Математика. Основы математического анализа. Рабочая тетрадь студента

Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ

В. И. Соловьев

МАТЕМАТИКА Часть 2 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ СТУДЕНТА

Москва — 2005

УДК 51 (075.8) ББК 22.17я73

Ф., и., о. студента

(регион)

(группа)

 В. И. Соловьев, 2005  НИ4ВШУ, 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» составлена в соответ ствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям 080507 — «Менеджмент организации», 080504 — «Государственное и муниципальное управление». В первой части рабочей тетради по дисциплине «Математика» изучались методы линейной алгебры и аналитической геометрии. Данная книга содержит материал второй части дисциплины «Математика», посвященной методам м а т е м а т и ч е  с к о г о а н а л и з а, на которых основывается материал теории вероятностей, ма тематической статистики, методов оптимизации и исследования операций. Тетрадь состоит из глав и параграфов, примеры, теоремы, рисунки, таблицы и формулы нумеруются трехступенчато: номер главы, номер параграфа, номер теоре мы, примера, рисунка и т. п. Конец доказательства или решения обозначается зна ком ‰. В конце каждого параграфа приводятся контрольные вопросы для самопро верки и задачи для решения на практических занятиях и дома. По итогам изучения дисциплины студент должен выполнить и н д и в и д у а л ь  н о е контрольные задание, которое приводится в конце рабочей тетради. Для реше ния задач на практических занятиях, выполнения домашних заданий и индивиду ального контрольного задания в рабочей тетради отведены чистые страницы. В подготовке решений ряда примеров принимала участие асп. М. В. Самоявчева.

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1.1. ФУНКЦИИ В экономике часто приходится исследовать различные зависимости, связы вающие одну переменную величину с другой или с другими. Для изучения та ких зависимостей используется понятие функции. Пусть задано множество действительных чисел X ⊆ . Если задано прави ло, по которому любому x ∈ X соответствует одно действительное число y = f (x) ∈ , то говорят, что величина y является функцией от величины x. При этом переменная x называется аргументом или независимой переменной, а множество X называется областью определения данной функции. Так, например, потребительских спрос на некоторый товар зависит в общем случае от большого числа факторов: цены товара, сезона, дохода покупателя и т. д. Если считать все факторы, кроме цены p, неизменными, то полученную зависимость спроса D от цены p можно рассматривать как ф у н к ц и ю с п р о с а D = D(p). Точно также можно рассмотреть ф у н к ц и ю п р е д л о ж е н и я товара S = S(p)— зависимость количества товара S, предлагаемого к продаже произ водителями, от цены товара p, которая сложилась на рынке. В экономике часто встречаются и другие функции: • функция полезности u = u(x), которая выражает числовую оценку потре бителем обладание некоторым товаром в количестве x единиц; • однофакторная производственная функция y = f(x), которая выражает зависимость количества выпускаемой продукции y от количества ресурсов x, затраченных на выпуск этой продукции; • функция издержек, которая выражает зависимость производственных из держек от объема выпуска. Этот список можно значительно продолжить. Множество точек плоскости с декартовыми координатами ( x, f (x) ) , где x ∈ X , называется графиком функции f, определенной на множестве X ⊆ . Если задана формула, указывающая последовательность математических дей ствий, которые следует выполнить с аргументом x, чтобы получить значение y, то говорят, что функция определена явным аналитическим способом: y = f (x) . Если задано соотношение F(x, y) = 0 , где x ∈ X , из которого y для каждого x ∈ X определяется в результате решения уравнения F(x, y) = 0 , то говорят о неявном способе задания функции. При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и им сопоставляются соответствующие значения функции с помощью таблицы. Графическим способом задания функции называют тот, при котором зави симость y от x определяется линией на плоскости xOy. Заметим, что этот спо 4

соб — приближенный: точность задания функции зависит от масштаба и точ ности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. Если аргумент x функции y = f(x) является функцией другого аргумента s:

x = g(s) , то говорят, что задана сложная функция y = f (g(s))

независимого аргумента s. Функция y = f(x) называется взаимно однозначной, если каждому x ∈ X ставится в соответствие некоторое значение y = f(x) ∈ при этом разным зна чениям x соответствуют разные значения y: если x1 ≠ x2 , то f(x1 ) ≠ f (x2 ) . Если задана взаимно однозначная функция y = f (x) , то уравнение y = f (x) можно разрешить относительно x, при этом зависимость x = f −1 (y) определяет функцию, обратную к функции y = f (x) . Из определения обратной функции следует, что

( f −1)

−1

= f,

f −1 ( f(x) ) = x,

f ( f −1 (y) ) = y .

Замечание. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно бис сектрисы y = x первой и третьей четвертей координатной плоскости xOy.

ПРИМЕР 1.1.1. Функция спроса имеет вид Q = 90 –3p. Найти зависимость мак симально возможной цены товара, при которой этот товар может быть продан на рынке в количестве Q, от Q. Решение. Выразим p через Q и получим функцию, обратную к функции спроса: p = (90 – Q)/3

или

p = 30 – Q/3. ‰

Функция y = f (x) называется четной, если для всех x ∈ X y(− x) = y(x) ,

и нечетной, если для всех x ∈ X

y(− x) = − y(x) . График четной функции симметричен относительно оси Oy, а область до пустимых значений аргумента четной функции симметрична относительно точки x = 0. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, а область допустимых значений аргумента нечетной функции симметрична от носительно точки x = 0. Функция y = x2 является четной, а функция y = x3 — нечетной. Функция y = f(x) , определенная на множестве X ⊆ , называется периоди ческой, если существует такое число T > 0 , что для всех x ∈ X справедливо равенство f (x + T) = f (x) . Наименьшее из положительных чисел T ≠ 0 , достав ляющих такое равенство для периодической функции y = f (x) , называется пе риодом этой функции. 5

Из школьного курса математики Вам известны периодические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Функции y = sin x и y = cos x имеют пе риод, равный 2π , а функции y = tg x и y = ctg x имеют период, равный π . Рассмотрим функцию y = 15. Очевидно, она является периодической, но ее период не определен! График периодической функции получается из графика y = f (x) , построен ного на промежутке протяженностью в один период, путем параллельного пе реноса графика y = f(x) в направлении и против направления оси Ox на рас стояния, кратные периоду. Функция y = f(x) называется возрастающей, если при x1 < x2 f(x1 ) < f(x2 ) . Функция y = f(x) называется неубывающей, если при x1 < x2 f(x1 ) - f (x2 ) . Функция y = f(x) называется убывающей, если при x1 < x2 f(x1 ) > f(x2 ) . Функ ция y = f(x) называется невозрастающей, если при x1 < x2 f(x1 ) . f (x2 ) . Во всех этих четырех случаях функция y = f(x) называется монотонной. Возрас тающие и убывающие функции называются строго монотонными. Так, производственная функция, функция полезности и функция предло жения являются возрастающими, а функция спроса — убывающей. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз на интервале (a, b) ⊆ X , если для любых x1, x2 ∈ (a, b) и любого λ ∈ [0,1] выполняется неравенство f ( λx1 + (1 − λ) x2 ) - f ( λx1 ) + f ( (1 − λ) x2 )

и выпуклой вверх, если для любых x1, x2 ∈ (a, b) и любого λ ∈ [0,1] f ( λx1 + (1 − λ) x2 ) . f ( λx1 ) + f ( (1 − λ) x2 ) .

Если знаки неравенств в этих формулах строгие, то соответствующие функции называются строго выпуклыми. Производственная функция является выпуклой вверх, а функция спроса — выпуклой вниз. Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л этих понятий заключается в том, что на участке выпуклости вниз [выпуклости вверх] середина любой хорды распола гается над графиком y = f(x) [соответственно под графиком y = f(x) ]. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз (или вы пуклость вниз меняется на выпуклость вверх), называются точками перегиба. Простейшими элементарными функциями называются следующие: • степенная функция y = x α , где α ∈ ; • показательная функция y = a x , где a > 0 и a ≠ 1 ; • логарифмическая функция y = log ax , где a > 0 и a ≠ 1 ; • тригонометрические функции y = sin x , y = cos x . Элементарными называются функции, получающиеся из простейших эле ментарных с помощью четырех арифметических действий, а также с помо щью взятия функции от функции или объединением этих операций. В частности, к элементарным относятся следующие функции: sin x cos x y = tg x = , y = ctg x = , y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x . cos x sin x 6

Класс функций , не относящихся к элементарным, называется классом не элементарных функций. Простейшими неэлементарными функциями являются составные функции, то есть функции, которые на разных интервалах (полуинтервалах, отрезках) представлены несовпадающими элементарными функциями. Например, функция x2 + 1, x - 0, y= x >0 x, является неэлементарной. К важнейшим неэлементарным функциям относятся следующие. • функция модуля −x, если x < 0,  y =| x |=  0, если x = 0,  x, если x > 0; 

• функция знака −1, если x < 0,  y = sign x =  0, если x = 0,  1, если x > 0; 

• функция целой части y = [x] ; • функция дробной части y = {x} .

Вопросы для самопроверки 1. Что такое вектор? 2. Сформулируйте определение функции. Приведите примеры. 3. Какие существуют способы задания функций? Приведите примеры. 4. Что такое область определения функции? 5. Какая функция называется четной? Приведите примеры. 6. Какая функция называется нечетной? Приведите примеры. 7. Какая функция называется периодической? Приведите примеры. 8. Какая функция называется сложной? Приведите примеры. 9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры. 10. Приведите примеры элементарных функций, естественной областью определения которых является: а) вся числовая прямая, за исключением двух точек x1 = 2 и x2 = 3; б) все положительные значения x, за исключением тех же двух точек x1 = 2 и x2 = 3. 11. Как по данному графику функции y = f(x) можно построить графики функций y = f(kx), y = f(kx + b), y = Af(kx + b) + C? Приведите примеры. 12. Приведите примеры функциональных зависимостей, встречающихся в экономике.

7

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите область определения следующих функций: а) y = lg ( 2 − 1 + x ) ; б) y = 2 − 1 + x ; в) y = arccos

2.

8

2 . 3x − 1

Проверьте, является ли функция y = | |x| – 2| четной или нечетной.

9

10

§ 1.2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Последовательностью называется функция xn = f(n), n ∈

,

определенная на множестве натуральных чисел. Обозначаются последова тельности так: {xn } . Число xn при конкретном n называется членом последо вательности, а n — его номером. Примерами последовательностей являются известные из школьного курса математики а р и ф м е т и ч е с к а я п р о г р е с с и я, определяемая по прави лу x1 = a1, xn = xn −1 + b ,

откуда xn = a1 + (n − 1)b ,

и г е о м е т р и ч е с к а я п р о г р е с с и я, определяемая как x1 = a1, xn = qxn −1 ,

откуда xn = a1q n −1 .

Еще одним примером последовательности является сумма, которая нахо дится на банковском счете. Пусть в начальный момент времени на банковском счете лежит сумма B0, и на эту сумму в конце каждого года начисляется процент i (т. е. доля от п е р  в о н а ч а л ь н о й суммы B0), тогда в конце первого года сумма на счете соста вит

B1 = B0 + B0i = B0(1 + i), в конце второго года —

B2 = B0(1 + i) + B0i = B0(1 + 2i), в конце tго года (t — натуральное) —

Bt = B0(1 + ti). Такая схема называется схемой простых процентов. Исторически такая схема была самой первой, но она допускает простую возможность для владельца банковского счета заработать больше, чем пред лагает банк: например, за два года можно увеличить сумму не до B0(1 + 2i), а до B0(1 + i)2 = B0(1 + 2i + i2) > B0(1 + 2i), а за t лет (t — натуральное) не до B0(1 + ti), а до B0(1 + i)t > B0(1 + ti), для этого нужно в конце каждого года сни мать со счета всю сумму, включая только что начисленные проценты, и тут же открывать новый счет и класть на него всю эту сумму! 11

Банки, конкурирующие между собой, естественно, предоставили вкладчи кам возможность проводить такую операцию «переоткрытия счета» автома тически; такая схема называется схемой сложных процентов и предполагает начисление процента не на первоначальную сумму B0, а на сумму, лежащую на счете после последнего начисления процентов, таким образом, через (нату ральное число) t лет при использовании схемы сложных процентов на счете будет лежать сумма

Bt = B0(1 + i)t. Таким образом, сумма на счете в конце года в случае простых процентов описывается последовательностью {Bt = B0(1 + ti)}, а в случае сложных про центов — последовательностью {Bt = B0(1 + i)t}. (прост.)

Рис. 1.2.1, на котором представлены графики функций vt

= (1 + ti) и

vt(непр.) = (1 + i)t, дает возможность убедиться в том, что при t < 1 простые про центы растут быстрее, чем сложные и непрерывные, а при t > 1 — медленнее. vt

1+i 1 t 0

1

Рис. 1.2.1. Сравнение силы роста простых процентов (тонкая линия) и сложных процентов (жирная линия) Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует такое число M, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера N ∈ , удовлетворяют неравенству | xn |< M . Символически это записывается так: ∃M > 0, ∃N ∈

: ( ∀n . N ) ⇒ ( | xn |< M ) .

Последовательность {xn } называется неограниченной, если для любого M > 0 существует такое N ∈ , что все члены последовательности, начиная с номера N, удовлетворяют неравенству | xn | > M . Символически это записыва ется так: ∀M > 0 ∃n ∈

12

: ( ∀n . N ) ⇒ ( | xn |> M ) .

