Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2005. Том 46, № 6

УДК 517.55

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И ПРОЕКТОРЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян Аннотация: При общих предположениях на весовую функцию дается полная характеризация преобразования Коши линейных непрерывных функционалов на весовых пространствах голоморфных в шаре функций. Строится интегральный проектор, отображающий весовые пространства измеримых и n-гармонических в шаре функций на соответствующие пространства голоморфных функций. Ключевые слова: линейный функционал, преобразование Коши, весовое пространство, голоморфная функция.

Введение Пусть Bn — открытый единичный шар в n-мерном комплексном пространстве, Sn — его граница, 0 < p, q < +∞. Обозначим через Š множество всех положительных функций ω, суммируемых на интервале (0, 1), для которых существуют положительные числа mω , Mω , qω , причем mω , qω ∈ (0, 1), такие, что mω ≤

ω(λr) ≤ Mω ω(r)

∀r ∈ (0, 1), λ ∈ [qω , 1].

Важным частным случаем таких функций являются функции вида ω(t) = tα . Свойства функций из Š хорошо изучены в монографии [1]. Обозначим через Lp,q (ω) пространство измеримых в Bn функций f , для которых  1  q1 Z  pq Z kf kLp,q (ω) =  ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr < +∞, 0

Sn

где dσ(ζ) — нормированная мера Лебега на сфере Sn , а через H(Bn ) — множество всех голоморфных в Bn функций. Положим также Ap,q (ω) = H(Bn ) ∩ Lp,q (ω). Подпространство Lp,q (ω), состоящее из n-гармонических функций, обозначим через hp,q (ω). В этой статье мы построим ограниченный линейный проектор, отображающий пространство Lp,q (ω) при 1 ≤ p, q < +∞ на пространство Ap,q (ω) и пространство hp,q (ω) на Ap,q (ω) при всех 0 < p, q < +∞, ω ∈ Š. Указанные результаты позволяют охарактеризовать все голоморфные в шаре Bn функции g, 1 допускающие представление g(z) = ˆ(ez ), где ez (ζ) = (1−hζ,¯ z i)n , ˆ — линейный c 2005 Антоненкова О. Е., Шамоян Ф. А.

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов

1209

непрерывный функционал на Ap,q (ω), 0 < p, q < +∞, и тем самым получить полное описание линейных непрерывных функционалов при всех p и q. Важность рассматриваемых вопросов для решения ряда задач комплексного анализа хорошо известна, для примера укажем работы [2–8]. В связи с полученными в статье результатами отметим также работу [9], в которой установлено существование ограниченного проектора из Lp,q (ω) на Ap,q (ω) при ω(t) = tβ , β > −1, и 1 < p, q < +∞. Там же получено другое представление линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q (ω) при ω(t) = tβ , −1 < β < +∞, и то лишь в случае 1 < p < +∞, max(1, 1 + β) < q < +∞. При остальных p, q метод, предложенный в этой работе, не проходит. В § 1 установлены вспомогательные результаты, на наш взгляд, имеющие самостоятельный интерес. В § 2 в явном виде строится ограниченный линейный интегральный проектор из пространств Lp,q (ω) и hp,q (ω) на Ap,q (ω) при условии, log Mω < 1. Если же βω ≥ 1, то указанное утверждение не верно даже что βω = log(1/q ω) в случае ω(t) = tα . В § 3 дано описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q (ω) при ω ∈ Š. § 1. Обозначения и вспомогательные сведения
mω tα q Для удобства обозначим αω = log log qω , ωα (t) = ω(t) ω(t) , t ∈ (0, 1). Опре1 0 делим функцию χγ (z) = (1−|z|) γ/pp0 , z ∈ Bn , где 0 ≤ γ < pp , 1 ≤ p < +∞, p . p0 = p−1 Следующая лемма установлена в работе [3]. Лемма 1. Пусть ω ∈ Š. Тогда найдутся измеримые ограниченные функции η(x) и ε(x) такие, что   Z1  ε(x)  ω(x) = exp η(x) + du , x ∈ (0, 1). (1)   u x

При этом

и

log mω log Mω ≤ ε(u) ≤ , u ∈ (0, 1), log(1/qω ) log(1/qω )  αω x ω(x)  y βω ≤ ≤ , 0 < x ≤ y < 1. y ω(y) x

(2)

(3)

В дальнейшем при ω ∈ Š всегда будем предполагать, что 0 < βω < 1, и, не ограничивая общность, η(x) = 0, x ∈ (0, 1). Лемма 2. Пусть 0 < p ≤ 1, f ∈ H p (Bn ). Тогда справедлива следующая оценка: Z  p1 Z 1 (1 − r2 )( p −1)n |f (r2 ζ)| dσ(ζ) ≤ c |f (rζ)|p dσ(ζ) . Sn

Sn

Здесь и в дальнейшем через c, c1 , . . . , cn (α, β, . . . ) будем обозначать произвольные положительные константы, зависящие от α, β, . . . , конкретные значения которых не играют никакой роли. Доказательство. Для классов Харди хорошо известна оценка (см. [10]) n

n

|f (z)| ≤ 2 p kf kH p (Bn ) (1 − |z|)− p .

