This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
p .
J Предположим противное: q 6 p . Если q = p , то получим: p∈α и p∈ / α — противоречие. Если же q < p , то в силу свойства (II) имеем: q ∈ α — опять противоречие. I
Принимая во внимание эту теорему, будем называть элементы множества α нижними числами сечения α , а элементы, не принадлежащие α , — верхними числами сечения α . В силу свойства (III) среди нижних чисел сечения α нет наибольшего. Однако наименьшее верхнее число может как существовать, так и не существовать. Покажем последнее на примерах.
Лемма. Пусть α — множество, включающее в себя все отрицательные числа, нуль и все положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух. Множество α — сечение, притом такое, что среди его верхних чисел нет наименьшего.
49
§ 2. Вещественные числа
J Выполнение условий (I) и (II) для введенного множества α очевидно. Введем, далее, множества A := {r ∈ Q+ | r2 < 2} ⊂ α , B := {r ∈ Q+ | r2 > 2} ,
(2.10)
где символом Q+ условимся обозначать множество всех положительных рациональных чисел. Пусть p ∈ A . В силу свойства плотности существует h ∈ Q такое, что ¾ ½ 2 − p2 . 0 < h < min 1 ; 2p + 1 Для него имеем
(p + h)2 = p2 + 2ph + h2 = p2 + (2p + h) · h < p2 + (2p + 1) ·
2 − p2 = 2, (2p + 1)
откуда (p + h)2 < 2, т. е. p + h ∈ α . Итак, множество α не содержит наибольшего числа, т. е. выполнено (III), и, значит, α — сечение. Покажем, что среди верхних чисел, составляющих множество B из (2.10), нет наименьшего. Пусть p ∈ B , тогда p > 0 и p2 > 2. Положим q := p − (p2 − 2)Á2p = pÁ2 + 1Áp . Отсюда видно, что 0 < q < p . Далее, q2 =
µ
p−
p2 − 2 2p
¶2
= p2 −(p2 −2)+
µ
p2 − 2 2p
¶2
> 2,
откуда q 2 > 2 ,
т. е. q ∈ B и q < p и, следовательно, число p ∈ B — не наименьшее. I Однако для некоторых сечений наименьшее верхнее число существует. Это вытекает из следующей теоремы. Теорема 22. Пусть r ∈ Q . Определим множество α следующим образом: α := {p ∈ Q | p < r} . (2.11) Тогда α — сечение, а r — наименьшее его верхнее число. J Очевидно, что для множества (2.11) выполняются условия (I), (II). Покажем, что выполняется и (III). Если p ∈ α , то p < r , и по свойству плотности (теорема 17) имеем: p < (p + r)Á2 < r , откуда
50
Глава 2. Формирование понятия числа
(p + r)Á2 ∈ α . Значит, число p ∈ α — не наибольшее, т. е. выполнено (III). Пусть теперь q — верхнее число. Тогда q > r , а так как r ∈ / α, то r — тоже верхнее число, притом наименьшее. I Определение 52. Сечение, построенное в теореме 22, будем называть рациональным сечением, а r — его пограничным числом. Желая подчеркнуть, что сечение α — рациональное, а r — его пограничное число, условимся обозначать его так: α = r∗ . В теореме 22 установлена биекция между рациональными числами и рациональными сечениями. Определение 53. Сечения α и β считаются равными (α = β), если они равны как множества. В случае α 6= β считаем, что α < β , если α ⊂ β . Очевидным образом можно определить и следующие отношения между сечениями: 6 , > , > . Изучим теперь свойства отношения порядка на множестве сечений. Теорема 23 (линейная упорядоченность сечений). Для любых сечений α и β выполняется только одно из следующих трех соотношений: α=β , α>β , α p и p0 ∈ α , то p0 + q > r и p0 + q ∈ γ . Значит, число r — не наибольшее в γ . I Определение 54. Сечение, задаваемое равенством (2.14), обозначается символом α + β и называется суммой сечений α и β . Теорема 27. Пусть α , β , γ — сечения. Тогда11 (a) α + β = β + α ; (b) (α + β) + γ = α + (β + γ) ; (c) α + 0∗ = α ; (d) ∀α ∃! β : α + β = 0∗ ; (e) ∀α, β ∃! γ : α + γ = β . Доказательство всех этих фактов — не сложное и на нем не останавливаемся. Сечение β , для которого выполнено (d), называется сечением, противоположным к α , и обозначается символом (−α). Сечение γ , для которого выполняется (d), называется разностью сечений β и α и обозначается β − α . Теорема 28. Для любых сечений α , β , γ таких, что β < γ , имеем α + β < α + γ . В частности, полагая β = 0∗ , имеем: если α > 0∗ , γ > 0∗ , то α + γ > 0∗ . J По определению 53 β < γ ⇐⇒ β $ γ . Далее, используя (2.14), получаем
α + β = {r ∈ Q | ∃p ∈ α ∃q ∈ β : r = p + q} ⊂
⊂ {r ∈ Q | ∃p ∈ α ∃q ∈ γ : r = p + q} = α + γ .
Отсюда видно, что α + β 6 α + γ . Посмотрим, когда здесь возможно равенство. Предполагая, что α+β = α+γ и используя теорему 27(c), находим β = 0∗ + β = (−α + α) + β = −α + (α + β) = −α + α + γ = γ , т. е. β = γ . И наконец, если α > 0∗ , γ > 0∗ , то α + γ > γ > 0∗ , и, значит, α + γ > 0∗ . I Еще более кратко, чем сложение и вычитание, рассмотрим умножение и деление сечений. Обозначая через Q+ (Q− ) множество 11 Напоминаю, что символ ∃! означает существование и единственность, а символ 0∗ — рациональное сечение с пограничным числом 0.
53
§ 2. Вещественные числа
всех положительных (отрицательных) рациональных чисел, установим следующую теорему. Теорема 29. Пусть α , β — положительные сечения, и пусть γ := Q− t {0} t
t {r ∈ Q+ | ∃p ∈ α ∩ Q+ ∃q ∈ β ∩ Q+ : r = p · q} . (2.15)
Тогда γ — сечение. J Проверим для γ свойства (I)—(III) из определения 51. (I) Так как 0 ∈ γ , то γ 6= ∅ . Пусть, далее, p0 ∈ / α , q0 ∈ / β , тогда ¾ ∀p ∈ α ∩ Q+ : p < p0 =⇒ p · q < p0 · q 0 , ∀q ∈ β ∩ Q+ : q < q 0 т. е. p0 · q 0 6∈ γ , и, значит, γ 6= Q . (II) Пусть r ∈ γ и s < r , где s ∈ Q . Надо показать, что s ∈ γ . Это очевидно в случае s 6 0, поэтому считаем, что s > 0. Выберем положительные числа p ∈ α , q ∈ β так, чтобы было: r = p · q . Так как s < r , то существует p0 ∈ α такое, что s = p0 · q . Значит, s ∈ γ . (III) Чтобы показать, что γ не содержит наибольшего числа, возьмем r ∈ γ ∩ Q+ . Тогда r = p · q для некоторых положительных p ∈ α , q ∈ β . Так как α не содержит наибольшего числа, то ∃ p0 ∈ α : p0 > p . Тогда p0 · q ∈ γ и p0 · q > p · q , т. е. число r = p · q ∈ ∈ γ — не наибольшее в γ. I Определение 55. Сечение γ , задаваемое равенством (2.15), называется произведением неотрицательных сечений α и β и обозначается символом α · β (или, короче, αβ ). Чтобы распространить понятие произведения на любые сечения (не обязательно неотрицательные), используем известное правило знаков. Определение 56. Модулем (абсолютной величиной) сечения α называется неотрицательное сечение | α|, задаваемое следующим образом: ( | α| :=
α при α > 0∗ , −α при α 6 0∗ .
Очевидно, что |α| > 0∗ , причем | α| = 0∗ ⇔ α = 0∗ .
54
Глава 2. Формирование понятия числа Теорема 30. Для любых сечений α, β имеем |α| − |β| 6 |α + β| 6 |α| + |β| .
(2.16)
J Установим правое неравенство (2.16). Пусть p ∈ |α+β| . Тогда p = max {p1 + q1 ; −p1 − q1 } при некоторых p1 ∈ α , q1 ∈ β . Используя неравенство треугольника для рациональных чисел, получим: p1 + q1 6 |p1 | + |q1 | , и значит, p = max{p1 + q1 ; −p1 − q1 } 6 max{|p1 | + |q1 |, −|p1 | − |q1 |} . Но |p1 | ∈ |α|, |q1 | ∈ |β| и потому max{|p1 | + |q1 | , −|p1 | − |q1 |} ∈ |α| + |β| , т. е. p ∈ |α| + |β| . Таким образом, |α + β| ⊂ |α| + |β| или |α + β| 6 |α| + |β| . Левое неравенство (2.16) является следствием правого. I Используя определение 56, мы дополним определение 55, сняв ограничение положительности сомножителей. Определение 57. Для любых сечений α и β полагаем: ∗ ∗ −|α| · |β| , если α < 0 , β > 0 , α · β := −|α| · |β| , если α > 0∗ , β < 0∗ , |α| · |β| , если α < 0∗ , β < 0∗ .
Кроме того, произведение сечений считается равным нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Теорема 31. Пусть α , β , γ — сечения. Тогда: (a) α · β = β · α ; (b) (α · β) · γ = α · (β · γ) ; (c) α · (β + γ) = α · β + α · γ ; (d) α · 0∗ = 0∗ ; · α = 0∗ , (e) α · β = 0∗ ⇐⇒ β = 0∗ ; ∗ (f) α · 1 = α¾; α>β =⇒ α · γ > β · γ ; (g) γ > 0∗ (h) ∀α 6= 0∗ ∀β ∃!γ : α · γ = β .
55
§ 2. Вещественные числа
На доказательстве этой теоремы здесь не останавливаемся. Сечение γ , для которого выполняется (h), обозначается одной из следующих формул: β β : α , βÁα , , β÷α α и называется частным от деления β на α . В заключение этого пункта приведем две теоремы о рациональных сечениях. Теорема 32. Для любых p , q ∈ Q имеем: (a) p∗ + q ∗ = (p + q)∗ ; (b) p∗ · q ∗ = (p · q)∗ ; (c) p∗ < q ∗ ⇐⇒ p < q . J (а) Если r ∈ p∗ + q ∗ , то r = s + t для некоторых рациональных s < p и t < q . Складывая эти неравенства, получим r = s + t < p + q , откуда r < p + q и, значит, r ∈ (p + q)∗ . Этим установлено, что p∗ + q ∗ ⊂ (p + q)∗ . Установим противоположное включение. Пусть r = (p+q)∗ , тогда r < p + q . Положим h := p + q − r , s := p − hÁ2 , t := q − hÁ2 . Так как h > 0, то s ∈ p∗ , t ∈ q ∗ , откуда r = s + t ∈ p∗ + q ∗ . Итак, (p + q)∗ ⊂ p∗ + q ∗ . (b) Предположим, что p > 0 , q > 0. Если 0 < r ∈ p∗ · q ∗ , то r = s · t для некоторых положительных рациональных s < p и t < q . Перемножая эти неравенства, получим r = s · t < p · q . Отсюда находим r = (p · q)∗ , и, значит, p∗ · q ∗ ⊂ (p · q)∗ . Обратно, пусть r ∈ (p · q)∗ и r > 0. Тогда r < p · q , и существует 0 p < p такое, что r = p0 · q < p · q . Полагая s := (p + p0 )/2, t := r/s , имеем s < p,
t=
2p0 · q < q, p + p0
r = s · t , где s ∈ p∗ , t ∈ q ∗ .
Таким образом, r ∈ p∗ · q ∗ и, значит, (p · q)∗ ⊂ p∗ · q ∗ . Если условие p > 0, q > 0 не выполнено, то надо применить правило знаков, но мы на этом не останавливаемся. (c) Если p < q , то p ∈ / p∗ и p ∈ q ∗ . Отсюда следует, что p∗ $ q ∗ , т. е. p∗ < q ∗ . Обратно, если p∗ < q ∗ , то p∗ $ q ∗ . Следовательно, существует рациональное число r такое, что r ∈ q ∗ и r ∈ / p∗ . Для него выполняются
56
Глава 2. Формирование понятия числа
неравенства p 6 r < q , откуда по свойству транзитивности находим: p < q. I Теорема 33. Для любого сечения α имеем: p ∈ α ⇐⇒ p∗ < α . J ⇒ Имеем p ∈ α и p ∈ / p∗ . Отсюда p∗ 6= α и p∗ ⊂ α . Значит, p < α. I J ⇐ Пусть p∗ < α , тогда p∗ & α . Поэтому существует рациональное q такое, что q ∈ α , q ∈ / p∗ . Последнее равносильно тому, что q ∈ α и p 6 q . Отсюда в силу (II) находим p ∈ α . I ∗
2. Множество R всех вещественных чисел и его полнота В предыдущем пункте были рассмотрены некоторые множества рациональных чисел, названные сечениями. На множестве всех сечений были введены отношения порядка и арифметические операции. Было установлено, что так полученная арифметика сечений подчиняется тем же законам, что и арифметика рациональных чисел. Особое внимание было уделено множеству всех рациональных сечений и было показано, что упорядоченное поле Q всех рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю всех рациональных сечений. Этот изоморфизм (т. е. биекция, сохраняющая арифметические операции и отношение порядка12 ) установлен в теореме 32. Это позволяет нам отождествить любое рациональное сечение r∗ с порождающим его рациональным числом r . Разумеется, r∗ — не то же самое, что r , но их свойства, с которыми приходится иметь дело в анализе (арифметика и порядок), одинаковы в обоих этих полях. В связи с этим вполне естественно дать следующее определение. Определение 58. Вещественными (действительными) числами условимся называть сечения. Рациональные сечения будем называть рациональными числами, а все остальные сечения — иррациональными числами. 12 Это означает, что при такой биекции б´ ольшим числам соответствуют б´ ольшие сечения, сумма переходит в сумму и т. д.
§ 2. Вещественные числа
57
Таким образом, все свойства сечений Дедекинда13 , установленные в предыдущем пункте, — это свойства вещественных чисел. Напомним, что множество всех вещественных чисел принято обозначать символом R . Прилагательные вещественные или действительные применяются для того, чтобы отличить эти числа от чисел других типов (комплексных, гиперкомплексных, p -адических и прочих). Важнейшим для анализа свойством множества R является свойство непрерывности, которое называют также свойством сплошности или полноты. Одной из эквивалентных формулировок, в которой устанавливается это свойство, является следующая теорема. Теорема 34 (Дедекинд). Пусть A и B — такие множества вещественных чисел, что (a) A 6= ∅ , B 6= ∅ ; (b) A ∩ B = ∅ , A t B = R ; (c) ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α < β . Тогда ∃!γ ∈ R ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α 6 γ 6 β .
(2.17)
J Докажем сначала единственность числа γ . Пусть γ 0 6= γ 00 — различные числа, для которых выполнены неравенства (2.17). Предположим для определенности, что γ 0 < γ 00 . По свойству плотности (теорема 24) существует число γ такое, что γ 0 < γ < γ 00 . Но тогда должно быть ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α 6 γ 0 < γ < γ 00 6 β . Так как ∀α ∈ A : α < γ , то γ ∈ / A . Аналогично, так как ∀β ∈ B : γ < β , то γ ∈ / B . Таким образом, γ ∈ / A t B = R, а это противоречит тому, что R — множество всех вещественных чисел. Итак, единственность числа γ установлена. Чтобы доказать существование этого числа, введем в рассмотрение такое множество рациональных чисел: γ := {p ∈ Q | ∃ α ∈ A : p < α} .
(2.18)
Покажем, что это множество — сечение. 13 Дедек´ инд Рихард (1831—1916) — немецкий математик, построивший строгую теорию вещественных чисел.
58
Глава 2. Формирование понятия числа
(I) Так как A 6= ∅ , то ∃α ∈ A . Рассматривая α как сечение, заключаем, что ∃p ∈ Q : p ∈ α , т. е. p < α . Таким образом, p ∈ γ , и, значит, γ 6= ∅ . Так как A 6= R , то ∃β 6∈ A , значит, β ∈ B . Поскольку β как сечение не совпадает с Q , то ∃q ∈ Q : q 6= β , т. е. q > β . Отсюда и из условия (c) следует, что q 6∈ γ . Действительно, ∀α ∈ A : α < β < p, т. е. ∀α ∈ A : p > α . Итак, γ 6= Q . (II) Пусть p ∈ γ и q < p , тогда ∃α ∈ A : q < p < α , т. е. q < α . Значит, q ∈ γ . (III) Если p ∈ γ , то ∃α ∈ A : p < α . По свойству плотности ∃q : p < q < α . Поэтому q ∈ γ , и, значит, p — не наибольшее в γ . Итак, γ — сечение. Рассматривая его как вещественное число, покажем, что для него выполняются неравенства (2.17). Пусть α ∈ A и p ∈ Q , p < α . В силу (2.18) имеем p ∈ γ , т. е. p ∈ α =⇒ p ∈ γ . Значит, α ⊂ γ , т. е. α 6 γ . Пусть теперь β ∈ B . Согласно условию (c) имеем ∀α ∈ A : α < β . Если p ∈ γ , то p ∈ α для некоторого α . Значит, для этого α имеем p < α < β , откуда p ∈ β и потому γ ⊂ β , т. е. γ 6 β . I
Замечания. 1. Иррациональные числа — это те сечения, для каждого из которых не существует наименьшего верхнего числа. Поскольку было установлено, что такие сечения существуют (см. лемму в п. 1), то тем самым установлено существование иррациональных чисел. 2. Так как A t B = R и A ∩ B = ∅ , то для числа γ , входящего в (2.17), выполняется только одно из соотношений: γ ∈ A либо γ ∈ B . В первом случае γ является наибольшим числом множества A , а во втором — наименьшим числом множества B . 3. Если попытаться расширить множество R подобно тому, как расширялось множество Q , то придется строить сечения, элементами которых будут вещественные числа. Однако в силу теоремы Дедекинда для всякого такого сечения будет существовать наименьшее верхнее число. Поэтому введение сечений не может привести к расширению множества R . В этом проявляется полнота множества R .
Tеперь pассмотрим вопрос о представлении вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Понятие бесконечной деся-
59
§ 2. Вещественные числа
тичной дроби было дано в определении 49. В дополнение к нему отметим, что на множестве всех бесконечных десятичных дробей можно естественным образом ввести арифметические операции и порядок. Не останавливаясь на соответствующих определениях, отметим, что таким способом множество всех десятичных дробей можно превратить в линейно упорядоченное поле. Теорема 35. Если исключить из рассмотрения все периодические дроби, периодом которых является цифра 9, то оказывается, что упорядоченное поле всех остальных бесконечных десятичных дробей изоморфно упорядоченному полю R всех вещественных чисел. J Ограничимся здесь только установлением биекции между числами и дробями. Пусть α > 0 — число. Пользуясь свойством Архимеда (теорема 10, которая остается справедливой при любом α > 0), найдем целое число n0 > 0 такое, что n0 6 α < n0 + 1. Затем найдем целое число n1 такoe, что n0 +
n1 n1 + 1 6 α < n0 + . 10 10
Затем найдем такoe целое число n2 , чтобы было n0 +
n2 n1 + 1 n2 + 1 n1 + 6 α < n0 + + . 10 102 10 102
Продолжая этот процесс неограниченно, можно сопоставить числу α бесконечную десятичную дробь n0 . n1 n2 . . . nk . . . , притом единственную. Обратно, пусть дана бесконечная десятичная дробь (положительная) n0 . n1 n2 . . . nk . . . . Сопоставим ей множество α := {p ∈ Q | ∃ k ∈ N : p 6 n0 . n1 n2 . . . nk } . Можно показать, что множество α — сечение, а значит, α ∈ R . Его и сопоставим данной дроби. I Замечания. 1. Согласно теореме 19, рациональные числа (и только они) изображаются бесконечными периодическими десятичными дробями. Исключая их из рассмотрения, приходим к выводу, что иррациональные числа (и только они) изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями.
60
Глава 2. Формирование понятия числа
2. Теорема 35 дает основание определять14 вещественные числа как бесконечные десятичные дроби, что и делают авторы многих учебников.
Теорема 36. Существует биективное и сохраняющее порядок соответствие между множеством R всех вещественных чисел и множеством всех точек числовой оси. J Условимся на числовой оси сопоставлять началу отсчета число 0 , а точкам, лежащим в положительном (отрицательном) направлении, — положительные (отрицательные) числа. Требуемое в теореме 36 соответствие устанавливается с использованием известного процесса измерения отрезков. Чтобы упростить рассуждения, будем считать, что соответствие между рациональными числами и точками числовой оси уже установлено (теоремa 20). Пусть α — произвольная точка числовой оси, лежащая в положительном направлении от начала. Откладывая единицу масштаба в положительном направлении от начала необходимое число раз и пользуясь аксиомой Архимеда, найдем целое неотрицательное число n0 так, чтобы было: n0 6 α < n0 +1 (здесь знак неравенства означает лежать левее). Далее, откладывая 1Á10 единицы масштаба вправо от точки n0 , найдем n1 так, чтобы было n0 + n1 Á10 6 α < n0 + (n1 + 1)Á10 . Откладывая затем 1Á100 единицы масштаба вправо от точки n0 + n1 Á10, найдем n2 так, чтобы было n0 +
n2 n1 n2 + 1 n1 + 2 6 α < n0 + + . 10 10 10 102
Продолжая этот процесс неограниченно, можно сопоставить точке α единственную бесконечную десятичную дробь n0 . n1 n2 . . . nk . . . , а значит, и вещественное число. Обратно, пусть α — положительное (иррациональное) число. Представляя его в виде бесконечной десятичной дроби α = n0 . n1 n2 . . . nk . . . , 14 Определять, т. е. давать определение, или, что то же самое, отвечать на вопрос: что это такое?
61
§ 2. Вещественные числа
рассмотрим на числовой оси бесконечную последовательность отрезков [n0 ; n0 + 1] ⊃ [n0 . n1 ; n0 . n1 + 1Á10 ] ⊃
⊃ [n0 . n1 n2 ; n0 . n1 n2 + 1Á102 ] ⊃ . . . ,
где каждый следующий отрезок «вложен» в предыдущие. Длина k -го отрезка равна 1Á10k−1 , и ее можно сделать меньше любого числа за счет выбора достаточно большого k . Например, будет: 0 < 1Á10k−1 < ε при k > 1 + lg(1Áε). При этих условиях в курсах геометрии постулируется15 существование на числовой оси единственной точки, лежащей на всех отрезках. Эту точку и сопоставляем данному числу. I Замечание. Вещественное число x , которое, согласно теореме 36, соответствует данной точке M, лежащей на числовой оси, называется координатой точки M. Обозначается это иногда так: M (x) . Теорема 36 показывает, что вещественных чисел достаточно для того, чтобы каждой точке числовой оси приписать координату. В связи с этим часто вообще не различают вещественные числа и точки числовой оси, а множество R всех вещественных чисел отождествляют с множеством всех точек числовой оси.
3. Числовые множества и их границы Определение 59. Числовым множеством называется любое подмножество множества R всех вещественных чисел. Примеры числовых множеств ∅ , {0} , N , Z , Q , R , а также любое непустое конечное множество чисел. Примерами числовых множеств, наиболее часто встречающихся в классическом анализе, являются так называемые числовые промежутки. Чтобы их определить, зададим два числа a , b ∈ R ,и пусть 15 Постулируется, т. е. принимается за аксиому. Эта аксиома является геометрическим аналогом свойства полноты множества R .
62
Глава 2. Формирование понятия числа
a < b. Множество16 (a , b) = (a ; b) := {x ∈ R | a < x < b} называется открытым промежутком или интервалом. Множество [a , b] = [a ; b] := {x ∈ R | a 6 x 6 b} называется з´ амкнутым промежутком или отрезком. Множества (a , b] = (a ; b] := {x ∈ R | a < x 6 b} , [a , b) = [a ; b) := {x ∈ R | a 6 x < b} называются полуоткрытыми промежутками или полуинтервалами. Множества (a , +∞) = (a ; +∞) := {x ∈ R | x > a} , (−∞ , b) = (−∞ ; b) := {x ∈ R | x < b} называются открытыми лучами или полубесконечными интервалами. Частными случаями такого рода множеств являются: R+ := (0 , +∞) (положительный луч) и R− := (−∞ , 0) (отрицательный луч). Множества [a, +∞) = [a; +∞) := {x ∈ R | x > a} , (−∞, b] = (−∞; b] := {x ∈ R | x 6 b} называются полубесконечными отрезками. Встретившиеся выше символы минус бесконечность (−∞) и плюс бесконечность (+∞) обозначают некоторые элементы, которые не являются числами. Однако иногда их присоединяют к множеству R и постулируют, что ∀x ∈ R : −∞ < x < +∞ . Тогда множество R можно записать в виде интервала (открытого промежутка): R = (−∞, +∞). Присоединив 16 Здесь возникает досадная «накладка» в обозначениях, поскольку символом (a , b) ранее обозначалась упорядоченная пара. Что следует понимать под символом (a , b) , в каждом случае будет ясно из контекста.
§ 2. Вещественные числа
63
элементы (−∞) и (+∞) к множеству R , получают так называемое упорядоченное расширение множества R e := {−∞} t R t {+∞} , R
которое можно записать в виде отрезка (замкнутого интервала) слеe = [−∞, +∞]. При такой интерпретации элемендующим образом: R ты (−∞) и (+∞) играют роль самого маленького числа и самого большого числа соответственно (хотя числами они, напомним, не являются). Другими примерами встречающихся в анализе числовых множеств являются счeтные множества. Так называется всякое бесконечное множество X такое, что существует биекция f : X ←→ N . Нумеруя с помощью этой биекции элементы множества X, можно записать его в виде X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} . Замечание. Известно, например, что множества N , Z , Q являются счетными, а множество R таковым не является.
Определение 60. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если ∃M ∈ R ∀x ∈ X : x 6 M.
(2.19)
Число M называется верхней границей множества X. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей (или верхней гранью) множества X и обозначается символом sup X (читается: «супр´емум икс»). Числовое множество X называется ограниченным снизу, если ∃m ∈ R ∀x ∈ X : x > m.
(2.20)
Число m называется нижней границей множества X. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей (или нижней гранью) множества X и обозначается символом inf X (читается: «´ инфимум икс»). Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу (т. е. если выполняются оба условия (2.19) и (2.20)).
64
Глава 2. Формирование понятия числа
Фундаментальное значение в анализе имеет проблема существования у числовых множеств точных границ. Решение этой проблемы содержится в следующей теореме. Теорема 37. Пусть X 6= ∅ — числовое множество. Тогда: (a) если X ограничено сверху, то существует единственное число sup X; (b) если X ограничено снизу, то существует единственное число inf X. J (a) Предположим сначала, что среди элементов множества X есть наибольший, т. е. ∃x0 ∈ X ∀x ∈ X : x 6 x0 . Тогда очевидно, что x0 = sup X, поскольку в силу (2.19) x0 есть верхняя граница, притом наименьшая. Предположим теперь, что среди элементов множества X нет наибольшего. Введем в рассмотрение два множества: B — совокупность всех верхних границ множества X, и множество A := R r B . Тогда A 6= ∅ , поскольку A ⊃ X 6= ∅ ; B 6= ∅ , так как множество X ограничено сверху, и, значит, множеству B принадлежат все верхние границы. Далее, A ∩ B = ∅ , A t B = R по построению. И наконец, имеем: ∀α ∈ A ∀β ∈ B ∃x ∈ X : α < x 6 β . (2.21) так как β — верхняя граница, а α — не верхняя граница множества X. Из (2.21) находим: ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α < β . Применяя теорему 34 (Дедекинда), заключаем, что ∃! γ ∈ R ∀ α ∈ A ∀ β ∈ B : α 6 γ 6 β . Отсюда, учитывая, что X ⊂ A , заключаем: γ = sup X.
Утверждение (b) можно доказать аналогично. I Иногда целесообразно рассматривать также точные границы неограниченных множеств. Тогда по определению полагают: sup X := +∞ , если множество X не пусто и не ограничено сверху, inf X := −∞ , если множество X не пусто и не ограничено снизу.
§ 3. Комплексные числа
65
Если эти определения принять, то для любого непустого числового множества X существуют точные границы, причем ∀x ∈ X будет: −∞ 6 inf X 6 x 6 sup X 6 +∞ . И наконец, для пустого множества естественно принять такое определение: sup ∅ := −∞ ; inf ∅ := +∞ . Читателю рекомендуется подумать, почему должно быть именно так, а не иначе.
§ 3. Комплексные числа Основанием для введения новых чисел обычно является наличие таких задач, для решения которых недостаточно введенных ранее чисел. Классической задачей, для полного решения которой недостаточно одних только вещественных чисел, является алгебраическое уравнение, т. е. уравнение вида xn + p · xn−1 + ... + q = 0 ,
где x — неизвестное, n ∈ N , а все коэффициенты p, ..., q — вещественные числа. Например, при n = 2 имеем квадратное уравнение x2 + px + q = 0 , корни которого содержатся в известной формуле: r p p2 x1,2 = − ± −q . (2.22) 2 4 p p2 Á4 − q Если p2 Á4 − q > 0 , то существует вещественное число (его существование можно доказать, например, методом сечений Дедекинда). Если же p2 Á4 − q < 0 , то вещественного числа, квадрат которого был бы равен p2 Á4 − q , не существует. Желая придать смысл правой части равенства (2.22), необходимо ввести такие новые числа, среди которых были бы, в частности, корни квадратные из отрицательных вещественных чисел. Так появляются компл´ексные числа. Определение 61. Комплексными числами назовем упорядоченные пары (x ; y) вещественных чисел x и y . Равенство комплексных чисел определим естественным образом: ½ x1 = x2 , def (x1 ; y1 ) = (x2 ; y2 ) ⇐⇒ y1 = y2 .
66
Глава 2. Формирование понятия числа
Чтобы эти пары можно было назвать числами, необходимо на множестве R × R всех таких пар разумно ввести арифметические операции. Определение 62. Арифметические операции над комплексными числами определим с помощью следующих равенств: (x1 ; y1 ) ± (x2 ; y2 ) := (x1 ± x2 ; y1 ± y2 ) ;
(x1 ; y1 ) · (x2 ; y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ; x1 y2 + x2 y1 ) ; µ ¶ (x1 ; y1 ) x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 ; := . (x2 ; y2 ) x22 + y22 x22 + y22
(2.23)
Разумеется, последнее равенство имеет смысл, если и только если выполнено следующее условие x22 + y22 6= 0 , которое равносильно такому: (x2 ; y2 ) 6= (0 , 0) . Теорема 38. Множество всех комплексных чисел вместе с арифметическими операциями, введенными в определении 62, является полем. J Нам необходимо проверить выполнение условий (a) — (i), перечисленных в определении 44. Коммутативность и ассоциативность операции сложения очевидна из (2.23) и из того, что эти свойства выполняются для сложения вещественных чисел. Роль нулевого элемента играет пара (0 ; 0) . Роль элемента, противоположного к (x ; y) , играет элемент (−x ; −y) , так как (x ; y) + (−x; −y) = (0 ; 0) . Далее, коммутативность операции умножения комплексных чисел очевидна из (2.23). Проверку ассоциативности оставляем читателю. Роль единичного элемента играет пара (1 ; 0) , так как (x ; y) · (1 ; 0) = (x · 1 − y · 0 ; x · 0 + y · 1) = (x ; y) . Выполнение распределительного закона (дистрибутивности) очевидно. И наконец, элементом, обратным к (x ; y) 6= (0 ; 0) , является элемент ¶ µ x −y ; , x2 + y 2 x2 + y 2 поскольку µ ¶ µ 2 ¶ −y x x + y 2 −xy + yx (x; y) · ; = ; = (1 ; 0) . I x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 Условимся символом C обозначать поле всех комплексных чисел. Теорема 39. Множество R×{0} всех комплексных чисел вида (x ; 0) является подполем17 поля C , которое изоморфно полю R всех вещественных чисел. 17 Подполем называется подмножество поля, которое в свою очередь является полем.
67
§ 3. Комплексные числа
J Полагая в равенствах (2.23) y1 = y2 = 0 , получим соответственно: (x1 ; 0) ± (x2 ; 0) = (x1 ± x2 ; 0) ;
(x1 ; 0) · (x2 ; 0) = (x1 x2 ; 0) ; ¶ µ (x1 ; 0) x1 ; 0 при x2 6= 0 . = (x2 ; 0) x2
(2.24)
Эти равенства показывают, что арифметические операции (2.23) над числами из R × {0} дают в результате снова числа из R × {0} . Следовательно, R × {0} есть подполе поля C . Зададим теперь биективное отображение R × {0} на R , полагая (x, 0) ←→ x . Из равенств (2.24) очевидно, что при этом отображении сумма, произведение и частное пар переходят соответственно в сумму, произведение и частное первых компонент этих пар. Поэтому отображение (x ; 0) ←→ x есть изоморфизм полей. I Замечания. 1. Используя теорему 39, условимся отождествлять каждое комплексное число вида (x ; 0) с вещественным числом x . Иначе говоря, полагаем по определению x := (x ; 0) . В частности, (1 ; 0) = 1 , (0 ; 0) = 0 . При таком соглашении имеем: R ⊂ C . 2. Возводя в квадрат комплексное число (0 ; 1) и используя сделанное только что отождествление, получим (0 ; 1)2 = (0 ; 1) · (0 ; 1) = (0 · 0 − 1 · 1 ; 0 · 1 + 1 · 0) = (−1 ; 0) = −1 . Число i := (0 ; 1) принято называть мнимой единицей. Она обладает таким свойством: i2 = −1 . Напомним, что вещественного числа, квадрат которого был бы отрицательным, не существует. 3. На основании предыдущего замечания любое комплексное число можно преобразовать следующим образом: (x ; y) = (x ; 0) + (0 ; y) = (x ; 0) + (0 ; 1) · (y ; 0) = x + iy . Представление комплексного числа в виде x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Представляя комплексные числа в алгебраической форме, мы можем больше не употреблять представление комплексных чисел в виде упорядоченных пар. 4. Используя алгебраическую форму записи комплексных чисел, равенства (2.23) можно переписать в следующем равносильном виде: (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) = (x1 ± x2 ) + i · (y1 ± iy2 ) ; (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i · (x1 y2 + x2 y1 ) ; (x1 + iy1 ) · (x2 − iy2 ) x2 y1 − y2 x1 x1 + iy1 x1 · x2 + y1 · y2 +i· . = = x2 + iy2 (x2 + iy2 ) · (x2 − iy2 ) x22 + y22 x22 + y22
68
Глава 2. Формирование понятия числа
Отсюда вытекает следующее мнемоническое правило, облегчающее преобразование выражений, содержащих комплексные числа. При тождественных преобразованиях выражений, содержащих комплексные числа, представленные в алгебраической форме, с комплексными числами можно обращаться как с многочленами, учитывая только, что i2 = −1 . 5. Комплексные числа вида x + i · 0 = x принято называть чисто вещественными, а комплексные числа вида 0+iy = iy — чисто мнимыми. Пусть z = x + iy — комплексное число. Комплексное число z := := x − iy называется комплексно сопряжeнным к z . Вещественные чисz+z z−z ла Re z := x = и Im z := y = называются соответственно 2 2i вещественной (Re) и мнимой (Im) частями комплексного числа z . 6. Изображая пару (x ; y) в виIm де точки M координатной плоскоM (z) y сти XOY , получим геометричесr кую интерпретацию комплексного числа ϕ O
z = x + iy . x
Re
При этом комплексное число изображается не только точкой M , но −−→ и радиусом-вектором18 OM этой точки (рис. 11). Чисто вещественные числа (и только они) изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые (и только они) — точками оси ординат. В связи с этим ось абсцисс называется вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью. Координатная плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Определение 63. Модуль |z| комплексного числа z = x + iy определяется как неотрицательное число, равное p |z| := x2 + y 2 . (2.25) Рис. 11. Комплексная плоскость
−−→ Из рис. 11 на основании теоремы Пифагора заключаем, что |z| = |OM | (т. е. расстоянию от начала координат до точки M , изображающей данное число). Кроме того, очевидно, что |z|2 = z · z . Определение 64. Аргументом arg z комплексного числа z = x + iy называется величина угла19 , на который надо против часовой стрелки повернуть положительный вещественный луч до совмещения его с направлением радиуса-вектора точки z . 18 Радиус-вектор точки M — это вектор, начало которого совпадает с началом координат O , а конец — с точкой M. 19 В классическом анализе «по умолчанию» принято углы измерять в радианах.
69
§ 3. Комплексные числа Обозначая r = |z| , ϕ = arg z и обращаясь к рис. 11, имеем cos ϕ =
x y , sin ϕ = . r r
(2.26)
Используя эти равенства, можно преобразовать данное комплексное число следующим образом: x + iy = r · cos ϕ + ir · sin ϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ) . Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Для преобразования комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую надо найти его модуль по формуле (2.25), а аргумент — из системы (2.26). Поскольку функции sin и cos — периодические с основным периодом 2π , то ϕ находится из системы (2.26) с точностью до слагаемого, целократного числу 2π . Теорема 40. Для любых комплексных чисел z = x + iy , w = u + iv имеем: (a)
|z| > 0 ; |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ;
(b)
|z · w| = |z| · |w| ;
(c)
|z| − |w| 6 |z + w| 6 |z| + |w| (неравенства треугольника) .
J Утверждение (a) вытекает прямо из определения 63. (b) Имеем |z · w|2 = |(x + iy)(u + iv)|2 = |(xu − yv) + i(xv + yu)|2 =
= (xu − yv)2 + (xv + yu)2 = x2 u2 + y 2 v 2 + x2 v 2 + y 2 u2 = = (x2 + y 2 )(u2 + v 2 ) = |z|2 · |w|2 .
Отсюда, извлекая корень, получим требуемое. (c) При z + w = 0 доказательства не требуется. В случае z + w 6= 0 |z + w| положим λ := . Умножая это равенство на (z + w) и используя (b), z+w находим |z + w| = λz + λw = |λ(z + w)| = |λ| · |z + w| .
Отсюда видно, что |λ| = 1 , а число λz + λw — вещественное. Используя далее неравенство треугольника |x + y| 6 |x| + |y| для вещественных чисел x и y , получим |z + w| = |λz + λw| = Re(λz) + Re(λw) 6 | Re(λz)| + | Re(λw)| 6
6 |λz| + |λw| = |λ| · |z| + |λ| · |w| = |z| + |w| .
Левое неравенство (c) является следствием правого неравенства треугольника. I
70
Глава 2. Формирование понятия числа
Теорема 41. Для любых комплексных чисел z1 , . . . , zn и w1 , . . . , wn имеем20 : n n n X ¯2 X ¯X ¯ |wk |2 . (2.27) |zk |2 · zk · wk ¯ 6 k=1
k=1
k=1
J Введем следующие обозначения: A :=
X
|zk |2 , B :=
X
|wk |2 , C :=
X
zk wk ,
опуская ради краткости пределы изменения индекса суммирования. Если B = 0 , то w1 = ... = wn = 0 , и в этом случае неравенство (2.27) приобретает вид: 0 6 0 и, значит, справедливо. Пусть теперь B > 0 . Тогда имеем: 06
X
= B2
|Bzk − Cwk |2 =
X
|zk |2 − CB
X
X
(Bzk − Cwk )(Bz k − Cwk ) =
wk z k − BC
X
wk zk + |C|2 B =
= B 2 A − |C|2 B + |C|2 B + |C|2 B = (AB − |C|2 )B . Так как B > 0 , то имеем неравенство A · B − |C|2 > 0 , равносильное неравенству (2.27). I В заключение этого параграфа запишем цепочку включений N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, отражающую отдельные этапы расширения понятия числа. И наконец, отметим, что поле C не является линейно упорядоченным, т. е. на комплексные числа невозможно распространить отношение неравенства с сохранением всех свойств неравенств, связывающих вещественные числа. Поэтому всюду в дальнейшем всякое неравенство понимается как неравенство, связывающее вещественные числа. 20 В
неравенстве (2.27), называемом неравенством Коши — Буняковского — n P ak := a1 + a2 + . . . + an .
Шварца, использовано общепринятое обозначение
k=1
Буняковский Виктор Яковлевич (1804—1889) — русский математик. Шварц Карл Герман Амандус (1843—1921) — немецкий математик.
71
§ 4. Элементы общей топологии
§ 4. Элементы общей топологии 1. Метрические пространства Понятие метрического пространства является далеко идущим обобщением понятия числового множества. Определение 65. Метрическим пространством называется произвольное непустое множество X, на котором определена функция расстояния (метрика), т. е. отображение d : X × X −→ R такое, что ∀x , y , z ∈ X выполнены следующие условия: M1
d(x, y) > 0 ; d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(неотрицательность);
M2
d(x, y) = d(y, x)
(симметричность);
M3
d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)
(неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства обычно называют точками. Условия M1—M3 принято называть аксиомами метрического пространства. Они в абстрактной форме выражают наиболее существенные свойства, которыми должно обладать обычное расстояние между точками. А именно свойство M1 выражает неотрицательность расстояния, свойство M2 — его симметричность, а M3 — неравенство треугольника. В качестве примера метрического пространства возьмем множество C всех комплексных чисел, на котором функция расстояния определена формулой: d(z, w) := |z − w| . С геометрической точки зрения это есть обычное евклидово расстояние между точками плоскости. Отсюда, а также из свойств модуля комплексного числа вытекает, что для этого расстояния выполняются условия M1—M3. Проверим, например, условие M3. J В силу теоремы 40(c) ∀z, w, ζ ∈ C имеем: |z − w| = |(z − ζ) + (ζ − w)| 6 |z − ζ| + |ζ − w| , т. е. d(z, w) 6 d(z, ζ) + d(ζ, w) . I На одном и том же множестве X можно задавать различные функции расстояния, например такую: ½ 0 при x = y , ρ(x, y) = 1 при x 6= y . Очевидным образом проверяется, что так определенная функция ρ тоже удовлетворяет всем условиям M1—M3. Поэтому, чтобы уточнить, о какой функции расстояния идет речь, часто метрическое пространство задают в виде пары (X ; d) , где X — основное множество, а d — заданная на нем метрика.
72
Глава 2. Формирование понятия числа
Определение 66. Подпространством метрического пространства (X , d) называется пара (Y, ρ) , где ∅ 6= Y ⊂ X , а ρ = d|Y ×Y . Проще говоря, подпространство метрического пространства X — это его любое непустое подмножество Y с той же самой функцией расстояния, что и в X. Ясно, что условия M1—M3 выполняются в любом подпространстве данного метрического пространства. В частности, любое непустое числовое множество (например, Q или R) вместе с евклидовым расстоянием является метрическим пространством. Пусть опять (X ; d) — метрическое пространство, x0 ∈ X — его точка, ε — положительное число. Определение 67. Открытым шаром радиуса ε с центром в точке x0 называется множество {x ∈ X | d(x, x0 ) < ε} . З´ амкнутым шаром радиуса ε с центром в точке x0 называется множество {x ∈ X | d(x, x0 ) 6 ε} . Сферой радиуса ε с центром в точке x0 называется множество {x ∈ X | d(x, x0 ) = ε} . Шары с центром в точке x0 радиуса ε часто называют шаровыми ε -окрестностями точки x0 (открытыми или замкнутыми соответственно). Не имея возможности здесь углубляться в теорию метрических пространств, установим только одно свойство, которое широко используется уже в начальных главах анализа. Теорема 42. Всякое метрическое пространство отделимо, т. е. у любых двух различных точек существуют непересекающиеся окрестности. J Пусть (X , d) — метрическое пространство, x0 ∈ X , y0 ∈ X , x0 6= y0 . Пусть d(x0 , y0 ) = r . Так как x0 6= y0 , то r > 0 . Открытые шары K1 := {x ∈ X | d(x, x0 ) < rÁ2}
и
K2 := {x ∈ X | d(x, y0 ) < rÁ2}
не пересекаются. Действительно, в противном случае существовала бы точка z ∈ K1 ∩ K2 . Для нее имеем: d(x0 , z) < rÁ2 и d(y0 , z) < rÁ2 . С другой стороны, в силу неравенства треугольника имеем: r = d(x0 , y0 ) 6 d(x0 , z) + d(z, y0 ) < Отсюда получаем: r < r — противоречие.
