Основы теории цепей. (Методы анализа линейных цепей): Методические указания к выполнению лабораторных работ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра радиотехники ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ ( МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ )

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Факультет радиоэлектроники Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста: 654200 – радиотехника 200700 – радиотехника Направление подготовки бакалавра 552500 – радиотехника

Санкт – Петербург 2005

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.3 (075)

Основы теории цепей. (Методы анализа линейных цепей): Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб.: СЗТУ, 2005. – 54с. Методические указания содержат описание шести лабораторных работ, порядок их выполнения и задания по расчёту и эксперименту. Данные методические указания соответствуют государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 654200 (специальность 200700 – “Радиотехника”) и направлению подготовки бакалавра 552500. Рассмотрено на заседании кафедры радиотехники 10 марта 2005 г.; одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники 16 мая 2005 г. Рецензенты: Л.А. Тупицын, ст. преп. кафедры радиотехники СЗТУ; Н.А. Есепкина, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры радиофизики СПГТУ. Составители: И.И. Мегрецкая, канд. техн. наук, доц.; Д.А. Дравских, канд. техн. наук, доц.

© Мегрецкая И.И., Дравских Д.А. © Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ Цель лабораторного практикума – закрепление основных теоретических положений дисциплины “Основы теории цепей”, приобретение навыков в экспериментальной работе радиоинженера и оценка применимости отдельных положений теории, сопоставление их с результатами эксперимента. С целью развития творческих способностей студентов ряд лабораторных работ (2, 4, 5, 6) может выполняться в рамках учебно-научной исследовательской работы (УНИРС) и требует от студентов самостоятельного научного поиска условий оптимизации характеристик и параметров схем. Для проведения лабораторных работ используются современные вычислительные средства. Работы могут быть выполнены не только на реальном лабораторном оборудовании, но и виртуально в электронной лаборатории, например [1]. В последнем случае в качестве милливольтметра, генератора сигналов, осциллографа, частотомера и фазометра используются виртуальные контрольно-измерительные приборы : мультиметр, функциональный генератор, осциллограф, измеритель АХЧ и ФХЧ. Перед выполнением лабораторных работ студент должен усвоить основные теоретические положения и понять физические явления в рассматриваемых радиотехнических цепях. До начала работы каждый студент должен изучить инструкцию по технике безопасности № 134, ознакомиться с безопасными условиями работы в лаборатории ОТЦ, сведения о которых приведены ниже, и расписаться в журнале учёта проведения инструктажа. В лабораторных работах по дисциплине ОТЦ студенты осуществляют однократные измерения, при этом их выполнение и запись должны быть проведены в соответствии с метрологическими требованиями. Метрологические характеристики измерительных средств должны содержать диапазон измерения и класс точности прибора (ГОСТ 8.401 – 80). На основании этих данных студенты определяют основную абсолютную погрешность измерения (ГОСТ 8.207 – 76) как предел допустимой абсолютной погрешности измерительного прибора.

Δ = дпр Aпр 100 , где дпр – класс точности; Aпр – предельное значение шкалы прибора. Результаты измерений должны записываться в соответствующих графах таблиц в форме А±Δ, где А – результат измерения.

Во избежание грубых погрешностей (промахов) даже при измерениях с однократным наблюдением рекомендуется выполнять 3 ÷ 5 наблюдений без последующей обработки их результатов.

1

2

4

3

Рис.1 Все лабораторные работы имеют одинаковую структуру лабораторной установки (см. рис.1, где 1 – прибор задающего воздействия, 2 – макет исследуемой цепи, 3 – прибор сравнения воздействия и реакции, 4 – прибор для измерения реакции). РАБОТА В РЕАЛЬНОЙ ЛАБОРАТОРИИ

В качестве прибора, задающего воздействия в лабораторных установках, используют звуковые генераторы (ЗГ). Для сравнения воздействия и реакции в лабораторных установках применяется фазометр (Ф). Прибором контроля реакции в установке служит вольтметр (В). Исследуемый макет цепи в установке представляет собой различного рода двухполюсники, четырёхполюсники с сосредоточенными параметрами. В зависимости от исследуемой цепи прибор задающего воздействия должен реализовывать функцию идеального источника ЭДС либо источника тока. В последнем случае на выходе прибора, задающего воздействия последовательно с исследуемой цепью, устанавливают дополнительное сопротивление R i , являющееся внутренним сопротивлением генератора. При отсутствии сопротивления R i выходное сопротивление прибора, задающего воздействия, достаточно мало, однако, идеальным источником ЭДС ( R i = 0) такой прибор будет только при условии, что на его выходе поддерживается напряжение выходного сигнала на определённом уровне.

Следует заметить, что показания приборов, установленных на генераторах, не всегда соответствуют напряжению на выходных зажимах, поэтому рекомендуется сравнивать эти показания с показаниями вольтметра. Во многих работах требуется снять амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики исследуемой цепи. В случае если амплитудная характеристика имеет максимум на нулевой или бесконечно высокой частоте (апериодические цепи, фильтры низких и верхних частот), то следует снимать частотные характеристики, начиная с частоты, соответствующей максимуму амплитудной характеристики. Затем изменять частоту генератора таким образом, чтобы амплитуда напряжения на выходе составляла последовательно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6 и т.д. от максимума. Для этих значений амплитуды записываются соответствующие значения частоты и фазы. Если амплитудная характеристика имеет два склона (резонансные контуры), то, изменяя частоту генератора, следует найти резонансную частоту по максимуму показания вольтметра. Затем изменить частоту генератора в любую сторону от резонансного значения так, чтобы измеряемое напряжение составило 0,1 – 0,2 от U р . Далее нужно частоту изменять так, чтобы напряжение на выходе составляло соответственно 0,5; 0,7; 0,8; 1 от U р и по тем же точкам снять второй склон кривой – 0,8; 0,7 и так далее от U р . РАБОТА В ВИРТУАЛЬНОЙ ЛАБОРАТОРИИ

В виртуальной лаборатории вместо реальной элементной базы (резисторы, индуктивности, конденсаторы и т.д.) при сборке виртуальной схемы используется элементная база программы . В программе применяется система меню, как и в операционной системе Windows. Окно программы содержит поле меню, линейку библиотек компонентов и линейку контрольно-измерительных приборов. В рабочем поле программы располагается моделируемая схема с подключёнными к ней иконками контрольно-измерительных приборов. При сборке исследуемой схемы иконка нужного элемента (R, L, C, …) курсором переносится на рабочее поле и подключается проводниками к другим элементам схемы. Для изменения номинала компонента необходимо два раза щёлкнуть мышью по символу его графического изображения и в раскрывающемся после этого окне внести изменения. После размещения компонентов производится соединение их выводов проводниками. При этом необходимо учитывать, что к выводу компонента можно подключить только один проводник. Для выполнения подключения курсор мыши подводится к выводу компонента и после появления прямоугольной площадки синего цвета нажимается левая кнопка и появляющийся при этом проводник подтягивается к выводу другого компонента до появления на нём такой же прямоугольной площадки, после