Так, например, последовательность {xn = 1/ n} является ограниченной, а по следовательность {xn = 2n} — неограниченной. Последовательность {xn } называется строго возрастающей [строго убы вающей], если при m < n выполняется неравенство xm < xn [xm > xn]. Последовательность {xn } называется неубывающей [невозрастающей], если при m < n выполняется неравенство xm - xn [xm . xn ] . Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие последова тельности называются монотонными. Приведем примеры монотонных последовательностей. Последовательность {xn = 2n} является строго возрастающей, а последовательность {xn = 1/ n} — строго убывающей. Число a называется пределом последовательности {xn } , если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое натуральное число K = K (ε) , зави сящее от ε , что как только начнет выполняться неравенство n . K(ε) , станет справедливо и неравенство | xn − a |< ε . Запишем это определение символически: ∀ε > 0 ∃K = K (ε) ∈

: ( ∀n . K(ε) ) ⇒ ( | xn − a |< ε )

Обозначается предел последовательности так: a = lim xn . n →∞

Геометрический рис. 1.2.2).

с м ы с л предела последовательности таков (см.

xn

a+ε a a–ε n Рис. 1.2.2. Иллюстрация к понятию предела Отложим по оси абсцисс номера членов последовательности: а по оси орди нат — значения xn и около горизонтальной прямой y = a проводим сколь угод 13

но узкую полосу шириной 2ε . Эта полоса разбивает все множество точек по следовательности на два подмножества: одно подмножество, содержащее бес конечное число членов, начиная с номера K (ε ) , будет содержаться внутри этой полосы, другое подмножество, содержащее конечное число первых чле нов [до номера ( K(ε) − 1 )], находится вне этой полосы. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имею щая предела — расходящейся. ПРИМЕР 1.2.1. Убедиться в том, что если последовательность {xn = 1/ n} , то lim xn = 0 . n →∞

Решение. Возьмем произвольное, сколь угодно малое положительное число ε . Пусть K — это такое натуральное число, что K > 1/ ε . Тогда при n . K будет, очевид но, выполняться неравенство | xn − 0 |=| 1/ n − 0 |=| 1/ n |< 1/ K < ε , значит, нуль действи тельно является пределом последовательности {xn = 1/ n} . ‰

В данном случае мы догадались, чему равен предел данной последователь ности и проверили, выполняется ли определение предела. В тех случаях, ко гда неизвестно значение предела и требуется проверить, является ли после довательность в принципе сходящейся, может выручить следующая теорема, которую приведем без доказательства. ТЕОРЕМА 1.2.1. Если последовательность является монотонной, то для то го чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной. При вычислении пределов помогает такая теорема. ТЕОРЕМА 1.2.2. Если lim xn = a, lim yn = b, λ ∈ , то последовательности n →∞

n →∞

{xn + yn }, {λxn }, {xn − yn }, {xn yn }, {xn / yn } являются сходящимися (последняя по

следовательность сходится при условии, что все yn ≠ 0, n ∈ этом справедливы следующие формулы:

и b ≠ 0 )), при

lim(xn + yn ) = a + b ,

(1.2.1)

lim(λxn ) = λa ,

(1.2.2)

lim(xn − yn ) = a − b ,

(1.2.3)

lim(xn yn ) = ab ,

(1.2.4)

n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

lim n →∞

xn a = yn b

(последняя формула справедлива при условии, что все yn ≠ 0, n ∈

(1.2.5) и b ≠ 0 ).

Доказательство. Докажем формулу (1.2.1). Доказательство формул (1.2.2)— (1.2.5) проводится аналогично. Пусть задано ε > 0 . Тогда для числа ε /2 существуют номера K1 (ε /2) и K2 (ε /2) , такие что при n . K1 (ε /2) выполняется неравенство | xn − a |< ε /2 , а при n . K2 (ε /2) выполняется неравенство | yn − b |< ε /2 . Возьмем K(ε) = max {K1 (ε /2), K2 (ε /2)} . Тогда

14

при n . K(ε) одновременно выполняются неравенства | xn − a |< ε /2 и | yn − b |< ε /2 . Отсюда следует, что | (xn + yn ) − (a + b) |-| xn − a | + | yn − b |< ε /2 + ε /2 = ε , т. е. lim(xn + yn ) = a + b , что и требовалось доказать. ‰ n →∞

Приведем без доказательства еще две полезные теоремы. ТЕОРЕМА 1.2.3 (ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ В НЕРАВЕНСТВАХ). Если lim xn = a , n →∞

lim yn = b и xn - yn , то a - b . n →∞

ТЕОРЕМА 1.2.4 (ТЕОРЕМА О ДВУХ МИЛИЦИОНЕРАХ). Если xn - yn - zn и limxn = limzn = a , n→∞

n→∞

то lim yn = a . n →∞

Опишем теперь так называемую паутинообразную модель рынка. В этой модели рассматривается рынок некоторого товара. Предполагается, что зави симость предложения товара от его цены p описывается возрастающей функ цией предложения S(p), а зависимость спроса на этот товар от цены описыва ется убывающей функцией спроса D(p). Пусть в начальный момент времени продавцы установили цену на товар, рав ную p1. При этом предложение товара составило s1 = S(p1), а спрос на товар со ставил d1 = D(p1), как показано на рис. 1.2.2, а. Поскольку спрос больше предло жения, то в следующий раз продавцы увеличивают цену до p2, чтобы удовлетво рить спрос d1 [здесь S(p2) = d1]. Но при цене p2 спрос уменьшится до d2 = D(p2) и становится уже меньше предложения. Тогда продавцы вынуждены снизить цену до p3 [так чтобы S(p3) = d2] и т. д. В результате этого процесса устанавливается равновесная цена, равновесный спрос и равновесное предложение. В зависимости от того, какие на рынке сложились функции спроса и пред ложения, может оказаться так, что сходимости к равновесию не будет, а будут колебания цены между двумя значениями (как показано на рис. 1.2.2, б) или расходимость (1.2.2, в).

Вопросы для самопроверки 1. Что такое арифметическая прогрессия? 2. Как выражается nй член арифметической прогрессии через (n – 1)й? 3. Как выражается nй член арифметической прогрессии через первый? 4. Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии? 5. Что такое геометрическая прогрессия? 6. Как выражается nй член геометрической прогрессии через (n – 1)й? 7. Как выражается nй член геометрической прогрессии через первый? 8. Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии? 9. В чем разница между простыми и сложными процентами? 10. Каких процентов начисляется больше, если деньги лежат в банке более года, — простых или сложных? Почему? 11. Каких процентов начисляется больше, если деньги лежат в менее более года, — простых или сложных? Почему? 12. Что такое числовая последовательность? 13. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Приведите примеры. 15

D(p), S(p) S(p) d1 d2 s1

D(p) p

O

p1 p3 p2

а) сходимость к равновесной цене

D(p), S(p) S(p)

D(p)

p

O б) колебания цены

D(p), S(p) S(p)

D(p) p

O в) расходимость цен Рис. 1.2.3. Паутинообразная модель рынка

16

Задачи для самостоятельного решения 1. Докажите, что предел последовательности {xn = −1/ n2 } равен нулю. 2. Найдите предел последовательности {xn = 1/ n − 1/ n2 } ? 2n . n→∞ 3n

3. Найдите lim

17

18

§ 1.3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к a (обозначается так: x → a ), если для любого сколь угодно малого ε > 0 сущест вует такое зависящее только от ε положительное число δ = δ(ε) , что как толь ко начнет выполняться неравенство 0 0 ∃δ = δ(ε) ∈ : ( 0 0 и выберем в зависимости от ε положительное число δ = δ(ε) = ε . Тогда при выполнении неравенства 0 0 ∃δ = δ(ε) ∈ : ( a − δ(ε) < x < a ) ⇒ ( | f(x) − A |< ε ) .

Обозначается предел функции y = f(x) при x, стремящемся к a слева, так:

A = lim f (x) . x → a −0

Число A называется пределом функции y = f(x) при x, стремящимся к a с п р а в а (обозначается так: x → a + 0 ), если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое зависящее только от ε положительное число δ = δ(ε) , что как только начнет выполняться неравенство a < x < a + δ(ε) , станет спра ведливо и неравенство | f (x) − A |< ε : ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) ∈ : ( a < x < a + δ(ε) ) ⇒ ( | f (x) − A |< ε ) .

Обозначается предел функции y = f(x) при x, стремящемся к a справа, так:

A = lim f(x) . x →a +0

19

Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящимся к плюс бесконечности (обозначается так: x → +∞ ), если для любого сколь угодно ма лого ε > 0 существует такое зависящее только от ε положительное число K = K(ε) , что как только начнет выполняться неравенство x > K(ε) , станет справедливо и неравенство | f (x) − A |< ε : ∀ε > 0 ∃K = K (ε) ∈ : ( x > K (ε) ) ⇒ ( | f (x) − A |< ε ) .

Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к плюс беско нечности, так: A = lim f(x) . x →+∞

Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящимся к ми нус бесконечности (обозначается так: x → −∞ ), если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое зависящее только от ε положительное число K = K(ε) , что как только начнет выполняться неравенство x < −K(ε) , станет справедливо и неравенство | f (x) − A |< ε : ∀ε > 0 ∃K = K (ε) ∈ : ( x < −K (ε) ) ⇒ ( | f (x) − A |< ε ) .

Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к минус беско нечности, так: A = lim f(x) . x →−∞

Функция y = f (x) называется положительной (отрицательной) бесконеч но большой в точке a, если для любого сколь угодно большого M > 0 существу ет такое зависящее только от ε положительное число δ = δ(M) , что как только начнет выполняться неравенство 0 M [для отрицательных бесконечно больших функций — f (x) < −M ]: ∀M > 0 ∃δ = δ(M) ∈ : ( 0 M

[ f(x) < −M ]) .

Аналогично определяются положительные и отрицательные бесконечно большие функции слева и справа от точки a, а также на плюс бесконечности и на минус бесконечности. Если функция y = f(x) является положительной или отрицательной беско нечно большой в точке a, то это обозначается так:

lim f(x) = +∞,

x →−∞

lim f(x) = −∞ .

x →−∞

Функция y = f(x) называется бесконечно малой в точке a, если lim f (x) = 0 . x →a

Аналогично определяются бесконечно малые функции слева и справа от точки a, а также на плюс бесконечности и на минус бесконечности. 20

Пусть f (x) и g(x) — две функции, бесконечно малые в точке a, и при этом существует предел lim x →a

f(x) =h. g(x)

Тогда если h = 1, то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бес конечно малыми (обозначается это так: f ~ g); если 0 0 . Тогда для числа ε /2 существуют номера δ1 (ε /2) и δ2 (ε /2) , такие что при 0 0 ⇔ 2πk < < π + 2πk, k ∈ ⇔ x x x 1  1  1  ⇔ x ∈ ;  ∪  ; + ∞  , k ∈ , k ≠ 0.  2πk π + 2πk   π 

sin3

40

Точка x = 0 не попадает в область решений данного неравенства. В точках области определения функции

1 ′ 1  3 1 ′ 1 1 ′ 1 1  1 ′  2 1 2 1 sin 3sin sin 3sin cos y′ =  ln sin3  = = = ⋅  =     x  sin 3 1  x  sin3 1 x x  sin3 1 x x x  x x x 1 1 3sin 2 ⋅ cos 1 1 1 1   x x. 3sin2 cos  − 2  = − = 1 1 x x x  x2 sin 3 sin 3 x x Окончательно:

1 1 3sin2 ⋅ cos ′ 1  1   3 1  x x , x∈ 1 ;  ln sin  = −   ∪  ; ∞ , k ∈ , k ≠ 0 . ‰ 1 x   2πk π + 2πk   π  x2 sin 3 x

ПРИМЕР 1.5.6. Вычислить производную функции y = arccos x . Решение. Обозначим x(y) = cos y, y ∈

,

тогда y(x) = arccos x, x ∈ [−1; 1], cos(arccos x) = x,

(cos y)′ = − sin y .

Воспользуемся правилом вычисления производной обратной функции:

y′(x) =

1 1 1 1 . =− =− =− 2 x′(y) sin y 1 − cos y 1 − x2

Окончательно получаем, что

(arccos x)′ = −

1 1 − x2

, x ∈ [−1; 1] . ‰

ПРИМЕР 1.5.7. Вычислить производную функции y = arccos2 x . Решение. Чтобы найти область определения функции, решим систему уравнений

−1 - x - 1,   x . 0 и получим: x ∈ [0; 1] . Таким образом, функция определена на отрезке [0; 1] . Для вычисления производной дважды воспользуемся правилом дифференциро вания сложной функции и учтем, что

(arccos x)′ = −

1 1 − x2

.

41

По правилу дифференцирования сложной функции

′ ′ y′ = ( arccos2 x ) = 2arccos x ( arccos x ) = −2arccos x = −2arccos x

1 ( x )′ = 1− x

1 1 arccos x =− 1− x 2 x x(1 − x)

Таким образом,

( arccos2

arccos x ′ x) = − , x ∈ [0; 1] . ‰ x(1 − x)

Пусть функция y = y(x) задана неявно, т. е. с помощью уравнения вида F(x, y) = 0 , и необходимо вычислить производную y′ = y′(x) (найти уравнение для производной). Для этого находят производную F′(x, y) , пользуясь прави лом вычисления производной сложной функции, а затем разрешают уравне ние F′(x, y) = 0 относительно y′ ; ПРИМЕР 1.5.8. Записать уравнение для вычисления производной функции y = y(x), заданной уравнением y = e xy . Решение. Воспользуемся правилом вычисления производной от неявно заданной функции. Обозначим F(x, y) = y − e xy , тогда функция y = y(x) будет задаваться уравнением F(x, y) = 0 .

Найдем F′(x, y) , учитывая, что y = y(x) : F′ ( x, y(x) ) = y′ − e xy (xy)′ = y′ − e xy (y + xy′) .

