Физика: Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделам: ''Физические основы механики'', ''Молекулярная физика''

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

ФИЗИКА Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделам: “Физические основы механики”, “Молекулярная физика” Факультеты: все Направление подготовки дипломированного специалиста 650000 – техника и технологии Направление подготовки бакалавра 550000 – технические науки

Санкт-Петербург 2004

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 53(07) Физика: Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб.: СЗТУ, 2004. – 144 с. Данное пособие разработано в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по

направлению подготовки дипломированного специалиста 650000 –

“Техника и технологии” и отнесенных к нему специальностей и направлению подготовки бакалавра 550000 – “Технические науки”. Настоящая брошюра содержит методические указания к выполнению лабораторных работ по следующим разделам дисциплины “Физика”: Физические основы механики. Молекулярная физика. Рассмотрено на заседании кафедры физики 04.03.2004 года; одобрено методической комиссией факультета системного анализа и естественных наук 21.06.2004 года. Рецензенты: К.Г.Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., зав.кафедрой физики СПбГТУТД; В.М.Грабов, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры физики РГПУ им. А.И. Герцена. Под общей редакцией А.Б.Федорцова, д-ра физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой физики СЗТУ. Научные

редакторы:

Е.А.Лиходаева,

канд.

техн.

наук,

доц.;

В.Б.Харламова, доц. Составители: А.С.Иванов, канд. техн. наук, доц.; Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф.; Ю.И.Кузьмин, канд. физ.-мат. наук, доц.; Г.А.Курбатов, канд. техн. наук, доц.; Е.А.Лиходаева, канд. техн. наук, доц.; С.В.Михайлова, канд. пед. наук; И.Г.Орехова, канд. техн. наук, доц.; В.Б.Харламова, доц.; В.М.Цаплев, д-р.техн.наук, проф.; Д.В.Косицкий, асп. © Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2004 2

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Охрана труда и техника безопасности при проведении лабораторных работ Соблюдение техники безопасности при выполнении лабораторных работ по курсу физики производится в соответствии со следующими государственными стандартами: 1. ГОСТ 12.1.019-79. ССБТ. Электробезопасность. Общие требования и номенклатура видов защиты. 2. ГОСТ 12.1.030—81. ССБТ. Электробезопасность. Защитное заземление. Зануление. 3. ГОСТ 12.2.032—78. ССБТ. Рабочее место при выполнении работ сидя. Общие эргономические требования. К выполнению лабораторных работ допускаются студенты, изучившие методические указания к выполнению лабораторных работ, прошедшие инструктаж по технике безопасности и обученные безопасным методам работы. О прохождении инструктажа делается запись в журнале учета прохождения инструктажа по технике безопасности, которая подтверждается собственноручными подписями студентов, прошедших инструктаж, и преподавателя или дежурного лаборанта, проводившего его. Перед проведением лабораторной работы необходимо проверить надежность заземления электроизмерительных приборов и установок. Перед включением оборудования необходимо убедиться в отсутствии посторонних предметов в рабочей зоне и предупредить товарищей о начале лабораторной работы; до начала работы приборы должны быть выключены. В случае обнаружения неисправностей, связанных с токопроводящими проводниками, изоляцией, греющимися токонесущими частями, необходимо немедленно прекратить работу и обратиться к преподавателю или дежурному лаборанту.

3

После окончания лабораторной работы необходимо выключить электроизмерительные приборы. Запрещается: -

находиться в помещении в верхней одежде;

-

оставлять без надзора включенную лабораторную установку;

-

выполнять работу в отсутствие преподавателя или дежурного лаборанта;

-

класть сумки и другие личные вещи на столы и лабораторную технику.

Студенты, не соблюдающие правила техники безопасности, отстраняются от проведения лабораторных работ. Требования к оформлению отчетов По каждой лабораторной работе оформляется отчет, который должен содержать: 1) номер и название работы; 2) формулировку цели работы; 3) физическое обоснование цели работы и метода измерения; 4) рабочую формулу с расшифровкой всех буквенных обозначений; 5) результаты прямых измерений и вычислений; 6) там, где это предусмотрено работой, график; 7) вычисление искомой величины по рабочей формуле; 8) вывод формулы относительной погрешности (неопределенности) косвенного измерения и результат расчета по этой формуле; 9) оценку погрешности (неопределенности) измерения искомой величины. При оценке неопределенностей прямых и косвенных измерений студент должен руководствоваться правилами обработки результатов измерений, приведенными в данных указаниях на с. 6…12. 10) подпись студента и дату выполнения данной лабораторной работы. 4

Библиографический список Основной:

1. Трофимова Т.И. Курс физики. –М.: Высш. шк., 2001 и др. года изданий.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.: Высш. шк., 2004 и др. года изданий. Дополнительный:

3. Савельев И. В. Курс общей физики. −М.: Наука, 1989 и др. года изданий.

4. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. – М.: Наука, 1970.

5

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Любое измерение неизбежно связано с некоторой ошибкой. Это приводит к неопределенности результата измерений. Неопределенности (погрешности) результатов измерений имеют три вида составляющих: случайные, систематические и промахи. В каждой конкретной лабораторной работе необходимо оценить, какой вклад вносит каждая составляющая неопределенности в результат измерения данной величины. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Прямыми называют измерения, при которых результат получается непосредственно по отсчетному устройству прибора. I. Учет случайных составляющих неопределенности (погрешности) Случайные составляющие погрешности (неопределенности) измерений вызываются рядом мелких, неконтролируемых обстоятельств. Они подчиняются законам математической статистики. При оценке таких неопределенностей, предполагают, что они являются случайными величинами, малыми по сравнению с самой измеряемой величиной и распределены по нормальному (гауссову) закону. Для оценки неопределенности измерений, которую вносят случайные составляющие, необходимо выполнить следующее: 1. Провести n измерений величины х. Результаты измерений х1, х2… хn занести в таблицу по форме 1. Измерения должны быть многократными (число измерений n указывается преподавателем). 2. На основе полученных значений х1, х2… хn вычислить среднее арифметическое значение х по формуле:

1 n xср = ∑ xi . n i =1 6

(1)

3. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений (хi) от среднего арифметического значения (хср – хi), а затем рассчитать квадратичное отклонение (хср – хi)2. Полученные данные занести в таблицу по форме:

N

(хср – хi)2

(хср – хi)

хi

опыта 1 2 3

4. По данным последней колонки формы определить среднее квадратичное отклонение (СКО) результата серии из n измерений от среднего арифметического значения хср. по формуле:

∑ (xср − xi )

2

n

S ( хср ) =

i =1

n(n − 1)

.

(2)

Замечание: В международных документах, основанных на «Руководстве по выражению неопределенности измерений» среднее квадратичное отклонение (СКО) обозначается термином стандартная неопределенность (Uс). 5. Оценить доверительный интервал, т.е. интервал, в котором с требуемой доверительной вероятностью р находится измеряемая величина х. Значение р задается преподавателем исходя из требований конкретного эксперимента. Границы доверительного интервала для измеряемой величины х определяются по формуле: хср ± Δ х, где Δx = t ( p,n )S(хср ) , где t(p,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от р и n. 7

(3)

Определить коэффициент Стьюдента при выбранной доверительной вероятности р и данном числе измерений n можно из табл. 1. 6. Записать результат прямого измерения в виде: (хср – Δ х)…(хср + Δ х). Такая запись означает, что измеренная величина х с доверительной вероятностью р находится в интервале от (хср – Δ х) до (хср + Δ х). Например, если при измерении диаметра d шарика микрометром, среднее арифметическое значение dср. = 5,29 мм, расчетное значение границы доверительного интервала составляет Δd = 0,01 мм, то ответ имеет вид: d = (5,28…5,30) мм. Следует заметить, что для всех измеряемых в данной лабораторной работе величин задается одно и то же значение доверительной вероятности р. Таблица 1 0.68

0.8

0.9

0.95

0.98

0.99

0.999

2

1.3

1.9

6.31

12.71

31.82

63.66

636.62

3

1.3

1.6

2.92

4.30

6.69

9.92

31.60

4

1.2

1.5

2.35

3.18

4.54

5.84

12.94

5

1.2

1.5

2.13

2.78

3.75

4.60

8.61

6

1.1

1.4

2.02

2.57

3.36

4.03

6.86

7

1.1

1.4

1.94

2.45

3.14

3.71

5.96

8

1.1

1.4

1.90

2.36

3.00

3.50

5.40

9

1.1

1.4

1.86

2.31

2.90

3.36

5.04

10

1.1

1.3

1.83

2.26

2.82

3.25

4.78

50

1.1

1.3

1.7

2.0

2.7

100

1.0

1.3

1.7

2.0

2.6

∞

1.0

1.6

2.0

2.6

p n

8

II. Учет неопределенностей, обусловленных систематическими ошибками

Такие неопределенности (систематические погрешности) связаны с методом или средством измерений. Оценка таких погрешностей (неопределенностей) обычно проводится разработчиком или изготовителем прибора. Существует несколько способов оценки таких неопределенностей при использовании прибора в лаборатории в рекомендованных условиях его работы. 1. Используя информацию, приведенную в паспорте прибора. В паспорте прибора указывается предел допустимой неопределенности (погрешности) δ или приводится расчетная формула для ее вычисления. 2. На основании класса точности прибора. Многие приборы (амперметры, вольтметры, ваттметры и др.) нормируются по приведенной погрешности, выражаемой в процентах от верхнего предела измерений. Максимальная погрешность (неопределенность) измерений прибором в этом случае вычисляется по формуле:

δ=

k ⋅ xm , 100

(4)

где k – класс точности прибора; xm – верхний предел измерений прибора. 3. По цене деления прибора. Если класс точности прибора не указан, то за погрешность (неопределенность) δ прибора принимают половину цены наименьшего деления шкалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается неравномерно, погрешность прибора считают равной цене деления прибора. (Это, например, имеет место у механического секундомера, стрелка которого перемещается скачками). Граница доверительного интервала, определяемая систематическими ошибками, определяется по формуле: δ ΔxB = t ∞ ⋅ , 3

9

(5)

где t∞ – коэффициент Стьюдента при n = ∞; δ – доверительная граница систематической погрешности. III. Промахи

Грубые ошибки (промахи) – это ошибки измерения, возникающие в результате погрешности оператора, неверного отсчета по прибору, неправильного включения прибора или недостатка внимания экспериментатора. Внешним признаком промаха является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. Получив такой результат, его следует исключить из дальнейших расчетов. IV. Доверительный интервал в общем случае

В общем случае необходимо учитывать как случайные, так и систематические неопределенности (погрешности) измерений. Тогда границы доверительного интервала для суммарной неопределенности можно вычислить по формуле: Δx =

(ΔxA )2 + (ΔxB )2 ,

(6)

где ΔxA = t ( p ,n )S ( хср ) – граница доверительного интервала, обусловленного случайными ошибками измерений; ΔxB = t ∞ ⋅

δ – граница доверительного ин3

тервала, вызванная систематическими ошибками измерений. При определении границ доверительного интервала неопределенности (погрешности) измерений, обусловленных вкладом как случайных, так и систематических ошибок, вычисление ΔхА и ΔхВ следует проводить при одном и том же значении доверительной вероятности р. В практике учебных лабораторных работ обычно принято брать значение доверительной вероятности р = 0,68, тогда коэффициент Стьюдента при n = 10 составляет t = 1,1, а при n = ∞ t

∞

= 1,0. Вероятность р = 0,68 означает,

что результат измерения величины х с вероятностью 68 % попадает в интервал (хср - Δx)…( хср + Δx), т.е. примерно каждое третье измерение дает результат за пределами данного интервала. 10

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Косвенными являются измерения, при которых искомую физическую величину Z определяют путем вычислений по результатам прямых измерений других величин. Поэтому после проведения прямых измерений и оценки их неопределенностей (погрешностей) необходимо вычислить среднее значение искомой величины (Zср) по рабочей формуле, в которую подставляют средние значения величин, полученных из прямых измерений. 2. Для оценки неопределенностей (погрешностей) косвенных измерений величины Z необходимо вывести формулу для ее относительной погрешности γ. Пусть искомая величина Z является функцией нескольких переменных: Z = f (Y1 ,Y2 …Ym ) .

