Математический анализ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Е. Б. Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов, желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу. Содер жание данной книги полностью соответствует программе по курсу «Математический анализ», экзамен по которому предусмотрены в большинстве высших учебных заведений России. Программа по могает быстро и без лишних трудностей найти необходимый ответ на поставленный вопрос. Вопросы составлены автором на основе личного опыта с учетом требований преподавателей.

ЛЕКЦИЯ № 1. Математический анализ функций одной переменной

1. Множества Понятие множества относится к числу первоначальных поня тий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность некото рых предметов, объединенных по какомунибудь признаку». Объекты, из которых состоит множество, называют его эле+ ментами или точками. Множества часто обозначают большими, а их элементы — малыми буквами. Если x — элемент множества X, то пишут x ∈ X (точка x принадлежит множеству X). Если x не является элементом множества X, то пишут x ∉ X (x не принад лежит X). Если множество X состоит из элементов x1, x2, x3, …, xn записывают X={x1, x2, x3, …, xn}. Пусть X и Y — два множества. Если X и Y состоят из одних и тех же элементов, то пишут X = Y. Если в Х нет элементов, не принад лежащих Y, то пишут, что x ⊂ X . Если X не содержится в Y, то пи шут x ⊄ X . В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом O. Пустое множество является подмножеством любого множества. Множество (−∞;+ ∞) называется числовой прямой, а любое чис ло — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ — положительное число. Интервал (a − δ ; a + δ ) на зывается δ+окрестностью точки a. Проколотой δ+окрестностью точки a называется ее δ+окрест+ ность, из которой удалена сама точка a. Точка a называется внутренней точкой множества X, если су ществует δокрестность точки a, в которой содержатся только точки множества X. Точка a называется граничной точкой множества X, если в лю бой δокрестности точки a содержатся точки, принадлежащие и не принадлежащие множеству X. 3

Говорят, что множество X ограничено сверху (снизу), если су ществует такое число c, что для любого x ∈ X выполнено нера венство x < c (x > c). Число c в этом случае называется верхней (ниж+ ней) гранью множества X. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней ограниченного сверху (снизу) множест ва называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

2. Теорема о вложенных отрезках Определение. Пусть дана последовательность таких отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …, что каждый последующий содержит ся в предыдущем: [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ … ⊃ [an, bn] ⊃ …, т. е. для всех n an < an+1 < bn+1 < bn

(1)

и пусть lim (bn − an ) . Такая последовательность называется по n →∞

следовательностью вложенных отрезков. Теорема о вложенных отрезках. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадле жащая всем отрезкам этой последовательности. Доказательство. Из неравенства (1) следует, что левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ an+ 1 ≤ ... ,

(2)

а правые концы образуют невозрастающую последовательность b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ... ≥ bn ≥ bn+ 1 ≥ ... ,

(3)

при этом последовательность (2) ограничена сверху, а последова тельность (3) ограничена снизу, так как an < b1, а bn > a1 для любо го n. Следовательно, на основании признака сходимости монотон ной последовательности эти последовательности имеют пределы ' Пусть lim an = c , а lim bn = c'' . Тогда из условия lim (bn − an ) = n →∞

''

n →∞

n →∞ '

= lim bn − lim an = c – c = 0 n →∞

n →∞

4

следует, что c' ' = c' , т. е. последовательности {an} и {bn} имеют об щий предел. Обозначая этот предел буквой C, получаем, что для любого n справедливы неравенства an < c < bn, т. е. точка c при надлежит всем отрезкам последовательности (1). Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что су ществует еще одна точка c1(c1 ≠ c), принадлежащая всем отрезкам последовательности (1). Тогда для любого n должно выполняться не равенство bn – an > | c1 – c | и, следовательно, lim (bn − an ) ≥ c1 − c , n →∞

что противоречит условию теоремы. Таким образом, теорема до казана полностью. Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рассматри вать интервалы. Например, для последовательности вложенных интервалов (0, 1) ⊃ (0, 1/2) ⊃ (0, 1/4) ⊃ … ⊃ (0, 1/2n)

(4)

не существует точки, принадлежащей всем интервалам. В самом деле, какую бы точку C на интервале (0,1) ни взять, всегда найдет 1 ся такой номер N, что при n > N будет n < c и, следовательно, 2 точка C не будет принадлежать интервалам последовательности (4), 1 ⎞ ⎛ начиная с интервала ⎜ 0, N + 1 ⎟ . ⎝ 2 ⎠

3. Числовые последовательности Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чи сел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, x3, …, xn

(1)

называют числовой последовательностью или просто последова тельностью. Числа x1, x2, x3, …, xn называются элементами (или членами) по следовательности (1), символ xn — общим элементом последова тельности, а число n — его номером. Сокращенно последователь ность (1) обозначается символом {xn}. 5

Последовательность задана, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула xn = 1 + (–1)n задает по следовательность: 0, 2, 0, 2, … Определение 2. Последовательность {xn} называется ограничен+ ной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет нера венству xn < M (xn > m). Определение 3. Последовательность {xn} называется ограничен+ ной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа m и M такие, что любой элемент xn этой последовательности удов летворяет неравенству m < xn < M. Определение 4. Последовательность {xn} называется неограни+ ченной, если для любого положительного числа A существует элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенст ву | xn | > A(т. е. xn > A, либо xn < –A). Примеры 1. Последовательность 1, 2, 3, …, n ограничена снизу, но нео граничена сверху. 2. Последовательность –1, –2, –3, …, –n ограничена сверху, но неограничена снизу. 1 1 1 3. Последовательность 1, , , ..., ограничена, так как любой 2 3 n элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам: 0 < xn < 1 (m = 0, M = 1). 4. Последовательность –1, 2, –3, 4, …б (–1)nn неограниченная. В самом деле, каково бы ни было число A среди элементов xn этой последовательности, найдутся элементы, для которых будет вы полняться неравенство. Определение 5. Последовательность {xn} называется бесконеч+ но большой, если она становится и остается, начиная с некоторо го номера N, по абсолютной величине больше любого наперед за данного сколь угодно большого положительного числа A. Символическая запись определения бесконечно большой по следовательности:

(∀A > 0 )(∃N )(∀n > N ): |xn |> A. 6

Определение 6. Последовательность {xn} называется бесконеч+ но малой, если она становится и остается, начиная с некоторого номера N, по абсолютной величине меньше любого наперед за данного сколь угодно малого положительного числа ε. Символическая запись определения бесконечно малой после довательности:

(∀ε > 0 )(∃N )(∀n > N ) : |xn |< ε . Теорема. Если {xn} — бесконечно большая последовательность ⎧1 ⎫ и все ее члены отличны от нуля, то последовательность ⎨ ⎬ бес ⎩ xn ⎭ конечно малая, и, наоборот, если {xn} — бесконечно малая после ⎧1 ⎫ довательность и xn ≠ 0, то последовательность ⎨ ⎬ — бесконечно ⎩ xn ⎭ большая. Доказательство. Пусть {xn} — бесконечно большая последова тельность, т. е. (∀ε =

1 1 > 0) (∃N )(∀n > N ) : |xn |> A A

(∀ε =

1 1 > 0), (∃N )(∀n > N ) : 0 существует такой номер N, что при n > N выполняется неравенство

|xn

− a| < ε .

7

(1)

С помощью логических символов это определение можно за писать в виде: (∀ε > 0) (∃N )(∀n > N) : |xn − a|< ε .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность {xn} сходится и имеет своим преде лом число a, то символически это записывается так: lim xn = a или xn → a при n → ∞ .

n →∞

(2)

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся. Определение 2. Говорят, что последовательность {xn} удовле творяет условию Коши, если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию n > N и m > N, справедливо неравенство:

|xn − xm |
0 существует такой номер N, что для всех номеров n > N и всех целых неотрицательных p

|xn+ p − xn | < ε .

(4)

Для того, чтобы убедиться в равносильности условий (3) и (4), достаточно положить p = n – m, если n > m и p = m – n, , если n < m. Последовательности, которые удовлетворяют условию Коши, называют также фундаментальными. Определение 3. Последовательность {xn}, k = 1, 2, …— подпо+ следовательность последовательности {xn}, если (∀k )(∃N ): yk = xN , причем (nk1 < nk 2 ) ⇔ (k1k2 ) . Последовательность {yk} обозначает ся в этом случае так же {xn}. 8

Теорема (Больцано—Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследова тельность. Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Доказательство. Докажем необходимое условие. Пусть после довательность {xn} сходится и lim xn = a . Зададим ε > 0 , тогда n →∞

согласно определению предела последовательности существует ε такой номер N, что |xn − a| < при n > N. 2 Пусть теперь n > N и m > N, тогда

| xn − xm | = | (xn − a )+ (a − xm )| ≤ | xn − a | + + | xm − a |
0 существует такой номер N, что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию n > N и m > N, справедливо неравенство |xn − xm |< ε . Возьмем ε = 0 , тогда существует такое N1, что | xn – xm | < 1 при n > N1 и m > N1. В частности, если n > N 1 a m = N 1 , то | x n – xN1 | < 1, т. е. xN − 1 < xn xN + 1 при n > N1. Это и значит, что последователь 1

1

ность {xn} при n = N1, N1+1,… ограничена. А это значит, что по теореме БольцаноВейерштрасса существует ее сходящаяся под последовательность { xnk }. Пусть lim xn = a . Покажем что и lim xn = a . n →∞

n →∞

k

k

Зададим некоторое ε > 0 . Тогда, вопервых, по определению последовательности существует такое K, что | xn − a | < k

для всех k > K. 9

ε 2

(5)

Причем согласно определению последовательности неравен ство (5) выполняется для всех nk > nK. Вовторых, так как последовательность {xn} удовлетворяет ε условию Коши, то существует такое N, что |xn − xm | < для всех 2 n > N и всех m > N. Положим Nε = max{N, nk} и зафиксируем некоторое nk >Nε . Тогда для любого nk >Nε получим:

| xn − a |= | ( xn − xnk )+ ( xnk

− a ) | ≤ | x n − x n | + | xn − a |
xn+1 для всех n; невозрастающей — если xn > xn+1 для всех n. Все такие последовательности объединяются одним общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убы вающие последовательности называются строго монотонными. Примеры 1 1 1 1. Последовательность 1, , , ..., убывающая и ограниченная. 2 3 n 1,1 2,1 1 2. Последовательность 1, , , 3, ..., невозрастающая и огра 2,1 3,1 n ниченная. 3. Последовательность 1, 2, 3, …, n возрастающая и неограни ченная. 4. Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n неубывающая и неограниченная.

10

5. Последовательность

1 2 3 n , , , ..., возрастающая и огра 2 3 4 n+1

ниченная. Монотонные последовательности ограничены по крайней ме ре с одной стороны: неубывающие последовательности — снизу (xn > x1 для всех n), невозрастающие — сверху (xn < x1 для всех n). Оказывается, что если монотонная последовательность ограни чена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится. Немонотонные последовательности этим свойством не обладают. Например, немонотонная последовательность {(–1)n} ограниче на, но не сходится. Определение. Верхняя (нижняя) грань множества значений эле ментов последовательности {xn} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается sup{xn} или sup xn (и со ответственно inf{xn} или

inf xn ).

n =1, 2, …

n =1, 2, …

Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это опреде ление можно сформулировать следующим образом. Число a является верхним (нижним) пределом последователь ности {xn} при n = 1, 2, … если: 1) xn < a (соответственно xn > a) для всех n; 2) для любого ε > 0 существует такой номер nε, что xn > a − ε ε

(соответственно xn > a + ε ). ε

Теорема. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно воз растающая (монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причем lim xn = sup{x n } (соответственно lim xn = inf{xn } = n →∞

n →∞

= lim xn = inf{xn } ). n →∞

Доказательство. Пусть последовательность {xn} монотонно возрастает и ограничена сверху. В силу последнего условия она имеет конечную верхнюю грань sup{x } = a . Покажем, что a = lim xn , n

n →∞

зафиксируем произвольное ε > 0. Из того что a = sup{xn}, следует, что xn < a для всех номеров n = 1, 2, … и существует такой номер nε, что xn > a − ε . Тогда в силу монотонности заданной после ε

довательности для всех номеров n > nε имеем xn > a − ε ε

11

Поэтому a − ε < xn ≤ xna для всех n > nε , что и означает, что ε

lim xn = a.

n →∞

Теорема доказана полностью. Аналогично доказывается существование предела для ограни ченной снизу монотонно убывающей последовательности. Следствие. Для того, чтобы монотонно возрастающая после довательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху. Аналогичное утверждение справедливо для монотонно убы вающей последовательности.

ЛЕКЦИЯ № 2. Функции одной переменной

1. Функции xnε > a − ε . Пусть X = {x} и Y ' = {y}— два числовых множества. Определение 1. Если каждому значению x ∈ X по некоторому правилу (закону) f поставлено в соответствие одно определенное число y из множества Y ', то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x). Множество X называется областью определения функции, а мно ' жество Y ⊂ Y всех ее значений — областью изменения функции. Переменная x называется независимой переменной, или аргу+ ментом, а переменная y — зависимой переменной. Наряду с термином «функция» используют однозначный тер мин «отображение», а вместо записи y = f(x) пишут f : x → y . Способы задания функции Задать функцию f — значит указать, как по каждому значению аргумента x находить соответствующее ему значение f(x). Существует три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический. 1. Аналитический способ. Если функция определена одной или несколькими формулами на различных промежутках изменения аргумента x, то говорят, что функция задана аналитическим спо собом. При таком задании функции в формулах указывается, какие операции (действия) и в каком порядке надо произвести над зна чением x и постоянными величинами, чтобы получить соответ ствующее значение y. 2. Табличный способ. Функцию можно задать с помощью таб лицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента. Таблицы часто используют для задания функций. Так, хорошо известны, напри мер, таблицы тригонометрических функций, таблицы логариф мов и многие другие. 13

3. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x). Функция y = f(x) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ за дания функции дает возможность определять значение функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями. Из трех рассмотренных способов задания функции основным является аналитический способ. Классификация функций Постоянная функция f(x) = C, C = const, степенная функция x α ( α — любое число), показательная функция ax ( 0 < a ≠ 1 ), ло гарифмическая функция logax (0 < a ≠ 1, x > 0), тригонометри ческие функции и обратные тригонометрические функции назы ваются простейшими (элементарными) функциями. Все функции, получаемые с помощью конечного числа ариф метических действий над простейшими элементарными функ циями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс элементарных функций. Имеет место следующая классификация элементарных функций. 1. Функция вида P (x ) = a0 x m + a1x m −1 + ...+ am −1x + am ,

где m > 0 — целое число; коэффициенты a0, a1, …, am (a ≠ 0) — любые числа, называется целой рациональной функцией или алгеб+ раическим многочленом степени m. Многочлен первой степени на зывается также линейной функцией. 2. Функция, представляющая собой отношение двух целых ра циональных функций R (x )=

a0 x m + a1x m −1 + ...+ am −1x + am b0 x n + b1x n −1 + ...+ bn −1x + bn

,

называется дробно+рациональной функцией. Совокупность целых рациональных и дробнорациональных функций образует класс рациональных функций. 3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпо зиций и четырех арифметических действий над степенными функ циями как с целыми, так и с дробными показателями и не являю щаяся рациональной, называется иррациональной функцией. 14

Например, f (x ) = (5x 2 + 4 x − 7) /(3x 2 − 8x + 4) + (5 x + x )3

4. Всякая функция, не являющаяся рациональной или ирра циональной, называется трансцендентной функцией, например f(x) = sinx, f(x) = sinx + x и т. д.