чего кнопка мыши опускается, и соединение готово. При необходимости подключения к этим выводам других проводников в библиотеке Passive выбирается точка (символ соединения) и переносится на ранее установленный проводник. Чтобы точка почернела (первоначально она имеет красный цвет), необходимо щёлкнуть мышью по свободному месту рабочего поля. Если эта точка действительно имеет электрическое соединение с проводником, то она полностью окрашивается чёрным цветом. Если на ней виден след от пересекающего проводника, то электрического соединения нет и точку необходимо установить заново. После удачной установки к точке соединения можно подключить ещё два проводника. Если соединение нужно разорвать, курсор подводится к одному из выводов компонентов или точке соединения и при появлении площадки нажимается левая кнопка, проводник отводится на свободное место рабочего поля, после чего кнопка отпускается. Если необходимо подключить вывод к имеющемуся на схеме проводнику, то проводник от вывода компонента курсором подводится к указанному проводнику и после появления точки соединения кнопка мыши отпускается. Следует отметить, что прокладка соединительных проводников производится автоматически, причём препятствия – компоненты и другие проводники огибаются по ортогональным направлениям (по горизонтали и вертикали). Если необходимо переместить отдельный сегмент проводника, к нему подводится курсор, нажимается левая кнопка и после появления в вертикальной или горизонтальной плоскости двойного курсора производятся нужные перемещения. Общий порядок работы с приборами следующий: – иконка прибора курсором переносится на рабочее поле и подключается проводниками к исследуемой схеме; – для приведения прибора в рабочее (развёрнутое) состояние необходимо дважды щёлкнуть курсором по его иконке. Методика использования любого прибора в развёрнутом состоянии наглядно представлена обозначениями на его лицевой панели (она подобна методике работы с реальным прибором вне виртуального пространства). Подключение к схеме контрольно-измерительных приборов производится аналогично тому, как это делалось для элементов схемы. Причём для таких приборов, как осциллограф, соединения целесообразно проводить цветными проводниками, поскольку цвет определяет цвет соответствующей осциллограммы. Цветные проводники целесообразны не только для обозначения проводников одинакового функционального назначения, но и для проводников, находящихся в разных частях схемы. ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЁТОВ

Данные измерительных приборов, использованных при выполнении лабораторных работ, должны быть приведены в отчёте в виде общей таблицы. Предусматривается единое содержание отчёта для каждой работы, а именно: структурная схема эксперимента, исходные данные, результаты экспе-

римента и расчёта, графики опытных и расчётных зависимостей, краткие выводы. Выводы по работе должны содержать объяснение проведённых исследований и влияние варьируемых элементов на результаты исследований, объективную оценку полученных результатов и зависимостей, критические сопоставления результатов экспериментов и теории. По каждой работе приведены вопросы для самопроверки, позволяющие студенту уяснить требования к знаниям по материалу работы на зачёте. Библиографический список

1. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC.– М.: Салон – Р, 1999. – 512 с. 2. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов по направлению “Радиотехника”. – М.: Высшая школа, 2000. – 576 с. ОХРАНА ТРУДА И ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОТЦ

Постановка лабораторных работ выполнена в соответствии с требованиями следующих Государственных стандартов: ГОСТ 12.1.009 – 76, ССБТ “Электробезопасность. Термины и определения”; ГОСТ 12.1.019 – 79, ССБТ “Электробезопасность”; ГОСТ 12.1.030 – 81, ССБТ “Электрозащитные заземления, зануления”. Безопасные условия труда в лаборатории ОТЦ

1. Все приборы, используемые в работах, должны быть занулены. Если в процессе работы меняется используемый прибор, то он должен быть обязательно занулён. Перед началом работы проверить наличие и исправность зануления. 2. Лаборатория ОТЦ имеет четырёхступенчатую систему включения и выключения. Первая ступень – общий рубильник лаборатории. Вторая ступень – пакетник с контакторным автоматическим выключателем в случае аварийной ситуации для каждого рабочего места. Третья ступень – рубильник на лабораторном стенде. Четвёртая ступень – включение приборов. Первые две ступени включения и выключения выполняются преподавателем. Третья и четвёртая ступени осуществляются студентами при непосредственном выполнении лабораторных исследований. 3. Порядок включения приборов студентами в работах 1 – 6: а) включить рубильник на лабораторном стенде;

б) включить приборы, обращая внимание на нормальный режим их работы (нет искрения, дыма и т.д.); в) в розетки (штепсельные разъёмы) можно подключать только кабели питания приборов. Не касаться розеток сигнальными кабелями! 4. Порядок выключения приборов студентами: а) выключить приборы, отсоединить от розеток кабели питания; б) выключить рубильник на лабораторном стенде. Запрещается: выдёргивать питающий шнур из розетки за провод. Необходимо это делать, держась за вилку. При возникновении аварийной ситуации или обнаружении искрения, запаха дыма следует немедленно отключить аппаратуру и доложить преподавателю. 5. Обязательно во время работы выполнять все указания преподавателя, ведущего занятия. Запрещается: производить пересоединение проводов, находящихся под напряжением; отлучаться из лаборатории без разрешения преподавателя. 6. При плохом самочувствии студент не допускается в лабораторию ОТЦ, так как работа с измерительными приборами требует повышенного внимания и ответственности. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ АППАРАТУРА, ПРИМЕНЯЕМАЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ 1. ГЕНЕРАТОР СИГНАЛОВ Г3 – 33

[либо виртуальный функциональный генератор (Function Generator)] Назначение: источник синусоидальных электрических колебаний. Технические характеристики: диапазон частот генератора от 20 Гц до 200 кГц, погрешность генератора по частоте (0,02 F + 1) Гц, где F – номинальное значение частоты в герцах; выходное сопротивление генератора рассчитано на согласованные нагрузки 5, 50, 600 Ом; максимальная выходная мощность 5 Вт; 2. ЧАСТОТОМЕР ЭЛЕКТРОННО-СЧЁТНЫЙ Ч3 – 64

[либо виртуальный измеритель АХЧ и ФХЧ (Bode Plotter)] Назначение: автоматическое измерение частоты синусоидального электрического сигнала. Технические характеристики (по входу А): диапазон частот синусоидальных электрических сигналов 0,005 Гц ÷ 150 МГц при входном напряжении

не менее 0,05 В ; погрешность измерения находится по формуле ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ , д f = ± ⎜⎜ 5 ⋅ 10 − 7 + ⋅ f t сч ⎠ ⎝ где f – значение измеряемой частоты, кГц, tсч – время счёта, мс. 3. МИЛЛИВОЛЬТМЕТР В3 – 38 (38 – А)

[либо виртуальный мультиметр (Multimeter)] Назначение: измерение напряжения переменного тока. Технические характеристики: диапазон измеряемых напряжений – от 0,1 мВ до 300 В; диапазон частот, измеряемых прибором переменных напряжений – от 20 Гц до 5 МГц; основная погрешность прибора не превышает:

± 2,5 % в диапазоне (1 ÷ 300) мВ, ± 4 % в диапазоне (1 ÷ 300) В; входное сопротивление: не менее 5 мОм в пределах (1 ÷ 300) мВ, не менее 4 мОм в пределах (1 ÷ 300) В; входная ёмкость не превышает (вместе с кабелем): 110 пФ в пределах (1 ÷ 300) мВ, 95пФ в пределах (1 ÷ 300) В. 4. ФАЗОМЕТР Ф2 – 1

[либо виртуальный измеритель АХЧ и ФХЧ (Bode Plotter)] Назначение: измерение фазового сдвига между двумя синусоидальными напряжениями одной частоты. Технические характеристики: диапазон рабочих частот от 20 Гц до 100 кГц, пределы измерения угла сдвига фаз от ± 0,5° до ± 160° в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц, от ± 0,5° до ± 130° выше 20 кГц, отсчёт производится по шкале стрелочного прибора с учётом переключателя пределов измерения (180°, 100°, 50°, 25°); диапазоны входных напряжений от 0,5 до 50 В; при нормальных условиях эксплуатации погрешность прибора не превышает ± 4° + ( Aпр ) , где Aпр – предельное значение установленного предела измерения; входное сопро-

тивление не менее 2 Мом, входная ёмкость не более 25 пФ.