1210

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян

Учитывая ее, имеем Z Z |f (r2 ζ)| dσ(ζ) = |f (r2 ζ)|p |f (r2 ζ)|1−p dσ(ζ) Sn

Sn

Z Z  p1 (1−p) n 2 p p (1 − r2 )− p (1−p) ≤c |f (r ζ)| dσ(ζ) |f (rζ)| dσ(ζ) Sn

Sn

Z  p1 (1−p)+1 n (1 − r2 )− p (1−p) . ≤c |f (rζ)|p dσ(ζ) Sn

Отсюда Z

1

(1 − r2 )( p −1)n

 p1 Z |f (rζ)|p dσ(ζ) .  |f (r2 ζ)| dσ(ζ) ≤ c Sn

Sn

Лемма 3. Пусть 0 < q ≤ 1, 0 < p < +∞, f ∈ hp,q (Bn ). Тогда Z1

1 q

ω(1 − r) (1 − r)

1 q −1

Z

0

 p1 |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p

Sn



Z1

≤ c

 q1  pq Z |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr . ω(1 − r)

0

Sn 1 ,1 2k

Доказательство. Пусть k = 1 −

−

1 2k+1

+∞  S , тогда (0, 1) = k . k=0

Следовательно, Z1

1 q

ω(1 − r) (1 − r)

I=

1 q −1

Z

0

 p1 |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p

Sn

=

+∞ X k=0

1−

1 2k+1

Z 1−

1

1

ω(1 − r) q (1 − r) q −1

1 2k

Z

 p1 |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr.

Sn

Используя свойства функции ω (см. (2), (3)), легко показать, что Z  p1 +∞ X 1 1 p q q I ≤ c1 ω(1 − rk ) (rk+1 − rk ) max |f (rζ)| dσ(ζ) rk αω . Тогда оператор Z ω(1 − |ζ|)f (ζ) dν(ζ) , z ∈ Bn , Tα (f )(z) = с(n, ω) (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn p,q

отображает пространство L (ω) в пространство Ap,q (ωα ), при этом справедлива оценка kTα (f )kAp,q (ωα ) ≤ ckf kLp,q (ω) .
Теорема 2. Пусть ω ∈ Š, 0 < p, q ≤ 1, α > αωq+1 + n p1 − 1 − 1. Тогда оператор Z (1 − |ζ|2 )α f (ζ) dν(ζ) , z ∈ Bn , Aα (f )(z) = c(n, α) (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn

где c(n, α) — константа из (4), отображает пространство hp,q (ω) на пространство Ap,q (ω), причем kAα (f )kAp,q (ω) ≤ ckf khp,q (ω) . Доказательство. Равенство Aα (f )(z) = f (z), z ∈ Bn , f ∈ Ap,q (ω), устанавливается, как выше. Предположим теперь, что f ∈ hp,q (ω). Так как 0 < p ≤ 1, применяя лемму 60 , будем иметь Z p (1 − |ζ|2 )α |f (ζ)| dν(ζ) p |Aα (f )(z)| ≤ c1 |1 − hz, ζi|α+n+1 Bn

Z ≤ c2

(1 − |ζ|2 )αp+(n+1)(p−1) |f (ζ)|p dν(ζ) . |1 − hz, ζi|(α+n+1)p

Bn

Тогда Z |Aα (f )(ρz)|p dσ(z) Sn

Z Z1 Z ≤ c3

(1 − r)αp+(n+1)(p−1) |f (rζ)|p dσ(ζ) 2n−1 r drdσ(z) |1 − rρhz, ζi|(α+n+1)p

Sn 0 Sn

Z1 Z ≤ c3

αp+(n+1)(p−1)

(1 − r)

p

Z

|f (rζ)|

0 Sn

dσ(z) dσ(ζ)r2n−1 dr. |1 − rρhz, ζi|(α+n+1)p

Sn

Используя оценку (5), получим Z

|Aα (f )(ρz)|p dσ(z) ≤ c4

Z1 Z

(1 − r)αp+(n+1)(p−1) |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr. (1 − rρ)(α+n+1)p−n

0 Sn

Sn

Рассмотрим теперь все возможные случаи. 1. Пусть

q p

≤ 1. Тогда, применяя лемму 3, приходим к неравенствам

kAα (f )kAp,q (ω)

1218

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян

 q1  1  1  pq Z Z αp+(n+1)(p−1) Z (1 − r) ≤ c4  ω(1 − ρ) |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr ρ2n−1 dρ (1 − rρ)(α+n+1)p−n 0

0

Sn

 1  q1 q q  pq Z Z1 )+ p −1 Z αq+(n+1)(q− p (1 − r) ≤c5  ω(1 − ρ) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 drρ2n−1 dρ . q (1 − rρ)(α+n+1)q−n p 0

0

Sn

Меняя порядок интегрирования и применяя к внутреннему интегралу оценку (6), получим  1 Z  pq Z q αq+(n+1)q− p n−1 p  kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c6 (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ) 0

Z1 ×

Sn

 q1

ω(1 − ρ) q

(1 − rρ)(α+n+1)q−n p

0

×

ρ

2n−1

dρr

q

(1 − r)(α+n+1)q−n p −1 q p

Z1 q   dr ≤c (1 − r)αq+(n+1)q− p n−1 0

Z

ω(1 − r)

2. Пусть

2n−1



 q1  pq |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr = ckf khp,q (ω) .

