Матрицы и определители. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: Учебное пособие

Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» ИНСТИТУТ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГрГУ ИМ. Я.КУПАЛЫ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Пособие по курсу «Высшая математика» для студентов технических специальностей

УДК 681.3(076) ББК 32.973

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Денисковец; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных у равнений и оптимального управления ГрГУ им. Я.Купалы З.М.Наркун.

Рекомендовано советом Института последипломного образования ГрГУ им. Я.Ку палы .

Пчельник В.К . Матрицы и о пр е д е л ит е л и . А н а л и т и ч е с к а я ге о м е т р ия на п л о с к о с т и и в п р о с т р а н с т в е : п о с о б и е / В.К.Пчельник, Е.А.Сетько, И.Н.Ревчук. – Гродно: ГрГУ, 2007. ― 164 с. Пособие содержит краткие теоретические сведения по матричной алгебре, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения и задания для контрольной работы. В приложениях приведены примеры решения задач матричной алгебры, способы построение кривых на плоскости и в пространстве средствами электронных таблиц Microsoft Excel.

УДК 681.3(076) ББК 32.973

ISBN 985–417–692–4

Гродно 2007

© Пчельник В.К., Сетько Е.А., Ревчук И.Н., 2007

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определение. Матрицей называется система m×n чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Для матриц используют следующие обозначения: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ . . ⎢ ⎣am1 am 2

... a1n ⎤ a11 a12 ... a2 n ⎥⎥ a21 a22 , ... . ⎥ . . ⎥ ... amn ⎦ am1 am 2

... a1n ... a2 n ... . ... amn

⎛ a11 a12 ⎜ a22 ⎜a , ⎜ 21 . . ⎜ ⎜a ⎝ m1 am 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ . ... . ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠

Элементы ai1, ai2, ... , ain составляют i-ю строку (i=1, 2, ..., m) матрицы, элементы a1k, a2k, ... , amk - ее k-й столбец (k=1, 2, ..., n); aik ― элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу матрицы; числа i, k называются индексами элемента aik. Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей размерности m×n (читается m на n). Используют и более краткие обозначения матрицы размерности m×n: [aik]m,n,|| aik||m,n, (aik)m,n. Матрицу обозначают также одной заглавной буквой: А=|| aik||m,n, В=(bik)m,n. Если необходимо отметить, что матрица А имеет m строк и n столбцов, то пишут А=Аm,n или А=Аmn. Определение. Две матрицы А=[aik]m,n и В=[bpq]p,q называются равными, если p=m, q=n и aik= bik (i=1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n) (то есть, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны). Пусть А=А mn. Если m=1, то матрица А называется строчной матрицей, или матрицей-строкой. Если n=1, то матрица А называется столбцевой матрицей или матрицейстолбцом. Пусть дана матрица А=А mn. Если m=n, то матрица А называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее 3

строк (столбцов). Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Определение. Пусть А=(aik) m,n, В=(bik) m,n. Суммой двух матриц называется такая матрица С=(сik)m,n, что сik= aik+ bik (i=1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n). Разностью двух матриц А и В называется такая матрица D= (dik) m,n, что dik= aik - bik (i=1, 2, ..., m; k=1, 2, ..., n). Определение. Пусть А=|| aik|| m,n, α ― действительное число. Тогда

αА=Аα=|| bik|| m,n = || αaik|| m,n. Определение. Произведением матрицы А mn = || aik|| m,n на матрицу Вnl= ||bik|| n,l называется такая матрица С ml=||cik|| m,l, для которой

c

ik

=

a b i1

1k

+

a b i2

2k

+ ... +

a b in

nk

=

n

∑a b j =1

ij

jk

т.е., элемент сik матрицы Сml равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А mn на соответствующие элементы k-го столбца матрицы Вnl. Определение. Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными). Определение. Определителем квадратной матрицы второго порядка ⎛a A = ⎜⎜ 11 ⎝ a 21

a12 ⎞ ⎟ a 22 ⎟⎠

называется число, равное |A|=a11a22 - a12 a21. ƒ Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: |A|, ΔA, det A. Определение. Определителем квадратной матрицы третьего порядка 4

называют число

а11 a12

⎡ a11 A = ⎢⎢ a 21 ⎢⎣ a31

a12 a 22 a32

a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦

a13

a a a + a12 a 23 a31 + a 21 a32 a13 − | A |= a21 a22 a23 = 11 22 33 − a13 a 22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a32 a 23 . a31 a32 a33 Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило, схематически изображенное на рис.1.