2. Предел функции Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка x0 ∈ X или x0 ∉ X . Возьмем из X последовательность точек, отличных от x0: x1, x2, …, xn

(1)

сходящуюся к x0. Значения функции в точках этой последователь ности тоже образуют последовательность: f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), ..., f (xn ),

(2)

и можно ставить вопрос о существовании ее предела. Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f(x) в точке x = x0 (или при x → x0), если для любой схо дящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, от личных от x0, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A. Символически это записывается так: lim f ( x ) = A.

x → x0

Из этого определения следует, что функция в данной точке может иметь лишь одно значение предела. Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f(x) в точке x = x0, если для любого числа ε > 0 сущест вует такое число δ > 0 , что для всех x ∈ X , x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ, выполняется неравенство | f(x) – A | < ε . Определение частичного предела. Число A называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходя 15

щейся к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше (меньше) x0, соответствующая последовательность (2) сходится к A. Символическая запись: lim

x → x0 + 0

f (x ) = A ( lim

x → x0 − 0

f (x ) = A ).

Пределы слева и справа функции также называются односто+ ронними. Теорема 1. Функция f(x) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и являет ся двусторонним пределом функции f(x) в точке x0. Теорема 2. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в неко торой окрестности точки x0, и функции f(x), h(x) имеют в точке x предел равный А, т. е. lim f ( x ) lim h(x ) = A .

x → x0

x → x0

Пусть, кроме того, выполняются неравенства f(x) < g(x) < h(x). Тогда lim g (x )= A.

x → x0

Доказательство. Пусть {xn}(x ≠ x0) — произвольная сходящаяся к x0 последовательность значений аргумента функций f(x) и h(x). Соответствующие последовательности {f(xn)} и {h(xn)} значений этих функций имеют предел, равный A, т. е. f(xn) → A, h(xn) → A при n → ∞ . Используя неравенства, данные в условии теоремы, можно записать: f(xn) < g(xn) < h(xn). Отсюда по теореме о предельном переходе в неравенствах сле дует, что g(xn) → A. Согласно определению 1 предела функции это означает, что lim g (x )= A.

x → x0

Теорема полностью доказана. 16

3. Два замечательных предела Первый замечательный предел. Докажем, что lim

x →0

M

sin x = 1. x

T A

O x K

Рис. 1 Рассмотрим дугу окружности радиуса R = 1 с центральным π углом, радианная мера которого равна x (0 < x < ). Точка O — центр 2 окружности, прямые OM и OA образуют стороны угла x, точки M и A лежат на единичной окружности, MK — перпендикуляр, опу щенный из точки M на прямую OA, точка T принадлежит прямой OM и лежит за пределами окружности (рис. 1). Тогда OA = 1, sinx = MK, tgx = AT.

(1)

Очевидно, что площадь треугольника OAM меньше площади сектора OAM, которая меньше площади треугольника OAT, или, ( ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ что то же самое, ⎜ ⎟OA × MK < ⎜ ⎟OA × AM < ⎜ ⎟OA × AT . При ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ нимая во внимание равенства (1), последнее соотношение можно записать в виде (1/2) sinx < (1/2)x < (1/2) tgx, откуда получаем:

sinx < x < tgx.

(2)

Разделив эти неравенства на sin x, получим 1 > (sinx) / x > cosx, откуда находим: 0 > 1 – (sinx) / x > 1 – cosx. Так как sin(x/2) < 1, то sin2(x/2) < sin(x/2). Поэтому, учитывая первое неравенство (2), для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < x < π /2, получаем 1 – cos x = 2 sin2(x/2) < 2 sin(x/2) 1 – (sinx) / x > x при 0 < x < π /2. 17

Возьмем любое ε > 0 и положим δ = min{ε , π / 2}. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < x < δ , будет выпол няться неравенство x < ε , поэтому 0 < 1 – (sinx) / x < ε , откуда | 1 – (sinx) / x | < ε . sinx x

Это означает, что 1 является правым пределом функции в точке x = 0, т. е. lim

x →0+0

sinx = 1. x

Заметим теперь, что функция f(x) = f (− x ) =

sinx четная, так как x

sin(− x ) sinx = = f ( x ). Поэтому и левый предел функции −x x

sinx в точке x = 0 равен 1, а значит, x lim

x →0

sinx = 1. x x

1⎞ ⎛ Второй замечательный предел. Докажем, что lim ⎜1 + ⎟ . x → 0⎝ x⎠

Как известно, x

1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ . x → 0⎝ x⎠

Пусть x > 1. Положим n = [x]; тогда x = n + α,

где n — натуральное число, а α удовлетворяет условию 0 < α < 1. Так как n < x < n + 1, 1/(n + 1) < x < 1/n, то (1+ 1 /(n + 1))n < (1+ 1 / x )n < (1+ 1 / n)n+1.

18

При x → + ∞ ( n → ∞ ) lim (1+ 1 / n)n +1 = lim (1+ 1 / n)n lim (1+ 1 / n) = e × 1 = e

n →∞

n →∞

n →∞

и n

lim (1+ 1 /(n + 1)) =

lim (1+ 1 /(n + 1))n +1

e = = e. lim (1+ 1 /(n + 1)) 1

n →∞

n →∞

n→∞

Отсюда по теореме о двух пределах получаем x

1⎞ ⎛ lim ⎜1+ ⎟ = e. x →∞⎝ x⎠

Пусть теперь x < –1; положим x = – y. Тогда x

⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜⎜1 − ⎟⎟ x → −∞ ⎝ y → +∞⎝ x⎠ y⎠

⎛ 1 ⎞ ⎟ = lim ⎜⎜1 + y → +∞⎝ y − 1 ⎟⎠

y −1

−y

y

⎛ 1 ⎞ ⎟ = = lim ⎜⎜1 + y → +∞ ⎝ y − 1 ⎟⎠ x

⎛ 1 ⎞ ⎟ = e ×1 = e lim ⎜⎜1 + y → +∞⎝ y − 1 ⎟⎠

Объединяя два случая, окончательно имеем: x

1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = e. x → −∞ ⎝ x⎠

4. Критерий Коши существования предела функции Определение 1. Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, х = а. Будем говорить, что f(х) при x → a удовлетворяет условию Коши, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что | f(х') – f(х) | < ε для любых | x – a | < δ, | x' – a | < δ и x ≠ a, x' ≠ a. 19

Теорема (критерий) Коши. Для того чтобы функция f(x) имела конечный предел при x → a , где a либо число x0, либо один из символов ∞,+ ∞, − ∞, x0 + 0, x0 − 0 , необходимо и достаточно, что бы оно удовлетворяло условию Коши при x → a . Доказательство. Необходимость. Пусть lim f (x ) = A , где A — x →∞

число. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое чиc ε ло δ = > 0 , что | x – a | < δ при x ≠ a верно | f(x) – A | < ε . 2 Пусть | x – a | < δ , | x' – a | < δ при x ≠ a, x' ≠ a, тогда в силу предыдущего неравенства

|

|

| f ( x' ) − f ( x ) | = | f ( x' ) − A | + | A − f ( x ) | ≤ | f ( x' ) − A | + | f ( x )+ )+ A |
0 . Согласно условию Коши сущест вует такое δ (ε ) > 0 , что для всех | x – a | < δ , | x' – a | < δ и x ≠ a, x' ≠ a выполняется неравенство | f ' (x ) − f (x ) | < ε .

В силу того что lim xn = a , x ≠ a, n = 1, 2, 3, … для окрестности x →∞

существует такой номер nε , что | xn – a | < δ при n > nε , поэтому при любых n > nε и m > nε , | xn – a | < δ и | xm – a | < δ а следова тельно, получаем | f(х') – f(х) | < ε , т. е. последовательность {f(x n )} удовлетворяет условию Коши для последовательностей и поэтому сходится к некоторому числу B lim f (xn ) = B . n →∞

20

Покажем теперь, что lim f (xn )= B , какова бы ни была другая n →∞

такая последовательность { x'n }, что lim x'n = a , x ≠ a, n = 1, 2, 3, … n →∞

Действительно, образуем новую последовательность: ⎧⎪ xn , если n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ... x'n = ⎨ '' ⎪⎩ xn , если n = 2k, k = 1, 2, ...

Очевидно, что lim x'n' = a , x'n' ≠ a , для всех n = 1, 2, 3, … n →∞

Поэтому по доказанному существует lim x'n' = a , а так как предел n →∞

любой сходящейся последовательности совпадает с пределом ее под '' последовательности, то lim f ( x'n ) = lim f ( xn ) = lim f ( xn ) . n →∞

n →∞

n →∞

Таким образом, согласно определению предела функции lim f ( xn ) = B .

n →∞

Критерий Коши доказан.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Бесконечно малые функции Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой в точ ке x = x0 (или при x → x0), если lim f (x ) = 0 . x → x0

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой в точ ке x = x0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x ∈ X, x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ , выполняется равенство | f(x) | < ε . Теорема 1. Для выполнения равенства lim f (x ) = A необхо x → x0

димо и достаточно, чтобы функция α(x) = f(x) – A была бесконеч но малой при x → x0. Доказательство. Необходимость. Пусть lim f (x )= A. Рассмот x → x0

рим разность α(x) = f(x) – A и покажем, что α(x) — бесконечно ма 21

лая функция при x → x0. Действительно, пределы каждой из функций f(x) и A при x → x0 равны A, поэтому верно следующее: lim α ( x ) = lim0 [ f ( x ) − A ] = lim0 f ( x ) − lim0 A =

x →x0

x →x

x→x

x →x

= A − A = 0.

Достаточность. Пусть α(x) = f(x) – A, где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0. Покажем, что lim f (x ) = A . x → x0

Так как f(x) = A + α(x), то lim f ( x ) = lim0 [α ( x ) + A ] = lim0 α ( x ) + lim0 A =

x →x0

x →x

x→x

x →x

= A + A = 0.

Теорема доказана. Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности. Справедлива сле дующая теорема. Теорема 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0, а также произведе ние бесконечно малой функции и ограниченной функции яв ляются бесконечно малыми функциями при x → x0. Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 спра ведливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → −∞, x → x 0 + 0, x → x 0 − 0 . Бесконечно большие функции Определение 3. Функция f(x) называется бесконечно большой в точ ке x = x0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x ∈ X, x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ, выпол няется неравенство | f(x) | < ε. В этом случае пишут: lim f (x ) = ∞ и говорят, что функция x →x0

стремится к бесконечности при x → x0 или что она имеет предел в точке x = x0. Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Пусть при x → x0 функции α(x) и β(x) являются бесконечно ма лыми. Тогда: α (x ) = 0 , то α(x) — бесконечно малая более вы 1) если lim x → x0 β (x ) сокого порядка, чем β(x) (говорят также, что α(x) имеет более высокий порядок малости, чем β(x), при x → x0); 22

2) если lim

x → x0

α (x ) = A ≠ 0 (A — число), то α (x) и β (x) — бес β (x )

конечно малые одного порядка; α (x ) = 1 , то α (x) и β (x) — эквивалентные бес 3) если lim x → x 0 β (x ) конечно малые. Эквивалентность обозначается так: α (x) ≈ β (x). В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бес конечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот по рядок. Поэтому вводится следующее правило; α (x ) = A ≠ 0 , то α (x) — бесконечно малая nго 4) если lim n x → x 0 β (x ) порядка относительно β (x). Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Рассмотрим несколько примеров. 1. Функции α (x) = (1 + x) / x и β (x) = 1 / x являются при x → 0 эквивалентными бесконечно большими, так как lim

x →0

α (x ) = lim (1+ x )= 1. β ( x ) x →0

В этом случае говорят также, что α (x) и β (x) имеют одинако вый порядок роста при x → 0. 2. Функция α (x) = x2 + 4 является при x → ∞ бесконечно боль шой более низкого порядка, чем β (x) = x3 – 2 (имеет менее высо кий порядок роста), так как 1 α (x ) 1+ 4/ x2 x2 + 4 = lim = 0. = lim = lim 3 x →∞ β ( x ) x →∞ x − 2 x →∞ 1 − 2 / x 2 x →∞ x lim

3. Бесконечно большие при x → ∞ функции α (x) = 2x2 + 1 и β (x) = x3 – 1 имеют одинаковый порядок роста, так как lim

x →∞

2x 2 + 1 x2 −1

= lim

2 + 1/ x 2

x →∞ 1 − 1 / x 2

23

= 2.

4. Функция α(x) = x4 + x + 1 является при x → 0 бесконечно большой второго порядка по отношению к бесконечно большой β(x) = x2 + 1, так как lim

x →∞

x4 + x +1 ( x 2 + 1)2

= lim

x4 + x +1

x →∞

x 4 + 2x + 1

= lim

1 + 1/ x 3 + 1/ x 4

x →∞ 1 + 2 / x 2

+ 1/ x 4

= 1.

