А. И. Л У Р Ь Е
ПРОСТРАНСТВЕНН Ы Е ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУ...
77 downloads
429 Views
7MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
А. И. Л У Р Ь Е
ПРОСТРАНСТВЕНН Ы Е ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ М О С К В А
1955
12-5-4
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава § § § § § § § § § § § § §
1. Основные уравнения математической теории упругости 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Тензор напряжения. Уравнения статики сплошной среды . . Деформация сплошной среды Некоторые операции над тензорами Определение перемещения по тензору деформации Функции напряжений Ортогональные криволинейные координаты Основные соотношения механики сплошной среды в криволинейных координатах 8. Связь между тензорами напряжения и деформации в изотропном упругом теле (обобщённый закон Гуна) 9. Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях . . . . . 10. Решение уравнений равновесия теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Папковича — Нейбера 11. Дифференциальные уравнения теории упругости в напряжениях 12. Связь общих решений с тензором функций напряжений . . . 13. Объёмные силы, имеющие потенциал. Тепловые напряжения
Примечания и литературные указания к главе 1 Г л а в а 2. Неограниченная упругая среда и упругое полупространство § § § § §
§
1. Действие сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде 2. Решения уравнений теории упругости, соответствующие особым точкам 3. Действие системы сил, распределённых в малом объёме . . . 4. Действие распределённых особенностей 5. Действие сосредоточенной силы и распределённой нагрузки, нормальных к граничной плоскости упругого полупространства 6. Непрерывное распределение нагрузки
7 9 9 15 17 22 26 29 39 43 46 49 55 58 63 68 71 71 76 81 86
89 99
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ §
7. Неравномерное нагружение по эллиптической площадке . . . 8. Напряжённое состояние в упругом полупространстве при заданных на границе внешних силах § 9. Сосредоточенная сила в упругом полупространстве § 10. Задачи о равновесии упругого конуса
121 134 139
Примечания и литературные указания к главе 2
143
Глава § § § § § § §
3. Равновесие упругого слоя 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Постановка задачи. Растяжение и изгиб слоя Символический способ составления решений Введение функций напряжений Определение функций напряжений Сжатие упругого слоя Изгиб упругого слоя Действие объёмных сил. Тепловые напряжения в слое
146
. . .
Примечания и литературные указания к главе 3 Глава
4. Равновесие толстой плиты
§ 1. Однородные решения § 2. Неоднородные решения § 3. Равновесие круглой толстой плиты § 4. Тепловые напряжения в плите Примечания и литературные указания к главе 4 Глава § § § § § § § § § § §
5. Пространственные контактные задачи 1. Постановка задачи о действии жёсткого штампа на упругое полупространство 2. Метод решения задачи о жёстком штампе 3. Специальный случай эллиптических координат. Разыскание гармонических функций t
nz = ^x
*угпу +
G n
z z>
где пх, пу, пг обозначают косинусы углов, составляемых вектором п с осями координат. Можно записать (1.8) также в виде
tn = п • Т = txnx-\- tyny-\-tjtz.
(1.9)
Внешние силы, действующие на рассматриваемый объём сплошной среды, подразделяются на объёмные и поверхностные. Объёмную силу, действующую на единицу объёма, будем обозначать /f. Так, в случае силы веса АГ=—~{к, где k — единичный вектор восходящей вертикали, т—весовая Рис. 2. плотность. В системе подвижных осей тело, скоростями частиц которого по отношению к этой системе осей можно пренебречь, можно рассматривать как находящееся в равновесии под Y
действием объёмной силы инерции переносного движения К= -1*>е> где вектор ускорения we определяется по известной формуле кинематики (w0 — ускорение начала подвижных осей, R — вектор-радиус частицы по отношению к этому началу, е и ю-—векторы углового ускорения и угловой скорости тела). В частности, при вращении вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью объёмная сила равна (l.ll) о
где h — расстояние до оси вращения, е — единичный вектор, направленный от оси вращения по радиусу окружности, описываемой рассматриваемой точкой. Внешняя поверхностная сила, отнесённая к единице площади поверхности рассматриваемого объёма сплошной среды, обозначается Fn; на площадку do будет действовать сила Fndo, причём индекс п указывает, что направленный во вне среды единичный вектор нормали к площадке обозначен через /». Так, при действии по поверхности
12
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ.