ВНИМАНИЕ! ПОДКЛЮЧЕНИЕ , ВКЛЮЧЕНИЕ И ВСЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ПРИБОРА Ф2 – 1 ПРОИЗВОДИТЬ ТОЛЬКО В ПОЛОЖЕНИИ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЯ ДИАПАЗОНОВ “УСТАНОВКА “0” ИЛИ “КАЛИБРОВКА”.

Используемые приборы не уступают по своим характеристикам (применительно к выполняемым лабораторным работам) аналогичной отечественной аппаратуре, выпускаемой в настоящее время. Работа 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕЙСТВИЯ ВТОРОГО ЗАКОНА КИРХГОФА В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

I. Цель работы

Исследование амплитудно-фазовых распределений напряжений по элементам схем с энергоёмким элементом и применение символического метода для их анализа. II. Основные теоретические положения

При расчёте электрических цепей переменного тока, содержащих резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, приходится проводить математические операции сложения, дифференцирования, интегрирования над гармоническими функциями времени. Для упрощения анализа таких цепей используется символический метод или метод комплексных амплитуд. Суть символического метода состоит в переходе от операций над гармоническими функциями времени к операциям над их символами – комплексными функциями времени, выполнении требуемых операций над символами и обратном переходе к мгновенным значениям (гармоническим функциям времени). Гармоническая функция времени, например, тока: i = I cos (щt + шi ),

(1.1)

где I – амплитуда, ω – угловая частота (щ = 2р f ) , шi – начальная фаза.

Соответствующая комплексная функция времени, называемая текущим комплексом I (t ) = I e j (щt + шi ) = I cos (щt + шi ) + j I sin (щt + шi ),

(1.2)

где I – модуль, представляющий собой длину вектора; шi – начальная фаза, характеризующая угол, который составляет этот вектор с действительной осью в начальный момент времени; ω – скорость, с которой вращается вектор. Соотношение между мгновенным значением и текущим комплексом i = Re[ I e j (щt + шi ) ] .

(1.3)

Эта связь показана на графике (рис. 2). При введении комплексных функций времени существенно упрощается выполнение операций дифференцирования и интегрирования:

[

]

d I e j (щt + шi ) = j щI e j (щt + шi ) ; dt

∫ Ie

j (щt + шi )

dt =

1 I e j (щt + шi ) . jщ

(1.4)

Рис. 2 В результате интегродифференциальные соотношения между напряжением и током на реактивных элементах схем сводятся к линейным алгебраическим уравнениям:

[

]

⎡ d I e j (щt + шi ) ⎤ j (щt + шU L ) ⎤ ⎡ j (щt + шi ) Re ⎢U L e = Re ⎢ L ; ⎥ = Re j щL I e ⎥ dt ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Re ⎡U С e ⎢⎣

⎡ 1 ⎤ ⎤ ⎡1 I e j (щt + шi ) ⎥ . = Re ⎢ ∫ I e j (щt + шi ) d t ⎥ = Re ⎢ ⎥⎦ ⎦ ⎣C ⎣ j щC ⎦

j (щt + шU C ) ⎤

(1.5)

Взятие действительной части комплексного числа (операция, обозначенная оператором Re) есть линейная операция. Её можно опустить и окончательно записать алгебраические уравнения: UL e UС e

j (щt + шU L )

= j щL I e j (щt + шi ) ;

(1.6)

j (щt + шU C )

=

1 I e j (щt + шi ) . j щC

(1.7)

Поскольку в линейных цепях частота не меняется, то все операции можно проводить над векторами, которые называют комплексными амплитудами, в начальный момент времени: I = I (t = 0) = I e j шi .

(1.8)

Связь между напряжением и током на активном сопротивлении определяет закон Ома u R = U R cos (щt + шUR ) = R i . Это соотношение может быть записано для текущих комплексов в виде

U R e j (щt + шUR ) = R I e

j ( щt + шi )

.

(1.9)

Сокращая правую и левую части в уравнениях (1.6), (1.7), (1.9) на e j щt , получаем соотношения для комплексных амплитуд:

U R = R I = R I e j шi ;

(1.10)

р⎞ ⎛ j ⎜ шi + ⎟ 2⎠; U L = j щL I = щL I e ⎝

⎛

(1.11)

р⎞

1 1 j ⎜⎝ шi − 2 ⎟⎠ UC = I= e . j щC щC

(1.12)

Анализ выражений (1.10) ... (1.12) показывает, что напряжение на активном сопротивлении находится в фазе с током, протекающим через него, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на р 2 , а напряжение на ёмкости отстаёт по фазе от тока на р 2 . В символическом методе вводится понятие комплексного сопротивления схемы:

jш

U U e U U j (шU − шi ) Z= = = e = z e jϕz . I I I e j шi

(1.13)

Это соотношение носит название закона Ома в комплексной форме. Сравнивая два последних выражения в (1.13), можно получить, что I=

U ; z

(1.14)

шi = − ϕ z при шU = 0 .

(1.15)

На основании (1.13), используя (1.10) ... (1.12), можно получить значения комплексных сопротивлений элементов схемы: Z R = R = Re j 0 ;

(1.16)

р Z L = j щL = щLe 2 ; j

(1.17) р

1 1 1 − j2 ZC = =− j = e . j щC щC щC

(1.18)

Для последовательного соединения элементов RLC второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд может быть записан в виде ⎡ E = U R +U L +UC = I ⎢ R + ⎣

⎛ 1 ⎞⎤ ⎟⎥. j ⎜⎜ щL − щC ⎟⎠ ⎦ ⎝

(1.19)

Соотношение (1.19) показывает, что суммарное сопротивление при последовательном соединении элементов равно сумме их комплексных сопротивлений. Алгоритм расчёта неразветвлённой схемы символическим методом сводится к выполнению следующих операций: 1. Определение комплексного сопротивления схемы, его модуля и аргумента Z = R + j X = z e jϕ z ;

z=

R2 + X 2 ;

ϕ z = arctg

X . R

2. Определение комплексной амплитуды тока (модуля и аргумента тока) – – формулы (1.14), (1.15).

3. Определение комплексных амплитуд падений напряжений на элементах – формулы (1.10) ... (1.12). 4. Переход к текущим комплексам, например, для тока: I (t ) = I e j щt = I e j ( щt + шi ) . 5. Переход к мгновенным значениям – формула (1.2). В таблице приведены примеры применения символического метода к расчёту схем R1R2, RL, RC. III. Методика выполнения работы

1. Рассчитать комплексные амплитуды тока и падений напряжений на элементах трёх схем R1R2, RL, RC. Числовые данные задаются преподавателем. Напряжение на входе схемы принимается равным 10 В для всех вариантов. 2. Собрать на лабораторной установке цепь, соответствующую рассчитанной схеме, и подключить измерительные приборы в соответствии со структурной схемой (рис. 3).

Г

V U вх

V U вых

Частотомер

Осциллограф Ф φU вых

Рис. 3 3. Произвести измерения амплитуд падений напряжений и разности фаз на элементах цепей R1R2, R1L, R2C. Для измерения амплитуды и фазы напряжения во втором элементе схемы следует переставить элементы цепи, а не измерительные приборы. Фазометр при этих переключениях должен находиться в положении “Установка “0”. Подсоединить осциллограф на вход последовательно к каждому из элементов RC-цепи и зарисовать форму колебаний. 4. Проверить выполнимость второго закона Кирхгофа для каждой из схем на основании полученных экспериментальных данных. 5. Построить векторные диаграммы, соответствующие приведённым измерениям для каждой схемы. 6. Записать аналитически и построить графически мгновенные значения напряжений на реактивных элементах схем и тока, протекающего в цепи. 7. Записать полученный экспериментально результат напряжения на активном сопротивлении RC-цепи с учётом абсолютной погрешности измерений, сопоставить с полученным расчётным путём и указать, какие причины могут привести к расхождению этих результатов.