6. Непрерывность в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е. lim f(x) = x →x0 = f(x0). Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, удо влетворяющих неравенству | x – x0 | < δ , выполняется нера венство: | f(x) – f(x0) | < ε . Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0. Тогда существует такое δ > 0, что для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) функция f(x) имеет тот же знак, что и f(x0). Доказательство. Пусть f(x0) > 0. Тогда в силу второго определе ния непрерывности функции для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что неравенство | f(x) – f(x0) | < ε выполняется для всех x, удовлетворяющих условию | x – x0 | < δ, или, что то же самое, вы полняются неравенства: f(x0) – ε < f(x) < f(x0) + ε для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) . Возьмем ε = f(x0). Тогда из левого неравенства получаем f(x) > 0 для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ), что и требовалось доказать. Если же f(x0) < 0, то рассмотрим функцию — f(x). Так как — f(x) > 0, то по доказанному существует δ окрестность точки x0, в которой — f(x0) > 0 и, следовательно, f(x) < 0. Теорема доказано полностью. Определение 3. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке x0 не является непрерывной. Разрывы функций классифицируются следующим образом. 24

Разрыв первого рода. Точка x0 называется точкой разрыва пер+ вого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет ко нечные, но не равные друг другу правый и левый пределы: lim

x → x0 +0

f ( x ) ≠ lim f ( x ). x → x 0 −0

Пример Для функции f(x) = sgn x точка x = 0 является точкой разрыва lim

первого рода, так как

x → x0 + 0

sgn = 1 ,

lim sgn = −1.

x → x 0 −0

Разрыв второго рода. Точка x0 называется точкой разрыва вто рого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности. Пример 1 Для функции f (x ) = точка x = 0 является точкой разрыва x второго рода, так как

lim

x →x0 +0

(1 / x ) = +∞ ,

lim

x →x0 −0

(1 / x ) =

−∞ .

Устранимый разрыв. Точка называется устранимой точкой раз+ рыва функции f(x), если в этой точке

lim

x → x0 +0

f ( x ) ≠ lim

x → x 0 −0

f ( x0 ).

Пример Для функции f (x ) =

sinx точка x = 0 является точкой устра x

нимого разрыва, так как

lim

x → x0 + 0

sinx sinx = lim = 1 ≠ f (0). x → x0 −0 x x

25

Сложная функция Определение 4. Если на некотором промежутке X определена функция z = ϕ (x) с множеством значений Z, а на множестве зна чений y = f(z) определена функция y = f [ ϕ (x)], то функция на зывается сложной функцией от x, а переменная z — промежуточ ной переменной сложной функции. Пример Функция y = sin2 x — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, так как y = f(z) = sin z, z = ϕ (x) = x2. Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция z = ϕ (x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(z) непрерывна в точке z0 = ϕ (x0). Тогда сложная функция y = f [ ϕ (x)] непрерывна в точке x0. Доказательство. Возьмем из X любую последовательность точек x1, x2, x3, …, xn сходящуюся к точке x0. Тогда в силу непрерывности функции z = ϕ (x) в точке x имеем lim zn = lim ϕ( xn ) = ϕ ( x0 ) = 0

n →∞

n →∞

= z0, т. е. соответствующая последовательность точек z1, z2, z3, …, zn сходится к точке z0. В силу же непрерывности функции f(z) в точке z0 получаем lim f (zn ) = f (z 0 ), т. е. lim f [ϕ ( xn )] = f [ϕ ( x0 )] .

n →∞

n →∞

Следовательно, предел функции f [ ϕ (x)] в точке x0 равен ее значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции f [ ϕ (x)] в точке x0. Теорема доказана. Определение 5. Пусть функция f(x) определена на полуинтер вале (a, b] (на полуинтервале [a, b)) и x0 ∈ (a, b ] ( x0 ∈ [a,b ) ). Функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке x0, если lim

x → x0 − 0

f ( x ) = f ( x0 ) (если

lim

x → x0 + 0

f ( x ) = f ( x0 ) ).

7. Непрерывность на промежутке Определение 1. Функция, определенная на отрезке [a, b] и не прерывная в каждой его точке, называется функцией, непрерыв+ ной на отрезке. 26

При этом под «непрерывностью в точке a» понимается непре рывность справа, а под «непрерывностью в точке b» — непрерыв ность слева. Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка c ∈ (a, b ), в которой f(c) = 0. Теорема (вторая теорема Больцано—Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Далее пусть C — любое число, заключенное между A и B. Тогда на отрез ке [a, b] найдется такая точка C, что f(c) = C. Другими словами, непрерывная функция при переходе от одно го значения к другому принимает и все промежуточные значения. Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она является огра ниченной на этом отрезке. Предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Функция f(x), непрерывная в точке x0, является огра ниченной в некоторой ее окрестности. Доказательство. Пусть ε = 1; тогда согласно второму определе нию непрерывности в точке для данного ε существует такое δ > 0 , что для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) выполняется неравен ство: | f(x) – f(x0) | < 1. Используя это неравенство, получаем:

|f (x ) | = | (f (x ) − f (x0 ))+ f (x0 )| ≤ ≤ | f (x ) − f (x0 )|+ |f (x0 )|< 1+ | f (x0 )|, т. е. | f(x) | < M, где M = 1 + | f(x0) |. Отсюда заключаем, что функ ция ограниченна в δ окрестности точки x0. Доказательство теоремы. Предположим обратное, т. е. до пустим, что функция f(x) является неограниченной на отрезке [a, b]. Разделим отрезок [a, b] пополам, тогда по крайней мере на одном из двух полученных отрезков функция f(x) неограниченна (в про тивном случае она была бы ограниченна на [a, b]). Обозначим этот отрезок через [a1, b1]. Разделим отрезок [a1, b1] пополам и обозначим через [a2, b2] тот отрезок, на котором функция f(x) нео граниченна. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем по 27

следовательность [a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ … ⊃ [an, bn] … вложенных отрезков, на каждом из которых f(x) неограниченна, причем bn − an =

b −a 2n

→ 0, n → ∞.

По теореме о вложенных отрезках существует точка C, при надлежащая всем отрезкам. Функция f(x) по условию определена и непрерывна в точке C, следовательно, согласно доказанной лемме в некоторой окрестности точки C она является ограничен ной. При достаточно большом n в эту окрестность попадает отре зок [an, bn], на котором функция f(x) также ограниченна. Но это противоречит тому, что f(x) является неограниченной на каждом из вложенных отрезков. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) не прерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, т. е. существуют такие точки x1, x2 ∈ [a, b], что f ( x1 ) = M = sup f ( x ), f ( x2 ) = m = sup f ( x ) . [a,b ]

[a, b ]

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по предыдущей теореме она ограниченна на этом отрез ке. Следовательно, существует точная верхняя M и точная ниж няя m грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Покажем, что функция f(x) достигает M, т. е. существует такая точка x1 ∈[a, b], что f(x1) = M. Будем рассуждать от противного. Пусть функция f(x) не принимает ни в одной точке [a, b] значе ния, равного M. Тогда для всех x ∈ [a, b] справедливо неравенство f(x) < M. Рассмотрим на отрезке [a, b] вспомогательную повсюду положительную функцию F (x )=

1 . M − f (x )

Функция F(x) непрерывна как частное двух непрерывных функций. В этом случае, согласно предыдущей теореме, функция 28

F(x) является ограниченной, т. е. найдется положительное число μ такое, что для всех x ∈ [a, b] F (x )=

1 ≤ μ, M − f (x )

откуда f (x ) ≤ M −

Таким образом, число M −

1 . μ

1 , меньшее, чем M, является верх μ

ней гранью f(x) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, что число M является точной верхней, т. е. наименьшей верхней, гра нью функции f(x) на отрезке [a, b]. Это противоречие и доказы вает, что существует точка x1 ∈[a, b], что f(x1) = M. Аналогично доказывается, что функция f(x) достигает на отрез ке [a, b] своей точной нижней грани m. К числу других свойств функции, непрерывной на отрезке, от носится очень важное свойство, называемое равномерной непре рывностью. Пусть f(x) — функция, непрерывная на некотором промежут ке X, и пусть x0 ∈X. Так как функция f(x) непрерывна в точке x0, то согласно второму определению непрерывности для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что | f(x) – f(x0) | < ε при | x – x0 | < δ . Ясно, что δ зависит от ε , но δ зависит также и от x0. При изменении x0 в пределах рассматриваемого промежутка (при постоянном ε ) число δ будет различным для разных x0. Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функции, опре деленные на некоторых промежутках, для которых по любому ε > 0 находилось бы δ > 0 , не зависящее от x, т. е. δ было бы об щим для всех x из рассматриваемого промежутка. Это приводит к понятию равномерной непрерывной функции. Определение 2. Функция f(x) называется равномернонепрерыв ной на промежутке X, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что для любых двух точек x',, x'' ∈X, удовлетворяющих неравенству | x′– x′′|| < δ , выполняется неравенство: | f(x' ) – f(x'' ) | < ε . Из определения следует, что равномернонепрерывная функ ция на X является непрерывной на этом промежутке. 29

Теорема Кантора. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] значит, она равномернонепрерывна на этом отрезке. Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить ин тервалом или полуинтервалом. Функция f(x), определенная на числовом множестве E, назы вается строго монотонно возрастающей (убывающей), если для та ких любых двух чисел x1, x2 ∈ E, что x1 < x2, выполняется неравен ство f(x1) < f(x2) (соответственно f(x1) > f(x2)). Определение 3. Пусть X и Y — некоторые множества и пусть за дана функция f, т. е. множество пар чисел (x, y) (x ∈X, y ∈Y), в ко тором каждое число x входит в одну и только одну пару, а каждое число y — по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа x и y поменять местами, то получим множество пар чисел (y, x), которое называется обратной функцией к функ ции f. Обратную функцию будем обозначать символом x = ϕ (y). Теорема (о непрерывности обратной функции). Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некото ром промежутке X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция x = ϕ (y) однозначна, строго мо нотонна и непрерывна.

8. Производная и дифференциал Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X, возьмем точку x0 ∈X и дадим аргументу этой точки приращение Δx ≠ 0 (x0 + Δx ∈ X), получим приращение функции Δ y = = f(x0+ Δ x) – f(x). Разделим приращение функции Δ y на прира щение аргумента Δ x и перейдем к пределу при Δx → 0 :

lim Δx → 0

f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δy . = lim Δx → 0 Δx Δx

(1)

Если предел (1) существует, то он называется производной дан ной функции в точке x0 и обозначается f ' (x)(x). Если для некоторого значения x0 существует бесконечный пре дел, то говорят, что при x = x0 существует бесконечная производная. Операция нахождения производной от функции y = f(x) назы вается дифференцированием этой функции. 30

Определение 2. Правой (левой) производной функции y = f(x) Δy при в точке x0 называется правый (левый) предел отношения Δx Δx → 0 (при условии, что этот предел существует). Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x 0. Тогда функции y 1 = f(x) + g(x), y 2 = f(x) – g(x), y 3 = Δy = f(x)g(x), y 4 = (при g(x) ≠ 0) также имеют производные Δx в точке x0, которые выражаются следующим образом: y1' ( x ) = ( f ( x ) + g ( x ))' = f ' ( x ) + g' ( x ), y'2 ( x ) = ( f ( x ) − g ( x ))' = f ' ( x ) − g' ( x ), y'3 ( x ) = ( f ( x ) g ( x ))' = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ), '

⎛ f (x ) ⎞ f ' ( x ) g ( x ) − f ( x ) g' ( x ) ⎟⎟ = . y'4 (x ) = ⎜⎜ ( g ( x ))2 ⎝ g (x ) ⎠

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, а функция z = F(y) имеет производную в точке y = y0,тогда функция G(x)=F(y) имеет производную при x = x0, равную: G'(x0) = F'(y0)f '(x0). Определение 3. Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0, называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δ y в этой точке можно представить в виде Δy = AΔx + α (Δx )Δx,

(2)

где A — некоторое число, не зависящее от Δ x; α (Δx ) — функция аргумента Δ x, являющаяся бесконечно ма лой при Δx → 0 , т. е.

lim α ( Δx ) . Δx → 0

Свойства дифференцируемых функций. Теорема 3. Для того чтобы функция y = f(x) была дифференци руемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Теорема 4. Если функция y = f(x) дифференцируема в данной точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Определение 4. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 на зывается главная линейная относительно Δ x часть приращения функции в этой точке и обозначается df(x0) или dy, т. е. dy = A Δ x. 31

Следствие (из теоремы 1). Теорема 1 переносится и на диффе ренциалы функций, при условии их дифференцируемости в точке x0: d ( f ( x ) + g ( x )) = df ( x ) + dg ( x ), d ( f ( x ) − g ( x )) = df ( x ) − dg ( x ), d ( f ( x ) g ( x )) = g ( x )df ( x ) + f ( x )dg ( x ),

⎛ f (x ) ⎞ g ( x )df ( x ) − f ( x )dg ( x ) ⎟⎟ = d ⎜⎜ . ( g ( x ))2 ⎝ g(x ) ⎠

Следствие (из теоремы 2, инвариантность дифференциала). Произведение производной по некоторой переменной на диф ференциал этой переменной не зависит от того, является эта пе ременная независимой переменной или функцией. dz = F ' ( y0 )dy = G' ( x0 )dx .

Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) определена на интер вале (a, b) и в некоторой точке c ∈(a, b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если в точке c существует конечная про изводная, то она равна нулю. Теорема Ролля. Если функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a, b]; 2) имеет конечную производную хотя бы на интервале (a, b); 3) на концах отрезка принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b), то в интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка c, в которой f '(c) = 0. Доказательство. Непрерывная на отрезке [a, b] функция прини мает на нем наибольшее M и наименьшее m значения (m < f(x) < M). Рассмотрим два случая. 1. Пусть M = m. Отсюда при любых значениях x ∈[a, b], f(x) = m, т. е. f(x) = const на отрезке [a, b]. Следовательно, f ' (x) = на этом отрезке. Поэтому в качестве точки c, в которой производная функции будет равна нулю, можно взять любую точку, лежащую между a и b. 2. Пусть M > m, тогда функция на концах отрезка оба значения принимать не может, так как по условию теоремы значения функции на концах отрезка [a, b] равные. Следовательно, хотя бы 32

одно из значений m или M функция принимает внутри отрезка в некоторой точке c, лежащей между a и b. Например, пусть в точке c функция f(x) имеет наибольшее зна чение f(c) = M. Таким образом, функция f(x) = m в точке c ∈(a, b) принимает наибольшее (наименьшее) значение и в этой точке по условию существует конечная производная f ' (c), следовательно, по теоре ме Ферма f ' (c) = 0. Теорема доказана полностью. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную хотя бы в интервале (a, b), то в этом интервале найдется по крайней мере одна такая точка c, что f (b) − f (a) = f ' (c ) a < c < b. b −a

(3)

Доказательство. Введем вспомогательную функцию ϕ (x), определив ее равенством:

ϕ ( x ) = f ( x ) − f (a ) −

f (b ) − f (a) ( x − a). b −a

(4)

Рассмотрим ее свойства. 1. Функция ϕ (x) непрерывна на отрезке [a, b] как алгебраиче ская сумма непрерывных функций. Действительно, функция f(x) f (b ) − f (a) ( x − a) − f (a) есть непрерывна по условию, а функция b−a линейная функция вида y = Ax + B, поэтому она непрерывна. 2. Функция имеет конечную производную хотя бы в интерва ле (a, b), найдем ее:

ϕ' ( x ) = f ' ( x ) −

f (b ) − f (a) . b −a

(5)

3. На концах отрезка функция принимает равные значения. Действительно, если подставим в равенство (4) x = a и x = b, то получим ϕ (a) = ϕ (b) = 0. Таким образом, вспомогательная функция ϕ(x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля, следовательно, в интервале 33

(a, b) существует по крайней мере одна точка c, в которой произ водная функции ϕ ' (c). Подставим в равенство (5) x = c, получим: 0 = f ' (c ) −

f (b ) − f (a) , b−a

отсюда f ' (c ) =

f (b ) − f (a) (a < c < b ). b −a

Теорема доказана. Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x): 1) непрерывны на отрезке [a, b]; 2) имеет производные в каждой точке интервала (a, b); ' 3) g ( x ) ≠ 0 , ∀x ∈ (a, b ) . Тогда существует точка c, c ∈(a, b), такая что f (b ) − f (a) f ' (c ) . = g (b ) − g (a) g' (c )

9. Производные и дифференциалы высших порядков Назовем f ' (x) производной первого порядка функции f (x). Определение 1. Производная от производной некоторой функ ции называется производной второго порядка (или второй произ водной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей произ водной) и т. д. Производные, начиная со второй, называются про изводными высших порядков. Вспоминая определение производной, определение nой про изводной в точке x0 можно записать в виде предела: f (n )(x0 ) = lim

Δx → 0

f (n −1)(x0 + Δx ) − f (n −1)(x0 ) , n = 1, 2, 3, … Δx

Отметим: когда говорится, что функция f имеет в точке x0 про изводную порядка n, т. е. существует f (n)(x0), то отсюда следует, 34

в силу определения производной, что в некоторой окрестности точки x0 у функции f существуют все производные низших поряд ков k < n, в частности, сама функция f определена в некоторой окрестности точки x0. Определение 2. Функция f (x) называется n раз непрерывно диф ференцируемой на некотором промежутке, если на этом проме жутке существует f (n)(x0) — производная порядка n функции f (x) и эта производная непрерывна. Формула Лейбница Пусть y = uv, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда y' = u' v + uv' , y'' = u (2 )v + 2u' v' + uv (2 ), y'' ' = u (3 )v + 3u (2 )v' + 3u' v (2 )+ uv (3).

Правые части равенств похожи на разложения различных сте пеней бинома (u + v)n по формуле Ньютона, вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а са ми u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассмат ривать как производные нулевого порядка: u(0) и v(0). Учитывая это, запишем общий вид nй производной произведения двух функций: n(n − 1) (n −2 ) ' ' (n ) y (n )= (uv ) = u (n )v + nu (n −1)v' + u v + ...+ 2! +

n(n − 1)... (n − k + 1) (n −k ) (k ) u v + ...+ uv (n ). k!

Эта формула называется формулой Лейбница. Рассмотрим дифференциалы высших порядков. Для удобства будем наряду с обозначениями дифференциалов символами dy и dx использовать обозначения δ y и δ x. Определение. Пусть функция f (x) дифференцируема в каждой точке x некоторого промежутка, тогда ее дифференциал dy = = f ' (x)dx, который назовем дифференциалом первого порядка, является функцией двух переменных — аргумента x и его диффе ренциала dx. Пусть функция f ' (x), в свою очередь, дифференци 35

руема в некоторой точке x. Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представ ляет собой функцию только аргумента x, а ее дифференциал в точке x имеет вид:

δ (dy ) = δ [ f ' ( x )dx ] = [ f ' ( x )dx ]' δx = f '' ( x )dx δx . Дифференциал δ(dy) от дифференциала dy в точке x, взятый при δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функ ции f (x) в точке x и обозначается d2y, т. е. d2y = f ' ' (x)(dx)2. В свою очередь, дифференциал δ(d2y) от дифференциала d2y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего поряд ка функции f (x) и обозначается d3y и т. д. Дифференциал δ(dn1y) от дифференциала dn1y, взятый при δx = dx, называется диффе ренциалом nго порядка функции f (x) и обозначается dny. Докажем, что для nго дифференциала функции справедлива формула: dny = y(n)(x)(dx)n, n = 1, 2, 3… Доказательство проведем по индукции. Для n = 1 и n = 2 фор мула доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n – 1: dn1y = y(n1)(x)(dx)n1, а функция y(n1)(x), в свою очередь, дифференцируема в некото рой точке x. Тогда d n y = δ (d n −1y ) = δ [ y (n −1) ( x )(dx )n −1] = = [ y (n −1) ( x )(dx )n −1 ]' δx = y (n ) ( x )δx(dx )n −1

Полагая δx = dx, получаем d n y=δ (d n −1 y ) |δx = dx = y (n ) ( x )(dx )n ,

что и требовалось доказать. 36

10. Признаки монотонности, экстремумы, максимумы, минимумы, выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Асимптоты графика функции Определение 1. Функция f (x) называется монотонно возраста ющей (убывающей) на некотором множестве X, если для любой пары чисел x1 и x2, принадлежащих этому множеству, из неравен ства x1 < x2 следует f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)). Теорема 1. Пусть функция непрерывна на интервале (a, b) и имеет на нем конечную производную, тогда: 1) если производная f ' (x) > 0 на интервале (a, b), то функция возрастает в этом интервале; 2) если производная f ' (x) < 0 на интервале (a, b), то функция убывает в этом интервале. Доказательство. Для случая 1) возьмем на интервале (a, b) лю бые два значения x1 и x2 (x1 < x2) и применим теорему Лагранжа, получим: f (x2) – f (x1) = (x2 – x1)f ' (c) (x1 < c < x2). Так как x2 – x1 > 0 и по условию f ' (c) > 0 (c ∈(a, b)), то f (x2) – – f (x1) > 0, т. е. f (x1) < f (x2). Это и означает, что функция воз растает на интервале. Для случая 2) теорема доказывается аналогично. Теорема 2. Пусть функция f (x) в точке x0 имеет производную f ' (x0). Если f ' (x0) > 0, то функция f (x) в точке x0 возрастает, если f ' (x0) < 0, то функция f (x) в точке x0 убывает. Доказательство. По определению производной имеем: lim

Δx → x 0

f (x )− f (x0 ) = f ' (x0 ). x − x0

Если f ' (x0), то для достаточно близких к x0 значений x будет выполняться равенство: f (x ) − f (x0 ) > 0. x − x0

Отсюда следует, что если x < x0, то f (x) < f (x0), и если x > x0, то f (x) > f (x0), т. е. функция f (x) в точке x0 возрастает. Аналогич 37

ными рассуждениями доказывается, что если f ' (x0) < 0, то f (x) в точке x0 убывает. Теорема доказана. Определение 2. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x0 мак симум f(x0), если в некоторой окрестности этой точки (при x ≠ x0) вы полняется неравенство: f (x) < f (x0).

(1)

Функция f (x) имеет в точке x0 минимум f(x0), если в некоторой окрестности этой точки (при x ≠ x0) выполняется неравенство: f (x) > f (x0).

(2)

Таким образом, поведение функции рассматривается в окрест ности точки x0, и при выполнении условия (1) говорят, что функ ция в точке x0 имеет локальный (местный) максимум, а при вы полнении (2) — локальный минимум. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Точка, в которой функция имеет минимум или макси мум, называется точкой экстремума функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f (x) в точке x0 ∈(a, b) имеет экстремум и в этой точке существует ко нечная производная, то она равна нулю. Доказательство. По условию функция f (x) в точке x0 имеет максимум (минимум), т. е. на интервале (x0 – ε , x0 + ε ) ⊂(a, b) в точке x0 функция принимает наибольшее (наименьшее) значе ние, и в этой точке существует конечная производная, следова тельно, по теореме Ферма f ' (x0) = 0. Теорема доказана. Достаточные условия экстремума Первое правило. Если при переходе (слева направо) через кри тическую точку x0 производная f ' (x0) меняет знак с плюса на ми нус, то в точке x0 функция f (x) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет. Второе правило. Пусть x0 есть стационарная точка функции f(x), т. е. f ' (x0), и существует вторая производная в этой точке f ' ' (x0), тогда: 1) если вторая производная f ' ' (x0) > 0, то в точке x0 функция имеет минимум; 38

2) если f ' ' (x0) < 0, то — максимум; 3) если f ' ' (x0) = 0, то вопрос остается открытым, и для его ре шения надо применить первое правило. Доказательство. Пусть f ' ' (x0) > 0, тогда f ' (x) в точке x0 есть функция возрастающая (по теореме 2), т. е. если x < x0, то f ' (x) < f ' (x0) = 0, если x > x0, то f ' (x) > f ' (x0) = 0. Итак, при переходе через точку x0 производная меняет знак с ми нуса на плюс, следовательно, в точке x0 функция имеет минимум. Пусть f ' ' (x0) < 0, тогда f ' (x) в точке x0 есть функция убываю щая, т. е. в окрестности точки x0 выполняются условия: если x < x0, то f ' (x) > f ' (x0) = 0, если x > x0, то f ' (x) < f ' (x0) = 0. Производная меняет знак с плюса на минус, значит, в точке x0 функция имеет максимум. Определение 3. Кривая обращена вогнутостью вверх (вогну тость) на интервале (a, b), если все точки кривой лежат выше ее ка сательной на этом интервале. Кривая обращена вогнутостью вниз (выпуклость) на интерва ле (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Определение 4. Точка M(x0, y0) называется точкой перегиба, если в некоторой окрестности точки x0 при x < x0 вогнутость кри вой направлена в одну сторону, а при x > x0 — в другую сторону. Иначе говоря, точка M(x0, y0), отделяющая выпуклую часть не прерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. Заметим, что кривая пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую. Теорема 1. Если функция f (x) на интервале (a, b) имеет вторую производную f ' ' (x) > 0, то кривая y = f (x) вогнута. Теорема 2. Если функция f (x) на интервале (a, b) имеет вторую производную f ' ' (x) < 0, то кривая y = f (x) выпукла. Теорема 3. Если при переходе через критическую точку x0 вто рая производная f ' ' (x) меняет знак, то точка M(x0, y0) есть точка перегиба кривой y = f (x). Доказательство. Если вторая производная при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус, то на кривой совершается переход от точек вогнутости к точкам выпуклости, и, наоборот, если вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то на кривой переходим от точек выпуклости к точкам вогнутости. Следовательно, точка M(x0, y0) есть точка перегиба графика функ ции y = f (x). 39

Горизонтальные асимптоты Если расстояние b от точки M кривой y = f (x) до прямой y = b стремится к нулю при неограниченном удалении точки M от на чала координат (вправо или влево), то прямая y = b есть горизон тальная асимптота этой кривой. Если d → 0 при x → + ∞ ( x → −∞ ), то y → b. Итак, чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функ ции y = f (x), надо отыскать пределы: lim f (x ) = b и lim f (x ) = b1,

Δx → +∞

Δx → −∞

(3)

Если пределы (3) конечные и различные, то прямые y = b и y = b1 будут горизонтальными асимптотами. Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота. Если же конечных пределов (3) нет, то нет и горизонтальных асимптот. Вертикальные асимптоты Если при x → x0 (слева или справа) расстояние d от точки M кривой y = f (x) до прямой x = x0 стремится к нулю, а точка M нео граниченно удаляется от начала координат (вверх или вниз), то прямая x = x0 есть вертикальная асимптота этой кривой. Следовательно, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 равен бесконечности: lim

Δx → x 0 + 0

f (x ) = ∞ и

lim

Δx → x 0 − 0

f (x ) = ∞,

(4)

то прямая x = x0 есть вертикальная асимптота графика этой функции. Очевидно, что если выполняется хотя бы один из односторон них пределов (4), то точка x0 является точкой разрыва функции второго рода. Наклонные асимптоты Прямая y = kx + b, называется наклонной асимптотой графика функции y = f (x), при x → + ∞ ( x → −∞ ), если: 1) некоторый луч (a, + ∞ )( −∞ , a) целиком принадлежит D(f) 2)

lim

Δx → +∞

[f (x )− (kx + b)]= 0 (

lim

Δx → −∞

40

[f (x )− (kx + b)]= 0)

0 0

11. Неопределенности вида

и

∞ ∞

.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида

0 . 0

Будем говорить, что отношение двух функций x → a есть неопределенность вида

0 , если lim f ( x ) = x →a 0

f (x) при g(x )

lim x →a

Раскрыть эту неопределенность — значит вычислить

g ( x ) = 0.

lim x →a

f (x) , g (x )

если он существует, или установить, что он не существует. Следую щая теорема устанавливает правило для раскрытия неопределен 0 ности вида . 0 Теорема Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и диф ференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a. Пусть далее lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 x →a

x →a

и g' (x) в указанной окрестности точки a. Тогда если существует f (x ) предел отношения производных lim ' (конечный или беско x →a g (x ) нечный), то существует и предел формула: lim x →a

f (x ) = g (x )

f (x )

lim x →a

g' ( x )

lim x →a

g' ( x )

f (x )

, причем справедлива

.