1
тела равномерного распределённого нормального давления интенсивности р имеем Fn = —рп. На тело, погруженное в жидкость, будет действовать поверхностная сила Fn =—fozn, г д е z — глубина погружения площадки, "Го — вес единицы объёма жидкости. Рассматривая равновесие элементарного тетраэдра, примыкающего к поверхности тела, и совмещая четвёртую грань (см. выше) этого тетраэдра с элементом поверхности do, будем иметь уравнение статики на поверхности тела: или
tn = Fn
п- Т = / v
(1.12)
Необходимые условия равновесия произвольного объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, получим, приравняв нулю главный вектор и главный момент относительно произвольной точки внешних объёмных и поверхностных сил
r r rr
s г г
JJ J RXKdx+ J J *X/="„*> = 0. v s По (1.12) эти соотношения можно записать также в виде
/г г
(1Л4)
" гг
J J J R X Kd%+ j J R X (« • T) do = 0. V
s
j
Напомним, что в случае вектора а по формуле Остроградского — Гаусса имеем:
+ -з—) dx =
divcdT. F
Аналогично этому по (1.9) можно написать:
+£+£)*= J/W*. где через div T (дивергенция тензора Т) назван вектор
*т =£+£+£•
см».
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЯ.
УРАВНВНИЯ
СТАТИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Проекции этого вектора на оси декартовой системы по (1.3) должны быть определены соотношениями Эх,
(1.16)
Первое соотношение (1.14) принимает вид
откуда вследствие произвольности объёма V следует уравнение равновесия сплошной среды divT-f-AT=O.
(1.17)
Проектируя на оси декартовой системы, получаем три уравнения:
ду (1.18)
дх дх
Обращаясь ко второму соотношению (1.14), заметим, что по (1.9) и (1.15)
\ | RX(n-J)do=
=
ЛJ
f f [nx(R X tj + n
JJ J
Последнее равенство написано на основании того, что из выражения вектор-радиуса следует, что единичные векторы /, j , k координатных осей равны частным производным вектор-радиуса по соответствующим координатам.
14
основные УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 1 Теперь получаем:
ff
/ J J l(*X *^+ U X Первый интеграл обращается в нуль по уравнению равновесия (1.17); из произвольности рассматриваемого объёма следует, что подинтегральное выражение во втором интеграле обращается в нуль. Это выражение, если воспользоваться (1.3), приводится к виду
' ( V — Т * ) + Л х « — T «) + *CW —V.) = 0.
(1-20)
Условие обращения в нуль главного момента внешних сил, таким образом, привело к теореме взаимности касательных напряжений
Симметрично расположенные относительно главной диагонали элементы таблицы (1.1) равны попарно. Это свойство выражает симметричность тензора напряжений Т. Число компонентов тензора понижается до шести; эти шесть величин — три нормальных ах, av, о г и три касательных напряжения ъху, iyx, хгх — связаны тремя уравнениями равновесия в объеме (1.18) и должны удовлетворять трём уравнениям равновесия на поверхности
(1.22)
Заметим, что выражение tn можно записать теперь также в виде произведения справа тензора Т на вектор я : *„ = Т - я .
(1.23)
Любое состояние среды, удовлетворяющее уравнениям равновесия в объёме и на поверхности, называется статически возможным. Напряжённое состояние, которое фактически реализуется в теле при заданных объёмных и поверхностных силах или при заданных объёмных силах и геометрических условиях на поверхности тела, принад8 лежит к числу оо статически возможных состояний. Для разыскания
§ 2]
ДЕФОРМАЦИЯ
СПЛОШНОЙ
СРЕДЫ
15
этого истинного напряжённого состояния уравнений статики, являющихся необходимыми условиями равновесия, недостаточно. Должны быть сформулированы физические законы, определяющие поведение среды под действием сил.
