Квантова механіка. Підручник

ÁÁÊ 22.31ÿ73 ÓÄÊ 530.145 ÂÀÊÀ×ÓÊ I. Î. Êâàíòîâà ìåõàíiêà: Ïiäðó÷íèê. 3-ò¹ âèä., äîï. Ëüâiâ: ËÍÓ iìåíi Iâàíà Ôðàíêà, ...

Author: Вакарчук І.О

47 downloads 281 Views 4MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ÁÁÊ 22.31ÿ73 ÓÄÊ 530.145

ÂÀÊÀ×ÓÊ I. Î. Êâàíòîâà ìåõàíiêà: Ïiäðó÷íèê. 3-ò¹ âèä., äîï. Ëüâiâ: ËÍÓ iìåíi Iâàíà Ôðàíêà, 2007. 848 ñ.: 78 ië. Ó ïiäðó÷íèêó ïîäàíî ïîñëiäîâíèé âèêëàä içè÷íèõ îñíîâ i ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè òà ¨ ¨ çàñòîñóâàííÿ äî ðiçíèõ çàäà÷. Ìàòåðiàë êíèæêè âiäïîâiäà¹ ñòàíäàðòíié óíiâåðñèòåòñüêié ïðîãðàìi êóðñó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè é îõîïëþ¹ âñi ¨ ¨ ðîçäiëè. Ôàêòè÷íî öå ïiäðó÷íèê ç êàíîíi÷íîãî êóðñó Êâàíòîâà ìåõàíiêà, ÿêèé ¹ ÷àñòèíîþ çàãàëüíîãî êóðñó Òåîðåòè÷íà içèêà é ÷èòà¹òüñÿ ñòóäåíòàì IIIIV êóðñiâ içè÷íèõ ñïåöiàëüíîñòåé óíiâåðñèòåòiâ. Îñîáëèâó óâàãó ïðèäiëåíî ÷èñëåííèì iëþñòðàöiÿì çâ'ÿçêó içè÷íèõ ÿâèù iç óíäàìåíòàëüíîþ âåëè÷èíîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ òà ¨ ¨ àçîþ, ïðèíöèïîâi ñóïåðïîçèöi¨, iëîñîñüêîìó òðàêòóâàííþ éìîâiðíiñíî¨ êîíöåïöi¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, êâàíòîâié iíîðìàöi¨. Ïîäàíî òàêîæ áàãàòî ïðèêëàäiâçàäà÷, ñåðåä ÿêèõ ïîðÿä iç òðàäèöiéíèìè ¹ îðè iíàëüíi òà òàêi, ùî ¨õ çâè÷àéíî íå âêëþ÷àþòü äî ïiäðó÷íèêiâ. îçâ'ÿçêè öèõ íåâåëè÷êèõ ïðîáëåì äàäóòü çìîãó ÷èòà÷åâi ãëèáøå çðîçóìiòè îñíîâíèé ìàòåðiàë i êîíòðîëþâàòè éîãî çàñâî¹ííÿ. Íàðèñ òâîðåííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè òà iñòîðè÷íi åêñêóðñè, ùî ñóïðîâîäæóþòü îñíîâíèé ìàòåðiàë, ìiñòÿòü çíàííÿ, ÿêi ¹ íåîáõiäíèì åëåìåíòîì êóëüòóðè içèêà. Íåâiä'¹ìíîþ ÷àñòèíîþ ïiäðó÷íèêà ¹ âiäñòóïè òà âèíîñêè, äå ïîäàíî öiêàâi çàäà÷i, ÷àñîì, ìîæå, íåñïîäiâàíi, íàâåäåíî àíàëîãi¨ ç êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè, òåîði¨ ìóçèêè, ìèñòåöòâà. . . Ìåòà öüîãî çâåðíóòè óâàãó ÷èòà÷à íà çâ'ÿçêè ìiæ ðiçíèìè ÿâèùàìè, ùî îõîïëþþòü i ëþäñüêó äiÿëüíiñòü, òà ïðîäåìîíñòðóâàòè ñèëó é óíiâåðñàëüíiñòü ìàòåìàòèêè â ¨õ àíàëiçi. Äëÿ ñòóäåíòiâ, àñïiðàíòiâ, íàóêîâöiâ. Áóäå êîðèñíèé äëÿ âèêëàäà÷iâ i âñiõ, õòî öiêàâèòüñÿ êâàíòîâîþ içèêîþ.

åöåíçåíòè:

ä-ð iç.-ìàò. íàóê Þ. Î. Ñèòåíêî (Iíñòèòóò òåîðåòè÷íî¨ içèêè iìåíi Ì. Ì. Áîãîëþáîâà), ä-ð iç.-ìàò. íàóê, ïðî. Ì. Â. Òêà÷ (×åðíiâåöüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Þ. Ôåäüêîâè÷à) ä-ð iç.-ìàò. íàóê Î. Á. Çàñëàâñüêèé (Õàðêiâñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Â. Í. Êàðàçiíà)

I. O. VAKARCHUK. Quantum me hani s (3rd edition) The volume presents a onsistent delineation of the physi al essentials and a body of mathemati s for quantum me hani s and the appli ation of the latter to a whole range of problems. The bulk of the book is in omplian e with the requirements of a standard University urri ulum of the ourse of quantum me hani s and omprises all its se tions. In fa t this volume is a manual of the anoni al ourse of quantum me hani s whi h is a part of the ourse of theoreti al physi s taught to the 3rd and 4th year students taking a University major in physi s. Spe ial attention is paid to numerous illustrations testifying to the relatedness of physi al phenomena to the wave fun tion as a fundamental quantity and its phase as well as to the prin iple of superposition and a philosophi al treatment of the probability on ept of quantum me hani s and quantum information. The text abounds in exemplary problems, both traditional and original, the latter being generally ex luded from handbooks. The solution of su h problems allows for a more in-depth understanding and a more ontrolled per eption of the material on the part of the reader. The presented sket h of the reation of quantum me hani s and on omitant histori al ash-ba ks are part and par el of the physi ist's ulture. The book en ompasses a number of digressions and footnotes ontaining interesting, at times unexpe ted, problems and addu ing analogies from lassi al me hani s as well as musi , art, et . They are meant to attra t the attention of the reader to the existing natural orrelations between various phenomena whi h are also relevant for human a tivity and to demonstrate the power and universality of mathemati s in their analysis. The volume is meant for students, postgraduate students and resear hers. It will also be of use to tea hers and all those who are interested in quantum physi s. ISBN 9789666135059

I. Î. Âàêàð÷óê, 1998 I. Î. Âàêàð÷óê, 2004, äîïîâíåíå I. Î. Âàêàð÷óê, 2007, äîïîâíåíå

ÇÌIÑÒ Ïåðåäìîâà äî òðåòüîãî âèäàííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Ïåðåäìîâà äî äðóãîãî âèäàííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Ïåðåäìîâà äî ïåðøîãî âèäàííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Âñòóï

13

Iñòîðè÷íèé íàðèñ ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨

. . . . . . . . . . .

13

îçäië I. Îñíîâíi ïðèíöèïè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè

31

1.

Îïèñ ñòàíó ó êâàíòîâié ìåõàíiöi

. . . . . . . . . . . . . . .

31

2.

Õâèëüîâà óíêöiÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.

Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.

Ïàðàäîêñè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.

Õâèëüîâà óíêöiÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè

. . . . . . . . . . . . .

71

6.

Ñåðåäíi çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó . . . . . . . . . .

84

7.

Ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à . . . . . . . .

89

îçäië II. Ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè 8.

Îïåðàòîðè içè÷íèõ âåëè÷èí

9.

Âëàñíi óíêöi¨ i âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ òà ¨õ içè÷íà iíòåðïðåòàöiÿ

101

. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10. Âëàñòèâîñòi âëàñíèõ óíêöié i âëàñíèõ çíà÷åíü åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11. Ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé äëÿ içè÷íèõ âåëè÷èí, ùî ïðåäñòàâëÿþòüñÿ íåêîìóòóþ÷èìè îïåðàòîðàìè . . . . . 127 12. içíi ïðåäñòàâëåííÿ ñòàíiâ êâàíòîâèõ ñèñòåì. Áðà- i êåò-âåêòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 13. içíi ïðåäñòàâëåííÿ îïåðàòîðiâ. Ìàòðèöi îïåðàòîðiâ . . . . 138 14. Êâàíòîâà ìåõàíiêà òåîðiÿ ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ ó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 îçäië III. iâíÿííÿ Øðåäèí åðà 15. Õâèëüîâå ðiâíÿííÿ

153

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

16. Çàêîí çáåðåæåííÿ éìîâiðíîñòi. iâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi . . 161 17. Çìiíà ñåðåäíiõ çíà÷åíü içè÷íèõ âåëè÷èí iç ÷àñîì. Êâàíòîâi äóæêè Ïóà ñîíà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

18. Ñòàöiîíàðíi ñòàíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 19. Ïðåäñòàâëåííÿ Øðåäèí åðà i ïðåäñòàâëåííÿ àéçåíáåð à . 174

3

îçäië IV. Íàéïðîñòiøi çàäà÷i êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè

179

20. ×àñòèíêà â îäíîâèìiðíié ïðÿìîêóòíié ïîòåíöiàëüíié ÿìi ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè

. . . . . . . . . . . . . . . . 179

21. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð. Õâèëüîâèé ïiäõiä . . . . . . . . . . 183 22. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð. Ìåòîä îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

23. Ìåòîä àêòîðèçàöi¨ äëÿ âèçíà÷åííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü òà âëàñíèõ óíêöié îïåðàòîðiâ 24. Àíãàðìîíi÷íèé

|x|-îñöèëÿòîð

. . . . . . . . . . . . . . . . 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

25. Ïðîõîäæåííÿ ÷àñòèíêè êðiçü ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð

. . . . 226

26. Õîëîäíà åìiñiÿ åëåêòðîíiâ ç ìåòàëó . . . . . . . . . . . . . . 237 27. Òåîðiÿ àìîâà

α-ðîçïàäó

âàæêèõ ÿäåð . . . . . . . . . . . . 239

îçäië V. Çâ'ÿçîê êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ç êëàñè÷íîþ

243

28. Ïåðåõiä âiä êâàíòîâèõ ðiâíÿíü ðóõó äî êëàñè÷íèõ . . . . . 243 29. Õâèëüîâà óíêöiÿ ó êâàçiêëàñè÷íîìó íàáëèæåííi. Ìåòîä ÂåíòöåëÿÊðàìåðñàÁðiëëþåíà . . . . . . . . . . . . 248 30. Ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà . . . . . . . . . 255 31. Êâàíòîâà ìåõàíiêà òà iíòå ðàëè çà òðà¹êòîðiÿìè . . . . . . 267 îçäië VI. Ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó

279

32. Îïåðàòîð ïîâîðîòó i ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó . . . . . . . . . 279 33. Âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ êâàäðàòà é ïðîåêöié ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó . . . . . . . . . . . . . . 286 34. Âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ êâàäðàòà é ïðîåêöié îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó . . . . . . . . . . . . . 297 35. Ñïií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 36. Ìàòðèöi îïåðàòîðiâ ïîâîðîòó äëÿ 37. Êâàíòîâå îáåðòàííÿ òâåðäîãî òiëà

j=1

. . . . . . . . . . . 314

. . . . . . . . . . . . . . 320

38. ßäåðíèé êâàäðóïîëüíèé ðåçîíàíñ . . . . . . . . . . . . . . . 324 îçäië VII. óõ ÷àñòèíêè â öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi

331

39. óõ ó ïîëi öåíòðàëüíî¨ ñèëè. àäiàëüíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

40. Ïðîñòîðîâèé îñöèëÿòîð 41. Àòîì âîäíþ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

42. Àòîì âîäíþ. Ìåòîä àêòîðèçàöi¨ . . . . . . . . . . . . . . . 365 43. Àòîì âîäíþ. Iíòå ðàë ðóõó Ëàïëàñàóí åËåíöà . . . . . 370 44. àäiàëüíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà â îçäië VIII. Òåîðiÿ çáóðåíü

N -âèìiðíîìó

ïðîñòîði . 376 389

45. Ñòàöiîíàðíà òåîðiÿ çáóðåíü. Íåâèðîäæåíèé âèïàäîê . . . . 389 46. Ìîäåëi ç ìàëèìè ïàðàìåòðàìè, ñòâîðåíèìè ç Íi÷îãî . . . 398 47.

1/N -ðîçêëàä

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

48. Ååêòèâíà ìàñà äîìiøîê ó êîíäåíñîâàíèõ òiëàõ . . . . . . 416

4

49. Ìîäåëü iç íåàíàëiòè÷íîþ çàëåæíiñòþ åíåð i¨ âiä êîíñòàíòè âçà¹ìîäi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 50. Òåîðiÿ çáóðåíü ó âèïàäêó âèðîäæåííÿ . . . . . . . . . . . . 424 51. Ååêò Øòàðêà â àòîìi âîäíþ . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 52.

π -åëåêòðîííà

òåîðiÿ îðãàíi÷íèõ ìîëåêóë

. . . . . . . . . . 433

53. Âàðiàöiéíèé ïðèíöèï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 54. Íåïåðòóðáàöiéíèé ðîçðàõóíîê åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

55. Òåîðiÿ çáóðåíü, çàëåæíèõ âiä ÷àñó

. . . . . . . . . . . . . . 456

56. Iìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó

. . . . . 461

57. îçñiÿííÿ íåéòðîíiâ ó êîíäåíñîâàíèõ òiëàõ . . . . . . . . . 465 58. Êâàíòîâi ïåðåõîäè ïiä äi¹þ ðàïòîâèõ çáóðåíü . . . . . . . . 469 îçäië IX. Âçà¹ìîäiÿ àòîìà ç åëåêòðîìàãíiòíèì ïîëåì

471

59. Êâàíòóâàííÿ âiëüíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ . . . . . . 471 60. Ååêò Êàçèìèðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 61. Òåîðiÿ âèïðîìiíþâàííÿ é ïîãëèíàííÿ ñâiòëà

. . . . . . . . 491

62. Åëåêòðè÷íå äèïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ. Ïðàâèëà âiäáîðó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 63. Åëåêòðè÷íi êâàäðóïîëüíi òà ìàãíiòíi äèïîëüíi ïåðåõîäè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 64. ×àñ æèòòÿ çáóäæåíèõ ñòàíiâ àòîìiâ. Ïðèðîäíà øèðèíà ñïåêòðàëüíèõ ëiíié

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

65. Êâàíòîâà òåîðiÿ äèñïåðñi¨ ñâiòëà 66. Ôîòîååêò

. . . . . . . . . . . . . . . 531

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

îçäië X. åëÿòèâiñòñüêà êâàíòîâà ìåõàíiêà 67. iâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà

553

. . . . . . . . . . . . . . . 553

68. Êåïëåðiâñüêà ïðîáëåìà â òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà

. . 561

69. iâíÿííÿ Äiðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 70. Ìàòðèöi Äiðàêà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

71. iâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 72. Ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó â òåîði¨ Äiðàêà . . . . . . . . . . . . 579 73. Âiëüíèé ðóõ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè . . . . . . . . . . . . 583 74. Ñåðè÷íèé ñïiíîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 75. iâíÿííÿ Ïàóëi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

76. Êâàçiðåëÿòèâiñòñüêå íàáëèæåííÿ ðiâíÿííÿ Äiðàêà. Ñïií-îðáiòàëüíà âçà¹ìîäiÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

77. Àòîì âîäíþ ç óðàõóâàííÿì ðåëÿòèâiñòñüêèõ ïîïðàâîê . . . 610 78. Òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

79. Àòîì ó ìàãíiòíîìó ïîëi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

80. óõ ÷àñòèíêè â îäíîðiäíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi . . . . . . . . 628

5

îçäië XI. Êâàíòîâà ìåõàíiêà ñèñòåìè áàãàòüîõ ÷àñòèíîê

633

81. Ïðèíöèï òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê ó êâàíòîâié ìåõàíiöi . . . . 633 82. Òåîðiÿ àòîìà ãåëiþ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

83. Âiä'¹ìíèé éîí âîäíþ H

84. Ìåòîä àðòðiÔîêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 85. Ìåòîä ÒîìàñàÔåðìi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

86. Ìîëåêóëè. Àäiàáàòè÷íå íàáëèæåííÿ . . . . . . . . . . . . . 680 87. Ìîëåêóëà âîäíþ H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 + 88. Ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 89. Õiìi÷íèé çâ'ÿçîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 90. Ñèëè Âàí äåð Âààëüñà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

91. Áîçå-ðiäèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 îçäië XII. Îñíîâè êâàíòîâî¨ iíîðìàöi¨ 92. Ñïëóòàíi EPR-ñòàíè

727

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

93. Êâàíòîâà òåëåïîðòàöiÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 94. Ñïiíîâi ñòàíè ñèñòåìè ÷àñòèíîê . . . . . . . . . . . . . . . . 735 95. Òåëåïîðòàöiÿ îòîíiâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 96. Êâàíòîâèé êîìï'þòåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 97. Êâàíòîâà êðèïòîãðàiÿ 98. Íåðiâíîñòi Áåëëà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

îçäië XIII. óõ ÷àñòèíêè â äåîðìîâàíîìó ïðîñòîði

765

99. Äåîðìîâàíi äóæêè Ïóàññîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 100. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð ó êâàíòîâàíîìó ïðîñòîði 101. óõ ó öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi â

. . . . . 769

N -âèìiðíîìó

ïðîñòîði ç äåîðìîâàíîþ àë åáðîþ àéçåíáåð à . . . . . . 771 102. Àòîì âîäíþ â äåîðìîâàíîìó ïðîñòîði . . . . . . . . . . . 779 103. Ïðîáëåìà Êåïëåðà â òåîði¨ Äiðàêà ç äåîðìàöi¹þ . . . . . 783 îçäië XIV. Òåîðiÿ ðîçñiÿííÿ

797

104. Àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 105. Áîðíiâñüêå íàáëèæåííÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

106. îçñiÿííÿ åëåêòðîíiâ íà àòîìi

. . . . . . . . . . . . . . . . 808

107. Ìåòîä ïàðöiàëüíèõ õâèëü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810 108. Òåîðiÿ íåïðóæíîãî ðîçñiÿííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 109. Äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð Ïiñëÿìîâà

. . . . . . . . . . . . . . 828

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839

Ñïèñîê ðåêîìåíäîâàíî¨ ëiòåðàòóðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 Ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 Iìåííèé ïîêàæ÷èê

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846

ÏÅÅÄÌÎÂÀ ÄÎ ÒÅÒÜÎ Î ÂÈÄÀÍÍß

Îñíîâíèì äîïîâíåííÿì ó íîâîìó âèäàííi öüîãî ïiäðó÷íèêà ¹ âèäiëåííÿ â îêðåìi ãëàâè ïðîáëåì i äîñÿãíåíü êâàíòîâî¨ iíîðìàöi¨ òà êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ó ïðîñòîðàõ iç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà, ÿêi â ïîïåðåäíiõ ïîäàíî ëèøå ÷àñòêîâî é ðîçïîðîøåíî â ïðèêëàäàõ i âiäñòóïàõ ïî âñié êíèæöi. Äîêëàäíiøå ðîçãëÿíóòî â îêðåìèõ ïàðàãðààõ òåîðiþ êâàíòîâèõ êîìï'þòåðiâ, êâàíòîâó òåëåïîðòàöiþ òà êâàíòîâó êðèïòîãðàiþ. Õî÷à öi ïèòàííÿ ¹ ëèøå äîäàòêîâèìè äî ãîëîâíèõ ðîçäiëiâ êóðñó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, îäíàê âîíè âðàæàþ÷å ÿñêðàâî iëþñòðóþòü óíäàìåíòàëüíi ïðèíöèïè òåîði¨, i ñüîãîäíi ¨õ iíòåíñèâíî òà óñïiøíî äîñëiäæóþòü åêñïåðèìåíòàòîðè çi ñïîäiâàííÿì çàïðîâàäèòè íåçàáàðîì öi íîâi ÿâèùà â íàøå ïîâñÿêäåííå æèòòÿ. Êðiì òîãî, ïîäàíî íîâi çàäà÷i êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ÷àñòèíêè ç ìàñîþ, çàëåæíîþ âiä êîîðäèíàò, ÿêà ðóõà¹òüñÿ â áàãàòîâèìiðíîìó ïðîñòîði ç äåîðìîâàíîþ àë åáðîþ àéçåíáåð à äëÿ îïåðàòîðiâ, ùî ïðåäñòàâëÿþòü óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè. Öåé íàïðÿìîê, ÿêèé òåïåð àêòèâíî ðîçâèâàþòü, ñâî¨ìè âèòîêàìè éäå âiä iäå¨ êâàíòóâàííÿ ïðîñòîðó, ùî íàëåæèòü îäíîìó ç òâîðöiâ êâàíòîâî¨ òåîði¨ Â. àéçåíáåð îâi. Äîïîâíåíî öå âèäàííÿ é íîâèìè ïðèêëàäàìè, çíà÷íà ÷àñòèíà ç ÿêèõ ¹ àâòîðñüêèìè. Ïîäàíi â ïiäðó÷íèêó ïðèêëàäè ìîæóòü ñêëàñòè îêðåìèé çáiðíèê çàäà÷ äëÿ àêòèâíîãî âèâ÷åííÿ çàãàëüíèõ iäåé i ïðèíöèïiâ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, à äåÿêi ç íèõ ìîæóòü ìàòè äëÿ äîïèòëèâîãî ×èòà÷à ïðîäîâæåííÿ ÿê ñàìîñòiéíå íàóêîâå äîñëiäæåííÿ. ×àñòèíà äîäàíîãî ìàòåðiàëó âèõîäèòü (ÿê öå áóëî é ó ïîïåðåäíiõ âèäàííÿõ) çà ìåæi òðàäèöiéíî¨ ïðîãðàìè êóðñó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè é áiëüøå ðîçðàõîâàíà íà àñïiðàíòiâ òà ìîëîäèõ äîñëiäíèêiâ, ÿêi íå îáìåæóþòü ñâîþ ïðèðîäíó öiêàâiñòü àáî æ íàóêîâà òâîð÷iñòü ÿêèõ òîðêà¹òüñÿ öèõ ïèòàíü. Ó öüîìó âèäàííi òàêîæ çðîáëåíî êiëüêà íîâèõ âiäñòóïiâ òà âèíîñîê, ÿêi ñóïðîâîäæóþòü i çàáàðâëþþòü îñíîâíèé òåêñò i ìàþòü, 7

ÿê i ïîïåðåäíi, äåùî àòðàêöiéíèé õàðàêòåð. îòóþ÷è äî äðóêó ïåðøå âèäàííÿ êíèæêè, ÿ âàãàâñÿ, ÷è äîðå÷íî äàâàòè öi âèíîñêè òà âiäñòóïè â òàêîìó àêàäåìi÷íîìó òâîði ÿê óíiâåðñèòåòñüêèé ïiäðó÷íèê iç êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Âèÿâèëîñü, îäíàê, ùî öå âèïðàâäàëî ñåáå, îñêiëüêè âîíè íå ëèøå iëþñòðóþòü ñòóäåíòàì ìîæëèâiñòü îïèñó ðiçíîìàíiòíèõ ÿâèù ïðèðîäè îäíàêîâèìè içè÷íèìè ìîäåëÿìè òà ìàòåìàòè÷íèìè çàñîáàìè äîñëiäæåííÿ, ðîçñîâóþ÷è ìåæi ¨õíüîãî ñâiòîãëÿäó é âèõîâóþ÷è â íèõ âiä÷óòòÿ ñâîáîäè íàóêîâî¨ òâîð÷îñòi, àëå é çàâäÿêè ñâî¨é äîñòóïíîñòi öi âiäñòóïè âèêëèêàëè íåñïîäiâàíî æâàâó çàöiêàâëåíiñòü i òèõ ×èòà÷iâ, ÿêi ¹ äàëåêèìè âiä öi¹¨ ïðåêðàñíî¨ íàóêè ç ¨¨ çàïàìîðî÷ëèâîþ ìàòåìàòèêîþ, i, ùî ãîëîâíå, ñïðè÷èíèëè ñåðåä øèðîêîãî êîëà ëþäåé ðiçíèõ ïðîåñié, ÿêi ïðàãíóòü íàñîëîäæóâàòèñü ïðîöåñîì ïiçíàííÿ é ÷óòè ìóçèêó ñåð, ïîïóëÿðèçàöiþ çàñàäíè÷èõ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ïðèíöèïiâ i ïîíÿòü, ùî ¹ äîñòàòíüî ïðîñòèìè, õî÷à, ìîæå, i íåçáàãíåííèìè. . . Âèñëîâëþþ ãëèáîêó ïîäÿêó ñâî¨ì êîëåãàì ç êàåäðè òåîðåòè÷íî¨ içèêè Ëüâiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó Â. Ì. Òêà÷óêîâi, Â. Ì. Ìèãàëåâi, À. À. îâåí÷àêîâi, Þ. Ñ. Êðèíèöüêîìó, Á. Â. Áóäíîìó, Ì. Ì. Ñòåöêîâi, Ì. Â. Øëüîíçàê, Í. À. Ñiäëåöüêié, . Î. Ïðèòóëi çà òi ãîäèíè äèñêóñié, ÿêi âîíè ïîäàðóâàëè ìåíi, íåîäíîðàçîâî ïåðå÷èòóþ÷è ðiçíi ðîçäiëè ðóêîïèñó êíèæêè, à òàêîæ ðåöåíçåíòàì Ì. Â. Òêà÷åâi, Þ. Î. Ñèòåíêîâi, Î. Á. Çàñëàâñüêîìó çà ¨õíi çàóâàæåííÿ òà âèíÿòêîâî äîáðîçè÷ëèâi é ùèði ïîðàäè, Î. Êiêò¹âié çà êîìï'þòåðíèé íàáið êíèæêè é ïîñòiéíó òà àêòèâíó äîïîìîãó. Iâàí Âàêàð÷óê

Ëüâiâ, ñi÷åíü, 2007.

ÏÅÅÄÌÎÂÀ ÄÎ ÄÓ Î Î ÂÈÄÀÍÍß

Äðóãå âèäàííÿ öüoãî ïiäðó÷íèêà ïîðiâíÿíî ç ïåðøèì, ÿêå âèéøëî ó ñâiò ï'ÿòü ðîêiâ òîìó, äîïîâíåíî ç óðàõóâàííÿì ðîçâèòêó êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ òåîði¨, åêñïåðèìåíòàëüíèõ äîñÿãíåíü, çðîáëåíèõ îñòàííiì ÷àñîì çàâäÿêè iëi ðàííîìó âèêîðèñòàííþ íîâèõ iíñòðóìåíòàëüíèõ ìîæëèâîñòåé; çìiñò äîïîâíåíü âiäáèâà¹ é äåÿêi ïîáàæàííÿ ÷èòà÷iâ, à òàêîæ îñîáèñòi çàöiêàâëåííÿ àâòîðà ÿê êîíêðåòíèìè çàäà÷àìè, òàê i êîíöåïòóàëüíèìè çàñàäàìè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. îçøèðåíî iñòîðè÷íèé íàðèñ ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ç îñîáëèâîþ óâàãîþ äî òèõ ïåðøèõ êðîêiâ Ì. Ïëàíêà, ùî ïðèâåëè éîãî äî ãiïîòåçè êâàíòiâ i âiäêðèòòÿ óíäàìåíòàëüíî¨ ñòàëî¨ ~, ÿêó íàçâàíî éîãî iìåíåì. Øèðøå îáãîâîðåíî ïèòàííÿ iíòåðïðåòàöi¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ¨¨ òàê çâàíi ïàðàäîêñè, òåîðiþ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ. Äîêëàäíî ïîäàíî ÿâèùå êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨, çàòîðêíóòî òàêîæ ïèòàííÿ êâàíòîâèõ êîìï'þòåðiâ òà êâàíòîâî¨ êðèïòîãðài¨ öå ìîæå ðîçãëÿäàòèñü i ÿê âñòóï äî òåîði¨ êâàíòîâî¨ iíîðìàöi¨, ùî òåïåð áóðõëèâî ðîçâèâà¹òüñÿ. ß ââàæàâ çà äîöiëüíå îçíàéîìèòè ×èòà÷à ç ìåòîäîì àêòîðèçàöi¨ äëÿ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ðiâíÿíü íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ ç ïîäàëüøèì éîãî çàñòîñóâàííÿì óïðîäîâæ âèêëàäó ìàòåðiàëó. Öåé ìåòîä, ÿêèé âèíàéøîâ Å. Øðåäèí åð, äiñòàâ îñòàííiì ÷àñîì íîâèé iìïóëüñ äî ñâîãî ðîçâèòêó. Óâåäåíî òàêîæ êiëüêà ìåòðîëîãi÷íèõ çàäà÷, òàêèõ, ÿê àíãàðìîíi÷íèé |x|-îñöèëÿòîð òà çàðÿäæåíà ÷àñòèíêà â ìàãíiòíîìó ïîëi; ïîñëiäîâíî ïîäàíî òåîðiþ çáóðåíü ç ìàëèì ïàðàìåòðîì, ùî ¹ âåëè÷èíîþ, îáåðíåíîþ äî âèìiðíîñòi ïðîñòîðó (1/N -ðîçêëàä), ç iëþñòðàöi¹þ ååêòèâíîñòi òàêîãî ïiäõîäó íà êîíêðåòíèõ ìîäåëÿõ; íàâåäåíî ðîçâ'ÿçêè íèçêè íîâèõ çàäà÷ òà ïðèêëàäiâ, çîêðåìà i íåïåðòóðáàöiéíèé ïiäõiä äî îá÷èñëåííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü åíåð i¨ àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà; òî÷íiøå ñîðìóëüîâàíî äåÿêi òâåðäæåííÿ, ùî ïiäñèëþ¹ â íèõ äóìêè àâòîðà. 9

îëîâíà ìåòà ïiäðó÷íèêà çàëèøèëàñü íåçìiííîþ äàòè ñèñòåìàòè÷íèé âèêëàä içè÷íèõ îñíîâ i ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè òàê, ùîá ïî÷àòêiâåöü, ÿêèé óçÿâñÿ çà ¨¨ âèâ÷åííÿ, iäó÷è êðîê çà êðîêîì, çìiã áè äîñÿãòè ãëèáîêîãî ðîçóìiííÿ ïîâåäiíêè êâàíòîâèõ îá'¹êòiâ ó ðiçíèõ óìîâàõ, à òàêîæ óñâiäîìèòè òîé íåçáàãíåííèé i ïàðàäîêñàëüíèé àêò, ùî ó êâàíòîâié içèöi ñèëà ëþäñüêîãî ðîçóìó, ÷è íå âïåðøå ó ñâî¨é iñòîði¨, çiòêíóâøèñü çi ñïðàâæíüîþ íåìîæëèâiñòþ âiçóàëiçóâàòè ïîäi¨ ìiêðîñâiòó òà ç òèì, ùî ìè íàçèâà¹ìî ïîçà çäîðîâèì ãëóçäîì, âèÿâèëàñü çäàòíîþ ñòâîðèòè ïðèíöèïîâî íîâi çàñîáè ïiçíàííÿ íàâêîëèøíîñòi, ïðè÷îìó íå ïðîñòî âèâ÷àòè ïîäi¨ íà àòîìíèõ òà ñóáàòîìíèõ ïðîñòîðîâî-÷àñîâèõ ìàñøòàáàõ, àëå é òî÷íî ïåðåäáà÷àòè íîâi ÿâèùà i çìóøóâàòè ¨õ ÷åðåç ñòâîðåííÿ ðiçíîìàíiòíèõ ïðèñòðî¨â ñëóãóâàòè ëþäèíi. Ùîäî ñàìîãî õàðàêòåðó âèêëàäó, òî âií çáåðiã ñòèëü ïîïåðåäíüîãî âèäàííÿ, çîêðåìà íàâåäåíî êiëüêà íîâèõ âiäñòóïiâ òà âèíîñîê, ðîëü ÿêèõ çàïðîñèòè äî äèñêóñié, íà ÿêi íàñ øòîâõà¹ ãëèáîêî çàêîðiíåíèé iíñòèíêò ïîøóêó íîâîãî çi ñïîäiâàííÿìè âèÿâèòè òi içè÷íi òà ìàòåìàòè÷íi ìåõàíiçìè, ùî òâîðÿòü áàãàòîâèìiðíó ïàðòèòóðó çâ'ÿçêiâ ìiæ ðiçíèìè ÿâèùàìè. Âèñëîâëþþ ïîäÿêó ñâî¨ì êîëåãàì iç êàåäðè òåîðåòè÷íî¨ içèêè Ëüâiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó Â. Ì. Òêà÷óêîâi, Ò. Â. Ôiòüîâi, À. À. îâåí÷àêîâi, Þ. Ñ. Êðèíèöüêîìó, Á. Â. Áóäíîìó çà îáãîâîðåííÿ ÿê ïðèíöèïîâèõ, òàê i íåçíà÷íèõ, àëå äóæå ïîòðiáíèõ ïèòàíü, âèêëàäåíèõ òóò, ðåöåíçåíòàì ïåðøîãî âèäàííÿ öüîãî ïiäðó÷íèêà ïðî. Â. I. Ëåíäüåëîâi i ïðî. Ì. Â. Òêà÷åâi çà ïîáàæàííÿ, ÿêi âðàõîâàíî â íîâîìó âèäàííi, çàâiäóâà÷åâi êàåäðè òåîðåòè÷íî¨ ÿäåðíî¨ içèêè Õàðêiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó ïðî. Þ. À. Áåðåæíîìó çà ïîðàäè é çàóâàæåííÿ, ÿêi âií ëþá'ÿçíî âèñëîâèâ äî ïåðøîãî âèäàííÿ, à òàêîæ Î. Êiêò¹âié çà êîìï'þòåðíèé íàáið êíèæêè òà íåçìiííó äîïîìîãó ïðè ¨¨ ïiäãîòîâöi äî äðóêó. Iâàí Âàêàð÷óê

Ëüâiâ, ÷åðâåíü, 2003.

ÏÅÅÄÌÎÂÀ ÄÎ ÏÅØÎ Î ÂÈÄÀÍÍß

Ïðîïîíîâàíèé óâàçi ×èòà÷à ïiäðó÷íèê ç êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè íàïèñàíèé íà îñíîâi êóðñó ëåêöié, ÿêi àâòîð ÷èòà¹ óïðîäîâæ áàãàòüîõ ðîêiâ ñòóäåíòàì içè÷íîãî àêóëüòåòó Ëüâiâñüêîãî äåðæàâíîãî óíiâåðñèòåòó iìåíi Iâàíà Ôðàíêà. Âií âiäïîâiäà¹ óíiâåðñèòåòñüêié ïðîãðàìi êóðñó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Âñòóïíà ÷àñòèíà ïðèñâÿ÷åíà êîðîòêîìó iñòîðè÷íîìó íàðèñîâi ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Íà ìié ïîãëÿä, öi çíàííÿ ¹ âàæëèâîþ ÷àñòèíîþ çàãàëüíî¨ êóëüòóðè içèêà. åøòà ãëàâ ïðèñâÿ÷åíà ãîëîâíié ìåòi ñèñòåìàòè÷íîìó âèêëàäó içè÷íèõ îñíîâ i ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè òà ¨¨ çàñòîñóâàííþ äî áàãàòüîõ çàäà÷. Ó ïiäðó÷íèêó ¹ ïîäåêóäè íàäòî äåòàëüíi âèêëàäêè ÿê ïîêàçó¹ äîñâiä, ñòóäåíòè ÷àñîì ïîòðåáóþòü äëÿ ãëèáøîãî ðîçóìiííÿ ìàòåðiàëó ñàìå öèõ, ðîçïèñàíèõ äî äðiáíèöü, äåòàëåé. Ïðîøó íå äðàòóâàòèñü òèõ ÷èòà÷iâ, äëÿ ÿêèõ öi ìiñöÿ ¹ î÷åâèäíèìè. À âçàãàëi, ÿ íàìàãàâñÿ âèêëàñòè ìàòåðiàë äîñòàòíüî ïðîçîðî, àäæå ìîâà éäå ïðî ëåêöi¨ äëÿ ñòóäåíòiâ IIIIV êóðñiâ, à íå ïðî ìîíîãðàiþ, ÷èòà÷àì ÿêî¨, ìîæëèâî, i ñïðàâäi ëåãøå çðîáèòè äåÿêi ïåðåòâîðåííÿ ñàìèì, íiæ ïðîñòåæèòè çà âèêëàäêàìè àâòîðà. Âëàñíå òîìó, ùî öå ëåêöi¨, îðìóëè íå íóìåðóâàëèñÿ, à äåêîëè ïîâòîðþâàëèñÿ ç òèì, ùîá íå âòîìëþâàòè ÷èòà÷à áåçïåðåðâíèìè âiäñèëàííÿìè äî ïîïåðåäíiõ âèðàçiâ öå òàêîæ íå ñïðèÿ¹ çàñâî¹ííþ ìàòåðiàëó. Êðiì òîãî, ç òèõ æå ìiðêóâàíü ó òåêñòi íåìà¹ ïîêëèêiâ, çà ïîîäèíîêèìè âèíÿòêàìè, íà iíøi ïiäðó÷íèêè: ¨õ ïåðåëiê ïîäàíî íàïðèêiíöi êíèæêè. Óñi öi ïiäðó÷íèêè é ìîíîãðài¨ ìàþòü ñâî¨ ïåðåâàãè é íåäîëiêè, àëå âîíè äîáðå íàïèñàíi, é ç íèõ ó÷èëîñü íå îäíå ïîêîëiííÿ içèêiâ. Îñîáëèâî ðåêîìåíäóþ çâåðòàòèñü äî ïiäðó÷íèêiâ, ÿêi íàïèñàëè â÷åíi, ùî òâîðèëè êâàíòîâó ìåõàíiêó òà çðîáèëè ñâié âíåñîê ó ¨¨ ðîçâèòîê. Òàêà iíîðìàöiÿ ç ïåðøèõ ðóê äà¹ çìîãó ïðîñòåæèòè çà òèì, ÿê ñàìå çäiéñíþâàëîñü òà¨íñòâî òâîðåííÿ êâàíòîâî¨ içèêè. Ó êíèæöi ¹ áàãàòî ïðèêëàäiâ, ÿêi iëþñòðóþòü îñíîâíèé ìàòåðiàë i äîïîìàãàþòü êðàùå ðîçêðèòè éîãî çìiñò. ×àñîì öi ïðîñòi, 11

àëå íåòðèâiàëüíi âïðàâè äàþòü çìîãó ãëèáøå âèñâiòëèòè ïðîáëåìè, íiæ ñóõèé ïîñëiäîâíèé âèêëàä òåîði¨. ×àñòèíà ïðèêëàäiâ öå íåâåëè÷êi çàäà÷i, íà ðîçâ'ÿçêè ÿêèõ ¹ ïîñèëàííÿ â ïîäàëüøîìó âèêëàäi. Íåâiä'¹ìíîþ ÷àñòèíîþ òåêñòó ¹ âiäñòóïè, â ÿêèõ îáãîâîðåíî öiêàâi, íà ìié ïîãëÿä, çàäà÷i òà iñòîðè÷íi åêñêóðñè. Âîíè ìàþòü íà ìåòi íå ñòiëüêè ðîçâàæèòè ×èòà÷à, ñêiëüêè çâåðíóòè éîãî óâàãó íà çâ'ÿçêè ìiæ ðiçíèìè ÿâèùàìè â ïðèðîäi, ùî îõîïëþþòü i ëþäñüêó äiÿëüíiñòü, òà ïðîiëþñòðóâàòè ñèëó é óíiâåðñàëüíiñòü ìàòåìàòèêè â ¨õ àíàëiçi. Çìiñò öèõ âiäñòóïiâ ÿêîþñü ìiðîþ âiäîáðàæà¹ ñâiòîãëÿä òà âíóòðiøíié ñâiò àâòîðà, à ×èòà÷ ìîæå îáìiðêîâóâàòè ¨õ ó âiëüíèé ÷àñ çà êàâîþ. Ùî ñòîñó¹òüñÿ âèíîñîê, ÿêi ÷àñ âiä ÷àñó íàâîäèìî, òî âîíè âiäñèëàþòü ×èòà÷à äî iíøèõ, ìîæå, íåñïîäiâàíèõ äëÿ íüîãî â òàêié êíèæöi, ñòîðií iíòåëåêòóàëüíî¨ äiÿëüíîñòi. Öå òàêîæ äîäà¹ äî ðîçóìiííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ç iíøîãî ïóíêòó áà÷åííÿ i ðîçøèðþ¹ íàøi çíàííÿ ïðî Ñâiò, ó ÿêîìó ìè æèâåìî. Âèñëîâëþþ ñïîäiâàííÿ, ùî â ïiäðó÷íèêó, ÿêèé ðîçðàõîâàíèé íà ñòóäåíòiâ, çíàéäóòü ÷èìàëî êîðèñíîãî i öiêàâîãî àñïiðàíòè òà ìîëîäi â÷åíi. Àâòîðîâi ïðè¹ìíî âèñëîâèòè ïîäÿêó êîëåãàì, êîëèøíiì ñâî¨ì ñòóäåíòàì, àñïiðàíòàì, ñïiâðîáiòíèêàì êàåäðè òåîðåòè÷íî¨ içèêè çà öiêàâi äèñêóñi¨, äîïîìîãó i êîðèñíi çàóâàæåííÿ ïðè îîðìëåííi öi¹¨ êíèæêè, à îñîáëèâî Â. Ìèãàëåâi, Ì. Êîëiíüêîâi, Ë. Áëàæè¹âñüêîìó, Â. Òêà÷óêîâi, Þ. îëîâà÷åâi, Ò. Êóëi¹âi, Î. Êíiãiíiöüêîìó, À. Øâàéöi, Þ. Êðèíèöüêîìó, Ñ. Âàêàð÷óêîâi, Â. Áàáiíó, Î. Âîçíÿêîâi, Â. Êîâàëü÷óêîâi, Ò. ßâîðñüêîìó, à òàêîæ Î. Êiêò¹âié, ÿêà ÿêiñíî é øâèäêî çðîáèëà ¨¨ êîìï'þòåðíèé íàáið. Iâàí Âàêàð÷óê

Ëüâiâ, êâiòåíü, 1998.

ÂÑÒÓÏ

Iñòîðè÷íèé íàðèñ ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨

Êâàíòîâà ìåõàíiêà ¹ òåîði¹þ àòîìíèõ ÿâèù, ùî âèâ÷à¹ çàêîíîìiðíîñòi ìiêðîñâiòó i âñòàíîâëþ¹ çàêîíè ðóõó åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê, àòîìíèõ ÿäåð, àòîìiâ, ìîëåêóë òà ¨õ ñóêóïíîñòåé. Çàêîíè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè òàêîæ äàëè çìîãó ç'ÿñóâàòè áóäîâó àòîìiâ i àòîìíèõ ÿäåð, ïðèðîäó õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó, ïîÿñíèòè ïåðiîäè÷íó ñèñòåìó åëåìåíòiâ; âîíè ¹ îñíîâîþ äëÿ âèâ÷åííÿ i ìàêðîñêîïi÷íèõ òië ÿê ñèñòåìè âçà¹ìîäiþ÷èõ ÷àñòèíîê (ìåòàëè, äiåëåêòðèêè, íàïiâïðîâiäíèêè, êâàíòîâi ðiäèíè, ïëàçìà). Ëèøå êâàíòîâà ìåõàíiêà äàëà ïîÿñíåííÿ òàêèì ÿâèùàì, ÿê åðîìàãíåòèçì, íàäïëèííiñòü, íàäïðîâiäíiñòü. Âîíà òåæ ¹ îñíîâîþ i ïðè âèâ÷åííi íà ìîëåêóëÿðíîìó ðiâíi ÿâèù ó áiîëîãi¨. Àñòðîiçèêà, ÿêà âèâ÷à¹ áóäîâó é åâîëþöiþ çið i Âñåñâiòó, ñüîãîäíi íå ìîæå îáõîäèòèñü áåç êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî îïèñó içè÷íèõ ïðîöåñiâ, ÿêi òàì âiäáóâàþòüñÿ. Ùîáiëüøå, àñòðîiçè÷íi îá'¹êòè ¹ ñâî¹ðiäíîþ åêñïåðèìåíòàëüíîþ ëàáîðàòîði¹þ, ó ÿêié ïåðåâiðÿþòüñÿ ñó÷àñíi ãiïîòåçè é òåîðåòè÷íi ðîçðîáêè êâàíòîâî¨ òåîði¨. Íà ñó÷àñíîìó ðiâíi ðîçâèòêó ëþäñüêîãî ïiçíàííÿ êâàíòîâà ìåõàíiêà çíà÷íîþ ìiðîþ âèçíà÷à¹ íàø íàóêîâèé ñâiòîãëÿä i íàøå ðîçóìiííÿ Ïðèðîäè. Âèíèêëà êâàíòîâà ìåõàíiêà íà ïî÷àòêó XX ñòîëiòòÿ. 14 ãðóäíÿ 1900 ðîêó íà çàñiäàííi Íiìåöüêîãî içè÷íîãî òîâàðèñòâà ïðîåñîð òåîðåòè÷íî¨ içèêè Áåðëiíñüêîãî óíiâåðñèòåòó Ìàêñ Ïëàíê (18581947) ïðåäñòàâèâ ðåçóëüòàòè ñâî¹¨ ðîáîòè ç äîâåäåííÿ íà îñíîâi ìiêðîñêîïi÷íîãî ïiäõîäó îðìóëè äëÿ ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ âèïðîìiíþâàííÿ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà, ÿêó âií äâà ìiñÿöi òîìó âãàäàâ, âèõîäÿ÷è ç äåÿêèõ òåîðåòè÷íèõ ìiðêóâàíü òà iíòåðïîëþþ÷è åêñïåðèìåíòàëüíi äàíi, ùî áóëè íà òîé ÷àñ. Çâàæàþ÷è íà âèíÿòêîâó âàæëèâiñòü öüîãî åâðèñòè÷íîãî ìîìåíòó, íàâåäåìî òóò ìiðêóâàííÿ Ì. Ïëàíêà. Àëå ïåðø íiæ öå çðîáèòè, ïðèãàäàéìî êiëüêà âàæëèâèõ êðîêiâ ó ðîçâ'ÿçàííi ïðîáëåìè 13

ðiâíîâàæíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ òiëà, íàãðiòîãî äî òåìïåðàòóðè T , çðîáëåíèõ äî Ïëàíêà. Ìîäåëëþ òàêî¨ ðiâíîâàæíî¨ ñèñòåìè ¹ çàìêíåíà ïîðîæíèíà, ñòiíêè ÿêî¨ ìàþòü ñòàëó òåìïåðàòóðó T , öþ æ òåìïåðàòóðó ìà¹ i âèïðîìiíþâàííÿ, ùî ¹ âñåðåäèíi. Äëÿ òîãî, ùîá ñïîñòåðiãàòè öå âèïðîìiíþâàííÿ, ïîòðiáíî çðîáèòè íåâåëè÷êèé îòâið ó ñòiíöi, ùî îõîïëþ¹ ïîðîæíèíó, ÷åðåç ÿêèé âîíî áóäå âèõîäèòè. Çîâíiøí¹ âèïðîìiíþâàííÿ, ùî ïàäà¹ íà îòâið, íå âiäáèâà¹òüñÿ, à ïðîõîäèòü âñåðåäèíó i çàëèøà¹òüñÿ òàì, òîáòî ñòîâiäñîòêîâî ïîãëèíà¹òüñÿ. À îñêiëüêè àáñîëþòíî ïîãëèíàþ÷ó ïîâåðõíþ íàçèâà¹ìî ÷îðíîþ, òî é âèïðîìiíþâàííÿ, ùî âèõîäèòü ÷åðåç öåé îòâið, íàçèâàþòü ÷îðíèì àáî âèïðîìiíþâàííÿì àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà. óñòàâ Êiðõãî (18241887) âèâiâ çàêîíè, íàçâàíi éîãî iìåíåì, i ïîêàçàâ, ùî åíåð iÿ E ðiâíîâàæíîãî âèïðîìiíþâàííÿ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà ¹ óíiâåðñàëüíîþ óíêöi¹þ òåìïåðàòóðè T . Éîçå Ñòåàí (18351893) åìïiðè÷íî, à Ëþäâi Áîëüöìàí òåîðåòè÷íî äîâåëè, ùî åíåð iÿ íà îäèíèöþ îá'¹ìó ïðîïîðöiéíà ÷åòâåðòîìó ñòåïåíþ òåìïåðàòóðè. Çiáðàíó ç óñiõ ÷àñòîò ïîâíó ãóñòèíó åíåð i¨ ìîæíà çàïèñàòè òàê:

E = V

Z

∞

uν (T ) dν,

0

äå V îá'¹ì ñèñòåìè, à âåëè÷èíó uν (T ) íàçèâàþòü ñïåêòðàëüíîþ ãóñòèíîþ åíåð i¨. Ñàìå ¨¨ i ïîòðiáíî áóëî çíàéòè. Âiëüãåëüì Âií (18641928) çà äîïîìîãîþ îðè iíàëüíîãî óÿâíîãî åêñïåðèìåíòó ç äîñëiäæåííÿ çìiíè, çàâäÿêè ååêòó Äîïïëåðà, ñïåêòðà âèïðîìiíþâàííÿ, ÿêå âiäáèâà¹òüñÿ âiä ðóõîìîãî äçåðêàëà, ïîêàçàâ (1893), ùî ñïåêòðàëüíà ãóñòèíà åíåð i¨, ïîäiëåíà íà ν 3 , ¹ óíêöi¹þ âiäíîøåííÿ ν/T . Öåé òàê çâàíèé çàêîí çìiùåííÿ Âiíà ¹ òî÷íèì1 . Íàçâà ïiøëà âiä òîãî, ùî óíêöiÿ uν (T ) ìà¹ ìàêñèìóì ó äåÿêié òî÷öi ν/T = const; iç çáiëüøåííÿì òåìïåðàòóðè âií çìiùó¹òüñÿ íà ÷àñòîòíié øêàëi äî áiëüøèõ çíà÷åíü ν . Ïiçíiøå, 1896 ð., íà îñíîâi ìîëåêóëÿðíîêiíåòè÷íî¨ òåîði¨ Â. Âií ç íàïiâñåðéîçíèõ ìiðêóâàíü çàïðîïîíóâàâ ÿâíèé âèãëÿä ñïåêòðàëüíî¨ 1 ×èòà÷àì, ÿêèõ öiêàâëÿòü äåòàëi âèâåäåííÿ öüîãî çàêîíó òà çàêîíó ÑòåàíàÁîëüöìàíà, ïðîïîíó¹ìî çàãëÿíóòè, íàïðèêëàä, íà ñòîðiíêó 458 êíèæêè Ì. Áîðíà Àòîìíàÿ èçèêà, Ì.: Ìèð, 1965.

14

ãóñòèíè åíåð i¨ òåïëîâîãî âèïðîìiíþâàííÿ2 :

uν (T ) = const ν 3 e−aν/T , a óíiâåðñàëüíà ñòàëà. Çà ñëîâàìè ëîðäà Äæîíà åëåÿ (1842 1919), öå áóëî íå äîâåäåííÿ, à íå áiëüøå íiæ çäîãàäêà. Ì. Ïëàíê ïî÷àâ ñâî¨ äîñëiäæåííÿ öi¹¨ ïðîáëåìè ç ìîäåëþâàííÿ âèïðîìiíþâàííÿ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà ñóêóïíiñòþ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ i ïîêàçàâ, ùî uν (T ) =

8πν 2 U, c3

äå U ñåðåäíÿ åíåð iÿ îêðåìî âçÿòîãî îñöèëÿòîðà, c øâèäêiñòü ñâiòëà. Çâiäñè òà ç îðìóëè Âiíà âèïëèâà¹, ùî

U = hν e−aν/T , h äðóãà óíiâåðñàëüíà ñòàëà. Ìàêñ Ïëàíê óâiâ ãiïîòåçó ïðî åëåêòðîìàãíiòíó åíòðîïiþ, à ñàìå: ó çâ'ÿçêó ç òèì, ùî ïîëå âèïðîìiíþâàííÿ ¹ íàêëàäàííÿì êîëèâàíü ç ðiçíèìè íåðå óëÿðíî çìiííèìè (âèïàäêîâèìè) àçàìè, òî ìîæíà ãîâîðèòè ïðî ïåâíèé áåçëàä, à îòæå, ïðî åíòðîïiþ é òåìïåðàòóðó. Çàñòîñóéìî ïåðøèé ïðèíöèï òåðìîäèíàìiêè äî ñèñòåìè ëiíiéíèõ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ, ÿêi ìîäåëþþòü åëåêòðîìàãíiòíå ïîëå: dU = T dS − P dV,

òóò V îá'¹ì, ó ÿêîìó ëîêàëiçîâàíå ïîëå, P òèñê; ñåðåäíþ åíåð iþ U òà åíòðîïiþ S áåðåìî ç ðîçðàõóíêó íà îäèí îñöèëÿòîð, òåìïåðàòóðó T âèìiðþ¹ìî â åíåð åòè÷íèõ îäèíèöÿõ (ïåðåõiä äî øêàëè Êåëüâiíà çäiéñíþ¹òüñÿ çàìiíîþ T íà kB T , äå kB ñòàëà Áîëüöìàíà). Íåõàé V = const, òîäi

1 dS = . dU T 2 1911 ðîêó çà âiäêðèòòÿ çàêîíiâ òåïëîâîãî âèïðîìiíþâàííÿ Â. Âiíà íàãîðîäæåíî Íîáåëiâñüêîþ ïðåìi¹þ.

15

Ç îðìóëè äëÿ ñåðåäíüî¨ åíåð i¨ îñöèëÿòîðà çíàõîäèìî

ln

aν U =− , hν T

i îòæå, ïåðøà ïîõiäíà âiä åíòðîïi¨

1 U dS = − ln . dU aν hν Äðóãà ïîõiäíà âiä åíòðîïi¨ çà åíåð i¹þ ìà¹ äóæå ïðîñòèé âèãëÿä:

1 d2 S . =− 2 dU aνU Ì. Ïëàíê çâåðíóâ íà öå óâàãó ùå é òîìó, ùî îáåðíåíà âåëè÷èíà, óçÿòà çi çíàêîì ìiíóñ, ìà¹ ïðîçîðèé içè÷íèé çìiñò: âîíà äîðiâíþ¹ òåïëî¹ìíîñòi, ïîìíîæåíié íà êâàäðàò òåìïåðàòóðè. Ñàìå òîìó Ì. Ïëàíê ïðàöþâàâ iç äðóãîþ ïîõiäíîþ âiä åíòðîïi¨3 . Ñïî÷àòêó Ïëàíê ââàæàâ, ùî îðìóëà Â. Âiíà äëÿ ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ ¹ òî÷íîþ. Òî÷íèì âií óâàæàâ i âèðàç äëÿ åíòðîïi¨, ÿêó çíàéøîâ, iíòå ðóþ÷è ðiâíÿííÿ äëÿ ïåðøî¨ ïîõiäíî¨ âiä åíòðîïi¨ çà åíåð i¹þ:

S=−

U U ln , aν ehν

äå e îñíîâà íàòóðàëüíèõ ëîãàðèìiâ. Îäíàê ó 1899 ð. Îòòî Ëþììåð (18601925) i Åðíñò Ïðií ñãàéì (18591917) ïðåäñòàâèëè ðåçóëüòàòè âèìiðþâàíü ó äiëÿíöi âåëèêèõ äîâæèí õâèëü (ν → 0), ÿêi ñóïåðå÷èëè îðìóëi Â. Âiíà äëÿ ãóñòèíè åíåð i¨ òåïëîâîãî âèïðîìiíþâàííÿ. Îòæå, âèÿâèëîñü, ùî îðìóëà Âiíà ïðàöþ¹ ëèøå â äiëÿíöi âåëèêèõ ÷àñòîò, i äåòàëüíà åêñïåðèìåíòàëüíà ïåðåâiðêà öüîãî àêòó íàáóëà ïðèíöèïîâîãî çíà÷åííÿ äëÿ ðîçóìiííÿ ïðèðîäè òåïëîâîãî âèïðîìiíþâàííÿ. 3

Ì. Ïëàíê óçàãàëi ëþáèâ, òàê áè ìîâèòè, åíòðîïiéíó ìîâó. Iç öèì ïîíÿòòÿì ïîâ'ÿçàíi éîãî ïåðøi êðîêè â íàóöi. Âií äîñëiäæóâàâ åíòðîïiþ ÿê òåðìîäèíàìi÷íó óíêöiþ i ó ñâî¨é äîêòîðñüêié äèñåðòàöi¨, ååêò âiä ÿêî¨, çà éîãî æ ñëîâàìè, äîðiâíþâàâ íóëåâi. Öå ïîâ'ÿçàíî ç òèì, ùî ïîíÿòòÿ åíòðîïi¨ áóëî íîâèì i íå äóæå çðîçóìiëèì. Îäíàê âèÿâèëîñü, ùî ñàìå çàâäÿêè ïîíÿòòþ åíòðîïi¨ äîðîãà äî âiäêðèòòÿ òî÷íî¨ îðìóëè äëÿ ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà áóëà íàéïðîñòiøîþ.

16

Ó ï'ÿòíèöþ 19 æîâòíÿ 1900 ð. íà çàñiäàííi Íiìåöüêîãî içè÷íîãî òîâàðèñòâà Ô. Êóðëüáàóì ïîâiäîìèâ ïðî ðåçóëüòàòè âèìiðþâàííÿ åíåð i¨ âèïðîìiíþâàííÿ íà äiëÿíöi äóæå âåëèêèõ äîâæèí õâèëü, ÿêi âií âèêîíàâ ðàçîì ç . óáåíñîì. Öi åêñïåðèìåíòàëüíi ðåçóëüòàòè çàïåðå÷èëè ñïðàâåäëèâiñòü îðìóëè Âiíà, âèÿâèëîñü, ùî uν (T ) ∼ T ïðè ν → 0. Ïiñëÿ ïîâiäîìëåííÿ Ô. Êóðëüáàóìà íà öüîìó æ çàñiäàííi âèñòóïèâ Ì. Ïëàíê, ÿêèé, âèêîðèñòàâøè öi åêñïåðèìåíòàëüíi ðåçóëüòàòè, çàïðîïîíóâàâ ñâîþ îðìóëó äëÿ ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ òåïëîâîãî âèïðîìiíþâàííÿ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà4 . Îòæå, ÿê âèïëèâà¹ ç îðìóëè Ïëàíêà, ÿêà çâ'ÿçó¹ uν (T ) òà ñåðåäíþ åíåð iþ îäíîãî îñöèëÿòîðà ïðè íèçüêèõ ÷àñòîòàõ, ìà¹ìî

U = CT, uν (T ) =

8πν 2 CT, c3

äå C ñòàëà âåëè÷èíà5 . Òåïåð ç ïåðøîãî çàêîíó òåðìîäèíàìiêè ìà¹ìî

dS C = , dU U à äðóãà ïîõiäíà

d2 S C = − 2. dU 2 U Çíàéäåíi äâà âèðàçè äëÿ äðóãî¨ ïîõiäíî¨ âiä åíòðîïi¨ çà åíåð i¹þ, ÿêi ñïðàâåäëèâi â ãðàíèöi âèñîêèõ òà íèçüêèõ ÷àñòîò, 4

åíðiõ óáåíñ (18651922) áóâ áëèçüêèì òîâàðèøåì Ìàêñà Ïëàíêà, ÿêèé äóæå âèñîêî öiíóâàâ ñâîþ ñïiâïðàöþ ç íèì. Çi ñïîãàäiâ Ïëàíêà: Òîìó ùî ìåíi öåé ðåçóëüòàò ñòàâ âiäîìèì çàâäÿêè óñíîìó ïîâiäîìëåííþ àâòîðiâ óæå çà äåêiëüêà äíiâ äî çàñiäàííÿ, òî ÿ ìàâ ÷àñ ùå ïåðåä çàñiäàííÿì âèêîðèñòàòè

¨õíi âèñíîâêè â ìî¹ìó ìåòîäi òà îá÷èñëèòè åíòðîïiþ.

5 Öå ñïiââäíîøåííÿ âiäîìå ÿê çàêîí åëåÿÄæèíñà. Âií ¹ íàñëiäêîì òåîðåìè êëàñè÷íî¨ ñòàòèñòè÷íî¨ ìåõàíiêè ïðî ðiâíîìiðíèé ðîçïîäië åíåð i¨ çà ñòåïåíÿìè âiëüíîñòi: äëÿ ñèñòåìè îñöèëÿòîðiâ íà êîæíå êîëèâàííÿ ïðèïàäà¹ ñåðåäíÿ åíåð iÿ âåëè÷èíîþ T . Öåé òî÷íèé ó ìåæàõ êëàñè÷íî¨ içèêè âèðàç äëÿ uν (T ) ïðè âåëèêèõ ÷àñòîòàõ çðîñòà¹ ÿê ν 2 (óñóïåðå÷ çäîðîâîìó ãëóçäó), i ÿê íàñëiäîê, ïîâíà åíåð iÿ E ðîçáiãà¹òüñÿ (óëüòðàiîëåòîâà êàòàñòðîà), ùî iëþñòðó¹ ïðèíöèïîâó íåñïðîìîæíiñòü êëàñè÷íî¨ òåîði¨ ïîÿñíèòè çàêîíè ðiâíîâàæíîãî âèïðîìiíþâàííÿ.

2

I. Î. Âàêàð÷óê

17

Ì. Ïëàíê âèðiøèâ îá'¹äíàòè îäíi¹þ ïðîñòîþ iíòåðïîëÿöiéíîþ îðìóëîþ:

d2 S dU 2

−1

= −aνU −

U2 . C

Ñïðàâäi, äëÿ ν → 0 äîìiíóþ÷èì ¹ äðóãèé äîäàíîê ó ïðàâié ÷àñòèíi öüîãî ðiâíÿííÿ, i ìè îòðèìó¹ìî ïîïåðåäíþ îðìóëó, à äëÿ âåëèêèõ ÷àñòîò äðóãèé äîäàíîê ñòà¹ íåñóòò¹âèì, i ìè ïîâåðòà¹ìîñü äî îðìóëè, ÿêó äà¹ çàêîí Â. Âiíà. Iíòåðïîëÿöiéíà îðìóëà, ÿêó çàïðîïîíóâàâ Ïëàíê, ÿê êàæóòü, ïåðøå, ùî ïðèõîäèòü äî ãîëîâè. Öå i áóâ òîé åâðèñòè÷íèé ìîìåíò ó ìiðêóâàííÿõ Ïëàíêà, ÿêèé ïðèâiâ äî ãëèáîêèõ ïåðåòâîðåíü ó íàóöi, ùî ïðèíåñëà ç ñîáîþ êâàíòîâà içèêà. Âîiñòèíó âñå ãåíiàëüíå ïðîñòå. Äèâó¹ òå, ùî Ïëàíê ïðàöþâàâ ñàìå ç äðóãîþ ïîõiäíîþ, äëÿ ÿêî¨ ãðàíè÷íi âèïàäêè ìàþòü äóæå ïðîñòèé âèãëÿä. Öå é äàëî çìîãó îá'¹äíàòè ¨õ. Ïåðåïèøiìî âèðàç äëÿ äðóãî¨ ïîõiäíî¨ òàê:

d2 S dU 2

1 =− aν

1 1 − U U + aνC

.

Iíòå ðóþ÷è öåé âèðàç, îòðèìó¹ìî U + aCν 1 1 = ln + const. T aν U Áåðó÷è äî óâàãè, ùî U → ∞ ïðè T → ∞, çíàõîäèìî onst = 0. Çâiäñè îñòàòî÷íî hν U = aν/T . e −1 Òóò óðàõîâàíî, ùî ïðè âåëèêèõ ÷àñòîòàõ öåé âèðàç ïîâèíåí ïåðåõîäèòè ó îðìóëó, ÿêó îòðèìó¹ìî iç çàêîíó Âiíà, i òîìó C = h/a. Òåïåð äëÿ ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ îäåðæó¹ìî çíàìåíèòó îðìóëó Ïëàíêà:

uν (T ) = 18

1 8πhν 3 . 3 aν/T c e −1

Íàâåäåìî ñëîâà Ì. Ïëàíêà ç äîïîâiäi 19 æîâòíÿ 1900 ðîêó: Öÿ îðìóëà, íàñêiëüêè ÿ çíàþ, âiäïîâiäà¹ åêñïåðèìåíòàëüíèì äàíèì, ÿêi îïóáëiêîâàíi äîòåïåð... Òîìó ÿ ââàæàþ çà ìîæëèâå çâåðíóòè Âàøó óâàãó íà íàâåäåíó íîâó îðìóëó, ÿêà, ÿê íà ìåíå, ¹ íàéïðîñòiøîþ (îêðiì îðìóëè Âiíà), ç ïîãëÿäó åëåêòðîìàãíiòíî¨ òåîði¨ âèïðîìiíþâàííÿ.

ßê áà÷èìî, àêòè÷íî öÿ îðìóëà ñïðàâäi âãàäàíà. Öå áóëà iíòåðïîëÿöiéíà îðìóëà, îäíà ç áàãàòüîõ iñíóþ÷èõ íà òîé ÷àñ i îäíà ç íàéïðîñòiøèõ, ùî äîáðå îïèñóâàëà åêñïåðèìåíòàëüíó çàëåæíiñòü ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ âèïðîìiíþâàííÿ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà âiä ÷àñòîòè, ÿêó Ì. Ïëàíê íàâiâ ó ñâî¨é äîïîâiäi Íiìåöüêîìó içè÷íîìó òîâàðèñòâó. Ìàêñ Ïëàíê íàñòiëüêè ïîâiðèâ ó ñâîþ îðìóëó, ùî âèðiøèâ äîâåñòè ¨¨ ç ìiêðîñêîïi÷íèõ ìiðêóâàíü. Ïðàöþþ÷è ïðîòÿãîì ìàéæå äâîõ ìiñÿöiâ, âií, ñêîðèñòàâøèñü iäå¹þ Ë. Áîëüöìàíà ïðî ïðîïîðöiéíiñòü åíòðîïi¨ S äî ëîãàðèìà âiä êiëüêîñòi ñòàíiâ, îäíîçíà÷íî ïîêàçàâ, ùî äëÿ ¨¨ òåîðåòè÷íîãî îá ðóíòóâàííÿ íåîáõiäíî ïðèïóñòèòè, ùî ñâiòëî ïîãëèíà¹òüñÿ é âèïðîìiíþ¹òüñÿ äèñêðåòíèìè ïîðöiÿìè êâàíòàìè, åíåð iÿ ÿêèõ ïðîïîðöiéíà äî ÷àñòîòè âèïðîìiíþâàííÿ. Âií çíîâó ïiøîâ åíòðîïiéíîþ äîðîãîþ i âèðiøèâ âèíàéòè ç ìiêðîñêîïi÷íèõ ìiðêóâàíü âèðàç äëÿ åíòðîïi¨, ùî îòðèìó¹òüñÿ ç éîãî iíòåðïîëÿöiéíî¨ îðìóëè, ïðîñòèì iíòå ðóâàííÿì çà åíåð i¹þ U : U U U U h ln 1+ ln 1 + − . S= a hν hν hν hν Ç iíøîãî áîêó, çà Áîëüöìàíîì, ïîâíà åíòðîïiÿ äîðiâíþ¹ ln W , äå W êiëüêiñòü ðiçíèõ ìîæëèâèõ ìiêðîñêîïi÷íèõ ñòàíiâ òåðìîäèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè. Ìàáóòü, öÿ iäåÿ Ë. Áîëüöìàíà òà íàáëèæåíà îðìóëà äëÿ åíòðîïi¨, ùî âèïëèâà¹ iç çàêîíó Âiíà, ÿêó ìîæíà çàïèñàòè ùå é òàê: h U U/hν S = − ln a ehν i ÿêà ¹ ñèëüíî ïîäiáíîþ äî îðìóëè Ñòiðëií à äëÿ ëîãàðèìà âiä àêòîðiàëà äåÿêîãî âåëèêîãî ÷èñëà N ,

ln N ! = ln (N/e)N , 2*

N ≫ 1, 19

i íàâåëè Ì. Ïëàíêà íà äóìêó ñêîíñòðóþâàòè ç àêòîðiàëiâ âåëè÷èíó W òàê, ùîá îòðèìàòè òî÷íèé âèðàç äëÿ åíòðîïi¨, ùî âðåøòiðåøò óæå âèìóøåíî ïðèâåëî éîãî äî iäå¨ äèñêðåòíîñòi åíåð i¨ åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ. Öå é áóëî òåìîþ äîïîâiäi, ÿêó âèãîëîñèâ Ì. Ïëàíê ó ï'ÿòíèöþ 14 ãðóäíÿ 1900 ðîêó íà çàñiäàííi Íiìåöüêîãî içè÷íîãî òîâàðèñòâà. Îòæå, íåõàé ïîâíà åíåð iÿ N îñöèëÿòîðiâ, ùî ìîäåëþþòü ïîëå, äîðiâíþ¹ N U , à ïîâíà åíòðîïiÿ

N S = ln W. Ìè îïóñêà¹ìî ç öüîãî îçíà÷åííÿ ñòàëó Áîëüöìàíà kB ïåðåä ëîãàðèìîì (çãiäíî ç íàøîþ äîìîâëåíiñòþ âèìiðþâàòè òåìïåðàòóðó â åíåð åòè÷íèõ îäèíèöÿõ), ÿêó àêòè÷íî âïåðøå é óâiâ Ì. Ïëàíê öèì ñïiââiäíîøåííÿì. Äàëi, çà Ì. Ïëàíêîì: ïîâíó åíåð iþ N U ïîòðiáíî óÿâëÿòè ñîái íå ó âèãëÿäi íåïåðåðâíî¨ âåëè÷èíè, à ó âèãëÿäi äèñêðåòíî¨, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç öiëîãî ÷èñëà ðiâíèõ ÷àñòèí,

N U = pε, p

ε ïîòðiáíî âèçíà÷èòè. Òåïåð âåëè÷èíà W öå êiëüêiñòü ðiçíèõ ñïîñîáiâ ðîçïîäiëó p åëåìåíòiâ çà N îñöèëÿòîðàìè. ßê ìîäåëü ìîæíà ðîçãëÿíóòè p êóëüîê â N ñêðèíüêàõ i ïiäðàõóâàòè êiëüêiñòü ðiçíèõ ñïîñîáiâ ¨õíüîãî ðîçïîäiëó, òîáòî êiëüêiñòü ðiçíèõ ïåðåñòàíîâîê ìiæ ñîáîþ p êóëüîê i (N − 1)-¹¨ ñòiíîê, ùî ðîçäiëÿþòü öi ñêðèíüêè. Óñiõ ïåðåñòàíîâîê ¹ [(N −1)+p]!, îäíàê p! ïåðåñòàíîâîê p êóëüîê ó ñêðèíüöi, ÿê i (N − 1)! ïåðåñòàíîâîê ñòiíîê ìiæ ñêðèíüêàìè, íi÷îãî íîâîãî íå äàþòü, òîìó êiëüêiñòü ðiçíèõ ïåðåñòàíîâîê öiëå, âçàãàëi êàæó÷è, âåëèêå ÷èñëî;

W =

[(N − 1) + p ]! . (N − 1)! p !

Âèêîðèñòîâóþ÷è îðìóëó Ñòiðëií à äëÿ àêòîðiàëiâ ó öüîìó âèðàçi, êîëè N ≫ 1, p ≫ 1, ëåãêî çíàõîäèìî

ln W = (N + p) ln(N + p) − N ln N − p ln p, à ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî p/N = U/ε, åíòðîïiÿ íà îäèí îñöèëÿòîð U U U U S = 1+ ln 1 + − ln . ε ε ε ε 20

Çiñòàâëåííÿ öi¹¨ îðìóëè ç iíòåðïîëÿöiéíèì âèðàçîì äëÿ åíòðîïi¨ äà¹ a = h, à åëåìåíò (êâàíò) åíåð i¨ åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ

ε = hν çíàìåíèòà îðìóëà Ïëàíêà, ÿêó òàê ñàìî, ÿê i àéíøòàéíiâñüêó E = mc2 , çíà¹ áóäü-õòî, h ñòàëà Ïëàíêà. Íàäàëi, ÿê ïðàâèëî, ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñü öèêëi÷íîþ ÷àñòîòîþ ω = 2πν i ñòàëîþ Ïëàíêà ~ = h/2π = 1.05457266 · 10−27 ã ·ñì2 /ñåê îäíi¹þ ç óíiâåðñàëüíèõ óíäàìåíòàëüíèõ içè÷íèõ êîíñòàíò (òàêèõ, ÿê øâèäêiñòü ñâiòëà c, ðàâiòàöiéíà ñòàëà G, çàðÿä åëåêòðîíà e), ùî ìà¹ ðîçìiðíiñòü äi¨ i ¹ åëåìåíòàðíèì êâàíòîì äi¨6 , òàê ùî êâàíò åíåð i¨

ε = ~ω. Òåïåð îñòàòî÷íî äëÿ ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ âèïðîìiíþâàííÿ àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà îòðèìó¹ìî âèðàç:

uω (T ) =

ω 3 ~ 1 . 2 ~ω/T c π e −1

Ïîâíó åíåð iþ ïîëÿ íà îäèíèöþ îá'¹ìó îäåðæó¹ìî çâiäñè iíòå ðóâàííÿì çà âñiìà ÷àñòîòàìè, ùî ïðèâîäèòü äî çàêîíó Ñòåàíà Áîëüöìàíà. ßê âèäíî, øëÿõ Ì. Ïëàíêà äî éîãî âiäêðèòòÿ ñêëàäà¹òüñÿ i ç ãåíiàëüíèõ çäîãàäîê, i ç âèìóøåíèõ êðîêiâ. Ùàñëèâèé âèáið åíòðîïiéíîãî ïiäõîäó äî âèðiøåííÿ ïðîáëåìè àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà, äàëi âèêîðèñòàííÿ ñàìå äðóãî¨ ïîõiäíî¨ âiä åíòðîïi¨, ÿêà âèÿâèëàñü äóæå ïðîñòîþ íà âèãëÿä, ùàñëèâà çäîãàäêà ¨¨ iíòåðïîëÿöi¨ ç âèêîðèñòàííÿì îðìóëè Âiíà òà åêñïåðèìåíòàëüíèõ âèìiðiâ ïðè íèçüêèõ ÷àñòîòàõ, ñìiëèâiñòü ó âèêîðèñòàííi îðìóëè Áîëüöìàíà äëÿ åíòðîïi¨ ç ãåíiàëüíîþ çäîãàäêîþ àêòîðiàëüíîãî ìîäåëþâàííÿ êiëüêîñòi ñòàíiâ i âæå ñïðàâäi âèìóøåíi êðîêè äî äèñêðåòíîñòi åíåð i¨ åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ òàêèé øëÿõ Ìàêñà Ïëàíêà äî ñâîãî óíäàìåíòàëüíîãî âiäêðèòòÿ åëåìåíòàðíîãî êâàíòà äi¨. 6 Ì. Ïëàíê çà âiäêðèòòÿ êâàíòà äi¨ ñòàâ ó 1918 ðîöi ëàóðåàòîì Íîáåëiâñüêî¨ ïðåìi¨.

21

Íîâà òåîðiÿ âèìàãàëà ïiäòâåðäæåíü. Âèõîäÿ÷è çi ñâî¹¨ îðìóëè i âèêîðèñòîâóþ÷è åêñïåðèìåíòàëüíi äàíi ïðî òåïëîâå âèïðîìiíþâàííÿ, Ì. Ïëàíê çíàéøîâ ç âèñîêîþ íà òîé ÷àñ òî÷íiñòþ ∼ 4% âåëè÷èíó åëåìåíòàðíîãî çàðÿäó (âèçíà÷èâøè ç åêñïåðèìåíòàëüíèõ âèìiðþâàíü ñòàëó Áîëüöìàíà kB , ç ãàçîâî¨ ñòàëî¨ R = kB NA ÷èñëî Àâî àäðî NA òà ç ÷èñëà Ôàðàäåÿ F = eNA âåëè÷èíó åëåìåíòàðíîãî çàðÿäó e). iïîòåçà êâàíòiâ óæå äàâàëà ïåðøi ðåçóëüòàòè. Îòæå, äåíü 14 ãðóäíÿ 1900 ðîêó ìîæíà ââàæàòè äíåì íàðîäæåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨. Ó 1905 ðîöi À. Àéíøòàéí (18791955), ÿêèé ïðàöþâàâ òîäi åêñïåðòîì ó ïàòåíòíîìó áþðî â Áåðíi, âèêîðèñòàâ ãiïîòåçó Ïëàíêà äëÿ ïîÿñíåííÿ îòîååêòó. ßâèùå îòîååêòó âiäêðèâ (âèïàäêîâî) íiìåöüêèé içèê . åðö ó 1887 ðîöi. Ïåðøi äîñëiäæåííÿ öüîãî ÿâèùà âèêîíàâ ðîñiéñüêèé içèê Î. . Ñòîë¹òîâ ó 1888 ðîöi, à çãîäîì íiìåöüêèé içèê Ô. Ëåíàðä (1899 ð.). À. Àéíøòàéí ÷iòêî âêàçàâ íà òå, ùî êâàíòóâàííÿ åíåð i¨ ñâiòëà âiäáóâà¹òüñÿ íå òiëüêè â àêòàõ ïîãëèíàííÿ òà âèïðîìiíþâàííÿ ñâiòëà ÷îðíèì òiëîì, à é ùî êâàíòîâi âëàñòèâîñòi ïðèòàìàííi ñâiòëó ÿê òàêîìó. Îòæå, àêòè÷íî áóëî ââåäåíî ïîíÿòòÿ îòîíà ÿê êâàíòà åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ, õî÷à ñàìà íàçâà îòîí âèíèêëà çíà÷íî ïiçíiøå, ¨¨ ââiâ ó 1926 ðîöi àìåðèêàíñüêèé içèêî-õiìiê . Í. Ëüþ¨ñ. Ôîðìóëó Àéíøòàéíà

~ω = A + mv 2 /2, ω ÷àñòîòà ïàäàþ÷îãî ñâiòëà, A ðîáîòà âèõîäó åëåêòðîíà ç ìåòàëó, m ìàñà åëåêòðîíà, v éîãî øâèäêiñòü, ðåòåëüíî ïåðåâiðèâ åêñïåðèìåíòàëüíî àìåðèêàíñüêèé içèê . Ìiëëiêåí ó 1912 ðîöi7 . Ó 1907 ðîöi À. Àéíøòàéí çàñòîñóâàâ ãiïîòåçó êâàíòiâ äî îïèñó êîëèâàíü àòîìiâ òâåðäîãî òiëà i ïîÿñíåííÿ íèçüêîòåìïåðàòóðíî¨ ïîâåäiíêè òåïëî¹ìíîñòi. Óâàæàþ÷è, ùî âñi N àòîìiâ êîëèâàþòüñÿ ç ÷àñòîòîþ ω0 , äëÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ òiëà ç óðàõóâàííÿì (3N − 6) 7

Ó 1921 ðîöi À. Àéíøòàéí áóâ íàãîðîäæåíèé Íîáåëiâñüêîþ ïðåìi¹þ çà âàæëèâi içèêî-ìàòåìàòè÷íi äîñëiäæåííÿ, îñîáëèâî çà âiäêðèòòÿ çàêîíiâ îòîåëåêòðè÷íîãî ååêòó. Çà äîñëiäæåííÿ â ãàëóçi içèêè åëåìåíòàðíèõ çàðÿäiâ òà îòîåëåêòðè÷íîãî ååêòó . Ìiëëiêåíîâi áóëà ïðèñóäæåíà Íîáåëiâñüêà ïðåìiÿ â 1923 ðîöi.

22

êîëèâíèõ ñòóïåíiâ âiëüíîñòi ìà¹ìî

E = (3N − 6)

~ω0 , −1

e~ω0 /T

à òåïëî¹ìíiñòü ∂E ~ω0 2 e~ω0 /T CV = . = (3N − 6) ∂T V T (e~ω0 /T − 1)2

Ïðè íèçüêèõ òåìïåðàòóðàõ, T → 0, CV → 0, âiäïîâiäíî äî ñïîñòåðåæåíü. Îäíàê ïðÿìóâàííÿ òåïëî¹ìíîñòi äî íóëÿ, çãiäíî ç äîñëiäàìè, ¹ ñòåïåíåâèì. Íåäîëiê öi¹¨ òåîði¨ âèïðàâèëè ïiçíiøå, ó 1912 ðîöi, Ï. Äåáàé (18841966), à òàêîæ Ì. Áîðí (18821970) i Ò. Êàðìàí (18811963), ðîçãëÿäàþ÷è, íà âiäìiíó âiä Àéíøòàéíà, êîëèâàííÿ àòîìiâ ÿê ñèñòåìó çâ'ÿçàíèõ îñöèëÿòîðiâ iç ÷àñòîòàìè ωj , ðîçïîäiëåíèìè âiä íóëüîâîãî çíà÷åííÿ äî äåÿêîãî ìàêñèìàëüíîãî: 3N −6 X ~ωj E= ~ω j e /T − 1 j=1 àáî

E=

Z

∞ 0

ρ(ω)

~ω dω, e~ω/T − 1

3 âiäìiííà âiä íóëÿ äëÿ äå ãóñòèíà ñòàíiâ ρ(ω) = 9(N − 2)ω 2 /ωD ÷àñòîò 0 ≤ ω ≤ ωD , à ãðàíè÷íà ÷àñòîòà Äåáàÿ ωD ¹ içè÷íèì ïàðàìåòðîì ðå÷îâèíè. Òåïëî¹ìíiñòü ïðè íèçüêèõ òåìïåðàòóðàõ ïðÿìó¹ äî íóëÿ çà çàêîíîì êóáiâ, CV ∼ T 3 , ùî ÷óäîâî óçãîäæó¹òüñÿ ç äîñëiäîì. Ó 1913 ðîöi Íiëüñ Áîð (18851962), ÿêèé òîäi ïðàöþâàâ ó Ìàí÷åñòåðñüêîìó óíiâåðñèòåòi â Å. åçåðîðäà (18711937), çàñòîñóâàâ êâàíòîâó ãiïîòåçó äî ìîäåëi àòîìà E. åçåðîðäà é ïîáóäóâàâ êâàíòîâó òåîðiþ àòîìà, ñîðìóëþâàâøè ñâî¨ ïîñòóëàòè:

1◦ . Åëåêòðîíè â àòîìi ðóõàþòüñÿ ïî ñòàöiîíàðíèõ îðáiòàõ. 2◦ . Âèïðîìiíþâàííÿ àáî ïîãëèíàííÿ ñâiòëà àòîìîì âiäáóâà¹òüñÿ ïðè ïåðåõîäi åëåêòðîíà ç îäíi¹¨ ñòàöiîíàðíî¨ îðáiòè íà iíøó, çãiäíî ç çàêîíîì çáåðåæåííÿ åíåð i¨

~ωn′ n = En′ − En . 23

iâíi åíåð i¨ àòîìà En âèçíà÷àþòüñÿ ç êëàñè÷íèõ ðiâíÿíü äëÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ Ze2 E=− , 2a òðåòüîãî çàêîíó Êåïëåðà

ω 2 a3 =

Ze2 m

òà óìîâ êâàíòóâàííÿ, çãiäíî ç ãiïîòåçîþ Ïëàíêà,

|E| =

~ω n, 2

n = 1, 2, . . . ,

Z|e| çàðÿä ÿäðà, ω ÷àñòîòà îáåðòàííÿ åëåêòðîíà íàâêîëî ÿäðà, a âåëèêà ïiââiñü åëiïòè÷íî¨ îðáiòè, m ìàñà åëåêòðîíà. Ñëiä çàóâàæèòè, ùî Í. Áîð äëÿ óçãîäæåííÿ ñâî¹¨ òåîði¨ ç äîñëiäíèìè âèìiðþâàííÿìè çìóøåíèé áóâ â óìîâàõ êâàíòóâàííÿ äëÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ ïîñòàâèòè ïîëîâèííó ÷àñòîòó ω/2, à íå ω . Ó ðåçóëüòàòi En = −

Z 2 e2 , 2aB n2

äå

~2 A ≃ 0.529 me2 ðàäióñ Áîðà, i ç äðóãîãî ïîñòóëàòó äiñòà¹ìî ïðàâèëî ÷àñòîò 1 1 ω n′ n = R − , n2 n′2 aB =

äå R = Z 2 me4 /2~3 ñòàëà iäáåð àiòöà. Öå ïðàâèëî åìïiðè÷íî âñòàíîâèâ ùå â 1885 ðîöi É. Áàëüìåð äëÿ n = 2. Ïiçíiøå, ó 1907 ðîöi, Â. iòö ñîðìóëþâàâ öåé êîìáiíàöiéíèé ïðèíöèï ÷àñòîò, ÿêèé íàçâàíî éîãî iìåíåì. ßê íàñëiäîê iç òåîði¨ Áîðà âèïëèâà¹, ùî ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó L êâàíòó¹òüñÿ: L = n~, n = 1, 2 . . . . Ïiçíiøå ñàìå öåé àêò, à íå êâàíòóâàííÿ åíåð i¨ ç ïîëîâèííîþ ÷àñòîòîþ, Í. Áîð óçÿâ çà îñíîâó òàê çâàíà óìîâà êâàíòóâàííÿ 24

Áîðà8 . Ïðîòÿãîì 19131916 ðîêiâ óìîâè êâàíòóâàííÿ, ñîðìóëüîâàíi Áîðîì äëÿ ìîìåíòó iìïóëüñó, áóëè óçàãàëüíåíi íèì, à òàêîæ Ï. Äåáà¹ì (1913 ð.), Â. Âiëüñîíîì (1915 ð.), À. Çîììåðåëüäîì (1916 ð.) äëÿ ñèñòåìè ç äåêiëüêîìà ñòóïåíÿìè âiëüíîñòi: îá'¹ì, îáìåæåíèé òðà¹êòîði¹þ ó àçîâîìó ïðîñòîði, ìiñòèòü öiëå ÷èñëî åëåìåíòàðíèõ êâàíòiâ äi¨ h = 2π~: I 1 pi dqi = ni ~, ni = 1, 2, . . . , 2π

i = 1, . . . , s, äå s ÷èñëî ñòóïåíiâ âiëüíîñòi; qi , pi êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè. Öþ óìîâó, âiäîìó ÿê ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà, çàñòîñîâóâàëè äî áàãàòîåëåêòðîííèõ àòîìiâ, äî àòîìiâ â åëåêòðè÷íîìó òà ìàãíiòíîìó ïîëÿõ, äëÿ âðàõóâàííÿ ðåëÿòèâiñòñüêèõ ååêòiâ (îðìóëà Çîììåðåëüäà äëÿ òîíêî¨ ñòðóêòóðè ñïåêòðà àòîìà âîäíþ). Îäíàê öÿ, ÿê ¨¨ íàçèâàþòü, ñòàðà êâàíòîâà ìåõàíiêà íå ìîãëà ïîÿñíèòè ñïåêòðàëüíèõ çàêîíîìiðíîñòåé áàãàòîåëåêòðîííèõ àòîìiâ i íàâiòü íàéïðîñòiøîãî ç íèõ àòîìà ãåëiþ; çàëèøàëèñü áåç ïîÿñíåíü iíòåíñèâíîñòi ñïåêòðàëüíèõ ëiíié àòîìiâ. Âiä÷óâàëîñü, ùî ïîòðiáíà íîâà êâàíòîâà òåîðiÿ, i âæå ç öèõ ïîçèöié Í. Áîð ñîðìóëþâàâ ïðèíöèï âiäïîâiäíîñòi, çãiäíî ç ÿêèì ó ãðàíèöi âåëèêèõ, ìàêðîñêîïi÷íèõ òðà¹êòîðié ÷àñòèíîê êâàíòîâà ìåõàíiêà ïîâèííà ïåðåõîäèòè ó êëàñè÷íó ìåõàíiêó. Öåé ïðèíöèï áóâ êëþ÷åì äî âãàäóâàííÿ êâàíòîâèõ îðìóë. Ïîøòîâõîì äî ñòâîðåííÿ íîâî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ñòàëà iäåÿ ìîëîäîãî ðàíöóçüêîãî içèêà Ëó¨ äå Áðîéëÿ (18921987). Ó 19231924 ðîêàõ âií âèñóíóâ ïðèïóùåííÿ, ùî îðìóëà Ïëàíêà, äîïîâíåíà îðìóëîþ äëÿ iìïóëüñó p = 2π~/λ, λ äîâæèíà õâèëi âèïðîìiíþâàííÿ, ÿêà âëàñòèâà äëÿ êâàíòiâ ñâiòëà, ïîâèííà âèêîíóâàòèñü äëÿ âñiõ ÷àñòèíîê, çîêðåìà i äëÿ åëåêòðîíiâ. ßêùî ñâiòëî âèÿâëÿ¹ êîðïóñêóëÿðíi âëàñòèâîñòi â òàêîìó ÿâèùi ÿê îòîååêò, òî ìóñèòü iñíóâàòè ñèìåòðiÿ, i ÷àñòèíêè òèïó åëåêòðîíà ìàþòü âèÿâëÿòè õâèëüîâi âëàñòèâîñòi, òîáòî ç ÷àñòèíêîþ ïîâ'ÿçó¹òüñÿ õâèëÿ (õâèëÿ äå Áðîéëÿ); â îäíîâèìiðíîìó 8 Í. Áîð ëàóðåàò Íîáåëiâñüêî¨ ïðåìi¨ 1922 ðîêó çà çàñëóãè ó âèâ÷åííi áóäîâè àòîìà.

25

âèïàäêó öå õâèëÿ

ψ(x, t) ∼ ei(kx−ωt) ,

äå ÷àñòîòà ω = E/~, E åíåð iÿ ÷àñòèíêè, à õâèëüîâèé âåêòîð k = p/~. Çìiñò öi¹¨ óíêöi¨ ψ(x, t) áóâ ç'ÿñîâàíèé ïiçíiøå, íàðàçi éøëîñÿ ëèøå ïðî çiñòàâëåííÿ ç ÷àñòèíêîþ äåÿêîãî õâèëüîâîãî ïðîöåñó. Ó öié iíòåðïðåòàöi¨ óìîâà êâàíòóâàííÿ Áîðà çâîäèòüñÿ äî òîãî, ùî íà îðáiòi åëåêòðîíà â àòîìi âêëàäà¹òüñÿ öiëå ÷èñëî õâèëü äå Áðîéëÿ. Äëÿ êîëîâî¨ îðáiòè ðàäióñà a (êîëè λ íå çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò): 2π~ L = ap = a = n~, λ òîáòî 2πa = n. λ Òîäi ïðèïóùåííÿ äå Áðîéëÿ áàãàòî içèêiâ ñïðèéìàëî ÿê àáñóðä. Ó 1925 ðîöi À. Àéíøòàéí ïîðàäèâ Ì. Áîðíîâi ïðî÷èòàòè äèñåðòàöiþ äå Áðîéëÿ, çàóâàæèâøè ïðè öüîìó: Ïðî÷èòàéòå ¨¨. Õî÷ i âèäà¹òüñÿ, ùî ¨¨ ïèñàâ íåñïîâíà ðîçóìó, íàïèñàíà âîíà ñîëiäíî! 9 Óëiòêó 1925 ðîêó ïðîåñîð Å. Øðåäèí åð (18871961) ç Öþðèõñüêîãî óíiâåðñèòåòó îçíàéîìèâñÿ ç ãiïîòåçîþ äå Áðîéëÿ. Ïåðåâiâøè öi iäå¨ íà çðó÷íó ìàòåìàòè÷íó ìîâó, âií âèíàéøîâ óíäàìåíòàëüíå ðiâíÿííÿ ñó÷àñíî¨ içèêè õâèëüîâå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà (1926 ð.). ñïîãàäè Ï. Äåáàÿ, ùî öå âií çàïðîïîíóâàâ Å. Øðåäèí åðîâi, ÿêèé ïðàöþâàâ ó íüîãî íà êàåäði, äîïîâiñòè íà ñåìiíàði ðîáîòó äå Áðîéëÿ. Øðåäèí åð, ÿêèé, ÿê i áiëüøiñòü içèêiâ, íåãàòèâíî ñòàâèâñÿ äî iäå¨ äå Áðîéëÿ, äîïîâiâ öþ ðîáîòó ëèøå ïiñëÿ òîãî, ÿê Äåáàé íàïîëiã íà ñâî¹ìó. îòóþ÷èñü äî öüîãî ñåìiíàðó, Øðåäèí åð i âèíàéøîâ ñâî¹ ðiâíÿííÿ. Õâèëÿ äå Áðîéëÿ ψ = ψ(x, t) ïîâèííà çàäîâîëüíÿòè õâèëüîâå ðiâíÿííÿ (îäíîâèìiðíèé âèïàäîê)

1 ∂2ψ ∂2ψ − 2 2 = 0, 2 ∂x v ∂t (ω = kv, v àçîâà øâèäêiñòü), îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ åíåð i¨ E = ~ω òà iìïóëüñó p = ~k ÷àñòèíêè. 9 Ó 1929 ðîöi Ëó¨ äå Áðîéëü îòðèìàâ Íîáåëiâñüêó ïðåìiþ çà âiäêðèòòÿ õâèëüîâî¨ ïðèðîäè åëåêòðîíà.

26

Ç óðàõóâàííÿì âèðàçó äëÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ ÷àñòèíêè

E=

p2 + U (x), 2m

äå U (x) ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ ÷àñòèíêè, Øðåäèí åð i çàïèñàâ ñâî¹ ñëàâíîçâiñíå ðiâíÿííÿ10

i~

∂ψ ~2 ∂ 2 ψ =− + U (x)ψ ∂t 2m ∂x2

îñíîâíå ðiâíÿííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨, ÿêå, çà âèñëîâîì àìåðèêàíñüêîãî içèêà . Ôåéíìàíà, îïèñó¹ i æàá, i êîìïîçèòîðiâ. Iíòåðïðåòàöiþ óíäàìåíòàëüíî¨ âåëè÷èíè öi¹¨ òåîði¨, õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(x, t) ÿê àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi, äàâ ó 1926 ðîöi Ìàêñ Áîðí11 . Åêñïåðèìåíòàëüíî õâèëüîâi âëàñòèâîñòi ìiêðî÷àñòèíîê óïåðøå âèÿâèëè â äîñëiäàõ ç äèðàêöi¨ åëåêòðîíiâ íà êðèñòàëàõ ó 1927 ðîöi Ê. Äåâiññîí i Ë. Äæåðìåð ó Íüþ-Éîðêó òà . Ï. Òîìñîí â Àáåðäiíi (Øîòëàíäiÿ), õî÷à âêàçiâêè íà õâèëüîâi âëàñòèâîñòi ÷àñòèíîê äàâàëè âèìiðþâàííÿ ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ åëåêòðîíiâ íà ãàçàõ, ÿêi âèêîíàâ Ê. àìçàóåð ùå â 1921 ðîöi. Òàê áóëà ñòâîðåíà õâèëüîâà êâàíòîâà ìåõàíiêà. Öiêàâî, ùî ñïî÷àòêó â ãðóäíi 1925 ðîêó Å. Øðåäèí åð çíàéøîâ ðåëÿòèâiñòñüêå ðiâíÿííÿ, ÿêå, îäíàê, íå äàâàëî ïðàâèëüíî¨ îðìóëè òîíêî¨ ñòðóêòóðè âîäíåâèõ ëiíié. Ëèøå â ñi÷íi 1926 ðîêó âií ðîçðîáèâ íåðåëÿòèâiñòñüêå íàáëèæåííÿ. Âiäçíà÷èìî, ìiæ iíøèì, ùî â 1918 ðîöi â Å. Øðåäèí åðà âèíèêëà ìîæëèâiñòü çàéíÿòè ïîñàäó ïðîåñîðà êàåäðè òåîðåòè÷íî¨ içèêè â óíiâåðñèòåòi â ×åðíiâöÿõ; ïåðåøêîäèâ öèì ïëàíàì ðîçïàä Àâñòðî-Óãîðñüêî¨ iìïåði¨. Íàðîäæåííÿ íîâî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ïî÷àëîñÿ ç iíøîãî ¨¨ âàðiàíòà i äåùî ðàíiøå ç ðîáîòè íiìåöüêîãî içèêà-òåîðåòèêà Âåðíåðà àéçåíáåð à (19011976), ÿêó âií íàïèñàâ ó ÷åðâíi 1925 ðîêó. àéçåíáåð óâàæàâ, ùî ðîçóìíî âiäìîâèòèñü âiä íåñïîñòåðåæóâàëüíèõ âåëè÷èí (òèïó êîîðäèíàò òà ïåðiîäó îáåðòàííÿ åëåêòðîíà) i ïîáóäóâàòè ìåõàíiêó, â ÿêié áóëè á ñïiââiäíîøåííÿ ëèøå ìiæ ñïîñòåðåæóâàëüíèìè âåëè÷èíàìè (òèïó ÷àñòîò ïåðåõîäó 10 Íîáåëiâñüêà ïðåìiÿ 1933 ðîêó çà âiäêðèòòÿ íîâèõ îðì àòîìíî¨ òåîði¨ áóëà ïðèñóäæåíà Å. Øðåäèí åðîâi òà Ï. À. Ì. Äiðàêîâi. 11 Íîáåëiâñüêà ïðåìiÿ 1954 ðîêó çà ðîáîòè ç êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè.

27

ìiæ êâàíòîâèìè ñòàíàìè, iíòåíñèâíîñòi âèïðîìiíþâàííÿ ïðè öüîìó ïåðåõîäi i ò. ï.). Âií ïîáóäóâàâ òàêó îðìàëüíó ñõåìó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ó ÿêié, çàìiñòü êîîðäèíàòè q òà iìïóëüñó p åëåêòðîíà, iãóðóâàëè äåÿêi àáñòðàêòíi àë åáðà¨÷íi îá'¹êòè qmn òà pmn , äëÿ ÿêèõ íå âèêîíóþòüñÿ ïðàâèëà êîìóòàòèâíîñòi ïðè ìíîæåííi. Ïðîåñîð Ì. Áîðí, ÿêîìó Â. àéçåíáåð íàäiñëàâ ñâié ðóêîïèñ, ðîçïiçíàâ ó öèõ ïðàâèëàõ ìíîæåííÿ ïðàâèëà äëÿ âiäîìèõ ó ìàòåìàòèöi ìàòðèöü, i ðàçîì ç Ï. Éîðäàíîì âîíè ïîêàçàëè, ùî ìàòðèöi qˆ òà pˆ çàäîâîëüíÿþòü ïåðåñòàâíå ñïiââiäíîøåííÿ

qˆpˆ − pˆqˆ = i~,

ÿêå ¹ íîâèì ïðàâèëîì êâàíòóâàííÿ, i ñòâîðèëè òå, ùî ìà¹ òåïåð íàçâó ìàòðè÷íî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè12 . Åêâiâàëåíòíiñòü äâîõ êâàíòîâèõ ìåõàíiê, ìàòðè÷íî¨ i õâèëüîâî¨, äîâiâ Å. Øðåäèí åð (1926 ð.). Ùå äî ñòâîðåííÿ õâèëüîâî¨ ìåõàíiêè ïiñëÿ âiäêðèòòÿ ìàòðè÷íî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè Ì. Áîðí, Â. àéçåíáåð i Ï. Éîðäàí, íàòðàïëÿþ÷è íà òðóäíîùi ç ìàòðè÷íèì ÷èñëåííÿì, çâåðíóëèñü äî âèäàòíîãî íiìåöüêîãî ìàòåìàòèêà Ä. iëüáåðòà (18621943). Âåëèêèé ìàòåìàòèê, ÿêèé æâàâî öiêàâèâñÿ íîâèìè iäåÿìè içèêiâ (çîêðåìà, âií äåùî ðàíiøå çà À. Àéíøòàéíà âèíàéøîâ ðiâíÿííÿ ðóõó ðàâiòàöiéíîãî ïîëÿ â çàãàëüíié òåîði¨ âiäíîñíîñòi, âiäîìi ÿê ðiâíÿííÿ Àéíøòàéíà iëüáåðòà), âiäïîâiâ ¨ì, ùî çàâæäè, êîëè éîìó äîâîäèëîñÿ ìàòè ñïðàâó ç ìàòðèöÿìè, âîíè âèíèêàëè ïðè çíàõîäæåííi âëàñíèõ çíà÷åíü ó êðàéîâèõ çàäà÷àõ äëÿ äèåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü. iëüáåðò i ïîðàäèâ ¨ì ïîøóêàòè äèåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ, ïîâ'ÿçàíå ç öèìè ìàòðèöÿìè, i ìîæëèâî, çíàéäåòüñÿ ùîñü íîâå. Îäíàê öþ iäåþ içèêè íå ñïðèéíÿëè, ââàæàþ÷è ¨¨ íåñåðéîçíîþ, i iëüáåðò ïiçíiøå êåïêóâàâ ç íèõ ñàìå öå ðiâíÿííÿ çíàéøîâ Øðåäèí åð. Ó 1926 ðîöi Ì. Áîðí, Í. Âiíåð, Ï. À. Ì. Äiðàê, . Âåéëü ñîðìóëþâàëè ïðèíöèï, çãiäíî ç ÿêèì êîæíié içè÷íié âåëè÷èíi ñòàâèòüñÿ ó âiäïîâiäíiñòü îïåðàòîð. ßê ç'ÿñóâàëîñü ïiçíiøå, òàêå çiñòàâëåííÿ íå ¹ ïðîñòîþ ïðîöåäóðîþ, i ïèòàííÿ îäíîçíà÷íîñòi ïðèïèñóâàííÿ içè÷íèì âåëè÷èíàì îïåðàòîðiâ äèñêóòó¹òüñÿ äîñi. Ó 1927 ðîöi Â. àéçåíáåð âiäêðèâ ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé äëÿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèõ âiäõèëåíü êàíîíi÷íî ñïðÿæå12 Çà ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè â ìàòðè÷íié îðìi Â. àéçåíáåð íàãîðîäæåíèé ó 1932 ðîöi Íîáåëiâñüêîþ ïðåìi¹þ.

28

íèõ êîîðäèíàòè q òà iìïóëüñó p:

h(∆q)2 i h(∆p)2 i ≥ ~2 /4. Iíòåðïðåòàöiÿ ãàéçåíáåð iâñüêîãî ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòi òà içè÷íèé çìiñò õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ÿê àìïëiòóäè éìîâiðíîñòåé áóëè ïðåäìåòîì äèñêóñié íà áàãàòüîõ içè÷íèõ êîí ðåñàõ. Íàøà ëîãiêà, ùî ðóíòó¹òüñÿ íà ïîâñÿêäåííîìó äîñâiäi ìàêðîñêîïi÷íîãî ñâiòó, ¹ êëàñè÷íîþ ç ¨¨ òâåðäæåííÿìè òàê àáî íi, âîíà íå äîïóñêà¹ òîãî, ùî ìè íàçèâà¹ìî äèðàêöi¹þ åëåêòðîíiâ, i öå ïðèâåëî äî îðìóëþâàííÿ áàãàòüîõ ïàðàäîêñiâ: ïàðàäîêñ äå Áðîéëÿ, ïàðàäîêñ iç æèâîìåðòâèì êîòîì Øðåäèí åðà, ïàðàäîêñ Àéíøòàéíà Ïîäîëüñüêîãîîçåíà (1935), ÿêi áóëè ïðåäìåòîì âiäîìèõ äèñêóñié äâîáîþ Í. Áîðà é À. Àéíøòàéíà. Îäíèì iç ðåçóëüòàòiâ öèõ äèñêóñié ¹ ïðèíöèï äîïîâíþâàëüíîñòi Áîðà (1927 ð.): âèìiðþâàííÿ iìïóëüñíî-åíåð åòè÷íèõ òà ïðîñòîðîâî-÷àñîâèõ õàðàêòåðèñòèê ¹ âçà¹ìîäîïîâíþâàëüíèìè â îïèñi êâàíòîâîãî îá'¹êòà. Çàâåðøèâñÿ åòàï ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨ âiäêðèòòÿì ðåëÿòèâiñòñüêîãî õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ äëÿ åëåêòðîíà, ÿêå çðîáèâ àíãëiéñüêèé içèê-òåîðåòèê Ï. À. Ì. Äiðàê (19021984) â 1928 ðîöi. Íà òó ïîðó áóëî âiäîìå ðåëÿòèâiñòñüêå êâàíòîâå ðiâíÿííÿ, ÿêå òåïåð íàçèâàþòü ðiâíÿííÿì ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà, õî÷à âïåðøå, ÿê óæå âêàçóâàëîñü, éîãî çàïðîïîíóâàâ Øðåäèí åð. Âîíî íå âëàøòîâóâàëî Äiðàêà ç äâîõ ïðè÷èí. Ïî-ïåðøå, õâèëüîâà óíêöiÿ â öié òåîði¨ äà¹ ãóñòèíó éìîâiðíîñòi, ùî ìîæå íàáóâàòè âiä'¹ìíèõ çíà÷åíü. Ïî-äðóãå, ó öå ðiâíÿííÿ âõîäÿòü äðóãi ïîõiäíi çà ÷àñîì, i òîìó ñòàí ñèñòåìè çàäà¹òüñÿ íå ëèøå õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, à i ¨¨ ïåðøîþ ïîõiäíîþ çà ÷àñîì, ùî ñóïåðå÷èòü çàãàëüíèì ïðèíöèïàì êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Ó çâ'ÿçêó ç öèì Äiðàêà äèâóâàâ òîé àêò, ùî áàãàòüîõ içèêiâ, ó òîìó ÷èñëi é Áîðà, äî ÿêîãî âií çâåðòàâñÿ, âëàøòîâóâàëî öå ðiâíÿííÿ. Íåñóïåðå÷ëèâå îá'¹äíàííÿ îñíîâíèõ ïðèíöèïiâ êâàíòîâî¨ òåîði¨ é ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ìåõàíiêè Äiðàê çäiéñíèâ íåñïîäiâàíèì ñïîñîáîì äîáóâàííÿ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî é îòðèìàâ ñâî¹ çíàìåíèòå ðiâíÿííÿ äëÿ åëåêòðîíà. Ç öüîãî ðiâíÿííÿ Ï. Äiðàê âèíàéøîâ íà ïàïåði ïîçèòðîí, ÿêèé âiäêðèâ åêñïåðèìåíòàëüíî àìåðèêàíñüêèé içèê Ê. Àíäåðñîí ó 1932 ðîöi. Ïiçíiøèé ïåðiîä ðîçâèòêó êâàíòîâî¨ òåîði¨ ìîæíà íàçâàòè êàëüêóëÿöiéíèì. Òèñÿ÷i íàóêîâèõ ïðàöü áóëè ïðèñâÿ÷åíi äîñëiäæåííþ ðiçíîìàíiòíèõ içè÷íèõ ÿâèù iç ðîçðàõóíêàìè íà îñíîâi 29

óíäàìåíòàëüíèõ ðiâíÿíü êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè içè÷íèõ âåëè÷èí, ùî õàðàêòåðèçóþòü ÿäðà, àòîìè, ìîëåêóëè òà ¨õ ñóêóïíîñòi â ãàçîïîäiáíîìó, ðiäêîìó i òâåðäîìó ñòàíàõ. Æîäíîãî ðàçó êâàíòîâà ãiïîòåçà Ì. Ïëàíêà íå çàçíàëà íåâäà÷. Àëå ÷àñ äî ÷àñó içèêè ïîâåðòàëèñÿ äî çìiñòó îñíîâíî¨ âåëè÷èíè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè õâèëüîâî¨ óíêöi¨. 1942 ðîêó àìåðèêàíñüêèé içèê-òåîðåòèê i÷àðä Ôåéíìàí (19181988) ñîðìóëþâàâ ùå îäèí âàðiàíò êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ÷åðåç òàêå ïîíÿòòÿ ÿê iíòå ðàëè çà øëÿõàìè âiä àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi, âèãëÿä ÿêî¨ âií ñïîñòóëþâàâ, âèõîäÿ÷è ç iäå¨ Ï. Äiðàêà. Öåé ïiäõiä íå äà¹ íîâèõ ðåçóëüòàòiâ, àëå çíîâó ïîâåðòà¹ íàñ äî íiáèòî êëàñè÷íîãî ïiäðàõóíêó éìîâiðíîñòi ïåðåõîäó êâàíòîâî¨ ÷àñòèíêè ç îäíi¹¨ òî÷êè ïðîñòîðó â iíøó çà âñiìà ìîæëèâèìè ¨¨ êëàñè÷íèìè òðà¹êòîðiÿìè. Íàñïðàâäi æ âèêîðèñòîâó¹òüñÿ çíîâó ïîíÿòòÿ àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi, à ¨¨ âèãëÿä âèáèðà¹òüñÿ òàê, ùîá çàáåçïå÷èòè ïåðåõiä äî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Ñüîãîäíi ìè ñïîñòåðiãà¹ìî ïåðiîä, ÿêèé ìîæíà íàçâàòè ψ -ðåíåñàíñîì, òîáòî â÷åíi çíîâó íàìàãàþòüñÿ çðîçóìiòè, ùî òàêå õâèëüîâà óíêöiÿ, ìàéñòåðíî ïåðåêèäàþ÷è ìiêðîñêîïi÷íi ÿâèùà íà ïðèðîäíi äëÿ íàñ ìàêðîñêîïi÷íi ìàñøòàáè. Òåïåðiøíi iíñòðóìåíòàëüíi ìîæëèâîñòi äàþòü çìîãó äîñëiäæóâàòè åêñïåðèìåíòàëüíî òàêi òîíêi ÿâèùà, ÿê æèâîìåðòâèé êiò Øðåäèí åðà òà ïàðàäîêñ ÀéíøòàéíàÏîäîëüñüêîãîîçåíà, çàâäÿêè ÿêîìó âèíàéøëè ñïî÷àòêó òåîðåòè÷íî, à ïîòiì åêñïåðèìåíòàëüíî òàê çâàíå ÿâèùå êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨. Ó îëüêëîði içèêiâ ç'ÿâèëèñÿ òàêi ïîíÿòòÿ, ÿê êâàíòîâà êðèïòîãðàiÿ òà êâàíòîâi êîìï'þòåðè, ïðèíöèï äi¨ ÿêèõ ðóíòó¹òüñÿ íà íåçáàãíåííèõ âëàñòèâîñòÿõ ψ -óíêöi¨, ìîæëèâîñòi ÿêèõ ¹ òàêîæ ùå íåçáàãíåííèìè. Çàâåðøó¹ìî êîðîòêó ðîçïîâiäü ïðî öþ íåçâè÷àéíó åïîõó ç óñâiäîìëåííÿì òîãî, ùî ñàìå çâ'ÿçîê òà¹ìíè÷îãî ìåõàíiçìó ãåíiàëüíèõ çäîãàäîê òà âèìóøåíèõ êðîêiâ, ÿêi äèêòóþòüñÿ ãðîþ íàøîãî ðîçóìó ëîãiêîþ, äà¹ çìîãó ïiçíàâàòè íàâêîëèøíiñòü ó âñié ¨¨ Êðàñi é àðìîíi¨, à òàêîæ, ùî ñòâîðåííÿ íåâåëèêîþ êiëüêiñòþ ìîëîäèõ ó÷åíèõ íîâî¨ êâàíòîâî¨ òåîði¨, à àêòè÷íî íîâî¨ içèêè, çà òàêèé êîðîòêèé ÷àñ (19251928) ¹ åíîìåíîì, ÿêèé íå ìà¹ ïðåöåäåíòó â iñòîði¨ íàóêè.

ËÀÂÀ I ÎÑÍÎÂÍI ÏÈÍÖÈÏÈ ÊÂÀÍÒÎÂÎ ÌÅÕÀÍIÊÈ 1. Îïèñ ñòàíó ó êâàíòîâié ìåõàíiöi

Äëÿ âèâ÷åííÿ áóäü-ÿêîãî içè÷íîãî îá'¹êòà íåîáõiäíî, ÿê êàæóòü, çàäàòè éîãî ñòàí, òîáòî çàäàòè ïåâíó ñóêóïíiñòü õàðàêòåðíèõ âåëè÷èí. Âèáið öèõ âåëè÷èí ðóíòó¹òüñÿ íà ðåçóëüòàòàõ äîñëiäó, i âîíè äàþòü çìîãó âèçíà÷èòè âñi iíøi içè÷íi âåëè÷èíè. Çàâäàííÿ íàóêè ïîëÿãà¹ â ïåðåäáà÷åííi çíà÷åíü öèõ âåëè÷èí ó äîâiëüíèé ìîìåíò ÷àñó, ÿêùî âîíè âiäîìi â ïîïåðåäíié ìîìåíò ÷àñó. Ñïiââiäíîøåííÿ, íà îñíîâi ÿêèõ âèçíà÷àþòü ¨õíi çíà÷åííÿ â íàñòóïíi ìîìåíòè ÷àñó, íàçèâàþòü ðiâíÿííÿìè ðóõó. Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi ñòàí ÷àñòèíêè çàäà¹òüñÿ â ìîìåíò ÷àñó t ñóêóïíiñòþ óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò q òà øâèäêîñòåé q˙, à ðiâíÿííÿìè ðóõó ¹ ðiâíÿííÿ Ëà ðàíæà. Ìîæíà çàäàâàòè ñòàí òàêîæ óçàãàëüíåíèìè êîîðäèíàòàìè q òà óçàãàëüíåíèìè iìïóëüñàìè p, ðiâíÿííÿìè ðóõó äëÿ ÿêèõ ¹ êàíîíi÷íi ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà. Öi ðiâíÿííÿ, ÿê i åêâiâàëåíòíi ¨ì ðiâíÿííÿ àìiëüòîíàßêîái, ¹ íàñëiäêîì âàðiàöiéíîãî ïðèíöèïó íàéìåíøî¨ äi¨. Îäíàê âèõiäíèìè ðiâíÿííÿìè áóëè ðiâíÿííÿ Íüþòîíà, ÿêi âií ñîðìóëþâàâ ïîíàä 300 ðîêiâ òîìó i ÿêi ñâî¹þ ÷åðãîþ ïîáóäîâàíi íà ãëèáîêîìó àíàëiçi åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ òà çàâäÿêè ïðàöÿì Ì. Êîïåðíèêà, . àëiëåÿ i É. Êåïëåðà. Ó êëàñè÷íié åëåêòðîäèíàìiöi ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ çàäà¹òüñÿ éîãî ñèëîâèìè õàðàêòåðèñòèêàìè íàïðóæåíîñòÿìè åëåêòðè÷íîãî E òà ìàãíiòíîãî H ïîëiâ. Öi âåëè÷èíè ¹ óíêöiÿìè êîîðäèíàò òî÷êè ïðîñòîðó x, y, z òà ÷àñó t. Òàêèì ÷èíîì, ïîëå çàäà¹òüñÿ â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó â óñüîìó ïðîñòîði. Ìîæíà ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ çàäàâàòè i 4-âåêòîðîì (ϕ, A), äå ϕ ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàë ïîëÿ, A éîãî âåêòîðíèé ïîòåíöiàë, òàê ùî ˙ E = −A/c−grad ϕ, à H = rot A (êðàïêîþ ïîçíà÷åíà ïîõiäíà çà ÷àñîì, c øâèäêiñòü ñâiòëà). iâíÿííÿ ðóõó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ 31

öå ðiâíÿííÿ Ìàêñâåëëà, ÿêi ñâî¹þ ÷åðãîþ ¹ óçàãàëüíåííÿì åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ, íàãðîìàäæåíèõ ó äîñëiäàõ Ø. Êóëîíà, . K. Åðñòåäà, À. Àìïåðà, Ì. Ôàðàäåÿ. Ñòàí ðàâiòàöiéíîãî ïîëÿ çàäà¹òüñÿ ìåòðè÷íèì òåíçîðîì gik , ÿêèé âèçíà÷à¹ ìåòðèêó ïðîñòîðó, òîáòî âèçíà÷à¹ ñïîñiá âèìiðþâàííÿ äîâæèí òà êóòiâ, i ¹ óíêöi¹þ 4-ðàäióñ-âåêòîðà (x0 , x1 , x2 , x3 ) êðèâîëiíiéíèõ êîîðäèíàò, ÿêi ïðè âiäñóòíîñòi ðàâiòàöi¨ çâîäÿòüñÿ äî êîîðäèíàò Ìiíêîâñüêîãî (ct, x, y, z). iâíÿííÿ ðóõó ïîëÿ öå ðiâíÿííÿ Àéíøòàéíà iëüáåðòà. Õî÷à öi ðiâíÿííÿ îòðèìàíi íå ÿê óçàãàëüíåííÿ åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ, à çíà÷íîþ ìiðîþ íà iíòó¨öi¨ (öèì òà¹ìíè÷èì ìåõàíiçìîì óñòàíîâëåííÿ àïðiîðíèõ çàêîíiâ), îäíàê ó ìiðêóâàííÿõ, ùî ïðèâåëè äî íèõ, öåíòðàëüíó ðîëü âiäiãðàâ ïðèíöèï åêâiâàëåíòíîñòi iíåðòíî¨ òà âàæêî¨ ìàñ òië, ÿêèé åêñïåðèìåíòàëüíî çàïðèìiòèâ ùå . àëiëåé i ÿêèé ïiçíiøå âñòàíîâëåíî äîñëiäàìè Õ. þé åíñà, I. Íüþòîíà, Ô.-Â. Áåññåëÿ, . Åòâåøà. Ïiñëÿ öüîãî êîðîòêîãî ïåðåãëÿäó êëàñè÷íèõ içè÷íèõ òåîðié ïåðåéäiìî äî âèçíà÷åííÿ òèõ âåëè÷èí, ÿêi îïèñóþòü ñòàí ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Iñòîðè÷íèé àñïåêò âèíèêíåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ìè âèñâiòëèëè ó âñòóïi. Òîìó ïîäàëüøèé âèêëàä áóäåìî ïðîâîäèòè íå â iñòîðè÷íié, à â ëîãi÷íié ïîñëiäîâíîñòi. Õî÷à äàëi íå ðàç ùå âäàìîñÿ i äî iñòîðè÷íèõ àêòiâ. Çâåðíiìîñü äî åêñïåðèìåíòiâ ç äèðàêöi¨ åëåêòðîíiâ, ó ÿêèõ áóëà ïiäòâåðäæåíà ãiïîòåçà äå Áðîéëÿ ïðî òå, ùî ç ÷àñòèíêîþ ïîâ'ÿçàíèé õâèëüîâèé ïðîöåñ iç äîâæèíîþ õâèëi λ = 2π~/p, p iìïóëüñ ÷àñòèíêè. Ïiçíiøå öÿ iäåÿ ïiäòâåðäèëàñü ó äîñëiäàõ iç äèðàêöi¨ íåéòðîíiâ. Áóëè âèêîíàíi òàêîæ åêñïåðèìåíòè ç ïîîäèíîêèìè åëåêòðîíàìè òà ïîîäèíîêèìè îòîíàìè, òîáòî äîñëiäè ç ïó÷êàìè åëåêòðîíiâ òà îòîíiâ äóæå íèçüêî¨ iíòåíñèâíîñòi. Ïåðåéäiìî äî àíàëiçó öèõ åêñïåðèìåíòiâ. îçãëÿíüìî ñïðîùåíèé âàðiàíò óñòàíîâêè, íà ÿêié áóäåìî âèâ÷àòè äèðàêöiþ íå íà ðåàëüíié êðèñòàëi÷íié ðàòöi, à íà åêðàíi ç äâîìà ùiëèíàìè. Ïðîõîäæåííÿ åëåêòðîíiâ êðiçü äâi ùiëèíè ¹, ìàáóòü, íàéçíàìåíèòiøèì óÿâíèì içè÷íèì åêñïåðèìåíòîì, ÿêèé ìàéñòåðíî âèêîðèñòàâ . Ôåéíìàí1 äëÿ äåìîíñòðàöi¨ iäå¨ õâèëüîâèõ âëàñòèâîñòåé ÷àñòèíîê ó ñâî¨õ íå ìåíø çíàìåíèòèõ ëåêöiÿõ ç içèêè. 1 Çà óíäàìåíòàëüíèé âíåñîê ó êâàíòîâó åëåêòðîäèíàìiêó, ùî ìà¹ âàæëèâå çíà÷åííÿ äëÿ içèêè åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê, . Ôåéíìàíîâi ðàçîì ç Ñ. Òîìîíà îþ òà Þ. Øâií åðîì ïðèñóäæåíà Íîáåëiâñüêà ïðåìiÿ çà 1965 ðiê.

32

Îòæå, íåõàé ìè ìà¹ìî åêñïåðèìåíòàëüíó óñòàíîâêó, çîáðàæåíó íà ðèñ. 1, i ïðîâåäåìî íà íié òðè åêñïåðèìåíòè.

èñ. 1.

Åêñïåðèìåíòàëüíà óñòàíîâêà äëÿ äîñëiäæåííÿ ðîçñiÿííÿ õâèëü

i ÷àñòèíîê íà äâîõ ùiëèíàõ (ùiëèíè ââàæà¹ìî îäíàêîâèìè).

Äîñëiä 1. Äèòÿ÷èé áiëüÿðä. Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíüìî åêñïåðèìåíò iç êëàñè÷íèìè ÷àñòèíêàìè. Íàïðèêëàä, öå ìîæóòü áóòè êóëüêè äèòÿ÷îãî áiëüÿðäà. Äæåðåëî âèïðîìiíþ¹ êóëüêè, ùî ïðîõîäÿòü ÷åðåç ùiëèíó â åêðàíi i ðå¹ñòðóþòüñÿ äåòåêòîðîì. Ïîñòàâèìî çàïèòàííÿ: ÿêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî, âèéøîâøè ç äæåðåëà, ÷àñòèíêà ïîòðàïèòü ó òî÷êó x íà åêðàíi ç äåòåêòîðîì. Öiêàâî ïðîâåñòè åêñïåðèìåíò ñïî÷àòêó ïðè çàêðèòié ùiëèíi 2. Ìè îòðèìà¹ìî éìîâiðíiñòü w1 (x) (äèâ. ðèñ. 2) òîãî, ùî ÷àñòèíêà ïðîõîäèòü ÷åðåç ùiëèíó 1 i ïîòðàïëÿ¹ â òî÷êó x. Çðîçóìiëî, ùî ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ w1 (x) çíàõîäèòüñÿ íàâïðîòè ùiëèíè 1. Çàêðèâà¹ìî òåïåð ùiëèíó 1 i âèçíà÷à¹ìî éìîâiðíiñòü òîãî, ùî, âèéøîâøè ç äæåðåëà, ÷àñòèíêà ïðîéäå ÷åðåç ùiëèíó íîìåð 2 i ïîòðàïèòü ó òî÷êó x êðèâà w2 (x) íà ðèñ. 2. Òåïåð âiäêðèâà¹ìî îáèäâi ùiëèíè i âèìiðþ¹ìî çà ÷àñòîòîþ ïîòðàïëÿííÿ ÷àñòèíîê ó òî÷êó x ïîâíó éìîâiðíiñòü w(x) òîãî, ùî ÷àñòèíêà, ïðîéøîâøè ÷åðåç ïåðøó àáî äðóãó ùiëèíè, ïîòðàïëÿ¹ â äåòåêòîð. Î÷åâèäíî, ùî

w(x) = w1 (x) + w2 (x), òîáòî ìà¹ìî êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé. 3

I. Î. Âàêàð÷óê

33

èñ. 2.

Åêñïåðèìåíò iç ðîçñiÿííÿ êëàñè÷íèõ ÷àñòèíîê.

Äîñëiä 2. Õâèëi íà âîäi. Âèêîíàéìî òåïåð åêñïåðèìåíò iç õâèëÿìè. Íàïðèêëàä, öå ìîæóòü áóòè õâèëi íà ïîâåðõíi âîäè. Áóäåìî âèìiðþâàòè äåòåêòîðîì iíòåíñèâíiñòü õâèëü, òîáòî êâàäðàò àìïëiòóäè. Åêñïåðèìåíò ïîâòîðþ¹ìî â òié æå ïîñëiäîâíîñòi. Íåõòóþ÷è äèðàêöi¹þ íà êðàÿõ ùiëèíè, ìè îòðèìà¹ìî äëÿ iíòåíñèâíîñòi õâèëü êðèâó I1 = |A1 |2 , äå A1 àìïëiòóäà õâèëi â òî÷öi x, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ùiëèíó 1 ïðè çàêðèòié ùiëèíi 2 (äèâ. ðèñ. 3). Ïðè çàêðèòié ùiëèíi 1 î÷åâèäíî îòðèìà¹ìî êðèâó I2 . Çîâñiì iíøà ñèòóàöiÿ âèíèêà¹, êîëè îáèäâi ùiëèíè âiäêðèòi. Çãiäíî ç ïðèíöèïîì þé åíñà, êîëè õâèëüîâå çáóðåííÿ âiä äæåðåëà äîñÿãíå ùiëèí, âîíè îáèäâi ñòàþòü äæåðåëàìè õâèëü, i â òî÷öi x íà åêðàíi ìà¹ìî íàêëàäàííÿ äâîõ õâèëü. Ñóìàðíà iíòåíñèâíiñòü I çàëåæèòü âiä ðiçíèöi àç δ = δ1 − δ2 , ç ÿêèìè õâèëi ïðèõîäÿòü âiä ùiëèíè äî äåòåêòîðà. Äëÿ îòðèìàííÿ ñóìàðíî¨ iíòåíñèâíîñòi ïîòðiáíî ñïî÷àòêó äîäàòè àìïëiòóäè A1 = |A1 | exp(iδ1 ) òà A2 = |A2 | exp(iδ2 ) i ëèøå ïiñëÿ öüîãî âçÿòè êâàäðàò ìîäóëÿ:

A = A1 + A2 , I

= |A|2 = |A1 + A2 |2 = |A1 |2 + |A2 |2 + 2|A1 ||A2 | cos δ p = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ.

Îòæå, ìè îòðèìó¹ìî iíòåðåðåíöiéíó êàðòèíêó, ÿêà é çîáðàæåíà íà ðèñ. 3. 34

èñ. 3.

Äèðàêöiÿ õâèëü íà äâîõ ùiëèíàõ.

Äîñëiä 3. Äèðàêöiÿ åëåêòðîíiâ. Òåïåð ðîçãëÿíåìî åêñïåðèìåíò ç åëåêòðîíàìè, òîáòî îáãîâîðèìî äîñëiäè Ê. Äåâiññîíà, Ë. Äæåðìåðà i Äæ. Ï. Òîìñîíà (ðèñ. 4). Iç äæåðåëà åëåêòðîí ïîòðàïëÿ¹ íà åêðàí çi ùiëèíàìè i, ïiñëÿ ¨õ ïðîõîäæåííÿ, ðå¹ñòðó¹òüñÿ äåòåêòîðîì. Ó ïåðøié ÷àñòèíi íàøîãî åêñïåðèìåíòó (çàêðèòà ùiëèíà 2) âèçíà÷à¹ìî çà ÷àñòîòîþ ïîòðàïëÿííÿ åëåêòðîíà â äåòåêòîð êðèâó éìîâiðíîñòi w1 ïîòðàïëÿííÿ åëåêòðîíà â òî÷êó x. Ó äðóãié ÷àñòèíi ïðè çàêðèòié ùiëèíi 1 îòðèìà¹ìî êðèâó w2 . Òîáòî ìè îäåðæèìî òàêi æ äâi êðèâi, ÿê i â íàøîìó ïåðøîìó äîñëiäi ç êëàñè÷íèìè ÷àñòèíêàìè. Òåïåð âiäêðèâà¹ìî îáèäâi ùiëèíè i ñïîñòåðiãà¹ìî çà åëåêòðîíîì. Ëîãi÷íî ïðèïóñòèòè, ùî åëåêòðîí ÿê öiëå ïðîõîäèòü ÷åðåç ïåðøó àáî äðóãó ùiëèíè. À öå ñâî¹þ ÷åðãîþ òÿãíå çà ñîáîþ êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé. Îäíàê ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòó ïîâíiñòþ ñóïåðå÷àòü çäîðîâîìó ãëóçäîâi. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî êðèâà ñóìàðíî¨ éìîâiðíîñòi w ìà¹ iíòåðåðåíöiéíèé õàðàêòåð, ÿê çîáðàæåíî íà ðèñóíêó. Îòæå, åëåêòðîí ÿê ÷àñòèíêà, ùî ïðîõîäèòü ùiëèíè ÿê öiëå (ïiâåëåêòðîíà, ÿê äîáðå âiäîìî ç äîñëiäó, íiõòî íå ñïîñòåðiãàâ), ïîòðàïëÿ¹ â äåòåêòîð ó òî÷öi x i ðå¹ñòðó¹òüñÿ íèì. Ïiñëÿ öüîãî íàñòóïíèé åëåêòðîí íåçàëåæíî âiä ïîïåðåäíüîãî (öå i ¹ äîñëiä ç 3*

35

èñ. 4.

Äèðàêöiÿ åëåêòðîíiâ íà äâîõ ùiëèíàõ.

ïîîäèíîêèìè åëåêòðîíàìè) ïðîõîäèòü ÷åðåç ñèñòåìó äâîõ ùiëèí i iêñó¹òüñÿ äåòåêòîðîì. Áàãàòîêðàòíå ïîâòîðåííÿ öüîãî ïðèâîäèòü äî iíòåðåðåíöiéíî¨ êàðòèíêè, àíàëîãi÷íî¨ äî òi¹¨, ÿêó îòðèìóâàëè äëÿ õâèëü ó äîñëiäi 2. Ñêëàäà¹òüñÿ âðàæåííÿ, ùî êîæåí íàñòóïíèé åëåêòðîí çíà¹, ó ÿêó òî÷êó ïîòðàïèâ ïîïåðåäíié, i âèáèðà¹ äëÿ ñåáå òî÷êó x òàê, ùîá óòâîðèëàñü iíòåðåðåíöiéíà êðèâà. . . Ñòàòèñòè÷íèé, òîáòî éìîâiðíiñíèé, îïèñ êëàñè÷íèõ ÷àñòèíîê ó ïåðøîìó äîñëiäi ¹ ëèøå, òàê áè ìîâèòè, íàøîþ ïðèìõîþ, îñêiëüêè ìè ìà¹ìî ó ñâî¹ìó ðîçïîðÿäæåííi çàêîíè Íüþòîíà, ðîçâ'ÿçîê ÿêèõ äà¹ òðà¹êòîðiþ ÷àñòèíêè, i ùîðàçó (êîëè ÷àñòèíêà âèëiòà¹ ç äæåðåëà) ìîæíà ïåðåäáà÷èòè, â ÿêó òî÷êó åêðàíà âîíà ïîòðàïëÿ¹. Çîâñiì iíøó ñèòóàöiþ ìà¹ìî äëÿ êâàíòîâèõ ÷àñòèíîê, òîáòî äëÿ åëåêòðîíiâ. Öå îçíà÷à¹, ùîíàéìåíøå, ùî åëåêòðîí íå ïiäêîðÿ¹òüñÿ çàêîíàì êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè. Îòæå, äëÿ îïèñó éîãî ñòàíó ïîòðiáíî øóêàòè iíøi õàðàêòåðèñòèêè, íiæ, ñêàæiìî, êîîðäèíàòó òà iìïóëüñ, ÿêèìè óñïiøíî îïåðó¹ êëàñè÷íà ìåõàíiêà. Îñêiëüêè êðèâà éìîâiðíîñòi ïîòðàïëÿííÿ åëåêòðîíiâ íà åêðàí ç äåòåêòîðîì çà ñâî¨ìè õàðàêòåðèñòèêàìè àêòè÷íî çáiãà¹òüñÿ ç êðèâîþ iíòåíñèâíîñòi õâèëü, ùî iíòåðåðóþòü, òî öå íàâîäèòü íà äóìêó âèêîðèñòàòè äëÿ ïiäðàõóíêó éìîâiðíîñòåé õâèëüîâèé ðåöåïò. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ ïîÿñíåííÿ åêñïåðèìåíòó ç åëåêòðîíàìè ìè çìóøåíi ââåñòè âåëè÷èíó, ïîäiáíó äî àìïëiòóäè õâèëü íà âîäi, 36

i öèì ñàìèì ðîçøèðèòè ñàìå ïîíÿòòÿ éìîâiðíîñòi. Îòæå, ââåäåìî, âçàãàëi êàæó÷è, êîìïëåêñíó âåëè÷èíó ψ , ÿêó íàçâåìî àìïëiòóäîþ éìîâiðíîñòi, òàê ùî ñàìà éìîâiðíiñòü

w = |ψ|2

öå i ¹ òðàêòóâàííÿ Ì. Áîðíà içè÷íîãî çìiñòó õâèëü äå Áðîéëÿ. Ó çâ'ÿçêó ç öèì âåëè÷èíó ψ íàçèâàþòü òàêîæ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ. Çàìiñòü êëàñè÷íîãî çàêîíó äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé óâåäåìî çàêîí äîäàâàííÿ àìïëiòóä iìîâiðíîñòåé:

ψ = ψ1 + ψ2 , äå ψ1 àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi òîãî, ùî åëåêòðîí ïîòðàïëÿ¹ â äåòåêòîð, ïðîõîäÿ÷è ùiëèíó 1, ψ2 àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi òîãî, ùî åëåêòðîí ïîòðàïëÿ¹ â äåòåêòîð ÷åðåç ùiëèíó 2. Êâàäðàò ìîäóëÿ àìïëiòóäè ψ äîðiâíþ¹

|ψ|2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + 2|ψ1 ||ψ2 | cos δ,

äå δ = δ1 − δ2 ðiçíèöÿ àç àìïëiòóä iìîâiðíîñòåé

ψ1 = |ψ1 |eiδ1 ,

ψ2 = |ψ2 |eiδ2 .

Òàêèì ÷èíîì, ïîâíó éìîâiðíiñòü w âèçíà÷à¹ êâàíòîâîìåõàíi÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé √ w = w1 + w2 + 2 w1 w2 cos δ. Ñàìå öþ iíòåðåðåíöiéíó êðèâó ìè i ñïîñòåðiãà¹ìî íà åêñïåðèìåíòi. Iíòåðåðåíöiéíà êàðòèíêà çíèêà¹, ÿêùî âiäîìî, êðiçü ÿêèé îòâið ïðîõîäÿòü åëåêòðîíè. Iíàêøå êàæó÷è, ÿêùî ìè çìîæåìî iêñóâàòè, êðiçü ÿêó ùiëèíó ïðîõîäèòü êîæåí åëåêòðîí, òî iíòåðåðåíöi¨ õâèëü äå Áðîéëÿ íåìà¹ i ìè äiñòà¹ìî êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé. Ïîñëiäîâíi òâåðäæåííÿ îäíîçíà÷íî ïðèâåäóòü íàñ äî âiäñóòíîñòi iíòåðåðåíöiéíî¨ êàðòèíêè, ÿêùî ìè ïðèéìåìî, ùî åëåêòðîí ïðîõîäèòü êðiçü ïåâíèé îòâið. Òîáòî iíòåðåðåíöiÿ âiäáóâà¹òüñÿ ëèøå òîäi, êîëè ìè âiäìîâèìîñü ñòàâèòè çàïèòàííÿ: êðiçü ÿêó ùiëèíó ïðîéøîâ åëåêòðîí. Ëèøå â òîìó ðàçi, êîëè ìè íàäà¹ìî åëåêòðîíîâi ìîæëèâiñòü âèáðàòè îäíî÷àñíî äâà øëÿõè, îòðèìà¹ìî iíòåðåðåíöiþ. Âåñü ïàðàäîêñ ó öüîìó i 37

¹, ùî åëåêòðîí íå ðîçïàäà¹òüñÿ íà äâi ÷àñòèíè, íà åêðàíi åëåêòðîí iêñó¹òüñÿ ÿê îäíå öiëå ÷àñòèíêà, à êðiçü îòâîðè ïðîõîäèòü ÿê õâèëÿ. Ó öüîìó ïîëÿãà¹ çìiñò òâåðäæåííÿ ïðî êîðïóñêóëÿðíîõâèëüîâèé äóàëiçì ÷àñòèíîê ìiêðîñâiòó, ç ÿêèì ëþäñüêèé ðîçóì çìàãà¹òüñÿ âiä ïî÷àòêó âèíèêíåííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, íàìàãàþ÷èñü çàìiíèòè éîãî íà ùîñü çðîçóìiëiøå. Îòæå, òàêà õàðàêòåðèñòèêà ÷àñòèíêè, ÿê êîîðäèíàòà, âèíèêà¹ íà çàïèò åêñïåðèìåíòàòîðà, êîëè âií ñòàâèòü äîñëiä ç ëîêàëiçàöi¨ ÷àñòèíêè, àëå ïðè öüîìó çíèêà¹ iíòåðåðåíöiéíà êàðòèíêà. Òîáòî äî öüîãî åêñïåðèìåíòó ÷àñòèíêà íå ìàëà ïåâíîãî çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè. Ôiçèêè, ùî ñõèëüíi äî iëîñîñüêèõ ðîçìiðêîâóâàíü, ñòàâëÿòü òàêå çàïèòàííÿ: ÷è îçíà÷à¹ öå, ùî òàêà âåëè÷èíà, ÿê êîîðäèíàòà åëåêòðîíà, âèíèêà¹ ëèøå çàâäÿêè éîãî âçà¹ìîäi¨ ç ïðèëàäîì, ÿêèé iêñó¹ åëåêòðîí, ÷è åëåêòðîí ïîòåíöiéíî ìà¹ öþ âëàñòèâiñòü, à åêñïåðèìåíò ëèøå óÿâíþ¹ ¨¨? Ó çâ'ÿçêó ç öèì íå òàê ëåãêî ñïðîñòîâóâàòè òâåðäæåííÿ ïðî òå, ùî çàêîí äîäàâàííÿ àìïëiòóä iìîâiðíîñòåé ¹ ëèøå íåçðîçóìiëèì ðåöåïòîì, çà ÿêèì ìè äîñëiäæó¹ìî Ïðèðîäó. Ìè ùîéíî ïîäàëè òàê çâàíó êîïåíãà åíñüêó iíòåðïðåòàöiþ, àáî òðàêòóâàííÿ, êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Íàçâà ïiøëà âiä òîãî, ùî çíà÷íîþ ìiðîþ ¨¨ òâîðèâ Íiëüñ Áîð, ÿêèé ïðàöþâàâ ó Êîïåíãà åíi. Âåëèêèé âíåñîê ó òâîðåííÿ öi¹¨ iíòåðïðåòàöi¨ çðîáèëè i Â. àéçåíáåð , Ì. Áîðí òà iíøi òâîðöi êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, îäíàê ñàìå Í. Áîð ç éîãî àâòîðèòåòîì i çäàòíiñòþ ïåðåêîíóâàòè áóâ íàéáiëüøèì ¨¨ ïðèõèëüíèêîì i çàõèñíèêîì. îñïîäü Áîã íå ãðà¹ â êîñòi öåé âèñëiâ À. Àéíøòàéíà ïåðåäà¹ çìiñò òàê çâàíî¨ òåîði¨ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ. Ñóòü ¨¨ ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî éìîâiðíiñòü ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ¹ íàñëiäêîì òîãî, ùî íàì íå âäà¹òüñÿ âðàõóâàòè âñi íåçàëåæíi çìiííi, ÿêi îïèñóþòü êâàíòîâîìåõàíi÷íèé îá'¹êò. Íàïðèêëàä, òåðìîäèíàìi÷íi âåëè÷èíè, òàêi, ÿê òèñê, òåìïåðàòóðà òà iíøi, ¹ óñåðåäíåíèìè çíà÷åííÿìè âåëè÷èí, ùî çàëåæàòü âiä iìïóëüñiâ òà êîîðäèíàò ìîëåêóë, òàê áè ìîâèòè, ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ, ÿêi íå ìîæóòü áóòè âèÿâëåíi òåðìîäèíàìi÷íèìè ìåòîäàìè. Àáî ÿêùî ùå ðàç çâåðíóòèñü äî íàøîãî ïåðøîãî äîñëiäó ç ðîçñiÿííÿ êëàñè÷íèõ ÷àñòèíîê, òî òàêèìè ñõîâàíèìè ïàðàìåòðàìè òàêîæ ¹ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè. Ìè ïðîñòî çàìiíèëè òî÷íèé ïðè÷èííèé îïèñ ÷åðåç ðiâíÿííÿ Íüþòîíà íà éìîâiðíiñíèé ñòàòèñòè÷íèé, íå áàæàþ÷è ðîçâ'ÿçóâàòè öi ðiâíÿííÿ iç ùîðàç iíøèìè ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè ïðè âèëiòàííi ÷àñòèíîê iç äæåðåëà òà äåòàëüíî îïèñóâàòè ïðîiëü ùiëèí, íà 38

ÿêèõ âiäáóâà¹òüñÿ ðîçñiÿííÿ. Îòæå, ìîæëèâî, ùî iñíóþòü ñõîâàíi êëàñè÷íi ïàðàìåòðè, ÿêèõ ìè ùå íå ìîæåìî çíàéòè i ÿêi ïîçáàâëÿòü íàñ íåîáõiäíîñòi îïåðóâàòè éìîâiðíiñíîþ iíòåðïðåòàöi¹þ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Îäíàê æîäåí äîñëiä äî öüîãî ÷àñó íå âèÿâèâ öèõ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ, íå âèÿâëåíî òàêîæ æîäíîãî åêñïåðèìåíòàëüíîãî àêòó, ÿêèé áè ñóïåðå÷èâ îñíîâàì êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Âiäïîâiäü Í. Áîðà íà âèñëiâ À. Àéíøòàéíà â öüîìó êîíòåêñòi âàãîìà: Íå íàøà æóðáà ïðèïèñóâàòè Áîãó, ÿê éîìó ñëiä êåðóâàòè öèì ñâiòîì. Äîâåäåííÿ âiäñóòíîñòi ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ òà âíóòðiøíüî¨ íåñóïåðå÷íîñòi êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè íàëåæèòü Éîãàíîâi îí Íåéìàíó (1932 ð.): ââåäåííÿ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ íåìîæëèâå áåç ðàäèêàëüíèõ çìií îñíîâ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Îäíàê öå äîâåäåííÿ ðóíòó¹òüñÿ íà ïðèïóùåííi, ùî íå äîçâîëÿ¹ ãîâîðèòè ïðî éîãî çàäîâiëüíèé ðiâåíü ñòðîãîñòi2 . Ïiçíiøå ìè ùå ïîâåðíåìîñü äî äåòàëüíîãî îáãîâîðåííÿ öüîãî ïèòàííÿ íà îñíîâi òàê çâàíèõ íåðiâíîñòåé Áåëëà, âèâåäåíèõ iç ïðèïóùåííÿ iñíóâàííÿ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ. Êâàíòîâîìåõàíi÷íi ðåöåïòè ðîçðàõóíêó içè÷íèõ âåëè÷èí ñóïåðå÷àòü öèì íåðiâíîñòÿì, ùî âêàçó¹ íà âíóòðiøíþ íåñóïåðå÷ëèâiñòü êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Íà íàø ïîãëÿä, äèðàêöiÿ åëåêòðîíiâ íà êðèñòàëàõ ¹ ïðÿìèì åêñïåðèìåíòàëüíèì äîêàçîì âiäñóòíîñòi ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ. ßêùî ïðèñòðié çi ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ âèçíà÷à¹, ó ÿêó òî÷êó íà åêðàíi ïîòðàïèòü ÷àñòèíêà â íàøîìó äèðàêöiéíîìó äîñëiäi, òî çâiäêè âií çíà¹, ÷è çàêðèëè ìè îäèí ç îòâîðiâ, ÷è íi? Õî÷à âiäïîâiäü íà çàïèòàííÿ ìîæíà øóêàòè â ïåðøié âåðñi¨ òåîði¨ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ, ÿêó ïîäàâ ñàì Ëó¨ äå Áðîéëü ó 1925 ðîöi ââåäåííÿì ïîíÿòòÿ õâèëi-ïiëîòà, ùî çâ'ÿçàíà iç ÷àñòèíêîþ i âiäïîâiäà¹ çà ¨¨ ðóõ. Ïiçíiøå öþ iäåþ ðîçâèíóâ Ä. Áîì (1917 1992). Çà òàêîþ iíòåðïðåòàöi¹þ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, âèìiðþâàííÿ êîîðäèíàò ÷àñòèíêè ñïîòâîðþ¹ õâèëþ-ïiëîòà â ¨¨ îòî÷åííi i òèì ñàìèì çíèùó¹ iíîðìàöiþ ïðî ÷àñòèíêó. Îñîáëèâiñòþ öi¹¨ òåîði¨ ¹ ¨¨ íåëîêàëüíiñòü âèìiðþâàííÿ ñïîòâîðþ¹ õâèëþ, ÿêà ç îçíà÷åííÿ ¹ íåëîêàëüíîþ, õî÷à ÷àñòèíêà ìîæå áóòè òî÷íî çëîêàëiçîâàíà. Ñëàáêiñòþ òàêîãî ïiäõîäó ¹ òå, ùî ïðèðîäà é ìåõàíiçì çâ'ÿçêó ÷àñòèíêè ç ¨¨ õâèëåþ-ïiëîòîì çàëèøàþòüñÿ çàãàäêîâèìè. À êðiì òîãî, ÷àñòèíêà àêòè÷íî ¹ íåñïîñòåðåæíîþ, îñêiëüêè åêñïåðèìåí2 Íà öå ùå â 1935 ð. çâåðíóëà óâàãó ðåòå åðìàí, ùî, îäíàê, íå áðàëîñÿ äî óâàãè àæ äî 1966 ð., êîëè éîãî äåòàëüíî äîñëiäèâ iðëàíäñüêèé içèê Äæîí Áåëë. Çà éîãî ñëîâàìè, öå äîâåäåííÿ ¹ ñìiøíîþ ïîìèëêîþ îí Íåéìàíà.

39

òàòîð íå ìà¹ äî íå¨ ïðÿìîãî äîñòóïó, çàâæäè íàøòîâõóþ÷èñü íà õâèëþ-ïiëîòà. Òåîðiÿ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ öå ùå îäíà ñïðîáà íàøîãî ìèñëåííÿ çáàãíóòè ÿâèùà ìiêðîñâiòó ÷åðåç çâè÷íi íàì ïîíÿòòÿ ìàêðîñêîïi÷íîãî ðiâíÿ ç éîãî êëàñè÷íèì ëàïëàñiâñüêèì äåòåðìiíiçìîì (äèâ. Âiäñòóï 1 íàïðèêiíöi ïàðàãðàà)3 . Ïîñòàâèìî ñîái ïèòàííÿ, ÿêi íå ïðèéíÿòî ñòàâèòè: à ÷îìó ñàìå ìè ñïîñòåðiãà¹ìî òàêi ïîäi¨, à íå iíøi? ×îìó ñàìå òàêèé ðåöåïò äîñëiäæåííÿ öèõ ïîäié ¹ â íàøèõ ðóêàõ, à íå iíøèé? Âiäïîâiäü íà öi ïèòàííÿ ìîæíà øóêàòè i â òàê çâàíîìó àíòðîïíîìó ïðèíöèïi, ñóòü ÿêîãî ìîæíà ñîðìóëþâàòè òàê: ìè ¹ ñâiäêàìè öèõ ïîäié òîìó, ùî iíøi ïîäi¨ âiäáóâàþòüñÿ áåç ñâiäêiâ. Ñïðîáó¹ìî ïîÿñíèòè. Ïðèðîäà çàïðîïîíóâàëà êîðèñòóâàòèñü àìïëiòóäîþ éìîâiðíîñòi ç òèì, ùîá ïiäñèëþâàòè ååêòè ïîîäèíîêèõ àòîìíèõ ïîäié çà äîïîìîãîþ iíòåðåðåíöiéíîãî ååêòó äî ðiâíÿ, äîñòóïíîãî ñïîñòåðåæåííþ âåëèêèìè ìàêðîñêîïi÷íèìè ñèñòåìàìè. Ïiä ñïîñòåðåæåííÿì ìè ðîçóìi¹ìî òîé íåîáõiäíèé çâ'ÿçîê ìiæ ìiêðîñâiòîì òà ìàêðîñâiòîì, ùî çàáåçïå÷ó¹ æèòò¹äiÿëüíiñòü âåëèêèõ ñèñòåì, çîêðåìà é íàñ ç âàìè. Ìîæëèâî, â iíøèõ Ñâiòàõ öüîãî çâ'ÿçêó íåìà¹, à òîìó íåìà¹ i òàêèõ ñïîñòåðiãà÷iâ, ÿê ìè ç âàìè. Ïiäêðåñëèìî, ùî öåé iíòåðåðåíöiéíèé ñïîñiá ïiäñèëåííÿ ¹ íàéïðîñòiøèì i íàéåêîíîìíiøèì. Ïiäñèëåííÿ ïðè iíòåðåðåíöi¨ âiäáóâà¹òüñÿ áåç äîäàòêîâèõ âèòðàò, ëèøå âíàñëiäîê ïåðåðîçïîäiëó, íàïðèêëàä, åíåð i¨, êîëè ç óñüîãî ñïåêòðà ¨¨ ìîæëèâèõ çíà÷åíü åíåð iÿ êîíöåíòðó¹òüñÿ â ïåâíié âóçüêié äiëÿíöi ç âèðàçíî çáiëüøåíîþ ñïåêòðàëüíîþ ãóñòèíîþ, ÿêà ïåðåâèùó¹ ïîðiã ÷óòëèâîñòi ñïîñòåðiãà÷à (äèâ. ðèñ. 5). Òå æ ñàìå âiäáóâà¹òüñÿ ïðè iíòåðåðåíöi¨ õâèëü äå Áðîéëÿ. Ïðèðîäà é òóò ïiøëà íàéïðîñòiøèì øëÿõîì. Öiêàâî, ùî öþ àðèìåòèêó, ÿêó Ïðèðîäà âèáðàëà äëÿ ïiäðàõóíêó éìîâiðíîñòi â ìiêðîñâiòi, âîíà âèêîðèñòîâó¹ é â ìàêðîñâiòi äëÿ îá÷èñëåíü äîâæèí ñóìè âåêòîðíèõ âåëè÷èí. Ìè äàâíî, ùå çi øêiëüíèõ ÷àñiâ, çíà¹ìî ïàðàëåëîãðàì ñèë i ÷îìóñü ìåíøå äèâó¹ìîñü. Ñïðàâäi, âèðàç äëÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî çàêîíó äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê òåîðåìîþ êîñèíóñiâ. ßêùî ìè ìà¹ìî äâà âåêòîðè a 3

Òóò íàïðîøóþòüñÿ ñëîâà: Òè, ðîçóìå-áèñòðîóìå, Ïîðâè ïóòà âiêîâi¨, Ùî ñêóâàëè äóìêó ëþäñüêó! (Iâàí Ôðàíêî, 1880 ð.)

40

òà b, òî ¨õ ñóìîþ ¹ âåêòîð c = a + b, êâàäðàò äîâæèíè ÿêîãî

c |c|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos(ab).

×è öå íå íàãàäó¹ êâàíòîâîìåõàíi÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé? ßêùî öi âåêòîðè ¹ ïàðàëåëüíèìè, òîáòî çíàõîäÿòüñÿ ó àçi (äëÿ ïðîñòîòè íåõàé âåêòîðè ìàþòü îäíàêîâó äîâæèíó |a| = |b|), òî êâàäðàò äîâæèíè |c|2 = 4|a|2 . ßêùî âîíè ó ïðîòèàçi (àíòèïàðàëåëüíi), òî êâàäðàò äîâæèíè |c|2 = 0. Òîáòî ìè ìà¹ìî òóò òàêîæ ïåâíèé ïåðåðîçïîäië çàëåæíî âiä êóòà ìiæ a òà b. ßêùî öåé êóò ¹ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ, òî óñåðåäíåííÿ çà íèì äà¹ |c|2 = |a|2 +|b|2 é iíòåðåðåíöiÿ çíèêà¹. Àíàëîãiÿ âèðàçó äëÿ |c|2 ç âèðàçîì äëÿ |ψ|2 ç äîñëiäó 3 ¹, áåç ñóìíiâó, ïîâíîþ. Òîìó ÷àñòî àìïëiòóäó éìîâiðíîñòi ψ íàçèâàþòü âåêòîðîì ñòàíó.

èñ. 5.

E0 ïîðiã E2 (ω) îäíàêîâi.

Ååêò ïiäñèëåííÿ ïðè iíòåðåðåíöi¨.

ñïîñòåðiãà÷à; ïëîùi ïiä êðèâèìè

E1 (ω)

òà

÷óòëèâîñòi

Îòæå, ñàìå öåé ñïîñiá äëÿ ïiäðàõóíêó éìîâiðíîñòåé ÿâèù ìiêðîñâiòó âèáðàëà Ïðèðîäà. Âèêîðèñòîâóþ÷è íåâåëèêèé àðñåíàë ìîæëèâîñòåé, âîíà áëèñêó÷å ðîçâ'ÿçó¹ ïèòàííÿ áóõãàëòåði¨ ìiêðîñâiòó. Ïðè÷îìó ¨¨ íå òóðáó¹ òå, ùî íàì íå âèñòà÷à¹ óÿâè äëÿ ðîçóìiííÿ iíòåðåðåíöi¨ åëåêòðîíà, íà øëÿõó ÿêîãî ¹ äâi ùiëèíè. Çâåðíiìî óâàãó íà òå, ùî íàø óÿâíèé åêñïåðèìåíò äåìîíñòðó¹ õâèëüîâi âëàñòèâîñòi ÷àñòèíîê íà ìiêðîñêîïi÷íèõ îá'¹êòàõ. Äèðàêöiÿ åëåêòðîíiâ íà ìàêðîñêîïi÷íèõ ùiëèíàõ, à íå íà êðèñòàëi÷íié ðàòöi ç ¨¨ àòîìíèìè ìàñøòàáàìè äîâæèí âèìàãà¹ ñïåöiàëüíî¨ äåìîíñòðàöi¨. Íåçâè÷íî é öiêàâî ñïîñòåðiãàòè ïðîÿâ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ çàêîíîìiðíîñòåé íàî÷íî. Òàêi åêñïåðèìåíòè áóëè ïðîâåäåíi â 60-õ ðîêàõ XX ñò. Âîíè ïiäòâåðäèëè ðåçóëüòàòè ðîçðàõóíêiâ, âèêîíàíèõ íà îñíîâi ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà: ÿê i äëÿ 41

ñâiòëà, íàÿâíà äèðàêöiÿ Ôðàóíãîåðà íà äâîõ ùiëèíàõ. Ìiæ iíøèì, öi ðîçðàõóíêè âïåðøå âèêîíàâ ùå â 30-õ ðîêàõ XX ñò. Âîéöåõ óáiíîâè÷, ÿêèé ïðàöþâàâ ó Ëüâîâi. Îáãîâîðþþ÷è äèâíó äëÿ íàñ êâàíòîâó ïîâåäiíêó ÷àñòèíîê ìiêðîñâiòó, ìè âåñü ÷àñ ïiäñâiäîìî òðèìà¹ìî â ãîëîâi ïèòàííÿ: à äå ïðîõîäèòü ìåæà ìiæ ìiêðî÷àñòèíêàìè ç ¨õ õâèëüîâèìè âëàñòèâîñòÿìè òà ìàêðîòiëàìè ç ¨õ, çâè÷íîþ íàì, ïîâåäiíêîþ. Ç âèðàçó äëÿ äîâæèíè õâèëi äå Áðîéëÿ λ = 2π~/p âèïëèâà¹, ùî êîðïóñêóëÿðíi âëàñòèâîñòi äîìiíóþòü ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ iìïóëüñó p, òîáòî ó ìàêðîòië âàæêî âèÿâèòè õâèëüîâi âëàñòèâîñòi. Ïiçíiøå ìè äåòàëüíî âèâ÷èìî óìîâè, çà ÿêèõ êâàíòîâi ðiâíÿííÿ ðóõó ïåðåõîäÿòü ó êëàñè÷íi. À òóò çàóâàæèìî, ùî îñòàííi äèðàêöiéíi åêñïåðèìåíòè ïiäòâåðäèëè õâèëüîâó ïðèðîäó òàêèõ âåëèêèõ îá'¹êòiâ ÿê áiîìîëåêóëà C44 H30 N4 (òåòðàåíiëïîðèðií ç âàãîþ 614 à.î.ì.), ÿêà ¹ ÷àñòèíîþ áàãàòüîõ ñêëàäíèõ áiîìîëåêóë i îáñëóãîâó¹ öåíòðè çàáàðâëåííÿ â õëîðîiëi òà ãåìîãëîáiíi. Ó ìîëåêóëè óëåðåíó C60 A òàêîæ ç àòîìíîþ âàãîþ 720 à.î.ì. i ëiíiéíèìè ðîçìiðàìè ∼ 10 âèÿâëåíî êîðïóñêóëÿðíî-õâèëüîâèé äóàëiçì ç äîâæèíîþ õâèëi äå Áðîéëÿ λ ≃ 2.5 · 10−2 A. Àëå ðåêîðäîì íà ñüîãîäíi ¹ âñòàíîâëåííÿ äåáðîéëiâñüêî¨ iíòåðåðåíöi¨ ëóîðîóëåðåíó C60 F48 ç àòîìíîþ âàãîþ 1632 à.î.ì. 4 Âèäà¹òüñÿ, ùî âæå â íåäàëåêîìó ìàéáóòíüîìó ìîæíà î÷iêóâàòè åêñïåðèìåíòàëüíîãî âèÿâëåííÿ õâèëüîâèõ âëàñòèâîñòåé òàêîãî óòâîðåííÿ ÿê âiðóñ. . . Âiäñòóï 1. Äåòåðìiíiçì Ëàïëàñà.

Ëàïëàñiâñüêèé äåòåðìiíiçì íàñïðàâäi íå ðåàëiçó¹òüñÿ, îñêiëüêè âií âïèðà¹òüñÿ â òàêå ïîíÿòòÿ, ÿê áåçìåæíiñòü: ïðåòåíçiÿ íà ñòîâiäñîòêîâå ïåðåäáà÷åííÿ âèìàãà¹, ùîá ïî÷àòêîâi óìîâè áóëè çàäàíi ç áåçìåæíîþ òî÷íiñòþ. îçãëÿíüìî ïðîñòå ðåêóðåíòíå ðiâíÿííÿ

xn+1 = 2xn , ÿêå îïèñó¹ äåòåðìiíîâàíó ïîâåäiíêó äåÿêî¨ êëàñè÷íî¨ ñèñòåìè. îçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ

xN = 2N x0 , x0 ïî÷àòêîâå çíà÷åííÿ, N êiëüêiñòü êðîêiâ. ßêùî çàäàòè x0 ç òî÷íiñòþ äî òèñÿ÷íî¨ äîëi: x0 = 1.001 çàìiñòü 1, òî âæå ÷åðåç 4 L. Ha kerm uller, S. Uttenthaler, K. Hornberger, E. Reiger, B. Brezger, A. Zeilinger, M. Arndt, Phys. Rev. Lett. 91, 090408 (2003).

42

N = 10 êðîêiâ ìè äiñòàíåìî íå xN = 1024, à xN ≃ 1025. À ÿêùî N ¹ çíà÷íî áiëüøèì, òî íàøå ïåðåäáà÷åííÿ ÷åðåç òå, ùî ïî÷àòêîâà óìîâà çàäà¹òüñÿ ç ïåâíîþ òî÷íiñòþ, äà¹ çîâñiì íåòî÷íó iíîðìàöiþ. Êðiì òîãî, ñëiä ïàì'ÿòàòè, ùî ïî÷àòêîâèõ óìîâ äëÿ ïåðåäáà÷åííÿ ïîâåäiíêè Âñåñâiòó ïðàêòè÷íî ¹ áåçëi÷ i ¨õ íåîáõiäíî çíàòè â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó. Öåé ïðîñòèé ïðèêëàä iëþñòðó¹ iëþçîðíiñòü êëàñè÷íîãî ëàïëàñiâñüêîãî äåòåðìiíiçìó. Âiäñòóï 2.

Ùîäî iíòåðåðåíöi¨, òî ¨¨ ìîæíà íå òiëüêè ñïîñòåðiãàòè âiçóàëüíî íà ïîâåðõíi âîäè, ïðî ùî ìîâà éøëà â äîñëiäi 2, àëå é ÷óòè ïðè äçâîíi êðèøòàëåâèõ êåëèõiâ. Êåëèõ íå ëèøå äçâåíèòü, âií òàêîæ ñïiâà¹ (ÿâèùå áèòòÿ) öå ¹ íå ùî iíøå, ÿê ÿâèùå iíòåðåðåíöi¨. Ïðÿìèé ñòîñóíîê äî ïèòàíü, ÿêi ìè îáãîâîðþ¹ìî òóò, ìà¹ òàêîæ çàäà÷à ïðî òðà¹êòîðiþ áëóêàíü ï'ÿíè÷êè. ßêùî ï'ÿíè÷êà ìà¹ êðîê ai (íåõàé çà äîâæèíîþ âñi êðîêè îäíàêîâi), òî çà íàïðÿìêîì âîíè ¹ öiëêîì âèïàäêîâèìè, îòæå, ñåðåäí¹ hai i = 0. Ñåðåäíÿ êâàäðàòè÷íà âiäñòàíü äëÿ N êðîêiâ äîðiâíþ¹  2 N N N X X X hai aj i. L2 = h aj  i = j=1

i=1 j=1

Óíàñëiäîê òîãî, ùî êðîêè çîâñiì íå ñêîðåëüîâàíi (öåíòðàëüíà íåðâîâà ñèñòåìà çàéíÿòà âíóòðiøíiìè ïðîáëåìàìè), òî hai aj i = hai ihaj i = 0, äëÿ i 6= j , à äëÿ i = j : hai aj i = ha2i i = a2 . Îòæå, iíòåðåðåíöiÿ òàêîæ çíèêà¹. Òàêèì ÷èíîì, ëiíiéíà âiäñòàíü L = N 1/2 a. Î÷åâèäíî, ùî äëÿ òâåðåçî¨ ëþäèíè, êîëè âñi ai çíàõîäÿòüñÿ ó àç, L = N a. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæíà ïîêëàñòè L = N δ a, äå δ ïîêàçíèê òâåðåçîñòi, ïðè÷îìó î÷åâèäíî 1/2 ≤ δ ≤ 1. Öåé ìåòîä âèçíà÷åííÿ ñòóïåíÿ ñï'ÿíiííÿ çà âèìiðþâàííÿì ïîêàçíèêà δ ìîæíà çàïðîïîíóâàòè àâòîiíñïåêöi¨. Òàêèì æå âèðàçîì âèçíà÷à¹òüñÿ ëiíiéíèé ðîçìið ãëîáóëÿðíèõ áiëêîâèõ ìîëåêóë L = N δ a, äå L âiäñòàíü ìiæ êiíöÿìè ìîëåêóëÿðíîãî ëàíöþãà, ùî çãîðòà¹òüñÿ â ãëîáóëó, a äîâæèíà îäíi¹¨ ëàíêè, N êiëüêiñòü ëàíîê. À âçàãàëi, òàêîãî òèïó ïðîáëåìè ¹ ïðåäìåòîì äîñëiäæåííÿ òåîði¨ òàê çâàíèõ ðàêòàëüíèõ ñòðóêòóð.

43

2. Õâèëüîâà óíêöiÿ

Ïåðåéäiìî äî óçàãàëüíåííÿ åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ, ÿêi îáãîâîðåíî â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài. Öåíòðàëüíó ðîëü, ÿê ìè áà÷èëè, âiäiãðà¹ ïîíÿòòÿ àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi, àáî õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Êîíöåïöiÿ õâèëüîâèõ óíêöié ¹ óíäàìåíòàëüíîþ êîíöåïöi¹þ. Âîíà ïîÿñíþ¹ åêñïåðèìåíò íåçàëåæíî âiä íàøèõ iëîñîñüêèõ òóðáîò ùîäî íåçäàòíîñòi ëþäèíè êàðòèííî óÿâèòè ïîäi¨ â ìiêðîñâiòi. Ñïèðàþ÷èñü íà ðåçóëüòàòè äîñëiäiâ, ñîðìóëþ¹ìî ïåðøèé i îñíîâíèé ïîñòóëàò êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Ïîñòóëàò.

êöi¹þ ψ .

Ñòàí ó êâàíòîâié ìåõàíiöi çàäà¹òüñÿ õâèëüîâîþ óí-

ßê óæå çàçíà÷àëîñü, õâèëüîâà óíêöiÿ, âçàãàëi êàæó÷è, êîìïëåêñíà âåëè÷èíà, ¹ íåïåðåðâíîþ é îäíîçíà÷íîþ óíêöi¹þ êîîðäèíàò òà ÷àñó. Íàãàäà¹ìî, ùî ÷àñ âiäiãðà¹ â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ ðîëü ïàðàìåòðà. Â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó õâèëüîâà óíêöiÿ ψ çàëåæèòü âiä ïðîñòîðîâî¨ çìiííî¨ x òà ÷àñó t. Âåëè÷èíà |ψ(x, t)|2 dx äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi çíàõîäæåííÿ ÷àñòèíêè â îêîëi òî÷êè x ó ìîìåíò ÷àñó t (Ì. Áîðí, 1926 ð.). ßêùî ïðîiíòå ðóâàòè öþ âåëè÷èíó çà âñiìà ìîæëèâèìè çíà÷åííÿìè x, ìè îòðèìà¹ìî îäèíèöþ, òîáòî ÷àñòèíêà äåñü çíàõîäèòüñÿ â ïðîñòîði: Z |ψ(x, t)|2 dx = 1. Öÿ ðiâíiñòü ìà¹ íàçâó óìîâè íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. ßêùî iíòå ðàë íå iñíó¹, òî |ψ(x, t)|2 íå ìà¹ çìiñòó ãóñòèíè éìîâiðíîñòi. Îäíàê âåëè÷èíà |ψ(x1 , t)|2 /|ψ(x2 , t)|2 ìà¹ çìiñò âiäíîñíî¨ éìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â òî÷êàõ x1 òà x2 . iâíîçíà÷íèì òåðìiíîâi õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ òåðìií àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi, àáî ïðîñòî àìïëiòóäà ñòàíó, ùî âiäáèâà¹ içè÷íèé çìiñò âåëè÷èíè ψ . Ç óâàãè íà òå, ùî çàêîí äîäàâàííÿ àìïëiòóä çáiãà¹òüñÿ iç çàêîíîì äîäàâàííÿ âåêòîðiâ, âåëè÷èíó ψ íàçèâàþòü òàêîæ âåêòîðîì ñòàíó. ßêùî ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ ó òðèâèìiðíîìó ïðîñòîði, òî õâèëüîâà óíêöiÿ â äåêàðòîâèõ êîîðäèíàòàõ çàëåæèòü âiä x, y, z , 44

à âåëè÷èíà |ψ(x, y, z; t)|2 ¹ ãóñòèíîþ éìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â îêîëi òî÷êè (x, y, z). Óìîâà íîðìóâàííÿ ìà¹ âèãëÿä: ZZZ |ψ(x, y, z; t)|2 dx dy dz = 1, V

äå iíòå ðóâàííÿ âiäáóâà¹òüñÿ ïî âñüîìó îá'¹ìó V , ó ÿêîìó ðóõà¹òüñÿ ÷àñòèíêà. Ìè òàêîæ áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ñêîðî÷åíi ïîçíà÷åííÿ:

ψ(r, t) = ψ(x, y, z; t), äå ðàäióñ-âåêòîð r = (x, y, z); óìîâó íîðìóâàííÿ â öèõ ïîçíà÷åííÿõ çàïèøåìî òàê: Z |ψ(r, t)|2 dr = 1,

Z

dr =

ZZZ

dx dy dz.

V

Çàìiñòü äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè áóäüÿêi iíøi, ùî îäíîçíà÷íî çàäàþòü ïîëîæåííÿ ÷àñòèíêè. îçãëÿíåìî, íàïðèêëàä, ñåðè÷íi êîîðäèíàòè. ßêùî ó õâèëüîâié óíêöi¨ ψ(x, y, z; t) çàìiíèòè äåêàðòîâi êîîðäèíàòè (x, y, z) íà ñåðè÷íi (r, θ, ϕ), çãiäíî ç âiäîìèìè îðìóëàìè ïåðåõîäó

x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ, äå r äîâæèíà ðàäióñ-âåêòîðà, ùî âèçíà÷à¹ ïîëîæåííÿ ÷àñòèíêè, θ øèðîòíèé àáî ïîëÿðíèé êóò, ϕ àçèìóòàëüíèé êóò, òî îòðèìó¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ ψ(r, θ, ϕ; t) (çàëèøà¹ìî äëÿ íå¨ òå æ ïîçíà÷åííÿ), êâàäðàò ìîäóëÿ ÿêî¨ ðàçîì ç ÿêîáiàíîì ïåðåõîäó r 2 sin θ äî ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi

|ψ(r, θ, ϕ)|2 r 2 sin θ dr dθ dϕ 45

ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â îêîëi òî÷êè (r, θ, ϕ). Óìîâà íîðìóâàííÿ: Z Z Z dr dθ dϕ r 2 sin θ|ψ(r, θ, ϕ)|2 = 1,

òîáòî õâèëüîâó óíêöiþ íîðìó¹ìî ç âàãîþ. Îòæå, õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, êâàäðàò ìîäóëÿ ÿêî¨ äîðiâíþ¹ √ âiäïîâiäíié ãóñòèíi éìîâiðíîñòi, ¹ íå ψ(r, θ, ϕ; t), à ψ(r, θ, ϕ; t) r 2 sin θ. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó áóäåìî ââàæàòè, ùî õâèëüîâà óíêöiÿ çàëåæèòü âiä óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò q1 , q2 , . . . , qs , äå s ÷èñëî ñòóïåíiâ âiëüíîñòi, i ââåäåìî ñêîðî÷åíi ïîçíà÷åííÿ:

q ≡ (q1 , q2 , . . . , qs ), Z Z Z Z dq ≡ dq1 dq2 . . . dqs × (ÿêîáiàí), ψ(q, t) ≡ ψ(q1 , q2 , . . . , qs ; t). Ïiñëÿ çàìiíè äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò íà óçàãàëüíåíi õâèëüîâà óíêöiÿ íîðìó¹òüñÿ ç ÿêîáiàíîì ïåðåõîäó. Íàäàëi, îäíàê, ìè áóäåìî ðîçóìiòè ïiä |ψ(q, t)|2 dq âiäïîâiäíó éìîâiðíiñòü, òîáòî êâàäðàò ìîäóëÿ âèõiäíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨, ïîìíîæåíèé íà ÿêîáiàí ïåðåõîäó. Îòæå, ÿêùî ïåðåõiä âiä äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò äî iíøèõ iäå ç ÿêîáiàíîì ïåðåõîäó, òî ñïðàâæíüîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ(q, t) ¹ âèõiäíà óíêöiÿ iç çàìiíîþ äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò r íà óçàãàëüíåíi q , ïîìíîæåíà íà êîðiíü êâàäðàòíèé ç ÿêîáiàíà ïåðåõîäó. Ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåííÿ âèãëÿäó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè. Çàðàäè ïðîñòîòè ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó îäíîâèìiðíèé âèïàäîê. Äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, òîáòî äëÿ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïðîñòîði áåç âïëèâó çîâíiøíiõ ñèëîâèõ ïîëiâ, óñi òî÷êè ïðîñòîðó ¹ ðiâíîéìîâiðíèìè:

|ψ|2 = const, à ñàìà õâèëüîâà óíêöiÿ

ψ = Ceiδ , C äiéñíà äîäàòíà âåëè÷èíà, δ àçà. Íåõàé ÷àñòèíêà ïåðåáóâà¹ â ñòàíi ñïîêîþ íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò iíåðöiàëüíî¨ ñèñòåìè âiäëiêó K , ÿê çîáðàæåíî íà ðèñ. 6. 46

èñ. 6.

Ñòàí ÷àñòèíêè â ðiçíèõ iíåðöiàëüíèõ ñèñòåìàõ âiäëiêó.

Çãiäíî ç ãiïîòåçîþ äå Áðîéëÿ, ç ÷àñòèíêîþ ïîâ'ÿçàíèé êîëèâíèé ïðîöåñ, ÷àñòîòà ÿêîãî âiäïîâiäà¹ îðìóëi Ïëàíêà:

ω = E0 /~,

E0 = mc2

åíåð iÿ ñïîêîþ ÷àñòèíêè. Öèì êîëèâàííÿì âiäïîâiäà¹ àçà

δ = δ0 − ωt,

δ0 äåÿêà ïî÷àòêîâà àçà, à çíàê ìiíóñ âèáðàíèé òóò ç ìiðêóâàíü çðó÷íîñòi. Îòæå, õâèëüîâà óíêöiÿ ψ = Ce−iωt+iδ0 . îçãëÿíåìî òåïåð iíøó iíåðöiàëüíó ñèñòåìó âiäëiêó K ′ , ùî ðóõà¹òüñÿ çi ñòàëîþ øâèäêiñòþ v óçäîâæ îñi x â íàïðÿìêó, ïðîòèëåæíîìó äî íàïðÿìêó öi¹¨ îñi (äèâ. ðèñ. 6). Ç ïîãëÿäó ñïîñòåðiãà÷à â ñèñòåìi K ′ , ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ óçäîâæ x′ çi øâèäêiñòþ v . Çíàéäåìî âèãëÿä õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ÷àñòèíêè â ñèñòåìi K ′ , âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåòâîðåííÿ Ëîðåíöà:

Òàêèì ÷èíîì, àçà

äå

t′ − x′ v/c2 t= p . 1 − v 2 /c2

δ = δ0 −

E p mc2 t = δ0 − t′ + x′ , ~ ~ ~ 47

E=p

mc2 , 1 − v 2 /c2

p= p

mv 1 − v 2 /c2

åíåð iÿ òà iìïóëüñ ÷àñòèíêè ó øòðèõîâàíié ñèñòåìi âiäëiêó. Ó öié ñèñòåìi âiäëiêó õâèëüîâà óíêöiÿ E ′ p ′ ′ ′ ψ = C exp −i t + i x , C ′ = C exp(iδ0 ). ~ ~

Óçàãàëüíþþ÷è öåé ðåçóëüòàò íà òðèâèìiðíèé âèïàäîê òà îïóñêàþ÷è øòðèõè, îòðèìà¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ E pr ψ = C exp −i t + i , ~ ~

ÿêà îïèñó¹ âiëüíó ÷àñòèíêó ç åíåð i¹þ E òà iìïóëüñîì p. Öå i ¹ õâèëÿ äå Áðîéëÿ. ¨ íàçèâàþòü ùå ïëîñêîþ õâèëåþ. Íàçâà ïîõîäèòü âiä òîãî, ùî ðiâíÿííÿ äëÿ ñòàëî¨ â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó àçè pr = const ¹ ðiâíÿííÿì ïëîùèíè. Ñòàëó âåëè÷èíó C çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ. Äî öüîãî ïèòàííÿ ìè ïîâåðíåìîñü ïiçíiøå. Ïðè âèâåäåííi öi¹¨ îðìóëè ìè àêòè÷íî âèêîðèñòàëè óìîâó iíâàðiàíòíîñòi ñêàëÿðíîãî äîáóòêó xµ pµ = Et − pr, äå xµ êîîðäèíàòè ïðîñòîðó Ìiíêîâñüêîãî, à pµ = (E/c, −p) 4-âåêòîð åíåð iïìïóëüñó ÷àñòèíêè. Ïèòàííÿ ïðî àçó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¹ öiêàâèì i òîíêèì. Äëÿ òîãî, ùîá ïðèâåðíóòè óâàãó äî íüîãî, íàâåäåìî äåêiëüêà ïðèêëàäiâ içè÷íèõ ÿâèù, ÿêi ÿñêðàâî iëþñòðóþòü äiþ îñíîâíîãî ïîñòóëàòó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ñàìå ÷åðåç àçó õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Ïðèêëàä 1. Ååêò ÀàðîíîâàÁîìà (1956 ð.) Ïîâåðíiìîñü äî åêñïåðèìåíòàëüíî¨ óñòàíîâêè ç äèðàêöi¨ åëåêòðîíiâ íà äâîõ ùiëèíàõ. Óâåäåìî â óñòàíîâêó áåçìåæíî òîíêèé ñîëåíî¨ä, ìàãíiòíi ñèëîâi ëiíi¨ ÿêîãî íàïðÿìëåíi ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ïëîùèíè ðèñóíêà (äèâ. ðèñ. 7). Ó ðåàëüíîìó åêñïåðèìåíòi ìè ìà¹ìî ñïðàâó ç óìîâîþ, ùî äiàìåòð ñîëåíî¨äà ¹ çíà÷íî ìåíøèì, íiæ âiäñòàíü ìiæ ùiëèíàìè. Òàêèì ÷èíîì, iìîâiðíiñòü ïåðåòèíó åëåêòðîíîì ñèëîâî¨ ëiíi¨ äóæå ìàëà. Îòæå, áåçïîñåðåäíÿ äiÿ íàïðóæåíîñòi ìàãíiòíîãî ïîëÿ H íà åëåêòðîí âiäñóòíÿ. îçãëÿíüìî, ÿê çìiíèòüñÿ àçà õâèëüîâî¨ óíêöi¨ åëåêòðîíà ïðè íàÿâíîñòi ïîëÿ. ßê âiäîìî ç êëàñè÷íî¨ åëåêòðîäèíàìiêè, âêëþ÷åííÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ âðàõîâó¹òüñÿ çàìiíîþ iìïóëüñó ÷àñòèíêè p íà p − eA/c, äå e çàðÿä ÷àñòèíêè, A

48

èñ. 7.

Çñóâ iíòåðåðåíöiéíî¨ êàðòèíêè â ååêòi ÀàðîíîâàÁîìà.

âåêòîðíèé ïîòåíöiàë ïîëÿ. Öå ïðèâåäå äî çìiíè àçè õâèëüîâî¨ óíêöi¨: Z pr e pr → − A dr; ~ ~ ~c òóò óçÿòî äî óâàãè, ùî A ¹ óíêöi¹þ êîîðäèíàò. Îòæå, ìè îòðèìà¹ìî äîäàòêîâó ðiçíèöþ àç     Z Z I e  e   e  ∆δ = − A dr − − A dr = A dr, ~c ~c ~c (1)

(2)

ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ iíòå ðàëîì çà çàìêíåíèì êîíòóðîì øëÿõiâ (1) òà (2) àáî çà òåîðåìîþ Ñòîêñà ZZ e e H dS = Φ, ∆δ = ~c ~c äå Φ ìàãíiòíèé ïîòiê ÷åðåç ïîâåðõíþ, ùî îõîïëåíà öèì êîíòóðîì, dS åëåìåíò öi¹¨ ïîâåðõíi. Îòæå, iíòåðåðåíöiéíà êàðòèíêà 4

I. Î. Âàêàð÷óê

49

çñóâà¹òüñÿ i

√ eΦ . w = w1 + w2 + 2 w1 w2 cos δ + ~c

Âèñíîâêè, ÿêi ìîæíà çðîáèòè: ïî-ïåðøå, àçà õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¹ âåëè÷èíîþ, ùî âèìiðþ¹òüñÿ, à ïî-äðóãå, âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî êâàíòîâà ìåõàíiêà âèâîäèòü âåêòîðíèé ïîòåíöiàë A ç ðîëi äîïîìiæíî¨ âåëè÷èíè â îäèí ðÿä çi ñïîñòåðåæóâàëüíèìè âåëè÷èíàìè íàïðóæåíîñòÿìè åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Ïðèêëàä 2. Êâàíòóâàííÿ ìàãíiòíîãî ïîòîêó(Ô. Ëîíäîí, 1952 ð.)

Çàõîïëåíèé íàäïðîâiäíèêîì ìàãíiòíèé ïîòiê (äèâ. ðèñ. 8) çìiíþ¹ àçó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ êóïåðiâñüêèõ åëåêòðîííèõ ïàð, ÿêi âiäïîâiäàþòü çà íàäïðîâiäíiñòü (äèâ. ïîïåðåäíié ïðèêëàä):

∆δ =

e∗ Φ , ~c

e∗ = 2e çàðÿä ïàðè. Îäíîçíà÷íiñòü õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ïðè ïîâíîìó îáõîäi ïî øòðèõîâàíîìó êîíòóðó âèìàãà¹, ùîá çìiíà àçè áóëà êðàòíîþ äî 2π : ∆δ = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . . Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî ìàãíiòíèé ïîòiê êâàíòó¹òüñÿ: Φ = Φ0 n/2,

n = 0, 1, 2, . . . ,

Φ0 = 2π~c/e åëåìåíòàðíèé êâàíò ìàãíiòíîãî ïîòîêó, ÿêèé áóâ åêñïåðèìåíòàëüíî âiäêðèòèé ó 1961 ðîöi. Ïðèêëàä 3. Ìîíîïîëü Äiðàêà. Ï. À. Ì. Äiðàê, ïðèïóñòèâøè iñíóâàííÿ åëåìåíòàðíîãî ìàãíiòíîãî çàðÿäó âåëè÷èíè µ, ïîêàçàâ, ùî âií êâàíòó¹òüñÿ. Ñïðàâäi, çà òåîðåìîþ Îñòðîãðàäñüêîãî àóññà, ïîòiê ZZ H dS = 4πµ.

Ç iíøîãî áîêó, ïðè ïîâíîìó îáõîäi íàâêîëî ëiíi¨ (ñòðóíè Äiðàêà), óçäîâæ ÿêî¨ ðîçòàøîâàíèé ñîëåíî¨ä, çìiíà àçè e ∆δ = 4πµ ~c 50

èñ. 8. Êâàíòóâàííÿ ìàãíiòíîãî ïîòîêó (H íàïðóæåíiñòü çîâíiøíüîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ).

õâèëüîâî¨ óíêöi¨ åëåêòðîíà ïîâèííà áóòè, âíàñëiäîê ¨¨ îäíîçíà÷íîñòi, êðàòíîþ äî 2π : e 4πµ = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . , ~c àáî

µ = µ0 n, äå êâàíò åëåìåíòàðíîãî ìàãíiòíîãî çàðÿäó (ìîíîïîëü)

µ0 = e/2α, α = e2 /~c ≃ 1/137 ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè. Åêñïåðèìåíòàëüíî ìîíîïîëÿ äî öüîãî ÷àñó íå âèÿâëåíî. Ïðèêëàä 4. Êâàíòóâàííÿ âèõðîâèõ ëiíié ó íàäïëèííîìó 4 He. Íàäïëèííèé ãåëié, ÿê i íàäïðîâiäíèê, ìîæíà, âíàñëiäîê ñèëüíî¨ ñêîðåëüîâàíîñòi àòîìiâ, îïèñóâàòè ìàêðîñêîïi÷íîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ. Íàäïëèííèé ãåëié-4 ¹ ïðèêëàäîì iäåàëüíî¨ ðiäèíè, äëÿ ÿêî¨ ìà¹ ñèëó òåîðåìà åëüìãîëüöà ïðî çáåðåæåííÿ âèõðîâîãî ðóõó ω = rot v/2, v øâèäêiñòü ðiäèíèR â òî÷öi r. Ç óìîâè îäíîçíà÷íîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¨¨ àçà m v dr/~, (m ìàñà àòîìà 4 He) ïðè îáõîäi ïî âèõðîâié ëiíi¨ ¹ êðàòíîþ äî 2π : Z m v dr = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . . ~ 4*

51

Îòæå, öèðêóëÿöiÿ øâèäêîñòi êâàíòó¹òüñÿ, à åëåìåíòàðíèé êâàíò: Z ZZ 2π~ v dr = 2 ω dS = , m

dS åëåìåíò ïîâåðõíi, ùî îõîïëåíà âèõðîâîþ ëiíi¹þ. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî äëÿ êðóãîâîãî ðóõó ìiíiìàëüíèé ðàäióñ âèõðîâîãî êiëüöÿ a = (~/mω)1/2 , ω âèõðîâà øâèäêiñòü.

Ïðèêëàä 5. Ååêò Äæîçåñîíà. (Á. Ä. Äæîçåñîí, 1962 ð.) Âiçüìåìî äâà êóñêè íàäïðîâiäíèêà i ç'¹äíà¹ìî ¨õ ÷åðåç òîíêèé øàð içîëÿòîðà, ñòâîðþþ÷è òóíåëüíèé áàð'¹ð (äèâ. ðèñ. 9).

èñ. 9.

Ååêò Äæîçåñîíà.

Ôàçè õâèëüîâèõ óíêöié ñïàðåíèõ åëåêòðîíiâ (êóïåðiâñüêèõ ïàð) δ1 òà δ2 óòâîðþþòüñÿ ðàçîì çi ñòâîðåííÿì íàäïðîâiäíèêiâ. Âèðiâíþâàííÿ àç óíàñëiäîê òóíåëüíîãî ååêòó âèêëèêà¹ òóíåëüíèé ñòðóì:

J = J0 sin δ,

δ = δ1 − δ2 .

ßêùî äî êîíòàêòó ïðèêëàñòè ðiçíèöþ ïîòåíöiàëiâ V , òî àçà õâèëüîâî¨ óíêöi¨ çìiíþ¹òüñÿ. Ó êëàñè÷íié åëåêòðîäèíàìiöi âêëþ÷åííÿ ïîëÿ çi ñêàëÿðíèì ïîòåíöiàëîì ϕ âðàõîâóþòü çàìiíîþ E → E − e∗ ϕ, i âiäïîâiäíî äî öüîãî àçà Z E E e∗ t→ t− ϕ dt, e∗ = 2e. ~ ~ ~

Äëÿ ñòàëî¨ ðiçíèöi ïîòåíöiàëiâ V = ϕ1 − ϕ2 íàáiãà¹ àçà (−e∗ V t/~), à òóíåëüíèé ñòðóì e∗ V J = J0 sin δ − t ~ 52

íåñòàöiîíàðíèé ååêò Äæîçåñîíà5 . Îòæå, áàð'¹ð ìîæå åíåðóâàòè âèïðîìiíþâàííÿ ç ÷àñòîòîþ ω = 2eV /~. Ïðåöèçiéíi âèìiðþâàííÿ ÷àñòîòè òà ðiçíèöi ïîòåíöiàëiâ äàëè çìîãó âèçíà÷èòè óíäàìåíòàëüíó êîíñòàíòó e/~ ç òî÷íiñòþ, ÿêà ïðèâåëà äî óçãîäæåííÿ òåîðåòè÷íèõ ðîçðàõóíêiâ é åêñïåðèìåíòàëüíèõ âèìiðþâàíü ëåìáiâñüêîãî çñóâó åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà âîäíþ ç òî÷íiñòþ äî îäèíàäöÿòè çíà÷óùèõ öèð. Ïðèêëàä 6. Òîòîæíi ÷àñòèíêè. Òîòîæíi ÷àñòèíêè çà îäíàêîâèõ óìîâ ó âñiõ âèïàäêàõ ïîâîäÿòüñÿ îäíàêîâî. Òîìó ïðè ïåðåñòàíîâöi öèõ ÷àñòèíîê ìiñöÿìè ìè íå ïîâèííi ïîìiòèòè ðiçíèöi:

|ψ(x1 , x2 )|2 = |ψ(x2 , x1 )|2 , x1 , x2 êîîðäèíàòè ÷àñòèíîê. Öÿ óìîâà çíà÷íî ñëàáøà, íiæ óìîâà îäíîçíà÷íîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Òóò ìè ìà¹ìî äåùî iíøó ñèòóàöiþ, íiæ ó ïîïåðåäíiõ ïðèêëàäàõ, êîëè ïðè îáõîäi ïî ïåâíîìó øëÿõó ìè ïîâåðòàëè ÷àñòèíêó ó âèõiäíó òî÷êó: òóò ìè ïåðåñòàâëÿ¹ìî ÷àñòèíêè. Îòæå, õâèëüîâà óíêöiÿ ç ïåðåñòàâëåíèìè ÷àñòèíêàìè ìîæå âiäðiçíÿòèñü âiä âèõiäíî¨ àçîâèì ìíîæíèêîì: ψ(x1 , x2 ) → ψ(x2 , x1 ) = eiδ ψ(x1 , x2 ). Ïîâòîðíà ïåðåñòàíîâêà ïîâåðòà¹ âñå íà ñâî¨ ìiñöÿ:

ψ(x2 , x1 ) → ψ(x1 , x2 ) = eiδ ψ(x2 , x1 ) = e2iδ ψ(x1 , x2 ). Ç îäíîçíà÷íîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ çíàõîäèìî, ùî 2δ = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . àáî δ = πn. Òàêèì ÷èíîì, àçîâèé ìíîæíèê äîðiâíþ¹ (+1) äëÿ ïàðíèõ n i (−1) äëÿ íåïàðíèõ n:

ψ(x2 , x1 ) = ±ψ(x1 , x2 ). Ñèìåòðè÷íà õâèëüîâà óíêöiÿ îïèñó¹ áîçå-÷àñòèíêè (áîçîíè), à àíòèñèìåòðè÷íà åðìi-÷àñòèíêè (åðìiîíè). Öåé íåâèííèé çíàê ±, ùî íå çìiíþ¹ êâàäðàòà ìîäóëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨, òÿãíå çà ñîáîþ ãëèáîêi íàñëiäêè: âëàñòèâîñòi áîçîíiâ i åðìiîíiâ ðàäèêàëüíî âiäðiçíÿþòüñÿ. ßñêðàâèì ïðèêëàäîì öüîãî ¹ ðiäêèé 4 He, ÿêèé ñêëàäà¹òüñÿ ç áîçå-÷àñòèíîê, òà ðiäêèé 3 He, àòîìè ÿêîãî ¹ 5 Á. Ä. Äæîçåñîí çðîáèâ ñâî¹ âiäêðèòòÿ ÿê ñòóäåíò-äèïëîìíèê ó Êåìáðiäæi (Íîáåëiâñüêà ïðåìiÿ 1973 ð. ñïiëüíî ç Ë. Åñàêi òà I. Æèâåðîì çà äîñëiäæåííÿ òóíåëüíèõ ååêòiâ ó òâåðäèõ òiëàõ).

53

åðìi-÷àñòèíêàìè. ×åðãîâèé ðàç ïåðåêîíó¹ìîñü, ùî óíäàìåíòàëüíîþ âåëè÷èíîþ ¹ õâèëüîâà óíêöiÿ, à íå êâàäðàò ¨¨ ìîäóëÿ. Íà çàâåðøåííÿ öüîãî ïàðàãðàà îáãîâîðèìî ïèòàííÿ ïðî çíèêíåííÿ iíòåðåðåíöiéíî¨ êàðòèíè äëÿ åëåêòðîíiâ, ÿêùî çà íèìè ñïîñòåðiãàòè àáî, iíàêøå êàæó÷è, âèçíà÷àòè, ÷åðåç ÿêó ùiëèíó ïðîõîäèòü åëåêòðîí. Ïðè âèìiðþâàííi ïîëîæåííÿ åëåêòðîíà, ñêàæiìî, çà äîïîìîãîþ îòîíiâ áiëÿ ùiëèíè 1 ó äîñëiäi 3 ïî÷àòêîâà àçà çáèâà¹òüñÿ i âèíèêà¹ âèïàäêîâà àçà θ , ÿêà çàëåæèòü âiä êîíêðåòíîãî àêòó âçà¹ìîäi¨ åëåêòðîíà ç îòîíîì (íàâiòü iç ìiêðîõâèëüîâèì îòîíîì, ùî ìà¹ íåçíà÷íèé çà àòîìíèìè ìàñøòàáàìè iìïóëüñ):

ψ1 → eiθ ψ1 .

Ó ðåçóëüòàòi iíòåðåðåíöiéíèé äîäàíîê ó êâàíòîâîìåõàíi÷íîìó çàêîíi äîäàâàííÿ éìîâiðíîñòåé ñàìîóñåðåäíþ¹òüñÿ çà öi¹þ âèïàäêîâîþ àçîþ: Z 2π 1 cos(δ + θ) dθ = 0. 2π 0 Îòæå, iíòåðåðåíöiÿ çíèêà¹ âíàñëiäîê áàãàòîêðàòíîãî íàêëàäàííÿ àìïëiòóä iç âèïàäêîâèìè àçàìè, çíèêà¹ i áóäü-ÿêà ìiñòèêà ùîäî âïëèâó ñïîñòåðåæåíü íà ïîâåäiíêó åëåêòðîíiâ. 3. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨

Çàêîí äîäàâàííÿ àìïëiòóä iìîâiðíîñòåé ¹ ÷àñòêîâèì âèïàäêîì çàãàëüíîãî êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨: ßêùî êâàíòîâèé îá'¹êò ìîæå ïåðåáóâàòè ó ñòàíàõ ç õâèëüîâèìè óíêöiÿìè ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . ., òî âií ìîæå ïåðåáóâàòè i â ñòàíi ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ

ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 + . . . + Cn ψn + . . . , C1 , C2 , . . . êîìïëåêñíi ÷èñëà. Öå îñíîâíèé ïðèíöèï êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Çðîáèìî äî íüîãî äåêiëüêà çàóâàæåíü ó âèãëÿäi òâåðäæåíü. 1◦ . Êiëüêiñòü ÷ëåíiâ ó âèðàçi äëÿ ψ ìîæå áóòè ÿê ñêií÷åííîþ, òàê i íåîáìåæåíîþ. 54

2◦ . ßêùî iíäåêñè, ùî íóìåðóþòü ñòàíè, âiäðiçíÿþòüñÿ îäèí âiä îäíîãî áåçìåæíî ìàëî, òî çàìiñòü ñóìè áóäåìî ìàòè iíòå ðàë: Z ψ = Cf ψf df. 3◦ . ßêùî óíêöi¨ ψ1 , ψ2 , . . . çàäîâîëüíÿþòü äåÿêi ðiâíÿííÿ, òî i ψ çàäîâîëüíÿ¹ öi ðiâíÿííÿ. Çâiäñè âèïëèâà¹ âàæëèâèé íàñëiäîê ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨: âñi ðiâíÿííÿ, ÿêèì çàäîâîëüíÿþòü õâèëüîâi óíêöi¨ ó êâàíòîâié ìåõàíiöi, ¹ ëiíiéíèìè ðiâíÿííÿìè. 4◦ . Êîåiöi¹íòè C1 , C2 , . . . äàþòü âàãó ñòàíiâ ψ1 , ψ2 , . . . â ïîâíîìó ñòàíi ψ , òîáòî âèçíà÷àþòü ìiðó ¨õ ó÷àñòi ó îðìóâàííi ψ . Äëÿ îðòîíîðìîâàíèõ óíêöié ψ1 , ψ2 , . . . âåëè÷èíà |Cn |2 äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi ðåàëiçàöi¨ ñòàíó ψn , ïðè÷îìó ïîâíà éìîâiðíiñòü X |Cn |2 = 1. n≥1

5◦ . ßêùî õâèëüîâó óíêöiþ äîìíîæèòè íà äîâiëüíå êîìïëåêñíå ÷èñëî, ÿêå íå äîðiâíþ¹ íóëåâi, òî íîâà õâèëüîâà óíêöiÿ áóäå îïèñóâàòè òîé ñàìèé ñòàí. Òàêèì ÷èíîì, ñóòü êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî êâàíòîâà ñèñòåìà ç ìîæëèâèõ ñòàíiâ îáèðà¹ íå òîé àáî òîé ñòàí, à âñi çðàçó, òîáòî i òîé, i òîé. Òàêà êâàíòîâîìåõàíi÷íà ëîãiêà ii ðàäèêàëüíî âiäìiííà âiä êëàñè÷íî¨ àðiñòîòåëiâñüêî¨ ëîãiêè àáîàáî 6 . 6

Âîíà ñïiâçâó÷íà òàê çâàíîìó ïîñòìîäåðíiñòñüêîìó òðàêòóâàííþ äiÿëüíîñòi ëþäèíè, ÿâèù òà ïîäié ç õàðàêòåðíèìè äëÿ ïîñòìîäåðíiçìó ìiæäèñöèïëiíàðíiñòþ é âèçíàííÿì ðiâíîïðàâíîñòi âñiõ ìîæëèâèõ ñêëàäîâèõ. Öiêàâî íàâåñòè ùå äåÿêi ïàðàëåëi äî êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ëîãiêè ii ç iíøèõ ñåð äiÿëüíîñòi ëþäèíè, ùî, ìîæëèâî, ïiäøòîâõíå ÷èòà÷iâ äî äèñêóñi¨. Îäíèì iç çàñàäíè÷èõ ïîñòóëàòiâ ãðîìàäÿíñüêîãî ñóñïiëüñòâà ç éîãî íåíàñèëüíèöüêèìè ïðèíöèïàìè ñâî¹¨ îðãàíiçàöi¨ ¹ ãàñëî, ùî íåìà¹ ãiðøîãî ÷è ëiïøîãî, à ¹ iíøå (íàïðèêëàä, íåìà¹ ìàëî¨ ÷è âåëèêî¨ íàöi¨ ¹ iíøà), òîáòî ðiâíîïðèéíÿòíèì ¹ i îäíå, i äðóãå. Êóëüòóðà Ñõîäó íå ¹ ãiðøîþ, íiæ çàõiäíî¹âðîïåéñüêà êóëüòóðà ÷è êóëüòóðà Çàõîäó, âîíà ¹ iíøîþ. Òóò ëîãiêà àáîàáî ïðèâîäèòü, ÿê äåìîíñòðó¹ iñòîðiÿ, äî ìàëèõ i âåëèêèõ òðàãåäié ÿê

55

Íàéêðàùå ïðîiëþñòðóâàòè äiþ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ íà êîíêðåòíèõ ïðèêëàäàõ. Ïðèêëàä 1. Õâèëüîâèé ïàêåò. Ïèòàííÿ ïðî õâèëüîâèé ïàêåò, òîáòî ïðî ïðîñòîðîâå óòâîðåííÿ, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç íàáîðó õâèëü äå Áðîéëÿ, âèíèêëî ç íàìàãàíü íàäàòè êëàñè÷íî¨ íàî÷íîñòi içè÷íîìó òðàêòóâàííþ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. îçãëÿíüìî ãðóïó õâèëü äå Áðîéëÿ ç áëèçüêèìè çíà÷åííÿìè iìïóëüñiâ p = ~k áiëÿ çíà÷åííÿ p0 = ~k0 . Íàñ öiêàâèòèìå îäíîâèìiðíèé âèïàäîê, ïðè÷îìó áóäåìî ââàæàòè, ùî õâèëüîâèé âåêòîð k çìiíþ¹òüñÿ íåïåðåðâíî â ïðîìiæêó: k0 −∆/2 ≤ k ≤ k0 +∆/2, ∆ ≪ k0 . Ñóïåðïîçèöiéíèé ñòàí iç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ Z k0 +∆/2 dk Ck ei(kx−ωk t) ψ(x, t) =

k0 −∆/2

áóäåìî íàçèâàòè õâèëüîâèì ïàêåòîì. Íå iêñóþ÷è ÿâíî çàëåæíiñòü ÷àñòîòè ωk âiä õâèëüîâîãî âåêòîðà k i ç îãëÿäó íà íåðiâíiñòü ∆ ≪ k0 , ñêîðèñòà¹ìîñü ðîçêëàäîì: dωk ω k = ω k0 + (k − k0 ) + . . . . dk k=k0 Äëÿ êîåiöi¹íòiâ Ck ïðèéìåìî, ùî âîíè ñëàáî çàëåæàòü âiä k áiëÿ çíà÷åííÿ k = k0 : Ck ≃ Ck0 . Ó ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî

ψ(x, t) ≃ Ck0 ei(k0 x−ωk0 t) ×

Z

k0 +∆/2 k0 −∆/2

exp {i(k − k0 )x − iv(k − k0 )t} dk

îäíi¹¨ ëþäèíè, òàê i ñïiëüíîòè. Ôîðìóëà ii ¹ òàêîæ ó óíäàìåíòi õðèñòèÿíñüêî¨ ðåëiãi¨ ùîäî ñóòíîñòi Õðèñòà ÿê Áîãîëþäèíè. Íåïðîòèñòàâëåííÿ àíòèíîìié (ÿê ïðîòèði÷÷ÿ ìiæ äâîìà ñóäæåííÿìè, ùî îäíàêîâî äîâîäÿòüñÿ çàñîáàìè êëàñè÷íî¨ ëîãiêè), à ¨õ íàêëàäàííÿ, òîáòî iíòåðåðåíöiÿ, óìîæëèâëþ¹ âèíèêíåííÿ ÷îãîñü ÿêiñíî íîâîãî. Ìîæëèâî, ùî ìåõàíiçìè íàøîãî ìîçêó, ÿêi çàïóñêàþòü iíòó¨òèâíî-îáðàçíå àáî åâðèñòè÷íî-ëîãi÷íå ìèñëåííÿ, ùî i ¹ ïðè÷èíîþ òàê çâàíî¨ ïðîáëåìè äâîõ êóëüòóð, ìîæóòü òâîðèòè â îñîáëèâî îáäàðîâàíié ëþäèíi i ñóïåðïîçèöiéíèé îáðàçíî-ëîãi÷íèé ñòàí ìèñëåííÿ. ×èòà÷ ñàì íàâåäå ÿñêðàâi ïðèêëàäè ëþäåé iç öèì ïåðåïëåòåííÿì äâîõ êóëüòóð, òâîð÷iñòü ÿêèõ ç åíåðóâàëà ùîñü çîâñiì íîâå, ùî íå ðîçêëàäà¹òüñÿ íà ñêëàäîâi, à ¹ iíòåðåðåíöiéíèì ååêòîì.

56

i(k0 x−ωk0 t) 2 sin

= Ck0 e

Òóò óâåäåíî ïîçíà÷åííÿ

v= Ç óìîâè íîðìóâàííÿ

çíàõîäèìî

Z

∞

−∞

Z

∞ −∞

= 4|Ck0 |2

∆ 2

Îòæå, ñòàëà íîðìóâàííÿ

Z

dωk dk

. k=k0

|ψ(x, t)|2 dx = 1

2 4 sin

|Ck0 |

(x − vt) ∆ 2 . (x − vt)

2

(x − vt) ∆ 2

(x − vt)2 ∞

−∞

dx

sin2 y dy = |Ck0 |2 2π∆ = 1. y2

Ck0 = √

1 . 2π∆

Îñòàòî÷íî õâèëüîâèé ïàêåò r 2 i(k0 x−ωk t) sin (x − vt) ∆ 2 0 e . ψ(x, t) = π∆ (x − vt) ðàiê óíêöi¨ |ψ(x, t)|2 çîáðàæåíèé íà ðèñ. 10. Îòæå, éìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè, ùî îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâèì ïàêåòîì, ¹ íàéáiëüøîþ â îêîëi éîãî öåíòðà

x − vt = 0.

Ó çâ'ÿçêó ç öèì áóëè ñïðîáè òðàêòóâàòè õâèëüîâèé ïàêåò ÿê ðîçïîäië ãóñòèíè, íàïðèêëàä, åëåêòðîíà ó ïðîñòîði çà çàêîíîì |ψ(x, t)|2 . Ñïðàâäi, öåíòð õâèëüîâîãî ïàêåòà ïåðåñóâà¹òüñÿ ó ïðîñòîði ç ãðóïîâîþ øâèäêiñòþ v = (dωk /dk)k=k0 . Äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ~2 k2 ~k2 p2 = , ωk = , E= 2m 2m 2m 57

èñ. 10.

v=

dωk dk

Õâèëüîâèé ïàêåò.

= k=k0

p0 ~k0 = . m m

Îòæå, ãðóïîâà øâèäêiñòü õâèëü äå Áðîéëÿ çáiãà¹òüñÿ çi øâèäêiñòþ ÷àñòèíêè. Òàêèì ÷èíîì, öåíòð õâèëüîâîãî ïàêåòà ðóõà¹òüñÿ ðiâíîìiðíî çà êëàñè÷íèì çàêîíîì çi øâèäêiñòþ, ùî äîðiâíþ¹ êëàñè÷íié øâèäêîñòi ÷àñòèíêè: p0 x = t. m Çäàâàëîñü áè, ìîæíà ãîâîðèòè, ùî ÷àñòèíêà ¹ óòâîðåííÿì ç ãðóïè õâèëü äå Áðîéëÿ i öèì íàäàòè içè÷íîãî çìiñòó õâèëüîâié óíêöi¨. Îäíàê òàêèé íàî÷íèé îïèñ ñòàíó ÷àñòèíêè õâèëüîâèì ïàêåòîì âèÿâëÿ¹òüñÿ íåàäåêâàòíèì ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Õâèëüîâèé ïàêåò, ÿê áóäå ïîêàçàíî ïiçíiøå íà îñíîâi òî÷íèõ ðiâíÿíü, ðîçïëèâà¹òüñÿ ç ÷àñîì. Öå çðîçóìiëî, òîìó ùî õâèëi äå Áðîéëÿ ìàþòü äèñïåðñiþ: àçîâà øâèäêiñòü äîðiâíþ¹ ω/k i çàëåæèòü âiä äîâæèíè õâèëi λ = 2π/k. Òóò ìè íå âëîâèëè öüîãî ðîçïëèâàííÿ âíàñëiäîê ðîçêëàäiâ âåëè÷èí ωk òà Ck . Çàóâàæèìî, ìiæ iíøèì, ùî åëåêòðîìàãíiòíi õâèëi ó âàêóóìi äèñïåðñi¨ íå ìàþòü. îçïëèâàííÿ õâèëüîâèõ ïàêåòiâ ìîæíà âõîïèòè, ÿêùî îðìóâàòè ¨õ ç òî÷íèì âèðàçîì äëÿ ÷àñòîòè ωk = ~k2 /2m (äëÿ âiëüíî¨ 58

÷àñòèíêè) i ç íåîáìåæåíèì ïðîìiæêîì çìiíè õâèëüîâîãî âåêòîðà k, àëå çi øâèäêîñïàäàþ÷èìè êîåiöi¹íòàìè Ck ïðè âåëèêèõ âiäõèëåííÿõ k âiä çíà÷åííÿ k0 : 2 /4∆2

Ck = Ce−(k−k0)

,

C ñòàëà íîðìóâàííÿ, à ∆, ÿê i â ïîïåðåäíüîìó âèïàäêó, âñòàíîâëþ¹ ïðîìiæîê àêòóàëüíèõ çíà÷åíü õâèëüîâèõ âåêòîðiâ áiëÿ k0 , òîáòî òèõ, ÿêi âèçíà÷àþòü ãîëîâíèé âíåñîê â iíòå ðàëè çà k. Îòæå, òåïåð Z∞ 2 2 2 dk e−(k−k0 ) /4∆ eikx−i~k t/2m . ψ(x, t) = C −∞

Çðîáiìî çàìiíó çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ q = k − k0 i ïiñëÿ ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü îòðèìà¹ìî: 2

ψ(x, t) = Ceik0 x−i~k0 t/2m ×

Z∞

−∞

dq exp −q

2

i~t 1 + 2 4∆ 2m

~k0 t + iq x − . m

Iíòå ðóâàííÿ âèêîíó¹ìî ç âèêîðèñòàííÿì âiäîìîãî iíòå ðàëà Ïóàññîíà: r Z∞ π b2 /4a −ax2 +bx dx e = e , Re a > 0. a −∞

Ó ðåçóëüòàòi

ψ(x, t) = Ceipx/~−iEt/~

s

4π∆2 1 + i2~∆2 t/m

∆2 (x − vt)2 , × exp − 1 + i2~∆2 t/m äå p = ~k0 , E = ~2 k02 /2m, v = p/m. Âèêîðèñòàéìî òðèãîíîìåòðè÷íó îðìó äëÿ êîìïëåêñíî¨ âåëè÷èíè â ïåðåäåêñïîíåíòíîìó 59

ìíîæíèêó,

1 + i2~∆2 t/m = eiϕ

q

1 + (2~∆2 t/m)2 ,

ϕ = arctg 2~∆2 t/m ,

à â ïîêàçíèêó åêñïîíåíòè ÷èñåëüíèê i çíàìåííèê ïîìíîæìî íà âåëè÷èíó êîìïëåêñíî ñïðÿæåíó äî çíàìåííèêà i çíàéäåìî, ùî √ 4π∆2 ipx/~−iEt/~ ei(α−ϕ/2) ψ(x, t) = Ce 2 [4∆ h(∆x)2 i]1/4 2 /4h(∆x)2 i

äå

× e−(x−vt) α=

,

2~∆4 t(x − vt)2 2 , 2~∆2 t m 1+ m

à ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ " 2 # 1 2~∆2 t 2 h(∆x) i = . 1+ 4∆2 m Ç óìîâè íîðìóâàííÿ, çíîâó âèêîðèñòîâóþ÷è iíòå ðàë Ïóàññîíà, çíàõîäèìî ñòàëó 1 C= 3/4 (2π) ∆1/2 i îñòàòî÷íî õâèëüîâèé ïàêåò 2

ψ(x, t) = eipx/~−iEt/~ei(α−ϕ/2)

2

e−(x−vt) /4h(∆x) i . [2πh(∆x)2 i]1/4

óñòèíà éìîâiðíîñòi |ψ(x, t)|2 ìà¹ âèãëÿä àóññiâñüêî¨ êðèâî¨ çi ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèì âiäõèëåííÿì h(∆x)2 i, à öåíòð õâèëüîâîãî ïàêåòà, ÿê i â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäi, ïåðåñóâà¹òüñÿ çi øâèäêiñòþ v . Îäíàê òåïåð ïàêåò ðîçïëèâà¹òüñÿ, ÿê öå âèäíî ç îðìóëè äëÿ h(∆x)2 i. ßêùî â íié ïîêëàñòè t = 0, òî ìàòèìåìî ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó

h(∆x)2 i0 = 1/4∆2 60

i øèðèíó ïàêåòà

p h(∆x)2 i0 = 1/2∆.

Øèðèíà õâèëüîâîãî ïàêåòà â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t äîðiâíþ¹ s p ~2 t2 h(∆x)2 i = h(∆x)2 i0 + 4m2 h(∆x)2 i0

i, ÿê áà÷èìî, ïðè âåëèêèõ t çáiëüøó¹òüñÿ ç ÷àñîì ëiíiéíî. p Îòæå, íàø ïàêåò ðîçïëèâà¹òüñÿ ç ÷àñîì çi øâèäêiñòþ ~/2m h(∆x)2 i0 , t → ∞. Íàïðèêëàä, ÿêùî åëåêòðîí ó ìîìåíò ÷àñó t = 0 ëîêàëiçóâàòè p A, òî ÷åðåç îäíó ñåêóíäó âií ðîçïëèâåâ îáëàñòi h(∆x)2 i0 ∼ 1 òüñÿ íà îáëàñòü ç ëiíiéíèìè ðîçìiðàìè ∼ 1000 êì! Öå ðîçâiþ¹ áóäü-ÿêi íàøi iëþçi¨ ùîäî òðàêòóâàííÿ õâèëüîâîãî ïàêåòà ÿê ÷àñòèíêè. Íàðåøòi çàóâàæèìî, ùî âçàãàëi õâèëüîâèì ïàêåòîì íàçèâàþòü äîáóòîê ïëîñêî¨ õâèëi íà óíêöiþ ϕ(x, t), ÿêà â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó ëîêàëiçîâàíà ó ïðîñòîði:

ψ(x, t) = e−(i/~)Et+(i/~)px ϕ(x, t). + Ïðèêëàä 2. Ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ H2 .

Öÿ ñèñòåìà ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ ïðîòîíiâ, ìiæ ÿêèìè ðóõà¹òüñÿ åëåêòðîí (ðèñ. 11).

èñ. 11.

Ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ.

Íåõàé ψ1 öå õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíà íà ïðîòîíi 1 ïðè âiäñóòíîñòi ïðîòîíà 2, à E0 éîãî åíåð iÿ. Íà ïðîòîíi 2, êîëè âiäñóòíié ïðîòîí 1, âiäïîâiäíî ìà¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ ψ2 é åíåð iþ, 61

î÷åâèäíî, òàêîæ E0 . Êîëè ìè çàïóñêà¹ìî â ãðó îáèäâà ïðîòîíè, òî åëåêòðîí ðåàëiçó¹ ñóïåðïîçèöiéíèé ñòàí

ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 . Ç óìîâ ñèìåòði¨ âèïëèâà¹, ùî à ç óìîâè íîðìóâàííÿ

|C1 |2 = |C2 |2 , |C1 |2 + |C2 |2 = 1.

Iç öèõ ðiâíÿíü, îáìåæóþ÷èñü äiéñíèìè ðîçâ'ÿçêàìè, çíàõîäèìî

1 C1 = √ , 2

1 C2 = ± √ . 2

åøòà ðîçâ'ÿçêiâ, âiäïîâiäíî äî ïóíêòó 5◦ çàóâàæåíü äî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨, îïèñóþòü òîé ñàìèé ñòàí. Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìà¹ìî äâà ðîçâ'ÿçêè: 1 ψI = √ (ψ1 + ψ2 ), 2

1 ψII = √ (ψ1 − ψ2 ). 2 ßêùî Ω ÷àñòîòà ïåðåñêîêiâ åëåêòðîíà ìiæ ïðîòîíàìè, òî âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ (äèâ. ðèñ. 12)

EI = E0 − ~Ω, EII = E0 + ~Ω. Âåëè÷èíó A = ~Ω íàçèâàþòü îáìiííîþ åíåð i¹þ. åàëiçó¹òüñÿ ñòàí ç ìiíiìàëüíîþ åíåð i¹þ, òîáòî ñòàí iç ñèìåòðè÷íîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψI . Ó öüîìó ñòàíi ìà¹ìî ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ. Ç óìîâ ñèìåòði¨ âèïëèâà¹, ùî ïîñåðåäèíi ìiæ √ ïðîòîíàìè ψ1 = ψ2 . Ó öié òî÷öi ψI = 2ψ1 , i éìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíà â íié |ψI |2 = 2|ψ1 |2 ¹ ìàêñèìàëüíîþ. Îòæå, åëåêòðîí ó ñòàíi ψI çíàõîäèòüñÿ ïåðåâàæíî ìiæ ïðîòîíàìè é åêðàíó¹ ¨õíi çàðÿäè. Ó ðåçóëüòàòi ïðîòîíè, õî÷ i ñëàáî, àëå ïðèòÿãóþòüñÿ, óòâîðþþ÷è çâ'ÿçàíèé ñòàí H+ 2 ç âèãðàøåì åíåð i¨ âåëè÷èíîþ A. Ó ñòàíi ψII äëÿ òî÷êè, ùî ëåæèòü ïîñåðåäèíi ìiæ ïðîòîíàìè, ìà¹ìî 62

èñ. 12.

+ Åíåð åòè÷íi ðiâíi H2 .

ψII = 0. Öå îçíà÷à¹, ùî åëåêòðîí çäåáiëüøîãî ïåðåáóâà¹ ïîçà öi¹þ äiëÿíêîþ ïðîñòîðó, òîáòî éìîâiðíiñòü çíàõîäæåííÿ åëåêòðîíà â öié òî÷öi äîðiâíþ¹ íóëåâi. Îòæå, ìiæ ïðîòîíàìè íåìà¹ åêðàíóþ÷îãî çàðÿäó, êóëîíiâñüêå âiäøòîâõóâàííÿ ðîçâîäèòü ¨õ i ðîáèòü ñèñòåìó íåñòàáiëüíîþ. Ó öüîìó ñòàíi ïðîãðà¹ìî â åíåð i¨ íà âåëè÷èíó A. Ìà¹ìî çâ'ÿçîê ìiæ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨ òà ïðèíöèïîì ìiíiìàëüíîñòi åíåð i¨ ïðè óòâîðåííi ñòàáiëüíèõ ñèñòåì. ßê ïðèêëàä ñèñòåì ç äâîìà ñòàíàìè â òåîði¨ ñèëüíèõ âçà¹ìîäié íàâåäåìî îáìií π -ìåçîíàìè ìiæ íóêëîíàìè, ùî ïðèâîäèòü äî çâ'ÿçàíîãî ñòàíó íóêëîíiâ ó ÿäði, à òàêîæ îáìií ëþîíàìè ìiæ êâàðêàìè, ÿêèé ïðèâîäèòü äî çâ'ÿçàíîãî ñòàíó é óòâîðåííÿ àäðîíiâ. Ïðèêëàä 3. Åòèëåí. îçãëÿíåìî ìîëåêóëó åòèëåíó C2 H4 , ó ÿêié àòîìè âóãëåöþ çâ'ÿçàíi ïîäâiéíèì çâ'ÿçêîì (äèâ. ðèñ. 13). Îäèí iç ïîäâiéíèõ çâ'ÿçêiâ, òàê çâàíèé π -çâ'ÿçîê, ¹ ðóõëèâèì, íà íüîìó ¹ äâà åëåêòðîíè ç ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè ñïiíàìè. Ñàìå öåé çâ'ÿçîê ìè é âiçüìåìî äî óâàãè. Iíøèé, σ -çâ'ÿçîê, ùî ñèëüíî çâ'ÿçó¹ åëåêòðîíè, òóò, ç ïîãëÿäó ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨, íàñ íå öiêàâèòèìå. Ìè òàêîæ íå áóäåìî áðàòè äî óâàãè ååêòè ìiæåëåêòðîííî¨ âçà¹ìîäi¨. ßêùî íà π -çâ'ÿçîê ïîìiñòèòè îäèí åëåêòðîí, òî âií ìîæå ðîçòàøóâàòèñü àáî áiëÿ ïåðøîãî àòîìà âóãëåöþ ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ1 , àáî áiëÿ äðóãîãî ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ2 . Íàñïðàâäi åëåêòðîí ðåàëiçó¹ îáèäâi ìîæëèâîñòi îäíî÷àñíî,

63

èñ. 13.

Ìîëåêóëà C2 H4 .

òîáòî âií ïîâîäèòü ñåáå, ÿê âñþäèâñòèãàþ÷èé ãåðîé êîìåäi¨ Êàðëî îëüäîíi, à íå ÿê íåðiøó÷èé îñåë Áóðèäàíà 7 . Îòæå, ÿê i â Ïðèêëàäi 2, ìà¹ìî ñóïåðïîçèöiéíó õâèëüîâó óíêöiþ, äëÿ ÿêî¨ îòðèìà¹ìî äâà ðîçâ'ÿçêè ψI òà ψII ç åíåð iÿìè EI òà EII . I â öüîìó âèïàäêó ðåàëiçó¹òüñÿ ñóïåðïîçèöiéíèé ñòàí, êîëè íà åíåð åòè÷íèé ðiâåíü EI = E0 − A ñiäàþòü äâà åëåêòðîíè ç ïðîòèëåæíèìè ñïiíàìè. Òóò E0 åíåð iÿ, ùî âiäïîâiäà¹ ñòàíàì ψ1 , ψ2 ; A = ~Ω, Ω ÷àñòîòà ïåðåñêîêiâ åëåêòðîíà ìiæ àòîìàìè âóãëåöþ. Ïðèêëàä 4. Ìàñà ÷àñòèíêè â íåðåëÿòèâiñòñüêié êâàíòîâié ìå-

Ó íåðåëÿòèâiñòñüêié êâàíòîâié ìåõàíiöi íå iñíó¹ ñòàíiâ, ÿêi ¹ ñóïåðïîçèöi¹þ ñòàíiâ ÷àñòèíîê ç ðiçíèìè ìàñàìè (òåîðåìà Â. Áàð ìàíà, 1954 ð.). Ñïðàâäi, çãiäíî ç ïðèíöèïîì âiäíîñíîñòi àëiëåÿ, çàêîíè içèêè ó âñiõ iíåðöiàëüíèõ ñèñòåìàõ âiäëiêó ¹ îäíàêîâèìè. Öå îçíà÷à¹, ùî õâèëüîâi óíêöi¨ â ñèñòåìàõ âiäëiêó K òà K ′ (K ′ ðóõà¹òüñÿ ùîäî K çi øâèäêiñòþ v) ìîæóòü âiäðiçíÿòèñü õiáà ùî àçîâèì ìíîæíèêîì. Äëÿ âiëüíîãî ðóõó ÷àñòèíêè ìàñîþ m ìà¹ìî: i i ψ = C exp − Et + pr , ~ ~ õàíiöi.

7 Îñåë Áóðèäàíà îïîâiäàííÿ, ùî ïðèïèñóþòü ðàíöóçüêîìó iëîñîîâi i ïðèðîäîäîñëiäíèêîâi Æàíîâi Áóðèäàíó (13001357), ïðî îñëà, ÿêèé, ïåðåáóâàþ÷è ïîñåðåäèíi ìiæ äâîìà îäíàêîâèìè îáåðåìêàìè ñiíà, ïðèðå÷åíèé íà ãîëîäíó ñìåðòü, îñêiëüêè âíàñëiäîê ðiâíîéìîâiðíèõ ìîæëèâîñòåé âií, êåðóþ÷èñü êëàñè÷íîþ ëîãiêîþ àáîàáî, íå ìîæå çðîáèòè áóäü-ÿêèé âèáið. Ïðîòèëåæíó êâàíòîâó ïîâåäiíêó ii äåìîíñòðó¹ Òðóàëüäiíî ç Áåð àìà âåñåëèé ãåðîé çíàìåíèòî¨ êîìåäi¨ Ñëóãà äâîì ïàíàì iòàëiéñüêîãî äðàìàòóðãà Êàðëî îëüäîíi (17071793).

64

i ′ ′ i ′ ′ ψ = C exp − E t + p r , ~ ~ ′

íåøòðèõîâàíi âåëè÷èíè íàëåæàòü äî ñèñòåìè K , øòðèõîâàíi äî K ′ . Âîíè ïîâ'ÿçàíi ïåðåòâîðåííÿìè àëiëåÿ

t = t′ ,

r = r′ + vt′

i âiäïîâiäíèìè ïåðåòâîðåííÿìè äëÿ iìïóëüñó òà åíåð i¨:

p = p′ + mv, E = E ′ + vp′ +

mv 2 . 2

Ëåãêî ïîêàçàòè, ùî

ψ = eiδ ψ ′ , äå àçà

mv (r + r′ ). 2~ ßêùî ìè ìà¹ìî ëiíiéíó ñóïåðïîçèöiþ ñòàíiâ ÷àñòèíîê iç ðiçíèìè ìàñàìè m1 òà m2 â ñèñòåìi âiäëiêó K , δ=

ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 , òî â ñèñòåìi âiäëiêó

K′ ψ ′ = C1 eiδ1 ψ1 ′ + C2 eiδ2 ψ2 ′ ,

iíäåêñè ó âåëè÷èí δ1 òà δ2 ïîçíà÷àþòü ðiçíi ìàñè ó âèðàçi äëÿ δ. Îòæå, ψ òà ψ ′ âiäðiçíÿòèìóòüñÿ ëèøå àçîâèì ìíîæíèêîì çà óìîâè, ùî m1 = m2 ; ÿêùî æ m1 6= m2 , òî ψ òà ψ ′ içè÷íî ðiçíi ñòàíè, à öå ñóïåðå÷èòü ïðèíöèïîâi âiäíîñíîñòi àëiëåÿ. Òàêèì ÷èíîì, ìàñà ÷àñòèíêè â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ âåëè÷èíà iêñîâàíà. Ó ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ òàêà ñóïåðïîçèöiÿ ìîæëèâà òîìó, ùî âåëè÷èíà pµ xµ = Et − pr = inv ¹ ñêàëÿðíèì äîáóòêîì 4-âåêòîðiâ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó i ïðè ïåðåòâîðåííÿõ Ëîðåíöà ¹ iíâàðiàíòîþ. Îòæå, ïðè ïåðåõîäi âiä K äî K ′ óíêöiÿ ψ = ψ ′ áåç äîäàòêîâî¨ àçè. ßê ïðèêëàä òàêî¨ ñóïåðïîçèöi¨ ìîæíà íàâåñòè ñèñòåìó K 0 òà K 0 ìåçîíiâ, ÿêi ¹ ñóïåðïîçèöiéíèì ñòàíîì KL0 òà KS0 5

I. Î. Âàêàð÷óê

65

ìåçîíiâ, ùî ìàþòü ðiçíi ìàñè (∆m ≃ 3.6 · 10−6 eV). Ïðèêëàä öiêàâèé òèì, ùî â ðîçïàäàõ äîâãîæèâó÷îãî KL0 ìåçîíà íà π + + π − òà π 0 + π 0 ìåçîíè (2π -êàíàë) ìà¹ìî ¹äèíèé ïîêè ùî ñïîñòåðåæóâàíèé âèïàäîê ïîðóøåííÿ CP -iíâàðiàíòíîñòi. Äðóãèé ïðèêëàä öå îñöèëÿöiÿ ñîíÿ÷íèõ íåéòðèíî: êiëüêiñòü íåéòðèíî, ùî ðå¹ñòðó¹òüñÿ íà Çåìëi, ñòàíîâèòü ïðèáëèçíî 1/3 âiä òîãî, ùî âèìàãà¹ òåîðiÿ öèêëiâ ÿäåðíèõ ðåàêöié íà Ñîíöi. Ïðèïóñêà¹òüñÿ, ùî ñòàíè íåéòðèíî öå ñóïåðïîçèöiéíi ñòàíè åëåêòðîííîãî íåéòðèíî νe , ìþîííîãî íåéòðèíî νµ òà òàó-íåéòðèíî ντ i íà øëÿõó âiä Ñîíöÿ (îñîáëèâî â éîãî íàäðàõ) äî Çåìëi âiäáóâàþòüñÿ âçà¹ìíi ïåðåòâîðåííÿ íåéòðèíî çà óìîâè, ùî ¨õíi ìàñè ñïîêîþ íå äîðiâíþþòü íóëåâi. Ïðèëàä ðå¹ñòðó¹ îäèí òèï íåéòðèíî, íàïðèêëàä, νe . Ó 1998 ðîöi ïèòàííÿ íåéòðèííèõ îñöèëÿöié çíàéøëî, çäà¹òüñÿ, âiäïîâiäü â åêñïåðèìåíòi ãðóïè ÿïîíñüêèõ i àìåðèêàíñüêèõ içèêiâ ç ðå¹ñòðàöi¨ íåéòðèíî, íàðîäæåíèõ â àòìîñåði Çåìëi. Iäåÿ åêñïåðèìåíòó ïðîñòà. ßêùî íåéòðèíî íàðîäæóþòüñÿ ðiâíîìiðíî ïî âñié ïîâåðõíi àòìîñåðè, òî íàðîäæåíi íàä ãîëîâîþ åêñïåðèìåíòàòîðà ïðîõîäÿòü êîðîòøèé øëÿõ äî äåòåêòîðà íà ïîâåðõíi Çåìëi, íiæ òi, ùî ïðèõîäÿòü ç áóäü-ÿêîãî iíøîãî íàïðÿìêó. Íàéáiëüøèé øëÿõ ïðîõîäÿòü íåéòðèíî, íàðîäæåíi ç äðóãîãî áîêó Çåìëi ïiä íîãàìè åêñïåðèìåíòàòîðà. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî ÿêùî ¹ òàêi îñöèëÿöi¨, òî ïîâèííà ñïîñòåðiãàòèñü êóòîâà çàëåæíiñòü êiëüêîñòi çàðå¹ñòðîâàíèõ íåéòðèíî. Ñàìå öå i âèÿâèâ åêñïåðèìåíò. Ïðèêëàä 5. Ïåðåõiä äî êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè. îçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè ç òî÷êè 1 äî òî÷êè 2 (äèâ. ðèñ. 14). Çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi ïîòðàïëÿííÿ ÷àñòèíêè ç òî÷êè 1 ó òî÷êó 2

K(2, 1) ∼

X

 

àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi ïåðåõîäó ïî ïåâíié òðà¹êòîði¨ q = q(t)



.

Òóò ïiäñóìîâóâàííÿ âiäáóâà¹òüñÿ çà âñiìà òðà¹êòîðiÿìè, ùî ñïîëó÷àþòü òî÷êó 1 ç òî÷êîþ 2. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, R 2 ùî àìïëiòóäà ïåðåiS/~ , äå S = 1 L dt êëàñè÷íà äiÿ. õîäó ïî ïåâíié òðà¹êòîði¨ ∼ e Öå âïåðøå çàóâàæèâ Ï. À. Ì. Äiðàê, à îñòàòî÷íî âñòàíîâèâ òà ðîçâèíóâ öþ iäåþ P. Ôåéíìàí. Îòæå, ÷àñòèíêà ïîòðàïëÿ¹ ç òî÷êè 1 äî òî÷êè 2, âèïðîáîâóþ÷è âñi ìîæëèâi òðà¹êòîði¨, öå òîé ñàìèé 66

ðåöåïò, ùî ìè ìàëè äëÿ ïiäðàõóíêó éìîâiðíîñòåé ïðè äèðàêöi¨ åëåêòðîíà íà äâîõ ùiëèíàõ.

èñ. 14.

Ìîæëèâi òðà¹êòîði¨ ðóõó ÷àñòèíêè.

×îìó æ ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ ïî îäíié òðà¹êòîði¨? Ìè æ öå çíà¹ìî i ùîäíÿ ñïîñòåðiãà¹ìî âiçóàëüíî! Óñÿ òîíêiñòü ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî ñòàëà Ïëàíêà ~ ∼ 10−27 ã · ñì2 /ñåê, à äiÿ ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi S ∼ 1 ã · ñì2 /ñåê, òîáòî S/~ ∼ 1027 öå äóæå âåëèêå ÷èñëî, àêòè÷íî ìè ìà¹ìî ñïðàâó ç ïðèêëàäîì içè÷íî¨ áåçìåæíîñòi, S/~ → ∞. Òîìó óíêöiÿ eiS/~ ¹ øâèäêî îñöèëþþ÷îþ óíêöi¹þ ïðè ïåðåõîäi âiä îäíi¹¨ òðà¹êòîði¨ äî iíøî¨, ïðè÷îìó òðà¹êòîðiÿ q˜ = q+δq , ùî ¹ áåçìåæíî áëèçüêîþ äî òðà¹êòîði¨ q , äà¹ ëèøå çìiíó çíàêà eiδS/~ àìïëiòóäè. Ó ðåçóëüòàòi, âíåñêè ñóñiäíiõ òðà¹êòîðié ó K(2, 1) âçà¹ìíî ãàñÿòüñÿ. ëèøå îäíà òðà¹êòîðiÿ, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ ç óìîâè δS = 0, ñóñiäè ÿêî¨ íå äàþòü öi¹¨ çìiíè çíàêà ñàìå òîìó, ùî δS = 0. Óìîâà δS = 0 ¹ íå ùî iíøå, ÿê âàðiàöiéíèé ïðèíöèï íàéìåíøî¨ äi¨, ç ÿêîãî âèïëèâàþòü êëàñè÷íi ðiâíÿííÿ ðóõó ÷àñòèíêè òà ¨¨ îïòèìàëüíà òðà¹êòîðiÿ. Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî çâ'ÿçîê ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ òà ïðèíöèïó íàéìåíøî¨ äi¨. Ìàáóòü, öi ïðèíöèïè ñàìi ñîáîþ ¹ íàñëiäêàìè ãëèáøî¨ ñèìåòði¨ Âñåñâiòó. Ïðèêëàä 6. Ïîëÿðîíè, åêñèòîíè, ìàãíîíè. îçãëÿíåìî ðóõ åëåêòðîíà â éîííîìó êðèñòàëi (íàïðèêëàä, NaCl). Íåõàé ψn õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíà íà éîíi ç íîìåðîì n. åàëiçó¹òüñÿ

5*

67

ñóïåðïîçèöiéíèé ñòàí åëåêòðîíà

ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 + · · · + Cn ψn + · · · ,

òîáòî åëåêòðîí êîëåêòèâiçó¹òüñÿ éîíàìè. Òàêà êâàçi÷àñòèíêà, åëåêòðîí ïëþñ ïîëÿðèçîâàíà íèì êðèñòàëi÷íà ðàòêà, íàçèâà¹òüñÿ ïîëÿðîí. Íåõàé ó ìîëåêóëÿðíîìó êðèñòàëi (òèïó O2 ) çáóäæåíà ìîëåêóëà ïiä íîìåðîì n, ñòàí ÿêî¨ îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψn . Óíàñëiäîê äèïîëüäèïîëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ öå çáóäæåííÿ ìàíäðó¹ ïî êðèñòàëó, ñòàí ÿêîãî îïèñó¹òüñÿ òàêîæ ñóïåðïîçèöiéíîþ óíêöi¹þ, çàïèñàíîþ âèùå. Òàêèé çáóäæåíèé ñòàí êðèñòàëà íàçèâàþòü åêñèòîíîì. Îñíîâíèé ñòàí åðîìàãíiòíîãî êðèñòàëà âiäïîâiäà¹ îði¹íòàöi¨ â îäíîìó íàïðÿìêó âëàñíèõ ìàãíiòíèõ ìîìåíòiâ àòîìiâ. ßêùî íà n-òîìó àòîìi ïåðåâåðíóòè ìàãíiòíèé ìîìåíò i îïèñóâàòè òàêèé çáóäæåíèé ñòàí êðèñòàëà õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψn , òî ðåàëiçó¹òüñÿ ñòàí ψ , ùî ¹ ëiíiéíîþ ñóïåðïîçèöi¹þ ñòàíiâ ψ1 , ψ2 , . . . . Öåé ñóïåðïîçèöiéíèé ñòàí ψ îïèñó¹ ïîøèðåííÿ ïåðåâîðîòó ìàãíiòíîãî ìîìåíòó ç íàçâîþ ìàãíîí. Ïðèêëàä 7. ßâèùå áèòòÿ. Öiêàâî ðîçãëÿíóòè ÷àñîâó çàëåæíiñòü iìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â òîìó ÷è iíøîìó ñòàíi, ìiæ ÿêèìè ìîæëèâi ïåðåõîäè êâàíòîâîìåõàíi÷íå ÿâèùå áèòòÿ. Ïðèêëàäîì ¹ ìîëåêóëà àìiàêó NH3 , ÿêà ìà¹ îðìó ïiðàìiäè. Àçîò ó íié ìîæå çíàõîäèòèñü ç îäíîãî àáî ç iíøîãî áîêó ïëîùèíè àòîìiâ âîäíþ (ç óñiõ ìîæëèâèõ ñòàíiâ ìîëåêóëè íàñ öiêàâëÿòü ñàìå öi). Âíàñëiäîê öüîãî åíåð iÿ ìîæå íàáóâàòè äâà çíà÷åííÿ: E0 − A òà E0 + A, äå A îáìiííà åíåð iÿ. Ïðè÷îìó àìïëiòóäè C1 , C2 éìîâiðíîñòåé òîãî, ùî àçîò ïåðåáóâà¹ âiäïîâiäíî ó ñòàíàõ ψ1 , ψ2 , çàëåæàòü âiä ÷àñó ñóïåðïîçèöiéíî,

C1 =

1 − i (E0 −A)t 1 − i (E0 +A)t e ~ + e ~ , 2 2

C2 =

1 − i (E0 −A)t 1 − i (E0 +A)t e ~ − e ~ , 2 2

à ñàìi éìîâiðíîñòi

|C1 |2 = cos2 Ωt, |C2 |2 = sin2 Ωt, 68

äå Ω = A/~ ÷àñòîòà ïåðåòiêàííÿ éìîâiðíîñòi çi ñòàíó ψ1 ó ñòàí ψ2 . ßêùî â ìîìåíò ÷àñó t = 0 àòîì àçîòó ¹ ó ñòàíi ψ1 , òî ÷åðåç ÷àñ T = π/(2Ω) âií ïðîáåðåòüñÿ ó ñòàí ψ2 . Òàêi æ ïåðåòâîðåííÿ âiäáóâàþòüñÿ â ñèñòåìàõ K 0 - òà K 0 -ìåçîíiâ; öå òàêîæ ñòîñó¹òüñÿ ïðîáëåìè ñîíÿ÷íèõ íåéòðèíî ïðèêëàäè, ÿêi ìè ðîçãëÿíóëè âèùå. Öiêàâî íàâåñòè ïðèêëàä ÿâèùà áèòòÿ ç êëàñè÷íî¨ içèêè, à ñàìå, ç ìóçè÷íî¨ àêóñòèêè. Ñêðèïêîâà ãðóïà iíñòðóìåíòiâ ìà¹ äîáðå âiäîìèé íåäîëiê òàê çâàíèé âîâ÷èé òîí. Òîáòî ¹ îäíà íîòà â iíñòðóìåíòà (âèñîêî¨ ÿêîñòi), ÿêié âàæêî íàäàòè òðèâàëå ñòiéêå çâó÷àííÿ: âîíà ñòðèáêîì çìiíþ¹òüñÿ çà òåìáðîì òî äî íèçüêèõ, òî äî âèñîêèõ ãàðìîíiê. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî íà öié âîâ÷ié íîòi îñíîâíèé òîí êîëèâàíü ñòðóíè ìàéæå çáiãà¹òüñÿ ç ðåçîíàíñíîþ ÷àñòîòîþ êîðïóñó. Åíåð iÿ ïðè öüîìó ç ÷àñòîòîþ áèòòÿ ïåðåõîäèòü âiä ñòðóíè äî êîðïóñó (ñòðóíà çâó÷èòü òîäi íà äðóãié ãàðìîíiöi îñêiëüêè ñìè÷îê ðóõà¹òüñÿ) i íàâïàêè. Öå ÿâèùå åêñïåðèìåíòàëüíî äîñëiäèâ iíäiéñüêèé içèê ×. àìàí (1918 ð.), ñïîñòåðiãàþ÷è îäíî÷àñíî êîëèâàííÿ ñòðóíè òà êîðïóñó8 . 4. Ïàðàäîêñè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè

Âåëèêó ðîëü ó ïiçíàííi ìiêðîñâiòó ìàëè äèñêóñi¨ ìiæ ó÷åíèìè, ÿêi ñòâîðèëè êâàíòîâó òåîðiþ àáî âiäiãðàëè âàæëèâó ðîëü ó ¨¨ ðîçâèòêó. Êîæåí iç öèõ âåëèêèõ ëþäåé òàê i íå äîñÿãíóâ òîãî äîáðîòíîãî ðîçóìiííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, íà ÿêå íàñ øòîâõà¹ ïîâñÿêäåííèé äîñâiä. Âîíè ïî-ðiçíîìó âèñëîâëþâàëè ñâî¹ íåçàäîâîëåííÿ òà çäèâóâàííÿ ç ïðèâîäó òîãî, ÿêî¨ îðìè âðåøòi-ðåøò íàáóëà êâàíòîâà ìåõàíiêà. Öi äèñêóñi¨ ïîðîäæóâàëè ðiçíi ïàðàäîêñè. Äëÿ iëþñòðàöi¨ àòìîñåðè, ó ÿêié âåëèñü äèñêóñi¨, íàâåäåìî òóò ëèøå òðè ç áàãàòüîõ ïàðàäîêñiâ. Ïàðàäîêñ iç êîòîì Øðåäèí åðà. Ïàðàäîêñ, ÿêèé çàïðîïîíóâàâ Å. Øðåäèí åð, ïîëÿãà¹ îñü ó ÷îìó. Âñåðåäèíi ñêðèíüêè, ñòiíêè ÿêî¨ íå ïðîïóñêàþòü íi ñâiòëà, íi çâóêó, çíàõîäèòüñÿ êiò. Ó ñêðèíüöi ¹ îòâið, ùî ìîæå áóòè âiäêðèòèé íà ÷àñ, íåîáõiäíèé äëÿ ïðîïóñêàííÿ îäíîãî îòîíà. Íà øëÿõó îòîíà â ñêðèíüöi ¹ íàïiâïîñðiáëåíå äçåðêàëî, ùî ç iìîâiðíiñòþ 1/2 âiäáèâà¹ îòîí i ç iìîâiðíiñòþ 8 ×. àìàí, ÿê âiäîìî, ó 1930 ðîöi îòðèìàâ Íîáåëiâñüêó ïðåìiþ çà âiäêðèòòÿ ÿâèùà êîìáiíàöiéíîãî ðîçñiþâàííÿ ñâiòëà.

69

1/2 ïðîïóñêà¹ éîãî. ßêùî îòîí ïðîõîäèòü êðiçü äçåðêàëî, òî âií ïðèâîäèòü ó äiþ ïðèñòðié (ðóøíèöÿ, àìïóëà ç ñèíèëüíîþ êèñëîòîþ, . . . ), ÿêèé ïîçáàâëÿ¹ áiäîëàøíîãî êîòà æèòòÿ. ßêùî îòîí âiäáèâà¹òüñÿ âiä äçåðêàëà, òî íi÷îãî íå âiäáóâà¹òüñÿ. Ââàæà¹òüñÿ, ùî îòîí ïåðåáóâà¹ â ñóïåðïîçèöiéíîìó ñòàíi: ïðîéøîâ êðiçü äçåðêàëî òà âiäáèâñÿ âiä äçåðêàëà. Âiäïîâiäíî äî öüîãî i êiò ïåðåáóâà¹ ÿ â ñóïåðïîçèöiéíîìó ñòàíi ìiæ æèâèì òà ìåðòâèì, òîáòî ìà¹ìî æèâîìåðòâîãî êîòà:

1 |ñòàí êîòài = √ {|æèâèé êiòi + |ìåðòâèé êiòi} , 2 äå çàìiñòü ψ ìè ââåëè äóæêè | i, ùî ïîçíà÷àþòü àìïëiòóäó ñòàíó. Ñóòü ïàðàäîêñà ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî ïiñëÿ ïîòðàïëÿííÿ îòîíà â ñêðèíüêó ñòàí êîòà ¹ íåäåòåðìiíîâàíèì, òîáòî òàêèì, ùî ïðèíöèïîâî íå ìà¹ ïåâíîãî çíà÷åííÿ (æèâîìåðòâèé êiò). Âèõîäèòü, ùî îïèñ ñèòóàöi¨ çàëåæèòü âiä òîãî, âiäêðèëè ìè ñêðèíüêó, ùîá ïîáà÷èòè ñòàí êîòà, ÷è íå âiäêðèâàëè ¨¨. Íàñïðàâäi, íåäåòåðìiíîâàíiñòü i çíèêà¹ ñàìå â ìîìåíò âçà¹ìîäi¨ îòîíà ç ïðèñòðî¹ì. Ïàðàäîêñ äå Áðîéëÿ. Ó Ïàðèæi çíàõîäèòüñÿ çàêðèòà ñêðèíüêà. Ó íié ¹ îäíà ÷àñòèíêà, ÿêà äçåðêàëüíî âiäáèâà¹òüñÿ âiä ñòiíîê. Ó ñêðèíüêó âñòàâëÿ¹òüñÿ ïåðåãîðîäêà òàêîæ iç äçåðêàëüíî âiäáèâàþ÷èìè ñòiíêàìè, ÿêà äiëèòü ¨¨ íà äâi ðiâíi ñêðèíüêè, ùî âiäîêðåìëþþòüñÿ. Îäíó ç íèõ âiäïðàâëÿþòü äî Ëüâîâà, à äðóãó çàëèøàþòü ó Ïàðèæi. Ó ÿêié çi ñêðèíüîê çíàõîäèòüñÿ ÷àñòèíêà, ïîâíiñòþ íå äåòåðìiíîâàíî: öå íå îçíà÷à¹, ùî ÷àñòèíêà äåñü ¹, à íàì ïðîñòî íåâiäîìî äå. Öå îçíà÷à¹, ùî íå iñíó¹ ïåâíîãî ìiñöÿ ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè, òîáòî íåìà¹ ñåíñó çàïèòóâàòè, äå æ âñå-òàêè âîíà ¹. Ó Ëüâîâi ñòàâèòüñÿ åêñïåðèìåíò ç âèÿâëåííÿ ÷àñòèíêè. Ïàðàäîêñ ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî ðåçóëüòàò åêñïåðèìåíòó ó Ëüâîâi ìèòò¹âî âïëèâà¹ íà ñèòóàöiþ â Ïàðèæi, òîáòî äåòåðìiíîâàíiñòü ìèòò¹âî ïîøèðþ¹òüñÿ äî Ïàðèæà (áåçâiäíîñíî äî òîãî, ÷è ¹ ïðî öå iíîðìàöiÿ â Ïàðèæi, ÷è ¨¨ òàì íåìà¹). ßêùî àíàëiçóâàòè öþ ñèòóàöiþ ç ïîçèöi¨ êëàñè÷íî¨ içèêè, òî ÷àñòèíêà äåñü çíàõîäèòüñÿ, àëå íàì íåâiäîìî äå ñàìå. Òîáòî ñòàí ÷àñòèíêè ¹ äåòåðìiíîâàíèé i âiäêðèâàííÿ ñêðèíüêè ëèøå iíîðìó¹ íàñ ïðî òå, ÷è ¹ âîíà ó Ëüâîâi, ÷è íåìà¹. Êâàíòîâà ìåõàíiêà ñòâåðäæó¹ ïîâíó íåäåòåðìiíîâàíiñòü ñòàíó ÷àñòèíêè.