Доказательство. Пусть {xn} — произвольная последователь ность значений аргумента, сходящаяся к точке a, причем xn ≠ а. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке a, положив их равными нулю, т. е. f(a) = g(a) =0. Тогда, очевидно, функции f (x) и g(x) не прерывны на отрезке [a, xn], дифференцируемы на интервале (a, xn), и по условию g' (x) ≠ 0. Таким образом, для f (x) и g(x) выполнены все условия теоремы Коши на [a, xn], т. е. внутри [a, xn] сущест вует такая точка ξn , что f ( xn ) − f (a) f ' (ξn ) , ξn ∈ (a, xn ). = g ( xn ) − g (a) g' (ξn )

41

По доопределению f(a) = g(a) = 0, следовательно, f ( xn ) f ' (ξn ) , ξn ∈ (a, xn ). = g ( xn ) g' (ξn )

(1)

Пусть теперь в формуле (1) n → ∞ . Тогда очевидно, что ξn → a при n → ∞ . Так как

lim x →a

f ' (x ) g' ( x )

существует, то правая часть форму

лы (1) имеет при n → ∞ предел, равный

lim x →a

f ' (x ) g' ( x )

. Следователь

но, при n → ∞ существует предел и левой части формулы (1), причем

lim n →∞

f ( xn ) = g ( xn )

f ' (x )

lim x →a

.

g' ( x )

Так как {xn} — произвольная последовательность значений аргу f (x) мента, сходящаяся к точке a, то отсюда заключаем, что lim x →a g (x ) существует и

lim x →a

f (x ) = g (x )

lim x →a

f ' (x ) g' ( x )

.

Теорема доказана полностью. Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя. Замечание 1. Теорема остается верной и в случае, когда x → + ∞, x → −∞ . Замечание 2. Если производные f ' (x) и g' (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g(x), то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем:

lim x →a

f (x ) f ' (x ) = lim ' = g ( x ) x →a g ( x )

42

lim x →a

f ' ' (x ) g' ' ( x )

.

Рассмотрим примеры. 1 − cosx

sinx 1 sinx 1 1 = lim = lim = ×1= . x → 0 2x 2 x →0 x 2 2 x2 x x e −1 e 2. lim = lim = lim e x = 1. x →0 x →0 1 x →0 x 1.

lim x →0

Раскрытие неопределенности вида ношение двух функций

∞ . Будем говорить, что от ∞

f (x) при x → a есть неопределенность g(x )

∞ , если lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ , + ∞ или −∞ . x →a x →a ∞ Для этой неопределенности справедливо утверждение, анало гичное предыдущей теореме, а именно: если в формулировке тео

вида

ремы заменить требование lim x →a

f (x ) =

lim x →a

lim x →a

f (x ) =

lim x →a

g ( x ) = 0 условием

g ( x ) = ∞ , то теорема останется справедливой.

Рассмотрим примеры. 1.

lim x →+ ∞

2.

lim x →+ ∞

lnx (1 / x ) = lim = x → + ∞ x 1 xn e

x

=

lim x →+ ∞

nx n −1 e

x

=

lim x →+ ∞

lim x →+ ∞

1 = 0. x

n(n − 1)x n − 2 e

x

= ... =

n!

lim x →∞ e x

= 0.

12. Формула Тейлора Теорема (Тейлора) Пусть функция f(x) имеет в точке a и некоторой ее окрестно сти производные порядка n+1. Пусть x — любое значение аргу мента из указанной окрестности, x ≠ a . Тогда между точками x и a найдется такая точка ξ , что справедлива следующая формула: f ( x ) = f (a) + +

f ' (a) f ' ' (a) ( x − a) + ( x − a)2 + ... + 1! 2!

f (n+1)(ξ ) f (n ) (a) ( x − a )n+1. ( x − a)n + (n + 1)! n!

43

(1)

Доказательство. Обозначим через ϕ (x, a) многочлен относи тельно x степени n, стоящий в правой части формулы (1), т. е. по ложим ( x, a ) = f (a)+

f ' (a) f '' (a) ( x − a)+ ( x − a)2 + ...+ 1! 2! +

f (n ) (a) ( x − a)n . n!

Он называется многочленом Тейлора степени n для функции f(x). Далее обозначим через Rn+1(x) разность: Rn+ 1( x ) = f ( x ) − ϕ ( x, a ).

Теорема будет доказана, если установить, что Rn+1( x ) =

f (n+1) (ξ ) ( x − a)n+1, a < ξ < x . (n + 1)!

Фиксируем любое значение x из указанной окрестности. Для определенности считаем x > a. Обозначим через t переменную ве личину, изменяющуюся на отрезке [a, x], и рассмотрим на отрез ке вспомогательную функцию F (t ) = f ( x ) − ϕ ( x, t ) −

( x − t )n+1Rn+1( x ) ( x − a )n+1

.

(2)

Функция F(t) удовлетворяет на отрезке [a, x] всем условиям теоремы Ролля: 1) из формулы (2) и из условий, наложенных на функцию f(x), вытекает, что F(t) непрерывна и дифференцируема на [a, x], так как f(t) и ее производные до порядка n непрерывны и диф ференцируемы на [a, x]; 2) полагая в (2) t = a, имеем: F (a ) = f ( x ) − ϕ( x, a) − Rn+ 1( x ) = Rn+ 1( x ) − Rn+ 1( x ) = 0.

44

Полагая в (2) t = x, получаем:

F (x ) = f (x ) − f (x ) − ... −

f ' (x ) f '' ( x ) (x − x) − ( x − x )2 − ... 1! 2!

( x − x )n+1Rn+1( x ) f (n ) ( x ) = 0. ( x − x )n − n! ( x − a )n+1

Таким образом, условие F(a) = F(x) выполнено. На основании теоремы Ролля внутри отрезка [a, x] существует такая точка ξ , что F ' ( ξ ) = 0.

(3)

Вычислим производную F' (t). Дифференцируя равенство (2) по t, получаем:

F ' (t ) = − f ' (t ) + +

f ' (t ) f ' ' (t ) f ' ' (t ) ( x − t )+ 2( x − t )2 + ... + − 1! 1! 2!

(n + 1)( x − t )n Rn+1( x ) f (n+1) (t ) f (n ) (t ) . ( x − t )n + n( x − t )n −1 − n! n! ( x − a)n+1

Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за исключением двух последних, взаимно уничтожаются. Таким об разом,

F ' (t ) = −

f (n+1)(t ) (n + 1)( x − t )n Rn+1( x ) . ( x − t )n + n! ( x − a )n+1

Полагая в (4) t = ξ и используя равенство (3), получаем: F ' (ξ ) = −

f (n+1) (ξ ) (n + 1)( x − ξ )n Rn+1( x ) = 0, ( x − ξ )n + n! ( x − a)n+1

45

(4)

откуда Rn+1( x ) =

f (n+1) (ξ ) ( x − a)n+1, a < ξ < x . (n + 1)!

Теорема полностью доказана. Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение для Rn+1(x) — остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Формула Маклорена получается из фор мулы Тейлора при a = 0:

f ( x ) = f (0)+

f ' (0) f ' ' (0) 2 f (n ) (0) n ( x )+ ( x ) + ...+ ( x ) + Rn+1( x ). 1! 2! n!

Существуют различные формы остаточного члена в формуле Тейлора, например: Rn(x) = O((x – a)n) остаточный член в форме Пеано Rn ( x ) =

f (n+1) [a + θ ( x − a )] (1 − θ )n ( x − a)n+1, (n − 1)!

0 < θ < 1 остаточный член в форме Коши. Пример 1. Запишем многочлен Тейлора при a = 0 для функции f(x) = ex. Производные любого порядка для этой функции совпа дают с самой функцией f(x)(n) = f(x) = ex. Поэтому формула Тейло ра для функции f(x) = ex с остатком в форме Лагранжа имеет сле дующий вид:

e x = 1+ x +

x2 x n −1 + Rn ( x ), + ...+ 2! (n − 1)!

Rn ( x ) =

xn θx e , 0 < θ < 1. n!

Если положить x = 1 , то получим приближенное выражение для e: e ≈ 1+ 1+

1 1 + ...+ . 2! (n − 1)!

46

Остаточный член можно оценить следующим образом: Rn (1) ≤

1 3 e< . n! n!

Пример 2. Запишем многочлен Тейлора при a = 0 для функции πn πn ) , f (n ) (0) = sin( ) . Значит, фор f(x) = sin x. f (n ) ( x ) = sin( x + 2 2 мула Тейлора для функции f(x) = sinx с остатком в форме Лагранжа имеет следующий вид: sinx = x −

x 2k −1 x3 + ...+ (−1)k+1 + R2k+1( x ), 3! (2k − 1)!

R2k+1( x ) =

x 2k+1 π sin(θx + (2k + 1) ), 0 < θ < 1. (2k + 1)! 2

Для любого x остаток стремится к нулю при k → ∞ .

13. Первообразная функция и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении мы находили производную и дифференциал данной функции F(x): F ' (x + Δx )− F ' (x ) и dF ( x ) = F ' ( x )dx . Δx →0 Δx

F ' (x )= lim

Обозначим производную F '(x) через f (x), тогда F '(x) = f (x) и dF(x) = f (x)d. В интегральном исчислении решается обратная задача — отыс кание функции F(x) по заданной ее производной f (x) или диффе ренциалу f (x)dx, т. е. для заданной функции f (x) надо найти такую функцию F(x), производная которой F '(x) = f (x), или диф ференциал ее dF(x) = f (x)dx. 47

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функ цией для функции f(x) на множестве X, если производная ее F'(x) = f(x) или дифференциал ее dF(x) = f(x)dx на этом множестве. Теорема. Если две различные функции F(x) и Ф(х) являются первообразными функциями для функции f (x), то они отличают ся одна от другой на произвольную постоянную. Определение 2. Совокупность всех первообразных функций F(x) + C для функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается символом

∫ f (x )dx , в котором неяв

ным образом содержится произвольная постоянная. Из определения неопределенного интеграла вытекают его свойства. '

1. ⎛⎜ f ( x )dx ⎞⎟ = f ( x ) , т. е. производная от неопределенного ⎝ ⎠ интеграла равна подынтегральной функции. Действительно,

∫

⎛⎜ ⎝

2. d

∫ f (x )dx =

∫

'

f ( x )dx ⎞⎟ = [F ( x ) + C ]' = f ( x ). ⎠

f ( x )dx , т. е. дифференциал неопределенного

интеграла равен подъинтегральному выражению. Иначе говоря, знаки дифференциала и интеграла, когда первый предшествует второму, взаимно сокращаются. Действительно,

d

3.

∫ f (x )dx = d [F (x ) + C ]= [F (x ) + C ]dx = '

f ( x )dx .

∫ dF (x ) = F (x ) + C , т. е. неопределенный интеграл от диф

ференциала функции равен сумме этой функции и произвольно го постоянного. Действительно,

∫ dF (x ) = ∫ F (x )dx = ∫ f (x )dx = F (x ) + C . '

48

Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Докажем основные правила интегрирования.

∫

∫

1. af ( x )dx = a f ( x )dx (a ≠ 0), т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла. Найдем производную от правой части данного равенства. '

⎛⎜ a f ( x )dx ⎞⎟ = a⎛⎜ ⎝ ⎠ ⎝

∫

'

∫ f (x )dx ⎞⎟⎠ = af (x ),

∫

следовательно, функция F ( x ) + C = a f ( x )dx есть первообразная функции для функции af (x), что и требовалось доказать. 2.

∫ [f (x )+ f (x ) − f (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx, 1

2

3

1

2

3

т. е. неопределенный интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов. Найдем производную от правой части равенства. Таким образом, функция F (x ) + C =

∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx 1

2

3

есть первообразная функция для функции f (x) = f1 (x) + f2 (x) – f3 (x), так как F '(x) = f (x). Правило 2 доказано. Пример 1.

∫ (3x

2

− 4x +

5 x

∫

∫

∫

)dx = 3 x 2dx − 4 xdx + 5 x −1 / 2dx = = x 3 − 2 x 2 + 10 x + C .

49

Метод подведения под знак дифференциала. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если = F ( x )+ C , то

∫ f (x )d (x ) =

∫ f (x + a)d (x ) = F (x + a) + C ,

где a = const Пример 2.

∫x

dx 2

− 10 x + 15 =

=

dx

∫ (x − 5)

2

− 10

=

d ( x − 5)

∫ (x − 5)

2

− 10

=

⏐x − 5 − 10⏐ ln⏐ ⏐+ C . 2 10 ⏐x − 5+ 10⏐ 1

Подведение под знак дифференциала постоянного множите 1 ля: если f ( x )dx = F ( x ) + C, то f (ax )dx = F (ax ) + C, где a = a = const.

∫

∫

Пример 3. dx

1

d11x

1

∫ sin 11x = 11 ∫ sin 11x = − 11 ctg11x + C 2

2

Методы подведения под знак дифференциала постоянного множителя и постоянного слагаемого комбинируются: если 1 f ( x )dx = F ( x ) + C, то f (ax + b )dx = F (ax + b ) + C, где a,b = a = const. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки). Если интеграл непосредственно не вычисляется, то во многих случаях к цели приводит метод интегрирования заменой пере менной. Он является основным методом вычисления неопреде ленных интегралов. 1. Пусть требуется найти

∫

∫

∫ f [ϕ(x )]ϕ (x )dx, '

(1)

где подъинтегральная функция непрерывна. Применив подста новку t = ϕ (x) , получим 50

∫ f [ϕ(x )]ϕ (x )dx = ∫ f (t )dt , '

(2)

где dt = ϕ' ( x )dx . Предположим, что интеграл правой части равенства (2) проще, чем в левой части, и мы нашли его значение, равное F(t) + C, т. е.

∫ f (t )dt = F (t )+ C , где dF (t ) = F (t )dt = f (t )dt , тогда '

∫ f [ϕ(x )]ϕ (x ) dx = F [ϕ(x )]+ C . '

(3)

Докажем, что равенство (3) справедливо. Для этого найдем дифференциал правой части этого равенства: d {F [ϕ( x )]+ C } = F ' [ϕ ( x )]ϕ' ( x )dx = f [ϕ ( x )]ϕ' ( x )dx .