Sn

> 1. Тогда

 1  q1  pq Z Z  ω(1 − ρ) |Aα (f )(ρz)|p dσ(z) ρ2n−1 dρ 0

Sn

 pq  1  1  q1 Z Z αp+(n+1)(p−1) Z (1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr ρ2n−1 dρ . ≤ c7  ω(1−ρ) (1 − rρ)(α+n+1)p−n 0

0

Sn

Умножив и разделив правую часть данного неравенства на χγ (r) и применив q неравенство Г¨ельдера с показателем q−p , будем иметь  1  1 Z Z (1 − r)αp+(n+1)(p−1)   kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c7 ω(1 − ρ) q (1 − rρ)(α+n+1)p−n χγp (r) 0 0  1 q Z  pq Z (1 − r)αp+(n+1)(p−1) χγq−p (r) p 2n−1   × |f (rζ)| dσ(ζ) r dr (1 − rρ)(α+n+1)p−n 0

Sn q  q−p q p

×r

2n−1

dr

 q1 2n−1

ρ



Z1

dρ ≤ c8 

q

ω(1 − ρ)χγp (ρ)

0

Z1

(1 − r)αp+(n+1)(p−1)

0

(1 − rρ)(α+n+1)p−n χγp (r)

×

Z

q

 q1  pq |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 drρ2n−1 dρ .

Sn

Поменяем порядок интегрирования и оценим внутренний интеграл:  1 Z  pq Z (1 − r)αp+(n+1)(p−1) p  kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c9 |f (rζ)| dσ(ζ) q χγp (r) 0 Sn

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов Z1 ×

1219

 q1 q ω(1 − ρ)χγp (ρ) ρ2n−1 dρr2n−1 dr (1 − rρ)(α+n+1)p−n

0

 1  q1 q Z  pq Z p αp+(n+1)(p−1) (1 − r) ω(1 − r)χ (r) γ ≤ c |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr q p (α+n+1)p−n−1 χγ (r)(1 − r) 0 Sn = ckf khp,q (ω) .



Таким же образом устанавливается Следствие 2. Пусть ω ∈ Š удовлетворяет условию Z1

ω p (1 − r)(1 − r)(n+1)(p−1) dr < +∞,

0 αω +1 q

1 p


− 1 − 1. Тогда оператор Z ω(1 − |ζ|)f (ζ) dν(ζ) , Tα (f )(z) = с(n, ω) (1 − hz, ζi)α+n+1

0 < p, q ≤ 1, α >

+n

z ∈ Bn ,

Bn

отображает пространство hp,q (ω) в пространство Ap,q (ωα ), причем kTα (f )kAp,q (ωα ) ≤ ckf khp,q (ω) . Теорема 3. Пусть ω ∈ Š. Предположим, что 1) если 1 < p < +∞, 0 < q ≤ 1, то α > αωq+1 − 1,
2) если 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то α > αqω + n p1 − 1 − q10 , где q 0 = Тогда оператор Z (1 − |ζ|2 )α f (ζ) dν(ζ) Aα (f )(z) = c(n, α) , z ∈ Bn , (1 − hz, ζi)α+n+1

q q−1 .

Bn

где c(n, α) — константа из (4), отображает пространство hp,q (ω) на пространство Ap,q (ω), причем kAα (f )kAp,q (ω) ≤ ckf khp,q (ω) . Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Запишем норму функции Aα (f ) в пространстве Ap,q (ω). Так как 1 < p < +∞, воспользовавшись p неравенством Г¨ельдера с показателем p0 = p−1 , будем иметь  1   1 p Z Z Z Z α 2n−1 (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ)r dr  kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c1  ω(1 − ρ)  |1 − rρhz, ζi|α+n+1 0

 pq

 q1



dσ(z) ρ2n−1 dρ ≤ c2 

0 Sn

Sn

Z1



 Z

ω(1−ρ) 0

Z1 Z

 Sn

α

p

2n−1



(1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ)r dr  χpγ (r)|1 − rρhz, ζi|α+n+1

0 Sn

 1  p0  pq  q1  1 p Z Z Z α p0 2n−1 (1 − r) χγ (r) dσ(ζ)r dr 2n−1      × dσ(z) ρ dρ ≤ c3 ω(1 − ρ) |1 − rρhz, ζi|α+n+1 0 Sn

0

1220

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян  × χpγ (ρ)

Z Z1 Z

 q1  pq (1 − r)α |f (rζ)|p dσ(ζ)r2n−1 dr dσ(z) ρ2n−1 dρ . χpγ (r)|1 − rρhz, ζi|α+n+1

Sn 0 Sn q p

≤ 1, используя лемму 3, имеем  1 q q Z Z1 αp +p −1 (1 − r) q kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c4  ω(1 − ρ)χγ (ρ) χqγ (r)

Так как

0

0

Z

 pq Z p |f (rζ)| dσ(ζ)

Sn

Sn

×

dσ(z) |1 − rρhz, ζi|α+n+1

 pq

 q1 r2n−1 drρ2n−1 dρ .