Решим уравнение F′(x, y) = 0 относительно y′ :

F′(x, y) = 0 ⇔ y′ − e xy xy′ = e xy y ⇔ y′ (1 − exy x ) = exy y ⇔ y′ =

e xy y 1 − e xy x

Учитывая, что e xy = y , получим: y′ =

y2 . 1 − xy

Искомая производная является решением этого уравнения. ‰

Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 42

Сформулируйте определение производной. В чем состоит геометрический смысл производной? Что такое касательная к кривой? Как составить уравнение касательной к кривой в данной точке?

5. Что такое нормаль кривой? 6. Как составить уравнение нормали кривой в данной точке? 7. Приведите примеры использования производной в экономических зада чах. 8. Может ли функция иметь производную в точке, в которой она терпит разрыв? Приведите примеры. 9. Следует ли из дифференцируемости функции в некоторой точке ее не прерывность в этой точке? 10. Перечислите общие правила дифференцирования функций. 11. Перечислите формулы дифференцирования основных элементарных функций. 12. Что такой дифференциал функции? 13. Что такой дифференциал независимой переменной? 14. В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции? 15. Чем отличается дифференциал функции от ее приращения? 16. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите производную функции y=

x , x −1

пользуясь только определением производной. 2. Найдите производную функции f(x) = 4 3 x +

5 . x2

3. Найдите производную функции f(x) = x7 e3 x .

4. Найдите производную функции f ( x) = x 4 cos x .

43

44

§ 1.6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ В этом параграфе мы обсудим основные свойства дифференцируемых функций. Точка a называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки a выполняется неравенство f (a) . f (x) [ f (a) - f (x) ].

ТЕОРЕМА 1.6.1 (ЛЕММА ФЕРМА). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке a и эта точка является точкой локального максимума (минимума), то y′(a) = 0 . Доказательство. Предположим, что точка a является точкой локального максиму ма, т. е. f(a) . f(x) для всех x из некоторой окрестности точки a. Тогда

f(a + ∆x) − f(a) - 0 . При этом ∆x - 0 , если ∆x → 0 − 0 , и ∆x . 0 , если ∆x → 0 + 0 , значит,

f(a + ∆x) − f(a) .0, ∆x →0 −0 ∆x

y′− (a) = lim

f(a + ∆x) − f(a) -0 ∆x →0 +0 ∆x

y+′ (a) = lim

Но функция является дифференцируемой, значит, y−′ (a) = y′+ (a) , а это возможно только в том случае, когда y′− (a) = y′+ (a) = 0 . Поэтому y′(a) = y′− (a) = y′+ (a) = 0 , что и тре бовалось доказать. Аналогично доказывается, что y′(a) = 0 , если a является точкой локального минимума. ‰ ТЕОРЕМА 1.6.2 (ТЕОРЕМА РОЛЛЯ). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b) , и при этом f(a) = f(b) = 0 , то най

дется такая точка c ∈ (a, b) , что y′(c) = 0 . Доказательство. По теореме Вейерштрасса (по теореме 1.4.4) функция, непрерыв ная на отрезке, достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m. Если M = m, то данная функция является константой, и значит, y′(c) = 0 в любой точке отрезка. Если же M > m, то хотя бы одно из этих зна чений достигается не в концах отрезка [a, b] , а в одной из точек интервала (a, b) , зна чит, в этой точке c функция терпит локальный экстремум, и тогда по лемме Ферма y′(c) = 0 , что и требовалось доказать. ‰

ТЕОРЕМА 1.6.3 (ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА). Если функция y = f(x) непрерывна на от резке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b) , то найдется такая точка c ∈ (a, b) , что f(b) − f(a) = y′(c)(b − a) . Доказательство. Функция

45

w(x) = f(x) −

f(b) − f(a) x b−a

непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b) ,

w(a) = f(a) −

f(b) − f(a) f(b) − f(a) a = 0, w(b) = f(b) − b=0 b−a b−a

значит, по теореме Ролля найдется такая точка c ∈ (a, b) , что w′(c) = 0 . Но

w′(x) = f ′(x) −

f(b) − f(a) , b−a

поэтому равенство w′(c) = 0 означает, что

f ′(c) =

f(b) − f(a) b−a

или

f(b) − f(a) = y′(c)(b − a) , что и требовалось доказать. ‰

Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л теоремы Лагранжа состоит в том, что ме жду точками A и B графика функции y = f(x) найдется такая точка C, каса тельная в которой параллельна секущей AB (рис. 1.6.1).

y

y=f(x)

f(b)

B

f(a)

A

C x

O

a

c b

Рис. 1.6.1. Геометрический смысл теоремы Лагранжа ТЕОРЕМА 1.6.4 (ТЕОРЕМА КОШИ). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на от резке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b) , причем g′(x) ≠ 0 , то най дется такая точка c ∈ (a, b) , что f(b) − f(a) f ′(c) . = g(b) − g(a) g′(c) Доказательство. Функция

46

w(x) = f(x) − f (a) −

f(b) − f(a) ( g(x) − g(a) ) g(b) − g(a)

непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b) ,

w(a) = f(a) − f(a) −

f(b) − f(a) f(b) − f(a) ( g(a) − g(a)) = 0, w(b) = f(b) − f(a) − ( g(b) − g(a) ) = 0 g(b) − g(a) g(b) − g(a)

значит, по теореме Ролля найдется такая точка c ∈ (a, b) , что w′(c) = 0 . Но

w′(x) = f ′(x) −

f(b) − f(a) g′(x) , g(b) − g(a)

поэтому равенство w′(c) = 0 означает, что

f ′(c) =

f(b) − f(a) g′(c) g(b) − g(a)

или

f(b) − f(a) f ′(c) = , g(b) − g(a) g′(c) что и требовалось доказать. ‰

ТЕОРЕМА 1.6.5. Если функции f(x) и g(x) n + 1 раз дифференцируемы в не которой окрестности точки а, причем

f(a) = f ′(a) = f ′′(a) =

= f (n) (a) = g(a) = g′(a) = g′′(a) =

= g(n) (a) = 0 ,

а для некоторого x ≠ a из этой окрестности g(x) ≠ 0, g′(x) ≠ 0, g′′(x) ≠ 0, …, g(n) (x) ≠ 0, g(n +1) (x) ≠ 0 ,

то в этой окрестности найдется такая точка c [зависящая, вообще говоря, от x], что

f(x) f (n +1) (c) = . g(x) g(n +1) (c) Доказательство. Пусть для определенности x > a. Рассмотрим отрезок [a, x]. По теореме Коши (по теореме 1.6.4) найдется такая точка c ∈ (a, b) , что

f(x) − f(a) f ′(c) = , g(x) − g(a) g′(c) и поскольку f(a) = g(a) = 0 ,

f(x) f ′(c) = . g(x) g′(c) Применим теперь доказанный результат к f ′(c)/ g′(c) и получим, что

f ′(c) f ′′(d) , = g′(c) g′′(d)

47

и так — n раз. Случай x > a рассматривается аналогично. ‰

Факториалом натурального числа n называется произведение n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3

n.

ТЕОРЕМА 1.6.6 (ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА). Если функция f(x) n + 1 раз дифференци руема в некоторой окрестности точки а, то для любого x из этой окрест ности справедлива формула f ′(a) f ′′(a) (x − a) + (x − a)2 + f(x) = f(a) + 1! 2!

f (n) (a) (x − a)n + o ( (x − a)n ) . + n!

Доказательство. Рассмотрим многочлен

Pn (x) = f(a) +

f ′(a) f ′′(a) (x − a) + (x − a)2 + 1! 2!

+

f (n) (a) (x − a)n . n!

Очевидно, Pn (a) = f(a), Pn′ (a) = f ′(a), Pn′′(a) = f ′′(a), …, Pn(n ) (a) = f (n) (a) , поэтому функция s(x) = f(x) − Pn (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки а, при чем

s(a) = s′(a) = s′′(a) =

= s(n) (a) = 0 .

Рассмотрим также функцию t(x) = (x − a)n +1 . Очевидно,

t(a) = t′(a) = t′′(a) =

= t (n) (a) = 0 ,

а для любого x ≠ a из этой окрестности

t(x) ≠ 0, t′(x) ≠ 0, t′′(x) ≠ 0, …, t (n ) (x) ≠ 0, t (n +1) (x) ≠ 0 . Тогда по предыдущей теореме в этой окрестности найдется такая точка c, что s(x) s(n +1) (c) = . t(x) t (n +1) (c)

Учитывая, что s(n +1) (c) = f (n +1) (c), t (n +1) (c) = (n + 1)! , а f (n +1) (c) (x − a)n +1 = o ( (x − a)n ) , (n + 1)!

так как f (n +1) (c) (x − a)n +1 f (n +1) (c) (n + 1)! lim lim(x − a) = 0 , = x →a (x − a)n (n + 1)! x →a

получаем результат теоремы. ‰

Приведем разложения основных элементарных функций по формуле Тей лора в точке a = 0 (в этом случае формула Тейлора носит название ф о р м у  л ы М а к л о р е н а): x x2 xn ex = 1 + + + ... + + o(x n ) ; n! 1! 2! 48

sin x = x −

x x3 x5 x2n −1 + − + ... + (−1)n −1 + o(x n ) ; 1! 3! 5! (2n − 1)!

cos x = 1 − (1 + x)m = 1 +

x2 x 4 x6 x2n + − + ... + (−1)n + o(x n ) ; 2! 4! 6! (2n)!

m m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1) n x + ... + x + o(x n ) ; 1! (2n − 1)!

ln(1 + x) = x −

x2 x3 x 4 xn + − + ... + (−1)n −1 + o(x n ) . n 2 3 4

ТЕОРЕМА 1.6.7 (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ). Если функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, причем lim f (x) = lim g(x) = 0 , x →a

x →a

то если существует (конечный или бесконечный) предел f ′(x) , g′(x)

lim x →a

то существует и предел lim x →a

f(x) g(x)

причем lim x →a

f (x) f ′(x) = lim . g(x) x→a g′(x)

Доказательство. Поскольку функции f(x) и g(x) дифференцируемы, то по опре делению (1.5.2)

f(x) − f(a) = f ′(a)(x − a) + o(x − a), g(x) − g(a) = g′(a)(x − a) + o(x − a) или, учитывая, что f(x) и g(x) непрерывны (так как дифференцируемы — см. тео рему 1.5.3) и потому f(a) = lim f(x) == 0, g(a) = lim g(x) = 0 , x →a

x →a

f(x) = f ′(a)(x − a) + o(x − a), g(x) = g′(a)(x − a) + o(x − a) . Поэтому

f(x) f ′(a)(x − a) + o(x − a) f ′(a) = lim = , x → a g(x) x → a g′(a)(x − a) + o(x − a) g′(a)

lim

что и требовалось доказать. ‰

Следующую теорему приведем без доказательства. ТЕОРЕМА 1.6.8 (ВТОРОЕ ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ). Если функции f(x) и g(x) определе ны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, причем

lim f (x) = lim g(x) = ∞ , x →a

x →a

49

то если существует (конечный или бесконечный) предел lim x →a

f ′(x) , g′(x)

то существует и предел lim x →a

f(x) g(x)

причем lim x →a

f (x) f ′(x) = lim . g(x) x→a g′(x)

Правила Лопиталя позволяют существенно упростить вычисление многих пределов. Решим с их помощью примеры 1.3.2—1.3.3. ПРИМЕР 1.6.1. Вычислить с помощью правила Лопиталя предел 2x2 − 5x − 3 lim 3 . x →3 x − 3x 2 − 5x + 15

из примера 1.3.2. 0 воспользуемся правилом Ло 0 питаля. Поскольку многочлены f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на всей числовой прямой (а значит и всюду в некоторой окрестности точки x = 3 ), причем Решение. Для раскрытия неопределенности вида

f ′(x) = 4x − 5,

g′(x) = 3x2 − 6x − 5,

а производная g′(x) отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки x = 3 , то по правилу Лопиталя

f(x) f ′(x) 2x2 − 5x − 3 4x − 5 , т. е. lim 3 = lim 2 . = lim 2 x →3 g(x) x →3 g′(x) x →3 x − 3x − 5x + 15 x → 3 3x − 6 x − 5

lim

Многочлены f ′(x) и g′(x) не имеют общих множителей, отличных от постоянной, и g′(3) ≠ 0 , поэтому

f ′(x) f ′(3) 4⋅3 − 5 7 = = = . 2 x →3 g′(x) g′(3) 3 ⋅ 3 − 6 ⋅ 3 − 5 4

lim Окончательно получаем

2x2 − 5x − 3 7 = .‰ x →3 x 3 − 3x 2 − 5x + 15 4

lim

ПРИМЕР 1.6.2. Вычислить с помощью второго правила Лопиталя предел 3x4 − 7x2 lim . x →+∞ 4x 3 + 2x + 1

из примера 1.3.3. 50

Решение. Для раскрытия неопределенности вида

∞ воспользуемся вторым прави ∞

лом Лопиталя. Обозначим

f(x) = 3x4 − 7x2 ,

g(x) = 4x3 + 2x + 1 .

Поскольку многочлены f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на всей чи словой прямой, причем

f ′(x) = 12x3 − 14x,

g′(x) = 12x2 + 2 ≠ 0,

то по правилу Лопиталя

f(x) f ′(x) , = lim x →+∞ g(x) x →+∞ g′(x)

т. е.

lim

3x 4 − 7x2 12x3 − 14x = lim . x →+∞ 4x 3 + 2x + 1 x →+∞ 12x 2 + 2 lim

Вновь получили неопределенность вида

∞ , поэтому применим правило Лопиталя ∞

еще раз. Функции f ′(x) и g′(x) определены и дифференцируемы, причем:

f ′′(x) = 36x2 − 14,

g′′(x) = 24x.