2. при перестановке двух строк (столбцов) определитель лишь меняет знак; 3. определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю; 4. общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя; 5. определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца); 6. определитель не изменится, если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и то же число, отличное от нуля; 7. если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю; 8. определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Свойство 8 для матриц третьего порядка можно выразить формулой:

а11 a12 a13 a 21 a22 a23 = a11A11 + a12 A12 + a13A13 = a31 a32 a33 Рисунок 1

Определение. Минором Мij элемента а ij определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Определение. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя называют число Аij =(-1)i+j Мij, где Мij ― минор элемента аij. Свойства определителей: 1. определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами; 5

= a11

a a a a a22 a23 − a12 21 23 + a13 21 22 . a32 a33 a31 a33 a31 a32

Эта формула представляет собой разложение определителя третьего порядка по первой строке. Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей четвертого порядка и выше. Согласно свойству 5 мож6

но преобразовать матрицу к «треугольному» виду (в этом случае определитель равен произведению диагональных элементов) либо так, чтобы все элементы некоторой строки (столбца), кроме, быть может, одного, равнялись нулю (в этом случае, разлагая определитель по элементам выбранного ряда, можно понизить порядок определителя). Определение. Квадратная матрица А-1 называется обратной квадратной матрице А, если выполняется условие: А-1А=АА-1=Е, где Е ― единичная матрица, то есть, матрица вида

⎛1 ⎜ ⎜0 E = ⎜0 ⎜ ⎜. ⎜ ⎝0

0 1 0 . 0

0 0 1 . 0

... ... ... ... ...

0⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟. ⎟ .⎟ ⎟ 1⎠

Определение. Если |A| ≠ 0, то квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной). Если |A| ≠ 0, то матрица

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 А= ⎢ . ⎢ ⎣ a n1

a12 a 22 . an 2

... a1n ⎤ ... a 2 n ⎥⎥ ... . ⎥ ⎥ ... a nn ⎦

имеет обратную матрицу, которая определяется по формуле

7

A −1 =

A11

A21

...

1 A12 | A| . A1n

A22

... An 2

. A2 n

...

An1 .

,

... Ann

где Аik ― алгебраическое дополнение элемента аik матрицы А. Определение. Рангом матрицы называется наивысший из порядков ее миноров, отличных от нуля. 1.1.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти сумму двух матриц ⎛ 7 5 8 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 2 1 ⎟, ⎜ − 3 8 − 12 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ - 8 1 - 13 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 5 7 ⎟. ⎜4 6 8 ⎟ ⎝ ⎠

Решение. По определению ⎛ 7 5 8 ⎞ ⎛ - 8 1 - 13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A+ B =⎜ 3 2 1 ⎟+⎜ 1 5 7 ⎟ = ⎜ − 3 8 − 12 ⎟ ⎜ 4 6 8 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ 7 − 8 5 + 1 8 − 13 ⎞ ⎛ − 1 6 − 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 +1 2 + 5 1+ 7 ⎟ = ⎜ 4 7 8 ⎟. ⎜ − 3 + 4 8 + 6 − 12 + 8 ⎟ ⎜ 1 14 − 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1 6 − 5⎞ ⎜ ⎟ 8 ⎟. Ответ: ⎜ 4 7 ⎜ 1 14 − 4 ⎟ ⎝ ⎠ 8

⎡- 2 - 5⎤ ⎡ − 1 2⎤ , B=⎢ Пример 2. Даны матрицы A = ⎢ ⎥. ⎥ ⎣3 1⎦ ⎣ 3 5⎦ Найти матрицу Х, удовлетворяющую условию 3А-2Х=5В. 3 A − 5B . Умножая Решение. Имеем: 3 A − 2 X = 5B, X = 2 А и В на числа 3 и 5 соответственно и пользуясь определением разности двух матриц, получим: X =

=

⎛ − 2 − 3 − 4⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 2 2 2 ⎟, ⎜ 1 − 3 − 7⎟ ⎝ ⎠