Применяя к внутреннему интегралу лемму 2, получаем  1 Z q kAα (f )kAp,q (ω) ≤ c5  ω(1 − ρ)χqγ (ρ)(1 − ρ)n( p −1) 0

Z1 ×

q q αp +p −1

(1 − r) χqγ (r)

Z

 pq Z |f (rζ)|p dσ(ζ)

Sn

Sn

0

dσ(z) q

|1 − rρhz, ζi|(α+n+1) p

 q1

 1 q q  pq Z Z (1 − r)α p + p −1 2n−1 2n−1 p   ×r drρ dρ |f (rζ)| dσ(ζ) ≤ c6 χqγ (r) 0

Z1 Z ×

Sn

q

0 Sn

 q1

q

ω(1 − ρ)χqγ (ρ)(1 − ρ)n( p −1) |1 − rρhz, ζi|(α+n+1) p

dσ(z)ρ2n−1 dρr2n−1 dr

 1  q1 q q  pq Z αp +p −1 ω(1 − r)χq (r) Z (1 − r) γ ≤ c |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr q q χqγ (r) (1 − r)α p + p −1 0

Sn

= ckf khp,q (ω) . Докажем вторую часть теоремы. Так как 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то > 1 и, следовательно, утверждение п. 2 теоремы вытекает из соответствующих рассуждений, приведенных при доказательстве теоремы 2.  q p

С помощью таких же рассуждений получаем Следствие 3. Пусть ω ∈ Š. Предположим, что 1) если 1 < p < +∞, 0 < q ≤ 1, то α > αωq+1 − 1,
2) если 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то α > αqω + n p1 − 1 − q10 , где q 0 = Тогда оператор Z ω(1 − |ζ|)f (ζ) dν(ζ) Tα (f )(z) = c(n, ω) , z ∈ Bn , (1 − hz, ζi)α+n+1 Bn

отображает пространство h

p,q

(ω) в пространство Ap,q (ωα ), причем

kTα (f )kAp,q (ωα ) ≤ ckf khp,q (ω) .

q q−1 .

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов

1221

§ 3. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой Заметим, что если min(p, q) < 1, то каждый линейный непрерывный функционал на Lp,q (ω) нулевой. В то же время, например, ˆz0 (f ) = f (z0 ), z0 ∈ Bn , является линейным непрерывным функционалом на Ap,q (ω). В этом параграфе, используя результаты § 2, мы получим полное описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q (ω) в том случае, когда ω принадлежит классу функций Š, правильно изменяющихся на интервале (0, 1), а 0 < p, q < +∞. Для изложения результатов сначала введем следующие определения. Пусть 0 < p, q ≤ 1, обозначим через λp,q ω класс аналитических в Bn функций g, для которых 1 1 (1 − |z|)α−n( p −1)− q +1 α+1 |D g(z)| < +∞, kgkλp,q = sup 1 ω z∈Bn ω q (1 − |z|)
где α > αωq+1 + n p1 − 1 − 1. ˜ p,q обозначим множество всех Если же 0 < p ≤ 1, 1 < q < +∞, то через λ ω голоморфных в Bn функций g, для которых  10  1 q 1 Z −1) αq 0 −nq 0 ( p (1 − r) α+1 q 0 2n−1   p,q ( sup |D g(rz)|) r dr < +∞, kgkλ˜ ω = q0 z∈Sn ω q (1 − r) 0
где 1q + q10 = 1, α > αqω + n p1 − 1 − q10 . ˜˜ p,q множество голоморфЕсли 1 < p < +∞, 0 < q ≤ 1, то обозначим через λ ω ных в Bn функций g таких, что  10 1 Z p (1 − r)α+1− q α+1 p0 kgkλ˜˜ p,q = sup < +∞, |D g(rz)| dσ(ζ) 1 ω 0 αωq+1 − 2. Нетрудно заметить, что определение этих классов ˜ p,q не зависит от α, при этом относительно указанных норм множества λp,q ω , λω и ˜˜ p,q превращаются в банаховы пространства. λ ω 1 Пусть z, ζ ∈ Bn , положим ez (ζ) = (1−hζ,¯ z i)n . Следующая лемма в случае поликруга в Lp -пространствах установлена в работе [3]. Лемма 12. Пусть 1 < p, q < +∞, ω ∈ Š, ψ(ζ) ∈ Lp,q (ω) и Z ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) g(z) = . ¯ n (1 − hz, ζi) Bn

Тогда D

α+1

p,q

g∈A

(ωα ), причем справедлива оценка kDα+1 gkAp,q (ωα ) ≤ ckψkLp,q (ω) .