Функция g′′(x) принимает значения, отличные от нуля, всюду на числовой пря мой, кроме точки x = 0 . Значит,

f ′(x) f ′′(x) 12x3 − 14x 36x2 − 14 , т. е. lim = lim . = lim x →+∞ g′(x) x →+∞ g′′(x) x →+∞ 12x 2 + 2 x →+∞ 24x lim

Продолжая аналогичные рассуждения, получим:

f ′′(x) f ′′′(x) 36x2 − 14 72x или lim = lim = lim 3x = +∞ , lim = lim x →+∞ g′′(x) x →+∞ g′′′(x) x →+∞ x →+∞ 24x 24 x →+∞ и исходный предел

3x4 − 7x2 = +∞. ‰ x →+∞ 4x 3 + 2x + 1 lim

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида

0 ∞ и . 0 ∞

На практике встречаются и другие виды неопределенностей, но они сводятся к указанным двум. Например, неопределенность вида 0⋅ ∞ сводится к неопре деленности

0 так: 0 0⋅∞ ⇔

0 0 ⇔ . 1/ ∞ 0

Для раскрытия неопределенностей вида 00 , 0∞ , 1∞ вместо f(x)g(x ) рассматри вается логарифм: ln f(x)g(x) = g(x)ln f(x) , и тогда неопределенности указанных видов превращаются в 0⋅ ∞ . 51

Вопросы для самопроверки 1. Как формулируется теорема Ролля? В чем состоит ее геометрический смысл? 2. Как формулируется теорема Лагранжа? В чем состоит ее геометриче ский смысл? 3. Перечислите типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя. Приведите примеры. 4. Напишите формулу Тейлора. В каком случае эта формула совпадает с формулой Маклорена? 5. Напишите формулы Маклорена для функций ex, sin x, cos x, ln x. 6. Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.

Задачи для самостоятельного решения 1. Разложите функцию f(x) = 2x 4 − 5x3 − 3x2 + 8x + 4 по формуле Тейлора в точке x = 2. 2. С помощью правила Лопиталя вычислите пределы: ln(x2 − 3) а) lim 2 , x →2 x − 3x + 2

52

x3 б) lim x . x →+∞ 2

53

§ 1.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ Обсудим теперь ряд приложений дифференциального исчисления в эконо мике. Рассмотрим фирму, которая производит определенную продукцию и ис пользует для этого некоторые ресурсы. В наиболее упрощенном случае можно считать, что основным ресурсом, используемым фирмой, является человече ский труд, который измеряется численностью занятых x на этой фирме. Пусть y — объем выпуска продукции в единицу времени. Производствен ная функция, как мы уже говорили описывает зависимость выпуска y от за траченного труда x: y = f(x). Пусть численность занятых на данной фирме со ставляет в настоящий момент a человек. Рассмотрим выражение ∆y(a) = f (a + ∆x) − f (a) = f ′(a)∆x + o(∆x)

и запишем приближенное равенство f(a + ∆x) ≈ f(a) + f ′(a)∆x ,

в котором положим ∆x = 0 . Получили, что f (a + 1) ≈ f (a) + f ′(a) .

Это означает, что увеличение численности занятых на единицу (от a до a + 1) приводит к увеличению объема выпуска на величину f ′(a) . Таким обра зом, экономический смысл производной таков: f ′(a) — это объем добавочной продукции, произведенной новым сотрудником за единицу времени. Пусть цена единицы продукции составляет p (точнее, прибыль, которую приносит реализация единицы продукции, она меньше рыночной цены на величину из держек), а заработная плата одного работника w. Тогда очевидно, что приня тый на работу новый сотрудник будет приносить фирме сумму pf ′(a) в едини цу времени и получать за ту же самую единицу времени заработную плату в размере w. Очевидно, что если pf ′(a) > w , то прием нового сотрудника фирме выгоден, а если pf ′(a) < w — то невыгоден. Величина f ′(a) называется предельной производительностью труда (в от личие от средней производительности труда f(a)/ a ). Точно так же производная функции издержек равна предельным издерж кам — величине, на которую увеличатся суммарные издержки при производ стве дополнительной единице продукции, производная функции спроса равна увеличению спроса при увеличении цены продукции на единицу (эта произ водная для большинства товаров отрицательна, а положительна — для пред метов роскоши), производная функции предложения равна увеличению пред ложения продукции при увеличении цены на единицу (эта производная для всех товаров положительна). Предельная полезность (производная от функции полезности) — это до полнительная полезность от приобретения еще одной единицы товара. 54

В экономических задачах часто удобнее оперировать не абсолютными ве личинами, а относительными, рассматривать вопросы следующего типа: на сколько процентов увеличится f(x), если x увеличится на 1%? Например, на сколько процентов увеличится спрос, если снизить цену на 1%? Такие вопросы приводят к понятию эластичности функции. Эластичностью функции f(x) по аргументу x называется предел ∆f (x)/ f(x) . ∆x →0 ∆x / x

ε xf = lim

(1.7.1)

В числителе этой формулы стоит относительное изменение функции f(x), в знаменателе — относительное изменение аргумента x (относительное — по отношению к текущему значению). Преобразуем формулу (1.7.1): ∆f(x)/ f(x) ε xf = lim = ∆x →0 ∆x / x

∆f(x) xf ′(x) f ′(x) ∆x →0 ∆x . = = f (x)/ x f(x) f(x)/ x

x lim

ПРИМЕР 1.7.1. Функция спроса на некоторый товар такова: D(p) = 500 – 25p. Текущая цена товара равна 5. На сколько процентов увеличится спрос, если снизить цену на 1%? Решение. Вычислим эластичность спроса по цене. Так как D′(p) = (500 − 25p)′ = −25 , получаем: ε Dp =

pD′(p) −25p = . D(p) 500 − 25p

При p = 4 ε Dp =

−100 = −0,25 , 500 − 100

т. е. снижение цены на 1% приведет к увеличению спроса на 0,25%. ‰ Поговорим теперь об и с с л е д о в а н и и ф у н к ц и й, с которыми придется сталкиваться при анализе экономических процессов и систем. В этом исследовании помогает ряд теорем, которые читатель может дока зать самостоятельно, опираясь на теоремы предыдущего параграфа. ТЕОРЕМА 1.7.1. Для того, чтобы функция y = f ( x) , имеющая конечную или бесконечную производную на интервале (a, b) , возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале выполня лись два условия: • f ′( x) . 0 ( f ′( x) - 0 ); • f ′( x) . 0 не обращается в нуль ни на одном отрезке [α , β ] ⊆ (a, b) . ТЕОРЕМА 1.7.2 (НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ). Если точка a яв ляется точкой максимума или минимума функции y = f ( x) , то в этой точ ке должно выполняться одно из условий: • либо f ′(a ) = 0 , • либо производная в этой точке не существует, но функция y = f ( x) в этой точке непрерывна. 55

Точки, которые удовлетворяют необходимому условию экстремума, назы ваются критическими точками первого рода. ТЕОРЕМА 1.7.3 (ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА). Если при переходе слева направо через критическую точку первого рода первая производная меняет свой знак с плюса на минус, то эта точка является точкой макси мума, а если с минуса на плюс — то точкой минимума. ТЕОРЕМА 1.7.4 (ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА). Если вторая произ водная имеет в критической точке первого рода знак плюс f ′′( x) > 0 , то в этой точке минимум, если же — минус f ′′( x) < 0 , то в этой точке максимум. ТЕОРЕМА 1.7.5. Непрерывная на отрезке функция достигает своего наи большего и наименьшего значений либо на концах отрезка, либо во внутрен них точках локальных экстремумов. ТЕОРЕМА 1.7.6. Если f ′′(a) > 0 [ f ′′(a) . 0, f ′′(a) < 0, f ′′(a) - 0 ], то функция f ′′(a) > 0 является в точке a строго выпуклой [соответственно нестрого выпуклой вниз, строго выпуклой вверх и нестрого выпуклой вверх]. Обсудим практику применения теорем для исследования функций и по строения их графиков. Общая схема исследования функции такова. 1. Найти область определения функции, исследовать на непрерывность, определить точки разрыва, если есть; 2. Найти асимптоты функции, если есть; 3. Исследовать функцию на четность/нечетность; 4. Исследовать на периодичность; 5. [Найти нули функции, промежутки знакопостоянства;] 6. Найти промежутки возрастания/убывания, исследовать функцию на экстремумы; 7. Найти промежутки выпуклости/вогнутости, точки перегиба; 8. [Определить область значений функции;] 9. Найти характерные точки функции, построить график. ПРИМЕР 1.7.2. Исследовать функцию y = x 3 − 3x + 1

и построить ее график. Решение. Решение задачи проведем согласно схеме исследования функций. 1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. 2. Наклонных асимптот нет, так как

x 3 − 3x + 1 1  = lim  x2 − 3 +  = +∞ , x →±∞ x →±∞  x x lim

а вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. 3. Поскольку y(− x) = (− x)3 − 3(− x) + 1 = − x3 + 3x + 1 , т. е. y(−x) ≠ y(x) и y(−x) ≠ −y(x) , функция не является ни четной, ни нечетной. 4. Функция не является периодической. 6. Вычислим производную:

y′ = 3x2 − 3 . Критические точки найдем из уравнения

56

y′ = 0

или 3x2 − 3 = 0 .

Таким образом, функция имеет две критические точки: x1 = −1, x2 = 1 .

Т а б л и ц а 1.7.1 Промежутки возрастания и убывания функции y = x − 3x + 1 3

x sgn y′(x) y(x) Тип экстремума

(– ; –1) + возрастает

–1 0 3 max

(–1; 1) – убывает

1 0 –1 min

(1; ) + возрастает

Итак, при x ∈ (−∞; − 1) ∪ (1; ∞) функция возрастает, при x ∈ ( − 1; 1) функция убывает. Точка (–1; 3) является точкой максимума, точка (1; –1) — точкой минимума. 7. Вычислим вторую производную:

y′′ = 6x . Критические точки второго рода найдем из уравнения y′′ = 0 или 6x = 0 . Таким образом, функция имеет единственную критическую точку второго рода: x =0.

Т а б л и ц а 1.7.2 Промежутки выпуклости и вогнутости функции y = x − 3x + 1 3

x sgn y′′(x) y(x)

(– ; 0) – вогнута

0 0 1 точка перегиба

(0; ) + выпукла

Таким образом, при x ∈ (−∞; 0) функция является вогнутой, при x ∈ ( 0; ∞) функция является выпуклой. Точка (0; 1) является точкой перегиба. 8. Областью значений функции является множество всех действительных чисел. 9. Составим таблицу нескольких промежуточных значений функции (табл. 6)

Т а б л и ц а 1.7.3 x –∞ –2 –1 0 1 2 +∞ y = x − 3x + 1 –∞ –1 3 1 –1 3 +∞ 3

Теперь можно построить график функции (рис. 1.7.1). ‰ ПРИМЕР 1.7.3. Исследовать функцию y = x e1/ x и построить ее график. Решение. 1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки x = 0. Односторонние пределы в этой точке

( e1 x )′ (1 x )′ e1 x e1 x = lim = lim = lim e1 x = +∞ , x →0 + 0 1 x x →0 + 0 x →0 + 0 x →0 + 0 ′ ′ (1 x ) (1 x )

lim x e1/ x = lim

x →0 + 0

( e1 x )′ (1 x )′ e1 x e1 x = lim = lim = lim e1 x = 0 lim x e = lim x →0 − 0 x →0 − 0 1 x x →0 − 0 x →0 − 0 (1 x )′ x→0−0 (1 x )′ 1 x

∞ с помощью правила Лопиталя). ∞ Таким образом, точка x = 0 является точкой разрыва второго рода.

(здесь мы избавились от неопределенности типа

57

y

10

5 x –2

0

2

–5

Рис. 1.7.1. График функции y = x3 − 5x + 1 1 x

2. Вертикальная асимптота задается уравнением x = 0 (так как lim x e = +∞ ). По x →0 + 0

скольку

x e1 x = 1, x →±∞ x lim

существует наклонная асимптота, которая задается формулой y = kx + b, где x e1 x = 1, x →±∞ x

k = lim

e1 x − 1 et − 1 = lim = 1, x →∞ 1 x t →0 t

b = lim ( x e1 x − 1x ) = lim [ x ( e1 x − 1)] = lim x →∞

x →∞

т. е. y = x + 1. 3. Данная функция не является ни четной , ни нечетной, так как −1 x y(− x) = − x e , и y(−x) ≠ y(x) и y(−x) ≠ − y(x) . 4. Функция не является периодической. 5. Уравнение x e1 x = 0 решений не имеет, так как точка x = 0 лежит вне области допустимых значений (и вне области определения функции). При этом при x ∈ (−∞; 0) функция принимает отрицательные значения, а при x ∈ (0; ∞) — положительные. 6. Производная  1   1 y′ = ( x e1 x )′ = e1 x + x e1 x  − 2  = e1 x  1 −  .  x   x Критические точки найдем из уравнения

 1 y′ = 0 или e1 x  1 −  = 0  x Решением этого уравнения является точка x = 1 . Критической является также точка x = 0 , в которой производная y′ не определена.

58

Т а б л и ц а 1.7.4 Промежутки возрастания и убывания функции y = x e1 x (– ; 0) (0; 1) 1 (1; ) x ′ sgn y (x) + – 0 + возрастает убывает e возрастает y(x) Тип экстремума min Таким образом, при x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; ∞) функция возрастает, при x ∈ ( 0; 1) функция убывает. Точка (1; е) является точкой минимума. 7. Вторая производная 1  ′ 1 1 1 1    y′′ = e1 x  1 −   = − 2 e1 x  1 −  + 2 e1 x = 3 e1 x . x x  x   x x 

Критической точкой второго рода является точка x = 0 , в которой функция y′′ не определена.