Тогда 2

2

2

' ⎛ f Ym ⎛ f Y' 1 ΔY1 ⎞ ⎛ f Y' 2 ΔY2 ⎞ ΔYm ⎞ ΔZ ⎟⎟ , ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + … + ⎜⎜ γ= = ⎜⎜ Z Z ⎝ Z ⎠ ⎝ Z ⎠ ⎝ ⎠

где f Y' m =

(7)

∂Z – частные производные, которые вычисляются при средних зна∂Ym

чениях результатов прямых измерений Ym ; Δ Ym – граница доверительного интервала для прямого измерения Ym .

Формула для расчета относительной неопределенности косвенных измерений в некоторых простейших случаях представлена в табл. 2, где символы ΔY

обозначают

границы

доверительного

величин Y .

11

интервала

для

измеряемых

Таблица 2 Относительная стандартная неопределенность

Вид функциональной

γ=

зависимости

2

2

2

2

Z = Y1Y2

⎛ ΔХ1 ⎞ ⎛ ΔХ2 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ Y1 ⎠ ⎝ Х 2 ⎠

Z = Y1 / Y2

⎛ ΔХ1 ⎞ ⎛ ΔХ2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ Y Х ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

β 2

Z

(ΔХ1 )2 + (ΔХ2 )2 (Y1 ± Y2 )

Z = Y1 ± Y2

α 1

ΔZ

γ m

Z = Y ,Y …Y

2

⎛ ΔХ m ⎞ ⎛ ΔХ ⎞ ⎛ ΔХ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + … γ 2 ⎜⎜ α ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + β 2 ⎜⎜ Y Х Х ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ m ⎠

2

2

3. После вывода формулы относительной погрешности необходимо по ней вычислить значение γ, а затем определить доверительный интервал ΔZ искомой величины: ΔZ = Zср . γ.

Окончательный результат следует представить в стандартной форме: (Zср – Δ Z)…(Zср + Δ Z).

12

РАБОТА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА 1. Цель работы

Целью данной работы является получение студентами практических навыков измерений физических величин, правильной оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений и усвоение логической последовательности в оформлении протокола эксперимента. Главная задача – закрепление на практике основных положений теории неопределенностей при измерениях физических величин. 2. Основные теоретические положения

Данная работа является первым экспериментом при изучении дисциплины “Физика”. Получение и закрепление навыков проведения и обработки результатов прямых и косвенных измерений имеет смысл проводить на простейших моделях. В качестве такой модели выбран сплошной цилиндр. Перед выполнением лабораторной работы студенту следует ознакомиться с методикой измерений с помощью штангенциркуля, правилами обработки результатов измерений, изложенными в данном пособии на с. 6-12, а также подробно изучить приведенный ниже пример – Измерение объема конуса. Этот пример позволит закрепить правила оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений, усвоить структуру отчета по эксперименту. Пример. Измерение объема конуса

На рис. 1 представлено тело в виде конуса. Пусть необходимо определить объем конуса. Расчетной формулой в этом случае является 1 1 V = S ⋅ H = πD 2 H , 3 12 где D – диаметр конуса; Н – высота конуса.

13

(1)

H

D

Рис. 1 Прямые измерения – это измерения высоты и диаметра конуса, а определение его объема

является косвенным измерением на основе рабочей

формулы (1). Измерения высоты и диаметра будем проводить штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм. Правила работы со штангенциркулем приведены в приложении данной работы. Проведем серию из n измерений D и Н. Данные прямых измерений D и Н занесем в табл. 1 для числа измерений n = 10. Оценим отдельно вклад случайных и систематических (приборных ошибок) в вычислении неопределенности (погрешности) прямых измерений. Будем считать, что случайные ошибки измерений подчиняются закону нормального распределения. Грубые ошибки (промахи) исключаем из измерений.

14

Таблица 1 №

Н,

(Нср-Нi),

(Нср-Нi)2,

D,

(Dср-Di),

(Dср-Di)2,

опыта

мм

мм

мм2

мм

мм

мм2

1

43,25

0,05

0,003

18,45

0,04

0,002

2

43,15

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

3

43,20

0,00

0,0000

18,45

0,04

0,002

4

43,15

0,05

0,003

18,35

0,06

0,004

5

43,25

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

6

43,25

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

7

43,15

0,05

0,003

18,40

0,01

0,0001

8

43,20

0,00

0,0000

18,40

0,01

0,0001

9

43,15

0,05

0,003

18,45

0,04

0,002

10

43,25

0,05

0,003

18,35

0,06

0,004

Сред-

43,20

18,41

нее

Обработка результатов прямых измерений

1. Определить среднее арифметическое значение измеряемых величин по формуле: 1 n Н ср = ∑ Н i , n i =1

(2)

1 n Dср = ∑ Di . n i =1

(3)

аналогично

Результаты вычислений по этим формулам дают: Нср = 43,20 мм, Dср = 18,42 м.

15

2. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений Di и Нi от их средних арифметических значений, а затем рассчитать квадратичные отклонения. Результаты записать в табл. 1. 3. По данным табл. 1 определить среднее квадратичное отклонение S результата серии из n=10 измерений для диаметра и высоты конуса. Вычисления S(Hср) и S(Dср) нужно провести по формулам: n

S ( Н ср ) =

2 ∑ ( Н ср − Н i )

i =1

,

n( n − 1 )

(4)

аналогично n

S ( Dср ) =

2 ∑ ( Dср − Di )

i =1

n( n − 1 )

.

(5)

Вычисления дают следующие значения: S(Hср) = 0,016 мм, S(Dср) = 0,012 мм. Так как измерения производятся штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм, то данные для S(Hср) и S(Dср) следует округлить до сотых. Тогда

S(Hср) = 0,02 мм, S(Dср) = 0,01 мм.

4. Следующий этап – оценка доверительного интервала, т.е. интервала, в котором с заданной вероятностью р находится измеряемая величина. Границы доверительных интервалов для измеряемых величин определяются по формулам:

ΔН А = t( p ,n ) ⋅ S ( H ср ) ;

(6)

ΔDА = t( p ,n ) ⋅ S ( Dср ) ,

(7)

где t(p,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от р и n. Значение t(p,n) при заданных значениях р и n представлены в табл. 1 на с. 8 в данных указаниях. В

практике

учебных

лабораторий

р ~ ( 0 ,68 ÷ 0 ,9 ). 16

принято

брать

значение

В нашем случае мы имеем дело с достаточно точными измерениями и можем считать р~0,9. Тогда, как видно из табл. 1 на с. 8, при р = 0,9 и n = 10 коэффициент Стьюдента t(p,n) =1,83. С учетом этого вычислим значение ΔН А и ΔD А : ΔH А = 1,83.0,02 мм = 0,0276 мм ~ 0,02 мм;

ΔDА = 1,83.0,01 мм = 0,0183 мм ~ 0,02 мм. 5. Теперь оценим вклад систематических (приборных) ошибок в наши измерения. При измерениях с помощью штангенциркуля систематическую составляющую неопределенности будем считать равной половине цены деления штангенциркуля, то есть ΔН В = ΔН А = 0,025 мм ~ 0,03 мм. В данном случае приборная ошибка соизмерима со случайными ошибками. Поэтому необходимо оценить границу доверительного интервала для суммарной неопределенности, обусловленной обоими типами ошибок. Вычисление будем проводить по формуле:

Δх = ( ΔхА )2 + ( ΔхВ )2 ,

(8)

где х – измеряемая величина; ΔхА – граница доверительного интервала, обусловленная случайными ошибками измерений; ΔxB – граница доверительного интервала, вызванная систематическими ошибками. Вычисления по формуле (9) дают:

ΔН = ( ΔН А )2 + ( ΔН В )2 = 9 + 9 ⋅ 10 −2 = 0,043 мм ; ΔD = ( ΔDА )2 + ( ΔDВ )2 = 4 + 9 ⋅ 10 −2 = 0,036 мм . В соответствии с правилами округления можно принять ΔH = 0,04 мм ; ΔD = 0,04 мм . 6. Результаты прямых измерений следует записать в стандартной форме: ( Dср − ΔD )…( Dср + ΔD ) ; ( Н ср − ΔН )…( Н ср + ΔН ) . 17

Н = ( 43,16… 43,24 ) мм ;

Окончательно:

D = ( 18,37…18,45 ) мм. Обработка результатов косвенных измерений

После проведения прямых измерений следует по рабочей формуле (1) вычислить среднее значение объема конуса: Vcр =

1 1 2 πDср Н ср = π( 18,41 )2 ⋅ 43,20 = 3831 мм 3 . 12 12

Затем следует оценить неопределенность (погрешность) косвенных измерений. Для этого необходимо выполнить следующие этапы: а)

вывести

величины γ =

формулу

относительной

неопределенности

искомой

ΔV ; V

б) по полученной формуле вычислить значение γ ; в) определить границу доверительного интервала для косвенного измерения: ΔV = γ ⋅ Vср . Окончательный результат представить в стандартной форме: ( Vср − ΔV )…( Vср + ΔV ) .

