Основы оптики. Учебное пособие

§ 1. Интерференция и дифракция света. 1.1. Некоторые основные отношения. Оптическая длина пути – L = l ⋅ n , где l – расстояние, проходимое лучом в среде с показателем преломления n. Разность хода двух лучей ∆ = L2 − L1 . Порядок интерференции ∆ p= .

λ

Разность фаз колебаний в интерферирующих лучах 2π∆ δ = ϕ1 − ϕ 2 = = 2πρ .

λ

Ширина интерференционной полосы (при наложении двух плоских волн, образующих между собой небольшой угол ω ): b=

λ . ω

Суммарная интенсивность двух интерферирующих лучей (одинаково направленные колебания одного периода): I = I1 + I 2 + 2 I1 ⋅ I 2 ⋅ cos δ ; При I1 = I 2 и I1 + I 2 = I 0 : ⎡ ⎛ 2π∆ ⎞⎤ I = I 0 ⋅ ⎢1 + cos⎜ ⎟⎥ . λ ⎝ ⎠⎦ ⎣ Разность хода лучей в плоскопараллельной пластинке – в отраженном свете: ∆ = 2tn cos β + – в проходящем свете:

λ

2

= 2t n 2 − sin 2 α +

λ

2

;

∆ = 2tn cos β , где t – толщина пластинки, n – показатель преломления среды пластинки, α и β – соответственно углы падения и преломления. Разность хода лучей в клиновидной пластинке с малым углом клина θ ∆ = 2 xnθ , где x – расстояние от вершины клина до точки, в которой определяется разность хода. Ширина интерференционных полос в этом случае b=

λ λ = . ω 2 nθ

1.2. Однослойное просветление оптической поверхности. Коэффициент отражения стеклянной оптической поверхности с нанесенной на нее прозрачной пленкой R + R23 + 2 R12 ⋅ R23 cos δ R = 12 , 1 + R12 ⋅ R23 + 2 R12 ⋅ R23 cos δ 4π ⋅ t ПЛ ⋅ n ПЛ – разность фаз между лучами, отраженными от где δ =

λ

пленки с толщиной tПЛ и показателем преломления nПЛ ; R12 и R23 – соответственно коэффициенты отражения от верхней и нижней границ пленки. При нормальном падении света на поверхность 2

2

⎛ n −1⎞ ⎛ n − n ПЛ ⎞ ⎟⎟ , R23 = ⎜⎜ СТ ⎟⎟ , R12 = ⎜⎜ ПЛ + n 1 n n + ⎝ ПЛ ⎠ ПЛ ⎠ ⎝ СТ где nСТ – показатель преломления стекла. kπ (k=1,3,5,….) и nПЛ < nСТ коэффициент отражения минимален: При δ = 2 2 2 ⎛ nСТ − n ПЛ ⎞ ⎟ . Rmin = ⎜⎜ 2 ⎟ + n n ПЛ ⎠ ⎝ СТ Rmin = 0 при n ПЛ = nСТ . Условие образования широкого минимума отражения с серединой при длине волны λ : ∆ = 2t ПЛ ⋅ n ПЛ =

λ

2

,

при соответствующей толщине пленки – t ПЛ =

λ 4n ПЛ

1.3. Кольца Ньютона. Радиусы светлых колец в отраженном свете rK =

(2k − 1) ⋅ ρ ⋅ λ

2n

Радиусы темных колец в отраженном свете rK' = k ⋅ ρ ⋅

λ 2n

,

;

.

где k – номер кольца, ρ – радиус сферической поверхности, контактирующей с плоской поверхностью, n – показатель преломления среды между контактирующими поверхностями. В проходящем свете – картина светлых и темных полос, обратная случаю отраженного света. 1.4. Контрастность интерференционной картины. Контрастность двухлучевой интерференционной картины в случае частично когерентного света. I − I min K ' = max < 1. I max + I min Контрастность K ' зависит: – от степени монохроматичности света, определяющейся соотношением ∆λ :

λ

'

K = где p ∆' λ = p

∆λ

λ

K ∆' λ

sin(π ⋅ p∆' λ ) = , π ⋅ p∆' λ

приращение порядка интерференции для длин волн,

входящих в интервал ∆λ , p = ∆ ;