Т а б л и ц а 1.7.5 Промежутки выпуклости и вогнутости функции y = xe1 x (– ; 0) (0; ) x ′′ sgn y (x) – + вогнута Выпукла y(x) Таким образом, при x ∈ (−∞; 0) функция является вогнутой, при x ∈ ( 0; ∞) функция является выпуклой. 8. Область значений функции E(y) = {x : x ∈ (−∞; 0) ∪ [e; ∞)} 9. Составим таблицу нескольких промежуточных значений функции.

Т а б л и ц а 1.7.6 x y = x e1 x

–∞ –∞

–2 −2e ≈ −1,21 −1 2

–1 − e ≈ −0,37 −1

0–0 0

0+0 +∞

1 e ≈ 2,72

12

2e

2 ≈ 3,30

+∞ +∞

Теперь мы можем построить график данной функции (рис. 1.7.2). ‰

Вновь вернемся к обсуждению задачи одноресурсной фирмы, с которой мы начали этот параграф. Вычислим прибыль фирмы: z = pf (x) − wx .

Задача руководства — подобрать размер фирмы (x) таким образом, чтобы обеспечить наибольшую прибыль z. Иными словами, нужно найти максимум функции z(x) = pf (x) − wx при x ∈ [0, +∞) . Вычисляем производную и вторую производную функции z: z′(x) = pf ′(x) − w, z′′(x) = pf ′′(x) . Необходимое условие максимума требует, чтобы z′(x) (так как производная f ′(x) , следовательно, и z′(x) существует — будем считать — везде). Отсюда pf ′(x) = w или f ′(x) =

w . p

Как правило, вторая производная производственной функции f ′′(x) < 0 при любом x, поэтому достаточное условие максимума выполняется: z′′(x) < 0 . 59

y 8 6 4 2 x –4

–2

0

2

4

–2 –4 1

Рис. 1.7.2. Графики функции y = xe x и ее асимптот

Вопросы для самопроверки 1. Каковы признаки возрастания и убывания функций? 2. Покажите, что функция y = ex возрастает на любом числовом проме жутке. 3. Что называется экстремумом функции? 4. Как найти максимумы и минимумы функции? Сформулируйте два пра вила. 5. Приведите пример, который показывает, что равенство производной нулю не является достаточным условием экстремума функции. 6. Чем отличается максимум функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего значения? 7. Чем отличается минимум функции, заданной на некотором отрезке, от ее наименьшего значения? 8. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Всегда ли они существуют? 9. Какая функция называется выпуклой (выпуклой вниз)? 10. Какая функция называется вогнутой (выпуклой вверх)? 11. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости функции? 12. Что такое точка перегиба графика функции? 13. Как найти точки перегиба графика функции? 14. Что такое кривая Лаффера? 60

Задачи для самостоятельного решения 1. Постройте график функции y = x32x2 + x. 2. Исследуйте кривые Торнквиста (описывающие спрос на предметы пер вой необходимости и предметы роскоши): а) y =

2x , x +3

б) y =

3x(x − 1) x+2

и постройте их графики.

61

62

63

64

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 2.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ранее мы рассматривали функции одной переменной, возникающие в эко номической деятельности: функции спроса, предложения, издержек, полез ности, производственные функции, зависящие от единственного фактора. Так, мы считали, что спрос на товар целиком определяется ценой этого товара. На самом деле такое допущение в большинстве случаев является очень грубым: ведь спрос на товар, как правило, существенным образом зависит не только от цены данного товара, но и от цены других товаров, прежде всего, товаров — заменителей, и дополняющих товаров. Так, спрос на яблоки зависит не только от цены яблок, но и от цены груш и апельсинов; спрос на автомобили зависит не только от цен на автомобили, но и от цен на бензин; спрос на принтеры за висит не только от цен на принтеры, но и от цен на компьютеры и т. п. Также мы рассматривали однофакторную производственную функцию, описывающую зависимость объема продукции, выпускаемого фирмой в еди ницу времени, от количества единственного используемого ресурса — труда. Однако очевидно, что очень многое определяют и другие факторы, прежде всего, капитал, который можно измерить стоимостью фондов фирмы. Таким образом, мы приходим к понятию функции нескольких переменных. Пусть Х — множество точек nмерного евклидова пространства Еn. Если каждой точке P(x1, x2 , …, xn ) ∈ X ставится в соответствие по определенному правилу число y ∈ , то это означает, что на множестве Х задана функция n переменных y = f(P) или y = f(x1, x2 , …, xn ) . Множество {Р} точек пространства Еn, удовлетворяющих условию ρ(P0 , P) < δ ,

где δ > 0 , называется δокрестностью точки Р0. Точка Р называется внутренней точкой множества X ⊆ E n , если она при надлежит Х вместе с некоторой своей δокрестностью. Множество X ⊆ E n называется открытым, если каждая его точка — внут ренняя. Множество X ⊆ E n называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Открытое связное множество X ⊆ E n называется областью. Точка Р называется граничной точкой области X ⊆ E n , если в любой δ окрестности точки Р есть как точки, принадлежащие X, так и не принадле жащие X. Множество всех граничных точек области X называется границей этой области и обозначается ∂X . Область X вместе с ее границей называется замкнутой областью и обозначается Х . Всякое открытое множество, содер жащее точку Р, называется ее окрестностью. 65

Множество {Р} точек, расстояние от каждой из которых до некоторой точки Р0 удовлетворяет соотношению ρ(P0 , P) = r ,

называется nмерной сферой радиуса r с центром в точке Р0. Множество {Р} точек, расстояние от каждой из которых до некоторой точки Р0 удовлетворяет соотношению ρ(P0 , P) - r ,

называется nмерным шаром радиуса r с центром в точке Р0. Множество (область) X ⊆ E n называется ограниченным, если существует сфера, внутри которой содержится это множество (область). При исследовании функций нескольких переменных на первом его этапе обычно исследуют область определения функции. Возникающие при этом ог раничения значений независимых переменных х1, х2, …, хn — того же проис хождения, что и в случае функций одной переменной. Рассмотрим несколько примеров на нахождение области определения функций нескольких переменных. ПРИМЕР 2.1.1. Найти область определения функции y = r 2 − x12 − x22 − x32 . Решение. Область определения данной функции определяется условием x + x22 + x32 - r 2 , которое задает nмерный шар радиуса r с центром в начале коорди нат. ‰ 2 1

В отличие от функций одной переменной, допускающих геометрическое изображение, геометрическое изображение функций нескольких переменных на том же уровне наглядности возможно только для функций двух перемен ных. В случае функций трех и более переменных геометрическая интерпретация на том же уровне наглядности функции уже невозможна, так как размерность пространства, где такая наглядность возможна равна четырем. Для получения представления о поведении функции трех и более переменных используют п о в е р х н о с т и у р о в н я. Поверхностью уровня функции у =f(x1, x2, …, xn) называется множество то чек из области определения функции D(f), удовлетворяющих условию f(x1, x2 , …, xn ) = c ,

где c — постоянная. Следовательно, поверхности уровня функции f — это множества точек из области определения функции на которых она принимает заданные постоянные значения; каждому постоянному значению функции со ответствует своя поверхность уровня. В случае двух переменных поверхности уровня превращаются в линии уровня. ПРИМЕР 2.1.2. Найти поверхности уровня функции y = 36 − х12 − х22 − х32 и зна чение этой функции в точке Р(1, 1, 3). 66

Решение. В соответствии с определением поверхностей уровня имеем: 36 − х12 − х22 − х32 = c ,

где c . 0 . Откуда следует, что 36 − х12 − х22 − х32 = c2 или х12 + х22 + х32 = 36 − c2 (очевид но, что 0 - c - 6 ). Полученное уравнение задает трехмерные сферы радиуса 36 − c2 с центром в начале координат. При c = 6 поверхность уровня вырож

дается в точку — начало координат. Найдем теперь значение данной функции в точке Р(1, 1, 3): y = 36 − 12 − 12 − 32 = 36 − 11 = 25 = 5 . ‰

Линии уровня производственной функции называются изоквантами. Изо кванты определяют все такие сочетания ресурсов, которые обеспечивают одинаковый объем выпуска продукции. ПРИМЕР 2.1.3. Найти изокванты п р о и з в о д с т в е н н о й ф у н к ц и и К о б  б а — Д у г л а с а f (x1, x2 ) = Ax1α x21−α при A = 2, α = 2/3 ( x1 — численность заня тых, x2 — стоимость фондов, f (x1, x2 ) — объем выпуска). Решение. Изокванты задаются уравнением Ax1α x21−α = c или 1/(1−α )

 c  x2 =  α   Ax1 

.

В случае A = 2, α = 2/3 изокванты будут такими: 3

c3  c  x2 =  2/3  = 2 —  2x1  8x1

это квадратичные гиперболы.. ‰

Линии уровня функции полезности называются кривыми безразличия. Кривые безразличия определяют все такие наборы товаров, которые потреби телю кажутся одинаково полезными. Линии уровня функции издержек называются изокостами. Изокосты оп ределяют все такие планы производства, которые приносят одинаковые сум марные издержки. Определение предела обобщается на случай функций нескольких перемен ных следующим образом. Пусть функция f(P) определена в некоторой окрестности точки P0 (x10 , x20 , …, xn0 ) за исключением, быть может, точки Р0. Функция f(P) имеет в точке Р0 предел, равный А, если для любого ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0 , что для всех точек Р(х1, х2, …, хn) из области определения функции, для кото рых 0 < ρ(P, P0 ) < δ(ε) выполняется неравенство | f (P) − A |< ε . Обозначаться такой предел может одним из следующих способов: lim f(P) = A;

P →P0

lim f(P) = A;

ρ( P, P0 )→0

lim f(x1, x2 ,..., xn ) = A .

x1 → x10 x2 → x20

xn → xn0

67

Теоремы о пределах функции одной переменной легко обобщаются и оста ются справедливыми и для функций нескольких переменных. Необходимо при этом иметь в виду, что данное выше определение предела предполагает одновременное стремление аргументов х1, х2, …, хn к своим пределам, т. е., со ответственно, к x10 , x20 , …, xn0 . Поэтому указанный предел называется также n к р а т н ы м. Наряду с nкратным, в приложениях рассматриваются и п о  в т о р н ы е пределы, получаемые в результате предельных переходов по ка ждому аргументу в отдельности. В общем случае оба вида пределов функций нескольких переменных в точке приводят к различным результатам, что не обходимо иметь в виду при нахождении nкратного предела функции пере менных. ПРИМЕР 2.1.4. Выяснить, имеет ли предел функция f(x1, x2 ) =

2x12x22 x14 + x24

в начале координат. Решение. Из определения предела следует, что результат предельного перехода не должен зависеть от способа его реализации. Пусть, например, точка P(x1, x2 ) стремится к точке О(0, 0) по прямой x2 = kx1 . Имеем:

lim f(x1, x2 ) = lim

x1 →0 x2 →0 x2 =kx1

x1 →0 x2 →0 x2 =kx1

2x12 x22 2x12k2 x12 2k2 lim lim = = x14 + x24 x1 →0 x14 + k 4 x14 x1 →0 1 + k 4

Как видно, результат имеет различные значения в зависимости от k, и поэтому рассматриваемая функция в точке Р(0, 0) предела не имеет. ‰

Функция f(P) называется непрерывной в точке P0 (x10 , x20 , …, xn0 ) , если она оп ределена как в самой точке Р0, так и в некоторой ее окрестности, существует предел lim f(P) и этот предел равен lim f(P) = f(P0 ) . P→P0

P→P0

Функция f(P) называется непрерывной на множестве X ⊆ E n , если она не прерывна в каждой точке этого множества. Свойства непрерывных функций нескольких переменных аналогичны свой ствам непрерывных функций одной переменной. ПРИМЕР 2.1.5. Исследовать на непрерывность функцию 2x12x22 . f(x1, x2 ) = 4 x1 + x24 Решение. Данная функция не определена в точке О(0, 0) и не имеет предела в этой точке (см. пример 2.1.4). В остальных точках функция непрерывна, так как представ ляет собой отношение непрерывных функций. ‰

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение функции нескольких переменных. 2. Что такое область определения функции нескольких переменных? 68

3. Каково геометрическое изображение области определения функции двух переменных? 4. Каково геометрическое изображение области определения функции трех переменных? 5. Что такое линия уровня функции двух переменных? 6. Что такое поверхность уровня функции нескольких переменных? 7. Какие существуют способы задания функций двух переменных? 8. Каковы способы изображения функции двух переменных? 9. Что называется линиями уровня? 10. Каковы способы изображения функции трех переменных? 11. Что называется поверхностями уровня? 12. Как определяется понятие предела функции нескольких переменных? 13. Как определяется понятие непрерывности функции нескольких пере менных? 14. Приведите пример функции двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки окружности x2 + y2 = 1.

Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите lim 2x12x22 . x1 →0 x2 →0

2x12 на непрерывность. 2. Исследуйте функцию f(x1, x2 ) = 4 x1 + x24

69

70

§ 2.2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть задана функция n переменных f(x1, x2 , …, xn ) .

Зафиксируем значения переменных x1, x2 , …, xi −1, xi +1, …, xn (всех перемен ных, кроме xi ) и рассмотрим функцию одной переменной fi (xi ) = f(x1, x2 , …, xn ) .