Вывод формулы относительной неопределенности

Как видно из формулы (1), искомая величина V является функцией двух переменных – D и Н. Тогда V представим в виде: V = f ( D, H ) = H α D β , где α = 1, β = 2 . 18

(9)

В случае такой простейшей функциональной зависимости выражение для относительной неопределенности γ можно взять из табл. 2 на с. 12 данных указаний. γ=

Тогда

ΔV ΔН 2 ΔD 2 ) . = ( ) + 22 ( V Н D

(10)

Для вычисления γ в формулу (10) подставим средние значения результатов прямых измерений Нср и Dср и граничные значения их доверительных интервалов ΔН и ΔD . Вычисления γ дают:

γ=

ΔV V

= (

ΔН Н ср

)2 + 2 2 (

ΔD Dср

)2 = 10 −2 (

4 2 4 2 ) + 4( ) = 4 ,45 ⋅ 10 −2 . 43,20 18,41

По правилам округления запишем γ с точностью до двух значащих цифр γ = 4,4 ⋅ 10 −2 . Вычислим границу доверительного интервала косвенного измерения:

ΔV = γ ⋅ Vср = 4 ,4 ⋅ 10 −2 ⋅ 3,831 ⋅ 10 3 мм 3 = 167 мм 3 . Согласно правилам округления, ΔV запишем с точностью до двух значащих цифр (так как первая значащая цифра в ΔV меньше 4) и до того же знака округлим результат Vср . Тогда

ΔV = 1,7 ⋅ 10 2 мм 3 ,

Vср = 38,3 ⋅ 10 2 мм 3 .

Окончательный результат представим в стандартной форме: V = ( Vср − ΔV )…( Vср + ΔV ) мм 3 , получим

V = ( 3,63… 3,97 ) ⋅ 10 3 мм 3 .

Лишь после ознакомления с правилами измерений штангенциркулем и обработки результатов этих измерений, представленных в данном примере, следует приступать к выполнению данной лабораторной работы.

19

3. Измеряемый объект

В данной лабораторной работе измеряемым объектом является сплошной цилиндр (рис. 2). Для вычисления объема цилиндра следует провести прямые измерения диаметра цилиндра (D) и его высоты (Н) с помощью штангенциркуля.

H

D

Рис. 2 Объем цилиндра вычисляется по рабочей (расчетной) формуле:

V=

πD 2 ⋅H. 4

(11)

4. Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту и диаметр цилиндра 10 раз, результаты измерений занести в таблицу по форме, аналогичной табл. 1 в приведенном примере. Замечание: если цилиндр неидеальной формы, то измерение D следует проводить по диаметрам на разной высоте цилиндра, а высоту Н – в нескольких различных местах оснований цилиндра.

20

5. Вычисление и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. Вычислить средние арифметические значения Нср

и Dср для серии из-

мерений. Затем определить отклонения результатов отдельных измерений от их средних арифметических значений – (Нср–Нi) и (Dср-Di). Далее вычислить квадратичное отклонение – (Нср–Нi)2 и (Dср-Di)2. Все результаты занести в таблицу по форме табл. 1. 2. Определить средние квадратичные отклонения S(Нср) и S(Dср) результата серии измерений от среднего арифметического значения для каждой измеряемой величины. 3. Вычислить границы доверительных интервалов ΔD и ΔН за счет случайных ошибок. 4. Оценить систематическую (приборную) неопределенность и сравнить ее с неопределенностью измерений, вызванных случайными ошибками. Если эти ошибки сравнимы, то вычислить суммарную неопределенность каждого прямого измерения, обусловленную обоими типами ошибок. Определить границы доверительных интервалов ΔН и ΔD , обусловленных обоими типами неопределенностей. 5. Записать результаты прямых измерений в стандартной форме: Н = ( Н ср − ΔН )…( Н ср + ΔН ) , D = ( Dср − ΔD )…( Dср + ΔD ) , учитывая правила округления величин. 6. Рассчитать среднее значение объема цилиндра Vср по рабочей формуле (11), куда подставить средние значения результатов прямых измерений Нср и Dср. 7. Вывести формулу для расчета относительной неопределенности γ=

ΔV косвенного измерения. Затем вычислить γ по полученной формуле. V

21

8. Оценить границу доверительного интервала для косвенного измерения, т.е. ΔV = γVср . 9. Окончательно записать результат в стандартной форме: V = ( Vср − ΔV )…( Vср + ΔV ) .

Приложение. Методика измерений с помощью штангенциркуля и микрометра Измерение с помощью штангенциркуля

При расчете неопределенностей следует помнить, что математические действия не могут повысить точности измерений. Точность измерения повышается с помощью нониуса. В штангенциркуле (рис. 3) нониус представляет собой небольшую линейку, которая может перемещаться вдоль основной. Пусть

n – число делений на шкале нониуса; Х – цена деления шкалы нониуса; Y – цена деления шкалы основной линейки.

t=

y , n

где t – точность штангенциркуля, выгравирована на приборе. Следовательно, чем меньше цена деления основной линейки и больше делений на нониусе, тем точнее можно произвести измерение. Для измерения длины предмета с помощью нониуса необходимо расположить предмет между нулевыми делениями основной линейки и нониуса. Отсчитав число целых делений масштаба, найти то деление нониуса, которое совпало с каким-либо делением основной линейки. Длина предмета определяется по формуле: l = β + kt,

22

где l – длина предмета, β – число целых делений основной линейки, k – номер деления нониуса, совпадающего с каким-либо делением масштаба, t – точность нониуса. Предмет

Нониус

0 1

2

3

4

1 5

2

6

4

3 2

5

8

6 9

7

8

9

100

11

10

12

13

Основная линейка Рис. 3 Для случая рассмотренного на рисунке : β = 4мм; t = 0,1мм; k = 5;

l = 4мм + 5 ⋅ 0,1мм = 4,5мм.

Измерения с помощью микрометра

При измерениях штангенциркулем величину вычисляемой средней неопределенности (погрешности) следует сравнивать с точностью нониуса. Для более точных измерений длины применяются микрометры. В микрометрах используется микровинтовая пара, преобразующая вращательное движение в поступательное. Так, если шаг микровинта равен 0,5 мм, то при одном полном обороте винта его конец перемещается на 0,5 мм, если головка винта имеет круговую шкалу с 50 делениями, то поворот его на одно деление вызывает смещение на 0,01 мм, т.е. цена деления круговой шкалы будет равна 0,01 мм. При измерениях микрометром доли деления по круговой шкале следует округлять до половины значения и предельную приборную неопределен23

ность считать равной ± 0,005 мм . Перед началом измерений следует обязательно проверить положение нулевого отсчета.

6. Контрольные вопросы

1. Как найти среднее квадратичное отклонение? 2. Каков смысл вероятности? 3. Что показывает величина доверительного интервала? 4. Каков смысл относительной неопределенности? Литература: [4].

24

РАБОТА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции твердого тела относительно произвольной оси методом крутильных колебаний. 2. Краткая теория исследуемого явления

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то основное уравнение динамики вращательного движения тела имеет вид M Z = Iβ ,

(1)

где M Z – момент силы, действующей на вращающееся тело, Н ⋅ м ; β – угловое ускорение, рад/с2; I – момент инерции тела относительно оси вращения, кг ⋅ м 2 . Из сопоставления уравнения (1) с выражением для второго закона Ньютона F = ma видно, что инерционные свойства тел во вращательном движении характеризуются моментом инерции. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению ее массы на квадрат кратчайшего расстояния r до оси вращения I=mr2.

(2)

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции отдельных элементарных объемов, на которые может быть мысленно разбито данное тело (рис. 1), так как элементарные объемы можно считать материальными точками. N

N

i =1

i =1

I = ∑ I i = ∑ Δmi ri 2 ,

(3)

где Δmi – масса i-го элементарного объема тела; ri – расстояние элемента Δmi до оси вращения. Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от распределения его массы относительно этой оси. Моменты инерции одного и того же тела относительно разных осей вращения будут различными. 25

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела. Можно доказать, что для любого тела существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр массы тела, оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.

Рис. 1 Вычисление момента инерции представляет собой в общем случае сложную задачу. Однако если плотность тела во всем объеме постоянна (однородные тела) и если тело имеет правильную геометрическую форму, то вычисление моментов инерции тел относительно главных осей можно осуществить при помощи интегрирования. 3. Принцип метода измерения и рабочая формула

В случае тел неправильной геометрической формы или произвольной оси вращения, не являющейся главной осью инерции, более простым является экспериментальное определение момента инерции. Рассматриваемый метод определения момента инерции основан на наблюдении крутильных колебаний исследуемого тела. Крутильные колебания может совершать тело, подвешенное на нерастяжимой нити (жесткой стальной проволоке). Уравнение вращательного движе-

26

ния тела вокруг вертикальной оси при условии, что проволока совпадает с одной из главных осей инерции тела и проходит через точку подвеса, имеет вид d 2б MZ = I 2 , dt

(4)

где α – угол поворота тела вокруг вертикальной оси; Мz – момент (относительно той же оси) упругой силы, действующей со стороны нити, закрученной на угол α. При не слишком больших деформациях этот момент пропорционален деформации, т. е. MZ = - k α ,

(5)

где k – коэффициент жесткости при кручении, который зависит от упругих свойств материала нити. Уравнение (4) с учетом (5) примет вид d 2α − kα = I 2 dt

или d 2α k + α = 0. dt 2 I

Обозначим ω02 = k / I, тогда d 2б + щ02 б = 0. 2 dt

(6)

Решением дифференциального уравнения (6) является функция, описывающая незатухающие гармонические колебания: α = α0 cos (ω0t + ϕ),

(7)

где α –  угол поворота тела; α0 –  амплитуда колебаний; (ω0t + ϕ) – фаза колебаний; ϕ – начальная фаза; ω0 –  круговая частота гармонических колебаний. Если тело закрутить на некоторый угол α0, а затем отпустить его, то оно начнет совершать затухающие крутильные колебания. Если пренебречь затуханием, то период колебаний можно выразить формулой

T=

2π I = 2π . ω0 k 27

(8)

В данной работе исследуемым телом является куб или параллелепипед. В начале нужно определить период Т0 крутильных колебаний исследуемого тела относительно одной из главных осей инерции (момент инерции тела I0 относительно главной оси может быть вычислен по известным формулам). Для определения момента инерции Ix исследуемого тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, необходимо измерить период Тx крутильных колебаний тела относительно этой оси. На основании (8) можно записать Tx = T0

Ix . I0

(9)

Из формулы (9) получим выражение для момента инерции тела Ix относительно некоторой произвольной оси 2

⎛T ⎞ I x = I 0 ⎜⎜ x ⎟⎟ . ⎝ T0 ⎠

(10)

4. Измеряемый объект

В качестве исследуемых тел используются куб и два параллелепипеда. Измерив длины ребер параллелепипеда или куба, из таблицы, находящейся на столе лабораторной установки, определяют массу тела.