Расчётная схема Определяемая величина

Комплексное сопротивление

15

Модуль комплексного сопротивления Аргумент комплексного сопротивления

Z = R1 + R 2 = z e j ϕ z

Z = R + j ωL = z e j ϕ z

z = R1 + R 2

z = R + ( ωL )

ϕ z = arctg

j Im Z

Векторная диаграмма комплексного сопротивления

Модуль тока Аргумент тока Комплексная амплитуда тока

R1

E R1+ R 2

ψi = − ϕ z = 0 E e j0 I= R1+ R 2

ωL

ϕ z = − arctg

R

2

1 ωC R

R

Z = R + j щL R

Re Z

I=

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ z = R + ⎜⎜ ω C ⎝ ⎠

j Im Z

j Im Z jщL

R2

1 jϕ = ze z ωC

2

2

2

ϕz = 0

Z =R− j

I=

Re Z Re Z

1 jщC

Z =R− j

E

I=

R 2 + ( ωL )2

шi = − ϕ z = − arctg

ωL R

1 щC

E R 2 +1/ (ωC ) 2

ψi = − ϕ z = arctg

1 ωС R

E

j arctg

I=

R 2 +1/ (ωC ) 2

e

1 ωC R

Комплексная амплитуда напряжения на элементах

Векторная диаграмма напряжения на элементах

U R = I R e j ( ψ i + 0)

j ( ψ i + 0)

U R1 = I R1

U R = I Re

U R2 = I R2

U L = I ωL e j ( ψ i + π / 2)

j ImU

j ImU

UC = I

j ImU UL

E

1 j ( ψ i − π / 2) e ωC

UR

I E

E

Re U

ReU

U R1 U R 2

ReU

UR

UC

I

16

Текущий комплекс тока

E e j (0 + ωt ) I (t ) = R1 + R 2

Мгновенное значение тока

E i= cos (ωt + 0) R1+ R 2

I (t ) =

i=

E R 2 + ( ωL )2

e

ωL ⎞ ⎛ j ⎜ ωt − arctg ⎟ R ⎠ ⎝

ωL ⎞ i = ⎛ cos ⎜ ωt − arctg ⎟ 2 2 R ⎠ ⎝ R + (ω L ) E

16

E

I (t ) =

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ R 2 + ⎜⎜ ω C ⎝ ⎠

2

e

⎛ 1 ⎞ ⎟ j ⎜⎜ ωt + arctg ωC R ⎟⎠ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ cos ⎜⎜ ωt + arctg 2 C R ω ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ R 2 + ⎜⎜ ⎝ ωC ⎠ E

IV. Содержание отчёта

Измерительные приборы (одна таблица по форме 1 для всех работ). Форма 1 Наименование, тип

Основная погрешность

1. Структурная схема эксперимента. 2. Исходные данные. 3. Результаты работы. 3.1. Расчёт комплексных амплитуд падений напряжений на элементах схем. Аналитическая запись связи мгновенных значений напряжений и токов с их текущими комплексами. 3.2. Экспериментальная проверка расчёта выполняется по форме 2.

Схема R1R2

UR1 ψU R1

Cхема R1L

UR ψU R

Схема R2C

Схема Анализируемая величина

UR ψU R

Расчётные данные

UR2 ψU R 2

UL ψU L

UC ψU C

Форма 2 Экспериментальные данные

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

3.3. Проверка выполнимости второго закона Кирхгофа. 3.4. Векторные диаграммы и развёртки мгновенных значений (выполнять на миллиметровой бумаге). Сравнить полученные развёртки с осциллограммами напряжений. 3.4.1. Для RL-схемы. 3.4.2. Для RC-схемы. 4. Краткие выводы. 17

Вопросы для самопроверки

1. Какова сущность символического метода? 2. Каков алгоритм расчёта схемы символическим методом? 3. Как изобразить гармоническую функцию, например, i = 0,1 cos (ωt + π/ 3) в виде текущего комплекса (аналитически и графически)? 4. Рассчитать токи в простейших цепях символическим методом, если заданы сопротивления элементов и ЭДС. Например, E = 1В, R = 1 Ом, X L = 1Ом; E = 1В, X C = 1Ом и так далее. 5. Записать аналитически и изобразить графически комплексное сопротивление схемы, комплексные амплитуды и мгновенные значения тока и напряжения на элементах. 6. Доказать, что для схемы, состоящей из последовательно соединённых с источником ёмкости и сопротивления, второй закон Кирхгофа выполняется при E = 5 В, U C = 4 В, U R = 3 В. 7. Сопротивление элемента индуктивности на некоторой частоте X L = 100 Ом; ёмкости X C = 100 Ом. Определить их общее сопротивление, если они соединены последовательно, параллельно. Литература: [2], c. 65 – 68, 72 – 79, 81 – 100 Работа 2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВЕТВЛЁННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ I. Цель работы

Исследование прямых методов расчёта разветвлённой линейной электрической цепи. II. Основные теоретические положения

Для анализа линейных цепей, содержащих небольшое количество ветвей, целесообразно использовать метод контурных токов или метод узловых напряжений. Метод контурных токов. За неизвестные в этом методе принимают условные токи независимых контуров, которые находят по уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа. Контурные токи следует выбирать так, чтобы через рассчитываемую ветвь протекал только один контурный ток, тогда ток ветви будет равен этому контурному току. Неизвестный контурный ток I m может быть определён с помощью следующего соотношения: Δ Im = m , ΔZ 18

(2.1)

где Δ m и ΔZ – определители, составленные по определённому правилу; ΔZ – определитель, соответствующий матрице сопротивлений рассчитываемой схемы: Z11 Z12 . . . Z1n Z 21 Z 22 . . . Z 2n ΔZ = . (2.2) . . . . . . . . Z n1 Z . . . Z nn n2

По главной диагонали этого определителя располагаются собственные сопротивления контура ( Z11, Z 22 , …, Z n n ) , которые представляют собой сопротивления, взятые по последовательному их обходу. Остальными членами этого определителя являются взаимные сопротивления контуров ( Z12 , Z1n ) , представляющие собой сопротивления элементов, расположенных между соответствующими контурами. Если направление контурных токов в этих элементах совпадает, то взаимные сопротивления берутся со знаком плюс, а если направления противоположны, то – со знаком минус. В числителе выражения (2.1) стоит определитель Δ m , составленный по следующему правилу: в определителе (2.2) столбец, соответствующий номеру определяемого тока, заменяется столбцом, составленным из ЭДС, действующих в соответствующих контурах. Напряжения берут со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением контурного тока, и со знаком минус, если они противоположны. Метод узловых напряжений. В основе этого метода – предположение о том, что неизвестными являются условные напряжения между узлами. Для их нахождения составляют уравнения по первому закону Кирхгофа. Один из узлов схемы принимают за базисный и его потенциал считают равным нулю. Тогда напряжение остальных узлов равно потенциалу соответствующего узла относительно базисного. За базисный узел принимают узел, в котором сходится максимальное число ветвей, и к которому примыкает рассчитываемая ветвь. Неизвестное напряжение узла может быть определено на основании соотношения Δ Um = m , (2.3) ΔY где знаменатель представляет собой определитель, соответствующий матрице проводимостей заданной схемы: Y11 Y12 Y21 Y22 ΔY = . . . . Yn1

Y

n2

19

. . .