70

Ïàðàäîêñ ÀéíøòàéíàÏîäîëüñüêîãîîçåíà. Ç ìåòîþ äîâåñòè, ùî êâàíòîâà ìåõàíiêà äà¹ íåïîâíèé îïèñ içè÷íèõ ñèñòåì, À. Àéíøòàéí, Á. Ïîäîëüñüêèé i Í. îçåí 1935 ðîêó îïóáëiêóâàëè ñòàòòþ, â ÿêié çàïðîïîíóâàëè ñèòóàöiþ, ïîäiáíó äî ïàðàäîêñà äå Áðîéëÿ. Çàóâàæèìî, ùî ïàðàäîêñ Øðåäèí åðà ç éîãî êîòîì áóâ ðåàêöi¹þ íà öþ ñòàòòþ. Îòæå, íåõàé ìà¹ìî äâi ÷àñòèíêè, âiäñòàíü ìiæ ÿêèìè äîðiâíþ¹ ñòàëié âåëè÷èíi x0 , à ¨õíié ïîâíèé iìïóëüñ äîðiâíþ¹ p. Âåëè÷èíà x0 ìîæå ìàòè áóäü-ÿêå çíà÷åííÿ. Òàêó ñèñòåìó ÷àñòèíîê òåïåð íàçèâàþòü EPR-ïàðîþ (àáðåâiàòóðà ïîõîäèòü âiä ïåðøèõ ëiòåð ïðiçâèù â àíãëiéñüêié ìîâi àâòîðiâ ïàðàäîêñà). Ñóòü ïàðàäîêñà ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî, âèìiðþþ÷è iìïóëüñ îäíi¹¨ ç ÷àñòèíîê, ìè ìîìåíòàëüíî çíà¹ìî â òîé ñàìèé ìîìåíò çíà÷åííÿ iìïóëüñó äðóãî¨ ÷àñòèíêè, íå òîðêàþ÷èñü ¨¨, ÿêîþ âåëèêîþ íå áóëà á âiäñòàíü ìiæ íèìè x0 . Òàêèì ÷èíîì, iíîðìàöiÿ ïîøèðþ¹òüñÿ çi øâèäêiñòþ áiëüøîþ, íiæ øâèäêiñòü ñâiòëà (ìà¹ìî ñóòò¹âó íåëîêàëüíiñòü êâàíòîâî¨ òåîði¨), i âèìið âåëè÷èíè äëÿ îäíi¹¨ ç ÷àñòèíîê âïëèâà¹ íà äåòåðìiíîâàíiñòü âiäïîâiäíèõ âåëè÷èí iíøèõ ÷àñòèíîê. Êðiì òîãî, ñòâåðäæóþòü, ùî âèìiðþâàííÿ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó, íàïðèêëàä ïåðøî¨ ÷àñòèíêè, äà¹ çìîãó îòðèìàòè ïåâíi çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó äðóãî¨ ÷àñòèíêè, íå âèìiðþþ÷è ¨õ áåçïîñåðåäíüî. Òîáòî öi âåëè÷èíè iñíóþòü îäíî÷àñíî, à öå çàáîðîíåíî ïðèíöèïîì íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à. Ìè ùå íå ðàç áóäåìî ïîâåðòàòèñü äî öüîãî EPR-ïàðàäîêñà, äåòàëüíå âèâ÷åííÿ ÿêîãî âðåøòi-ðåøò ïðèâåëî äî åêñïåðèìåíòàëüíî¨ ðåàëiçàöi¨ òàê çâàíî¨ êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨. 5. Õâèëüîâà óíêöiÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè

Íà îñíîâi ãiïîòåçè äå Áðîéëÿ ìè âñòàíîâèëè, ùî õâèëüîâîþ óíêöi¹þ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ¹ ïëîñêà õâèëÿ. Ó öüîìó ïàðàãðài ìè äîêëàäíî âèâ÷èìî óìîâè íîðìóâàííÿ ïëîñêèõ õâèëü òà ¨õíi âëàñòèâîñòi. îçãëÿä áóäåìî âåñòè ÿê äëÿ îáìåæåíîãî îá'¹ìó ïðîñòîðó, òàê i äëÿ íåîáìåæåíîãî îá'¹ìó ïðîñòîðó, ó ÿêîìó ðóõà¹òüñÿ ÷àñòèíêà. Ïî÷íåìî ç îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó, êîëè

ψ(x, t) = Cei(kx−ωt) , äå õâèëüîâèé âåêòîð k òà ÷àñòîòà ω ïîâ'ÿçàíi ç iìïóëüñîì òà åíåð71

i¹þ ÷àñòèíêè:

k = p/~,

ω = E/~.

Â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó âåëè÷èíó k òî÷íiøå áóëî á íàçèâàòè õâèëüîâèì ÷èñëîì, à íå õâèëüîâèì âåêòîðîì, àëå ñïîäiâà¹ìîñü, ùî öå íå áóäå ïðèâîäèòè äî íåïîðîçóìiíü. îçãëÿäà¹ìî íåðåëÿòèâiñòñüêèé âèïàäîê, êîëè åíåð iÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè p2 . E= 2m Îñêiëüêè ÷àñòèíêà âiëüíà, òî åíåð iÿ òà iìïóëüñ çáåðiãàþòüñÿ i ìàþòü ïåâíi çíà÷åííÿ p = const, E = const. Êîîðäèíàòà ÷àñòèíêè x ïîâíiñòþ íåâèçíà÷åíà: âñi ïîëîæåííÿ ¹ ðiâíîéìîâiðíèìè,

|ψ(x, t)|2 = |C|2 = const.

îçiá'¹ìî ïðîñòið, ó ÿêîìó ðóõà¹òüñÿ ÷àñòèíêà, íà ðiâíi îá'¹ìè (ñêðèíüêè) âåëè÷èíîþ L, i íåõàé ðóõ ÷àñòèíêè â äiëÿíöi −L/2 ≤ x ≤ L/2 ïîâòîðþ¹òüñÿ ó âñiõ ðåøòà äiëÿíêàõ (äèâ. ðèñ. 15).

èñ. 15.

îçáèòòÿ ïðîñòîðó íà ñêðèíüêè îá'¹ìîì

L.

Òîáòî, ÿêùî ÷àñòèíêà ïåðåõîäèòü ó ñóñiäíþ äiëÿíêó, òî âîíà ïîâîäèòüñÿ òàê ñàìî, ÿê i â ïîïåðåäíié. Öå îçíà÷à¹, ùî ìè íàêëàäà¹ìî íà õâèëüîâó óíêöiþ ãðàíè÷íi óìîâè ïåðiîäè÷íîñòi

ψ(x, t) = ψ(x + L, t). Ìè íàêëàäà¹ìî öþ óìîâó ëèøå äëÿ çðó÷íîñòi ìàòåìàòè÷íîãî îïèñó. Õî÷à, âçàãàëi êàæó÷è, i íàñïðàâäi ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ â äåÿêîìó îáìåæåíîìó îá'¹ìi ïðîñòîðó, ÿêèé ¹ çíà÷íî áiëüøèì, íiæ õàðàêòåðíi àòîìíi ìàñøòàáè, íàïðèêëàä, öå ëàáîðàòîðiÿ, ó ÿêié ïðîâîäÿòü äîñëiäè. Íàñ öiêàâëÿòü âëàñòèâîñòi ÷àñòèíêè ÿê òàêî¨, à íå ¨¨ âëàñòèâîñòi, ïîâ'ÿçàíi ç ïîâåðõíåâèìè ååêòàìè, òîáòî íàÿâíiñòþ ñòií ó ëàáîðàòîði¨. Òîìó íåâèçíà÷åíà âåëè÷èíà îá'¹ìó L 72

ïîâèííà áóòè äîñòàòíüî âåëèêîþ, ùîá çàáåçïå÷èòè ¨¨ içè÷íó áåçìåæíiñòü. Ïðè òàêèõ ðîçðàõóíêàõ ìè çàâæäè ìà¹ìî íà óâàçi, ùî L → ∞. Çðîçóìiëî, ùî ïiä ÷àñ îá÷èñëåííÿ, íàïðèêëàä, ïåðåðiçiâ ðîçñiÿííÿ ÷àñòèíîê ÷è áóäü-ÿêî¨ iíøî¨ ñïîñòåðåæóâàëüíî¨ âåëè÷èíè äîâæèíà L ïîâèííà âèïàñòè ç îñòàòî÷íèõ îðìóë. Çàóâàæèìî, ùî ìè íå ìîæåìî çàìiíèòè ãðàíè÷íèõ óìîâ ïåðiîäè÷íîñòi íà óìîâè ψ(0) = ψ(L) = 0 öå iíøà çàäà÷à: ÷àñòèíêà, ÿêà ðóõà¹òüñÿ â ïîòåíöiàëüíié ÿìi ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè, i îòæå, âîíà âæå íå ¹ âiëüíîþ. Ç ãðàíè÷íî¨ óìîâè ïåðiîäè÷íîñòi ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ çíàõîäèìî:

eikx = eik(x+L) , àáî eikL = 1, îòæå,

kL = 2πn,

n = 0, ±1, ±2, . . . .

Òàêèì ÷èíîì, iìïóëüñ é åíåð iÿ êâàíòóþòüñÿ:

k=

äà¹

2π n, L

p = ~k =

Óìîâà íîðìóâàííÿ Z

+L/2 −L/2

|C|2 L = 1,

2π~ n, L

E=

2π 2 ~2 2 n . mL2

|ψ(x, t)|2 dx = 1 1 C = √ eiα , L

äå α äîâiëüíèé àçîâèé ìíîæíèê. Õâèëüîâà óíêöiÿ âèçíà÷à¹òüñÿ ç òî÷íiñòþ äî äîâiëüíîãî àçîâîãî ìíîæíèêà, ÿêèé íå âïëèâà¹ íà içè÷íi âèñíîâêè öÿ íåîäíîçíà÷íiñòü ¹ ïðèíöèïîâîþ, i ¨¨ íå ìîæíà óñóíóòè. Îòæå, îñêiëüêè α íå âõîäèòü â îñòàòî÷íi ðåçóëüòàòè, òîìó ïîêëàäåìî α = 0. Òàêèì ÷èíîì, íîðìîâàíà õâèëüîâà óíêöiÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè

1 ψ(x, t) ≡ ψk (x, t) = √ ei(kx−ωt) , L äå k âêàçó¹ çíà÷åííÿ iìïóëüñó (iíäåêñ ñòàíó). 73

Ó òðèâèìiðíîìó âèïàäêó îá'¹ì ïåðiîäè÷íîñòi âèáèðà¹ìî ó îðìi ïàðàëåëåïiïåäà ç ðåáðàìè L1 , L2 , L3 âçäîâæ îñåé x, y, z òà âåëè÷èíîþ

V = L1 L2 L3 . Õâèëüîâà óíêöiÿ 1 1 1 ψk (r, t) = √ ei(k1 x−ω1 t) √ ei(k2 y−ω2 t) √ ei(k3 z−ω3 t) , L2 L3 L1 õâèëüîâèé âåêòîð

k = ik1 + jk2 + kk3 , ïðè÷îìó êîìïîíåíòè 2π nj , nj = 0, ±1, ±2, . . . , kj = Lj

j = 1, 2, 3,

iìïóëüñ p = ~k, à ÷àñòîòè ωj = ~kj 2 /2m. Òàêèì ÷èíîì, íîðìîâàíà õâèëüîâà óíêöiÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â îá'¹ìi V 1 ψk (r, t) = √ ei(kr−ωt) , V p2 ~ 2 2 2 (k + k2 + k3 ) = ~. ω= 2m 1 2m

Ïåðåõîäèìî äî âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé ïëîñêèõ õâèëü. Íàäàëi ðîçãëÿäà¹ìî ñòàöiîíàðíèé âèïàäîê, îïóñêàþ÷è ÷àñîâèé ìíîæíèê: 1 ψk (r) = √ eikr . V îçãëÿíåìî iíòå ðàë Z L/2 Z 1 L/2 −ik′ x+ikx ∗ ψk′ (x)ψk (x)dx = e dx L −L/2 −L/2 ′

=

′

= e−iπ(n−n ) 74

′

1 ei(k−k )L/2 − e−i(k−k )L/2 L i(k − k′ )

 − 1  0, n 6= n′ , =  1, n = n′ . 2iπ(n − n′ )

′ e2iπ(n−n )

Îòæå,

Z

L/2 −L/2

ψk∗′ (x)ψk (x)dx = δk′ ,k ,

äå δk′ ,k ñèìâîë Êðîíåêåðà. Óçàãàëüíåííÿ íà òðèâèìiðíèé âèïàäîê î÷åâèäíå: Z ψk∗ ′ (r)ψk (r) dr = δk,k′ ,

δk,k′ = δk1 ,k1′ δk2 ,k2′ δk3 ,k3′ . Ç òåîði¨ ðÿäiâ Ôóð'¹ äîáðå âiäîìî, ùî ñèñòåìà óíêöié {. . . , ψk (x), . . .} ¹ ïîâíîþ (àáî çàìêíåíîþ). Öå îçíà÷à¹, ùî äîâiëüíó óíêöiþ ìîæíà çîáðàçèòè ðÿäîì:

ψ(x) =

X

Ck ψk (x) =

k

+∞ X

1 Ck √ eikx , L n=−∞

2π n. L Çíàéäåìî êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó Ck ÷åðåç ψ(x): Z Z X X ψk∗′ (x)ψ(x)dx = Ck ψk∗′ (x)ψk (x)dx = Ck δk,k′ = Ck′ . k=

k

k

Òàêèì ÷èíîì,

Ck′ =

Z

ψk∗′ (x)ψ(x)dx.

Çìiñò Ck : çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, |Ck |2 äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ÷àñòèíêà ìà¹ iìïóëüñ p = ~k. Îòæå, Ck äîðiâíþ¹ õâèëüîâié óíêöi¨ ÷àñòèíêè, ÿêà ìà¹ ñâî¨ì àð óìåíòîì ìîæëèâi çíà÷åííÿ iìïóëüñó ~k. Öÿ õâèëüîâà óíêöiÿ åêâiâàëåíòíà ψ(x). Íåõàé ψ(x) õâèëüîâà óíêöiÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ç iìïóëüñîì p0 = ~k0

ψ(x) = ψk0 (x), Ck =

Z

ψk∗ (x)ψk0 (x)dx = δk,k0 , 75

|Ck |2 = δk,k0

  0, k = k , 0 =  1, k = 6 k0

òîáòî, ÿê i ïîâèííî áóòè, äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè éìîâiðíiñòü ìàòè iìïóëüñ ~k äîðiâíþ¹ îäèíèöi äëÿ k = k0 i äîðiâíþ¹ íóëåâi äëÿ âñiõ ðåøòè çíà÷åíü k. Ôóíêöi¨ Ck ïîâèííi çàäîâîëüíÿòè óìîâó íîðìóâàííÿ

X k

|Ck |2 = 1.

Ïåðåâiðèìî:

1 =

X

Ck∗ Ck =

k

=

Z

dx

XZ

ψk (x)ψ ∗ (x)dx

k

Z

dx′ ψ ∗ (x)ψ(x′ )

X

Z

ψk∗ (x′ )ψ(x′ )dx′

ψk∗ (x′ )ψk (x),

k

òóò

X

ψk∗ (x′ )ψk (x)

k

+∞ 1 X (2πi/L)n(x−x′ ) e = δ(x − x′ ) = L n=−∞

äåëüòà-óíêöiÿ Äiðàêà. Çà îçíà÷åííÿì δ-óíêöi¨

Z

b a

f (x)δ(x − x′ )dx = f (x′ ),

a < x′ < b.

Òîìó, ïðîäîâæóþ÷è ðiâíiñòü, ìà¹ìî Z Z Z X 2 ′ ∗ ′ ′ |Ck | = dx dx ψ (x)ψ(x )δ(x − x ) = dx|ψ(x)|2 = 1. k

Îòæå, óìîâà íîðìóâàííÿ çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ. 76

Ïîêàæåìî òåïåð, ùî ìè ñïðàâäi ìà¹ìî ñïðàâó ç δ-óíêöi¹þ: +∞ 1 X (2πi/L)nx e L n=−∞

δ(x) =

) (N N X X 1 (−2πi/L)nx (2πi/L)nx e −1 lim e + L N →∞

=

n=0

n=0

1 = lim N →∞ L

(

) 1 − e(2πi/L)(N +1)x + .. − 1 1 − e(2πi/L)x

1 sin[(π/L)(2N + 1)x] lim . L N →∞ sin[(π/L)x]

=

Äàëi, ÿêùî f (x) õîðîøà óíêöiÿ9 , òî Z b 1 sin[(π/L)(2N + 1)x] f (x) lim dx N →∞ L sin[(π/L)x] −a

Z

b

1 sin[(π/L)(2N + 1)x] dx L sin[(π/L)x] n o = éäå çàìiíà (π/L)(2N + 1)x = ξ = lim

N →∞ −a

f (x)

(π/L)(2N Z +1)b

= lim

N →∞ −(π/L)(2N +1)a

= f (0) òîìó ùî

Z

+∞ −∞

f

L ξ π(2N + 1)

dξ sin ξ π sin[ξ/(2N + 1)] (2N + 1)

sin ξ dξ = f (0), πξ Z

+∞

−∞

sin ξ dξ = 1. πξ

9 Òåðìií õîðîøà, àáî öèâiëiçîâàíà, óíêöiÿ îçíà÷à¹, ùî âîíà ñàìà òà ¨¨ ïîõiäíi (õî÷à é íå âñi) ¹ íåïåðåðâíèìè.

77

Öå i äîâîäèòü òâåðäæåííÿ, ùî +∞ 1 X δ(x) = exp(2πinx/L) L n=−∞

i òàêîæ, ùî

X k

ψk∗ (x′ )ψk (x) = δ(x − x′ ).

Óçàãàëüíåííÿ íà òðèâèìiðíèé âèïàäîê: X ψk∗ (r′ )ψk (r) = δ(r − r′ ), k

äå ñêîðî÷åíî ïîçíà÷åíî

X k

≡

XXX k1

k2

k3

≡

+∞ X

+∞ X

+∞ X

,

n1 =−∞ n2 =−∞ n3 =−∞

δ(r − r′ ) = δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ ). îçãëÿíåìî òåïåð õâèëüîâó óíêöiþ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â íåîáìåæåíîìó îá'¹ìi. Ïî÷íåìî ç ðîçãëÿäó îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó

ψ(x, t) = Cei(kx−ωt) , k íåïåðåðâíà âåëè÷èíà, òîìó ùî íåìà¹ ãðàíè÷íèõ óìîâ, ÿêi êâàíòóþòü iìïóëüñ. Íàäàëi çîñåðåäèìî óâàãó íà ïðîñòîðîâié çìiííié, îïóñêàþ÷è ÷àñ t (äëÿ iêñîâàíîãî ÷àñó ωt = const äîâiëüíèé àçîâèé ìíîæíèê). Îòæå, ψk (x) = Ceikx . Óìîâà íîðìóâàííÿ íå ìà¹ çìiñòó: Z +∞ |ψk (x)|2 dx = ∞. −∞

78

îçãëÿíåìî âèðàç Z +∞ ψk∗′ (x)ψk (x)dx =

lim

Z

+L

L→∞ −L

−∞

2

= lim |C| L→∞

Z

= |C|2 lim 2 L→∞

Òóò

ψk∗′ (x)ψk (x)dx +L

′

ei(k−k )x dx

−L

sin[(k − k′ )L] = 2π|C|2 δ(k − k′ ). (k − k′ )

sin[(k − k′ )L] L→∞ π(k − k′ )

δ(k − k′ ) = lim

äåëüòà-óíêöiÿ Äiðàêà. Ñïðàâäi, äëÿ äîâiëüíî¨ óíêöi¨ f (k) (çâè÷àéíî âîíà ¹ öèâiëiçîâàíîþ i çàäîâîëüíÿ¹ âñi ïîòðiáíi íàì óìîâè) ìà¹ìî Z +∞ Z +∞ ′ ′ sin[(k − k )L] ′ f (k ) lim δ(k − k′ )f (k′ )dk′ dk = L→∞ −∞ π(k − k′ ) −∞ n o = çàìiíà : (k − k′ )L = ξ

= lim

Z

+∞

L→∞ −∞

îñêiëüêè

Îòæå,

Z +∞ sin ξ ξ sin ξ dξ = f (k) dξ = f (k), f k− L πξ πξ −∞ Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

sin ξ dξ = 1. πξ

δ(k − k′ )f (k′ )dk′ = f (k)

ÿê i ïîâèííî áóòè çà îçíà÷åííÿì δ-óíêöi¨. √ Âèáåðåìî ïîñòiéíó íîðìóâàííÿ C = 1/ 2π é îòðèìà¹ìî Z +∞ ψk∗′ (x)ψk (x)dx = δ(k − k′ ) −∞

79

íîðìóâàííÿ íà δ-óíêöiþ âiä õâèëüîâèõ âåêòîðiâ

1 ψk (x) = √ eikx . 2π À ÿêùî â çàïèñi ÷åðåç iìïóëüñ p = ~k, òî Z +∞ ψp∗′ (x)ψp (x)dx = δ(p − p′ ), −∞

ψp (x) = √

1 eipx/~ 2π~

õâèëüîâà óíêöiÿ, ùî íîðìó¹òüñÿ íà δ-óíêöiþ âiä iìïóëüñiâ. Ó çâ'ÿçêó ç ïîâíîòîþ ñèñòåìè óíêöié {ψp (x)} äëÿ áóäü-ÿêî¨ óíêöi¨ ψ(x) iñíó¹ iíòå ðàëüíèé ðîçêëàä Ôóð'¹ Z +∞ C(p)ψp (x)dp, ψ(x) = −∞

C(p) =

Z

+∞

−∞

ψp∗ (x)ψ(x)dx.

Âåëè÷èíà öå ãóñòèíà éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ÷àñòèíêà ìà¹ iìïóëüñ â îêîëi çíà÷åííÿ p. Óçàãàëüíåííÿ íà òðèâèìiðíèé âèïàäîê âèïèøiìî áåç çàéâèõ ïîÿñíåíü. Õâèëüîâà óíêöiÿ íîðìîâàíà íà δ-óíêöiþ âiä iìïóëüñiâ:

|C(p)|2

ψp (r) = Z

Z

eipr/~ , (2π~)3/2

ψp∗ ′ (r)ψp (r)dr = δ(p − p′ ), ψp∗ (r′ )ψp (r)dp = δ(r − r′ ).

Äëÿ äîâiëüíî¨ óíêöi¨ ψ(r) ìà¹ìî ðîçêëàä Z ψ(r) = C(p)ψp (r)dp, 80

îáåðíåíå ïåðåòâîðåííÿ

C(p) =

Z

ψp∗ (r)ψ(r)dr.

Ïîâåðíåìîñü òåïåð äî ãðàíè÷íîãî ïåðåõîäó L → ∞ i ðîçãëÿíåìî éîãî äîêëàäíiøå. Â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó ìà¹ìî àìïëiòóäó Z L/2 Z L/2 1 ∗ ψ(x)e−ipx/~dx. ψ(x)ψp (x)dx = √ C(p) = L −L/2 −L/2 Çîñåðåäèìî óâàãó íà âåëè÷èíi

X p

2

|C(p)| =

+∞ X

n=−∞

|C(p)|2 ,

äî ÿêî¨ çàñòîñó¹ìî îðìóëó ÅéëåðàÌàêëîðåíà (Äèâ. Ôèõòåíãîëüö . Ì. Êóðñ äèåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. II. Ì.: Íàóêà, 1970. Ñ. 540544): ∞ X

f (n) =

Z

0

n=0

−

∞

1 B1 ′ f (x)dx − [f (∞) − f (0)] + [f (∞) − f ′ (0)] 2 2!

B2 ′′′ [f (∞) − f ′′′ (0)] + . . . , 4!

Bk k-òå ÷èñëî Áåðíóëëi (B1 = 1/6, B2 = 1/30, . . .). Ìè íå îáãîâîðþ¹ìî òóò óìîâ äëÿ óíêöi¨ f (n), à çàóâàæèìî ëèøå, ùî öåé ðÿä, óçàãàëi êàæó÷è, ¹ àñèìïòîòè÷íèì. Îòæå, â íàøîìó âèïàäêó Z ∞ Z ∞ X L 2 2 dp |C(p)|2 + · · · , |C(p)| = dn |C(p)| + · · · = 2π~ −∞ −∞ p p=

2π~ n, L

dn =

L dp. 2π~

Ó ãðàíèöi L → ∞ âíåñîê äðóãîãî äîäàíêà i ðåøòè, ùî ïîçíà÷åíi êðàïêàìè, ïîðiâíÿíî ç ïåðøèì ¹ çíèêàþ÷å ìàëèì. Òîìó âèæèâà¹ 6

I. Î. Âàêàð÷óê

81

ëèøå âåäó÷èé ÷ëåí, òîáòî ïåðøèé. Îòæå, â ãðàíèöi L → ∞ ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèìè âåêòîðàìè çàìiíþ¹òüñÿ iíòå ðóâàííÿì çà ñõåìîþ: Z X L ∞ dk → 2π −∞ k

àáî äëÿ iìïóëüñiâ

X p

L → 2π~

Z

∞

dp.

−∞

Âiäïîâiäíî äî öüîãî ïðè L → ∞

X p

îòæå,

2 r L |C(p)| → dp C(p) , 2π~ −∞ 2

r

C(p) → C(p) =

√

1 2π~

Z

L = 2π~

Z

∞

∞

r

L 1 √ 2π~ L

Z

L/2

e−ipx/~ψ(x)dx

−L/2

e−ipx/~ψ(x)dx,

−∞

ùî ìè é ìàëè ïðè ðîçãëÿäi ðóõó ÷àñòèíîê ó íåîáìåæåíîìó îá'¹ìi ïðîñòîðó. Âiäïîâiäíi çàìiíè â òðèâèìiðíîìó âèïàäêó ìàþòü âèãëÿä: Z ∞ Z ∞ X X V V dk, → dp. → (2π)3 −∞ (2π~)3 −∞ p k

Íà çàâåðøåííÿ ïàðàãðàà íàâåäåìî äîâiäêó ïðî äåëüòà-óíêöiþ Äiðàêà. Îçíà÷åííÿ:  Z b  f (x ), a < x < b, 0 0 f (x)δ(x − x0 ) dx =  0, a a > x0 àáî x0 > b. 82

Êîíêðåòíi ïðåäñòàâëåííÿ: Z∞ Z∞ 1 1 ◦ ikx 1 . δ(x) = e dk = cos kx dk . 2π π −∞

2◦ .

δ(x) =

=

0

∞ ∞ 1 X 2πn 1 X i 2πn x e L = cos x L n=−∞ L n=−∞ L

1 sin Lπ (2N + 1)x . π N →∞ L x sin L lim

3◦ .

δ(x) =

sin xL . L→∞ πx

4◦ .

δ(x) =

1 γ 1 1 = lim Im . 2 2 γ→0 π x + γ π γ→0 x − iγ

5◦ .

δ(x) =

1 2 lim √ e−x /α . α→0 πα

6◦ .

δ(x) =

sin2 xτ . τ →∞ πτ x2

lim

lim

lim

Âëàñòèâîñòi: 1◦ . ðîçìiðíiñòü δ(x) = ðîçìiðíîñòi 1/x .

2◦ .

δ(x) = δ(−x).

3◦ .

xδ(x) = 0. Z Z ′ f (x)δ (x)dx = − δ(x)f ′ (x)dx.

4◦ . 5◦ .

δ[f (x)] =

X j≥1

δ(x − xj )/|f ′ (xj )|,

xj êîðåíi ðiâíÿííÿ f (xj ) = 0. 6◦ . 6*

δ(ax) = δ(x)/|a|,

a = const. 83

Ïðèêëàä. Çíàéòè ðîçïîäië çà iìïóëüñàìè äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ (îñíîâíèé ñòàí ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà)

r

ψ(x) =

4

r

mω −x2 /2l2 e , π~

l=

~ mω

àìïëiòóäà êâàíòîâèõ êîëèâàíü, m ìàñà îñöèëÿòîðà, ω ÷àñòîòà, Z

+∞ −∞

|ψ(x)|2 dx = 1.

Çíàõîäèìî àìïëiòóäó +∞ Z

ψp∗ (x)ψ(x)dx

C(p) =

=

mω 1/4

π~

−∞

1 p2 − exp 2m~ω (π~mω)1/4

=

+∞

e−ax

2

e−ipx/~−(1/2)x

dx =

−∞

Çà îçíà÷åííÿì, øóêàíà óíêöiÿ ðîçïîäiëó

+∞

−∞

|C(p)|2 dp = √

1 π~mω

dx

π b2 /4a e . a

1 p2 exp − |C(p)| = √ m~ω π~ωm Z

/l2

−∞

2

Î÷åâèäíî, ïîâíà éìîâiðíiñòü

2

. r

+bx

+∞ Z

Ìè ñêîðèñòàëèñü iíòå ðàëîì: Z

1 √ 2π~

Z

+∞ −∞

exp −

.

p2 m~ω

dp = 1.

6. Ñåðåäíi çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó

Óâåäåìî ïîçíà÷åííÿ äëÿ ñåðåäíiõ çíà÷åíü: çàìiñòü ñëiâ ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ f áóäåìî ïèñàòè hf i àáî f¯. Äàëi âèõîäèìî ç òîãî, ùî âåëè÷èíà |ψ(x)|2 dx äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â îêîëi dx òî÷êè x (ðîçãëÿíåìî îäíîâèìiðíèé âèïàäîê). Òîìó, çà îçíà÷åííÿì, ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè Z Z 2 hxi = x|ψ(x)| dx = ψ ∗ (x)xψ(x)dx. 84

Iíòå ðóâàííÿ âiäáóâà¹òüñÿ ïî âñüîìó ïðîìiæêó çíà÷åíü x: äëÿ ÷àñòèíêè â îáìåæåíîìó îá'¹ìi x ∈ [−L/2, L/2], à ó âèïàäêó áåçìåæíîãî îá'¹ìó x ∈ (−∞, +∞). Î÷åâèäíî Z Z 2 2 2 hx i = x |ψ(x)| dx = ψ ∗ (x)x2 ψ(x)dx i âçàãàëi äëÿ äîâiëüíî¨ óíêöi¨ U (x) Z hU (x)i = ψ ∗ (x)U (x)ψ(x)dx. Íåõàé òåïåð ó öüîìó æ ñòàíi ψ(x) íåîáõiäíî çíàéòè ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ iìïóëüñó ÷àñòèíêè hpi. îçêëàäåìî ψ(x) ó ðÿä çà ïëîñêèìè õâèëÿìè: X ψ(x) = C(p)ψp (x), p

C(p) =

Z

ψp∗ (x)ψ(x)dx,

1 ψp (x) = √ eipx/~. L Çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, âåëè÷èíà |C(p)|2 äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ÷àñòèíêà ìà¹ iìïóëüñ p. Òîìó ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ iìïóëüñó X X hpi = p|C(p)|2 = C ∗ (p)pC(p). p

p

Ñïðîáóéìî òåïåð òàê çàïèñàòè âèðàç äëÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ iìïóëüñó, ùîá íå ðîçðàõîâóâàòè âåëè÷èíó C(p), à çíàéòè öå ñåðåäí¹ áåçïîñåðåäíüî ç ψ(x). Ñêîðèñòàéìîñü ÿâíèì âèãëÿäîì äëÿ êîåiöi¹íòíèõ óíêöié C(p): Z X Z ′ ′ ∗ ′ ∗ hpi = dx ψp (x )ψ (x ) dx pψp (x)ψ(x) . p

85

îçãëÿíüìî îêðåìî äðóãèé iíòå ðàë i âèêîíàéìî ðÿä ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü: Z Z +L/2 e−ipx/~ pψ(x) dx √ dx pψp∗ (x)ψ(x) = L −L/2

Z

+L/2

~ d dx ψ(x) − i dx

1 √ e−ipx/~ L −L/2 n o = iíòå ðóâàííÿ ÷àñòèíàìè

=

~ = − √ ψ(L/2)e−iπn − ψ(−L/2)eiπn i L Z ~ +L/2 1 −ipx/~ dψ(x) √ e dx, + i −L/2 dx L äå ìè âèêîðèñòàëè òå, ùî p = ~k = 2π~n/L, n = 0, ±1, ±2, . . . . Ç ãðàíè÷íèõ óìîâ ïåðiîäè÷íîñòi

ψ(x) = ψ(x + L) ïðè x = −L/2 âèïëèâà¹, ùî

ψ(L/2) = ψ(−L/2), i îòæå, âèðàç ó iãóðíèõ äóæêàõ äîðiâíþ¹ íóëåâi. Òîìó Z Z dψ(x) dx. dx pψp∗ (x)ψ(x) = ψp∗ (x)(−i~) dx

Òåïåð, ïîâåðòàþ÷èñü äî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ iìïóëüñó, ìà¹ìî: Z Z X dψ(x) ′ ∗ ′ ∗ ′ hpi = dx dx ψ (x ) ψp (x)ψp (x ) −i~ dx p

=

Z

dx

= −i~ 86

Z

Z

dx′ ψ ∗ (x′ )(−i~) ψ ∗ (x)

dψ(x) dx, dx

dψ(x) δ(x − x′ ) dx

hpi =

Z

d dx ψ ∗ (x) −i~ ψ(x). dx

Óâåäåìî ñèìâîëi÷íå ïîçíà÷åííÿ äëÿ îïåðàöi¨ ïîõiäíî¨

d dx i îáiçâåìî öåé îïåðàòîð îïåðàòîðîì iìïóëüñó. Òàêèì ÷èíîì, Z hpi = dx ψ ∗ (x)ˆ pψ(x). pˆ = −i~

Ôîðìóëà ïîäiáíà äî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè, Z hxi = dx ψ ∗ (x)xψ(x),

ëèøå ç òi¹þ ðiçíèöåþ, ùî äëÿ hpi ìà¹ìî ïiä iíòå ðàëîì îïåðàòîð äèåðåíöiþâàííÿ. Àíàëîãi÷íî äîâîäèìî, ùî Z hp2 i = dx ψ ∗ (x)ˆ p2 ψ(x), äå êâàäðàò îïåðàòîðà iìïóëüñó

d2 . dx2 Ìè âæå ìîæåìî ðîçðàõîâóâàòè ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ÷àñòèíêè ìàñè m ó ñòàíi ψ : 2 Z Z p ~2 d2 pˆ2 ∗ ∗ ψ(x) = dx ψ (x) − ψ(x), = dx ψ (x) 2m 2m 2m dx2 äå pˆ2 = pˆpˆ = −~2

~2 d2 pˆ2 =− 2m 2m dx2 îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨. ßêùî ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ â çîâíiøíüîìó ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U (x), òî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ E â ñòàíi ψ äîðiâíþ¹ ñóìi ñåðåäíiõ çíà÷åíü êiíåòè÷íî¨ òà ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð ié: Z Z pˆ2 ∗ ψ(x)dx + ψ ∗ (x)U (x)ψ(x)dx, E = ψ (x) 2m 87

àáî

E=

Z

ˆ ψ ∗ (x)Hψ(x)dx,

äå îïåðàòîð ïîâíî¨ åíåð i¨ 2 2 2 ˆ = pˆ + U (x) = − ~ d + U (x). H 2m 2m dx2

Öåé îïåðàòîð íàçèâàþòü òàêîæ îïåðàòîðîì àìiëüòîíà, àáî ïðîñòî ãàìiëüòîíiàíîì. Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ìîæíà çàïèñàòè, iíòå ðóþ÷è ÷àñòèíàìè, ùå é òàê: 2 Z pˆ ~2 d2 = − ψ ∗ (x) 2 ψ(x) dx 2m 2m dx Z ~2 d dψ(x) ∗ = − ψ (x) dx 2m dx dx



iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè i âðàõîâó¹ìî òå,



   =    ùî âíåñîê íåiíòå ðàëüíîãî äîäàíêà, âíàñëiäîê óìîâ ïåðiîäè÷íîñòi, äîðiâíþ¹ íóëåâi =

~2 2m

Z

~2 dψ ∗ (x) dψ(x) dx = dx dx 2m

Z dψ(x) 2 dx dx.

Áà÷èìî, ùî öÿ âåëè÷èíà ¹ çàâæäè äîäàòíîþ, ÿê i ïîâèííî áóòè çà îçíà÷åííÿì. Òåïåð ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ Z Z dψ(x) 2 ~2 dx + |ψ(x)|2 U (x) dx. E= 2m dx

Óçàãàëüíèìî íàøi ðåçóëüòàòè íà òðèâèìiðíèé âèïàäîê. Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè r ó ñòàíi ψ(r) Z hri = ψ ∗ (r)rψ(r)dr, 88

äëÿ äîâiëüíî¨ óíêöi¨ U (r)

hU (r)i =

Z

ψ ∗ (r)U (r)ψ(r)dr.

Äëÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ iìïóëüñó p Z hpi = ψ ∗ (r)ˆ pψ(r)dr, äå âåêòîð îïåðàòîðà iìïóëüñó

ˆ = iˆ p px + jˆ py + kˆ pz ; pˆx = −i~

∂ , ∂x

pˆy = −i~

∂ , ∂y

pˆz = −i~

∂ ; ∂z

ˆ = −i~∇. p

Îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨

ˆ2 ~2 2 ~2 ~2 p =− ∇ =− ∆=− 2m 2m 2m 2m

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

à ãàìiëüòîíiàí ÷àñòèíêè ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U (r)

,

ˆ2 ˆ = p + U (r). H 2m Òàêèì ÷èíîì, ìè ââåëè ïîíÿòòÿ îïåðàòîðà iìïóëüñó, îïåðàòîðiâ êiíåòè÷íî¨ òà ïîâíî¨ åíåð i¨ ÷àñòèíêè, ÿêi âiäiãðàþòü âèíÿòêîâî âàæëèâó ðîëü ó êâàíòîâié òåîði¨. 7. Ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à

Ó çâ'ÿçêó ç iìîâiðíiñíîþ iíòåðïðåòàöi¹þ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ òà îá÷èñëåííÿì ñåðåäíiõ çíà÷åíü içè÷íèõ âåëè÷èí, çîêðåìà òàêèõ, ÿê êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè ÷àñòèíîê, âèíèêà¹ çàäà÷à ðîçðàõóíêó âiäõèëåíü öèõ âåëè÷èí âiä ñåðåäíiõ çíà÷åíü. Êiëüêiñíîþ õàðàêòåðèñòèêîþ òàêèõ âiäõèëåíü ¹ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íi âiäõèëåííÿ. Ó êâàíòîâié ìåõàíiöi, íà âiäìiíó âiä òîãî, ùî ìè ìà¹ìî ó êëàñè÷íié òåîði¨, öi âåëè÷èíè, âçàãàëi êàæó÷è, íå ¹ íåçàëåæíèìè. Óïåðøå öåé çâ'ÿçîê äëÿ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ óñòàíîâèâ Â. àéçåíáåð ó 1927 ðîöi. 89

Íåõàé ñòàí ÷àñòèíêè îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ(x), à ñåðåäíi çíà÷åííÿ ¨¨ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó â öüîìó ñòàíi äîðiâíþþòü âiäïîâiäíî hxi òà hˆ pi. Óâåäiìî ïîçíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðiâ c = pˆ − hˆ âiäõèëåííÿ iìïóëüñó âiä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ∆p pi òà êîc îðäèíàòè ∆x = ∆x = x − hxi. îçãëÿíüìî ñåðåäí¹ Z Z ∗ ∗c c c c c c h∆x∆pi = ψ (x)∆x∆pψ(x)dx = (∆xψ(x)) ∆pψ(x)dx i çàñòîñóéìî äî íüîãî íåðiâíiñòü ÁóíÿêîâñüêîãîØâàðöà10 Z 2 Z Z f ∗ (x)f2 (x)dx ≤ |f1 (x)|2 dx |f2 (x)|2 dx, 1 âèáðàâøè

c f1 (x) = ∆xψ(x),

c f2 (x) = ∆pψ(x).

Çàóâàæèìî, ùî çíàê ðiâíîñòi ìà¹ ñèëó çà óìîâè, ùî f1 (x) = f2 (x) × const. Äàëi ìà¹ìî Z Z c 2 ψ(x)dx = h(∆x) c 2 i, |f1 (x)|2 dx = ψ ∗ (x)(∆x)

Z

2

|f2 (x)| dx =

Z

Z

∗c c (∆pψ(x)) ∆pψ(x)dx

o n d c = i~ − hpi ψ ∗ (x)∆pψ(x)dx = iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè dx Z d ∗ c − hpi ∆pψ(x)dx = ψ (x) −i~ dx Z c 2 ψ(x)dx = h(∆p) c 2 i. = ψ ∗ (x)(∆p)

Òàêèì ÷èíîì, îòðèìó¹ìî íåðiâíiñòü

c 2 ih(∆p) c 2 i ≥ |h∆x c ∆pi| c 2. h(∆x)

10 Âiêòîð ßêîâè÷ Áóíÿêîâñüêèé íàðîäèâñÿ â ì. Áàði Âiííèöüêî¨ îáëàñòi â 1804 ðîöi, ïîìåð ó 1889 ðîöi â Ïåòåðáóðçi. Íàâ÷àâñÿ â Ïàðèæi. Âií äîâiâ öþ íåðiâíiñòü ó 1859 ð., à . À. Øâàðö îïóáëiêóâàâ ¨¨ â 1884 ð.

90

Ïåðåòâîðèìî ¨¨ ïðàâó ÷àñòèíó: + * c ∆p c − ∆p c ∆x c c ∆p c + ∆p c ∆x c ∆x ∆x c ∆pi c = + , h∆x 2 2 äàëi

c ∆p c − ∆p c ∆x)i c h(∆x Z d ∗ c c = ψ (x) ∆x∆p − −i~ − hpi (x − hxi) ψ(x)dx dx Z d ∗ c ∆p c + i~ − (x − hxi) −i~ − hpi ψ(x)dx = ψ (x) ∆x dx Z Z c ∆p c − ∆x c ∆p)ψ(x)dx c = ψ ∗ (x)(∆x + i~ ψ ∗ (x)ψ(x)dx = i~.

Ïîçíà÷èìî

c ∆p c + ∆p c ∆xi c I = h∆x

i ïîêàæåìî, ùî öå äiéñíà âåëè÷èíà. Ñïðàâäi, Z d ∗ c − hpi ψ ∗ (x)dx I = ψ(x)∆x i~ dx Z n o d c ∗ (x)dx = iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè + ψ(x) i~ − hpi ∆xψ dx Z d ∗ c − hpi ∆xψ(x)dx = ψ (x) −i~ dx Z d ∗ c ∆xi c + h∆x c ∆pi, c c −i~ − hpi ψ(x)dx = h∆p + ψ (x)∆x dx òîáòî I = I ∗ âåëè÷èíà äiéñíà. Îòæå, I + i~ 2 I 2 + ~2 ~2 2 2 c c = h(∆x) ih(∆p) i ≥ ≥ , 2 4 4

91

ïîêëàâøè I = 0, ìè ëèøå ïiäñèëèëè íåðiâíiñòü. Îñòàòî÷íî: 2 c 2 ih(∆p) c 2i ≥ ~ h(∆x) 4 ìè îòðèìàëè ìàòåìàòè÷íå îðìóëþâàííÿ ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à. Ó âèïàäêó êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè, êîëè ~ → 0, ìè ìà¹ìî òðèâiàëüíèé ðåçóëüòàò c 2 ih(∆p) c 2 i ≥ 0. h(∆x)

Òàêèì ÷èíîì, ïðè âèìiðþâàííi òàêèõ içè÷íèõ âåëè÷èí, ÿê êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè, ¹ ïðèíöèïîâi, íåóñóâíi îáìåæåííÿ íà òî÷íiñòü âèìiðþâàííÿ. Öi îáìåæåííÿ íå ïîâ'ÿçàíi ç ìîæëèâîñòÿìè ïðèëàäó, îñêiëüêè ïðèíöèïîâî ïðèëàä ìîæå òî÷íî âèìiðÿòè, ñêàæiìî, êîîðäèíàòó, h(∆x)2 i = 0, çàëèøàþ÷è äëÿ iìïóëüñó ïîâíó íåâèçíà÷åíiñòü: h(∆p)2 i = ∞. I íàâïàêè, ïðè òî÷íîìó âèìiðþâàííi iìïóëüñó, h(∆p)2 i = 0, ïîëîæåííÿ ÷àñòèíêè ¹ öiëêîì íåâèçíà÷åíèì: h(∆x)2 i = ∞. Îòæå, äåÿêi âèìiðþâàííÿ ñòàþòü íåñóìiñíèìè: îäíå âèìiðþâàííÿ çàïåðå÷ó¹ ìîæëèâiñòü îäíî÷àñíî çäiéñíèòè iíøå. Ìîâà éäå ïðî îáìåæåííÿ, ÿêå âñòàíîâèëà Ïðèðîäà (íåðiâíiñòü àéçåíáåð à) íà îäíî÷àñíå âèìiðþâàííÿ öèõ âåëè÷èí. Îòæå, â åëåêòðîíà ìîæíà âèÿâèòè ÷åðåç âiäïîâiäíi âèìiðþâàííÿ òàêi âåëè÷èíè, ÿê êîîðäèíàòó àáî iìïóëüñ. Îäíàê öi ïîòåíöiéíi ìîæëèâîñòi âií âèÿâëÿ¹ ëèøå ç îáìåæåííÿìè. Iíàêøå êàæó÷è, ñàìi ïîíÿòòÿ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó, ÿêùî ìîâà éäå ïðî ¨õ îäíî÷àñíå ïðèïèñóâàííÿ åëåêòðîíó, ìàþòü îáìåæåííÿ. Òóò íàøà óÿâà âiäìîâëÿ¹òüñÿ íàì ñëóæèòè, îñêiëüêè éäåòüñÿ íå ñòiëüêè ïðî âèìiðþâàííÿ ÿê òàêå, à ïðî çàñòîñóâàííÿ ñàìèõ ïîíÿòü òåîði¨ äî îïèñó ÿâèù ìiêðîñâiòó. Öå öiíà òîãî, ùî Ïðèðîäà âèêîðèñòàëà õèòðèé ïiäðàõóíîê iìîâiðíîñòi â ìiêðîñâiòi ÷åðåç äîäàâàííÿ àìïëiòóä iìîâiðíîñòåé àëüòåðíàòèâíèõ ìîæëèâîñòåé. Îáãîâîðþþ÷è öå ïèòàííÿ, îá ðóíòîâóþ÷è âèáið òàêî¨ àðèìåòèêè äî ÿâèù ìiêðîñâiòó, ìè ïîêëèêàëèñü íà àíòðîïíèé ïðèíöèï. Ïðèëàäè, ùî äàþòü çìîãó âèÿâëÿòè ÷àñòèíêè òà çäiéñíþâàòè âèìiðþâàííÿ ¨õíiõ içè÷íèõ âëàñòèâîñòåé, öå îòîåìóëüñiÿ, ëi÷èëüíèê ÷àñòèíîê, êàìåðà Âiëüñîíà, áóëüáàøêîâà êàìåðà. Â ïðîöåñi âèìiðþâàííÿ içè÷íèõ âåëè÷èí, ùî îïèñóþòü ÷àñòèíêó ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ(r), âiäáóâà¹òüñÿ ðåäóêöiÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. 92

îçãëÿíüìî, íàïðèêëàä, âèìiðþâàííÿ iìïóëüñó ÷àñòèíêè. ßêùî âiäáóâñÿ àêò âèìiðþâàííÿ i ìè îòðèìàëè çíà÷åííÿ iìïóëüñó p = p0 , òî öå√îçíà÷à¹, ùî ÷àñòèíêè îïèñóþòüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ eip0 r/~/ V . Öå ñâî¹þ ÷åðãîþ îçíà÷à¹, ùî â ðîçêëàäi

ψ(r) =

X p

eipr/~ C(p) √ V

ìè îòðèìà¹ìî: |C(p)| = 1 äëÿ p = p0 i |C(p)| = 0 äëÿ p 6= p0 . Îòæå, ïiä ÷àñ âèìiðþâàííÿ √ õâèëüîâà óíêöiÿ ψ(r) ðåäóêó¹òüñÿ äî ïëîñêî¨ õâèëi eip0 r/~/ V . Òàêèì ÷èíîì, êâàíòîâîìåõàíi÷íèé ñòàí ψ ïîòåíöiéíî ìiñòèòü ó ñîái Âñå: êîæíå âèìiðþâàííÿ âáà÷à¹ â íüîìó Ùîñü ñâî¹. Ìîæëèâî, ùî êîæåí ðåçóëüòàò âèìiðþâàííÿ çàêèäà¹ ó âñå iíøèé Ñâiò. Êiëüêiñòü öèõ Ñâiòiâ íåçëi÷åííà, à êîíêðåòíà ðåàëüíiñòü ¹ íåïåðåðâíèì ïðîöåñîì âèìiðþâàíü, òîáòî âèòÿãóâàííÿì ç êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ψ -ìîðÿ âñüîãî ëàíöþãà àëüòåðíàòèâíèõ ðåçóëüòàòiâ êâàíòîâîãî âèìiðþâàííÿ. Öþ ùå îäíó iíòåðïðåòàöiþ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ç ïàðàëåëüíèìè Ñâiòàìè çàïðîïîíóâàâ 1957 ð. . Åâåðåòò, ùî íà òó ïîðó áóâ ñòóäåíòîì âiäîìîãî içèêà Äæîíà Âiëëåðà, ó÷íåì ÿêîãî áóâ i . Ôåéíìàí11 . Çíàéäåìî ñòàí ψ(x), ó ÿêîìó íåâèçíà÷åíîñòi iìïóëüñó é êîîð11 Iíîäi ìîæíà íàòðàïèòè íà âèñëîâëþâàííÿ ïðî òå, ùî îí Íåéìàí, ÿê àâòîðèòåòíèé ìàòåìàòèê, ñâî¨ì òâåðäæåííÿì ïðî âiäñóòíiñòü ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ âiäñòðàøèâ öiëi ïîêîëiííÿ içèêiâ âiä òâîðåííÿ àëüòåðíàòèâíèõ äî Êîïåíãà åíñüêî¨ iíòåðïðåòàöié êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Íà íàø ïîãëÿä, öå íå òàê. Ôiçèêè çìàãàëèñü ó ïåðåãîíàõ ðîçâ'ÿçóâàííÿ êîíêðåòíèõ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ çàäà÷, íå äóæå ïåðåéìàþ÷èñü òðóäíîùàìè ç iíòåðïðåòàöi¹þ óíäàìåíòàëüíèõ çàñàä öi¹¨ íàóêè, àëå êîæíå ïîêîëiííÿ ìàëî ñâî¨õ ïðåäñòàâíèêiâ (Ë. äå Áðîéëü, Ä. Áîì, . Ôåéíìàí, . Åâåðåòò, Äæ. Áåëë), ÿêi øóêàëè øëÿõiâ äî íàî÷íîãî ïîÿñíåííÿ ïîâåäiíêè ÷àñòèíîê ó êâàíòîâîìó ñâiòi. Ïî-ïåðøå, iñòîðiÿ ñâiä÷èòü, ùî áîæåâiëüíi iäå¨ åíåðóþòüñÿ íåçàëåæíî âiä òîãî, ÷è ¹ çàáîðîíè àâòîðèòåòiâ íà ¨õ åíåðóâàííÿ, ÷è íåìà¹. Ïî-äðóãå, êâàíòîâîìåõàíi÷íà íàóêà, ðîçâèâàþ÷èñü ñâî¨ì ïðèðîäíèì øëÿõîì, ïiäøòîâõóþ÷è ðîçâèòîê iíñòðóìåíòàëüíèõ ìîæëèâîñòåé ïåðåâiðêè òåîðåòè÷íèõ íàñëiäêiâ, îòðèìàëà çìîãó ïåðåâiðèòè ñâî¨ óíäàìåíòàëüíi çàñàäè. Öå ÿñêðàâî iëþñòðó¹ åêñïåðèìåíòàëüíà ðåàëiçàöiÿ êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨, ùî ñâî¹þ ÷åðãîþ ñòàâèòü íà ïåðøèé ïëàí ðîçóìiííÿ íåëîêàëüíîñòi êîðåëÿöié àáî ïîâåðòà¹ äî ðîçãëÿäó iäå¨ ïåðåíåñåííÿ iíîðìàöi¨ ç íàäñâiòëîâîþ øâèäêiñòþ (íàïðèêëàä, ÷åðåç òàõiîííèé ìåõàíiçì).

93

äèíàòè ¹ ìiíiìàëüíèìè: 2 c 2 ih(∆p) c 2i = ~ . h(∆x) 4 Ùîá çàäîâîëüíèòè öþ óìîâó, íåîáõiäíî âðàõóâàòè äâi âèìîãè:   1). Cf (x) = f (x), C = const, 1 2  2). I = 0.

Òóò íåðiâíiñòü ÁóíÿêîâñüêîãîØâàðöà ïåðåòâîðþ¹òüñÿ â ðiâíiñòü. Òîáòî   C∆xψ(x) = (∆p)ψ(x), [

 h∆x∆p c + ∆p∆xi c = 0.

ßâíèé âèãëÿä ïåðøîãî ðiâíÿííÿ: d −i~ − hpi ψ(x) = C∆xψ(x), dx à éîãî ðîçâ'ÿçîê

ψ(x) = A exp

i (∆x)2 ip0 x+ C ~ ~ 2

A ñòàëà íîðìóâàííÿ, hpi = p0 . Äðóãà óìîâà äà¹

,

c + ∆p∆xi c c − i~i = 0, h∆x∆p = h2∆x∆p c = i~. 2h∆x∆pi

Ìè ñêîðèñòàëèñü òèì, ùî Óðàõó¹ìî, ùî

c = h∆x∆pi

Z

c − ∆p∆x c ∆x∆p = xˆ p − pˆx = i~. c ψ (x)∆x∆pψ(x)dx = ∗

= Ch(∆x)2 i,

94

Z

ψ ∗ (x)∆xC∆xψ(x)dx

i îòðèìà¹ìî

Ch(∆x)2 i = àáî

C= Òîìó õâèëüîâà óíêöiÿ

ψ(x) = A exp Ç óìîâè íîðìóâàííÿ

çíàõîäèìî

Z

∞ −∞

|A|2

p

i~ , 2

i~ . 2h(∆x)2 i

ip0 x (∆x)2 − ~ 4h(∆x)2 i

.

|ψ(x)|2 dx = 1 2πh(∆x)2 i = 1,

i, ÿê çàâæäè, ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà

A = (2πh(∆x)2 i)−1/4 .

Îñòàòî÷íî îòðèìà¹ìî øóêàíó õâèëüîâó óíêöiþ ó âèãëÿäi âæå çíàéîìîãî íàì õâèëüîâîãî ïàêåòà 1 ip0 x (x − x0 )2 − , ψ(x) = exp ~ 4h(∆x)2 i (2πh(∆x)2 i)1/4

x0 = hxi. Âîíà ìà¹ íàçâó ìiíiìiçóþ÷îãî õâèëüîâîãî ïàêåòà, òîìó ùî îïèñó¹ ñòàí, ó ÿêîìó íåðiâíiñòü àéçåíáåð à ïåðåòâîðþ¹òüñÿ â ðiâíiñòü, òîáòî ñòàí ç ìiíiìàëüíèìè íåâèçíà÷åíîñòÿìè iìïóëüñó é êîîðäèíàòè. Ïðèíöèï íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à äà¹ çìîãó îòðèìàòè íèçêó âàæëèâèõ ðåçóëüòàòiâ. Íàâåäåìî òóò äåêiëüêà ç íèõ. Ïðèêëàä 1. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð. Âèêîðèñòàéìî ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé äëÿ îöiíêè åíåð i¨ îñöèëÿòîðà ç ãàìiëüòîíiàíîì 2 2 ˆ = pˆ + mω x H ˆ2 , 2m 2

òóò x ˆ = x îïåðàòîð ìíîæåííÿ. Åíåð iÿ p2 i mω 2 2 ˆ = hˆ E = hHi + hˆ x i. 2m 2

95

Ç ìiðêóâàíü ñèìåòði¨, î÷åâèäíî, hˆ pi = 0, hˆ xi = 0. Òîìó

2 i = hˆ h(∆p) p2 i − hˆ pi2 = hˆ p2 i,

2 i = hˆ x2 i − hˆ xi2 = hˆ x2 i. h(∆x)

Óðàõóâàâøè öå, iç ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé çíàõîäèìî hˆ p2 i ≥

~2 . 4hˆ x2 i

Îòæå, äëÿ åíåð i¨ ìà¹ìî ~2 mω 2 2 + hˆ x i. 8mhˆ x2 i 2

E≥

Çìiíiìiçó¹ìî ïðàâó ÷àñòèíó öi¹¨ íåðiâíîñòi çà hˆ x2 i: ìiíiìóì ïðèíîñèòü hˆ x2 i = ~/2mω. Äëÿ åíåð i¨ îòðèìà¹ìî îöiíêó E≥

~ω . 2

Îòæå, íàéíèæ÷å çíà÷åííÿ åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà E = ~ω/2 åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü. Ïðèêëàä 2. Àíãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð. Çíàéäåìî îöiíêó çíèçó åíåð i¨ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîòåíöiàëüíîìó ïîëi U (x) = αx4 . àìiëüòîíiàí 2 ˆ = pˆ + αˆ H x4 , 2m

åíåð iÿ

ˆ = hˆ E = hHi p2 i/2m + αhˆ x4 i.

ßê i â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäi,

2 i = hˆ h(∆p) p2 i,

2 i = hˆ x2 i, h(∆x)

îòæå, çi ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé âèïëèâà¹ hˆ p2 i ≥

~2 . 4hˆ x2 i

Âèêîðèñòàéìî äàëi î÷åâèäíó íåðiâíiñòü h(ˆ x2 − hˆ x2 i)2 i ≥ 0,

àáî

96

hˆ x4 i ≥ hˆ x 2 i2 .

Òîìó

~2 ~2 + αhˆ x4 i ≥ + αhˆ x 2 i2 . 2 8mhˆ x i 8mhˆ x2 i Ìiíiìóì ïðàâî¨ ÷àñòèíè öi¹¨ íåðiâíîñòi îòðèìó¹ìî êîëè, E≥

2

hˆ x i=

ïðè öüîìó åíåð iÿ E≥

3 8

~2 16mα

2α~4 m2

1/3

,

1/3

.

Öiêàâî, ùî ðiâíiñòü ó öié îðìóëi äîñÿãà¹òüñÿ äëÿ åíåð i¨ N -âèìiðíî¨ ìîäåëi â ðîçðàõóíêó íà îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi ïðè N → ∞. Çðîáèìî íàáëèæåíèé ðîçðàõóíîê åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó àíãàðìîíi÷íîãî |x|-îñöèëÿòîðà ç ãàìiëüòîíiàíîì 2 ˆ = pˆ + α|ˆ H x|. 2m

Âèêîðèñòîâóþ÷è ìiðêóâàííÿ ç ïîïåðåäíiõ ïðèêëàäiâ, ìà¹ìî: ˆ ≥ E = hHi

Ïðèïóñòèìî, ùî h|ˆ x|i ≃

p

hˆ x2 i. Ìiíiìóìó åíåð i¨ E äîñÿãà¹ìî ïðè

2

hˆ x i=

ïðè÷îìó 3 E≃ 2

~2 + αh|ˆ x|i. 8mhˆ x2 i

~2 α2 4m

~2 4mα

2/3

1/3

,

= 1.190551

~2 α2 2m

1/3

.

Çàáiãàþ÷è íàïåðåä, óêàæåìî, ùî òî÷íå çíà÷åííÿ ÷èñëîâîãî êîåiöi¹íòà äîðiâíþ¹ 1.018793. ßê áà÷èìî, íàøå îöiíî÷íå çíà÷åííÿ åíåð i¨ ¹ äîñèòü áëèçüêèì äî òî÷íîãî. îçãëÿíüìî çàãàëüíiøó ìîäåëü àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, 2 ˆ = pˆ + α|ˆ x|k , H 2m

α > 0, k > 0,

äëÿ ÿêîãî åíåðãiÿ

~2 + αh|ˆ x|k i. 8mhˆ x2 i Ïðèïóñòiìî, ùî õâèëüîâà óíêöiÿ, ç ÿêîþ âiäáóâà¹òüñÿ óñåðåäíåííÿ äëÿ òèõ çíà÷åíü x, ÿêi äàþòü ãîëîâíèé âíåñîê ó öå óñåðåäíåííÿ, ìà¹ ãàóñiâñüêèé õàx2 i). Òîäi ëåãêî ïîêàçàòè, ùî ðàêòåð, ψ ∼ exp(−x2 /4hˆ E≥

7

I. Î. Âàêàð÷óê

97

2k/2 1 k h|xk |i = √ Γ + hˆ x2 ik/2 , 2 2 π ìiíiìóì ïðàâî¨ ÷àñòèíè íåðiâíîñòi äëÿ åíåðãi¨ ìà¹ìî ïðè 1 2

hˆ x2 i =

i îñòàòî÷íî E≃

~2 4m

Ïðè k = 1

1+

2 √ k+2 ~2 π , 2mkαΓ(k/2 + 1/2)

2 k

2mkα √ Γ ~2 π

1 k + 2 2

1/3

2 k+2

. 1/3

3 ~2 α2 ~2 α2 = 1.024176 , 2π 1/3 2m 2m îòæå, ìà¹ìî çíà÷íî áëèæ÷å p çíà÷åííÿ åíåðãi¨ äî òî÷íîãî ðåçóëüòàòó, îñêiëü2hˆ x2 i/π ¹ òî÷íiøèì, íiæ íàøà ïîïåðåäíÿ ãðóáà x|i = êè òåïåð çâ'ÿçîê h|ˆ ïðèêèäêà h|ˆ x|i = hˆ x2 i1/2 . Ïðè k = 4 åíåðãiÿ E≃

E≃

3 8

6α~4 m2

1/3

= 0.681420

α~4 m2

1/3

,

ùî òàêîæ äîáðå óçãîäæó¹òüñÿ ç òî÷íèì çíà÷åííÿì ÷èñëîâîãî êîåiöi¹íòà 0.667986 . . . äëÿ åíåðãi¨ îñíîâíîãî ñòàíó öi¹¨ ìîäåëi. Ïðèêëàä 3. Îñíîâíèé ñòàí àòîìà âîäíþ. Îöiíèìî åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó. Çi ñïiââiäíîøåííÿ àéçåíáåð à âèïëèâà¹, ùî iìïóëüñ

p ∼ ~/a,

äå a õàðàêòåðíèé ìàñøòàá äîâæèíè â öié çàäà÷i, ÿêèé çà ïîðÿäêîì âåëè÷èíè äîðiâíþ¹ ñåðåäíié âiäñòàíi ìiæ ÿäðîì é åëåêòðîíîì. Ñåðåäíÿ åíåð iÿ åëåêòðîíà p2 Ze2 E= − , 2m r r âiäñòàíü ìiæ ÿäðîì é åëåêòðîíîì, Z çàðÿä ÿäðà. Íåõàé r = a,

p=

ïðè öüîìó åíåð iÿ

~ , a

~2 Ze2 − . 2 2ma a îçãëÿäà¹ìî íåâiäîìó åíåð iþ ÿê óíêöiþ ïàðàìåòðà a, E =E(a). Âèáåðåìî a ç óìîâè E(a) = min: dE(a)/da = 0. Öå äà¹ E=

a = aB /Z,

98

aB =

ðàäióñ Áîðà.

~2 A = 0.529 me2

~ 2 m 2 e4 Z 2 Ze2 me2 Z me4 Z 2 e2 Z 2 − =− =− 2m~4 ~2 2~2 2aB åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà âîäíþ. Ìè îòðèìàëè òî÷íèé ðåçóëüòàò, íåçâàæàþ÷è íà ïðèêèäíèé õàðàêòåð íàøèõ îá÷èñëåíü. E=

Ïðèêëàä 4. iäêèé ãåëié. Êiíåòè÷íà åíåð iÿ àòîìà, ÿêèé ëîêàëiçîâàíèé ó ðiäêîìó ãåëi¨ ç íåâèçíà÷åíiñòþ ∆r , ~2 K= 2m(∆r)2

åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü. Ñåðåäíÿ âiäñòàíü ìiæ àòîìàìè â ðiäêîìó ãåA, ðîçìiðè àòîìà ïîðÿäêó 2.2 A, òîìó, ïðèéìàþ÷è ëi¨ 4 He ¹ ïîðÿäêó 4.5 A, îòðèìà¹ìî K ∼ 24◦ K. Åíåð iÿ çâ'ÿçêó U ≃ −7◦ K. Îòæå, |U | < K ∆r ∼ 0.5 i ñèñòåìà àòîìiâ çíàõîäèòüñÿ â íåçâ'ÿçàíîìó, òîáòî â ðiäêîìó ñòàíi, i ëèøå ïðè òèñêó ∼ 25 àòì ðiäêèé ãåëié 4 He ïåðåõîäèòü ó êðèñòàëi÷íèé ñòàí. Äëÿ 3 He, âíàñëiäîê ìåíøî¨ ìàñè àòîìà, åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü ¹ ùå áiëüøîþ, i äëÿ éîãî êðèñòàëiçàöi¨ íåîáõiäíèé òèñê ∼ 30 àòì. Îòæå, òîé àêò, ùî ãåëié çàëèøà¹òüñÿ ðiäêèì íàâiòü ïðè òåìïåðàòóði àáñîëþòíîãî íóëÿ, ¹ ïðÿìèì íàñëiäêîì ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à. Âîäåíü H2 , õî÷ i ëåãøèé, íiæ ãåëié, i åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü ùå áiëüøà, îäíàê çàìåðçà¹ ïðè ñêií÷åííié òåìïåðàòóði ∼ 14◦ K. Öå ïîâ'ÿçàíî ç ñèëüíîþ âçà¹ìîäi¹þ ìiæ ìîëåêóëàìè âîäíþ. À àòîìàðíèé ïîëÿðèçîâàíèé âîäåíü (öå íîâèé êâàíòîâèé ãàç àòîìiâ âîäíþ ç ïàðàëåëüíèìè ñïiíàìè, åíåð i¹þ çâ'ÿçêó ∼ 5◦ K; òàêèé ñòàí ðåàëiçó¹òüñÿ ïðè íàêëàäàííi ñèëüíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ), âíàñëiäîê ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòåé, i ïðè àáñîëþòíîìó íóëi òåìïåðàòóðè çàëèøà¹òüñÿ â ãàçîïîäiáíîìó ñòàíi. Ïðèêëàä 5. Àòîìíå ÿäðî. Ç åêñïåðèìåíòó âiäîìî, ùî åíåð iÿ çâ'ÿçêó íóêëîíiâ ó ÿäði ç ðîçðàõóíêó íà îäèí íóêëîí E0 ∼ 8 MeV. Ç äðóãîãî áîêó, öÿ åíåð iÿ, çãiäíî ç ïðèíöèïîì íåâèçíà÷åíîñòåé, çà ïîðÿäêîì âåëè÷èíè äîðiâíþ¹ ~2 /2M a2 , äå a ëiíiéíi ðîçìiðè ÿäðà (äiàìåòð), M ìàñà ïðîòîíà:

~2 , 2M a2 àáî, óâiâøè àòîìíi ìàñøòàáè ç ìåòîþ ïîðiâíÿííÿ ¨õ ç ÿäåðíèìè, ìà¹ìî E0 =

r

a = aB

m me4 . M 2~2 E0

Áåðó÷è äî óâàãè ÷èñåëüíi çíà÷åííÿ me4 = 13.6 eV, 2~2 aB = 7*

M ≃ 1836, m

~2 A, = 0.529 me2

99

çíàõîäèìî îöiíêó ëiíiéíèõ ðîçìiðiâ ÿäðà a = 3 × 10−5 aB ,

a = 1.6 × 10−13 ñì.

Ìàþ÷è ëiíiéíi ðîçìiðè, ìîæíà îöiíèòè ìàñó π -ìåçîíà mπ , òàê ñàìî âèêîðèñòîâóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé. Iìïóëüñ p ∼ ~/a, à ç óðàõóâàííÿì p ∼ mπ c çíàõîäèìî ~ aB mπ ≃ = m α, ac a äå òàê çâàíà ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè α=

1 e2 ≃ , ~c 137

à ÷èñåëüíî mπ ≃ 240m.

Îáèäâà çíà÷åííÿ a òà mπ ¹ äîñòàòíüî áëèçüêèìè äî ñïîñòåðåæóâàíèõ. Îòæå, ìàñà π -ìåçîíà íà äâà ïîðÿäêè áiëüøà âiä ìàñè åëåêòðîíà. Òóò öiêàâî áóëî á çóïèíèòèñü i ïîãîâîðèòè ïðî ñïåêòð ìàñ åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê. Åëåêòðîí ¹ ÷àñòèíêîþ ç íàéìåíøîþ ìàñîþ me ≃ 0.511 MeV ñåðåä ÷àñòèíîê, ùî ìàþòü íåíóëüîâó ìàñó ñïîêîþ12 . Ùîáiëüøå, çà ìàñîþ âií ïiäîçðiëî äàëåêî âiäiðâàíèé âiä iíøèõ ÷àñòèíîê. Ó ÷îìó ði÷? Ïiçíiøå ìè ïîâåðíåìîñü äî öüîãî ïèòàííÿ.

12

Ïåðåêîíëèâèõ äîêàçiâ íàÿâíîñòi ÷è âiäñóòíîñòi ìàñè ñïîêîþ â íåéòðèíî ïîêè ùî íåìà¹. Ó ìîäåëi åëåêòðîñëàáêèõ âçà¹ìîäié íåéòðèíî ââàæà¹òüñÿ áåçìàñîâèì, òîäi ÿê áiëüøiñòü òåîðié Âåëèêîãî Îá'¹äíàííÿ âèìàãà¹, ùîá ó íåéòðèíî áóëà ìàñà, à åêñïåðèìåíò óñòàíîâèâ ëèøå âåðõíi ìåæi áëèçüêî 30 eV. Íàÿâíiñòü ìàñè â íåéòðèíî ðîçâ'ÿçó¹ ïðîáëåìó òåìíî¨ ìàñè Âñåñâiòó i äîçâîëÿ¹ ÿâèùå íåéòðèííèõ îñöèëÿöié, ùî âèðiøó¹ ïðîáëåìó ñîíÿ÷íèõ íåéòðèíî. Ó Ïðèêëàäi 4 äî 3 ìè îáãîâîðþâàëè ïðîáëåìó íåéòðèííèõ îñöèëÿöié, íàðîäæåíèõ â àòìîñåði Çåìëi i âèÿâëåíèõ ó ëàáîðàòîði¨ Super-Kamiokande (ßïîíñüêi Àëüïè) â 1998 ðîöi ãðóïîþ ÿïîíñüêèõ òà àìåðèêàíñüêèõ içèêiâ. Öi åêñïåðèìåíòè äàþòü çìîãó îöiíèòè ðiçíèöþ ìàñ îäíîãî ç íåéòðèíî âiäíî íî ìþîííîãî νµ : âîíà ñòàíîâèòü ∼ 0.07 eV i ¹ íèæíüîþ ìåæåþ äëÿ ìàñè νµ .

Ë À Â À II ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÈÉ ÀÏÀÀÒ ÊÂÀÍÒÎÂÎ ÌÅÕÀÍIÊÈ

8. Îïåðàòîðè içè÷íèõ âåëè÷èí

Çàâäàííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ÿê i êîæíî¨ íàóêè, ïîëÿãà¹ â òîìó, ùîá çà ðåçóëüòàòàìè îäíèõ âèìiðþâàíü ïåðåäáà÷èòè ðåçóëüòàòè iíøèõ âèìiðþâàíü. Òàêå ïåðåäáà÷åííÿ, ùî çäiéñíþ¹òüñÿ íà ïiäñòàâi ñïåöiàëüíî ïîñòàâëåíèõ ïîïåðåäíiõ äîñëiäæåíü, ¹ ãîëîâíîþ îçíàêîþ íàóêè ÿê òàêî¨ i ìîæå áóòè ïîêëàäåíå â îñíîâó ¨¨ îçíà÷åííÿ1 . Îäíàê ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ïðîöåñ âèìiðþâàííÿ âiäiãðà¹, íà âiäìiíó âiä êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè, îñîáëèâó ðîëü. Ñàìi îïåðàöi¨ âèìiðþâàííÿ, ÿê ìè áà÷èëè, ïîòðåáóþòü äîêëàäíîãî àíàëiçó, ùî ïîâ'ÿçàíî ç îáìåæåííÿì íà ñóìiñíå âèçíà÷åííÿ, íàïðèêëàä, êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó ÷àñòèíêè. Îòæå, ïîáóäîâà êâàíòîâî¨ òåîði¨ âèìàãà¹ óíäàìåíòàëüíèõ çìií îñíîâíèõ êëàñè÷íèõ óÿâëåíü òà çàêîíiâ. Òàê ñàìî, ÿê êâàíòîâîìåõàíi÷íi ÿâèùà âiäðiçíÿþòüñÿ âiä êëàñè÷íèõ, òàê i ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè âiäìiííèé âiä àïàðàòó êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè. Ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ¹ òåîði¹þ ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ ó ãiëüáåðòîâèõ ïðîñòîðàõ. Öå çíàõîäèòüñÿ ó ïîâíié âiäïîâiäíîñòi äî òîãî, ùî ñàìi âèìiðþâàííÿ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê îïåðàöi¨, ÿêi çäiéñíþþòüñÿ íàä içè÷íèìè ñèñòåìàìè. 1

Öå ïåðåäáà÷åííÿ âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä ïðîãíîçóâàíü äåëüiéñüêîãî îðàêóëà, ÿêi ìàëè âèíÿòêîâå çíà÷åííÿ ó ñòàðîäàâíüîìó ñâiòi. Ìiñòî Äåëüè ó Ñòàðîäàâíié ðåöi¨ âiäiãðàâàëî òàêó æ ðîëü, ÿê ó íàø ÷àñ Ìåêêà äëÿ ìóñóëüìàí ÷è ðóñàëèì äëÿ õðèñòèÿí. Äî æðèöü õðàìó Àïîëëîíà â Äåëüàõ çâåðòàëèñü çà ïðîðîöòâîì îðàêóëà ïðàâèòåëi òà ïîëêîâîäöi ïåðåä ïðèéíÿòòÿì âàæëèâîãî ðiøåííÿ àáî âiéñüêîâèì ïîõîäîì. Ïåðåäáà÷åííÿ îðàêóëà æðèöi ÷àñòî ïåðåäàâàëè ó îðìi òàêî¨ êðèïòîãðàìè, ÿêó ãîäi áóëî ðîçøèðóâàòè, ùî íå ðàç ïðèçâîäèëî äî äâîçíà÷íîãî éîãî òëóìà÷åííÿ òà àòàëüíèõ íàñëiäêiâ. Õî÷ ó ñó÷àñíié ïðàêòèöi iñíó¹ òàê çâàíèé äåëüiéñüêèé ìåòîä, ùî ïîëÿãà¹ ó ñòàòèñòè÷íié îáðîáöi áàãàòüîõ ñïîñòåðåæåíü òà ïðîãíîçóâàíü íà öié îñíîâi ç íàñòóïíîþ êîðåêöi¹þ çà ðåçóëüòàòàìè íîâèõ äàíèõ.

101

Ïåðåéäåìî äî âèçíà÷åííÿ ïîíÿòòÿ îïåðàòîðà. Îïåðàòîðîì fˆ íàçèâàþòü ðåöåïò, çà ÿêèì çà çàäàíîþ óíêöi¹þ ψ(x) çíàõîäÿòü iíøó óíêöiþ ϕ(x): ϕ(x) = fˆψ(x). ßê áóëî ïîêàçàíî ðàíiøå, äëÿ îá÷èñëåííÿ ñåðåäíiõ çíà÷åíü êîîðäèíàòè x òà iìïóëüñó p ÷àñòèíêè â ñòàíi, ùî îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ(x), íåîáõiäíî âèêîíàòè òàêi îïåðàöi¨: Z hxi = ψ ∗ (x)xψ(x)dx,

hpi =

Z

ψ ∗ (x)ˆ pψ(x)dx,

Z

ψ ∗ (q)(. . .)ψ(q)dq,

äå ñèìâîëîì pˆ ïîçíà÷åíî îïåðàöiþ äèåðåíöiþâàííÿ pˆ=−i~d/dx. Äîìîâèìîñü ïðî ïîçíà÷åííÿ: çàìiñòü ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ iìïóëüñó p, ïèøåìî hpi, i âçàãàëi, çàìiñòü ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè f , ïèøåìî hf i. Ç iíøîãî áîêó, ââåäåìî ìàòåìàòè÷íó îïåðàöiþ óñåðåäíåííÿ â ñòàíi ψ , ÿêó òàêîæ ïîçíà÷èìî êóòîâèìè äóæêàìè Z h. . .i = ψ ∗ (q)(. . .)ψ(q)dq àáî ðèñêîþ

(. . .) =

äå q ñóêóïíiñòü çìiííèõ, íà ÿêèõ çàäàíà õâèëüîâà óíêöiÿ. Íàïðèêëàä, ìè âæå ìàëè ψ(x), C(p) àìïëiòóäè éìîâiðíîñòåé, çàäàíi âiäïîâiäíî íà ïðîñòîðàõ êîîðäèíàò àáî iìïóëüñiâ. Êîæíié içè÷íié âåëè÷èíi A ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ñòàâèòüñÿ ó âiäïîâiäíiñòü îïåðàòîð öi¹¨ âåëè÷èíè Aˆ òàêèé, ùî ¨¨ ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ â ñòàíi ψ(q) äîðiâíþ¹: Z ˆ hAi = ψ ∗ (q)Aψ(q)dq. Ïîñòóëàò.

Çiñòàâëåííÿ îïåðàòîðiâ ç içè÷íèìè âåëè÷èíàìè ïîâèííî âèêîíóâàòèñü ç óðàõóâàííÿì òèõ óìîâ, ÿêi íàêëàäàþòüñÿ îñíîâíèìè ïðèíöèïàìè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè: 102

1◦ . Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨ âèìàãà¹ ëiíiéíîñòi âñiõ ðiâíÿíü äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié ψ(q), ùî â ñâîþ ÷åðãó âèìàãà¹, ùîá îïåðàòîðè içè÷íèõ âåëè÷èí áóëè ëiíiéíèìè îïåðàòîðàìè:

ˆ ˆ ACψ(q) = C Aψ(q),

C = const,

ˆ 1 (q) + ψ2 (q)] = Aψ ˆ 1 (q) + Aψ ˆ 2 (q). A[ψ 2◦ . Ôiçè÷íi âåëè÷èíè öå ñïîñòåðåæóâàëüíi âåëè÷èíè. õ âèìiðþþòü ó äîñëiäàõ, ó ðåçóëüòàòi ÿêèõ îòðèìóþòü äiéñíi ÷èñëà. Öå îçíà÷à¹, ùî ñåðåäíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ, ÿêi ïðåäñòàâëÿþòü içè÷íi âåëè÷èíè, ¹ äiéñíèìè:

ˆ = hAi ˆ ∗, hAi

àáî â ìàòåìàòè÷íîìó çàïèñi Z Z ∗ ˆ ψ (q)Aψ(q)dq = ψ(q)Aˆ∗ ψ ∗ (q)dq. Öÿ ðiâíiñòü ¹ ÷àñòêîâèì âèïàäêîì çàãàëüíîãî ñïiââiäíîøåííÿ. ˜ Óâåäåìî òðàíñïîíîâàíèé ñòîñîâíî äî Aˆ îïåðàòîð Aˆ òàêèé, ùî Z Z ˜ˆ ∗ ∗ ˆ ψ1 (q)Aψ2 (q)dq = ψ2 (q)Aψ 1 (q)dq. Ïîðiâíþþ÷è ç ïîïåðåäíüîþ ðiâíiñòþ, ìà¹ìî

˜ Aˆ = Aˆ∗ . ˆ, Óâåäåìî ïîíÿòòÿ ñïðÿæåíîãî îïåðàòîðà Aˆ+ äî A ˜∗ Aˆ+ = Aˆ , àáî â iíòå ðàëüíié îðìi: Z Z ∗ ∗ ˆ ψ1 (q)Aψ2 (q)dq = ψ2 (q) Aˆ+ ψ1 (q) dq.

Îòæå, âíàñëiäîê äiéñíîñòi ñïîñòåðåæóâàëüíèõ âåëè÷èí, ìà¹ìî

Aˆ = Aˆ+ . 103

Îïåðàòîðè, ùî çàäîâîëüíÿþòü öþ óìîâó, íàçèâàþòü ñàìîñïðÿæåíèìè, àáî åðìiòîâèìè. Â iíòå ðàëüíié îðìi óìîâà ñàìîñïðÿæåíîñòi ìîæå áóòè çàïèñàíà ó âèãëÿäi: Z Z ∗ ˆ 2 (q)dq = ψ2 (q) Aψ ˆ 1 (q) dq. ψ1∗ (q)Aψ

îçãëÿíüìî äåêiëüêà ïðèêëàäiâ. Îòæå, íåõàé çàäàíî îïåðàòîð äèåðåíöiþâàííÿ Aˆ = d/dx, çíàéòè Aˆ+ . Çíàéäiìî ñïî÷àòêó òðàíñïîíîâàíèé îïåðàòîð. Ìà¹ìî Z o n d iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè ϕ1 (x) ϕ2 (x)dx = dx Z d = − ϕ2 (x) ϕ1 (x)dx. dx

Ïðèïóñêà¹òüñÿ, ùî âíåñîê âiä äîáóòêó õâèëüîâèõ óíêöié íà ãðàíèöÿõ îáëàñòi iíòå ðóâàííÿ äîðiâíþ¹ íóëåâi (ÿê öå áóëî ïðè âèâåäåííi âèðàçó äëÿ îïåðàòîðà iìïóëüñó). Îòæå, g d d =− , dx dx

d dx

+

g∗ d d = =− . dx dx

Òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîð äèåðåíöiþâàííÿ íå ¹ åðìiòîâèì îïåðàòîðîì: + d d 6= . dx dx

Íàñòóïíèé ïðèêëàä îïåðàòîð iìïóëüñó. Çàäàíî îïåðàòîð iìïóëüñó d pˆ = −i~ , dx çíàéòè ñïðÿæåíèé îïåðàòîð. Ìà¹ìî g d d d ∗ ˜ pˆ = −i~ pˆ+ = ˜pˆ = −i~ ; = i~ , dx dx dx 104

pˆ+ = pˆ. Îòæå, îïåðàòîð iìïóëüñó ¹ ñàìîñïðÿæåíèì îïåðàòîðîì, ÿê i ïîâèííî áóòè äëÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè. îçãëÿíüìî ùå òàê çâàíi îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ. Öi îïåðàòîðè çàäàþòüñÿ ðiâíîñòÿìè:

ˆb+ ψN =

√ N + 1 ψN +1 ,

ˆbψN =

√

N ψN −1 ,

äå ψN õâèëüîâà óíêöiÿ N òîòîæíèõ ÷àñòèíîê, ùî ïåðåáóâàþòü â îäíîìó é òîìó æ êâàíòîâîìó ñòàíi (íàïðèêëàä, îòîíè â ëàçåði). ×àñòèíêè, ùî îïèñóþòü òàêèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè é îïåðàòîðàìè, íàçèâàþòü áîçîíàìè àáî áîçå-÷àñòèíêàìè. Äëÿ åðìi-÷àñòèíîê õâèëüîâi óíêöi¨ òà îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ ¹ iíøèìè. ˆ = ˆb+ˆb Î÷åâèäíî, ùî ˆb 6= ˆb+ , à îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèíîê N + ˆ =N ˆ. ¹ åðìiòîâèì: N Âèñíîâîê. Ç ìàòåìàòè÷íî¨ òî÷êè çîðó êâàíòîâà ìåõàíiêà öå òåîðiÿ ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ. Ñïîñòåðåæóâàëüíi âåëè÷èíè ïðåäñòàâëÿþòüñÿ ëiíiéíèìè ñàìîñïðÿæåíèìè (åðìiòîâèìè) îïåðàòîðàìè. Íåñïîñòåðåæóâàëüíi ïðîöåñè (ÿê íàïðèêëàä, âiðòóàëüíå íàðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ îòîíiâ) ìîæóòü îïèñóâàòèñü i íååðìiòîâèìè îïåðàòîðàìè, îäíàê ëiíiéíèìè.

îçãëÿíåìî òåïåð äi¨ íàä îïåðàòîðàìè. 1◦ . Ñóìà îïåðàòîðiâ:

ˆ = Aψ ˆ ± Bψ. ˆ (Aˆ ± B)ψ Íàïðèêëàä,

Aˆ = x,

ˆ = pˆ = −i~ d , B dx

à ñóìà

(αx + pˆ)ψ = αxψ(x) − i~

dψ(x) , dx

α = const. 105

2◦ . Äîáóòîê. ˆ òà B ˆ Aˆ, îçðiçíÿ¹ìî äîáóòîê AˆB

ˆ ϕ1 = AˆBψ,

ˆ Aψ. ˆ ϕ2 = B

Áåðó÷è çàãàëîì, ϕ1 6= ϕ2 . Íàïðèêëàä:

xˆ pψ(x) = −i~x pˆxψ(x) = −i~

dψ(x) , dx

d dψ(x) {xψ(x)} = −i~ψ(x) − i~x . dx dx

Îòæå, ðiçíèöÿ

{xˆ p − pˆx}ψ(x) = i~ψ(x)

i íå äîðiâíþ¹ íóëåâi. Â îïåðàòîðíié îðìi öå ìîæíà çàïèñàòè ÿê

xˆ p − pˆx = i~. Îïåðàòîð

ˆ B] ˆ ≡ AˆB ˆ −B ˆ Aˆ [A,

íàçèâàþòü êîìóòàòîðîì. Öåé âèðàç íàçèâàþòü òàêîæ êîìóòàöiéˆ . ßêíèì, àáî ïåðåñòàâíèì ñïiââiäíîøåííÿì îïåðàòîðiâ Aˆ i B ˆ ˆ ùî [A, B] = 0, òî êàæóòü, ùî îïåðàòîðè êîìóòóþòü (ïåðåñòàâëÿþòüñÿ). 3◦ . Îïåðàöiÿ ñïðÿæåííÿ äîáóòêó îïåðàòîðiâ. îçãëÿíåìî ðÿä ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü: Z Z Z ˜ˆ ˆ ˆ ˆ ψ1 (q)ABψ2 (q)dq = ψ1 (q)Aϕ2 (q)dq = ϕ2 (q)Aψ 1 (q)dq,

ˆ 2 (q). Óâåäåìî äàëi ϕ1 (q) = òóò ìè ââåëè ïîçíà÷åííÿ ϕ2 (q) = Bψ ˜ˆ Aψ 1 (q) i ïðîäîâæèìî ðiâíiñòü: Z Z Z ˆ ˆ ˆ 2 (q)dq ψ1 (q)ABψ2 (q)dq = ϕ1 (q)ϕ2 (q)dq = ϕ1 (q)Bψ = 106

Z

˜ˆ ψ2 (q)Bϕ 1 (q)dq =

Z

˜ˆ ˜ˆ ψ2 (q)B Aψ1 (q)dq.

Îòæå, ìà¹ìî

àáî îñòàòî÷íî

g ˜ˆ ˜ˆ ˆ=B AˆB A,

g ˆ AˆB

∗

˜ˆ ∗ ˜ˆ∗ =B A ,

ˆ + = B + A+ . (AˆB) ßêùî îïåðàòîðè ¹ ñàìîñïðÿæåíèìè, òî

ˆ +=B ˆ A. ˆ (AˆB) ßêùî åðìiòîâi îïåðàòîðè íå êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, òî ¨õ äîáóòîê íå áóäå åðìiòîâèì. Äiéñíî, çà îçíà÷åííÿì ñàìîñïðÿæåíîñòi,

ˆ + = AˆB. ˆ (AˆB) Ç iíøîãî áîêó, çà îçíà÷åííÿì ñïðÿæåíîñòi îïåðàòîðà,

ˆ +=B ˆ + Aˆ+ = B ˆ A, ˆ (AˆB) òîáòî, ùîá âèêîíóâàëàñü ïåðøà ðiâíiñòü, íåîáõiäíî:

ˆ=B ˆ A. ˆ AˆB 4◦ . Ñèìåòðèçîâàíèé äîáóòîê åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ. ˆ Äëÿ äâîõ åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ ñèìåòðèçîâàíèé äîáóòîê (AˆB+ ˆ A)/2 ˆ ¹ åðìiòîâèì îïåðàòîðîì. Ñïðàâäi, B

1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ + 1 ˆ + ˆ+ ˆ+ ˆ + ˆ A). ˆ (AB+B A) = (B A +A B ) = (B A + AB) = (AˆB +B 2 2 2 2 5◦ . Àíòèñèìåòðè÷íèé äîáóòîê iç ìíîæåííÿì íà i. ˆ −B ˆ A)/2, ˆ Îïåðàòîð i(AˆB ùî óòâîðåíèé åðìiòîâèìè îïåðàòîðàˆ ˆ ìè A, B , òàêîæ ¹ åðìiòîâèì îïåðàòîðîì: + i ˆ ˆ ˆˆ i ˆˆ i ˆ ˆ ˆ −B ˆ A). ˆ (AB − B A) = − (B A − AB) = (AˆB 2 2 2 107

6◦ . Çîáðàæåííÿ äîâiëüíîãî îïåðàòîðà ëiíiéíîþ êîìáiíàöi¹þ åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ.

Î÷åâèäíî:

i îòæå,

Aˆ = (Aˆ + Aˆ+ )/2 + i Aˆ − Aˆ+ /2i, ˆ + iC, ˆ Aˆ = B

äå

ˆ = (Aˆ + Aˆ+ )/2, B

C = (Aˆ − Aˆ+ )/2i

åðìiòîâi îïåðàòîðè. ˆ−1 7◦ . Îáåðíåíèé îïåðàòîð A Çà îçíà÷åííÿì,

äî îïåðàòîðà

ˆ. A

AÂˆ−1 = Aˆ−1 Aˆ = 1. ßêùî

Aˆ+ = Aˆ−1 , òî òàêèé îïåðàòîð íàçèâàþòü óíiòàðíèì îïåðàòîðîì. Óíiòàðíèé îïåðàòîð ìà¹ âàæëèâó âëàñòèâiñòü: Z Z 2 ∗ ˆ ˆ ˆ |Aψ(q)| dq = (Aψ(q)) Aψ(q) dq

=

Z

ˆ ψ (q)Aˆ+ Aψ(q) dq = ∗

Z

|ψ(q)|2 dq,

òîáòî âií çáåðiãà¹ íîðìó õâèëüîâî¨ óíêöi¨. ˆ. 8◦ . Ôóíêöiÿ âiä îïåðàòîðà A ˆ ðîçóìi¹ìî ðîçêëàä óíêöi¨ f (x) ó ðÿä ÒåéÏiä óíêöi¹þ f (A) ëîðà çà ñòåïåíÿìè x iç çàìiíîþ x íà Aˆ:

ˆ = f (0) + f ′ (0)Aˆ + f (A)

f ′′ (0) ˆ2 f ′′′ (0) ˆ3 A + A + ... . 2! 3!

ßê áà÷èìî, öå îçíà÷åííÿ âèìàãà¹ àíàëiòè÷íîñòi óíêöi¨ f = f (x). 108

9. Âëàñíi óíêöi¨ i âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ

òà ¨õ içè÷íà iíòåðïðåòàöiÿ

Íåõàé ìè âèìiðþ¹ìî çíà÷åííÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè A äëÿ äåÿêî¨ êâàíòîâî¨ ñèñòåìè, ñòàí ÿêî¨ îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ(q). Ïîñòàâèìî ïèòàííÿ: ÿêå çíà÷åííÿ A ìè îòðèìà¹ìî? Çàãàëîì êàæó÷è, âîíî íå çáiãà¹òüñÿ ç ñåðåäíiì çíà÷åííÿì Z ˆ hAi = ψ ∗ (q)Aψ(q)dq.

Ó êîæíîìó àêòi âèìiðþâàííÿ ìàòèìåìî äåÿêi âiäõèëåííÿ âiä hAi, i ëèøå áàãàòîêðàòíå ïîâòîðåííÿ ¨õ äàñòü íàì iíîðìàöiþ ïðî ñåðåäí¹ A. Êiëüêiñíîþ õàðàêòåðèñòèêîþ âiäõèëåíü âèìiðþâàíèõ çíà÷åíü A âiä hAi ¹ ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ. Äëÿ éîãî ðîçðàõóíêó ââåäåìî îïåðàòîð âiäõèëåííÿ A âiä hAi:

d = Aˆ − hAi, ˆ ∆A

d = 0. Ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ òàê ùî h∆Ai Z Z 2 ∗ 2 d d d ∆Aψ(q)dq. d h(∆A) i = ψ (q)(∆A) ψ(q)dq = ψ ∗ (q)∆A d: Âèêîðèñòà¹ìî ñàìîñïðÿæåíiñòü îïåðàòîðà ∆A Z Z 2 ∗ 2 d d d d h(∆A) i = (∆Aψ(q))(∆Aψ(q)) dq = |(∆Aψ(q))| dq.

Íà öåé âèðàç ìîæíà ìàòè äâà ïîãëÿäè. ßêùî íàì âiäîìèé ñòàí ψ(q), òî ìè ìîæåìî îá÷èñëèòè ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ âåëè÷èíè A. Ìè òàêîæ ìîæåìî çíàõîäèòè çà öi¹þ îðìóëîþ òàêi íåâiäîìi ñòàíè ψ(q), äëÿ ÿêèõ ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ñàìå äðóãèé ïîãëÿä i âiäïîâiñòü íàì íà ïèòàííÿ, ÿêi çíà÷åííÿ içè÷íèõ âåëè÷èí îäåðæó¹ìî ïðè âèìiðþâàííÿõ. Îòæå, íåõàé àáî â ÿâíîìó âèãëÿäi:

d 2i = 0 h(∆A)

Z 2 d (∆Aψ(q)) dq = 0.

109

Îñêiëüêè ïiä iíòå ðàëîì äîäàòíà âåëè÷èíà, òî öþ óìîâó ìîæíà çàïèñàòè òàê: d ∆Aψ(q) = 0, àáî

ˆ (Aˆ − hAi)ψ(q) = 0. Ó ñòàíi ψ(q), ÿêèé çàäîâîëüíÿ¹ öå ðiâíÿííÿ, çíà÷åííÿ içè÷íî¨ âåˆ . Òîìó ëè÷èíè A òî÷íî äîðiâíþ¹ ñâî¹ìó ñåðåäíüîìó çíà÷åííþ hAi íàäàëi áóäåìî îïóñêàòè ñèìâîë ñåðåäíüîãî:

ˆ Aψ(q) = Aψ(q). Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó öå ðiâíÿííÿ ìà¹ ðîçâ'ÿçîê íå äëÿ äîâiëüíèõ çíà÷åíü A, à ëèøå äëÿ ïåâíèõ A1 , A2 , . . . . Ñóêóïíiñòü A1 , A2 , . . . ìîæå óòâîðþâàòè ÿê äèñêðåòíèé ðÿä çíà÷åíü, òàê i íåïåðåðâíèé ó äåÿêîìó iíòåðâàëi. Âåëè÷èíè A1 , A2 , . . . íàçèâàþòü âëàñíèìè çíà÷åííÿìè îïåðàòîðà Aˆ, à âiäïîâiäíi öèì âëàñíèì çíà÷åííÿì óíêöi¨ ψ1 (q), ψ2 (q), . . . âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà Aˆ. Ñóêóïíiñòü âëàñíèõ çíà÷åíü îïåðàòîðà Aˆ íàçèâàþòü ñïåêòðîì öüîãî îïåðàòîðà. Òàêèì ÷èíîì, ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi:

ˆ n (q) = An ψn (q), Aψ ÷èñëà n (öå ìîæå áóòè ñóêóïíiñòü ÷èñåë) íàçèâàþòü êâàíòîâèìè ÷èñëàìè. Ó äåÿêèõ âèïàäêàõ îäíîìó é òîìó æ âëàñíîìó çíà÷åííþ An âiäïîâiäàþòü äåêiëüêà âëàñíèõ óíêöié: ψn1 , ψn2 , . . . , ψns . Òîäi ãîâîðÿòü, ùî öå âëàñíå çíà÷åííÿ An ¹ âèðîäæåíèì s-êðàòíî. ×èñëî s ìîæå áóòè é áåçìåæíèì, òîáòî ìà¹ìî áåçìåæíîêðàòíå âèðîäæåííÿ. Ïîâåðíåìîñü òåïåð äî âèìiðþâàííÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè A â ñòàíi ψ(q), ÿêèé íå çáiãà¹òüñÿ ç âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà Aˆ. ßêáè ψ(q) = ψn (q), òî êîæíå âèìiðþâàííÿ äàâàëî á îäíå é òåæ çíà÷åííÿ An çà óìîâè, ùî ïiñëÿ êîæíîãî âèìiðþâàííÿ ìè ïîâåðòà¹ìî ñèñòåìó â ñòàí ψn (q). ßêùî ñòàí ψ(q) 6= ψn (q), òî â êîæíîìó àêòi âèìiðþâàííÿ ìè áóäåìî îòðèìóâàòè, óçàãàëi êàæó÷è, ðiçíi çíà÷åííÿ. ßêi? Íà öå äà¹ âiäïîâiäü íàñòóïíèé ïîñòóëàò. 110

Âèìiðþâàííÿ íà äîñëiäi içè÷íî¨ âåëè÷èíè A, ùî õàðàêòåðèçó¹òüñÿ ñâî¨ì îïåðàòîðîì Aˆ, äàþòü çíà÷åííÿ A1 , A2 , . . . iç ñóêóïíîñòi âëàñíèõ çíà÷åíü îïåðàòîðà Aˆ. Ïîñòóëàò.

Iíàêøå êàæó÷è, âèìiðþâàííÿ âåëè÷èíè A â ñòàíi ψ(q) â êîæíîìó àêòi äàþòü ðiçíi i, âçàãàëi êàæó÷è, ùîðàç iíøi çíà÷åííÿ, àëå êîæåí ðàç iç ñóêóïíîñòi A1 , A2 , . . . i òiëüêè! Òîáòî ñïåêòð ìîæëèâèõ çíà÷åíü ñïîñòåðåæóâàëüíèõ âåëè÷èí çáiãà¹òüñÿ çi ñïåêòðîì îïåðàòîðiâ, ùî ç íèìè çiñòàâëÿþòüñÿ. Ñàìå öèì i âèçíà÷à¹òüñÿ çìiñò îïåðàòîðiâ ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Îïåðàòîðè ìàþòü òàêèé çìiñò, ùî ¨õíi âëàñíi çíà÷åííÿ äàþòü ìîæëèâi ðåçóëüòàòè âèìiðþâàíü âiäïîâiäíî¨ ¨ì içè÷íî¨ âåëè÷èíè â äîâiëüíîìó ñòàíi. Ìè âæå çíàéîìi ç îïåðàòîðàìè êîîðäèíàòè, iìïóëüñó, êiíåòè÷íî¨ òà ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð ié. Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà iìïóëüñó ¹ ïëîñêà õâèëÿ äå Áðîéëÿ ipr . ψp (r) = C exp ~

ˆ , òîáòî Ñïðàâäi, äiþ÷è áåçïîñåðåäíüî íà íå¨ îïåðàòîðîì iìïóëüñó p áåðó÷è ïîõiäíi çà êîîðäèíàòàìè, ìà¹ìî: ˆ ψp (r) = pψp (r). p

Öÿ óíêöiÿ òàêîæ ¹ i âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨:

ˆ2 p p2 ψp (r) = ψp (r), 2m 2m ïðè÷îìó îñêiëüêè âëàñíå çíà÷åííÿ åíåð i¨ íå çàëåæèòü âiä íàïðÿìêó iìïóëüñó p, òî ìà¹ìî ïðèêëàä áåçìåæíîêðàòíîãî âèðîäæåííÿ, àäæå îäíîìó çíà÷åííþ p2 /2m âiäïîâiäà¹ áåçëi÷ óíêöié ψp (r), ùî âiäðiçíÿþòüñÿ ëèøå íàïðÿìêîì âåêòîðà p. Îïåðàòîð ìîìåíòó iìïóëüñó, àáî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó2 , ââîäèìî, âèêîðèñòîâóþ÷è éîãî êëàñè÷íå îçíà÷åííÿ, ïðîñòîþ çàìiíîþ iìïóëüñó îïåðàòîðîì iìïóëüñó. Ïðèêëàäè îïåðàòîðiâ içè÷íèõ âåëè÷èí, ùî äiþòü íà õâèëüîâi óíêöi¨, ÿêi çàëåæàòü âiä êîîðäèíàò ÷àñòèíêè, íàâåäåíî â òàáëèöi. 2 Ìîæëèâî, ùî öÿ äðóãà íàçâà ¹ äåùî ñòàðîìîäíîþ, àëå çà ñâî¹þ iñòîðè÷íîþ ðîëëþ âîíà âàðòà òîãî, ùîá çàëèøèòè ¨¨ ó âæèòêó içèêiâ.

111

Ôiçè÷íà âåëè÷èíà Êîîðäèíàòà: r; x, y, z .

Îïåðàòîð ìíîæåííÿ: r; x, y, z .

ˆ = −i~∇; p

Iìïóëüñ: p; px , py , pz .

p2y

p2 p2 p2 = x + + z. 2m 2m 2m 2m

Ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ:

Ïîâíà åíåð iÿ:

E=

2m

ðóõó:

j y py

Lx = ypz − zpy , Ly = zpx − xpz , Lz = xpy − ypx .

112

U (r, t) = U (x, y, z, t). Îïåðàòîð àìiëüòîíà (ãàìiëüòîíiàí):

+ U (x, y, z, t).

Ìîìåíò êiëüêîñòi i L = [r p] = x px

ˆ2 ~2 ∇2 ~2 ˆ = p =− =− ∆= K 2m 2m 2m 2 ∂2 ∂2 ∂ ~2 + + . − 2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Îïåðàòîð ìíîæåííÿ:

U (r, t) = U (x, y, z, t).

p2

∂ pˆx = −i~ ∂x ,

∂ ∂ , pˆz = −i~ ∂z . pˆy = −i~ ∂y

Êiíåòè÷íà åíåð iÿ:

K=

Îïåðàòîð

k z , pz

2 ˆ = − ~ ∆ + U (x, y, z, t). H 2m i j k ˆ = [r p L ˆ ] = −i~ x y z , ∂ ∂ ∂ ∂x

∂y

ˆ x = −i~ y ∂ − z ∂ , L ∂y ∂z ∂ ∂ ˆ y = −i~ z L −x , ∂z ∂x ˆ z = −i~ x ∂ − y ∂ . L ∂y ∂x

∂z

ßêùî àð óìåíòîì õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¹ íå äåêàðòîâi êîîðäèíàòè (x, y, z), à, íàïðèêëàä, ñåðè÷íi (r, ϑ, ϕ), òî äëÿ çíàõîäæåííÿ âiäïîâiäíèõ îïåðàòîðiâ íåîáõiäíî çðîáèòè çàìiíó çìiííèõ,     x = r cos ϕ sin ϑ,

  

y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ,

i ïåðåéòè âiä ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z äî ∂/∂r, ∂/∂ϕ, ∂/∂ϑ çà çàãàëüíèìè ïðàâèëàìè. Çíàéäåìî, íàïðèêëàä, îïåðàòîð ïðîåêöi¨ ìîìåíòó ˆ z ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ. Ìà¹ìî: êiëüêîñòi ðóõó L

∂ ∂ϕ

=

∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ + + ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z

= −r sin ϕ sin ϑ = −y Îòæå,

∂ ∂ + r cos ϕ sin ϑ +0 ∂x ∂y

∂ 1 ˆ ∂ +x = Lz . ∂x ∂y −i~ ˆ z = −i~ ∂ . L ∂ϕ

iâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ íüîãî

ˆ z ψ = Lz ψ L ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ ìà¹ âèãëÿä:

−i~

dψ(ϕ) = Lz ψ(ϕ), dϕ

äå àçèìóòàëüíèé êóò 0 ≤ ϕ ≤ 2π , à ðîçâ'ÿçîê

ψ(ϕ) = CeiLz ϕ/~.

Âëàñíi çíà÷åííÿ Lz çíàõîäèìî ç óìîâè îäíîçíà÷íîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π) :

eiLz 2π/~ = 1 àáî Lz 2π/~ = 2πm, 8

I. Î. Âàêàð÷óê

113

m = 0, ±1, ±2, . . . . Îòæå, âëàñíi çíà÷åííÿ ïðîåêöi¨ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó êâàíòóþòüñÿ (ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ Áîðà): Lz = ~m. √ Ñòàëó íîðìóâàííÿ C = 1/ 2π çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ Z2π 0

|ψ(ϕ)|2 dϕ = 1.

Îñòàòî÷íî

1 ψ(ϕ) = √ eimϕ . 2π ßê çäiéñíèòè ïåðåõiä äî iíøèõ çìiííèõ ó çàãàëüíîìó âèïàäêó, ðîçãëÿíåìî ïiçíiøå, à çàðàç îáãîâîðèìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà êîîðäèíàòè. Âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà êîîðäèíàòè x ˆ = x (áåðåìî îäíîâèìiðíèé âèïàäîê) ç âëàñíèì çíà÷åííÿì x′ ¹ äåëüòà-óíêöiÿ:

xψx′ (x) = x′ ψx′ (x), ψx′ (x) = δ(x − x′ ).

Óìîâè íîðìóâàííÿ äëÿ öi¹¨ óíêöi¨ âèïëèâàþòü ç âëàñòèâîñòåé äåëüòà-óíêöi¨ i çà çîâíiøíiì çàïèñîì çáiãàþòüñÿ ç óìîâîþ íîðìóâàííÿ ïëîñêèõ õâèëü ó íåîáìåæåíîìó îá'¹ìi: Z ψx∗′′ (x)ψx′ (x) dx = δ(x′′ − x′ ),

Z

ψx∗′′ (x′ )ψx′′ (x) dx′′ = δ(x′ − x),

à çíà÷îê êîìïëåêñíîãî ñïðÿæåííÿ, çðîçóìiëî, íå íåñå òóò æîäíîãî íàâàíòàæåííÿ, éîãî ïðèñóòíiñòü öå äàíèíà êðàñi çàïèñó îðìóëè. Âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨, çàëåæíî¨ âiä êîîðäèíàòè, òàêîæ ¹ äåëüòà-óíêöiÿ. Íàâåäåìî ùå äåêiëüêà ïðèêëàäiâ îïåðàòîðiâ. Îïåðàòîð òðàíñëÿöi¨ i ˆ T = exp aˆ px , a = const. ~ 114

ßêùî çàäàíà õâèëüîâà óíêöiÿ ψ = ψ(x), òî

Tˆψ(x) = ψ(x + a). Îïåðàòîð òðàíñëÿöi¨ ¹ óíiòàðíèì îïåðàòîðîì i + −1 ˆ ˆ T = T = exp − aˆ px . ~ Îïåðàòîð ñòèñêàííÿ ∗ Sˆ = ei(zxˆp+z pˆx)/2~,

z ïàðàìåòð, pˆ = pˆx . Öåé îïåðàòîð òàêîæ ¹ óíiòàðíèì: ∗ Sˆ+ = Sˆ−1 = e−i(zxˆp+z pˆx)/2~.

Òîìó ùî

zxˆ p + z ∗ pˆx = zxˆ p + z ∗ (ˆ px − xˆ p + xˆ p) = (z + z ∗ )xˆ p − i~z ∗ ,

îïåðàòîð

d ∗ Sˆ = ez /2 erx dx ,

r = Re z. Çíàéäiìî éîãî äiþ íà õâèëüîâó óíêöiþ ψ = ψ(x): n o d ∗ ˆ Sψ(x) = ez /2 erx dx ψ(x) = çàìiíà ξ = ln x

= ez

∗ /2

d

er dξ ψ(eξ ) = ez

∗ /2

ψ(eξ+r ).

Îñòàííþ ðiâíiñòü îòðèìó¹ìî îïåðàöi¹þ òðàíñëÿöi¨ â ïðîñòîði çìiííî¨ ξ . Òîáòî îïåðàòîð ñòèñêàííÿ ¹ îïåðàòîðîì òðàíñëÿöi¨ â ëîãàðèìi÷íié øêàëi. Ïîâåðòàþ÷èñü äî âèõiäíèõ çìiííèõ, îäåðæó¹ìî ∗ ˆ Sψ(x) = ez /2 ψ(xer ). Ïîäi¹ìî îïåðàòîðîì ñòèñêàííÿ íà ìiíiìiçóþ÷èé õâèëüîâèé ïàêåò (äèâ. 7, äëÿ ñïðîùåííÿ ïðèéìà¹ìî, ùî p0 = 0, x0 = 0)

ψ(x) = 8*

1 2 2 e−x /4h(∆x) i . 2 1/4 (2πh(∆x) i) 115

Îòæå, ∗

ˆ ψs (x) = Sψ(x) =

ez /2 2 2r 2 e−x e /4h(∆x) i 2 1/4 (2πh(∆x) i)

ψs (x) = e−iImz/2

1 2 2 e−x /4h(∆x) is , (2πh(∆x)2 is )1/4

àáî

h(∆x)2 is = e−2r h(∆x)2 i.

Ìè îòðèìàëè çíîâó õâèëüîâèé ïàêåò, àëå çi ñòèñíóòèìè â er ðàçiâ ëiíiéíèìè ðîçìiðàìè. Ñòàíè ψs (x) íàçèâàþòü ñòèñíóòèìè ñòàíàìè (squeezed states). Çâiäñè é íàçâà îïåðàòîðà Sˆ. Îïåðàòîð iíâåðñi¨

ˆ Iψ(x) = ψ(−x). Î÷åâèäíî Iˆ+ = Iˆ. Ëåãêî òàêîæ ïåðåêîíàòèñü, ùî iñíó¹ ðiâíiñòü: ˆ

eiαI ψ(x) = ψ(x) cos α + iψ(−x) sin α. Ìè âæå çãàäóâàëè îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ ˆb+ òà çíèùåííÿ ˆb äëÿ áîçå-÷àñòèíîê, ùî äiþòü íà ψN : √ √ ˆbψN = N ψN −1 , ˆb+ ψN = N + 1 ψN +1 , äå N ÷èñëî ÷àñòèíîê, ùî çíàõîäÿòüñÿ â îäíîìó é òîìó æ êâàíòîâîìó ñòàíi. Îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèíîê

ˆ = ˆb+ˆb, N ˆ ψN = N ψN . N Ïèòàííÿ îäíîçíà÷íîãî çiñòàâëåííÿ ç içè÷íîþ âåëè÷èíîþ f âiäïîâiäíîãî îïåðàòîðà fˆ ¹, çàãàëîì êàæó÷è, çîâñiì íå òàêèì ïðîñòèì. Íàïðèêëàä, ÿêùî çàäàíà êëàñè÷íà âåëè÷èíà ÿê äîáóòîê êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèõ âåëè÷èí x òà px ,

f = x2 p x , òî ïðåòåíäåíòiâ íà âiäïîâiäíèé îïåðàòîð ¹ äåêiëüêà:

fˆ = x ˆ2 pˆx , 116

fˆ = pˆx x ˆ2 ,

fˆ = x ˆpˆx x ˆ.

Íåìà¹ çàãàëüíîãî ïðàâèëà çiñòàâëåííÿ îïåðàòîðà ç áóäü-ÿêîþ óíêöi¹þ içè÷íèõ âåëè÷èí, îïåðàòîðè ÿêèõ íå êîìóòóþòü. Îäèí iç ñïîñîáiâ çiñòàâëåííÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ îïåðàòîðiâ ç êëàñè÷íèìè äèíàìi÷íèìè âåëè÷èíàìè, ÿêèé çàïðîïîíóâàâ . Âåéëü, ïîëÿãà¹ â íàñòóïíîìó. Íåõàé çàäàíà êëàñè÷íà âåëè÷èíà f (x, p) ÿê óíêöiÿ êîîðäèíàòè x òà iìïóëüñó p. Çîáðàçèìî ¨¨ iíòå ðàëîì Ôóð'¹ Z Z 1 f (x, p) = dq dk fq,k ei(kx+qp) , (2π)2 çâîðîòíå ïåðåòâîðåííÿ Z Z fq,k = dp dx f (x, p) e−i(kx+qp) . Çà ïðàâèëîì Âåéëÿ, ïåðåõiä âiä f (x, p) äî âiäïîâiäíîãî îïåðàòîðà fˆ äîñÿãà¹òüñÿ çàìiíîþ iìïóëüñó p â iíòå ðàëi Ôóð'¹ îïåðàòîðîì iìïóëüñó pˆ = −i~ d/dx : Z Z 1 ˆ f= dq dk fq,k ei(kx+qpˆ) . (2π)2

Íåîäíîçíà÷íiñòü òàêîãî êâàíòóâàííÿ î÷åâèäíà. Ìîæíà ïî-ðiçíîìó ðîçñòàâëÿòè åêñïîíåíòè ïiä çíàêîì iíòå ðàëà, îòðèìóþ÷è ðiçíi ðåçóëüòàòè3 . Êðèòåði¹ì áóäü-ÿêèõ íàøèõ äié ¹ äîñëiä, ÿêèé i òóò ìà¹ âèðiøàëüíå ñëîâî, ÿêùî ìè íàìàãà¹ìîñü îïèñóâàòè ñïîñòåðåæóâàíó íàìè äiéñíiñòü. Ñïðîáà íàâ'ÿçàòè öå ïðàâèëî áóäü-ÿêèì äåêðåòîì ïðèâåäå äî ñóïåðå÷íîñòi. Â iíøèõ Ñâiòàõ äîñëiä äàñòü, íàéiìîâiðíiøå, iíàêøi ïðàâèëà, îñêiëüêè ÿâèùà, ùî ðîçiãðóþòüñÿ â íèõ, ¹ iíøèìè. À âçàãàëi, âàæëèâó ðîëü äîñëiäó, i çîêðåìà ó içèöi, ÿê ñïåöiàëüíî ïîñòàâëåíîãî åêñïåðèìåíòó, âïåðøå óñâiäîìèâ àëiëåé, i ñàìå âiä íüîãî içèêà áåðå ñâié ïî÷àòîê ÿê íàóêà. Õî÷à, ìàáóòü, íàø ðîçóì çíàõîäèòü ó Ïðèðîäi òå, ùî ñàì øóêà¹, i çìóøó¹ ¨ âiäïîâiäàòè íà ñïåöiàëüíî ïîñòàâëåíi çàïèòàííÿ, ÿêi âèíèêàþòü ó íàñ ó òðàíñöåíäåíòàëüíîìó ïðàãíåííi âñòàíîâèòè ïåâíi çàêîíè. . . 3 Òàêå ðîçòàøîâóâàííÿ îïåðàòîðiâ ïîìiæ ñîáîþ íàãàäó¹ îïåðàöiþ ââåäåííÿ ãîëîñíèõ ïðè ÷èòàííi ñòàðîäàâíiõ ðóêîïèñiâ. ßê âiäîìî, äàâí¹ ïèñüìî íå ìàëî ãîëîñíèõ ìàáóòü, äëÿ åêîíîìi¨ ìàòåðiàëó. Òîìó âèíèêà¹ ïðîáëåìà àêòè÷íî ðîçøèðîâóâàííÿ òåêñòó øëÿõîì âñòàâëÿííÿ çíàêiâ ãîëîñíèõ ìiæ ïðèãîëîñíèìè. Íåîäíîçíà÷íiñòü òàêî¨ ïðîöåäóðè î÷åâèäíà, ÿêùî çâàæèòè íà òå, ùî iíîäi òàêi òåêñòè öå ñóöiëüíèé ëàíöþã ïðèãîëîñíèõ.

117

îçãëÿíåìî ùå äåêiëüêà ïðèêëàäiâ íà êîìóòàöiþ îïåðàòîðiâ. àíiøå ìè ïîêàçàëè, ùî

xˆ px − pˆx x = i~, à â çàãàëüíîìó âèïàäêó ëåãêî äîâåñòè, ùî

xi pˆj − pˆj xi = i~δij ,

i, j = x, y, z,

àáî

[xi , pˆj ] = i~δij . Öå íàãàäó¹ êëàñè÷íi äóæêè Ïóàññîíà äëÿ êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèõ çìiííèõ. Ïðèãàäàéìî, ùî êëàñè÷íà äóæêà Ïóàññîíà s X ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f2 {f1 , f2 }êë = − , ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj j=1

äå s ÷èñëî ñòóïåíiâ âiëüíîñòi, à qj , pj êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi çìiííi. Íåõàé

f1 = x,

f 2 = px ,

òîäi ïðè s = 1, q1 = x, p1 = px ìà¹ìî

{x, px }êë = 1, à â çàãàëüíîìó âèïàäêó

{xi , pj }êë = δij . Êðiì òîãî, î÷åâèäíî, ùî

{xi , xj }êë = 0,

{pi , pj }êë = 0.

Óâåäåìî åðìiòîâèé îïåðàòîð êâàíòîâi äóæêè Ïóàññîíà:

ˆˆ ˆˆ ˆ B} ˆ ≡ AB − B A , {A, i~ òîäi

{ˆ xi , pˆj } = δij , 118

{ˆ xi , x ˆj } = 0,

{ˆ pi , pˆj } = 0.

Áà÷èìî ïîâíó àíàëîãiþ ç êëàñè÷íèìè âèðàçàìè. Ïîäiáíèì ÷èíîì ó öþ ñõåìó âïèñóþòüñÿ êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ îïåðàòîˆ i: ðiâ L  ˆx, L ˆy] = L ˆxL ˆy − L ˆyL ˆ x = i~L ˆz,   [L  ˆz, L ˆ x ] = i~L ˆy, [L    ˆ ˆ ˆx. [Ly , Lz ] = i~L Òîáòî äëÿ êâàíòîâèõ äóæîê Ïóàññîíà îòðèìà¹ìî:

ˆx, L ˆy} = L ˆz, {L

ˆz, L ˆx} = L ˆy, {L

ˆy, L ˆz} = L ˆx {L

ñïiââiäíîøåííÿ, àíàëîãi÷íi äî êëàñè÷íèõ. Äóæêè Ïóàññîíà, ÿê êëàñè÷íi, òàê i êâàíòîâi, çàäîâîëüíÿþòü òîòîæíiñòü ßêîái:

ˆ {B, ˆ C}} ˆ + {C, ˆ {A, ˆ B}} ˆ + {B, ˆ {C, ˆ A}} ˆ = 0. {A, Íàðåøòi, ÿêùî âçÿòè áóäü-ÿêó óíêöiþ f (x), òî

f (x)ˆ px − pˆx f (x) = i~

df (x) , dx

àáî

{f (x), pˆx } =

df (x) dx

òàê ñàìî, ÿê i â êëàñè÷íié ìåõàíiöi. Ïiçíiøå áóäå ðîçêðèòî ãëèáøèé çìiñò öi¹¨ àíàëîãi¨. Íàðåøòi òîðêíåìîñü ïèòàííÿ ðóõó òië ó òàê çâàíîìó äåîðìîâàíîìó ïðîñòîði, òîáòî ç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà. Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî ÷àñòèíêó ç êîîðäèíàòîþ q i ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (q), ÿêà ðóõà¹òüñÿ â äåÿêîìó ñåðåäîâèùi òàê, ùî ¨¨ ìàñà ¹ óíêöi¹þ êîîðäèíàòè: m → m/f 2 , äå f = f (q). Ïðèêëàäîì ìîæå ñëóãóâàòè çàäà÷à ïðî ðóõ åëåêòðîíà â íàíîãåòåðîñèñòåìàõ, òîáòî ñòðóêòóðàõ, ñêëàäåíèõ ç õiìi÷íî ðiçíèõ øàðiâ òîâùèíîþ ïîðÿäêó íàíîìåòðà (∼ 10 A), ùî ìàþòü, íàïðèêëàä, ñåðè÷íó àáî öèëiíäðè÷íó îðìó (òàê çâàíi êâàíòîâi òî÷êè, êâàíòîâi äðîòè). Ó êîæíîìó øàði âåëè÷èíà ååêòèâíî¨ ìàñè åëåêòðîíà ìà¹ î÷åâèäíî ðiçíi çíà÷åííÿ i îòæå, ¹ óíêöi¹þ êîîðäèíàò. 119

Îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ÷àñòèíêè pˆ2 /2m, äå pˆ îïåðàòîð iìïóëüñó, êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèé äî q , ïðèðîäíî òåïåð çàïèñàòè òàê:

√ √ √ √ f pˆf pˆ f ( f pˆ f )2 = . 2m 2m Óâåäåìî îïåðàòîð

Pˆ = i òîäi ãàìiëüòîíiàí ÷àñòèíêè

p

p f pˆ f

ˆ2 ˆ = P + U (q) H 2m ççîâíi ìà¹ ñòàíäàðòíèé âèãëÿä, îäíàê îïåðàòîðè Pˆ i q âæå íå çîáðàæóþòü êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèõ iìïóëüñiâ òà êîîðäèíàò (ÿê pˆ i q ), îñêiëüêè ¨õíié êîìóòàòîð íå äîðiâíþ¹ i~. Ñïðàâäi, òîìó ùî q i f êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, òî

q Pˆ − Pˆ q = q

p

p p p p p f pˆ f − f pˆ f q = f (q pˆ − pˆq) f = i~f.

Îòæå, âïëèâ ñåðåäîâèùà ïåðåêèíóòî íà êîìóòàòîð

[q, Pˆ ] = i~f. Ìîæåìî ãîâîðèòè ïðî ðóõ ÷àñòèíêè ó ïðîñòîði, â ÿêîìó äóæêà Ïóàññîíà çäåîðìîâàíà óíêöi¹þ f . Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæíà çàäàâàòè äåîðìàöiéíó óíêöiþ, ÿêà çàëåæàòèìå ÿê âiä q , òàê i âiä Pˆ , f = f (q, Pˆ ). Çðîçóìiëî, ùî òåïåð ïîâåðíåííÿ äî îïèñó â êàíîíi÷íî-ñïðÿæåíèõ çìiííèõ ¹ àæ íiÿê íå òðèâiàëüíèì, ÿêùî âçàãàëi âîíî ìîæëèâå. Îòæå, ìè ïðèõîäèìî äî ïðèíöèïîâî iíøîãî ÿê êâàíòîâîãî, òàê i êëàñè÷íîãî îïèñó içè÷íèõ ÿâèù ó íåêîìóòàòèâíîìó ïðîñòîði, iäåÿ ÿêîãî íàëåæèòü Â. àéçåíáåð îâi i ïiäõîïëåíà . Ïà¹ðëñîì, Â. Ïàóëi, . Îïïåíãàéìåðîì, . Ñíàéäåðîì (ÿêèé îïóáëiêóâàâ ñòàòòþ ïiä íàçâîþ Êâàíòîâàíèé ïðîñòið-÷àñ: Phys. Rev. 71, 38 (1947)) òà âiäíîâëåíà ïiçíiøå, çîêðåìà â òåîði¨ ñòðóí. 120

10. Âëàñòèâîñòi âëàñíèõ óíêöié i âëàñíèõ çíà÷åíü

åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ

Íåõàé çàäàíî ñàìîñïðÿæåíèé îïåðàòîð Aˆ, ùî âiäïîâiäà¹ içè÷íié âåëè÷èíi A, ÿêà íàáóâà¹ çíà÷åííÿ A1 , A2 , . . . , An , . . . ó ñòàíàõ ψ1 (q), ψ2 (q), . . . , ψn (q), . . ., ÿêi ñâî¹þ ÷åðãîþ âèçíà÷àþòüñÿ ç ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà Aˆ. Ñîðìóëþ¹ìî äåÿêi âëàñòèâîñòi An i ψn (q) ó âèãëÿäi òâåðäæåíü, ÿêi àêòè÷íî ¹ òåîðåìàìè. Òâåðäæåííÿ 1. Âëàñíi çíà÷åííÿ åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ ¹ äiéñíèìè. Öå âèïëèâà¹ iç ñàìîãî îçíà÷åííÿ, îñêiëüêè òàê ìè ââîäèëè îïåðàòîðè içè÷íèõ âåëè÷èí. Ñïðàâäi, ìà¹ìî

ˆ n (q) = An ψn (q), Aψ äàëi çäiéñíiìî îïåðàöiþ êîìïëåêñíîãî ñïðÿæåííÿ öüîãî ðiâíÿííÿ:

Aˆ∗ ψn∗ (q) = A∗n ψn∗ (q). Ïîìíîæìî ïåðøå ðiâíÿííÿ íà ψn∗ , à äðóãå íà ψn , ïðîiíòå ðóéìî çà q i âiçüìiìî ðiçíèöþ (çàëåæíiñòü âiä q áóäåìî âèïèñóâàòè ÿâíî ëèøå òàì, äå öå äiéñíî ïîòðiáíî): Z Z Z ∗ ∗ ∗ ∗ ˆ ˆ ψn (q)Aψn (q)dq − ψn (q)A ψn (q)dq = (An − An ) |ψn (q)|2 dq. Îñêiëüêè

òî

Z

|ψn (q)|2 dq 6= 0, An = A∗n .

Öÿ ðiâíiñòü ìà¹ ñèëó ÿê äëÿ äèñêðåòíîãî, òàê i äëÿ íåïåðåðâíîãî ñïåêòðiâ çíà÷åíü âåëè÷èíè A. Âëàñíi óíêöi¨ åðìiòîâîãî îïåðàòîðà, ùî âiäïîâiäàþòü ðiçíèì âëàñíèì çíà÷åííÿì, ¹ îðòîãîíàëüíèìè ìiæ ñîáîþ: Z ψn∗ (q)ψm (q)dq = δnm . Òâåðäæåííÿ 2.

121

îçãëÿíåìî ñïî÷àòêó äèñêðåòíèé íåâèðîäæåíèé ñïåêòð îïåðàòîðà Aˆ: ˆ n = An ψn , Aψ

ˆ m = Am ψm , Aψ Aˆ∗ ψn∗ = An ψn∗ . Äðóãå ðiâíÿííÿ ìíîæèìî íà ψn∗ , òðåò¹ íà ψm (q), iíòå ðó¹ìî çà q i áåðåìî ðiçíèöþ: Z Z ∗ ˆ ψn (q)Aψm (q)dq − ψm (q)Aˆ∗ ψn∗ (q)dq

= (Am − An ) (Am − An ) ßêùî Am 6= An , òî

Z

Z

Z

ψn∗ (q)ψm (q)dq.

ψn∗ (q)ψm (q)dq = 0.

ψn∗ (q)ψm (q)dq = 0.

ßêùî Am = An , m = n, òî îòðèìó¹ìî óìîâó íîðìóâàííÿ Z |ψn (q)|2 dq = 1. Îòæå, ó çàãàëüíîìó âèïàäêó Z ψn∗ (q)ψm (q)dq = δn,m

óìîâà îðòîãîíàëüíîñòi. Ìè âæå ìàëè òàêi óìîâè äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié âiëüíî¨ ÷àñòèíêè. Íåõàé òåïåð ìà¹ìî âèïàäîê âèðîäæåíîãî äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Îòæå, ˆ nα (q) = An ϕnα (q), Aϕ òîáòî çíà÷åííþ An ïðè s-êðàòíîìó âèðîäæåííi âiäïîâiäàþòü s óíêöié ϕn1 (q), ϕn2 (q), . . . , ϕns (q). 122

Óòâîðèìî ëiíiéíó êîìáiíàöiþ X ψnβ (q) = Cαβ ϕnα (q),

α = 1, . . . , s,

α

ÿêà ñâî¹þ ÷åðãîþ ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà Aˆ, ùî âiäïîâiäà¹ âëàñíîìó çíà÷åííþ An . Êîåiöi¹íòè Cαβ ïiäáåðåìî òàê, ùîá íîâi óíêöi¨ ψnβ (q) áóëè îðòîíîðìîâàíèìè: Z ∗ ψnβ ′ (q)ψnβ (q)dq = δβ ′ ,β

öÿ óìîâà çàäà¹ ñèñòåìó ðiâíÿíü, ç ÿêî¨ âèçíà÷à¹ìî êîåiöi¹íòè Cαβ . Ïðîöåäóðà îðòîãîíàëiçàöi¨ äëÿ âèðîäæåíîãî âèïàäêó ¹ íåîäíîçíà÷íîþ. Ñïðàâäi, çàìiñòü íàáîðó óíêöié ψnβ , âiçüìåìî iíøèé X ′ ψnγ = aγβ ψnβ . β

Äàëi Z

′ ′∗ ψnγ ′ (q)ψnγ (q)dq

=

XX β′

=

X

a∗γ ′ β ′ aγβ

β

Z

∗ ψnβ ′ (q)ψnβ (q)dq

a∗γ ′ β aγβ .

β

ßêùî ïiäiáðàòè êîåiöi¹íòè òàê, ùîá (óíiòàðíå ïåðåòâîðåííÿ) X a∗γ ′ β aγβ = δγ ′ ,γ , β

′ (q) òàêîæ áóäóòü çàäîâîëüíÿòè óìîâó îðòîãîòî íîâi óíêöi¨ ψnγ íàëüíîñòi. Îòæå, ó âèïàäêó âèðîäæåíîãî ñïåêòðà õâèëüîâi óíêöi¨ âèçíà÷àþòüñÿ ç òî÷íiñòþ äî óíiòàðíîãî ïåðåòâîðåííÿ. Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî ïiä iíäåêñîì n ðîçóìiòè ñêëàäíèé iíäåêñ (n, α), òî óìîâó îðòîãîíàëüíîñòi ïèøåìî ó âèãëÿäi Z ψn∗ (q)ψm (q)dq = δn,m .

123

Ïåðåéäåìî äî íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà,

ˆ A (q) = AψA (q), Aψ A íåïåðåðâíà âåëè÷èíà. Óìîâà îðòîãîíàëüíîñòi çàïèñó¹òüñÿ çà äîïîìîãîþ δ-óíêöi¨: Z ∗ ψA (q)ψA′ (q)dq = δ(A − A′ ) öþ óìîâó ìè òàêîæ óæå ìàëè äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â íåîáìåæåíîìó îá'¹ìi ïðîñòîðó.

Òâåðäæåííÿ 3. Âëàñíi óíêöi¨ åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ óòâîðþþòü çàìêíåíó ñèñòåìó óíêöié. Îçíà÷åííÿ çàìêíåíîñòi: íåõàé ìè ìà¹ìî ñèñòåìó (íàáið) óíêöié ψ1 (q), ψ2 (q), . . . , ψN (q). Âiçüìiìî äîâiëüíó óíêöiþ ψ(q) i ñïðîáóéìî ïðåäñòàâèòè ¨¨ ó âèãëÿäi ′

ψ(q) =

N X

Cn ψn (q) + RN ′ (q),

n=1

äå ψn (q) âëàñíi óíêöi¨ åðìiòîâîãî îïåðàòîðà. Ñèñòåìà {ψn (q)} íàçèâà¹òüñÿ çàìêíåíîþ, ÿêùî 2 Z Z N′ X 2 ′ Cn ψn (q) dq = 0, lim |RN (q)| dq = lim ψ(q) − N ′ →N N ′ →N n=1

àáî, iíøèìè ñëîâàìè, êîëè âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü

ψ(q) =

N X

Cn ψn (q),

n=1

ïðè÷îìó N ìîæå áóòè ÿê ñêií÷åííèì ÷èñëîì, òàê i áåçìåæíèì. îçãëÿíüìî ùå iíøó îðìó çàïèñó óìîâè çàìêíåíîñòi Z Z Z N X Cn ψ ∗ (q)ψn (q)dq |RN (q)|2 dq = |ψ(q)|2 dq − n=1

− 124

N X

n=1

Cn∗

Z

ψn∗ (q)ψ(q)dq

+

N X N X

n=1 m=1

Cn∗ Cm

Z

ψn∗ (q)ψm (q)dq.

Áóäåìî âèìàãàòè, ùîá

à öå îçíà÷à¹, ùî

Z

|RN (q)|2 dq = min,

δ δCn çâiäêè

−

Z

Z

|RN (q)|2 dq = 0,

ψ ∗ (q)ψn (q)dq + Cn∗ = 0,

òîáòî êîåiöi¹íòè, ùî ðåàëiçóþòü ìiíiìóì âåëè÷èíè Z Cn = ψn∗ (q)ψ(q)dq.

R

|RN |2 dq :

Òàêèì ÷èíîì, ïðè òàê ïiäiáðàíèõ êîåiöi¹íòàõ

Z

2

|RN (q)| dq =

Z

|ψ(q)|2 dq −

N X

n=1

|Cn |2 .

Îòæå, óìîâó çàìêíåíîñòi çàïèøåìî òàê (ðiâíiñòü Ïàðñåâàëÿ):

Z

2

|ψ(q)| dq =

N X

n=1

|Cn |2 .

Ñèñòåìó óíêöié {ψn (q)}, ùî çàäîâîëüíÿþòü öþ óìîâó, íàçèâàþòü ïîâíîþ ñèñòåìîþ óíêöié. Íàçâà çàìêíåíà ñèñòåìà óíêöié ïîõîäèòü âiä òîãî, ùî äî ñóêóïíîñòi {. . . , ψn (q), . . .} âæå íå ìîæíà ïiä'¹äíàòè ùå îäíó óíêöiþ, ÿêà áóëà á îðòîãîíàëüíîþ äî âñiõ ψn (q). Öå ìîæëèâî ëèøå, êîëè âñi Cn = 0, òîáòî ïiä'¹äíàíà óíêöiÿ ψ(q) = 0 äëÿ âñiõ q . Ìè ïðèéìåìî ñîðìóëüîâàíå âèùå òâåðäæåííÿ 3 áåç äîâåäåííÿ. Âîíî îçíà÷à¹, ùî äîâiëüíó óíêöiþ ψ(q) ìîæíà ðîçêëàñòè â ðÿä çà âëàñíèìè óíêöiÿìè åðìiòîâîãî îïåðàòîðà: X ψ(q) = Cn ψn (q), n

125

äå êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó

Cn =

Z

ψn∗ (q)ψ(q)dq.

ßêùî çíà÷îê n ïðèéìà¹ é íåïåðåðâíi çíà÷åííÿ, òî ïiä ñóìîþ çà n ñëiä ðîçóìiòè ÿê ïiäñóìîâóâàííÿ, òàê é iíòå ðóâàííÿ. Òàêèé ðîçêëàä ìè âæå ìàëè: öå áóâ ðÿä Ôóð'¹, òîáòî ðîçêëàä ó ðÿä çà âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà iìïóëüñó, ÿêi ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê õâèëÿìè äå Áðîéëÿ. Òâåðäæåííÿ 4. Âëàñíà óíêöiÿ ψ0 = ψ0 (q), ÿêà âiäïîâiäà¹ íàéíèæ÷îìó âëàñíîìó çíà÷åííþ îïåðàòîðà, íå ïåðåòâîðþ¹òüñÿ â íóëü ïðè æîäíèõ çíà÷åííÿõ êîîðäèíàòè q (êàæóòü, ùî óíêöiÿ íå ìà¹ âóçëiâ).

èñ. 16.

Õâèëüîâi óíêöi¨ îñíîâíîãî

ψ0

òà ïåðøîãî çáóäæåíîãî

ψ1

ñòàíiâ.

Çàóâàæåííÿ: 1◦ . Öå òâåðäæåííÿ, çàãàëîì êàæó÷è, ïðàâèëüíå ëèøå äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îäíi¹¨ ÷àñòèíêè. 2◦ . ßêùî ðóõ âiäáóâà¹òüñÿ â îáìåæåíié îáëàñòi ïðîñòîðó, òî íà ãðàíèöi ψ0 (q) = 0. Îòæå, ìîâà éäå ïðî íóëi óíêöi¨ âñåðåäèíi îáëàñòi. 3◦ . Òîìó ùî ψ0 íå çìiíþ¹ çíàêà, ¨¨ ìîæíà âèáðàòè äiéñíîþ é äîäàòíîþ, ψ0 = ψ0∗ ≥ 0. 126

4◦ . Íàéíèæ÷å âëàñíå çíà÷åííÿ îïåðàòîðà ¹ íåâèðîäæåíèì. Ñïðàâäi, ÿêùî ¹ äâi óíêöi¨ ψ0′ , ψ0′′ , òî ψ0 = C1 ψ0′ + C2 ψ0′′ òàêîæ ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ ç òèì ñàìèì âëàñíèì çíà÷åííÿì. Ïiäáèðàþ÷è C1 , C2 , ìîæíà çíàéòè òî÷êó q , äå ψ0 = 0, ùî ñóïåðå÷èòü òâåðäæåííþ 4. 5◦ . Õâèëüîâi óíêöi¨ âèùèõ, ÿê êàæóòü, çáóäæåíèõ ñòàíiâ îáîâ'ÿçêîâî ìàþòü âóçëè. Öå âèïëèâà¹ ç óìîâè îðòîãîíàëüíîñòi Z ψ0 (q)ψ1 (q)dq = 0. Ñïðàâäi, óíêöiÿ ψ1 ìóñèòü çìiíþâàòè çíàê, ùîá çàíóëèòè iíòå ðàë, à öå îçíà÷à¹, ùî âîíà îáåðòà¹òüñÿ â íóëü óñåðåäèíi îáëàñòi çìiíè q . Öå òâåðäæåííÿ íåâàæêî ïåðåâiðèòè íà ñèñòåìi ïëîñêèõ õâèëü. Äëÿ êîìïëåêñíî¨ óíêöi¨ âóçëè ìàþòü ¨¨ äiéñíà é óÿâíà ÷àñòèíè.

11. Ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé äëÿ içè÷íèõ âåëè÷èí, ùî ïðåäñòàâëÿþòüñÿ íåêîìóòóþ÷èìè îïåðàòîðàìè

Òâåðäæåííÿ. ßêùî äâà îïåðàòîðè ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié, òî âîíè êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ (íåîáõiäíà é äîñòàòíÿ óìîâà). ˆ , âëàñíà óíêöiÿ ÿêèõ ψA,B (q), îçãëÿíüìî îïåðàòîðè Aˆ, B à âëàñíi çíà÷åííÿ âiäïîâiäíî A òà B . Îòæå, ˆ A,B (q) = AψA,B (q), Aψ

ˆ A,B (q) = BψA,B (q). Bψ Äîâiëüíà óíêöiÿ ψ(q) ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíà ðÿäîì X ψ(q) = C(A, B)ψA,B (q). A,B

Ïîäi¹ìî íà öþ óíêöiþ êîìóòàòîðîì X ˆ −B ˆ A)ψ(q) ˆ ˆ −B ˆ A)ψ ˆ A,B (q) (AˆB = C(A, B)(AˆB A,B

=

X A,B

C(A, B)(AB − BA)ψA,B (q) = 0. 127

Òàêèì ÷èíîì,

ˆ −B ˆ Aˆ = 0. AˆB

ˆ êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, òî âîíè ßêùî äâà îïåðàòîðè Aˆ òà B ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié. Äîâåäåìî öå. Íåõàé ˆ A = AψA , Aψ ˆ B = BϕB . Bϕ îçêëàäà¹ìî óíêöiþ ψA â ðÿä çà ϕB , X ψA = C(B)ϕB , B

ˆ (B) ˆ , äå f äîâiëüíà óíêöiÿ. i ïîäi¹ìî íà íå¨ îïåðàòîðîì Af Îòæå, X X ˆ (B)ψ ˆ A = Aˆ ˆ B = Aˆ Af C(B)f (B)ϕ C(B)f (B)ϕB . B

Ç iíøîãî áîêó,

ˆ Aψ ˆ A = f (B)Aψ ˆ f (B) A =A

B

X

ˆ B=A C(B)f (B)ϕ

B

X

C(B)f (B)ϕB .

B

ˆ Îäíàê öi äâà âèðàçè ðiâíi ìiæ ñîáîþ, îñêiëüêè îïåðàòîðè Aˆ òà B êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ i ç öüîãî âèïëèâà¹, ùî ˆ (B) ˆ − f (B) ˆ Aˆ = 0. Af

Îòæå,

Aˆ

X

C(B)f (B)ϕB = A

B

àáî

X

C(B)f (B)ϕB

B

X B

ˆ B − AϕB ] = 0. f (B)C(B)[Aϕ

Óíàñëiäîê äîâiëüíîñòi óíêöi¨ f (B) çíàõîäèìî, ùî

ˆ B = AϕB , Aϕ 128

òîáòî ϕB ¹ òàêîæ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà A, ùî é ïîòðiáíî áóëî äîâåñòè. ˆ B ˆ ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñÎòæå, ÿêùî äâà îïåðàòîðè A, íèõ óíêöié ψA,B (q), òî â ñòàíàõ, ùî îïèñóþòü öi óíêöi¨, âiäïîâiäíi içè÷íi âåëè÷èíè ìàþòü òî÷íi çíà÷åííÿ A, B . Òîáòî, ÿêùî âèìiðþ¹ìî âåëè÷èíó A, òî îäåðæó¹ìî çíà÷åííÿ A, ó öüîìó æ ñòàíi âèìiðþâàííÿ âåëè÷èíè B äà¹ çíà÷åííÿ B . Òîìó ìè ìîæåìî îäíî÷àñíî âèìiðþâàòè çíà÷åííÿ içè÷íèõ âåëè÷èí, ÿêùî îïåðàòîðè öèõ âåëè÷èí êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ. À ÿêùî íå êîìóòóþòü? Òîäi

ˆ A (q) = AψA (q), Aψ àëå

ˆ A (q) = ϕ(q), Bψ ïðè÷îìó ϕ(q) 6= λψA (q), òîáòî âåëè÷èíà B íå ìà¹ ïåâíîãî çíà÷åííÿ â ñòàíi ψA (q), ó ÿêîìó içè÷íà âåëè÷èíà A ìà¹ çíà÷åííÿ A. Ìè ìîæåìî ãîâîðèòè ëèøå ïðî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ â öüîìó ñòàíi: Z ∗ ˆ A (q)dq. hBi = ψA (q)Bψ

Ïåðåéäåìî äî êiëüêiñíî¨ õàðàêòåðèñòèêè íåâèçíà÷åíîñòåé içè÷íèõ âåëè÷èí, îïåðàòîðè ÿêèõ íå êîìóòóþòü. Íåõàé çàäàíî ñòàí ψ(q), íåõàé äàëi êîìóòàòîð

ˆ −B ˆ Aˆ = iC, ˆ AˆB äå î÷åâèäíî Cˆ åðìiòîâèé îïåðàòîð. Íàãàäàéìî, ùî, çà óìîâîþ, ˆ ¹ åðìiòîâèìè. Óâåäåìî ñåðåäíi: îïåðàòîðè Aˆ òà B Z ˆ ˆ hAi = ψ ∗ (q)Aψ(q)dq,

ˆ = hBi

Z

ˆ ψ ∗ (q)Bψ(q)dq.

Âèçíà÷èìî îïåðàòîðè âiäõèëåíü:

9

I. Î. Âàêàð÷óê

d = Aˆ − hAi, ˆ ∆A

d =B ˆ − hBi. ˆ ∆B

129

îçãëÿíåìî âåëè÷èíó Z I(α) =

2 d d ( ∆A − αi ∆B)ψ(q) dq ≥ 0,

α äiéñíèé ïàðàìåòð. ˆ B ˆ , ìà¹ìî Âèêîðèñòîâóþ÷è åðìiòîâiñòü îïåðàòîðiâ A, Z h i d ∗ + iα∆B d ∗ )ψ ∗ (q) (∆A d − iα∆B)ψ(q)dq d (∆A I(α) = =

Z

d + iα∆B)( d ∆A d − iα∆B)ψ(q)dq d ψ ∗ (q)(∆A

d 2 i + α2 h(∆B) d 2 i + iαh∆B d ∆A d − ∆A d ∆Bi, d = h(∆A)

d 2 i + α2 h(∆B) d 2 i + αhCi. ˆ I(α) = h(∆A)

Ìè ñêîðèñòàëèñü òóò òèì, ùî

d ∆B d − ∆B d ∆A d = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ = iC. ˆ ∆A

Çíàéäåìî òàêå çíà÷åííÿ α, ÿêå ïðèíîñèòü ìiíiìóì óíêöi¨ I(α):

I(α) = min çà óìîâè

ÿêà äà¹

dI(α) = 0, dα d 2 i + hCi ˆ = 0, 2αh(∆B)

Òåïåð ìà¹ìî

1 ˆ d 2 i. α = − hCi/h( ∆B) 2

d 2 i − 1 hCi ˆ 2 /h(∆B) d 2 i ≥ 0. Imin = h(∆A) 4 Îòæå, îñòàòî÷íî

130

d 2 ih(∆B) d 2i ≥ h(∆A)

ˆ 2 hCi . 4

Ìè îòðèìàëè óçàãàëüíåíå ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé. Ç íüîãî, ÿê ÷àñòêîâèé âèïàäîê, âèïëèâàþòü ñïiââiäíîøåííÿ àéçåíáåð à äëÿ êîîðäèíàòè é iìïóëüñó, ÿêi ìè îäåðæàëè ðàíiøå :

Aˆ = x ˆ,

ˆ = pˆ, B

Cˆ = ~,

2 c 2 ih(∆p) c 2i ≥ ~ . h(∆x) 4

Òåïåð ìîæíà òàêîæ çàïèñàòè ïîäiáíi ñïiââiäíîøåííÿ i äëÿ iíøèõ îïåðàòîðiâ, íàïðèêëàä, äëÿ êîìïîíåíò îïåðàòîðà ìîìåíòó iìïóëüñó:

ˆx, Aˆ = L

ˆ=L ˆy, B

ˆz. Cˆ = ~L

Òîìó îñòàòî÷íî

~2 D ˆ E2 Lz . 4 Çâiäñè ðîáèìî âèñíîâîê, ùî x òà y êîìïîíåíòè ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó íå ìàþòü ïåâíîãî çíà÷åííÿ ó ñòàíi, ó ÿêîìó Lz -êîìïîíåíòà íàáóâà¹ ïåâíîãî çíà÷åííÿ. ßêùî óñåðåäíåííÿ éäå çà âëàñˆ z i = ~m, ˆ z , òî, ÿê ìè çíà¹ìî, hL íèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà L äå m = 0, ±1, ±2, . . . i îòæå, dy )2 i ≥ [x )2 ih(∆L h(∆L

4 d x )2 ih(∆L d y )2 i ≥ ~ m2 . h(∆L 4 Ïðè m = 0 ìà¹ìî òðèâiàëüíó íåðiâíiñòü

d x )2 ih(∆L d y )2 i ≥ 0. h(∆L

Îñêiëüêè âñi êîìïîíåíòè îïåðàòîðà ˆL ¹ ðiâíîïðàâíèìè, òî öÿ ˆx, L ˆ z òà L ˆy, L ˆz. ðiâíiñòü âèêîíó¹òüñÿ ùå äëÿ äâîõ ïàð îïåðàòîðiâ L Îòæå, êîìïîíåíòè ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó íå ìîæíà âèìiðÿòè îäíî÷àñíî, çà âèíÿòêîì âèïàäêó, êîëè âñi âîíè ìàþòü íóëüîâi çíà÷åííÿ. Îäíî÷àñíå òî÷íå âèìiðþâàííÿ içè÷íèõ âåëè÷èí êëàñó A òà B , îïåðàòîðè ÿêèõ íå êîìóòóþòü, íåìîæëèâå. Òî÷íå âèìiðþâàííÿ âåëè÷èí A íà ïåâíié åêñïåðèìåíòàëüíié óñòàíîâöi ïîçáàâëÿ¹ íàñ iíîðìàöi¨ ùîäî âåëè÷èí B . Îäíàê âèìið ðiçíèõ içè÷íèõ âåëè÷èí A òà B íà ðiçíèõ åêñïåðèìåíòàëüíèõ óñòàíîâêàõ äà¹ 9*

131

íàì ïîâíiøó âçà¹ìîäîïîâíþâàëüíó iíîðìàöiþ ïðî âëàñòèâîñòi êâàíòîâèõ ñèñòåì. Ó öüîìó é ïîëÿãà¹ çìiñò òàê çâàíîãî ïðèíöèïó äîïîâíþâàëüíîñòi Áîðà, ùî óçàêîíþ¹ íåìîæëèâiñòü îïèñó ÿâèù àòîìíèõ ìàñøòàáiâ ç òi¹þ ïîâíîòîþ, ÿêî¨ âèìàãà¹ êëàñè÷íà ìåõàíiêà ç ¨¨ ëàïëàñiâñüêèì äåòåðìiíiçìîì. Ùå ðàç ïiäêðåñëèìî, ùî ìîâà éäå íå ñòiëüêè ïðî âèìiðþâàííÿ içè÷íèõ âåëè÷èí, ñêiëüêè ïðî îäíî÷àñíå çàñòîñóâàííÿ ñàìèõ öèõ ïîíÿòü äî îïèñó ÿâèù ìiêðîñâiòó. Ñêàæåìî äåêiëüêà ñëiâ ïðî âèìiðþâàííÿ åíåð i¨. Ó ðåëÿòèâiñòñüêié ìåõàíiöi 4-âèìiðíîìó ïðîñòîðó êîîðäèíàò i ÷àñó âiäïîâiäà¹ ñïðÿæåíèé äî íüîãî 4-âåêòîð åíåð iïìïóëüñó. Òîìó ïîâèííi iñíóâàòè, çãiäíî ç âèìîãàìè ïðèíöèïó âiäíîñíîñòi, ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé äëÿ åíåð i¨ é ÷àñó, ïîäiáíî äî ñïiââiäíîøåíü àéçåíáåð à äëÿ iìïóëüñó òà êîîðäèíàòè:

∆E∆t & ~. Îäíàê iíòåðïðåòàöiÿ öüîãî ñïiââiäíîøåííÿ iíøà. Iäåòüñÿ ïðî òå, ùî äëÿ âèìiðþâàííÿ åíåð i¨ ç òî÷íiñòþ ∆E íåîáõiäíèé ïåâíèé ÷àñ ∆t ≥ ~/∆E . Òàê ñàìî, ÿê íåìà¹ ñåíñó ãîâîðèòè ïðî âèìiðþâàííÿ â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó ÷àñòîòè êîëèâíîãî ïðîöåñó, íå ìîæíà ãîâîðèòè ïðî âèìiðþâàííÿ åíåð i¨ â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó. ßê âèïëèâà¹ ç âèðàçó äëÿ I(α), ñòàí ψ(q), äëÿ ÿêîãî

d − iα∆B)ψ(q) d (∆A = 0,

òîáòî, ùî çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ ( ) ˆ h Ci d +i d ψ(q) = 0, ∆A ∆B d 2i 2h(∆B)

äà¹ çíàê ðiâíîñòi ó ñïiââiäíîøåííi íåâèçíà÷åíîñòåé. îçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ äëÿ iìïóëüñó é êîîðäèíàòè äà¹ ìiíiìiçóþ÷èé ïàêåò. Öå ðiâíÿííÿ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà

fˆ = Aˆ + i

ˆ hCi ˆ B. d 2i 2h(∆B)

Âëàñíi çíà÷åííÿ fˆ ¹ êîìïëåêñíèìè, îñêiëüêè öåé îïåðàòîð íååðìiòîâèé. Âëàñíi ñòàíè öüîãî îïåðàòîðà íàçèâàþòü êîãåðåíòíèìè ñòàíàìè. Âîíè áóëè ðîçãëÿíóòi ùå â ïåðøèõ ðîáîòàõ Å. Øðåäèí åðà. 132

Íàçâà ïðèéøëà ç ïðàöü . ëàóáåðà4 1960-õ ðîêiâ, ïðèñâÿ÷åíèõ äîñëiäæåííþ êîãåðåíòíèõ äæåðåë ñâiòëà çà äîïîìîãîþ òàêèõ ñòàíiâ. 12. içíi ïðåäñòàâëåííÿ ñòàíiâ êâàíòîâèõ ñèñòåì.

Áðà- i êåò-âåêòîðè

Íåõàé íàì çàäàíà içè÷íà âåëè÷èíà A. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ìîæëèâèõ ðåçóëüòàòiâ âèìiðþâàíü A1 , A2 , . . . öi¹¨ âåëè÷èíè íåîáõiäíî ðîçâ'ÿçàòè ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ:

ˆ n (q) = An ψn (q). Aψ Ïîñòàâèìî ïèòàííÿ: ÿêùî íàì çàäàíî äîâiëüíèé ñòàí ψ(q), òî ÿêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî â ðåçóëüòàòi âèìiðþâàííÿ âåëè÷èíè A ìè îòðèìà¹ìî çíà÷åííÿ An ? Äëÿ òîãî ùîá âiäïîâiñòè íà öå ïèòàííÿ, îá÷èñëèìî ñåðåäí¹ Z ˆ hAi = ψ ∗ (q)Aψ(q)dq. Ñèñòåìà óíêöié ψn (q) ¹ ïîâíîþ: X ψ(q) = Cn ψn (q), n

òîìó

hAi = =

XX m

=

Z

∗ Cm Cn An

n

XX m

Òàêèì ÷èíîì,

n

XX m

∗ Cm Cn

∗ ˆ n (q)dq ψm (q)Aψ

Z

∗ ψm (q)ψn (q)dq

∗ Cm Cn An δmn =

n

hAi =

X n

X n

|Cn |2 An .

|Cn |2 An .

4 Çà âíåñîê ó êâàíòîâó òåîðiþ îïòè÷íî¨ êîãåðåíòíîñòi . ëàóáåðó ïðèñóäæåíî Íîáåëiâñüêó ïðåìiþ 2005 ðîêó.

133

Ñâié âíåñîê ó ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ An äà¹ ç âàãîþ |Cn |2 . PhAi âåëè÷èíà 2 Êðiì òîãî, ç óìîâè ïîâíîòè n |Cn | = 1. Îòæå, |Cn |2 äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi ðåàëiçàöi¨ çíà÷åííÿ An ïðè âèìiðþâàííi içè÷íî¨ âåëè÷èíè A â ñòàíi ψ(q). Òàêèì ÷èíîì, ìàþ÷è, çàâäÿêè ïîâíîòi ñèñòåìè óíêöi¨ {. . . , ψn (q), . . .}, âçà¹ìíî îäíîçíà÷íó âiäïîâiäíiñòü ìiæ ψ(q) òà Cn , ìîæåìî ãîâîðèòè, ùî ÷èñëà Cn ¹ ïîâíîâàæíèìè ïðåäñòàâíèêàìè õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(q). Iíàêøå êàæó÷è, Cn öå õâèëüîâà óíêöiÿ ÷àñòèíêè, ÿêà îïèñó¹ òîé ñàìèé ñòàí, ùî é ψ(q), îäíàê çàëåæèòü âiä çìiííèõ n. Îòæå, çìiííèìè, âiä ÿêèõ çàëåæèòü õâèëüîâà óíêöiÿ, ìîæóòü áóòè çíà÷åííÿ äîâiëüíèõ içè÷íèõ âåëè÷èí. îçãëÿíåìî öå ïèòàííÿ äîêëàäíiøå ç îãëÿäó íà éîãî âàæëèâiñòü. Êîíêðåòèçó¹ìî ñòàí ψ(q). Îòæå, çàäàíî äâi içè÷íi âåëè÷èíè A i B . Íåõàé äàëi

ˆ A (q) = AψA (q), Aψ ˆ B (q) = BϕB (q). Bϕ Âiçüìåìî ñòàí ψA (q), ó ÿêîìó âåëè÷èíà A ìà¹ çíà÷åííÿ A. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî â öüîìó ñòàíi âåëè÷èíà B íàáóâà¹ çíà÷åííÿ B ? Äëÿ öüîãî ñòàí ψA (q) ðîçêëàäåìî â ðÿä çà ϕB (q): X ψA (q) = CBA ϕB (q), B

CBA =

Z

ϕ∗B (q)ψA (q)dq.

Âåëè÷èíà CBA ïðåäñòàâíèê ψA (q), îòæå, öå i ¹ õâèëüîâà óíêöiÿ, ÿêà çàëåæèòü âiä çìiííèõ B , òîáòî CBA äîðiâíþ¹ àìïëiòóäi éìîâiðíîñòi òîãî, ùî içè÷íà âåëè÷èíà B íàáóâà¹ çíà÷åííÿ B , ÿêùî içè÷íà âåëè÷èíà A òî÷íî ìà¹ çíà÷åííÿ A. Ìîâîþ, ÿêîþ ìè ïèñàëè ðàíiøå, öÿ õâèëüîâà óíêöiÿ

χA (B) ≡ CBA ,

äå A íàçèâàþòü iíäåêñ ñòàíó, òîáòî öå ñóêóïíiñòü êâàíòîâèõ ÷èñåë, ùî îïèñóþòü ñòàí ñèñòåìè; B öå iíäåêñ ïðåäñòàâëåííÿ: ñóêóïíiñòü çìiííèõ, âiä ÿêèõ çàëåæèòü õâèëüîâà óíêöiÿ. ßê A, òàê i B ìîæóòü áóòè áàãàòîâèìiðíèìè. Ùîäî òåðìiíîëîãi¨, òî ìè 134

âæèâàòèìåìî çàìiñòü ïðåäñòàâëåííÿ òàêîæ åêâiâàëåíòíèé òåðìií çîáðàæåííÿ 5 . ßêùî íàñ öiêàâèòü iìîâiðíiñòü ðåàëiçàöi¨ âåëè÷èíè A, êîëè ñèñòåìà ïåðåáóâà¹ â ñòàíi ϕB (q), òî ðîáèìî ðîçêëàä íàâïàêè: X ′ ϕB (q) = CAB ψA (q), A

′ CAB =

Z

∗ ψA (q)ϕB (q)dq.

Î÷åâèäíî, ùî ïðåäñòàâíèê õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ϕB (q) ′ ∗ CAB = CBA .

Íàïðèêëàä,

1 ψp (x) = √ eipx/~ L àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi çíàõîäæåííÿ ÷àñòèíêè â òî÷öi x, ÿêùî âîíà ìà¹ iìïóëüñ p, à 1 ψp∗ (x) = ϕx (p) = √ e−ipx/~ L àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ÷àñòèíêà ìà¹ çíà÷åííÿ iìïóëüñó p, ÿêùî âîíà çíàõîäèòüñÿ â òî÷öi x. 5 Íàì âèäà¹òüñÿ, ùî ðiâíîïðàâíå âæèâàííÿ öèõ äâîõ òåðìiíiâ ¹ âèïðàâäàíèì i çáàãà÷ó¹ íàøó ìîâó, îñêiëüêè, ç îäíîãî áîêó, êîåiöi¹íò ðîçêëàäó Cn õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ çà áàçèñîì ψn ¹ ¨¨ ïðåäñòàâíèêîì àáî ðåïðåçåíòàíòîì (ñàìå öåé òåðìií i óâiâ äî âæèòêó àâòîð òåîði¨ ïðåäñòàâëåíü Ï. À. Ì. Äiðàê) i ìà¹ âëàñòèâîñòi, ùî òî÷íî âiäïîâiäàþòü âëàñòèâîñòÿì ψ . Ç iíøîãî áîêó, ìîæíà ãîâîðèòè, ùî âåëè÷èíè Cn çîáðàæóþòü õâèëüîâó óíêöiþ ψ íà iíøîìó òëi, òîáòî â n-ïðîñòîði. Õî÷à òåðìií çîáðàæåííÿ ç îãëÿäó íà éîãî áàãàòîçíà÷íiñòü ìîæå òâîðèòè â íàøié óÿâi îáðàçè, äàëåêi âiä öi¹¨ òåìè. Òóò äîðå÷íî íàâåñòè ñëîâà Iâàíà Ôðàíêà ç éîãî ïðàöi Iç ñåêðåòiâ ïîåòè÷íî¨ òâîð÷îñòi ùîäî ìîâè â÷åíîãî, ÿêà íå ïîâèííà âèêëèêàòè ïîåòè÷íèõ íàâiþâàíü òà íåîäíîçíà÷íîñòåé: . . . ÷èì äîêëàäíiøà, äîêàçíiøà ìà¹ áóòè íàóêà, òèì ñèëüíiøå ìóñèòü ó÷åíèé áîðîòèñÿ ç ñåþ ïîåòè÷íîþ ñóãåñòi¹þ, îòæå, ïîïåðåä óñüîãî ç ìîâîþ, âiäñè éäå, íàïð., êîíå÷íiñòü âèòâîðþâàòè íàóêîâó òåðìiíîëîãiþ, çâè÷àéíî, äèêó, âàðâàðñüêó â î÷àõ iëîëîãà, àáî çâè÷àé óæèâàòè äëÿ òàêî¨ òåðìiíîëîãi¨ ÷óæèõ ñëiâ, âiäiðâàíèõ âiä æèâîãî çâ'ÿçêó òî¨ ìîâè, â ÿêó ¨õ âïëåòåíî, íà òå, ùîáè íå çáóäæóâàëè íiÿêèõ ïîái÷íèõ îáðàçiâ â óÿâi. (I. Ôðàíêî. Çiáðàííÿ òâîðiâ ó 50-è òîìàõ. Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981. Ò. 31. Ñ. 47).

135

ßê áà÷èìî, ðîëü çìiííèõ i ðîëü êâàíòîâèõ ÷èñåë ¹ ðiâíîïðàâíèìè, òîáòî áàéäóæå, ó ÿêîìó ïðåäñòàâëåííi ìè ïðàöþ¹ìî. ßêùî ìè ïèøåìî ψn (q), òî ïiä çìiííîþ q áóäåìî ðîçóìiòè äîâiëüíó çìiííó, ÿêà âiäïîâiäà¹ ïåâíié içè÷íié âåëè÷èíi: q = r êîîðäèíàòíå ïðåäñòàâëåííÿ, q = p iìïóëüñíå ïðåäñòàâëåííÿ, q = E åíåð åòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿ i ò. ä. Óâåäåìî çðó÷íi ïîçíà÷åííÿ, ÿêi çàïðîïîíóâàâ Ï. À. Ì. Äiðàê ùå â 1930 ðîöi:

ψA = |Ai êåò-âåêòîð (ñòàí, àìïëiòóäà), ∗ ψA = hA|

áðà-âåêòîð (ñòàí, àìïëiòóäà). Íàçâà ïiøëà âiä óïîëîâèíåííÿ àíãëiéñüêîãî ñëîâà äóæêà: h äóæêà i = hbracketi = hbra|cketi. Íåõàé äàëi ∗ ψA (q) = hq|Ai∗ = hA|qi,

ψA (q) = hq|Ai,

äå A iíäåêñ ñòàíó, q iíäåêñ ïðåäñòàâëåííÿ (àáî çîáðàæåííÿ). Çàïèøåìî, íàïðèêëàä, âiäîìi íàì âèðàçè â öèõ ïîçíà÷åííÿõ:

1 hx|pi = √ eipx/~, L

1 hp|xi = √ e−ipx/~, L

CBA = hB|Ai, CBA =

Z

ϕ∗B (q)ψA (q)dq

=

Z

hB|qihq|Aidq.

ßêùî çìiííà q íàáóâà¹ äèñêðåòíèõ çíà÷åíü, òî öþ ðiâíiñòü çàïèñó¹ìî òàê: X hB|Ai = hB|qihq|Ai. q

Ìè ìà¹ìî íå ùî iíøå, ÿê äîáóòîê ìàòðèöü. 136

Îòæå, õâèëüîâó óíêöiþ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ìàòðèöþ:   hq1 |A1 i hq1 |A2 i . . . hq1 |An i    hq2 |A1 i hq2 |A2 i . . . hq2 |An i    ψA (q) = hq|Ai =  . ..   . · · · · · · · · ·   hqm |A1 i ... . . . hqm |An i

ßêùî iíäåêñ ñòàíó iêñîâàíèé A = A1 , òî   hq1 |A1 i    hq2 |A1 i    hq|A1 i =  . ..   .   hqm |A1 i

Êàæóòü, ùî õâèëüîâà óíêöiÿ ψA çàäàíà ó âëàñíîìó ïðåäñòàâëåííi, êîëè â ðîëi çìiííèõ âèñòóïàþòü âëàñíi çíà÷åííÿ öüîãî æ îïåðàòîðà Aˆ

ψA (A′ ) = hA′ |Ai. Ç iíøîãî áîêó, ′

hA|A i = Îòæå,

Z

∗ ψA (q)ψA′ (q)dq = δAA′ .

hA|A′ i = δAA′ , òîáòî õâèëüîâà óíêöiÿ ó âëàñíîìó ïðåäñòàâëåííi ¹ îäèíè÷íîþ ìàòðèöåþ. Íàïðèêëàä, ÿêùî içè÷íà âåëè÷èíà ìîæå íàáóâàòè ëèøå äâà çíà÷åííÿ A1 , A2 , òî õâèëüîâà óíêöiÿ ó âëàñíîìó çîáðàæåííi öå ìàòðèöÿ-ñòîâï÷èê ç äâîìà åëåìåíòàìè:     h1|1i 1  =  , hA|1i =  h2|1i 0 137



hA|2i = 

h1|2i

h2|2i





=

0 1



.

Ó ïîäàëüøîìó âèêëàäi ìè íå ðàç áóäåìî çóñòði÷àòèñü iç öèìè âåêòîðàìè ñòàíiâ. Çàïèøåìî â äiðàêiâñüêèõ ïîçíà÷åííÿõ óìîâó ïîâíîòè ñèñòåìè óíêöi¨ {. . . , ψn (q), . . .}, òîáòî ïîäàìî ðîçêëàä äîâiëüíî¨ óíêöi¨ ψ(q) = hq|ψi â ðÿä çà óíêöiÿìè ψn (q) = hq|ni: X hq|ψi = hq|nihn|ψi, n

ó ñòàðèõ ïîçíà÷åííÿõ êîåiöi¹íò ðîçêëàäó hn|ψi ≡ Cn . Ñèìâîëi÷íî â îïåðàòîðíié îðìi öþ óìîâè ïîâíîòè ìîæíà çàïèñàòè òàê: X |nihn| = 1. n

Äiðàêiâñüêi ïîçíà÷åííÿ ¹ äóæå çðó÷íèìè. Âîíè åêîíîìíi ó âèêîðèñòàííi ëiòåð äëÿ ïîçíà÷åíü õâèëüîâèõ óíêöié, îñêiëüêè çîñåðåäæóþòü óâàãó ëèøå íà ãîëîâíîìó: iíäåêñàõ ñòàíiâ òà iíäåêñàõ çîáðàæåíü. Ïiñëÿ êiëüêîõ âïðàâ äî íèõ çâèêà¹ø, i òîìó íàäàëi ìè âèêîðèñòîâó¹ìî ¨õ íàðiâíi çi çâè÷àéíèìè ïîçíà÷åííÿìè. 13. içíi ïðåäñòàâëåííÿ îïåðàòîðiâ. Ìàòðèöi îïåðàòîðiâ

Äîòåïåð ìè ðîçãëÿäàëè äiþ îïåðàòîðiâ íà õâèëüîâi óíêöi¨, ùî çàëåæàòü âiä êîîðäèíàò ÷àñòèíêè, òîáòî õâèëüîâi óíêöi¨ áóëè çàäàíi â êîîðäèíàòíîìó ïðåäñòàâëåííi. Îòæå, i îïåðàòîðè áóëè çàäàíi â êîîðäèíàòíîìó ïðåäñòàâëåííi: íàïðèêëàä, îïåðàòîð iìïóëüñó pˆ = −i~ d/dx. îçãëÿíåìî, ÿê ïåðåòâîðþþòüñÿ îïåðàòîðè ïðè ïåðåõîäi äî iíøîãî ïðåäñòàâëåííÿ. Ìè ââîäèëè ïîíÿòòÿ îïåðàòîðà Aˆ ÷åðåç ïîòðåáó çíàõîäèòè ñåðåäíi çíà÷åííÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè A. Òîìó é ïåðåõiä äî iíøîãî çîáðàæåííÿ çäiéñíþ¹ìî, âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ îïåðàòîðà. Íåõàé ìè ìà¹ìî îïåðàòîð Aˆ i øóêà¹ìî éîãî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ â ñòàíi ψ(q): Z ˆ hAi = ψ ∗ (q)Aψ(q)dq. 138

îçêëàäåìî ψ(q) â ðÿä çà äîâiëüíîþ ïîâíîþ ñèñòåìîþ ϕn (q): X ψ(q) = Cn ϕn (q), n

hAi = =

XX m

äå ÷èñëà

n

XX m

∗ Cm Cn

Z

ˆ n (q)dq ϕ∗m (q)Aϕ

∗ Cm Cn Amn ,

n

Amn =

Z

ˆ n (q)dq ϕ∗m (q)Aϕ

çàäàþòü äiþ îïåðàòîðà Aˆ íà õâèëüîâi óíêöi¨ ϕn (q). Áà÷èìî, ùî ñóêóïíiñòü ÷èñåë Amn ¹ ïîâíîâàæíèì ïðåäñòàâíèêîì ñïîñòåðåæóâàíî¨ âåëè÷èíè A, ïðè÷îìó ñèñòåìà çíà÷åíü Amn ¹ äâîâèìiðíîþ, òîáòî ìà¹ äâà çíà÷êè, õî÷ iíäåêñè (m, n) ñàìi ìîæóòü áóòè áàãàòîâèìiðíèìè. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ îá÷èñëåííÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ íàì äîñòàòíüî çíàòè òàáëè÷êó Amn . Öi âåëè÷èíè óòâîðþþòü ìàòðèöþ îïåðàòîðà Aˆ, Amn ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà Aˆ â nïðåäñòàâëåííi. Ìàòðèöÿ Amn ïîâíiñòþ çàäà¹ îïåðàòîð Aˆ, îñêiëüêè íåþ âèçíà÷åíà éîãî äiÿ íà áóäü-ÿêó óíêöiþ. Ñïðàâäi, ìà¹ìî, ùî X ˆ ˆ n (q), Aψ(q) = Cn Aϕ n

ˆ n (q) çíîâó ðîçêëàäà¹ìî â ðÿä à íîâó óíêöiþ Aϕ X ˆ n (q) = Aϕ Amn ϕm (q), m

i îòæå,

ˆ Aψ(q) =

XX m

Cn Amn ϕm (q).

n

Òàêèì ÷èíîì, ùîá çíàéòè äiþ îïåðàòîðà Aˆ íà äîâiëüíó óíêöiþ ψ(q), íàì äîñòàòíüî îá÷èñëèòè éîãî ìàòðè÷íi åëåìåíòè Amn íà 139

õâèëüîâèõ óíêöiÿõ {. . . , ϕn (q), . . .}, ùî óòâîðþþòü ïîâíó ñèñòåìó. Ïðî öþ ñèñòåìó ãîâîðÿòü ÿê ïðî áàçèñíó ñèñòåìó óíêöi¨. ßêùî iíäåêñ f , ùî íóìåðó¹ óíêöi¨ ϕf (q) áàçèñíî¨ ñèñòåìè, òîáòî iíäåêñ ñòàíó, ¹ íåïåðåðâíèì, òî äiþ îïåðàòîðà Aˆ íà óíêöiþ ψ(q) çàïèñó¹ìî ÷åðåç iíòå ðàëè:

ψ(q) =

Z

df C(f )ϕf (q),

Z

Z

df ′ C(f )Af ′ f ϕf ′ (q).

ˆ Aψ(q) =

df

Äîìîâèìîñü ïðî äiðàêiâñüêå ïîçíà÷åííÿ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ îïåðàòîðà: X ˆ ˆ Amn = hm|A|ni = hm|qiAhq|ni. q

Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõ ðîçêëàä óíêöi¨ ψ(q) = hq|ψi â ðÿä çà ïîâíîþ ñèñòåìîþ ϕn (q) = hq|ni âèãëÿäà¹ ÿê

X hq|nihn|ψi,

hq|ψi =

n

(ïðèãàäó¹ìî, ùî â ñòàðèõ ïîçíà÷åííÿõ hn|ψi ≡ Cn ) i äiþ îïåðàòîðà Aˆ íà ψ(q), òîáòî

ˆ ˆ Aψ(q) = hq|Aψi, çàïèñó¹ìî òàê:

ˆ = hq|Aψi

XX ˆ hq|mihm|A|nihn|ψi. m

n

Äëÿ íåïåðåðâíèõ iíäåêñiâ ñòàíó

ˆ = hq|Aψi 140

Z

df

′

Z

ˆ ihf |ψi. df hq|f ′ ihf ′ |A|f

Äëÿ iëþñòðàöi¨ ñêàçàíîãî îá÷èñëèìî, íàïðèêëàä, ìàòðèöþ îïåðàòîðà êîîðäèíàòè x â iìïóëüñíîìó p-ïðåäñòàâëåííi: Z ′ xp′ p = hp |ˆ x|pi = dxhp′ |xixhx|pi

=

Z∞

−∞

′

~ d e−ip x/~ eipx/~ √ x√ dx = i dp 2π~ 2π~

Z∞

−∞

′

ei(p−p )x/~ dx. 2π~

Îòæå,

xp′ p = hp′ |ˆ x|pi =

~ d δ(p − p′ ). i dp

ßêùî çàäàíà õâèëüîâà óíêöiÿ â iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi C(p) = hp|Ci, òî ðåçóëüòàò äi¨ îïåðàòîðà êîîðäèíàòè ¹ òàêèì: Z x ˆC(p) = hp|ˆ xCi = dp′ hp|ˆ x|p′ ihp′ |Ci

=

Z

dp′ hp′ |Ci

~ d δ(p′ − p) i dp′

= (iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè) Z d dC(p) = dp′ δ(p′ − p)i~ ′ hp′ |Ci = i~ . dp dp

Îòæå, îïåðàòîð êîîðäèíàòè â iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi

x ˆ = i~

d . dp

Îïåðàòîð ó âëàñíîìó çîáðàæåííi ïðåäñòàâëÿ¹òüñÿ äiàãîíàëüíîþ ìàòðèöåþ: X X ˆ hm|qihq|ni = An hm|ni = An δmn . Amn = hm|qiAhq|ni = An q

q

Íàïðèêëàä, ìàòðèöÿ îïåðàòîðà êîîðäèíàòè â êîîðäèíàòíîìó ïðåäñòàâëåííi

hx′ |ˆ x|xi = xδ(x − x′ ), 141

à ìàòðèöÿ îïåðàòîðà iìïóëüñó â iìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåííi

hp′ |ˆ p|pi = pδ(p − p′ ). îçãëÿíåìî äîáóòîê îïåðàòîðiâ i çíàéäåìî éîãî ìàòðèöþ

ˆ mn = hm|AˆB|ni ˆ (AˆB) X X X ˆ ˆ = hm|qiAˆBhq|ni = hm|qiAˆ hk|B|nihq|ki q

=

q

XX X ˆ ˆ ˆ ˆ hm|qiAhq|kihk| B|ni = hm|A|kihk| B|ni, q

k

ˆ mn = (AˆB)

k

X

k

Amk Bkn .

k

Ìè îòðèìàëè ïðàâèëî ìíîæåííÿ ìàòðèöü. Çíàéäåìî òåïåð óìîâó åðìiòîâîñòi îïåðàòîðiâ ó ìàòðè÷íié îðìi. Ìà¹ìî Z Z ˜ˆ ∗ ∗ ˆ Amn = ϕm (q)Aϕn (q)dq = ϕn (q)Aϕ m (q)dq,

A∗mn

=

Z

˜∗ ϕ∗n (q)Aˆ ϕm (q)dq

=

Z

ϕ∗n (q)Aˆ+ ϕm (q)dq.

ßêùî Aˆ+ = Aˆ, òî

A∗mn = Anm öå i ¹ óìîâà åðìiòîâîñòi îïåðàòîðiâ ó ìàòðè÷íié îðìi. îçãëÿíåìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Aˆ â ìàòðè÷íié îðìi:

ˆ Aψ(q) = Aψ(q). îçêëàäåìî ψ(q) ó ðÿä çà äîâiëüíîþ ïîâíîþ îðòîãîíàëiçîâàíîþ ñèñòåìîþ óíêöié ϕn (q), X ψ(q) = Cn ϕn (q), n

142

X

X

ˆ n (q) = A Cn Aϕ

n

Cn ϕn (q),

n

ìíîæèìî çëiâà íà ϕ∗m (q), iíòå ðó¹ìî çà q é îòðèìó¹ìî X X Cn Amn = A Cn δmn , n

n

òîáòî ñèñòåìó ëiíiéíèõ îäíîðiäíèõ àë åáðà¨÷íèõ ðiâíÿíü íà âèçíà÷åííÿ íåâiäîìèõ êîåiöi¹íòiâ Cn : X Cn (Amn − Aδmn ) = 0. n

Óìîâà íåòðèâiàëüíîñòi ¨¨ ðîçâ'ÿçêó:

detkAmn − Aδmn k = 0.

Öÿ óìîâà é âèçíà÷à¹ ìîæëèâi çíà÷åííÿ A, ïðè ÿêèõ ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ ìà¹ íåòðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê. Îòæå, êîðåíi öüîãî ðiâíÿííÿ6 i äàþòü âëàñíi çíà÷åííÿ. Öå ðiâíÿííÿ íå ùî iíøå, ÿê ðiâíÿííÿ íà çíàõîäæåííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü ìàòðèöi Amn . Òàêèì ÷èíîì, ðîáèìî âèñíîâîê, ùî âñi äi¨ íàä îïåðàòîðàìè, ÿêi çàäàíi â ìàòðè÷íié îðìi, ¹ äiÿìè íàä ìàòðèöÿìè. Ïðèêëàä 1. Îïåðàòîð ñïiíó. îçãëÿíüìî

Ïàóëi

σ ˆy =

0 i

îïåðàòîð, ùî çàäà¹òüñÿ ìàòðèöåþ

−i

!

.

0

Ç ìíîæíèêîì ~/2 âîíà ¹ y -êîìïîíåíòîþ îïåðàòîðà âëàñíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó, òîáòî ñïiíó åëåêòðîíà. Ïîêàæiìî, ùî âií ¹ åðìiòîâèì. Ìà¹ìî σ ˆ˜y =

σˆy

+

0

i

−i

0

∗ = σ ˆ˜y =

0 i

!

, −i

!

0

.

Î÷åâèäíî, ùî (ˆ σy )mn = (ˆ σy )∗nm i îïåðàòîð σ ˆy ¹ åðìiòîâèì. ˆy âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿííÿ Âëàñíi çíà÷åííÿ λ îïåðàòîðà σ det||(ˆ σy )mn − λδmn || = 0, 6 Âîíî âiäîìå ÿê ñåêóëÿðíå, àáî âiêîâå, ðiâíÿííÿ. Íàçâà ïîõîäèòü ç íåáåñíî¨ ìåõàíiêè, äå òàêi ðiâíÿííÿ âèçíà÷àþòü âiêîâi çìiùåííÿ ïàðàìåòðiâ îðáiò ïëàíåò.

143

àáî

−λ i

òîáòî

−i

= 0,

−λ

λ2 = 1,

λ = ±1.

Ïðèêëàä 2. Îïåðàòîð Àäàìàðà.

Öåé îïåðàòîð √ ˆ = (ˆ H σx + σ ˆz )/ 2,

äå x- òà z -ìàòðèöi Ïàóëi ¹ òàêèìè: σ ˆx =

0

1

1

0

!

,

σ ˆz =

Î÷åâèäíî, ùî ˆ = √1 H 2

1

1

1

−1

1

0

0

−1

!

.

!

ˆ+ = H ˆ . Êðiì òîãî, âií ¹ óíiòàðíèì, îñêiëüêè ¹ ñàìîñïðÿæåíèì îïåðàòîðîì, H ˆ2 = 1 H 2

!

1

1

1

−1

1

1

1

−1

!

=

1 2

2

0

0

2

!

=

1

0

0

1

!

ˆ 2 = 1 àáî H ˆ =H ˆ −1 , i íàðåøòi, H ˆ+ = H ˆ −1 . Éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ λ i îòæå, H çíàõîäèìî iç ñåêóëÿðíîãî ðiâíÿííÿ √ 1−λ 2 1

√ = 0, −1 − λ 2

1

çâiäêè λ = ±1. Îïåðàòîð Àäàìàðà öiêàâèé òèì, ùî âií çäiéñíþ¹ åëåìåíòàðíi äi¨, ç ÿêèõ ñêëàäà¹òüñÿ ëàíöþã îïåðàöié ó òàê çâàíîìó êâàíòîâîìó êîìï'þòåði. Ïðèêëàä 3. Åíåð åòè÷íi ðiâíi ïîëiåíîâîãî ëàíöþæêà. Ìàòðè÷íi åëåìåíòè Hn,n′ ãàìiëüòîíiàíà, ÿêèé îïèñó¹ ñòàí åëåêòðîíiâ íà π -çâ'ÿçêàõ â îðãàíi÷íèõ ìîëåêóëàõ çi ñòðóêòóðîþ ëàíöþæêà (äèâ. ðèñ. 17) iç ñèñòåìîþ îäèíàðíèõ òà ïîäâiéíèõ ñóïåðïîçèöiéíèõ çâ'ÿçêiâ, ùî ÷åðãóþòüñÿ (åòèëåí, áóòàäi¹í, . . . ), çàäàþòüñÿ ðiâíÿííÿìè:

Hn,n = E0 ,

Hn,n±1 = A,

ðåøòà Hn,n′ = 0; n íîìåð çâ'ÿçêó (n = 1, . . . , N ), äå E0 åíåð iÿ åëåêòðîíà íà öüîìó çâ'ÿçêó, A îáìiííà åíåð iÿ.

144

èñ. 17.

Ïîëiåíîâèé ëàíöþæîê.

Ñåêóëÿðíå ðiâíÿííÿ, ç ÿêîãî âèçíà÷à¹ìî ðiâíi åíåð i¨ ìîëåêóëè, ìà¹ âèãëÿä: A 0 ... 0 E0 − E

A 0

E0 − E A

.

.

.

.

.

.

0

0

A

...

E0 − E

...

...

0 = 0. E0 − E

0

Óâåäiìî çìiííó x = (E − E0 )/A i ïåðåïèøiìî âèçíà÷íèê, ïîïåðåäíüî ïîäiëèâøè éîãî íà AN , òàê:

∆N

−x 1 0 = . . . .

1

0

0

−x

1

0

−x

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 .

...

...

...

= 0. . . −x

.

îçêëàäàþ÷è ∆N çà åëåìåíòàìè ïåðøîãî ñòîâï÷èêà, îòðèìó¹ìî äâà äîäàíêè, ó äðóãîìó ç ÿêèõ ðîáèìî ðîçêëàä çà åëåìåíòàìè ïåðøîãî ðÿäêà ç îäíèì äîäàíêîì: ∆N = −x∆N−1 − ∆N−2 . Öÿ ðåêóðñèâíà îðìóëà ïîðîäæó¹ ïîëiíîìè ×åáèøîâà (∆0 = 1): ∆1 = −x, ∆2 = x2 − 1, 10

I. Î. Âàêàð÷óê

145

∆3 = −x3 + 2x, ∆4 = x4 − 3x2 + 1, ..............

.

Ëåãêî çàóâàæèòè, ùî ïðè x = −2 cos θ ∆N =

sin[(N + 1)θ] . sin θ

Ñïðàâäi, îñêiëüêè sin[(N + 1)θ] = sin(N θ) cos θ + cos(N θ) sin θ, sin[(N − 1)θ] = sin(N θ) cos θ − cos(N θ) sin θ, òî ñóìà öèõ âèðàçiâ äà¹ ðåêóðåíòíå ðiâíÿííÿ sin[(N + 1)θ] + sin[(N − 1)θ] = 2 cos θ sin(N θ),

ÿêå çáiãà¹òüñÿ ç íàâåäåíèì âèùå ñïiââiäíîøåííÿì, ùî çâ'ÿçó¹ ∆N ç ∆N−1 òà ∆N−2 . Òîìó ïîêëàäà¹ìî ∆N = f (θ) sin[(N + 1)θ], ïðè÷îìó ç óìîâè ∆0 = 1 çíàõîäèìî ìíîæíèê f (θ) = 1/ sin θ, à óìîâà ∆1 = −x äà¹ x = −2 cos θ. Îòæå, òåïåð óìîâà ∆N = 0 äà¹ (N + 1)θ = kπ, k = 1, 2, . . . , N . Òàêèì ÷èíîì, x = −2 cos[kπ/(N + 1)], àáî ó ÿâíié îðìi äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ ìà¹ìî Ek = E0 − 2A cos

kπ . N +1

Çîêðåìà äëÿ åòèëåíó (N = 2, k = 1, 2) ìà¹ìî E1 = E0 − A, E2 = E0 + A (äèâ. ïðèêëàä 3 ó 3). Äëÿ ìîëåêóëè áóòàäi¹íó N = 4 i ðiâíi åíåð i¨ ¹ òàêèìè: √ 5+1 π E1 = E0 − 2A cos = E0 − A , 5 2 √ 5−1 2π = E0 − A , E2 = E0 − 2A cos 5 2 √ 3π 5−1 E3 = E0 − 2A cos = E0 + A , 5 2 √ 4π 5+1 E4 = E0 − 2A cos = E0 + A . 5 2 Çà ñëîâàìè Ôåéíìàíà, ÿêèõ ëèøå ÷óäåñ íå áóâà¹ â ìàòåìàòèöi: çîëîòèé ïåðåðiç ãðåêiâ äà¹ íàéíèæ÷å çíà÷åííÿ åíåð i¨ áóòàäi¹íó (äèâ. Âiäñòóï äî öi¹¨ √ ãëàâè). Îòæå, Áîæåñòâåííà ïðîïîðöiÿ Φ = ( 5 + 1)/2 íå äiëèòü íàø ñâiò íà êâàíòîâèé òà êëàñè÷íèé, âîíà âèÿâëÿ¹ ñåáå â ðiçíîìàíiòíèõ ÿâèùàõ ç îäíàêîâîþ ñèëîþ ÿê íà àòîìíèõ ìàñøòàáàõ, òàê i â ìàñøòàáàõ ìàêðîñêîïi÷íèõ öå òàêîæ ¹ ñâiä÷åííÿì ¹äíîñòi íàøîãî ñâiòó.

146

Ïîâíà åíåð iÿ ÷îòèðüîõ åëåêòðîíiâ íà π -çâ'ÿçêàõ √ E = 2E1 + 2E2 = 4E0 − 2 5A

íà äâîõ íèæíiõ ðiâíÿõ ìà¹ìî ïî äâà åëåêòðîíè ç ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè ñïiíàìè. ßêùî ðîçãëÿäàòè ìîëåêóëó áóòàäi¹íó ÿê ñèñòåìó ç äâîìà içîëüîâàíèìè ïîäâiéíèìè çâ'ÿçêàìè, òî ïîâíà åíåð iÿ E = 4E0 − 4A. Îòæå, êîëè åëåêòðîíàì äàòè âîëþ i äîçâîëèòè ðóõàòèñü ïî âñiõ çâ'ÿçêàõ, òî√åíåð iÿ ç ðîçðàõóíêó íà îäèí åëåêòðîí ïîíèæó¹òüñÿ íà âåëè÷èíó ∆ = A( 5/2 − 1). Ìà¹ìî iëþñòðàöiþ çâ'ÿçêó ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ ç ïðèíöèïîì ìiíiìàëüíîñòi åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó. 14. Êâàíòîâà ìåõàíiêà òåîðiÿ ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ

ó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði

Çàäà÷à êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ïåðåäáà÷åííÿ ìîæëèâèõ ðåçóëüòàòiâ íàñòóïíèõ âèìiðþâàíü íà îñíîâi ïîïåðåäíiõ âèìiðþâàíü òà éìîâiðíîñòi, ç ÿêîþ îòðèìó¹òüñÿ êîæåí öåé ðåçóëüòàò. Ñàìi âèìiðþâàííÿ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê äåÿêi îïåðàöi¨ íàä içè÷íèìè ñèñòåìàìè. Òîìó i ìàòåìàòèêà, ÿêà îïèñó¹ öi îïåðàöi¨ íà ìiêðîñêîïi÷íîìó ðiâíi, ìóñèòü áóòè ìàòåìàòèêîþ îïåðàòîðiâ. Ôóíäàìåíòàëüíèé ïðèíöèï êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè öå ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨. Òîìó ñòàíè êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ñèñòåìè ïîâèííi áóòè òàêèìè ìàòåìàòè÷íèìè âåëè÷èíàìè, ÿêi ìîæíà äîäàâàòè, ìíîæèòè íà êîìïëåêñíi ÷èñëà i äiñòàâàòè âåëè÷èíè òàêîãî æ òèïó. Öå îçíà÷à¹, ùî ñòàíè êâàíòîâî¨ ñèñòåìè ñëiä çiñòàâëÿòè ç âåêòîðàìè äåÿêîãî ëiíiéíîãî ïðîñòîðó. Áåðó÷è öå äî óâàãè é óçàãàëüíþþ÷è ðåçóëüòàòè, ÿêi ìè îäåðæàëè â ïîïåðåäíiõ ïàðàãðààõ, îñíîâíi ïîëîæåííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ìîæíà ñîðìóëþâàòè ó âèãëÿäi àêñiîì (ïîñòóëàòiâ). Ïîñòóëàò 1. Ñòàíè êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ñèñòåìè îïèñóþòüñÿ âåêòîðàìè |ψi àáñòðàêòíîãî ãiëüáåðòîâîãî ïðîñòîðó. Íàãàäà¹ìî îçíà÷åííÿ: êàæóòü, ùî çàäàíèé ãiëüáåðòiâ ïðîñòið âåêòîðiâ |ψi, |ϕi, |χi, . . ., ÿêùî öåé ïðîñòið ëiíiéíèé i â íüîìó âèçíà÷åíèé ñêàëÿðíèé äîáóòîê âåêòîðiâ hψ|ϕi. Àêñiîìè:

6 |ϕi), àáî òî1◦ . Äâà äîâiëüíi âåêòîðè |ψi, |ϕi àáî ðiçíi (|ψi = òîæíi (|ψi = |ϕi); ÿêùî |ψi = |χi i |ϕi = |χi, òî |ψi = |ϕi.

2◦ . Äëÿ äâîõ âåêòîðiâ |ψi, |ϕi iñíó¹ ñóìà |ψi + |ϕi, ÿêà ñàìà ¹ âåêòîðîì i

|ψi + |ϕi = |ϕi + |ψi, |ψi + (|ϕi + |χi) = (|ψi + |ϕi) + |χi. 10*

147

3◦ . Íåõàé α äîâiëüíå êîìïëåêñíå ÷èñëî, òîäi äëÿ êîæíîãî âåêòîðà |ϕi âåëè÷èíà α|ϕi òàêîæ ¹ âåêòîðîì i

α(|ψi + |ϕi) = α|ψi + α|ϕi. Ïîñòóëàò 2. Êîæíié ñïîñòåðåæóâàëüíié âåëè÷èíi A âiäïîâiäà¹ ëiíiéíèé îïåðàòîð Aˆ, ùî äi¹ â ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði âåêòîðiâ ñòàíiâ. Ó çàäàíîìó îðòîíîðìîâàíîìó áàçèñi |ψn i îïåðàòîð âèçíà÷à¹òüñÿ ñóêóïíiñòþ ÷èñåë:

ˆ n i = hm|A|ni. ˆ Amn = hψm |A|ψ Ïîñòóëàò 3. äèíèìè ìîæëèâèìè ðåçóëüòàòàìè âèìiðþâàííÿ äàíî¨ içè÷íî¨ âåëè÷èíè A â çàäàíîìó ñòàíi |ψi ¹ âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Aˆ, ùî çiñòàâëÿþòüñÿ ç öi¹þ âåëè÷èíîþ:

ˆ n i = An |ψn i. A|ψ Ïîñòóëàò 4. Iìîâiðíiñòü îòðèìàííÿ çíà÷åííÿ An äëÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè A ïðè ¨¨ âèìiðþâàííi â ñòàíi |ψi äîðiâíþ¹ Z 2 2 2 ∗ |Cn | = |hψn |ψi| = ψn (q)ψ(q)dq . Ïîñòóëàò 5. Êîîðäèíàòàì qi i êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèì iìïóëüñàì pi êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ñèñòåìè âiäïîâiäàþòü îïåðàòîðè qî òà pî , ùî çàäîâîëüíÿþòü ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ:

qî pˆj − pˆj qî = i~δij

àëãåáðà àéçåíáåð à. Öå i ¹ óìîâà êâàíòóâàííÿ. åøòó ðåçóëüòàòiâ îòðèìó¹ìî ç öèõ ïîñòóëàòiâ ÿê òåîðåìè. Âiäñòóï. Áîæåñòâåííà ïðîïîðöiÿ . Òèñÿ÷i ðîêiâ õâèëþ¹ ëþäèíó òàê çâàíèé çîëîòèé ïåðåðiç, àáî Áîæåñòâåííà ïðîïîðöiÿ, ùî ïðîíèêëà â óñi äiëÿíêè ¨¨ iíòåëåêòóàëüíî¨ äiÿëüíîñòi i ÿê îäíå ç ïîÿñíåíü ïðèðîäè íàéâèùî¨ äîâåðøåíîñòi òà êðàñè, i ÿê √ ìiñòè÷íèé åëåìåíò ó ñïðèéíÿòòi ñâiòó. Çîëîòèé ïåðåðiç Φ = ( 5 + 1)/2 = 1.618033988749894 . . . ¹ âiäíîøåííÿì ñòîðií ïðÿìîêóòíèêà, ÿêèé ìîæíà ðîçðiçàòè íà ïîäiáíèé äî íüîãî ïðÿìîêóòíèê òà êâàäðàò, i îòæå, Φ ¹ ðîçâ'ÿçêîì êâàäðàòíîãî ðiâíÿííÿ Φ2 −Φ−1 = 0. Âèíàõiä

148

÷èñëà Φ ïðèïèñóþòü ñòàðîäàâíiì ãðåêàì, õî÷ àðõiòåêòóðà ¹ãèïåòñüêèõ ïiðàìiä óêàçó¹ íà òå, ùî éîãî âèêîðèñòîâóâàëè, i, ìàáóòü, íå âèïàäêîâî, ùå â Ñòàðîäàâíüîìó ãèïòi çîêðåìà â ïiðàìiäè Õåîïñà (âèñîòà äîðiâíþ¹ 146.6 ì, îñíîâà 230.4 ì) âiäíîøåííÿ âèñîòè ái÷íî¨ ãðàíi (àïîåìè) äî ¨¨ ïiâîñíîâè äîðiâíþ¹ Φ, à âiäíî√ øåííÿ âèñîòè ïiðàìiäè äî ¨¨ ïiâîñíîâè äîðiâíþ¹ Φ. ßê âiäîìî, Ïiàãîð (VI ñò. äî .Õ.) ïîêëàâ â îñíîâó ãàðìîíi¨ ìóçèêè ïðîñòi ÷èñëîâi âiäíîøåííÿ. Âií çàóâàæèâ, ùî íàêëàäàííÿ äâîõ çâóêiâ ðiçíî¨ âèñîòè ¹ ïðè¹ìíèì äëÿ âóõà, ÿêùî ¨õíi ÷àñòîòè ñïiââiäíîñÿòüñÿ ÿê íåâåëèêi ÷èñëà. Ìàáóòü, áàæàííÿ ïiàãîðiéöiâ çâåñòè äî ÷èñëîâèõ ñïiââiäíîøåíü i ãàðìîíiþ ïðîñòîðîâèõ îáðàçiâ, ÿêà áóëà áè ïðè¹ìíîþ äëÿ îêà, ïðèâåëè ¨õ äî âiäêðèòòÿ ÷èñëà Φ. Ïëàòîí (428 àáî 427 äî . Õ.348 àáî 347 äî . Õ.) óñòàìè ïiàãîðiéöÿ Òiìåÿ (Ïëàòîí. Äiàëîãè. Òiìåé, 31ñ32b) âèêëàâ ìiðêóâàííÿ ïðî òå, ÿê ç äâîõ ÷àñòèí ñêëàñòè îäíå öiëå òàê, ùîá ¨õíþ ðîç'¹äíàíiñòü ïåðåòâîðèòè â ¹äíiñòü: Íåìîæëèâî, ùîá äâi ðå÷i äîñêîíàëî áóëè ç'¹äíàíi áåç òðåòüî¨, òîìó ùî ìiæ íèìè ïîâèíåí ç'ÿâèòèñü ïåâíèé çâ'ÿçîê, ùî ¨õ ñêðiïëþâàâ áè. Íàéêðàùå öå ìîæå çðîáèòè ïðîïîðöiÿ áî, ÿêùî òðè ÷èñëà âèÿâëÿþòü òàêó âëàñòèâiñòü, ùî ñåðåäí¹ ¹ â òàêîìó âiäíîøåííi äî ìåíøîãî, ÿê áiëüøå äî ñåðåäíüîãî, i íàâïàêè, ìåíøå ¹ â òàêîìó âiäíîøåííi äî ñåðåäíüîãî, ÿê ñåðåäí¹ äî áiëüøîãî, òî îñòàíí¹ é ïåðøå áóäå ñåðåäíiì, à ñåðåäí¹ ïåðøèì i îñòàííiì. Îòæå, âñå ç íåîáõiäíîñòi áóäå òèì ñàìèì, à îñêiëüêè âîíî áóäå òèì ñàìèì, òî âîíî ñêëàäàòèìå ¹äíiñòü. Òàêà ïðîïîðöiÿ äëÿ òðüîõ äîäàòíèõ âåëè÷èí a, b, a + b i a < b ïðèâîäèòü íàñ äî çîëîòîãî ïåðåðiçó b/a = Φ, õî÷à ñàì Ïëàòîí íå âèêîðèñòîâóâàâ öi ìiðêóâàííÿ äëÿ âèâåäåííÿ ÷èñëà Φ. Â åïîõó Âiäðîäæåííÿ ÷èñëî Φ âiäiãðàâàëî âèíÿòêîâó ðîëü (àæ äî ìiñòèiêàöi¨) â àðõiòåêòóði, ìèñòåöòâi, çàêîíàõ åñòåòèêè é äiñòàëî íàçâó Áîæåñòâåííà ïðîïîðöiÿ, àáî çîëîòèé ïåðåðiç (aurea se tio) òàê íàçâàâ éîãî Ëåîíàðäî äà Âií÷i (14521519). Ïåðøèé òâið ïðî çîëîòèé ïåðåðiç Ïðî Áîæåñòâåííó ïðîïîðöiþ (de Divina propotione) íàïèñàâ â îñòàííiõ ðîêàõ XV ñòîëiòòÿ iòàëiéñüêèé ìàòåìàòèê ìiíîðèò Ëóêà Ïà÷iîëi (áëèçüêî 1445ïiñëÿ 1509). Âií áóâ îñîáèñòèì äðóãîì Ëåîíàðäî äà Âií÷i (14521519), ÿêèé iëþñòðóâàâ öþ êíèæêó. Ïà÷iîëi, ÿê ìàòåìàòèê, íàâ÷àâ ãåîìåòði¨ õóäîæíèêiâ é àðõiòåêòîðiâ, à âèäàòíèé âåíåöiàíñüêèé õóäîæíèê Äæàêîïî äå Áàðáàði (áëèçüêî 1445ïiñëÿ 1516) íà çíàê ïîäÿêè íàïèñàâ êàðòèíó, äå çîáðàçèâ ñåáå ïîðó÷ çi ñâî¨ì ó÷èòåëåì: ïå149

ðåä íèìè íà ñòîëi ñòî¨òü äîäåêàåäð, ó ÿêîìó íàÿâíà ïðîïîðöiÿ Φ, à â ëiâîìó âiëüíîìó êóòi êàðòèíè íàìàëüîâàíî íàïiâïðàâèëüíèé áàãàòîãðàííèê Àðõiìåäà òiëî, ïîâåðõíÿ ÿêîãî ñêëàäà¹òüñÿ ç êâàäðàòiâ i ðiâíîñòîðîííiõ òðèêóòíèêiâ. Ïëîùèíà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ñåðåäèíó âèñîòè öüîãî òiëà, äiëèòü ðåáðà, ÿêi âîíà ïåðåòèíà¹, ïðîïîðöi¹þ çîëîòîãî ïåðåðiçó. ×àðè òà¹ìíè÷îñòi íàâêîëî çîëîòîãî ïåðåðiçó, ÿêèé âèêëèêà¹ â íàñ âiä÷óòòÿ çàâåðøåíîñòi é åñòåòè÷íîãî çàäîâîëåííÿ, çóìîâëåíi òèì, ùî öþ ïðîïîðöiþ ÷àñòî áà÷èìî ÿê ó òâîðiííÿõ Ïðèðîäè, òàê i â ðóêîòâîðíèõ îá'¹êòàõ. Çîêðåìà çîëîòèé ïåðåðiç íàÿâíèé ó ïðîïîðöiÿõ ëþäñüêîãî òiëà: ïîÿñ äiëèòü éîãî ó âiäíîøåííi Φ, ðîò òàêîæ äiëèòü íèæíþ ÷àñòèíó îáëè÷÷ÿ, ÿê i áðîâè âñþ ãîëîâó â òàêié æå Áîæåñòâåííié ïðîïîðöi¨ i ò. ï. Íàïðèêëàä, ëåãêî çàóâàæèòè, ùî âiäíîøåííÿ ñòîðií 42-ðÿäêîâî¨ äâîñòîâïöåâî¨ øïàëüòè Áiáëi¨ 1455 ðîêó ïåðøîãî âèíàõiäíèêà êíèãîäðóêóâàííÿ Éîãàííà óòåíáåð à (ìiæ 1394 i 13991468), ÿê i øïàëüòè Àïîñòîëà Iâàíà Ôåäîðîâà (ð. í. íåâiä.1583), íàäðóêîâàíîãî ó Ëüâîâi 1574 ðîêó, ¹ áëèçüêèì äî çîëîòîãî ïåðåðiçó Φ. Óçàãàëi øïàëüòè áàãàòüîõ êíèæîê ìàþòü ñàìå òàêèé îðìàò àáî áëèçüêèé äî íüîãî, ÿê i øïàëüòè êíèæêè, ÿêó ×èòà÷ òðèìà¹ â ðóêàõ. . . Öiêàâî, ùî ÷èñëî Φ iòåðóâàííÿì íàâåäåíîãî âèùå ðiâíÿííÿ, Φ = 1 + 1/Φ, ìîæíà çîáðàçèòè íåñêií÷åííèì ëàíöþãîâèì äðîáîì,

Φ=1+

1 1+

1 1+...

,

√ àáî, ÿêùî ðiâíÿííÿ äëÿ Φ ïåðåïèñàòè ÿê Φ = 1 + Φ, òî, iòåðóþ÷è éîãî, çíàéäåìî, ùî r q √ Φ = 1 + 1 + 1 + ... .

ßê òóò íå çãàäàòè Áîæåñòâåííó îäèíèöþ Ïiàãîðà, ç ÿêî¨ ñêëàäà¹òüñÿ Âñå. Îáðèâàþ÷è ëàíöþãîâèé äðiá äëÿ Φ íà êîæíié ëàíöi, îòðèìà¹ìî ïîñëiäîâíiñòü éîãî íàáëèæåíèõ çíà÷åíü Φ = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, . . . , ÿêi ¹ âiäíîøåííÿìè ÷èñåë Ôiáîíà÷÷i (êîæíå íàñòóïíå òàêå ÷èñëî äîðiâíþ¹ ñóìi äâîõ ïîïåðåäíiõ, ïðè÷îìó äâà ïåðøi ÷èñëà äîðiâíþþòü îäèíèöi). Iòàëiéñüêèé ìàòåìàòèê Ôiáîíà÷÷i, âiäîìèé òàêîæ ÿê Ëåîíàðäî Ïiçàíñüêèé (áë. 1170ïiñëÿ 150

1240), ïðèéøîâ äî íèõ, ðîçâ'ÿçóþ÷è çíàìåíèòó çàäà÷ó ïðî ðîçìíîæåííÿ êðiëèêiâ: ïîòðiáíî îá÷èñëèòè, ñêiëüêè ïàð êðiëèêiâ íàðîäæó¹òüñÿ ïðîòÿãîì ðîêó, ÿêùî ÷åðåç ìiñÿöü ïàðà êðiëèêiâ âiäòâîðþ¹ íîâó ïàðó, à íàðîäæóþòü âîíè ç äðóãîãî ìiñÿöÿ ïiñëÿ ñâîãî íàðîäæåííÿ. ×èñëî Φ ¹ ãðàíèöåþ âèïèñàíî¨ âèùå ïîñëiäîâíîñòi. Äîâiâ öåé àêò óïåðøå 1596 ðîêó É. Êåïëåð (15711630). Öiêàâî òàêîæ, ùî ç öi¹þ ïîñëiäîâíiñòþ ïîâ'ÿçàíå ãâèíòîïîäiáíå ðîçòàøóâàííÿ ëèñòêiâ íà ñòåáëi ðîñëèí (iëîòàêñèñ), ÿêå õàðàêòåðèçó¹òüñÿ äåÿêèì êóòîì ïîâîðîòó ìiæ äâîìà ïîñëiäîâíèìè ëèñòêàìè. Öåé êóò ¹ ÷àñòêîþ ïîâíîãî êóòà 2π i äëÿ ðiçíèõ ðîñëèí ¹ ðiçíèì, àëå, ÿê ïðàâèëî, öÿ ÷àñòêà äîðiâíþ¹ âiäíîøåííþ ñóñiäíiõ ÷èñåë Ôiáîíà÷÷i. . . Âèÿâëÿ¹ Áîæåñòâåííó ïðîïîðöiþ é ëîãàðèìi÷íà ñïiðàëü, ÿêó çíàõîäèìî ó òâîðiííÿõ ïðèðîäè çãàäàéìî õî÷à á ÷åðåïàøêè ñëèìàêiâ i ìîëþñêiâ ÷è ðîçòàøóâàííÿ çåðåí ñîíÿøíèêà íà éîãî øëÿïöi, ÷è ÿñêðàâèõ ïëÿì-ïðèêðàñ íà ðîçïóùåíîìó âiÿëîì áàðâèñòîìó õâîñòi ïàâè. ßêùî íàâåäåíå íà ïî÷àòêó íàøî¨ ðîçïîâiäi ðîçðiçàííÿ çîëîòîãî ïðÿìîêóòíèêà ïðîäîâæèòè íà íàñòóïíi âñå ìåíøi ïðÿìîêóòíèêè, òî âèÿâèìî, ùî ñïiëüíi çîâíiøíi âåðøèíè êâàäðàòiâ i ïðÿìîêóòíèêiâ ëåæàòü íà ëîãàðèìi÷íié ñïiðàëi. Íàñëiäóâàííÿì öi¹¨ ïðèðîäíî¨ ñèìåòði¨ ¹ îäíà ç ðåíåñàíñíèõ ìiñòîáóäiâíèõ êîìïîçèöié iòàëiéñüêèõ àðõiòåêòîðiâ òàê çâàíîãî iäåàëüíîãî ìiñòà, â ÿêîìó íå êiëüêà îêðåìèõ êîëîâèõ âóëèöü ïåðåòèíàþòü ðàäiàëüíi, à îäíà ÿêà ðîçêðó÷ó¹òüñÿ ëîãàðèìi÷íîþ ñïiðàëëþ âiä ãîëîâíî¨ ïëîùi ìiñòà. Ñïiðàëü áà÷èìî é íà çàãàäêîâîìó äèñêó ç Ôåñòà (î. Êðiò, XVII ñò. äî . X.). ßê ìè áà÷èëè, çîëîòèé ïåðåðiç ¹ i â êâàíòîâié òåîði¨ éîãî âèÿâëÿ¹ åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ìîëåêóëè áóòàäi¹íó. Ìîæíà çíàéòè Φ i â êóòîâîìó ðîçïîäiëi ïðîòîíiâ, ÿêi íàðîäæóþòüñÿ ïðè ðîçïàäi Λ0 -÷àñòèíêè. . . Êîìïîçèòîðè òà ðåæèñåðè òàêîæ ïîñëóãîâóþòüñÿ çîëîòèì ïåðåðiçîì äëÿ ñïðè÷èíåííÿ ãëèáøîãî âïëèâó ñâî¨õ òâîðiâ íà ëþäèíó: âîíè ñòàâëÿòü ïåðåõîäè ìiæ ñþæåòíèìè ëiíiÿìè â òî÷êàõ, ÿêi äiëÿòü ÷àñîâèé ïðîñòið âèêîíàííÿ òâîðó íà ïðîìiæêè, ùî ñïiââiäíîñÿòüñÿ ìiæ ñîáîþ ÷åðåç âåëè÷èíó Φ. Õóäîæíèêè-êóáiñòè, ÿêi ñïîâiäóâàëè ãåîìåòðè÷íi ïðèíöèïè â ìàëÿðñòâi, óòâîðèëè íà ïî÷àòêó XX ñòîëiòòÿ ãðóïó Çîëîòèé ïåðåðiç. Òàê çâàíà âiäüìèíà ñòîïà, òîáòî ïåíòàãðàìà (ï'ÿòèêóòíà çiðêà) íà ïîðîçi êiìíàòè Ôàóñòà, ñòàëà çàâàäîþ Ìåiñòîåëåâi, ìà151

áóòü, ñàìå òîìó, ùî â íié ¹ ÷óäîäiéíà ñèëà Áîæåñòâåííî¨ ïðîïîðöi¨ êîæíà ñòîðîíà ïåíòàãðàìè ïåðåòèíà¹ äâi iíøi ¨¨ ñòîðîíè ó âiäíîøåííi çîëîòîãî ïåðåðiçó, à âiäíîøåííÿ îñíîâ ðiâíîñòîðîííiõ òðèêóòíèêiâ çiðêè äî ¨õ êàòåòiâ äîðiâíþ¹ 1/Φ. 7 Ìè îòðèìó¹ìî åñòåòè÷íå çàäîâîëåííÿ âiä ñïîãëÿäàííÿ ðiçíîìàíiòíèõ ñïîðóä, ñòðóêòóð òà ÿâèù, äå ïðîÿâëÿ¹òüñÿ çîëîòèé ïåðåðiç, âîäíî÷àñ ïðîïîðöi¨, ÿêi äàëåêi âiä Φ, âèêëèêàþòü äèñîíàíñíó, à òî é äåïðåñèâíó äiþ. Ìîæëèâî, ùî ïåðøîïðè÷èíîþ öüîãî âiä÷óòòÿ, ÿêå çàïóñêà¹ â íàøié ïiäñâiäîìîñòi ÿêèéñü òà¹ìíè÷èé ìåõàíiçì, i ¹ âñåîõîïíèé ïðèíöèï ìiíiìàëüíîñòi äåÿêî¨ õàðàêòåðíî¨ äëÿ êîíêðåòíî¨ ñèñòåìè âåëè÷èíè ìiíiìóì åíåð i¨ äëÿ ìîëåêóëè áóòàäi¹íó, îïòèìàëüíå äëÿ îòîñèíòåçó ðîçòàøóâàííÿ ëèñòêiâ ðîñëèí ðiçíî¨ îðìè i ïëîùi, îùàäíà âèòðàòà ìàòåðiàëó â àðõiòåêòóðíèõ ñïîðóäàõ . . . Òàêà çàãàäêîâà êîðåëÿöiÿ ìiæ âiä÷óòòÿìè òà ïîäðàçíèêàìè ïåâíî¨ ñèìåòði¨ ÷è ãàðìîíi¨ ñòîñó¹òüñÿ, çðåøòîþ, íå ëèøå ãåîìåòðè÷íèõ êîíñòðóêöié, àëå é êîëüîðiâ ÷è ìóçè÷íèõ çâóêiâ, ÿêi ¹ íà äóæå êîðîòêié âiäñòàíi äî ïiäñâiäîìîñòi, îñêiëüêè âîíè àêòè÷íî ìèòò¹âî ïåðåêèäàþòü íàñ ç îäíîãî ñòàíó â iíøèé íà âiäìiíó âiä ñëîâà, ùî ïîòðåáó¹ äëÿ éîãî óñâiäîìëåííÿ ïåâíîãî ÷àñó. Ñàìå öÿ òà¹ìíè÷iñòü äæåðåëî ðiçíîìàíiòíèõ ìiñòèiêàöié òà àíòàçié, i â õóäîæíiõ òâîðàõ çîêðåìà, ùîäî ïðîÿâiâ òà äi¨ íà ïñèõiêó ëþäèíè Áîæåñòâåííî¨ ïðîïîðöi¨ Φ.

7

Ìåiñòîåëü: Òà òàê òî òàê! À çâiäñè âèéòè ÿê? Çàâàäîþ ïîñòàíå ïiä íîãàìè Áiëÿ ïîðîãà òàéíèé çíàê. Ôàóñò: À! Òè çëÿêàâñÿ ïåíòàãðàìè, Ùî ìà¹ ñèëó íàä ÷îðòàìè? Ïåêåëüíèêó, ÿê òè ñþäè ïðîáðàâñü? I ÿê öå äóõ òàêèé ïîïàâñü? Ìåiñòîåëü: À ïðèäèâèñü äî íå¨ ïèëüíî, Âîíà íàêðåñëåíà íåùiëüíî: Íå âèéøîâ òðîõè êðàéíié êóò. (É.-Â. åòå Ôàóñò. Ïåðåêëàä Ì. Ëóêàøà.)

Ë À Â À III IÂÍßÍÍß ØÅÄÈÍÅÀ

15. Õâèëüîâå ðiâíÿííÿ

Ïåðåéäåìî äî ïîáóäîâè ðiâíÿííÿ, ÿêå îïèñó¹ çìiíó ñòàíiâ êâàíòîâèõ ñèñòåì iç ÷àñîì îñíîâíîãî, óíäàìåíòàëüíîãî ðiâíÿííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Ïî÷íåìî ðîçãëÿä iç ïîðiâíÿííÿ ç êëàñè÷íîþ òåîði¹þ. Àíàëîãiÿ ç êëàñè÷íîþ ìåõàíiêîþ âiäiãðà¹ âåëèêó ðîëü. Ïî-ïåðøå, êëàñè÷íà ìåõàíiêà ¹ ãðàíè÷íèì âèïàäêîì êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, êîëè êâàíò äi¨ ~ → 0; ïî-äðóãå, öåé çâ'ÿçîê ¹ äîäàòêîâèì åâðèñòè÷íèì ïðèíöèïîì. Îòæå, ðîçãëÿíåìî êëàñè÷íó ñèñòåìó. ¨ ñòàí ïîâíiñòþ çàäà¹òüñÿ êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèìè çìiííèìè q, p (äëÿ ïðîñòîòè ðîçãëÿäà¹ìî îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi). Òâåðäæåííÿ âåëè÷èíè ïîâíiñòþ çàäàþòü ñòàí ñèñòåìè îçíà÷à¹, ùî, çàäàâøè ¨õ ó äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó t, ìè ìîæåìî çà öèìè çíà÷åííÿìè çíàéòè ¨õ ó íàñòóïíèé ìîìåíò ÷àñó t + ∆t,

q(t + ∆t) = q(t) + q(t)∆t, ˙ p(t + ∆t) = p(t) + p(t)∆t, ˙ âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ ðóõó êàíîíi÷íi ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà:

q˙ =

∂H , ∂p

p˙ = −

∂H , ∂q

äå H = H(p, q, t) êëàñè÷íà óíêöiÿ àìiëüòîíà. Öi ðiâíÿííÿ, ÿê i åêâiâàëåíòíi ¨ì ðiâíÿííÿ Íüþòîíà, àáî Ëà ðàíæà, àáî àìiëüòîíàßêîái, íå âèâîäÿòüñÿ. Âîíè âñòàíîâëþþòüñÿ i ïîñòóëþþòüñÿ íà îñíîâi åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ. Ùîá íå áóëî íåïîðîçóìiíü, óêàæåìî, ùî âñi öi ðiâíÿííÿ ¹ íàñëiäêîì ïðèíöèïó íàéìåíøî¨ äi¨, ÿêèé òåæ ïîñòóëþ¹òüñÿ. Ñàì öåé ïðèíöèï áóâ óâåäåíèé ïiçíiøå, íiæ áóëè íàïèñàíi ðiâíÿííÿ ðóõó Íüþòîíà. Îòæå, 153

ìè áà÷èìî, ÿêùî âåëè÷èíè q, p çàäàþòü ñòàí ñèñòåìè, òî ðiâíÿííÿ ðóõó ìiñòÿòü ëèøå ïåðøi ïîõiäíi çà ÷àñîì q, ˙ p˙, ÿêi íåîáõiäíi äëÿ âèçíà÷åííÿ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ ó íàñòóïíi ìîìåíòè ÷àñó. Òàêà æ ñèòóàöiÿ âèíèêà¹ i â êëàñè÷íié åëåêòðîäèíàìiöi. Ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ïîâíiñòþ çàäà¹òüñÿ íàïðóæåíîñòÿìè åëåêòðè÷íîãî òà ìàãíiòíîãî ïîëiâ E i H, ÿêi ¹ óíêöiÿìè òî÷êè ïðîñòîðó òà ÷àñó. Äëÿ âèçíà÷åííÿ íàïðóæåíîñòåé ïîëÿ â ìîìåíò ÷àñó t + ∆t íàì íåîáõiäíî çíàéòè ¨õíi ïîõiäíi çà ÷àñîì ó ìîìåíò t (ïðîñòîðîâó çìiííó íå âèïèñó¹ìî):

˙ E(t + ∆t) = E(t) + E(t)∆t, ˙ H(t + ∆t) = H(t) + H(t)∆t. iâíÿííÿìè ðóõó ïîëÿ ¹ ðiâíÿííÿ Ìàêñâåëëà, äî ÿêèõ òàêîæ âõîäÿòü ëèøå ïåðøi ïîõiäíi çà ÷àñîì âiä íàïðóæåíîñòåé:  1 4π   − E˙ + rot H = ρv,   c c       1 ˙ + rot E = 0, H c      div H = 0,      div E = 4πρ,

òóò ρ, v ãóñòèíà òà øâèäêiñòü çàðÿäiâ. ßê i ðiâíÿííÿ Íüþòîíà, ðiâíÿííÿ Ìàêñâåëëà ¹ óçàãàëüíåííÿì åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ. iâíÿííÿ Íüþòîíà i Ìàêñâåëëà öå óíäàìåíòàëüíi ðiâíÿííÿ, ÿêi êëàñè÷íîþ ìîâîþ îïèñóþòü ìàòåðiþ. Íàøå çàâäàííÿ óñòàíîâèòè âèãëÿä ðiâíÿíü ðóõó äëÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ñèñòåì. Ñòàí òàêî¨ ñèñòåìè çàäà¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ = ψ(q, t). Ìàþ÷è õâèëüîâó óíêöiþ â ìîìåíò ÷àñó t, ìè çìîæåìî çíàéòè ¨¨ â íàñòóïíèé ìîìåíò t + ∆t, ÿêùî âiäîìà ¨¨ ïåðøà ïîõiäíà çà ÷àñîì ó ìîìåíò t:

ψ(q, t + ∆t) = ψ(q, t) +

∂ψ(q, t) ∆t. ∂t

Òåïåð íåîáõiäíî çíàéòè ðiâíÿííÿ äëÿ ïåðøî¨ ïîõiäíî¨ çà ÷àñîì âiä ψ(q, t), öå i áóäå êâàíòîâîìåõàíi÷íå ðiâíÿííÿ ðóõó. 154

îçãëÿíåìî òàê çâàíèé àêñiîìàòè÷íèé ïiäõiä, òîáòî ñîðìóëþ¹ìî ðÿä âèìîã i íà ¨õíié îñíîâi âñòàíîâèìî çàãàëüíèé âèãëÿä öüîãî ðiâíÿííÿ. Âèìîãè.

1◦ . iâíÿííÿ ïîâèííî ìiñòèòè ëèøå ïåðøó ïîõiäíó çà ÷àñîì âiä ψ(q, t) öå ¹ íàñëiäêîì òîãî, ùî ψ(q, t) ïîâíiñòþ âèçíà÷à¹ ñòàí ñèñòåìè. Íàïðèêëàä, ÿêáè ðiâíÿííÿ ìiñòèëî äðóãó ïîõiäíó çà ÷àñîì, òî äëÿ çíàõîäæåííÿ éîãî ðîçâ'ÿçêó íåîáõiäíî áóëî á çàäàâàòè äâi ïî÷àòêîâi óìîâè: äëÿ ψ(q, t) òà ∂ψ(q, t)/∂t. 2◦ . iâíÿííÿ ïîâèííî áóòè ëiíiéíèì ùîäî ψ öÿ âèìîãà äèêòó¹òüñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, îñíîâíèì ïðèíöèïîì êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. ßêùî ψ1 i ψ2 ¹ ðîçâ'ÿçêàìè, òî i ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ ψ = c1 ψ1 +c2 ψ2 òàêîæ ¹ ðîçâ'ÿçêîì øóêàíîãî ðiâíÿííÿ. 3◦ . iâíÿííÿ ïîâèííî çáåðiãàòè óìîâó íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Çîêðåìà äëÿ äîâiëüíîãî ìîìåíòó ÷àñó t

Z

|ψ(q, t)|2 dq = 1.

Öå îçíà÷à¹, ùî ÷àñòèíêà â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó ïîâèííà çíàõîäèòèñü â îáëàñòi çìiíè q : âîíà íå çíèêà¹, à çi ñòîâiäñîòêîâîþ éìîâiðíiñòþ ïåðåáóâà¹ â ìåæàõ öi¹¨ îáëàñòi. 4◦ . Öå ðiâíÿííÿ ïîâèííà çàäîâîëüíÿòè õâèëÿ äå Áðîéëÿ. 5◦ . Ó ðiâíÿííÿ, êðiì ψ , ïîâèííi âõîäèòè ëèøå óíäàìåíòàëüíi êîíñòàíòè òèïó ~, c, . . . òà êîíñòàíòè òèïó ìàñè m i çàðÿäó e, ùî õàðàêòåðèçóþòü ñàìó ÷àñòèíêó, à òàêîæ ñèëîâi õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ, ÿêå äi¹ íà ÷àñòèíêó. Ó ðiâíÿííÿ íå ïîâèííi âõîäèòè êîíêðåòíi äèíàìi÷íi çìiííi, ÿê íàïðèêëàä iìïóëüñ àáî åíåð iÿ. 155

Ç ïåðøèõ äâîõ âèìîã âèïëèâà¹, ùî ðiâíÿííÿ ìà¹ âèãëÿä:

∂ψ(q, t) ˆ = Lψ(q, t), ∂t ˆ ëiíiéíèé îïåðàòîð. Òðåòÿ âèìîãà íàêëàäà¹ äåÿêi îáìåæåííÿ L ˆ . Ñïðàâäi, ìà¹ìî: íà îïåðàòîð L Z d |ψ(q, t)|2 dq = 0. dt

Óâàæà¹ìî, ùî ìåæi îáëàñòi âèçíà÷åííÿ âåëè÷èíè q íå çìiíþþòüñÿ â ÷àñi, òîìó öÿ óìîâà ¹ òàêîþ: Z ∗ ∂ψ ∗ ∂ψ ψ+ψ dq = 0, ∂t ∂t

àð óìåíòè õâèëüîâî¨ óíêöi¨ äëÿ ïðîñòîòè çàïèñó îïóñêà¹ìî. Äàëi âèêîðèñòîâó¹ìî çàãàëüíèé âèãëÿä ðiâíÿííÿ i âèêëþ÷èìî ïîõiäíi çà ÷àñîì t: Z n o ˆ ∗ ψ ∗ + ψ ∗ Lψ ˆ ψL dq = 0 àáî, ââîäÿ÷è â ïåðøîìó äîäàíêó òðàíñïîíîâàíèé îïåðàòîð, Z ˜ˆ ∗ ˆ ψ ∗ (L + L)ψ dq = 0.

Îñêiëüêè óíêöiÿ ψ = ψ(q, t) äîâiëüíà, òî ïîâèííî âèêîíóâàòèñü

˜ˆ ∗ ˆ L +L=0 àáî

ˆ + = −L. ˆ L

ˆ ¹ àíòèåðìiòîâèì. Óâiâøè îïåðàòîð H ˆ: Îòæå, îïåðàòîð L ˆ = H/i~, ˆ L ìà¹ìî:

−

1 ˆ+ 1 ˆ H + H =0 i~ i~

àáî

ˆ + = H. ˆ H 156

Ñòàëó Ïëàíêà ìè ââåëè òiëüêè ç ìiðêóâàíü çðó÷íîñòi, ùîá íå äîäàâàòè ïðîìiæíèõ ïîçíà÷åíü. Òàêèì ÷èíîì, ðiâíÿííÿ ðóõó íàáèðà¹ âèãëÿäó:

i~

∂ψ(q, t) ˆ = Hψ(q, t), ∂t

ˆ ëiíiéíèé ñàìîñïðÿæåíèé îïåðàòîð. Îòæå, ìè âñòàíîâèäå H ëè çàãàëüíèé âèãëÿä ðiâíÿííÿ, ÿêå îïèñó¹ åâîëþöiþ â ÷àñi ñòàíiâ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ñèñòåì. ˆ çâåðíåìîñü äî ãiïîòåçè Äëÿ âñòàíîâëåííÿ çìiñòó îïåðàòîðà H ◦ äå Áðîéëÿ i âðàõó¹ìî âèìîãó 4 . Ïàì'ÿòàþ÷è, ùî äëÿ õâèëi äå Áðîéëÿ ∂ψ i~ = Eψ, ∂t çíàõîäèìî, ùî ˆ = Eψ. Hψ Ìè îòðèìàëè ðiâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ. Çà ñâî¨ì çìiñòîì E öå ïîâíà åíåð iÿ ÷àñòèíêè, ñòàí ÿêî¨ îïèˆ öå íå ùî iíøå, ñó¹òüñÿ õâèëåþ äå Áðîéëÿ. Îòæå, îïåðàòîð H ÿê îïåðàòîð åíåð i¨, àáî îïåðàòîð àìiëüòîíà. Ïðèïóñòèìî, ùî ˆ ÿê îïåðàòîðà åíåð i¨ íå áóäå çìiíþâàòèñü ïðè çìiñò îïåðàòîðà H ïåðåõîäi äî ðîçãëÿäó iíøèõ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ îá'¹êòiâ, à ìiíÿòèìåòüñÿ ëèøå éîãî êîíêðåòíèé âèãëÿä. Òàêèì ÷èíîì, ïîñòóëþ¹ìî: iâíÿííÿ, ùî îïèñó¹ çìiíó ñòàíiâ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ñèñòåì ç ÷àñîì, ìà¹ âèãëÿä ∂ψ ˆ i~ = Hψ, ∂t ˆ îïåðàòîð àìiëüòîíà ñèñòåìè. Öå ðiâíÿííÿ íàçèâàþòü õâèäå H ëüîâèì ðiâíÿííÿì Øðåäèí åðà, àáî ïðîñòî õâèëüîâèì ðiâíÿííÿì. Âîíî ¹ óíäàìåíòàëüíèì ðiâíÿííÿì êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Äî âèíàéäåíîãî ðiâíÿííÿ ñïðàâäi íå âõîäÿòü òàêi äåòàëi, ÿê iìïóëüñ ÷è åíåð iÿ i ò. ï. òîáòî âîíî çàäîâîëüíÿ¹ ïóíêò 5◦ . Çðîáèìî òåïåð äåêiëüêà çàóâàæåíü äî íüîãî. ßê i ïðè âñòàíîâëåííi ðiâíÿíü Íüþòîíà àáî Ìàêñâåëëà, ìè íå âèâåëè õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ, à ïîñòóëþâàëè éîãî íà îñíîâi çàãàëüíèõ ïðèíöèïiâ i äåÿêèõ êîíêðåòíèõ ïðèïóùåíü. Óñòàíîâëåííÿ Å. Øðåäèí åðîì 157

öüîãî ðiâíÿííÿ áóëî ãåíiàëüíîþ çäîãàäêîþ, i 1926 ðiê, êîëè âîíî áóëî âèíàéäåíå, ¹ âåëèêèì iñòîðè÷íèì ìîìåíòîì ìè îòðèìàëè ó ñâî¹ ðîçïîðÿäæåííÿ iíñòðóìåíò äëÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî îïèñó ìàòåði¨. îçâ'ÿçêè öüîãî ðiâíÿííÿ i âèñíîâêè ç íèõ äàþòü çìîãó ïîÿñíèòè áåçëi÷ åêñïåðèìåíòàëüíèõ àêòiâ, ïî÷èíàþ÷è âiä ñòàáiëüíîñòi àòîìiâ, ñòðóêòóðè ¨õíiõ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ, õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó òà âëàñòèâîñòåé òâåðäèõ òië i àæ äî ÿâèù íàäïëèííîñòi ðiäêîãî ãåëiþ, íàäïðîâiäíîñòi ìåòàëiâ, ïðèðîäè êîñìi÷íèõ îá'¹êòiâ, ñêëàäíèõ ðåàêöié ç ó÷àñòþ áiëêîâèõ ìîëåêóë i ðîëi åðìåíòiâ. Óñi öi ÿâèùà êâàíòîâà ìåõàíiêà, ó ïðèíöèïi, ïîÿñíþ¹ çà äîïîìîãîþ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Äëÿ öüîãî íàì íåîáõiäíî çðîáèòè ëèøå îäèí êðîê i çàïèñàòè éîãî äëÿ N ÷àñòèíîê:

  N   2 X ∂ψ ~ i~ = − ∇2j + U (r1 , . . . , rN , t) ψ,   ∂t 2mj j=1

ψ = ψ(r1 , . . . , rN , t). Ôàêòè÷íî âñi íàñòóïíi ðîçäiëè, ÿêi ìè âèâ÷àòèìåìî, òàê àáî iíàêøå ïîâ'ÿçàíi ç öèì ðiâíÿííÿì. Îäíàê i ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìà¹ ñâî¨ ìåæi çàñòîñîâíîñòi. Ïåðåäóñiì áåçïîñåðåäíüî ç öüîãî ðiâíÿííÿ ìîæíà âæå âiçóàëüíî çàóâàæèòè, ùî â íüîãî íå âõîäèòü øâèäêiñòü ñâiòëà. Îòæå, ðiâíÿííÿ íå ìîæå îïèñóâàòè ÿâèù, ïîâ'ÿçàíèõ ç òåîði¹þ âiäíîñíîñòi. Íå ìîæå âîíî â òàêîìó âèãëÿäi ïîâíiñòþ îïèñàòè é ìàãíåòèçì. Ó íåðåëÿòèâiñòñüêié êâàíòîâié òåîði¨ ÷àñ t âõîäèòü ó ðiâíÿííÿ ÿê ïàðàìåòð. Ó ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ ïðîñòîðîâi êîîðäèíàòè i ÷àñ ¹ ðiâíîïðàâíèìè çìiííèìè. Îòæå, âîíè ïîâèííi âõîäèòè â ðiâíÿííÿ ñèìåòðè÷íèì ÷èíîì, ÷îãî íåìà¹ â ðiâíÿííi Øðåäèí åðà. Ïðàâèëüíå ðåëÿòèâiñòñüêå ðiâíÿííÿ äëÿ åëåêòðîíà âiäêðèâ ÷åðåç ðiê Ï. À. Ì. Äiðàê. Çðîçóìiëî, ùî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìà¹ òî÷íi ðîçâ'ÿçêè ëèøå äëÿ äåÿêèõ çàäà÷ òèïó ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, àòîìà âîäíþ òà ùå äåêiëüêîõ. Îäíàê çà äîïîìîãîþ ðiçíèõ íàáëèæåíèõ ìåòîäiâ, ÷àñîì íå îá ðóíòîâàíèõ ñòðîãî, ìîæíà çðîçóìiòè áàãàòî ÷óäîâèõ ÿâèù, ÿêi âiäáóâàþòüñÿ â ïðèðîäi. 158

Âiäñòóï. åîìåòðè÷íà i õâèëüîâà ìåõàíiêà.

Å. Øðåäèí åð îïóáëiêóâàâ ÷îòèðè ñòàòòi ïiä çàãàëüíîþ íàçâîþ Êâàíòóâàííÿ ÿê ïðîáëåìà âëàñíèõ çíà÷åíü. Íàâåäåìî éîãî ìiðêóâàííÿ ç äðóãîãî ïîâiäîìëåííÿ, äå ïðîâîäèòüñÿ àíàëîãiÿ ìiæ ãåîìåòðè÷íèìè îïòèêîþ òà ìåõàíiêîþ. ßêùî ãåîìåòðè÷íà ìåõàíiêà íåçàñòîñîâíà, êîëè ðàäióñè êðèâèçíè é ðîçìiðè òðà¹êòîði¨ íåâåëèêi ïîðiâíÿíî ç ïåâíîþ äîâæèíîþ õâèëi, òî íåîáõiäíî ðîçâèíóòè õâèëüîâó ìåõàíiêó. Äëÿ ïðîñòîòè ïî÷íiìî ç îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó. iïîòåçà äå Áðîéëÿ:

E = ~ω, p = ~k, ψ(x, t) = Cei(kx−ωt) õâèëÿ äå Áðîéëÿ, ùî çàäîâîëüíÿ¹ õâèëüîâå ðiâíÿííÿ:

1 ∂2ψ ∂2ψ − = 0, ∂x2 v 2 ∂t2 äå

v=

ω E = k p

àçîâà øâèäêiñòü õâèëi. Âèêîðèñòàéìî êëàñè÷íå ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ åíåð i¨

E=

p2 + U (x) 2m

i çíàéäåìî àçîâó øâèäêiñòü

v=

~ω ~ω . =p p 2m[~ω − U (x)]

Ç ÿâíîãî âèãëÿäó äëÿ ψ îäåðæó¹ìî

∂ψ = −iωψ, ∂t

∂2ψ = −ω 2 ψ, ∂t2 159

òîäi ç õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ, óðàõóâàâøè âèðàç äëÿ àçîâî¨ øâèäêîñòi, îòðèìó¹ìî

∂ 2 ψ 2m + 2 [~ω − U (x)]ψ = 0, ∂x2 ~ òîáòî

−

~2 ∂ 2 ψ + U (x)ψ = Eψ 2m ∂x2

ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Ïîâåðòàþ÷èñü äî ïîõiäíèõ çà ÷àñîì, çíàõîäèìî íåñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

∂ψ = i~ ∂t

~2 ∂ 2 − + U (x) ψ. 2m ∂x2

Ó çàãàëüíîìó çàïèñi ïåðåïèøåìî öå ðiâíÿííÿ òàê:

i~

∂ψ ˆ = Hψ, ∂t

ˆ ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê îïåðàòîðîì àìiëüòîíà äå îïåðàòîð H 2 2 2 ˆ = − ~ ∂ + U (x) = pˆx + U (x). H 2m ∂x2 2m

Ìè áåç çóñèëü óçàãàëüíþ¹ìî ðiâíÿííÿ íà âèïàäîê òðüîõ âèìiðiâ, êîëè ψ = ψ(x, y, z, t):

∂ψ(x, y, z, t) = i~ ∂t

~2 2 − ∇ + U (x, y, z, t) ψ(x, y, z, t). 2m

Öå i ¹ õâèëüîâå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ùî îïèñó¹ ðóõ ÷àñòèíêè ó òðèâèìiðíîìó ïðîñòîði â ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U (x, y, z, t), ÿêà çàëåæèòü íå ëèøå âiä êîîðäèíàò, à é âiä ÷àñó t. Iíòåðïðåòàöiÿ ψ -óíêöi¨ çà Øðåäèí åðîì ïîâ'ÿçàíà ç õâèëüîâèìè ïàêåòàìè, ç ÿêèìè âií îòîòîæíþâàâ ÷àñòèíêè. Öå, îäíàê, íå âiäïîâiäà¹ äiéñíîñòi: õâèëüîâèé ïàêåò iç ÷àñîì ðîçïëèâà¹òüñÿ, à ÷àñòèíêè, ÿê ïîêàçó¹ äîñâiä, íi. 160

16. Çàêîí çáåðåæåííÿ éìîâiðíîñòi. iâíÿííÿ

íåïåðåðâíîñòi

Òàê ñàìî, ÿê ó êëàñè÷íié ãiäðîäèíàìiöi iñíó¹ ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi äëÿ ãóñòèíè ìàñè, à ç ðiâíÿíü Ìàêñâåëëà âèïëèâà¹ ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi äëÿ ãóñòèíè çàðÿäó (òîáòî çàêîí çáåðåæåííÿ çàðÿäó), òàê i ç õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà âèïëèâà¹ ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi, ÿêå äà¹ çàêîí çáåðåæåííÿ ãóñòèíè éìîâiðíîñòi. Äiéñíî,

ρ = |ψ|2 ãóñòèíà éìîâiðíîñòi, i íåõàé îïåðàòîð àìiëüòîíà 2 ˆ = − ~ ∇2 + U (r). H 2m

Äàëi ìà¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà,

∂ρ ∂ψ ∂ψ ∗ 1 ˆ − ψ Hψ ˆ ∗) = ψ + ψ∗ = (ψ ∗ Hψ ∂t ∂t ∂t i~ ˆ îòðèìó¹ìî: i ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó îïåðàòîðà H ~ ∂ρ =− (ψ ∗ ∇2 ψ − ψ∇2 ψ ∗ ). ∂t 2mi ßêùî ââåñòè ïîíÿòòÿ ãóñòèíè ïîòîêó éìîâiðíîñòi

j=

1 i~ ∗ ˆ ψ − ψp ˆ ψ∗ ) = − (ψ ∗ p (ψ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ), 2m 2m

òî

div j = −

i~ ∗ 2 (ψ ∇ ψ − ψ∇2 ψ ∗ ). 2m

Îòæå, ìè îòðèìàëè, ùî

∂ρ + div j = 0. ∂t 11

I. Î. Âàêàð÷óê

161

Öå i ¹ ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi, ÿêå îïèñó¹ çàêîí çáåðåæåííÿ ãóñòèíè éìîâiðíîñòi. Âèãëÿä öüîãî ðiâíÿííÿ ¹ â ïîâíié àíàëîãi¨ ç êëàñè÷íîþ ìåõàíiêîþ, äå âîíî îïèñó¹ çàêîí çáåðåæåííÿ ðå÷îâèíè, àáî ç êëàñè÷íîþ åëåêòðîäèíàìiêîþ, äå âîíî âèðàæà¹ çáåðåæåííÿ åëåêòðè÷íèõ çàðÿäiâ. Ç ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi âèïëèâà¹ çàêîí çáåðåæåííÿ éìîâiðíîñòi â iíòå ðàëüíié îðìi: Z d |ψ|2 dr = 0. dt

Öå é íå äèâíî, îñêiëüêè ñàìå öÿ ðiâíiñòü áóëà ïîêëàäåíà ÿê îäíà ç âèìîã, ÿêó ïîâèííî çàäîâîëüíÿòè îñíîâíå ðiâíÿííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Îäíàê ðiâíÿííÿ â äèåðåíöiàëüíié îðìi äà¹ çìîãó íàì çðîáèòè äóæå âàæëèâèé âèñíîâîê ïðî íåïåðåðâíiñòü ïîòîêó j. À öå ïðèâîäèòü, ÿê âèäíî ç ÿâíîãî âèðàçó äëÿ j, äî âèìîã íåïåðåðâíîñòi õâèëüîâèõ óíêöié òà ¨õíiõ ïåðøèõ ïîõiäíèõ. Îòæå, õâèëüîâi óíêöi¨ ψ(r, t) òà ¨õ ïîõiäíi çà ïðîñòîðîâèìè êîîðäèíàòàìè ïîâèííi áóòè íåïåðåðâíèìè óíêöiÿìè íåçàëåæíî âiä ïîâåäiíêè ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨, ÿêà ìîæå áóòè i ðîçðèâíîþ óíêöi¹þ. Öi óìîâè âiäiãðàþòü âàæëèâó ðîëü ïðè ðîçâ'ÿçóâàííi ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi çi ñêëàäíîþ òîïîëîãi¹þ. Çàóâàæèìî, ÿêùî ψ ¹ äiéñíîþ óíêöi¹þ, òî j = 0. Çîáðàçèìî õâèëüîâó óíêöiþ ÿê êîìïëåêñíó âåëè÷èíó â ïîêàçíèêîâié îðìi

ψ = |ψ|eiϑ , äå ϑ àçà õâèëüîâî¨ óíêöi¨, òîäi

j = ρv, äå øâèäêiñòü

v=

~ grad ϑ. m

ßêùî ÷àñòèíêà iç çàðÿäîì e çíàõîäèòüñÿ â åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi, òî îïåðàòîð àìiëüòîíà, ÿêèé âiäïîâiäà¹ êëàñè÷íié óíêöi¨ àìiëüòîíà,

p − eA/c)2 ˆ = (ˆ H + eϕ, 2m 162

äå A, ϕ âåêòîðíèé òà ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàëè ïîëÿ. Ó öüîìó âèïàäêó: ∂ψ ∂ψ ∗ 1 ∗ˆ ∂ρ ˆ ∗ ψ∗ ψ Hψ − ψ H = ψ + ψ∗ = ∂t ∂t ∂t i~ ( 2 2 ) ˆ − ec A ˆ ∗ − ec A p 1 ∗ p = ψ ψ−ψ ψ∗ i~ 2m 2m

e 1 n ∗ 2 ˆ ψ − ψp ˆ ∗2 ψ ∗ − ψ ∗ (ˆ ψ p pA + Aˆ p)ψ 2mi~ c o e + ψ(ˆ p∗ A + Aˆ p∗ )ψ ∗ c 1 n ∗ 2 e ˆ ψ − ψp ˆ 2 ψ ∗ − ψ ∗ (ˆ = ψ p pA + Aˆ p)ψ 2mi~ c o e − ψ(ˆ pA + Aˆ p)ψ ∗ c o ˆ n ∗ p e ˆ ψ − ψp ˆ ψ ∗ − 2 ψ ∗ Aψ . = ψ p 2mi~ c Òóò ìè âèêîðèñòàëè óìîâó ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ, div A = 0. Ëåãêî áà÷èòè, ùî ìè çíîâó ïðèõîäèìî äî ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi ç ãóñòèíîþ ïîòîêó éìîâiðíîñòi =

j=

1 e (ψ ∗ p ˆ ψ − ψˆ pψ ∗ ) − Aψ ∗ ψ. 2m mc

Äëÿ ÷àñòèíêè â åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi ó âèïàäêó, êîëè ψ çàïèñàíà â ïîêàçíèêîâié îðìi, ïîòiê ~ e e j = |ψ|2 grad ϑ − A|ψ|2 = ρ v − A m mc mc

(p − eA/c) , m òîáòî âìèêàííÿ ïîëÿ çñóâà¹ iìïóëüñ ÷àñòèíêè p íà âåëè÷èíó (−eA)/c, ùî öiëêîì óçãîäæó¹òüñÿ ç êëàñè÷íîþ åëåêòðîäèíàìiêîþ. = ρ

11*

163

17. Çìiíà ñåðåäíiõ çíà÷åíü içè÷íèõ âåëè÷èí iç ÷àñîì.