Рис. 2

28

Моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно главных осей инерции, проходящих через центры противоположных граней (рис.2), равны

Io1o1 =

1 12

Io2o2 = Io3o3 =

m (a2+b2);

(11)

m (b2+c2);

(12)

m (a2+c2),

(13)

1 12 1

12

где а, b, с – длины ребер параллелепипеда. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

В комплект лабораторной установки входят крутильный маятник FPM-05 и набор исследуемых тел (куб и два параллелепипеда). Крутильный маятник FPM-05 предназначен для определения моментов инерции твердых тел при помощи крутильных колебаний. Крутильный маятник FPM-05 представлен на рис. 3. На основании 2 , оснащенном четырьмя ножками с регулируемой высотой, прикреплен миллисекундомер FPM-14 1. В основании закреплена колонка 3, на которой при помощи прижимных винтов закреплены кронштейны 4...6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7. На кронштейне 5 закреплена стальная планка 8, которая служит основанием фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и угловой шкале 11. Электромагнит 10 может изменять положение на планке, а его положение относительно фотоэлектрического датчика показывает на угловой шкале стрелка, прикрепленная к электромагниту. Конструкция paмки позволяет закреплять тела 12, значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Тела крепятся при помощи подвижной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками.

29

Фотоэлектрический

датчик

и

электромагнит

соединены

с

миллисекундомером при помощи разъема. Световой поток от лампочки попадает на фототранзистор. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в схеме формируются электрические импульсы, которые после усиления подводятся ко входу миллисекундомера.

Рис. 3 6. Порядок выполнения работы

1. Закрепить в рамке прибора груз таким образом, чтобы ось подвеса проходила через середины противоположных граней, для чего переместить подвижную балку по направляющим между неподвижными балками на необходимое расстояние и затянуть гайки. 2. Нажать кнопку “Сеть”. 3. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее стрелу к электромагниту таким образом, чтобы электромагнит зафиксировал положение рамки. 4. Обнулить счетчик времени нажатием кнопки “Сброс”. Индикаторы миллисекундомера должны высвечивать нули. 30

5. Нажать кнопку “Пуск”. После освобождения рамки от электромагнита она будет совершать крутильные колебания. 6. Измерить время десяти колебаний крутильного маятника (кнопка “Стоп” нажимается после появления цифры 9 в окошечке “Периоды”) и записать время t0 в таблицу по форме: №

t0, с

Т0, с

(Т0ср-Т0)

(Т0ср-Т0)2

tx , c

Тх , с

(Тхср-Тх) (Тхср-Тх)2

опыта 1 2 3 7. Отжать кнопку “Пуск” и повернуть рамку с грузом, приблизив ее стрелу к электромагниту. Рамка будет удерживаться электромагнитом. 8. Повторить несколько раз измерение времени десяти полных крутильных колебаний тела вокруг главной вертикальной оси t0, согласно

пп. 4…7.

Число измерений задается преподавателем. 9. Закрепить в рамке прибора исследуемое тело таким образом, чтобы ось подвеса проходила через противоположные вершины груза (совпадала с одной из диагоналей параллелепипеда). Измерить время десяти крутильных колебаний tx и записать в таблицу по форме 1. Опыт повторить несколько раз. Число опытов задается преподавателем. 10. По окончании измерений выключить миллисекундомер и вынуть груз из рамки прибора. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Вычислить периоды крутильных колебаний T0 и Tx по формуле

T = t / 10.

31

2. Произвести обработку результатов прямых измерений T0 и Tx. Вычислить средние значения Т0ср и Тх ср и границы доверительных интервалов с доверительной вероятностью р, указанной преподавателем. 3. По формуле (11), (12) или (13) вычислить момент инерции I0 исследуемого тела относительно главной оси, совпадающей с осью подвеса. 4. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности) ΔI0 / I0 и вычислить её. 5. Используя результаты прямых измерений по формуле (10), вычислить среднее значение момента инерции тела Ixср вокруг вертикальной оси, совпадающей с одной из диагоналей параллелепипеда. 6. Вывести формулу для расчета относительной погрешности (неопределенности)

γ=

ΔI x Ix

и вычислить ε по полученной формуле. Затем оценить

границу доверительного интервала ΔI x = γ ⋅ I xср .

7. Окончательный результат записать в стандартной форме ( I xср − ΔI x )…( I xср + ΔI x ) .

8. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Дайте определения всех величин, входящих в него. 2. Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела относительно оси вращения? Каков его физический смысл? 3. Что называется главными осями инерции тела? 4. Напишите основное уравнение динамики для тела, совершающего крутильные колебания. 5. По какому закону меняется угол поворота тела при крутильных колебаниях? 6. Выведите формулу для периода крутильных колебаний тела. Литература: [1], § 16, 18, 140, 141; [2], § 4. 27. 32

РАБОТА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА 1. Цель работы

Маятник Максвелла предназначен для исследования закона сохранения энергии и определения на этом основании момента инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения. 2. Измеряемый объект

Маятник Максвелла состоит из вала (2), на котором закреплено тело вращения (1) – ролик с надетым на него кольцом. Маятник подвешен на двух нитях к опоре (рис.1). Нити наматываются на ось вала, и маятник поднимается на некоторую высоту h относительно положения равновесия, где он обладает потенциальной энергией.

2

1 Рис.1

3. Краткая теория исследуемого явления

Основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

M = I ⋅β , где

(1)

М – момент сил, приложенных к телу; β – угловое ускорение, которое

приобретает тело под действием постоянного момента сил; I – момент инерции тела. 33

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела при поступательном движении. Однако момент инерции зависит от размеров, формы тела, а также распределения массы по его объему. В данном случае маятник – это сложное тело вращения, состоящее из вала, на ось которого насажен ролик с надетым на него кольцом. Естественно, что проще определить экспериментально момент инерции такого сложного тела вращения. 4. Принцип метода измерений и рабочая формула

Принцип метода измерений основан на законе сохранения энергии. Действительно, маятник, поднятый на высоту h, обладает запасом потенциальной энергии

Еп = mgh .

(2)

При разматывании нитей и опускании маятника под действием силы тяжести он проходит расстояние h и его потенциальная энергия постепенно превращается в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Если пренебречь потерями на трение, то закон сохранения энергии можно записать в виде:

mv 2 Iω2 mgh = + , 2 2 где

(3)

Eп = mgh – потенциальная энергия маятника в самом верхнем положе-

нии;

Eк.пост.

mv 2 – кинетическая энергия поступательного движения маятни= 2

ка; v – скорость его поступательного движения;

Ек.вр. =

Iω2 – кинетическая энергия вращательного движения маятника; 2

I – момент инерции маятника, ω – угловая скорость. Уравнение (3) относится к такому моменту t (от начала движения маятника), когда маятник находится в нижнем положении. Угловая скорость маят34

ника ω и его линейная скорость v соответствуют конечному моменту движения. Так как нить намотана на ось маятника, то скорость его поступательного движения всегда равна линейной скорости точек, лежащих на поверхности вала, поэтому v = rω , где r – радиус оси маятника. Значение линейной скорости можно определить, применяя к движению маятника формулы для равноускоренного поступательного движения с началь-

аt 2 , откуда ной скоростью, равной нулю: v = аt ; h = 2

v=

2h ; t

(4)

ω=

2h . rt

(5)

Подставляя выражения (4) и (5) в формулу (3), получим:

mgh =

m 2h 2 I 2h 2 ( ) + ( ) или 2 t 2 rt

2mh 2 2 Ih 2 mgh = 2 + 2 2 , t r t

(6)

откуда получим рабочую формулу для определения момента инерции маятника: 2 1 2 gt I = mD ( −1), 4 2h

где

(7)

I – момент инерции маятника, кг ⋅ м 2 ; D – внешний диаметр оси маят-

ника вместе с намотанной на нее нитью подвески, м; t –

время падения маят-

ника, с; g – ускорение свободного падения, м/с2; h – длина маятника, равная высоте, на которую он поднят, м; m – масса маятника вместе с кольцом, кг. Масса маятника m определяется по формуле:

m = m 0 + mp + m к , где

(8)

m0 – масса оси маятника, кг; mр – масса ролика, кг; mк – масса нало-

женного на ролик кольца, кг. 35

Все данные для m0, mр, mк указаны на установке. Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной нитью подвески определяется по формуле:

D = D0 + 2 Dн , где

(9)

D0 – диаметр оси маятника, м; Dн – диаметр нити подвески, м. Данные D0, Dн указаны на установке. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Маятник Максвелла размещается на основании, в котором закреплена колонка. К этой колонке на неподвижном верхнем кронштейне подвешивается сам маятник, который удерживается в верхнем положении электромагнитом. На верхнем кронштейне кроме электромагнита находится фотоэлектрический датчик и ворот для закрепления и регулирования длины бифилярной (т.е. на двух нитях) подвески. Нижний кронштейн, укрепленный на колонке, вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком, предназначен для измерения t - времени окончания падения маятника. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в положении, соответствующем данной длине нити подвески. В статике: маятник с закрепленным на ролике кольцом удерживается электромагнитом в верхнем положении. Длина маятника отсчитывается по миллиметровой шкале на колонке. При падении маятника с заданной высоты основное прямое измерение t (времени падения маятника) осуществляется с помощью нижнего фотоэлектрического датчика и миллисекундомера. 6. Порядок выполнения работы

1. Необходимо установить маятник относительно фотоэлемента так, чтобы обеспечить конец отсчета времени.

36

Для этого необходимо проверить, чтобы в нижнем положении край стального кольца, надеваемого на ролик, находился на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Откорректировать положение маятника так, чтобы его ось была параллельна основанию прибора. 2. Нажать кнопку “Сеть”. Проверить, горят ли лампочки фотодатчиков и высвечивают ли индикаторы миллисекундомера нули. 3. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку. В верхнем положении ролик с кольцом должен удерживаться электромагнитом. 4. Проверить, чтобы в верхнем положении край стального кольца находился на 2 мм выше оптической оси верхнего фотоэлектрического датчика. 5. Проверить, соответствует ли нижняя грань кольца нулю шкалы на колонке. Если нет – заметить положение нижней грани. 6. Нажать кнопку “Сброс”, обнулив тем самым шкалу миллисекундомера. 7. Нажать кнопку “Пуск”. Маятник придет в движение. Когда маятник достигнет нижнего фотодатчика, считать показания миллисекундомера и записать время падения t в таблицу по форме 1. Так как маятник будет двигаться вверх, необходимо рукой остановить движение маятника. 8. Отжать кнопку “Пуск” 9. Повторить несколько раз измерения времени падения маятника согласно п.3-8, результаты занести в таблицу по форме 1. (Количество измерений указывается преподавателем). 10. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника h.