λ

– от углового размера источника света 2ε (расходимость пучка лучей): sin(π ⋅ pε' ) ' ' K = Kε = , π ⋅ pε' '

pε = p

ε2

– приращение порядка интерференции для лучей, 2 проходящих через интерферометр под углом ε к осевому лучу. Если интерференционная картина регистрируется с помощью фотоприемника с установленным перед ним отверстием шириной a , выделяющим долю интерференционной полосы a , то b ' sin(π ⋅ p a ) , K ' = K a' = π ⋅ p a' где p a' = a . b где

В интерферометре обычно действуют одновременно все три фактора. Результирующая контрастность в этом случае: K ∑' ≈ K ∆' λ ⋅ K ε' ⋅ K a' . По энергетическим соображениям при расчетах выбирается:

K ∆' λ = K ε' = K a' = k ' и k ' = 3 K Σ'

.

Соответственно p ∆' λ = pε' = p a' . 1.5. Многолучевая интерференция в плоскопараллельной пластинке. Распределение интенсивности в интерференционной картине для монохроматического излучения с длиной волны λ – τ 2 ⋅ τ СР I = I0 ⋅ , ∆ π ⎛ ⎞ 2 (1 − R ⋅ TСР ) + 4 RT ⋅ sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠ где I0 – интенсивность падающего света; R, T и Tср – соответственно коэффициенты отражения и пропускания зеркальных покрытий и среды между ними; ∆ = 2tn cos ϕ – разность хода между соседними лучами, где t и n – толщина и показатель преломления среды пластинки, ϕ – угол интерференции. Для воздушной пластинки (n=1, Tср = 1 ) интенсивности в максимуме и минимуме интерференционной картины соответственно равны – I0 ⋅T 2 I ⋅T 2 I = I max = 0 , . min 2 2 (1 − R ) (1 + R ) Так как 1 − R = T + A , где A – коэффициент поглощения зеркального слоя I0 ⋅T 2 I0 = . I max = (1 + A)2 ⎛ A ⎞ 2 ⎜1 + ⎟ ⎝ T⎠ Контраст многолучевой интерференционной картины I max (1 + R )2 = . K= I min (1 − R )2 Эффективное число интерферирующих лучей π R π 1+ R . ≈ ⋅ N эф = (1 − R ) 2 1 − R 1.6. Интерферометр Фабри – Перо (ИФП) как спектральная система. Угловая дисперсия dϕ p 1 ⎡ рад ⎤ , нм −1 . Dϕ = =− =− ⎢ ⎥ dλ 2t sin ϕ λ ⋅ tgϕ ⎣ нм ⎦ Разрешающая способность ИФП

[

]

ℜ = p ⋅ N ЭФ = где p =

2t cos ϕ

λ

πt 1 + R ⋅ , λ 1− R

– порядок интерференции.

Свободный от переналожений спектральный интервал длин волн ∆' λ ≈

λ p

=

λ2 2t

где p – порядок интерференции, δλ =

= δλ ⋅ N ЭФ ,

λ ℜ

– разрешаемый ИФП

спектральный интервал длин волн. 1.7. Интерференционный светофильтр. Длина волны светофильтра

центра

полосы

λ max =

пропускания 2tn cos ϕ

ψ p− π

интерференционного

,

где ψ – скачок фазы при отражении света на границе диэлектрик зеркальное покрытие. Ширина полосы пропускания интерференционного фильтра

δλ =

λ max

pN эфф

–

.

1.8. Спектральная дифракционная решетка. Условие образования главного максимума с длиной волны λ в порядке m mλ = d (sinψ + sin ϕ ) , где d – постоянная решетки, ψ и ϕ – соответственно углы падения и дифракции. Знаки углов ψ и ϕ берутся одинаковыми, если они расположены по одну сторону от нормали к решетке, и разными, если расположены по обе стороны к ней. При этом угол ψ принимается положительным, а соотношение синусов углов определяет знак порядка m. Условие переналожения спектров разных порядков mλ1 = (m + 1)λ 2 . Угловая дисперсия –

dϕ m sin ψ + sin ϕ . = = dλ d cos ϕ λ cos ϕ Разрешающая способность ℜ = m ⋅ N = m ⋅ N1 ⋅ L , где N – общее число штрихов на решетке, N1 – число штрихов на 1 мм длины, L – длина нарезанной части решетки. Разрешаемый спектральный интервал – Dϕ =

δλ =

λ

. ℜ Свободный от переналожений интервал длин волн ∆' λ =

λ

(m + 1)

.