I
r r + = r. 2 2
§ 4. Элементы общей топологии
73
2. Топологические пространства В анализе иногда приходится иметь дело с пространствами, более общими, чем метрические, а именно с топологическими пространствами, поэтому познакомимся и с ними. Определение 68. Топологией, заданной на непустом множестве X, называется совокупность его подмножеств (называемых открытыми множествами), обладающая следующими свойствами: О1 множества ∅ и X открыты; О2 объединение любого семейства открытых множеств открыто; О3 пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто. Утверждения О1—О3 называются аксиомами открытых множеств. На любом множестве X можно задать топологию. Считая, например, открытыми множествами только ∅ и X, легко проверить, что совокупность {∅ ; X} — топология. Эту топологию условимся называть тривиальной. Другим примером топологии на X является совокупность всех подмножеств множества X (так называемый булеан). Свойства О1—О3 для булеана также очевидны. Эту топологию условимся называть дискретной. Если множество X содержит более одного элемента, то на нем тривиальная топология не совпадает с дискретной. Таким образом, на одном и том же множестве, вообще говоря, можно задавать различные топологии. Определение 69. Топологическим пространством называется пара (X; T ), где X — непустое множество, а T — заданная на нем топология. Важнейшими примерами топологических пространств являются метрические пространства. Чтобы в этом убедиться, надо показать, что (в некотором смысле) метрика порождает топологию. Определение 70. Пусть (X ; T ) — топологическое пространство. Семейство C открытых множеств называется базой топологии T , если любое множество из T можно представить в виде объединения некоторого семейства множеств из C . Теорема 43. Пусть (X ; d) — метрическое пространство. Всевозможные открытые шары образуют базу некоторой топологии на X. J Назовем открытыми в X множествами всевозможные объединения открытых шаров. Покажем, что для определенных так открытых множеств выполняются условия О1—О3. Пустое множество открыто как объединение пустого семейства шаров. Множество X открыто как объединение всех шаров. Тем самым показано, что выполнено условие О1. Далее, объединяя объединения открытых шаров, снова получим некоторое объединение открытых шаров. Значит, выполнено условие О2.
74
Глава 2. Формирование понятия числа
Для проверки условия О3 зададим конечное семейство {V1 , . . . , Vn } n T Vk . Надо показать, что множество открытых множеств, и пусть V := k=1
V открыто. С этой целью будем обозначать через Ur (x) открытый шар радиуса r с центром в точке x . Если V 6= ∅ , то, задавая произвольно x ∈ V, найдем открытые шары Ur1 (x), . . . , Urn (x) так, чтобы было: Ur1 (x) ⊂ V1 , . . . , Urn (x) ⊂ Vn .
Обозначая rx = min{r1 , . . . , rn } , имеем Urx (x) ⊂ V1 Отсюда находим V =
[
x∈V
{x} ⊂
\
[
x∈V
...
\
Vn ⊂ V.
Urx (x) ⊂
[
V = V.
x∈V
Так как левая и правая части последнего равенства совпадают с V, то все включения на самом деле являются равенствами, и мы имеем V =
[
Urx (x) ,
x∈V
т. е. множество V открыто как объединение некоторого семейства открытых шаров. I Другие примеры топологических пространств 1) На множестве R всех вещественных чисел с метрикой d(x, y) := := |x − y| открытыми шарами служат открытые интервалы (a , b) . Применив к этой ситуации теорему 43, заключаем, что множество {(a , b) | a, b ∈ R} есть база топологии на R . Эту топологию принято называть естественной. 2) На множестве C всех комплексных чисел с евклидовой метрикой d(z, w) := |z − w| открытыми шарами являются обычные евклидовы круги ¯ {z ∈ C ¯ |z − z0 | < r} .
Семейство всех этих кругов есть база топологии на C . Эту топологию на C также называют естественной. 3) Рассмотрим упорядоченное расширение поля R : e := {−∞} t R t {+∞} = [−∞, +∞] . R
75
§ 4. Элементы общей топологии
e является семейство интервалов Можно показать, что базой топологии на R {(a, b) | a, b ∈ R} , к которому надо присоединить еще два семейства: {[−∞, a) | a ∈ R} и
{(a, +∞] | a ∈ R} .
4) Добавляя к множеству R единственную бесконечно удаленную точку ∞ (т. е. какой-нибудь элемент со свойством ∞ ∈ / R ), получим неупоряb := R t {∞} . На доченное расширение множества R . Обозначим его так: R нем базой топологии является семейство интервалов {(a , b) | a, b ∈ R} , к b которому надо присоединить такое семейство: {RÂ[a, b] | a, b ∈ R} . 5) Добавляя к множеству C единственную бесконечно удаленную точку ∞ (т. е. элемент ∞ ∈ / C ), получим так называемую расширенную комb := C t {∞} . Базу топологии на C b образуют отплексную плоскость: C крытые круги и всевозможные дополнения замкнутых кругов. Определение 71. Пусть X — топологическое пространство, A — его непустое подмножество. Точка x ∈ A называется внутренней точкой множества A , если существует открытое множество U (x) такое, что x ∈ U (x) ⊂ A . Совокупность всех внутренних точек множества A называется его внутренностью и обозначается символом A0 . Теорема 44. Внутренность A0 любого множества A ⊂ X — открытое множество, притом наибольшее (по включению) открытое подмножество множества A . J Пусть x ∈ A0 . По определению 71 существует открытое множество U (x) со свойством { x} ⊂ U (x) ⊂ A . Так как все точки, лежащие в U (x) , — внутренние, то должно быть: {x} ⊂ U (x) ⊂ A0 . Взяв объединение этих множеств по всем x ∈ A0 , получим: [ [ [ 0 A0 = {x} ⊂ U (x) ⊂ A = A0 . x∈A0
Отсюда видно, что A0 =
x∈A0
S
x∈A0
U (x) и, значит, открыто как объединение
x∈A0
открытых множеств. Пусть теперь U ⊂ X — любое другое непустое открытое множество. Если x ∈ U , то имеем {x} ⊂ U ⊂ X , и, значит, точка x ∈ A — внутренняя, т. е. x ∈ A0 . Таким образом, U ⊂ A0 , т. е. множество A0 — максимальное. I Следствие. Равносильны следующие утверждения: (a) множество A ⊂ X — открытое; (b) все точки, принадлежащие A , — его внутренние точки, т. е. A0 = A . Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.
76
Глава 2. Формирование понятия числа
Определение 72. Подмножество V топологического пространства X называется з´ амкнутым, если его дополнение XÂV открыто. Теорема 45. Справедливы следующие утверждения: З1 множества ∅ и X замкнуты; З2 пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто; З3 oбъединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто. J Для доказательства этих утверждений надо воспользоваться определением 72, формулами де Моргана XÂ
[
Uν =
ν
\
(XÂUν ),
ν
XÂ
\ ν
Uν =
[
(XÂUν )
ν
и основными свойствами О1—О3 открытых множеств. I Примерами замкнутых множеств на числовой оси являются: ∅ , R , отрезки [a ; b] , конечные множества точек, замкнутые лучи [a ; +∞) , (−∞ ; b] , а также любые конечные объединения таких множеств. В п. 1 было дано понятие шаровой окрестности точки метрического пространства. Ввиду важности этого понятия дадим общее определение окрестности и изучим некоторые их свойства. Определение 73. Окрестностью точки x топологического пространства X называется произвольное множество, включающее в себя открытое множество, содержащее точку x . Обращаем внимание читателя на то, что окрестность не обязана быть открытым множеством (как ее иногда трактуют). Напротив, окрестность может быть множеством открытым, замкнутым, открыто-замкнутым (т. е. таким, которое является и открытым, и замкнутым), а также ни открытым, ни замкнутым. Теорема 46. Пусть X — топологическое пространство. Pавносильны следующие утверждения: (a) множество A ⊂ X — открытое; (b) множество A есть окрестность каждой точки x ∈ A .
J (a) ⇒ (b) Если A открыто, то из соотношения x ∈ A ⊂ A заключаем, что A — окрестность точки x (согласно определению 73). (b) ⇒ (a) Обратно, предположим, что A — окрестность любой точки x ∈ A . Применяя определение 73, заключаем, что существует открытое множество U (x) такое, что x ∈ U (x) ⊂ A или {x} ⊂ U (x) ⊂ A . Объединяя это по всем x ∈ A , получим A=
[
x∈A
{x} ⊂
[
x∈A
U (x) ⊂
[
x∈A
A = A , откуда A =
[
x∈A
U (x) .
§ 4. Элементы общей топологии
77
Таким образом, множество A открыто как объединение открытых множеств. I Отметим также, что объединение любого семейства окрестностей точки x является окрестностью точки x , и что пересечение любого конечного семейства окрестностей точки x также является окрестностью точки x . Определение 74. Замыканием A подмножества A топологического пространства X называется наименьшее (по включению) замкнутое множество, содержащее A . Все точки, принадлежащие замыканию A , называются точками прикосновения множества A . Замечание. Из очевидных включений A0 ⊂ A ⊂ A ⊂ X вытекает, что точками прикосновения множества A являются все точки, принадлежащие этому множеству, и, в частности, все его внутренние точки. Кроме того, точками прикосновения множества A являются все точки его границы Fr A := AÂA0 .Точку прикосновения x множества A можно охарактеризовать еще тем, что A ∩ U 6= ∅ , где U — любая окрестность точки x . Точка прикосновения x множества A называется изолированной, если существует такая еe окрестность U , что A∩U = {x} . В противном случае она называется предельной точкой множества A . Точки, не являющиеся точками прикосновения множества A , т. е. не принадлежащие его замыканию A , называются внешними (по отношению к множеству A). Определение 75. Топологическое пространство называется отделимым, если у любых двух различных его точек существуют непересекающиеся21 окрестности. O1 X1 В теореме 42 установлена отделимость любого метO2 X2 рического пространства. Покажем на примере, что сущестРис. 12. Пример неотделимого вуют неотделимые топологипространства ческие пространства. Возьмем две числовые оси O1 X1 и O2 X2 , пересечение которых пусто. Склеим их отрицательные лучи, отождествляя между собой точки, имеющие одинаковые (отрицательные) координаты. В результате возникает топологическое пространство, напоминающее «вилку» (рис. 12). Оно не является отделимым, поскольку любые окрестности точек O1 и O2 имеют непустое пересечение, состоящее из точек с достаточно малыми по модулю отрицательными координатами. Из неотделимости вытекает, что на этом топологическом пространстве невозможно ввести метрику, которая бы порождала его топологию. Таким образом, понятие топологического пространства является существенно более общим, чем понятие метрического пространства. 21 или
дизъюнктные, т. е. такие, пересечение которых пусто.
78
Глава 2. Формирование понятия числа
Задачи к главе 2 2.1. Применяя метод полной индукции, доказать следующие тождества (n ∈ N) : n · (n + 1) a) 1 + 2 + . . . + n = ; 2 b) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ; n(n + 1)(2n + 1) ; 6 d) 13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 ; c) 12 + 22 + . . . + n2 =
e) (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ . 2.2. Доказать следующие неравенства (n ∈ N) : ¶n µ n+1 при n > 1 ; a) n! < 2
b) 2! · 4! · . . . · (2n)! > [(n + 1)!]n при n > 1 ;
c)
1 3 2n − 1 1 · · ... · < √ ; 2 4 2n 2n + 1
d) nn+1 > (n + 1)n при n > 3 ; e) (2n)! < 22n · (n!)2 ; ¯ µ n ¶¯ n ¯ ¯ P P f) ¯¯sin xk ¯¯ 6 sin xk , где 0 6 xk 6 π , k = 1 , 2 , . . . , n . k=1
k=1
2.3. Доказать, что ∀n ∈ N следующие выражения делятся на k : a) n · (2n2 − 3n + 1) , k = 6 ; b) 62n−2 + 3n+1 + 3n−1 , k = 11 ; c) 11n+1 + 122n−1 , k = 133 ; d) n2 − n , k = 5 .
2.4. Построив соответствующие равенства: a)
√
2+
√
8=
√
18 ;
сечения,
b)
√
доказать
2·
√
3=
√
следующие
6.
2.5. Используя метод сечений Дедекинда, доказать существование следующих вещественных чисел: a) корня степени n ∈ N из положительного числа α ; b) числа αp , где α > 0 , p ∈ Q ;
§ 4. Элементы общей топологии
79
c) числа αβ , где α , β ∈ R , причем α > 0 ; d) числа logα β , где α , β > 0 , причем α 6= 1 . 2.6. Представить следующие комплексные числа в алгебраической форме: √ 1−i 2 1 ; ; ; (1 + i 3)3 ; (1 + i)5 . i 1+i 1 − 3i 2.7. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел: 7 ; −2 ; 3i ; 1 + i ; −1 − i ; 2 + 5i ; 2 − 5i ; −2 + 5i ; 1+i ; −3 + 4i . −2 − 5i ; 1−i 2.8. Что можно сказать о числах a и b , если известно, что a < b ? 2.9. Доказать счeтность следующих множеств: a) множества всех чeтных чисел; b) множества всех нечeтных чисел; c) множества Q . 2.10. Доказать несчeтность следующих множеств: R ; множества R+ всех положительных чисел; отрезка [0 , 1] . 2.11. Вычислить суммы: a) 1 + 11 + . . . + 11 . . . 1 ; 3 2n − 1 1 ; b) + 2 + . . . + 2 2 2n 2 c) 1 + 2x + 3x + . . . + (n + 1)xn ; d) xn + 2xn−1 + . . . + (n − 1)x2 + nx ; n P 1 e) ; k=1 (3k − 2)(3k + 1) n P 1 f) ; k=1 (2k − 1)(2k + 1)(2k + 3) n P 1 g) ; k=1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) n P sin2 kx ; h) k=1
i)
j) k)
n P
k=1 n P
k=1 n P
sin(2k − 1)x ; cos3 2x ;
k=1
cos(2k − 1)x .
80
Глава 2. Формирование понятия числа 2.12. Пусть E ⊂ R . Символом E 0 обозначим совокупность всех предельных точек множества E , а через E — замыкание множества E . Привести примеры множества E , для которого выполнялось бы одно из следующих соотношений: ( E0 $ E , 0 а) E = E ; b) EÂE 0 6= ∅ ; ( ( E 0 ÂE 6= ∅ , E $ E0 , d) c) EÂE 0 6= ∅ ; E 0 ÂE 6= ∅ ; e) E ∩ E 0 = ∅; g) sup E ∈ / E;
f) sup E ∈ E;
h) sup E ∈ EÂE 0 .
2.13. Пусть E ⊂ R . Oбозначим Fr E границу множества E . Доказать, что если A ⊂ R , B ⊂ R , то: a) Fr (A ∪ B) ⊂ (Fr A) ∪ (Fr B) ; b) Fr (A ∩ B) ⊂ (Fr A) ∪ (Fr B) .
Глава 3 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ § 1. Последовательности и их пределы 1. Определения и примеры Пусть X — произвольное непустое множество, а N — множество всех натуральных чисел. Определение 76. Последовательностью элементов множества X называется отображение f : N −→ X. Значение f (n) называется n -м членом последовательности. Обозначив xn = f (n), последовательность часто записывают в следующих формах: (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ,
(xn )∞ n=1 ,
(xn ) ,
xn ,
или так x1 , x2 , . . . , xn , . . . , где, как обычно, многоточия символизируют члены, которые явно не выписаны. В отличие от записи (x1 , x2 , . . . xn , . . . ) запись {x1 , x2 , . . . xn , . . . } будет означать множество всех членов последовательности (xn ). Например, (1, 1, . . . , 1, . . . ) — постоянная последовательность, т. е. xn = 1 для всех n ∈ N , а {1, 1, . . . , 1, . . . } — множество {1}, состоящее из одного элемента, равного 1. Последовательности подразделяются в зависимости от природы элементов множества X. Так, если элементами множества X являются числа, функции и т. п., то соответствующие последовательности называются числовыми, функциональными и т. п. В этой главе будем изучать только числовые последовательности, т. е. будем считать, что X — непустое числовое множество. Числовые последовательности подразделяются на вещественные и комплексные в зависимости от того, какое из следующих включений X ⊂ R или X ⊂ C
82
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
имеет место. Предполагая, что X — произвольное топологическое пространство, дадим общее определение понятия предела последовательности. Определение 77. Говорят, что последовательность (xn )∞ n=1 элементов xn ∈ X имеет пределом точку a ∈ X (или сходится к точке a ∈ X ), если для любой окрестности V (a) точки a ∈ X существует номер nV ∈ N такой, что ∀n > nV : xn ∈ V (a). Кратко это записывается в виде1 : lim xn = a или в виде xn → a n→∞ при n → ∞ . Запишем определение 77 в другой, более обозримой форме lim xn = a
n→∞
def
⇐⇒
∀V (a) ∃nV ∈ N ∀n > nV : xn ∈ V (a) .
(3.1)
Такая запись не только более обозрима, но и позволяет, например, просто сформулировать утверждение «Последовательность (xn ) не сходится к точке a»: lim xn 6= a ⇐⇒ ∃V (a) ∀nV ∈ N ∃n > nV : xn ∈ / V (a) .
n→∞
Конкретизируя в определении 77 топологическое пространство X, будем получать определения предела соответствующей последовательности (например, числовой, функциональной и т. п.). Рассматривая числовые последовательности, удобно наряду с произвольными окрестностями точек рассматривать так называемые ε -окрестности (замкнутые либо открытые). Определение 78. Пусть ε ∈ R+ . Замкнутой ε -окрестностью точки a ∈ C называется замкнутый круг |z − a| 6 ε с центром в точке a радиуса ε . Открытой ε -окрестностью точки a ∈ C называется открытый круг |z − a| < ε . Определение 79. Пусть снова ε ∈ R+ . Замкнутой ε -окрестностью точки a ∈ R называется отрезок [a − ε ; a + ε], а открытой — интервал (a − ε ; a + ε) с центром в точке a радиуса ε. Теперь конкретизируем определение 77 применительно к числовым последовательностям, взяв в качестве окрестностей соответствующие ε -окрестности. 1 В тех случаях, когда заранее не известно, выполняется ли для последовательности (xn )∞ lim xn n=1 условие, указанное в приведенном определении, запись n→∞ рассматривается как задача.
§ 1. Последовательности и их пределы
83
Определение 80. Числовая последовательность называется сходящейся к числу c, если для любого ε > 0 существует номер nε ∈ N , начиная с которого выполняется неравенство: |zn − a| 6 ε . Перепишем его в форме, аналогичной (3.1). lim zn = c
n→∞
def
⇐⇒
∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : |zn − a| 6 ε . (3.2)
Это определение годится как для вещественных, так и для комплексных числовых последовательностей. Различие начинает проявляться лишь тогда, когда требуется конкретизировать окрестность |zn − a| 6 ε (т. е. уточнить, что это — круг или отрезок?). Числовую последовательность, которая не сходится ни к какому числу, принято называть расходящейся. Этот термин будет означать, что предел lim zn либо не существует, либо он существует, но не n→∞ является числом. Рассмотрим примеры на применение определения предела последовательности. 1 1 = 0. 1) Пусть xn = . Покажем, что lim n→∞ n n J Задавая число ε > 0 , станем искать какое-нибудь nε ∈ N , для ¯ ¯ ¯ 1 ¯ которого ¯¯ − 0¯¯ 6 ε . Последнее неравенство равносильно неравенству nε nε > 1Áε . Учитывая, что nε должно быть целым, полагаем nε := [1Áε]+1 , где [· · · ] означает целую часть. Так как [1Áε]+1 > 1Áε , то ∀n > n ε будет: n > 1Áε или 1Án 6 ε . I 2) Покажем, что lim q n = 0 , если |q| < 1 . n→∞
J Задавая число ε ∈ (0 ; 1) , будем искать какое-нибудь nε ∈ N , для которого |q nε − 0| 6 ε . Последнее неравенство равносильно такому: |q|nε 6 ln ε 6 ε , или nε · ln |q| 6 ln ε , или nε > . Поэтому, учитывая, что nε ∈ N , ln |q| ¸ · ln ε ln ε + 1 . Тогда при n > nε будет: n > достаточно положить nε = , ln |q| ln |q| n что равносильно такому неравенству |q| 6 ε . I 3) Последовательность 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . расходится. J Запишем общий член данной последовательности в виде xn = = (−1)n+1 . Предполагая, что lim xn = a , имеем: n→∞
¯ ¯ ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : ¯(−1)n+1 − a¯ 6 ε .
84
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
Полагая здесь ε = 1Á2 , получим соответственно для четных и нечетных значений n следующую систему неравенств: 1 |1 + a| 6 , 2 1 |1 − a| 6 . 2 Эта система несовместна, так как 2 = |1 + 1| = |(1 + a) + (1 − a)| 6 |1 + a| + |1 − a| 6
1 1 + = 1, 2 2
т. е. 2 6 1 — противоречие. I
2. Общие свойства пределов. Предел и арифметические операции Определение 81. Последовательность вещественных чисел (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если соответствующим свойством обладает множество {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} всех ее членов. Отметим, что для последовательностей комплексных чисел имеет смысл только понятие ограниченности. Теорема 47. (a) Любая окрестность предела сходящейся последовательности содержит все члены последовательности, кроме конечного их числа. (b) Последовательность не может иметь двух различных пределов. (c) Сходящаяся последовательность ограничена. (d) Предел постоянной последовательности равен этой постоянной. J (a) Пусть lim zn = c. По определению 77 имеем n→∞
∀V (c) ∃nV ∈ N ∀n > nV : xn ∈ V (c) . Отсюда видно, что не принадлежащие окрестности V (c) члены последовательности (zn ) могут находиться только среди первых (nV − 1) членов z1 , z2 , . . . , znV −1 , которых конечное число. (b) Предположим противное, а именно: lim zn = c1 ,
n→∞
lim zn = c2 , c1 6= c2 .
n→∞
85
§ 1. Последовательности и их пределы
Применяя свойство отделимости (теорему 42), заключаем, что существуют окрестности V (c1 ) и V (c2 ) такие, что V (c1 ) ∩ V (c1 ) = ∅ . Далее, по определению предела имеем ( ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : zn ∈ V (c1 ) , ∃n2 ∈ N ∀n > n2 : zn ∈ V (c2 ) . Отсюда при n > max{n1 , n2 } будет zn ∈ V (c1 ) ∩ V (c2 ) = ∅ , т. е. zn ∈ ∅ — противоречие. (c) Пусть lim zn = c. Взяв ε = 1 и применив определение 80, n→∞ имеем ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : |zn − c| 6 1 ,
но так как |zn − c| > |zn | − |c|, то |zn | 6 1 + |c| при n > nε . Таким образом, ∀n ∈ N : |zn | 6 M , где M := max{|z1 | , . . . , |zn1 −1 | , 1 + |c|}. (d) Если zn = c для всех n , то ∀ε ∈ R+ ∀n ∈ N будет |zn − c| = |c − c| = 0 < ε . I
Арифметические операции над числовыми последовательностями определяются естественным образом2 . Пределы получающихся таким образом последовательностей можно вычислять, пользуясь следующей теоремой. ∞ ∞ Теорема 48. Пусть (zn )n=1 и (wn )n=1 — сходящиеся числовые последовательности, и пусть lim zn = z и lim wn = w . Тогда: (a) lim (zn + wn ) = z + w ;
n→∞
n→∞
n→∞
(b) lim (c · zn ) = c · z ; lim (c + zn ) = c + z для любого числа c; n→∞
n→∞
(c) lim zn · wn = z · w ; n→∞µ ¶ 1 1 = , если z 6= 0 , zn 6= 0 для всех n ∈ N . (d) lim n→∞ zn z J (a) Зададим число ε > 0. По числу εÁ2 найдем номера n1 , n2 ∈ N такие, что ε ∀n > n1 : |zn − z| 6 , 2 ∀n > n2 : |wn − w| 6 ε . 2
2 Это означает, что сумма, разность, произведение и частное последовательностей (xn ) и (yn ) определяются как последовательности с общими членами xn соответственно. xn ± yn , xn · yn и yn
86
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
Полагая nε := max{n1 ; n2 }, при n > nε получим |(zn + wn ) − (z + w)| = |(zn − z) + (wn − w)| 6 6 |zn − z| + |wn − w| 6
ε ε + = ε. 2 2
(b) Если c = 0, то утверждение очевидно. Пусть c 6= 0. Задавая ε ∈ R+ , по числу c найдем номер nε ∈ N так, чтобы было: ε ∀n > nε : |zn − z| 6 . При тех же значениях n имеем |c| |c · zn − c · z| = |c · (zn − z)| = |c| · |zn − z| 6 |c| ·
ε = ε. |c|
Второе из утверждений (b) доказывается совсем просто: если |zn − z| 6 ε , то |(c + zn ) − (c + z)| = |zn − z| 6 ε . (c) Воспользуемся тождеством zn · wn − z · w = (zn − z) · (wn − w) + z · (wn − w) + w · (zn − z) . (3.3) Задавая ε ∈ R+ , найдем n1 , n2 ∈ N такие, что ( √ ∀n > n1 : |zn − z| 6 ε , √ ∀n > n2 : |wn − w| 6 ε . Взяв nε = max{n1 ; n2 } , при n > nε будем иметь √ √ |(zn − z)(wn − w)| = |zn − z| · |wn − w| 6 ε · ε = ε . Применяя теперь (a) и (b) к тождеству (3.3), найдем lim (zn · wn ) = lim [z ·w +(zn −z)(wn −w)+z ·(wn −w)+w ·(zn −z)] =
n→∞
n→∞
= z ·w + lim (zn −z)(wn −w)+z · lim (wn −w)+w · lim (zn −z) = z ·w . n→∞
n→∞
n→∞
|z| . (d) Выберем n0 ∈ N так, чтобы было ∀n > n0 : |z − zn | 6 2 При тех же значениях n будет |z| |z| 1 2 > |z − zn | > |z| − |zn | , откуда |zn | > , т. е. 6 . 2 2 |zn | |z|
87
§ 1. Последовательности и их пределы Задавая ε ∈ R+ , найдем nε ∈ N так, чтобы было nε > n0 и 2
∀n > nε : |zn − z| 6
|z| · ε. 2
При тех же значениях n будем иметь ¯ ¯ 2 ¯1 ¯ ¯ − 1 ¯ = |zn − z| 6 |z| · ε · 1 · 2 = ε . I ¯ zn z ¯ |zn | · |z| 2 |z| |z|
∞
Теорема 49. Сходимость последовательности (zn )n=1 комплексных чисел zn = xn +iyn равносильна сходимости последователь∞ ∞ ностей (xn )n=1 и (yn )n=1 , причем lim zn = lim xn + i · lim yn . n→∞
n→∞
n→∞
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение 82. Числовая последовательность называется бесконечно малой (б. м.), если lim αn = 0. n→∞
Очевидно следующее утверждение:
¡
αn
¢∞
n=1
lim zn = z ∈ C ⇐⇒ αn — б. м. последовательность, где αn := zn −z ,
n→∞
широко используемое при вычислении пределов. ¡ ¢∞ Определение 83. Числовая последовательность zn n=1 называется бесконечно большой (б. б.), если ∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : |zn | > E .
(3.4)
Обозначается это так: lim zn = ∞ . Например, последовательn→∞
ность с общим членом xn = (−1)n · n является бесконечно большой, поскольку, полагая nE := [E] + 1, при n > nE имеем |xn | = n > nE = [E] + 1 > E. Обращаясь к определению 77, видим, ¡ что ¢∞ бесконечно большую последовательность комплексных чисел zn n=1 можно рассматривать как сходящуюся к точке ∞ в некотором топологическoм пространстве, каковым в данном случае является расширенная комплексная
88
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
b = C t {∞}. В частности, бесконечно большую последоплоскость C ¡ ¢∞ вательность вещественных чисел xn n=1 можно рассматривать как b множесходящуюся к точке ∞ в неупорядоченном расширении R ства R всех вещественных чисел. Частными случаями бесконечно больших последовательностей являются последовательности вещественных чисел, сходящиеся соответственно к (+∞) и к (−∞). Такого рода бесконечно большие последовательности можно определить следующим образом: def
lim xn = −∞
⇐⇒
∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : xn 6 −E;
lim xn = +∞
⇐⇒
∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : xn > E .
n→∞ n→∞
def
Их можно рассматривать как последовательности, сходящиеся в упорядочeнном расширении e = {−∞} t R t {+∞} R
множества R всех вещественных чисел. ¡ ¢∞ Теорема 50. Пусть zn n=1 — последовательность чисел, отличных от нуля. Равносильны¡ следующие утверждения: ¢∞ (a) последовательность zn n=1 — бесконечно большая; ∞
(b) последовательность (1Ázn )n=1 — бесконечно малая. J (a)⇒ (b) Пусть выполнено (3.4). Задавая ε ∈ R+ , положим E := 1Áε . Очевидно, что из неравенства (3.4) следует неравенство |1Ázn | 6 ε . (b)⇒ (a) Пусть lim 1Ázn = 0, т. е. n→∞
∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀n > nε : |1Ázn | 6 ε . Полагая E := 1Áε , из последнего неравенства получим неравенство (3.4). I Замечание. Используя теоремы о пределах, в некоторых случаях арифметические операции над числами можно распространить и на элементы +∞ , −∞ и ∞ , рассматривая их как бесконечно большие числа3 . 1 1 Так, последняя теорема дает основание считать, что := 0 , := ∞ . ∞ 0 3 Напомним,
что на самом деле они не являются числами.
89
§ 1. Последовательности и их пределы Кроме того, для любого числа a можно дать такие определения: ( a + ∞ = ∞, a · ∞ = ∞ при a 6= 0 ,
(3.5)
а также + ∞ + ∞ := +∞ ;
Однако выражениям типа 0 , 0
∞ , ∞
−∞ − ∞ := −∞ .
0·∞ ,
(3.6)
+∞ − ∞
(и некоторым выражениям других типов) заранее невозможно приписать определенные значения. Это так называемые неопределенные выражения. Их раскрытие (т. е. приписывание им конкретных значений) — одна из основных задач теории пределов.
Числовые последовательности иногда можно сравнивать между собой в зависимости от их асимптотики (т. е. от их свойств при n → ∞). Определим здесь соответствующие понятия. ∞ ∞ Определение 84. Пусть (an )n=1 и (bn )n=1 — числовые последовательности. Говорят, что: (a) последовательность (an ) имеет порядок не выше, чем (bn ) при n → ∞ , если выполняется условие ∃M ∈ R+ ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an | 6 M · |bn | ; oбозначается это так4 : an = O(bn ) при n → ∞ ; (b) последовательности (an ) и (bn ) имеют одинаковый порядок при n → ∞ , если выполняются оба условия an = O(bn ) и bn = O(an ); oбозначается это так: an ³ bn при n → ∞ ; (c) последовательности (an ) и (bn ) эквивалентны при n → ∞ , an если lim = 1; oбозначается это так: an ∼ bn при n → ∞ . n→∞ bn (d) последовательность (an ) является бесконечно малой по сравнению с последовательностью (bn ) при n → ∞ , если выполняется условие ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀n > nε : |an | 6 ε · |bn | ; oбозначается это так: an = o(bn ) при n → ∞ . 4 Символы
O и o происходят от немецкого Ordnung — порядок.
90
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
Замечания. 1. В этих обозначениях запись an = O(1) при n → ∞ означает, что последовательность (an ) ограничена, а запись an = o(1) при n → ∞ означает, что последовательность (an ) бесконечно мала (в смысле определения 82). 2. Символы O и o иногда называют «символами Ландау5 », а символы ³ и ∼ – «символами Харди6 ».
§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы. Критерий Коши. Полнота 1. Предел и неравенства Поскольку в этом параграфе речь будет идти о неравенствах, то будем рассматривать здесь только последовательности вещественных чисел. ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ Теорема 51. (a) Пусть xn n=1 и yn n=1 — две последовательe , причем ности, имеющие пределы в R lim xn = a ,
n→∞
lim yn = b , a < b .
n→∞
Тогда ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : xn < yn . ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ (b) Пусть последовательности xn n=1 , yn n=1 , zn n=1 таковы, что ∀n ∈ N : xn 6 yn 6 zn и
lim xn = lim zn = a .
n→∞
n→∞
Тогда lim yn = a. n→∞
e существуют J (а) Так как a < b, то по свойству отделимости в R окрестности V (a) и V (b) такие, что V (a) ∩ V (b) = ∅ . Более того, 5 Ландау Эдмунд Георг Герман (1877—1938) — немецкий математик, написавший курс анализа, построенный с безупречной логической строгостью. 6 Харди Готфри Харолд (1877—1947) — английский математик.
§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы
91
так как a < b, то эти окрестности можно выбрать так, чтобы V (a) e левее окрестности V (b), т. е. так, чтобы было лежала на R ∀x ∈ V (a) ∀y ∈ V (b) : x < y .
Далее имеем lim xn = a ⇐⇒ ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : xn ∈ V (a) , n→∞
lim yn = b ⇐⇒ ∃n2 ∈ N ∀n > n2 : yn ∈ V (b) . n→∞
Полoжим n0 := max{n1 , n2 }. Тогда ∀n > n0 будет xn ∈ V (a) , yn ∈ V (b) и, значит,
xn < yn .
(b) Зададим окрестность V (a) в виде промежутка. Найдем номера n1 , n2 ∈ N так, чтобы было ( ∀n > n1 : xn ∈ V (a) , ∀n > n2 : zn ∈ V (a) . Затем полагаем nV := max{n1 , n2 }. Тогда ∀n > nV будет yn ∈ [xn , zn ] ⊂ V (a) ,
т. е. ∀n > nV : yn ∈ V (a) .
Таким образом, lim yn = a . I n→∞
Следствие. Если lim xn = a , lim yn = b , и ∀n ∈ N : xn 6 yn , n→∞ n→∞ то a 6 b . J Предполагая противное: a > b и применяя теорему 51(a), приходим к противоречию: xn > yn , начиная с некоторого номера. I Замечание. Строгое неравенство между последовательностями может в пределе переходить в равенство. Например, 1Án > 0 , но
lim 1Án = 0 .
n→∞
Теорема 52. У любой монотонной последовательности суe . Если, кроме того, она ограничена, ществует предел, лежащий в R то этот предел — число. Если же она не ограничена, то этот предел равен (+∞) в случае неубывания и (−∞) в случае невозрастания.
92
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
¡ ¢∞ J Предположим, что последовательность xn n=1 не убывает, т. е. x1 6 x2 6 . . . xn 6 . . . . Положим a := sup{x1 , x2 , . . . , xn , . . .} и покажем, что lim xn = a. Возьмем окрестность V (a) точки a в n→∞
виде промежутка, открытого слева. Так как a ∈ V (a), то точка a не является левым концом промежутка V (a). Следовательно, ∃e x∈ ∈ V (a) : x e < a. Так как V (a) — промежуток, то [e x , a] ⊂ V (a). Поскольку x e < a = sup{x1 , x2 , . . . xn , . . .} ,
то x e не является верхней границей множества {x1 , x2 , . . . xn , . . .}. Поэтому ∃e n ∈ N : xne ∈ (e x , a) ⊂ V (a) .
¡ ¢∞ Так как последовательность xn n=1 не убывает, то
∀n > n e : xn > xne > x e , т. е. xn ∈ V (a) .
Значит, a = lim xn . n→∞
И наконец, a ∈ R или a = +∞ в зависимости от того, ограни¡ ¢∞ чена сверху последовательность xn n=1 или не ограничена. ¡ ¢∞ Случай, когда последовательность xn n=1 не возрастает, можно рассмотреть аналогично. Читателю предлагается сделать это самостоятельно. I Теорема 53 («второй замечательный µ ¶n предел»). Последова1 тельность с общим членом xn = 1 + сходится в R . n J Положим x0n := (1 + 1Án)n+1 = (1 + 1Án) · xn . Так как lim (1 + 1Án) = 1, то lim x0n = lim xn , если хотя бы один из n→∞ n→∞ n→∞ этих пределов существует. Поэтому достаточно доказать существо-
вание конечного предела lim x0n . С этой целью, используя теорему n→∞ ¡ ¢∞ 52, достаточно установить, что последовательность x0n n=1 монотонно убывает и ограничена снизу. Последнее выполняется в силу очевидного неравенства x0n = (1 + 1Án)n+1 > 1. Чтобы доказать ее
§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы
93
неубывание, используем неравенство Бернулли (1 + α)n > 1 + n · α при α > − 1. Имеем ¶n µ ¶n+1 n · = n+1 µ ¶n n n2 n2n+1 = = · = (n − 1)n (n + 1)n+1 n+1 n2 − 1 µ µ ¶n ¶ 1 n n n · 1+ 2 · 1+ 2 > > = n+1 n −1 n+1 n −1 µ ¶ ³ n n´ n 1 > · 1+ 2 = 1+ = 1. n+1 n n+1 n
x0n−1 (1 + 1Á(n − 1))n = = x0n (1 + 1Án)n+1
µ
n n−1
Итак, x0n−1 Áxn > 1, откуда x0n−1 > x0n . I µ
(3.7)
¶n 1 = e . Известно, n→∞ n что e — число иррациональное7 , и первые его десятичные знаки таковы: e = 2 . 718281828459045. . . . Это число имеет исключительно большое значение в анализе, так как его использование ведет к упрощению многих формул. Показательная функция y = ex называется экспонентой и в связи с этим обозначается иногда формулой y = exp(x) . Логарифмы при основании e называются натуральными, а для соответствующей логарифмической функции принято обозначение y = ln x . ¶n µ 1 2. Непосредственная подстановка в выражение 1 + вместо n n ∞ символа ∞ приводит к выражению вида 1 , которое, таким образом, является неопределенным. Для раскрытия неопределенностей такого типа можно, вообще говоря, использовать теорему 53 и ее аналоги. Замечания. 1. Принято обозначение lim
1+
Теорема 54 («важные пределы»). 1 (a) Если p ∈ R+ , то lim p = 0. n→∞ n √ (b) Если p ∈ R+ , то lim n p = 1. n→∞ √ (c) lim n n = 1. n→∞
nα = 0. n→∞ (1 + p)n
(d) Если p ∈ R+ , α ∈ R , то lim
7 и даже трансцендентное, т. е. не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Числа, не являющиеся трансцендентными, называются алгебраическими.
94
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
£ ¤ J (a) Задавая ε ∈ R+ , положим nε := (1Áε)1Áp + 1. Тогда при n > nε будем иметь 1 1 1 1 ¤ ¢p 6 ¡ ¢p = ε . 6 p = ¡£ 1Áp np nε (1Áε) +1 (1Áε)1Áp √ (b) При p > 1 полагаем xn := n p − 1 > 0. Отсюда, используя неравенство Бернулли, находим: 1 + n · xn 6 (1 + xn )n = p , и, значит, p−1 . Переходя здесь к пределу и используя теорему 51(b), 0 < xn < n получим lim xn = 0. Случай p = 1 тривиален8 . В случае 0 < p < 1 n→∞ требуемый результат можно получить, переходя к обратным величинам. √ (с) Положим xn := n n − 1 > 0. Отсюда, используя формулу бинома Ньютона, находим: 0
1 + · xn . 2 2
Отсюда в силу транзитивности следует неравенство n(n − 1) 2 · xn , 2 √ из которого следует, что 0 < xn < 2Án . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим lim xn = 0. n>1+
n→∞
(d) Выберем k ∈ N так, чтобы было k > α . При n > 2k , используя формулу бинома Ньютона, получим n
(1 + p) =
µ ¶ n k p = p > k k
n µ ¶ X n
k=0
k
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) k ³ n ´k pk ·p > . · k! 2 k! ³ n ´k p k · Отсюда находим (1 + p)n > . Используя это неравенство, 2 k! получим nα 2k · k! · nα 2k · k! 1 0< < = · k−α . n k k (1 + p) n ·p pk n =
8 т.
е. очевиден.
95
§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы
Так как k > α , то по доказанной части этой теоремы (случай (а)) правая часть последнего неравенства при n → ∞ стремится к нулю. I
2. Нижний и верхний пределы последовательности ¡ ¢∞ Не для всякой последовательности xn n=1 вещественных чисел xn существует предел lim xn . Определяемые здесь нижний и верхn→∞ ний пределы отличаются прежде всего тем, что они существуют для любой последовательности вещественных чисел. ¡ ¢∞ Определение 85. Пусть xn n=1 — последовательность вещественных чисел. Каждому n ∈ N сопоставим множество Xn := {xn , xn+1 , xn+2 , . . .} , и с его помощью образуем две последовательности ¡ ¢∞ vn n=1 , полагая un := inf Xn ;
vn := sup Xn .
¡
un
¢∞
n=1
и
(3.8)
¡ ¢∞ Нижний и верхний пределы последовательности xn n=1 определим соответственно равенствами: lim xn := lim un ;
n→∞
n→∞
lim xn := lim vn .
n→∞
n→∞
(3.9)
¡ ¢∞ Теорема 55. Для любой последовательности xn n=1 вещественных чисел xn оба предела (3.8) существуют и связаны неравенствами: − ∞ 6 lim xn 6 lim xn 6 +∞ . (3.10) n→∞
n→∞
J Очевидно, что Xn = {xn , xn+1 , . . .} 6= ∅ и Xn ⊃ Xn+1 . Поэтому справедливы такие неравенства: − ∞ 6 un 6 un+1 6 vn+1 6 vn 6 +∞ . (3.11) ¡ ¢∞ Из этих неравенств видно, что последовательность un n=1 не убы¡ ¢∞ вает, а последовательность vn n=1 не возрастает. Отсюда на основании теоремы 52 заключаем, что оба предела в правых частях равенств
96
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
(3.9) существуют. Переходя к пределу в неравенствах (3.11), получим неравенства (3.10). I Пример. Предел lim (−1)n не существует. Но так как для последоn→∞
вательности xn := (−1)n имеем: Xn = {−1 , +1} , то un ≡ −1 , vn ≡ +1 . Значит, lim (−1)n = lim un = −1 ,
n→∞
n→∞
lim (−1)n = lim vn = +1 .
n→∞
n→∞
Теорема 56. Существование предела lim xn последовательноn→∞ сти xn равносильно совпадению ее нижнего и верхнего пределов. В этом случае lim xn = lim xn = lim xn . (3.12) n→∞
n→∞
n→∞
J Предположим, что lim xn = lim xn = a. В силу равенств n→∞
n→∞
(3.8) для любого n ∈ N имеем: un 6 xn 6 vn . Переходя здесь к пределу и используя теорему 51(b), получим равенство (3.12). e. Обратно, предположим, что существует предел lim xn = a ∈ R n→∞ Если a — число, то ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : a − ε 6 xn 6 a + ε . Отсюда заключаем, что Xn = {xn , xn+1 , . . .} ⊂ [a − ε ; a + ε] . Взяв здесь inf и sup по всем n > nε , получим a − ε 6 u n 6 vn 6 a + ε . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , найдем: a − ε 6 lim xn 6 lim xn 6 a + ε , n→∞
n→∞
т. е. 0 6 lim xn − lim xn 6 2ε . Отсюда в пределе при9 ε → +0 n→∞
n→∞
получаем: lim xn = lim xn . n→∞
9 Символы
n→∞
ε → ±0 означают, что ε → 0, сохраняя соответствующий знак.
97
§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы Если a = +∞ , то ∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : xn > E, или, что равносильно, Xn ⊂ [E , +∞], и, значит, E 6 un 6 vn 6 +∞ . Отсюда в пределе при n → ∞ получим E 6 lim xn 6 lim xn 6 +∞ . n→∞
n→∞
Переходя здесь к пределу при E → +∞ , имеем: lim xn = lim xn = +∞ .
n→∞
n→∞
Аналогично можно рассмотреть случай lim xn = −∞ . I n→∞
3. Критерий Коши. Полнота Определение 86. Последовательность фундаментальной10 , если
¡
xn
¢∞
n=1
называется
∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |xn − xm | 6 ε .
(3.13)
57 (критерий Коши11 ). Последовательность ¢Теорема ∞ xn n=1 сходится в R, если и только если она фундаментальна. ¡ ¢∞ J Сначала предположим, что последовательность xn n=1 сходится в R, т. е. lim xn = a ∈ R . По определению это означает, что
¡
n→∞
∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀n > nε : |xn − a| 6
ε . 2
Заменяя здесь n на m, получим ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m > nε : |xm − a| 6 10 или
ε . 2
сходящейся в себе, или последовательностью Коши. Огюстэн Луи (1789—1857) — знаменитый французский математик, один из создателей теории пределов. 11 Кош´ и
98
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
Используя последние неравенства и неравенство треугольника, ∀m, n > nε имеем |xn − xm | = |(xn − a) + (a − xn )| 6 |xn − a| + |a − xn | 6
ε ε + = ε, 2 2
т. е. выполнено условие (3.13). Теперь предположим, что выполнено условие (3.13). Полагая в нем m = nε , будем иметь |xn − xnε | 6 ε , что равносильно такому условию: ∀n > nε : xnε − ε 6 xn 6 xnε + ε или
и, значит,
Xn := {xn , xn+1 , . . .} ⊂ [xnε − ε ; xnε + ε] , xnε − ε 6 inf Xn 6 sup Xn 6 xnε + ε .
Переходя здесь к пределу при n → ∞, получим
(3.14)
xnε − ε 6 lim xn 6 lim xn 6 xnε + ε . n→∞
n→∞
Из этих неравенств легко следует, что 0 6 lim xn − lim xn 6 2ε . n→∞
n→∞
Переходя здесь к пределу при ε → +0, видим, что
lim xn =
n→∞
lim xn . Поэтому на основании теоремы 56 заключаем, что предел
n→∞
lim xn существует, а из неравенств (3.14) следует, что этот предел — n→∞ число. I Замечание. Критерий Коши выражает так называемое свойство полноты множества R всех вещественных чисел (т. е. то же самое свойство, которое в другой форме выражает и теорема Дедекинда). Оно имеет смысл и для произвольных метрических пространств. Однако понятие полноты не имеет смысла для произвольных топологических пространств, поскольку в таких пространствах нет метрики.