37

Форма 1

t, c

№ опыта 1 2 3

(tср-ti)

(tср-ti)2

___________________ i – номер опыта. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений t, h. 2. По формуле (7) вычислить среднее значение момента инерции (Iср) маятника. 3. Используя рабочую формулу (7), вывести формулу относительной погрешности (неопределенности) γ для искомой величины I. 4. Вычислить γ по полученной формуле. Затем оценить границу доверительного интервала ΔI для момента инерции маятника. 5. Окончательный результат записать в стандартной форме: ( I ср − ΔI )…( I ср + ΔI ) .

8. Контрольные вопросы

1. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. 2. Поясните физический смысл момента инерции. Запишите выражение для момента инерции материальной точки. От чего зависит момент инерции твердого тела? 3. Что такое маятник Максвелла? Относительно какой оси определяется момент инерции? 4. Какой физический закон положен в основу метода измерений? 5. Каким будет характер движения маятника и под действием каких сил? Литература: [1], § 16, 17, 18, 19; [2], § 4.2; 4.3. 38

РАБОТА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА МЕТОДОМ ВРАЩЕНИЯ 1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции маятника Обербека. 2. Краткая теория исследуемого явления

Маятник Обербека, применяемый в данной работе, представляет собой инерционное колесо в виде крестовины (рис.1).

1

2 2

3

FН

FТ Рис. 1 На четырех взаимно перпендикулярных стержнях расположены грузы 1. На горизонтальной оси крестовины имеется двухступенчатый диск 2, на который наматывается нить. Один конец нити прикреплен к диску, а на втором конце подвешен груз 3. Под влиянием падающего груза нить разматывается с диска и вызывает равноускоренное движение крестовины маятника. Вращающий момент, приводящий маятник в движение, создается под действием силы натяжения FН разматывающейся нити. 39

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

При получении рабочей формулы для вычисления момента инерции маятника Обербека используется основной закон динамики вращательного движения маятника и второй закон Ньютона для поступательного движения падающего груза. Основной закон динамики вращательного движения маятника без учета тормозящего момента запишется в виде:

FН R = I ⋅ β ,

(1)

где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения;

β – угловое ускорение вращающегося маятника; β = а / R , а – ускорение падающего груза; R – радиус диска 2; FН – сила натяжения разматывающейся нити. Ускорение падающего груза можно определить, измерив его время падения с заданной высоты h: h=

аt 2 , 2

(2)

а=

2h t2

(3)

откуда

и

β=

а 2h = . R t2R

(4)

Поступательное движение груза совершается под действием двух противоположно направленных сил: силы тяжести FТ = mg , где m – масса груза, и силы натяжения нити FН. Считая направление движения груза вниз положительным, второй закон Ньютона для поступательного движения груза запишется в виде mа = mg − FН ,

(5)

FН = m( g − а ) .

(6)

откуда

40

Подставляя (4), (6) в формулу (1) после ряда преобразований получим рабочую формулу для момента инерции маятника Обербека:

I=

m( g −

2h 2 2 )R t t2 . 2h

(7)

4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является маятник Обербека, который приводится во вращение падающим грузом. В процессе выполнения работы необходимо провести прямые измерения высоты h , с которой падает груз, и времени t его падения. Значения массы каждого груза m и радиус диска R указаны на установке. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Маятник Обербека в виде крестовины укреплен на вертикальной колонке. Для отсчета длины пути падения груза на колонке нанесена миллиметровая шкала. В верхней части колонки на подвижном кронштейне укреплен первый фотоэлектрический датчик, регистрирующий начало отсчета времени падения груза. В нижней части колонки укреплен второй фотоэлектрический датчик, регистрирующий окончание отсчета времени падения груза. Регистрация времени падения производится с помощью миллисекундомера, к которому подсоединены оба фотоэлектрических датчика. В промежутке между измерениями маятник удерживается в состоянии покоя с помощью тормозного электромагнита. В динамике: при падении с заданной высоты груз пересекает окно верхнего фотоэлектрического датчика, сигнал от которого снимает блокировку электромагнита и запускает схему отсчета времени. В конечной точке пути второй фотоэлектрический датчик в момент закрывания его окна падающим грузом вырабатывает электрический импульс конца измерения времени и включает электромагниты.

41

6. Порядок выполнения работы

1. Перед началом измерений необходимо установить выбранное число грузов так, чтобы нижний край падающих грузов совпадал с чертой на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика. Подвижный кронштейн нужно установить так, чтобы грузы, падая, проходили через середину рабочего окна обоих фотоэлектрических датчиков. 2. Отсчитать по шкале, расположенной на колонке, длину пути h. 3. Нажать кнопку “Сеть”. Проверить, горят ли индикаторы обоих фотоэлектрических датчиков и показывают ли индикаторы миллисекундомера нули. Тормозной электромагнит должен удерживать крестовины с грузами в состоянии покоя. 4. Нажать кнопку “Пуск”. Система придет в движение. После прохождения грузами всего пути записать показания миллисекундомера. 5. Обнулить счетчик времени, нажав на кнопку “Сброс”. При этом освобождается блокировка крестовины с грузами электромагнитом. 6. Перевести грузы в верхнее положение и отжать кнопку “Пуск” (возникает повторная блокировка крестовины с грузами электромагнитом). 7. Провести измерение времени падения для данного числа грузов. Необходимое количество измерений задается преподавателем. 8. Опыт для фиксированной высоты h провести для разных грузов. Результаты измерений времени для каждого груза занести в таблицу по форме: № опыта

t, c

(tср-ti)

1 2 3 _______________ i – номер опыта;

груз m =

кг.

42

(tср-ti)2

7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений времени падения t и длины пути h. 2. Используя результаты прямых измерений, по формуле (7) вычислить среднее значение искомой величины Iср. 3. На основе рабочей формулы (7), вывести формулу относительной погрешности (неопределенности) γ искомой величины. 4. Вычислить γ по полученной формуле. Затем оценить границу доверительного интервала ΔI для момента инерции

ΔI = γI ср . 5. Окончательный результат записать в стандартной форме: ( I ср − ΔI )…( I ср + ΔI ) .

8. Контрольные вопросы

1. Запишите основной закон динамики вращательного движения. 2. Дайте определение момента силы относительно оси вращения. 3. Запишите выражение для момента инерции материальной точки. От чего зависит момент инерции твердого тела? Каков физический смысл момента инерции? 4. Как направлена ось вращения в данной установке, и какая сила создает вращательный момент? 5. Какие физические законы лежат в основе метода измерения момента инерции маятника Обербека в данной установке? 6. Какие прямые измерения необходимо провести для определения момента инерции маятника? Литература: [1] § 16, 17, 18; [2] § 4.2; 4.3.

43

РАБОТА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 1. Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции твердого тела в виде платформы относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс. 2. Краткая теория исследуемого явления

Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси

ОО′ , проходящей через центр масс (рис. 1).

Рис. 1 Основное уравнение динамики вращательного движения запишется в виде

М = Iβ ,

(1)

где М – момент силы относительно оси Z, вызывающий вращение тела; I – момент инерции твердого тела относительно оси Z; β – угловое ускорение. Из сопоставления уравнения (1) с выражением второго закона Ньютона для поступательного движения F = mа видно, что момент инерции – это аналог массы и характеризует инерционные свойства тела при вращательном движе44

нии. Однако момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения по объему тела, т.е. от его геометрии. Теоретически определение момента инерции твердого тела проводится следующим путем: мысленно тело разбивается на множество элементарных объемов массой mi , которые считаются материальными точками. По определению, момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению массы mi на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси вращения:

I i = mi ri 2 ,

(2)

а момент инерции твердого тела относительно этой оси равен сумме моментов инерции всех элементарных объемов: N

N

i =1

i =1

I = ∑ I i = ∑ mi ri 2 .

(3)

Очевидно, что моменты инерции одного и того же тела будут отличаться относительно различных осей вращения. В данной работе необходимо определить момент инерции тела (платформы) относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр масс (такая ось называется главной осью). В случае непрерывного распределения масс сумма в выражении (3) сводится к интегралу: I = ∫ r 2 dm ,

(4)

m

где интегрирование производится по всему объему тела. В общем случае вычисление момента инерции представляет собой сложную задачу. Однако вычисления существенно упрощаются, если определяется момент инерции однородных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии. В настоящей работе в качестве эталонного тела используется кольцо с внутренним радиусом R1 и внешним – R2.

45

Вычисления по формуле (4) дают следующее выражение для момента инерции кольца: 1 I к = mк ( R12 + R22 ) , 2

(5)

где mк – масса кольца. Для тел сложной геометрической формы (в нашем случае – платформа) вычисление момента инерции представляет большие трудности. Поэтому приходится прибегать к экспериментальному определению момента инерции таких тел. 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Экспериментальное определение момента инерции твердого тела в виде платформы проводится методом крутильных колебаний. К держателю (стержню), укрепленному на подставке, прикреплена стальная проволока, на которой закреплены платформа и кольцо (рис.2). Рассмотрим крутильные колебания одной платформы, а затем платформы вместе с надетым на нее кольцом. Если платформу повернуть на некоторый угол и отпустить, то возникает возвращающий момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начнет совершать крутильные колебания. Возвращающий момент обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа.

46

7 3 8

5 9

4

6 1

1

2

Рис. 2

47

При малых углах отклонения можно считать, что этот момент прямо пропорционален углу отклонения. В этом случае возникают гармонические крутильные колебания:

б = б 0 sinωt ,

(6)

где б – угол отклонения от положения равновесия, б 0 – угол отклонения в начальный момент t = 0 . При этом угловая скорость и угловое ускорение изменяются по гармоническому закону: dб = б 0 ωcosωt , dt

(7)

dω = −ω2 α 0 sinωt . dt

(8)

ω=

β=

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, возвращающий момент сил (М) равен: М = Iβ .

(9)

С учетом (8) выражение (9) примет вид: М = Iв = − Iω2 α = − Dα ,

(10)

где D – модуль кручения, величина которого зависит от материала проволоки. Круговая частота и период крутильных колебаний тела определяются по формулам: ω=

D ; I

T = 2π

I . D

(11)

Таким образом, период крутильных колебаний платформы: Т 1 = 2π

где Iпл – момент инерции платформы.