Ее производная называется частной производной функции f(x1, x2 , …, xn ) по переменной xi и обозначается ∂f (x1, x2 , …, xn ) dfi (xi ) = . ∂xi dxi

Экономический смысл частных производных такой же, как и производных функций одной переменной. Частная эластичность функции f(x1, x2 , …, xn ) по аргументу xi рассчитыва ется так же, как и в случае функции одной переменной, производная функции одной переменной заменяется соответствующей частной производной: ε xf i ==

xi ∂f(x1, x2 , …, xn ) . f(x1, x2 , …, xn ) ∂xi

ПРИМЕР 2.2.1. Найти эластичность выпуска по труду и по капиталу для про изводственной функции Кобба — Дугласа из примера 2.1.3. Решение. Эластичности таковы:

ε xf 1 =

x

1 2/3 1/3 1 2

2x

x

4 −1/3 1/3 2 x1 x2 = , 3 3

ε xf 2 =

x

2 2/3 1/3 1 2

2x

x

2 2/3 −2/3 1 x1 x2 = . ‰ 3 3

Градиент функции f(x1, x2 , …, xn ) — это вектор, координаты которого рав ны частным производным функции по соответствующим переменным:  ∂f   ∂x   1  ∂f  grad f(x1, x2 , …, xn ) =  ∂x2  .      ∂f     ∂x   n

ТЕОРЕМА 2.2.1. Градиент функции f(x1, x2 , …, xn ) , вычисленный в точке P, перпендикулярен линии уровня функции, проходящей через эту точку, и показывает направление наибольшего роста функции в этой точке. 71

Производная функции f(x1, x2 , …, xn ) по направлению а в точке P равна ска лярному произведению единичного вектора по направлению а и градиента, вычисленного в точке А: df = e, grad f ; da

единичный вектор по направлению а можно вычислить как e=

a . |a|

ПРИМЕР 2.2.2. Найти в точке A(1, 2) производную функции z = x14 + 2x13 x2 по направлению  −4  a =  . 3 Решение. Длина вектора a равна

| a |= (−4)2 + 32 = 5 . Найдем единичный вектор в направлении a: e=

a  −4/5  = . | a |  3/5 

Частные производные функции z = x14 + 2x13 x2 в точке A(1; 2)

∂z ∂x1

= ( 4x13 + 6x12 x2 )

A (1; 2)

= 4 ⋅ 13 + 6 ⋅ 12 ⋅ 2 = 16,

A (1; 2)

∂z ∂x2

= 2x13 A(1; 2) = 2 ⋅ 13 = 2 , A (1; 2)

поэтому

 16  grad z =   . 2 Производная функции z по направлению а, вычисленная в точке А, равна скаляр ному произведению единичного вектора по направлению а и вектораградиента в точке А.

dz 4 3 58 = e, grad z = − ⋅ 16 + ⋅ 2 = − , da 5 5 5 Окончательно получаем:

dz 58 =− .‰ da 5

ПРИМЕР 2.2.3. В условиях примера 3.5.1 из первой части рабочей тетради це ны на продукцию равны 10 ден. ед. и 20 ден. ед. Определить план производст ва, который обеспечит предприятию наибольшую выручку. 72

Решение. Множество возможных планов производства было построено нами в примере 3.5.1 и изображено на рис. 3.5.1 (см. первую часть рабочей тетради). Выручка предприятия описывается функцией z = 10x1 + 20x2 , градиент которой

 10  grad z =   ,  20  указывает направление наибольшего возрастания функции z. Линии уровня функции z образуют семейство параллельных прямых, перпенди кулярных градиенту (они обозначены пунктиром на рис. 2.2.1). Будем двигать линию уровня в направлении градиента — наибольшего значения функция z достигает в точке B(30, 20). Это и есть оптимальный план производства. ‰

x2 III II I

A B 10 grad z

C

O 10

D

E x1

Рис. 2.2.1. Решение задачи оптимального планирования производства Данную задачу мы смогли решить графическим способом, поскольку данное предприятие выпускает всего два наименования продукции. Ассортимент у реальных предприятий гораздо богаче, и для оптимизации деятельности та ких предприятий графическим методом не обойтись. Методам решения таких, оптимизационных, задач будет посвящена третья часть нашего курса (третий семестр).

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение частных производных функции несколь ких переменных. 2. Что такое производная по направлению? 3. Что такое градиент функции нескольких переменных? 4. Куда направлен градиент функции нескольких переменных? 5. Как выражается производная по направлению через градиент и единич ный вектор направления? 6. Покажите, что производная функции нескольких переменных по на правлению линии уровня этой функции равна нулю. 73

Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите частные производные функции 2x12 y= 2 . x2

по всем переменным. 2. Найдите частные производные функции f(x1, x2 ) =

2x12 . x14 + x24

по всем переменным. 3. Докажите, что функция f(x; y) = ln x2 + y2

удовлетворяет уравнению ∂2 f ∂2 f + = 0. ∂x2 ∂y2

74

75

Глава 3. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Вначале напомним некоторые факты, известные из школьного курса мате матики. Операция, обратная дифференцированию, называется и н т е г р и  р о в а н и е м. Точнее, функция F(x) , такая что F′(x) = f(x) (или, что то же са мое, dF(x) = f (x)dx ), называется первообразной функции f (x) . Поскольку производная константы равна нулю, то если F(x) — первообразная функции f(x) , то и F(x) + c — также первообразная функции f(x) . Таким образом, пер вообразная определена с точностью до константы. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределен ным интегралом от этой функции и обозначается

∫ f(x)dx . Легко проверяются простейшие с в о й с т в а неопределенного интеграла:

( ∫ f(x)dx )′ = f(x); d ( ∫ f(x)dx ) = f(x)dx ; ∫ dF(x) = F(x) + c ; ∫ [af(x) ± bg(x)] dx = a ∫ f(x)dx ± b∫ g(x)dx ; Имея перед глазами таблицу производных, можно выписать некоторые ин тегралы:

∫ 0dx = c ;

n ∫ x dx =

∫ dx = x + c ;

x n +1 + c; n +1

dx ∫ x = ln | x | +c ;

x ∫ a dx =

∫ sin xdx = − cos x + c ; ∫ cos xdx = sin x + c ; dx

x

∫ sin x = ln tg 2 dx

∫ sin

2

x

+ c;

x

dx

π

∫ cos x = ln tg  2 + 4  + c ;

= − ctg x + c ;

dx

∫ cos

2

x

= tg x + c ;

dx ∫ x2 + 1 = arctg x + c = − arcctg x + c ;

∫

dx 1 − x2

∫ 76

= arcsin x + c = − arccos x + c ; dx

x +a 2

= ln x + x2 + a + c ;

ax +c; ln a

dx 1 x −1 = ln +c; 2 −1 2 x +1

∫x ∫

∫

a2 − x2 dx =

x 2 a2 x a − x2 + arcsin + c ; a 2 2

x a x2 + a + ln x + x2 + a + c . 2 2

x2 + adx =

Опишем о с н о в н ы е м е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я. Метод замены переменной основан на формуле:

∫ f(x)dx = ∫ f ( ϕ(t)) dϕ(t) = ∫ f ( ϕ(t)) ϕ′(t)dt , где x = ϕ(t) . Этот метод интегрирования иллюстрируется примером 3.1.1. ПРИМЕР 3.1.1. Найти неопределенный интеграл

∫

sin x cos xdx sin 2 x − 5

.

Решение. Используем метод замены переменной. Пусть

u = sin2 x − 5 , тогда du = 2sin x cos xdx .

Получаем:

∫

sin x cos xdx sin 2 x − 5

=∫

du = u + c = sin2 x − 5 + c . 2 u

Таким образом,

∫

sin x cos xdx sin x − 5 2

= sin2 x − 5 + c. ‰

В основе метода интегрирования по частям лежит формула

∫ u(x)v′(x)dx = ∫ u(x)dv(x) = u(x)v(x) − ∫ v(x)du(x) = = u(x)v(x) − ∫ v(x)u′(x)dx. Метод интегрирования по частям применяется в примере 3.1.2. ПРИМЕР 3.1.2. Найти неопределенный интеграл ln 2 xdx ∫ x2 . Решение. Введем обозначения

dv =

dx , u = ln2 x , x2

77

тогда

v=−

1 2ln xdx . , du = 2x x

Интегрируем по частям:

ln2 xdx ln2 x ln xdx = − +∫ . ∫ x2 x2 2x Для вычисления интеграла

∫

ln xdx x2

снова воспользуемся методом интегрирования по частям: Обозначим dv =

dx , u = ln x , x2

v=−

1 dx . , du = 2x x

тогда

Интегрируем по частям:

∫

ln xdx ln x dx =− +∫ 2 . 2 x 2x 2x

Теперь вычислим интеграл

dx

∫ 2x

2

,

используя табличную формулу интеграла от степенной функции:

dx 1 −2 1 x −1 1 = = =− . x dx ∫ 2x2 2 ∫ 2 −2 4x В результате получим

ln2 xdx ln2 x ln xdx ln 2 x ln x dx ln 2 x ln x 1 . = − + = − − + = − − − ∫ x2 2x ∫ x2 2x 2x ∫ 2x2 2x 2x 4x Окончательно получаем, что

ln2 xdx 2ln 2 x + 2ln x + 1 .‰ ∫ x2 = − 4x

Опишем теперь метод интегрирования рациональных дробей, т. е. дробей вида Pn (x) , Qm (x)

78

где Pn(x), Qm(x) — многочлены степени n и m соответственно). Известно, что всякая правильная рациональная дробь Pn (x) Qm (x)

(где Pn(x), Qm(x) — многочлены степени n и m, причем n < m) может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей вида 1 1 hx + l hx + l ; ; 2 ; . k x − a (x − a) x + px + q ( x2 + px + q )k

При этом возможны три случая. 1. Все корни знаменателя действительны и различны, т.е. знаменатель можно представить в виде Qm (x) = (x − x1 )(x − x2 )…(x − xm ) .

Тогда рациональную дробь можно представить в виде Pn (x) A1 A2 Am = + +… + . Qm (x) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x m )

2. Все корни знаменателя действительны, но есть кратные, т. е. знамена тель можно представить в виде Qm (x) = (x − x1 )α1 (x − x2 )α2 …(x − xk )αk , α1 + α2 + … + α k = m, k ≤ m.

Тогда рациональную дробь можно представить в виде Pn (x) A11 A12 = + + α1 Qm (x) (x − x1) (x − x1 )α1 −1 Ak1 Ak 2 + + + αk (x − xk ) (x − xk )αk −1

+

+

A1αk x − x1 Akαk

+

.

(x − xk )αk −1

3. Знаменатель имеет комплексные корни, т. е. знаменатель можно пред ставить в виде произведения множителей, среди которых будут множители вида: (x2 + px + q)α . Таким множителям в сумме разложения будут соответст вовать слагаемые h1x + l1 h x + l2 h x + lα . + 2 2 +… + 2 α α α−1 (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q) 2

Коэффициенты, с которыми простые дроби входят в сумму, определяются м е т о д о м н е о п р е д е л е н н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в, который будет рассмотрен в примере 3.1.3. ПРИМЕР 3.1.3. Найти неопределенный интеграл (x + 2)dx . 2 + 3x − 4

∫x

79

Решение. Найдем корни многочлена, стоящего в знаменателе: x2 + 3x − 4 = 0 ⇔ x1, 2 =

−3 ± 32 − 4 ⋅ (−4) −3 ± 5 = ⇔ x1 = −4, x2 = 1. 2 2

Таким образом, x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) . Разложим подынтегральную рациональную дробь на сумму простых дробей:

x +2 A B . = + x + 3x − 4 x + 4 x − 1 2

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Из последнего равенст ва следует, что для всех x из области определения подынтегральной функции

A(x − 1) + B(x + 4) = x + 2 Пусть x = –4, тогда A(−4 − 1) = −4 + 2 , откуда A = 2/5 . Пусть теперь x = 1, тогда B(1 + 4) = 1 + 2 , значит, B(1 + 4) = 1 + 2 . Таким образом,

(x + 2) 2 3 = + x + 3x − 4 5(x + 4) 5(x − 1) 2

и мы можем найти искомый интеграл:

(x + 2)dx 3  2dx 3dx  2 dx = ∫ = ∫ + +∫ =  2 5(x + 4) 5(x − 1) + 3x − 4  5(x + 4) 5(x − 1)  2d(x + 4) 3d(x − 1) 2 3 =∫ +∫ = ln | x + 4 | + ln | x − 1| + c. 5(x + 4) 5(x − 1) 5 5

∫x

Итак,

(x + 2)dx 2 3 = ln | x + 4 | + ln | x − 1| + c. ‰ 2 + 3x − 4 5 5

∫x

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение первообразной функции. 2. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. 3. Что такое неопределенный интеграл? 4. Постройте три первообразных функции y = x, проходящие соответст венно через точки M1(2; 1), M2(2; 2), M3(2; 3). 5. Перечислите формулы интегрирования основных элементарных функ ций. 6. Напишите формулу интегрирования по частям. 7. Укажите, какие из приведенных ниже интегралов целесообразно интег рировать по частям:

dx ∫ x ln x ,

∫

x3 dx 4−x

2

,

∫

7

sin3 x cos2 xdx,

∫x

2

e x dx,

∫ cos x ln(sin x)dx.

8. В чем заключается метод интегрирования рациональных функций?

80

Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите xdx . 4 +1

∫ 4x 2. Найдите

∫x

2x + 3 dx . + x −2

2

3. Найдите ex ∫ 3e2x + 1 dx .

81

82

83

§ 3.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пусть f(x) — непрерывная функция, а F(x) — одна из ее первообразных. Разность

F(b) – F(a) называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается b

∫ f(x)dx = F(b) − F(a) .