Распределение энергии в спектре порядка m профилированной отражательной решетки 2

λ1 max ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎢ sin π ⋅ ⎜ m − λ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎥ , I m (λ ) ≈ ⎢ λ1 max ⎞ ⎥ ⎛ ⎢ ⎢ π⎜m − λ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ где λ1 max = 2d sin i – длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре первого порядка, i – профиль штриха решетки. Линейная дисперсия Dl спектрального прибора с дифракционной решеткой, имеющей угловую дисперсию Dϕ , определяется по формуле: mN1 f ' dl mf ' ' , Dl = = Dϕ ⋅ f = = dλ cos ϕ d cos ϕ где ƒ′ – фокусное расстояние камерного объектива, формирующего в своей задней фокальной плоскости изображение спектра, в котором dl есть расстояние между двумя близкими спектральными линиями, разность длин волн которых равна dλ.

1.9. Дифракционная картина (дифракция Фраунгофера). Дифракция, образованная параллельными лучами, рассматривается в плоскости, оптически сопряженной с плоскостью источника света (объекта), то есть наблюдается в том месте, где свет собирается объективом, формирующим изображение. Такое изображение, даваемое объективом в своей задней фокальной плоскости, есть дифракционная картина, возникающая вследствие ограничения сечения светового пучка входным зрачком объектива. Теоретическая разрешающая способность

безаберрационного объектива с задним фокусным расстоянием ƒ′ и круглым входным зрачком диаметра D, когда проходящий через объектив свет монохроматичен и имеет длину волны λ, определятся по критерию Рэлея: – в угловой мере 1.22 ⋅ λ Ψ= D – в линейной мере 1.22λf ' . δ= D Задачи:

1.1. Разность хода между двумя интерферирующими лучами монохроматического света ∆ = λ . Определить разность фаз δ колебаний. 2 1.2. Монохроматический свет с длиной волны λ=0.479 мкм нормально падает на поверхность тонкого клина. Клин сделан из стекла К8 с показателем преломления для этой длины волны n=1.522. В отраженном свете наблюдается интерференционная картина. Определить угол клина θ , если расстояние между соседними темными полосами равно 0.27 мм. Ответ: θ =2′. 1.3. Определить разность хода интерферирующих лучей, отраженных от двух поверхностей плоскопараллельной пластинки, изготовленной из стекла К8 (n=1.515), если ее толщина t=10 мм, а угол падения излучения на пластинку α =30˚. Ответ: ∆=28.6 мм. 1.4. Пучок света с длиной волны λ=0.63 мкм нормально падает на тонкий стеклянный (n=1,5) клин. В отраженном свете на ее поверхности наблюдаются пять интерференционных полос. Определить максимальную разнотолщинность ∆t клина. Ответ: ∆t = 0.84 мкм. 1.5. В воздушном клине, образованном двумя стеклянными пластинками с углом между ними θ =2′, наблюдаются интерференционные полосы равной толщины. Свет с длиной волны λ=0,546 мкм нормально падает на одну из пластин. Вычислить расстояние b между соседними максимумами. Ответ: b = 0.469 мм.

1.6. Пучок света с длиной волны λ=0.582 мкм нормально падает на тонкий стеклянный (n=1.5) клин. Угол клина θ = 20′′. Определить число темных полос, приходящихся на единицу длины клина. Ответ: 5 полос на 1 см. 1.7. Интерференционная картина от 2–х когерентных точечных источников S1 и S2 рассматривается на экране. Источники расположены симметрично относительно центра интерференционной картины, расстояние между источниками S1 и S2 0.2 мм. Источники излучают свет с длиной волны λ=0.6328 мкм. Расстояние между светлыми соседними интерференционными полосами равно 15 мм. Вычислить расстояние L от источников до экрана. Ответ: L= 4.74 м. 1.8. Определить ширину полосы b интерференционной картины, образованной при сложении 2–х плоских монохроматических волн с λ = 0.5 мкм и распространяющихся под углом ω = 30′. Ответ: b = 5.73×10-2 мм. 1.9. В интерференционной картине, наблюдаемой в опыте Юнга, расстояние между ±1 интерференционными максимумами 2b = 1 мм. Плоскость наблюдения установлена на расстоянии L = 6 м, а длина волны используемого монохроматического излучения λ = 0.6 мкм. Определить расстояние a между источниками. Ответ: а = 7.2 мм. 1.10. В интерференционной схеме Юнга в одном из пучков установлена кювета длиной 3 см с плоскопараллельными прозрачными окнами. При повышении давления воздуха в кювете изменяется показатель преломления. На какое количество полос p должна сместиться интерференционная картина, если показатель преломления изменился на величину ∆n = 0.2×10-4; длина волны используемого излучения λ = 0.6 мкм. Ответ: p = 1 полоса. 1.11. Тонкая пленка помещается в одно из плеч интерференционной установки Юнга, вследствие этого центральная светлая полоса интерференционной картины сместилось в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Пленка установлена перпендикулярно падающему лучу и имеет показатель преломления n = 1.5. Вычислить ее толщину t, если λ = 0.6 мкм. Ответ: t = 6 мкм. 1.12. Определить показатель преломления nпл и минимальную толщину пленки tпл, которую необходимо нанести на поверхность пластинки из