Получили подъинтегральное выражение интеграла левой ча сти равенства (3), следовательно, это равенство справедливо. Полезно запомнить частный случай:

∫

f ' (x ) dx = ln | f ( x ) | + C . f (x )

(4)

Интеграл от дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя. Действительно, положим f (x) = t, тогда f ' (x)dx = dt и

∫

f ' (x ) dx = f (x )

dt

∫t

= ln | t |+ C = ln | f ( x ) | + C .

2. Пусть требуется найти интеграл

∫ f ( x )dx,

(5)

где функция f (x) непрерывна. Первообразная функция для функ ции f (x) нам неизвестна. Произведем замену переменной, поло 51

жив x = ϕ (t ) , тогда dx = ϕ' (t )dt , причем функция ϕ (t ) строго '

монотонна и имеет непрерывную производную ϕ (t ) . Обратную функцию по отношению к функции x = ϕ (t ) обозначим через t = ϕ (x ) . Докажем, что

∫ f ( x )dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ (t )dt . '

(6)

Для этого достаточно показать, что дифференциал правой ч асти равенства (6) равен подынтегральному выражению интегра ла левой части этого равенства при x = ϕ (t ) или, что то же самое, при t = ϕ (x ) . Действительно,

∫ f [ϕ(t )]ϕ (t ) dt = f [ϕ(t )]ϕ (t ) dt = f (x ) dx. '

'

Следовательно, равенство (6) справедливо. Таким образом, чтобы вычислить интеграл левой части равен ства (6), надо найти интеграл в правой части этого равенства и в полученном выражении перейти от t к прежней переменной x по формуле t = ϕ (x ) . Заметим, что такое преобразование интеграла (5) целесооб разно лишь в том случае, если интеграл в правой части равенства (6) проще по сравнению с данным интегралом (5). Пример 4.

∫x =

1 2a

dx 2

−a ⎛

2

1

=

1 2a

∫x 1

2a 2

−a ⎞

2

dx =

∫ ⎜⎝ x − a − x + a ⎟⎠dx = =

1 2a

1 2a

∫

∫

( x + a) − ( x − a) dx = ( x + a)( x − a)

d ( x − a) 1 − x −a 2a

∫

d ( x + a) = x+a

x − a⏐ 1 1 ⏐ ⏐+ C (ln|x − a| − ln|x + a|) + C = ln⏐ 2a 2a ⏐x + a⏐

52

Метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет следующий вид:

∫ udv = uv − ∫ vdu,

(7)

где функции u(x) и v(x) — непрерывно дифференцируемые в не которой области X. Докажем эту формулу. Известно, что d(uv) = udv +vdu , отсюда

∫ d (uv ) = ∫ udv + ∫ vdu, ∫ udv = ∫ d (uv ) − ∫ vdu = uv + C − ∫ vdu. Присоединив к одному из двух неопределенных интегралов произвольную постоянную C, получим формулу (7). Применение формулы (7) для вычисления интеграла

∫ udv бу

дем считать удачным, если интеграл в правой части равенства (7) проще по сравнению с интегралом левой части этого равенства,

∫ udv мы свели к вычиc лению другого более простого интеграла vdu . ∫ т. е. если вычисление данного интеграла

Пример 5.

∫ xsinxdx = ∫ xd (−cosx ) = − xcosx − ∫ (−cosx )dx = = − xcosx + sinx + C .

14. Определенный интеграл Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b], a > b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xi −1 < xi < ... < xn = b.

53

Обозначим это разбиение через τ , а точки x0, x1, x2, …, xn будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [xi–1, xi] выберем произвольную точку ξi (xi −1 ≤ ξ ≤ xi ). Через Δ xi обозначим разность xi – xi–1, которую условимся назы вать длиной частичного отрезка [xi–1, xi]. Образуем сумму:

σ = f (ξ1 )Δx1 + f (ξ2 )Δx2 + ... + f (ξn )Δxn =

n

∑ f (ξ )Δx , i

i

(1)

i =1

которую назовем интегральной суммой для функции y = f(x) на [a, b], соответствующей данному разбиению [a, b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек ξi . Определение 1. Если существует конечный предел I интеграль ной суммы (1) при λ → 0 , то этот предел называется определен ным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [a, b] и обозначает ся следующим образом: b

I =

∫ f (x )dx

(2)

a

Или b

∫ a

f (x )dx = lim

λ →0

n

∑ f (ξ )Δx . i

i

i =1

В этом случае функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], чис ла a и b — соответственно нижний и верхний пределы интегриро вания, f(x) — подынтегральная функция, x — переменная интег рирования. Определение 2. Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b], если для любой последовательности разбиений { τ л }, у которой lim λk = 0, соответствующая последо k →0

вательность интегральных сумм {σ k } стремится к одному и тому же числу I. Теорема (необходимое условие интегрируемости функции). Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она является огра ниченной на этом отрезке. 54

Доказательство. Положим обратное, т. е. допустим, что f(x) не является ограниченной на [a, b]. Покажем, что в этом случае ин тегральную сумму можно за счет выбора точек ξ1, ξ2, ..., ξn сде лать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка. Действительно, так как f(x) не является ограниченной на [a, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свой ством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [x0, x1]. Выберем на остальных частичных отрезках точки ξ1, ξ2, ..., ξn произвольно и обозначим

σ ′ = f (ξ 2 )Δx2 + f (ξ3 )Δx3 + ... + f (ξn )Δxn Зададим произвольное число M > 0 и возьмем такое ξ1 на [x0, x1], чтобы σ′ + M f (ξ1 ) ≥ . Δx1 Это можно сделать в силу неограниченности функции f(x) на [x0, x1]. Тогда f (ξ1 )Δx1 ≥ σ ′ + M

и

σ = f (ξ1 )Δx1 + σ ′ ≥ f (ξ1 )Δx1 − σ ′ ≥ M , т. е. интегральная сумма σ не имеет конечного предела при λ → 0, а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует. Свойства определенного интеграла При выводе свойств определенного интеграла будем предпо лагать, что подынтегральная функция непрерывна на [a, b]. 1. Из определения определенного интеграла следует, что интеграл b

∫ f (x )dx, a

где a и b — постоянные, есть число. Следовательно, определенный интеграл при постоянных пре делах a и b зависит только от вида функции f(x) и не зависит от пе 55

ременной интегрирования x, которую поэтому можно обозначать любой буквой: b

∫

b

f (x )dx =

∫

a

f (t )dt =

a

b

∫ f (z )dz,

(1)

a

2. Если нижний предел интеграла равен верхнему пределу, то интеграл равен нулю: b

∫ f (x )dx = 0.

(2)

a

Это предложение можно принять за определение. С геометри ческой точки зрения равенство (2) очевидно, так как основание криволинейной трапеции равно нулю, следовательно, площадь ее также равна нулю. 3. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то интеграл изменит свой знак: b

∫

a

f (x )dx = − f (x )dx .

∫

a

(3)

b

В определении определенного интеграла мы полагали, что отрезок [a, b] ориентирован и a < b. Напишем интегральную сум му, соответствующую первому интегралу равенства (3): n

σ1 =

∑ f (ξ )(x − x i

i

i −1

).

(4)

i =1

Очевидно, что Δ xi = xi – xi–1 > 0. Теперь напишем интегральную сумму, соответствующую ин тегралу правой части равенства (3) при том же способе деления и вы боре точек ξi в соответствующих частичных сегментах, получим n

σ2 =

∑ f (ξ )(x

i −1 − xi

i

i =1

где – Δ xi = –(xi – xi–1) = xi–1 – xi. 56

),

(5)

Из равенств (4) и (5) следует, что σ 1 = −σ 2 . В этом равенстве перейдем к пределу при Δx → 0 ( Δ x = max Δ xi), получим равенство (3). 4. При любом расположении точек a, b, c в промежутке интег рируемости f(x) имеет место равенство: b

c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx. 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: b

∫

b

kf (x )dx = k f (x )dx .

∫

a

(6)

a

Напишем интегральную сумму, соответствующую интегралу левой части равенства (6): n

∑ kf (ξ )Δx i

n

i

=k

i =1

∑ f (ξ )Δx . i

i

i =1

В этом равенстве перейдем к пределу при Δx → 0 , получим равенство (6). 6. Интеграл постоянной величины равен произведению этой постоянной на длину промежутка интегрирования: b

∫ cdx = c (b − a ). a

Следствие. Если подынтегральная функция равна нулю, то определенный интеграл тоже равен нулю. 7. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраи ческой сумме интегралов этих функций: b

b

b

b

∫ [f (x ) + f (x ) − f (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx. 1

a

2

3

1

2

a

a

57

3

a

(7)

Разделим отрезок [a, b] на n произвольных частей, составим интегральную сумму, соответствующую интегралу левой части равенства (7), и преобразуем ее: n

n

i =1

i =1

∑ [f1(ξi )+ f2 (ξi )− f3 (ξi )] Δxi = ∑ f1(ξi )Δxi + ∑ f2 (ξi )Δxi − −

∑ f (ξ )Δx . 3

i

(8)

i

В равенстве (8) перейдем к пределу при Δx → 0 , получим ра венство (6). 8. Пусть f ( x ) ≤ ϕ ( x ) на отрезке [a, b], тогда b

b

a

a

∫ f (x )dx ≤ ∫ϕ (x )dx.

(9)

Разделим отрезок [a, b] на n произвольных частей и составим интегральные суммы для данных двух функций. Точки ξi в ча стичных сегментах выбираем произвольно, но для отдельных сумм одни и те же, получим: n

∑ f (ξ )Δx ≤ ∑ϕ (ξ )Δx . i

i

i

i

(10)

i =1

В неравенстве (10) перейдем к пределу при Δx → 0 , получим неравенство (9). 9. Теорема (о среднем значении). Пусть функция f(x) непрерыв на на отрезке [a, b], тогда b

∫ f (x )dx = (b − a )f (c ),

где c ∈ [a,b ].

(11)

a

Доказательство. Известно, что непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b] является ограниченной и достигает наибольшего и наименьшего своих значений, т. е. m < f(x) < M. Это двойное неравенство проинтегрируем, получим b

∫ mdx ≤ a

b

∫ f (x )dx a

58

b

≤

∫ Mdx . a

Воспользовавшись свойством 6, будем иметь b

m(b − a ) ≤

b

∫ f (x )dx ≤ M (b − a ),

откуда m ≤

∫ f (x )dx a

a

b −a

≤ M.

Непрерывная функция f(x) принимает все свои промежуточ ные значения, заключенные между m и M. Поэтому найдется та кая точка c ∈ [a, b], что b

f (c )=

∫ f (x )dx a

b −a

,

отсюда получаем равенство (11). Теорема доказана полностью. Геометрический смысл теоремы. Если непрерывная функция f(x) > 0, то равенство (11) можно прочитать так: площадь криво линейной трапеции равна площади прямоугольника, основанием которого служит основание этой трапеции, а высотой — некото рая средняя ордината.

15. Суммы Дарбу и их свойства Пусть функция f(x) является ограниченной на отрезке [a, b] и τ — разбиение этого отрезка точками a = x0 < x1 < x2 < … < xi1 < < xi < … < xn = b. Обозначим через mi и Mi соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на отрезке [xi1, xi] и составим следующие суммы: n

S = M1Δx1 + M 2 Δx2 + ... + M n Δxn =

∑ M Δx , i

i

i =1 n

s = m1Δx1 + m2 Δx 2 + ... + mn Δx n =

∑ m Δx . i

i

i =1

Эти суммы называются соответственно верхней и нижней сум мами Дарбу функции f(x) для данного разбиения τ отрезка [a, b]. 59

Из определения верхней и нижней граней следует, что mi ≤ f (ξi ) ≤ M при ξi ∈ [ xi −1, xi ].

Отсюда n

s=

∑ i =1

n

mi Δxi ≤ σ =

∑

f (ξi )Δxi ≤

i =1

n

∑ M Δx = S , i

i

i =1

т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного раз биения связаны неравенствами: s ≤ σ ≤ S . (1) Свойства сумм Дарбу 1. Для любого фиксированного разбиения τ и для любого

ε > 0 точки ξi на отрезках [xi1, xi] можно выбрать так, что интеграль ная сумма σ будет удовлетворять неравенствам: 0 ≤ S − σ < ε . Точки ξi можно выбрать также и таким образом, что интеграль ная сумма будет удовлетворять неравенствам: 0 ≤ σ − s < ε . Доказательство. Пусть τ — некоторое фиксированное разбие ние отрезка [a, b]. Докажем, например, неравенства 0 ≤ S − σ < ε . Согласно свойству точной верхней грани Mi для данного ε > 0 на [x i1 , x i ] можно указать такую точку ξi , что ε 0 ≤ M i − f (ξi ) < , I = 1, 2, …, n b −a Умножая эти неравенства на Δ xi и затем складывая, получаем: 0 ≤ S − σ < ε . Аналогично устанавливаются неравенства 0 ≤ ≤σ −s mi, m''i > mi (точная нижняя грань на части [xi1, x'] не мень ше точной нижней грани на всем [x i1 , x i ]), то mi′ (x ′ − xi −1 ) + mi′′(xi − x ′) ≥ mi (x ′ − xi −1 ) + mi (xi − x ′) = mi Δxi .