Y1n Y2n . . .

. . . . . . . . Ynn

(2.4)

По главной диагонали этого определителя располагают собственные проводимости узлов, которые представляют собой сумму проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле. Остальные члены этого определителя – взаимные проводимости, представляющие собой проводимости ветвей, расположенных между соответствующими узлами схемы; они берутся всегда со знаком минус, поскольку направление узловых напряжений выбирается к базисному узлу. В числителе выражения (2.3) стоит определитель, составленный по следующему правилу: в определителе (2.4) столбец, соответствующий номеру определяемого напряжения, заменяется столбцом, составленным из токов источников токов, действующих в соответствующих узлах. Таким образом, если в схеме заданы источники напряжения, то для расчёта методом узловых напряжений их следует предварительно преобразовать в источники тока. III. Методика выполнения работы

1. Рассчитать комплексные амплитуды напряжения и тока одной из ветвей заданной схемы методом контурных токов или узловых напряжений. Схема, её параметры и рассчитываемая ветвь задаются каждому студенту преподавателем. Расчёт определителя второго порядка с комплексными элементами выполняется с помощью калькулятора. Если одна из составляющих определителя равна нулю, то перевод в показательную форму выполнять согласно формулам ± j a = ae ± j р/2 ; − a = ae ± j р ; a = ae j Ο . 2. Собрать на лабораторной установке цепь, соответствующую рассчитанной схеме, и подключить измерительные приборы согласно структурной схеме (рис. 4).

Г

V

Частотомер

V U вх = 10 В

U вых Ф

ϕ U вых Рис. 4 3. Произвести измерения амплитуд падений напряжений и фазового сдвига на расчётной ветви заданной схемы. 4. Записать данные эксперимента с учётом погрешности измерений и сопоставить их с результатами расчёта. 20

IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента. 2. Исходные данные. R1, Ом

R2, Ом

R3, Ом

L1, Гн

L2, Гн

C1, пФ

C2, пФ

C3, пФ

E, В

f, кГц

Рассчитываемая ветвь

3. Результаты работы: 3.1. Расчёт тока и напряжения ветви … заданной схемы. 3.2. Экспериментальная проверка расчёта. Расчётные данные

Экспериментальные данные U + Δ, В

ψ U + Δ°

I, А

ψI °

U, В

ψU °

4. Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. Каков алгоритм расчёта цепи методом контурных токов? 2. Каков алгоритм расчёта цепи методом узловых напряжений? 3. Как следует выбрать независимые контуры в методе контурных токов? Чем объясняется такой выбор? 4. Как следует выбрать базисный узел в методе узловых напряжений? Чем объясняется такой выбор? Литература: [2], c. 42, 43, 205 – 215

21

Работа 3. ИССЛЕДОВАНИЕ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

I. Цель работы

Исследование частотных свойств одноконтурных цепей RL и RC. II. Основные теоретические положения

Одноконтурными апериодическими цепями называют цепи, схемы замещения которых содержат сопротивление и один из видов реактивных элементов – индуктивность (цепь RL) или ёмкость (цепь RC). На основании второго закона Кирхгофа уравнение для комплексных амплитуд при гармоническом воздействии можно записать: для схемы RL E = U R + U L = R I + j ω L I = ( R + j ωL ) I = I Z ;

(3.1)

⎛ 1 1 ⎞ ⎟I = I Z . I = ⎜⎜ R − j ωC ωC ⎟⎠ ⎝

(3.2)

для схемы RС E = U R + UC = R I − j

Отсюда комплексное сопротивление: для схемы RL Z = R + j ωL = z e

jϕ z

;

(3.3)

1 jϕ = ze z , щC

(3.4)

для схемы RС Z =R− j

где z – модуль комплексного сопротивления, который для схемы RL z = R 2 + (ω L ) 2 ;

(3.5)

для схемы RС 2

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ ; z = R + ⎜⎜ ω C ⎝ ⎠ 2

(3.6)

ϕZ – аргумент комплексного сопротивления для схемы RL ϕZ = arctg 22

ωL ; R

(3.7)

для схемы RС ϕZ = − arctg

1 . ωC R

(3.8)

Зависимость модуля и аргумента сопротивления от частоты для схемы RL изображены на рис. 5, а, б, а для для схемы RС – на рис. 6, а, б. Используя (3.1) и (3.2), выразим комплексную амплитуду тока:

I = I e j ϕi =

E E e j шE E j (шE − ϕZ ) = = e ; Z z e j ϕZ z

(3.9)

для схемы RL I=

E = z

E 2

R + (щL)

I max

=

2

⎛ щL ⎞ 1+⎜ ⎟ ⎝ R ⎠

2

(3.10)

;

для схемы RС I=

E = z

E ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ R 2 + ⎜⎜ ⎝ ωC ⎠

а)

2

=

I max ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ 1 + ⎜⎜ ⎝ ωC R ⎠

2

.

(3.11)

а)

z

z ωL

R

R 1

ωгр б)

ω

щC

φZ р 2 р 4

б)

φZ

ωгр

ω ω

ωгр

–

р 4

–

р 2

ω

Рис. 6

Рис. 5

23

При условии ψ E = 0 для схемы RL

ωL ; R

(3.12)

1 . ωС R

(3.13)

шi = − ϕZ = − arctg для схемы RС шi = − ϕZ = arctg

В выражениях (3.10) и (3.11) I max = E R . Выражения (3.10) и (3.12) есть уравнения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик RL-цепи, графические изображения которых представлены на рис. 7, а, б. Аналогично, выражения (3.11) и (3.13) есть уравнения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик RС-цепи, а их графики изображены на рис. 8, а, б. Под полосой пропускания цепи понимают интервал частот, в пределах которого амплитуда тока или напряжения уменьшается не более чем в 1 ≈ 0,707 раз от максимального значения. Частоты, соответствующие краям 2 полосы пропускания, называют граничными частотами.

Поскольку при щ= щгр ток I = I max 2 из уравнений (3.10) и (3.11) следует, что ω гр L 1 = 1; = 1. ω гр RC R 24

Отсюда для RL-цепи граничная частота будет равна ωгр =

R ; L

(3.14)

ωгр =

1 . RC

(3.15)

для RС-цепи

Из выражений (3.14) и (3.15) следует, что на граничной частоте реактивное сопротивление щгр L или 1 (щгр C ) апериодической цепи равно сопротивлению потерь R. Если подставить (3.14) и (3.15) соответственно в (3.12) или (3.13), то получим, что начальная фаза тока на граничной частоте в цепи RL равна – π/4, а в цепи RС она равна π/4. Добротность апериодических цепей можно определить как отношение сопротивления реактивного элемента к активному сопротивлению: QRL =

ω X L ωL = = ; R R ωгр

(3.16)

Q RC =

ωгр XC 1 = = . ω R ωC R

(3.17)

Нормированные характеристики тока апериодических цепей определяются выражениями n=

n=

I I max

I I max

=

=

1 ⎛ ωL ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠

2

1 ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ 1 + ⎜⎜ ⎝ ωС R ⎠

1

=

2

2

1 + Q RL

=

1 2

1

=

1 + Q RС

⎛ ω ⎞ ⎟ 1+ ⎜ ⎜ ωгр ⎟ ⎝ ⎠

=

2

1 ⎛ ωгр ⎞ ⎟⎟ 1 + ⎜⎜ ω ⎠ ⎝

(3.18)

;

2

.