Êâàíòîâi äóæêè Ïóà ñîíà

îçãëÿíåìî äåÿêó içè÷íó âåëè÷èíó A i âiäïîâiäíèé ¨é îïåðàòîð Aˆ. Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ Z ˆ hAi = ψ ∗ (q, t)Aψ(q, t) dq. îçãëÿíåìî òåïåð, ÿê çìiíþ¹òüñÿ öå ñåðåäí¹ iç ÷àñîì. Äëÿ öüîãî îá÷èñëèìî ïîõiäíó ) Z ( ∗ ˆ ∂ A ∂ψ ˆ ∂ψ d dq hAi = Aψ + ψ ∗ ψ + ψ ∗ Aˆ dt ∂t ∂t ∂t

) Z ( ˆ 1 ˆ ˆ ∗ ∂ A 1 ˆ − (Aψ)Hψ + ψ ∗ = ψ + ψ ∗ AˆHψ dq i~ ∂t i~ ) Z ( ˆ ˆH ˆ ˆ Aˆ ∂ A A H ψ + ψ∗ ψ + ψ∗ ψ dq. −ψ ∗ = i~ ∂t i~ ùî

Óâåäåìî îïåðàòîð ïîõiäíî¨ çà ÷àñîì âiä îïåðàòîðà Aˆ òàêèé,

d hAi = dt

*

c dA dt

+

,

òîáòî ïîõiäíà âiä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè A äîðiâíþ¹ ñåðåäíüîìó çíà÷åííþ âiä óâåäåíîãî îïåðàòîðà ïîõiäíî¨:

c ∂ Aˆ 1 dA ˆ −H ˆ A). ˆ = + (AˆH dt ∂t i~ Ìè âæå ðàíiøå ââîäèëè êâàíòîâi äóæêè Ïóàñ îíà ˆ H} ˆ = 1 (AˆH ˆ −H ˆ A). ˆ {A, i~ Îòæå, ìà¹ìî:

164

c ∂ Aˆ dA ˆ H}. ˆ = + {A, dt ∂t

Ïîâíà àíàëîãiÿ ç êëàñè÷íîþ ìåõàíiêîþ: äëÿ içè÷íî¨ âåëè÷èíè f = f (q, p, t) ïîâíà ïîõiäíà

∂f df = + {f, H}êë , dt ∂t äå H = H(q, p, t) êëàñè÷íà óíêöiÿ àìiëüòîíà, à êëàñè÷íà äóæêà Ïóàññîíà äëÿ âåëè÷èí f1 i f2 {f1 , f2 }êë =

∂f1 ∂f2 ∂f2 ∂f1 − . ∂q ∂p ∂q ∂p

Êâàíòîâi äóæêè Ïóàñ îíà òîäi ¹ åðìiòîâèì îïåðàòîðîì, êîëè âîíè ñêëàäåíi ç åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ,

ˆ H} ˆ + = {A, ˆ H}, ˆ {A, ˆ Aˆ+ = A, ˆ + = H, ˆ H ÿê i ïîâèííî áóòè, îñêiëüêè âîíè îïèñóþòü ðåàëüíèé ïðîöåñ åâîëþöiþ â ÷àñi içè÷íèõ âåëè÷èí. ßêùî içè÷íà âåëè÷èíà A i âiäïîâiäíèé ¨é îïåðàòîð Aˆ íå çàëåæàòü ÿâíî âiä ÷àñó, òî

c dA ˆ H}. ˆ = {A, dt îçãëÿíåìî âàæëèâèé êëàñ içè÷íèõ âåëè÷èí, òàê çâàíèõ iíòå ðàëiâ ðóõó, òîáòî içè÷íèõ âåëè÷èí, ÿêi çáåðiãàþòüñÿ ç ÷àñîì: dhAi = 0, hAi = const. dt ßê âèäíî ç îçíà÷åííÿ îïåðàòîðà ïîõiäíî¨, äëÿ òîãî ùîá âåëè÷èíà A áóëà iíòå ðàëîì ðóõó, äóæêà Ïóàññîíà ïîâèííà äîðiâíþâàòè íóëåâi: ˆ H} ˆ = 0, {A, ˆ −H ˆ Aˆ = 0. AˆH

Iíàêøå êàæó÷è, ÿêùî îïåðàòîð içè÷íî¨ âåëè÷èíè êîìóòó¹ ç ãàìiëüòîíiàíîì, òî öÿ içè÷íà âåëè÷èíà ¹ iíòå ðàëîì ðóõó. Çîêðåìà, 165

ˆ íå çàëåæèòü ÿâíî âiä ÷àñó (êîíñåðâàòèâíà ñèñòåìà), à îïåÿêùî H ˆ çàâæäè êîìóòó¹ ñàì iç ñîáîþ, òî éîãî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ, ðàòîð H òîáòî åíåð iÿ, çáåðiãà¹òüñÿ. Iñíóâàííÿ iíòå ðàëiâ ðóõó âiäîáðàæà¹ ïåâíó ñèìåòðiþ ñèñòåìè. Ïðè÷èíîþ òîãî, ùî îïåðàòîð àìiëüòîíà íå çàëåæèòü ÿâíî âiä ÷àñó, ¹ îäíîðiäíiñòü ÷àñó. Ç óâàãè íà öþ îäíîðiäíiñòü âëàñòèâîñòi çàìêíåíî¨ içè÷íî¨ ñèñòåìè íå çìiíþþòüñÿ ïðè çñóâàõ ÷àñó íà äåÿêó âåëè÷èíó, îñêiëüêè âñi ìîìåíòè ÷àñó äëÿ íå¨ ¹ åêâiâàëåíòíèìè. Íàñëiäêîì öüîãî, ÿê áà÷èìî, ¹ çàêîí çáåðåæåííÿ åíåð i¨1 . Çàêîí çáåðåæåííÿ iìïóëüñó âèïëèâà¹ ç îäíîðiäíîñòi ïðîñòîðó. Äiéñíî, îäíîðiäíiñòü ïðîñòîðó îçíà÷à¹, ùî ïðè ïåðåìiùåííi ñèñˆ, òåìè ÿê öiëîãî íà áóäü-ÿêèé äîâiëüíèé âåêòîð a ãàìiëüòîíiàí H ÿêèé âèçíà÷à¹ ¨¨ âëàñòèâîñòi, íå ïîâèíåí çìiíþâàòèñü. Iíàêøå êàˆ ìóñèòü êîìóòóâàòè ç îïåðàòîðîì çìiùåííÿ æó÷è, îïåðàòîð H i Tˆ = ea∇ = e ~ aˆp ,

ˆ îïåðàòîð iìïóëüñó. À öå îçíà÷à¹, ùî äå a ïîñòiéíèé âåêòîð, p ˆ êîìóòó¹ ç îïåðàòîðîì iìïóëüñó. Îòæå, âèÿâëÿ¹òüñÿ, îïåðàòîð H ùî iìïóëüñ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó2 . 1

Òàêi çñóâè â ÷àñi ¹ â íàøié iñòîði¨. Âiäîìî, ùî òâîðè àíòè÷íèõ àâòîðiâ ïåðåâàæíî áóëè âiäøóêàíi â åïîõó Âiäðîäæåííÿ àáî áåçïîñåðåäíüî ïåðåä íåþ, ïðè÷îìó äî íàñ äiéøëè ëèøå ïåðåïèñàíi â öåé ÷àñ ðóêîïèñè. Çîêðåìà, öå ñòîñó¹òüñÿ Íà÷àë Åâêëiäà i òâîðiâ Àðõiìåäà, ïðàöü áàòüêà iñòîði¨ åðîäîòà é òåêñòiâ ðèòîðè÷íèõ òâîðiâ Öiöåðîíà òà iíøèõ. Ó çâ'ÿçêó ç öèì, êðiì ïèòàíü ïðè÷åòíîñòi àíòè÷íèõ àâòîðiâ ñàìå äî öèõ ðóêîïèñiâ òà ÷óæèõ ïiçíiøèõ âñòàâîê, âèíèêà¹ ïðîáëåìà õðîíîëîãi¨: âèÿâèëîñü, ùî íåîáõiäíî çñóâàòè äåÿêi äàòè iñòîðè÷íèõ ïîäié, ÿê ïðàâèëî, äî íàñ, i ñòèñêàòè ïåðiîäè iñòîðè÷íèõ åïîõ. Ìiæ iíøèì, öèì ïèòàííÿì çàéìàâñÿ i Íüþòîí, ñòèñíóâøè, íàïðèêëàä, íà ïîðÿäîê ÷àñ æèòòÿ Ñòàðîäàâíüîãî ãèïòó, ÷èì ñïîëîøèâ òðàäèöiéíèõ õðîíîëîãiâ. Iñòîðèêè äîñi íå ìîæóòü äàòè ñîái ðàäè ç öèìè ïåðåíåñåííÿìè òà ñòèñêóâàííÿìè åïîõ. 2 Ïåðøèì, õòî âèñëîâèâ iäåþ ïðî çàêîí çáåðåæåííÿ êiëüêîñòi ðóõó, íà îñíîâi ñâî¹¨ åâðèñòè÷íî¨ êîíöåïöi¨ íåçìiííîñòi ïåðøîïðè÷èííî ñòâîðåíî¨ êiëüêîñòi ìàòåði¨ ç ¨¨ ðóõîì i ñïîêî¹ì, áóâ . Äåêàðò (15961650), iíòó¨òèâíî âèçíà÷èâøè öþ âåëè÷èíó ÿê äîáóòîê øâèäêîñòi íà ðîçìiðè içè÷íî¨ ñèñòåìè. Çà Äåêàðòîì, ìàòåðiÿ ìà¹ ëèøå îäíó âëàñòèâiñòü ïðîòÿæíiñòü, òîìó â îçíà÷åííÿ iìïóëüñó âií óâiâ ðîçìið, à íå êiëüêiñòü ìàòåði¨ ÷è ìàñó òiëà m; íå éøëîñÿ â íüîãî i ïðî íàïðÿì øâèäêîñòi v. Öÿ ïî÷àòêîâà ðîçìèòiñòü â îçíà÷åííi ïðèâîäèëà é äî íåïîðîçóìiíü, i äî íåïðàâèëüíèõ òâåðäæåíü. Õ. þé åíñ (16291695), äîñëiäæóþ÷è öþ ïðîáëåìó â ïðîöåñàõ çiòêíåííÿ òië, ïîïóòíî âèíàéøîâ ùå îäèí iíòå ðàë ðóõó mv 2 æèâó ñèëó, ÿê ïiçíiøå ¨¨ íàçâàâ . Â. Ëÿéáíiö (16461716). Äðàìàòè÷íà iñòîðiÿ, ùî çáåðiãà¹òüñÿ mv ÷è

166

àíiøå ìè ìàëè òâåðäæåííÿ: ÿêùî äâà îïåðàòîðè êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, òî âîíè ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié i âiäïîâiäíi içè÷íi âåëè÷èíè ìîæóòü áóòè îäíî÷àñíî âèìiðÿíi. Îòæå, iíòå ðàëè ðóõó âèìiðþþòüñÿ îäíî÷àñíî ç åíåð i¹þ ñèñòåìè. ßêùî çáåðiãàþòüñÿ içè÷íi âåëè÷èíè, îïåðàòîðè ÿêèõ íå êîìóòóþòü, òî ñòàí ¹ âèðîäæåíèì. Ñïðàâäi, íåõàé ìè ìà¹ìî äâi içè÷íi ˆ . Çà óìîâîþ âåëè÷èíè A òà B , ÿêèì âiäïîâiäàþòü îïåðàòîðè Aˆ òà B

ˆ H] ˆ = 0, [A,

ˆ H] ˆ = 0, [B,

ˆ B] ˆ 6= 0. [A,

Òîáòî ìè ìà¹ìî äâi ðiçíi ñèñòåìè âëàñíèõ óíêöié. Ôóíêöi¨ îáîõ ˆ . Îòæå, îäíîöèõ ñèñòåì ¹ âëàñíèìè óíêöiÿìè ãàìiëüòîíiàíà H ìó âëàñíîìó çíà÷åííþ åíåð i¨ âiäïîâiäà¹ áiëüøå íiæ îäíà âëàñíà óíêöiÿ, òîáòî ìà¹ìî âèðîäæåííÿ. Ïðèêëàäîì ìîæå áóòè âiëüíèé ðóõ ÷àñòèíêè: åíåð i¨ p2 /2m âiäïîâiäà¹ áåçëi÷ ïëîñêèõ õâèëü ç ðiçíèìè íàïðÿìêàìè âåêòîðà iìïóëüñó p çà óìîâè |p| = onst. Öå áåçìåæíîêðàòíå âèðîäæåííÿ çóìîâëåíå iñíóâàííÿì äâîõ iíòå ðàëiâ ðóõó: iìïóëüñó òà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, îïåðàòîðè ÿêèõ íå êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ. Íàðåøòi ðîçãëÿíåìî ðiâíÿííÿ ðóõó äëÿ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó â îïåðàòîðíié îðìi â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði:

ˆ ˆ ˆ˙ = xH − Hx , x i~ 2 ˆ = pˆ + U (x), H 2m

ˆ ˆ ˆ˙ = pˆH − H pˆ, p i~ pˆ = −i~

∂ , ∂x

mv 2 , òðèâàëà ìàéæå ñòîëiòòÿ, ïîêè ç'ÿñóâàëîñü, ù î é ñïðàâäi ìà¹ìî äâà iíòå ðàëè ðóõó. Ïðèãîäè æèâî¨ ñèëè ïðîäîâæóâàëèñü i â íàñòóïíîìó, XIX ñòîëiòòi, ïîêè ìîëîäèé íiìåöüêèé ëiêàð . Ìà¹ð (18141878) äèâíèìè é íà òó ïîðó ìàéæå ìiñòè÷íèìè ìiðêóâàííÿìè, ñïîñòåðiãàþ÷è çà êîëüîðîì âiäïðàöüîâàíî¨, òîáòî îêèñëåíî¨ âåíîçíî¨ êðîâi ëþäèíè â ðiçíèõ òåìïåðàòóðíèõ óìîâàõ, íå âèíàéøîâ ó 1841 ðîöi çàêîí çáåðåæåííÿ é ïåðåòâîðåííÿ åíåð i¨ (à öié âåëè÷èíi íàçâó äàâ ùå ðàíiøå â 1807 ðîöi ìîëîäèé àíãëiéñüêèé ëiêàð Ò. Þí (17731829) îäèí iç òâîðöiâ õâèëüîâî¨ òåîði¨ ñâiòëà). Äî êiíöÿ ñïðàâó ç öèì çàêîíîì äîâåëè . åëüìãîëüö (18211894), òàêîæ ëiêàð çà îñâiòîþ, ñâî¨ìè òåîðåòè÷íèìè óçàãàëüíåííÿìè i, îñîáëèâî, Äæ. Ï. Äæîóëü (18181889) ðiçíîìàíiòíèìè é áåççàïåðå÷íèìè äîñëiäàìè (âií ìàâ ëèøå äîìàøíþ iíæåíåðíó îñâiòó). ßê ìè òåïåð çíà¹ìî, ó óíäàìåíòi öèõ îáîõ âåëèêèõ çàêîíiâ çáåðåæåííÿ ¹ ïðîñòèé i çðîçóìiëèé ïðèíöèï îäíîðiäíîñòi ïðîñòîðó÷àñó.

167

ˆ˙ = p ˆ˙ = x

−i~

∂U ∂x

i~,

pˆ 1 (xˆ p2 − pˆ2 x) = . 2im~ m

Îòæå, ñèñòåìà

 pˆ  ˆ   x˙ = m ,    p ˆ˙ = − ∂U , ∂x àíàëîã ðiâíÿíü àìiëüòîíà. Öi ðiâíÿííÿ i ñòàíîâëÿòü çìiñò òàê çâàíî¨ òåîðåìè Åðåíåñòà: êâàíòîâi ðiâíÿííÿ ðóõó äëÿ îïåðàòîðiâ îòðèìó¹ìî ç êëàñè÷íèõ ðiâíÿíü îðìàëüíîþ çàìiíîþ içè÷íèõ âåëè÷èí âiäïîâiäíèìè îïåðàòîðàìè. 18. Ñòàöiîíàðíi ñòàíè

Ñòàíè, ó ÿêèõ åíåð iÿ ìà¹ ïåâíi çíà÷åííÿ, íàçèâàþòü ñòàöiîíàðíèìè ñòàíàìè. ßê óæå âêàçóâàëîñü, ÿêùî íà ñèñòåìó íå äiþòü ˆ H} ˆ = 0 é åíåð iÿ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó, òîáòî çîâíiøíi ñèëè, òî {H, äi¹ çàêîí çáåðåæåííÿ åíåð i¨. Ó õâèëüîâîìó ðiâíÿííi, ùî îïèñó¹ ñòàíè ç ïåâíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨, çìiííi q i t ðîçäiëÿþòüñÿ. Íåõàé ìè ìà¹ìî õâèëüîâå ðiâíÿííÿ

∂ψ(q, t) ˆ = Hψ(q, t). ∂t Äëÿ ðîçäiëåííÿ çìiííèõ çàñòîñó¹ìî ìåòîä Ôóð'¹: i~

ψ(q, t) = ϕ(t)ψ(q). ˆ íå çàëåæèòü âiä ÷àñó, òîìó Îïåðàòîð àìiëüòîíà H i~

dϕ(t) ˆ ψ(q) = ϕ(t)Hψ(q), dt

àáî

i~ 168

ˆ ϕ˙ Hψ = , ϕ ψ

äå êðàïêà îçíà÷à¹ ïîâíó ïîõiäíó çà ÷àñîì. Ëiâà ÷àñòèíà öüîãî ðiâíÿííÿ ¹ óíêöi¹þ ëèøå ÷àñó t, à ïðàâà òiëüêè êîîðäèíàò q . iâíiñòü î÷åâèäíî âèêîíó¹òüñÿ, ÿêùî ëiâà i ïðàâà ÷àñòèíè ðiâíÿííÿ äîðiâíþþòü ñòàëié âåëè÷èíi, ÿêó ìè ïîçíà÷èìî ÷åðåç E :

i~

ϕ˙ = E, ϕ

ˆ Hψ(q) = Eψ(q). Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ çíàõîäèìî

ϕ = Ce−iEt/~. Ç äðóãî¨ óìîâè ìè îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ ˆ . Âåëè÷èíà E ìà¹ çìiñò åíåð i¨. Îòæå, ÿê i îïåðàòîðà åíåð i¨ H ïîâèííî áóòè, çíà÷åííÿ, ÿêi ìîæå íàáóâàòè åíåð iÿ, âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ ãàìiëüòîíiàíà ñèñòåìè. Öå ðiâíÿííÿ íàçèâàþòü òàêîæ ñòàöiîíàðíèì ðiâíÿííÿì Øðåäèí åðà. Òàêèì ÷èíîì, äîïèñóþ÷è iíäåêñè, ùî íóìåðóþòü ñòàíè, ìà¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ, ÿêà îïèñó¹ ñòàöiîíàðíi ñòàíè ç ïåâíîþ åíåð i¹þ En :   ψ (q, t) = e−iEn t/~ψ (q), n n  Hψ ˆ n (q) = En ψn (q). Ñèñòåìà óíêöié ψn (q, t) ¹ ïîâíîþ, i áóäü-ÿêà óíêöiÿ X ψ(q, t) = Cn e−iEn t/~ψn (q), n

à âåëè÷èíà |Cn äîðiâíþ¹, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, iìîâiðíîñòi ðiçíèõ çíà÷åíü åíåð i¨. Çðîáèìî òåïåð êiëüêà çàóâàæåíü. Äëÿ äèñêðåòíèõ ñòàíiâ iñíó¹ iíòå ðàë Z Z |ψn (q, t)|2 dq = |ψn (q)|2 dq = 1

|2

öå îçíà÷à¹, ùî ψn (q) äîñòàòíüî øâèäêî ñïàäà¹ íà áåçìåæíîñòi. Iíøèìè ñëîâàìè, iìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè íà áåçìåæíîñòi ¹ çíèêàþ÷å ìàëîþ ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ â îáìåæåíîìó îá'¹ìi.

169

Âèñíîâîê: ÿêùî ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ â îáìåæåíié äiëÿíöi ïðîñòîðó (iíiòíèé ðóõ), òî ¨¨ ðiâíi åíåð i¨ äèñêðåòíi, âîíè êâàíòóþòüñÿ. Íàâïàêè, ó âèïàäêó íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà õâèëüîâi óíêöi¨ íîðR ìóþòüñÿ íà δ-óíêöiþ é iíòå ðàë íå iñíó¹: |ψE (q)|2 dq = ∞. Öå îçíà÷à¹, ùî ψE (q) ñëàáî ñïàäà¹ íà áåçìåæíîñòi àáî âçàãàëi íå ñïàäà¹, i, òàêèì ÷èíîì, iìîâiðíiñòü çíàéòè ÷àñòèíêó íà áåçìåæíîñòi âiäìiííà âiä íóëÿ. Îòæå, ÿêùî ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ â íåîáìåæåíié äiëÿíöi (iíiíiòíèé ðóõ), òî åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ¹ íåïåðåðâíèì. Ñòàöiîíàðíèì ñòàíîì, ÿê ïîêàçó¹ äîñâiä, àêòè÷íî ¹ ëèøå îñíîâíèé ñòàí àòîìíî¨ ñèñòåìè, ðåøòà êâàçiñòàöiîíàðíi. Ó çáóäæåíîìó ñòàíi àòîì ïåðåáóâà¹ ëèøå äåÿêèé ÷àñ, à çãîäîì âií ñïîíòàííî ïåðåõîäèòü íà íèæíié ðiâåíü, âèïðîìiíþþ÷è êâàíòè åíåð i¨. Ïðè÷èíîþ ñïîíòàííîãî âèïðîìiíþâàííÿ ñâiòëà ¹ âçà¹ìîäiÿ åëåêòðîíiâ àòîìà ç íóëüîâèìè êîëèâàííÿìè åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Õî÷à ñåðåäíi çíà÷åííÿ íàïðóæåíîñòåé ïîëÿ ó âàêóóìíîìó ñòàíi äîðiâíþþòü íóëåâi, ñåðåäíi êâàäðàòè÷íi âiäõèëåííÿ, óíàñëiäîê ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòåé, âiäìiííi âiä íóëÿ. Òóò ìè òîðêà¹ìîñü ïèòàííÿ íåîáîðîòíîñòi içè÷íèõ ïîäié ó ÷àñi. iâíÿííÿ Øðåäèí åðà ¹ îáîðîòíèì ó ÷àñi: çàìiíà t íà (−t) òà ψ íà ψ ∗ çàëèøà¹ éîãî íåçìiííèì. Îòæå, âîíî íå ìîæå îïèñóâàòè êâàçiñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ, ÿêùî ¨õ íå çàíîñèòè â òåîðiþ ðóêàìè. Âíåñåííÿ íåîáîðîòíîñòi îçíà÷à¹, ùî âiäáèðà¹òüñÿ ëèøå ïåâíèé êëàñ ðîçâ'ÿçêiâ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ñèñòåìè àòîìè ïëþñ ïîëå. Ïðè òàêîìó âiäáîði ðîçâ'ÿçêiâ íåÿâíî ïðèïóñêà¹òüñÿ, ùî âèïðîìiíåíèé îòîí, áëóêàþ÷è Âñåñâiòîì, áiëüøå íiêîëè íå çóñòðiíå àòîìà i íå ïåðåâåäå éîãî çíîâó â çáóäæåíèé ñòàí. îçâ'ÿçóâàííÿ ñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà öå îäíà iç öåíòðàëüíèõ çàäà÷ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, îñêiëüêè âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ En êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ñèñòåì, àáî, ÿê êàæóòü, ¨õíié åíåð åòè÷íèé ñïåêòð, ¹ íàéâàæëèâiøîþ içè÷íîþ õàðàêòåðèñòèêîþ, ÿêà âèçíà÷à¹ íèçêó iíøèõ âëàñòèâîñòåé, à õâèëüîâi óíêöi¨ ψn (q) äîçâîëÿþòü ðîçðàõîâóâàòè íå ëèøå ñåðåäíi çíà÷åííÿ ñïîñòåðåæóâàíèõ âåëè÷èí, à é ïðîñòîðîâó ñòðóêòóðó àòîìiâ òà ¨õ ñóêóïíîñòåé, iìîâiðíîñòi ïåðåõîäiâ ìiæ ñòàíàìè, çîêðåìà iíòåíñèâíîñòi âèïðîìiíþâàííÿ é ïîãëèíàííÿ ñâiòëà òà ïåðåðiçè ðîçñiÿííÿ îäíèõ ÷àñòèíîê íà iíøèõ. Ôàêòè÷íî áiëüøà ÷àñòèíà íàøîãî êóðñó ïðèñâÿ÷åíà çíàõîäæåííþ ðîçâ'ÿçêiâ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ðiçíîìàíiòíèõ çàäà÷. Çðîçóìiëî, ùî íå äëÿ âñiõ ïîòåíöiàëiâ öå ðiâíÿííÿ äîïóñêà¹ òî÷íèé àíàëiòè÷íèé ðîçâ'ÿçîê. Ç êiëüêîìà 170

òàêèìè çàäà÷àìè, ùî ìàþòü òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê, ìè îçíàéîìèìîñü ó íàñòóïíèõ ðîçäiëàõ. Äëÿ iíøèõ çàäà÷ ðîçâèíåìî íàáëèæåíi ìåòîäè, òàêi, ÿê òåîðiÿ çáóðåíü òà âàðiàöiéíèé ïðèíöèï. Íà ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìîæíà äèâèòèñü i ïî-iíøîìó. À ñàìå, âîíî äà¹ çìîãó çà âiäîìîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ çíàõîäèòè ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ. Òàêà ïîñòàíîâêà ïèòàííÿ ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi âiäïîâiäà¹ îá÷èñëåííþ ñèëè ÷è ïîòåíöiàëó çà âiäîìîþ òðà¹êòîði¹þ ÷àñòèíêè (îðìóëà Áiíå). îçãëÿíüìî, íàïðèêëàä, ðóõ ÷àñòèíêè â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði ç êîîðäèíàòîþ x ó ñèëîâîìó ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x). Âiçüìiìî äî óâàãè îñíîâíèé ñòàí. Íàãàäà¹ìî, ùî ñòàí ç íàéíèæ÷èì çíà÷åííÿì åíåð i¨ íàçèâàþòü îñíîâíèì ñòàíîì. ßê ìè çíà¹ìî, îñíîâíèé ñòàí ¹ íåâèðîäæåíèì i éîãî õâèëüîâà óíêöiÿ íå ìà¹ âóçëiâ (äèâ. 10). Ó çâ'ÿçêó ç öèì, õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó ψ = ψ(x) çàâæäè ìîæíà âèáðàòè äiéñíîþ i äîäàòíîþ, òîìó çàïèñó¹ìî ¨¨ òàê:

ψ = ceu , c ñòàëà íîðìóâàííÿ, à äëÿ óíêöi¨ u = u(x) çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèïëèâà¹ çi ñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà −

~2 ′′ ψ + U ψ = Eψ, 2m

E åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó, à øòðèõ îçíà÷à¹ ïîõiäíó çà êîîðäèíàòîþ x. Îòæå, äëÿ u ìà¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ: −

~2 ′′ [u + (u′ )2 ] + U = E. 2m

Îñêiëüêè óíêöiÿ u çà óìîâîþ çàäàíà, òî çâiäñè é çíàõîäèìî ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ. Íàïðèêëàä, ÿêùî u = −ax2 , a > 0, òî íàøå ðiâíÿííÿ ¹ òàêèì:

~2 (a − 2a2 x2 ) + U = E, m çâiäñè

E=

~2 a, m 171

à ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ

2~2 a2 2 x . m Òîáòî âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî U ¹ ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ ëiíiéíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà iç ÷àñòîòîþ ω = 2~a/m. Îòæå, çàïèñàíà ÷åðåç ÷àñòîòó ïîâíà åíåð iÿ E = ~ω/2, à ç óìîâè íîðìóâàííÿ çíàõîäèìî ñòàëó c: Z∞ 2 2 e−2ax dx = 1, |c| U=

p

−∞

iíòå ðàë äîðiâíþ¹ π/2a i c = (mω/π~)1/4 . Âiçüìiìî ñêëàäíiøó óíêöiþ

u = −ax2 − bx4

i ç ðiâíÿííÿ äëÿ íå¨ ìà¹ìî

E=

~2 a, m

2~2 2 6 4b x + 4abx4 + (a2 − 3b)x2 . m Öåé ðåçóëüòàò ìîæíà òðàêòóâàòè ùå é òàê: äëÿ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ 2~2 Ax6 + Bx4 + Cx2 U= m ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äîïóñêà¹ òî÷íèé àíàëiòè÷íèé ðîçâ'ÿçîê çà óìîâè, ùî A = 4b2 , B = 4ab, à C = a2 − 3b, òîáòî çà óìîâè, ùî êîåiöi¹íò C âæå íå ¹ äîâiëüíèì, à √ B2 3 A − . C= 4A 2 √ ßêùî C = 0, òî òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ìà¹ìî çà óìîâè, ùî B = 6A3/4 . Äîñëiäæóâàíèé ïîòåíöiàë ìà¹ îäèí òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê. Çàóâàæèìî, ùî ïîòåíöiàëè, äëÿ ÿêèõ âiäîìî êiëüêà òî÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ, ìàþòü íàçâó êâàçiòî÷íîðîçâ'ÿçóâàíi. U=

172

ˆ çà Ïðèêëàä. Äîâåñòè, ùî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ âiä ïîõiäíî¨ ãàìiëüòîíiàíà H äåÿêèì ïàðàìåòðîì λ äîðiâíþ¹ ïîõiäíié åíåð i¨ E çà λ. ˆ , à îòæå, i éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ, i âëàñíi Íåõàé ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè H óíêöi¨ çàëåæàòü âiä äåÿêîãî ïàðàìåòðà λ. Ïðîäèåðåíöiþéìî ðiâíÿííÿ íà ˆ çà λ: âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ H ˆ ∂H ˆ ∂ψ = ∂E ψ + E ∂ψ . ψ+H ∂λ ∂λ ∂λ ∂λ

Ïîìíîæìî öå ðiâíÿííÿ çëiâà íà ψ ∗ i ïðîiíòå ðóéìî çà çìiííèìè q : Z

ψ∗

ˆ ∂H ψ dq + ∂λ

Z

ˆ ∂ψ dq = ∂E + E ψ∗ H ∂λ ∂λ

Z

ψ∗

∂ψ dq. ∂λ

ˆ , ïåðåêèäà¹ìî éîãî äiþ â äðóÊîðèñòóþ÷èñü ñàìîñïðÿæåíiñòþ îïåðàòîðà H ãîìó äîäàíêó çëiâà íà ψ ∗ . Ó ðåçóëüòàòi öåé äîäàíîê ñêîðî÷ó¹òüñÿ ç äðóãèì äîäàíêîì ó ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ. Îòæå, ìè îòðèìó¹ìî îñòàòî÷íî, ùî *

ˆ ∂H ∂λ

+

=

∂E , ∂λ

ˆ E = hHi.

Öåé ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâèé, î÷åâèäíî, äëÿ áóäü-ÿêîãî åðìiòîâîãî îïåðàòîðà. Âií âiäîìèé ÿê òåîðåìà ïðî òå, ùî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ âiä ïîõiäíî¨ åðìiòîâîãî îïåðàòîðà çà ïàðàìåòðîì λ äîðiâíþ¹ ïîõiäíié âiä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ öüîãî îïåðàòîðà çà λ. Ïîìi÷à¹ìî, ùî öÿ òåîðåìà íàãàäó¹ ðåçóëüòàò, ÿêèé ìè îäåðæàëè äëÿ øâèäêîñòi çìiíè ñåðåäíiõ çíà÷åíü îïåðàòîðiâ iç ÷àñîì. Ó öüîìó íi÷îãî äèâíîãî íåìà¹, îñêiëüêè ÷àñ t â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ ¹ ïàðàìåòðîì, à íå çìiííîþ. Äëÿ iëþñòðàöi¨ ìîæëèâîñòåé öi¹¨ òåîðåìè ðîçãëÿíüìî ãàìiëüòîíiàí ˆ2 ˆ = p H + U (r). 2m

ßêùî â ðîëi ïàðàìåòðà λ óçÿòè ìàñó ÷àñòèíêè m, òî îòðèìó¹ìî dE =− dm

p2 2m2

.

Òîáòî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ÷àñòèíêè çíàõîäèìî ïðîñòèì äèåðåíöiþâàííÿì ïîâíî¨ åíåð i¨:

ˆ2 p 2m

= −m

dE . dm

Öiêàâå ñïiââiäíîøåííÿ ìîæíà îäåðæàòè, ÿêùî çðîáèòè çàìiíó çìiííèõ r = λr′ , ó ðåçóëüòàòi ÿêî¨ ˆ ′2 ˆ = 1 p + U (λr′ ), H λ2 2m

173

ˆ ′ êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèé äî r′ . Òåïåð ìà¹ìî îïåðàòîð p ∂E 2 =− 3 ∂λ λ

ˆ ′2 p 2m

+

1 ′ ′ h(r ∇ )U (λr′ )i λ

àáî, ïîâåðòàþ÷èñü ó ïðàâié ÷àñòèíi äî íåøòðèõîâàíèõ çìiííèõ, îòðèìó¹ìî 2 ∂E =− ∂λ λ

ˆ2 p 2m

+

1 h(r∇)U (r)i. λ

ßêùî çà λ âèáðàòè ëiíiéíi ðîçìiðè îá'¹ìó, ó ÿêîìó çíàõîäèòüñÿ äîñëiäæóâàíà ñèñòåìà, λ = V 1/3 , V âåëè÷èíà îá'¹ìó, òî çâiäñè îäåðæèìî âèðàç äëÿ òèñêó (p = −∂E/∂V ) 2 ˆ 2 1 p p= − h(r∇)U (r)i 3V 2m 3V ÷åðåç ñåðåäíi çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ òà âåëè÷èíè, ÿêó íàçèâàþòü âiðiàëîì ñèë. Öåé âèðàç ¹ óçàãàëüíåííÿì íà êâàíòîâèé âèïàäîê âiäîìî¨ òåîðåìè âiðiàëó . Þ. Å. Êëàóçióñà (1870 ð.). 19. Ïðåäñòàâëåííÿ Øðåäèí åðà i ïðåäñòàâëåííÿ

àéçåíáåð à

îçãëÿíåìî õâèëüîâå ðiâíÿííÿ, ÿêå îïèñó¹ åâîëþöiþ ñòàíó â ÷àñi ∂ψ ˆ i~ = Hψ, ψ = ψ(q, t). ∂t Åâîëþöiþ â ÷àñi ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê äiþ äåÿêîãî îïåðàòîðà Sˆ íà õâèëüîâó óíêöiþ, çàäàíó â ïåâíèé ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó, ÿêèé ìè âèáåðåìî ðiâíèì íóëåâi, t = 0:

ˆ ψ(q, t) = S(t)ψ(q),

ˆ S(0) = 1,

ψ(q) = ψ(q, t = 0). Ç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äiñòà¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ îïåðàòîðà åâîëþöi¨ ˆ : Sˆ = S(t) ∂ Sˆ ˆ S. ˆ i~ =H ∂t ˆ íå çàëåæèòü âiä ÷àñó, òî ßêùî H i ˆ ˆ S(t) = exp − Ht . ~ 174

Îïåðàòîðíó åêñïîíåíòó ðîçóìiþòü ÿê ðÿä: i ˆ i ˆ 1 i ˆ 2 2 exp − Ht = 1 − Ht + − H t + ···. ~ ~ 2! ~ Îïåðàòîð Sˆ ïîâèíåí çàäîâîëüíÿòè óìîâó Z Z ψ ∗ (q, t)ψ(q, t) dq = ψ ∗ (q)ψ(q) dq

òîáòî âií ìóñèòü çáåðiãàòè íîðìó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ç ÷àñîì, iíøèìè ñëîâàìè: ÷àñòèíêà äåñü çíàõîäèòüñÿ â ïðîñòîði çìiíè q â äîâiëüíèé ìîìåíò ÷àñó t. Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî: Z Z ∗ ∗ ˆ ˆ ˆ (S ψ (q))Sψ(q) dq = ψ ∗ (q)Sˆ+ Sψ(q) dq. Îòæå, îïåðàòîð åâîëþöi¨ ïîâèíåí áóòè óíiòàðíèì:

Sˆ+ Sˆ = 1,

Sˆ+ = Sˆ−1 .

ˆ íå çàëåæèòü âiä ßâíèé âèãëÿä çíàéäåíîãî îïåðàòîðà Sˆ, êîëè H ÷àñó, âêàçó¹, ùî âií óíiòàðíèé: i ˆ+ i ˆ + ˆ S = exp H t = exp Ht = Sˆ−1 . ~ ~ ßêùî õâèëüîâó óíêöiþ ψ(q) ðîçêëàñòè â ðÿä çà âëàñíèìè ˆ, õâèëüîâèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà H

ˆ n (q) = En ψn (q), Hψ òî

ˆ ˆ ψ(q, t) = Sψ(q) = S(t)

X

Cn ψn (q) =

n

=

X

=

X n

n

i ˆ Cn exp − Ht ψn (q) ~

! i ˆ 2 2 − H t + · · · ψn (q) ~

Cn

i ˆ 1 1 − Ht + ~ 2!

Cn

1 i 1 − En t + ~ 2!

n

X

i − En ~

2

!

t2 + · · · ψn (q) 175

=

X n

i Cn exp − En t ψn (q). ~

Òàêèé ñïîñiá îïèñó ÷àñîâî¨ åâîëþöi¨ êâàíòîâî¨ ñèñòåìè, êîëè õâèëüîâi óíêöi¨ çàëåæàòü âiä ÷àñó, íàçèâàþòü ïðåäñòàâëåííÿì Øðåäèí åðà. Âiäçíà÷èìî, ùî òåðìií ïðåäñòàâëåííÿ, ÿêèé iñòîðè÷íî óòâåðäèâ ñåáå, íàñïðàâäi òóò ¹ íåäîðå÷íèì ìîâà éäå ñàìå ïðî ñïîñiá îïèñó. Òîìó ïðî òàêèé îïèñ åâîëþöi¨ ãîâîðÿòü ùå ÿê ïðî êàðòèíó Øðåäèí åðà. Ìîæíà áóäóâàòè êâàíòîâó ìåõàíiêó i òàê, ùîá óñþ çàëåæíiñòü âiä ÷àñó ïåðåíåñòè íà îïåðàòîðè, à õâèëüîâi óíêöi¨ â òàêîìó ïðåäñòàâëåííi íå áóäóòü çàëåæàòè âiä ÷àñó. Òàêèé îïèñ íàçèâàþòü çîáðàæåííÿì, àáî êàðòèíîþ, àéçåíáåð à. Îòæå, áóäåìî ââàæàòè, ùî õâèëüîâi óíêöi¨ ψ = ψ(q) íå çàëåæàòü âiä ÷àñó. Î÷åâèäíî, ùî

ψ(q) = Sˆ−1 ψ(q, t) = Sˆ+ ψ(q, t). Äëÿ çíàõîäæåííÿ çàëåæíîñòi âiä ÷àñó îïåðàòîðiâ îá÷èñëþ¹ìî ñåðåäí¹: Z Z ∗ ˆ ˆ hAi = ψ (q, t)Aψ(q, t)dq = (Sˆ∗ ψ ∗ (q))AˆSψ(q)dq

=

Z

ˆ ψ (q)Sˆ+ AˆSψ(q)dq = ∗

Z

ˆ ψ ∗ (q)A(t)ψ(q)dq.

Îòæå, ìîæåìî ðîçðàõîâóâàòè ñåðåäíi çíà÷åííÿ çà õâèëüîâèìè óíêöiÿìè, íåçàëåæíèìè âiä ÷àñó. Îäíàê òåïåð îïåðàòîð Aˆ çàëåæèòü âiä ÷àñó i ìà¹ âèãëÿä: i ˆ i ˆ + ˆˆ ˆ ˆ ˆ A(t) = S AS = exp Ht A exp − Ht ~ ~ ïðåäñòàâëåííÿ àéçåíáåð à. Ïðèéìàþ÷è, ùî Aˆ íå çàëåæèòü ÿâíî âiä ÷àñó, âiçüìåìî ïîõiäíó çà t: ˆ i ˆ i i ˆ dA(t) ˆ = H exp Ht Aˆ exp − Ht dt ~ ~ ~ i i ˆ i ˆ ˆ ˆ = iH ˆ A(t) ˆ − i A(t) ˆ H. ˆ − exp Ht A exp − Ht H ~ ~ ~ ~ ~ 176

Àáî

ˆ H ˆ −H ˆ A(t) ˆ ˆ A(t) dA(t) ˆ ˆ = = {A(t), H} dt i~ öå ðiâíÿííÿ ðóõó äëÿ îïåðàòîðiâ ó ïðåäñòàâëåííi àéçåíáåð à. Îá÷èñëèìî ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà ó ïðåäñòàâëåííi àéˆ: çåíáåð à, âèáðàâøè äëÿ öüîãî âëàñíi óíêöi¨ H i ˆ i ˆ ˆ ˆ Ht A exp − Ht |ni Amn (t) = hm|A(t)|ni = hm| exp ~ ~ i i ˆ ˆ = exp − En t hm| exp Ht A|ni ~ ~ X i i ˆ = exp − En t hm| exp Ht |kihk|A|ni ~ ~ k

i = exp − En t ~

X k

i = exp − En t exp ~ Îòæå,

exp

i ˆ Ek t δmk hk|A|ni ~

i Em t Amn . ~

Amn (t) = eiωmn t Amn , äå ÷àñòîòà ïåðåõîäó ωmn = (Em − En )/~, à ïîõiäíà çà ÷àñîì, ÿêó ìè ïîçíà÷èìî êðàïêîþ,

A˙ mn (t) = iωmn Amn (t). Öi ìàòðèöi ââîäèâ àéçåíáåð ïðè ïîáóäîâi ìàòðè÷íî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, íå çíàþ÷è é íå ââîäÿ÷è ïîíÿòòÿ îïåðàòîðà. Çóïèíèìîñü ùå íà îäíîìó ïðîìiæíîìó ñïîñîái îïèñó åâîëþöi¨ êâàíòîâèõ ñèñòåì ó ÷àñi òàê çâàíîìó ïðåäñòàâëåííi âçà¹ìîäi¨. Ïðåäñòàâëåííÿ âçà¹ìîäi¨ çäiéñíþ¹òüñÿ îïåðàòîðîì åâîëþöi¨, ó ÿêîìó ¹ ëèøå ÷àñòèíà ïîâíîãî ãàìiëüòîíiàíà

ˆ =H ˆ 0 + Vˆ . H Îïåðàòîð åâîëþöi¨, ùî òâîðèòü ïðåäñòàâëåííÿ âçà¹ìîäi¨ 12

I. Î. Âàêàð÷óê

177

i ˆ Sˆ0 (t) = exp − H t . 0 ~

Ó öüîìó ïðåäñòàâëåííi íå âñÿ ÷àñîâà çàëåæíiñòü ïåðåâåäåíà ç õâèëüîâî¨ óíêöi¨ íà îïåðàòîðè: i îïåðàòîðè, i õâèëüîâi óíêöi¨ çàëåæàòü âiä ÷àñó: ˆ dA(t) ˆ ˆ 0 }, = {A(t), H dt äå îïåðàòîð ó ïðåäñòàâëåííi âçà¹ìîäi¨ i i + ˆ = S AS ˆ 0 = exp ˆ 0 t Aˆ exp − H ˆ 0t . A(t) H 0 ~ ~ Ïîâíèé îïåðàòîð åâîëþöi¨

ˆ = Sˆ0 (t)ˆ S(t) σ (t), äå îïåðàòîð σ ˆ (t) çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ, ÿêå âèïëèâà¹ ç ðiâíÿííÿ ˆ äëÿ S(t): ∂σ ˆ (t) = Vˆ (t)ˆ σ (t), i~ ∂t i ˆ i ˆ +ˆ ˆ ˆ V (t) = S0 V S0 = exp H0 t V exp − H0 t . ~ ~

Îïåðàòîð σ ˆ (t) çäiéñíþ¹ åâîëþöiþ â ÷àñi, ÿêà çóìîâëåíà âçà¹ìîäi¹þ. Îòæå, ó ïðåäñòàâëåííi âçà¹ìîäi¨ îïåðàòîðè çàëåæàòü âiä ÷àñó, ÿê i â ãàéçåíáåð iâñüêîìó ïðåäñòàâëåííi, àëå ç ãàìiëüòîíiˆ 0 ; çàëåæíiñòü õâèëüîâèõ óíêöié âiä ÷àñó çóìîâëåíà îïåàíîì H ðàòîðîì âçà¹ìîäi¨:

ˆ ψ(q, t) = S(t)ψ(q) = Sˆ0 (t)ˆ σ (t)ψ(q), ˆ (t)ψ(q), ψâç (q, t) = σ ∂ψâç (q, t) = Vˆ (t)ψâç (q, t). ∂t Ïðåäñòàâëåííÿ âçà¹ìîäi¨ çðó÷íî âèêîðèñòîâóâàòè ó âèïàäêàõ, êîˆ 0 ¹ âiäîìèì, ëè ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç îïåðàòîðîì H ˆ çàñòîñîâóþòü à äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i ç ïîâíèì ãàìiëüòîíiàíîì H íàáëèæåíi ìåòîäè. i~

Ë À Â À IV ÍÀÉÏÎÑÒIØI ÇÀÄÀ×I ÊÂÀÍÒÎÂÎ ÌÅÕÀÍIÊÈ

20. ×àñòèíêà â îäíîâèìiðíié ïðÿìîêóòíié ïîòåíöiàëüíié

ÿìi ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè

îçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè â îäíîâèìiðíîìó ïðÿìîêóòíîìó ÿùèêó ç íåïðîíèêíèìè ñòiíêàìè, U (0) = U (a) = ∞; U (x) = 0, 0 < x < a, a ðîçìið ÿùèêà. Ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà çàïèøåòüñÿ òàê:

−

~2 d2 ψ(x) = Eψ(x), 2m dx2

ç ãðàíè÷íèìè óìîâàìè, ùî çàáåçïå÷óþòü íåïðîíèêíiñòü ñòiíîê:

ψ(0) = ψ(a) = 0. Çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ     ψ(x) = C sin(kx + δ), 2 2    E=~ k . 2m

C, k, δ ñòàëi, ÿêi îäíîçíà÷íî âèçíà÷àþòüñÿ ç ãðàíè÷íèõ óìîâ òà óìîâè íîðìóâàííÿ: ψ(0) = 0,

δ = 0,

ψ(a) = 0,

ka = nπ,

Z

a 0

|ψ(x)|2 dx = 1. 179

Îòæå, ìà¹ìî

ψ(x) = C sin kx,

k=

π n, a

n = 1, 2, 3, . . . .

Ñòàí ç n = 0 âiäñóòíié, âií òîòîæíî äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ñòàíè ç âiä'¹ìíèìè ÷èñëàìè n ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà eiπ âèÿâëÿþòüñÿ îäíàêîâèìè çi ñòàíàìè, äëÿ ÿêèõ n > 0. Ôàçîâèé ìíîæíèê íå âïëèâà¹ íà içè÷íi ðåçóëüòàòè, à îñêiëüêè õâèëüîâà óíêöiÿ âèçíà÷à¹òüñÿ ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà, òî ñòàíè ç n > 0 òà ç n < 0 çáiãàþòüñÿ. Äàëi áåðåìî äî óâàãè ëèøå äîäàòíi êâàíòîâi ÷èñëà n. Ç óìîâè íîðìóâàííÿ ìà¹ìî Z a Z a |ψ(x)|2 dx = |C|2 1 = sin2 kx dx 0

= |C|2

0

Z

0

a

a 1 − cos 2kx dx = |C|2 2 2

àáî (çíîâó æ òàêè ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà) r 2 . C= a Îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò: r π 2 sin nx, ψn (x) = a a

En =

~2 π 2 2 n , 2m a

n = 1, 2, . . . .

îçãëÿíóòà çàäà÷à ¹ äîáðîþ iëþñòðàöi¹þ çàãàëüíèõ âèñíîâêiâ, çðîáëåíèõ ðàíiøå ùîäî âëàñòèâîñòåé âëàñíèõ óíêöié òà âëàñíèõ çíà÷åíü åðìiòîâèõ îïåðàòîðiâ. Õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó ψ1 (x) íà ïðîìiæêó 0 < x < a íå ìà¹ âóçëiâ, âîíà ¹ äiéñíîþ i äîäàòíîþ. Íàñòóïíà óíêöiÿ ψ2 (x), ùî îïèñó¹ ïåðøèé çáóäæåíèé ñòàí, ìà¹ îäèí âóçîë ïðè x = a/2 (äèâ. ðèñ. 18) i ò. ä. ×àñòèíêà, ðóõàþ÷èñü â îáìåæåíîìó îá'¹ìi ïðîñòîðó, ìà¹ äèñêðåòíi ðiâíi åíåð i¨, ïðè÷îìó, âiäïîâiäíî äî ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòåé, õàðàêòåðíèé ìàñøòàá åíåð i¨ ∼ ~2 /2ma2 . Ñèñòåìà {ψn (x)} óòâîðþ¹ ïîâíèé íàáið îðòîíîðìîâàíèõ õâèëüîâèõ óíêöié, Z a ψn (x)ψn′ (x)dx = δn,n′ . 0

180

èñ. 18.

Õâèëüîâi óíêöi¨ äâîõ íèæíiõ ñòàíiâ ÷àñòèíêè â ÿùèêó.

Ïîâíîòà óíêöié äà¹ çìîãó îòðèìàòè ÷èìàëî öiêàâèõ ñïiââiä√ íîøåíü. Âiçüìåìî, íàïðèêëàä, óíêöiþ ψ(x) = 1/ a, 0 < x < a, ψ(0) = ψ(a) = 0. îçêëàäåìî ¨¨ â ðÿä: X ψ(x) = Cn ψn (x), n

äå

Cn =

Z

0

àáî

a

√ √ Z a π 2 2 nx dx = [1 − (−1)n ] , sin ψn (x)ψ(x)dx = a 0 a πn

√ 2 2 Cn = , πn

n = 1, 3, 5, . . . ;

Cn = 0,

n = 2, 4, 6, . . . .

Âðàõîâóþ÷è ÿâíèé âèãëÿä ψ(x), çíàõîäèìî öiêàâèé ðÿä π X 1 π = sin nx . 4 n a n=1,3,5,...

Ç óìîâè çàìêíåíîñòi

∞ X

n=1

|Cn |2 = 1 181

îòðèìà¹ìî òàêîæ öiêàâèé ðåçóëüòàò

X

n=1,3,5,...

1 π2 = . 2 n 8

Öå ñâî¹þ ÷åðãîþ äà¹ ∞ X 1 = n2

n=1

X

n=1,3,5,...

X 1 + 2 n

n=2,4,...

∞

π2 1 X 1 1 = + , 2 n 8 4 n2 n=1

çâiäêè ∞ X 1 π2 = . n2 6

n=1

Ïðèêëàä. Õâèëüîâà óíêöiÿ ÷àñòèíêè ψn (x) â iìïóëüñíîìó Çà îçíà÷åííÿì, õâèëüîâà óíêöiÿ â iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi

Z

C(p)

a

= 0

e−ipx/~ 1 √ ψn (x) dx = √ 2π~ πa~

Z

a

e−ipx/~ sin

0

=

|C(p)|2 =

4πa~3 n2 π 2 pa sin + n . (π 2 n2 ~2 − p2 a2 )2 2~ 2

Î÷åâèäíî ïîâèííà âèêîíóâàòèñü óìîâà Z∞ −∞

|C(p)|2 dp = 1.

Ïåðåâiðìî ¨¨. Çðîáèìî çàìiíó çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ x = pa/2~ + πn/2

i çíàéäåìî 2

|C(p)| dp −∞

182

π nx dx a

n pa o √ sin pa + π2 n π 2~ exp −i + (n − 1) . 2n πa~3 2 2 (πn~) − (pa) 2~ 2

îçïîäië çà iìïóëüñàìè

Z∞

çîáðàæåííi.

=

π 2 n 2

Z∞

sin2 x dx − x)2

x2 (πn −∞

=

π 2 n 2

Z∞ 0

=

sin2 x 1 1 + x2 (πn − x)2 (πn + x)2

π 2 d n − 2 dα

Z∞

sin2 x x2

0

=

2

πn

d − dα

Z∞

α

1 1 + α−x α+x

dx

dx

sin2 x dx, − x2 )

x2 (α2 0

òèì÷àñîâå ïîçíà÷åííÿ α = πn. Iíòå ðàë ¹ òàáëè÷íèì (äèâ. íàïðèêëàä, ðàäøòåéí È. Ñ., ûæèê È. Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé. Ì.: Íàóêà, 1971, íà ñòîð. 463) i òåïåð Z∞

|C(p)|2 dp = πn2 −

d dα

π 4α

2−

sin 2α α

−∞

=

πn 2

2

2 α2

1 + cos 2α −

sin 2α α

= 1,

îñêiëüêè α = πn. 21. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð. Õâèëüîâèé ïiäõiä

Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi ãàðìîíi÷íèì îñöèëÿòîðîì íàçèâàþòü ñèñòåìó, óíêöiÿ àìiëüòîíà ÿêî¨

H=

mω 2 2 p2 + x . 2m 2

îçâ'ÿçêè êëàñè÷íèõ ðiâíÿíü ðóõó äîáðå âiäîìi:   x = x0 sin(ωt + δ),



p = mωx0 cos(ωt + δ),

òóò ω ÷àñòîòà êîëèâàíü, x0 àìïëiòóäà, δ ïî÷àòêîâà àçà. Åíåð iÿ E íàáóâà¹ íåïåðåðâíèé ðÿä çíà÷åíü:

E=

mω 2 2 x . 2 0 183

Ó êâàíòîâié ìåõàíiöi iìïóëüñ òà êîîðäèíàòó çàìiíþ¹ìî íà îïåðàòîðè. Òîäi ãàìiëüòîíiàí ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà 2 2 ˆ = pˆ + mω x H ˆ2 . 2m 2

Çàâäàííÿ ïîëÿãà¹ â çíàõîäæåííi ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

ˆ = Eψ. Hψ Iíøèìè ñëîâàìè, íàì íåîáõiäíî âiäøóêàòè âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñˆ. íi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà H îçãëÿíåìî ñïî÷àòêó ïiäõiä íà îñíîâi õâèëüîâî¨ ìåõàíiêè. Ó êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìà¹ òàêèé âèãëÿä:

−

~2 d2 ψ(x) mω 2 2 + x ψ(x) = Eψ(x), 2m dx2 2

−∞ < x < ∞.

p Óâåäåìî çíåðîçìiðåíó âåëè÷èíó ξ = x/l0 , äå l0 = ~/mω õàðàêòåðíèé ìàñøòàá äîâæèíè (êâàíòîâà àìïëiòóäà). Çíåðîçìiðèìî öå ðiâíÿííÿ: −

d2 ψ(ξ) 2E + ξ 2 ψ(ξ) = ψ(ξ). 2 dξ ~ω

Ç içè÷íèõ ìiðêóâàíü, áåðó÷è äî óâàãè çðîñòàííÿ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ ïðè x → ±∞, âèïëèâà¹, ùî ψ → 0 ïðè ξ → ±∞. Ó öüîìó âèïàäêó ïðàâà ÷àñòèíà ðiâíÿííÿ ïðÿìó¹ äî íóëÿ øâèäøå, íiæ ëiâà:

−

d2 ψ(ξ) + ξ 2 ψ(ξ) = 0. dξ 2

Îòæå, ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ ξ ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ ψ(ξ) ∼ exp(±ξ 2 /2). Ç içè÷íèõ ìiðêóâàíü, çíàê + âiäêèäà¹ìî, i õâèëüîâà óíêöiÿ â öié ãðàíèöi ψ(ξ) ∼ exp(−ξ 2 /2). Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî õâèëüîâó óíêöiþ ìîæíà çîáðàçèòè òàê:

ψ(ξ) = CH(ξ)e−ξ

2 /2

,

ïðè÷îìó íåâiäîìà óíêöiÿ H(ξ) íà áåçìåæíîñòi íå ïîâèííà çðîñòàòè øâèäøå, íiæ exp(ξ 2 /2), C ñòàëà íîðìóâàííÿ. 184

Ïiäñòàíîâêà öüîãî âèðàçó â ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äà¹ 2E ′′ ′ H (ξ) − 2ξH (ξ) + − 1 H(ξ) = 0. ~ω Çàïèøåìî íåâiäîìó óíêöiþ H(ξ) ó âèãëÿäi ðÿäó X H(ξ) = ak ξ k k≥0

i ïiäñòàâèìî éîãî â ðiâíÿííÿ. Ìà¹ìî

X k≥2

ak k(k − 1)ξ

k−2

−2

X

k

ak kξ +

k≥0

X 2E −1 ak ξ k = 0. ~ω k≥0

Ó ïåðøîìó äîäàíêó ïîêëàäà¹ìî k − 2 = k′ , à ïîòiì k′ çíîâó ïåðåïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç k: X 2E − 1 ak ξ k = 0. (k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + ~ω k≥0

Äëÿ òîãî ùîá ñóìà ñòåïåíåâîãî ðÿäó äîðiâíþâàëà íóëåâi, íåîáõiäíî, ùîá êîæíèé ÷ëåí ðÿäó äîðiâíþâàâ íóëåâi. Öå äà¹ ðåêóðåíòíå ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìèõ êîåiöi¹íòiâ ak :

ak+2 = ak

2k + 1 − 2E/~ω . (k + 2)(k + 1)

Ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ k çíàõîäèìî, ùî ak+2 = 2ak /k. Çâiäñè áà÷èìî, ùî äëÿ êîåiöi¹íòiâ ç ïàðíèìè çíà÷êàìè a2k ∼ 1/k!, i íàø ðÿä äëÿ H(ξ) äà¹ H(ξ) ∼ exp(ξ 2 ). Ó ðåçóëüòàòi õâèëüîâà óíêöiÿ íå áóäå çàäîâîëüíÿòè ãðàíè÷íèõ óìîâ ψ → 0, ξ → ±∞. Äëÿ ¨õ çàáåçïå÷åííÿ îáðèâà¹ìî ðÿä, ïîêëàäàþ÷è an+2 = 0, àëå an 6= 0:

2n + 1 − 2E/~ω = 0. Öå ðiâíÿííÿ âèçíà÷à¹ ðiâíi åíåð i¨ E = En ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà

En = ~ω(n + 1/2),

n = 0, 1, 2, . . . 185

èñ. 19.

iâíi åíåð i¨ ëiíiéíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà.

âîíè, ÿê áà÷èìî, ¹ åêâiäèñòàíòíèìè (äèâ. ðèñ. 19). Ïðè öüîìó êîåiöi¹íòè

ak+2 = ak

2(k − n) , (k + 2)(k + 1)

à óíêöiÿ H(ξ) = Hn (ξ):

Hn (ξ) =

n X

ak ξ k

k=0

ïîëiíîì Åðìiòà. Îñêiëüêè ñòàëà íîðìóâàííÿ ùå íå âèçíà÷åíà, çà âæå äàâíüîþ äîìîâëåíiñòþ, âèáèðà¹ìî êîåiöi¹íò ïðè ξ n ðiâíèì 2n , ðåøòà çíàõîäèìî ç ðåêóðåíòíèõ ñïiââiäíîøåíü:

Hn (ξ) = (2ξ)n −

n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) (2ξ)n−2 + (2ξ)n−4 +. . . 1! 2!

Äåêiëüêà ïåðøèõ ïîëiíîìiâ ìàþòü âèãëÿä:

H0 (ξ) = 1, H1 (ξ) = 2ξ, H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2, 186

H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ,

H4 (ξ) = 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12,

H5 (ξ) = 32ξ 5 − 160ξ 3 + 120ξ.

Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî ïîëiíîìè Åðìiòà ìîæíà çàïèñàòè â äóæå çðó÷íié îðìi: d n −ξ 2 ξ2 Hn (ξ) = e − e . dξ Ñïðàâäi, íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî öåé âèðàç çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ H(ξ), ÿêùî åíåð iÿ E = En . Ïîëiíîì Åðìiòà ìîæíà çîáðàçèòè i òàê: ξ2

Hn (ξ) = e

d − dξ

n

−ξ 2

e

ξ 2 /2

=e

d ξ− dξ

n

e−ξ

2 /2

.

Îòæå, õâèëüîâi óíêöi¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà

ψn (x) = Cn e−ξ

2 /2

Hn (ξ).

Ñòàëi Cn ââàæà¹ìî äiéñíèìè âåëè÷èíàìè i çíàõîäèìî ¨õ ç óìîâè íîðìóâàííÿ. Äëÿ öüîãî ïiäðàõó¹ìî iíòå ðàë

r

Z ∞ ~ 2 e−ξ Hn′ (ξ)Hn (ξ)dξ Cn′ Cn ψn′ (x)ψn (x)dx = mω −∞ −∞ r Z ∞ d n −ξ 2 ~ = Cn′ Cn Hn′ (ξ) − e dξ. mω −∞ dξ

Z

∞

Ìè âèêîðèñòàëè ÿâíèé âèãëÿä ïîëiíîìà Åðìiòà. Íåõàé n′ < n i iíòå ðó¹ìî n ðàçiâ ÷àñòèíàìè:

Z

∞

−∞

ψn′ (x)ψn (x)dx = Cn′ Cn

r

~ mω

Z

∞

−∞

e−ξ

2

dn Hn′ (ξ) dξ. dξ n

Ïîõiäíà ïiä iíòå ðàëîì ïðè n′ < n äîðiâíþ¹ íóëåâi, à îòæå, iíòå ðàë òàêîæ äîðiâíþ¹ íóëåâi. ßêùî n > n′ , òî ðîçêðèâà¹ìî ÿâíî ïîëiíîì Hn′ (ξ) i ïðîâîäèìî òàê ñàìî n′ -êðàòíå iíòå ðóâàííÿ ÷àñòèíàìè çíîâó îòðèìó¹ìî, ùî iíòå ðàë äîðiâíþ¹ íóëåâi. Îòæå, õâèëüîâi óíêöi¨ ¹ îðòîãîíàëüíèìè, ÿê i ïîâèííî áóòè. ßêùî 187

n = n′ , òî ïîõiäíi ïiä iíòå ðàëîì äàþòü âíåñîê ëèøå âiä ìàêñèìàëüíîãî ñòåïåíÿ ïîëiíîìà. Öåé âíåñîê äîðiâíþ¹ 2n n!. Ç óìîâè íîðìóâàííÿ r r Z ∞ Z ∞ ~ ~ n √ 2 ψn2 (x)dx = Cn2 1= e−ξ dξ = Cn2 2n n! 2 n! π mω mω −∞ −∞ çíàõîäèìî

Cn = Îòæå, îñòàòî÷íî

ψn (x) = ïðè÷îìó

mω 1/4 π~

mω 1/4 π~

Z

∞

−∞

√

1 . 2n n!

1 2 √ e−ξ /2 Hn (ξ), 2n n!

ψn′ ψn dx = δn′ ,n .

Ñòàíè ¹ íåâèðîäæåíèìè, i êîæíîìó çíà÷åííþ åíåð i¨ âiäïîâiäà¹ îäíà õâèëüîâà óíêöiÿ. Â îñíîâíîìó ñòàíi, êîëè n = 0, åíåð iÿ îñöèëÿòîðà ìà¹ íàéìåíøå çíà÷åííÿ, àëå íå äîðiâíþ¹ íóëåâi:

E0 =

~ω 2

òàê çâàíà åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü. Öå íàñëiäîê ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à: íå ìîæå áóòè îäíî÷àñíî hx2 i = 0 i hp2 i = 0 (äèâ. Ïðèêëàäè äî 7). Õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó mω 1/4 2 ψ0 (ξ) = e−ξ /2 . π~ ßê áà÷èìî, âîíà ¹ áåçâóçëîâîþ. Õâèëüîâà óíêöiÿ ïåðøîãî çáóäæåíîãî ñòàíó mω 1/4 √ 2 e−ξ /2 2 ξ, ψ1 (ξ) = π~ ÿêà âiäïîâiäà¹ åíåð i¨ E1 = 3~ω/2, ìà¹ îäèí âóçîë (ðèñ. 20).

188

èñ. 20.

Õâèëüîâi óíêöi¨ ëiíiéíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà.

Çðîáèìî çàóâàæåííÿ. ßêùî ðîçãëÿíóòè çàäà÷ó ïðî ðóõ ÷àñòèíêè â ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ mω 2 x2 /2 äëÿ x ≥ 0 i áåçìåæíî âèñîêîþ ñòiíêîþ ïðè x = 0, òî â íàøîìó ïîïåðåäíüîìó ðîçãëÿäi íåîáõiäíî âðàõóâàòè ùå äîäàòêîâó óìîâó: õâèëüîâi óíêöi¨ â òî÷öi x = 0 ïîâèííi äîðiâíþâàòè íóëåâi. Öþ óìîâó çàäîâîëüíÿþòü ðîçâ'ÿçêè ç íåïàðíèì çíà÷åííÿì êâàíòîâîãî ÷èñëà, n = 1, 3, 5, . . .. Öå i áóäóòü õâèëüîâi óíêöi¨ òàêîãî îáðiçàíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà çà óìîâè, ùî x ≥ 0. 22. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð. Ìåòîä îïåðàòîðiâ

ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ

Ïî÷íåìî ç òîãî, ùî çíîâó çàïèøåìî âèõiäíi âèðàçè äëÿ îïåðàòîðà àìiëüòîíà íàøî¨ çàäà÷i, ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ îïåðàòîðiâ êîîðäèíàòè é iìïóëüñó òà ðiâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ i âëàñíi çíà÷åííÿ, íå êîíêðåòèçóþ÷è ïðåäñòàâëåííÿ:  2 2  ˆ = pˆ + mω x  H ˆ2 ,   2m 2  

x ˆpˆ − pˆx ˆ = i~,       ˆ Hψ = Eψ.

189

àìiëüòîíiàí ¹ êâàäðàòè÷íîþ îðìîþ, i íàïðîøó¹òüñÿ éîãî ðîçêëàä íà ïðîñòi ìíîæíèêè. Äëÿ öüîãî ââåäåìî îïåðàòîðè r pˆ mω ˆb = √1 x ˆ + i√ , ~ 2 m~ω

ˆb+ = √1 2 Âiçüìåìî äîáóòîê

ˆb+ˆb = 1 2 òîáòî

mω 2 x ˆ + ~

r

r

pˆ mω x ˆ − i√ ~ m~ω

.

pˆ2 mω 1 √ i(ˆ xpˆ − pˆx ˆ) + ~ m~ω m~ω

,

pˆ2 1 ˆ2 ˆb+ˆb = mω x + − . 2~ 2m~ω 2 Àíàëîãi÷íî

ˆ2 pˆ2 ˆbˆb+ = mω x + + 2~ 2m~ω Òàê ùî ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ öèõ

Î÷åâèäíî, ùî

1 . 2 îïåðàòîðiâ:

ˆbˆb+ − ˆb+ˆb = 1. ˆ = ~ω ˆb+ˆb + 1 . H 2

ˆ Òîìó âèõiäíå ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ äëÿ H íàáèðà¹ âèãëÿäó: 1 +ˆ ˆ ~ω b b + ψ = Eψ. 2 Ïîäi¹ìî çëiâà íà öå ðiâíÿííÿ îïåðàòîðîì ˆb+ : 190

1 ˆ+ +ˆ+ˆ ˆ ψ = Eˆb+ ψ. ~ω b b b + b 2 Âèêîðèñòàéìî òåïåð ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ îïåðàòîðiâ ˆb, ˆb+ :

1 ˆ+ +ˆˆ+ + ˆ ψ = Eˆb+ ψ, ~ω b bb − b + b 2 1 + ˆb+ ψ = Eˆb+ ψ, ~ω ˆb ˆb − 1 + 2 1 ˆ+ ~ω ˆb+ˆb + b ψ = (E + ~ω)ˆb+ ψ. 2

Ìè çíîâó ïðèéøëè äî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ, àëå ç åíåð i¹þ, çáiëüøåíîþ íà ~ω , i ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ˆb+ ψ . Îòæå, ÿêùî õâèëüîâié óíêöi¨ ψ âiäïîâiäà¹ åíåð iÿ E , òî õâèëüîâié óíêöi¨ ψ1 = ˆb+ ψ åíåð iÿ E + ~ω : 1 +ˆ ˆ ψ1 = (E + ~ω)ψ1 . ~ω b b + 2

Ïðîâîäÿ÷è àíàëîãi÷íi ïåðåòâîðåííÿ i äàëi, îòðèìà¹ìî òàêèé ëàíöþæîê äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié òà âiäïîâiäíèõ çíà÷åíü åíåð i¨:

ψ → E, ψ1 = ˆb+ ψ → E1 = E + ~ω, ψ2 = ˆb+ ψ1 = (ˆb+ )2 ψ → E2 = E1 + ~ω = E + 2~ω, ............................................................................... ψn = (ˆb+ )n ψ → En = E + n~ω. Ïîäi¹ìî òåïåð îïåðàòîðîì ˆb íà íàøå âèõiäíå ðiâíÿííÿ 1 +ˆ ˆ ˆ ~ω b b b + ψ = Eˆbψ, 2 191

òàêi æ ìiðêóâàííÿ, ÿê i ùîéíî íàâåäåíi, äàþòü 1 +ˆ ˆ ψ1′ = (E − ~ω)ψ1′ , ~ω b b + 2

ψ1′ = ˆbψ. Îòæå, ÿêùî ψ âiäïîâiäàëà åíåð iÿ E , òî ψ1′ = ˆbψ åíåð iÿ íà êâàíò ~ω ìåíøà: E − ~ω . Ïîâòîðþþ÷è öåé ïðîöåñ, ïðèõîäèìî äî òàêîãî ëàíöþæêà ñïiââiäíîøåíü:

ψ → E, ψ1′ = ˆbψ → E1′ = E − ~ω, ψ2′ = ˆbψ1′ = (ˆb)2 ψ → E2′ = E1′ − ~ω = E − 2~ω, .......................................................................... ψn′ = (ˆb)n ψ → En′ = E − n~ω.

ßê áà÷èìî, îïåðàòîð ˆb+ , äiþ÷è íà äåÿêó ñòàðòîâó àìïëiòóäó ñòàíó, çáiëüøó¹ åíåð iþ íà êâàíò ~ω , à îïåðàòîð ˆb çìåíøó¹ E íà êâàíò ~ω . Çâiäñè ¨õíÿ íàçâà: ˆb+ îïåðàòîð ïîðîäæåííÿ, ˆb îïåðàòîð çíèùåííÿ êâàíòiâ. Ïiäáåðåìî òåïåð öþ ñòàðòîâó õâèëüîâó óíêöiþ òàê, ùîá åíåð iÿ, ÿêà ¨é âiäïîâiäà¹, áóëà íàéìåíøîþ, òîáòî ìîâà éäå ïðî îñíîâíèé ñòàí. Îçíà÷åííÿ îñíîâíîãî ñòàíó, àáî, ÿê éîãî ùå íàçèâàþòü, âàêóóìíîãî ñòàíó ψ0 , iêñó¹ìî ðiâíÿííÿì:

ˆbψ0 = 0. Öå ïîñòóëàò, ÿêèé ìè ïðèéìà¹ìî áåç äîâåäåííÿ íà ïiäñòàâi iíòó¨òèâíèõ ìiðêóâàíü: ñòàíiâ ç åíåð i¹þ ìåíøîþ, íiæ ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ, óæå íå iñíó¹, õâèëüîâi óíêöi¨ òàêèõ ñòàíiâ ïðîñòî äîðiâíþþòü íóëåâi. Ìîæíà ìiðêóâàâàòè ùå é òàê. Âiçüìåìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà çà äåÿêîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ : Z Z ∗ ˆ+ˆ ˆ hHi = ~ω ψ b b + 1/2 ψ dq = ~ω ψ ∗ˆb+ˆbψ dq + ~ω/2

= ~ω 192

Z

(ˆb∗ ψ ∗ )(ˆbψ) dq + ~ω/2 = ~ω

Z

|ˆbψ|2 dq + ~ω/2.

ˆ ≥ ~ω/2, à ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ åíåðÇâiäñè ìà¹ìî, ùî çàâæäè hHi i¨ ~ω/2 äîñÿãà¹òüñÿ äëÿ òàêî¨ óíêöi¨ ψ , ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó ˆbψ = 0. À öå i ¹ íàøå îçíà÷åííÿ îñíîâíîãî ñòàíó. Ç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, áåðó÷è äî óâàãè îçíà÷åííÿ ψ0 , çíàõîäèìî åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó E0 : ~ω(ˆb+ˆb + 1/2)ψ0 = E0 ψ0 , E0 =

~ω . 2

Îòæå, ðîçâ'ÿçîê íàøî¨ çàäà÷i òàêèé:   ψn = Cn (ˆb+ )n ψ0 , C0 = 1,



En = ~ω(n + 1/2).

äå Cn ñòàëi íîðìóâàííÿ. Îá÷èñëèìî ¨õ. Îòæå, Z ψn∗ ψn dq = 1, àáî â ÿâíîìó âèãëÿäi 2

|Cn | Äàëi

Z h

(ˆb+ )n ψ0

i∗

(ˆb+ )n ψ0 dq = 1.

∗ Z + ψn−1 ˆb+ ψn−1 dq = 1. ˆ |Cn | b Cn−1 Cn−1 2

Ïåðåêèíüìî äiþ îïåðàòîðà (ˆb+ )∗ íàïðàâî, óâiâøè òðàíñïîíîâà˜ íèé îïåðàòîð (ˆb+ )∗ = (ˆb+ )+ = ˆb: Z Cn 2 ∗ ˆˆ+ ψn−1 bb ψn−1 dq = 1. Cn−1 Îñêiëüêè ~ω(ˆb+ˆb + 1/2)ψn−1 = En−1 ψn−1 = ~ω(n − 1 + 1/2)ψn−1 , òî

ˆbˆb+ ψn−1 = (1 + ˆb+ˆb)ψn−1 = [1 + (n − 1)]ψn−1 . 13

I. Î. Âàêàð÷óê

193

Òåïåð ìà¹ìî

Z Cn 2 ∗ Cn−1 n ψn−1 ψn−1 dq = 1, Cn 2 Cn−1 n = 1

àáî ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà, ç ÿêîþ âèçíà÷àþòüñÿ õâèëüîâi óíêöi¨,

Cn−1 Cn = √ . n Ìà¹ìî ðåêóðåíòíó îðìóëó:

Cn = =

1 C 1 1 Cn−1 C √ = √ √ n−2 = p √ n−3 = · · · = √ C0 n n n−1 n(n − 1) n − 2 n!

1 √ . n!

Îòæå, îñòàòî÷íî

 (ˆb+ )n    ψn = √ ψ0 , n!    En = ~ω(n + 1/2).

Ïiäêðåñëèìî, ùî ìè îòðèìàëè öåé ðåçóëüòàò, íå ïåðåõîäÿ÷è äî êîíêðåòíîãî çîáðàæåííÿ, íà ÿêîìó ðåàëiçó¹òüñÿ àë åáðà îïåðàòîðiâ ˆb+ òà ˆb. Çíàéäåìî òåïåð ðåçóëüòàò äi¨ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ íà õâèëüîâó óíêöiþ

1 p (ˆb+ )n+1 1 √ ˆb+ (b+ )n ψ0 = √ (n + 1)! p ψ0 n! n! (n + 1)! r √ (n + 1)! ψn+1 = n + 1 ψn+1 , = n!

ˆb+ ψn =

194

1 p (ˆb+ )n−1 1 √ ˆb(ˆb+ )n ψ0 = √ (n − 1)! ˆbˆb+ p ψ0 n! n! (n − 1)! r √ (n − 1)! ˆˆ+ bb ψn−1 = n ψn−1 , = n!

ˆbψn =

ÿê i ïðè îá÷èñëåííi ñòàëî¨ íîðìóâàííÿ, ìè âèêîðèñòàëè òå, ùî

ˆb+ˆb ψn = nψn , à

ˆbˆb+ ψn = (n + 1)ψn . Ìè çíàéøëè âàæëèâi ðiâíÿííÿ: √ ˆb+ ψn = n + 1 ψn+1 ,

ˆb ψn =

√

n ψn−1 .

Òàêèì ÷èíîì, çãiäíî ç öèìè ïðàâèëàìè, îïåðàòîð ïîðîäæåííÿ çáiëüøó¹ iíäåêñ ñòàíó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ íà îäèíèöþ, à îïåðàòîð çíèùåííÿ çìåíøó¹ éîãî íà îäèíèöþ. Ìàþ÷è öi ïðàâèëà, ëåãêî çíàõîäèìî ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðiâ êîîðäèíàòè é iìïóëüñó òà ¨õíiõ ñòåïåíiâ. Ç îçíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ ˆb òà ˆb+ âèïëèâà¹, ùî r ~ ˆ+ ˆ x ˆ= (b + b), 2mω

r

pˆ = i

m~ω ˆ+ ˆ (b − b). 2

Òåïåð: ′

xn′ n = hn |ˆ x|ni = = 13*

r

r

~ hn′ |ˆb+ + ˆb|ni 2mω

√ ~ √ n + 1δn′ ,n+1 + nδn′ ,n−1 , 2mω

195

(x2 )n′ n = hn′ |ˆ x2 |ni =

~ hn′ |ˆb+ˆb+ + ˆb+ˆb + ˆbˆb+ + ˆbˆb|ni 2mω

~ hp (n + 1)(n + 2) δn′ ,n+2 + (2n + 1)δn′ ,n 2mω i p n(n − 1) δn′ ,n−2 , + =

3

′

3

(x )n′ n = hn |ˆ x |ni =

~ 2mω

3/2

hn′ |ˆb+ˆb+ˆb+ + ˆb+ˆb+ˆb + ˆb+ˆbˆb

+ ˆb+ˆbˆb+ + ˆbˆb+ˆb + ˆbˆb+ˆb+ + ˆbˆbˆb+ + ˆbˆbˆb|ni =

~ 2mω

3/2 h

p (n + 1)(n + 2)(n + 3) δn′ ,n+3

√ √ + 3(n + 1) n + 1 δn′ ,n+1 + 3n n δn′ ,n−1 i p + n(n − 1)(n − 2) δn′ ,n−3 .

Àíàëîãi÷íî çíàõîäèìî ìàòðè÷íi åëåìåíòè i äëÿ îïåðàòîðà pˆ: ¨õ îò1/2 ðèìó¹ìî p ç íàâåäåíèõ âèùå îðìóë çàìiíîþ ìíîæíèêà (~/2mω) íà i m~ω/2, à â äóæêàõ çíàêè + áiëÿ äîäàíêiâ ç ïàðíèìè ïîðÿäêîâèìè íîìåðàìè çàìiíþ¹ìî íà çíàê −. îçãëÿíåìî êîîðäèíàòíå ïðåäñòàâëåííÿ, êîëè pˆ = −i~d/dx, x ˆ = x, à îïåðàòîðè ˆb = √1 ξ + d , ˆb+ = √1 ξ − d , dξ dξ 2 2 äå

ξ=x

,r

~ . mω

Çíàéäåìî ÿâíèé âèãëÿä âàêóóìíîãî ñòàíó ψ0 = ψ0 (ξ), âèõîäÿ÷è ç éîãî îçíà÷åííÿ: ˆbψ0 = 0, 196

ξψ0 +

dψ0 = 0. dξ

Î÷åâèäíî, ùî

ψ0 = Ce−ξ

2 /2

,

äå ñòàëó íîðìóâàííÿ îòðèìó¹ìî ç óìîâè Z ∞ |ψ0 |2 dx = 1, −∞

C= òàê ùî õâèëüîâà óíêöiÿ

ψ0 (ξ) =

mω 1/4 π~

mω 1/4 π~

,

e−ξ

2 /2

.

Òåïåð, çà îçíà÷åííÿì, õâèëüîâà óíêöiÿ çáóäæåíîãî ñòàíó (ˆb+ )n ψ0 mω 1/4 1 d n −ξ 2 /2 √ ψn (ξ) = √ e ξ− = π~ dξ n! 2n n! àáî

ψn (ξ) =

mω 1/4 π~

√

2 1 e−ξ /2 Hn (ξ), 2n n!

äå ïîëiíîì Åðìiòà, ç ÿêèì ìè âæå çíàéîìi ç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà d n −ξ 2 d n −ξ 2 /2 ξ2 ξ 2 /2 e =e e . − Hn (ξ) = e ξ− dξ dξ

Ìåòîä îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòü ó ðiçíèõ çàäà÷àõ êâàíòîâî¨ òåîði¨. îçãëÿíóòå ïðåäñòàâëåííÿ çàñòîñîâó¹òüñÿ äî îïèñó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ, êîëèâàíü ðàòêè, ÿâèùà íàäïëèííîñòi i ò. ä. Öå ïðåäñòàâëåííÿ ¹ ÷àñòêîâèì âèïàäêîì çàãàëüíîãî ïðåäñòàâëåííÿ âòîðèííîãî êâàíòóâàííÿ, ÿê éîãî íàçèâàþòü, àáî ïðåäñòàâëåííÿ ÷èñåë çàïîâíåííÿ äëÿ âèïàäêó, êîëè ÷àñòèíêè àáî åëåìåíòàðíi çáóäæåííÿ ìàþòü öiëèé ñïií âèïàäîê ñòàòèñòèêè ÁîçåÀéíøòàéíà. 197

Òîðêíåìîñü ùå ïèòàííÿ êîãåðåíòíèõ ñòàíiâ. îçãëÿíüìî îðìàëüíî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà çíèùåííÿ:

ˆbψα = αψα ,

ˆb|αi = α|αi,

α iíäåêñ ïðåäñòàâëåííÿ (êâàíòîâå ÷èñëî). Îïåðàòîð ˆb íååðìiòîâèé, òîìó éîãî âëàñíå çíà÷åííÿ α = Re α + i Im α êîìïëåêñíå ÷èñëî. Íàáið óíêöié ψα óòâîðþ¹ ïîâíó ñèñòåìó. Ôóíêöi¨ ψα íàçèâàþòü ùå êîãåðåíòíèìè ñòàíàìè1 . Âîíè ¹ òèìè ñòàíàìè, ÿêi ìiíiìiçóþòü íåâèçíà÷åíiñòü àéçåíáåð à: 2 c 2 ih(∆p) c 2i = ~ , h(∆x) 4

äå óñåðåäíåííÿ âiäáóâà¹òüñÿ çà ñòàíàìè ψα . Ó öüîìó ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ÿêùî ðiâíÿííÿ íà ìiíiìiçóþ÷èé ïàêåò, ÿêå ìè ðîçãëÿäàëè ðàíiøå, ïîðiâíÿòè ç ðiâíÿííÿì íà âëàñíå çíà÷åííÿ îïåðàòîðà ˆb â êîîðäèíàòíîìó ïðåäñòàâëåííi öi ðiâíÿííÿ (ç òî÷íiñòþ äî ìíîæíèêà) ¹ îäíàêîâèìè. Òîìó ïðåäñòàâëåííÿ êîãåðåíòíèõ ñòàíiâ ψα ùå íàçèâàþòü ïðåäñòàâëåííÿì ìiíiìiçóþ÷èõ õâèëüîâèõ ïàêåòiâ. Öiêàâî íàâåñòè ðîçêëàä ψα â ðÿä çà âëàñíèìè ñòàíàìè îïåðàòîðà ˆb+ˆb, òîáòî çà õâèëüîâèìè óíêöiÿìè îñöèëÿòîðà ψn . Ïðîñòå äîâåäåííÿ öüîãî ñïiââiäíîøåííÿ çàëèøà¹ìî ÷èòà÷åâi (äèâ. òàêîæ Ïðèêëàä 3 äëÿ öüîãî ïàðàãðàà):

ψα = e−|α|

2 /2

∞ X αn √ ψn . n! n=0

Ïðèêëàä 1. Ìàòðè÷íèé ïiäõiä äî îñöèëÿòîðíî¨ çàäà÷i. Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ Åðåíåñòà, òîáòî ðiâíÿííÿ ðóõó äëÿ îïåðàòîðiâ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó ˆ = pˆ2 /2m + mω 2 x îñöèëÿòîðà ç ãàìiëüòîíiàíîì H ˆ2 /2:

ˆ˙ = pˆ , x m

ˆ p˙ = −mω 2 x ˆ.

1 Íàçâà âiäîáðàæà¹ òîé àêò, ùî . ëàóáåð öi ñòàíè çàñòîñóâàâ äëÿ äîñëiäæåííÿ êîãåðåíòíèõ äæåðåë ñâiòëà (1963 ð.). Óïåðøå öi ñòàíè ðîçãëÿíóâ ùå â 1926 ðîöi Å. Øðåäèí åð.

198

Ïîñòàâèìî ùå ïî îäíié êðàïöi çëiâà i ñïðàâà â ïåðøîìó ðiâíÿííi i, ñêîðèñòàâøèñü äðóãèì, çíàõîäèìî ˆ¨ + ω 2 x x ˆ = 0.

Âiçüìåìî ìàòðè÷íèé åëåìåíò, ïîáóäîâàíèé íà âëàñíèõ óíêöiÿõ îïåðàòîðà ˆ: H x ¨kn + ω 2 xkn = 0. Äàëi ïðèãàäà¹ìî, ùî ç ðiâíÿíü àéçåíáåð à âèïëèâà¹ x˙ kn = iωkn xkn ,

i òîìó íàøå ðiâíÿííÿ äà¹

2 x ¨kn = iωkn x˙ kn = −ωkn xkn ,

2 ω 2 − ωkn xkn = 0.

Îòæå, xkn 6= 0 ëèøå çà óìîâè, ùî ωkn = ±ω . Ïåðåíóìåðó¹ìî åëåìåíòè ìàòðèöi xkn òàê, ùîá íåíóëüîâi çíà÷åííÿ ïîçíà÷àëèñü ñóñiäíiìè iíäåêñàìè: xn±1,n 6= 0, ωn±1,n = ±ω. Âèðàç äëÿ åíåð i¨ çíàéäåìî, îá÷èñëèâøè äiàãîíàëüíèé ìàòðè÷íèé åëåìåíò ãàìiëüòîíiàíà, En

m ˆ 2 mω 2 (x) ˙ nn + (ˆ x)2nn 2 2

=

ˆ nn = (H)

=

mω 2 X mX x˙ nk x˙ kn + xnk xkn 2 2 k

=

k

X m k

2

2 ωkn +

m 2 ω xnk xkn 2

=

m 2 m 2 ωn+1,n xn,n+1 xn+1,n + ωn−1,n xn,n−1 xn−1,n 2 2

+

m 2 ω (xn,n+1 xn+1,n + xn,n−1 xn−1,n ) 2

=

mω 2 x2n+1,n + x2n−1,n ,

íàãàäà¹ìî, ùî ç óìîâè åðìiòîâîñòi îïåðàòîðà êîîðäèíàòè xkn =xnk . Ç ïåðåñòàâˆ˙ ìà¹ìî x ˆ˙ − xˆ ˆ˙ x = i~/m, àáî â íèõ ñïiââiäíîøåíü x ˆpˆ − pˆx ˆ = i~ òà pˆ = mx ˆx ìàòðè÷íié îðìi äëÿ äiàãîíàëüíèõ åëåìåíòiâ ˆ˙ nn − (xˆ ˆ˙ x)nn = i~ , (ˆ xx) m X k

(xnk x˙ kn − x˙ nk xkn ) =

i~ m

199

àáî

X

xnk xkn ωkn =

k

~ , 2m

x2n+1,n ωn+1,n + x2n−1,n ωn−1,n =

~ , 2m

~ . 2mω 2 Ìè îòðèìàëè ðåêóðåíòíå ðiâíÿííÿ äëÿ An = xn,n−1 : x2n+1,n − x2n−1,n =

~ . 2mω Áóäåìî ïî÷èíàòè íóìåðàöiþ ç n=0, òîìó, çà îçíà÷åííÿì, x0,−1 =0. Òîäi î÷åâèäíî ~ An = n. 2mω Çâiäñè çíàõîäèìî (ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà) An+1 − An =

r

~ n, 2mω = 0. Ç âèðàçó äëÿ åíåð i¨ çíàõîäèìî xn,n−1 = xn−1,n =

ðåøòà xn,k

En = mω 2

~ ~ (n + 1) + n , 2mω 2mω

òîáòî

En = ~ω(n + 1/2). Çàäà÷à ðîçâ'ÿçàíà: çíàéäåíî ðiâíi åíåð i¨ òà ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðiâ. Ïðèêëàä 2. Iìïóëüñíå ïðåäñòàâëåííÿ äëÿ îñöèëÿòîðíî¨ çàäà÷i.

ˆ = i~ d/dp, à îïåðàòîðè ïðåäñòàâëåííi pˆ = p, x √ ˆb = i(η + d/dη)/ 2,

Ó öüîìó

√ ˆb+ = −i(η − d/dη)/ 2, √ äå η = p/ m~ω. Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó ìà¹ìî ˆbψ0 (η) = 0, ψ0 (η) = C0 e−η

2

/2

, äå ç óìîâè íîðìóâàííÿ C0 = (π~mω)−1/4 . Äàëi

n

2 1 1 (ˆb+ )n d ψn (η) = √ ψ0 = √ (−i)n η − e−η /2 . 1/4 n dη (π~nω) n! n!2 Àáî, îïóñêàþ÷è àçîâèé ìíîæíèê i çãàäàâøè îçíà÷åííÿ ïîëiíîìiâ Åðìiòà, îñòàòî÷íî ìà¹ìî:

ψn (η) =

200

2 1 1 √ e−η /2 Hn (η). (π~mω)1/4 n!2n

Ïðèêëàä 3. Êîãåðåíòíi ñòàíè. Çíàéäåìî ðîçêëàä êîãåðåíòíèõ ñòàíiâ çà õâèëüîâèìè óíêöiÿìè ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà i äîâåäåìî ¨õíþ ïîâíîòó. Ïðàöþ¹ìî â ïîçíà÷åííÿõ Äiðàêà, i îòæå, ∞ X

|αi =

n=0

Cn |ni,

|ni êåò-âåêòîðè ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Ïiäñòàâèìî öåé ðîçêëàä ó ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà çíèùåííÿ ˆb|αi = α|αi

i çíàõîäèìî

∞ X n=0

∞ X √ Cn n|n − 1i = α Cn |ni, n=0

àáî, ïåðåïîçíà÷àþ÷è iíäåêñè â ëiâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ (n′ = n − 1, ïîòiì n′ → n), çíàõîäèìî, çâàæàþ÷è íà îðòîíîðìîâàíiñòü ñòàíiâ |ni, hn′ |ni = δn′ n , ðåêóðåíòíå ñïiââiäíîøåííÿ: √ Cn n = αCn−1 . Çâiäñè i òîìó

α αn α α Cn−2 = . . . = √ C0 , Cn = √ Cn−1 = √ √ n n n−1 n! |αi = C0

∞ X αn n=0

√

n!

|ni,

à ç óìîâè íîðìóâàííÿ hα|αi = 1 çíàõîäèìî ñòàëó C0 : hα|αi

=

=

2

|C0 |

|C0 |2

′ ∞ ∞ X X α∗n αn

n=0 n′ =0

√

∞ X |α|2n n=0

n′ !n!

hn′ |ni 2

= |C0 |2 e|α| ,

n!

i ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà C0 = e−|α|

Îñòàòî÷íî |αi = e−|α|

2

/2

2

/2

.

∞ X αn n=0

√

n!

|ni.

Öåé âèðàç ìîæíà çàïèñàòè ÷åðåç îïåðàòîð ïîðîäæåííÿ ˆb+ ùå é òàê: |αi = e−|α|

2

/2+αˆ b+

|0i.

201

Ñòàíè |αi ¹ íåîðòîãîíàëüíèìè. Ñïðàâäi, hα|α′ i

e−|α|

=

2

/2−|α′ |2 /2

′ ∞ X ∞ X (α∗ )n (α′ )n

n=0 n′ =0

= e−|α|

2

√

√

n!

∞ X (α∗ α′ )n

/2−|α′ |2 /2

n!

n=0

n′ !

hn|n′ i

,

i îòæå hα|α′ i = e−|α|

Î÷åâèäíî

2 /2−|α′ |2 /2+α∗ α′

.

′ 2

|hα|α′ i|2 = e−|α−α | .

Äîâåäåìî ïîâíîòó êîãåðåíòíèõ ñòàíiâ: Z

dα |αihα| = 1.

Iíòå ðóâàííÿ òóò âiäáóâà¹òüñÿ â êîìïëåêñíié ïëîùèíi ç âàãîþ 1/π , ÿêà çàáåçïå÷ó¹ ïðàâèëüíå íîðìóâàííÿ: ìîæåìî iíòå ðóâàòè çà äiéñíîþ i óÿâíîþ ÷àñòèíîþ α â áåçìåæíèõ ìåæàõ àáî çà ìîäóëåì ρ = |α| i àçîþ ϕ, α = ρeiϕ , (0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ). Âèêîðèñòîâóþ÷è çíàéäåíèé âèùå ðîçêëàä, ìà¹ìî: Z

Z∞

dα|αihα| =

ρ dρ

1 π

Z2π

dϕ e−ρ

0

×

n=0 n′ =0

Z∞

=

n′ !n!

2ρ dρ e−ρ

2

∞ X 1 n=0

′

eiϕ(n

−n)

n!

|n′ ihn|

′ ∞ ∞ X X ρn+n

n=0 n′ =0

0

=

0

′ ∞ ∞ X X ρn+n

√

2

Z∞

|nihn| 0

√

n′ !n!

xn e−x dx =

δn′ n |n′ ihn|

∞ X n=0

|nihn| = 1.

Òóò iíòå ðàë çà ϕ äà¹ 2πδn′ n , à iíòå ðàë çà x = ρ2 äîðiâíþ¹ n!, êðiì òîãî, ìè âèêîðèñòàëè óìîâó ïîâíîòè õâèëüîâèõ óíêöié ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Îòæå, êîãåðåíòíi ñòàíè óòâîðþþòü ïîâíèé íàáið.

202

23. Ìåòîä àêòîðèçàöi¨ äëÿ âèçíà÷åííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü

òà âëàñíèõ óíêöié îïåðàòîðiâ

Ìåòîä îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ, ÿêèé ìè çàñòîñóâàëè äî ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, äîçâîëÿ¹ ïðîâåñòè éîãî óçàãàëüíåííÿ é íà iíøi çàäà÷i. Òàêèé ïiäõiä íàçèâàþòü ìåòîäîì àêòîðèçàöi¨ ó çâ'ÿçêó ç òèì, ùî ãàìiëüòîíiàí çàïèñóþòü ÿê äîáóòîê äâîõ îïåðàòîðiâ. Óïåðøå öåé ìåòîä âèíàéøîâ Å. Øðåäèí åð ó 1940 ð. (âií ïðàöþâàâ òîäi â Äóáëiíi). Çàçâè÷àé, ìåòîä àêòîðèçàöi¨ íå âõîäèâ äî ïiäðó÷íèêiâ (êðiì çàäà÷i ïðî ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð). Âèíÿòêîì ¹ íåâåëè÷êà çà îáñÿãîì êíèæêà . ðiíà2 , äå öåé ìåòîä ïîêëàäåíî â îñíîâó ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ. Îñòàííiì ÷àñîì ìåòîä àêòîðèçàöi¨ äiñòàâ ïîäàëüøèé ðîçâèòîê. Îòæå, ðîçãëÿíåìî â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði ðóõ ÷àñòèíêè ìàñè m ç êîîðäèíàòîþ x ó ñèëîâîìó ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x). àìiëüòîíiàí 2 ˆ = pˆ + U, H 2m

pˆ îïåðàòîð iìïóëüñó. Íàøå çàâäàííÿ çíàéòè âëàñíi óíêöi¨ ˆ: ψn (x) òà âëàñíi çíà÷åííÿ En îïåðàòîðà H ˆ n (x) = En ψn (x). Hψ Óâåäiìî îïåðàòîðè Aˆ òà Aˆ+ , ùî óçàãàëüíþþòü îïåðàòîðè çíèùåííÿ ˆb òà ïîðîäæåííÿ ˆb+ , ÿêi ìè çàïðîâàäèëè â òåîði¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà:

iˆ p Aˆ = √ + W, 2m iˆ p Aˆ+ = − √ + W, 2m òóò W = W (x) äåÿêà óíêöiÿ êîîðäèíàòè, ÿêó ïîòðiáíî áóäå çíàéòè. Íàäàëi ïðàöþ¹ìî â êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi, êîëè îïåðàòîð iìïóëüñó pˆ = −i~ d/dx. Áåðåìî äî ðîçãëÿäó òàêi äîáóòêè 2

Äèâ. Õ. ðèí. Ìàòðè÷íàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Ìèð, 1968.

203

îïåðàòîðiâ Aˆ òà Aˆ+ :

~ pˆ2 + W 2 − √ W ′, Aˆ+ Aˆ = 2m 2m ~ pˆ2 + W 2 + √ W ′, AÂˆ+ = 2m 2m øòðèõ áiëÿ W îçíà÷à¹ ïîõiäíó çà êîîðäèíàòîþ x. Ïðèïóñêà¹ìî, ùî ìè òàê ïiäiáðàëè íåâiäîìó óíêöiþ W , ùî ãàìiëüòîíiàí ìîæíà ïîäàòè ó àêòîðèçîâàíîìó âèãëÿäi,

ˆ = Aˆ+ Aˆ + ε, H òîáòî, ùî ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ

~ U = W 2 − √ W ′ + ε, 2m ñòàëó âåëè÷èíó ε íàçèâàþòü åíåð i¹þ àêòîðèçàöi¨. Ïîðiâíÿéìî öi íàøi ïðèïóùåííÿ ç òèì, ùî ìè ìàëè äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà: p p U = mω 2 x2 /2, W = ωx m/2, W ′ = ω m/2, ε = ~ω/2; √ √ ˆb = A/ ˆb+ = Aˆ+ / ~ω. ˆ ~ω,

ˆ äëÿ îñíîâîçãëÿíåìî òåïåð ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ H íîãî ñòàíó (n = 0): (Aˆ+ Aˆ + ε)ψ0 = E0 ψ0 . Âèçíà÷èìî îñíîâíèé ñòàí ïîäiáíî äî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ðiâíÿííÿì

ˆ 0 = 0, Aψ òîäi åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó E0 äîðiâíþâàòèìå åíåð i¨ àêòîðèçàöi¨,

E0 = ε. 204

Ó ÿâíîìó âèãëÿäi, çâàæàþ÷è íà îçíà÷åííÿ îïåðàòîðà Aˆ, ðiâíÿííÿ íà ψ0 ¹ òàêèì:

~ d √ + W (x) ψ0 (x) = 0. 2m dx

Éîãî ðîçâ'ÿçîê

 √ Zx 2m W (x′ ) dx′  , ψ0 = C exp − ~ 

x0

íèæíÿ ìåæà iíòå ðóâàííÿ âèçíà÷åíà ñòàëîþ íîðìóâàííÿ C , îñêiëüêè ψ0 (x0 ) = C . Äëÿ òîãî ùîá óíêöiÿ ψ0 (x) áóëà õâèëüîâîþ óíêöi¹þ îñíîâíîãî ñòàíó, âîíà (ÿê ìè âæå çíà¹ìî ç 10) íå ïîâèííà ìàòè âóçëiâ. Ñâî¹þ ÷åðãîþ, öå íàêëàäà¹ óìîâè íà óíêöiþ W (x). À ñàìå, âîíà íå ïîâèííà ìàòè ñèí óëÿðíîñòåé i ìà¹ çàáåçïå÷èòè óìîâó íîðìóâàííÿ,

Z∞

−∞

|ψ0 (x)|2 dx = 1,

çâiäêè âèïëèâà¹ òàêà óìîâà:

Zx

x0

W (x′ ) dx′ → +∞, ïðè x → ±∞.

Íàäàëi áóäåìî ââàæàòè, ùî óíêöiÿ W , ÿêó ìè ïiäiáðàëè, çàäîâîëüíÿ¹ öi óìîâè, i òàêèì ÷èíîì, ìè âèçíà÷èëè õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó ψ0 i âiäïîâiäíó åíåð iþ E0 . Äëÿ ïîäàëüøîãî àíàëiçó çáóäæåíèõ ñòàíiâ çðó÷íî âiäðàõîâóâàòè åíåð iþ âiä çíà÷åííÿ E0 , i òîìó çàïðîâàäèìî îïåðàòîð

ˆ− = H ˆ − E0 = Aˆ+ A. ˆ H 205

Ïîðó÷ iç öèì îïåðàòîðîì óâåäåìî äî ðîçãëÿäó éîãî ïàðòíåðà3

ˆ + = AÂˆ+ H i áóäåìî âèâ÷àòè ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ öèõ îïåðàòîðiâ:   Aˆ+ Aψ ˆ n(−) = En(−) ψn(−) ,  AÂˆ+ ψn(+) = En(+) ψn(+) .

Ïîçíà÷åííÿ òóò î÷åâèäíi i íå ïîòðåáóþòü êîìåíòàðiâ. Çàçíà÷èìî (−) (−) ëèøå, ùî íàñ öiêàâëÿòü ñàìå óíêöi¨ ψn i ðiâíi åíåð i¨ En , ˆ ïðè÷îìó ðiâíi åíåð i¨ âèõiäíîãî îïåðàòîðà H

En = En(−) + E0 , (−)

(−)

äå E0 = 0, à ψ0 = ψ0 . . Ïîäi¹ìî íà äðóãå ðiâíÿííÿ íàøî¨ ñèñòåìè îïåðàòîðîì Aˆ+ ,

ˆ Aˆ+ ψ (+) ) = E (+) (Aˆ+ ψ (+) ), Aˆ+ A( n n n ïîðiâíÿ¹ìî éîãî ç ïåðøèì ðiâíÿííÿì i áà÷èìî, ùî

Aˆ+ ψn(+) = Cn ψn(−) , En(+) = En(−) , 3

ˆ + òà H ˆ − íàçèâàþòü ñóïåðñèìåòðè÷íèìè ïàðòíåðàìè, à óíÎïåðàòîðè H êöiÿ W ìà¹ íàçâó ñóïåðïîòåíöiàë.!Öi íàçâè ïiøëè âiä òîãî, ùî ìàòðè÷ˆ+ 0 H ˆ = íèé ãàìiëüòîíiàí H ðàçîì ç òàê çâàíèìè ñóïåðçàðÿäàìè ˆ− 0 H ˆ1 = Q

0 Aˆ+

ˆ A

!

0 àáî ñóïåðàë åáðó:

ˆ2 = òà Q

0

ˆ iA

−iAˆ+

0

ˆj Q ˆl + Q ˆlQ ˆ j = 2δlj H, ˆ Q

!

çàäàþòü óçàãàëüíåíó àë åáðó Ëi

ˆj H ˆ −H ˆQ ˆ j = 0, Q

l, j = 1, 2.

À êâàíòîâó ìåõàíiêó ñèñòåì, ÿêi âèÿâëÿþòü öþ ñóïåðñèìåòðiþ, íàçèâàþòü ñóïåðñèìåòðè÷íîþ êâàíòîâîþ ìåõàíiêîþ àáî SUSY-êâàíòîâîþ ìåõàíiêîþ. Àáðåâiàòóðà ïîõîäèòü âiä ïåðøèõ ëiòåð àíãëiéñüêèõ ñëiâ Super Symmetri . Äëÿ äîêëàäíiøîãî îçíàéîìëåííÿ çi SUSY, à òàêîæ ç íàâåäåíèìè íèæ÷å ðåçóëüòàòàìè äèâ., íàïðèêëàä, Â. Ì. Òêà÷óê. Ñóïåðñèìåòðiÿ ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Ëüâiâ: ËÄÓ, 1994.

206

Cn ñòàëà íîðìóâàííÿ. Îòæå, ìè çíàéøëè, ùî ñïåêòðè âëàñíèõ ˆ + òà H ˆ − çáiãàþòüñÿ (çà âèíÿòêîì çíà÷åíü îïåðàòîðiâ-ïàðòíåðiâ H ñòàíó ç íóëüîâèì çíà÷åííÿì åíåð i¨, ÿê áóäå ïîêàçàíî íèæ÷å), à õâèëüîâi óíêöi¨ çâ'ÿçàíi ïðîñòèì ñïiââiäíîøåííÿì. Ñòàëó Cn çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ: Z Z ˆ+ (+) 2 (−) 2 2 A ψn dx = |Cn | ψn dx àáî

Z

ψn(+)∗ AÂˆ+ ψn(+) dx = |Cn |2

ˆ + , ìà¹ìî, i, âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ H ùî En(+) = |Cn |2 . (−)

(+)

Õâèëüîâi óíêöi¨ ψn òà ψn äî àçîâîãî ìíîæíèêà)

¹ íîðìîâàíèìè. Îòæå, (ç òî÷íiñòþ

ψn(−) = q

1 (+) En

Aˆ+ ψn(+) .

Ïîäi¹ìî òåïåð îïåðàòîðîì Aˆ íà ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ ˆ − (òîáòî íà ïåðøå ðiâíÿííÿ ç íàøî¨ ñèñòåìè): äëÿ îïåðàòîðà H

ˆ n(−) ) = En(−) (Aψ ˆ n(−) ). AÂˆ+ (Aψ Çâiäêè (ïiñëÿ ïîãëÿäó íà äðóãå ðiâíÿííÿ ñèñòåìè) îäåðæó¹ìî:

En(−) = En(+) , ˆ (−) = C ′ ψ (+) . Aψ n n n Ñòàëó Cn′ âèçíà÷à¹ìî àíàëîãi÷íî äî ïîïåðåäíüîãî i îòðèìó¹ìî

ψn(+) = q

1 (−) En

ˆ n(−) . Aψ

Ìè çíàéøëè çâ'ÿçîê ìiæ âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðiâˆ + òà H ˆ − i íàì çàëèøîñü çðîáèòè ùå îäíå âàæëèâå ïàðòíåðiâ H 207

ˆ + íå ìà¹ âëàñíîãî çíà÷åííÿ, ðiâíîãî íóçàóâàæåííÿ: îïåðàòîð H ˆ − . Ñïðàâäi, öå ëåâi, ÿêùî òàêå âëàñíå çíà÷åííÿ ìà¹ îïåðàòîð H îçíà÷àëî áè, ùî (+) Aˆ+ ψ0 = 0

àáî â ÿâíîìó çàïèñi d ~ (+) −√ + W (x) ψ0 (x) = 0, 2m dx ç ðîçâ'ÿçêîì



√

 2m (+) ψ0 (x) = C ′ exp  ~

Zx

x′0



 W (x′ ) dx′  ,

C ′ , x′0 ñòàëi âåëè÷èíè. Îäíàê äëÿ öi¹¨ óíêöi¨ íå iñíó¹ iíòå ðàëà íîðìóâàííÿ, îñêiëüêè ðàíiøå ìè ïðèéíÿëè, ùî ïðè x → ±∞ öåé ïîêàçíèê åêñïîíåíòè ïðÿìó¹ äî +∞, i òèì ñàìèì çàáåçïå÷èëè óìîâó íîðìóâàííÿ ψ0 õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó ˆ − . Îòæå, ìè äîõîäèìî âèñíîâêó, ùî òàêîãî ñòàíó íå îïåðàòîðà H ˆ + âiäñóòí¹ âëàñíå çíà÷åííÿ, ÿêå äîðiâiñíó¹, òîáòî â îïåðàòîðà H ˆ + òà H ˆ− íþ¹ íóëåâi. Òàêèì ÷èíîì, âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ H ˆ çáiãàþòüñÿ, çà âèíÿòêîì òîãî, ùî îïåðàòîð H− ìà¹ ùå äîäàòêîâå âëàñíå çíà÷åííÿ, ðiâíå íóëåâi. Îäåðæàíi âèùå ðåçóëüòàòè äàþòü çìîãó ïîáóäóâàòè âëàñíi ˆ − òà âiäïîâiäíi ¨ì âëàñíi óíêöi¨ çáóäæåíèõ ñòàíiâ îïåðàòîðà H çíà÷åííÿ. Ïîêàæåìî öå. Îòæå, íåõàé óíêöiÿ W , ÿêó ìè íàçèâàòèìåìî òàêîæ ñóïåðñèìåòðè÷íèì ïîòåíöiàëîì, çàëåæèòü âiä çìiííî¨ x i âiä ñóêóïíîñòi ïàðàìåòðiâ, ÿêi ìè ïîçíà÷èìî îäíi¹þ ëiòåðîþ α: W = W (x; α). ˆ+ = H ˆ + (α) òà H ˆ− = H ˆ − (α), ÿê Öå îçíà÷à¹, ùî i ãàìiëüòîíiàíè H (+) + + ˆ ˆ ˆ ˆ i îïåðàòîðè A = A(α), A = A (α) òà õâèëüîâi óíêöi¨ ψn = (+) (−) (−) ψn (x; α), ψn = ψn (x; α), òàêîæ çàëåæàòü âiä öèõ ïàðàìåòðiâ. 208

ˆ + (α) ÿê îïåðàòîð H ˆ − (α1 ), Ñïðîáóéìî òåïåð çîáðàçèòè îïåðàòîð H àëå ç iíøèì íàáîðîì ïàðàìåòðiâ α1 : ˆ + (α) = H ˆ − (α1 ) + ∆1 , H äå ∆1 = ∆1 (α1 ) ñòàëà âåëè÷èíà. ßêùî öå íàì âäà¹òüñÿ çðîáèòè, ˆ − (α1 ) äîðiâòî îñêiëüêè íàéíèæ÷å âëàñíå çíà÷åííÿ îïåðàòîðà H ˆ íþ¹ íóëåâi, íàéíèæ÷èé ðiâåíü (n = 1) äëÿ H+ (α) äîðiâíþ¹ ∆1 , (+) (−) à éîãî õâèëüîâà óíêöiÿ ψ1 (x; α) = ψ0 (x; α1 ). À ÷åðåç òå, ùî ˆ − (α) i H ˆ + (α) çáiãàþòüñÿ, òî ñïåêòðè âëàñíèõ çíà÷åíü îïåðàòîðiâ H ˆ − (α): âèõîäèòü, ùî ∆1 åíåð iÿ ïåðøîãî çáóäæåíîãî ñòàíó äëÿ H (−)

E1

= ∆1 ,

à âiäïîâiäíà õâèëüîâà óíêöiÿ, çà çíàéäåíèì âèùå ðåöåïòîì,

1 ˆ+ (+) √ A (α)ψ1 (x; α) ∆1

(−)

ψ1 (x; α) =

1 ˆ+ (−) √ A (α)ψ0 (x; α1 ). ∆1

=

ˆ − (α1 ), áóäó¹ìî éîãî ïàðòíåîáèìî íàñòóïíèé êðîê. Ìàþ÷è H ˆ ðà H+ (α1 ) i äëÿ íüîãî çíîâó íàìàãà¹ìîñü çàïèñàòè ðiâíÿííÿ ˆ + (α1 ) = H ˆ − (α2 ) + ∆2 , H ∆2 = ∆2 (α2 ) âæå ç íîâèì íàáîðîì ïàðàìåòðiâ α2 . Òåïåð ∆2 ˆ + (α1 ), òîìó íàñòóïíå ñòîíàéíèæ÷å âëàñíå çíà÷åííÿ îïåðàòîðà H (−) ˆ − (α1 ): ñîâíî E1 âëàñíå çíà÷åííÿ H (−)

E2

(−)

= E1

+ ∆2 = ∆1 + ∆2 .

ˆ + (α1 ) Õâèëüîâà óíêöiÿ îïåðàòîðà H (+)

(−)

ψ2 (x; α1 ) = ψ1 (x; α2 ), à ç iíøîãî áîêó, çà íàøèì ðåöåïòîì (−) ψ2 (x; α) = √

14

I. Î. Âàêàð÷óê

1 (+) Aˆ+ (α)ψ2 (x; α). ∆1 + ∆2 209

Äàëi ìiðêóâàííÿ, àíàëîãi÷íi íàâåäåíèì âèùå, äàþòü:

ψ2 (x; α) =

√

1 (−) Aˆ+ (α)ψ1 (x; α1 ) ∆1 + ∆2

=

√

1 ˆ+ 1 (−) Aˆ+ (α) √ A (α1 )ψ0 (x; α2 ). ∆1 + ∆2 ∆2

(−)

Ïðîäîâæóþ÷è öþ ïðîöåäóðó äëÿ n-ãî êðîêó, ìà¹ìî:

ˆ + (αn−1 ) = H ˆ − (αn ) + ∆n H i çâiäñè ñïåêòð åíåð i¨

En(−) = ∆1 + ∆2 + . . . + ∆n , à õâèëüîâi óíêöi¨

ψn(−) (x; α) =

p

1 (∆1 + . . . + ∆n )(∆2 + . . . + ∆n ) . . . ∆n

(−) × A+ (α)Aˆ+ (α1 ) . . . A+ (αn−1 )ψ0 (x; αn ),

äå õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó âèçíà÷åíà ðiâíÿííÿì

ˆ n )ψ (−) (x; αn ) = 0, A(α 0 àáî

√

~ d (−) + W (x; αn ) ψ0 (x; αn ) = 0. dx 2m

Íàøà çàäà÷à ðîçâ'ÿçàíà: îñòàòî÷íî ñïåêòð åíåð i¨ âèõiäíîãî ˆ äîðiâíþ¹ ãàìiëüòîíiàíà H

En = E0 + ∆1 + ∆2 + . . . + ∆n , à õâèëüîâi óíêöi¨

ψn (x; α) = ψn(−) (x; α). Äëÿ ïðàêòè÷íîãî ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ çàïèøåìî ðåêóðåíòíå ˆ + (αn−1 ) i H ˆ − (αn ) ÷åðåç ðåñïiââiäíîøåííÿ ìiæ ãàìiëüòîíiàíàìè H êóðåíòíi ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ óíêöiÿìè W (x, αn ) òà W (x, αn−1 ) 210

òà ¨õíiìè ïîõiäíèìè, âèõîäÿ÷è áåçïîñåðåäíüî ç îçíà÷åíü öèõ ãàìiëüòîíiàíiâ: ~ W 2 (x; αn−1 ) + √ W ′ (x, αn−1 ) 2m

~ W ′ (x, αn ) + ∆n . 2m Ïðîiëþñòðó¹ìî íàâåäåíi âèùå çàãàëüíi ðåçóëüòàòè êîíêðåòíèìè ïðèêëàäàìè. Çðîáèìî ñïî÷àòêó âïðàâó äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Ôóíêöiþ W ìè âæå çàïèñóâàëè âèùå: √ W = α 2mω 2 x, α = 1/2. = W 2 (x; αn ) − √

Íàøà ðåêóðåíòíà îðìóëà òåïåð äà¹:

2mω 2 α2n−1 x2 + αn−1 ~ω = 2mω 2 α2n x2 − αn ~ω + ∆n .

Çâiäñè ìà¹ìî, ùî αn íå çàëåæèòü âiä iíäåêñó n,

α2n−1 = α2n , òîáòî

αn = α = 1/2, à

∆n /~ω = αn−1 + αn = 1. Òîìó ðiâíi åíåð i¨ ç óðàõóâàííÿì åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó E0 = ε = ~ω/2 ìà¹ìî òàêi:

En = E0 + ∆1 + . . . + ∆n = E0 + n~ω = ~ω(n + 1/2),

n = 1, 2, . . . .

Õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó   √ r Zx mω 2 2m m ψ0 (x) = C exp − x′ dx′  = C ′ e− 2~ x , ω ~ 2

äå ñòàëó = C exp 1/4 (mω/π~) , i ìà¹ìî

C′

mω 2 2~ x0

ψ0 (x) = 14*

x0

çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ, C ′ =

mω 1/4 π~

mω exp − x2 . 2~

211

Õâèëüîâi óíêöi¨ çáóäæåíèõ ñòàíiâ iç çàãàëüíî¨ îðìóëè äîðiâíþþòü 1 1 1 Aˆ+ . . . √ Aˆ+ ψ0 (x) Aˆ+ p ψn (x) = √ ~ωn ~ω ~ω(n − 1)

=

äå

p

1 1 (A+ )n ψ0 (x) = √ (ˆb+ )n ψ0 (x), n (~ω) n! n! ˆb+ = √1 2

d − +ξ , dξ

i çáiãàþòüñÿ çi çíàéäåíèìè â 22. Íåõàé òåïåð ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ ÷àñòèíêè

U =−

U0 ch2 (x/a)

öå òàê çâàíèé ìîäèiêîâàíèé ïîòåíöiàë ÏåøëÿÒåëëåðà, äå ñòàëi âåëè÷èíè U0 > 0, a > 0. Ñïðîáóéìî, äèâëÿ÷èñü íà çâ'ÿçîê ìiæ U òà óíêöi¹þ W , çàïèñàòè îñòàííþ â òàêîìó âèãëÿäi:

W = W0 th (x/a). Çà îçíà÷åííÿì, ìà¹ìî, ùî

U

= W2 − √

~ W′ + ε 2m r

1 ~2 +ε 2 2 2ma ch (x/a) ! r 1 ~2 W0 + . 2ma2 ch2 (x/a)

= W02 th2 (x/a) − W0 = W02 + ε − W0 ßêùî ïîêëàñòè

W0 212

W02 + ε = 0, ! r ~2 = U0 , W0 + 2ma2

òî ìè i ñïðàâäi ïðèõîäèìî äî âèõiäíî¨ óíêöi¨ U = U (x). Óâåäåìî çíåðîçìiðåíèé ïàðàìåòð ,r ~2 α = W0 , 2ma2 òîäi

W =

r

~2 α th ξ, 2ma2

U0 =

ξ = x/a,

~2 α(α + 1). 2ma2

Çàïèøåìî íàøå ãîëîâíå ðåêóðåíòíå ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ óíêöié W (x; αn ): 2 αn αn−1 ~ 2 2 2 2 αn−1 th ξ + 2 = αn th ξ − 2 + ∆n 2ma2 ch ξ ch ξ àáî

(α2n−1

2

− αn−1 )th ξ + αn−1 =

(α2n

2

+ αn )th ξ − αn + ∆n

Çâiäñè çíàõîäèìî, ùî

~2 . 2ma2

αn−1 (αn−1 − 1) = αn (αn + 1), ∆n =

~2 (αn−1 + αn ). 2ma2

Ïåðøå ðiâíÿííÿ çàäîâîëüíÿ¹ìî ïiäñòàíîâêîþ4 αn = const − n, ïðè÷îìó α0 = α, òîìó const = α. Ïiñëÿ öüîãî çíàõîäèìî αn = α − n, n = 0, 1, 2, . . . ; n < α, îñêiëüêè ëèøå çà óìîâè αn > 0 iñíó¹ íîðìîâàíà õâèëüîâà óíêöiÿ, à

∆n = (1 + 2α − 2n)

~2 . 2ma2

4 Ìîæíà ïðîñòî ðîçêëàñòè αn ó ðÿä çà ñòåïåíÿìè n i ç öüîãî ðiâíÿííÿ çíàéòè çâ'ÿçîê ìiæ êîåiöi¹íòàìè ðîçêëàäó: î÷åâèäíî, ùî ïðèéäåìî äî òàêîãî æ ðåçóëüòàòó.

213

Áåðó÷è äî óâàãè é åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó

~2 2 α , 2ma2 çíàõîäèìî äèñêðåòíi åíåð åòè÷íi ðiâíi 2 n X ~ 2 = −α + (1 + 2α − 2n′ ) En 2ma2 ′ E0 = ε = −W02 = −

n =1

= −α2 + (1 + 2α)n − n(n + 1) = −(α − n)2 ,

n 0, x ≥ 0 òà íàáóâàëà áåçìåæíîãî çíà÷åííÿ â òî÷öi x = 0 (áåçìåæíî âèñîêà ñòiíêà), òî ðîçâ'ÿçîê òàêî¨ çàäà÷i ψ(x) = CAi(ξ−εn ) ç óìîâîþ ψ(0) = 0, òîáòî Ai(−εn ) = 0. Ïðè÷îìó ðiâíi åíåð i¨ εn çáiãàþòüñÿ ç íàâåäåíèìè âèùå äëÿ íåïàðíèõ êâàíòîâèõ ÷èñåë n = 1, 3, 5, . . .. Îòæå, çàâäÿêè óìîâi â òî÷öi x = 0 âiäáóâà¹òüñÿ äåöèìàöiÿ ñòàíiâ ç ïàðíèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè. Öÿ çàäà÷à ¹ êâàíòîâèì àíàëîãîì êëàñè÷íî¨ øêiëüíî¨ çàäà÷i ïðî ì'ÿ÷, ùî ðóõà¹òüñÿ â îäíîðiäíîìó ðàâiòàöiéíîìó ïîëi áiëÿ ïîâåðõíi Çåìëi, ïåðiîäè÷íî ïàäàþ÷è òà âiäáèâàþ÷èñü âiä íå¨ (α = mg, g ïðèñêîðåííÿ âiëüíîãî ïàäiííÿ). Íåùîäàâíî âïåðøå áóëî âèêîíàíî óíiêàëüíèé åêñïåðèìåíò çi ñïîñòåðåæåííÿ òàêèõ êâàíòîâèõ ñòàíiâ äëÿ óëüòðàõîëîäíèõ íåéòðîíiâ (øâèäêîñòi ∼ 2 ñì/ñåê), ùî ïàäàþòü ïiä äi¹þ ðàâiòàöiéíîãî ïîëÿ Çåìëi òà âiäáèâàþòüñÿ âiä ãîðèçîíòàëüíîãî íåéòðîííîãî äçåðêàëà. Öåé äîñëiä äîçâîëÿ¹ òàêîæ óñòàíîâëþâàòè íèæíþ ìåæó âiäñòàíi, ïiñëÿ ÿêî¨ ìîæëèâi ñïîòâîðåííÿ íüþòîíiâñüêîãî ðàâiòàöiéíîãî ïîòåíöiàëó (Hartmut 223

#q

èñ. 21.

Õâèëüîâi óíêöi¨

ëüîâi óíêöi¨ (n (n

= 0, 2),

|x|-îñöèëÿòîðà.

Ñóöiëüíi ëiíi¨ ïàðíi õâè-

ïóíêòèðíi ëiíi¨ íåïàðíi õâèëüîâi óíêöi¨

= 1, 3).

Abele, Stefan Baeßler, Alexander Westphal, preprint hep-ph/0301145 v1.). Öiêàâî òàêîæ ðîçãëÿíóòè âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ εn äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü êâàíòîâîãî ÷èñëà n, êîëè ìîæíà çàïèñàòè äëÿ íèõ ÿâíèé âèðàç. Äëÿ öüîãî íàì ïîòðiáíî ñêîðèñòàòèñü àñèìïòîòè÷íèìè ðîçêëàäàìè óíêöi¨ Åéði òà ¨¨ ïîõiäíî¨ (äèâ. íà ñòîð. 267 ðåêîìåíäîâàíîãî âèùå äîâiäíèêà):

1 Ai(−z) = 1/4 √ sin z π z 1/4 Ai (−z) = − √ cos π ′

2 3/2 π z + 3 4

2 3/2 π z + 3 4

,

z → ∞.

Çâiäñè çíàõîäèìî íóëi óíêöi¨ Ai(−ε),

2 3/2 π ε + = kπ, 3 k 4 224

,

k = 1, 2, 3, . . . ,

òà ïîõiäíî¨ Ai′ (−ε),

π 2 3/2 π εk + = (2k + 1) , k = 0, 1, 2, . . . . 3 4 2 Öi äâi îðìóëè îá'¹äíó¹ìî îäíi¹þ: 2/3 3π 1 2/3 εn = , n = 0, 1, 2, 3, . . . , n+ 4 2

ïðè÷îìó ïåðøà óìîâà äà¹ íåïàðíi çíà÷åííÿ n, à äðóãà ïàðíi. Ìiæ iíøèì, öÿ îðìóëà äà¹ äîñèòü äîáði çíà÷åííÿ εn i äëÿ ìàëèõ êâàíòîâèõ ÷èñåë n. Çîêðåìà äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó n = 0, íàáëèæåíå çíà÷åííÿ åíåð i¨ ε0 = (3π/8)2/3 = 1.115460, à òî÷íå çíà÷åííÿ äîðiâíþ¹ ε0 = 1.018793. Ïðèêëàä. Îá÷èñëèòè ðiâíi åíåð i¨ ÷àñòèíêè ìàñè m â ïîëi U = mω 2 x2 /2 + α|x|; −∞ < x < ∞; ω 2 , α ñòàëi. àìiëüòîíiàí ìîæíà çàïèñàòè òàê:

2 2 α2 ˆ = pˆ + mω x ± α − H , 2m 2 mω 2 2mω 2

çíàê + äëÿ x > 0, çíàê − äëÿ x < 0. ßêùî á íå áóëî öi¹¨ çìiíè çíàêà, ïîðîäæåíî¨ ìîäóëåì |x| â U , òî ìè ìàëè á çàäà÷ó ïðî ëiíiéíèé ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð çi çìiùåíèì â òî÷êó (−α/mω 2 ) ïîëîæåííÿì ðiâíîâàãè i çñóíóòèìè ˆ ïðè ïåðåõîäi ÷åíà âåëè÷èíó (−α2 /2mω 2 ) ðiâíÿìè åíåð i¨. Çìiíà çíàêó â H ðåç òî÷êó x = 0 ñóòò¹âî çìiíþ¹ ñèòóàöiþ, i ìè ïîâèííi çíàõîäèòè ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ïîäiáíî ÿê i äëÿ |x|-îñöèëÿòîðà. Îòæå, çàãàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç íàøèì ãàìiëüòîíiàíîì ¹ äîáðå âiäîìi óíêöi¨ ïàðàáîëi÷íîãî öèëiíäðà D−a−1/2 (z), äå çíåðîçp ìiðåíà çìiííà z = (x ± α/mω 2 )/ ~/2mω , ïàðàìåòð a = −(E + α2 /2mω 2 )/~ω (äèâ. ïîäàíèé â òåêñòi öüîãî ïàðàãðàà äîâiäíèê çi ñïåöiàëüíèõ óíêöié). Ç óìîâ çøèâàííÿ õâèëüîâèõ óíêöié òà ¨õíiõ ïîõiäíèõ â òî÷öi x = 0 çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ ðiâíiâ åíåð i¨ E , ÿêi, âçàãàëi êàæó÷è, ïîòðåáóþòü ÷èñåëüíèõ ðîçðàõóíêiâ (ìè ¨õ òóò íå íàâîäèìî). Ìîæíà, îäíàê, çíàéòè êâàçiòî÷íi ðîçâ'ÿçêè (òåðìiíîëîãiþ äèâ. ó 18): ïiäáåðåìî ïàðàìåòðè ïîòåíöiàëó ω 2 , α òàê, ùîá âåëè÷èíà a = −(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . ., òîáòî êîëè óíêöi¨ ïàðàáîëi÷íîãî öèëiíäðà çâîäÿòüñÿ äî ïîëiíîìiâ √ 2 Åðìiòà Hn (ξ), ξ = z/ 2, Dn (z) = 2−n/2 e−ξ /2 Hn (ξ), à åíåð iÿ

En = ~ω n +

1 2

−

α2 . 2mω 2

Ïàðàìåòðè ïîòåíöiàëó çíàõîäèìî ç óìîâ çøèâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ òà ¨¨ ïîõiäíî¨ â òî÷öi x = 0: CHn (ξ0 ) = C ′ Hn (−ξ0 ), 15

I. Î. Âàêàð÷óê

225

C [−ξ0 Hn (ξ0 ) + 2nHn−1 (ξ0 )] = C ′ [ξ0 Hn (−ξ0 ) + 2nHn−1 (−ξ0 )] , √ òóò C, C ′ ñòàëi íîðìóâàííÿ, ξ0 = α/ ~mω 3 i ìè âðàõóâàëè, ùî ïîõiäíà dHn (ξ)/dξ = 2nHn−1 (ξ). Áåðåìî äî óâàãè, ùî Hn (−ξ) = (−)n Hn (ξ) i ç íàøèõ ðiâíÿíü çíàõîäèìî, ùî àáî Hn (ξ0 ) = 0 ïåðøèé ðîçâ'ÿçîê, àáî ξ0 Hn (ξ0 ) = 2nHn−1 (ξ0 ) äðóãèé ðîçâ'ÿçîê, à åíåð iÿ En = ~ω(n + 1/2 − ξ02 /2). Òåïåð ïîòðiáíî ìàòè ëèøå ÿâíi âèðàçè äëÿ ïîëiíîìiâ Åðìiòà (äèâ. 21). Çîêðåìà, ÿêùî n = 0, òî ïåðøå ðiâíÿííÿ íå ìà¹ ðîçâ'ÿçêó, à äðóãå äà¹ ξ0 = 0 ç åíåð i¹þ îñíîâíîãî ñòàíó ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ~ω/2. Ïðè n = 1 ïåðøèé ðîçâ'ÿçîê äà¹ ξ0 = 0, à åíåð iÿ äîðiâíþ¹ 3~ω/2; à ç äðóãîãî ìà¹ìî √ ξ0 = ±1, åíåð iÿ ~ω . Ïðè n = 2 ç ïåðøîãî ðîçâ'ÿçêó ìà¹ìî ξ 0 = ±1/ 2 i åíåð iþ 9~ω/4, à ç äðóãîãî p ξ0 = 0, ± 5/2 i âiäïîâiäíi âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ 5~ω/2, 5~ω/4. Íåâàæêî ïðîäîâæèòè öþ ïðîöåäóðó äëÿ áiëüøèõ çíà÷åíü ÷èñëà n: √ n = 3, E/~ω = (19 ± 57)/8, 7/2, 11/4; √ √ n = 4, E/~ω = (15 ± 6)/4, 9/2, (11 ± 22)/4. Î÷åâèäíî, ùî öi âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ íå âè÷åðïóþòü óñüîãî ¨¨ ñïåêòðà, à äàþòü ëèøå äåÿêó ñóêóïíiñòü ðiâíiâ äëÿ êîíêðåòíèõ çâ'ÿçêiâ ìiæ ïàðàìåòðàìè ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨. 25. Ïðîõîäæåííÿ ÷àñòèíêè êðiçü ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð

Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi ðóõ ÷àñòèíêè ¹ íåìîæëèâèì, ÿêùî ðiçíèöÿ ìiæ ¨¨ ïîâíîþ åíåð i¹þ E òà ïîòåíöiàëüíîþ U ¹ âiä'¹ìíîþ âåëè÷èíîþ, öå îçíà÷à¹, ùî êiíåòè÷íà åíåð iÿ, çà îçíà÷åííÿì, âåëè÷èíà äîäàòíà, ñòàëà á âiä'¹ìíîþ. Ó êâàíòîâié ìåõàíiöi éìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â îáëàñòi, äå E − U < 0, âiäìiííà âiä íóëÿ. Öå âèäíî, çîêðåìà, i ç ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà: õâèëüîâà óíêöiÿ ó öié îáëàñòi åêñïîíåíöiàëüíî ñïàäà¹, àëå âiäìiííà âiä íóëÿ. Öå, çðîçóìiëî, íå îçíà÷à¹, ùî êiíåòè÷íà åíåð iÿ ÷àñòèíêè ¹ âiä'¹ìíîþ. Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî ¨¨ ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ (à ñàìå ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ¹ âèìiðþâàíîþ âåëè÷èíîþ) âåëè÷èíà äîäàòíà. îçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè äëÿ îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x), ÿêà çîáðàæåíà íà ðèñ. 22. ßêùî ÷àñòèíêà, ÿêà ðóõà¹òüñÿ çëiâà íàïðàâî, ìà¹ åíåð iþ E , ìåíøó âiä ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åííÿ U (x), òî ó êëàñè÷íîìó âèïàäêó âîíà íå çìîæå ïîäîëàòè öüîãî ïîòåíöiàëüíîãî áàð'¹ðà, à çóïèíèòüñÿ â òî÷öi x1 , êîëè E = U (x1 ), ïiñëÿ ÷îãî áóäå ðóõàòèñü 226

ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó òîáòî âiäiá'¹òüñÿ âiä áàð'¹ðà. Êîîðäèíàòó x1 íàçèâàþòü êëàñè÷íîþ òî÷êîþ ïîâîðîòó. Ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ìîæëèâèì ¹ ðóõ i â çàáîðîíåíié çîíi ìiæ êëàñè÷íèìè òî÷êàìè ïîâîðîòó x1 ≤ x ≤ x2 , òîìó ùî õâèëüîâà óíêöiÿ â öié îáëàñòi, õî÷à é çíà÷íî çìåíøó¹òüñÿ, îäíàê ¹ âiäìiííîþ âiä íóëÿ, îòæå, i éìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè ó öié çàáîðîíåíié çîíi âiäìiííà âiä íóëÿ. Âèíèêà¹ öiêàâà çàäà÷à ðîçðàõóíêó éìîâiðíîñòi ïðîõîäæåííÿ ÷àñòèíêè êðiçü òàêèé ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð. Öå iíøèé òèï çàäà÷, íiæ çàäà÷à íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨: åíåð iÿ ÷àñòèíêè ¹ âiäîìîþ âåëè÷èíîþ, âîíà íàì çàäàíà, íåîáõiäíî çíàéòè ëèøå õâèëüîâó óíêöiþ.

èñ. 22.

Ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð.

Ïðèïóñòèìî, çëiâà íà áàð'¹ð íàëiòà¹ ÷àñòèíêà iç çàäàíîþ ãóñòèíîþ ïîòîêó éìîâiðíîñòi j0 . Íåõàé ÷àñòèíà j1 öüîãî ïîòîêó îïèñó¹ ðóõ ïiñëÿ âiäáèâàííÿ ÷àñòèíêè âiä áàð'¹ðà, à j2 öå ïîòiê ñïðàâà âiä áàð'¹ðà, òîáòî â îáëàñòi x > x2 . Î÷åâèäíî, çãiäíî ç çàêîíîì çáåðåæåííÿ ïîòîêó,

j0 = j1 + j2 . Óâåäåìî åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðþâàíi âåëè÷èíè: âiäíîøåííÿ

D = j2 /j0 , ÿêå áóäåìî íàçèâàòè êîåiöi¹íòîì ïðîõîäæåííÿ êðiçü áàð'¹ð àáî êîåiöi¹íòîì ïðîçîðîñòi áàð'¹ðà, òà âåëè÷èíó

R = j1 /j0 15*

227

êîåiöi¹íò âiäáèâàííÿ âiä áàð'¹ðà. Î÷åâèäíî, ùî

D + R = 1. Íàãàäà¹ìî òàêîæ, ùî ãóñòèíà ïîòîêó éìîâiðíîñòi ðîçðàõîâó¹òüñÿ çà çàãàëüíèì âèðàçîì ~ dψ ∗ (x) dψ(x) j= − ψ(x) ψ ∗ (x) . 2mi dx dx

Äëÿ ðîçðàõóíêó âåëè÷èíè D òà R íåîáõiäíî çíàéòè õâèëüîâó óíêöiþ ÷àñòèíêè çëiâà âiä áàð'¹ðà x < x1 , ñïðàâà âiä íüîãî x > x2 òà âñåðåäèíi áàð'¹ðà x1 ≤ x ≤ x2 ç óðàõóâàííÿì íåïåðåðâíîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ òà ¨¨ ïåðøî¨ ïîõiäíî¨ (ïîòîêó) â êëàñè÷íèõ òî÷êàõ ïîâîðîòó x1 òà x2 . Ñïðîñòèìî íàøó çàäà÷ó i âiçüìåìî ÿê ìîäåëü ïðÿìîêóòíèé áàð'¹ð (äèâ. ðèñ. 23), êîëè ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ   0, x < 0,    U (x) = U = const, 0 ≤ x ≤ a,     0, x > a.

èñ. 23.

Åëåìåíòàðíèé ïðÿìîêóòíèé áàð'¹ð.

Ó ïåðøié îáëàñòi x < 0 äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ1 = ψ1 (x) ìà¹ìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

− 228

~2 d2 ψ1 = Eψ1 , 2m dx2

ψ1 (x) = A1 eik0 x + A2 e−ik0 x , à õâèëüîâå ÷èñëî

k0 =

r

2mE . ~2

Êîåiöi¹íò A1 àìïëiòóäà ïàäàþ÷î¨ íà áàð'¹ð õâèëi, A2 àìïëiòóäà õâèëi âiäáèòî¨ âiä áàð'¹ðó. Ó äðóãié îáëàñòi 0 ≤ x ≤ a õâèëüîâó óíêöiþ ψ2 = ψ2 (x) âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿííÿ

−

~2 d2 ψ2 + U ψ2 = Eψ2 2m dx2

i

ψ2 (x) = B1 eikx + B2 e−ikx , äå õâèëüîâå ÷èñëî

k=

r

2m (E − U ). ~2

Íàðåøòi, ó òðåòié îáëàñòi äëÿ ψ3 = ψ3 (x) îòðèìó¹ìî:

−

~2 d2 ψ3 = Eψ3 , 2m dx2

ψ3 (x) = C1 eik0 x + C2 e−ik0 x . Êîåiöi¹íò C1 ìà¹ çìiñò àìïëiòóäè õâèëi, ùî ïðîéøëà çà áàð'¹ð. Îñêiëüêè âiäáèòî¨ õâèëi, ÿêà á ðóõàëàñü ó íàïðÿìêó ïî÷àòêó êîîðäèíàò, ó öié îáëàñòi íåìà¹, òî êîåiöi¹íò C2 = 0. Òåïåð çíàõîäèìî ïîòîêè ó âiäïîâiäíèõ îáëàñòÿõ:

j0 = |A1 |2

~k0 , m

j1 = |A2 |2

~k0 , m

j2 = |C1 |2

~k0 . m 229

Êîåiöi¹íòè ïðîçîðîñòi òà âiäáèâàííÿ

2 C1 D = , A1

2 A2 R = . A1

Óðàõó¹ìî òåïåð óìîâè íåïåðåðâíîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ òà ¨¨ ïåðøî¨ ïîõiäíî¨ â òî÷êàõ x = 0 òà x = a:

  ψ1 (0) = ψ2 (0),       ψ ′ (0) = ψ ′ (0), 1 2

  ψ2 (a) = ψ3 (a),      ′ ψ2 (a) = ψ3′ (a).

Âèêîðèñòîâóþ÷è ÿâíèé âèãëÿä õâèëüîâèõ óíêöié, çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ A2 , B1 , B2 òà C1 (êîåiöi¹íò A1 çàäà¹òüñÿ ïàäàþ÷èì ïîòîêîì j0 ):

  A1 + A2 = B1 + B2 ,        k0 (A1 − A2 ) = k(B1 − B2 ),

  B1 eika + B2 e−ika = C1 eik0 a ,       k B1 eika − B2 e−ika = k0 C1 eik0 a .

îçãëÿíåìî ñïî÷àòêó âèïàäîê E > U , êîëè âåëè÷èíà k ¹ äiéñíîþ. Ïîäiëèìî âñi ðiâíÿííÿ íà A1 , ïîçíà÷àþ÷è

A2 = A, A1

B1 = B, A1

B2 = B′, A1

D = |C|2 ,

R = |A|2 .

Òàê ùî

230

C1 = C. A1

Òåïåð ñèñòåìà ðiâíÿíü íàáèðà¹ âèãëÿäó   1 + A = B + B′,      k0   (1 − A) = B − B ′ ,  k   Beika + B ′ e−ika = Ceik0 a ,       k Beika − B ′ e−ika = Ceik0 a .  k0

Äîäàìî òðåò¹ i ÷åòâåðòå ðiâíÿííÿ öi¹¨ ñèñòåìè, ïîïåðåäíüî ïîìíîæèâøè îñòàíí¹ íà k0 /k, k0 ika 2Be = C 1 + eik0 a k òà âiçüìåìî ¨õíþ ðiçíèöþ ′ −ika

2B e

k0 =C 1− k

eik0 a .

Îòæå, îòðèìà¹ìî

k0 C −ika 1+ eik0 a , B= e 2 k B′ =

C ika k0 e 1− eik0 a . 2 k

Ïiäñòàâèìî öi âèðàçè ó äâà ïåðøèõ ðiâíÿííÿ, ïîïåðåäíüî ïîìíîæèâøè äðóãå íà k/k0 , çíàéäåìî ðiâíÿííÿ äëÿ âiäíîñíèõ àìïëiòóä A òà C : C ik0 a −ika k0 k0 ika 1+A= e +e , e 1− 1+ 2 k k

k C 1 − A = eik0 a 2 k0

−ika

e

k0 1+ k

ika

−e

k0 1− k

. 231

Äîäàìî öi âèðàçè i çíàéäåìî C ik0 a −ika k k0 2 = e + +1 e 1+ 2 k k0 k0 k ika + e 1− − +1 . k k0 Âèðàç ó iãóðíèõ äóæêàõ k k −ika 0 e−ika + eika + e−ika − eika + e − eika k k0

k0 e−ika + eika = 2 cos ka + (−2i) sin ka k k0 k k (−2i) sin ka + 2 cos ka = 4 cos ka − 2i + sin ka. + k0 k k0

+

Òåïåð âiäíîñíà àìïëiòóäà õâèëi, ùî ïðîéøëà çà áàð'¹ð

C=

e−ik0 a cos ka − 2i kk0 +

k k0

. sin ka

ßêùî òåïåð âçÿòè ðiçíèöþ íàøèõ ðiâíÿíü äëÿ êîåiöi¹íòiâ A òà C , òî çíàéäåìî, ùî

C ik0 a −ika k0 k k0 k ika 2A = e − − +e e 2 k k0 k0 k àáî

A=i

C ik0 a e 2

k0 k − k0 k

sin ka =

C i(k0 a+π/2) e 2

k0 k − k0 k

sin ka,

i íàðåøòi, ìà¹ìî âiäíîñíó àìïëiòóäó õâèëi, ùî âiäáèëàñü âiä áàð'¹ðó: iπ/2

A=e 232

k k0

k0 k i( kk0

−

2 ctg ka −

+

k k0 )

.

Îòæå, êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi

D = |C|2 =

= 1+ Àáî

1 4

cos2 ka +

k0 k

D= 1+

1 4

+

1 4

1 2

k k0

−

k0 k

+

k k0

2

sin2 ka

. 2 − 4 sin ka

1 k k0

1

k0 k

2

. sin2 ka

Óðàõó¹ìî òåïåð ÿâíèé âèãëÿä âåëè÷èí k òà k0 i îñòàòî÷íî äëÿ E≥U 1 D= . 2 U 2 1 + 4E(E−U sin ka ) Äëÿ êîåiöi¹íòà âiäáèâàííÿ R = 1 − D çíàõîäèìî 2 1 − k02 /k2 sin2 ka . R= 2 4k02 /k2 + 1 − k02 /k2 sin2 ka

Öi ðåçóëüòàòè ëåãêî ïåðåíåñòè íà âèïàäîê E < U , çðîáèâøè àíàëiòè÷íå ïðîäîâæåííÿ. Ìà¹ìî r 2m (E − U ) = iκ, k= ~2 äå r 2m κ= (U − E), ~2 äiéñíà âåëè÷èíà. Öå äà¹

D= àáî

1 1 + (κ/k0 + k0 /κ)2 D=

1 1+

, shκa 2 2

2 U2 4E(U −E) sh κa

.

233

Ó âèïàäêó, êîëè åíåð iÿ ÷àñòèíêè, ùî íàëiòà¹ íà áàð'¹ð, äîðiâíþ¹ éîãî âèñîòi, êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi

D= 1+ ßêùî æ åíåð iÿ E → 0, κ = òàêîæ ïðÿìó¹ äî íóëÿ:

D=

U 4

1 .

q

U sh2

~2 2ma2

2mU , ~2

.

òî êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi

4E q

2ma2 U ~2

.

Ç âèðàçó äëÿ êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi ïðè E ≥ U âèïëèâà¹, ùî

D → 1,

E → ∞.

Ç öüîãî æ âèðàçó âèäíî òàêîæ, ùî ïðè ka = nπ , n = 1, 2, . . . âåëè÷èíà D = 1. Ñòàíè ç òàêèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨ ÷àñòèíêè íàçèâàþòü ðåçîíàíñíèìè ñòàíàìè:

k 2 = n2

àáî

π 2 a

,

2 2m 2 π (E − U ) = n ~2 a ~2 π 2 2 n . En = U + 2m a

Îòæå, ÿêùî ÷àñòèíêà ìà¹ ðåçîíàíñíå çíà÷åííÿ åíåð i¨, òî êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi áàð'¹ðà òî÷íî äîðiâíþ¹ îäèíèöi. Ó öüîìó âèïàäêó íà øèðèíi áàð'¹ðà âêëàäà¹òüñÿ öiëå ÷èñëî ïiâäîâæèí õâèëi äå Áðîéëÿ: ka = nπ, k = 2π/λ, a = nλ/2. Öiêàâî, ùî öi çíà÷åííÿ åíåð i¨ çáiãàþòüñÿ (âðàõîâóþ÷è çñóâ íà ïîñòiéíó U ) ç åíåð åòè÷íèìè ðiâíÿìè ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïðÿìîêóòíié ïîòåíöiàëüíié ÿìi ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè. Íà ðèñ. 24 çîáðàæåíî ãðàiê çàëåæíîñòi êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi âiä åíåð i¨. 234

Îáãîâîðèìî ïèòàííÿ çìiíè àçè õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ïðè âiäáèâàííi òà ïðè ïðîõîäæåííi ÷àñòèíêè êðiçü áàð'¹ð. Ç âèðàçó äëÿ êîåiöi¹íòà A, íàâåäåíîãî âèùå, äëÿ E < U ìà¹ìî: iπ

A=e

κ k0

−

k0 κ k0 + κ . k0 κ − 2i cth κa

ßê áà÷èìî, äëÿ íåïðîçîðîãî áàð'¹ðà, κ → ∞, àìïëiòóäà âiäáèòî¨ õâèëi íàáóâà¹ ñòîñîâíî ïàäàþ÷î¨ äîäàòêîâî¨ àçè âåëè÷èíîþ π :

A = eiπ ,

κ → ∞.

Âiäíîøåííÿ àìïëiòóä C/A äëÿ E < U ¹ òàêèì:

2e−i(k0 a+π/2) 2ei(π/2−k0 a) C =− = . A (κ/k0 + k0 /κ)shκa (κ/k0 + k0 /κ)shκa ßê áà÷èìî, õâèëÿ, ùî ïðîéøëà, íàáóâà¹ ñòîñîâíî âiäáèòî¨ õâèëi äîäàòêîâî¨ àçè (π/2 − k0 a), ÿêó ìîæíà ðåãóëþâàòè øèðèíîþ áàð'¹ðà i åíåð i¹þ ÷àñòèíêè. Äëÿ òîíêîãî áàð'¹ðà, a → 0, öÿ äîäàòêîâà àçà äîðiâíþ¹ π/2. Ïðè÷îìó, êîëè a → 0, òî κa = const. Òîáòî øèðèíà áàð'¹ðà çìåíøó¹òüñÿ, àëå îäíî÷àñíî çáiëüøó¹òüñÿ éîãî âèñîòà. Öiêàâèì äëÿ √ ïðèêëàäíèõ çàäà÷ ¹ íàïiâïðîçîðèé áàð'¹ð, êîëè |C| = |A| = 1/ 2, ÿêèé î÷åâèäíî ìà¹ìî çà óìîâè, ùî κ k0 + shκa = 2 k0 κ àáî

p U shκa = 2 E(U − E).

îçãëÿíåìî òåïåð âèïàäîê áàð'¹ðà çíà÷íî¨ øèðèíè òà âèñîòè, êîëè κa & 1, sh κa ∼ eκa /2. Ó ðåçóëüòàòi

D = D0 e−2κa , äå âåëè÷èíà 2

16 κk2

D0 = 1+

0

κ2 k02

2 ,

235

nd @

G

413

@5 nd

nd @6

31; 319 HAX

H?X

317 315 313

H@X 3

èñ. 24.

4

5

6

7

8

9

Çàëåæíiñòü êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi âiä åíåð i¨ äëÿ ïðÿìîêóòma2 U/~2 = 12.

íîãî áàð'¹ðà ïðè

ïðè÷îìó D0 ∼ 1, òàê ùî −2κa

D≃e

2a p 2m(U − E) . = exp − ~

Íà ïiäñòàâi öèõ îðìóë ðîçãëÿíåìî òåïåð ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð äîâiëüíî¨ îðìè U (x), ÿêèé ðîçiá'¹ìî íà ñóêóïíiñòü ïðÿìîêóòíèõ ïîòåíöiàëüíèõ áàð'¹ðiâ (äèâ. ðèñ. 25). Çëiâà âiä òî÷êè ïîâîðîòó x1 i ñïðàâà âiä òî÷êè ïîâîðîòó x2 êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi áëèçüêèé äî îäèíèöi, îñêiëüêè åíåð iÿ ÷àñòèíêè, ùî íàëiòà¹, ¹ áiëüøîþ çà ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ. Öå äà¹ çìîãó çðîáèòè îöiíêó êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi, ÿêùî ïðèéíÿòè, ùî êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi êðiçü i-òèé ïðÿìîêóòíèé áàð'¹ð øèðèíîþ ∆xi 2p Di ≃ exp − 2m(U (xi ) − E) ∆xi . ~ Ïîâíèé êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi D äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi ïàðöiàëüíèõ êîåiöi¹íòiâ ïðîçîðîñòi ! Y 2 Xp D= Di = D0 exp − 2m(U (xi ) − E) ∆xi . ~ i

236

i

èñ. 25.

îçáèòòÿ áàð'¹ðà íà åëåìåíòàðíi ïðÿìîêóòíi áàð'¹ðè.

Äëÿ äîñòàòíüî ïëàâíî¨ óíêöi¨ U (x) òà äîñòàòíüî âóçüêèõ ïàðöiàëüíèõ ïðÿìîêóòíèõ áàð'¹ðiâ ñóìó Äàðáó â ïîêàçíèêó åêñïîíåíòè îöiíþ¹ìî iíòå ðàëîì i â ðåçóëüòàòi Z 2 x2 p D = D0 exp − 2m(U (x) − E) dx , ~ x1 äå òî÷êè ïîâîðîòó x1 , x2 âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿíü

U (x1 ) = E,

U (x2 ) = E.

Ïåðåäåêñïîíåíòíèé ìíîæíèê D0 ìà¹ ñëàáêó çàëåæíiñòü âiä åíåð i¨ E , i â íàâåäåíié îöiíöi êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi éîãî ìîæíà ââàæàòè âåëè÷èíîþ ñòàëîþ. Çàäà÷i, ùî ðîçãëÿäàþòüñÿ íà îñíîâi òàêîãî ïiäõîäó: α-ðîçïàä, õîëîäíà åìiñiÿ åëåêòðîíiâ ç ìåòàëó ïiä äi¹þ çîâíiøíüîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ, ÿâèùå ïåðåçàðÿäæåííÿ éîíiâ ó ïëàçìi, õiìi÷íi ðåàêöi¨, äèñîöiàöiÿ ìîëåêóë i ò. ä. 26. Õîëîäíà åìiñiÿ åëåêòðîíiâ ç ìåòàëó

ßâèùå âèðèâàííÿ åëåêòðîíiâ ç ìåòàëó ñèëüíèì åëåêòðè÷íèì ïîëåì íàçèâàþòü õîëîäíîþ åìiñi¹þ íà âiäìiíó âiä òåðìîåëåêòðîííî¨ åìiñi¨, êîëè çàëåæíiñòü ñèëè ñòðóìó âiä ðiçíèöi ïîòåíöiàëiâ ìiæ àíîäîì i êàòîäîì ó âàêóóìíîìó äiîäi âèçíà÷à¹òüñÿ çàêîíîì 3/2. 237

îçãëÿíüìî ïðîñòó ìîäåëü âiëüíèõ åëåêòðîíiâ, êîëè ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ åëåêòðîíà â ìåòàëi ¹ ïîñòiéíîþ é ìåíøîþ çà ¨¨ çíà÷åííÿ ïîçà ìåòàëîì íà âåëè÷èíó ðîáîòè âèõîäó U0 . Åëåêòðîí ó ìåòàëi ìà¹ ïåðåä ñîáîþ ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð âèñîòîþ U0 , àëå áåçìåæíî¨ øèðèíè, i òîìó êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi D = 0. Iíøó ñèòóàöiþ ìà¹ìî, êîëè ïðèêëàäà¹ìî ïîñòiéíå åëåêòðè÷íå ïîëå íàïðóæåíîñòi E â íàïðÿìêó äî ïîâåðõíi ìåòàëó. Äî ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ äîäà¹òüñÿ âåëè÷èíà ∆U = qEx, äå çàðÿä åëåêòðîíà q = −|e|, x êîîðäèíàòà, ùî âiäðàõîâó¹òüñÿ âiä ïîâåðõíi ìåòàëó. Ñèëà F = qE , ùî äi¹ íà åëåêòðîí, çà âåëè÷èíîþ äîðiâíþ¹ −dU/dx = −qE = |e|E , âåêòîð E ìà¹ íàïðÿìîê, ïðîòèëåæíèé äî íàïðÿìêó îñi x, à ïîâíà ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ

U (x) = U0 − |e|Ex. Ó ðåçóëüòàòi óòâîðþ¹òüñÿ ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð, øèðèíà ÿêîãî ¹ ñêií÷åííîþ i òèì ìåíøîþ, ÷èì áiëüøà íàïðóæåíiñòü ïîëÿ (äèâ. ðèñ. 26).

èñ. 26.

Ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð äëÿ åëåêòðîíà â ìåòàëi: øòðèõîâà ëiíiÿ

áåç ïîëÿ, ñóöiëüíà ç ïîëåì.

Îòæå, êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi, ùî âèçíà÷à¹ ñèëó ñòðóìó õîëîäíî¨ åìiñi¨,

! √ Z 2 2m x2 √ D = D0 exp − U − E dx , ~ x1 238

äå òî÷êè ïîâîðîòó

x1 = 0, Iíòå ðàë Z x2 x1

√

U − E dx =

Z

x2 =

U0 −E |e|E

0

U0 − E . |e|E

(U0 − |e|Ex − E)1/2 dx

U0 −E |e|E 2 2 = =− (U0 − |e|Ex − E)3/2 (U0 − E)3/2 . 3|e|E 3|e|E 0

Òåïåð äëÿ êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi ìà¹ìî: ! √ 2 2m 2 D = D0 exp − (U0 − E)3/2 . ~ 3|e|E ßêùî ââåñòè ïîñòiéíó âåëè÷èíó √ 4 2m (U0 − E)3/2 , E0 = 3 |e|~

ùî çàëåæèòü ëèøå âiä óíäàìåíòàëüíèõ êîíñòàíò òà ñîðòó ìåòàëó, òî ñèëà ñòðóìó õîëîäíî¨ åìiñi¨, ÿêà ¹ ïðîïîðöiéíîþ äî âåëè÷èíè D ,

j = j0 e−E0 /E . Òàêó çàëåæíiñòü i ñïîñòåðiãà¹ìî íà äîñëiäi. Ñòðîãà òåîðiÿ ïîâèííà âðàõîâóâàòè ÿê ïîòåíöiàë çîáðàæåííÿ åëåêòðîíà, ùî ìà¹ ïðèòÿãóâàëüíèé õàðàêòåð, òàê i ðîçïîäië åëåêòðîíiâ çà åíåð iÿìè âiäïîâiäíî äî ñòàòèñòèêè ÔåðìiÄiðàêà. 27. Òåîðiÿ àìîâà

α-ðîçïàäó

âàæêèõ ÿäåð

Ïðèêëàäîì ÿâèùà ïðîõîäæåííÿ ÷àñòèíêè êðiçü ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð ¹ α-ðîçïàä âàæêèõ ÿäåð. Äîáðå âiäîìî, ùî âàæêi ÿäðà íåñòàáiëüíi ùîäî α-ðîçïàäó. Ïðè÷îìó éìîâiðíiñòü ðîçïàäó, ÿê ïîêàçó¹ äîñëiä, ñèëüíî çàëåæèòü âiä åíåð i¨ α-÷àñòèíîê, ùî âèëiòàþòü ç ÿäðà. 239

Òåîðiþ öüîãî ÿâèùà çàïðîïîíóâàâ . àìîâ ó 1928 ðîöi5 . Íåçàëåæíî â öüîìó æ ðîöi òåîðåòè÷íå ïîÿñíåííÿ α-ðîçïàäó äàëè Å. Êîíäîí i . þðíi. Ïðèïóñêà¹òüñÿ, ùî â ÿäði âæå iñíó¹ ÿê öiëå α-÷àñòèíêà, ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ ÿêî¨ çîáðàæåíà íà ðèñ. 27.

èñ. 27. Ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð äëÿ α-÷àñòèíêè â òåîði¨ ðîçïàäó âàæêèõ ÿäåð: à âåðõíÿ øòðèõîâà ëiíiÿ êóëîíiâñüêå âiäøòîâõóâàííÿ, íèæíÿ 2 2 ∗ ÿäåðíå ïðèòÿãàííÿ, ñóöiëüíà êðèâà ¨õíÿ ñóìà, ïàðàìåòð g /2e Z =

10;

á ìîäåëü.

Îòæå, íà ìàëèõ âiäñòàíÿõ r ìà¹ìî ïîòåíöiàë ÿäåðíèõ ñèë, ÿêèé ðiçêî ñïàäà¹ íà âiäñòàíÿõ, áiëüøèõ çà ðîçìið ÿäðà r0 , à íà 5 Àâòîð ïiîíåðñüêî¨ ðîáîòè ç òåîði¨ ðàäiîàêòèâíîãî ðîçïàäó, åîðãié Àíòîíîâè÷ àìîâ íàðîäèâñÿ â 1904 ðîöi â Îäåñi, ïîìåð ó 1968 ðîöi â Áàóëäåði (Êîëîðàäî, ÑØÀ). Ïî ìàòåðèíñüêié ëiíi¨ ïîõîäèâ âií ç óêðà¨íñüêî¨ ñâÿùåíèöüêî¨ ðîäèíè Ëåáåäèíöiâ. Éîãî äiä, Ìèòðîïîëèò Àðñåíié Ëåáåäèíöåâ, áóâ íàñòîÿòåëåì Îäåñüêîãî Ñîáîðó i ïðàâëÿ÷èì i¹ðàðõîì ïðàâîñëàâíî¨ öåðêâè Íîâîðîñi¨. åîðãié àìîâ, â îñîáèñòîìó æèòòi ëþäèíà òðàãi÷íî¨ äîëi, áóâ ó÷åíèì, ùî ìàâ ìàéæå íàäïðèðîäíi çäiáíîñòi åíåðóâàòè íåñïîäiâàíi ñàìîðîäêîâi iäå¨ ç ïðîñòèì ¨õ òëóìà÷åííÿì. Âií ¹ àâòîðîì ãàðÿ÷îãî ïåðâèííîãî âèáóõó (hot Big Bang) òåîði¨ åâîëþöi¨ Âñåñâiòó (1948 ð.), ç ïåðåäáà÷åííÿì iñíóâàííÿ çàëèøêîâîãî ðåëiêòîâîãî âèïðîìiíþâàííÿ, ÿêå åêñïåðèìåíòàëüíî âèÿâèëè â 1965 ðîöi . Â. Âiëüñîí òà À. À. Ïåíçiàñ. À ïiñëÿ âiäêðèòòÿ ñòðóêòóðè ìîëåêóëè ÄÍÊ, ÿêå çðîáèëè Ä. Âàòñîí i Ô. Êðiê ó 1954 ðîöi, àìîâ ïåðøèé âèñóíóâ òåîðiþ, ùî öÿ ñòðóêòóðà ìiñòèòü ó ñîái ãåíåòè÷íèé òðèïëåòíèé êîä iç ÷îòèðüîõ ñèìâîëiâ, ÷åðåç ÿêèé i âiäáóâà¹òüñÿ âiäòâîðåííÿ æèâîãî. Áàãàòî öiêàâîãî ÷èòà÷ ìîæå äiçíàòèñü ç éîãî êíèæêè Ìîÿ ìèðîâàÿ ëèíèÿ: íåîðìàëüíàÿ àâòîáèîãðàèÿ. Ì.: Íàóêà, 1994.

240

âåëèêèõ âiäñòàíÿõ öå êóëîíiâñüêà âçà¹ìîäiÿ α-÷àñòèíêè (iç çàðÿäîì 2|e|) iç çàëèøêîì ÿäðà, çàðÿä ÿêîãî Z ∗ = Z − 2 (Z çàðÿä ÿäðà, ùî ðîçïàäà¹òüñÿ). Äëÿ ïðèêëàäó, íà ðèñ. 27a çîáðàæåíî ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð (ñóöiëüíà êðèâà), ÿêèé ¹ ñóìîþ åíåð ié êóëîíiâñüêîãî âiäøòîâõóâàííÿ òà ïðèòÿãàííÿ â ïîëi ïîòåíöiàëó Þêàâè, çóìîâëåíîãî îáìiíîì π -ìåçîíàìè ìàñîþ mπ :

U=

2Z ∗ e2 g2 −r/Λ − e , r r

äå Λ = ~/mπ c, g êîíñòàíòà çâ'ÿçêó ñèëüíî¨ âçà¹ìîäi¨. Äëÿ ðîçðàõóíêiâ ðîçãëÿíüìî ñïðîùåíó ìîäåëü. Ïðè r < r0 ÿâíèé âèãëÿä ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ â íàøié çàäà÷i ¹ íåñóòò¹âèì, áóäåìî ââàæàòè ¨¨ ñòàëîþ âåëè÷èíîþ U0 . Îòæå, ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ (äèâ. ðèñ. 27 á)   r ≤ r0 ,  U0 , U=   2e2 Z ∗ /r, r > r 0 i êîåiöi¹íò ïðîçîðîñòi òàêîãî ïîòåíöiàëüíîãî áàð'¹ðà

"

2 D = D0 exp − ~

Z

r1 r0

s

2m

# 2e2 Z ∗ − E dr , r

äå E åíåð iÿ α-÷àñòèíêè, ùî ïîêèäà¹ ÿäðî, à êëàñè÷íó òî÷êó ïîâîðîòó r1 âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿííÿ 2e2 Z ∗ /r1 = E. Âèêîðèñòàííÿ öi¹¨ îðìóëè äëÿ êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi áàð'¹ðà â òðèâèìiðíîìó âèïàäêó âèìàãà¹ ïîÿñíåííÿ. Ïî-ïåðøå, ìè ðîçãëÿäà¹ìî ëèøå ðàäiàëüíèé ðóõ, äëÿ ÿêîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà îðìàëüíî çâîäèòüñÿ äî îäíîâèìiðíîãî, ÿê áóäå ïîêàçàíî ïiçíiøå. Ïî-äðóãå, ïðèéìà¹ìî, ùî îðáiòàëüíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó α÷àñòèíêè äîðiâíþ¹ íóëåâi. Óâåäåìî íîâó çìiííó iíòå ðóâàííÿ x òàêó, ùî r = r1 x2 . Òåïåð Z 1 p 4r1 √ D = − ln 2mE √ 1 − x2 dx D0 ~ r0 /r1 16

I. Î. Âàêàð÷óê

241

4r1 √ = − 2mE ~ 4r1 √ = − 2mE ~

1 p 1 x 2 1 − x + arcsin x √ 2 2 r0 /r1 (

π 1 − 4 2

s

r0 r1

r0 1− r1

1 − arcsin 2

r

r0 r1

)

.

Öiëêîì ïðèðîäíî, ùî r1 ≫ r0 , òîìó, çáåðiãàþ÷è ïåðøi ÷ëåíè ðîçêëàäó çà ìàëîþ âåëè÷èíîþ r0 /r1 , ìà¹ìî

r

r e2 r0 + 8 Z∗ , = −4πZ ~v a p äå øâèäêiñòü α-÷àñòèíêè, ùî âèëiòà¹ ç ÿäðà, v = 2E/m, à âåëè÷èíà a = ~2 /me2 , íàãàäà¹ìî, ùî òóò m ìàñà α-÷àñòèíêè. Ùå â 1911 ðîöi . àé åð òà Äæ. Íåòòîë âñòàíîâèëè åìïiðè÷íó îðìóëó äëÿ ñòàëî¨ λ, ùî âèçíà÷à¹ çàëåæíiñòü êiëüêîñòi àòîìiâ N , ÿêi íå ðîçïàëèñÿ, âiä ÷àñó â çàêîíi D ln = −4r1 D0

2mE ~2

π − 4

r

r0 r1

∗

N = N0 e−λt . Âåëè÷èíà λ ïðîïîðöiéíà äî êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi D : λ = v0 /2r0 D, äå øâèäêiñòü α-÷àñòèíêè âñåðåäèíi ÿäðà v0 ≃ ~/mr0 . Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìàëè, ùî

r 2 ~D0 r0 ∗e + 8 Z∗ . = −4πZ ln λ 2 ~v a 2mr0

ßêiñíî òàêó çàëåæíiñòü âåëè÷èíè λ âiä øâèäêîñòi v ÷àñòèíêè, ùî âèëiòà¹ ç ÿäðà, i ñïîñòåðiãàëè . àé åð òà Äæ. Íåòòîë. Õî÷à ¨õíié çàêîí äà¹ ëiíiéíó çàëåæíiñòü ln λ íå âiä 1/v , à âiä lnv , àëå âíàñëiäîê òîãî, ùî øâèäêîñòi v çìiíþþòüñÿ â äóæå âóçüêié äiëÿíöi (ìàëèìè ¹ i âiäíîñíi çìiíè Z òà r0 äëÿ ðàäiîàêòèâíèõ åëåìåíòiâ), òî öÿ âiäìiííiñòü ÿêiñíî¨ åìïiðè÷íî¨ çàëåæíîñòi âiä òî÷íîãî çàêîíó ¹ íåçíà÷íîþ. Íàñàìêiíåöü çàóâàæèìî, ùî õî÷à ñïîñòåðåæóâàíi çìiíè øâèäêîñòåé ÷àñòèíîê v ¹ íåçíà÷íèìè, îäíàê âåëèêå çíà÷åííÿ êîåiöi¹íòà áiëÿ 1/v ó öié îðìóëi äà¹ äóæå øèðîêèé ðîçêèä çíà÷åíü êîíñòàíò ðîçïàäó λ.

ËÀÂÀ V ÇÂ'ßÇÎÊ ÊÂÀÍÒÎÂÎ ÌÅÕÀÍIÊÈ Ç ÊËÀÑÈ×ÍÎÞ

28. Ïåðåõiä âiä êâàíòîâèõ ðiâíÿíü ðóõó äî êëàñè÷íèõ

Àíàëîãîì êëàñè÷íèõ ðiâíÿíü àìiëüòîíà ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ¹ îïåðàòîðíi ðiâíÿííÿ, ÿêi òâîðÿòü çìiñò òåîðåìè Åðåíåñòà:

ˆ˙ = pˆ , x m ∂U pˆ˙ = − . ∂x îçãëÿäà¹ìî äëÿ ïðîñòîòè îäíîâèìiðíèé ðóõ ÷àñòèíêè ìàñîþ m ó ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x). Óñòàíîâèìî, ÿêi äi¨ i íàáëèæåííÿ íåîáõiäíî çðîáèòè äëÿ ïåðåõîäó äî êëàñè÷íèõ ðiâíÿíü àìiëüòîíà p x˙ = , m

p˙ = −

∂U ∂x

àáî ðiâíÿííÿ Íüþòîíà

m¨ x=−

∂U . ∂x

Çðîçóìiëî, ùî ó êâàíòîâèõ ðiâíÿííÿõ ïîòðiáíî ïåðåéòè âiä ˆ, pˆ äî ñåðåäíiõ çíà÷åíü hxi, hpi, âèçíà÷åíèõ íà äåÿêié îïåðàòîðiâ x õâèëüîâié óíêöi¨ ψ(x, t). îçãëÿíåìî õâèëüîâó óíêöiþ ψ(x, t), ÿêà çîñåðåäæåíà â äîñòàòíüî ìàëié äiëÿíöi ∆x òàê, ùîá ìîæíà áóëî ãîâîðèòè ïðî ëîêàëiçàöiþ ÷àñòèíêè. Òîáòî ψ(x, t) ¹ õâèëüîâèì 243

ïàêåòîì. Çîêðåìà, öå ìîæå áóòè ìiíiìiçóþ÷èé õâèëüîâèé ïàêåò, ÿêèé ìè äîñëiäæóâàëè ðàíiøå: i (∆x)2 2 −1/4 ψ(x, t) = 2πh(∆x) i exp hpix − , ~ 4h(∆x)2 i

∆x = x − hxi.

ßêáè hxi çìiíþâàëîñü çà çàêîíàìè êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè, à ðîçìiðè õâèëüîâîãî ïàêåòà ç ÷àñîì íå çìiíþâàëèñü, òî ðóõ õâèëüîâîãî ïàêåòà |ψ(x, t)|2 ìîæíà áóëî á òðàêòóâàòè ÿê ðóõ ìàòåðiàëüíî¨ òî÷êè, ùî ïiäêîðÿ¹òüñÿ çàêîíàì êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè. Îäíàê íi ïåðøå, íi äðóãå íå âiäáóâà¹òüñÿ: õâèëüîâèé ïàêåò iç ÷àñîì ðîçïëèâà¹òüñÿ, à ðóõ éîãî öåíòðà âàãè íå çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Íüþòîíà. îçãëÿíåìî öi ïðîáëåìè äîêëàäíiøå. Ñïî÷àòêó äîñëiäèìî íà ïðîñòîìó ïðèêëàäi ðîçïëèâàííÿ õâèëüîâèõ ïàêåòiâ iç ÷àñîì. Íåõàé çàäàíèé õâèëüîâèé ïàêåò ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó t = 0: 1 ψ(x, 0) = exp −x2 /4h(∆x)2 i0 , 2 1/4 (2πh(∆x) i0 ) h(∆x)2 i0 = h(∆x)2 i . t=0

Äëÿ ñïðîùåííÿ âèêëàäîê óâàæà¹ìî, ùî hpi = 0, hxi = 0. Ïðèïóñòèìî, ùî ç ÷àñîì îðìà ïàêåòà íå çìiíþ¹òüñÿ, òîáòî õâèëüîâà óíêöiÿ çáåðiãà¹ õàðàêòåð àóññîâîãî ðîçïîäiëó, i òîìó ïîêëàäà¹ìî

ψ(x, t) = e−ax

2 −b

,

äå íåâiäîìi âåëè÷èíè a = a(t), b = b(t) çàäîâîëüíÿþòü ïî÷àòêîâi óìîâè:

a0 = a(0) = 1/4h(∆x)2 i0 , b0 = b(0),

e−b0 = 1/ 2πh(∆x)2 i0

1/4

.

Õâèëüîâà óíêöiÿ ψ(x, t) ïîâèííà çàäîâîëüíÿòè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. îçãëÿíåìî ðiâíÿííÿ äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè:

i~ 244

~2 ∂ 2 ψ(x, t) ∂ψ(x, t) =− . ∂t 2m ∂x2

Ïiäñòàâëÿþ÷è ïðèéíÿòèé âèãëÿä óíêöi¨ ψ(x, t), îòðèìó¹ìî

~2 (2ax)2 − 2a . −i~ax ˙ 2 − i~b˙ = − 2m Ïðèðiâíþþ÷è çëiâà i ñïðàâà êîåiöi¹íòè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ x, ìà¹ìî:  2~ 2  a˙ = a ,    mi     b˙ = i~ a, m ïðè÷îìó ïðè t = 0 a = a0 , b = b0 . Iíòå ðó¹ìî ïåðøå ðiâíÿííÿ: −

1 2~ = t + const, a mi

Îòæå,

a=

a0 1+

2i~ m a0 t

=

a0 1+

const = −

t = 0,

2~a0 t 2 m

1 . a0

2i~ 1− a0 t . m

Iíòå ðó¹ìî äðóãå ðiâíÿííÿ: Z i~ dt a0 m 1 2i~ + const = ln 1 + b = a0 t + b0 2 m 1 + 2i~ m a0 t " 2 # i 2~ 1 + ϕ + b0 , ln 1 + a0 t = 4 m 2

2~ a0 t. m Òåïåð äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îòðèìà¹ìî: tg ϕ =

1 {2πh(∆x)2 i0 }1/4 ) " ( 2 # 2~ a0 x2 1 − a0 t × exp − ln 1 + 2 + iα , 0 4 m 1 + 2~a m t

ψ(x, t) =

245

äå

α=

2 a20 2~ m tx

1+

2~a0 2 m t

− ϕ/2

àçà, ÿêó ìîæíà íå âðàõîâóâàòè, îñêiëüêè õâèëüîâó óíêöiþ âèçíà÷à¹ìî ç òî÷íiñòþ äî äîâiëüíî¨ àçè. Îòæå, îñòàòî÷íî õâèëüîâó óíêöiþ ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿäi õâèëüîâîãî ïàêåòà

ψ(x, t) =

1 exp −x2 /4h(∆x)2 i , 2 1/4 (2πh(∆x) i)

ðîçìiðè ÿêîãî âèçíà÷àþòüñÿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèì âiäõèëåííÿì

h(∆x)2 i = h(∆x)2 i0 +

~2 t2 . 4m2 h(∆x)2 i0

Òàêèé õâèëüîâèé ïàêåò ìè ñêîíñòðóþâàëè ðàíiøå (äèâ. 3) ïðè ïåðøîìó çíàéîìñòâi ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨. Òåïåð ìè îäåðæàëè éîãî ç òî÷íîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. ßê âèäíî ç öüîãî âèðàçó, õâèëüîâèé ïàêåò ðîçïëèâà¹òüñÿ ç ÷àñîì. Äëÿ òîãî, ùîá öå ðîçïëèâàííÿ áóëî ìàëèì, íåîáõiäíî, ùîá h(∆x)2 i0 áóëî äîñòàòíüî âåëèêèì, à öå îçíà÷à¹, ùî ïî÷àòêîâi ðîçìiðè ïàêåòà òàêîæ ïîâèííi áóòè çíà÷íèìè. Óðàõîâóþ÷è, êðiì òîãî, ùî â çàêîíi ðîçïëèâàííÿ ïàêåòà ìàñà òiëà ¹ â çíàìåííèêó, áà÷èìî, ùî äëÿ òië ìàêðîñêîïi÷íèõ ðîçìiðiâ ðîçïëèâàííÿ ¹ íàäçâè÷àéíî ìàëèì. Äëÿ ìiêðî÷àñòèíîê öå ðîçïëèâàííÿ ¹, íàâïàêè, äóæå âåëèêèì. Íàïðèêëàä, ÿêùî p ∼ 1 ïî÷àòêîâi ëiíiéíi ðîçìiðè ïàêåòà h(∆x)2 i0 p A, òî äëÿ åëåêòðîíà ÷åðåç îäíó ñåêóíäó, t = 1 ñåê, âåëè÷èíà h(∆x)2 i ∼ 103 êì (!) (ïðî öå âæå òàêîæ áóëà ìîâà). Ïiñëÿ öèõ âñòóïíèõ çàóâàæåíü ïåðåõîäèìî äî âñòàíîâëåííÿ çâ'ÿçêó ìiæ êâàíòîâèìè ðiâíÿííÿìè ðóõó é êëàñè÷íèìè. Äëÿ öüîãî óñåðåäíèìî êâàíòîâi ðiâíÿííÿ ðóõó ÷àñòèíêè çà ñòàíîì, ÿêèé îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâèì ïàêåòîì:

hˆ pi d hxi = , dt m ∂U (x) d hˆ pi = −h i. dt ∂x 246

ßêùî á ó ïðàâié ÷àñòèíi äðóãîãî ðiâíÿííÿ çàìiñòü âåëè÷èíè h∂U (x)/∂xi ñòîÿëà âåëè÷èíà ∂U (hxi)/∂hxi, òî ìè ìàëè á çâè÷àéíi êëàñè÷íi ðiâíÿííÿ ðóõó. Îäíàê ðiâíîñòi ìiæ öèìè âåëè÷èíàìè íåìà¹. Ùîá ç'ÿñóâàòè óìîâè, ïðè ÿêèõ òàêà ðiâíiñòü âèêîíó¹òüñÿ, ðîçêëàäåìî óíêöiþ U (x) ó ðÿä áiëÿ òî÷êè hxi,

U (x) = U (hxi) + U ′ (hxi)∆x + +

1 ′′ U (hxi)(∆x)2 2!

1 ′′′ U (hxi)(∆x)3 + · · · , 3!

äå ∆x = x − hxi, à øòðèõè îçíà÷àþòü ïîõiäíi çà hxi. Ïiäñòàâèìî öåé âèðàç ó äðóãå óñåðåäíåíå êâàíòîâå ðiâíÿííÿ ðóõó i ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî h∆xi = 0, çíàõîäèìî

U ′′′ (hxi) dhpi = −U ′ (hxi) − h(∆x)2 i + · · · . dt 2 ßêùî çàëèøèòè â ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ ëèøå ïåðøèé äîäàíîê, òî ìè îòðèìà¹ìî êëàñè÷íå ðiâíÿííÿ Íüþòîíà. Îòæå, ðåøòà äîäàíêiâ öå êâàíòîâi ïîïðàâêè, ÿêi ¹ ìàëèìè çà óìîâè, ùî

1 ′′′ U (hxi) h(∆x)2 i ≪ U ′ (hxi) . 2

Öÿ óìîâà ïåðåõîäó âiä êâàíòîâèõ ðiâíÿíü ðóõó äî êëàñè÷íèõ, àáî, ÿê ¨¨ ùå íàçèâàþòü óìîâà êâàçiêëàñè÷íîñòi, âèêîíóâàòèìåòüñÿ, ÿêùî ïîëå U = U (x) ïëàâíî çìiíþ¹òüñÿ ç êîîðäèíàòîþ x, à âåëè÷èíà h(∆x)2 i ¹ äîñòàòíüî ìàëîþ. ßêùî ïåðøà óìîâà ìîæå áóòè âèêîíàíà âèáîðîì óíêöi¨ U (x), òî äðóãà, óçàãàëi êàæó÷è, ÷åðåç äåÿêèé ÷àñ t áóäå ïîðóøåíà âíàñëiäîê ðîçïëèâàííÿ ïàêåòà. Çàïîáiãòè öüîìó ðîçïëèâàííþ ìîæíà ëèøå âåëèêèìè çíà÷åííÿìè iìïóëüñó ÷àñòèíêè. Äiéñíî, çi ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñc 2 i ≥ ~2 /4 âèïëèâà¹, ùî äëÿ âèêîòåé àéçåíáåð à h(∆x)2 ih(∆p) c 2 i, à îòæå, i íàííÿ äðóãî¨ óìîâè íåîáõiäíi âåëèêi çíà÷åííÿ h(∆p) ñàìîãî iìïóëüñó p, îñêiëüêè òîäi ÷èñòî êâàíòîâîìåõàíi÷íèé äîäàc 2 i/2m â êiíåòè÷íié åíåð i¨ ÷àñòèíêè hˆ p2 i/2m áóäå ìàëèì íîê h(∆p) 2 ó ïîðiâíÿííi ç ¨¨ êëàñè÷íîþ åíåð i¹þ p /2m. Çðîçóìiëî, ùî ïðè p p = 2m(E − U (x)) = 0, òîáòî â êëàñè÷íèõ òî÷êàõ ïîâîðîòó, óìîâà êâàçiêëàñè÷íîñòi íå ïðàöþ¹. 247

29. Õâèëüîâà óíêöiÿ ó êâàçiêëàñè÷íîìó íàáëèæåííi.

Ìåòîä ÂåíòöåëÿÊðàìåðñàÁðiëëþåíà

Ïîñòàâèìî òåïåð ïèòàííÿ: ÿê âèãëÿäà¹ õâèëüîâà óíêöiÿ ÷àñòèíêè ïðè ïåðåõîäi äî êëàñè÷íîãî îïèñó ¨¨ âëàñòèâîñòåé? Äëÿ öüîãî ïîòðiáíî çíàéòè íàáëèæåíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ïðè ~ → 0. Âèêîðèñòà¹ìî ìåòîä, ÿêèé îäíî÷àñíî ðîçâèíóëè â 1926 ðîöi . Âåíòöåëü, . À. Êðàìåðñ òà Ë. Áðiëëþåí i ÿêèé âiäîìèé òåïåð ÿê ìåòîä ÂÊÁ. Õî÷à ñëiä çàçíà÷èòè, ùî ìàòåìàòè÷íi ïðèéîìè öüîãî ìåòîäó ùå â 1912 ðîöi íàâîäèâ ëîðä Äæ. åëåé äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷ ïîøèðåííÿ õâèëü, à ïåðøi ñïðîáè çàñòîñóâàòè ¨õ äî çàäà÷ êâàíòîâî¨ içèêè íàëåæàòü . Äæåðiñîâi (1923 ð.). Íåõàé ÷àñòèíêà ìàñîþ m ðóõà¹òüñÿ â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði â ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x). Óâàæà¹ìî, ùî ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ íå çàëåæèòü âiä ÷àñó i íàñ öiêàâèòü ðîçâ'ÿçîê ñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(x), ÿêó ìè çîáðàçèìî ó âèãëÿäi i

ψ(x) = e ~ σ(x) . Ïiäñòàíîâêà öüîãî âèðàçó â ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

−

~2 d2 ψ(x) + U ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2

äà¹ òàêå ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìî¨ óíêöi¨ σ = σ(x): ′

~ ′′ σ2 + σ = E − U. 2m 2mi Òóò øòðèõàìè ìè ïîçíà÷èëè ïîõiäíi çà êîîðäèíàòîþ:

dσ(x) = σ′ , dx

d2 σ(x) = σ ′′ . dx2

ßêùî â öüîìó ðiâíÿííi îðìàëüíî ïîêëàñòè ~ = 0, òî ïðèõîäèìî äî ðiâíÿííÿ àìiëüòîíàßêîái â êëàñè÷íié ìåõàíiöi äëÿ óíêöi¨ äi¨ σ , ïðè÷îìó σ ′ = p öå iìïóëüñ ÷àñòèíêè. Öèì ìè âñòàíîâëþ¹ìî çâ'ÿçîê ìiæ êâàíòîâèì îïèñîì içè÷íî¨ ñèñòåìè ìîâîþ àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi òà ¨¨ êëàñè÷íîì îïèñîì ìîâîþ óíêöi¨ äi¨. Çàóâàæèìî, ùî âåëè÷èíà σ = σ(x) ¹ òàê çâàíîþ âêîðî÷åíîþ äi¹þ. 248

Ïîâíà äiÿ S = S(x, t) çàëåæèòü ÿê âiä êîîðäèíàòè x, òàê i âiä ÷àñó t. Ó âèïàäêó, êîëè åíåð iÿ çáåðiãà¹òüñÿ, òîáòî äëÿ ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ, ïîâíà äiÿ S(x, t) = −Et + σ(x). Ïåðåéäåìî äî íàáëèæåíîãî ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ äëÿ σ . Ïðèïóñòèìî, ùî âåëè÷èíà σ ¹ àíàëiòè÷íîþ óíêöi¹þ ñòàëî¨ Ïëàíêà ~, i ðîçêëàäåìî ¨¨ â ðÿä çà öèì ìàëèì ïàðàìåòðîì: 2 ~ ~ σ = σ0 + σ1 + σ2 + · · · . i i

Òóò σ0 öå êëàñè÷íà äiÿ, à σ1 , σ2 , . . . êâàíòîâi ïîïðàâêè. Ñàìå öi êâàíòîâi ïîïðàâêè i öiêàâëÿòü íàñ. iâíÿííÿ äëÿ íèõ îòðèìó¹ìî ç ðiâíÿíü äëÿ σ øëÿõîì ïðèðiâíþâàííÿ â íüîìó êîåiöi¹íòiâ çëiâà i ñïðàâà ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ íåçàëåæíî¨ çìiííî¨ ~/i. Ìà¹ìî òàêó ñèñòåìó ðiâíÿíü1 :  ′2 σ0   = E − U,    2m  σ0′′ ′ ′  σ σ + = 0,  0 1  2    ............... . Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ

σ0′ = ±

p

2m[E − U (x)].

Óâåäåìî êëàñè÷íèé iìïóëüñ ÷àñòèíêè p p = p(x) = 2m[E − U (x)].

Äîñëiäèìî ¨¨ ðóõ ó êëàñè÷íî äîñòóïíié îáëàñòi, êîëè p ¹ äiéñíîþ âåëè÷èíîþ. Òîäi

σ0′ = ±p,

à

σ0 = ±

Z

p dx + const.

Òåïåð ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ ìà¹ìî

2pσ1′ + p′ = 0 1

Äèâ. âiäñòóï íàïðèêiíöi öüîãî ïàðàãðàà.

249

àáî

σ1′ = −

p′ . 2p

Iíòå ðó¹ìî:

êè:

1 σ1 = − ln p + const. 2 Ìè îáìåæèìîñü óðàõóâàííÿì ëèøå ïåðøî¨ êâàíòîâî¨ ïîïðàâi

~

i

ψ(x) ≃ e ~ (σ0 + i σ1 ) = const e± ~

R p dx−

1 ln p 2

i const = √ e± ~ p

R p dx

.

Çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê áåðåìî ó âèãëÿäi ëiíiéíî¨ êîìáiíàöi¨ öèõ äâîõ ìîæëèâèõ ðîçâ'ÿçêiâ:

C1 i ψ(x) = √ e+ ~ p

R p dx

C2 i + √ e− ~ p

R p dx

,

äå C1 , C2 ñòàëi íîðìóâàííÿ. ßê áà÷èìî, iìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â îêîëi òî÷êè x 1 |ψ(x)|2 ∼ . p Öå ïîÿñíþ¹òüñÿ ïðîñòî: ÷àñ ïåðåáóâàííÿ ÷àñòèíêè â îêîëi dx òî÷êè x îáåðíåíî ïðîïîðöiéíèé äî ¨¨ iìïóëüñó. ßêùî E < U (x), òîáòî ðîçãëÿäà¹òüñÿ êëàñè÷íî íåäîñòóïíà îáëàñòü, òî âåëè÷èíà p p = i|p| = i 2m[U (x) − E] ¹ ÷èñòî óÿâíîþ i õâèëüîâà óíêöiÿ 1 C′ ψ(x) = p 1 e− ~ |p|

R |p| dx

C′ 1 + p 2 e~ |p|

R |p| dx

.

Ïîâåðíåìîñü äî ïî÷àòêîâîãî ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ σ i äîñëiäèìî óìîâó çàñòîñîâíîñòi ðîçâ'ÿçêiâ, ÿêi ìè çíàéøëè. Äëÿ òîãî, ùîá êâàíòîâi ïîïðàâêè áóëè ìàëèìè, î÷åâèäíî, íåîáõiäíî, ùîá ′′ ~σ ′ ≪ 1 àáî d ~ ≪ 1. σ2 dx σ ′

250

Îñêiëüêè σ ′ ∼ p, òî ìà¹ìî

d ~ dx p ≪ 1.

Íàãàäà¹ìî çâ'ÿçîê ìiæ iìïóëüñîì ÷àñòèíêè òà äîâæèíîþ õâèëi äå Áðîéëÿ λ = 2π~/p, i îòðèìó¹ìî 1 dλ 2π dx ≪ 1.

Óìîâà çàñòîñîâíîñòi êâàçiêëàñè÷íîãî îïèñó ïîëÿãà¹ ó ñëàáêié çàëåæíîñòi λ âiä êîîðäèíàòè x. Ìîæíà íàâåñòè ùå îäèí âèðàç äëÿ óìîâè êâàçiêëàñè÷íîñòi ÷åðåç êëàñè÷íó ñèëó F = −∂U/∂x. Îòæå, d ~ ~ dp dx p ≪ 1 àáî p2 dx ≪ 1, äàëi

i òàêèì ÷èíîì,

~√ 1 dU p2 2m 2√E − U dx ≪ 1, m~ |F | ≪ 1, p3

p3 ≫ m~|F |.

Òîáòî iìïóëüñ ÷àñòèíêè íå ïîâèíåí áóòè ìàëèì. Çîêðåìà, ïðè p = 0 , êîëè E − U (x) = 0, òîáòî ó êëàñè÷íèõ òî÷êàõ ïîâîðîòó, êâàçiêëàñè÷íå íàáëèæåííÿ íå çàñòîñîâíå ìè ïîâèííi òî÷íî ðîçâ'ÿçóâàòè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Ïðèêëàä. Õâèëüîâà óíêöiÿ â îêîëi êëàñè÷íî¨ òî÷êè ïîâîðîòó. Äëÿ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði â ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x) â îêîëi êëàñè÷íî¨ òî÷êè ïîâîðîòó x = x0 , îïåðàòîð àìiëüòîíà 2 ˆ = pˆ + U (x0 ) + U ′ (x0 )(x − x0 ). H 2m

Ìè îáìåæó¹ìîñü òóò ëiíiéíèìè ÷ëåíàìè ðîçêëàäó óíêöi¨ U (x) áiëÿ òî÷êè x0 , ó ÿêié, çà îçíà÷åííÿì, U (x0 ) = E , äå E ïîâíà åíåð iÿ ÷àñòèíêè. Òåïåð íàøà çàäà÷à ñòà¹ ïîäiáíîþ äî ïðîáëåìè |x|-îñöèëÿòîðà ç 24, òîìó, ÿê i

251

òàì, çàïèøåìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ â iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi C(p), êîëè pˆ = p, à x ˆ = i~ d/dp:

d p2 + U ′ (x0 )i~ 2m dp

C(p) = U ′ (x0 )x0 C(p).

Ïåðåïèñàâøè öå ðiâíÿííÿ ó âèãëÿäi dC(p) =i dp

p2 x0 − 2m~U ′ (x0 ) ~

C(p),

áà÷èìî, ùî âîíî ëåãêî iíòå ðó¹òüñÿ:

i p3 − px0 , C(p) = C exp i 6m~U ′ (x0 ) ~ C ñòàëà íîðìóâàííÿ. Ó êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi õâèëüîâà óíêöiÿ Z∞

ψ(x) = −∞

eipx/~ √ C(p) dp. 2π~

Óðàõó¹ìî, ùî âíåñîê íåïàðíî¨ óíêöi¨, ÿêîþ ¹ ñèíóñ (ìè ðîçïèñó¹ìî åêñïîíåíòó ïiä çíàêîì iíòå ðàëà çà îðìóëîþ Åéëåðà), â iíòå ðàë iç ñèìåòðè÷íèìè ìåæàìè äîðiâíþ¹ íóëåâi, i çíàõîäèìî 2C ψ(x) = √ 2π~

Z∞

cos 0

p p3 + (x − x0 ) dp. 6m~U ′ (x0 ) ~

Çàìiíà çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ

p = q 6m~U ′ (x0 )

îñòàòî÷íî äà¹

Z∞

ψ(x) = A

1/3

cos(q 3 + qz)dq,

0

äå A ñòàëà íîðìóâàííÿ, à âåëè÷èíà

z=

6mU ′ (x0 ) ~2

1/3

(x − x0 ).

Öå òàê çâàíèé iíòå ðàë, àáî óíêöiÿ Åéði, ç ÿêîþ ìè âæå ìàëè ñïðàâó â 24. Ç óâàãè íà òå, ùî öÿ óíêöiÿ âèíèêëà â òåîði¨ ðàéäóãè, äå âîíà äà¹ êóòîâèé ðîçïîäië iíòåíñèâíîñòi ïåâíîãî êîëüîðó, ¨¨ íàçèâàþòü òàêîæ óíêöi¹þ, àáî iíòå ðàëîì, ðàéäóãè. Íà âiäìiíó âiä òåîði¨ åíå Äåêàðòà (15961650), ÿêó âií ñòâîðèâ ùå â 1638 ðîöi, ó òåîði¨ àíãëiéñüêîãî àñòðîíîìà . Á. Åéði (18011892) çàãàñàííÿ iíòåíñèâíîñòi ïåâíîãî êîëüîðó (ïðîïîðöiéíî¨ äî |ψ|2 ) ¹ îñöèëþþ÷îþ

252

óíêöi¹þ êóòà ñïîñòåðåæåííÿ. Çàóâàæèìî, ùî òåîði¹þ ðàéäóãè çàéìàëèñü òàêîæ Äæ. . Ñòîêñ (18191903) òà À. Ô. Ìåáióñ (17901868). Öiêàâî òàêîæ çíàòè, ùî äîáðå ðîçâèíóòi ñó÷àñíi ìåòîäè êâàçiêëàñè÷íîãî íàáëèæåííÿ çíàéøëè çàñòîñóâàííÿ ó êâàíòîâié òåîði¨ ðîçñiÿííÿ òà â òåîði¨ ðàéäóãè, äå âîíè äàþòü íàäçâè÷àéíî öiêàâó òîíêó ñòðóêòóðó ñïåêòðà êîëüîðiâ. Âiäñòóï.

Îñêiëüêè óíäàìåíòàëüíà êîíñòàíòà ~ ìà¹ ïåâíå çíà÷åííÿ, âèíèêà¹ ïèòàííÿ ïðî ñïðàâåäëèâiñòü çíàéäåíèõ ðiâíÿíü äëÿ ïîïðàâîê äî êëàñè÷íî¨ óíêöi¨ äi¨. Àäæå äëÿ ¨õ âñòàíîâëåííÿ ìè ââàæà¹ìî, ùî ~ ¹ íåçàëåæíîþ âåëè÷èíîþ, ÿêà ìîæå íàáóâàòè áóäü-ÿêi äiéñíi äîäàòíi çíà÷åííÿ. À öå ó ñâîþ ÷åðãó îçíà÷à¹, ùî ìè ïðèïóñêà¹ìî iñíóâàííÿ íåïåðåðâíîãî ðÿäó Ñâiòiâ, ó ÿêèõ ðåàëiçó¹òüñÿ îäíå çi çíà÷åíü ~. Ó íàøié Áóëüáàøöi ~ = 1.05457266 · 10−27 ã·ñì2 /ñåê. ×îìó ñàìå òàêå çíà÷åííÿ âèáðàëà Àñïiðàíòêà, ùî çàïóñêàëà åêñïåðèìåíòàëüíó óñòàíîâêó, íà ÿêié ñèíòåçóâàâñÿ íàø Ñâiò, âiäïîâiñòè âàæêî. Ìîæíà ëèøå äèâóâàòèñü, íàñêiëüêè òîíêî òà ïðåöèçiéíî âîíà ïiäiáðàëà óíäàìåíòàëüíi içè÷íi êîíñòàíòè, ÿêi é äîçâîëèëè ðåàëiçóâàòè íàøå iñíóâàííÿ2 . ßê îäèí ç ïðèêëàäiâ, ïðîàíàëiçó¹ìî íàëàøòóâàííÿ ñïåêòðà ìàñ åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê. îçãëÿíåìî àòîì âîäíþ. Åëåêòðîí, ùî ðóõà¹òüñÿ íàâêîëî ÿäðà, òîáòî ïðîòîíà, ìà¹ íåíóëüîâó éìîâiðíiñòü ïîáóâàòè â ÿäði, êîëè ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó åëåêòðîíà äîðiâíþ¹ íóëåâi (éîãî õâèëüîâà óíêöiÿ s-ñòàíó ïðè r = 0 âiäìiííà âiä íóëÿ). Òàêèì ÷èíîì, ìîæëèâà ðåàêöiÿ p + e− → n + ν , ùî ïðèçâåëî áè äî íåñòàáiëüíîñòi àòîìà âîäíþ, òîáòî éîãî âiäñóòíîñòi ó Âñåñâiòi, à îòæå, âiäñóòíîñòi ÿäåðíîãî ïàëèâà â çiðêàõ i, ÿê íàñëiäîê, âiäñóòíîñòi Íàñ ç Âàìè ñïîñòåðiãà÷iâ. Îäíàê òàêà ðåàêöiÿ çàáîðîíåíà ç åíåð åòè÷íèõ ìiðêóâàíü. Ïðîöåñ íå éäå òîìó, ùî mp + me < mn (ïîçíà÷åííÿ î÷åâèäíi, êðiì òîãî, ìíîæíèê c2 áiëÿ ìàñè äëÿ ïðîñòîòè çàïèñó îïóñêà¹ìî i áåðåìî ãðàíè÷íèé âèïàäîê, êîëè íåéòðèíî âèíîñèòü íóëüîâó åíåð iþ). Îòæå,

me < ∆m,

∆m = mn − mp ,

∆m = 1.3 MeV.

Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî äëÿ íàøîãî ç âàìè iñíóâàííÿ íåîáõiäíî, ùîá åëåêòðîí áóâ ëåãøèì, íiæ 1.3 MeV. I âií äiéñíî ¹ íàéëåãøèì ç óñiõ 2

Ìóäðåöü æå içèêó ïðîâàäèâ, I òîëêîâàâ ÿêèõñü ìîíàäiâ, I äóìàâ, âiäêiëü âçÿâñÿ ñâiò? Iâàí Êîòëÿðåâñüêèé.

Åíå¨äà. 1809.

253

÷àñòèíîê, ùî ìàþòü íåíóëüîâó ìàñó ñïîêîþ. Ùîäî ìàñè íåéòðèíî, òî öi¹¨ ïðîáëåìè ìè òîðêàëèñü ó âèíîñöi äî 7. Öiêàâî, ùî ðiçíèöÿ ìàñ íåéòðîíà i ïðîòîíà ∆m ¹ ìåíøîþ, íiæ ðiçíèöÿ ìàñ ÷àñòèíîê iíøèõ ìóëüòèïëåòiâ. Ó ÷îìó ði÷? Äàâàéòå ïðîàíàëiçó¹ìî ïèòàííÿ ñòàáiëüíîñòi âàæêîãî âîäíþ äåéòåðiþ. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî éîãî ñòàáiëüíiñòü çóìîâëåíà òèì, ùî íåéòðîíîâi íå âèãiäíî ðîçïàäàòèñü. Ñïðàâäi, ðîçïàä n → p + e− + ν¯ òóò ¹ íåìîæëèâèì, îñêiëüêè öüîãî íå äîçâîëÿ¹ åíåð åòè÷íèé áàëàíñ:

mn + mp + E < 2mp + me , äå E = −2.2 MeV åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó äåéòåðiþ. Îòæå,

∆m < −E + me , àáî

∆m < 2.2 MeV + me , òîáòî ∆m < 2.7 MeV, ùî i ðåàëiçó¹òüñÿ â íàøîìó Âñåñâiòi. ßêùî á ∆m íå çàäîâîëüíÿëî öþ íåðiâíiñòü, òî øëÿõ óòâîðåííÿ âàæêèõ åëåìåíòiâ ÷åðåç äåéòåðié áóâ áè ïåðåêðèòèì, à íàñëiäêè î÷åâèäíi âiäñóòíiñòü ñïîñòåðiãà÷iâ. Îòæå, Ïðèðîäà äóæå òîíêî íàëàøòóâàëà âiäïîâiäíi êîíñòàíòè, çîêðåìà ìàñè ÷àñòèíîê:

me < ∆m < 2.2 MeV + me . Äîñòàòíüî ïîðóøèòè öi íåðiâíîñòi íà äîëþ âiäñîòêà ∆m/mp , ÿê Âñåñâiò ó òàêîìó âèãëÿäi, ÿê ìè ñïîñòåðiãà¹ìî, çíèêà¹ ðàçîì ç íàìè. Çàñòåðåæåíü ùîäî iñíóâàííÿ iíøèõ Âñåñâiòiâ, äå ¹ iíøi çàêîíè Ïðèðîäè, iíøi óíäàìåíòàëüíi êîíñòàíòè, íåìà¹. Îäíàê ñïîñòåðiãà÷iâ òàêèõ, ÿê ìè ç âàìè, òàì òàêîæ íåìà¹. Ó öüîìó i ïîëÿãà¹ àíòðîïíèé ïðèíöèï. Óòâîðåííÿ áiîëîãi÷íèõ ñèñòåì ïîòðåáó¹ ìàêðîñêîïi÷íîãî ÷èñëà N ñêëàäîâèõ, òàêèõ, ÿê åëåìåíòàðíi ÷àñòèíêè, àòîìè, ìîëåêóëè, äëÿ çàáåçïå÷åííÿ N ! êîìáiíàöié ¨õ ðîçòàøóâàííÿ. Öå ñâî¹þ ÷åðãîþ ¹ íåîáõiäíèì äëÿ ñòâîðåííÿ äîñòàòíüî¨ êiëüêîñòi iíîðìàöi¨ ∼ ln N ! ≃ N ln(N/e), ùîá ìîãëè iñíóâàòè òàêi óíêöiîíàëüíî ñêëàäíi ñèñòåìè, ÿê æèâi îðãàíiçìè. 254

30. Ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà

Ïåðåéäåìî òåïåð äî âñòàíîâëåííÿ çâ'ÿçêó ìiæ òî÷íèìè óìîâàìè êâàíòóâàííÿ, çîêðåìà åíåð i¨, ÷åðåç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç óìîâàìè êâàíòóâàííÿ ñòàðî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, âiäîìèìè ÿê óìîâè êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà. îçãëÿíåìî îäíîâèìiðíèé ðóõ ÷àñòèíêè ç åíåð i¹þ E â êëàñè÷íî äîñòóïíié îáëàñòi, îáìåæåíié äâîìà òî÷êàìè ïîâîðîòó, x1 ≤ x ≤ x2 (äèâ. ðèñ. 28). Äîñëiäèìî ñïî÷àòêó ðóõ ÷àñòèíêè áiëÿ ïðàâî¨ òî÷êè ïîâîðîòó x = x2 . Ïðàâîðó÷ âiä íå¨ x > x2 , U (x) > E , i õâèëüîâà óíêöiÿ

C −1 ψ(x) = p e ~ 2 |p|

R

x x2

|p| dx

ñïàäà¹ çi çðîñòàííÿì x.

èñ. 28.

Ôiíiòíèé ðóõ ÷àñòèíêè. Çàøòðèõîâàíi îêîëè òî÷îê ïîâîðîòó

îáëàñòü íåçàñòîñîâíîñòi êâàçiêëàñè÷íîãî íàáëèæåííÿ.

Ëiâîðó÷ âiä òî÷êè ïîâîðîòó x < x2 ó êëàñè÷íî äîñòóïíié îáëàñòi ìà¹ìî îñöèëþþ÷i ðîçâ'ÿçêè:

C1 i ψ(x) = √ e ~ p

R

x x2

p dx

C2 − i +√ e ~ p

R

x x2

p dx

.

Âèïèñàíi õâèëüîâi óíêöi¨ öå ðîçâ'ÿçîê îäíîãî é òîãî æ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ x > x2 òà x < x2 . Òîìó ìiæ ñòàëèìè C1 , C2 òà 255

C iñíó¹ çâ'ÿçîê. Äëÿ éîãî âñòàíîâëåííÿ íåîáõiäíî ïåðåéòè ó õâèëüîâié óíêöi¨ âiä çíà÷åíü x, áiëüøèõ çà x2 , äî çíà÷åíü, ìåíøèõ çà x2 . Îäíàê çäiéñíèòè öå íåìîæëèâî òîìó, ùî äîâåëîñü áè ïåðåéòè ÷åðåç òî÷êó ïîâîðîòó x2 , äå êâàçiêëàñè÷íå íàáëèæåííÿ íå ïðàöþ¹. Òîìó áiëÿ òî÷êè ïîâîðîòó ïîòðiáíî çíàéòè òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà (äèâ. ïðèêëàä äî ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà). Ìè òóò öüîãî ðîáèòè íå áóäåìî, à ñêîðèñòà¹ìîñü òàêèì òðþêîì. Ôîðìàëüíî ââàæàòèìåìî, ùî íàøà õâèëüîâà óíêöiÿ ψ(x) ¹ óíêöi¹þ êîìïëåêñíî¨ çìiííî¨ x. Ïåðåõiä ÷åðåç òî÷êó ïîâîðîòó ñïðàâà íàëiâî çäiéñíèìî íå âçäîâæ äiéñíî¨ îñi, à ïî êîíòóðó â êîìïëåêñíié ïëîùèíi òàê, ùîá çáåðåãòè óìîâó êâàçiêëàñè÷íîñòi. Âiçüìåìî áóäü-ÿêå çíà÷åííÿ x íà äiéñíié îñi ñïðàâà âiä òî÷êè ïîâîðîòó x2 i çäiéñíèìî íàâêîëî íå¨ äîäàòíèé îáõiä çà êîíòóðîì ó âåðõíié ïiâïëîùèíi, ÿêèé ¹ ïiâêîëîì äîñòàòíüî âåëèêîãî ðàäióñà i çîáðàæåíèé ñóöiëüíîþ ëiíi¹þ íà ðèñ. 29.

èñ. 29.

Êîíòóðè îáõîäó òî÷êè ïîâîðîòó

x2

íà êîìïëåêñíié ïëîùèíi.

Ïðè öüîìó ìè ïîòðàïëÿ¹ìî â òî÷êó x íà äiéñíié îñi çëiâà âiä òî÷êè ïîâîðîòó x2 . Ïðè òàêîìó îáõîäi ðiçíèöÿ (x − x2 ) îòðèìó¹ äîäàòêîâó àçó âåëè÷èíîþ π : x − x2 → |x − x2 |eiπ . Ç óðàõóâàííÿì ðîçêëàäó ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ â îêîëi x2

U (x) = U (x2 ) + U ′ (x2 )(x − x2 ) + · · · , U (x2 ) = E, 256

çàóâàæó¹ìî, ùî äëÿ âåëè÷èíè p p |p| = 2m[U (x) − E] ≃ 2mU ′ (x2 )(x − x2 ) ïðè òàêîìó îáõîäi, âiäïîâiäíî, íàáiãà¹ àçà π/2:

p iπ |p| → e 2 |p| = i 2m[E − U (x)] = ip. Õâèëüîâà óíêöiÿ ñïðàâà âiä òî÷êè x2 ïåðåõîäèòü ïðè öüîìó ó äðóãèé äîäàíîê õâèëüîâî¨ óíêöi¨, çàäàíî¨ äëÿ x1 < x < x2 , √ 2m(U (x)−E)dx −1 x Ce ~ x2 ψ(x) = 2[2m(U (x) − E)]1/4 √ 2m(E−U (x))dx −i x Ce ~ x2 → 2[2m(E − U (x))eiπ ]1/4

R R

=

iπ − i C √ e− 4 e ~ 2 p

R

x x2

pdx

,

i òîìó ïîâèííà âèêîíóâàòèñü ðiâíiñòü

C − iπ e 4 = C2 . 2

R

Ñàìå öåé äðóãèé äîäàíîê ¹ ãîëîâíèì ïðè îáõîäi çà êîíòóðîì ó x i p dx √ âåðõíié ïiâïëîùèíi. Ïåðøèé äîäàíîê C1 e ~ x2 / p ¹ çàãàñàþ÷èì ïðè çàãëèáëåííi ó âåðõíþ ïiâïëîùèíó òîìó, ùî ïîêàçíèê åêñïîíåíòè ìà¹ âåëèêó âiä'¹ìíó äiéñíó ÷àñòèíó. Òîìó éîãî íå áåðåìî äî óâàãè. Îòæå, ìè çíàéøëè çâ'ÿçîê ìiæ ñòàëèìè C2 òà C . Äëÿ âñòàíîâëåííÿ çâ'ÿçêó ìiæ C1 i C ïîâòîðèìî ïîïåðåäíþ ïðîöåäóðó, çäiéñíþþ÷è çà ãîäèííèêîâîþ ñòðiëêîþ âiä'¹ìíèé îáõiä çà êîíòóðîì ó íèæíié ïiâïëîùèíi. Íà ðèñ. 29 öå øòðèõîâàíèé êîíòóð. Ìè îòðèìà¹ìî òåïåð, ùî óíêöiÿ ψ(x) ñïðàâà âiä x2 ïåðåõîäèòü ó ïåðøèé äîäàíîê îñöèëþþ÷îãî ðîçâ'ÿçêó äëÿ x < x2 ç êîåiöi¹íòîì C iπ C1 = e 4 . 2 17

I. Î. Âàêàð÷óê

257

Òàêèì ÷èíîì, ìè ìîæåìî çàïèñàòè õâèëüîâó óíêöiþ çëiâà âiä x2 ó òàêîìó âèãëÿäi:

C iπ + i ψ(x) = √ e 4 ~ 2 p

R

x x2

Îòæå, îñòàòî÷íî

C ψ(x) = √ cos p

p dx

C − iπ − i + √ e 4 ~ 2 p

R

x x2

p dx

.

Z x 1 π p dx + , ~ x2 4

x < x2 . Ïiäêðåñëèìî, ùî ìè íå çøèâà¹ìî õâèëüîâi óíêöi¨ â òî÷öi x2 , çàäàíi çëiâà i ñïðàâà âiä íå¨, îñêiëüêè âîíè îáèäâi â òî÷öi ïîâîðîòó ïîçáàâëåíi çìiñòó (ìà¹ìî íóëü ó çíàìåííèêó). Ìîâà éäå ïðî âçà¹ìíó âiäïîâiäíiñòü îäíî¨ äî äðóãî¨ çëiâà i ñïðàâà âiä x2 . Óñi öi ìiðêóâàííÿ ìîæíà çàñòîñóâàòè i áiëÿ òî÷êè ïîâîðîòó x1 . Îòæå, çëiâà âiä òî÷êè x1 ìà¹ìî çàãàñàþ÷ó ç âiääàëåííÿì âiä íå¨ õâèëüîâó óíêöiþ 1 C′ ψ(x) = p e− ~ 2 |p|

R

x1 x

|p| dx

,

x < x1 ,

à â îáëàñòi x > x1 îñöèëþþ÷èé ðîçâ'ÿçîê:

C′ i ψ(x) = √1 e ~ p

R

x1 x

p dx

i C′ + √2 e− ~ p

R

x1 x

p dx

.

Çàñòîñîâóþ÷è ïîïåðåäíi âèêëàäêè ç âiäïîâiäíèìè ïåðåïîçíà÷åííÿìè, çíàõîäèìî, ùî öÿ óíêöiÿ çàïèñó¹òüñÿ ó âèãëÿäi Z x1 C′ 1 π ψ(x) = √ cos p dx + . p ~ x 4 Âèíèêëà ñèòóàöiÿ, êîëè äëÿ x1 < x < x2 ìà¹ìî äâi õâèëüîâi óíêöi¨, çíàéäåíi ÿê óíêöi¨ x çëiâà âiä x2 òà ñïðàâà âiä x1 . Àëå âîíè îïèñóþòü òîé ñàìèé ñòàí ó êëàñè÷íî äîñòóïíié îáëàñòi. Òîìó ç óìîâè îäíîçíà÷íîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ äîõîäèìî âèñíîâêó, ùî 258

öi äâi óíêöi¨ ìàþòü äîðiâíþâàòè îäíà îäíié, à òîìó ïîâèííà âèêîíóâàòèñü óìîâà Z x1 Z x 1 π 1 π ′ C cos p dx + = C cos p dx + . ~ x 4 ~ x2 4 Ìiíÿþ÷è ìiñöÿìè ìåæi iíòå ðóâàííÿ, ïåðåïèøåìî öþ óìîâó òàê: Z x Z x2 1 1 π π ′ C cos p dx − = C cos . p dx − ~ x1 4 ~ x 4 Öÿ ðiâíiñòü âèêîíó¹òüñÿ äëÿ äîâiëüíèõ çíà÷åíü x ìiæ òî÷êàìè x1 òà x2 , à òîìó ñóìà àð óìåíòiâ êîñèíóñiâ ïîâèííà áóòè êðàòíîþ äî π: Z Z 1 x π π 1 x2 p dx − = nπ, p dx − + ~ x1 4 ~ x 4

n = 0, 1, 2, . . . , ïðè÷îìó C ′ = (−)n C. Çâiäñè îòðèìó¹ìî, ùî Z π 1 x2 p dx − = nπ ~ x1 2 àáî

2 ~

Z

x2

p dx = 2π(n + 1/2). x1

Öåé iíòå ðàë ç äâiéêîþ ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê iíòå ðàëîì çà ïîâíèì ïåðiîäîì êëàñè÷íîãî ðóõó ÷àñòèíêè: I p dx = 2π~(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . . .

Öå i ¹ óìîâà êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà çi ñòàðî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi öåé iíòå ðàë âiäîìèé ÿê àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíò, òîáòî âåëè÷èíà, ÿêà ïðè ïîâiëüíié (àäiàáàòè÷íié) çìiíi ïàðàìåòðiâ óíêöi¨ àìiëüòîíà çàëèøà¹òüñÿ ñòàëîþ. Ó ìåæàõ ñòàðî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè Ï. Åðåíåñò íàäàâàâ âåëèêîãî çíà÷åííÿH çâ'ÿçêó àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ iç êâàíòóâàííÿì. Iíòå ðàëîâi p dx ìîæíà íàäàòè ïðîñòèé ãåîìåòðè÷íèé çìiñò öå 17*

259

¹ ïëîùà, îáìåæåíà àçîâîþ òðà¹êòîði¹þ ÷àñòèíêè â êîîðäèíàòàõ (x, p). Äëÿ ïåðiîäè÷íîãî ðóõó, ÿêèé òóò ðîçãëÿäà¹ìî, àçîâà òðà¹êòîðiÿ ¹ çàìêíåíîþ. Ïðè öüîìó óìîâà êâàíòóâàííÿ Áîðà Çîììåðåëüäà çâîäèòüñÿ äî óìîâè, ùî ïëîùà àçîâîãî ïðîñòîðó, âiäíåñåíà äî åëåìåíòàðíîãî êâàíòà äi¨ h = 2π~, ¹ öiëèì ÷èñëîì ç òî÷íiñòþ äî 1/2 (äèâ. ðèñ. 30):

H

p dx = n + 1/2. 2π~

×èñëî 1/2 âèíèêà¹ âíàñëiäîê âèêîíàííÿ ãðàíè÷íèõ óìîâ ó ðiâíÿííi Øðåäèí åðà. Êâàçiêëàñè÷íà óìîâà êâàíòóâàííÿ çàñòîñîâíà ëèøå ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ n. Äiéñíî, ÿê âèïëèâà¹ ç âèðàçó äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(x), êîëè x1 < x < x2 , ÷èñëî n âèçíà÷à¹ êiëüêiñòü ¨¨ âóçëiâ, à âiäñòàíü ìiæ íèìè çà ïîðÿäêîì âåëè÷èíè äîðiâíþ¹ äîâæèíi õâèëi äå Áðîéëÿ. Äåáðîéëiâñüêà äîâæèíà õâèëi, çãiäíî ç óìîâàìè êâàçiêëàñè÷íîñòi, ïîâèííà áóòè ìàëîþ âåëè÷èíîþ, îñêiëüêè iìïóëüñ ìà¹ áóòè âåëèêèì. Äëÿ çàáåçïå÷åííÿ öi¹¨ óìîâè ìè çìóøåíi âèìàãàòè, ùîá êiëüêiñòü âóçëiâ áóëà âåëèêîþ, òîáòî âåëèêèì ïîâèííå áóòè êâàíòîâå ÷èñëî n. Çíàéäåíå ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ óçàãàëüíþ¹òüñÿ íà ñèñòåìó ç áàãàòüìà ñòóïåíÿìè âiëüíîñòi, êîëè ìîæëèâå ðîçäiëåííÿ çìiííèõ. Äëÿ êîæíîãî ñòóïåíÿ âiëüíîñòi ìà¹ ñèëó âèïèñàíà óìîâà êâàíòóâàííÿ, ÿêùî ïiä êîîðäèíàòîþ òà iìïóëüñîì ðîçóìiòè óçàãàëüíåíó êîîðäèíàòó q òà âiäïîâiäíèé ¨é iìïóëüñ p:

H

p dq = n + ν, 2π~

n = 0, 1, 2, . . . ,

ïðè÷îìó âåëè÷èíà ν < 1 çàëåæèòü âiä ãðàíè÷íèõ óìîâ çàäà÷i â òî÷êàõ ïîâîðîòó. Öi óìîâè äèêòó¹ õàðàêòåð ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨: íàïðèêëàä, äëÿ âåðòèêàëüíî¨ ñòiíêè â îäíié ç òî÷îê ïîâîðîòó ν = 3/4, à äëÿ îáîõ ν = 0, n ≥ 1. Öå âèäíî ç òîãî, ùî â ïåðøîìó âèïàäêó õâèëüîâà óíêöiÿ äîðiâíþ¹ íóëåâi (íàïðèêëàä, çëiâà âiä òî÷êè x1 ), òîìó ψ(x1 ) = 0 i íàøà óíêöiÿ ψ(x) äëÿ x > x1 ìà¹ àçó íå π/4, à π/2, ùî äà¹ ν = 3/4. Ó äðóãîìó âèïàäêó îáèäâi óíêöi¨, i äëÿ x < x2 i äëÿ x > x1 ìàþòü àçè ðiâíi π/2, òîìó ν = 0. 260

Óìîâó êâàíòóâàííÿ ìîæíà, çðîçóìiëî, çàïèñàòè é ÷åðåç ïîäâiéíèé iíòå ðàë Z Z dq dp = 2π~(n + ν),

äå iíòå ðóâàííÿ ïðîâîäèìî ïî ïëîùi, ÿêà îáìåæåíà àçîâîþ òðà¹êòîði¹þ äëÿ åíåð i¨ E .

èñ. 30.

Ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà: íà ïëîùi, ÿêà îá-

ìåæåíà àçîâîþ òðà¹êòîði¹þ, óìiùà¹òüñÿ öiëå ÷èñëî êâàíòiâ äi¨

h.

Ïîâåðíåìîñü äî õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Ñòàëó íîðìóâàííÿ C âèçíà÷à¹ìî ç óìîâè Z |ψ(x)|2 dx = 1,

ïðè÷îìó äî óâàãè áåðåìî ëèøå âíåñîê âiä îáëàñòi x1 ≤ x ≤ x2 , íåõòóþ÷è åêñïîíåíöiàëüíî ìàëèìè âíåñêàìè çà ìåæàìè öüîãî ïðîìiæêó: Z x Z x2 π dx 2 1 2 cos p dx + = 1. |C| p ~ x2 4 x1 îçïèñóþ÷è êâàäðàò êîñèíóñà ÷åðåç êîñèíóñ ïîäâiéíîãî êóòà, ìà¹ìî: Z x Z x2 Z x2 |C|2 dx dx 2 − sin p dx = 1. 2 ~ x2 x1 p x1 p Âíåñêîì âiä äðóãîãî iíòå ðàëà òàêîæ íåõòó¹ìî, îñêiëüêè çà óìîâîþ êâàçiêëàñè÷íîñòi iìïóëüñ p = p(x) íàáóâà¹ âåëèêèõ çíà÷åíü, à

261

îòæå ñèíóñ ¹ øâèäêîîñöèëþþ÷îþ óíêöi¹þ i âíàñëiäîê öüîãî âåëè÷èíà iíòå ðàëà ¹ íåçíà÷íîþ. Ïåðøèé iíòå ðàë çàïèñó¹ìî ÷åðåç ïåðiîä êîëèâàíü Z x2 dx T = 2m , p x1

ñâî¹þ ÷åðãîþ T = 2π/ω , ω öèêëi÷íà ÷àñòîòà, ÿêà çàëåæèòü âiä åíåð i¨ E , i òàêèì ÷èíîì ìà¹ìî, ùî

|C|2 àáî

T =1 4m

r

r 4m 2mω C= = . T π Íàðåøòi, íîðìîâàíà õâèëüîâà óíêöiÿ r Z x 1 π 2mω cos p dx + , ψ(x) = πp ~ x2 4 Ïðèêëàä 1. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð.

i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà:

E=

x1 < x < x2 .

Çàïèøåìî êëàñè÷íèé âèðàç äëÿ åíåð-

p2 mω 2 2 + x . 2m 2

Éîãî ìîæíà ïåðåïèñàòè òàê: x2 p2 + p 2 = 1. ( 2mE)2 2E/mω 2 √

Öåé âèðàç ¹ íå ùî iíøå, ÿê ðiâíÿííÿ åëiïñà â êîîðäèíàòàõ (x, p). Ïëîùó, îáìåæåíó öi¹þ àçîâîþ òðà¹êòîði¹þ, âèçíà÷à¹ìî ðîçìiðàìè ïiâîñåé åëiïñà p √ a = 2mE, b = 2E/mω 2 : I

√ p dx = πab = π 2mE

r

2πE 2E = . mω 2 ω

Ç óìîâ êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà ìà¹ìî 1 2πE/ω =n+ , 2π~ 2

çâiäêè é îòðèìó¹ìî äîáðå âiäîìi ðiâíi åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà E = ~ω(n + 1/2).

262

k

Ïðèêëàä 2. Àíãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð |x| .

E=

p2 + α|x|k , 2m

iìïóëüñ

2m(E − α|x|k ).

Óìîâà êâàíòóâàííÿ:

x2

k > 0,

p

p= Z

Åíåð iÿ òàêî¨ ñèñòåìè

p

2m(E − α|x|k ) dx = 2π~(n + 1/2),

2 x1

äå n = 0, 1, 2, . . ., à òî÷êè ïîâîðîòó x1 = −(E/α)1/k , x2 = (E/α)1/k . Çðîáèìî çàìiíó çìiííî¨ x = y(E/α)1/k . Òåïåð óìîâà êâàíòóâàííÿ íàáèðà¹ âèãëÿäó: √ 4 (E/α)1/k 2mE I = 2π~(n + 1/2), äå iíòå ðàë Z

I=

1

p

1 − y k dy

0

çàìiíîþ y = t1/k çâîäèìî äî B-iíòå ðàëà Åéëåðà I=

1 k

Z

1

0

t1/k−1 (1 − t)1/2 dt =

Γ(1 + 1/k)Γ(3/2) , Γ(1/k + 3/2)

Γ(z) ãàììà-óíêöiÿ. Îñòàòî÷íî ìà¹ìî

2k/(2+k)

α1/k ~ Γ(3/2 + 1/k)π √ (n + 1/2) . 2 2m Γ(1 + 1/k)Γ(3/2) Çãiäíî ç ïðèíöèïîì âiäïîâiäíîñòi öåé âèðàç ¹ òî÷íèì ó ãðàíèöi âåëèêèõ çíà÷åíü êâàíòîâîãî ÷èñëà n. îçãëÿíüìî êiëüêà êîíêðåòíèõ âèïàäêiâ. Ïðè k = 2 î÷åâèäíî îòðèìó¹ìî åíåð iþ äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó. Äëÿ îñöèëÿòîðà x4 ïðè k = 4 çíàõîäèìî E=

E=

1 2

2α~4 m2

1/3 √

3 π Γ(3/4) (n + 1/2) Γ(1/4)

4/3

.

Ïðè n = 0 çâiäñè îäåðæó¹ìî åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó

E=

3 8

2α~4 m2

1/3

√ 3

12

√

π Γ(3/4) Γ(1/4)

4/3

=

3 8

2α~4 m2

1/3

× 1.156194.

Öiêàâî ïîðiâíÿòè öåé âèðàç ç îöiíêîþ çíèçó äëÿ E , ÿêó ìè çíàéøëè â Ïðèêëàäi 2 äî 7. Äëÿ |x|-îñöèëÿòîðà (k = 1) åíåð iÿ

263

E=

~2 β 2 2m

1/3

3π (n + 1/2) 4

2/3

çáiãà¹òüñÿ ç òî÷íèì ðåçóëüòàòîì ç 24 ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâîãî ÷èñëà n; äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó (n = 0) íàø êâàçiêëàñè÷íèé âèðàç äà¹

E=

~2 β 2 2m

1/3

3π 8

2/3

=

~2 β 2 2m

1/3

× 1.115460,

à òî÷íèé ÷èñëîâèé êîåiöi¹íò äîðiâíþ¹ 1.018793. Íàðåøòi ðîçãëÿíüìî âåëèêi çíà÷åííÿ ïîêàçíèêà k. Äëÿ öüîãî âåëè÷èíó α çàïèñó¹ìî òàê: α = V0 /xk0 , V0 ìàñøòàá åíåð i¨, x0 ìàñøòàá äîâæèíè. Â ðåçóëüòàòi ïðè k → ∞ ïðèõîäèìî äî çàäà÷i ïðî ðóõ ÷àñòèíêè â ÿìi ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè i øèðèíîþ a = 2x0 . Ïðè öüîìó åíåð iÿ E=

~ 2 π 2 (n + 1/2)2 . 2m a

Öåé âèðàç çáiãà¹òñÿ ïðè âåëèêèõ êâàíòîâèõ ÷èñëàõ ç òî÷íîþ îðìóëîþ ç 20. Ïðèêëàä 3. Àòîì âîäíþ. óõ åëåêòðîíà â àòîìi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = −e2 /r , óíàñëiäîê çàêîíó çáåðåæåííÿ ìîìåíòó iìïóëüñó L ó öåíòðàëüíîñèìåòðè÷íîìó ïîëi (äðóãèé çàêîí Êåïëåðà), âiäáóâà¹òüñÿ â ïëîùèíi, ùî ¹ ïåðïåíäèêóëÿðíîþ äî âåêòîðà L. Êóëîíiâñüêèé õàðàêòåð ïîòåíöiàëó çàáåçïå÷ó¹ ðóõ åëåêòðîíà çà åëiïòè÷íèìè îðáiòàìè (ïåðøèé çàêîí Êåïëåðà). Êiíåòè÷íà åíåð iÿ åëåêòðîíà â ïîëÿðíèõ êîîðäèíàòàõ mv 2 /2 = m(r˙ + r 2 ϕ˙ 2 )/2, äå r äîâæèíà ðàäióñ-âåêòîðà, ϕ ïîëÿðíèé êóò (0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π). Êðàïêàìè ïîçíà÷åíî ïîõiäíi çà ÷àñîì. Óâåäåìî êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi iìïóëüñè pr = mr˙ , pϕ = mr 2 ϕ˙ i çàïèøåìî ïîâíó åíåð iþ åëåêòðîíà ó òàêîìó âèãëÿäi:

E=

p2ϕ p2r e2 + − . 2 2m 2mr r

Óçàãàëüíåíèé iìïóëüñ pϕ ÷èñåëüíî äîðiâíþ¹ ìîìåíòîâi êiëüêîñòi ðóõó L. Ìà¹ìî äâà ñòóïåíi âiëüíîñòi i îòæå, äâi óìîâè êâàíòóâàííÿ Áîðà Çîììåðåëüäà: I

pϕ dϕ = 2π~nϕ , I

pr dr = 2π~nr ,

äå nϕ àçèìóòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, nr ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. Çàóâàæèìî, ùî ìè îïóñêà¹ìî â ïðàâèõ ÷àñòèíàõ óìîâ êâàíòóâàííÿ ñòàëi âåëè÷èíè νϕ , νr (0 ≤ νϕ < 1, 0 ≤ νr < 1), òî÷íi çíà÷åííÿ ÿêèõ çàëåæàòü âiä ãðàíè÷íèõ óìîâ äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Äëÿ îäíîâèìiðíîãî ðóõó, ÿê ìè áà÷èëè, öÿ ñòàëà äîðiâíþ¹ 1/2. Âåëè÷èíà pϕ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó, pϕ = const. Òîìó ïåðøà óìîâà êâàíòóâàííÿ äà¹ pϕ = ~nϕ , nϕ = 1, 2, 3, . . . . Çíà÷åííÿ nϕ = 0 ìè ïîâèííi âèëó÷èòè,

264

îñêiëüêè öå âiäïîâiäà¹ ðóõîâi åëåêòðîíà ïî ïðÿìié ëiíi¨ êðiçü ÿäðî (ìàÿòíèêîâà îðáiòà), ùî, çà êëàñè÷íèìè óÿâëåííÿìè, íåìîæëèâî. Äðóãó óìîâó êâàíòóâàííÿ çàïèøåìî òàê: Z

r2

s

p2ϕ e2 + 2 2mr r

2m E −

2 r1

dr = 2π~nr ,

nr = 0, 1, 2, . . . . Òóò r1 , r2 òî÷êè ïîâîðîòó, ÿêi âèçíà÷à¹ìî ç óìîâè ðiâíîñòi íóëåâi ïiäêîðåíåâîãî âèðàçó, ðîçâ'ÿçóþ÷è ïðè öüîìó êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ: 1 r1,2

=

me2 (1 ± ǫ), p2ϕ

r

2Ep2ϕ me4 åêñöåíòðèñèòåò åëiïñà. Òåïåð ïiäêîðåíåâèé âèðàç ǫ=

1+

p2ϕ p2ϕ 1 e2 1 1 1 + =− − − 2 2mr r 2m r r1 r r2 i äëÿ îá÷èñëåííÿ iíòå ðàëà çðîáèìî çàìiíó çìiííî¨

E−

1 1 1 1 1 1 1 + cos ϕ, + − = r 2 r1 r2 2 r1 r2 ϕ = 0 ïðè r = r1 , ϕ = π ïðè r = r2 . ßêùî âèêîðèñòàòè çíà÷åííÿ r1 , r2 , òî íàøà ïiäñòàíîâêà ìà¹ âèãëÿä: r = p/(1 + ǫ cos ϕ), p = p2ϕ /me2 åëiïñ. Ïðîñòi ïåðåòâîðåííÿ äàþòü äëÿ äðóãî¨ óìîâè êâàíòóâàííÿ: pϕ π

Z 0

Iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè: pϕ π

π

ǫ2 sin2 ϕ dϕ = ~nr . (1 + ǫ cos ϕ)2 π

ǫ sin ϕ − 1 + ǫ cos ϕ 0

i îòæå, −

pϕ π

àáî

Z

π

0

1−

Z

π

0

ǫ cos ϕ dϕ 1 + ǫ cos ϕ

1 1 + ǫ cos ϕ

= ~nr ,

dϕ = ~nr

Z

dϕ pϕ π = pϕ + ~nr . π 0 1 + ǫ cos ϕ Ïiäñòàíîâêîþ x = tan(ϕ/2) öåé iíòå ðàë ïðèâîäèìî äî òàáëè÷íîãî: Z

0

π

dϕ 1 + ǫ cos ϕ

=

=

2 1−ǫ 2 1−ǫ

Z

0

r

∞

dx + x2

1+ǫ 1−ǫ

1−ǫ arctan x 1+ǫ

r

1−ǫ 1+ǫ

! ∞ π . = √ 1 − ǫ2 0

265

Îòæå,

pϕ = pϕ + ~nr . 1 − ǫ2 Çâiäñè, ïiäñòàâëÿþ÷è ǫ, çíàõîäèìî åíåð iþ √

E=−

me4 . 2(pϕ + ~nr )2

Òîáòî ìè îòðèìàëè îðìóëó Áîðà äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ: me4 , 2~2 n2 äå n = nr + nϕ = 1, 2, 3, . . . ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. ßêùî âçÿòè äî óâàãè i ñòàëi âåëè÷èíè â óìîâi êâàíòóâàííÿ νϕ = 1/2, νr = 1/2, òîáòî çàìiíèòè nr íà nr + 1/2, nr = 0, 1, 2 . . . , à nϕ íà l + 1/2, l = 0, 1, 2 . . ., òî ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n = nr + l + 1. Ïîâ÷àëüíî òàêîæ ðîçðàõóâàòè ðàäiàëüíó óìîâó êâàíòóâàííÿ ÷åðåç ïîäâiéíèé iíòå ðàë Z Z E=−

dr dpr = 2π~(nr + 1/2),

äå ìåæi ðàäiàëüíî¨ êîîðäèíàòè r ïðè çàäàíîìó pr çíàõîäèìî ç âèðàçó äëÿ åíåð i¨, s 1 rmin,max

=

me2 1 ± p2ϕ pϕ

me2 pϕ

2

− p2r + 2mE,

à ìåæi ðàäiàëüíî¨ êîìïîíåíòè iìïóëüñó pr çíàõîäèìî ç íóëÿ öüîãî ïiäêîðåíåâîãî âèðàçó: pr = ±me2 ǫ/pϕ . Îòæå, iíòå ðàë 2 meZ ǫ/pϕ rZ max

Z Z

dr dpr =

2 meZ ǫ/pϕ

r

me2 ǫ/pϕ

Z

dpr

= 2pϕ

me2 pϕ

−me2 ǫ/pϕ

2

− p2r + 2mE

p2r − 2mE

−me2 ǫ/pϕ

=

dpr (rmax − rmin )

dpr dr =

−me2 ǫ/pϕ rmin

me2 ǫ sin x çàìiíà pr = pϕ

π/2 Z

= 4pϕ b 0

= 2πpϕ

√

1 + b − 1 = 2πpϕ

cos2 x dx 1 + b sin2 x !

me2 p −1 , pϕ 2m|E|

òóò b = (me2 ǫ)2 /p2ϕ 2m|E|. Òåïåð, ç óìîâè êâàíòóâàííÿ ïðè pϕ = ~(l + 1/2), ïðèõîäèìî äî ïîïåðåäíüîãî âèðàçó äëÿ åíåð i¨.

266

31. Êâàíòîâà ìåõàíiêà òà iíòå ðàëè çà òðà¹êòîðiÿìè

ßê ìàòðè÷íà êâàíòîâà ìåõàíiêà àéçåíáåð à, òàê i õâèëüîâà ìåõàíiêà Øðåäèí åðà ðóíòóþòüñÿ çíà÷íîþ ìiðîþ íà âèêîðèñòàííi ãàìiëüòîíîâîãî îðìàëiçìó. Iíøèìè ñëîâàìè, i îïåðàòîðíi ðiâíÿííÿ ðóõó dAˆ ˆ −H ˆ A, ˆ = AˆH i~ dt i õâèëüîâå ðiâíÿííÿ

i~

∂ψ ˆ = Hψ ∂t

ˆ , ÿêèé ó áàãàòüîõ âèïàäâèêîðèñòîâóþòü îïåðàòîð àìiëüòîíà H êàõ áóäó¹òüñÿ ç êëàñè÷íî¨ óíêöi¨ àìiëüòîíà âiäïîâiäíîþ çàìiíîþ óçàãàëüíåíèõ iìïóëüñiâ i êîîðäèíàò íà îïåðàòîðè. Àíàëîãàìè íàâåäåíèõ ðiâíÿíü ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi, ÿê öå áóëî ïîêàçàíî ðàíiøå, ¹ âiäïîâiäíî ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà òà ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà ßêîái. ßê ìè âæå çíà¹ìî, öi äâà, çäàâàëîñü áè, ðiçíi ïiäõîäè äî îïèñó êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ÿâèù ìàòåìàòè÷íî ¹ åêâiâàëåíòíèìè i äîïîâíþþòü îäèí îäíîãî. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî ìîæëèâèì ¹ ùå îäíå, òðåò¹ îðìóëþâàííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, äî âèêëàäó ÿêîãî ìè i ïåðåõîäèìî. Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi, êðiì ãàìiëüòîíîâîãî ïiäõîäó äî ïîáóäîâè ðiâíÿíü ðóõó, ¹ ùå ìåòîä Ëà ðàíæà, ÿêèé ðóíòó¹òüñÿ íà ââåäåííi óíêöi¨ Ëà ðàíæà L = L(x, ˙ x, t) ÿê óíêöi¨ óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò òà øâèäêîñòåé. Ó íàéïðîñòiøîìó âèïàäêó âîíà äîðiâíþ¹ ðiçíèöi êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ K òà ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ U : L = K − U. ßê çàâæäè, ìè äëÿ ïðîñòîòè ðîçãëÿäà¹ìî ðóõ ÷àñòèíêè â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði. Íåõàé ÷àñòèíêà ïî÷èíà¹ ñâié ðóõ ç äåÿêî¨ òî÷êè â ìîìåíò ÷àñó ta i çàâåðøó¹ éîãî â iíøié òî÷öi â ìîìåíò ÷àñó tb . Ç ïðèíöèïó ìiíiìàëüíîñòi äi¨

S=

Z

tb

L(x, ˙ x, t) dt, ta

267

òîáòî ç óìîâè δS = 0, çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ Ëà ðàíæà3

d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ x˙ ∂x Çâ'ÿçîê ìiæ óíêöi¹þ Ëà ðàíæà i óíêöi¹þ àìiëüòîíà âiäîìèé: L = px˙ − H, ∂L , ∂ x˙ i òîìó, çíàþ÷è L, ìîæíà çà öèì ðiâíÿííÿì ðîçðàõóâàòè H i âiäïîâiäíî ïîòiì ïåðåéòè äî êâàíòîâî¨ çàäà÷i. Îäíàê íå çàâæäè âäà¹òüñÿ òàê ïðîñòî âèðàçèòè óçàãàëüíåíi øâèäêîñòi x˙ ÷åðåç óçàãàëüíåíi iìïóëüñè p, òîáòî ðiâíÿííÿ p = ∂L/∂ x˙ íå çàâæäè îáåðòà¹òüñÿ â ÿâíîìó âèãëÿäi x˙ = x(p) ˙ . öiëà íèçêà òàêèõ çàäà÷, íàïðèêëàä, ó ñëàáîðåëÿòèâiñòñüêié ìåõàíiöi. Òîìó âèíèêà¹ ïîòðåáà âèíàéòè òàêèé øëÿõ êâàíòóâàííÿ, ÿêèé âèêîðèñòîâóâàâ áè íå ãàìiëüòîíiâ, à áåçïîñåðåäíüî ëà ðàíæiâ ïiäõiä. Ñàìå òàêó ìåòó i ìàâ . Ôåéíìàí, ÿêèé ïîáóäóâàâ ó 1942 ðîöi â äîêòîðñüêié äèñåðòàöi¨ ñâié âàðiàíò êâàíòîâî¨ òåîði¨. Ñëiä, îäíàê, çàóâàæèòè, ùî i ñàìó iäåþ, i àêòè÷íî îñíîâíi îðìóëè òàêîãî ïiäõîäó ðàíiøå ïîäàâ Ï. À. Ì. Äiðàê4 . Öåé øëÿõ öiêàâèé òèì, ùî ïîðÿä iç êâàíòîâèìè àìïëiòóäàìè éìîâiðíîñòåé òà ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨ âií âèêîðèñòîâó¹ òàêi íàî÷íi ïîíÿòòÿ, ÿê êëàñè÷íi òðà¹êòîði¨ òà êëàñè÷íà äiÿ, òèì ñàìèì iíòó¨òèâíî ñêëàäà¹òüñÿ âðàæåííÿ íiáèòî áiëüøî¨ çðîçóìiëîñòi òîãî, ùî âiäáóâà¹òüñÿ â ìiêðîñâiòi. p=

3

Ïðèíöèï íàéìåíøî¨ äi¨, àáî âàðiàöiéíèé ïðèíöèï, óâiâ ó içèêó Ï'¹ð Ôåðìà (16011665), ðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê i içèê, ïðèáëèçíî â 1660 ðîöi. Çãiäíî ç öèì ïðèíöèïîì, ñâiòëî ïîøèðþ¹òüñÿ âiä òî÷êè äî òî÷êè ïî øëÿõó, ùî ïîòðåáó¹ íàéìåíøîãî ÷àñó: ïðèðîäà äi¹ íàéëåãøèìè òà íàéäîñòóïíiøèìè øëÿõàìè. Ïiçíiøå, ó íàñòóïíèõ ñòîëiòòÿõ, öåé ïðèíöèï ðîçðîáëÿëè Ìîïåðòþ¨, Åéëåð, Ëà ðàíæ, àìiëüòîí. Éîãî óíiâåðñàëüíiñòü i âèíÿòêîâà ðîëü ó içèöi ñòàëè çðîçóìiëèìè ïiñëÿ ðîáiò åëüìãîëüöà, Ïëàíêà, Íåòåð. Öiêàâî, ùî ñàìå ïîíÿòòÿ äi¨ ââiâ ùå Ëÿéáíiö. Ó XVIII ñòîði÷÷i öåé ïðèíöèï âèêëèêàâ âåëèêå çàöiêàâëåííÿ, îñîáëèâî ç iëîñîñüêîãî ïîãëÿäó. Ï.-Ë. Ì. äå Ìîïåðòþ¨ (16981759) âáà÷àâ ó öüîìó îñíîâó òåîëîãi÷íîãî ñâiòîãëÿäó, âií íàâîäèâ öåé ïðèíöèï (Íàðèñè Êîñìîëîãi¨, 1750 ð.) ÿê äîêàç iñíóâàííÿ Áîãà, óâàæàþ÷è, ùî ðåøòà äîêàçiâ áóëè áåçñèëèìè é íåïåðåêîíëèâèìè. 4 Ïðî öå íåîäíîðàçîâî ãîâîðèâ i ñàì . Ôåéíìàí; äèâ., íàïðèêëàä, éîãî Íîáåëiâñüêó ëåêöiþ, à òàêîæ ñòàòòþ: R. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, No. 2, 362 (1948).

268

Óâåäåìî àìïëiòóäó éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ÷àñòèíêà ç òî÷êè xa â ìîìåíò ÷àñó ta ïåðåéäå â òî÷êó xb â ìîìåíò ÷àñó tb

K(b, a) = K(xb , tb ; xa , ta ), òàê ùî éìîâiðíiñòü òàêîãî ïåðåõîäó

P (b, a) = |K(b, a)|2 .

Âèêîðèñòà¹ìî òîé àêò, ùî ó êâàçiêëàñè÷íîìó íàáëèæåííi, ÿê ìè áà÷èëè, õâèëüîâà óíêöiÿ âèçíà÷à¹òüñÿ êëàñè÷íîþ äi¹þ S = S(x, t), i

ψ(x, t) ∼ e ~ S(x,t) .

Áóäåìî ïîñòóëþâàòè, ùî éìîâiðíiñòü òàêîãî ïåðåõîäó çà äåÿêîþ òðà¹êòîði¹þ âèçíà÷à¹òüñÿ àìïëiòóäîþ, ÿêà ïðîïîðöiéíà äî âåëè÷èíè Z tb i i S L(x, ˙ x, t) dt . e ~ = exp ~ ta

èñ. 31.

Ìîæëèâi øëÿõè ïåðåõîäó ÷àñòèíêè ç òî÷êè

Ïîâíà àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi X K(b, a) =

çà âñiìà ìîæëèâèìè òðà¹êòîðiÿìè ç a â b

a

â òî÷êó

b.

i

const × e ~ S ,

S = S[x(t)] òîáòî áåðåìî ñóìó çà âñiìà ìèñëèìèìè øëÿõàìè, à íå ëèøå çà êëàñè÷íîþ òðà¹êòîði¹þ (äèâ. ðèñ. 31). 269

Ó êëàñè÷íîìó âèïàäêó äiÿ ìàêðîñêîïi÷íî¨ ñèñòåìè íà áàãàòî ïîðÿäêiâ ïåðåâèùó¹ êâàíò äi¨ ~ = 1.05457266 · 10−27 ã·ñì2 /ñåê, S/~ ≫ 1. Òîìó âíåñêè âiä ñóñiäíiõ òðà¹êòîðié, ùî âèçíà÷àþòüi ñÿ øâèäêî îñöèëþþ÷èì ìíîæíèêîì e ~ S , êîìïåíñóþòüñÿ (óíêöiÿ ïðàêòè÷íî íå çìiíþ¹ ñâîãî ÷èñåëüíîãî çíà÷åííÿ, àëå çìiíþ¹ çíàê!)5 . Òîìó âiäìiííèé âiä íóëÿ âíåñîê ¹ ëèøå âiä òèõ òðà¹êòîðié x(t), äëÿ ÿêèõ ïðè ïåðåõîäi äî iíøèõ ñóñiäíiõ x(t) + δx(t) äiÿ S íå çìiíþ¹òüñÿ â ïåðøîìó íàáëèæåííi çà δx(t):

S[x(t) + δx(t)] = S[x(t)], òîáòî âàðiàöiÿ

δS = S[x(t) + δx(t)] − S[x(t)]

äîðiâíþ¹ íóëåâi,

δS = 0. Öå i ¹ ïðèíöèï íàéìåíøî¨ äi¨ â êëàñè÷íié ìåõàíiöi, ç ÿêîãî âèïëèâàþòü êëàñè÷íi ðiâíÿííÿ ðóõó. Ó êâàíòîâié ñèñòåìi âíåñêè âñiõ òðà¹êòîðié ¹ ñóìiðíèìè, îñêiëüêè S ∼ ~. Òàêèì ÷èíîì, ó êâàíòîâié ìåõàíiöi íåîáõiäíî âðàõîâóâàòè ñóìó çà âñiìà ìîæëèâèìè øëÿõàìè. ßêùî ðîçãëÿäàòè áåçìåæíî áëèçüêi òðà¹êòîði¨, òî ñóìà çàìiíþ¹òüñÿ iíòå ðàëîì. îçãëÿíåìî äåòàëüíiøå öåé ïåðåõiä. îçiá'¹ìî ÷àñîâèé iíòåðâàë tb − ta íà N îäíàêîâèõ åëåìåíòàðíèõ iíòåðâàëiâ âåëè÷èíîþ ε,

ε = ti+1 − ti ,

ε=

tb − ta , N

ÿê öå çîáðàæåíî íà ðèñ. 32. Ñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü êîæíîìó ìîìåíòîâi ÷àñó ti çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè xi . ßêùî ìè ìà¹ìî â ìîìåíò ti çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè xi = x(ti ) íà òðà¹êòîði¨ x(t), òî ÷åðåç ïðîìiæîê ÷àñó ε âiäáóâà¹òüñÿ çìiùåííÿ íà ∆xi íà òðà¹êòîðiþ x(t) + δx(t) (äèâ. ðèñ. 33). 5 Äëÿ ïðèêëàäó âiçüìiìî iíòå ðàë ó áåçìåæíèõ ãðàíèöÿõ âiä øâèäêî îñöèëþþ÷î¨ óíêöi¨ cos νx, ν → ∞, ïîìíîæåíî¨ íà ïîâiëüíó óíêöiþ, ùî çàáåç-

ïå÷ó¹ éîãî çáiæíiñòü: I = îñöèëÿöié I =

270

√

π e−ν

2

/4

R∞

−∞

2

e−x cos νx dx. Ëåãêî áà÷èòè, ùî âíàñëiäîê öèõ

→ 0 ïðè ν → ∞.