Доказательство. Используя лемму 7, имеем D

α+1

Z g(z) = c1 Bn

ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) + ¯ α+n+1 (1 − hz, ζi)

Z1

Z φ(u)

0

Bn

ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) du, ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)

1222

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян

где φ(u) ∈ C[0, 1]. Заметим, что Z Tα (ψ)(uz) =

ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) , ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)

Bn

где Tα — оператор из следствия 1. Кроме того, kTα (ψ)(u·)kAp,q (ωα ) ≤ c2 kTα (ψ)kAp,q (ωα ) при 0 ≤ u ≤ 1, тогда по следствию 1 kTα (ψ)(u·)kAp,q (ωα ) ≤ c2 kTα (ψ)kAp,q (ωα ) ≤ c3 kψkLp,q (ω) . Применяя неравенство Минковского, будем иметь kD

α+1

Z1 gkAp,q (ωα ) ≤ с1 kTα (ψ)kAp,q (ωα ) +

|φ(u)|kTα (ψ)(u·)kAp,q (ωα ) du 0



Z1

≤ c4 kψkLp,q (ω) 1 +

 |φ(u)| du = ckψkLp,q (ω) < +∞.



0

Теорема 4. Пусть ˆ — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), 1 < p, q < +∞, и g(z) = ˆ(ez ), z ∈ Bn . Тогда g голоморфна в Bn и Dα+1 g ∈
0 0 0 q p tα q , q 0 = q−1 , ωα (t) = ω(t) ω(t) , t ∈ (0, 1). Ap ,q (ωα ) при α > αω , где p0 = p−1 Функционал ˆ представ´ им в виде Z (7) ˆ(f ) = lim f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ), ρ→1−0 Sn

и справедливы оценки c1 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) ≤ kˆk ≤ c2 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) . 0

(8)

0

Верно и обратное: любая функция g такая, что Dα+1 g ∈ Ap ,q (ωα ), по формуле (7) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), для которого справедливы оценки (8). Доказательство. Предположим, что ˆ — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = ˆ(ez ), z ∈ Bn . Продолжим ˆ на Lp,q (ω) с сохранением 0 0 нормы. По теореме Бенедека — Понцоне [13] существует функция ψ ∈ Lp ,q (ω) такая, что Z ˆ(f ) = f (ζ)ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ), Bn

причем kˆk = kψkLp0 ,q0 (ω) . Тогда Z g(z) =

ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) . ¯ n (1 − hz, ζi)

Bn

Отсюда по лемме 12 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) ≤ ckψkLp0 ,q0 (ω) = сkˆk.

(9)

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов

1223

Далее, разлагая ez (ζ) в ряд и учитывая, что он сходится в Ap,q (ω), получим Z Z X +∞ ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) € (k + n) ¯ k g(z) = ˆ(ez ) = = (hz, ζi) ¯ n € (n)€ (k + 1) (1 − hz, ζi) Bn k=0

Bn

× ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) =

+∞ X k=0

€ (k + n) € (n)€ (k + 1)

Z

¯ k ψ(ζ)ω(1 − |ζ|) dν(ζ) (hz, ζi)

Bn

=

+∞ X k=0

€ (k + n) ¯ k ). ˆ(hz, ζi € (n)€ (k + 1)

p,q

Пусть f ∈ A (ω) и 0 < ρ < 1, положим fρ (z) = f (ρz), z ∈ Bn . Тогда по лемме 11 kf − fρ k −→ 0 при ρ → 1 − 0, и так как fρ ∈ H 1 (Bn ), то p,q A

(ω)

ˆ(f ) = lim ˆ(fρ ) = lim ˆ(fρ2 ) ρ→1−0

ρ→1−0

 +∞ Z X f (ρζ)€ (k + n) k ¯ ˆ (ρhz, ζi) dσ(ζ) = lim ρ→1−0 € (n)€ (k + 1) k=0

Z = lim

ρ→1−0 Sn

f (ρζ)

+∞ X k=0

Sn

€ (k + n) ˆ((hρζ, z¯i)k ) dσ(ζ) = lim ρ→1−0 € (n)€ (k + 1)

Z f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ).

Sn

При этом согласно (9) имеет место левая оценка в (8). Для установления правой оценки докажем обратное утверждение теоремы. Пусть g — голоморфная в Bn 0 0 функция такая, что Dα+1 g ∈ Ap ,q (ωα ). Докажем, что по формуле (7) порождается линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), при этом справедливы оценки (8). Пусть f ∈ Ap,q (ω), 0 < ρ < 1. Тогда по лемме 10 Z Z Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) ≤ c3 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) f (ρz) Bn

Sn

Sn

Z1 × 0

(1 − t)α dtdσ(z) dν(ζ) . α+n+1 ¯ z , ζi) (1 − tρh¯

0

Применяя теперь лемму 8 , получим Z Z Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) ≤ c4 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) f (ρz) dσ(z) dν(ζ) ¯ n (1 − ρh¯ z , ζi) Sn