48

I пл , D

(12)

Если теперь на платформу положить концентрическое кольцо и снова закрутить на некоторый угол, а затем отпустить, то система платформа-кольцо также будет совершать крутильные колебания, но уже другого периода: Т 2 = 2π

I пл + I к . D

(13)

Возведя уравнения (12) и (13) в квадрат и, решая их относительно Iпл, получим рабочую (расчетную) формулу для вычисления момента инерции платформы: I пл

Т 12 = Iк 2 . Т 2 − Т 12

(14)

Здесь Iк – момент инерции эталонного тела (кольца), момент инерции которого можно вычислить по формуле (5). Таким образом, для определения момента инерции платформы необходимо провести прямые измерения следующих величин: mк; R1; R2; T1; T2. 4. Измеряемый объект

Объектом измерения является массивная круглая платформа, подвешенная на двух тонких спицах, совпадающих с осью симметрии платформы. Масса платформы указана на установке. 5. Лабораторная установка в статике и динамике

По сути, лабораторная установка представляет собой крутильный маятник. Установка (см. рис.2) собрана на массивном стальном основании 1, отделенном от лабораторного стола четырьмя антивибрирующими регулируемыми ножками 2. Перпендикулярно основанию 1 установлена опорная штанга 9, на верхнем конце которой находится регулировочный кронштейн 3. Измеряемый объект – круглая платформа 4 – подвешен между основанием 1 и кронштейном 3 на двух одинаковых тонких спицах 5 и 6. Нижняя спица 5 жестко крепится к

основанию 1 и платформе 4, а верхняя – к платформе 4 и регулировочному винту 7. Натяжение крутильного маятника регулируется винтом 7. 49

Категорически запрещается самостоятельно производить регулировку натяжения спиц! “Верхом” на кронштейне 3 висит металлическое кольцо – эталонное тело 8. Если платформу повернуть на небольшой угол (~5 ÷ 100) и отпустить, то за счет упругих сил, возникающих в механизме подвеса, она начнет совершать гармонические крутильные колебания с периодом Т=Т1 (см.п. 3). Если сверху на платформу положить металлическое кольцо 8 (эталонное тело), то период Т=Т2 колебаний крутильного маятника возрастет (Т2>Т1). Измерив величины Т1

и Т2, и, зная массу эталонного тела, можно определить момент инерции круглой платформы. 6. Порядок выполнения работы

1. Вначале с помощью штангенциркуля измерить внутренний R1 и внешний R2 радиусы кольца. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1. Форма 1 № опыта

R1, мм

( R1ср − R1i ), мм ( R1 − R1 )2 , мм 2 i ср

1 2 3

По аналогичной форме заполнить таблицу для измерений R2. (Число измерений R1 и R2 указывается преподавателем). Масса кольца (mк) указана на установке. 2. Подвешенную на проволоке платформу повернуть на малый угол (~5 ÷ 100) и отпустить. Включить секундомер и измерить время t1 двадцати периодов крутильных колебаний платформы. Период Т1 вычислить по формуле: Т1 =

t1 , где N = 20 периодам. N 50

Данные измерений занести в таблицу по форме 2. Форма 2 № опыта

t1, с

T1, с

( Т 1ср − Т 1i ) ( Т 1ср − Т 1i )2

1 2 3

3. Положить на платформу кольцо и аналогичным путем определить время t 2 двадцати периодов крутильных колебаний системы платформа– кольцо. Период колебаний

Т2 =

t2 , N

где N = 20.

Данные занести в таблицу по форме 2. Число измерений t1 и t2 задается преподавателем. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Вычислить средние арифметические значения R1ср и R2 ср для серии из n измерений. Оценить неопределенности (погрешности) измерений этих величин. 2. Вычислить средние арифметические значения периодов крутильных колебаний Т 1ср

и Т 2 ср . Оценить неопределенности (погрешности) этих

измерений. 3. Вычислить момент инерции кольца (Iк). Затем по рабочей формуле (14) вычислить среднее значение момента инерции платформы. 4. С использованием рабочей формулы вывести формулу для относительной неопределенности г =

ΔI пл искомой величины. I пл

51

5. По полученной формуле вычислить г . Оценить границу доверительного интервала искомой величины

ΔI пл = г I плср . 6. Записать окончательный результат в стандартной форме:

( I пл ср − ΔI пл )…( I пл ср + ΔI пл ).

8. Контрольные вопросы

1. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения. 2. Поясните физический смысл момента инерции. От чего зависит момент инерции твердого тела? 3. Запишите выражение для гармонических крутильных колебаний. Под действием какого момента сил возникают эти колебания? 4. Запишите выражение для периода крутильных колебаний. От каких величин он зависит? Литература: [1], § 16, 17, 19; [2], § 4.2; 4.3; 5.3.

52

РАБОТА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА СНАРЯДА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА 1. Цель работы

Определение скорости полета снаряда при помощи баллистического крутильного маятника. 2. Краткая теория исследуемого явления

Баллистический крутильный маятник представляет собой стержень, подвешенный строго горизонтально на стальной проволоке (рис.1). На концах стержня находятся мисочки, заполненные пластилином. Два груза массы m0 каждый в виде цилиндров высоты h могут перемещаться вдоль стержня. Устанавливают грузы на некотором расстоянии l1= 2R1 друг от друга, где R1 – расстояние от оси вращения маятника до торца цилиндра.

Рис.1 Заряжают пружинный пистолет снарядом (пулей) и выстреливают. Пуля массой m после выстрела застревает в мисочке с пластилином, а маятник от-

53

клоняется от положения равновесия на некоторый угол α 0 , который нужно измерить. Затем маятник отклоняют на этот угол α 0 , и он совершает гармонические крутильные колебания. Метод измерения скорости полета снаряда основан на исследовании крутильных колебаний маятника и применении законов сохранения энергии и момента импульса системы снаряд–маятник. Покажем, как в данном случае может быть получена рабочая формула для вычисления скорости снаряда. 3. Принцип метода измерений и рабочая формула

После попадания снаряда в маятник на основе закона сохранения момента импульса замкнутой системы снаряд-маятник можно записать:

mvr = I1ω , где

m – масса пули; v

(1)

– скорость снаряда в момент его удара в маятник; r –

расстояние от точки удара снаряда до оси вращения маятника; ω –

угловая

скорость маятника с застрявшим в нем снарядом; I1 – момент инерции маятника относительно оси вращения. Тогда скорость полета снаряда из выражения (1) равна:

v=

I 1ω . mr

(2)

Здесь неизвестна угловая скорость ω . В результате попадания снаряда в маятник, сам маятник будет совершать крутильные колебания. Период незатухающих крутильных колебаний:

T=

I 2π = 2π 1 , ω k

(3)

где I1 – момент инерции маятника относительно оси вращения; k – коэффициент жесткости нити при кручении. Неизвестную угловую скорость в формуле (2) можно выразить из закона сохранения энергии. Действительно, при повороте маятника на угол α 0 , совер54

шается работа силы упругости стальной нити. Эта работа идет на изменение кинетической энергии маятника, т.е. 2

kα 0 I1ω2 , = 2 2

(4)

отсюда

k . I1

ω = α0

(5)

Подставив (5) в формулу (2), получим:

v=

α 0 kI1 . mr

(6)

В последнем выражении (6) неизвестен коэффициент жесткости стальной проволоки. Наша задача – выразить k через период крутильных колебаний маятника и его момент инерции. С этой целью вначале выразим момент инерции I1 через период Т1 из формулы (3): 2

T k I1 = 1 2 , 4π

(7)

где Т1 – период крутильных колебаний маятника при установке грузов массы m0 на некоторое начальное расстояние l1 = 2R1 . С учетом (7) выражение для скорости полета снаряда примет вид:

v=

α 0 kT1 . 2πmr

(8)

Для определения коэффициента жесткости через данные прямых измерений прибегают к следующему приему: перемещают грузы на другое расстояние l2=2R2 (R2 – расстояние от оси вращения до торца каждого груза). Момент инерции маятника в этом случае равен: 2

T ⋅k I2 = 2 2 . 4π

55

(9)

Тогда разность двух моментов инерции маятника с учетом (7) и (9) запишется как

I 2 − I1 =

k 2 2 ( T2 − T1 ) . 2 4π

(10)

Зная выражения для моментов инерции баллистического крутильного маятника, после ряда преобразований можно получить формулу для коэффициента жесткости. После подстановки ее в формулу (8) мы получим рабочую формулу для скорости полета снаряда:

v=

4πm0 α 0T1 ( R2 − R1 ) ( R2 + R1 + h ) . 2 2 mr( T2 − T1 )

(11)

Из этой формулы мы видим, что для вычисления скорости снаряда нужно провести следующие прямые измерения: 1) Установить перемещаемые грузы на заданное расстояние l1, зарядив пружинный пистолет, выстрелить пулей в маятник, измерив при этом угол отклонения α 0 . 2) Отклонить маятник на заданный угол α 0 и измерить Т1 – период крутильный колебаний маятника. 3) Установить перемещаемые грузы на другое расстояние l2, снова отклонить маятник на угол α 0 и измерить период крутильных колебаний Т2 для данного случая. 4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является снаряд, скорость полета которого определяется путем исследования крутильных колебаний баллистического маятника после попадания в него снаряда. 5. Экспериментальная установка в статике и динамике

Первоначально маятник находится в положении равновесия. После выстрела снарядом из пружинного пистолета снаряд попадает в маятник (застре-

56

вает в мисочке из пластилина), что приводит к отклонению маятника на некоторый угол α 0 . Маятник, отклоненный от положения равновесия на угол α 0 , будет совершать гармонические крутильные колебания. В процессе эксперимента необходимо измерить периоды крутильных колебаний маятника в двух случаях: Т1 (при минимальном расстоянии l1 между грузами m0 ) и Т2 (если перемещаемые грузы максимально удалить друг от друга). 6. Порядок выполнения работы

1. Перемещаемые грузы максимально приблизить друг к другу (Rmin). Определить расстояние R1 от оси вращения маятника до ближайшего торца цилиндра (для этого на стержне имеются сантиметровые риски, первая риска соответствует 3 см) и записать результат. 2. Проверить установку маятника, для чего убедиться, что черта на мисочке с пластилином совпадает с чертой 0о угловой шкалы. 3. Зарядить пружинный пистолет, для чего сжать пружину, оттягивая рукоятку до упора (до фиксации). Надеть снаряд на конец стержня и поворотом рукоятки немного вниз по часовой стрелке произвести выстрел. 4. Измерить максимальный угол отклонения маятника α 0 . 5. Включить миллисекундомер (кнопка “Сеть”) и нажать кнопку “Сброс” (обнулить счетчик времени). 6. Отклонить маятник на угол α 0 , нажать кнопку “Пуск” и пустить маятник. 7. Измерить время t1 десяти периодов крутильных колебаний (кнопка “Стоп” нажимается после появления цифры 9 в окошечке “периоды”), записать значение t1 в таблицу по форме 1. 8. Перемещаемые грузы максимально отдалить друг от друга ( R2max ) определить расстояние R2 до ближайшего торца цилиндра и повторить действия согласно пунктам 5-7. 57

9. Несколько раз измерить время t 2 десяти периодов крутильных колебаний, записать t 2 в таблицу по форме 2. 10. Измерить расстояние r от места попадания пули до оси вращения. 11. Измерения повторить несколько раз согласно пунктам 1-9 при неизменных расстояниях R1 и R2 . Число измерений указывается преподавателем. 12. По окончании измерений выключить миллисекундомер. Пульку (снаряд) убрать в коробочку. Форма 1 №

t1 , с

T1 , с

( Т1ср-Т1i)

(Т1ср-Т1i)2

опыта 1 2 3

_____________ мм; R1 =

α 0ср =

град. Форма 2

№

t2 , с

(Т2ср-Т2i)

T2 , с

опыта 1 2 3 _______________ R2 = мм;

α 0ср =

град.