¡ ¢∞ Определение 87. Последовательность xn n=1 элементов метрического пространства (X ; d) называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если выполнено условие: ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : d(xm ; xn ) 6 ε .
§ 3. Компактность числовых множеств
99
Метрическое пространство (X ; d) называется полным, если любая фундаментальная последовательность элементов из X сходится12 в X. Теорема 58. Множество C всех комплексных чисел является полным метрическим пространством. J Пусть lim zn = c ∈ C . Задавая ε ∈ R+ , имеем: n→∞
Отсюда
ε |zn − c| 6 , 2 ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |zn − c| 6 ε . 2
ε ε + = ε. 2 2 ¡ ¢∞ Обратно, предположим, что последовательность zn n=1 комплексных чисел zn ∈ C фундаментальна, т. е. что |zn − zm | 6 |zn − c| + |zm − c| 6
∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |zm − zn | 6 ε . Обозначая zn = xn + iyn , где xn , yn ∈ R , учитывая, что |xn | 6 |zn | и |yn | 6 |zn | , ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ заключаем, что обе последовательности xn n=1 и yn n=1 — фундаментальные в R. Отсюда в силу теоремы 57 следует, что lim xn = a ∈ R ,
n→∞
lim yn = b ∈ R ,
n→∞
и, значит, lim zn = a + bi ∈ C . I
n→∞
§ 3. Компактность числовых множеств Теорема 59 (лемма о вложенных отрезках). Пусть задана бесконечная, убывающая по включению последовательность отрезков [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . . (3.15) 12 т.
е. имеет предел, лежащий в X.
100
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
a1
am
an
bn
bm b1
X
Рис. 13. Вложенные отрезки
Если lim (bn − an ) = 0, то существует единственная точка c ∈ R n→∞ ∞ T такая, что {c} = [an , bn ]. n=1
J Если n > m , то по условию (3.15) имеем: [an , bn ] ⊂ [am , bm ], т. е. am 6 an < bn 6 bm (см. рис. 13). Отсюда видно, что последова∞ тельность (an )n=1 ¡не ¢убывает и ограничена сверху числом bm , а по∞ следовательность bn n=1 не возрастает и ограничена снизу числом am . Применяя, ¡ ¢∞ далее, ¡ ¢∞теорему 52, заключаем, что обе последовательности an n=1 и bn n=1 сходятся, т. е. lim an = c0 , ∃c0 , c00 ∈ R : n→∞ lim bn = c00 . n→∞
Так как an < bn , то в пределе получим c0 6 c00 . Таким образом, ∀n ∈ N имеем an 6 c0 6 c00 6 bn , откуда 0 6 c00 − c0 6 bn − an . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим c0 = c00 . Обозначая c := c0 = c00 , имеем ∃! c ∈ R ∀n ∈ N : c ∈ [an , bn ] , или, что равносильно, {c} =
∞ T
[an , bn ]. I
n=1
Определение 88. Пусть X — непустое подмножество топологического пространства. Семейство множествS{Aα | α ∈ I} наAα . Покрытие зывается покрытием множества X , если X ⊂ α∈I
называется открытым, если все множества Aα — открытые. Семейство множеств {Bβ | β ∈ J} называется подпокрытием данного покрытия, если [ {Bβ | β ∈ J} ⊂ {Aα | α ∈ I} и Bβ ⊃ X. β∈J
101
§ 3. Компактность числовых множеств
Теорема 60 (лемма Гейне — Бореля13 о покрытиях). Любое покрытие замкнутого отрезка [a , b] ⊂ R открытыми интервалами содержит конечное подпокрытие. J Предположим противное, а именно: пусть существует покрытие {Uα | α ∈ I} отрезка [a , b] интервалами Uα , которое не содержит конечного подпокрытия. Разделим отрезок [a , b] пополам. Семейство {Uα | α ∈ I} является покрытием каждого из двух образовавшихся отрезков. По меньшей мере для одного из них (обозначим его [a1 , b1 ]) данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Разделим теперь отрезок [a1 , b1 ] пополам. По меньшей мере для одного из двух образовавшихся новых отрезков (обозначим его [a2 , b2 ]) данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Продолжая этот процесс неограниченно, приходим к бесконечной последовательности вложенных отрезков: [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . ,
(3.16)
для каждого из которых данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Так как bn − an = (b − a)Á2n → 0 при n → ∞ , то для последовательности (3.16) выполняются все условия теоремы 59. Применяя ее, заключаем, что ∃!c ∈ [a , b] : lim an = lim bn = c . n→∞
n→∞
Так как c ∈ [a , b], то среди интервалов данного покрытия существует интервал Uα0 , содержащий точку c, т. е. c ∈ Uα0 . Далее, по определению предела имеем ( an ∈ Uα0 , ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : bn ∈ Uα0 . Так как Uα0 — интервал, то [an , bn ] ⊂ Uα0 , т. е. при достаточно большом n отрезок [an , bn ] покрывается единственным интервалом данного семейства. Получено противоречие. I Определение 89. Подмножество топологического пространства называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. 13 Гейне Генрих Эдуард (1821—1881) — немецкий математик. Бор´ ель Эмиль (1871—1956) — французский математик.
102
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
Простейшим примером компактного множества является любое конечное множество точек данного топологического пространства. Конечное подпокрытие такого множества можно построить, взяв для каждой точки данного множества содержащее ее открытое множество из данного покрытия. Примерами компактных подмножеств числовой оси являются замкнутые отрезки [a , b] ⊂ R . Действительно, каждое открытое подмножество числовой оси можно представить в виде дизъюнктного объединения открытых интервалов. Тем самым любое открытое покрытие представляется в виде покрытия интервалами. По лемме Гейне — Бореля каждое такое покрытие содержит конечное подпокрытие. Следующая теорема содержит простое описание всех компапктных подмножеств числовой оси. Теорема 61 (критерий компактности в R ). Равносильны следующие утверждения: (a) множество X ⊂ R — компактное; (b) множество X ⊂ R — ограниченное и замкнутое. J (b)⇒ (a). Пусть X — ограниченное и замкнутое множество, {Uα | α ∈ I} — его открытое покрытие. Так как множество X — ограниченное, то существует отрезок [a , b] ⊂ R , такой, что X ⊂ [a , b]. Семейство открытых множеств {Uα | α ∈ I} и открытое множество RÂX образуют вместе открытое покрытие множества R , а значит, и отрезка [a , b]. В силу леммы Гейне — Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие: U1 , U2 , . . . Un , RÂX, т. е. U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ (RÂX) ⊃ [a , b] ⊃ X. Далее, так как X ∩ (RÂX) = ∅ , то U1 ∪ . . . ∪ Un ⊃ X , т. е. множества U1 , . . . , Un образуют конечное подпокрытие множества X. Значит, множество X — компактное. (a)⇒ (b). Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Предположим, что множество X не является ограниченным. Тогда, например, бесконечное семейство интервалов {(−n ; n) | n ∈ N} является его покрытием, не содержащим конечного подпокрытия. Значит, в этом случае множество X — не компактное. Предположим, что множество X не является замкнутым, т. е. не все его граничные точки ему принадлежат. Пусть x0 ∈ / X — одна из таких граничных точек. Любая ее окрестность содержит точки множества X. Поэтому, например, семейство множеств
§ 3. Компактность числовых множеств
103
¯ {RÂ [x0 − 1Án ; x0 + 1Án] ¯ n ∈ N} является открытым покрытием множества X , не содержащим конечного подпокрытия. Значит, и в этом случае множество X — не компактное. I Определение 90. Пусть X — топологическое пространство, а M — его бесконечное подмножество. Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в любой окрестности точки x0 содержатся точки, отличные от x0 и принадлежащие множеству M. При этом сама предельная точка множества M может как принадлежать, так и не принадлежать ему. Например, предельными точками интервала (a , b) являются все точки отрезка [a , b] и только они. Теорема 62. Если множество X ⊂ R — ограниченное и бесконечное, то в R существует предельная точка множества X. J Так как множество X — ограниченное, то существует отрезок [a , b] ⊂ R такой, что X ⊂ [a , b]. Разделив его пополам, заключаем, что по меньшей мере в одном из новых отрезков содержится бесконечно много точек из X. Обозначив этот отрезок через [a1 , b1 ], разделим его пополам. По меньшей мере в одном из новых отрезков (обозначим его [a2 , b2 ]) содержится бесконечно много точек из X. Продолжая этот процесс неограниченно, приходим к бесконечной последовательности вложенных отрезков: [a , b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ . . . [an , bn ] ⊃ . . . , для которых bn − an = (b − a)Á2n → 0 при n → ∞ , а все множества X ∩ [an , bn ] — бесконечные. Применяя теорему 59, заключаем, что ∃!c ∈ R : lim an = lim bn = c . n→∞
n→∞
Последнее можно переписать в таком виде: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : [an , bn ] ⊂ (c − ε , c + ε) . Таким образом, при всех достаточно больших значениях n имеем: [an , bn ] ∩ X ⊂ (c − ε , c + ε), а так как множество [an , bn ] ∩ X — бесконечное, то в нем имеются точки, отличные от c. Значит, точка c — предельная для X. I
104
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
Определение 91. Пусть f : N −→ X, xn = f (n) — последовательность элементов множества X, а g : N −→ N, nk = g(k) — возрастающая последовательность натуральных чисел. Композиция f ◦ g : N −→ X , xnk := f (g(k)) называется подпоследовательностью последовательности (xn )∞ n=1 . Теорема 63. Если числовая последовательность (xn )∞ n=1 ограничена, то у нее существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому числу. J Ограниченность последовательности (xn )∞ n=1 определялась как ограниченность множества {xn | n ∈ N} всех ее членов. Если это множество — конечное, то при пересчeте x1 , x2 , . . . , xn , . . . хотя бы одно из чисел должно встретиться бесконечно много раз. Обозначим это число через a, и пусть 1 6 n1 < . . . < nk < . . . — возрастающая последовательность номеров, таких, что xnk = a для всех номеров k ∈ N . По теореме о пределе постоянной имеем lim xnk = a ∞ при k → ∞ , т. е. подпоследовательность (xnk )k=1 сходится к числу a. Если множество {xn | n ∈ N} — бесконечное, то по теореме 63 существует его предельная точка a ∈ R . Поэтому для каждого k ∈ ∈ N существует номер nk ∈ N такой, что последовательность (nk )∞ k=1 возрастает, и выполнены неравенства: 0 < |xnk − a| 6 1Ák . Переходя в них к пределу при k → ∞ , получим: lim xnk = a . I k→∞
Замечание. Доказанная теорема называется теоремой Больцано — Вейерштрасса (по именам ее авторов14 ). Она допускает обобщение на случаи, для которых данная последовательность не является ограниченной. В таких случаях гарантировано существование подпоследовательностей, имеющих пределы в соответствующей расширенной системе чисел e , R, b C b. R
Теорема 64. У любой последовательности вещественных чисел b , и сусуществует подпоследовательность, имеющая предел в R e ществует подпоследовательность, имеющая предел в R .
14 Больцано Бернард (1781—1848) — чешский математик. Вейерштрасс Карл (1815—1897) — знаменитый немецкий математик.
105
§ 3. Компактность числовых множеств
J Если последовательность (xn )∞ n=1 не ограничена, то для каждого k ∈ N существует номер nk ∈ N такой, что последовательность (nk )∞ k=1 возрастает, и |xnk | > k . Переходя в этом неравенстве к преb . Если последовательделу при k → ∞ , получим lim xnk = ∞ ∈ R k→∞
ность (xn )∞ n=1 не ограничена сверху или снизу, то можно получить неравенства xnk > k или xnk 6 −k соответственно. Переходя в них e к пределу при k → ∞ , получим соответственно lim xnk = +∞ ∈ R k→∞
e. I или lim xnk = −∞ ∈ R k→∞
Задачи к главе 3 3.1. Используя логическую символику, подробно сформулировать следующие утверждения: a)
lim xn 6= a ;
n→∞
b)
lim xn не существует .
n→∞
3.2. Доказать расходимость последовательностей (sin n)∞ n=1
и
(cos n)∞ n=1 .
3.3. Вычислить следующие пределы: ¯ ¯ ¯1 (−1)n n ¯¯ 2 3 ; a) lim ¯¯ − + − . . . + n→∞ n n n n ¯ √ b) lim n( n n − 1) ; n→∞ ³ n√ n√ ´n a+ b c) lim , a , b > 0; 2 n→∞ ¡ ¢ d) lim sin2 π(n2 + n) ; n→∞ √ 3 n2 sin n! ; e) lim n→∞ n+1 √ √ f) lim ( n + 1 − n) ; n→∞
(−2)n + 3n ; n→∞ (−2)n+1 + 3n+1 √ √ √ n h) lim ( 2 4 2 . . . 2 2) ; n→∞ ³ πn ´ ; i) lim n + 3 sin n→∞ 2 g)
lim
106
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы
j)
lim
n→∞
r |
2+
q
2 + ... + {z
n радикалов
√
2. }
3.4. Вычислить пределы: µ ¶ 1 2 n−1 a) lim + 2 + ... + ; n→∞ n2 n n2
1 + a + a2 + . . . + an (|a| < 1 , |b| < 1); n→∞ 1 + b + b2 + . . . + bn · 2 ¸ (n − 1)2 22 1 + + . . . + c) lim ; n→∞ n2 n2 n2 ¸ · 3 (n − 1)3 23 1 . + + . . . + d) lim n→∞ n3 n3 n3 b)
lim
3.5. Найти числовые значения следующих цепных дробей: 1 1 a) 1 + ; b) 2 + ; 1 1 1+ 2+ 1 1 1+ 2+ 1 + ··· 2 + ··· 1
c) 3 +
1
3+ 3+
.
1 3 + ···
3.6. Доказать сходимость последовательности (xn )∞ n=1 , где: 10 11 n+9 · · ... · ; 1 3 2n − 1 µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 1 1 b) xn = 1 − 1− ... 1 − n ; 2 4 2 ¶µ ¶ µ µ ¶ 1 1 1 1+ ... 1 + n . c) xn = 1 + 2 4 2 a) xn =
3.7. Сформулировать и доказать критерий компактности в C . e, R b, C b являются 3.8. Доказать, что расширенные системы чисел R компактными топологическими пространствами.
107
§ 3. Компактность числовых множеств
3.9. Привести пример последовательности (xn )∞ n=1 , удовлетворяющей условию ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : xn 6 ε ,
и такой, что: a) она не имеет предела; b) она имеет предел. Может ли этот предел быть положительным?
3.10. Предположим, что последовательность (yn )∞ n=1 получена перестановкой членов последовательности (xn )∞ n=1 . Доказать, что: a) lim xn = a ⇐⇒ lim yn = a ; n→∞
b) ∃ lim xn n→∞
n→∞
⇐⇒
∃ lim yn . n→∞
3.11. Привести примеры последовательностей (xn )∞ n=1 таких, что lim xn = lim yn = 0 , причем: n→∞ n→∞ xn xn xn a) lim = 0 ; b) lim = 1 ; c) lim = ∞; n→∞ yn n→∞ yn n→∞ yn xn . d) ∃ lim n→∞ yn 3.12. Известно, что lim xn · yn = 0 . Верно ли, что:
и
(yn )∞ n=1
n→∞
a) lim xn = lim yn = 0 ; n→∞
n→∞
∞ b) хотя бы одна из последовательностей (xn )∞ n=1 или (yn )n=1
стремится к нулю? 3.13. Привести примеры таких расходящихся последовательностей ∞ (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 , что сходятся следующие последовательности: µ ¶∞ xn ∞ . a) (xn + yn )∞ ; b) (x · y ) ; c) n n n=1 n=1 yn n=1
3.14. Предположим, что последовательнсть (xn )∞ n=1 не обращается в нуль и сходится к некоторому числу. При этих условиях: xn+1 a) исследовать существование предела lim ; n→∞ xn b) предполагая, что этот предел — число, оценить его сверху по модулю; µ ¶∞ xn с) исследовать последовательность на ограниченность. yn n=1 3.15. Всякая ли неограниченная последовательность является бесконечно большой? Привести примеры.
3.16. Предположим, что последовательнoсть (xn )∞ n=1 — бесконечно большая. Верно ли, что:
108
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы (yn )∞ n=1
a) если последовательность lim xn yn = ∞ ;
—
ограниченная,
то
n→∞
b) если ∀n ∈ N : yn > xn , то lim yn = ∞ ; n→∞
c) если lim yn = ∞ , то lim (xn + yn ) = ∞ ? n→∞
n→∞
3.17. Привести примеры последовательностей (xn )∞ n=1 таких, что lim xn = lim yn = +∞ , причем: n→∞
и
(yn )∞ n=1
и
(yn )∞ n=1
n→∞
a) lim (xn − yn ) = +∞ ; n→∞
b) lim (xn − yn ) = 1 ; n→∞
c) lim (xn − yn ) = −∞ ; n→∞
d) последовательность (xn − yn )∞ n=1 расходится; xn e) lim = 0; n→∞ yn xn f) lim = 1; n→∞ yn xn = +∞ ; g) lim n→∞ yn µ ¶∞ xn расходится. h) последовательность yn n=1
3.18. Привести примеры последовательностей (xn )∞ n=1 таких, что lim xn = 0 , lim yn = +∞ , причем: n→∞
n→∞
a) lim xn yn = 0 ; n→∞
b) lim xn yn = 1 ; n→∞
c) lim xn yn = ∞ ; n→∞
d) последовательность (xn yn )∞ n=1 расходится. 3.19. Доказать, что lim xn = +∞
n→∞
=⇒
lim
n→∞
x1 + . . . + xn = +∞ . n
3.20. Пусть (pn )∞ — положительная последовательность, n=1 √ lim pn = p . Доказать, что lim n p1 · . . . · pn = p . n→∞
и
n→∞
3.21. Пусть ³0 6 ´ xm+n 6 xm + xn . Доказать сходимость последовательxn ∞ ности . n n=1 3.22. Пусть lim an = +∞ . Доказать, что существует min an . n→∞
n∈N
§ 3. Компактность числовых множеств
109
3.23. Найти lim xn и lim xn , если: n→∞
n→∞
¶ µ 1 + (−1)n (−1)n 3 n−1 ; 2+ + ; b) xn = (−1) a) xn = n 2 n n nπ c) xn = 1 + cos ; d) xn = 1 + 2(−1)n+1 + 3 · (−1)n(n−1)Á2 ; n−1 2 n n−1 2nπ e) xn = cos ; f) xn = n(−1) ; g) xn = (−1)n n ; n+1 3 nπ 2nπ h) xn = 1 + n sin ; i) xn = −n · (2 + (−1)n ) ; j) xn = cosn ; 2 3 µ ¶n nπ 1 2nπ · (−1)n + sin k) xn = 1 + ; l) xn = cosn ; n 4 3 n nπ m) xn = sin2 ; n) xn = ((−1)n + 1) · 2n ; n+1 4 ¶ µ (−1)n n+1 ; p) xn = o) xn = n · ln 1 + ; n n + 1 + (−1) ³ πn ´ ³ πn ´ q) xn = 1 + sin 1 − cos . 4 6
3.24. Построить последовательность, содержащую подпоследовательность, сходящуюся к любому наперeд заданному неотрицательному числу. Найти ее верхний и нижний пределы. 3.25. Исследовать на сходимость последовательность (an )∞ n=1 и вычислить ее предел, если: a) an+1 = sin an , a1 = sin x ; b) an = xn+1 − xn , где 0 < x1 < x2 < . . . < xn < . . . , и xn = tg xn . an + A , a1 = 0 ; 4 d) an+1 = arctg an , a1 = 25 ; µ ¶ 1 M 2an + 2 , a1 = M ∈ R+ . e) an+1 = 3 an c) an+1 =
3.26. Вычислить следующие пределы: ¡√ √ √ ¢ [2 + (−1)n ]n ; b) lim 3 n + 2 − 2 3 n + 1 + 3 n ; n→∞ n→∞ 3n ln n µ ¶ 1 1 1 c) lim ; + + ... + n→∞ 4·7 7 · 10 (3n + 1)(3n + 4) a) lim
110
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы √ n2 + 3n + 1 − n2 + 3n − 1 n2 d) lim ; e) lim n arccos 2 ; n→∞ n→∞ ln(1 + n) − ln(2 + n) n +1 ¶ µ 1 1 1 ; + + ... + f) lim n→∞ 1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) ¶ µ 3 1 √ g) lim √ ; √ −√ n→∞ n√+ 3 − n n+2− n+1 h) lim n · ( n a − 1) ; n→∞ µ ¶ √ 1 i) lim n ln 1 − cos(π 4n2 + 10 ; n→∞ n ¶ctg π√n2 +1 µ 2 , где x > 0 . arctg πx j) lim n→∞ π √
Глава 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ § 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Некоторые операции над рядами 1. Определения и примеры Если говорить коротко, то ряд — это обобщение понятия суммы на случай бесконечного (счeтного) множества слагаемых, расположенных в определенном порядке. Определение 92. Пусть (cn )∞ n=1 — числовая последовательность. Соединив все ее последовательные члены знаком плюс, получим выражение вида ∞ X
cn = c1 + c2 + . . . + cn + . . . ,
(4.1)
n=1
которое называется числовым рядом с членами c1 , c2 , . . . , cn , . . . . Таким образом, понятие ряда впервые появляется в анализе как формальная сумма, т. е. как задача суммирования бесконечного множества слагаемых (членов). Определение 93. Частичной суммой ряда (4.1) называется конечная сумма sn := c1 + c2 + . . . + cn . Отрезком ряда (4.1) n P называется всякая конечная сумма вида ck . Остатком ряда (4.1) называется всякий ряд вида ∞ X
k=m
ck = cn + cn+1 + . . . .
k=n
Очевидно, что отрезком ряда можно считать каждый его член, а также любую его частичную сумму. Желая приписать сумму дан-
112
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
ному ряду, станем рассматривать последовательность его частичных сумм. Определение 94. Будем говорить, что ряд (4.1) имеет сумму, если существует предел последовательности (sn )∞ n=1 его частичных сумм sn = c1 + c2 + . . . + cn . Этот предел s = lim sn назыn→∞
вается суммой ряда (4.1). Если сумма ряда является числом, то этот ряд называется сходящимся, а во всех остальных случаях — расходящимся. В случае, когда ряд (4.1) имеет сумму s , принято приписывать ему значение, равное этой сумме, т. е. писать s :=
∞ X
cn = c1 + c2 + . . . + cn + . . . .
n=1
Основным вопросом теории рядов является вопрос о сходимости: дан ряд и требуется установить, сходится он или расходится. Если установлена его сходимость, то возникает задача вычисления его суммы s . Так как s = lim sn , то для числа s всегда есть приблиn→∞ женное равенство s ≈ s1 + s2 + . . . + sn , которое тем точнее, чем больше число n . Как видим, нахождение суммы данного ряда сводится к нахождению предела последовательности его частичных сумм. Обратно, каждой числовой последовательности (sn )∞ n=1 можно сопоставить ряд s1 + (s2 − s1 ) + . . . + (sn − sn−1 ) + . . . , последовательность частичных сумм которого совпадает, очевидно, с (sn )∞ n=1 . Таким образом, проблема суммирования рядов равносильна проблеме вычисления пределов последовательностей. Рассмотрим несколько примеров исследования рядов на сходимость. 1) Пусть дан так называемый геометрический ряд 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 + . . . ,
(4.2)
т. е. формальная сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии (q n )∞ n=0 . Желая исследовать ряд (4.2) на сходимость, преобразуем его n -ю частичную сумму: sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =
1 − qn 1 qn = − , 1−q 1−q 1−q
если q 6= 1 . Предполагая, что |q| < 1 , имеем: lim q n = 0 , и, значит, n→∞ 1 lim sn = . Таким образом, при |q| < 1 геометрический ряд (4.2) n→∞ 1−q
§ 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость
113
сходится, причем 1 = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 + . . . . 1−q Пусть теперь |q| > 1 . Предполагая, что геометрический ряд (4.2) сходится к сумме s, имеем: lim sn = lim sn+1 = s, где s — число. Отсюда находим: n→∞
n→∞
lim (sn+1 − sn ) = 0 . С другой стороны, sn+1 − sn = q n , откуда
n→∞
|sn+1 − sn | = |q n | = |q|n > 1 , и значит, lim |sn+1 − sn | > 1 . Получено противоречие, поэтому при |q| > 1 n→∞
ряд (4.2) расходится. 2) Рассмотрим ряд n0 +
n1 n2 nk + 2 + ... + k + ... , 10 10 10
(4.3)
где n0 ∈ N t {0} , а n1 , . . . , nk , . . . — последовательность целых неотрицательных чисел таких, что 0 6 nk 6 9 . Сопоставим ряду (4.3) бесконечную десятичную дробь n0 . n1 n2 . . . nk . . . , представляющую вещественное число s , и покажем, что ряд (4.3) сходится к сумме s . При каждом k ∈ N имеем 1 |s − n0 . n1 n2 . . . nk | = 0 . 00 . . . 0} nk+1 . . . 6 k . | {z 10 k нулей
Переходя здесь к пределу при k → ∞ , получим требуемое. 3) Пусть дан ряд ∞ X
k=1
1 1 1 1 = + + ... + + ... . k · (k = 1) 1·2 2·3 n · (n + 1)
Желая исследовать этот ряд на сходимость, преобразуем его общий член так: 1 1 1 = − . n · (n + 1) n n+1 Используя это равенство, находим sn =
1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1 − + − + ... + − = 1·2 2·3 n · (n + 1) 2 2 3 n n+1 1 =1− → 1 при n → ∞ . (4.4) n+1
Таким образом, данный ряд сходится к сумме 1.
114
Глава 4. Числовые ряды и их суммы 4) Исследуем на сходимость ряд ∞ X 1 1 1 1 √ = 1 + √ + √ + ... + √ + ... . n n 2 3 n=1
Имеем:
√ 1 1 1 1 1 sn = 1 + √ + √ + . . . + √ > √ + . . . + √ = n , n n n 2 3 | {z } n слагаемых
√
т. е. sn > n . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим lim sn = n→∞ = +∞ , т. е. данный ряд имеет сумму, равную +∞ , и, значит, расходится.
2. Некоторые операции над рядами Теорема 65. (a) Если ряд число, то ряд
∞ P
∞ P
ak сходится к сумме s , а λ —
k=1
k=1
λ · ak сходится к сумме λ · s .
(b) Если ряды
∞ P
∞ P
ak и
k=1 ∞ P
ветственно, то ряд
bk сходятся к суммам s и σ соот-
k=1
(ak + bk ) сходится к сумме s + σ .
k=1
J (a) Очевидно, что частичные суммы двух данных рядов свяn n P P заны равенством λ · ak = λ · ak . Переходя здесь к пределу при k=1
k=1
n → ∞ , получим требуемое. n n P P (b) Пусть sn = ak и σn = bk — частичные суммы данных k=1
рядов. Тогда sn + σn =
n P
k=1
(ak + bk ). Переходя в этом равенстве к
k=1
пределу при n → ∞ , получим s + σ =
∞ P
(ak + bk ) . I
k=1
Для дальнейшего нам необходимо вспомнить понятие подпоследовательности. Определение 95. Пусть (zn )∞ n=1 — последовательность, и пусть 1 6 n1 < n2 < . . . < nk < . . . — бесконечная возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность
§ 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость
115
(xk )∞ k=1 с общим членом xk := znk называется подпоследовательностью последовательности (zn )∞ n=1 . Лемма 1. Если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел. J Предположим, что lim zn = c, и пусть (znk )∞ k=1 — подпослеn→∞
довательность последовательности (zn )∞ n=1 . Имеем: ∀V (c) ∃nV ∈ N ∀n > nV : zn ∈ V (c) ,
(4.5)
где V (c) — окрестность точки c. Так как последовательность наlim nk = +∞ , и, туральных чисел (nk )∞ k=1 строго возрастает, то n→∞ значит, ∀nV ∈ N ∃kV ∈ N ∀k > kV : nk > nV . (4.6) Из (4.5) и (4.6) следует, что
∀V (c) ∃kV ∈ N ∀k > kV : znk ∈ V (c) , т. е. lim znk = c . I n→∞
Теорема 66. Если, не изменяя порядка следования членов сходящегося ряда a1 + a2 + . . . + an + . . . , произвольным образом сгруппировать его члены, образовав новый ряд b1 + b2 + . . . + bnk + . . . , в котором b1 = a1 + . . . + an1 , b2 = an1 +1 + . . . + an2 , . . . , то новый ряд будет сходиться к той же сумме, что и исходный. J Пусть (sn )∞ n=1 — последовательность частичных сумм исходного ряда, и пусть lim sn = s — его сумма. Последовательность чаn→∞
стичных сумм сгруппированного ряда имеет вид (snk )∞ k=1 . Применяя к ней лемму 1, получим lim snk = s . I n→∞
Замечание. Условие сходимости в теореме 66 существенно. Возьмем, например, расходящийся ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . . Сгруппируем его члены следующим образом: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . . В результате получаем сходящийся ряд 0 = 0 + 0 + . . . + 0 + . . . . Сгруппировав его члены иначe: 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . , снова получаем ряд, но сходящийся уже к другой сумме: 1 = 1 + 0 + 0 + . . . + 0 + . . . . Если же сгруппировать его члены по три (1 − 1 + 1) + (−1 + 1 − 1) + . . . , то получим расходящийся ряд 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .
116
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
3. Критерий Коши и его следствия Теорема 67 (критерий Коши). Сходимость ряда
ak рав-
k=1
носильна выполнению следующего условия: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε
∞ P
¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ∀p ∈ N : ¯ ak ¯ 6 ε . ¯ ¯
(4.7)
k=n+1
J Пусть (sn )∞ n=1 — последовательность частичных сумм данного ряда. Согласно критерию Коши сходимости числовых последовательностей, она сходится, если и только если выполнено условие: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |sm − sn | 6 ε .
(4.8)
Полагая здесь m = n + p , получим: ¯ ¯n+p ¯ ¯ n+p n ¯ ¯ ¯ X ¯X X ¯ ¯ ¯ ¯ ak ¯ , ak ¯ = ¯ |sn+p − sn | = ¯ ak − ¯ ¯ ¯ ¯ k=1
k=n+1
k=1
и, значит, условие критерия Коши для последовательностей переходит в условие (4.7). I
Следствие 1 (необходимый признак сходимости ряда). ∞ P Если ряд ak сходится, то lim an = 0. n→∞
k=1
J Предполагая данный ряд сходящимся и полагая в (4.7) p = 1, получим ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : |an+1 | 6 ε , т. е. lim an+1 = 0, или, что равносильно, lim an = 0 . I n→∞
n→∞
Замечание. Необходимый признак сходимости ряда не является достаточным. Рассмотрим, например, так называемый гармонический ряд ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ... + + ... . n 2 3 n n=1
Для него имеем lim
n→∞
1 = 0 , но он расходится. n
(4.9)
§ 2. Признаки сходимости и расходимости
117
J Предполагая ряд (4.9) сходящимся, сгруппируем его члены следующим образом: 1 1+ + 2
µ
1 1 + 3 4
¶
+
µ
¶ 1 1 1 1 + + + + ...+ 5 6 7 8 ¶ µ 1 1 + . . . + + ... . + 2k + 1 2k + 2k
(4.10)
Общий член этого ряда содержит 2k слагаемых. Оценим его снизу 1 1 1 + k + ... + k > 2k + 1 2 +2 2 + 2k 2k 1 1 1 1 > k+1 + k+1 . . . + k+1 = k+1 = . 2 2 2 2 2 {z } |
(4.11)
2k слагаемых
По теореме 66 сгруппированный ряд (4.10) должен сходиться. Однако, согласно неравенству (4.11), все его члены ограничены снизу числом 1Á2 . Отсюда в силу необходимого признака заключаем, что ряд (4.10) расходится. Значит, расходится и ряд (4.9). I
Следствие 2. Сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка. J В самом деле, для достаточно больших значений nε ∈ N условие критерия Коши сходимости данного ряда и его остатка имеет один и тот же вид (4.7). I
§ 2. Признаки сходимости и расходимости положительных рядов 1. Критерий сходимости и признаки сравнения Определение 96. Числовой ряд называется: (a) положительным, если все его члены неотрицательны; (b) строго положительным, если все его члены положительны. Теорема 68. Любой положительный ряд имеет сумму. Сходимость положительного ряда равносильна ограниченности сверху последовательности его частичных сумм.
118
Глава 4. Числовые ряды и их суммы J Пусть
Пусть
(sn )∞ n=1
∞ P
k=1
ak — положительный ряд, т. е. ∀k ∈ N : ak > 0 .
— последовательность его частичных сумм. Так как
sn+1 = a1 + . . . + an + an+1 > a1 + . . . + an = sn , то sn+1 > sn , т. е. последовательность (sn )∞ n=1 не убывает. Отсюда (по теореме о пределе монотонной последовательности) следует существование предела lim sn = s 6 +∞ , причем этот предел явn→∞
ляется числом, если и только если последовательность (sn )∞ n=1 ограничена сверху. I Пример. Исследуем на сходимость ряд ∞ X 1 1 1 1 1 =1+ + + + ... + + ... . k! 1! 2! 3! n!
k=0
J Имеем 1+
1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + < 1 + 1 + + 2 + . . . + n−1 < 3 . 1! 2! 3! n! 2 2 2
Таким образом, согласно теореме 68, данный ряд сходится. Можно показать, что его сумма равна числу e . I ∞ P
Теорема 69 (признак сравнения). Пусть
n=1
an и
∞ P
bn —
n=1
положительные ряды, и ∀k ∈ N : 0 6 ak 6 bk . Тогда: ∞ ∞ P P (a) если ряд bk сходится, то и ряд ak сходится; (b) если ряд
k=1 ∞ P
ak расходится, то и ряд
n P
bk расходится.
k=1
k=1
J Пусть sn =
k=1 ∞ P
ak и σn =
k=1
n P
bk — частичные суммы, а s и
k=1
σ — суммы данных рядов. Так как 0 6 ak 6 bk , то 0 6 sn 6 σn 6 σ . Предполагая, что ряд
∞ P
n=1
(4.12)
bn сходится к числу σ , из (4.12) заклю-
чаем, что последовательность (sn )∞ n=1 ограничена сверху числом σ .
119
§ 2. Признаки сходимости и расходимости Отсюда в силу теоремы 68 следует, что ряд полагая, что ряд
∞ P
∞ P
an сходится. Пред-
n=1
an расходится, т. е. lim sn = +∞ и переходя n→∞
n=1
к пределу в неравенстве sn 6 σn , заключаем, что σ = +∞ , т. е. что ∞ P ряд bn расходится. I n=1
Теорема 70 (признак сравнения, предельная форма). ∞ ∞ P P Пусть an и bn — положительные ряды, и пусть существуn=1 n=1 an ет предел lim = K ∈ [0 , +∞]. Тогда: n→∞ bn ∞ ∞ P P (a) если 0 6 K < +∞ , и ряд bn сходится, то ряд an n=1
сходится;
(b) если 0 < K 6 +∞ , и ряд
∞ P
bn расходится, то ряд
n=1
n=1 ∞ P
an
n=1
расходится; (c) если 0 < K < +∞ , то данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся. J (a) Задавая число ε > 0, найдем номер nε ∈ N так, чтобы an 6 K + ε , т. е. an 6 (K + ε) · bn . Применяя теорему ∀n > nε было bn ∞ P 69(a), заключаем, что ряд an сходится. n=1
(b) Задавая ε ∈ (0, K), найдем номер nε ∈ N так, чтобы ∀n > nε выполнялось неравенство: an > ε , т. е. an > ε · bn . bn Отсюда и из расходимости ряда ∞ P
∞ P
bn следует расходимость ряда
n=1
an .
n=1
(c) Задавая произвольно ε ∈ (0 , K), найдем номер nε ∈ N , начиная с которого, выполняются следующие неравенства: K −ε6
an 6 K + ε, bn
120
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
равносильные неравенствам (K − ε) · bn 6 an 6 (K + ε) · bn . Из этих неравенств в силу теоремы 69 следует, что данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся. I ∞ P Теорема 71 (признак сравнения отношений). Пусть an и
∞ P
n=1
n=1
bn — строго положительные ряды такие, что ∀n ∈ N выпол-
bn+1 an+1 6 . Тогда: an bn ∞ ∞ P P (a) если ряд bn сходится, то и ряд an сходится;
нены неравенства
(b) если ряд
n=1 ∞ P
an расходится, то и ряд
n=1
J Имеем:
n=1 ∞ P
bn расходится.
n=1
b2 a3 b3 an bn a2 6 , 6 , ... , 6 . a1 b1 a2 b2 an−1 bn−1 Перемножая эти неравенства, получим: b2 b3 . . . bn a2 a3 . . . an 6 , a1 a2 . . . an−1 b1 b2 . . . bn−1 an bn a1 6 . Таким образом, ∀n ∈ N : an 6 · bn . Отсюда в a1 b1 b1 силу теоремы 69 получаем требуемое. I откуда
2. Обобщенный гармонический ряд Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида ∞ X 1 1 1 1 = 1 + α + α + ... + α + ... , α n 2 3 n n=1
(4.13)
где α — параметр. Исследуем его на сходимость в зависимости от величины параметра α ∈ R . Теорема 72. Обобщенный гармонический ряд (4.13) сходится при α > 1 и расходится при α 6 1.
§ 2. Признаки сходимости и расходимости
121
1 = n|α| > 1. Отсюда видно, что nα 1 lim α > 1, т. е. не выполняется необходимый признак сходимости n→∞ n ряда (4.13). Следовательно, он расходится. Расходимость ряда (4.13) в случае α = 1 была установлена выше. 1 1 Если 0 < α < 1, то nα < n, и, значит, α > . Отсюда в силу n n признака сравнения 69(b) следует, что при 0 < α < 1 ряд (4.13) расходится. Пусть теперь α > 1 и J
При α 6 0 имеем
sn (α) = 1 +
1 1 1 + α + ... + α α 2 3 n
— n -я частичная сумма ряда (4.13). Так как последовательность (sn (α))∞ n=1 возрастает, то µ ¶ 1 1 + sn (α) < s2n+1 (α) = 1 + + ...+ 2α 3α µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 + + < 1 + 2 + + . . . + = (2n)α (2n + 1)α 2α 4α (2n)α ¶ µ 1 sn (α) 1 1 1 = 1 + α−1 · 1 + α + α + . . . + α = 1 + α−1 . 2 2 3 n 2 Отсюда находим
sn (α) . 2α−1 Решая это неравенство относительно sn (α), имеем sn (α) < 1 +
sn (α)
1 ряд (4.13) сходится1 . I Замечание. Иногда можно исследовать на сходимость положительные ряды, сравнивая их с обобщенным гармоническим рядом (4.13), т. е. принимая его за эталонный ряд. 1 Сумму ряда (4.13) принято обозначать ζ(α) . Функция α 7−→ ζ(α) называется дзета-функцией Римана и широко используется в теории чисел.
122
∞ P
Глава 4. Числовые ряды и их суммы Теорема
73
(степенной
признак
сравнения). Пусть
an — положительный ряд. Если существуют положительные
n=1
числа α и M такие, что M nα
an ∼
при
n → ∞,
то в случае α > 1 данный ряд сходится, а в случае α 6 1 — расходится. J Утверждение теоремы следует, например, из теоремы 70(c), ∞ P где в качестве ряда bn надо взять ряд (4.13). I n=1
Пример. Из теоремы 73 следует, что ряд
∞ √ P n
nÁnα сходится при
n=1
α > 1 и расходится при α 6 1 .
3. Признаки Коши и Даламбера Теорема 74 (признак Коши). Пусть √ ный ряд, и пусть α = lim n an . Тогда: n→∞
(a) при 0 6 α < 1 ряд
∞ P
∞ P
an — положитель-
n=1
an сходится;
n=1
(b) при α > 1 ряд
∞ P
an расходится;
n=1
(c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых α = 1. J (a) Пусть 0 6 α < 1. Зададим ε ∈ R+ настолько малым, чтобы выполнялось неравенство α + ε < 1. Так как √ √ α = lim sup{ n an , n+1 an+1 , . . . } , то n→∞
√ ∃nε ∈ N ∀n > nε : sup{ n an ,
√
n+1
an+1 , . . .} 6 α + ε .
Отсюда следует, что ∀n > nε : an 6 (α + ε)n ,
(4.14)
123
§ 2. Признаки сходимости и расходимости а так как α+ε < 1, то ряд
∞ P
(α+ε)n сходится. Отсюда и из (4.14) на
n=1
основании признака сравнения заключаем, что ряд
∞ P
an сходится.
n=1
(b) Пусть теперь α > 1. Зададим ε ∈ R настолько малым, чтобы выполнялось неравенство α − ε > 1. Так как √ √ α = lim sup{ n an , n+1 an+1 , . . . } , n→∞
то
√ ∃nε ∈ N ∀n > nε : sup{ n an ,
√
n+1
an+1 , . . . } > α − ε .
Последнее означает, что существуют сколь угодно большие номера √ n ∈ N , такие, что n an > α − ε > 1 или an > 1. Отсюда видно, что невозможно равенство lim an = 0, т. е. что не выполнен необходиn→∞ ∞ P an . Значит, он расходится. мый признак сходимости ряда n=1
∞ 1 ∞ 1 P P сходится, а ряд расходится. Но в обоих (c) Ряд 2 n=1 n n=1 n случаях имеем p p lim n 1Án = lim n 1Án2 = 1 . I n→∞
n→∞
Теорема 75 (признак Даламбера2 ). Строго положительный ∞ P an : ряд n=1 an+1 (a) сходится, если lim < 1; n→∞ an an+1 (b) расходится, если ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : > 1; an (c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых an+1 an+1 6 1 6 lim . (4.15) lim n→∞ a an n→∞ n an+1 J (a) Пусть lim < 1. Зададим ε ∈ R+ так, чтобы выполn→∞ an нялось неравенство α + ε < 1. Тогда ∃nε ∈ N ∀n > nε : 2 Даламбер
an+1 (α + ε)n+1 1, то an an+1 > an , и равенство lim an = 0 становится невозможным. Поn→∞ ∞ P этому ряд an расходится. знака сравнения отношений заключаем, что ряд
n=1
n=1 ∞ P
∞ 1 P 1 сходится, а ряд расходится. Однако для 2 n=1 n n=1 n обоих этих рядов имеем
(c) Ряд
lim
n→∞
an+1 = 1. I an
Замечание. Признаки Коши и Даламбера оба основаны на сравнении ∞ P с геометрическим рядом q n−1 . Признак Коши более универсален, так n=1
как примен´ им к произвольным положительным рядам, а признак Даламбера — только к строго положительным рядам. Однако и в этом последнем случае они не равносильны. Заключить, какой из этих двух признаков сильнее, можно на основании следующей теоремы.
Теорема 76. Для любой последовательности (an )∞ n=1 положительных чисел an справедливы неравенства: √ √ an+1 an+1 6 lim n an 6 lim n an 6 lim . n→∞ n→∞ an n→∞ an n→∞ lim
(4.16)
J Среднее из этих неравенств очевидно, поскольку нижний предел не превосходит верхнего для любой последовательности. Левое и правое наравенства (4.16) можно доказать аналогично, поэтому доan+1 кажем только правое неравенство. Если lim = +∞ , то оно n→∞ an an+1 очевидно. Поэтому считаем, что lim = α < +∞ . n→∞ an Возьмем произвольное число p ∈ (α, +∞). По нему найдем номер an+1 < p. N ∈ N , начиная с которого выполняются наравенства: an Отсюда при любом n > N имеем неравенства: aN +1 aN +2 an < p, < p, ... , < p. aN aN +1 an−1
§ 2. Признаки сходимости и расходимости
125
Перемножив их, найдем aN an < pn−N , откуда an < N · pn . aN p Извлекая корень степени n , получим r √ aN n an < n N · p . p Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞ , будем иметь r √ aN lim n an 6 p , поскольку lim n N = 1 . n→∞ n→∞ p Так как p > α выбрано произвольно, то можно перейти к пределу √ при p → α , и мы получим lim n an 6 α . I n→∞
Замечание. Теорема 76 показывает, что признак Коши сильнее признака Даламбера в следующем смысле. Правое неравенство (4.16) означает, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость. Левое же неравенство (4.16) показывает, что если признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости (т. е. если √ lim n an = 1) , то и признак Даламбера его не дает (так как в этом случае n→∞
выполняются неравенства (4.15)). И наконец, есть примеры, когда признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости. Рассмотрим, например, ряд 1 1 1 1 1 1 + + 2 + 2 + ... + n + n + ... 2 3 2 3 2 3 с общим членом
Для него имеем
µ ¶n 1 2 ak = µ ¶ n 1 3
(ak )1Ák
при
k = 2n − 1 ,
при
k = 2n .