§ 2. Деформация сплошной среды Состояние среды, в котором внутренние напряжения отсутствуют, назовём натуральным. Под действием внешнего нагружения или по другим причинам (например, вследствие изменения температуры) частицы среды, находившейся в натуральном состоянии, перемещаются из положения, которое они занимали в этом состоянии. Вектор перемещения частицы обозначим через и, а через и, v, w — его проекции на оси х, у, z декартовой системы; и, v, w в дальнейшем называются просто перемещениями. Они являются непрерывными функциями х, у, z, имеющими внутри объёма тела частные производные по координатам по крайней мере до второго порядка включительно. В дальнейшем считаем, что как сами перемещения, так и их производные являются малыми величинами, и произведениями их будем пренебрегать. Рассмотрим поле вектора и. При смещении в этом поле из положения, определяемого вектор-радиусом R, в положение R-\-dR вектор и приобретает приращение du; проекции вектора du на оси координат х, у, z равны полным дифференциалам его проекций ди
j . , ди
, . , ди
dv_
dv
dv_
dw
dw
dw 1z~
дх
,
(2.1)
Из этих выражений и равенств (1.5) следует, что вектор du может быть представлен как произведение справа тензора, называемого тензором, производным вектора и по вектору R, на вектор dR. Таблица составляющих этого тензора имеет вид
ди
ди
ди
dx dv dx
dy dv dy
dz dv ~dz
dw ~dx
dw ~dy
dw ~dz
(2-2)
а сам тензор обозначается -т^ ; итак,
(2.3)
16
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
da Тензор, транспонированный тензору -ц?,
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ГЛ.
1
называется градиентом век-
тора и; он имеет таблицу составляющих du dv dw ' dx дх дх ди dv dw dy dy dy du dv dw dz dz dz
(2-4)
и обозначается grad и. По (1,7) имеем: du = dR • grad и.
(2.5)
Симметричный тензор Е = def и = -х (^^- — — f grad и)
(2.6)
называется деформацией. Для компонентов этого тензора принимаются обозначения 1 £ ж
.
г
ху
—
2
z
zx
причём величины
(2.6')
г
уг
-ух~
е
*.
2
du Ш'
dv e
y~dy'
dw *~~~дг
(2.7)
г
называются относительными удлинениями, а величины ди • dv dv , dw
dw , du
— сдвигами. При принятом пренебрежении квадратами и произведениями производных перемещений по координатам гх, &у, аг равны относительным удлинениям отрезков, параллельных координатным осям, а ~{ху< ~iyz> 7га>—изменениям первоначально прямых углов между координатными осями, указываемыми в обозначении сдвигов. du Антисимметричная часть тензора -т=
(2.9) имеет таблицу составляющих: О «о.
—с О
(2.10)
НЕКОТОРЫЕ
§ 3] где обозначено 1 /dw
ОПЕРАЦИИ
1 /ди
dv\
)
Ш
НАД ТЕНЗОРАМИ
I (dv
dw\
=
)
ш
17
ди\
°= Т\Ш-д?)-
.„ t
( 2 Л
Величины шх, о>у, шг можно рассматривать как проекции вектора », равного половине вихря перемещения: х
г
Р ух
р
ху
г
Р
Р
г
уу
xz
(3.2)
'уг
Р Р Р гу *гг может быть представлен в гх виде суммы трёх диад г
г
(3.2')
P = lPa,+JPy + bPt,
причем вторые векторы диад связаны с компонентами тензора соотношениями
J
(3.3)
Из сказанного следует также, что тензор Р представляется суммой девяти диад
(3.4) В этом представлении компоненты тензора являются коэффициентами соответствующих диад. Рассмотрим тензор Р*, диадное представление которого имеет вид (3.5) где векторы Рх,
Ру, Pz определены по (3.3). Получаем:
(3.6) Вводя в рассмотрение векторы Рх = 1РХХ -\~jPyx
можем написать:
р * = 1Р*Х +jP*y 4 - kPl
Тензор Р* является транспонированным тензору Р.
(3.8)
§ 3]
НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ
19
Определим операции умножения диады на вектор с. Это, во-первых, умножение справа abc = a(bc), (3.9) во-вторых, умножение слева cab = (ca)b, (3.10) в результате которых приходим к вектору. Могут быть определены далее операции векторного умножения диады справа и слева на вектор с Ь (3.11) (3.12) в результате которых получаем снова диады, одним из множителей которых является векторное произведение. Обобщение на случай произвольного тензора приводит к уже известным операциям умножения слева тензора на вектор с :
а • Р = (а • I)Рх + (а • j)Р„ + (а • k)Pt = aj>x + ауРу + aj>z, (3.13) и умножения справа Р • а = 1(РХ • a)+j(Py
• a) + ft(/>2 • а)
(3.14)
и векторному умножению слева и справа тензора Р на вектор а, приводящему к новым тензорам: = («J — ayk) Рх + (ajt — а/) Ру + ( V ~ aaJ)P* = = i{ayPz — aJ>y)+j(azPx-aJ>z) + k{axPv-ayPx), (3.15) Р X а = ЦРш X a)+j{Py
Xa) + k{PzX «)•
(3.16)
По (3.3) находим таблицу компонентов тензора а X Р
Легко проверяются также соотношения />.a = a-P*,
P'Xe=-(«XP)'.