(3.19)

Поскольку U R = I R , а U R max = R I max , то нормированная амплитудно-частотная характеристика падения напряжения на сопротивлении R совпадает с нормированной характеристикой тока, то есть UR U R max

=

RI I = = n. R I max I max

25

III.

Методика выполнения работы

1. На лабораторной установке собрать LR- и CR-цепи, номиналы элементов которых взять из работы 1. Подключить измерительные приборы в соответствии со структурной схемой (см. рис. 3). 2. Снять амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики U RL , ϕU R L , U RC , ϕU RC . Для этого следует найти частоту генератора, для которой напряжение на выходе заданной цепи максимально. Затем изменять частоту генератора таким образом, чтобы амплитуда напряжения на выходе цепи составляла последовательно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0,4; 0,3; 0,2 от максимума. Для каждого отсчёта следует записывать значение напряжения, значение фазы и значение частоты. Напряжение генератора поддерживать постоянным, E = 10 В. Особо нужно обратить внимание на отсчёт на уровне 0,7U max , соответствующий граничной частоте. Определите значение этой частоты. 3. По результатам эксперимента построить графики фазочастотных и нормированных амплитудных характеристик. 4. Определить величины граничных частот для заданных значений активного и реактивного элементов схем [формулы (3.14) и (3.15)]. 5. Определить значение добротности Q для нескольких значений частоты [формулы (3.16) и (3.17)]. 6. Указать полосу пропускания цепи и обосновать возможность использования её в качестве избирательной системы. 7. Сравните значения граничной частоты, полученные экспериментально и путём расчёта в п. 4. Определите, как изменится граничная частота в RC-схеме, если учесть, что параллельно элементу, стоящему на выходе схемы, подключить сопротивление и ёмкость, равные Rвх и Cвх вольтметра. IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента. 2. Результаты работы. 2.1.Экспериментальные данные. f, кГц Схема RL

U, В φ, град. f, кГц

Схема RC

U, В φ, град. 26

2.2. Расчётные данные. Схема R1L

Схема R2C

щгр =

щгр =

f f гр

0

Схема R2C с учётом RвхСвх вольтметра

0,5

1

2

∞

QRL QRC 2.3. Графики (выполнять на миллиметровой бумаге): для RL-схемы – зависимости UR = F1(f), φUR = F2(f); для RC-схемы – зависимости UR = F3(f), φUR = F4(f). 3. Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. Каков алгоритм расчёта частотных характеристик апериодических цепей с помощью символического метода? 2. Записать аналитически и изобразить графически зависимости z и ϕ z ; сопоставить изменение положения вектора Z на комплексной плоскости с частотными характеристиками z и ϕ z . 3. Записать аналитически и изобразить графически зависимости I и шi от частоты. 4. Каково определение граничной частоты? 5. Каково значение амплитуды и фазы вектора U R на граничной частоте? 6. Какие вы знаете формулы добротности апериодической цепи? 7. Добротность цепи пропорциональна частоте. Какова схема цепи? Литература: [2], c. 95 – 100, 178

27

Работа 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ I.

Цель работы

Исследование частотных свойств последовательного контура и влияния его параметров на резонансные характеристики. II. Основные теоретические положения

Входное сопротивление последовательного контура, схема которого содержит последовательно соединённые элементы r, L, C, равно ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ . Z = r + j ⎜⎜ ωL − ω C ⎝ ⎠

(4.1)

Состояние резонанса в контуре характеризуется условием ⎛ 1 X = ⎜ ωр L − ⎜ ωр C ⎝

⎞ ⎟ = 0, ⎟ ⎠

(4.2)

то есть при этом условии в последовательном контуре входное сопротивление на резонансной частоте минимально и чисто активное: Z р = Z min = r . Свойства контура определяются первичными параметрами r, L, C и характеризуются вторичными параметрами: резонансной частотой

1 ; LC

ωр =

(4.3)

характеристическим сопротивлением с = ωр L =

1 = ωр C

L ; C

(4.4)

добротностью Q=

с . r 28

(4.5)

Первичные параметры контура зависят от конструкции его элементов. Так, при заключении катушки контура в экран из немагнитного материала (например, алюминия) добротность контура понижается. Это связано с тем, что в результате пересечения экрана силовыми линиями магнитного поля катушки в экране возникают вихревые токи, создающие своё магнитное поле, направленное навстречу возбуждающему их полю. Результирующий магнитный поток уменьшается, как следствие, уменьшается индуктивность катушки. Кроме того, при прохождении в экране вихревых токов часть энергии тратится на нагрев и рассеивается в окружающей среде, что приводит к увеличению потерь в контуре, то есть к увеличению его активного сопротивления. Оба эти явления способствуют уменьшению добротности Q. Уменьшение индуктивности приводит к увеличению резонансной частоты контура. При введении внутрь катушки магнетитового сердечника происходит увеличение её магнитного потока, так как эффективная магнитная проницаемость сердечника по своей величине больше, чем воздушной среды. Результатом этого является увеличение индуктивности катушки. Потери вследствие внесения сердечника на резонансной частоте возрастают незначительно. Таким образом, добротность контура в рассматриваемом случае возрастает, полоса пропускания и резонансная частота уменьшаются. Ток в контуре на резонансе E (4.6) Iр = . r Напряжение на активном сопротивлении U r = Iр r . Напряжение на индуктивности U L = j ωр L I р = j E Q .

(4.7)

Напряжение на ёмкости UC = − j

1 I р = − j EQ . ωр C

(4.8)

Амплитуды напряжений на индуктивности и ёмкости оказываются на резонансе равными друг другу и в Q раз превышают амплитуду напряжения на зажимах всего контура. Вследствие этого резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений. Модуль входного сопротивления 2

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ . z = r + ⎜⎜ ωL − ω C ⎝ ⎠ 2

29

(4.9)

Аргумент этого сопротивления, равный по величине разности фаз приложенного напряжения и тока в контуре, определяется как

ϕ Z = arctg

X = arctg r

ωL −

1 ωC

r

.

(4.10)

На рис. 9 изображены частотные характеристики входного сопротивления z(f) и ϕ z ( f ) . Из представленных зависимостей видно, что при увеличении частоты по сравнению с резонансной входное сопротивление последовательного контура растёт по величине и принимает индуктивный характер ( ϕ z – положительно); при уменьшении частоты сопротивление также увеличивается, но приобретает ёмкостный характер ( ϕ z – отрицательно). В случае, если внутреннее сопротивление генератора, питающего последовательный контур, не равно нулю, амплитуда и фаза тока в нём равны: E

I=

⎛ 1 ⎞ ⎟ (r + Ri ) 2 + ⎜⎜ ωL − ωC ⎟⎠ ⎝

2

Iр

=

ψi = − arctg Qэ

⎛ 2Δ f 1 + Qэ 2 ⎜ ⎜ fр ⎝ 2Δ f , fр

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

;

(4.11)

(4.12)

где Qэ – эквивалентная добротность, Qэ =

с . r + Ri

(4.13)

Если Ri = 0 , то Qэ = Q . Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики тока представлены на рис.10. На границе полосы пропускания I (ωгр ) Iр то есть

=

1 = 0,707; 2

р ψi (ωгр ) = ± , 4

2Δ f 0 1 = . fр Qэ

(4.14)

(4.15)

Влияние внутреннего сопротивления генератора при снятии резонансных характеристик будет проявляться в том, что при изменении частоты изменяется 30

напряжение на выходе генератора. Следовательно, если напряжение на выходе генератора поддерживать на постоянном уровне, то влияние внутреннего сопротивления будет исключено.