µ ¶nÁ(2n−1) 1 при k = 2n − 1 , 2 = µ ¶1Á2 1 при k = 2n . 3
(4.17)
126
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
Отсюда видно, что
1 lim (an )1Án = √ < 1 , 2 и, значит, признак Коши указывает на сходимость. Однако признак Даламбера нe дает ответа на вопрос о сходимости этого ряда, поскольку µ ¶n 2 ak+1 a2n = 0; = lim = lim lim n→∞ n→∞ a a 3 2n−1 k k→∞ µ ¶n µ ¶nÁµ ¶n−1 3 ak+1 1 1 = 3 lim = +∞ , lim = lim n→∞ n→∞ k→∞ ak 2 3 2 n→∞
и значит, выполняются неравенства (4.15).
4. Другие признаки Рассмотрим сначала один весьма общий признак, открытый Куммером3 , затем в качестве его следствий получим другие признаки. Теорема 77 (признак Куммера). Пусть (cn )∞ n=1 — заданная ∞ 1 P последовательность положительных чисел такая, что ряд n=1 cn ∞ P расходится, и пусть an — строго положительный ряд, который n=1
хотят исследовать на сходимость. Образуем последовательность (Kn )∞ n=1 с общим членом Kn := cn ·
an − cn+1 an+1
и предположим, что существует предел lim Kn = K . Тогда в слуn→∞ чае K > 0 данный ряд сходится, а в случае K < 0 — расходится. J Предположим сначала, что K > 0. Возьмем произвольное δ ∈ (0 , K) и найдем n0 ∈ N так, чтобы ∀n > n0 выполнялось неравенство an Kn = cn · − cn+1 > δ , an+1 которое равносильно следующему: cn · an − cn+1 · an+1 > δ · an+1 > 0 . 3 К´ уммер
Эрнст Эдуард (1810—1893) — немецкий математик.
(4.18)
127
§ 2. Признаки сходимости и расходимости
Отсюда, в частности, следует, что последовательность (cn · an )∞ n=1 убывает и, значит, сходится к неотрицательному числу. Ряд ∞ X
k=n0
(ck ak − ck+1 ak+1 )
сходится, так как его частичная сумма при n > n0 равна n X
k=n0
(ck ak − ck+1 ak+1 ) = cn0 · an0 − cn+1 · an+1
(4.19)
и, как установлено, имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (4.18) в силу признака сравнения следует сходимость ряда ∞ X
n=n0
δ · an+1 , а значит, и ряда
Если же K < 0, то ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : cn · т. е.
∞ X
an .
n=1
an − cn+1 < 0 , an+1
an cn+1 < , an+1 cn
или
1Ácn+1 an+1 > . an 1Ácn Отсюда по признаку сравнения отношений и из расходимости ряда ∞ ∞ P P 1Ácn следует расходимость ряда an . I
n=1
n=1
Замечание. Последовательность (Kn )∞ n=1 , введенная в теореме 77, называется вариантой4 Куммера. Полагая, в частности, cn ≡ 1 , получаем, ∞ P что ряд 1Ácn расходится, и варианта Куммера в данном случае приниn=1
an an − 1 = Dn − 1 , где Dn = — варианта Даламбера. an+1 an+1 Отсюда видно, что признак Даламбера (в том случае, когда существует предел D = lim Dn ) является частным случаем признака Куммера. мает вид Kn =
n→∞
4 Вари´ анта
ность.
— это малоупотребительный синоним термина последователь-
128
Глава 4. Числовые ряды и их суммы Теорема 78 (признак Раабе5 ). Пусть
∞ P
an — строго поло-
n=1
жительный ряд. Образуем последовательность (Rn )∞ n=1 с общим членом µ ¶ an Rn = n · −1 , an+1 называемую вариантой Раабе, и предположим, что существует предел lim Rn = R. Если R > 1, то данный ряд сходится, если n→∞ R < 1, то он расходится. ∞ 1 P J Учитывая расходимость гармонического ряда , полоn=1 n жим в признаке Куммера cn ≡ n . Тогда варианту Куммера можно преобразовать следующим образом: µ ¶ an an Kn = n · − (n + 1) = n · − 1 − 1 = Rn − 1 . an+1 an+1 Таким образом, варианты Раабе и Куммера связаны равенством Kn ≡ Rn − 1. Поэтому признак Раабе является следствием признака Куммера. I ∞ P an — строТеорема 79 (признак Бертрана6 ). Пусть n=1
го положительный ряд. Образуем последовательность (Bn )∞ n=1 с общим членом ¶ ¸ · µ an −1 −1 , Bn = ln n · n · an+1
назывaемую вариантой Бертрана, и предположим, что существует предел B = lim Bn . Тогда при B > 1 данный ряд сходится, а n→∞ при B < 1 — расходится. J Можно показать, что ряд ∞ X
1 n · ln n n=2 5 Раабе
Йозеф Людвиг (1801—1859) — швейцарский математик. Жозеф Луи Франсуа (1822—1900) — французский математик.
6 Бертран
129
§ 2. Признаки сходимости и расходимости
расходится7 , поэтому в признаке Куммера имеем право положить cn := n · ln n . Найдем зависимость между вариантами Куммера и Бертрана: an − (n + 1) · ln(n + 1) = an+1 an n = n · ln n · − (n + 1) · ln n + (n + 1) · ln = an+1 n+1 "µ ¶ ¸ · µ ¶n+1 # an 1 = Bn − 1 + αn , − 1 − 1 − ln 1 + = ln n · n · an+1 n
Kn = n · ln n ·
где (αn )∞ n=1 — бесконечно малая последовательность. Таким образом, в пределе получим K = B − 1, поэтому признак Бертрана является следствием признака Куммера. I ∞ P Теорема 80 (признак Гаусса8 ). Пусть an — строго n=1
положительный ряд. Предположим, что существуют постоянные an может быть λ , µ ∈ R , ν ∈ R+ такие, что отношение an+1 представлено в виде µ ¶ µ 1 an =λ+ +O при n → ∞ . (4.20) an+1 n n1+ν Тогда при λ > 1 данный ряд сходится, а при λ < 1 — расходится. Если же λ = 1, то данный ряд сходится при µ > 1 и расходится при µ 6 1. J Переходя в (4.20) к пределу при n → ∞ , получим lim
n→∞
an = λ, an+1
поэтому при λ 6= 1 признак Гаусса является следствием признака 7 Это утверждение является примером на применение весьма эффектного интегрального признака сходимости рядов, который будет установлен в главе 11, и его можно сформулировать следующим образом: если функция ∞ ∞ R P f : [1, +∞) −→ R+ не возрастает, то интеграл f (x)dx и ряд f (n) либо 1
n=1
оба сходятся, либо оба расходятся. 8 Гаусс Карл Фридрих (1777—1855) — выдающийся немецкий математик.
130
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
Даламбера. В случае λ = 1 из равенства (4.20) можно выразить варианту Раабе µ ¶ µ ¶ an 1 при n → ∞ . (4.21) Rn = n · −1 =µ+O an+1 nν Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим R = µ, поэтому при µ 6= 1 признак Гаусса является следствием признака Раабе. И наконец, в случае λ = µ = 1 из равенства (4.21) можно выразить варианту Бертрана ¶ · µ ¶ ¸ µ an ln n при n → ∞ . Bn = ln n · n · −1 −1 =O an+1 nν Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим B = 0 < 1 и, значит, данный ряд расходится в силу признака Бертрана. I
§ 3. Исследование на сходимость произвольных числовых рядов 1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов Здесь будут рассмотрены произвольные ряды с вещественными или комплексными членами. Как мы увидим, существуют две основные причины, от которых зависит ответ на вопрос о сходимости числовых рядов. Первая причина — «скорость» стремления к нулю последовательности членов данного ряда. Вторая причина — частичное взаимное уничтожение членов данного ряда, имеющих противоположные знаки. В зависимости от этих причин различаются типы сходимости числовых рядов: абсолютная и условная. Некоторые свойства сходящихся рядов различны в зависимости от того, какой тип сходимости имеет место для этих рядов. ∞ P cn называется абсолютно Определение 97. Числовой ряд
сходящимся, если сходится ряд членов исходного ряда.
∞ P
n=1
n=1
|cn |, составленный из модулей
131
§ 3. Исследование на сходимость
Так как |cn | = cn ⇐⇒ cn > 0, то для положительных рядов понятие абсолютной сходимости совпадает с понятием сходимости. Для других типов рядов эти понятия, вообще говоря, различны. Справедлива, однако, следующая теорема. ∞ P Теорема 81. Если ряд cn сходится абсолютно, то он n=1
сходится.
J Надо показать, что из сходимости ряда димость ряда ∞ P
n=1
∞ P
∞ P
n=1
|cn | вытекает схо-
cn . Применяя критерий Коши сходимости ряда
n=1
|cn |, заключаем, что должно выполняться следующее условие: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε ∀p ∈ N :
n+p X
k=n+1
|ck | 6 ε .
Отсюда, используя неравенство треугольника, заключаем, что при тех же значениях n и p выполняются следующие неравенства: ¯ n+p ¯ n+p ¯ X ¯ X ¯ ¯ ck ¯ 6 |ck | 6 ε, ¯ ¯ ¯ k=n+1
k=n+1
т. е. условие критерия Коши выполнено и для ряда и он сходится. I
∞ P
cn . Значит,
n=1
Замечание. Доказанная теорема означает, что абсолютная сходимость числовых рядов есть частный случай сходимости. Для исследования P P zn на абсолютную сходимость надо взять ряд |zn | и примеряда9 нить к нему какой-нибудь признак сходимости положительных рядов (например, один из тех, которые изложены в предыдущем параграфе). Если P установлена абсолютная сходимость ряда zn , то тем самым установлеP |zn | на и его сходимость (по теореме 81). Если установлено, что ряд P расходится, то для исследования на сходимость ряда zn требуется дополнительное исследование. 9 Здесь и до конца этого пункта для краткости при записи рядов опущены индексы суммирования.
132
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
P Теорема 82. Абсолютная сходимость вещественного ряда an равносильна сходимости двух положительных рядов X |an | + an
и
2
X |an | − an 2
.
(4.22)
сходятся, то по теореме 65(b) должен J Если оба ряда (4.22) ¶ µ P |an | + an P |an | − an + сходиться такой ряд: = |an |, т. е. ряд 2 2 P an должен сходиться абсолютно. P Обратно, если сходится ряд |an |, то по теореме 81 сходится и P ряд an , а согласно теореме 65(b) сходятся ряды X |an | + an 2
и
X |an | − an 2
. I
P Теорема 83. Абсолютная сходимость комплексного ряда cn равносильна абсолютной сходимости двух вещественных рядов P P Re cn и Im cn . J Обозначим P cn = an + ibn , где an = Re cn , bn = Im cn . Предположим, что ряд |cn | сходится. Из неравенств 0 6 |an | 6 |cn | и 0 6 |bn | 6 |cn | ,
P согласно признаку сравнения, заключаем, что сходятся ряды |an | P и |bn |. P P Обратно, пусть ряды |an | и |bn | сходятся. Так как cn = an + ibn , то отсюда в силу неравенства треугольника находим: |cn | 6 |an |P + |bn |. Опять применяя признак сравнения, заключаем, что и ряд |cn | сходится. I P Определение 98. Ряд cn называется условно сходящимся, P если он сходится, а ряд |cn | расходится. P Теорема 84. Если вещественный ряд an условно сходится, P |an | + an P |an | − an то ряды и оба расходятся. 2 2 P P J Дано, что ряд an сходится, а ряд |an | расходится. P |an | − an P |an | + an и сходятЕсли предположить, что ряды 2 2 P ся, то их сумма, т. е. ряд |an |, тоже будет сходиться, что противо-
133
§ 3. Исследование на сходимость
P |an | + an P |an | − an речит условию. Если ряд сходится, а ряд 2 2 ¶ µ P |an | − an P |an | + an − an должен = расходится, то ряд 2 2 сходиться. Получено противоречие. Аналогично можно получить P |an | − an противоречие, предполагая, что ряд сходится, а ряд 2 P |an | + an расходится. Таким образом, остается единственная воз2 можность, a именно та, которая указана в формулировке теоремы. I
2. Признак Лейбница Определение 99. Вещественный ряд называется знакопеременным, если не все его ненулевые члены имеют одинаковые знаки. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если его можно представить в виде ∞ X
n=1
(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . + (−1)n−1 an + . . . ,
(4.23)
где все an имеют одинаковые знаки. ¡ ¢∞ Теорема 85 (признак Лейбница). Если an n=1 — невозрастающая последовательность положительных чисел, для которой ∞ P lim an = 0, то знакочередующийся ряд (−1)n−1 an сходится, а n→∞
n=1
сумма любого его остатка удовлетворяет неравенству ¯∞ ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ (−1)k−1 ak ¯ 6 an . ¯ ¯ ¯ k=n
J Пусть sn :=
n P
ak — n -я частичная сумма ряда (4.23). Пола-
k=1
гая n = 2k + 2, имеем
s2k+2 = (a1 − a2 )+ (a3 − a4 )+. . . + (a2k−1 − a2k )+ (a2k+1 − a2k+2 ) > s2k ,
134
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
так ¡как¢ a2k+1 − a2k+2 > 0 в силу невозрастания последовательно∞ сти an n=1 . Таким образом, имеем (s2n ) ↑, т. е. последовательность ¡ ¢∞ s2n n=1 не убывает. Записывая s2k+2 в другой форме, находим s2k+2 = a1 − (a2 − a3 ) − . . . − (a2k − a2k+1 ) − a2k+2 6 a1 ,
так как¡ все¢вычитаемые числа неотрицательны. Итак, последователь∞ ность s2n n=1 не убывает и ограничена сверху, поэтому она сходится, т. е. lim s2n = s 6 a1 . Далее, имеем s2n+1 = s2n + a2n+1 , а так n→∞ как lim a2n+1 = 0, то lim s2n+1 = lim s2n = s . Для любого n ∈ N n→∞ n→∞ n→∞ справедливы неравенства s2[nÁ2] 6 sn 6 s2[nÁ2]+1 ,
(4.24)
где [x] — целая часть числа x . Переходя в (4.24) к пределу при n → ∞ , получим lim sn = s , т. е. ряд (4.23) сходится к сумме s . n→∞ Кроме того, установлено, что s 6 a1 . Применяя это неравенство к (n − 1)-му остатку данного ряда, т. е. к знакочередующемуся ряду ∞ P (−1)k−1 ak , заключаем, что и он сходится, причем k=n
¯ ¯ ∞ ¯ ¯X ¯ ¯ (−1)k−1 ak ¯ 6 an . I ¯ ¯ ¯ k=n
Замечания 1. Сумму s сходящегося ряда можно вычислить приближенно, полагая s ≈ sn−1 . Чтобы оценить погрешность этого приближенного равенства, запишем сначала точное равенство s = sn−1 + rn−1 , где rn−1 — сумма (n − 1) -го остатка. Для знакочередующихся рядов в силу признака Лейбница10 имеем |rn−1 | 6 an , что и дает искомую оценку погрешности. 2. Признак Лейбница позволяет, исходя из известных расходящихся положительных рядов, строить знакочередующиеся ряды, сходящиеся условно. Рассмотрим, например, обобщенный гармонический ряд ∞ X 1 1 1 1 = 1 + α + α + α + ... . α n 2 3 4 n=1
(4.25)
10 Л´ eйбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) — знаменитый немецкий математик, один из создателей математического анализа.
135
§ 3. Исследование на сходимость
При α > 0 последовательность (1Ánα )∞ n=1 , монотонно убывая, стремится к нулю. Поэтому для знакочередующегося ряда ∞ X
(−1)n−1
n=1
1 1 1 1 = 1 − α + α − α + ... nα 2 3 4
(4.26)
при α > 0 выполнены все условия признака Лейбница. Значит, этот ряд сходится. Учитывая, что ряд (4.25) при α > 1 сходится, а при 0 < α 6 1 он расходится, заключаем, что ряд (4.26) при α > 1 сходится абсолютно, а при 0 < α 6 1 — условно. В дальнейшем будет показано, что в частном 1 1 1 случае α = 1 справедливо равенство ln 2 = 1 − + − + . . . . 2 3 4
3. Преобразование Абеля. Неравенства Абеля Pассмотрим одно весьма полезное преобразование конечных сумм. Теорема 86 (преобразование Абеля11 ). Для любых конечных последовательностей (ak )nk=1 и (bk )nk=1 имеем n X
ak bk = an Bn +
n−1 X k=1
k=1
(4.27)
(ak − ak−1 )Bk ,
где обозначено Bk := b1 + b2 + . . . + bk . J Полагая B0 := 0, имеем b1 = B1 − B0 , b2 = B2 − B1 , . . . , bn = Bn − Bn−1 . Учитывая эти равенства, преобразуем левую часть (4.27): n X
ak bk =
n X
k=1
k=1
= an Bn +
n−1 X k=1
ak (Bk − Bk−1 ) =
ak Bk −
n X
k=2
n X
k=1
ak Bk −
ak Bk−1 = an Bn +
n X
ak Bk−1 =
k=1
n−1 X k=1
ak Bk −
= an Bn +
n−1 X k=1
11 Абель ´
n−1 X
ak+1 Bk =
k=1
(ak − ak+1 )Bk .
Нильс Хенрик (1802—1829) — норвежский математик.
136
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
Таким образом, получили правую часть (4.27). I Замечание. Отметим, что равенство (4.27) иногда называется формулой суммирования по частям.
Теорема 87 (неравенство Абеля). Предположим, что a1 > a2 > . . . > an > 0
и
|Bk | = |b1 + . . . + bk | 6 B ∈ R+
для всех k = 1, . . . , n. Тогда ¯ ¯ n ¯X ¯ ¯ ¯ ak · bk ¯ 6 B · a1 . ¯ ¯ ¯
(4.28)
k=1
J Используя равенство (4.27)), имеем ¯ n ¯ ¯ ¯ n−1 ¯X ¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ak · bk ¯ = ¯an · Bn + (ak − ak+1 )Bk ¯ 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=1
k=1
6 |an · Bn | +
n−1 X k=1
|(ak − ak+1 )Bk | = an |Bn | + 6 an B +
n−1 X k=1
n−1 X k=1
(ak − ak+1 )|Bk | 6
(ak − ak+1 )B =
= (an + a1 − a2 + a2 − a3 + . . . + an−1 − an )B = B · a1 .
Отсюда непосредственно следует неравенство (4.28). I
Замечание. Если предположить, что выполняются неравенства 0 < a 1 6 a2 6 . . . 6 a n , то с помощью аналогичных оценок можно получить еще одно неравенство Абеля, а именно: ¯ ¯ n ¯ ¯X ¯ ¯ a · b ¯ k k ¯ 6 B · (a1 + 2an ) . ¯ ¯ k=1
4. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов Приведем здесь еще два признака, с помощью которых можно исследовать ряды не только на абсолютную, но и на условную сходимость.
137
§ 3. Исследование на сходимость
Теорема 88 (признак Дирихле12 ). Пусть (an )∞ n=1 — монотонная и стремящаяся к нулю последовательность вещественных чисел. Предположим, что последовательность частичных сумм ря∞ ∞ P P да bn ограничена. Тогда ряд an bn сходится. n=1
n=1
J По условию
∃B ∈ R+
¯ n ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ∀n ∈ N : ¯ bk ¯ 6 B. ¯ ¯ k=1
∞ P
Отсюда для любого отрезка ряда
bk имеем
k=1
¯ n+p ¯ ¯n+p ¯ n ¯ X ¯ ¯X ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ bk ¯ = ¯ bk ¯ 6 bk − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=n+1 k=1 k=1 ¯n+p ¯ ¯ ¯ n ¯ X ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6¯ bk ¯ + ¯ bk ¯ 6 B + B = 2B . (4.29) ¯ ¯ ¯ ¯ k=1
k=1
Предполагая для определенности, что последовательность (an ) не возрастает, имеем ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : 0 < an 6
ε . 2B
При тех же значениях n , используя неравенства (4.28) и (4.29), находим ¯ n+p ¯ ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ X ¯ ε ¯ ¯ ¯ ¯ · 2B = ε . ak bk ¯ 6 an+1 · sup ¯ bk ¯ 6 an+1 · 2B 6 ¯ ¯ ¯ ¯ 2B p ¯ k=n+1
k=n+1
Таким образом, для ряда
∞ P
ak bk выполнено условие критерия
k=1
Коши, значит, этот ряд сходится. I Пример. Рассмотрим ряд
∞ P
n=1
(−1)n−1 an , где (an ) & 0 . Полагая
bn := (−1)n−1 , имеем: |b1 + . . . + bn | = |1 − 1 + . . . + (−1)n−1 | 6 1 . Таким 12 Дирихл´ е
Петер Густав Лежён (1805—1859) — немецкий математик.
138
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
образом, для данного ряда выполнены все условия признака Дирихле, поэтому он сходится. Иначе говоря, признак Лейбница является следствием признака Дирихле. А так как признак Лейбница может быть использован для исследования рядов на условную сходимость, то и признак Дирихле может быть использован для этой же цели.
Теорема 89 (признак Абеля). Если последовательность ∞ P (an )∞ bn сходится, то и ряд n=1 монотонна и ограничена, а ряд ∞ P
n=1
an bn сходится.
n=1
J Так как последовательность (an )∞ n=1 монотонна и ограниче∞ P на, то она сходится: lim an = a ∈ R . Так как ряд bn сходится, n→∞ n=1 то последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена. Отсюда на основании признака Дирихле заключаем, что ∞ P ряд (an − a)bn сходится. Следовательно, должен сходиться и ряд n=1
∞ X
n=1
(an − a)bn + a
что и требовалось. I
∞ X
n=1
bn =
∞ X
an bn ,
n=1
1 − 2−n √ сходится, так как последовательность n n=1 ∞ (−1)n P √ с общим членом an = 1 − 2−n монотонна и ограничена, а ряд n n=1 1 1 − 2−n √ сходится (по признаку Лейбница). Так как ∼ √ при n → ∞ , а n n ∞ P 1 √ расходится, то сходимость данного ряда — условная. ряд n n=1 Пример. Ряд
∞ P
(−1)n
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов 1. Понятие о перестановке членов ряда Переставляя некоторые члены данного числового ряда, будем получать, вообще говоря, новые ряды. Если перестановка касается толь-
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов
139
ко конечного числа членов данного ряда, то с точки зрения свойств сходимости и суммы новый ряд не отличается от исходного. Это следует из свойства коммутативности операции сложения13 , благодаря которому все члены последовательностей частичных сумм обоих рядов, имеющие достаточно большие номера, равны между собой. Если же перестановка касается бесконечного числа членов данного ряда, то ситуация усложняется и потому требует более детального изучения. Начнем с определения понятия перестановки членов ряда. ∞ P Определение 100. Говорят, что ряд bk можно получить
из ряда
∞ P
k=1
an перестановкой членов, если существует биектив-
n=1
ное отображение ϕ : N −→ N такое, что ∀k ∈ N : bk = an , где n = ϕ(k). Так как для биективного отображения ϕ существует обратное ϕ−1 = ψ : N −→ N , то ∀n ∈ N будет k = ψ(n) и, значит, в обозначе∞ P an также можно получить из ряда ниях из определения 100 ряд ∞ P
n=1
bk перестановкой членов.
k=1
2. Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов Теорема 90. Если ряд то ряд
∞ P
∞ P
an сходится абсолютно к сумме s ,
n=1
bk , полученный из исходного ряда перестановкой членов,
k=1
сходится абсолютно к той же сумме s . ∞ P J Предположим сначала, что an — положительный ряд.
Тогда ряд
∞ P
n=1
bk тоже положительный, и пусть σ — его сумма. Далее,
k=1
13 Обращаю внимание читателя на то, что свойство коммутативности применимо только к суммам конечного числа слагаемых.
140
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
для любого n ∈ N имеем n X
n X
bk =
k=1
aϕ(k) 6
N X
(4.30)
aj 6 s ,
j=1
k=1
где N := max{ϕ(1), ϕ(2), . . . , ϕ(n)}. Таким образом, частичные сум∞ P мы ряда bk ограничены сверху числом s . Значит, этот ряд схоk=1
дится. Переходя в (4.30) к пределу при n → ∞ , получим σ 6 s . ∞ ∞ P P Так как ряд an также можно получить из ряда bk переn=1
k=1
становкой его членов, то, рассуждая аналогично, можно заключить, что s 6 σ . Таким образом, σ = s . ∞ ∞ P P Предположим теперь, что an и bk — вещественные и знаn=1
копеременные ряды. Так как ряд
∞ P
k=1
an сходится абсолютно, то по
n=1 ∞ P
∞ |a | − a P |an | + an n n и схо2 2 n=1 n=1 дятся. Введем обозначения для их сумм:
теореме 82 положительные ряды
s+ =
∞ ∞ X X |an | − an |an | + an , s− = . 2 2 n=1 n=1
В этих обозначениях s = s+ − s− . Если ряд ∞ P
an перестановкой его членов, то ряды
n=1
∞ P
k=1 ∞ |b P
k=1
bk получен из ряда k|
± bk получаются 2
∞ |a | ± a P n n той же перестановкой из рядов соответственно. При2 n=1 ∞ |b | ± b P k k меняя доказанную часть теоремы, заключаем, что ряды 2 k=1 сходятся, причем
s+ =
∞ X |bk | + bk
k=1
Отсюда следует, что ряд на s+ − s− = s .
2
∞ P
k=1
s− =
∞ X |bk | − bk
k=1
2
.
bk сходится абсолютно, а его сумма рав-
141
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Если абсолютно сходящийся ряд s = ∞ P
оба вещественных ряда Re s = сходятся абсолютно. Если ряд новкой его членов, то ряды ственно из рядов
∞ P
an — комплексный, то
n=1
Re an и Im s =
n=1 ∞ P
bk получен из ряда
k=1 ∞ P
Re bk и
k=1 ∞ P
Re an и
n=1
∞ P
∞ P
∞ P
n=1 ∞ P
Im an тоже an переста-
n=1
Im bk получены соответ-
k=1
Im an с помощью той же переста-
n=1
новки членов. Применяя доказанную часть теоремы, заключаем, что ∞ P оба новыx ряда сходятся абсолютно, причем Re s = Re bk , Im s = =
∞ P
Im bk . Отсюда следует, что ряд
∞ P
k=1
k=1
bk =
∞ P
k=1
Re bk + i
k=1
сходится абсолютно к сумме Re s + i Im s = s . I
∞ P
Im bk
k=1
Замечание. Доказанная теорема означает, что относительно перестановок членов абсолютно сходящиеся ряды ведут себя аналогично конечным суммам: от перестановки членов абсолютная сходимость ряда не нарушается, а его сумма не изменяется.
3. Перестановки членов условно сходящихся рядов Поведение условно сходящихся рядов при перестановках их членов резко отличается от поведения абсолютно сходящихся рядов при перестановках их членов и описывается следующей теоремой, восходящей к Б. Риману14 . Теорема 91 (теорема об условно сходящихся рядах). P Пусть an — условно сходящийся ряд с вещественными членами, e такие, что α 6 β . Сущести пусть произвольно заданы α , β ∈ R вует¡ перестановка данного ряда такая, что для последовательно¢∞ сти σn n=1 частичных сумм ряда, полученного в результате этой перестановки, справедливы следующие равенства: lim σn = α ,
n→∞ 14 Риман
lim σn = β .
n→∞
Бернгард (1826—1866) — знаменитый немецкий математик.
(4.31)
142
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
J Так как добавление или отбрасывание нулевых членов не влияет ни на сходимость ряда, P ни на его сумму, то будем считать,Pчто все члены данного ряда an отличны от нуля. Так как ряд an сходится условно, то в силу теоремы 84 оба ряда: X |an | + an 2
и
X |an | − an 2
(4.32)
расходятся. Поскольку эти ряды положительные, то их расходимость означает, что суммы обоих этих рядов равны (+∞). Обозначим теперь через (p1 , p2 , p3 , . . .) подпоследовательность последовательности P (a1 , a2 , a3 , . . .), состоящую из всех положительных членов ряда an , а через (q1 , q2 , P q3 , . . .) — последовательность модулей отрицательных членов ряда an , взятых в том же порядке, что и в данном ряде. Так как данный ряд сходится, то в силу необходимого признака сходимости при n → ∞ должно быть: an → 0 и, значит, pn → 0 и qn → 0. P P pn и qn Ряды (4.32) отличаются соответственно от рядов только наличием P нулевых членов, поэтому и эти последние ряды расP ходятся, причем pn = +∞ и qn = +∞ . Построим теперь такие возрастающие последовательности нату∞ ральных чисел (mn )∞ n=1 и (kn )n=1 , что ряд p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 + pm1 +1 + . . . + + pm2 − qk1 +1 − . . . − qk2 + . . . , (4.33)
P полученный, очевидно, из ряда an перестановкой его членов, будет удовлетворять условию (4.31). С этой целью, учитывая неравенство α 6 β , возьмем две после∞ довательности (αn )∞ n=1 и (βn )n=1 вещественных чисел так, чтобы выполнялись следующие два условия: lim αn = α , n→∞ ∀n ∈ N : αn 6 βn и lim βn = β . n→∞
Пусть m1 , k1 — наименьшие натуральные числа такие, что p1 + . . . + pm1 > β1 , p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 < α1 .
(4.34)
143
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Пусть m2 , k2 — наименьшие натуральные числа такие, что p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 + pm1 +1 + . . . + pm2 > β2 ,
p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 + pm1 +1 + . . . + pm2 − − qk1 +1 − . . . − qk2 < α2
(4.35)
и Pт. д. Этот процесс P допускает неограниченное продолжение, так как pn = +∞ и qn P = +∞ . Так строится ряд (4.33) и очевидно, что он получен из ряда an перестановкой его членов. — последовательность частичных сумм ряда Пусть (σn )∞ n=1 ∞ (4.33). Обозначим (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 ее подпоследовательности, выделенные по следующему принципу: последним слагаемым суммы xn пусть является pmn , а последним слагаемым суммы yn — (−qkn ). Из (4.34) и (4.35) видно, что |xn − βn | 6 pmn и
(4.36)
|yn − αn | 6 qkn .
Переходя здесь к пределу при n → ∞ и учитывая, что при этом pmn → 0 , qnm → 0, заключаем, что lim xn = β ,
n→∞
lim yn = α .
n→∞
И наконец, lim σn = lim sup{σn , σn+1 , . . .} = lim sup {xν , xν+1 , . . .} =
n→∞
n→∞
n→∞ mν >n
= lim xν = β , ν→∞
lim σn = lim inf{σn , σn+1 , . . .} = lim inf {yµ , yµ+1 , . . .} =
n→∞
n→∞
n→∞ kµ >n
= lim yµ = α . µ→∞
Таким образом, равенства (4.31) выполняются. I Замечания. 1. В частном случае α = β ∈ R приведенное выше доказательство можно значительно упростить, полагая αn ≡ βn ≡ α = β . 2. Из доказанной теоремы следует, в частности, что если наперед заe , то существует перестановка любого условно сходящегося дать α = β ∈ R ряда такая, что ряд, полученный в результате этой перестановки, будет иметь сумму α .
144
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
4. Умножение рядов Прежде всего необходимо ответить на вопрос: что следует пониP P мать под произведением рядов an и bn ? Пытаясь перемножать ряды аналогично тому, как перемножаются конечные суммы, приходим к равенству X X X am · bn , (4.37) bn = am · n∈N
m∈N
m,n∈N
где в правой части находится сумма бесконечного множества слагаемых вида am · bn . В связи с этим возникают такие вопросы: как упорядочивать слагаемые в правой части (4.37) и не следует ли их как-то сгруппировать, поскольку все это может влиять на сходимость суммы, а в случае сходимости на ee величину? Опуская рассмотрение этих вопросoв в общем виде, рассмотрим здесь один наиболее часто встречающийся способ упорядочивания и группировки, предложенный О. Коши. ∞ P ak Определение 101. Произведением (по Коши) рядов15 и
∞ P
bk называется ряд
k=0
∞ P
k=0
ck с общим членом
k=0
ck := a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 .
В развернутом виде это определение можно записать так: (a0 + a1 + a2 + . . .) · (b0 + b1 + b2 + . . .) = = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) + . . . . (4.38) Для частичных сумм рядов из (4.38) введем следующие обозначения: sn :=
n X
k=0
ak ,
σn :=
n X
k=0
bk ,
ζn :=
n X
ck .
(4.39)
k=0
Обозначим через s , σ , ζ суммы соответствующих рядов, если эти суммы сущеcтвуют. Поскольку равенство sn · σn = ζn , вообще говоря, не выполняется, то не ясно, будет ли справедливым равенство s · σ = ζ . Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме. 15 В этом контексте удобнее начинать нумерацию членов ряда с нуля, что в принципе не существенно.
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов
145
Теорема 92 (Мертенс). Предположим, что ряды ∞ X
ak
и
∞ X
bk
k=0
k=0
сходятся к суммам s и σ соответственно, причем хотя бы один из этих рядов сходится абсолютно. Тогда произведение (по Коши) ∞ P ck из определения 101, сходится к сумме этих рядов, т. е. ряд k=0
s · σ. J Будем использовать обозначения (4.39), и тогда нам предстоит доказать равенство ζ = s · σ . Для определенности предположим, что ∞ P ряд ak сходится абсолютно. Полагая βn := σn − σ , преобразуем k=0
частичную сумму ряда-произведения: ζn =
n X
ck = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + . . . + (a0 bn + a1 bn1 + . . . + an b0 ) =
k=0
= a0 σn + a1 σn−1 + . . . + an σ0 = = a0 (σ + βn ) + a1 (σ + βn−1 ) + . . . + an (σ + β0 ) = = sn σ + (a0 βn + a1 βn−1 + . . . + an β0 ) = sn σ + γn ,
где обозначено γn := a0 βn + a1 βn−1 + . . . + an β0 . Таким образом, имеем: ζn = sn · σ + γn , и для доказательства достаточно убедиться в том, что lim γn = 0. n→∞ ∞ ∞ P P ak | ak |. Имеем α ∈ R+ , поскольку ряд s = Обозначим α = k=0
k=0
сходится абсолютно. Так как
lim βn = lim (σn − σ) = 0 ,
n→∞
n→∞
то ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : |βn | 6 ε .
При тех же значениях n имеем
|γn | = |(β0 an + . . . + βN an−N ) + (βN +1 an−N −1 + . . . + βn a0 )| 6 6 |β0 an + . . . + βN an−N | + |βN +1 an−N −1 + . . . + βn a0 )| 6
146
Глава 4. Числовые ряды и их суммы 6 |β0 an + . . . + βN an−N | + ε · α .
Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим 0 6 lim |γn | 6 ε · α , n→∞
откуда при ε → +0 находим lim |γn | = 0 и, значит, lim γn = 0. I n→∞
n→∞
Замечание. Покажем на примере, что условие абсолютной сходимости в теореме 92 существенно. С этой целью условно сходящийся ряд ∞ X (−1)n 1 1 1 √ = 1 − √ + √ − √ + ... n + 1 2 3 4 n=0
возведем в квадрат Ã
∞ X (−1)n √ n+1 n=0
!2
=1−
µ
¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 √ +√ + √ +√ ·√ +√ − 2 2 3 2 2 3 ¶ µ 1 1 1 1 1 1 + ... . − √ +√ ·√ +√ ·√ +√ 4 3 2 2 3 4
Обозначая символом cn общий член этого ряда-произведения, имеем cn = (−1)n
n X
k=0
p
1 . (n − k + 1)(k + 1)
Так как среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, то имеем неравенство ´2 ³n +1 , (n − k + 1)(k + 1) 6 2 используя которое, находим |cn | =
n X
k=0
p
n n X 1 1 2 X 1= > = n n+2 (n − k + 1)(k + 1) +1 k=0 k=0 2 2(n + 1) = → 2 при n+2
Таким образом, для ряда
∞ P
n → ∞.
cn не выполнен необходимый признак схо-
n=0
димости, значит, он расходится. Иначе говоря, не выполнено заключение теоремы 92.
147
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов
Задачи к главе 4 4.1. Вычислить суммы следующих рядов, предварительно исследовав их на сходимость: (−1)n−2 1 1 1 a) 1 − + − + . . . + + ...; 2 4 8 2n−1 ¶ µ ¶ ¶ µ µ 1 1 1 1 1 1 + + + . . . + + + . . .; + b) 2 3 22 32 2n 3n 1 3 5 2n − 1 + 2 + 3 + ... + + . . .; 2 2 2 2n 4 1 1 + . . .; d) + + . . . + 4 7 (3n − 2)(3n + 1)
c)
e) q cos α + q 2 cos 2α + . . . + q n cos nα + . . . , |q| < 1 ;
f) q sin α + q 2 sin 2α + . . . + q n sin nα + . . . , |q| < 1 ; g)
∞ √ √ P √ ( n + 2 − 2 n + 1 + n) .
n=1
4.2. Исследовать на сходимость ряды
∞ P
sin nx и
n=1
∞ P
cos nx .
n=1
4.3. Используя критерий Коши, исследовать на сходимость следующие ряды: a1 an a) a0 + + . . . + n + . . . , где |an | < 10 ; 10 10 sin x sin 2x sin nx + + ... + + . . .; b) 2 22 2n ∞ cos nx − cos(n + 1)x P ; c) n n=1 cos x cos x2 cos xn + + . . . + + . . .; 12 22 n2 1 1 1 e) 1 + + + . . . + + . . . ; 2 3 n 1 1 1 1 1 f) 1 + − + + − + . . . ; 2 3 4 5 6 1 1 1 + ... . +√ + ... + p g) √ 1·2 2·3 n · (n + 1) d)
148
Глава 4. Числовые ряды и их суммы 4.4. Исследовать на сходимость следующие положительные ряды: n 4 + 3k ∞ Q P ; n=1 k=0 2 + 4k 2 ¶ µ n −n ∞ P n−1 ; d) n+1 n=1 ∞ P (999 + n)! g) ; n=1 999!(2n − 1)!! n−1 ∞ P n j) n+1 ; n=1 (2n2 + n + 1) 2 1 ∞ P nn+ n m) 1 n ; n=1 (n + n ) ¶n2 +n µ ∞ P n−1 ; p) n+1 n=2 ∞ Q n P 1 1 s) (2 2 − 2 2k+1 ) ;
a)
b) e) h) k) n) q) t)
n=1 k=1
∞ (n!)2 P ; n=1 (2n)! ∞ 3n n! P ; n n=1 n 2 ∞ P n 1 n ; n=1 (2 + n ) ∞ P 1 √ ; n ln n n=2 ∞ P n5 ; n n n=1 2 + 3 ∞ P π sin n ; 2 n=1 ∞ P n5 ; n n n=1 2 + 3
1 2 , если n = m , n где an = 1 , если n 6= m2 . n2 4.5. Исследовать на сходимость следующие ряды: ∞ 2 + (−1)n P ; 2n n=1 ∞ a cos2 nπ P 3 c) ; 2n n=1 µ ¶ 2n−ln n ∞ P 1 + cos n ; e) 2 + cos n n= n ∞ P n!e ; g) n+p n=1 n ¶p µ ∞ P (2n − 1)!! ; i) (2n)!! n=1 ¸ · p ∞ P (2n − 1)!! 1 k) ; q (2n)!! n n=1
a)
4.6. Пусть
∞ P
n=1
√ ∞ n3 [ 2 + (−1)n ]n P ; 3n n=1 √ ∞ P n! √ √ d) √ ; 1)(2 + 2) . . . (2 + n) n=1 (2 + ∞ P n!n−p f) , (q > 0) ; n=1 q(q + 1) . . . (q + n) a(a + d) a(a + d)(a + 2d) h) + + ...; b(b + d) b(b + d)(b + 2d) ¸ · α ∞ P p(p + 1) . . . (p + n − 1) j) ; n=1 q(q + 1) . . . (q + n − 1) ∞ p(p + 1) . . . (p + n − 1) P l) . nq n! n=1 b)
an — сходящийся строго положительный ряд. Доказать,
n=1
что lim nan = 0 . n→∞
∞ n! P ; n n=1 n ∞ (n!)2 P ; f) n2 n=1 2 ∞ P 1 i) tg 2 ; n n=1 ∞ P 1 √ l) ; n ln n n=2 ∞ 2n n! P o) ; n n=1 n ∞ 1000n P r) ; n! n=1 ∞ P u) an ,
c)
149
§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов 4.7. Пусть
∞ P
an — сходящийся строго положительный ряд, а sn :=
n=1
∞ s P n расходится. n=1 n
:= a1 + . . . + an . Доказать, что ряд 4.8. Исследовать на сходимость ряд √ √ a) an = √n + 1 − n ; √ n+1− n b) an = ; n n √ n c) an = ( n − 1) ; 1 где z ∈ C . d) an = 1 + zn
∞ P
an , если
n=1
4.9. Доказать, что из сходимости положительного ряда √ ∞ P an сходимость ряда . n n=1
∞ P
an следует
n=1
4.10. Исследовать на сходимость произведение следующих двух сходящихся рядов: ∞ X (−1)n−1 nα n=1
и
∞ X (−1)n−1 . nβ n=1
4.11. Следующие ряды исследовать на абсолютную и условную сходимость: ¶p µ ∞ ∞ (−1)n P P (2n − 1)!! √ ; ; b) a) (−1)n−1 (2n)!! n+2 n=1 n=1 ³ ´ n ∞ ∞ P P (−1) π 1 c) ; d) sin + πn sin ; 2 + sin2 n 4 n n n=1 n=1 ∞ ∞ ¡ √ ¢ n(n−1) P P 1 2 e) ·√ ; cos π n + n ; f) (−1) 2 n n=1 n=1 ∞ (−1)n ∞ (−1)n+1 ln2 (n + 1) P P √ g) ; ; h) n 2n + 3n n n=1 n=1 µ ¶ ∞ (−1)n−1 · n ∞ (−1)n(n−1)Á2 P P 3 √ 1 − ; i) ; j) nÁ2 − n2 n n n n=1 5 n=1 ¶ µ ∞ ∞ P P (−1)n−1 1 k) ; ; l) (−1)n+1 ln 1 + 2n n n=1 (n + 1)a n=1 ∞ ∞ P P ln n n−1 (−1)n ; n) ; (−1)n+1 arccos m) n+1 n ln ln n n=10 n=1
150
Глава 4. Числовые ряды и их суммы
∞ (−1)n (n + 1)n−1 P ; (2n + 3)n+1 n=1 ¶n µ ∞ P 4 + 5 · (−1)n q) ; 10 n=1
o)
s)
∞ (n + 1) cos 2n P ; n3 − ln n n=1
∞ ln3 n P πn sin ; n 6 n=1 √ √ ∞ P n2 + 3n + 1 − n2 − 3n + 1 . w) (−1)n n=1
u)
p) r) t) v)
∞ (−1)n (2n)!! P ; (n + 1)n n=1
∞ (−1)n P √ ; n2 n n=1
∞ cos3 n P √ ; n n=1
∞ sin n2 P ; n2 n=1
Глава 5 ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Пределы функций 1. Определения и примеры Под функциями будем понимать отображения числовых множеств. Точнее, функцией вещественного переменного будем называть всякое отображение вида f : X −→ R , где X ⊂ R .