(3.2.1)

a

Определение (3.2.1) носит название формулы Ньютона — Лейбница. Если функция f(x) в промежутке от a до b терпит конечное или счетное чис ло разрывов (в точках x1, x2, …), то определенный интеграл функции f(x) в промежутке от a до b вычисляется как b

x1

x2

a

a

x1

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx + Простейшие с в о й с т в а неопределенного интеграла таковы: a

∫ f(x)dx = 0 ; a

b

b

a

a

∫ λf(x)dx = λ ∫ f(x)dx ; b

b

b

a

a

a

∫ ( f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx ; b

a

a

b

∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx ; b

c

b

a

a

c

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx ; b

Если f(x) . 0 для всех x ∈ [a, b] (где a < b), то ∫ f(x)dx . 0 ; a

b

Если m - f(x) - M для всех x ∈ [a, b] (где a < b), то m(b − a) - ∫ f (x)dx - M(b − a) . a

Основные методы интегрирования в случае определенного интеграла при нимают следующий вид: 84

• метод замены переменной: b

b

β

a

a

α

∫ f(x)dx = ∫ f ( ϕ(t)) dϕ(t) = ∫ f ( ϕ(t)) ϕ′(t)dt (здесь под интегралом должна стоять непрерывная функция, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b ); • метод интегрирования по частям: v (b )

b

∫ u(x)v′(x)dx = ∫ a

u (b)

u(x)dv(x) = u(x)v(x) a − b

v(a )

∫

v(x)du(x) =

u(a) b

= u(x)v(x) a − ∫ v(x)u′(x)dx b

a

(здесь f (x) — функция, непрерывная на [a, b] ) Рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов. ПРИМЕР 3.2.1. Вычислить определенный интеграл π

∫e

x

sin xdx .

π3

Решение. Поскольку функция y = e x sin x непрерывна на всей числовой прямой, а значит и на заданном отрезке [3; 5], то применима формула Ньютона — Лейбница (3.2.1). Найдем первообразную функции y = e x sin x , для этого воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть

dv = sin xdx, u = ex . тогда

v = − cos x, du = e x dx . Интегрируя по частям, получим:

∫e

x

sin xdx = − e x cos x + ∫ e x cos xdx .

Для вычисления интеграла

∫e

x

(3.2.2)

cos xdx применим метод интегрирования по час

тям еще раз. Если обозначить

dv = cos xdx, u = e x , то

v = sin x, du = e x dx . Интегрируем по частям:

∫e

x

cos xdx = e x sin x − ∫ e x sin xdx .

(3.2.3) 85

Подставим (3.2.3) в (3.2.2), получим

∫e

x

sin xdx = − e x cos x + ∫ e x cos xdx = − e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin xdx .

Разрешим это уравнение относительно ∫ e x sin xdx , получим, что

2∫ e x sin xdx = − e x (sin x − cos x) или

∫e

x

1 sin xdx = − ex (sin x − cos x) + c 2 1 F(x) = − e x (sin x − cos x) . 2

По формуле Ньютона — Лейбница (3.2.1) π

∫e

π3

x

1 1 π π 1 1 3 −1  sin xdx = F(π) − F(π 3) = − e π ( sin π − cos π ) + e π 3  sin − cos  = − e π + e π 3 2 2 3 3 2 2 2 

Итак, π

∫e

x

sin xdx =

π3

( (

1 π3 e 2

)

)

3 − 1 − eπ . ‰

Очень важна в приложениях следующая теорема. ТЕОРЕМА 3.2.1. Определенный интеграл b

∫ f(x)dx a

численно равен площади фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a, x = b .

ПРИМЕР 3.2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями: y = x2 и y =

x2 +3. 4

Решение. Построим графики функций (рис. 3.2.1). Найдем точки пересечения графиков функций:

x2 =

x2 3 + 3 ⇔ x2 = 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ x1 = −2; x2 = 2 . 4 4

На отрезке [–2; 2] функция y = x2 /4 + 3 принимает значения, не меньшие чем функция y = x2 . Поэтому для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной гра фиками этих функций, необходимо вычислить разность определенных интегралов

 x2  ∫−2  4 + 3  dx и 2

86

2

∫ x dx . 2

−2

2

2 2 2  x2   x2    3x 2  x3  2 2 3 dx x dx x 3 dx 3 dx 3 x + − = − + = − = − = 8.    ∫  4  −∫2 ∫ 4 ∫  4  4  x =−2   −2  −2  −2  2

Таким образом, искомая площадь равна восьми. ‰

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 4

2

x 0

2

Рис. 3.2.1. Графики функций y = x2 ; y =

4

x2 +3 4

Замечание. В некоторых случаях следует рассматривать х как функцию y: x = x(y) .

Обсудим теперь э к о н о м и ч е с к и й с м ы с л определенного интеграла. Пусть, например, функция f(t) описывает изменение мощности технологиче ского процесса в зависимости от времени t. Тогда t2

∫ f(t)dt —

t1

это суммарный выпуск за время от t1 до t1, а t2

∫ f(t)dt —

t1

средний выпуск продукции в единицу времени. Аналогичным образом можно использовать определенные интегралы для вы числения суммарных и средних значений других экономических показателей.

Вопросы для самопроверки 1. Что такое определенный интеграл? 2. Каковы основные свойства определенного интеграла? 3. Каков геометрический смысл определенного интеграла? 87

4. Запишите формулу Ньютона — Лейбница. 5. При каких условиях возможна замена переменных в определенном ин теграле?

Задачи для самостоятельного решения 1. Вычислить 2

∫ x dx . 2

−3

2. Вычислить ln2

∫ xe

−x

dx .

1

3. Вычислить 10

∫ 6

88

xdx . x −5

89

90

§ 3.3. ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Рассмотрим упрощенную ситуацию. Пусть y(t) — это выпуск фирмы в мо мент t, p — (постоянная) цена продукции, и фирма производит инвестиции в свой основной капитал таким образом, чтобы чистые инвестиции I(t) (т. е. суммарные инвестиции за вычетом расходов на амортизацию оборудования) составляли долю α от выпуска фирмы в денежном выражении: I(t) = αpy(t) .

(3.3.1)

Будем считать, что скорость роста объема выпуска (т. е. производная по времени) находится в прямой пропорциональности с объемом чистых инве стиций: dy(t) = λI(t) . dt

(3.3.2)

Подставляя в (3.3.2) выражение I(t) из (3.3.1), получим: dy(t) = αλpy(t) . dt

(3.3.3)

Перепишем уравнение (3.3.3) в виде dy(t) = αλpdt y(t)

(3.3.4)

и проинтегрируем левую и правую части. Интегралы должны совпасть:

∫

dy(t) = αλpdt + c y(t) ∫

или

ln y(t) = αλpt + c . Из последней формулы следует, что y(t) = eαλpt + c

или

y(t) = A eαλpt ,

(3.3.5)

где A = ec , а c — произвольная постоянная. Получили множество решений. Чтобы выбрать из них то, которое соответ ствует нашей ситуации, необходимо еще учесть, что выпуск в настоящий мо мент времени известен: он равен y(t0 ) = y0 .

(3.3.6)

Подставим в формулу (3.3.5) t0 вместо t: 91

y(t0 ) = A eαλpt0 ,

(3.3.7)

Сравнение (3.3.6) и (3.3.7) дает y0 = A eαλpt0 ,

откуда A = y0 e −αλpt0 .

(3.3.8)

Подставляя это выражение A в формулу (3.3.5), получим окончательно: y(t) = y0 eαλp(t −t0 ) .

На самом деле описанная модель применима к описанию роста фирмы только на этапе ее становления, так как в дальнейшем коэффициент λ уже не будет постоянным, а будет уменьшаться со временем. Описанная модель дает пример д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е  н и я, такие уравнения очень важны для анализа экономической динамики. Мы сталкивались с дифференциальными уравнениями и раньше в нашем курсе: в примере 5.5.8, когда мы искали производную функции, заданной неявно. Познакомимся с простейшими фактами теории дифференциальных урав нений. Начнем, как обычно, с определений. Уравнение, связывающее независимую переменную x с неизвестной функ цией y(x) и ее производными до nго порядка включительно называется обык новенным дифференциальным уравнением. Решением дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая имеет производные до nго порядка включительно и, будучи подстав лена в данное обыкновенное дифференциальное уравнение, обратит его в то ждество. Как мы видели в рассмотренном примере, дифференциальное уравнение в общем случае имеет мо бесконечно много решений. Формула, описывающая все эти решения, называется общим решением обыкновенного дифференци ального уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения (3.3.3) описывается формулой (3.3.5). Чтобы из множества решений уравнения выбрать одно (нужное), необходи мо указать какоелибо дополнительное условие. Чаще всего такое условие за дается в виде н а ч а л ь н о г о у с л о в и я (3.3.6). Задача отыскания решений обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющих начальному условию, называется задачей Коши. Если задача Коши имеет единственное решение, то это решение называется частным. Простейший вид дифференциальных уравнений — это уравнения с разде ляющимися переменными, которые имеют вид dy = f(x)g(y) , dx

где f (x) и g(y) — непрерывные функции. 92

(3.3.9)

Алгоритм решения таких уравнений состоит в том, что вначале разделяют переменные, перенося все множители, зависящие от y и не зависящие от x, в одну часть уравнения, а все множители, зависящие от x и не зависящие от y — в другую часть уравнения: dy = f(x)dx , g(y)

(3.3.10)

затем от обеих частей полученного уравнения берется интеграл: dy

∫ g(y) = ∫ f(x)dx ,

(3.3.11)

который выражает общее решение уравнения. Частное решение получают определением конкретного значения постоянной интегрирования с путем подстановки в общее решение начального условия.

Вопросы для самопроверки 1. Что такое дифференциальное уравнение? 2. Что такое общее решение дифференциального уравнения? 3. Что такое частное решение дифференциального уравнения? 4. Что такое задача Коши? 5. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разде ляющимися переменными? 6. Как найти решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите общее решение уравнения xdx + ydy = 0. 2. Найдите частное решение уравнения xdx + ydy = 0, соответствующее условию y(0) = 1. 3. Найдите общее решение уравнения dy = 5x + y . dx

93

94

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Организация выполнения контрольных заданий По дисциплине «Математика» в каждом семестре предусмотрено выполне ние контрольных заданий. В процессе работы над контрольным заданием сту дент активно закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и практических занятиях. В первом семестре студент должен выполнить 2 задачи по линейной алгеб ре и 7 задач по математическому анализу. Условия задач по математическому анализу приведены далее, а конкретные числовые данные для каждого вари анта — в приложениях. Номер варианта выбирается по последней цифре но мера зачетной книжки студента. При выполнении контрольного задания следует строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки. 1. Контрольное задание выполняется аккуратно в рабочей тетради. Графики либо строятся при помощи компьютера и вклеиваются в работу (рекомендуется использование пакета Microsoft Excel), либо вычерчиваются от руки (черными или цветными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бу маге). Листы с текстом контрольного задания и графики должны быть сшиты. 2. В работу должны быть включены все требуемые задачи строго по поло женному варианту. Контрольные работы, содержащие задания не своего ва рианта, не засчитываются. 3. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее усло вие. В том случае, когда формулировка задачи одна для всех вариантов, а разли чаются лишь исходные данные, необходимо переписывая общее условие задачи, заменять общие данные конкретными, соответствующими своему варианту. 4. Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. Обязательны оглавление и сквозная нумерация всех листов. Контрольное задание сдается преподавателю до экзамена для проверки. На экзамене студент должен показать, кроме владения теоретическим материа лом, умение математически ставить, решать и анализировать конкретные за дачи, в первую очередь, те, которые он решал при выполнении контрольного задания. При указании рецензента работы на требуемую переработку все не обходимые дополнения студент прилагает к первоначальному тексту работы, не делая в нем никаких исправлений.

Содержание контрольного задания 1. Пределы. Требуется вычислить предел, заданный для каждого варианта в прил. 1. Указание. См. решения примеров 1.3.2—1.3.7, 1.6.1, 1.6.2.

2. Производные. Требуется вычислить производные функций, заданных для каждого варианта в прил. 2. Указание. См. решения примеров 1.5.3—1.5.7.

95

3. Применение производной к исследованию функций. Требуется исследо вать функцию и построить ее график (конкретная функция для каждого вари анта дана в прил. 3. Указание. См. решения примеров 1.7.2—1.7.3.

4. Производная по направлению и градиент. В прил. 4 для каждого варианта приведены: функция z = f(x1, x2), точка A(a1, a12) и вектор b = (b1, b2). Требуется найти в точке A производную функции f(x1, x2) по направлению b. Указание. См. решение примера 2.2.2.

5. Неопределенный интеграл. Требуется вычислить неопределенный инте грал (конкретный интеграл для каждого варианта приведен в прил. 5). Указание. См. решения примеров 3.1.1—3.1.3.

6. Определенный интеграл. Требуется вычислить определенный интеграл (конкретный интеграл для каждого варианта приведен в прил. 6). Указание. См. решение примера 3.2.1.

7. Применение определенного интеграла к вычислению площадей. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями (уравнения кон кретных линий для каждого варианта приведены в прил. 7). Указание. См. решение примера 3.2.2.

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

ЛИТЕРАТУРА 1. Босс В. Лекции по математике: Анализ. – М.: УРСС, 2005. 2. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А. Матема тический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов. – М.: Физ матлит, 2001. 3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Учебник для вузов. – М.: Велби; Проспект, 2004. 4. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика: Учебное пособие для вузов. – М.: ИНФРАМ, 2002. 5. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая ма тематика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИДАНА, 2003. 6. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003. 7. Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. – М.: Физматлит, 2002. 8. Малыхин В. И. Математика в экономике: Учебное пособие для вузов. – М.: ИНФРАМ, 2001. 9. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Математи ка в экономике: Учебник для вузов. – М.: Финансы и статистика, 2003.