2⋅ 5+3⋅ 4+ 4⋅ (−2) 2⋅ 7 +3⋅ 6+ 4⋅ (−1) ⎞ ⎛ 2⋅1+3⋅ 2+ 4⋅ (−3) ⎟ ⎜ B⋅ A=⎜−5⋅1+(−4) ⋅ 2+(−3) ⋅ (−3) −5⋅ 5+(−4) ⋅ 4+(−3) ⋅ (−2) −5⋅ 7 +(−4) ⋅ 6+(−3) ⋅ (−1)⎟ = ⎜ 3⋅1+2⋅ 2+1⋅ (−3) 3⋅ 5+2⋅ 4+1⋅ (−2) 3⋅ 7 + 2⋅ 6+1⋅ (−1) ⎟⎠ ⎝

1 ⎛ ⎡− 3 6 ⎤ ⎡− 10 − 25⎤ ⎞ 1 ⎡− 3 + 10 6 + 25⎤ ⎜⎢ ⎟= = ⎥−⎢ 5 ⎥⎦ ⎟⎠ 2 ⎢⎣ 9 − 15 15 − 5 ⎥⎦ 2 ⎜⎝ ⎣ 9 15⎦ ⎣ 15

1 ⎡ 7 31⎤ ⎡ 3,5 15,5⎤ ⎥. ⎥=⎢ ⎢ 2 ⎣− 6 10⎦ ⎣− 3 5 ⎦

⎡3,5 15,5⎤ Ответ: ⎢ ⎥. ⎣ −3 5 ⎦

Пример 3. Найти произведение матриц АВ и ВА, если 5 7⎞ 3 4 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ 2 4 6 ⎟, B = ⎜ − 5 − 4 − 3 ⎟. ⎜ − 3 − 2 − 1⎟ ⎜ 3 2 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Решение. По определению 1⋅3+5⋅ (−4) +7⋅ 2 1⋅ 4+5⋅ (−3) +7⋅1 ⎞ ⎛ 1⋅ 2+5⋅ (−5) +7⋅ 3 ⎜ ⎟ 2⋅ 3+4⋅ (−4) +6⋅ 2 2⋅ 4+4⋅ (−3) +6⋅1 ⎟ = A⋅B=⎜ 2⋅ 2+4⋅ (−5) +6⋅ 3 ⎜−3⋅ 2+(−2)⋅ (−5) +(−1)⋅ 3 −3⋅3+(−2)⋅ (−4) +(−1)⋅ 2 −3⋅ 4+(−2)⋅ (−3) +(−1)⋅1⎟ ⎝ ⎠

⎛−4 14 28 ⎞ ⎟ ⎜ =⎜−4 −35 −56⎟. ⎜ 4 21 32 ⎟ ⎠ ⎝

28 ⎞ ⎛ − 2 − 3 − 4⎞ ⎛ − 4 14 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎟, BA = ⎜ − 4 − 35 − 56 ⎟ . Ответ: AB = ⎜ 2 ⎜ 1 − 3 − 7⎟ ⎜ 4 21 32 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎡− 2 3 0⎤ Пример 4. Дана матрица A = ⎢⎢ 1 − 1 5⎥⎥. Найти алгеб⎢⎣ 4 2 7⎥⎦

раические дополнения элементов второго столбца. Решение. 1 5 −2 0 A12 = (−1)1+ 2 = 13, A 22 = ( −1) 2+ 2 = −14, A23 = 4 7 4 7

= (−1) 2+3

-2 0 = 10. 1 5

Ответ: А12=13; А22=-14; А23=10. 9

10

−2 3 0 Пример 5. Вычислить определитель: Δ = 1 − 1 5 . 4

2

7

Решение. Раскладывая определитель по первой строке, получим: 1 5 1 −1 −1 5 Δ = (−2) ⋅ + 3⋅ (−1) ⋅ + 0⋅ = 2 7 4 7 4 2

= −2 ⋅ (−7 −10) − 3⋅ (7 − 20) + 0 = 34+ 39 = 73. Ответ: Δ=73.

1 2 −1 1 5 6 A= −1 − 2 3 2 4 −2

5 1 2 −1 3 1 5 6 = 2⋅ 5 −1 − 2 3 8 1 2 −1

5 0 0 −1 1 3 7 17 6 27 = = 5 2 4 3 17 4 0 0 −1 0

0 0 1 0 0 1 = 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) 4 + 3 7 17 27 = 2 ⋅ 7 17 27 = 2 4 17 2 4 17 7 17 = 2 ⋅ (7 ⋅ 4 − 2 ⋅ 17) = 2 ⋅ (28 − 34) = −12. 2 4 Для этого сложим первый и третий столбцы, ко второму столбцу прибавим третий, умноженный на 2, а к четвертому столбцу прибавим третий, умноженный на четыре. Полученный определитель разложим согласно свойству 7 по элементам четвертой строки. Полученный в качестве минора определитель третьего порядка вновь можно разложить по элементам первой строки. Пример 7. Выяснить, существует ли матрица, обратная 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1)1+ 3

