “расхождении выборки с гипотезой H0”. Множество значений критерия согласия K можно разделить на два непересекающихся подмножества: подмножество значений критерия, при которых гипотеза H0 отвергается (отклоняется), называют критической областью; подмножество значений критерия, при которых гипотеза H0 не отклоняется, называется областью принятия гипотезы. Критическим значением K кр называют значение, отделяющее критическую область от области принятия гипотезы. Критическое значение критерия K кр определяется исходя из требования, чтобы при 34

условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий K примет значение, большее K кр , была равна принятому уровню значимости:

(

)

P K > K кр = α

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Принцип проверки гипотезы и принятия заключения о совместимости выборочных данных с выдвинутой гипотезой состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия, вычисленное по выборке, принадлежит критической области ( K набл > K кр ) - нулевую гипотезу отвергают, как не согласующуюся с результатами наблюдений, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы ( K набл < K кр ) - расхождение выборочных данных с предполагаемым законом распределения не существенно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Вывод “гипотеза H0 не отвергается” не означает, что H0 является единственно подходящей гипотезой: просто расхождение между выборочными данными и гипотезой H0 невелико, или иначе H0 не противоречит результатам наблюдений; однако таким же свойством наряду с H0 могут обладать и другие гипотезы. 5.3.

Критерий согласия Пирсона

Предположим, что выполнено n измерений некоторой случайной величины ξ x1 , x2 , ..., xn (5) 35

и есть основания полагать, что результаты распределены нормально с плотностью вероятности f (x) =

1 e 2π σ

−

( x −m )2 2σ 2

.

(6)

Параметры закона распределения m и σ обычно неизвестны. Вместо неизвестных параметров подставляют значения их оценок, которые вычисляют по следующим формулам: 1 n m = ∑ xi , n i =1 *

(7)

(

1 n * s= ∑ xi − m n − 1 i =1

)2 .

(8)

В качестве критерия проверки выдвинутой гипотезы примем критерий согласия Пирсона (критерий согласия “хи квадрат”) k

χ2 = ∑

i =1

(mi − mi ) , Т 2

mi

(9)

Т

36

где k -число интервалов, на которые разбито выборочное распределение, mi - частоты эмпирического распределения, miТ - частоты теоретического распределения. Из формулы вытекает, что критерий характеризует близость эмпирического и теоретического распределений: чем меньше различаются mi и mi Т , тем меньше

значение χ 2 . Доказано, что при n → ∞ закон распределения случайной величины (9) независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения χ 2 с r степенями свободы. Число степеней свободы определяется равенством r = k − 1 − s , где k - число частичных интервалов, s - число параметров предполагаемого распределения, которые были оценены. Для нормального распределения оцениваются два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому r = k − 1 − 2 = k − 3. В соответствии с процедурой проверки гипотезы следует вычислить наблюдаемое значение критерия. Чтобы вычислить частоты эмпирического распределения, весь интервал наблюдаемых значений делят на k частичных интервалов (бинов) точками zk : − ∞ = z 0 < z1 < z 2 < K < z k −1 < z k = ∞ .

(10)

mi определяют, подсчитав число измерений (5), которые попадают в i - ый интервал ( zi−1 , zi ) . 37

Используя теоретический закон распределения (6) можно рассчитать ожидаемое число mi Т результатов измерений для каждого интервала i . Вероятность того, что результат одного измерения попадает в интервал ( z i −1 , z i ) , равна pi = P( zi −1 ≤ ξ < zi ) = FN ( zi ) − FN ( zi −1 ) ,

(11) z

где FN ( z ) - интегральный закон нормального распределения: FN ( z ) = ∫ f (t )dt . −∞

Учитывая, что функция распределения FN ( x ) с параметрами m и σ связана со  x − m стандартной нормальной функцией формулой FN ( x ) = Φ  , соотношение (11)  σ  можно записать в следующем виде:  zi − m*   z i −1 − m*  .  − Φ pi = Φ     s  s   

(12)

Поскольку мы проводим не одно, а n измерений и эти измерения независимы, то их можно рассматривать как n испытаний Бернулли, в которых “успехом” считается попадание результата измерения в интервал ( z i −1 , z i ) . Тогда числа mi Т вычисляются по формуле 38

mi Т = n ⋅ pi

(13)

(математическое ожидание числа “успехов” при n испытаниях). Для заданного уровня значимости по таблицам определяют критическое значение критерия. Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия делают вывод о соответствии экспериментальных данных предполагаемому закону распределения. Пример . Проверить с помощью критерия χ 2 при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что выборка объема n = 50 , представленная интервальным вариационным рядом в таблице 4, извлечена из нормальной генеральной совокупности. Таблица 4