èñ. 32.

îçáèòòÿ ÷àñîâîãî iíòåðâàëó íà åëåìåíòàðíi ïðîìiæêè.

Ïåðåáèðàþ÷è òàêèì ÷èíîì óñi ìîæëèâi òðà¹êòîði¨, àìïëiòóäó éìîâiðíîñòi çàïèñó¹ìî â òàêîìó âèãëÿäi: Z Z i K(b, a) = lim const × dx1 ... dxN −1 e ~ S[x(t)] . ε→0

Iíòå ðàë âiä óíêöi¨ Ëà ðàíæà, ÿêèé âèçíà÷à¹ äiþ S[b, a] =

Rb

L dt, âiäïîâiäíî äî íàøîãî ðîçáèòòÿ ÷àñîâîãî iíòåðâàëó çàìiíþ-

a

¹ìî ñóìîþ

S[b, a] = ε

N −1 X j=0

L

xj+1 − xj xj+1 + xj tj+1 + tj , , ε 2 2

,

ïðè÷îìó çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè é ÷àñó ìiæ òî÷êàìè ç íîìåðàìè j òà j + 1 áåðåìî ÿê ïiâñóìó êðàéíiõ çíà÷åíü x → (xj+1 + xj )/2, t → (tj+1 + tj )/2, à øâèäêiñòü ÿê ñåðåäíþ øâèäêiñòü x˙ → (xj+1 − xj )/ε. Iíòå ðóâàííÿ çà êîîðäèíàòàìè x0 = xa òà xN = xb íå ïðîâîäèìî: êiíöi òðà¹êòîðié çà óìîâîþ ¹ çàêðiïëåíèìè. ßêùî iíòåðâàë ε ñïðÿìóâàòè äî íóëÿ, òî òàê ìè ïåðåáåðåìî âñi ìîæëèâi ìîìåíòè ÷àñó i âñi ìîæëèâi òðà¹êòîði¨: Z Z 1 dxN −1 i S[x(t)] dx1 . K(b, a) = lim ... e~ ε→0 A A A N →∞

Ìè ðîçáèëè ñòàëó âåëè÷èíó const íà äîáóòîê ñòàëèõ âåëè÷èí 1/A, ÿêi íàì òðåáà áóäå ùå âèçíà÷èòè. 271

èñ. 33.

Ïåðåõiä âiä îäíi¹¨ òðà¹êòîði¨ äî iíøî¨ âiäïîâiäíî äî ðîçáèòòÿ

÷àñîâîãî iíòåðâàëó.

Ìè îçíà÷èëè òàêèì ÷èíîì àìïëiòóäó éìîâiðíîñòi ÷åðåç áåçìåæíîêðàòíèé iíòå ðàë. Òàê îçíà÷åíèé iíòå ðàë íàçèâàþòü êîíòèíóàëüíèì, àáî óíêöiîíàëüíèì, iíòå ðàëîì. Ìè ñïîäiâà¹ìîñü, ùî çíà÷åííÿ öüîãî iíòå ðàëà íå çàëåæèòü âiä ñïîñîáiâ ðîçáèòòÿ ÷àñîâîãî ïðîìiæêó òà òðà¹êòîðié íà åëåìåíòàðíi iíòåðâàëè. Öåé iíòå ðàë çàïèñóþòü ùå é òàê: Z i K(b, a) = e ~ S[x(t)] D[x(t)].

Òàêèé ñèìâîëi÷íèé çàïèñ ¹ ïðîñòî ñêîðî÷åíèì çàïèñîì ïîïåðåäíüî¨ îðìóëè. Çi ñêàçàíîãî ñòà¹ çðîçóìiëî, ÷îìó öåé ïiäõiä ìà¹ íàçâó ìåòîäó iíòå ðàëiâ çà òðà¹êòîðiÿìè, àáî ìåòîäó iíòå ðàëiâ çà øëÿõàìè. Óíàñëiäîê àäèòèâíîñòi óíêöi¨ äi¨ Z b Z c Z b L dt, L dt + L dt = S = S[b, a] = a

c

a

S[b, a] = S[b, c] + S[c, a] ìîæåìî çàïèñàòè àìïëiòóäó K(b, a) òàêèì ÷èíîì: Z Z dxc−1 dx1 1 ... K(b, a) = lim ε→0 A A A N →∞

× 272

Z

dxc A

Z

dxc+1 ... A

Z

dxN −1 i S[x(t)] e~ A

=

×

lim

ε→0 N →∞

1 A

Z

Z

1 dxc A

Z

dx1 ... A

dxc+1 ... A

Z

dxN −1 i S[b,c] e~ . A

Z

dxc−1 i S[c,a] e~ A

Öåé âèðàç, î÷åâèäíî, ìîæíà çàïèñàòè ùå é òàê: Z Z Z i i K(b, a) = dxc e ~ S[b,c]D[x(t)] e ~ S[c,a] D[x(t)] àáî

K(b, a) =

Z

dxc K(b, c)K(c, a).

Öåé çàêîí ìíîæåííÿ äëÿ àìïëiòóä íàãàäó¹ ìíîæåííÿ ìàòðèöü, à éîãî içè÷íà ñóòü ¹ ïðîçîðîþ. Ïåðåõiä ç òî÷êè a â òî÷êó b ìîæíà ðîçáèòè íà äâà åòàïè. Ïåðøèé öå ïåðåõiä iç ïî÷àòêîâî¨ òî÷êè a â ïðîìiæíó òî÷êó c, à äðóãèé iç òî÷êè c ó êiíöåâó òî÷êó b. Àìïëiòóäà ïåðåõîäó ç a â b ¹ äîáóòêîì âiäïîâiäíèõ àìïëiòóä. Ïîâíó àìïëiòóäó îòðèìó¹ìî, êîëè â ðîëi ïðîìiæíî¨ òî÷êè c ïåðåáåðåìî âñi òî÷êè ïðîñòîðó (äèâ. ðèñ. 34).

èñ. 34.

Òðà¹êòîði¨ ïåðåõîäó ÷àñòèíêè ç òî÷êè

ìiæíó òî÷êó

a

â òî÷êó

b

÷åðåç ïðî-

c.

Äåòàëüíiøèé çàïèñ öüîãî âèðàçó: Z K(xb , tb ; xa , ta ) = dxc K(xb , tb ; xc , tc )K(xc , tc ; xa , ta ). 18

I. Î. Âàêàð÷óê

273

Çà ñâî¨ì çìiñòîì àìïëiòóäà K(xb , tb ; xa , ta ) ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê õâèëüîâîþ óíêöi¹þ. Ôiêñóþ÷è ïî÷àòêîâó òî÷êó a, ðîçãëÿäàòèìåìî öåé âèðàç ÿê õâèëüîâó óíêöiþ

ψ(xb , tb ) = K(xb , tb ; xa , ta ), ÿêà çàëåæèòü âiä çìiííèõ ó òî÷öi b. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïîïåðåäíþ ðiâíiñòü äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨, ìîæíà íàïèñàòè òàêå iíòå ðàëüíå ðiâíÿííÿ: Z ψ(xb , tb ) = dxc K(xb , tb ; xc , tc )ψ(xc , tc ).

ßê ïåðåéòè äî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà? Ç öi¹þ ìåòîþ ðîçãëÿíåìî ïåðåõiä âiä õâèëüîâî¨ óíêöi¨ â ìîìåíò ÷àñó t äî ¨¨ çíà÷åííÿ â iíøèé ìîìåíò ÷àñó t + ε ïðè ε → 0. Äîìîâèìîñü ùîäî ïîçíà÷åíü. Íåõàé tc = t, tb = t + ε, xb = x, xc = y. Òåïåð iíòå ðàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ íàáèðà¹ âèãëÿäó: Z ψ(x, t + ε) = dy K(x, t + ε; y, t)ψ(y, t), äå ÿäðî, âiäïîâiäíî äî ðîçáèòòÿ ÷àñîâîãî iíòåðâàëó, ÿêå ìè ïðèéíÿëè 1 i x−y x+y ε K(x, t + ε; y, t) = exp εL , , t+ , A ~ ε 2 2 i îòæå,

ψ(x, t + ε) =

Z∞

ε→0 −∞

i x−y x+y ε dy exp εL , , t+ ψ(y, t). A ~ ε 2 2

Íåõàé äàëi óíêöiÿ Ëà ðàíæà ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi U (x, t),

L= òîäi

L 274

x−y x+y ε , , t+ ε 2 2

mx˙ 2 − U (x, t), 2

m(x − y)2 −U = 2ε2

x+y ε ,t + 2 2

.

Òåïåð

ψ(x, t + ε) =

Z∞

−∞

dy im x+y i ε 2 exp (x − y) − εU ,t + ψ(y, t). A 2~ε ~ 2 2

îáèìî çàìiíó çìiííèõ

r

y=

2~ε z + x, m

z=

r

m (y − x) 2~ε

i îòðèìó¹ìî

ψ(x, t + ε) =

Z∞

−∞

"

iε × exp − U ~

1 A

r

z x+ 2

2~ε iz 2 e m

r

ε 2~ε , t+ m 2

!#

ψ z

r

! 2~ε + x, t dz. m

îáèìî òåïåð íàñòóïíèé êðîê i, áåðó÷è äî óâàãè ìàëèçíó âåëè÷èíè ε, ðîçêëàäà¹ìî ëiâó i ïðàâó ÷àñòèíó öüîãî ðiâíÿííÿ â ðÿä çà ε, çáåðiãàþ÷è ëiíiéíi ÷ëåíè:

∂ψ(x, t) 1 ψ(x, t) + ε + ··· = ∂t A (

∂ψ(x, t) z × ψ(x, t) + ∂x 1 = A

r

2~ε m

Z∞

−∞

iz 2

e

r

r

2~ε m

Z∞

−∞

iz 2

e

i 1 − εU (x, t) + . . . ~

) 2~ε 1 ∂ 2 ψ(x, t) 2~ε 2 + z + · · · dz m 2 ∂x2 m

r 2~ε ∂ψ(x, t) ψ(x, t) + z m ∂x

1 ∂ 2 ψ(x, t) 2~ε 2 i z − εU (x, t)ψ(x, t) + · · · dz. + 2 ∂x2 m ~ 18*

275

Äëÿ òîãî ùîá ïðîñóíóòèñü äàëi, âèêîðèñòà¹ìî iíòå ðàëè: r r Z∞ Z∞ π π 1 −αz 2 2 −αz 2 dz = e , , dz = z e α 2α α −∞

α = −i + δ,

−∞

δ > 0,

î÷åâèäíî, iíòå ðàëè ç íåïàðíèìè ñòåïåíÿìè z äîðiâíþþòü íóëåâi. Çâiäñè ïðè δ → 0 çíàõîäèìî ïîòðiáíi íàì iíòå ðàëè i ìà¹ìî: r ∂ψ(x, t) 1 2~ε √ 1 ∂ 2 ψ(x, t) 2~ε i ψ(x, t) + ε iπ ψ(x, t) + 0 + = ∂t A m 2 ∂x2 m 2 i − εU (x, t)ψ(x, t) . ~ Äëÿ òîãî ùîá ëiâà ÷àñòèíà ðiâíÿííÿ äîðiâíþâàëà ïðàâié, íåîáõiäíî ïðèðiâíÿòè ìíîæíèêè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ ε: r 1 2~εiπ = 1, A m

~ ∂ 2 ψ(x, t) i ∂ψ(x, t) =i − U (x, t)ψ(x, t). 2 ∂t 2m ∂x ~ Ïåðøå ðiâíÿííÿ âèçíà÷à¹ íàì ñòàëó âåëè÷èíó A ïðè ïðèéíÿòîìó òóò ñïîñîái ðîçáèòòÿ ÷àñîâîãî iíòåðâàëó. Îòæå, òèì ñàìèì ìè îñòàòî÷íî iêñó¹ìî âèçíà÷åííÿ àìïëiòóäè éìîâiðíîñòåé K(b, a) ÷åðåç áàãàòîêðàòíèé iíòå ðàë. Öå, ñâî¹þ ÷åðãîþ, äà¹ çìîãó ïðîâîäèòè ¨¨ ðîçðàõóíêè ÷èñåëüíèìè ìåòîäàìè íà ñó÷àñíèõ êîìï'þòåðàõ äëÿ êîíêðåòíèõ ìîäåëüíèõ ñèñòåì, çàäàþ÷è ëà ðàíæiàí. Äðóãå ðiâíÿííÿ ïîìíîæèìî íà i~ i îòðèìó¹ìî ~2 ∂ 2 ∂ψ(x, t) = − + U (x, t) ψ(x, t). i~ ∂t 2m ∂x2

Öå ¹ íå ùî iíøå, ÿê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Îòæå, ìè âñòàíîâèëè çâ'ÿçîê ìåòîäó Ôåéíìàíà iíòå ðàëiâ çà òðà¹êòîðiÿìè ç õâèëüîâîþ êâàíòîâîþ ìåõàíiêîþ Øðåäèí åðà. Ñïåöiàëüíèõ ïåðåâàã ïiäõiä Ôåéíìàíà íå ìà¹. Ïðîñòî öå ùå îäíà êàðòèíêà êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ÿêà çáàãà÷ó¹ íå ëèøå ¨¨ ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò òàêèì ïîíÿòòÿì ÿê iíòå ðàëè çà øëÿõàìè, 276

àëå é íàøå êëàñè÷íå ìèñëåííÿ â íàìàãàííi çáàãíóòè êâàíòîâi çàêîíè. Òóò öiêàâî ïðèãàäàòè êîíöåïöiþ åíå Äåêàðòà ùîäî ïîáóäîâè òåîði¨ ñïîñòåðåæóâàíèõ ÿâèù. Îñêiëüêè, çà Äåêàðòîì, íàì íåâiäîìî, ÿêèì iç íåç÷èñëåííèõ ñïîñîáiâ Áîã çàïðîâàäæó¹ ÿêåñü içè÷íå ÿâèùå, òî é òåîði¨, ùî íå ñóïåðå÷àòü äîñâiäó, ìîæóòü áóòè íåîäíîçíà÷íèìè. Ìàáóòü, êàðòèíêè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ÿêi âèíàéøëè àéçåíáåð , Øðåäèí åð òà Ôåéíìàí, ¹ iëþñòðàöiÿìè öi¹¨ äåêàðòîâî¨ êîíöåïöi¨. Íüþòîí, ÿê âiäîìî, áóâ ïðîòèëåæíèõ ïîãëÿäiâ. îâîðÿ÷è, ùî íå ïîòðiáíî áðàòè äî ðîçãëÿäó ïðè÷èí áiëüøå, íiæ òèõ, ÿêèõ äîñòàòíüî äëÿ ïîÿñíåííÿ ñïîñòåðåæóâàíèõ ÿâèù, âií áóâ çà îäíîçíà÷íiñòü òåîði¨ áåç áóäü-ÿêèõ ãiïîòåç, ðóíòóþ÷èñü ëèøå íà äîñëiäi. Âèêëèêîì öèì ïîãëÿäàì ¹ äâîÿêà ïðèðîäà ñâiòëà òà é óçàãàëi êîðïóñêóëÿðíî-õâèëüîâèé äóàëiçì, çðåøòîþ, ÿê i äåêiëüêà êàðòèíîê êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè êðiì ðiâíÿíü Íüþòîíà, ìà¹ìî ðiâíÿííÿ Ëà ðàíæà, êàíîíi÷íi ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà, ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà ßêîái. . . Âiäñòóï. Çàãàäêè êâàçiêëàñè÷íîãî êâàíòóâàííÿ.

Ìè çíà¹ìî, ùî êâàçiêëàñè÷íå êâàíòóâàííÿ ìåòîäîì Áîðà Çîììåðåëüäà äà¹ òî÷íi âèðàçè äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ En àòîìà âîäíþ é ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Òî÷íèé ðåçóëüòàò îäåðæó¹ìî, ÿê −2x/a − U e−x/a , ëåãêî ïîêàçàòè, 2 p i äëÿ ïîòåíöiàëó Ìîðçå U = U1 e En = −[U2 2ma2 /~2 U1 − (2n + 1)]2 ~2 /8ma2 . Äëÿ iíøèõ çàäà÷, íàïðèêëàä äëÿ |x|-îñöèëÿòîðà ÷è îñöèëÿòîðà x4 , òàêîãî çáiãó ðåçóëüòàòiâ óæå íåìà¹. ùå îäèí öiêàâèé êëàñ çàäà÷, äëÿ ÿêèõ iç êâàçiêëàñè÷íèõ âèðàçiâ äëÿ En ìîæíà âèòÿãòè òî÷íi ðåçóëüòàòè. Çîêðåìà, êîëè ó êâàçiêëàñè÷íèõ âèðàçàõ äëÿ En , îá÷èñëåíèõ äëÿ ïîòåíöiàëiâ U = U0 / cos2 (x/a), U = −U0 /ch2 (x/a) (äèâ. 23 i Ïðèêëàä 1 äî íüîãî), âåëè÷èíó U0 çàìiíèòè íà U0 +~2 /8ma2 , òî îòðèìà¹ìî òî÷íi ðåçóëüòàòè. Òàêå æ ïåðåíîðìóâàííÿ ïàðàìåòðiâ U1 , U2 ïîòåíöiàëó U = 2 U1 / sinp (x/a) + U2 / cos2 (x/a) p , 0 ≤ x/a ≤ π/2 äà¹ òî÷íèé2 ðåçóëüòàò, 2 2 En = [ 1 + 8ma U1 /~ + 1 + 8ma2 U2 /~2 + 2(2n + 1)] ~2 /8ma2 , à â ïîëi U = U1 / sin2 (x/a) + U2 ctg(x/a), 0 ≤ x/a ≤ π ïîòðiáíî ïåðåàëå íå çìiíþâàòè ñòàëó U2 i ìàòèìåíîðìîâóâàòè ëèøå ñòàëó U1 ,p ìî òî÷íèé ðåçóëüòàò: E = ( 1 + 8ma2 U1 /~2 + 2n + 1)2 ~2 /8ma2 − n p U22 /( 1 + 8ma2 U1 /~2 +2n+1)2 ~2 /2ma2 . Íåâàæêî ðîçãëåäiòè êëþ÷ äî ðîçêðèòòÿ öi¹¨ çàãàäêè ñóòòþ öèõ ïåðåíîðìóâàíü ¹ äîäàâàí277

íÿ åíåð i¨ íóëüîâèõ êîëèâàíü ~2 /8ma2 äî ñòàëèõ ìíîæíèêiâ ó òèõ äîäàíêàõ ïîòåíöiàëó, ÿêi ñïðè÷èíþþòü ìàëi êîëèâàííÿ ñèñòåìè â êëàñè÷íié ìåæi. Äëÿ ïiäòâåðäæåííÿ íàøîãî âèñíîâêó, ìîæíà íàâåñòè é iíøi ïðèêëàäè, ÿêi âèÿâëÿþòü ñóïåðñèìåòðiþ ç ñóïåðïîòåíöiàëîì W i òî÷íî ðîçâ'ÿçóþòüñÿ ìåòîäîì àêòîðèçàöi¨ (äèâ. 23). ßêùî ó êâàçiêëàñè÷íîìó ðîçðàõóíêó ðiâíiâ åíåð i¨ íå áðàòè äî óâàãè ïîõiäíî¨ W ′ ó âèðàçi, ÿêèé çâ'ÿçó¹ W ç ïîòåíöiàëîì U , òî îäåðæó¹ìî òî÷íi ðåçóëüòàòè ùå îäíà çàãàäêà. Êâàçiêëàñè÷íèé îïèñ íå çíà¹ íóëüîâèõ êîëèâàíü, ÿêi ¹ ïîðîäæåííÿì ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à, õî÷à âîíè ÷àñòêîâî âæå âðàõîâàíi òèì, ùî â ïðàâié ÷àñòèíi óìîâ êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà âõîäÿòü ñòàëi ν , ÷èñëîâå çíà÷åííÿ ÿêèõ çàëåæèòü âiä ãðàíè÷íèõ óìîâ íà õâèëüîâó óíêöiþ òîáòî àêòè÷íî ñòàëi ν ïðèâíåñåíi ççîâíi, ç òî÷íî¨ òåîði¨. Äëÿ âåëèêèõ êâàíòîâèõ ÷èñåë êâàçiêëàñè÷íå íàáëèæåííÿ äà¹, ÿê âiäîìî, òî÷íèé ðåçóëüòàò, i íàâåäåíi âèùå ïåðåíîðìóâàííÿ ïàðàìåòðiâ ïîòåíöiàëó íå âàæëèâi ïðè n ≫ 1. Òàêå ïåðåíîðìóâàííÿ âàæëèâå äëÿ íèæíiõ ðiâíiâ i îñîáëèâî äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó. Ç íàâåäåíèõ çàãàäîê íàïðîøó¹òüñÿ ìiðêóâàííÿ ùîäî ñïîñîáó çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ àáî áëèçüêèõ äî òî÷íèõ âèðàçiâ äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ ç êâàçiêëàñè÷íèõ îðìóë. Äëÿ öüîãî ïåðåíîðìîâó¹ìî ïàðàìåòðè ïîòåíöiàëó àáî çñóâà¹ìî ñòàëi ν íà òàêi âåëè÷èíè, ÿêi ïðèíåñóòü òî÷íó åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó E0 , ÿêó ñâî¹þ ÷åðãîþ çíàõîäèìî ç òàê çâàíèõ êâàçiòî÷íî ðîçâ'ÿçóâàíèõ ìîäåëåé ÷è, íàïðèêëàä, iç âàðiàöiéíîãî ìåòîäó. ×èòà÷ ëåãêî ïåðåêîíà¹òüñÿ íà êîíêðåòíèõ ïðèêëàäàõ, ùî îäåðæàíi òàêèì ñïîñîáîì âèðàçè äóæå äîáðå óçãîäæóþòüñÿ ç òî÷íèìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ âñiõ ðiâíiâ åíåð i¨, çíàéäåíèìè ÷èñåëüíèìè ìåòîäàìè ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Çàïðîïîíîâàíà ïðîöåäóðà ïåðåíîðìóâàíü ¹ äåÿêèì óçàãàëüíåííÿì êëþ÷à ñòàðî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè äî âãàäóâàííÿ òî÷íèõ ðåçóëüòàòiâ, ÿêèé ðóíòó¹òüñÿ íà ïðèíöèïi âiäïîâiäíîñòi Áîðà.

Ë À Â À VI ÌÎÌÅÍÒ ÊIËÜÊÎÑÒI ÓÕÓ 32. Îïåðàòîð ïîâîðîòó i ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó

Ìè ââîäèëè îïåðàòîð ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, âèõîäÿ÷è ç êëàñè÷íîãî âèðàçó, ïiäñòàâëÿþ÷è â íüîãî, çàìiñòü êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ, âiäïîâiäíi îïåðàòîðè. Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi, ÿê âiäîìî, ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó, àáî ìîìåíò iìïóëüñó, âèíèêà¹ ÿê iíòå ðàë ðóõó, ïîâ'ÿçàíèé ç içîòðîïi¹þ ïðîñòîðó. Öå òàêîæ ¹ ñïðàâåäëèâèì ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Iíòó¨òèâíî çðîçóìiëî, ùî âëàñòèâîñòi áóäü-ÿêî¨ çàìêíåíî¨ içè÷íî¨ ñèñòåìè íå çàëåæàòü âiä òîãî, ç ÿêîãî áîêó ìè äèâèìîñü íà íå¨. Öå íàñëiäîê òîãî, ùî âñi íàïðÿìêè â ïðîñòîði ¹ åêâiâàëåíòíèìè êàæóòü, ùî ïðîñòið ¹ içîòðîïíèì. Îòæå, îïåðàòîð àìiëüòîíà òàêî¨ ñèñòåìè íå ïîâèíåí çìiíþâàòèñü ïðè ¨¨ ïîâîðîòàõ ÿê öiëîãî íà áóäü-ÿêèé êóò íàâêîëî äîâiëüíî¨ îñi. Íåõàé ïðè òàêîìó ïîâîðîòi ðàäióñ-âåêòîð r, âiä ÿêîãî çàëåæèòü õâèëüîâà óíêöiÿ ψ(r), çìiíþ¹òüñÿ íà âåëè÷èíó δr, à õâèëüîâà óíêöiÿ íàáóâà¹ çíà÷åííÿ ψ(r + δr). Öþ çìiíó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ìîæíà çîáðàçèòè ÿê äiþ íà íå¨ îïåðàòîðà çìiùåííÿ:

ψ(r + δr) = e(δr∇) ψ(r). Íåõàé ïîâîðîò çäiéñíþ¹òüñÿ íà êóò δϕ íàâêîëî îñi, íàïðÿì ÿêî¨ iêñó¹òüñÿ îäèíè÷íèì âåêòîðîì n, ùî óòâîðþ¹ ç ðàäióñ-âåêòîðîì r êóò âåëè÷èíîþ θ , ÿê öå çîáðàæåíî íà ðèñ. 35. Ç íüîãî âèäíî, ùî âåëè÷èíà çìiùåííÿ

|δr| = ρ δϕ, ρ = r sin θ. Îòæå, âèðàç

|δr| = r sin θ δϕ 279

ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ìîäóëü âåêòîðà, ùî ¹ ðåçóëüòàòîì âåêòîðíîãî äîáóòêó âåêòîðà δϕ = nδϕ òà ðàäióñ-âåêòîðà r:

δr = [δϕ r].

èñ. 35.

Îïåðàöiÿ ïîâîðîòó íà êóò

δϕ

íàâêîëî îñi ç íàðÿìêîì

n.

Äàëi ìà¹ìî ðÿä ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü

(δr ∇) = ([δϕ r]∇) = (δϕ[r∇]) =

i i ˆ (δϕ[rˆ p]) = (δϕ L), ~ ~

äå îïåðàòîð

ˆ = [rˆ L p] ¹ îïåðàòîðîì îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó. Iíøà íàçâà öi¹¨ âåëè÷èíè ìîìåíò iìïóëüñó, ÷àñòî ùå ãîâîðÿòü ïðîñòî êóòîâèé ìîìåíò. Òåïåð ìà¹ìî

ˆ δϕ ψ(r), ψ(r + δr) = R äå îïåðàòîð ˆ ˆ δϕ = e ~i (δϕ L) R

áóäåìî íàçèâàòè îïåðàòîðîì ïîâîðîòó íà êóò δϕ íàâêîëî îñi ç íàïðÿìêîì n. Áàãàòîêðàòíå ïîâòîðåííÿ ïîâîðîòó íà åëåìåíòàðíèé êóò äà¹ ïîâîðîò íà ñêií÷åííèé êóò ϕ: ˆ ˆ ϕ = e ~i ϕ(nL) R .

280

Òâåðäæåííÿ ïðî òå, ùî âëàñòèâîñòi çàìêíåíî¨ ñèñòåìè íå çàëåæàòü âiä ïîâîðîòiâ, îçíà÷à¹, ùî ç õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèíˆ δϕ îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ åðà äëÿ ψ(r) äi¹þ íà íüîãî îïåðàòîðîì R ˆ . À öå îçíà÷à¹, ùî äëÿ ψ(r + δr) ç òèì ñàìèì ãàìiëüòîíiàíîì H ˆ ˆ δϕ . Ñïðàâäi, ìà¹ìî îïåðàòîð H êîìóòó¹ ç îïåðàòîðîì ïîâîðîòó R

∂ψ(r) ˆ = Hψ(r), ∂t à ïiñëÿ äi¨ îïåðàòîðà ïîâîðîòó i~

i~

ˆ δϕ ψ(r) ∂R ˆ δϕ Hψ(r), ˆ =R ∂t

àáî

ˆ δϕ ψ(r) ∂R ˆ δϕ H ˆ −H ˆR ˆ δϕ ψ(r) + H ˆR ˆ δϕ ψ(r). = R ∂t Çâiäñè çíîâó îòðèìó¹ìî, ùî i~

∂ψ(r + δr) ˆ = Hψ(r + δr) ∂t çà óìîâè, ùî êîìóòàòîð i~

ˆ δϕ H ˆ −H ˆR ˆ δϕ = 0. R ˆ êîìóòó¹ ç îïåðàòîÀ öå â ñâîþ ÷åðãó çíà÷èòü, ùî îïåðàòîð H ˆ ˆ íà äîâiëüˆ ðîì L. Òî÷íiøå, ãàìiëüòîíiàí H êîìóòó¹ ç ïðîåêöi¹þ L ˆ êîìóòó¹ íó âiñü ç íàïðÿìêîì n. Ìè îäåðæó¹ìî òèì ñàìèì, ùî H ˆ íà îñi x, y, z : ç êîæíîþ ç ïðîåêöié L ˆ x , H] ˆ = 0, [L

ˆ y , H] ˆ = 0, [L

ˆ z , H] ˆ = 0. [L

Òàêèì ÷èíîì, ïðîåêöi¨ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó. Îòæå, ç içîòðîïíîñòi ïðîñòîðó âèïëèâà¹ çàêîí çáåðåæåííÿ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó (òåîðåìà Íåòåð)1 . Âèïèøiìî ÿâíèé âèãëÿä îïåðàòîðiâ ïðîåêöi¨ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó â êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi ∂ ∂ ˆ Lx = −i~ y −z , ∂z ∂y 1

Äèâ. 17 òà âèíîñêè íà ñ. 166.

281

ˆ y = −i~ z ∂ − x ∂ , L ∂x ∂z ∂ ∂ ˆ −y . Lz = −i~ x ∂y ∂x

Íàãàäà¹ìî òàêîæ êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ öèõ îïåðàòîðiâ, ÿêi âèïëèâàþòü ç îçíà÷åííÿ: ˆxL ˆy − L ˆyL ˆ x = i~L ˆz, L

ˆyL ˆz − L ˆzL ˆ y = i~L ˆx, L ˆzL ˆx − L ˆ xL ˆ z = i~L ˆy. L

Öiêàâî, ùî ñóêóïíiñòü öèõ òðüîõ ñïiââiäíîøåíü ìîæíà çàïèñàòè ÿê îäíå ÷åðåç âåêòîðíèé äîáóòîê

ˆ L] ˆ = i~L. ˆ [L Äëÿ çâè÷àéíèõ âåêòîðiâ, íå îïåðàòîðiâ, òàêîãî ñïiââiäíîøåííÿ íå iñíó¹: òàêèé äîáóòîê ïðîñòî äîðiâíþ¹ íóëåâi. Íàâåäåìî ùå äåêiëüêà âàæëèâèõ îïåðàòîðíèõ ñïiââiäíîøåíü çi ñêàëÿðíèìè é âåêòîðíèìè äîáóòêàìè, ÿêi ëåãêî äîâåñòè. Ïåðøå òàêå: ˆ = 0, (Lr) ˆ = 0. (rL) Ñïðàâäi, ðîçïèñóþ÷è ñêàëÿðíèé äîáóòîê, ìà¹ìî

ˆ = xL ˆ x + yL ˆ y + zL ˆ z = x(y pˆz − z pˆy ) (rL) + y(z pˆx − xˆ pz ) + z(xˆ py − y pˆx ) Äàëi

= (xy − yx)ˆ pz + (zx − xz)ˆ py + (yz − zy)ˆ px = 0. ˆ ˆ xx + L ˆyy + L ˆ z z = (y pˆz − z pˆy )x + (z pˆx − xˆ (Lr) = L pz )y ˆ x + yL ˆ y + zL ˆ z = (rL) ˆ = 0, + (xˆ py − y pˆx )z = xL

ùî i äîâîäèòü íàâåäåíi ðiâíîñòi. Î÷åâèäíî òàêîæ, ùî

ˆ = 0, (nL) 282

ˆ = 0, (Ln)

n = r/r.

Íàñòóïíå, íå ìåíø âàæëèâå, ñïiââiäíîøåííÿ ç âåêòîðíèì äîáóòêîì: ˆ + [rL] ˆ = 2i~r. [Lr] Äîâåäåìî öþ ðiâíiñòü, ðîçïèñóþ÷è ¨¨ çà êîìïîíåíòàìè. Íàïðèêëàä,

ˆ x + [rL] ˆ x = (L ˆyz − L ˆ z y) + (y L ˆ z − zL ˆy) [Lr] ˆ y z − zL ˆ y ) + (y L ˆz − L ˆ z y) = [L ˆ y , z] + [y, L ˆz] = (L = [z pˆx − xˆ pz , z] + [y, xˆ py − y pˆx ] = x[z, pz ] + x[y, py ] = 2i~x. Àíàëîãi÷íî äi¹ìî i äëÿ y - òà z -êîìïîíåíò i ïåðåêîíó¹ìîñü, ùî íàâåäåíå ñïiââiäíîøåííÿ ¹ ïðàâèëüíèì. Äîâåäiìî òàêîæ, ùî

ˆ + [nL] ˆ = 2i~n, [Ln]

n = r/r.

Äëÿ x-êîìïîíåíòè ìà¹ìî: z ˆ x + [nL] ˆx= L ˆy − L ˆz y + y L ˆz − z L ˆy [Ln] r r r r i h h i h i z i hy ˆ z = z pˆx − xˆ ˆy, z + y , L + , xˆ = L pz , py − y pˆx r r r r hy i h zi 1 1 + x , pˆy − y 2 , px − x pz , = z 2 pˆx , r r r r ∂ y 1 1 ∂ z 2 ∂ 2 ∂ = −i~ z −x +y −x ∂x r ∂z r ∂y r ∂x r 2 x z x x xz 2 x xy 2 y 2 x = −i~ − 3 − + 3 − + 3 − 3 = 2i~ . r r r r r r r Öå i äîâîäèòü íàøó âåêòîðíó ðiâíiñòü. Óâåäåìî òåïåð äî ðîçãëÿäó îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó

ˆ2 = L ˆL ˆ =L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ2. L x y z 283

Îá÷èñëèìî äàëi êîìóòàòîð

ˆx, L ˆ2] = L ˆ xL ˆ2 − L ˆ 2L ˆx = L ˆxL ˆ −L ˆL ˆx + L ˆL ˆx L ˆ [L

ˆ L ˆL ˆ +L ˆ = [L ˆL ˆ − L[ ˆ L, ˆ L ˆx − L ˆ xL ˆxL ˆ x , L] ˆx] − L

ˆ x , L] ˆL ˆ + L[ ˆL ˆ x , L] ˆ = [L ˆx, L ˆ y ]L ˆ y + [L ˆx, L ˆ z ]L ˆz = [L ˆ y [L ˆx, L ˆy] + L ˆ z [L ˆx, L ˆ z ] = i~L ˆzL ˆ y − i~L ˆyL ˆz + L ˆyL ˆ z − i~L ˆzL ˆ y = 0. + i~L

Öå, î÷åâèäíî, ñïðàâäæó¹òüñÿ äëÿ áóäü-ÿêî¨ êîìïîíåíòè:

ˆx, L ˆ 2 ] = 0, [L

ˆy, L ˆ 2 ] = 0, [L

ˆz, L ˆ 2 ] = 0. [L

Çâiäñè ìà¹ìî òàêi òâåðäæåííÿ. Ïî-ïåðøå, áóäü-ÿêà ïðîåêöiÿ ˆ i éîãî êâàäðàò L ˆ 2 ìîæóòü îäíî÷àñíî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó L ˆx, L ˆy, L ˆ z ìà¹ ñïiëüâèìiðþâàòèñü. Ïî-äðóãå, êîæåí ç îïåðàòîðiâ L 2 ˆ íó ç îïåðàòîðîì L ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié. Ïî-òðåò¹, îñêiëüêè ˆx, L ˆy, L ˆ z ìiæ ñîáîþ íå êîìóòóþòü, òî âëàñíi ñòàíè îïåðàòîðè L êâàäðàòà ìîìåíòó iìïóëüñó ¹ âèðîäæåíèìè. Óâåäåìî íîâi îïåðàòîðè

ˆ± = L ˆ x ± iL ˆy L

i äîñëiäèìî ¨õíi âëàñòèâîñòi. Îá÷èñëèìî ¨õíié êîìóòàòîð

ˆ +, L ˆ − ] = [L ˆ x + iL ˆy, L ˆ x − iL ˆ y ] = −i[L ˆx, L ˆ y ] + i[L ˆy, L ˆ x ] = 2~L ˆz. [L

Îòæå,

ˆ +, L ˆ − ] = 2~L ˆz . [L Äàëi, êîìóòàòîð

ˆ −. ˆz, L ˆ − ] = [L ˆz, L ˆ x ] − i[L ˆz, L ˆ y ] = −~ L ˆ x − iL ˆ y = −~L [L

ˆz i L ˆ +: Àíàëîãi÷íî îá÷èñëþ¹ìî êîìóòàòîð äëÿ îïåðàòîðiâ L ˆz, L ˆ ± ] = ±~L ˆ ±. [L 284

ˆ + òà L ˆ −: Ïiäðàõó¹ìî òåïåð äîáóòîê îïåðàòîðiâ L ˆ +L ˆ− = ˆ 2 − iL ˆxL ˆ x + iL ˆy L ˆ y + iL ˆyL ˆ x − iL ˆy = L ˆx + L ˆ2 L L x y ˆ2 + L ˆ 2 + ~L ˆz. = L x y

Îòæå,

ˆ +L ˆ− = L ˆ2 − L ˆ 2z + ~L ˆz L

i àíàëîãi÷íî

ˆ −L ˆ+ = L ˆ2 − L ˆ 2z − ~L ˆz. L

Çíàéäiìî òåïåð âèãëÿä óñiõ öèõ îïåðàòîðiâ ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ r, θ, ϕ, ÿêi ââîäÿòüñÿ çâè÷àéíî:

x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ,

z = r cos θ.

ˆ. Ìè âæå ðàíiøå âèâîäèëè âèðàç äëÿ z -êîìïîíåíòè îïåðàòîðà L Àíàëîãi÷íî çíàõîäèìî é óñi iíøi: ∂ ∂ ˆ Lx = i~ sin ϕ + ctg θ cos ϕ , ∂θ ∂ϕ ∂ ∂ ˆ Ly = −i~ cos ϕ − ctg θ sin ϕ , ∂θ ∂ϕ ˆ z = −i~ ∂ , L ∂ϕ ∂ ∂ ± ±iϕ ˆ L = ~e + i ctg θ ± , ∂θ ∂ϕ ˆ 2 = −~2 L

1 ∂ 1 ∂2 2 ∂ϕ2 + sin θ ∂θ sin θ

∂ sin θ ∂θ

.

Ìè ðîçãëÿäàëè ïîâîðîòè, êîëè õâèëüîâà óíêöiÿ çàëåæèòü ëèøå âiä ðàäióñ-âåêòîðà ÷àñòèíêè r. Ó òîìó âèïàäêó, êîëè äîñëiäæóâàíèé îá'¹êò ìà¹ íå ëèøå ìîìåíò iìïóëüñó, àáî êóòîâèé ìîìåíò, ïîâ'ÿçàíèé ç éîãî ðóõîì ó ïðîñòîði (îðáiòàëüíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó), à é âëàñíèé ìîìåíò iìïóëüñó, òîáòî ñïií, òî ïîâíèé 285

ˆ äîðiâíþ¹ ¨õíié ñóìi. Òà æ ñèòóàöiÿ âèíèêà¹, êîìîìåíò iìïóëüñó J ëè, íàïðèêëàä, ìà¹ìî ñèñòåìó, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç äåêiëüêîõ ÷àñòèíîê: ïîâíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó äîðiâíþ¹ ñóìi êóòîâèõ ìîìåíòiâ îêðåìèõ ÷àñòèíîê. Çðîçóìiëî, ùî àë åáðà îïåðàòîðiâ ïðîåêöi¨ ˆx, L ˆy, L ˆ z , òîáòî âîíè çàäîâîJˆx , Jˆy , Jˆz ¹ òàêîþ æ, ÿê i îïåðàòîðiâ L ëüíÿþòü òi ñàìi ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ. Îòæå, ó çàãàëüíîìó âèïàäêó îïåðàòîð ïîâîðîòó íà êóò ϕ íàâêîëî ïåâíî¨ îñi ç íàïðÿìêîì n ˆ ˆ ϕ = e ~i ϕ(nJ) , R ˆ ¹ ïîâíèì ìîìåíòîì êiëüêîñòi ðóõó ñèñòåìè. Îïåðàòîð R ˆ ϕ äi¹ äå J ÿê íà çîâíiøíi çìiííi, ïîâ'ÿçàíi ç ïåðåìiùåííÿì ñèñòåìè ÿê öiëîãî, òàê i íà âíóòðiøíi çìiííi, ùî îïèñóþòü ¨¨ âíóòðiøíi ñòóïåíi âiëüíîñòi. 33. Âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ

êâàäðàòà é ïðîåêöié ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó

ßê áóëî ïîêàçàíî â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà îïåðàòîð áóäü-ÿêî¨ éîãî ïðîåêöi¨ ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié. Ïîñòàâèìî ñîái çà ìåòó çíàéòè âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ öèõ îïåðàòîðiâ. Ïðè÷îìó ìè áóäåìî ãîâîðèòè çàðàç íå ïðî îðáiòàëüíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó, à ðîçãëÿíåìî öþ ïðîáëåìó çàãàëüíiøå. Îòæå, íåõàé ìè ìà¹ìî òðiéêó îïåðàòîðiâ Jˆx , Jˆy , Jˆz , ÿêi âèçíàˆ i ÿêi çàäîâîëüíÿþòü òàêi êîìóòàöiéíi ñïiââiäíî÷àþòü âåêòîð J øåííÿ: [Jˆx , Jˆy ] = i~Jˆz ,

[Jˆz , Jˆx ] = i~Jˆy , [Jˆy , Jˆz ] = i~Jˆx . Íàøå çàâäàííÿ: çíàéòè ìîæëèâi çíà÷åííÿ êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà éîãî ïðîåêöié, âèõîäÿ÷è ëèøå iç öèõ êîìóòàöiéíèõ ñïiââiäíîøåíü i íå çâåðòàþ÷èñü äî êîíêðåòíèõ çîáðàæåíü. Öèì ìè ââîäèìî äî ðîçãëÿäó i òàêó âåëè÷èíó, ÿê âëàñíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó ÷àñòèíêè, òîáòî ¨¨ ñïií. Çðîçóìiëî, ùî öå ìàòåìàòè÷íå 286

âèâåäåííÿ ìîæëèâèõ çíà÷åíü êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà éîãî ïðîåêöi¨ íå ïîãëèáèòü íàøîãî ðîçóìiííÿ içè÷íîãî ìåõàíiçìó îðìóâàííÿ âëàñíîãî ìåõàíi÷íîãî ìîìåíòó ÷àñòèíêè. Îäíàê öå âèâåäåííÿ äà¹ çâ'ÿçîê ìiæ ñèìåòðiéíèìè âëàñòèâîñòÿìè ïðîñòîðó, ïîâ'ÿçàíèìè ç ïîâîðîòàìè òà ìîæëèâèìè ÷èñåëüíèìè çíà÷åííÿìè ñïiíó. Òàêèì ÷èíîì, ïåâíi çíà÷åííÿ ñïiíó, íàïðèêëàä åëåêòðîíà, äèêòóþòüñÿ âëàñòèâîñòÿìè içè÷íîãî ïðîñòîðó. Äîìîâëÿ¹ìîñü ïðî ïîçíà÷åííÿ. Ïðèéìà¹ìî, ùî J 2 öå âëàñíå çíà÷åííÿ êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, ÿêå áóäåìî íóìåðóâàòè êâàíòîâèì ÷èñëîì j . Âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà ïðîåêöi¨ Jˆz ïîçíà÷èìî ÷åðåç Jz . Íóìåðó¹ìî éîãî êâàíòîâèì ÷èñëîì m. Iç òðüîõ ˆ ìè âèáèðà¹ìî z -êîìïîíåíòó. õíþ ñïiëüíó êîìïîíåíò îïåðàòîðà J ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç êåò-âåêòîð |j, mi. Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõ ðiâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ ìàþòü âèãëÿä: Jˆ2 |j, mi = J 2 |j, mi,

Jˆz |j, mi = Jz |j, mi. Ïåðø íiæ ïåðåõîäèòè äî ðîçâ'ÿçêó öèõ ðiâíÿíü, çàóâàæèìî, ùî ñïåêòð âëàñíèõ çíà÷åíü îïåðàòîðà Jˆz ¹ îáìåæåíèì. Ñïðàâäi, óñåðåäíèìî îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó çà äåÿêèì ñòàíîì: hJˆ2 i = hJˆ2 i + hJˆ2 i + hJˆ2 i, x

y

z

hJˆ2 i − hJˆz2 i = hJˆx2 i + hJˆy2 i. Î÷åâèäíî, ùî ïðàâà ÷àñòèíà öi¹¨ ðiâíîñòi ¹ âåëè÷íîþ äîäàòíîþ. Îòæå, îòðèìà¹ìî íåðiâíiñòü

hJˆ2 i − hJˆz2 i ≥ 0, àáî

hJˆz2 i ≤ hJˆ2 i, ÿêó ìîæíà çàïèñàòè òàê: q q q 2 2 ˆ ˆ − hJ i ≤ hJz i ≤ hJˆ2 i.

287

ßêùî óñåðåäíåííÿ âiäáóâà¹òüñÿ çà âëàñíèìè ñòàíàìè öèõ îïåðàòîðiâ, òî hJˆ2 i = hj, m|Jˆ2 |j, mi = J 2 , i ìà¹ìî, ùî

hJˆz2 i = hj, m|Jˆz2 |j, mi = Jz2 −J ≤ Jz ≤ J.

ˆ ¹ îáìåæåÎòæå, ñïåêòð âëàñíèõ çíà÷åíü êîìïîíåíò îïåðàòîðà J íèì. Çîñåðåäèìî òåïåð óâàãó íà ðiâíÿííi íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà Jˆz i ïîäi¹ìî íà íüîãî îïåðàòîðàìè Jˆ+ òà Jˆ− : Äàëi ìà¹ìî

Jˆ± Jˆz |j, mi = Jz Jˆ± |j, mi. Jˆ± Jˆz − Jˆz Jˆ± + Jˆz Jˆ± |j, mi = Jz Jˆ± |j, mi.

Ñêîðèñòàéìîñü êîìóòàòîðîì, ÿêèé ìè îá÷èñëèëè â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, [Jˆz , Jˆ± ] = ±~Jˆ± , i çíàéäåìî

Jˆz Jˆ± |j, mi = (Jz ± ~)Jˆ± |j, mi.

Ìè çíîâó îòðèìàëè ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà Jˆz , àëå ç âëàñíèì çíà÷åííÿì Jz ± ~, òîáòî çi çáiëüøåíèì àáî çìåíøåíèì íà åëåìåíòàðíèé êâàíò ~. Ïðè÷îìó öèì âëàñíèì çíà÷åííÿì âiäïîâiäà¹ âëàñíà óíêöiÿ Jˆ± |j, mi. Öå íàãàäó¹ ñèòóàöiþ ç ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ìåòîäîì îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ ˆb+ , ˆb. Òîìó äà¹ìî õiä òèì ñàìèì ìiðêóâàííÿì, ùî é òàì. Òåïåð çðó÷íî çàïèñàòè, ùî

Jz = ~m, ïðè÷îìó êâàíòîâå ÷èñëî m ìîæå, ÿê áà÷èìî, çáiëüøóâàòèñü àáî çìåíøóâàòèñü íà îäèíèöþ,

∆m = ±1, 288

ó ìåæàõ ñïåêòðà ìiæ äåÿêèì ìàêñèìàëüíèì mmax òà ìiíiìàëüíèì mmin = −mmax çíà÷åííÿìè. Íàøi ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òåïåð ìàþòü âèãëÿä

Jˆz |j, mi = ~m|j, mi, à

Jˆz Jˆ± |j, mi = ~(m ± 1)Jˆ± |j, mi. Áà÷èìî, ùî âëàñíà óíêöiÿ

Jˆ± |j, mi = const± |j, m ± 1i,

äå const± ñòàëi íîðìóâàííÿ. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî ìàòðè÷íèé åëåìåíò

hj ′ , m′ |Jˆ± |j, mi = const± hj ′ , m′ |j, m ± 1i = const± δj ′ ,j δm′ ,m±1 . Òîìó ëèøå ìàòðè÷íi åëåìåíòè hj, m + 1|Jˆ+ |j, mi = 6 0 òà hj, m − 1|Jˆ− |j, mi = 6 0, à âñi iíøi äîðiâíþþòü íóëåâi. Îòæå, îïåðàòîðè Jˆ+ , Jˆ− äiþòü ïîäiáíî äî îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ â òåîði¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. îçãëÿíåìî êîìóòàòîð

[Jˆ+ , Jˆ− ] = 2~Jˆz , ÿêèé ìè çíàéøëè ðàíiøå, i îá÷èñëèìî éîãî äiàãîíàëüíèé ìàòðè÷íèé åëåìåíò:

hj, m|Jˆ+ Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ |j, mi = 2~hj, m|Jˆz |j, mi. Çëiâà ìàòðè÷íèé åëåìåíò âiä äîáóòêó îïåðàòîðiâ ðîçïèñó¹ìî ÿê äîáóòîê ìàòðèöü: XXh hj, m|Jˆ+ |j ′ , m′ ihj ′ , m′ |Jˆ− |j, mi j′

m′

i −hj, m|Jˆ− |j ′ , m′ ihj ′ , m′ |Jˆ+ |j, mi = 2~2 m.

Ñïðàâà ìè ñêîðèñòàëèñü òèì, ùî |j, mi ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà Jˆz ç âëàñíèì çíà÷åííÿì ~m. Ç ëiâî¨ ÷àñòèíè öi¹¨ ðiâíîñòi 19

I. Î. Âàêàð÷óê

289

âèæèâà¹ ëèøå îäèí äîäàíîê iç ñóìè çà j ′ , m′ , óíàñëiäîê âèïèñàíèõ âèùå âëàñòèâîñòåé ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ îïåðàòîðiâ Jˆ+ , Jˆ− :

hj, m|Jˆ+ |j, m − 1ihj, m − 1|Jˆ− |j, mi −hj, m|Jˆ− |j, m + 1ihj, m + 1|Jˆ+ |j, mi = 2~2 m.

Óâåäåìî ñêîðî÷åíå ïîçíà÷åííÿ

hj, m + 1|Jˆ+ |j, mi = ~λm ,

à äëÿ êîìïëåêñíî ñïðÿæåíî¨ âåëè÷èíè çâiäñè ìà¹ìî

hj, m|Jˆ− |j, m + 1i = ~λ∗m .

Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõ ïîïåðåäí¹ ðiâíÿííÿ ¹ òàêèì:

λm−1 λ∗m−1 − λ∗m λm = 2m, |λm−1 |2 − |λm |2 = 2m.

Ìà¹ìî ðåêóðåíòíå ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìèõ âåëè÷èí |λm |2 , ÿêå ëåãêî ðîçâ'ÿçàòè, íàïðèêëàä, ðîçêëàäîì çà ñòåïåíÿìè m:

|λm |2 = C + C1 m + C2 m2 + C3 m3 + . . . .

Ç ïîïåðåäíüîãî ðiâíÿííÿ òåïåð ìà¹ìî, ùî

C + C1 (m − 1) + C2 (m − 1)2 + C3 (m − 1)3 + . . . − C − C1 m − C2 m2 − C3 m3 − . . . = 2m.

Ïîðiâíþþ÷è êîåiöi¹íòè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ çìiííî¨ âåëè÷èíè m çëiâà i ñïðàâà â öüîìó ðiâíÿííi, çíàõîäèìî ñèñòåìó ðiâíÿíü äëÿ íåâiäîìèõ êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó:     −C1 + C2 − C3 + . . . = 0,

  

−2C2 + 3C3 + . . . = 2,

−3C3 + . . . = 0.

Çâiäñè çíàõîäèìî C3 = C4 = . . . = 0, C1 = C2 = −1, i îòæå,

|λm |2 = C − m(m + 1),

290

äå ñòàëà C ¹ ïîêè ùî íåâiäîìîþ. Î÷åâèäíî

|λm |2 ≥ 0,

òîáòî

C − m(m + 1) ≥ 0,

i îòæå, ÿê ìè âæå âñòàíîâèëè, ñïåêòð çíà÷åíü m, ùî íóìåðóþòü âëàñíi çíà÷åííÿ Jz , ¹ îáìåæåíèì. Êðiì òîãî, ïðè Jz = 0, êîëè m = 0, ìà¹ìî C ≥ 0. Òàêèì ÷èíîì, iñíó¹ ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ m, äëÿ ÿêîãî

C − m(m + 1) = 0. îçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ:

m1,2

1 =− ± 2

r

1 C+ , 4

1 1√ 1 + 4C, m1 = − + 2 2 1 1√ 1 + 4C, m2 = − − 2 2 m2 = −(m1 + 1).

Çíà÷åííÿ m = m1 i ¹ ìàêñèìàëüíèì çíà÷åííÿì ÷èñëà m, m1 = mmax , äëÿ ÿêîãî |λm1 |2 = 0, ïðè÷îìó m1 ≥ 0, òîìó ùî C ≥ 0. iâíiñòü íóëåâi |λm |2 , iç çíà÷êîì m áiëüøèì, íiæ m1 , çàáåçïå÷èìî âèìîãîþ Jˆ+ |j, m1 i = 0. iâíiñòü íóëåâi âåëè÷èíè |λm |2 , iç çíà÷êîì m ìåíøèì, íiæ m2 , çàáåçïå÷èìî âèìîãîþ ñèëüíiøîþ, íiæ ïðîñòî λ∗m2 = 0, à ñàìå:

Jˆ− |j, m2 + 1i = 0.

Öi äâi óìîâè àíàëîãi÷íi îçíà÷åííþ îñíîâíîãî ñòàíó äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Îäíàê òàì áóëà òiëüêè îäíà óìîâà, îñêiëüêè ñïåêòð åíåð ié îñöèëÿòîðà îáìåæåíèé ëèøå çíèçó. Òóò ñïåêòð îáìåæåíèé ÿê çíèçó, òàê i çâåðõó, òîìó ìà¹ìî äâà âàêóóìíi ñòàíè, 19*

291

ïðè÷îìó áàéäóæå, ÿêèé ç íèõ óçÿòè çà îñíîâó. Îòæå, ìè îòðèìàëè, ùî ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà m ¹ mmin = m2 +1 = −m1 . Òàêèì ÷èíîì,

−m1 ≤ m ≤ m1 ,

ïðè÷îìó

C = m1 (m1 + 1), òàê ùî

|λm |2 = m1 (m1 + 1) − m(m + 1). Îá÷èñëèìî òåïåð âëàñíi çíà÷åííÿ êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó ÿê äiàãîíàëüíèé ìàòðè÷íèé åëåìåíò

J 2 = hj, m|Jˆ2 |j, mi. Òóò ìè çíîâó ñêîðèñòà¹ìîñü çíàéäåíèì ó ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài äîáóòêîì îïåðàòîðiâ Jˆ+ òà Jˆ− :

Jˆ+ Jˆ− = Jˆ2 − Jˆz2 + ~Jˆz . Çà äîïîìîãîþ öüîãî âèðàçó çíàõîäèìî, ùî

J 2 = hj, m|Jˆ+ Jˆ− + Jˆz2 − ~Jˆz |j, mi = hj, m|Jˆ+ Jˆ− |j, mi + ~2 m2 − ~2 m X = hj, m|Jˆ+ |j ′ , m′ ihj ′ , m′ |Jˆ− |j, mi + ~2 m2 − ~2 m j ′ ,m′

= hj, m|Jˆ+ |j, m − 1ihj, m − 1|Jˆ− |j, mi + ~2 m2 − ~2 m = ~2 |λm−1 |2 + ~2 m2 − ~2 m = ~2 [C − (m − 1)m] + ~2 m2 − ~2 m = ~2 C = ~2 m1 (m1 + 1). 292

Îòæå, âëàñíå çíà÷åííÿ

J 2 = ~2 m1 (m1 + 1). Íà ïî÷àòêó íàøîãî ðîçãëÿäó ìè äîìîâèëèñü íóìåðóâàòè öi âëàñíi çíà÷åííÿ êâàíòîâèì ÷èñëîì j . Ïðèðîäíî âèõîäèòü, ùî öèì êâàíòîâèì ÷èñëîì ¹ ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà m:

j = m1 . Ìè òàêîæ áà÷èëè, ùî êâàíòîâå ÷èñëî m ìîæå çìiíþâàòèñü ëèøå íà öiëå ÷èñëî, ∆m = ±1. Çðîçóìiëî, ùî i éîãî ìàêñèìàëüíà çìiíà (∆m)max = m1 − (−m1 ) = 2m1 = 2j ¹ òàêîæ öiëèì ÷èñëîì:

2j = öiëå ÷èñëî.

Òîìó ÷èñëî j ìîæå íàáóâàòè íå ëèøå öiëi, à é ïiâöiëi çíà÷åííÿ (íàãàäàéìî, ùî j = m1 ≥ 0):

j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . . Çàäà÷à çíàõîäæåííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü îïåðàòîðà êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà éîãî ïðîåêöi¨ ðîçâ'ÿçàíà:

J 2 = ~2 j(j + 1), Jz = ~m, −j ≤ m ≤ j, m = −j, −j + 1, −j + 2, . . . , j − 2, j − 1, j,

à êâàíòîâå ÷èñëî j íàáóâà¹ öiëi òà ïiâöiëi çíà÷åííÿ. Ïåðåéäåìî äî âèçíà÷åííÿ âëàñíèõ óíêöié |j, mi. Ñïî÷àòêó âñòàíîâèìî âiäìiííi âiä íóëÿ ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðiâ Jˆ+ òà Jˆ− . Îñêiëüêè

|λm |2 = j(j + 1) − m(m + 1),

òî ç òî÷íiñòþ äî íåñóòò¹âèõ äëÿ içè÷íèõ ðåçóëüòàòiâ àçîâèõ ìíîæíèêiâ (àçè ìè ïîêëàäà¹ìî, ÿê çâè÷íî, ðiâíèìè íóëåâi) ìà¹ìî p hj, m + 1|Jˆ+ |j, mi = hj, m|Jˆ− |j, m + 1i = ~ j(j + 1) − m(m + 1), 293

àáî

p hj, m − 1|Jˆ− |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m − 1).

Iç öèõ ðiâíÿíü çíàõîäèìî ïðàâèëà äi¨ îïåðàòîðiâ Jˆ+ òà Jˆ− íà óíêöi¨ |j, mi: p Jˆ+ |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1i,

p Jˆ− |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1i.

Ùå ðàç ïiäêðåñëèìî àíàëîãiþ ìiæ äi¹þ öèõ îïåðàòîðiâ i äi¹þ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ ãàìiëüòîíiàíà â òåîði¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Çàiêñó¹ìî òåïåð îñíîâíèé ñòàí ðiâíÿííÿì, ùî îáìåæó¹ ñïåêòð çíà÷åíü ÷èñëà m:

Jˆ+ |j, ji = 0.

Ìè ìîãëè á óçÿòè çà îñíîâíèé i ñòàí |j, −ji, äiÿ íà ÿêèé îïåðàòîðà Jˆ− òàêîæ äà¹ íóëü. Àëå ìè âèáðàëè ïåðøó ìîæëèâiñòü. Òåïåð, ìàþ÷è ñòàí |j, ji, äi¹þ íà íüîãî îïåðàòîðîì Jˆ− ïîáóäó¹ìî íàñòóïíi ñòàíè çà äîïîìîãîþ ïîñëiäîâíîñòi ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü, ÿêèõ ìè íå êîìåíòó¹ìî: p Jˆ− |j, ji = ~ 2j |j, j − 1i, p (Jˆ− )2 |j, ji = ~ 2j Jˆ− |j, j − 1i p = ~2 2j(2j − 1) · 1 · 2 |j, j − 2i, p (Jˆ− )3 |j, ji = ~2 2j(2j − 1) · 1 · 2 Jˆ− |j, j − 2i p = ~3 2j(2j − 1)(2j − 2) · 1 · 2 · 3 |j, j − 3i. Òåïåð íåâàæêî çàóâàæèòè, ùî !k p Jˆ− |j, ji = k!2j(2j − 1)(2j − 2) . . . (2j − k + 1) |j, j − ki, ~

k = 0, 1, 2, . . . , 2j. 294

Ïîêëàäåìî j − k = m, !j−m p Jˆ− |j, ji = (j − m)!2j(2j − 1)(2j − 2) . . . (j + m + 1) |j, mi, ~

Jˆ− ~

!j−m

|j, ji =

s

(j − m)!(2j)! |j, mi. (j + m)!

Çâiäñè çíàõîäèìî îñòàòî÷íî s (j + m)! |j, mi = (2j)!(j − m)!

Jˆ− ~

!j−m

|j, ji,

à

Jˆ+ |j, ji = 0.

Âëàñíi ñòàíè êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó i ñïðàâäi ¹ âèðîäæåíèìè: îäíîìó âëàñíîìó çíà÷åííþ J 2 = ~2 j(j + 1) âiäïîâiäà¹ (2j + 1) õâèëüîâèõ óíêöié. Öi ðiâíîñòi çàâåðøóþòü ïîñòàâëåíó çàäà÷ó çíàõîäæåííÿ âëàñíèõ óíêöié òà âëàñíèõ çíà÷åíü êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó i éîãî ïðîåêöié. Íàñàìêiíåöü öüîãî ïàðàãðàà ðîçãëÿíüìî ïèòàííÿ ïðî äîäàˆ 1 òà J ˆ 2 i óòâîâàííÿ ìîìåíòiâ. Íåõàé ìà¹ìî êîìóòóþ÷i îïåðàòîðè J ðèìî ñóìó

ˆ=J ˆ1 + J ˆ2. J ˆ 2 äîðiâíþ¹ Âëàñíå çíà÷åííÿ êâàäðàòà ïîâíîãî ìîìåíòó J J2 = ~2 j(j + 1), à âëàñíå çíà÷åííÿ éîãî ïðîåêöi¨

Jˆz = Jˆ1z + Jˆ2z äîðiâíþ¹

Jz = ~m, ïðè÷îìó î÷åâèäíî

m = m1 + m2 . 295

Êâàíòîâi ÷èñëà m1 òà m2 çàäàþòü çíà÷åííÿ ïðîåêöié: J1z = ~m1 , J2z = ~m2 (÷èñëà m1 i m2 íå ïëóòàéìî ç òèìè ÷èñëàìè, ùî áóëè íà ïî÷àòêó ïàðàãðàà). Âëàñíi çíà÷åííÿ êâàäðàòiâ îêðåìèõ ìîìåíòiâ äîðiâíþþòü:

J12 = ~2 j1 (j1 + 1), J22 = ~2 j2 (j2 + 1), −j1 ≤ m1 ≤ j1 ,

−j2 ≤ m2 ≤ j2 ;

óñiõ çíà÷åíü m1 ¹ (2j1 + 1), óñiõ çíà÷åíü m2 ¹ (2j2 + 1). Òåïåð âèíèêà¹ çàïèòàííÿ: ó ÿêèõ ìåæàõ çìiíþ¹òüñÿ ÷èñëî j ? äâi ìîæëèâîñòi âèáîðó êâàíòîâèõ ÷èñåë, ÿêi ïîâíiñòþ îïèñóþòü ñèñòåìó. Ïåðøà öå íàáið ÷èñåë (j1 , j2 , m1 , m2 ), äðóãà (j, m, j1 , j2 ). Ïîðÿäîê ìàòðèöü îïåðàòîðiâ ó ïåðøîìó âèïàäêó äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi âñiõ çíà÷åíü m1 íà êiëüêiñòü óñiõ çíà÷åíü m2 , òîáòî äîðiâíþ¹ (2j1 + 1)(2j2 + 1). Ó äðóãîìó âèïàäêó ïîðÿäîê òàêèé ñàìèé: öå î÷åâèäíî, îñêiëüêè âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ Jˆ2 òà Jˆz ¹ ëiíiéíèìè êîìáiíàöiÿìè äîáóòêiâ âëàñíèõ óíêöié îïåðàòîðiâ Jˆ12 , Jˆ22 òà Jˆ1z , Jˆ2z . Çðîçóìiëî òàêîæ, ùî ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ j öå ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ÷èñëà m = m1 + m2 , òîáòî jmax = j1 + j2 . Ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ jmin îòðèìó¹ìî ç óìîâè, ùî ïîðÿäîê ìàòðèöü ó äðóãîìó âèïàäêó ðiâíèé ïîðÿäêîâi ìàòðèöü ó ïåðøîìó âèïàäêó: jX max

j X

1 = (2j1 + 1)(2j2 + 1),

j=jmin m=−j jX max

(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

j=jmin

Îñêiëüêè j ìîæíà çîáðàçèòè ÿê

j = jmin + (n − 1),

äå n = 1, 2, . . . , nmax , òî àáî

jmax = jmin + (nmax − 1), nmax = jmax − jmin + 1.

296

Òîìó

jX max

j=jmin

(2j + 1) =

nX max n=1

[2(jmin + (n − 1)) + 1]

= (2jmin − 1)nmax + 2

nmax (nmax + 1) 2

= nmax (2jmin + nmax ) = = (jmax + 1 − jmin )(jmax + 1 + jmin ) 2 = (jmax + 1)2 − jmin 2 = (j1 + j2 + 1)2 − jmin .

Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî ðiâíÿííÿ ç ÿêîãî

2 (j1 + j2 + 1)2 − jmin = (2j1 + 1)(2j2 + 1), 2 jmin = (j1 − j2 )2 .

Çâiäêè jmin = |j1 − j2 |, íàãàäà¹ìî, ùî j âåëè÷èíà äîäàòíà àáî äîðiâíþ¹ íóëåâi. Îòæå, îñòàòî÷íî

|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 .

Öå i ¹ âiäïîâiäü íà íàøå çàïèòàííÿ ùîäî ìîæëèâèõ çíà÷åíü êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, ÿêèé ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè äâîõ ìîìåíòiâ. 34. Âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ êâàäðàòà é ïðîåêöié

îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó

ˆ 2 òà L ˆ z ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ, ÿêi Âèðàçè äëÿ îïåðàòîðiâ L ìè íàâåëè ó 32, äàþòü çìîãó ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó íà âëàñíi óíêöi¨ ˆz òà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ íèõ ó ÿâíîìó âèãëÿäi. Äëÿ îïåðàòîðà L òàêó çàäà÷ó ìè ðîçâ'ÿçàëè ðàíiøå, ÿê Ïðèêëàä ó 9, à â ðiâíÿííi ˆ 2 çìiííi ðîçäiëÿþòüñÿ, i ïðèõîäèìî äî äîáðå âiäîìîãî ðiâäëÿ L íÿííÿ äëÿ ïðè¹äíàíèõ ïîëiíîìiâ Ëåæàíäðà. Ïîâ÷àëüíî, îäíàê, 297

ðîçâ'ÿçàòè öþ çàäà÷ó, âèêîðèñòàâøè ðåçóëüòàòè ïîïåðåäíüîãî ïàˆ + òà L ˆ − ó ïðåäñòàâðàãðàà. Ïðàöþâàòèìåìî ç îïåðàòîðàìè L ëåííi ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò. Êâàíòîâå ÷èñëî j , ùî íóìåðó¹ âëàñíi çíà÷åííÿ êâàäðàòà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè ÷åðåç l. Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõ çàëåæíi âiä çìiííèõ θ , ϕ õâèëüîâi óíêöi¨ s !l−m ˆ− (l + m)! L hθ, ϕ|l, mi = hθ, ϕ|l, li. (l − m)!(2l)! ~ Îñíîâíèé ñòàí âèçíà÷à¹ ðiâíÿííÿ

ˆ + hθ, ϕ|l, li = 0, L ˆ + çàïèñó¹òüñÿ òàê: ÿêå ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó îïåðàòîðà L ∂ ∂ + i ctg θ hθ, ϕ|l, li = 0. ∂θ ∂ϕ Çìiííi â öüîìó ðiâíÿííi ðîçäiëÿþòüñÿ,

hθ, ϕ|l, li = hϕ|lihθ|li, ˆ z , âèãëÿä ÿêî¨ ìè ïðè÷îìó hϕ|li öå âëàñíà óíêöiÿ îïåðàòîðà L çíà¹ìî: 1 hϕ|li = √ eilϕ . 2π Ôóíêöiÿ hθ, ϕ|l, li ïîâèííà çàëèøàòèñü íåçìiííîþ ïðè ïîâîðîòàõ íà 360◦ , à öå îçíà÷à¹, ùî òîáòî

hϕ + 2π|li = hϕ|li, ei2πl = 1,

i îòæå, l ¹ öiëèì ÷èñëîì. Ìè îòðèìàëè öiêàâèé ðåçóëüòàò. Äîäàòêîâà óìîâà íà îäíîçíà÷íiñòü óíêöi¨ ïðè ïîâíèõ ïîâîðîòàõ âèðiçà¹ ïiâöiëi çíà÷åííÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà, ùî íóìåðó¹ êâàäðàò êóòîâîãî ìîìåíòó:

l = 0, 1, 2, 3, . . . . 298

Òàêèì ÷èíîì, âèêîðèñòàííÿ ëèøå êîìóòàöiéíèõ ñïiââiäíîøåíü äëÿ êîìïîíåíò îïåðàòîðà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó áåç çâåðòàííÿ äî ¨õíüîãî êîíêðåòíîãî çîáðàæåííÿ äàëî çìîãó âèÿâèòè i çáåðåãòè ïiâöiëi çíà÷åííÿ âåëè÷èíè j . Íåâiäîìà óíêöiÿ hθ|li çàäîâîëüíÿ¹ òåïåð ðiâíÿííÿ

dhθ|li = lhθ|li ctg θ, dθ

ÿêå ëåãêî ðîçâ'ÿçàòè:

lnhθ|li = l ln sin θ + const àáî

hθ|li = Cl sinl θ,

Cl ñòàëà íîðìóâàííÿ. Îòæå, ìè çíàéøëè õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó: eilϕ hθ, ϕ|l, li = √ Cl sinl θ. 2π Âîíà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó íîðìóâàííÿ, ÿêó ç óðàõóâàííÿì ÿêîáiàíà ïåðåõîäó äî ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò çàïèñó¹ìî òàê: Z Z 2π dϕ π 2 sin θ sin2l θ dθ = 1. |Cl | 2π 0 0 Ïiñëÿ çàìiíè çìiííèõ x = cos θ ìà¹ìî Z 1 2 |Cl | (1 − x2 )l dx = 1. −1

Öåé iíòå ðàë äîðiâíþ¹ (ç íàñòóïíîþ çàìiíîþ x2 = t) Z 1 Z 1 2 l t−1/2 (1 − t)l dt (1 − x ) dx = 2 0

0

=

Γ(l + 1)Γ(1/2) Γ(l + 1 + 1/2)

òàê çâàíà B-óíêöiÿ Åéëåðà. Òåïåð ñòàëà s Γ(l + 1 + 1/2) Cl = . Γ(l + 1)Γ(1/2) 299

Çáèðàþ÷è îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ðàçîì, óíêöiþ s (l + m)! Γ(l + 1 + 1/2) hθ, ϕ|l, mi = (l − m)!(2l)! Γ(l + 1)Γ(1/2)

çàïèøåìî õâèëüîâó

ˆ− L ~

!l−m

eilϕ √ sinl θ. 2π

Ñïðîñòèìî öåé âèðàç. Ïî-ïåðøå,

√ 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · (2l + 1) π 2l+1 √ π (2l + 1)! = , l+1 2 2l l!

Γ(l + 1 + 1/2) =

Γ(l + 1) = l!, √ π, Γ(1/2) = òîìó

1 hθ, ϕ|l, mi = l 2 l!

s

(2l + 1)(l + m)! 2(l − m)!

ˆ− L ~

!l−m

eilϕ √ sinl θ. 2π

ˆ −: Äàëi âèêîðèñòà¹ìî ÿâíèé âèãëÿä îïåðàòîðiâ L ˆ− ∂ ∂ L ilϕ l −iϕ e sin θ = e + i ctg θ − eilϕ sinl θ ~ ∂θ ∂ϕ d i(l−1)ϕ = e − − l ctg θ sinl θ dθ d 1 i(l−1)ϕ = e − − l ctg θ sin2l θ dθ sinl θ l ctg θ l cos θ 1 d i(l−1)ϕ − = e − sin2l θ sinl+1 θ sinl θ dθ sinl θ 1 d i(l−1)ϕ = e sin2l θ − l sin θ dθ 300

= ei(l−1)ϕ

1 sin

l−1

d sin2l θ. θ d cos θ

Íàñòóïíèé êðîê !2 ˆ− ˆ − ei(l−1)ϕ d sin2l θ L L eilϕ sinl θ = ~ ~ sinl−1 θ d cos θ

ei(l−1)ϕ d sin2l θ sinl−1 θ d cos θ 1 d d sin2l θ i(l−2)ϕ = e − − (l − 1) ctg θ dθ sinl−1 θ d cos θ −iϕ

= e

∂ ∂ − + i ctg θ ∂θ ∂ϕ

(l − 1) cos θ 1 d (l − 1) ctg θ d sin2l θ = e − − d cos θ sinl−2 θ sinl−1 θ dθ sinl−1 θ 2 d d d sin2l θ ei(l−2)ϕ 1 i(l−2)ϕ = sin2l θ. = e − l−1 l−2 dθ d cos θ d cos θ sin θ sin θ i(l−2)ϕ

Ëåãêî ïîìiòèòè çàêîíîìiðíiñòü, ùî äîçâîëÿ¹ çàïèñàòè !(l−m) l−m ˆ− eimϕ d L ilϕ l sin2l θ. e sin θ = ~ sinm θ d cos θ Òîìó îñòàòî÷íî âëàñíà óíêöiÿ êâàäðàòà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà éîãî z -ïðîåêöi¨ ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ s l−m d (2l + 1)(l + m)! eimϕ 1 1 √ sin2l θ. hθ, ϕ|l, mi = l m 2 l! 2(l − m)! sin θ d cos θ 2π Âèïèøiìî äåêiëüêà ïåðøèõ óíêöié:

1 hθ, ϕ|0, 0i = √ , 4π hθ, ϕ|1, 1i =

r

3 iϕ e sin θ, 8π 301

hθ, ϕ|1, 0i = −

r

3 cos θ, 4π

r

3 −iϕ e sin θ. 8π Ôóíêöi¨ hθ, ϕ|l, mi ìîæíà çàïèñàòè ÷åðåç ïðè¹äíàíi ïîëiíîìè Ëeæàíäðà m d m m Pl (cos θ) = sin θ Pl (cos θ) d cos θ hθ, ϕ|1, −1i = −

=

(−)l sinm θ 2l l!

äå ïîëiíîì Ëåæàíäðà

(−)l Pl (cos θ) = l 2 l! Òåïåð

eimϕ hθ, ϕ|l, mi = (−)l √ 2π

s

ßêùî âðàõóâàòè, ùî

Plm (cos θ) = (−)m òî

eimϕ hθ, ϕ|l, mi = (−)l+m √ 2π

d d cos θ

d d cos θ

l

l+m

sin2l θ,

sin2l θ.

2l + 1 (l + m)! −m P (cos θ). 2 (l − m)! l (l + m)! −m P (cos θ), (l − m)! l

s

2l + 1 (l − m)! m P (cos θ). 2 (l + m)! l

Öi óíêöi¨ ç òî÷íiñòþ äî çíàêà (−)l çáiãàþòüñÿ çi ñåðè÷íèìè óíêöiÿìè Yl,m (θ, ϕ), âèçíà÷åíèìè ñòàíäàðòíî:

hθ, ϕ|l, mi = (−)l Yl,m (θ, ϕ), s imϕ e 2l + 1 (l − m)! m P (cos θ). Yl,m (θ, ϕ) = (−)m √ 2 (l + m)! l 2π 302

Âèïèøåìî ó ÿâíîìó âèãëÿäi ñåðè÷íi óíêöi¨ äëÿ l = 0, 1, 2, 3:

Y0,0 =

Y1,±1 = Y2,0 = Y2,±1 = Y2,±2 = Y3,0 = Y3,±1 = Y3,±2 = Y3,±3 =

r 3 1 √ , Y1,0 = cos θ, 4π 4π r 3 ±iϕ e sin θ, ∓ 8π r 5 (3 cos2 θ − 1), 16π r 15 ±iϕ ∓ e cos θ sin θ, 8π r 15 ±2iϕ 2 e sin θ, 32π r 7 (5 cos3 θ − 3 cos θ), 16π r 21 ±iϕ ∓ e (5 cos2 θ − 1) sin θ, 64π r 105 ±2iϕ 2 e sin θ cos θ, 32π r 35 ±3iϕ 3 ∓ e sin θ. 64π

Òåïåð äåêiëüêà ñëiâ ïðî ïåðåòâîðåííÿ çíàéäåíèõ óíêöié ïðè îïåðàöi¨ iíâåðñi¨, ÿêà ïîëÿãà¹ â çàìiíi (x, y, z) íà (−x, −y, −z). Öþ îïåðàöiþ çäiéñíþ¹ îïåðàòîð iíâåðñi¨ Iˆ. Ëåãêî áà÷èòè, ùî ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ òàêà îïåðàöiÿ åêâiâàëåíòíà çàìiíi êóòiâ θ, ϕ íà π − θ, ϕ + π . Ïðè öüîìó õâèëüîâà óíêöiÿ hπ − θ, ϕ + π|l, mi = (−)l hθ, ϕ, |l, mi. Îòæå, ïðè îïåðàöi¨ iíâåðñi¨ õâèëüîâà óíêöiÿ äëÿ ïàðíèõ çíà÷åíü l íå çìiíþ¹ çíàêà, à äëÿ íåïàðíèõ äiñòà¹ ìíîæíèê (−1), òîáòî õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ ïàðíîþ àáî íåïàðíîþ. ßêùî îïåðàòîð iíâåðñi¨ êîìóòó¹ ç ãàìiëüòîíiàíîì, òîáòî ïîòåíöiàëüíà 303

åíåð iÿ U (x, y, z) = U (−x, −y, −z), òî öÿ âëàñòèâiñòü õâèëüîâî¨ óíêöi¨ çáåðiãà¹òüñÿ. Ó öüîìó âèïàäêó ãîâîðÿòü ïðî çàêîí çáåðåæåííÿ ïàðíîñòi. Îïåðàöiþ iíâåðñi¨ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê îïåðàöiþ ïîâîðîòó íàâêîëî îñi z íà êóò π ç íàñòóïíèì äçåðêàëüíèì âiäîáðàæåííÿì ó ïëîùèíi xOy . Îñêiëüêè âiä ïîâîðîòiâ íå çìiíþþòüñÿ âëàñòèâîñòi içè÷íèõ ñèñòåì, à iíòó¨öiÿ òà ïîâñÿêäåííèé äîñâiä íàì ïiäêàçóþòü, ùî ó äçåðêàëi çàêîíè òàêîæ íå çìiíþþòüñÿ, òî çàêîí çáåðåæåííÿ ïàðíîñòi ìà¹ àáñîëþòíèé õàðàêòåð, ÿê, íàïðèêëàä, çàêîí çáåðåæåííÿ åíåð i¨. Òîáòî ëiâå i ïðàâå â ïðèðîäi ¹ åêâiâàëåíòíèìè. Îäíàê òóò iíòó¨öiÿ íàñ ïiäâîäèòü öåé çàêîí ïîðóøó¹òüñÿ äëÿ ñëàáêèõ âçà¹ìîäié (äèâ. íàñòóïíèé ïàðàãðà)2 . 35. Ñïií

Ïiâöiëi çíà÷åííÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà, ùî âèçíà÷à¹ êâàäðàò êóòîâîãî ìîìåíòó, ÿê ìè áà÷èëè, íå ðåàëiçóþòüñÿ ïðè îðáiòàëüíîìó ðóñi ÷àñòèíêè. Äåöèìàöiÿ ïiâöiëèõ çíà÷åíü j öå íàñëiäîê îäíîçíà÷íîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ÷àñòèíêè ïðè ïîâíèõ ïîâîðîòàõ. ßêùî ñiñòè íà ÷àñòèíêó, òîáòî ðîçãëÿäàòè ¨¨ â ñèñòåìi êîîðäèíàò, ó ÿêié âîíà ÿê öiëå íå ðóõà¹òüñÿ, òî ¨¨ iìïóëüñ, à îòæå, i ìîìåíò iìïóëüñó, äîðiâíþþòü íóëåâi. Ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó ÷àñòèíêè, çâ'ÿçàíèé ç ¨¨ ðóõîì ó ïðîñòîði, ÿê ìè âæå çàçíà÷àëè, íàçèâàþòü îðáiòàëüíèì ìîìåíòîì. Ó öié ñèñòåìi êîîðäèíàò ÷àñòèíêà ìîæå ìàòè ëèøå âíóòðiøíié ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó. Öåé âíóòðiøíié, àáî âëàñíèé, ìîìåíò iìïóëüñó ÷àñòèíêè íàçèâàþòü ¨¨ ñïiíîì. Ìåõàíiçì îðìóâàííÿ âëàñíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê íåâiäîìèé. Ùå . Êðîíi ðîçãëÿäàâ âëàñíèé ìåõàíi÷íèé ìîìåíò åëåêòðîíà ÿê îáåðòàííÿ òâåðäîãî òiëà íàâêîëî îñi. Îäíàê, çà ïîðàäîþ Â. Ïàóëi, Â. àéçåíáåð à i . À. Êðàìåðñà, âií âiäêèíóâ öþ ìîäåëü ÷åðåç òå, ùî ëiíiéíà øâèäêiñòü ïîâåðõíi òàêî¨ 2 Ë. Ïàñòåð ó 1848 ðîöi çàóâàæèâ âiäñóòíiñòü ñèìåòði¨ ïðàâîãî i ëiâîãî íà äåÿêèõ îðãàíi÷íèõ ñïîëóêàõ áiîëîãi÷íèõ ñòðóêòóð. Îäíàê òàêi øòó÷íî ñèíòåçîâàíi ñïîëóêè âiäòâîðþþòü öþ ñèìåòðiþ. Ïðè÷èíà, îòæå, ïîëÿãà¹ íå ó içè÷íèõ çàêîíàõ, çîêðåìà, ¨¨ íå ìîæíà ïðèïèñàòè åëåêòðîìàãíiòíèì âçà¹ìîäiÿì, ÿêi âiäïîâiäàþòü çà ñòðóêòóðó ìîëåêóë, à â òîìó, ùî ç ñàìîãî Ïî÷àòêó àáî áóëè ñèíòåçîâàíi ëèøå ëiâi ñòðóêòóðè, àáî â ïðîöåñi åâîëþöi¨ âîíè ëþêòóàöiéíî âèÿâèëèñü ó âèãiäíiøèõ óìîâàõ, à ïðàâi çíèêëè, ùî é ñïîñòåðiãà¹ìî ñüîãîäíi. Ùå îäíèì äîêàçîì öüîãî ¹ òå, ùî ïåðâiñíi õóäîæíèêè äëÿ íàñêåëüíèõ ìàëþíêiâ áðàëè çà òðààðåò ñâîþ ðóêó, ïåðåâàæíî ëiâó, òîáòî êîíòóðè íàâîäèëè ïðàâîþ.

304

äçè è áóëà áiëüøîþ, íiæ øâèäêiñòü ñâiòëà. Ïiçíiøå, ó 1925 ðîöi, öå óÿâëåííÿ çíîâó ââiéøëî äî ðîçãëÿäó çàâäÿêè Ñ. àóäñìiòîâi òà Äæ. Óëåíáåêîâi, ÿêi âèñëîâèëè ïðèïóùåííÿ ïðî íàÿâíiñòü â åëåêòðîíà âëàñíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó. Ó êâàíòîâó ìåõàíiêó ñïií óâiâ ó 1927 ðîöi Â. Ïàóëi3 . Óâàæà¹òüñÿ, ùî ñïií åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê ¹ òàêîþ æ âëàñòèâiñòþ, ÿê, íàïðèêëàä, ¨õíié çàðÿä. ×àñòèíêà ìîæå ìàòè ñïií, ðiâíèé íóëåâi, j = 0 öå ìåçîíè, à çi ñêëàäíèõ ÷àñòèíîê ÿäðî 4 He, àòîì 4 He òà iíøi. Ïðî ÷àñòèíêó, êâàäðàò ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó ÿêî¨ âèçíà÷à¹òüñÿ ÷èñëîì j = 1/2, ãîâîðÿòü, ùî ¨¨ ñïií äîðiâíþ¹ îäíié äðóãié. Ïiä öèì ðîçóìiþòü ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ïðîåêöi¨ ñïiíó íà âiñü z â îäèíèöÿõ ~. Ñïií ~/2 ìàþòü òàêi åëåìåíòàðíi ÷àñòèíêè, ÿê åëåêòðîí, ïðîòîí, íåéòðîí, ìþîí, íåéòðèíî òà iíøi, à çi ñêëàäíèõ ÷àñòèíîê àòîì 3 He, íàïðèêëàä. Óñòàíîâèìî âèãëÿä ìàòðèöü êîìïîíåíò îïåðàòîðà ñïiíó äëÿ âèïàäêó j = 1/2, âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàòè 33. Ïðèãàäàéìî, ùî ìàòðèöÿ éîãî z -êîìïîíåíòè ¹ äiàãîíàëüíîþ:

hj ′ , m′ |Jˆz |j, mi = ~mδj ′ j δm′ m . Îñêiëüêè m = 1/2, −1/2, òî ìàòðèöÿ öüîãî îïåðàòîðà



Jˆz = 

~/2 0

  1 0 ~ =  . 2 −~/2 0 −1 0



Ïðèãàäàéìî äàëi, ùî íåíóëüîâi çíà÷åííÿ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ 3 Îäèí iëîñî âåøòàâñÿ çàâæäè òàì, äå ãðàëèñÿ äiòè. ßê ïîáà÷èâ õëîïöÿ ç äçè îþ, âiäðàçó íàñòîðîæóâàâñÿ. I ùîéíî äçè à ïî÷èíàëà êðóòèòèñÿ, iëîñî áiã äî íå¨, ùîá óïiéìàòè. Âií íå çâåðòàâ óâàãè íà òå, ùî äiòè êðè÷àòü i ãîíÿòü éîãî âiä iãðàøêè, i, âõîïèâøè äçè ó, ïîêè âîíà ùå êðóòèòüñÿ, áóâ ùàñëèâèé, àëå ëèøå îäíó ìèòü, ïîòiì êèäàâ ¨¨ íà çåìëþ é iøîâ ãåòü. Âëàñíå, âií âiðèâ, ùî ïiçíàííÿ êîæíî¨ äðiáíèöi, ÿê-îò, íàïðèêëàä, äçè è, ùî êðóòèòüñÿ, âèñòà÷à¹, ùîá ðîçóìiòè âçàãàëi âñå. . . I çàâæäè, áà÷èâøè, ÿê ãîòóþòüñÿ çàïóñòèòè äçè ó, âií áóâ îõîïëåíèé íàäi¹þ, ùî òåïåð éîìó ïîùàñòèòü, . . . Ôðàíö Êàêà.

Ïåðåòâîðåííÿ Îïîâiäàííÿ ó ïåðåêëàäi Iâàíà Êîøåëiâöÿ. Ëiòåðàòóðíà à åíöiÿ Ïiðàìiäà. Ëüâiâ, 2005.

20

I. Î. Âàêàð÷óê

305

îïåðàòîðà Jˆ+

Òîìó:

hj, m + 1|Jˆ+ |j, mi = ~

p

j(j + 1) − m(m + 1).

h1/2, 1/2|Jˆ+ |1/2, 1/2i = 0, h1/2, 1/2|Jˆ+ |1/2, −1/2i = ~, h1/2, −1/2|Jˆ+ |1/2, 1/2i = 0,

Îòæå,

h1/2, −1/2|Jˆ+ |1/2, −1/2i = 0. 











0 ~ 0 1  = ~ , Jˆ+ =  0 0 0 0

à ñïðÿæåíèé îïåðàòîð



Jˆ− = 

0 0 ~ 0

 = ~

Çà îçíà÷åííÿì, Jˆ± = Jˆx ± iJˆy , òîìó

Jˆ+ + Jˆ− Jˆx = , 2

0 0 1 0



.

Jˆ+ − Jˆ− Jˆy = . 2i

Çâiäñè çíàõîäèìî       ~ 0 1  ~ 0 0  ~ 0 1  Jˆx = + = , 2 2 2 0 0 1 0 1 0 306

Jˆy =

=

      ~  0 1  ~  0 0  ~  0 1  − = 2i 2i 2i 0 0 1 0 −1 0 



~  0 −i  . 2 i 0

ˆ ìîæåìî çàïèñàòè â òàêîìó âèãëÿäi: Îïåðàòîð J ˆ = ~ σ, ˆ J 2 ˆ = iˆ σ σx + jˆ σy + kˆ σz , äå ìàòðèöi Ïàóëi



σ ˆx = 

0 1 1 0





σ ˆy = 

,

0 −i i

0





σ ˆz = 

,

1

0 −1

Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî àë åáðà öèõ îïåðàòîðiâ òàêà:

σ ˆx2 = 1, σ ˆx σ ˆy = iˆ σz ,

σ ˆy2 = 1, σ ˆz σ ˆx = iˆ σy ,

0



.

σ ˆz2 = 1, σ ˆy σ ˆz = iˆ σx .

Ùîäî ïîçíà÷åíü, òî çâåðíåìî óâàãó íà òå, ùî îïåðàòîð âëàñíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó ÷àñòèíêè ÷àñòî ïîçíà÷àþòü ÷åðåç ˆs, à êâàíòîâå ÷èñëî j ÷åðåç s: ~ ˆ ˆs = σ. 2 Çàóâàæèìî, ùî ìàòðèöi Ïàóëi ðàçîì ç îäèíè÷íîþ ìàòðèöåþ Iˆ óòâîðþþòü ïîâíèé íàáið. Öå îçíà÷à¹, ùî áóäü-ÿêèé îïåðàòîð fˆ, ÿêèé çîáðàæà¹òüñÿ ìàòðèöåþ äðóãîãî ïîðÿäêó, ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿäi ëiíiéíî¨ êîìáiíàöi¨

ˆ fˆ = aˆ σx + bˆ σy + cˆ σz + dI. 20*

307

Öåé âèðàç àêòè÷íî ¹ òàê çâàíèì êâàòåðíiîíîì àìiëüòîíà4 . Çíàéäåìî âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ Jˆz òà Jˆ2 . Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó |j, mi = |1/2, 1/2i ìà¹ìî ðiâíÿííÿ

E + 1 1 ˆ = 0. J , 2 2

Ó ìàòðè÷íié îðìi öåé êåò-âåêòîð

à ðiâíÿííÿ äëÿ íüîãî:

 4



  1 1E α ,  , 2 2 = β 0 1 0 0

 

α β



 = 0.

Âèäàòíèé iðëàíäñüêèé ìàòåìàòèê Âiëüÿì îóàí àìiëüòîí (18051865) íàìàãàâñÿ çíàéòè íîâó ñèñòåìó êîìïëåêñíèõ ÷èñåë ç òàêîþ æ íàî÷íîþ ãåîìåòðè÷íîþ iíòåðïðåòàöi¹þ, ÿê äëÿ çâè÷àéíèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë íà ïëîùèíi. Öå ïðèâåëî éîãî â 1843 ðîöi äî âèíàéäåííÿ êâàòåðíiîíiâ ÷îòèðè÷ëåííèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë t + ix + jy + kz , äå îñíîâíi îäèíèöi i, j , k ïiäêîðåíi òàêèì óìîâàì: i2 = j 2 = k2 = −1, ij = k, ji = −k,

ki = j, ik = −j,

jk = i, kj = −i.

Âåëè÷èíó t àìiëüòîí íàçâàâ ñêàëÿðíîþ ÷àñòèíîþ êâàòåðíiîíà, à ix + jy + kz âåêòîðíîþ. Êâàòåðíiîíè çàéìàëè âèíÿòêîâå ìiñöå â ìàòåìàòè÷íié òâîð÷îñòi àìiëüòîíà. Âií òà éîãî øêîëà âiðèëè â óíiâåðñàëüíå çíà÷åííÿ òåîði¨ êâàòåðíiîíiâ, ùî âèêëèêàëî íåðîçóìiííÿ òà ñïðîòèâ ó ìàòåìàòè÷íîìó ñâiòi. Ëåãêî √ çàóâàæèòè, ùî îñíîâíi îäèíèöi ¹ ìàòðèöÿìè Ïàóëi, ÿêi ïîìíîæåíi íà − −1: √ √ √ ˆx , ˆy , j = − −1 σ k = − −1 σ i = − −1 σ ˆz .

√ Îòæå, êâàòåðíiîí ìîæíà çîáðàçèòè ÿê t − −1(xˆ σx + yˆ σy + zˆ σz ). Öèì i âèçíà÷à¹òüñÿ ìiñöå òà ðîëü êâàòåðíiîíiâ ó ìàòåìàòèöi.

308

Çâiäñè β = 0, à ç óìîâè íîðìóâàííÿ   α  = |α|2 + |β|2 = 1, (α∗ β ∗ )  β

çíàõîäèìî, ùî |α|2 = 1. Îñêiëüêè õâèëüîâó óíêöiþ âèçíà÷à¹ìî ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà, òî, íå çìåíøóþ÷è çàãàëüíîñòi, ïîêëàäåìî α = 1. Îòæå,   1 1 E 1 ,  . 2 2 = 0 Öÿ õâèëüîâà óíêöiÿ îïèñó¹ ñòàí, ó ÿêîìó ïðîåêöiÿ ñïiíó íà âiñü z äîðiâíþ¹ ~/2. ×àñòî ¨¨ ïîçíà÷àþòü ñêîðî÷åíî ÿê   1 | ↑i =   0

i ãîâîðÿòü, ùî âîíà îïèñó¹ ñòàí ñïií óâåðõ. Iç çàãàëüíî¨ îðìóëè çíàõîäèìî õâèëüîâó óíêöiþ, ÿêà îïèñó¹ ñòàí ñïií óíèç      E Jˆ− 1 1 E 1 0 0 1 0 1 ,   =  . = = | ↓i = , − 2 2 ~ 2 2 1 0 0 1 Îòæå,



| ↓i = 

0 1



.

Çíàéäåìî ÿâíi âèðàçè äëÿ îïåðàòîðiâ ïîâîðîòó. Ïî÷íåìî ç ˆ

ˆ ϕz = ei J~z ϕ = ei ϕ2 σz R ϕ ˆz + = Iˆ + i σ 2

iϕ 2

iϕ 2

2

1 = Iˆ 1 + 2!

2

1 2 σ ˆ + 2! z

1 + 4!

iϕ 2

iϕ 2

4

3

+ ···

1 3 σ ˆ + ··· 3! z ! 309

+ σ ˆz

iϕ + 2

iϕ 2

3

1 + ··· 3!

!

= Iˆ cos

ϕ ϕ + iˆ σz sin 2 2

   ϕ 1 0 ei 2 ϕ ϕ  i sin =   cos +  =  2 2 0 −1 0 1 0 

1 0



ˆ ϕz , ÿê i Jˆz , ¹ äiàãîíàëüíîþ. Ìàòðèöÿ R Àíàëîãi÷íî

0 ϕ

e−i 2



.

θ ˆ y = Iˆ cos θ + iˆ R σy sin , θ 2 2 àáî



Íàðåøòi

ˆy =  R θ

cos

θ 2

− sin

sin θ 2

cos

θ 2 θ 2



.

ˆ x = Iˆ cos α + iσx sin α , R α 2 2 

ˆ αx =  R

cos α2

i sin α2

i sin α2

cos α2



.

ßê iëþñòðàöiþ çàñòîñóâàííÿ çíàéäåíèõ âèðàçiâ ðîçãëÿíåìî ðîçïàä Λ0 ÷àñòèíîê. Öåé ðîçïàä ¹ ïðèêëàäîì áåçëåïòîííîãî ðîçïàäó àäðîíiâ çà ðàõóíîê ñëàáêî¨ âçà¹ìîäi¨. îçãëÿíåìî ðåàêöi¨ óòâîðåííÿ i ðîçïàäó Λ0 -÷àñòèíêè òà K 0 -ìåçîíà:

π − + p → Λ0 + K 0 , Λ0 → p + π − , K 0 → π+ + π− . 310

èñ. 36.

Óòâîðåííÿ i áåçëåïòîííèé ðîçïàä

Λ0 -÷àñòèíêè

òà

K 0 -ìåçîíà.

Ñòðiëêàìè ïîçíà÷åíî íàïðÿìêè ðóõó ÷àñòèíîê.

Ñõåìàòè÷íî öi ðåàêöi¨ çîáðàæåíi íà ðèñ. 36. Ñóöiëüíi ëiíi¨ öå ñëiäè çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê ó áóëüáàøêîâié êàìåði, øòðèõîâi ëiíi¨ øëÿõ íåéòðàëüíèõ ÷àñòèíîê Λ0 òà K 0 , ÿêi íå çàëèøàþòü ñëiäiâ. Ïåðøà ðåàêöiÿ öå íàðîäæåííÿ Λ0 -÷àñòèíêè òà K 0 -ìåçîíà íà ïðîòîíi â áóëüáàøêîâié êàìåði ç ðiäêèì âîäíåì ïiä äi¹þ π − ìåçîíà. Âîíà ¹ ïðèêëàäîì ñèëüíèõ âçà¹ìîäié. îçïàäè Λ0 - òà K 0 -÷àñòèíîê âiäáóâàþòüñÿ çàâäÿêè ñëàáêié âçà¹ìîäi¨. Çîñåðåäèìî óâàãó íà ðîçïàäi Λ0 -÷àñòèíêè â ñèñòåìi öåíòðà ìàñ (äèâ. ðèñ. 37). Íåõàé ¨¨ ñïií, ÿêèé äîðiâíþ¹ 1/2, íàïðÿìëåíèé óâåðõ óçäîâæ îñi z . Îñêiëüêè ïiîí ÷àñòèíêà áåçñïiíîâà, òî iç çàêîíó çáåðåæåííÿ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó ïiñëÿ ðîçïàäó ñïií ïðîòîíà, ðiâíèé 1/2, òàêîæ íàïðÿìëåíèé óâåðõ. Íåõàé àìïëiòóäà iìîâiðíîñòi òàêîãî ðîçïàäó äîðiâíþ¹ a. ßêùî ñïií Λ0 -÷àñòèíêè íàïðÿìëåíèé óíèç, òî i ñïií ïðîòîíà ïiñëÿ ðîçïàäó áóäå íàïðÿìëåíèé óíèç. Ïðèéìà¹ìî, ùî àìïëiòóäà öüîãî ïðîöåñó äîðiâíþ¹ b. Ïîñòàâèìî ïèòàííÿ: ÿêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ïðîòîí âèëåòèòü ïiä êóòîì θ äî îñi z ? Äëÿ öüîãî ïîäi¹ìî íà õâèëüîâó óíêöiþ Λ0 -÷àñòèíêè

|Λ0 i = | ↑i 311

èñ. 37. îçïàä Λ0 -÷àñòèíêè â ñèñòåìi öåíòðà ìàñ. Ñóöiëüíèìè ñòðiëêàìè ïîçíà÷åíî íàïðÿìêè ñïiíiâ ÷àñòèíîê, à øòðèõîâàíèìè íàïðÿìêè iìïóëüñiâ ÷àñòèíîê.

îïåðàòîðîì ïîâîðîòó íàâêîëî îñi y íà êóò θ :    θ θ sin cos 2 2  1  ˆ y |Λ0 i =  |Λ0 i′ = R θ − sin θ2 cos θ2 0



= 

cos θ2 − sin 2θ

= | ↑i cos

  0 θ  =   cos −   sin θ 2 2 1 0 



1



θ θ − | ↓i sin . 2 2

Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi âèëüîòó ïðîòîíà çi ñïiíîì óâåðõ ïiä êóòîì θ äîðiâíþ¹ a cos 2θ , à àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ïðîòîí âèëiòà¹ ïiä êóòîì θ çi ñïiíîì óíèç, äîðiâíþ¹ (−b) sin 2θ . Îòæå, ïîâíà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ïðîòîí âèëiòà¹ ïiä êóòîì θ äî îñi z ,

w(θ) = |a|2 cos2 312

θ θ + |b|2 sin2 . 2 2

Ïiñëÿ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü

w(θ) = A(1 + B cos θ), äå

A=

|a|2 + |b|2 , 2

B=

|a|2 − |b|2 . |a|2 + |b|2

Öÿ îðìóëà âèçíà÷à¹ êóòîâèé ðîçïîäië ïðîòîíiâ ó ðåàêöi¨ ðîçïàäó Λ0 -÷àñòèíêè. Åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíèé êîåiöi¹íò B = −0.63. Îñêiëüêè âåëè÷èíà B 6= 0, ìà¹ìî ïîðóøåííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ïàðíîñòi. Ñïðàâäi, ðîçïàä Λ0 -÷àñòèíêè çi ñïiíîì óíèç öå ¹ ïðîñòî äçåðêàëüíå âiäîáðàæåííÿ ¨¨ ðîçïàäó çi ñïiíîì óâåðõ (äèâ. ðèñ. 38).

èñ. 38. Ñòàíè ñïií óâåðõ

òà ñïií óíèç ¹ äçåðêàëüíî âiäîáðàæåíèìè.

Íàãàäà¹ìî, ùî ïðè òàêîìó äçåðêàëüíîìó âiäîáðàæåííi ïîëÿðíi âåêòîðè, ÿêèìè ¹ iìïóëüñè ÷àñòèíîê, íå çìiíþþòü ñâî¨õ íàïðÿìêiâ, à àêñiàëüíi âåêòîðè, ÿêèìè ¹ ñïiíè ÷àñòèíîê, çìiíþþòü ñâî¨ íàïðÿìêè íà ïðîòèëåæíi. ßêùî âåêòîðè íàïðÿìëåíi ïåðïåíäèêóëÿðíî äî äçåðêàëà, òî íàïðÿìîê çìiíþþòü ïîëÿðíi âåêòîðè, à àêñiàëüíi âåêòîðè íå çìiíþþòü. Çäàâàëîñü áè, ùî àìïëiòóäà ðîçïàäó Λ0 -÷àñòèíêè â äçåðêàëi òàêîæ çà âåëè÷èíîþ äîðiâíþ¹ a i âiäïîâiäíi éìîâiðíîñòi ¹ ðiâíèìè, |a|2 = |b|2 . Îäíàê, ÿê áà÷èìî, 313

åêñïåðèìåíò ñâiä÷èòü ïðî iíøå. Ñèìåòði¨ ëiâîãî i ïðàâîãî íå iñíó¹. ×è îçíà÷à¹ öå, ùî â äçåðêàëi çàêîíè ¹ iíøèìè? Íi. Ïðîñòî ìè íå âðàõóâàëè, ùî Ïðèðîäà áà÷èòü ñåáå â äçåðêàëi íå ëèøå ç ïðîòèëåæíèìè ñïiíàìè ÷àñòèíîê, à ùå é ç ïðîòèëåæíèìè çàðÿäàìè: åëåêòðè÷íèìè, áàðiîííèìè, ëåïòîííèìè, à òàêîæ äèâíiñòþ. Îòæå, içè÷íi çàêîíè ïðè öüîìó íå çìiíþþòüñÿ, ÿêùî, êðiì îïåðàöi¨ iíâåðñi¨ P , çäiéñíèòè îïåðàöiþ çàðÿäîâîãî ñïðÿæåííÿ, òîáòî çìiíó âñiõ çíàêiâ çàðÿäiâ íà ïðîòèëåæíi. Öå òàê çâàíà CP iíâàðiàíòíiñòü5 . 36. Ìàòðèöi îïåðàòîðiâ ïîâîðîòó äëÿ

j=1

Îá÷èñëèìî â ÿâíîìó âèãëÿäi ìàòðèöi îïåðàòîðiâ ïðîåêöié ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà ìàòðèöi îïåðàòîðiâ ïîâîðîòó äëÿ âèïàäêó, êîëè ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó äîðiâíþ¹ ~. Âîíè ìàþòü öiëó íèçêó öiêàâèõ çàñòîñóâàíü â àòîìíié òà ÿäåðíié içèöi. Íàïðèêëàä, âëàñíèé ìîìåíò iìïóëüñó (àáî ñïií), ðiâíèé îäèíèöi, ìà¹ ÿäðî âàæêîãî içîòîïà âîäíþ (äåéòðîí â îñíîâíîìó ñòàíi). Ñïií, ðiâíèé îäèíèöi, ìà¹ òàêîæ îòîí, õî÷à z -êîìïîíåíòà ñïiíó îòîíà íàáóâà¹ ëèøå äâà çíà÷åííÿ, à íå òðè. Öå ïîâ'ÿçàíî ç òèì, ùî äëÿ ÷àñòèíîê iç ìàñîþ ñïîêîþ, ðiâíîþ íóëåâi, iñíó¹ âèäiëåíà âiñü ó ïðîñòîði, ÿêà âêàçó¹ íàïðÿìîê ¨õ ðóõó çi øâèäêiñòþ ñâiòëà. Iç çàãàëüíîãî âèðàçó p äëÿ íåíóëüîâèõ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ hj, m + 1|Jˆ+ |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m + 1), j = 1, m = 1, 0, −1 çíàõîäèìî     √ 2 0 0 1 0 0 √    √    Jˆ+ = ~  2   0 0  = ~ 2 0 0 1 . 0 0 0 0 0 0 5

ßê âiäîìî, Íàðöèñ çàêîõàâñÿ â ñâî¹ âiäîáðàæåííÿ ó âîäi, i âèäà¹òüñÿ ñàìå òîìó, ùî íå ïîâ'ÿçóâàâ éîãî âèíèêíåííÿ iç ñîáîþ. Òîáòî âií çàêîõàâñÿ íå â ñåáå, à â êîãîñü iíøîãî Áîãè òèì i ñêàðàëè âðîäëèâîãî þíàêà çà çíåâàæåíó ëþáîâ íiìè Åõî, ùî íå ñêàçàëè éîìó íi ïðî CP -iíâàðiàíòíiñòü, íi ïðî áàãàòîâèìiðíiñòü ïðîñòîðó, ÿêà, ìîæëèâî, ðîçâ'ÿçó¹ ïðîáëåìó i ç KL0 -ìåçîíîì (äèâ. 3, Ïðèêëàä 4), â ðîçïàäàõ ÿêîãî CP -iíâàðiàíòíiñòü ïîðóøó¹òüñÿ. . . Ñòàðîäàâíi ãðåêi íå ìàëè ñóìíiâó, ùî ñâiò ó äçåðêàëi ¹ iíøèì. Ëåãåíäàðíèé Ïåðñåé âiäòÿâ ãîëîâó Ìåäóçi îð îíi, êîðèñòóþ÷èñü ìiäíèì ùèòîì, ÿê äçåðêàëîì, àáè óíèêíóòè ïðÿìîãî ïîãëÿäó íà íå¨, âiä ÿêîãî ëþäè i çâiðè êàì'ÿíiëè. Âèõîäèòü, Ïåðñåé áà÷èâ ó äçåðêàëi ñâîãî ùèòà iíøó iñòîòó, ÿêà âæå íå ìàëà òàêî¨ ñòðàõiòëèâî¨ ñèëè.

314

Î÷åâèäíî, ùî



0 0 0





0 1 0



√   , Jˆ− = ~ 2  1 0 0   0 1 0



 ~  Jˆx = √  1 0 1  ,  2 0 1 0 0

1





0

0 −1

 i~  ~  =√  Jˆy = √  −1 0 1  1   2 i 2 0 −1 0 0

à òàêîæ, ùî



1 0

0

0

1

0



 −1  , 0



  . Jˆz = ~  0 0 0   0 0 −1

Îïåðàòîð ïîâîðîòó íàâêîëî îñi z :

ˆ z = eiϕJˆz /~ R ϕ iϕ 1 = Iˆ + Jˆz + ~ 2! Îñêiëüêè

iϕ ~

2



1 0 0

1 Jˆz2 + 3!

iϕ ~

3

Jˆz3 + · · · .



  , Jˆz2 = ~2  0 0 0   0 0 1 (Jˆz /~)3 = Jˆz /~, 315

òî âèïèñàíèé ðÿä çãîðòà¹òüñÿ i







1 0 0



cos ϕ + i sin ϕ 0

1 0





0

0 0 0



      ˆ ϕz =  0 0 0  cos ϕ +  0 0 0  i sin ϕ +  0 1 0  R       0 0 0 0 0 −1 0 0 1  =  



0

0

1

0

0

0 cos ϕ − i sin ϕ

 . 

Îòæå,



eiϕ 0

0

1

0

 ˆ ϕz =  0 R  0



0 e−iϕ

Îïåðàòîð ïîâîðîòó íàâêîëî îñi y

 . 

ˆ y = eiθJˆy /~ R θ Jˆy 1 = Iˆ + iθ + (iθ)2 ~ 2!

Jˆy ~

!2

=

i √ 2

2



316



Jˆy ~

0 −1

  1  0

−1

1 = −  0 2 1

!2

0

1

−2 0



1



 0  . −1

Jˆy ~

0 −1

  −1   1 0 0

0

0

1 + (iθ)3 3!

0

1

!3

+ ...,

0



 −1   0

Îòæå,



0 −1

1

 0  . 1

~2   0 2 Jˆy2 = 2  −1 0

Äàëi

Jˆy ~

!3

=

=

=

Îòæå,



0 −1

i 1 √  1 22  0 



1

0 −2

i  √  1 2 0

2

0



1

0 −1



 0   1

0



=

Jˆy . ~

 −1  . 0

0

1

Jˆy ~



 −2   0

0

0 −1

0

  −1   0 2 −1 0 0

0

i 1 √  2 22  0



!3

Î÷åâèäíî, ùî

Jˆy ~

!4

=

Jˆy ~

!3

Jˆy Jˆy Jˆy = = ~ ~ ~

Jˆy ~

!2

,

òîìó

ˆy R θ

Jˆy 1 = Iˆ + iθ + (iθ)2 ~ 2!

Jˆy ~

!2 317

Jˆy ~

1 (iθ)3 3!

+

!3

Jˆy i sin θ + = Iˆ + ~

Jˆy ~

!2



0



− i îñòàòî÷íî

0 −1

sin θ  √  1 2  0



 ˆy =  R θ 

0

1

Jˆy ~

1 + (iθ)4 4!

!4

+ ··· 

1 0 0

   (cos θ − 1) =  0 1 0   0 0 1 

0 −1

1

 cos θ − 1   0 2 −1   + 2 0 −1 0

1+cos θ 2 sin − √2θ 1−cos θ 2



1−cos θ 2 sin √θ 2 1+cos θ 2

sin √θ 2

cos θ √θ − sin 2

Îïåðàòîð ïîâîðîòó íàâêîëî îñi x



 0   1



 . 

ˆ αx = eiαJˆx /~ R (iα)2 Jˆx = Iˆ + iα + ~ 2! 

0 1 0



Jˆx ~

!2

Jˆx ~

(iα)3 + 3! 





0 1 0

0 1 0

!3

+ ···,

1 0 1



2     ~2   1 0 1  1 0 1  = ~  0 2 0 , Jˆx2 =    2  2  0 1 0 1 0 1 0 1 0

Jˆx ~

318

!3

=



1 0 1



  1   1 0 1  √  0 2 0      2 2 0 1 0 1 0 1



0 2 0





0 1 0



  1  1  √  =√  2 0 2  1 0 1     , 2 2 2 0 2 0 0 1 0

=

òîáòî

!3

Jˆx ~

=

Jˆx ~

!

.

Òåïåð

ˆ αx R

(iα)3 = Iˆ + iα + + ··· 3! Jˆx i sin α + = Iˆ + ~ 

1 0 0



Jˆx ~

ˆ (iα)2 Jx (iα)4 + + + ··· ~ 2! 4!

!2

Jˆx ~

!2

(cos α − 1)



0 1 0





1 0 1



     i sin α   + √  1 0 1  + cos α − 1  0 2 0 . =  0 1 0      2 2  0 1 0 1 0 1 0 0 1

Íàðåøòi,



 ˆ αx =  R 

1+cos α 2 i sin √ α 2 cos α−1 2

i sin √ α 2

cos α i sin √ α 2

cos α−1 2 i sin √ α 2 1+cos α 2



 . 

Âiäçíà÷èìî ùå îäíó öiêàâó âëàñòèâiñòü êâàäðàòiâ ïðîåêöié ìîìåíòó iìïóëüñó Jˆx2 , Jˆy2 , Jˆz2 äëÿ íàøîãî êîíêðåòíîãî âèïàäêó j = 1. Âèêîðèñòîâóþ÷è çíàéäåíi ÿâíi âèðàçè öèõ ìàòðèöü, ëåãêî ïåðåâiðèòè, ùî ðåçóëüòàòè ¨õíiõ ïîïàðíèõ äîáóòêiâ íå çàëåæàòü âiä ïîðÿäêó ìíîæíèêiâ. Òîáòî öi îïåðàòîðè êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ:

[Jî2 , Jˆj2 ] = 0,

i, j = (x, y, z). 319

Îòæå, ìîæíà îäíî÷àñíî âèìiðþâàòè êâàäðàòè êîæíî¨ ç êîìïîíåíò ìîìåíòó iìïóëüñó, ÿêùî ïîâíèé ìîìåíò äîðiâíþ¹ ~. Ïðè÷îìó îñêiëüêè êîæíà ç ïðîåêöié íàáóâà¹ çíà÷åííÿ (−~, 0, ~), òî ¨¨ êâàäðàò ìîæå äîðiâíþâàòè íóëåâi àáî ~2 . Òîìó ÿêùî âçÿòè äî óâàãè, ùî Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 = 2~2 , òî ïðè íóëüîâîìó çíà÷åííi êâàäðàòà îäíi¹¨ ç ïðîåêöié êîæåí ç äâîõ iíøèõ äîðiâíþâàòèìå ~2 . 37. Êâàíòîâå îáåðòàííÿ òâåðäîãî òiëà

Êëàñè÷íà ÷àñòèíêà, ùî âiëüíî ðóõà¹òüñÿ ïîâåðõíåþ ñåðè ðàäióñà a, ìà¹ êiíåòè÷íó åíåð iþ E = L2 /2I , äå L êëàñè÷íèé ìîìåíò iìïóëüñó, I = ma2 ìîìåíò iíåðöi¨. Öåé âèðàç âèçíà÷à¹ é åíåð iþ îáåðòîâîãî ðóõó äâîõ æîðñòêî çâ'ÿçàíèõ ÷àñòèíîê. Ó êâàíòîâîìó âèïàäêó âiäïîâiäíèé îïåðàòîð åíåð i¨ òàêî¨ ñèñòåìè, ÿêó íàçèâàþòü ðîòàòîðîì, îòðèìó¹ìî çàìiíîþ L íà îïåðàòîð ìîìåíòó iìïóëüñó:

ˆ2 ˆ =L . H 2I Öåé ãàìiëüòîíiàí îïèñó¹ îáåðòàííÿ òàêèõ ëiíiéíèõ ìîëåêóë, ÿê H2 , O2 , N2 , Cl2 , à òàêîæ CO, HCl (äèâ. ðèñ. 39).

èñ. 39.

Ëiíiéíi ìîëåêóëè.

iâíi åíåð i¨ ðîòàòîðà âèçíà÷àþòüñÿ, ÿê áà÷èìî, âëàñíèìè çíà÷åííÿìè êâàäðàòà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó

El =

~2 l(l + 1), 2I

l = 0, 1, 2, . . . . Åíåð iÿ íå çàëåæèòü âiä êâàíòîâîãî ÷èñëà m, ÿêå âèçíà÷à¹ ïðîåêöiþ ìîìåíòó iìïóëüñó: ìà¹ìî (2l + 1)-êðàòíå âèðîäæåííÿ. Îáåðòîâà åíåð iÿ ñêëàäíiøèõ îá'¹êòiâ, ÿê íàïðèêëàä, ìîëåêóë H2 O, NH3 , CH4 (äèâ. ðèñ. 40), òàêîæ âèçíà÷à¹òüñÿ ÷åðåç âëàñíi 320

èñ. 40.

Áàãàòîàòîìíi ìîëåêóëè.

çíà÷åííÿ êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó òà éîãî ïðîåêöié, ÿêùî ðîçãëÿäàòè îáåðòàííÿ òàêèõ ìîëåêóë ÿê îáåðòàííÿ òâåðäîãî òiëà ç æîðñòêî çàêðiïëåíèìè àòîìàìè. Ìîäåëü òàêî¨ äçè è îïèñó¹ é îáåðòîâi ñòóïåíi âiëüíîñòi àòîìíèõ ÿäåð. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó îáåðòîâà åíåð iÿ òâåðäîãî òiëà âèçíà÷à¹òüñÿ ãàìiëüòîíiàíîì, ùî îòðèìó¹òüñÿ ç êëàñè÷íîãî âèðàçó äëÿ åíåð i¨, çàïèñàíî¨ â ñèñòåìi êîîðäèíàò, îñi ÿêî¨ íàïðÿìëåíi âçäîâæ ãîëîâíèõ îñåé iíåðöi¨ òâåðäîãî òiëà i îáåðòàþòüñÿ ðàçîì ç íèì:

ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ = J1 + J2 + J3 , H 2I1 2I2 2I3 äå I1 , I2 , I3 ãîëîâíi ìîìåíòè iíåðöi¨. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî ïåðåñòàâíi ñïiâââiäíîøåííÿ äëÿ êîìïîíåíò ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó Jˆ1 , Jˆ2 , Jˆ3 â ñèñòåìi êîîðäèíàò, ÿêà îáåðòà¹òüñÿ, âiäðiçíÿþòüñÿ âiä ïðàâèë êîìóòàöi¨ â íåðóõîìié ñèñòåìi ëèøå çíàêîì ó ïðàâié ÷àñòèíi. Òîìó ¨õ îòðèìóþòü îïåðàöi¹þ êîìïëåêñíîãî ñïðÿæåííÿ, ùî íå çìiíþ¹ çíàéäåíèõ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ òà âëàñíèõ çíà÷åíü äëÿ êîìïîíåíò îïåðàòîðiâ îáåðòîâîãî ìîìåíòó. Âèïèñàíèé ãàìiëüòîíiàí îïèñó¹, çðîçóìiëî, íå ëèøå âíåñîê îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, à ìiñòèòü i âíóòðiøíié ìîìåíò, ÿê íàïðèêëàä, ñïií ÿäðà. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó âëàñíi çíà÷åííÿ òàêîãî ãàìiëüòîíiàíà âèïèñàòè íåìîæëèâî, õî÷à äëÿ êîæíîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åííÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà j òàêó çàäà÷ó ðîçâ'ÿçàòè äîâîëi ïðîñòî. Äëÿ ïîâíiñòþ ñèìåòðè÷íî¨ äçè è, êîëè I1 = I2 = I3 ,

Ej =

~2 j(j + 1). 2I1

Ïðèêëàäîì ìîæå áóòè ìîëåêóëà ìåòàíó CH4 . 21

I. Î. Âàêàð÷óê

321

èñ. 41.

Àêñiàëüíî ñèìåòðè÷íi àòîìíi ÿäðà.

Íåâàæêî îá÷èñëèòè ðiâíi åíåð i¨ îáåðòàëüíîãî ðóõó i äëÿ âèïàäêó ñèìåòðè÷íî¨ äçè è

I1 = I2 6= I3 . Ñïðàâäi, ãàìiëüòîíiàí

ˆ = H

=

=

Jˆ12 Jˆ2 Jˆ2 + 2 + 3 2I1 2I2 2I3 Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 Jˆ2 Jˆ2 + 3 − 3 2I1 2I3 2I1 Jˆ32 1 1 Jˆ2 + − , 2I1 2 I3 I1

à ðiâíi åíåð i¨

Ej,m

~2 j(j + 1) ~2 m2 = + 2I1 2

1 1 − I3 I1

.

Ó ïîðiâíÿííi ç ïîâíiñòþ ñèìåòðè÷íîþ äçè îþ òóò âèðîäæåííÿ ÷àñòêîâî çíiìà¹òüñÿ. Çíà÷åííÿ åíåð i¨ çáiãàþòüñÿ äëÿ òèõ êâàíòîâèõ ÷èñåë m, ÿêi âiäðiçíÿþòüñÿ ëèøå çíàêîì. Òîìó ðiâíi åíåð i¨ ïðè m 6= 0 ¹ äâîêðàòíî âèðîäæåíèìè. 322

Ïðèêëàä. iâíi åíåð i¨ àñèìåòðè÷íî¨ äçè è ïðè j = 1. Âèêîðèñòàéìî îá÷èñëåíi ó 36 ìàòðèöi êâàäðàòiâ ïðîåêöié ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó i çíàéäiìî ìàòðèöþ ãàìiëüòîíiàíà:

0

ˆ H

=

Jˆ2 Jˆ2 1 ~2 B Jˆ12 B 0 + 2 + 3 = 2I1 2I2 2I3 2I1 2 1 0

+

1

A

−1

0

1 ~2 B B 0 2I2 2 −1 0

=

1

0

2

0 C A

0

1

1

0

1

C

1

0

0

0

0 C A

0

1

C

1

B B 0

0

B

C

0 C A,

B

0

A

äå

1

C 1 2B B 0 C A + 2I3 ~ 0 1 0

2

1

0

C

A = ~2

1 1 1 + + 4I1 4I2 2I3

B = ~2

C = ~2

1 1 − 4I1 4I2 1 1 + 2I1 2I2

,

,

.

Ñåêóëÿðíå ðiâíÿííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ ðiâíiâ åíåð i¨ A−E 0 B

=0 0 A−E

0

B

C −E 0

¹ êóái÷íèì ðiâíÿííÿì

(C − E) (A − E)2 − B 2 = 0,

ðîçâ'ÿçêè ÿêîãî:

E1 = C = ~ 2

1 1 + 2I1 2I2

E2 = A + B = ~ 2

E3 = A − B = ~ 2 21*

1 1 + 2I1 2I3 1 1 + 2I2 2I3

,

,

.

323

Öåé ðåçóëüòàò ìîæíà áóëî îòðèìàòè áåç áóäü-ÿêèõ îá÷èñëåíü, ëèøå äèâëÿ÷èñü íà ãàìiëüòîíiàí. Ñïðàâäi, ìè çíà¹ìî, ùî äëÿ j = 1 êâàäðàòè ïðîåêöié ìîìåíòó iìïóëüñó îäíî÷àñíî ìîæóòü íàáóâàòè çíà÷åíü 0 àáî ~2 , ïðè÷îìó ¨õíÿ ñóìà äîðiâíþ¹ 2~2 . Òîáòî, ÿêùî, íàïðèêëàä, êâàäðàò òðåòüî¨ êîìïîíåíòè äîðiâíþ¹ íóëåâi, òî äâà äðóãi äîðiâíþþòü ~2 êîæåí, i ç âèãëÿäó ãàìiëüòîíiàíà îòðèìà¹ìî âëàñíå çíà÷åííÿ E1 . ßêùî íóëåâi äîðiâíþ¹ êâàäðàò äðóãî¨ êîìïîíåíòè, òî ìà¹ìî E2 , i íàðåøòi, ïðè íóëüîâîìó âëàñíîìó çíà÷åííi îïåðàòîðà Jˆ12 çíàõîäèìî åíåð iþ E3 . 38. ßäåðíèé êâàäðóïîëüíèé ðåçîíàíñ

Âçà¹ìîäiÿ ñèñòåìè àòîìíå ÿäðî + åëåêòðè÷íi çàðÿäè ç åëåêòðîìàãíiòíèì ïîëåì, ÿêà âèêëèêà¹ êâàíòîâi ïåðåõîäè ìiæ ñòàíàìè ç ðiçíîþ îði¹íòàöi¹þ åëåêòðè÷íîãî êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó ÿäðà ùîäî îòî÷óþ÷èõ çàðÿäiâ, ó ñïåêòðîñêîïi¨ ìà¹ íàçâó ÿäåðíîãî êâàäðóïîëüíîãî ðåçîíàíñó (ßÊ). ßâèùå ßÊ âiäiãðàëî âàæëèâó ðîëü i â ðîçâèòêó ñàìî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, i â ïðèêëàäíèõ çàäà÷àõ àòîìíî¨ içèêè, içèêè ÿäðà òà içèêè òâåðäîãî òiëà. îçðàõóíîê åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ ó öié çàäà÷i ¹ ÷óäîâîþ iëþñòðàöi¹þ òåîði¨ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó. Åíåð åòè÷íi ðiâíi àòîìà òà éîãî ñòðóêòóðà âèçíà÷àþòüñÿ êóëîíiâñüêîþ âçà¹ìîäi¹þ ÿäðà ç åëåêòðîíàìè. îëîâíîþ ¹ åëåêòðîñòàòè÷íà âçà¹ìîäiÿ ç ÿäðîì ÿê ç òî÷êîâèì çàðÿäîì. Îñêiëüêè ÿäðî ìà¹ ñòðóêòóðó, òî öå ëèøå ïåðøèé ÷ëåí ðîçêëàäó åëåêòðîñòàòè÷íî¨ åíåð i¨ çà ìóëüòèïîëüíèìè âçà¹ìîäiÿìè. Äðóãèé ÷ëåí, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ åëåêòðè÷íèì äèïîëüíèì ìîìåíòîì ÿäðà, äîðiâíþ¹ íóëåâi âíàñëiäîê òîãî, ùî öåíòð ìàñ ÿäðà çáiãà¹òüñÿ ç öåíòðîì éîãî çàðÿäó i äèïîëüíèé ìîìåíò äîðiâíþ¹ íóëåâi. Íàñòóïíèé äîäàíîê ìóëüòèïîëüíîãî ðîçêëàäó, ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ êâàäðóïîëüíèì ìîìåíòîì ÿäðà, ÿê âiäîìî, ìà¹ âèãëÿä: 1X ∆E = Vαβ Qαβ , 6 αβ

äå òåíçîð êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó ÿäðà X Qαβ = |e| 3xαp xβp − rp2 δαβ . p

Ïiäñóìîâóâàííÿ òóò âiäáóâà¹òüñÿ çà ïðîòîíàìè ÿäðà, äåêàðòîâi êîîðäèíàòè ÿêèõ âiäíîñíî öåíòðà ìàñ ïîçíà÷åíi ÷åðåç xα p, 324

α = 1, 2, 3; rp2 = (x1p )2 + (x2p )2 + (x3p )2 . Ìè òàêîæ áóäåìî âæèâàòè ïîçíà÷åííÿ α = x, y, z . Òåíçîð ðàäi¹íòà åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Vαβ =

∂2V , ∂X α ∂X β

V = V (R) ïîòåíöiàë ïîëÿ â öåíòði ÿäðà, ñòâîðåíîãî çàðÿäàìè, ùî éîãî îòî÷óþòü; R = (X 1 , X 2 , X 3 ) êîîðäèíàòè öåíòðà ìàñ ÿäðà. Öÿ êâàäðóïîëüíà âçà¹ìîäiÿ çàëåæèòü âiä îði¹íòàöi¨ êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó ÿäðà âiäíîñíî îòî÷óþ÷èõ çàðÿäiâ i ìîæå ðîçãëÿäàòèñü ÿê íåçíà÷íå çáóðåííÿ äî åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ ç ÿäðîì ÿê òî÷êîâèì çàðÿäîì (äèâ. ðèñ. 42).

èñ. 42.

içíi îði¹íòàöi¨ ÿäåð ùîäî îòî÷óþ÷èõ çàðÿäiâ (q âåëè÷èíà

çàðÿäó).

Ïåðåéäåìî äî êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî îïèñó. Õâèëüîâà óíêöiÿ ÿäðà îïèñó¹ ÿê éîãî îði¹íòàöiéíi ñòóïåíi âiëüíîñòi, òîáòî ðóõ ÿê öiëîãî, òàê i âíóòðiøíi âëàñòèâîñòi. Íàñ öiêàâèòèìóòü ñàìå îði¹íòàöiéíi ðóõè ÿäðà, ÿêi ¹ ïîâiëüíèìè íà îíi øâèäêèõ ðóõiâ íåéòðîíiâ i ïðîòîíiâ ó ÿäði. Òîìó âèêîíà¹ìî óñåðåäíåííÿ òåíçîðà êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó çà âíóòðiøíiìè ñòóïåíÿìè âiëüíîñòi: Qαβ → hQαβ i. Öåé óñåðåäíåíèé òåíçîð ïîâèíåí, ïî-ïåðøå, çàëåæàòè ëèøå âiä âåëè÷èí, ùî õàðàêòåðèçóþòü ÿäðî ÿê öiëå, à ïî-äðóãå, òàêîæ ìàòè âëàñòèâîñòi òåíçîðà. äèíèì âåêòîðîì, ùî çàëèøà¹òüñÿ ïiñëÿ òàêîãî óñåðåäíåííÿ i ÿêèé âèçíà÷à¹ îði¹íòàöiþ ÿäðà ó ïðîñòîði, ¹ éîãî ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó. Òîìó òåíçîðíèé õàðàêòåð âåëè÷èíè hQαβ i ìîæíà ñòâîðèòè çà äîïîìîãîþ êîìïîíåíò ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó Jα , ÿêi ïðè êâàíòîâîìåõàíi÷íîìó îïèñi çàìiíþ325

¹ìî íà îïåðàòîðè Jˆα . Îòæå, îïåðàòîð êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó ( ) ˆα Jˆβ + Jˆβ Jˆα J 2 ˆ αβ = const × 3 Q − Jˆ δαβ . 2 Éîãî òåíçîðíà ñòðóêòóðà âiääçåðêàëþ¹ âèõiäíó ñòðóêòóðó Qαβ , à ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî îïåðàòîðè Jˆα ìiæ ñîáîþ íå êîìóòóþòü, òóò óçÿòà ïiâñóìà ¨õíiõ äîáóòêiâ. Ìiðêóâàííÿ, ÿêi ïðèâåëè íàñ ˆ αβ , ñòàíîâëÿòü çìiñò òàê çâàíî¨ òåîðåìè Âi íåðà äî âèðàçó äëÿ Q Åêêàðòà. Êâàäðóïîëüíèì ìîìåíòîì ÿäðà ïðèéíÿòî íàçèâàòè âåëè÷èíó

ˆ zz |j, ji, Q = hj, j|Q

ùî ¹ äiàãîíàëüíèì ìàòðè÷íèì åëåìåíòîì zz -êîìïîíåíòè òåíçîðà ˆ αβ , ðîçðàõîâàíîãî íà õâèëüîâié óíêöi¨ ç ìàêñèìàëüíîþ ïðîQ åêöi¹þ ìîìåíòó iìïóëüñó m = j . Ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó îïåðàòîðà êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó ìà¹ìî Q = const × hj, j|3Jˆz2 − Jˆ2 |j, ji = const × 3j 2 − j(j + 1) ~2 ,

Q = const × j(2j − 1)~2 .

Çàóâàæó¹ìî, ùî êâàäðóïîëüíèé ìîìåíò ÿäðà Q = 0, ÿêùî j = 0 àáî j = 1/2. Ó öüîìó âèïàäêó ÿâèùå ßÊ âiäñóòí¹. Ñòàëó, ÿêà ˆ αβ , âèðàçèìî ÷åðåç âåëè÷èíó Q: âõîäèòü â îçíà÷åííÿ òåíçîðà Q

const =

Q ~2 j(2j

àìiëüòîíiàí íàøî¨ çàäà÷i

− 1)

X ˆ αβ . ˆ =1 Vαβ Q H 6

.

αβ

Ñèìåòðè÷íèé òåíçîð Vαβ ìîæíà ïðèâåñòè äî äiàãîíàëüíîãî âèãëÿäó

Vαβ = Vαα δαβ . Ïiñëÿ ÷îãî 326

ˆ = H

n o Q ˆ2 − Jˆ2 ) + Vyy (3Jˆ2 − Jˆ2 ) + Vzz (3Jˆ2 − Jˆ2 ) . V (3 J xx x y z 6~2 j(2j − 1)

Î÷åâèäíî, ùî åëåêòðîñòàòè÷íèé ïîòåíöiàë V çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Ëàïëàñà:

Vxx + Vyy + Vzz = 0. Ñêîðèñòàâøèñü öèì, ïåðåòâîðèìî â ãàìiëüòîíiàíi âèðàç ó iãóðíèõ äóæêàõ:

Vxx (3Jˆx2 − Jˆ2 ) + Vyy (3Jˆy2 − Jˆ2 ) + Vzz (3Jˆz2 − Jˆ2 ) =

Vxx + Vyy ˆ2 Vxx − Vyy ˆ2 (3Jx − Jˆ2 ) + (3Jx − Jˆ2 ) 2 2

+

Vyy + Vxx ˆ2 Vyy − Vxx ˆ2 (3Jy − Jˆ2 ) + (3Jy − Jˆ2 ) + Vzz (3Jˆz2 − Jˆ2 ) 2 2

=− −

Vzz ˆ2 Vxx − Vyy ˆ2 (3Jx − Jˆ2 ) + (3Jx − Jˆ2 ) 2 2

Vyy − Vxx ˆ2 Vzz ˆ2 (3Jy − Jˆ2 ) + (3Jy − Jˆ2 ) + Vzz (3Jˆz2 − Jˆ2 ) 2 2

=−

Vxx − Vyy ˆ2 ˆ2 Vzz ˆ2 (3Jx + 3Jˆy2 − 2Jˆ2 ) + 3(Jx − Jy ) + Vzz (3Jˆz2 − Jˆ2 ) 2 2

3 3 Vzz (3Jˆz2 − Jˆ2 ) + (Vxx − Vyy )(Jˆx2 − Jˆy2 ). 2 2 Îòæå, ãàìiëüòîíiàí =

ˆ = H

n o Q ˆz2 − Jˆ2 ) + (Vxx − Vyy )(Jˆx2 − Jˆy2 ) . V (3 J zz 4~2 j(2j − 1)

îçãëÿíåìî âàæëèâèé âèïàäîê àêñiàëüíî¨ ñèìåòði¨, êîëè àáî Vxx = Vyy , àáî hJˆx2 i = hJˆy2 i:

ˆ = H

Q ˆ2 − Jˆ2 . 3 J V zz z 4~2 j(2j − 1) 327

Òåïåð ëåãêî çíàõîäèìî åíåð åòè÷íi ðiâíi

Ej,m =

QVzz 2 3m − j(j + 1) , 4j(2j − 1)

j = 1,

3 , 2, . . . , 2

çóìîâëåíi êâàíòóâàííÿì ïðîñòîðîâîãî îði¹íòàöiéíîãî ðîçòàøóâàííÿ ÿäðà â çîâíiøíüîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi. iâíi åíåð i¨ äâîêðàòíî âèðîäæåíi: åíåð iÿ íå çàëåæèòü âiä çíàêà ÷èñëà m. Äëÿ iëþñòðàöi¨ îòðèìàíîãî ðåçóëüòàòó ðîçãëÿíüìî ÿäðî 35 Ñl, äëÿ ÿêîãî j = 3/2. Ìà¹ìî äâà äâîêðàòíî âèðîäæåíi ðiâíi E3/2,±3/2 òà E3/2,±1/2 , âiäñòàíü ìiæ ÿêèìè

∆ = E3/2,±3/2 − E3/2,±1/2 =

1 QVzz . 2

Åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíà ÷àñòîòà ÿäåðíîãî êâàäðóïîëüíîãî ðåçîíàíñó ν = ∆/2π~ ó ìîëåêóëi ðåîíó CClF3 äîðiâíþ¹ 38.8 Ì ö, à â CClH3 ν = 34, 2 Ì ö. Åêñïåðèìåíò, òàêèì ÷èíîì, äà¹ çìîãó âèçíà÷èòè âåëè÷èíó QVzz . ßêùî êîíi óðàöiÿ i ñòàí çàðÿäiâ, ÿêi îòî÷óþòü ÿäðî, âiäîìi, òî ìîæíà ðîçðàõóâàòè ðàäi¹íò ïîëÿ Vzz i çíàéòè êâàäðóïîëüíèé ìîìåíò ÿäðà Q. Ó ñâîþ ÷åðãó, çíàþ÷è âåëè÷èíó Q, ìîæíà äîñëiäæóâàòè ñòðóêòóðó òà ñòàí íàâêîëèøíiõ çàðÿäiâ. Çîêðåìà, î÷åâèäíî, ùî äëÿ ñåðè÷íîñèìåòðè÷íîãî ðîçòàøóâàííÿ çàðÿäiâ ðàäi¹íò ïîëÿ Vzz = 0. Íàïðèêëàä, ÿäðî àòîìà 35 Cl â éîííîìó êðèñòàëi NaCl íå ñâiòèòü, ßÊ âiäñóòíié. Öå ¹ íàñëiäêîì òîãî, ùî åëåêòðîííà îáîëîíêà éîíà õëîðó ìà¹ ñåðè÷íó ñèìåòðiþ i Vzz = 0. Íàâïàêè, ÿâèùå ßÊ ñïîñòåðiãà¹òüñÿ â ñïîëóêàõ, äå àòîì õëîðó âñòóïà¹ â êîâàëåíòíèé çâ'ÿçîê, ÿêèé õàðàêòåðèçó¹òüñÿ ïðîñòîðîâîþ íàïðÿìëåíiñòþ (ÿê ó ìîëåêóëi ðåîíó), i ðàäi¹íò Vzz 6= 0. Îòæå, çà âåëè÷èíîþ ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ ∆ ìîæíà ðîáèòè âèñíîâêè ùîäî õàðàêòåðó åëåêòðîííîãî ðîçïîäiëó íàâêîëî ÿäåð àòîìiâ i âèìiðþâàòè òàê çâàíèé ñòóïiíü éîííîñòi çâ'ÿçêó 6 . 6

ßâèùå ßÊ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ íåðóéíiâíî¨ iäåíòèiêàöi¨ ðå÷îâèíè, íàïðèêëàä ãåðî¨íó ÷è âèáóõîâîãî ìàòåðiàëó, ïiä ÷àñ ìèòíîãî äîãëÿäó. Áàãàæ îïðîìiíþþòü øèðîêî÷àñòîòíèì iìïóëüñîì ðàäiîõâèëü ìàëî¨ iíòåíñèâíîñòi, ïåðåâîäÿ÷è ïðè öüîìó ÿäåðíi êâàäðóïîëüíi ìîìåíòè ðå÷îâèíè â çáóäæåíi îði¹íòàöiéíi ñòàíè, à çâîðîòíi ñïîíòàííi êâàíòîâi ïåðåõîäè â îñíîâíèé ñòàí äàþòü ðàäiîñè íàëè ç õàðàêòåðíèìè äëÿ íå¨ ÷àñòîòàìè, ÿêi çiñòàâëÿþòü ç åòàëîííèìè ÷àñòîòàìè.

328

Ïðèêëàä. ðàäi¹íò ïîëÿ Vzz . Â içîëüîâàíîìó àòîìi ðàäi¹íò ïîëÿ Vzz â òî÷öi R ðîçòàøóâàííÿ ÿäðà ñòâîðþ¹òüñÿ åëåêòðîíàìè. ßêùî íå áðàòè äî óâàãè ìiæåëåêòðîííî¨ âçà¹ìîäi¨, òî äëÿ ðîçðàõóíêó Vzz äîñòàòíüî ïðîâåñòè îá÷èñëåííÿ ç îäíèì åëåêòðîíîì. Ïîòåíöiàë, ÿêèé ñòâîðþ¹ åëåêòðîí, V = e/|r − R|, r ðàäióñ-âåêòîð åëåêòðîíà. Òåïåð ïîòðiáíî âçÿòè âiä V äðóãó ïîõiäíó ïî z -êîîðäèíàòi ÿäðà, óñåðåäíèòè ¨¨ ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, ùî îïèñó¹ ñòàíè åëåêòðîíà, i â ñèñòåìi öåíòðà ìàñ ÿäðà, êîëè R = 0, îòðèìà¹ìî:

1 3z 2 − 3 Vzz = e r5 r Ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ z = r cos θ i

Vzz = e

1 r3

.

3 cos2 θ − 1 ,

äå 1/r 3 óñåðåäíþ¹ìî çà ðàäiàëüíèì ðóõîì åëåêòðîíà, à óñåðåäíåííÿ çà éîãî êóòîâèìè ðóõàìè, ÿêi îïèñó¹ ñåðè÷íà óíêöiÿ Yl,m , ïîçíà÷åíî ðèñêîþ íàä cos2 θ. Óñåðåäíåííÿ çà êóòàìè ëåãêî îá÷èñëèòè ç âèêîðèñòàííÿì ÿâíèõ âèðàçiâ äëÿ ñåðè÷íèõ óíêöié ç 34. Ó âèïàäêó, êîëè l = 0, m = 0: Z2π

cos2 θ =

Zπ

dθ sin θ cos2 θ |Y0,0 |2 =

dϕ 0

1 2

0

Zπ

dθ sin θ cos2 θ =

1 . 3

0

Îñêiëüêè

3 cos2 θ − 1 = 0,

òî âíåñîê öüîãî ñåðè÷íî-ñèìåòðè÷íîãî ñòàíó åëåêòðîíà â ðàäi¹íò Vzz äîðiâíþ¹ íóëåâi. ßêùî l = 1, m = 0, òî Z2π

cos2 θ =

Zπ

dθ sin θ cos2 θ |Y1,0 |2 =

dϕ 0

0

3 2

Zπ

dθ sin θ cos4 θ =

3 5

0

i îòæå, 3cos2 θ − 1 =

4 . 5

Íàðåøòi äëÿ l = 1, m = ±1 ìà¹ìî Z2π

cos2

θ

Zπ

0

=

dθ sin θ cos2 θ|Y1,±1 |2

dϕ

=

3 4

0

Zπ

dθ sin θ cos2 θ sin2 θ 0

329

=

3 4

Zπ

dθ sin θ cos2 θ(1 − cos2 θ) =

1 , 5

0

à âåëè÷èíà

2 3 cos2 θ − 1 = − . 5 ßêùî åëåêòðîííà îáîëîíêà â àòîìi ç l = 1 ¹ çàìêíåíîþ, òî öi åëåêòðîíè òàêîæ íå äàþòü âíåñêó ó Vzz . Íàïðèêëàä, â àòîìi Cl øiñòü åëåêòðîíiâ çàïîâíåíî¨ îáîëîíêè ç ãîëîâíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì n = 2 i l = 1 çíàõîäÿòüñÿ ó ñòàíàõ m = 0, ±1: ïî äâà åëåêòðîíè ç ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè ñïiíàìè äëÿ êîæíîãî çíà÷åííÿ m. Îòæå, âíåñîê âiä óñåðåäíåííÿ çà êóòàìè äîðiâíþ¹: 2 × 4/5 + 2 × (−2/5) + 2(−2/5) = 0. ðàäi¹íò ïîëÿ â àòîìi Cl ñòâîðþþòü ï'ÿòü åëåêòðîíiâ îáîëîíêè ç êâàíòîâèìè ÷èñëàìè n = 3, l = 1, m = 0, ±1. Öåé âíåñîê åêâiâàëåíòíèé âíåñêîâi îäíîãî åëåêòðîíà i äîðiâíþ¹:

Vzz = e

àáî

1 r3

Vzz = e

1 r3

1×

4 2 +2× − 5 5

2×

4 2 +1× − 5 5

+2× −

2 5

+2× −

2 5

4 =− e 5

=

2 e 5

1 r3

1 r3

.

Îòæå, ÿêùî àòîì 35 Cl, âñòóïàþ÷è ó ñïîëóêó, çáåðiãà¹ õî÷à á ÷àñòêîâî êóòîâèé ðîçïîäië åëåêòðîíiâ íåçàïîâíåíî¨ îáîëîíêè, òî ñïîñòåðiãà¹ìî ÿâèùå ßÊ. îëü iíøèõ çàðÿäiâ, ùî îòî÷óþòü ÿäðî Cl, ¹ íåçíà÷íîþ âíàñëiäîê ìíîæíèêà 1/r 3 , ÿêèé øâèäêî çìåíøó¹òüñÿ ç âiäñòàííþ.

Ë À Â À VII ÓÕ ×ÀÑÒÈÍÊÈ Â ÖÅÍÒÀËÜÍÎ-ÑÈÌÅÒÈ×ÍÎÌÓ ÏÎËI 39. óõ ó ïîëi öåíòðàëüíî¨ ñèëè. àäiàëüíå ðiâíÿííÿ

Øðåäèí åðà

Ïðè äîñëiäæåííi ðóõó ÷àñòèíîê ó ñèëîâèõ ïîëÿõ âèðiçíÿ¹òüñÿ âàæëèâèé êëàñ ñåðè÷íî-ñèìåòðè÷íèõ ïîòåíöiàëiâ, òîáòî ïîòåíöiàëiâ U = U (r), ÿêi çàëåæàòü ëèøå âiä ìîäóëÿ ðàäióñ-âåêòîðà r = |r|. Íàñëiäêîì öåíòðàëüíî¨ ñèìåòði¨ ïîëÿ ¹ òå, ùî ãàìiëüòîíiàí ˆ êîìóòó¹ ç îïåðàòîðàìè êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ÷àñòèíêè H 2 ˆ ˆ z òà îïåðàòîðîì iíâåðñi¨ Iˆ. Öå îçíà÷à¹, ðóõó L , éîãî ïðîåêöi¨ L ùî âiäïîâiäíi âåëè÷èíè ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó. Îòæå, L2 = ~2 l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, . . . , Lz = ~m, ÷èñëî m íàáóâà¹ (2l + 1) çíà÷åíü âiä −l äî +l, à, ÿê ìè áà÷èëè â 34, ïàðíiñòü õâèëüîâî¨ óíêöi¨ I = (−)l , òîáòî çáiãà¹òüñÿ ç ïàðíiñòþ ÷èñëà l. Êðiì òîãî, öi îïåðàòîðè êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ i îòæå, ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié. Âàæëèâî â öüîìó ìiñöi çàçíà÷èòè, ùî â êëàñè÷íié ìåõàíiöi çàäà÷à ïðî ðóõ äâîõ âçà¹ìîäiþ÷èõ ìiæ ñîáîþ ÷àñòèíîê çâîäèòüñÿ äî ïðîáëåìè îäíîãî òiëà. Òå æ ¹ ñïðàâåäëèâèì é ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Íåõàé ìè ìà¹ìî äâi ÷àñòèíêè ç êîîðäèíàòàìè r1 òà r2 , ìàñè ÿêèõ ¹ m1 òà m2 . Äàëi íåõàé ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ âçà¹ìîäi¨ U = U (|r1 − r2 |) çàëåæèòü ëèøå âiä âiäñòàíi ìiæ íèìè. àìiëüòîíiàí òàêî¨ ñèñòåìè ˆ2 ˆ 21 p ˆ = p + 2 + U (|r1 − r2 |), H 2m1 2m2 ˆ 1 = −i~∇1 , p ˆ 2 = −i~∇2 . äå îïåðàòîðè iìïóëüñiâ p Óâåäåìî íîâi çìiííi, à ñàìå, ðàäióñ-âåêòîðè öåíòðà ìàñ òà âçà¹ìíî¨ âiäñòàíi: m1 r1 + m2 r2 R= , m1 + m2 331

r = r2 − r1 .

Ïåðåõiä äî íîâèõ çìiííèõ çäiéñíþ¹òüñÿ ñòàíäàðòíî. Íàïðèêëàä,

∂ ∂ ∂X ∂ ∂x ∂ m1 ∂ = + = − , ∂x1 ∂x1 ∂X ∂x1 ∂x m1 + m2 ∂X ∂x äå X êîìïîíåíòà ðàäióñ-âåêòîðà R, à x êîìïîíåíòà âåêòîðà r. Àíàëîãi÷íî äi¹ìî é äëÿ iíøèõ êîìïîíåíò ðàäi¹íòà. Ó ðåçóëüòàòi ìà¹ìî: m1 ∇R − ∇, ∇1 = m1 + m2

∇2 =

m2 ∇R + ∇. m1 + m2

Òåïåð îïåðàòîðè iìïóëüñiâ ÷àñòèíîê m1 ˆ −p ˆ1 = ˆ, p P m1 + m2

ˆ2 = p

m2 ˆ +p ˆ, P m1 + m2

ˆ = −i~∇R îïåðàòîð iìïóëüñó öåíòðà ìàñ, p ˆ = −i~∇ îïåäå P ðàòîð iìïóëüñó âiäíîñíîãî ðóõó ÷àñòèíîê. Ïiäñòàâëÿþ÷è öi âèðàçè â ãàìiëüòîíiàí, çíàõîäèìî ˆ2 ˆ2 ˆ = P + p + U (r), H 2M 2m äå ïîâíà ìàñà ñèñòåìè M = m1 + m2 , à âåëè÷èíó m, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿ

1 1 1 = + , m m1 m2 íàçèâàþòü çâåäåíîþ ìàñîþ. Îòæå, ãàìiëüòîíiàí ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè äâîõ íåçàëåæíèõ ÷àñòèí. Ïåðøèé äîäàíîê ¹ îïåðàòîðîì êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ñèñòåìè ÿê öiëîãî é îïèñó¹ âiëüíèé ðóõ ñèñòåìè öåíòðà ìàñ ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè

ϕP (R) = 332

1 eiPR/~, (2π~)3/2

äå P ïîâíèé iìïóëüñ ñèñòåìè. Äâà iíøi äîäàíêè îïèñóþòü âiäíîñíèé ðóõ ÷àñòèíîê iç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ(r). Ïîâíà õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ ¨õíiì äîáóòêîì:

ψ(R, r) = ϕP (R)ψ(r). Ïiäñòàíîâêà öüîãî âèðàçó â ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

ˆ = Eψ Hψ ïðèâîäèòü äî ðiâíÿííÿ äëÿ îäíi¹¨ ÷àñòèíêè ìàñè m ç êîîðäèíàòîþ r, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi U = U (r): 2 ˆ p + U (r) ψ(r) = E ′ ψ(r), 2m

äå E ′ = E − P2 /2M åíåð iÿ âiäíîñíîãî ðóõó ÷àñòèíîê. Íàäàëi, ñiäàþ÷è íà öåíòð ìàñ ñèñòåìè, ìè áóäåìî öiêàâèòèñü ëèøå âiäíîñíèì ðóõîì, øòðèõ ç åíåð i¨ E ′ äëÿ ñïðîùåííÿ çàïèñó çíiìà¹ìî. ßê áà÷èìî, öå ðiâíÿííÿ çáiãà¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿì Øðåäèí åðà äëÿ îäíi¹¨ ÷àñòèíêè ìàñîþ m ç êîîðäèíàòîþ r ó ïîëi öåíòðàëüíî¨ ñèëè ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U (r). Òîáòî ïðîáëåìà äâîõ òië i ó êâàíòîâié ìåõàíiöi çâîäèòüñÿ äî ïðîáëåìè îäíîãî òiëà. Ó ðiâíÿííi Øðåäèí åðà ~2 2 ∇ + U (r) ψ(r) = Eψ(r), − 2m

óíàñëiäîê ñåðè÷íî¨ ñèìåòði¨ ïîòåíöiàëó, çðó÷íî ïåðåéòè âiä äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò x, y, z äî ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò r, θ, ϕ çà âiäîìèìè ïðàâèëàìè. Âèïèøåìî â íîâèõ êîîðäèíàòàõ âèðàç äëÿ ëàïëàñiàíà ∆ = ∇2 . Öi íåñêëàäíi, àëå äîâîëi íóäíi ðîçðàõóíêè ìè çàëèøà¹ìî ÷èòà÷åâi, ÿêi âií çðîáèòü áåç îñîáëèâèõ çóñèëü: 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ 2∂ 2 r + sin θ + . ∇ = 2 r ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî âèðàç ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ iç òî÷íiñòþ äî ìíîæíèêà (−~2 ) ¹ íå ùî iíøå, ÿê îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòó ˆ 2 ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ. Òåïåð ðiâíÿííÿ Øðåêiëüêîñòi ðóõó L äèí åðà, ñêîðèñòàâøèñü òèì, ùî îïåðàòîð

1 ∂2 1 ∂ 2∂ r = r, r 2 ∂r ∂r r ∂r 2 333

çàïèøåìî òàê: (

) ˆ2 L ~2 1 ∂ 2 r+ + U (r) ψ(r) = Eψ(r). − 2m r ∂r 2 2mr 2

Çìiííi â ðiâíÿííi ðîçäiëÿþòüñÿ, i, âiäïîâiäíî äî öüîãî, õâèëüîâi óíêöi¨ çîáðàæàþòüñÿ ÿê äîáóòîê óíêöi¨ R(r), ÿêà çàëåæèòü ëèøå âiä r , íà õâèëüîâó óíêöiþ Yl,m (θ, ϕ), ùî çàëåæèòü ëèøå âiä ˆ 2 òà L ˆz: êóòîâèõ çìiííèõ i ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðiâ L

ψ(r) = R(r)Yl,m (θ, ϕ). Ôóíêöiþ R = R(r) íàçèâàþòü ðàäiàëüíîþ óíêöi¹þ, äëÿ ÿêî¨ îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ

−

~2 l(l + 1) ~2 1 d2 (rR) + R + U (r) R = ER. 2m r dr 2 2mr 2

Öå ðiâíÿííÿ íàçèâàþòü ðàäiàëüíèì ðiâíÿííÿì Øðåäèí åðà. Âèäíî, ùî âîíî íå ìiñòèòü âëàñíèõ çíà÷åíü Lz = ~m, îòæå, åíåð iÿ íå çàëåæèòü âiä êâàíòîâîãî ÷èñëà m i ìè ìà¹ìî (2l + 1)-êðàòíå âèðîäæåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ. Ç óìîâè íîðìóâàííÿ óíêöi¨ ψ(r) òà ñåðè÷íî¨ óíêöi¨

Z2π 0

dϕ

Zπ

sin θ dθ|Yl,m(θ, ϕ)|2 = 1

0

îòðèìà¹ìî óìîâó íîðìóâàííÿ äëÿ ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨:

Z∞

r 2 R2 (r) dr = 1.

0

Çàóâàæèìî, ùî îñêiëüêè õâèëüîâi óíêöi¨ íîðìóþòüñÿ ç âàãîâîþ óíêöi¹þ, òîáòî ç ÿêîáiàíîì ïåðåõîäó J = r 2 sin θ , òî îïåðàòîðè içè÷íèõ âåëè÷èí, çîêðåìà i îïåðàòîð àìiëüòîíà, ìîæóòü ìàòè íååðìiòîâèé âèãëÿä ó çâè÷àéíîìó ñåíñi. Öå âiçóàëüíî âèäíî ç çàïèñàíîãî âèùå âèðàçó äëÿ ãàìiëüòîíiàíà ÿê éîãî ðàäiàëüíî¨ ÷àñòèíè, òàê i êóòîâî¨, ÿêó çàäà¹ îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòó iìˆ 2 . Ïðè÷èíà öüîãî ïðîñòà íåóíiòàðíiñòü ïåðåõîäó âiä ïóëüñó L 334

äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò äî ñåðè÷íèõ, ÿêèé íå çáåðiãà¹ íîðìó âèõiäíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ â äåêàðòîâèõ êîîðäèíàòàõ. ßê ìè çàçíà÷àëè â 2, ñïðàâæíüîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ¹ âèõiäíà óíêöiÿ, ïîìíîæåíà íà êîðiíü êâàäðàòíèé ç ÿêîáiàíà ïåðåõîäó. Çðîçóìiëî, ùî ç óðàõóâàííÿì âàãîâî¨ óíêöi¨ ãàìiëüòîíiàí, ÿê i iíøi îïåðàòîðè içè÷íèõ âåëè÷èí, ïîâèíåí ìàòè åðìiòîâèé âèãëÿä. Ìiæ iíøèì, ç âèìîãè åðìiòîâîñòi öèõ îïåðàòîðiâ ìîæíà îá÷èñëþâàòè ÿâíèé âèãëÿä ÿêîáiàíà ïåðåõîäó (äèâ. Ïðèêëàä äî öüîãî ïàðàãðàà). Iñòîðè÷íèé äîñâiä i ñàì âèãëÿä ðiâíÿííÿ ïiäêàçóþòü íàì ïiäñòàíîâêó

rR(r) = χ(r). Äëÿ óíêöi¨ χ = χ(r) îäåðæó¹ìî îäíîâèìiðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà1 ~2 d2 + U (r) χ = Eχ − l 2m dr 2 ç ååêòèâíîþ ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ

~2 l(l + 1) 2mr 2 çà óìîâè, ùî 0 ≤ r < ∞. Äðóãèé äîäàíîê ó öüîìó âèðàçi âiäöåíòðîâà åíåð iÿ, ÿêà ìà¹ âiäøòîâõóâàëüíèé õàðàêòåð i íå äîçâîëÿ¹ ÷àñòèíöi âïàñòè íà ñèëîâèé öåíòð. Ôóíêöiÿ χ íîðìó¹òüñÿ áåç âàãîâîãî ìíîæíèêà: Z∞ χ2 (r) dr = 1. Ul (r) = U (r) +

0

Äîñëiäèìî ïîâåäiíêó óíêöi¨ χ íà ìàëèõ òà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ. Ïî÷íåìî ç âèïàäêó r → 0 i ïðèéìåìî, ùî ïðè öüîìó r 2 U → 0. Çàëèøàþ÷è â ðiâíÿííi äëÿ χ âåäó÷i äîäàíêè, ìà¹ìî

−

~2 d2 χ ~2 + l(l + 1)χ = 0. 2m dr 2 2mr 2

1 Òåïåð ñòà¹ çðîçóìiëî, ÷îìó äëÿ êîåiöi¹íòà ïðîçîðîñòi ïîòåíöiàëüíîãî áàð'¹ðà â òåîði¨ α-ðîçïàäó, ïî ñóòi â òðèâèìiðíié çàäà÷i (äèâ. 27), ìè âèêîðèñòàëè âèðàç, ÿêèé áóâ çíàéäåíèé äëÿ îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó.

335

Øóêà¹ìî óíêöiþ χ ó âèãëÿäi χ = const × r k . Áóäåìî âèìàãàòè, ùîá äëÿ l 6= 0 R = χ/r → 0 ïðè r → 0. iâíÿííÿ äëÿ ïîêàçíèêà k

−k(k − 1) + l(l + 1) = 0

äà¹ äâà ðîçâ'ÿçêè k = −l òà k = l + 1. Ïåðøèé ðîçâ'ÿçîê íåiçè÷íèé ðàäiàëüíà óíêöiÿ áåçìåæíî çðîñòà¹ ïðè íàáëèæåííi äî ïî÷àòêó êîîðäèíàò (÷àñòèíêà ïàäà¹ íà öåíòð). Îòæå, çàëèøà¹òüñÿ ëèøå äðóãå çíà÷åííÿ k = l + 1:

χ = const × r l+1 ,

r → 0.

Íåõàé òåïåð r → ∞, ïðè öüîìó ìè ââàæà¹ìî, ùî ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ U (r) → 0. Çàëèøà¹ìî â ðiâíÿííi äëÿ χ ãîëîâíi ÷ëåíè:

~2 d2 χ = Eχ. 2m dr 2 îçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ øóêà¹ìî ó âèãëÿäi −

Ó ðåçóëüòàòi

χ ∼ eαr ,

r → ∞. r

2mE . ~2 ßêùî E > 0, ìà¹ìî iíiíiòíèé ðóõ ç íåïåðåðâíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨. Âåëè÷èíà α ¹ óÿâíîþ, òîáòî r 2mE , α = ±i ~2 i õâèëüîâà óíêöiÿ ìà¹ îñöèëÿöiéíèé õàðàêòåð. Çíàê ïëþñ âiäïîâiäà¹ ñåðè÷íié õâèëi, ùî ïîøèðþ¹òüñÿ âiä öåíòðà, çíàê ìiíóñ õâèëi, ùî çáiãà¹òüñÿ äî öåíòðà. Äëÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ E < 0, ùîá çàáåçïå÷èòè óìîâó R → 0 ïðè r → ∞, çàëèøà¹ìî îäíå çíà÷åííÿ r 2m|E| α=− . ~2 Ó ðåçóëüòàòi # " r 2m|E| . χ ∼ exp −r ~2 α=± −

336

Îòæå, äëÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ ç óðàõóâàííÿì ïîâåäiíêè óíêöi¨ χ íà ìàëèõ òà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ ðàäiàëüíó óíêöiþ çàïèñó¹ìî ó âèãëÿäi: l −r

R(r) = r e

q−

2mE ~2

w(r).

Òàêèé çàïèñ çàáåçïå÷ó¹ íåîáõiäíó ïîâåäiíêó óíêöi¨ R íà ãðàíèöÿõ îáëàñòi çíà÷åíü r , 0 ≤ r < ∞. Ôóíêöiÿ w(r) âiäïîâiäà¹ çà õàðàêòåð ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ â îáëàñòi ïðîìiæíèõ çíà÷åíü r , ÿêèé, çðîçóìiëî, äèêòó¹òüñÿ êîíêðåòíèì âèãëÿäîì ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ U = U (r). Ïðèêëàä. Îá÷èñëèòè ÿêîáiàí ïåðåõîäó âiä äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò (x, y, z) äî ñåðè÷íèõ (r, θ, ϕ) ç âèìîãè åðìiòîâîñòi ãàìiëüòîíiàíà â (r, θ, ϕ)ïðåäñòàâëåíi. Âèïèøåìî ãàìiëüòîíiàí, íàâåäåíèé ó òåêñòi öüîãî ïàðàãðàà:

ˆ H

=

ˆ2 ~2 1 ∂ 2 ~2 L − r+ + U (r) = − 2 2 2m r ∂r 2mr 2m

−

~2 2mr 2

∂2 ∂ ∂2 1 + ctgθ + 2 2 2 ∂ϕ ∂θ ∂θ sin θ

∂2 2 ∂ + 2 r ∂r ∂r

+ U (r),

ˆ 2 âçÿòî ç 32. ßê áà÷èìî, äå âèðàç äëÿ îïåðàòîðà êâàäðàòà ìîìåíòó iìïóëüñó L ïåðøèé ÷ëåí ó ïåðøié êðóãëié äóæöi i äðóãèé ÷ëåí ó äðóãié êðóãëié äóæöi ˆ äî åðìiòîâîãî âèãëÿäó, ìàþòü íååðìiòîâèé âèãëÿä. Ùîá çâåñòè îïåðàòîð H çàïèøåìî ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ñïðàâæíiõ óíêöié ψ¯, ÿêi îòðèìóþòüñÿ ç âèõiäíî¨ óíêöi¨ ψ ìíîæåííÿì íà êîðiíü√êâàäðàòíèé √ ÿêîáiàíà ¯ J (äèâ. ïåðåõîäó J i íîðìóþòüñÿ áåç âàãîâîãî ìíîæíèêà, ψ¯ = Jψ , ψ = ψ/ 2): ¯ ˆ = Eψ, ˆ −1/2 ψ¯ = EJ −1/2 ψ, Hψ HJ √ àáî, äîìíîæóþ÷è çëiâà íà J , ìà¹ìî ¯ ˆ ′ ψ = E ψ, H ˆ ′ = J 1/2 H ˆ ′ çíàéäåˆ Jˆ−1/2 . Ç óìîâè åðìiòîâîñòi îïåðàòîðà H äå ãàìiëüòîíiàí H ˆ ìî ðiâíÿííÿ äëÿ J , ïðè÷îìó, îñêiëüêè íååðìiòîâiñòü â H âèÿâëÿþòü ÷ëåíè ç ïåðøèìè ïîõiäíèìè çà r òà θ, òî ÿêîáiàí J î÷åâèäíî çàëåæèòü ëèøå âiä öèõ çìiííèõ. ˆ äëÿ H ˆ ′ , åëåìåíòàðíî çíàõîÂèêîðèñòîâóþ÷è ÿâíèé âèãëÿä îïåðàòîðà H äèìî: 2

2 ˆ′ = − ~ 4 H 2m

22

I. Î. Âàêàð÷óê

∂ ln J 2 − r ∂r

∂2 1 ∂ ln J ∂ + 2 − ∂r ∂r r ∂r

337

1 ∂ 2 ln J 1 − + 2 ∂r 2 4

∂ ln J + ctgθ − ∂θ

∂ ln J ∂r

2

3

2

2 ∂2 5− ~ 4 1 2 2 2mr sin θ ∂ϕ2

∂2 1 ∂ ln J 1 ∂ 2 ln J 1 ∂ + 2 − ctgθ − + ∂θ ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ2 4

∂ ln J ∂θ

2

3 5.

ˆ ′ (ïåðøèé ó ïåðøié êâàäðàòíié Áóäåìî âèìàãàòè, ùîá íååðìiòîâi äîäàíêè â H äóæöi i äðóãèé ó äðóãié êâàäðàòíié äóæöi) äîðiâíþâàëè íóëåâi: ∂ ln J 2 − = 0, r ∂r ctgθ −

∂ ln J = 0. ∂θ

Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ ìà¹ìî, ùî J = Cr 2 , C = C(θ), à ç äðóãîãî çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ äëÿ C , ctgθ − ∂ ln C/∂θ = 0, ç ÿêîãî âèïëèâà¹, ùî C = C1 sin θ, C1 = const. Îòæå, ÿêîáiàí J = C1 r 2 sin θ. Ñòàëó C1 çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ ÿêîáiàíà ïåðåõîäó: îñêiëüêè îá'¹ì êóëi ðàäióñà a äîðiâíþ¹ 4πa3 /3, R 2π Rπ Ra òî 0 dr 0 dϕ 0 dθJ = 4πa3 /3, çâiäñè C1 = 1. Îòæå, îñòàòî÷íî, ÿêîáiàí J = r 2 sin θ, ÿê i ïîâèííî áóòè. Âèêîðèñòàâøè ðiâíÿííÿ äëÿ ln J , çíàõîäèìî òàêîæ ÿâíèé âèãëÿä îïåðàˆ ′: òîðà H 2 2 2 ˆ′ = − ~ ∂ − ~ H 2m ∂r 2 2mr 2

∂2 ∂2 1 1 1 + + ctgθ + 2 ∂θ2 4 2 sin θ ∂ϕ2

+ U (r).

√ Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî ñåðè÷íà óíêöiÿ Yl,m (θ, ϕ), ïîìíîæåíà íà sin θ ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà â êðóãëèõ äóæêàõ, òîáòî êóòîâî¨ ÷àñòèíè öüîˆ ′ çàìiíèòè íà (−m2 ), òîáòî íà ãî ãàìiëüòîíiàíà. ßêùî äðóãó ïîõiäíó çà ϕ â H imϕ ðåçóëüòàò ¨¨ äi¨ íà ìíîæíèê e âiä ñåðè÷íî¨ óíêöi¨ (m = 0, ±1, ±2, . . . ìàãíiòíå êâàíòîâå ÷èñëî) i äàëi çðîáèòè çàìiíó çìiííî¨ θ = π/2 − x, −π/2 ≤ x ≤ π/2, òî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà â êðóãëèõ äóæêàõ, óçÿòîãî çi çíàêîì ìiíóñ, îðìàëüíî çâîäèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ ðiâíiâ åíåð i¨ ÷àñòèíêè, ÿêà ðóõà¹òüñÿ â ïîëi (m2 − 1/4)/ cos2 x − 1/4. Òàêó çàäà÷ó ìè ðîçâ'ÿçàëè ó ïðèêëàäi 1 äî 23, çâiäêè çðàçó îäåðæó¹ìî, ùî øóêàíi âëàñíi çíà÷åííÿ, ÿê i ïîâèííî áóòè, äîðiâíþþòü l(l+1), äå êâàíòîâå ÷èñëî l = |m|+n, n = 0, 1, 2, . . . 40. Ïðîñòîðîâèé îñöèëÿòîð

îçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè ìàñîþ m â îñöèëÿòîðíié ñåðè÷íié ÿìi, êîëè

U= 338

mω 2 2 mω 2 r 2 = (x + y 2 + z 2 ). 2 2

îçâ'ÿçîê öi¹¨ çàäà÷i ¹ âàæëèâèì, òîìó ùî òàêèé ïîòåíöiàë äîñòàòíüî äîáðå îïèñó¹ ñòðóêòóðó åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ îáîëîíêîâî¨ ìîäåëi àòîìíîãî ÿäðà. Ìîâà éäå ÿê ïðî ïîðÿäîê çàïîâíåííÿ îáîëîíîê íóêëîíàìè, òàê i ïðî êiëüêiñíi åíåð åòè÷íi õàðàêòåðèñòèêè, ÿêùî âäàëî ïiäiáðàòè ÷àñòîòó ω : ~ω ≃ 41A−1/3 MeV, A ìàñîâå ÷èñëî. Óíàñëiäîê ðîçäiëåííÿ çìiííèõ ó ðiâíÿííi Øðåäèí åðà íàøå äîñëiäæåííÿ çâîäèòüñÿ äî çàäà÷i ïðî ðóõ òðüîõ íåçàëåæíèõ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ. Åíåð iÿ òàêî¨ ñèñòåìè

En1 ,n2 ,n3 = ~ω(n1 + n2 + n3 + 3/2), à õâèëüîâi óíêöi¨

ψn1 ,n2 ,n3 (x, y, z) = ψn1 (x)ψn2 (y)ψn3 (z), äå ψni õâèëüîâà óíêöiÿ äëÿ îäíîâèìiðíîãî îñöèëÿòîðà, âèçíà÷åíà â 21, à n1 , n2 , n3 = 0, 1, 2, . . . . Åíåð åòè÷íi ðiâíi ¹ åêâiäèñòàíòíèìè é âèðîäæåíèìè. Ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Yl,m (θ, ϕ) ìîæíà îòðèìàòè é ÿê ëiíiéíó êîìáiíàöiþ óíêöié ψn1 ,n2 ,n3 (x, y, z) ïðè çàäàíié ñóìi n1 + n2 + n3 . àäiàëüíå ðiâíÿííÿ ìà¹ âèãëÿä: d2 l(l + 1) 2E 2 − 2 +ρ + χ, χ= dρ ρ2 ~ω

r

ρ = r/

~ , mω

R(r) = χ/r.

Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó (l = 0) ðàäiàëüíà óíêöiÿ

R0 (r) =

2 mω 3/4 −ρ2 /2 e . ~ π 1/4

Ïiñëÿ öèõ ïîïåðåäíiõ çàóâàæåíü äàëi ïðîïîíó¹ìî ðîçâ'ÿçóâàòè çàäà÷ó ìåòîäîì àêòîðèçàöi¨, ðîçâèíóòèì ó 23. Öå áóäå äëÿ íàñ äîäàòêîâîþ âïðàâîþ äëÿ îïàíîâóâàííÿ öüîãî ìåòîäó ðîçâ'ÿçêó çàäà÷ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨. 22*

339

Óâåäåìî îïåðàòîðè

d Aˆ = + W, dρ d Aˆ+ = − + W, dρ äå ñóïåðñèìåòðè÷íèé ïîòåíöiàë

W = αρ +

β , ρ

i çàïèøåìî ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà òàê:

2E χ, (Aˆ+ Aˆ + ε)χ = ~ω äå åíåð iÿ àêòîðèçàöi¨

ε = α(1 − 2β),

ïðè÷îìó

α2 = 1, β(β + 1) = l(l + 1). Çâiäñè ìà¹ìî äâà ìîæëèâi ðîçâ'ÿçêè äëÿ ïàðàìåòðiâ α òà β :

α1,2 = ±1;

β2 = −(l + 1).

β1 = l,

Çãiäíî ç ìåòîäîì àêòîðèçàöi¨ õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó (ïðè çàäàíîìó l) âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿííÿ

ˆ = 0, Aχ àáî

d β + αρ + dρ ρ

Ïåðåïèñóþ÷è öå ðiâíÿííÿ ÿê

χ = 0.

β dχ = − αρ + dρ, χ ρ

340

åëåìåíòàðíî çíàõîäèìî éîãî ðîçâ'ÿçîê

χ=

C −αρ2 /2 e . ρβ

Ç óìîâè íîðìóâàííÿ

Z∞

χ2 dr = 1

0

îäåðæó¹ìî ñòàëó C i óìîâè íà ïàðàìåòðè α òà β : r Z∞ 2 ~ 2 |C| ρ−2β e−αρ dρ = 1, mω 0

çâiäñè, äëÿ çàáåçïå÷åííÿ çáiæíîñòi iíòå ðàëà âèìàãà¹ìî, ùîá α > 0, 2β < 1. Ç äâîõ ìîæëèâèõ ðîçâ'ÿçêiâ äëÿ α i β , íàâåäåíèõ âèùå, öþ âèìîãó çàäîâîëüíÿþòü

β = −(l + 1),

α = 1, ïðè öüîìó

ε = 1 + 2(l + 1). Iíòå ðàë íîðìóâàííÿ r

~ |C|2 mω

çàìiíîþ

ρ2

Z∞

2

ρ2(l+1) e−ρ dρ = 1

0

= t çâîäèìî äî Γ-óíêöi¨ i äëÿ ñòàëî¨ C çíàõîäèìî: s mω 1/4 2 . C= ~ Γ (l + 3/2)

Îòæå, õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó s mω 1/4 2 2 χ0,l = ρl+1 e−ρ /2 . ~ Γ (l + 3/2)

ßêùî l = 0, òî ðàäiàëüíà óíêöiÿ R(r) = χ0,0 /r çáiãà¹òüñÿ, ÿê i ïîâèííî áóòè, ç íàâåäåíîþ âèùå óíêöi¹þ R0 (r). 341

Ïåðåéäiìî äî âèçíà÷åííÿ ðiâíiâ åíåð i¨, âèêîðèñòîâóþ÷è ç 23 óìîâó óçãîäæåííÿ äëÿ ñóïåðñèìåòðè÷íîãî ïîòåíöiàëó

W (ρ; αn , βn ) = αn ρ +

βn , ρ

à ñàìå,

W 2 (ρ; αn−1 , βn−1 ) + W ′ (ρ; αn−1 , βn−1 ) = W 2 (ρ; αn , βn ) − W ′ (ρ; αn , βn ) + ∆n .

Çàóâàæó¹ìî, ïî-ïåðøå, ùî óíêöiÿ W çàëåæèòü âiä äâîõ ïàðàìåòðiâ α òà β , à ïî-äðóãå, âîíà ¹ çíåðîçìiðåíîþ, îñêiëüêè ìè ïðàöþ¹ìî√â çíåðîçìiðåíèõ çìiííèõ, i òîìó â ðiâíÿííi âiäñóòíi ìíîæíèêè ~/ 2m áiëÿ W ′ . Ïiäñòàíîâêà óíêöi¨ W â öå ðiâíÿííÿ äà¹

α2n−1 ρ2 + 2αn−1 βn−1 + = α2n ρ2 + 2αn βn +

2 βn−1 βn−1 + αn−1 − 2 ρ2 ρ

βn βn2 − αn + 2 + ∆n . 2 ρ ρ

Ïðèðiâíþþ÷è êîåiöi¹íòè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ ρ çëiâà i ñïðàâà â öüîìó âèðàçi, îòðèìó¹ìî:

α2n−1 = α2n , βn−1 (βn−1 − 1) = βn (βn + 1), ∆n = 2(αn−1 βn−1 − αn βn ) + αn−1 + αn .

Òåïåð, ïàì'ÿòàþ÷è óìîâè íà α òà β , ëåãêî çíàõîäèìî

α2n = α2n−1 = α2n−2 = . . . = α20 , α0 = α = 1, βn = βn−1 − 1 = βn−2 − 2 = . . . = β0 − n = −(n + l + 1), β0 = β = −(l + 1),

çi çáåðåæåííÿì óìîâè 2βn < 1 àáî n + l + 1 > 1/2. Ïðè öüîìó âåëè÷èíà

∆n = 4. 342

Åíåð åòè÷íi ðiâíi âèçíà÷à¹ìî, çãiäíî iç çàãàëüíèì ïðàâèëîì ìåòîäó àêòîðèçàöi¨, ç ðiâíÿííÿ n X 2E =ε+ ∆n′ = 2l + 3 + 4n, ~ω ′ n =1

i îòæå, îñòàòî÷íî åíåð iÿ çàëåæèòü ëèøå âiä êîìáiíàöi¨ 2n + l:

En,l = ~ω (2n + l + 3/2) ,

n, l = 0, 1, 2, . . . .

Õâèëüîâi óíêöi¨ çáóäæåíèõ ñòàíiâ çíàõîäèìî, çãiäíî ç 23, ç ðiâíÿííÿ

χn,l (ρ; α, β) = p

1 (∆1 + . . . + ∆n )(∆2 + . . . + ∆n ) . . . ∆n

×Aˆ+ (α, β)Aˆ+ (α1 , β1 ) . . . Aˆ+ (αn−1 , βn−1 )χ0,l (ρ; αn , βn )

i îòæå, ïiäñòàâëÿþ÷è ÿâíi âèðàçè íàøèõ âåëè÷èí αn , βn , ∆n , çíàõîäèìî: s 2 1 mω 1/4 χn,l (ρ) = √ Γ(n + l + 3/2) 2n n! ~

d l+1 l+2 d × − +ρ− − +ρ− ... dρ ρ dρ ρ d l+n 2 × − +ρ− ρn+l+1 e−ρ /2 , dρ ρ

n = 0, 1, 2, . . . ; ïðè÷îìó êiëüêiñòü îïåðàòîðíèõ ìíîæíèêiâ äîðiâíþ¹ n, i ïðè n = 0 âîíè âiäñóòíi. Êðiì òîãî, çàóâàæèìî, ùî çàìiíà âåëè÷èí α = 1, β = −(l + 1) â χ0,l íà αn = 1, βn = −(l + n + 1) îçíà÷à¹ ïðîñòó çàìiíó â χ0,l ÷èñëà l íà (l + n). Óøëÿõåòíèìî öåé âèðàç. Äëÿ öüîãî íàïèøåìî óíêöiþ, íà ÿêó äiþòü îïåðàòîðíi äóæêè, òàê: 2 /2

ρn+l+1 e−ρ

2 /2

= ρ−l eρ

2

2

· ρn+2l+1 e−ρ ,

i ïðîíåñåìî ïåðøèé ìíîæíèê ρ−l eρ /2 = exp(ρ2 /2 − l ln ρ) êðiçü îïåðàòîðíi êðóãëi äóæêè, çìiùóþ÷è ïîõiäíó d/dρ íà ðåçóëüòàò ¨¨ 343

äi¨ íà ïîêàçíèê åêñïîíåíòè, d/dρ → d/dρ + ρ − l/ρ, i çàïèøåìî âèðàç äëÿ ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ Rn,l (r) = χn,l (ρ)/r , s 1 mω 3/4 2 2 Rn,l (r) = √ eρ /2 ρ−(l+1) (−)n n Γ(n + l + 3/2) 2 n! ~

×

d 1 + dρ ρ

d 2 + dρ ρ

...

d n + dρ ρ

2

ρn+2l+1 e−ρ .

Äîáóòîê îïåðàòîðíèõ äóæîê çàïèøåìî òàê: d 1 2 n d d + + + ... dρ ρ dρ ρ dρ ρ 1 1 2 1 n 1 d d d n−1 + + + . . . ρ ρn ρ = dρ ρ ρ dρ ρ ρ2 dρ ρ ρn d n 2 n/2 1 d n n (ρ ) . ρ = 2 2 = ρ dρ dρ Òåïåð óæå îñòàòî÷íî ðàäiàëüíà óíêöiÿ s mω 3/4 2n! 2 ¯ nl+1/2 (ρ2 ), Rn,l (r) = (−)n ρl e−ρ /2 L ~ Γ(n + l + 3/2) äå òàê çâàíèé óçàãàëüíåíèé ïîëiíîì Ëà åððà2 1 x −α d n n+α −x α ¯ x e , Ln (x) = e x n! dx

ó íàñ α = l + 1/2, x = ρ2 . Ïåðøi êiëüêà ïîëiíîìiâ: ¯ α (x) = 1, L 0

2

¯ α (x) = 1 + α − x, L 1

Öi óçàãàëüíåíi ïîëiíîìè Ëà åððà ¹ ñòàíäàðòèçîâàíèìè â ìàòåìàòèöi ùîäî ¨õíüî¨ iíäåêñàöi¨ òà ñòàëèõ ìíîæíèêiâ. iíøå, óñòàëåíå â òåîðåòè÷íié içèöi ïîçíà÷åííÿ óçàãàëüíåíèõ, àáî ïðè¹äíàíèõ, ïîëiíîìiâ Ëà åððà Lα n+α (x) = ¯α (−)α (n + α)!L n (x), ÿêå ââiâ À. Çîììåðåëüä (äèâ. Çîììåðåëüä À. Ñòðîåíèå àòîìà è ñïåêòðû. Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1957. Ò. 2). Ó òàêîìó ïîçíà÷åííi íèæíié iíäåêñ öå ñòåïiíü çâè÷àéíîãî ïîëiíîìà Ëà åððà (êîëè α = 0), à âåðõíié iíäåêñ ïîçíà÷à¹ êiëüêiñòü éîãî äèåðåíöiþâàíü çà x.

344

¯ α2 (x) = 1 (1 + α)(2 + α) − 2(2 + α)x + x2 . L 2 Òàêèì ÷èíîì, çàäà÷à ïîâíiñòþ ðîçâ'ÿçàíà, i íàì çàëèøèëîñü õiáà ùî ïiäðàõóâàòè êðàòíiñòü âèðîäæåííÿ. ßê áà÷èìî, ðiâíi åíåð i¨ ïðîñòîðîâîãî îñöèëÿòîðà ¹ åêâiäèñòàíòíèìè, à ÷èñëî N = 2n+l âiäiãðà¹ ðîëü ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, òîáòî òàêîãî ÷èñëà, ÿêå âèçíà÷à¹ åíåð iþ. Ïðè éîãî iêñîâàíîìó çíà÷åííi êðàòíiñòü âèðîäæåííÿ g=

l XX X

n≥0 l≥0 m=−l (N =2n+l)

1=

XX

(2l + 1) =

nX max n=0

n≥0 l≥0 (N =2n+l)

[2(N − 2n) + 1],

äå nmax çíàõîäèìî ïðè l = 0, i îòæå, 2nmax = N . Äàëi ìà¹ìî:

g = (2N + 1)

nX max n=0

1−4

nX max

n

n=0

= (2N + 1)(nmax + 1) − 4

nmax (nmax + 1) 2

= (nmax + 1)(2N + 1 − 2nmax ) =

1 (2nmax + 2)(2N + 1 − 2nmax ) 2

àáî

(N + 2)(N + 1) . 2 Îòæå, îñíîâíèé ñòàí (N = 0) ¹ íåâèðîäæåíèì, ÿê i ïîâèííî áóòè. Ïåðøèé çáóäæåíèé ñòàí (N = 1) òðèêðàòíî âèðîäæåíèé ç õâèëüîâèìè óíêöiÿìè, ùî ìàþòü òàêi êâàíòîâi ÷èñëà: n = 0, l = 1, m = 0, ±1. Íàñàìêiíåöü çðîáèìî öiêàâå çàóâàæåííÿ. Îñêiëüêè ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê, i ïðè l 6= 0, òî â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó äëÿ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ íà äîäàòíié ïiâîñi (x > 0) â ïîëi U (x) = mω 2 x2 /2 + A/x2 , ìè òàêîæ áóäåìî ìàòè òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê, ïðè÷îìó ç åêâiäèñòàíòíèìè ðiâíÿìè åíåð i¨ En . Íåîáõiäíî ëèøå çðîáèòè îðìàëüíó çàìiíó ~2 l(l + 1)/2m = A, òîáòî p (ç óðàõóâàííÿì l > 0) l = −1/2 + 1/4 + 2mA/~2 . g=

345

41. Àòîì âîäíþ

îçãëÿíåìî ðóõ åëåêòðîíiâ ó êóëîíiâñüêîìó ïîëi àòîìíîãî ÿäðà. Íåõàé çàðÿä ÿäðà äîðiâíþ¹ Z|e| i ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ åëåêòðîíà

Ze2 . r Ó âèïàäêó Z = 1 ìà¹ìî ìîäåëü àòîìà âîäíþ. Âèïàäîê Z > 1 âiäïîâiäà¹ ðóõîâi åëåêòðîíà ó âîäíåâîïîäiáíèõ éîíàõ òèïó He+ , Li++ i ò. ä. Íàñ ïåðåäóñiì öiêàâèòèìå àòîì âîäíþ, äëÿ ÿêîãî ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ ¹ òàêèì: ~2 e2 ~2 d2 + l(l + 1) − χ = Eχ. − 2m dr 2 2mr 2 r U =−

Âèïàäîê äîâiëüíîãî√Z ðåàëiçó¹ìî â îñòàòî÷íèõ âèðàçàõ îðìàëüíîþ çàìiíîþ e íà e Z . Óâåäiìî çàìiñòü çìiííî¨ r áåçðîçìiðíó çìiííó r ρ= , a

äå a äåÿêà, õàðàêòåðíà äëÿ öi¹¨ çàäà÷i, äîâæèíà, ÿêó ïiäáèðà¹ìî ç ìiðêóâàíü çðó÷íîñòi. Òåïåð ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ çàïèøåìî òàê: ~2 d2 ~2 l(l + 1) e2 1 − + − χ = Eχ, 2ma2 dρ2 2ma2 ρ2 a ρ àáî

l(l + 1) 2mae2 1 d2 E − χ. χ= 2 − 2+ 2 2 dρ ρ ~ ρ ~ /2ma2

Ïiäáåðiìî ìàñøòàáíó äîâæèíó a òàê, ùîá mae2 /~2 = 1, i îòðèìà¹ìî, ùî a = aB , äå òàê çâàíèé áîðiâñüêèé ðàäióñ

~2 . me2 Öèì ìè iêñó¹ìî òàêîæ õàðàêòåðíèé ìàñøòàá âèìiðó åíåð i¨ aB =

me4 ~2 = , 2ma2 2~2 346

ÿêèé íàçèâàþòü ðiäáåð îì3 : 1 Ry = me4 /2~2 . ×èñåëüíî öi âåëè÷èíè äîðiâíþþòü: aB = 0.529 A, Ry = 13.6 eV. Òàêèì ÷èíîì, çíåðîçìiðåíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ àòîìà âîäíþ ìà¹ âèãëÿä: 2 d l(l + 1) 2 − + χ = εχ, dρ2 ρ2 ρ

ε=−

E ~2 /2ma2

=−

E me4 /2~2

.

Õâèëüîâó óíêöiþ χ, âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàòè 39, âèáèðà¹ìî òàê: √

χ(ρ) = ρl+1 e−ρ

ε

w(ρ).

Òåïåð çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìî¨ óíêöi¨ w: √ xw′′ (x) + [2(l + 1) − x] w′ (x) + 1/ ε − (l + 1) w(x) = 0, √ x = 2ρ ε. Çîáðàçèìî óíêöiþ w = w(x) ó âèãëÿäi ðÿäó çà ñòåïåíÿìè x: X w= ak xk . k≥0

Ïiäñòàâëÿþ÷è öåé âèðàç ó ïîïåðåäí¹ ðiâíÿííÿ äëÿ w, ìè îòðèìà¹ìî X X X k(k − 1)ak xk−1 + 2(l + 1)kak xk−1 − kak xk k≥0

k≥0

+

k≥0

X √ (1/ ε − l − 1)ak xk = 0. k≥0

3 Öþ îäèíèöþ âèìiðó åíåð i¨ íàçâàëè íà ÷åñòü øâåäñüêîãî içèêà Éîãàíåñà îáåðòà iäáåð à (18541919), ÿêèé çðîáèâ çíà÷íèé âíåñîê â àòîìíó ñïåêòðîñêîïiþ. Äàíòå â Áîæåñòâåííié êîìåäi¨ ïîñàäèâ íà ïîðîçi äðóãîãî êîëà Ïåêëà ñïðàâåäëèâîãî öàðÿ Ìiíîñà ç àíòè÷íî¨ ìiîëîãi¨ ó âèãëÿäi íå÷èñòîãî, ó ÿêîãî õàðàêòåðíèì ìàñøòàáîì âèìiðó ìóê ãðiøíèêà áóâ éîãî õâiñò âií ïðèçíà÷àâ âiäáóâàòè ïîêàðàííÿ â òîìó êîëi Öàðñòâà çëà, íîìåð ÿêîãî äîðiâíþâàâ êiëüêîñòi âèòêiâ õâîñòà íàâêîëî òiëà ãðiøíèêà.

347

Ó ïåðøîìó i äðóãîìó äîäàíêàõ ðîáèìî çàìiíó iíäåêñó ïiäñóìîâóâàííÿ k − 1 = k′ , ïiñëÿ ÷îãî øòðèõ çíiìà¹ìî: X (k + 1)kak+1 + 2(l + 1)(k + 1)ak+1 − kak k≥0

+

1 √ − l − 1 ak xk = 0. ε

Äëÿ òîãî, ùîá öÿ ðiâíiñòü ñïðàâäæóâàëàñü ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ çìiííî¨ x, íåîáõiäíî, ùîá âèðàç ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ äîðiâíþâàâ íóëåâi: √ (k + 1)kak+1 + 2(l + 1)(k + 1)ak+1 − kak + (1/ ε − l − 1)ak = 0. Öå äà¹ ðåêóðåíòíå ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó ak : √ k + l + 1 − 1/ ε ak+1 = ak . (k + 1)(k + 2l + 2)

Äîñëiäèìî ïîâåäiíêó öèõ êîåiöi¹íòiâ ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ iíäåêñó k. ßê áà÷èìî, ïðè k → ∞ ak ak+1 ∼ k+1 i îòæå,

ak+1 ∼

1 . (k + 1)!

Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî óíêöiÿ

w=

X k≥0

ak xk ∼

X xk k≥0

k!

√

= ex = e2ρ

ε

.

Òàêèì ÷èíîì, ðàäiàëüíà óíêöiÿ R íà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ íå ñïàäà¹:

R = ρl e−

√

ερ

w ∼ ρl e−

√

√ ερ 2ρ ε

e

∼ e+

√

ερ

→ ∞,

ρ→∞

i òèì ñàìèì íå çàäîâîëüíÿ¹ ãðàíè÷íî¨ óìîâè. Âèõîäîì iç öi¹¨ ñèòóàöi¨ ¹ îáìåæåííÿ íà êiëüêiñòü ÷ëåíiâ ó ðîçêëàäi óíêöi¨ w. Îòæå, ïðèéìåìî, ùî ðÿä äëÿ w îáðèâà¹òüñÿ i ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ iíäåêñó k äîðiâíþ¹ ïåâíîìó ÷èñëó nr . Éîãî íàçèâàþòü ðàäiàëüíèì 348

êâàíòîâèì ÷èñëîì, ïðè÷îìó nr = 0, 1, 2, . . .. Öåé îáðèâ çàáåçïå÷ó¹ìî óìîâîþ

anr +1 = 0, à ç ðåêóðåíòíî¨ îðìóëè ìà¹ìî, ùî

√ nr + l + 1 − 1/ ε = 0. Öå ðiâíÿííÿ iêñó¹ ìîæëèâi ðiâíi åíåð i¨:

ε=

1 . (nr + l + 1)2

Çàóâàæèìî, ùî êâàíòóâàííÿ åíåð i¨, ÿê i â íàéïðîñòiøèõ çàäà÷àõ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ÿêi ìè ðîçãëÿíóëè ðàíiøå, îòðèìó¹ìî ç ãðàíè÷íèõ óìîâ. Óâåäiìî ïîçíà÷åííÿ

n = nr + l + 1. Îñêiëüêè îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî l = 0, 1, 2, . . ., òî ÷èñëî n, ÿêå íàçèâàþòü ãîëîâíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì, íàáóâà¹ öiëèõ äîäàòíèõ çíà÷åíü, ïî÷èíàþ÷è ç îäèíèöi, n = 1, 2, 3, . . . . Ìàêñèìàëüíî ìîæëèâå çíà÷åííÿ ÷èñëà l ïðè çàäàíîìó n îòðèìó¹ìî, ÿêùî nr = 0, lmax = n − 1. Îòæå, l = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Òåïåð

ε=

1 n2

i â ðîçìiðíèõ îäèíèöÿõ åíåð iÿ

En = −

me4 . 2~2 n2

Öå i ¹ çíàìåíèòà îðìóëà Í. Áîðà (1913 ð.). Å. Øðåäèí åð öþ îðìóëó âèâiâ iç õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ â 1926 ðîöi. Îñêiëüêè ìè îáiðâàëè ðÿä äëÿ óíêöi¨ w íà äîäàíêó ç íîìåðîì nr = n − l − 1, òî

w=

n−l−1 X

ak xk ,

k=0

√ x = 2ρ ε = 2ρ/n. 349

åêóðåíòíó îðìóëó äëÿ êîåiöi¹íòiâ ak çàïèñó¹ìî â òàêîìó âèãëÿäi: k+l+1−n ak+1 = ak . (k + 1)(k + 2l + 2) Âèïèøåìî ÿâíî ïîñëiäîâíiñòü öèõ êîåiöi¹íòiâ:

a1 = a0

l+1−n , (2l + 2)

a2 = a0

l+1−n l+2−n × , (2l + 2) 2(2l + 3)

l+1−n l+2−n l+3−n × × , (2l + 2) 2(2l + 3) 3(2l + 4) .............................. a3 = a0

an−l−1 = a0 ×

l+1−n l+2−n × × ··· (2l + 2) 2(2l + 3)

l + [n − l − 1] − n . [n − l − 1](2l + [n − l − 1] + 1)

Òåïåð ó ðîçãîðíóòîìó âèãëÿäi

w(x) = a0 L(x), L(x) = 1 +

(n − l − 1) (−x) 1!(2l + 2)

+

(n − l − 1)(n − l − 2) (−x)2 2!(2l + 2)(2l + 3)

+

(n − l − 1)(n − l − 2)(n − l − 3) (−x)3 + · · · 3!(2l + 2)(2l + 3)(2l + 4)

+

(n − l − 1)(n − l − 2)(n − l − 3) · · · 1 (−x)n−l−1 . (n − l − 1)!(2l + 2)(2l + 3)(2l + 4) · · · (2l + n − l)

Ñòàëó a0 âèçíà÷èìî ïiçíiøå ç óìîâè íîðìóâàííÿ. Öåé ïîëiíîì âiäîìèé ó ìàòåìàòèöi ÿê ïðè¹äíàíèé, àáî óçàãàëüíåíèé, ïîëiíîì 350

Ëà åððà. ðiçíi éîãî îçíà÷åííÿ, ÿêi âiäðiçíÿþòüñÿ ñòàëèìè ìíîæíèêàìè òà õàðàêòåðîì iíäåêñàöi¨. Ìè çàiêñó¹ìî ¨õ ïiçíiøå. Ïîêàæåìî, ùî ïîëiíîì L(x) ìîæíà çàïèñàòè êîìïàêòíiøå, ÿêùî ñïðîáóâàòè çîáðàçèòè éîãî ÿê ïîñëiäîâíó äiþ îïåðàòîðà (1 − d/dx) íà çìiííó x ó äåÿêîìó ñòåïåíi. Âèðàç (1 − d/dx)m xp ¹ ïîëiíîìîì ç (m + 1) äîäàíêîì (ïðè p > m). Íàø ïîëiíîì ìà¹ (n − l) äîäàíêiâ, òîìó ïðèéìà¹ìî m = n − l − 1. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçêëàä áiíîìà Íüþòîíà, ìà¹ìî

d 1− dx

=

n−l−1 X k=0

= xp −

n−l−1

x =

k=0

(n − l − 1)! (n − l − 1 − k)!k!

d − dx

k

xp

(n − l − 1)(n − l − 2) (n − l − 1) p xp−1 + p (p − 1) xp−2 1! 2!

= (−)n−l−1 ×

n−l−1 X

(n − l − 1)! p! (−)k xp−k (n − l − 1 − k)!k! (p − k)!

+ · · · + (−)n−l−1

p

p! xp−n+l+1 (p − n + l + 1)!

p! xp−n+l+1 (p − n + l + 1)!

(p − n + l + 1)! (−x)n−l−1 p!

(n − l − 1) (p − n + l + 1)! n−l−2 + p(−x) + ··· + 1 . 1! p! Ïiäáåðiìî ÷èñëî p òàê, ùîá êîåiöi¹íòè ó iãóðíèõ äóæêàõ ó öüîìó âèðàçi i â ðîçêëàäi äëÿ w ïðè âiäïîâiäíèõ ñòåïåíÿõ x çáiãàëèñü. Äëÿ íàéñòàðøîãî ñòåïåíÿ x ìà¹ìî ðiâíÿííÿ

(p − n + l + 1)! 1 = , p! (2l + 2)(2l + 3) · · · (2l + n − l) 351

àáî

1 1 = . p (p − 1) · · · (p − n + l + 2) (2l + 2)(2l + 3) · · · (2l + n − l)

Îòæå, p = 2l + n − l = n + l. Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî òàêå çíà÷åííÿ ÷èñëà p çàáåçïå÷ó¹ ðiâíiñòü äëÿ âñiõ êîåiöi¹íòiâ. Òîìó (n + l)! 2l+1 d n−l−1 n+l x = (−)n−l−1 x 1− dx (2l + 1)! (2l + 1)! (n − l − 1) (2l + 1)! × (−x)n−l−1 + (−x)n−l−2 (n + l)! 1! (n + l − 1)!

+

(n − l − 1)(n − l − 2) (2l + 1)! (−x)n−l−3 + · · · 2! (n + l − 2)!

(n − l − 1)(n − l − 2) · · · (n − l − [n − l − 1]) (n − l − 1)! (2l + 1)! 0 (−x) . × (n + l − [n − l − 1])! +

Âèðàç ó iãóðíèõ äóæêàõ, ÿê áà÷èìî, i ¹ ïîëiíîìîì L(x). Òàêèì ÷èíîì, d n−l−1 n+l n−l−1 (2l + 1)! −(2l+1) x x . 1− L(x) = (−) (n + l)! dx Ñêîðèñòàéìîñü òåïåð òèì, ùî d m p d m x −x p d m −x p x 1− x = 1− e e x =e − e x . dx dx dx Äðóãó ðiâíiñòü îòðèìó¹ìî ïðîíåñåííÿì åêñïîíåíòè ex íàëiâî i çñóâîì d/dx íà îäèíèöþ. Òîìó ïðè¹äíàíèé ïîëiíîì Ëà åððà ìîæíà çàïèñàòè é ó òàêîìó çðó÷íîìó äëÿ ðiçíèõ îá÷èñëåíü êîìïàêòíîìó âèãëÿäi: (2l + 1)! −(2l+1) x d n−l−1 −x n+l L(x) = e x . x e (n + l)! dx 352

Îäíå çi ñòàíäàðòíèõ îçíà÷åíü ïðè¹äíàíîãî ïîëiíîìà Ëà åððà ç óñòàëåíîþ â òåîðåòè÷íié içèöi iíäåêñàöi¹þ ¹ òàêèì (äèâ. âèíîñêó íà ñòîð. 344): k d k Lp (x) = Lp (x), dx äå ïîëiíîì Ëà åððà x

Lp (x) = e

d dx

p

e−x xp .

ßêùî âçÿòè k = 2l + 1, à p = n + l, òî ç òî÷íiñòþ äî ñòàëî¨ íàø ïîëiíîì L(x) çáiãà¹òüñÿ ç ïîëiíîìîì L2l+1 n+l (x). Ñïðàâäi, âèêîíóþ÷è áåç êîìåíòàðiâ ðÿä ïðîñòèõ, ïîäiáíèõ äî ïîïåðåäíiõ ïåðåòâîðåíü, ìà¹ìî 2l+1 n+l d d ex e−x xn+l (x) = L2l+1 n+l dx dx

=

d dx

n+l d xn+l −1 dx

2l+1

n+l

= (−)

n+l

= (−)

d dx

2l+1 X n+l k=0

n−l−1 X

(−)k

k=0

(n + l)! (n + l − k)!k!

d − dx

k

xn+l

(n + l)! (n + l)! xn−l−1−k (n + l − k)!k! (n − l − 1 − k)!

1 (n + l) 1 xn−l−1 − xn−l−2 (n − l − 1)! 1! (n − l − 2)! (n + l)! n−l−1 + · · · + (−) (2l + 1)!(n − l − 1)! n+l

= (−)

(n + l)!

= (−)n+l (−)n−l−1 (n + l)! × 23

(n + l)! (2l + 1)!(n − l − 1)!

(2l + 1)! (n − l − 1) n−l−1 n−l−2 (−x) + (2l + 1)! (−x) + ··· + 1 . (n + l)! (n + l − 1)!

I. Î. Âàêàð÷óê

353

Âèðàç ó iãóðíèõ äóæêàõ i ¹ íàøèì ïîëiíîìîì L(x). Îòæå,

L2l+1 n+l (x) = −

[(n + l)!]2 L(x). (2l + 1)!(n − l − 1)!

Âèêîðèñòîâóþ÷è äëÿ L(x) éîãî êîìïàêòíèé âèãëÿä, ìîæíà òàêîæ çàïèñàòè, ùî n−l−1 d (n + l)! 2l+1 −(2l+1) x x e e−x xn+l . Ln+l (x) = − (n − l − 1)! dx Òàêèì ÷èíîì, îòðèìó¹ìî

w(x) = −a0

(2l + 1)!(n − l − 1)! 2l+1 Ln+l (x). [(n + l)!]2

Çáèðàþ÷è îäåðæàíi ðåçóëüòàòè ðàçîì i ïåðåïîçíà÷àþ÷è ñòàëi âåëè÷èíè, çàïèøåìî âèðàç äëÿ ðàäiàëüíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ â òàêîìó âèãëÿäi: l 2ρ −ρ/n 2l+1 2ρ Rn,l (r) = Cn,l e Ln+l , n n äå Cn,l ïîñòiéíà íîðìóâàííÿ. Ïîâíà õâèëüîâà óíêöiÿ

ψn,l,m(r) = Yl,m (θ, ϕ)Rn,l (r) ïîâèííà íîðìóâàòèñü íà îäèíèöþ, òîáòî Z |ψn,l,m (r)|2 dr = 1, à ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ Z 2π Z π Z 2 dϕ sin θ dθ |Yl,m (θ, ϕ)| 0

0

∞ 0

r 2 |Rn,l (r)|2 dr = 1.

Iíòå ðàëè çà êóòàìè ÷åðåç íîðìîâàíiñòü ñåðè÷íî¨ óíêöi¨ äàþòü îäèíèöþ, i çâiäñè âèïëèâà¹ óìîâà íîðìóâàííÿ äëÿ ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨: Z ∞ 2 (r)dr = 1. r 2 Rn,l 0

354

Çíàéäiìî ç öi¹¨ óìîâè âåëè÷èíó Cn,l : 2 Z ∞ 2l 2ρ 2l+1 2ρ 2 −2ρ/n Cn,l e r 2 dr = 1. Ln+l n n 0 Óâåäiìî çìiííó x = 2ρ/n = 2r/naB , na 3 B 2 Cn,l I = 1, 2 äå iíòå ðàë

I=

Z

0

∞

i2 h (x) dx. x2l+2 e−x L2l+1 n+l

Îá÷èñëþ¹ìî éîãî, âèêîðèñòîâóþ÷è êîìïàêòíèé âèðàç äëÿ îäíîãî ç ïðè¹äíàíèõ ïîëiíîìiâ Ëà åððà: n−l−1 Z ∞ d (n + l)! −(2l+1) 2l+2 2l+1 x e−x xn+l dx. x Ln+l (x) I=− (n − l − 1)! dx 0 Iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè:

∞ ( n−l−2 d (n + l)! −x n+l xL2l+1 (x) e x I = − n+l (n − l − 1)! dx 0

−

Z

∞

0

) n−l−2 d xL2l+1 (x) n+l d −x n+l e x dx . dx dx

Ïîçàiíòå ðàëüíèé ÷ëåí äîðiâíþ¹ íóëåâi, òîìó áàãàòîêðàòíå iíòå ðóâàííÿ äà¹ n−l−1 Z ∞ d (n + l)! e−x xn+l xL2l+1 (x) dx. I = (−)n−l n+l (n − l − 1)! 0 dx Óíàñëiäîê òîãî, ùî L2l+1 n+l (x) ¹ ïîëiíîì ñòåïåíÿ (n − l − 1), òî ïîõiäíi ïiä iíòå ðàëîì çàëèøàòü âíåñîê ëèøå äâîõ íàéñòàðøèõ ÷ëåíiâ ïîëiíîìà: n−l−1 d (x) = (−)n+l (n + l)![(n − l)x− (n + l)(n − l − 1)], xL2l+1 n+l dx 23*

355

I =

[(n + l)!]2 (n − l − 1)!

Z (n − l) Z

∞

∞

e−x xn+l+1 dx

0 −x n+l

−

(n + l)(n − l − 1)

=

[(n + l)!]2 {(n − l)(n + l + 1)! − (n + l)(n − l − 1)(n + l)!} (n − l − 1)!

=

[(n + l)!]3 {(n − l)(n + l + 1) − (n + l)(n − l − 1)} (n − l − 1)!

=

[(n + l)!]3 2n. (n − l − 1)!

0

e

x

dx

Òåïåð äëÿ ñòàëî¨ íîðìóâàííÿ çíàõîäèìî s 4 (n − l − 1)! Cn,l = − . 4 n a3B [(n + l)!]3 Óæå íå ðàç çàçíà÷àëîñü, ùî ñòàëà íîðìóâàííÿ îá÷èñëþ¹òüñÿ ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà eiα ç ïðèíöèïîâî íåâèçíà÷åíîþ àçîþ α, ÿêà íå âïëèâà¹ íà içè÷íi ðåçóëüòàòè. Òóò íàì çðó÷íî âèáðàòè α = π , ÷èì iêñó¹òüñÿ äîäàòíèé çíàê õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó. Ôàêòè÷íî çíàê ìiíóñ ó ñòàëié íîðìóâàííÿ òÿãíåòüñÿ çi ñòàíäàðòíîãî îçíà÷åííÿ ïðè¹äíàíèõ ïîëiíîìiâ Ëà åððà. Çàêií÷óþ÷è, íàðåøòi, öþ ìiñòåðiþ îðìóë, çíàõîäèìî îñòàòî÷íèé âèðàç äëÿ ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨: s 4 (n − l − 1)! 2ρ l −ρ/n 2l+1 2ρ Rn,l (r) = − e Ln+l . n n n4 a3B [(n + l)!]3 Öèì âèðàçîì çàâåðøó¹ìî ðîçâ'ÿçîê êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ çàäà÷i ïðî ðóõ åëåêòðîíà â ïîëi êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó äëÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ (ïðîáëåìà Êåïëåðà). Õâèëüîâà óíêöiÿ ψn,l,m(r) çàëåæèòü âiä òðüîõ êâàíòîâèõ ÷èñåë: n ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, l îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà òà êâàíòîâîãî ÷èñëà m, ÿêå íàçèâàþòü ìàãíiòíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì ç îãëÿäó íà òå, ùî âîíî âèçíà÷à¹ ðiâíi åíåð i¨ â ìàãíiòíîìó ïîëi. Åíåð iÿ En çàëåæèòü ëèøå 356

âiä ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n. Òîé àêò, ùî En íå çàëåæèòü âiä ìàãíiòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, ïîâ'ÿçàíèé iç ñèìåòði¹þ ãàìiëüòîíiàíà ñòîñîâíî ïîâîðîòiâ íàâêîëî äîâiëüíî¨ îñi ó ïðîñòîði. Ïðî öå âæå éøëà ìîâà. À òå, ùî åíåð åòè÷íi ðiâíi âèðîäæåíi é çà îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l, ¹ âèïàäêîâiñòþ. Öÿ âèïàäêîâiñòü óêàçó¹ íà äîäàòêîâó ñèìåòðiþ ãàìiëüòîíiàíà âîäíåâî¨ çàäà÷i, ÿêà ñïðè÷èíÿ¹ iñíóâàííÿ äîäàòêîâîãî iíòå ðàëà ðóõó, îïåðàòîð ÿêîˆ 2, L ˆ z . Öèì ãî íå êîìóòó¹ ç îïåðàòîðàìè iíøèõ iíòå ðàëiâ ðóõó L öiêàâèì ïèòàííÿì ìè çàéìåìîñü ó íàñòóïíîìó ïàðàãðài. Êðàòíiñòü âèðîäæåííÿ

g=

l n−1 X X

l=0 m=−l

n−1 X (2l + 1) = n2 . 1= l=0

Îñíîâíîìó ñòàíîâi âiäïîâiäà¹ òàêèé íàáið êâàíòîâèõ ÷èñåë:

n = 1,

l = 0,

m = 0,

à õâèëüîâà óíêöiÿ

ψ1,0,0 (r) = Y0,0 (θ, ϕ)R1,0 (r), ïiñëÿ ïðîñòèõ ïiäñòàíîâîê öèõ ÷èñåë ó çàãàëüíi âèðàçè

ψ1,0,0 (r) = q

1 πa3B

e−ρ .

Âiäïîâiäíî åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó

me4 . 2~2 Íàñòóïíèé, 4-êðàòíî âèðîäæåíèé, çáóäæåíèé ñòàí õàðàêòåðèçó¹òüñÿ òàêèìè êâàíòîâèìè ÷èñëàìè: E1 = −

n = 2,

l = 0,

m = 0;

n = 2,

l = 1,

m = 0, ±1.

Åíåð i¨

E2 = −

me4 8~2 357

âiäïîâiäàþòü ÷îòèðè õâèëüîâi óíêöi¨:

ψ2,0,0 (r) = Y0,0 (θ, ϕ)R2,0 (r), ψ2,1,0 (r) = Y1,0 (θ, ϕ)R2,1 (r), ψ2,1,1 (r) = Y1,1 (θ, ϕ)R2,1 (r), ψ2,1,−1 (r) = Y1,−1 (θ, ϕ)R2,1 (r). Êóòîâi óíêöi¨ âèïèñóâàëèñü ðàíiøå:

1 Y0,0 (θ, ϕ) = √ , 4π

Y1,0 (θ, ϕ) =

Y1,±1 (θ, ϕ) = ∓

r

r

3 cos θ, 4π

3 ±iϕ e sin θ. 8π

àäiàëüíi óíêöi¨ îòðèìó¹ìî iç çàãàëüíîãî âèðàçó äëÿ Rn,l (r):

R2,0 (r) = q

1 2a3B

R2,1 (r) = q

(1 − ρ/2) e−ρ/2 ,

1 6a3B

(ρ/2) e−ρ/2 .

Äëÿ ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n = 3:

R3,0 (r) =

R3,1 (r) =

R3,2 (r) = 358

2 q 27 − 18ρ + 2ρ2 e−ρ/3 , 81 3a3B 4 q 6ρ − ρ2 e−ρ/3 , 81 6a3B 4 q ρ2 e−ρ/3 . 81 30a3B

àäiàëüíi óíêöi¨ Rn,l (r) âèçíà÷àþòü ãóñòèíó éìîâiðíîñòi 2 (r) ðîçïîäiëó åëåêòðîííî¨ õìàðè âçäîâæ ðàäióñà r . Íà4πr 2 Rn,l ïðèêëàä, äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó ãóñòèíà éìîâiðíîñòi 2 r 2 R1,0 =

4r 2 −2r/aB e a3B

ìà¹ ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ïðè r = aB . Öå îçíà÷à¹, ùî íàéáiëüø iìîâiðíå çíà÷åííÿ âiäñòàíi, íà ÿêié â àòîìi âîäíþ çíàõîäèòüñÿ åëåêòðîí â îñíîâíîìó ñòàíi, äîðiâíþ¹ áîðiâñüêîìó ðàäióñó. Îòæå, âåëè÷èíà aB ≃ 0.529 A äà¹ ïðèêèäíi ðîçìiðè àòîìà. Ôóíêöi¨ çáóäæåíèõ ñòàíiâ ìàþòü áiëüøå ÷èñëî ìàêñèìóìiâ, à îòæå, ¹ áiëüøå çíà÷åíü íàéiìîâiðíiøèõ âiäñòàíåé åëåêòðîíà âiä ÿäðà. Öå âiäïîâiäà¹ êëàñè÷íèì óÿâëåííÿì ïðî îðáiòè â ïðîáëåìi Êåïëåðà.

èñ. 43. Åíåð åòè÷íi ðiâíi àòîìà âîäíþ. ×èñëà áiëÿ ëiíié, ùî ç'¹äíóþòü ðiâíi, äîâæèíè õâèëü ñâiòëà â àí ñòðåìàõ, ÿêå âèïðîìiíþ¹ àáî ïîãëèíà¹ àòîì ïðè ïåðåõîäi åëåêòðîíà ìiæ öèìè ðiâíÿìè.

359

Ñòàíè ç ðiçíèìè çíà÷åííÿìè îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà l ïîçíà÷àþòü ñïåöiàëüíèìè ñèìâîëàìè: s-ñòàí âiäïîâiäà¹ l = 0; p-ñòàí l = 1, d-ñòàí l = 2; f -ñòàí l = 3. Öi ïîçíà÷åííÿ ïîõîäÿòü âiä õàðàêòåðèñòèêè ñåðié ñïåêòðàëüíèõ ëiíié, ùî âèñâi÷óþòüñÿ àòîìàìè ïðè ïåðåõîäi ç öèõ ñòàíiâ íà iíøi. À ñàìå, ñèìâîëè s, p, d, f öå ïåðøi ëiòåðè àíãëiéñüêèõ ñëiâ sharp, prin ipal, diuse, fundamental, òîáòî ðiçêà, ãîëîâíà, ðîçìèòà, óíäàìåíòàëüíà ñåði¨. Äàëi íóìåðàöiÿ ñòàíiâ (äëÿ l > 3) éäå çà ëàòèíñüêèì àëàâiòîì: g, h, . . . . Îòæå, ñòàí ψ1,0,0 ïîçíà÷àþòü ÿê |1si, öå îçíà÷à¹, ùî n = 1, à l = 0. Ïðè n = 2 ìà¹ìî ñòàíè |2si òà |2pi, ïðè÷îìó îñòàííiõ ¹ òðè, âiäïîâiäíî äî m = 0, ±1. Íà ðèñ. 43 çîáðàæåíi åíåð åòè÷íi ðiâíi àòîìà âîäíþ, à òàêîæ ïåðåõîäè äëÿ ñïåêòðàëüíèõ ñåðié Ëàéìàíà, Áàëüìåðà òà çàãàëüíîïðèéíÿòi íàçâè ñïåêòðàëüíèõ ëiíié, òàêèõ, ÿê Hα òà Hβ . Ëiíiÿ Hβ , ÿêà ¹ ðåïåðíîþ ëiíi¹þ, âiäïîâiäà¹ ÷àñòîòi ïåðåõîäó ω = (E4 − E2 )/~.

Öiêàâî äîñëiäèòè òàêîæ êóòîâèé ðîçïîäië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè. Ñòàíè ç l = 0, òîáòî s-ñòàíè, õàðàêòåðèçóþòüñÿ ñåðè÷íîñèìåòðè÷íèì ðîçïîäiëîì, îñêiëüêè óíêöiÿ |Y0,0 (θ, ϕ)|2 = 1/4π íå çàëåæèòü âiä êóòiâ (äèâ. ðèñ. 44). Äëÿ p-ñòàíiâ ìà¹ìî êóòîâèé ðîçïîäië, ÿêèé çàëåæèòü âiä ïîëÿðíîãî êóòà θ . Äâà ìîæëèâi âèïàäêè ç m = 0 òà m = ±1 öi¹¨ çàëåæíîñòi òåæ çîáðàæåíi íà ðèñ. 44.

èñ. 44. íiâ.

360

Êóòîâèé ðîçïîäië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè â àòîìi äëÿ ðiçíèõ ñòà-

Çàçíà÷èìî, ùî òàêèé ðîçïîäië çà êóòàìè ¹ õàðàêòåðíèì íå ëèøå äëÿ àòîìà âîäíþ, à äëÿ áóäü-ÿêîãî àòîìà iç öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íèì ïîòåíöiàëîì. Êîëè àòîìè âñòóïàþòü ó õiìi÷íèé çâ'ÿçîê, òî åíåð iÿ ìîëåêóëÿðíî¨ ñèñòåìè ìîæå íàáóâàòè ìiíiìàëüíî ìîæëèâå çíà÷åííÿ i ïðè iíøèõ êóòîâèõ ðîçïîäiëàõ, õâèëüîâi óíêöi¨ ÿêèõ ¹ ëiíiéíèìè êîìáiíàöiÿìè ñåðè÷íèõ óíêöié i ÿêi, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, òàêîæ ìîæóòü iñíóâàòè. Íàïðèêëàä, óòâîðèìî ç òðüîõ óíêöié p-ñòàíó òðè íîâi íîðìîâàíi õâèëüîâi óíêöi¨: r Y1,−1 (θ, ϕ) − Y1,1 (θ, ϕ) 3 √ = |px i = sin θ cos ϕ, 4π 2 r Y1,−1 (θ, ϕ) + Y1,1 (θ, ϕ) 3 √ = |py i = − sin θ sin ϕ, 4π i 2 r 3 |pz i = Y1,0 (θ, ϕ) = cos θ. 4π

Öi òàê çâàíi p-îðáiòàëi öiêàâi òèì, ùî ìàêñèìóìè ãóñòèíè éìîâiðíîñòi, ÿê áà÷èìî, îði¹íòîâàíi âçäîâæ îñåé x, y, z (ùî é âiäáèòî â ïîçíà÷åííÿõ). Çâiäñè âèïëèâà¹ ïðîñòîðîâà íàïðÿìëåíiñòü õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó. Òåïåð êîðîòêî çóïèíèìîñü íà õâèëüîâèõ óíêöiÿõ âîäíåâî¨ çàäà÷i äëÿ íåïåðåðâíèõ çíà÷åíü åíåð i¨, òîáòî ðîçãëÿäà¹ìî íåçâ'ÿçàíèé ðóõ åëåêòðîíà. Öå âiäïîâiäà¹ â êëàñè÷íîìó âèïàäêó ðóõîâi ïî ãiïåðáîëi÷íèõ òà ïàðàáîëi÷íèõ òðà¹êòîðiÿõ. Åíåð iÿ íàáóâà¹ íåïåðåðâíèé ðÿä çíà÷åíü

~2 k2 , 2m äå k õâèëüîâèé âåêòîð. àäiàëüíó óíêöiþ äëÿ íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà, ÿê óæå âiäçíà÷àëîñü ó 39, çàïèñó¹ìî òàê: E=

±ir

R(r) = e

q

2mE ~2

r l w,

ïðè÷îìó óíêöiÿ w çàäîâîëüíÿ¹ òå æ ðiâíÿííÿ, ùî é óíêöiÿ w äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Îäíàê òåïåð w âæå íå ¹ ïîëiíîìîì, à çîáðàæà¹òüñÿ ñòåïåíåâèì ðÿäîì, ÿêèé íå îáðèâà¹òüñÿ. Çàóâàæèìî, ùî öi óíêöi¨ ¹ àíàëiòè÷íî ñïîðiäíåíèìè. Ñïðàâäi, ÿêùî 361

ðîçãëÿíóòè çàäà÷ó â ïîïåðåäíiõ ïîçíà÷åííÿõ, òî ÷èñëî n òåïåð ¹ ÷èñòî óÿâíèì,

1 1 n= √ = q ε −E /

1 = q i E/

me4 2~2

me4 2~2

=

1 , ikaB

ÿê i çìiííà x = 2ρ/n = 2ikρaB . Òîìó w ìîæíà çîáðàçèòè áåçìåæíèì ðÿäîì iç êîåiöi¹íòàìè ak , ÿêi ïîâ'ÿçàíi òèìè æ ðåêóðåíòíèìè ñïiââiäíîøåííÿìè, ùî é äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà, ëèøå iç çàìiíîþ n íà −i/kaB òà x íà 2ikρaB . Ìè íå áóäåìî äîêëàäíiøå çóïèíÿòèñÿ íà âëàñòèâîñòÿõ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà. Óêàæåìî ëèøå íà òå, ùî îñòàòî÷íi ðåçóëüòàòè, îòðèìàíi äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà, çîêðåìà äëÿ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ îïåðàòîðiâ, ìîæíà àíàëiòè÷íî ïðîäîâæóâàòè íà âèïàäîê íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà, âèêîðèñòîâóþ÷è öi çàìiíè. Ïðèêëàä 1. Ñåðåäíi â òåîði¨ àòîìà âîäíþ.

âåäåíó â ïðèêëàäi äî 18, ïðî òå, ùî *

ˆ ∂H ∂λ

+

=

Âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìó, äî-

ˆ ∂hHi , ∂λ

ˆ , çíàéäåìî ñåðåäíi äå λ äåÿêèé ïàðàìåòð, âiä ÿêîãî çàëåæèòü ãàìiëüòîíiàí H çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨, à òàêîæ âåëè÷èíè h1/ri i h1/r 2 i äëÿ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ: ˆ2 e2 ˆ = p H − . 2m r ßêùî ïîêëàñòè λ = m, òî ç òåîðåìè âèïëèâà¹, ùî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ 2 ˆ dE p = −m , 2m dm äå ïîâíà åíåð iÿ 4 ˆ = − me , E = hHi 2 2~ n2 n ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Îòæå,

ˆ2 p 2m

Äàëi ïðè λ = e2 ìà¹ìî

362

=

me4 . 2~2 n2

1 r

−

àáî

=

1 r

=

dE de2

1 . n2 aB

Äëÿ îá÷èñëåííÿ h1/r 2 i êîðèñòà¹ìîñü òèì, ùî íàø ãàìiëüòîíiàí äëÿ ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà (äèâ. 39) ìà¹ âèãëÿä: 2 2 2 2 ˆ = − ~ 1 d r + ~ l(l + 1) − e . H 2 2 2m r dr 2mr r Âèáèðåìî â ðîëi ïàðàìåòðà λ îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî l. Îòæå, λ = l i íàøà òåîðåìà äà¹ 2 dE ~ 2l + 1 = . 2m r 2 dl Íàãàäà¹ìî, ùî ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n = nr + l + 1, äå nr ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. Òîìó dE/dl = me4 /~2 n3 . Ó ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî:

1 r2

=

1 . a2B n3 (l + 1/2)

Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ âiäöåíòðîâî¨ åíåð i¨

~2 l(l + 1) 2mr 2

=

me4 l(l + 1) . 2~2 n3 (l + 1/2)

içíèöÿ ìiæ ñåðåäíiì çíà÷åííÿì ïîâíî¨ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ òà åíåð i¹þ âiäöåíòðîâîãî ðóõó äà¹ ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ðàäiàëüíîãî ðóõó:

pˆ2 2m

=

−

~2 1 ∂ 2 r 2m r ∂r 2

=

me4 l(l + 1) 1− , 2~2 n2 n(l + 1/2)

äå

1 ∂ r r ∂r îïåðàòîð ðàäiàëüíî¨ êîìïîíåíòè iìïóëüñó. pˆ = − i~

Ïðèêëàä 2. Ñåðåäíi çíà÷åííÿ

íiàí çàäà÷i â òàêîìó âèãëÿäi:

hr k i

äëÿ àòîìà âîäíþ.

Çàïèøåìî ãàìiëüòî-

2 ˆ2 ˆ = pˆ + L − α , H 2m 2mr 2 r

äå

1 ∂ r = −i~ r ∂r

1 ∂ + ∂r r 2 ˆ îïåðàòîð ðàäiàëüíî¨ êîìïîíåíòè iìïóëüñó, L êâàäðàò îïåðàòîðà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, α = e2 . Î÷åâèäíî pˆ = − i~

[r, pˆ]

=

i~,

rˆ˙

=

ˆ [r, H] [r, pˆ2 ] pˆ = = , i~ 2mi~ m

ˆ˙ p

=

ˆ ˆ2 [ˆ p, H] 1 L α = pˆ, − i~ i~ 2mr 2 r

"

#

=

ˆ2 L α − 2. mr 3 r

363

Äëÿ áóäü-ÿêîãî îïåðàòîðà fˆ, íåçàëåæíîãî ÿâíî âiä ÷àñó, âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü ˆ h[fˆ, H]i ˆ hf˙ i = = 0, i~

äå óñåðåäíåííÿ âiäáóâà¹òüñÿ çà ñòàöiîíàðíèìè ñòàíàìè h. . .i = hn|(. . .)|ni. Âèêîðèñòàéìî öþ ðiâíiñòü äëÿ îá÷èñëåííÿ ñåðåäíiõ çíà÷åíü âiä ñòåïåíiâ ìîäóëÿ ðàäióñ-âåêòîðà. ˆ Íåõàé fˆ = pˆr . Äàëi ç hf˙ i = 0 ìà¹ìî hˆ pri ˙ + hˆ pˆ ri ˙ = 0, *

*

ˆ2 L mr 2

+

−

DαE

r

ˆ2 L mr 2 *

+2

+

−

DαE

r

+

pˆ2 m

ˆ2 ˆ− L +α H 2mr 2 r

Çâiäñè ˆ + 2hHi

àáî

=

0,

=

0.

!+

D E

α r

=0

1 = 0. r Öÿ ðiâíiñòü âiäîìà ÿê òåîðåìà âiðiàëó. Îñêiëüêè ïîâíà åíåð iÿ En = −mα2 /2~2 n2 , n = 1, 2, . . ., òî 1 1 = . r aB n2 2En + α

Íåõàé fˆ = r pˆr . Òåïåð hfˆ˙ i = 0 äà¹: hˆ r˙ pˆ ri + hr ˆ p˙ ri + hr pˆ ˆ ri ˙ = 0,

pˆ2 r m

*

2

*

+

r

ˆ2 α L − 2 mr 3 r !+

! +

ˆ2 ˆ− L +α r + H 2mr 2 r *

4En hri + 3 α −

ˆ2 L mr

r + r *

pˆ2 m

+

*

ˆ2 ˆ2 L ˆ− L +α −α +2 r H mr 2mr 2 r

+

= 0,

= 0,

hri = −

!+

= 0,

ˆ 2 /mri 3 α − hL . 4En

Óðàõîâóþ÷è ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ åíåð i¨, êâàäðàòà ìîìåíòó iìïóëüñó i h1/ri, çíàõîäèìî 3 α − ~2 l(l + 1)/maB n2 hri = . 2mα2 /~2 n2

364

Îñòàòî÷íî

hri =

aB [3n2 − l(l + 1)]. 2

Íåõàé òåïåð fˆ = pˆ. Ç hˆ pi ˙ = 0 çíàõîäèìî *

ˆ2 α L − 2 mr 3 r

~2 l(l + 1) m

Òàêèì ÷èíîì,

1 r3

=

1 r3

1 r2

+

= 0,

=

DαE

r2

.

1 , aB l(l + 1)

à ç âèêîðèñòàííÿì âèðàçó äëÿ h1/r 2 i ç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó â ðåçóëüòàòi ìà¹ìî: 1 1 . = 3 3 r3 aB n l(l + 1)(l + 1/2) Ïðèêëàä 3.

Îá÷èñëèòè åíåð åòè÷íi ðiâíi ÷àñòèíêè E â ïîëi U = A/r 2 −

e /r . Äîäàþ÷è ÷àñòèíó ïîòåíöiàëó A/r 2 äî âiäöåíòðîâî¨ åíåðãi¨ ÷àñòèíêè, çàìiíîþ l(l + 1) + 2mA/~2 = l′ (l′ + 1), 2

r

8mA 1 1 (2l + 1)2 + l =− + 2 2 ~2 çâîäèìî çàäà÷ó äî êóëîíiâñüêî¨ ç îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l′ , äëÿ ÿêî¨ ′

ðiâíi åíåð i¨ ε = −E E=−

me4 2~ 2

me4 2~2

= 1/(nr + l′ + 1)2 , i îñòàòî÷íî çíàõîäèìî

,

nr +

1 1 + 2 2

r

(2l + 1)2 +

8mA ~2

!2

,

nr = 0, 1, 2, . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. 42. Àòîì âîäíþ. Ìåòîä àêòîðèçàöi¨

Çàñòîñóéìî ìåòîä àêòîðèçàöi¨ äî ðîçâ'ÿçêó ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà âîäíåâî¨ çàäà÷i, çàïîçè÷åíîãî ç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà (ó çíåðîçìiðåíèõ çìiííèõ): l(l + 1) 2 d2 E − χ. − 2+ χ= 2 4 dρ ρ ρ me /2~2 365

Îòæå, ñòàðòó¹ìî ç óâåäåííÿ îïåðàòîðiâ

d Aˆ = + W, dρ d Aˆ+ = − + W, dρ äå äâîïàðàìåòðè÷íèé ñóïåðñèìåòðè÷íèé ïîòåíöiàë

W =α+

β . ρ

Òåïåð ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ çàïèñó¹ìî òàê:

(Aˆ+ Aˆ + ε)χ =

E me4 /2~2

χ,

òóò åíåð iÿ àêòîðèçàöi¨

ε = −α2 ,

à ïàðàìåòðè α òà β çàäîâîëüíÿþòü ðiâíÿííÿ

β(β + 1) = l(l + 1), αβ = −1.

Äàëi êðîê çà êðîêîì iäåìî çà ñöåíàði¹ì ìåòîäó àêòîðèçàöi¨. Ç ðiâíÿííÿ ˆ =0 Aχ çíàõîäèìî õâèëüîâó óíêöiþ íàéíèæ÷îãî ñòàíó ïðè iêñîâàíîìó çíà÷åííi îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà l: d β +α+ χ = 0. dρ ρ Çâiäêè ëåãêî îòðèìó¹ìî ðîçâ'ÿçîê

χ = Cρ−β e−αρ . Ñòàëó C îá÷èñëþ¹ìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ öi¹¨ óíêöi¨: Z∞ 2 |C| ρ−2β e−2αρ dr = 1 0

366

àáî, ïðèãàäóþ÷è, ùî r = ρaB , ðîáèìî çàìiíó çìiííî¨ x = 2αρ i îäåðæó¹ìî 1−2β Z∞ 1 2 x−2β e−x dx = 1. |C| aB 2α 0

Çâiäñè çíàõîäèìî C , i õâèëüîâà óíêöiÿ s (2α)1−2β χ0,l (r) = ρ−β e−αρ . aB Γ(1 − 2β)

Ç óìîâè çáiæíîñòi iíòå ðàëà íîðìóâàííÿ îòðèìó¹ìî, ùî α > 0, β < 1/2, i òîìó ç äâîõ ìîæëèâèõ ðîçâ'ÿçêiâ íàâåäåíîãî âèùå ðiâíÿííÿ íà β , à ñàìå, β1 = l, β2 = −(l + 1), âèáèðà¹ìî äðóãèé:

β = −(l + 1),

α = 1/(l + 1), ïðè÷îìó åíåð iÿ àêòîðèçàöi¨

ε=−

1 . (l + 1)2

Ç óðàõóâàííÿì öèõ çíà÷åíü âåëè÷èí α òà β çàïèñó¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ íàéíèæ÷îãî ñòàíó ïðè iêñîâàíîìó l: s 2l+3 2 1 ρl+1 e−ρ/(l+1) . χ0,l (r) = l+1 aB Γ(2l + 3) iâíi åíåð i¨ En âèçíà÷à¹ìî, çãiäíî 23, ç óìîâè

W 2 (ρ; αn−1 , βn−1 ) + W ′ (ρ; αn−1 , βn−1 )

äå

= W 2 (ρ; αn , βn ) − W ′ (ρ; αn , βn ) + ∆n , W (ρ; αn , βn ) = αn +

à

E

. me4 2~2

=ε+

n X

βn , ρ

∆ n′ .

n′ =1

367

Ç öi¹¨ óìîâè ìà¹ìî, ùî

α2n−1 +

2αn−1 βn−1 βn−1 (βn−1 − 1) + ρ ρ2

= α2n +

2αn βn βn (βn + 1) + + ∆n ρ ρ2

i îòæå, çíàõîäèìî òàêó ñèñòåìó ðiâíÿíü äëÿ íåâiäîìèõ ïàðàìåòðiâ αn òà βn :

αn βn = αn−1 βn−1 , βn (βn + 1) = βn−1 (βn−1 − 1), ∆n = α2n−1 − α2n .

Ïàì'ÿòàþ÷è óìîâè íà α òà β , çâiäñè îäåðæó¹ìî

βn = βn−1 − 1,

òîáòî àáî

βn = βn−1 − 1 = βn−2 − 2 = . . . = β0 − n βn = −(l + 1 + n),

îñêiëüêè β0 = β = −(l + 1). îçâ'ÿçîê βn = −βn−1 = (−)n+1 (l + 1) íàì íå ïiäõîäèòü, òîìó ùî äëÿ íåïàðíèõ iíäåêñiâ n öåé ïàðàìåòð βn > 1, ùî ñóïåðå÷èòü íàøié ïîïåðåäíié âèìîçi β < 1/2. Äàëi òîìó

αn βn = αn−1 βn−1 = . . . = α0 β0 = αβ = −1, αn = −

i íàðåøòi,

∆n =

1 1 = βn l+1+n

1 1 − . (l + n)2 (l + 1 + n)2

Òåïåð âèçíà÷à¹ìî ðiâíi åíåð i¨: n n . me4 X X 1 1 1 E =− + − . 2 2 ′ 2 2~ (l + 1) (l + n ) (l + 1 + n′ )2 ′ ′ n =1

368

n =1

Òóò ïåðøèé äîäàíîê êîìïåíñó¹ âíåñîê âiä ïåðøî¨ ñóìè ïðè n′ = 1, à âñi ðåøòà äîäàíêiâ ïåðøî¨ ñóìè ñêîðî÷óþòü âiäïîâiäíi äîäàíêè äðóãî¨ ñóìè, çà âèíÿòêîì îñòàííüîãî n′ = n, i â ðåçóëüòàòi ëèøå âií i çàëèøà¹òüñÿ:

E

. me4 2~2

=−

1 . (l + 1 + n)2

Îòæå, ðiâíi åíåð i¨

En,l = −

me4 2~2 (n + l + 1)2

çáiãàþòüñÿ ç îðìóëîþ Áîðà, òóò n = 0, 1, 2, . . . öå ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. Ïåðåõîäèìî äî õâèëüîâèõ óíêöié çáóäæåíèõ ñòàíiâ (n ≥ 1). Çà îçíà÷åííÿì,

χn,l (r) = p

1 (∆1 + . . . + ∆n )(∆2 + . . . + ∆n ) . . . ∆n

×Aˆ+ (α, β)Aˆ+ (α1 , β1 ) . . . Aˆ+ (αn−1 , βn−1 )χ0,l (ρ; αn , βn ). Ïiäñòàâëÿþ÷è â öå ðiâíÿííÿ ÿâíi çíà÷åííÿ âñiõ âåëè÷èí äëÿ ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ Rn,l (r) = χn,l (r)/r , ìà¹ìî: n

Rn,l (r) = (−) ×q

s

2 n+l+1

2l+2n+3 1

a3B Γ(2l + 2n + 3)(∆1 + . . . + ∆n )(∆2 + . . . + ∆n ) . . . ∆n

1 1 l+1 1 l+2 d d × − − − + − + ... ρ dρ l + 1 ρ dρ l + 2 ρ d 1 l+n ... − + − ρn+l+1 e−ρ/(n+l+1) . dρ l + n ρ 24

I. Î. Âàêàð÷óê

369

Áåðó÷è êîíêðåòíi çíà÷åííÿ êâàíòîâèõ ÷èñåë n, l, ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî öåé âèðàç òî÷íî çáiãà¹òüñÿ ç ðàäiàëüíîþ óíêöi¹þ âîäíåâî¨ çàäà÷i ç 41: ñàìå äëÿ öüîãî ìè ââåëè òóò äîäàòêîâèé àçîâèé ìíîæíèê (−)n . Ùå ðàç íàãîëîøó¹ìî, ùî â öüîìó ïàðàãðài êâàíòîâå ÷èñëî n öå ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, ÿêå ìè ðàíiøå ïîçíà÷àëè ÷åðåç nr , òàê ùî òóò ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî äîðiâíþ¹ (n + l + 1). 43. Àòîì âîäíþ. Iíòå ðàë ðóõó Ëàïëàñàóí åËåíöà

Òàê çâàíå âèïàäêîâå âèðîäæåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó, âêàçó¹ íà iñíóâàííÿ äîäàòêîâîãî iíòå ðàëà ðóõó, ñïåöèi÷íîãî äëÿ öüîãî ïîëÿ. Ùîá éîãî âèÿâèòè, ïî÷íåìî ðîçãëÿä íà îñíîâi êëàñè÷íèõ ðiâíÿíü iç íàñòóïíèì óçàãàëüíåííÿì íà êâàíòîâèé âèïàäîê4 . 4 Çàêîí îáåðíåíèõ êâàäðàòiâ äëÿ öåíòðàëüíî¨ ñèëè ¹, ìîæëèâî, îäíèì iç íàéïðîñòiøèõ ïðèêëàäiâ içè÷íèõ âçà¹ìîäié. ßê çàêîí Íüþòîíà äëÿ ðàâiòóþ÷èõ ìàñ, òàê i çàêîí Êóëîíà äëÿ íåðóõîìèõ çàðÿäiâ áóëè âèíàéäåíi íà ïiäñòàâi åêñïåðèìåíòàëüíèõ ñïîñòåðåæåíü. Iììàíó¨ë Êàíò (17241804) çðîçóìiâ, ùî çàêîí îáåðíåíèõ êâàäðàòiâ ¹ íàñëiäêîì òðèâèìiðíîñòi íàøîãî ïðîñòîðó. Ñïðàâäi, ó D-âèìiðíîìó ïðîñòîði ñèëîâi ëiíi¨ ïîëÿ, äæåðåëîì ÿêèõ ¹ çàðÿä àáî ðàâiòóþ÷à ìàñà, çi çáiëüøåííÿì âiäñòàíi âiä äæåðåëà ðîçïîäiëÿþòüñÿ íà ÷èìðàç áiëüøó ïîâåðõíþ ñåðè ðàäióñà r . Ïëîùà ñåðè çðîñòà¹ ÿê r D−1 , à îòæå, ãóñòèíà ñèëîâèõ ëiíié, ùî ïðîõîäÿòü ÷åðåç ïîâåðõíþ ñåðè, i ñàìà ñèëà ñïàäàþòü ÿê 1/r D−1 . Âiäïîâiäíå ñïàäàííÿ äëÿ ïîòåíöiàëó ïîëÿ âèçíà÷à¹òüñÿ çàêîíîì 1/r D−2 . Äëÿ iñíóâàííÿ ñòiéêèõ îðáiò, íàïðèêëàä, ïëàíåò, ùî ðóõàþòüñÿ íàâêîëî çiðîê àáî (êëàñè÷íîþ ìîâîþ) åëåêòðîííèõ îðáiò â àòîìi, íåîáõiäíî, ùîá âiäöåíòðîâèé ïîòåíöiàë ∼ 1/r 2 ñïàäàâ iç âiäñòàííþ øâèäøå, íiæ ïîòåíöiàë ïîëÿ 1/r D−2 . Â iíøîìó âèïàäêó ðóõ áóäå íåñòiéêèì i áóäåìî ìàòè àáî ïàäiííÿ òië íà öåíòð, àáî âiääàëåííÿ ¨õ íà áåçìåæíiñòü. Îòæå, äëÿ iñíóâàííÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ íåîáõiäíî, ùîá 2 > D − 2, òîáòî D < 4. ßêùî âèìiðíiñòü ïðîñòîðó ¹ áiëüøîþ, íiæ òðè, òî â íüîìó íå ìîæóòü iñíóâàòè íi àòîìè, íi ïëàíåòàðíi ñèñòåìè, íi çiðêè, íi ãàëàêòèêè. Êîëè âèìiðíiñòü ïðîñòîðó ¹ ìåíøîþ âiä òðüîõ, òî â íüîìó íå iñíó¹ âiëüíîãî ðóõó òië: äëÿ D = 1 ïîòåíöiàë çðîñòà¹ ïðîïîðöiéíî äî r , à ïðè D = 2 ìà¹ìî ïîòåíöiàë ∼ ln r . Â îáîõ âèïàäêàõ ñèëîâèé öåíòð, óðåøòi-ðåøò, ïðèòÿãíå íà ñåáå ïðîáíå òiëî. Îòæå, ëèøå ó âèïàäêó D = 3 ìîæóòü áóòè ÿê çâ'ÿçàíi ñòàíè, òàê i âiëüíèé ðóõ ÷àñòèíîê, ùî äîçâîëÿ¹ óòâîðþâàòèñü i ðîçïàäàòèñü ñêëàäíèì ñòðóêòóðàì íà àòîìíîìó ðiâíi òà â ìàêðîñâiòi. Ñàìå çàâäÿêè öüîìó é iñíóþòü òàêi ñâiäêè íàøîãî Ñâiòó, ÿê ìè ç Âàìè. Â iíøèõ Ñâiòàõ, äëÿ ÿêèõ Ïðèðîäà ïðîáóâàëà ëå àëiçóâàòè iíøi êîìïàêòèiêîâàíi âèìiðíîñòi ïðîñòîðó, òàêèõ ñâiäêiâ íåìà¹.

370

Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ ðóõó Íüþòîíà äëÿ ÷àñòèíêè ìàñîþ m, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi öåíòðàëüíî¨ ñèëè ç ïîòåíöiàëîì U = U (r):

mv˙ = −

r dU . r dr

Ïîìíîæèìî öå ðiâíÿííÿ âåêòîðíî ñïðàâà íà ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó L = [rp] = m[rv],

˙ =− [vL]

1 dU [r[rv]]. r dr

îçïèøåìî ïîäâiéíèé âåêòîðíèé äîáóòîê i íàãàäà¹ìî, ùî L ¹ iíòå ðàëîì ðóõó â öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi, L˙ = 0:

Äàëi

1 dU d [vL] = − r(rv) − vr 2 . dt r dr

òîìó

r dr v r(rv) d r v = − 2 = − , dt r r r dt r r3

àáî

1 dU 3 d r d , [vL] = r dt r dr dt r d dU d r = 0. [vL] − r 2 dt dr dt r

Ïåðåä íàìè íåñïîäiâàíî âèíèêëà ìîæëèâiñòü îòðèìàòè ÿêiñíî íîâèé íåòðèâiàëüíèé iíòå ðàë ðóõó. Ñïðàâäi, ÿêùî ïîëå òàêå, ùî

−r 2

dU = α = const, dr

òîáòî ïîòåíöiàë

U=

α r

¹ êóëîíiâñüêèì, òî

r d [vL] + α = 0. dt r 24*

371

Òàêèì ÷èíîì, âåêòîð

A = [vL] + α

r r

˙ = 0. Öåé âåêòîð áóâ âiäîìèé ùå Ï. Ñ. Ëàï¹ iíòå ðàëîì ðóõó, A ëàñîâi (1799 ð.), à ïiçíiøå éîãî äîñëiäæóâàëè Ê. óí å (1919 ð.) òà Â. Ëåíö (1924 ð.)5 . Ìàþ÷è â ðîçïîðÿäæåííi öåé iíòå ðàë ðóõó, ëåãêî çíàéòè òðà¹êòîðiþ ÷àñòèíêè. Ïîìíîæèâøè éîãî ñêàëÿðíî íà ðàäióñ-âåêòîð, îäåðæó¹ìî (rA) =

1 (rr) (r [pL]) + α . m r

Öèêëi÷íî ïåðåñòàâëÿþ÷è âåêòîðè â ìiøàíîìó äîáóòêó, îòðèìà¹ìî

rA cos ϕ =

L2 + αr, m

äå êóò ϕ öå êóò ìiæ ðàäióñ-âåêòîðîì r i ñòàëèì íàïðÿìêîì, ÿêèé çàäà¹ âåêòîð A. Çâiäñè çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ òðà¹êòîði¨

r=

L2 /m , −α + A cos ϕ

ÿêà ¹ êîíi÷íèì ïåðåðiçîì. Çíàéäåìî çâ'ÿçîê ìîäóëÿ âåêòîðà A ç ïîâíîþ åíåð i¹þ E . Ïiäíåñåìî âåêòîð A äî êâàäðàòà: [pL] αr 2 ([pL][pL]) (r[pL]) 2 A = + + α2 + 2α = 2 m r m rm

= 5

α L2 p pL2 − L(pL) + α2 + 2 . 2 m r m

Íàñïðàâäi, iñòîðiÿ öüîãî iíòå ðàëà ðóõó ñÿãà¹ ÷àñiâ I. Íüþòîíà (äèâ. H. Goldstein, Am. J. Phys. 44, No. 11, 1123 (1976)). Ó÷åíü É. Áåðíóëëi ß. åðìàíí ó 1710 ðîöi îïóáëiêóâàâ ïðàöþ, â ÿêié, iíòå ðóþ÷è ðiâíÿííÿ ðóõó òiëà, ùî ðóõà¹òüñÿ ïiä äi¹þ ñèëè, îáåðíåíî-ïðîïîðöiéíî¨ äî êâàäðàòà âiäñòàíi, çíàéøîâ ÿê ñòàëó iíòå ðóâàííÿ âåëè÷èíó A. Ïiçíiøå É. Áåðíóëëi ïîêàçàâ, ùî çáåðiãà¹òüñÿ é íàïðÿì âåêòîðà A.