Пример 6. Вычислить определитель четвертого порядка

1 2 −1 1 5 6 −1 − 2 3 2 4 −2

5 3 , 5 8

Решение. Способ 1. Приведем определитель к треугольному виду. Для этого из второй строки вычтем первую, к третьей строке прибавим первую, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-2). Получим:

⎡ 1 0 1⎤ матрице A = ⎢⎢ 0 0 2⎥⎥, и если существует, то найти ее. ⎢⎣− 1 3 1 ⎥⎦

1 2 −1 1 5 6 A= −1 − 2 3 2 4 −2

Решение. Так как detA=-6≠0, то матрица А невырожденная, и А-1 существует. Способ 1. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А: 0 2 0 2 0 0 A11 = = −6, A12 = − = −2, A13 = = 0, A11 = −6, 3 1 −1 1 −1 3

5 1 2 −1 5 3 0 3 7 −2 = = 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ (−2) = −12. 5 0 0 2 10 8 0 0 0 −2

Способ 2. Сначала вынесем общий множитель четвертой строки за знак определителя, а затем преобразуем матрицу так, чтобы в четвертой строке остался один ненулевой элемент: 11

12

A21 = − A31 =

0 1 3 1

0 1

0 2 Следовательно,

= 3, A22 =

1

−1 1

= 0, A32 = −

A −1

1

1 1 0 2

= 2, A23 = − = −2, A33 =

1

0

−1 3

1 0 0 0

= −3,

= 0.

0 ⎤ ⎡− 6 3 1⎢ = − ⎢− 2 2 − 2⎥⎥. 6 ⎢⎣ 0 − 3 0 ⎥⎦

-1

Способ 2. Найдем А с помощью элементарных преобразований над строками матрицы С: 1 0 11 0 0 C → 0 0 2 0 1 0. −1 3 1 0 0 1

Прибавив к третьей строке первую, получим: 1 0 11 0 0 C → 0 0 2 0 1 0. 0 3 21 0 1

Поменяем местами вторую и третью строки. Тогда 1 0 11 0 0 C → 0 3 21 0 1 . 0 0 21 0 0 Прибавив ко второй строке третью, умноженную на (-1), получим:

13

1 0 11 0 0 C → 0 3 0 1 −1 1. 0 0 20 1 0

Умножив вторую строку на 1/3, а третью ― на 1/2, имеем: 1 0 11 0 1 1 C→0 1 0 − 3 3 0 0 1 1 0 2

0 1 . 3 0

Вычтем из первой строки третью. Тогда

1 0 0 C→ 0 1 0 0 0 1

1 1 3 0

1 2 1 − 3 1 2

−

0 1 , 3 0

1 ⎡ ⎢1 − 2 ⎢1 1 A -1 = ⎢ − 3 ⎢3 1 ⎢ ⎢⎣ 0 2

⎤ 0⎥ 1⎥ ⎥= 3⎥ ⎥ 0⎥ ⎦

0 ⎤ ⎡− 6 3 1⎢ = − ⎢− 2 2 − 2⎥⎥. 6 ⎢⎣ 0 − 3 0 ⎥⎦

Пример 8. Найти Х из матричного уравнения АХ=В, где А – квадратная матрица порядка 3, Х и В – матрицы, содержащие по одному столбцу и по 3 строки: ⎛4⎞ ⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ 0 0 2 ⎟, В = ⎜ − 1⎟. ⎜5 ⎟ ⎜−1 3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

14

Решение. Домножив левую и правую части уравнения АХ=В слева на матрицу, обратную матрице А, получим: А −1 АХ = А −1 В → ЕХ = А −1 В → Х = А −1 В.

Найдем матрицу А−1 (см. пример 7): А

−1

0 ⎞ ⎛− 6 3 ⎟ 1⎜ = − ⎜ − 2 2 − 2 ⎟. 6⎜ ⎟ ⎝ 0 −3 0 ⎠

Перемножая найденную обратную матрицу на матрицу В, по⎛ − 27 ⎞ ⎟ 1⎜ лучим: Х = − ⎜ − 20 ⎟. 6⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

Примечание. Примеры использования формул для решения задач матричной алгебры средствами электронных таблиц Microsoft Excel приведены в приложении 1. 1.2.