Номер интервала i

Границы интервала

Частота mi

1

0–2

5

2

2–4

11

3

4 –6

17

4

6–8

10

5

8 – 10

7

39

Решение. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы: H0 эмпирическое распределение соответствует нормальному; H1 эмпирическое распределение не соответствует нормальному. Для проверки нулевой гипотезы необходимо рассчитать наблюдаемое значение критерия χ 2 набл по формуле (9) и сравнить его с критическим значением χ 2 кр . 2. Определим параметры предполагаемого (теоретического) нормального закона распределения. z +z m Найдем середины интервалов xi = i −1 i и относительные частоты pi * = i . 2 n Получим следующие значения: xi pi *

1 5 50

3

5

7

9

11 17 10 7 50 50 50 50

Оценку математического ожидания найдем по формуле (2): 11 17 10 7  5 m * = 1 ⋅ + 3 ⋅ + 5 ⋅ + 7 ⋅ + 9 ⋅  = 50 50 50 50   50 =

1 (5 + 33 + 85 + 70 + 63) = 256 = 5,12 . 50 50 40

Оценки дисперсии и стандартного отклонения вычислим по формулам (3), (4):

(

s 2 = (1 − 5,12)2 ⋅ 5 + (3 − 5,12 )2 ⋅ 11 + (5 − 5,12)2 ⋅ 17 + + (7 − 5,12 )2 ⋅ 10 + (9 − 5,12 )2 ⋅ 7 ) ⋅

1 1 = ⋅ 275,27 = 5,62 ; 49 49

s = 5,62 = 2,37 .

3. Выполним расчет теоретических частот mi Т по формуле (13). Для вычисления вероятностей pi по формуле (12) воспользуемся таблицей В приложения со значениями нормальной стандартной функции распределения. При этом наименьшее значение, т. е. z 0 , полагаем равным − ∞ , а наибольшее, т. е. z5 , полагаем равным ∞ . Последовательно находим для интервала (− ∞,2 )  2 − 5,12  p1 = Φ  − Φ (− ∞ ) = Φ(− 1,3) − 0 = 1 − Φ (1,3) = 1 − 0,9 = 0,1 ;  2,37  m1Т = 50 ⋅ 0,1 = 5 ; 41

для интервала (2,4)  4 − 5,12   2 − 5,12  p2 = Φ   − Φ  = Φ (− 0,5) − Φ(− 1,3) = 0,90 − 0,69 = 0,21 ; 2 , 37 2 , 37    

m2Т = 50 ⋅ 0,21 = 10,5 ;

для интервала (4,6)  4 − 5,12   6 − 5,12  p3 = Φ   = Φ (0,4 ) − Φ (− 0,5) = 0,66 − 0,31 = 0,35;  − Φ 2 , 37 2 , 37     m3Т = 50 ⋅ 0,35 = 17,5 ;

для интервала (6,8)  8 − 5,12   6 − 5,12  p 4 = Φ  − Φ  = Φ (1,2 ) − Φ (0,4 ) = 0,88 − 0,66 = 0,22 2 , 37 2 , 37     m4 Т = 50 ⋅ 0,22 = 11 ;

для интервала (8, ∞ )  8 − 5,12  p5 = Φ (∞ ) − Φ  = Φ (∞ ) − Φ (1,2 ) = 1 − 0,88 = 0,12 ;  2,37  42

m5Т = 50 ⋅ 0,12 = 6 .

4. По формуле (9) найдем значение χ 2 набл : Т 2 2 2 ( ) m m − ( ) ( ) 5 5 11 10 , 5 − − 2 i χ набл = ∑ i = + + 5

i =1

+

mi Т

5

10,5

(17 − 17,5)2 (10 − 11)2 (7 − 6)2 17,5

+

11

+

6

= 0,29 .

5. По таблице квантилей распределения χ 2 (см. таблицу С приложения) с числом степеней свободы r = k − 3 = 5 − 3 = 2 находим для α = 0,05 χ 2 кр = 6,0 . Поскольку χ 2 набл < χ 2 кр ; 0,29 < 6,0 , то можно считать, что гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит опытным данным.