(5.1)
Функцией комплексного переменного будем называть всякое отображение вида f : X −→ C , где X ⊂ C . (5.2) Чтобы ввести понятие предела функции (5.1) или (5.2) при x → a, необходимо предположить, что a — точка прикосновения множества X . Напомним, что a называется точкой прикосновения множества X , если для любой окрестности U (a) точки a выполняется условие: X ∩ U (a) 6= ∅ . Здесь a — либо число, либо один из трех элементов: ∞ , +∞ , −∞ . Если a не является числом, то под окрестностью точки a понимается окрестность в топологии соответствующей расширенной системы чисел. Определение 102. Пусть f : X −→ Y — функция, a и A — точки прикосновения множеств X и Y соответственно. Говорят, что предел функции f при x → a, x ∈ X равен A , если для любой окрестности V (a) точки A существует окрестность U (a) точки a такая, что f (U (a) ∩ X) ⊂ V (A). Обозначается это так: x→a, lim f (x) = A . Если нет опасности путаниx∈X
цы, то применяются более краткие обозначения lim f (x) = A либо x→a
lim f (x) = A . Используя эти обозначения, перепишем определение
152
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
102 в сокращенном виде: lim f (x) = A
x→a, x∈X
def
⇐⇒
∀V (A) ∃U (a) : f (U (a) ∩ X) ⊂ V (A) . (5.3)
Определение 102 будем называть определением «на языке окрестностей». Оно является наиболее общим, так как имеет смысл для произвольных топологических пространств X и Y. В случае, когда a и A — числа, в качестве окрестностей можно брать (открытые или замкнутые) круги (интервалы), например множества |y − A| 6 ε и |x − a| 6 δ , где ε и δ — положительные числа. В таких случаях получаем следующeе определение, равносильное определению 102 и часто называемое определением «на языке ε - δ ». Определение 103. Говорят, что предел функции f : X −→ Y при x → a равен A , если для любого ε ∈ R+ существует такое δ ∈ R+ , что ∀x ∈ X из неравенства |x − a| 6 δ вытекает неравенство |f (x) − A| 6 ε . Перепишем это определение в сокращенном виде def
lim f (x) = A ⇐⇒
x→a, x∈X def
⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X : |x − a| 6 δ ⇒ |f (x) − A| 6 ε ,
(5.4)
где a , A , ε > 0 , δ > 0 — числа. Если f — функция вещественного переменного, то определение (5.4) можно геометрически истолковать следующим образом (см. рис. 14). Для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если x ∈ [a−δ , a+δ], то O a−δ a a+δ X расположенная над этим отрезком часть графика функции f должна лежать в горизонтальРис. 14. К определению 103 ной полосе A − ε 6 y 6 A + ε . Числовая последовательность есть частный случай функции (X = N). Данное в главе 2 понятие предела последовательности есть частный случай понятия предела функции (при x → +∞, x ∈ N ). Y 6 A−ε A A+ε
153
§ 1. Пределы функций
Рассмотрим несколько примеров на применение определения понятия предела функции. µ ¶ 1 = 0. 1) Доказать, что lim x · sin x→0, x x6=0
J Задавая ε > 0 и полагая δ = ε , при 0 < |x| 6 δ имеем ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1¯ 0 6 ¯¯x · sin − 0¯¯ = |x| · ¯¯sin ¯¯ 6 |x| 6 δ = ε , x x ¯ ¯ ¯ ¯ 1 т. е. ¯¯x · sin − 0¯¯ 6 ε . I x 2) Доказать, что lim f (x) = 0 , где x→0
x · sin 1 , f (x) = x 0 ,
x 6= 0 , x = 0.
J В отличие от предыдущего примера здесь переменной x разрешено принимать значение 0 , и решение предыдущего примера проходит при |x| 6 δ . I 3) Пусть
x · sin 1 , g(x) = x 1 ,
x 6= 0 ,
x = 0.
Тогда lim g(x) не существует. x→0
J Предположим, что lim g(x) = A ∈ R . Тогда по определению должx→0
но быть
∀ε ∈ (0 ; 1) ∃δ > 0 : |x| 6 δ =⇒ |g(x) − A| 6 ε .
(5.5)
Полагая в последнем неравенстве x = 0 , получим: |1 − A| 6 ε , откуда ввиду произвольной малости ε заключаем, что должно быть: A = 1 . Но это невозможно, так как из неравенства (5.5) в пределе при x → 0; x 6= 0 получаем: A 6 ε < 1 . I 4) Покажем, что lim cos x = 1 . x→0
J Задавая произвольно ε ∈ (0 , 2] , решим неравенство | cos x − 1| 6 ε , равносильное неравенству ¯ ¯ ³ x ´2 x¯ p ¯ 6 ε , откуда ¯sin ¯ 6 εÁ2 , 2 sin 2 2 или p p −2 arcsin εÁ2 6 x 6 2 arcsin εÁ2 . √ Итак, достаточно положить δ := 2 arcsin εÁ2 . I
154
Глава 5. Пределы и непрерывность функций x не существует. |x| x = A ∈ R , т. е. J Предположим противное: lim x→0 |x| ¯ ¯ ¯ x ¯ ∀ε ∈ (0 , 1) ∃δ > 0 ∀x 6= 0 : |x| 6 δ =⇒ ¯¯ − A¯¯ 6 ε . |x|
5) Предел lim
x→0
Из последнего неравенства соответственно при x > 0 и при x < 0 вытекают следующие неравенства: |1 − A| 6 ε и |1 + A| 6 ε . Используя их, находим 2 = 1 + 1 = (1 − A) + (1 + A) 6 |1 − A| + |1 + A| 6 ε + ε = 2ε . Отсюда получаем: ε > 1 — противоречие. I
2. Общие свойства пределов функций Теорема 93. (a) Если функция f : X −→ Y — постоянная в некоторой окрестности точки a, то предел lim f (x) существует x→a и равен этой постоянной. (b) Если предел lim f (x) существует, то он — единственный. x→a
(c) Если предел lim f (x) = A — число, то функция f ограничена x→a
в некоторой окрестности1 точки a. J (a) Пусть f (x) ≡ A для всех x ∈ U0 ∩ X , где U0 — некоторая окрестность точки a. Взяв любую окрестность V (A) точки A и положив U (a) := U0 , получим f (U0 ) = {A} ⊂ V (A), т. е. выполнено условие определения 102. (b) Предположим, что lim f (x) = A1 и lim f (x) = A2 , причем x→a
x→a
A1 6= A2 . По свойству отделимости существуют окрестности V (A1 ) и V (A2 ) такие, что V (A1 ) ∩ V (A2 ) = ∅ . По определению 102 существует окрестность U (a) точки a такая, что ∀x ∈ U (a) ∩ X будет f (x) ∈ V (A1 ) и f (x) ∈ V (A2 ). Отсюда получаем противоречие f (x) ∈ V (A1 ) ∩ V (A2 ) = ∅ . (c) Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X , если соответствующим свойством ограниченности обладает множество ее значений f (X). 1 Или,
как говорят, финально ограничена при x → a .
155
§ 1. Пределы функций
Задавая ε = 1, найдем окрестность U1 (a) точки a такую, что ∀x ∈ U1 (a) ∩ X : |f (x) − A| 6 1 . Последнее равносильно неравенствам A − 1 6 f (x) 6 A + 1. Таким образом, {f (x) | x ∈ U1 (a) ∩ X} — ограниченное множество. I
3. Предел и неравенства В этом пункте будем предполагать, что f : X −→ R , X ⊂ R , т. е. рассматривать только вещественные функции вещественного переменного. Теорема 94. (a) Если lim f (x) = A и A > B (A < B), то x→a
существует окрестность U (a) точки a такая, что: ∀x ∈ U (a) ∩ X : f (x) > B (f (x) < B) . (b) Если lim f (x) = A , lim g(x) = B и f (x) 6 g(x) в некоторой x→a x→a окрестности U0 точки a, то A 6 B . (c) Если в некоторой окрестности U0 точки a выполнены неравенства f (x) 6 g(x) 6 h(x) и если lim f (x) = lim h(x) = A , то x→a
x→a
lim g(x) = A .
x→a
J (a) Пусть A > B . Выберем окрестность V (A) точки A в виде промежутка, не содержащего B . Тогда ∀y ∈ V (A) : y > B . Так как lim f (x) = A , то x→a
∃U (a) ∀x ∈ U (a) ∩ X : f (x) ∈ V (A) и, значит, f (x) > B . Аналогично можно рассмотреть случай A < B . (b) Предположим противное: A > B . По свойству отделимости существуют непересекающиеся окрестности V (A) и V (B) точек A и B соответственно. Взяв эти окрестности в виде промежутков и учитывая, что V (A) ∩ V (B) = ∅ , заключаем, что ∀y1 ∈ V (A) ∀y2 ∈ V (B) : y1 > y2 .
156
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
Найдем теперь окрестность U (a) ⊂ U0 точки a такую, что ( f (x) ∈ V (A) , ∀x ∈ U (a) ∩ X : g(x) ∈ V (B) . Отсюда следует неравенство f (x) > g(x), противоречащее условию. (c) Зададим окрестность V (A) точки A в виде промежутка. По определению предела имеем: ( ∃U1 (a) ∀x ∈ U1 (a) ∩ X : f (x) ∈ V (A) , ∃U2 (a) ∀x ∈ U2 (a) ∩ X : h(x) ∈ V (A) . Построим окрестность U (a) точки a, полагая U (a) := U0 ∩ U1 (a) ∩ U2 (a) . Тогда получим ( f (x) ∈ V (A) , ∀x ∈ U (a) ∩ X : h(x) ∈ V (A) . Поскольку V (A) — промежуток, то [f (x) , h(x)] ⊂ V (A), а так как g(x) ∈ [f (x) , h(x)] , то ∀x ∈ U (a) ∩ X : g(x) ∈ V (A) . Таким образом, предел lim g(x) существует и равен A . I x→a
Теорема 95 («первый замечательный предел»). sin x = 1. Справeдливо следующее равенство: lim x→0 x π J Сначала предположим, что 0 < x < . На координатной плос2 кости (см. рис. 15) возьмем окружность с центром в точке O радиуса 1, и пусть x — величина центрального угла ∠AOB (в радианах). Плоские фигуры на рис. 15 связаны очевидными соотношениями: M OAB ⊂ сектор OAB ⊂M OAC .
157
§ 1. Пределы функций
Отсюда в силу свойства монотонности площади вытекают следующие неравенства для площадей этих фигур: SMOAB < Sсектора OAB < SMOAC . Вычислив и удвоив эти площади, получим следующие неравенства: sin x < x < tg x . Из этих неравенств находим cos x
|B − g(x)| > |B| − |g(x)| , 2 |B| . Используя полученные неравенства, находим 2 ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ |B − g(x)| ∀x ∈ Uε (a) ∩ X : ¯¯ − ¯¯ = 6 g(x) B |B · g(x)| |B|2 1 |B|2 2 6 ·ε· 6 ·ε· = ε. 2 |B| · |g(x)| 2 |B|2
откуда |g(x)| >
1 1 = . И наконец, используя докаg(x) B занную часть теоремы, имеем Отсюда заключаем, что lim
x→a
1 1 A f (x) = lim f (x) · =A· = . I x→a x→a g(x) g(x) B B lim
160
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
Определение 105. Функция f : X −→ Y называется бесконечно большой (б. б.) при x → a ; x ∈ X , если lim f (x) = ∞ , x→a т. е. если ∀E ∈ R+ ∃U (a) ∀x ∈ U (a) ∩ X : |f (x)| > E .
(5.7)
Частными случаями бесконечно больших функций при x → a являются такие, для которых lim f (x) = +∞ и
x→a
lim f (x) = −∞ .
x→a
Сформулировать соответствующие определения в виде, аналогичном (5.7), предлагаем читателю. Замечание. Отметим, что, вообще говоря, пределы одной и той же функции f при x → a могут быть различными при различных значениях a . Одна и та же функция f в зависимости от выбора a может иметь конечный предел, быть бесконечно малой, бесконечно большой или вовсе не иметь предела. Поэтому, говоря о пределе функции, необходимо каждый раз указывать, к какой точке стремится ее аргумент. Дополним теорему 97(c) следующими фактами.
Теорема 98. Если функция f не обращается в нуль, то равносильны следующие утверждения: (a) функция f — бесконечно большая при x → a; 1 (b) функция — бесконечно малая при x → a. f J (a)⇒ (b) Зададим ε ∈ R+ . C По числу E := 1Áε найдем окрестB ность UE (a) такую, что ∀x ∈ UE (a) ∩ X : |f (x)| > E . x O
A
Рис. 15. К теореме 95
Отсюда находим ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ = |f (x)| 6 E = ε ,
1 = 0. f (x) (b)⇒ (a) Зададим E ∈ R+ . По числу ε := ¯ 1ÁE ¯ найдем окрест¯ 1 ¯ ¯ 6 ε . При тех же ность Uε (a) такую, что ∀x ∈ Uε (a) ∩ X : ¯¯ f (x) ¯
т. е.
lim
x→a
161
§ 1. Пределы функций
1 значениях x |f (x)| > = E , т. е. f – бесконечно большая функция ε при x → a . I Замечание. Используя теорему 98, можно придать смысл, например, 1 1 следующим равенствам: := 0 и := ∞ . В аналогичных ситуациях ∞ 0 выражения 0 ∞ , , 00 , ∞0 , 1∞ , +∞ − ∞ 0 ∞ остаются неопределенными. Вычисление их конкретных числовых значений (так называемое раскрытие неопределенностей) — одна из основных задач теории пределов.
5. Пределы монотонных функций Для монотонных функций имеют место факты, аналогичные теореме существования предела монотонной последовательности. Теорема 99. Пусть f : X −→ R, X ⊂ R — монотонная функция, и пусть a := inf X , b := sup X — предельные точки множества X . Тогда существуют пределы x→a, lim f (x) и lim f (x). x>a
x→b, x 0, при x → +∞ . J Имеем (ln x)α tα tα = lim = lim = 0, x→+∞ t→+∞ (et )β t→+∞ at xβ lim
где a := eβ > 1, так как β > 0 . I
168
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
Определение 109. Говорят, что функции f и g имеют одинаковый порядок при x → a, x ∈ X , если выполняются оба соотношения f = O(g) и g = O(f ) при x → a, x ∈ X . Обозначается это так: f (x) ³ g(x) при x → a, x ∈ X. Например,
Mx + N 1 ³ при x → ∞ . ax2 + bx + c x Определение 110. Функции f и g называются эквивалентныf (x) = 1. ми при x → a, x ∈ X, если x→a, lim g(x) x∈X если a 6= 0 и M 6= 0, то
Обозначается это так: f (x) ∼ g(x) при x → a, x ∈ X . Приведем примеры эквивалентных функций: sin x ∼ x µ ¶x 1 1+ ∼e x (1 + t)1Át ∼ e ( M 6= 0, Если a 6= 0,
sin x при x → 0 , x 6= 0 , так как lim = 1; x→0 x ¶x µ 1 при x → ∞ , так как lim 1 + = e; x→∞ x при t → 0, t 6= 0 , так как lim (1 + t)1Át = e . t→0
то
M 1 Mx + N ∼ · при x → ∞ . ax2 + bx + c a x
Теорема 103. Справедливы следующие соотношения: (a) (b) (c)
ln(1 + x) ∼ x
при x → 0 ;
e −1∼x
при x → 0 ;
x
(1 + x)α − 1 ∼ αx
при x → 0 , если α 6= 0 .
J (a) Производя замену (1 + x)1Áx = t , получим ¢ ¡ ln(1 + x) = lim ln (1 + x)1Áx = lim ln t = 1 . t→e x→0 x→0 x lim
Последнее равенство можно доказать следующим образом. Так как функция логарифм — возрастающая, то существуют пределы: lim ln t = λ 6 1 6 µ = lim ln t .
t→e, t<e
t→e, t>e
§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства
169
Если предположить, что λ < µ , то логарифмическая функция нигде не будет принимать значений, принадлежащих интервалу (λ , µ). Значит, обратная к ней функция (экспонента) не будет определена в точках этого интервала. Последнее противоречит тому факту, что экспонента определена всюду на R . Значит, λ = µ = 1. (b) Производя замену ex − 1 = t ⇐⇒ x = ln(1 + t), получим t ex − 1 = lim =1 t→0 x→0 x ln(1 + t) lim
согласно пункту (a). (c) Производя очевидные замены, получим (1 + x)α − 1 eα·ln(1+x) − 1 α · ln(1 + x) = lim · = x→0 x→0 α · ln(1 + x) x x α · ln(1 + x) et − 1 · lim = α, = lim x→0 t→0 t x lim
т. е. (1 + x)α − 1 = α , что равносильно доказываемому равенству. I x→0 x lim
§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства непрерывных функций 1. Понятие непрерывной и разрывной функций в точке Понятие непрерывной функции можно получить из интуитивного представления об еe графике как о сплошной (непрерывной) линии. Рассмотрим графики функций f1 и f2 , изображенные на рис. 17. Отметим различие между этими графиками: график функции f1 представляет собой одну сплошную линию, а график функции f2 состоит из двух отдельно лежащих сплошных линий и точки с координатами (a , f2 (a)). Ввиду такого различия между графиками функцию f1
170
Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y
Y
f2 f2 (a)
f1
O
O
X
a
X
Рис. 17. Графики непрерывной и разрывной функций
естественно считать всюду непрерывной, а функцию f2 — разрывной в точке a. Чтобы перейти к точным определениям понятия непрерывности функции в точке, обратим внимание читателя на то, что колебание функции f1 в окрестности любой точки можно сделать сколь угодно малым за счeт выбора достаточно малой окрестности этой точки, а колебание функции f2 в любой окрестности точки a ограничено снизу положительным числом ¯ ¯ ¯ lim f2 (x) − lim f2 (x)¯ . x→a, x→a, x>a
x 1Áq q и, значит, в силу критерия Коши предел lim R(x) не существуx→pÁq
ет. Таким образом, функция Римана разрывна во всех рациональных точках. Пусть теперь точка a — ирY рациональная. Задавая ε ∈ (0 , 1), 1 найдем такое qε ∈ N , что qε > . ε Затем введем в рассмотрение множество ¯ ¾ ½ ¶ X O Gµn n ¯¯ n+1 n ∈ Z = R . ; qε ! ¯ qε ! qε ! n∈Z
Обозначим через Uε (a) тот из интервалов ¶ µ n n+1 ; , qε ! qε !
Рис. 20. График функции y = 1Áx
которому принадлежит точка a, и пусть x ∈ Uε (a). Покажем, что тогда R(x) < ε . Действительно, если число x — иррациональное, то R(x) = 0 < ε . Если же число x — рациональное, то, представляя p его в виде несократимой дроби x = , имеем q > qε . Действительно, q предполагая противное q 6 qε , заключаем, что при некотором n ∈ N p n должно иметь место равенство x = = , из которого следует, что q qε ! x∈ / Uε (a), и мы пришли к противоречию. И наконец, имеем µ ¶ 1 1 p = < 6 ε. R(x) = R q q qε Последнее означает, что функция Римана непрерывна во всех иррациональных точках.
4. Локальные свойства непрерывных функций Определение 116. Локальными (местными) свойствами функции f : X −→ Y называются такие свойства, которые зави-
§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства
177
сят только от значений функции f в сколь угодно малой окрестности данной точки a ∈ X. Глобальными свойствами функции f : X −→ Y называются такие ее свойства, которые зависят от значений этой функции во всей области ее определения X. Например, свойство функции быть непрерывной в одной точке — локальное, а свойство функции быть непрерывной во всех точках — глобальное. Свойство функции быть ограниченной — глобальное, а свойство функции быть финально ограниченной (т. е. ограниченной при x → a) — локальное. Теорема 106. Если функция f : X −→ R непрерывна в точке a ∈ X, то: (a) она финально ограничена при x → a; (b) если f (a) 6= 0, то существует окрестность U (a) точки a такая, что ∀x ∈ U (a) ∩ X значения f (x) имеют тот же знак, что и f (a). Y J (a) Записывая условие 6 непрерывности в виде lim f (x) = f (a) ,
x→a, x∈X
1
O
X
используем теорему о финальной ограниченности функции, имеющей конечРис. 21. График функции ный предел. y = exp 1Áx (b) Взяв окрестность V (f (a)) в виде интервала, не содержащего точку 0, достаточно найти такую окрестность U (a), для которой выполняется включение
f (U (a) ∩ X) ⊂ V (f (a)) . I Теорема 107. Если функции f и g непрерывны в точке a, то: (a) f + g непрерывна в точке a; (b) f · g непрерывна в точке a; (c) f Ág непрерывна в точке a, если g(a) 6= 0. J Доказательство заключается в простом применении теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций. I
178
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
Теорема 108. Если функция f : X −→ Y непрерывна в точке a ∈ X, а функция g : Y −→ Z непрерывна в точке f (a) ∈ Y, то композиция g ◦ f : X −→ Z непрерывна в точке a. J Для доказательства достаточно применить теорему о пределе композиции функций. I
§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций 1. Теоремы Больцано — Коши и Вейерштрасса Напомним, что глобальными называются такие свойства функции, которые зависят от значений данной функции во всей ее области определения. Определение 117. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Теорема 109 (Больцано — Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [a , b], а на его концах принимает значения разных знаков, то существует точка c ∈ (a , b) такая, что f (c) = 0.
Замечания. 1. Если обозначить символом C[a , b] , множество всех функций, непрерывных на отрезке [a , b] , то теорему Больцано — Коши можно сформулировать так: f ∈ C[a , b]
f (a) · f (b) < 0
)
=⇒
∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0 .
(5.15)
2. Очевиден геометрический смысл теоремы Больцано — Коши (см. рис. 22). Если на графике непрерывной на [a , b] функции f существуют точки, лежащие по разные стороны от оси абсцисс, то на нeм должна существовать и точка, лежащая также и на оси абсцисс. Эта геометрическая интерпретация теоремы Больцано — Коши не может, однако, служить ее строгим доказательством.
J Разделим отрезок [a , b] пополам точкой (a + b)Á2. Если f ((a + b)Á2) = 0, то полагаем c := (a + b)Á2, указывая тем самым точку, в которой f (c) = 0. Если же f ((a + b)Á2) 6= 0, то на концах одного из двух образовавшихся отрезков (обозначим его [a1 , b1 ])
179
§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций
функция f принимает значения разных знаков, т. е. f (a1 ) · f (b1 ) < 0. Разделим отрезок [a1 , b1 ] пополам точкой (a1 + b1 )Á2 и повторим предыдущее рассуждение. В результате мы получим либо точку c, в которой f (c) = 0, либо новый отрезок [a2 , b2 ] со свойством f (a2 ) · f (b2 ) < 0. Продолжая этот процесс, мы в результате либо найдем точку c, в которой f (c) = 0, либо получим бесконечную последовательность вложенных отрезков (5.16)
[a , b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . , такую, что ∀n ∈ N будет f (an ) · f (bn ) < 0. Так как bn − an =
b−a → 0 при 2n
n → ∞,
то по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c, лежащая на всех отрезках (5.16), и такая, что lim an = lim bn = c. n→∞
n→∞
Переходя к пределу при n → ∞ в неравенстве f (an ) · f (bn ) < 0 и используя непрерывность функции f , получим [f (c)]2 6 0, откуда f (c) = 0 . I Теорема 110 (о промежуточных значениях). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b], и f (a) 6= f (b), то для любого C ∈ (f (a) , f (b)) существует точка c ∈ (a , b) такая, что f (c) = C. J Предполагая для Y определенности, что f (a) < f (b), введем f (b) > 0 рассмотрение функa3 a X в цию ϕ(x) := f (x) − C , a = a O 1 2 b2 = b3 b = b1 f (a) < 0 непрерывную на отрезке [a , b]. Так как f (a) < C < f (b), то Рис. 22. К теореме Больцано — Коши
ϕ(a) = f (a) − C < 0 , ϕ(b) = f (b) − C > 0 .
Применяя к функции ϕ теорему Больцано — Коши, заключаем, что ∃c ∈ (a , b) : ϕ(c) = 0 , т. е. f (c) = C . I
180
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
Определение 118. Говорят, что функция f : X −→ R принимает в точке x∗ ∈ X наибольшее значение, если ∀x ∈ X : f (x) 6 f (x∗ ) . Говорят, что функция f : X −→ R принимает в точке x∗ ∈ X наименьшее значение, если ∀x ∈ X : f (x) > f (x∗ ) . Теорема 111 (Вейерштрасс). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b], то она ограничена, и на этом отрезке существуют точки, в которых функция f принимает свои наибольшее и наименьшее значения. J Установим сначала ограниченность функции f . Так как f непрерывна в каждой точке c ∈ [a , b], то по локальному свойству (т. е. по теореме 106(a)) она финально ограничена при x → c, т. е. ∀c ∈ [a , b] ∃U (c) ∃Mc ∈ R+ ∀x ∈ U (c) ∩ [a , b] : |f (x)| 6 Mc . (5.17) Условимся окрестности U (c) брать в виде открытых интервалов. Семейство {U (c) | c ∈ [a , b]} всех интервалов из (5.17) является, очевидно, открытым покрытием отрезка [a , b]. По лемме Гейне — Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие {U (c1 ) , U (c2 ) , . . . , U (cn )} ,
n [
k=1
U (ck ) ⊃ [a , b] .
Полагая K := max{Mc1 , . . . , Mcn }, имеем K ∈ R+ и ( x ∈ U (xk ) , ∀x ∈ [a , b] ∃k ∈ N : |f (x)| 6 Mck 6 K, т. е. ∃K ∈ R+ ∀x ∈ [a , b] : |f (x)| 6 K .
Таким образом, ограниченность функции f установлена. Введем в рассмотрение точные границы m := inf f (x) , M := sup f (x) . a6x6b
a6x6b
(5.18)
§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций
181
Так как функция f ограничена, то m и M — числа. Предполагая противное, а именно, что не существует точек x , в которых f (x) = M, 1 заключаем, что функция ϕ(x) := непрерывна на [a , b] как M − f (x) частное непрерывных функций с необращающимся в нуль знаменателем. По доказанной части теоремы из непрерывности функции ϕ следует ее ограниченность, т. е. выполняется следующее условие: ∃C ∈ R+ ∀x ∈ [a, b] : 0
0 ∃δ > 0 ∀x0 , x00 ∈ X :
|x0 − x00 | 6 δ =⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| 6 ε .
(5.20)
Отметим, что из равномерной непрерывности функции f следует ее непрерывность. J Зафиксируем в (5.20) точку x00 = c и положим x0 = x . Тогда получим ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X : |x − c| 6 δ =⇒ |f (x) − f (c)| 6 ε ,
(5.21)
182
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
что равносильно непрерывности функции f в точке c, а поскольку точка c ∈ X взята произвольно, то и на множестве X . I Обратное утверждение, однако, неверно, т. е. из непрерывности функции на множестве не следует ее равномерная непрерывность на этом множестве. J Например, функция f (x) := x2 непрерывна на R , но не является равномерно непрерывной на R . Предполагая противное, получим ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, c ∈ R : |x − c| 6 δ =⇒ |x2 − c2 | 6 ε .
В частности, |x − c| = δ =⇒ |x2 − c2 | 6 ε . Из последнего неравенства имеем δ · |2c + δ| 6 ε . Отсюда в пределе при c → +∞ получим +∞ 6 ε — противоречие. I
Теорема 112 (Кантор2 ). Если функция f непрерывна на отрезке [a , b], то она и равномерно непрерывна на нем. J Зададим ε ∈ R+ . В силу непрерывности функции f на отрезке [a , b] имеем: ∀c ∈ [a, b] ∃η = η(c) > 0 ∀x ∈ [a, b] :
ε |x − c| 6 η(c) =⇒ |f (x) − f (c)| 6 . (5.22) 2 µ ¶ η(c) η(c) Обозначим U (c) := c − ; c+ . Множество всех интерва2 2 лов {U (c) | c ∈ [a , b]} есть открытое покрытие отрезка [a , b]. По лемме Гейне — Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие {U (c1 ) , . . . , U (cn )} ⊂ {U (c) | c ∈ [a , b]} , ½ ¾ n S η(cn ) η(c1 ) U (ck ). Положим δ := min , ... , — т. е. [a , b] ⊂ 2 2 k=1 наименьшему из радиусов интервалов U (ck ). Пусть x0 , x00 ∈ [a , b] — любые две точки, для которых |x0 − x00 | 6 δ . Существует j такое, что η(cj ) x00 ∈ U (cj ), и значит, |x00 − cj | 6 . Далее, 2 η(cj ) η(cj ) η(cj ) 6 + = η(cj ) . |x0 − cj | 6 |x0 − x00 | + |x00 − cj | 6 δ + 2 2 2 2 Кантор Георг (1845—1918) — немецкий математик, создатель теории множеств.
183
§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций Отсюда, согласно (5.22), имеем |f (x0 ) − f (x00 )| 6 |f (x0 ) − f (cj )| + |f (cj ) − f (x00 )| 6
ε ε + = ε. I 2 2
Замечание. Теорема Кантора остается справедливой и для функций, непрерывных на произвольных компактных множествах.
3. Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции Определение 120. Пусть T — топологическое пространство, и X ⊂ T. Подмножество A ⊂ X называется открытым относительно X, если его можно представить в виде: A = U ∩ X, где U — открытое подмножество пространства T. Понятия «открытое множество» и «множество, открытое относительно X » совпадают тогда и только тогда, когда X — открытое подмножество пространства T. Теорема 113. Равносильны следующие утверждения: (a) функция f : X −→ R , X ⊂ R непрерывна на множестве X;
(b) полный прообраз любого открытого множества открыт относительно X. J (a)⇒ (b) Пусть V ⊂ R — произвольное открытое множество, а f −1 (V ) — его полный прообраз, f −1 (V ) ⊂ X . Если f −1 (V ) = ∅ , то справедливо и такое равенство f −1 (V ) = ∅ ∩ X. Так как множество ∅ — открытое, то множество ∅ ∩ X открыто относительно X.
Предположим теперь, что f −1 (V ) 6= ∅ , и пусть x ∈ f −1 (V ). Тогда f (x) ∈ V, а так как V открыто, то V — окрестность точки f (x). Пользуясь непрерывностью функции f , заключаем, что существует открытая окрестность U (x) точки x ∈ X такая, что f (U (x)∩X) ⊂ V, или, что равносильно, U (x) ∩ X ⊂ f −1 (V ). Взяв объединение этих
184
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
множеств по всем x ∈ f −1 (V ), получим f −1 (V ) =
[
x∈f −1 (V
)
{x} ⊂
[
x∈f −1 (V
(U (x) )
⊂
\
X) ⊂ [
x∈f −1 (V
f −1 (V ) = f −1 (V ) . )
−1 Отсюда находим S f (V ) = U ∩ X, где через U обозначено множеU (x), которое открыто как объединение семейства ство U := x∈f −1 (V )
открытых множеств U (x). (b)⇒ (a) Пусть a ∈ X — произвольная точка, b = f (a) — ее образ. Возьмем произвольную открытую окрестность V (b) точки b . По условию имеем f −1 (V ) = U (a) ∩ X, где U (a) — некоторое открытое множество, содержащее точку a. Значит, x→a, lim f (x) = b = f (a), т. е. x∈X
f непрерывна в любой точке a ∈ X . I Теорема 114. Если функция f : [a , b] −→ Y, где Y = f ([a , b]), строго монотонна и непрерывна на отрезке [a , b], то обратная функция f −1 : Y −→ [a , b] непрерывна на Y. J В теореме 2 (глава 1, § 3, п. 5) было показано, что в условиях теоремы существует единственная обратная функция f −1 , которая притом строго монотонна в том же смысле, что и f . Остается только установить непрерывность этой обратной функции. Предположим для определенности, что функция f возрастает, и пусть a < b. Обозначим c := f (a) , d := f (b). Учитывая строгое возрастание функции f и теорему о промежуточных значениях, заключаем, что f ([a , b]) = [c , d]. На основании тех же соображений имеем: если a 6 x1 < x2 6 b , то f ((x1 , x2 )) = (y1 , y2 ), где y1 := f (x1 ) , y2 := f (x2 ). Отсюда легко найти полный прообраз любого интервала (x1 , x2 ) ⊂ R при отображении f −1 , т. е. образ любого интервала при отображении f. Имеем ∅, если (x1 , x2 ) ∩ [a, b] = ∅ , (y1 , y2 ) , если (x1 , x2 ) ⊂ [a, b] , f ((x1 , x2 )) = (y1 , d] , если x1 ∈ [a, b] , x2 ∈ / [a, b] , [c, y2 ) , если x1 ∈ / [a, b] , x2 ∈ [a, b] , [c, d] , если (x1 , x2 ) ⊃ [a, b] .
§ 4. Элементарные функции и их непрерывность
185
Из этих равенств видно, что при отображении f −1 полный прообраз любого интервала (x1 , x2 ) открыт относительно отрезка [c , d]. А так как открытые множества — это объединения интервалов, то при отображении f −1 полный прообраз любого открытого множества открыт относительно отрезка [c , d]. Отсюда на основании теоремы 113 заключаем, что функция f −1 непрерывна на отрезке [c , d]. Если функция f убывает, то функция g := −f возрастает. По доказанному обратная к ней функция g −1 непрерывна, а отсюда легко заключить, что и f −1 = −g −1 непрерывна. I
§ 4. Элементарные функции и их непрерывность 1. Понятие элементарной функции В анализе и его приложениях (особенно при рассмотрении различных примеров) часто рассматриваются функции, называемые элементарными. Чтобы их определить, сначала вводят так называемые основные элементарные функции. К ним относят функции следующих семи типов. 1) Целые рациональные функции. Целой рациональной функцией называется всякая функция, представимая в виде многочлена от независимой переменной x следующим образом: y = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an , где a0 , a1 , . . . , an ∈ R , n ∈ N — параметры3 . Областью определения любой целой рациональной функции является множество R . Примеры целых рациональных функций: постоянная y = a0 , линейная y = a0 x + a1 и квадратичная y = a0 x2 + a1 x + a2 , графики которых (при некоторых значениях параметров) представлены на рис. 23. 2) Дробные рациональные функции. Дробной рациональной 3 Пар´ аметром называется величина, которая считается постоянной в данной конкретной задаче, но может изменяться при переходе к другим аналогичным задачам.
186
Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y
kx
+
b
y=a 2 x +b
y=
x+c
Y
O
X
O
X
Рис. 23. Графики линейной и квадратичной функций
функцией называется любая функция от x , представимая в виде отношения двух многочленов y=
a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm
(5.23)
где a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bn ∈ R — параметры. Областью определения дробной рациональной функции, представленной в виде (5.23), считается множество всех x ∈ R , кроме тех значений переменной x , в которых знаменатель в (5.23) обращается в нуль. Примером дробной рациональной функции является дробноa0 x + a1 линейная функция y = , графиком которой при b0 6= 0 b0 x + b1 является гипербола с асимптотами, параллельными координатным осям (рис. 20). 3) Показательная функция — это функция, задаваемая уравнением y = ax , где x — аргумент, a — параметр, a > 0 , a 6= 1. Областью ее определения является множество R , а областью значений — множество R+ . Графики показательных функций (при некоторых конкретных значениях параметра a) показаны на левом рис. 24. При a = e, где e — основание натуральных логарифмов, показательная функция называется экспонентой и обозначается символом exp . 4) Логарифмическая функция — это функция, обратная к показательной. Обозначение: y = loga x , где a — параметр, называемый основанием логарифмов (a > 0 , a 6= 1). Логарифмы с основанием a = e называются натуральными, а соответствующая логарифмическая функция обозначается символом ln. Логарифмы с основанием a = 10 называются десятичными, а соответствующая логариф-
187
§ 4. Элементарные функции и их непрерывность Y
¡ 1 ¢x
0, 1x
Y 8
2
10x
lg 2
x
lg 3 x
x
3
3
¡ 1 ¢x
lg 10 x
1
6 2x
4
0
4
2
6
−1 −2
−1
0
1
2
X
−2
8
X
lg0,1 x
lg 1
lg1 /2
/3
x
x
Рис. 24. Графики показательных и логарифмических функций
мическая функция обозначается символом lg . Областью определения логарифмической функции является множество R+ , а областью значений — множество R . Графики логарифмических функций (при некоторых конкретных значениях параметра a) показаны на правом рис. 24. 5) Степенн´ ая функция задается уравнением y = xµ , где µ ∈ R — параметр. Если число µ — целое, то степенная функция является рациональной. Если µ = 1Ám , где m ∈ N , то областью определения степенной функции является множество R при нечетном m , и множество4 R+ — при четном m . На рис. 25 представлены графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Если µ ∈ Q , то область определения и область значений степенной функции могут зависеть от представления рационального числа µ в виде отношения двух целых чисел µ = mÁn и от того, какое из двух следующих представлений xµ := (xm )1Án или xµ := (x1Án )m следует взять в качестве определения степенной функции. Читателю предлагается самостоятельно исследовать возникающие здесь различные случаи. В общем же случае (например, когда µ ∈ RÂQ ) степенную функцию естественно определить в виде композиции xµ := exp{µ · ln x}, и тогда областью ее определения будет множество R+ . 4 Напомним, что под R + понимается множество всех положительных чисел, а R+ = [0 ; +∞) — замыкание множества R+ .
188
Глава 5. Пределы и непрерывность функций y = xµ , µ < 0
y = xµ , µ > 0 Y
10
3
Y
3 2 2 3 1 3
0, 1 −1/3 −1 −5 O
X
O
X
Рис. 25. Графики степенных функций
6) Тригонометрические функции — это известные из школьного курса функции sin , cos , tg , ctg , определяемые для аргумента x , выраженного в радианах. Они реализуют следующие сюръективные отображения: sin : R −→ [−1 , +1] ; cos : R −→ [−1 , +1] ; ¢ F ¡ π − 2 + kπ , π2 + kπ −→ R ; tg : k∈Z
ctg :
F
k∈Z
(kπ , π + kπ) −→ R .
Функция cos — четная, функции sin , tg , ctg — нечетные. Тригонометрические функции — периодические. Основной период функций sin и cos равен 2π , а основной период функций tg и ctg равен π . Графики тригонометрических функций показаны на рис. 26 и 27. 7) Обратные тригонометрические функции. Из свойства периодичности тригонометрических функций следует, что для них не существует (однозначных) обратных функций. В связи с этим обратные тригонометрические функции arcsin , arccos , arctg , arcctg определяются как функции, обратные соответственно к сужениям функций sin , cos , tg , ctg на определенные промежутки, где эти функции
189
§ 4. Элементарные функции и их непрерывность Y
y = sin x
O
π 2
y = cos x
π
2π
3π 2
X
−1
Рис. 26. Графики функций sin и cos
непрерывны и строго монотонны. Именно: arcsin — функция, обратная к сужению arccos — функция, обратная к сужению arctg — функция, обратная к сужению arcctg — функция, обратная к сужению
sin¯¯ ; [−πÁ2 , πÁ2] cos¯¯
tg¯¯
[0 , π]
;
(−πÁ2 , πÁ2)
ctg¯¯
(0 ,π)
;
.
Таким образом, имеем следующие биективные отображения: arcsin : [−1 , +1] −→ [−πÁ2 , +πÁ2] ; arccos : [−1 , +1] −→ [0 , π] ; arctg : (−πÁ2 , πÁ2) −→ R ; arcctg : (0 , π) −→ R . Графики этих функций показаны на рис. 28 — 31. Общее понятие элементарной функции дается с помощью следующего рекурсивного определения. Определение 121. (a) Все основные элементарные функции считаются элементарными функциями. (b) Если f и g — элементарные функции, то f +g, f −g, f ·g,
f , f ◦g g
также считаются элементарными функциями. (c) Не существует никаких других элементарных функций, кроме тех, которые можно получить в результате применения конечное число раз (в любом порядке) пунктов (a) и (b) этого определения.
190
y = tg x
Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y
1
O
π
π 2
3π 2
2π
X
−1 y = ctg x
Рис. 27. Графики функций tg и ctg
Следует отметить, что в пункте (b) под операциями над функциями понимаются соответствующие операции над сужениями этих функций на максимальные множества, где эти операции определены и дают в результате вещественные числа. Таким образом, каждую элементарную функцию можно задать явно уравнением y = F (x), где под F понимается формула, позволяющая по некоторым значениям переменной x ∈ R вычислять соответствующие им значения переменной y ∈ R . В связи с этим вводится понятие естественной области определения элементарной функции. Определение 122. Естественной областью определения элементарной функции F называется множество X ⊂ R , состоящее из всех значений x ∈ R , для которых имеет смысл выражение F (x), причем должно быть F (x) ∈ R . В этом определении выражение имеет смысл означаeт, что не только F (x), но и результаты всех промежуточных вычислений по формуле F в точке x должны быть вещественными числами. Важными примерами элементарных функций являются так называемые гиперболические функции5 sh , ch , th , cth и обратные к ним функции6 arsh , arch , arth , arcth . Гиперболические функции определя5 Приводимые 6 Приводимые
здесь символы читаются так: синус гиперболический и т. д. здесь символы читаются так: ´ ареасинус гиперболический и т. д.
191
§ 4. Элементарные функции и их непрерывность
π
π 2
π 2
−1 O
1
− π2
−1
Рис. 28. График функции arcsin
O
1
Рис. 29. График функции arccos
ются следующими равенствами: ex + e−x , 2 ex − e−x , sh x := 2 sh x , th x := ch x ch x cth x := , sh x
ch x :=
x ∈ R; x ∈ R; x ∈ R; x ∈ RÂ{ 0} .
Функция ch — четная, а функции sh , th , cth — нечетные. Свойства гиперболических функций во многом аналогичны известным свойствам круговых (т. е. тригонометрических) функций cos , sin , tg , ctg . Например, известное тождество cos2 x + sin2 x ≡ 1 показывает, что система уравнений ( u = cos x , v = sin x представляет собой параметрические уравнения окружности u2 + v 2 = 1 . Аналогично, легко проверяемое тождество ch2 x − sh2 x ≡ 1 показывает, что система уравнений ( u = ch x , v = sh x представляет собой параметрические уравнения гиперболы u2 − v 2 = 1 . Графики гиперболических функций показаны на рис. 32 и 33.
192
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
π
π 2
π 2
O − π2 O
Рис. 30. График функции arctg
Рис. 31. График функции arcctg
Обратные гиперболические функции определяются следующим образом: arch — функция, обратная к сужению ch |[0,+∞) ; arsh
—
функция, обратная к функции sh ;
arth
—
функция, обратная к функции th ;
arcth —
функция, обратная к функции cth .
Графики обратных гиперболических функций можно увидеть на тех же рис. 32 и 33, посмотрев на них с обратной стороны того листа, на котором они нарисованы, причем ось OX надо направить вверх. Вообще говоря, функция, обратная к элементарной, может не быть элементарной. Известно, например, что функция, обратная к целой рациональной функции: y = x5 + x + 1 , не является элементарной. Однако oбратные гиперболические функции являются элементарными функциями. J Для доказательства решим уравнения ch y = x , sh y = x , th y = x , cth y = x относительно y . Имеем ch y = x ⇐⇒
ey + e−y = x ⇐⇒ e2y − 2x · ey + 1 = 0 . 2
Из последнего уравнения, учитывая неотрицательность функции arch , находим p y = arch x = ln(x + x2 − 1) , x > 1 , и, значит, функция arch — элементарная. Далее, имеем sh y = x ⇐⇒
ey − e−y = x ⇐⇒ e2y − 2x · ey − 1 = 0 . 2
193
§ 4. Элементарные функции и их непрерывность
Y
6
Y
6 cth
ch 1
1
-
-
X
0
th
sh
0 -1
X
cth
Рис. 32. Графики функций ch и sh
Рис. 33. Графики функций th и cth
Из последнего уравнения, учитывая неотрицательность экспоненты, находим p y = arsh x = ln(x + x2 + 1) , x ∈ R ,
и, значит, функция arsh — элементарная. Далее, имеем th y = x ⇐⇒
ey − e−y = x ⇐⇒ ey + e−y
e2y − 1 = x ⇐⇒ (1 − x)e2y = 1 + x . e2y + 1
Из последнего уравнения находим y = arth x =
1 1+x ln , |x| < 1 , 2 1−x
и, значит, функция arth — элементарная. И наконец, имеем сth y = x ⇐⇒
ey + e−y = x ⇐⇒ ey − e−y
e2y + 1 = x ⇐⇒ (x − 1)e2y = x + 1 . e2y − 1
Из последнего уравнения находим y = arcth x =
1 x+1 ln , |x| > 1 , 2 x−1
и, значит, функция arcth — элементарная. I
194
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
2. Непрерывность элементарных функций Теорема 115. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках своей естественной области определения. J Прежде всего следует отметить, что естественная область определения элементарной функции может содержать изолированные точки, а в изолированных точках все функции непрерывны (теорема 105). Например, p естественная область определения элементарной функции y = − sin2 πx представляет собой множество Z всех целых чисел, которое состоит только из изолированных точек. Значит, исследование на непрерывность достаточно провести только в предельных точках, лежащих в естественной области определения. Установим сначала непрерывность основных элементарных функций. Постоянная функция y = c0 и функция y = x непрерывны, так как lim c0 = c0 и lim x = a. Целая и дробная рациональные x→a x→a функции непрерывны, так как они могут быть получены из постоянных функций и из функции y = x с помощью конечного числа арифметических операций. Экспонента непрерывна, так как ex+h − ex = ex · (eh − 1) ∼ ex · h → 0 при h → 0 , т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение экспоненты. Показательная функция y = ax представима в виде y = ex·ln a и, значит, непрерывна как композиция непрерывных функций t = x · ln a и y = et . Логарифмическая функция y = loga x непрерывна согласно теореме 114 (как обратная к показательной функции, которая строго монотонна и непрерывна). Функция y = x1Ám , где m = 2 , 3 , . . . , непрерывна как обратная к целой рациональной функции x = y m , которая строго монотонна на [0, +∞) при m ¡ четном ¢n и всюду на R при m нечетном. Функция y = xnÁm = x1Ám непрерывна как композиция непрерывных функций. При произвольном µ > 0 степенная функция y = xµ непрерывна на [0, +∞). Ее непрерывность в точке x = 0 следует из неравенств 0 6 xµ 6 x[µ]+1 → 0 при x → 0, а непрерывность при x > 0 — из следующего представления ее в виде композиции непрерывных функций xµ = exp (µ · ln x).