Bn

Sn

α+1 e (1 − t) P (t, ρ) dtdσ(z) 2 α α+1 + (1 − |ζ| ) D g(ζ) f (ρz) dν(ζ) α+n+1 ¯ z , ζi) (1 − tρh¯ 0 Bn Sn  Z Z 2 2 α α+1 ¯ ≤ c5  (1 − |ζ| ) D g(ζ)f (ρ ζ) dν(ζ) + (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) Bn Bn  Z1 Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) × dσ(z) dtdν(ζ)  = c5 (I1 + I2 ), ¯ n (1 − tρh¯ z , ζi) Z

Z

0 Sn

Z1

1224

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян

где γ(t, ρhζ, zi) =

(1 − t)α+1 Pe(t, ρ) (1 − t)α+1 Pe(t, ρ) . = ¯ α+1 (1 − tρhζ, zi)α+1 (1 − tρh¯ z , ζi)

Очевидно, что |γ(t, ρhζ, zi)| ≤ c(n, α). Следовательно, Z1 |I1 | ≤ c6

α

(1 − r) 0

Z1

Z |D

α+1

 10 Z  p1 p 2 p |f (ρ rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr g(rζ)| dσ(ζ) p0

Sn

Sn

 p1 Z  10 Z 1 p 1 q0 2 p α+1 p0 q |f (ρ rζ)| dσ(ζ) |D g(rζ)| dσ(ζ) ωα (1 − r)ω (1 − r)

= c6 0

Sn

Sn

×r

2n−1

dr ≤ c7 kD

α+1

gkAp0 ,q0 (ωα ) kf kAp,q (ω) ,

здесь мы дважды воспользовались неравенством Г¨ельдера с p0 = Для оценки I2 поступим следующим образом: Z1 Z

(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ)

I2 = 0 Bn

Z

p p−1

и q0 =

q q−1 .

f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) dν(ζ) dt. ¯ n (1 − tρh¯ z , ζi)

Sn

Положим

Z ψt,ρ (ζ) =

f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z). ¯ n z , ζi) (1 − tρh¯

Sn

По теореме М. Рисса (см. [10])  Z Z |f (ρζ 0 )|p |γ(t, ρhz, ζ 0 i)|p dσ(ζ 0 ) |ψ(ρζ 0 )|p dσ(ζ 0 ) ≤ c(p) Sn

Sn

Z ≤ c(p, n)

|f (ρζ 0 )|p dσ(ζ 0 ),

Sn

где ζ 0 = ρζ , |ζ 0 | = 1. Поэтому, применяя неравенство Г¨ельдера, будем иметь Z1 Z |I2 | ≤ c8

(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ)|ψt,ρ (ζ)| dν(ζ)r2n−1 dt

0 Bn

Z1 ≤ c9

α

(1 − r) 0

Z1 = c9

Z |D

α+1

 10 Z  p1 p 2 p g(rζ)| dσ(ζ) |ψ(rρ ζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr p0

Sn

Sn

Z  10 Z  p1 p α+1 p0 2 p |f (rρ ζ)| dσ(ζ) ωα (1 − r)ω (1 − r) |D g(rζ)| dσ(ζ) 1 q0

1 q

0

Sn

Sn

×r

2n−1

dr ≤ c10 kD

α+1

gkAp0 ,q0 (ωα ) kf kAp,q (ω) .

Таким образом, Z f (ρz)g(ρz) dσ(z) ≤ c11 kDα+1 gk p0 ,q0 A (ωα ) kf kAp,q (ω) . Sn

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов

1225

Отсюда легко видеть, что существует предел Z ˆ(f ) = lim f (ρz)g(ρz) dσ(z), ρ→1−0 Sn

при этом |ˆ(f )| ≤ c11 kf kAp,q (ω) kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) , т. е. ˆ — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω) и kˆk ≤ c2 kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) . В то же время нетрудно заметить, что ˆ(ez ) = g(z), z ∈ Bn . Отсюда и из первой части теоремы следует, что имеют место все оценки в (8).  Теорема 5. Пусть 0 < p, q ≤ 1, ω ∈ Š. Тогда если ˆ — линейный непрерывим ный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = ˆ(ez ), z ∈ Bn , то g ∈ λp,q ω и ˆ представ´ в виде Z ˆ(f ) = lim

ρ→1−0 Sn

f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ),

(10)

при этом справедливы оценки c1 kˆk ≤ kgkλp,q ≤ c2 kˆk. ω

(11)

Обратно, любая функция g ∈ λp,q ω по формуле (10) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), для которого справедливы оценки (11). Доказательство. Предположим, что ˆ — линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = ˆ(ez ), z ∈ Bn . Тогда с учетом леммы 4 ˆ будет непрерывен в пространстве A1,1 (ω ∗ ), где 1

1

1

ω ∗ (1 − |z|) = ω q (1 − |z|)(1 − |z|2 ) q −1+n( p −1) , с нормой Z

ω ∗ (1 − |z|)|f (z)| dν(z) ≤ ckf kAp,q (ω) .