372

Óðàõîâóþ÷è, ùî (pL) = 0, ìà¹ìî α 2L2 p2 2 + + α2 , A = m 2m r òîáòî

A2 =

2L2 H + α2 , m

äå H = p2 /2m + α/r öå êëàñè÷íèé ãàìiëüòîíiàí. Îòæå, r 2L2 E. A = α2 + m Òåïåð ðiâíÿííÿ òðà¹êòîði¨ äëÿ α < 0 çàïèøåìî â êàíîíi÷íié îðìi: p r= , 1 + ǫ cos ϕ p äå ïàðàìåòð p = L2 /m|α|, à åêñöåíòðèñèòåò ǫ = 1 + 2L2 E/mα2 . Ïåðåéäåìî òåïåð äî êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî îïèñó. Ìè íå áóäåìî äåòàëüíî ðîçïèñóâàòè âñi ïåðåòâîðåííÿ òàêèé âåðëiáðîâèé âèêëàä îðìóë, ìîæëèâî, ñïîíóêà¹ ×èòà÷à äî ñàìîñòiéíîãî âèêîíàííÿ äîïîìiæíèõ âïðàâ. Îïåðàòîð, ùî âiäïîâiäà¹ âåëè÷èíi A, çíàõîäèìî, ñèìåòðèçóþ÷è äîäàíîê iç âåêòîðíèì äîáóòêîì i áåðó÷è ïiâñóìó: ˆ = 1 [ˆ ˆ − [ Lˆ ˆ p] + α r . A p L] 2m r

Íàãàäà¹ìî, ùî, ìiíÿþ÷è ìiñöÿìè âåêòîðè ó âåêòîðíîìó äîáóòêó, ìè çìiíþ¹ìî çíàê. Âåëè÷èíà A ¹ iíòå ðàëîì ðóõó i ó êâàíòîâîìó âèïàäêó

ˆH ˆ −H Â ˆ = 0. A

Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî iñíóþòü òàêi îïåðàòîðíi ðiâíîñòi: 2 ˆ2 ˆ L + ~2 H, Aˆ2 = α2 + m

ˆ A] ˆ =− [A

2i~ ˆ ˆ LH, m 373

ˆ L) ˆ = (L ˆ A) ˆ = 0. (A ˆ êîìóòó¹ ç ãàìiëüòîíiàíîì, òî êîæÎòæå, îñêiëüêè îïåðàòîð A ˆ ˆ ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óííà êîìïîíåíòà âåêòîðà A ìà¹ ç H ˆ íå êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, íå êöié. Îäíàê êîìïîíåíòè âåêòîðà A ˆ . Öå îçíà÷à¹, êîìóòóþòü âîíè òàêîæ i ç êîìïîíåíòàìè âåêòîðà L çãiäíî iç çàãàëüíèì òâåðäæåííÿì, óñòàíîâëåíèì ó 17, ùî iñíó¹ âèðîäæåííÿ. Öå i ¹ òå äîäàòêîâå, àáî âèïàäêîâå, âèðîäæåííÿ â êóëîíiâñüêîìó ïîëi çà îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l, ïðî ÿêå éøëîñÿ â 41 ïðè îáãîâîðåííi ðîçâ'ÿçêó âîäíåâî¨ çàäà÷i. Áà÷èìî, ùî öå äîäàòêîâå âèðîäæåííÿ çóìîâëåíå îñîáëèâiñòþ ñàìå êóëîíiâñüêîãî ïîëÿ, ÿêå äîçâîëÿ¹ iñíóâàííÿ ÿêiñíî íîâîãî iíòå ðàëà ðóõó A. Óâåäiìî äî ðîçãëÿäó îïåðàòîð −1/2 ˆ ˆ = −2H ˆ A, M m äëÿ ÿêîãî ìà¹ìî ˆ M] ˆ = i~ L. ˆ [M Íàãàäàéìî òàêîæ, ùî

ˆ L] ˆ = i~ L. ˆ [L Äàëi ââåäiìî òàêi îïåðàòîðè:

ˆ = 1 (L ˆ + M), ˆ J 2 ˆ − M). ˆ ˆ = 1 (L S 2 Âîíè ìàþòü âëàñòèâîñòi îïåðàòîðiâ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, òîáòî ¨õíi ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ ¹ òàêèìè: ˆ J] ˆ = i~ J, ˆ [J ˆ S] ˆ = i~ S. ˆ [S Êðiì òîãî,

ˆ M) ˆ = (M ˆ L) ˆ = 0, (L 374

ˆ ç êîìïîíåíòàìè îïåðàòîðà S ˆ êîìóòîìó êîìïîíåíòè îïåðàòîðà J òóþòü. Äàëi 2 ˆ2 ˆ Aˆ2 = − M H m i ïåðøà îïåðàòîðíà ðiâíiñòü òåïåð ìà¹ âèãëÿä 2 ˆ2 ˆ 2 + ~2 H ˆ 0 = α2 + L +M m àáî ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî

ìà¹ìî

1 ˆ2 ˆ2 , L +M Jˆ2 = 4 0 = α2 +

2 ˆ2 ˆ 4J + ~2 H. m

ˆ òà éîãî êâàäðàò ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó Çà ñâî¨ì îçíà÷åííÿì, J 2 ˆ ˆ . Îòæå, âîíè ìàþòü ñïiëüíó ñèñJ êîìóòóþòü ç ãàìiëüòîíiàíîì H òåìó âëàñíèõ óíêöié, òîìó çàïèñó¹ìî öþ ðiâíiñòü ó çîáðàæåííi, äå îáèäâà îïåðàòîðè ¹ äiàãîíàëüíèìè 0 = α2 +

2 2 4~ j(j + 1) + ~2 E, m

÷èñëî j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .. Ïåðåïèøiìî öþ ðiâíiñòü:

E=−

1 mα2 . 2 2~ (2j + 1)2

Óâåäiìî êâàíòîâå ÷èñëî n = 2j + 1, ÿêå íàáóâà¹ çíà÷åííÿ n = 1, 2, 3, . . .. Òåïåð

En = −

mα2 . 2~2 n2

Ìè îòðèìàëè îðìóëó Áîðà, α = −Ze2 . Öåé îïåðàòîðíèé (ìàòðè÷íèé) ìåòîä çíàõîäæåííÿ ðiâíiâ åíåð i¨ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ â 1926 ðîöi çàïðîïîíóâàâ Â. Ïàóëi, ÿêèé çà äåêiëüêà ìiñÿöiâ ïåðåä Å. Øðåäèí åðîì çíàéøîâ âèðàç äëÿ En . 375

44. àäiàëüíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà â

N -âèìiðíîìó

ïðîñòîði

Ìè âæå íåîäíîðàçîâî òîðêàëèñü ïðîáëåìè âèìiðíîñòi ïðîñòîðó. Âîíà ¹ íàäçâè÷àéíî öiêàâîþ ïiä ðiçíèìè ïîãëÿäàìè âiä iëîñîñüêîãî, ç îáãîâîðåííÿì ñïîñòåðåæóâàíèõ içè÷íèõ íàñëiäêiâ iñíóâàííÿ êîìïàêòèiêîâàíèõ âèìiðiâ, äî ïðàêòè÷íîãî âèêîðèñòàííÿ áàãàòîâèìiðíîñòi äëÿ çíàõîäæåííÿ òî÷íîãî ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç íåñêií÷åííèì ÷èñëîì âèìiðiâ i ïîáóäîâè òåîði¨ çáóðåíü, êîëè ìàëèì ïàðàìåòðîì ñëóãó¹ îáåðíåíà âèìiðíiñòü ïðîñòîðó. Ó çâ'ÿçêó ç öèì äîêëàäíiøå ðîçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè ìàñè m â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði â öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ñèëîâîìó ïîëi. Çàïèøåìî ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà 2 ˆ p + U ψ(x) = E ψ(x), 2m äå ðàäióñ-âåêòîð ÷àñòèíêè â äåêàðòîâèõ êîîðäèíàòàõ x = ˆ = (−i~∂/∂x1 , . . . , −i~∂/∂xN ), (x1 , . . . , xN ), îïåðàòîð iìïóëüñó p ïîòåíöiàëüíàqåíåð iÿ U = U (x) çàëåæèòü âiä ìîäóëÿ ðàäióñâåêòîðà x = x21 + . . . + x2N . Íàøå çàâäàííÿ ïîëÿãà¹ â òîìó, ùîá çàïèñàòè öå ðiâíÿííÿ â ãiïåðñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ i âèäiëèòè ç íüîãî ðàäiàëüíó ÷àñòèíó. Çâ'ÿçîê ìiæ äåêàðòîâèìè (x1 , . . . , xN ) i ãiïåðñåðè÷íèìè êîîðäèíàòàìè äëÿ N -âèìiðiâ ¹ òàêèì6 :   x1 = x cos θ1 ,      x2 = x sin θ1 cos θ2 ,         x3 = x sin θ1 sin θ2 cos θ3 , ......................,     xN −2 = x sin θ1 . . . sin θN −3 cos θN −2 ,       xN −1 = x sin θ1 . . . sin θN −2 cos ϕ,     xN = x sin θ1 . . . sin θN −2 sin ϕ,

6 . Áåéòìåí, À. Ýðäåéè. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå óíêöèè. Ò. II. Ì.: Íàóêà, 1974.

376

ïðè÷îìó x ≥ 0, 0 ≤ θj ≤ π , (j = 1, . . . , N − 2), 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Íàïðÿìíi âåêòîðè îñåé ãiïåðñåðè÷íî¨ ñèñòåìè êîîðäèíàò

e1 =

∂x , ∂x

e2 =

∂x ∂x ∂x , . . . , eN −1 = , eN = ∂θ1 ∂θN −2 ∂ϕ

¹ îðòîãîíàëüíèìè ìiæ ñîáîþ:

(ei ej ) = 0, i 6= j. Öå ëåãêî ïåðåâiðèòè ïðÿìèìè îá÷èñëåííÿìè, ùî íå ñòàíîâëÿòü ÿêèõîñü òðóäíîùiâ. Çàïèøiìî ïîòðiáíèé äëÿ íàøî¨ ìåòè îïåðàòîð Ëàïëàñà â ãiïåðñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ, êîðèñòóþ÷èñü çâè÷àéíîþ ñõåìîþ ïåðåõîäó âiä äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò äî áóäü-ÿêèõ iíøèõ. Îòæå, âèêîíóþ÷è öþ ïðîñòó, àëå, ìîæëèâî, äëÿ äåêîãî íóäíó âïðàâó, îòðèìó¹ìî:

∇2 = x−N +1

∂ N −1 ∂ 1 x + ∆θ,ϕ , ∂x ∂x x2

äå êóòîâà ÷àñòèíà ëàïëàñiàíà

∆θ,ϕ = (sin θ1 )−N +2

∂ ∂ (sin θ1 )N −2 ∂θ1 ∂θ1

+ (sin θ1 )−2 (sin θ2 )−N +3

∂ ∂ (sin θ2 )N −3 ∂θ2 ∂θ2

+ (sin θ1 sin θ2 )−2 (sin θ3 )−N +4

∂ ∂ (sin θ3 )N −4 ∂θ3 ∂θ3

+ . . . + (sin θ1 . . . sin θN −3 )−2 (sin θN −2 )−1 ×

∂ ∂θN −2

sin θN −2

∂ ∂θN −2

+ (sin θ1 . . . sin θN −2 )−2

∂2 , ∂ϕ2

òóò äëÿ ñêîðî÷åííÿ çàïèñó ââåäåíî ïîçíà÷åííÿ θ ≡ (θ1 , θ2 , . . . , θN −2 ). Òåïåð ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà îäåðæó¹ìî â òàêîìó âèãëÿäi: ~2 ~2 −N +1 ∂ N −1 ∂ x x − ∆ + U (x) ψ(x) = E ψ(x). − θ,ϕ 2m ∂x ∂x 2mx2 377

Áà÷èìî, ùî ÿê i â òðèâèìiðíîìó ïðîñòîði, âîíî äîçâîëÿ¹ ðîçäiëèòè çìiííi:

ψ(x) = R(x)Y (θ, ϕ), äå R(x) ðàäiàëüíà ñêëàäîâà õâèëüîâî¨ óíêöi¨, à êóòîâà ÷àñòèíà Y (θ, ϕ) ¹ ñåðè÷íîþ ãàðìîíiêîþ (ÿêó ÷àñòî íàçèâàþòü òàêîæ óëüòðàñåðè÷íîþ ãàðìîíiêîþ), ùî çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Ëàïëàñà

∇2 (xl Y (θ, ϕ)) = 0. Çâiäñè, âèêîðèñòîâóþ÷è íàâåäåíèé âèùå âèðàç äëÿ îïåðàòîðà ∇2 , ìà¹ìî, ùî

Y (θ, ϕ)x−N +1

1 d N −1 d l x x + 2 xl ∆θ,ϕ Y (θ, ϕ) = 0, dx dx x

àáî

∆θ,ϕ Y (θ, ϕ) = −l(N + l − 2)Y (θ, ϕ). ßêùî âèìiðíiñòü ïðîñòîðó N = 3, òî ìè ïðèõîäèìî äî âæå çíàéîìîãî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ çâè÷àéíèõ ñåðè÷íèõ óíêöié. ßâíèé âèãëÿä êóòîâî¨ ÷àñòèíè ëàïëàñiàíà ïîêàçó¹, ùî i öå ðiâíÿííÿ äîçâîëÿ¹ ðîçäiëèòè çìiííi. Îòæå, óíêöiþ Y (θ, ϕ) çàïèñó¹ìî ó âèãëÿäi äîáóòêó óíêöié:

Yl,m (θ, ϕ) =

×

N −3 Y j=0

e±imN−2 ϕ √ 2π m

−j/2+N/2−1

Aj+1 (sin θj+1 )mj+1 Cmjj+1 −mj+1

(cos θj+1 ),

äå Cnν (cos θj ) ïîëiíîìè å åíáàóåðà àáî óëüòðàñåðè÷íi ïîëiíîìè ñòåïåíÿ n i ïîðÿäêó ν , ïðè÷îìó öiëi ÷èñëà m0 = l, m1 , m2 , . . . , mN −2 òàêi, ùî l ≥ m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mN −2 ≥ 0, Aj ñòàëi íîðìóâàííÿ. Öi ïîëiíîìè çàäîâîëüíÿþòü äèåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ

(1 − t2 )y ′′ − (2ν + 1)ty ′ + n(n + 2ν)y = 0, 378

y = y(t) ≡ Cnν (t);

¨õ ìîæíà âèçíà÷èòè òàêîæ çà äîïîìîãîþ òâiðíî¨ óíêöi¨ 2 −ν

(1 − 2tz + z )

=

∞ X

Cnν (t) z n .

n=0

Ïîëiíîìè å åíáàóåðà äëÿ ïiâöiëèõ çíà÷åíü âåðõíiõ iíäåêñiâ ìîæíà çàïèñàòè ÷åðåç ïîëiíîìè Ëåæàíäðà (äèâ. 34), 2m m! d m m+1/2 Pl (t), Cl−m (t) = (2m)! dt à äëÿ öiëèõ çíà÷åíü âåðõíiõ iíäåêñiâ ¨õ çàñòóïàþòü ïîõiäíi âiä ïîëiíîìiâ ×åáèøîâà m+1 d 1 m+1 Tl+1 (t), Cl−m (t) = l 2 l!(l + 1) dt

Tl (t) = cos(l arccos t). Âèêîðèñòîâóþ÷è âèïèñàíi âèùå ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ êóòîâî¨ ÷àñòèíè ëàïëàñiàíà, çàïèñó¹ìî ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà òàê: ~2 −N +1 d N −1 d ~2 l(l + N − 2) − x x + + U (x) R(x) = ER(x). 2m dx dx 2mx2

Åíåð iÿ, ÿê i äëÿ âèïàäêó òðüîõ âèìiðiâ, íå çàëåæèòü âiä ìàãíiòíèõ êâàíòîâèõ ÷èñåë m1 , . . . , mN −2 . Îáãîâîðèìî óìîâè íîðìóâàííÿ. Äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà î÷åâèäíî Z |ψ(x)|2 dx = 1,

äå äëÿ åëåìåíòà îá'¹ìó ìè ñêîðèñòàëèñü òàêèì ïîçíà÷åííÿì: dx ≡ dx1 dx2 . . . dxN . Ó ãiïåðñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ Z Z Z∞ Z dx1 dx2 . . . dxN = xN −1 dx dΩ, 0

äå åëåìåíò ïîâåðõíi îäèíè÷íî¨ ñåðè

dΩ = (sin θ1 )N −2 (sin θ2 )N −3 . . . sin θN −2 dθ1 . . . dθN −2 dϕ, 379

ïðè÷îìó ïîâíà ïîâåðõíÿ

Z

dΩ =

...

Zπ

Z2π 0

dϕ

Zπ

N −2

(sin θ1 )

dθ1

0

Zπ

(sin θ2 )N −3 dθ2 . . .

0

sin θN −2 dθN −2 =

2π N/2 . Γ(N/2)

0

Òóò ìè ñêîðèñòàëèñü òàáëè÷íèì iíòå ðàëîì:

Zπ

ν

sin θ dθ =

0

Γ

ν+1 Γ 21 2 Γ ν2 + 1

,

Re ν > −1.

Ç âèïèñàíî¨ âèùå óìîâè íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ çíàõîäèìî, ùî

Z

2

dΩ|Yl,m (θ, ϕ)| = 1,

Z∞

xN −1 R2 (x) dx = 1.

0

Ç ïåðøî¨ óìîâè íîðìóâàííÿ âèçíà÷à¹ìî ñòàëi Aj ó âèðàçi äëÿ óíêöié Yl,m (θ, ϕ): Zπ A2j+1 dθj+1 (sin θj+1 )2mj+1 0

h i2 m −j/2+N/2−1 × Cmjj+1 (cos θj+1 ) (sin θj+1 )N −j−2 = 1 −mj+1

àáî ïiñëÿ çàìiíè çìiííèõ t = cos θj+1

A2j+1

Z1

−1

(1 − t2 )(p−1)/2 [Cnp/2 (t)] dt = 1,

j N p = mj+1 − + − 1, 2 2 2 380

n = mj − mj+1 .

Âèïèñàíèé iíòå ðàë íîðìóâàííÿ ïîëiíîìiâ å åíáàóåðà ¹ âiäîìèì, i ìè îòðèìó¹ìî: s n!(p + 2n) Γ2 (p/2) . Aj+1 = 22−p π Γ(n + p) Ïåðåâiðèìî, ÷è çáiãàþòüñÿ îäåðæàíi òóò óëüòðàñåðè÷íi ãàðìîíiêè ïðè N = 3 çi çíàéäåíèìè ðàíiøå ñåðè÷íèìè óíêöiÿìè Yl,m (θ, ϕ) ç 34. Ó öüîìó âèïàäêó, áåðó÷è äî óâàãè, ùî ïðè N = 3, θ1 = θ , m0 = l, mN −2 = m1 ≡ m, m ≥ 0 ç íàøî¨ çàãàëüíî¨ îðìóëè äëÿ Yl,m(θ, ϕ) çíàõîäèìî:

e±imϕ m+1/2 Yl,m (θ, ϕ) = √ A1 sinm θ Cl−m (cos θ), 2π s (l − m)!(2l + 1) Γ2 (m + 1/2) , m ≥ 0, A1 = 21−2m π Γ(m + l + 1) à ç óðàõóâàííÿì âëàñòèâîñòåé Γ-óíêöié i çîêðåìà, ùî Γ(m + l + 1) = (m + l)!, à √ π(2m)! , Γ(m + 1/2) = 2m 2 m! îòðèìó¹ìî: s m d e±imϕ (l − m)! (2l + 1) m sin θ Pl (cos θ). Yl,m (θ, ϕ) = √ (l + m)! 2 d cos θ 2π Öi óíêöi¨ ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà (−)m = eiπm çáiãàþòüñÿ ç íàâåäåíèìè â 34 ñåðè÷íèìè ãàðìîíiêàìè. Ïåðåõîäèìî òåïåð äî ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨. Óìîâà íîðìóâàííÿ äëÿ íå¨ ïiäêàçó¹ íàì, ùî, çàìiñòü óíêöi¨ R(x), âèãiäíî ââåñòè øðåäèí åðiâñüêó õâèëüîâó óíêöiþ

χ(x) = x(N −1)/2 R(x), òîáòî óíêöiþ, ÿêà íîðìîâàíà çâè÷àéíèì ÷èíîì áåç âàãîâîãî ìíîæíèêà Z∞ χ2 (x) dx = 1. 0

381

Çàïèøiìî ðiâíÿííÿ äëÿ íîâî¨ óíêöi¨ χ(x), ïiäñòàâëÿþ÷è â ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ

R(x) = x−(N −1)/2 χ(x). Îòæå, ïiñëÿ ìíîæåííÿ âñüîãî ðiâíÿííÿ çëiâà íà x(N −1)/2 , ìà¹ìî:

−

~2 (N −1)/2 −N +1 d N −1 d −(N −1)/2 x x x x χ(x) 2m dx dx

~2 l(l + N − 2)χ(x) + U (x)χ(x) = Eχ(x). 2mx2 Àáî, îá÷èñëþþ÷è ïîõiäíi, îòðèìó¹ìî: h ~2 ~2 d2 + (N − 1)(N − 3) − 2m dx2 8mx2 i ~2 l(l + N − 2) + U (x) χ(x) = Eχ(x). + 2mx2 Êðiì òîãî, çàóâàæó¹ìî, ùî +

(N − 1)(N − 3) (N + 2l − 3)(N + 2l − 1) + l(l + N − 2) = 4 4 N + 2l − 3 N + 2l − 3 + 1 = l∗ (l∗ + 1), = 2 2 äå âåëè÷èíó N + 2l − 3 N −3 l∗ = =l+ 2 2 íàçèâà¹ìî óçàãàëüíåíèì àáî ååêòèâíèì îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì. Òåïåð îñòàòî÷íî ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ N -âèìiðiâ íàáèðà¹ âèãëÿäó, ÿêèé îðìàëüíî çáiãà¹òüñÿ ç òèì, ùî ìè ìàëè ó òðèâèìiðíîìó ïðîñòîði: h i ~2 d2 ~2 ∗ ∗ − + l (l + 1) + U (x) χ(x) = Eχ(x). 2m dx2 2mx2 Öiêàâî, ùî öÿ àíàëîãiÿ äîçâîëÿ¹ çíàõîäèòè åíåð åòè÷íèé ñïåêòð N -âèìiðíèõ ìîäåëåé øëÿõîì àíàëiòè÷íîãî ïðîäîâæåííÿ ðåçóëüòàòiâ äëÿ ïðîñòîðó òðüîõ âèìiðiâ. Íàïðèêëàä, äëÿ ïðîñòîðîâîãî îñöèëÿòîðà îðìóëà äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ En,l = ~ω(2n + l + 382

3/2) çàìiíîþ l → l∗ ïåðåõîäèòü â åíåð iþ N -âèìiðíîãî ïðîñòîðîâîãî îñöèëÿòîðà En,l = ~ω (2n + l + N/2) , âiäïîâiäíî õâèëüîâà óíêöiÿ Rn,l (r) ïåðåõîäèòü â Rn,l∗ (x) = x−(N −1)/2 χn,l∗ (x). Äëÿ îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó N = 1 âiäöåíòðîâà åíåð iÿ l∗ (l∗ + 1) = (l − 1)l ïîâèííà äîðiâíþâàòè íóëåâi, òîáòî l = 0 àáî l = 1. Ïðè l = 0 öåé ðîçâ'ÿçîê âiäòâîðþ¹ ñòàíè ëiíiéíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ïàðíèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè, à ïðè l = 1 ç íåïàðíèìè. Àíàëîãi÷íî ç îðìóëè Áîðà äëÿ åíåð i¨ En åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ ç 41, çàïèñàíî¨ ÷åðåç ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, En = −me4 /2~2 (nr + l + 1)2 , çàìiíà l → l∗ äà¹ åíåð åòè÷íi ðiâíi N âèìiðíîãî àòîìà âîäíþ:

En = −

2me4 , ~2 (2n + N − 3)2

äå, ÿê çâè÷àéíî, n = nr + l + 1 ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Çàñòåðiãà¹ìî ×èòà÷à âiä ìîæëèâîãî íåïîðîçóìiííÿ. Ó âèíîñöi íà ñòîð. 370 éøëîñÿ ïðî òå, ùî êóëîíiâñüêèé çàêîí âçà¹ìîäi¨ ¹ íàñëiäêîì âèìiðíîñòi ïðîñòîðó, U ∼ 1/xN −2 . Òóò ìè ãîâîðèìî ïðî N -âèìiðíèé àòîì âîäíþ ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U ∼ 1/x, ÿêà ¹ ÷óæîþ äëÿ ïðîñòîðó ðîçìiðíîñòi N 6= 3. Îòæå, ìîâà íå éäå ïðî ðóõ ÷àñòèíêè â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði ç ïðèðîäíèì äëÿ íüîãî çàêîíîì U ∼ 1/xN −2 , êîëè, ÿê óæå çàçíà÷àëîñÿ, äëÿ N ≥ 4 íå iñíó¹ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ. Çàçíà÷èìî, ùî äëÿ N = 1 ïðèðîäíiì êóëîíiâñüêèì ïîòåíöiàëîì ¹ U = αx, α > 0 (íàãàäà¹ìî, ùî òóò x = |x|), ðóõ ó òàêîìó ïîëi ìè âèâ÷àëè â 24.

Ïðèêëàä. Çà äîïîìîãîþ ïðàâèëà êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà îá÷èñëèòè åíåð åòè÷íi ðiâíi àòîìà âîäíþ â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði. Ç îçíà÷åííÿ ãiïåðñåðè÷íèõ êîîðäèíàò îá÷èñëþ¹ìî êâàäðàò åëåìåíòà äîâæèíè äóãè (dr)2 , äàëi çíàõîäèìî êâàäðàò øâèäêîñòi ÷àñòèíêè v = dr/dt, ¨¨ êiíåòè÷íó åíåð iþ (òóò äëÿ ðàäiàëüíî¨ êîîðäèíàòè âæèâà¹ìî ïîçíà÷åííÿ r çàìiñòü x), j−1 N−2 N−2 mr 2 2 Y mr˙ 2 mr 2 X ˙2 Y mv2 sin2 θk + sin2 θk , = + ϕ˙ θj 2 2 2 j=1 2 k=1

k=1

383

i óíêöiþ Ëà ðàíæà (ÿê ðiçíèöþ êiíåòè÷íî¨ é ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð ié), ïîõiäíi âiä ÿêî¨ çà r˙ , ϕ˙ , θ˙j , j = 1, . . . , N −2 äàþòü íàì âiäïîâiäíi óçàãàëüíåíi iìïóëüñè: pϕ = mr 2 ϕ˙

pr = mr, ˙

N−2 Y

Y

j−1

sin2 θk ,

pj = mr 2 θ˙j

k=1

sin2 θk ,

k=1

äå êðàïêàìè ïîçíà÷åíî ïîõiäíi çà ÷àñîì. Çàïèñó¹ìî êiíåòè÷íó åíåð iþ ÷åðåç óçàãàëüíåíi iìïóëüñè i çíàõîäèìî êëàñè÷íó óíêöiþ àìiëüòîíà ÷àñòèíêè â ïîëi U : N−2 N−2 X p2j j−1 Y p2ϕ Y 1 1 p2r + + U. + 2 2 2 2 2m 2mr 2mr sin θ sin θk k j=1 k=1 k=1

H=

Âèêîðèñòà¹ìî òåïåð ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà. Îòæå, p˙ ϕ = −

∂H = 0, çâiäñè pϕ = const. ∂ϕ

Äàëi, p˙ N−2

N−2 p2ϕ Y 1 2 2 2mr sin θk k=1

∂H ∂ =− =− ∂θN−2 ∂θN−2

!

,

à ç iíøîãî áîêó, p˙ N−2

=

=

−

N−3 ∂pN−2 pN−2 Y 1 ∂pN−2 ˙ θN−2 = ∂θN−2 ∂θN−2 mr 2 k=1 sin2 θk N−3 p2N−2 Y 1 2mr 2 k=1 sin2 θk

∂ ∂θN−2

!

.

Ïðèðiâíþþ÷è öi äâà âèðàçè, äëÿ p˙ N−2 çíàõîäèìî, ùî N−3 1 Y 1 2mr 2 k=1 sin2 θk

!

d dθN−2

p2N−2 +

p2ϕ sin2 θN−2

= 0.

Çâiäñè ìà¹ìî iíòå ðàë ðóõó p2ϕ = L2N−2 = const, sin2 θN−2 ç óðàõóâàííÿì ÿêîãî óíêöiÿ àìiëüòîíà p2N−2 +

H=

384

LN−2 ≥ 0

N−3 N−3 Y X p2j j−1 Y L2 1 1 p2r + + U. + N−22 2 2 2 2m 2mr 2mr sin θ sin θk k j=1 k=1 k=1

Çàâäÿêè iíòå ðàëîâi ðóõó LN−2 ìè âèêëþ÷èëè ç óíêöi¨ àìiëüòîíà êóòîâó êîîðäèíàòó θN−2 i îòðèìàëè çàäà÷ó âæå ç (N − 3)-ìà êóòîâèìè çìiííèìè θj . Äàëi âèêîðèñòîâó¹ìî íàñòóïíå ðiâíÿííÿ àìiëüòîíà äëÿ p˙ N−3 , ÿêå äà¹ ñâié iíòå ðàë ðóõó. Ïîâòîðþþ÷è öþ ïðîöåäóðó (N − 2) ðàçè, îòðèìó¹ìî, ùî p2j +

L2j+1 = L2j = const, sin2 θj

j = 1, 2, . . . , N − 2,

ïðè÷îìó Lj ≥ 0, Lj > Lj+1 , LN−1 ≡ pϕ , L1 ≡ L, à óíêöiÿ àìiëüòîíà àáî åíåð iÿ E òåïåð ¹ òàêîþ: p2r L2 + + U. 2m 2mr 2 Îòæå, àêòè÷íî ìè âèêîíàëè ðîçäiëåííÿ çìiííèõ i çâåëè íàøó çàäà÷ó äî N îäíîâèìiðíèõ çàäà÷. Ïåðåõîäèìî äî óìîâ êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà. àäiàëüíà óìîâà êâàíòóâàííÿ ç óðàõóâàííÿì ñòàëî¨ âåëè÷èíè νr = 1/2 äà¹ íàì òàêi ðiâíi åíåð i¨ (äèâ. Ïðèêëàä 3 äî 30, â ÿêîìó çàìiñòü pϕ ïîòðiáíî ïiäñòàâèòè âåëè÷èíó L i nr çàìiíèòè íà (nr + 1/2)): E=

E=−

me4 , 2[L + ~(nr + 1/2)]2

äå nr = 0, 1, 2, . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. Âåëè÷èíó L çíàéäåìî ç êóòîâèõ óìîâ êâàíòóâàííÿ: Z2π

I

pϕ dϕ = 2π~nϕ ,

pj dθj = 2π~ (nj + 1/2) ,

j = 1, 2, . . . , N − 2,

0

nϕ = 0, 1, 2, . . . àçèìóòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî; nj = 0, 1, 2, . . . øèðîòíîêóòîâi êâàíòîâi ÷èñëà. Öi ðiâíÿííÿ ïîòðåáóþòü ïîÿñíåíü. Ó ïðàâié ÷àñòèíi óìîâè êâàíòóâàííÿ äëÿ pϕ äî êâàíòîâîãî ÷èñëà nϕ íå äîäà¹ìî ñòàëî¨ âåëè÷èíè νϕ , òî÷íå çíà÷åííÿ ÿêî¨, ÿê ìè çíà¹ìî ç 30, äèêòó¹ õàðàêòåð ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ i âiäïîâiäíi ãðàíè÷íi óìîâè íà õâèëüîâó óíêöiþ. Çîêðåìà, â íàøîìó âèïàäêó íà ¨¨ çàëåæíiñòü âiä àçèìóòàëüíî¨ çìiííî¨ ϕ íàêëàäà¹ìî ïåðiîäè÷íi ãðàíè÷íi óìîâè i, îòæå, νϕ = 0. Ùîäî çàëåæíîñòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ âiä øèðîòíèõ êóòiâ θj , òî òóò ñèòóàöiÿ iíøà. Ç âèðàçiâ äëÿ iíòå ðàëiâ ðóõó Lj áà÷èìî, ùî ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ, òîáòî âåëè÷èíà 1/ sin2 θj , ¹ ãëàäêîþ óíêöi¹þ i òîìó, çãiäíî ç òèìè ìiðêóâàííÿìè é âèñíîâêàìè, ÿêi ìè íàâîäèëè ó 30 ùîäî ÷èñåëüíèõ çíà÷åíü âåëè÷èí νj , âîíè äîðiâíþþòü 1/2 äëÿ âñiõ çíà÷åíü j = 1, 2, . . . , N − 2. Çâàæàþ÷è íà òå, ùî pϕ = const, ç óìîâè êâàíòóâàííÿ ìà¹ìî pϕ = ~nϕ . Iíòå ðàëè çà θj â ðåøòi óìîâ êâàíòóâàííÿ òàêîæ áåðåìî íåñêëàäíî: I

I q

pj dθj

=

I q

L2j − L2j+1 / sin2 θj dθj = Lj+1 Z

=

π/2

4Lj+1 θmin

25

I. Î. Âàêàð÷óê

a2 − 1/ sin2 θj dθj

q

a2 − 1/ sin2 θj dθj ,

385

äå a = Lj /Lj+1 , à êóò θmin âèçíà÷à¹ìî ç óìîâè ðiâíîñòi íóëåâi ïiäêîðåíåâîãî âèðàçó (òî÷êà ïîâîðîòó), sin θmin = Lj+1 /Lj . Äàëi áåç êîìåíòàðiâ îá÷èñëþ¹ìî ïîòðiáíèé iíòå ðàë: Z p

Z

a2 sin2 θ − 1 dθ = sin θ

Z

=

p

sin θ

p

a2 sin2 θ − 1

Z

a2 sin θ

a2

a2 sin2 θ − 1

2

sin θ − 1

dθ −

sin θ

p

a2 − 1

= −a arcsin a cos θ/

p

dθ

dθ

a2

sin2 θ − 1

p

+ arctg cos θ/

a2 sin2 θ − 1 .

Òåïåð ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè ìåæ iíòå ðóâàííÿ çíàõîäèìî, ùî I

pj dθj = 2π(Lj − Lj+1 ),

i ç óìîâ êâàíòóâàííÿ îäåðæó¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ: Lj − Lj+1 = ~ (nj + 1/2) .

Ïiäñóìó¹ìî îáèäâi ÷àñòèíè öüîãî âèðàçó çà j âiä j = 1 äî j = N − 2. Î÷åâèäíî â ëiâié ÷àñòèíi âèæèâóòü ëèøå ïåðøèé äîäàíîê iç ïåðøî¨ ñóìè L1 ≡ L i îñòàííié äîäàíîê iç äðóãî¨ LN+1 ≡ pϕ ðåøòà äîäàíêiâ âçà¹ìíî ñêîðîòÿòüñÿ. Ó ðåçóëüòàòi øóêàíà âåëè÷èíà

L=~ l+

N −2 2

,

l = nϕ +

N−2 X

nj ,

j=1

äå ìè ââåëè îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî l = 0, 1, 2, . . . . Òåïåð, ìàþ÷è âåëè÷èíó L, ïîâåðòà¹ìîñü äî îðìóëè äëÿ åíåð i¨ é îñòàòî÷íî çíàõîäèìî: me4 , 2~2 [n + (N − 3)/2]2 n = nr + l + 1 = 1, 2, . . . ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Îòæå, êâàçiêëàñè÷íå êâàíòóâàííÿ i â N -âèìiðíîìó âèïàäêó äà¹ òî÷íèé ðåçóëüòàò äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ. Çðîáèìî çàóâàæåííÿ ñòîñîâíî òàê çâàíî¨ ìàÿòíèêîâî¨ îðáiòè, êîëè nϕ = 0 (äèâ. Ïðèêëàä 3 äî 30). Ìè âèëó÷àëè ¨¨ ç ðîçãëÿäó, îñêiëüêè çà êëàñè÷íèìè óÿâëåííÿìè òàêà òðà¹êòîðiÿ åëåêòðîíà ïðîõîäèòü êðiçü ÿäðî, ùî ¹ íåìîæëèâèì, i óíèêëè ïðîáëåìè íóëü ó çíàìåííèêó ó âèðàçi äëÿ åíåð i¨ ïðè nr = 0. Íàñïðàâäi, nϕ ìîæå äîðiâíþâàòè íóëåâi, à ïðîáëåìà íóëü ó çíàìåííèêó çíèêà¹ ñàìà ïî ñîái, ÿêùî áðàòè äî óâàãè é ñòàëi âåëè÷èíè νr = 1/2, νθ = 1/2, ÿêi ïðè nr = nϕ = nθ = 0 E=−

386

äàþòü äëÿ ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n = 1. Îòæå, ïîñïiøíå çâåäåííÿ çàäà÷i äî äâîâèìiðíî¨ ó ïëîùèíi, ïåðåïåíäèêóëÿðíié äî íàïðÿìêó êëàñè÷íîãî iíòå ðàëà ðóõó ìîìåíòó iìïóëüñó L, ïðèâîäèòü äî âòðàòè ÷èñòî êâàíòîâîãî ˆ òàêîæ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó, îäíàê éîãî êîìååêòó νθ = 1/2. Õî÷à îïåðàòîð L ïîíåíòè íå êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ i íå ìîæóòü ìàòè îäíî÷àñíî ïåâíèõ âëàñíèõ çíà÷åíü (çà âèíÿòêîì íóëüîâèõ), à ¨õíi ñåðåíüîêâàäðàòè÷íi ëþêòóàöi¨ íå äîðiâíþþòü íóëåâi. Öå îçíà÷à¹, ùî ëþêòóþ¹ i ïëîùèíà, â ÿêié âiäáóâà¹òüñÿ ðóõ åëåêòðîíà, òîìó àêòè÷íî, êâàçiêëàñè÷íèé ðóõ ¹ âæå ó òðüîõ âèìiðàõ (r, θ, ϕ), à íå ëèøå â ïëîùèíi θ = π/2. Âiäñòóï.

Âiäçíà÷èìî ùå îäèí íàäçâè÷àéíî öiêàâèé àêò, ïîâ'ÿçàíèé iç çàäà÷åþ ïðî ðóõ ÷àñòèíêè â êóëîíiâñüêîìó ïîëi. ßêùî â ñòàöiîíàðíîìó ðiâíÿííi Øðåäèí åðà äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè çðîáèòè ïåðåòâîðåííÿ çà ïðàâèëîì òàê çâàíî¨ ñòåðåîãðài÷íî¨ ïðîåêöi¨, òî îòðèìà¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ ÷îòèðèâèìiðíî¨ ñåðè÷íî¨ óíêöi¨ â iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi, ÿêà çàëåæèòü âiä òðüîõ êóòiâ. Ïðè÷îìó öå ðiâíÿííÿ çáiãà¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿì Øðåäèí åðà äëÿ ÷àñòèíêè â êóëîíiâñüêîìó ïîëi. Iíøèìè ñëîâàìè, âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ ¹ åêâiâàëåíòíèì êóòîâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ Ëàïëàñà â 4-âèìiðíîìó iìïóëüñíîìó ïðîñòîði áåç óâåäåííÿ áóäü-ÿêîãî ñèëîâîãî ïîëÿ i, óçàãàëi, áóäü-ÿêèõ içè÷íèõ êîíñòàíò. Ñàìå òîìó êóëîíiâñüêèé ïîòåíöiàë âèÿâëÿ¹ äîäàòêîâó ñèìåòðiþ, ùî ïîðîäæó¹ äîäàòêîâèé iíòå ðàë ðóõó, i ÿê íàñëiäîê ìà¹ìî âèïàäêîâå âèðîäæåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ çà îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì. Îòæå, ðóõ ÷àñòèíêè â êóëîíiâñüêîìó ïîëi ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ðóõ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ç â'ÿçÿìè, òîáòî ÿê ðóõ ïî ñåði â 4-âèìiðíîìó ïðîñòîði. Òàêà ãåîìåòðèçàöiÿ êóëîíiâñüêî¨ âçà¹ìîäi¨ âiäïîâiäà¹ êîíöåïöi¨ ãåîìåòðèçàöi¨ áóäü-ÿêèõ âçà¹ìîäié, ÿê öå ¹, çîêðåìà, ó çàãàëüíié òåîði¨ âiäíîñíîñòi Àéíøòàéíà iëüáåðòà. Ìîæëèâiñòü îá'¹äíàííÿ â öüîìó äóñi âñiõ óíäàìåíòàëüíèõ âçà¹ìîäié ïðîiëþñòðóâàâ ó 1921 ðîöi Ò. Êàëóöà. Íà ïiäñòàâi ãiïîòåçè ïðî òå, ùî íàø Ñâiò öå âèêðèâëåíèé 5-âèìiðíèé ïðîñòið-÷àñ, âií îá'¹äíàâ çàãàëüíó òåîðiþ âiäíîñíîñòi é òåîðiþ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ Ìàêñâåëëà. Îäíå ç ïîÿñíåíü íåñïîñòåðåæóâàíîñòi ï'ÿòîãî âèìiðó, éîãî êîìïàêòèiêàöiÿ íàäçâè÷àéíî ìàëi ìàñøòàáè (ïîðÿäêó ïëàíêiâñüêî¨ äîâæèíè (~G/c3 )1/2 ∼ 10−33 ì) ó ïîðiâíÿííi ç òèìè ìàñøòàáàìè, ùî ìè ñïîñòåðiãà¹ìî íà àòîìíîìó òà ÿäåðíîìó 25*

387

ðiâíÿõ. Êîíöåïöiÿ áàãàòîâèìiðíîñòi ïðîñòîðó äîçâîëÿ¹ íàäàòè óíäàìåíòàëüíié ñòàëié ~ ãåîìåòðè÷íîãî çìiñòó. ßêùî çà îäíó ç êîîðäèíàò ó òàêîìó ïðîñòîði, íàïðèêëàä ï'ÿòó, âèáðàòè äiþ S i ïðèéíÿòè, ùî ïðîñòið ïî öié êîîðäèíàòi ¹ òîïîëîãi÷íî çàìêíåíèì, òî õâèëüîâà óíêöiÿ ψ ïîâèííà áóòè ïåðiîäè÷íîþ óíêöi¹þ S . Öåé óíäàìåíòàëüíèé ïåðiîä i ìîæíà îòîòîæíèòè çi ñòàëîþ Ïëàíêà ~. Ìîæëèâî, ùî ïîðóøåííÿ CP -iíâàðiàíòíîñòi â ðîçïàäàõ äîâãîæèâó÷îãî KL0 ìåçîíà (äèâ. ïðèêëàä 4 äî 3) ¹ íàòÿêîì íà áàãàòîâèìiðíiñòü íàøîãî ïðîñòîðó, òîáòî ç óðàõóâàííÿì iíâåðñi¨ i êîìïàêòèiêîâàíèõ âèìiðíîñòåé öÿ ïðîáëåìà çíiìåòüñÿ.

Ë À Â À VIII ÒÅÎIß ÇÁÓÅÍÜ

45. Ñòàöiîíàðíà òåîðiÿ çáóðåíü. Íåâèðîäæåíèé âèïàäîê

Äîñi ìè ðîçãëÿäàëè ïåðåâàæíî çàäà÷i, ùî ìàþòü òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê, ÿê íàïðèêëàä, çàäà÷i ïðî ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð àáî àòîì âîäíþ. Ó áiëüøîñòi çàäà÷ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè òàêèõ ïðîñòèõ ðîçâ'ÿçêiâ íå iñíó¹. Òîìó áóëî ñòâîðåíî öiëó íèçêó íàáëèæåíèõ ìåòîäiâ ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ÿê ñòàöiîíàðíîãî, òàê i íåñòàöiîíàðíîãî. Ïðè÷îìó â áàãàòüîõ âèïàäêàõ ¹ ìîæëèâiñòü íàáëèˆ äî ïðîñòiøî¨, ãàæåíî çâåñòè âèõiäíó çàäà÷ó ç ãàìiëüòîíiàíîì H ˆ ˆ ìiëüòîíiàí ÿêî¨ H0 äîçâîëÿ¹ îòðèìàòè òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê. ßêùî H ˆ òà H0 íå ñèëüíî ðiçíÿòüñÿ, òîáòî ÿêùî âiäïîâiäíi âëàñíi çíà÷åííÿ ˆ 0 ðîçãëÿäà¹ äîñòàòíüî áëèçüêèìè, òî ñèñòåìó ç ãàìiëüòîíiàíîì H ¹ìî ÿê îïîðíó (ñèñòåìó âiäëiêó), ùî ¹ íóëüîâèì íàáëèæåííÿì äî âèõiäíî¨. Îòæå, íåõàé ãàìiëüòîíiàí

ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , H äå îïåðàòîð Vˆ íàçèâàþòü îïåðàòîðîì çáóðåííÿ. Ñàìå öåé îïåðàˆ âiä H ˆ 0 âíîñèòü çáóðåííÿ â ãàìiëüòîíiàí ñèñòåòîð âiäõèëåííÿ H ˆ ˆ 0 , íå çàëåæèòü âiä ÷àñó t, òî íàáëèæåìè âiäëiêó. ßêùî V , ÿê i H íèé ìåòîä ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ ˆ ìà¹ íàçâó ñòàöiîíàðíî¨ òåîði¨ çáóðåíü. ßêùî Vˆ çàëåæèòü äëÿ H âiä ÷àñó, òî çàäà÷à çíàõîäæåííÿ õâèëüîâèõ óíêöié äëÿ áóäüÿêîãî ìîìåíòó t íàçèâà¹òüñÿ íåñòàöiîíàðíîþ òåîði¹þ çáóðåíü. , îäíàê, êëàñ çàäà÷, äëÿ ÿêèõ ïðîñòi ìåòîäè òåîði¨ çáóðåíü íå ïðàöþþòü: çáóðåííÿ íå ¹ ìàëèì. Ó öèõ âèïàäêàõ âäàþòüñÿ äî òàêèõ ïiäõîäiâ, ÿê âàðiàöiéíèé ïðèíöèï àáî çíàõîäÿòü íåñïîäiâàíi ìàëi ïàðàìåòðè, à öå, ÿê ìè ïîáà÷èìî äàëi íà êîíêðåòíèõ ïðèêëàäàõ, óæå ìèñòåöòâî. 389

ˆ 0 , äëÿ ÿêî¨ Îòæå, íåõàé ìè ìà¹ìî ñèñòåìó ç ãàìiëüòîíiàíîì H (0) (0) âiäîìi âëàñíi çíà÷åííÿ En òà âëàñíi óíêöi¨ ψn . Iíøèìè ñëîâàìè, ðiâíÿííÿ ˆ 0 ψ (0) = E (0) ψ (0) H n n n ââàæà¹òüñÿ ðîçâ'ÿçàíèì. Íåîáõiäíî çíàéòè âëàñíi çíà÷åííÿ En òà ˆ , òîáòî ðîçâ'ÿçàòè ñòàöiîíàðíå âëàñíi óíêöi¨ ψn ãàìiëüòîíiàíà H ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

ˆ n = En ψn . Hψ Óâåäåìî äëÿ çðó÷íîñòi ïàðàìåòð âìèêàííÿ âçà¹ìîäi¨ λ:

ˆ =H ˆ 0 + λVˆ , H ïðè÷îìó 0 ≤ λ ≤ 1. Ïðè λ = 0 ìà¹ìî íóëüîâó çàäà÷ó, à ïðè λ = 1 âèõiäíó. Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî ðiâíÿííÿ

ˆ 0 + λVˆ ) ψn = En ψn . (H (0)

Îñêiëüêè ñèñòåìà óíêöié ψm ¹ ïîâíîþ, òî ðîçêëàäåìî íåâiäîìó óíêöiþ ψn ó ðÿä X (0) ψn = Cmn ψm . m

Òåïåð âèõiäíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà íàáóâà¹ âèãëÿäó X X (0) ˆ 0 + λVˆ ) ψ (0) = En Cmn ψm . Cmn (H m m

m

(0)∗

Äîìíîæèìî öå ðiâíÿííÿ çëiâà íà õâèëüîâó óíêöiþ ψn′ òà ïðîiíòå ðó¹ìî çà çìiííèìè q , âiä ÿêèõ çàëåæàòü õâèëüîâi óíêöi¨: X X (0) Cmn δn′ m , δn′ m + λVn′ m = En Cmn Em m

m

äå ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåííÿ Z (0)∗ (0) Vn′ m = ψn′ Vˆ ψm dq. 390

(0)

Ìè âèêîðèñòàëè òóò òå, ùî ψm ¹ îðòîíîðìîâàíîþ ñèñòåìîþ óíˆ 0 . Ïåðåïèøåìî öå ðiâêöié òà âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà H íÿííÿ òàê: X (0) En − En′ Cn′ n = λ Cmn Vn′ m . m

Áóäåìî ââàæàòè, ïî-ïåðøå, ùî çáóðåííÿ ¹ ìàëèì, à ïî-äðóãå, ùî âåëè÷èíè Cmn i En ¹ àíàëiòè÷íèìè óíêöiÿìè ïàðàìåòðà λ. Öi óìîâè ¹ äîñòàòíüî æîðñòêèìè, i âîíè îáìåæóþòü êîëî öiêàâèõ içè÷íèõ çàäà÷, çàëèøàþ÷è ïîçà ðîçãëÿäîì, íàïðèêëàä, òàêi ìîäåëi, ó ÿêèõ çàëåæíiñòü åíåð i¨ âiä ïàðàìåòðà âìèêàííÿ âçà¹ìîäi¨ ¹ íåàíàëiòè÷íîþ i ìà¹ âèãëÿä λ ln λ (åíåð iÿ åëåêòðîííîãî ãàçó) àáî e−1/λ (ïðîáëåìà íàäïðîâiäíîñòi). Îòæå, ïðèéìà¹ìî, ùî (0) (1) (2) Cmn = Cmn + λCmn + λ2 Cmn + ... ,

En = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + . . . , ïðè÷îìó î÷åâèäíî (0) Cmn = δmn ,

òîìó ùî ïðè λ = 0 ç âèðàçó

ψn =

X

(0) Cmn ψm

m

(0)

(1)

(2)

ìè ïîâèííi îòðèìàòè ψn = ψn . Âåëè÷èíè En , En , . . . íàçèâàþòü âiäïîâiäíî ïåðøîþ ïîïðàâêîþ, äðóãîþ ïîïðàâêîþ i ò.ä. äî (0) åíåð i¨ En . Òåïåð ìà¹ìî (0) (1) (2) En(0) − En′ + λ En(1) + λ2 En(2) + . . . δn′ n + λCn′ n + λ2 Cn′ n + . . .

=λ

X (1) δmn + λCmn + . . . Vn′ m . m

Äëÿ òîãî, ùîá öÿ ðiâíiñòü âèêîíóâàëàñü ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ âåëè÷èíè λ, íåîáõiäíî, ùîá êîåiöi¹íòè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ λ ó ëiâié i ïðàâié ÷àñòèíàõ öüîãî ðiâíÿííÿ çáiãàëèñÿ. Ïðèðiâíþþ÷è 391

öi êîåiöi¹íòè ïðè λ ó íóëüîâîìó ñòåïåíi (λ0 = 1), îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ (0) En(0) − En′ δn′ n = 0, ÿêå çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ ïðè n = n′ i ïðè n 6= n′ . Ïðèðiâíþ¹ìî òåïåð êîåiöi¹íòè ïðè λ ó ïåðøîìó ñòåïåíi: (0) (1) En(0) − En′ Cn′ n + En(1) δn′ n = Vn′ n . Íåõàé n′ = n, òîäi

En(1) = Vnn . Ìè çíàéøëè ïåðøó ïîïðàâêó äî åíåð i¨, ÿêà äîðiâíþ¹ äiàãîíàëüíîìó ìàòðè÷íîìó åëåìåíòîâi îïåðàòîðà çáóðåííÿ, ðîçðàõîâàíîãî íà õâèëüîâèõ óíêöiÿõ íóëüîâî¨ çàäà÷i. Ïðè n′ 6= n îäåðæó¹ìî (1)

Cn′ n =

Vn ′ n (0) En

(0)

− En′

.

Íàì çàëèøèëîñü ðîçðàõóâàòè â öüîìó íàáëèæåííi ùå âåëè÷èíó (1) Cnn . Çíàéäåìî ¨¨ ç óìîâè íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Ìà¹ìî X X (0) (0) ψn = Cmn ψm = Cnn ψn(0) + Cmn ψm m

m6=n

àáî â ïåðøîìó íàáëèæåííi i h X (1) (0) (1) ψn(0) + λ Cmn ψm . ψn = 1 + λCnn m6=n

Òåïåð ç óìîâè

Z

|ψn |2 dq = 1

çíàõîäèìî (ç òî÷íiñòþ äî ïåðøîãî íàáëèæåííÿ) 2 (1) 1 + λCnn = 1. 392

(1)

Áóäåìî ââàæàòè âåëè÷èíó Cnn äiéñíîþ, i â íàáëèæåííi, ùî ðîãëÿäà¹òüñÿ, îòðèìó¹ìî (1) Cnn = 0.

Îòæå, â ïåðøîìó íàáëèæåííi ïðè λ = 1 çíàõîäèìî

En = En(0) + Vnn , ψn = ψn(0) +

X

Vmn

(0) m6=n En

−

(0) Em

(0) ψm .

Ïåðåõîäèìî äî äðóãîãî íàáëèæåííÿ. Ïðèðiâíþ¹ìî êîåiöi¹íòè ïðè λ2 : X (0) (2) (1) (1) En(0) − En′ Cn′ n + En(1) Cn′ n + En(2) δn′ n = Cmn Vn ′ m . m

Çâiäñè ïðè n =

n′

ìà¹ìî

En(2) =

X

(1) Cmn Vnm ,

m

(1)

àáî ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèðàçó äëÿ Cmn åíåð iÿ X Vmn V . En(2) = (0) (0) nm m6=n En − Em Óçÿâøè äî óâàãè óìîâè åðìiòîâîñòi äëÿ îïåðàòîðà çáóðåííÿ ∗ =V Vmn nm , îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî:

En(2) =

X

m6=n

|Vmn |2

(0)

(0)

En − Em

.

Òàêèì ÷èíîì, ïîâíà åíåð iÿ ïðè λ = 1

En = En(0) + En(1) + En(2) . ßêùî n = 0, òîáòî äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó, äðóãà ïîïðàâêà (2)

E0 =

X

|Vm0 |2

(0)

(0)

m6=0 E0 − Em

. 393

(0)

(2)

(0)

Îñêiëüêè çà îçíà÷åííÿì E0 − Em < 0, òî E0 < 0, òîáòî äðóãà ïîïðàâêà äî åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó çàâæäè ¹ âiä'¹ìíîþ. Ñàìå öå ¹ ïðè÷èíîþ òîãî, ùî îïîñåðåäêîâàíà åíåð iÿ âçà¹ìîäi¨ ìiæ äâîìà ÷àñòèíêàìè ÷åðåç òðåòþ ìà¹ ïðèòÿãóâàëüíèé õàðàêòåð (ñèëè Âàí äåð Âààëüñà, åëåêòðîííi êóïåðiâñüêi ïàðè â íàäïðîâiäíèêó). Çíàéäåìî òåïåð äðóãó ïîïðàâêó äî êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Íåõàé n 6= n′ , i ç íàøîãî ðiâíÿííÿ îäåðæó¹ìî X Vnn Vn′ n Vmn Vn′ m (2) . Cn′ n = − 2 + (0) (0) (0) (0) (0) (0) E − E E − E n m n En − En′ m6=n n′ Äiàãîíàëüíèé åëåìåíò, ÿê i â ïåðøîìó íàáëèæåííi, îá÷èñëþ¹ìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ. Îòæå, X X (2) (1) (0) (2) (0) ψn(0) + λ ψn = 1 + λ2 Cnn Cmn ψm + λ2 Cmn ψm . m6=n

Òåïåð ç óìîâè

Z

m6=n

|ψn |2 dq = 1

ç òî÷íiñòþ äî äðóãîãî íàáëèæåííÿ çíàõîäèìî 2 X X (2) (1)∗ (1) 1 = 1 + λ2 Cnn Cmn Cm′ n δm′ m + λ2 m6=n m′ 6=n

(2)

àáî â öüîìó æ íàáëèæåííi, ïðèéìàþ÷è Cnn âåëè÷èíîþ äiéñíîþ, ìà¹ìî X (2) (1)∗ (1) 2Cnn + Cmn Cmn = 0. m6=n

Çâiäñè îñòàòî÷íî

(2) Cnn =−

|Vmn |2 1 X . 2 (0) (0) 2 m6=n En − Em

Çâåðíiìîñü äî òðåòüîãî íàáëèæåííÿ. Íàñ öiêàâèòèìå ëèøå ïîïðàâêà äî âëàñíîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨. Â íàøîìó îñíîâíîìó ðiâíÿííi ïðèðiâíþ¹ìî êîåiöi¹íòè ïðè λ3 : X (1) (2) (3) (0) (2) Cmn Vn ′ m . (En(0) − En′ )Cn′ n + En(1) Cn′ n + En(2) Cn′ n + En(3) δn′ n = m

394

(1)

(1)

Ïîêëàäåìî n′ = n i ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî Cnn = 0, En = Vnn , à òàêîæ âèäiëÿþ÷è â ïðàâié ÷àñòèíi öi¹¨ ðiâíîñòi ÷ëåí ç m = n, ÿêèé ñêîðî÷ó¹òüñÿ ç äðóãèì äîäàíêîì ç ëiâî¨ ÷àñòèíè, çíàõîäèìî: X (2) Cmn Vnm . En(3) = m (m6=n)

(2)

Ïiäñòàâëÿþ÷è ñþäè ÿâíèé âèãëÿä êîåiöi¹íòà Cmn , îñòàòî÷íî îäåðæó¹ìî òðåòþ ïîïðàâêó äî âëàñíîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨: X X Vnm Vmk Vkn En(3) = (0) (0) (0) (0) (En − Ek )(En − Em ) m k (m6=n) (k6=n)

− Vnn

X

m (m6=n)

|Vmn |2

(0)

(0)

(En − Em )2

.

Óìîâè çàñòîñîâíîñòi ðîçãëÿíóòî¨ òåîði¨ çáóðåíü ìîæíà ïîáà÷èòè ç ñàìèõ âèðàçiâ äëÿ ïîïðàâîê. Ïîïðàâêè äî õâèëüîâî¨ óíêöi¨ (1) ïîâèííi áóòè ìàëèìè. Ç óìîâè |Cmn | ≪ 1 çíàõîäèìî â ÿâíîìó âèãëÿäi óìîâó çàñòîñîâíîñòi òåîði¨ çáóðåíü Vmn ≪1 (0) (0) En − Em

àáî

(0) |Vmn | ≪ En(0) − Em .

Òàêèì ÷èíîì, ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà çáóðåííÿ ïîâèííi áóòè ìàëèìè â ïîðiâíÿííi ç âiäñòàííþ ìiæ åíåð åòè÷íèìè ðiâíÿìè íóëüîâî¨ çàäà÷i. Êðiì òîãî, öÿ òåîðiÿ çáóðåíü íåçàñòîñîâíà ó âèïàäêó âèðîäæåíèõ ðiâíiâ. Ñïðàâäi, ó çíàéäåíèõ âèðàçàõ ïiäñóìîâóâàííÿ éäå çà iíäåêñàìè ñòàíiâ, à íå çà ðiçíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨. Òîìó äëÿ âèðîäæåíî¨ çàäà÷i ðiçíèì ñòàíàì ç iíäåêñàìè n òà m âiäïîâiäà¹ îäíå é òå æ çíà÷åííÿ åíåð i¨, âíàñëiäîê ÷îãî â çíàìåííèêàõ îòðèìó¹ìî íóëi. Öå, íàïðèêëàä, ìà¹ìî â çàäà÷i äëÿ àòîìà âîäíþ, íà ÿêèé íàêëàäåíî çîâíiøí¹ ïîëå. Ïiäñóìîâóâàííÿ 395

â öüîìó âèïàäêó éäå çà ðiçíèìè iíäåêñàìè ñòàíiâ n, l, m, à åíåð(0) iÿ En = −me4 /2~2 n2 çàëåæèòü ëèøå âiä ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n. Òåîðiþ, ÿêó ìè ðîçãëÿíóëè, íàçèâàþòü òåîði¹þ çáóðåíü åëåÿ Øðåäèí åðà. iíøi âàðiàíòè òåîði¨ çáóðåíü. Íàïðèêëàä, ó òåîði¨ çáóðåíü ÁðiëëþåíàÂi íåðà åíåð iÿ En íå ðîçêëàäà¹òüñÿ â ðÿä çà ïàðàìåòðîì λ, i äëÿ íå¨ ç òî÷íiñòþ äî äðóãîãî ïîðÿäêó îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ: X |Vmn |2 . En = En(0) + Vnn + (0) E − E m n m6=n Çðîáèìî, íàðåøòi, òàêå çàóâàæåííÿ. ßêùî, êðiì äèñêðåòíîãî ñïåêòðà, ó íóëüîâié çàäà÷i ¹ i íåïåðåðâíèé ñïåêòð, ùî íóìåðó¹òüñÿ íåïåðåðâíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì f , òî ïiä ïiäñóìîâóâàííÿì çà êâàíòîâèì ÷èñëîì m ðîçóìi¹ìî òàêîæ é iíòå ðóâàííÿ çà f . Ïðèêëàä 1. Àíãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð x

íiàí àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà

2

+ x4 . Íåõàé çàäàíî ãàìiëüòî-

2 2 ˆ = pˆ + mω x2 + αx4 . H 2m 2

Çàïèøiìî éîãî ÿê äå à îïåðàòîð

ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , H 2 2 ˆ 0 = pˆ + mω x2 , H 2m 2

Vˆ = αx4

ðîçãëÿäà¹ìî ÿê çáóðåííÿ. Åíåð iþ çàïèøiìî ç òî÷íiñòþ äî ïåðøîãî ïîðÿäêó En = En(0) + En(1) ,

ïðè÷îìó

En(0) = ~ω n +

à ïîïðàâêà

1 2

,

n = 0, 1, . . . ,

En(1) = Vnn = αhn|x4 |ni,

ˆ 0 . îçäå |ni âëàñíi óíêöi¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ãàìiëüòîíiàíîì H ðàõó¹ìî öþ ïîïðàâêó En(1) = α

X n′

396

hn|x2 |n′ ihn′ |x2 |ni.

Íàãàäà¹ìî, ùî ìàòðè÷íi åëåìåíòè êâàäðàòà êîîðäèíàòè ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ìè âæå ðîçðàõóâàëè ó 22. Âèêîðèñòîâóþ÷è ¨õ òóò, çðàçó çíàõîäèìî

En(1) = α

+ ×

2 X n p n′

n′ (n′ − 1) δn,n′ −2

p

(n′ + 1)(n′ + 2)δn,n′ +2 + (2n′ + 1)δn,n′

np

n(n − 1)δn′ ,n−2 +

=

~ 2mω

α

~ 2mω

2

p

o o

(n + 1)(n + 2)δn′ ,n+2 + (2n + 1)δn,n′

(n + 1)(n + 2) + n(n − 1) + (1 + 2n)2 .

Îòæå, îñòàòî÷íî ìà¹ìî

En(1) = 6α

~ 2mω

2

n2 + n +

1 2

.

Áà÷èìî, ùî ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâîãî ÷èñëà n öÿ ïîïðàâêà ìîæå áóòè áiëüøîþ çà ðiçíèöþ ìiæ ðiâíÿìè íóëüîâî¨ çàäà÷i En(0) . Òàêèì ÷èíîì, òåîðiÿ çáóðåíü ïðàöþ¹ ëèøå äëÿ íèæíiõ ñòàíiâ. Ïðèêëàä 2. Íà ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð ìàñè m i ÷àñòîòè ω íàêëàäåìî çáóðåííÿ V = β3 x3 + β4 x4 . Îá÷èñëèòè ïîïðàâêó äî åíåð i¨ n-ãî ðiâíÿ ç òî÷íiñòþ äî ~2 . Ïåðøà ïîïðàâêà

En(1) = hn|V |ni = β3 hn|x3 |ni + β4 hn|x4 |ni,

à îñêiëüêè äiàãîíàëüíèé ìàòðè÷íèé åëåìåíò âiä x3 äîðiâíþ¹ íóëåâi (äèâ. 22), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è âèðàç äëÿ hn|x4 |ni ç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó, ìà¹ìî

En(1) = 3β4

~ 2mω

2

(2n2 + 2n + 1).

Âíåñîê ∼ ~2 äà¹ òàêîæ äðóãèé ïîðÿäîê òåîði¨ çáóðåíü âiä êóái÷íîãî ÷ëåíà â îïåðàòîði V : En(2) = β32

∞ X |hn′ |x3 |ni|2

=

β32 ~ω

(0)

(0)

n′ =0 (n′ 6=n)

~ 2mω

En − En′

3 X ∞

p 1 (n + 1)(n + 2)(n + 3) δn′ ,n+3 ′ (n − n )

n′ =0 (n′ 6=n)

397

√ √ +3(n + 1) n + 1 δn′ ,n+1 + 3n n δn′ ,n−1 +

2

p

n(n − 1)(n − 2) δn′ ,n−3

,

ìè ñêîðèñòàëèñü âèðàçîì äëÿ ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà äëÿ x3 ç 22, à òàêîæ (0) âçÿëè äî óâàãè, ùî En = ~ω(n + 1/2). Î÷åâèäíî, ùî ïðè ðîçêðèòòi êâàäðàòà ïåðåõðåñíi äîäàíêè äàäóòü íóëüîâèé âíåñîê, îñêiëüêè ìà¹ìî äîáóòîê ñèìâîëiâ Êðîíåêåðà ç íåñóìiñíèìè óìîâàìè: En(2)

3

=

β32 ~ω

−

n(n − 1)(n − 2) 9(n + 1) + 9n + 3

=

−

~ 2mω 3

β32 ~ω

−

(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3

3

~ 2mω

3

(30n2 + 30n + 11).

Îñòàòî÷íî â øóêàíîìó íàáëèæåííi åíåð iÿ

En

=

~ω(n + 1/2) + 6β4

−

30

β32 ~ω

~ 2mω

~ 2mω

2

3

n2 + n +

n2 + n + 11 30

1 2

,

îñêiëüêè âèùi ïîðÿäêè òåîði¨ çáóðåíü, ÿê ïîêàçó¹ åëåìåíòàðíèé àíàëiç ðîçìiðíîñòåé, âèâîäÿòü íàñ çà íàáëèæåííÿ ∼ ~2 . 46. Ìîäåëi ç ìàëèìè ïàðàìåòðàìè, ñòâîðåíèìè

ç Íi÷îãî

îçãëÿíåìî àíãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð x4 . Íà ïðèêëàäi öi¹¨ ìîäåëi ìè ïðîiëþñòðó¹ìî, ïî-ïåðøå, ÿê ìîæíà çàñòîñîâóâàòè òåîðiþ çáóðåíü i â òîìó âèïàäêó, êîëè íåìà¹ ìàëîãî ïàðàìåòðà. Ïîäðóãå, ïîêàæåìî, ÿê óñå æ òàêè ìîæíà âèíàéòè ìàëèé ïàðàìåòð, òàê áè ìîâèòè, ñòâîðèòè éîãî ç Íi÷îãî 1 . 1

Ex nihilo nihil t Íiùî íå âèíèêà¹ ç íi÷îãî. Öþ òåçó çàïåðå÷ó¹ õðèñòèÿíñüêà äîãìàòèêà. Ïðîáëåìà Íiùî ÿê ìåòàiçè÷íîãî, ïîçàñóòíiñíîãî ïîíÿòòÿ âiäîìà äàâíî, ùå ç àíòè÷íî¨ iëîñîi¨. Çà Êàíòîì, ïðåäìåò ÿêîãîñü ïîíÿòòÿ, ÿêå ñóïåðå÷èòü ñàìîìó ñîái, ¹ Íiùî (ïðÿìîëiíiéíà iãóðà ç äâîìà

398

Íåõàé ìè ìà¹ìî ãàìiëüòîíiàí 2 ˆ = pˆ + αx4 . H 2m Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ â êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi: ~2 d2 4 − + αx ψn = E ψn . 2m dx2

Óâåäåìî òàêó íîâó áåçðîçìiðíó çìiííó y , ùî

x = ay, äå åòàëîí äîâæèíè a ïiäáåðåìî òàê, ùîá ìíîæíèê áiëÿ y 4 äîðiâíþâàâ îäèíèöi: 2 d2 2ma2 4 2ma 4 y ψ, − 2 + αa ψ = E dy ~2 ~2

a=

~2 2mα

1/6

.

Òàêèì ÷èíîì, îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ d2 4 − 2 + y ψ = E ∗ ψ, dy

E , ~2 /2ma2 ó ÿêîìó íåìà¹ ìàëîãî ïàðàìåòðà. Iç öi¹¨ ñèòóàöi¨ ìîæíà âèéòè, ÿêùî îïåðàòîð çáóðåííÿ ââåñòè ðóêàìè. Äîäàìî i âiäíiìåìî â ãàìiëüòîíiàíi ïîòåöiàëüíó åíåð iþ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç íåâiäîìîþ ÷àñòîòîþ ω : E∗ =

2 2 2 ˆ = pˆ + αx4 + mω x2 − mω x2 . H 2m 2 2

ñòîðîíàìè). Âèäàòíèé íiìåöüêèé ìèñëèòåëü Ìàðòií àéäå åð (18891976) ðîçêðèâàâ öå ïîíÿòòÿ ç ìåòîþ âiäïîâiñòè íà ïèòàííÿ, ùî òàêå ìåòàiçèêà. Ó çàöiïåíiëîìó ñòàíi æàõó, ïðèíöèïîâî íåâèçíà÷åíîìó âiä ÷îãî, ëþäèíi ÿê òàêié ïðèâiäêðèâà¹òüñÿ Íiùî. Ó öüîìó òðàíñöåíäåíòàëüíîìó ñòàíi âîíà òîðêà¹òüñÿ ïîçàñóòíiñíîãî, ùî é äîñëiäæó¹ ìåòàiçèêà.

399

Íåõàé òåïåð 2 2 ˆ 0 = pˆ + mω x2 , H 2m 2

à ðiçíèöÿ

mω 2 2 Vˆ = αx4 − x 2 ¹ îïåðàòîðîì çáóðåííÿ. Òåïåð ïåðøà ïîïðàâêà äî åíåð i¨

mω 2 En(1) = hn|Vˆ |ni = αhn|x4 |ni − hn|x2 |ni. 2 Âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàòè ç ïðèêëàäó 1 äî ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà, ìà¹ìî: 2 ~ 1 ~ω 1 (1) 2 En = 6α n +n+ − n+ . 2mω 2 2 2 Ïîâíà åíåð iÿ öüîãî íàáëèæåííÿ

1 + En(1) . En = En(0) + En(1) = ~ω n + 2

Íåâiäîìó ÷àñòîòó ω ïiäáåðåìî òàê, ùîá ïåðøà ïîïðàâêà, ÿêà äà¹ ãîëîâíèé âíåñîê ó ïîðiâíÿííi ç âèùèìè ïîïðàâêàìè, äîðiâíþâàëà (1) íóëåâi, En = 0, òîáòî 2 ~ 1 ~ω 1 6α n2 + n + = n+ . 2mω 2 2 2 Çâiäñè çíàõîäèìî

~ω =

3α~4 m2

1/3

n2 1+ n + 1/2

1/3

.

Òåïåð ïîâíà åíåð iÿ 1/3 1/3 n2 1 3α~4 1 + n + . En = m2 n + 1/2 2

Çàóâàæèìî, ùî, çàâäÿêè òàêié ìîäèiêîâàíié òåîði¨ çáóðåíü, öÿ îðìóëà íå âòðà÷à¹ çìiñòó i ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâîãî 400

÷èñëà n: En ∼ n4/3 , n → ∞. Ëåãêî ïîìiòèòè, ùî â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó äëÿ áóäü-ÿêîãî ïîòåíöiàëó åíåð iÿ â öié ãðàíèöi En ∼ nν , äå ν ≤ 2. Âåðõíÿ ìåæà ν = 2 âiäïîâiäà¹ ðiçêîìó ïîòåíöiàëîâi ïðÿìîêóòíîãî ÿùèêà ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè. Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó åíåð iÿ 1/3 1 3α~4 . E0 = 2 m2 Öiêàâî ïîðiâíÿòè ÷èñåëüíå çíà÷åííÿ êîåiöi¹íòà â öüîìó âèðàçi 31/3 /2 = 0.721125 iç éîãî çíà÷åííÿì, ÿêå ìè çíàéøëè ðàíiøå çà äîïîìîãîþ ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à 3 · 21/3 /8 = 0.472470 (îöiíêà çíèçó äëÿ åíåð i¨, äèâ. Ïðèêëàä 2 äî 7), à òàêîæ ç éîãî òî÷íèì çíà÷åííÿì 0.667986. . ., îäåðæàíèì ÷èñåëüíèìè ìåòîäàìè. Ìiæ iíøèì, öå ÷èñëî âiäîìå íà ñüîãîäíi ç ðåêîðäíîþ òî÷íiñòþ â òèñÿ÷ó çíà÷óùèõ öèð. Ìîæíà âèçíà÷èòè íåâiäîìó ÷àñòîòó i ç óìîâè ìiíiìóìó ïîâíî¨ åíåð i¨ 2 ~ 1 1 ~ω 2 n+ + 6α n +n+ . En = 2 2 2mω 2 Ç ðiâíÿííÿ dEn /dω = 0 çíàõîäèìî ÷àñòîòó 1/3 6α~ 1/3 n2 ω= , 1+ m2 n + 1/2

ÿêà ïðèíîñèòü ìiíiìóì åíåð i¨: 1/3 1/3 3 6α~4 1 n2 En = . n + 1 + 4 m2 2 n + 1/2 Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó 4 1/3 1/3 α~ 3 6α~4 = 0.681420 . E0 = 2 8 m m2

Âiäçíà÷èìî íåàíàëiòè÷íó çàëåæíiñòü åíåð i¨ âiä êîíñòàíòè âçà¹ìîäi¨ α â öié ìîäåëi, ùî ñâiä÷èòü ïðî íåçàñòîñîâíiñòü äî íå¨ ñòàíäàðòíî¨ òåîði¨ çáóðåíü. 26

I. Î. Âàêàð÷óê

401

Îòæå, çà äîïîìîãîþ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ÿê ñèñòåìè âiäëiêó ìè ïîáóäóâàëè òåîðiþ çáóðåíü äëÿ ìîäåëi x4 . Ìîæíà ïîëiïøèòè çáiæíiñòü, ÿêùî çíàéòè âäàëiøó ñèñòåìó âiäëiêó, ÿêà á áóëà ïîäiáíiøîþ ïðè ìàëèõ x äî x4 , àëå ìàëà òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê. Íàïðèêëàä, äëÿ äîñëiäæåííÿ îñíîâíîãî ñòàíó ìîæíà âèêîðèñòàòè ç 18 ÿê îïîðíó ìîäåëü ç êâàçiòî÷íî ðîçâ'ÿçóâàíèì ïîòåíöiàëîì, 2~2 6 √ 3/4 4 U= Ax + 6A x . m Õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó öi¹¨ ìîäåëi # " r 3 1/4 2 1 √ 4 ψ(x) = C exp − Ax , A x − 2 2

A1/16 , C= √ 2I0

I0 =

Z∞

e−

√

6z 2 −z 4

dz,

0

à åíåð iÿ

~2 E0 = m

r

3 1/4 A . 2

ßêùî òåïåð äîäàòè é âiäíÿòè â ãàìiëüòîíiàíi ìîäåëi x4 ïîòåíöiàë U , òî ïiñëÿ óñåðåäíåííÿ åíåð iÿ

E = E0 + V , äå óñåðåäíåíèé îïåðàòîð çáóðåííÿ

√ 2~2 (Ax6 + 6A3/4 x4 ), m òóò óâåäåíî ñåðåäíi, çãiäíî ç îçíà÷åííÿì, à ñàìå, V = αx4 −

x4

=

Z∞

x4 ψ 2 (x) dx =

I1 √ , I0 A

Z∞

x6 ψ 2 (x) dx =

I2 , I0 A3/4

−∞

x6

=

−∞

402

ïðè÷îìó

I1 =

Z∞

z 4 e−

Z∞

z 6 e−

√

6z 2 −z 4

dz,

6z 2 −z 4

dz.

0

I2 =

√

0

×èñåëüíi çíà÷åííÿ öèõ iíòå ðàëiâ òàêi: I0 = 0.520337, I1 = 0.032455, I2 = 0.020037. Òåïåð ëåãêî ïiäiáðàòè ïàðàìåòð A òàê, ùîá V = 0, òîäi , √ mα 3/4 A = 2 (I2 /I1 + 6), 2~ à åíåð iÿ

r 4 1/3 1/3 3 α~4 1 α~ √ E= . · = 0.669068 2 2 2m I2 /I1 + 6 m2

Ïîêðàùèòè öåé ðåçóëüòàò ìîæíà, ÿêùî ïàðàìåòð A çíàéòè ç óìîâè ìiíiìóìó åíåð i¨ "r # √ 3 ~2 1/4 αI1 − 2(I2 /I0 + 6I1 /I0 ) + √ . E(A) = A m 2 I0 A Ç ðiâíÿííÿ dE(A)/dA = 0 çíàõîäèìî, ùî # ,"r √ 2mαI1 3 3/4 A = 2 − 2(I2 /I0 + 6I1 /I0 ) , ~ I0 2 à åíåð iÿ ç òàêèì çíà÷åííÿì ïàðàìåòðà A äîðiâíþ¹ #2/3 1/3 "r √ 3 3 α~4 2I1 1/3 E = − 2(I2 /I0 + 6I1 /I0 ) 2 m2 I0 2

= 0.668392 26*

α~4 m2

1/3

. 403

Ïîðiâíþþ÷è öi ÷èñåëüíi çíà÷åííÿ çi çíàéäåíèìè âèùå íà îñíîâi ìîäåëi ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, áà÷èìî, ùî öÿ äðóãà îïîðíà ìîäåëü ¹ óñïiøíiøîþ, îñêiëüêè ÷èñëîâi ìíîæíèêè â åíåð i¨ ¹ áëèæ÷èìè äî òî÷íîãî çíà÷åííÿ 0.667986. . .. Çàïðîïîíó¹ìî ùå îäèí ïiäõiä äî çíàõîäæåííÿ ìàëîãî ïàðàìåòðà òåîði¨ çáóðåíü. Äëÿ öüîãî ââåäåìî ìîäåëü N -âèìiðíîãî àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ãàìiëüòîíiàíîì

H=

ˆ2 α p + |x|4 , 2m N

ˆ= äå âåêòîð êîîðäèíàòè x = (x1 , . . . , xN ), à îïåðàòîð iìïóëüñó p (ˆ p1 , . . . , pˆN ). Âèêîðèñòàéìî ïîïåðåäíié òðþê ç âiäíiìàííÿì òà äîäàâàííÿì ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà é îá÷èñëèìî â ïåðøîìó íàáëèæåííi åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó E = E (0) + E (1) , E (0) = N

E (1) = h0|

~ω , 2

N α X α 4 mω 2 2 |x| − |x| |0i = h0|x4i |0i N 2 N

α + 2 N

i=1

X

1≤i<j≤N

h0|x2i x2j |0i

N mω 2 X − h0|x2i |0i, 2 i=1

äå õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó ψ0 = |0i ¹ äîáóòêîì N õâèëüîâèõ óíêöié îäíîâèìiðíèõ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ. Ïîòðiáíi òóò ñåðåäíi çíà÷åííÿ çíàõîäèìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîïåðåäíi ðåçóëüòàòè ç îäíîâèìiðíî¨ ìîäåëi (äèâ. Ïðèêëàä 1 äî 45):

~ , 2mω ~ 2 2 2 , h0|xi xj |0i = 2mω h0|x2i |0i =

404

i 6= j,

h0|x4i |0i

~ = 3 2mω

2

.

Öi ñåðåäíi çíà÷åííÿ, î÷åâèäíî, íå çàëåæàòü âiä i òà j , òîìó ïîïðàâêà ~ 2 ~ω ~ 2 (1) + (N − 1) α −N E = 3α 2mω 2mω 4 " # ~ 2 ~ 2 N α α + − ~ω . = 2 mω 4 mω Íåâiäîìó ÷àñòîòó ω çíàõîäèìî ç óìîâè ìiíiìóìó ïîâíî¨ åíåð i¨ dE/dω = 0: 1/3 ~4 2 1/3 ~ω = 2α 2 1+ . m N Òåïåð

3 E= N 8

~4 2α 2 m

1/3

2 1+ N

1/3

.

Ïðè N = 1 îòðèìó¹ìî íàâåäåíèé âèùå ðåçóëüòàò. Öiêàâèì, îäíàê, ¹ âèïàäîê N → ∞, êîëè ìîæíà çäiéñíèòè ðîçêëàä åíåð i¨ çà ñòåïåíÿìè 1/N ó ðîçðàõóíêó íà îäèí ñòóïåíü âiëüíîñòi: 1/3 3 ~4 1 E = 2α 2 + + ... . N m 8 4N Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî ïåðøèé ÷ëåí ðîçêëàäó öå òî÷íèé ðåçóëüòàò. Òàêèì ÷èíîì, ìè çíàéøëè ç íi÷îãî ùå îäèí ìàëèé ïàðàìåòð λ = 1/N . Òîáòî äëÿ λ = 0 çàäà÷à ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê, ùî äîçâîëÿ¹ îá÷èñëþâàòè ïîïðàâêè, ïðîïîðöiéíi äî ñòåïåíiâ 1/N . Çîêðåìà, êîåiöi¹íò áiëÿ 1/N , ÿêèé ìè îòðèìàëè íàáëè1/4 i íåçíà÷íî âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä òî÷íîãî çíà÷åííÿ æåíî, äîðiâíþ¹ p 3/2 − 1 = 0.224745. Çàïðîøó¹ìî ÷èòà÷à âiäøóêàòè íàñòóï-

íèé ÷ëåípðîçêëàäó, ïðîïîðöiéíèé äî (1/N )2 , òî÷íå çíà÷åííÿ ÿêîãî 25/36 − 2/3 = −0.122052.

405

Öåé íåñòàíäàðíèé ïiäõiä ó òåîði¨ çáóðåíü, êîëè ìàëèé ïàðàìåòð âíîñèòüñÿ ç-ïîçà ìåæ âèõiäíîãî ãàìiëüòîíiàíà, ìîæíà äîïîâíèòè öiêàâèì ïðèêëàäîì iç òåîði¨ àçîâèõ ïåðåõîäiâ òà êðèòè÷íèõ ÿâèù. Òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i ðîçðàõóíêó àñèìïòîòèêè òåðìîäèíàìi÷íèõ óíêöié â îêîëi êðèòè÷íî¨ òî÷êè ¹ ìîæëèâèì ó 4-âèìiðíîìó ïðîñòîði. Ê. Âiëüñîíîâi2 âäàëîñü ñîðìóëþâàòè òåîðiþ çáóðåíü, äå ìàëèì ïàðàìåòðîì ¹ âåëè÷èíà âiäõèëåííÿ âèìiðíîñòi ïðîñòîðó D âiä ÷îòèðüîõ, ε = 4 − D . Îòðèìàíi ðÿäè òåîði¨ çáóðåíü (òàê çâàíèé ε-ðîçêëàä) âèÿâèëèñü àñèìïòîòè÷íèìè, àëå ¨õíi ïåðøi ÷ëåíè äàþòü çìîãó îäåðæàòè íàäiéíi ðåçóëüòàòè äëÿ âèìiðíîñòi D = 3. Êðiì òîãî, öå ïðèâåëî äî ðîçâèòêó öiëîãî ìàòåìàòè÷íîãî íàïðÿìêó ïiäñóìîâóâàííÿ àñèìïòîòè÷íèõ ðÿäiâ. Ìè áà÷èìî, ùî çíàéòè â çàäà÷i ìàëèé ïàðàìåòð öå é ñïðàâäi ìèñòåöòâî, à ñòàíäàðòíi ïiäõîäè òåîði¨ çáóðåíü ìîæëèâi ëèøå äëÿ îáìåæåíîãî êëàñó ÿâèù. Äî öüîãî õiáà ùî äîäàìî âèñëiâ âiäîìîãî øâåéöàðñüêîãî içèêà-òåîðåòèêà . Éîñòà, ÿêèé iðîíi÷íî ïiäêðåñëþ¹ áóõãàëòåðñüêèé ïiäõiä çâè÷àéíî¨ òåîði¨ çáóðåíü: Ïiä äåìîðàëiçóþ÷èì âïëèâîì êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ òåîði¨ çáóðåíü ïîòðåáà içèêà-òåîðåòèêà â ìàòåìàòè÷íèõ çíàííÿõ çâåëàñü äî ðóäèìåíòàðíîãî âîëîäiííÿ ëàòèíñüêèì òà ãðåöüêèì àëàâiòàìè. 47.

1/N -ðîçêëàä

Ó ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài ìè âiäøóêóâàëè ìàëi ïàðàìåòðè â çàäà÷àõ, äå ¨õ, çäàâàëîñü áè, íåìà¹. Îäíèì iç òàêèõ ïàðàìåòðiâ âèÿâèëàñü âåëè÷èíà, îáåðíåíà äî êiëüêîñòi ñòóïåíiâ âiëüíîñòi äîñëiäæóâàíî¨ ñèñòåìè. Òåïåð ìè ðîçâèíåìî ïîñëiäîâíó òåîðiþ çáóðåíü çà öèì ïàðàìåòðîì. Îòæå, ðîçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði â öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ √ N U (x/ N ), äå x-âiäñòàíü äî ñèëîâîãî öåíòðà. Çàïîçè÷èìî ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà iç 44 ðàçîì ç ïîçíà÷åííÿìè: x ~2 d2 ~2 χ = Eχ. − + (N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + N U √ 2m dx2 8mx2 N 2

Çà ðîçðîáêó òåîði¨ êðèòè÷íèõ ÿâèù Ê. Âiëüñîí ó 1982 ðîöi íàãîðîäæåíèé Íîáåëiâñüêîþ ïðåìi¹þ.

406

√ îáèìî çàìiíó çìiííèõ y = x/ N i îòðèìó¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ: E ~2 d2 − ∗ 2 + w(y) χ = χ, 0 ≤ y < ∞, 2m dy N äå ååêòèâíà ìàñà m∗ = N 2 m, à ååêòèâíèé ïîòåíöiàë

w(y) =

~2 (N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + U (y). 8my 2 N2

ßêùî N → ∞, òî ååêòèâíà ìàñà m∗ → ∞, i îòæå, êiíåòè÷íà åíåð iÿ ÷àñòèíêè äîðiâíþ¹ íóëåâi, à ååêòèâíèé ïîòåíöiàë ïðÿìó¹ äî

w0 (y) =

~2 + U (y). 8my 2

Åíåð iÿ íà îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi E/N , ÿê âèïëèâà¹ ç ðiâíÿííÿ, äîðiâíþ¹ ååêòèâíîìó ïîòåíöiàëîâi, i, çðîçóìiëî, ùîá çàáåçïå÷èòè ñòiéêiñòü, ìè ïîâèííi âçÿòè ïîòåíöiàë ó òî÷öi y = y0 , äå âií ìà¹ ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ: E = w0 (y0 ), N êîîðäèíàòó y0 çíàõîäèìî ç ðiâíÿííÿ

w′ (y0 ) = 0 çà óìîâè, ùî w′′ (y0 ) > 0. Îòæå, â ïðîñòîði ç íåñêií÷åííèì ÷èñëîì âèìiðiâ ÷àñòèíêà çäiéñíþ¹ ñòiéêèé ðóõ ïî ãiïåðñåði íà âiäñòàíi y = y0 âiä ñèëîâîãî öåíòðà, à ¨¨ ïîâíà åíåð iÿ íà îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi ìà¹ ëèøå îäíå ìîæëèâå çíà÷åííÿ. Öåé âèðàç äëÿ åíåð i¨ ¹ ëèøå íóëüîâèì íàáëèæåííÿì. Íàñòóïíèé êðîê ðîçãëÿíóòè ñêií÷åííå çíà÷åííÿ N i äàòè ìîæëèâiñòü ÷àñòèíöi ðóõàòèñü â îêîëi òî÷êè y0 . Òàêèé êîëèâíèé ðóõ ¹ â ãîëîâíîìó íàáëèæåííi ãàðìîíi÷íèì i âiäïîâiäà¹ âðàõóâàííþ ïåðøîãî íåçíèêàþ÷îãî êâàäðàòè÷íîãî ÷ëåíà ðîçêëàäó ïîòåíöiàëó w(y) çà ñòåïåíÿìè âiäõèëåííÿ âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè. Ïåðåéäiìî äî ïðàêòè÷íîãî îá÷èñëåííÿ ïîïðàâîê âèùèõ ïîðÿäêiâ äî íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ åíåð i¨ w0 (y0 ). Çðó÷íî â÷èíèòè òàê. Ïîâåðòà¹ìîñü äî âèõiäíîãî ðiâíÿííÿ ç ïîòåíöiàëîì w(y), ÿêèé 407

ðîçêëàäà¹ìî â ðÿä â îêîëi òî÷êè y = y¯, äå óíêöiÿ w(y) ìà¹ ìiíiìóì. Êâàäðàòè÷íèé äîäàíîê çà âiäõèëåííÿì z = y − y¯ îá'¹äíó¹ìî ˆ 0 äëÿ ç îïåðàòîðîì êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨, öå áóäå ãàìiëüòîíiàíîì H íóëüîâî¨ çàäà÷i, à ðåøòó, òîáòî âñi àíãàðìîíiçìè, ðîçãëÿäà¹ìî ÿê îïåðàòîð çáóðåííÿ. Ó ðåçóëüòàòi íàøå ðiâíÿííÿ ñòà¹ òàêèì: ˆ 0 + V )χ = E − w(¯ (H y ) χ, N äå

z = y − y¯, ÷àñòîòà

2 2 ∗ ¯2 ˆ0 = − ~ d + m ω H z2, 2m∗ dz 2 2

r

ω ′′ (¯ y) , ∗ m à òî÷êó ìiíiìóìó ïîòåíöiàëó w(y) çíàõîäèìî ç ðiâíÿííÿ ω ¯=

w′ (¯ y ) = 0, ïðè÷îìó âåëè÷èíà z çìiíþ¹òüñÿ â ìåæàõ [−¯ y , ∞). Îïåðàòîð çáóðåííÿ X β¯k z k , V = k≥3

äå êîåiöi¹íòè

w(k) (¯ y) β¯k = k! âèçíà÷åíi k-òîþ ïîõiäíîþ ååêòèâíîãî ïîòåíöiàëó â òî÷öi ðiâíîâàãè y = y¯. y )) ñêëàäà¹òüñÿ Òåïåð, çà òåîði¹þ çáóðåíü, åíåð iÿ (E/N − w(¯ ç åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ïëþñ ïîïðàâêè âiä àíãàðìîíiçìiâ: 1 E − w(¯ y ) = ~¯ ω n+ + E (1) + E (2) + . . . , N 2 n = 0, 1, 2, . . ., i ïðè÷îìó E (ν) , ν = 1, 2, . . . öå çâè÷àéíi ïîïðàâêè ν -òîãî ïîðÿäêó çà îïåðàòîðîì çáóðåííÿ V , ÿêi ìàþòü ñòàíäàðòíèé âèãëÿä. 408

Âiäçíà÷èìî îäíó îñîáëèâiñòü ñîðìóëüîâàíî¨ òåîði¨ çáóðåíü. Îñêiëüêè êîîðäèíàòà z çìiíþ¹òüñÿ íå â áåçìåæíèõ ìåæàõ, òî, çäàâàëîñü áè, âèíèêàòèìóòü äîäàòêîâi òðóäíîùi ç ðîçðàõóíêîì ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ. Íàñïðàâäi öå íå òàê, òîìó ùî çíåðîçìiðåíà êîîðäèíàòà

ξ = z

,r √

= z N

~ =z m∗ ω ¯

,

,

~2 mw′′ (¯ y)

~2 m∗ w′′ (¯ y)

1/4

1/4

√ çìiíþ¹òüñÿ â ìåæàõ [−¯ y N (mw′′ (¯ y )/~2 )1/4 , ∞), i îòæå, ïðè N → ∞ îáëàñòü ¨¨ çìiíè öå âñÿ äiéñíà âiñü (−∞, ∞), ÿê i äëÿ çâè÷àéíîãî îäíîâèìiðíîãî îñöèëÿòîðà. Ïðàâäà, ïiä ÷àñ îá÷èñëåíü ïîïðàâîê âèùèõ ïîðÿäêiâ ïðè ðîçðàõóíêàõ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ âèíèêàòèìóòü íà íèæíié ìåæi iíòå ðóâàííÿ âåëè÷èíè ∼ p y )/~] âiä ìíîæíèêà exp(−ξ 2 /2) ó õâèëüîâèõ óíexp[−N y¯2 mw′′ (¯ êöiÿõ. Îäíàê öi âåëè÷èíè ïîðiâíÿíî çi ñòåïåíåâèìè ïîïðàâêàìè ∼ (1/N )k , k = 1, 2, . . ., îá÷èñëåííÿ ÿêèõ ¹ íàøîþ ìåòîþ, äàþòü ïðè N → ∞ çíèêàþ÷èé âíåñîê äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ k. Òîìó íàäàëi âèêîðèñòîâó¹ìî çâè÷àéíó òåîðiþ çáóðåíü äëÿ àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, íå áåðó÷è äî óâàãè ñêií÷åííiñòü íèæíüî¨ ìåæi îáëàñòi çìiíè âåëè÷èíè z . Ïåðø íiæ ðóõàòèñü äàëi, çðîáèìî ùå îäíå çàóâàæåííÿ. Îñêiëü. p ′′ 1/2 ∗ [mw (¯ y )]1/4 , òî ¯ = (~/N ) êè â íàñ ìàñøòàá äîâæèíè ~/m ω ðîçêëàä çà ñòåïåíÿìè 1/N ¹ åêâiâàëåíòíèì ðîçêëàäîâi çà ñòåïåíÿìè ~. Ìè çóïèíèìîñü íà ðîçðàõóíêó åíåð i¨ E/N ó íàáëèæåííi ∼ (~/N )2 . Ó çâ'ÿçêó ç öèì íàì äîñòàòíüî âðàõóâàòè ëèøå êóái÷íèé i ÷åòâåðòèé àíãàðìîíiçìè i ïðîñòî ñêîðèñòàòèñü ðåçóëüòàòîì ðîçðàõóíêó ¨õíüîãî âíåñêó ∼ ~2 ç Ïðèêëàäó 2 äî 45. Òàêèì ÷èíîì, åíåð iÿ íà îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi

E N

1 = w(¯ y ) + ~¯ ω n+ 2

+ 6β¯4

~ 2m∗ ω ¯

2

1 n +n+ 2 2

409

3 ~ 11 β¯32 2 n +n+ , − 30 ~¯ ω 2m∗ ω ¯ 30

äå êâàíòîâå ÷èñëî n = 0, 1, 2, . . . . y ) òà éîãî ïîõiäíi w(k) (¯ y) Îñêiëüêè ååêòèâíèé ïîòåíöiàë w(¯ ¯ (òîáòî ïàðàìåòðè βk ), ÿê i âåëè÷èíà y¯, çàëåæàòü âiä ïàðàìåòðà 1/N , òî öÿ îðìóëà äëÿ E/N ùå íå ¹ ÷èñòèì ðîçêëàäîì çà ñòåïåíÿìè 1/N . Äëÿ òîãî ùîá âèòÿãòè ïàðàìåòð 1/N ç öèõ âåëè÷èí, çàïèøåìî ååêòèâíèé ïîòåíöiàë ó òàêîìó âèãëÿäi:

w(y) = w0 (y) +

1 1 w1 (y) + 2 w2 (y), N N

äå w0 (y) íàâåäåíî âèùå, à

w1 (y) =

w2 (y) =

~2 (l − 1), 2my 2

~2 (2l − 1)(2l − 3). 8my 2

Íåõàé äàëi

y¯ = y0 +

1 1 y1 + 2 y2 + . . . , N N

äå âåëè÷èíè y0 , y1 , . . . âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿííÿ w′ (¯ y ) = 0, çàäîâîëüíÿþ÷è éîãî â êîæíîìó ïîðÿäêó çà ìàëèì ïàðàìåòðîì 1/N . Äëÿ öüîãî ðîçêëàäà¹ìî w′ (¯ y ) ó ðÿä çà 1/N i ç ïîòðiáíîþ íàì òî÷íiñòþ

w′ (¯ y ) = w′ (y0 ) + w′′ (y0 )(¯ y − y0 ) + . . . =

w0′ (y0 ) +

y1 1 ′ w1 (y0 ) + w0′′ (y0 ) + O N N

1 N2

.

Îñêiëüêè öåé ðÿä ïîâèíåí äîðiâíþâàòè íóëåâi, òî çâiäñè çíàõîäèìî, ùî

w0′ (y0 ) = 0, w1′ (y0 ) + w0′′ (y0 ) y1 = 0, ................ 410

Ïåðøå ðiâíÿííÿ âèçíà÷à¹ y0 , ïðî ùî âæå éøëà ìîâà, à ç äðóãîãî ìà¹ìî

y1 = −w1′ (y0 )/w0′′ (y0 ), íàñòóïíi ïîïðàâêè, ÿê âèÿâèòüñÿ, íàì íå çíàäîáëÿòüñÿ. Òåïåð ååêòèâíèé ïîòåíöiàë

w(¯ y ) = w(y0 ) + w′ (y0 )(¯ y − y0 ) +

1 ′′ w (y0 )(¯ y − y0 )2 2!

1 1 w1 (y0 ) + 2 w2 (y0 ) N N 1 w0′′ (y0 ) y12 y1 ′ +O . +w1 (y0 ) 2 + N 2 N2 N3 = w0 (y0 ) +

Îòæå, ìè ìà¹ìî ðîçêëàä çà ñòåïåíÿìè 1/N ïåðøîãî äîäàíêà ó âèðàçi äëÿ åíåð i¨ E/N . Äðóãèé äîäàíîê ∼ ~¯ ω âæå ìà¹ ïîðÿäîê 1/N , îñêiëüêè ÷àñòîòà ω ¯ ∼ 1/N , ÿê öå âèïëèâà¹ ç ¨¨ îçíà÷åííÿ. Òîìó: r 1/2 1 ′′ w′′ (¯ y) ′′′ √ w (y ) + w (y )(¯ y − y ¯ ) + . . . ω ¯= = 0 0 0 m∗ N m

1 ′′ y1 ′′′ w (y0 ) + = w1 (y0 ) + w (y0 ) + O N m N N 0 ω 1 w1′′ (y0 ) + y1 w0′′′ (y0 ) = +O , 1+ N 2N w0′′ (y0 ) N2 1 √

′′

äå ââåäåíî ÷àñòîòó

ω=

r

1 N2

1/2

w0′′ (y0 ) . m

Íàñòóïíi äîäàíêè ó îðìóëi äëÿ åíåð i¨ E/N , ÿêi ïîõîäÿòü âiä êóái÷íîãî òà ÷åòâåðòîãî àíãàðìîíiçìó, íå ïîòðåáóþòü ðîçêëàäiâ çà ñòåïåíÿìè 1/N , îñêiëüêè âîíè âæå ¹ ïðîïîðöiéíèìè äî (1/N )2 , ¯ ∼ N. òîìó ùî m∗ ω 411

Íàðåøòi, çáèðàþ÷è âñi öi âèðàçè ðàçîì, âèïèøåìî øóêàíèé ðîçêëàä çà ìàëèì ïàðàìåòðîì 1/N äëÿ åíåð i¨ íà îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi3 : 1 1 E = w0 (y0 ) + ~ω n + + w1 (y0 ) N N 2 ( [w1′ (y0 )]2 1 w (y ) − + 2 0 N2 2mω 2

+ ~ω

"

+ 6β4

1 n+ 2

w1′′ (y0 ) w1′ (y0 )w0′′′ (y0 ) − 2mω 2 2m2 ω 4

#)

1 n2 + n + 2

−

äå

β3 =

30β32

w0′′′ (y0 ) 6~ω (IV )

11 n2 + n + 30

w (y0 ) β4 = 0 24~ω

~ 2mω

3/2

~ 2mω

+O

1 N3

,

,

2

.

ßêùî âçÿòè äî óâàãè ÿâíi âèðàçè äëÿ óíêöié w1 (y), w2 (y), òî îñòàòî÷íî ç òî÷íiñòþ 1/N 2 çíàõîäèìî: En,l ~ω 1 = w0 (y0 ) + n + + p0 (l − 1) N N 2 " ~ω p0 (2l − 1)(2l − 3) − 4p30 (l − 1)2 + N2 4

1 + 6 n+ 2

3/2

(l − 1)(p20 + 4p0 β3 )

3 Âèùi íàáëèæåííÿ çà ïàðàìåòðîì 1/N äèâ. I. O. Vakar huk. The 1/N expansion in quantum me hani s. High-order approximations // J. Phys. Stud. 6, No. 1, 4654 (2002).

412

+ 6β4

1 n +n+ 2 2

−

30β32

11 n +n+ 30 2

# ,

äå âåëè÷èíà p0 = ~/2mωy02 ; iíäåêñàìè áiëÿ åíåð i¨ âêàçó¹ìî íà ¨¨ çàëåæíiñòü âiä êâàíòîâèõ ÷èñåë n, l. Ìè çíàéøëè áàæàíó îðìóëó ðîçêëàäó âëàñíîãî çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà ç äîâiëüíèì ïîòåíöiàëîì çà ñòåïåíÿìè âåëè÷èíè, îáåðíåíî¨ äî êiëüêîñòi âèìiðiâ. Íåäîëiêîì öi¹¨ òåîði¨ çáóðåíü ¹ òå, ùî âîíà ïðàöþ¹ ëèøå äëÿ íèæíiõ çáóäæåíèõ ñòàíiâ, êîëè àíãàðìîíiçìè ¹ íåðîçâèíóòèìè. Âîäíî÷àñ âîíà ìà¹ é âåëèêó ïåðåâàãó, îñêiëüêè äëÿ îäåðæàííÿ ÷èñëîâîãî ðåçóëüòàòó ïîòðåáó¹ ëèøå åëåìåíòàðíîãî âìiííÿ áðàòè ïîõiäíi âiä óíêöi¨ w0 (y). Îáãîâîðèìî òåïåð êiëüêà ìîäåëüíèõ çàäà÷. Ïîòåíöiàë U = U (y) çíàõîäèìî ç óìîâè, ùî x NU √ = Φ(x), N äå Φ(x) âèõiäíà ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ. Íàïðèêëàä, äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ

mω02 2 Φ(x) = x , 2 √ ïðèãàäóþ÷è, ùî y = x/ N , çíàõîäèìî mω02 2 y , 2 à ðåøòà ðîçðàõóíêiâ ¹ øêiëüíîãî ðiâíÿ òèïó çâåäåííÿ ïîäiáíèõ: r ~ω0 ~ , w0 (y0 ) = , ω = 2ω0 , y0 = 2mω0 2 U (y) =

p0 =

1 , 2

1 β3 = − √ , 4 2

β4 =

5 . 32

Ó ðåçóëüòàòi ó îðìóëi äëÿ åíåð i¨ En,l /N ÷ëåí ∼ 1/N 2 äîðiâíþ¹ íóëåâi i ìè îòðèìó¹ìî òî÷íèé ðåçóëüòàò: N En,l = ~ω0 2n + l + . 2 413

Äëÿ êóëîíiâñüêî¨ çàäà÷i, êîëè

Φ(x) = −

e2 , x

óíêöiÿ

U (y) = −

e2 N N y 1 √

i òàêîæ ïðîñòi ðîçðàõóíêè äàþòü:

y0 =

√ ~2 N N, 2 4me

p0 = 1,

1 β3 = − , 2

Òåïåð åíåð iÿ

En,l N àáî

En,l

w0 (y0 ) = −

~ω ~ω = − + 4 N

2me4 , ~2 N 3

ω=

8me4 ~3 N 3

3 β4 = . 4

1 n+l− 2

−

3~ω (2n + 2l − 1)2 + . . . , 4N 2

8me4 1 3 1 2n + 2l − 1 2 = 2 2 − + − (2n + 2l − 1) + O . ~ N 4 2N 4N 2 N3

Öåé âèðàç ¹ âiäòâîðåííÿì ïåðøèõ òðüîõ ÷ëåíiâ ðîçêëàäó çà ñòåïåíÿìè 1/N òî÷íî¨ îðìóëè

En,l = −

~2 (2n

2me4 , + 2l − 1 + N )2

ÿêó ìè îòðèìàëè â 44. Öiêàâî ïîðiâíÿòè, ùî äàþòü ïåðøi ÷ëåíè ðîçêëàäó äëÿ êóëîíiâñüêî¨ çàäà÷i â òðèâèìiðíîìó âèïàäêó N = 3. Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó (n = 0, l = 0) íàøå íàáëèæåííÿ äà¹

E0,0 = −

me4 8 , 2~2 9

òîáòî ç òî÷íiñòþ ∼ 11% âiäòâîðþ¹ òî÷íèé ðåçóëüòàò. Ïiñëÿ öi¹¨ óñïiøíî¨ ïåðåâiðêè 1/N -ðîçêëàäó íà åòàëîííèõ ìîäåëÿõ äîñëiäèìî iíøi çàäà÷i. 414

Çâåðíåìîñü äî âæå íå ðàç îáãîâîðþâàíî¨ ìîäåëi àíãàìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà x4 , êîëè U = αy 4 . Íåîáõiäíi ðîçðàõóíêè òàêîæ ¹ ïðîñòèìè i ñïðàâäi çâîäÿòüñÿ õiáà ùî äî àêóðàòíîãî çâåäåííÿ ïîäiáíèõ: 1/3 2 1/6 3 2α~4 ~ , , w0 (y0 ) = y0 = 16mα 8 m2

~ω =

√

6

1 p0 = √ , 6

2α~4 m2

1/3

β3 = −

,

1 , 12 · 61/4

Äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó åíåð iÿ 1/3 " 2α~4 3 1 E0,0 = + 2 N m 8 N

−

1 N2

r

2 25 − 3 36

!

+O

β4 = r

11 √ . 48 6

! 3 −1 2

1 N3

# .

Íåçâàæàþ÷è íà òå, ùî ïàðàìåòð 1/N ¹ çîâñiì íå ìàëèì, êîëè N = 1, ìè ç öi¹¨ îðìóëè, îäíàê, îòðèìà¹ìî äîáðèé ðåçóëüòàò i â öüîìó âèïàäêó: 1/3 2α~4 × 0.477693. E0,0 = m2

×èñëîâèé êîåiöi¹íò ç 10% òî÷íiñòþ óçãîäæó¹òüñÿ ç òî÷íèì çíà÷åííÿì 0.5301810. Íà çàâåðøåííÿ íàâîäèìî òàêîæ ðåçóëüòàò ðîçðàõóíêó äëÿ |x|îñöèëÿòîðà: √ U = α|y|/ N . Îòæå,

y0 =

~2 √ N 4mα

1/3

,

3 w0 (y0 ) = 4

2~2 α2 mN

1/3

, 415

√ ~ω = 3

1 p0 = √ , 3

2~2 α2 mN

1/3

β3 = −

Åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó 2 2 1/3 " E0,0 2~ α 1 3 = + N mN 4 N

,

1 , 35/4

β4 =

5 √ . 12 3

! # √ 1 3 5 −1 + . 3− 2 3N 2 3

√

Äëÿ îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó, N = 1, ÷èñëîâèé êîåiöi¹íò ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ äîðiâíþ¹ 0.637820, à òî÷íèé ðåçóëüòàò (äèâ. 24: ε0 /41/3 , ç òàáëèöi ε0 = 1.018793) äà¹ 0.641799. ßê áà÷èìî, i â öüîìó âèïàäêó ìè îäåðæàëè äóæå äîáðå óçãîäæåííÿ, õî÷à 1/N çíîâó æ òàêè ñïðàâäi íå ¹ ìàëèì ïàðàìåòðîì4 . Íàñàìêiíåöü çàóâàæèìî, ùî äëÿ ñòåïåíåâèõ ïîòåíöiàëiâ, U ∼ s y , íàø 1/N -ðîçêëàä äiéñíî âèÿâèâñÿ ÷èñòèì ðîçêëàäîì çà ïàðàìåòðîì 1/N , îñêiëüêè çàëåæíiñòü âiä N ìíîæíèêà â U (äèâ. êóëîíiâñüêó çàäà÷ó àáî |x|-îñöèëÿòîð) çáèðà¹òüñÿ ó ñïiëüíèé ìíîæíèê äëÿ âñiõ ïîïðàâîê. Äëÿ iíøèõ ïîòåíöiàëiâ òàêîãî ñïiëüíîãî ìíîæíèêà âæå ìîæå é íå áóòè. 48. Ååêòèâíà ìàñà äîìiøîê ó êîíäåíñîâàíèõ òiëàõ

îçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî ðóõ äîìiøêîâèõ àòîìiâ ó êîíäåíñîâàíîìó ñåðåäîâèùi. Öå ìîæå áóòè, íàïðèêëàä, ðóõ àòîìà 3 He â ðiäêîìó 4 He àáî ðóõ åëåêòðîíà â éîííîìó êðèñòàëi. Ìè ðîçâ'ÿæåìî çàäà÷ó ïðî ðóõ ÷àñòèíêè â êîíäåíñîâàíîìó òiëi, ÿêå ñêëàäà¹òüñÿ ç N àòîìiâ (éîíiâ) â îá'¹ìi V ç êîîðäèíàòàìè R1 , . . . , RN . Íàøå çàâäàííÿ çíàéòè ååêòèâíó ìàñó òàêî¨ ÷àñòèíêè, âèêîðèñòîâóþ÷è îðìóëè ñòàöiîíàðíî¨ òåîði¨ çáóðåíü. 4

Äëÿ äîâiäêè íàâåäåìî íàñòóïíi ÷ëåíè ðîçêëàäó ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ ó âèðàçàõ äëÿ åíåð ié îñíîâíîãî ñòàíó öèõ ìîäåëåé: äëÿ îñöèq àíãàðìîíi÷íîãî

2 /N 3 ; äëÿ − 287 ëÿòîðà x4 äîäàíîê, ïðîïîðöiéíèé äî 1/N 3 , äîðiâíþ¹ 17 27 432 3 √ |x|-îñöèëÿòîðà âií äîðiâíþ¹ 337 3 − 8 /9N 3 (äèâ. âèíîñêó íà ñòîð. 412). 72

416

àìiëüòîíiàí çàäà÷i 2 ˆ = pˆ + Vˆ + H ˆ ′, H 2m

ˆ îïåðàòîð ¨¨ iìäå m ïî÷àòêîâà àáî ãîëà ìàñà ÷àñòèíêè, p ˆ ′ ãàìiëüòîíiàí ñåðåäîâèùà, à îïåðàòîð Vˆ , ÿêèé ìè ïóëüñó, H ðîçãëÿäà¹ìî ÿê çáóðåííÿ (íàáëèæåííÿ ñëàáêîãî çâ'ÿçêó), îïèñó¹ ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ âçà¹ìîäi¨ ÷àñòèíêè ç àòîìàìè ñåðåäîâèùà: Vˆ =

N X j=1

U (|r − Rj |),

äå r êîîðäèíàòà ÷àñòèíêè. îçðàõó¹ìî ïîïðàâêè äî åíåð i¨ ñèñòåìè ÷àñòèíêà ïëþñ ñåðåäîâèùå âiä îïåðàòîðà çáóðåííÿ Vˆ , êîëè ñåðåäîâèùå ïåðåáóâà¹ â îñíîâíîìó ñòàíi ç åíåð i¹þ E0′ i õâèëüîâîþ óíêöi¹þ |0), à ÷àñòèíêà√ìà¹ iìïóëüñ ~k, åíåð iþ ~2 k2 /2m i õâèëüîâó óíêöiþ |ki = eikr / V . Îòæå, ïîâíà åíåð iÿ ñèñòåìè (0)

(1)

(2)

Ek = Ek + Ek + Ek + . . . , äå íóëüîâå íàáëèæåííÿ (0)

Ek =

~2 k2 + E0′ . 2m

Ïåðøà ïîïðàâêà çà îçíà÷åííÿì äîðiâíþ¹: (1) Ek = hk, 0|Vˆ |k, 0i,

äå õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè â íóëüîâîìó íàáëèæåííi |k, 0i = |ki|0). îçðàõó¹ìî íåäiàãîíàëüíèé ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà Vˆ íà ïëîñêèõ õâèëÿõ, ÿêèé âèêîðèñòà¹ìî i äëÿ äðóãî¨ ïîïðàâêè: Z −ik′ r X N eikr e √ U (|r − Rj |) √ dr hk′ |Vˆ |ki = V j=1 V

=

Z N 1 X −i(k′ −k)Rj ′ e e−i(k −k)R U (R) dR, V j=1

27

I. Î. Âàêàð÷óê

417

òóò óâåäåíî ïîçíà÷åííÿ äëÿ íîâî¨ çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ R = r−Rj (ÿêîáiàí ïåðåõîäó äîðiâíþ¹ îäèíèöi). Îñêiëüêè iíòå ðàë íå çàëåæèòü âiä iíäåêñó j , òî

hk |Vˆ |ki = ′

√

N ρq νq , V

N 1 X −iqRj ρq = √ e N j=1

êîåiöi¹íò Ôóð'¹ ëþêòóàöi¨ ãóñòèíè àòîìiâ ó ñåðåäîâèùi, à νq ¹ êîåiöi¹íòîì Ôóð'¹ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ äîìiøêè ç àòîìîì: Z νq = e−iqR U (R) dR, äå õâèëüîâèé âåêòîð q = k′ − k. Òåïåð ìà¹ìî: (1)

Ek = ρν0 , äå ρ = N/V ãóñòèíà àòîìiâ ñåðåäîâèùà. Çðîáèìî òåïåð ðîçðàõóíîê äðóãî¨ ïîïðàâêè: (2)

Ek =

X X |hk′ , q′ |Vˆ |k, 0i|2

q′ 6=0 k′ 6=k

(0)

(0)

Ek − Ek′,q′

,

(0)

åíåð iÿ ïðîìiæíîãî ñòàíó Ek′,q′ = ~2 k′2 /2m + E0′ + E(q ′ ), äå E(q ′ ) åíåð iÿ çáóäæåííÿ ñåðåäîâèùà, à õâèëüîâà óíêöiÿ |k′ , q′ i = |k′ i|q′ ). Õâèëüîâó óíêöiþ ñåðåäîâèùà |q′ ) â ãîëîâíîìó íàáëèæåííi ìîæíà çàïèñàòè, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, ÿê äîáóòîê ñóìè ïëîñêèõ õâèëü àòîìiâ ñåðåäîâèùà íà õâèëüîâó óíêöiþ p îñíîâíîãî ñòàíó |q′ ) = ρ−q′ |0)/ Sq′ , Sq′ = (0|ρq′ ρ−q′ |0). Ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ëþêòóàöiþ ãóñòèíè àòîìiâ

Sq = (0|ρq ρ−q |0) = |ρq |2 , ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ ðîçòàøóâàííÿì àòîìiâ ó ñåðåäîâèùi, íàçèâàþòü ñòðóêòóðíèì àêòîðîì êîíäåíñîâàíîãî òiëà (òóò ðèñêà îçíà÷à¹ óñåðåäíåííÿ çà îñíîâíèì ñòàíîì). Âèêîðèñòîâóþ÷è çíàéäåíèé âèùå ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåíü, ïåðåéäåìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà k′ äî ïiäñóìîâóâàííÿ 418

çà õâèëüîâèì âåêòîðîì q i îòðèìà¹ìî

|(q′ |ρq νq |0)|2 N XX . V2 ′ ~2 k2 /2m − ~2 (k + q)2 /2m − E(q ′ )

(2)

Ek =

q 6=0 q6=0

Õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó |0) çàëåæèòü ëèøå âiä ðiçíèöi êîîðäèíàò àòîìiâ, òîìó ìàòðè÷íèé åëåìåíò p p (q′ |ρq |0) = (0|ρq′ ρq |0)/ Sq′ = Sq δq+q′ ,0 .

Ñïðàâäi, îá÷èñëþþ÷è öþ âåëè÷èíó â äåÿêié iíøié ñèñòåìi êîîðäèíàò, çñóíóòié ñòîñîâíî ïî÷àòêîâî¨ íà äîâiëüíèé ñòàëèé âåêòîð R, ′ êîëè Rj → Rj + R, ìè îòðèìà¹ìî çàéâèé ìíîæíèê ei(q+q )R , i îñêiëüêè ðåçóëüòàò íå ìà¹ çàëåæàòè âiä R, òî ìóñèòü áóòè: q+q′ = 0. Òåïåð äðóãà ïîïðàâêà (2)

Ek = −

Sq |νq |2 N X . V2 ~2 q 2 /2m + ~2 (kq)/m + E(q) q6=0

îçêëàäåìî âèðàç ïiä çíàêîì ñóìè â ðÿä çà ñòåïåíÿìè k: (2)

Ek

= −

×

"

Sq |νq |2 N X V2 ~2 q 2 /2m + E(q) q6=0

2kq 1− 2 + q + 2mE(q)/~2

2kq q 2 + 2mE(q)/~2

2

#

− ... .

Íàéíèæ÷i çáóäæåíi ñòàíè êîíäåíñîâàíîãî òiëà öå çâè÷àéíi çâóêîâi õâèëi (îíîíè), êîëè E(q) = c~q , q → 0, c øâèäêiñòü çâóêó. Îòæå, òàêèé ðîçêëàä ìîæíà ðîáèòè ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ q . Âíåñîê âiä äðóãîãî ÷ëåíà ðîçêëàäó î÷åâèäíî äîðiâíþ¹ íóëåâi, îñêiëüêè äîäàíêè ç âiä'¹ìíèìè é äîäàòíèìè íàïðÿìêàìè âåêòîðà q âçà¹ìíî ñêîðî÷óþòüñÿ: (2)

(2)

Ek = Ek=0 − 27*

Sq |νq |2 4(kq)2 N X + ... , V2 ~2 q 2 /2m + E(q) [q 2 + 2mE(q)/~2 ]2 q6=0

419

äå âåëè÷èíà (2)

Ek=0 = −

N X Sq |νq |2 2 2 2 V ~ q /2m + E(q) q6=0

ðàçîì iç ïåðøîþ ïîïðàâêîþ äîðiâíþ¹ åíåð i¨ çâ'ÿçêó äîìiøêè â êîíäåíñîâàíîìó ñåðåäîâèùi (åíåð iÿ çàíóðåííÿ äîìiøêè). Ïå(2) ðåéäåìî ó âèðàçi äëÿ Ek âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèì âåêòîðîì q äî iíòå ðóâàííÿ, ìàþ÷è íà óâàçi ãðàíè÷íèé ïåðåõiä V → ∞, i ïðîiíòå ðó¹ìî ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ çà êóòîâèìè çìiííèìè: Z ∞ ~2 k2 2 Sq |2mνq /~2 |2 (2) (2) 4 Ek = Ek=0 − q ρ dq + . . . . 2m 3π 2 0 [q 2 + 2mE(q)/~2 ]3 Áà÷èìî, ùî ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ õâèëüîâîãî âåêòîðà k äðóãà ïîïðàâêà äî åíåð i¨ ïðîïîðöiéíà äî k2 . Òåïåð ïîâíà åíåð iÿ (0)

(1)

(2)

Ek = Ek + Ek + Ek = Ek=0 +

~2 k2 + ... , 2m∗

k → 0,

äå åíåð iÿ çàíóðåííÿ (2)

Ek=0 − E0′ = ρν0 + Ek=0 ,

à äðóãèé äîäàíîê ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê êiíåòè÷íó åíåð iþ äîìiøêè ç ååêòèâíîþ ìàñîþ m∗ , ùî âèçíà÷à¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿ: Z ∞ Sq |2mνq /~2 |2 2 m 4 q = 1 − ρ dq. m∗ 3π 2 0 [q 2 + 2mE(q)/~2 ]3

Äëÿ îöiíêè ååêòèâíî¨ ìàñè íåçàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè âèêîðèñòàéìî îäèíèöþ âèìiðó äîâæèíè a, ÿêà ¹ ðàäióñîì äi¨ ïîòåíöiàëó, ν0 = 2π~2 a/m ¯, m ¯ çâåäåíà ìàñà äîìiøêè é àòîìà ñåðåäîâèùà (äèâ. Ïðèêëàä äî 107). Ïåðåéäåìî äî çíåðîçìiðåíî¨ çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ p = qa i ââåäåìî çíåðîçìiðåíèé êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ νq∗ = νq /ν0 . Ó ðåçóëüòàòi Z Sq |νq∗ |2 2 3 4m 2 ∞ 4 m ρa = 1 − dp, p m∗ 3 m ¯ [p2 + 2ma2 E(q)/~2 ]3 0 äå q = p/a. ßê áà÷èìî, ååêòèâíà ìàñà äîìiøêè ëiíiéíî çðîñòà¹ ç ãóñòèíîþ ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ ρ. 420

Öiêàâî ïîðiâíÿòè öþ êâàíòîâó çàäà÷ó iç çàäà÷åþ êëàñè÷íî¨ ãiäðîäèíàìiêè ïðî ðóõ òâåðäî¨ êóëi ìàñè m i ðàäióñà a â iäåàëüíié ðiäèíi çi ñòàëîþ øâèäêiñòþ v. Êiíåòè÷íà åíåð iÿ ñèñòåìè êóëÿ ïëþñ ðiäèíà äîðiâíþ¹ m∗ v2 /2, äå 2 m∗ = 1 + πρa3 . m 3 Äðóãèé äîäàíîê ó öüîìó âèðàçi, ÿêèé íàçèâàþòü ïðè¹äíàíîþ ìàñîþ, óðàõîâó¹ ðåàêöiþ ðiäèíè íà ðóõ êóëi. Âîíà ìîæå iíòåðïðåòóâàòèñü ÿê çáiëüøåííÿ ìàñè êóëi íà âåëè÷èíó, ÿêà äîðiâíþ¹ ïîëîâèíi ìàñè ðiäèíè, ùî âèøòîâõíóòà íåþ. ßê áà÷èìî, â ëiíiéíîìó íàáëèæåííi çà ãóñòèíîþ êâàíòîâèé âèðàç äëÿ m∗ ç òî÷íiñòþ äî ñòàëî¨ çáiãà¹òüñÿ ç êëàñè÷íèì. 49. Ìîäåëü iç íåàíàëiòè÷íîþ çàëåæíiñòþ åíåð i¨

âiä êîíñòàíòè âçà¹ìîäi¨

îçãëÿíåìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

ˆ = Eψ, Hψ äå ãàìiëüòîíiàí

ˆ =H ˆ 0 + Vˆ . H ˆ 0 âiäîìi: Âëàñíi óíêöi¨ i âëàñíi çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà H ˆ 0 ψn(0) = En(0) ψn(0) , H à äëÿ âèçíà÷åíîñòi ââàæà¹ìî iíäåêñ ñòàíó n = 0, 1, 2, . . . , N . iâ(0) íÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ çà ψn ìà¹ òàêèé âèãëÿä: N X (0) Vnm Cm = 0. En − E Cn + m=0

Íà âiäìiíó âiä ðiâíÿííÿ, ÿêå ìè âèïèñóâàëè â 45, îïóñêà¹ìî iíäåêñ ó øóêàíié åíåð i¨ i äðóãèé iíäåêñ ó êîåiöi¹íòàõ Cmn . 421

Ìîäåëü ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà çáóðåííÿ (äèâ. [20℄)

V0n = Vn0 = U 6= 0,

ðåøòà

Vmn = 0. Âèïèøåìî ðiâíÿííÿ äëÿ Cn ïðè n = 0,

N X (0) Cm = 0, E0 − E C0 + U m=1

à òàêîæ ðiâíÿííÿ, êîëè n 6= 0, En(0) − E Cn + U C0 = 0, ç ÿêîãî ìà¹ìî

Cn =

U C0 (0)

E − En

.

Òåïåð iç ïîïåðåäíüîãî ðiâíÿííÿ äëÿ Cn ïðè n = 0 îòðèìó¹ìî

E−

(0) E0

=U

2

m=1

Óâåäåìî ãóñòèíó ñòàíiâ

ρ(E) =

N X

N X

m=1

1 (0)

E − Em

.

(0) δ(E − Em )

i ïåðåïèøåìî íàøå ðiâíÿííÿ òàê: Z (0) 2 E − E0 = U

∞

−∞

ρ(E) dE. E−E

Çìîäåëþéìî òåïåð ãóñòèíó ñòàíiâ ρ (äèâ. ðèñ. 45), âèáðàâøè ¨¨ (0) (0) ïîñòiéíîþ âåëè÷èíîþ â ìåæàõ E0 − ∆ ≤ E ≤ E0 + ∆ i ðiâíîþ íóëåâi ïîçà íèìè: Z E (0) +∆ Z ∞ 0 dE = 2ρ∆. ρ(E) dE = ρ −∞

422

(0)

E0 −∆

èñ. 45.

Ìîäåëü ãóñòèíè ñòàíiâ.

Ç iíøîãî áîêó, çà îçíà÷åííÿì,

Z

∞

ρ(E) dE =

−∞

N Z X

∞

n=1 −∞

N X (0) 1 = N. δ E − En dE = n=1

Îòæå, N = 2ρ∆, àáî

ρ=

N . 2∆

Òåïåð

E−

(0) E0

U 2N = 2∆

Z

(0)

E0 +∆ (0) E0 −∆

dE . E−E

Iíòå ðó¹ìî i îòðèìó¹ìî òðàíñöåíäåíòíå ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìî¨ âåëè÷èíè E : (0) U 2 N E − E0 − ∆ (0) ln E − E0 = − . E − E (0) + ∆ 2∆ 0

Çâiäñè çíàéäåìî íàéíèæ÷å çíà÷åííÿ åíåð i¨ E , êîëè (0)

E − E0 ≃ −∆. 423

Îòæå,

U 2N ∆= ln 2∆ çâiäêè

−2∆ (0)

E − E0 + ∆

!

,

(0)

E − E0 = −∆ − 2∆e−1/λ ,

äå êîíñòàíòà âçà¹ìîäi¨

U 2N . 2∆2 Ìè îòðèìàëè öiêàâèé ðåçóëüòàò íåàíàëiòè÷íó çàëåæíiñòü åíåð i¨ E íàøî¨ ìîäåëi âiä êîíñòàíòè âçà¹ìîäi¨ λ. Î÷åâèäíî, ùî öåé ðåçóëüòàò íåìîæëèâî îäåðæàòè çâè÷àéíèì çàñòîñóâàííÿì òåîði¨ çáóðåíü åëåÿØðåäèí åðà. Ìîäåëü, ÿêó ìè ðîçãëÿíóëè, êîëè ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà çáóðåííÿ ¹ âiäìiííèìè âiä íóëÿ ëèøå ìiæ îñíîâíèì òà çáóäæåíèìè ñòàíàìè íóëüîâî¨ çàäà÷i (i âñi âîíè ðiâíi ìiæ ñîáîþ), ñòîñó¹òüñÿ i ìîäåëi íàäïðîâiäíèêà ÁàðäiíàÊóïåðàØðiåðà (ìîäåëü ÁÊØ). Ïîíèæåííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó â ìîäåëi ÁÊØ çà ðàõóíîê åëåêòðîí-îíîííî¨ âçà¹ìîäi¨ òà óòâîðåííÿ êóïåðiâñüêèõ ïàð åëåêòðîíiâ ç åíåð i¹þ çâ'ÿçêó ïîðÿäêó åíåð åòè÷íî¨ ùiëèíè ∆ ìà¹ òàêó æ çàëåæíiñòü âiä êîíñòàíòè çâ'ÿçêó λ, ÿêó ìè ùîéíî çíàéøëè. Ïðè÷îìó ∆ ∼ ωD , äå ωD ÷àñòîòà Äåáàÿ. Ïðè òåìïåðàòóði àáñîëþòíîãî íóëÿ íàäïðîâiäíèê öå ñóêóïíiñòü êóïåðiâñüêèõ ïàð, ÿêi ïðè ðîçñiÿííi íå ñïðèéìàþòü åíåð i¨ ìåíøî¨, íiæ åíåð iÿ çâ'ÿçêó. Òîìó é ñïîñòåðiãà¹òüñÿ áåçóòðàòíèé òðàíñïîðò åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó. Iç ïiäâèùåííÿì òåìïåðàòóðè òåïëîâèé ðóõ ðîçðèâà¹ êóïåðiâñüêi ïàðè, i ïðè òåìïåðàòóði Tc = 2∆e−1/λ íàäïðîâiäíiñòü çíèêà¹. λ=

50. Òåîðiÿ çáóðåíü ó âèïàäêó âèðîäæåííÿ

îçãëÿíåìî íåçáóðåíó ñèñòåìó, åíåð åòè÷íi ðiâíi ÿêî¨ ¹ âèðî(0) äæåíèìè, òîáòî ðiâíþ åíåð i¨ En âiäïîâiäà¹ íå îäíà âëàñíà óíêöiÿ, à äåêiëüêà: ˆ 0 ψ (0) = E (0) ψ (0) , H n,α

424

n

n,α

äå äðóãèé iíäåêñ ñòàíó α = 1, . . . , s. Êðàòíiñòü âèðîäæåííÿ s, óçàãàëi êàæó÷è, çàëåæèòü âiä êâàíòîâîãî ÷èñëà n. Íàïðèêëàä, (0) ó òåîði¨ àòîìà âîäíþ åíåð iÿ En = −me4 /2~2 n2 çàëåæèòü âiä (0) ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n = 1, 2, . . ., à õâèëüîâi óíêöi¨ ψn,l,m çàëåæàòü íå ëèøå âiä n, à é âiä îðáiòàëüíîãî l òà ìàãíiòíîãî m êâàíòîâèõ ÷èñåë, α = (l, m). Êðàòíiñòü âèðîäæåííÿ s = n2 (áåç óðàõóâàííÿ ñïiíó åëåêòðîíà). Çáóðåííÿ Vˆ ìîæå ïðèâîäèòè äî ÷àñòêîâîãî àáî ïîâíîãî çíÿòòÿ âèðîäæåííÿ. Íàøå çàâäàííÿ çíàéòè öå ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ äëÿ çáóðåíî¨ çàäà÷i. Âèõîäèìî ç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

ˆ 0 + Vˆ )ψ = Eψ. (H Çîáðàçèìî óíêöiþ ψ ó âèãëÿäi ëiíiéíî¨ êîìáiíàöi¨ ç s óíêöié, (0) ùî âiäïîâiäàþòü åíåð i¨ En :

ψ=

s X

(0) Cα ψn,α .

α=1

Öå ¹ íàáëèæåíèé âèãëÿä õâèëüîâî¨ óíêöi¨, îñêiëüêè ñóêóïíiñòü (0) ëèøå s óíêöié ψn,α íå óòâîðþ¹ ïîâíîãî íàáîðó. Ïiäñòàâèìî öåé (0)∗ âèðàç ó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ïîìíîæèìî éîãî çëiâà íà ψn,α′ , ïðîiíòå ðó¹ìî çà çìiííèìè, âiä ÿêèõ çàëåæàòü õâèëüîâi óíêöi¨, i çíàéäåìî ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó Cα : s h X

α=1

i En(0) − E δα′ α + Vα′ α Cα = 0,

äå ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåííÿ Z (0)∗ (0) ′ Vα α = ψn,α′ Vˆ ψn,α dq.

Óìîâîþ íåòðèâiàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó îòðèìàíîãî ðiâíÿííÿ ¹ ðiâíiñòü éîãî âèçíà÷íèêà íóëåâi:

| − ∆Eδα′ α + Vα′ α | = 0,

òóò óâåäåíî ïîçíà÷åííÿ äëÿ çñóâó åíåð i¨

∆E = E − En(0) . 425

Ìè îòðèìàëè àë åáðà¨÷íå ðiâíÿííÿ s-ãî ñòåïåíÿ äëÿ ∆E , êîðåíi ÿêîãî ∆E1 , . . . , ∆Es äàþòü øóêàíå ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ. Çàëåæíî âiä ñèìåòði¨ îïåðàòîðà çáóðåííÿ Vˆ , öi êîðåíi ìîæóòü áóòè âñi ðiçíèìè, òîäi âèðîäæåííÿ ïîâíiñòþ çíiìà¹òüñÿ, àáî ÿêùî äåÿêi êîðåíi ðiâíi ìiæ ñîáîþ, òî âèðîäæåííÿ çíiìà¹òüñÿ ëèøå ÷àñòêîâî. Íàñòóïíèé êðîê ïîëÿãà¹ â çíàõîäæåííi êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó Cα ç ðiâíÿííÿ äëÿ íèõ ç óðàõóâàííÿì óìîâè íîðìóâàííÿ s X

α=1

|Cα |2 = 1.

Ïîêëàäàþ÷è ∆E = ∆E1 , ç öèõ ðiâíÿíü çíàõîäèìî Cα = Cα (∆E1 ) i âiäïîâiäíó õâèëüîâó óíêöiþ X (0) ψ1 = Cα (∆E1 ) ψn,α . α

Ïîñëiäîâíî ïðîäîâæó¹ìî öþ ïðîöåäóðó i, íàðåøòi, ïîêëàäàþ÷è ∆E = ∆Es , çíàõîäèìî Cα = Cα (∆Es ) i s-òó õâèëüîâó óíêöiþ X (0) ψs = Cα (∆Es ) ψn,α . α

Ïîñòàâëåíà çàäà÷à ðîçâ'ÿçàíà â ïåðøîìó íàáëèæåííi. Íàãàäà¹ìî, ùî ïðè âiäñóòíîñòi âèðîäæåííÿ õâèëüîâi óíêöi¨ íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ ïðîñòî çáiãàëèñü iç õâèëüîâèìè óíêöiÿìè íåçáóðåíî¨ çàäà÷i. Ó âèïàäêó âèðîäæåííÿ, îñêiëüêè îäíîìó ðiâíþ åíåð i¨ (0) En âiäïîâiäàþòü s õâèëüîâèõ óíêöié, ìè ïîâèííi â íóëüîâîìó íàáëèæåííi âçÿòè äî óâàãè âñi öi óíêöi¨. Çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, ¨õíÿ ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ òàêîæ îïèñó¹ ñòàí ç öi¹þ åíåð i¹þ. Îòæå, çíàéäåíi õâèëüîâi óíêöi¨ ψ1 , . . . , ψs ¹ ïðàâèëüíèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ. Íà öèõ óíêöiÿõ ìîæíà òåïåð ðîçðàõîâóâàòè ïîïðàâêè âèùîãî ïîðÿäêó. ßê ïðèêëàä ðîçãëÿíåìî âèïàäîê äâîêðàòíîãî (s = 2) âèðîäæåííÿ. Äëÿ çñóâó åíåð i¨ ∆E ìà¹ìî êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ: −∆E + V11 V12 = 0, V21 −∆E + V22 426

êîðåíi ÿêîãî

∆E1,2 =

V11 + V22 1 p (V11 − V22 )2 + 4|V12 |2 . ± 2 2

Ñèñòåìà ðiâíÿíü äëÿ êîåiöi¹íòiâ ðîçêëàäó Cα ìà¹ òàêèé âèãëÿä:

(V11 − ∆E)C1 + V12 C2 = 0, V21 C1 + (V22 − ∆E)C2 = 0, |C1 |2 + |C2 |2 = 1. Ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ çíàõîäèìî

C2 = − Òåïåð iç òðåòüîãî ðiâíÿííÿ

|C1 |2 =

V21 C1 . V22 − ∆E 1

1 + |V12

|2 /(V

22

− ∆E)2

.

Îòæå, ìà¹ìî:

C1 = ± p C2 = ∓

1 1 + |V12

|2 /(V

22

− ∆E)2

,

V21 p . (V22 − ∆E) 1 + |V12 |2 /(V22 − ∆E)2

îçãëÿíüìî äëÿ ïðîñòîòè âèïàäîê, êîëè äiàãîíàëüíi ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà çáóðåííÿ äîðiâíþþòü íóëåâi: V11 = V22 = 0. Äëÿ çñóâó åíåð i¨ îòðèìà¹ìî

∆E1,2 = ±|V12 |. Òåïåð ïðè ∆E = ∆E1 = |V12 | çíàõîäèìî

1 C1 = ± √ , 2

V21 C2 = ± |V12 |

√

2. 427

Ïðèïóñòèìî, ùî ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà çáóðåíü ¹ äiéñíèìè âåëè÷èíàìè i V12 < 0, òîäi

1 C1 = √ , 2

1 C2 = − √ 2

i ïðàâèëüíà õâèëüîâà óíêöiÿ íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ 1 (0) (0) ψ1 = √ ψn1 − ψn2 . 2 ßêùî ∆E = ∆E2 = −|V12 |, òî

1 C1 = √ , 2

1 C2 = √ , 2

à õâèëüîâà óíêöiÿ

1 (0) (0) ψ2 = √ ψn1 + ψn2 . 2

Äëÿ ñèñòåì iç äâîìà ñòàíàìè âèïèñàíi îðìóëè äàþòü òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i. Öi âèðàçè áóëè âèêîðèñòàíi â 3 äëÿ iëþñòðàöi¨ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨: ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ, ìîëåêóëà åòèëåíó, ÿâèùå áèòòÿ òà ií. 51. Ååêò Øòàðêà â àòîìi âîäíþ

Ååêò Øòàðêà öå ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà â çîâíiøíüîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi. Íàêëàäåìî íà àòîì âîäíþ çîâíiøí¹ ïîñòiéíå îäíîðiäíå åëåêòðè÷íå ïîëå5 íàïðóæåíiñòþ E . Âèáåðåìî ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ùîá âåêòîð E áóâ íàïðÿìëåíèé óçäîâæ îñi z . Îïåðàòîð åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ àòîìà iç çîâíiøíiì ïîëåì

Vˆ = −dE,

äå åëåêòðè÷íèé äèïîëüíèé ìîìåíò àòîìà

d = er = −|e| r,

5 Âïëèâ íåîäíîðiäíèõ ïîëiâ íà àòîìíi ñïåêòðè äîñëiäæóâàâ Â. Ñ. Ìiëiÿí÷óê (19051958), ÿêèé ïðàöþâàâ ó Ëüâiâñüêîìó óíiâåðñèòåòi é ó 19461958 ðîêàõ çàâiäóâàâ êàåäðîþ òåîðåòè÷íî¨ içèêè.

428

à r ðàäióñ-âåêòîð åëåêòðîíà. Òóò ìè íå áåðåìî äî óâàãè åëåêòðè÷íèé êâàäðóïîëüíèé òà âèùi ìîìåíòè àòîìà. Îòæå, îïåðàòîð Vˆ = |e|rE = |e|Ez = |e|rE cos θ,

äå ïîëÿðíèé êóò θ öå êóò ìiæ âiññþ z i ðàäióñ-âåêòîðîì r. îçðàõó¹ìî ïåðøó ïîïðàâêó äî åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà âîäíþ (−me4 /2~2 ), ðîçãëÿäàþ÷è îïåðàòîð Vˆ ÿê çáóðåííÿ: Z (1) 2 E0 = h1, 0, 0|Vˆ |1, 0, 0i = ψ1,0,0 (r)|e|rE dr,

òóò |n, l, mi = ψn,l,m õâèëüîâi óíêöi¨ àòîìà âîäíþ. Ëåãêî áà÷èòè, ùî ïåðøà ïîïðàâêà äîðiâíþ¹ íóëåâi. Öå âèäíî õî÷à áè ç òîãî, ùî ïðè çàìiíi r íà (−r) âîíà çìiíþ¹ çíàê. Ôîðìàëüíî íóëüîâå çíà÷åííÿ îòðèìó¹ìî ïðè iíòå ðóâàííi ó ñåðè÷íié ñèñòåìi êîîðäèíàò çà ïîëÿðíèì êóòîì θ . I âçàãàëi, óñi äiàãîíàëüíi ìàòðè÷íi åëåìåíòè äîðiâíþþòü íóëåâi: hn, l, m|Vˆ |n, l, mi = 0.

Îòæå, âèõîäèòü, ùî ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìiâ âiäìiííå âiä íóëÿ ëèøå â äðóãîìó ïîðÿäêó òåîði¨ çáóðåíü i ¹, âíàñëiäîê öüîãî, ïðîïîðöiéíèì äî êâàäðàòà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ. Öåé òàê çâàíèé êâàäðàòè÷íèé ååêò Øòàðêà i ñïîñòåðiãà¹òüñÿ äëÿ àòîìiâ. Âèíÿòêîì ¹ àòîì âîäíþ, ó ÿêîìó, âíàñëiäîê âèðîäæåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ, ñïîñòåðiãà¹ìî ëiíiéíèé ååêò Øòàðêà, òîáòî çñóâ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ, ïðîïîðöiéíèé äî íàïðóæåíîñòi E . îçãëÿíåìî, äëÿ ïðèêëàäó, ïåðøèé çáóäæåíèé ðiâåíü àòîìà âîäíþ, êîëè ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n = 2. Åíåð i¨ (−me4 /8~2 ) òåïåð âiäïîâiäàþòü ÷îòèðè õâèëüîâi óíêöi¨:

|1i = ψ2,0,0 ,

|2i = ψ2,1,0 ,

|3i = ψ2,1,−1 ,

|4i = ψ2,1,1 .

îçðàõó¹ìî ïîòðiáíi äëÿ ðîçâ'ÿçêó ñåêóëÿðíî¨ çàäà÷i ìàòðè÷íi åëåìåíòè Vα′ α îïåðàòîðà çáóðåííÿ íà öèõ ñòàíàõ. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðàíiøå ïðèéíÿòi â òåîði¨ àòîìà âîäíþ ïîçíà÷åííÿ, çíàõîäèìî Z ∞ ′ ′ ˆ Rn,l′ (r)rRn,l (r)r 2 dr hn, l , m |V |n, l, mi = |e| E 0

429

× ×

Z

Z

π 0

Θl′ ,m′ (θ) cos θ Θl,m (θ) sin θ dθ 2π

0

′

e−im ϕ eimϕ √ √ dϕ = const × δm′ ,m . 2π 2π

Ñèìâîë Êðîíåêåðà δm′ ,m äà¹ iíòå ðóâàííÿ çà àçèìóòàëüíèì êóòîì ϕ, âíàñëiäîê ÷îãî ç óñiõ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ Vα′ α âiäìiííèìè âiä íóëÿ ¹ ëèøå V12 òà V21 :

V12 = V21 = h1|Vˆ |2i = h2, 0, 0|Vˆ |2, 1, 0i.

Òàêèì ÷èíîì, ìàòðèöÿ îïåðàòîðà çáóðåííÿ ìà¹ òàêèé âèãëÿä:   0 V12 0 0      V21 0 0 0  . Vˆ =     0 0 0 0    0 0 0 0 Ìàòðè÷íèé åëåìåíò V12 ëåãêî ðîçðàõóâàòè: Z ∞ R2,0 (r)rR2,1 (r)r 2 dr V12 = |e|E 0

×

Z

π

Θ0,0 (θ) cos θ Θ1,0 (θ) sin θ dθ

0

Ìà¹ìî iíòå ðàëè: Z ∞ R2,0 (r)rR2,1 (r)r 2 dr =

Z

Z

2π 0

1 dϕ. 2π

ρ dρ e−ρ ρ4 1 − 2 0 0 √ aB 5! √ = = −3 3aB , 4! − 2 4 3 √ Z π Z π 3 1 Θ0,0 (θ) cos θ Θ1,0 (θ) sin θ dθ = sin θ cos2 θ dθ = √ . 2 0 3 0 aB √ 4 3

Îòæå,

V12 = −3|e| EaB . 430

∞

Çàïèøåìî ñåêóëÿðíå ðiâíÿííÿ −∆E V12 0 0 V21 −∆E 0 0 0 0 −∆E 0 0 0 0 −∆E

= 0.

îçêðèâàþ÷è âèçíà÷íèê, çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ çñóâó åíåð i¨ ∆E . Âèïèøåìî ðîçâ'ÿçêè:

∆E1,2 = ±|V12 |,

∆E3,4 = 0.

ßê áà÷èìî, âèðîäæåííÿ çíiìà¹òüñÿ ëèøå ÷àñòêîâî. Âèïèøåìî òåïåð ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ Cα :

−∆EC1 + V12 C2 = 0, V21 C1 − ∆EC2 = 0, −∆EC3 = 0, −∆EC4 = 0 òà óìîâó íîðìóâàííÿ äëÿ íèõ

|C1 |2 + |C2 |2 + |C3 |2 + |C4 |2 = 1. Íåõàé ∆E =∆E3 =0. Ç ðiâíÿíü âèïëèâà¹, ùî C1 =0, C2 =0. Êðiì òîãî, ïîêëàäåìî C4 =0, à ç óìîâè íîðìóâàííÿ ìà¹ìî C3 =1. Îòæå, õâèëüîâà óíêöiÿ

ψ3 = |3i = ψ2,1,−1 , i ¨é âiäïîâiäà¹ åíåð iÿ E3 = −me4 /8~2 . Íåõàé òåïåð ∆E = ∆E4 = 0. Ìiðêóâàííÿ, àíàëîãi÷íi äî ïîïåðåäíiõ, ïðèâîäÿòü äî õâèëüîâî¨ óíêöi¨

ψ4 = |4i = ψ2,1,1 , ùî îïèñó¹ ñòàí ç òàêîþ æ åíåð i¹þ E4 = −me4 /8~2 . 431

èñ. 46. îçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà âîäíþ â åëåêòðè÷íîìó ïîëi.

Äàëi ðîçãëÿíåìî íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ñåêóëÿðíîãî ðiâíÿííÿ. Ïåðøèé êîðiíü

∆E = ∆E1 = |V12 | = 3|e|aB E.

Ç òðåòüîãî òà ÷åòâåðòîãî ðiâíÿíü äëÿ Cα ìà¹ìî C3 = 0, C4 = 0, à ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ

V12 C2 = −C2 . ∆E Ç óìîâè íîðìóâàííÿ çíàõîäèìî ÿâíi âèðàçè: C1 =

1 C1 = √ , 2

1 C2 = − √ . 2

Îòæå,

1 ψ1 = √ (|1i − |2i), 2 à âiäïîâiäíà åíåð iÿ

E1 = −me4 /8~2 + 3|e|aB E.

Áåðåìî äðóãèé êîðiíü

∆E = ∆E2 = −|V12 | = −3|e|aB E. 432

Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ

V12 C2 = C2 ∆E i ç äîïîìîãîþ óìîâè íîðìóâàííÿ çíàõîäèìî C1 =

1 C1 = √ , 2

1 C2 = √ . 2

Òåïåð õâèëüîâà óíêöiÿ i âiäïîâiäíà åíåð iÿ:

1 ψ2 = √ (|1i + |2i), 2 E2 = −me4 /8~2 − 3|e|aB E.

Ñèìåòðè÷íié óíêöi¨, ÿê áà÷èìî, âiäïîâiäà¹ ìåíøå çíà÷åííÿ åíåð i¨ (äèâ. òàêîæ ðèñ. 46). 52.

π -åëåêòðîííà

òåîðiÿ îðãàíi÷íèõ ìîëåêóë

Ùå îäíi¹þ öiêàâîþ iëþñòðàöi¹þ çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ çáóðåíü ¹ ðîçðàõóíîê åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà åëåêòðîíiâ íà π -çâ'ÿçêàõ â îðãàíi÷íèõ ìîëåêóëàõ òèïó áåíçîëó C6 H6 (ðèñ. 47). Äëÿ ëiíiéíèõ îðãàíi÷íèõ ìîëåêóë òèïó áóòàäi¹íó öþ çàäà÷ó ìè ðîçâ'ÿçàëè ðàíiøå (äèâ. Ïðèêëàä 4 äî 13). Çàäà÷à äëÿ áåíçîëó âiäðiçíÿ¹òüñÿ òèì, ùî òóò ìè ìà¹ìî çàìêíåíèé ëàíöþæîê. ¨ ðîçâ'ÿçîê ìîæíà âèêîðèñòàòè òàêîæ äëÿ ðîçðàõóíêó åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ åëåêòðîíà â êðèñòàëi. Çðîçóìiëî, ùî òàêå ÷åðãóâàííÿ ïîäâiéíèõ i îäèíàðíèõ çâ'ÿçêiâ ¹ ñóïåðïîçèöiéíèì, à íå çàêðiïëåíèì. Òîáòî, ìîëåêóëà áåíçîëó ¹ ïîâíiñòþ ñèìåòðè÷íîþ, ïðî ùî i ñâiä÷èòü åêñïåðèìåíò. îçãëÿíüìî çàìêíåíèé ëàíöþæîê ç N àòîìàìè âóãëåöþ, ÿêi ñïîëó÷åíi ìiæ ñîáîþ îäèíàðíèìè òà ïîäâiéíèìè çâ'ÿçêàìè, ùî ÷åðãóþòüñÿ. Êîæåí ç àòîìiâ âóãëåöþ òàêîæ ñïîëó÷åíèé îäèíàðíèì çâ'ÿçêîì ç àòîìîì âîäíþ. Ïîäâiéíèé çâ'ÿçîê ñòâîðåíèé òàê çâàíèìè π - òà σ -çâ'ÿçêàìè. Íàñ öiêàâèòèìóòü ñàìå π -çâ'ÿçêè, íà ÿêèõ åëåêòðîíè ¹ ðóõëèâèìè. Íàøå çàâäàííÿ ðîçðàõóâàòè ðiâíi åíåð i¨ öèõ π -åëåêòðîíiâ. Iíäåêñîì n áóäåìî íóìåðóâàòè ñòàíè åëåêòðîíà íà n-òîìó àòîìi âóãëåöþ. 28

I. Î. Âàêàð÷óê

433

èñ. 47.

Ìîëåêóëà áåíçîëó.

Îòæå, ìè çíîâó ìà¹ìî ñïðàâó iç ñåêóëÿðíîþ ïðîáëåìîþ:

X (−Eδnn′ + Hnn′ )Cn′ = 0, n′

äå ìàòðè÷íi åëåìåíòè ãàìiëüòîíiàíà çàäà¹ìî òàê:

Hnn = E0 , Hn,n±1 = −A, ðåøòà Hnn′ = 0. Öå ¹ òàê çâàíå íàáëèæåííÿ íàéáëèæ÷èõ ñóñiäiâ, êîëè âðàõîâóþòüñÿ ñòðèáêè åëåêòðîíà ëèøå íà ïåðøi ñóñiäíi âóçëè. Iìîâiðíiñòü ïåðåõîäó åëåêòðîíà ÷åðåç âóçîë óâàæà¹òüñÿ òàêîþ, ùî äîðiâíþ¹ íóëåâi. Iíàêøå êàæó÷è, õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíà ñèëüíî ëîêàëiçîâàíà íà âóçëi i íå ïåðåêðèâà¹òüñÿ ç õâèëüîâîþ óíêöi¹þ íàñòóïíèõ ñóñiäiâ. Óðàõîâóþ÷è öå, âèïèøåìî ó ÿâíîìó âèãëÿäi ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ Cn :

(E0 − E)Cn − ACn+1 − ACn−1 = 0 àáî

Cn+1 = 434

E0 − E Cn − Cn−1 . A

Çàïèøåìî öå ðiâíÿííÿ â êîìïàêòíiøié îðìi. Äëÿ öüîãî ââåäåìî âåêòîð   Cn  Xn =  Cn−1 òà òàê çâàíó òðàíñåð-ìàòðèöþ 

Tˆ = 

E0 −E A

−1

1

0



.

Òåïåð ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ Cn çàïèøåìî òàê:

Xn+1 = TˆXn . Îñêiëüêè ëàíöþæîê çàìêíåíèé, òî êîåiöi¹íò CN +1 ïîâèíåí çáiãàòèñü iç êîåiöi¹íòîì C1 , à êîåiöi¹íò CN +2 ç êîåiöi¹íòîì C2 i ò.ä. Íàãàäà¹ìî, ùî, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, |Cn |2 äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi òîãî, ùî åëåêòðîí çíàõîäèòüñÿ íà n-òîìó àòîìi âóãëåöþ. Iç öèõ ãðàíè÷íèõ óìîâ âèïëèâà¹, ùî

XN +2 = X2 . Ëiâó ÷àñòèíó öi¹¨ ðiâíîñòi ìîæíà çàïèñàòè ùå é òàê:

XN +2 = TˆXN +1 = TˆTˆXN = . . . = TˆN X2 . Îòæå, ìè îòðèìàëè îäíîðiäíå ëiíiéíå ðiâíÿííÿ äëÿ âåêòîðà X2

TˆN X2 = X2 , àáî

(TˆN − 1)X2 = 0. Óìîâîþ íåòðèâiàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó öüîãî ðiâíÿííÿ ¹

|TˆN − 1| = 0. 28*

435

Ç íüîãî çíàõîäèìî åíåð åòè÷íi ðiâíi åëåêòðîíà. Âèêîðèñòà¹ìî òåîðåìó àóññà ïðî êîðåíi àë åáðà¨÷íîãî ðiâíÿííÿ i çàïèøåìî òàêå ìàòðè÷íå ðiâíÿííÿ:

TˆN − 1 =

N −1 Y s=0

Tˆ − e2πis/N ,

äå âåëè÷èíè e2πis/N ¹ êîðåíÿìè ç îäèíèöi. Íàãàäà¹ìî, ùî äåòåðìiíàíò äîáóòêó ìàòðèöü äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi äåòåðìiíàíòiâ ìàòðèöü:

|TˆN − 1| =

N −1 Y s=0

ˆ T − e2πis/N .

Òåïåð ðiâíÿííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ ðiâíiâ åíåð i¨ çâîäèòüñÿ äî òàêîãî: ˆ T − e2πis/N = 0. Âèêîðèñòîâóþ÷è ÿâíèé âèãëÿä ìàòðèöi Tˆ, E0 −E A − e2πis/N −1 1 −e2πis/N

−

E0 − E − e2πis/N A

ìà¹ìî = 0,

e2πis/N + 1 = 0,

E0 − E − e2πis/N = e−2πis/N . A Îòæå, äîçâîëåíi ðiâíi åíåð i¨ 2πs Es = E0 − 2A cos , N s = 0, 1, . . . , N − 1.

Öiêàâî ïîðiâíÿòè íàø ðåçóëüòàò iç îðìóëîþ äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ π -åëåêòðîíà â ëiíiéíîìó íåçàìêíåíîìó ëàíöþæêó, ÿêó ìè îòðèìàëè â Ïðèêëàäi 4 äî 13 ïðÿìèì ðîçðàõóíêîì âèçíà÷íèêà ñåêóëÿðíîãî ðiâíÿííÿ: πs Es = E0 − 2A cos , N +1 436

s = 1, 2, . . . , N. Öåé ðåçóëüòàò ìîæíà îäåðæàòè é iíøèì øëÿõîì. Ñïðàâäi, ó âèïàäêó ïåðiîäè÷íî¨ ñòðóêòóðè ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ Cn

(E0 − E)Cn − ACn+1 − ACn−1 = 0

ìîæíà çàäîâîëüíèòè ïiäñòàíîâêîþ

Cn ∼ eiαn ,

n = 1, 2, . . .

i â ðåçóëüòàòi îòðèìàòè çâiäêè

(E0 − E) − Aeiα − Ae−iα = 0, E = E0 − 2A cos α.

Êóò α âèçíà÷à¹ìî ç ãðàíè÷íèõ óìîâ

C0 = 0, CN +1 = 0, ÿêi íå äîïóñêàþòü ìîæëèâîñòi ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíà ïîçà ìåæàìè ëàíöþæêà. Öi óìîâè çàäîâîëüíÿþòüñÿ, ÿêùî âçÿòè ëiíiéíó êîìáiíàöiþ ðîçâ'ÿçêiâ iç äîäàòíîþ òà âiä'¹ìíîþ àçàìè, Cn ∼ sin αn. Ïåðøà óìîâà çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ òðèâiàëüíî, à äðóãà äà¹ α(N + 1) = πs, s = 1, 2, . . . , N , ùî é ïðèâîäèòü íàñ äî âèïèñàíîãî âèùå ðåçóëüòàòó. îçâ'ÿçêè äëÿ çàìêíåíîãî é íåçàìêíåíîãî ëàíöþæêiâ ¹ ñóòò¹âî ðiçíèìè. Äëÿ çàìêíåíîãî ëàíöþæêà ìà¹ìî ëèøå ïàðíi ãàðìîíiêè (0, 2π/N , 4π/N, . . .), à äëÿ íåçàìêíåíîãî ïîâíèé ðÿä ãàðìîíiê (π/(N + 1), 2π/(N + 1), 3π/(N + 1), . . .). Ìè âæå çóïèíÿëèñü ó 5 íà îáãîâîðåííi ãðàíè÷íèõ óìîâ, ùî íàêëàäàþòüñÿ íà õâèëüîâi óíêöi¨. Òóò äëÿ íàî÷íî¨ iëþñòðàöi¨ ðiçíèöi öèõ ðîçâ'ÿçêiâ ìîæíà ïðîâåñòè àíàëîãiþ ç äåðåâ'ÿíèìè ìóçè÷íèìè iíñòðóìåíòàìè: ìè ëåãêî ðîçðiçíÿ¹ìî çâó÷àííÿ ëåéòè i êëàðíåòà. Ôëåéòà öå öèëiíäðè÷íà òðóáà, ÿêà ïîâîäèòü ñåáå (âíàñëiäîê âåëèêîãî îòâîðó ïîáëèçó çàêðèòîãî êiíöÿ) ÿê âiäêðèòà ç îáîõ êiíöiâ i ìà¹ ÿê ïàðíi, òàê i íåïàðíi ãàðìîíiêè. Ìiæ iíøèì, íà ÿêiñòü çâóêó ëåéòè âïëèâà¹ é ðåçîíàíñ ïîðîæíèíè ðîòà âèêîíàâöÿ. Êëàðíåò òàêîæ 437

öèëiíäðè÷íà òðóáà, àëå ç îäíèì çàêðèòèì êiíöåì, i éîãî çâóê ìà¹ ëèøå íåïàðíi ãàðìîíiêè. Âiäñóòíiñòü ïàðíèõ ãàðìîíiê íàäà¹ çâó÷àííþ êëàðíåòà ñâî¹ðiäíî¨ ìåëîäiéíîñòi. Ïðàâäà, ïðîïóñêè ïàðíèõ ãàðìîíiê çáiëüøóþòü iíòåðâàë ìiæ ìîäàìè êîëèâàíü, òîìó äëÿ êëàðíåòà âëàñòèâi òðóäíîùi â òåõíiöi âèêîíàííÿ. Öi òðóäíîùi íå âèíèêàþòü â iíñòðóìåíòiâ ãðóïè ãîáîÿ (ãîáîé, àíãëiéñüêèé ðiæîê, à îò, êîíòðàà îò), ÿêi ¹ êîíi÷íèìè òðóáàìè, à îòæå, ç ïîâíèì ðÿäîì ãàðìîíiê, ÿê öèëiíäðè÷íà òðóáà, ùî âiäêðèòà ç îáîõ êiíöiâ. Äëÿ ïðèêëàäó ðîçãëÿíåìî ìîëåêóëó áåíçîëó. Âèïèøåìî åíåð åòè÷íi ðiâíi çàìêíåíîãî ëàíöþæêà äëÿ N = 6 i çîáðàçèìî ¨õ íà ðèñ. 48.

èñ. 48.

Åíåð åòè÷íi ðiâíi áåíçîëüíîãî êiëüöÿ.

Ïiäðàõó¹ìî ïîâíó åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó, ïàì'ÿòàþ÷è, ùî íà êîæíîìó ðiâíi ìîæóòü çíàõîäèòèñü äâà åëåêòðîíè ç ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè ñïiíàìè, à òàêîæ óðàõîâóþ÷è, ùî äðóãèé ðiâåíü ¹ äâîêðàòíî âèðîäæåíèì:

E = 2(E0 − 2A) + 4(E0 − A) = 6E0 − 8A. Ó ðîçðàõóíêó íà îäèí åëåêòðîí öÿ åíåð iÿ

4 E = E0 − A N 3 438

i âîíà ¹ íàéíèæ÷îþ äëÿ ìîæëèâèõ êiëüöåâèõ ìîëåêóë. Äî ðå÷i, âîíà ìåíøà, íiæ ó âèïàäêó, êîëè ìîëåêóëà áåíçîëó ðîçãëÿäà¹òüñÿ ÿê ñèñòåìà ç òðüîìà íåçàëåæíèìè ïîäâiéíèìè çâ'ÿçêàìè, åíåð iÿ ÿêî¨ E/N = E0 − A. Òîáòî, ÿêùî åëåêòðîíàì äîçâîëèòè áiãàòè ïî âñüîìó êiëüöþ, òî ìîëåêóëà ñòà¹ ñòàáiëüíiøîþ. Îòæå, ìîëåêóëà áåíçîëó ¹ íàéñòiéêiøîþ. Ó öüîìó íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ÿêùî ïiäðàõóâàòè ïîâíó åíåð iþ â çàãàëüíîìó âèïàäêó äëÿ N åëåêòðîíiâ: X E= (E0 − 2A cos (2πs/N )) , ïðè÷îìó ïiäñóìîâóâàòè íåîáõiäíî ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî íà êîæíîìó ðiâíi ¹ äâà åëåêòðîíè, à ÷àñòèíà ðiâíiâ âèðîäæåíi. Çàëèøà¹ìî ÷èòà÷åâi öåé ïðîñòèé, àëå öiêàâèé ðîçðàõóíîê. Íàâåäåìî ðåçóëüòàò:  π π  / sin 2N , N − íåïàðíå, N E0 − 2A cos2 2N     π E= , N/2 − íåïàðíå, N E0 − 4A sin N     π  N E0 − 4A tg N , N/2 − ïàðíå. ×èñëî N ó íàøîìó âèïàäêó, çðîçóìiëî, ¹ ïàðíèì. Âåëè÷èíà

E − N E0 4AN ÿê óíêöiÿ ÷èñëà N çîáðàæåíà íà ðèñ. 49. Âîíà äîñÿãà¹ ìiíiìóìó ε = −1/3 ñàìå ïðè N = 6. Ó ãðàíèöi N → ∞ ìà¹ìî ε = −1/π . Òàêèì ÷èíîì, ñåðåä ìîæëèâèõ êiëüöåâèõ ìîëåêóë ó ïðèðîäi ðåàëiçó¹òüñÿ ìîëåêóëà áåíçîëó. Öiêàâî, ùî ñåðåä âiðòóàëüíèõ ìîëåêóë íàéñòiéêiøi òi ìîëåêóëè, äëÿ ÿêèõ N/2 ¹ íåïàðíèì, N = 10, 14, . . .. Ìîäåëü, ÿêó ìè ðîçãëÿíóëè, ïðÿìî ñòîñó¹òüñÿ, ÿê óæå çàçíà÷àëîñü, ðîçðàõóíêó åëåêòðîííîãî ñïåêòðà êðèñòàëà (íàáëèæåííÿ ñèëüíîãî çâ'ÿçêó). Ïîçíà÷èìî âiääàëü ìiæ âóçëàìè ëàöþæêà, ó ÿêèõ çíàõîäÿòüñÿ éîíè, ÷åðåç a; äîâæèíà ëàíöþæêà L = N a. Áóäåìî ââàæàòè, ùî êiëüêiñòü âóçëiâ ¹ âåëèêîþ, N → ∞. Óâåäåìî õâèëüîâèé âåêòîð k: 2πs , k= L ε=

439

èñ. 49.

Çàëåæíiñòü åíåð i¨ çàìêíåíîãî ëàíöþæêà âiä êiëüêîñòi âóçëiâ

ó ðîçðàõóíêó íà îäèí àòîì.

2πs 2πs = a = ka. N L Òåïåð ðiâíi åíåð i¨

E = E0 − 2A cos ka

¹ êâàçiíåïåðåðâíèìè (∆k = 2π/L → 0) i óòâîðþþòü çîíó øèðèíîþ 4A. Ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ õâèëüîâîãî âåêòîðà 1 2 E = E0 − 2A 1 − (ka) + . . . 2

é åíåð iÿ åëåêòðîíà ÿê óíêöiÿ õâèëüîâîãî âåêòîðà k ìà¹ âiëüíî÷àñòèíêîâèé âèãëÿä:

E = E0 − 2A +

~2 k2 , 2m∗

äå m∗ = ~2 /2Aa2 ååêòèâíà ìàñà åëåêòðîíà, à âåëè÷èíà (E0 − 2A) âèçíà÷à¹ ïîëîæåííÿ äíà åíåð åòè÷íî¨ çîíè. 53. Âàðiàöiéíèé ïðèíöèï

îçãëÿíåìî ùå îäèí ïiäõiä íàáëèæåíîãî ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ÿêèé ðóíòó¹òüñÿ íà ïðèíöèïi ìiíiìàëüíîñòi åíåð i¨ i íàçèâà¹òüñÿ âàðiàöiéíèì ìåòîäîì. Öåé ìåòîä ïðàöþ¹ i ïðè 440

ðîçâ'ÿçóâàííi çàäà÷, äëÿ ÿêèõ ñòàíäàðòíà òåîðiÿ çáóðåíü íå çàñòîñîâíà. Äåÿêîþ ìiðîþ óñïiõ âàðiàöiéíîãî ïiäõîäó çàëåæèòü âiä iíòó¨öi¨ òà äîñâiäó. Ìè âæå ìàëè ç íèì ñïðàâó ðàíiøå â äåêiëüêîõ çàäà÷àõ. îçãëÿíåìî êâàíòîâîìåõàíi÷íó ñèñòåìó, ùî õàðàêòåðèçó¹òüñÿ ˆ . Âèáåðåìî äåÿêó ïiäõîæó óíêöiþ, ψ = ψ(q), ãàìiëüòîíiàíîì H òàêó, ùîá Z |ψ|2 dq = 1,

ˆ: i ïiäðàõó¹ìî ç íåþ ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ H Z ˆ = ψ ∗ Hψ ˆ dq. hHi

Öþ óíêöiþ íàçèâàþòü ïðîáíîþ. Áóäåìî âèìàãàòè, ùîá ìàëi çìiˆ . Òîáòî ïðè çàìiíi ψ íà ψ + δψ íè ψ íå çìiíþâàëè ñåðåäíüîãî hHi âàðiàöiÿ ˆ = 0. δhHi

ˆ ç äîÌè ñîðìóëþâàëè âàðiàöiéíó çàäà÷ó äëÿ óíêöiîíàëà hHi äàòêîâîþ óìîâîþ íîðìóâàííÿ íà õâèëüîâó óíêöiþ. Öþ äîäàòêîâó óìîâó ìîæíà çíÿòè, ÿê âiäîìî, óâåäåííÿì ìíîæíèêiâ Ëà ˆ : ðàíæà. Ïiäðàõó¹ìî âàðiàöiþ hHi Z Z ∗ ˆ ˆ ˆ dq. δhHi = δψ Hψ dq + ψ ∗ Hδψ Âiäíiìåìî âiä íå¨ âàðiàöiþ óìîâè íîðìóâàííÿ, Z Z Z ∗ ∗ δ ψ ψ dq = δψ ψ dq + ψ ∗ δψ dq,

ïîìíîæèâøè ¨¨ íà ìíîæíèê Ëà ðàíæà E , i îòðèìà¹ìî ðiâíÿííÿ íà áåçóìîâíèé åêñòðåìóì: Z Z Z Z ∗ ˆ ∗ ∗ ˆ δψ Hψ dq − E δψ ψ dq + ψ Hδψ dq − E ψ ∗ δψ dq = 0.

Óâàæàþ÷è δψ i δψ ∗ íåçàëåæíèìè, çíàõîäèìî äâi óìîâè íà ìiíiìóì ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà: Z ˆ − Eψ) dq = 0, δψ ∗ (Hψ 441

Z

ˆ ∗ − Eψ ∗ ) dq = 0. δψ(Hψ

Äðóãó óìîâó îòðèìó¹ìî ïðè ïîïåðåäíüîìó ïåðåêèäàííi çâè÷àéˆ ç δψ íà ψ ∗ . Çâàæàþ÷è íà äîâiëüíiñòü íèì ÷èíîì äi¨ îïåðàòîðà H ∗ âàðiàöi¨ δψ , ç ïåðøî¨ óìîâè îäåðæèìî ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ˆ = Eψ. Hψ Ç äðóãî¨ óìîâè âèõîäèòü ñïðÿæåíå äî íüîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå íå âèïèñó¹ìî. Òàêèì ÷èíîì, âàðiàöiéíèé ïðèíöèï òâåðäèòü, ùî íàéáiëüø ïiäõîæîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, ÿêà ïðèíîñèòü ìiíiìóì ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà, ¹ òà, ùî çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Ìè îòðèìàëè âàæëèâèé i öiêàâèé ðåçóëüòàò, îäíàê âií íå äà¹ ðåöåïòà äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i â êîíêðåòíèõ âèïàäêàõ. Ïåðåä òèì ÿê ïåðåéòè äî îðìóëþâàííÿ òàêîãî ðåöåïòà, îòðèìà¹ìî ùå îäèí âàæëèâèé ðåçóëüòàò. Íåõàé âåëè÷èíà ψ ¹ ïðîáíîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ äëÿ îñíîâˆ: íîãî ñòàíó ñèñòåìè, à ϕn âëàñíèìè óíêöiÿìè H

ˆ n = En ϕn . Hϕ îçêëàäåìî ïðîáíó óíêöiþ â ðÿä X ψ= Cn ϕn

i îá÷èñëèìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà, òîáòî íàáëèæåíå çíà÷åííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó: Z Z XX ∗ ˆ ∗ ˆ ˆ n dq E = hHi = ψ Hψ dq = Cn Cn′ ϕ∗n′ Hϕ n

=

XX n

Cn Cn∗′ En δnn′ =

n′

X n

n′

|Cn |2 En .

Äàëi ðîáèìî ïðîñòi ïåðåòâîðåííÿ, ïàì'ÿòàþ÷è, ùî

E =

X n

X En |Cn |2 = (En − E0 + E0 )|Cn |2

P n

|Cn |2 = 1:

n

X X X |Cn |2 = E0 + (En − E0 )|Cn |2 , = (En − E0 )|Cn |2 + E0 n

442

n

n

äå E0 òî÷íå çíà÷åííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó ñèñòåìè. Ïðè áóäüÿêîìó n, çà îçíà÷åííÿì îñíîâíîãî ñòàíó, En ≥ E0 i îòæå, äðóãèé äîäàíîê ó ðiâíÿííi ¹ äîäàòíèì, òîìó îòðèìó¹ìî:

E ≥ E0 . Íåðiâíiñòü ãîâîðèòü, ùî, ÿêó á ìè íå âçÿëè ïðîáíó óíêöiþ, çàâæäè îòðèìó¹òüñÿ çíà÷åííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó âèùå, íiæ ñïðàâæí¹. Íåõàé ìè ïiäiáðàëè äåÿêó íîðìîâàíó ïðîáíó ψ -óíêöiþ, ÿêà çàëåæèòü âiä çìiííî¨ q i, êðiì òîãî, ìiñòèòü ó ñîái âiëüíi ïàðàìåòðè a1 , a2 , . . . :

ψ = ψ(q; a1 , a2 , . . .), Z

|ψ(q; a1 , a2 , . . .)|2 dq = 1.

Ïiäðàõó¹ìî ç ¨¨ äîïîìîãîþ åíåð iþ Z ˆ ˆ E(a1 , a2 , . . .) = hHi = ψ ∗ (q; a1 , a2 , . . .)Hψ(q; a1 , a2 , . . .) dq.

Âîíà çàëåæèòü âiä âåëè÷èí a1 , a2 , . . ., ÿêi ìè ìà¹ìî çìîãó ïiäiáðàòè ç óìîâè ìiíiìàëüíîñòi åíåð i¨:

dE = 0, da1

dE = 0, . . . . da2

Iç öèõ ðiâíÿíü çíàõîäèìî çíà÷åííÿ a ¯1 , a ¯2 , . . . , ÿêi ïðèíîñÿòü ìiíiìóì åíåð i¨

E = E(¯ a1 , a ¯2 , . . .). Ó ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî âåðõíþ ìåæó åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó. Ìè î÷iêó¹ìî, ùî âîíà áóäå áëèçüêîþ äî òî÷íîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî ïðîáíà óíêöiÿ ïîäiáíà äî ñïðàâæíüî¨. Óñïiõ òóò çàëåæèòü âiä iíòó¨öi¨ òà íàâè÷îê. Ïåðåéäåìî äî âèçíà÷åííÿ çáóäæåíèõ ñòàíiâ. Çíîâó ïiäáåðåìî äåÿêó ïðîáíó óíêöiþ

ψ1 = ψ1 (q; b1 , b2 , . . .) 443

ç iíøèì íàáîðîì âiëüíèõ ïàðàìåòðiâ i òàêîæ íîðìîâàíó Z |ψ1 (q; b1 , b2 , . . .)|2 dq = 1.

Íàêëàäà¹ìî, êðiì öüîãî, ùå äîäàòêîâó óìîâó îðòîãîíàëüíîñòi óíêöi¨ ψ1 äî âæå çíàéäåíî¨ óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó ψ : Z ψ1∗ (q; b1 , b2 , . . .)ψ(q; a1 , a2 , . . .) dq = 0. Çíîâó ïiäðàõîâó¹ìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ Z ˆ 1 (q; b1 , b2 , . . .) dq E1 = E1 (b1 , b2 , . . .) = ψ1∗ (q; b1 , b2 , . . .)Hψ

i ïðîñèìî âèêîíàòè óìîâè åêñòðåìóìó, ÿêi iêñóþòü íàì âiëüíi ïàðàìåòðè é åíåð iþ E1 :

dE1 = 0, . . . . db2

dE1 = 0, db1

Çðîçóìiëî, ùî äîäàòêîâà óìîâà ïðèâîäèòü äî çñóâó E1 óâåðõ ùîäî åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó. Öþ ïðîöåäóðó ìîæíà ïðîäîâæèòè i çíàéòè, â ïðèíöèïi, óñi õâèëüîâi óíêöi¨ òà âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ åíåð i¨. Âàðiàöiéíèé ïiäõiä ¹ ïîòóæíèì íåïåðòóðáàöiéíèì6 ìåòîäîì ðîçâ'ÿçêó áàãàòüîõ çàäà÷ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. ðóíòó¹òüñÿ âií íà iíòó¨òèâíîìó óñâiäîìëåííi òîãî, ùî ïðèíöèï ìiíiìàëüíîñòi òiñíî ïîâ'ÿçàíèé ç iñíóâàííÿì ïåâíî¨ ñèìåòði¨ â çàäà÷i. Ñàìå âîíà i âëîâëþ¹òüñÿ ïðè âãàäóâàííi ïðîáíî¨ óíêöi¨. Ïðèêëàä 1. Àíãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð.

Çàäàíî ãàìiëüòîíiàí

2

ˆ = pˆ + αx4 . H 2m

Çíàéòè åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó. Áà÷èìî, ùî â çàäà÷i ¹ ñèìåòðiÿ: çàìiíà x íà (−x) íå çìiíþ¹ ãàìiëüòîíiàíà. Òîìó ïðîáíó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó âèáèðà¹ìî ïàðíîþ. Êðiì òîãî, âîíà íå ìà¹ âóçëiâ i ïîâèííà áóòè ãëàäêîþ, ùîá íå íàáiãëî âåëèêå çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ âiä äðóãî¨ ïîõiäíî¨. Îòæå, íåõàé ïðîáíà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó 2 4 6 ψ = Ce−a1 x −a2 x −a3 x +··· , 6

444

Âiä àíãë. perturbation çáóðåííÿ.

ïðè÷îìó

Z

|ψ|2 dx = 1.

Äëÿ ïðîñòîòè îáiðâåìî ðÿä íà êâàäðàòè÷íîìó ÷ëåíi, i íåõàé a1 = mω/2~, ω âiëüíèé ïàðàìåòð. Ç óðàõóâàííÿì óìîâè íîðìóâàííÿ, mω 1/4

2

e−mωx /2~ π~ ìà¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ÷àñòîòîþ ω . Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ åíåð i¨ ψ=

ëåãêî ðîçðàõóâàòè:

E=h

pˆ2 i + αhx4 i 2m

~ω , 4 2 ~ . hαx4 i = 3α 2mω hp2 /2mi =

Îòæå, ~ω + 3α 4 Âiëüíèé ïàðàìåòð ω çíàõîäèìî ç óìîâè E = E(ω) =

~ 2mω

2

.

dE = 0, dω

ÿêà äà¹

3 ~2 2 ~ − α 2 3 = 0, 4 4 m ω

òîáòî

ω=

6α

~ m2

1/3

.

Òåïåð îá÷èñëþ¹ìî âåëè÷èíó E=

3 8

6α

~4 m2

1/3

,

ÿêà äà¹ âåðõíþ ìåæó äëÿ çíà÷åííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó E0 . Öiêàâî ïîðiâíÿòè öåé ðåçóëüòàò iç ðåçóëüòàòîì òåîði¨ çáóðåíü, E=

1 2

3α

~4 m2

1/3

,

à òàêîæ iç íåðiâíiñòþ, ÿêó ìè îòðèìàëè â 7 (ïðèêëàä 2), çàñòîñîâóþ÷è ïðèíöèï íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à: E0 ≥

3 8

2α

~4 m2

1/3

.

445

Îòæå, òî÷íå çíà÷åííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà x4 çíàõîäèòüñÿ â òàêèõ ìåæàõ: 3 8

2α

1/3

~4 m2

3 8

≤ E0 ≤

Ïðèêëàä 2. Îñíîâíèé ñòàí

àìiëüòîíiàí

6α

N -âèìiðíîãî

~4 m2

1/3

.

àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà

x4

.

ˆ2 α ˆ = p H + |x|4 , 2m N ˆ = −i~∇ = äå α êîíñòàíòà çâ'ÿçêó, à N -âèìiðíi âåêòîðè x = (x1 , . . . , xN ), p −i~ (∂/∂x1 , . . . , ∂/∂xN ). Âèáåðiìî ïðîáíó õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó ç äâîìà âàðiàöiéíèìè ïàðàìåòðàìè a òà k: k ψ(x) = Ce−ax , x = |x|.

Ç óìîâè íîðìóâàííÿ

Z

∞

Z

dx1 . . .

−∞

∞

dxN ψ 2 (x) = 1

−∞

çíàõîäèìî ñòàëó C . Îñêiëüêè óíêöiÿ çàëåæèòü âiä x, ïåðåéäiìî äî N âèìiðíèõ ïîëÿðíèõ êîîðäèíàò i, ïðîiíòå ðóâàâøè çà êóòàìè, çàïèøiìî öþ óìîâó òàê: Z ∞

ψ 2 (x) dVN = 1,

0

äå îá'¹ì N -âèìiðíî¨ êóëi VN = CN xN , dVN = N CN xN−1 dx, 7 N/2 CN = π /Γ (1 + N/2), Γ(x) ãàììà-óíêöiÿ (äèâ. 44). Iíòå ðóþ÷è, çíà7

Ñòàëó CN ëåãêî çíàéäåìî, ÿêùî iíòå ðàë Z

∞

I=

Z

dx1 . . .

−∞

∞

dxN e−x

2

−∞

ðîçðàõóâàòè äâîìà ñïîñîáàìè. Ç îäíîãî áîêó, Z

I= Z

=

∞

2

N

dx1 e−x1

2

e−x N CN xN−1 dx =

çàìiíà x2 = y

0

=

√ = ( π)N ,

−∞

à ç iíøîãî I

∞

N CN Γ 2

N 2

= CN Γ 1 +

N 2

=

N CN 2

Z

∞

e−y y

N −1 2

dy

0

.

Ïîðiâíþþ÷è öi äâà âèðàçè, îäåðæó¹ìî CN = π N/2 /Γ(1+N/2), i çîêðåìà îá'¹ìè V1 = 2x, V2 = πx2 , V3 = 4πx3 /3.

446

õîäèìî

1 . C= p −N/k CN (2a) Γ(1 + N/k)

ˆ ïiñëÿ íåñêëàäíèõ ïåðåòâîðåíü Äëÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨ E = hHi îòðèìà¹ìî N E= Γ 1+

N −2 ~2 k (2a)2/k Γ 2 + N 8m k k

+

αΓ kΓ

4+N k 1+ N k

(2a)−4/k .

Ç óìîâè ìiíiìóìó dE/da = 0 ìà¹ìî 1 a= 2

(

Γ 4+N 16mα k 2 2 ~ N k Γ 2 + N−2 k

)k/6

.

Òåïåð åíåð iÿ íà îäèí ñòóïiíü âiëüíîñòi 3 E = N 8

2α~4 m2

1/3

E∗,

äå ∗

E =

k N

1/3

Γ1/3

4+N k

Γ2/3 2 +

Γ 1+

N k

N−2 k

.

ßêùî çàiêñóâàòè ïàðàìåòð k = 2, òî ìè îòðèìà¹ìî ðåçóëüòàò, çíàéäåíèé ó 46. åçóëüòàòè êîìï'þòåðíî¨ ìiíiìiçàöi¨ çà ïàðàìåòðîì k ïîäàíî â òàáëèöi. N

k

E∗

1

2.36692

1.41666

2

2.38570

1.24213

3

2.39768

1.17175

4

2.40593

1.13328

5

2.41196

1.10894

6

2.41653

1.09215

7

2.42012

1.07984

8

2.42302

1.07045

9

2.42539

1.06303

10

2.42738

1.05703

∞

2.44949

1.00000

447

ßê áà÷èìî, lim E/N = 3 2α~4 /m2

1/3

N→∞

/8, ïðè÷îìó öiêàâî, ùî öÿ ãðàíè-

öÿ íå çàëåæèòü âiä k. Öå ëåãêî äîâåñòè òàêîæ ðóêàìè. ßêùî ó âèðàç äëÿ E ∗ ïiäñòàâèòè àñèìïòîòè÷íi îðìóëè äëÿ Γ-óíêöié, √ Γ(aN + b) ∼ 2πe−aN (aN )aN+b+1/2 , N → ∞, a > 0, òî îá÷èñëåííÿìè â îäèí ðÿäîê çíàõîäèìî E ∗ = 1 ïðè N → ∞.

Ïðèêëàä 3. Çíàéòè âèðàç äëÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ E ÷åðåç ñåðåäíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà çáóðåííÿ Vˆ . Ñêîðèñòàéìîñü òåîðåìîþ ïðî òå, ùî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîõiäíî¨ åðìiòîâîãî îïåðàòîðà çà äåÿêèì ïàðàìåòðîì λ äîðiâíþ¹ ïîõiäíié âiä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ öüîãî îïåðàòîðà çà λ (äèâ. Ïðèêëàä äî 18): * + ˆ ∂E ∂H = , ∂λ ∂λ

ˆ E = hHi.

ˆ =H ˆ0 + ßêùî â ðîëi λ îáðàòè ïàðàìåòð âìèêàííÿ âçà¹ìîäi¨ â ãàìiëüòîíiàíi H λVˆ , òî îòðèìà¹ìî, ùî ∂E = hVˆ i. ∂λ Iíòå ðóþ÷è, ìà¹ìî øóêàíèé âèðàç Z

E = E (0) + 0

1

hVˆ i dλ.

Íàïðèêëàä, äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà âîäíþ âiçüìiìî çà îïåðàòîð çáóðåííÿ ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ åëåêòðîíà Vˆ = −e2 /r . Óâîäèìî ïàðàìåòð λ øëÿõîì çàìiíè e2 íà λe2 . Ñåðåäí¹

1 r

hλVˆ i = −λe2

=−

λe2 , a

a=

~2 . me2 λ

Îòæå, hVˆ i = −λme4 /~2 , à åíåð iÿ Z

E=−

1

λ 0

me4 me4 dλ = − 2 . ~2 2~

Ïðèêëàä 4. Çàïèñàòè ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ E ÷åðåç îïåðàòîð çáóðåííÿ Vˆ . Ïîìíîæìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

ˆ 0 + Vˆ )ψ = E ψ (H

çëiâà íà áóäü-ÿêó óíêöiþ ϕ, íå îðòîãîíàëüíó äî ψ , i ïðîiíòå ðóéìî çà çìiííèìè q : Z Z ˆ 0 + Vˆ )ψ dq = E ϕ ψ dq. ϕ(H

448

ˆ 0 òà Vˆ , ïåðåêèäà¹ìî ¨õ äiþ íà Êîðèñòóþ÷èñü ñàìîñïðÿæåíiñòþ îïåðàòîðiâ H ϕ: Z Z ∗ ˆ ˆ ψ(H0 + V ) ϕ dq = E ϕ ψ dq.

Ïiäáåðiìî òåïåð óíêöiþ ϕ òàêîþ, ùîá ˆ 0 ϕ = 0, H

i îòðèìó¹ìî öiêàâèé ðåçóëüòàò:

,Z

Z

ˆ∗

E=

ψ V ϕ dq

ϕ ψ dq.

ˆ0 = p ˆ 2 /2m, à Çîêðåìà äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà âîäíþ, ÿêùî âçÿòè H Vˆ = −e2 /r , òî óíêöiÿ ϕ = 1 i åíåð iÿ Z

E

=

e2 −r/aB e dr r

−

Z

e−r/aB dr

=

=

çàìiíà x = r/aB

−

e2 aB

Z

∞

Z

e−x x dx

0

∞

0

e−x x2 dx = −

e2 , 2aB

ÿê i ïîâèííî áóòè. Àíàëîãi÷íî äëÿ îñöèëÿòîðà, êîëè Vˆ = mω 2 x2 /2: E=

mω 2 2

Z

∞

e−ξ

2

Z

/2 2

x dx

−∞

,r

ξ=x

∞

e−ξ

2

/2

dx =

−∞

~ω , 2

~ . mω

Ïðîñòèì ïiäáîðîì óíêöi¨ ϕ çíàõîäèìî é åíåð iþ çáóäæåíèõ ñòàíiâ. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî çíàéäåíèé òóò øëÿõîì çàñòîñóâàííÿ íåñêëàäíèõ òðþêiâ âèðàç äëÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ E ÷åðåç îïåðàòîð çáóðåííÿ Vˆ äà¹ çìîãó îòðèìàòè ÷èìàëî íåòðèâiàëüíèõ ðåçóëüòàòiâ ó òåîði¨ áàãàòî÷àñòèíêîâèõ ñèñòåì. 54. Íåïåðòóðáàöiéíèé ðîçðàõóíîê åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà

àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà

àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð îïèñó¹ ìàëi êîëèâàííÿ, òîáòî àìïëiòóäà ÿêèõ ¹ äîñòàòíüî ìàëîþ, à ðiâíÿííÿ ðóõó äëÿ íèõ ¹ ëiíiéíèìè, ñàìå òîìó òàêi êîëèâàííÿ i íàçèâàþòü ëiíiéíèìè. Çàäà÷à 29

I. Î. Âàêàð÷óê

449

ïðî íåëiíiéíi àáî àíãàðìîíi÷íi êîëèâàííÿ ìà¹ áàãàòî âàæëèâèõ ïðèêëàäíèõ çàñòîñóâàíü, îñîáëèâî êîëè ìîâà éäå ïðî ñèëüíó íåëiíiéíiñòü i çâè÷àéíà òåîðiÿ çáóðåíü íå ïðàöþ¹. Ó çâ'ÿçêó ç öèì âèíèêà¹ ïðîáëåìà îïèñó àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà íåïåðòóðáàöiéíèìè ìåòîäàìè, òîáòî áåç çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ çáóðåíü. Îòæå, îá÷èñëèìî åíåð åòè÷íi ðiâíi ñèñòåìè ç ãàìiëüòîíiàíîì 2 2 ˆ = pˆ + mω x H ˆ2 + αˆ x4 , 2m 2

α ≥ 0, âèêîðèñòîâóþ÷è õâèëüîâi óíêöi¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç âàðiàöiéíîþ ÷àñòîòîþ ω ′ ÿê ïðîáíi óíêöi¨. Ïî÷íåìî ç îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó. Åíåð iÿ n-ãî ðiâíÿ mω 2 1 ˆ hn|ˆ p2 |ni + hn|ˆ x2 |ni + αhn|ˆ x4 |ni. En = hn|H|ni = 2m 2 Ïîòðiáíi ñåðåäíi áåðåìî ç 22 òà ç Ïðèêëàäó 1 äî 45:

hn|ˆ p2 |ni =

m~ω ′ (2n + 1), 2

~ (2n + 1), 2mω ′ 2 ~ 4 (2n2 + 2n + 1). hn|ˆ x |ni = 3 2mω ′ hn|ˆ x2 |ni =

Îòæå åíåð iÿ, ÿê óíêöiÿ ÷àñòîòè ω ′ : ′ ω ω λ ω 2 1 ~ω ′ + ′+ n+ , En (ω ) = 2 2 ω ω 2 ω′ äå ïàðàìåòð

α λ=6 ~ω

~ mω

2

n2 + n + 1/2 . n + 1/2

Ç óìîâè ìiíiìóìó En (ω ′ ) çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ íà íåâiäîìó ÷àñòîòó ω ′ : ′ 3 ′ ω ω − − λ = 0. ω ω 450

îçâ'ÿçîê öüîãî êóái÷íîãî ðiâíÿííÿ çíàõîäèìî çà øêiëüíèìè îðìóëàìè, i â ðåçóëüòàòi åíåð iÿ 1 En = ~ω n + E∗, 2

3ω ′ /ω + ω/ω ′ , 4 √ i h  2  √2 cos 1 arccos 3 3 λ , , λ ≤ 3√  3 2  3 3   E∗ =

ω′ =  q ω     λ2 +

λ 2 2

−

1 27

1/3 q + λ2 −

λ 2 2

−

1 27

1/3 , λ≥

2 √ . 3 3

Çà ñâî¨ì içè÷íèì çìiñòîì âiäíîøåííÿ √ ÷àñòîò ω ′ /ω ¹ äiéñíîþ i äîäàòíîþ âåëè÷èíîþ. Òîìó äëÿ λ > 2/3 3 áåðåìî îäèí √ äiéñíèé ðîçâ'ÿçîê, à äâà êîìïëåêñíi âiäêèäà¹ìî; äëÿ λ ≤ 2/3 3 ç òðüîõ äiéñíèõ êîðåíiâ ðiâíÿííÿ îäèí ¹ äîäàòíèì, à iíøi äâà âiä'¹ìíi, ÿêèõ íå áåðåìî äî óâàãè. Äîñëiäèìî ãðàíè÷íi âèïàäêè. Êîëè λ = 0, ω ′ /ω = 1, E ∗ = 1, îòðèìó¹ìî ðiâíi åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. ßêùî λ ≪ 1, òî √ ! √ 3 3 π 3 3 arccos λ = − λ + ... , 2 2 2 âåëè÷èíà

2 ω′ = √ cos ω 3

! √ λ 3 π − λ + ... = 1 + + ... , 6 2 2

à

E ∗ = 1 + λ/4 + . . . i â ðåçóëüòàòi åíåð iÿ 2 1 ~ 1 2 En = ~ω n + + 6α n +n+ + ... 2 2mω 2

çáiãà¹òüñÿ ç âèðàçîì, ÿêèé äà¹ çâè÷àéíà òåîðiÿ çáóðåíü (äèâ. ïðèêëàä 1 äî 45). Êîëè λ ≫ 1, òî ω ′ /ω = λ1/3 , E ∗ = 3λ1/3 /4 i ìè 29*

451

ïðèõîäèìî äî ðåçóëüòàòó âàðiàöiéíî¨ çàäà÷i äëÿ îñöèëÿòîðà x4 ç 46. Ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâîãî ÷èñëà n 1/3 3 1/3 2α~4 En = 3 n4/3 , n ≫ 1. 4 m2

Òàêó æ çàëåæíiñòü äà¹ i êâàçiêëàñè÷íå íàáëèæåííÿ (äèâ. Ïðèêëàä 2 äî 30), àëå ç iíøèì ÷èñëîâèì êîåiöi¹íòîì: çàìiñòü 34/3 /4 = √ 4/3 1.081687 ìà¹ìî [3 π Γ(3/4)/Γ(1/4)] /2 = 1.092535. Çàóâàæèìî, ùî îñêiëüêè ÷àñòîòà ω ′ çàëåæèòü âiä êâàíòîâîãî ÷èñëà n, òî íàøi âàðiàöiéíi õâèëüîâi óíêöi¨ äëÿ ðiçíèõ n íå ¹ îðòîãîíàëüíèìè ìiæ ñîáîþ. Òîìó é íå äèâíî, ùî çíàéäåíi ðiâíi åíåð i¨ En ¹ íèæ÷èìè, íiæ òî÷íi çíà÷åííÿ, ÿêi äà¹ êâàçiêëàñè÷íå íàáëèæåííÿ äëÿ n ≫ 1.

H*

èñ. 50.

Çàëåæíiñòü åíåð i¨

E∗

âiä ïàðàìåòðà àíãàðìîíiçìó

λ.

Âåëè÷èíà E ∗ , òîáòî âiäíîøåííÿ En äî åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, ¹ óíiâåðñàëüíîþ óíêöi¹þ ïàðàìåòðà λ i ïîâíiñòþ âèçíà÷à¹ åíåð åòè÷íèé ñïåêòð àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà: iêñóþ÷è ïàðàìåòð àíãàðìîíiçìó λ0 = 6α~/m2 ω 3 ïðè çàäàíîìó çíà÷åííi êâàíòîâîãî ÷èñëà n, îá÷èñëþ¹ìî âåëè÷èíó λ i ω ′ /ω , ïiñëÿ 452

÷îãî çíàõîäèìî E ∗ òà En . ðàiê çàëåæíîñòi E ∗ âiä ïàðàìåòðà λ ïîäàíî íà ðèñ. 50. Ôóíêöiÿ E ∗ âèçíà÷à¹ ñïåêòð åíåð ié i äëÿ N -âèìiðíîãî àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Ïîêàæåìî öå. Äëÿ ïðîñòîðîâîãî îñöèëÿòîðà (äèâ. 40) óñåðåäíåííÿ çíåðîçìiðåíîãî îïåðàòîðà åíåð i¨ ðàäiàëüíîãî ðóõó äà¹ 2 ! ~ l(l + 1) 2α 2E d2 = − 2+ + ρ2 + ρ4 , ~ω dρ ρ2 ~ω mω

p ρ = r mω/~, r ðàäiàëüíà êîîðäèíàòà. Îñêiëüêè óñåðåäíåííÿ, ÿêå ìè ïîçíà÷èëè ðèñêîþ, ïðîâîäèìî çà õâèëüîâèìè óíêöiÿìè ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç íåâiäîìîþ ÷àñòîòîþ ω ′ , òî ïðèðîäíî p p ′ ïåðåéòè äî íîâî¨ çìiííî¨ ρ = r mω ′ /~ = ρ ω ′ /ω : 2E ~ω

=

+

d2 ω′ l(l + 1) ω − 2+ + ′ ρ2 ω dρ ρ2 ω

ω 2 2α ~ 2 ρ4 , ω ′ ~ω mω

øòðèõ ç íîâî¨ çìiííî¨ îïóñêà¹ìî. Îñêiëüêè, ÿê ïðîñòîðîâîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ñåðåäí¹ d2 l(l + 1) 2 − 2+ + ρ = 2 2n + l + dρ ρ2

ìè çíà¹ìî, äëÿ

3 2

,

n = 0, 1, 2, . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, òî ïîïåðåäí¹ ðiâíÿííÿ ñòà¹ òàêèì: ω ω′ 3 2E 2 = 2 2n + l + − ρ + ′ ρ2 ~ω ω 2 ω ω 2 2α ~ 2 + ρ4 . ω ′ ~ω mω

Ïîòðiáíi ñåðåäíi ρ2 , ρ4 ëåãêî ðîçðàõîâó¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ðàäiàëüíi óíêöi¨ ïðîñòîðîâîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà Rn,l (r) = 453

p 2 ¯ nl+1/2 (ρ2 ), Cn = (−)n (mω ′ /~)3/4 2n!/Γ(n + l + 3/2) i Cn ρl e−ρ /2 L ðåêóðåíòíå ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ óçàãàëüíåíèõ ïîëiíîìiâ Ëà åððà: ¯ ν (ρ2 ) = (2n + ν + 1)L ¯ ν (ρ2 ) − (n + 1)L ¯ ν (ρ2 ) ρ2 L n n n+1 ¯ νn−1 (ρ2 ), − (n + ν)L

¯ νn (ρ2 ) ç âàãîâèì ìíîæν = l + 1/2. Ïîìíîæèìî öå ðiâíÿííÿ íà L 2 íèêîì Cn2 ρ2l e−ρ i ïðîiíòå ðó¹ìî çà r . Ó ðåçóëüòàòi ç ëiâîãî áîêó ìà¹ìî, çà îçíà÷åííÿì, ρ2 , à ç ïðàâîãî, âðàõîâóþ÷è îðòîíîðìîâàíiñòü õâèëüîâèõ óíêöié, çàëèøà¹òüñÿ ëèøå âíåñîê âiä ïåðøîãî äîäàíêà: 3 2 ρ = 2n + l + . 2

Ïiäíîñèìî òåïåð îáèäâi ÷àñòèíè ðåêóðåíòíîãî ñïiââiäíîøåííÿ äî êâàäðàòà, ìíîæèìî íà òîé ñàìèé âàãîâèé ìíîæíèê é iíòå ðó¹ìî. Çëiâà ìàòèìåìî, çà îçíà÷åííÿì, ρ4 , à ç ïðàâîãî áîêó, âíàñëiäîê îðòîãîíàëüíîñòi õâèëüîâèõ óíêöié, óñi ïåðåõðåñíi äîäàíêè çíèêàþòü, i ç óðàõóâàííÿì ñòàëèõ íîðìóâàííÿ îòðèìó¹ìî:

ρ4 = (2n + ν + 1)2 + (n + 1)2 (Cn /Cn+1 )2 + (n + ν)2 (Cn /Cn−1 )2 , àáî, ïiäñòàâëÿþ÷è ñþäè âåëè÷èíè Cn , äiñòà¹ìî

ρ4 = (2n + ν + 1)2 + (n + 1)(n + ν + 1) + (n + ν) n. Òåïåð áà÷èìî, ùî âèðàç äëÿ åíåð i¨, âiäíåñåíî¨ äî åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ~ω(2n + l + 3/2), îðìàëüíî çáiãà¹òüñÿ ç âåëè÷èíîþ E ∗ äëÿ îäíîâèìiðíîãî îñöèëÿòîðà ç òèì ñàìèì êóái÷íèì ðiâíÿííÿì íà ω ′ /ω , àëå ç iíøèì ïàðàìåòðîì 4α ~ 2 4. 2 λ= ρ ρ . ~ω mω

Ïåðåõiä äî ïðîñòîðó äîâiëüíî¨ âèìiðíîñòi N çäiéñíþ¹ìî iç çàêðèòèìè î÷èìà ïðîñòîþ çàìiíîþ (äèâ. 44) l íà l + (N − 3)/2, i îñòàòî÷íî ðiâíi åíåð i¨ N -âèìiðíîãî àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà N En,l = ~ω 2n + l + E ∗, 2 454

ïðè÷îìó âiäíîøåííÿ ω ′ /ω , ÿêå âõîäèòü äî E ∗ , çàäà¹òüñÿ òèì æå ðîçâ'ÿçêîì êóái÷íîãî ðiâíÿííÿ, ó ÿêîìó òåïåð

4α λ= ~ω

×

~ mω

2

(2n + l + N/2)2 + (n + 1)(n + l + N/2) + n(n + l + N/2 − 1) . 2n + l + N/2

Îòæå, çàäàþ÷è ðîçìiðíiñòü ïðîñòîðó N , êâàíòîâi ÷èñëà (n, l), çíàõîäèìî λ, çà ÿêèì âèçíà÷à¹ìî ω ′ /ω , i íàðåøòi, E ∗ òà En,l . Ïðè N → ∞ ïàðàìåòð λ = 2α~N/m2 ω 3 i åíåð iÿ En,l /N = ~ωE ∗ /2 = 3~ωλ1/3 /8 = 3(2α′ ~4 /m2 )/8, α′ = αN çáiãà¹òüñÿ ç òî÷íèì ðåçóëüòàòîì äëÿ öi¹¨ ìåæi. Òîìó ðîáèìî âèñíîâîê ïðî òå, ùî ÷èì áiëüøà âèìiðíiñòü ñèñòåìè, òèì íàøi ðåçóëüòàòè áëèæ÷i äî òî÷íèõ. Çðîáèìî çàóâàæåííÿ ùîäî ðîçìiðíîñòi ïðîñòîðó N = 1. Ïàì'ÿòà¹ìî (äèâ. 44), ùî ïðè ïåðåõîäi â N -âèìiðíîìó ðàäiàëüíîìó ðiâíÿííi äî N = 1, ìè ìàòèìåìî ïðè l = 0 ïàðíi óíêöi¨ çìiííî¨ x, à ïðè l = 1 íåïàðíi. Òèì ñàìèì çâiäñè âiäòâîðþ¹ìî îäíîâèìiðíi ðîçâ'ÿçêè äëÿ âñiõ êâàíòîâèõ ÷èñåë n. Ëåãêî áà÷èòè, ùî îäíîâèìiðíå λ ïðè çàìiíi â íüîìó n íà 2n çáiãà¹òüñÿ, ÿê i ïîâèííî áóòè, ç N -âèìiðíèì λ ïðè N = 1, l = 0, à ïðè çàìiíi n íà (2n + 1) òàêîæ çáiãà¹òüñÿ ç N -âèìiðíèì λ, êîëè N = 1, l = 1. Íàñàìêiíåöü ïiäêðåñëèìî, ùî âàæëèâiñòü îòðèìàíîãî ðåçóëüòàòó ¹ â òîìó, ùî çíàéäåíî äîñòàòíüî äîáðå íàáëèæåííÿ äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ àíãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà äîâiëüíî¨ âèìiðíîñòi äëÿ äîâiëüíèõ çíà÷åíü êâàíòîâèõ ÷èñåë i áåç îáìåæåíü íà ïàðàìåòð àíãàðìîíiçìó. ×èòà÷åâi, ÿêèé çóñòðiíå çàäà÷ó, äå, êðiì ÷åòâåðíîãî àíãàðìîíiçìó, íàÿâíèé i êóái÷íèé ∼ βx3 , äàìî ïiäêàçêó äëÿ ¨¨ ðîçâ'ÿçêó. Îñêiëüêè ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè â òàêié ñèñòåìi çìiùó¹òüñÿ ç òî÷êè x = 0 â äåÿêó òî÷êó x = x0 , òî ïðèðîäíî âçÿòè ïðîáíó õâèëüîâó óíêöiþ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà çàëåæíîþ âiä x′ = x − x0 . Îòæå, ìàòèìåìî äâà âàðiàöiéíi ïàðàìåòðè: ÷àñòîòó ω ′ i êîîðäèíàòó x0 . Åíåð iÿ äîðiâíþ¹ ïîòåíöiàëüíié åíåð i¨ â òî÷öi x0 ïëþñ 455

âèðàç, ÿêèé ìè ìàëè âèùå äëÿ îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó iç çàìiíîþ ÷àñòîòè ω íà ω[1 + 6x0 (β + 2αx0 )/mω 2 ]1/2 . Ìiíiìiçàöiÿ ¨¨ çà x0 ÷èñåëüíèìè ìåòîäàìè äà¹ îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò. 55. Òåîðiÿ çáóðåíü, çàëåæíèõ âiä ÷àñó

Ìè áà÷èëè, ùî äëÿ ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ, êîëè îïåðàòîð àìiëüòîíà íå çàëåæèòü âiä ÷àñó, âäà¹òüñÿ çíàéòè ÷àñîâó çàëåæíiñòü õâèëüîâèõ óíêöié ó ÿâíîìó âèãëÿäi. ßêùî ãàìiëüòîíiàí çàëåæèòü âiä ÷àñó, òî çíàéòè òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà â çàãàëüíîìó âèïàäêó íåìîæëèâî. Ïðè÷îìó îñêiëüêè åíåð iÿ âæå íå ¹ iíòå ðàëîì ðóõó, òî çìiíþ¹òüñÿ é ñàìà ïîñòàíîâêà çàäà÷i. Ìîâà âæå íå ìîæå éòè ïðî îá÷èñëåííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü ãàìiëüòîíiàíà. Îòæå, çàäà÷à çâîäèòüñÿ ëèøå äî çíàõîäæåííÿ õâèëüîâèõ óíêöié ˆ äîñëiäæóâàíî¨ ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t. ßêùî â ãàìiëüòîíiàíi H ˆ ˆ ñèñòåìè ÷ëåí V = V (t), çàëåæíèé âiä ÷àñó t, ¹ ìàëèì ó ïîðiâíÿííi ç âèçíà÷àëüíîþ ÷àñòèíîþ H0 , òî ìîæíà ïîáóäóâàòè òåîðiþ çáóðåíü. ˆ 0 , ùî íå çàëåæèòü Íåõàé çàäàíà ñèñòåìà ç ãàìiëüòîíiàíîì H âiä ÷àñó. îçâ'ÿçîê õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà íàì óæå âiäîìèé öå ñòàöiîíàðíi ñòàíè: i

(0)

ψn(0) (q, t) = e− ~ En t ψn(0) (q). (0)

(0)

iâíi åíåð i¨ En òà õâèëüîâi óíêöi¨ ψn (q) âèçíà÷à¹ìî ç ðiâíÿíˆ 0: íÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðà H

ˆ 0 ψ (0) (q) = E (0) ψ (0) (q). H n n n Íåõàé íà ñèñòåìó íàêëàäà¹òüñÿ çàëåæíå âiä ÷àñó çáóðåííÿ Vˆ (t), òàê ùî ïîâíèé ãàìiëüòîíiàí

ˆ =H ˆ 0 + Vˆ (t). H Öèì çáóðåííÿì ìîæå áóòè, íàïðèêëàä, âçà¹ìîäiÿ àòîìà ç åëåêòðîìàãíiòíèì ïîëåì. Íàøèì çàâäàííÿì ¹ çíàéòè ðîçâ'ÿçîê íåñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà

i~ 456

∂ψ(q, t) ˆ = Hψ(q, t). ∂t

(0)

Îñêiëüêè ñèñòåìà ψn (q, t) ¹ ïîâíîþ, òî øóêàíó õâèëüîâó óíêöiþ ψ(q, t) ðîçêëàäà¹ìî â ðÿä: X i (0) ψ(q, t) = Cn (t)e− ~ En t ψn(0) (q). n

Êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó î÷åâèäíî çàëåæàòü âiä ÷àñó. Äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i ïîòðiáíî çíàéòè ðiâíÿííÿ äëÿ íèõ. Öåé ïiäõiä, ùî çàïðîïîíóâàâ Äiðàê, ÷àñòî íàçèâàþòü ìåòîäîì âàðiàöié ñòàëèõ. Íàçâà ïîõîäèòü âiä âiäîìîãî ìåòîäó ç òåîði¨ äèåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü. Ïiäñòàâèìî öåé ðîçêëàä ó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà: o Xn i (0) i (0) i~C˙ n (t) e− ~ En t ψn(0) (q) + Cn (t)En(0) e− ~ En t ψn(0) (q) n

=

Xn n

o (0) i (0) ˆ 0 ψ (0) (q) + Cn (t) e− ~i En t Vˆ (t)ψ (0) (q) . Cn (t) e− ~ En t H n n

Êðàïêîþ íàä Cn (t) ïîçíà÷åíà ïîõiäíà çà ÷àñîì. ßê áà÷èìî, äðóãèé ÷ëåí ó ëiâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ ñêîðî÷ó¹òüñÿ ç ïåðøèì ó ïðàâié. (0)∗ Ïîìíîæèìî îáèäâi ÷àñòèíè ðiâíÿííÿ íà ψm (q) i ïðîiíòå ðó¹ìî çà q : X X i (0) i (0) i~C˙ n (t) e− ~ En t δmn = Cn (t) e− ~ En t Vmn (t), n

n

äå ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåííÿ Z (0)∗ ˆ Vmn (t) = hm|V (t)|ni = ψm (q)Vˆ (t)ψn(0) (q) dq. Ïåðåïèøåìî íàøå ðiâíÿííÿ òàê: X i~C˙ m (t) = Cn (t)V˜mn (t), n

V˜mn (t) = eiωmn t Vmn (t), äå ÷àñòîòè

(0)

ωmn =

(0)

Em − En . ~ 457

Ìiæ iíøèì, âåëè÷èíè V˜mn (t) ¹ íi÷èì iíøèì, ÿê ìàòðè÷íèìè åëåìåíòàìè îïåðàòîðà Vˆ (t) ó çîáðàæåííi âçà¹ìîäi¨, ïðî ÿêå éøëà ìîâà â 19: i ˆ i ˆ V˜mn (t) = hm|e ~ H0 t V (t) e− ~ H0 t |ni.

Ïðèïóñòèìî, ùî çáóðåííÿ âìèêà¹òüñÿ â äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó t = t0 i âèìèêà¹òüñÿ â ìîìåíò t = t1 . Ñïîñòåðåæóâàëüíi âåëè÷èíè, çðîçóìiëî, çàëåæàòèìóòü ëèøå âiä ðiçíèöi τ = t1 − t0 . Òîáòî êiíöåâèé ååêò çàëåæàòèìå âiä òîãî, ÿê äîâãî äi¹ çáóðåííÿ, à íå âiä òîãî, êîëè âîíî âìèêà¹òüñÿ ÷è âèìèêà¹òüñÿ. Î÷åâèäíî òàêîæ, ùî öå íå ìàòèìå ìiñöÿ ó âèïàäêó, êîëè ãàìiëüòîíiàí íóëüîâî¨, òîáòî íåçáóðåíî¨, çàäà÷i çàëåæèòü âiä ÷àñó. Òóò âàæëèâî, ó ÿêîìó ñòàíi ñèñòåìó çàõîïèòü çáóðåííÿ. Àëå íàñ öåé âèïàäîê íå öiêàâèòü, ˆ 0 íå çàëåæèòü âiä ÷àñó. îñêiëüêè íàø îïåðàòîð H Îòæå, ïðèéìà¹ìî, ùî   Vˆ (t), t ≤ t ≤ t , 0 1 Vˆ (t) =  0, t < t0 , t > t1 . Òàêèì ÷èíîì, ïðè t < t0 íàøà içè÷íà ñèñòåìà ïåðåáóâà¹ â äåÿêîìó ïî÷àòêîâîìó ñòàíi (0)

ψ(q, t) = ψi (q, t), i íîìåð ñòàíó, ó ÿêîìó ïðåáóâà¹ ñèñòåìà. À ïðè t > t1 (0)

ψ(q, t) = ψf (q, t), iíäåêñ f íîìåð öüîãî ñòàíó. Iíäåêñè i òà f ñêîðî÷åíî ïîçíà÷àþòü ñóêóïíiñòü êâàíòîâèõ ÷èñåë, ùî õàðàêòåðèçóþòü ïî÷àòêîâèé (initial) òà êiíöåâèé (nal) ñòàíè. Òåïåð çàïèòàéìî: äî ÿêîãî æ êiíöåâîãî ñòàíó f ïðèéäå ñèñòåìà ïiä äi¹þ çáóðåííÿ Vˆ (t) çà ÷àñ τ = t1 − t0 , ÿêùî âîíà ñòàðòóâàëà ç ïî÷àòêîâîãî ñòàíó i? Çíàéäåìî éìîâiðíiñòü òàêîãî ïåðåõîäó. Äëÿ öüîãî ñïî÷àòêó ïîòðiáíî çíàéòè éîãî àìïëiòóäó éìîâiðíîñòi, òîáòî êîåiöi¹íò Cf (t). Çàïèøåìî ðÿä òåîði¨ çáóðåíü

Cn (t) = Cn(0) (t) + Cn(1) (t) + Cn(2) (t) + · · · . 458

(ν)

Ìè âæå íå âèïèñó¹ìî ÿâíî áiëÿ ïîïðàâîê Cn (t) ïàðàìåòð âìèêàííÿ âçà¹ìîäi¨ λ, òðèìàþ÷è éîãî â ïàì'ÿòi. Ïðè âiäñóòíîñòi çáóðåííÿ âñi ïîïðàâêè, ïî÷èíàþ÷è ç ïåðøî¨, äîðiâíþþòü íóëåâi,

Cn(ν) (t) = 0,

ν = 1, 2, . . . ,

à íóëüîâå íàáëèæåííÿ, ÿê i â ñòàöiîíàðíié òåîði¨ çáóðåíü,

Cn(0) (t) = δni . Ïðèðiâíþþ÷è çëiâà i ñïðàâà â ðiâíÿííi äëÿ Cn (t) ìíîæíèêè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ ïàðàìåòðà λ, îòðèìó¹ìî òàêèé ëàíöþæîê ðiâíÿíü: P (0) (1) i~C˙ m (t) = n Cn (t)V˜mn (t), P (1) (2) i~C˙ m (t) = n Cn (t)V˜mn (t),

.....................

Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ (1) i~C˙ m (t) = V˜mi (t)

ìà¹ìî (1) Cm (t)

1 = i~

Z

t

V˜mi (t′ ) dt′ .

t0

Ìè çíàéøëè ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i â ïåðøîìó íàáëèæåííi, à ñàìå: àìïëiòóäà éìîâiðíîñòi òîãî, ùî çà ÷àñ τ = t1 − t0 äi¨ çáóðåííÿ ç ìîìåíòó t0 äî t1 ñèñòåìà ïåðåéøëà çi ñòàíó i â ñòàí f , Z 1 t1 ˜ ′ ′ (1) Cf = Vf i (t ) dt . i~ t0 Âiäïîâiäíî éìîâiðíiñòü òàêîãî ïåðåõîäó (1) 2 Wi→f = Cf àáî â ÿâíié îðìi

Wi→f

2 Z t1 1 ′ ′ ˜ Vf i (t ) dt . = i~ t0

459

Ó áiëüøîñòi çàäà÷, ÿê ïðàâèëî, êîðèñòóþòüñÿ ñàìå öi¹þ îðìóëîþ ïåðøîãî íàáëèæåííÿ. Ïåðåéäåìî äî îá÷èñëåííÿ âèùèõ ïîïðàâîê. Ìà¹ìî: Z X 1 t ˜ ′′ ′′ (2) ˙ ˜ i~Cm (t) = Vmn (t) Vni (t ) dt . i~ t0 n Îòæå,

(2) Cm (t)

Z t′ X 1 2 Z t ′ ˜ ′ dt Vmn (t ) dt′′ Vñi (t′′ ). = i~ t t 0 0 n

Öåé âèðàç ìîæíà çàïèñàòè ùå é òàê: 2 Z t Z t′ 1 ′ (2) dt dt′′ hm|V˜ (t′ )V˜ (t′′ )|ii, Cm (t) = i~ t0 t0 äå îïåðàòîð çáóðåííÿ ó ïðåäñòàâëåííi âçà¹ìîäi¨ ˆ ′ ˆ ′ V˜ (t′ ) = e(i/~)H0 t Vˆ (t′ )e−(i/~)H0 t .

Áà÷èìî, ùî äðóãà ïîïðàâêà âèçíà÷à¹òüñÿ ìàòðè÷íèì åëåìåíòîì âiä äîáóòêó äâîõ îïåðàòîðiâ çáóðåííÿ â ðiçíi ìîìåíòè ÷àñó. Òàê ñàìî ëåãêî çíàéòè é íàñòóïíi ïîïðàâêè. ßêùî ¨õ äîäàòè, òî ðåçóëüòàò äëÿ Cf ìîæíà çàïèñàòè çíîâó ÿê ìàòðè÷íèé åëåìåíò ˆ t0 ), ùî çîáðàæó¹òüñÿ ðÿäîì: âiä îïåðàòîðà Sˆ = S(t, 2 Z t1 Z t1 Z t′ 1 ˆ 1 , t0 ) = 1+ 1 V˜ (t′ ) dt′ + S(t dt′ dt′′ V˜ (t′ )V˜ (t′′ )+· · · , i~ t0 i~ t0 t0

ˆ 1 , t0 )|ii. Cf = hf |S(t Öÿ, ÿê ¨¨ íàçèâàþòü, Sˆ-ìàòðèöÿ, àáî ìàòðèöÿ ðîçñiÿííÿ, âiäiãðà¹ öåíòðàëüíó ðîëü ó íåðåëÿòèâiñòñüêié òà ðåëÿòèâiñòñüêié òåîðiÿõ êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ. Ïiä òåðìiíîì êâàíòîâi ïåðåõîäè ìè ðîçóìi¹ìî i ïåðåõîäè â àòîìàõ, i ðîçñiÿííÿ ÷àñòèíîê íà ñèëîâèõ öåíòðàõ, i çiòêíåííÿ ÷àñòèíîê, ó ðåçóëüòàòi ÷îãî íàðîäæóþòüñÿ iíøi ÷àñòèíêè, òîáòî ÿâèùà, ó ÿêèõ âiäáóâàþòüñÿ ïåðåõîäè ç îäíîãî ñòàíó â iíøèé. Ñàìå 460

ïîçíà÷åííÿ öüîãî îïåðàòîðà ïîõîäèòü âiä àíãëiéñüêîãî ñëîâà s attering àáî íiìåöüêîãî Streuung. Âèìiðþâàííÿ éìîâiðíîñòåé ó ïðîöåñi çiòêíåíü ÷àñòèíîê íàâîäèòü íà äóìêó, ùî ñàìå Sˆ-ìàòðèöÿ ¹ îñíîâíîþ ñïîñòåðåæóâàíîþ âåëè÷èíîþ, îñêiëüêè ÷åðåç ¨¨ ìàòðè÷íi åëåìåíòè ðîçðàõîâóþòüñÿ öi éìîâiðíîñòi. Iíøèìè ñëîâàìè, òåîðiþ ìîæíà áóäóâàòè â òåðìiíàõ Sˆ-ìàòðèöi áåç óâåäåííÿ ïîíÿòòÿ âçà¹ìîäi¨ ÷è ïîëÿ, áåðó÷è äî óâàãè ÿê àêñiîìè óìîâè ïðè÷èííîñòi òà iíâàðiàíòíîñòi ñòîñîâíî äî ïåðåòâîðåíü Ëîðåíöà. Ñàìå ç àíàëiçó òîãî, ùî íàñïðàâäi âèìiðþ¹òüñÿ ó içèöi åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê, Â. àéçåíáåð i ïîêëàâ ïî÷àòîê öüîìó, òàê çâàíîìó àêñiîìàòè÷íîìó ïiäõîäîâi ó êâàíòîâié òåîði¨. 56. Iìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó

Âàæëèâîþ õàðàêòåðèñòèêîþ êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ ¹ ¨õíÿ øâèäêiñòü. Ç óâàãè íà öå ðîçðàõó¹ìî öþ âåëè÷èíó â ïðîñòîìó âèïàäêó, êîëè çáóðåííÿ ïðîòÿãîì ÷àñó éîãî äi¨ ¹ ñòàëèì:

V˜f i (t) = eiωf i t Vf i ,

t0 ≤ t ≤ t1 ,

Vf i íå çàëåæèòü âiä t. Îòæå, ïîâíà éìîâiðíiñòü ïåðåõîäó â ïåðøîìó íàáëèæåííi òåîði¨ çáóðåíü 2 Z t1 (1) 2 1 iωf i t′ ′ Wi→f = Cf (t) = Vf i e dt . i~ t0 Iíòå ðóþ÷è, ìà¹ìî

Wi→f àáî

Wi→f

=

|Vf i |2 ~2

=

|Vf i |2 ~2

|Vf i |2 = ~2

iω t e f i 1 − eiωf i t0 2 , iωf i

iω t (eiωf i τ − 1) 2 e f i 0 iωf i

2 ωf i τ |Vf i |2 sin2 [(ωf i τ )/2] iωf i t0 eiωf i τ /2 sin . 2e =4 2 ωf i 2 ~ ωf2i 461

Ïiäðàõó¹ìî éìîâiðíiñòü ïåðåõîäó, êîëè τ → ∞, à àêòè÷íî öå îçíà÷à¹, ùî ωf i τ ≫ 1, ïðè÷îìó |Vf i /~ωf i | ≪ 1, îñêiëüêè ìè ïðàöþ¹ìî â ìåæàõ òåîði¨ çáóðåíü. Òåïåð äèâèìîñü íà âèðàç . ωf i 2 2 ωf i τ sin 2 ÿê íà îäíå ç ïðåäñòàâëåíü δ-óíêöi¨ (äèâ. 5): 2

lim

τ →∞

ωf i τ 2 ωf i 2 2

sin2 τ

= πδ

ω fi

2

.

Çðîçóìiëî, ùî òàêèé ïåðåõiä ìà¹ çìiñò ëèøå äëÿ íåïåðåðâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà f . Îòæå, ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ τ

Wi→f =

ω |Vf i |2 fi . τ πδ ~2 2

Çàçíà÷èìî, ùî öÿ âåëè÷èíà ïîâ'ÿçàíà ç éìîâiðíiñòþ ïåðåõîäó íà îäèíè÷íèé iíòåðâàë êâàíòîâîãî ÷èñëà f , à øâèäêiñòü êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ

wi→f =

dWi→f dτ

äîðiâíþ¹

wi→f

=

ω |Vf i |2 fi . πδ 2 ~ 2

Áåðó÷è äî óâàãè âëàñòèâiñòü δ-óíêöi¨,   (0) (0) ω − E E i  f fi (0) (0) = δ , = 2~ δ Ef − Ei δ 2 2~ îñòàòî÷íî çíàõîäèìî

wi→f =

2π (0) (0) . |Vf i |2 δ Ef − Ei ~

Äåëüòà-óíêöiÿ â öüîìó âèðàçi çàáåçïå÷ó¹ âèêîíàííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåð i¨ ïðè êâàíòîâèõ ïåðåõîäàõ. îçìiðíiñòü öi¹¨ âåëè÷èíè, îçíà÷åíî¨ ÿê iìîâiðíiñòü ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó, ¹ îáåðíåíîþ äî ÷àñó. Îñêiëüêè êiíöåâèé ñòàí õàðàêòåðèçó¹òüñÿ íåïåðåðâíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì f , òî øâèäêiñòü ïåðåõîäó ç ïî÷àòêîâîãî ñòàíó â 462

áóäü-ÿêèé êiíöåâèé îòðèìó¹ìî iíòå ðóâàííÿì çà âñiìà çíà÷åííÿìè f : Z 2π (0) (0) df |Vf i |2 δ Ef − Ei w = ~ Z df 2π (0) (0) (0) = |Vf i |2 δ Ef − Ei dEf . (0) ~ dEf Óâåäåìî âåëè÷èíó

df

(0)

ρf (Ef ) =

(0)

dEf

,

ÿêó íàçâåìî ãóñòèíîþ êiíöåâèõ ñòàíiâ i ÿêà äîðiâíþ¹ êiëüêîñòi ñòàíiâ íà îäèíè÷íèé iíòåðâàë åíåð i¨. Òåïåð iíòå ðóâàííÿ ëåãêî âèêîíàòè: 2π (0) ρf (Ei )|Vf i |2 . w= ~ Òàêèì ÷èíîì, iíòåíñèâíiñòü êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ âèçíà÷à¹òüñÿ âåëè÷èíîþ êâàäðàòà ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà îïåðàòîðà çáóðåííÿ òà ãóñòèíîþ êiíöåâèõ ñòàíiâ ïðè ïî÷àòêîâié åíåð i¨. Öÿ îðìóëà âiäîìà ÿê çîëîòå ïðàâèëî Ôåðìi8 . Îá÷èñëèìî éìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó â äðóãîìó íàáëèæåííi, áåðó÷è äî óâàãè, ùî â íàøîìó âèïàäêó ïîïðàâêà (2) Cf

=

=

1 i~

1 i~

2 X

2 X f′

Vf f ′ Vf ′ i

f′

Vf f ′ Vf ′ i

Zt1

dt′ eiωf f ′

Zt′

′′

dt′′ eiωf ′ i t

t0

t0

Zt1

t′

′

dt′ eiωf f ′ t

t0

8 Åíðiêî Ôåðìi (19011954) iòàëiéñüêèé içèê, ó 1942 ðîöi ïîáóäóâàâ ïåðøèé ÿäåðíèé ðåàêòîð ó ëàáîðàòîði¨ ×èêàçüêîãî óíiâåðñèòåòó, áðàâ ó÷àñòü ó ñòâîðåííi òà âèïðîáîâóâàííi àìåðèêàíñüêî¨ àòîìíî¨ áîìáè. Ëàóðåàò Íîáåëiâñüêî¨ ïðåìi¨ 1938 ðîêó çà âiäêðèòòÿ øòó÷íî¨ ðàäiîàêòèâíîñòi, ñïðè÷èíåíî¨ áîìáàðäóâàííÿì ïîâiëüíèìè íåéòðîíàìè.

463

′

eiωf ′ i t − eiωf ′ i t0 × = iωf ′ i

1 i~

2 X f′

Vf f ′ Vf ′ i iωf ′ i

eiωf f ′ t1 − eiωf f ′ t0 eiωf i t1 − eiωf i t0 − eiωf ′ i t0 × iωf i iωf f ′ =

1 i~

2

eiωf i t0

! eiωf i τ − 1 eiωf f ′ τ − 1 , − iωf i iωf f ′

X Vf f ′ Vf ′ i iωf ′ i

f′

!

ìè ñêîðèñòàëèñü òèì, ùî ωf f ′ + ωf ′ i = ωf i . Çàóâàæèìî, ùî â ñóìi çà f ′ äîäàíîê ç f ′ = i íå äà¹ âíåñêó i òîìó äàëi éîãî íå âðàõîâó¹ìî. " ! Òåïåð iωf i t0 eiωf i τ − 1 X ′ ′ V V e (1) (2) ff f i Cf + Cf = Vf i + i~ iωf i ~ωif ′ ′ f (f ′ 6=i)

# X Vf f ′ Vf ′ i eiωf f ′ τ − 1 . ~ωf ′ i iωf f ′ ′

+

f (f ′ 6=i)

×àñîâèé ìíîæíèê ó ïåðøîìó äîäàíêó ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ çáiãà¹òüñÿ ç òèì, ùî ìè ìàëè â ïåðøîìó íàáëèæåííi, i îòæå ïðè τ → ∞ âií äà¹ â iìîâiðíiñòü ïåðåõîäó ëiíiéíèé âíåñîê çà τ . Äðóãèé äîäàíîê ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ ïðè τ → ∞, âíàñëiäîê ïiäñóìîâóâàííÿ çà iíäåêñîì ïðîìiæíîãî ñòàíó f ′ (à ïðàêòè÷íî ìîâà éäå, ÿê ïðàâèëî, ïðî iíòå ðóâàííÿ), äà¹ ñêií÷åííó âåëè÷èíó9 . Òîìó éîãî âíåñîê 9 Äëÿ iëþñòðàöi¨ ñêàçàíîãî ðîçãëÿíüìî ïðîñòèé ïðèêëàä, âiäøòîâõóþ÷èñü âiä ÿêîãî, ìîæíàZ çðîáèòè i äåòàëüíiøèéZàíàëiç (f (ω) õîðîøà óíêöiÿ): ∞ ∞ eiωτ − 1 eix − 1 dω f (ω) dx f (x/τ ) = iω ix −∞ −∞

Z

= f (0)

τ →∞

Z

+

∞

−∞

464

∞

−∞

dx

eix − 1 = f (0) ix

Z

sin x dx = f (0) x

∞

−∞

Z

∞

−∞

cos x − 1 dx ix

sin x dx = πf (0). x

ó øâèäêiñòü êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ ïðè τ → ∞ äîðiâíþ¹ íóëåâi. Òàêèì ÷èíîì, îòðèìó¹ìî ïðîñòèé ðåçóëüòàò: éìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó â äðóãîìó íàáëèæåííi äîðiâíþ¹ âèðàçó, ÿêèé ìè çíàéøëè â ïåðøîìó íàáëèæåííi, ÿêùî â íüîìó ìàòðè÷íèé åëåìåíò Vf i çàìiíèòè íà êðóãëó äóæêó â ïîïåðåäíié îðìóëi. Îòæå, îñòàòî÷íî éìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó â äðóãîìó íàáëèæåííi: 2 X Vf f ′ Vf ′ i (0) 2π (0) . δ E − E wi→f = Vf i + i f (0) (0) ~ f ′ Ei − Ef ′ (f ′ 6=i)

Óðàõóâàííÿ äðóãîãî äîäàíêà ïiä çíàêîì ìîäóëÿ â öié îðìóëi âàæëèâå, íàïðèêëàä, ïðè äîñëiäæåííi ïðîöåñiâ ðîçñiÿííÿ ñâiòëà â ðå÷îâèíi (äâîîòîííi ïåðåõîäè), êîëè âií ¹ îäíîãî ïîðÿäêó âåëè÷èíè ç ïåðøèì10 . 57. îçñiÿííÿ íåéòðîíiâ ó êîíäåíñîâàíèõ òiëàõ

ßê ïðèêëàä çàñòîñóâàííÿ íåñòàöiîíàðíî¨ òåîði¨ çáóðåíü äîñëiäèìî ïðîáëåìó ðîçñiÿííÿ íåéòðîíiâ ó ðå÷îâèíi. Áóäåìî ââàæàòè, ùî ñòàí ðå÷îâèíè ïðè ïðîõîäæåííi íåéòðîíà íå çìiíþ¹òüñÿ. Iíàêøå êàæó÷è, ðîçãëÿäà¹ìî ïðóæíå ðîçñiÿííÿ, êîëè íåéòðîí íå âòðà÷à¹ ñâî¹¨ åíåð i¨. Ñòàí íåéòðîíà äî ðîçñiÿííÿ õàðàêòåðèçó¹òüñÿ õâèëüîâèì âåêòîðîì k, à ïî÷àòêîâà õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ ïëîñêîþ õâèëåþ: 1 (0) ψi = |ii = √ eikr . V Ïiñëÿ ðîçñiÿííÿ ìà¹ìî çíîâó âiëüíèé íåéòðîí, àëå çi çìiíåíèì çà íàïðÿìêîì õâèëüîâèì âåêòîðîì k′ i õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ′ 1 (0) ψf = |f i = √ eik r . V

10

Äèâ. I. Î. Âàêàð÷óê. Òåîðiÿ çîðÿíèõ ñïåêòðiâ. Ëüâiâ: Ëüâiâñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Iâàíà Ôðàíêà, 2002. 30

I. Î. Âàêàð÷óê

465

Îñêiëüêè ðîçñiÿííÿ ïðóæíå, òî |k′ | = |k|. Iìîâiðíiñòü òàêîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó ! ′ 2π ~2 k 2 ~2 k2 ′ ˆ 2 wi→f = , |hk |V |ki| δ − ~ 2m 2m äå

Vˆ =

N X j=1

Φ(|r − Rj |)

åíåð iÿ ñèëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ íåéòðîíà ç ÿäðàìè àòîìiâ ñåðåäîâèùà, ó ÿêîìó âiäáóâà¹òüñÿ ðîçñiÿííÿ. àäióñ-âåêòîð Rj çàäà¹ ïîëîæåííÿ j -ãî ÿäðà. Ìàòðè÷íèé åëåìåíò

hk |Vˆ |ki = ′

=

Z

′ N e−ik r X eikr √ Φ(|r − Rj |) √ dr V j=1 V

Z N 1 X −iqRj e e−iq(r−Rj ) Φ(|r − Rj |) dr, V j=1

äå ìè ââåëè âåêòîð

q = k′ − k, ÿêèé íàçèâàþòü iìïóëüñîì ïåðåäà÷i. Iíòå ðàë íå çàëåæèòü âiä Rj , i ìàòðè÷íèé åëåìåíò √ N ′ ˆ hk |V |ki = νq ρq , V äå êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ Z νq = e−iqR Φ(R) dR, à âåëè÷èíà

N 1 X −iqRj ρq = √ e N j=1

466

ìà¹ çìiñò êîåiöi¹íòà Ôóð'¹ ëþêòóàöi¨ ÷èñëà àòîìiâ ñåðåäîâèùà. Òàêèì ÷èíîì, ! 2 k2 2 k′ 2 ~ ~ 2π N . − |νq |2 |ρq |2 δ wi→f = ~ V2 2m 2m Ïiäðàõó¹ìî ïîâíó éìîâiðíiñòü ðîçñiÿííÿ ó âñiõ íàïðÿìêàõ: Z Z Z X V ′ V ′ dk w = dΩ k 2 dk′ wi→f . w= wi→f = i→f 3 3 (2π) (2π) ′ k

Ìè ïåðåéøëè äî ñåðè÷íî¨ ñèñòåìè êîîðäèíàò, ïðè÷îìó dΩ ¹ åëåìåíòîì òiëåñíîãî êóòà, ó ÿêîìó ðîçñiþ¹òüñÿ íåéòðîí. Óâåäåìî ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ ÿê âiäíîøåííÿ âåëè÷èíè w äî ïî÷àòêîâî¨ ãóñòèíè ïîòîêó íàëiòàþ÷îãî íåéòðîíà: ~k 1 σ=w × , m V

mV V σ= ~k (2π)3

Z

dΩ

Z

2π N |νq |2 |ρq |2 × δ k ~ V2 ′2

′

~2 k 2 ~2 k2 − 2m 2m

!

dk′ .

Âèêîðèñòà¹ìî âëàñòèâiñòü δ-óíêöi¨: ! ′ δ(k′ − k) ~2 k 2 ~2 k2 = 2 − . δ 2m 2m ~ k/m Òåïåð iíòå ðàë ëåãêî áåðåìî, i äëÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ îñòàòî÷íî çíàõîäèìî: mν 2 dσ q = N Sq , dΩ 2π~2 òóò

Sq = |ρq |2

¹ ñòðóêòóðíèì àêòîðîì êîíäåíñîâàíîãî òiëà, ïðè÷îìó p θ q = |k′ − k| = k′ 2 − 2kk′ + k2 = 2k sin , 2

d′ . äå êóò ðîçñiÿííÿ θ = kk 30*

467

ßêùî íåéòðîí ðîçñi¹òüñÿ íà îäíîìó àòîìi, òî N = 1, Sq = 1 i äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç mν 2 dσ q = . dΩ 2π~2 Iíòåíñèâíiñòü ðîçñiÿííÿ íà N íåâçà¹ìîäiþ÷èõ öåíòðàõ ¹ äèåðåíöiàëüíèì ïåðåðiçîì ðîçñiÿííÿ íà îäíîìó öåíòði, çáiëüøåíèì â N ðàçiâ: mν 2 q . Iq0 = N 2π~2

Òàêèì ÷èíîì, âiäíîøåííÿ iíòåíñèâíîñòi ðîçñiÿííÿ â êîíäåíñîâàíîìó òiëi íà âçà¹ìîäiþ÷èõ àòîìàõ äî Iq0 äîðiâíþ¹ ñòðóêòóðíîìó àêòîðîâi: Iq = Sq . Iq0 Öå äîçâîëÿ¹ âèçíà÷àòè â äèðàêöiéíèõ åêñïåðèìåíòàõ ñòðóêòóðó ðå÷îâèíè. Íà ðèñ. 51 çîáðàæåíèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ðiäêîãî 4 He, îòðèìàíèé ó äîñëiäàõ ç ðîçñiÿííÿ íåéòðîíiâ òà ðåíò åíiâñüêèõ ïðîìåíiâ.

èñ. 51. 468

Ñòðóêòóðíèé àêòîð ðiäêîãî

4

He ïðè

T = 0◦ K.

Ìè ãîâîðèëè âåñü ÷àñ ïðî ðîçñiÿííÿ íåéòðîíiâ, îäíàê ðåçóëüòàò çàëèøà¹òüñÿ òèì ñàìèì, ÿêùî ðîçñiþþòüñÿ áóäü-ÿêi ÷àñòèíêè: åëåêòðîíè, α-÷àñòèíêè, îòîíè i ò. ä. Ìiæ iíøèì, çâiäñè îòðèìó¹ìî i îðìóëó åçåðîðäà äëÿ ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ α-÷àñòèíîê íà àòîìíèõ ÿäðàõ. Ñïðàâäi, α-÷àñòèíêà âçà¹ìîäi¹ ç ÿäðîì çà çàêîíîì Êóëîíà, νq = 4πe2 Z/q 2 , äå Z çàðÿä ÿäðà:

dσ = dΩ

2me2 Z p2

2

,

p = ~q îðìóëà åçåðîðäà. 58. Êâàíòîâi ïåðåõîäè ïiä äi¹þ ðàïòîâèõ çáóðåíü

Öiêàâèìè ¹ çàäà÷i, êîëè çáóðåííÿ äi¹ ðàïòîâî, òîáòî çìiíà ãàìiëüòîíiàíà âiäáóâà¹òüñÿ çà ÷àñ τ < 1/ωf i . ßê ïðèêëàä òàêî¨ ðàïòîâî¨ çìiíè ìîæíà íàâåñòè çìiíó çàðÿäó àòîìíîãî ÿäðà ïðè β -ðîçïàäi. ×àñ ïðîõîäæåííÿ β -÷àñòèíêè ÷åðåç îáîëîíêó ÿäðà àòîìà ¹ ìàëèì ó ïîðiâíÿííi ç ïåðiîäîì îáåðòàííÿ åëåêòðîíà íàâêîëî ÿäðà, òàê ùî çìiíó çàðÿäó ìîæíà ââàæàòè ìèòò¹âîþ. (0) Õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè ψi ïðè òàêèõ ðàïòîâèõ çìiíàõ íå âñòèãà¹ çìiíèòèñü, àëå âîíà íå ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ íîâîãî ãà(0) ìiëüòîíiàíà. Îòæå, ñòàí ψi óæå íå ¹ ñòàöiîíàðíèì. Ïåðåõiä ó ñòàöiîíàðíèé ñòàí ψf ç íîâèì ãàìiëüòîíiàíîì ðîçðàõîâó¹ìî çà çàãàëüíèì ïðàâèëîì, ùî âèïëèâà¹ ç ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨. îçêëà(0) äà¹ìî õâèëüîâó óíêöiþ ψi ó ðÿä çà ïîâíîþ ñèñòåìîþ âëàñíèõ óíêöié íîâîãî ãàìiëüòîíiàíà X (0) ψi = Cf i ψf . f

Êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó

Cf i =

Z

(0)

ψf∗ (q)ψi (q) dq, 469

çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, i âèçíà÷àþòü øóêàíó éìîâiðíiñòü òàêîãî ïåðåõîäó |Cf i |2 = Wi→f : Z 2 (0) ∗ Wi→f = ψf (q)ψi (q) dq .

ßê ïðèêëàä ðîçðàõó¹ìî éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ëiíiéíèé ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð çàëèøèòüñÿ â îñíîâíîìó ñòàíi, ÿêùî ðàïòîâå çáóðåííÿ çìiíþ¹ éîãî ìàñó i ÷àñòîòó: m, ω → m′ , ω ′ . Ìà¹ìî

W0→0′ = |h0|0′ i|2 ,

äå õâèëüîâi óíêöi¨

hx|0i = ′

hx|0 i =

mω 1/4

π~

m′ ω ′ π~

e−mωx

1/4

′

2 /2~

,

′ 2 /2~

e−m ω x

.

àõó¹ìî ìàòðè÷íèé åëåìåíò: 2 ′ ′ 2 mω 1/4 m′ ω ′ 1/4 Z ∞ mω x mω + exp − dx W0→0′ = π~ π~ 2 ~ ~ −∞

mω 1/4 m′ ω ′ 1/4 r 2π~ = π~ π~ m′ ω ′ + mω

Îñòàòî÷íî

W0→0′ =

r

2 .

2 mω . m′ ω ′ 1 + mmω ′ ω′

Çðîçóìiëî, ùî ïðè mω = m′ ω ′ , iìîâiðíiñòü W0→0′ = 1. Àíàëîãi÷íî ëåãêî ïîêàçàòè, ùî ïðè β -ðîçïàäi àòîìà âîäíþ ç ìàñîâèì ÷èñëîì 3 i ïåðåòâîðåííÿ éîãî â éîí ãåëiþ, iìîâiðíiñòü çàëèøèòèñü åëåêòðîíó â îñíîâíîìó 1s-ñòàíi äîðiâíþ¹ [4ZZ ′ /(Z + Z ′ )2 ]3 ≃ 0.702332, äå Z = 1, Z ′ = 2 çàðÿäè ÿäðà äî i ïiñëÿ ðîçïàäó.