111

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ Вариант 1. 2x3 + 7x2 − 2 3x 2 − 4 x + 1 2− x ; б) lim ; в) lim ; x →∞ 6x 3 − 4x 2 + 3x x →1 x 2 − 3x + 2 x →4 6x + 1 − 5

а) lim

1 − cos8x  x+5 ; д) lim   . x →0 1 − cos4x x →∞  x  3x

г) lim

Вариант 2. 10x2 − x + 1 x2 − 4 9+ x − 9−x ; б) lim ; в) lim ; x →∞ 5x 2 + 6x − 2 x →−2 x 2 − 3x − 10 x →0 x 2 + 6x

а) lim

sin3x  x −2 ; д) lim   →∞ x →0 x 6x  x 

г) lim

2 x +1

.

Вариант 3. x4 + 1 x2 + 8x + 15 3x − 3 ; б) lim ; в) lim ; x →∞ x 2 + 3x − 2 x →−5 x 2 + 3x − 10 x →1 8+ x −3 10x2 4  г) lim ; д) lim  ( ln(2 + x) − ln2)  . x →0 1 − cos x x →0  x 

а) lim

Вариант 4. 2x2 − x − 6 x2 − 4 5−x − 3+ x ; б) lim ; в) lim ; x →∞ x 2 + 7x + 10 x →2 x 2 + x − 6 x →1 x − x2 3x tg x г) lim ; д) lim (x − 3) ( ln(2x + 1) − ln(2x) ). x →0 sin 2 x x →∞

а) lim

Вариант 5. 3x4 + 7x − 2 3x 2 + 4x + 1 7+ x − 7− x ; б) lim ; в) lim ; 3 2 x →∞ 5x − 3x + 1 x →−1 x + 3x + 2 x →0 5x 4 x tg x г) lim ; д) lim (1 + 3sin2 x )1− cos2x . x →0 1 − cos x x →0

а) lim

Вариант 6. 4x 2 + x + 7 x 2 + 5x + 6 4+ x − 4−x ; б) lim ; в) lim ; 2 2 x →∞ x →−3 x − 3x − 18 x →0 5x − 4 3x 2 + x cos x − cos5 x  2x − 1  г) lim ; д) lim  ln(1 + 3x) . 2 0 x →0 x → 4x  5x 

а) lim

Вариант 7. 12x3 + 3x + 1 x2 + 3x − 10 x2 − 7 − 3 ; б) lim ; в) lim ; x →∞ 6x 3 + x 2 + x − 2 x →2 2x 2 + x − 10 x →4 x 2 − 4x 4x 2  3x − 2  г) lim ; д) lim  ln(1 + 5x) . x →0 1 − cos4x x →0  4x 

а) lim

Вариант 8. 3x 2 − 2 x2 − x − 6 3x − 3 ; б) lim ; в) lim ; 2 2 x →∞ x + 1 x →−2 x + 7x + 10 x →1 8+ x −3 8x 2 5tg x г) lim ; д) limπ (1 − cos x ) . 2 x →0 sin 5x x→

а) lim

2

Вариант 9. 5x 3 + 4x − 2 x3 + x2 − x − 1 4x − x ; б) lim ; в) lim 2 ; 2 x →∞ x 3 + 2x + 1 x →1 x → 4 x + 4x − 5 x − 16 x tg2 3x 3 x −3 ( ) г) lim ; д) lim 7 − 6x . x →0 10x 2 x →1

а) lim

112

Вариант 0. 2x5 − 4x2 + 3 x 2 + 4x + 3 2x ; б) lim ; в) lim ; 5 3 2 x →∞ x + 3x + 1 x →−3 x + 3x + x + 3 x →0 10 + x − 10 − x

а) lim

2x

1− x г) lim x ctg3x; д) lim ( 2 − x ) . x →0

x →1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ Вариант 1. а) y = x2

x 2 1 + x2 ; б) y = ( ecos x + 3 ) ; в) y = ln sin(2x + 5); г) y = x x . 2 1− x

Вариант 2. а) y = 3

1+ x sin x 1+ x ; б) y = cos5 3x; в) y = ln ; г) y = e arctg x . 1− x 1 + tg x 1− x

Вариант 3. x2 + 64 x 2x − 1 1 + sin2x  ; б) y = cos5 3x; в) y = ln 2 ; г) y =  arcsin  . x + 64 1 − sin2x 3  1− x 2

а) y =

Вариант 4. 1

а) y =

4x − x

2

; б) y =

2sin x x ; в) y = e− x ln x; г) y = 3arctg . 1 + cos x 2

Вариант 5. 1 3 а) y = 2 ( 2 − x3 ) ; б) y = x2 sin 3 x; в) y = ln ( x2 + 5x + x ) ; г) y = arcsin . x 2

Вариант 6. а) y =

x2

1 x ; б) y = 2tg3 ( x2 + 1) ; в) y = x ln 2 x; г) y = arctg . 2 2 x2 + 4

Вариант 7. а) y =

x2 + 4 ; б) y = x sin x2 ; в) y = ln sin(2x + 5); г) y = arcsin 1 − x2 . x +2

Вариант 8. а) y =

3 x arcsin x ; б) y = ( esin x − 1) ; в) y = ln tg ; г) y = . 3 4 2 1 − x2 ( x2 + 2)

5

Вариант 9. а) y =

1 − 4x ; б) y = cos2x − 2sin 2 x; в) y = ln(2 − cos x); г) y = arccos 1 − 4x . 2 x

Вариант 0. а) y =

1+ x x ; б) y = ; в) y = ln 4 sin x; г) y = arctg e2 x . 2 cos x 1− x

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ФУНКЦИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ Вариант 1. а) y = 2x 4 − x2 + 1; б) y = x e − x . 2

Вариант 2. а) y = x3 − 3x2 + 4; б) y = x e− x .

Вариант 3.

а) y = 12x − x3 ; б) y = ln ( 4 − x2 ) .

113

Вариант 4. 1 а) y = ( x4 − 6x2 + 5 ) ; б) y = ln(1 − 2x). 2

Вариант 5. а) y = x4 − 2x2 + 10; б) y = x2 − 2ln x.

Вариант 6. а) y =

1( 3 x − 6x2 − 36x + 5 ) ; б) y = x − ln(x + 1). 20

Вариант 7. 1 а) y = x3 − 4x + 7; б) y = x ln x. 3

Вариант 8. 1 ex а) y = − ( x3 − 3x2 + 4 ) ; б) y = . 4 x

Вариант 9. 2 1 а) y = 2 + x2 − x4 ; б) y = (2 + x2 )e− x . 2

Вариант 0. 1 а) y = x3 + 2x2 + 6x; б) y = ln ( x2 − 9 ) . 6

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ Вариант 1.

Вариант 6.

z = 3x + 2x1x2 + x ; A(1; 2); b = (4; 3). 2 1

2 2

z = arcsin

x1 ; A(5; 5); b = (−12; 5). x1 + x2

Вариант 2.

Вариант 7.

x + x2 z = 12 ; A(1; − 2); b = (1; − 2). x1 + x22

z = x12 + 3x1x22 ; A(1; 3); b = (1; 2).

Вариант 3.

Вариант 8.

z = arctg ( x x ) ; A(1; − 1); b = (5; − 12). 2 1

z = 2x + 8x x23 ; A(2; − 1); b = (1; − 2).

2 2

4 1

2 1

Вариант 9.

Вариант 4.

z = ln(5x1 + 3x2 ); A(2; 2); b = (2; − 3).

z = 2x + 3x1x2 + 4x22 ; A(2; − 2); b = (1; 3).

Вариант 5.

Вариант 0.

2 1

z = 2x x2 + 3x x ; A(1; − 2); b = (6; − 8). 3 1

2 1

2 2

z = arctg

x2 ; A(−1;1); b = (−1; − 1). x1

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Вариант 1. а)

sin xdx (3x − 1)dx ; б) ∫ 2 ; в) ∫ x3 ln xdx. x x 6 10 − + 5 − 2cos x

∫

Вариант 2. а)

114

∫

xdx 2− x

2

; б)

(x + 2)dx

∫ 3 + 2x − x

2

; в) ∫ x cos5xdx.

Вариант 3. а)

∫

cos xdx 3

2

; б)

sin x

(x + 1)dx ; в) ∫ x3 arctg xdx. 2 − 12x + 13

∫ 4x

Вариант 4. а)

∫

sin2xdx 1 + cos x

3

2

(8x + 3)dx

; б)

∫ 5 + 2x − x

; б)

∫x

Вариант 5. а)

∫

xdx 4 − x2

(x + 3)dx ; в) 2 − 6x + 10

sin3xdx

∫ 7 − 5cos3x ; б) ∫ x

Вариант 7. а)

∫x

dx 4 − ln x 2

dx

∫ (3 + tg x)cos

2

x

; б)

∫

x ln xdx.

(3x − 1)dx xdx ; в) ∫ . 2 + 2x + 2 cos2 x

∫x

; б)

Вариант 8. а)

1 ; в) ∫ arctg dx. x

(x + 1)dx ln xdx ; в) ∫ . 2 − 2x + 3 x2

Вариант 6. а)

2

(x − 2)dx  x  ; в) ∫ arcsin   dx. 2 + x +1  2

∫x

Вариант 9. а)

ln2 xdx (x + 4)dx 2 ∫ x ; б) ∫ x2 + x + 2; в) ∫ x ln xdx.

а)

∫

Вариант 0. 5

dx (2x − 8)dx x cos xdx ; б) ∫ ; в) ∫ . 2 2− x − x sin3 x 2 − 5x

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Вариант 1. 9

∫ 4

xdx . x −1

Вариант 2. 3

∫x 1

dx . +x

3

Вариант 6. 1

x

e dx ∫0 1 + e2x .

Вариант 3.

Вариант 7.

1

−2 x ∫ x e dx. 0

Вариант 4. 2 2 ∫ x 9 − x dx. 0

3

∫ ln(x + 3)dx. 0

3

Вариант 5.

Вариант 9. 0,5

∫ arcsin xdx. 0

Вариант 0. 9

∫x

2

sin xdx.

4

π /3

∫ tg

3

xdx.

4

Вариант 8. 1

x 3 dx ∫0 x + 1 .

115

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. ФИГУРЫ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ПЛОЩАДЕЙ

Вариант 1.

Вариант 5.

Вариант 9.

y = x и y = 4x.

y = x и y = 3x.

y = x5 и y = 4x3 .

Вариант 2.

Вариант 6.

Вариант 0.

3

y=

2 и y = x2 . 2 1+ x

Вариант 3.

xy = 4 и x + y − 5 = 0.

5

y=

3 и y = 4x 2 . 2 1 + 2x

Вариант 7.

xy = 8 и x + y − 4 = 0.

Вариант 4.

Вариант 8.

y2 = 16 − 8x и y2 = 24x + 48.

y2 = 12 + 4x и y2 = 15x − 30.

116

y = x 2 и y = 4x 5 .

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .......................................................................................................................................................................3 Глава 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной...........4 §.1. § 1.2. § 1.3. § 1.4. § 1.5. § 1.6. § 5.7.

Функции ............................................................................................................................................................. 4 Числовые последовательности.................................................................................................... 11 Теория пределов....................................................................................................................................... 19 Непрерывность функций.................................................................................................................. 30 Производная и дифференциал.................................................................................................... 35 Основные теоремы о дифференцируемых функциях............................................. 45 Приложения производной ............................................................................................................... 54

Глава 2.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных ...65

§ 2.1. § 2.2.

Функции многих переменных....................................................................................................... 65 Частные производные ......................................................................................................................... 71

Глава 3.

Интегралы и дифференциальные уравнения..................................................76

§ 3.1. § 3.2. § 3.3.

Неопределенный интеграл ............................................................................................................. 76 Определенный интеграл ................................................................................................................... 84 Понятие о дифференциальных уравнениях ................................................................... 91

Контрольные задания ............................................................................................................................................95 Литература.....................................................................................................................................................................111 Приложения..................................................................................................................................................................112

ВЛАДИМИР ИГОРЕВИЧ СОЛОВЬЕВ Декан факультета информационных технологий, заведую щий кафедрой математики и естествознания Института гума нитарного образования, доцент кафедры прикладной матема тики Государственного университета управления. Выпускник факультета вычислительной математики и ки бернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, кандидат экономиче ских наук, доцент. Специалист по математическим методам исследования эко номики, область научных интересов — математические мето ды управления финансовыми рисками, теория вероятностей и математическая ста тистика, теория оптимального управления. Автор и соавтор более 70 опубликованных научных и учебнометодических работ, среди которых учебные пособия «Компьютерный практикум по прикладной стати" стике» (2005), «Математические методы управления рисками» (2003), «Введение в многомерный статистический анализ» (2003), «Прикладная математика» (2002), «Стохастические модели математической экономики и финансовой математи" ки» (2001), «Теория вероятностей в примерах и задачах» (2001), «Математическая статистика в примерах и задачах» (2001) и др. Читает лекции и проводит практические занятия по теории вероятностей, мате матической статистике, многомерным статистическим методам, эконометрике, мето дам оптимизации, исследованию операций, теории игр, финансовой математике, ма тематической экономике, управлению финансовыми рисками, финансовому ме неджменту, экономической теории и другим дисциплинам для студентов Института гуманитарного образования и Государственного университета управления. Руково дит курсовым и дипломным проектированием, аспирантами. Успешно реализовал ряд информационнотехнологических и консалтинговых проектов в крупнейших банках, финансовых и производственных компаниях.