kf kA1,1 (ω∗ ) = Bn

Продолжим ˆ с A (ω ) на вс¨е L1 (ω ∗ ) = L1,1 (ω ∗ ) с сохранением нормы. По теореме Ф. Рисса (см. [14]) существует функция ψ ∈ L∞ (Bn ) такая, что Z ˆ(f ) = ω ∗ (1 − |z|)f (z)ψ(z) dν(z), 1,1

∗

Bn

причем kˆk = kψkL∞ (Bn ) . Тогда, используя лемму 7, будем иметь   Z1 c φ(u) du 3  Dα+1 g(z) = ˆ + ¯ α+n+1 (1 − uhz, ζi)α+n+1 (1 − hz, ζi) 0

Z = c3

ω ∗ (1 − |ζ|)ψ(ζ) dν(ζ) + ¯ α+n+1 (1 − ρhz, ζi)

Z Z1

Bn 0

Bn

ω ∗ (1 − |ζ|)φ(u)ψ(ζ) dν(ζ) du . ¯ α+n+1 (1 − uρhz, ζi)

Оценим Dα+1 g по модулю и, учитывая, что 1

1

1

ω ∗ (1 − |ζ|) = ω q (1 − |ζ|)(1 − |ζ|2 ) q −1+n( p −1) ,

1226

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян

получим 

1

1

1

ω q (1 − |ζ|)(1 − |ζ|2 ) q −1+n( p −1) dν(ζ) ¯ α+n+1 |1 − ρhz, ζi|

Z

|Dα+1 g(z)| ≤ c4 kψkL∞ (Bn ) 

Bn

 1 1 ω (1 − |ζ|)(1 − |ζ|2 ) q −1+n( p −1) |φ(u)| dudν(ζ)  + ¯ α+n+1 |1 − uρhz, ζi| Bn 0  1 1 1 1 Z ω q (1 − r)(1 − r) q −1+n( p −1) 2n−1 r dr ≤ c5 kψkL∞ (Bn )  (1 − rρ)α+1 Z

Z1

1 q

0

Z1 Z1 + 0

 1 1 1 ω q (1 − r)(1 − r) q −1+n( p −1) |φ(u)| dur2n−1 dr  . (1 − ruρ)α+1

0


Так как α > αωq+1 + n p1 − 1 − 1, то, оценив первый интеграл и применив затем (6), получим  1 ω q (1 − ρ) α+1  ∞ |D g(z)| ≤ c6 kψkL (Bn ) 1 1 (1 − ρ)α− q +1−n( p −1)  Z1 Z1 1 1 1 |φ(u)| du . + ω q (1 − r)(1 − r) q −1+n( p −1) (1 − ruρ)α+1 0

0

Поскольку 1 Z c7 φ(u) du (1 − ruρ)α+1 ≤ (1 − rρ)α ,

α > 0,

0

в итоге приходим к неравенствам  |Dα+1 g(z)| ≤ c8 kψkL∞ (Bn )  Z1 +

1

ω q (1 − ρ) 1

1

(1 − ρ)α− q +1−n( p −1) 1 1 q −1+n( p −1)

1 q

ω (1 − r)(1 − r) (1 − rρ)α

r

2n−1

 dr 

0 1

 ≤ c9 kψkL∞ (Bn )

1

ω q (1 − ρ) 1

1

(1 − ρ)α− q +1−n( p −1)

+



ω q (1 − ρ) 1

1

(1 − ρ)α− q −n( p −1) 1

≤ c10

kψkL∞ (Bn ) ω q (1 − ρ) 1

Окончательно 1

sup z∈Bn

1

(1 − |z|)α− q +1−n( p −1) 1

ω q (1 − ρ)

|Dα+1 g(z)| ≤ c2 kψkL∞ (Bn ) = c2 kˆk.

p,q Следовательно, g ∈ λp,q ω , причем kgkλω ≤ c2 kˆk.

1

(1 − ρ)α− q +1−n( p −1)

.

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов

1227

Докажем обратное утверждение. Используя леммы 10, 11 и рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 5, получим Z Z Z1 α (1 − t) dtdσ(z) dν(ζ) . |ˆ(f )| ≤ c11 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) f (ρz) ¯ α+n+1 (1 − tρh¯ z , ζi) Bn

0

Sn

По лемме 80 Z Z f (ρz) dσ(z) |ˆ(f )| ≤ c12 (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) dν(ζ) ¯ n z , ζi) (1 − ρh¯ Bn

Sn

α+1 e (1 − t) P (t, ρ) dtdσ(z) 2 α α+1 g(ζ) f (ρz) dν(ζ) + (1 − |ζ| ) D α+n+1 ¯ (1 − tρh¯ z , ζi) 0 Sn Bn  Z Z 2 α 2 α+1 ≤ c13  (1 − |ζ| ) D g(ζ)f (ρ ζ) dν(ζ) + (1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ) Bn Bn  Z1 Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi)  = c13 (|I1 | + |I2 |), × dσ(z) dtdν(ζ) (1 − tρhζ, zi)n Z1