Ë À Â À IX ÂÇÀÌÎÄIß ÀÒÎÌÀ Ç ÅËÅÊÒÎÌÀ ÍIÒÍÈÌ ÏÎËÅÌ

59. Êâàíòóâàííÿ

âiëüíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ

Äëÿ ïîñëiäîâíîãî êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî îïèñó ÿâèù, ÿêi ñïîñòåðiãàþòüñÿ ïðè âçà¹ìîäi¨ àòîìà ðå÷îâèíè ç åëåêòðîìàãíiòíèì ïîëåì, íàì íåîáõiäíî ïðîâåñòè êâàíòóâàííÿ ïîëÿ. Íàãàäà¹ìî, ùî ïåðøîïîøòîâõîì äî ñòâîðåííÿ ñàìî¨ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ñòàâ ïîñòóëàò Ïëàíêà ïðî êâàíòóâàííÿ åíåð i¨ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Âàæëèâèì ¹ òàêîæ i òå, ùî â ðåçóëüòàòi ïîáóäîâè êâàíòîâî¨ òåîði¨ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ óçàãàëüíþâàëèñü iäå¨ é ïîíÿòòÿ, ïîòðiáíi äëÿ ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ïîëÿ ÿê óíäàìåíòó içèêè åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê. Áóäåìî âèõîäèòè ç êëàñè÷íîãî îïèñó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ i ïðåäñòàâèìî éîãî ó âèãëÿäi íàáîðó ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ. Äàëi çà çâè÷àéíîþ ñõåìîþ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè çäiéñíèìî ïåðåõiä âiä êëàñè÷íèõ îñöèëÿòîðiâ äî êâàíòîâèõ. Òèì ñàìèì ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè åëåêòðîìàãíiòíå ïîëå ÿê ñóêóïíiñòü êâàíòîâèõ îñöèëÿòîðiâ. Çàäà÷à ïîëÿãà¹ â çíàõîäæåííi ÿâíîãî âèãëÿäó îïåðàòîðiâ içè÷íèõ âåëè÷èí ïîëÿ (ãàìiëüòîíiàí, âåêòîðíèé ïîòåíöiàë, íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî é ìàãíiòíîãî ïîëiâ), îá÷èñëåííi éîãî åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ òà õâèëüîâèõ óíêöié. Öå òàêîæ äàñòü çìîãó ââåñòè ïîíÿòòÿ îòîíà. Äëÿ âèêîíàííÿ öi¹¨ ïðîãðàìè äi¹ìî òàêèì ÷èíîì. Ïðè âiäñóòíîñòi çàðÿäiâ i ñòðóìiâ, òîáòî äëÿ âiëüíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ, éîãî ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàë ìîæíà âèáðàòè ðiâíèì íóëåâi. Âåêòîðíèé ïîòåíöiàë A = A(r, t) ÿê óíêöiÿ ïðîñòîðîâèõ êîîðäèíàò r i ÷àñó t çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ

div A = 0. 471

Íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî òà ìàãíiòíîãî ïîëiâ

1˙ E = − A, c

H = rot A.

iâíÿííÿ Ìàêñâåëëà çâîäèòüñÿ äî õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ

1 ¨ A − ∇2 A = 0. c2 Áóäåìî ðîçãëÿäàòè ïîëå â ñêií÷åííié îáëàñòi îá'¹ìó V , ÿêà ìà¹ îðìó êóáà ç ðåáðîì L, V = L3 . îçêëàäà¹ìî âåêòîðíèé ïîòåíöiàë A â ðÿä Ôóð'¹, íàêëàäàþ÷è ãðàíè÷íi óìîâè ïåðiîäè÷íîñòi: r 4πc2 X A= (ak eikr + a∗k e−ikr ). V k

Òàêèé çàïèñ ðÿäó Ôóð'¹ ïiäêðåñëþ¹, ùî A âåëè÷èíà äiéñíà, A∗ = A; ìíîæíèê ïåðåä ñóìîþ ââåäåíèé äëÿ çðó÷íîñòi. Ç óìîâè ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ âèïëèâà¹, ùî êîìïëåêñíi âåêòîðè ak ¹ îðòîãîíàëüíèìè äî õâèëüîâîãî âåêòîðà k:

(k ak ) = 0. Iç õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà äëÿ ak : 1 ¨k + k2 ak = 0. a c2 Ó çâ'ÿçêó ç öèì êîåiöi¹íòè ak ìàþòü ãàðìîíi÷íó çàëåæíiñòü âiä ÷àñó ç ÷àñòîòîþ ωk = kc,

ak ∼ e−iωk t . Äëÿ ak ó ïîêàçíèêó åêñïîíåíòè iêñó¹ìî çíàê −, òîäi äëÿ a∗k ìàòèìåìî çíàê +. Ó çâ'ÿçêó ç öèì çðîáèìî çàóâàæåííÿ äëÿ äîïèòëèâèõ. Çàãàëîì êàæó÷è, ìè ïîâèííi âçÿòè äëÿ ak òà a∗k ëiíiéíó êîìáiíàöiþ ãàðìîíiê iç äîäàòíèìè òà âiä'¹ìíèìè ÷àñòîòàìè. Îäíàê îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò çàëèøèòüñÿ òèì ñàìèì, ÿêùî ïiä çíàêîì ñóìè çà k â äîäàíêàõ iç äîäàòíîþ ÷àñòîòîþ äëÿ ak òà âiä'¹ìíîþ ÷àñòîòîþ äëÿ a∗k çàìiíèòè k íà −k i ïðîâåñòè ïðîñòi ïåðåïîçíà÷åííÿ. 472

Îá÷èñëèìî ïîâíó åíåð iþ â îá'¹ìi V : Z Z 1 1 ˙2 1 2 2 2 E= A + [∇A] dr. (E + H ) dr = 8π 8π c2

Ïiäñòàâëÿþ÷è ó âèðàç äëÿ E ðîçêëàä ïîòåíöiàëó A, çàïèøåìî åíåð iþ ïîëÿ ÷åðåç âåëè÷èíè ak òà a∗k . Ïðè öüîìó äâîêðàòíå ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèìè âåêòîðàìè, ùî âèíèêà¹ ó âèðàçi äëÿ E âíàñëiäîê éîãî êâàäðàòè÷íî¨ îðìè çà A, çâîäèòüñÿ ïiñëÿ iíòå ðóâàííÿ çà ïðîñòîðîâèìè çìiííèìè ç âèêîðèñòàííÿì iíòå ðàëüíîãî ïðåäñòàâëåííÿ ñèìâîëó Êðîíåêåðà Z 1 ′ eir(k−k ) dr δk,k′ = V äî îäíîêðàòíîãî: c2 X 1 1 2 E = a˙ k a˙ −k + 2 a˙ k a˙ ∗k + 2 a˙ ∗k a˙ ∗−k 2 2 c c c k

+ ([k ak ][k a−k ]) + 2([k ak ][k

a∗k ])

+ ([k

a∗k ][k

a∗−k ])

.

Äàëi, âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíîñòi

a˙ ∗k = iωk a∗k ,

a˙ k = −iωk ak ,

ùî âèïëèâàþòü iç ÷àñîâî¨ çàëåæíîñòi âåëè÷èíè ak , ðîçïèñó¹ìî äîäàíêè ç âåêòîðíèìè äîáóòêàìè. Íàïðèêëàä,

([k ak ][k a−k ]) = ([ak [k a−k ]]k) = k2 ak a−k , äå âðàõîâàíî óìîâó ïîïåðå÷íîñòi. Ó ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî, ùî ïåðøèé i ÷åòâåðòèé òà òðåòié é îñòàííié äîäàíêè ó âèðàçi äëÿ E ñêîðî÷óþòüñÿ, à ðåøòà äàþòü X E=2 ωk2 |ak |2 . k

Ïåðåéäåìî òåïåð âiä êîìïëåêñíèõ âåëè÷èí ak , a∗k äî äiéñíèõ

Qk = ak + a∗k ,

˙ k = iωk (a∗k − ak ). Q 473

Îáåðíåíi ðiâíîñòi:

1 ak = 2

˙k Q Qk − iωk

!

,

1 a∗k = 2

˙k Q Qk + iωk

!

.

Ó íîâèõ âåëè÷èíàõ ïîâíà åíåð iÿ ïîëÿ 1X ˙2 E= (Qk + ωk2 Qk 2 ). 2 k

Óíàñëiäîê ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ âåêòîð ak ¹ ïåðïåíäèêóëÿðíèì äî õâèëüîâîãî âåêòîðà k, òîáòî âåêòîðè ak , à òàêîæ Qk ëåæàòü ó ïëîùèíi, ïåðïåíäèêóëÿðíié äî k. Òîìó â öié ïëîùèíi Qk ìà¹ äâi êîìïîíåíòè Qk,1 òà Qk,2 : X Qk = ek,α Qk,α , α=1,2

äå ek,α îäèíè÷íèé âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨,

ek,α ek,α′ = δαα′ . Íàïðèêëàä, ÿêùî íàïðÿìîê õâèëüîâîãî âåêòîðà k âèáðàòè óçäîâæ îñi z ó äåêàðòîâié ñèñòåìi êîîðäèíàò, à îäèíè÷íi âåêòîðè ek,1 òà ek,2 âiäïîâiäíî ìàòèìóòü íàïðÿìîê îñåé x òà y , òî ãîâîðÿòü ïðî ëiíiéíó ïîëÿðèçàöiþ âçäîâæ öèõ îñåé. ßêùî √ ñêëàäîâà âåêòîðà ïîëÿðèçàöi¨ âçäîâæ îñi x äîðiâíþâàòèìå 1/ 2, à âçäîâæ √ îñi y (±i/ 2), òî ãîâîðÿòü ïðî êðóãîâó ïîëÿðèçàöiþ. Ç óðàõóâàííÿì öüîãî ïîâíà åíåð iÿ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ íàáèðà¹ âèãëÿäó (òóò i äàëi α íàáóâà¹ çíà÷åííÿ 1, 2):

E=

1 XX ˙2 (Qk,α + ωk2 Q2k,α ). 2 α k

Öåé âèðàç ¹ íå ùî iíøå, ÿê ñóìà åíåð ié ñóêóïíîñòi íåçàëåæíèõ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ ç óçàãàëüíåíèìè êîîðäèíàòàìè Qk,α i ìàñàìè m = 1. Öå äîçâîëÿ¹ íàì iíòåðïðåòóâàòè ïîëå ÿê ñóêóïíiñòü ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ, ïðè÷îìó êîæíó ãàðìîíiêó ïîëÿ ç õâèëüîâèì âåêòîðîì k, ÷àñòîòîþ ωk = kc i ïîëÿðèçàöi¹þ α çiñòàâëÿ¹ìî ç ëiíiéíèì ãàðìîíi÷íèì îñöèëÿòîðîì. Ïðîöåäóðó, ÿêó 474

ìè ïðîâåëè âèùå, íàçèâàþòü ðîçêëàäîì ïîëÿ íà ãàðìîíi÷íi îñöèëÿòîðè. Äîñi ìè ìàëè êëàñè÷íèé îïèñ. Ç ìåòîþ êâàíòóâàííÿ ïîëÿ ïåðåéäåìî âiä åíåð i¨ äî óíêöi¨ àìiëüòîíà, óâiâøè óçàãàëüíåíi iìïóëüñè Pk,α : 1 XX 2 E= (Pk,α + ωk2 Q2k,α ), 2 α k

Pk,α = Q˙ k,α . Òåïåð ðiâíÿííÿ ïîëÿ íàáóâàþòü âèãëÿäó êàíîíi÷íèõ ðiâíÿíü àìiëüòîíà â êëàñè÷íié ìåõàíiöi:

∂H Q˙ k,α = , ∂Pk,α

∂H P˙k,α = − . ∂Qk,α

Ñïðàâäi, ïåðøå ðiâíÿííÿ çâîäèòüñÿ äî ââåäåíîãî îçíà÷åííÿ óçàãàëüíåíîãî iìïóëüñó, à äðóãå ðiâíÿííÿ äà¹

P˙k,α = −ωk2 Qk,α , àáî

¨ k,α + ω 2 Qk,α = 0. Q k ßêùî íàãàäàòè çâ'ÿçîê âåêòîðà Qk ç ak , òî ìè çíîâó äiñòàíåìî çâiäñè ðiâíÿííÿ äëÿ ak , ÿêå ¹ õâèëüîâèì ðiâíÿííÿì äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó A i äî ÿêîãî çâîäÿòüñÿ â íàøîìó âèïàäêó ðiâíÿííÿ Ìàêñâåëëà. Iç êëàñè÷íî¨ åëåêòðîäèíàìiêè ìè çíà¹ìî, ùî åëåêòðîìàãíiòíå ïîëå ìà¹ iìïóëüñ Z 1 P= [EH] dr. 4πc Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçêëàäè â ðÿäè Ôóð'¹ êëàñè÷íèõ âèðàçiâ äëÿ E òà H, îòðèìàíèõ ç ¨õ îçíà÷åííÿ ÷åðåç âåêòîðíèé ïîòåíöiàë A, r 4πc2 X iωk E = ak eikr − ak ∗ e−ikr , V c k

475

H =

r

4πc2 X i[kak ]eikr − i[kak ∗ ]e−ikr , V k

çíàõîäèìî, ùî X 1 XX k 2 P=2 kωk |ak |2 = + ωk2 Q2k,α . Pk,α 2 ωk α k

k

Òåïåð çà çàãàëüíîþ ñõåìîþ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ââîäèìî âiäïîâiäíi îïåðàòîðè. Îïåðàòîð àìiëüòîíà XX 2 ˆ =1 ˆ 2 ), H + ωk2 Q (Pˆk,α k,α 2 α k

à êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè çàìiíþ¹ìî îïåðàòîðàìè, ïiäêîðÿþ÷è ¨õ âiäîìèì êîìóòàöiéíèì ñïiââiäíîøåííÿì

ˆ k,α = i~δkk′ δαα′ . ˆ k,α Pˆk′ ,α′ − Pˆk′ ,α′ Q Q Çíàõîäæåííÿ âëàñíèõ óíêöié òà âëàñíèõ çíà÷åíü ãàìiëüòîíiˆ , ùî âèçíà÷àþòü êâàíòîâèé ñòàí ïîëÿ òà éîãî åíåð åòè÷íi àíà H ðiâíi, çàäà÷à íåñêëàäíà, îñêiëüêè âîíà çâîäèòüñÿ äî îñöèëÿòîðíî¨. Âëàñíi óíêöi¨ YY Ψ...,Nk,α ,... ≡ | . . . , Nk,α , . . .i = |Nk,α i, k

α

äå |Nk,α i õâèëüîâà óíêöiÿ ëiíiéíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç êâàíòîâèì ÷èñëîì Nk,α = 0, 1, 2, . . .. Åíåð åòè÷íi ðiâíi XX 1 E...,Nk,α ,... = ~ωk Nk,α + . 2 α k

Îïåðàòîð iìïóëüñó ïîëÿ XX k 2 ˆ2 ˆ =1 + ωk2 Q Pˆk,α P k,α , 2 ωk α k

à éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ

P=

XX k

476

α

1 ~ k Nk,α + 2

.

Îñêiëüêè ïiäñóìîâóâàííÿ çà k â äîäàíêó ç 1/2 â êðóãëèõ äóæêàõ äà¹ íóëüîâèé ðåçóëüòàò, òî âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà iìïóëüñó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ XX P= ~ kNk,α . k

α

Îòæå, ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ âèçíà÷à¹òüñÿ íàáîðîì êâàíòîâèõ ÷èñåë {. . . , Nk,α , . . .}, ÿêi â ñâîþ ÷åðãó âèçíà÷àþòü íîìåðè çáóäæåíèõ ñòàíiâ îñöèëÿòîðiâ. Îñíîâíèé (âàêóóìíèé) ñòàí ïîëÿ öå ñòàí, äëÿ ÿêîãî âñi êâàíòîâi ÷èñëà Nk,α = 0: XX E0 = E...,0,... = ~ωk /2. k

α

ßêùî îäèí ç îñöèëÿòîðiâ iç õâèëüîâèì âåêòîðîì k i ïîëÿðèçàöi¹þ α ïåðåáóâà¹ â ïåðøîìó çáóäæåíîìó ñòàíi Nk,α = 1, à ðåøòà â îñíîâíîìó, òî åíåð iÿ ïîëÿ äîðiâíþ¹ E0 + ~ωk . Ïåðåõiä ïîëÿ â òàêèé çáóäæåíèé ñòàí ìîæíà iíòåðïðåòóâàòè ÿê âèíèêíåííÿ êâàíòà åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ îòîíà, åíåð iÿ ÿêîãî äîðiâíþ¹ ~ωk , iìïóëüñ ~ k, õâèëüîâèé âåêòîð k, ïîëÿðèçàöiÿ α. Çáiëüøåííÿ çíà÷åííÿ ÷èñëà Nk,α îçíà÷à¹ íàðîäæåííÿ íîâèõ îòîíiâ öüîãî æ ñîðòó. Îòæå, ÷èñëî Nk,α öå ¹ êiëüêiñòü îòîíiâ iç ÷àñòîòîþ ωk = kc, iìïóëüñîì ~ k, íàïðÿìêîì ïîøèðåííÿ k/k i ïîëÿðèçàöi¹þ α. Ïîíÿòòÿ êâàíòà ïîëÿ ÿê ÷àñòèíêè âïåðøå ââiâ À. Àéíøòàéí ó 1905 ðîöi â ðîáîòi ç îòîååêòó, äå âií çàñòîñóâàâ äî ïîÿñíåííÿ öüîãî ÿâèùà êâàíòîâó ãiïîòåçó Ì. Ïëàíêà. Ó öié ðîáîòi ïðèïóñêà¹òüñÿ, ùî êâàíòóâàííÿ åíåð i¨ âiäáóâà¹òüñÿ íå òiëüêè â àêòàõ ïîãëèíàííÿ òà âèïðîìiíþâàííÿ ñâiòëà ÷îðíèì òiëîì, à é òå, ùî êâàíòîâi âëàñòèâîñòi ïðèòàìàííi ñàìîìó ñâiòëó. Ñàìà íàçâà îòîí, ÿê óæå çàçíà÷àëîñü, âèíèêëà ïiçíiøå, ó 1926 ðîöi: ¨¨ ââiâ ó âæèòîê àìåðèêàíñüêèé içèêîõiìiê . Í. Ëüþ¨ñ. Ó çâ'ÿçêó ç iíòåðïðåòàöi¹þ ïîëÿ ÿê ñóêóïíîñòi îòîíiâ, çðó÷ˆ k,α , Pˆk,α , ââåñòè ¨õíi ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ íî, çàìiñòü îïåðàòîðiâ Q òàê çâàíi îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ îòîíiâ. Öi îïåðàòîðè äîáðå âiäîìi íàì iç çàäà÷i ïðî ëiíiéíèé ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿˆ + i çíèùåííÿ òîð. Àíàëîãi÷íî ââåäåìî îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ B k,α ˆk,α â òåîði¨ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ òà ïåðåïèøåìî íàâåäåíi âèB 477

ùå îðìóëè ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî ìè ìà¹ìî íå îäèí, à ñóêóïíiñòü íåçàëåæíèõ îñöèëÿòîðiâ. Îòæå, ! r ˆk,α P ω k ˆ k,α − ˆk,α = Q , B 2~ iωk

=

r

ˆ k,α = Q

s

ˆ+ B k,α Îáåðíåíi ðiâíîñòi:

r

Pˆk,α = i

ˆ ˆ k,α + Pk,α Q iωk

ωk 2~

!

.

~ ˆ+ ˆk,α , Bk,α + B 2ωk ~ωk ˆ + ˆk,α . Bk,α − B 2

Êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ:

ˆk,α B ˆ +′ ′ − B ˆ +′ ′ B ˆ B k ,α k ,α k,α = δkk′ δαα′ , ˆk′ ,α′ B ˆk,α = 0, ˆk,α B ˆk′ ,α′ − B B àìiëüòîíiàí ïîëÿ

ˆ+ B ˆ+ ˆ+ ˆ+ B k,α k′ ,α′ − Bk′ ,α′ Bk,α = 0.

ˆ = H

XX α

îïåðàòîð iìïóëüñó ïîëÿ

ˆ = P

~ωk

k

XX α

1 ˆ+ B ˆ B k,α k,α + 2

,

ˆ+ B ˆ ~ kB k,α k,α .

k

ˆk,α i B ˆ + íà ñòàí ïîëÿ òàêi: Äi¨ îïåðàòîðiâ B k,α p ˆk,α Ψ...,N ,... = Nk,α Ψ...,N −1,... , B k,α k,α ˆ + Ψ...,N ,... = B k,α k,α

478

p

Nk,α + 1Ψ...,Nk,α +1,...

çâiäñè î÷åâèäíà iíòåðïðåòàöiÿ öèõ îïåðàòîðiâ ÿê îïåðàòîðiâ çíèùåííÿ òà ïîðîäæåííÿ îòîíiâ iç êâàíòîâèìè ÷èñëàìè k, α. Îïåðàòîð

ˆk,α = B ˆ+ B ˆ N k,α k,α íàçèâàþòü îïåðàòîðîì ÷èñëà îòîíiâ, îñêiëüêè éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ äîðiâíþþòü ÷èñëó îòîíiâ:

ˆk,α Ψ...,N ,... = Nk,α Ψ...,N ,... . N k,α k,α Âàêóóìíèé ñòàí ïîëÿ âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì

ˆk,α Ψ...,N ,... = 0 B k,α äëÿ âñiõ çíà÷åíü k òà α. Ïåðåéäåìî òåïåð äî âèçíà÷åííÿ iíøèõ îïåðàòîðiâ içè÷íèõ âåëè÷èí, ùî õàðàêòåðèçóþòü ïîëå. Ïî÷íåìî ç âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó. Äëÿ çíàõîäæåííÿ âiäïîâiäíîãî éîìó îïåðàòîðà íåîáõiäíî êîåiöi¹íòè ak òà a∗k â ðîçêëàäi Ôóð'¹ äëÿ A çàìiíèòè îïåðàòîðàìè. Îñêiëüêè Pk,α 1X ek,α Qk,α − , ak = 2 α iωk

a∗k

Pk,α 1X ek,α Qk,α + , = 2 α iωk

òî êâàíòóâàííÿ çäiéñíþ¹ìî çàìiíîþ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ îïåðàòîðàìè. Ç óðàõóâàííÿì îçíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ äëÿ êâàíòóâàííÿ ñëiä âèêîíàòè òàêi çìiíè: s X ~ ˆ Bk,α , ak → ek,α 2ωk α

a∗k →

X α

ek,α

s

~ ˆ+ B . 2ωk k,α 479

Òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîð âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó s X X 2πc2 ~ ˆk,α + e−ikr B ˆ+ . ˆ = ek,α eikr B A k,α V ωk α k

Îïåðàòîðè íàïðóæåíîñòåé åëåêòðè÷íîãî òà ìàãíiòíîãî ïîëiâ îòðèìó¹ìî åëåìåíòàðíî ç íàâåäåíèõ âèùå ðîçêëàäiâ äëÿ êëàñè÷íèõ âåëè÷èí E òà H: r X X 2π~ωk ˆ = i ˆk,α − e−ikr B ˆ+ , E ek,α eikr B k,α V α k

ˆ = i H

XX k

α

s

2πc2 ~ ˆk,α − e−ikr B ˆ+ . [kek,α ] eikr B k,α V ωk

Ìè ïðîâåëè êâàíòóâàííÿ âiëüíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ: çíàéøëè âèãëÿä îïåðàòîðiâ ïîëÿ (ãàìiëüòîíiàíà, ïîâíîãî iìïóëüñó, âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó, íàïðóæåíîñòåé åëåêòðè÷íîãî òà ìàãíiòíîãî ïîëiâ), âèçíà÷èëè åíåð åòè÷íi ðiâíi ïîëÿ. Ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ ¹ àäåêâàòíèì ùîäî ìîäåëi åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ÿê ñóêóïíîñòi îòîíiâ. Çóïèíèìîñü íà ïèòàííi, âiä ÿêèõ çìiííèõ ìîæå çàëåæàòè àìïëiòóäà ñòàíó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ Ψ...,Nk,α ,.... Ó ðîëi òàêèõ çìiííèõ ìîæíà âèáðàòè ñóêóïíiñòü óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò {. . . , Qk,α , . . .} àáî ñóêóïíiñòü óçàãàëüíåíèõ iìïóëüñiâ {. . . , Pk,α , . . .}. Çðîçóìiëî, ùî íi÷îãî ñïiëüíîãî ç êîîðäèíàòàìè ÷è iìïóëüñàìè îòîíiâ öi âåëè÷èíè íå ìàþòü. Ó öüîìó âèïàäêó ìè áóäåìî ìàòè Ψ...,Nk,α ,... ÿê äîáóòîê çâè÷àéíèõ îñöèëÿòîðíèõ õâèëüîâèõ óíêöié ó êîîðäèíàòíîìó ÷è iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi äëÿ ðiçíèõ k, α. Õâèëüîâi óíêöi¨ Ψ...,Nk,α ,... = Ψ(. . . , Qk,α , . . .) ìàþòü çìiñò àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi òîãî, ùî êîîðäèíàòè êâàíòîâèõ îñöèëÿòîðiâ, ÿêi ìîäåëþþòü ïîëå, çíàõîäÿòüñÿ â îêîëi òî÷êè {. . . , Qk,α , . . .}. Çìiííèìè, âiä ÿêèõ çàëåæèòü âåêòîð ñòàíó, ìîæóòü áóòè é ÷èñëà çàïîâíåííÿ {. . . , Nk,α , . . .}, êîëè ãîâîðÿòü ïðî âëàñíå ïðåäñòàâëåííÿ. 480

Çìiííèì {. . . , Qk,α , . . .} òà {. . . , Pk,α , . . .} âàæêî íàäàòè ÿêîãîñü çìiñòó ÿê ñïîñòåðåæóâàíèì âåëè÷èíàì. Îäíàê äëÿ íèõ, î÷åâèäíî, iñíó¹ ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à 2 d k,α )2 ih(∆P d k,α )2 i ≥ ~ . h(∆Q 4

ßêùî â öüîìó ñïiââiäíîøåííi âèáðàòè ñòàí, çà ÿêèì âiäáóâà¹òüñÿ ˆ , à îòæå, i N ˆk,α , òî ìè óñåðåäíåííÿ, ÿê âëàñíèé ñòàí îïåðàòîðà H îòðèìó¹ìî òðèâiàëüíèé ðåçóëüòàò. Ñïðàâäi, s ~ ˆ k,α i = ˆ+ + B ˆk,α |. . . , Nk,α , . . .i = 0, hQ h. . . , Nk,α , . . .|B k,α 2ωk

à

r ~ωk ˆ ˆk,α |. . . , Nk,α , . . .i = 0, ˆ+ − B hPk,α i = i h. . . , Nk,α , . . .|B k,α 2

d k,α )2 i = h(∆Q

~ ˆ+ + B ˆk,α )2 |. . . , Nk,α , . . .i h. . . , Nk,α , . . .|(B k,α 2ωk

=

~ ˆ+ B ˆ ˆ ˆ+ h. . . , Nk,α , . . .|B k,α k,α + Bk,α Bk,α | . . . , Nk,α , . . .i 2ωk

=

~ (2Nk,α + 1), 2ωk

d k,α )2 i = − h(∆P =

~ωk ˆk,α )2 |. . . , Nk,α , . . .i ˆ+ − B h. . . , Nk,α , . . .|(B k,α 2

~ωk ˆ+ B ˆ ˆ ˆ+ h. . . , Nk,α , . . .|B k,α k,α + Bk,α Bk,α | . . . , Nk,α , . . .i 2

~ωk (2Nk,α + 1). 2 Ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé íàáóâà¹ âèãëÿäó: 1 2 1 ≥ , Nk,α + 2 4 =

31

I. Î. Âàêàð÷óê

481

àáî

Nk,α (Nk,α + 1) ≥ 0, ùî î÷åâèäíî. Äëÿ îïèñó ïîëÿ ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè õâèëüîâi ïàêåòè, ÿêi çîáðàæóþòü ñòàí iç ìiíiìàëüíîþ íåâèçíà÷åíiñòþ: 2 d k,α )2 ih(∆P d k,α )2 i = ~ . h(∆Q 4

Ó êîîðäèíàòíîìó Qk,α -çîáðàæåííi õâèëüîâèé ïàêåò äëÿ ïåâíî¨ ìîäè 2

2

ψ ∼ e−Qk,α /4h(∆Qk,α ) i . Ó êîãåðåíòíîìó ñòàíi (äèâ. 11) äëÿ îñöèëÿòîðà äèñïåðñiÿ d k,α )2 i = ~/2ωk . Îäíàê ìîæíà ñòâîðèòè òàêi ñòàíè ïîëÿ, h(∆Q ó ÿêèõ äèñïåðñiÿ ¹ ìàëîþ:

d k,α )2 i < ~/2ωk . h(∆Q

Ç îãëÿäó íà öå ¨õ íàçèâàþòü ñòèñíóòèìè ñòàíàìè. Âiäïîâiäíî ãîâîðÿòü ïðî ñòèñíóòå ñâiòëî, ñòèñíóòèé âàêóóì. Ìàòåìàòè÷íî ñòèñíóòèé ñòàí îòðèìó¹ìî äi¹þ îïåðàòîðà ñòèñêàííÿ, óâåäåíîãî â 9. Åêñïåðèìåíòàëüíî ñòèñíóòå ñâiòëî ñïîñòåðiãàëè â êiëüêîõ ëàáîðàòîðiÿõ ó ñåðåäèíi 80-õ ðîêiâ XX ñò. Ó çâ'ÿçêó ç êîðïóðñêóëÿðíîþ iíòåðïðåòàöi¹þ ðiâíÿíü Ìàêñâåëëà, çàâäÿêè îïåðàöi¨ êâàíòóâàííÿ ïîëÿ é óâåäåííþ ïîíÿòòÿ îòîíà, ìîæíà ãîâîðèòè ïðî éîãî õâèëüîâó óíêöiþ. Îòæå, ÿêùî îòîí ìà¹ iìïóëüñ ~k i ïîëÿðèçàöiþ α, òî ó âëàñíîìó çîáðàæåííi õâèëüîâà óíêöiÿ îòîíà ¹ äîáóòêîì âiäïîâiäíèõ ñèìâîëiâ Êðîíåêåðà, ÿê öå âèïëèâà¹ iç çàãàëüíî¨ òåîði¨ çîáðàæåíü (äèâ. 12):

ψk,α (k′ , α′ ) = δkk′ δα,α′ . Îñêiëüêè âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨ ìà¹ äâi íåçàëåæíi ñêëàäîâi, òî îòîí ìà¹ äâà ìîæëèâi ñòàíè ïîëÿðèçàöi¨. Ó çâ'ÿçêó ç öèì àë åáðà éîãî ïîëÿðèçàöiéíèõ ñòàíiâ çáiãà¹òüñÿ ç àë åáðîþ ñïiíîâèõ ñòàíiâ ÷àñòèíêè, ùî ìà¹ ñïií ~/2. Óâåäåìî ñêîðî÷åíi ïîçíà÷åííÿ äëÿ 482

ñòàíiâ ëiíiéíî¨ ïîëÿðèçàöi¨ îòîíà:   0 | li =   1

âåêòîð ñòàíó âåðòèêàëüíà ïîëÿðèçàöiÿ, àáî y -ïîëÿðèçàöiÿ;   1 | ↔i =   0

âåêòîð ñòàíó ãîðèçîíòàëüíà ïîëÿðèçàöiÿ, àáî x-ïîëÿðèçàöiÿ. Iíøi ñòàíè ïîëÿðèçàöi¨ îòîíà |ւ րi óòâîðþ¹ìî ëiíiéíîþ êîìáiíàöi¹þ öèõ áàçèñíèõ âåêòîðiâ

|ւ րi = a| ↔i + b| li,

ïðè÷îìó

|a|2 + |b|2 = 1. Íà çàêií÷åííÿ öüîãî ïàðàãðàà òîðêíåìîñü öiêàâîãî ïèòàííÿ ïðî âàêóóìíèé ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Åíåð iÿ âàêóóìó íà îäèíèöþ îá'¹ìó ¹ âåëè÷èíîþ áåçìåæíîþ, Z ∞ 1 X X ~kc ~c 1 E0 k4πk2 dk = ∞, = = 2 V V α 2 V →∞ 2 (2π)3 0 k

ó ÷îìó ïðîÿâëÿ¹òüñÿ âíóòðiøíÿ íåóçãîäæåíiñòü êâàíòîâî¨ åëåêòðîäèíàìiêè. Ñëiä, îäíàê, çàóâàæèòè, ùî â îðìóëè äëÿ içè÷íèõ âåëè÷èí âõîäèòü ëèøå ðiçíèöÿ åíåð ié, ç ÿêî¨ âèïàäà¹ âåëè÷èíà E0 , òîìó öÿ òðóäíiñòü íå ïðèâîäèòü äî íåïîðîçóìiíü. Îïåðàòîð ÷èñëà îòîíiâ íå êîìóòó¹ ç îïåðàòîðàìè íàïðóæåíîñòåé åëåêòðè÷íîãî òà ìàãíiòíîãî ïîëiâ. Öå îçíà÷à¹, ùî ó âàêóóìíîìó ñòàíi, êîëè êiëüêiñòü îòîíiâ äîðiâíþ¹ íóëåâi, âåëè÷èíè íàïðóæåíîñòåé ïîëÿ íå ìàþòü ïåâíîãî çíà÷åííÿ ëèøå ¨õíi ñåðåäíi çíà÷åííÿ äîðiâíþþòü íóëåâi. Ñâî¹þ ÷åðãîþ öå âêàçó¹ íà òå, ùî â îñíîâíîìó ñòàíi ïîëÿ âiäáóâàþòüñÿ ëþêòóàöi¨ íàïðóæåíîñòåé: íóëüîâi êîëèâàííÿ ïîëÿ. Ìè çíîâó òîðêà¹ìîñü ïðîáëåìè Íi÷îãî. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî Ïîðîæíå÷à (âiäñóòíiñòü îòîíiâ) öå ¹ íå 31*

483

çâè÷àéíå Íiùî, à ïåâíèé âàêóóìíèé ñòàí ïîëÿ ç ëþêòóþþ÷èìè içè÷íèìè âåëè÷èíàìè. Åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü öå i ¹ åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó E0 . Ñàìå âçà¹ìîäiÿ åëåêòðîíà â àòîìi ç öèìè êîëèâàííÿìè ¹ ïðè÷èíîþ ñïîíòàííèõ ïåðåõîäiâ i ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ñïåêòðàëüíi ëiíi¨ içîëüîâàíèõ àòîìiâ ¹ íå áåçìåæíî âóçüêèìè, à ìàþòü äåÿêó øèðèíó, ÿêó íàçèâàþòü ïðèðîäíîþ øèðèíîþ ñïåêòðàëüíèõ ëiíié. Ïðèêëàä. Îá÷èñëèòè ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ iìïóëüñó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ â ðiâíîâàæíîìó ñòàíi ïðè òåìïåðàòóði T . Ç îçíà÷åííÿ îïåðàòîðà iìïóëüñó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ç âèêîðèñòàííÿì éîãî âëàñíèõ çíà÷åíü òà ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ iìïóëüñó äîðiâíþ¹ íóëåâi X ~ kN k,α = 0, hPi = k,α

òîìó ùî ñåðåäí¹ N k,α íå çàëåæèòü âiä íàïðÿìêó k, çíàõîäèìî ˆ 2i = d 2 i = hP h(∆P)

XX

~2 (kk′ )Nk,α Nk′ ,α′ .

k,α k′ ,α′

′

Îñêiëüêè ïðè (k, α) 6= (k′ , α ) ñåðåäí¹ âiä äîáóòêó ðîçïàäà¹òüñÿ íà äîáóòîê ñåðåäíiõ, òî X 2 2 2 d 2i = h(∆P) ~ k (N 2 k,α − N k,α ). k,α

Ñåðåäíþ êâàäðàòè÷íó ëþêòóàöiþ êiëüêîñòi îòîíiâ ðîçðàõîâó¹ìî çà ðîçïîäiëîì iááñà ç åíåðãi¹þ ïîëÿ E...,k,α,... i â ðåçóëüòàòi d 2i h(∆P)

=

X

2 2

~ k / 4sh

k,α

=

2

=

V

V →∞

V (2π)3

2 ~ωk

2T

Z

dk~2 k2 / 4sh2

8 T5 π 2 ~3 c5

Z 0

∞

~ωk 2T

x4 dx. sh2 x

Öåé iíòå ðàë äîðiâíþ¹ π /30 i îñòàòî÷íî 4

d 2i = V h(∆P)

4π 2 T 5 . 15 ~3 c5

Â îñíîâíîìó ñòàíi (T = 0) ëþêòóàöi¨ ïîâíîãî iìïóëüñó ïîëÿ âiäñóòíi.

484

60. Ååêò Êàçèìèðà

Iíøèì ïðîÿâîì iñíóâàííÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü ïîëÿ ¹ ååêò Êàçèìèðà ( . Êàçèìèð, 1948 ð.), ñóòü ÿêîãî ïîëÿãà¹ îñü ó ÷îìó. ßêùî ó âàêóóìi ïàðàëåëüíî ðîçìiñòèòè äâi ìåòàëåâi ïëàñòèíè, òî, âíàñëiäîê ïîëÿðèçàöi¨ âàêóóìó, ìiæ íèìè âèíèêà¹ ïðèòÿãàííÿ. Ïîñòàâèìî ñîái çàâäàííÿ ðîçðàõóâàòè ñèëó öüîãî ïðèòÿãàííÿ. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî çìiíó ãóñòèíè åíåð i¨ íóëüîâèõ êîëèâàíü åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ïðè ââåäåííi íà âiääàëi a äâîõ ïëîñêî-ïàðàëåëüíèõ ïëîùèí, ÿêi îáìåæóþòü ïîëå. Ïî÷íiìî ç îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó. Åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü ó âåëèêîìó îá'¹ìi ïåðiîäè÷íîñòi L → ∞ Z Z X ~ωk L ∞ ~ωk L~c ∞ E0 = = dk = k dk. 2 2π −∞ 2 2π 0 k

ßêùî ïîëå îáìåæåíå â ïðîñòîði ìiæ òî÷êàìè x = 0 òà x = a, òî âåêòîðíèé ïîòåíöiàë r 4πc2 X ikx A= ak e + a∗k e−ikx a k

ó öèõ òî÷êàõ äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ç ïåðøî¨ óìîâè ïðè x = 0 ìà¹ìî ak + a∗k = 0, ç óðàõóâàííÿì öüîãî äðóãà óìîâà äà¹ sin ka = 0, òîáòî k = πn/a, n = 1, 2, 3, . . . (âiä'¹ìíi çíà÷åííÿ n íå äàþòü íîâèõ ñòàíiâ, à n = 0 äà¹ A = 0 äëÿ âñiõ x). Òåïåð åíåð iÿ íóëüîâèõ êîëèâàíü

E=

X ~ωk k

2

=

∞ X ~c π

n=1

2 a

n.

içíèöÿ ãóñòèí åíåð ié, ÿêà ¹ åíåð i¹þ ïîëÿðèçàöi¨ âàêóóìó,

ε=

Z ∞ ~c ∞ ~cπ X E E0 n− − = 2 k dk. a L 2a 2π 0 n=1

Öÿ âåëè÷èíà ìà¹ íàçâó åíåð i¨ Êàçèìèðà. 485

Äëÿ çíàõîäæåííÿ ðiçíèöi äâîõ ðîçáiæíèõ âèðàçiâ â ε ââåäåìî ïiä çíàêè ñóìè òà iíòå ðàëà îáðiçàþ÷ó óíêöiþ, íàïðèêëàä, e−νk , i ïiñëÿ ðîçðàõóíêó ñïðÿìó¹ìî ν äî íóëÿ: ( ) Z ∞ ~c ∞ −νk ~cπ X − π nν ε = lim e a n− e k dk . ν→0 2a2 n=1 2π 0 Åëåìåíòàðíi îá÷èñëåííÿ äàþòü:     π  ~cπ ~c  e− a ν ε = lim 2 − 2 ν→0  2πν 2   2a 1 − e− πa ν 

~c = lim ν→0 2πν 2

"

2 π 2a ν π sh 2a ν

#

−1 =−

π~c . 24a2

Îòæå, äëÿ âèìiðíîñòi ïðîñòîðó D = 1 åíåð iÿ Êàçèìèðà

ε=−

π~c . 24a2

Âiä'¹ìíèé çíàê óêàçó¹ íà òå, ùî ìåæi îáëàñòi, d ÿêié ëîêàëiçîâàíå ïîëå, ïðèòÿãóþòüñÿ iç ñèëîþ d(εa) = π~c . F = − da 24a2

Ïðè îá÷èñëåííi ñóì çà n ëiïøå êîðèñòóâàòèñü âiäîìèìè îðìóëàìè ïåðåõîäó âiä ñóìè äî iíòå ðàëà, íàïðèêëàä, îðìóëîþ ÅéëåðàÌàêëîðåíà (äèâ. Ôèõòåíãîëüö . Ì. Êóðñ äèåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1970. Ò.II. Ñ. 540 544): Z ∞ ∞ X f ′ (0) f ′′′ (0) f (x) dx − f (n) = + + ..., 12 720 0 n=1

f (∞) = 0. Ïðè öüîìó iíòå ðàëüíi ÷ëåíè ó âèðàçi äëÿ ε ñêîðî÷óþòüñÿ. 486

Ó òèõ âèïàäêàõ, êîëè óíêöiÿ f (n) ¹ íåàíàëiòè÷íîþ â òî÷öi n = 0, âèêîðèñòîâóþòü iíøi îðìóëè, íàïðèêëàä, îðìóëó ÀáåëÿÏëàíè: Z ∞ Z ∞ ∞ X 1 f (iz) − f (−iz) f (x) dx − f (0) + i f (n) = dz. 2 e2πz − 1 0 0 n=1

Çðîçóìiëî, ùî îñòàòî÷íi ðåçóëüòàòè íå çàëåæàòü âiä òîãî, ÿêi îðìóëè âèêîðèñòîâóþòü. Äëÿ òðèâèìiðíîãî âèïàäêó (D = 3) r Z ∞ Z ∞ ∞ π 2 X 1X 1 ~c 2 + k2 + k ε = dk n dk x y x y a α (2π)2 −∞ 2 a −∞ n=1

−

X α

1 (2π)3

Z

∞

dkx

Z

∞

dky

−∞

−∞

Z

∞

dkz

−∞

~c q 2 kx + ky2 + kz2 . 2

Iíòå ðó¹ìî ñïî÷àòêó â öèëiíäðè÷íié ñèñòåìi êîîðäèíàò çà õâèëüîâèìè âåêòîðàìè kx , ky , à äëÿ ïiäñóìîâóâàííÿ çà n âèêîðèñòîâó¹ìî îðìóëó ÅéëåðàÌàêëîðåíà, íåçíèêàþ÷èé âíåñîê äà¹ ÷ëåí iç f ′′′ (0). Îòæå, r ∞ Z∞ π 2 ~c X 2+ n dq 2πq ε= q (2π)2 a a n=1 0

~c − 2 (2π)3 q

Z∞ 0

dkz

Z∞ 0

2πq

p

q 2 + kz2 dq,

äå íîâà çìiííà q = kx2 + ky2 , à iíòå ðóâàííÿ çà êóòîâîþ çìiííîþ äà¹ 2π . Óâîäèìî îáðiçàþ÷ó óíêöiþ: ∞ Z∞ r π 2 2 π 2 ~c X n e−ν q +( a n) dq q q2 + ε = ν→∞ 2πa a

q

n=1 0

~c − 2 2π

Z∞ 0

Z∞ p √2 2 dkz q q 2 + kz2 e−ν q +kz dq. 0

487

îáèìî çàìiíó çìiííèõ iíòå ðóâàííÿ: p p â ïåðøîìó iíòå ðàëi k = q 2 + (πn/a)2 , à â äðóãîìó k = q 2 + kz2 . Ïiñëÿ ÷îãî iíòå ðó¹ìî çà k i çàñòîñîâó¹ìî îðìóëó ÅéëåðàÌàêëîðåíà: ∞

~c X ε = ν→∞ 2πa

n=1

Z∞

~c k2 e−νk dk − 2 2π

πn/a

Z∞

dkz

0

Z∞

k2 e−νk dk

kz

  Z∞ ∞  ~c d2 1  ~c X −ν π n −νkz a e dk e − = z ν→∞ dν 2 ν  2πa  2πa n=1

d2 1 = ν→∞ dν 2 ν

(

~c 2πa

"Z

∞

0

π

e− a nν dn +

0

1 πν 12 a

# ) Z ∞ ~c 1 πν 3 −νkz dkz e + ... − 2 . − 720 a 2π 0

Íàñòóïíi äîäàíêè ó îðìóëi ÅéëåðàÌàêëîðåíà, ùî ïîçíà÷åíi êðàïêàìè â êâàäðàòíèõ äóæêàõ, äàþòü íóëüîâèé âíåñîê ïðè ν → 0, îñêiëüêè âîíè ïðîïîðöiéíi ï'ÿòîìó é âèùèì ñòåïåíÿì ν . ßê áà÷èìî, iíòå ðàëüíi äîäàíêè ñêîðî÷óþòüñÿ, i ïiñëÿ âçÿòòÿ ïîõiäíî¨ çà ν çíàõîäèìî, ùî:

~cπ 2 , D = 3, 720a4 à ñèëà ïðèòÿãàííÿ ìiæ äâîìà íåçàðÿäæåíèìè ïàðàëåëüíèìè ïðîâiäíèìè ïëàñòèíàìè ç ðîçðàõóíêó íà îäèíèöþ ïëîùi ε=−

~cπ 2 . 240a4 Àíàëîãi÷íi ðîçðàõóíêè äëÿ äâîâèìiðíîãî âèïàäêó ¹ òîíøèìè: ïiñëÿ iíòå ðóâàííÿ çà kx ïiä çíàêîì ñóìè çà n îòðèìó¹ìî óíêöiþ n2 ln n. Öå âèìàãà¹ çàñòîñóâàííÿ îðìóëè ÀáåëÿÏëàíè. Îòæå, r Z∞ ∞ π 2 X ~c ~c kx2 + ε= dkx n 2πa 2 a f=

−∞

488

n=1

1 − (2π)2

Z∞

dkx

∞

dky

dkx

r

−∞

−∞

~c X = 2πa

Z∞

Z

∞

n=1 0

~c − 2 2π

Z

∞ 0

dky

Z

∞ 0

~c q 2 kx + ky2 2

kx2 +

dkx

q

π 2 n a

kx2 + ky2 .

Çàóâàæó¹ìî, ùî äëÿ äâîâèìiðíîãî âèïàäêó ìà¹ìî ëèøå îäíó ïîëÿðèçàöiþ. Êðiì òîãî, ñïðîáóéìî îáiéòèñü áåç îáðiçàþ÷î¨ óíêöi¨ i âiçüìiìî iíòå ðàë çà kx : ( r ∞ πn 2 ~c X kx ε= kx2 + 2πa 2 a n=1

! r π 2 1 π 2 n ln kx + kx2 + n + 2 a a ~c − 2 2π

Z∞

kx →∞



kx =0

0

= lim

~c − 2 2π

dky

"

Z∞

! ) kx =∞ 2 q k kx q 2 y kx + ky2 + ln kx + kx2 + ky2 2 2

∞ ~c X kx2 1 πn 2 1 π 2 + + n ln(2kx ) 2πa n=1 2 4 a 2 a

dky

0

!# ky2 ky2 kx2 + + ln(2kx ) 2 4 2

 Z∞ ∞ X ~c ~c π 2 π dky ky2 ln ky  . n ln n − 2 − 4πa a a 4π n=1

0

Ïiä çíàêîì ëiìiòó â ïåðøîìó äîäàíêó ïåðåõîäèìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà n äî iíòå ðóâàííÿ (çãiäíî ç îðìóëîþ Åéëåðà 489

Ìàêëîðåíà), i â ðåçóëüòàòi âií ñêîðîòèòü iíòå ðàëüíèé äîäàíîê. Îòæå, âíåñîê âiä âåðõíüî¨ ìåæi iíòå ðóâàííÿ çà kx äîðiâíþ¹ íóëåâi. Äëÿ âíåñêó âiä íèæíüî¨ ìåæi iíòå ðóâàííÿ ìè íå ìîæåìî êîðèñòóâàòèñü îðìóëîþ Åéëåðà-Ìàêëîðåíà âíàñëiäîê íåàíàëiòè÷íîñòi óíêöi¨ f (n) = (πn/a)2 ln(πn/a) ïiä çíàêîì ñóìè çà n. Òîìó ñêîðèñòàéìîñü îðìóëîþ Àáåëÿ-Ïëàíè. Óðàõîâóþ÷è òå, ùî ïåðøèé iíòå ðàë ç îðìóëè Àáåëÿ-Ïëàíè òî÷íî ñêîðî÷ó¹ iíòå ðàë çà ky ó äðóãié êâàäðàòíié äóæöi, óíêöiÿ f (0) = 0, à

f (iz) − f (−iz) = f (eiπ/2 z) − f (e−iπ/2 z) =

π

eiπ/2 z

2

ln

a π 2 =− z iπ, a çíàõîäèìî, ùî

π 2 π eiπ/2 z − e−iπ/2 z ln e−iπ/2 z a a a

π

~c π 2 ε=− π 4πa a

Z∞ 0

z 2 dz . e2πz − 1

Äàëi ðîáèìî çàìiíó çìiííî¨ x = 2πz i â ðåçóëüòàòi ìà¹ìî

~c ε=− 32πa3

Z∞ 0

x2 dx . ex − 1

Öåé iíòå ðàë ¹ äîáðå âiäîìèì i äîðiâíþ¹ 2ζ(3), äå ζ óíêöiÿ iìàíà ∞ X 1 = 1.202057 . . . ζ(3) = n3 n=1

Îñòàòî÷íî

ε=−

~cζ(3) , 16πa3

D = 2.

îçðàõóíêè åíåð i¨ Êàçèìèðà ìîæíà ïðîâåñòè â çàãàëüíîìó âèïàäêó äëÿ D -âèìiðíîãî ïðîñòîðó. ×èòà÷ öi ðîçðàõóíêè ìîæå ëåãêî çðîáèòè ñàì, âèêîðèñòîâóþ÷è íàâåäåíi âèùå ïðèéîìè. 490

Iíòåíñèâíå âèâ÷åííÿ ååêòó Êàçèìèðà çóìîâëåíå òèì, ùî áóëè ñïîäiâàííÿ çà éîãî äîïîìîãîþ ïîçáàâèòèñü iíøî¨ íåðîçâ'ÿçàíî¨ ïðîáëåìè åëåêòðîäèíàìiêè ñòiéêîñòi åëåêòðîíà. Óâàæàëîñü, ùî ãóñòèíà åíåð i¨ åëåêòðîñòàòè÷íîãî âiäøòîâõóâàííÿ

εåë = C

e2 a4

(a ëiíiéíi ðîçìiðè îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ çàðÿäó, C äîäàòíà ïîñòiéíà âåëè÷èíà, ÷èñëîâå çíà÷åííÿ ÿêî¨ çàëåæèòü âiä êîíi óðàöi¨ öi¹¨ îáëàñòi é ðîçïîäiëó ãóñòèíè çàðÿäó) òà åíåð iÿ Êàçèìèðà

ε = −C ′

~c , a4

ÿêà âèíèêà¹ âíàñëiäîê iñíóâàííÿ ãðàíè÷íî¨ ïîâåðõíi, ðàçîì äàäóòü âiä'¹ìíå çíà÷åííÿ ïîâíî¨ åíåð i¨. Öå çàáåçïå÷èëî á ñòiéêiñòü ñèñòåìè. ßêáè ñóìà öèõ åíåð ié äîðiâíþâàëà íóëåâi (ìåæà ñòiéêîñòi), òî ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè e2 /~c = C ′ /C áóëà á âåëè÷èíîþ, ùî çàëåæèòü ëèøå âiä ãåîìåòðè÷íèõ âëàñòèâîñòåé îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ çàðÿäó! Ó íàøîìó Ñâiòi C ′ /C ≃ 1/137. Âèÿâèëîñü, îäíàê, ùî, íàïðèêëàä, äëÿ ñåðè äiàìåòðà a âåëè÷èíà C ′ = −0.17638 ¹ âiä'¹ìíîþ, òîáòî äëÿ çàìêíåíî¨ ïîâåðõíi ìåæi âiäøòîâõóþòüñÿ, à íå ïðèòÿãóþòüñÿ, ÿê ó âèïàäêó äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïëàñòèí. 61. Òåîðiÿ âèïðîìiíþâàííÿ é ïîãëèíàííÿ ñâiòëà

îçãëÿíåìî ñèñòåìó àòîì ïëþñ åëåêòðîìàãíiòíå ïîëå. Ïiä ñëîâîì àòîì, çàëåæíî âiä êîíêðåòíî¨ çàäà÷i, áóäåìî ðîçóìiòè àòîì àáî ìîëåêóëó â îñíîâíîìó ÷è â çáóäæåíîìó ñòàíàõ, äîäàòíi òà âiä'¹ìíi éîíè àòîìiâ, ìîëåêóë òà ¨õ ñóêóïíîñòi. Çîñåðåäüìî óâàãó íà âçà¹ìîäi¨ ç ïîëåì îäíîãî ç åëåêòðîíiâ àòîìà, ÿêèé âiäïîâiäà¹ çà âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà ïåâíî¨ äîâæèíè õâèëi. Öåé åëåêòðîí íàçèâàþòü îïòè÷íèì åëåêòðîíîì. Ïîâíèé îïåðàòîð àìiëüòîíà ñèñòåìè ñêëàäà¹òüñÿ ç ñóìè ãàìiëüòîíiàíà ïîëÿ X ˆ ph = ˆ+ B ˆk,α + 1/2 , H ~ωk B k,α k,α

491

ãàìiëüòîíiàíà àòîìà

ˆ2 â = p H +U 2m ˆ îïåðàòîð iìòà îïåðàòîðà âçà¹ìîäi¨ åëåêòðîíà ç ïîëåì. Òóò p ïóëüñó åëåêòðîíà, m éîãî ìàñà, U ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ âçà¹ìîäi¨ ç ÿäðîì òà iíøèìè åëåêòðîíàìè. ßê âiäîìî ç êëàñè÷íî¨ åëåêòðîäèíàìiêè, âìèêàííÿ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ç êàëiáðóâàííÿì ϕ = 0, div A = 0 çäiéñíþ¹òüñÿ çàìiíîþ iìïóëüñó çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè íà p − eA/c, äå e çàðÿä ÷àñòèíêè. Âiäïîâiäíî äî öüîãî ó êâàíòîâié ìåõàíiöi îïåðàòîð iìˆ çàìiíþ¹ìî íà p ˆ − eA/c i ãàìiëüòîíiàí àòîìà â ïóëüñó ÷àñòèíêè p çîâíiøíüîìó åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi (äèâ. òàêîæ 16) ˆ ′ = 1 (ˆ ˆ a + Vˆ , H p − eA/c)2 + U = H a 2m äå îïåðàòîð âçà¹ìîäi¨

e e2 ˆ A) + Vˆ = − (Aˆ p+p A2 . 2mc 2mc2 Ç óìîâè ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ div A = 0, ÿêà íàêëàäà¹òüñÿ íà âåêˆ òà A êîìóòóþòü: òîðíèé ïîòåíöiàë, âèïëèâà¹, ùî îïåðàòîðè p

ˆ A = −i~∇A + Aˆ p p = −i~ div A + Aˆ p = Aˆ p. Òîìó îïåðàòîð âçà¹ìîäi¨ àòîìà ç ïîëåì

e2 e Aˆ p+ A2 . Vˆ = − mc 2mc2 Ïîâíèé îïåðàòîð àìiëüòîíà àòîìà é åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ çàïèñó¹ìî ó âèãëÿäi ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , H äå

ˆ0 = H ˆ ph + H ˆ a. H Áóäåìî ðîçãëÿäàòè îïåðàòîð Vˆ ÿê çáóðåííÿ, ïiä äi¹þ ÿêîãî âiäáóâàþòüñÿ êâàíòîâi ïåðåõîäè ñèñòåìè àòîì ïëþñ ïîëå. 492

Íåõàé ìà¹ìî àòîì iç âèáðàíèìè äâîìà ñòàíàìè |1i òà |2i ç âiäïîâiäíèìè åíåð iÿìè E1 i E2 (äèâ. ðèñ. 52). Ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ç åíåð i¹þ E...,Nk,α ,... çàäà¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ | . . . , Nk,α , . . .i.

èñ. 52.

Êâàíòîâi ïåðåõîäè ó äâîðiâíåâîìó àòîìi.

Ïî÷íåìî ç êâàíòîâîãî ïåðåõîäó, óíàñëiäîê ÿêîãî âèïðîìiíþ¹òüñÿ îòîí iç õâèëüîâèì âåêòîðîì k, ïîëÿðèçàöi¹þ α i ÷àñòîòîþ ωk = kc. Îòæå, íåõàé àòîì çíàõîäèòüñÿ â ñòàíi |2i. Ïî÷àòˆ 0 îïèñó¹ìî äîáóòêîì êîâèé ñòàí |ii ñèñòåìè ç ãàìiëüòîíiàíîì H õâèëüîâèõ óíêöié àòîìà é ïîëÿ

|ii = |2i | . . . , Nk,α , . . .i, à åíåð iÿ (0)

Ei

= E2 + E...,Nk,α ,....

Êiíöåâèé ñòàí ′ |f i = |1i | . . . , Nk,α , . . .i, (0)

Ef

′ = E1 + E...,Nk,α ,... .

493

′ = Nk,α + 1, Íàñ öiêàâèòèìå íàðîäæåííÿ îäíîãî îòîíà, êîëè Nk,α ′ à âñi iíøi ÷èñëà îòîíiâ Nk′ ,α′ çàëèøàþòüñÿ òèìè æ, òîìó åíåð iÿ (0)

Ef

= E1 + E...,Nk,α ,... + ~ωk .

Öå ¹ òàê çâàíi îäíîîòîííi ïåðåõîäè. Ïðèêëàäîì äâîîòîííèõ ïåðåõîäiâ ¹ ïðîöåñ ðîçñiÿííÿ ñâiòëà. Iìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó ðîçðàõîâó¹ìî çà çàãàëüíîþ îðìóëîþ ç 56: 2π (0) (0) . |hf |Vˆ |ii|2 δ Ef − Ei wi→f = ~

Îá÷èñëþ¹ìî ìàòðè÷íèé åëåìåíò ç óðàõóâàííÿì çàïèñó îïåðàòîðà âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó ïîëÿ A ÷åðåç îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ îòîíiâ:

e e2 hf |Vˆ |ii = − hf |Aˆ p|ii + hf |A2 |ii, mc 2mc2 s X 2π~c2 h ′ ˆ )|2i hf |Aˆ p|ii = h1|eik r (ek′ ,α′ p ωk ′ V ′ ′ kα

ˆk′ ,α′ | . . . , Nk,α , . . .i × h. . . , Nk,α + 1, . . . |B ′

ˆ )|2i + h1|e−ik r (ek′ ,α′ p ×

i ˆ +′ ′ | . . . , Nk,α , . . .i . h. . . , Nk,α + 1, . . . |B k ,α

Çãiäíî ç ïðàâèëàìè äi¨ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ, ìà¹ìî:

ˆk′ ,α′ | . . . , Nk,α , . . .i = 0, h. . . , Nk,α + 1, . . . |B ˆ +′ ′ | . . . , Nk,α , . . .i = δkk′ δαα′ h. . . , Nk,α + 1, . . . |B k ,α Òåïåð

hf |Aˆ p|ii = p12 494

s

2π~c2 (Nk,α + 1), V ωk

p

Nk,α + 1.

ˆ )|2i. p12 = h1|e−ikr (ek,α p

Iç òèõ æå ïðàâèë äi¨ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ âèïëèâà¹, ùî â íàøîìó âèïàäêó îäíîîòîííèõ ïåðåõîäiâ

hf |A2 |ii = 0.

Äëÿ äâîîòîííèõ ïåðåõîäiâ öÿ âåëè÷èíà âiäìiííà âiä íóëÿ. (0) (0) Iç âèðàçiâ äëÿ Ef òà Ei çíàõîäèìî ðiçíèöþ (0)

(0)

Ef − Ei

= E1 − E2 + ~ωk .

Òåïåð, çáèðàþ÷è îòðèìàíi âèðàçè ðàçîì, äëÿ éìîâiðíîñòi êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó ç âèïðîìiíþâàííÿì îòîíà îñòàòî÷íî çíàõîäèìî 2π e 2 2π~c2 (+) (Nk,α + 1)|p12 |2 δ(E1 − E2 + ~ωk ). wi→f = ~ mc V ωk

Ïåðåõîäèìî äî ðîçãëÿäó ïðîöåñó ïîãëèíàííÿ ñâiòëà â òîìó æ íàáëèæåííi îäíîîòîííèõ ïåðåõîäiâ. Òåïåð ïî÷àòêîâèé ñòàí àòîìà îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ |1i é åíåð i¹þ E1 , à ïîëÿ àìïëiòóäîþ | . . . , Nk,α , . . .i òà åíåð i¹þ E...,Nk,α ,... . Õâèëüîâà óíêöiÿ êiíöåâîãî ñòàíó àòîìà |2i, åíåð iÿ E2 . Êiíöåâèé ñòàí ïîëÿ çà′ , . . .i é åíåð i¹þ E ′ ,... , äà¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ | . . . , Nk,α ...,Nk,α ′ ′ ïðè÷îìó ÷èñëà îòîíiâ Nk,α = Nk,α − 1, à ðåøòà ÷èñåë Nk′ ,α′ çàëèøàþòüñÿ áåç çìií. åçóëüòàòîì òàêîãî ïåðåõîäó áóäå çíèêíåííÿ îòîíà ç ÷àñòîòîþ ωk , õâèëüîâèì âåêòîðîì k, ïîëÿðèçàöi¹þ α. Îïóñêàþ÷è ïðîìiæíi âèêëàäêè, àíàëîãi÷íi äî íàâåäåíèõ âèùå, i áåðó÷è äî óâàãè, ùî 2 2 ikr −ikr ˆ )|1i = h1|e ˆ )|2i = |p12 |2 , (ek,α p h2|e (ek,α p çàïèøåìî îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò äëÿ éìîâiðíîñòi êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó ç ïîãëèíàííÿì îòîíà 2π e 2 2π~c2 (−) wi→f = Nk,α |p12 |2 δ(E2 − E1 − ~ωk ). ~ mc V ωk

Ïåðø íiæ ðîçðàõîâóâàòè iíòåíñèâíîñòi âèïðîìiíþâàííÿ i ïîãëèíàííÿ ñâiòëà, ðîçãëÿíüìî ðiâíîâàæíèé ñòàí ñèñòåìè àòîì 495

ïëþñ ïîëå ç òåìïåðàòóðîþ T , ÿêèé ðåàëiçó¹òüñÿ â ìîäåëi àáñîëþòíî ÷îðíîãî òiëà. Iìîâiðíiñòü òîãî, ùî àòîì çíàõîäèòüñÿ â ñòàíàõ |1i àáî |2i, çàäà¹òüñÿ ðîçïîäiëîì Áîëüöìàíà:

ρ1 =

e−E1 /T , Z

ρ2 =

e−E2 /T , Z

äå ñòàòèñòè÷íà ñóìà (ñóìà ñòàíiâ) X Z= e−En /T . n

Ó ðiâíîâàæíîìó ñòàíi êiëüêîñòi ïåðåõîäiâ òóäè i íàçàä (òîáòî ç âèïðîìiíþâàííÿì i ïîãëèíàííÿì îòîíà) ïîâèííi áóòè ðiâíèìè: (+)

(−)

ρ2 wi→f = ρ1 wi→f . Öå ¹ òàê çâàíà óìîâà äåòàëüíîãî áàëàíñó. Ç óðàõóâàííÿì ÿâíèõ âèðàçiâ äëÿ éìîâiðíîñòåé êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ òà ïðè çàìiíi ÷èñåë îòîíiâ Nk,α íà ñåðåäíi ðiâíîâàæíi çíà÷åííÿ N k,α öÿ óìîâà äà¹

ρ2 (N k,α + 1) = ρ1 N k,α àáî

1 + 1/N k,α = ρ1 /ρ2 , 1 + 1/N k,α = e

E2 −E1 T

.

Óðàõîâóþ÷è çàêîí çáåðåæåííÿ åíåð i¨ E2 − E1 = ~ωk , îñòàòî÷íî çíàõîäèìî ÿâíèé âèðàç äëÿ ñåðåäíüîãî ÷èñëà îòîíiâ ó ðiâíîâàæíîìó ñòàíi: 1 N k,α = ~ω /T e k −1

îðìóëà Ïëàíêà. Ïîâíà ñåðåäíÿ åíåð iÿ ïîëÿ E áåç åíåð i¨ âàêóóìó E0 äîðiâíþ¹

E − E0 = 496

XX k

α

~ωk N k,α

V =2 (2π)3

Z∞ 0

4πk2 ~ωk dk e~ωk /T − 1

=

V~ π 2 c3

Z∞ 0

ω3 e~ω/T − 1

dω,

à ðîçðàõîâàíà íà îäèíèöþ îá'¹ìó Z∞ E − E0 = uω (T ) dω, V 0

äå ñïåêòðàëüíà ãóñòèíà åíåð i¨ âèïðîìiíþâàííÿ

~ω 3 1 . π 2 c3 e~ω/T − 1 Öå i ¹ òà îðìóëà, ÿêó âïåðøå íàïèñàâ Ìàêñ Ïëàíê 19 æîâòíÿ 1900 ðîêó i íàâiâ ¨¨ äîâåäåííÿ 14 ãðóäíÿ 1900 ðîêó íà çàñiäàííÿõ Íiìåöüêîãî içè÷íîãî òîâàðèñòâà. Äëÿ ¨¨ äîâåäåííÿ âií çìóøåíèé áóâ ïðèïóñòèòè, ùî åíåð iÿ âèïðîìiíþ¹òüñÿ é ïîãëèíà¹òüñÿ êâàíòàìè, à åíåð iÿ îäíîãî êâàíòà ïðîïîðöiéíà äî ÷àñòîòè, ε = ~ω . Öþ çíàìåíèòó îðìóëó Ïëàíêà, òàê ñàìî ÿê i àéíøòàéíiâñüêó E = mc2 , çíà¹ òåïåð áóäü-õòî. Òåïåð îá÷èñëèìî iíòåíñèâíîñòi âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà. ßêùî çíàéäåíi éìîâiðíîñòi êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ çà îäè(±) íèöþ ÷àñó wi→f ïîìíîæèòè íà êâàíò åíåð i¨ ~ωk i ïiäñóìóâàòè çà âñiìà õâèëüîâèìè âåêòîðàìè k é ïîëÿðèçàöiÿìè α, òî ìè îòðèìà¹ìî, î÷åâèäíî, êiëüêiñòü åíåð i¨, ùî âèïðîìiíþ¹ (çíà÷îê +) àáî ïîãëèíà¹ (çíà÷îê ) àòîì çà îäèíèöþ ÷àñó: X X (±) dE . wi→f ~ωk = dt α uω (T ) =

k

Ïåðåéäåìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà k äî iíòå ðóâàííÿ, ìàþ÷è íà óâàçi ãðàíè÷íèé ïåðåõiä V → ∞: Z X (±) V dE = dk wi→f ~ωk . dt (2π)3 α

Ïåðåõîäèìî â iíòå ðàëi çà õâèëüîâèìè âåêòîðàìè äî ñåðè÷íî¨ ñèñòåìè êîîðäèíàò: Z ∞ XZ V dE (±) = dΩ dk k2 wi→f ~ωk , 3 dt (2π) 0 α 32

I. Î. Âàêàð÷óê

497

dΩ åëåìåíò òiëåñíîãî êóòà. Âèçíà÷èìî òåïåð iíòåíñèâíiñòü âèïðîìiíþâàííÿ (ïîãëèíàííÿ) ñâiòëà ÿê êiëüêiñòü åíåð i¨ iç çàäàíîþ ïîëÿðèçàöi¹þ α, ùî âèïðîìiíþ¹ (ïîãëèíà¹) àòîì çà îäèíèöþ ÷àñó t â îäèíèöþ òiëåñíîãî êóòà Ω: Z ∞ V (±) (±) Ik,α = dk k2 wi→f ~ωk . (2π)3 0 Îòæå, iíòåíñèâíiñòü âèïðîìiíþâàííÿ Z ∞ 2π e 2 2π~c2 V (+) 2 dk k ~ω Ik,α = k (2π)3 0 ~ mc V ωk

× (Nk,α + 1)|p12 |2 δ(E1 − E2 + ~ωk ). Çàâäÿêè δ-óíêöi¨ òà ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî k = ωk /c, iíòå ðóâàííÿ â öüîìó âèðàçi âèêîíó¹ìî åëåìåíòàðíî, (+)

Ik,α =

e2 ω 2 |p12 |2 (Nk,α + 1), 2πm2 c3

äå ÷àñòîòà ïåðåõîäó

ω=

E2 − E1 . ~

Àíàëîãi÷íî iíòåíñèâíiñòü ïîãëèíàííÿ ñâiòëà (−)

Ik,α =

e2 ω 2 |p12 |2 Nk,α . 2πm2 c3 (−)

Ïîãëèíàííÿ ñâiòëà âiäñóòí¹ Ik,α = 0, ÿêùî êiëüêiñòü îòîíiâ ïîëÿ Nk,α = 0, òîáòî ÿêùî ïîëå ïåðåáóâà¹ â îñíîâíîìó ñòàíi. Âèïðîìiíþâàííÿ, îäíàê, ó öüîìó âèïàäêó iñíó¹ i ìà¹ íàçâó ñïîíòàííîãî âèïðîìiíþâàííÿ, iíòåíñèâíiñòü ÿêîãî (+)

ñï = Ik,α = Ik,α

e2 ω 2 |p12 |2 . 2πm2 c3

Íåçâàæàþ÷è íà òå, ùî â îñíîâíîìó, òîáòî âàêóóìíîìó, ñòàíi åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ îòîíè âiäñóòíi, çàâäÿêè iñíóâàííþ ëþêòóàöié, ñåðåäíi êâàäðàòè÷íi âiäõèëåííÿ äëÿ íàïðóæåíîñòåé âiäìiííi âiä íóëÿ. Öå çàáåçïå÷ó¹ âçà¹ìîäiþ åëåêòðîíà ç ïîëåì, ÿêà i ¹ 498

ïðè÷èíîþ ñïîíòàííèõ êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ. ×èñëî Nk,α â iíòåíñèâíîñòi âèïðîìiíþâàííÿ çóìîâëþ¹ iíäóêîâàíå âèïðîìiíþâàííÿ, çàâäÿêè ÿêîìó ïðàöþþòü ëàçåðè îïòè÷íi êâàíòîâi åíåðàòîðè. Ïîâåðíiìîñü äî óìîâè äåòàëüíîãî áàëàíñó. Íà ïåðøèé ïîãëÿä, âîíà çàáîðîíÿ¹ iñíóâàííÿ àòîìíèõ ñïåêòðàëüíèõ ëiíié ïîãëèíàííÿ ÷è âèïðîìiíþâàííÿ: àäæå àòîì ïîãëèíà¹ é âèïðîìiíþ¹ îòîí iç òi¹þ æ ñàìîþ éìîâiðíiñòþ. îçãëÿíüìî, íàïðèêëàä, ñïåêòðàëüíi ëiíi¨ ïîãëèíàííÿ àòîìiâ â àòìîñåði Ñîíöÿ òàê çâàíi ðàóíãîåðîâi ëiíi¨1 . Çäàâàëîñü áè, àòîìè àòìîñåðè Ñîíöÿ ïîãëèíàþòü i òóò æå âèïðîìiíþþòü îòîíè òî¨ ñàìî¨ åíåð i¨. Íàñïðàâäi, óíàñëiäîê ìiæàòîìíèõ âçà¹ìîäié, âèíèêà¹ ïåðåðîçïîäië îòîíiâ, ùî âèïðîìiíþþòüñÿ, ïî âñüîìó ñïåêòðó. Ó öüîìó é ïîëÿãà¹ ñóòü ìåõàíiçìó óòâîðåííÿ ðàóíãîåðîâèõ ëiíié2 . 62. Åëåêòðè÷íå äèïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ.

Ïðàâèëà âiäáîðó

îçãëÿíåìî äîêëàäíiøå îòðèìàíi âèðàçè äëÿ iíòåíñèâíîñòåé âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà. Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî ïðîàíàëiçóâàòè âèðàç äëÿ iíòåíñèâíîñòi ñïîíòàííîãî âèïðîìiíþâàííÿ ñï Ik,α , ó ÿêîìó çîñåðåäèìî óâàãó íà ìàòðè÷íîìó åëåìåíòi p12 . Íàñ A , ÿêà îõîïöiêàâèòèìå ïåðåäóñiì äiëÿíêà äîâæèí õâèëü λ & 1000 ëþ¹ é âèäèìó ÷àñòèíó ñïåêòðà. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî â öüîìó âèïàäêó âèðàç äëÿ p12 çíà÷íî ñïðîùó¹òüñÿ. Äiéñíî, õâèëüîâi óíêöi¨, íà ÿêèõ îá÷èñëþþòüñÿ ìàòðè÷íi åëåìåíòè p12 , ïîìiòíî âiäìiííi âiä íóëÿ íà âiääàëÿõ ïîðÿäêó ðîçìiðiâ àòîìà a ∼ 1 A. Òîìó ïîêàçíèê åêñïîíåíòè e−ikr , ÿêà âõîäèòü ó p12 , ¹ ìàëèì:

kr ∼ ka =

2π a ∼ 10−3 . λ

1 Éîçå Ôðàóíãîåð (17871826) íiìåöüêèé içèê, ÿêèé, ñàìîñòiéíî çäîáóâøè îñâiòó, âèâ÷àâ ñïåêòðè ïëàíåò i Ñîíöÿ, óïåðøå çàñòîñóâàâ äëÿ ¨õ âèâ÷åííÿ äèðàêöiéíi ðàòêè, ïîÿñíèâ íàÿâíiñòü òåìíèõ ëiíié ó ñîíÿ÷íîìó ñïåêòði. 2 Ìåõàíiçì óòâîðåííÿ ðàóíãîåðîâèõ ëiíié òà ¨õíþ òîíêó ñòðóêòóðó âèâ÷àâ âiäîìèé óêðà¨íñüêèé àñòðîiçèê Á. Ò. Áàáié (19361993), ÿêèé ïðàöþâàâ íà êàåäði òåîðåòè÷íî¨ içèêè òà â Àñòðîíîìi÷íié îáñåðâàòîði¨ Ëüâiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó.

32*

499

Îòæå, ìè ìà¹ìî çìîãó ðîçêëàñòè åêñïîíåíòó â ðÿä:

e−ikr = 1 − ikr + · · · . Ó ðåçóëüòàòi

ˆ )|2i − ih1|(kr)(ek,α p ˆ )|2i + · · · . p12 = h1|(ek,α p Çðîçóìiëî, ùî ó âèïàäêó ðåíò åíiâñüêîãî âèïðîìiíþâàííÿ, êîëè λ ∼ 1 A, à kr ∼ 1, íåîáõiäíî ðîçðàõîâóâàòè öåé ìàòðè÷íèé åëåìåíò òî÷íî, íå ðîçêëàäàþ÷è åêñïîíåíòó â ðÿä. Ó öüîìó ïàðàãðài ìè îáìåæèìîñü ëèøå ïåðøèì äîäàíêîì ðîçêëàäó:

ˆ |2i. p12 = h1|ek,α p Ïðîâåäåìî ðÿä ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü iç âèêîðèñòàííÿì âiäîìèõ íàì îðìóë:

ˆ |2i = ek,α h1|ˆ p12 = h1|ek,α p p|2i, â − H ˆ ar rH h1|ˆ p|2i = h1|mˆr˙ |2i = h1|m |2i. i~ Ñêîðèñòà¹ìîñü òèì, ùî

ˆ a |2i = h1|r|2iE2 , h1|rH à

ˆ a r|2i = h1|H =

X X ˆ a |nihn|r|2i = h1|H En h1|nihn|r|2i n

X n

Òîìó

n

h1|ˆ p|2i =

En δ1,n hn|r|2i = E1 h1|r|2i.

mω m (E2 − E1 )h1|r|2i = r12 , i~ i

äå ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà êîîðäèíàòè åëåêòðîíà

r12 = h1|r|2i. 500

Óâåäåìî îïåðàòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòó åëåêòðîíà

d = er. Îòæå, òåïåð

mω d12 ek,α , ie à iíòåíñèâíiñòü ñïîíòàííîãî âèïðîìiíþâàííÿ p12 =

ω4 |d12 ek,α |2 . 2πc3 Ìè áà÷èìî, ùî âîíà çàëåæèòü âiä åëåêòðè÷íîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòó åëåêòðîíà, òîìó òàêå âèïðîìiíþâàííÿ íàçèâàþòü äèïîëüíèì âèïðîìiíþâàííÿì, à âiäïîâiäíi êâàíòîâi ïåðåõîäè äèïîëüíèìè ïåðåõîäàìè. îçãëÿíåìî âèïðîìiíþâàííÿ, ïiäñóìîâàíå çà ïîëÿðèçàöiÿìè: ñï Ik,α =

Ikñï =

X

ñï Ik,α =

α

ω4 |d12 ek,1 |2 + |d12 ek,2 |2 . 3 2πc

Óâåäåìî íàïðÿìíi êîñèíóñè âiäïîâiäíî äî ðèñ. 53, âèáèðàþ÷è âiñü z óçäîâæ k:

Ikñï =

ω4 |d12 |2 (cos2 α + cos2 β). 2πc3

Âèêîðèñòà¹ìî âëàñòèâîñòi íàïðÿìíèõ êîñèíóñiâ (òåîðåìà Ïiàãîðà):

Ikñï =

ω4 |d12 |2 (1 − cos2 θ), 2πc3

\ äå êóò θ = (k, d12 ). Ïðîiíòå ðó¹ìî öåé âèðàç çà êóòàìè i çíàéäåìî ïîâíå ñïîíòàííå âèïðîìiíþâàííÿ çà îäèíèöþ ÷àñó. Z Z 8π ω4 ω4 2 2 |d | |d12 |2 , dΩ sin θ = I ñï (ω) = dΩIkñï = 12 3 3 2πc 2πc 3 I ñï (ω) =

4 ω4 |d12 |2 . 3 c3 501

èñ. 53.

Íàïðÿìíi êîñèíóñè äèïîëüíîãî ìîìåíòó

d12 .

Öåé âèðàç âèÿâëÿ¹ ïîâíó àíàëîãiþ ç êëàñè÷íîþ îðìóëîþ äëÿ iíòåíñèâíîñòi äèïîëüíîãî âèïðîìiíþâàííÿ. Ó êëàñè÷íîìó âèðàçi ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà äèïîëüíîãî ìîìåíòó d12 çàìiíþ¹òüñÿ êîìïîíåíòîþ ðîçêëàäó â ðÿä Ôóð'¹ êëàñè÷íîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòó ÷àñòèíêè. Öå öiëêîì óçãîäæó¹òüñÿ ç ïðèíöèïîì âiäïîâiäíîñòi Áîðà. Òðåáà ëèøå ïàì'ÿòàòè, ùî â êëàñè÷íîìó âèðàçi ÷èñëîâèé êîåiöi¹íò, ÿê ïðàâèëî, ïèøóòü íå 4/3, à 2/3, òîìó ùî â êëàñè÷íîìó ðîçêëàäi ÷àñòîòè çìiíþþòüñÿ â ìåæàõ (−∞, ∞), à â íàøîìó âèïàäêó âiä 0 äî ∞. ßê áà÷èìî, õàðàêòåð âèïðîìiíþâàííÿ ïîâíiñòþ âèçíà÷à¹òüñÿ ìàòðè÷íèì åëåìåíòîì d12 = er12 . Îòæå, âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà ìîæëèâi ëèøå òîäi, êîëè r12 6= 0. Çðîçóìiëî, ùî âií âiäìiííèé âiä íóëÿ íå äëÿ áóäü-ÿêèõ ñòàíiâ |1i òà |2i. Ñóêóïíiñòü óìîâ, ùî íàêëàäàþòüñÿ íà õâèëüîâi óíêöi¨ ïî÷àòêîâîãî é êiíöåâîãî ñòàíiâ äëÿ òîãî, ùîá ìàòðè÷íèé åëåìåíò r12 íå äîðiâíþâàâ íóëåâi, íàçèâàþòü ïðàâèëàìè âiäáîðó äèïîëüíèõ ïåðåõîäiâ. Çàéìåìîñü òåïåð öèìè ïðàâèëàìè. Ïî÷íåìî ç íàéïðîñòiøîãî âèïàäêó îäíîâèìiðíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. îçðàõó¹ìî ìàòðè÷íèé åëåìåíò êîîðäèíàòè x12 = h1|x|2i, äå |1i = |ni, |2i = |n′ i îñöèëÿòîðíi õâèëüîâi óíêöi¨. Âèêîðèñòà¹ìî çîáðàæåííÿ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ ç îñöèëÿòîðíî¨ çàäà÷i: r r o √ ~ ~ n√ ′ + ˆ ′ ˆ n + 1δn,n′ +1 + n′ δn,n′ −1 . x12 = hn|b +b|n i = 2mω 2mω 502

Îòæå, x12 6= 0 ëèøå çà óìîâè, ùî

n′ = n ± 1, òîáòî ïåðåõîäè ìîæëèâi ëèøå ìiæ ñóñiäíiìè ðiâíÿìè. Òåïåð ñîðìóëþ¹ìî ïðàâèëî âiäáîðó äëÿ âèïàäêó, êîëè åëåêòðîí ðóõà¹òüñÿ â öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi. Íåõàé õâèëüîâi óíêöi¨

|1i = |n, l, mi = Rn,l (r)Yl,m (θ, ϕ), |2i = |n′ , l′ , m′ i = Rn′ ,l′ (r)Yl′ ,m′ (θ, ϕ). Îá÷èñëèìî ìàòðè÷íèé åëåìåíò

ˆ |2i = p12 = h1|ek,α p

mω mω h1|ek,α r|2i = ek,α r12 . i i

îçãëÿíåìî ñïî÷àòêó êâàíò, ùî ïîëÿðèçîâàíèé óçäîâæ îñi z (ðèñ. 54):

p12 =

èñ. 54.

Âåêòîðè

ek,α

òà

k

mω z12 . i

äëÿ ëiíiéíî¨ ïîëÿðèçàöi¨ ñâiòëà.

503

Òåïåð ìà¹ìî

z12 = h1|z|2i = hn, l, m|r cos θ|n′ , l′ , m′ i Z ∞ r 2 Rn,l (r)rRn′ ,l′ (r) dr = 0

×

Z

2π 0

= R

Z

Z

0

2π 0

π

∗ (θ, ϕ) cos θ Yl′ ,m′ (θ, ϕ) sin θ dϕ dθ Yl,m ′

e−imϕ eim ϕ √ √ dϕ 2π 2π

Z

π 0

sin θ Θl,m(θ) cos θ Θl′ ,m′ (θ) dθ.

Òóò ÷åðåç R ñêîðî÷åíî ïîçíà÷åíî ðàäiàëüíó ÷àñòèíó ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà Z ∞ r 2 Rn,l (r)rRn′ ,l′ (r) dr, R= 0

ÿêà âiäìiííà âiä íóëÿ ïðè äîâiëüíèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâèõ ÷èñåë i ìîæå áóòè ðîçðàõîâàíà äëÿ êîíêðåòíèõ âèïàäêiâ. Âèêîðèñòà¹ìî âëàñòèâiñòü ñåðè÷íèõ óíêöié

eimϕ Yl,m (θ, ϕ) = √ Θl,m (θ), 2π s 2l + 1 (l − m)! m P (cos θ), Θl,m (θ) = (−)m 2 (l + m)! l ÿêó íåâàæêî ïåðåâiðèòè çà äîïîìîãîþ ÿâíèõ âèðàçiâ äëÿ ïðè¹äíàíèõ ïîëiíîìiâ Ëåæàíäðà:

cos θ Θl,m (θ) = Al,m Θl−1,m (θ) + Bl,m Θl+1,m (θ), äå

Al,m =

Bl,m = 504

s s

(l + m)(l − m) , (2l + 1)(2l − 1) (l + m + 1)(l − m + 1) . (2l + 1)(2l + 3)

Ñêîðèñòà¹ìîñü óìîâîþ îðòîãîíàëüíîñòi ñåðè÷íèõ óíêöié i îòðèìà¹ìî

z12 = Rδm′ ,m (Al,m δl−1,l′ + Bl,m δl+1,l′ ). Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî z12 6= 0 çà óìîâè

m′ = m,

l′ = l ± 1.

Íåõàé òåïåð îòîí âèïðîìiíþ¹òüñÿ â íàïðÿìêó îñi z , òîäi âåêòîðè ek,α ëåæàòü ó ïëîùèíi xy . îçãëÿíåìî âèïàäîê öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàíîãî ñâiòëà, îäèíè÷íi âåêòîðè ïîëÿðèçàöi¨ ÿêîãî ek,+ òà ek,− âèçíà÷àþòüñÿ îðìóëîþ:

1 ek,± = √ (ek,1 ± iek,2 ), 2 îäèíè÷íi âåêòîðè ek,1 òà ek,2 íàïðÿìëåíi âçäîâæ îñåé x òà y âiäïîâiäíî. Çíàê −, êîëè x-êîìïîíåíòà âèïåðåäæó¹ y -êîìïîíåíòó çà àçîþ íà π/2 (òîáòî y -êîìïîíåíòà ìà¹ ìíîæíèê e−iπ/2 = −i), âiäïîâiäà¹ ëiâié êðóãîâié ïîëÿðèçàöi¨: ç êiíöÿ âåêòîðà k, íàïðÿìëåíîãî âçäîâæ îñi z , ïîâîðîò âiä x äî y ïiäå ïðîòè ãîäèííèêîâî¨ ñòðiëêè. Çíàê + âiäïîâiäà¹ ïðàâié êðóãîâié ïîëÿðèçàöi¨, â öüîìó âèïàäêó x-êîìïîíåíòà âiäñòà¹ âiä y -êîìïîíåíòè íà π/2. Çàóâàæèìî, ùî, êîëè îäèíè÷íi âåêòîðè ïîëÿðèçàöi¨ ¹ êîìïëåêñíèìè ˆk,α ñóïðîâåëè÷èíàìè, òî ó âåêòîðíîìó ïîòåíöiàëi A îïåðàòîð B + ˆ âîäæó¹òüñÿ ìíîæíèêîì ek,α , à îïåðàòîð Bk,α ìíîæíèêîì e∗k,α . Â îñòàòî÷íèõ âèðàçàõ öå ïðèâåäå ëèøå äî çàìiíè â ìàòðè÷íîìó åëåìåíòi p12 âåêòîðà ek,α íà e∗k,α . Òåïåð íàñ öiêàâèòü ìàòðè÷íèé åëåìåíò x ± iy h1|ek,± r|2i = h1 √ 2i 2

1 = √ h1|r sin θ cos ϕ ± ir sin θ sin ϕ|2i 2 1 = √ hn, l, m|re±iϕ sin θ|n′ , l′ , m′ i 2

505

Z ′ e−imϕ ±iϕ eim ϕ π √ e dϕ √ sin θ Θl,m (θ) sin θ Θl′ ,m′ (θ) dθ 2π 2π 0 0 Z π R sin θ Θl,m (θ) sin θ Θl′ ,m′ (θ) dθ. = √ δm′ ,m∓1 2 0

R =√ 2

Z

2π

Äàëi ç âëàñòèâîñòi

′ Θl+1,m−1 (θ), sin θ Θl,m (θ) = A′l,m Θl−1,m−1 (θ) + Bl,m

A′l,m =

′ Bl,m

s

= −

(l + m)(l + m − 1) , (2l + 1)(2l − 1)

s

(l − m + 1)(l − m + 2) (2l + 1)(2l + 3)

òà óìîâè îðòîãîíàëüíîñòi óíêöié Θl,m (θ) îòðèìó¹ìî, ùî

R ′ h1|ek,+ r|2i = √ δm′ ,m−1 A′l,m δl−1,l′ + Bl,m δl+1,l′ . 2

Àíàëîãi÷íî ç

sin θ Θl′ ,m′ (θ) = A′l′ ,m′ Θl′ −1,m′ −1 (θ) + Bl′′ ,m′ Θl′ +1,m′ −1 (θ) ìà¹ìî:

R h1|ek,− r|2i = √ δm′ ,m+1 A′l′ ,m′ δl,l′ −1 + Bl′′ ,m′ δl,l′ +1 . 2

Çâiäñè âèïëèâàþòü óìîâè, çà ÿêèõ ìàòðè÷íèé åëåìåíò p12 6= 0:

m′ = m ± 1,

l′ = l ± 1.

Çâåäåìî òåïåð ðàçîì îäåðæàíi ïðàâèëà âiäáîðó äëÿ ëiíiéíî¨ òà öèðêóëÿðíî¨ ïîëÿðèçàöié ó íàáëèæåííi äèïîëüíèõ ïåðåõîäiâ:

m′ = m, m ± 1, ∆m = 0, ±1,

l′ = l ± 1, ∆l = ±1.

Çìiíà ìàãíiòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà ∆m ¹ ïðîñòèì ñâiä÷åííÿì çàêîíó çáåðåæåííÿ ïðîåêöi¨ ìîìåíòó iìïóëüñó ñèñòåìè àòîì 506

ïëþñ ïîëå â ïðîöåñàõ âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà. Âëàñíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó îòîíà äîðiâíþ¹ ~. Ïðè âèïðîìiíþâàííi ëiíiéíî ïîëÿðèçîâàíîãî ñâiòëà ç àòîìà âèíîñèòüñÿ ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó ç íóëüîâîþ ïðîåêöi¹þ íà âiñü z , ∆m = 0: îòîí ïîøèðþ¹òüñÿ â ïëîùèíi xy . Äëÿ êîëîâî¨ ïîëÿðèçàöi¨ ïðîåêöiÿ ìîìåíòó iìïóëüñó îòîíà íà âiñü z äîðiâíþ¹ ±~ i âiäïîâiäíî äî öüîãî çìiíþ¹òüñÿ ïðîåêöiÿ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó àòîìà. Êâàíòîâi ïåðåõîäè, ÿêi ïiäêîðÿþòüñÿ ïðàâèëàì âiäáîðó, íàçèâàþòüñÿ äîçâîëåíèìè. ßêùî ïðàâèëî âiäáîðó íå âèêîíó¹òüñÿ, òî åëåêòðè÷íå äèïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ âiäñóòí¹, à âiäïîâiäíi êâàíòîâi ïåðåõîäè íàçèâàþòü çàáîðîíåíèìè. Óðàõóâàííÿ íàñòóïíèõ ÷ëåíiâ ðîçêëàäó â ìàòðè÷íîìó åëåìåíòi p12 ìîæå çðîáèòè òàêi ïåðåõîäè ìîæëèâèìè. Ïðàâèëà âiäáîðó ïîâ'ÿçàíi ç ñèìåòði¹þ çàäà÷i, i çîêðåìà ç ïàðíiñòþ õâèëüîâèõ óíêöié, ÿêà äëÿ öåíòðàëüíîãî ïîëÿ âèçíà÷à¹òüñÿ îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l. Íàïðèêëàä, ÿêùî ïî÷àòêîâèé i êiíöåâèé ñòàíè ¹ ñåðè÷íî-ñèìåòðè÷íèìè, òî ìàòðè÷íèé åëåìåíò p12 òîòîæíî ðiâíèé íóëåâi. Ñïðàâäi, ïðè iíòå ðóâàííi ïî r â òî÷íîìó âèðàçi äëÿ p12 (äèâ. ïîïåðåäíié ïàðàãðà) íàïðàâèìî âiñü z ˆ |2i áóäå íåïàðóçäîâæ âåêòîðà ïîëÿðèçàöi¨ ek,α . Ïðè öüîìó ek,α p íîþ óíêöi¹þ z , à ñòàí |1i ïàðíîþ. Ôàçà (kr) åêñïîíåíòè â p12 íå çàëåæèòü âiä z , îñêiëüêè õâèëüîâèé âåêòîð k ¹ ïåðïåíäèêóëÿðíèì äî âåêòîðà ïîëÿðèçàöi¨ ek,α . Òîìó çàãàëîì ïiäiíòå ðàëüíèé âèðàç ó p12 áóäå íåïàðíîþ óíêöi¹þ z é iíòå ðàë äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ïåðåõîäè ìiæ òàêèìè ñòàíàìè ñòðîãî çàáîðîíåíi. Çíÿòè öþ çàáîðîíó ìîæíà, õiáà ùî âðàõîâóþ÷è âèùi íàáëèæåííÿ äëÿ éìîâiðíîñòåé êâàíòîâèõ ïåðåõîäiâ, à òàêîæ âðàõîâóþ÷è â îïåðàòîði çáóðåííÿ Vˆ ÷ëåí, ïðîïîðöiéíèé äî êâàäðàòà âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó A. 63. Åëåêòðè÷íi êâàäðóïîëüíi òà ìàãíiòíi

äèïîëüíi ïåðåõîäè

ßêùî â äèïîëüíîìó íàáëèæåííi âèïðîìiíþâàííÿ âiäñóòí¹, íåîáõiäíî âðàõîâóâàòè íàñòóïíi ÷ëåíè ðîçêëàäó ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà p12 :

ˆ )|2i. p12 = −ih1|(kr)(ek,α p 507

îçãëÿíåìî âèðàç

ˆ ) − (ek,α r)ˆ [ek,α [rˆ p]] = r(ek,α p p,

ìè ðîçïèñàëè éîãî çà ïðàâèëîì ðîçêðèòòÿ ïîäâiéíîãî âåêòîðíîãî äîáóòêó. Ïîìíîæèìî öåé âèðàç ñêàëÿðíî íà õâèëüîâèé âåêòîð k,

ˆ ) = (k[ek,α [rˆ (kr)(ek,α p p]]) + (ek,α r)(kˆ p), i âèêîðèñòà¹ìî îçíà÷åííÿ îïåðàòîðà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó:

ˆ ˆ ) = ([ek,α L]k) (kr)(ek,α p + (ek,α r)(kˆ p), àáî ïiñëÿ öèêëi÷íî¨ ïåðåñòàíîâêè îïåðàòîðiâ ó ìiøàíîìó äîáóòêó

ˆ + (ek,α r)(kˆ ˆ ) = ([kek,α ] L) (kr)(ek,α p p). Îòæå, ìàòðè÷íèé åëåìåíò äå

ˆ p12 = −ikh1|(nk,α L)|2i − ih1|(ek,α r)(kˆ p)|2i,

1 [kek,α ] k îäèíè÷íèé âåêòîð, ùî íàïðÿìëåíèé ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ïëîùèíè, óòâîðåíî¨ âåêòîðàìè k òà ek,α . Ïåðåòâîðèìî òåïåð äðóãèé äîäàíîê ó âèðàçi äëÿ p12 . Ïåðåäóñiì ìà¹ìî nk,α =

(kˆ p)(ek,α r) = (ek,α r)(kˆ p) − i~(k∇)(ek,α r).

Îñêiëüêè âåêòîðè k òà ek,α âçà¹ìíî ïåðïåíäèêóëÿðíi, òî

(k∇)(ek,α r) = (kek,α ) = 0, i îòæå, îïåðàòîðè, ñêëàäåíi çi ñêàëÿðíèõ äîáóòêiâ, ùî âõîäÿòü ó äîñëiäæóâàíèé âèðàç, êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ:

(ek,α r)(kˆ p) = (kˆ p)(ek,α r). Ïîñòàâèìî ñîái çà ìåòó ïîçáóòèñü ó ìàòðè÷íîìó åëåìåíòi p12 îïåˆ òàê, ÿê öå ìè çðîáèëè â äèïîëüíîìó íàáëèæåíðàòîðà iìïóëüñó p íi. Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî òàêèé êîìóòàòîð:

ˆ a ] = (ek,α r)(kr) [(ek,α r)(kr), H 508

ˆ2 ˆ2 p p − (ek,α r)(kr), 2m 2m

ˆ a öå àòîìíèé ãàìiëüòîíiàí. îçêðè¹ìî äiþ îïåíàãàäà¹ìî, ùî H 2 ˆ â äðóãîìó ÷ëåíi: ðàòîðà p ˆ 2 (ek,α r)(kr) p ˆ {−i~[∇(ek,α r)](kr) + (−i~)(ek,α r)∇(kr) + (ek,α r)(kr)ˆ =p p} ˆ {−i~ek,α (kr) − i~(ek,α r)k + (ek,α r)(kr)ˆ =p p} ˆ ) + (−i~)2 (ek,α k) = (−i~)2 (ek,α k) − i~(kr)(ek,α p ˆ ) − i~(ek,α r)(kˆ −i~(ek,α r)(kˆ p) − i~(kr)(ek,α p p) + (ek,α r)(kr)ˆ p2 .

Îòæå, íàø êîìóòàòîð

ˆ a ] = 2i~(kr)(ek,α p ˆ ) + 2i~(ek,α r)(kˆ 2m[(ek,α r)(kr), H p) àáî

im ˆ a ] = (kr)(ek,α p ˆ ) + (ek,α r)(kˆ [(ek,α r)(kr), H p). ~ Ïåðåä öèì ìè ìàëè −

òîìó

ˆ k, ˆ ) − (nk,α L) (ek,α r)(kˆ p) = (kr)(ek,α p ˆ) = − (kr)(ek,α p

im ˆ a ] + k (nk,α L). [(ek,α r)(kr), H 2~ 2

Òåïåð

k im~ ωh1|(ek,α r)(kr)|2i + (nk,α L12 ), 2~ 2 äå ìàòðè÷íèé åëåìåíò ìîìåíòó iìïóëüñó ˆ )|2i = − h1|(kr)(ek,α p

ˆ L12 = h1|L|2i.

Ìè ïàì'ÿòà¹ìî (i öå âæå íåîäíîðàçîâî îá÷èñëþâàëè), ùî äëÿ áóäüÿêîãî îïåðàòîðà

ˆ ˆ −H ˆ fˆ|2i = h1|fˆH|2i ˆ ˆ fˆ|2i h1|[fˆ, H]|2i = h1|fˆH − h1|H = E2 h1|fˆ|2i − E1 h1|fˆ|2i = ~ωh1|fˆ|2i, 509

ω =

E2 − E1 . ~

Îñòàòî÷íî, ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî k = ω/c, çíàõîäèìî:

p12 = −

mω iω h1|(ek,α r)(kr)|2i − (nk,α L12 ). 2 2c

Òåïåð ó p12 ñïðàâäi ÿâíî íå âõîäèòü îïåðàòîð iìïóëüñó, à ïåðøèé äîäàíîê ìîæíà ïåðåïèñàòè ÷åðåç îïåðàòîð åëåêòðè÷íîãî êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó

Qµν = e(3xµ xν − r 2 δµν ), äå e çàðÿä åëåêòðîíà, xµ êîìïîíåíòè ðàäióñ-âåêòîðà r, iíäåêñè µ, ν = 1, 2, 3, x1 = x, x2 = y , x3 = z . Ñïðàâäi, X µ h1|(ek,α r)(kr)|2i = ek,α kν h1|xµ xν |2i µ,ν

=

X

1 eµk,α kν h1|3xµ xν − r 2 δµν |2i 3

X

eµk,α kν δµν

µ,ν

+

µ,ν

+

1 X µ ν h1|r 2 |2i e k h1|Qµν |2i = 3 3e µ,ν k,α

h1|r 2 |2i 1 X µ ν e k h1|Qµν |2i, (ek,α k) = 3 3e µ,ν k,α

àäæå óìîâà ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ âèìàãà¹, ÿê ìè çíà¹ìî, ùîá (ek,α k) = 0. Óâåäåìî âåêòîð Q ç êîìïîíåíòàìè X µ Qν = ek,α Qµν , µ

i òåïåð

mω mω 2 mω h1|(ek,α r)(kr)|2i = (kQ12 ) = (ik Q12 ), 2 6e 6ce äå ik = k/k. 510

Äðóãèé ÷ëåí ó p12 çàïèøåìî ÷åðåç îïåðàòîð ìàãíiòíîãî äèïîˆ . Íàãàäà¹ìî iðîìàãíiòëüíîãî ìîìåíòó, ÿêèé ïîçíà÷èìî3 ÷åðåç µ ˆ òà îïåðàòîðîì îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó íèé çâ'ÿçîê ìiæ µ ÷åðåç ìàãíåòîí Áîðà µB = |e|/2mc:

ˆ = ˆ = −µB L µ

e ˆ L. 2mc

Îñòàòî÷íî, ÿêùî âðàõóâàòè i ïåðøèé ÷ëåí ðîçêëàäó â p12 , ÿêèé ìè äîñëiäèëè â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, çíàõîäèìî: imω mω X µ ν p12 = −imω(ek,α r12 ) − e k h1|Qµν |2i. (nk,α µ12 ) − e 6e µν k,α Öèì âèðàçîì âèçíà÷à¹òüñÿ iíòåíñèâíiñòü ñïîíòàííîãî âèïðîìiíþâàííÿ:

I ñï (k, α) =

e2 ω 2 |p12 |2 . 2πm2 c3

Ïåðøèé ÷ëåí ó p12 âiäïîâiäà¹ çà åëåêòðè÷íå äèïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ: ó öüîìó âèïàäêó ñêîðî÷åíî ãîâîðÿòü ïðî E1-ïåðåõîäè. Äðóãèé äîäàíîê âèçíà÷à¹ ìàãíiòíå äèïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ: M 1-ïåðåõîäè. Íàðåøòi, òðåòié äîäàíîê âiäïîâiäà¹ çà åëåêòðè÷íå êâàäðóïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ, àáî çà E2-ïåðåõîäè. Íàñòóïíi ÷ëåíè ðîçêëàäó âåëè÷èíè p12 òâîðÿòü âèùi åëåêòðè÷íi òà ìàãíiòíi ìóëüòèïîëüíi ïåðåõîäè. Iíòåíñèâíiñòü ìàãíiòíîãî äèïîëüíîãî âèïðîìiíþâàííÿ ñï IM 1 (k, α) =

ω4 |µ |2 cos2 θ, 2πc3 12

äå θ êóò ìiæ âåêòîðîì µ12 òà îäèíè÷íèì âåêòîðîì nk,α . Ïðîiíòå ðîâàíà çà âñiìà êóòàìè òà ïiäñóìîâàíà çà âñiìà ïîëÿðèçàöiÿìè iíòåíñèâíiñòü ñï IM 1 =

4 ω4 |µ |2 . 3 c3 12

3

Ìè íå áóäåìî ïëóòàòè ïîçíà÷åííÿ îïåðàòîðà ìàãíiòíîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòó çi ùîéíî ââåäåíèìè iíäåêñàìè åëåêòðè÷íîãî êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòó. Ìiæ iíøèì, ñåðåäíüîâi÷íi iíäiéñüêi ìàòåìàòèêè â ðiâíÿííÿõ, ùî ìàëè êiëüêà íåâiäîìèõ, âiäðiçíÿëè ¨õ çà äîïîìîãîþ ðiçíèõ àðá.

511

Êóòîâà çàëåæíiñòü êâàäðóïîëüíîãî âèïðîìiíþâàííÿ ¹ ñêëàäíîþ. Ìè íå áóäåìî àíàëiçóâàòè öi¹¨ çàëåæíîñòi4 . Ïåðåõîäèìî äî ïðàâèë âiäáîðó. Ïî÷íiìî ç ìàãíiòíèõ äèïîˆ âçäîâæ îñi z . Ìàòðè÷ëüíèõ ïåðåõîäiâ. Ñïðÿìóéìî îïåðàòîð µ íèé åëåìåíò íà õâèëüîâèõ óíêöiÿõ ó öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi

µz12 = hn′ , l′ , m′ |ˆ µz |n, l, mi ˆ z |n, l, mi = µB hn′ , l′ , m′ |L = µB ~mδm′ ,m δl′ ,l δn′ ,n . Îòæå, öi ïåðåõîäè éäóòü áåç çìiíè êâàíòîâèõ ÷èñåë n, l, m öå òàê çâàíi áåçâèïðîìiíþâàëüíi ïåðåõîäè. Äëÿ µx12 òà µy12 ìàòèìåìî çìiíè ìàãíiòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà íà îäèíèöþ, m′ = m ± 1. Äiéñíî,

ˆ x |n, l, mi µx12 = hn′ , l′ , m′ |ˆ µx |n, l, mi = µB hn′ , l′ , m′ |L = = + Àíàëîãi÷íî

µy12 = −

1 ˆ+ + L ˆ − |n, l, mi µB hn′ , l′ , m′ |L 2 n p ~ µB δn′ ,n δl′ ,l δm′ ,m+1 l(l + 1) − m(m + 1) 2 o p δm′ ,m−1 l(l + 1) − m(m − 1) . n p ~ µB δn′ ,n δl′ ,l δm′ ,m+1 l(l + 1) − m(m + 1) 2i o p δm′ ,m−1 l(l + 1) − m(m − 1) .

Ìè âèêîðèñòàëè òóò iç 33 âèðàçè äëÿ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ îïåˆ ±. ðàòîðiâ L 4

Ñïîñiá iíòå ðóâàííÿ çà êóòàìè âåëè÷èí, ñêëàäåíèõ iç äåêiëüêîõ ñêàëÿðíèõ äîáóòêiâ, íàâåäåíî â Ïðèêëàäi 1 äî öüîãî ïàðàãðàà.

512

Òåïåð çàéìåìîñü åëåêòðè÷íèìè êâàäðóïîëüíèìè ïåðåõîäàìè. Ó ïîðiâíÿííi ç åëåêòðè÷íèìè äèïîëüíèìè ïåðåõîäàìè ¨õíÿ éìîâiðíiñòü íà äåêiëüêà ïîðÿäêiâ ìåíøà, òîìó ùî ¨õ ïîðîäæóþòü ó p12 ñòàðøi ÷ëåíè ðîçêëàäó åêñïîíåíòè çà âåëè÷èíîþ kr ∼ ka. Îñêiëüêè äëÿ âèäèìî¨ äiëÿíêè ñïåêòðà ka = 2πa/λ ∼ 10−3 , òî âiäíîøåííÿ iíòåíñèâíîñòåé êâàäðóïîëüíîãî âèïðîìiíþâàííÿ òà äèïîëüíîãî çà ïîðÿäêîì âåëè÷èíè ñòàíîâèòü 10−6 . Îòæå, êâàäðóïîëüíà ñïåêòðàëüíà ëiíiÿ ¹ çíà÷íî ñëàáøîþ çà äèïîëüíó. ßêùî çáóäæåíèé àòîì çíàõîäèòüñÿ â ñòàíi, ç ÿêîãî äèïîëüíi ïåðåõîäè çàáîðîíåíi, òî éîãî ÷àñ æèòòÿ â öüîìó ñòàíi ¹ çíà÷íèì i ìîæå òðèâàòè 10−2 ñåê. Òàêi ñòàíè íàçèâàþòü ìåòàñòàáiëüíèìè. Ïåðåõiä iç öèõ ñòàíiâ íà îñíîâíèé ìîæå âiäáóâàòèñü çà ðàõóíîê çiòêíåíü ìiæ ÷àñòèíêàìè, êîëè ïðàâèëà âiäáîðó ¹ iíøèìè. Çàçíà÷èìî, ùî çíàéäåíi òóò ïðàâèëà âiäáîðó ñîðìóëüîâàíi äëÿ ïåðåõîäiâ, ñïðè÷èíåíèõ âçà¹ìîäi¹þ òiëüêè ç åëåêòðîìàãíiòíèì ïîëåì. Äëÿ âñòàíîâëåííÿ ïðàâèë âiäáîðó êâàäðóïîëüíîãî âèïðîìiíþâàííÿ5 ðîçðàõó¹ìî ìàòðè÷íèé åëåìåíò, íàïðèêëàä, îïåðàòîðà Qxy :

h1|Qxy |2i = 3ehn′ , l′ , m′ |xy|n, l, mi = 3ehn′ , l′ , m′ |r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ|n, l, mi = 3eR

Z

2π

′

e−im ϕ cos ϕ sin ϕ eimϕ

0

×

Z

0

π

dϕ 2π

Θl′ ,m′ (θ) sin2 θ Θl,m (θ) sin θ dθ,

äå ðàäiàëüíèé iíòå ðàë Z R=

0

∞

Rn′ ,l′ (r)r 2 Rn,l (r)r 2 dr

íå äîðiâíþ¹ íóëåâi ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâèõ ÷èñåë. Ií5 Ïðàâèëà âiäáîðó äëÿ êâàäðóïîëüíèõ ïåðåõîäiâ óñòàíîâèâ âiäîìèé ïîëüñüêèé ó÷åíèé Â. óáiíîâè÷ (18891974), ÿêèé ïðàöþâàâ ó Ëüâîâi i â 19371941 ðîêàõ çàâiäóâàâ êàåäðîþ òåîðåòè÷íî¨ içèêè Ëüâiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó.

33

I. Î. Âàêàð÷óê

513

òå ðàë çà àçèìóòàëüíèì êóòîì îá÷èñëþ¹ìî åëåìåíòàðíî: Z 1 dϕ 1 2π −im′ ϕ = (δm′ ,m+2 − δm′ ,m−2 ). e sin 2ϕ eimϕ 2 0 2π 4i

Îòæå, íàø ìàòðè÷íèé åëåìåíò âiäìiííèé âiä íóëÿ çà óìîâè, ùî m′ = m ± 2. Ùîäî çìiíè îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, òî ìè âèêîðèñòà¹ìî ðåêóðåíòíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ óíêöié Θl,m = Θl,m (θ) ç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà. Äëÿ âèïàäêó m′ = m − 2 ìà¹ìî ′ sin2 θ Θl,m (θ) = sin θ A′l,m Θl−1,m−1 + Bl,m Θl+1,m−1 ′ = A′l,m A′l−1,m−1 Θl−2,m−2 + Bl−1,m−1 Θl,m−2 ′ ′ + Bl,m A′l+1,m−1 Θl,m−2 + Bl+1,m−1 Θl+2,m−2 ′ = A′l,m A′l−1,m−1 Θl−2,m−2 + A′l,m Bl−1,m−1

′ ′ ′ Bl,m A′l+1,m−1 Θl,m−2 + Bl,m Bl+1,m−1 Θl+2,m−2 .

+

Àíàëîãi÷íî äëÿ m′ = m + 2

sin2 θ Θl′ ,m′ (θ) = A′l′ ,m′ A′l′ −1,m′ −1 Θl′ −2,m′ −2 +

A′l′ ,m′ Bl′′ −1,m′ −1 + Bl′′ ,m′ A′l′ +1,m′ −1 Θl′ ,m′ −2

+ Bl′′ ,m′ Bl′′ +1,m′ −1 Θl′ +2,m′ −2 .

Òåïåð iíòå ðó¹ìî ó âèðàçi äëÿ ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà Qx,y çà êóòîì θ i âðàõîâó¹ìî îðòîãîíàëüíiñòü óíêöié Θl,m (θ): 3eR h1|Qxy |2i = δm′ ,m+2 A′l′ ,m′ A′l′ −1,m′ −1 δl,l′ −2 4i + A′l′ ,m′ Bl′′ −1,m′ −1 + Bl′′ ,m′ A′l′ +1,m′ −1 δl,l′

+ Bl′′ ,m′ Bl′′ +1,m′ −1 δl,l′ +2 − δm′ ,m−2 A′l,m A′l−1,m−1 δl′ ,l−2

+

′ ′ A′l,m Bl−1,m−1 + Bl,m A′l+1,m−1 δl′ ,l

′ ′ + Bl,m Bl+1,m−1 δl′ ,l+2

514

.

Òàêèì ÷èíîì, çíàõîäèìî, ùî ó âèïàäêó xy -êâàäðóïîëüíîãî âèïðîìiíþâàííÿ ïðàâèëà âiäáîðó ¹ òàêèìè:

m′ = m ± 2,

l′ = l,

l′ = l ± 2.

Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî äëÿ xz - òà yz -âèïðîìiíþâàííÿ çìiíà êâàíòîâîãî ÷èñëà m′ ìîæëèâà ëèøå íà îäèíèöþ, îñêiëüêè êîîðäèíàòà z = r cos θ íå çàëåæèòü âiä êóòîâî¨ çìiííî¨ ϕ: m′ = m ± 1, à l′ = l ± 2. Ç öi¹¨ æ ïðè÷èíè äëÿ zz -êîìïîíåíòè m′ = m, à l′ = l, l ± 2. Ïåðåáèðàþ÷è âñi êîìïîíåíòè òåíçîðà Qµν , îñòàòî÷íî çíàõîäèìî ïðàâèëà âiäáîðó äëÿ åëåêòðè÷íèõ êâàäðóïîëüíèõ ïåðåõîäiâ:

m′ = m,

m ± 1, l′ = l,

m ± 2,

l ± 2,

ïðè÷îìó êîëè l′ = 0, òî l 6= 0, i íàâïàêè. Òîáòî 0′ 0 ïåðåõîäè çàáîðîíåíi, i ïðî öå éøëà ìîâà â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài. Ïðèêëàä 1. Óñåðåäíåííÿ çà êóòàìè.

îçãëÿíåìî

Z

Z

e(eA) dΩ

Z

2π

π

dϕ

= 0

Z

eA cos θ sin θ dθ = 2π

1

exA dx

−1

0

2π A e − e−A , A

=

àáî

Z

shA , A äå e îäèíè÷íèé âåêòîð, A äîâiëüíèé íåçàëåæíèé âåêòîð. îçêëàäåìî åêñïîíåíòó é ñèíóñ ãiïåðáîëi÷íèé ó ðÿä òà ïðèðiâíÿ¹ìî â ëiâié i ïðàâié ÷àñòèíàõ ÷ëåíè ç îäíàêîâèìè ñòåïåíÿìè âåêòîðà A: e(eA) dΩ = 4π

∞ Z X (eA)n

n!

n=0

Çâiäñè âèïëèâà¹:

dΩ = 4π

∞ X

A2k . (2k + 1)! k=0

Z

(eA)2n+1 dΩ = 0, Z

Àáî

(eA)2n A2n dΩ = 4π . (2n)! (2n + 1)!

Z

(eA)2n dΩ = 33*

4π A2n . 2n + 1

515

Iç öüîãî âèõîäèòü ùå íèçêà öiêàâèõ ðiâíîñòåé. Ñïðàâäi, íåõàé A = äå Ai íåçàëåæíi âåêòîðè: Z

32n 2 X 4 (eAi )5 dΩ = i≥1

2

i≥1

Ai ,

3n

4π 4X X (Ai Aj )5 . 2n + 1 i≥1 j≥1

Çîêðåìà,

Z

n

=

0,

n

=

1,

dΩ = 4π, Z

Äëÿ n = 2:

P

(eAi )(eAj )dΩ =

Z

(eAi )(eAj )(eAk )(eAl ) dΩ =

4π (Ai Aj ). 3

4π [(Ai Aj )(Ak Al ) 15

+ (Ai Ak )(Aj Al ) + (Ai Al )(Aj Ak )] .

Öi îðìóëè ¹ êîðèñíèìè ïðè óñåðåäíåííi çà êóòàìè äëÿ ðîçðàõóíêó iíòåíñèâíîñòi âèïðîìiíþâàííÿ âèùî¨ ìóëüòèïîëüíîñòi. Ïðèêëàä 2. Ëiíiÿ 21 ñì. Ñïåêòðàëüíà ëiíiÿ àòîìàðíîãî âîäíþ ç äîâæèíîþ õâèëi λ = 21 ñì âèïðîìiíþ¹òüñÿ ïðè M 1-ïåðåõîäi ìiæ ðiâíÿìè òîíêî¨ ñòðóêòóðè åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà, çóìîâëåíî¨ âçà¹ìîäi¹þ ìàãíiòíîãî ìîìåíòó åëåêòðîíà ç ìàãíiòíèì ìîìåíòîì ÿäðà (ïðîòîíà). ×àñòèíà ãàìiëüòîíiàíà, ÿêà âiäïîâiäà¹ çà öi ðiâíi, ˆ = Aˆseˆsp , ∆H äå ˆse , ˆsp îïåðàòîðè ñïiíiâ åëåêòðîíà òà ïðîòîíà, A ñòàëà îáìiííî¨ âçà¹ìîäi¨. Äëÿ îá÷èñëåííÿ åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà óòâîðèìî ç ïîâíîãî ìîìåíòó ˆ = ˆse + ˆsp éîãî êâàäðàò, ÿêèé ¹ iíòå ðàëîì ðóõó: J

Jˆ2 = ˆs2e + ˆs2p + 2ˆse ˆsp .

Çâiäñè ˆse ˆsp =

1 ˆ2 (J − ˆs2e − ˆ s2p ) 2

ˆ = ∆H

A ˆ2 (J − sˆ2e − sˆ2p ). 2

i ãàìiëüòîíiàí Òåïåð ïåðøà ïîïðàâêà äî åíåð i¨

ˆ E (1) = h∆Hi,

i ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî êâàäðàòè îïåðàòîðiâ ñïiíiâ åëåêòðîíà i ïðîòîíà äîðiâíþþòü 3~2 /4, çíàõîäèìî

(1)

Ej

516

=

A 2 3 . ~ j(j + 1) − 2 2

Êâàíòîâå ÷èñëî j â öié çàäà÷i ìîæå íàáóâàòè ëèøå äâà çíà÷åííÿ (äèâ. 33): j = 0 äëÿ àíòèïàðàëåëüíèõ ñïiíiâ i j = 1 äëÿ ïàðàëåëüíèõ ñïiíiâ. Âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ ¹ òàêèìè (ðèñ. 55): 3 (1) E↑↓ = − ~2 A, 4

Îòæå, ðiçíèöÿ

(1)

(1)

E↑↑ =

A 2 ~ . 4

(1)

∆ = E↑↑ − E↑↓ = A~2 .

èñ. 55.

Íàäòîíêå ðîçùåïëåííÿ äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà âîäíþ.

Åêñïåðèìåíòàëüíå çíà÷åííÿ âiäïîâiäíî¨ ÷àñòîòè âèïðîìiíþâàííÿ ïðè ðîçùåïëåííi ðiâíÿ åíåð i¨ äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà âîäíþ (n = 1, l = 0, m = 0): ν = ∆/2π~ = 1420405751.800 ± 0.028 ö, à äîâæèíà õâèëi

λ ≃ 21 ñì.

Åëåêòðè÷íi êâàäðóïîëüíi ïåðåõîäè (0′ 0-ïåðåõîäè) ìiæ öèìè ðiâíÿìè ¹ çàáîðîíåíèìè, òîìó öå ìàãíiòíå äèïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ. Ó âèðàçi äëÿ âiäïîâiäíî¨ éìîâiðíîñòi ïåðåõîäó ïðè âðàõóâàííi ñïiíó åëåêòðîíà íåîáõiäíî çðîˆ íà L ˆ + 2ˆse . áèòè çàìiíó L Ëiíiÿ 21 ñì âiäiãðà¹ âàæëèâó ðîëü ó ðàäiîàñòðîíîìi¨, îñêiëüêè çà íåþ âèçíà÷àþòü ðîçïîäië àòîìàðíîãî âîäíþ ó Âñåñâiòi. Öiêàâî òàêîæ, ùî ñàìå íà öié äîâæèíi õâèëi ïðîâîäÿòü ïîøóê iíøèõ öèâiëiçàöié6 . 6 Ëiíiþ 21 ñì ó ðàäiîñïåêòði àëàêòèêè âïåðøå ïåðåäáà÷èâ ó 1944 ðîöi òîäi íiêîìó íåâiäîìèé ãîëëàíäñüêèé ñòóäåíò åíäðèê âàí äå þëñò ó Ëåéäåíi. Âåñíîþ 1951 ðîêó ¨¨ åêñïåðèìåíòàëüíî âèÿâèëè àðîëüä Þåí i Åäâàðä Ïàðñåë

517

64. ×àñ æèòòÿ çáóäæåíèõ ñòàíiâ àòîìiâ. Ïðèðîäíà

øèðèíà ñïåêòðàëüíèõ ëiíié

Çíàéäåíi âèðàçè äëÿ iíòåíñèâíîñòåé âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà àòîìíèìè ñèñòåìàìè ãîâîðÿòü ïðî òå, ùî ñïåêòðàëüíi ëiíi¨ ¹ áåçìåæíî âóçüêèìè i ìàþòü äåëüòàïîäiáíèé õàðàêòåð. Òîáòî àòîì âèïðîìiíþ¹ íà ïåâíié iêñîâàíié ÷àñòîòi ω = (E2 − E1 )/~, ùî âiäïîâiäà¹ êâàíòîâèì ïåðåõîäàì ìiæ ñòàíàìè |1i òà |2i, ÿêi ìè ââàæà¹ìî ñòàöiîíàðíèìè. Iíøèìè ñëîâàìè, ìè ïðèïóñêàëè, ùî åëåêòðîí, ðóõàþ÷èñü â àòîìi, ó äåÿêîìó çâ'ÿçàíîìó ñòàíi ìîæå ïåðåáóâàòè áåçìåæíî äîâãî. Íàñïðàâäi, ñòàöiîíàðíèì ñòàíîì ¹ ëèøå îñíîâíèé ñòàí àòîìíî¨ ñèñòåìè. Óñi çáóäæåíi ñòàíè ¹ êâàçiñòàöiîíàðíèìè ÷åðåç ïåâíèé ÷àñ àòîì ñïîíòàííî ïåðåõîäèòü iç çáóäæåíèõ ñòàíiâ ó ñòàíè ç íèæ÷îþ åíåð i¹þ i, âðåøòiðåøò, â îñíîâíèé ñòàí, ÿêîìó âiäïîâiäà¹ íàéìåíøå çíà÷åííÿ åíåð i¨. ×àñ ïåðåáóâàííÿ àòîìà â çáóäæåíîìó ñòàíi íàçèâàþòü ÷àñîì æèòòÿ öüîãî êâàçiñòàöiîíàðíîãî ñòàíó. Ïðè÷èíîþ ñïîíòàííèõ ïåðåõîäiâ ¹ âçà¹ìîäiÿ àòîìíî¨ ñèñòåìè ç íóëüîâèìè êîëèâàííÿìè åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Ìîâîþ êëàñè÷íî¨ åëåêòðîäèíàìiêè, ïðè÷èíîþ ñïîíòàííèõ ïåðåõîäiâ ¹ âçà¹ìîäiÿ çàðÿäó ç ïîëåì, ÿêå âií ñàì âèïðîìiíþ¹, òàê çâàíà ðåàêöiÿ âèïðîìiíþâàííÿ. Êâàçiñòàöiîíàðíiñòü çáóäæåíèõ ñòàíiâ ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ñïåêòðàëüíi ëiíi¨ içîëüîâàíî¨ àòîìíî¨ ñèñòåìè ¹ íå áåçìåæíî âóçüêèìè, à ìàþòü äåÿêó øèðèíó, ÿêó íàçèâàþòü ïðèðîäíîþ øèðèíîþ ñïåêòðàëüíî¨ ëiíi¨. Ìiæàòîìíà âçà¹ìîäiÿ òà òåïëîâi ðóõè àòîìiâ ñïðè÷èíþþòü ïîäàëüøå ðîçøèðåííÿ ñïåêòðàëüíèõ ëiíié. Òåîðiÿ ïðèðîäíî¨ øèðèíè ñïåêòðàëüíèõ ëiíié ¹ òîíêèì i àæ íiÿê íå ïðîñòèì ïèòàííÿì. Ïî÷íåìî ç êëàñè÷íîãî ðîçãëÿäó. Íà ðóõîìèé çàðÿä, ùî âèïðîìiíþ¹, äi¹ ñèëà Ëîðåíöà, ñòâîðåíà åëåêòðîìàãíiòíèì ïîëåì ñàìîãî çàðÿäó. Âèðàç äëÿ öi¹¨ ñèëè ìîæíà çíàéòè ïðÿìèì îá÷èñëåííÿì, âèêîðèñòîâóþ÷è çàïiçíþþ÷i ïîòåíöiàëè Ëi¹íàðàÂiõåðòà äëÿ åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó e. Âèðàç, ÿêèé îòðèìó¹ìî äëÿ ñèëè, ùî äi¹ íà çàðÿä, ìîæíà ó ÑØÀ, à çà êiëüêà òèæíiâ â Àâñòðàëi¨ òà îëëàíäi¨. Ó ãîëëàíäöiâ, ÿêi ìàëè ðîçðàõóíêè âàí äå þëñòà, ïåðåä ïî÷àòêîì ñïîñòåðåæåíü âèíèêëà ïîæåæà i ÷àñòèíà àïàðàòóðè çãîðiëà. Ïîòðàòèâøè ÷àñ íà ¨¨ âiäíîâëåííÿ, âîíè ïðèéíÿëè âèïðîìiíþâàííÿ íà òðè ìiñÿöi ïiçíiøå çà àìåðèêàíöiâ.

518

ðîçêëàñòè â ðÿä çà ñòåïåíÿìè 1/c (äèâ., íàïðèêëàä, Â. àéòëåð. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ èçëó÷åíèÿ. Ì.: ÈË, 1956):

4 ε0 2 e2 ˙ ¨ + ···, v + v 3 c2 3 c3 äå ε0 âëàñíà åëåêòðîñòàòè÷íà åíåð iÿ çàðÿäó, v éîãî øâèäêiñòü, à êðàïêàìè íàä ëiòåðàìè ïîçíà÷åíi ïîõiäíi çà ÷àñîì. Ñëiä çàçíà÷èòè, ùî öåé ðîçêëàä ¹ àñèìïòîòè÷íèì. Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ ðóõó äëÿ çàðÿäó ìàñè m0 , óðàõîâóþ÷è ñèëó ðåàêöi¨ âèïðîìiíþâàííÿ òà çîâíiøíþ ñèëó f : 2 e2 4 ε0 ¨ + f. v m0 + 2 v˙ = 3c 3 c3 fL = −

Ìíîæíèê áiëÿ ïðèñêîðåííÿ

4 ε0 3 c2 ìà¹ çìiñò ñïîñòåðåæóâàëüíî¨ ìàñè çàðÿäó. Âíóòðiøíÿ íåóçãîäæåíiñòü êëàñè÷íî¨ åëåêòðîäèíàìiêè ïðîÿâëÿ¹òüñÿ â òîìó, ùî åëåêòðîìàãíiòíà ÷àñòèíà ìàñè 4ε0 /3c2 äëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó ¹ âåëè÷èíîþ áåçìåæíîþ ε0 ∼ c2 /r0 , r0 → 0. Óâàæà¹òüñÿ, ùî öÿ áåçìåæíiñòü êîìïåíñó¹òüñÿ áåçìåæíiñòþ, ÿêà îðìó¹òüñÿ ñèëàìè íååëåêòðîìàãíiòíîãî ïîõîäæåííÿ â m0 (íàïðèêëàä, ñèëè Êàçèìèðà), i â ðåçóëüòàòi ìè ñïîñòåðiãà¹ìî ñêií÷åííó âåëè÷èíó m. Äðóãèé äîäàíîê ó âèðàçi äëÿ fL ïðèâîäèòü äî ãàëüìóâàííÿ ðóõó âèïðîìiíþþ÷îãî çàðÿäó. Íàïðèêëàä, äëÿ êâàçiïðóæíî¨ çîâíiøíüî¨ ñèëè f = −mω02 r ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ ðóõó äà¹ çàãàñàþ÷i êîëèâàííÿ7 m = m0 +

r(t) = r0 cos(ωt + δ) e−γt/2 ç ÷àñòîòîþ ω = ω0 − 5γ 2 /8ω0 i ñòàëîþ çàãàñàííÿ

2 e2 ω02 . 3 mc3 Ó ðåçóëüòàòi iíòåíñèâíiñòü ïîãëèíàííÿ åíåð i¨ òàêèì îñöèëÿòîðîì íå ìàòèìå äåëüòàïîäiáíîãî õàðàêòåðó â îêîëi ÷àñòîòè ω0 , à áóäå óíêöi¹þ ÷àñòîòè ç ãîñòðèì ìàêñèìóìîì ó òî÷öi ω0 . γ=

7

Äèâ. âiäñòóï íàïðèêiíöi öüîãî ïàðàãðàà.

519

Ïåðåéäåìî äî êâàíòîâîãî îïèñó. iâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(q, t) îïèñó¹, ÿê ìè çíà¹ìî, ÿâèùà çâîðîòíi â ÷àñi: çàìiíà t íà (−t) ïðèâîäèòü äî ðiâíÿííÿ äëÿ êîìïëåêñíî ñïðÿæåíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ ∗ (q, t). Çäàâàëîñü áè, ùî âîíî òàêèì ÷èíîì íå ñïðîìîæíå ïîÿñíèòè ñêií÷åííèé ÷àñ æèòòÿ àòîìà â çáóäæåíîìó ñòàíi, à òèì ñàìèì i ïðèðîäíó øèðèíó ñïåêòðàëüíèõ ëiíié. Îäíàê öå ìîæëèâî çðîáèòè, ÿêùî âiäáèðàòè ïîòðiáíi íàì ðîçâ'ÿçêè. Ïî÷íåìî ç ïðîñòèõ åíîìåíîëîãi÷íèõ ìiðêóâàíü. Õâèëüîâó óíêöiþ àòîìà ψ = ψ(q, t) ðîçêëàäà¹ìî â ðÿä çà ïîâíîþ ñèñòåìîþ óíêöié, ùî îïèñó¹ ñòàöiîíàðíi ñòàíè: X i ψ(q, t) = Cn e− ~ En t ψn (q), n

äå, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, êîåiöi¹íò |Cn |2 äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi çíàõîäæåííÿ àòîìà â ñòàíi ψn . Äëÿ ïðîñòîòè ðîçãëÿíüìî äâîðiâíåâèé àòîì çi ñòàíàìè: îñíîâíèì |1i = ψ1 i çáóäæåíèì |2i = ψ2 . Ó ñèñòåìi, ùî ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóêóïíîñòi N òàêèõ àòîìiâ, ìà¹ìî

N2 = N |C2 |2

àòîìiâ ó çáóäæåíîìó ñòàíi. Óíàñëiäîê âèñâi÷óâàííÿ êiëüêiñòü àòîìiâ ó çáóäæåíîìó ñòàíi çìåíøó¹òüñÿ çà çàêîíîì, ÿêèé ïðèðîäíî çàïèñàòè òàê: dN2 = N2 w2→1 , − dt äå w2→1 iìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó àòîìà çi çáóäæåíîãî ñòàíó |2i â îñíîâíèé ñòàí |1i. Òîáòî ìè ââàæà¹ìî, ùî øâèäêiñòü çìåíøåííÿ ÷èñëà àòîìiâ ó çáóäæåíîìó ñòàíi ïðîïîðöiéíà ¨õíié êiëüêîñòi â öüîìó ñòàíi. Öå ðiâíÿííÿ âæå ¹ íåçâîðîòíèì ó ÷àñi é äà¹

N2 = N e−γt , äå ñòàëà çàãàñàííÿ γ = w2→1 . Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî

|C2 |2 ∼ e−γt

i êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó çàëåæàòü âiä ÷àñó:

C2 ∼ e−γt/2 . 520

Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó âðàõóâàííÿ ñïîíòàííèõ ïåðåõîäiâ, êîëè Cn ∼ e−γn t/2 , ÿê áà÷èìî, ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ i

ψn (q, t) = e− ~ En t ψn (q) íå iñíó¹, à ìà¹ìî êâàçiñòàöiîíàðíi ñòàíè: i

ψn (q) = e− ~ En t−

γn t 2

,

ìíîæíèê ç γn äà¹ ¨õ çàãàñàííÿ. Ïðè÷îìó äåêðåìåíò çàãàñàííÿ γn ìîæíà ïiäðàõóâàòè ÿê iìîâiðíiñòü ïåðåõîäó çi ñòàíó n ó ñòàíè, ùî ¹ íèæ÷èìè, òîáòî ìàþòü ìåíøi çíà÷åííÿ åíåð i¨. ×àñ æèòòÿ àòîìà ó çáóäæåíîìó ñòàíi

τn = 1/γn . Îñêiëüêè γn âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê iìîâiðíiñòü ïåðåõîäó, ùî ïðîïîðöiéíà äî ÷èñëà îòîíiâ ïëþñ îäèíèöÿ, òî ÷àñ æèòòÿ τn çàëåæèòü ùå é âiä iíòåíñèâíîñòi åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Êîëè îòîíè âiäñóòíi, òî ìà¹ìî ëèøå ñïîíòàííi ïåðåõîäè íà íèæ÷i ðiâíi âíàñëiäîê âçà¹ìîäi¨ ç íóëüîâèìè êîëèâàííÿìè ïîëÿ. Î÷åâèäíî, ùî äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó, ÿê ñòàíó ç íàéìåíøîþ åíåð i¹þ, âåëè÷èíà γ0 = 0, à τ0 = ∞ ñòàöiîíàðíèé ñòàí. Öiêàâî, ùî âðàõóâàííÿ êâàçiñòàöiîíàðíîñòi êâàíòîâèõ ñòàíiâ îðìàëüíî ìîæíà çäiéñíèòè, ÿêùî åíåð iþ ââàæàòè êîìïëåêñíîþ âåëè÷èíîþ: En → En − i~γn /2. Iíòåíñèâíiñòü âèïðîìiíþâàííÿ áåç óðàõóâàííÿ êâàçiñòàöiîíàðíîñòi ñòàíiâ áóëà ïðîïîðöiéíîþ äî äåëüòà-óíêöi¨ δ(Ef −Ei ), ÿêà ó âèðàçi äëÿ éìîâiðíîñòi ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó wi→f çàáåçïå÷ó¹ âèêîíàííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåð i¨. Òåïåð, ÿêùî ïðè âèâåäåííi âèðàçó äëÿ wi→f âðàõóâàòè êâàçiñòàöiîíàðíi ñòàíè, òî îòðèìà¹ìî, çàìiñòü äåëüòà-óíêöi¨, òàêèé âèðàç: Z ∞ i 1 e ~ (Ef −Ei )t dt δ(Ef − Ei ) = 2π~ −∞ Z ∞ Ef − Ei 1 cos t dt = π~ 0 ~ Z ∞ γ +γ Ef − Ei 1 − f2 it → e t dt cos π~ 0 ~ 521

=

1 Re π~

Z

∞

e−

γf +γi t 2

ei

Ef −Ei t ~

dt =

0

γ/2π~ , + (γ/2)2

ωf2i

äå

ωf i =

Ef − Ei , ~

γ = γf + γi . Îòæå, òàêå ðîçìèâàííÿ δ-óíêöi¨ ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ñïåêòðàëüíi ëiíi¨ ìàþòü ñêií÷åííó øèðèíó: äåëüòàïîäiáíèé ïðîiëü çàìiíþ¹òüñÿ ïðîiëåì, ÿêèé íàçèâàþòü êîíòóðîì Ëîðåíöà (äèâ. ðèñ. 56). Öÿ øèðèíà ìà¹ íàçâó ïðèðîäíà øèðèíà ñïåêòðàëüíî¨ ëiíi¨. Îòæå, íàñëiäêîì êâàçiñòàöiîíàðíîñòi àòîìíèõ ñòàíiâ ¹ òå, ùî àòîì âèïðîìiíþ¹ íå íà ïåâíié ÷àñòîòi ω0 , à â iíòåðâàëi ÷àñòîò â îêîëi ω0 .

èñ. 56.

Ïðîiëi

àòîìíî¨

ñïåêòðàëüíî¨

ëiíi¨:

à

δ -ïîäiáíèé;

á ç óðàõóâàííÿì êâàçiñòàöiîíàðíîñòi ñòàíiâ.

Äëÿ îöiíêè γ ó âèïàäêó äâîðiâíåâîãî àòîìà ñêîðèñòàéìîñü âèðàçîì äëÿ iíòåíñèâíîñòi ñïîíòàííîãî âèïðîìiíþâàííÿ (äèâ. 61), ÿêèé iç òî÷íiñòþ äî ìíîæíèêà ~ω äîðiâíþ¹ âåëè÷èíi w2→1 , ïiäñóìîâàíié çà õâèëüîâèì âåêòîðîì i ïîëÿðèçàöi¹þ îòîíà, à îòæå, äîðiâíþ¹ âåëè÷èíi γ :

γ= 522

I ñï (ω) , ~ω

4 ω3 |d12 |2 . 3 c3 ~ Çðîáèìî ÷èñåëüíó ïðèêèäêó. Ìàòðè÷íèé åëåìåíò äèïîëüíîãî ìîìåíòó àòîìà d12 ∼ ea, äå ðîçìiðè àòîìà a ∼ aB = ~2 /me2 , òîìó γ=

ω2 γ ≃ 3 e2 a2 . ω c ~

Åíåð iÿ âèïðîìiíþâàííÿ ~ω ∼ e2 /a i 2 2 2 2 3 e e 1 2 ~2 γ = . ≃ e ω a~ c3 ~ me2 ~c Îòæå,

γ ∼ α3 , ω äå ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè α ≃ 1/137. Òàêèì ÷èíîì, âiäíîøåííÿ γ ∼ 10−7 . ω Êîëè õàðàêòåðíi ÷àñòîòè ω ∼ 1015 ñåê−1 , òî ÷àñ æèòòÿ àòîìà â çáóäæåíîìó ñòàíi τ ∼ 10−8 ñåê. ßêùî äèïîëüíi ïåðåõîäè çàáîðîíåíi, òî ÷àñ æèòòÿ çáiëüøó¹òüñÿ â (λ/a)2 ðàçiâ. Àòîì ó çáóäæåíîìó ñòàíi æèâå ïðîòÿãîì ∼ 10−2 ñåê i áiëüøå. Òàêi ñòàíè, ÿê ìè âæå ãîâîðèëè, íàçèâàþòü ìåòàñòàáiëüíèìè. Ïåðåéäåìî òåïåð äî ïîáóäîâè ñòðîãî¨ òåîði¨ ïðèðîäíî¨ øèðèíè ñïåêòðàëüíî¨ ëiíi¨. Äëÿ ðîçðàõóíêó ñïåêòðàëüíî¨ ãóñòèíè åíåð i¨ íàì óæå íåäîñòàòíüî çâè÷àéíî¨ òåîði¨ çáóðåíü, ÿê öå ðîáèëîñü ðàíiøå ïðè âèâ÷åííi ïðîöåñiâ ïîãëèíàííÿ é âèïðîìiíþâàííÿ ñâiòëà. Íåîáõiäíî ïåðåîðìóëþâàòè òåîðiþ çáóðåíü òàê, ùîá ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìàâ âèãëÿä ∼ e−γt/2 , ÿêèé ìè âñòàíîâèëè åíîìåíîëîãi÷íèì øëÿõîì. Ïðèãàäà¹ìî çàãàëüíi îðìóëè íåñòàöiîíàðíî¨ òåîði¨ çáóðåíü: X i (0) ψ(q, t) = Cm e− ~ Em t ψm (q), m

i~C˙ m =

X

Cn V˜mn ,

n

523

V˜mn = eiωmn t Vmn . Êîíêðåòèçó¹ìî çàäà÷ó: íåõàé ìè ìà¹ìî äâîðiâíåâèé àòîì ïëþñ åëåêòðîìàãíiòíå ïîëå. Íóëüîâà çàäà÷à öå àòîì i ïîëå, ÿêi íå âçà¹ìîäiþòü. Íåõàé ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó t = 0 àòîì çíàõîäèòüñÿ â ñòàíi |2i ç åíåð i¹þ E2 , à îòîíè âiäñóòíi, òîáòî ñòàí ïîëÿ îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ âàêóóìó |0, . . . , 0i. Êiíöåâèé ñòàí: àòîì çíàõîäèòüñÿ íà íèæíüîìó ðiâíi |1i ç åíåð i¹þ E1 , i ïîëå õàðàêòåðèçó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ |0, . . . , 0, 1k,α , 0, . . . , 0i ç íàÿâíiñòþ îäíîãî îòîíà ç õâèëüîâèì âåêòîðîì k òà ïîëÿðèçàöi¹þ α. Îòæå, ïî÷àòêîâà õâèëüîâà óíêöiÿ

|ii = |2i|0, . . . , 0i, à êiíöåâà

|f i = |1i|0, . . . , 0, 1k,α , 0, . . . , 0i. Íàãàäàéìî òàêîæ, ùî îïåðàòîð çáóðåííÿ

e2 e (Aˆ p) + A2 . Vˆ = − mc 2mc2 Ó ìîìåíò t = 0 êîåiöi¹íò Ci = 1, Cf = 0 i

ψ(q, t) = |ii, à ïðè t → ∞ âåëè÷èíà Ci → 0. Âèáåðåìî ðîçâ'ÿçîê äëÿ Ci â òàêîìó âèãëÿäi: Γ

Ci = e− 2 t , äå Γ íåâiäîìà âåëè÷èíà, ÿêó íåîáõiäíî çíàéòè. Ç íàøèõ çàãàëüíèõ îðìóë ìà¹ìî X i~C˙ i = Cn V˜in , n

V˜ii = 0. 524

Ïðè÷îìó ïiäñóìîâóâàííÿ çà ïðîìiæíèìè iíäåêñàìè n öå ïiäñóìîâóâàííÿ çà k òà α. Âèïèøåìî òàêîæ ðiâíÿííÿ äëÿ Cf i îòðèìà¹ìî òàêó ñèñòåìó: P Cf V˜if , i~C˙ i = k,α

i~C˙ f = Ci V˜f i .

Íå âðàõîâóþ÷è â äðóãîìó ðiâíÿííi ïåðåõîäè ââåðõ (òîáòî ïîãëèíàííÿ îòîíà), ìè òèì ñàìèì âiäáèðà¹ìî ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ÿêi îïèñóþòü åâîëþöiþ ëèøå ïðÿìîãî ïåðåõîäó, òîáòî âíîñèìî â öåé ïðîöåñ íåçâîðîòíiñòü ó ÷àñi. Âèïðàâäàííÿì öüîãî ìîæå áóòè ëèøå òå, ùî âçà¹ìîäiÿ îòîíà é àòîìà ç ïåðåõîäîì àòîìà â çáóäæåíèé ñòàí âiäáóâà¹òüñÿ çà äóæå âåëèêèé ÷àñ (ïîðiâíÿíî ç àòîìíèì ÷àñîì). Îáðàçíî êàæó÷è, îòîí iç äóæå ìàëîþ éìîâiðíiñòþ çóñòðiíå çíîâó ñâié àòîì. Õî÷à, óðåøòi-ðåøò, ìàíäðóþ÷è Âñåñâiòîì, âií i ïðîâçà¹ìîäi¹ ç öèì àòîìîì. Ïðèêëàä òàêèõ áëóêàþ÷èõ îòîíiâ ìè ìà¹ìî öå ðåëiêòîâi îòîíè (ðåëiêòîâå âèïðîìiíþâàííÿ)8 . Iíòå ðó¹ìî äðóãå ðiâíÿííÿ ç óðàõóâàííÿì âèáðàíî¨ îðìè ðîçâ'ÿçêó äëÿ Ci : Z Z 1 t − Γ t′ iωf i t′ 1 t ˜ Ci Vf i dt′ = e 2 e Vf i dt′ Cf = i~ 0 i~ 0 Γ

= äå ÷àñòîòà

e− 2 t+iωf i t − 1 1 Vf i , i~ iωf i − Γ/2 (0)

ωf i =

(0)

Ef − Ei ~

=

E1 − E2 + ~ωk , ~

E2 − E1 = ω0 , ~ 8 åëiêòîâå åëåêòðîìàãíiòíå âèïðîìiíþâàííÿ âèïàäêîâî âèÿâèëè â 1965 ðîöi àìåðèêàíñüêi ðàäiîàñòðîíîìè À. À. Ïåíçiàñ i . Â. Âiëüñîí (Íîáåëiâñüêà ïðåìiÿ 1978 ðîêó). Âîíè êîíñòðóþâàëè àíòåíè ç ÿêîìîãà ìåíøèìè âëàñíèìè øóìàìè é äiéøëè äî ïåâíî¨ ìåæi, ÿêî¨ íå ìîãëè ïîíèçèòè. Âèÿâèëîñü, ùî öåé äîêó÷ëèâèé øóì i ¹ ðåëiêòîâèìè îòîíàìè.

525

ωf i = ωk − ω0 .

Ïîâåðíåìîñü òåïåð äî ïåðøîãî ðiâíÿííÿ ñèñòåìè:

i~C˙ i =

X Vf i e− Γ2 t+iωf i t − 1 k,α

i~

iωf i − Γ/2

eiωif t Vif .

− Γ2 t

Îñêiëüêè Ci = e , òî ç íüîãî âèïëèâà¹ ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìî¨ âåëè÷èíè Γ: X Vf i e− Γ2 t+iωf i t − 1 Γ −Γ t eiωif t Vif , e 2 = i~ − 2 i~ iωf i − Γ/2 k,α

àáî

Γ t+iωif t 2 Γ 1 X 21 − e = 2 . |Vf i | 2 ~ iωf i − Γ/2

k,α

Äàëi ïðàöþ¹ìî çà òåîði¹þ çáóðåíü: ó ïðàâié ÷àñòèíi ïîêëàäà¹ìî Γ = 0, òîáòî çàñòîñîâó¹ìî ìåòîä iòåðàöié. Ìà¹ìî Γ 1 X 1 − eiωif t = 2 , |Vf i |2 2 ~ iωf i k,α

àáî

(1 − cos ωif t) − i sin ωif t Γ 1 X = 2 . |Vf i |2 2 ~ iωf i k,α

Ìè ðîçãëÿäà¹ìî ÷àñ t → ∞, òîìó âíåñîê âiä cos ωif t/ωif → 0 (ÿê øâèäêîîñöèëþþ÷à óíêöiÿ âîíà íå äà¹ âíåñêó)9 . Äàëi âèêî9

Êîëè Áîã ñòâîðèâ ÷àñ, òî Âií ñòâîðèâ éîãî äîñèòü iðëàíäñüêå ïðèñëiâ'ÿ. Ìè ÷àñòî âèêîðèñòîâó¹ìî ãðàíè÷íèé ïåðåõiä t → ∞ ÿê ìàòåìàòè÷íó îïåðàöiþ. Ôiçè÷íî öÿ áåçìåæíiñòü îçíà÷à¹, ùî âåëè÷èíà t, òîáòî ÷àñ äi¨ çáóðåííÿ, ¹ íàáàãàòî áiëüøîþ, íiæ äåÿêèé õàðàêòåðíèé äëÿ êîíêðåòíî¨ çàäà÷i ìàñøòàá ÷àñó, íàïðèêëàä, îáåðíåíà ÷àñòîòà ïåðåõîäó ìiæ êâàíòîâèìè ñòàíàìè àòîìà. Îòæå, ìè êîæíîãî ðàçó ïðèïóñêà¹ìî, ùî ÷àñó ¹ äîñèòü, ùîá çàáåçïå÷èòè öåé ãðàíè÷íèé ïåðåõiä, i ùî êâàíòîâà ñèñòåìà æèâå äîâøå, íiæ âåëè÷èíà õàðàêòåðíîãî ìàñøòàáó ÷àñó. Îäíàê ñèòóàöiÿ ìîæå áóòè é çîâñiì iíøîþ, ÿêùî ìîâà éäå ïðî åìòîñåêóíäíó (10−15 ñåê) ÷è àòòîñåêóíäíó (10−18 ñåê) ñïåêòðîñêîïiþ, êîëè ÷àñ òðèâàííÿ ëàçåðíîãî iìïóëüñó çáóðåííÿ ¹ ìåíøèì, íiæ ïåðiîä êîëèâàíü åëåêòðîìàãíiòíî¨ õâèëi.

526

ðèñòîâó¹ìî ïðåäñòàâëåííÿ δ-óíêöi¨:

sin ωf i t = δ(ωf i ). t→∞ πωf i lim

Òàêèì ÷èíîì,

1 X π X 1 Γ = 2 + 2 |Vf i |2 |Vf i |2 δ(ωf i ). 2 ~ iωf i ~ k,α

k,α

Ïîçíà÷èìî

∆E2 =

1X 1 |Vf i |2 , ~ ωif k,α

γ π X = 2 |Vf i |2 δ(ωf i ), 2 ~ k,α

îòæå,

i γ Γ = ∆E2 + . 2 ~ 2 Âåëè÷èíà

∆E2 =

X k,α

|Vf i |2 E2 − (E1 + ~ωk )

öå ¹ íå ùî iíøå, ÿê çñóâ ðiâíÿ åíåð i¨ àòîìà çà ðàõóíîê âçà¹ìîäi¨ ç ïîëåì ó ïîâíié âiäïîâiäíîñòi äî çàãàëüíî¨ îðìóëè äëÿ äðóãî¨ ïîïðàâêè ñòàíäàðòíî¨ òåîði¨ çáóðåíü:

En(2) =

X

|Vmn |2

(0)

(0)

m(m6=n) En − Em

.

Òàê ñàìî âåëè÷èíà γ ¹ íå ùî iíøå, ÿê iìîâiðíiñòü êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó, ïiäñóìîâàíà çà ïîëÿðèçàöiÿìè i õâèëüîâèìè âåêòîðàìè (à àêòè÷íî çà íàïðÿìêàìè ïîøèðåííÿ) îòîíà: X γ= wi→f , k,α

527

γ=

X 2π ~

k,α

|Vf i |2 δ(E2 − E1 − ~ωk ).

Îòæå, ïðè ââiìêíåííi ïîëÿ åíåð åòè÷íèé ðiâåíü çñóâà¹òüñÿ i ïî÷àòêîâèé ñòàí çàãàñà¹: γ

i

Ci = e− 2 t e− ~ ∆E2 t . Çíàéäåìî òåïåð iìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ àòîìà â ñòàíi |f i ïðè t → ∞: |Vf i |2 1 |Cf |2 = . ~2 ωf2i + (γ/2)2 Îá÷èñëþ¹ìî ïîâíó åíåð iþ âèïðîìiíþâàííÿ:

E=

X k,α

~ωk |Cf |2 =

1 X |Vf i |2 ~ωk . 2 + (γ/2)2 ~2 ω f i k,α

Ïåðåéäåìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà k äî iíòå ðóâàííÿ é îòðèìà¹ìî Z ∞ Z ωk2 ~ωk |Vf i |2 1 X V dω dΩ E= 2 . k ~ α (2π)3 0 c3 (ωk − ω0 )2 + (γ/2)2 Ïîâåðíåìîñü äî ñòàëî¨ çàãàñàííÿ: Z ∞ Z ωk2 2π X V γ = dωk 3 dΩ |Vf i |2 δ(ωk − ω0 ) ~2 α (2π)3 0 c

=

Z 2 2π X V 2 ω0 , dΩ |V | fi ~2 α (2π)3 c3

ìàòðè÷íèé åëåìåíò áåðåìî òóò ïðè ωk = ω0 . Òåïåð åíåð iÿ Z ∞ 1 γ E= . dωk ~ωk 2π 0 (ωk − ω0 )2 + (γ/2)2

Çàâäÿêè òîìó, ùî γ ¹ ìàëîþ âåëè÷èíîþ, ìîæåìî çàïèñàòè: Z ∞ γ 1 dω ~ω0 , E= 2 2π 0 (ω − ω0 ) + (γ/2)2 528

ïðè÷îìó âåëè÷èíó γ áåðåìî ïðè ðåçîíàíñíié ÷àñòîòi ω0 . Ïîâíà åíåð iÿ Z ∞ Eω dω, E= 0

äå ñïåêòðàëüíà óíêöiÿ Eω ìà¹ âèãëÿä êîíòóðà Ëîðåíöà (äèâ. ðèñ. 56á):

Eω = ~ω0

γ/2π . (ω − ω0 )2 + (γ/2)2

Ïðè γ → 0 êîíòóð Ëîðåíöà ñòà¹ äåëüòàïîäiáíèì:

Eω = ~ω0 δ(ω − ω0 ). Çðîçóìiëî, ùî ïîâíà åíåð iÿ ïîâèííà äîðiâíþâàòè åíåð i¨ îòîíà ~ω0 : Z ∞ E= Eω dω = ~ω0 . 0

Ó öüîìó ëåãêî ïåðåêîíàòèñü

Z

∞

γ/2π dω = ~ω0 ~ω0 E = (ω − ω0 )2 + (γ/2)2 0 Z ∞ γ/2π ≃ ~ω0 2 dx = ~ω0 . 2 −∞ x + (γ/2)

Z

∞

−ω0

γ/2π dx x2 + (γ/2)2

Íèæíþ ìåæó, çâàæàþ÷è íà øâèäêå ñïàäàííÿ ïiäiíòå ðàëüíî¨ óíêöi¨, ìè ïîøèðèëè íà (−∞). Çíàéäåíi îðìóëè ïîâíiñòþ çáiãàþòüñÿ ç âiäïîâiäíèìè âèðàçàìè åíîìåíîëîãi÷íîãî ïiäõîäó i ñòðîãî îá ðóíòîâóþòü âèñíîâêè, çðîáëåíi íà ¨õíié îñíîâi. Êðiì òîãî, ìè ïîáà÷èëè, ÿêèì ÷èíîì, âiäáèðàþ÷è ëèøå ïåâíi ðîçâ'ÿçêè çâîðîòíîãî â ÷àñi ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ìîæíà îïèñóâàòè íåçâîðîòíi ïðîöåñè. 34

I. Î. Âàêàð÷óê

529

Âiäñòóï.

iâíÿííÿ çàãàñàþ÷îãî îñöèëÿòîðà îïèñó¹ öiëèé ðÿä öiêàâèõ ÿâèù, i íå ëèøå ó içèöi. Íàïðèêëàä, õàðàêòåðíîþ ðèñîþ áiîëîãi÷íèõ, ïñèõîëîãi÷íèõ i ñîöiàëüíèõ ÿâèù òàêîæ ¹ ¨õíÿ ïåðiîäè÷íiñòü. Ïðè÷îìó âèíÿòêîâó ðîëü ïðè öüîìó âiäiãðà¹ ïàì'ÿòü ó íàéøèðøîìó ¨¨ ðîçóìiííi (òîáòî âëàñòèâiñòü çàïèñóâàòè, íàêîïè÷óâàòè, çáåðiãàòè òà âiäòâîðþâàòè iíîðìàöiþ). Ñàìå âîíà çóìîâëþ¹ ïîâòîðþâàíiñòü òèõ ÷è iíøèõ ïîäié. Çíà÷íîþ ìiðîþ áóäü-ÿêå ÿâèùå ñïðè÷èíþ¹òüñÿ iíîðìîâàíiñòþ (àáî íåiíîðìîâàíiñòþ) ïðî ïàðàìåòðè, ùî âèçíà÷àþòü ñòàí ñèñòåìè. Iíòó¨òèâíî çðîçóìiëî i áåç çíàííÿ ìåõàíiçìó, ÿêèé çàïóñêà¹ ïðîöåñ ïðèéíÿòòÿ ðiøåíü, ùî âîíè áóäóòü òèì ÿêiñíiøèìè, ÷èì áiëüøó êiëüêiñòü iíîðìàöi¨ áåðóòü äî óâàãè. ßêùî ÷åðåç ∆ = ∆(t) ïîçíà÷èòè íåñòà÷ó iíîðìàöi¨ (íåiíîðìîâàíiñòü) ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t, òî ¨¨ çìåíøåííÿ ç ÷àñîì çàìîìåíò, òàê i âiä óñiõ ïîïåðåäíiõ, ëåæèòü ÿê âiä ñàìî¨ R t ∆ â öåé ′ òîáòî âiä ïàì'ÿòi: t0 K(t, t )∆(t′ )dt′ , äå t0 íåñóòò¹âèé äëÿ íàñ ïî÷àòêîâèé ìîìåíò, à ÿäðî K çàëåæèòü âiä êîíêðåòíîãî ìåõàíiçìó ïàì'ÿòi (íàäàëi ââàæà¹ìî éîãî ñòàëîþ âåëè÷èíîþ). Ó ëiíiéíîìó íàáëèæåííi çà öèìè âåëè÷èíàìè ðiâíÿííÿ äëÿ çìåíøåííÿ ∆ â ÷àñi ìîæåìî çàïèñàòè â òàêîìó âèãëÿäi: Z t ˙ −∆(t) =K ∆(t′ ) dt′ + K1 ∆(t). t0

Äèåðåíöiþþ÷è éîãî çà t, îòðèìà¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ çàãàñàþ÷èõ êîëèâàíü ëiíiéíîãî îñöèëÿòîðà:

¨ + K1 ∆ ˙ + K∆ = 0. ∆ Ïðè äîñòàòíüî äîáðié ïàì'ÿòi, êîëè K > (K1 /2)2 , ìà¹ìî îñöèëþþ÷èé ðîçâ'ÿçîê K1

∆ = ∆0 e− 2 t sin(ωt + δ), p ω = K − (K1 /2)2 ,

äå δ ïî÷àòêîâà àçà, tg(ωt0 + δ) = −2ω/K1 , à ∆0 çíàõîäèìî çà ïî÷àòêîâèì çíà÷åííÿì ∆(t0 ). åàëiñòè÷íiøå ïðèïóñòèòè, ùî âíåñîê âiä äàëåêîãî ìèíóëîãî ¹ ìåíøèì, íiæ âiä ÷àñiâ, áëèçüêèõ 530

äî t, i âèáðàòè ÿäðî K ïðîïîðöiéíèì, íàïðèêëàä äî âåëè÷èíè ′ e−p(t−t ) , p ≥ 0. Îäíàê öå ëèøå ïåðåíîðìó¹ ÷àñòîòó, äåêðåìåíò çàãàñàííÿ òà ïî÷àòêîâó àçó i íå âïëèíå íà ÿêiñíi âèñíîâêè. Ìîæíà íàâàæèòèñü çà äîïîìîãîþ öüîãî ðiâíÿííÿ çðîáèòè ñïðîáó iíòåðïðåòàöi¨ äåÿêèõ ÿâèù. Íàïðèêëàä, ÿêùî ïiä iíîðìàöi¹þ ðîçóìiòè âçà¹ìíî íå àòèâíó iíîðìàöiþ â ïîäðóæíüîìó æèòòi, òî ìè çíàéäåìî ïîÿñíåííÿ ïåðiîäè÷íîñòi ðîçëó÷åíü. Ïåðiîäè÷íiñòþ ìîäè íà áóäü-ùî â ëþäñüêîìó æèòòi, ÿê i, çðåøòîþ, öèêëi÷íiñòþ õàðàêòåðíèõ ðèñ ó äåðæàâíîìó æèòòi, ìè òàêîæ çîáîâ'ÿçàíi ïàì'ÿòi. Åêñòðåìàëüíi ÷àñîâi òî÷êè tn âåëè÷èíè ∆ íàáëèæåíî ìîæíà îöiíèòè ç ðiâíÿííÿ ωt + δ = 2πn, n = 0, 1, 2, 3, . . . (òî÷íå ðiâíÿííÿ íà åêñòðåìóì ∆ ëèøå çñóâà¹ ïî÷àòêîâó àçó). Îòæå, tn = t0 + 2πnt∗ , äå t0 äåÿêèé õàðàêòåðíèé ïî÷àòêîâèé ÷àñ, à t∗ öå íàòóðàëüíà, òîáòî ïðèðîäíà, îäèíèöÿ âèìiðó ÷àñó: îäíà äîáà àáî îäèí ðiê (âåëè÷èíè, ïîâ'ÿçàíi ç ðóõîì Çåìëi), ÷àñ ïðàâëiííÿ ìîíàðõà (ñóìiðíèé iç ñåðåäíiì âiêîì æèòòÿ ëþäèíè), ÷àñîâà äèñòàíöiÿ ìiæ ïîêîëiííÿìè i ò.ï. Âàæëèâî, ùî â öèõ íàòóðàëüíèõ îäèíèöÿõ t∗ ïåðiîäè÷íiñòü ÿâèù äîðiâíþ¹ 2π . ×èòà÷ ñàì ìîæå ëåãêî ïîìiòèòè öå ÷èñëî (6 ÷ 7) ó áàãàòüîõ ÿâèùàõ. Öiêàâèì ¹ ïðèêëàä ç iñòîði¨ Ëüâîâà XVII ñòîëiòòÿ, ÿê ìiùàíè, ùîá çáåðåãòè ñâî¹ ìiñòî âiä ðóéíàöi¨, â öåé íåñïîêiéíèé ÷àñ áàãàòîðàçîâî ïëàòèëè âèêóïè ç ïåðiîäîì ó 9 ðîêiâ (t∗ ≃ 1.5 ðîêó). 65. Êâàíòîâà òåîðiÿ äèñïåðñi¨ ñâiòëà

Îäíi¹þ iç çàäà÷ òåîði¨ äèñïåðñi¨, àáî òåîði¨ ðîçñiÿííÿ ñâiòëà, ¹ ðîçðàõóíîê çàëåæíîñòi ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ ðå÷îâèíè n âiä ÷àñòîòè ñâiòëà ω : n = n(ω). Åëåêòðîìàãíiòíà õâèëÿ, ùî ïàäà¹ íà àòîì, iíäóêó¹ â íüîìó åëåêòðè÷íèé äèïîëüíèé ìîìåíò, i â ñèñòåìi àòîìiâ âèíèêà¹ ïîëÿðèçàöiÿ. Âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨ P öå ñåðåäíié äèïîëüíèé ìîìåíò òiëà, ðîçðàõîâàíèé íà îäèíèöþ îá'¹ìó. Ç åëåêòðîäèíàìiêè ñóöiëüíîãî içîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà äîáðå âiäîìèé çâ'ÿçîê ìiæ âåêòîðîì ïîëÿðèçàöi¨ òà ñåðåäíiì çíà÷åííÿì íàïðóæåíîñòi ìàêðîñêîïi÷íîãî ïîëÿ E â ñåðåäîâèùi:

εE = E + 4πP, 34*

531

äå ε äiåëåêòðè÷íà ïðîíèêíiñòü. Äëÿ içîòðîïíîãî òiëà â ëiíiéíîìó íàáëèæåííi âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨ P ïðîïîðöiéíèé äî âåêòîðà íàïðóæåíîñòi ïîëÿ E :

P = αE, âåëè÷èíó α íàçèâàþòü ïîëÿðèçîâàíiñòþ òiëà. Îòæå,

ε = 1 + 4πα, à ç òåîði¨ Ìàêñâåëëà ìà¹ìî çâ'ÿçîê ìiæ äiåëåêòðè÷íîþ ïðîíèêíiñòþ òà ïîêàçíèêîì çàëîìëåííÿ ε = n2 . Òàêèì ÷èíîì,

n2 = 1 + 4πα. Óçàãàëi êàæó÷è, öåé âèðàç âèçíà÷à¹ ïîêàçíèê çàëîìëåííÿ äëÿ ðîçðiäæåíèõ ñèñòåì. Äëÿ ãóñòèõ ñèñòåì íåîáõiäíî âðàõîâóâàòè ëîêàëüíå ïîëå, ó ðåçóëüòàòi ÷îãî îòðèìó¹ìî äîáðå âiäîìèé çâ'ÿçîê:

4π n2 − 1 = α n2 + 2 3 îðìóëà ÊëàóçióñàÌîñîòòi. Äëÿ àíiçîòðîïíîãî ñåðåäîâèùà âåëè÷èíà α ¹ òåíçîðîì. Äëÿ ðîçðàõóíêó ïîëÿðèçîâàíîñòi α, ÿê âèïëèâà¹ ç ¨¨ îçíà÷åííÿ, íàì íåîáõiäíî çíàéòè äèïîëüíèé ìîìåíò ñèñòåìè N àòîìiâ

P=

N hdi, V

äå hdi ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòó àòîìà

d = e r. Äëÿ ñïðîùåííÿ ìè ðîçãëÿäà¹ìî îäíîåëåêòðîííèé àòîì òàê, ùî r öå ðàäióñ-âåêòîð åëåêòðîíà, çàðÿä ÿêîãî e = −|e|, òîìó ˆ a , òî d = −|e|r. ßêùî ãàìiëüòîíiàí içîëüîâàíîãî àòîìà äîðiâíþ¹ H ïðè íàÿâíîñòi ïîëÿ ãàìiëüòîíiàí

ˆ =H ˆ a + Vˆ , H äå

532

e Vˆ = − (Aˆ p) mc

îïåðàòîð âçà¹ìîäi¨ àòîìà ç ïîëåì. Ìè íåõòó¹ìî â îïåðàòîði âçà¹ìîäi¨ ÷ëåíîì, ïðîïîðöiéíèì äî A2 , ÿê âåëè÷èíîþ äðóãîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè. Íåõàé íà àòîì ïàäà¹ ìîíîõðîìàòè÷íå ñâiòëî ÷àñòîòè ω . Ïîëå ââàæà¹ìî çàäàíèì, òîáòî â öüîìó âèïàäêó ñòàí ïîëÿ íå çìiíþ¹òüñÿ. Iíàêøå êàæó÷è, ìîâà íå éäå ïðî îïåðàöi¨ çíèùåííÿ òà ïîðîäæåííÿ îòîíiâ, i òîìó âåêòîðíèé ïîòåíöiàë A ââàæàòèìåìî êëàñè÷íîþ âåëè÷èíîþ. ×îìó i çà ÿêèõ óìîâ ìè ìà¹ìî ïðàâî ðîçãëÿäàòè A ÿê êëàñè÷íó âåëè÷èíó? Ïîêàæåìî, ùî, ç êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ïîãëÿäó, öå îçíà÷à¹, ùî ìè ìà¹ìî ìàêðîñêîïi÷íå ÷èñëî îòîíiâ Nk,α ç ÷àñòîòîþ ω = ωk = kc, õâèëüîâèì âåêòîðîì k i ïîëÿðèçàöi¹þ α. Ìîæíà ãîâîðèòè ïðî ñâî¹ðiäíó êîíäåíñàöiþ îòîíiâ ó öüîìó ñòàíi: Nk,α ≫ 1. Ìàêðîñêîïi÷íiñòü ÷èñëà îòîíiâ îçíà÷à¹, ùî ¨õíÿ ãóñòèíà ¹ âåëè÷èíîþ ñòàëîþ ïðè ïðÿìóâàííi îá'¹ìó äî áåçìåæíîñòi, êîëè

Nk,α = const, V

V → ∞.

Ó öüîìó âèïàäêó äëÿ ñåðåäíiõ çíà÷åíü äîáóòêiâ îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ îòîíiâ ìà¹ìî:

ˆ+ B ˆ ˆk,α B ˆ + i − hB hB k,α k,α i = 1, k,α ˆ+ B ˆ àáî, âðàõîâóþ÷è, ùî Nk,α = hB k,α k,α i, îòðèìà¹ìî ˆk,α B ˆ+ i hB k,α V

i â ìåæi V → ∞

ˆk,α B ˆ+ i hB k,α V

=

=

Nk,α 1 + V V

Nk,α = const. V

Öå îçíà÷à¹, ùî

ˆk,α B ˆ + i = hB ˆ+ B ˆ hB k,α k,α k,α i i, òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, ¨õ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê êëàñè÷íi âåëè÷èíè: p à îòæå, p ˆk,α ∼ Nk,α , B ˆ + ∼ Nk,α . Ìè äîõîäèìî âèñíîâêó, ùî ïðè B k,α

533

ìàêðîñêîïi÷íîìó çàïîâíåííi îòîíàìè ïåâíîãî ñòàíó (k, α) åëåêòðîìàãíiòíå ïîëå ìîæíà îïèñóâàòè êëàñè÷íîþ ìîâîþ. Îïåðàòîð âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó äëÿ âiäïîâiäíî¨ ìîäè ïîëÿ s o n 2πc2 ~ ˆk,α + e−ikr B ˆ+ ek,α eikr B A= k,α V ωk

çàïèñó¹ìî ç óðàõóâàííÿì ÷àñîâî¨ çàëåæíîñòi p âiä ãàéçåíáåð iâñüˆk,α = eiδ Nk,α e−iωt , B ˆ+ = êîãî çîáðàæåííÿ îïåðàòîðiâ B k,α p e−iδ Nk,α eiωt (δ äåÿêà ïî÷àòêîâà àçà) ÿê êëàñè÷íó âåëè÷èíó:

A0 −iωt A∗0 iωt e + e , 2 2 r 2πc2 ~Nk,α iδ A0 = 2e ek,α eikr . Vω Ìè ðîçãëÿäà¹ìî âèïàäîê äèïîëüíîãî íàáëèæåííÿ, êîëè äîâæèíà õâèëi , λ ∼ 1000 A kr ∼ ka = 2πa/λ ≪ 1, A =

äå a äîâæèíà ïîðÿäêó ëiíiéíèõ ðîçìiðiâ àòîìà. Òîìó eikr ≃ 1 + · · ·, i îòæå, â äîâãîõâèëüîâîìó íàáëèæåííi àìïëiòóäà õâèëi A0 íå ìiíÿ¹òüñÿ, ÿêùî r çìiíþ¹òüñÿ â ìåæàõ àòîìà. Òàêèì ÷èíîì, âåëè÷èíó A0 ââàæà¹ìî ñòàëîþ. Íåõàé i

(0)

ψn(0) (r, t) = e− ~ En t ψn(0) (r) ¹ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ n-ãî ñòàöiîíàðíîãî ñòàíó içîëüîâàíîãî àòîìà. Õâèëüîâó óíêöiþ àòîìà â åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi øóêà¹ìî çà íåñòàöiîíàðíîþ òåîði¹þ çáóðåíü. Ó ïåðøîìó íàáëèæåííi X (1) (0) ψn (r, t) = ψn(0) (r, t) + Ckn ψk (r, t), k(k6=n)

(1)

Ckn

=

1 i~

Z

(0)

ωkn = 534

1 V˜kn (t)dt = i~ (0)

Ek − En , ~

Z

Vkn (t)eiωkn t dt,

à ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåííÿ e e e hk|Aˆ p|ni = − Ahk|ˆ p|ni = − Apkn . Vkn (t) = hk|Vˆ |ni = − mc mc mc Áóäåìî øóêàòè ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòó àòîìà äëÿ n-ãî êâàíòîâîãî ñòàíó: Z hdi = dnn = hn|d|ni = ψn∗ (r, t)erψn (r, t) dr

= d(0) nn +

X h

k(k6=n)

i (1) (1)∗ Ckn ernk eiωnk t + Ckn erkn eiωkn t + . . .

(1)

Òóò êðàïêàìè ïîçíà÷åíî äîäàíîê, ïðîïîðöiéíèé äî êâàäðàòà Ckn . Îñêiëüêè ìè ïðàöþ¹ìî â ëiíiéíîìó íàáëèæåííi çà îïåðàòîðîì çáóðåííÿ Vˆ i íå áåðåìî â íüîìó äî óâàãè ÷ëåí, ïðîïîðöiéíèé äî A2 , òî (1) î÷åâèäíî, ùî i êâàäðàòè÷íèé äîäàíîê çà Ckn ó âèðàçi äëÿ hdi, ÿê âåëè÷èíó äðóãîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè, íàäàëi íå âðàõîâó¹ìî. Ñåðåä(0) í¹ çíà÷åííÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòó íåçáóðåíîãî àòîìà dnn ¹ ñòàëîþ âåëè÷èíîþ i äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié ïåâíî¨ ïàðíîñòi, ÿê ìè áà÷è(0) ëè â òåîði¨ ååêòó Øòàðêà, äîðiâíþ¹ íóëåâi, dnn = 0. Êðiì òîãî, ìè öiêàâèìîñü ëèøå äèïîëüíèì ìîìåíòîì, iíäóêîâàíèì çîâíiøíiì ïîëåì. Òàêèì ÷èíîì, i X h (1) dnn = ernk Ckn eiωnk t + ê.ñ. , k(k6=n)

äå ÷åðåç ê. . ïîçíà÷åíà âåëè÷èíà, êîìïëåêñíî ñïðÿæåíà äî ïåðøîãî ÷ëåíà. Äàëi çíàõîäèìî Z 1 e (A∗0 pkn ) iωt (1) iωkn t (A0 pkn ) −iωt Ckn = − e e + e dt i~ mc 2 2 (A∗0 pkn ) eiωkn t+iωt 1 e (A0 pkn ) eiωkn t−iωt − + + 0. = i~ mc 2 i(ωkn − ω) 2 i(ωkn + ω)

Ìè òóò îïóñòèëè ñòàëó iíòå ðóâàííÿ (ïîçíà÷åíó íóëåì), òîáòî âíåñîê âiä íèæíüî¨ ìåæi t0 , óâàæàþ÷è, ùî çáóðåííÿ ïðè t = t0 äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ìîæíà ñêîðèñòàòèñü i òàê çâàíîþ àäiàáàòè÷íîþ 535

ãiïîòåçîþ, çãiäíî ç ÿêîþ âìèêàííÿ çáóðåííÿ âiäáóâà¹òüñÿ ïîñòóïîâî: âiä íóëÿ â äàëåêîìó ìèíóëîìó, t0 = −∞, äî éîãî ñêií÷åííîãî çíà÷åííÿ â ìîìåíò ÷àñó t. Òåïåð (A0 pkn ) −iωt 1 e2 X rnk e dnn = mc~ 2 ωkn − ω k(k6=n)

+

=

(A∗0 pkn ) iωt 1 e + ê.ñ. 2 ωkn + ω −iωt e rnk (A0 pkn ) r∗nk (A0 p∗kn ) e2 X + + ê.ñ. . ~mc 2 ωkn − ω ωkn + ω k(k6=n)

Ïåðåïèøåìî öåé âèðàç ÷åðåç àìïëiòóäó íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çàìiñòü àìïëiòóäè âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó A0 . Äëÿ öüîãî íàãàäà¹ìî, ùî

1 1 ˙ =− E=− A c c Îòæå,

A∗0 iωt A0 −iωt e + iω e −iω . 2 2

E 0 −iωt E ∗0 iωt e + e , 2 2 äå àìïëiòóäà íàïðóæåíîñòi E=

E0 =

iωA0 , c

A0 = E 0

c . iω

Êðiì òîãî,

pkn = mr˙ kn = imωkn rkn i

r∗kn = rnk . Ç óâàãè íà öå, −iωt e2 X e ωkn (E 0 rnk ) (E 0 rkn ) dnn = − rkn rnk + ê.ñ. . ~ 2 ω ωkn − ω ωkn + ω k(k6=n)

536

îçïèøåìî òåïåð âåêòîðè çà êîìïîíåíòàìè i ïðàâó ÷àñòèíó öi¹¨ ðiâíîñòi çîáðàçèìî ÿê ïîäâî¹íó äiéñíó ÷àñòèíó:   µ ν   X e2 X ωkn xµ xν x x nk kn − kn nk E0ν , dµnn = Re e−iωt   ~ ω ωkn − ω ωkn + ω ν k(k6=n)

ïðè÷îìó iíäåêñè ν, µ = (x, y, z). Óâåäåìî îçíà÷åííÿ òåíçîðà àòîìíî¨ ïîëÿðèçîâàíîñòi βµν : ) ( X βµν e−iωt E0ν . dµnn = Re ν

Îòæå, âèõîäèòü, ùî

βµν

µ xµkn xνnk e2 X ωkn xnk xνkn = − , ~ ω ωkn − ω ωkn + ω k(k6=n)

à òåíçîð ïîëÿðèçîâàíîñòi ñèñòåìè:

αµν =

N βµν . V

îçãëÿíåìî íàéïðîñòiøèé âèïàäîê, êîëè êîîðäèíàòíi îñi íàïðÿìëåíi âçäîâæ ãîëîâíèõ îñåé òåíçîðà ïîëÿðèçîâàíîñòi, βµν ∼ δµν : e2 X ωkn 1 1 2 βxx = |xnk | − , ~ ω ωkn − ω ωkn + ω k(k6=n)

àáî

βxx = 2

e2 X ωkn |xnk |2 2 − ω2 . ~ ωkn k(k6=n)

ßêùî â öüîìó âèðàçi x çàìiíèòè íà y , îòðèìà¹ìî βyy , à çàìiíà x íà z äà¹ βzz . Óâåäåìî âåëè÷èíó, ÿêó íàçèâàþòü ñèëà îñöèëÿòîðà:

fkn =

2mωkn |xkn |2 . ~ 537

Òîäi

βxx =

e2 X fkn . 2 m ωkn − ω 2 k(k6=n)

Äëÿ içîòðîïíîãî ðîçðiäæåíîãî ñåðåäîâèùà, ç ÿêîãî ìè ïî÷èíàëè íàø ðîçãëÿä, ïîëÿðèçîâàíiñòü ¹ ñêàëÿðîì β = βxx = βyy = βzz , i ìè îòðèìó¹ìî äëÿ ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ10 : 4πe2 N X fkn n2 = 1 + . 2 mV ωkn − ω 2 k(k6=n)

Öåé âèðàç ïîâíiñòþ âiäïîâiäà¹ êëàñè÷íié îðìóëi äëÿ ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ, ïðè÷îìó âåëè÷èíó fkn òåæ íàçèâàþòü ñèëîþ îñöèëÿòîðà, ÿêà ìà¹ çìiñò êiëüêîñòi îïòè÷íèõ åëåêòðîíiâ iç âëàñíîþ ÷àñòîòîþ êîëèâàíü ωkn . Äîñëiä ïîêàçóâàâ, îäíàê, ùî öå ÷èñëî ¹ ìåíøèì çà îäèíèöþ. Êâàíòîâà ìåõàíiêà äà¹ ïðîñòå ïîÿñíåííÿ öüîìó. Âåëè÷èíè fkn ó êâàíòîâié ìåõàíiöi âæå íå ¹ öiëèìè ÷èñëàìè, êðiì òîãî, âîíè ìîæóòü áóòè ÿê äîäàòíèìè, òàê i âiä'¹ìíèìè ÷èñëàìè çàëåæíî âiä çíàêà ÷àñòîòè ïåðåõîäó ωkn . Ëåãêî äîâåñòè, ùî ¨õíÿ ñóìà çà ïåðøèì iíäåêñîì äîðiâíþ¹ îäèíèöi. Ñïðàâäi, Xm X X 2m ωkn |xkn |2 = (ωkn xkn xnk − ωnk xnk xkn ) fkn = ~ ~ k

=

k

k

X 1 1 (xnk pkn − pnk xkn ) = hn|xˆ p − pˆx|ni = hn|ni = 1, i~ i~ k

òóò pˆ ¹ x-êîìïîíåíòîþ îïåðàòîðà iìïóëüñó åëåêòðîíà. Îòæå, ìè îòðèìàëè òàê çâàíå ïðàâèëî ñóì äëÿ ñèë îñöèëÿòîðiâ (òåîðåìà ÒîìàñààéõåÊóíà): X fkn = 1. k

Íà ðèñ. 57 çîáðàæåíà ÷àñòîòíà çàëåæíiñòü ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ â äiëÿíöi ðåçîíàíñíèõ ÷àñòîò äëÿ äîäàòíî¨ (fkn > 0) äèñïåðñi¨ òà âiä'¹ìíî¨ (fkn < 0), êîëè àòîì çíàõîäèòüñÿ â çáóäæåíîìó 10

Ñïîäiâà¹ìîñü, ùî ÷èòà÷ íå áóäå ïëóòàòè íóìåðàöiþ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó çíà÷êîì n iç ïîçíà÷åííÿì ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ ëiòåðîþ n.

538

(0)

(0)

ñòàíi: Ek < En . ßêùî àòîì ïåðåáóâà¹ â îñíîâíîìó ñòàíi, òî î÷åâèäíî âñi fkn > 0.

èñ. 57. Ïîâåäiíêà ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ â äiëÿíöi ðåçîíàíñíèõ ÷àñòîò: à äîäàòíà äèñïåðñiÿ; á âiä'¹ìíà äèñïåðñiÿ.

Öiêàâî, ùî êîëè àòîìè ñåðåäîâèùà ìîäåëþâàòè ãàðìîíi÷íèìè îñöèëÿòîðàìè ç ÷àñòîòîþ ω0 , òî ïîêàçíèê çàëîìëåííÿ ïiñëÿ ïiäñóìîâóâàííÿ çà iíäåêñîì êiíöåâèõ ñòàíiâ k íàáèðà¹ êëàñè÷íîãî âèãëÿäó (áåç ÿâèùà âiä'¹ìíî¨ äèñïåðñi¨)11 :

n2 = 1 +

1 4πe2 N . mV ω02 − ω 2

Êîëè ñèñòåìà àòîìiâ çíàõîäèòüñÿ â òåðìîäèíàìi÷íî ðiâíîâàæíîìó ñòàíi ïðè òåìïåðàòóði T , òî éìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ àòîìà (0) â ïî÷àòêîâîìó ñòàíi ç åíåð i¹þ En çàäà¹òüñÿ ðîçïîäiëîì Áîëüöìàíà (0)

e−En ρn = Z

/T

,

äå ñòàòèñòè÷íà ñóìà

Z=

X

(0)

e−En

/T

.

n

11

Ñèëè îñöèëÿòîðà ðîçðàõîâàíî â ïðèêëàäi äî öüîãî ïàðàãðàà.

539

Çà îçíà÷åííÿì, òåðìîäèíàìi÷íå ñåðåäí¹ iíäóêîâàíîãî ïîëåì äèïîëüíîãî ìîìåíòó X hdi = ρn dnn . n

Äëÿ ïîëÿðèçîâàíîñòi α òåïåð çíàõîäèìî: X N e2 X fkn α= ρn . 2 V m n ωkn − ω 2 k(k6=n)

Çâiäñè ìîæíà îòðèìàòè òåìïåðàòóðíó çàëåæíiñòü äëÿ ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ. Â îêîëi ðåçîíàíñíèõ ÷àñòîò ω = ωkn îäåðæàíi âèðàçè, ÿê áà÷èìî, íå ïðàöþþòü, îñêiëüêè â çíàìåííèêó îòðèìó¹ìî íóëi. Ïðè÷èíà öüîãî ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî ìè ðîçãëÿäà¹ìî àòîìíi ñòàíè ÿê ñòàöiîíàðíi. Äëÿ òîãî ùîá ïðàöþâàòè â îêîëi ðåçîíàíñíî¨ ÷àñòîòè, ìè ìóñèìî âçÿòè äî óâàãè ÷àñ æèòòÿ àòîìiâ ó çáóäæåíèõ ñòàíàõ, óðàõóâàâøè, ùî íåìà¹ ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ, à ¹ ëèøå êâàçiñòàöiîíàðíi. Öå ëåãêî çðîáèòè çàìiíîþ ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ êâàçiñòàöiîíàðíèìè, à ñàìå: i

(0)

ψn(0) (r, t) = e− ~ En t ψn (r) íà (0)

i

ψn(0) (r, t) = e− ~ En

t− γ2n t

(0)

i

ψn (r) = e− ~ (En

−i~γn /2)t

ψn (r),

òà äëÿ ñïðÿæåíèõ óíêöié (0)∗

ψk

i

(0)

(r, t) = e ~ Ek t ψk∗ (r)

íà (0)∗

ψk

i

(0)

(r, t) = e ~ Ek

t−

γk 2

t ∗ ψk (r)

i

(0)

= e ~ (Ek

+i~γk /2)t

ψk∗ (r),

äå γk , γn ñòàëi çàãàñàííÿ äëÿ ñòàíiâ ç iíäåêñàìè k òà n. Ó ðåçóëüòàòi, ïîâòîðèâøè ïîïåðåäíi âèêëàäêè, äëÿ àòîìíî¨ ïîëÿðèçîâàíîñòi çíàõîäèìî e2 X ωkn 1 1 2 βxx = |xkn | − , ~ ω ωkn − ω − i(γ/2) ωkn + ω + i(γ/2) k(k6=n)

540

äå γ = γk + γn . Çðîçóìiëî, ùî β i α â öüîìó âèïàäêó ¹ êîìïëåêñíèìè âåëè÷èíàìè:

α = α′ + iα′′ , e2 N α = 2mωV ′

πe2 N α = 2mωV ′′

X X

fkn

ωkn − ω ωkn + ω − , (ωkn − ω)2 + (γ/2)2 (ωkn + ω)2 + (γ/2)2

fkn

γ/2π γ/2π + . (ωkn − ω)2 + (γ/2)2 (ωkn + ω)2 + (γ/2)2

k(k6=n)

k(k6=n)

Êîìïëåêñíèì ¹ i ïîêàçíèê çàëîìëåííÿ

n = n′ + in′′ , n2 = 1 + 4π(α′ + iα′′ ), (n′ )2 − (n′′ )2 = 1 + 4πα′ , n′′ =

2πα′′ . n′

ßê áà÷èìî, â îêîëi ðåçîíàíñíî¨ ÷àñòîòè âåëè÷èíè α′ òà α′′ , à ç íèìè é ïîêàçíèê çàëîìëåííÿ, ìàþòü ñêií÷åííi çíà÷åííÿ. Êîìïëåêñíèé õàðàêòåð ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ ëåãêî iíòåðïðåòóâàòè. Ó ìiðó ïðîõîäæåííÿ ñâiòëà ÷åðåç ðå÷îâèíó éîãî iíòåíñèâíiñòü çìåíøó¹òüñÿ. ßêùî ñâiòëî ïîøèðþ¹òüñÿ, íàïðèêëàä, óçäîâæ îñi z , òî àìïëiòóäà õâèëi ïðîïîðöiéíà äî ω

ω

ω

′

ω

′′

eikz = ei v z = ei c zn = ei c zn e− c zn , äå v = c/n øâèäêiñòü ïîøèðåííÿ ñâiòëà â ñåðåäîâèùi. Çâiäñè ìîæíà çíàéòè êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ ñâiòëà äëÿ ñåðåäîâèùà ÷åðåç n′′ . Ñïðàâäi, iíòåíñèâíiñòü ñâiòëà I , ÿêà ïðîïîðöiéíà äî êâàäðàòà ìîäóëÿ àìïëiòóäè õâèëi, åêñïîíåíöiàëüíî ñïàäà¹ çi çáiëüøåííÿì z :

I = I0 e−κz , 541

äå I0 iíòåíñèâíiñòü ïàäàþ÷îãî íà ðå÷îâèíó ñâiòëà â òî÷öi z = 0, à âåëè÷èíà 2ω ′′ n κ= c ìà¹ çìiñò êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà. Îòæå,

κ=

4πωα′′ n′ c

àáî, ïiäñòàâëÿþ÷è ÿâíèé âèãëÿä óÿâíî¨ ÷àñòèíè ïîëÿðèçîâàíîñòi, ìà¹ìî: γ/2π γ/2π 2π 2 e2 N X fkn + . κ= mcn′ V (ωkn − ω)2 + (γ/2)2 (ωkn + ω)2 + (γ/2)2 k(k6=n)

Óðàõóâàííÿ òåìïåðàòóðíî¨ çàëåæíîñòi çäiéñíèìî, ÿêùî ïîìíîæèìî öåé âèðàç íà éìîâiðíiñòü ðåàëiçàöi¨ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó ρn i ïiäñóìó¹ìî çà iíäåêñîì n. Ïðè öüîìó â äðóãîìó äîäàíêó íiìi iíäåêñè ïiäñóìîâóâàííÿ ïîìiíÿ¹ìî ìiñöÿìè i ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî ωkn = −ωnk , fkn = −fnk ,

ρk /ρn = e−~ωkn /T , îñòàòî÷íî çíàõîäèìî:

κ=

2π 2 e2 N X X γ/2π ρn (1 − e−~ωkn /T )fkn . ′ mcn V n (ωkn − ω)2 + (γ/2)2 k(k6=n)

ßêùî ÷àñòîòà ω áëèçüêà äî ðåçîíàíñíî¨, òî ç óñi¹¨ ñóìè âàæëèâèì ¹ ëèøå îäèí äîäàíîê, ÿêèé íàçèâà¹òüñÿ êîåiöi¹íòîì ïîãëèíàííÿ â ñïåêòðàëüíié ëiíi¨:

κ=

γ/2π 2π 2 e2 N ρn (1 − e−~ω/T )fkn . mcn′ V (ωkn − ω)2 + (γ/2)2

Äðóãèé äîäàíîê, ÿêèé çìåíøó¹ ïîãëèíàííÿ, óðàõîâó¹ âíåñîê ó âèïðîìiíþâàííÿ ñïîíòàííèõ ïåðåõîäiâ çi çáóäæåíèõ ñòàíiâ àòîìiâ. Öåé âíåñîê, ÿê ïðàâèëî, íåñóòò¹âèé, óíàñëiäîê òîãî, ùî ~ω/T ≫ 1. ßê áà÷èìî, ïðîiëü êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ çáiãà¹òüñÿ ç ïðîiëåì ñïåêòðàëüíî¨ ëiíi¨ i ìà¹ ëîðåíöiâñüêèé õàðàêòåð. Ïëîùà ïiä 542

öèì êîíòóðîì, òîáòî iíòå ðàë çà ω , ¹ ïðîïîðöiéíîþ äî ñèëè îñöèëÿòîðà, ùî äîçâîëÿ¹ ¨¨ åêñïåðèìåíòàëüíî âèçíà÷èòè ÷åðåç âèìiðþâàííÿ êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ12 . Ïðèêëàä. Ñèëà îñöèëÿòîðà ëiíiéíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà.

÷åííÿì,

Çà îçíà-

2m ωkn |xkn |2 , ~ à äàëi áåðåìî ç 22 âèðàç äëÿ ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà îïåðàòîðà êîîðäèíàòè fkn =

r

xkn =

√ ~ √ ( n δk,n−1 + n + 1 δk,n+1 ) 2mω

i ïiäíîñèìî éîãî äî êâàäðàòà: |xkn |2 =

~ [nδk,n−1 + (n + 1)δk,n+1 ] , 2mω

ïåðåõðåñíèé äîäàíîê, çðîçóìiëî, äà¹ íóëü. Óðàõîâóþ÷è, ùî ωn−1,n = −ω, à ωn+1,n = ω , ìà¹ìî îñòàòî÷íî fkn = (n + 1)δk,n+1 − nδk,n−1 .

Ïåðåâiðèìî ïðàâèëî ñóì: X k

fkn = (n + 1) − n = 1,

à ïiäñóìîâóâàííÿ çà äðóãèì iíäåêñîì äà¹ X n

fkn = (k − 1) + 1 − (k + 1) = −1,

ÿê i ïîâèííî áóòè. 66. Ôîòîååêò

Ñèñòåìà çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê, ÿêi ïåðåáóâàþòü ó çâ'ÿçàíîìó ñòàíi, ïðè ïîãëèíàííi îòîíiâ äîñòàòíüî âèñîêî¨ åíåð i¨ ìîæå ðîçïàäàòèñü. Íàïðèêëàä, òàêèì ÿâèùåì ¹ ðîçùåïëåííÿ ÿäåð ïðè ïîãëèíàííi îòîíà, ÿêå ìà¹ íàçâó îòîðîçùåïëåííÿ, à âèðèâàííÿ 12 Ïîñëiäîâíå âèâåäåííÿ âèðàçó äëÿ êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ øëÿõîì ïîáóäîâè êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿ äëÿ îòîíiâ ïîäàíî â ïiäðó÷íèêó: I. Î. Âàêàð÷óê. Òåîðiÿ çîðÿíèõ ñïåêòðiâ. Ëüâiâ: Ëüâiâñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Iâàíà Ôðàíêà, 2002, äå íàâåäåíî òàêîæ ðîçðàõóíîê ñèë îñöèëÿòîðiâ äëÿ âîäíåâîïîäiáíèõ àòîìiâ, ñòàëî¨ çàãàñàííÿ γ , êîåiöi¹íòà ðîçñiÿííÿ, íåîáõiäíèõ äëÿ äîñëiäæåííÿ ñòðóêòóðè êîíòóðiâ ñïåêòðàëüíèõ ëiíié àòîìà.

543

åëåêòðîíiâ ç àòîìà ïiä äi¹þ îòîíà íàçèâàþòü îòîåëåêòðè÷íèì ååêòîì, àáî ïðîñòî îòîååêòîì. Ïðîöåñîì, çâîðîòíèì äî îòîååêòó (îòîéîíiçàöi¨), ¹ ðàäiàöiéíà ðåêîìáiíàöiÿ åëåêòðîíà òà éîíiçîâàíîãî àòîìà: ïðè çiòêíåííi åëåêòðîíà ç éîíîì ñèñòåìà ïåðåõîäèòü ó çâ'ÿçàíèé çáóäæåíèé ñòàí iç íàñòóïíèìè ïåðåõîäàìè ç âèïðîìiíþâàííÿì îòîíiâ ó ñòàíè ç óñå íèæ÷èìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨ àæ äî îñíîâíîãî ñòàíó.

èñ. 58.

Êâàíòîâi ïåðåõîäè ïðè îòîååêòi.

îçãëÿíüìî çàäà÷ó ðîçðàõóíêó éìîâiðíîñòi îòîååêòó. Íåõàé åëåêòðîí â àòîìi (äèâ. ðèñ. 58) ïåðåáóâà¹ â |1si-ñòàíi ç åíåð i¹þ E1s (çà êëàñèiêàöi¹þ ðåíò åíiâñüêèõ òåðìiâ öå K îáîëîíêà), à ñòàí åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ çàäà¹òüñÿ àìïëiòóäîþ |0, . . . , 0, Nk,α = 1, 0, . . .i, ÿêà îïèñó¹ íàÿâíiñòü îäíîãî îòîíà ç åíåð i¹þ ~ωk , õâèëüîâèì âåêòîðîì k i ïîëÿðèçàöi¹þ α òàê, ùî ïî÷àòêîâèé ñòàí ñèñòåìè àòîì ïëþñ ïîëå

|ii = |1si|0, . . . , 0, Nk,α = 1, 0, . . .i. Êiíöåâèé ñòàí ñèñòåìè |f i îïèñó¹ âàêóóìíèé ñòàí ïîëÿ é åëåêòðîí ó íåçâ'ÿçàíîìó ñòàíi ç åíåð i¹þ p2 /2m. Ïðè÷îìó ââàæàòèìåìî õâèëüîâó óíêöiþ åëåêòðîíà â íóëüîâîìó íàáëèæåííi ïëîñêîþ õâèëåþ. Öå îçíà÷à¹, ùî âçà¹ìîäiþ åëåêòðîíà ç éîíîì ìè ðîçãëÿäà¹ìî ÿê ìàëå çáóðåííÿ, òîáòî øâèäêiñòü åëåêòðîíà ââàæà¹ìî âåëèêîþ. Îòæå, åíåð iÿ îòîíà ¹ âåëèêîþ â ïîðiâíÿííi ç åíåð i¹þ éîíiçàöi¨. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ìè ïîâèííi áðàòè äëÿ åëåêòðîíà 544

òî÷íó õâèëüîâó óíêöiþ íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà. Òàêèì ÷èíîì:

|f i = |pi|0, . . . , 0, . . .i,

äå õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíà â êiíöåâîìó ñòàíi:

1 |pi = √ eipr/~. V Âèïèøiìî âiäïîâiäíi åíåð i¨: (0)

Ei

= E1s + E0 + ~ωk ,

p2 + E0 , 2m E0 åíåð iÿ âàêóóìó åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Ó çàãàëüíîìó âèðàçi äëÿ éìîâiðíîñòi êâàíòîâîãî ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó 2π (0) (0) wi→f = |hf |Vˆ |ii|2 δ Ef − Ei ~ â ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà âçà¹ìîäi¨ äà¹ âíåñîê ëèøå ïåðøèé äîäàíîê: (0)

Ef

=

e Vˆ = − (Aˆ p), mc îñêiëüêè ðîçãëÿäà¹ìî îäíîîòîííèé ïåðåõiä. Öåé ìàòðè÷íèé åëåìåíò ìè ðîçðàõîâóâàëè, îá÷èñëþþ÷è iíòåíñèâíiñòü âèïðîìiíþâàííÿ é ïîãëèíàííÿ ñâiòëà â 61. Òîìó, íå ïîâòîðþþ÷è öèõ âèêëàäîê, âèïèñó¹ìî ðåçóëüòàò: 2 2π e 2 2πc2 ~ ikr ˆ )|1si wi→f = hp|e (ek,α p ~ mc V ωk 2 p × δ − ~ωk − E1s . 2m Äåëüòà-óíêöiÿ çàáåçïå÷ó¹ âèêîíàííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåð i¨:

p2 − ~ωk − E1s = 0, 2m 35

I. Î. Âàêàð÷óê

545

äå E1s öå åíåð iÿ éîíiçàöi¨ àòîìà, àáî ðîáîòà âèõîäó I , óçÿòà ç îáåðíåíèì çíàêîì, E1s = −I . Îòæå, ìè îòðèìó¹ìî çàêîí îòîååêòó, ÿêèé óñòàíîâèâ Àéíøòàéí ó 1905 ðîöi:

~ωk =

p2 + I. 2m

Ïiäñóìóéìî âèðàç äëÿ éìîâiðíîñòi ïåðåõîäó çà âñiìà ìîæëèâèìè iìïóëüñàìè åëåêòðîíà, ùî âèëiòà¹ ç àòîìà:

w=

X

wi→f .

p

ßêùî öþ âåëè÷èíó ïîäiëèòè íà ãóñòèíó ïàäàþ÷îãî ïîòîêó îòîíiâ (îòîí ó íàñ îäèí) j = c/V , òî ìè îòðèìó¹ìî ïîâíèé ïåðåðiç îòîååêòó w σ= . j Ïåðåéäåìî ñòàíäàðòíèì ÷èíîì ó ðiâíÿííi äëÿ w âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà p äî iíòå ðóâàííÿ: Z V V σ= wi→f dp. c (2π~)3 Óâåäåìî äëÿ iíòå ðóâàííÿ ñåðè÷íó ñèñòåìó êîîðäèíàò: Z ∞ Z V V p2 wi→f dp. σ = dΩ c (2π~)3 0 Çâiäñè çíàõîäèìî äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç îòîååêòó: Z ∞ V V dσ = p2 wi→f dp. dΩ c (2π~)3 0 Íàì çàëèøèëîñü îá÷èñëèòè ìàòðè÷íèé åëåìåíò ikr

hp|e 546

∗ −ikr ˆ ˆ (ek,α p)|1si = h1s|e (ek,α p)|pi .

Öþ ðiâíiñòü îòðèìó¹ìî iíòå ðóâàííÿì ÷àñòèíàìè òà ç óðàõóâàííÿì óìîâè ïîïåðå÷íîñòi ïîëÿ (ek,α k) = 0. Òåïåð −ikr

h1s|e =√

ˆ )|pi = (ek,α p

1 πa3 V

(ek,α p)

Z

Z

e−r/a −ikr 1 √ ˆ ) √ eipr/~dr e (ek,α p V πa3

(ek,α p) 8πa3 e−r/a eirq dr = √ , πa3 V (1 + a2 q 2 )2

äå q = p/~ − k iìïóëüñ ïåðåäà÷i. Ìè ñêîðèñòàëèñü ÿâíèì âèðàçîì äëÿ |1si-ñòàíó âîäíåâî¨ çàäà÷i (a = aB = ~2 /me2 ), à òàêîæ ˆ. òèì, ùî ïëîñêà õâèëÿ ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà iìïóëüñó p Ïiäñòàâìî öåé ìàòðè÷íèé åëåìåíò ó âèðàç äëÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó i âèêîíàéìî, çàâäÿêè δ-óíêöi¨, iíòå ðóâàííÿ çà iìïóëüñîì p:

p2 V V 2π e 2 2πc2 ~ (ek,α p)2 (8πa3 )2 dσ = , dΩ c (2π~)3 ~ mc V ω πa3 V (1 + q 2 a2 )4 p/m ïðè÷îìó ïàì'ÿòàéìî, ùî iìïóëüñ p òà ÷àñòîòà ω ïîâ'ÿçàíi ðiâíÿííÿì Àéíøòàéíà äëÿ îòîååêòó. Îòæå, îñòàòî÷íèé âèðàç äëÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó îòîååêòó ¹ òàêèì:

(ek,α p)2 e2 dσ 3 = 32 a p . dΩ mcω~3 (1 + q 2 a2 )4 Äîñëiäèìî öåé âèðàç, âèêîíóþ÷è ñïî÷àòêó ðÿä åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü:

a2 q 2 = a2

p

2 p 2 pk + a2 k2 − 2a2 cos θ, − k = a2 ~ ~ ~

dk). Äàëi, âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ Àéíøòàéíà òóò cos θ = cos(p, i âèðàç äëÿ åíåð i¨ éîíiçàöi¨ äëÿ |1si-ñòàíó àòîìà âîäíþ I= 35*

~2 me4 e2 = = , 2a 2ma2 2~2

547

ìà¹ìî:

=

p 2

2pka2 cos θ ~ ~ v ~ω ~ω − cos θ , 1+ I 2mc2 c

1 + q 2 a2 = 1 + a2

+ a2 k2 −

äå v = p/m øâèäêiñòü îòîåëåêòðîíà. Îñêiëüêè ìè ðîçãëÿäà¹ìî íåðåëÿòèâiñòñüêèé âèïàäîê ~ω ≪ mc2 , òî äëÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó çíàõîäèìî: 4 (ek,α p)2 e2 I dσ 3 = 32 a p . v 3 4 dΩ mc ω~ (1 − c cos θ) ~ω

Îäèíè÷íèé âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨ ek,α ñïðÿìóéìî âçäîâæ îñi x, à õâèëüîâèé âåêòîð k óçäîâæ îñi z . Ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ x-êîìïîíåíòà iìïóëüñó åëåêòðîíà px = (ek,α p) = p sin θ cos ϕ, äå ϕ àçèìóòàëüíèé êóò. Îñòàòî÷íî e2 2 ap 3 I 5 sin2 θ cos2 ϕ dσ = 64 a 4 . dΩ ~c ~ ~ω 1 − vc cos θ

Îòæå, ÿê íå ïàðàäîêñàëüíî, íàéiìîâiðíiøå, ùî åëåêòðîí âèëiòà¹ â íàïðÿìêó ïîëÿðèçàöi¨ îòîíà (θ = π/2, ϕ = 0). Ó íàïðÿìêó ïîøèðåííÿ îòîíà (θ = 0) iìîâiðíiñòü âèëüîòó îòîåëåêòðîíà äîðiâíþ¹ íóëåâi. Çíàìåííèê ó âèðàçi äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó çáiëüøó¹ éìîâiðíiñòü âèëüîòó åëåêòðîíà âïåðåä çi çáiëüøåííÿì éîãî øâèäêîñòi. √ Ïðè âåëèêèõ åíåð iÿõ êâàíòà p ≃ 2m~ω i äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç dσ/dΩ ∼ (I/~ω)7/2 . Ïîâíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ (ïðè v/c ≪ 1) îòðèìà¹ìî iíòå ðóâàííÿì çà êóòàìè: 3/2 5 256 2 e2 I ~ω σ = , ~ω ≥ I, πa −1 3 ~c ~ω I

σ = 0,

~ω < I.

Ïîâíèé ïåðåðiç îòîååêòó σ äà¹ çìîãó çíàéòè êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ. Àëå öå ëèøå îäèí 548

iç ìåõàíiçìiâ ïîãëèíàííÿ. Ïiä ÷àñ ïðîõîäæåííÿ åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ ÷åðåç ðå÷îâèíó éîãî iíòåíñèâíiñòü çìåíøó¹òüñÿ âíàñëiäîê ïðîöåñiâ ÿê ïîãëèíàííÿ, òàê i ðîçñiþâàííÿ. Iñíó¹ òàê çâàíå ñåëåêòèâíå ïîãëèíàííÿ, àáî ïîãëèíàííÿ â ëiíi¨, ÿêå âiäáóâà¹òüñÿ íà ïåâíié ÷àñòîòi ïðè ïåðåõîäi ìiæ äèñêðåòíèìè ðiâíÿìè êâàíòîâî¨ ñèñòåìè (äèâ. ïîïåðåäíié ïàðàãðà), i íåïåðåðâíå ïîãëèíàííÿ. Ïîãëèíàííÿ â íåïåðåðâíîìó ñïåêòði çóìîâëåíå òðüîìà ïðîöåñàìè: îòîååêòîì, êîìïòîíiâñüêèì ðîçñiÿííÿì íà âiëüíèõ åëåêòðîíàõ òà óòâîðåííÿì åëåêòðîííî-ïîçèòðîííèõ ïàð. Êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ, ùî ìà¹ ðîçìiðíiñòü îáåðíåíî¨ äîâæèíè, ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè òðüîõ âiäïîâiäíèõ äîäàíêiâ, êîæåí ç ÿêèõ äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi ååêòèâíîãî ïåðåðiçó ïðîöåñó íà êiëüêiñòü àòîìiâ â îäèíèöi îá'¹ìó. Âíåñîê ó êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ îòîåëåêòðè÷íîãî ååêòó äëÿ N àòîìiâ ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî K -îáîëîíêà ìiñòèòü äâà åëåêòðîíè, äîðiâíþ¹ 3/2 5 I 512 2 e2 N ~ω N , ~ω ≥ I, 2σ = πa −1 κ = V 3 ~c V I ~ω

κ = 0,

~ω < I.

Çàëåæíiñòü âåëè÷èíè κ âiä ÷àñòîòè ω çîáðàæåíà íà ðèñ. 59.

èñ. 59.

Çàëåæíiñòü êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðî-

ìiíþâàííÿ âiä ÷àñòîòè.

Ìè ðîçãëÿíóëè ÿâèùå îòîååêòó íà îêðåìîìó içîëüîâàíîìó àòîìi. Äëÿ ñèñòåìè àòîìiâ îòîåëåêòðîí ó êiíöåâîìó ñòàíi çíàõîäèòüñÿ â ïîëi íå ëèøå âëàñíîãî éîíà, à âçà¹ìîäi¹ ç óñiìà íàâêîëèøíiìè àòîìàìè ÷è éîíàìè, i éîãî õâèëüîâà óíêöiÿ, âiäïî549

âiäíî äî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨, ¹ ëiíiéíîþ êîìáiíàöi¹þ ïëîñêèõ õâèëü, öåíòðîâàíèõ íà îòî÷óþ÷èõ ÷àñòèíêàõ ∼ exp[ik(Rj − r)], äå Rj êîîðäèíàòà j -îãî àòîìà îòî÷åííÿ. Çðîçóìiëî, ùî ãîëîâíó ðîëü âiäiãðà¹ íàéáëèæ÷å îòî÷åííÿ. Îòæå, äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ é êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ êâàäðàòîì ìîäóëÿ ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà, çàëåæàòèìóòü âiä âçà¹ìíîãî ðîçòàøóâàííÿ ÷àñòèíîê, ùî îòî÷óþòü öåé àòîì: P κ ∼ exp[ik(Rj − Rl )]. Öå ñïðè÷èíþ¹ îñöèëþþ÷èé õàðàêòåð çàëåæíîñòi êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ âiä ÷àñòîòè ω = kc (ðèñ. 59), ùî äà¹ çìîãó âèçíà÷àòè ïðîñòîðîâó ñòðóêòóðó íàéáëèæ÷îãî îòî÷åííÿ àòîìà, ç ÿêîãî âèëiòà¹ îòîåëåêòðîí. Íà öüîìó ðóíòó¹òüñÿ âèìiðþâàííÿ ñòðóêòóðè ìåòîäîì EXAFS-ñïåêòðîñêîïi¨ (extended X-ray absorption ne stru ture) çà ïðîòÿæíîþ òîíêîþ ñòðóêòóðîþ ñïåêòðiâ ðåíò åíiâñüêîãî ïîãëèíàííÿ. Öåé ìåòîä ðàçîì iç ìåòîäàìè ðåíò åíiâñüêî¨ òà íåéòðîííî¨ äèðàêöi¨ äà¹ çìîãó ðîçøèðîâóâàòè ñêëàäíi ñòðóêòóðè íå ëèøå òâåðäèõ òië, à, çîêðåìà, é îðãàíi÷íèõ ìîëåêóë. Êðiì òîãî, EXAFS-ìåòîä äîçâîëÿ¹ òàêîæ ïðÿìî âèìiðþâàòè ïîòåíöiàë åëåêòðîí-éîííî¨ âçà¹ìîäi¨ â êîíäåíñîâàíèõ òiëàõ. Ïðèêëàä. EXAFS-ñïåêòðîñêîïiÿ. Îöiíèìî çñóâ êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ àòîìà κ , çóìîâëåíèé çáóðåííÿì ÷àñòèíîê ñåðåäîâèùà, äëÿ ÷àñòîò, äàëåêèõ âiä êðàþ ïîãëèíàííÿ ω ≫ I/~. îçðàõîâó¹ìî ïîòðiáíèé íàì äëÿ îá÷èñëåííÿ κ ìàòðè÷íèé åëåìåíò ˆ )|p), äå êðóãëèìè äóæêàìè |p) ìè ïîçíà÷à¹ìî õâèëüîâó óíêh1s|e−ikr (ek,α p öiþ êiíöåâîãî ñòàíó åëåêòðîíà, ÿêèé ïåðåáóâà¹ íå ëèøå â ïîëi ñâîãî àòîìà, à é â îòî÷åííi çáóðþþ÷èõ ÷àñòèíîê. Çà òåîði¹þ çáóðåíü (äèâ. 45), õâèëüîâà óíêöiÿ ó ïåðøîìó íàáëèæåííi

|p) = |pi +

X p′ (p′ 6=p)

hp′ |W |pi |p′ i, − p′2 /2m

p2 /2m

äå |pi õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíà íà içîëüîâàíîìó àòîìi ç íîìåðîì a i êîîðäèíàòîþ Ra , ìè ââàæà¹ìî, ùî |pi òà |p′ i ¹ ïëîñêèìè õâèëÿìè; W åíåð iÿ âçà¹ìîäi¨ åëåêòðîíà (ç êîîðäèíàòîþ r âiäíîñíî ÿäðà ñâîãî àòîìà) P ç íàâêîëèøíiìè ÷àñòèíêàìè. Äëÿ îäíîñîðòíî¨ ñèñòåìè âåëè÷èíà W = j≥1 w(|r + Ra − Rj |), w òàê çâàíèé åêðàíîâàíèé ïñåâäîïîòåíöiàë âçà¹ìîäi¨ åëåêòðîíà ç éîíàìè, ðîçòàøîâàíèìè â òî÷êàõ Rj . Îòæå, ìàòðè÷íèé åëåìåíò ˆ )|p) = h1s|e−ikr (ek,α p ˆ )|pi h1s|e−ikr (ek,α p +

X p′ (p′ 6=p)

550

hp′ |W |pi ˆ )|p′ i. h1s|e−ikr (ek,α p p2 /2m − p′2 /2m

Çãiäíî ç îçíà÷åííÿì, êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ ïðîïîöiéíèé êâàäðàòîâi ìîäóëÿ öüîãî ìàòðè÷íîãî åëåìåíòà. Íàñ öiêàâëÿòü âåëèêi çíà÷åííÿ õâèëüîâîãî âåêòîðà k = ω/c, òîìó ç-ïiä çíàêà ñóìè çà p′ ìîæíà âèíåñòè ìàòðè÷íèé åëåìåíò ˆ )|p′ i ïðè p′ = p. Ñïðàâäi, ÿê âèäíî ç éîãî ÿâíîãî âèãëÿäó, íàh1s|e−ikr (ek,α p âåäåíîãî â òåêñòi, ïðè ~k ≫ p′ öåé ìàòðè÷íèé åëåìåíò ∼ (ek,α p′ )/ω 4 . À ç îãëÿäó íà òå, ùî ãîëîâíèé âíåñîê ïðè ïiäñóìîâóâàííi äàâàòèìóòü âåêòîðè p′ , áëèçüêi äî p (çíàìåííèê áëèçüêèé äî íóëÿ), òî çàìiíà p′ íà p ¹ ïðàâîìiðíîþ. Äîïèòëèâèé ×èòà÷, çðîáèâøè äåòàëüíiøèé àíàëiç âíåñêó êóòîâî¨ çàëåæíîñòi âåëè÷èíè (ek,α p′ ) â öåé ìàòðè÷íèé åëåìåíò, çìîæå ïåðåêîíàòèñü, ùî ïiñëÿ iíòå ðóâàííÿ çà êóòàìè îòðèìà¹ìî ðåçóëüòàò, åêâiâàëåíòíèé çàìiíi p′ íà p. Òåïåð êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ: 2 ′ X hp |W |pi , κ ≃ κ0 1 + 2 ′2 p /2m − p /2m p′ (p′ 6=p)

äå κ0 êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ içîëüîâàíîãî àòîìà, âèïèñàíèé â îñíîâíîìó òåêñòi öüîãî ïàðàãðàà. Ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî õâèëüîâó óíêöiþ |p) ìè âçÿëè â ïåðøîìó íàáëèæåííi çà åíåð i¹þ çáóðåííÿ W , ç òi¹þ æ òî÷íiñòþ ïîòðiáíî áðàòè i κ , i ó çâ'ÿçêó ç öèì äëÿ âiäíîñíîãî çñóâó êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ çíàõîäèìî χ(p) =

X κ − κ0 hp′ |W |pi = 2Re . κ0 p2 /2m − p′2 /2m ′ p (p′ 6=p)

Ìàòðè÷íèé åëåìåíò hp′ |W |pi =

X Z e−ip′ r/~ j≥1

√

V

eipr/~ wq X iq(Ra −Rj ) e , w(|r + Ra − Rj |) √ dr = V V j≥1

Z

wq =

e−iqR w(R) dR,

~q = p′ − p iìïóëüñ ïåðåäà÷i. Óçÿâøè äî óâàãè òå, ùî âèäiëåíèé àòîì iç íîìåðîì a ¹ áóäü-ÿêèì ç óñi¹¨ ñóêóïíîñòi, öåé ìàòðè÷íèé åëåìåíò ìîæíà, ïiäñóìóâàâøè çà a (a 6= j ) i ïîäiëèâøè íà êiëüêiñòü àòîìiâ N , çàïèñàòè òàê: hp′ |W |pi = wq (Sq − 1),

äå ñòðóêòóðíèé àêòîð êîíäåíñîâàíîãî òiëà N 1 X −iqRj Sq = |ρq |2 , ρq = √ e . N j=1 Òåïåð, χ(p) = 2Re

1 V

X p′ (p′ 6=p)

wq (Sq − 1) . p2 /2m − p′2 /2m

551

Ïåðåõîäèìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà p′ äî iíòå ðóâàííÿ çà q ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ, íàïðàâëÿþ÷è âiñü z óçäîâæ âåêòîðà p, i ïiñëÿ iíòå ðóâàííÿ çà àçèìóòàëüíèì êóòîì îòðèìó¹ìî 1 2π χ(p) = −2Re (2π)3 ~2

Z∞

Z1 2

q dq wq (Sq − 1)

1 dx, q 2 /2m + pqx/m

−1

0

äå x = cos θ, θ êóò ìiæ âåêòîðàìè q òà p/~. Iíòå ðóþ÷è äàëi çà x, îñòàòî÷íî çíàõîäèìî m χ(p) = − 2 2π ~p

Z∞ 0

q + 2p/~ dq. qwq (Sq − 1) ln q − 2p/~

Îñêiëüêè îñíîâíèé âíåñîê â iíòå ðàë äà¹ òî÷êà q0 = 2p/~, òî çàëåæíiñòü âåëèp ÷èíè χ(p) âiä ÷àñòîòè âèïðîìiíþâàííÿ ω (ïðèãàäàéìî, ùî p = 2m(~ω − I)) âiäñëiäêîâó¹ îñöèëÿöiéíèé õàðàêòåð ñòðóêòóðíîãî àêòîðà Sq . Îòæå, çà âiäîìèìè âåëè÷èíàìè wq òà χ(p) çâiäñè ìîæíà çíàéòè ñòðóêòóðíèé àêòîð, ùî é âèêîðèñòîâóþòü â EXAFS-ñïåêòðîñêîïi¨. Âèäiëèìî îñîáëèâó òî÷êó q0 = 2p/~, âèêîðèñòîâóþ÷è òàêèé iíòå ðàë: Z∞ 0

1 q + 2p π2 dq = ln . q q − 2p 2

Öåé âèðàç, ïîïåðåäíüî ïîìíîæåíèé íà q02 wq0 (Sq0 − 1), äîäàìî é âiäíiìåìî ó ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ äëÿ χ(p), i çíàéäåìî: χ(p) = − Z∞

mp m wq0 (Sq0 − 1) − ~3 2π 2 ~p

q 2 wq (Sq − 1) − q02 wq0 (Sq0 − 1)

× 0

1 q + 2p/~ dq. ln q q − 2p/~

Ìè î÷iêó¹ìî, ùî ãîëîâíèì òóò ¹ ïåðøèé íåiíòå ðàëüíèé äîäàíîê. Öå ðiâíÿííÿ äà¹ òàêîæ çìîãó ïðè âiäîìié çàëåæíîñòi âiäíîñíîãî çñóâó êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ âiä ÷àñòîòè òà âèçíà÷åíîãî ç íåçàëåæíèõ åêñïåðèìåíòiâ ñòðóêòóðíîãî àêòîðà çíàéòè êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åêðàíîâàíîãî ïñåâäîïîòåíöiàëó åëåêòðîí éîííî¨ âçà¹ìîäi¨.

ËÀÂÀ X ÅËßÒÈÂIÑÒÑÜÊÀ ÊÂÀÍÒÎÂÀ ÌÅÕÀÍIÊÀ

67. iâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà

Õâèëüîâå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ÿê óæå ìè çàçíà÷àëè, íå îïèñó¹ ðåëÿòèâiñòñüêèõ ååêòiâ, êîëè øâèäêîñòi ÷àñòèíîê âåëèêi é ñóìiðíi çi øâèäêiñòþ ñâiòëà. Öå âèäíî iç ñàìîãî ðiâíÿííÿ

∂ψ ˆ = Hψ, ∂t äå â íàéïðîñòiøîìó âèïàäêó äëÿ ÷àñòèíêè ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U = U (x, y, z) ãàìiëüòîíiàí 2 ˆ2 ∂ p ~2 ∂2 ∂2 ˆ H= +U =− + + + U (x, y, z; t). 2m 2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 i~

Ïî-ïåðøå, êîîðäèíàòè x, y, z i ÷àñ t, ùî ¹ ðiâíîïðàâíèìè â ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨, ó öå ðiâíÿííÿ âõîäÿòü óêðàé íåñèìåòðè÷íî. Ïî-äðóãå, âèäíî, ùî â öüîìó ðiâíÿííi íå ìîæóòü áóòè âðàõîâàíi ðåëÿòèâiñòñüêi ååêòè, îñêiëüêè â íüîãî ïðîñòî íå âõîäèòü øâèäêiñòü c. Îòæå, ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà íå ¹ iíâàðiàíòíèì ñòîñîâíî ïåðåòâîðåíü Ëîðåíöà, âîíî çàëèøà¹òüñÿ íåçìiííèì ïðè ïåðåòâîðåííÿõ àëiëåÿ. Íàøå çàâäàííÿ ïîëÿãà¹ â òîìó, ùîá óñòàíîâèòè òàêå ðiâíÿííÿ, ÿêå á çàäîâîëüíÿëî âèìîãè òåîði¨ âiäíîñíîñòi òà îñíîâíi ïðèíöèïè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Ïðè âñòàíîâëåííi õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìè ïîïåðåäíüî çâåðòàëèñü äî ðiâíÿíü êëàñè÷íî¨ içèêè, ÿêi äîïîìàãàþòü ñîðìóëþâàòè ñàìó ïðîáëåìó. Çðîáiìî òàê ñàìî òåïåð. Íàãàäàéìî, ùî ðiâíÿííÿ Íüþòîíà ¹ iíâàðiàíòíèìè ùîäî ïåðåòâîðåíü àëiëåÿ, à ðiâíÿííÿ åëåêòðîäèíàìiêè Ìàêñâåëëà ùîäî ïåðåòâîðåíü Ëîðåíöà. ßêùî ââàæàòè, ùî ïðàâèëüíèìè ¹ ðiâíÿííÿ Ìàêñâåëëà, ÿê öå çðîáèëè À. Àéíøòàéí òà À. Ïóàíêàðå, òî ðiâíÿííÿ 553

Íüþòîíà ïîòðåáó¹ çìií. Öåíòðàëüíèì ïîíÿòòÿì ó ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ ¹ òàê çâàíèé iíòåðâàë, êâàäðàò ÿêîãî

ds2 = gµν dxµ dxν , x0 = ct,

µ, ν = 0, 1, 2, 3,

x1 = x,

x2 = y,

x3 = z,

äå ìåòðè÷íèé òåíçîð gµν çàäà¹ ñïîñiá âèìiðþâàííÿ äîâæèí òà êóòiâ ó 4-âèìiðíîìó ïðîñòîði. Ó çàãàëüíié òåîði¨ âiäíîñíîñòi âåëè÷èíè gµν çàäàþòü ñòàí ðàâiòàöiéíîãî ïîëÿ i çàëåæàòü âiä ðîçïîäiëó ìàñ ó ïðîñòîði. Ó ñïåöiàëüíié òåîði¨ âiäíîñíîñòi êîìïîíåíòè ìåòðè÷íîãî òåíçîðà

g00 = 1,

g11 = g22 = g33 = −1,

gµν = 0,

µ 6= ν

i êâàäðàò iíòåðâàëó ìà¹ òàêi æ ãåîìåòðè÷íi âëàñòèâîñòi, ÿê i õâèëüîâå ðiâíÿííÿ åëåêòðîäèíàìiêè Ìàêñâåëëà, çîêðåìà âií òàêîæ ¹ ëîðåíö-iíâàðiàíòíèì:

ds2 = inv. Âèïðàâëåíi À. Àéíøòàéíîì òà À. Ïóàíêàðå, çãiäíî ç âèìîãîþ ëîðåíö-iíâàðiàíòíîñòi, ðiâíÿííÿ Íüþòîíà äëÿ ÷àñòèíêè ìàñè m ìàþòü òàêèé âèãëÿä:

p˙ = f , E˙ = fv, äå iìïóëüñ ÷àñòèíêè

p= p

v ¨¨ øâèäêiñòü; åíåð iÿ

mv 1 − v 2 /c2

E=p

mc2 1 − v 2 /c2

,

.

Ïåðøå ç öèõ ðiâíÿíü, âëàñíå, i ¹ ðiâíÿííÿì Íüþòîíà äëÿ ÷àñòèíêè, íà ÿêó äi¹ çîâíiøíÿ ñèëà f , à äðóãå öå òåîðåìà ïðî êiíåòè÷íó åíåð iþ. ßêùî åíåð iþ çàïèñàòè ÷åðåç iìïóëüñ, âèêëþ÷èâøè øâèäêiñòü, òî ìè îòðèìà¹ìî êëàñè÷íó óíêöiþ àìiëüòîíà p H = p2 c2 + m2 c4 . 554

Çäàâàëîñü áè, äàëi âñå ïðîñòî: ñòàíäàðòíèì ÷èíîì, çàìiíîþ ˆ = −i~∇ çíàõîäèìî îïåðàòîð àìiëüòîíà iìïóëüñó p íà îïåðàòîð p p ˆ = p ˆ 2 c2 + m2 c4 , H

à ç íèì i õâèëüîâå ðiâíÿííÿ äëÿ ðåëÿòèâiñòñüêîãî âèïàäêó

i~

∂ψ p 2 2 ˆ c + m2 c4 ψ. = p ∂t

Îäíàê öå ðiâíÿííÿ íàì íå ïiäõîäèòü âîíî íå iíâàðiàíòíå ñòîñîâíî ïåðåòâîðåíü Ëîðåíöà, àäæå ïîõiäíà çà ÷àñîì i ïîõiäíi çà êîîðäèíàòàìè çíîâó âõîäÿòü çîâñiì íå ðiâíîïðàâíî1 . ßê áà÷èìî, ùî õî÷à âîíî çàäîâîëüíÿ¹ âñi ïðèíöèïè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, àëå, âíàñëiäîê íåñèìåòðè÷íîãî âõîäæåííÿ ÷àñó t i êîîðäèíàò (x, y, z), íå âiäïîâiäà¹ ïðèíöèïàì ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ìåõàíiêè. Ìè ìîæåìî ñòâîðèòè öþ ñèìåòðiþ, ÿêùî áóäåìî âèõîäèòè ç êâàäðàòà åíåð i¨

E 2 = p2 c2 + m2 c4 . 1 Öiêàâî, ùî öþ iäåþ ðiâíîïðàâíîñòi âñiõ âèìiðiâ ïðîñòîðó, íà ÿêó âïåðøå 1907 ðîêó íàãîëîñèâ . Ìiíêîâñüêèé (18641909), ãîâîðÿ÷è, ùî âiäòåïåð ïðîñòið ñàì ïî ñîái i ÷àñ ñàì ïî ñîái ìóñÿòü ïåðåòâîðèòèñü ó iêöi¨ i ëèøå äåÿêèé âèä ïî¹äíàííÿ îáîõ ïîâèíåí ùå çáåðåãòè ñàìîñòiéíiñòü, áóëî ïiäõîïëåíî i â iíøèõ íàïðÿìêàõ ëþäñüêî¨ äiÿëüíîñòi, çîêðåìà â ìèñòåöòâi. Âèäàòíèé óêðà¨íñüêèé àêòîð, ðåæèñåð, äðàìàòóðã Ëåñü Êóðáàñ (18871937) ëþäèíà ïîòóæíîãî òàëàíòó i òðàãi÷íî¨ äîëi, ó ëåêöiÿõ äëÿ ñòóäåíòiâðåæèñåðiâ ó Ìèñòåöüêîìó îá'¹äíàííi Áåðåçiëü ó 19221933 ðîêàõ ãîâîðèâ, ùî òåàòð ÿê ìèñòåöòâî ÷îòèðüîõ âèìiðiâ çîñòàíåòüñÿ ïîñòóëàòîì, ÿêèé ìóñèòü áóòè âèïîâíåíèì . . . ×àñ òî ¹ ÷åòâåðòèé âèìið. ß ãîâîðèâ ïðî òå, ÿê îðìóëþ¹ ñâiò Àéíøòàéí, çà íèì öå ïðîñòîðîâèé i ÷àñîâèé êîíòèíóóì. Êîíòèíóóì çíà÷èòü, íåïåðåðâíèé ïðåäìåò, iñíó¹ íå òiëüêè â ïðîñòîði, àëå é â ÷àñi. . . . Ëåñü Êóðáàñ, ÿêèé áóâ ó 19091910 ñòóäåíòîì iëîñîñüêîãî àêóëüòåòó Ëüâiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó, óçàãàëi ¹ ÿñêðàâèì ïðåäñòàâíèêîì òâîð÷î¨ îñîáèñòîñòi ç ìiæäèñöèïëiíàðíèì ìèñëåííÿì. Ó ñâî¨õ ëåêöiÿõ âií óïåâíåíî ïîñëóãîâóâàâñÿ içè÷íîþ òåðìiíîëîãi¹þ (iíòåíñèâíiñòü äi¨ òà ñèëà âçà¹ìîäi¨, iíåðöiÿ, êiíåòè÷íà òà ïîòåíöiàëüíà åíåðãi¨, ïðèñêîðåííÿ, äèíàìiêà, ñòàòèêà, ìåõàíi÷íèé ìîìåíò. . . ) ç ïîñèëàííÿìè íà çàêîíè Íüþòîíà, þé åíñà, åëüìãîëüöà. . . ×èòà÷åâi òàêîæ öiêàâî áóäå çíàòè, ùî Iâàí Ôðàíêî, ÿê ñòóäåíò iëîñîñüêîãî àêóëüòåòó Ëüâiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó, çàïèñàâñÿ íà ëåêöi¨ âiäîìîãî ïîëüñüêîãî â÷åíîãî Þëiàíà Îõîðîâè÷à (18501917) ç êóðñó Ôiëîñîiÿ içèêè, ÿêi ïðîñëóõàâ ïiä ÷àñ çèìîâîãî ñåìåñòðó 1878/79 íàâ÷àëüíîãî ðîêó, óíiâåðñàëüíèé ãåíié Iâàíà Ôðàíêà ïîòðåáóâàâ äiÿëüíîñòi ÿê iíòó¨òèâíî-îáðàçíî¨, òàê i åâðèñòè÷íî-ëîãi÷íî¨ ñêëàäîâî¨ éîãî ðîçóìóáèñòðîóìó.

555

Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ äëÿ êâàäðàòà íàïèñàíîãî âèùå îïåðàòîðà àìiëüòîíà:

(ˆ p2 c2 + m2 c4 ) ψ = E 2 ψ. Òåïåð äi¹ìî òàê, ÿê áè ìè äiÿëè â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨, ùîá îòðèìàòè íåñòàöiîíàðíå õâèëüîâå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà çi ñòàöiîíàðíîãî: îðìàëüíîþ çàìiíîþ åíåð i¨ E íà ïîõiäíó i~∂/∂t óòâîðþ¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ = ψ(x, y, z; t): ∂ 2 ψ = (ˆ p2 c2 + m2 c4 ) ψ, i~ ∂t àáî

−~2

∂2ψ = −~2 c2 ∇2 ψ + m2 c4 ψ, ∂t2

∇2 ψ −

m2 c2 1 ∂2ψ = ψ. c2 ∂t2 ~2

Ìè îòðèìàëè ðiâíÿííÿ, âiäîìå ÿê ðiâíÿííÿ Êëÿéíàîðäîíà Ôîêà, íàçâàíå çà iìåíàìè â÷åíèõ, ÿêi éîãî âèíàéøëè é äîñëiäèëè, õî÷à âïåðøå öå ðiâíÿííÿ íàïèñàâ Å. Øðåäèí åð. iâíÿííÿ, ÿê áà÷èìî, ¹ ðåëÿòèâiñòñüêè iíâàðiàíòíèì. Öå ñòà¹ ùå î÷åâèäíiøèì, ÿêùî ââåñòè îïåðàòîð 4-iìïóëüñó i~ ∂ ∂ µ , −i~∇ , pˆµ = gµν pˆν , = pˆ = i~ ∂xµ c ∂t i ëiâó ÷àñòèíó ðiâíÿííÿ çàïèñàòè ÿê êâàäðàò öüîãî îïåðàòîðà:

pˆµ pˆµ ψ = m2 c2 ψ. Îäíàê öå ðiâíÿííÿ íàì òåæ íå ïiäõîäèòü. Òåïåð óæå òîìó, ùî âîíî íå çàäîâîëüíÿ¹ ïåðøîãî ïîñòóëàòó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Çãiäíî ç íèì, ñòàí êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ñèñòåìè ïîâíiñòþ îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ψ i òîìó ðiâíÿííÿ ðóõó ïîâèííi ìiñòèòè ëèøå ïåðøó ïîõiäíó çà ÷àñîì âiä ψ , ÿêà, êðiì òîãî, çà âèìîãîþ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ âõîäèòü ó öå ðiâíÿííÿ ëiíiéíî. iâíÿííÿ Êëÿéíà îðäîíàÔîêà íå ¹ ïðàâèëüíèì ç ïîãëÿäó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, áî â íüîãî âõîäèòü äðóãà ïîõiäíà çà ÷àñîì. Îòæå, ìè îïèíèëèñü â ñèòóàöi¨, êîëè, çäàâàëîñü áè, íåìîæëèâî ïî¹äíàòè êâàíòîâó òåîðiþ ç òåîði¹þ âiäíîñíîñòi, òîáòî êîëè îñíîâíi ïðèíöèïè ðåëÿòèâiñòñüêî¨ 556

ìåõàíiêè i êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè íåìîæëèâî çàäîâîëüíèòè â îäíîìó ðiâíÿííi ðóõó. Òðóäíîùi âèíèêàþòü íå ëèøå íà øëÿõó ïîáóäîâè ðåëÿòèâiñòñüêîãî êâàíòîâîãî ðiâíÿííÿ äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨, à é ç âèêîðèñòàííÿì òà iíòåðïðåòàöi¹þ éîãî ðîçâ'ÿçêiâ. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî íåîáõiäíî ïåðåãëÿíóòè äåÿêi ïîíÿòòÿ íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ êâàíòîâî¨ òåîði¨, çîêðåìà ïîíÿòòÿ êîîðäèíàòè ÷àñòèíîê. Ñïðîáà ëîêàëiçàöi¨ ÷àñòèíêè â äiëÿíöi ç ëiíiéíèìè ðîçìiðàìè ∆x ∼ ~/mc = Λ (Λ êîìïòîíiâñüêà äîâæèíà õâèëi) ç ìåòîþ âèçíà÷åííÿ ¨¨ êîîðäèíàò ïðèâîäèòü, çãiäíî ç ïðèíöèïîì àéçåíáåð à ∆x∆p ∼ ~, äî íåâèçíà÷åíîñòi ¨¨ iìïóëüñó ∆p ∼ mc, i îòæå, ÷àñòèíöi áóäå íàäàâàòèñü åíåð iÿ ∆E ∼ mc2 . Ïðè òàêèõ åíåð iÿõ, ÿê ïîêàçó¹ äîñâiä, ìîæëèâèì ¹ ïåðåòâîðåííÿ ÷àñòèíîê òà íàðîäæåííÿ íîâèõ. Ïðèêëàäîì öüîãî ìîæóòü áóòè: ïðîöåñ çíèùåííÿ îòîíà â ïîëi ÿäðà ç íàðîäæåííÿì åëåêòðîííî-ïîçèòðîííî¨ ïàðè; ðîçïàä âiëüíîãî íåéòðîíà íà ïðîòîí, åëåêòðîí é àíòèíåéòðèíî; ðîçïàä ìþîíà íà åëåêòðîí, íåéòðèíî é àíòèíåéòðèíî; ðîçïàä Λ0 -÷àñòèíêè ç óòâîðåííÿì ïðîòîíà òà íå àòèâíîãî ïiîíà i ò.ä. Âèíèêà¹ çàïèòàííÿ, ïðî êîîðäèíàòó ÿêî¨ ÷àñòèíêè éäå ìîâà (àäæå ÷àñòèíêà, êîîðäèíàòè ÿêî¨ ìè âèìiðþâàëè, çíèêëà) i âçàãàëi, ùî ðîçóìiòè ïiä êîîðäèíàòîþ, ÿêùî âiäñòàíi, ìåíøi, íiæ Λ, íå âäà¹òüñÿ âèìiðÿòè? Íà âiäìiíó âiä êîîðäèíàòè, ïîíÿòòÿ iìïóëüñó ¹ äîáðå îçíà÷åíèì, îñêiëüêè äëÿ âiëüíîãî ðóõó ÷àñòèíîê, êîëè êîîðäèíàòà ïîâíiñòþ íå âèçíà÷åíà, iìïóëüñ òî÷íî âiäîìèé. Îòæå, ó ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ àäåêâàòíèì ¹ iìïóëüñíå çîáðàæåííÿ. Âèõîäèòü, ùî êâàíòîâà ìåõàíiêà îäíi¹¨ ÷àñòèíêè ìà¹ çìiñò ëèøå çà óìîâè, ÿêùî ðîçãëÿäàþòüñÿ ïðîöåñè ç åíåð iÿìè E < mc2 . Òîáòî íàâiòü òî÷íi ðiâíÿííÿ ìè ïîâèííi ðîçâ'ÿçóâàòè ó êâàçiðåëÿòèâiñòñüêîìó íàáëèæåííi, ðîçêëàäàþ÷è ¨õ çà ñòåïåíÿìè 1/c. Ïðè÷îìó â öèõ ðîçêëàäàõ íåîáõiäíî îáìåæóâàòèñü ëèøå ÷ëåíàìè ∼ 1/c2 . Öå ïîâ'ÿçàíî ç òèì, ùî, ÿê ìè áà÷èëè, iíòåíñèâíiñòü âèïðîìiíþâàííÿ òà ïîãëèíàííÿ ñâiòëà I ∼ e2 ω 4 a2 /c3 . Îòæå, ÿêùî ìè âèõîäèìî çà ìåæi íàáëèæåííÿ 1/c2 , òî çìóøåíi âðàõîâóâàòè ïðîöåñè ïîãëèíàííÿ é âèïðîìiíþâàííÿ îòîíiâ. Îòæå, äëÿ åíåð ié, áiëüøèõ, íiæ mc2 , íåîáõiäíî áðàòè äî óâàãè ìîæëèâiñòü íàðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ ÷àñòèíîê. Öèì çàéìà¹òüñÿ içèêà âèñîêèõ åíåð ié, àáî, ÿê ¨¨ ùå íàçèâàþòü, içèêà åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê. Ó óíäàìåíòi içèêè âèñîêèõ åíåð ié 557

¹ êâàíòîâà òåîðiÿ ïîëÿ, ÿêà çà ñâî¹þ ñóòòþ ¹ òåîði¹þ áàãàòüîõ ÷àñòèíîê. Öåíòðàëüíîþ iäå¹þ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ïîëÿ ¹ òå, ùî i äëÿ îïèñó ÷àñòèíîê, i äëÿ îïèñó âçà¹ìîäi¨ ìiæ íèìè ââîäÿòüñÿ êâàíòîâàíi ïîëÿ. Ïîäiáíî, ÿê ïðè êâàíòóâàííi åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ìè ââîäèëè îïåðàòîðè ïîðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ îòîíiâ, òàêi æ îïåðàòîðè ψˆ+ òà ψˆ ââîäèìî i ïðè êâàíòóâàííi, íàïðèêëàä, åëåêòðîííî-ïîçèòðîííîãî ïîëÿ. Öi îïåðàòîðè çàëåæàòü âiä ïðîñòîðîâî-÷àñîâèõ çìiííèõ. Êóëîíiâñüêà âçà¹ìîäiÿ ìiæ åëåêòðîíàìè âèíèêà¹ âíàñëiäîê îáìiíó îòîíàìè. Ôåðìiîííi îïåðàòîðè âiäïîâiäàþòü ÷àñòèíêàì (ç ïîãëÿäó êëàñè÷íî¨ içèêè), à áîçîííi ïîëþ. Ó òàê çâàíèõ ñóïåðñèìåòðè÷íèõ òåîðiÿõ ðîëü åðìiîíiâ ÿê ÷àñòèíîê i ðîëü áîçîíiâ ÿê íîñi¨â âçà¹ìîäi¨ âæå íå ¹ òàê ÷iòêî âèçíà÷åíà. Ïðîöåñè íàðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ ÷àñòèíîê, ùî ¹ õàðàêòåðíèìè äëÿ içèêè ñóáàòîìíîãî ðiâíÿ, ñòàâëÿòü áàãàòî iíøèõ ïèòàíü. Çîêðåìà, ùî òàêå åëåìåíòàðíi ÷àñòèíêè âçàãàëi, àäæå âîíè íå ¹ ñòàáiëüíèìè? Íàâiòü íåéòðîí ó âiëüíîìó ñòàíi æèâå ëèøå áëèçüêî 17 õâèëèí. Âàæêî òàêîæ óÿâèòè ñîái, ùî ðîçóìiòè ïiä ïîíÿòòÿì ïðîñòîðîâî-÷àñîâèõ êîîðäèíàò, íàïðèêëàä, ìàñp p íà ïëàíêiâñüêèõ ~G/c3 ≃ 10−33 ì, t = ~G/c5 ≃ 10−44 ñåê, äå, øòàáàõ l = âíàñëiäîê êâàíòîâèõ ëþêòóàöié, ìàéáóòí¹ ìîæå ïåðåäóâàòè ìèíóëîìó (âiä ÷îãî ìîæóòü áóòè â çàõâàòi iëîñîè òà êiíîðåæèñåðè)2 . Ïîâåðíåìîñü òåïåð äî ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà é äîñëiäèìî éîãî äîêëàäíiøå. 2 . . . Âñÿ øòóêà ïîëÿãà¹ â òîìó, äîäàâ âií, ãîòîâèé ïðîäåìîíñòðóâàòè ¨¨ ìåõàíiçì íà âæå íàëàøòîâàíèõ äëÿ öüîãî ïàëüöÿõ, ùî ìè âiäñóíóëè ÷àñ. Ìè òóò çàïiçíþ¹ìîñÿ ç ÷àñîì íà ïåâíèé iíòåðâàë, äîâæèíó ÿêîãî íåñïðîìîãà îêðåñëèòè. Âñå çâîäèòüñÿ äî ïðîñòîãî ðåëÿòèâiçìó. Òóò áàòüêîâà ñìåðòü ùå ïðîñòî íå äiéøëà äî ñêóòêó òà ñìåðòü, ÿêà âæå äîñÿãëà éîãî ó âàøié áàòüêiâùèíi. . . . . . Äî òîãî æ óñÿ îòà àæ íiÿê íå ïðèâàáëèâà ìàíiïóëÿöiÿ ç ÷àñîì. Òi çëîâiñíi çìîâè, ÷iïêå ïiäêðàäàííÿ â éîãî ìåõàíiçìè, ðèçèêîâàíi âèòðåáåíüêè êîëî éîãî äðàæëèâèõ òà¹ìíèöü! Iíêîëè õî÷åòüñÿ ãðþêíóòè îá ñòië i çàêðè÷àòè íà âñå ãîðëî: Äîñèòü óæå, çàñü âàì äî ÷àñó, ÷àñ íåäîòîðêàíèé, ÷àñ íå ìîæíà ïðîâîêóâàòè! Âàì ùî íå äîñèòü ïðîñòîðó? ßêðàç-îò ïðîñòið äëÿ ëþäèíè, ó ïðîñòîði ìîæåòå ñîái ãàñàòè äîâîëi, âèìàõóâàòèñÿ, áåðêèöüêàòèñÿ, ñòðèáàòè ç çiðêè íà çiðêó. Àëå, íà ìèëiñòü Áîæó íå ÷iïàéòå ÷àñó! Áðóíî Øóëüö. Ñàíàòîðié Ïiä Êëåïñèäðîþ (Ïåðåêëàä Àíäðiÿ Øêðàá'þêà). Ïðîñâiòà, Ëüâiâ, 1995.

558

Áóäåìî íàìàãàòèñü íàäàòè õâèëüîâié óíêöi¨ çìiñò àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi é íàïèøåìî ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi. Âèïèøåìî ñèñòåìó äâîõ ðiâíÿíü äëÿ ψ òà ψ ∗ :

−~2 −~2

∂2ψ = −~2 c2 ∇2 ψ + m2 c4 ψ, ∂t2

∂ 2 ψ∗ = −~2 c2 ∇2 ψ ∗ + m2 c4 ψ ∗ . ∂t2

Ïîìíîæèìî ïåðøå ðiâíÿííÿ íà ψ ∗ , äðóãå íà ψ i âiçüìåìî ¨õíþ ðiçíèöþ: 2 ∂ 2 ψ∗ 2 ∗∂ ψ −~ ψ −ψ 2 = −~2 c2 (ψ ∗ ∇2 ψ − ψ∇2 ψ ∗ ). ∂t2 ∂t Äàëi çàïèøåìî öå ðiâíÿííÿ òàê: ∂ψ ∗ ∗ ∂ψ 2 ∂ −ψ ψ = −~2 c2 ∇(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ). −~ ∂t ∂t ∂t

Óâåäåìî ïîòiê ãóñòèíè éìîâiðíîñòi, ÿê i â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨

j=

1 ~ ˆ ψ − ψp ˆ ψ∗ ) = (ψ ∗ p (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ), 2m 2mi

i íàøå ðiâíÿííÿ íàáèðà¹ âèãëÿäó ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi

äëÿ âåëè÷èíè

∂ρ + div j = 0 ∂t i~ ρ= 2mc2

∂ψ ∗ −ψ ψ ∂t ∂t ∗ ∂ψ

.