§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений
195
Функции sin и cos непрерывны, так как ¯ ¯ ¶ µ ¯ h¯ h 0 6 | sin(x + h) − sin x| = ¯¯2 cos x + sin ¯¯ 6 |h| → 0 при h → 0 , 2 2 ¯ ¯ ¶ µ ¯ h ¯¯ h ¯ sin ¯ 6 |h| → 0 при h → 0 . 0 6 | cos(x + h) − cos x| = ¯2 sin x + 2 2
Из непрерывности функций sin и cos следует непрерывность функций tg и ctg , так как tg x =
cos x sin x , ctg x = . cos x sin x
И наконец, обратные тригонометрические функции непрерывны как обратные к строго монотонным и непрерывным сужениям соответствующих тригонометрических функций. Итак, все основные элементарные функции непрерывны. По определению 121 любую элементарную функцию можно получить из основных элементарных функций по формуле, включающей в себя конечное число арифметических операций и операций образования композиции. Так как все эти операции, будучи проведенными над непрерывными функциями, могут привести только к непрерывным функциям, то любая элементарная функция непрерывна в своей естественной области определения. I
§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений топологических пространств 1. Связные множества Важным для анализа свойством множеств является их св´ язность. Образно говоря, связность точечного множества — это его свойство заполнять один сплошной кусок пространства. Перейдем теперь к точным определениям. Определение 123. Топологическое пространство называется связным, если не существует представления его в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств.
196
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
Исходя из этого определения, сформулируем условие, означающее, что топологическое пространство X не является связным: существуют открытые множества U ⊂ X и V ⊂ X, обладающие следующими свойствами: U 6= ∅ ,
V 6= ∅ ,
U ∩V = ∅,
U t V = X.
Отсюда следует, что U = XÂV , V = XÂU , а так как дополнение к открытому множеству является замкнутым, то оба множества U и V — замкнутые, а значит, и открыто-замкнутые. Введем теперь понятие связности подмножества топологического пространства. Определение 124. Множество E , лежащее в топологическом пространстве X , называется связным, если оно является связным как топологическое пространство с индуцированной топологией. Примеры связных множеств: пустое множество ∅ , а также множество {x} , состоящее из одной точки x ∈ X, так как объединение двух непустых непересекающихся множеств содержит не менее двух точек. Оказывается, что все связные подмножества числовой оси допускают весьма простое описание, содержащееся в следующей теореме. Теорема 116. Числовое множество E ⊂ R , содержащее более одной точки, является связным, если и только если оно является числовым промежутком7 E = hα , βi , где −∞ 6 α < β 6 +∞ . J Покажем сначала, что числовой промежуток E = hα , βi связен. Предполагая противное, заключаем, что должны существовать открытые множества U и V такие, что U ∩ E 6= ∅ , V ∩ E 6= ∅ , U ∩ V ∩ E = ∅ , (U ∪ V ) ∩ E = E.
(5.24)
Построим функцию f : E −→ R следующим образом: f (x) :=
(
−1 , +1 ,
если x ∈ U ∩ E , если x ∈ V ∩ E .
(5.25)
Из этого определения видно, что полный прообраз f −1 (W ) любого открытого множества W ⊂ R может быть только одним из следующих четырех множеств: ∅, U ∩E, V ∩E, E (5.26) 7 Условимся символом hα , βi обозначать здесь промежуток, начальная α и концевая β точки которого могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.
§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений
197
в зависимости от того, какое из следующих соотношений выполняется: W W W W
∩ {−1, +1} = ∅ ; ∩ {−1, +1} = {−1} ; ∩ {−1, +1} = {+1} ; ⊃ {−1, +1} .
Но все множества (5.26) открыты относительно E . Применяя критерий непрерывности (теорему 113), заключаем, что функция (5.25) непрерывна на E . Из неравенств (5.24) следует, что ∃a ∈ U ∩ E , ∃b ∈ V ∩ E. Предполагая для определенности, что a < b , из того, что E — промежуток, заключаем, что [a , b] ⊂ E . Функция f |[a , b] непрерывна на отрезке [a , b] , а на его концах принимает значения разных знаков, а именно: f (a) = −1 , f (b) = +1 . Отсюда в силу теоремы Больцано — Коши вытекает существование точки c ∈ [a , b] ⊂ E, в которой f (c) = 0 , что противоречит определению (5.25) функции f. Докажем теперь обратное, т. е. что любое непустое связное подмножество E числовой оси — промежуток, т. е. что ∀x, y ∈ E ∀z ∈ R : x < z < y =⇒ z ∈ E. Предположим противное ∃x, y ∈ E ∃z ∈ R :
(
x < z < y, z∈ / E.
Тогда для открытых множеств U := (−∞, z) и V := (z, +∞) будем иметь x∈U ∩E, y ∈V ∩E, U ∩ V = ∅ , U ∪ V = RÂ{z} ⊃ E .
Из этих соотношений имеем
U ∩ E 6= ∅ V ∩ E 6= ∅ , U ∩ V ∩ E = ∅ , (U ∪ V ) ∩ E = E, т. е. множество E не является связным, что противоречит условию. I
2. Непрерывные отображения топологических пространств Пусть X и Y — топологические пространства, а f : X −→ Y — отображение, непрерывное на X . Для таких отображений также справедлив
198
Глава 5. Пределы и непрерывность функций
критерий непрерывности: непрерывность отображения f : X −→ Y на X равносильна тому, что полный прообраз любого открытого в Y множества открыт в X. Принимая этот факт без доказательства, установим некоторые его следствия. Прежде всего, переходя к дополнениям, получаем следующий критерий. Непрерывность отображения f : X −→ Y на X равносильна тому, что полный прообраз любого замкнутого в Y множества замкнут в X. Для таких отображений имеют место следующие утверждения, обобщающие теорему Вейерштрасса о максимуме и минимуме и теорему о промежуточных значениях. Теорема 117. Если отображение топологических пространств f : X −→ Y непрерывно на X, то при этом отображении: (a) oбразы компактных множеств компактны; (b) oбразы связных множеств связны. J (a) Пусть A ⊂ X — компактное множество, а f (A) ⊂ Y — его образ. Пусть {Vα | α ∈ I} — открытое покрытие множества f (A) . Надо показать, что оно содержит конечное подпокрытие. Так как отображение f непрерывно, то все прообразы Uα := f −1 (Vα ) открыты. Поскольку [ f (A) ⊂ Vα , α∈I
то A ⊂ f −1
Ã
[
α∈I
Vα
!
=
[
α∈I
f −1 (Vα ) =
[
Uα ,
α∈I
и, значит, семейство {Uα |α ∈ I} — открытое покрытие множества A . Так как множество A — компактное, то это покрытие содержит конечное подn n S S Vαk , т. е. Uαk . Отсюда f (A) ⊂ покрытие {Uα1 , . . . , Uαn } , т. е. A ⊂ k=1
k=1
{Vα1 , . . . , Vαn } — конечное подпокрытие исходного покрытия. (b) Не ограничивая общности, будем считать, что само пространство X связно, а f (X) = Y. Предполагая противное, т. е. что множество Y не связное, заключаем, что существуют открытые множества V1 и V2 такие, что V1 6= ∅ , V2 6= ∅ , V1 ∩ V2 = ∅ , V1 t V2 = Y. (5.27)
Так как отображение f непрерывно, то множества U1 := f −1 (V1 ) и U2 := f −1 (V2 ) открыты. Переходя в соотношениях (5.27) к прообразам при отображении f , получим U1 6= ∅ , U2 6= ∅ , U1 ∩ U2 = ∅ , U1 t U2 = X. Эти соотношения означают, что пространство X — не связное, что противоречит условию. I
§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений
199
Определение 125. Отображение топологических пространств f : X −→ Y называется гомеоморфным (или гомеоморфизмом), если оно непрерывно на X, биективно, а обратное к нему отображение f −1 : Y −→ X непрерывно на Y. Здесь требование непрерывности обратного отображения существенно, так как имеются биективные и всюду непрерывные отображения, обратные к которым не являются всюду непрерывными. Например, комплекснозначная функция z = cos ϕ + i sin ϕ непрерывна ∀ϕ ∈ R как линейная комбинация непрерывных функций. Так как cos2 ϕ + sin2 ϕ ≡ 1 ,
то образом числовой оси при данном отображении является единичная окружность |z| = 1 . Сужение данного отображения на полуинтервал [0 ; 2π) — биективное. Для отображения ϕ = ϕ(z) , обратного к этому сужению, имеем lim ϕ(z) = 0 ; lim ϕ(z) = 2π . z→1, Im z>0
z→1, Im z x0 .
0 f− (x0 ) := lim
0 (x0 ) f+
(6.15)
Они называются соответственно производными слева и справа и применяются в тех случаях, когда в точке x0 не существует производной, либо когда функция f определена только в левой, либо только в правой окрестности точки x0 . В соответствии с понятиями левой и правой производных можно рассматривать левую и правую касательные к графику функции f в точке M0 (x0 , f (x0 )). Так, если обе производные (6.15) существуют и конечны, то левая и правая касательные представляют собой лучи, имеющие соответственно
214
Глава 6. Производные и дифференциалы
уравнения: 0 y = y0 + f− (x0 ) · (x − x0 ) ,
0 y = y0 + f+ (x0 ) · (x − x0 ) ,
приближeнно представляющие функцию f в левой и правой окрестностях точки x0 соответственно (см. рис. 41). С понятием бесконечной произM0 y0 6 водной мы уже встречались. Односторонние бесконечные производные могут возникать в тех случаях, когда один или оба предела (6.15) равны бесконечности. x0 На рис. 42—45 показаны фрагРис. 41. Односторонние менты графиков функций в окресткасательные в точке M0 ности точки (x0 , y0 ), когда обе производные (6.15) бесконечны: (a) f 0 (x0 ) = +∞ ; ( 0 f− (x0 ) = −∞ , (c) 0 f+ (x0 ) = +∞ ;
(b) f 0 (x0 ) = −∞ ; ( 0 f− (x0 ) = +∞ , (d) 0 f+ (x0 ) = −∞ .
Читателю предлагается самостоятельно построить эскизы графиков функций в окрестности точки (x0 , y0 ) в тех случаях, когда один из пределов (6.15) конечен, а другой бесконечен.
§ 3. Основные правила вычисления производных. Производные элементарных функций 1. Основные правила вычисления производных Теорема 123. (a) Если f (x) ≡ c, то f 0 (x) ≡ 0.
(b) Если f (x) ≡ x , то f 0 (x) ≡ 1.
(c) Если f (x) ≡ |x|, то f 0 (x) ≡ sign x при x 6= 0.
215
§ 3. Основные правила вычисления производных
f (x0 )
f (x0 )
x0
0
0
Рис. 42. f 0 (x0 ) = +∞
x0
Рис. 43. f 0 (x0 ) = −∞
J (a) Если f (x) ≡ c, то f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) c−c = lim = lim 0 = 0 . h→0 h h→0 h
(b) Если f (x) ≡ x , то (x + h) − x f (x + h) − f (x) = lim = lim 1 = 1 . h→0 h→0 h→0 h h
f 0 (x) = lim
(c) Если f (x) = |x|, то f 0 (x) = lim
h→0
|x + h| − |x| . h
Отсюда при x > 0 имеем d (x + h) − x |x| = lim = lim 1 = 1 . h→0 h→0 dx h Аналогично при x < 0 получаем −(x + h) − (−x) d |x| = lim = lim (−1) = −1 . h→0 h→0 dx h d |x| = sign x при x 6= 0. I dx Теорема 124. Предполoжим, что функции u = u(x) , v = v(x) дифференцируемы в точке x , а c — постоянная. Тогда (a) сумма u + v дифференцируема в точке x , причем
Таким образом,
(u + v)0 (x) = u0 (x) + v 0 (x) ;
216
Глава 6. Производные и дифференциалы
f (x0 )
f (x0 )
0
Рис. 44.
(
x0 0 f− (x0 ) = +∞, 0 f+ (x0 ) = −∞
x0
0
Рис. 45.
(
0 f− (x0 ) = −∞, 0 f+ (x0 ) = +∞
(b) произведение u · v дифференцируемо в точке x , причем (u · v)0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) ; (c) (c · u)0 (x) = c · u0 (x), где c — постоянная; u (d) eсли v(x) 6= 0, то частное дифференцируемо в точке x , v причем ³ u ´0 u0 (x) · v(x) − v 0 (x) · u(x) . (x) = v (v(x))2 J (a) Имеем
(u(x + h) + v(x + h)) − (u(x) + v(x)) (u + v)0 (x) = lim = h→0 h µ ¶ u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) = lim + = h→0 h h u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) = lim + lim = u0 (x) + v 0 (x) . h→0 h→0 h h (b) Имеем u(x + h) · v(x + h) − u(x) · v(x) = h→0 h [u(x + h) − u(x)]v(x + h) + u(x)[v(x + h) − v(x)] = lim = h→0 h µ ¶ ¶ µ v(x + h) − v(x) u(x + h) − u(x) + lim u(x) = = lim v(x + h) h→0 h→0 h h
(u · v)0 (x) = lim
= u0 (x)v(x) + v 0 (x)u(x) .
§ 3. Основные правила вычисления производных (c) Полагая в (b) v(x) ≡ c и учитывая, что
217
d c ≡ 0, получим dx
d d d (c · u(x)) = u(x) · c+c· u(x) = c · u0 (x) . dx dx dx (d) Имеем ³ u ´0
(x) = µ ¶ u(x + h)v(x) − v(x + h)u(x) 1 u(x + h) u(x) − = lim = = lim h→0 h→0 h v(x + h) v(x) h · v(x + h) · v(x) [u(x + h) − u(x)]v(x) − [v(x + h) − v(x)]u(x) = = lim h→0 h · v(x + h) · v(x) µ ¶ 1 v(x + h) − v(x) u(x + h) − u(x) = − lim u(x) lim v(x) = h→0 (v(x))2 h→0 h h u0 (x) · v(x) − v 0 (x) · u(x) . I = (v(x))2 v
Замечание. Отметим, что теорема о производной произведения допускает обобщение на случай трeх и б´ ольшего числа сомножителей. Например: (u · v · w)0 = u0 vw + uv 0 w + uvw0 . В случае n сомножителей формула для производной произведения приобретает следующий вид: (u1 u2 . . . un )0 = u01 u2 . . . un + u1 u02 . . . un + . . . + u1 u2 . . . u0n . Читателю предлагается самостоятельно доказать эти формулы. Теоремы 123 и 124 позволяют вычислять производные от любых рациональных функций. Например: d d 2 x = x · x = 1 · x + x · 1 = 2x ; dx dx 1 · (x2 − x + 1) − (2x − 1)(x − 1) d x−1 2x − x2 = = 2 . 2 2 2 dx x − x + 1 (x − x + 1) (x − x + 1)2
218
Глава 6. Производные и дифференциалы
Теорема 125. Если функция f : X −→ Y дифференцируема в точке x ∈ X , а функция g : Y −→ R дифференцируема в точке f (x) = y ∈ Y, то композиция g ◦ f : X −→ R дифференцируема в точке x , причем (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) .
(6.16)
J В силу дифференцируемости функции g имеем при h → 0: g[f (x + h)] − g[f (x)] = g 0 (f (x)) · [f (x + h) − f (x)] + o[f (x + h) − f (x)] . Деля это равенство на h 6= 0 и переходя к пределу при h → 0, получим g[f (x + h)] − g[f (x)] = h f (x + h) − f (x) o(f (x + h) − f (x)) = g 0 (f (x)) lim + lim = h→0 h h h→) o(f (x + h) − f (x)) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) + lim = h h→) o(O(h)) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) . I = g 0 (f (x)) · f 0 (x) + lim h→0 h
(g ◦ f )0 (x) = lim
h→0
В качестве простого примера на применение формулы (6.16) продифµ ¶2 x−1 , представляя ее в виде композиции ференцируем функцию y = x+1 функций x−1 . y = t2 , t = x+1 Имеем µ µ ¶2 ¶ 4(x − 1) x−1 d x−1 d x−1 x−1 x+1−x+1 y0 = =2 · =2 · = . dx x + 1 x + 1 dx x + 1 x+1 (x + 1)2 (x + 1)3 Формула, аналогичная (6.16), справедлива для производной композиции трех и б´ ольшего числа функций. Например, (h ◦ g ◦ f )0 (x) = h0 (g(f (x))) · g 0 (f (x)) · f 0 (x) .
(6.17)
Формулу для производной композиции функций называют иногда цепным правилом. Читателю рекомендуется самостоятельно сформулировать и доказать цепное правило для вычисления производной от композиции n функций.
§ 3. Основные правила вычисления производных
219
Теорема 126 (об инвариантности формы дифференциала). Дифференциал композиции y = f (x(t)) можно записать в такой форме: dy = f 0 (x) · dx , т. е. так, как если бы переменная x была независимой. J Используя формулу (6.16), имеем dy = (f ◦ x)0 (t) · dt = f 0 (x(t)) · x0 (t) · dt = f 0 (x(t)) · dx(t) = f 0 (x) · dx . I Теорема 127. Пусть функция f : [a , b] −→ R строго монотонна, непрерывна и имеет производную в точке x ∈ [a , b]. Тогда обратная функция f −1 имеет производную в точке y = f (x), причем (f −1 )0 (y) =
1 f 0 (x)
.
(6.18)
J Пусть ∆x — приращение аргумента в точке x . Символом ∆y := f (x + ∆x) − f (x) обозначим соответствующее ему приращение функции f . Так как обе функции f и f −1 строго монотонны и непрерывны, то имеет место такая равносильность: ∆x → 0 , ∆x 6= 0
⇐⇒
∆y → 0 , ∆y 6= 0 .
Учитывая это, имеем (x + ∆x) − x f −1 (y + ∆y) − f −1 (y) = lim = ∆y→0 ∆y→0 ∆y ∆y 1 ∆x 1 ¶= 0 = lim µ . I = lim ∆x→0 ∆y→0 ∆y ∆y f (x) ∆x
(f −1 )0 (y) = lim
Замечание. В теореме 127 не исключаются такие возможности: f 0 (x) = 0 и f 0 (x) = ∞ . В этих случаях формула (6.18) приобретает вид 1 1 ∞= и 0= соответственно. 0 ∞
220
Глава 6. Производные и дифференциалы
2. Вычисление табличных производных 1) Непосредственно применяя определение 128, вычислим производную функции y = ln x . Имеем µ ¶ 1 x+h 1 h ln(x + h) − ln x = lim ln = lim ln 1 + = y 0 = lim h→0 h h→0 h h→0 h x x õ ¶xÁh !1Áx h = 1+ = ln lim h→0 x = ln
Ã
lim
h→0
µ
h 1+ x
¶xÁh !1Áx
µ
1 = ln exp x
¶
=
1 . x
d 1 Таким образом, ln x = . dx x Если y = loga x , то · ¸ d d ln x d 1 1 y0 = loga x = · ln x = . = dx dx ln a ln a dx x ln a Если же y = loga |x| , то на основании теоремы о производной композиции при x 6= 0 имеем y0 =
1 d 1 1 · |x| = · sign x = . |x| ln a dx |x| ln a x ln a
2) Производную от функции y = ax найдем с помощью теоремы о производной обратной функции: d x 1 1 ¶ = y ln a = ax ln a . a = =µ d 1 dx loga y dy y ln a Отсюда при a = e получаем формулу для производной от экспоненты d x e = ex , так как ln e = 1 . dx 3) Найдем производную от стeпенной функции y = xα . При x > 0 имеем d α·ln x d d α x = e = eα·ln x · α · ln x = α · xα−1 . dx dx dx
§ 3. Основные правила вычисления производных
221
Если степенная функция определена и при x < 0, то для ее производной справедлива та же формула, что и при x > 0 (доказать). 4) Вычислим производные от тригонометрических функций. Имеем µ ¶ h h 2 cos x + sin d sin(x + h) − sin x 2 2 sin x = lim = lim = h→0 h→0 dx h h h µ ¶ sin h 2 = cos x . = lim cos x + · lim h h→0 h→0 2 2 Таким образом,
d sin x = cos x . Далее, dx
³π ´ ³π ´ d ³π ´ d d cos x = sin − x = cos −x · − x = − sin x , dx dx 2 2 dx 2
т. е.
d cos x = − sin x . dx Далее, d d sin x cos x · cos x + sin x · sin x 1 tg x = = = . dx dx cos x cos2 x cos2 x И наконец, d cos x − sin x · sin x − cos x · cos x 1 d ctg x = = =− 2 . dx dx sin x sin2 x sin x 5) Производные от обратных тригонометрических функций y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x можно вычислить на основании теоремы о производной обратной
222
Глава 6. Производные и дифференциалы
функции. Имеем: 1 1 d 1 1 arcsin x = =p ; = =√ 2 d dx cos y 1 − x2 1 − sin y sin y dy 1 1 1 d 1 =− arccos x = = −p = −√ ; 2 d dx sin y 1 − x2 1 − cos y cos y dy 1 1 1 1 d = arctg x = ; = = 1 d dx 1 + x2 1 + tg2 y tg y cos2 y dy 1 1 d 1 1 arcctg x = . = =− =− 2 1 d dx 1 + x2 1 + ctg y − 2 ctg y dy sin y Полученные результаты вычислений сведем в следующую таблицу производных: f (x) c x xα |x| ax ex loga |x| ln |x| sin x cos x tg x ctg x arcsin x arccos x arctg x arcctg x
f 0 (x) 0 1 α · xα−1 sign x ax · ln a ex 1Á(x ln a) 1Áx cos x − sin x 1Á cos2 x 2 −1Á √ sin x 1Á √1 − x2 −1Á 1 − x2 1Á(1 + x2 ) −1Á(1 + x2 )
Ограничения
x>0 x 6= 0 a>0 a > 0 , a 6= 1 , x 6= 0 x 6= 0 x 6= π2 + k · π , k ∈ Z x 6= k · π , k ∈ Z |x| < 1 |x| < 1
223
§ 3. Основные правила вычисления производных
В дополнение к табличным производным вычислим производные гиперболических функций. Имеем: d ex + e−x ex − e−x = = sh x ; dx 2 2 d ex − e−x ex + e−x = = ch x ; dx 2 2 d d sh x − sh x · ch x ch x · ch2 x − sh2 x d sh x 1 dx dx = th x = = = 2 ; dx ch x chx ch2 x ch x d d ch x − ch x · sh x sh x · sh2 x − ch2 x 1 d ch x dx dx = =− 2 . cth x = = 2 dx sh x shx sh x sh x
d ch x = dx d sh x = dx d dx d dx
Итак, получены следующие формулы дифференцирования: d ch x = sh x , dx
d sh x = ch x , dx
d 1 1 d th x = 2 , cth x = − 2 . dx dx ch x sh x Используя их и теорему о производной обратной функции, можно вычислить производные обратных гиперболических функций (читателю рекомендуется сделать это самостоятельно). Здесь же воспользуемся явными формулами, полученными в § 4 гл. 4. Имеем
√ ¡ ¢ d d arch x = ln x + x2 − 1 = dx dx
µ
x 1+ √ x2 − 1 √ x + x2 − 1
¶
= √
1 , |x| > 1 ; x2 − 1
√ d d 1 arsh x = ln(x + x2 + 1) = √ ; dx dx x2 + 1 µ ¶ 1 d 1 1+x 1 1 1 d = arth x = ln = + , |x| < 1 ; dx dx 2 1 − x 2 1+x 1−x 1 − x2 µ ¶ 1 d 1 x+1 1 1 d 1 =− 2 arcth x = ln = − , |x| > 1 . dx dx 2 x − 1 2 x+1 x−1 x −1
224
Глава 6. Производные и дифференциалы
3. Некоторые другие правила вычисления производных 1) Логарифмическое дифференцирование. Если функция f дифференцируема в точке x и f (x) 6= 0, то на основании теоремы о производной композиции имеем 1 d d ln |f (x)| = · f (x) , dx f (x) dx откуда
d d f (x) = f (x) · ln |f (x)| . (6.19) dx dx Эта последняя формула лежит в основе приeма вычисления производных, известного под названием логарифмического дифференцирования. Эффект применения формулы (6.19) основан на том, что для d ln |f (x)| вычисляется проще, некоторых функций f производная dx чем f 0 (x). Например, для функции f (x) = xx , x > 0 имеем ln(xx ) = x · ln x
=⇒
d ln(xx ) = 1 + ln x . dx
Применяя теперь формулу (6.19), находим
d x (x ) = xx · (1 + ln x) . dx 2) Вычисление производных от функций, заданных параметрически. Пусть задана система уравнений ( x = ϕ(t) , t ∈ [t0 , T ] , (6.20) y = ψ(t) , где ϕ и ψ — некоторые функции. Предполагая, что для функции ϕ существует обратная функция ϕ−1 , исключим из равенств (6.20) переменную t . В результате получится следующая функция переменного x : y = ψ[ϕ−1 (x)] . (6.21) Принято считать, что эта функция задана параметрически уравнениями (6.20).
225
§ 3. Основные правила вычисления производных
Теорема 128. Если функции ϕ и ψ дифференцируемы в точке t ∈ [t0 , T ] и ϕ0 (t) 6= 0, то функция (6.21), заданная параметрически уравнениями (6.20), дифференцируема в точке x = ϕ(t), причем y 0 (x) =
ψ 0 (t) . ϕ0 (t)
(6.22)
J Дифференцируемость функции (6.21) вытекает из теорем о производных сложной и обратной функций. Используя их, имеем y 0 (x) = ψ 0 (ϕ−1 (x)) · (ϕ−1 )0 (x) = ψ 0 (t) ·
1 ϕ0 (t)
=
ψ 0 (t) . I ϕ0 (t)
В качестве примера найдем производную y 0 (x) от функции, заданной параметрически уравнениями ( x = a · (t − sin t) , 0 < t < 2π . y = a · (1 − cos t) , Имеем
t t 2 sin cos y 0 (t) a · sin t t 2 2 = = = ctg . y (x) = 0 t x (t) a · (1 − cos t) 2 2 sin2 2 0
3) Вычисление производных от функций, заданных неявно. Говорят, что функция y = y(x), x ∈ (a , b), задана неявно уравнением F (x , y) = 0 , (6.23) если при всех x ∈ (a , b) выполняется равенство F [x , y(x)] = 0. Дифференцирование заданных так функций основано на следующем утверждении. Если существуют частные производные6 Fx0 , Fy0 , и Fy0 (x , y(x)) 6= 0 , 6 Частной производной функции нескольких переменных называется ее производная по одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных.
226
Глава 6. Производные и дифференциалы
то функция y = y(x), заданная неявно уравнением (6.23), дифференцируема в точке x , причем y 0 (x) = −
Fx0 (x , y) . Fy0 (x , y)
(6.24)
Это утверждение будет доказано в дальнейшем, а здесь используем его только для вычисления производных. Вычислим, например, производную от функции y = y(x) , заданную неявно уравнением F (x , y) ≡ x3 + y 3 − 3axy = 0 . Сначала вычисляем частные производные: Fx0 (x , y) = 3x2 − 3ay ;
Fy0 (x , y) = 3y 2 − 3ax .
Применяя формулу (6.24), получим y 0 (x) = −
x2 − ay . y 2 − ax
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков Предположим, что множество X ⊂ R — открытое, а функция f : X −→ R дифференцируема в каждой точке множества X . Сопоставляя каждому значению x ∈ X значение производной f 0 (x), получим7 производную функцию f 0 : x 7−→ f 0 (x). Постановка вопроса о дифференцируемости функции f 0 приводит к понятию производной второго порядка от функции f. Определение 131. Производная второго порядка f 00 (x) от функции f в точке x определяется равенством f 00 (x) := (f 0 )0 (x) . 7 Обращаю внимание читателя на различие между понятиями: производная (т. е. число f 0 (x) ) и производная функция (т. е. отображение f 0 : x 7−→ f 0 (x) ).
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
227
Производная n -го порядка f (n) определяется по индукции равенством f (n) (x) := (f (n−1) )0 (x) , где f (n−1) : x 7−→ f (n−1) (x) — производная функция порядка (n − 1). С точки зрения этого определения исходную функцию иногда удобно рассматривать как производную нулевого порядка, т. е. f (0) (x) := f (x) . В отличие от f (0) и f 0 производные f 00 , f 000 , . . . , f (n) , . . . называются производными высших порядков. Если для функции f при любом x ∈ X существуют конечные производные до порядка n включительно, то эта функция называется n -кратно дифференцируемой на множестве X. Если для функции f при любом x ∈ X существуют производные любого порядка n , то эта функция называется бесконечно дифференцируемой на множестве X. В главе 4 мы ввели множество C[X] всех функций, непрерывных на множестве X . Аналогично символом C n [X] принято обозначать множество всех функций f : X −→ R , имеющих непрерывные на множестве X производные до порядка n включительно. Символом C ∞ [X] принято обозначать множество всех функций f : X −→ R , имеющих непрерывные на множестве X производные любого порядка n ∈ N . Рассмотрим важные примеры вычисления производных высших порядков от некоторых часто встречающихся элементарных функций. 1) Пусть P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn — многочлен степени n от x . Его последовательные производные равны P 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . . + nan xn−1 ; P 00 (x) = 2!a2 + 3 · 2a3 x + . . . + n · (n − 1)an xn−2 ;
P 000 (x) = 3!a3 + . . . + n(n − 1)(n − 2)an xn−3 ; ............................................... P (n) (x) = n!an .
Поскольку производная порядка n — постоянная, то все производные
228
Глава 6. Производные и дифференциалы
более высоких порядков тождественно равны нулю, т. е. P (n+1) (x) ≡ P (n+2) (x) ≡ . . . ≡ 0 . 2) Найдем последовательные производные показательной функции f (x) := ax . Имеем f 0 (x) = ax ln a , f 00 (x) = ax (ln a)2 , . . . , f (n) (x) = ax (ln a)n , . . . . Полагая здесь a = e и учитывая, что ln e = 1, получим ex =
d x d2 dn e = 2 ex = . . . = n ex = . . . , dx dx dx
т. е. производная любого порядка от экспоненты равна сам´ой экспоненте. 3) Для функции f (x) = sin x имеем ³ dn π´ sin x = sin x + n . (6.25) n dx 2 J Сначала находим
³ π´ d sin x = cos x = sin x + ; dx 2 ³ ³ d π´ π´ d2 sin x = sin x + = sin x + 2 · ; 2 dx dx 2 2 ³ ³ d3 d π´ π´ sin x = sin x + 2 = sin x + 3 · . dx3 dx 2 2
Для обоснования общей формулы (6.25) следует применить метод полной индукции. I 4) Для функции f (x) = cos x имеем ³ π´ dn cos x = cos x + n · . dxn 2 Это равенство доказывается аналогично равенству (6.25). 5) Для функции f (x) = ln(1 + x) имеем (n − 1)! dn ln(1 + x) = (−1)(n−1) . dxn (1 + x)n
(6.26)
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
229
J Последовательно дифференцируя данную функцию, находим 1 d ln(1 + x) = ; dx 1+x d2 1! ln(1 + x) = − ; dx2 (1 + x)2 d3 2! ln(1 + x) = . dx3 (1 + x)3 Для обоснования общей формулы (6.26) следует применить метод индукции. I 6) Для функции f (x) = (1 + x)µ имеем dn (1 + x)µ = µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1)(1 + x)µ−n . dxn
(6.27)
J Последовательно дифференцируя данную функцию, получим: d (1 + x)µ = µ(1 + x)µ−1 ; dx d2 (1 + x)µ = µ(µ − 1)(1 + x)µ−2 ; dx2 d3 (1 + x)µ = µ(µ − 1)(µ − 2)(1 + x)µ−3 . dx3 Для обоснования общей формулы (6.27) следует применить метод полной индукции. I 7) Для гиперболических функций ch и sh имеем ( ch x при n четном, dn ch x = n dx sh x при n нечетном; ( sh x при n четном, dn sh x = dxn ch x при n нечетном. Приведем один результат общего характера, касающийся вычисления производных высших порядков от произведения двух функций.
230
Глава 6. Производные и дифференциалы
Теорема 129 (формула Лeйбница). Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют конечные производные до n -го порядка включительно, то (u·v)(n) = u·v (n) +
где
µ ¶ µ ¶ n 0 (n−1) n 00 (n−2) u ·v + u ·v +. . .+u(n) ·v , (6.28) 1 2
µ ¶ n! n — биномиальные коэффициенты. := k! · (n − k)! k
Замечание. Учитывая, что u(x) = u(0) (x) , можно записать формулу Лейбница (6.28) в следующем виде, аналогичном формуле бинома Ньютона: Ã ! n X n (k) (n−k) (n) (u · v) = u v . (6.29) k k=0
J При n = 1 по теореме о производной произведения имеем (u · v)0 = uv 0 + u0 v . Дифференцируя это равенство, при n = 2 получим (u · v)00 = uv 00 + 2u0 v 0 + u00 v . Дифференцируя это равенство, при n = 3 получим (u · v)000 = uv 000 + 3u0 v 00 + 3u00 v 0 + u000 v . Таким образом, для значений n = 1 , 2 , 3 формула Лейбница (6.29) установлена. Желая применить метод полной индукции, предположим, что тождество (6.29) справедливо для некоторого n ∈ N и покажем, что оно остается справедливым после замены n 7−→ (n + 1). С этой целью продифференцируем тождество (6.29) по переменной
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
231
x и преобразуем полученный результат n µ ¶ n µ ¶ d X n (k) (n−k) X n d ³ (k) (n−k) ´ = u v u v = (u · v) = k dx k dx k=0 k=0 n µ ¶³ ´ X n = u(k) v (n−k+1) + u(k+1) v (n−k) = k k=0 ¶ µ n n−1 µ ¶ X n (k) (n−k+1) X n (k+1) (n−k) (n+1) (0) (0) (n+1) =u v + u v + u v +u v = k k k=1 k=0 µ ¶¶ n µµ ¶ X n n = u(0) v (n+1) + + u(k) v (n−k) + u(n+1) v (0) = k k+1 k=1 ¶ n µ X n + 1 (k) (n+1−k) = u(0) v (n+1) + u v + u(n+1) v (0) = k k=1 n+1 X µn + 1¶ u(k) v (n+1−k) . = k (n+1)
k=0
В этих преобразованиях было использовано тождество µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n+1 + = , k k+1 k+1 доказанное в главе 2, § 1, п. 3. I В качестве примера вычислим ´ dn ³ λx P (x) · e , dxn где P (x) — многочлен степени m 6 n . Так как
dk P (x) ≡ 0 при k > m , dxk
то формула Лейбница дает (n > m) : Ã ! Ã ! m m X X m dk dn−k λx dn n−k n λx λx λ P (k) (x) . P (x)e = P (x) · n−k e = e k dxn k dxk dx k=0
k=0
Возьмем более конкретный пример ¶ µ d d 3 d2 3 d3 3 x 3 x 3 e = (x3 + 9x2 + 18x + 6)ex . (x e ) = x + 3 x + 3 x + x dx3 dx dx2 dx3 3
232
Глава 6. Производные и дифференциалы
2. Дифференциалы высших порядков Предположим, что у функции y = f (x) в точке x существует конечная производная n -го порядка, где n ∈ N . Определение 132. Дифференциалом n -го порядка функции f в точке x называется однородная функция степени n от приращения h , определяемая следующим равенством: Dn f (x)(h)n := f (n) (x) · hn .
(6.30)
Кроме того, удобно считать это равенство пригодным и для определения дифференциала порядка нуль, т. е. полагать D0 f (x)(h)0 := f (x) = f (0) (x) . Обозначив левую часть равенства (6.30) символом dn f (x) и полагая в правой части h = dx , получим другую (классическую) форму записи дифференциала n -го порядка: dn f (x) := f (n) (x) · dxn , которая часто встречается в литературе. Разделив последнее равенство на dxn , получим другое (в виде дроби) выражение для производной n -го порядка в точке x : f (n) (x) =
dn dn f (x) f (x) = , dxn dxn
которое было неоднократно использовано выше. В заключение этого пункта отметим, что, вообще говоря, дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности (в отличие от дифференциалов 1-го порядка). J В самом деле, если y = f (x(t)), то d2 y = (f ◦ x)00 (t) · dt2 , где (f ◦ x)00 (t) =
d d (f ◦ x)0 (t) = [f 0 (x(t)) · x0 (t)] = dt dt = f 00 (x(t)) · (x0 (t))2 + f 0 (x(t)) · x00 (t) .
Используя этот результат, получим £ ¤ d2 y = f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t) dt2 = f 00 (x) · dx2 + f 0 (x) · d2 x .
233
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков Если же переменная x — независимая, то d2 y = f 00 (x) · dx2 .
Сравнивая правые части двух последних равенств, видим, что они отличаются слагаемым f 0 (x) · d2 x , которое в общем случае не равно нулю. Таким образом, даже дифференциал второго порядка не инвариантен (не говоря уже о дифференциалах более высоких порядков). I
Задачи к главе 6 6.1. Продифференцировать следующие функции: √ √ ax + b x+ x+ 3x a) y = ; b) y = ; cx + d x+1 q p √ d) y = (2 − x2 ) cos x + 2x sin x; c) y = x + x + x; 2 2 e) y = sin(cos x) + cos(sin x); f) y = sin [sin(sin x)]; 1 1 g) y = tg x − tg3 x + tg5 x; 3 5 p p 3 3 2 i) y = 4 ctg x + ctg8 x;
1 1 ; k) y = ln(1 + x2 ) − 2 2(1 + x) m) y = arctg(tg2 x); o) y = |(x − 1)2 (x + 1)3 |;
h) y = (x2 − 2x + 2)ex ; j) y = ln(ln(ln x)); l) y = arccos(sin x2 − cos x2 ); r e2x x ; n) y = arctg e − ln 1 + e2x p) y = exp(tg(xx )).
6.2. Используя логарифмическое дифференцирование, найти производные следующих функций: r 1−x a) y = x · ; b) y = (x − a1 )α1 . . . (x − an )αn ; 1+x r √ 3−x x2 · 3 ; c) y = (x + 1 + x2 )n ; d) y = 1−x (3 + x)2 e) y =
(2 − x2 )(3 − x3 ) ; (1 − x)2
f) y = (5 + 2x)10 (3 − 4x)20 ; ·
¸arctg2 x
(ln x)x g) y = ; xln x
arcsin(sin2 x) h) y = arccos(cos2 x)
i) y = (sin x)cos x ;
j) y = (1 − x)(1 − x2 )2 (1 − x3 )3 .
;
234
Глава 6. Производные и дифференциалы dy функций y = y(x) , заданных параметриdx чески следующими уравнениями (параметр t считается положительным): p p √ √ 3 a) x = 1 − t, y = 1 − 3 t;
6.3. Найти производные
b) x = sin2 t,
y = cos2 t;
c) x = a cos t,
y = b sin t;
d) x = a ch t,
y = b sh t;
e) x = e2t cost ,
y = e2t sin2 t;
f) x = arcsin √
t , 1 + t2
y = arccos
1 . 1 + t2
dy функций y = y(x) , заданных неявно dx следующими уравнениями:
6.4. Найти производные
a) x2 + 2xy − y 2 = 2x; c)
b) y 2 = 2px;
x2 y2 + = 1; a2 b2
e) arctg
d)
√
x+
√
y = a;
p y = ln x2 + y 2 ; x
f) r = a · ϕ , где r =
p
g) r = a · emϕ , где r =
x2 + y 2 , ϕ = arctg p
y ; x
x2 + y 2 , ϕ = arctg
6.5. Найти y 00 , если: √ a) y = x 1 + x2 ; 2
b) y = √
x ; 1 − x2
c) y = e−x ;
d) y = tg x;
e) y = x · [sin(ln x) + cos(ln x)];
f) y = x ln x;
x
g) y = x . arcsin x ; i) y = √ 1 − x2
y . x
h) y = (1 + x2 ) arctg x; j) y = ln f (x).
235
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 6.6. Найти производные n -го порядка от следующих функций: 1 ; c) y = ex cos x; a) y = sin ax cos bx; b) y = x(1 − x) 1 x d) y = √ ; e) y = √ ; f) y = sin2 x; 3 1 − 2x 1+x g) y = sin4 x + cos4 x; h) y = sin3 x; i) y = cos3 x; ax + b ; j) y = sin ax sin bx; k) y = cos ax cos bx; l) y = cx + d m) y = sin2 ax cos bx; n) y = cos2 x; o) y = x cos ax; x2 + 2x + 2 ; ex 1 ; s) y = 2 x − 3x + 2
p) y =
q) y =
ex ; x
t) y = ex sin x;
r) y = x2 sin ax; u) y = ln
a + bx . c + dx
Глава 7 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Теоремы «о средних значениях». Правило Лопиталя 1. Теоремы «о средних значениях» Сначала напомним определение понятия локального экстремума. Определение 133. Точка x0 ∈ X называется точкой локального экстремума функции f : X −→ R , если существует такая окрестность U (x0 ) точки x0 , что ∀x ∈ U (x0 ) ∩ X , x 6= x0 , выполняется хотя бы одно из следующих неравенств: (a) f (x) < f (x0 ) (строгий локальный максимум); (b) f (x) 6 f (x0 ) (локальный максимум); (c) f (x) > f (x0 ) (строгий локальный минимум); (d) f (x) > f (x0 ) (локальный минимум). Функция, график которой показан на рис. 46, имеет экстремумы в точках x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , причем в точках x1 , x3 , x5 — минимумы, а в точках x1 , x2 , x3 , x4 — максимумы. Теорема 130 (Ферма1 ). Если внутренняя точка x0 множества X является точкой локального экстремума функции e , то f : X −→ R и если существует производная f 0 (x0 ) ∈ R 0 f (x0 ) = 0. J Предположим для определенности, что в точке x0 функция f имеет локальный максимум (случай локального минимума можно рассмотреть аналогично). Так как x0 — внутренняя точка множества X , то существует интервал (x0 − δ , x0 + δ) ⊂ X такой, что x0 − δ < x < x0 + δ =⇒ f (x) 6 f (x0 ) . 1 Ферм´ а
Пьер (1601—1665) — французский математик.
237
§ 1. Теоремы «о средних значениях». Правило Лопиталя Y
x5 x1
x2
O
x3
x4
X
Рис. 46. График функции, имеющей экстремумы
f (x) − f (x0 ) > 0. Переходя x − x0 0 здесь к пределу при x → x0 , x < x0 , получим f (x0 ) > 0. Если f (x) − f (x0 ) же x0 < x < x0 + δ , то 6 0, откуда в пределе при x − x0 0 x → x0 , x > x0 получим f (x0 ) 6 0. Оба неравенства, полученные для f 0 (x0 ), выполняются только при f 0 (x0 ) = 0 . I Отметим геометрический смысл теоремы Ферма. Если функция f : X −→ R дифференцируема во внутренней точке x0 ∈ X 0 , которая является точкой ее локального экстремума, то касательная к графику функции f в точке (x0 , f (x0 )) параллельна оси абсцисс (см. рис. 47). Теорема 131 (Дарбу2 ). Если функция f : [a , b] −→ R дифференцируема на отрезке [a , b], то в некоторых точках интервала (a , b) производная функция f 0 : [a , b] −→ R принимает любое значение, заключенное между f 0 (a) и f 0 (b). J Предположим сначала, что Y f 0 (a) и f 0 (b) имеют разные знаки, например f 0 (b) < 0 < f 0 (a). Покажем, что в этом случае существует точка ξ ∈ (a , b), в которой производная равна нулю. Так как функция f непрерывна на отрезO a c b X ке [a , b], то по теоремам Вейерштрасса она ограничена, и сущестРис. 47. К теореме Ферма вует точка ξ ∈ [a , b], в которой она достигает своего максимального значения. Так как функция f дифференцируема и f 0 (b) < 0 < f 0 (a), то при всех достаточно малых Отсюда при x0 − δ < x < x0 имеем
2 Дарб´ у
Жан Гастон (1842—1917) — французский математик.
238
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
h > 0 справедливы следующие неравенства: f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h + o(h) > f (a) , f (b − h) = f (b) + f 0 (b) · (−h) + o(h) > f (b) . Эти неравенства означают, что наибольшее значение функции f не может достигаться ни в точке a, ни в точке b . Значит, ξ ∈ (a , b), но тогда по теореме Ферма должно быть f 0 (ξ) = 0. Исключим теперь сделанное выше предположение о знаках производных и предположим для определенности, что f 0 (a) < f 0 (b). Возьмем произвольное C ∈ (f 0 (a) , f 0 (b)) и введем вспомогательную функцию F (x) := f (x) − C · x . Она дифференцируема, причем F 0 (x) ≡ f 0 (x) − C , F 0 (a) = f 0 (a) − C < 0 , F 0 (b) = f 0 (b) − C > 0 . На основании доказанного выше ∃ξ ∈ (a , b) : F 0 (ξ) = 0, т. е. f 0 (ξ) = = C . Предположим теперь, что f 0 (a) = f 0 (b) =: A . Введем вспомогательную функцию F (x) := f (x)−A·x , для которой F 0 (a) = F 0 (b) = 0. Если функция F — постоянная, то f 0 (x) ≡ A , и в качестве точки ξ можно взять любую точку интервала (a , b). Если же F отлична от постоянной, то в качестве точки ξ следует взять одну из точек ее экстремума, а именно ту, которая лежит на интервале (a , b) . I Теорема 132 (Ролль3 ). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b], дифференцируема на интервале (a , b) и f (a) = f (b), то существует точка ξ ∈ (a , b) такая, что f 0 (ξ) = 0. J Предположим сначала, что функция f — постоянная, т. е. f (x) ≡ C . В этом случае f 0 (x) ≡ 0, и поэтому в качестве точки ξ можно взять любую точку интервала (a , b). Предположим теперь, что функция f отлична от тождественной постоянной. Отсюда заключаем, что m < M, где m := inf f (x) , a6x6b
M := sup f (x) , a6x6b
а из теоремы Вейерштрасса об ограниченности вытекает, что m и M — числа. Поскольку они различные, то по меньшей мере одно из них не совпадает с f (a) = f (b). Предположим для определенности, 3 Ролль
Мишель (1652—1719) — французский математик.