Z

Z

0 Sn

e(t,ρ) (1−t)α+1 P (1−tρhζ,zi)α+1 ,

где γ(t, ρhζ, zi) = и 3, получим Z1 |I1 | ≤ c14

причем |γ(t, ρhζ, zi)| ≤ c(n). Применяя леммы 2

 p1 Z 1 |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr (1 − r)α−n( p −1) sup |Dα+1 g(rζ)| ζ∈Sn

0

Sn 1 1 2 α−n( p −1)− q +1

≤ c15 sup ζ∈Bn

(1 − |ζ| )

1

ω q (1 − r)

|Dα+1 g(ζ)|

 q1  1 Z  pq Z ×  ω(1 − r) |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ c16 kgkλp,q kf kAp,q (ω) . ω 0

Sn

Рассмотрим Z1 Z

2 α

(1 − |ζ| )

I2 = 0 Bn

Dα+1 g(ζ)

Z

f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) dν(ζ) dt. (1 − tρhζ, zi)n

Sn

Так как f · γ — голоморфная функция, то Z f (ρz)γ(t, ρhζ, zi) dσ(z) = f (ρ2 tζ)γ(t, ρhζ, ζi). (1 − tρhζ, zi)n Sn

Тогда Z1 Z I2 = 0 Bn

(1 − |ζ|2 )α Dα+1 g(ζ)f (tρ2 ζ)γ(t, ρhζ, ζi) dν(ζ) dt.

1228

О. Е. Антоненкова, Ф. А. Шамоян

Оценим I2 по модулю: Z1 Z |I2 | ≤ c17

(1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||f (tρ2 ζ)||γ(t, ρhζ, ζi)| dν(ζ) dt

0 Bn

Z

(1 − |ζ|2 )α |Dα+1 g(ζ)||f (tρ2 ζ)| dν(ζ).

≤ c18 Bn

Применим лемму 2: Z1 |I2 | ≤ c19

1 −1)n α−( p

(1 − r)

sup |D

α+1

ζ∈Sn

0

 p1 Z p |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr. g(ζ)| Sn

Далее, применяя лемму 3, будем иметь 1

1

|I2 | ≤ c20 sup

(1 − |ζ|)α−n( p −1)− q +1 1

ω q (1 − |ζ|)

ζ∈Bn

|Dα+1 g(ζ)|

 1  q1  pq Z Z |f (rζ)|p dσ(ζ) r2n−1 dr = c21 kgkλp,q ×  ω(1 − r) kf kAp,q (ω) . ω 0

Sn

Окончательно получаем |ˆ(f )| ≤ c22 kgkλp,q kf kAp,q (ω) . ω



Положим I = (0, 1], J = (1, +∞). Пусть пространство ƒp,q ω , где p, q ∈ I ∪ J, p,q ˜ ˜ , если p ∈ J, q ∈ I, с пространством λ ˜ p,q , если совпадает с пространством λ ω ω p,q = p ∈ I, q ∈ J, и с пространством λω , если p, q ∈ I. Если же p, q ∈ J, то kgkƒp,q ω kDα+1 gkAp0 ,q0 (ωα ) . Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 6. Пусть ω ∈ Š, p, q ∈ I ∪ J. Тогда если ˆ — линейный непрерывим ный функционал на Ap,q (ω) и g(z) = ˆ(ez ), z ∈ Bn , то g ∈ ƒp,q ω и ˆ представ´ в виде Z ˆ(f ) = lim

ρ→1−0 Sn

f (ρζ)g(ρζ) dσ(ζ),

(12)

при этом существуют положительные константы c1 , c2 > 0 такие, что c1 kgkƒp,q ≤ kˆk ≤ c2 kgkƒp,q . ω ω

(13)

Обратно, любая функция g ∈ ƒp,q ω по формуле (12) порождает линейный непрерывный функционал на Ap,q (ω), для которого справедливы оценки (13). Доказательство. Очевидно, что, когда p, q ∈ J и p, q ∈ I, утверждение теоремы совпадает соответственно с теоремами 4 и 5. Поэтому остается доказать утверждение теоремы лишь в тех случаях, когда либо p ∈ I, q ∈ J, либо p ∈ J, q ∈ I. 1. Докажем теорему сначала при p ∈ J, q ∈ I. В этом случае пространство ˜˜ p,q . Пусть ˆ — линейный непрерывный функp,q ƒω совпадает с пространством λ ω ционал на Ap,q (ω). Тогда по лемме 3 ˆ непрерывен в пространстве Ap,1 (ω ∗ ), где 1 1 ω ∗ (1 − |z|) = ω q (1 − |z|)(1 − |z|) q −1 , с нормой Z1 kf kAp,1 (ω∗ ) = 0

Z  p1 p ω (1 − r) |f (rζ)| dσ(ζ) r2n−1 dr ≤ ckf kAp,q (ω) . ∗

Sn

Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов

1229

Продолжим ˆ на вс¨е Lp,1 (ω ∗ ) с сохранением нормы. По теореме Бенедека — Понцоне (см. [13]) существует функция ψ такая, что Z  10 p 0 |ψ(rζ)|p dσ(ζ) < +∞, sup 0