3. Порядок выполнения лабораторной работы 43

В данной лабораторной работе задания 1 и 2 представляют собой контрольный пример, решение которого приводится ниже. Задания 3 и 4 составляют индивидуальное задание. Задание 1. Для выборки из 40 значений случайной величины ξ , полученной в задании 1 работы 1, оценить близость эмпирического распределения к нормальному распределению: а) построить интервальный вариационный ряд и гистограмму частот; б) построить на одном графике гистограмму относитель-ных частот и график плотности нормального распределения. Задание 2. При уровне значимостит 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием χ 2 - критерия как критерия согласия. Задание 3. Для выборки нормальной случайной величины, смоделированной в задании 3 работы 1, построить, на выбор, либо гистограмму частот, либо гистограмму относительных частот. Задание 4. Пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли с нормальным распределением статистическое распределение из задания 3 работы 1. Выполнение задания 1. 1. Подготовьте рабочий лист. Для этого выполните следующее: • перейдите на новый лист и введите в ячейку ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ; • назовите ярлык листа Гистограмма; 44

B1 название таблицы

• разместите в ячейках A5:B24 выборку, которая была получена при выполнении задания 1.1 лабораторной работы 1 (40 значений нормальной случайной величины с параметрами m = 4 и σ = 0,5 ), либо выполнив копирование значений с листа Оценки, либо повторив процедуру моделирования выборки заданного закона распределения. Создаваемая электронная таблица представлена в таблице 5 в режиме вычислений и в таблице 6 в режиме формул. 2. Для построения интервального вариационного ряда выполните следующие действия: 2.1. Произведите расчет длины частичных интервалов в ячейках C5:G5 по формуле (1). Для этого введите формулы и комментарии так, как указано ниже:

Ячейка C5 D5 E5 F5 G5 H5 I5

Значение

40 =МИН(A5:B24) =МАКС(A5:B24) =1+3,32*LOG10(C5) =(E5-D5)/F5 =СРЗНАЧ(A5:B24) =СТАНДОТКЛОН(A5:B24)

Ячейка

C4 D4 E4 F4 G4 H4 I4

Значение

объем выб мин макс k вел инт-ла оценка мат ож несм станд откл

45

2.2. Разместите массив значений границ интервалов в ячейках C9:D15 (в столбце С – значения левых границ, в столбце D – значения правых границ). Выполните это так: • для определения левой границы первого частичного промежутка введите в ячейку С9 формулу

=$D$5-$G$5/2; • для определения правой границы введите в ячейку D9 формулу =C9+$G$5; • поскольку левая граница последующего частичного промежутка совпадает с правой границей предыдущего введите в ячейку С10 формулу

=D9;

• перенесите автозаполнением формулу из ячейки С10 на диапазон С11:C15, а формулу из D9 – в ячейки D10:D15; • в ячейку С8 введите текст левый кон, в ячейку D8 – правый кон. 46

3. Для построения гистограммы частот воспользуемся инструментом анализа Гистограмма. Выполните команду Сервис – Анализ данных – Гистограмма. В окне “Гистограмма” задайте параметры; • введите в поле Входной интервал $A$5:$B$24, в поле Интервал карманов $D$9:$D$15, в Выходной интервал – $E$8; • установите флажок Вывод графика; • нажмите OK. На экране появятся выходная таблица и гистограмма. В левом столбце таблицы размещен карман – так в MS Excel называется набор граничных значений частичных интервалов. Правый столбец содержит вычисленные значения частот. Разместите полученную диаграмму (выделите и перетащите) так, чтобы левый верхний конец находился в ячейке J8. 4. Подготовим исходные данные для построения гистограммы относительных частот и графика плотности вероятности. 4.1. Расчет относительных частот произведите в ячейках G9:G15, для этого введите в ячейку G9 формулу

=F9/$C$5 и перенесите ее на диапазон G10:G15. 4.2. При построении гистограммы используются значения плотности относительных частот. Выполните расчет этих значений в ячейках H9:H15. Введите в ячейку H9 формулу 47

=G9/$G$5 и скопируйте ее в ячейки H10:H15. Озаглавьте столбцы: введите в G8 текст отн част, в H8 – плот отн част. 4.3. Сформируйте в ячейках I9:I15 массив значений плотности вероятности, по которым будет построен график. Указанные значения вычислите с использованием функции НОРМРАСП в граничных точках частичных интервалов, размещенных в ячейках D9:D15. Введите в I9 формулу =НОРМРАСП(D9;$H$5;$I$5;0) и перенесите ее на диапазон I10:I15. 5. Как отмечалось выше, площадь гистограммы относительных частот численно равна единице. Введите для контроля правильности вычислений в ячейку G16 текст контроль, а в ячейку H16 – формулу

• • • •

=СУММ(H9:H15)*$G$5. 6. Для построения гистограммы и графика выполните следующие действия: выделите ячейки H9:I15, в которых размещены данные; нажмите кнопку Мастер диаграмм, откроется окно диалога; выберите вкладку “Нестандартные” и вид графика График!гистограмма, нажмите кнопку Далее; на втором шаге построения диаграммы выберите вкладку “Ряд”. Измените текст легенды (условного обозначения для рядов данных): в разделе Ряд выделите Ряд 1, перейдите в поле Имя и введите текст Плотность вероятности, затем выделите Ряд 2 и в поле Имя наберите Плотность отн частот; 48