(3-18)
Применим их и (3.13) к преобразованию выражения вектора а Х ( Р • * ) :
а X (Р • Ь) = а X Ф • Р*) = а X ( * ^ + » Л + V U = = * ж (а X ^ ) + *„(а X Р\) + Ъи{а X ^ ) =
20
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 1
и окончательно а X (Р • Ь) = (а X Р) • Ъ-
(3.19)
Введём теперь в рассмотрение набла-оператор, рассматриваемый как символический вектор (3.20)
ду
дх
По (3.13) получим определённый выше вектор-дивергенцию тензора Р : = -а
Ь-5-^-4" " a " = div P . '
дх
ду
'
(3.21)
дг
Диадное произведение Va представляет тензор grada — градиент вектора а. Рассматривая V X P по (3.15), придём к рассмотрению тензора
называемого ротором тензора Р . Таблица компонентов этого тензора имеет аналогично (3.17) вид Ргу
дРуу
дРгг
дРи
ду
дг
Ъу
дг
~ ^ду
дг
дг
дх
дх
дх
ду
дг дР уу дх
=
дРву ду
дг
дх~
(3.23)
Ру*
ду
К понятию ротора естественно приходим, составляя условия, что бесконечно малый вектор dR • Р является полным дифференциалом некоторого вектора; по (3.13) имеем: (3.24)
dR • P =
откуда следует, что эти условия сводятся к требованию обращения в нуль трёх векторов дР.
ду
дг '
дг
дх '
дР,у дх
ду
(3.25)
т. е. к обращению в нуль тензора rot P . Из (1.15) следует, что для любого тензора Р d i v r o t P = 0. Из таблицы (3.23) легко видеть, тензора Р равен нулю:
(3.26)
что след ротора симметричного ^ O .
(3.27)
§ 3]
НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ
21
Тензор, задаваемый таблицей компонентов f ! {О
0
0 01 1 0 ,
0
(3.28)
1)
называется единичным и обозначается U ; его диадное представление имеет вид
U = «+#+**•
(3.29)
Тензор, равный U ^ ( P ) , называется шаровой частью тензора Р; тензор, остающийся после вычитания из тензора Р его шаровой части, называется девиатором Dev P этого тензора: .
(3.30)
Очевидно, что 7 1 (DevP) = 0.
(3.31)
Ниже будет использовано выражение ротора тензора Р Х Л . R вектор-радиус; по (3.16) и (3.22) имеем: rot (Р X Л) = (V X t) (Ря х /?) + (V X Л (PVXR)
где
+ (V X k) (PZXR)
=
№-£М5-£)]**+ —PvX Первое слагаемое (3.3), (3.7)
k)-\-j{PxX по (3.22)
= кРгх
k — Рг X t) + k(P, X 1—
представляет
(rotP)X^?;
далее
по
-
гх
-jPzz
= Pl — ЗУЛ (Р),
и по (3.8) и (3.29) получаем:
i(PzXj—Pv
X k)+j(Px
X k — Pz X i) + k(Py X i—PxXj) = P* — ЗиЛ(Р)-
= (3.32)
Подстановка приводит к соотношению rot ( Р Х Й ) = (rot P) X Л + Р* — ЗиЛ (Р).
(3.33)
22
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ.
1
§ 4. Определение перемещения по тензору дефориации Имея в виду симметрию тензора деформации Е и соотношение (2.13), перепишем (2.14) в форме du = dR-(E — Q), (4.1) и, поскольку правая часть этого выражения представляет полный дифференциал, должно иметь место соотношение rot(E — Q) = 0. (4.2) Пользуясь таблицами (3.23) и (2.10), составляем таблицу компонентов тензора rotQ. Тогда, имея в виду, что (4.3) придём к таблице дх
ду
дх
ду
~дх ~~ду~
дг (4.4)
дг dtot
~Ъ~г~
откуда по (2.2) и (4.2) следует, что -^-.
(4.5)
Это соотношение служит для выражения девяти производных проекций вектора