Отсюда следует, что s' > s. Аналогично доказывается, что S > S'. 3. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения τ ' не превосхо дит верхней суммы для любого другого разбиения τ ''. Доказательство. Пусть s' и S ', s'' и S '' — нижняя и верхняя сум мы Дарбу соответственно для разбиений τ ' и τ ''. Рассмотрим раз биение τ , состоящее из всех точек, входящих в разбиения τ ' и τ ''. Обозначим его суммы Дарбу через s и S. Так как разбиение τ мо жет быть получено из разбиения τ ' добавлением к нему точек раз биения τ '', то согласно свойству 2, учитывая очевидное неравен ство S > s, получаем: s' < s < S < S '. Но разбиение τ может быть также получено из разбиения τ '' добавлением точек разбиения τ '. Поэтому s'' < s < S < S ''. Сравнивая установленные неравенства, получаем s' < S ', s'' < S ''. 4. Множество {S} верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для возможных разбиений отрезка [a, b] ограниченно снизу, а множест во {s} нижних сумм Дарбу ограниченно сверху, причем точная верхняя грань множества {s} не превосходит точной нижней гра ни множества {S}. Доказательство. Это свойство непосредственно следует из свойства 3. Действительно, множество всех верхних сумм Дарбу {S} является ограниченным снизу, например, любой нижней сум мой Дарбу s, а множество всех нижних сумм Дарбу {s} является ограниченным сверху, например, любой верхней суммой Дарбу S, а это значит, что множества {S} и {s} имеют точные грани. Обозначим через I* точную нижнюю грань множества {S}, а через I* — точную верхнюю грань множества {s}: I* = inf{S}, I* = sup{s}. Покажем, что I* < I*. Пусть I* > I*. Обозначим их разность че рез ε , так что I * − I * = ε > 0 . Из свойства точных граней I* и I* вытекает, что существуют числа S ' и s'', представляющие собой 61

соответственно такие верхнюю и нижнюю суммы Дарбу некоторых ε ε разбиений τ ' и τ '' отрезка [a, b], что I * + > S ′ и I * − < s ′′ . 2 2 Вычитая второе неравенство из первого, получаем: S ′ − s ′′ < I * − I * + ε .

Но I * − I * = −ε , поэтому S ' – s'' < 0, т. е. s'' > S ', что противо речит свойству 3. Следовательно, I* < I*.

16. Критерий интегрируемости Теорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функ ция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы lim (S − s ) = 0.

λ →0

(1)

Условие (1) означает: для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что при λ < δ выполняется неравенство | S – s | < ε . Так как S > s , то последнее неравенство равносильно неравенству S − s < ε.

(2)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) интегри руема на отрезке [a, b], т. е. существует определенный интеграл b

I =

∫ f (x )dx . Это означает, что для любого ε > 0 существует такое a

δ > 0, что для любого разбиения τ , удовлетворяющего условию λ < δ , независимо от точек ξi выполняется неравенство: σ − I < ε / 4.

(3)

Зафиксируем любое такое разбиение τ . Для него, согласно первому свойству сумм Дарбу, можно указать такие интегральные суммы σ ′ и σ ′′ , что S − σ ′ ≤ ε / 4, σ ′′ − s ≤ ε / 4.

62

(4)

Отметим, что обе интегральные суммы σ ′ и σ ′′ удовлетворяют неравенству (3). Из соотношения S − s = (S − σ ′) + (σ ′ − I ) − (I − − σ ′′) + (σ ′′ − s ) и из неравенств (3) и (4) следует, что S – s < ε , а это и означает выполнение условия (2). Достаточность. Пусть выполнено условие (2). Согласно свой ству 4 сумм Дарбу s ≤ I * ≤ I * ≤ S для любых верхних и нижних * сумм Дарбу, поэтому 0 ≤ I − I * ≤ S − s , откуда согласно (2) сле * дует, что 0 ≤ I − I * ≤ ε для любого ε > 0 . Значит, I* — I* = 0, т. е. I*= I*. Полагая I = I* = I*, получаем, что для любого разбиения выполняются неравенства s < I < S.

(5)

Если же интегральная сумма σ и суммы Дарбу s и S отвечают одному и тому же разбиению τ , то, как известно, s ≤ σ ≤ S.

(6)

Из неравенств (5) и (6) следует, что

σ − I ≤ S − s.

(7)

По условию, для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что при λ < δ выполняется неравенство (2), но тогда из неравенства (7) следует, что и σ − I < s при λ < δ , а это означает, что число I является пределом интегральной суммы σ при λ → 0 , т. е. функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] .

17. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона—Лейбница Рассмотрим определенный интеграл с нижним пределом a и переменным верхним пределом x(a < x < b). Этот интеграл яв ляется функцией верхнего предела. Обозначим его через Ф(x), т. е.

Φ (x ) =

x

∫ f (t )dt . a

63

(1)

Напомним, что в определенном интеграле переменную интег рирования x можно обозначать любой буквой, от этого величина интеграла не изменится. В интеграле (1) во избежание смешива ния переменной интегрирования с переменным верхним преде лом обозначили переменную интегрирования через t, а перемен ный верхний предел — через x. Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то функция Φ (x )=

x

∫ f (t )dt

( x ∈ [a,b ] )

a

имеет производную на этом сегменте, причем Φ′(x ) = f (x ).

Иными словами, производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции f(t) при t = x. Доказательство. Дадим в произвольной точке x ∈ [a, b] прира щение Δ x такое, чтобы x + Δ x ∈ [a, b], тогда новое значение функ ции Ф(x): Φ (x + Δx ) =

x + Δx

∫ a

f (t )dt =

x

∫

f (t )dt +

x + Δx

a

∫ f (t )dt . x

Отсюда получим приращение функции в упомянутой точке x: Φ (x + Δx ) − Φ (x )=

x + Δx

∫ f (t )dt . x

Применив к этому интегралу теорему о среднем значении, бу дем иметь Φ (x + Δx ) − Φ(x ) = Δxf (ξ ),

64

(2)

где x ≤ ξ ≤ x + Δx , отсюда Φ (x + Δx ) − Φ (x ) = f (ξ ). Δx

Пусть x → 0, тогда в силу двойного неравенства (2) ξ → x

и f (ξ ) → f (x ) , так как по условию функция f(t) непрерывна. Следовательно, предел левой части равенства (3) также существует: lim

Δx → 0

Φ (x + Δx ) − Φ (x ) = f (x ), Δx

т. е. Φ′(x )= f (x ).

Таким образом, доказали, что производная функции Ф(x) су ществует в произвольной точке x ∈ [a, b], следовательно, функция дифференцируема на отрезке [a, b]. Теорема доказана полностью. Из доказанной теоремы следует: 1) непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b] всегда имеет первообразную функцию хотя бы в таком виде: Φ (x ) =

x

∫ f (t )dt (x ∈[a,b]); a

2) первообразная непрерывной функции также непрерывна. Это следует из дифференцируемости первообразной функции Ф(x). Теорема 2 (формула Ньютона—Лейбница). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) — какаянибудь первообраз ная функция для f(x) на этом отрезке, то имеет место следующая формула: b

∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ). a

65

(4)

Доказательство. По условию теоремы, непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b] имеет первообразную функцию F(x) и, по до казанной теореме 1, для этой функции первообразной также бу дет функция Φ (x )=

x

∫ f (t ) dt , (x ∈ [a,b ]). a

Известно, что две любые первообразные функции для одной и той же функции отличаются между собой на произвольную по стоянную, следовательно, Ф(x) = F(x) + C. Пусть x = a, тогда Φ (a ) = C = –F(a).

(5)

a

∫ f (t )dt = 0 и 0 = F(a) + C, отсюда a

Подставив это значение C в равенство (5), получим Ф(x) = F(x) – F(a) или

x

∫ f (t )dt = F (x )− F (a ). a

Пусть теперь x = b, тогда Ф(b) = F(b) – F(b), т. е. b

∫ f (t )dt = F (b ) − F (a ) a

или, сменив обозначение t переменной интегрирования на x, по лучим формулу (4), которая является основной формулой в инте гральном исчислении и носит название формулы Ньютона— Лейбница. Эту формулу можно прочитать так: определенный интеграл при x = b равен разности двух значений и при х = а — любой первообразной функции F(x) для функции f(x). Теорема доказана. 66

Формулу Ньютона—Лейбница обычно записывают в следую щем виде: b

∫ f (x )dx = F (x )

b a

= F (b )− F (a ).

(6)

a

b

Символ a называется знаком двойной подстановки. Сформулируем полученное правило: чтобы вычислить опре деленный интеграл (6), надо найти первообразную функцию F(x) для f(x) и произвести двойную подстановку от a до b для функции F(x), т. е. получить разность F(b) – F(a).

18. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Кантора она и равномернонепрерывна на нем. Пусть дано любое ε > 0 . Согласно следствию из теоремы Кантора для положительного числа ε /(b − a) найдется такое δ > 0 , что при разбиении отрезка [a, b] на частичные отрезки [xi1, xi], длина которых Δ xi < δ , все колебания ω i меньше ε /(b − a) . Отсюда n

S −s =

∑ i =1

ωi Δxi
a. Тогда, если a

существует конечный предел R

lim

R → +∞

∫ f (x )dx, a

70

(1)

то его называют несобственным интегралом первого рода и обо значают +∞

∫ f (x )dx.

(2)

a

Таким образом, по определению +∞

∫

R

f ( x ) dx = lim

R → +∞

a

∫ f (x ) dx. a

В этом случае говорят, что интеграл (2) существует или схо дится. Если же предел (1) не существует или бесконечен, то гово рят, что интеграл (2) не существует или расходится. Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интеграл по промежутку ( –∞ , b]:

b

∫

b

f ( x )dx = lim

R → −∞

−∞

∫ f (x )dx.

(3)

R

Как сумму интегралов вида (2) и (3) можно определить несоб ственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т. е. +∞

с

+∞

−∞

−∞

с

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx,

(4)

где c — любое число, при условии существования обоих интегра лов справа. Определение 2. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b). Точку x = b будем называть особой, если функция f(x) нео граниченна в любой окрестности этой точки, но является ограни ченной в любом отрезке [a, b – ε ], заключенном в [a, b). Пусть на любом отрезке [a, b – ε ] функция интегрируема, т. е. сущест 71

b −ε

∫ f (x )dx

вует определенный интеграл

при таком любом ε > 0,

a

что b – ε > a. Тогда, если существует конечный предел b −ε

lim

ε →0+ 0

∫ f (x )dx,

(5)

a

то его называют несобственным интегралом второго рода и обо значают b

∫ f ( x )dx.

(6)

a

В этом случае говорят, что интеграл (6) существует или схо дится. Если же предел (5) не существует или бесконечен, то гово рят, что интеграл (6) не существует или расходится. Аналогично, если x = a — особая точка, то несобственный ин теграл определяется так: b

∫

b

f ( x )dx = lim

ε →0 + 0

a

∫ f ( x )dx .

a +ε

Если функция f(x) неограниченна в окрестности какойни будь внутренней точки c ∈ [a, b], то при условии существования обоих интегралов справа по определению полагают, что b

∫ a

c

f ( x )dx =

∫

b

f ( x )dx +

a

∫ f (x )dx. c

Если a и b — особые точки, то, если оба интеграла справа су ществуют, несобственный интеграл определяется как сумма: b

c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx. где c — любая точка из (а, b). Теорема (признак сходимости несобственных интегралов). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на полупрямой [a, +∞ ) и удовле творяют на ней условию 0 < f(x) < g(x), то из сходимости интеграла 72

+∞

∫ g (x )dx

(7)

a

следует сходимость интеграла +∞

∫ f (x )dx,

(8)

a

а из расходимости интеграла (8) следует расходимость интеграла (7). Доказательство. Введем обозначения: F (R ) =

R

∫

f ( x )dx , G (R ) =

a

R

∫ g (x )dx . a

Так как 0 < f(x) < g(x) при x > a, то справедливы следующие не равенства:

0 < F(R) < G(R) при R > a,

(9)

кроме того, функция F(R) (а также G(R)) является неубывающей на R2

полупрямой [a, +∞ ). В самом деле, если a < R1 < R2, то

R1

и, следовательно,

F (R2 ) =

R2

∫ a

R1

f ( x )dx =

∫ f (x )dx ≥ 0

∫ a

R2

f ( x )dx +

∫

R1

R1

f ( x )dx ≥

∫ f (x )dx = F (R ). 1

a

Пусть интеграл (7) сходится, т. е. функция G(R) имеет конеч ный предел при R → +∞ . Отсюда в силу неубывания G(R) сле дует, что функция G(R) является ограниченной на [a, +∞ ). Но тогда согласно равенству (9) функция F(R) тоже является ограни 73

ченной на [a, +∞ ) и, следовательно, имеет на [a, +∞ ) точную верх нюю грань. По определению точной верхней грани для любого ε > 0 най дется такое Rε ≥ a, что 0 ≤ I − F (Rε ) . Так как функция F(R) не убывает на [a, +∞ ), то для любого R > Rε выполняется неравенство F (R ) ≥ F (Rε ) и, значит, 0 ≤ I − F (R ) < ε при R ≥ Rε . Таким образом, F (R ) − I < ε при R ≥ Rε .

Это означает, что lim F (R ) = I , т. е. интеграл (8) сходится. R → +∞

Пусть теперь интеграл (8) расходится. Тогда, если предполо жить, что интеграл (7) сходится, то, в силу доказанного выше, ин теграл (8) сходится, что противоречит условию. Следовательно, интеграл (7) также расходится. Теорема доказана. Теорема (критерий) Коши. Для того, чтобы интеграл (2) был схо дящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 сущест b2

вовало такое число b > a, что если b1 > b и b2 > b, то

∫ f (x )dx

< ε.

b1

Определение 3. Интеграл (2) называется абсолютно сходящимся, +∞

если сходится интеграл

∫ f (x ) dx . a

Теорема 1. Для того чтобы интеграл (2) был абсолютно сходя щимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 сущест вовало такое число такое число b > a, что если b1 > b и b2 > b, то b2

∫ f (x ) dx

< ε.

b1

Теорема 2. Если интеграл (2) абсолютно сходится, то он просто сходится.