Задачи для самостоятельного решения

⎡1 − 5⎤ ⎡ − 2 3⎤ ⎡3 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢3 − 7 ⎥, B = ⎢− 4 6⎥, C = ⎢⎢5 − 4⎥⎥. ⎢⎣6 − 8 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 7 ⎥⎦ ⎢⎣7 − 6⎥⎦ Найти: 1) А + В + С; 2) А - В - С; 3) 3А - 2В + С; 4) 2А + 4В - 3С. ⎡1 − 2 6 ⎤ 3. Дана матрица A = ⎢⎢4 3 − 8⎥⎥. Найти матрицу Х, удовле⎢⎣4 − 2 5 ⎥⎦ творяющую условию 3А + 2Х = Е. ⎡2 − 1⎤ ⎡ − 5 − 2⎤ , B=⎢ . 4. Даны матрицы A = ⎢ ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣5 3 ⎦ ⎣1

Найти матрицу

Х, удовлетворяющую условию 2А - 3Х = В. 5. Найти произведения матриц: ⎡3⎤ ⎡3⎤ ⎡ 3 1⎤ ⎡ 0 5⎤ ⎢ ⎥ ⋅⎢ 1) ⎢ ; 2) ⎢- 1⎥ ⋅ [2 − 6 7]; 3) [1 − 4 5] ⋅ ⎢⎢ 4 ⎥⎥; ⎥ ⎥ ⎣- 1 2⎦ ⎣- 1 6⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣- 1⎥⎦

1. Найти сумму и разность двух матриц: ⎛ 2 1) A = ⎜⎜ ⎝−8 ⎛2 7 ⎜ B = ⎜ 9 11 ⎜2 4 ⎝

2 7⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 7⎞ 5 ⎞ ⎛3 ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟; 2) A = ⎜ − 3 − 8 9 ⎟, 13 ⎠ ⎝11 − 17 ⎠ ⎜ − 8 5 12 ⎟ ⎠ ⎝ 13 ⎞ ⎛ 7 5 3⎞ ⎛ − 1 − 2 − 3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 8 ⎟;3) A = ⎜ 8 − 11 5 ⎟, B = ⎜ 5 8 − 3 ⎟. ⎜ 5 2 4⎟ ⎜ 2 6 ⎟⎠ 7 12 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2. Даны три матрицы 15

2⎤ ⎡1 ⎡ 2 − 4 6 ⎤ ⎡5 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡- 2 3 4 0⎤ ⎢ 0 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4) ⎢ ⎥ ⋅ ⎢− 1 0 ⎥; 5) ⎢ 5 2 7 ⎥ ⋅ ⎢0 2 0 ⎥; 5 − 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎢⎣- 1 0 4⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣4 ⎡3 2 − 1⎤ ⎡3 0 0⎤ ⎡ 2 0 0⎤ ⎡3 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6) ⎢4 5 0 ⎥ ⋅ ⎢0 3 0⎥; 7) ⎢⎢0 − 1 0⎥⎥ ⋅ ⎢⎢0 5 0 ⎥⎥; ⎢⎣1 - 2 3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 8⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ 16

⎡− 2 1 ⎤ ⎡2 − 1⎤ ⎡2 - 1⎤ ⎡2 3⎤ ⎡3⎤ ⎡2 - 1 3⎤ ⎢ 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢ 8) ⎢ ⋅⎢ ⋅ ⎢ ⎥ ; 9) ⎢ ⋅⎢ 0 ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎣3 0 ⎦ ⎣5 1⎦ ⎣5⎦ ⎣0 1 2⎦ ⎢ 1 − 1⎥ ⎣3 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡−1 ⎢1 6. Даны матрицы A = ⎢ ⎢− 2 ⎢ ⎣1 элемент с42 матрицы С=АВ.