58

(Т2ср-Т2i)2

7. Вычисления и обработка результатов измерений 1. Вычислить средние арифметические значения периодов крутильных колебаний Т 1ср и Т 2ср . Оценить погрешности (неопределенности) результатов прямых измерений. 2. По рабочей формуле (11) вычислить скорость полета снаряда vср . 3. Вывести формулу относительной погрешности (неопределенности)

γ искомой величины. Вычислить γ . 4. Оценить границу доверительного интервала Дv = γv ср . 5. Записать окончательный результат в стандартной форме:

(v ср − Дv )…( v ср + Дv ) .

6. Контрольные вопросы

1. Какие физические законы лежат в основе метода измерения? 2. Что называется моментом инерции материальной точки? От чего зависит момент инерции твердого тела? 3. Запишите закон сохранения момента количества движения для системы пуля–маятник. 4. От каких величин зависит период крутильных колебаний? 5. На что затрачивается работа при повороте маятника на угол α 0 ? Литература: [1], § 16, 17, 19; [2], § 4.2; 4.3;5.3.

59

РАБОТА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПРИБОРА АТВУДА 1. Цель работы

Ознакомление с прибором Атвуда, предназначенным для изучения законов динамики, в частности для исследования законов прямолинейного и равноускоренного движения, и определение с помощью прибора Атвуда ускорения свободного падения. 2. Краткая теория исследуемого явления

Простейшую машину Атвуда можно схематически представить в виде нерастяжимой нити с пренебрежимо малой массой, перекинутой через легкий блок В, который вращается с возможно малым трением (рис.1).

Рис.1 На концах нити подвешены грузы массой m1 и m2, причем m1 > m 2 . Грузы движутся с ускорением а . 60

На каждый из движущихся грузов действуют 2 силы: сила тяжести mg , направленная вниз и сила натяжения FН , направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызовет равноускоренное движение грузов. Запишем второй закон Ньютона для первого и второго грузов соответственно:

m1 a = FН1 + m1 g ,

(1)

m2 a = FН2 + m2 g .

(2)

Спроецируем уравнения (1) и (2) на ось У:

− m1a = − FН1 + m1 g ,

(3)

m2 a = − FН2 + m2 g .

(4)

Из (3) и (4) найдем силы натяжения нитей FН1 и FН2 :

FН1 = m1 g + m1a ,

(5)

FН2 = m2 g + m2 a .

(6)

Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на блок. По третьему закону Ньютона силы FН′1 и FН′ 2 , приложенные к ободу блока, по величине равны соответственно силам FН1 и FН2 , но противоположно им направлены. Под действием результирующего момента сил натяжения

M Z = ( FН′ 2 − FН′1 )r

(7)

блок будет вращаться с угловым ускорением β , которое связано с ускорением грузов а соотношением

β=

а , r

(8)

где r – радиус блока. Согласно основному закону динамики вращательного движения (трением при вращении пренебрегаем)

М Z = Iβ ,

61

(9)

где I - момент инерции блока относительно оси вращения, проходящей через центр масс блока. Уравнение (9) с учетом (7) и (8) примет вид

( FН′ 2 − FН′1 )r = I

a . r2

(10)

Подставляя в (10) вместо FН′1 и FН′ 2 выражения FН1 и FН2 из (5) и (6), получим после преобразования формулу для ускорения грузов:

а= Если

m2 − m1 g. m1 + m2 + I / r

(11)

I 0) и в баллоне после откачки остается воздух массой m0 . Значение т0 сравнительно невелико и может рассматриваться как поправка, которая определяется с помощью уравнения (2): m0 =

μр0V . RT

(4)

Действительная масса заключенного в баллоне воздуха будет m=m'+m0=M1-M2+m0,

и рабочая формула для определения плотности воздуха запишется как ρ=

М 1 − М 2 + m0 . V

4. Измеряемый объект

Измеряемым объектом является воздух.

122

(5)

5. Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки представлена на рисунке 1.

В лабораторную установку входят: легкий стеклянный баллон 1, который с помощью резинового шланга соединяется с насосом Комовского 2, предназначенным для откачки воздуха; вакуумметр стрелочного типа 3 для измерения разности Δp между давлением воздуха в комнате и давлением внутри баллона после откачки воздуха; термометр; технические весы с разновесами. 6. Порядок выполнения работы

1. Проверить равновесие весов. 2. Взвесить баллон с воздухом при атмосферном давлении. Для этого открыть кран на шланге, надетом на баллон, и подвесить баллон к серьге весов. Записать массу М1 в таблицу по форме. После взвешивания оставить разновесы на чашке весов - это упростит взвешивание после откачки.

3. Снять баллон с весов и подсоединить его с помощью резинового шланга к вакуумному насосу. Кран насоса должен быть поставлен на "откачку": стрелка на кране направлена к насосу. Произвести откачку воздуха, пока показания вакуумметра не будут оставаться неизменными в течение 0,5...1 мин. Закрыв кран на шланге баллона, продолжать действовать насосом, пока не будет произведен отсчет Δp по вакуумметру.

123

4. Отсоединить шланг с баллоном от вакуумного насоса, подвесить баллон к серьге весов и произвести взвешивание, определяя М2. Взвешивание возможно точнее, до ± 20 мг.

5. Измерения повторить несколько раз, согласно пп. 1...3. Число измерений указывается преподавателем. Откачивать воздух следует таким образом, чтобы давление внутри баллона в каждом эксперименте было примерно одинаковым. Данные прямых измерений М1 и М2 занести в таблицу по форме: № опыта

М1

(М1ср-Мi)

(М1ср-Мi)2

М2

(М2ср-М2i)

(М1ср-М2i)2

1 2 3

6. Определить остаточное давление р0 воздуха в баллоне после откачки ( р0 = р − Δр ) . Здесь р – атмосферное давление, определяемое по барометру, Δр – показания вакуумметра.

7. Определить по термометру в лаборатории температуру окружающего воздуха Т. 7. Вычисления и обработка результатов измерений

1. Произвести обработку результатов прямых измерений М1, М2. По формуле (4) вычислить значение m0. (Объем баллона V указан на установке). 2. Вычислить по формуле (5) среднее значение плотности воздуха ρ ср . Определить теоретическое значение плотности воздуха. Сопоставить экспериментально полученное значение плотности воздуха с теоретическим, полученным из формулы (3). 3. Используя выражение (5), вывести формулу для относительной погрешности (неопределенности)

γ измеряемой величины ρ . При выводе

124

формулы относительной погрешности в выражении (5) принять m0=0 и использовать рабочую формулу в виде ρ =

M1 − M 2 . V

4. Вычислить по полученной формуле значение γ . Оценить границу доверительного интервала Δρ = γ ⋅ ρ ср . 5. Окончательно записать результат в стандартной форме ( ρ ср − Δρ )…( ρ ср + Δρ ) .

8. Вопросы к зачету

1. Какой газ называется идеальным? 2. Напишите уравнение состояния идеального газа. Объясните физический смысл параметров. 3. Дайте определение плотности вещества. Выведите формулу для определения плотности газа из уравнения Менделеева-Клапейрона. 4. Объясните суть метода экспериментального определения плотности газа взвешиванием. Литература: [1] § 41, 42; [2] § 8.1, 8.2, 8.3, 8.4.

125

РАБОТА 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА МЕТОДОМ АДИАБАТИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ 1. Цель работы

Экспериментальное определение отношения удельных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении сp и при постоянном объеме сV методом адиабатического расширения (метод Клемана и Дезорма). 2. Краткая теория исследуемого явления

Экспериментальное определение отношения сp / сV основано на методе адиабатического расширения сжатого газа. Это связано с тем, что зависимость между давлением р и объемом V при адиабатическом процессе выражается уравнением Пуассона pVγ = const,

(1)

где γ= cp/cV - показатель адиабаты. Адиабатическим называется процесс, идущий без теплообмена газа (в баллоне) с окружающей средой (Q=0). Адиабатический процесс является идеальным процессом: в реальных условиях теплообмен с окружающей средой трудно исключить. Все быстродействующие процессы на практике можно с достаточной точностью считать адиабатическими. Первое начало термодинамики представляет собой закон сохранения и превращения энергии применительно к тепловым процессам. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, подводимой к газу, затрачивается на изменение внутренней энергии газа ΔU и на работу А, совершаемую газом над внешними телами: Q=ΔU+A=U2 - U1 +A.

(2)

Внутренняя энергия газа включает в себя кинетическую энергию теплового движения молекул, потенциальную энергию взаимодействия между моле126

кулами и внутримолекулярную энергию. В случае идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул и внутримолекулярная энергия не учитываются. Для идеальных газов внутренняя энергия представляет суммарную кинетическую энергию теплового движения всех молекул. Согласно молекулярно-кинетической теории газов, внутренняя энергия идеального газа равна U=

i m RT , 2μ

(3)

где т − масса газа, кг; μ − масса одного моля, кг/моль; R − универсальная газовая постоянная, Дж/(моль К); Т − абсолютная

температура, К; i − число сте-

пеней свободы молекулы. Под числом степеней свободы i понимается число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве. Молекула одноатомного газа имеет 3 степени свободы поступательного движения (i=3). Опыты по измерению теплоемкостей показывают, что взаимные колебания атомов внутри сложных молекул возбуждаются только при сравнительно высоких температурах. В связи с чем при комнатной температуре атомы считаются жестко связанными между собой, поэтому молекулы двух-, трех- и многоатомных газов могут совершать только поступательное и вращательное движения и, таким образом, имеют: а) молекула двухатомная i=5 (три степени свободы поступательного и две степени свободы вращательного движений); б) молекула трехатомная и многоатомная i=6 (три степени поступательного и три степени вращательного движений). Для адиабатического процесса, как следует из первого начала термодинамики: Q=ΔU+A,

или А= -ΔU .