Рис. 10

Рис. 9

Нормированные резонансные кривые напряжений

UL( f ) UС ( f ) и при U Lр UС р

малых расстройках и больших добротностях обычно оказываются аналогичными кривой тока: UC ( f ) U L ( f ) I ≈ = ; UC р U Lр Iр

(4.16)

р ψU = ψi + , L 2

(4.17)

π = ψi − . 2

(4.18)

ψU

C

31

III. Методика выполнения работы

1. На лабораторной установке собрать цепь из катушки индуктивности и конденсатора, соединённых последовательно по отношению к генератору. Катушка индуктивности имеет конструкцию, позволяющую вводить сердечник или экран. Конденсатор имеет ёмкость (820 ÷ 1000) пФ. Резонансная частота контура без экрана и сердечника составляет приблизительно 80 кГц. Подключить измерительные приборы в соответствии со структурной схемой (рис. 11).

2. Снять амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики UC и φU C напряжения на ёмкости для трёх случаев: а) катушка индуктивности без сердечника и экрана; б) катушка индуктивности с магнитным сердечником; в) катушка индуктивности без сердечника в экране. Для этого следует экспериментально определить резонансную частоту контура, для которой напряжение на выходе максимально, а шUC = − 90 . Затем изменять частоту генератора таким образом, чтобы амплитуда напряжения на выходе составляла последовательно 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 0,9; 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,1 от U рез. Обязательно снимать оба склона резонансной характеристики, так как она в общем случае несимметрична. Для каждого отсчёта следует записывать значение напряжения, значение фазы и значение частоты. При каждом отсчёте напряжение генератора поддерживать постоянным, E = 1В . Особо обратить внимание на показания приборов на граничной частоте контура. 3. Построить графики амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик, обозначив полосу пропускания. 4. Определить добротность катушек индуктивности по измерениям на резонансной частоте (при трёх вариантах её конструкции). 5. Определить добротность по измеренной полосе пропускания. Сравнить полученные результаты. 6. Рассчитать сопротивление потерь контура, индуктивность, характеристическое сопротивление для всех трёх случаев. 32

7. Рассчитать и построить частотную характеристику напряжения на ёмкости, используя формулы (4.11), (4.16) для всего рассматриваемого диапазона частот, и указать причины возникающих различий с экспериментальными данными. IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема эксперимента: ёмкость конденсатора контура С = . . . 2. Результаты работы: 2.1. Результаты измерений Условия опыта f, кГц Катушка без сердечника и UC ,В без экрана ΨU C Катушка с сердечником

f, кГц UC ,В ΨU C

Катушка с экраном

f, кГц UC ,В ΨU C

2.2. Графики (выполнять на миллиметровой бумаге): резонансные кривые UC = F(f). 2.3.Результаты расчётов, E = 1 + Δ, В.

Катушка без сердечника и без экрана Катушка с сердечником Катушка с экраном 33

L, мГн

r, Ом

ρ, кОм

Q2

Расчётные данные Q1

2Δ f0 + Δ

fр + Δ

Условия опыта

UС р + Δ

Экспериментальные данные

Расчёт резонансной характеристики UC по приближённым формулам (4.11), (4.16) для случая, когда катушка без экрана и сердечника. f, кГц UC, В 3. Краткие выводы. Вопросы для самопроверки

1. Каково определение последовательного контура? 2. Записать комплексное сопротивление, проанализировать зависимости z и φz от частоты. 3. Записать аналитически и изобразить графически частотные характеристики тока в последовательном контуре. 4. Каково определение резонанса в последовательном контуре? 5. Проанализируйте свойства контура на резонансе. 6. Контур питается от генератора с внутренним сопротивлением Ri . Во сколько раз при резонансе напряжение на его реактивных элементах (в Q или в Qэ) увеличивается по сравнению с E? 7. Определите значения реактивного и активного сопротивлений, амплитуды тока и напряжения на реактивных элементах и их аргументов на резонансной частоте контура. 8. Определите величины, указанные в п. 7, на граничных частотах. 9. Какие свойства контура определяет добротность? 10. Как изменится резонансное эквивалентное сопротивление последовательного контура, если его ёмкость уменьшить в два раза? 11. Входное сопротивление последовательного колебательного контура на некоторой частоте питающего источника равно Z вх = 4 + j 2 Ом . Что можно сказать о соотношении между резонансной частотой контура ω0 и частотой источника ω? Литература: [2], c. 177 – 198

34

Работа 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

I. Цель работы

Исследование частотных свойств параллельного контура и влияния величины внутреннего сопротивления источника на избирательные свойства схемы с параллельным контуром. II. Основные теоретические положения

Входное сопротивление параллельного контура 1 j ωC Zэ = , ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ r + j ⎜⎜ ωL − C ω ⎝ ⎠

(r +

j ωL )

(5.1)

где r – сопротивление потерь катушки индуктивности. При условии r f р . Частоты fI и fII называются частотами связи. Медленная частота связи fр ; fI = 2 2 1+ k − d

(6.15)

быстрая частота связи f II =

fр 2

1− k − d

2

.

(6.16)

Из графика (рис. 17) видно, что частоты связи являются резонансными частотами, поскольку выполняется условие (6.3). “Двугорбность” АХЧ при kQ > 1 обусловлена тем, что на частотах связи fI и fII выполняется условие передачи максимальной мощности во второй контур ( Rвн1 = r1 ), а на резонансной частоте это условие не выполняется, так как Rвн1 становится больше r1. Поэтому на частотах связи ток во втором контуре I 2 = I 2 max max , а на резонансной частоте I 2 < I 2 max max . С увеличением kQ величина тока второго контура на резонансной частоте уменьшается. При kQ = 2,41 ток I2 становится равным 0,707 I 2 max max . III. Методика выполнения работы

1. На лабораторном стенде установить модуль, содержащий систему двух связанных контуров. Измерительные приборы присоединить в соответствии со структурной схемой (рис. 20). Вольтметр V1 подсоединить к гнезду “контрольная точка 1”. 45

2. Настроить частоту сигнала на резонанс первого контура при разомкнутом втором контуре. 3. Снять резонансную кривую первого контура. 4. Настроить второй контур на резонансную частоту первого контура. Цепь второго контура при этом должна быть замкнута. Расстояние между катушками должно быть достаточно большим для уменьшения влияния контуров друг на друга.

Рис. 20 5. Снять зависимости U C1 = F (l ) и U C = F (l ) . Изменяя расстояние l меж2

ду катушками контуров, установить оптимальное расстояние (l = lопт ) , когда напряжение на втором контуре достигает наибольшего возможного значения U C1 = U C2 . 6. Снять резонансные кривые напряжения на втором контуре U C2 ( f ) при

трёх значениях l: l = lопт ; l < lопт ; l > lопт . 7. Построить зависимости U C1 = F ( M ) и U C2 = F ( M ) ; при этом использовать данные градуировочной кривой M = ψ(l), прилагаемой к исследуемой схеме. 8. Построить в абсолютных значениях полученные резонансные характеристики одиночного и связанных контуров на основании данных. Определить полосы пропускания для всех четырёх кривых. 9. Определить величины оптимального коэффициента связи. Для этого использовать значение Q, рассчитанное по резонансной кривой первичного контура. 10. Рассчитать величины коэффициента связи для случая M > M опт на основании формулы (6.15) или (6.16), а также (6.1).