Çðîçóìiëî, ùî ρ∗ = ρ i íiáèòî öÿ âåëè÷èíà ïiäõîäèòü äëÿ ãóñòèíè éìîâiðíîñòi. Àëå, êðiì õâèëüîâèõ óíêöié ψ òà ψ ∗ , ó ρ âõîäÿòü ¨õíi ïîõiäíi çà ÷àñîì ∂ψ/∂t, ∂ψ ∗ /∂t, i ïðè äîâiëüíèõ ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó çíà÷åííÿõ ψ òà ∂ψ/∂t âåëè÷èíà ρ ìîæå ìàòè áóäü-ÿêèé çíàê: äîäàòíèé ÷è âiä'¹ìíèé, àáî äîðiâíþâàòè íóëåâi. Òîìó íå ìîæíà ρ iíòåðïðåòóâàòè ÿê ãóñòèíó éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ÷àñòèíêà â ìîìåíò ÷àñó t çíàõîäèòüñÿ â òî÷öi x, y, z . Õî÷à â íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi âåëè÷èíà ρ ïåðåõîäèòü ó çíàéîìèé 559

íàì âèðàç iç òåîði¨ Øðåäèí åðà. Ñïðàâäi, äëÿ ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ i ψ(r, t) = e− ~ Et ψ(r) ìà¹ìî

ρ=

E |ψ|2 . mc2

Íàãàäàéìî, ùî E = mc2 + E ′ , äå åíåð iÿ E ′ âiäðàõîâó¹òüñÿ âiä åíåð i¨ ñïîêîþ ÷àñòèíêè mc2 , i òîäi E′ ρ= 1+ |ψ|2 . mc2 Çâiäñè, êîëè c → ∞, E ′ /mc2 → 0 çíàõîäèìî, ùî ρ = |ψ|2 . Îòæå, â òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà âåëè÷èíà ρ ìîæå ñòàòè âiä'¹ìíîþ i ïðîñòî òàê ïðèïèñóâàòè ¨é çìiñò ãóñòèíè éìîâiðíîñòi íå ìîæíà: ìè ðîçïëà÷ó¹ìîñü çà íåäîòðèìàííÿ îñíîâíîãî ïîñòóëàòó êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Õî÷à ìîæíà âèéòè çi ñòàíîâèùà, ïîìíîæèâøè âåëè÷èíó ρ íà åëåêòðè÷íèé çàðÿä, i ãîâîðèòè ïðî íå¨ ÿê ïðî ãóñòèíó åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó ÷àñòèíêè, ÿêèé ìîæå áóòè äîäàòíèì, âiä'¹ìíèì i ðiâíèì íóëåâi. iâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi íàáóâà¹ çìiñòó çàêîíó çáåðåæåííÿ çàðÿäó. Îäíàê, ÿê óæå çàçíà÷àëîñü, ρ ìîæå çìiíþâàòè çíàê, íå êàæó÷è âæå ïðî òå, ùî çàëèøà¹òüñÿ ùå ïðîáëåìà îïèñó íåéòðàëüíèõ ÷àñòèíîê. Ó íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi E ′ ≪ mc2 âåëè÷èíà ρ > 0 i ¨é ìîæíà ïðèïèñàòè çìiñò ãóñòèíè éìîâiðíîñòi. Îòæå, ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà â öüîìó âèïàäêó ìîæå îïèñóâàòè içè÷íi ÿâèùà. Òîìó öiêàâî äîñëiäèòè íà éîãî îñíîâi ðóõ åëåêòðîíà â åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi. Âìèêàííÿ ïîëÿ ç ïîòåíöiàëàìè ϕ òà A â êëàñè÷íié åëåêòðîäèíàìiöi çäiéñíþ¹òüñÿ çàìiíàìè E → E − eϕ, p → p − eA/c. Âiäïîâiäíî ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ðîáèìî òàêi çñóâè îïåðàòîðiâ:

i~

∂ ∂ → i~ − eϕ, ∂t ∂t

e ˆ→p ˆ − A, p c

i ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà äëÿ åëåêòðîíà â ïîëi íàáóâà¹ âèãëÿäó:

560

2 e 2 ∂ ˆ − A ψ + m2 c4 ψ. i~ − eϕ ψ = c2 p ∂t c

ßêùî ïîòåíöiàëè ïîëÿ íå çàëåæàòü âiä ÷àñó, òî ìîæíà ïåðåéòè äî ñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ ïiäñòàíîâêîþ i

ψ(r, t) = e− ~ Et ψ(r). Ó ðåçóëüòàòi ìà¹ìî

òóò ψ = ψ(r).

e 2 ˆ − A ψ + m2 c4 ψ, (E − eϕ)2 ψ = c2 p c

68. Êåïëåðiâñüêà ïðîáëåìà â òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà

Íàñ öiêàâèòèìå çàäà÷à ïðî ðóõ ÷àñòèíêè â ïîëi êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó, òîáòî ïðîáëåìà Êåïëåðà â ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨. Êîíêðåòíî ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî àòîì âîäíþ, òîìó íåõàé A = 0, ϕ = |e|/r. Åíåð iþ áóäåìî âiäðàõîâóâàòè âiä åíåð i¨ ñïîêîþ E = mc2 + E ′ , i òîäi ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà çàïèøåòüñÿ òàê: 2 ˆ 2 ψ + m2 c4 ψ. E ′ − eϕ + mc2 ψ = c2 p Çàóâàæèìî, ùî äëÿ íåðåëÿòèâiñòñüêîãî íàáëèæåííÿ ìà¹ìî íåðiâíiñòü E ′ − eϕ ≪ 1. mc2 îçêðèéìî êâàäðàò, ′ ˆ 2 ψ + m2 c4 ψ, (E − eϕ)2 + 2mc2 (E ′ − eϕ) + m2 c4 ψ = c2 p i îñòàòî÷íî çíàõîäèìî 2 ˆ p (E ′ − eϕ)2 + eϕ − ψ = E ′ ψ. 2m 2mc2

Öå òî÷íå ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó ϕ âîíî äîçâîëÿ¹ çíàéòè òî÷íèé âèðàç äëÿ åíåð i¨ E ′ . Ìè íà öüîìó çóïèíèìîñü íàïðèêiíöi ïàðàãðàà, à òåïåð, îñêiëüêè, ÿê ãîâîðèëîñü âèùå, ìîæåìî ïðåòåíäóâàòè ëèøå íà ïîïðàâêè ∼ 1/c2 äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ çàäà÷i, òî îá÷èñëèìî öi ïîïðàâêè. Óæå çi ñòðóêòóðè çíàéäåíîãî 36

I. Î. Âàêàð÷óê

561

ðiâíÿííÿ âèäíî, ùî ïðè c → ∞ ç íüîãî ïðîñòî îòðèìàòè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà 2 ˆ p + eϕ ψ = E ′ ψ. 2m Çàñòîñóéìî òåîðiþ çáóðåíü. Íåõàé ãàìiëüòîíiàí íóëüîâî¨ çàäà÷i

ˆ 0 ψ (0) = E (0) ψ (0) H äîðiâíþ¹

ˆ2 ˆ0 = p H + eϕ, 2m à îïåðàòîð çáóðåííÿ

(E ′ − eϕ)2 Vˆ = − , 2mc2 ïðè÷îìó ïiä åíåð i¹þ E ′ ðîçóìi¹ìî ¨¨ íóëüîâå íàáëèæåííÿ E ′ → E (0) = −me4 /2~2 n2 , n = 1, 2, . . .. Íàøå ðiâíÿííÿ ìà¹ òåïåð âèãëÿä: ˆ 0 + Vˆ )ψ = E ′ ψ, (H

i îñêiëüêè ìàòðè÷íi åëåìåíòè òåîði¨ çáóðåíü îá÷èñëþþòüñÿ íà õâèëüîâèõ óíêöiÿõ íåçáóðåíî¨ çàäà÷i, òî çàìiñòü E (0) ó âèðàç äëÿ Vˆ ˆ 0 . Ó ðåçóëüòàòi ìîæíà ïîñòàâèòè H

ˆ 0 − eϕ)2 ˆ4 p (H Vˆ = − = − . 2mc2 8m3 c2 Çìiñò öüîãî îïåðàòîðà âèäíî ç ðîçêëàäó åíåð i¨ âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè â ðÿä çà ñòåïåíÿìè 1/c2 : p p p2 c2 + m2 c4 = mc2 1 + p2 /m2 c2 E = p2 1 p4 2 = mc 1 + − + ··· 2m2 c2 8 m4 c4 p4 p2 − + ···. 2m 8m3 c2 Ïåðøèé ÷ëåí öå åíåð iÿ ñïîêîþ ÷àñòèíêè, äðóãèé çâè÷àéíà êiíåòè÷íà åíåð iÿ, à òðåòié öå òàê çâàíà ïîïðàâêà íà çàëåæíiñòü ìàñè âiä øâèäêîñòi. Ñàìå ¨é i âiäïîâiäà¹ îïåðàòîð Vˆ . = mc2 +

562

îçâ'ÿçàâøè çàäà÷ó çà òåîði¹þ çáóðåíü, çíàõîäèìî åíåð iþ:

E ′ = E (0) + E (1) + · · · , E (0) = −

me4 , 2~2 n2

n = 1, 2, . . . , à ïåðøó ïîïðàâêó âèçíà÷à¹ äiàãîíàëüíèé ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåííÿ, ðîçðàõîâàíèé íà õâèëüîâèõ óíêöiÿõ íåðåëÿòèâiñòñüêîãî àòîìà âîäíþ:

E (1) = hVˆ i = hn, l, m|Vˆ |n, l, mi, * + (E (0) − eϕ)2 (1) E = − 2mc2 1 = − 2mc2 1 = − 2mc2

2 (0) (0) 2 2 E − 2E ehϕi + e hϕ i

2 1 (0) (0) 2 1 4 E + 2E e . +e r r2

Âèêîðèñòàéìî ñåðåäíi çíà÷åííÿ ç íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ âîäíåâî¨ çàäà÷i (äèâ. Ïðèêëàä 1 äî 41): 1 1 , = r aB n2

1 r2

=

1 . a2B n3 (l + 1/2)

Ïiñëÿ åëåìåíòàðíèõ îá÷èñëåíü çíàéäåìî me4 n α2 3 (1) E =− 2 2 × 2 − , 2~ n n l + 1/2 4 äå α = e2 /~c ≃ 1/137 ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè. 36*

563

Îòæå, ÿê áà÷èìî, ðåëÿòèâiñòñüêà ïîïðàâêà äî åíåð i¨ çàëåæèòü âiä êâàíòîâîãî ÷èñëà l i, òàêèì ÷èíîì, âèïàäêîâå âèðîäæåííÿ â ïðîáëåìi Êåïëåðà çíiìà¹òüñÿ. Ïîâíà åíåð iÿ â öüîìó íàáëèæåííi3 me4 n 3 α2 ′ Enl = − 2 2 1 + 2 − . 2~ n n l + 1/2 4

Ñèñòåìó ðiâíiâ åíåð i¨ ïðè çàäàíîìó ãîëîâíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëi n íàçèâàþòü òîíêîþ ñòðóêòóðîþ åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà. Ïiäðàõó¹ìî ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íîãî ðiâíÿ ç n = 2 äëÿ ñòàíiâ 2s òà 2p (äèâ. ðèñ. 60): ′ ′ ∆ = E21 − E20 ,

me4 α2 . ~2 12 Âèÿâëÿ¹òüñÿ, îäíàê, ùî åêñïåðèìåíòàëüíå çíà÷åííÿ ¹ çíà÷íî ìåíøèì, ∆ ≃ ∆/3. iâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà íå ìîæå îïèñàòè ðóõ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ. Âîíî îïèñó¹ áåçñïiíîâi ÷àñòèíêè, òàêi, íàïðèêëàä, ÿê ïiîíè. Çîêðåìà, çàäà÷à, ÿêó ìè ðîçãëÿíóëè, âèíèêà¹ ïðè äîñëiäæåííi ðóõó π -ìåçîíiâ ó ïîëi àòîìíèõ ÿäåð (π ìåçîííèé àòîì). À òåïåð ïîâåðíåìîñü äî çíàõîäæåííÿ òî÷íîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨ E ′ . Òî÷íå ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà, ÿêå ìè âèïèñàëè íà ïî÷àòêó ïàðàãðàà, ç êóëîíiâñüêèì ïîòåíöiàëîì ϕ = |e|/r ïiñëÿ åëåìåíòàðíîãî ðîçêðèòòÿ â íüîìó êâàäðàòà (E ′ − eϕ)2 ìà¹ âèãëÿä: 2 ˆ p e2 E ′2 e4 E′ − − − ψ = E ′ ψ. 1+ 2m r mc2 2mc2 r 2 2mc2 ∆=

Éîãî ìîæíà çâåñòè äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ çàäà÷i ïðî àòîì âîäíþ. Äëÿ öüîãî îñòàííié ÷ëåí ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ ïåðåíåñåìî â ïðàâó ÷àñòèíó ðiâíÿííÿ i ââåäåìî åíåð iþ

E ∗ = E ′ + E ′2 /2mc2 òà êâàäðàò ååêòèâíîãî çàðÿäó

e∗2 = e2 (1 + E ′ /mc2 ). 3 Öþ îðìóëó âïåðøå îòðèìàâ À. Çîììåðåëüä ó ìåæàõ ñòàðî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè.

564

èñ. 60. îçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà âîäíþ â òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà.

Êðiì òîãî, ïiñëÿ ïåðåõîäó äî ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äîäàíîê ∼ 1/r 2 îá'¹äíó¹ìî ç âiäöåíòðîâîþ åíåð i¹þ i ââîäèìî òàêå ïîçíà÷åííÿ:

~2 l∗ (l∗ + 1) = ~2 l(l + 1) − e4 /c2 ,

òîáòî ââîäèìî ååêòèâíå îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî p l∗ = −1/2 + (l + 1/2)2 − α2 ,

ïåðåä êîðåíåì áåðåìî çíàê +, ùîá ïðè α = 0 îòðèìàòè l∗ = l. Iç çiðêîâèìè âåëè÷èíàìè ðåëÿòèâiñòñüêå ðiâíÿííÿ òî÷íî çáiãà¹òüñÿ ç íåðåëÿòèâiñòñüêèì, i òîìó âæå ç ðóêàìè â êèøåíÿõ, âèêîðèñòîâóþ÷è îðìóëó Áîðà ç 41, äëÿ åíåð i¨ E ∗ çíàõîäèìî:

E∗ = −

me∗4 , 2~2 (nr + l∗ + 1)2

nr ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, nr = 0, 1, 2, . . . . Ïiäñòàíîâêà â öþ îðìóëó çiðêîâèõ âåëè÷èí äà¹ êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ íà åíåð iþ E′: E′ me4 E′ 2 ′ E 1+ = − 1 + 2 . p 2mc2 mc2 2 2 2 2~ nr + 1/2 + (l + 1/2) − α 565

Çâiäñè ìà¹ìî 

E′

mc2

 = 1 +

α2 nr + 1/2 +

p

(l + 1/2)2 − α2

−1/2

 2 

− 1,

ïðè÷îìó ïåðåä êîðåíåì iêñó¹ìî çíàê +, ùîá çàáåçïå÷èòè ïåðåõiä äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ òåîði¨ ïðè α = 0. îçêëàä çà ñòåïåíÿìè êîíñòàíòè òîíêî¨ ñòðóêòóðè α ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n = nr + l + 1, ïîâåðòà¹ íàñ äî íàáëèæåíî¨ îðìóëè Çîììåðåëüäà, ÿêà íàâåäåíà âèùå. Ïðèêëàä. Êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà â ðåëÿòèâiñòñüêié ïðîáëåìi Êåïëåðà. Ïîâíà åíåð iÿ ðåëÿòèâiñòñüêîãî åëåêòðîíà â êóëîíiâñüêîìó ïîëi ÿä-

ðà (áåç åíåð i¨ ñïîêîþ)

E=

p

p2 c2 + m2 c4 − mc2 −

e2 . r

Çâiäñè ìà¹ìî

p2 e2 (E + e2 /r)2 =E+ + . 2m r 2mc2 ßê i â íåðåëÿòèâiñòñüêîìó âèïàäêó (äèâ. Ïðèêëàä 3 äî 30), çàïèñó¹ìî êâàäðàò iìïóëüñó â ïîëÿðíèõ êîîðäèíàòàõ: p2ϕ e2 (E + e2 /r)2 p2r + =E+ + , 2 2m 2mr r 2mc2

äå pr , pϕ ðàäiàëüíèé òà àçèìóòàëüíèé óçàãàëüíåíi iìïóëüñè, êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi äî çìiííèõ r , ϕ. Åëåêòðîí ìà¹ äâà ñòóïåíi âiëüíîñòi, i îòæå, ¹ äâi óìîâè êâàíòóâàííÿ Áîðà Çîììåðåëüäà: I pϕ dϕ = 2π~nϕ , I

pr dr = 2π~nr ,

äå nϕ , nr àçèìóòàëüíå òà ðàäiàëüíå êâàíòîâi ÷èñëà. Îñêiëüêè ìîìåíò iìïóëüñó pϕ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó (pϕ = const), òî ïåðøà óìîâà äà¹ pϕ = ~nϕ , nϕ = 1, 2, 3, . . .. ×èñëî nϕ 6= 0 òîìó, ùî öå âiäïîâiäà¹ ìàÿòíèêîâié òðà¹êòîði¨, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç ÿäðî, à çà êëàñè÷íèìè óÿâëåííÿìè öå íåìîæëèâî (äåòàëüíiøå öå îáãîâîðåíî ó Ïðèêëàäi äî 44). Äðóãà óìîâà êâàíòóâàííÿ ìà¹ òàêèé âèãëÿä: Z

r2

2 r1

566

s

2m E −

p2ϕ e2 (E + e2 /r)2 dr = 2π~nr , + + 2mr 2 r 2mc2

äå r1 , r2 òî÷êè ïîâîðîòó, ÿêi çíàõîäèìî ç óìîâè ðiâíîñòi íóëåâi ïiäêîðåíåâîãî âèðàçó. îçêðè¹ìî êâàäðàò i ïåðåïèøåìî öåé âèðàç òàê: Z

r2

s

2

E∗

2m r1

p∗ϕ 2 e∗2 − dr = 2π~nr , + 2mr 2 r

äå (ïîäiáíî, ÿê i â îñíîâíîìó òåêñòi ïàðàãðàà) ìè ââåëè ïîçíà÷åííÿ

E∗

=

E 1 + E/2mc2 ,

2

=

p2ϕ − e4 /c2 ,

e∗2

=

e2 1 + E/mc2 .

p∗ϕ

Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõ íàøà óìîâà êâàíòóâàííÿ îðìàëüíî çáiãà¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿì äëÿ íåðåëÿòèâiñòñüêîãî âèïàäêó ç Ïðèêëàäó 3 äî 30. Òîìó âèêîðèñòà¹ìî çíàéäåíèé òàì ðåçóëüòàò iíòå ðóâàííÿ: E∗ = −

àáî

E 1+

E 2mc2

me∗4 , + ~nr )2

2(p∗ϕ

=−

2~2

me4

p

n2ϕ − α2 + nr

2

1+

E mc2

2

,

äå α = e2 /~c ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè (íàçâó ââiâ À. Çîììåðåëüä). Ìè îòðèìàëè äëÿ åíåð i¨ E êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ, ç ÿêîãî çíàõîäèìî (

E = mc2

1 + α2

q

n2ϕ − α2 + nr

2 −1/2

)

−1 .

Ïåðåä êîðåíåì ìè çàiêñóâàëè çíàê ïëþñ iç òèõ ìiðêóâàíü, ùîá ó íåðåëÿòèâiñòñüêîìó âèïàäêó ïðè α → 0 (c → ∞) îòðèìàòè îðìóëó Áîðà. Öåé âèðàç çíàéøîâ ó 1916 ðîöi À. Çîììåðåëüä. ßêùî ðîçêëàñòè åíåð iþ E â ðÿä çà ñòåïåíÿìè α2 i çáåðåãòè ëèøå ÷ëåíè, ïðîïîðöiéíi äî 1/c2 , òî îòðèìà¹ìî: E

=

E (0) + E (1) + · · · ,

E (0)

=

−

=

α2 me4 − 2 2 × 2 2~ n n

E

(1)

me4 , 2~2 n2

3 n − nϕ 4

,

n = nr + nϕ = 1, 2, 3, . . . ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Àçèìóòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî ïîâ'ÿçàíå ç îðáiòàëüíèì ÷èñëîì l: nϕ = l + 1, l = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

567

Öiêàâî, ùî ïðè n = 2 äëÿ nϕ = 1 (l = 0) òà nϕ = 2 (l = 1) ðiçíèöÿ åíåð ié ∆ = me4 /32~2 α2 çáiãà¹òüñÿ ç åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíîþ âåëè÷èíîþ íà âiäìiíó âiä ðåçóëüòàòó, ÿêèé äà¹ òåîðiÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà. Ó çâ'ÿçêó ç öèì ïîòðiáíî çðîáèòè òàêå çàóâàæåííÿ. Ó ïðàâèõ ÷àñòèíàõ óìîâ êâàíòóâàííÿ îïóùåíi ñòàëi âåëè÷èíè: 0 ≤ νϕ < 1, 0 ≤ νr < 1. Ïðè âèâåäåííi ïðàâèë êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà äëÿ îäíîâèìiðíîãî âèïàäêó ìè áà÷èëè, ùî öi âåëè÷èíè äîðiâíþþòü 1/2. ßêùî âçÿòè öå äî óâàãè, òî nϕ ïîòðiáíî çàìiíèòè íà nϕ = l + 1/2 (òî÷íiøå äèâ. ó Ïðèêëàäi äî 44). Çâiäñè ìà¹ìî, ùî ó êâàçiêëàñè÷íîìó âèïàäêó êâàäðàò ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó äîðiâíþ¹ ~2 (l + 1/2)2 çàìiñòü òî÷íîãî çíà÷åííÿ ~2 l(l + 1). ßêùî i nr çàìiíèòè íà nr + 1/2, òî ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n = l + nr + 1 (ÿê i ïîâèííî áóòè), à îðìóëà Çîììåðåëüäà çáiãà¹òüñÿ ç ðåçóëüòàòîì òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà. Îòæå, öi íåòî÷íîñòi i ïðèâîäÿòü äî òî÷íî¨ îðìóëè Çîììåðåëüäà. 69. iâíÿííÿ Äiðàêà

Äëÿ òîãî ùîá õâèëüîâå ðiâíÿííÿ çàäîâîëüíÿëî îñíîâíi ïðèíöèïè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè é òåîði¨ âiäíîñíîñòi, íåîáõiäíî ÿâíî äîáóòè êîðiíü êâàäðàòíèé ó îðìóëi äëÿ ãàìiëüòîíiàíà H = p p2 c2 + m2 c4 òàê, ùîá îòðèìàòè äëÿ íüîãî âèðàç, ëiíiéíèé çà iìïóëüñîì p. Òîäi ÷àñîâi é ïðîñòîðîâi êîîðäèíàòè áóäóòü âõîäèòè â ðiâíÿííÿ ñèìåòðè÷íî. Öå âäàëîñü çðîáèòè Ï. À. Ì. Äiðàêîâi â 1928 ðîöi. Âií çàïðîïîíóâàâ òàêèé ñïîñiá äîáóâàííÿ êâàäðàòíîãî êîðåíÿ: H = (αp)c + mc2 β. Íåâiäîìi âåëè÷èíè β i âåêòîð α ïîâèííi çíàõîäèòèñü ç óìîâè ðiâíîñòi êâàäðàòà ðåëÿòèâiñòñüêîãî ãàìiëüòîíiàíà êâàäðàòîâi ïðàâî¨ ÷àñòèíè öüîãî âèðàçó. Êðiì òîãî, îñêiëüêè ìè ðîçãëÿäà¹ìî âiëüíó ÷àñòèíêó, òî α òà β , óíàñëiäîê îäíîðiäíîñòi ïðîñòîðó é ÷àñó, íå ìàþòü çàëåæàòè âiä êîîðäèíàòè r i ÷àñó t. Òàêà çàëåæíiñòü óêàçóâàëà á íà íàÿâíiñòü ñèëîâîãî ïîëÿ. Îòæå, ìè ìà¹ìî òàêó óìîâó äëÿ âèçíà÷åííÿ öèõ íåâiäîìèõ âåëè÷èí: 2 p2 c2 + m2 c4 = (αp)c + βmc2 , àáî

p2 c2 + m2 c4 = (αp)2 c2 + β 2 m2 c4 + (αβ + βα)pmc3 . Îñêiëüêè iìïóëüñ p ¹ íåçàëåæíîþ çìiííîþ, òî îòðèìà¹ìî òàêi ðiâíÿííÿ:

p2 = (αp)2 , 568

β 2 = 1, αβ + βα = 0. ßêùî ìîæíà ïiäiáðàòè α òà β òàêèìè, ùîá çàäîâîëüíèòè öi óìîâè, òî ìîæíà îá'¹äíàòè ïðèíöèïè i êâàíòîâî¨, i ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ìåõàíiêè. Iç öèõ ðiâíÿíü âèïëèâà¹, ùî êîìïîíåíòè âåêòîðà α i âåëè÷èíè β íå ¹ çâè÷àéíèìè ÷èñëàìè, îñêiëüêè íå ïåðåñòàâëÿþòüñÿ ìiæ ñîáîþ, à îïåðàòîðàìè ÷è ìàòðèöÿìè. Íàäàëi ìè áóäåìî âiäçíà÷àòè öå ñèìâîëàìè îïåðàòîðà. Îòæå, ÿêùî ÿâíî ðîçïèñàòè ˆ, i ïåðøó óìîâó ÷åðåç êîìïîíåíòè α ˆx, α ˆy , α ˆ z âåêòîðà α

p2x + p2y + p2z = (ˆ αx px + α ˆ y py + α ˆ z pz )2 , àáî

p2x + p2y + p2z = α ˆ 2x p2x + α ˆ 2y p2y + α ˆ 2z p2z + px py (ˆ αx α ˆy + α ˆy α ˆx) + px pz (ˆ αx α ˆz + α ˆz α ˆ x ) + py pz (ˆ αy α ˆz + α ˆz α ˆ y ), òî çíàõîäèìî äåñÿòü ñïiââiäíîøåíü, ÿêi ïîâèííi çàäîâîëüíÿòèñü ˆx, α ˆy , α ˆz òà βˆ: íåâiäîìèìè ìàòðèöÿìè α    βˆ2 = 1,       α ˆ 2x = 1,       α ˆ 2y = 1,       α ˆ 2z = 1,        α ˆ x βˆ + βˆα ˆ x = 0,

                          

α ˆ y βˆ + βˆα ˆ y = 0, α ˆ z βˆ + βˆα ˆ z = 0,

α ˆxα ˆy + α ˆy α ˆ x = 0, α ˆxα ˆz + α ˆz α ˆ x = 0, α ˆy α ˆz + α ˆz α ˆ y = 0. 569

ßêùî ââåñòè ñêîðî÷åíi ïîçíà÷åííÿ äëÿ öèõ ìàòðèöü, ÿêi íàçèâàþòü ìàòðèöÿìè Äiðàêà,

α ˆ1 = α ˆx,

α ˆ2 = α ˆy ,

α ˆ3 = α ˆz ,

ˆ α ˆ 4 = β,

òî âñi äåñÿòü ñïiââiäíîøåíü êîìïàêòíî çîáðàæóþòüñÿ îäíèì âèðàçîì4

α îα ˆj + α ˆj α ˆ i = 2δij ,

i, j = 1, 2, 3, 4.

Òåïåð ìè ìîæåìî çàïèñàòè ãàìiëüòîíiàí ëiíiéíèé çà îïåðàòîˆ: ðàìè êîìïîíåíò iìïóëüñó p

ˆ 2. ˆ D = (αˆ ˆ p)c + βmc H Öåé îïåðàòîð åíåð i¨ íàçèâàþòü ãàìiëüòîíiàíîì Äiðàêà. Î÷åâèäˆ D . Çâiäñè ˆ+ = H íî, çà îçíà÷åííÿì, âií ïîâèíåí áóòè åðìiòîâèì H D âèïëèâà¹, ùî ìàòðèöi Äiðàêà ¹ åðìiòîâèìè:

ˆ + = α, ˆ α

ˆ βˆ+ = β.

Âèïèøåìî, íàðåøòi, çíàìåíèòå õâèëüîâå ðiâíÿííÿ Äiðàêà:

∂ψ ˆ D ψ. =H ∂t Âîíî ìà¹ âèãëÿä õâèëüîâîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà i çàäîâîëüíÿ¹ îñíîâíèé ïîñòóëàò êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Âîíî òàêîæ ¹ ëîðåíöiíâàðiàíòíèì, ó ÷îìó ëåãêî ïåðåêîíàòèñü. Ïîìíîæèìî âñå ðiâíÿííÿ íà ìàòðèöþ βˆ i îòðèìà¹ìî h i ˆ ∂ψ = β( ˆ αˆ ˆ p)c + mc2 βˆ2 ψ βi~ ∂t àáî ( ) ˆ ∂ βi~ ˆ αˆ ˆ p) ψ = mcψ. − β( c ∂t i~

Óâåäåìî 4-ìàòðèöþ γˆ µ (µ = 0, 1, 2, 3) ç êîìïîíåíòàìè

ˆ γˆ0 = β,

ˆ = βˆα, ˆ γ

4 Öi ìàòðèöi iíêîëè íàçèâàþòü ãiïåðêîìïëåêñíèìè îäèíèöÿìè àáî ÷èñëàìè Êëiîðäà. õ óâiâ äëÿ çàãàëüíîãî âèïàäêó i, j = 1, . . . , n ùå â 1878 ðîöi àíãëiéñüêèé ìàòåìàòèê Âiëüÿì Êií äîí Êëiîðä (18451879).

570

ùî çàäîâîëüíÿþòü òi ñàìi ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ ðiçíèõ ˆ , à (γ 0 )2 = 1, (γ 1 )2 = −1, (γ 2 )2 = −1, iíäåêñiâ, ùî é ìàòðèöi βˆ, α 3 2 (γ ) = −1. Îòæå:

γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2gµν ,

äå gµν êîíòðàâàðiàíòíi êîìïîíåíòè ìåòðè÷íîãî òåíçîðà, gµν = gµν . Óâåäåìî òàêîæ îïåðàòîð 4-iìïóëüñó

pˆµ = i~∂/∂xµ . Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõ ðiâíÿííÿ Äiðàêà çàïèøåìî òàê:

γ µ pµ ψ = mcψ. Éîãî îïåðàòîðíà ÷àñòèíà, ÿê ñêàëÿðíèé äîáóòîê 4-âåêòîðiâ

ˆp ˆ, γˆ µ pˆµ = γˆ 0 pˆ0 − γ

î÷åâèäíî ¹ iíâàðiàíòîì ùîäî ïåðåòâîðåíü Ëîðåíöà, à îòæå, i âñå ðiâíÿííÿ ¹ ðåëÿòèâiñòñüêè iíâàðiàíòíèì. Áåç çóñèëü óçàãàëüíþ¹ìî ðiâíÿííÿ Äiðàêà íà âèïàäîê ðóõó çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè â çîâíiøíüîìó åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi. À ñàˆ íà p ˆ − eA/c òà i~∂/∂t íà i~∂/∂t − eϕ, äå e çàðÿä ìå, çàìiíèìî p ÷àñòèíêè, A, ϕ âåêòîðíèé òà ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàëè ïîëÿ, i îòðèìà¹ìî ðiâíÿííÿ Äiðàêà ç ãàìiëüòîíiàíîì e ˆ ˆ D = α, ˆ p ˆ − A c + eϕIˆ + mc2 β, H c äå ñêàëÿðíèé äîáóòîê e e e e ˆ p ˆ− A =α ˆ y pˆy − Ay + α ˆ z pˆz − Az . ˆx pˆx − Ax + α α, c c c c Íàäàëi ìè íå áóäåìî âèïèñóâàòè ÿâíî îäèíè÷íó ìàòðèöþ Iˆ, ââàæàþ÷è ¨¨ ïðèñóòíüîþ ïðè âåëè÷èíàõ, ÿêi íå ¹ ìàòðèöÿìè (ÿê íàïðèêëàä, eϕ). Ïåðåõiä äî ñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ çäiéñíþ¹ìî, ÿê i â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨: i

ψ(q, t) = e− ~ Et ψ(q). Òîäi îäåðæó¹ìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ ãàìiëüòîíiàíà Äiðàêà:

ˆ D ψ = Eψ. H 571

70. Ìàòðèöi Äiðàêà

Ïåðåéäåìî òåïåð äî âñòàíîâëåííÿ ÿâíîãî âèãëÿäó ìàòðèöü Äiðàêà. Íåõàé ó êîìóòàöiéíèõ ñïiââiäíîøåííÿõ äëÿ íèõ i 6= j :

α îα ˆj + α ˆj α ˆ i = 0. Ïîìíîæèìî öþ ðiâíiñòü íà α î:

α ˆ 2i α ˆj + α î α ˆj α î = 0, i ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî α ˆ 2i = 1, îá÷èñëèìî øïóð öüîãî âèðàçó, òîáòî ñóìó äiàãîíàëüíèõ ìàòðè÷íèõ åëåìåíòiâ:

Sp (ˆ αj + α îα ˆj α ˆ i ) = 0. Ïiä çíàêîì øïóðó ìîæíà ðîáèòè öèêëi÷íó ïåðåñòàíîâêó ìàòðèöü,

Sp α ˆ j + Sp α ˆ 2i α ˆ j = 0, çâiäêè ìà¹ìî

2Sp α ˆ j = 0, îñêiëüêè α ˆ 2i = 1. Îòæå, øïóð, àáî ñëiä, áóäü-ÿêî¨ ç ìàòðèöü α ˆj äîðiâíþ¹ íóëåâi:

Sp α ˆ j = 0. Âèáåðåìî òåïåð ç óñiõ ìîæëèâèõ çîáðàæåíü òàêå, ó ÿêîìó ìàòðèöÿ βˆ ¹ äiàãîíàëüíîþ:   β1 0 ... 0    0 β2 ... 0    βˆ =  , ..  ... ... . ...    0 0 ... βn

÷èñëà βk ¹ äiéñíèìè, îñêiëüêè ìàòðèöÿ βˆ åðìiòîâà. Òîìó ùî βˆ2 = 1, ìà¹ìî

β12 = 1,

β22 = 1,

...,

βn2 = 1,

öå îçíà÷à¹, ùî

β1 = ±1, 572

β2 = ±1,

...,

βn = ±1.

Îòæå, ïî äiàãîíàëi â ìàòðèöi βˆ ñòîÿòü îäèíèöi çi çíàêîì ïëþñ àáî ìiíóñ. Ïðè÷îìó îñêiëüêè Sp βˆ = 0, òî êiëüêîñòi ïëþñîäèíè÷îê i ìiíóñ-îäèíè÷îê çáiãàþòüñÿ. ßêùî òàê, òî ïîðÿäîê ìàòðèöi ¹ ïàðíèì. Çíîâó iêñó¹ìî êîíêðåòíå çîáðàæåííÿ ìàòðèöü, ó ÿêîìó ïî äiàãîíàëi â βˆ ñòîÿòü ñïî÷àòêó âñi ïëþñ-îäèíèöi, à ïîòiì ìiíóñ-îäèíèöi:   1 0 ... 0 0    0 1 ... 0 0      . ˆ  . β= ... ... . ... ...  .    0  0 . . . −1 0   0 0 ... 0 −1 Ó ñêîðî÷åíîìó çàïèñi



βˆ = 

I

0

0 −I



,

äå ÷åðåç I ïîçíà÷åíà îäèíè÷íà ìàòðèöÿ. Ïåðåéäåìî äî êîìóòàöiéíîãî ñïiââiäíîøåííÿ, ó ÿêîìó ¹ ìàòðèöÿ βˆ:

α ˆ i βˆ + βˆα ˆ i = 0,

i = 1, 2, 3.

Çîáðàçèìî ìàòðèöþ α ˆ i ó âèãëÿäi   a b , α î =  c d

ïðè÷îìó âåëè÷èíè a, b, c, d ¹, óçàãàëi êàæó÷è, ìàòðèöÿìè i íåõàé îäíàêîâîãî ïîðÿäêó. Âèïèøåìî òåïåð ÿâíî êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ:       a b I 0 I 0 a b   +   = 0, c d 0 −I 0 −I c d

573

àáî, ïåðåìíîæóþ÷è, ìà¹ìî     a b a −b   = 0, + −c −d c −d çâiäêè

 

2a

0

0 −2d



 = 0.

Îòæå, ìè îòðèìàëè, ùî a = 0, d = 0. Òàêèì ÷èíîì, ìàòðèöi α î ìàþòü òàêèé âèãëÿä:   0 σ î , α î =  σ î+ 0

ìè ïðèéíÿëè b = σ ˆ i , c = b+ = σ î+ , áî α ˆ+ ˆ i . Äàëi ç óìîâè i = α + + 2 α ˆ i = 1 ìà¹ìî σ î σ î = σ î σ î = 1, i, ïðèïóñêàþ÷è, ùî σ ˆ+ = σ ˆ, 2 î = 1. åøòà ïåðåñòàâíèõ ñïiââiäíîøåíü äëÿ α ˆ i äàþòü îäåðæó¹ìî σ äëÿ σ ˆ1 = σ ˆx , σ ˆ2 = σ ˆy , σ ˆ3 = σ ˆz :    ˆx2 = 1,  σ      σ ˆy2 = 1,       σ ˆz2 = 1,

  σ ˆx σ ˆy + σ ˆy σ ˆx = 0,       σ ˆx σ ˆz + σ ˆz σ ˆx = 0,       σ ˆy σ ˆz + σ ˆz σ ˆy = 0.

Ìiðêóâàííÿ, àíàëîãi÷íi äî ïîïåðåäíiõ, ïðèâîäÿòü äî òàêèõ ðiâíÿíü:

Sp σ ˆz = 0,

Sp σ ˆx = 0,

Sp σ ˆy = 0.

Çíîâó âèáåðåìî îäíó ç ìàòðèöü äiàãîíàëüíîþ. Íàïðèêëàä, öå çîáðàæåííÿ, ó ÿêîìó äiàãîíàëüíîþ ¹ ìàòðèöÿ σ ˆz . Îñêiëüêè âîíà åðìiòîâà i êâàäðàò ¨¨ äîðiâíþ¹ îäèíèöi, òî òàê ñàìî, ÿê i äëÿ 574

ìàòðèöi βˆ, çíàéäåìî, ùî



σ ˆz = 

I



0

.

0 −I

Àíàëîãi÷íî äî ïîïåðåäíüîãî ç êîìóòàöiéíèõ ñïiââiäíîøåíü ìàòðèöi σ ˆz ç ìàòðèöÿìè σ ˆx òà σ ˆy çíàõîäèìî, ùî âîíè ìàþòü òàêó æ î: ñòðóêòóðó, ÿê i α   0 f , σ ˆx =  f+ 0



σ ˆy = 

0

g

g+

0



.

Òåïåð ç óìîâè σ ˆx2 = 1 çíàõîäèìî      + 0 f 0 f ff 0   =  = 1, + + + f 0 f 0 0 f f

ùî äà¹ f f + = 1, f + f = 1. Î÷åâèäíî, öå áóäå ñïðàâäæóâàòèñü i äëÿ σ ˆy : gg+ = 1, g+ g = 1. Äàëi ç óìîâè

σ ˆx σ ˆy + σ ˆy σ ˆx = 0 çíàõîäèìî       0 f 0 g 0 g 0 f   +   = 0, + + + + f 0 g 0 g 0 f 0 òîáòî

i îòæå,

 

f g+

0

0

f +g





+

gf +

0

0

g+ f



=0

f g+ + gf + = 0, 575

f + g + g+ f = 0. Öi ðiâíÿííÿ çàäîâîëüíÿ¹ìî êîìïëåêñíèìè ÷èñëàìè. Íàïðèêëàä, ÿêùî f = 1, òî g+ + g = 0, i ç óìîâè g+ g = 1 çíàõîäèìî g = ±i. Âèáåðåìî íèæíié çíàê i ïðèéìåìî g = −i. Òåïåð       0 1 0 −i 1 0 , , . σ ˆx =  σ ˆy =  σ ˆz =  1 0 i 0 0 −1 Öi ìàòðèöi íàçèâàþòü ìàòðèöÿìè Ïàóëi. Âîíè ¹ åðìiòîâèìè:

σ ˆx+ = σ ˆx ,

σ ˆy+ = σ ˆy ,

σ ˆz+ = σ ˆz .

Îòæå, ïiäñòàâëÿþ÷è öi âèðàçè â ìàòðèöi α ˆ i , îñòàòî÷íî çíàõîäèìî       0 σ ˆx 0 σ ˆy 0 σ ˆz , , , α ˆx =  α ˆy =  α ˆz =  σ ˆx 0 σ ˆy 0 σ ˆz 0 àáî â ðîçãîðíóòîìó  0 0   0 0  α ˆx =   0 1  1 0



0

âèãëÿäi  0 1  1 0   , 0 0   0 0

0 1

0



   0  0 0 −1   α ˆz =  ,  1  0 0 0   0 −1 0 0



0

0 0 −i

 0   , 0   0

  0 0 i  α ˆy =   0 −i 0  i 0 0 

1 0



0

0

  0 1 0 0  βˆ =   0 0 −1 0  0 0 0 −1



   .  

Ìè ÷àñòî áóäåìî êîðèñòóâàòèñü òàêîæ ñêîðî÷åíèìè ïîçíà÷åííÿìè   ˆ 0 σ , ˆ = ˆ = iσ α σ ˆx + j σ ˆy + k σ ˆz . ˆ 0 σ 576

Çðîçóìiëî, ùî ìàòðèöi Äiðàêà âèçíà÷àþòüñÿ íåîäíîçíà÷íî. Ìè çíàéøëè ¨õ ó äåÿêîìó êîíêðåòíîìó çîáðàæåííi, ó ÿêîìó ìàòðèöi βˆ òà σ ˆz ¹ äiàãîíàëüíèìè. Çà äîïîìîãîþ äîâiëüíîãî óíiòàðíîãî ïåðåòâîðåííÿ ìîæíà çíàéòè iíøèé ÿâíèé âèãëÿä öèõ ìàòðèöü. Öå, îäíàê, íå âïëèíå íà içè÷íi ðåçóëüòàòè. ×è ìîæóòü áóòè ìàòðèöi α ˆ i íå ÷îòèðèðÿäêîâèìè, à âèùîãî ïîðÿäêó? Ìè áà÷èëè, ùî ïîðÿäîê öèõ ìàòðèöü ¹ ïàðíèì i äîðiâíþ¹ 2n, n = 1, 2, 3, . . . . ßêùî n = 1, òî óìîâ íà α ˆ i âèÿâëÿ¹òüñÿ çàáàãàòî. ßêùî n = 3, òî öèõ óìîâ çàìàëî. Îòæå, òîäi äîâåëîñü áè äåÿêi åëåìåíòè âèáèðàòè ÿêèìîñü äîâiëüíèì ÷èíîì. Ó êîæíîìó ðàçi, ïðè n > 2 ìè íå îòðèìàëè á íîâèõ ðåçóëüòàòiâ. Îñêiëüêè ìàòðèöi Äiðàêà ¹ ÷îòèðèðÿäêîâèìè, òî i õâèëüîâà óíêöiÿ ψ ìà¹ ñêëàäíiøó, íiæ ó òåîði¨ Øðåäèí åðà, ñòðóêòóðó i çîáðàæà¹òüñÿ ÿê ÷îòèðèðÿäêîâà ìàòðèöÿ-ñòîâïåöü:   ψ1    ψ   2  ψ= .  ψ3    ψ4

Îòæå, âèõîäèòü, ùî ïî¹äíàííÿ â ðiâíÿííi Äiðàêà óíäàìåíòàëüíèõ ïðèíöèïiâ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè é òåîði¨ âiäíîñíîñòi ïîðîäæó¹ äîäàòêîâi, ÿê ïîáà÷èìî çãîäîì, àæ íiÿê íå òðèâiàëüíi ñòóïåíi âiëüíîñòi.

Ïðèêëàä. Äîáóâàííÿ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî ç 4. Áóäü-ÿêå ÷èñëî ìîæíà ðîçêëàñòè íà ïðîñòi ìíîæíèêè, ÿêùî ðîçøèðèòè ïîíÿòòÿ îñòàííiõ. Íàïðèêëàä, ÷èñëî 4 ìîæíà çîáðàçèòè ÿê 4 = 2 × 2, 4 = (−2) × (−2), àëå ìîæíà éîãî çàïèñàòè i ÷åðåç çîëîòèé ïåðåðiç ãðåêiâ √ √ 4 = ( 5 + 1) × ( 5 − 1)

àáî ÿê äîáóòîê êîìïëåêñíî ñïðÿæåíèõ ÷èñåë: √ √ 4 = ( 3 + i) × ( 3 − i).

Ìîæíà ïðàöþâàòè çi ñêëàäíiøèìè îá'¹êòàìè i çîáðàçèòè ÷èñëî 4 ÿê êâàäðàò äâîðÿäêîâî¨ ìàòðèöi 4

37

I. Î. Âàêàð÷óê

1

0

0

1

!

=

2

0

0

2

!

2

0

0

2

!

577

àáî iíøèì ñïîñîáîì 4

1

0

0

1

!

=

0

2

2

0

!

0

2

2

0

!

.

Òîáòî ìè ìîæåìî ãîâîðèòè ïðî ìàòðèöþ 0

2

2

0

!

ÿê ïðî êîðiíü êâàäðàòíèé ç 4. Òàêèõ ìàòðèöü, êâàäðàò ÿêèõ äà¹ 4, ìîæíà íàáðàòè ÿê åðìiòîâèõ, òàê i íå åðìiòîâèõ öiëèé ðÿä: 0 2i

−2i

!

,

0

√

√

0 3+i

0

2e−iπ/4

2eiπ/4

0

3−i 0

!

=

√

!

,

0

√ √

2(1 + i)

0

√

5+1

2(1 − i)

5−1 0

!

,

!

0

, ....

Êîæíà ç íèõ äà¹ êîíêðåòíó ðåàëiçàöiþ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî ç 4. Äëÿ iíøèõ ÷èñåë ÷èòà÷ ñàì ëåãêî çíàéäå ïîäiáíi çîáðàæåííÿ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî. Äiðàê, íåñòàíäàðòíî äîáóâøè êîðiíü êâàäðàòíèé, çíàéøîâ îäíå ç êîíêðåòíèõ çîáðàæåíü äëÿ ãàìiëüòîíiàíà, ÿêå ðåàëiçó¹òüñÿ â íàøîìó Âñåñâiòi, çîêðåìà äëÿ åëåêòðîíiâ. Ìîæëèâî, ¹ é iíàêøi íåòðèâiàëüíi çîáðàæåííÿ öüîãî êîðåíÿ, ÿêi äàäóòü îïèñ iíøèõ ÿâèù ó Âñåñâiòi, ÿêèé ìè ñïîñòåðiãà¹ìî, àáî â iíøèõ Ñâiòàõ. 71. iâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi

Ïåðåéäåìî òåïåð äî âñòàíîâëåííÿ ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi ç ðiâíÿííÿ Äiðàêà. Ç öi¹þ ìåòîþ ÿâíî âèïèøåìî ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, à òàêîæ ñïðÿæåíå äî íüîãî ðiâíÿííÿ:

i~ −i~

∂ψ ∂t

∂ψ + ∂t

ˆ ˆ = −i~c(α∇)ψ + mc2 βψ, ˆ ˆ + mc2 ψ + β, = i~c(∇ψ + α)

äå ìàòðèöÿ-ðÿäîê

ψ + = (ψ1∗ ψ2∗ ψ3∗ ψ4∗ ). 578

Ïðèãàäà¹ìî òàêîæ, ùî ïðè ñïðÿæåííi äîáóòêó ìàòðèöü îòðèìó¹ìî äîáóòîê ñïðÿæåíèõ ìàòðèöü ó çâîðîòíîìó ïîðÿäêó. Ïîìíîæèìî ïåðøå ðiâíÿííÿ íà ψ + çëiâà, à äðóãå íà ψ ñïðàâà i âiçüìåìî ¨õíþ ðiçíèöþ:

i~ψ +

∂ψ ∂ψ + ˆ ˆ + i~ ψ = −i~cψ + (α∇ψ) − i~c(∇ψ + α)ψ, ∂t ∂t

àáî

∂ + ˆ (ψ ψ) = −c∇(ψ + αψ). ∂t Âèäíî, ùî öå ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi ∂ρ + div j = 0, ∂t ïðè÷îìó ãóñòèíà éìîâiðíîñòi ρ = ψ + ψ , à ãóñòèíà ïîòîêó éìîâiðíîñòi ˆ j = cψ + αψ. Ñóòò¹âî, ùî ãóñòèíà éìîâiðíîñòi ρ â òåîði¨ Äiðàêà ¹ äîäàòíî âèçíà÷åíîþ âåëè÷èíîþ. Äiéñíî,   ψ1     ∗ ∗ ∗ ∗  ψ2  ρ = (ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 )   = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + |ψ3 |2 + |ψ4 |2 ≥ 0.  ψ3    ψ4

Îòæå, ìè ïîçáàâëåíi òðóäíîùiâ ç iíòåðïðåòàöi¹þ öi¹¨ âåëè÷èíè, ÿê öå áóëî â òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà. Îäíèì íåñïîäiâàíèì i âäàëèì ñïîñîáîì îá÷èñëåííÿ êâàäðàòíîãî êîðåíÿ, òàêèì ñîái deus ex ma hina, Äiðàê âèðiøèâ óñi ïðîáëåìè. 72. Ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó â òåîði¨ Äiðàêà

Ó íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ îðáiòàëüíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó ˆ ˆ ] ¹ iíòå ðàëîì ðóõó äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ç ãàìiëüòîíiàíîì L = [ˆrp ˆ =p ˆ 2 /2m: H

ˆ H] ˆ = 0. [L, 37*

579

Âèÿâëÿ¹òüñÿ, îäíàê, ùî äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè â òåîði¨ Äiðàêà ïðîåêöi¨ îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó âæå íå ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó. Ùîá ïåðåêîíàòèñü ó öüîìó, äîñòàòíüî îá÷èñëèòè êîìóòàòîð áóäüˆ ç ãàìiëüòîíiàíîì Äiðàêà H ˆ D . Âèáåðåÿêî¨ ç ïðîåêöié îïåðàòîðà L ˆ ìî, íàïðèêëàä, ïðîåêöiþ Lx . Êîìóòàòîð

ˆ ˆx, H ˆ D ] = [ˆ ˆ p)c + mc2 β] [L y pˆz − zˆpˆy , (αˆ = [ˆ y pˆz − zˆpˆy , (ˆ αx pˆx + α ˆ y pˆy + α ˆ z pˆz )c] = [ˆ y pˆz , α ˆy pˆy ]c − [ˆ z pˆy , α ˆ z pˆz ]c = i~c(ˆ αy pˆz − α ˆ z pˆy ) ˆ p]x . = i~c[αˆ Àíàëîãi÷íî îá÷èñëèâøè êîìóòàòîð ç iíøèìè êîìïîíåíòàìè, ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæåìî çàïèñàòè:

ˆ H ˆ D ] = i~c[αˆ ˆ p]. [L, Ùîá íå áóëî íåïîðîçóìiíü: çëiâà â ðiâíÿííi ìà¹ìî êîìóòàòîð, à ñïðàâà âåêòîðíèé äîáóòîê. Êðiì òîãî, ïàì'ÿòà¹ìî, ùî äëÿ ñòâîˆ ¹ îäèíè÷íà ìàòðåííÿ ïîòðiáíî¨ ðîçìiðíîñòi ïîðÿä ç îïåðàòîðîì L ðèöÿ. Ìè îòðèìàëè, ùî

ˆ D ] 6= 0 [L, H ˆ íå ¹ iíòå ðàëîì ðóõó. i, òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîð L Íåâàæêî âèïðàâèòè ñèòóàöiþ i çíàéòè îïåðàòîð, ÿêèé ó ñóìi ç ˆ óòâîðþ¹ iíòå ðàë ðóõó. Äëÿ öüîãî íåîáõiäíî âèêîîïåðàòîðîì L íàòè äåêiëüêà âïðàâ íà îá÷èñëåííÿ êîìóòàòîðiâ ðiçíèõ îïåðàòîðiâ iç ãàìiëüòîíiàíîì Äiðàêà. Çîêðåìà, ˆ ˆ D ] = [ˆ ˆ p)c + mc2 β] [ˆ σx , H σx , (αˆ ˆ = [ˆ σx , (ˆ αx pˆx + α ˆ y pˆy + α ˆ z pˆz )c + mc2 β]. Òåïåð



[ˆ σx , β] = 

580

σ ˆx 0 0

σ ˆx

 

I

0

0 −I





−

I

0

0 −I

 

σ ˆx 0 0

σ ˆx

 



Òîìó

= 

σ ˆx

0

0

−ˆ σx





−

σ ˆx

0

0

−ˆ σx



 = 0.

ˆ D ] = cˆ [ˆ σx , H py [ˆ σx , α ˆy ] + cˆ pz [ˆ σx , α ˆ z ]. Îá÷èñëèìî òåïåð êîìóòàòîðè â ïðàâié ÷àñòèíi öüîãî ðiâíÿííÿ:       σ ˆx 0 0 σ ˆy 0 σ ˆy σ ˆ 0  −  x  [ˆ σx , α ˆy ] =  0 σ ˆx σ ˆy 0 σ ˆy 0 0 σ ˆx



=  

= 

0

σ ˆx σ ˆy

σ ˆx σ ˆy

0



−

0

[ˆ σx , σ ˆy ]

[ˆ σx , σ ˆy ]

0

Ïðèãàäà¹ìî, ùî



0

σ ˆy σ ˆx

σ ˆy σ ˆx

0



 

.

[ˆ σx , σ ˆy ] = 2iˆ σz , i òîìó

[ˆ σx , α ˆ y ] = 2iˆ αz . Àíàëîãi÷íî äëÿ äðóãîãî êîìóòàòîðà îòðèìà¹ìî

[ˆ σx , α ˆz ] = −2iˆ αy . Îòæå,

ˆ D ] = cˆ ˆ p]x . [ˆ σx , H py 2iˆ αz − cˆ pz 2iˆ αy = −2ic[αˆ Òåïåð, çáèðàþ÷è ðàçîì êîìóòàòîðè äëÿ iíøèõ êîìïîíåíò, îäåðæèìî, ùî

ˆ D ] = −2ic[αˆ ˆ H ˆ p]. [σ, 581

Íåâàæêî çàóâàæèòè, ùî êîëè öåé âèðàç ïîìíîæèòè íà ~/2 i äîˆ çH ˆ D , òî ìàòèìåìî äàòè äî êîìóòàòîðà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó L íóëü:

ˆ H ˆ D ] + ~ [σ, ˆ D] = 0 ˆ H [ L, 2 àáî

~ ˆ ˆ ˆ HD = 0. L + σ, 2

Âèõîäèòü, ùî îïåðàòîð

ˆ= L ˆ + ~σ ˆ J 2 êîìóòó¹ ç ãàìiëüòîíiàíîì Äiðàêà, à îòæå, âií ¹ iíòå ðàëîì ðóõó. ˆ = 0, òîáòî ìè ßêùî îðáiòàëüíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó L ðîçãëÿäà¹ìî ÷àñòèíêó â ñèñòåìi êîîðäèíàò, ó ÿêié âîíà ÿê öiëå íå ðóõà¹òüñÿ, òî âåëè÷èíà

ˆ = ~ σ. ˆ J 2 Òàêèì ÷èíîì, öå ¹ íå ùî iíøå, ÿê âëàñíèé ìåõàíi÷íèé ìîìåíò ÷àñòèíêè, àáî, ÿê êàæóòü, ñïií ÷àñòèíêè. Éîãî ïîçíà÷àþòü òàêîæ ÷åðåç ˆs:

ˆs =

~ ˆ σ. 2

Êîìïîíåíòè öüîãî îïåðàòîðà ïiäêîðÿþòüñÿ çâè÷àéíèì êîìóòàöiéíèì ñïiââiäíîøåííÿì äëÿ ìîìåíòó iìïóëüñó

[ˆ sx , sˆy ] = i~ˆ sz , [ˆ sz , sˆx ] = i~ˆ sy , [ˆ sy , sˆz ] = i~ˆ sx , ÿêi âèïëèâàþòü ç àë åáðè ìàòðèöü Ïàóëi, i äiþòü âîíè íà âíóòðiøíi ñòóïåíi âiëüíîñòi ÷àñòèíêè. Äîêëàäíî ìè äîñëiäèëè âëàñòèâîñòi öüîãî îïåðàòîðà òà éîãî âëàñíèõ óíêöié ó 35, òîìó íå áóäåìî 582

òóò ïîâòîðþâàòè öèõ îðìóë, à ëèøå íàãàäà¹ìî, ùî êâàäðàò îïåðàòîðà ñïiíó 1 ~2 2 ~2 2 2 2 23 21 2 ˆ = ˆs = σ (ˆ σ +σ ˆy + σ ˆz ) = ~ = ~ +1 . 4 4 x 4 2 2

Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî âëàñíå çíà÷åííÿ êâàäðàòà âëàñíîãî ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó ÷àñòèíêè âèçíà÷à¹òüñÿ êâàíòîâèì ÷èñëîì j = 1/2. Àáî, iíøèìè ñëîâàìè, ñïií ÷àñòèíêè, ðóõ ÿêî¨ îïèñó¹òüñÿ ðiâíÿííÿì Äiðàêà, äîðiâíþ¹ 1/2. Ùå îäèí íåñïîäiâàíèé i öiêàâèé ðåçóëüòàò: ñòðîãå îá'¹äíàííÿ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ i êâàíòîâî¨ òåîðié íàòóðàëüíî ïîðîäæó¹ íîâi ÿêîñòi içè÷íèõ îá'¹êòiâ áåç øòó÷íîãî ââåäåííÿ ¨õ ðóêàìè. 73. Âiëüíèé ðóõ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè

Äîñëiäèìî íà îñíîâi ðiâíÿííÿ Äiðàêà ðóõ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè. îáèìî ïiäñòàíîâêó i

ψ(q, t) = e− ~ Et ψ(q) i ïåðåõîäèìî äî ñòàöiîíàðíîãî ðiâíÿííÿ

ˆ D ψ = Eψ, H ˆ 2. ˆ D = (αˆ ˆ p)c + βmc H Õâèëüîâà óíêöiÿ ψ = ψ(q) çàëåæèòü ÿê âiä ïðîñòîðîâèõ, òàê i âiä ñïiíîâèõ çìiííèõ, ùî ïðåäñòàâëÿþòü âíóòðiøíi ñòóïåíi âiëüíîñòi. Ïiä q ðîçóìi¹ìî i ïðîñòîðîâi, i ñïiíîâi çìiííi. Îñêiëüêè ÷àñòèíêà âiëüíà, òî ¨¨ õâèëüîâà óíêöiÿ ïðîïîðöiéíà äî ïëîñêî¨ õâèëi:

eipr/~ ψ(q) = √ U. V Ôóíêöiþ U , ÿêà çàëåæèòü âiä âíóòðiøíiõ ñòóïåíiâ âiëüíîñòi i çîáðàæà¹òüñÿ ÷îòèðèðÿäêîâîþ ìàòðèöåþ-ñòîâïöåì   U1    U   2  U = ,  U3    U4

583

íàçèâàþòü ñïiíîðîì. Ïiäñòàíîâêà óíêöi¨ ψ â ðiâíÿííÿ Äiðàêà äà¹ n o ˆ (αp)c + mc2 βˆ U = EU,

òóò p óæå ¹ iìïóëüñîì ÷àñòèíêè, à íå îïåðàòîðîì. Ç óìîâè íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ Z ψ + ψ dq = 1 âèïëèâà¹ óìîâà íîðìóâàííÿ ñïiíîðà:

U + U = 1. Çàïèøåìî òåïåð íàøå ðiâíÿííÿ â òàêîìó âèãëÿäi:       ˆ 0 (σp)c I 0   + mc2   U = EU.  (σp)c ˆ 0 0 −I  Íåõàé



U = const × 

ϕ χ



,

i ìè îòðèìó¹ìî ñèñòåìó äâîõ ìàòðè÷íèõ ðiâíÿíü   (σp)cχ ˆ + mc2 ϕ = Eϕ, àáî

 (σp)cϕ ˆ − mc2 χ = Eχ,

  (mc2 − E)ϕ + (σp)cχ ˆ = 0,  (σp)cϕ ˆ − (E + mc2 )χ = 0.

Ìà¹ìî ñèñòåìó äâîõ àë åáðà¨÷íèõ ëiíiéíèõ îäíîðiäíèõ ðiâíÿíü, óìîâîþ íåòðèâiàëüíîñòi ðîçâ'ÿçêó ÿêî¨ ¹ ðiâíiñòü íóëåâi ¨¨ âèçíà÷íèêà: 2 mc − E ˆ (σp)c = 0. 2 ˆ −(E + mc ) (σp)c 584

îçêðèâàþ÷è éîãî, ìà¹ìî àáî

ˆ 2 c2 = 0, −(mc2 − E)(E + mc2 ) − (σp) E 2 − m2 c4 − p2 c2 = 0,

òîìó ùî

ˆ 2 = p2 . (σp) Çíàõîäèìî êîðåíi öüîãî ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìî¨ âåëè÷èíè E , p E1,2 = ± p2 c2 + m2 c4 , i ââîäèìî ïîçíà÷åííÿ

E1 = E+ =

p

p2 c2 + m2 c4 ,

p E2 = E− = − p2 c2 + m2 c4 .

Ìè îòðèìàëè ñïåêòð åíåð i¨ äëÿ âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè. Ïåðøèé êîðiíü E+ öå çâè÷íèé íàì iç òåîði¨ âiäíîñíîñòi âèðàç äëÿ åíåð i¨. Äðóãèé êîðiíü E− ç âiä'¹ìíèì çíàêîì, ç ïîãëÿäó çäîðîâîãî ãëóçäó, àáî, ÿê ìè êàæåìî, ç içè÷íèõ ìiðêóâàíü, íå ñëiä áðàòè äî óâàãè. Àäæå â öüîìó âèïàäêó ìîæëèâå áåçìåæíå âèòðà÷àííÿ åíåð i¨ ÷àñòèíêè ç ïåðåòâîðåííÿì ¨¨ â êîðèñíó ðîáîòó perpetuum mobile. Îäíàê âiäêèäàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ iç âiä'¹ìíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨ ïðèâåäå äî òîãî, ùî ñèñòåìà âëàñíèõ óíêöié áóäå íåïîâíîþ. Áóäü-ÿêó õâèëüîâó óíêöiþ ìè çìîæåìî ðîçˆ D äëÿ âiëüíî¨ êëàñòè â ðÿä çà âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðà H ÷àñòèíêè ëèøå òîäi, êîëè âiçüìåìî äî óâàãè âñi ðîçâ'ÿçêè. Òàêèì ÷èíîì, íåîáåðåæíå âiäêèäàííÿ ç içè÷íèõ ìiðêóâàíü ðîçâ'ÿçêiâ ç âiä'¹ìíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨ ìîæå çàëèøèòè ïîçà ðîçãëÿäîì ÷èìàëî öiêàâèõ ÿâèù (íàñïðàâäi öå òàê i ¹). Âiäêëàäåìî îáãîâîðåííÿ öi¹¨ ïëþñ-ìiíóñ ïðîáëåìè, à çàðàç ó÷èíèìî îðìàëüíî i çáåðåæåìî âñi ðîçâ'ÿçêè ÿê iç äîäàòíèìè, òàê i ç âiä'¹ìíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨. Íåõàé òåïåð E = E+ , i ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ ñèñòåìè çíàõîäèìî

χ=

ˆ (σp)cϕ . E+ + mc2 585

Ó íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi c → ∞, E+ → mc2 áà÷èìî, ùî v χ ∼ ϕ. c Òîáòî ïðè ïåðåõîäi äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ òåîði¨ ïðè E = E+ îñíîâíó ðîëü âiäiãðà¹ óíêöiÿ ϕ, à χ ¹ ìàëîþ. Äëÿ âiä'¹ìíèõ çíà÷åíü åíåð i¨ E = E− = −E+ ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ îòðèìà¹ìî

ϕ=

ˆ ˆ (σp)cχ (σp)cχ =− . 2 E− − mc E+ + mc2

Òåïåð ïðè c → ∞, E− → −mc2 áà÷èìî, ùî v ϕ≃− χ c i îòæå, ïðè ïåðåõîäi äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ òåîði¨ îñíîâíó ðîëü âiäiãðà¹ óíêöiÿ χ. Çíàéäåìî ñòàëó íîðìóâàííÿ ó âèðàçi äëÿ U . ßêùî E = E+ , òî, âèçíà÷àþ÷è óíêöiþ χ ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ, ìà¹ìî:   ϕ   U = const ×  (σp)c . ˆ ϕ E+ + mc2 Ïiäñòàâèìî öåé âèðàç â óìîâó íîðìóâàííÿ U + U = 1 i çíàõîäèìî   ϕ ˆ (σp)c   |const|2 × ϕ+ ϕ+  = 1.  (σp)c ˆ E+ + mc2 ϕ E+ + mc2 Ïåðåìíîæóþ÷è ìàòðèöi, ìà¹ìî p2 c2 + 2 + ϕ ϕ = 1. |const| ϕ ϕ + (E+ + mc2 )2

Âèáåðåìî ϕ òàê, ùîá âîíà áóëà íîðìîâàíà íà îäèíèöþ:

ϕ+ ϕ = 1. Çâiäñè îäåðæó¹ìî ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà

586

1 const = p . 1 + p2 c2 /(E+ + mc2 )2

Âèìàãàòèìåìî, ùîá óíêöiÿ ϕ, ÿêà ¹ ãîëîâíîþ â íàøîìó âèïàäêó, áóëà âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà ïðîåêöi¨ ñïiíó σ ˆz ÷àñòèíêè íà âiñü z (à òèì ñàìèì i σ ˆ 2 ). Îòæå,

~ σ ˆz ϕ = ~mϕ, 2 Ç âèðàçó



ϕ=

m = ±1/2.

ϕ1 ϕ2

 

ïðè ϕ1 = 1, ϕ2 = 0 ìè îòðèìó¹ìî ñòàí ñïií óâåðõ   1 ϕ↑ = | ↑i =   , 0 à ïðè ϕ1 = 0, ϕ2 = 1 ìà¹ìî ñòàí ñïií óíèç   0 ϕ↓ = | ↓i =   . 1

Òåïåð çàëèøèëîñü çíàéòè ÿâíi âèðàçè äëÿ ñïiíîðà. Ñïî÷àòêó âiäøóêà¹ìî ñïiíîðíó óíêöiþ äëÿ ñòàíó ñïií óâåðõ ç åíåð i¹þ E = E+ :   1     0 1     UE+ ,↑ = p  . 2 2 2 2   1 + p c /(E+ + mc )  (σp)c 1 ˆ    E+ + mc2 0 Âèêîíàéìî ïðîñòi äi¨:         1 1 1 1 ˆ   = σ σp ˆ x px   + σ ˆ y py   + σ ˆ z pz   0 0 0 0

587



= px  

+ pz  

Òàêèì ÷èíîì,

UE+ ,↑

+ pz 

0 1 1 0 1

  0

0 −1 1 0



1 0

  

=





 + py  1 0



0 −i i

0





 = px 

pz px + ipy

0 1



 

0 

 + py 

  0 i

 

.



1





0



  0   1 pz c  =p 1 + p2 c2 /(E+ + mc2 )2   E+ + mc2   (px + ipy )c E+ + mc2

Àíàëîãi÷íî çíàõîäèìî

UE+ ,↓

1

  1   1  (px − ipy )c =p 1 + p2 c2 /(E+ + mc2 )2   E+ + mc2   −pz c E+ + mc2

    .    

    .    

Ïåðåõîäèìî òåïåð äî ðîçãëÿäó âèïàäêó âiä'¹ìíèõ çíà÷åíü åíåð i¨ E = E− = −E+ . Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ âèçíà÷à¹ìî óíêöiþ ϕ i ïiäñòàâëÿ¹ìî â U :   ˆ (σp)c χ   − U = const ×  E+ + mc2  . χ 588

Ç óìîâ íîðìóâàííÿ

U + U = 1,

χ+ χ = 1

çíàõîäèìî ñòàëó íîðìóâàííÿ, ÿêà ìà¹ òîé ñàìèé âèãëÿä, ùî i äëÿ E+ : 1 const = p . 2 2 1 + p c /(E+ + mc2 )2

Çíîâó ãîëîâíó óíêöiþ, ÿêîþ òåïåð ¹ χ, âèáèðà¹ìî âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà ñïiíó ÷àñòèíêè sˆz :

~ σ ˆz χ = ~mχ, 2

m = ±1/2, 

χ↑ = | ↑i =  

χ↓ = | ↓i = 

1 0 0 1



,



.

Ïîâòîðþþ÷è êðîêè ïîïåðåäíüîãî âèïàäêó, çíàõîäèìî ñïiíîðè:  pz c −  E+ + mc2   (px + ipy )c  − 1  UE− ,↑ = p E+ + mc2 1 + p2 c2 /(E+ + mc2 )2    1  0



UE− ,↓

    1  =p 1 + p2 c2 /(E+ + mc2 )2    

(px − ipy )c − E+ + mc2 pz c E+ + mc2 0 1

âiäïîâiäíi



    ,     

    .    

589

Äëÿ òîãî ùîá äàòè iíòåðïðåòàöiþ îòðèìàíèõ ðîçâ'ÿçêiâ, îá÷èñëèìî çà ¨õíüîþ äîïîìîãîþ ãóñòèíó ïîòîêó

ˆ j = cψ + αψ. Ïiäñòàâëÿþ÷è â öåé âèðàç ÿâíèé âèãëÿä õâèëüîâèõ óíêöié, îòðèìó¹ìî c ˆ j = U + αU. V Ïî÷íåìî ðîçðàõóíîê ç x-êîìïîíåíòè:



0 0 0 1

  c 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 1 0 jx = (U U U U )  V 1+p2 c2 /(E+ +mc2 )2 1 2 3 4  0 1 0 0  1 0 0 0 

U4





U1



   U   2     U3    U4

   U  1 c 3   (U1∗ U2∗ U3∗ U4∗ )  =  2 2 2 2   V 1 + p c /(E+ + mc )  U2  U1 =

1 c (U ∗ U4 + U2∗ U3 + U3∗ U2 + U4∗ U1 ). 2 2 V 1 + p c /(E+ + mc2 )2 1

Òåïåð êîíêðåòèçó¹ìî çàäà÷ó i îá÷èñëèìî jx äëÿ äîäàòíèõ çíà÷åíü åíåð i¨ ÷àñòèíêè çi ñïiíîì, íàïðÿìëåíèì óâåðõ U = UE+ ,↑ : c 1 (px + ipy )c (px − ipy )c jx = + V 1 + p2 c2 /(E+ + mc2 )2 E+ + mc2 E+ + mc2

590

=

2px c 1 c 2 2 2 2 V 1 + p c /(E+ + mc ) E+ + mc2

=

(E+ + mc2 )2px c2 px c2 = . V [(E+ + mc2 )2 + p2 c2 ] V E+

Ìè îòðèìàëè, òàêèì ÷èíîì,

jx =

px c2 . V E+

Öåé âèðàç ó íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi c → ∞, êîëè E+ = mc2 , ïåðåõîäèòü ó äîáðå âiäîìó îðìóëó äëÿ ãóñòèíè ïîòîêó px jx = = ρvx , Vm äå ρ = 1/V ãóñòèíà ÷àñòèíîê, à vx x-êîìïîíåíòà øâèäêîñòi. Íåõàé òåïåð åíåð iÿ E = E− = −E+ i ñïiíîð U = UE− ,↑ çîáðàæà¹ ñòàí ñïií óâåðõ. Äëÿ òi¹¨ æ x-êîìïîíåíòè âåêòîðà ïîòîêó ëåãêî îòðèìó¹ìî

jx = −

px c2 . V E+

Îòæå, äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨ E ìîæíà çàïèñàòè

jx =

px c2 , VE

à ó âåêòîðíié îðìi

pc2 . VE Ìè áà÷èìî, ùî êîëè ¹ ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Äiðàêà ç âiä'¹ìíèì çíà÷åííÿì åíåð i¨, òî âií âiäïîâiäà¹ ðóõîâi ÷àñòèíêè â ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó ùîäî ¨¨ ðóõó ïðè äîäàòíié åíåð i¨. Ùîá ïðîñóíóòèñÿ äàëi â ïîÿñíåííi îòðèìàíèõ ðîçâ'ÿçêiâ, êîðèñíî çðîáèòè ðåïëiêó âáiê i ðîçãëÿíóòè äâà ïðîñòi øêiëüíi ïðèêëàäè. Ó ïåðøîìó ïðîàíàëiçó¹ìî ðóõ íà ïëîùèíi xO y êëàñè÷íî¨ ÷àñòèíêè, ùî íåñå çàðÿä e â îäíîðiäíîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi E , íàïðÿìëåíîìó âçäîâæ îñi y , ç òàêèìè ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè: j=

t = 0,

x˙ = v,

x = 0,

y˙ = 0,

y = 0.

iâíÿííÿ ðóõó:

m¨ x = 0,

m¨ y = eE.

îçâ'ÿçêè:

x = vt, 591

eE 2 t . 2m Âèêëþ÷èìî ÷àñ i çíàéäåìî ðiâíÿííÿ òðà¹êòîði¨ eE 2 y= x . 2mv 2 Çàïèøåìî éîãî ÷åðåç ïî÷àòêîâó åíåð iþ ÷àñòèíêè E = mv 2 /2: y=

eE 2 x . 4E ßêùî ðîçãëÿíóòè òðà¹êòîðiþ ðóõó ÷àñòèíêè ç äîäàòíîþ åíåð i¹þ E = E+ i ç äîäàòíèì çàðÿäîì e+ = |e|, òî âîíà çáiãà¹òüñÿ ç òðà¹êòîði¹þ äëÿ âiä'¹ìíîãî çàðÿäó e− = −|e|, ÿêèé ìà¹ âiä'¹ìíó åíåð iþ E = E− = −E+ . À òðà¹êòîðiÿ ÷àñòèíêè iç çàðÿäîì e i âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ çáiãà¹òüñÿ ç òðà¹êòîði¹þ ÷àñòèíêè, ùî ìà¹ ïðîòèëåæíèé çàðÿä (−e) i äîäàòíó åíåð iþ. Öå iëþñòðó¹ ðèñ. 61. y=

èñ. 61. Êëàñè÷íà òðà¹êòîðiÿ ðóõó ÷àñòèíêè â åëåêòðè÷íîìó ïîëi. Äðóãèé ïðèêëàä öå ðóõ çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè â îäíîðiäíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi íàïðóæåíîñòi H. iâíÿííÿ ðóõó: e p˙ = [vH]. c Îñêiëüêè v = const, òî ç âèðàçó

592

p= p

mv 1 − v 2 /c2

=

E v c2

çíàõîäèìî

v˙ =

ec [vH]. E

Çíîâó ìè áà÷èìî, ùî çàêîíè ðóõó çàëåæàòü ëèøå âiä çíàêà âiäíîøåííÿ e/E : òîáòî ðóõ ç âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ öå ðóõ iç çàðÿäîì (−e). Îòæå, ìè ìîæåìî äàòè òàêó iíòåðïðåòàöiþ äëÿ ñòàíiâ ç âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ E− . õ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ñòàíè, ùî îïèñóþòü ÷àñòèíêè ç äîäàòíîþ åíåð i¹þ, àëå ç ïðîòèëåæíèì çàðÿäîì. Ïiñëÿ öèõ ïîïåðåäíiõ ìiðêóâàíü ñîðìóëþ¹ìî ãiïîòåçó Äiðàêà ùîäî ïðèðîäè âàêóóìó. Ùîá óíèêíóòè ñïîñòåðåæóâàëüíîñòi ÷àñòèíîê ç âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ, Äiðàê óâiâ îçíà÷åííÿ âàêóóìó ÿê òàêîãî ñòàíó içè÷íîãî ïðîñòîðó, ó ÿêîìó âñi ñòàíè iç âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ çàéíÿòi ÷àñòèíêàìè (ìîðå Äiðàêà), à âñi ñòàíè ç äîäàòíîþ åíåð i¹þ ¹ âiëüíèìè. Ïðè÷îìó ÿêùî ìîâà éäå ïðî åðìi-÷àñòèíêè, òàêi, ÿê åëåêòðîíè, òî â êîæíîìó ñòàíi, çãiäíî ç ïðèíöèïîì Ïàóëi, ¹ ëèøå îäíà ÷àñòèíêà. Ìè çíîâó îïèíèëèñü ïåðåä òà¹ìíèöåþ ïðèðîäè Âàêóóìó. Ñëîâà ïðî òå, ùî âñi ñòàíè ç âiä'¹ìíèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨ çàéíÿòi, ¹ íå áiëüøå íiæ çàêëèíàííÿ, îñêiëüêè âèíèêà¹ ðÿä ïðîñòèõ ïèòàíü ïðî áåçìåæíó åíåð iþ, áåçìåæíèé çàðÿä, ñòiéêiñòü i ò.ä., ÿêi çàëèøàþòüñÿ áåç âiäïîâiäi. Îòæå, äóõ Ïîðîæíå÷i íå òàê ïðîñòî ñõîïèòè5 . ßêùî ïiä äi¹þ çîâíiøíiõ ñèë îäèí ç åëåêòðîíiâ çäiéñíþ¹ êâàíòîâèé ïåðåõiä ç ìîðÿ Äiðàêà â íåçàéíÿòi ñòàíè äîäàòíî¨ åíåð i¨, òî çâiëüíåíèé ñòàí ç âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ ïîâîäèòü ñåáå ÿê ÷àñòèíêà ç äîäàòíîþ åíåð i¹þ i äîäàòíèì çàðÿäîì (äèâ. ðèñ. 62). Ñïî÷àòêó Äiðàê îòîòîæíþâàâ öi ñòàíè ç ïðîòîíàìè. Çà éîãî ñëîâàìè, ó òîé 5

Ìåiñòîåëü: . . . Òè çíà¹ø æàõ ïîðîæíÿâèõ ïðîñòîðiâ I âi÷íå áåçãîìiííÿ ñàìîòè? Ôàóñò: . . . ß é ñàì íåçãiðøå çíàâñü íà òîìó Âèâ÷àâ ïóñòå, íàâ÷àâ ïóñòîìó, I ùî ïèëüíiø çàãëèáëþâàâñÿ â ði÷, Òî áiëüøå â íié ÿâëÿëîñü ïðîòèði÷. (É.-Â. åòå Ôàóñò. Ïåðåêëàä Ì. Ëóêàøà.)

38

I. Î. Âàêàð÷óê

593

÷àñ íå òàê ëåãêî áóëî íàâàæèòèñü, ÿê òåïåð, íà íîâó ÷àñòèíêó, òîìó âií îáåðåæíî ïiäõîäèâ äî iíòåðïðåòàöi¨ äiðêîâèõ ñòàíiâ. îçâèíóòà íèì òåîðiÿ ¹ ñèìåòðè÷íîþ ñòîñîâíî ÷àñòèíîê ç âiä'¹ìíèì òà äîäàòíèì çàðÿäàìè, i, íà äóìêó Äiðàêà, âiäïîâiäàëüíîþ çà ñïîñòåðåæóâàíó àñèìåòðiþ âëàñòèâîñòåé åëåêòðîíà i ïðîòîíà ìîãëà áóòè ìiæåëåêòðîííà âçà¹ìîäiÿ. Äiðàê óñâiäîìëþâàâ ¨¨ íåäîñòàòíiñòü äëÿ ïîÿñíåííÿ òàêî¨ âåëèêî¨ ðiçíèöi ¨õíiõ ìàñ i çàâåðøèâ ñâîþ êíèæêó (P. A. M. Dira . The prin iples of quantum me hani s. Oxford, 1930) ñëîâàìè: ìîæëèâî, ùî óñóíóòè öþ òðóäíiñòü ìîæíà áóäå òîäi, êîëè êðàùå ðîçóìiòèìåìî ïðèðîäó âçà¹ìîäi¨. Ïiçíiøå . Âåéëü ç ìiðêóâàíü ñèìåòði¨ ïîêàçàâ, ùî öÿ ÷àñòèíêà ïîâèííà ìàòè ìàñó åëåêòðîíà. Òàê Äiðàê òåîðåòè÷íî âiäêðèâ ïîçèòðîí.

èñ. 62. Åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè. Åêñïåðèìåíòàëüíî ïîçèòðîí âèÿâèâ àìåðèêàíñüêèé içèê Ê. Ä. Àíäåðñîí ó 1932 ðîöi â êîñìi÷íèõ ïðîìåíÿõ. Âèâ÷àþ÷è îòîãðài¨ ç êàìåðè Âiëüñîíà, âií ïîìiòèâ àíîìàëüíi òðåêè ÷àñòèíîê iç ìàñîþ, áëèçüêîþ äî ìàñè åëåêòðîíà ç äîäàòíèì åëåìåíòàðíèì çàðÿäîì. Öiêàâî, ùî àíãëiéñüêèé içèê Ï. Áëåêåòò ìàâ âåëèêó ñåðiþ îòîãðàié ç òàêèìè òðåêàìè, àëå âií õîòiâ äîâåñòè ñòðîãî, ùî öå ÷àñòèíêè, íàïðÿìîê ðóõó ÿêèõ ñïðÿìîâàíèé äî êàìåðè Âiëüñîíà, à íå ç íå¨, òîáòî, ùî öi ÷àñòèíêè ñïðàâäi ìàþòü äîäàòíèé çàðÿä. Òèì ÷àñîì Ê. Ä. Àíäåðñîí, ìàþ÷è îäíó îòîãðàiþ, ç àìåðèêàíñüêîþ ïðàãìàòè÷íiñòþ îãîëîñèâ ñâié âèíà594

õiä i îòðèìàâ ó 1936 ðîöi Íîáåëiâñüêó ïðåìiþ çà âiäêðèòòÿ ïîçèòðîíà. îëîâíîþ àð óìåíòàöi¹þ äëÿ çáåðåæåííÿ ðîçâ'ÿçêiâ iç âiä'¹ìíèìè åíåð iÿìè ¹ êâàíòîâi ïåðåõîäè ç ìîðÿ Äiðàêà ó ñòàíè ç äîäàòíèìè åíåð iÿìè. Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi, äå åíåð iÿ íàáóâà¹ ëèøå íåïåðåðâíèõ çíà÷åíü, òàêi ïåðåõîäè çi ñòðèáêàìè ¹ íåìîæëèâèìè. Êâàíòîâèé ïåðåõiä åëåêòðîíà ç äiðàêiâñüêîãî ìîðÿ ñòàíiâ iç âiä'¹ìíîþ åíåð i¹þ ìîæå âiäáóâàòèñü ðiçíèìè øëÿõàìè. Íàïðèêëàä, òàêèé ïåðåõiä ìîæå áóòè ñïðè÷èíåíèé îòîíàìè, ÿêùî ¨õ åíåð iÿ áiëüøà, íiæ øèðèíà çàáîðîíåíî¨ çîíè 2mc2 . Öå ïðîöåñ íàðîäæåííÿ åëåêòðîííî-ïîçèòðîííî¨ ïàðè. Ñïîñòåðiãà¹òüñÿ i çâîðîòíèé ïðîöåñ åëåêòðîííî-ïîçèòðîííî¨ àíiãiëÿöi¨, ÿêèé, ÿê i ïðÿìèé ïðîöåñ, âèìàãà¹, âiäïîâiäíî äî çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåð i¨ iìïóëüñó, òðåòüîãî òiëà. Ïåðø íiæ àíiãiëþâàòè, ÿê ïðàâèëî, íà äâà îòîíè, åëåêòðîííî-ïîçèòðîííà ïàðà óòâîðþ¹ çâ'ÿçàíèé ñòàí, ÿêèé íàçèâàþòü ïîçèòðîíi¹ì. Ï. À. Ì. Äiðàê i ïåðåäáà÷èâ òàêå îäíî÷àñíå çíèêíåííÿ ÷àñòèíîê iç âèäiëåííÿì åíåð i¨ ó âèãëÿäi âèïðîìiíþâàííÿ. Íàñàìêiíåöü çàóâàæèìî, ùî õî÷à äëÿ öüîãî àíàëiçó ìè âèáðàëè åëåêòðîí, àëå çðîçóìiëî, ùî öÿ iíòåðïðåòàöiÿ òåîði¨ Äiðàêà çàñòîñîâíà äî âñiõ ÷àñòèíîê, ñïií ÿêèõ äîðiâíþ¹ 1/2. Âiäñòóï.

Ïðî Ï. À. Ì. Äiðàêà, ÿêèé ÷àñòî ïðîïîíóâàâ íåñïîäiâàíi ðiøåííÿ, ðîçïîâiäàþòü öiêàâó iñòîðiþ, ùî ñòîñó¹òüñÿ ïåâíîþ ìiðîþ ïðîáëåìè âiä'¹ìíèõ çíà÷åíü åíåð ié äëÿ âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè. Íà îäíié ç âå÷iðîê, ó ÿêié áðàâ ó÷àñòü ìîëîäèé Äiðàê, áóëà çàïðîïîíîâàíà çàäà÷à ïðî ðèáàëîê: òðî¹ ðèáàëîê ëîâèëè ðèáó íà îñòðîâi â ìîði, äå ¨õ çàòðèìàëà íà íi÷ áóðÿ. Ïðîêèíóâøèñü óðàíöi (áóðÿ âæå âòèõëà), îäèí iç ðèáàëîê âèðiøèâ íå áóäèòè äðóçiâ, à âçÿòè ñâîþ ÷àñòêó ðèáè é íà ñâî¹ìó ÷îâíi ïîïëèñòè íà áåðåã. Àëå âií çàóâàæèâ, ùî, ÿêùî âèëîâ ðîçäiëèòè íà òðüîõ, îäíà ðèáèíà ¹ çàéâîþ. Âií ¨¨ âèêèíóâ, óçÿâ ñâîþ äîëþ i ïîïëèâ íà áåðåã. Äðóãèé ðèáàëêà, ïðîêèíóâøèñü i íå çíàþ÷è, ùî éîãî òîâàðèø óæå âiäïëèâ, îïèíèâñÿ â òàêîìó æ ñòàíîâèùi: ùîá ðîçäiëèòè ðèáó íà òðüîõ, îäíó äîâåëîñü âèêèíóòè. Ç òðåòiì ðèáàëêîþ iñòîðiÿ ïîâòîðèëàñü. Ïèòàííÿ: ñêiëüêè áóëî ðèáèí ñïî÷àòêó? Äiðàê ìîìåíòàëüíî äàâ âiäïîâiäü, íå ñîðîìëÿ÷èñü ¨¨ àáñóðäíîñòi: áóëî ìiíóñ äâi ðèáèíè. Ç ïîãëÿäó ìàòåìàòèêè 38*

595

öå îäíà ç ìîæëèâèõ âiäïîâiäåé. Çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê öi¹¨ çàäà÷i ¹ ïðîñòèì. ßêùî áóëî N ðèáèí, òî ïiñëÿ òîãî, ÿê ïåðøèé ðèáàëêà çàáðàâ ñâîþ äîëþ, çàëèøèëîñü 2(N − 1)/3, ïiñëÿ äðóãîãî çàëèøèëîñü 2[2(N − 1)/3 − 1]/3 = 2(2N − 5)/9, à ïiñëÿ òðåòüîãî 2[2(2N − 5)/9 − 1]/3 = 2(4N − 19)/27. Îñòàíí¹ ÷èñëî ïîâèííî áóòè êðàòíèì öiëèì äî äâîõ, îñêiëüêè âîíî ðîçðàõîâóâàëîñü íà äâîõ ðèáàëîê. Îòæå, 2(4N − 19)/27 = 2m, àáî 4N − 19 = 27m, m öiëå ÷èñëî. Îñòàòî÷íî N = 5 + 7m − (1 + m)/4. Âiäïîâiäü äàþòü ÷èñëà m = 4k − 1, k = 0, ±1, ±2, . . ., m = 3, N = 25; m = 7, N = 52, . . .. Àëå âiäïîâiäü äàþòü i m = −1, N = −2; m = −5, N = −29, . . .. Ìîìåíòàëüíà âiäïîâiäü Äiðàêà N = −2, íå ñòðèìàëà éîãî ñâî¹þ íåçðîçóìiëiñòþ öå ÿñêðàâèé ïðèêëàä íåñòàíäàðòíèõ ïiäõîäiâ Ï. À. Ì. Äiðàêà äî áàãàòüîõ çàäà÷ òåîðåòè÷íî¨ içèêè (äèâíå äîáóâàííÿ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî òà îòðèìàííÿ ðiâíÿííÿ Äiðàêà, ìàãíiòíèé çàðÿä ìîíîïîëü Äiðàêà, çàêîí âåëèêèõ ÷èñåë òà ïðîáëåìè êîñìîëîãi¨, ñïií, âiä'¹ìíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ òà ïîçèòðîí. . . ). 74. Ñåðè÷íèé ñïiíîð

Âëàñíi óíêöi¨ ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó â çàãàëüíîìó âèïàäêó ìè çíàéøëè â 33. Ó 35 îêðåìî áóâ ðîçãëÿíóòèé âèïàäîê äëÿ ñïiíó 1/2, òîáòî êîëè êâàíòîâå ÷èñëî, ùî âèçíà÷à¹ âëàñíå çíà÷åííÿ êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó i ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ éîãî ïðîåêöi¨ j = 1/2. Òóò ìè äîñëiäèìî âèïàäîê, êîëè ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó âèçíà÷à¹òüñÿ ñóìîþ îðáiòàëüíîãî i ñïiíîâîãî ìîìåíòiâ:

ˆ= L ˆ + ˆs, J ˆs =

~ ˆ σ. 2

ˆ ¹, î÷åâèäíî, Ïðàâèëà êîìóòàöi¨ äëÿ êîìïîíåíò ïîâíîãî ìîìåíòó J ˆ òà ˆs. Êîìïîíåíòè òèìè ñàìèìè, ùî é äëÿ êîìïîíåíò îïåðàòîðiâ L ˆ îïåðàòîðiâ ˆs òà L êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ, îñêiëüêè äiþòü íà ðiçíi ˆ íà ïðîñòîðîâi êîîðäèíàòè ÷àñòèíêè, à ˆs çìiííi: îïåðàòîð L íà ñïiíîâi çìiííi, ùî ïðåäñòàâëÿþòü ¨¨ âíóòðiøíi ñòóïåíi âiëüíîñˆ êîìóòó¹ ç éîãî òi. Ç óâàãè íà öå áóäü-ÿêà êîìïîíåíòà îïåðàòîðà J 2 ˆ êâàäðàòîì J . Îòæå, âîíè ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié i âiäïîâiäíî âëàñíèõ çíà÷åíü: ~2 j(j + 1) òà ~m. Êðiì òîãî, 596

ˆ 2 êîìóòó¹ ç L ˆ 2 i ˆs2 . Ñïðàâäi, îïåðàòîð J ˆ2 = L ˆ 2 + ˆs2 + 2 Lˆ ˆs = L ˆ 2 + ˆs2 + 2(L ˆ x sˆx + L ˆ y sˆy + L ˆ z sˆz ), J ˆ 2 êîìóòó¹ ñàì çi ñîáîþ òà ç êîìïîíåíòàìè L ˆx, L ˆy, L ˆz, i îñêiëüêè L 2 2 ˆ à òàêîæ ç ˆs òà sˆx , sˆy , sˆz , òî âií êîìóòó¹ i ç J . Òå æ ñàìå ñòîˆ2, L ˆ 2 , ˆs2 ìàþòü ñïiëüíó ñó¹òüñÿ îïåðàòîðà ˆs2 . Îòæå, îïåðàòîðè J ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié i ïðåäñòàâëÿþòü âåëè÷èíè, ÿêi ìîæóòü áóòè âèìiðÿíèìè îäíî÷àñíî. àçîì ç íèìè ìîæå áóòè âèìiðÿíèì i ñêàëÿðíèé äîáóòîê ˆ2 − L ˆ 2 − ˆs2 ), ˆ s = 1 (J Lˆ 2 ÿê i äîáóòîê

ˆ s = 1 (J ˆ2 − L ˆ 2 + ˆs2 ). Jˆ 2 Âëàñíi çíà÷åííÿ öèõ âåëè÷èí âiäïîâiäíî äîðiâíþþòü ~2 3 j(j + 1) − l(l + 1) − 2 4 òà 3 ~2 j(j + 1) − l(l + 1) + . 2 4

Êâàíòîâå ÷èñëî j , çãiäíî ç çàãàëüíèì ïðàâèëîì äîäàâàííÿ ìîìåíòiâ ç 33, ìîæå íàáóâàòè òàêi çíà÷åííÿ: j = l ± 1/2. Çíàéäåìî òåïåð ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié äëÿ âñiõ öèõ êîìóòóþ÷èõ ìiæ ñîáîþ îïåðàòîðiâ. Ïèøåìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi óíêöi¨ òà âëàñíi çíà÷åííÿ:

ˆ 2 ψ = ~2 j(j + 1)ψ, J Jˆz ψ = ~mψ. Ôóíêöiÿ ψ ¹ äâîðÿäêîâîþ ìàòðèöåþ-ñòîâïöåì:   ψ1 . ψ= ψ2

597

Çàïèøåìî ïåðøå ðiâíÿííÿ â ÿâíié îðìi, ðîçêðèâàþ÷è êâàäðàò ˆ: îïåðàòîðà J 2

ˆ + ˆs2 + 2 Lˆ ˆ s)ψ = ~2 j(j + 1)ψ. (L ˆ 2 òà ˆs2 , ìà¹ìî Çâàæàþ÷è íà òå, ùî ψ ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ L 3 2 2 2 ˆσ ˆ − ~ j(j + 1) ψ = 0, ~ l(l + 1) + ~ + ~ L 4

ïðè÷îìó ψ1 òà ψ2 ¹ ñåðè÷íèìè óíêöiÿìè ç îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l. îçïèøåìî ìàòðèöi:    1 0 ψ 3  1  ~2 l(l + 1) + ~2 − ~2 j(j + 1)  4 0 1 ψ2





ˆx  + ~L 

ˆz  + ~L

0 1 1 0

1 0 0 −1





ˆy   + ~L    

ψ1 ψ2

0 −i i



0

 

 = 0.

Çâiäñè çíàõîäèìî ñèñòåìó äâîõ ðiâíÿíü äëÿ ψ1 òà ψ2 : 3 ˆ x − iL ˆ y )ψ2 + ~L ˆ z ψ1 = 0, ~2 l(l + 1) + − j(j + 1) ψ1 + ~(L 4 2

~

3 ˆ x + iL ˆ y )ψ1 − ~L ˆ z ψ2 = 0. l(l + 1) + − j(j + 1) ψ2 + ~(L 4

ßêùî ïðèéíÿòè â äðóãîìó ðiâíÿííi ψ1 = C1 Yl,m i âðàõóâàòè, ùî p ˆ x + iL ˆ y )Yl,m = ~ (l + 1 + m)(l − m) Yl,m+1 , (L

òî äëÿ éîãî çàäîâîëåííÿ íåîáõiäíî âçÿòè ψ2 = C2 Yl,m+1 . Ïðè öüîìó çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ i ïåðøå ðiâíÿííÿ òîìó, ùî p ˆ x − iL ˆ y )Yl,m+1 = ~ (l − m)(l + m + 1) Yl,m . (L 598

Îòæå, ìà¹ìî: p 3 l(l + 1) + − j(j + 1) + m C1 + (l − m)(l + m + 1) C2 = 0, 4

p

3 (l + 1 + m)(l − m)C1 + l(l + 1)+ −j(j + 1)−(m + 1) C2 = 0. 4

Âèçíà÷íèê öi¹¨ ñèñòåìè ëiíiéíèõ îäíîðiäíèõ ðiâíÿíü ïîâèíåí äîðiâíþâàòè íóëåâi: 3 3 l(l + 1) + − j(j + 1) + m l(l + 1) + − j(j + 1) − (m + 1) 4 4

−(l − m)(l + m + 1) = 0. Öå áiêâàäðàòíå ðiâíÿííÿ äëÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà j ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî j > 0, äà¹, ÿê i ïîâèííî áóòè:

1 j =l± . 2 Íåõàé j = l + 1/2. Ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ äëÿ êîåiöi¹íòiâ C1 , C2 çíàõîäèìî, ùî r l−m C2 = C1 . l+m+1 ßêùî j = l − 1/2, òî öå ðiâíÿííÿ äà¹ r l+m+1 C1 . C2 = − l−m

Òàêèì ÷èíîì, äëÿ j = l + 1/2 óíêöiÿ   Yl,m . ψ = C1  q l−m Y l,m+1 l+m+1 Ç óìîâè íîðìóâàííÿ

Z

ψ + ψdq = 1 599

çíàõîäèìî ñòàëó íîðìóâàííÿ C1 : Z l−m ∗ 2 ∗ |C1 | dΩ Yl,m (θ, ϕ)Yl,m (θ, ϕ)+ (θ, ϕ)Yl,m+1 (θ, ϕ) =1. Y l+m+1 l,m+1 Îñêiëüêè ñåðè÷íi óíêöi¨ íîðìîâàíi, òî çâiäñè r l+m+1 C1 = . 2l + 1 Îòæå, äëÿ j = l + 1/2 õâèëüîâà óíêöiÿ  q  l+m+1 Y (θ, ϕ) l,m (j) 2l+1 . ψl,m =  q l−m 2l+1 Yl,m+1 (θ, ϕ)

Àíàëîãi÷íî äëÿ âèïàäêó j = l − 1/2 ìà¹ìî   q l−m Y (θ, ϕ) 2l+1 l,m (j) . ψl,m =  q − l+m+1 Y (θ, ϕ) l,m+1 2l+1 Öi óíêöi¨ íàçèâàþòü ñåðè÷íèìè ñïiíîðàìè. 75. iâíÿííÿ Ïàóëi

Íàñ öiêàâèòèìå íåðåëÿòèâiñòñüêèé ïåðåõiä ó ðiâíÿííi Äiðàêà äëÿ ÷àñòèíêè iç çàðÿäîì e â åëåêòðîìàãíiòíîìó ïîëi ç ïîòåíöiàëàìè V òà A:

ˆ D ψ = Eψ, H e ˆ 2. ˆ D = α, ˆ p ˆ − A c + eV + βmc H c

Çäiéñíèìî â öüîìó ðiâíÿííi îðìàëüíèé ðîçêëàä çà ñòåïåíÿìè 1/c. Çàïèøåìî éîãî ÿê ñèñòåìó äâîõ ìàòðè÷íèõ ðiâíÿíü o n e ˆ 2 ψ = Eψ. ˆ p ˆ − A c + eV + βmc α, c 600

 e  ˆ p ˆ− A c 0 σ, c  e  ˆ p ˆ− A c 0 σ, c       ϕ I 0  mc2  =E +  χ 0 −I





 + eV  ϕ χ



I

0

0 I

 



àáî â ÿâíîìó âèãëÿäi e ˆ p ˆ − A cχ + eV ϕ + mc2 ϕ = Eϕ, σ, c e ˆ p ˆ − A cϕ + eV χ − mc2 χ = Eχ. σ, c Áóäåìî ðîçãëÿäàòè ðóõ âëàñíå åëåêòðîíà, êîëè E > 0 i ãîëîâíîþ ¹ óíêöiÿ ϕ. Ìè âèêëþ÷à¹ìî ïîçèòðîííi ñòàíè ïiäñòàíîâêîþ â ïåðøå ðiâíÿííÿ ñèñòåìè óíêöi¨ 1 e ˆ ˆ χ= c A ϕ, σ, p − E + mc2 − eV c âèçíà÷åíî¨ ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ. Òåïåð äëÿ óíêöi¨ ϕ ç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ ìà¹ìî: e e c2 ˆ p ˆ − A +eV ϕ = (E − mc2 )ϕ. ˆ p ˆ− A σ, σ, c E + mc2 − eV c Âiäðàõîâóþ÷è åíåð iþ âiä åíåð i¨ ñïîêîþ E = mc2 + E ′ , çàïèøåìî öå ðiâíÿííÿ â òàêîìó âèãëÿäi: 1 e 1 e ˆ p ˆ− A ˆ p ˆ − A +eV ϕ = E ′ ϕ. σ, σ, 2m c 1 + (E ′ − eV )/2mc2 c

Òåïåð ìè ìà¹ìî çìîãó ïåðåéòè â íüîìó äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ ìåæi, êîëè

(E ′ − eV )/2mc2 ≪ 1.

Êâàçiðåëÿòèâiñòñüêå íàáëèæåííÿ ç òî÷íiñòþ äî 1/c îòðèìà¹ìî, ÿêùî çíåõòó¹ìî öèì ÷ëåíîì ó çíàìåííèêó ïåðøîãî äîäàíêà â ðiâíÿííi: # " 2 ˆ p ˆ − ec A σ, + eV ϕ = E ′ ϕ. 2m 601

îçïèøåìî òåïåð êâàäðàò îïåðàòîðà â íüîìó. îçãëÿíüìî çàãàëüˆ σb) ˆ âõîäÿòü äîâiëüíi îïåðàòîðè íiøèé âèïàäîê, êîëè ó âèðàç (σa)( a òà b. Ìà¹ìî:

ˆ σb) ˆ = (ˆ (σa)( σx ax + σ ˆy ay + σ ˆz az )(ˆ σx bx + σ ˆ y by + σ ˆ z bz ) =σ ˆx2 ax bx + σ ˆy2 ay by + σ ˆz2 az bz + σ ˆx σ ˆy ax by + σ ˆy σ ˆx ay bx + σ ˆx σ ˆz ax bz +ˆ σz σ ˆx az bx + σ ˆy σ ˆz ay bz + σ ˆz σ ˆy az by = ax bx + ay by + az bz +iˆ σz (ax by − ay bx ) + iˆ σy (az bx − ax bz ) + iˆ σx (ay bz − az by ) ˆ = (ab) + i(σ[ab]). Ó íàøîìó âèïàäêó

ˆ − eA/c a=b=p i, òàêèì ÷èíîì, h e 2 e i e 2 e ˆ p ˆ− A = p ˆ− A . ˆ − A +i σ ˆ p ˆ − A, p σ, c c c c Òåïåð h e i e e ˆ − A = [ˆ ˆ ] − (−i~)[∇A] ˆ − A, p pp p c c c

+

e e e2 ie~ [Aˆ p] − [Aˆ p] + 2 [AA] = rot A. c c c c

Ïåðøèé i îñòàííié äîäàíêè äîðiâíþþòü íóëåâi, à â òðåòüîìó äîˆ íàïðàâî äàíêó ìà¹ìî çíàê + òîìó, ùî ïåðåíåñåííÿ îïåðàòîðà p ˆ i âåêòîðíèé äîáóòîê ïðè öüîìó çìiíþ¹ çíàê. ìiíÿ¹ ìiñöÿìè A òà p Îòæå, e 2 e 2 e~ ˆ p ˆ− A = p ˆ ˆ − A − (σH), σ, c c c

äå H = rot A íàïðóæåíiñòü ìàãíiòíîãî ïîëÿ. Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìà¹ìî ðiâíÿííÿ ) ( 2 ˆ − ec A p e~ ˆ − (σH) + eV ϕ = E ′ ϕ. 2m 2mc 602

Öå i ¹ ðiâíÿííÿ Ïàóëi (1927 ð.). Äðóãèé äîäàíîê ó íüîìó

ˆ = − e~ (σH) ˆ ∆1 H 2mc ìà¹ ïðîçîðèé içè÷íèé çìiñò. Ïåðåïèøåìî éîãî òàê:

ˆ = −(ˆ ∆1 H µH),

äå

ˆ= µ

e~ ˆ σ 2mc

ìà¹ çìiñò îïåðàòîðà âëàñíîãî ìàãíiòíîãî ìîìåíòó ÷àñòèíêè. Îòæå, öåé äîäàíîê ó ðiâíÿííi ¹ îïåðàòîðîì åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ âëàñíîãî ìàãíiòíîãî ìîìåíòó ÷àñòèíêè iç çîâíiøíiì ìàãíiòíèì ïîëåì. Çàˆ ÷åðåç îïåðàòîð ñïiíó ˆs = ~σ/2 ˆ ( iðîìàãíiòíå ïèøåìî îïåðàòîð µ ñïiââiäíîøåííÿ):

ˆ = −gµBˆs, µ

äå µB = |e|/2mc ìàãíåòîí Áîðà, à g = 2 òàê çâàíèé gàêòîð. Öåé g-àêòîð âèçíà÷à¹ âiäíîøåííÿ ìàãíiòíîãî ìîìåíòó äî ìåõàíi÷íîãî i ó âèïàäêó îðáiòàëüíîãî ðóõó åëåêòðîíà äîðiâíþ¹ îäèíèöi. ßê áà÷èìî, ç òåîði¨ Äiðàêà âèïëèâà¹ íå ëèøå íàÿâíiñòü âëàñíîãî ìåõàíi÷íîãî ìîìåíòó ÷àñòèíêè, à é âëàñíîãî ìàãíiòíîãî ìîìåíòó. ßêùî ïiä m ðîçóìiòè ìàñó åëåêòðîíà, òî îòðèìó¹òüñÿ äîáðå óçãîäæåííÿ ìiæ îá÷èñëåíèì é åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíèì çíà÷åííÿìè ìàãíiòíîãî ìîìåíòó. Îòæå, ðiâíÿííÿ Äiðàêà ç âåëèêîþ òî÷íiñòþ îïèñó¹ ïîâåäiíêó åëåêòðîíiâ. Çàñòîñóâàííÿ ðiâíÿííÿ Äiðàêà äî òàêèõ ÷àñòèíîê, ÿê ïðîòîí àáî íåéòðîí, íå ¹ òàêèì óñïiøíèì, õî÷à äåÿêi âèñíîâêè, íàïðèêëàä, ïðî iñíóâàííÿ àíòè÷àñòèíîê, ñòîñîâíi i äî íèõ. Îäíàê êiëüêiñíî ìàãíiòíi ìîìåíòè öèõ ÷àñòèíîê âiäðiçíÿþòüñÿ âiä òîãî, ùî äà¹ òåîðiÿ. Äëÿ ïðîòîíà g-àêòîð äîðiâíþ¹ íå 2, à 2.793, ÿêùî ìàãíiòíèé ìîìåíò âèìiðþâàòè â ÿäåðíèõ ìàãíåòîíàõ6 . 6

Íàñïðàâäi g -àêòîð åëåêòðîíà ¹ òàêîæ áiëüøèì, íiæ 2. Öå ðåçóëüòàò âçà¹ìîäi¨ åëåêòðîíà ç íóëüîâèìè êîëèâàííÿìè âàêóóìó (òàê çâàíi ðàäiàöiéíi ïîïðàâêè): g = 2(1 + α/2π + . . .), α = e2 /~c ≃ 1/137. Åêñïåðèìåíòàëüíî öåé àíîìàëüíèé ìàãíiòíèé ìîìåíò åëåêòðîíà âèìiðÿâ ó 1949 ðîöi àìåðèêàíñüêèé içèê óêðà¨íñüêîãî ïîõîäæåííÿ Ïîëiêàðï Êóù (P. Kus h), ÿêèé çà öþ ðîáîòó áóâ íàãîðîäæåíèé ó 1955 ðîöi Íîáåëiâñüêîþ ïðåìi¹þ.

603

Çàóâàæèìî, ùî íåñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Ïàóëi îïèñó¹, ÿê i ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, ëèøå îáîðîòíi ïðîöåñè, îñêiëüêè çàìiíà t íà ˆ ∗ íà (−σ) ˆ äà¹ òå æ ñàìå ðiâíÿííÿ äëÿ õâèëüîâî¨ (−t), A íà (−A), σ óíêöi¨, ÿêà îïèñó¹ îáåðíåíèé ó ÷àñi ðóõ. 76. Êâàçiðåëÿòèâiñòñüêå

íàáëèæåííÿ ðiâíÿííÿ Äiðàêà. Ñïií-îðáiòàëüíà âçà¹ìîäiÿ

Ïåðåõîäèìî òåïåð äî íàñòóïíîãî íàáëèæåííÿ ðiâíÿííÿ Äiðàêà çà ïàðàìåòðîì 1/c. Äëÿ öüîãî â òî÷íîìó ðiâíÿííi äëÿ óíêöi¨ ϕ ç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà âðàõó¹ìî, êðiì ïåðøîãî ÷ëåíà ðîçêëàäó, òîáòî îäèíèöi, äðóãèé ÷ëåí ëiíiéíèé çà ìàëèì ïàðàìåòðîì (E ′ − eV )/2mc2 : ) ( ˆ p ˆ − ec A σ, e (E ′ − eV ) ˆ p ˆ − A + eV ϕ = E ′ ϕ. + . . . σ, 1− 2m 2mc2 c

Ïåðøèé äîäàíîê ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ äà¹ âæå çíàéîìå íàì ðiâˆ äî íåðåëÿòèâiñòñüêîãî ãàìiëüòîíiíÿííÿ Ïàóëi ç ïîïðàâêîþ ∆1 H àíà. Äðóãèé äîäàíîê äà¹ íàñòóïíó ïîïðàâêó, ïðè÷îìó ìè çáåðåæåìî ëèøå ÷ëåíè, ïðîïîðöiéíi äî 1/c2 : ′ ˆ ˆ (ˆ p − eA/c)2 ( σ p ) E − eV ˆ− ˆp ˆ ) ϕ = E ′ ϕ. + eV + ∆1 H (σ 2m 2m 2mc2

Ïàì'ÿòà¹ìî òàêîæ, ùî óíêöiÿ ϕ íå ¹ øðåäèí åðiâñüêîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, òîìó ùî âîíà íîðìó¹òüñÿ ðàçîì iç óíêöi¹þ χ: Z (ϕ+ ϕ + χ+ χ)dq = 1. Îñêiëüêè óíêöiÿ

χ = =

1 e ˆ ˆ c A ϕ σ, p − E + mc2 − eV c

ˆ p ˆ − ec A σ, 1 ϕ, 1 + (E ′ − eV )/2mc2 2mc

òî ç ïîòðiáíîþ íàì òî÷íiñòþ

χ= 604

ˆp ˆ) (σ ϕ 2mc

ˆ ç i óìîâà íîðìóâàííÿ (ïåðåêèäà¹ìî ïðè öüîìó äiþ îïåðàòîðà p ϕ+ íà ϕ, êîðèñòóþ÷èñü éîãî ñàìîñïðÿæåíiñòþ) # Z " ˆp ˆ 2 σ + + ϕ ϕ+ϕ ϕ dq = 1 2mc ìà¹ âèãëÿä:

Z

ϕ 1+

ˆ2 p ϕ dq = 1. 4m2 c2

+

Óâåäåìî øðåäèí åðiâñüêó óíêöiþ 1/2 ˆ2 p ψSch = 1 + ϕ, 4m2 c2

ÿêà íîðìó¹òüñÿ áåç âàãîâîãî îïåðàòîðà (äèâ. 2) Z + ψSch dq = 1 ψSch

i òîìó ìà¹ çâè÷àéíèé çìiñò ãóñòèíè éìîâiðíîñòi. Îòæå, −1/2 ˆ2 p ψSch . ϕ= 1+ 4m2 c2

Òåïåð íàáëèæåíå ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ øðåäèí åðiâñüêî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ çàïèøåìî òàê: ˆp ˆ ) E ′ − eV (σ (ˆ p − eA/c)2 ˆ ˆp ˆ) + eV + ∆1 H − (σ 2m 2m 2mc2

× 1+

ˆ2 p 4m2 c2

−1/2

ψSch

=E 1+ ′

ˆ2 p 4m2 c2

−1/2

ψSch .

ˆ 2 /4m2 c2 Ïîäi¹ìî çëiâà íà öå ðiâíÿííÿ îïåðàòîðîì 1 + p ðèìà¹ìî: 1/2 ( ˆ2 p (ˆ p − eA/c)2 ˆ 1+ + eV + ∆1 H 4m2 c2 2m ˆp ˆ) (σ − 2m

E ′ − eV 2mc2

)

ˆp ˆ) (σ

ˆ2 p 1+ 4m2 c2

−1/2

1/2

i îò-

ψSch = E ′ ψSch . 605

Çáåðiãàþ÷è ïðèéíÿòå íàáëèæåííÿ 1/c2 , îïåðàòîðíi êîðåíi ðîçêëàäà¹ìî â ðÿä: ( ˆ2 (ˆ p − eA/c)2 p ˆ + eV + ∆1 H 1+ 8m2 c2 2m

ˆp ˆ) (σ − 2m

E ′ − eV 2mc2

)

ˆp ˆ) (σ

ˆ2 p 1− 8m2 c2

ψSch = E ′ ψSch .

Ïåðåìíîæóþ÷è öi âèðàçè ç òi¹þ æ òî÷íiñòþ, çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ: (ˆ p − eA/c)2 ˆ ˆ + eV + ∆1 H + ∆2 H ψSch = E ′ ψSch , 2m äå ïîïðàâêà äðóãîãî ïîðÿäêó äî ãàìiëüòîíiàíà çà ïàðàìåòðîì 1/c2

ˆ =− ∆2 H

ˆp ˆ ) (E ′ − eV ) (σ e ˆp ˆ) + ˆ 2 ). (σ (ˆ p2 V − V p 2m 2mc2 8m2 c2

Îòðèìàíå ðiâíÿííÿ ìà¹ âèãëÿä ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç óðàõóâàííÿì ðåëÿòèâiñòñüêèõ ïîïðàâîê. ˆ . Îïåðàòîð p ˆ çëiâà äi¹ ÿê íà ïîÏåðåòâîðèìî âèðàç äëÿ ∆2 H òåíöiàë V , òàê i íà õâèëüîâó óíêöiþ. îçïèøåìî ÿâíî öi äi¨:

ˆ = − ∆2 H −

i~ ˆ ˆp ˆ) e(σ∇V )(σ 4m2 c2

ˆp ˆ )2 e~2 ei~ (E ′ − eV ) (σ ˆ ). − ∇2 V − (∇V p 2 2 2 2mc 2m 8m c 4m2 c2

ˆp ˆ )2 = p ˆ 2 , à ïî-äðóãå, âåëèÑïðîñòèìî öåé âèðàç. Ïî-ïåðøå, (σ ′ ÷èíó (E − eV ) ìîæíà çàìiíþâàòè íà îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ˆ 2 /2m, ìàþ÷è íà óâàçi, ùî ðîçðàõóíîê ñåðåäíiõ çíà÷åíü, çà òåîðip ¹þ çáóðåíü, çäiéñíþ¹òüñÿ íà õâèëüîâèõ óíêöiÿõ íóëüîâî¨ çàäà÷i, òîìó: ˆ4 p 2m

ˆ2 = p

ˆ2 p ˆ 2 (E ′ − eV ) =p 2m

ˆ ) + e~2 ∇2 V. = (E ′ − eV )ˆ p2 + 2ie~(∇V p 606

Îòæå, ìà¹ìî, ùî

ˆ4 p ˆ ). − e~2 ∇2 V − 2ie~(∇V p 2m Çðîçóìiëî, ùî ëiâó ÷àñòèíó öi¹¨ ðiâíîñòi ìè òàêîæ ìîæåìî çàïèˆ 4 /2m, çâiäêè, ìiæ iíøèì, îòðèìó¹ìî öiêàâó îïåðàòîðíó ñàòè ÿê p ˆ ) = −~∇2 V , iíøèé øëÿõ äîâåäåííÿ ÿêî¨ ïîäàíî ðiâíiñòü 2i(∇V p â ïðèêëàäi äî öüîãî ïàðàãðàà7 . ˆ âèêîðèñòà¹ìî Äàëi äëÿ ïåðøîãî äîäàíêà ó âèðàçi äëÿ ∆2 H ðiâíiñòü iç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà: (E ′ − eV )ˆ p2 =

ˆ ˆp ˆ ) = (∇V p ˆ ) + i(σ[∇V ˆ ˆ ]). (σ∇V )(σ p Òåïåð, çáèðàþ÷è âñå ðàçîì, çíàõîäèìî

ˆ4 ~e e~2 p ˆ ˆ + ( σ[∇V p ]) + ∇2 V. 8m3 c2 4m2 c2 8m2 c2 Íåõàé ïîòåíöiàë V = V (r) ¹ öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íèì, òîäi ˆ =− ∆2 H

∇V = ∇V (r) = i äðóãèé äîäàíîê

~e ~e ˆ [∇V p ˆ ]) = (σ 2 2 4m c 4m2 c2

r dV r dr

r dV e 1 dV ˆ ˆ ˆ σ p = (ˆsL). r dr r dr 2m2 c2

7 ×èòà÷ ìîæå çäèâóâàòèñü, ùî ìè íiáèòî ç íi÷îãî îòðèìàëè öåé çâ'ÿçîê. Iç öüîãî ïðèâîäó ìîæíà ñêàçàòè, ùî âãàäóâàííÿ ÿê óíäàìåíòàëüíèõ çâ'ÿçêiâ ìiæ ðiçíèìè ÿâèùàìè, òàê i ïåðåäáà÷åííÿ íà ¨õíié îñíîâi íîâèõ ÿâèù òà çàêîíîìiðíîñòåé íåðiäêî ðóíòó¹òüñÿ íà âèêîðèñòàííi òîòîæíîñòi íóëü äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ïîòðiáíî ëèøå âäàëî âèáèðàòè öi íóëi. Äëÿ iëþñòðàöi¨ R∞ 2 âiçüìåìî ïðîñòèé ïðèêëàä. iâíiñòü −∞dx e−x (d/dx)n 1 = 0, n = 1, 2, 3, . . . ií-

òå ðóâàííÿì ÷àñòèíàìè ïðèâîäèìî äî âèãëÿäó R∞

2

R∞

−∞

2

dx (−d/dx)n e−x = 0 àáî

dx e−x (−d/dx + 2x)n = 0. Ìè îòðèìàëè ìîæëèâiñòü çíàõîäèòè ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ xn çà ðîçïîäiëîì àóññà, íå ðîçðàõîâóþ÷è ÿâíèì ÷èíîì iíòå ðàëè. Äëÿ íåïàðíèõ n öi ñåðåäíi äîðiâíþþòü íóëåâi, à äëÿ n = 2, 4, . . . ìà¹ìî ëàíöþæîê ðiâíÿíü −2 + 4x2 = 0, 12 − 48x2 + 16x4 = 0, . . . . Çâiäñè x2 = 1/2, x4 = 3/4, . . . . Çðîçóìiëî, ùî çàìiñòü x2 ó ïîêàçíèêó åêñïîíåíòè ìîæíà âçÿòè, íàïðèêëàä, x4 àáî áóäü-ÿêó iíøó óíêöiþ ϕ(x). À âçàãàëi, âñòàíîâëåííÿ ðiçíèõ çâ'ÿçêiâ, ÿêi iñíóþòü ó ïðèðîäi, õî÷ i äà¹ iíòåëåêòóàëüíå çàäîâîëåííÿ, íàñïðàâäi, ¹ âèçíàííÿì íàøîãî áåçñèëëÿ çáàãíóòè Ñâiò ÷åðåç áåçìåæíó êiëüêiñòü çâ'ÿçêiâ. Ñòîâiäñîòêîâå çíàííÿ çîâñiì íå ïîòðåáó¹ âñòàíîâëåííÿ îêðåìèõ çâ'ÿçêiâ, àëå âîíî ïîçáàâëÿ¹ íàñ íàñîëîäè iíòåëåêòóàëüíî¨ òâîð÷îñòi. −∞

607

ˆ i îïåðàòîðà ñïiíó ÷àñÒóò ìè âèêîðèñòàëè îçíà÷åííÿ îïåðàòîðà L ˆ òèíêè ˆs = ~σ/2. Òàêèì ÷èíîì, ïîïðàâêà 2 ˆ4 e 1 dV ˆ + ~ e ∇2 V. ˆ =− p + (ˆ s L) ∆2 H 8m3 c2 r dr 2m2 c2 8m2 c2 Ïåðåéäåìî òåïåð äî îáãîâîðåííÿ içè÷íîãî çìiñòó êîæíîãî ç äîäàíêiâ ó öüîìó âèðàçi. Ïåðøèé ÷ëåí öå âiäîìà âæå íàì ç ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà ïîïðàâêà íà çàëåæíiñòü ìàñè ÷àñòèíêè âiä øâèäêîñòi. Äðóãèé ÷ëåí ìà¹ íàçâó îïåðàòîðà ñïiíîðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨. Âií ìà¹ çìiñò åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ âëàñíîãî ìàãíiòíîãî ìîìåíòó åëåêòðîíà ç ìàãíiòíèì ïîëåì, ñòâîðåíèì ÿäðîì (ïðîòîíîì), ÿêå â ñèñòåìi âiäëiêó åëåêòðîíà ðóõà¹òüñÿ íàâêîëî íüîãî. Äiéñíî, öÿ âçà¹ìîäiÿ â êëàñè÷íîìó âèïàäêó ìà¹ âèãëÿä:

∆E = −(µH),

äå µ ìàãíiòíèé ìîìåíò ÷àñòèíêè, à ìàãíiòíå ïîëå â íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi 1 1 1 [∇V p], H = [Ev] = − [∇V v] = − c c mc äå

E = −∇V

íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ. Âåêòîðíèé äîáóòîê

[∇V p] =

1 dV 1 dV [rp] = L. r dr r dr

Îòæå,

∆E =

1 1 dV (µL) mc r dr

i âiäïîâiäíèé îïåðàòîð

ˆ = ∆H

1 1 dV ˆ = gµB 1 1 dV (ˆsL) ˆ = e 1 dV (ˆsL). ˆ (ˆ µL) mc r dr mc r dr m2 c2 r dr

Ç òî÷íiñòþ äî 1/2 öåé âèðàç ñïðàâäi çáiãà¹òüñÿ ç îïåðàòîðîì ñïiíîðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨. Ìè íå áóäåìî îáãîâîðþâàòè òóò öi¹¨ ïîëîâèíêè Ë. Òîìàñà, ÿêèé óïåðøå â 1926 ðîöi ç êëàñè÷íèõ ìiðêóâàíü çíàéøîâ âèðàç äëÿ ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨, ðîçãëÿäàþ÷è 608

åëåêòðîí ÿê äçè ó. Ïðîáëåìà ïîëîâèíêè Òîìàñà ïîâ'ÿçàíà ç íåiíåðöiàëüíiñòþ ñèñòåìè âiäëiêó, ó ÿêié åëåêòðîí ïåðåáóâà¹ â ñòàíi ñïîêîþ. ˆ 2 ÷àñòî ãîâîðÿòü, ùî éîìó âàæêî Ïðî îñòàííié äîäàíîê ó ∆H íàäàòè çìiñò i âií íå ìà¹ êëàñè÷íîãî àíàëîãà. Íà íàø ïîãëÿä, öå íå çîâñiì òàê. Íàñàìïåðåä, âií âiäìiííèé âiä íóëÿ òiëüêè â òèõ òî÷êàõ, äå ¹ çàðÿäè. Ñïðàâäi, ïîòåíöiàë V çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà

∇2 V = −4πρ, äå ρ = ρ(r) ãóñòèíà çàðÿäiâ, ùî ñòâîðþþòü åëåêòðîñòàòè÷íå ˆ2 ïîëå. Òàêèì ÷èíîì, îñòàííié ÷ëåí ó ∆H

~2 e πe~2 2 ∇ V = − ρ, 8m2 c2 2m2 c2 i âií íå äîðiâíþ¹ íóëåâi â òèõ òî÷êàõ ïðîñòîðó, äå ãóñòèíà çàðÿäiâ ρ 6= 0. Íàïðèêëàä, ÿêùî çàðÿä ÿäðà àòîìà âåëè÷èíîþ |e|Z çíàõîäèòüñÿ â ïî÷àòêó êîîðäèíàò, òî ρ = |e|Zδ(r). Îòæå, âíåñîê â åíåð iþ âiä öüîãî îïåðàòîðà äàþòü òàêi òðà¹êòîði¨ ðóõó åëåêòðîíà, ÿêi ïðîõîäÿòü êðiçü ÿäðî, òîáòî êîëè îðáiòàëüíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó åëåêòðîíà L äîðiâíþ¹ íóëåâi. Òîìó öåé äîäàíîê ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ñïií-îðáiòàëüíó âçà¹ìîäiþ, àíàëiòè÷íî ïðîäîâæåíó íà âèïàäîê, êîëè L → 0, r → 0. Ó âèðàçi äëÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ îïåðàòîðà ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ ìè îäåðæèìî ïðè öüîìó íåâèçíà÷åíiñòü íóëü íà íóëü, êîðåêòíî ðîçêðèâàþ÷è ÿêó, îòðèìà¹ìî âèðàç, ùî çáiãà¹òüñÿ ç âíåñêîì âiä îñòàííüîãî äîäàíêà ˆ 2. â îïåðàòîði ∆H Ïðèêëàä.

Äîâåñòè ðiâíiñòü h∇V ∇i = −h∇ 2 V /2i. Êîìïëåêñíå ñïðÿæåííÿ îïåðàòîðà (∇V ∇) íå çìiíþ¹ éîãî, òîìó ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ Z Z ψ ∗ (∇V ∇)ψdq = ψ(∇V ∇)ψ ∗ dq. Iíòå ðóþ÷è ïðàâó ñòîðîíó ÷àñòèíàìè, ìà¹ìî: Z

Z

ψ(∇V ∇)ψ ∗ dq = −

ψ ∗ ∇(ψ∇V )dq

àáî, ðîçïèñóþ÷è ïðàâó ÷àñòèíó: Z

Z

ψ ∗ ∇V ∇ψ dq = − 39

I. Î. Âàêàð÷óê

Z

ψ ∗ ∇ 2 V ψ dq −

ψ ∗ ∇V ∇ψ dq.

609

Îòæå,

Z

Z

1 ψ ∗ ∇ 2 V ψ dq. 2 Òîìó ìè ìîæåìî çàïèñàòè â îïåðàòîðíié îðìi, ùî ψ ∗ ∇V ∇ψ dq = −

àáî

(∇V ∇) = −∇2 V /2

ˆ ) = −~∇2 V. 2i(∇V p Çðîçóìiëî, ùî òàêèé ñèìâîëi÷íèé çàïèñ ìà¹ çìiñò ëèøå ïðè îá÷èñëåííi ñåðåäíiõ. 77. Àòîì âîäíþ ç óðàõóâàííÿì ðåëÿòèâiñòñüêèõ ïîïðàâîê

Çàñòîñóéìî ðiâíÿííÿ Äiðàêà äî âèâ÷åííÿ àòîìà âîäíþ. Õî÷à âîíî ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê äëÿ öi¹¨ çàäà÷i, ìè îáìåæèìîñü êâàçiðåëÿòèâiñòñüêèì íàáëèæåííÿì. Öå ïîâ'ÿçàíî ç òèì, ùî âèõiä çà íàáëèæåííÿ 1/c2 ïîòðåáó¹, ÿê ìè âæå çàçíà÷àëè, óðàõóâàííÿ ðàäiàöiéíèõ ïîïðàâîê. Îòæå, íåõàé âåêòîðíèé ïîòåíöiàë ïîëÿ A = 0, à ñêàëÿðíèé V ¹ ïîòåíöiàëîì ïîëÿ ÿäðà,

e2 . r ßêùî ÿäðî ìà¹ çàðÿä |e|Z , òî â îñòàòî÷íèõ îðìóëàõ çðîáèìî çàìiíó e2 íà Ze2 . Íàñ öiêàâèòü åíåð åòè÷íèé ñïåêòð àòîìà, ÿêèé ìè çíàéäåìî ìåòîäîì òåîði¨ çáóðåíü. Åíåð iÿ eV = −

E = E (0) + E (1) , äå íóëüîâå íàáëèæåííÿ öå âëàñíå çíà÷åííÿ íåðåëÿòèâiñòñüêîãî ãàìiëüòîíiàíà

En(0) = −

me4 , 2~2 n2

n = 1, 2, . . . .

Ïîïðàâêà

ˆ E (1) = h∆2 Hi

ˆ , ðîçðàõîâàíèì íà õâèëüî¹ ñåðåäíiì çíà÷åííÿì îïåðàòîðà h∆2 Hi âèõ óíêöiÿõ åëåêòðîíà àòîìà âîäíþ (j)

ψn,l,m = Rn,l (r)Yl,m (θ, ϕ) 610

ç òèì, ùî êóòîâà óíêöiÿ òåïåð ¹ ñåðè÷íèì ñïiíîðîì. Âiäïîâiäíî ˆ ñêëàäà¹òüñÿ ç òðüîõ äîäàíêiâ, ïîïðàâêà äî òîãî, ùî h∆2 Hi (1)

(1)

(1)

E (1) = E1 + E2 + E3 , ˆ4 p (1) , E1 = − 8m3 c2 e 1 dV ˆ (1) E2 = (ˆsL) , 2m2 c2 r dr (1)

E3

=

~2 e h∇2 V i. 8m2 c2

Âèðàç äëÿ ïåðøîãî äîäàíêà çàïîçè÷ìî iç çàäà÷i ïðî π ìåçîííèé àòîì ó òåîði¨ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà: 2 n 3 (1) (0) α E1 = E − . n2 l + 1/2 4 Äðóãèé äîäàíîê, îñêiëüêè ðàäiàëüíi òà êóòîâi çìiííi ðîçäiëþþòüñÿ, + * ˆ2 ˆ 2 D E 2 2 ˆ e dV e J − L − s 1 1 (1) ˆ = E2 = (ˆsL) 2m2 c2 r dr 2m2 c2 r 3 2

=

~2 1 e2 [j(j + 1) − l(l + 1) − 3/4], 3 2m2 c2 aB n3 l(l + 1)(l + 1/2) 2

äå êâàíòîâå ÷èñëî j = l ± 1/2. Ïðè îòðèìàííi öüîãî âèðàçó ìè ñêîðèñòàëèñü ñåðåäíiì çíà÷åííÿì h1/r 3 i iç Ïðèêëàäó 2 äî 41. ßêùî j = l + 1/2, òî âèðàç ó êâàäðàòíèõ äóæêàõ äîðiâíþ¹ l, à ïðè j = l − 1/2 âií äîðiâíþ¹ (−l − 1). Îòæå, ïðè j = l + 1/2 (1)

E2 =

1 e2 ~2 . 4m2 c2 a3B n3 (l + 1)(l + 1/2)

Îñêiëüêè îïåðàòîð ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ äëÿ s-ñòàíiâ, êîëè ˆ = 0, äîðiâíþ¹ íóëåâi, òî ìè ïîâèííi äëÿ l = 0 ïîêëàñòè E (1) =0. L 2 39*

611

Îäíàê îðìàëüíî öåé âèðàç ìà¹ ñêií÷åííó ìåæó ïðè l → 0: (1)

E2 Äëÿ j = l − 1/2 (1)

E2 = −

=

l→0

e2 ~2 . 2m2 c2 a3B n3

e2 ~2 1 . 4m2 c2 a3B n3 l(l + 1/2)

Íàðåøòi, (1)

E3 =

~2 e2 π (0) ~2 e2 π hδ(r)i = |ψ (0)|2 . 2m2 c2 2m2 c2 n,l,m

Ìè âðàõóâàëè, ùî

∇2 V = −4πρ = −4π|e|δ(r).

Òåïåð, ÿêùî âðàõóâàòè (äèâ. 41), ùî   0, l 6= 0 (0) |ψn,l,m (0)|2 = ,  1/πa3 n3 , l = 0 B òî

(1)

E3 =

~2 e2 δl,0 . 2m2 c2 a3B n3 (1)

ßê áà÷èìî, öÿ âåëè÷èíà äîðiâíþ¹ E2 â ìåæi l → 0. Öå ïîâíiñˆ òþ óçãîäæó¹òüñÿ ç íàøèì òðàêòóâàííÿì òðåòüîãî äîäàíêà â ∆2 H ÿê îïåðàòîðà ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ â ìåæi, êîëè îðáiòàëüíèé ìîìåíò iìïóëüñó åëåêòðîíà ïðÿìó¹ äî íóëÿ. Êëàñè÷íîþ ìîâîþ öå îçíà÷à¹, ùî òðà¹êòîðiÿ åëåêòðîíà ïðîõîäèòü êðiçü ÿäðî. Çáåðåìî òåïåð îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ðàçîì. Äëÿ j = l + 1/2 1 n 3 α2 α2 − , − E (0) E (1) = E (0) 2 n l + 1/2 4 2n (l + 1)(l + 1/2) äå ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè α = e2 /~c ≃ 1/137. Çàìiñòü l çàïèøåìî j − 1/2: 2 n 3 (1) (0) α E =E − . n2 j + 1/2 4 612

(1)

Öåé ðåçóëüòàò ìà¹ ñèëó i ïðè l = 0. ßêùî l = 0, òî E2 = 0 i (1) (1) çàëèøà¹òüñÿ, êðiì E1 , ùå âíåñîê âiä E3 . Òåïåð ïåðåõîäèìî äî ïîïðàâêè E (1) ïðè j = l − 1/2. Ìà¹ìî 2 2 1 n 3 (0) α (1) (0) α − . + E E =E 2 n l + 1/2 4 2n l(l + 1/2) ßêùî ïåðåïèñàòè öåé âèðàç ÷åðåç j , òî ìè çíîâó îòðèìà¹ìî òîé ñàìèé âèðàç, ùî é äëÿ j = l+1/2. Îòæå, îñòàòî÷íî ðåëÿòèâiñòñüêà ïîïðàâêà äî îðìóëè Áîðà äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ åëåêòðîíà â àòîìi âîäíþ (îðìóëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ) me4 α2 n 3 (1) En,j = − 2 2 2 − , 2~ n n j + 1/2 4

j = l ± 1/2;

l = 0, j = 1/2.

Çàóâàæèìî, ùî öåé âèðàç âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä âèðàçó, ÿêèé äà¹ ðiâíÿííÿ ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà, òèì, ùî â íüîìó, çàìiñòü îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà l, ñòî¨òü ÷èñëî j . Òàêèìè ÷èíîì, ðiâíÿííÿ Äiðàêà âðàõîâó¹ ñïií åëåêòðîíà. Ç óðàõóâàííÿì ñïiíó åëåêòðîíà êâàíòîâi ñòàíè íóìåðóþòüñÿ, ÿê i ðàíiøå, çà ãîëîâíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì n i îðáiòàëüíèì l ç iíäåêñîì ïðè íüîìó, ÿêèé óêàçó¹ çíà÷åííÿ j . Íàïðèêëàä, ñòàí ç n = 1, l = 0, j = 1/2 ïîçíà÷àþòü ÿê 1s1/2 , ñòàí ç n = 2, l = 1, j = 3/2 ÿê 2p3/2 . îçðàõó¹ìî ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ 2s1/2 òà 2p3/2 -ñòàíiâ:

∆ = E2p3/2 − E2s1/2 =

me4 α2 . ~2 32

Öÿ âåëè÷èíà äîáðå óçãîäæó¹òüñÿ ç åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíèìè çíà÷åííÿìè, íà âiäìiíó âiä îðìóëè òåîði¨ Êëÿéíàîðäîíà Ôîêà, ÿêà âðàõîâó¹ ëèøå ïîïðàâêó íà çàëåæíiñòü ìàñè åëåêòðîíà âiä øâèäêîñòi (òàì, çàìiñòü 1/32, ñòî¨òü 1/12). ßê áà÷èìî, òåîðiÿ Äiðàêà â ïðîáëåìi Êåïëåðà íå ïîâíiñòþ çíiìà¹ âèðîäæåííÿ: íàïðèêëàä, ñòàíè 2s1/2 i 2p1/2 ìàþòü îäíå é òåæ çíà÷åííÿ åíåð i¨. Ïîäàëüøå çíÿòòÿ âèðîäæåííÿ äàþòü ðàäiàöiéíi ïîïðàâêè, ÿêi âðàõîâóþòü äiþ íà åëåêòðîí ëþêòóàöié íàïðóæåíîñòåé åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ ó âàêóóìíîìó ñòàíi. Öå ðàçîì iç 613

âçà¹ìîäi¹þ ñïií åëåêòðîíàñïií ÿäðà äà¹ íàäòîíêó ñòðóêòóðó åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà àòîìiâ. àäiàöiéíi ïîïðàâêè ïðèçâîäÿòü äî çìiùåíü åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ åëåêòðîíà â àòîìi, ÿêi ìàþòü íàçâó ëåìáiâñüêîãî çñóâó8 . Öå çìiùåííÿ ìîæíà ðîçðàõóâàòè íà îñíîâi òàêèõ ïðîñòèõ ìiðêóâàíü. Óíàñëiäîê âçà¹ìîäi¨ åëåêòðîíà ç íóëüîâèìè êîëèâàííÿìè åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ, éîãî ðàäióñ-âåêòîð r íàáóâà¹ äîäàòêîâîãî çìiùåííÿ δˆr. Âiäïîâiäíî äî öüîãî, ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ, ÿêà âõîäèòü ó ðiâíÿííÿ Äiðàêà, öå ¹ óñåðåäíåíà çà âàêóóìíèì ñòàíîì ïîëÿ âåëè÷èíà V (r + δˆr). îçêëàäàþ÷è ¨¨ â ðÿä çà ìàëèìè çìiùåííÿìè (äðèæàííÿìè) δˆr, çíàõîäèìî, ùî öÿ ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ äîðiâíþ¹

hV (r + δˆr)i = V (r) + hδˆri∇V (r) +

1 h(δˆr∇)2 iV (r) + · · · . 2!

Îñêiëüêè ñåðåäí¹ hδˆri = 0, à óñåðåäíåííÿ çà êóòàìè â òðåòüîìó äîäàíêó äà¹ 1/3, òî

1 hV (r + δˆr)i = V (r) + ∇2 V (r)h(δˆr)2 i. 6 Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî ðàäiàöiéíó äîáàâêó äî ãàìiëüòîíiàíà

ˆ = h(δˆr)2 i e ∇2 V. ∆H 6 îçðàõó¹ìî ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ëþêòóàöiþ ðàäióñ-âåêòîðà, âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ Åðåíåñòà:

ˆ ¨r = eδE, mδb

ˆ =E−h ˆ Ei ˆ äå ëþêòóàöiÿ íàïðóæåíîñòi åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ δE ˆ ˆ , îñêiëüêè ó âàêóóìíîìó ñòàíi ñåðåäí¹ hEi=0 äîðiâíþ¹ E . Íàãàäà¹ìî, ùî îïåðàòîð (äèâ. 59) r X 2π~ωk ˆ =i ˆk,α − e−ikr B ˆ+ . E ek,α eikr B k,α V k,α

8 Ó 1955 ðîöi Ó. Ëåìá çà âiäêðèòòÿ öüîãî çñóâó â ñòðóêòóði åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà àòîìà âîäíþ íàãîðîäæåíèé Íîáåëiâñüêîþ ïðåìi¹þ.

614

Îòæå, ìè ìîæåìî ðîçêëàñòè çà âiäïîâiäíèìè ãàðìîíiêàìè é îïåðàòîð δˆr: 1 X ikr (e δˆrk,α + e−ikr δˆr+ δˆr = k,α ). V k,α

Òåïåð ìà¹ìî òàêi ðiâíÿííÿ ðóõó: p ˆk,α ¨rk,α = e 2π~ωk V iek,α B mδb

¨rk = −ωk2 δˆrk , çíàõîäèìî àáî, çãàäóþ÷è ðiâíÿííÿ àéçåíáåð à δb s 2π~V ˆk,α . ek,α B δˆrk,α = −ie m2 ωk3 Òîìó

δˆr = −ie

X k,α

s

2π~ ikr ˆ −ikr ˆ + e e B − e B k,α k,α k,α . m2 ωk3 V

Ñåðåäíi âiä îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ îòîíiâ íàì äîáðå âiäîìi:

ˆ+ B ˆk,α B ˆk′ ,α′ i = hB ˆ+ hB k,α k′ ,α′ i = 0, ˆ+ B ˆ hB k,α k′ ,α′ i = hNk,α iδk,k′ δα,α′ , ˆ +′ ′ B ˆ ˆk,α B ˆ +′ ′ i = δk,k′ δα,α′ + hB hB k ,α k,α i = (hNk,α i + 1)δk,k′ δα,α′ , k ,α äå hNk,α i = 0 ñåðåäí¹ êiëüêiñòü îòîíiâ ó âàêóóìíîìó ñòàíi ïîëÿ. Çà äîïîìîãîþ öèõ ðiâíÿíü ëåãêî çíàõîäèìî ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå X 2π~e2 . h(δˆr)2 i = m2 ωk3 V k,α

Ïåðåéäiìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ äî iíòå ðóâàííÿ: Z 2π~e2 V dk, h(δˆr)2 i = 2 (2π)3 m2 ωk3 V 615

äâiéêó äà¹ ñóìà çà ïîëÿðèçàöiÿìè. Ïåðåõîäèìî äî ñåðè÷íî¨ ñèñòåìè êîîðäèíàò i äî íîâî¨ çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ ωk = kc: Z ∞ dωk 2~e2 2 . h(δˆr) i = 2 3 πm c 0 ωk

Öåé iíòå ðàë ðîçáiãà¹òüñÿ ÿê íà âåðõíié, òàê i íà íèæíié ìåæàõ. Ìè ìóñèìî îáìåæèòèñü ó íàøîìó íàáëèæåíîìó ïiäõîäi ðîçãëÿäîì ÷àñòîò, ùî ¹ ìåíøèìè âiä ïîðîãîâî¨ ÷àñòîòè ~ωmax = 2mc2 , çà ÿêîþ âìèêàþòüñÿ ïðîöåñè íàðîäæåííÿ åëåêòðîííîïîçèòðîííèõ ïàð. Íèæíÿ ÷àñòîòà äðèæàííÿ åëåêòðîíà ïîâèííà áóòè áiëüøîþ, íiæ éîãî ÷àñòîòà îáåðòàííÿ íàâêîëî ÿäðà ~ωmin = me4 /2~2 . Òîìó, îáðiçàþ÷è öèìè ÷àñòîòàìè ìåæi iíòå ðóâàííÿ, çíàõîäèìî 2 2~e2 2mc2 2 2~e2 2 h(δˆr) i = ln ln . = 2 3 4 2 2 3 πm c me /2~ πm c α Îòæå, ðàäiàöiéíà ïîïðàâêà äî îïåðàòîðà

d = ∇2 V ∆H

2 2~e3 ln , 2 3 3πm c α

à âiäïîâiäíó ïîïðàâêó äî åíåð i¨

∆E = h∇2 V i

2~e3 2 ln 2 3 3πm c α

âiäøóêàòè ïðîñòî: (0)

h∇2 V i = −4πhρ(r)i = −4π|e|hδ(r)i = −4π|e||ψn,l,m (0)|2 = −

4|e| δl,0 . a3B n3

Òàêèì ÷èíîì, ëåìáiâñüêèé çñóâ

4me4 3 4 α ln 2 . 3π~2 n3 α Iç öüîãî âèðàçó âèäíî, ùî ðÿäè òåîði¨ çáóðåíü çà ïàðàìåòðîì 1/c â ðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ ¹ ñêëàäíiøèìè, íiæ î÷iêóâàëîñü. Ïîïåðøå, ìè îäåðæó¹ìî ðîçáiæíîñòi, óíèêíóòè ÿêèõ àæ íiÿê íå ïðîñòà çàäà÷à, ùî ïîòðåáó¹ çíà÷íèõ çóñèëü. Ïî-äðóãå, îòðèìó¹ìî íåàíàëiòè÷íó çàëåæíiñòü åíåð i¨ ∼ α3 ln α âiä êîíñòàíòè âçà¹ìîäi¨ α. ∆E = δl,0

616

èñ. 63. Òîíêà òà íàäòîíêà ñòðóêòóðè åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà âîäíþ ç óðàõóâàííÿì ðåëÿòèâiñòñüêèõ ïîïðàâîê. Áà÷èìî òàêîæ, ùî âiäáóâà¹òüñÿ çñóâ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ ëèøå äëÿ s-ñòàíiâ i âií ¹ äîäàòíèì ∆E > 0. Òîìó ðiâíi s-ñòàíiâ ëåæàòü âèùå, íiæ äà¹ îðìóëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè. Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî ðîçùåïëåííÿ ðiâíiâ åíåð i¨, íàïðèêëàä, 2s1/2 - òà 2p1/2 -ñòàíiâ, ÿêå é äîðiâíþ¹ ∆E -ðîçùåïëåííþ (äèâ. ðèñ. 63). Öå òåîðåòè÷íî ðîçðàõîâàíå çíà÷åííÿ ðîçùåïëåííÿ ÷óäîâî çáiãà¹òüñÿ ç åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíîþ âåëè÷èíîþ, ÿêùî ùå âðàõóâàòè ïîïðàâêè, ÿêèõ ìè òóò íå áðàëè äî óâàãè. Öiêàâî, ùî äî ñåðåäèíè 1960-õ ðîêiâ åêñïåðèìåíòàòîðè, ÿêi âèìiðÿëè ëåìáiâñüêå çìiùåííÿ ç íàäçâè÷àéíî âèñîêîþ òî÷íiñòþ äî 11 çíà÷óùèõ öèð, äîêîðÿëè içèêàì-òåîðåòèêàì, ùî âîíè ñïðîìîãëèñÿ ëèøå íà 6 çíà÷óùèõ öèð. Îäíàê öÿ íåóçãîäæåíiñòü âèíèêëà ç íåòî÷íîñòi óíäàìåíòàëüíèõ ñòàëèõ. Ïiñëÿ âiäêðèòòÿ Á. Ä. Äæîçåñîíîì ååêòó, ùî ìà¹ éîãî iì'ÿ, âäàëîñü òî÷íiøå âèìiðÿòè âiäíîøåííÿ e/~ ç ðiâíÿííÿ äëÿ ÷àñòîòè åíåðàöi¨ äæîçåñîíiâñüêîãî êîíòàêòó. Ç óðàõóâàííÿì öüîãî òåîðiÿ çáiãëàñÿ ç åêñïåðèìåíòîì ç òî÷íiñòþ äî âñiõ çíà÷óùèõ öèð. Îòæå, íåóçãîäæåíiñòü âèíèêëà ç âèíè åêñïåðèìåíòàòîðiâ, ÿêi ïîäàâàëè äëÿ óíäàìåíòàëüíèõ êîíñòàíò íåäîñòàòíüî òî÷íi çíà÷åííÿ. Âiäñòóï. Ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè

Ó ïðèðîäi ìè çóñòði÷à¹ìîñü ç ðiçíèìè óíäàìåíòàëüíèìè êîíñòàíòàìè: øâèäêiñòü ñâiòëà c, çàðÿä åëåêòðîíà e, ìàñà åëåêòðîíà me , ñòàëà Ïëàíêà ~, ðàâiòàöiéíà ñòàëà G i ò. ï. Âîíè ¹ ðîçìiðíè617

ìè âåëè÷èíàìè, i ¨õíi çíà÷åííÿ çàëåæàòü âiä òîãî, â ÿêié ñèñòåìi îäèíèöü ìè ïðàöþ¹ìî. Ìîæíà, îäíàê, ç íèõ óòâîðèòè áåçðîçìiðíi âåëè÷èíè, ÿêi áóäóòü îäíàêîâèìè â óñiõ ñèñòåìàõ îäèíèöü. Îäíi¹þ ç òàêèõ óíäàìåíòàëüíèõ âåëè÷èí ¹ ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè α = e2 /~c. Óïðîäîâæ óñüîãî êóðñó ìè íåîäíîðàçîâî ìàëè ç íåþ ñïðàâó. Âîíà âèçíà÷à¹ ñèëó åëåêòðîìàãíiòíèõ âçà¹ìîäié i íàçèâà¹òüñÿ òàêîæ êîíñòàíòîþ çâ'ÿçêó åëåêòðîìàãíiòíèõ âçà¹ìîäié. ×èñåëüíî êîíñòàíòà çâ'ÿçêó α ≃ 1/137, òîáòî ¹ äîñòàòíüî ìàëîþ äëÿ òîãî, ùîá áóäóâàòè çà íåþ òåîðiþ çáóðåíü. Ñàìå â öüîìó i ¹ ïðè÷èíà òèõ âåëèêèõ óñïiõiâ êâàíòîâî¨ åëåêòðîäèíàìiêè, ÿêùî íå çâåðòàòè óâàãó íà äåÿêå íåçàäîâîëåííÿ ÷åðåç íåîáõiäíiñòü êîìïåíñóâàòè áåçìåæíîñòi, ùî âèíèêàþòü ó òåîði¨, øëÿõîì ïåðåíîðìóâàííÿ ìàñè òà çàðÿäó åëåêòðîíà. Òðóäíîùi òåîði¨ ñèëüíèõ âçà¹ìîäié, ÿêà ¹ äàëåêîþ âiä çàâåðøåííÿ, ñïðè÷èíåíi âëàñíå òèì, ùî âiäïîâiäíà êîíñòàíòà çâ'ÿçêó g2 /~c ∼ 10, òîáòî íå ¹ ìàëîþ. Âèíèêà¹ çàïèòàííÿ: ×îìó α ÷èñåëüíî äîðiâíþ¹ ñàìå òàêîìó çíà÷åííþ, à íå iíøîìó? Áóëè íåîäíîðàçîâi ñïðîáè ñêîíñòðóþâàòè âåëè÷èíó α ç òà√ êèõ ÷èñåë, ÿê π , 2, îñíîâà íàòóðàëüíèõ ëîãàðèìiâ e, . . . Ïðèâàáëèâîþ ¹ iäåÿ öiëî÷èñåëüíîñòi 1/α. Íàïðèêëàä, À. Ñ. Åääií òîí (18821944) çàïðîïîíóâàâ ðiâíÿííÿ: 1/α = 1 + n2 (n2 + 1)/2 = 137, êîëè n = 4. ×èñëî n äîðiâíþ¹ ÷îòèðüîì, ìîæëèâî, òîìó, ùî ïðîñòið Ìiíêîâñüêîãî ¹ ÷îòèðèâèìiðíèì? Íàñïðàâäi α = 0.00729735308(±33), à 1/α = 137.0359894933 i íå äîðiâíþ¹ òî÷íî 137. Ìè ãîâîðèìî ïðî ïðèâàáëèâiñòü öiëîãî ÷èñëà äëÿ 1/α, àëå ìîâà éäå ïðî çâè÷íó ñèñòåìó ÷èñëåííÿ. Ìîæëèâî, 1/α öiëå ÷èñëî, àëå √ â iíøié ñèñòåìi ÷èñëåííÿ, äå öiëèì ÷èñëîì ¹, ñêàæiìî, π àáî π , . . . Òàêà ãðà â ÷èñëà íå äà¹ âiäïîâiäi íà íàøå çàïèòàííÿ. Ìè âæå òîðêàëèñü ïèòàííÿ ïðî ìåõàíiçì âèíèêíåííÿ ÷èñëà α ïðè âèâ÷åííi ååêòó Êàçèìèðà. Òàì ìîâà éøëà ïðî òå, ùî çíà÷åííÿ α ìîãëî á âèçíà÷àòèñü òîïîëîãi¹þ ïîâåðõíi, ÿêà îõîïëþ¹ ïðîñòið, äå çîñåðåäæåíèé çàðÿä åëåêòðîíà. Ìîæëèâî, ùî α òà iíøi áåçðîçìiðíi óíäàìåíòàëüíi ñòàëi âèíèêàþòü ÿê âëàñíi çíà÷åííÿ äåÿêîãî îïåðàòîðà ç ðiâíÿííÿ, ÿêå îïèñó¹ Âñå. Îäíå ç öèõ âëàñíèõ çíà÷åíü, à ñàìå 1/137, é äàëî çìîãó ñòâîðèòè òîé Ñâiò, ó ÿêîìó ìè æèâåìî. Iíøi âëàñíi çíà÷åííÿ ðåàëiçóþòü iíøi Ñâiòè. Ùîäî iíøèõ óíäàìåíòàëüíèõ êîíñòàíò, òî ó âiäñòóïi äî 29 ìè âæå îáãîâîðþâàëè ïèòàííÿ ïðî ïðåöèçiéíå íàëàøòóâàííÿ ìàñ åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê. Òàì ìè ìàëè áîäàé ÿêiñü íàòÿêè íà òå, 618

÷îìó âiäíîøåííÿ mp /me ≃ 1836. Öiêàâèì ¹ i òàêå ïèòàííÿ: À ìîæå, óíäàìåíòàëüíi êîíñòàíòè íå ¹ ñïðàâæíiìè ñòàëèìè âåëè÷èíàìè, à çàëåæàòü âiä ÷àñó? Ñêàæiìî, Ï. À. Ì. Äiðàê ââàæàâ íà ïiäñòàâi ãiïîòåçè âåëèêèõ ÷èñåë, ÿêó âií óâiâ, ùî ðàâiòàöiéíà ñòàëà G ç ÷àñîì çìåíøó¹òüñÿ, i öèì ïîÿñíþâàâ ñïîñòåðåæóâàíó ñëàáêiñòü ðàâiòàöiéíèõ âçà¹ìîäié. Àäæå çà ïðèáëèçíî 15·109 ðîêiâ iñíóâàííÿ Âñåñâiòó âîíè ìàëè äîñòàòíüî ÷àñó, ùîá íàñòiëüêè çìåíøèòèñü. Ñó÷àñíi âèòîí÷åíi åêñïåðèìåíòàëüíi âèìiðþâàííÿ ðiçíèöi âiäñòàíåé ìiæ ñïåêòðàëüíèìè ëiíiÿìè àòîìiâ, ñòâîðåíèõ êiëüêà ìiëiàðäiâ ðîêiâ òîìó â ãàçîïîäiáíèõ îêîëèöÿõ ìîëîäèõ ãàëàêòèê, ðîçòàøîâàíèõ ìiæ êâàçàðàìè (ñâiòëî, âiä ÿêèõ i ïîãëèíàþòü öi ãàçîâi õìàðè) i Çåìëåþ òà âiäñòàíåé ìiæ öèìè æ ëiíiÿìè àòîìiâ, ùî ñòâîðåíi â ëàáîðàòîði¨, íå äàþòü îäíîçíà÷íî¨ âiäïîâiäi ùîäî ìîæëèâî¨ çìiíè ç ÷àñîì ñòàëî¨ òîíêî¨ ñòðóêòóðè. 78. Òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Äiðàêà

äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó

Ìè âæå âåëè ìîâó ïðî òå, ùî, çàëèøàþ÷èñü ó ìåæàõ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, òîáòî íå âðàõîâóþ÷è ðàäiàöiéíèõ ïîïðàâîê, ìîæíà ïðåòåíäóâàòè íà îïèñ ðåëÿòèâiñòñüêèõ ååêòiâ ëèøå ç òî÷íiñòþ äî 1/c2 âêëþ÷íî. Ó ïîïåðåäíiõ ïàðàãðààõ äåòàëüíî áóëî äîñëiäæåíî ïîïðàâêè ∼ 1/c2 â ðiâíÿííi Äiðàêà. Ïåâíèé iíòåðåñ ñòàíîâèòü òàêîæ éîãî òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó, äî çíàõîäæåííÿ ÿêîãî ìè i ïåðåõîäèìî. Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ åëåêòðîíà â ïîëi àòîìíîãî ÿäðà, e2 2ˆ ˆ p)c + mc β − (αˆ ψ = Eψ, r i ââåäåìî íîâó óíêöiþ ψ¯ òàêèì ñïiââiäíîøåííÿì: e2 ¯ 2ˆ ˆ p)c + mc β + E + ψ = (αˆ ψ. r

Äëÿ íîâî¨ óíêöi¨ ðiâíÿííÿ ¹ òàêèì: e2 e2 2ˆ 2ˆ ˆ p)c + mc β − E + ˆ p)c + mc β + E + ψ¯ = 0, (αˆ (αˆ r r 619

àáî, ïåðåìíîæóþ÷è, îäåðæèìî, ùî ( ) h i2 2 2 1 e 1 ˆ p) − E + ˆ p)c + mc2 βˆ + e2 c (αˆ ˆ p) − (αˆ ψ¯ = 0. (αˆ r r r

îçêðèâàþ÷è êâàäðàòè, îá÷èñëþþ÷è êîìóòàòîðè, ïîäiëèìî âñå ðiâíÿííÿ íà 2mc2 i çíàéäåìî 2 2 2 4 ˆ ˆ p E e2 e4 i~e2 (αr) ¯ = E − m c ψ. ¯ − − + ψ 2m mc2 r 2mc2 r 2 2mc r 3 2mc2 Ïåðåéäåìî äî ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò (r, ϑ, ϕ), ÿê öå çðîáëåíî â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ àòîìà âîäíþ: ! ˆ 2 + i~e2 (αn)/c ˆ L − e4 /c2 E e2 ¯ ~2 1 d2 ψ r+ − − 2m r dr 2 2mr 2 mc2 r

=

E 2 − m2 c4 ¯ ψ, 2mc2

ˆ 2 òà îäèäå îïåðàòîð êâàäðàòà îðáiòàëüíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó L íè÷íèé âåêòîð n = r/r çàëåæàòü ëèøå âiä êóòîâèõ çìiííèõ. ßê áà÷èìî, ðiâíÿííÿ äîïóñêà¹ ðîçäiëåííÿ êóòîâèõ çìiííèõ (ϑ, ϕ) i ðàäiàëüíî¨ çìiííî¨ r . Öå ðiâíÿííÿ îðìàëüíî ìîæíà çâåñòè äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ çàäà÷i ïðî àòîì âîäíþ, ÿêùî âäàëî ïåðåòâîðèòè â íüîìó îïåðàòîð âiäöåíòðîâî¨ åíåð i¨ ∼ 1/r 2 . Äëÿ òîãî ùîá öå çðîáèòè, çàéìåìîñü ñïî÷àòêó íåñêëàäíèìè âïðàâàìè ç îïåðàòîðíî¨ àë åáðè. Ïî÷íiìî ˆ 2 , äå σ ˆ = (ˆ ˆ L) σx , σ ˆy , σ ˆz ) öå çâè÷àéíi ç òîãî, ùî îá÷èñëèìî (σ ìàòðèöi Ïàóëi. Îòæå, ˆ 2 = (σ ˆ σ ˆ = L ˆ 2 + i(σ[ L ˆ L]), ˆ ˆ L) ˆ L)( ˆ L) (σ àáî, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ êîìïîíåíò ˆ, [L ˆ L] ˆ = i~ L ˆ , çíàõîäèìî: îïåðàòîðà L

òîáòî

ˆ 2= L ˆ 2 − ~(σ ˆ ˆ L) ˆ L), (σ ˆ 2 = (σ ˆ σ ˆ + ~]. ˆ L)[( ˆ L) L

620

Òåïåð ÷èñåëüíèê îïåðàòîðà âiäöåíòðîâî¨ åíåð i¨ â ðiâíÿííi Äiðàêà äîðiâíþ¹ 2 2 e4 e4 ˆ 2 + i~e (αn) ˆ σ ˆ + ~] + i~e (σn) ˆ − 2 = (σ ˆ L)[( ˆ L) ˆ βˆ′ − 2 , L c c c c

òóò ìè ââåëè ÷îòèðèðÿäêîâó ìàòðèöþ   0 I  , βˆ′2 = 1, βˆ′ =  I 0 òàê ùî

ˆ ˆ =σ ˆ βˆ′ = βˆ′ σ. α Óâåäåìî ñêàëÿðíèé îïåðàòîð 2

ˆ = −[(σ ˆ + ~] + i e (σn) ˆ L) ˆ βˆ′ Λ c i îá÷èñëèìî éîãî êâàäðàò: 2

ˆ 2 = [(σ ˆ + ~]2 − 2i ~e (σn) ˆ L) ˆ βˆ′ Λ c −i

4 e2 ˆ σn) ˆ βˆ′ − e ˆ L)( ˆ + (σn)( ˆ ˆ L)] [(σ σ 2 c c

ˆ + ~]2 − 2i ˆ L) = [(σ

~e2 ˆ βˆ′ (σn) c

( ) e4 e2 ˆ ˆ ˆ + i(σ[n ˆ ˆ Ln]) ˆ L]) βˆ′ − 2 (Ln) + i(σ[ + (nL) −i c c ~e2 ˆ βˆ′ (σn) c 4 4 e2 ˆ ˆ βˆ′ − e = [(σ ˆ + ~]2 − e . ˆ [ Ln] + [n L] ˆ L) + σ c c2 c2 ˆ + ~]2 − 2i ˆ L) = [(σ

621

ˆ ˆ = 0 i [ Ln] ˆ + [n L] ˆ = Òóò óðàõîâàíî (äèâ. 32), ùî ( Ln) = (n L) 2i~ n. Îòæå, ìè çíàéøëè 4 ˆ 2 = [(σ ˆ + ~]2 − e . ˆ L) Λ c2

Òåïåð ëåãêî çíàõîäèìî äîáóòîê îïåðàòîðiâ 4 ˆ Λ ˆ + ~) = Λ ˆ 2 + ~Λ ˆ = [(σ ˆ + ~]2 − e ˆ L) Λ( c2 2 ˆ + ~]~ + i e ~ (σn) ˆ βˆ′ ˆ L) −[(σ c 2 e4 ˆ ˆ + ~] + i e ~ (σn) ˆ L)[σ ˆ βˆ′ − 2 = (σ L c c 2 e4 ˆ 2 + i e ~ (αn) ˆ − 2. = L c c

ßê áà÷èìî, öåé âèðàç òî÷íî çáiãà¹òüñÿ ç ÷èñåëüíèêîì îïåðàòîðà âiäöåíòðîâî¨ åíåð i¨ i ðiâíÿííÿ Äiðàêà íàáèðà¹ âèãëÿäó: ! ˆ Λ ˆ + ~) ~2 1 d2 Λ( E e2 ¯ E 2 − m2 c4 ¯ − r+ − ψ. ψ= 2m r dr 2 2mr 2 mc2 r 2mc2 Ç ìàòåìàòè÷íî¨ òî÷êè çîðó, öå ðiâíÿííÿ âæå íàãàäó¹ íåðåëÿòèâiñòñüêå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Çàëèøèëîñü çíàéòè âëàñíi çíàˆ . Ç öi¹þ ìåòîþ ïîâåðòà¹ìîñü äî îïåðàòîðà Λ ˆ2 i ÷åííÿ îïåðàòîðà Λ îñêiëüêè ˆˆ ˆ2 − L ˆ2 − S ˆ 2 ), ˆ = 2S L = 1 (J ˆ L) (σ ~ ~

ˆ = ~σ/2 ˆ îïåðàòîð ñïiíó åëåêòðîíà, òî äå S !2 ˆ2 − L ˆ 2 − S2 J e4 2 ˆ = Λ +~ − 2. ~ c ˆ2 , L ˆ 2 òà S ˆ 2 ¨õÇâiäñè áà÷èìî, ùî çâè÷àéíîþ çàìiíîþ îïåðàòîðiâ J íiìè âëàñíèìè çíà÷åííÿìè çíàõîäèìî âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà 622

ˆ 2: Λ

äå

1 2 e4 − 2, Λ2 = ~2 j(j + 1) − l(l + 1) + 4 c

1 1 j = l ± , l = 1, 2, . . . ; j = , l = 0. 2 2 Çâåðòà¹ìî óâàãó íà òå, ùî îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó íå ¹ iíòå ðàëîì ðóõó äëÿ ãàìiëüòîíiàíà Äiðàêà, àëå öå íå ˆ 2. çàâàæà¹ âèêîðèñòàòè éîãî äëÿ îá÷èñëåííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü Λ Äëÿ âåðõíüîãî çíàêà â j Λ2 = ~2 (l + 1)2 −

äëÿ íèæíüîãî

e4 = ~2 [(l + 1)2 − α2 ], c2

e4 = ~2 [l2 − α2 ], c2 α = e2 /~c ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè. Ïðè öüîìó ïàì'ÿòà¹ìî, ùî âëàñíîþ óíêöi¹þ êóòîâî¨ ÷àñòèíè îïåðàòîðà âiäöåíòðîâî¨ åíåð i¨ ¹ ñåðè÷íèé ñïiíîð, ÿêèé ìè âèâ÷àëè â 74. Õâèëüîâà óíêöiÿ ψ¯ ¹ äîáóòêîì ñåðè÷íîãî ñïiíîðà íà ðàäiàëüíó óíêöiþ. ˆ , çàóâàæóþ÷è, Òåïåð çíàõîäèìî i âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Λ 2 ùî ïðè e = 0 ! ˆ2 − L ˆ 2 − S2 J ˆ = −[(σ L) ˆ + ~] = − +~ , Λ ~ Λ2 = ~2 l2 −

à éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ

1 Λ = −~ j(j + 1) − l(l + 1) + . 4

Òîáòî ïðè e2 = 0 âåëè÷èíà Λ = −~(l + 1) äëÿ âåðõíüîãî çíàêà â j i Λ = ~l äëÿ íèæíüîãî çíàêà, ïðè÷îìó Λ(Λ + ~) = ~2 l(l + 1) äëÿ ˆ ¹ îáîõ çíà÷åíü Λ. Òîìó ïðè e2 6= 0 âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Λ òàêèìè: p Λ = −~ (l + 1)2 − α2 , êîëè j = l + 1/2, p Λ = ~ l2 − α2 , êîëè j = l − 1/2, l > 0. 623

Òàê ùî òåïåð ìîæåìî çàïèñàòè òàêó ðiâíiñòü:

Λ(Λ + ~) = ~2 l∗ (l∗ + 1), äå ååêòèâíå êâàíòîâå ÷èñëî q 1 1 ∗ l = (j + 1/2)2 − α2 − ∓ , 2 2

ïðè÷îìó çíàêè âèáðàíî òàê, ùîá ïðè α = 0, l∗ = l. ˆ íà Òåïåð ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ Äiðàêà, çàìiíèâøè îïåðàòîð Λ éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ, çàïèñó¹ìî òàê: ~2 l∗ (l∗ + 1) e∗2 ~2 1 d2 r+ − − R = E ∗ R, 2m r dr 2 2mr 2 r äå R ðàäiàëüíà ÷àñòèíà ψ¯, ¨¨ êóòîâà ÷àñòèíà ¹ âëàñíîþ óíêˆ, à öi¹þ îïåðàòîðà Λ

E 2 E 2 − m2 c4 ∗ e , E = . mc2 2mc2 Öå ðiâíÿííÿ îðìàëüíî çáiãà¹òüñÿ ç íåðåëÿòèâiñòñüêèì ðàäiàëüíèì ðiâíÿííÿì Øðåäèí åðà äëÿ àòîìà âîäíþ. Òîìó âæå é ñïðàâäi ç ðóêàìè â êèøåíÿõ ç îðìóëè Áîðà e∗2 =

E∗ = −

me∗4 , 2~2 (nr + l∗ + 1)2

(nr = 0, 1, 2, . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî) çíàõîäèìî ïðîñòå êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ íà âèçíà÷åííÿ ñïåêòðà åíåð i¨:

E 2 − m2 c4 E2 me4 =− 2 4 2 , 2 2mc m c 2~ (nr + l∗ + 1)2 àáî

E 2 − m2 c4 = −E 2

α2 . (nr + l∗ + 1)2

Çâiäñè äëÿ åíåð i¨ E ′ = E − mc2 ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè l∗ çíàõîäèìî ( )−1/2 α2 E′ p = 1+ − 1, mc2 [nr + (j + 1/2)2 − α2 + 1/2 ∓ 1/2]2 624

àáî îñòàòî÷íî: ( )−1/2 α2 E′ p = 1+ − 1, mc2 [n − (j + 1/2) + (j + 1/2)2 − α2 ]2

n = nr + l + 1 ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Òóò ìè âðàõóâàëè, ùî nr +1/2∓1/2 = n−l−1+1/2∓1/2 = n−(l±1/2)−1/2 = n−(j+1/2). Öåé âèðàç ïðè ðîçêëàäi çà ñòåïåíÿìè α2 ç òî÷íiñòþ äî ÷ëåíiâ 4 α âêëþ÷íî äà¹ me4 n 3 α2 ′ E =− 2 2 1+ 2 − . 2~ n n j + 1/2 4

Î÷åâèäíî, ùî öÿ îðìóëà çáiãà¹òüñÿ ç òi¹þ, ÿêó ìè çíàéøëè ç íàáëèæåíîãî ðiâíÿííÿ Äiðàêà. Çàïðîøó¹ìî ×èòà÷à òàêîæ ïîðiâíÿòè öåé òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ç òî÷íèì ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ Êëÿéíà îðäîíàÔîêà ç êóëîíiâñüêèì ïîòåíöiàëîì, à òàêîæ ç îðìóëîþ, ÿêó äà¹ ìåòîä êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà. Ìè âæå íå áóäåìî çóïèíÿòèñü íà ïèòàííi îá÷èñëåííÿ õâèëüîâèõ óíêöié, îñêiëüêè çâ'ÿçîê ìiæ ψ òà ψ¯ ¹ íåñêëàäíèì. 79. Àòîì ó ìàãíiòíîìó ïîëi

Ïðè íàêëàäàííi ìàãíiòíîãî ïîëÿ íà àòîì éîãî åíåð åòè÷íi ðiâíi ðîçùåïëþþòüñÿ ååêò Çå¹ìàíà. Äëÿ ðîçðàõóíêó öüîãî ååêòó âèêîðèñòàéìî êâàçiðåëÿòèâiñòñüêèé ãàìiëüòîíiàí

p − eA/c)2 ˆ = (ˆ ˆ H − (ˆ µH) + eV + ∆2 H, 2m ˆ = −gµBˆs. Áóäåìî ââàòóò H íàïðóæåíiñòü ìàãíiòíîãî ïîëÿ, µ æàòè ïîëå îäíîðiäíèì i íåçàëåæíèì âiä ÷àñó, òîäi âåêòîðíèé ïîòåíöiàë ìîæíà âèáðàòè ó âèãëÿäi 1 A = [Hr], 2 òàê ùî rot A = H,

div A = 0.

Òåïåð

40

I. Î. Âàêàð÷óê

e2 e e 2 ˆ 2 − 2 Aˆ ˆ− A =p p + 2 A2 . p c c c

625

Íàñ öiêàâèòèìóòü çìiùåííÿ åíåð åòè÷íèõ ëiíié àòîìà, ëiíiéíi çà íàïðóæåíiñòþ H. Òîìó íåõòó¹ìî ÷ëåíîì, ïðîïîðöiéíèì äî A2 , óâàæàþ÷è ïîëå äîñòàòíüî ñëàáêèì. àìiëüòîíiàí

ˆ =H ˆ0 + H ˆ int , H äå ãàìiëüòîíiàí ïðè âiäñóòíîñòi ïîëÿ

ˆ2 ˆ0 = p ˆ H + eV + ∆2 H, 2m à ÷ëåí, ùî âiäïîâiäà¹ çà âçà¹ìîäiþ ç ìàãíiòíèì ïîëåì, ˆ int = − e (Aˆ H p) − (ˆ µH). mc Ïåðåòâîðèìî ïåðøèé äîäàíîê: 1 1 1 ˆ (Aˆ p) = ([Hr]ˆ p) = (H[rˆ p]) = (HL). 2 2 2 Îòæå,

e ˆ − (ˆ ˆ + 2ˆs). ˆ int = − e (HL) H µH) = − H(L 2mc 2mc îçãëÿíåìî ñïî÷àòêó äîñòàòíüî ñèëüíå ïîëå, ïiä ÿêèì ìè ðîçóìi¹ìî çîâíiøí¹ ïîëå, ùî ðîçùåïëþ¹ åíåð åòè÷íi ðiâíi çíà÷íî áiëüøå, íiæ âiäñòàíü ìiæ ðiâíÿìè òîíêî¨ ñòðóêòóðè, i â ãàìiëüòîíiàíi ˆ . ßêùî òàê, ˆ 0 ìîæíà çíåõòóâàòè ðåëÿòèâiñòñüêèì äîäàíêîì ∆2 H H ˆ òî êîìïîíåíòè îïåðàòîðà L ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó âîíè êîìóòóþòü ˆ 0 . Êàæóòü, ùî ðîçðèâà¹òüñÿ çâ'ÿçîê ñïiíîâîãî é îðáiòàëüíîãî çH ìîìåíòiâ êiëüêîñòi ðóõó i âîíè âçà¹ìîäiþòü ç ìàãíiòíèì ïîëåì íåçàëåæíî. Îòæå, ïîïðàâêà äî åíåð i¨ ˆ + 2ˆs)i = − e HhL ˆ z + 2ˆ ˆ int i = − e hH(L sz i. E (1) = hH 2mc 2mc Ìè ñïðÿìóâàëè ïîëå âçäîâæ îñi z : H = (0, 0, H). Òàêèì ÷èíîì, e E (1) = − H~(ml + 2ms ), 2mc äå ìàãíiòíå êâàíòîâå ÷èñëî ml = 0, ±1, . . . , ± l, à ñïiíîâå ms = ±1/2. Òàêå ðîçùåïëåííÿ ðiâíiâ íàçèâàþòü ååêòîì ÏàøåíàÁàêà. îçãëÿíåìî âèïàäîê ñëàáêîãî ïîëÿ, ÿêå ðîçùåïëþ¹ åíåð åòè÷ˆ i ˆ 0 ìè çáåðiãà¹ìî ÷ëåí ∆2 H íi ðiâíi òîíêî¨ ñòðóêòóðè. Òåïåð â H 626

ˆ âæå íå ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó. Iíòå ðàëàìè êîìïîíåíòè îïåðàòîðà L ˆ . Òîìó ìè ïîâèííi ðóõó ¹ êîìïîíåíòè ïîâíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó J ˆ ïåðåïèñàòè îïåðàòîð Hint òàê, ùîá äî íüîãî âõîäèëè ëèøå âåëè÷èíè, ùî çáåðiãàþòüñÿ. Îòæå, â e ˆ + ˆs) H(J Hint = − 2mc ïîêëàäà¹ìî ˆ + ˆs = gˆJ, ˆ J äå gˆ ïîêè ùî íåâiäîìèé îïåðàòîð. Ïîìíîæèìî öþ ðiâíiñòü ñïðàˆ i îòðèìó¹ìî, ùî âà ñêàëÿðíî íà îïåðàòîð J

ˆ + ˆs)J ˆ = gˆJ ˆ2 . (J ˆ −2 i çíàõîäèìî íåâiäîìèé Äàëi ïîìíîæèìî öåé âèðàç ñïðàâà íà J îïåðàòîð ˆ 2 + ˆsJ) ˆ J ˆ −2 . gˆ = (J ˆ − ˆs)2 = L ˆ 2 , òî ˆ=L ˆ + ˆs, J ˆ − ˆs = L ˆ i (J Îñêiëüêè J ˆ 2 − 2Jˆ ˆ s + ˆs2 = L ˆ 2. J

ˆ i ïiäñòàâëÿ¹ìî éîãî ó Âèçíà÷à¹ìî çâiäñè ñêàëÿðíèé äîáóòîê ˆsJ âèðàç äëÿ gˆ: ! ˆ2 − L ˆ 2 + ˆs2 J ˆ −2 . ˆ2 + J gˆ = J 2 Áà÷èìî, ùî gˆ âèðàæà¹òüñÿ ëèøå ÷åðåç iíòå ðàëè ðóõó. Ñïðÿìîâóþ÷è ïîëå âçäîâæ îñi z , çíàõîäèìî îïåðàòîð âçà¹ìîäi¨ ˆ int = − e H(Jz + sz ) = − e Hˆ H gJˆz . 2mc 2mc Òåïåð ïîïðàâêà ˆ int i = − e Hhˆ E (1) = hH gJˆz i. 2mc Îñêiëüêè òóò óñi âåëè÷èíè ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó, òî e Hg~ mj , E (1) = − 2mc 40*

627

äå òàê çâàíèé ìíîæíèê Ëàíäå9

g =1+

j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1) , 2j(j + 1)

êâàíòîâå ÷èñëî mj = 0, ±1, ±2, . . . , ±j . Ìè îòðèìàëè âèðàç äëÿ ðîçùåïëåííÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà â ìàãíiòíîìó ïîëi, ÿêå âiäîìå ïiä íàçâîþ àíîìàëüíîãî ååêòó Çå¹ìàíà. Äëÿ îäíîãî åëåêòðîíà s = 1/2, à j = l ± 1/2, ïðè l = 0, j = 1/2, g = 2. ßêùî ñïií àòîìà s = 0, òî ìíîæíèê Ëàíäå g = 1 i ñïðîñòåðiãà¹ìî òàê çâàíèé íîðìàëüíèé ååêò Çå¹ìàíà. Ó öüîìó âèïàäêó âiäñòàíü ìiæ ñóñiäíiìè ðiâíÿìè äîðiâíþ¹ |e|~H/2mc, ÿê i ïåðåäáà÷àëîñü êëàñè÷íîþ òåîði¹þ. 80. óõ ÷àñòèíêè â îäíîðiäíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi

Äîñëiäèìî ñòàöiîíàðíi ñòàíè çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè çi ñïiíîì ~/2 i çàðÿäîì e, ÿêà ðóõà¹òüñÿ â îäíîðiäíîìó, íåçàëåæíîìó âiä ÷àñó ìàãíiòíîìó ïîëi íàïðóæåíîñòi H. àìiëüòîíiàí òàêî¨ çàäà÷i

p − eA/c)2 ˆ = (ˆ H − (ˆ µH), 2m äå âåêòîðíèé ïîòåíöiàë âèáåðåìî, ÿê i â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, ðiâíèì 1 A = [Hr], 2 íàïðóæåíiñòü ïîëÿ H íàïðàâëÿ¹ìî âçäîâæ îñi z , H = (0, 0, H). Îòæå, ìè íå âðàõîâó¹ìî òàêèõ ååêòiâ, ÿê çàëåæíiñòü ìàñè âiä øâèäêîñòi òà ñïií-îðáiòàëüíà âçà¹ìîäiÿ. Îäíàê ìè áóäåìî âðàõîâóâàòè â ãàìiëüòîíiàíi ÷ëåíè, êâàäðàòè÷íi çà âåêòîðíèì ïîòåíöiàëîì A, ÿêèìè ðàíiøå íåõòóâàëè. Òîáòî ìîâà éäå ïðî òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ çàäà÷i ç ãàìiëüòîíiàíîì Ïàóëi ïðî ðóõ, 9 Àëüðåä Ëàíäå (18851975) íiìåöüêèé içèê-òåîðåòèê, ÿêèé ïîáóäóâàâ òåîðiþ àíîìàëüíîãî ååêòó Çå¹ìàíà i â 1922 ð. ââiâ g -àêòîð ìíîæíèê Ëàíäå.

628

íàïðèêëàä, òàêî¨ ÷àñòèíêè, ÿê åëåêòðîí, íà ÿêèé íàêëàäåíî ñòàëå îäíîðiäíå ìàãíiòíå ïîëå10 . Çðîáèìî äåÿêi ïåðåòâîðåííÿ â ãàìiëüòîíiàíi. Îñêiëüêè ç âíåñêîì, ëiíiéíèì çà A, ìè îçíàéîìèëèñü ó ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, òî, âèêîðèñòîâóþ÷è öi ðåçóëüòàòè, çàïèñó¹ìî ãàìiëüòîíiàí òàê:

ˆ2 e e2 ˆ = p ˆ − (ˆ H − (HL) µH) + A2 , 2m mc 2mc2 íàãàäà¹ìî, ùî îïåðàòîð ìàãíiòíîãî ìîìåíòó ÷àñòèíêè µ = −gµBˆs, ˆs îïåðàòîð ñïiíó. Ïåðåòâîðèìî òåïåð êâàäðàòè÷íèé ÷ëåí çà A. Îòæå, 1 1 A2 = A[Hr] = r[AH] 2 2 i 1 1 h r [Hr]H = r rH2 − H(Hr) = 4 4 i H2 1h 2 2 H2 2 = r H − (Hr)2 = (r 2 − z 2 ) = (x + y 2 ), 4 4 4

ìè ñêîðèñòàëèñü òóò öèêëi÷íîþ ïåðåñòàíîâêîþ â ìiøàíîìó äîáóòêó, ðîçêðèëè ïîäâiéíèé âåêòîðíèé äîáóòîê i âðàõóâàëè, ùî íàïðóæåíiñòü ïîëÿ ìà¹ âiäìiííó âiä íóëÿ ëèøå z -êîìïîíåíòó. Òåïåð, ðîçïèñóþ÷è çà êîìïîíåíòàìè îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ â ãàìiëüòîíiàíi, ìà¹ìî

ˆ = H

pˆ2x + pˆ2y e2 H2 2 pˆ2z e 2 ˆ z − e Hˆ + (x + y ) + − HL sz . 2 2m 8mc 2m 2mc mc

iâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç öèì ãàìiëüòîíiàíîì äîïóñêà¹ ðîçäiëåííÿ ñïiíîâèõ i ïðîñòîðîâèõ çìiííèõ, i ìè ìîæåìî çàïèñàòè ðiâíÿííÿ ëèøå äëÿ ïðîñòîðîâî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(r), ïîêëàäàþ÷è, çàìiñòü îïåðàòîðà sˆz , éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ ~ms , ms = ±1/2: 10 Öþ çàäà÷ó âïåðøå ðîçâ'ÿçàâ ó 1930 ðîöi Ë. Ä. Ëàíäàó (19081968), ëàóðåàò Íîáåëiâñüêî¨ ïðåìi¨ ç içèêè çà ïiîíåðñüêi äîñëiäæåííÿ ç òåîði¨ êîíäåíñîâàíèõ ñåðåäîâèù, îñîáëèâî ðiäêîãî ãåëiþ. Ó 19321937 ðîêàõ âií ïðàöþâàâ ó Õàðêîâi, äå î÷îëþâàâ òåîðåòè÷íèé âiääië Ôiçèêî-ìåõàíi÷íîãî iíñòèòóòó, êàåäðó òåîðåòè÷íî¨ içèêè Ìåõàíiêî-ìàòåìàòè÷íîãî iíñòèòóòó, êàåäðó çàãàëüíî¨ içèêè Õàðêiâñüêîãî óíiâåðñèòåòó.

629

(

2 pˆ2x + pˆ2y e2 H2 2 e 2 ˆ z + pˆz + (x + y ) − H L 2m 8mc2 2mc 2m

) e − H~ms ψ(r) = Eψ(r). mc Ïåðøi òðè äîäàíêè â ãàìiëüòîíiàíi îïèñóþòü ðóõ ÷àñòèíêè â ïëîùèíi (x, y), òîìó, ç îãëÿäó íà öåíòðàëüíó ñèìåòðiþ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨, çðó÷íî ïðàöþâàòè â öèëiíäðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z . ßê áà÷èìî, çìiííi äàëi ðîçäiëÿþòüñÿ: ðóõ ÷àñòèíêè âçäîâæ îñi z ¹ âiëüíèì ðóõîì iç êiíåòè÷íîþ åíåð i¹þ p2z /2m, à äëÿ ðóõó â ïëîùèíi (x, y), êîðèñòóþ÷èñü çàãàëüíèìè îðìóëàìè äëÿ N -âèìiðíîãî ïðîñòîðó ç 44, ïåðåõîäèìî äî ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ øëÿõîì ïiäñòàíîâêè

eipz z/~ e±ilϕ √ R(r), ψ(r) = √ 2π 2π R(r) ðàäiàëüíà õâèëüîâà óíêöiÿ; −∞ < pz < ∞; îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî l = 0, 1, 2, . . . âèçíà÷à¹ ïðîåêöiþ ìîìåíòó iìïóëüñó íà âiñü z , Lz = ±~l. Ïiäñòàâëÿ¹ìî ψ(r) ó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà i çðàçó çàïèñó¹ìî ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χ(r) = Îòæå,

√

rR(r).

~2 ∗ ∗ e2 H2 2 ~2 d2 + l (l + 1) + r χ(r) − 2m dr 2 2mr 2 8mc2 p2z e = E− + H~(±l + 2ms ) χ(r), 2m 2mc

äå ååêòèâíå îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî äëÿ äâîâèìiðíîãî ïðîñòîðó l∗ = l − 1/2. Ìè çâåëè íàøó çàäà÷ó äî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ äâîâèìiðíîãî ïðîñòîðîâîãî îñöèëÿòîðà ç ÷àñòîòîþ |e|H/2mc, ùî äà¹ çìîãó 630

ñêîðèñòàòèñü ðåçóëüòàòàìè ðîçâ'ÿçêó öi¹¨ ïðîáëåìè ç 40, çàìiíîþ l íà l∗ . Äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ ìà¹ìî

E−

p2z e |e|H + H~(±l + 2ms ) = ~ (2nr + l∗ + 3/2), 2m 2mc 2mc

äå nr = 0, 1, 2 . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, àáî

E=

|e|H~ eH~ e p2z + (2nr + l + 1) ∓ l− H~ms . 2m 2mc 2mc mc

Ëåãêî çàóâàæèòè, ùî ÿê äëÿ e > 0, òàê i äëÿ e < 0 åíåð iÿ çàëåæèòü âiä ãîëîâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n = nr + l, n = 0, 1, 2, . . . . Îñòàòî÷íî |e|H~ e 1 p2 En = H~ms . n+ + z − mc 2 2m mc

Öi ðiâíi åíåð i¨ íàçèâàþòü ðiâíÿìè Ëàíäàó. ßê áà÷èìî, âîíè ¹ âèðîäæåíèìè: åíåð iþ âèçíà÷à¹ ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n, à íå îêðåìi ÷èñëà nr òà l. Öå çóìîâëåíî òèì, ùî êîîðäèíàòè öåíòðà êîëà, x/2 + cpy /eH, y/2 − cpx /eH, ïî ÿêîìó ðóõà¹òüñÿ ÷àñòèíêà çãiäíî ç çàêîíàìè êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè, ¹ iíòå ðàëàìè ðóõó, îäíàê âîíè íå ìîæóòü ìàòè îäíî÷àñíî ïåâíèõ çíà÷åíü, îñêiëüêè âiäïîâiäíi ¨ì îïåðàòîðè íå êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ. À öå, ÿê ìè çíà¹ìî ç 17, ïðèâîäèòü äî âèðîäæåííÿ. Îòæå, ïðè÷èíîþ âèðîäæåííÿ ¹ òå, ùî â êëàñè÷íîìó âèïàäêó åíåð iÿ íå iêñó¹ êîîðäèíàòè öåíòðà êîëà, âîíà âèçíà÷à¹ ëèøå éîãî ðàäióñ. Çàóâàæèìî, ùî ïðåäñòàâëåííÿ îïåðàòîðiâ êîîðäèíàò öåíòðà êîëà çàëåæèòü âiä êàëiáðóâàííÿ A, ÿêùî çàïèñóâàòè ¨õ ÷åðåç êîìïîíåíòè óçàãàëüíåíîãî iìïóëüñó p. Âîíè, î÷åâèäíî, íå çàëåæàòèìóòü âiä êàëiáðóâàííÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöiàëó, ÿêùî âèðàçèòè ¨õ ÷åðåç êîìïîíåíòè øâèäêîñòi ÷àñòèíêè v = (p − eA/c)/m, ÿêi ¹ ñïîñòåðåæóâàíèìè âåëè÷èíàìè: x + mcvy /eH, y − mcvx /eH. Äîïèòëèâèé ×èòà÷ ìîæå ñàìîñòiéíî îá÷èñëèòè êîìóòàòîðè îïåðàòîðiâ êîîðäèíàò öåíòðà êîëà ìiæ ñîˆ z i äåòàëüíiøå äîñëiäèòè öå öiêàâå ïèòàííÿ. áîþ òà ç îïåðàòîðîì L Êðiì öüîãî, ìà¹ìî ùå äîäàòêîâå âèðîäæåííÿ, çóìîâëåíå òàê çâàíîþ ñóïåðñèìåòði¹þ ãàìiëüòîíiàíó (äèâ. âèíîñêó íà ñòîð. 206): äëÿ e < 0 ðiâíi ç êâàíòîâèìè ÷èñëàìè n, ms = 1/2 òà n + 1, ms = −1/2 çáiãàþòüñÿ; äëÿ e > 0 áåðåìî ïðîòèëåæíi çíàêè ms . 631

Õâèëüîâi óíêöi¨ R(r) áåðåìî ç 40 çàìiíîþ îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà l íà l∗ i ç âèìîãîþ, ùîá nr + l∗ + 1 > −1/2 àáî nr + l > −1, òîáòî ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n ≥ 0. Êðiì òîãî, ïàì'ÿòà¹ìî, ùî òåïåð äëÿ òîãî, ùîá îòðèìàòè √ ðàäiàëüíó óíêöiþ R(r), íåîáõiäíî óíêöiþ χ(r) ïîäiëèòè íà r , à íå íà r , ÿê ó òðèâèìiðíîìó âèïàäêó (äèâ. òàêîæ 44). Îòæå, ùîá çàïèñàòè ÿâíèé âèãëÿä ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ äëÿ√íàøî¨ çàäà÷i, îðìàëüíî ìíîæèìî óíêöiþ Rn,l (r) ç 40 íà r, çàìiñòü l ïèøåìî l∗ = l − 1/2, à çàìiñòü ïðèéíÿòîãî òàì ïîçíà÷åííÿ n äëÿ ðàäiàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà ïèøåìî nr i ïiñëÿ öüîãî âèêîðèñòà¹ìî äëÿ iíäåêñàöi¨ îðáiòàëüíå ÷èñëî l òà ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n = nr + l:

Rn,l (r) = (−)n−l

r

2mω ~

r

(n − l)! l −ρ2 /2 ¯ l ρe Ln−l (ρ2 ), n!

¯ l (x) óçàãàëüíåíèé ïîëiíîì Ëà åððà, à ÷àñòîòà ω = òóò L n p |e|H/2mc, çíåðîçìiðåíà êîîðäèíàòà ρ = r/ ~/mω . Çîêðåìà äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó (n = 0, l = 0) r 2mω −ρ2 /2 e . R0,0 (r) = ~ îçãëÿíóòå êâàíòóâàííÿ åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè â ìàãíiòíîìó ïîëi ïîÿñíþ¹ ÿâèùå äiàìàãíåòèçìó åëåêòðîíiâ ïðîâiäíîñòi â ìåòàëàõ.

Ë À Â À XI ÊÂÀÍÒÎÂÀ ÌÅÕÀÍIÊÀ ÑÈÑÒÅÌÈ ÁÀ ÀÒÜÎÕ ×ÀÑÒÈÍÎÊ

81. Ïðèíöèï òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê ó êâàíòîâié ìåõàíiöi

Ïðè îðìóëþâàííi óíäàìåíòàëüíèõ ïðèíöèïiâ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ìè, ÿê ïðàâèëî, çîñåðåäæóâàëè óâàãó íà îäíié ÷àñòèíöi. Çðîçóìiëî, îäíàê, ùî îñíîâíi ïîñòóëàòè òà ïåðøîïðèíöèïíi ðiâíÿííÿ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ïðàöþþòü íåçàëåæíî âiä òîãî, ÷è ðîçãëÿäà¹òüñÿ îäíà ÷àñòèíêà, ÷è ¨õ ñóêóïíiñòü. Ñòàí ñèñòåìè áàãàòüîõ ÷àñòèíîê òàêîæ âèçíà÷à¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, ÿêà çáåðiãà¹ ñâié çìiñò àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi. Äëÿ ñèñòåìè N ÷àñòèíîê õâèëüîâà óíêöiÿ ψ = ψ(q1 , . . . , qN ; t) çàëåæèòü âiä çìiííèõ q1 , . . . , qN , êîæíà ç ÿêèõ çàäà¹ êîîðäèíàòè ÷àñòèíêè ç âiäïîâiäíèì íîìåðîì. Âîíà çàäîâîëüíÿ¹ îñíîâíå ðiâíÿííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè õâèëüîâå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà: ∂ψ ˆ = Hψ, i~ ∂t äå ãàìiëüòîíiàí N X ˆ 2j p ˆ = H + U (q1 , . . . , qN ; t) 2mj j=1

ñêëàäà¹òüñÿ ç ñóìè îïåðàòîðiâ êiíåòè÷íèõ åíåð ié ÷àñòèíîê i ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ U , ÿêà ìiñòèòü ÿê âçà¹ìîäiþ ÷àñòèíîê iç çîâˆ j îïåðàòîð iìïóíiøíiì ïîëåì, òàê i ¨õ âçà¹ìîäiþ ìiæ ñîáîþ; p ëüñó j -î¨ ÷àñòèíêè, mj ¨¨ ìàñà. ßêùî ãàìiëüòîíiàí íå çàëåæèòü ÿâíî âiä ÷àñó, òî áàãàòî÷àñòèíêîâà ñèñòåìà îïèñó¹òüñÿ ñòàöiîíàðíèìè ñòàíàìè, õâèëüîâi óíêöi¨ ÿêèõ âèçíà÷àþòüñÿ ðàçîì iç ìîæëèâèìè çíà÷åííÿìè åíåð i¨ ç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà: ˆ = Eψ. Hψ

633

îçâ'ÿçîê òàêîãî ðiâíÿííÿ ¹ ñêëàäíîþ ìàòåìàòè÷íîþ çàäà÷åþ. Ìîäåëi, ÿêi äîïóñêàþòü òî÷íi ðîçâ'ÿçêè, ¹ ðiäêiñòþ, i òîìó îñíîâíèì ïiäõîäîì ïðè äîñëiäæåííi ïðîáëåìè áàãàòüîõ òië ¹ ðiçíîìàíiòíi íàáëèæåíi ìåòîäè. îçãëÿíåìî âàæëèâèé êëàñ áàãàòî÷àñòèíêîâèõ ñèñòåì, à ñàìå, ñóêóïíiñòü N îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê. Òàêi ñèñòåìè âèÿâëÿþòü äîäàòêîâi îñîáëèâîñòi ïðèíöèïîâîãî õàðàêòåðó, ÿêi íå ìàþòü àíàëîãà â êëàñè÷íié ìåõàíiöi. Ùî òàêå îäíàêîâi ÷àñòèíêè? Öå ÷àñòèíêè, ÿêi ìàþòü îäíàêîâi ìàñó, çàðÿä, ñïií, âëàñíèé ìàãíiòíèé ìîìåíò i ò. ä. òà ïîâîäÿòüñÿ îäíàêîâî â òèõ ñàìèõ óìîâàõ. Ó êëàñè÷íié ìåõàíiöi çà êîæíîþ ç ÷àñòèíîê, íàâiòü ÿêùî âîíè i ¹ îäíàêîâèìè, ìîæíà ïðîñòåæèòè, îñêiëüêè âîíè ðóõàþòüñÿ ïî ñâî¨õ òðà¹êòîðiÿõ i íå âòðà÷àþòü iíäèâiäóàëüíîñòi. Ó êâàíòîâié ìåõàíiöi ñèòóàöiÿ ¹ ïðèíöèïîâî iíøîþ. ßêùî â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó ìè ïðîíóìåðó¹ìî ÷àñòèíêè, òî çà äåÿêèé ÷àñ, ëîêàëiçóâàâøè îäíó ç íèõ, ìè íå çìîæåìî çiäåíòèiêóâàòè ¨¨ íîìåð. Öå ïîâ'ÿçàíî ç òèì, ùî ïîíÿòòÿ òðà¹êòîði¨ ó êâàíòîâié ìåõàíiöi, âíàñëiäîê ïðèíöèïó íåâèçíà÷åíîñòi àéçåíáåð à, íå ìà¹ çìiñòó. Ìîâîþ õâèëüîâèõ ïàêåòiâ öå îçíà÷à¹, ùî â íàñòóïíèé ìîìåíò ÷àñó ïiñëÿ ïðèñâî¹ííÿ íîìåðiâ ÷àñòèíêàì ¨õíi õâèëüîâi ïàêåòè ïåðåêðèþòüñÿ i íóìåðàöiÿ ÷àñòèíîê ïåðåïëóòà¹òüñÿ. Òàêèì ÷èíîì, ó êâàíòîâié ìåõàíiöi íåìà¹ æîäíî¨ çìîãè ðîçðiçíèòè îäíàêîâi ÷àñòèíêè. Öå òâåðäæåííÿ i ñòàíîâèòü òàê çâàíèé ïðèíöèï òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê ó êâàíòîâié ìåõàíiöi. Ïåðåéäåìî äî ìàòåìàòè÷íîãî îðìóëþâàííÿ ïðèíöèïó òîòîæíîñòi. îçãëÿíåìî äëÿ ñïðîùåííÿ ñèñòåìó, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ ç N = 2 òîòîæíèõ ÷àñòèíîê. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç x ñóêóïíiñòü êîîðäèíàò ÷àñòèíîê, ïiä ÿêèìè áóäåìî ðîçóìiòè ÿê ïðîñòîðîâi r = (x, y, z), òàê i ñïiíîâi êîîðäèíàòè s: x = (r, s). Çà îçíà÷åííÿì õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(x1 , x2 ) òàêî¨ ñèñòåìè, âåëè÷èíà |ψ(x1 , x2 )|2 äîðiâíþ¹ ãóñòèíi éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ïåðøà ÷àñòèíêà ïåðåáóâà¹ â îêîëi òî÷êè x1 , à äðóãà â îêîëi òî÷êè x2 . ßêùî ÷àñòèíêè ïåðåñòàâèòè ìiñöÿìè, òî ¨õíÿ õâèëüîâà óíêöiÿ ψ = ψ(x2 , x1 ). Òåïåð âåëè÷èíà |ψ(x2 , x1 )|2 äîðiâíþ¹ ãóñòèíi éìîâiðíîñòi òîãî, ùî ïåðøà ÷àñòèíêà ¹ â îêîëi òî÷êè x2 , à äðóãà â îêîëi x1 . Îñêiëüêè ÷àñòèíêè òîòîæíi, òî ïîâèííà âèêîíóâàòèñü ðiâíiñòü

|ψ(x1 , x2 )|2 = |ψ(x2 , x1 )|2 öå i ¹ ìàòåìàòè÷íå îðìóëþâàííÿ ïðèíöèïó òîòîæíîñòi ÷àñ634

òèíîê. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî õâèëüîâà óíêöiÿ ç ïåðåñòàâëåíèìè ÷àñòèíêàìè ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà çáiãà¹òüñÿ ç âèõiäíîþ1 :

ψ(x2 , x1 ) = eiα ψ(x1 , x2 ). Çíàéäåìî çíà÷åííÿ àçè α. Óâåäåìî îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèíîê Pˆ òàêèé, ùî

Pˆ ψ(x1 , x2 ) = ψ(x2 , x1 ). Îòæå, äiÿ öüîãî îïåðàòîðà çâîäèòüñÿ äî ìíîæåííÿ óíêöi¨ íà eiα :

Pˆ ψ(x1 , x2 ) = eiα ψ(x1 , x2 ) ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ äëÿ îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè. Ïîäi¹ìî íà öå ðiâíÿííÿ ùå ðàç îïåðàòîðîì Pˆ :

Pˆ 2 ψ(x1 , x2 ) = eiα Pˆ ψ(x1 , x2 ) = e2iα ψ(x1 , x2 ). Îäíàê, ç iíøîãî áîêó,

Pˆ 2 ψ(x1 , x2 ) = Pˆ ψ(x2 , x1 ) = ψ(x1 , x2 ). Iíøèìè ñëîâàìè, äiþ÷è äâi÷i îïåðàòîðîì ïåðåñòàíîâêè, ìè çàëèøà¹ìî ÷àñòèíêè íà ñâî¨õ ìiñöÿõ. Îòæå, âèõîäèòü, ùî

e2iα ψ(x1 , x2 ) = ψ(x1 , x2 ), àáî

e2iα = 1. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî 2iα = 2iπn, n = 0, 1, 2, 3, . . . , òîáòî α = πn, à âëàñíå çíà÷åííÿ îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè Òàêèì ÷èíîì, 1

eiα = ±1. ψ(x2 , x1 ) = ±ψ(x1 , x2 ).

Óâåñü ÷àñ ìè ïiäêðåñëþâàëè, ùî àçîâèé ìíîæíèê ó õâèëüîâié óíêöi¨ íå âiäiãðà¹ æîäíî¨ ðîëi é íå âïëèâà¹ íà içè÷íi ðåçóëüòàòè. Îäíàê öå ñòîñóâàëîñü ñòàðòîâîãî àçîâîãî ìíîæíèêà, à íå òîãî, ÿêèé âèíèêà¹ ïðè ïåðåòâîðåííÿõ íàä õâèëüîâîþ óíêöi¹þ. Ôàçà, ÿêà íàáiãà¹ ïiä ÷àñ òàêèõ ïåðåòâîðåíü, ÿê ìè áà÷èëè â 2, âiäiãðà¹ ïðèíöèïîâî âàæëèâó ðîëü.

635

Îòæå, ïiä ÷àñ ïåðåñòàíîâêè òîòîæíèõ ÷àñòèíîê õâèëüîâà óíêöiÿ ìîæå çìiíþâàòè ëèøå çíàê. Î÷åâèäíî, öåé ðåçóëüòàò óçàãàëüíþ¹òüñÿ íà ñèñòåìó ç N îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê. Íàïðèêëàä, ïåðåñòàâëÿþ÷è ÷àñòèíêó íîìåð 2 ç ÷àñòèíêîþ íîìåð N , ìà¹ìî:

ψ(x1 , x2 , x3 , . . . , xN −1 , xN ) = ±ψ(x1 , xN , x3 , . . . , xN −1 , x2 ).

Ìè îòðèìàëè âàæëèâèé ðåçóëüòàò: ïðè ïåðåñòàíîâöi áóäü-ÿêèõ äâîõ ÷àñòèíîê iç ñóêóïíîñòi N îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê ¨õíÿ õâèëüîâà óíêöiÿ àáî íå çìiíþ¹ çíàêà, àáî çìiíþ¹ íà ïðîòèëåæíèé. Iíøèìè ñëîâàìè, õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè N òîòîæíèõ ÷àñòèíîê ¹ ñèìåòðè÷íîþ àáî àíòèñèìåòðè÷íîþ. Âàæëèâî, ùî öÿ âëàñòèâiñòü çáåðiãà¹òüñÿ ç ÷àñîì. Ñïðàâäi, îñêiëüêè ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè N ˆ = H(x ˆ 1 , . . . , xN ) íå çìiíþ¹òüñÿ âiä ¨õ ïåðåòîòîæíèõ ÷àñòèíîê H ñòàíîâêè, òî îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè Pˆ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó. Íàïðèêëàä, íåõàé N = 2. Ìà¹ìî

ˆ ˆ 1 , x2 )ψ(x1 , x2 ) = H(x ˆ 2 , x1 )ψ(x2 , x1 ) Pˆ Hψ = Pˆ H(x ˆ 1 , x2 )ψ(x2 , x1 ) = H(x ˆ 1 , x2 )Pˆ ψ(x1 , x2 ) = H ˆ Pˆ ψ, = H(x àáî

ˆ −H ˆ Pˆ = 0. Pˆ H

Òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè êîìóòó¹ ç ãàìiëüòîíiàíîì, i îòæå, âií ¹ iíòå ðàëîì ðóõó. Öå îçíà÷à¹, ùî âëàñòèâiñòü õâèëüîâèõ óíêöié çìiíþâàòè àáî íå çìiíþâàòè çíàê íå çàëåæèòü âiä ÷àñó. ßêùî, íàïðèêëàä, àíòèñèìåòðè÷íà õâèëüîâà óíêöiÿ îïèñó¹ ñèñòåìó åëåêòðîíiâ ñüîãîäíi, òî âîíà æ áóäå îïèñóâàòè ¨¨ i çàâòðà. . . Çi ñêàçàíîãî âèïëèâà¹, ùî ç óñiõ ìîæëèâèõ ðîçâ'ÿçêiâ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìè ïîâèííi âiäiáðàòè ëèøå òàêi, ÿêi ¹ ñèìåòðè÷íèìè àáî àíòèñèìåòðè÷íèìè òiëüêè âîíè ìàþòü içè÷íèé çìiñò. Ñèìåòðè÷íi õâèëüîâi óíêöi¨ îïèñóþòü òàê çâàíi áîçå-÷àñòèíêè, àáî áîçîíè. Àíòèñèìåòðè÷íi óíêöi¨ îïèñóþòü åðìi-÷àñòèíêè, àáî åðìiîíè. Öi íàçâè ïîõîäÿòü âiä ïðiçâèù ó÷åíèõ, ÿêi çàïðîïîíóâàëè âiäïîâiäíi ñòàòèñòèêè äëÿ ñóêóïíîñòåé îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê. Ñèìåòðè÷íó ñòàòèñòèêó çàïðîïîíóâàâ ó 1924 ðîöi iíäiéñüêèé ó÷åíèé Ñ. Áîçå (18941974) äëÿ êâàíòiâ ñâiòëà é óçàãàëüíèâ À. Àéíøòàéí äëÿ ÷àñòèíîê iç ìàñîþ ñïîêîþ, âiäìiííîþ âiä íóëÿ. Ó 1926 ðîöi Å. Ôåðìi çàïðîïîíóâàâ àíòèñèìåòðè÷íó ñòàòèñòèêó 636

äëÿ åëåêòðîíiâ, à ¨¨ çâ'ÿçîê iç êâàíòîâîþ ìåõàíiêîþ âñòàíîâèâ Ï. À. Ì. Äiðàê. Â. Ïàóëi â 1940 ðîöi íà îñíîâi ðåëÿòèâiñòñüêî¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ïîêàçàâ, ùî ñòàòèñòèêà, ÿêié ïiäêîðÿþòüñÿ ÷àñòèíêè, îäíîçíà÷íî ïîâ'ÿçàíà ç ¨õíiì ñïiíîì: åðìiîíè öå ÷àñòèíêè ç ïiâöiëèì ñïiíîì, à áîçîíè iç öiëèì. Ïðèêëàäîì åðìiîíiâ ¹ òàêi åëåìåíòàðíi ÷àñòèíêè, ÿê åëåêòðîí, ïðîòîí, íåéòðîí, ìþîí, íåéòðèíî, ïîçèòðîí. Áîçîíàìè ¹ îòîí, ìåçîíè. ßêùî ÷àñòèíêè ¹ ñêëàäíèìè, òî õâèëüîâà óíêöiÿ òàêîæ ¹ ñèìåòðè÷íîþ àáî àíòèñèìåòðè÷íîþ, çàëåæíî âiä ¨õíüîãî ñïiíó: àòîì 3 He ìà¹ ñïií 1/2, i îòæå, öå åðìiîí, à àòîì 4 He, ñïií ÿêîãî äîðiâíþ¹ íóëåâi, ¹ áîçîíîì. Òàêèì ÷èíîì, óñi ÷àñòèíêè ìîæíà ïîäiëèòè íà äâà êëàñè åðìiîíè i áîçîíè2 . Ôiçè÷íi âëàñòèâîñòi ñèñòåì, ùî ñêëàäàþòüñÿ ç áîçîíiâ, ñóòò¹âî âiäðiçíÿþòüñÿ âiä âëàñòèâîñòåé áàãàòîåðìiîííèõ ñèñòåì. ßñêðàâèì ïðèêëàäîì öüîãî ¹ ðiäêi 3 He òà 4 He. ßêùî ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè íå çàëåæèòü âiä ñïiíîâèõ ñòóïåíiâ âiëüíîñòi, ÿê öå ¹ â íåðåëÿòèâiñòñüêîìó íàáëèæåííi, òî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äîïóñêà¹ ðîçäiëåííÿ çìiííèõ. Ïîâíà õâèëüîâà óíêöiÿ, ÿêà çàëåæèòü âiä ïðîñòîðîâèõ i ñïiíîâèõ êîîðäèíàò, ìîæå áóòè çîáðàæåíà ó âèãëÿäi äîáóòêó:

ψ(x1 , . . . , xN ) = χ(s1 , . . . , sN )ϕ(r1 , . . . , rN ), äå óíêöiÿ χ çàëåæèòü ëèøå âiä ñïiíîâèõ çìiííèõ i ¨¨ íàçèâàþòü ñïiíîâîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ, óíêöiÿ ϕ çàëåæèòü ëèøå âiä ïðîñòîðîâèõ êîîðäèíàò ¨¨ íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ. Ôàêòè÷íî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà âèçíà÷à¹ ëèøå êîîðäèíàòíó óíêöiþ ϕ. I çäàâàëîñü áè, ùî ñïiíîâà óíêöiÿ χ íå ìà¹ íiÿêîãî âïëèâó íà içè÷íi âëàñòèâîñòi ñèñòåìè. Îäíàê, óíàñëiäîê ïðèíöèïó òîòîæíîñòi, öå íå òàê. Ñïðàâäi, îñêiëüêè ïîâíà õâèëüîâà 2 Ó òàê çâàíèõ ñóïåðñèìåòðè÷íèõ êâàíòîâèõ òåîðiÿõ ïîëÿ äîïóñêà¹òüñÿ ïåðåõiä ÷àñòèíîê ìiæ öèìè äâîìà ñòàíàìè-ñîðòàìè. Ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò öèõ òåîðié ðóíòó¹òüñÿ íà àë åáði ðàññìàíà. Íiìåöüêèé ìàòåìàòèê åðìàí ðàññìàí (18091877) çàéìàâñÿ ïîáóäîâîþ âèùèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë. Òî÷êó â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði âií çàäàâàâ âèðàçîì x1 e1 +x2 e2 +· · ·+xN eN , äå ei îäèíè÷íi åëåìåíòè (òâiðíi àë åáðè ðàññìàíà), ïiäêîðåíi óìîâi ei ek = −ek ei , òàê ùî e2i = 0. Ó 60-õ òà 70-õ ðîêàõ ìèíóëîãî ñòîëiòòÿ àë åáðà ðàññìàíà çàçíàëà iíòåíñèâíîãî ðîçâèòêó çàâäÿêè ¨¨ çàñòîñóâàííþ äî âèâ÷åííÿ ñèñòåì áàãàòüîõ åðìiîíiâ. ðàññìàíiçàöiÿ iíøèõ çàäà÷ òåîðåòè÷íî¨ içèêè äà¹ çìîãó îòðèìóâàòè íîâi óíäàìåíòàëüíi ðåçóëüòàòè. Ââåäåííÿ ïîõiäíèõ òà iíòå ðàëiâ çà òâiðíèìè àë åáðè ðàññìàíà ïðèâåëè äî ñòâîðåííÿ ñóïåðìàòåìàòèêè.

637

óíêöiÿ ψ ìà¹ ïåâíó ñèìåòðiþ, òî âèáîðîì ñèìåòði¨ ñïiíîâî¨ óíêöi¨ χ ìè iêñó¹ìî òó ÷è iíøó ñèìåòðiþ óíêöi¨ ϕ. Òîìó ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà, òîáòî åíåð iÿ ñèñòåìè, áóäå çàëåæàòè âiä òîãî, ÿêîþ ¹ ñïiíîâà óíêöiÿ. Íàïðèêëàä, äëÿ åëåêòðîíiâ õâèëüîâà óíêöiÿ ψ ¹ àíòèñèìåòðè÷íîþ, îòæå äëÿ ¨¨ óòâîðåííÿ ÿê äîáóòêó χ íà ϕ ¹ äâi ìîæëèâîñòi:

ψ a = χa ϕs àáî

ψ a = χs ϕa , äå çíà÷êàìè s òà a ïîçíà÷åíî óíêöi¨ ñèìåòðè÷íi é àíòèñèìåòðè÷íi ùîäî ïåðåñòàíîâêè âiäïîâiäíèõ êîîðäèíàò ÷àñòèíîê. Òàêèì ÷èíîì, ó ïåðøîìó âèïàäêó åíåð iÿ

ˆ a i = hχa |χa ihϕs |H|ϕ ˆ s i = hϕs |H|ϕ ˆ s i. Es = hψ a |H|ψ

Ìè ââàæà¹ìî, ùî ñïiíîâà é êîîðäèíàòíà õâèëüîâi óíêöi¨ ¹ íîðìîâàíèìè. Ó äðóãîìó âèïàäêó åíåð iÿ

ˆ a i. Ea = hϕa |H|ϕ

Çðîçóìiëî, ùî öi äâà çíà÷åííÿ åíåð i¨ ¹ ðiçíèìè. Îòæå, ìîæëèâi çíà÷åííÿ åíåð i¨ çàëåæàòü âiä ñïiíîâîãî ñòàíó ñèñòåìè, íåçâàæàþ÷è íà òå, ùî ãàìiëüòîíiàí íå çàëåæèòü âiä ñïiíîâèõ çìiííèõ. Öþ çàëåæíiñòü òðàêòóþòü ÿê ñâî¹ðiäíó âçà¹ìîäiþ ìiæ ÷àñòèíêàìè, ÿêó íàçèâàþòü îáìiííîþ âçà¹ìîäi¹þ, à ðiçíèöþ ìiæ Ea òà Es îáìiííîþ åíåð i¹þ. Íàñïðàâäi öå íå âçà¹ìîäiÿ â ïðÿìîìó ðîçóìiííi, à ÷èñòî êâàíòîâèé ååêò, ÿêèé ¹ íàñëiäêîì òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê. Òîáòî äîäàòêîâó óìîâó, ÿêó íàêëàäà¹ìî íà õâèëüîâó óíêöiþ ñèñòåìè áàãàòüîõ îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê, ùî çóìîâëåíà êâàíòîâîìåõàíi÷íèì ïðèíöèïîì òîòîæíîñòi, òðàêòó¹ìî ÿê ñâî¹ðiäíó ìiæ÷àñòèíêîâó âçà¹ìîäiþ3 . îçãëÿíåìî ñèñòåìó íåâçà¹ìîäiþ÷èõ îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê, êîæíó ç ÿêèõ îïèñó¹ õâèëüîâà óíêöiÿ ψf (x). Ñòàí ñèñòåìè ìîæíà âèçíà÷èòè, ÿêùî âêàçàòè íîìåðè ñòàíiâ f , ó ÿêèõ ïåðåáóâàþòü 3 Óçàãàëi êàæó÷è, áóäü-ÿêó äîäàòêîâó â'ÿçü, ÿêó íàêëàäà¹ìî íà ðiâíÿííÿ ðóõó (êëàñè÷íi ÷è êâàíòîâi), ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê äîäàòêîâó ñèëó. Ôàêòè÷íî öå ñïiâçâó÷íî iäå¨ òàê çâàíî¨ ãåîìåòðèçàöi¨ âçà¹ìîäié, ÿêà ðåàëiçîâàíà, çîêðåìà, ó çàãàëüíié òåîði¨ âiäíîñíîñòi ñòîñîâíî ðàâiòàöiéíî¨ âçà¹ìîäi¨.

638

îêðåìi ÷àñòèíêè: ψf1 (x1 ), . . . , ψfN (xN ). Ïîáóäó¹ìî ç öèõ îäíî÷àñòèíêîâèõ óíêöié õâèëüîâó óíêöiþ öiëî¨ ñèñòåìè. Íåõàé ñïî÷àòêó N = 2. ßê äîáóòîê õâèëüîâèõ óíêöié ψf1 (x1 )ψf2 (x2 ), òàê i äîáóòîê ç ïåðåñòàâëåíèìè êîîðäèíàòàìè ψf1 (x2 )ψf2 (x1 ) îïèñó¹ ñèñòåìó äâîõ ÷àñòèíîê, îäíàê âîíè íå ìàþòü ïåâíî¨ ñèìåòði¨. ßêùî óòâîðèòè ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ öèõ äîáóòêiâ

ψf1 ,f2 (x1 , x2 ) = C1 ψf1 (x1 )ψf2 (x2 ) + C2 ψf1 (x2 )ψf2 (x1 ), òî, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, óíêöiÿ ψf1 ,f2 (x1 , x2 ) òàêîæ îïèñó¹ ñòàí öèõ ÷àñòèíîê. Ç óìîâè ñèìåòði¨, ÿêà âèïëèâà¹ ç òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê, ìà¹ìî |C1 |2 = |C2 |2 i, ïðèéìàþ÷è âåëè÷èíè C1 , C2 äiéñíèìè, çíàõîäèìî, ùî C2 = ±C1 . Îòæå,

ψf1 ,f2 (x1 , x2 ) = C1 [ψf1 (x1 )ψf2 (x2 ) ± ψf1 (x2 )ψf2 (x1 )],

äå âåðõíié çíàê äà¹ ñèìåòðè÷íó, à íèæíié àíòèñèìåòðè÷íó õâèëüîâó óíêöiþ ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê. Ç óìîâè íîðìóâàííÿ Z Z |ψf1 ,f2 (x1 , x2 )|2 dx1 dx2 = 1

√ îòðèìó¹ìî C1 = 1/ 2. Ìè ïðèïóñêà¹ìî, ùî îäíî÷àñòèíêîâi óíêöi¨ ψf (x) ¹ îðòîíîðìîâàíèìè. Ïiä çíà÷êîì iíòå ðóâàííÿ çà çìiííîþ x ðîçóìi¹ìî iíòå ðóâàííÿ çà íåïåðåðâíîþ ïðîñòîðîâîþ êîîðäèíàòîþ r òà ïiäñóìîâóâàííÿ çà äèñêðåòíèìè çíà÷åííÿìè ñïiíîâî¨ çìiííî¨ s. Òàêèì ÷èíîì, ïðàâèëüíèìè, ñèìåòðèçîâàíèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè ñèñòåìè äâîõ òîòîæíèõ ÷àñòèíîê ¹ 1 ψf1 ,f2 (x1 , x2 ) = √ [ψf1 (x1 )ψf2 (x2 ) ± ψf1 (x2 )ψf2 (x1 )]. 2 Öåé ðåçóëüòàò ëåãêî óçàãàëüíèòè íà ñèñòåìó ç N ÷àñòèíîê. Çàóâàæèìî, ùî àíòèñèìåòðè÷íà õâèëüîâà óíêöiÿ (íèæíié çíàê −) ψf1 ,f2 (x1 , x2 ) ¹ âèçíà÷íèêîì äðóãîãî ïîðÿäêó. Òîìó äëÿ N åðìi-÷àñòèíîê àíòèñèìåòðè÷íó õâèëüîâó óíêöiþ òàêîæ çàïèñó¹ìî ó âèãëÿäi âèçíà÷íèêà N -ãî ïîðÿäêó: ψ (x ) ψ (x ) . . . ψ (x ) f1 2 f1 N f1 1 ψf (x1 ) ψf (x2 ) . . . ψf (xN ) 2 2 2 ψf1 ,...,fN (x1 , . . . , xN ) = CN . .. .. .. .. . . . . ψf (x1 ) ψf (x2 ) . . . ψf (xN ) N N N 639

Êîëè ðîçïèñàòè öåé âèçíà÷íèê, òî îòðèìà¹ìî N ! ÷ëåíiâ i ç óìîâè íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ öiëî¨ ñèñòåìè çíàéäåìî, ùî √ CN = 1/ N !. ßêùî äâi ÷àñòèíêè ìàþòü îäíàêîâi iíäåêñè ñòàíiâ f , íàïðèêëàä f1 = f2 , òî äâà ðÿäêè âèçíà÷íèêà ¹ îäíàêîâèìè i çà éîãî âëàñòèâiñòþ õâèëüîâà óíêöiÿ òîòîæíî îáåðòà¹òüñÿ â íóëü. Öå îçíà÷à¹, ùî òàêèõ ñòàíiâ, êîëè ¹ õî÷à á äâi ÷àñòèíêè ç îäíàêîâèìè êâàíòîâèìè ÷èñëàìè, íå iñíó¹ ïðèíöèï Ïàóëi4 . Äëÿ áîçîíiâ òàêîæ êîðèñòóþòüñÿ íàïèñàíîþ âèùå óíêöi¹þ, ÿêùî ïðè ðîçêðèòòi âèçíà÷íèêà âñi çíàêè ìiíóñ çàìiíèòè íà ïëþñ. Òàêèé âèçíà÷íèê íàçèâàþòü ïåðìàíåíòîì. Äëÿ áàãàòîáîçîííî¨ ñèñòåìè ïðèíöèï Ïàóëi âæå íå ìà¹ ìiñöÿ, îñêiëüêè âñi ÷ëåíè âõîäÿòü ó ψf1 ,...,fN (x1 , . . . , xN ) çi çíàêîì ïëþñ. Îòæå, òóò ìîæëèâèé âèïàäîê, êîëè âñi ÷àñòèíêè ïåðåáóâàþòü â îäíîìó é òîìó æ ñòàíi. Öå òàê çâàíèé áîçå-êîíäåíñàò. Çðîçóìiëî, ùî ïðè öüîìó ïåðåñòàâëÿííÿ ÷àñòèíîê ç îäíàêîâèìè iíäåêñàìè ñòàíiâ íå äà¹ íîâèõ äîäàíêiâ ó õâèëüîâié óíêöi¨. Çàãàëîì õâèëüîâó óíêöiþ ñèñòåìè N òîòîæíèõ íåâçà¹ìîäiþ÷èõ ÷àñòèíîê ìîæíà çàïèñàòè â òàêîìó âèãëÿäi: X (±)Q ψfQ1 (x1 ) . . . ψfQN (xN ), ψf1 ,...,fN (x1 , . . . , xN ) = CN Q

äå ïiäñóìîâóâàííÿ ïðîâîäèìî çà âñiìà ìîæëèâèìè ïåðåñòàíîâêàìè Q ðiçíèõ iíäåêñiâ f1 , . . . , fN ; íèæíié çíàê áåðåòüñÿ äëÿ åðìiîíiâ, ïðè÷îìó ïàðíå ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê äà¹ çíàê ïëþñ, íåïàðíå çíàê ìiíóñ, à âåðõíié çíàê äëÿ áîçîíiâ. Ñòàëà íîðìóâàííÿ äëÿ åðìiîíiâ √ CN = 1/ N !. Äëÿ áîçîíiâ

CN =

q

Nf1 ! . . . NfN !/N !,

äå Nfi öå ÷èñëî iíäåêñiâ ñåðåä f1 , . . . , fN , ùî íàáóâàþòü îäíîãî é òîãî æ çíà÷åííÿ fi . Âåëè÷èíè Nfi íàçèâàþòü ÷èñëàìè çàïîâíåííÿ âiäïîâiäíèõ îäíî÷àñòèíêîâèõ ñòàíiâ. Òàêó ñòàëó íîðìóâàííÿ äëÿ áîçîíiâ îòðèìó¹ìî òîìó, ùî êiëüêiñòü ðiçíèõ äîäàíêiâ ó õâèëüîâié óíêöi¨ ¹ ìåíøîþ, íiæ N !, i äîðiâíþ¹ N !/(Nf1 ! . . . NfN !). 4 Öåé ïðèíöèï ñîðìóëþâàâ Â. Ïàóëi â 19241925 ðîêàõ äî ñòâîðåííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, çà ùî â 1945 ðîöi îòðèìàâ Íîáåëiâñüêó ïðåìiþ.

640

Ìiæ iíøèì, îðìàëüíî äëÿ åðìiîíiâ ñòàëó íîðìóâàííÿ ìîæíà çàïèñàòè òàê ñàìî, ÿê i äëÿ áîçîíiâ, òîìó ùî â öüîìó âèïàäêó âñi Nfi ! = 1, îñêiëüêè Nfi = 0, 1. Íà çàâåðøåííÿ öüîãî ïàðàãðàà çâåðíåìî óâàãó ×èòà÷à íà äåÿêi óçàãàëüíåííÿ ñòàòèñòèê òîòîæíèõ ÷àñòèíîê. Ìîæíà îðìàëüíî ðîçãëÿíóòè ïåâíîþ ìiðîþ øòó÷íó ñòàòèñòèêó, òàê çâàíó ïàðàñòàòèñòèêó (ïðåiêñ ïàðà. . . ïîõîäèòü âiä ãðåöüêîãî παρα . . . i îçíà÷à¹ áëèçüêèé, ñõîæèé, àëå íå òîòîæíèé), êîëè â äåÿêîìó êâàíòîâîìó ñòàíi ìîæå ïåðåáóâàòè íå áiëüøå, íiæ p ÷àñòèíîê: ïðè p = 1 ìà¹ìî ñòàòèñòèêó ÔåðìiÄiðàêà, à ÿêùî p = ∞, òî îòðèìó¹ìî ñòàòèñòèêó ÁîçåÀéíøòàéíà. Óñi âiäîìi íà ñüîãîäíi åëåìåíòàðíi ÷àñòèíêè âiäïîâiäàþòü ëèøå öèì ãðàíè÷íèì çíà÷åííÿì âåëè÷èíè p. Áóëè ñïðîáè çíàéòè ÷àñòèíêè çi ñêií÷åíèì çíà÷åííÿì p > 1, àëå áåçóñïiøíi. ×îìó Ïðèðîäà íàäàëà ïåðåâàãó ñàìå öèì ÷àñòêîâèì âèïàäêàì p = 1, ∞ çàëèøà¹òüñÿ òà¨íîþ. . . . Iíøå ìîæëèâå óçàãàëüíåííÿ ñòàòèñòèê ñòîñó¹òüñÿ àçè α, ÿêà íàáiãà¹ ó õâèëüîâié óíêöi¨ ïðè ïåðåñòàíîâöi ÷àñòèíîê. ßê ìè áà÷èëè, öÿ àçà α = πα′ , äå äiéñíå ÷èñëî α′ íàáóâàëî çíà÷åíü íóëü àáî îäèíèöÿ. Ìîæíà îðìàëüíî ðîçãëÿíóòè äðîáîâå çíà÷åííÿ α′ (éîãî íàçèâàþòü ñòàòèñòè÷íèì ïàðàìåòðîì) iç ïðîìiæêó 0 ≤ α′ ≤ 1, ó ÿêîìó α′ çìiíþ¹òüñÿ íåïåðåðâíî, i ìè îòðèìó¹ìî äðîáîâó ñòàòèñòèêó. Õî÷à ñïîñòåðåæóâàíi åëåìåíòàðíi ÷àñòèíêè ¹ àáî åðìiîíàìè (α′ = 1), àáî áîçîíàìè (α′ = 0), ìîæëèâi ñèòóàöi¨, êîëè âèâ÷åííÿ äåÿêîãî içè÷íîãî ÿâèùà ååêòèâíî çâîäèòüñÿ äî äîñëiäæåííÿ ñèñòåìè êâàçi÷àñòèíîê ç áóäü-ÿêèì äðîáîâèì çíà÷åííÿì ñòàòèñòè÷íîãî ïàðàìåòðà α′ . Çâåðòà¹ìî òàêîæ óâàãó é íà òå, ùî çíà÷åííÿ α′ = 0, 1 ìè îòðèìàëè ç àíàëiçó îïåðàöi¨ ïåðåñòàíîâêè òîòîæíèõ ÷àñòèíîê, îäíàê içè÷íà ðåàëiçàöiÿ ïåðåñòàâëÿííÿ ÷àñòèíîê ìiñöÿìè ç óðàõóâàííÿì ¨õíiõ ðîçìiðiâ â îäíî- òà äâîâèìiðíîìó ïðîñòîði íå ¹ î÷åâèäíîþ. Îòæå, âèíèêà¹ çàäà÷à ïðî äîñëiäæåííÿ ñèñòåìè òîòîæíèõ ÷àñòèíîê iç áóäü-ÿêèì çíà÷åííÿì α, òàê çâàíèõ åíiîíiâ (àíãë. anyon, âiä any áóäü-ÿêèé). Ïðèêëàä 1. Õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó ñèñòåìè âiëüíèõ áîçå-÷àñòèíîê â îá'¹ìi V .

N

áåçñïiíîâèõ

Îñíîâíèé ñòàí õàðàêòåðèçó¹òüñÿ íàéìåíøèì çíà÷åííÿì åíåð i¨, ÿêå ðåàëiçó¹òüñÿ, êîëè iìïóëüñè âñiõ ÷àñòèíîê äîðiâíþþòü íóëåâi: f1 = p1 = 0, . . . , fN = pN = √ 0 i îäíî÷àñòèíêîâi óíêöi¨, ÿêi ¹ ïëîñêèìè õâèëÿìè, ψf (x) = 1/ V . Ó çàãàëüíîìó âèðàçi äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψf1 ,...,fN (x1 , . . . , xN ) ÷èñëà çàïîâíåííÿ Np = 0 äëÿ p 6= 0, à äëÿ p = 0 âåëè÷èíà Np=0 = N . Îñêiëüêè ðiçíèõ iíäåêñiâ ñòàíiâ íåìà¹, òî é êiëüêiñòü 41

I. Î. Âàêàð÷óê

641

ïåðåñòàíîâîê äîðiâíþ¹ îäèíèöi. Òàêèì ÷èíîì, õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó ψ0 = ψ0,...,0 (r1 , . . . , rN ) = 1/V N/2 . Âîíà îïèñó¹ òàê çâàíèé áîçå-êîíäåíñàò, êîëè âñi ÷àñòèíêè ñêîíäåíñîâàíi íà êâàíòîâîìó ðiâíi p = 0. Òåîðåòè÷íi ðîçðàõóíêè é åêñïåðèìåíòàëüíi âèìiðþâàííÿ â íàäïëèííîìó 4 He äàþòü äëÿ âiäíîñíî¨ êiëüêîñòi àòîìiâ áîçå-êîíäåíñàòó êiëüêà âiäñîòêiâ ïðè òåìïåðàòóði àáñîëþòíîãî íóëÿ. Íà ïåðøèé ïîãëÿä, iñíóâàííÿ áîçå-êîíäåíñàòó çàïåðå÷ó¹ ïðèíöèï íåâèçíà÷åííîñòåé àéçåíáåð à, îñêiëüêè ðóõ êîæíîãî àòîìà îáìåæåíèé íåâåëèêèì îá'¹ìîì â îòî÷åííi éîãî íàéáëèæ÷èõ ñóñiäiâ i ìiíiìàëüíî ìîæëèâèé iìïóëüñ p ∼ ~/hri, äå hri ñåðåäíÿ âiäñòàíü ìiæ àòîìàìè. Îäíàê ïðèíöèï òîòîæíîñòi íå äà¹ çìîãè iäåíòèiêóâàòè àòîìè, òîìó íåâèçíà÷åíiñòü êîîðäèíàòè äîðiâíþ¹ íå hri, à ëiíiéíîìó ðîçìiðîâi L óñüîãî ìàêðîñêîïi÷íîãî îá'¹ìó, â ÿêîìó ïåðåáóâàþòü àòîìè, i îòæå, ìiíiìàëüíèé iìïóëüñ p ∼ ~/L, L ≫ hri i ïðè L → ∞ âåëè÷èíà p → 0. Áîçå-êîíäåíñàòíèé ñòàí äëÿ êiëüêîõ òèñÿ÷ ÷àñòèíîê ñòâîðåíî òàêîæ â åêñïåðèìåíòàëüíèõ óñòàíîâêàõ ç ëàçåðíèì îõîëîäæåííÿì àòîìiâ5 . Ïðèêëàä 2. Îá÷èñëèòè â ïåðøîìó íàáëèæåííi òåîði¨ çáóðåíü åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó ñèñòåìè N âçà¹ìîäiþ÷èõ áåçñïiíîâèõ áîçå-÷àñòèíîê â îá'¹ìi V. Ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ ïàðíèõ âçà¹ìîäié ìiæ ÷àñòèíêàìè

X

Φ=

1≤i<j≤N

Φ(|ri − rj |)

ðîçãëÿäà¹ìî ÿê çáóðåííÿ. Íóëüîâå íàáëèæåííÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó äîðiâíþ¹ íóëåâi, îñêiëüêè iìïóëüñè òà êiíåòè÷íi åíåð i¨ îêðåìèõ ÷àñòèíîê äîðiâíþþòü íóëåâi (áîçå-êîíäåíñàò). Ïåðøà ïîïðàâêà E (1)

=

h0|Φ|0i Z

=

=

Z

... 1 VN

∗ ψ0,...,0 (r1 , . . . , rN )Φψ0,...,0 (r1 , . . . , rN ) dr1 . . . drN

Z

Z

X

...

1≤i<j≤N

Z

Φ(|ri − rj |) dr1 . . . drN

Z

=

1 N (N − 1) VN 2

=

1 N (N − 1) N−2 V VN 2

...

Φ(|r1 − r2 |) dr1 . . . drN Z Z

Φ(|r1 − r2 |) dr1 dr2

5 Çà äîñÿãíåííÿ áîçå-àéíøòàéíiâñüêî¨ êîíäåíñàöi¨ â ðîçðiäæåíèõ ãàçàõ àòîìiâ ëóæíèõ ìåòàëiâ, à òàêîæ çà ïåðøi óíäàìåíòàëüíi äîñëiäæåííÿ âëàñòèâîñòåé öèõ êîíäåíñàòiâ Å. À. Êîðíåëë, Â. Êåòòåðëå òà Ê. Å. Âiìåí îäåðæàëè Íîáåëiâñüêó ïðåìiþ 2001 ðîêó.

642

=

N (N − 1) 2V

Z

Φ(R) dR.

Ìè âèêîðèñòàëè òóò iç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó âèðàçè äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó, à îñòàííþ ðiâíiñòü îòðèìó¹ìî ïåðåõîäîì âiä çìiííèõ r1 , r2 äî íîâèõ çìiííèõ r1 , R = r1 − r2 ç ÿêîáiàíîì, ðiâíèì îäèíèöi. Îñòàòî÷íî N (N − 1) E (1) = ν0 , 2V äå ν0 íóëüîâà êîìïîíåíòà êîåiöi¹íòà Ôóð'¹ åíåð i¨ ïàðíî¨ âçà¹ìîäi¨ ìiæ ÷àñòèíêàìè. 4 Ïðèêëàä 3. Çáóäæåíi ñòàíè ðiäêîãî He. Õâèëüîâó óíêöiþ íèæ÷îãî çáóäæåíîãî ñòàíó ñèñòåìè N íåâçà¹ìîäiþ÷èõ áîçå-÷àñòèíîê îòðèìó¹ìî iç çàãàëüíî¨ îðìóëè, ïîêëàäàþ÷è äëÿ (N − 1) ÷àñòèíîê iìïóëüñè ðiâíèìè íóëåâi, à äëÿ îäíi¹¨ ç íèõ iìïóëüñ p 6= 0: r

ψ=

(N − 1)! N!

r

... +

(N − 1)! N!

àáî ψ = ψ0 ρ−q ,

q = p/~,

N−1

1 √ V

1 √ V

eipr1 /~ √ + ... V

N−1

eiprN /~ √ V

N 1 X −iqrj ρq = √ e . N j=1

Òàêèé âèãëÿä óíêöi¨ ìîæíà çàïèñàòè ÿê ïåðøå íàáëèæåííÿ i äëÿ ñèñòåìè âçà¹ìîäiþ÷èõ áîçå-÷àñòèíîê, ÿêùî ïiä ψ0 ðîçóìiòè òî÷íó õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó i âðàõóâàòè ñòàëó íîðìóâàííÿ: p

ψ = ψ0 ρ−q /

Sq ,

äå ñòðóêòóðíèé àêòîð Sq = hψ0 |ρq ρ−q |ψ0 i, òàê ùî hψ|ψi = 1; äëÿ iäåàëüíîãî áîçå-ãàçó Sq = 1. Îá÷èñëèìî ç öi¹þ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ åíåð iþ çáóäæåíîãî ñòàíó äëÿ òàêî¨ êâàíòîâî¨ áîçå-ðiäèíè ÿê ðiäêèé 4 He. Ç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà !

~2 X 2 − ∇ j + Φ ψ = Eψ, 2m j=1 N

áåðó÷è äî óâàãè ðiâíÿííÿ äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó ç ψ0 i åíåð i¹þ E0 , çíàõîäèìî: 2

3

N ~2 X 4 − ψ0 ∇2j ϕ + 2 (∇ j ϕ) (∇ j ψ0 ) 5 = (E − E0 )ψ0 ϕ, 2m j=1

p

ϕ = ρ−q / Sq . Ìíîæèìî öå ðiâíÿííÿ íà ψ ∗ é iíòå ðó¹ìî çà âñiìà êîîðäèíàòàìè ÷àñòèíîê. Ñêîðèñòàéìîñü òèì, ùî ψ0 , ÿê õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî 41*

643

ñòàíó, ¹ äiéñíîþ âåëè÷èíîþ, òîìó ψ0 ∇ j ψ0 = ∇ j ψ02 /2, é iíòå ðóâàííÿì ÷àñòèíàìè ó äðóãîìó äîäàíêó â êâàäðàòíèõ äóæêàõ ïåðåêèäà¹ìî äiþ îïåðàòîðà ∇ j ç ψ02 íàëiâî. Ó ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî, ùî N ~2 X hψ0 | |∇ j ϕ|2 |ψ0 i = E − E0 , 2m j=1

àáî, ïiäñòàâëÿþ÷è ϕ, îäåðæó¹ìî îñòàòî÷íî äëÿ åíåð i¨ Eq = E − E0 : Eq = ~2 q 2 /2mSq .

Öåé âèðàç, ÿêèé óïåðøå çíàéøîâ . Ôåéíìàí ó 1953 ðîöi, ÿêiñíî ïðàâèëüíî îïèñó¹ åíåð åòè÷íèé ñïåêòð íàäïëèííîãî 4 He. 82. Òåîðiÿ àòîìà ãåëiþ

Àòîì ãåëiþ ¹ íàéïðîñòiøèì ñåðåä áàãàòîåëåêòðîííèõ àòîìiâ, àëå ñàìå íà íüîìó òåîðiÿ Áîðà íå çìîãëà ïîäîëàòè òðóäíîùiâ iç ïîÿñíåííÿì ñïåêòðàëüíèõ òåðìiâ. I ëèøå çi ñòâîðåííÿì êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè Â. àéçåíáåð îì i Å. Øðåäèí åðîì âäàëîñÿ äàòè ÷iòêå ïîÿñíåííÿ ñïîñòåðåæóâàíèõ çàêîíîìiðíîñòåé ñïåêòðàëüíèõ ëiíié ãåëiþ é ïîáóäóâàòè äëÿ íèõ êiëüêiñíó òåîðiþ. Öå àêòè÷íî çðîáèâ àéçåíáåð ó ñâî¨õ ïåðøèõ ðîáîòàõ.

èñ. 64.

644

Ñèñòåìà äâîõ åëåêòðîíiâ ó ïîëi ÿäðà.

Îòæå, ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ åëåêòðîíiâ, ùî ðóõàþòüñÿ â ïîëi ÿäðà iç çàðÿäîì Z|e| (äèâ. ðèñ. 64). Äî òàêèõ ñèñòåì íàëåæàòü àòîì ãåëiþ, îäíîêðàòíî éîíiçîâàíèé àòîì ëiòiþ, âiä'¹ìíèé éîí âîäíþ H− òà iíøi áàãàòîêðàòíi éîíè. Ìè çíåõòó¹ìî ðåëÿòèâiñòñüêèìè ïîïðàâêàìè. Êðiì òîãî, áóäåìî ââàæàòè ÿäðî íåðóõîìèì, áåðó÷è äî óâàãè òå, ùî âiäíîøåííÿ ìàñè åëåêòðîíà m äî ìàñè ÿäðà M ¹ ìàëîþ âåëè÷èíîþ, m/M ≪ 1. Çàïèøåìî ãàìiëüòîíiàí òàêî¨ ñèñòåìè, ïîìiñòèâøè ÿäðî â ïî÷àòîê êîîðäèíàò:

ˆ =H ˆ 0 (1) + H ˆ 0 (2) + Vˆ , H äå ãàìiëüòîíiàí ïåðøîãî åëåêòðîíà â ïîëi ÿäðà

ˆ 21 Ze2 ˆ 0 (1) = p H − , 2m r1 äðóãîãî åëåêòðîíà

ˆ 22 Ze2 ˆ 0 (2) = p H − 2m r2 òà îïåðàòîð åíåð i¨ ìiæåëåêòðîííî¨ êóëîíiâñüêî¨ âçà¹ìîäi¨

e2 Vˆ = , r ˆ 1, p ˆ 2 îïåðàòîðè ¨õíiõ iìïór1 , r2 ðàäióñ-âåêòîðè åëåêòðîíiâ, p ëüñiâ, à r = r1 − r2 . îçãëÿíüìî ñïî÷àòêó îñíîâíèé ñòàí. ßêùî ïðèïóñòèòè, ùî åëåêòðîíè ìiæ ñîáîþ íå âçà¹ìîäiþòü, òî ìè ìà¹ìî âîäíåâîïîäiáíó çàäà÷ó i îñíîâíèé ñòàí îáîõ åëåêòðîíiâ çàäà¹òüñÿ òàêèìè êâàíòîâèìè ÷èñëàìè: n1 = 1, l1 = 0, m1 = 0; n2 = 1, l2 = 0, m2 = 0. Òîáòî îáèäâà åëåêòðîíè ïåðåáóâàþòü â |1si-ñòàíi. Öÿ åëåêòðîííà êîíi óðàöiÿ çîáðàæà¹òüñÿ ÿê (1s)2 . Îòæå, åëåêòðîíè îïèñó¹ìî òàêèìè êîîðäèíàòíèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè: 1 e−r1 /a , ϕ1s (r1 ) = √ 3 πa 1 ϕ1s (r2 ) = √ e−r2 /a , πa3 645

äå

a = aB /Z. Åëåêòðîíè ¹ åðìi-÷àñòèíêàìè, i ïîâíà õâèëüîâà óíêöiÿ ψ = ψ(x1 , x2 ) ïîâèííà áóòè àíòèñèìåòðè÷íîþ:

ψ(x1 , x2 ) = −ψ(x2 , x1 ). Ñïiíîâi òà êîîðäèíàòíi çìiííi ðîçäiëÿþòüñÿ, îòæå

ψ(x1 , x2 ) = χ(s1 , s2 )ϕ(r1 , r2 ). Îñêiëüêè îáèäâà åëåêòðîíè ïåðåáóâàþòü ó |1si-ñòàíi, òî ç ϕ1s (r1 ) òà ϕ1s (r2 ) ìîæíà óòâîðèòè ëèøå ñèìåòðè÷íó êîîðäèíàòíó õâèëüîâó óíêöiþ:

ϕ = ϕs (r1 , r2 ) = ϕ1s (r1 )ϕ1s (r2 ). Òàêèì ÷èíîì, ñïiíîâà óíêöiÿ ïîâèííà áóòè àíòèñèìåòðè÷íîþ:

1 χ(s1 , s2 ) = χa (s1 , s2 ) = √ {χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )χ↑ (s2 )}, 2 äå îäíîåëåêòðîííi ñïiíîâi óíêöi¨ ó âëàñíîìó çîáðàæåííi (ñïiíîðè), ç ÿêèìè ìè ïîçíàéîìèëèñü ó 35,



1



0

χ↑ =  χ↓ = 

0

1



, 

.

Òóò çà çìiííó s ñëóãó¹ ïðîåêöiÿ ñïiíó íà âèäiëåíó âiñü, ÿêà íàáóâà¹ äâîõ çíà÷åíü (±~/2). Äîñëiäèìî ñïiíîâèé ñòàí, ÿêèé îïèñó¹ óíêöiÿ χa (s1 , s2 ). Äëÿ öüîãî ïîäi¹ìî íà íå¨ îïåðàòîðîì z -êîìïîíåíòè ïîâíîãî ñïiíó 646

ˆ = ˆs1 + ˆs2 , äå ˆs1 = ~σ ˆ 1 /2, ˆs2 = ~σ ˆ 2 /2 îïåðàòîðè ñïiíiâ ïåðS øîãî òà äðóãîãî åëåêòðîíiâ. Îòæå, 1 sz1 χ↑ (s1 ) Sˆz χa (s1 , s2 ) = (ˆ sz1 + sˆz2 )χa (s1 , s2 ) = √ {χ↓ (s2 )ˆ 2 − χ↑ (s2 )ˆ sz1 χ↓ (s1 ) + χ↑ (s1 )ˆ sz2 χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )ˆ sz2 χ↑ (s2 )} ~ 1 ~ = √ χ↓ (s2 )χ↑ (s1 ) − − χ↑ (s2 )χ↓ (s1 ) 2 2 2 ~ ~ + − χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )χ↑ (s2 ) = 0. 2 2

Ïîäi¹ìî òåïåð íà óíêöiþ χa (s1 , s2 ) îïåðàòîðîì êâàäðàòà ïîâíîãî ñïiíó:

ˆ 2 χa (s1 , s2 ) = (ˆ S s21 + sˆ22 + 2ˆs1 ˆs2 )χa (s1 , s2 ) 3 2 3 2 = ~ + ~ + 2ˆs1 ˆs2 4 4 1 √ [χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )χ↑ (s2 )] . 2

× Íàì íåîáõiäíî çíàéòè

ˆs1 ˆs2 χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) =

2 ~ ˆ 1 χ↑ (s1 )σ ˆ 2 χ↓ (s2 ). σ 2

Äëÿ öüîãî îá÷èñëèìî       0 1 1 0 −i 1   + j   ˆ ↑ = i σχ 1 0 0 i 0 0



1



0

+ k = i

0

0 −1

1





1







 + j

0 i

0

 



 + k

1 0



,

647

à òàêîæ



0 1 1 0





1

0



1

ˆ ↓ = i σχ

+ k = i



0 −1

0



ˆs1 ˆs2 χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) =

1

 



 + j



 + j

Òåïåð ëåãêî ïîêàçàòè, ùî

0

 0 1

−i 0

0 −i i

0





0



 



 + k

−1



0 1

 

.