стекла марки ТФ1 (n = 1.6522), чтобы отражающая способность в направлении нормали была равна нулю для света с длиной волны λ = 0.5461 мкм. Ответ: nпл= 1.285, tпл= 106.2 нм. 1.13. Рассчитать кривую зависимости коэффициента отражения R(λ) просветленной поверхности (смотри условия задачи 1.12) от длины волны. Расчет произвести для длины волны: 0.365 мкм; 0.434 мкм; 0.456 мкм и 0.765 мкм. Построить кривую R(λ) = f(λ) и оценить цвет поверхности. 1.14. На пластинку из стекла ТФ1 нанесена просветляющая пленка из криолита с показателем преломления n = 1.35 и оптической толщиной 3λ/4. Минимальный коэффициент отражения находится при λ = 486.1 нм. Рассчитать и построить кривую зависимости коэффициента отражения от длины волны – R(λ)=f(λ). Расчет произвести для λ = 404.7 нм; 486.1 нм; 589.3 нм и 766.5 нм. 1.15. Расстояние между первым и вторым темными кольцами Ньютона в отраженном свете ∆r1 = 1, 5 мм. Определить расстояние между четвертым 2

и пятым темными кольцами ∆r4 . Ответ: ∆r4 = 0.855 мм.

5

5

1.16. Кольца Ньютона наблюдаются в воздушном промежутке между двумя плосковыпуклыми линзами, прижатыми друг к другу выпуклыми поверхностями. Радиусы выпуклых поверхностей линз равны соответственно ρ1 = 1м, ρ2 = 1.5 м. Определить радиус пятого темного кольца в отраженном свете r5, если наблюдение ведется в свете с длиной волны 0.589 мкм. Указание: стрелка t по хорде 2r окружности радиуса ρ – r2 t= . Толщина воздушного промежутка, соответствующая пятому кольцу 2ρ

в отраженном свете: t Σ = t1 + t 2 =

r52

2 ρ1

+

r52

2ρ2

, 2t = 5λ.

Ответ: r5 = 1.328 мм. 1.17. Как измениться вид интерференционной картины колец Ньютона в отраженном свете после заполнения промежутка между плосковыпуклой линзой и стеклянной поверхностью жидкостью. Показатели преломления линзы nл, жидкости nж, стеклянной поверхности nст соотносятся nл 800 нм) [2, c.295 – 297]. Указание. При построении графика воспользуйтесь соотношением между n и k для полос поглощения с Лорентцовским контуром, для которых в окрестности полосы выполняется для аномальной дисперсии соотношение kмакс= nмакс− nмин. Дополнительные сведения: λ0 = 400нм, kмакс = 0.1, λ0 =600нм, kмакс= 0.15 . Экстремумы n макс и n мин дисперсионной кривой n в окрестности полосы поглощения k находятся на уровне полуширины ∆λ 1 этой полосы. 2

4.22. Осциллятор поглощает в области λ0 = 10мкм. Показатель преломления среды, внутри которой находятся подобные осцилляторы, равен nD =1.33. Покажите качественный ход показателя преломления в области λ = 5 – 18мкм. Указание. При построении графика воспользуйтесь соотношением между n и k для полос поглощения с Лорентцовским контуром, для которых в окрестности полосы выполняется для аномальной дисперсии соотношение kмакс= nмакс− nмин.

42 Дополнительные сведения: λ0= 10 мкм, полуширина полосы ∆λ 1 = 1мкм, 2

kмакс= 0.3.