46

IV. Содержание отчёта

1. Структурная схема. 2. Результаты работы. f, кГц U C1 , В ϕU C

1

l, см

4

3

2

lопт 1,1

1,5

0,8

0,5

0,4

0,2

M, мкГн U C1 U C2 l < lопт

f, кГц U C2 , В

l = lопт

f, кГц U C2 , В

l > lопт

f, кГц U C2 , В

3. Графики (выполнять на миллиметровой бумаге): резонансная кривая первого контура U C1 = F ( f ) ;

зависимости U C1 = F1( M ) , U C2 = F 2( M ) ;

резонансные кривые второго контура U C2 = F ( f ) .

Расчёт K опт и K для случая M > M опт . 4. Краткие выводы.

Вопросы для самопроверки

1. Изобразить структурную схему эксперимента. 2. Зарисовать обобщённую схему и эквивалентную схему системы из двух связанных контуров. 3. Каков физический смысл вносимого сопротивления? 4. Объяснить графические зависимости Rвн = F (щ) и x вн = F (щ) .

47

5. Какие виды резонанса могут иметь место в системе связанных контуров? Чем объяснить возможность такого явления? 6. На частотных характеристиках U C2 = F (ω) укажите частоты полного и сложного резонансов. Литература: [2], c. 211 – 223

48

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИМЕР ОТЧЁТА О ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Работа 3. Исследование апериодических цепей при гармоническом воздействии

1. Структурная схема эксперимента.

Г

V

V

Uвх

Ф

Частотомер

Uвых

ϕU вых

2. Результаты работы 2.1. Экспериментальные данные: E = 10 В; R = 5,156 кОм; L = 20,57 мГн; C = 5183 пФ. Схема RL

f, кГц UR, В ϕU R , градусов

Схема RC

f, кГц UR, В ϕU R , градусов

18 9,0 – 25 1,8 3,0 + 72

36 7,8 – 46 3,5 5,0 + 59

44 7,1 – 51 6,2 7,1 + 43

59 6,0 – 68 9,3 8,0 + 32

76 5,0 – 80 18,0 9,0 + 18

C вх вольтметра = 95 пф ; Rвх вольтметра = 4 МОм .

2.2. Расчётные данные Схема RL

Схема RC с учётом Rвх ; C вх милливольтметра

Схема RC

рад ωгр ≈ 251 ⋅ 10 , с

рад ωгр ≈ 37 ⋅ 10 , с

(ωгр )мВ ≈ 39,2 ⋅ 103

f гр ≈ 40 кГц

f гр ≈ 5,9 кГц

( f гр )мВ ≈ 6,2 кГц

3

3

49

рад , с

Схема RL ωгр =

R 5,156 ⋅ 103 Ом рад = ≈ 251 ⋅ 103 , L 20,57 ⋅ 10 − 3 Гн с

f гр =

ωгр 2р

= 40 ⋅ 103 Гц = 40 кГц .

Схема RC ωгр =

1 1 рад = = 37 ⋅ 103 , RC 5,156 ⋅ 103 Ом ⋅ 5183 ⋅ 10−12 Ф с f гр = 5,9 кГц .

Схема RC с учётом R вх , C вх милливольтметра C = 5183 пФ, C вх = 95 пФ ,

R = 5,156 кОм, R вх = 4 МОм ,

R0 =

R ⋅ Rвх R + Rвх

=

5,156 ⋅ 103 ⋅ 4 ⋅ 106 5,156 ⋅ 103 + 4 ⋅ 106

= 5,149 кОм .

Заменим параллельное соединение R 0 , C вх на эквивалентное последовательное соединение R п , C п . В первом приближении для оценки величин C п и R п будем считать, что ω = ωгр (для RC-цепи).

50

2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎟ ⎟ R0 ⎜ 5,149 ⋅ 103 ⎜ −12 ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎜ 2 C щ R ⋅X ⎝ 37 ⋅ 10 ⋅ 95 ⋅ 10 ⎠ ⎝ гр вх ⎠ = = Rп = 0 вх = 2 2 2 2 R0 + X вх ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 3 2 ⎛⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ + 5 , 149 10 R0 + ⎜ 37 ⋅ 103 ⋅ 95 ⋅ 10−12 ⎟ ⎜ щгр Cвх ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

= 5,1 ⋅ 103 Ом = 5,1кОм.

(

)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 1 ⎜− ⎟ ⋅ R0 2 ⎜− ⎟ ⋅ 5,149 ⋅ 103 ⎜ щгр ⋅ Cвх ⎟ ⎜ 37 ⋅ 103 ⋅ 95 ⋅ 10 −12 ⎟ X вх ⋅ R0 2 ⎝ ⎠ ⎠ = =⎝ Xп = = 2 2 2 2 R0 + X вх ⎛ ⎞ ⎞ 2 ⎛ 1 1 ⎟ ⎟ 5,149 ⋅ 103 + ⎜ R0 2 + ⎜ − ⎜ 37 ⋅ 103 ⋅ 95 ⋅ 10 −12 ⎟ ⎜ щгр ⋅ Cвх ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

= − 93 Ом .

Cп = −

1 1 =− ≈ 29 ⋅ 10 − 6 Ф = 29 мкФ . щгр X п 37 ⋅103 ⋅ (− 93)

Граничная частота RC-цепи с учётом R вх , C вх милливольтметра

(щгр )мв =

рад 1 1 = ≈ 39,2 ⋅ 103 ; − 3 9 Rп C0 5,1 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 с

( fгр )мв = 6,2 кГц .

C ⋅ Cп 5,183 ⋅ 10 − 9 ⋅ 29 ⋅ 10 − 6 C0 = = = 5 ⋅ 10 − 9 Ф = 5 нФ . C + Cп 5,183 ⋅ 10 − 9 + 29 ⋅ 10 − 6 В результате подключения R вх , C вх милливольтметра граничная частота возросла на 300 Гц. 51

Зависимость добротности апериодических цепей от частоты f f гр QRL QRC

0 0 ∞

0,5 0,5 2

1 1 1

2 2 0,5

Графики зависимостей U R ( f ) , ϕU R ( f ) для RL-схемы

52

∞ ∞ 0

Графики зависимостей U R ( f ) , ϕU R ( f ) для RС-схемы

f гр ≈ 6,2 кГц 3. Краткие выводы. Измерены амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики апериодических цепей RL и RC. Экспериментальные значения граничных частот удовлетворительно согласуются с расчётными значениями. Расчёт граничной частоты RC-цепи без учёта входного сопротивления и ёмкости милливольтметра приводит к отклонению от экспериментальной граничной частоты на 300 Гц. Расчёт граничной частоты RC-цепи с учётом входного сопротивления и ёмкости милливольтметра даёт значение, более близкое к эксперименту.

53

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие Охрана труда и техника безопасности при проведении лабораторных работ по дисциплине ОТЦ Контрольно-измерительная аппаратура, применяемая при проведении лабораторных работ Работа 1. Исследование действия второго закона Кирхгофа в простейших цепях при гармоническом воздействии Работа 2. Исследование разветвлённой линейной цепи Работа 3. Исследование апериодических цепей при гармоническом воздействии Работа 4. Исследование последовательного колебательного контура при гармоническом воздействии. Работа 5. Исследование параллельного колебательного контура при гармоническом воздействии. Работа 6. Исследование связанных последовательных колебательных контуров при гармоническом воздействии. Приложение. Пример отчёта о выполнении лабораторной работы.

3 7 8 10 18 22 28 35 40 49

Редактор И.Н. Садчикова Сводный темплан 2005 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953. П.005641.11.03 от 21.11.2003 г.

Подписано в печать Б.Кн.- журн. П.л. 3,5 Тираж

Б.л. 1,75

Формат 60х84 1/16 РТП РИО СЗТУ Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5 54