(4)

Таким образом, при адиабатическом расширении газ совершает работу за счет уменьшения внутренней энергии и температура газа при этом в соответ127

ствии с формулой (3) понижается. При адиабатическом сжатии работу совершают внешние силы, внутренняя энергия газа возрастает, температура газа повышается. Теплоемкостью газа С называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить данной массе газа, чтобы увеличить ее температуру на один градус: С=

dQ . dT

Различают теплоемкости: 1. Удельную, равную количеству теплоты, необходимой для нагревания единицы массы газа на один градус, с=

1 dQ . m dT

2. Молярную, равную количеству теплоты, необходимой для нагревания одного моля газа на один градус, Cμ =

Связь между молярной Сμ

1 dQ . m / μ dT

и удельной с теплоемкостями выразится

формулой Сμ=μ c. Теплоемкость газа зависит от характера протекания процесса. Принято рассматривать теплоемкость газа при постоянном объеме Сv (V = const – изохорический процесс) или при постоянном давлении Сp (p=const – изобарический процесс). Так как молярные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно равны С μV =

i R, 2

Cμ p = CμV + R =

128

(5) i+2 R, 2

(6)

то для показателя адиабаты получим следующую формулу: γ=

cp cV

=

Cμ p CμV

=

i+2 . i

Для двухатомного газа (сухой воздух, азот, кислород) i=5 и

(7) γ=1,4.

3. Принцип метода измерений и рабочая формула

Отношение теплоемкостей γ =cp/cV

определяется в данной работе

методом адиабатического расширения воздуха, предварительно сжатого до некоторого давления p1 , большего атмосферного давления p0. Воздух находится в герметически закрытом сосуде, который может через кран сообщаться с окружающей средой. Пусть кран открыт, тогда внутри сосуда устанавливается давление p0 и температура Т0, равные давлению и температуре воздуха в комнате. Выделим мысленно внутри сосуда некоторую массу воздуха объемом V0. Если закрыть кран и накачать немного воздуха в баллон, то объем выделенной массы газа уменьшится. При этом температура воздуха внутри сосуда повысится. Через некоторое время температура воздуха внутри сосуда выровняется с комнатной температурой. Тогда выделенная масса газа будет иметь параметры p1,V1, Т1, причем V1p0, Т1=Т0. На pV-диаграмме (рис.1) этому состоянию газа соответствует точка 1. Откроем кран так, чтобы давление газа внутри сосуда сравнялось с атмосферным давлением, и после этого закроем кран. Так как время установления равновесия давлений намного меньше времени установления равенства температур, то этот процесс расширения газа в сосуде можно считать адиабатическим. Обозначим параметры состояния выделенной массы газа сразу же после адиабатического расширения p2, V2, T2, причем р2=p0 . На рис.1 это состояние обозначено точкой 2. При адиабатическом расширении газ охлаждается до температуры T2. После того как кран будет закрыт, происходит постепенное нагревание газа до комнатной температуры, и давление возрастает. 129

Конечное состояние 3 характеризуется параметрами p3,Т3, Т3, причем T3=T0. Параметры первого и второго состояний связаны уравнением Пуассона (1) p1V1γ = p2V2γ ,

(8)

а параметры первого и третьего состояний, в которых газ имеет одну и ту же температуру Т0, − уравнением Бойля-Мариотта (9)

p1V1=p3V3 .

Рис. 1 Возведем уравнение (9) в степень γ и разделим на уравнение (8). p1γV1γ p3γV3γ = . p1V1γ p2V2γ

Так как V2= V3 , то γ

p1γ p3γ = p1 p2

или

⎛ p1 ⎞ p ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 . p2 ⎝ p3 ⎠

Логарифмируя последнее выражение, находим

γ=

ln p1 − ln p2 . ln p1 − ln p3

130

(10)

Давление воздуха внутри сосуда выражается через разность уровней жидкости в трубках манометра h 1 и h 2 следующим образом:

⎛ ρg h1 ⎞ ⎟⎟ ; p1 = p0 + ρg h1 = p0 ⎜⎜1 + p 0 ⎠ ⎝ ⎛ ρg h2 ⎞ ⎟, p3 = p0 + ρg h2 = p0 ⎜⎜1 + p0 ⎟⎠ ⎝ где ρ − плотность манометрической жидкости (воды); g − ускорение свободного падения. Поскольку атмосферное давление р0 значительно превышает изменение давления ρgh в сосуде, то, используя приближенную зависимость ln(1+α) ≈ α при α CμV? 6. Напишите выражения для удельных теплоемкостей сP и сV, получен-

ные на основе молекулярно-кинетической теории газов. Что такое число степеней свободы? 7. Вычислите показатель адиабаты для паров воды.

Литература: [1], § 41, 50-55; [2], § 8, 9.

134

РАБОТА 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ УМЕНЬШЕНИЯ ЭНТРОПИИ ПРИ ИЗОХОРИЧЕСКОМ ОХЛАЖДЕНИИ ВОЗДУХА 1. Цель работы

Исследование изохорического процесса и определение характера изменения энтропии воздуха в указанном процессе. 2. Краткая теория исследуемого явления

Рассмотрение реальных тепловых процессов показывает, что им присуща определенная направленность – процессы самопроизвольно протекают всегда так, что их результатом является выравнивание термодинамических параметров системы частиц: давления, температуры, плотности, химического состава и т. д. Почему же это происходит? Ведь вид основных законов природы – законов сохранения импульса, момента импульса, энергии – не зависит от знака времени. В то же время, например, тепло самопроизвольно всегда переходит от горячего тела к холодному, хотя закон сохранения энергии, т. е. первое начало термодинамики, не запрещает и самопроизвольного протекания обратного процесса. Величина, которая определяет направление течения тепловых процессов в системах частиц (“телах”) носит название энтропии S. Энтропия является функцией состояния тела, т. е. функцией его термодинамических параметров и не зависит от вида процесса, с помощью которого достигнуто это состояние. Каков физический смысл энтропии? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим связь термодинамических параметров системы с характером поведения составляющих систему микрочастиц. Термодинамические параметры есть результат усреднения по большому объему и промежутку времени (по сравнению с длиной и длительностью свободного пробега) координат частиц, их кинетических энергий и т. д. Состояние газа с данными значениями термодинамических параметров называется макро-

135

состоянием газа. Если заданы, например, координаты и скорости всех молекул в данный момент времени, то говорят, что задано микросостояние газа. Данному макросостоянию газа может соответствовать большое число микросостояний. Это число называется термодинамической вероятностью Р (статистическим весом) данного макросостояния. Больцман установил, что энтропия пропорциональна натуральному логарифму термодинамической вероятности: S=k lnP,

(1)

где k – постоянная Больцмана. В случае упорядоченного расположения частиц в теле величина Р оказывается минимальной. В частности, термодинамическая вероятность любого четко работающего механизма равна единице, а энтропия равна нулю, так как, поменяв местами его части, микросостояние, мы изменим и механизм, т. е. макросостояние. Если же микрочастицы тела расположены хаотически, то перестановка их местами, обмен импульсами между микрочастицами не приведут к новому макросостоянию. При этом ясно, чем больше частиц в системе, тем больше можно осуществить таких перестановок и обменов, т. е. тем больше термодинамическая вероятность Р. Например, в идеальном газе за счет теплового движения частиц возможны как упорядоченные их расположения в какие-то моменты времени, так и хаотические. Упорядоченные расположения частиц будут соответствовать наинизшим значениям термодинамической вероятности Р и энтропии S. А чем более хаотическим будет это расположение, тем большими будут величины Р и S. Поэтому говорят, что энтропия—мера беспорядка в системе. Учитывая, что любые микросостояния одинаково вероятны и, следовательно, за счет движения микрочастиц в каждом микросостоянии система будет находиться примерно одинаковое время, получаем, что в макросостояниях с наибольшим значением Р, т. е. с наи-

136

большим значением энтропии S, система частиц будет находиться большую часть времени. Следовательно, наблюдая за замкнутой и теплоизолированной системой частиц, мы обнаружим, что в подавляющем числе случаев система стремится перейти в состояние с большей термодинамической вероятностью, т. е. что энтропия системы возрастает, либо остается неизменной (если она уже была максимальной). Таким образом, мы пришли к пониманию того, в каком направлении самопроизвольно протекают тепловые процессы: – при любых процессах в замкнутой и теплоизолированной системе ее энтропия не убывает, т. е. ΔS ≥ 0.

(2)

Это второе начало термодинамики или закон возрастания энтропии. В данной лабораторной работе исследуется изменение энтропии воздуха при его изохорическом охлаждении. При этом воздух в условиях эксперимента можно с высокой точностью считать идеальным газом. Методами статистической физики можно доказать, что энтропия моля идеального газа, рассчитанная через термодинамическую вероятность по формуле (1), равна S=Cμ v ln T+R ln V+S0 ,

(3)

где Т – абсолютная температура; V – объем газа; CμV – молярная теплоемкость при постоянном объеме ( C μV =

i R ); i – число степеней свободы молекул; S0 – 2

постоянная, с точностью до которой определяется энтропия. Взяв дифференциал выражения (3) и умножив на Т, получим TdS = CμV dT +

RT dV = CμV dT + pdV , V

(4)

где учтено уравнение Менделеева - Клапейрона для моля газа pV=RT. Поскольку изменение внутренней энергии газа dU=CμV dT и работа, совершаемая газом в обратимом процессе dA=pdV, то из уравнения (4) получаем TdS = dU+dA. 137

(5)

Сравнение выражения (5) с математической формулировкой первого начала термодинамики dQ =dU+dA

(6)

дает соотношение TdS=dQ, т. е. изменение энтропии в обратимом процессе dS=

dQ . T

(7)

В случае изохорического процесса для произвольной массы газа т имеем dQ = СμV

m dT , μ

(8)

где μ – молярная масса газа. Поэтому при изменении температуры газа от T1 до T2 получаем изменение энтропии газа dQ m T2 dT m T = CμV ∫ =CμV ln 2 . μ T1 T μ T1 T1 T

T2

ΔS = ∫

(9)

Если газ охлаждается, то Т2Т. Затем происходит остывание воздуха за счет теплоотдачи через стенки баллона до температуры Т, а давление падает до величины р2 , равной ⎛ ρgh2 p2=p0+ρgh2=p0 ⎜⎜1 + p0 ⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

(12)

где h2 – установившаяся разность уровней жидкости в манометре. Так как атмосферное давление р0 значительно превышает изменение давления ρgh в сосуде, то, используя приближенную зависимость ln(1+α) ≈ α при α