4.23. Два осциллятора поглощают соответственно в области λ0= 600 нм (видимая область) и λ0=3000 нм (инфракрасная область). Показатель преломления среды, внутри которой находятся осцилляторы, равен nD =1.45. Покажите качественный ход показателя преломления в области λ=200 – 4000нм, когда интенсивности двух полос в спектре пропускания T равны. Указание. Формула Бугера T = exp(− K λ × d ) , Кλ–коэффициент поглощения, зависящий от λ , d – толщина образца. При построении графика воспользуйтесь соотношением между n и k для полос поглощения с контуром Лорентца, для которых в окрестности полосы выполняется для аномальной дисперсии лмакс= nмакс− nмин. Дополнительные сведения: λ0= 400нм, kмакс = 0.1, λ0= 600нм, kмакс = 0.15, для обеих полос можно принять ∆λ 1 = 40нм. 2

4.24. Оцените, как влияют центры окраски на величину поглощения и показателя преломления в области прозрачности кристалла? В качестве примера для ответа возьмите кристалл NaCℓ [2, c.316]. 4.25. Как изменится интенсивность поглощения капиллярно– конденсированной воды в ИК – спектре (вода λ = 2.8мкм, kмакс = 0.3), когда вода конденсируется в микропорах пленки, приготовленной электронно– лучевым распылением в вакууме: 1 – из кварцевого стекла ( nD =1.45) и 2 – германия ( nλ =2 =4.0) [2, c. 307]. Указание. Воспользуйтесь уравнением Лорентц – Лоренца. При расчете следует принять, что пористость пленок мала (V≤1%) и поэтому оптические свойства среды (имеется в виду показатель преломления, но не поглощения!) практически совпадают со свойствами пленкообразующего вещества. Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука, 1966. 3. Вилков Л.В., Пентин Ю.А. Физические методы в химии. Структурные методы и оптическая спектроскопия. М.: Высшая школа, 1987. 4. Heсht Е. Optics. –3rd.ed. Addison Wesley Longman, Inc. 1998. 5. Золотарев В. М., Морозов В.Н., Смирнова Е.В. Справочник. Оптические постоянные природных и технических сред. Л.: Химия, 1984.

43

§ 5. Рассеяние света 5.1. Поясните термин “поляризуемость”, из каких составляющих она образуется? Каким образом рассеивающая способность вещества зависит от поляризуемости? [1, c.578,273; 2, c.273, 295]. 5.2. Как будет выглядеть спектральная зависимость коэффициента рассеяния света мелкими каплями воды: 1 – в области прозрачности воды (0.4 – 0.6мкм), 2 – в окрестности обертонов воды (0.7 – 1.5мкм)? Указание: следует воспользоваться формулой Рэлея и проанализировать 2

⎛ ε − ε2 ⎞ ⎟⎟ , где ε1 – диэлектрическая проницаемость роль сомножителя ⎜⎜ 1 + ε ε ⎝ 1 2 ⎠ воды в области 0.7 – 1.5мкм, а ε2 – диэлектрическая проницаемость среды (воздух). При расчете ε1 нужно (для упрощения расчета) учитывать только вещественную часть показателя преломления воды. Данные для ε2 воды взять в справочнике [4]. 5.3. Поясните из каких физических соображений (или формул) следует, что интенсивность рассеянного света пропорциональна ω4? Почему интенсивность Рэлеевского рассеяния для разных молекул должна различаться? 5.4. Каковы основные причины деполяризации рассеянного Рэлеевского света? 5.5. Объясните с классической волновой точки зрения Рэлеевского рассеяния.

происхождение

5.6. Поясните, почему рассеянный свет всегда деполяризован? От чего зависит степень поляризации рассеянного света? 5.7. Какой параметр молекулы нужно знать, чтобы можно было сравнить между собой рассеивающие свойства двух разных молекул (например НСℓ и Н2О)? 5.8. Поясните, в чем основное сходство и в чем отличие Рэлеевского рассеяния от комбинационного рассеяния [1, c.581, 593, 600, 3, c.258, 260]? 5.9. Индикатрису рассеяния отдельной частицы трудно экспериментально наблюдать в направлении распространения пучка (и в обратном направлении). Однако при организации эксперимента в условиях полного внутреннего отражения это удается сделать.

44 Условия опыта: равнобедренная призма с углом при вершине 900. Свет падает на полированную гипотенузную грань под углом 450 и претерпевает полное внутренне отражение. По этой причине наблюдатель может рассматривать гипотенузную грань в направлении распространения света и в обратном направлении. Поскольку высота микрошероховатостей поверхности h