ЛЕКЦИЯ № 3. Функции нескольких переменных

1. Топология. Метрические пространства. Компактные множества в ℜn Определение 1. Пусть A — некоторое множество. Функция d : A × A → R , удовлетворяющая условиям: 1) d(a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b; 2) d(a, b) + d(a, c) > d(b, c) для всех a, b, c ∈ A, — называется мет рикой на A. Множество A с определенной на нем метрикой называется мет рическим пространством и обозначается (A, a) или просто M. Второе свойство известно как неравенство треугольника. Если взять A = R и d(x, y) = |x – y| , то нетрудно видеть, что d метрика. Вообще возьмем A = Rn и определим d равенством: ⎛ n ⎞ d ( x, y ) = ⎜ ( xi − yi )2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠

∑

1

2

= x−y,

где и x = (x1, x2 …, xn) и y = (y1, y2, …, yn). Снова нетрудно показать, что d — метрика. Эта метрика назы вается евклидовой, или обычной, метрикой. Два других примера метрик на A = Rn задаются равенствами: n

d ( x, y ) =

∑x

i

− yi , d ( x, y ) = max xi − yi . 1≤ i ≤ n

i =1

Проверку того, что это действительно метрики, оставляем чи тателю в качестве упражнения. Если A — любое множество, на нем можно определить метри ку по правилу: d(x, y) = 0 при x = y и d(x, y) = 1 при x ≠ y. Полученная метрика называется дискретной метрикой на A. 75

Теперь легко определить непрерывность отображений метри ческих пространств. Определение 2. Пусть (A, dA), (B, dB) — метрические простран ства. Функция f : A →B называется непрерывной в точке x ∈ A, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, dr(f(x), f(y)) < ε что, как только dA(x, y) < δ . Функция называется непрерывной, если она непрерывна во всех точках x ∈ A. Определение. Покрытием множества S множества X называется та кое семейство подмножеств {Uj : j ∈ J} множеств X, что S ⊂ U U j . j ∈J

Если индексирующее множество J конечно, то {Uj : j ∈ J} назы вается конечным покрытием. Пример Семейство {[1/n, 1 – 1/n ]: n ∈ N} является покрытием подмно жества (0, 1) пространства ℜ . Если S = X, то семейство {U j : j ∈ J}, обладающее свойством S ⊂ U U j , является покрытием X. j ∈J

Пример Если U n = (n, n + 3) ⊂ ℜ , то {Un : n ∈ N} — покрытие ℜ . Определение. Пусть {Uj : j ∈ J} и {Vk : k ∈ K} — покрытия под множества S ⊂ X . Если для любого j ∈ J найдется такое k ∈ K, что Uj = Vk, то говорят, что {Uj : j ∈ J} — подпокрытие покрытия {Vk : k ∈ K}. Пример {Vr : r ∈ ℜ }, где V r = (r , r + 3) , является покрытием ℜ , и {Un : : n ∈ N}, где Un = (n, n+3) — его подпокрытие. Определение. Пусть X — метрическое пространство и S — его подмножество. Покрытие {Uj : j ∈ J} называется открытым покры тием S, если каждое Uj : j ∈ J, открыто в X. Определение. Подмножество S метрического пространства X называется компактным, если всякое открытое покрытие S обла дает конечным подпокрытием. В частности, метрическое пространство X компактно, если всякое его открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Пространство ℜ с обычной метрикой некомпактно, потому что открытое покрытие {(n, n + 2) : n ∈ Z} не имеет конечных подпо крытий. Пространство X с дискретной метрикой тогда и только тогда компактно, когда оно конечно. Так как каждая точка дис кретного пространства X является открытым множеством, то для 76

бесконечного X открытое покрытие, состоящее из всех одното чечных множеств, не имеет конечного подпокрытия. С другой стороны, если X конечно, то оно имеет только конечное число от крытых подмножеств. Докажем следующую теорему. Теорема. Пусть f : X →Y — непрерывное отображение. Если S ⊂ Y — компактное подпространство, то f(S) компактно. Доказательство. Пусть {Uj : j ∈ J} — открытое покрытие f(S); тогда {f–1(Uj) : j ∈ J } — открытое покрытие S. Так как S компакт но, найдется конечное подпокрытие {f–1(Uk) : k ∈ K}, K конечно. Но f(f–1(Uk)) ⊂ Uk, и поэтому {Uk : k ∈ K} — покрытие f(S), являю щееся конечным подпокрытием покрытия {Uj : j ∈ J}. Теорема доказана. Компактность множеств пространства En и C Из ограниченности последовательности точек евклидова про странства, как известно, следует возможность выделения из этой последовательности сходящейся подпоследовательности (теоре ма Больцано—Вейерштрасса). Однако этот факт наблюдается да леко не во всех метрических пространствах. Так, например, по следовательность точек x1(1, 0, 0, ...), x2 (0, 1, 0, ...), ...

в пространстве m располагается в замкнутой сфере радиуса 1, сле довательно, она ограничена. Но из этой последовательности нель зя выделить сходящуюся подпоследовательность изза того, что расстояние между любыми двумя точками последовательности d(xi, xk) = 1, i ≠ k . Определение. Множество S, содержащееся в метрическом про странстве ℜ , называется компактным, если из любой бесконечной последовательности точек множества можно выделить сходя щуюся подпоследовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлежат S, то множество S называется компактным в себе, если же эти преде лы принадлежат пространству ℜ , не принадлежа, может быть, множеству S, то множество S называется компактным в простран стве (относительно пространства). Из определения следует, что, для того чтобы множество было компактно в себе, необходимо и достаточно, чтобы оно было компактным в пространстве ℜ и замкнутым. 77

Рассмотрим некоторые свойства компактных множеств. Теорема. Всякое бесконечное ограниченное множество точек nмерного евклидова пространства компактно. Теорема. Всякое компактное множество ограничено. Доказательство. Предположим, что данное множество не ограничено. В этом случае всегда можно построить такую после довательность точек {xn} данного множества, что d(x1, xn) > n, d(xk, xk=1), k = 1, 2, … . Никакая подпоследовательность такой последовательности не может быть фундаментальной. Полученное противоречие дока зывает неправильность предположения. Теорема доказана. Таким образом, в качестве примеров компактных множеств можно привести любые ограниченные множества точек nмерно го евклидова пространства, так как для множеств пространства En необходимым и достаточным условием компактности является их ограниченность. В пространстве С существуют ограниченные бесконечные множества непрерывных функций, из которых нельзя выделить сходящиеся (в смысле метрики С) последовательности. Так, на пример, рассмотрим множество функций x1, x2, x3 … пространства C [0, 1]. Нетрудно видеть, что эта ограниченная на сегменте [0, 1] последовательность имеет своей предельной функцией разрыв ную функцию ⎧0, 0 ≤ x < 1, y = ⎨ x = 1, ⎩1,

которая не принадлежит пространству C. Всякая подпоследова тельность рассмотренной последовательности будет сходиться к той же разрывной функции, т. е. не будет сходиться в простран стве C [0, 1]. Рассмотрим критерий компактности в пространстве C. Введем предварительно два определения. 78

Определение. Функции f(x) некоторого множества S называ ются равномерноограниченными, если для всех функций этого множества существует такая единая константа k, что |f(x)| < k. Определение. Функции f(x) некоторого множества S назы ваются равностепеннонепрерывными, если для любого ε > 0 сущест вует такое δ > 0, что |f(x1) – f(x2) | < ε , если | x1 – x2 | < δ для лю бых х1, х2 и для любой функции f(x) ∈ M. Теорема (критерий компактности в пространстве C). Для того, чтобы множество S функций f(x) в пространстве C было компакт ным, необходимо и достаточно, чтобы функции множества S бы ли равномерноограниченными и равностепеннонепрерывными.

2. Евклидово пространство Перейдем теперь к изучению множеств nмерного евклидова пространства. Числовой прямой мы попрежнему будем называть множество всех действительных чисел Z; nмерным пространством будем на зывать множество всевозможных nточек действительных чисел (x1, x2, …, xn). Всякую такую nточку будем называть точкой nмерного про странства, а числа x1, x2, …, xn — ее координатами. Расстояние ρ ( x, x ′) между двумя точками x = (x1, x2, …, xn) и x ′ = ( x1′, x2′ , ..., xn′ ) nмерного пространства будем определять по формуле:

ρ ( x, x ′) =

( x1 − x1′ )2 + ( x2 − x 2′ )2 + ... + ( x n − x n′ )2 .

При любом n пространство с таким определением расстояния между его точками называется nмерным евклидовым простран ством и обозначается En. При n = 1 пространство E1, как уже было отмечено, есть чис ловая прямая, расстояние между точками которой определяется по формуле:

ρ ( x, x ′) = ( x − x ′ )2 = x − x ′ . При n = 2 пространство E2 называется плоскостью, а форму лой для определения расстояния в этом случае является:

ρ ( x, x ′) =

( x1 − x1′ )2 + ( x 2 − x 2′ )2 .

79

Расстояние между точками nмерного евклидова пространства удовлетворяет трем условиям: 1) аксиоме тождества ρ ( x, x ′) = 0 — тогда и только тогда, ког да точки x = (x1, x2, …, xn) и x ′ = ( x1′, x2′ ,..., xn′ ) совпадают, т. е. тогда и только тогда, когда x1 = x1′, x2 = x2′ , ..., xn = xn′ ; 2) аксиоме симметрии ρ ( x, x ′) = ρ ( x ′, x ) ; 3) аксиоме треугольника ρ ( x, x ′) + ρ ( x ′, x ′′) ≥ ρ ( x , x ′′). Определение. nмерным сегментом (или nмерным параллеле пипедом при условии, что a1 = a2 = … = an, b1 = b2 = … = bn nмер ный сегмент называют nмерным кубом) будем называть множест во всех точек x = (x1, x2, …, xn) nмерного евклидова пространства, для координат которых выполняются неравенства: a1 < x1 < b1, a2 < x3 < b3, … an < xn < bn. Определение. nмерный шар с центром в точке x0 = (x10, x20, …, радиуса R — множество всех точек x = (x1, x2, …, xn), для кото рых выполняется неравенство ρ ( x0 , x ) ≤ R .

xn0)

Множество всех точек, удовлетворяющих неравенству ρ ( x0 , x ) < R, называют внутренностью этого шара. Сформулируем некоторые основные определения. Множество точек nмерного пространства называется ограни ченным, если существует nмерный сегмент, содержащий все точ ки данного множества. Внутренность любого nмерного шара, со держащая данную точку nмерного пространства, называется окрестностью точки. Точка ξ называется предельной точкой множества A, если лю бая ее окрестность содержит бесконечно много точек множества A. Точка ξ может как принадлежать множеству A, так и не при надлежать ему. Очевидно, что конечные множества не могут иметь предельных точек. Точка a, принадлежащая множеству A и не являющаяся для него предельной, называется изолированной точкой множества A. Для всякой изолированной точки a множества A существует 80

окрестность, не содержащая никаких точек множества, отличных от точки a. Множество A называется связным, если любые две точки это го множества можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек данного множества. Например, nмерный шар — связное множество, а множество, состоящее из двух nмерных шаров, не является связным. Точка a называется внутренней точкой множества A, если су ществует δ окрестность этой точки, состоящая из точек этого множества. Множество A, состоящее лишь из внутренних точек, назы вается открытым множеством. Связное открытое множество A точек называется открытой областью, или просто областью. Точка называется граничной точкой области, если в любой ее δ окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принад лежащие этой области. Множество всех граничных точек области называется границей этой области. Например, для области, которая состоит из точек, лежащих внутри шара, границей является сфера. Множество A точек, образованное областью и ее границей, на зывается замкнутой областью. Определение. Последовательность точек nмерного пространства x(1) = (x1(1), x2(1), …, xn(1)), x(2) = (x1(2), x2(2), …, xn(2)), … x(1) = (x1(1), x2(1), …, xn(1)). называется сходящейся, если существует такая точка этого прост ранства x = (x1, x2, …, xn), что при любом ε > 0 найдется такое N, что для всех значений l > N будет выполняться неравенство ρ ( x (l ), x ) < ε . Точка x называется пределом последовательности {x(l)}, что записывается в виде: lim x (l ) = x , или { x (l ) } → x .

l →∞

Из определения расстояния между точками nмерного евкли дова пространства непосредственно следует, что точка x будет 81

пределом последовательности точек {x(l)} тогда и только тогда, когда x1 = lim x1(l ), l →∞

x2 = lim x2(l ), l →∞

… x n = lim xn(l ) . l →∞

В самом деле, пусть lim x (l ) = x , т. е. для любого найдется та l →∞

кое N, что для всех значений l > N будет выполняться неравенство ρ ( x (l ), x ) < ε , или подробнее: ( x1(l ) − x1 )2 + ( x 2(l ) − x 2 )2 + ... + ( x n(l ) − xn )2 < ε .

Так как xi (l ) − xi ≤

( x1(l ) − x1 )2 + ( x2(l ) − x2 )2 + ... + ( xn(l ) − xn )2 < ε ,

то lim x1(l ) = x1, lim x2(l ) = x2, …, lim xn(l ) = xn .

l →∞

l →∞

l →∞

Наоборот, если lim x1(l ) = x1, lim x2(l ) = x2, …, lim xn(l ) = xn ,

l →∞

l →∞

l →∞

то для любого ε > 0 найдется такое N, что для всех значений l > N будут выполняться неравенства: x1(l ) − x1
N будут выполняться неравенства:

ρ ( xn , x0 )
0 существует такое δ > 0 , что (0) для любой точки x ∈ O( x , δ ) ∩ E 0 , x ≠ x0 ( O( x (0), δ ) — δ —

окрестность точки x0). Наряду с указанными пределами функций многих перемен ных можно рассматривать и пределы других видов, связанные с последующим переходом к пределу, например по различным координатам, т. е. предел вида lim

lim … lim 0 , f (x1, x2,..., xn )

xi1 → xi01 xi2 → xi02

xin → xin

где (i1, i2, …, in) — некоторая перестановка чисел 1, 2, …, n, x(0) = = (xi(0)) ∈ En и функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x(0), кроме, быть может, самой этой точки. Предел указан ного вида называется повторным пределом. Теорема. Пусть функция f(x, y) определена на множестве E, со держащем все точки некоторой прямоугольной окрестности P (( x0 , y0 ); δ1, δ 2 ) точки (x0, y0), кроме, быть может, точек прямых x = x0 и y = y0. Если существует предел функции f в точке (x0, y0) по множест ву E и если при любом y ∈ ( y0 − δ 2, y0 + δ 2 ) , y ≠ y0 существует предел 85

lim f ( x, y ) = g ( y ),

(1)

x → x0

то повторный предел lim lim f ( x, y ) существует: y → y0 x → x 0

lim lim f ( x, y ) =

y → y0 x → x 0

Доказательство. Пусть

lim

( x , y )→( x 0 , y0 ),( x , y )∈E

lim

( x , y )→( x 0 , y0 ),( x , y )∈E

f ( x, y ).

f ( x, y ) = A и пусть

фиксирована произвольная ε > 0 . Существует прямоугольная окрестность P (( x0 , y0 ); η1, η2 ) , 0 < η1 < δ1 и 0 < η2 < δ 2 так, что если 0 < x − x0 < η1 , 0 < y − y 0 < η2 , то f (x, y )− A