• введите в поле “Подписи оси Х” диапазон D9:D15 и нажмите кнопку Далее; • оформление гистограммы на третьем шаге можно опустить (либо выполните по своему желанию); • на четвертом шаге задайте место размещения гистограммы –имеющийся лист и нажмите OK. Выполнение задания 2. 1. Подготовьте рабочий лист. Для этого выполните следующие действия: • перейдите на новый лист и введите в ячейку С1 название таблицы ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА; • назовите ярлык листа Крит Пирсона; • занесите в ячейку E2 значение заданного уровня значимости 0,05, а в С2 уровень значимости; • перенесите содержимое столбцов A, B, C, D, а также четвертой и пятой строк с листа Гистограмма на лист Крит Пирсона. Создаваемая электронная таблица представлена в таблице 7 в режиме вычислений и в таблице 8 в режиме формул. Чтобы вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (9), для каждого частичного интервала необходимо найти значения эмпирической и теоретической частот. 2. Частоту появления значений выборки в построенных частичных интервалах (эмпирическую частоту) вычислите с помощью функции ЧАСТОТА, которая возвращает распределение частот в виде вертикального массива. Эта функция подсчитывает для данного множества значений и данного множества карманов 49

(интервалов, в математическом смысле), сколько исходных значений попадает в каждый интервал. Выполните следующие действия: • выделите ячейки E9:E15, в которые будет введена функция ЧАСТОТА (данная функция возвращает массив, поэтому она должна задаваться в качестве формулы массива); • нажмите кнопку Вставка функции; • в открывшемся окне диалога “Мастер функций” выберите функцию ЧАСТОТА из категории Статистические и нажмите кнопку OK;

• укажите в поле Массив данных диапазон $A$5:$B$24, в поле Двоичный массив - $D$9:$D$15 (массив верхних границ интервалов); • не выходя из строки формул, одновременно нажмите клавиши Ctrl+Shift+Enter; • введите в ячейку E7 текст эмп частота, в D16 – число бинов, а в E16 – формулу для подсчета числа бинов

=СЧЕТ(E9:E15). 50

3. Расчет теоретической частоты по формулам (11) и (13) произведите в ячейках F9:H15. Выполните следующее: • определите значения интегральной функции распределения на правом конце для каждого частичного промежутка, для чего введите в ячейку F9 формулу

=НОРМРАСП(D9;$H$5;$I$5;1) и перенесите ее автозаполнением на диапазон F10:F14 (в ячейку F15 введите 1, поскольку F (∞ ) = 1 ); • вычислите вероятность того, что результат одного измерения попадет в частичный интервал, для чего введите в ячейку G9 формулу =F9-F8 и скопируйте ее на диапазон G10:G15; • сосчитайте теоретические частоты, введя в ячейку H9 формулу =$C$5*G9 и автозаполнением перенеся ее на диапазон H10:H15; • поясните полученные результаты, для этого в ячейку F7 введите текст ф р на пр конце, в ячейку G7 – вер, а в H7 – теор частота. 4. Вычислите слагаемые критерия Пирсона, для чего введите в ячейку I9 формулу =(E9-H9)^2/H9 и автозаполнением перенесите эту формулу в ячейки I10:I15. 5. Наблюдаемое значение критерия вычислите по формуле (9) в ячейке I16, для чего введите формулу 51

=СУММ(I9:I15). 6. Критическое значение критерия “хи-квадрат” для уровня значимости 0,95 и числа степеней свободы r = 3 выведите в ячейке I17, набрав формулу =ХИ2ОБР($E$2;$E$16-3). Функция ХИ2ОБР возвращает обратную функцию для χ 2 -распределения. В ячейку H16 введите текст набл зн критерия, а в H17 – крит зн критерия. Так как наблюдаемое значение критерия, равное 4,26, меньше критического значения, равного 9,49, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергаем. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, смоделированные значения случайной величины согласуются с гипотезой о распределении случайной величины с заданным законом распределения. 4. Содержание отчета

1. Название работы и задание. 2. По две распечатки таблиц, созданных при выполнении заданий 3 и 4 (одна распечатка содержит результаты вычислений, другая – сами формулы). 3. Выводы по результатам выполнения задания 4.

Литература: [1], гл. 19; [2], с. 55-62; [3], с. 144-148; [4], гл. 14.

52

Содержание

Общие указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Лабораторная работа 1. Статистическое оценивание параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Лабораторная работа 2. Проверка Пирсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

гипотезы

53

о

законе распределения. Критерий