§ 1. Теоремы «о средних значениях». Правило Лопиталя
239
что M 6= f (a) = f (b). По теореме Вейерштрасса о максимуме существует точка ξ ∈ [a , b], в которой f (ξ) = M . В силу последнего неравенства точка ξ не может совпадать с концами отрезка, значит, ξ ∈ (a , b). Итак, ξ — внутренняя точка локального максимума функции f , и в силу теоремы Ферма должно быть f 0 (ξ) = 0. Аналогично можно рассмотреть случай m 6= f (a) = f (b) . I
Замечания. 1. Отметим геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы Ролля существует точка ξ ∈ (a , b) такая, что касательная к графику функции f в точке (ξ , f (ξ)) параллельна оси абсцисс (см. рис. 48). 2. Отметим существенность всех Y трех условий теоремы Ролля: если хоM тя бы одно из условий теоремы Роляя не выполняется, то легко строятся A B примеры функций, на графиках которых нет точек, в которых касательная была бы параллельна оси абсцисс. ЧиO a c b X тателю предлагается сделать это самостоятельно. Рис. 48. К теореме Ролля
Теорема 133 (Лагранж4 ). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b], дифференцируема на интервале (a , b), то существует точка ξ ∈ (a , b) такая, что f (b) − f (a) = f 0 (ξ) · (b − a) .
(7.1)
J Введем вспомогательную функцию F (x) := f (x) − λ · x , где λ ∈ R — параметр. Очевидно, что функция F непрерывна на [a , b] и дифференцируема на (a , b). Подберем значение параметра λ так, чтобы выполнялось равенство F (a) = F (b). Имеем f (a) − λ · a = f (b) − λ · b , откуда λ =
f (b) − f (a) . b−a
f (b) − f (a) · x выb−a полнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что
Таким образом, для функции F (x) := f (x) − 4 Лагр´ анж
Жозеф Луи (1736—1813) — французский математик.
240
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
∃c ∈ (a , b) : F 0 (c) = 0, а это равенство равносильно следующему: f 0 (c) =
f (b) − f (a) , b−a
(7.2)
которое в свою очередь равносильно равенству (7.1). I Замечания. 1. Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа. С этой целью построим график функции f и будем использовать обозначения, указанные на рис. 49. Обозначим также A(a, f (a)) , B(b, f (b)) , M (c, f (c)) . Прямолинейный отрезок AB назовем хордой. Из 4ABC видно, что f (b) − f (a) = tg ∠BAC , т. е. правая часть равенства (7.2) равна угловоb−a му коэффициенту хорды [A , B] . Производная f 0 (c) равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке M . Равенство (7.2) угловых коэффициентов двух прямых означает, что эти прямые параллельны. Итак, при выполнении условий теоремы Лагранжа на графике функции f : [a , b] −→ R существует точка M (c, f (c)) , касательная в которой параллельна хорде [A , B] . Y M
A
O
B
C
a
c
b
Рис. 49. К теореме Лагранжа
X
2. Теорему 133 часто называют теоремой о конечных приращениях. Это название связано с тем, что равенство (7.1) дает выражение для конечного приращения функции f , в отличие от равенства (6.1), дающего выражение для бесконечно малого приращения функции f .
Теорема 134 (Коши). Если функции f и g непрерывны на отрезке [a , b], дифференцируемы на интервале (a , b) и ∀x ∈ [a , b] : g 0 (x) 6= 0 , то существует точка ξ ∈ (a , b) такая, что f (b) − f (a) f 0 (ξ) = 0 . g(b) − g(a) g (ξ)
(7.3)
241
§ 1. Теоремы «о средних значениях». Правило Лопиталя J Введем вспомогательную функцию F (x) := f (x) − λ · g(x) ,
где λ ∈ R — параметр. Очевидно, что функция F непрерывна на [a , b] и дифференцируема на (a , b). Подберем значение параметра λ так, чтобы выполнялось равенство: F (a) = F (b). Имеем f (a) − λ · g(a) = f (b) − λ · g(b) , откуда λ=
f (b) − f (a) . g(b) − g(a)
f (b) − f (a) · x выg(b) − g(a) полнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что ∃ξ ∈ (a , b) : F 0 (ξ) = 0, а это равенство равносильно равенству
Таким образом, для функции F (x) := f (x) −
f 0 (ξ) =
f (b) − f (a) 0 · g (ξ) . g(b) − g(a)
(7.4)
Разделив последнее равенство на g 0 (ξ), получим (7.3). I Замечание. Геометрический смысл теоремы Коши — такой же, как и теоремы Лагранжа. Чтобы это показать, рассмотрим систему уравнений ( x = g(t) , t ∈ [a , b] . (7.5) y = f (t) ,
Y C
f (ξ) f (b) f (a) O
B A
g(a)
g(ξ)
g(b) X
Рис. 50. К теореме Коши При условиях, перечисленных в теореме Коши, уравнения (7.5) задают параметрически некоторую функцию5 y = y(x) . В обозначениях, показанных на ее графике (см. рис. 50), имеем A(g(a), f (a)) ,
B(g(b), f (b)) ,
C(g(ξ), f (ξ)) .
5 Именно из условия g 0 (x) 6= 0 , как будет показано в главе 8, вытекает строгая монотонность функции g . Из строгой монотонности в силу теоремы 2 из главы 1 вытекает существование обратной функции g −1 . Таким образом, y(x) = f (g −1 (x)) .
242
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
f (b) − f (a) . Угловой коэффиg(b) − g(a) циент касательной в точке C(g(ξ), f (ξ)) на основании теоремы 128 равен f 0 (ξ) y 0 (ξ) = 0 . Таким образом, равенство (7.3) выражает параллельность g (ξ) касательной в точке C и хорды AB . Угловой коэффициент хорды [A , B] равен
2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Теорема 135 (правило Лопиталя6 ). Предположим, что функции f , g : [a , b] −→ R , −∞ 6 a < b 6 +∞ ,
дифференцируемы на (a , b) , g 0 (x) 6= 0 для всех x ∈ (a , b) , и пусть f 0 (x) e . Если, кроме того, выполняется одно из следующих lim 0 = A ∈ R x→a g (x) условий: (a) lim f (x) = lim g(x) = 0 ; x→a
x→a
(b) lim g(x) = +∞ ; x→a
(c) lim g(x) = −∞ , x→a
f (x) существует и равен A . g(x) J Предположим сначала, что выполнено условие (а). В случае, когда a — число, доопределим функции f и g в точку a по непрерывности, полагая f (a) = g(a) := 0 . Тогда на отрезке [a , x] ⊂ [a , b] выполнены все условия теоремы Коши. Применяя ее, заключаем, что существует точка ξ(x) ∈ (a , x) такая, что то предел lim
x→a
f (x) f (x) − f (a) f 0 (ξ(x)) = = 0 . g(x) g(x) − g(a) g (ξ(x))
Так как lim ξ(x) = a и lim x→a
x→a
функций имеем lim
x→a
f 0 (x) = A , то по теореме о пределе композиции g 0 (x)
f (x) f 0 (ξ(x)) f 0 (ξ) = lim 0 = lim 0 = A. x→a g (ξ(x)) ξ→a g (ξ) g(x)
6 Лопит´ аль (L’Hˆ opinal) Гийом Франсуа Антуан дe (1661—1704) — маркиз, французский математик, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению (1696), написанного по лекциям И. Бернулли (1667—1748). Правило Лопиталя на самом деле принадлежит И. Бернулли.
243
§ 1. Теоремы «о средних значениях». Правило Лопиталя В случае, когда a = −∞ , рассматриваем функции f в правой окрестности точки t = 0 . Тогда получим µ
µ
1 − t
¶
µ
1 и g − t
¶
¶ ¶ µ 1 1 1 f0 − t t t2 f 0 (x) f (x) ¶ = lim ¶ µ = lim lim = lim µ = A. x→−∞ x→−∞ g(x) t→+0 t→+0 g 0 (x) 1 1 1 g − g0 − t t t2 f
−
Предположим теперь, что выполнено условие (b). Применяя теорему Коши, заключаем, что существует точка ξ такая, что f (x) − f (y) f 0 (ξ) a<x ¯¯ 0 =E. > 3E · − − g(x) g (ξ) g(x) ¯ ¯ g(x) ¯ 2 2 т. е. lim
x→a
f (x) = +∞ . g(x) Случай A = −∞ можно рассмотреть аналогично. Доказательство для случая, когда выполнено условие (c), можно провести аналогично случаю (b), можно даже свести его к случаю (b). Соответствующие рассуждения опускаем. I
Итак, lim
x→a
Замечания. 1. Теорема 135 доказана для предела при x → a, x > a . Утверждение, аналогичное этой теореме, справедливо и для предела при x → b, x < b .
2. Содержащееся в теореме 135 утверждение (правило Лопиталя) часто выражают, опуская ограничения, следующим образом: предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если этот последний предел существует.
3. В качестве примера на применение правила Лопиталя установим следующий факт. Если функция f определена в окрестности, а дифференцируема в проколотой окрестности7 точки a , и если существует предел lim f 0 (x) = A , то существует и производная f 0 (a) , причем f 0 (a) = A . x→a, x6=a
J Применяя определение производной и правило Лопиталя, имеем f 0 (a) = x→a, lim x6=a
f (x) − f (a) = x→a, lim f 0 (x) = A . I x−a x6=a
7 Проколотой окрестностью точки a называется любая ее окрестность, из которой удалена сама точка a .
§ 2. Формула Тейлора
245
§ 2. Формула Тейлора 1. Формула Тейлора для многочлена Лемма 1. Если в некоторой точке x0 значения многочлена и всех его производных равны нулю, то этот многочлен тождественно равен нулю. J Пусть Q(x) = c0 xn + c1 xn−1 + . . . + cn−1 x + cn — многочлен степени не выше n , и пусть Q(x0 ) = Q0 (x0 ) = . . . = Q(n−1) (x0 ) = Q(n) (x0 ) = 0 . Отсюда следует, что коэффициенты многочлена Q удовлетворяют следующей треугольной однородной системе линейных уравнений: n−1 0 = c0 xn + . . . + cn−1 x0 + cn ; 0 + c1 x0 n−1 0 = nc0 c0 + . . . + 1!cn−1 ; ....................................... 0 = n!c0 x0 + (n − 1)!c1 ; 0 = n!c0 .
Решая эту систему, находим c0 = c1 = . . . = cn−1 = cn = 0 , и, значит, Q(x) ≡ 0 . I Теорема 136 (формула Тейлора для многочлена). Если f — многочлен степени не выше n от x , а x0 ∈ R — произвольная точка, то справедливо тождество: f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + 1! 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n . n!
(7.7)
J Для многочлена Тейлора (т. е. правой части равенства (7.7)) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n 1! 2! n! справедливы следующие очевидные равенства: Pn (x) := f (x0 ) +
Pn (x0 ) = f (x0 ) , Pn0 (x0 ) = f 0 (x0 ) , . . . , Pn(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) . Таким образом, для многочлена Q(x) := f (x) − Pn (x) выполнены все условия леммы 1, и, значит, Q(x) ≡ 0 . Отсюда получаем f (x) = Pn (x) , что равносильно равенству (7.7). I
246
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
2. Формула Тeйлора для произвольной функции Очевидно, что если у функции f существует конечная производная f (n) (x0 ) , то сущеcтвует и функция rn такая, что в некоторой окрестности точки x0 имеет место тождество f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + 1! 2! f (n) (x0 ) (x − x0 )n + rn (x) , + n!
(7.8)
называемое формулой Тeйлора степени n для функции f в окрестности точки x0 . Сумма Pn (x) = f (x0 ) +
f 00 (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + 1! 2! n X f (n) (x0 ) f (k) (x0 ) + (x − x0 )n = (x − x0 )k n! k!
(7.9)
k=0
называется многочленом Тeйлора функции f с центром в точке x0 , а последнее слагаемое rn (x) в (7.8) — остаточным членом формулы Тeйлора. Замечания. 1. Учитывая введенное в конце предыдущей главы понятие дифференциала любого порядка, можем переписать формулу Тeйлора в следующем равносильном виде: f (x) =
n X Dk f (x0 )(x − x0 )k + rn (x) . k!
(7.10)
k=0
2. Очевидным свойством многочлена Тeйлора8 является то, что при x → x0 каждый следующий его член бесконечно мал по сравнению со всеми предыдущими9 , что удобно с точки зрения приближенных вычислений. В связи с этим представляют интерес различные оценки для остаточного члена rn (x) в окрестности точки x0 . Теорема 137 (локальная форма остаточного члена). Если сущеcтвует конечная производная f (n) (x0 ) , то для остаточного члена формулы Тeйлора (7.8) справедлива следующая асимтотическая оценка: rn (x) = o((x − x0 )n ) при x → x0 . 8 Т´ eйлор 9 Точнее
нуля.
(7.11)
(Тaylor) Брук (1685—1731) — английский математик. говоря, только с теми из них, которые отличны от тождественного
247
§ 2. Формула Тейлора
rn (x) = 0 . С этой целью замеJ Достаточно показать, что lim x→x0 (x − x0 )n тим, что f (n−1) (x) = f (n−1) (x0 ) + f (n) (x0 ) · (x − x0 ) + o(x − x0 )
при
x → x0 ,
так как f (n−1) дифференцируема в точке x0 по условию, а Pn(n−1) (x) = f (n−1) (x0 ) + f (n) (x0 ) · (x − x0 ) , что непосредственно следует из (7.9). Учитывая это и применяя (n − 1) раз правило Лопиталя, имеем lim
x→x0
rn (x) f (x) − Pn (x) f 0 (x) − Pn0 (x) = lim = lim = ... = n n n−1 x→x x→x (x − x0 ) (x − x0 ) 0 0 n · (x − x0 ) (n−1)
=
f (n−1) (x) − Pn 1 · lim n! x→x0 x − x0
(x)
=
o(x − x0 ) 1 · lim = 0. I n! x→x0 x − x0
Замечания. 1. Соотношение (7.11) называется представлением остаточного члена в форме Пеано10 . Отметим частные случаи формулы Тeйлора с остаточным членом в форме Пеано. При n = 0 формула Тейлора приобретает такой вид: f (x) = f (x0 ) + o(1)
при
x → x0
и равносильна непрерывности функции f в точке x0 . При n = 1 она имеет следующий вид: f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + o(x − x0 )
при
x → x0
и равносильна дифференцируемости функции f в точке x0 . При n > 1 еe можно переписать в следующем виде: f (x) =
n X Dk f (x0 )(x − x0 )k + o ((x − x0 )n ) k!
k=0
при
x → x0 ,
(7.12)
что равносильно n -кратной дифференцируемости функции f в точке a . 2. Из предыдущего замечания и из оценки (7.11) следует, что в формуле Тeйлора (7.12) остаточный член бесконечно мал по сравнению с многочленом Тeйлора11 при x → x0 . Отбрасывая остаточный член в (7.12), 10 Пеано 11 Eсли,
Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик. конечно, многочлен Тeйлора отличен от тождественного нуля.
248
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
получаем приближенную формулу f (x) ≈ f (x0 ) +
f 0 (x0 ) (x − x0 )+ 1! f (n) (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n , + 2! n!
(7.13)
которая тем точнее, чем меньше число |x − x0 | . Формула (7.13) широко применяется в приближенных вычислениях. Теорема 138 (следствие). Если существует конечная производная f (n+1) (x0 ) , то для остаточного члена формулы Тейлора (7.8) справедлива следующая асимптотическая оценка: ¡ ¢ rn (x) = O (x − x0 )n+1 при x → x0 . (7.14)
J Так как существует число f (n+1) (x0 ) , то для функции f в окрестности точки x0 имеет смысл формула Тейлора с многочленом степени (n + 1) f 00 (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + 1! 2! f (n) (x0 ) f (n+1) (x0 ) + ... + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 + rn+1 (x) . n! (n + 1)!
f (x) = f (x0 ) +
(7.15)
Сравнивая эту формулу с формулой (7.8), находим зависимость между их остаточными членами rn (x) =
f (n+1) (x0 ) (x − x0 )n+1 + rn+1 (x) . (n + 1)!
Разделив это равенство на (x − x0 )n+1 и перейдя к пределу при x → x0 , получим с использованием теоремы 137 lim
x→x0
rn (x) rn+1 (x) f (n+1) (x0 ) f (n+1) (x0 ) = + lim = , n+1 n+1 x→x (x − x0 ) (n + 1)! (n + 1)! 0 (x − x0 )
что равносильно соотношению (7.14).
I
Замечание. Очевидно, что из оценки (7.14) вытекает оценка (7.11), поэтому (7.14) несет больше информации, чем (7.11). Обе эти оценки дают локальные (т. е. при x → x0 ) представления для остаточного члена. При некоторых дополнительных ограничениях на функцию f остаточный член может быть представлен в других (глобальных) формах, несущих больше информации, чем локальные.
249
§ 2. Формула Тейлора
Теорема 139. Если конечная производная f (n+1) (x) существует для всех x из некоторого интервала (x0 − δ , x0 + δ) , то для любого x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) и для любого p ∈ N существует точка ξ ∈ (x0 , x) такая, что rn (x) =
f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n+1−p · (x − x0 )p . n! · p
(7.16)
J Фиксируя x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , станем искать остаточный член формулы Тейлора (7.8) в виде rn (x) = (x − x0 )p · H ,
(7.17)
где H — некоторое число. Желая его вычислить, введем вспомогательную функцию Φ(t) :=
n X f (k) (t) (x − t)k + (x − t)p · H при t ∈ [x0 , x] . k!
(7.18)
k=0
Очевидно, что эта функция дифференцируема при t ∈ [x0 , x] . Вычисляя ее значения в точках t = x0 и t = x , имеем Φ(x0 ) =
n X f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x) = f (x) , k!
k=0
Φ(x) =
n X f (k) (x) (x − x)k + (x − x)p · H = f (x) . k!
k=0
Таким образом, для функции Φ(t) выполнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что ∃ξ ∈ (x0 , x) : Φ0 (ξ) = 0 . Исходя из определения (7.18), вычислим Φ0 (t) : Φ0 (t) = f 0 (t) +
n µ (k+1) X f (t)
k=1
k!
(x − t)k −
− p · (x − t)p−1 H =
¶ f (k) (t) (x − t)k−1 − (k − 1)!
f (n+1) (t) (x − t)n − p · (x − t)p−1 H . n!
Полагая здесь t = ξ , получим 0 = Φ0 (ξ) =
f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n − p · (x − ξ)p−1 · H , n!
250
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
откуда находим H=
f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n−p+1 . n! · p
Подставляя это значение величины H в (7.17), получим (7.16).
I
Замечание. При конкретных значениях параметра p получаются частные случаи формулы (7.16), важные с точки зрения тех или иных приложений. Полагая p = n + 1 , получаем остаточный член в форме Лагранжа: f (n+1) (ξ) rn (x) = · (x − x0 )n+1 . (7.19) (n + 1)! Полагая p = 1 , получаем остаточный член в форме Коши: rn (x) =
f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n · (x − x0 ) . n!
(7.20)
Преобразуем его, полагая ξ − x0 = θ · (x − x0 ) , где 0 < θ < 1 . В этих обозначениях имеем x − ξ = (x − x0 ) − (ξ − x0 ) = (1 − θ)(x − x0 ) . Тогда формула (7.20) приобретает следующий вид: rn (x) =
f (n+1) (x0 + θ · (x − x0 )) · (1 − θ)n · (x − x0 )n+1 . n!
(7.21)
3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена Полагая в формуле Тeйлора (7.8) x0 = 0 , получим ее частный случай, называемый иногда формулой Маклорена. Здесь выпишем формулы Маклорена12 для некоторых часто встречающихся элементарных функций. Для функции f (x) = ex при любом n ∈ N имеем dn x e |x=0 = ex |x=0 = e0 = 1 . dxn Используя эти равенства и полагая в (7.8) f (x) = ex , получим ex = 1 + x + 12 Макл´ орен
x3 xn x2 + + ... + + rn (x) . 2! 3! n!
Колин (1698—1746) — шотландский математик.
(7.22)
251
§ 2. Формула Тейлора Для функции f (x) = sin x при любом k ∈ N находим ( ³ 0 при k = 2n , dk π ´ ¯¯ π sin x|x=0 = sin x + k = sin k = dxk 2 x=0 2 (−1)n при k = 2n + 1 .
Таким образом, имеем sin x = x −
x3 x5 x2n+1 + − . . . + (−1)n + r2n+1 (x) . 3! 5! (2n + 1)!
(7.23)
Для функции f (x) = cos x при любом k ∈ N находим ( ³ 0 при k = 2n + 1 , π π ´ ¯¯ dk = cos k = cos x|x=0 = cos x + k dxk 2 x=0 2 (−1)n при k = 2n .
Таким образом, имеем
cos x = 1 −
x2 x4 x2n + − . . . + (−1)n + r2n (x) . 2! 4! (2n)!
Полагая, далее, f (x) = ln(1 + x) , находим n > 1 будем иметь:
(7.24)
d 1 ln(1 + x) = , а при dx 1+x
(n − 1)! dn dn−1 ln(1 + x) = (1 + x)−1 = (−1)n . n dx dxn−1 (1 + x)n Итак, x2 x3 x4 xn + − + . . . + (−1)n−1 + rn (x) . 2 3 4 n Полагая, наконец, f (x) = (1 + x)µ , при любом n ∈ N имеем ln(1 + x) = x −
(7.25)
dn (1 + x)µ = µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1)(1 + x)µ−n |x=0 = dxn = µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1) . Обозначив
получим
à ! µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1) µ , := n n! à ! à ! µ n µ 2 x + rn (x) . x + ... + (1 + x) = 1 + µx + n 2 µ
(7.26)
Замечание. В случае µ = n ∈ N левая часть тождества (7.26) есть многочлен степени n . Отсюда и из оценки rn (x) = o(xn ) при x → 0 следует, что в правой части (7.26) должно быть rn (x) ≡ 0 , и, значит, при n ∈ N тождество (7.26) переходит в формулу бинома Ньютона.
252
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
§ 3. Степенные ряды. Ряды Тeйлора. Формулы Эйлера 1. Степенные ряды Сначала познакомимся с общим понятием функционального ряда. ∞ P Определение 134. Функциональным рядом называется ряд ϕn , n=1
все члены которого — функции. Областью сходимости (расходимости) функционального ряда называется множество всех тех значений аргу∞ P ϕn (x) сходится (расходится). мента x , для которых числовой ряд n=1
Функциональные ряды будем подразделять на вещественные и комплексные в зависимости от того, являются ли члены данного ряда вещественнозначными функциями вещественной переменной или комплекснозначными функциями комплексной переменной. Вещественные переменные условимся обозначать x , y , . . . (возможно, с индексами), а комплексные переменные — z , w , . . . (возможно, с индексами). Весьма частными случаями функциональных рядов являются так называемые степенн´ ые ряды. Их рассмотрим здесь несколько подробнее. Определение 135. Степенным рядом с центром в точке z0 называется функциональный ряд следующего вида: ∞ X
n=0
cn · (z − z0 )n = c0 + c1 · (z − z0 ) + c2 · (z − z0 )2 + + . . . + cn · (z − z0 )n + . . . ,
(7.27)
где c0 , c1 , . . . , cn , . . . — числа, называемые его коэффициентами. Определение 136. Радиусом сходимости степенного ряда (7.27) называется величина R ∈ [0 , +∞] , вычисляемая по следующей формуле Коши — Адамара13 : 1 p R := , (7.28) lim n |cn | n→∞
1 1 := 0 , := +∞ . +∞ 0 Теорема 140. Пусть R — радиус сходимости степенного ряда (7.27). Тогда этот ряд сходится абсолютно при |z − z0 | < R и расходится при |z − z0 | > R . в которой приняты соглашения
13 Адам´ aр
Жак Соломон (1865—1963) — французский математик.
§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера
253
J Желая исследовать ряд (7.27) на абсолютную сходимость, применим признак сходимости Коши p p K := lim n |cn · (z − z0 )n | = |z − z0 | · lim n |cn | . n→∞
Если
p n
n→∞
|cn | = 0 , то K = 0 < 1 , и ряд сходится абсолютно при p всех z . Если lim n |cn | = +∞ , то при z 6= z0 будет K = +∞ > 1 , lim
n→∞
n→∞
и ряд расходится. Во всех остальных случаях имеем K := lim
n→∞
p n
|cn · (z − z0 )n | =
|z − z0 | ∈ R+ . R
Таким образом, K < 1 при |z − z0 | < R и K > 1 при |z − z0 | > R . I Определение 137. (a) Интервалом сходимости вещественного сте∞ P пенного ряда an · (x − x0 )n называется интервал n=0
(x0 − R , x0 + R) ,
где R — радиус сходимости этого ряда. ∞ P
n=0
(b)
Кругом n
cn · (z − z0 )
сходимости
комплексного
степенного
ряда
называется круг |z − z0 | < R , где R — радиус
сходимости этого ряда. Замечание. Теорема 140, таким образом, утверждает, что степенной ряд сходится абсолютно во всех внутренних точках его круга (интервала) сходимости и расходится во всех точках, внешних по отношению к этому кругу (интервалу). Что касается граничных точек, то здесь возможны самые разные ситуации. Рассмотрим, например, три степенных ряда: ∞ X xn , n2
k=0
В силу равенства lim n n→∞
1Án
∞ X xn , n k=0
∞ X
xn .
k=0
= 1 интервалом сходимости всех трех ря-
дов является интервал (−1 , +1) . Однако первый из этих рядов сходится абсолютно в обеих точках x = ±1 , второй сходится условно при x = −1 , и расходится при x = 1 , а третий расходится в обеих точках x = ±1 .
2. Ряды Тейлора Важнейшими частными случаями степенных рядов являются определяемые ниже ряды Тейлора бесконечно дифференцируемых функций.
254
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления
Определение 138. Пусть функция f : X −→ R бесконечно дифференцируема в точке x0 ∈ X . Рядом Тeйлора функции f c центром в точке x0 называется степенной ряд следующего вида: ∞ X f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) · (x − x0 )n = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + n! 1! 2! n=0
+ ... +
f (n) (x0 ) (x − x0 )n + . . . . n!
(7.29)
Очевидно, что частичными суммами ряда Тейлора (7.29) являются многочлены Тейлора функции f в окрестности точки x0 , и возникает вопрос об условиях его сходимости, а в случае сходимости — о том, чему равна его сумма. Ответы на эти вопросы дает следующая теорема. Теорема 141. Ряд Тeйлора (7.29) сходится к сумме f (x) , если и только если выполняется следующее условие: lim rn (x) = 0 ,
n→∞
(7.30)
где rn (x) — остаточный член формулы Тeйлора функции f в окрестности точки x0 . J Фиксируя x , запишем представление значения f (x) по формуле Тейлора n X f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x) . (7.31) f (x) = k! k=0
Предполагая, что условие (7.30) выполняется и переходя к пределу в равенстве (7.31) при n → ∞ , заключаем,что ряд Тeйлора сходится к сумме f (x) , т. е. ∞ X f (k) (x0 ) f (x) = · (x − x0 )k . (7.32) k! k=0
Обратно, предположим, что ряд Тeйлора сходится к сумме f (x) , т. е. что выполняется равенство (7.32). Сравнивая (7.31) с (7.32), заключаем, что остаточный член равен сумме n -го остатка, т. е. rn (x) =
∞ X f (k) (x0 ) · (x − x0 )k . k!
(7.33)
k=n+1
Из сходимости ряда (7.32) следует сходимость любого его остатка и стремление к нулю при n → ∞ последовательности его остатков, т. е. выполнение условия (7.30). I
§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера
255
Теорема 142. Справедливы следующие разложения: ex = cos x = sin x = ln(1 + x) =
∞ X xn , n! n=0 ∞ X
n=0 ∞ X
n=0 ∞ X
x ∈ R;
(−1)n
x2n , (2n)!
(−1)n
x2n+1 , (2n + 1)!
(−1)n−1
n=1
xn , n
à ! µ n (1 + x) = x , n n=0 µ
(7.34)
∞ X
x ∈ R; x ∈ R;
|x| < 1 ;
|x| < 1 .
(7.35) (7.36) (7.37) (7.38)
J В силу теоремы 141 достаточно показать, что при указанных значениях переменной x остаточные члены соответствующих формул Тeйлора стремятся к нулю при n → ∞ . Начнем с функции exp . Фиксируя произвольное значение x ∈ R , исследуем на абсолютную сходимость ряд (7.34). Применяя признак Даламбера, имеем ¯ ¯ n+1 ¯ x |x| xn ¯¯ lim ¯¯ = lim : = 0 < 1. n→∞ (n + 1)! n! ¯ n→∞ (n + 1) Отсюда следует, что ряд (7.34) сходится, а из сходимости вытекает следующее равенство: xn+1 lim = 0. (7.39) n→∞ (n + 1)! Представляя остаточный член rn (x) формулы Тeйлора функции exp в форме Лагранжа, получим rn (x) =
xn+1 · eξ , (n + 1)!
где 0 < |ξ| < |x| . Отсюда находим 0 < |rn (x)| < e|x| ·
|x|n+1 . (n + 1)!
Переходя здесь к пределу при n → ∞ и используя (7.39), получим lim rn (x) = 0 . Тем самым равенство (7.34) установлено.
n→∞
256
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления Из равенства (7.39) следует, что lim
n→∞
x2n+2 = 0, (2n + 2)!
lim
n→∞
x2n+1 = 0. (2n + 1)!
(7.40)
Представляя остаточные члены формул Тeйлора функций cos и sin в форме Лагранжа, имеем ³ ´ ¯ ¯ ¯ ¯ cos ξ + (2n + 1) π ¯ ¯ |x|2n+1 2n+1 ¯ 2 ¯ 6 x ; |r2n (x)| = ¯ ¯ (2n + 1)! (2n + 1)! ¯ ¯ ´ ³ ¯ ¯ ¯ ¯ sin ξ + (2n + 2) π 2n+2 ¯ ¯ 2n+2 2 ¯ 6 |x| ¯ |r2n+1 (x)| = ¯ x . ¯ (2n + 2)! (2n + 2)! ¯ ¯
Отсюда и из равенств (7.40) следует, что остаточные члены формул Тeйлора функций cos и sin стремятся к нулю. Тем самым установлены равенства (7.35) и (7.36). Применяя признак Даламбера, легко заключить, что ряды (7.37) и (7.38) сходятся абсолютно при |x| < 1 . Значит, последовательности их общих членов стремятся к нулю при n → ∞ : Ã ! n µ n n−1 x lim (−1) (7.41) =0 и lim x = 0. n→∞ n→∞ n n Чтобы установить равенство (7.37), представим остаточный член формулы Маклорена (7.25) в форме Коши (7.21) и преобразуем его 1 · n! 1 = n!
rn (x) =
¯ dn+1 ln(1 + t)¯t=θx · (1 − θ)n · xn+1 = dtn+1 µ ¶n (−1)n n! (−1)n x 1−θ n n+1 · · (1 − θ) · x = · · xn . (1 + θx)n+1 (1 + θx) 1 + θx
Учитывая, что −1 < x < 1 , 0 < θ < 1 , имеем |1 + θx| > 1 − θ · |x| > 1 − θ , и, значит,
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − θ ¯n ¯ 1 − θ ¯n ¯ 1 − |θx| > 1 − θ , то ¯µ ¶ ¯ ¯ 1 − θ n¯ ¯ ¯ ¯ 1 + θx ¯ 6 1 . Поэтому из (7.42) имеем ¯Ã ! ¯ ¯ ¯ ¯ µ − 1 n¯ µ−1 x ¯→0 0 6 |rn (x)| 6 |µx(1 + θx) |·¯ ¯ ¯ n
при n → ∞ в силу равенства (7.41). Тем самым разложение (7.38) обосновано. I
3. Формулы Эйлера Степенные ряды (7.34), (7.35) и (7.36) сходятся абсолютно ∀x ∈ R , поэтому радиус сходимости всех этих рядов равен +∞ . Отсюда следует, что если в этих рядах заменить вещественную переменную x на комплексную переменную z , то они будут сходиться абсолютно ∀z ∈ C , а потому их суммы можно принять в качестве определений экспоненты, синуса и косинуса комплексного аргумента. Определение 139. Для любого z ∈ C полагаем: z3 zn z2 + + ... + + ... ; 2! 3! n! 4 2 z z z 2n cos z := 1 − + − . . . + (−1)n + ... ; 2! 4! (2n)! ez := 1 + z +
sin z := z −
z3 z5 z 2n+1 + − . . . + (−1)n + ... . 3! 5! (2n + 1)!
(7.43) (7.44) (7.45)
Теорема 143 (формула Эйлера). Справедливо тождество cos ϕ + i · sin ϕ = eiϕ , где ϕ ∈ R , a i ∈ C — мнимая единица.
(7.46)
258
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления J Используя определение 139, имеем (iϕ)2 (iϕ)3 (iϕ)4 (iϕ)5 (iϕ)6 + + + + + ... = 2! 3! 4! 5! 6! ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ2 −i + +i − − ... = = 1 + iϕ − 2! 3! 4! 5! 6! ¶ µ ¶ µ ϕ4 ϕ3 ϕ5 ϕ2 + − ... + i · ϕ − + − ... = = 1− 2! 4! 3! 5!
eiϕ = 1 + iϕ +
= cos ϕ + i sin ϕ . I
Замечания. 1. Мы знаем две формы представления комплексных чисел: алгебраическую z = x+iy и тригонометрическую z = r·(cos ϕ+i sin ϕ) . Используя формулу Эйлера, получаем еще одну форму, показательную z = r · eiϕ . Таким образом, z = x + i · y = r · (cos ϕ + i sin ϕ) = r · eiϕ , где x = Re z , y = Im z , r = |z| , ϕ = arg z .
2. С помощью формул Эйлера можно выразить функции cos и sin через экспоненту с чисто мнимым показателем. С этой целью, заменяя в (7.46) ϕ на (−ϕ) , получим такое тождество: cos ϕ − i sin ϕ = e−iϕ .
Из этого равенства и из (7.46) находим cos ϕ =
eiϕ − e−iϕ eiϕ + e−iϕ , sin ϕ = . 2 2i
Эти тождества позволяют из свойств показательной функции получать свойства тригонометрических функций и наоборот. 3. Заменяя в равенстве (7.43) z на (−z) , получим следующее равенство: e−z = 1 − z +
z3 zn z2 − + . . . + (−1)n · + ... , z ∈ C. 2! 3! n!
(7.47)
Образуя полусумму и полуразность равенств (7.43) и (7.47), получим разложения гиперболических функций ch и sh комплексного переменного в степенные ряды ch z = 1 +
z2 z4 z 2n + + ... + + ... , z ∈ C; 2! 4! (2n)!
(7.48)
sh z = z +
z5 z 2n+1 z3 + + ... + + ... , z ∈ C. 3! 5! (2n + 1)!
(7.49)
259
§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера
Из этих равенств и из равенств (7.44) и (7.45) вытекают следующие тождества, связывающие тригонометрические функции с гиперболическими: cos(iz) = ch z ; ch(iz) = cos z ; sin(iz) = i sh z ; sh(iz) = i sin z . Пользуясь этими тождествами, можно из свойств тригонометрических функций получить свойства гиперболических функций и наоборот.
Задачи к главе 7 7.1. Доказать, что между двумя вещественными корнями многочлена с вещественными коэффициентами имеется корень его производной. 7.2. Доказать, что если функция f дифференцируема n раз на отрезке [a , b] и обращается на нем в нуль в (n + 1) точках, то ∃ξ ∈ (a , b) : f (n) (ξ) = 0 . 7.3. Доказать, что корни производной многочлена
P (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) вещественные, простые и лежат, соответственно, на интервалах (0 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 4) . 7.4. Доказать, что ∀n ∈ N ∀α ∈ R+ :
1 1 < nα α
µ
1 1 − α (n − 1)α n
¶
.
7.5. Доказать, что если дифференцируемая на конечном интервале (a ; b) функция f не ограничена, то производная функция f 0 : (a ; b) −→ R тоже не ограничена. 7.6. Доказать, что если функция f : [0 , +∞) −→ R дифференцируема n раз, и f (0) = f 0 (0) = . . . = f (n−1) (0) = 0 , а f (n) > 0 , то и f (x) > 0 при x > 0 .
7.7. Вычислить следующие пределы: a) lim
x→0
d) lim
ln(1 + x) − x ln x ln cos ax ; b) lim ; c) lim ; x→0 x→+0 ln sin x x2 tg2 x
x→+0
ln(1 − cos x) ; e) lim sin x · ln ctg x ; f) x→0 ln tg x
lim x ln
x→+∞
2 arctg x ; π
260
Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления 2 ln x − x + 1 ; h) lim x1Á(x−1) ; i) lim (cos x)1Áx ; x→1 x→0 x − xx
g) lim
x→1
j)
lim
x→πÁ4
ln tg x ; k) ctg 2x
lim (3x2 + 3x )1Áx ; l)
x→+∞
lim (tg x)cos x .
x→πÁ2, x 0 (b) f 0 6 0 (c) f 0 (x) ≡ 0 (d) f 0 > 0
(e) f 0 < 0
f не убывает ;
⇐⇒
⇐⇒
f не возрастает ;
=⇒
f возрастает ;
f — постоянная ;
⇐⇒
f убывает .
=⇒ 0
J Зададим произвольно точки x , x00 ∈ (a , b) , x0 < x00 . Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существует точка ξ ∈ (x0 , x00 ) такая, что f (x00 ) − f (x0 ) = f 0 (ξ) · (x00 − x0 ) .
(8.1)
1 Неравенства типа f 0 > 0 понимаются в следующем смысле: f 0 (x) > 0 для всех x ∈ [a , b] .
262
Глава 8. Некоторые приложения
Так как x00 −x0 > 0 , то разность f (x00 )−f (x0 ) либо равна нулю, либо имеет тот же знак, что и f 0 (ξ) . Значит, f 0 (ξ) > 0 ⇐⇒ f (x00 ) > f (x0 ) , т. е. в этом случае функция f не убывает. Аналогично f 0 (ξ) 6 0 ⇐⇒ f (x00 ) 6 f (x0 ) , т. е. в этом случае функция f не возрастает. Далее, если f 0 (x) ≡ 0 , то из (8.1) видно, что ∀x00 : f (x00 ) = f (x0 ) , т. е. функция f — постоянная. С другой стороны, из определения производной следует, что производная постоянной функции равна нулю тождественно. И наконец, из (8.1) очевидно, что если f 0 строго положительна (строго отрицательна), то f строго возрастает (строго убывает). I Примеры. 1) Найти число вещественных корней уравнения x5 + 2ex − 7 = 0 .
J Функция y = x5 + 2ex − 7 = 0 дифференцируема на R . Так как y = 5x4 + 2ex > 0 для всех x ∈ R , то данная функция строго возрастает на R . Поэтому уравнение x5 + 2ex − 7 = 0 может иметь не более одного корня. Поскольку lim (x5 + 2ex − 7) = −∞ , 0
x→−∞
lim (x5 + 2ex − 7) = +∞ ,
x→+∞
то в силу теоремы Больцано — Коши ∃x0 ∈ R : x50 + 2ex0 − 7 = 0 . Таким образом, данное уравнение имеет единственный вещественный корень. I 2) Найти интервалы монотонности функции y = x3 − 3x + 2 . J Имеем: y 0 = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) < 0 при x ∈ (−1 , +1) и y 0 > 0 при x ∈ (−∞ , −1) t (1 , +∞) . Применяя теорему 144, заключаем, что данная функция возрастает на (−∞ , −1) и на (1 , +∞) и убывает на (−1 , +1) . I
2. Необходимое условие локального экстремума В главе 7 введено понятие локального экстремума функции f : X −→ R . Теорема Ферма дает необходимое условие того, что внутренe , являняя точка x0 ∈ X , в которой существует производная f 0 (x0 ) ∈ R ется точкой локального экстремума функции f . Для приложений полезно сформулировать необходимое условие в предположениях, несколько отличных от предположений теоремы Ферма.
§ 1. Условия монотонности
263
X
Рис. 51. График функции, имеющей локальные экстремумы
Теорема 145 (необходимое условие экстремума). Если точка x0 ∈ (a , b) является точкой локального экстремума функции f : (a , b) −→ R , то производная f 0 (x0 ) либо не существует, либо b. f 0 (x0 ) = 0 , либо f 0 (x0 ) = ∞ ∈ R Доказательство этой теоремы простое, и мы его опускаем. На рис. 51 показаны возможные особенности графика функции в окрестности точек, где она имеет локальные экстремумы. Критическими точками функции f будем называть все те точки, в которых эта функция, возможно, имеет локальные экстремумы. Кроме точек, о которых сказано в теореме 145, к критическим точкам функции f следует отнести все граничные точки ee области определения. Стационарными точками функции f будем называть все те ее критические точки, которые лежат внутри ее области определения, и в которых производная равна нулю. Если ставится задача исследовать данную функцию на экстремум, то сначала следует найти ее критические точки. Затем, обращаясь к определению 133, следует проверить, является ли та или иная критическая точка точкой экстремума, и если да, то какой именно. В следующем пункте будут установлены теоремы, содержащие достаточные условия наличия или отсутствия локальных экстремумов данной функции в ее стационарных точках.
3. Достаточные условия локального экстремума Теорема 146 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f дифференцируема на некотором интервале, содержащем стационарную точку x0 , и пусть существует такое δ > 0 , что ее произ-
264
Глава 8. Некоторые приложения
водная функция f 0 имеет постоянный знак на каждом из интервалов (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) . Если знаки производной на этих интервалах противоположные, то функция f имеет в точке x0 строгий локальный экстремум, если же эти знаки одинаковые, то функция f не имеет экстремума в точке x0 . J В силу теоремы 144 функция f строго монотонна на каждом из интервалов (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) . Если знаки ее производной на этих интервалах одинаковые, то функция f строго монотонна на интервале (x0 − δ , x0 + δ) , и потому в точке x0 экстремума иметь не может. Если при возрастании переменной x знак производной меняется c плюса на минус, то слева от x0 функция f возрастает, а справа — убывает. Значит, в точке x0 она имеет строгий локальный максимум. Если же знак производной меняется с минуса на плюс, то слева от x0 функция f убывает, а справа — возрастает. Значит, в точке x0 она имеет строгий локальный минимум. I Теорема 147 (второе достаточное условие экстремума). Если f 0 (x0 ) = 0 , а f 00 (x0 ) 6= 0 , то функция f имеет в стационарной точке x0 строгий локальный экстремум (максимум при f 00 (x0 ) < 0 , минимум при f 00 (x0 ) > 0 ). J Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x0 : f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + r2 (x) . 1! 2!
Так как f 0 (x0 ) = 0 , то имеем f (x) − f (x0 ) =
f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + r2 (x) . 2
(8.2)
¡ ¢ Так как r2 (x) = o (x − x0 )2 при x → x0 , а f 00 (x0 ) 6= 0 , то ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 : |r2 (x)|
0 , то будет: f (x) > f (x0 ) , т. e. x0 является точкой минимума. I Теорема 148 (третье достаточное условие экстремума). Пусть f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (k−1) (x0 ) = 0 , а f (k) (x0 ) 6= 0 .
(8.3)
Если число k — нечетное, то в точке x0 функция f не имеет экстремума. Если же число k — четное, то функция f имеет в точке x0 строгий
265
§ 1. Условия монотонности
локальный экстремум. Именно максимум при f (k) (x0 ) < 0 и минимум при f (k) (x0 ) > 0 . J Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 147. Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x0 : f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 ) f (k−1) (x0 ) (x − x0 ) + . . . + (x − x0 )k−1 + k! (k − 1)!
f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rk (x) . k! Согласно (8.3), имеем следующее тождество, аналогичное (8.2): +
f (x) − f (x0 ) =
f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rk (x) . k!