3 − 5⎤ 4 3 ⎥⎥ , B= 0 0⎥ ⎥ 3 2⎦

2 0 3 −1

⎡ 2 - 3⎤ ⎢1 4 ⎥ ⎢ ⎥. Найти ⎢5 - 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣3 4 ⎦

7. Проверить, имеет ли место равенство ( A + B ) = A2 + 2 AB + B 2 , если ⎡1 5 ⎤ ⎡- 3 0 ⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡2 - 1⎤ 1) A = ⎢ , B=⎢ ; 2) A = ⎢ , B=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎣ 2 4⎦ ⎣ 0 - 3⎦ ⎣- 3 0 ⎦ ⎣0 3 ⎦

8. Вычислить указанные определители:

9. Вычислить указанные определители, пользуясь их свойствами:

1)

0 0 27 13

0 39

0 1

; 2)

8 28 38 48 4 14 19 24 7 1

5 3

3 5

1 7

17

; 3)

3 4 5 181 181 7) ; 8) 2 3 4 . 217 317 1 2 3 ⎡ 2 1 3⎤ 10. При каких значениях α ранг матрицы ⎢⎢1 − 2 0⎥⎥ равен 2? ⎢⎣4 α 6⎥⎦

11. При каком значении α

3 1

-1 2

2 5

4 1

7 0 9 9 13 - 1 17 4

⎡−1 ⎢ ранг матрицы ⎢ 2 ⎢− 2 ⎢ ⎣α

4 8 12 ⎤ 1 3 1 ⎥⎥ равен 8 16 24⎥ ⎥ 1 2 3⎦

12. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют: ⎡12 1 ⎤ ⎡3 1) ⎢ ; 2) ⎢ ⎥ ⎣- 3 5⎦ ⎣1

2 3 -1 1 -1 2 5) 3 - 2 4 ; 6) 3 5 0 . 1 -1 0 -2 -3 1

7 -8 1 15 187 91

-1 378 253 127 2789 3453 ; - 6 ; 5) 377 252 126 ; 6) 2790 3454 3 8 - 15 -3 -3 -3

3?

2 -1 2 -1 3 2 2 -1 -1 0 1) ; 2) ; 3) 3 1 5 ; 4) 1 0 - 3 3 4 5 3 2 -4 3 1 1 2

2 3

1 2 4) 0 1

⎡1 8⎤ ; 3) ⎢⎢ 0 ⎥ 7⎦ ⎢⎣ 0

0 5 0

0⎤ ⎡ 1 - 2 0 ⎥⎥ ; 4) ⎢⎢ 4 0 6 ⎥⎦ ⎢⎣ - 1 2

⎡1 2 - 5⎤ ⎡ 1 -3 4⎤ ⎥ ⎢ 5) ⎢ - 3 5 6 ⎥; 6) ⎢⎢1 - 3 3 ⎥⎥. ⎢⎣1 1 - 2⎥⎦ ⎢⎣- 2 2 10⎥⎦

;

18

3⎤ 5 ⎥⎥ ; 3 ⎥⎦

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , ⎪ a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 (1) ⎨ ⎪ ........................................ ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm , где aij , i = 1, m, j = 1, n называются коэффициентами системы, а

( )

числа bi — свободными членами. Матрица A = aij , составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы. Расширенной матрицей называется матрица В, полученная из А дополнением столбцом свободных членов. Решением системы (1) называется совокупность n действительных чисел (α1 ,α 2 ,...,α n ) , при подстановке которых вместо неизвестных все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Если det A ≠ 0, то система (1) называется невырожденной. Невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера: Δ xi = i , i = 1, n, Δ где Δ = det A, определитель Δ i получается из Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Система линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) может быть записана в матричном виде Ах=b, где А — матри19

ца системы, x = ( x1 , x2 , ..., xn ) , b = (b1 , b2 , ..., bn ). Невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными может быть решена матричным способом, то есть решение может быть получено по формуле x = A−1b, T

где A−1 ― матрица, обратная матрице А. Напомним, что рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается ранг матрицы r, r(A) или rang A. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Элементарными преобразованиями матрицы называются: 1) умножение любого ряда матрицы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одному ряду матрицы другого параллельного ряда, умноженного на любое число; 3) перестановка двух параллельных рядов матрицы. Свойства ранга матрицы: ранг матрицы не меняется при транспонировании; а) ранг матрицы не меняется при отбрасывании нулевого б) ряда; ранг матрицы не меняется при элементарных преобразов) ваниях.

Критерий совместности Кронекера-Капелли Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, то есть r(A) = r(B). Если в системе (1) b1 = b2 = ... = bn = 0, то такая система называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение. Поэтому представляет 20

интерес тот случай, когда однородная система имеет ненулевое решение. Для того, чтобы однородная система ЛАУ имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, то есть, чтобы r(A)0, δ(M2)-40 действительная ось гиперболы параллельна оси Ox, а при h