(8.4)
¡ ¢ Так как rk (x) = o (x − x0 )k при x → x0 и f (k) (x0 ) 6= 0 , то ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 : |rk (x)|
0 . I Примеры. 1) Исследовать на экстремум функцию y = 2x3 − 9x2 + 12x + 6 . J Сначала вычисляем производную данной функции: y 0 = 6x2 − 18x + 12 . Приравнивая ее к нулю 6x2 − 18x + 12 = 0 , находим корни (т. е. стационарные точки) x1 = 1 , x2 = 2 . Для дальнейшего исследования вычислим производную второго порядка: y 00 = 12x − 18 . Далее, при x = 1 имеем y 00 = −6 < 0 — максимум, ymax = 11 ; при x = 2 имеем y 00 = 6 > 0 — минимум, ymin = 10 . I
266
Глава 8. Некоторые приложения
2) В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2R единиц, вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Подобрать размеры прямоугольника так, чтобы его площадь стала максимальной. J Пусть 2x — длина основания прямоугольника, а y — его высота. Тогда площадь S этого прямоугольника равна S = 2xy . Легко показать, что y = R − x . Таким образом, площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = 2x · (R − x) , 0 6 x 6 R . Исследуем эту функцию на экстремум: R S 0 = 2R − 4x =⇒ x = . 2 R И наконец, S 00 = −4 < 0 , значит, в точке x = функция S имеет макси2 2 R . I мум, равный Smax = 2 3) Исследовать на экстремум функцию y = cos3 x + sin3 x . J Так как данная функция — периодическая, с основным периодом 2π , то достаточно найти ее экстремумы на любом промежутке длины 2π . Будем искать их на полуинтервале [0 , 2π) . Приравнивая к нулю производную данной функции y 0 = 3 cos2 x · (− sin x) + 3 sin2 x · cos x = 3 sin x · cos x · (sin x − cos x) , находим стационарные точки, лежащие на промежутке [0 , 2π) : sin x = 0 =⇒ x1 = 0 , x2 = π ; π 3π , x4 = ; 2 2 5π π . cos x − sin x = 0 ⇐⇒ tg x = 1 =⇒ x5 = , x6 = 4 4 Итак, стационарные точки следующие: cos x = 0 =⇒ x3 =
0,
π π 5π 3π , , π, , . 4 2 4 2
Исследуем эти точки на экстремум, следя за изменением знака первой производной при возрастании переменного x . При переходе через точку x = 0 производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум. π При переходе через точку x = производная функция меняет знак с 4 минуса на плюс, значит, в этой точке минимум. π производная функция меняет знак с При переходе через точку x = 2 плюса на минус, значит, в этой точке максимум.
267
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
1
π 0
π 4
π 2
5π 4
3π 2
2π
3π 4
−1 Рис. 52. График функции y = sin3 x + cos3 x При переходе через точку x = π производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум. 5π При переходе через точку x = производная функция меняет знак 4 с плюса на минус, значит, в этой точке максимум. 3π производная функция меняет знак При переходе через точку x = 2 с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум. График функции y = cos3 x + sin3 x показан на рис. 52. I
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функции 1. Свойство выпуклости Важным свойством функции y = f (x) является свойство ее графика быть не извилистым (или, как принято говорить, выпуклым.) Желая описать это свойство в точных терминах, рассмотрим сначала выпуклые графики функций, изображенные на рис. 53 и 54. Возьмем на каждом из этих графиков по две точки: A(x1 , f (x1 )) ,
B(x2 , f (x2 )) ,
x1 < x2 ,
и соединим эти точки отрезком прямой (хордой). Мы видим, что над интервалом (x1 , x2 ) график функции f лежит либо ниже (рис. 53), либо выше
268
Глава 8. Некоторые приложения 6A
B
B
A
C x1
x
-
x2
Рис. 53. Выпуклая функция
x1
x2
Рис. 54. Вогнутая функция
(рис. 54) хорды AB . В приводимом ниже определении нам потребуется уравнение хорды AB : y = l(x) ≡
x2 − x x1 − x f (x1 ) + f (x2 ) , x2 − x1 x1 − x2
x1 6 x 6 x2 .
(8.5)
Определение 140. Функция f : X −→ R называется выпуклой вниз (вверх) на интервале (a , b) ⊂ X , если для любых x1 , x , x2 ∈ ∈ (a , b) , для которых x1 < x < x2 , выполняется неравенство f (x) 6 l(x) (соответственно f (x) > l(x) ), где l(x) задается равенством (8.5). Функция f называется строго выпуклой вниз (вверх), если в определении 140 выполняется строгое неравенство: f (x) < l(x) (соответственно f (x) > l(x) ). Функции, выпуклые вниз, часто называются просто выпуклыми, а выпуклые вверх — в´ огнутыми. Ввиду того, что методы изучения выпуклых и вогнутых функций — одинаковые, мы будем подробно изучать только выпуклые функции, а соответствующие утверждения для вогнутых функций можно будет формулировать по аналогии. Перепишем неравенство f (x) 6 l(x) из определения 140 в различных формах. Подставляя в него вместо l(x) правую часть равенства (8.5), получим x2 − x x − x1 f (x) 6 f (x1 ) + f (x2 ) , x1 < x < x2 . (8.6) x2 − x1 x2 − x1
Умножая это неравенство на (x2 − x1 ) , перепишем его в следующем равносильном виде: (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ) + (x1 − x2 )f (x) > 0 .
(8.7)
Отсюда, учитывая, что (x2 − x1 ) = (x2 − x) + (x − x1 ) , получаем такое неравенство: (x2 − x)[f (x1 ) − f (x)] + (x − x1 )[f (x2 ) − f (x)] > 0 ,
(8.8)
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
269
равносильное следующему: f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) . 6 x − x1 x2 − x
(8.9)
Геометрический смысл этого последнего неравенства легко усмотреть из рис. 53. Обозначая C(x , f (x)) , x1 < x < x2 , видим, что неравенство (8.9) выражает тот факт, что угловой коэффициент хорды AC не превосходит углового коэффициента хорды CB . Теорема 149. Пусть функция f дифференцируема на интервале (a , b) . Выпуклость функции f вниз (вверх) равносильна неубыванию (невозрастанию) еe производной функции f 0 . Если f 0 строго возрастает (строго убывает), то функция f строго выпукла вниз (вверх). J Предположим для определенности, что функция f выпукла вниз. Тогда для любых x1 , x , x2 ∈ (a , b) , x1 < x < x2 , справедливо неравенство (8.9). Переходя в нем к пределу при x → x1 , x > x1 , получим f 0 (x1 ) 6
f (x2 ) − f (x1 ) . x2 − x1
(8.10)
Аналогично из (8.9) в пределе при x → x2 , x < x2 находим: f (x2 ) − f (x1 ) 6 f 0 (x2 ) . x2 − x1
(8.11)
Из неравенств (8.10) и (8.11) следует, что f 0 (x1 ) 6 f 0 (x2 ) , т. е. производная функция f 0 не убывает. Обратно, предположим, что производная функция f 0 не убывает. Задавая произвольно точки x1 , x , x2 ∈ (a , b) , x1 < x < x2 и применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существуют точки ξ ∈ (x1 , x) и η ∈ (x , x2 ) такие, что f (x) − f (x1 ) = f 0 (ξ) , x − x1
f (x2 ) − f (x) = f 0 (η) . x2 − x
(8.12)
Так как ξ < η , то в силу неубывания производной будет f 0 (ξ) 6 f 0 (η) , и потому из (8.12) вытекает (8.9). Таким образом, функция f выпукла. Если же f 0 строго возрастает, то будет f 0 (ξ) < f 0 (η) , поэтому и неравенство (8.9) будет строгим. I Теорема 150. Предположим, что на интервале (a , b) существует вторая производная функция f 00 от функции f. Выпуклость вниз (вверх) функции f на (a , b) равносильна тому, что ∀x ∈ (a , b) выполнено неравенство f 00 (x) > 0 (соответственно f 00 (x) 6 0 ). Если неравенство — строгое, то и выпуклость — строгая.
270
Глава 8. Некоторые приложения
J Согласно теореме 149, выпуклость функции f равносильна монотонности ее производной f 0 . В силу теоремы 144 монотонность производной функции f 0 равносильна выполнению одного из неравенств: f 00 > 0 или f 00 6 0 . Если соответствующее неравенство для f 00 — строгое, то и монотонность функции f 0 будет строгой, а значит, и выпуклость функции f будет строгой. I Примеры. 1. Исследовать на выпуклость показательную y = ax и логарифмическую y = loga x функции. d2 x J Так как a = ax (ln a)2 > 0 , то показательная функция строго dx2 выпукла вниз. d2 1 Так как вторая производная loga x = − 2 отрицательна при dx2 x ln a a > 1 и положительна при 0 < a < 1 , то логарифмическая функция строго выпукла вверх при a > 1 и строго выпукла вниз при 0 < a < 1 . I 2. Исследовать на выпуклость функцию y = sin x на интервале (0 , 2π) . d2 sin x = − sin x отрицательна при J Так как вторая производная dx2 0 < x < π и положительна при π < x < 2π , то функция sin строго выпукла вверх на интервале (0 , π) и строго выпукла вниз на интервале (π , 2π) . I Теорема 151. Для любой дифференцируемой функции f :
(a , b) −→ R
равносильны следующие утверждения: (a) функция f строго выпукла вниз (вверх); (b) график функции f лежит выше (ниже) любой касательной к нему, исключая точку касания. J Предположим, что f строго выпукла вниз (рис. 55 a ). Символами ykr и ykas обозначим соответственно ординату кривой y = f (x) и ординату касательной y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) к этой кривой в точке (x0 , f (x0 )) . Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, преобразуем разность между этими ординатами: ykr − ykas = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 ) · (x − x0 ) = [f 0 (ξ) − f 0 (x0 )](x − x0 ) , причем ξ лежит между x и x0 . Если x > x0 , то x > ξ > x0 , и f 0 (ξ) − f 0 (x0 ) > 0 в силу теоремы 149. Таким образом, ykr − ykas > 0 , т. е. ykr > ykas . Это же неравенство сохраняется и при x < x0 . Предположим теперь, что график функции f лежит выше любой касательной к нему, исключая точку касания. Возьмем на графике две точки:
271
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
a
б
Рис. 55. К теореме 151
A(x1 , f (x1 )) и B(x2 , f (x2 )) , где x1 < x2 . По условию точка B лежит выше касательной, проведенной в точке A , а точка A лежит выше касательной, проведеной в точке B . В результате оказывается, что касательные расположены так, как показано на рис. 56. Поэтому их угловые коэффициенты связаны неравенством: f 0 (x1 ) < f 0 (x2 ) . Таким образом, f 0 строго возрастает, и в силу теоремы 149 функция f строго выпукла вниз. Аналогично можно рассмотеть случай, когда функция f строго выпукла вверх (рис. 55 б). I
2. Неравенство Иенсена и его применения Теорема 152 (неравенство Иенсена2 ). Если на интервале (a , b) функция f выпукла вниз, то для любых точек x1 , . . . , xn ∈ ∈ (a, b) и любых чисел α1 , . . . , αn ∈ [0 , 1] таких, что α1 + . . . + αn = = 1 , выполняется неравенство f (α1 x1 + . . . + αn xn ) 6 α1 f (x1 ) + . . . + αn f (xn ) .
(8.13)
J Покажем сначала, что в условиях теоремы будет α1 x1 + . . . + αn xn ∈ (a , b) .
(8.14)
С этой целью запишем неравенства a < x1 < b , . . . , a < x n < b . Умножая первое из них на α1 ∈ [0 , 1] , . . . , последнее — на αn ∈ [0 , 1] и складывая полученные неравенства с учетом того, что α1 + . . . + αn = 1 , 2 Иенсен
Иоган Людвиг (1859—1925) — датский математик.
272
Глава 8. Некоторые приложения
имеем a < α1 x1 + . . . + αn xn < b , что равносильно включению (8.14). Теперь применим индукцию по числу n ∈ N . При n = 1 неравенство (8.13) тривиально: f (x1 ) = = f (x1 ) . В случае n = 2 оно вытекает из неравенства (8.6). В самом деле, полагая в (8.6) α1 =
x2 − x x − x1 ; α2 := , x2 − x1 x2 − x1
6
B
y2
y1
где x1 6 x 6 x2 , имеем
A x1
x2
-
0 6 α1 6 1 ; 0 6 α2 6 1 ; α1 + α2 = 1 ; Рис. 56. К теореме 151 x − x1 x2 x1 − xx1 + x2 x − x2 x1 x2 − x x1 + x2 = = x. x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 Таким образом, неравенство (8.6) равносильно такому α1 x1 + α2 x2 =
f (α1 x1 + α2 x2 ) 6 α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) . Предположим теперь, что n > 2 , и пусть выполняется такое неравенство: f (α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 ) 6 α1 f (x1 ) + . . . + αn−1 f (xn−1 ) ,
(8.15)
которое получается из (8.13) при αn = 0 . Введем следующее обозначение: β := α1 + . . . + αn−1 . Если β = 0 , то α1 = . . . = αn−1 = 0 , αn = 1 , и в этом случае неравенство (8.13) очевидно. Если же β 6= 0 , то, используя уже доказанную часть теоремы, имеем f (α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 + αn xn ) = µ ¶ α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 + αn xn 6 =f β· β ¶ µ α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 + αn xn 6 6 β·f β µ ¶ αn−1 α1 6β· f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ) + αn f (xn ) = β β
= α1 f (x1 ) + . . . + αn−1 f (xn−1 ) + αn f (xn ) . I
273
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
Замечания. 1. Отметим, что строгой выпуклости соответствует строгое неравенство Иенсена, т. е. если среди чисел α1 , . . . , αn по меньшей мере два отличны от нуля, то знак равенства в неравенстве (8.13) имеет место только при x1 = . . . = xn . 2. Для функции, выпуклой вверх, неравенство Иенсена имеет следующий вид: (8.16)
f (α1 x1 + . . . + αn xn ) > α1 f (x1 ) + . . . + αn f (xn ) .
Рассмотрим примеры на применение неравенства Иенсена. 1) Функция ln : R+ −→ R строго выпукла вверх, поэтому в силу (8.16) должно выполняться следующее неравенство: α1 ln x1 + . . . + αn ln xn 6 ln(α1 x1 + . . . + αn xn ) , равносильное следующему: αn 1 xα 1 · . . . · xn 6 α1 x1 + . . . + αn xn ,
(8.17)
где x1 , . . . , xn ∈ R+ , α1 , . . . , αn ∈ [0 , 1] , α1 + . . . + αn = 1 . Отсюда при α1 = . . . = αn = √ n
1 получаем классическое неравенство n
x1 · . . . · xn 6
x1 + . . . + xn , n
связывающее среднее геометрическое со средним арифметическим. Знак равенства в этом неравенстве возможен только при x1 = . . . = xn . Полагая в (8.17) n = 2,
α1 :=
1 , p
α2 :=
1 , q
p > 1,
1 1 + = 1, p q
x1 = a ,
получаем неравенство Юнга a1Áp · b1Áq 6
a b + . p q
2) Пусть f (x) = xp , x ∈ R+ , p ∈ (1 : +∞) . Поскольку f 00 (x) = p · (p − 1) · xp−2 > 0 ,
x2 = b ,
274
Глава 8. Некоторые приложения
то функция f строго выпукла вниз. Поэтому имеем неравенство !p à n n X X αk · xpk , αk xk 6 k=1
k=1
равносильное следующему: n X
αk xk 6
k=1
Ã
n X
k=1
αk ·
xpk
!1Áp
.
Полагая здесь p , q := p−1
1 1 + = 1, p q
bq αk := P k
q k bk
,
xk :=
P
q k bk 1Á(p−1) bk
ak
,
получим классическое неравенство Гёльдера3 !1Áq à n !1Áp à n n X q X X p . · bk ak · b k 6 ak k=1
k=1
k=1
3. Точки перегиба Будем рассматривать непрерывные функции f : (a , b) −→ R , накладывая на них те или иные дополнительные ограничения. Определение 141. Точка (x0 , f (x0 )) называется точкой перегиба (графика) функции f , если существует окрестность (x0 − δ , x0 + δ) такая, что сужения функции f на интервалы (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) — выпуклые функции с противоположными направлениями выпуклости. Замечание. На рис. 58 показаны графики функций, имеющие точки перегиба. Излагаемые ниже теоремы содержат условия, при выполнении которых та или иная точка графика является точкой перегиба.
Теорема 153 (необходимое условие перегиба). Если (x0 , f (x0 )) — точка перегиба графика функции f , то либо f 0 (x0 ) e , либо конечного значения не существует, либо f 0 (x0 ) = ±∞ ∈ R 00 00 f (x0 ) не существует, либо f (x0 ) = 0. 3 Гёльдер
Людвиг Отто (1859—1937) — немецкий математик.
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
275
Рис 57. Графики, на которых имеются точки перегиба
J Согласно определению 141 существует окрестность (x0 − δ , x0 + δ) такая, что направления выпуклости функции f на интервалах (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) — противоположные. По теореме 149 производная функция f 0 монотонна на каждом из этих интервалов, причем характер монотонности — противоположный. Значит, если в точке x0 производная функция f 0 определена, то она там имеет экстремум. Экстремальное значение производной может быть бесконечным, т. е. возможно, что f 0 (x0 ) = +∞ , либо f 0 (x0 ) = −∞ . Если экстремальное значение функции f 0 является числом, то в силу необходимого условия внутреннего локального экстремума должно быть: либо конечного значения f 00 (x0 ) не существует, либо f 00 (x0 ) = 0 . I Замечание. Необходимое условие перегиба не является достаточным. Например, функция y = x4 , график которой показан на рис. 58, строго выпукла всюду на R , однако ¯ d2 4 x = 4 · 3 · x2 ¯x=0 = 0 . 2 dx
Теорема 154 (первое достаточное условие перегиба). Если в окрестности точки x0 функция f дважды дифференцируема, f 00 (x0 ) = 0, а справа и слева от точки x0 функция f 00 имеет постоянные, притом противоположные знаки, то (x0 , f (x0 )) — точка перегиба. J Выберем δ > 0 настолько малым, чтобы сужения функции f 00 на интервалы (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) сохраняли знак. По теореме 150 сужения функции f на эти интервалы — выпуклые функции. Так как знаки функции f 00 на этих интервалах — противоположные, то и направления выпуклости — противоположные. Значит, (x0 , f (x0 )) —
276
Глава 8. Некоторые приложения
точка перегиба. I Теорема 155 (второе достаточное условие перегиба). Пусть f 00 (x0 ) = . . . = f (k) (x0 ) = 0 , а f (k+1) (x0 ) 6= 0 . Точка (x0 , f (x0 ) является точкой перегиба при k четном, и не является точкой перегиба при k нечетном. J Разложим функцию f 00 по формуле Тейлора в окрестности точки x0 f 00 (x) = = f 00 (x0 )+. . .+
f (k) (x0 ) f (k+1) (x0 ) (x−x0 )k−2 + (x−x0 )k−1 +rk−1 (x) . (k − 2)! (k − 1)!
Отбрасывая здесь равные нулю слагаемые, получим f (k+1) (x0 ) (x − x0 )k−1 + rk−1 (x) . (k − 1)! ¡ ¢ Так как rk−1 (x) = o (x − x0 )k−1 при x → x0 , то f 00 (x) =
(8.18)
∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 :
¯ ¯ ¯ ¯ f (k + 1)(x0 ) (x − x0 )k−1 ¯¯ . |rk−1 (x)| < ¯¯ (k − 1)!
−1
− 12
0
1 2
1
Рис. 58. График функции y = x4
Таким образом, f 00 в окрестности точки x0 имеет тот же знак, что и первое слагаемое правой части равенства (8.18). Но очевидно, что это первое слагаемое меняет знак при k четном и не меняет знака при k нечетном. Поэтому при k четном перегиб есть, а при k нечетном его нет. I
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
277
4. Асимптоты Об асимптотах графика функции f : X −→ R, X ⊂ R , имеет смысл говорить только тогда, когда этот график не является ограниченным подмножеством плоскости. Последнее в свою очередь имеет место только тогда, когда по меньшей мере одно из множеств X , f (X) не является ограниченным подмножеством числовой оси. Самая грубая классификация асимптот — это подразделение их на наклонные (рис. 59 a) и вертикальные (рис. 59 б), и мы их рассмотрим отдельно. Определение 142. (a) Прямая с уравнением y = kx + b называется правой наклонной асимптотой графика функции f : X −→ R , если множество X не ограничено сверху, и выполняется следующее равенство: lim[f (x) − (kx + b)] = 0 при x → +∞ , x ∈ X .
(8.19)
(b) Прямая с уравнением y = kx+b называется левой наклонной асимптотой графика функции f : X −→ R , если множество X не ограничено снизу, и выполняется следующее равенство: lim[f (x) − (kx + b)] = 0 при x → −∞ , x ∈ X .
(8.20)
Задача нахождения правой наклонной асимптоты решается следующей теоремой (аналогичное утверждение справедливо и для левой наклонной асимптоты). Теорема 156. Существование у графика функции f : X −→ R правой наклонной асимптоты равносильно неограниченности сверху множества X и существованию следующих двух конечных пределов: k := lim
f (x) , b := lim[f (x) − k · x] при x → +∞ , x ∈ X . (8.21) x
J Теорема вытекает из того, что равенство (8.19) равносильно равенствам (8.21). I Возможны случаи, когда график функции f : X −→ R имеет асимптоты с уравнением x = x0 (вертикальные). Поиск вертикальных асимптот сводится к поиску предельных точек x0 множества X
278
Глава 8. Некоторые приложения
a
б
Рис. 59. Графики, имеющие наклонные и вертикальные асимптоты
таких, что при x → x0 , x ∈ X , x 6= x0 выполняется одно из следующих трех равенств: lim f (x) = ∞ ; lim f (x) = +∞ ; lim f (x) = −∞ .
√ x2 + x4 + 1 Пример. Найти асимптоты графика функции y = + 1. x J Имеем ¶ µ 2 √ 4 x + x +1 1 = 2; + k = lim x→∞ x2 µ x2 √ 4 ¶ x + x +1 b = lim (y − 2x) = lim + 1 − 2x = x→∞ x→∞ x √ x4 + 1 − x2 + 1 = 1. = lim x→∞ x Отсюда находим уравнение наклонной асимптоты y = 2x + 1 . ¶ µ 2 √ 4 x + x +1 Так как lim + 1 = ∞ , то существует и вертикальная x→0 x асимптота с уравнением x = 0 . I
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты
279
Задачи к главе 8 8.1. Используя методы дифференциального исчисления, построить графики следующих алгебраических функций: a) y =
x2 − 2x + 1 ; x2 + 1
c) y =
2x ; (3 − x2 )(5 − x2 )
e) y =
1 1 − ; x2 (x − 1)2
x3 − 9x ; 10 4x − 5x3 + x5 i) y = ; 10 1 1 1 k) y = − + ; x x−1 x−2 r 4 2 3 x − 2x m) y = ; x−1 g) y =
3x − 2 ; 5x2 √ q) y = x2 x + 1; o) y =
s) y =
√
u) y =
√ 3
x3 − 2x2 + x; 3x2 − x3 ;
w) y = 1 − x + y) y =
√ 3
x3 ; x+1
x3 − x2 − x + 1;
a0 ) y = x + c0 )y =
r
p 3
2 − x2 ; 1 + x4
x(x + 3)2 ;
b) y =
1 1 1 + + ; x x−1 x−2
2x ; x2 − 1 p 10 3 (x − 1)2 f) y = ; x2 + 9 d) y = x +
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) ; 24 x j) y = ; 3 − x2 2 l) y = ; (3 − x2 )(5 − x2 ) √ x 1−x n) y = ; 1+x p 10 3 (x − 1)2 p) y = ; x2 + 9 √ r) y = x4 − x6 ; r x5 + 5x4 ; t) y = 16 r 4 2 3 x − 2x ; v) y = x+1 r 4 x +3 x) y = ; x2 + 1 2 ; z) y = x − 4 + x+1 µ ¶4 1+x b0 ) y = x2 + ; 1−x r 2 x 3 d0 ) y = . x−3 h) y =
280
Глава 8. Некоторые приложения 8.2. Используя методы дифференциального исчисления, построить графики следующих трансцендентных функций: a) y =
cos 2x ; cos x 2
c) y = e−1Áx ; 2
e) y = e−x ; g) y =
tg 3x ; tg x 2
i) y = e1Áx ; k) y =
1 1 cos 2x + cos 3x; 2 3 √ 2 d) y = arcsin x − 1 − x ; b) y = cos x +
1 1 f) y = sin x + sin 2x + sin 3x; 2 3 (p x − ln(1 + x) при x > 0 , p h) y = − x − ln(1 + x) при x 6 0 ; j) y = sin x + cos2 x;
x ln x ; x2 − 1
l) y = sin x +
1 sin 3x; 3
m) y = 2x − tg x;
sin x ; o) y = sin(x + π4 )
n) y = sin x · sin 3x; √ √ p) y = x2 + 1 · ln(x + x2 + 1);
q) y = x arctg x;
r) y = arcsin
s) y = sin x2 ; u) y =
sin x ; 2 + cos x 2
w) y = e2x−x ; y) y = x2Á3 e−x ; a0 ) y =
x ; 1 + e1Áx
c0 ) y = e−2x sin2 x;
2x ; 1 + x2 1−x t) y = arccos ; 1 − 2x v) y = sin4 x + cos4 x; 2
x) y = (1 + x2 ) · e−x ; µ ¶ 3 z) y = arccos − sin x ; 2 b0 ) y = (7 + 2 cos x) sin x; d0 ) y = arctg (log2 (cos(x − πÁ4))).
8.3. Доказать следующие неравенства: a) 1 + ln(1 + x) 6 ex ; b) ln(1 + x) 6 x ; x c) ln(1 + x) > при x > 0 ; x+1 x2 6 cos x ; d) 1 − 2
281
§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты 2 π · x при 0 6 x 6 ; π 2 f) arctg |x| 6 |x| ; √ √ √ g) n x − n y 6 n x − y при x > y > 0 ; x x−y x−y < ln < при x > y > 0 . h) x y y 8.4 Исследовать на экстремум следующие функции: e) sin x >
a) y = xm (1 − x)n , где m , n ∈ N ; b) y = cos x + ch x ; c) y = (x + 1)10 · e−x ;
x2 xn + ... + ) · e−x ; 2! n! e) y = x1Á3 · (1 − x)2Á3 ; µ ¶ 2 − x2 · 2 + sin 1 при x 6= 0 , x f) y = 0 при x = 0 ; ( 2 e−1Áx при x 6= 0 , g) y = 0 при x = 0 ; ( 2 x · e−1Áx при x 6= 0 , h) y = 0 при x = 0 .
d) y = (1 + x +
;
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(x1 , x2 , . . . , xn , . . . ), 81 (xn ), 81 (xn )∞ n=1 , 81 −∞ , +∞ , 63 :=, 5 C , 66 ⇔ , 10 ⇐⇒ , 6 =⇒ , 6 N , 31 Q , 40 Q+ , 49 Q+ , Q− , 53 R , 20, 56 Re , Im , 68 ⇒ , 10 Z, T 37 S, 7 ,7 J, 6 I, 6 ◦ µ, 19 ¶ n , 35 k Â, 7 ≡ , 18 ∅, 6 ∃, 15 ∃x ∈ X : P (x), 15 ∀, 15
∀x ∈ X : P (x), 15 Id, 20 ∈ , 3, 5 inf , 63 . . ., 5 lim , 82 n→∞ ←→ , 31 7−→ , 17 −→ , 17 max , min , 38 6= , 6 6∈ , ∈, 5 def ⇐⇒ , 40 ⊂, 6 $, 6 ∞ P cn , 111 n=1
sup, 63 ⊃, 6 ∨, 10 ∧, 9 b , 75 C b , 75 R e , 63 R f |A , f | A , 17
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. Х., 38, 135 Адамар Ж. С., 252 Архимед, 36 Бернулли, 34 Бертран Ж. Л. Ф., 128 Больцано Б., 104 Борель Э., 101 Буняковский В. Я., 70 Ван-Дер-Варден Б. Л., 206 Вейерштрасс К., 104 Венн Д., 8 Гёльдер Л. О., 274 Гаусс К. Ф., 129 Гейне Г. Э., 101 Даламбер Ж. Л., 123 Дарбу Ж. Г., 237 Дедекинд Р., 57 Дирихле П. Г. Л., 137
Лейбниц Г. В., 133 Лопиталь Г. Ф. А., 242 М´орган де, 12 Маклорен К., 250 Мертенс, 145 Ньютон И., 35 Пеано Д., 247 Пифагор, 47 Раабе Й. Л. , 128 Риман Б., 141 Ролль М., 238 Тейлор Б., 246 Ферма П., 236 Харди Г. Х., 90 Шварц К. Г. А., 70
Иенсен И. Л., 271
Эйлер Л., 8
Коши О. Л., 97 Куммер Э. Э., 126
Юнг, 273
Лагранж Ж. Л., 239 Ландау Э. Г. Г., 90 Лебег А., 4
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аргумент комплексного числа, 68 Асимптоты, 277 — вертикальные, 277 — наклонные, 277 Ассоциативность, 39 База топологии, 73 Бинарная операция, 24 Булеан, 73 Варианта, 127 Верхняя граница, 63 Вещественная часть, 68 Внутренность, 75 Высказывание, 8 — истинное, 9 — ложное, 9 Высказывания — значение истинности, 9 — отрицание, 9 Граница, 77 Группа, 24 — абелева, 38 — конечная, 24 Делители нуля, 39 Диаграмма Эйлера — Венна, 7 Диаграммы, 17 Дизъюнкция, 9
Дистрибутивность, 39 Дифференциал, 203 — порядка n , 232 Дифференцирование, 202 — логарифмическое, 224 — неявно заданных функций, 225 — параметрически заданных функций, 224 Доказательство — «от противного», 12 — методом индукции, 34 — по круговой схеме, 13 Достаточные условия экстремума, 264 Дробь — десятичная бесконечная, 45 — десятичная конечная, 45 — непериодическая, 45, 59 — обыкновенная, 39 — периодическая, 45 — цепная, 106 Естественная область опредeления, 190 Замкнутый шар, 72 Замыкание, 77 Изоморфизм полей, 67
Предметный указатель Импликация, 10 Инвариантность формы дифференциала, 219 Интервал, 62 Касательная, 209 — вертикальная, 211 — левая, 213 — наклонная, 211 — правая, 213 Квантор, 15 — общности, 15 — существования, 15 Колебание функции, 165 Кольцо, 39 — без делителей нуля, 39 — коммутативное, 39 — с единицей, 39 Коммутативность, 39 Компактность, 101 Комплексная плоскость, 68 Комплексных чисел — алгебраическая форма записи, 67 — геометрическое представление, 68 — показательная форма записи, 258 — тригонометрическая форма, 69 Конгруэнтность, 29 Конъюнкция, 9 Координата точки, 61 Критерий, 13 — Коши, 97, 116, 165 — компактности в R , 102 — непрерывности функции, 183
285 Лемма — Гейне — Бореля о покрытиях, 101 — о вложенных отрезках, 100 Логарифмы — десятичные, 186 — натуральные, 93, 186 Луч, 62 Мантисса, 44 Метрика, 71 Мнимая единица, 67 Мнимая часть, 68 Множеств — включение, 6 — объединение, 7 — пересечение, 7 — равенство, 6 — разность, 7 Множества — дизъюнктные , 77 — мощность, 31 — равномощные, 30 — элемент, 5 Множество, 5 — бесконечное, 63 — замкнутое , 76 — компактное, 102 — конечное, 31 — несчетное, 63 — ограниченное, 63 — ограниченное сверху, 63 — ограниченное снизу, 63 — открытое, 73 — относительно открытое, 183 — пустое, 6 — связное, 196 — счетное, 63
286 — числовое, 61 Модуль, 37 — вещественного числа (сечения), 53 — комплексного числа, 68 — рационального числа, 43 Необходимое условие экстремума, 263 Неопределенные выражения, 89 Непрерывность, 170 Неравенство — Абеля, 136 — Бернулли, 34 — Гёльдера, 274 — Иенсена, 271 — Коши — Буняковского — Шварца, 70 — Юнга, 273 — треугольника, 38, 43, 69 Нижняя граница, 63 Область истинности предиката, 14 Область определения предиката, 14 Образ, 18 Окрестность, 76 — проколотая, 244 Операция — умножения, 38 Остаточный член, 246 — в форме Коши, 250 — в форме Лагранжа, 250 — в форме Пеано, 247 — глобальная форма, 249 Ось — вещественная, 68
Предметный указатель — мнимая, 68 — числовая, 46 Открытый шар, 72 Отношение — порядка, 33 Отображение, 16 — биективное, 20 — инъективное, 20 — обратное, 20 — постоянное, 18 — сюръективное, 20 — тождественное, 20 Отображений — композиция, 19 Отображения — график, 17 — область значений, 16 — область определения, 16 — продолжение, 17 — сужение, 17 Отрезок, 62 Параметр, 185 Перегиба — достаточные условия, 275 — необходимое условие, 275 Перестановка членов ряда, 139 Период, 25 — основной, 26 Подмножество, 6 — собственное, 6 Подпокрытие, 100 Подполе, 67 Подпоследовательность, 104 Подпространство, 72 Покрытие, 100 — открытое, 100 Поле, 40
287
Предметный указатель — вещественных чисел, 56 — комплексных чисел, 66 — рациональных чисел, 42 Полнота, 97 — метрического пространства, 99 Полуинтервал, 62 Последовательности — верхний предел, 95 — нижний предел, 95 — предел, 82 — член, 81 Последовательность, 81 — Коши, 97 — бесконечно большая, 87 — бесконечно малая, 87 — вещественная, 81 — комплексная, 81 — расходящаяся, 83 — сходящаяся, 82 — фундаментальная, 97 — функциональная, 81 — числовая, 81 Правило — Лопиталя, 242 — знаков, 53 — мнемоническое, 68 — цепное, 218 Предел — второй замечательный, 92 — первый замечательный, 156 — последовательности, 82 — функции, 151 Предикат, 14 — двухместный, 14 — одноместный, 14 Преобразование Абеля, 135 Признак
— Абеля, 138 — Бертрана, 128 — Гаусса, 129 — Даламбера, 123 — Дирихле, 137 — Коши, 122 — Куммера, 126 — Лейбница, 133 — Раабе, 128 — сравнения, 118 — сравнения отношений, 120 — сравнения степенной, 122 Принцип полной индукции, 34 Произведение, 38 — декартово, 8 Произведение рядов, 144 Производная, 203 — бесконечная, 210 — вектор-функции, 207 — конечная, 204 — односторонняя, 213 — порядка n , 226 — функции комплексного переменного, 208 — функция, 226 Промежуток, 61 Прообраз, 19 — полный, 19 Пространство — метрическое, 71 — отделимое, 72 — связное, 196 — топологическое, 73 Пучок прямых, 209 Равенство — сечений, 50 Радиус-вектор, 68
288 Разpывность, 170 Разрыв — 1-го рода, 173 — 2-го рода, 174 — устранимый, 173 Рекуррентность, 11 Рекурсивность, 11 Рекурсия, 11 Рефлексивность, 30 Ряд, 111 — Тейлора, 253 — абсолютно сходящийся, 130 — биномиальный, 255 — вещественный, 132 — гармонический, 116 — геометрический, 112 — знакопеременный, 133 — знакочередующийся, 133 — комплексный, 132 — логарифмический, 255 — обобщенный гармонический, 120 — положительный, 117 — расходящийся, 112 — степенн´oй, 252 — строго положительный, 117 — сходящийся, 112 — условно сходящийся, 132 — функциональный, 252 — числовой, 111 Ряда — группировка членов, 115 — необходимый признак сходимости, 116 — остаток, 111 — отрезок, 111 — сумма, 112 — частичная сумма, 111
Предметный указатель — член, 111 Свойство — Архимеда, 36 — выпуклости, 268 — глобальное, 177 — линейной упорядоченности, 33, 50 — локальное, 176 — непрерывности, 57 — отделимости, 72 — плотности, 44, 51 — полной упорядоченности, 34 — полноты, 57 — сплошности, 57 — топологическое, 199 — транзитивности, 34, 44 Семейство, 6 Сечение, 48 Символ — Ландау, 90 — Харди, 90 — биективного отображения, 30 Симметризация, 36 Симметричность, 30 Скорость, 213 Сумма, 38 Сфера, 72 Сходимости — интервал, 253 — круг, 253 — область, 252 — радиус, 252 Таблица — истинности, 11 — производных, 222 Тавтология, 12
Предметный указатель Теорема — Больцано — Коши, 178 — Вейерштрасса, 180 — Дарб´ у, 237 — Дедекинда, 57 — Коши, 240 — Лагранжа, 239 — Мертенса, 145 — Пифагора, 47 — Римана об условно сходящихся рядах, 141 — Ролля, 238 — Ферма, 236 Топология, 73 — дискретная, 73 — естественная, 74 — тривиальная, 73 Точка — внешняя, 77 — внутренняя, 75 — граничная, 77 — изолированная, 77 — критическая, 263 — перегиба, 274 — предельная, 77 — прикосновения, 77, 151 — стационарная, 263 — экстремума, 236 Точная верхняя граница, 63 Точная нижняя граница, 63 Транзитивность, 6, 30 Упорядоченная пара, 65 Условия монотонности функций, 261 Фактор-множество, 30 Факториал, 35 Формула
289 — Коши — Адамара, 252 — Лейбница, 230 — Маклорена, 250 — Тейлора, 246 — Эйлера, 258 — алгебры высказываний, 10 — бинома Ньютона, 35 Функции — гиперболические, 191 — график, 21 — обратные гиперболические, 192 — обратные тригонометрические, 188 — основные элементарные, 185 — тригонометрические, 188 Функция, 20, 151 — C -дифференцируемая, 208 — Ван-дер-Вардена, 206 — Дирихле, 175 — Римана, 175 — алгебраическая, 279 — аналитическая, 208 — бесконечно большая, 160 — бесконечно малая, 157 — вещественного переменного, 151 — вогнутая, 268 — выпуклая, 268 — дифференцируемая, 202 — дробная рациональная, 185 — дробно-линейная, 186 — квадратичная, 185 — комплексного переменного, 151 — линейная, 185 — логарифмическая, 186 — монотонная, 22
290 — — — — — — — — — — — — —
непрерывная, 170 нечетная, 25 обратная, 22 периодическая, 25 показательная, 186 постоянная, 185 равномерно непрерывная, 181 разрывная, 172 строго монотонная, 22 трансцендентная, 280 целая рациональная, 185 четная, 24 элементарная, 189
Число, 29 — p -адическое, 57 — алгебраическое, 93 — вещественное, 56 — гиперкомплексное, 57 — действительное, 56 — иррациональное, 56, 58 — компл´ексное, 65 — комплексно сопряженное, 68 — натуральное, 31 — рациональное, 40 — трансцендентное, 93 — целое, 37 — чисто вещественное, 68 — чисто мнимое, 68 Эквивалентности — класс, 30 — отношение, 29 Эквиваленция, 10 Экспонента, 93 Экстремумы, 236 Элементарная функция, 190
Предметный указатель
ЛИТЕРАТУРА
1. Зорич В. А. Математический анализ. М., 1997—1998. Ч. I—II. 2. Толстов Г. П. Элементы математического анализа. М., 1974. Т. I—II. 3. Рудин У. Основы математического анализа. М., 1966. 4. Спивак М. Математический Волгоград, 1996.
анализ
на
многообразиях.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб., 1997. Т. I—III. 6. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. М., 1968. Т. I—II. 7. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М., 1985. 8. Никольский С. М. Курс математического анализа. М., 1990—1991. Т. I—II. 9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М., 1988—1989. Т. 1—3. 10. Демидович Б. П. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1998.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ § 1 Множества: отношения и операции . . . . . . . . . . . § 2 Некоторые сведения из математической логики . . . 1 Высказывания и операции над ними . . . . . . . . . 2 Формулы алгебры высказываний и их применения 3 Предикаты и кванторные операции над ними . . . § 3 Первоначальные сведения об отображениях . . . . . . 1 Отображение, его график, сужение и продолжение 2 Образы и прообразы множеств при отображениях 3 Композиция отображений. Обратное отображение 4 Числовые функции и способы их задания . . . . . 5 Монотонные функции. Обратные функции . . . . . 6 Четные, нечетные и периодические функции . . . . Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Глава 2. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ § 1 Натуральные, целые, рациональные числа . . . . . . . . 1 Отношение эквивалентности, классы эквивалентности 2 Мощность множества. Целые положительные числа 3 Отношение порядка на множестве N . . . . . . . . . 4 Построение кольца всех целых чисел . . . . . . . . . 5 Построение множества всех рациональных чисел . 6 Арифметические операции над рациональными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Отношение порядка на множестве Q . . . . . . . . .
3 5 8 8 10 14 16 16 18 19 20 22 23 26
29 29 30 33 36 39 40 42
293
Оглавление 8 Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Изображение рациональных чисел точками числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Вещественные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Сечения Дедекинда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Множество R всех вещественных чисел и его полнота 3 Числовые множества и их границы . . . . . . . . . . § 3 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4 Элементы общей топологии . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . 2 Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 46 48 48 56 61 65 71 71 73 78
Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ § 1 Последовательности и их пределы . . . . . . . . . . . . 81 1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2 Общие свойства пределов. Предел и арифметические операции . . . . . . . . . . 84 3 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 § 2 Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы . . 90 1 Предел и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2 Нижний и верхний пределы последовательности . . 95 3 Критерий Коши. Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . 97 § 3 Компактность числовых множеств . . . . . . . . . . . . 99 Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ § 1 Числовые ряды, их сходимость и расходимость 1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . 2 Некоторые операции над рядами . . . . . . . 3 Критерий Коши и его следствия . . . . . . . § 2 Признаки сходимости и расходимости . . . . . 1 Критерий сходимости и признаки сравнения 2 Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . 3 Признаки Коши и Даламбера . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
111 111 114 116 117 117 120 122
294
Оглавление 4 Другие признаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Исследование на сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Абсолютная и условная сходимость числовых рядов 2 Признак Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Преобразование Абеля. Неравенства Абеля . . . . . 4 Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов . . . . § 4 Перестановки членов ряда. Умножение рядов . . . . . . 1 Понятие о перестановке членов ряда . . . . . . . . . 2 Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов . 3 Перестановки членов условно сходящихся рядов . . 4 Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3
Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1 Пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Общие свойства пределов функций . . . . . . . . . . 3 Предел и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Предел и арифметические операции . . . . . . . . . . 5 Пределы монотонных функций . . . . . . . . . . . . . 6 Предел композиции функций . . . . . . . . . . . . . . 7 Критерий Коши существования предела функции . . 8 Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов . . . . . . . . . . . § 2 Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Понятие непрерывной и разрывной функций в точке 2 Точки разрыва и их классификация . . . . . . . . . . 3 Функция Дирихле и функция Римана . . . . . . . . . 4 Локальные свойства непрерывных функций . . . . . § 3 Глобальные свойства непрерывных функций . . . . . . 1 Теоремы Больцано — Коши и Вейерштрасса . . . . . 2 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора . . . 3 Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции . . § 4 Элементарные функции и их непрерывность . . . . . . 1 Понятие элементарной функции . . . . . . . . . . . .
126 130 130 133 135 136 138 138 139 141 144 147
151 151 154 155 157 161 162 164 166 169 169 172 175 176 178 178 181 183 185 185
295
Оглавление 2 Непрерывность элементарных функций . . . . Некоторые свойства непрерывных отображений 1 Связные множества . . . . . . . . . . . . . . . 2 Непрерывные отображения топологических странств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5
. . . . . . . . . . . . про. . . . . . . .
Глава 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ § 1 Дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . 1 Основные понятия и простейшие факты . . . . . . . 2 Дифференцируемость вектор-функций . . . . . . . . 3 C -дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Геометрический и физический смысл производной . . . 1 Касательная к графику функции . . . . . . . . . . . 2 Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . 3 Односторонние и бесконечные производные . . . . . § 3 Основные правила вычисления производных . . . . . . 1 Основные правила вычисления производных . . . . . 2 Вычисление табличных производных . . . . . . . . . 3 Некоторые другие правила вычисления производных § 4 Производные и дифференциалы высших порядков . . . 1 Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . 2 Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194 195 195 197 200 202 202 207 208 209 209 212 213 214 214 220 224 226 226 232 233
Глава 7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1 Теоремы «о средних значениях». Правило Лопиталя . . 236 1 Теоремы «о средних значениях» . . . . . . . . . . . . 236 2 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей . . . . . . . . . . . . . 242 § 2 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 1 Формула Тейлора для многочлена . . . . . . . . . . . 245 2 Формула Тeйлора для произвольной функции . . . . 246 3 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 § 3 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера . . . 252
296
Оглавление 1 Степенные ряды 2 Ряды Тейлора . . 3 Формулы Эйлера Задачи к главе 7 . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
252 253 257 259
Глава 8. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1 Условия монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 1 Условия монотонности функции . . . . . . . . . . . . 261 2 Необходимое условие локального экстремума . . . . 262 3 Достаточные условия локального экстремума . . . . 263 § 2 Выпуклость, точки перегиба, асимптоты . . . . . . . . . 267 1 Свойство выпуклости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2 Неравенство Иенсена и его применения . . . . . . . . 271 3 Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 4 Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . 284 ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291