~2 [2χ↓ (s1 )χ↑ (s2 ) − χ↑ (s1 )χ↓ (s2 )] 4

i àíàëîãi÷íî

~2 [2χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )χ↑ (s2 )]. 4 Çáèðàþ÷è îòðèìàíi âèðàçè ðàçîì, çíàõîäèìî ~2 3 3 2 a ˆ S χ (s1 , s2 ) = √ χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )χ↑ (s2 ) 2 2 2 ˆs1 ˆs2 χ↓ (s1 )χ↑ (s2 ) =

+

1 [2χ↓ (s1 )χ↑ (s2 ) − χ↑ (s1 )χ↓ (s2 )] 2

−

1 [2χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↓ (s1 )χ↑ (s2 )] = 0. 2

Îòæå, ìè îòðèìàëè, ùî

ˆ 2 χa (s1 , s2 ) = 0, S Sˆz χa (s1 , s2 ) = 0. Öå îçíà÷à¹, ùî χa (s1 , s2 ) ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà êâàäðàòà ïîâíîãî ñïiíó i éîãî ïðîåêöi¨ ç âëàñíèìè çíà÷åííÿìè, ðiâíèìè íóëåâi. Òàêèì ÷èíîì, ïîâíèé ñïií ñèñòåìè äâîõ åëåêòðîíiâ, ÿêó 648

îïèñó¹ àíòèñèìåòðè÷íèé ñïiíîð χa (s1 , s2 ), äîðiâíþ¹ íóëåâi. Ó öüîìó âèïàäêó ãîâîðÿòü ïðî ñèñòåìó äâîõ åëåêòðîíiâ iç ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè ñïiíàìè. Öÿ õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ ïðèêëàäîì òàê çâàíîãî ñïëóòàíîãî ñòàíó, êîëè îêðåìi ÷àñòèíêè íå ìàþòü òî÷íîãî çíà÷åííÿ ïðîåêöié ñâî¨õ ñïiíiâ, àëå ñóìàðíèé ñïií âiäîìèé i òî÷íî äîðiâíþ¹ íóëåâi. Çàñòîñó¹ìî äëÿ îá÷èñëåííÿ åíåð i¨ ñèñòåìè òåîðiþ çáóðåíü, âèáèðàþ÷è â ðîëi îïåðàòîðà çáóðåííÿ åíåð iþ ìiæåëåêòðîííî¨ âçà¹ìîäi¨:

E = E (0) + E (1) + · · · , äå íóëüîâå íàáëèæåííÿ

ˆ 0 (1) + H ˆ 0 (2)i E (0) = hH Z Z XX ˆ 0 (1) + H ˆ 0 (2)]ψ(x1 , x2 ) ψ ∗ (x1 , x2 )[H = dr1 dr2 s1

s2

Z Ze2 ˆ = 2 dr1 ϕ1s (r1 )H0 (1)ϕ1s (r1 ) = 2hH0 (1)i = 2E1s = 2 − , 2a

à ïîïðàâêà

E

(1)

= hVˆ i = =

Z

dr1

Z

Z

dx1

Z

dx2 ψ + (x1 , x2 )

dr2 ϕ21s (r1 )ϕ21s (r2 )

e2 ψ(x1 , x2 ) r

e2 . |r1 − r2 |

Ìè ñêîðèñòàëèñü òèì, ùî ñïiíîâà óíêöiÿ íîðìîâàíà: XX χ+ (s1 , s2 )χ(s1 , s2 ) = 1. s1

s2

îçêëàäåìî åíåð iþ êóëîíiâñüêî¨ âçà¹ìîäi¨ ìiæ åëåêòðîíàìè â ðÿä Ôóð'¹:

1 X iq(r1 −r2 ) 4πe2 e2 e = . |r1 − r2 | V q q2 649

Òåïåð

E (1) =

X 4πe2 q

q2V

|ρ1s (q)|2 ,

äå êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè Z 1 ρ1s (q) = dr e−2r/a eiqr . πa3

Iíòå ðàë ó âèðàçi äëÿ ρ1s (q) ëåãêî îá÷èñëèòè: Z ∞ Z π Z 2π 1 ρ1s (q) = r 2 e−2r/a eiqr cos θ dr sin θ dθ dϕ πa3 0 0 0 Z ∞ Z ∞ 4πr −2r/a 4 1 reiqr−2r/a dr e sin qr dr = 3 Im = πa3 0 q qa 0

=

4 1 q04 , Im = qa3 (iq − 2/a)2 (q 2 + q02 )2

äå q0 = 2/a. Îòæå, ïiñëÿ ïåðåõîäó âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà q äî iíòå ðóâàííÿ åíåð iÿ Z 4πe2 V 29 e2 1 2 E (1) = |ρ (q)| = I, dq 1s V (2π)3 q2 πa8 äå 3 Z ∞ Z Z ∞ dq dq d 1 1 ∞ dq =− = I = 2 2 4 2 2 4 2 −∞ (q + ξ) 12 dξ (q + q0 ) −∞ q + ξ 0

1 = − 12

d dξ

3

5πa7 π √ = 12 , 2 ξ

òóò óâåäåíî ïðîìiæíå ïîçíà÷åííÿ ξ = q02 . Òàêèì ÷èíîì, ïîïðàâêà

E (1) =

5 e2 . 8 a

Ïîâíà åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó

E = −2 650

Z 2 e2 5 Ze2 + . 2aB 8 aB

Çíàéäåìî åíåð iþ éîíiçàöi¨

J = E1s − E,

ÿêó âèìiðþþòü åêñïåðèìåíòàëüíî. Â àòîìíèõ îäèíèöÿõ 2 e Z2 5 Z2 5 ∗ 2 J =J =− − −Z + Z = − Z. aB 2 8 2 8 Òàêèì ÷èíîì, ðîçðàõîâàíå çíà÷åííÿ åíåð i¨ éîíiçàöi¨ 3 J∗ = , 4 à åêñïåðèìåíòàëüíî âèìiðÿíå çíà÷åííÿ ∗ Jexp ≃ 0.9.

Àáñîëþòíå çíà÷åííÿ ïîïðàâêè E (1) íå ¹ ìàëîþ âåëè÷èíîþ â ïîðiâíÿííi ç íóëüîâèì íàáëèæåííÿì åíåð i¨. Öå îçíà÷à¹, ùî âiä ñòàíäàðòíî¨ òåîði¨ çáóðåíü íå ìîæíà î÷iêóâàòè êiëüêiñíèõ ðåçóëüòàòiâ. Òîìó äîöiëüíî çàñòîñóâàòè äî íàøî¨ çàäà÷i âàðiàöiéíèé ïðèíöèï. Ó ðîëi îäíîåëåêòðîííî¨ óíêöi¨ âiçüìåìî õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó ç âîäíåâî¨ çàäà÷i, àëå ç äåÿêèì ååêòèâíèì çàðÿäîì ÿäðà Z ∗ : aB 1 e−r/a , a = ∗. ϕ1s (r) = √ Z πa3 Âåëè÷èíó Z ∗ çíàéäåìî ç óìîâè ìiíiìóìó åíåð i¨

ˆ = hH ˆ 0 (1)i + hH ˆ 0 (2)i + hVˆ i. E = hHi

Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ

2 e ~2 2 ∇1 − Z hH0 (1)i = − 2m r

ðîçðàõó¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàòè Ïðèêëàäó 1 äî 41:

e2 ~2 . − Z 2ma2 a ˆ 0 (2)i = hH ˆ 0 (1)i. Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ åíåð i¨ Î÷åâèäíî òàêîæ, ùî hH ìiæåëåêòðîííî¨ âçà¹ìîäi¨ ìè ùîéíî îá÷èñëèëè: D E 5 e2 . Vˆ = 8 a ˆ 0 (1)i = hH

651

Òåïåð ïîâíà åíåð iÿ, ÿê óíêöiÿ âàðiàöiéíîãî ïàðàìåòðà Z ∗ , 2 ~ e2 e2 5 ∗ 5 e2 ∗ ∗2 ∗ E = E(Z ) = 2 −Z = Z − 2ZZ + Z . + 2ma2 a 8 a aB 8 Ç óìîâè dE(Z ∗ )/dZ ∗ = 0 çíàõîäèìî ååêòèâíèé çàðÿä ÿäðà

Z∗ = Z −

5 . 16

Äðóãà ïîõiäíà d2 E(Z ∗ )/dZ ∗2 ¹ äîäàòíîþ, òîìó öå çíà÷åííÿ Z ∗ ïðèíîñèòü ìiíiìóì åíåð i¨. Îòæå, ååêòèâíèé çàðÿä ¹ ìåíøèì, íiæ ñïðàâæíié. Öå îçíà÷à¹, ùî îäèí åëåêòðîí åêðàíó¹ çàðÿä ÿäðà äëÿ äðóãîãî, çìåíøóþ÷è éîãî íà 5/16. Òåïåð ïîâíà åíåð iÿ

E=−

e2 ∗2 Z aB

àáî

e2 E=− aB

5 Z− 16

2

e2 Z 2 e2 5 e2 =− + Z− aB aB 8 aB

5 16

2

.

Çâiäñè âèäíî, ùî âàðiàöiéíèé ïðèíöèï ïîíèæó¹ åíåð iþ íà âåëè÷èíó îñòàííüîãî äîäàíêà. Ó ðåçóëüòàòi ðîçðàõîâàíà åíåð iÿ éîíiçàöi¨ ëiïøå óçãîäæó¹òüñÿ ç åêñïåðèìåíòàëüíèì çíà÷åííÿì: 2 Z2 5 5 3 25 ∗ J = = + − Z+ = 0.847656. 2 8 16 4 256 Ïåðåéäåìî òåïåð äî âèâ÷åííÿ çáóäæåíèõ ñòàíiâ. îçãëÿíåìî íàéíèæ÷èé çáóäæåíèé ñòàí ç åëåêòðîííîþ êîíi óðàöi¹þ 1s2s, êîëè îäèí ç åëåêòðîíiâ ïåðåáóâà¹ â |1si-ñòàíi, à äðóãèé ó |2siñòàíi. Êîîðäèíàòíi õâèëüîâi óíêöi¨:

ϕ1s (r) = √ ϕ2s (r) = √ 652

1 πa3

e−r/a ,

r −r/2a 1− e . 2a 8πa3 1

Âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ åíåð i¨:

E1s = −

Z 2 e2 , 2aB

E2s = −

Z 2 e2 . 8aB

Òåïåð ìè ìà¹ìî çìîãó óòâîðèòè ÿê ñèìåòðè÷íó, òàê i àíòèñèìåòðè÷íó êîîðäèíàòíó ÷àñòèíó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ñèñòåìè:

1 ϕs (r1 , r2 ) = √ [ϕ1s (r1 )ϕ2s (r2 ) + ϕ1s (r2 )ϕ2s (r1 )], 2 1 ϕa (r1 , r2 ) = √ [ϕ1s (r1 )ϕ2s (r2 ) − ϕ1s (r2 )ϕ2s (r1 )]. 2 Ó ïåðøîìó âèïàäêó

ψ(x1 , x2 ) = χa (s1 , s2 )ϕs (r1 , r2 ), ïðè÷îìó àíòèñèìåòðè÷íà ñïiíîâà óíêöiÿ

1 χa (s1 , s2 ) = √ [χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) − χ↑ (s2 )χ↓ (s1 )] 2 îïèñó¹ ñòàí iç íóëüîâèì ñïiíîì. Öÿ óíêöiÿ çîáðàæà¹ òàê çâàíèé ñïëóòàíèé ñòàí ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê. Ó äðóãîìó âèïàäêó õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè

ψ(x1 , x2 ) = χs (s1 , s2 )ϕa (r1 , r2 ), äå ñèìåòðè÷íó ñïiíîâó óíêöiþ ìîæíà óòâîðèòè òðüîìà ñïîñîáàìè:

χs1 (s1 , s2 ) = χ↑ (s1 )χ↑ (s2 ), χs2 (s1 , s2 ) = χ↓ (s1 )χ↓ (s2 ), 1 χs3 (s1 , s2 ) = √ [χ↑ (s1 )χ↓ (s2 ) + χ↑ (s2 )χ↓ (s1 )]. 2 Îñòàííÿ óíêöiÿ îïèñó¹ ñïëóòàíèé ñòàí ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê, íà âiäìiíó âiä ïåðøèõ äâîõ óíêöié, êâàäðàò ìîäóëÿ ÿêèõ àêòîðèçó¹òüñÿ. Ïîäi¹ìî íà öi óíêöi¨ îïåðàòîðîì Sˆz . Ïðîñòi, àíàëîãi÷íi äî ïîïåðåäíiõ îá÷èñëåííÿ äàþòü:

Sˆz χs1 (s1 , s2 ) = ~χs1 (s1 , s2 ), 653

Sˆz χs2 (s1 , s2 ) = −~χ2 (s1 , s2 ), Sˆz χs3 (s1 , s2 ) = 0. Çíàéäåìî ðåçóëüòàò äi¨ êâàäðàòà îïåðàòîðà ñïiíó íà óíêöi¨ χsk (s1 , s2 ), k = 1, 2, 3: 3 2 s 2 Sˆ χ1 (s1 , s2 ) = ~ + 2ˆs1 ˆs2 χs1 (s1 , s2 ) 2

3 = ~2 χ↑ (s1 )χ↑ (s2 ) + 2 ˆs1 χ↑ (s1 )ˆs2 χ↑ (s1 ) 2 ~2 3 = ~2 χ↑ (s1 )χ↑ (s2 ) + χ↑ (s1 )χ↑ (s2 ) = 2~2 χ↑ (s1 )χ↑ (s2 ). 2 2 Çâiäñè ìà¹ìî, ùî âëàñíå çíà÷åííÿ êâàäðàòà îïåðàòîðà ñïiíó äîðiâíþ¹ ~2 s(s + 1), s = 1. Îòæå, õâèëüîâà óíêöiÿ χs1 (s1 , s2 ) îïèñó¹ ñòàí ñèñòåìè, ñïií ÿêî¨ äîðiâíþ¹ îäèíèöi. Öåé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìó¹ìî i äëÿ óíêöié χs2 (s1 , s2 ) òà χs3 (s1 , s2 ). ×èñëî ñïiíîâèõ óíêöié äîðiâíþ¹ 2s + 1 = 3 ìà¹ìî òðèïëåòíèé ñòàí. Êîëè ñïií s = 0, ìà¹ìî ñèí ëåòíèé ñòàí: 2s + 1 = 1. Ïåðåõîäèìî äî îá÷èñëåííÿ åíåð i¨ ç öèìè óíêöiÿìè íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ. Äëÿ öüîãî ðîçðàõó¹ìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà. Ìè îïóñêà¹ìî äåòàëi öèõ ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü, îñêiëüêè âîíè ïîäiáíi äî òèõ, ÿêi ìè ìàëè äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó. Îòæå,

E = hHi = hH0 (1)i + hH0 (2)i + hVˆ i = E1s + E2s + K ± A,

äå âåðõíié çíàê + ñòîñó¹òüñÿ ñèí ëåòíîãî ñòàíó, à íèæíié çíàê − òðèïëåòíîãî. Òóò Z Z e2 K = dr1 dr2 |ϕ1s (r1 )|2 |ϕ2s (r2 )|2 |r1 − r2 |

¹ òàê çâàíèì êóëîíiâñüêèì iíòå ðàëîì, ÿêèé ìà¹ ïðîñòèé çìiñò åíåð i¨ åëåêòðîñòàòè÷íî¨ âçà¹ìîäi¨ äâîõ ïðîñòîðîâî ðîçïîäiëåíèõ åëåêòðîííèõ õìàð iç ãóñòèíàìè çàðÿäiâ ρ1s (r) = e|ϕ1s (r)|2 òà ρ2s (r) = e|ϕ2s (r)|2 : Z Z ρ1s (r)ρ2s (r′ ) K= dr dr′ . |r − r′ | 654

Âåëè÷èíó Z Z A = dr1 dr2 ϕ∗1s (r1 )ϕ∗2s (r2 )

e2 ϕ1s (r2 )ϕ2s (r1 ) |r1 − r2 |

íàçèâàþòü îáìiííèì iíòå ðàëîì. Âîíà îïèñó¹ çãàäàíó âèùå îáìiííó âçà¹ìîäiþ, ÿêà íå ìà¹ êëàñè÷íîãî àíàëîãà i ¹ íàñëiäêîì òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê. Îáìiííèé iíòå ðàë ¹ äîäàòíîþ âåëè÷èíîþ. Öå ëåãêî ïîêàçàòè, ÿêùî ñêîðèñòàòèñü ðîçêëàäîì ó ðÿä Ôóð'¹ åíåð i¨ ìiæåëåêòðîííî¨ âçà¹ìîäi¨ Vˆ , ÿê öå áóëî çðîáëåíî ïðè îá÷èñëåííi ïîïðàâêè E (1) , äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó i çàïèñàòè îáìiííèé iíòå ðàë ó âèãëÿäi X 4πe2 A= |fq |2 , 2V q q äå âåëè÷èíó

fq =

Z

dr eiqr ϕ1s (r)ϕ2s (r)

ìè, î÷åâèäíî, âæå íå ìîæåìî òðàêòóâàòè ÿê êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè, îñêiëüêè ïiä iíòå ðàëîì ìà¹ìî äîáóòîê õâèëüîâèõ óíêöié ðiçíèõ ñòàíiâ. Çâiäñè î÷åâèäíî, ùî A > 0. Òîìó ðiâåíü åíåð i¨ ñèí ëåòíîãî ñòàíó

E↑↓ = E1S + E2S + K + A ëåæèòü âèùå, íiæ ðiâåíü òðèïëåòíîãî ñòàíó

E↑↑ = E1S + E2S + K − A.

×èñëîâå çíà÷åííÿ êóëîíiâñüêîãî òà îáìiííîãî iíòå ðàëiâ ìîæíà çíàéòè çà äîïîìîãîþ ìåòîäó, ÿêèì âèùå îá÷èñëþâàëè ïîïðàâêó E (1) äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó (äèâ. Ïðèêëàä äî öüîãî ïàðàãðàà): 17 e2 1 4 2 e2 K= , A= . 81 aB 9 9 aB Ìè ðîçãëÿíóëè íàéíèæ÷i çáóäæåíi ñòàíè. Ìîæíà áóëî á ðîçãëÿíóòè ñòàíè |1si òà |2pi àáî áóäü-ÿêi iíøi. Âàæëèâèì ¹ òå, ùî ñèñòåìà åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ ãåëiþ ðîçáèâà¹òüñÿ íà äâà êëàñè: ñèí ëåòíi òà òðèïëåòíi, âiäïîâiäíî äî ñèìåòði¨ ñïiíîâèõ óíêöié 655

(äèâ. ðèñ. 65). Áåç óðàõóâàííÿ ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ ïåðåõîäè ìiæ öèìè ñòàíàìè ¹ çàáîðîíåíèìè, îñêiëüêè, âíàñëiäîê îðòîãîíàëüíîñòi ñïiíîâèõ óíêöié òðèïëåòíèõ òà ñèí ëåòíèõ ñòàíiâ, ìàòðè÷íi åëåìåíòè ïåðåõîäiâ ìiæ íèìè äîðiâíþþòü íóëåâi. Íàïðèêëàä, XX χs1 + (s1 , s2 )χa (s1 , s2 ) = 0. s1

s2

èñ. 65.

Åíåð åòè÷íi ðiâíi àòîìà ãåëiþ.

Òå æ ñàìå îòðèìà¹ìî i äëÿ χs2 (s1 , s2 ) òà χs3 (s1 , s2 ). Òîìó ÿêùî çàêèíóòè, íàïðèêëàä, åëåêòðîííèì óäàðîì àòîì ãåëiþ â íàéíèæ÷èé òðèïëåòíèé ñòàí, òî âií íå ïåðåéäå â îñíîâíèé (ñèí ëåòíèé) ñòàí iç âèïðîìiíþâàííÿì îòîíà. Òàêi ïåðåõîäè ñòàþòü ìîæëèâèìè ëèøå ç óðàõóâàííÿì ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨. õíÿ éìîâiðíiñòü äóæå ìàëà, i òîìó àòîì ó öüîìó ñòàíi ìà¹ âåëèêèé ÷àñ æèòòÿ, äî êiëüêîõ ìiñÿöiâ. Òàêèì ÷èíîì, ìè ìà¹ìî íiáè äâà ñîðòè àòîìiâ ãåëiþ. ßêùî ñïiíè åëåêòðîíiâ â àòîìi ¹ àíòèïàðàëåëüíèìè (ñèí ëåòíèé ñòàí), òî éîãî íàçèâàþòü ïàðàãåëi¹ì. Àòîì ó òðèïëåòíîìó ñòàíi íàçèâàþòü îðòîãåëi¹ì. Îòæå, íàéíèæ÷èé çáóäæåíèé ñòàí ãåëiþ ¹ îñíîâíèì ñòàíîì îðòîãåëiþ. Âiäñòóï 1. ×îìó âåëè÷èíà A ìà¹ íàçâó îáìiííîãî iíòå ðàëà? Ïðèïóñòèìî, ùî åëåêòðîíè â àòîìi ãåëiþ íå âçà¹ìîäiþòü ìiæ ñîáîþ i â äåÿêèé ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó t = 0 ïåðøèé åëåêòðîí ïåðåáóâà¹ â ñòàíi ϕ1s (r1 ), à äðóãèé ó ñòàíi ϕ2s (r2 ). Îòæå, ïî÷àòêîâèé ñòàí ñèñòåìè äâîõ åëåêòðîíiâ |1i = ϕ1s (r1 )ϕ2s (r2 ), à ¨¨

656

ïîâíà åíåð iÿ äîðiâíþ¹ E1s + E2s . Óâiìêíiìî òåïåð çáóðåííÿ ìiæåëåêòðîííó âçà¹ìîäiþ Vˆ = e2 /|r1 − r2 |. Íå áåðó÷è äî óâàãè âñiõ iíøèõ ñòàíiâ, çíàéäiìî éìîâiðíiñòü ïåðåõîäó ñèñòåìè â ñòàí |2i = ϕ2s (r1 )ϕ1s (r2 ) ç òi¹þ æ åíåð i¹þ. Îòæå, òåïåð ïåðøèé åëåêòðîí ïåðåáóâà¹ â ñòàíi ϕ2s (r1 ), à äðóãèé ó ñòàíi ϕ1s (r2 ). Òîáòî ìè øóêà¹ìî éìîâiðíiñòü òîãî, ùî åëåêòðîíè îáìiíÿþòüñÿ ñòàíàìè. Iç çàãàëüíî¨ îðìóëè ç 55 äëÿ àìïëiòóäè éìîâiðíîñòi C1 = C1 (t), C2 = C2 (t) ïåðåáóâàííÿ ñèñòåìè â ñòàíàõ |1i òà |2i ìà¹ìî ñèñòåìó äâîõ ðiâíÿíü i~C˙ 1 = V˜11 C1 + V˜12 C2 ,

i~C˙ 2 = V˜21 C1 + V˜22 C2 . Òóò ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà çáóðåííÿ Vˆ ó ïðåäñòàâëåííi âçà¹ìîäi¨ íå çàëåæàòü âiä ÷àñó, îñêiëüêè åíåð i¨ ñòàíiâ |1i òà |2i çáiãàþòüñÿ i ÷àñòîòà ïåðåõîäó ω12 = 0:

V˜11 = V11 = h1|Vˆ |1i Z Z = ϕ1s (r1 )ϕ2s (r2 )

e2 ϕ2s (r2 )ϕ1s (r1 ) dr1 dr2 = K, |r1 − r2 |

V˜22 = V22 = V11 = K, V˜12 = V12 = h1|Vˆ |2i Z Z = ϕ1s (r1 )ϕ2s (r2 )

e2 ϕ2s (r1 )ϕ1s (r2 ) dr1 dr2 = A, |r1 − r2 |

V˜21 = V21 = V12 = A. îçâ'ÿçîê öi¹¨ ñèñòåìè ðiâíÿíü ç óðàõóâàííÿì óìîâè íîðìóâàííÿ |C1 |2 + |C2 |2 = 1, ïðè ïî÷àòêîâèõ óìîâàõ t = 0, C1 = 1, C2 = 0, îòðèìó¹òüñÿ ïðîñòî i ìà¹ âèãëÿä: i

C1 = e− ~ Kt cos Ωt, i

C2 = −ie− ~ Kt sin Ωt, 42

I. Î. Âàêàð÷óê

657

Ω = A/~. Iìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíiâ ó ñòàíàõ |1i, |2i ¹ òàêèìè:

|C1 |2 = cos2 Ωt,

|C2 |2 = sin2 Ωt.

Ìè îòðèìó¹ìî, ùî éìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ ñèñòåìè â ñòàíàõ |1i òà |2i ¹ îñöèëþþ÷èìè óíêöiÿìè ç ÷àñòîòîþ, ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ îáìiííèì iíòå ðàëîì A. Ñèñòåìà, ùî â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó ¹ â ñòàíi |1i, ÷åðåç ÷àñ T = π/2Ω ïåðåõîäèòü ó ñòàí |2i. Òîáòî åëåêòðîíè îáìiíþþòüñÿ ñòàíàìè ç ÷àñòîòîþ A/~. Çâiäñè é íàçâà âåëè÷èíè A: îáìiííèé iíòå ðàë. Íàñïðàâäi ïðîâåäåíèé àíàëiç íå ìîæíà ñïðèéìàòè ñåðéîçíî. Îñêiëüêè åëåêòðîíè ¹ òîòîæíèìè ÷àñòèíêàìè i ¨õ íå ìîæíà ðîçðiçíèòè, òî âîíè îáèäâà ïåðåáóâàþòü â ñóïåðïîçèöiéíîìó ñòàíi â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó. Öå áóëà ëèøå íàøà ÷åðãîâà ñïðîáà çðîçóìiòè ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨, ùî, ÿê ìè çíà¹ìî, ïðèâîäèòü äî ïàðàäîêñiâ òèïó øðåäèí åðiâñüêîãî êîòà. Iç öèìè ðiâíÿííÿìè ìè âæå çóñòði÷àëèñü, êîëè îáãîâîðþâàëè ÿâèùå áèòòÿ (3, Ïðèêëàä 7) îäíó ç iëþñòðàöié ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨. Öiêàâî òåïåð ïîâåðíóòèñü äî öüîãî ïðèêëàäó. Âiäñòóï 2. Ïðîáëåìà äâîõ êóëüòóð i êâàíòîâà ìåõàíiêà.

×àðëüç Ñíîó, çíàíèé àíãëiéñüêèé ïèñüìåííèê i içèê, ó 50õ ðîêàõ ìèíóëîãî ñòîëiòòÿ ââiâ òåðìií äâi êóëüòóðè, ðîçóìiþ÷è ïiä öèì êóëüòóðó ëþäåé, ÿêi ÿê âîíè ñàìi ïðî ñåáå êàæóòü çàéìàþòüñÿ òâîð÷iñòþ, òîáòî ¨õíÿ äiÿëüíiñòü ïîâ'ÿçàíà ç îáðàçíèì ìèñëåííÿì, i êóëüòóðó, ÿêó ïðåäñòàâëÿþòü ëþäè, ùî òâîðÿòü òî÷íi òà ïðèðîäíè÷i íàóêè. Îòæå, íà îäíîìó ïîëþñi õóäîæíÿ iíòåëi åíöiÿ, íà äðóãîìó â÷åíi. Ìîæíà íàâåñòè ïðèêëàäè ëþäåé, ÿêi âèñîêî îáäàðîâàíi â îáîõ íàïðÿìêàõ. Ñàìå ïðî íèõ áóäåìî âåñòè ðîçìîâó. Îñîáà, îáäàðîâàíà â öèõ äâîõ íàïðÿìêàõ, ìàþ÷è ïðèðîäíó ìîæëèâiñòü ïåðåáóâàòè ó ñòàíàõ òâîð÷îìó òà ëîãi÷íîìó, â ðåçóëüòàòi ïåðåñòðèáóâàíü ìiæ íèìè ìîæå äîñÿãòè óñïiõó, à ìîæå îïèíèòèñü ó ñòàíi ðóñòðàöi¨. Íå áóäåìî îáãîâîðþâàòè, ÿê íà ðiâíi içiîëîãi¨ âiäáóâà¹òüñÿ îðìóâàííÿ öèõ çäiáíîñòåé ëþäèíè, ÿêi, ìàáóòü, çóìîâëåíi é îêðåìèìè ãåíàìè, i ¨õ ñóêóïíiñòþ. Ìîæëèâî, ïåâíi iíòåëåêòóàëüíi òà òâîð÷i ìåõàíiçìè ñïàäêîâi, õî÷à ¨õ ðåàëiçàöiÿ çàëåæèòü âiä áàãàòüîõ ÷èííèêiâ ÿê äî, òàê i ïiñëÿ íàðîäæåííÿ, ó òîìó ÷èñëi é âiä àêòîðiâ ñîöiàëüíèõ. Íàâàæèìîñÿ çàïðîïîíóâàòè îäèí iç ìîæëèâèõ ìåõàíiçìiâ, ÿêèé ðå óëþ¹ âçà¹ìîäiþ åâðèñòè÷íî-ëîãi÷íîãî òà 658

iíòó¨òèâíî-îáðàçíîãî ìèñëåííÿ i ÿêèé ðóíòó¹òüñÿ íà êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ïðèíöèïàõ. Íàòÿêîì íà òå, ùî ìåõàíiçìè íàøîãî ìèñëåííÿ ìàþòü êâàíòîâîìåõàíi÷íó ïðèðîäó, ¹ òîé àêò, ùî ñiòêiâêà íàøîãî îêà, ÿêà ¹ ñêëàäîâîþ ÷àñòèíîþ ìîçêó, çäàòíà ðå¹ñòðóâàòè äåêiëüêà êâàíòiâ ñâiòëà îòîíiâ. Òîáòî ÷óòëèâiñòü íàøîãî îêà íåñïîäiâàíî âåëèêà. Éîãî içiîëîãi÷íèé ïîðiã öå îäèí îòîí: ùîá çáóäèòè ðåöåïòîð, äîñòàòíüî îäíîãî îòîíà. Îäíàê äëÿ òîãî, ùîá ìîçîê ñïðèéíÿâ ïîâiäîìëåííÿ, ïîòðiáíî 5÷8 îòîíiâ. Îòæå, ïîðiã ñïðèéíÿòòÿ äîðiâíþ¹ äåêiëüêîì îòîíàì, õî÷à, ìàáóòü, ¹ é ïiäïîðîãîâå ñïðèéíÿòòÿ. Òàêèì ÷èíîì, çáóäæóþòü íàø ìîçîê ïîîäèíîêi êâàíòè ñâiòëà, à çíà÷èòü, âií ïðàöþ¹ âëàñíå ÿê ìîçîê óæå íà àòîìàðíîìó ðiâíi, äå çàêîíè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, êâàíòîâîìåõàíi÷íèé ìåõàíiçì ÿâèù äiþòü ïîâíîþ ñèëîþ, õî÷à ÷àñ ïåðåáóâàííÿ íåéðîíà â êîãåðåíòíîìó ñòàíi ¹ çíà÷íî ìåíøèì, íiæ ÷àñ ïåðåäà÷i çáóäæåííÿ ìiæ íåéðîíàìè. Îòæå, ìîæíà î÷iêóâàòè, ùî ìîçîê ÿê ìàêðîñêîïi÷íå óòâîðåííÿ ìîæå âèêîðèñòîâóâàòè é çàêîíè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè äëÿ ñâîãî óíêöiîíóâàííÿ, òîáòî áàãàòîêàíàëüíèé iíòåðåðåíöiéíèé êâàíòîâîìåõàíi÷íèé ïðèíöèï ii, à íå ëèøå êëàñè÷íó ëîãiêó àáîàáî. ßêùî ×èòà÷ óâàæà¹, ùî öi¹¨ àð óìåíòàöi¨ çàìàëî àáî âîíà ¹ äëÿ íüîãî íåïðèéíÿòíîþ, òî àâòîð çãiäíèé i íà òå, ùî öå ëèøå îäíå ç ìîæëèâèõ ìîäåëþâàíü íà ìiêðîñêîïi÷íîìó ðiâíi òîãî, ùî òâîðèòü ñïîñòåðåæóâàíå ÿâèùå äâîêóëüòóðíîñòi. Çàïðîïîíó¹ìî òåïåð êiëüêà òâåðäæåíü. Ïîëiêóëüòóðíiñòü îðìó¹òüñÿ ðiçíèìè ñïîñîáàìè ìèñëåííÿ, ÿêå ìîæíà ðîçêëàñòè íà äâi ñêëàäîâi: iíòó¨òèâíî-òâîð÷å, àáî îáðàçíå ìèñëåííÿ, òà åâðèñòè÷íîëîãi÷íå ìèñëåííÿ. Äàëi äëÿ îïèñó iíòåëåêòóàëüíî-òâîð÷î¨ äiÿëüíîñòi âèêîðèñòàéìî ïîíÿòòÿ àìïëiòóäè ñòàíó. Îòæå, ìè ââàæà¹ìî, ùî ¹ ëèøå äâà áàçèñíi ñòàíè, íàçâiìî ¨õ ñòàí îáðàçíîãî ìèñëåííÿ i ñòàí ëîãi÷íîãî ìèñëåííÿ. Êîæåí iç öèõ ñòàíiâ îïèñó¹òüñÿ ñâî¹þ àìïëiòóäîþ, à ïîëiêóëüòóðíiñòü ìîæíà çîáðàçèòè íàêëàäàííÿì ó ðiçíèõ ïðîïîðöiÿõ ëèøå öèõ äâîõ ñêëàäîâèõ. Òîáòî ïîñòóëþ¹ìî, ùî ïðîñòið iíòåëåêòóàëüíî-òâîð÷î¨ äiÿëüíîñòi ¹ äâîâèìiðíèì: îäèí âèìið öå îáðàçíå ìèñëåííÿ, äðóãèé ëîãi÷íå ìèñëåííÿ. Íåõàé ψ1 àìïëiòóäà ñòàíó îáðàçíîãî ìèñëåííÿ; ψ2 àìïëiòóäà ñòàíó ëîãi÷íîãî ìèñëåííÿ; áàçèñ ψ1 , ψ2 ¹ ïîâíèì. Àìïëiòóäó áóäü-ÿêîãî ñòàíó âèçíà÷à¹ìî çãiäíî ç êâàíòîâîìåõàíi÷íèì ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨ ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 . Ìiæ ñòàíàìè ψ1 òà ψ2 , ùî îïèñóþòü äâi êóëüòóðè, ìîæëèâi ïåðåõîäè, ÿêi õà42*

659

ðàêòåðèçóþòüñÿ îáìiííîþ åíåð i¹þ A, ψ çàëåæèòü âiä ÷àñó t é óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò q . Çàëåæíiñòü âiä ÷àñó àìïëiòóäè ψ âèçíà÷àþòü êîåiöi¹íòè C1 = cos Ωt, C2 = −i sin Ωt (äèâ. ïîïåðåäíié âiäñòóï äî öüîãî ïàðàãðàà), äå ÷àñòîòà îáìiíó ìiæ áàçèñíèìè ñòàíàìè Ω = A/~ ¹ õàðàêòåðíèì ïàðàìåòðîì ñèñòåìè; ÷àñîâîçàëåæíèé íåñóòò¹âèé äëÿ íàñ àçîâèé ìíîæíèê óñóâà¹ìî ïðîñòîþ çàìiíîþ ïî÷àòêó âiäëiêó íà øêàëi åíåð i¨. Îá÷èñëèìî iíòå ðàëüíèé äîðîáîê âiä iíòåëåêòóàëüíî-òâîð÷î¨ ïîòóæíîñòi ëþäèíè, òîáòî òå, ùî ëþäèíà ñòâîðþ¹ âïðîäîâæ òâîð÷îãî æèòòÿ. Íåõàé òâîð÷à ïîòóæíiñòü îïèñó¹òüñÿ îïåðàòîðîì ˆ = K(q, ˆ t) òàê, ùî ¨¨ ñïîñòåðåæóâàíå çíà÷åííÿ â ìîìåíò ÷àñó K t, òîáòî êâàíòîâîìåõàíi÷íå ñåðåäí¹ öüîãî îïåðàòîðà, çà îçíà÷åíˆ Çà ÷àñ T òâîð÷îãî æèòòÿ ñóêóïíèé äîðîáîê íÿì, äîðiâíþ¹ hKi. äîðiâíþ¹ iíòå ðàëîâi âiä ñåðåäíüî¨ ïîòóæíîñòi:

Q=

ZT 0

ˆ dt. hKi

Ïî÷àòîê t = 0, òîáòî êîëè ïî÷èíà¹òüñÿ òâîð÷à äiÿëüíiñòü, çàëåæèòü âiä òàê çâàíîãî êîåiöi¹íòà iíòåëåêòóàëüíîñòi; êiíåöü òâîð÷îãî æèòòÿ t = T , êîëè ëþäèíà âè÷åðïó¹ ñåáå, çàëåæèòü âiä áàãàòüîõ àêòîðiâ, ó òîìó ÷èñëi é çîâñiì âèïàäêîâèõ. Ç ìåòîþ ñïðîùåííÿ çàïèñiâ, íå âòðà÷àþ÷è çàãàëüíîñòi îñòàˆ çàëåæíiñòü âiä òî÷íèõ âèñíîâêiâ, ñåïàðàáåëiçóéìî â îïåðàòîði K ˆ t) = Q(q)p(t), ˆ ÷àñó t i êîîðäèíàò q : K(q, ïðè÷îìó äëÿ çðó÷íîñòi óíêöiþ p(t) íîðìó¹ìî òàê, ùîá iíòå ðàë âiä íå¨ çà ÷àñ T äîðiâíþâàâ îäèíèöi. Òåïåð

Q=

Q11 + Q22 Q11 − Q22 ′ + p2Ω + |Q12 |p′′2Ω sin δ, 2 2

òóò óâåäåíî äiéñíó p′ω é óÿâíó p′′ω ÷àñòèíè êîåiöi¹íòà Ôóð'¹ óíêöi¨ p(t) íà ÷àñòîòi ω = 2Ω, à Qij ìàòðè÷íi åëåìåíòè îïåðàòîðà ˆ , ðîçðàõîâàíi íà ñòàíàõ ψ1 , ψ2 . Çà ñâî¨ì çìiñòîì îïåðàòîð K ˆ ¹ Q ñàìîñïðÿæåíèì i äîäàòíî âèçíà÷åíèì, òîìó Q11 > 0, Q22 > 0, à íåäiàãîíàëüíèé åëåìåíò çàïèñó¹ìî ÿê êîìïëåêñíó âåëè÷èíó ÷åðåç éîãî ìîäóëü i àçó δ, Q12 = |Q12 |eiδ , ïðè÷îìó îñêiëüêè Q21 = Q∗12 , òî Q21 = |Q12 |e−iδ . 660

Íàøîþ ìåòîþ ¹ íå ïîðiâíÿííÿ iíòåëåêòóàëüíèõ ïîòóæíîñòåé ðiçíèõ ëþäåé, à ç'ÿñóâàííÿ îáñòàâèí, çà ÿêèõ ëþäèíà ìîæå ìàêñèìàëüíî ðåàëiçóâàòè ñâî¨ çäiáíîñòi ñòîñîâíî äî ñâî¨õ æå ïîòåíöiéíèõ ìîæëèâîñòåé. Òîìó ïðèðîäíî çà îäèíèöþ âèìiðó âåëè÷èíè Q âçÿòè ïiâñóìó (Q11 + Q22 )/2, ÿêó áóäåìî íàçèâàòè êëàñè÷íèì çíà÷åííÿì äîðîáêó. Îòæå, íàñ öiêàâèòèìå çíåðîçìiðåíèé ïîâíèé äîðîáîê Q∗ . Îñêiëüêè ìè ðîçãëÿäà¹ìî îñîáèñòi òü, îäíàêîâî îáäàðîâàíó òàëàíòàìè, òîáòî êîëè Q11 = Q22 , òî

Q∗ = 1 +

|Q12 | ′′ p sin δ. Q11 2Ω

Ìàêñèìàëüíî ìîæëèâå âèñíàæåííÿ òâîð÷î¨ ëþäèíè äîðiâíþ¹ ïiâñóìi òîãî, ùî ïîõîäèòü âiä êîæíîãî ç äâîõ áàçèñíèõ ñòàíiâ, ïëþñ iíòåðåðåíöiéíèé ïåðåõðåñíèé äîäàíîê. Ïåðåõðåñíèé äîäàíîê, ïîÿâó ÿêîãî çàïåðå÷ó¹ êëàñè÷íà ëîãiêà, çàëåæèòü âiä äâîõ ïàðàìåòðiâ: ÷àñòîòè ïåðåñòðèáóâàíü ç îäíîãî ðîäó äiÿëüíîñòi íà iíøèé Ω i àçè δ. Ïåðåõðåñíèé ååêò ìîæå çáiëüøóâàòè i çìåíøóâàòè ðåàëiçàöiþ ïîòåíöiéíèõ ìîæëèâîñòåé ëþäèíè çàëåæíî âiä öèõ ïàðàìåòðiâ. Äëÿ ìàêñèìàëüíî ìîæëèâîãî âèâiëüíåííÿ ñâîãî òàëàíòó ïîòðiáíî, ïî-ïåðøå, çãàðìîíiçóâàòè ÷àñòîòó ïåðåõîäiâ Ω ç ïðîòÿæíiñòþ òâîð÷îãî æèòòÿ òàê, ùîá âåëè÷èíà p′′2Ω íàáóëà ìàêñèìàëüíîãî äîäàòíîãî çíà÷åííÿ. Ïî-äðóãå, òðåáà ïiäiáðàòè àçó δ, ùîá âîíà äîðiâíþâàëà π/2, à sin δ = 1. Òîäi âíåñîê äâîêóëüòóðíîñòi â iíòå ðàëüíèé òâîð÷èé äîðîáîê áóäå íå ëèøå ìàêñèìàëüíèì, à é ìàòèìå ïîçèòèâíèé çíàê. ßêùî àçà δ äîðiâíþ¹ íóëåâi àáî ÷àñòîòà ïåðåñòðèáóâàíü âåëèêà (Ω → ∞, p′′2Ω → 0), òî îáäàðîâàíà, òàëàíîâèòà ëþäèíà íå ðîçêðèâà¹ äî êiíöÿ ñâî¨õ çäiáíîñòåé i ¹ çâè÷àéíîþ ëþäèíîþ, ðåàëiçóþ÷è êëàñè÷íå çíà÷åííÿ Q∗ = 1. ßêùî æ ïðè p′′2Ω > 0 àçà δ äîðiâíþ¹ 3π/2, òî ìà¹ìî ïðîòèëåæíèé çíàê âiä äâîêóëüòóðíîñòi, i òîäi öå íå ïðîñòî çàãóáëåíèé òàëàíò. Ìà¹ìî òðàãåäiþ, îñêiëüêè îáäàðîâàíà îñîáèñòiñòü íå ñòâîðèëà íàâiòü i òîãî, ùî ñòâîðþ¹ îðäèíàðíà ëþäèíà. Çäàòíiñòü ëþäèíè ïiäïàñîâóâàòè ïàðàìåòðè δ òà Ω äî ¨õíiõ åêñòðåìàëüíèõ çíà÷åíü ïîÿñíþ¹ òàêå ïîíÿòòÿ, ÿê íåçàãóáëåíèé ðiçíîái÷íèé òàëàíò. Âèäà¹òüñÿ, ùî êîæåí iç íàñ ìà¹ â ñîái ñâîþ ïðîáëåìó äâîõ êóëüòóð. Ìèñòåöü ÷è â÷åíèé ÷àñòî òâîðèòü, íå óñâiäîìëþþ÷è äî êiíöÿ, ùî öåé ïåðåòèí êóëüòóð ïðîõîäèòü êðiçü íüîãî. Çàïðîïîíîâàíèé êâàíòîâîìåõàíi÷íèé ìåõàíiçì òâîð÷îñòi äà¹ ïàðàäîêñàëüíå 661

ïåðåïëåòiííÿ îáðàçíîãî é ëîãi÷íîãî ìèñëåííÿ, ÿêå åíåðó¹ ùîñü çîâñiì íîâå, ùî íå çâîäèòüñÿ íi äî ÷îãî, íå ðîçêëàäà¹òüñÿ íà ñêëàäîâi, à ¹ iíòåðåðåíöiéíèì ååêòîì. Âíåñîê äâîêóëüòóðíîñòi â iíòå ðàëüíèé òâîð÷èé äîðîáîê, òîáòî iíòåðåðåíöiéíèé ïåðåõðåñíèé ååêò, çàëåæíî âiä êîíêðåòíî¨ ìîäåëi ìîæå íåçíà÷íî çìiíþâàòèñü, îäíàê ñàìå âií âiäðiçíÿ¹ ëþäåé ïîòåíöiéíî òàëàíîâèòèõ âiä òèõ, õòî àêòóàëiçó¹ ñâié òàëàíò. Íàðåøòi çàóâàæèìî, ùî áåçâiäíîñíî äî íàøî¨ êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ìîäåëi öi âèñíîâêè ìîæóòü ñòîñóâàòèñü íå ëèøå îêðåìèõ îñiá, ÿêi ïåðåáóâàþòü ó äâîñòàíîâîñòi, àëå é ñïiëüíîòè ëþäåé, ÿêà ñèëîþ iñòîðè÷íèõ îáñòàâèí çìóøåíà æèòè é äiÿòè â óìîâàõ ïåðåòèíó êiëüêîõ êóëüòóð. Ïðèêëàä. Îáìiííèé òà êóëîíiâñüêèé iíòå ðàëè. Îá÷èñëèìî ñïî÷àòêó íàâåäåíèé ó òåêñòi îáìiííèé iíòå ðàë A. Äëÿ öüîãî ðàõó¹ìî óíêöiþ fq , ïiäñòàâëÿþ÷è ÿâíi âèðàçè óíêöié ϕ1s òà ϕ2s , óçÿòèõ ç 41, òà iíòå ðóþ÷è çà êóòîâèìè çìiííèìè:

Z

dr eiqr ϕ1s (r)ϕ2s (r)

fq = 4π = q

Z∞

1 1 e−r/aB p 3 πaB 8πa3B

0

√

2 = 3 Im aB q

=

=

r sin(qr) p

e

√

2 Im a3B q

iqr −3r/2aB

e

r r 1− 2aB

r 2aB

dr

0

√

2 Im a3B q

Z∞

1−

1 d2 d − dα 2aB dα2

Z∞

e−αr dr

0

1 1 − α2 aB α3

,

äå α = 3/2aB − iq . Âèäiëÿþ÷è óÿâíó ÷àñòèíó, çíàõîäèìî √ fq = 4 2

4

2 3

(2qaB /3)2 . [1 + (2qaB /3)2 ]3

Òåïåð A=

X 4πe2 q

662

2e2 |f | = q V →∞ π q2 V 2

Z∞ 0

fq2 dq

e−r/2aB dr

e2 64 = aB π

7 Z∞

2 3

x4 dx , (1 + x2 )6

0

ìè ïåðåéøëè âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà q äî iíòå ðóâàííÿ, ïðîiíòå ðóâàëè çà êóòàìè i ââåëè çíåðîçìiðåíó çìiííó x = 2qaB /3. Öåé òàáëè÷íèé iíòå ðàë îá÷èñëþ¹ìî åëåìåíòàðíî: âií äîðiâíþ¹ 3π/29 . Îñòàòî÷íî, 3

e2 2 A= aB

òàê:

2 9

=

e2 × 0.021948. aB

Êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë K çàïèñó¹ìî àíàëîãi÷íî äî îáìiííîãî iíòå ðàëà K=

X 4πe2

q2 V

q

ρ1s (q)ρ2s (q),

äå êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè â 1s-ñòàíi ρ1s (q) ìè îá÷èñëèëè ïðè äîñëiäæåííi îñíîâíîãî ñòàíó àòîìà ãåëiþ, à âiäïîâiäíèé êîåiöi¹íò äëÿ 2sñòàíó Z dr eiqr ϕ22s (r)

ρ2s (q) =

ïîòðiáíî ðîçðàõóâàòè. Îòæå, 4π ρ2s (q) = q

Z∞

r sin(qr) 0

1 2a3B

−

d dβ

1−

1 d = Im − 2qa3B dβ

=

1 8πa3B

1 d 1+ 2aB dβ

2

r 2aB

2 Z∞

e−r/aB dr

e−βr+iqr dr

0

1+

1 d 2aB dβ

2

1 , β 2 + q2

òóò β = 1/aB . Òåïåð, ïiäñòàâëÿþ÷è â K âåëè÷èíè ρ1s (q) òà ρ2s (q), ìà¹ìî: 2e2 K= π

Z∞

ρ1s (q)ρ2s (q) dq 0

=

e2 q04 π a3B

−

d dβ

1+

1 d 2aB dβ

2

−

d dξ

I,

äå iíòå ðàë Z∞

I= 0

dq 1 = 2 (q 2 + ξ)(q 2 + β 2 ) β −ξ

Z∞

1 1 − 2 q2 + ξ q + β2

dq

0

663

=

π 1 2 β2 − ξ

1 1 √ − ξ ξ

, ξ = q02 .

Äàëi åëåìåíòàðíå îá÷èñëåííÿ ïîõiäíèõ äà¹ K=

17 e2 e2 = × 0.2098765. 81 aB aB

83. Âiä'¹ìíèé éîí âîäíþ H

−

Âiä'¹ìíèé éîí âîäíþ ¹ îñîáëèâèì âèïàäêîì ãåëi¹ïîäiáíèõ éîíiâ ïðè çàðÿäi ÿäðà Z = 1. Éîí H− ìà¹ ëèøå îñíîâíèé ñòàí ç åíåð i¹þ äèñîöiàöi¨ ïðèáëèçíî 0.75 eV, çáóäæåíi ñòàíè âiäñóòíi. Âèÿâèëîñü, ùî ñàìå H− ðîáèòü íåïðîçîðîþ àòìîñåðó Ñîíöÿ. Iíøèìè ñëîâàìè, ãîëîâíèé âíåñîê ó êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ ñâiòëà â íåïåðåðâíîìó ñïåêòði äà¹ âiä'¹ìíèé éîí âîäíþ. Åíåð i¨ éîíiçàöi¨ 0.75 eV âiäïîâiäà¹ òåìïåðàòóðà 8700◦ Ê, ÿêà ¹ äåùî âèùîþ âiä òåìïåðàòóðè àòìîñåðè Ñîíöÿ. Àòìîñåðà Ñîíöÿ ñêëàäà¹òüñÿ ïåðåâàæíî ç íåéòðàëüíîãî âîäíþ, àòîìiâ òà éîíiâ iíøèõ åëåìåíòiâ ¹ çíà÷íî ìåíøå. Åëåêòðîíè, ùî âèâiëüíÿþòüñÿ ïðè éîíiçàöi¨ àòîìiâ ìåòàëiâ, çàõîïëþþòüñÿ âîäíåì, i óòâîðþþòüñÿ éîíè H− , ÿêi â ñâîþ ÷åðãó, âíàñëiäîê îòîååêòó, ïîãëèíàþòü îòîíè i éîíiçóþòüñÿ. Öåé ïðîöåñ, â îñíîâíîìó, i âèçíà÷à¹ êîåiöi¹íò íåïåðåðâíîãî ïîãëèíàííÿ àòìîñåðè Ñîíöÿ6 . Çàïèøåìî âèðàç äëÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó äâîåëåêòðîííî¨ ñèñòåìè, ÿêèé ìè îòðèìàëè äëÿ àòîìà ãåëiþ: 2 e 5 E = −Z 2 + Z. aB 8 Åíåð iÿ éîíiçàöi¨ J = E1s − E ïðè Z = 1: 2 e 1 Z2 5 J − Z = − = −0.125. = aB 2 8 8

6 Àòìîñåðà Çåìëi ¹ íåïðîçîðîþ äëÿ óëüòðàiîëåòîâèõ ïðîìåíiâ iç äîâA. Ïðè÷èíîþ öüîãî ¹ íàÿâíiñòü â àòìîñåði ìîëåæèíîþ õâèëi λ < 2900 A. êóë îçîíó O3 , êîåiöi¹íò ïîãëèíàííÿ ÿêîãî ìà¹ ìàêñèìóì ïðè λ ≃ 2500 Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî ñàìå â öié äiëÿíöi äîâæèí õâèëü ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ñèëüíå ïîãëèíàííÿ îðãàíi÷íèìè ñïîëóêàìè (íóêëå¨íîâi êèñëîòè, àðîìàòè÷íi àìiíîêèñëîòè, ïåïòèäíi çâ'ÿçêè) åëåêòðîìàãíiòíîãî âèïðîìiíþâàííÿ ç ìàêñèìóìîì ïðè λ ≃ 2950 A, ÿêå ïðèçâîäèòü äî ðóéíóâàííÿ êëiòèí. Òàêèì ÷èíîì, õî÷à âèñîòà ñòîâïà îçîíó, ïðèâåäåíîãî äî íîðìàëüíèõ óìîâ, ñòàíîâèòü óñüîãî ∼ 0.3 ñì, âií âiäiãðà¹ âèíÿòêîâó ðîëü ó çàõèñòi Çåìëi âiä çãóáíî¨ äi¨ íàäëèøêîâî¨ óëüòðàiîëåòîâî¨ ðàäiàöi¨.

664

Îòæå, åíåð iÿ éîíiçàöi¨ ¹ âiä'¹ìíîþ, ùî îçíà÷à¹ âiäñóòíiñòü çâ'ÿçàíîãî ñòàíó. ßêùî âèêîðèñòàòè ðåçóëüòàòè âàðiàöiéíîãî ïiäõîäó äëÿ Z = 1, òî 2 5 2 Z2 Z2 e ∗2 = Z− = Z − − J aB 2 16 2

=

Z2 5 25 7 − Z+ =− ≃ −0.0273437. 2 8 256 256

ßê áà÷èìî, ñèòóàöiÿ ïîëiïøó¹òüñÿ, àëå çâ'ÿçàíîãî ñòàíó öåé ïiäõiä òàêîæ íå äà¹. Ïîäàëüøîãî ïîëiïøåííÿ ðåçóëüòàòó ìîæíà î÷iêóâàòè, ÿêùî âçÿòè ñêëàäíiøó ïðîáíó óíêöiþ ó âàðiàöiéíîìó ïiäõîäi. Áóäåìî ââàæàòè, ùî îäèí ç åëåêòðîíiâ ðóõà¹òüñÿ â ïîëi ÿäðà ç ååêòèâíèì çàðÿäîì Z1 . Äðóãèé åëåêòðîí, óíàñëiäîê åêðàíóâàííÿ ïåðøèì åëåêòðîíîì, âiä÷óâà¹ çàðÿä ÿäðà ðiâíèì Z2 . Îòæå, îäíîåëåêòðîííi ïðîáíi õâèëüîâi óíêöi¨ ¹ òàêèìè:

1

ϕ1 (r) = p

πa31

ϕ2 (r) = p

πa32

1

e−r/a1 ,

a1 = aB /Z1 ,

e−r/a2 ,

a2 = aB /Z2 .

Âåëè÷èíè Z1 , Z2 ¹ âàðiàöiéíèìè ïàðàìåòðàìè. Óòâîðèìî ñèìåòðèçîâàíó äâîåëåêòðîííó ïðîñòîðîâó óíêöiþ

ϕ(r1 , r2 ) = C[ϕ1 (r1 )ϕ2 (r2 ) ± ϕ1 (r2 )ϕ2 (r1 )].

Ôóíêöi¨ ϕ1 (r), ϕ2 (r) ¹ íîðìîâàíèìè, àëå íå âçà¹ìíî îðòîãîíàëüíèìè: 3 √ Z 2 Z1 Z2 . S = ϕ1 (r)ϕ2 (r) dr = Z1 + Z2

Òîìó ïîñòiéíà C , ùî çàáåçïå÷ó¹ íîðìîâàíiñòü óíêöi¨ ϕ, ìà¹ òàêèé âèãëÿä: 1 C=p . 2(1 ± S 2 )

665

Ïiäðàõó¹ìî ç óíêöi¹þ ϕ = ϕ(r1 , r2 ) ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ ñèñòåìè:

E=

Z

ˆ 0 (1) + H ˆ 0 (2) + ϕ H

e2 |r1 − r2 |

ϕ dr1 dr2 ,

äå ãàìiëüòîíiàíè ïåðøîãî i äðóãîãî åëåêòðîíà âiäïîâiäíî äîðiâíþþòü:

ˆ 21 Ze2 ˆ 0 (1) = p H − , 2m r1 ˆ 22 Ze2 ˆ 0 (2) = p H − . 2m r2 Ïiäñòàíîâêà ÿâíîãî âèãëÿäó óíêöi¨ ϕ äà¹

E= äå

H11 = H22 = H12 = H21 = K =

A = 666

Z

Z

Z

Z

H11 + H22 + K ± (SH12 + SH21 + A) , 1 ± S2

ˆ 0 (1)ϕ1 (r1 ) dr1 , ϕ1 (r1 )H ˆ 0 (2)ϕ2 (r2 ) dr2 , ϕ2 (r2 )H ˆ 0 (1)ϕ2 (r1 ) dr1 , ϕ1 (r1 )H ˆ 0 (1)ϕ1 (r1 ) dr1 , ϕ2 (r1 )H

Z Z

Z Z

ϕ21 (r1 )ϕ22 (r2 )

e2 dr1 dr2 , |r1 − r2 |

ϕ1 (r1 )ϕ2 (r1 )ϕ1 (r2 )ϕ2 (r2 )

e2 dr1 dr2 . |r1 − r2 |

Óñi öi âåëè÷èíè ðîçðàõîâó¹ìî òèìè æ ìåòîäàìè, ùî é ó ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài. Ìè îïóñòèìî äåòàëi öèõ íåñêëàäíèõ ðîçðàõóíêiâ i íàâåäåìî ðåçóëüòàòè: e2 Z12 H11 = − ZZ1 , aB 2 e2 Z22 − ZZ2 , H22 = aB 2

H12 = H21 =

e2 S [Z1 Z2 − Z(Z1 + Z2 )] . 2aB

Êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë

K=

X 4πe2 q

äå

ρ1 (q) =

Z

V q2

ρ1 (q)ρ2 (−q),

ϕ21 (r)eiqr dr =

q14 , (q 2 + q12 )2

q1 = 2/a1 , ρ2 (q) =

Z

ϕ22 (r)eiqr dr =

q24 , (q 2 + q22 )2

q2 = 2/a2 . Ïåðåõiä âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà q äî iíòå ðóâàííÿ é îá÷èñëåííÿ îòðèìàíîãî iíòå ðàëà ïðèâîäÿòü äî òàêîãî âèðàçó: Z1 Z2 e2 Z1 Z2 . 1+ K= aB Z1 + Z2 (Z1 + Z2 )2 Àíàëîãi÷íî îáìiííèé iíòå ðàë

A=

X 4πe2 q

V q2

|ρ(q)|2 , 667

äå

ρ(q) =

Z

ϕ1 (r)ϕ2 (r)eiqr dr = S

q0 =

1 1 + a1 a2

q04 , (q 2 + q02 )2

.

Ïiñëÿ îá÷èñëåíü ìà¹ìî:

A=

e2 5 (Z1 + Z2 )S 2 . 16 aB

ßêùî Z1 = Z2 , òî K = A = 5e2 Z1 /8aB ðåçóëüòàò ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà. Òåïåð äëÿ åíåð i¨ îòðèìó¹ìî 2 2 Z1 1 Z22 Z1 Z2 e = − ZZ + − ZZ2 + E 1 aB 1 ± S2 2 2 Z1 + Z2 Z1 Z2 5 2 × 1+ ± S Z1 Z2 − Z(Z1 + Z2 ) + (Z1 + Z2 ) . (Z1 + Z2 )2 16 Íåâàæêî çàóâàæèòè, ùî âèðàç ó iãóðíèõ äóæêàõ, ïåðåä ÿêèì ñòî¨òü çíàê ±, äëÿ içè÷íèõ çíà÷åíü Z1 i Z2 ¹ âiä'¹ìíèì. Òîìó íèæ÷i çíà÷åííÿ åíåð i¨ îòðèìóþòüñÿ, ÿêùî áðàòè âåðõíié çíàê +. Òîáòî õâèëüîâà óíêöiÿ ϕ ¹ ñèìåòðè÷íîþ é áåçâóçëîâîþ, ÿê i ïîâèííî áóòè äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó. ßêùî çíàéäåíèé âèðàç äëÿ åíåð ié çàñòîñóâàòè äî àòîìà ãåëiþ Z = 2, òî ìiíiìóì åíåð i¨ E = −2.84766e2 /aB îäåðæó¹ìî ïðè Z1 = Z2 = 2 − 5/16 = 1.6875. Òîáòî ìè îòðèìó¹ìî ðåçóëüòàòè ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà. Äëÿ âiä'¹ìíîãî éîíà âîäíþ, êîëè Z = 1, ÷èñåëüíèé ðîçðàõóíîê ïîêàçó¹, ùî åíåð iÿ E ÿê óíêöiÿ ïàðàìåòðiâ Z1 , Z2 äîñÿãà¹ ìiíiìàëüíîãî çíà÷åííÿ ïðè Z1 = 1.039230, Z2 = 0.283221 (àáî íàâïàêè) i äîðiâíþ¹ 2 e E = −0.513303. aB 668

Åíåð iÿ éîíiçàöi¨

J àáî

e2 = 0.013303, aB

J ≃ 0.36 eV.

Îòæå, äâîïàðàìåòðè÷íà õâèëüîâà óíêöiÿ ϕ äà¹ çâ'ÿçàíèé ñòàí, õî÷à òî÷íiñòü îòðèìàíîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨ çâ'ÿçêó ¹ íåäîñòàòíüîþ. Öiêàâî, ùî îäèí iç ååêòèâíèõ çàðÿäiâ Z1 àêòè÷íî íå âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä çàðÿäó ÿäðà Z = 1, à äðóãèé Z2 ¹ çíà÷íî ìåíøèì âiä îäèíèöi. Ñàìå öåé äðóãèé ååêòèâíèé çàðÿä i âèçíà÷à¹ ðîçìiðè âiä'¹ìíîãî éîíà âîäíþ H− : aB = 1.8678 a2 = A. Z2 A îðáiòè åëåêòðîíà â H− äà¹ çìîÒàêèé âåëèêèé äiàìåòð ∼ 3.7 ãó ïîÿñíèòè êðèõêiñòü íàâîäíåíîãî ìåòàëó. Ñïðàâäi, óòâîðåííÿ àòîìàìè âîäíþ òà âiëüíèìè åëåêòðîíàìè ìåòàëó êîìïëåêñiâ H− ïðèçâîäèòü, óíàñëiäîê ¨õíiõ âåëèêèõ ðîçìiðiâ, äî çíà÷íèõ ëîêàëüíèõ ìåõàíi÷íèõ íàïðóæåíü, ùî çìåíøó¹ ìiöíiñòü ìàòåðiàëiâ. 84. Ìåòîä àðòðiÔîêà

Ìåòîä ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ àòîìà ãåëiþ, ÿêèé ìè ðîçãëÿíóëè â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, ðóíòóâàâñÿ íà òåîði¨ çáóðåíü. Âàðiàöiéíèé ïðèíöèï, ÿê ìè áà÷èëè, äà¹ çíà÷íî ëiïøi ðåçóëüòàòè, íiæ çâè÷àéíà òåîðiÿ çáóðåíü. Ïðè öüîìó âèÿâèëîñü, ùî åëåêòðîíè â îñíîâíîìó ñòàíi ðóõàþòüñÿ â ïîëi ÿäðà ç ååêòèâíèì çàðÿäîì Z ∗ = Z − 5/16. Iíàêøå êàæó÷è, äëÿ îáðàíîãî åëåêòðîíà çàðÿä ÿäðà åêðàíó¹òüñÿ iíøèì åëåêòðîíîì, ó ðåçóëüòàòi êîæåí iç íèõ ðóõà¹òüñÿ â äåÿêîìó ååêòèâíîìó ïîëi. Åêðàíóâàííÿ çàëåæèòü âiä ñòàíó åëåêòðîíà, à ñòàí åëåêòðîíà â ñâîþ ÷åðãó âiä ååêòèâíîãî çàðÿäó (ñàìîóçãîäæåíå ïîëå). Ïðè ðîçãëÿäi àòîìà ç áiëüøèì ÷èñëîì åëåêòðîíiâ, íiæ äâà, ìà¹ìî àíàëîãi÷íó ñèòóàöiþ. Ìîæíà ââàæàòè, ùî êîæíèé ç åëåêòðîíiâ ðóõà¹òüñÿ â ååêòèâíîìó ïîëi, ÿêå ñòâîðåíå âñiìà ÷àñòèíêàìè ñèñòåìè. Ñòàí öüîãî ïîëÿ, òîáòî çíà÷åííÿ éîãî ñèëîâèõ õàðàêòåðèñòèê, çàëåæèòü âiä òîãî ñòàíó, ó ÿêîìó ïåðåáóâàþòü åëåêòðîíè. Îòæå, ìè ìà¹ìî ñïðàâó iç 669

ñàìîóçãîäæåíèì ïîëåì, ùî îðìó¹òüñÿ åëåêòðîíàìè, ñòàíè ÿêèõ ñâî¹þ ÷åðãîþ çàëåæàòü âiä öüîãî ïîëÿ. Òàêèé ïiäõiä ñàìîóçãîäæåíîãî ïîëÿ äî âèâ÷åííÿ áàãàòî÷àñòèíêîâèõ ñèñòåì çàïðîïîíóâàëè àíãëiéñüêèé içèê-òåîðåòèê Ä. . àðòði (18971958) òà ðîñiéñüêèé içèê-òåîðåòèê Â. À. Ôîê (18981974). Ìàþ÷è íà óâàçi çàñòîñóâàííÿ âàðiàöiéíîãî ïðèíöèïó, çîáðàçèìî ïðîáíó õâèëüîâó óíêöiþ ñèñòåìè N òîòîæíèõ ÷àñòèíîê ó âèãëÿäi âiäïîâiäíèì ÷èíîì ñèìåòðèçîâàíîãî äîáóòêó îäíî÷àñòèíêîâèõ óíêöié ψf (x):

ψ (x ) ψ (x ) f1 2 f1 1 1 ψf2 (x1 ) ψf2 (x2 ) ψ(x1 , . . . , xN ) = √ N ! ... ... ψf (x1 ) ψf (x2 ) N N

ψf1 (xN ) . . . ψf2 (xN ) . .. . ... . . . ψfN (xN ) ...

±

Çíàê + áåðåòüñÿ äëÿ áàãàòîáîçîííî¨ ñèñòåìè, à çíàê − äëÿ áàãàòîåðìiîííî¨. Ìè íå áóäåìî âðàõîâóâàòè ìîæëèâîñòi áîçåêîíäåíñàöi¨ i ââàæàòèìåìî, ùî âñi iíäåêñè îäíî÷àñòèíêîâèõ ñòàíiâ ðiçíi. Îäíî÷àñòèíêîâi óíêöi¨ ¹ íåâiäîìèìè, i ¨õ íåîáõiäíî çíàéòè ç óìîâè ìiíiìóìó åíåð i¨. Ïåðø íiæ ïåðåõîäèòè äî îá÷èñëåíü, çàóâàæèìî, ùî çîáðàæåííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ñèñòåìè ó âèãëÿäi ñèìåòðèçîâàíîãî äîáóòêó îäíî÷àñòèíêîâèõ óíêöié ¹ íàøèì ïðèïóùåííÿì. Çðîçóìiëî, ùî òî÷íà óíêöiÿ ïîâèííà ìàòè ñêëàäíiøèé âèãëÿä i áðàòè äî óâàãè òàê çâàíi ìiæ÷àñòèíêîâi êîðåëÿöi¨. Íàïðèêëàä, âèïèñàíó âèùå óíêöiþ ìîæíà äîìíîæèòè íà àêòîð, ÿêèé çîáðàæà¹òüñÿ äîáóòêîì äâî÷àñòèíêîâèõ óíêöié ϕ(|ri − rj |), ùî îïèñóþòü êîðåëÿöiþ ïàðè ÷àñòèíîê iç íîìåðàìè i òà j . Òàê ñàìî âðàõîâóþòüñÿ òðè-, ÷îòèðè-, . . . , N -÷àñòèíêîâi êîðåëÿöi¨. Íàøèì çàâäàííÿì ¹ äåìîíñòðàöiÿ ñóòi ñàìîãî ìåòîäó àðòðiÔîêà, òîìó ååêòiâ ìiæ÷àñòèíêîâèõ êîðåëÿöié óðàõîâóâàòè íå áóäåìî. Êðiì öüîãî, íàêëàäåìî íà îäíî÷àñòèíêîâi óíêöi¨ óìîâè îðòîíîðìîâàíîñòi. Öå òàêîæ ñïðîñòèòü íàøi âèêëàäêè. Íàðåøòi, ç òèõ ñàìèõ ìiðêóâàíü ìè ðîçãëÿíåìî âèïàäîê äâî÷àñòèíêîâî¨ ñèñòåìè, ïîêëàäàþ÷è N = 2. Îòæå, íåõàé ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè

ˆ =H ˆ 0 (1) + H ˆ 0 (2) + Vˆ , H 670

ˆ 0 (1), H ˆ 0 (2) îïåðàòîðè àìiëüòîíà ïåðøî¨ òà äðóãî¨ ÷àñòèäå H íîê, à îïåðàòîð Vˆ = V (1, 2) îïèñó¹ âçà¹ìîäiþ ìiæ íèìè. Iíäåêñàìè 1, 2 ñêîðî÷åíî ïîçíà÷åíi ïðîñòîðîâi êîîðäèíàòè ÷àñòèíîê i ñïiíîâi çìiííi: x1 , x2 . Õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè ìà¹ âèãëÿä 1 ψ(x1 , x2 ) = √ {ψf1 (x1 )ψf2 (x2 ) ± ψf1 (x2 )ψf2 (x1 )}, 2 äå ψf (x) ¹ âàðiàöiéíèìè ïðîáíèìè óíêöiÿìè. Íåõàé öi óíêöi¨ ¹ îðòîíîðìîâàíèìè: Z ψf∗1 (x)ψf1 (x) dx = 1,

Z

Z

ψf∗2 (x)ψf2 (x) dx = 1, ψf∗1 (x)ψf2 (x) dx = 0.

Îá÷èñëèìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà Z Z ˆ ˆ hHi = dx1 dx2 ψ ∗ (x1 , x2 )Hψ(x 1 , x2 ).

Ïiäñòàâëÿþ÷è ÿâíèé âèðàç äëÿ ψ(x1 , x2 ), çíàõîäèìî Z Z ∗ ˆ ˆ 0 (2)ψf (x2 ) hHi = dx1 ψf1 (x1 )H0 (1)ψf1 (x1 ) + dx2 ψf∗2 (x2 )H 2

+ ±

Z

Z

dx1 dx1

Z

Z

dx2 ψf∗1 (x1 )ψf∗2 (x2 )Vˆ ψf1 (x1 )ψf2 (x2 ) dx2 ψf∗1 (x1 )ψf∗2 (x2 )Vˆ ψf1 (x2 )ψf2 (x1 ).

Äàëi äi¹ìî çà òèì ñàìèì ðåöåïòîì, ùî é ó 53, äå ðîçãëÿäàâñÿ âàðiàöiéíèé ïðèíöèï. Çíàéäåìî âàðiàöiþ δhHi ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà, çàìiíþþ÷è ψf i ψf∗ íà ψf + δψf òà ψf∗ + δψf∗ , i ïðèðiâíÿ¹ìî ¨¨ äî íóëÿ:

δhHi = 0. 671

Çâiäñè îòðèìà¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìèõ õâèëüîâèõ óíêöié ψf çà óìîâè ¨õíüî¨ îðòîíîðìîâàíîñòi. Ùîá çíÿòè öi äîäàòêîâi óìîâè, âiä δhHi âiäíiìiìî âàðiàöi¨ óìîâ íîðìóâàííÿ, ïîìíîæåíi íà âiäïîâiäíi ìíîæíèêè Ëà ðàíæà. Ïðèðiâíþþ÷è äî íóëÿ ìíîæíèêè ïðè íåçàëåæíèõ âàðiàöiÿõ δψf∗1 òà δψf∗2 , çíàõîäèìî ñèñòåìó äâîõ ðiâíÿíü àðòðiÔîêà:

ˆ 0 (1) − Ef ]ψf (x1 ) + Vf f (1)ψf (x1 ) ± Vf f (1)ψf (x1 ) = 0, [H 1 1 2 2 1 2 1 2 ˆ 0 (2) − Ef ]ψf (x2 ) + Vf f (2)ψf (x2 ) ± Vf f (2)ψf (x2 ) = 0, [H 2 2 1 1 2 1 2 1 Z Vf f ′ (2) = dx1 ψf∗ (x1 )V (1, 2)ψf ′ (x1 ),

äå Ef1 , Ef2 ìíîæíèêè Ëà ðàíæà. ßêùî æ ïðèðiâíÿòè äî íóëÿ ìíîæíèêè áiëÿ íåçàëåæíèõ âàðiàöié δψf1 , δψf2 , òî ìè îòðèìà¹ìî ñèñòåìó ðiâíÿíü äëÿ ñïðÿæåíèõ óíêöié ψf∗1 , ψf∗2 . Îðòîãîíàëüíiñòü îäåðæàíèõ óíêöié çàáåçïå÷ó¹ìî äîáðå âiäîìîþ ñòàíäàðòíîþ ïðîöåäóðîþ îðòîãîíàëiçàöi¨, ÿêó ìè âèêîðèñòîâóâàëè â 10. Ç'ÿñóéìî çìiñò âåëè÷èí Ef1 , Ef2 . Äëÿ öüîãî îá÷èñëiìî åíåð iþ Jf1 âiäðèâó iç ñèñòåìè ÷àñòèíêè çi ñòàíó ψf1 i íàçâiìî ¨¨ åíåð iˆ , à ïiñëÿ ¹þ éîíiçàöi¨. Äî éîíiçàöi¨ åíåð iÿ ñèñòåìè äîðiâíþ¹ hHi éîíiçàöi¨ Z (0) ˆ Ef2 = ψf∗2 (x2 )H(2)ψ f2 (x2 ) dx2 . Òàêèì ÷èíîì,

(0) ˆ Jf1 = Ef2 − hHi.

Òåïåð ïåðøå ðiâíÿííÿ ñèñòåìè àðòðiÔîêà ïîìíîæìî íà ψf∗1 (x1 ) i ïðîiíòå ðóéìî çà x1 : Z Z (0) Ef1 − Ef1 + dx1 dx2 ψf∗1 (x1 )ψf∗2 (x2 )V (1, 2)ψf2 (x2 )ψf1 (x1 )

±

Z

dx1

Z

dx2 ψf∗1 (x1 )ψf∗2 (x2 )V (1, 2)ψf1 (x2 )ψf2 (x1 ) = 0.

Îòðèìàíèé âèðàç ìîæíà çàïèñàòè ÷åðåç ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ãàìiëüòîíiàíà: ˆ − E (0) = Ef . hHi 1 f2 672

Çâiäñè çíàõîäèìî, ùî

−Ef1 = Jf1 .

Îòæå, çìiñò ìíîæíèêiâ Ëà ðàíæà Ef ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî âîíè äîðiâíþþòü ç îáåðíåíèì çíàêîì åíåð i¨ éîíiçàöi¨ ÷àñòèíêè çi ñòàíó ψf (òåîðåìà Êóïìàíà). iâíÿííÿ àðòðiÔîêà ðîçâ'ÿçóþòü òàêèì ÷èíîì. Ñïî÷àòêó (0) (0) âèáèðà¹ìî áóäü-ÿê îðòîíîðìîâàíi ïðîáíi óíêöi¨ ψf1 òà ψf2 i îá÷èñëþ¹ìî ìàòðè÷íi åëåìåíòè Vf f ′ . Ìàþ÷è öi íóëüîâi íàáëèæåííÿ âåëè÷èí Vf f ′ , ïiäñòàâëÿ¹ìî ¨õ ó ðiâíÿííÿ, ç ÿêèõ çíàõîäèìî (1) (1) õâèëüîâi óíêöi¨ ψf1 , ψf2 â ïåðøîìó íàáëèæåííi. Äàëi âèêîíó¹ìî ïðîöåäóðó îðòîãîíàëiçàöi¨ çíàéäåíèõ óíêöié. Ïiñëÿ öüîãî ïðîöåñ ïîâòîðþ¹ìî: îá÷èñëþ¹ìî ìàòðè÷íi åëåìåíòè Vf f ′ ó ïåðøîìó íàáëèæåííi, à ç ¨õíüîþ äîïîìîãîþ ç ðiâíÿíü çíàõîäèìî õâèëüîâi óíêöi¨ â äðóãîìó íàáëèæåííi. Öåé iòåðàöiéíèé ïðîöåñ ïðîäîâæó¹ìî, ïîêè ðiçíèöÿ ìiæ ñóñiäíiìè íàáëèæåííÿìè íå ñòàíå ìåíøîþ âiä íàïåðåä çàäàíî¨ âåëè÷èíè. Òîáòî äî ïîâíîãî óçãîäæåííÿ õâèëüîâèõ óíêöié ψf1 , ψf2 ç ïîëåì Vf f ′ , ÿêå ñàìî çàëåæèòü âiä íèõ. Çâiäñè i íàçâà ìåòîä ñàìîóçãîäæåíîãî ïîëÿ. Ìåòîä àðòðiÔîêà äà¹ çìîãó çíàéòè ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ òàêèõ ñèñòåì, ÿê àòîìè, ìîëåêóëè, ó òîìó ÷èñëi i äëÿ òàêèõ ñêëàäíèõ, ÿê áiëêîâi, à òàêîæ òâåðäèõ òië. Ñàìå öèì ìåòîäîì ðîçðàõîâàíi õâèëüîâi óíêöi¨ ïðàêòè÷íî âñiõ àòîìiâ ïåðiîäè÷íî¨ ñèñòåìè åëåìåíòiâ. Ñó÷àñíi êîìï'þòåðè çíà÷íî çáiëüøóþòü ìîæëèâîñòi ìåòîäó àðòðiÔîêà. 85. Ìåòîä ÒîìàñàÔåðìi

ßêùî àòîì ìà¹ áàãàòî åëåêòðîíiâ, òî îá÷èñëåííÿ çà ìåòîäîì àðòðiÔîêà ñòàþòü ãðîìiçäêèìè i âèìàãàþòü çàñòîñóâàííÿ ïîòóæíèõ êîìï'þòåðiâ. Iñíó¹ iíøèé íàáëèæåíèé ìåòîä äëÿ áàãàòîåëåêòðîííèõ àòîìiâ, ùî ðóíòó¹òüñÿ íà òàê çâàíié ñòàòèñòè÷íié ìîäåëi àòîìà, ÿêó çàïðîïîíóâàëè â 19271928 ðîêàõ Ë. Òîìàñ i Å. Ôåðìi (ìîäåëü ÒîìàñàÔåðìi). Ó öié ìîäåëi ââàæà¹òüñÿ, ùî, âíàñëiäîê áàãàòî÷àñòèíêîâîñòi çàäà÷i òà ïðèíöèïó Ïàóëi, åëåêòðîíè ïåðåáóâàþòü ó ñòàíàõ ç âåëèêèìè êâàíòîâèìè ÷èñëàìè i îòæå, äëÿ îïèñó òàêî¨ ñèñòåìè ìîæíà çàñòîñóâàòè êâàçiêëàñè÷íèé ïiäõiä. Íåõàé ìè ìà¹ìî ñèñòåìó ç N åëåêòðîíiâ, ñòàí êîæíîãî ç ÿêèõ õàðàêòåðèçó¹òüñÿ êâàíòîâèìè 43

I. Î. Âàêàð÷óê

673

÷èñëàìè f = (p, σ), äå p iìïóëüñ åëåêòðîíà, σ ïðîåêöiÿ ñïiíó íà âèäiëåíèé íàïðÿìîê. Ç óìîâ êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà ìà¹ìî, ùî êiëüêiñòü çàéíÿòèõ N åëåêòðîíàìè ñòàíiâ äîðiâíþ¹ âiäíîøåííþ àçîâîãî îá'¹ìó äî åëåìåíòàðíîãî îá'¹ìó h3 = (2π~)3 . Ôàçîâèé îá'¹ì ó ñâîþ ÷åðãó äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi îá'¹ìó êîíi óðàöiéíîãî ïðîñòîðó V íà îá'¹ì iìïóëüñíîãî ïðîñòîðó 4πp3F /3, äå pF ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ iìïóëüñó, ÿêå ìîæå ìàòè åëåêòðîí (iìïóëüñ Ôåðìi), i íà êiëüêiñòü ñïiíîâèõ ñòàíiâ, òîáòî íà 2, îñêiëüêè ñïií åëåêòðîíà äîðiâíþ¹ 1/2. Òàêèì ÷èíîì, 2V 4πp3F /3 N= . (2π~)3 Çâiäñè çíàõîäèìî õâèëüîâèé âåêòîð Ôåðìi kF = pF /~:

kF = (3π 2 ρ)1/3 , äå

N V ãóñòèíà ÷àñòèíîê. Çàïèøåìî ïîâíó åíåð iþ äëÿ åëåêòðîíà, ÿêèé ìà¹ ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ iìïóëüñó: ρ=

àáî

~2 kF2 + eΦ = E, 2m

~2 (3π 2 ρ)2/3 + eΦ = E, 2m äå Φ = Φ(r) ñàìîóçãîäæåíèé ïîòåíöiàë, ùî ñòâîðåíèé ó òî÷öi çíàõîäæåííÿ åëåêòðîíà âñiìà iíøèìè ÷àñòèíêàìè ñèñòåìè. Åíåð iÿ E ïîâèííà áóòè ïîñòiéíîþ âåëè÷èíîþ, iíàêøå âiäáóâàâñÿ á ïåðåðîçïîäië åëåêòðîíiâ ó òî÷êó r , äå åíåð iÿ ¹ ìiíiìàëüíîþ. Ââàæà¹ìî, ùî òàêèé ïåðåðîçïîäië âiäáóâñÿ i îòæå, E = const äëÿ âñiõ òî÷îê ïðîñòîðó. Êðiì òîãî, åíåð iÿ ïîâèííà áóòè âiä'¹ìíîþ. Â iíøîìó âèïàäêó ìè ìàëè á íåçâ'ÿçàíèé ñòàí åëåêòðîíiâ. Òàêèì ÷èíîì, âåëè÷èíà kF çàëåæèòü âiä r , i öÿ çàëåæíiñòü ¹ òàêîþ, ùîá çàáåçïå÷èòè óìîâó E = const. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî i ãóñòèíà åëåêòðîíiâ ρ ¹ óíêöi¹þ ðàäióñ-âåêòîðà, ρ = ρ(r). Óâåäåìî âåëè÷èíó Φ0 , eΦ0 = E, 674

i çàïèøåìî íàøå ðiâíÿííÿ òàê:

~2 (3π 2 ρ)2/3 = |e|(Φ − Φ0 ). 2m Íàãàäà¹ìî, ùî çàðÿä åëåêòðîíà e = −|e|. Âèçíà÷èìî ðàäióñ àòîìà R ç óìîâè ρ = 0, òîáòî ç ðiâíÿííÿ Φ(R) = Φ0 . ßêùî àòîì ¹ íåéòðàëüíèì, à ðîçïîäië ãóñòèíè åëåêòðîíiâ ñåðè÷íî-ñèìåòðè÷íèé, òî òàêà ñèñòåìà íå ñòâîðþ¹ çîâíiøíüîãî ïîëÿ i Φ0 = 0. Äëÿ éîíiâ iç çàðÿäîì Q ïîòåíöiàë Φ0 = Q/r ïðè r > R. I îòæå, óìîâà äëÿ çíàõîäæåííÿ ðîçìiðiâ éîíà ¹ òàêîþ:

Φ(R) =

Q . R

Íàäàëi ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè íåéòðàëüíèé àòîì, êîëè Φ0 = 0. Ñàìîóçãîäæåíèé ïîòåíöiàë Φ, ùî ñòâîðþ¹òüñÿ àòîìíèìè åëåêòðîíàìè ç ãóñòèíîþ ρ i ÿäðîì, çàðÿä ÿêîãî äîðiâíþ¹ Z|e|, ïîâèíåí çàäîâîëüíÿòè ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà

∆Φ = −4πeρ ç ãðàíè÷íîþ óìîâîþ Φ = Z|e|/r , r → 0. Ìè îòðèìàëè ñèñòåìó äâîõ ðiâíÿíü, ÿêi äîçâîëÿþòü âèçíà÷èòè ãóñòèíó åëåêòðîíiâ ρ i ñàìîóçãîäæåíèé ïîòåíöiàë Φ. Ç âèõiäíîãî ðiâíÿííÿ

~2 (3π 2 ρ)2/3 + eΦ = 0 2m çíàõîäèìî

1 ρ= 2 3π

2m|e| Φ ~2

3/2

,

ÿêå ïiäñòàâëÿ¹ìî â ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà: 3/2 2m|e| 1 . Φ ∆Φ = −4πe 2 3π ~2 Óâåäåìî äî ðîçãëÿäó óíêöiþ χ = χ(r) ñïiââiäíîøåííÿì

Φ= 43*

Z|e| χ r 675

ç ãðàíè÷íîþ óìîâîþ χ(0) = 1. Òåïåð íàøå ðiâíÿííÿ ìà¹ âèãëÿä: 3/2 Z|e| d2 χ 4π|e| 2me2 Z χ . = r dr 2 3π 2 ~2 r

Óâåäåìî áåçðîçìiðíó çìiííó x = r/r0 , äå r0 õàðàêòåðíà äëÿ öi¹¨ çàäà÷i äîâæèíà, i îòðèìà¹ìî: 3/2 Z ′′ 4π 2me2 Z χ3/2 . χ = 2 3π ~2 r0 x xr03

Âèáåðåìî äîâæèíó r0 òàêîþ, ùîá óñi êîíñòàíòè ç ðiâíÿííÿ âèïàëè: 3/2 Z 4π 2me2 Z = 2 3π ~2 r0 r03 àáî

r0 = aB Z

−1/3 1

2

3π 4

2/3

,

0.885aB . Z 1/3 Òåïåð ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χ â çíåðîçìiðåíèõ çìiííèõ ìà¹ ïðîñòèé âèãëÿä: √ ′′ xχ = χ3/2 . r0 =

Îòæå, õàðàêòåðíèé ìàñøòàá äîâæèíè r0 ∼ Z −1/3 , i òîìó äëÿ àòîìiâ ç áiëüøèì çàðÿäîì Z âiäïîâiäíi ïîäi¨ âiäáóâàþòüñÿ íà âiäñòàíÿõ, áëèæ÷èõ äî ÿäðà. Ïîâåðíåìîñü äî ðiâíÿííÿ. Íåâàæêî çàóâàæèòè, ùî âîíî ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê χ(x) = 144/x3 , ÿêèé, îäíàê, íå çàäîâîëüíÿ¹ ãðàíè÷íî¨ óìîâè χ(0) = 1. Òîìó öåé ðîçâ'ÿçîê âèçíà÷à¹ ëèøå àñèìïòîòè÷íó ïîâåäiíêó ãóñòèíè åëåêòðîíiâ i ñàìîóçãîäæåíîãî ïîòåíöiàëó ïðè x → ∞. iâíÿííÿ äëÿ χ ðîçâ'ÿçó¹òüñÿ ÷èñåëüíèìè ìåòîäàìè, éîãî ðîçâ'ÿçîê çîáðàæåíî íà ðèñ. 66, òàì æå ïîäàíî ãðàiê óíêöi¨ χ′ (x). Ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ x

4 χ(x) = 1 − 1.58807x + x3/2 + · · · . 3 676

èñ. 66.

Ôóíêöiÿ

χ

òà ¨ ¨ ïåðøà ïîõiäíà

χ′ (x).

Ìîäåëü ÒîìàñàÔåðìi ÿêiñíî îïèñó¹ çàëåæíiñòü ãóñòèíè åëåêòðîíiâ âiä âiäñòàíi r ç ìàêñèìóìîì ó òî÷öi r ∗ ≃ r0 . Ïðè÷îìó öiêàâî âiäçíà÷èòè, ùî Z ∞ Z ∞ Z ∞ √ 3/2 2 xχ dx = Z 4πρr dr = Z xχ′′ dx 0

0

0

é iíòå ðóâàííÿ ÷àñòèíàìè äà¹ Z ∞ 4πρr 2 dr = Z. 0

Òîáòî ïîâíèé çàðÿä åëåêòðîíiâ àòîìà, ÿê i ïîâèííî áóòè, äîðiâíþ¹ çàðÿäîâi ÿäðà Z . Îäíàê öÿ ìîäåëü äà¹ áåçìåæíå çíà÷åííÿ ðàäióñà àòîìà R, îñêiëüêè óíêöiÿ χ îáåðòà¹òüñÿ â íóëü √ ëèøå ïðè r → ∞. îçïîäië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè 4πr 2 ρ = Z xχ3/2 /r0 çîáðàæåíî íà ðèñ. 67. Çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ÒîìàñàÔåðìi ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî ïîñëiäîâíiñòü çàïîâíåííÿ åëåêòðîííèõ îáîëîíîê â àòîìi. Îñíîâíèé ñòàí àòîìà âîäíþ ìà¹ åëåêòðîííó êîíi óðàöiþ 1s; àòîìà ãåëiþ (1s)2 ; àòîìà ëiòiþ (1s)2 (2s); àòîìà áåðèëiþ (1s)2 (2s)2 . Çàïîâíåííÿ p-ñòàíiâ (l = 1) ïî÷èíà¹òüñÿ ç àòîìà áîðó (Z = 5), åëåêòðîííà êîíi óðàöiÿ ÿêîãî (1s)2 (2s)2 (2p). À ç ÿêîãî Z ïî÷èíàþòü çàïîâíþâàòèñü îáîëîíêè ç l = 2, 3, òîáòî d- òà f -ñòàíè? Ùîá âiäïîâiñòè íà öå çàïèòàííÿ, íàãàäà¹ìî, ùî åëåêòðîí 677

èñ. 67.

îçïîäië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè äëÿ àòîìiâ ó ìîäåëi Òîìàñà

Ôåðìi.

â àòîìi ðóõà¹òüñÿ â äåÿêîìó ååêòèâíîìó ïîëi, ÿêå ñêëàäà¹òüñÿ ç âiäöåíòðîâî¨ åíåð i¨ òà ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ ïðèòÿãàííÿ eΦ:

~2 l(l + 1) + eΦ. 2mr 2 Ó íàøîìó êâàçiêëàñè÷íîìó âèïàäêó ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ êâàíòîâèõ ÷èñåë çàìiñòü l(l+1) áåðåìî (l+1/2)2 = l(l+1)+1/4 òàê, ùîá âiäöåíòðîâà åíåð iÿ ìàëà êëàñè÷íèé âèãëÿä L2 /2mr 2 (îá ðóíòóâàííÿ äèâ. ó Ïðèêëàäi äî 68) i ååêòèâíà ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ Ueff (r) =

~2 (l + 1/2)2 Ze2 − χ. 2mr 2 r Çâ'ÿçàíi ñòàíè âiäñóòíi, ÿêùî Ueff (r) ¹ äîäàòíîþ âåëè÷èíîþ, òîáòî êîëè âiäöåíòðîâà åíåð iÿ ¹ áiëüøîþ çà åíåð iþ ïðèòÿãàííÿ. Iç çáiëüøåííÿì Z ïðè çàäàíîìó l êðèâà Ueff (r) äîòèêà¹òüñÿ äî îñi ′ (r) = 0, i ïðè ïîäàëüøîìó çáiëüøåííi àáñöèñ, êîëè Ueff (r) = 0, Ueff Z âèíèêà¹ äiëÿíêà âiä'¹ìíèõ çíà÷åíü ååêòèâíî¨ åíåð i¨, à îòæå, i çâ'ÿçàíèé ñòàí. Òàêèì ÷èíîì, óìîâà äîòèêó êðèâî¨ Ueff (r) äî îñi àáñöèñ ¹ óìîâîþ âèíèêíåííÿ çâ'ÿçàíîãî ñòàíó åëåêòðîíà â àòîìi ç îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l: Ueff (r) =

Ze2 ~2 (l + 1/2)2 − χ = 0, 2mr 2 r 678

−

~2 (l + 1/2)2 Ze2 Ze2 dχ + χ − = 0. mr 3 r2 r dr

Ïîìíîæìî ïåðøå ðiâíÿííÿ íà 2/r i äîäàéìî äî äðóãîãî. Ó ðåçóëüòàòi çíàõîäèìî, ùî

1 dχ 1 + = 0, r χ dr àáî â áåçðîçìiðíèõ çìiííèõ

1 χ′ =− . χ x Iç öüîãî ðiâíÿííÿ âèçíà÷à¹ìî òî÷êó äîòèêó x = xc i, ïiäñòàâëÿþ÷è ¨¨ â ïåðøå ðiâíÿííÿ, ìà¹ìî:

(2l + 1)2 =

8mr0 2 Ze χ(xc )xc . ~2

Çâiäñè îñòàòî÷íî îäåðæó¹ìî

Z = const × (2l + 1)3 , const =

1 , 6π[xc χ(xc )]3/2

÷èñåëüíî xc = 2.1042, χ(xc ) = 0.2311, χ′ (xc ) = −0.1098 i const = 0.1564. Öÿ îðìóëà iêñó¹ òi çíà÷åííÿ Z , ïðè ÿêèõ â àòîìi âèíèêàþòü óïåðøå åëåêòðîíè ç ïåâíèì çíà÷åííÿì îðáiòàëüíîãî ÷èñëà l. ßêùî ç îãëÿäó íà íàáëèæåíèé ïiäõiä ñòàëó 0.1564 â öié îðìóëi çáiëüøèòè äî 0.17, òî ïiñëÿ çàîêðóãëåííÿ îòðèìó¹ìî òî÷íi çíà÷åííÿ Z = 5, 21, 58, êîëè âïåðøå âèíèêàþòü p-, d-, f -ñòàíè. Ñòàíè ç l = 4, òîáòî g-ñòàíè, ïîâèííi âïåðøå óòâîðèòèñü ó 124-îìó åëåìåíòi. Îòæå, çàïîâíåííÿ d-îáîëîíêè íå ïî÷èíà¹òüñÿ, ÿê ìîæíà áóëî î÷iêóâàòè, ç êàëiþ Z = 19, à âiäñóâà¹òüñÿ äî ñêàíäiþ Z = 21. Òàê ñàìî çàïîâíåííÿ f -îáîëîíêè ìàëî á ïî÷èíàòèñÿ çi ñðiáëà Z = 47, à òåîðiÿ âiäñóâà¹ öå çàïîâíåííÿ àæ äî öåðiþ Z = 58. Òàêèì ÷èíîì, ñòàòèñòè÷íà ìîäåëü ÒîìàñàÔåðìi, íåçâàæàþ÷è íà äåÿêó ¨¨ ïðîñòîòó, õî÷ i íå îïèñó¹ ñòðóêòóðè åëåêòðîííèõ îáîëîíîê àòîìà, àëå ïîÿñíþ¹ öi âàæëèâi äåòàëi ¨õ çàïîâíåííÿ. ßê 679

áà÷èìî, ïðè ñòâîðåííi içè÷íèõ ìîäåëåé äëÿ îïèñó ñïîñòåðåæóâàíèõ ÿâèù âàæëèâî ñõîïèòè ëèøå ãîëîâíi ðèñè òèõ ìåõàíiçìiâ, ÿêi òâîðÿòü öi ÿâèùà7 . Ïîäàëüøèé ðîçâèòîê òåîði¨ ÒîìàñàÔåðìi ç óðàõóâàííÿì îáìiííèõ òà îáìiííî-êîðåëÿöiéíèõ ååêòiâ ïðèâiâ äî ñòâîðåííÿ òàê çâàíîãî ìåòîäó óíêöiîíàëà ãóñòèíè, ÿêèé ñòàâ îäíèì ç ååêòèâíèõ ïiäõîäiâ äî âèâ÷åííÿ áàãàòîåðìiîííèõ ñèñòåì. 86. Ìîëåêóëè. Àäiàáàòè÷íå íàáëèæåííÿ

Ìîëåêóëà öå ñóêóïíiñòü åëåêòðîíiâ i ÿäåð, ÿêi ïåðåáóâàþòü ó çâ'ÿçàíîìó ñòàíi. Ìàñà åëåêòðîíà ¹ íà òðè÷îòèðè ïîðÿäêè ìåíøîþ çà ìàñó ÿäåð. Óíàñëiäîê öüîãî ÿäðà ¹ ìàëîðóõëèâèìè ïîðiâíÿíî ç åëåêòðîíàìè i ¨õ ìîæíà â íóëüîâîìó íàáëèæåííi ââàæàòè íåðóõîìèìè. Öå ïðèïóùåííÿ i ñòàíîâèòü ñóòü òàê çâàíîãî àäiàáàòè÷íîãî íàáëèæåííÿ. Ôàêòè÷íî ìè ââàæà¹ìî, ùî åëåêòðîííà ïiäñèñòåìà âiäñòåæó¹ ïîâiëüíèé ðóõ ÿäåð øâèäêîþ ïåðåáóäîâîþ ñâîãî ñòàíó. Òàêèì ÷èíîì, ïåðøèì êðîêîì ó òåîði¨ ìîëåêóë ¹ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ åëåêòðîííî¨ ïiäñèñòåìè ïðè iêñîâàíèõ ïîëîæåííÿõ ÿäåð. Ïðè öüîìó ìè îòðèìó¹ìî ðiâíi åíåð i¨ åëåêòðîíiâ, ÿêi çàëåæàòèìóòü âiä âçà¹ìíîãî ðîçòàøóâàííÿ ÿäåð. Öi åíåð åòè÷íi ðiâíi, àáî, ÿê ¨õ íàçèâàþòü, åëåêòðîííi òåðìè, âiäiãðàþòü ðîëü ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ äëÿ ÿäåð. Íàñòóïíèì êðîêîì ìè âiäïóñêà¹ìî ÿäðà, òîáòî äà¹ìî ìîæëèâiñòü ¨ì ðóõàòèñü, i ðîçâ'ÿçó¹ìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ÿäåðíî¨ ïiäñèñòåìè, äîñëiäæóþ÷è ¨¨ êîëèâíi òà îáåðòàëüíi ðóõè. Îòæå, â öié çàäà÷i îïåðàòîðîì çáóðåííÿ âèñòóïà¹ êiíåòè÷íà åíåð iÿ ÿäåð. Ïiñëÿ öèõ ïîïåðåäíiõ çàóâàæåíü ïåðåõîäèìî äî îðìóëþâàííÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷i. Íåõàé ìè ìà¹ìî ñèñòåìó, ùî ñêëàäà¹òüñÿ iç 7 Òóò öiêàâî ïðîâåñòè ïàðàëåëü iç ïîäiáíèì ïiäõîäîì ó òâîð÷îñòi ìàéñòðiâ ìèñòåöòâ. Ó ðîçìîâàõ ç âiäîìèì óêðà¨íñüêèì õóäîæíèêîì Âîëîäèìèðîì Ïàòèêîì ïðî ìåõàíiçìè òâîð÷îñòi àâòîð íå ðàç ÷óâ âiä íüîãî, ùî ìàëþâàííÿ ç æèâî¨ ïðèðîäè ïåéçàæiâ iç ïðèñêiïëèâèì ïðèãëÿäàííÿì äî íåñóòò¹âèõ äåòàëåé âåäå äî âòðàòè ãëèáèíè âðàæåííÿ, äî éîãî ðîçìèòòÿ. Ñïîñòåðiãàþ÷è çà ðîáîòîþ âiäîìîãî óêðà¨íñüêîãî ñêóëüïòîðà Åììàíó¨ëà Ìèñüêà â éîãî ìàéñòåðíi ïiä ÷àñ òâîðåííÿ ïîðòðåòà ç ãëèíè, àâòîð ñòàâàâ ñâiäêîì òîãî, ÿê ó ÿêèéñü ìîìåíò (ùå äàëåêî äî çàâåðøåííÿ ðîáîòè) ðàïòîì âèíèêà¹ òà íåçáàãíåííà ðèñà, ÿêà âèçíà÷à¹ õàðàêòåð òà âíóòðiøíié ñâiò íàòóðè. Îòæå, õóäîæíèê ¹ ëèøå òîäi ìèñòöåì, êîëè âií çäàòíèé, âiäêèíóâøè íåñóòò¹âi äåòàëi, ñòâîðèòè ìîäåëü, ÿêà ñõîïëþ¹ òå ãîëîâíå, ùî, âëàñòèâî, i âèêëèêà¹ â íàñ ïî÷óòòÿ åñòåòè÷íî¨ íàñîëîäè.

680

ñóêóïíîñòi åëåêòðîíiâ ç êîîðäèíàòàìè r1 , r2 , . . . i ñóêóïíîñòi ÿäåð iç êîîðäèíàòàìè RA , RB , . . . òà ìàñàìè MA , MB , . . . . Îïåðàòîð àìiëüòîíà òàêî¨ ñèñòåìè ìà¹ âèãëÿä:

ˆ = H

ˆ2 X p X P ˆ 2i j + + U, 2m 2Mj i≥1

j

äå ïåðøèé äîäàíîê öå îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ åëåêòðîíiâ (m ìàñà åëåêòðîíà), äðóãèé îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ ÿäåð, ïðè÷îìó iíäåêñ j , ùî íóìåðó¹ ÿäðà, ïðîáiãà¹ çíà÷åííÿ A, B, C, . . ., à âåëè÷èíà U = U (r1 , r2 , . . . ; RA , RB , . . .) ¹ ïîâíîþ ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ êóëîíiâñüêî¨ âçà¹ìîäi¨ ìiæ óñiìà ÷àñòèíêàìè ìîëåêóëè. Ìè íå áóäåìî âðàõîâóâàòè òóò ðåëÿòèâiñòñüêèõ ååêòiâ. Îñêiëüêè ãàìiëüòîíiàí íå çàëåæèòü âiä ñïiíîâèõ çìiííèõ, òî õâèëüîâà óíêöiÿ çîáðàæà¹òüñÿ äîáóòêîì ñïiíîâî¨ óíêöi¨ χ íà ïðîñòîðîâó ϕ. ßê óæå çàçíà÷àëîñü, ó íóëüîâîìó íàáëèæåííi ÿäðà ââàæà¹ìî íåðóõîìèìè, òîáòî îðìàëüíî ïðèéìà¹ìî, ùî ¨õíi ìàñè MA , MB , . . . → ∞. Íàñ öiêàâèòèìå ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ åëåêòðîííî¨ ïiäñèñòåìè:   2 X p î  + U  ϕn = Ene ϕn , 2m i≥1

äå õâèëüîâà óíêöiÿ ϕn = ϕn (r1 , r2 , . . . ; RA , RB , . . .) òà ðiâíi åíåð i¨ Ene = Ene (RA , RB , . . .) çàëåæàòü âiä êîîðäèíàò ÿäåð ÿê âiä ïàðàìåòðiâ. Âåðõíié iíäåêñ â Ene âêàçó¹, ùî ðîçãëÿäà¹òüñÿ åëåêòðîííà çàäà÷à, à íèæíié íóìåðó¹ êâàíòîâi ñòàíè åëåêòðîííî¨ ïiäñèñòåìè ïðè íåðóõîìèõ ÿäðàõ. Âèêîðèñòà¹ìî òåïåð ïîâíîòó ñèñòåìè {ϕn }. îçêëàäåìî âëàñíó ˆ ó ðÿä óíêöiþ îïåðàòîðà H X ϕ= Cn (RA , RB , . . .)ϕn (r1 , r2 , . . . ; RA , RB , . . .) n

i ïiäñòàâèìî éîãî â ïîâíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà   ˆ2 2 X P X ˆ p j i  + U  ϕ = Eϕ. + 2Mj 2m j

i≥1

681

Óðàõîâóþ÷è ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ åëåêòðîííî¨ çàäà÷i, ìà¹ìî:    ˆ2 X X X P j Cn ϕn . + Ene Cn ϕn = E   2Mj n

n

j

Äëÿ ñïðîùåííÿ çàïèñó ìè íå âèïèñó¹ìî àð óìåíòè â êîåiöi¹íòíèõ óíêöiÿõ Cn , õâèëüîâèõ óíêöiÿõ ϕn òà åíåð iÿõ Ene . îçïèˆ j = −i~∇j íà øåìî òåïåð ÿâíî äiþ îïåðàòîðiâ iìïóëüñiâ ÿäåð P õâèëüîâi óíêöi¨ ϕn :   ! 2  ˆ 2 X X P i~ ~ ˆ j + ϕn j ∇2j ϕn − ∇j ϕn P + Ene ϕn Cn −   2Mj Mj 2Mj n j

=E

X

Cn ϕn .

n

Ïîìíîæèìî öå ðiâíÿííÿ çëiâà íà ϕ∗n′ i ïðîiíòå ðó¹ìî çà êîîðäèíàòàìè åëåêòðîíiâ r1 , r2 , . . . : ( Z Z Z X X ~2 Z i~ − dr1 dr2 . . . ϕ∗n′ ∇2j ϕn − dr1 dr2 . . . 2Mj Mj n j

) ˆ2 X P ˆ j + δn′ n j ×ϕ∗n′ ∇j ϕn P + Ene δn′ n Cn = E Cn δn′ n . 2Mj n

Ìè âèêîðèñòàëè òóò îðòîíîðìîâàíiñòü óíêöié ϕn : Z Z dr1 dr2 . . . ϕ∗n′ ϕn = δn′ n . Äàëi äëÿ çðó÷íîñòi ìiíÿ¹ìî ìiñöÿìè iíäåêñè n i n′ . Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìàëè òàêó ñèñòåìó ðiâíÿíü:   ˆ2 X P X j  + Ene  Cn + Vˆn,n′ Cn′ = ECn , 2Mj ′ j

682

n

äå îïåðàòîð Z Z Z X ~2 Z i~ ∗ 2 ˆ − Vn,n′ = dr1 dr2 . . . ϕn ∇j ϕn′ − dr1 dr2 . . . 2Mj Mj j

×

ˆj ϕ∗n ∇j ϕn′ P

.

Öÿ ñèñòåìà ðiâíÿíü äëÿ âèçíà÷åííÿ íåâiäîìèõ óíêöié Cn i åíåð i¨ E ¹ òî÷íîþ. ßêùî ðîçãëÿäàòè îïåðàòîð Vˆn,n′ ÿê çáóðåííÿ, òî â íóëüîâîìó, òàê çâàíîìó íàáëèæåííi ÁîðíàÎïïåíãàéìåðà, êîëè Vˆnn′ = 0, ìè îäåðæó¹ìî ñèñòåìó íåçàëåæíèõ ðiâíÿíü:   ˆ2 X P j  + Ene  Cn = ECn . 2Mj j

Ìè áà÷èìî, ùî åëåêòðîííà åíåð iÿ Ene âiäiãðà¹ ðîëü ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ äëÿ ÿäåðíî¨ çàäà÷i. Íàáëèæåííÿ, êîëè âðàõîâóþòüñÿ ëèøå äiàãîíàëüíi ìàòðè÷íi åëåìåíòè Vˆnn îïåðàòîðà çáóðåííÿ, íàçèâàþòü àäiàáàòè÷íèì. iâíîâàæíà êîíi óðàöiÿ ÿäåð R0A , R0B , . . . âèçíà÷à¹òüñÿ ç óìîâè ìiíiìóìó åíåð i¨ Ene . Óðàõóâàííÿ êîëèâíèõ ðóõiâ ÿäåð çäiéñíþ¹òüñÿ ðîçêëàäîì óíêöi¨ Ene = Ene (RA , RB , . . .) ó ðÿä çà âiäõèëåííÿìè ¨õíiõ êîîðäèíàò âiä ðiâíîâàæíèõ ïîëîæåíü uA = RA − R0A , uB = RB − R0B , . . . . ßêùî îáìåæèòèñü êâàäðàòè÷íèìè âiäõèëåííÿìè, òî ìè ïðèõîäèìî äî çàäà÷i äëÿ ñóêóïíîñòi çâ'ÿçàíèõ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ. Òàêà çàäà÷à ðîçâ'ÿçó¹òüñÿ òî÷íî, i äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ ÿäåðíî¨ ïiäñèñòåìè ïðè êîæíîìó íàáîði êâàíòîâèõ ÷èñåë n åëåêòðîííî¨ çàäà÷i ìè îòðèìó¹ìî äîáðå âiäîìi âèðàçè: X ∆E = ~ωns (ns + 1/2), s

∆E = E − Ene (R0A , R0B , . . .),

äå s íóìåðó¹ êîëèâíi ñòóïåíi âiëüíîñòi, à îñöèëÿòîðíi êâàíòîâi ÷èñëà ns = 0, 1, 2, 3, . . . . Êâàäðàòè ÷àñòîò êîëèâàíü ωns âèçíà÷àþòüñÿ çâè÷àéíèì ñïîñîáîì i ¹ ïðîïîðöiéíèìè äî êîíñòàíò æîðñòêîñòi, òîáòî äî äðóãèõ ïîõiäíèõ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ Ene 683

ó ïîëîæåííÿõ ðiâíîâàãè, òà îáåðíåíî ïðîïîðöiéíèìè äî ìàñ àòîìiâ. Óìîâà çàñòîñîâíîñòi àäiàáàòè÷íîãî íàáëèæåííÿ ïîëÿãà¹ â ìàëèçíi ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ îïåðàòîðà çáóðåííÿ Vˆn,n′ ó ïîðiâíÿííi ç ðiçíèöÿìè åëåêòðîííèõ åíåð ié. Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Vˆn,n′ çà ïîðÿäêîì âåëè÷èíè äîðiâíþ¹ åíåð i¨ êîëèâàíü ÿäåð ~ω . Îòæå, àäiàáàòè÷íå íàáëèæåííÿ ïðàöþ¹ çà óìîâè, ùî âiäíîøåííÿ ~ω/E e ¹ ìàëèì ïàðàìåòðîì, äå åëåêòðîííà åíåð iÿ E e ∼ ~2 /ma2 , a p ëiíiéíi ðîçìiðè ìîëåêóëè, ÷àñòîòà ω ∼ k/M , êîåiöi¹íò æîðñòêîñòi k ∼ E e /a2 , M çâåäåíà ìàñà ÿäåð. Òàêèì ÷èíîì, ìè áà÷èìî, ùî ìàëèì ïàðàìåòðîì ó òåîði¨ ìîëåêóë âèñòóïà¹ êîðiíü êâàäðàòp íèé ç âiäíîøåííÿ ìàñè åëåêòðîíà äî ìàñè ÿäðà: ~ω/E e ∼ m/M . Äëÿ îáåðòîâèõ ðóõiâ ìîëåêóëè ìàëèì ïàðàìåòðîì â àäiàáàòè÷íîìó íàáëèæåííi ¹ âiäíîøåííÿ åíåð i¨ îáåðòàííÿ ìîëåêóëè ~2 /I äî âåëè÷èíè E e , òîáòî ~2 /IE e ∼ m/M , äå ìîìåíò iíåðöi¨ I ∼ M a2 . Îñêiëüêè âiäíîøåííÿ m/M ∼ 10−4 , òî àäiàáàòè÷íå íàáëèæåííÿ â òåîði¨ ìîëåêóë ¹ äîáðå îá ðóíòîâàíèì. 87. Ìîëåêóëà âîäíþ H2

îçãëÿíåìî ñèñòåìó, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ åëåêòðîíiâ, ÿêi ðóõàþòüñÿ â ïîëi äâîõ íåðóõîìèõ ÿäåð (ïðîòîíiâ), ðîçòàøîâàíèõ íà âiäñòàíi R = |RA − RB | (äèâ ðèñ. 68). Íà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ ìiæ ÿäðàìè òàêà ñèñòåìà ¹ ïðîñòî äâîìà içîëüîâàíèìè àòîìàìè âîäíþ, à íà ìàëèõ âiäñòàíÿõ ìà¹ìî çâ'ÿçàíèé ñòàí ÷àñòèíîê, ùî óòâîðþþòü ìîëåêóëó âîäíþ H2 . Íàñ öiêàâèòèìå ðîçâ'ÿçîê åëåêòðîííî¨ çàäà÷i äëÿ îñíîâíîãî ñòàíó ìîëåêóëè. Ìè ðîçãëÿíåìî òóò òåîðiþ, ÿêó çàïðîïîíóâàëè â 1927 ðîöi Â. àéòëåð (1904 1981) i Ô. Ëîíäîí (19001954). Öåé ïiäõiä, âiäîìèé òåïåð ÿê ìåòîä àéòëåðàËîíäîíà, ïîêëàâ ïî÷àòîê êâàíòîâié õiìi¨ i âiäiãðàâ âàæëèâó ðîëü â iñòîði¨ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Çàïèøåìî ãàìiëüòîíiàí çàäà÷i

ˆ = HA (1) + HB (2) + Vˆ , H äå ãàìiëüòîíiàí ïåðøîãî åëåêòðîíà íà ÿäði A

HA (1) = 684

ˆ 21 p e2 − , 2m r1A

r1A = r1 − RA ,

èñ. 68.

Ñèñòåìà äâîõ åëåêòðîíiâ ó ïîëi íåðóõîìèõ ÿäåð

A

òà

B.

ãàìiëüòîíiàí äðóãîãî åëåêòðîíà íà ÿäði B

HB (2) =

ˆ 22 p e2 − , 2m r2B

r2B = r2 − RB .

Îïåðàòîð

e2 e2 e2 e2 Vˆ = + − − , r R r1B r2A r = r1 − r2 , R = RA − RB , äå ïåðøèé äîäàíîê ó Vˆ öå åíåð iÿ ìiæåëåêòðîííîãî âiäøòîâõóâàííÿ, äðóãèé åíåð iÿ åëåêòðîñòàòè÷íîãî âiäøòîâõóâàííÿ ÿäåð (â åëåêòðîííié çàäà÷i öå ñòàëà âåëè÷èíà), äâà îñòàííi äîäàíêè îïèñóþòü êóëîíiâñüêå ïðèòÿãàííÿ åëåêòðîíiâ äî ÷óæèõ ÿäåð. Õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíiâ ψ = ψ(x1 , x2 ) çàëåæèòü âiä ïðîñòîðîâèõ i ñïiíîâèõ çìiííèõ x = (s, r) i ¹ àíòèñèìåòðè÷íîþ ùîäî ¨õíüî¨ ïåðåñòàíîâêè. Îñêiëüêè ãàìiëüòîíiàí íå çàëåæèòü âiä ñïiíîâèõ çìiííèõ, òî õâèëüîâà óíêöiÿ çîáðàæà¹òüñÿ äîáóòêîì ñïiíîâî¨ óíêöi¨ íà ïðîñòîðîâó, ψ = χϕ. Ìè öiêàâèìîñü îñíîâíèì ñòàíîì, òîìó â íóëüîâîìó íàáëèæåííi, êîëè Vˆ = 0, ïðîñòîðîâó óíêöiþ 685

ϕ = ϕ(r1 , r2 ) áóäó¹ìî ç õâèëüîâèõ óíêöié, ÿêi ¹ âëàñíèìè óíêˆ A òà H ˆ B . Îòæå, íåõàé ϕ1s (r1A ) òà ϕ1s (r1B ) öiÿìè ãàìiëüòîíiàíiâ H ¹ õâèëüîâèìè óíêöiÿìè, ùî îïèñóþòü åëåêòðîíè â 1s-ñòàíi íà ÿäðàõ A òà B , êîæåí ç ÿêèõ ìà¹ åíåð iþ E1s = −me4 /2~2 : HA (1)ϕ1s (r1A ) = E1s ϕ1s (r1A ), HB (2)ϕ1s (r2B ) = E1s ϕ1s (r2B ). Óòâîðèìî äâî÷àñòèíêîâó óíêöiþ ÿê ñèìåòðèçîâàíèé äîáóòîê öèõ õâèëüîâèõ óíêöié. Òóò, íà âiäìiíó âiä âèïàäêó àòîìà He, ìè ìîæåìî ñèìåòðèçóâàòè óíêöiþ ϕ äâîìà ñïîñîáàìè, îñêiëüêè îäíîåëåêòðîííi óíêöi¨ öåíòðîâàíi íà ðiçíèõ ÿäðàõ. Îòæå,

ϕ = C{ϕ1s (r1A )ϕ1s (r2B ) ± ϕ1s (r2A )ϕ1s (r1B )}, äå ñòàëà C âèçíà÷à¹òüñÿ ç óìîâè íîðìóâàííÿ Z Z ϕ∗ (r1 , r2 )ϕ(r1 , r2 ) dr1 dr2 = 1 i ìà¹ âèãëÿä:

C=p

Âåëè÷èíà

S=

Z

1 2(1 ± S 2 )

.

ϕ1s (r1A )ϕ1s (r1B ) dr1

ìà¹ íàçâó iíòå ðàë ïåðåêðèòòÿ. Çàìiíîþ çìiííèõ iíòå ðóâàííÿ r = r1 − RA (ÿêîáiàí ïåðåõîäó äîðiâíþ¹ îäèíèöi) éîãî ìîæíà çâåñòè äî âèãëÿäó Z S = ϕ1s (r)ϕ1s (r + R) dr.

Iíòå ðàë ïåðåêðèòòÿ çàëåæèòü âiä âiäñòàíi ìiæ ÿäðàìè S = S(R), ïðè÷îìó S(0) = 1, à íà âåëèêèõ ìiæ'ÿäåðíèõ âiäñòàíÿõ S(R) → 0, îñêiëüêè ïåðåêðèâàííÿ õâèëüîâèõ óíêöié ¹ çíèêàþ÷å ìàëèì. Îòæå, 0 ≤ S(R) ≤ 1.

686

Çà äîïîìîãîþ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ϕ çíàõîäèìî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ïîâíîãî ãàìiëüòîíiàíà ñèñòåìè:

ˆ E = hHi.

Ïðîñòi îá÷èñëåííÿ ïðèâîäÿòü íàñ äî òàêîãî ðåçóëüòàòó:

E = 2E1s +

K ±A , 1 ± S2

äå êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë Z Z K = dr1 dr2 ϕ1s (r1A )ϕ1s (r2B )Vˆ ϕ1s (r1A )ϕ1s (r2B ), à îáìiííèé iíòå ðàë Z Z A = dr1 dr2 ϕ1s (r1A )ϕ1s (r2B )Vˆ ϕ1s (r1B )ϕ1s (r2A ).

Öi âåëè÷èíè î÷åâèäíî òàêîæ ¹ óíêöiÿìè ìiæ'ÿäåðíî¨ âiäñòàíi: K = K(R), A = A(R). õ ìîæíà îá÷èñëèòè i äîâåñòè ðåçóëüòàòè äî ÷èñëîâèõ çíà÷åíü. Ìè íå íàâîäèìî òóò öèõ íåñêëàäíèõ, àëå äîâîëi ãðîìiçäêèõ i âèñíàæëèâèõ ðîçðàõóíêiâ. Íàéáiëüøi òðóäíîùi âèíèêàþòü ïðè îá÷èñëåííi îáìiííîãî iíòå ðàëà, ÿêèé íå çâîäèòüñÿ äî åëåìåíòàðíèõ óíêöié. Ïîäà¹ìî îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò: ρ2 −ρ S=e 1+ρ+ , 3 2 e−2ρ 3 2 1 3 5 e = 1+ ρ− ρ − ρ , K aB ρ 8 4 6 2 e 49 11 S2 11 103 6 A + ρ + ρ2 + ρ3 = 1 + (C + ln ρ) + e−2ρ aB ρ 5 8 20 15 15

+

6 S1 [S1 Ei(−4ρ) − 2SEi(−2ρ)], 5 ρ

äå ρ = R/aB , C = 0.57722 ñòàëà Åéëåðà, Z ∞ dy e−y /y Ei(x) = − −x

687

iíòå ðàëüíà ïîêàçíèêîâà óíêöiÿ i

S1 = eρ (1 − ρ + ρ2 /3). Êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë K ¹ ìàëèì ÷èñëîì, i ãîëîâíó ðîëü âiäiãðà¹ îáìiííèé iíòå ðàë, ÿêèé ó äiëÿíöi ìàëèõ R ¹ äîäàòíîþ âåëè÷èíîþ, à ïðè R = a ∼ aB çìiíþ¹ çíàê. Ïðè÷îìó ñóìà K + A äëÿ R > a ¹ âiä'¹ìíîþ âåëè÷èíîþ ç ìiíiìóìîì ó òî÷öi R0 ≃ 1.51aB = 0.80 A, à ðiçíèöÿ K − A ¹ äîäàòíîþ âåëè÷èíîþ äëÿ âñiõ çíà÷åíü R. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ ñèìåòðè÷íî¨ ïðîñòîðîâî¨ óíêöi¨ ϕ ¹ ìîæëèâèì çâ'ÿçàíèé ñòàí ñèñòåìè i òåîðiÿ àéòëåðà Ëîíäîíà äà¹ ÿêiñíèé îïèñ (äèâ. ðèñ. 69). Åêñïåðèìåíòàëüíå çíà÷åííÿ ðiâíîâàæíî¨ âiäñòàíi ìiæ ÿäðàìè R0 = 0.74 A. Äëÿ àíòèñèìåòðè÷íî¨ ïðîñòîðîâî¨ óíêöi¨ çâ'ÿçàíîãî ñòàíó íåìà¹. Òåïåð, ìàþ÷è äîñâiä ç òåîði¨ àòîìà ãåëiþ, ïðèãàäàéìî, ùî ñèìåòðè÷íié ïðîñòîðîâié õâèëüîâié óíêöi¨ ϕ âiäïîâiäà¹ îäíà àíòèñèìåòðè÷íà ñïiíîâà óíêöiÿ, ÿêà îïèñó¹ ñïiíîâèé ñòàí äâîõ åëåêòðîíiâ iç ïîâíèì ñïiíîì, ðiâíèì íóëåâi. Ó öüîìó âèïàäêó ìè ìà¹ìî ñèí ëåòíèé ñòàí, éîãî ïîçíà÷àþòü ÿê 1 Σ. Àíòèñèìåòðè÷íié ïðîñòîðîâié óíêöi¨ ϕ, ÿê ìè çíà¹ìî, âiäïîâiäàþòü òðè ñèìåòðè÷íi ñïiíîâi óíêöi¨, ÿêi îïèñóþòü ñòàí iç ïîâíèì ñïiíîì, ðiâíèì îäèíèöi, i òðüîìà ìîæëèâèìè ïðîåêöiÿìè ñïiíó íà âiñü z òðèïëåòíèé ñòàí 3 Σ. Îòæå, äâà àòîìè âîäíþ, åëåêòðîíè ÿêèõ ìàþòü ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíi ñïiíè, ïðèòÿãóþòüñÿ é óòâîðþþòü ìîëåêóëè. ßêiñíå ïîÿñíåííÿ âèíèêíåííÿ öüîãî õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó äà¹ àíàëiç ðîçïîäiëó ãóñòèíè åëåêòðîíiâ, ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ϕ i çîáðàæåíèé ãðài÷íî íà ðèñ. 69. ßê áà÷èìî, iìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíiâ ïîñåðåäèíi ìiæ ÿäðàìè, êîëè p r1A = r2B , äëÿ ñèìåòðè÷íî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ϕ = 2ϕ21s (r1A )/ 2(1 + S 2 ) ¹ íàéáiëüøîþ. Íàâïàêè, ó âèïàäêó àíòèñèìåòðè÷íîãî ðîçâ'ÿçêó õâèëüîâà óíêöiÿ â öié òî÷öi îáåðòà¹òüñÿ â íóëü, ϕ = 0. Îòæå, â ïåðøîìó âèïàäêó åëåêòðîíè, ðóõàþ÷èñü ó òàêié ñèñòåìi, ÷àñòiøå ïåðåáóâàþòü ìiæ ÿäðàìè i êîìïåíñóþòü ñèëè ¨õ êóëîíiâñüêîãî âiäøòîâõóâàííÿ. Öå i ¹ ïðè÷èíîþ âèíèêíåííÿ çâ'ÿçàíîãî ñòàíó àòîìiâ i óòâîðåííÿ ìîëåêóëè. Àíòèñèìåòðè÷íà õâèëüîâà óíêöiÿ îïèñó¹ òàêèé ðóõ åëåêòðîíiâ, êîëè âîíè ïåðåáóâàþòü ïåðåâàæíî ïîçà äiëÿíêîþ ìiæ ÿäðàìè. Ïðè öüîìó, çðîçóìiëî, ïåðåâàæàþòü ñèëè êóëîíiâñüêîãî âiäøòîâõóâàííÿ ìiæ ÿäðàìè i ìè ìà¹ìî íåçâ'ÿçàíó ñèñòåìó äâîõ àòîìiâ. Âèçíà÷àëüíó ðîëü â óòâîðåííi õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó âiäiãðà¹ ïðèíöèï Ïàóëi, ÿêèé äîçâîëÿ¹ ïåðåáóâà688

èñ. 69.

Åëåêòðîííi òåðìè ìîëåêóëè âîäíþ. Ñóöiëüíi ëiíi¨ òåî∗ = ðiÿ àéòëåðàËîíäîíà äëÿ ñèí ëåòíîãî òà òðèïëåòíîãî ñòàíiâ, E e2 (E − 2E1s )/ 2aB ; øòðèõîâà åêñïåðèìåíò. Íà âñòàâöi çîáðàæåíî ðîçïî1 3 äië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè äëÿ òåðìiâ Σ òà Σ.

òè îáîì åëåêòðîíàì ìiæ ÿäðàìè ëèøå òîäi, êîëè ¨õíi ñïiíè ìàþòü ïðîòèëåæíi íàïðÿìêè i âçà¹ìíî êîìïåíñóþòüñÿ. Ìîëåêóëà âîäíþ ¹ íàéïðîñòiøèì ïðèêëàäîì ãîìåîïîëÿðíî¨ ìîëåêóëè ç òàê çâàíèì êîâàëåíòíèì õiìi÷íèì çâ'ÿçêîì. Ó ãåòåðîïîëÿðíèõ õiìi÷íèõ ñïîëóêàõ ðåàëiçó¹òüñÿ éîííèé çâ'ÿçîê iç ïåðåðîçïîäiëîì åëåêòðîíiâ çîâíiøíèõ îáîëîíîê ìiæ àòîìàìè. Òàêèì ÷èíîì, êâàíòîâà ìåõàíiêà ïîâíiñòþ ç'ÿñóâàëà ïðèðîäó õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó, à ìåòîä àéòëåðàËîíäîíà ¹ îñíîâîþ êâàíòîâî¨ òåîði¨ ãîìåîïîëÿðíî¨ âàëåíòíîñòi, ïiä ÿêîþ ðîçóìiþòü çäàòíiñòü àòîìà îäíîãî åëåìåíòà ñïîëó÷àòèñü iç ïåâíîþ êiëüêiñòþ àòîìiâ iíøèõ åëåìåíòiâ. Ïiäêðåñëèìî, ùî ðîëü ñïiíîâèõ ñòóïåíiâ âiëüíîñòi â óòâîðåííi õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó ïîëÿãà¹ ñàìå â äîçâîëi ïåðåáóâàòè îáîì åëåêòðîíàì ìiæ ÿäðàìè. Ìiæ iíøèì, õiìi÷íèé çâ'ÿçîê ìiæ àòîìàìè ìîæå áóòè ðåàëiçîâàíèé íå ëèøå åëåêòðîíàìè, àëå é iíøèìè ÷àñòèíêàìè, íàïðèêëàä, ìþîíàìè, ÿêùî ¨õíi ñïiíîâi ñòàíè ¹ ðiçíèìè (ìþ-ìåçîííi ìîëåêóëè). Òå, ùî ðîëü ñïiíîâî¨ çìiííî¨ åëåêòðîíà íå ¹ iíøîþ, iëþñòðó¹ iñíóâàííÿ ìîëåêóëÿðíîãî éîíà âîäíþ H+ 2, õiìi÷íèé çâ'ÿçîê ó ÿêîìó çäiéñíþ¹ îäèí åëåêòðîí. Òåîðiþ ìîëåêó44

I. Î. Âàêàð÷óê

689

ëÿðíîãî éîíà âîäíþ H+ 2 ìè ðîçãëÿíåìî â íàñòóïíîìó ïàðàãðài. Âiäñòóï.

Íåìîæëèâiñòü óòâîðåííÿ ìîëåêóëè âîäíþ â òðèïëåòíîìó ñòàíi 3 Σ çíàéøëà öiêàâå çàñòîñóâàííÿ äëÿ ïðÿìîãî åêñïåðèìåíòàëüíîãî äîñëiäæåííÿ íàñëiäêiâ ïðèíöèïó òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê. ßêùî ïîìiñòèòè ñóêóïíiñòü àòîìiâ âîäíþ â ñèëüíå ìàãíiòíå ïîëå, ÿêå, ïîëÿðèçóþ÷è åëåêòðîíè, ñïðÿìîâó¹ ¨õíi ñïiíè âçäîâæ ïîëÿ, òî âîíè íå çìîæóòü óòâîðèòè ìîëåêóë âîäíþ. Õî÷à ñëàáêå ïðèòÿãàííÿ íà âåëèêèõ âiääàëÿõ (∼ 4 A) ìiæ àòîìàìè â öüîìó ñòàíi iñíó¹ ç åíåð i¹þ ∼ 5◦ K (äëÿ ñèí ëåòíîãî ñòàíó åíåð iÿ ïðèòÿãàííÿ ∼ 5.5 × 104◦ K). Âîíî çóìîâëåíå ñèëàìè Âàí äåð Âààëüñà i íå çàáåçïå÷ó¹ çâ'ÿçàíîãî ñòàíó. Îòæå, â öüîìó âèïàäêó ìè îòðèìà¹ìî áîçå-ãàç àòîìiâ âîäíþ, îñêiëüêè ïîâíèé ñïií àòîìà (ïðîòîí ïëþñ åëåêòðîí) â îñíîâíîìó ñòàíi äîðiâíþ¹ íóëåâi. Àòîìàðíèé ïîëÿðèçîâàíèé âîäåíü íå çðiäæó¹òüñÿ íàâiòü ïðè àáñîëþòíîìó íóëi òåìïåðàòóðè, âíàñëiäîê ìàëî¨ ìàñè àòîìà òà âåëèêîãî çíà÷åííÿ åíåð i¨ íóëüîâèõ êîëèâàíü, i ¹ ÿñêðàâèì ïðèêëàäîì êâàíòîâîãî ãàçó. ßê âiäîìî, áîçå-ãàç âèÿâëÿ¹ öiêàâó âëàñòèâiñòü: ó íüîìó ìîæëèâå ÿâèùå áîçå-àéíøòàéíiâñüêî¨ êîíäåíñàöi¨, êîëè ìàêðîñêîïi÷íà êiëüêiñòü àòîìiâ ïåðåáóâà¹ â ñòàíi ç iìïóëüñàìè, ðiâíèìè íóëåâi. Áîçå-êîíäåíñàò ¹ ÷óäîâèì âèÿâîì êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ïðèíöèïó òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê ó ìàêðîñêîïi÷íèõ ìàñøòàáàõ. Öå ÿâèùå äèâó¹ ÿê içèêiâ-òåîðåòèêiâ, òàê i içèêiâ-åêñïåðèìåíòàòîðiâ, ÿêi òðèâàëèé ÷àñ äîñëiäæóþòü éîãî íà òàêèõ ñèñòåìàõ, ÿê ðiäêèé 4 He é àòîìàðíèé ïîëÿðèçîâàíèé âîäåíü. +

88. Ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ H2

îçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî íàéïðîñòiøó ìîëåêóëÿðíó ñèñòåìó, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ ïðîòîíiâ òà åëåêòðîíà, ÿêèé ðóõà¹òüñÿ â ¨õíüîìó ïîëi. Öþ ñèñòåìó ìè âæå ðîçãëÿäàëè, êîëè îáãîâîðþâàëè ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨ (3, Ïðèêëàä 2). Ïðèêëàä öåé öiêàâèé òèì, ùî âií äîçâîëÿ¹ ç äîñèòü ïðîñòèì ìàòåìàòè÷íèì àíàëiçîì ñîðìóëþâàòè ñóòü ãîìåîïîëÿðíîãî çâ'ÿçêó ÿê îáìií îäíèì åëåêòðîíîì ìiæ äâîìà ÿäðàìè âîäíþ. Çàïèøåìî ãàìiëüòîíiàí åëåêòðîííî¨ çàäà÷i

ˆ2 e2 e2 e2 ˆ = p H − − + , 2m |r − RA | |r − RB | R 690

R = RA − RB .

Ïîçíà÷åííÿ î÷åâèäíi: ïåðøèé äîäàíîê îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ åëåêòðîíà, äâà íàñòóïíi êóëîíiâñüêà åíåð iÿ ïðèòÿãàííÿ åëåêòðîíà äî ÿäåð A i B , îñòàííié åíåð iÿ âiäøòîâõóâàííÿ ìiæ ÿäðàìè. Äîñëiäèìî îñíîâíèé ñòàí. Ïðîñòîðîâà õâèëüîâà óíêöiÿ â íóëüîâîìó íàáëèæåííi ¹ ëiíiéíîþ êîìáiíàöi¹þ õâèëüîâèõ óíêöié åëåêòðîíà â |1si-ñòàíi, öåíòðîâàíèõ íà ÿäðàõ A òà B :

ϕ = CA ϕ1s (rA ) + CB ϕ1s (rB ),

ïðè÷îìó

rA = r − RA ,

rB = r − RB ,

|CA |2 + |CB |2 = 1. Çâåðòà¹ìî óâàãó íà òå, ùî ìè ìà¹ìî îäíîåëåêòðîííó çàäà÷ó, òîìó íå ñòàâèìî ïèòàííÿ ïðî ñèìåòðiþ õâèëüîâî¨ óíêöi¨, ÿêà âèïëèâà¹ ç ïðèíöèïó òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê. Îäíàê iñíó¹ ñèìåòðiÿ ùîäî ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíà íà îäíàêîâèõ ÿäðàõ. Iìîâiðíiñòü ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíà íà ïðîòîíi A äîðiâíþ¹ éìîâiðíîñòi éîãî ïåðåáóâàííÿ íà ïðîòîíi B :

|CA |2 = |CB |2 .

Îòæå, CB = ±CA (iíøi ðîçâ'ÿçêè çâîäÿòüñÿ ëèøå äî íåñóòò¹âî¨ çàìiíè çíàêà ïåðåä õâèëüîâîþ óíêöi¹þ). Òàêèì ÷èíîì,

ϕ = C[ϕ1s (rA ) ± ϕ1s (rB )],

à ç óìîâè íîðìóâàííÿ çíàõîäèìî:

C=p

1 2(1 ± S)

,

äå iíòå ðàë ïåðåêðèòòÿ Z Z S = ϕ1s (rA )ϕ1s (rB ) dr = ϕ1s (r)ϕ1s (r + R) dr. Îá÷èñëèìî òåïåð ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ åíåð i¨ â ñòàíi ϕ:

ˆ = E1s + K ± A , E = hHi 1±S 44*

691

äå åíåð iÿ |1si-ñòàíó E1s = −e2 /2aB , êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë 2 Z e2 e − ϕ1s (rA ) dr K = ϕ1s (rA ) R rB

= îáìiííèé iíòå ðàë

A =

e2 − R Z

Z

ϕ21s (r)

ϕ1s (rA )

e2 = S − R

Z

e2 dr, |r + R|

e2 e2 − R rB

ϕ1s (r − R)

ϕ1s (rB ) dr

e2 ϕ1s (r) dr. r

Äðóãi ðiâíîñòi â K òà A îòðèìó¹ìî øëÿõîì çàìiíè çìiííèõ iíòå ðóâàííÿ. îçðàõó¹ìî âåëè÷èíè S, K, A. Ïî÷íåìî ç iíòå ðàëà ïåðåêðèòòÿ. Ñêîðèñòà¹ìîñü ðîçêëàäîì ó ðÿä Ôóð'¹: 1 X ϕq eiqr . ϕ1s (r) = V q

Ôóð'¹-êîìïîíåíòó ϕq çíàõîäèìî ïðîñòèì ïîâòîðåííÿì âèêëàäîê 82, äå îá÷èñëþâàëàñü âiäïîâiäíà êîìïîíåíòà äëÿ óíêöi¨ ϕ21s (r), òîáòî óíêöiÿ ρ1s (q): q κ4 , κ = 1/aB . ϕq = 8 πa3B 2 (q + κ 2 )2 Òåïåð

S =

Z 1 X 1 X ϕq1 ϕq2 eiq1 r eiq2 (r+R) dr V q V q 1

=

2

1 XX ϕq1 ϕq2 eiq2 R δq1 ,−q2 . V q q 1

2

Ìè âèêîðèñòàëè òóò îðòîíîðìîâàíiñòü ïëîñêèõ õâèëü: Z 1 ′ ei(q−q )r dr. δq,q′ = V 692

Îòæå,

S=

1 X |ϕq |2 eiqR . V q

Ïåðåõîäèìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà q äî iíòå ðóâàííÿ: Z 1 V dq eiqR |ϕq |2 S = V (2π)3 Z ∞ 1 sin qR 2 = q |ϕq |2 dq. 2 2π 0 qR

Îñòàííÿ ðiâíiñòü îòðèìàíà iíòå ðóâàííÿì çà êóòàìè, ùî ìè âæå íåîäíîðàçîâî ðîáèëè. Äàëi ìà¹ìî: Z ∞ 1 eiqR q|ϕq |2 dq Im S = 4π 2 R −∞

 q 2 3 κ4 πa 8 B 1  dq = eiqR q  2 Im 2 )2 4π 2 R (q + κ −∞ Z

∞

16κ 5 1 d Im = πR i dR 8κ 5 = Im i 3πR

d − 2 dκ

d dκ 2

3

1 d − 2 dκ 2

Z ∞ dq 1 d eiqR 2 − 2 3 dκ q + κ2 −∞

e−κR d 2πi . dR 2iκ

Îñòàííié iíòå ðàë ðîçðàõîâàíî çà òåîðåìîþ ïðî ëèøêè. Îñòàòî÷íî ïiñëÿ îá÷èñëåííÿ ïîõiäíèõ ìà¹ìî: 1 2 −ρ S = 1+ρ+ ρ e , 3

ρ = R/aB . Ïåðåõîäèìî äî êóëîíiâñüêîãî iíòå ðàëà. Âèêîðèñòà¹ìî çíîâó ðîçêëàä ó ðÿä Ôóð'¹: X 4πe2 e2 = eiq(r+R) . 2 |r + R| V q q 693

Òåïåð

K= äå

ρ1s (q) =

Z

e2 1 X 4πe2 − ρ1s (q)eiqR , R V q q2

ϕ21s (r)eiqr dr =

q04 , (q 2 + q02 )2

q0 =

2 aB

áóëî çíàéäåíî â 82. Ïîâòîðþþ÷è âèêëàäêè, ïðîâåäåíi ïðè îá÷èñëåííi iíòå ðàëà ïåðåêðèòòÿ S , ìà¹ìî:

e2 2e2 − K = R π

Z∞ 0

e2 e2 sin qR ρ1s (q) dq = − Im qR R πR

Z∞

−∞

1 eiqR ρ1s (q) dq q

 ∞  Z∞ iqR  Z eiqR  e2 e2 e = − Im dq + [ρ1s (q) − 1] dq  R πR  q q −∞

−∞

e2 e2 = − R πR

Z∞

−∞

sin qR e2 dq − Im q πR

Z∞

−∞

eiqR q04 − 1 dq. q (q 2 + q02 )2

Îñêiëüêè ïåðøèé iíòå ðàë äîðiâíþ¹ π , çàëèøà¹òüñÿ ëèøå îñòàííié äîäàíîê: Z ∞ e2 q 3 + 2qq02 K = Im eiqR 2 dq πR (q + q02 )2 −∞ Z ∞ q02 1 d 1 e2 iqR + dq Im e = πR i dR −∞ q 2 + q02 (q 2 + q02 )2

=

= 694

e2 1 d Im πR i dR

Z

∞

eiqR 2 dq 2 −∞ q + q0 π −q0 R e2 1 d q0 R −q0 R e2 2 d Im e = 1 − q0 2 1+ e . πR i dR R 2 dq0 q0 1

− q02

d dq02

Òàêèì ÷èíîì, îñòàòî÷íî êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë

e2 (1 + ρ)e−2ρ . R Çâåðíiìîñü äî îá÷èñëåííÿ îáìiííîãî iíòå ðàëà. îçêëàäà¹ìî â ðÿä Ôóð'¹ âåëè÷èíó K=

Îòæå,

e2 1 e2 e−r/aB . ϕ1s (r) = q r r πa3 B 4π 1 X e2 e2 e−r/aB q q = eiqr , 2 2 r V q + κ 3 3 πaB πaB q

1 . aB Äàëi ïåðåòâîðåííÿ, ïîäiáíi äî ïîïåðåäíiõ, äàþòü: 4π e2 1 X iqR e2 e ϕq q A = S − 2 2 R V q πa3B q + κ κ=

Iíòå ðàë

Z

∞

−∞

eiqR

e2 e2 q Im = S − R Rπ πa3B

qϕq dq = q2 + κ2

Z

∞

eiqR

−∞

= −i4κ

4

= −i4κ

4

= iπ

q

q

q

Z

∞

eiqR

−∞

qϕq dq. + κ2

q2

q 8 πa3B κ 4

q × dq q 2 + κ 2 (q 2 + κ 2 )2

πa3B

d dR

πa3B

d dR

d dκ 2 d dκ 2

2 Z 2

∞ −∞

eiqR dq q2 + κ2

π −κR e κ

πa3B e−κR [κR + (κR)2 ]. 695

Îòæå,

e2 A= R

2 2 −ρ 1− ρ e . 3

Çáèðàþ÷è îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ðàçîì, äëÿ åíåð i¨ ìiæ'ÿäåðíî¨ âçà¹ìîäi¨ çíàõîäèìî: −2ρ ± 1 − 2 ρ2 e−ρ (1 + ρ)e 3 , E ∗ (R) = ρ 1 ± 1 + ρ + 31 ρ2 e−ρ ∗

E (R) = (E − E1s )

e2 . aB

Íà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ

2 E ∗ (R) = ∓ ρe−ρ . 3 ðàiê óíêöi¨ E ∗ (R) çîáðàæåíèé íà ðèñ. 70. Äëÿ ñèìåòðè÷íî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ìà¹ìî çâ'ÿçàíèé ñòàí àòîìiâ ìîëåêóëÿðíèé éîí âîäíþ H+ 2 . Äëÿ àíòèñèìåòðè÷íî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨, âíàñëiäîê ìàëî¨ éìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíà ìiæ ÿäðàìè, çâ'ÿçàíèé ñòàí íå ìîæëèâèé. Äëÿ ÿäåð, çàðÿä ÿêèõ Z > 1, îäèí åëåêòðîí òàêîæ íå ñïðîìîæíèé çàáåçïå÷èòè ïîâíó êîìïåíñàöiþ ¨õ êóëîíiâñüêîãî âiäøòîâõóâàííÿ é óòâîðåííÿ ñòiéêîãî çâ'ÿçàíîãî ñòàíó. 89. Õiìi÷íèé çâ'ÿçîê

Ïî÷íåìî äåòàëüíiøå äîñëiäæåííÿ ïðèðîäè òà âëàñòèâîñòåé õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó iç çàïèòàííÿ: ÷îìó íå óòâîðþ¹òüñÿ ìîëåêóëà Í3 ? Äëÿ ¨¨ óòâîðåííÿ ïîòðiáíî çàáåçïå÷èòè ïåðåáóâàííÿ òðüîõ åëåêòðîíiâ ìiæ ÿäðàìè, ùî ïðèâåäå äî êîìïåíñàöi¨ åíåð i¨ ¨õ êóëîíiâñüêîãî âiäøòîâõóâàííÿ é óòâîðåííÿ çâ'ÿçàíîãî ñòàíó òàê, ÿê öå áóëî ïðè óòâîðåííi ìîëåêóëè H2 . Öå îçíà÷à¹, ùî ïðîñòîðîâà õâèëüîâà óíêöiÿ åëåêòðîíiâ ϕ(r1 , r2 , r3 ) ïîâèííà ìàòè ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ â öåíòði òàêî¨ ìîëåêóëè, òîáòî âîíà ìà¹ áóòè ïîâíiñòþ ñèìåòðè÷íîþ óíêöi¹þ êîîðäèíàò r1 , r2 , r3 . Öÿ óìîâà âèìàãà¹ â ñâîþ ÷åðãó, ùîá ñïiíîâà óíêöiÿ áóëà ïîâíiñòþ àíòèñèìåòðè÷íîþ. Îäíàê öå íåìîæëèâî. Óíàñëiäîê òîãî, ùî ñïií åëåêòðîíà 696

∗ ∗ èñ. 70. Åëåêòðîííi òåðìè éîíà âîäíþ H+ 2 . Ñóöiëüíi êðèâi Es (R), Ea (R) âiäïîâiäàþòü çíàêàì ïëþñ òà ìiíóñ ó çàãàëüíié îðìóëi. Øòðèõîâà ∗ Eexp åêñïåðèìåíò.

ëiíiÿ

äîðiâíþ¹ 1/2 i ñïiíîâà çìiííà íàáóâà¹ ëèøå äâà çíà÷åííÿ, òî âèçíà÷íèê òðåòüîãî ïîðÿäêó äëÿ ñïiíîâî¨ óíêöi¨ χσ1 ,σ2 ,σ3 (s1 , s2 , s3 ) òîòîæíî äîðiâíþ¹ íóëåâi. Îòæå, ïðîñòîðîâà óíêöiÿ íå ìîæå áóòè ïîâíiñòþ ñèìåòðè÷íîþ: äëÿ îäíi¹¨ ç ïàð ïðîñòîðîâèõ çìiííèõ âîíà ìóñèòü áóòè àíòèñèìåòðè÷íîþ, à öå îçíà÷à¹, ùî åëåêòðîíè íå ìîæóòü ïåðåáóâàòè â öåíòði ìiæ óñiìà ÿäðàìè i, ÿê íàñëiäîê, òàêà ñèñòåìà ¹ íåñòàáiëüíîþ. Öå i ¹ ïðè÷èíîþ òîãî, ùî ìîëåêóëà H3 íå iñíó¹. Òîáòî êîâàëåíòíèé çâ'ÿçîê, ÿê áà÷èìî, ìà¹ âëàñòèâiñòü íàñè÷åííÿ. Ó íàøîìó ïðèêëàäi öå îçíà÷à¹, ùî äî ìîëåêóëè H2 âæå íå ìîæíà ïiä'¹äíàòè àòîì H i óòâîðèòè ìîëåêóëó H3 . ßêáè åëåêòðîíè ìàëè öiëèé ñïií i áóëè áîçå-÷àñòèíêàìè, òî âëàñòèâiñòü íàñè÷åííÿ êîâàëåíòíîãî çâ'ÿçêó íå ìàëà á ìiñöÿ. ßêùî á åëåêòðîíè âîëîäiëè ñïiíîì, ñêàæiìî, 3/2, òî íàñè÷åíiñòü êîâàëåíòíîãî çâ'ÿçêó áóëà á, àëå âîíà íàñòàëà á äëÿ áiëüøèõ êîìïëåêñiâ, çîêðåìà âèêëàäåíèõ âèùå çàïåðå÷åíü ùîäî iñíóâàííÿ ìîëåêóë H3 íå áóëî á. 697

Ïåðåéäåìî äî iíøî¨ õàðàêòåðèñòèêè õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó éîãî íàïðÿìëåíîñòi. Ïî÷íåìî ç êîíêðåòíîãî ïðèêëàäó óòâîðåííÿ ìîëåêóëè àìiàêó NH3 . Åëåêòðîííà êîíi óðàöiÿ àòîìà àçîòó (ïîðÿäêîâèé íîìåð ó òàáëèöi åëåìåíòiâ äîðiâíþ¹ 7) â îñíîâíîìó ñòàíi ¹ òàêîþ: (1s)2 (2s)2 (2p)3 , òîáòî äâà åëåêòðîíè ïåðåáóâàþòü â 1sñòàíi, äâà åëåêòðîíè â 2s-ñòàíi i òðè åëåêòðîíè â 2p-ñòàíi. Ñàìå öi åëåêòðîíè é âiäïîâiäàþòü çà óòâîðåííÿ õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó â ìîëåêóëi NH3 . Åëåêòðîííi ñòàíè õàðàêòåðèçóþòüñÿ êóòîâèì ðîçïîäiëîì, ÿêèé çàäà¹òüñÿ ñåðè÷íèìè óíêöiÿìè Y1,0 , Y1,1 , Y1,−1 . Çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, ìè ìîæåìî óòâîðèòè ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ öèõ óíêöié i çà âèõiäíi ñòàíè âçÿòè òàêi: r Y1,−1 − Y1,1 3 √ |px i = cos ϕ sin θ, = 4π 2 r Y1,−1 + Y1,1 3 √ = sin ϕ sin θ, |py i = − 4π i 2 r 3 cos θ. |pz i = Y1,0 = 4π Ìè âæå îáãîâîðþâàëè öi óíêöi¨ â 41. Ìàêñèìàëüíi çíà÷åííÿ âîíè íàáóâàþòü ó íàïðÿìêó îñåé x, y, z . Êîæåí åëåêòðîí ó öèõ ñòàíàõ ìîæå óòâîðþâàòè êîâàëåíòíèé çâ'ÿçîê, àáî, ÿê êàæóòü, ñïàðþâàòèñü, ç åëåêòðîíîì iíøîãî àòîìà òàê ñàìî, ÿê öå âiäáóâà¹òüñÿ â ìîëåêóëi âîäíþ.

èñ. 71. 698

Ìîëåêóëà àìiàêó.

Ó ìîëåêóëè àìiàêó NH3 öi òðè p-ñòàíè óòâîðþþòü çâ'ÿçêè ç åëåêòðîíàìè òðüîõ àòîìiâ âîäíþ. Õâèëüîâi óíêöi¨, ùî îïèñóþòü êîâàëåíòíi çâ'ÿçêè, ¹ âiäïîâiäíèìè ëiíiéíèìè êîìáiíàöiÿìè àòîìíèõ óíêöié, ÿê i â ìîëåêóëi âîäíþ. Åëåêòðîííi õìàðè íà öèõ çâ'ÿçêàõ âèòÿãíóòi âçäîâæ äîäàòíèõ íàïðÿìêiâ îñåé x, y, z (äèâ. ðèñ. 71). Ïðè÷îìó, ÿê ïîêàçó¹ äîñâiä, ìîëåêóëà àìiàêó ñïðàâäi ìà¹ îðìó ïiðàìiäè. Îäíàê êóòè ìiæ íàïðÿìêàìè öèõ çâ'ÿçêiâ äîðiâíþþòü íå 90◦ , à äåùî áiëüøi (∼ 107◦ ) âíàñëiäîê ìiæåëåêòðîííîãî âiäøòîâõóâàííÿ. Îòæå, ÿê áà÷èìî, õiìi÷íi çâ'ÿçêè ìàþòü òàêó âëàñòèâiñòü, ÿê ïðîñòîðîâà íàïðÿìëåíiñòü. Òà ÷è iíøà ñòðóêòóðà ìîëåêóëè âëàñíå i âèçíà÷à¹òüñÿ íàïðÿìëåíiñòþ õiìi÷íèõ çâ'ÿçêiâ. Âãàäóâàííÿ âiäïîâiäíî¨ ëiíiéíî¨ êîìáiíàöi¨ õâèëüîâèõ óíêöié ðóíòó¹òüñÿ íà ïîíÿòòi ñèìåòði¨. Ñòiéêiñòü êîíi óðàöi¨ ìîëåêóëè çàáåçïå÷ó¹òüñÿ ìiíiìóìîì ¨¨ ïîâíî¨ åíåð i¨. Òóò çíîâó ïðîñòåæó¹ìî çâ'ÿçîê ìiæ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, ñèìåòði¹þ òà ïðèíöèïîì ìiíiìóìó åíåð i¨. Êiëüêiñòü ìîæëèâèõ çâ'ÿçêiâ, òîáòî íåñïàðåíèõ åëåêòðîíiâ àòîìà, íàçèâàþòü éîãî âàëåíòíiñòþ. Ñàìå ïîíÿòòÿ âàëåíòíîñòi ¹ äîñèòü íå ïðîñòèì. Çîêðåìà, âàëåíòíiñòü ìîæå íàáóâàòè i äðîáîâèõ çíà÷åíü, ÿê íàïðèêëàä äëÿ ðiäêiñíîçåìåëüíèõ åëåìåíòiâ ó ðÿäi ñïîëóê. Ó ìîëåêóëi àçîòó N2 ìà¹ìî ïðèêëàä êðàòíîñòi õiìi÷íèõ çâ'ÿçêiâ. Ïåðåêðèâàííÿ õâèëüîâèõ óíêöié åëåêòðîíiâ ðiçíèõ àòîìiâ àçîòó âçäîâæ îäíîãî ç íàïðÿìêiâ, äå åëåêòðîííi õìàðè âèòÿãíóòi íàçóñòði÷ îäíà îäíié (íàïðèêëàä, öå íàïðÿìîê îñi z ), ¹ ñèëüíèì, ùî äà¹ âåëèêå çíà÷åííÿ îáìiííî¨ åíåð i¨. Öåé çâ'ÿçîê íàçèâàþòü σ -çâ'ÿçêîì. Ó äâîõ iíøèõ íàïðÿìêàõ, ïåðïåíäèêóëÿðíèõ äî σ çâ'ÿçêó, ïåðåêðèâàííÿ õâèëüîâèõ óíêöié ¹ ìåíøèì. Öå ïîâ'ÿçàíî ç òèì, ùî íàïðÿìêè ìàêñèìóìiâ ðîçïîäiëó ãóñòèíè åëåêòðîííèõ õìàð ó öüîìó âèïàäêó (âçäîâæ îñåé x òà y ) ¹ ïàðàëåëüíèìè îäèí äî îäíîãî. Îòæå, öi, ÿê ¨õ íàçèâàþòü, π -çâ'ÿçêè ñëàáøi ïîðiâíÿíî ç σ -çâ'ÿçêîì. Òàêèì ÷èíîì, ó ìîëåêóëi àçîòó îäèí ç ïîòðiéíèõ çâ'ÿçêiâ ¹ ñèëüíèì, äâà iíøi ñëàáøèìè. ×àñòî öå çîáðàæà¹òüñÿ õiìi÷íîþ îðìóëîþ, äå çâ'ÿçîê ïîçíà÷à¹òüñÿ ðèñêîþ (âàëåíòíà ðèñêà): N ≡ N . îçãëÿíüìî ùå ðÿä öiêàâèõ ïðèêëàäiâ ìîëåêóëÿðíèõ óòâîðåíü ç ó÷àñòþ àòîìà âóãëåöþ. Içîëüîâàíèé àòîì âóãëåöþ ìà¹ åëåêòðîííó êîíi óðàöiþ (1s)2 (2s)2 (2p)2 , ÿêà âiäïîâiäà¹ äâîâàëåíòíî699

ìó àòîìó. Îäíàê âóãëåöü ó õiìi÷íèõ ñïîëóêàõ âèÿâëÿ¹ âàëåíòíiñòü, ÿêà äîðiâíþ¹ ÷îòèðüîì. Öå îçíà÷à¹, ùî îäèí iç s-åëåêòðîíiâ âóãëåöþ ïåðåõîäèòü ó çáóäæåíèé p-ñòàí i ìè ìà¹ìî åëåêòðîííó êîíi óðàöiþ (1s)2 (2s)1 (2p)3 , ÿêà äîçâîëÿ¹ îäíîìó s-åëåêòðîíó i òðüîì p-åëåêòðîíàì óòâîðþâàòè õiìi÷íi çâ'ÿçêè. Ïðè÷îìó çáiëüøåííÿ åíåð i¨ àòîìà ïðè ïåðåõîäi åëåêòðîíà iç s-ñòàíó â çáóäæåíèé p-ñòàí êîìïåíñó¹òüñÿ ïîíèæåííÿì ïîâíî¨ åíåð i¨ ïðè óòâîðåííi àòîìàìè õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó â ñïîëóêàõ. Iç öèõ ÷îòèðüîõ óíêöié |si, |px i, |py i, |pz i ìîæíà óòâîðþâàòè ëiíiéíi êîìáiíàöi¨, ÿêi é áóäóòü çàáåçïå÷óâàòè √ ìiíiìóì åíåð i¨ ó ñïîëóêàõ. Íàãàäà¹ìî, ùî |si = Y0,0 = 1/ 4π . Òàêà ïðîöåäóðà íàçèâà¹òüñÿ sp3 ãiáðèäèçàöi¹þ åëåêòðîííèõ ñòàíiâ. Óòâîðèìî öi ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ òàê, ùîá iìîâiðíîñòi ïåðåáóâàííÿ åëåêòðîíà â êîæíîìó ç íîâèõ ñòàíiâ áóëè îäíàêîâèìè. Òóò ïîòðiáíî çðîáèòè çàóâàæåííÿ ïðèíöèïîâîãî õàðàêòåðó. Çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, ìè ïîâèííi óòâîðþâàòè ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ ç ïîâíèõ õâèëüîâèõ óíêöié, à íå ëèøå ç ¨õíiõ êóòîâèõ ñêëàäîâèõ. Òîáòî óíêöi¨ |si, |px i, |py i, |pz i ïîòðiáíî äîìíîæóâàòè íà âiäïîâiäíi ðàäiàëüíi õâèëüîâi óíêöi¨. ßêùî ðàäiàëüíi óíêöi¨ ¹ îäíàêîâèìè (íàïðèêëàä, óòâîðþ¹ìî ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ ëèøå ç p-ñòàíiâ), òî âèíîñèìî ¨õ ÿê ñïiëüíèé ìíîæíèê çà äóæêè, i çàëèøàþòüñÿ ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ òiëüêè ç êóòîâèõ ÷àñòèí Yl,m (θ, ϕ). Íàäàëi, íå ââîäÿ÷è íîâèõ ïîçíà÷åíü, ïiä âåëè÷èíàìè |si, |px i, |py i, |pz i ðîçóìi¹ìî ïîâíi õâèëüîâi óíêöi¨, òîáòî äîáóòîê ¨õ êóòîâèõ ÷àñòèí íà âiäïîâiäíi ðàäiàëüíi óíêöi¨. Íàïðèêëàä, çàìiñòü çàïèñó |2px i ïèøåìî ïðîñòî |px i i ïàì'ÿòà¹ìî, ùî öå ¹ äîáóòîê âèïèñàíî¨ âèùå ëiíiéíî¨ êîìáiíàöi¨ ñåðè÷íèõ óíêöié Y1,−1 (θ, ϕ) òà Y1,1 (θ, ϕ) íà ðàäiàëüíó óíêöiþ R2,1 (r). Ïiñëÿ öèõ çàóâàæåíü ïåðåõîäèìî äî óòâîðåííÿ ãiáðèäèçàöiéíèõ ñòàíiâ. Íàïðèêëàä, ïåðøèé íîâèé ñòàí |1i = C |si + |px i + |py i + |pz i . Óíàñëiäîê òîãî, ùî s- òà p-ñòàíè ¹ îðòîãîíàëüíèìè ìiæ ñîáîþ,

700

hs|px i = 0,

hpx |py i = 0,

hs|py i = 0,

hpx |pz i = 0,

hs|pz i = 0,

hpy |pz i = 0,

ç óìîâè íîðìóâàííÿ h1|1i = 1 çíàõîäèìî C = 1/2. Íàñòóïíó óíêöiþ |2i ïiäáåðåìî òàê, ùîá âîíà ìàëà òi æ âëàñòèâîñòi é áóëà îðòîãîíàëüíîþ äî |1i:

|2i =

1 |si − |px i − |py i + |pz i . 2

Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî h1|2i = 0. Íàñòóïíi äâi óíêöi¨ |3i òà |4i çíàéäåìî, âèêîðèñòîâóþ÷è äâi ìîæëèâîñòi: ïåðøèé ðàç ïîìiíÿ¹ìî ìiñöÿìè çíàê + ïåðåä |pz i iç çíàêîì − ïåðåä |py i, à äðóãèé ðàç iç çíàêîì − ïåðåä |px i. Îñòàòî÷íî ÷îòèðè îðòîíîðìîâàíèõ ñòàíè ìàþòü òàêèé âèãëÿä:

|1i = |2i = |3i = |4i =

1 |si + |px i + |py i + |pz i , 2 1 |si − |px i − |py i + |pz i , 2 1 |si − |px i + |py i − |pz i , 2 1 |si + |px i − |py i − |pz i . 2

Âèçíà÷èìî íàïðÿìêè çâ'ÿçêiâ, ùî óòâîðþþòüñÿ íà áàçi öèõ ñòàíiâ. Îñêiëüêè |si-ñòàí ¹ ñåðè÷íî-ñèìåòðè÷íèì, òî íàïðÿìêè âèçíà÷àþòüñÿ çíàêàìè áiëÿ |pi-ñòàíiâ. Ïåðøèé ñòàí |1i õàðàêòåðèçóþòüñÿ ìàêñèìóìîì ó íàïðÿìêó äiàãîíàëi ïåðøîãî îêòàíòà, óòâîðåíîãî îñÿìè (x, y, z), äðóãèé ñòàí |2i ó íàïðÿìêó äiàãîíàëi îêòàíòà, ùî óòâîðåíèé îñÿìè (−x, −y, z). Ñòàí |3i íàïðÿìëåíèé óçäîâæ äiàãîíàëi îêòàíòà (−x, y, −z), à ñòàí |4i ïî äiàãîíàëi îêòàíòà (x, −y, −z). Ìàêñèìóìè ðîçïîäiëó åëåêòðîííèõ õìàð óòâîðþþòü òåòðàåäðè÷íó ñòðóêòóðó. Òîáòî ÿêùî â öåíòð òåòðàåäðà ïîìiñòèòè àòîì âóãëåöþ, òî ìàêñèìóìè ãóñòèí åëåêòðîííèõ õìàð íàïðÿìëåíi äî âåðøèí òåòðàåäðà. Òîìó ÷îòèðè õâèëüîâi óíêöi¨ |1i, |2i, |3i, |4i íàçèâàþòü òåòðàåäíèìè îðáiòàëÿìè. ßêùî ïiä'¹äíàòè äî êîæíîãî ç ÷îòèðüîõ åëåêòðîíiâ íà öèõ îðáiòàëÿõ ïî åëåêòðîíó âiä àòîìiâ âîäíþ, òî îòðèìà¹ìî ìîëåêóëó ìåòàíó CH4 (äèâ. ðèñ. 72). Òàêó æ ñòðóêòóðó ìàþòü ìîëåêóëè CCl4 òà C(CH3 )4 . Öi æ îðáiòàëi óòâîðþþòü õiìi÷íèé çâ'ÿçîê ó ìîëåêóëàõ ðåîíó. Îñ701

êiëüêè òóò íàñ öiêàâèòü ïèòàííÿ íàïðÿìëåíîñòi õiìi÷íèõ çâ'ÿçêiâ, òî ðàäiàëüíèé ðîçïîäië íå îáãîâîðþ¹ìî.

èñ. 72.

Ìîëåêóëà ìåòàíó.

Iíøi ëiíiéíi êîìáiíàöi¨ |si- òà |pi-ñòàíiâ ìiíiìiçóþòü åíåð iþ â ìîëåêóëi åòèëåíó C2 H4 . Öþ ìîëåêóëó ìè âæå äîñëiäæóâàëè ïiä ÷àñ âèâ÷åííÿ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ â Ïðèêëàäi 3 ç 3. ×èòà÷åâi êîðèñíî áóäå ïîâåðíóòèñü äî íüîãî. Â åòèëåíi ãiáðèäèçó¹òüñÿ |si- òà ëèøå äâi |pi-îðáiòàëi, à íå òðè, ÿê öå áóëî â ïîïåðåäíüîìó âèïàäêó. Íåõàé öå áóäóòü |px i- òà |py i-îðáiòàëi. Óòâîðèìî ç íèõ òà ç |si-îðáiòàëi òðè íîâi óíêöi¨, ÿêi îïèñóþòü ðîçïîäië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè ç ìàêñèìóìàìè â ïëîùèíi xOy i óòâîðþþòü ìiæ ñîáîþ êóòè â 120◦ , ÿê çîáðàæåíî íà ðèñ. 73. Óòâîðèìî ñòàíè çãiäíî ç ðèñóíêîì: |1i = A C1 |si + |px i ,

|2i = B C2 |si − |px i cos 60◦ + |py i cos 30◦ , |3i = C C3 |si − |px i cos 60◦ − |py i cos 30◦ .

Ç óðàõóâàííÿì óìîâ íîðìóâàííÿ öèõ óíêöié

h1|1i = 1, 702

h2|2i = 1,

h3|3i = 1

èñ. 73. sp2 -ãiáðèäèçàöiÿ â ìîëåêóëi

åòèëåíó.

îòðèìà¹ìî âèðàçè äëÿ ñòàëèõ íîðìóâàííÿ A, B , C ÷åðåç C1 , C2 , C3 : 1 C1 |si + |px i , |1i = p 2 C1 + 1 ! √ 1 1 3 |2i = p 2 C2 |si − |px i + |py i , 2 2 C2 + 1

|3i =

p

1

C32 + 1

! √ 3 1 |py i . C3 |si − |px i − 2 2

Íå âòðà÷àþ÷è çàãàëüíîñòi ðîçãëÿäó, óâàæà¹ìî C1 , C2 , C3 äiéñíèìè âåëè÷èíàìè. Íàêëàäåìî íà öi ñòàíè óìîâè îðòîãîíàëüíîñòi:

h1|2i = 0,

h1|3i = 0,

h2|3i = 0.

Iç öèõ óìîâ ëåãêî îäåðæó¹ìî âiäïîâiäíi ðiâíÿííÿ äëÿ âåëè÷èí C1 , C2 , C3 :

C1 C2 −

1 = 0, 2 703

C1 C3 −

1 = 0, 2

2 1 − C2 C3 + 2

√ !2 3 = 0. 2

Iç ïåðøèõ äâîõ ðiâíÿíü öi¹¨ ñèñòåìè çíàõîäèìî, ùî C√2 = C3 , ç îñòàííiõ äâîõ C1 = C2 . Îòæå, C1 = C2 = C3 = ±1/ 2. Ôiêñó¹ìî çíàê +. Îñòàòî÷íî, ïðè¹äíóþ÷è ñòàí |4i = |pz i, îòðèìó¹ìî îðáiòàëi sp2 -ãiáðèäèçàöi¨: r 1 2 √ |si + |px i , |1i = 3 2 ! r √ 3 1 2 1 √ |si − |px i + |2i = |py i , 3 2 2 2

|3i =

r

2 3

! √ 3 1 1 √ |si − |px i − |py i , 2 2 2

|4i = |pz i. Ïåðøi òðè îðáiòàëi ëåæàòü ó ïëîùèíi, ùî ¹ ïåðïåíäèêóëÿðíîþ äî íàïðÿìêó îðáiòàëi |4i. Ïðè óòâîðåííi ìîëåêóëè C2 H4 àòîìè âîäíþ ïiä'¹äíóþòüñÿ äî îðáiòàëåé |2i, |3i àòîìiâ âóãëåöþ. Îðáiòàëi |1i àòîìiâ âóãëåöþ ñèëüíî ïåðåêðèâàþòüñÿ i óòâîðþþòü σ -çâ'ÿçîê. Ïåðåêðèòòÿ ñòàíiâ |4i óòâîðþ¹ π -çâ'ÿçîê ìiæ àòîìàìè. Ñàìå òàêèé íàáið îðáiòàëåé ìiíiìiçó¹ åíåð iþ öi¹¨ ìîëåêóëè, ùî é ïîÿñíþ¹ ¨¨ ïðîñòîðîâó ñòðóêòóðó. Ïðèêëàäîì ïîòðiéíîãî çâ'ÿçêó ìiæ àòîìàìè, êðiì ðîçãëÿíóòîãî âèùå â ìîëåêóëi N2 , ¹ ìîëåêóëà àöåòèëåíó C2 H2 , ñòðóêòóðíà îðìóëà òàêà:

H − C ≡ C − H. Ó öüîìó âèïàäêó ìà¹ìî sp-ãiáðèäèçàöiþ, êîëè óòâîðþ¹òüñÿ ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ ç õâèëüîâèõ óíêöié |si- òà îäíîãî ç |pi-ñòàíiâ. 704

Íåõàé öå áóäå |px i-ñòàí. Ëåãêî çíàõîäèìî ÷îòèðè îðòîíîðìîâàíi îðáiòàëi: 1 |1i = √ |si + |px i , 2 1 |2i = √ |si − |px i , 2

|3i = |py i, |4i = |pz i. Ñòàí |1i ìà¹ ìàêñèìóì ðîçïîäiëó åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè â äîäàòíîìó íàïðÿìêó îñi x, ñòàí |2i ó âiä'¹ìíîìó. Ïðè óòâîðåííi ìîëåêóëè C2 H2 àòîìè âîäíþ âñòóïàþòü ó çâ'ÿçîê ç àòîìàìè âóãëåöþ ÷åðåç ñòàíè |2i. Ñòàíè |1i àòîìiâ âóãëåöþ, ïåðåêðèâàþ÷èñü, óòâîðþþòü ñèëüíèé σ -çâ'ÿçîê, à ïåðïåíäèêóëÿðíi äî íüîãî äâà π -çâ'ÿçêè óòâîðåíi ïåðåêðèòòÿì ñòàíiâ |3i òà |4i îäíîãî ç àòîìiâ âóãëåöþ iç öèìè æ ñòàíàìè iíøîãî àòîìà âóãëåöþ. Òàêi öiêàâi ìîëåêóëè, ÿê áåíçîë, áóòàäi¹í òà iíøi, ìè ðîçãëÿäàëè â ïîïåðåäíiõ ðîçäiëàõ òà ïðèêëàäàõ äî íèõ. Òåïåð ÷èòà÷åâi áóëî á ïîâ÷àëüíî ïîâåðíóòèñü äî öèõ ïðèêëàäiâ. Õàðàêòåðè îäèíàðíèõ òà ïîäâiéíèõ çâ'ÿçêiâ ó íèõ ¹ òàêèìè æ, ÿê ó ùîéíî ðîçãëÿíóòèõ ìîëåêóëàõ. Íà öüîìó ìè çàâåðøèìî àíàëiç âëàñòèâîñòåé õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó. Çàçíà÷èìî ëèøå, ùî iñíóþòü é iíøi òèïè ìiæàòîìíèõ çâ'ÿçêiâ. Éîííèé çâ'ÿçîê ìiæ àòîìàìè ðåàëiçó¹òüñÿ, êîëè ðîçïîäië åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè â ñèñòåìi âiäïîâiäà¹ ïåðåõîäîâi åëåêòðîíà âiä îäíîãî àòîìà äî iíøîãî. Âií óòâîðþ¹òüñÿ âíàñëiäîê êóëîíiâñüêîãî ïðèòÿãàííÿ ìiæ ðiçíîéìåííèìè éîíàìè. Ïðèêëàäîì öüîãî ¹ ìîëåêóëà êóõîííî¨ ñîëi NaCl. Óçàãàëi êàæó÷è, ðiçêó ìåæó ìiæ êîâàëåíòíèì òà éîííèì çâ'ÿçêîì óñòàíîâèòè íåìîæëèâî. Çàâæäè ¹ äåÿêèé ñòóïiíü éîííîñòi çâ'ÿçêó, ÿêèé, ìiæ iíøèì, âèìiðþþòü ñïåêòðàëüíèì ìåòîäîì, ùî ðóíòó¹òüñÿ íà ÿâèùi ÿäåðíîãî êâàäðóïîëüíîãî ðåçîíàíñó (äèâ. 38). Ó ìåòàëàõ çâ'ÿçîê ìiæ éîíàìè, ÿêi çàíóðåíi â åëåêòðîííó ðiäèíó (åëåêòðîííèé ãàç), ¹ ïðèêëàäîì ìåòàëi÷íîãî òèïó çâ'ÿçêó. Òóò êóëîíiâñüêå âiäøòîâõóâàííÿ ìiæ éîíàìè íà äåÿêèõ õàðàêòåðíèõ âiäñòàíÿõ êîìïåíñó¹òüñÿ ñèëàìè ïðèòÿãàííÿ, ÿêi âèíèêàþòü 45

I. Î. Âàêàð÷óê

705

óíàñëiäîê ¨õ åêðàíóâàííÿ åëåêòðîííîþ ðiäèíîþ. Öå åêðàíóâàííÿ ¹ êîëåêòèâíèì áàãàòî÷àñòèíêîâèì ååêòîì i çàëåæèòü âiä ãóñòèíè åëåêòðîííî¨ ïiäñèñòåìè, à õàðàêòåðíi âiäñòàíi i ¹ òèìè ðiâíîâàæíèìè ìiæéîííèìè âiäñòàíÿìè, ÿêi ðåàëiçóþòüñÿ â êðèñòàëi÷íèõ, àìîðíèõ òà ðiäêèõ ìåòàëàõ. Âàíäåðâààëüñiâñüêèé òèï çâ'ÿçêó ìiæ àòîìàìè ìè ðîçãëÿíåìî äîêëàäíî â íàñòóïíîìó ïàðàãðài. Ùå îäèí òèï çâ'ÿçêó âîäíåâèé. Ïðèêëàäîì ðå÷îâèíè, äå âií ðåàëiçó¹òüñÿ, ¹ âîäà. Ó ìîëåêóëi H2 O ÷àñòèíà åëåêòðîííî¨ õìàðè âîäíþ çìiùåíà äî êèñíþ i òàêèì ÷èíîì ÷àñòêîâî îãîëåíèé ïðîòîí ìîæå ïðèòÿãóâàòèñü äî åëåêòðîíå àòèâíîãî êèñíþ iíøî¨ ìîëåêóëè. Âîäíåâèé çâ'ÿçîê ìà¹ îñîáëèâî âåëèêå çíà÷åííÿ â õiìi¨ áiëêà i ïðîöåñàõ îáìiíó â æèâèõ îðãàíiçìàõ. 90. Ñèëè Âàí äåð Âààëüñà

îçãëÿíüìî äâà íåéòðàëüíi àòîìè A i B iç çàðÿäàìè ÿäåð ZA i ZB . àìiëüòîíiàí òàêî¨ ñèñòåìè ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè ãàìiëüòîíiàíiâ ˆ A òà H ˆ B òà åíåð i¨ êóëîíiâñüêî¨ âçà¹ìîäi¨ U içîëüîâàíèõ àòîìiâ H ÿäðà òà åëåêòðîíiâ àòîìà A ç óñiìà ÷àñòèíêàìè àòîìà B : Z

ˆ U

=

Z

A X B X e2 ZA ZB e2 + |RA − RB | |RA + rAi − RB − rBj |

i=1 j=1

−

ZA X i=1

Z

B X ZB e2 ZA e2 − . |RA + rAi − RB | |RA − RB − rBj |

j=1

Òóò RA , RB êîîðäèíàòè ÿäåð àòîìiâ A òà B ; rAi , rBj ðàäióñâåêòîðè i-ãî åëåêòðîíà àòîìà A i j -ãî åëåêòðîíà àòîìà B âiäíîñíî ñâî¨õ ÿäåð: rAi = ri − RA , rBj = rj − RB . Åëåêòðîíè â àòîìi A íóìåðó¹ìî iíäåêñîì i, à â àòîìi B iíäåêñîì j . Ïåðøèé äîäàíîê ˆ çîáðàæà¹ åíåð iþ êóëîíiâñüêîãî âiäøòîâõóâàííÿ â îïåðàòîði U ìiæ ÿäðàìè. Äðóãèé äîäàíîê öå åíåð iÿ âiäøòîâõóâàííÿ ìiæ åëåêòðîíàìè àòîìà A òà åëåêòðîíàìè àòîìà B . Òðåòié äîäàíîê ¹ åíåð i¹þ ïðèòÿãàííÿ åëåêòðîíiâ àòîìà A ÿäðîì àòîìà B . Íàðåøòi îñòàííié äîäàíîê öå åíåð iÿ ïðèòÿãàííÿ åëåêòðîíiâ àòîìà B ˆ îïèñó¹ åíåð iþ ìiæàÿäðîì àòîìà A. Òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîð U òîìíî¨ âçà¹ìîäi¨. 706

Ìè ïîñòàâèìî ñîái çà ìåòó ðîçðàõóâàòè åíåð iþ âçà¹ìîäi¨ ìiæ àòîìàìè çàëåæíî âiä âiäñòàíi ìiæ íèìè. Áóäåìî ðîçãëÿäàòè îïåˆ ÿê çáóðåííÿ, óâàæàþ÷è ãàìiëüòîíiàíîì íóëüîâî¨ çàäà÷i ðàòîð U Â + H ˆ B , à õâèëüîâîþ óíêöi¹þ íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ îïåðàòîð H äîáóòîê õâèëüîâèõ óíêöié àòîìiâ A òà B . Çíàéäåìî ïîïðàâêè äî åíåð ié àòîìiâ ìåòîäîì ñòàíäàðòíî¨ òåîði¨ çáóðåíü. Ñïî÷àòêó ˆ . Âèêîðèñòîâóçðîáèìî äåÿêi ïðîñòi ïåðåòâîðåííÿ â îïåðàòîði U þ÷è îïåðàòîð çìiùåííÿ, çàïèøåìî âèðàç ïiä ñóìàìè â äðóãîìó ˆ òàê: äîäàíêó â U

erAi ∇ e−rBj ∇

1 1 = , R |R + rAi − rBj |

äå ðàäióñ-âåêòîð ìiæàòîìíî¨ âçà¹ìîäi¨ R = RA −RB , à â îïåðàòîði ðàäi¹íòà ïîõiäíi áåðóòüñÿ çà êîìïîíåíòàìè âåêòîðà R. Ïîäiáíî ˆ . Ó ðåçóëüòàòi âèïèñó¹ìî é íàñòóïíi äîäàíêè îïåðàòîðà U

ˆ= U

ZA X ZB X i=1 j=1

e2 (erAi ∇ − 1) e−rBj ∇ − 1 . R

ßêùî ââåñòè îïåðàòîðè çàðÿäiâ

Â = e Q

ZA X i=1

(erAi ∇ − 1) ,

òîäi âèðàç äëÿ åíåð i¨ ìiæàòîìíî¨ âçà¹ìîäi¨ íàáóâà¹ êîìïàêòíîãî âèãëÿäó ˆ =Q ˆ AQ ˆ+ 1 . U BR ˆ A, Q ˆ B ïîÔîðìàëüíèé ðîçêëàä åêñïîíåíòè â ðÿä ó âèðàçàõ äëÿ Q ðîäæó¹ îïåðàòîðè äèïîëüíèõ, êâàäðóïîëüíèõ i âèùèõ ìóëüòèïîëüíèõ ìîìåíòiâ: ˆ A = (dA ∇) + · · · , Q äå îïåðàòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòó A

d =e

ZA X

rAi .

i=1

45*

707

Âèïèøåìî òåïåð ðÿä òåîði¨ çáóðåíü äëÿ ïîâíî¨ åíåð i¨ àòîìiâ, ùî çíàõîäÿòüñÿ â îñíîâíîìó ñòàíi:

E = E (0) + E (1) + E (2) + · · · .

Åíåð iÿ íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè åíåð ié îñíîâíèõ ñòàíiâ àòîìiâ E0A òà E0B :

E (0) = E0A + E0B . Ïåðøà ïîïðàâêà

E (1) = h0|Uˆ |0i

ðîçðàõîâó¹òüñÿ íà õâèëüîâié óíêöi¨ íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ îñíîâíîãî ñòàíó ñèñòåìè |0i = |0A i|0B i, äå |0A i, |0B i õâèëüîâi óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó içîëüîâàíèõ àòîìiâ. Óíàñëiäîê òîãî, ùî ñåðåäíi çíà÷åííÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòó àòîìà â îñíîâíîìó ñòàíi äîðiâíþþòü íóëåâi h0A |dA |0A i = 0, h0B |dB |0B i = 0, òî ïåðøà ïîïðàâêà E (1) = 0. Òîìó íåîáõiäíî ðîçðàõóâàòè äðóãó ïîïðàâêó. Âèïèøåìî äëÿ íå¨ çàãàëüíèé âèðàç:

En(2) =

X

|Umn |2

(0)

(0)

m(n6=m) En − Em

,

òóò n = (nA , nB ), m = (mA , mB ) êâàíòîâi ÷èñëà, ùî íóìåðóþòü ñòàíè ñèñòåìè äâîõ àòîìiâ, äå nA , mA òà nB , mB êâàíòîâi ÷èñëà ˆ. äëÿ içîëüîâàíèõ àòîìiâ, Umn ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà U Äðóãà ïîïðàâêà äëÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó, ÿêùî â ÿâíié îðìi ðîçïèñàòè ìàòðè÷íèé åëåìåíò

ˆ |0i = hmA |Q ˆ A |0A ihmB |Q ˆ + |0B i 1 , Um0 = hm|U B R ìà¹ òàêèé âèãëÿä: (2)

E0 =

ˆ A |0A ihmB |Q ˆ + |0B i 1 |2 X |hmA |Q B R . A − EA + EB − EB E m m 0 0 A B m ,m A

B

Îñêiëüêè ðiçíèöÿ åíåð ié, ÿêà âõîäèòü ó çíàìåííèê âèðàçó äëÿ ìà¹ âiä'¹ìíèé çíàê:

(2) E0 ,

(0)

(0) A B E0 − Em = E0A − Em + E0B − Em < 0, A B

708

òî äðóãà ïîïðàâêà äî åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó ¹ âiä'¹ìíîþ âåëè÷èíîþ. Öå îçíà÷à¹, ùî âçà¹ìîäiÿ ìiæ àòîìàìè, ÿêà îïèñó¹òüñÿ (2) ïîïðàâêîþ E0 , ìà¹ õàðàêòåð ïðèòÿãàííÿ. îçãëÿíüìî âèïàäîê, êîëè áåðåìî äî óâàãè ëèøå äèïîëüíèé ìîìåíò â îïåðàòîðàõ çàðÿäiâ:

ˆ A |0A i = hmA |dA |0A i∇, hmA |Q

ˆ + |0B i = −hmB |dB |0B i∇. hmB |Q B

Ó öüîìó íàáëèæåííi ïiñëÿ ïðîñòèõ îá÷èñëåíü îòðèìà¹ìî

E (2) = − const =

const , R6

2 B B A X 3 dA mA ,0 n dmB ,0 n − dmA ,0 dmB ,0

mA ,mB

A dA mA ,0 = hmA |d |0A i,

A − EA + EB − EB Em mB 0 0 A

,

B dB mB ,0 = hmB |d |0B i,

äå îäèíè÷íèé âåêòîð n = R/R, ïðè÷îìó const > 0. Çíàéäåíèé âèðàç äëÿ åíåð i¨ ìiæàòîìíîãî ïðèòÿãàííÿ íàçèâàþòü åíåð i¹þ âàíäåðâààëüñiâñüêî¨ âçà¹ìîäi¨. ßê áà÷èìî, íà ïðîòèâàãó îáìiííèì âçà¹ìîäiÿì, ñèëè ïðèòÿãàííÿ Âàí äåð Âààëüñà, ùî, çà îçíà÷åííÿì, äîðiâíþþòü ðàäi¹íòîâi âiä E (2) , âçÿòîìó çi çíàêîì −, ñïàäàþòü çà ñòåïåíåâèì çàêîíîì ∼ 1/R7 . Âîíè ïðèâîäÿòü äî âèíèêíåííÿ âiä'¹ìíèõ çíà÷åíü íà êðèâèõ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ ìiæ àòîìàìè, ÿêi íå óòâîðþþòü ñòiéêèõ ìîëåêóë. Öi ïîòåíöiàëüíi ÿìè ¹ ìiëêèìè i ðîçòàøîâàíi íà âiääàëÿõ, ÿêi ¹ çíà÷íî áiëüøèìè, íiæ ìiæàòîìíi âiäñòàíi â ñòiéêèõ ìîëåêóëàõ. Çîêðåìà äëÿ àòîìàðíîãî ïîëÿðèçîâàíîãî âîäíþ, ïðî ÿêèé éøëîñÿ ó âiäñòóïi äî 87, ïîòåíöiàëüíà ÿìà ãëèáèíîþ ∼ 5◦ K ðîçòàøîâàíà íà âiäñòàíi ìiæ àòîìàìè ∼ 4 A. Çíàéäåìî îöiíêó çâåðõó i çíèçó âåëè÷èíè const äëÿ âçà¹ìîäi¨ ìiæ äâîìà àòîìàìè âîäíþ. Äëÿ öüîãî çíàìåííèê ó âèðàçi äëÿ const çàìiíèìî éîãî íàéìåíøèì çíà÷åííÿì 3e2 /4aB i íàéáiëüøèì e2 /aB . Ïðè öüîìó ÷èñåëüíèê ïiñëÿ ïiäñóìîâóâàííÿ çà ïðîìiæíèìè ñòàíàìè çãîðòà¹òüñÿ äî ñåðåäíüîãî çà îñíîâíèì ñòàíîì âiä êâàäðàòà âåëè÷èíè [3(dA n)(dB n) − (dA dB )]. ßêùî ñïðÿìóâàòè âiñü z óçäîâæ n, òî öå ñåðåäí¹ äîðiâíþ¹ e4 h(2zA zB − xA xB − 2 ihz 2 i + hx2 ihx2 i + hy 2 ihy 2 i) = 6e2 a4 , îñêiëüêè yA yB )2 i = e4 (4hzA B A B A B B 2 2 hxA i = . . . = hzB i = a2B . Îòæå, ìà¹ìî 6e2 a5B < const < 8e2 a5B . 709

Òî÷íèé ðîçðàõóíîê äà¹: const ≃ 6.5e2 a5B . Äëÿ äâîõ àòîìiâ ãåëiþ const ≃ 1.6e2 a5B . Çàçíà÷èìî, ùî ñàìå ñèëè Âàí äåð Âààëüñà ¹ âiäïîâiäàëüíèìè çà ñêðàïëåííÿ ãàçó ç íåéòðàëüíèõ àòîìiâ i óòâîðåííÿ ñòiéêîãî ðiâíîâàæíîãî ðiäêîãî ñòàíó ç âiä'¹ìíèì çíà÷åííÿì ïîâíî¨ åíåð i¨. Âàæëèâèì âèïàäêîì ìiæàòîìíî¨ âçà¹ìîäi¨ ¹ òàê çâàíà ðåçîíàíñíà âçà¹ìîäiÿ. Âîíà âèíèêà¹ â ñèñòåìi îäíàêîâèõ àòîìiâ, ÷àñòèíà ç ÿêèõ ïåðåáóâà¹ â îñíîâíîìó, à ÷àñòèíà â çáóäæåíîìó ñòàíàõ. Äëÿ âèïàäêó äâîõ àòîìiâ, îäèí ç ÿêèõ ¹ â îñíîâíîìó ñòàíi ψ0 , à iíøèé ó çáóäæåíîìó ψn , õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè ψ(1, 2), óíàñëiäîê âèðîäæåííÿ, ¹ â íóëüîâîìó íàáëèæåííi ëiíiéíîþ êîìáiíàöi¹þ äîáóòêiâ õâèëüîâèõ óíêöié:

1 ψ(1, 2) = √ [ψ0 (1)ψn (2) ± ψ0 (2)ψn (1)]. 2 Ó öüîìó âèïàäêó ïîïðàâêà äî åíåð i¨ íóëüîâîãî íàáëèæåííÿ âèíèêà¹ âæå â ïåðøîìó ïîðÿäêó òåîði¨ çáóðåíü, i îòæå, âîíà ¹ ïðîïîðöiéíîþ äî 1/R3 , à íå äî 1/R6 , ÿê äëÿ ñèë Âàí äåð Âààëüñà. 91. Áîçå-ðiäèíà

Äîñëiäèìî êâàíòîâi ñòàíè áàãàòî÷àñòèíêîâî¨ ñèñòåìè, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ ç N òîòîæíèõ áåçñïiíîâèõ áîçå-÷àñòèíîê ìàñè m êîæíà i ç äåêàðòîâèìè êîîðäèíàòàìè r1 , . . . , rN â îá'¹ìi V . àìiëüòîíiàí òàêî¨ ñèñòåìè äîðiâíþ¹ ñóìi êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ âñiõ ÷àñòèíîê òà ¨õ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨, ÿêó âiçüìåìî ÿê ñóìó åíåð ié ïîïàðíèõ ìiæ÷àñòèíêîâèõ âçà¹ìîäié Φ(|ri − rj |), (i, j) = 1, . . . , N :

ˆ = H

N X ˆ 2j p j=1

2m

+

X

1≤i<j≤N

Φ(|ri − rj |),

ˆ j = −i~∇j îïåðàòîð iìïóëüñó j -î¨ ÷àñòèíêè. Íà îñíîâi öi¹¨ òóò p ìîäåëi âèâ÷àþòü âëàñòèâîñòi òàêî¨ áàãàòîáîçîííî¨ ñèñòåìè ÿê ðiäêèé 4 He. iäêèé ãåëié êâàíòîâà ðiäèíà, ÿêà ¹ öiêàâèì îá'¹êòîì içè÷íèõ äîñëiäæåíü, îñêiëüêè òóò êâàíòîâîìåõàíi÷íi ïðèíöèïè, ùî âèçíà÷àþòü ïîâåäiíêó ÷àñòèíîê ìiêðîñâiòó, ÿñêðàâî âèÿâëÿþòü ñåáå â ìàêðîñêîïi÷íèõ ìàñøòàáàõ. Êâàíòîâîìåõàíi÷íi çàêîíîìiðíîñòi ñòàþòü âèçíà÷àëüíèìè, ÿêùî äîâæèíà õâèëi äå Áðîé710

ëÿ ñïiâìiðíà i áiëüøà çà õàðàêòåðíi ïðîñòîðîâi ìàñøòàáè, ÿêèìè â ðiäèíi ¹ ñåðåäíÿ âiäñòàíü ìiæ ÷àñòèíêàìè. iäêèé 4 He ¹ áîçå-ðiäèíîþ, îñêiëüêè éîãî àòîìè áîçå÷àñòèíêè. iäêèé 3 He ¹ åðìi-ðiäèíîþ, òîìó ùî éîãî àòîìè åðìiîíè. Âëàñòèâîñòi öèõ ðiäèí ðàäèêàëüíî âiäðiçíÿþòüñÿ ìiæ ñîáîþ. Äàëi ìîâà éòèìå ñàìå ïðî 4 He. Öÿ óíiêàëüíà áîçå-ðiäèíà âèÿâëÿ¹ ïðè íèçüêèõ òåìïåðàòóðàõ íåçâè÷àéíó çäàòíiñòü ïðîòiêàòè êðiçü òîíêi êàïiëÿðè áåç òåðòÿ òàê çâàíå ÿâèùå íàäïëèííîñòi, ùî ¹ ïðÿìèì íàñëiäêîì êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ïðèíöèïó òîòîæíîñòi ÷àñòèíîê. Öå ÿâèùå, ÿê i áàãàòî iíøèõ öiêàâèõ âëàñòèâîñòåé ðiäêîãî 4 He, ìîæíà âèâ÷àòè, ÿêùî çíàéòè éîãî åíåð åòè÷íèé ñïåêòð òà õâèëüîâi óíêöi¨. Îòæå, íàøèì çàâäàííÿì ¹ ðîçâ'ÿçàòè ñòàöiîíàðíå ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç öèì ãàìiëüòîíiàíîì, òîáòî çíàéòè éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨. Ç öi¹þ ìåòîþ ðîçêëàäåìî äâî÷àñòèíêîâó ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ â ðÿä Ôóð'¹:

Φ(|ri − rj |) = νk =

Z

1 X ν0 1 X νk eik(ri −rj ) = νk eik(ri −rj ) , + V V V k6=0

k

e−ikR Φ(R) dR,

i çàïèøåìî ãàìiëüòîíiàí íàøî¨ ñèñòåìè òàê:

ˆ = H

X p ˆ 2j N (N − 1) N X + ν0 + νk (ρk ρ−k − 1), 2m 2V 2V j=1

k6=0

äå âåëè÷èíà N 1 X −ikrj e , ρk = √ N j=1

k 6= 0

¹ êîåiöi¹íòîì Ôóð'¹ ëþêòóàöi¨ ãóñòèíè ÷àñòèíîê. Ñïðàâäi, çà îçíà÷åííÿì, ãóñòèíà ÷àñòèíîê ñèñòåìè â äåÿêié òî÷öi ïðîñòîðó r

n(r) =

N X j=1

δ(r − rj ), 711

à ñåðåäíÿ ãóñòèíà äîðiâíþ¹ N/V . Îòæå, ëþêòóàöiÿ ãóñòèíè ÷àñòèíîê ∆n(r) = n(r) − N/V , à ¨¨ êîåiöi¹íò Ôóð'¹

Z

∆nk =

dr e

N X

=

−ikr

j=1

∆n(r) =

N Z X

−ikr

e

j=1

e−ikrj − N δk,0 =

√ N ρk ,

1 δ(r − rj ) − dr V

k 6= 0,

i î÷åâèäíî, ∆nk = 0, k = 0. ßê ìè çíà¹ìî, õâèëüîâi óíêöi¨ ñèñòåìè òîòîæíèõ áîçå÷àñòèíîê ¹ ñèìåòðè÷íèìè óíêöiÿìè ñòîñîâíî ïåðåñòàíîâîê ¨õ êîîðäèíàò (r1 , . . . , rN ). Áà÷èìî, ùî âåëè÷èíè ρk òàêîæ ¹ ñèìåòðè÷íèìè ùîäî öèõ ïåðåñòàíîâîê. Öå íàøòîâõó¹ íà äóìêó âçÿòè âåëè÷èíè ρk çà çìiííi, âiä ÿêèõ çàëåæàòèìóòü õâèëüîâi óíêöi¨ ñèñòåìè, i îòæå, ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà íå ïîòðåáóâàòèìóòü äîäàòêîâî¨ îïåðàöi¨ ñèìåòðèçàöi¨ ìè ç ñàìîãî ïî÷àòêó áóäåìî çíàõîäèòè ¨õ íà êëàñi ñèìåòðè÷íèõ óíêöié. Êðiì òîãî, ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ ìà¹ êâàäðàòè÷íó çàëåæíiñòü âiä çìiííèõ ρk i ìîæíà î÷iêóâàòè, ùî â ρk -ïðåäñòàâëåííi ìè áóäåìî ìàòè ãàìiëüòîíiàí ñóêóïíîñòi îñöèëÿòîðiâ, ùî çíà÷íî ñïðîñòèòü ðîçâ'ÿçîê ïîñòàâëåíî¨ çàäà÷i. ˆ ÷åðåç Çàïèñàòè îïåðàòîð êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨ â ãàìiëüòîíiàíi H çìiííi ρk , òîáòî ïåðåéòè äî ρk -ïðåäñòàâëåííÿ, íåñêëàäíî. Ñïðàâäi, çà ñòàíäàðòíîþ ñõåìîþ ïåðåõîäèìî âiä äèåðåíöiþâàííÿ çà çìiííèìè (r1 , . . . , rN ) äî äèåðåíöiþâàííÿ çà ρk i ìà¹ìî

∇j =

X

(∇j ρk )

k6=0

k6=0

∇2j = ∇j =− 712

X

X ike−ikrj ∂ ∂ √ =− , ∂ρk N ∂ρk

(∇j ρk )

k6=0

X ik2 e−ikrj ∂ X ike−ikrj ∂ ∂ √ √ =− − ∇j ∂ρk N ∂ρk N ∂ρk k6=0

k6=0

X X (kk′ ) X k2 e−ikrj ∂ ′ ∂2 √ √ e−i(k+k )rj − , ∂ρk ∂ρk ∂ρk′ N N ′ k6=0 k 6=0 k6=0

àáî, âèäiëÿþ÷è ÷ëåíè ç k + k′ = 0 îêðåìî, çíàõîäèìî

∇2j = − −

X k2 1 X 2 ∂2 ∂ √ e−ikrj + k ∂ρk N ∂ρk ∂ρ−k N k6=0 k6=0

X X (kk′ ) ∂2 ′ . e−i(k+k )rj N ∂ρk ∂ρk′ ′

k6=0 k 6=0 k+k′ 6=0

ˆ i áåðó÷è äî óâàãè îçíàÏiäñòàâëÿþ÷è öåé âèðàç ó ãàìiëüòîíiàí H ÷åííÿ âåëè÷èíè ρk , ìà¹ìî: XX 2 X ~2 k2 ∂2 ∂2 ∂ ~ (kk′ ) ˆ √ ρk+k′ H= − ρk + 2m ∂ρk ∂ρk ∂ρ−k ∂ρk ∂ρk′ 2m N ′ k6=0

+

k6=0 k 6=0 k+k′ 6=0

N (N − 1) N X ν0 + νk (ρk ρ−k − 1). 2V 2V k6=0

Ïåðøå, ùî âïàäà¹ òóò ó âi÷i, öå òå, ùî ãàìiëüòîíiàí ó ρk ïðåäñòàâëåííi ¹ íååðìiòîâèì ïåðøèé äîäàíîê ó ïåðøèõ êðóãëèõ äóæêàõ. Öå é íå äèâíî, îñêiëüêè ïåðåõiä âiä äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò (r1 , . . . , rN ) äî çìiííèõ ρk íå ¹ óíiòàðíèì. Öå î÷åâèäíî õî÷à á ç òîãî, ùî êiëüêiñòü äåêàðòîâèõ çìiííèõ äîðiâíþ¹ DN (D âèìiðíiñòü ïðîñòîðó), à êiëüêiñòü ρk -çìiííèõ ¹ áåçìåæíîþ, òîìó ùî, ÿê ìè çíà¹ìî, êîæíà ç êîìïîíåíò âåêòîðà k (ÿêèé íóìåðó¹ âåëè÷èíè ρk ) ïåðåáiãà¹ áåçìåæíó êiëüêiñòü çíà÷åíü, êðàòíèõ äî 2π/L, LD = V . Îòæå, ñåðåä çìiííèõ ρk ¹ çàéâi. Âèâ÷èìî äîêëàäíiøå öå ïèòàííÿ8 . Íàñàìïåðåä, ÿê âèäíî ç îçíà÷åííÿ, çìiííi ρk ¹ êîìïëåêñíèìè âåëè÷èíàìè:

ρk = ρck − iρsk ,

N 1 X cos(krj ), ρck = √ N j=1

N 1 X ρsk = √ sin(krj ), N j=0

8 Óïåðøå öåé ìåòîä çàéâèõ çìiííèõ çàñòîñóâàëè äî ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà Ì. Áîãîëþáîâ i Ä. Çóáàð¹â ó 1955 ðîöi (ÆÝÒÔ, 1955, 28, ñ. 129).

713

ïðè÷îìó ¨õíi √ √ äiéñíi òà óÿâíi ÷àñòèíè çìiíþþòüñÿ â ìåæàõ âiä (− N ) äî N . Äàëi, îñêiëüêè ìà¹ìî óìîâó, ùî ρ∗k = ρ−k , òîáòî ρck = ρc−k , ρsk = −ρs−k , òî çìiííi ç ïåâíèì çíà÷åííÿì iíäåêñó k çáiãàþòüñÿ ç òî÷íiñòþ äî çíàêà çi çìiííèìè, ÿêi ìàþòü iíäåêñ (−k). Öå îçíà÷à¹, ùî ïîòðiáíî âðàõîâóâàòè ëèøå âåëè÷èíè ρk ç iíäåêñàìè k ç ïiâïðîñòîðó ¨õ ìîæëèâèõ çíà÷åíü. Àëå é öèõ çìiííèõ çàáàãàòî. Òîìó ïåðåõiä äî ρk -ïðåäñòàâëåííÿ ïîâèíåí âiäáóâàòèñü iç äåÿêîþ âàãîâîþ óíêöi¹þ J , ùî çàëåæèòü âiä âåëè÷èí ρk i ååêòèâíî çìåíøóâàòèìå äî ïîòðiáíîãî ðiâíÿ ðîëü çàéâèõ çìiííèõ ρRk , çîêðåìà R çðîáèòü ðiâíèìè îá'¹ìè êîíiãóðàöiéíîãî ïðîñòîðó dr1 . . . drN = V N òà ρk -ïðîñòîðó: √

√

VN =

N Y′ Z

k6=0

dρck

√ − N

ZN

dρsk J,

√ − N

iíòå ðóâàííÿ òóò âiäáóâà¹òüñÿ çà äiéñíèìè é óÿâíèìè ÷àñòèíàìè âåëè÷èí ρk , ïðè÷îìó äî óâàãè áåðåìî ëèøå ïiâïðîñòið çíà÷åíü k, ùî é ïîçíà÷åíî øòðèõîì íàä ñèìâîëîì äîáóòêó çà k. Ìîæåìî ãîâîðèòè ïðî óíêöiþ J ÿê ïðî ÿêîáiàí ïåðåõîäó âiä ñóêóïíîñòi äåêàðòîâèõ êîîðäèíàò (r1 , . . . , rN ) äî ñóêóïíîñòi ρk -çìiííèõ. Õâèëüîâi óíêöi¨ íàøî¨ ñèñòåìè ψ â ρk -ïðåäñòàâëåííi òàêîæ íîðìóþòüñÿ ç âàãîþ: √

N Y′ Z

k6=0

√

dρck

√ − N

ZN

dρsk J|ψ|2 = 1.

√ − N

Óâåäåìî òåïåð øðåäèí åðiâñüêi õâèëüîâi óíêöi¨, ÿêi íîðìó¹ìî âæå áåç âàãîâî¨ óíêöi¨, òîáòî ñïðàâæíi õâèëüîâi óíêöi¨ (äèâ. 2) √ ψ¯ = ψ J, √

N Y′ Z

k6=0

√ − N

√

dρck

ZN

√ − N

¯ 2 = 1. dρsk |ψ|

Äëÿ öèõ íîâèõ óíêöié ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà,

¯ ˆ −1/2 ψ¯ = EJ −1/2 ψ, HJ 714

ïiñëÿ ìíîæåííÿ çëiâà íà J 1/2 ¹ òàêèì:

¯ ˆ ′ ψ¯ = E ψ, H äå íîâèé ãàìiëüòîíiàí

ˆ ′ = J 1/2 H ˆ Jˆ−1/2 H âæå ïîâèíåí áóòè åðìiòîâèì ó çâè÷àéíîìó ñåíñi. Ïðèíàãiäíî çàóâàæèìî, ùî òàêó æ ïðîöåäóðó åðìiòèçàöi¨ ãàìiëüòîíiàíà ÷àñòèíêè ó ïðåäñòàâëåííi ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò ìè çàñòîñóâàëè â ïðèˆ ′ i ïîïóòíî îá÷èñëåíî êëàäi äî 39, äå çíàéäåíî ãàìiëüòîíiàí H ÿêîáiàí ïåðåõîäó âiä äåêàðòîâèõ äî ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò. ˆ , ïðîñòèìè ïåÁåðó÷è äî óâàãè ρk -ïðåäñòàâëåííÿ îïåðàòîðà H ˆ ′: ðåòâîðåííÿìè çíàõîäèìî ÿâíèé âèãëÿä ãàìiëüòîíiàíà H

ˆ′ = H

X ~2 k2

k6=0

−

× +

2m

−

1 ∂ ln J ∂ ln J 4 ∂ρk ∂ρ−k "

∂2 1 ∂ ln J 1 ∂ 2 ln J − ρk + ∂ρk ∂ρ−k 2 ∂ρk 2 ∂ρk ∂ρ−k !

+

X X ~2 (kk′ ) √ ρk+k′ 2m N k6=0 k′ 6=0 k+k′ 6=0

1 ∂ 2 ln J 1 ∂ ln J ∂ ln J ∂2 − + ∂ρk ρk′ 2 ∂ρk ∂ρk′ 4 ∂ρk ∂ρk′

#

ˆ + ∆K

N (N − 1) N X ν0 + νk (ρk ρ−k − 1), 2V 2V k6=0

äå íååðìiòîâà ÷àñòèíà ãàìiëüòîíiàíà, ÿêà ïîðîäæåíà îïåðàòîðîì êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨, # " X X ~2 ∂ ln J ∂ 1 ∂ ln J ′ 2 ˆ = (kk )ρk+k′ ∆K . k ρk + −√ ′ 2m ∂ρ−k ∂ρ ∂ρ N k k k6=0 k6=0 k+k′ 6=0

ˆ ′ áóâ åðìiòîâèì, ïîêëàäåìî ∆K ˆ = Äëÿ òîãî, ùîá ãàìiëüòîíiàí H 0 i çâiäñè çíàéäåìî ðiâíÿííÿ, ÿêå ïîâèííà çàäîâîëüíÿòè âàãîâà 715

óíêöiÿ J :

ρk +

1 ∂ ln J −√ ∂ρ−k N

X (kk′ ) ∂ ln J = 0. ρk+k′ 2 k ∂ρk′ ′

k 6=0 k+k′ 6=0

àçîì iç âèïèñàíîþ âèùå óìîâîþ ðiâíîñòi îá'¹ìiâ êîíiãóðàöiéíîãî ïðîñòîðó òà ρk -ïðîñòîðó (óìîâà íîðìóâàííÿ äëÿ J ) öå ðiâíÿííÿ ïîâíiñòþ âèçíà÷à¹ âàãîâó óíêöiþ J . Çíàéäåíå ðiâíÿííÿ äëÿ ln J äà¹ çìîãó çíà÷íî ñïðîñòèòè ãàìiˆ ′ . Ñïðàâäi, âðàõîâó¹ìî â H ˆ ′ äðóãèé i òðåòié äîäàíêè ó ëüòîíiàí H êâàäðàòíèõ äóæêàõ ïiä çíàêîì äâîõ ñóì çà k òà k′ é âèêîíó¹ìî ïðîñòi âïðàâè: X X ~2 (kk′ ) 1 ∂ 2 ln J 1 ∂ ln J ∂ ln J √ ρk+k′ − 4 ∂ρk ∂ρk′ 2 ∂ρk ∂ρk′ 2m N ′ k6=0 k 6=0 k+k′ 6=0

=

X 1 ∂ ln J

k6=0

4 ∂ρk

1 ∂ − 2 ∂ρk

X 2 ∂ ln J ~ (kk′ ) √ ρk+k′ ∂ρ′k 2m N k6=0 k+k′ 6=0

X ~2 k2 1 ∂ ln J 1 ∂ ∂ ln J − ρk + = 2m 4 ∂ρk 2 ∂ρk ∂ρ−k k6=0

X ~2 k2 1 ∂ ln J ∂ ln J 1 1 ∂ 2 ln J ρk + − − . = 2m 4 ∂ρk ∂ρ−k 2 2 ∂ρk ρ−k k6=0

Äðóãà ðiâíiñòü òóò îòðèìàíà çàâäÿêè ðiâíÿííþ äëÿ ln J . Ïiäñòàâˆ ′ , áà÷èìî, ùî áàãàòî äîäàíêiâ âçà¹ìíî ñêîëÿþ÷è öåé âèðàç ó H ðî÷óþòüñÿ i â ðåçóëüòàòi: X ~2 k2 1 ∂ ln J 1 ∂2 ′ ˆ − ρk − − H = 2m ∂ρk ∂ρ−k 4 ∂ρk 2 k

+

X X ~2 (kk′ ) ∂2 √ ρk+k′ ∂ρk ∂ρk′ 2m N k6=0 k′ 6=0 k+k′ 6=0

716

+

N X N (N − 1) ν0 + νk (ρk ρ−k − 1). 2V 2V k6=0

Áóäåìî ðîçâ'ÿçóâàòè ðiâíÿííÿ äëÿ J ìåòîäîì ïîñëiäîâíèõ íàáëèæåíü, îðìàëüíî ïðèéìàþ÷è, ùî îñòàííié ÷ëåí ó íüîìó iç ñóìîþ çà k′ ¹ ïðîïîðöiéíèì äåÿêîìó ìàëîìó ïàðàìåòðîâi. Â íóëüîâîìó íàáëèæåííi ìà¹ìî:

ρk +

∂ ln J = 0. ∂ρ−k

Çâiäñè, iíòå ðóþ÷è, îäåðæó¹ìî

ln J = ln C −

1X ρq ρ−q , 2 q6=0

C ñòàëà, ÿêó ïîòðiáíî çíàéòè ç óìîâè íîðìóâàííÿ äëÿ J . Ó íàñòóïíîìó íàáëèæåííi ïiäñòàâëÿ¹ìî öåé âèðàç ln J â îñòàííié äîäàíîê âèõiäíîãî ðiâíÿííÿ i çíàõîäèìî ρk +

1 ∂ ln J +√ ∂ρ−k N

X (kk′ ) ρk+k′ ρ−k′ = 0. k2 ′

k 6=0 k+k′ 6=0

Íåõèòðèìè ïåðåòâîðåííÿìè ëåãêî ïîêàçàòè, ùî îñòàííié äîäàíîê:

1 √ N

X (kk′ ) 1 X X ρq1 ρq2 . ρk+k′ ρ−k′ = − √ 2 k 2 N ′

k 6=0 k+k′ 6=0

q1 6=0 q2 6=0 q1 +q2 =k

Ñïðàâäi, ÿêùî â íüîìó çðîáèòè çàìiíó çìiííî¨ ïiäñóìîâóâàííÿ k′ íà k′′ = −k − k′ i çàóâàæèòè, ùî îñêiëüêè (kk′ )/k2 = −k(k + k′′ )/k2 = −1−(kk′′ )/k2 , òî âií ðîçïàäà¹òüñÿ íà äâà äîäàíêè, ç ÿêèõ äðóãèé çíîâó äîðiâíþ¹ âèõiäíîìó âèðàçó çi çíàêîì ìiíóñ. Çâiäñè (ç ïåðåïîçíà÷åííÿìè k′ = −q1 , k′′ = −q2 ) i âèïëèâà¹ âèïèñàíà ðiâíiñòü. Öüîãî ðåçóëüòàòó ìîæíà äîñÿãíóòè ùå é òàê:

1 √ N

X (kk′ ) 1 X X (kq2 ) ′ ρ−k′ = − √ ρ ρq1 ρq2 k+k k2 k2 N ′

k 6=0 k+k′ 6=0

q1 6=0 q2 6=0 q1 +q2 =k

717

1 X X 1 (kq1 ) (kq2 ) =√ + ρq1 ρq2 , k2 k2 N q 6=0 q 6=0 2 1

2

q1 +q2 =k

ïåðøà ðiâíiñòü òóò öå î÷åâèäíi ïåðåîçíà÷åííÿ, à äðóãó îòðèìó¹ìî ÿê ïiâñóìó ñèìåòðèçîâàíîãî çà q1 òà q2 âèðàçó. Îñêiëüêè êâàäðàòíà äóæêà äîðiâíþ¹ îäèíèöi, âíàñëiäîê òîãî, ùî q1 + q2 = k, òî ìè çíîâó îòðèìó¹ìî ïîïåðåäíþ îðìóëó. Ïiäñòàâëÿþ÷è ¨¨ â ðiâíÿííÿ äëÿ ln J òà iíòå ðóþ÷è éîãî, ìà¹ìî:

ln J = ln C −

X X X 1 1X √ ρq ρ−q + ρq1 ρq2 ρq3 . 2 2 · 3 N q 6=0 q 6=0 q 6=0 q6=0 1

2

3

q1 +q2 +q3 =0

Ïðîäîâæóþ÷è öåé iòåðàöiéíèé ïðîöåñ iç âèêîðèñòàííÿì íàøîãî ñèìåòðèçàöiéíîãî òðþêó, îñòàòî÷íî çíàõîäèìî9 :

ln J = ln C +

X X (−)n−1 √ ... ρq1 . . . ρqn . n−2 n(n − 1)( N ) n≥2 q 6=0 qn 6=0 X

1

q1 +...+qn =0

ßêùî çâiäñè ln J ïiäñòàâèòè â îñòàííié âèðàç äëÿ ãàìiëüòîíiˆ ′ , òî îñòàòî÷íî çíàõîäèìî éîãî ÿâíèé âèãëÿä: àíà H

ˆ′ = H ˆ 0′ + ∆H ˆ ′, H äå

ˆ′ = H 0

X ~2 k2 1 1 ∂2 + ρk ρ−k − − 2m ∂ρk ρ−k 4 2

k6=0

+

N (N − 1) N X ν0 + νk (ρk ρ−k − 1), 2V 2V k6=0

9 Öiêàâî, ùî öåé ðÿä íåâàæêî îðìàëüíî ïiäñóìóâàòè (çàïèñóþ÷è óìîâó q1 + . . . + qn = 0 iíòå ðàëüíèì çîáðàæåííÿì ñèìâîëó Êðîíåêåðà) i ïîäàòè éîãî êîìïàêòíèì âèðàçîì. Çàëèøà¹ìî öå ÷èòà÷àì.

718

ˆ′ = ∆H

X X ~2 (kk′ ) ∂2 √ ρk+k′ ∂ρk ∂ρk′ 2m N k6=0 k′ 6=0 k+k′ 6=0

+

X X ~2 (−)n √ ... (k2 + . . . kn2 )ρk1 . . . ρkn . n−2 2m 1 4n(n − 1)( N) n≥3 k 6=0 kn 6=0 X

1

k1 +...+kn =0

ˆ ′ ¹, ÿê ìè é î÷iêóâàëè, ãàìiëüòîíiàíîì áåçìåæíî¨ ñóÎïåðàòîð H 0 êóïíîñòi íåçâ'ÿçàíèõ ìiæ ñîáîþ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ, ÿêi îïèˆ ′ ïðåäñóþòü êîëèâàííÿ ãóñòèíè ÷àñòèíîê ñèñòåìè. Îïåðàòîð ∆H ñòàâëÿ¹ âíåñîê âiä àíãàðìîíi÷íîñòi öèõ êîëèâàíü, ïðè÷îìó, ÿêùî äðóãèé äîäàíîê ó íüîìó çâè÷íi íàì êóái÷íi òà âèùi àíãàðìîíiçìè, òî ïåðøèé ¹ ñâî¹ðiäíèì àíãàðìîíiçìîì, îñêiëüêè âií êâàäðàòè÷íèé çà iìïóëüñàìè ∂/∂ρk i ëiíiéíèé çà êîîðäèíàòàìè ρk . Íàäàëi çîñåðåäèìî íàøó óâàãó íà îá÷èñëåííi âëàñíèõ çíà÷åíü ˆ ′ , à îïåðàòîð àíãàðìîíiçìiâ i âëàñíèõ óíêöié ãàìiëüòîíiàíà H 0 ′ ˆ ∆H íå áóäåìî áðàòè äî óâàãè. Âíåñîê àíãàðìîíi÷íèõ ÷ëåíiâ ìîæíà ðîçðàõîâóâàòè ìåòîäàìè ñòàíäàðòíî¨ òåîði¨ çáóðåíü. îçâ'ÿçîê ˆ ′ ëåãêî çíàéäåìî, êîðèñòóþ÷èñü ðåçóëüçàäà÷i ç ãàìiëüòîíiàíîì H 0 òàòàìè 21, 22. Ñèòóàöiÿ àíàëîãi÷íà äî ïðîöåäóðè êâàíòóâàííÿ âiëüíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ. Ó çâ'ÿçêó ç öèì ðîáèìî ëèøå âiäïîâiäíi ïåðåïîçíà÷åííÿ i âðàõîâó¹ìî, ùî àêòóàëüíèìè çìiíàìè ¹ âåëè÷èíè ρck òà ρsk , iíäåêñè ÿêèõ íàáóâàþòü çíà÷åíü ëèøå ç ïiâïðîñòîðó âñiõ ìîæëèâèõ çíà÷åíü k. Äàëi, îñêiëüêè ρk = ρck − iρsk ,

òî

1 ρck = (ρk + ρ−k ), 2 1 ∂ ∂ ∂ = +i s , ∂ρk 2 ∂ρck ∂ρk

ρ−k = ρck + iρsk , i ρsk = (ρk − ρ−k ), 2 1 ∂ ∂ ∂ = −i s ∂ρ−k 2 ∂ρck ∂ρk

i ãàìiëüòîíiàí 2 2 2 X′ ~2 k2 ∂ 2 N ∂ ~ k s2 ′ c2 ˆ0 = H + νk (ρk + ρk ) − + s2 + 4m ∂ρc2 4m V ∂ρk k k6=0

719

+

X N (N − 1) ν0 − 2V

k6=0

~2 k2 N + νk , 4m 2V

øòðèõ áiëÿ ïåðøî¨ ñóìè çà k îçíà÷à¹, ùî ïiäñóìîâóâàííÿ çà k éäå ëèøå â ïiâïðîñòîði çíà÷åíü k. Óâåäåìî òåïåð ÷àñòîòó îñöèëÿòîðà ωk òà éîãî ìàñó mk òàêi, ùîá ìíîæíèêè áiëÿ êâàäðàòiâ çìiííèõ òà äðóãèõ ïîõiäíèõ âiäïîâiäàëè ãàðìîíi÷íîìó îñöèëÿòîðîâi

mk ωk2 2

=

~2 k2 N + νk , 4m V

~2 2mk

=

~2 k2 . 4m

Çâiäñè

mk = 2m/k2 ,

ωk =

~k2 2m

αk ,

v , u u ~2 k2 2N αk = t1 + νk . V 2m

Ïðîäîâæóþ÷è àíàëîãiþ ç ãàðìîíi÷íèì îñöèëÿòîðîì, óâåäåìî çíåðîçìiðåíó êîîðäèíàòó ,s √ ~ ξ k = ρk = αk ρk , mk ω k

ˆ′: ÷åðåç ÿêó é çàïèøåìî ãàìiëüòîíiàí H 0 X 2 X′ ′ ∂ ∂2 ′ c2 s2 ˆ ~ωk − c2 + ξk + H0 = ~ωk − s2 + ξk ∂ξk ∂ξk k6=0

+

k6=0

X N (N − 1) ν0 − 2V

k6=0

N ~2 k2 + νk . 4m 2V

Ìà¹ìî ãàìiëüòîíiàí äâîõ áåçìåæíèõ ñóêóïíîñòåé ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ àáî îäíó ñóêóïíiñòü äâîâèìiðíèõ îñöèëÿòîðiâ (öå âiäïîâiäà¹ äiéñíié òà óÿâíié ÷àñòèíàì ρk ). Óâåäåìî òåïåð äâà ñîðòè îïåðàòîðiâ ïîðîäæåííÿ i çíèùåííÿ, ÿê öå áóëî çðîáëåíî â 22, ˆb+ = √1 ξ µ − dµ , ˆbk,µ = √1 ξ µ + dµ , k,µ 2 k dξk 2 k dξk 720

µ = (c, s) ç ïåðåñòàâíèìè ñïiââiäíîøåííÿìè ˆbk,µˆb+ − ˆb+ ˆbk,µ = 1, k,µ k,µ à âñi ðåøòà ìîæëèâi êîìóòàòîðè äîðiâíþþòü íóëåâi. àìiëüòîíiàí X′ X 1 + ′ ˆ ˆ ˆ0 = H ~ωk bk,µ bk,µ + 2 µ=c,s k6=0

+

X N (N − 1) ν0 − 2V

k6=0

N ~2 k2 + νk . 4m 2V

Òåïåð óæå ëåãêî âèïèñó¹ìî ç 22 åíåð åòè÷íi ðiâíi íàøî¨ ñèñòåìè X X′ ′ 1 1 c s s c ~ωk nk + E...,nk ,...;...,nk ,... = ~ωk nk + + 2 2 k6=0

X N (N − 1) + ν0 − 2V

k6=0

k6=0

N ~2 k2 + νk , 4m 2V

äå êâàíòîâi ÷èñëà nck = 0, 1, 2, . . .; nsk = 0, 1, 2, . . . , à òàêîæ âiäïîâiäíi õâèëüîâi óíêöi¨ Y ′ mk ωk 1/4 e−ξkc2 /2 ¯ s c q ψ...,nk ,...;...,nk ,... = Hnck (ξkc ) c π~ n c 2 kn ! k6=0

×

k

Y ′ mk ωk 1/4 e−ξks2 /2 q Hnsk (ξks ), s π~ n s 2 kn !

k6=0

k

äå Hn (ξ) ïîëiíîì Åðìiòà. Îòæå, âèâ÷åííÿ íàøî¨ âèõiäíî¨ ñèñòåìè áàãàòüîõ âçà¹ìîäiþ÷èõ áîçå-÷àñòèíîê êâàíòîâî¨ ðiäèíè ìè çâåëè äî âèâ÷åííÿ áåçìåæíî¨ ñóêóïíîñòi êâàçi÷àñòèíîê àáî åëåìåíòàðíèõ çáóäæåíü, ÿêi ìîäåëþ¹ìî êâàíòîâèìè îñöèëÿòîðàìè. Öi êâàçi÷àñòèíêè òàêîæ ¹ áîçîíàìè. Ó ãîëîâíîìó íàáëèæåííi âîíè íå âçà¹ìîäiþòü ˆ ′ . Óðàõóâàíìiæ ñîáîþ, i ¨õ âëàñòèâîñòi âèçíà÷à¹ ãàìiëüòîíiàí H 0 ˆ ′ àíãàðìîíi÷íîãî çáóðåííÿ ∆H ˆ ′ ïðèâîäèòü äî íÿ â ãàìiëüòîíiàíi H 0 ðîçñiÿííÿ êâàçi÷àñòèíîê ìiæ ñîáîþ òà ¨õ ðîçïàäó, âíàñëiäîê ÷îãî 46

I. Î. Âàêàð÷óê

721

âîíè ìàþòü ñêií÷åííó òðèâàëiñòü æèòòÿ. Iíòåíñèâíiñòü öèõ ïðîöåñiâ âèçíà÷à¹, ÿê äîâãî æèâóòü êâàçi÷àñòèíêè, òîáòî íàñòiëüêè äîáðå âèçíà÷åíèìè ¹ åëåìåíòàðíi çáóäæåííÿ i îòæå, íàñòiëüêè àäåêâàòíèì ¹ çiñòàâëåííÿ ç êâàíòîâîþ ðiäèíîþ òàêî¨ ìîäåëi ãàçó êâàçi÷àñòèíîê. Ó âèïàäêó êâàíòóâàííÿ âiëüíîãî åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ òàêå çiñòàâëåííÿ ïîëþ ñèñòåìè íåâçà¹ìîäiþ÷èõ îòîíiâ ¹ àäåêâàòíèì, îñêiëüêè ãàìiëüòîíiàí ïîëÿ òî÷íî çîáðàæó¹òüñÿ ãàìiëüòîíiàíîì äëÿ áåçìåæíî¨ ñóêóïíîñòi íåâçà¹ìîäiþ÷èõ ìiæ ñîáîþ ëiíiéíèõ ãàðìîíi÷íèõ îñöèëÿòîðiâ. Ïîêëàäà¹ìî nck = nsk = 0 i çíàõîäèìî åíåð iþ îñíîâíîãî ñòàíó X ~ωk X ~2 k2 N (N − 1) N E0 = + ν0 − + νk 2 2V 4m 2V k6=0

k6=0

àáî ïiñëÿ ïðîñòî¨ âïðàâè

E0 =

X ~2 k2 N (N − 1) ν0 − (αk − 1)2 2V 8m k6=0

i õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó 1 ψ¯0 = e− 4

P

k6=0

αk ρk ρ−k

Y′

k6=0

r

αk . π

Òåïåð åíåð iþ äëÿ äîâiëüíîãî ñòàíó ìîæíà çàïèñàòè òàê: X E...,nk ,... = E0 + ~ωk nk , k6=0

äå ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî nk = nck + nsk . ßê áà÷èìî, ìà¹ìî âèðîäæåííÿ ñòàíiâ, îñêiëüêè åíåð iÿ çàëåæèòü âiä ñóìè êâàíòîâèõ ÷èñåë nck òà nsk . Õâèëüîâi óíêöi¨ çàïèøåìî òàê: r Y ′ αk Hnc (ξkc )Hns (ξks ) 1 − α ρ ρ k k k −k qk ψ¯...,nck ,...;...,nsk ,... = e 4 k6=0 . π nck +nsk c s 2 n !n ! k6=0 k k

P

Ùîá çàâåðøèòè íàø ðîçâ'ÿçîê, âèïèøåìî ùå çíàéäåíó âèùå â öüîìó íàáëèæåííi âàãîâó óíêöiþ J : 1

J = Ce− 2 722

P

k6=0

ρk ρ−k

.

Ñòàëó C çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ äëÿ J : √

√

VN =C

N Y′ Z

k6=0

dρck

√ − N

ZN

s2

c2

dρsk e−ρk e−ρk ,

√ − N

òóò ìè âðàõóâàëè, ùî X X X X′ s2 s2 ρk ρ−k = |ρk |2 = (ρc2 (ρc2 k + ρk ) = 2 k + ρk ). k6=0

k6=0

k6=0

k6=0

Îñêiëüêè ó ñâî¨õ ðîçðàõóíêàõ ìè çàâæäè ðîçâîäèìî ìåæi îá'¹ìó, ó ÿêîìó ïåðåáóâà¹ äîñëiäæóâàíà ñèñòåìà, íà áåçìåæíiñòü, òî é êiëüêiñòü ÷àñòèíîê N íåîáõiäíî ñïðÿìóâàòè äî áåçìåæíîñòi òàê, ùîá çáåðåãòè ñòàëîþ ãóñòèíó ρ = N/V (òàê çâàíèé òåðìîäèíàìi÷íèé ãðàíè÷íèé ïåðåõiä),

V → ∞,

N → ∞,

ρ = N/V = const.

Îòæå, iíòå ðóâàííÿ çà ρck òà ρsk âiäáóâà¹òüñÿ √ àêòè÷íî â áåçìåæíèõ ìåæàõ i êîæåí iíòå ðàë òóò äîðiâíþ¹ π . Òîìó   Y′ 1 , C =VN π k6=0

à âàãîâà óíêöiÿ îñòàòî÷íî   Y′ 1 1  e− 2 J =VN π

P

k6=0

ρk ρ−k

.

k6=0

Òåïåð ìè ìîæåìî âèïèñàòè é âèõiäíó õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó   Y ′√ 1 1  αk  e− 4 k6=0 (αk −1)ρk ρ−k . ψ0 = J −1/2 ψ¯0 = √ V N k6=0

P

Ïðè âiäñóòíîñòi âçà¹ìîäi¨ ìiæ ÷àñòèíêàìè νk = 0, αk = 1 ìè ïðèõîäèìî äî õâèëüîâî¨ √ óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó ñèñòåìè iäåàëüíèõ ÷àñòèíîê ψ0 = 1/ V N , çíàéäåíî¨ â ïðèêëàäi 1 äî 81. 45*

723

Íàéíèæ÷èé çáóäæåíèé ñòàí áîçå-ðiäèíè ç åíåð i¹þ E0 + ~ωq âiäïîâiäà¹ òàêèì êâàíòîâèì ÷èñëàì: nck=q = 1, nck6=q = 0, nsk = 0, äëÿ âñiõ k; àáî nck = 0 äëÿ óñiõ k, à nsk=q = 1, nsk6=q = 0. Âiäïîâiäíi õâèëüîâi óíêöi¨ ¹ òàêèìè: √ √ ψ1 = ψ0 2ξkc , ψ1′ = ψ0 2ξks . Ìîæíà âçÿòè íîðìîâàíó ëiíiéíó ñóïåðïîçèöiþ öèõ ñòàíiâ

√ 1 ψ = √ (ψ1 + iψ1′ ) = ξ−q ψ0 = αq ρ−q ψ0 , 2 ÿêà âiäïîâiäà¹ òié æå åíåð i¨ çáóäæåííÿ Eq = ~ωq . Iç óìîâè íîðìóâàííÿ Z Z dr1 . . . drN |ψ|2 = 1 çíàõîäèìî

αq hρq ρ−q i = 1,

äå êóòîâi äóæêè îçíà÷àþòü óñåðåäíåííÿ çà îñíîâíèì ñòàíîì iç óíêöi¹þ ψ0 . Çâiäñè çíàõîäèìî ñòðóêòóðíèé àêòîð áàãàòîáîçîííî¨ ñèñòåìè, ÿêà ïåðåáóâà¹ â îñíîâíîìó ñòàíi:

Sq = hρq ρ−q i =

1 . αq

Îòæå, õâèëüîâà óíêöiÿ çáóäæåíîãî ñòàíó

1 ψ = p ρ−q ψ0 , Sq

à åíåð åòè÷íèé ñïåêòð çáóäæåíü

Eq = ~ωq = ~2 q 2 /2mSq . Ñàìå òàêó õâèëüîâó óíêöiþ é âiäïîâiäíó åíåð iþ ìè çíàéøëè iíøèì ìåòîäîì äëÿ ðiäêîãî 4 He â Ïðèêëàäi 3 äî 81. Çàóâàæèìî, ùî ìè ìîãëè á çðàçó ïðàöþâàòè ç ëiíiéíèìè êîìáiíàöiÿìè õâèëüîâèõ óíêöié, çàïðîâàäèâøè îïåðàòîðè:

ˆb+ = − ∂ + 1 ξ−k , k ∂ξk 2 724

ˆbk =

∂ 1 + ξk , ∂ξ−k 2

òîáòî

ˆb+ = √1 (ˆb+ + iˆb+ ), k,s k 2 k,c ç ÿêèìè ãàìiëüòîíiàí

ˆ′ = H 0

X

ˆbk = √1 (ˆbk,c − iˆbk,s ), 2

ˆ ~ωkˆb+ k bk + E0 .

k6=0

Äàëi îá÷èñëþâàòè ìîæíà ìîâîþ íîâèõ îïåðàòîðiâ i çà ñòàíäàðòíîþ ñõåìîþ çíàõîäèòè õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî òà çáóäæåíèõ ñòàíiâ, ïðè÷îìó çâ'ÿçîê ìiæ íîâèìè i ñòàðèìè õâèëüîâèìè óíêöiÿìè âñòàíîâëþ¹ òàê çâàíà òåîðåìà äîäàâàííÿ äëÿ ïîëiíîìiâ Åðìiòà, ÿêó äîâîäèìî øëÿõîì ðîçêðèòòÿ nk -îãî ñòåïåíÿ îïåˆ+ pk ðàòîðà ˆb+ k ÿê áiíîìà Íüþòîíà íà ñóìó äîáóòêiâ îïåðàòîðiâ (bk,c ) (ˆb+ )nk −pk , pk = 0, 1, . . . , nk , ùî ïðè äi¨ íà îñíîâíèé ñòàí i ïîðîk,s

äæóþòü âiäïîâiäíi äîáóòêè ïîëiíîìiâ Åðìiòà. Äîñëiäèìî åíåð åòè÷íèé ñïåêòð êâàíòîâî¨ ðiäèíè Eq . Äëÿ ìàëèõ çíà÷åíü õâèëüîâîãî âåêòîðà q , ÿê âèäíî ç îðìóëè äëÿ αq , r mN 1 αq = 2 ν0 , q → 0. V ~q

Òîìó åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ó öié ìåæi ¹ ëiíiéíèì çà q i âiäïîâiäà¹ ïîøèðåííþ çâóêîâèõ õâèëü ó ðiäèíi:

Eq = ~cq, äå øâèäêiñòü çâóêó

c=

r

N ν0 . Vm

Öþ äiëÿíêó ñïåêòðà íàçèâàþòü îíîííîþ. Ñòðóêòóðíèé àêòîð ó öié äîâãîõâèëüîâié ìåæi, òîáòî ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ õâèëüîâîãî âåêòîðà, ~q Sq = , q → 0. 2mc Äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü õâèëüîâèõ âåêòîðiâ q êîåiöi¹íò Ôóð'¹ ìiæ÷àñòèíêîâî¨ âçà¹ìîäi¨ νq → 0, òîìó αq → 1 i åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ñòà¹ êâàäðàòè÷íèì çà q , Eq = ~2 q 2 /2m, q → ∞. Äëÿ ïðîìiæíèõ 725

çíà÷åíü õâèëüîâîãî âåêòîðà q åíåð iÿ Eq ñóòò¹âî çàëåæèòü âiä õàðàêòåðó ìiæ÷àñòèíêîâî¨ âçà¹ìîäi¨. Íà çàâåðøåííÿ òîðêíåìîñü ïèòàííÿ ìåõàíiçìó âèíèêíåííÿ ÿâèùà íàäïëèííîñòi â áîçå-ðiäèíi. Îñêiëüêè âåëè÷èíà αq , ÿêà âèçíà÷à¹ ïîâåäiíêó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îñíîâíîãî ñòàíó ψ0 , ïðè q → 0, ¹ îáåðíåíî ïðîïîðöiéíîþ äî q , òî çâîðîòíå ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ïîêàçíèê â åêñïîíåíòi õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¹ îáåðíåíî ïðîïîðöiéíèì äî êâàäðàòà âiäñòàíåé ìiæ ÷àñòèíêàìè, òîáòî íà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ âií ∼ 1/|ri − rj |2 , |ri − rj | → ∞. Îòæå, ìà¹ìî ñëàáêå ñïàäàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ïðè ðîçâåäåííi ÷àñòèíîê íà âåëèêi âçà¹ìíi âiäñòàíi, òîáòî êîðåëÿöi¨ ìiæ íèìè ¹ äàëåêîäiþ÷èìè é àòîìè ðiäèíè ïåðåáóâàþòü ó ñèëüíîñêîðåëüîâàíîìó ñòàíi, ùî, âðåøòi-ðåøò, i ¹ ïðè÷èíîþ âèíèêíåííÿ ÿâèùà íàäïëèííîñòi. ßêùî ðiäèíà ðóõà¹òüñÿ êðiçü êàïiëÿð iç íåâåëèêîþ øâèäêiñòþ, òî åíåð iÿ ¨¨ âçà¹ìîäi¨ çi ñòiíêàìè êàïiëÿðà ¹ çàìàëîþ, ùîá ïåðåêèíóòè ðiäèíó ÿê öiëå (à íå îêðåìi àòîìè ñàìå âíàñëiäîê ¨õíüî¨ ñèëüíî¨ ñêîðåëüîâàíîñòi) ó çáóäæåíèé êâàíòîâèé ñòàí, íàðîäèâøè çà ðàõóíîê åíåð i¨ ¨¨ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó åëåìåíòàðíå çáóäæåííÿ ç åíåð i¹þ ~ωq . Òîìó ðóõ ðiäèí íå ñïîâiëüíþ¹òüñÿ. Ïðè íàãðiâàííi ðiäèíè öÿ ñêîðåëüîâàíiñòü ðóéíó¹òüñÿ i íàäïëèííiñòü ïðè äåÿêié òåìïåðàòóði çíèêà¹. Íàñïðàâäi öi íàøi ÿêiñíi ìiðêóâàííÿ ïîòðåáóþòü òîíøîãî àíàëiçó, îñêiëüêè åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ìàêðîñêîïi÷íî¨ ñèñòåìè ¹ êâàçiíåïåðåðâíèì i ïðè V → ∞ âiäñòàíü ìiæ ðiâíÿìè ïðÿìó¹ äî íóëÿ i ñïåêòð ñòà¹ íåïåðåðâíèì. Òîìó, çäàâàëîñü áè, áóäü-ÿêå íåâåëèêå çáóðåííÿ ïåðåâåäå ñèñòåìó â çáóäæåíèé ñòàí. Îäíàê äëÿ íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà âàæëèâîþ õàðàêòåðèñòèêîþ ¹ ãóñòèíà ñòàíiâ, òîáòî êiëüêiñòü êâàíòîâèõ ñòàíiâ íà îäèíèöþ åíåð i¨. Ó íàøîìó âèïàäêó äëÿ âèìiðíîñòi ïðîñòîðó D = 3 ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ åíåð i¨ ãóñòèíà ñòàíiâ ¹ êâàäðàòè÷íîþ óíêöi¹þ åíåð i¨, îòæå, ¹ äóæå çáiäíåíîþ (òîáòî ìàëå çáóðåííÿ íå ìà¹ êóäè çàêèäàòè êâàíòîâó ðiäèíó). Äëÿ ïðèêëàäó, â iäåàëüíîìó òðèâèìiðíîìó áîçå-ãàçi ãóñòèíà ñòàíiâ ïðîïîðöiéíà äî êîðåíÿ êâàäðàòíîãî ç åíåð i¨, òîìó iäåàëüíèé áîçå-ãàç, íà âiäìiíó âiä ðiäêîãî ãåëiþ, íå ¹ íàäïëèííèì.

Ë À Â À XII ÎÑÍÎÂÈ ÊÂÀÍÒÎÂÎ IÍÔÎÌÀÖI

92. Ñïëóòàíi EPR-ñòàíè

Êâàíòîâà iíîðìàöiÿ öå íàóêà, ÿêà âèâ÷à¹ ñïîñîáè çáåðåæåííÿ, ïåðåðîáêè òà ïåðåäà÷i iíîðìàöi¨ ç âèêîðèñòàííÿì êâàíòîâèõ çàêîíiâ i ÿâèù. îëîâíèì ïðè öüîìó ¹ âèêîðèñòàííÿ òàê çâàíèõ ñïëóòàíèõ êâàíòîâèõ ñòàíiâ, êîëè, ñêàæiìî, â ñèñòåìi ç äâîõ ÷àñòèíîê ¨õíi îäíî÷àñòèíêîâi ñòàíè ¹ ñèëüíî ñêîðåëüîâàíèìè, ÿê íàïðèêëàä, ñïiíîâi ñòàíè äâîõ åëåêòðîíiâ ó ïàðàãåëi¨ (äèâ. 82). Îñîáëèâó óâàãó òàêi ñòàíè ïðèâåðíóëè äî ñåáå ÷åðåç òàê çâàíèé ïàðàäîêñ ÀéíøòàéíàÏîäîëüñüêîãîîçåíà, ÿêèé ìè ðîçãëÿíóëè â 4. Íàãàäà¹ìî, ùî â öüîìó ïàðàäîêñi ìîâà éäå ïðî ñèñòåìó äâîõ ÷àñòèíîê iç âiäîìèìè ïîâíèì ¨õíiì iìïóëüñîì i âiäñòàííþ ìiæ íèìè. Ïîñòàâèìî çàâäàííÿ çíàéòè õâèëüîâó óíêöiþ òàêî¨, ÿê ¨¨ íàçèâàþòü, EPR-ïàðè ÷àñòèíîê ó êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi. Äëÿ ïðîñòîòè ðîçãëÿíåìî îäíîâèìiðíèé âèïàäîê. Îòæå, â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði ïîòðiáíî çíàéòè âëàñíó óíêöiþ îïåðàòîðiâ ñóìàðíîãî iìïóëüñó ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê pˆ = pˆ1 + pˆ2 òà ðiçíèöi ¨õíiõ êîîðäèíàò x ˆ=x ˆ1 − x ˆ2 , ùî îïèñó¹ EPR-ïàðó â ïàðàäîêñi ÀéíøòàéíàÏîäîëüñüêîãîîçåíà. Îïåðàòîðè x ˆ òà pˆ êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ,

[ˆ x, pˆ] = [ˆ x1 − x ˆ2 , pˆ1 + pˆ2 ] = [ˆ x1 , pˆ1 ] + [ˆ x1 , pˆ2 ] − [ˆ x2 , pˆ1 ] − [ˆ x2 , pˆ2 ] = i~ + 0 − 0 − i~ = 0,

i îòæå, ìàþòü ñïiëüíó ñèñòåìó âëàñíèõ óíêöié:

(ˆ x1 − x ˆ2 )ψ(x1 , x2 ) = x012 ψ(x1 , x2 ), (ˆ p1 + pˆ2 )ψ(x1 , x2 ) = p012 ψ(x1 , x2 ), 727

äå x012 òà p012 íåïåðåðâíi âëàñíi çíà÷åííÿ iêñóþòü ìîæëèâi âiäñòàíi ìiæ ÷àñòèíêàìè òà ¨õíié ïîâíèé iìïóëüñ. Iç ïåðøîãî ðiâíÿííÿ áà÷èìî, ùî ψ(x1 , x2 ) ∼ δ(x1 − x2 − x012 ), à îñêiëüêè äiÿ îïåðàòîðà pˆ íà öþ äåëüòà-óíêöiþ äîðiâíþ¹ íóëåâi 0 i ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ ñèñòåìè âèïëèâà¹ ψ(x1 , x2 ) ∼ eip12 x2 /~, òî çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê òàêèé: 0

ψx012 ,p012 (x1 , x2 ) = Cδ(x1 − x2 − x012 )eip12 x2 /~ C ñòàëà íîðìóâàííÿ. Ïiäñòàâëÿ¹ìî öåé âèðàç â óìîâó íîðìóâàííÿ Z Z ψx∗0 ′ ,p0 ′ (x1 , x2 )ψx012 ,p012 (x1 , x2 ) dx1 dx2 12

12

′

′

= δ(x012 − x012 )δ(p012 − p012 ), i çíàõîäèìî ñòàëó C : Z Z 0 0 ′ ′ 2 |C| dx1 dx2 ei(p12 −p12 )x2 /~δ(x1 − x2 − x012 )δ(x1 − x2 − x012 ) ′

′

= |C|2 2π~δ(p012 − p012 )δ(x012 − x012 ).

√ Îòæå, ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà ñòàëà C = 1/ 2π~. Îñòàòî÷íî õâèëüîâà óíêöiÿ EPR-ñïëóòàíî¨ ïàðè ¹ òàêîþ: ψx012 ,p012 (x1 , x2 ) = √

1 0 eip12 x2 /~δ(x1 − x2 − x012 ). 2π~

Iç òî÷íiñòþ äî ñòàëîãî àçîâîãî ìíîæíèêà öåé âèðàç, çàâäÿêè δ-óíêöi¨ i áåðó÷è äî óâàãè, ùî p012 = p021 , à x012 = −x021 , ìîæíà çàïèñàòè i â ÿâíî ñèìåòðè÷íîìó âèãëÿäi. Îòæå, ìè îòðèìàëè õâèëüîâó óíêöiþ, ÿêà îïèñó¹ ñòàí iç òî÷íèì çíà÷åííÿì ðiçíèöi êîîðäèíàò òà ñóìàðíîãî iìïóëüñó ÷àñòèíîê, îäíàê íi êîîðäèíàòà, íi iìïóëüñ êîæíî¨ ç ÷àñòèíîê íå ìàþòü òî÷íîãî çíà÷åííÿ. Îñêiëüêè âiäõèëåííÿ ∆x1 = ∆x2 , ∆p1 = −∆p2 (x012 , p012 ¹ çàäàíèìè), òî ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé ìàþòü ñèëó ÿê äëÿ ÷àñòèíêè, íàä ÿêîþ ïðîâîäÿòü âèìiðè, òàê i äëÿ ÷àñòèíêè, ÿêî¨ íå òîðêàþòüñÿ öå ðîçâ'ÿçó¹ EPR-ïàðàäîêñ. ßê áà÷èìî, íàøi äâi ÷àñòèíêè ¹, i ñïðàâäi, ñïëóòàíi ìiæ ñîáîþ. 728

Å. Øðåäèí åð ïðèäóìàâ äëÿ òàêèõ õâèëüîâèõ óíêöié äóæå ïîïóëÿðíó òåïåð íàçâó ñïëóòàíi ñòàíè (ç íiìåöüêî¨ Versñhr ankung, à àíãëiéñüêîþ öå ïåðåêëàëè ÿê entanglement). Ó íàñòóïíîìó ïàðàãðài ìè âèêîðèñòà¹ìî çíàéäåíó òóò õâèëüîâó óíêöiþ EPR-ïàðè äëÿ ïîáóäîâè òåîði¨ ÿâèùà êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨. Ïðèêëàä. EPR-ñòàíè â äiðàêiâñüêîìó îðìàëiçìi. Âèãëÿä õâèëüîâî¨ óíêöi¨ EPR-ñòàíó ç öüîãî ïàðàãðàà äîçâîëÿ¹ çàïèñàòè ¨¨ òàê:

|x012 , p012 i = e−ipˆ1 xˆ2 /~ |x012 i1 |p012 i2 ,

íèæíi iíäåêñè êåò-âåêòîðiâ óêàçóþòü íà ¨õíþ íàëåæíiñòü äî ïåðøî¨ àáî äðóãî¨ ÷àñòèíêè. Ñïðàâäi, ó êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi, çà îçíà÷åííÿì, ìà¹ìî: hx1 , x2 |x012 , p012 i = hx1 |e−ipˆ1 x2 /~ |x012 ihx2 |p012 i,

îñêiëüêè ó âëàñíîìó çîáðàæåííi îïåðàòîð êîîðäèíàòè ¹ çâè÷àéíèì ÷èñëîì x ˆ 2 = x2 . Ìàòðè÷íèé åëåìåíò îá÷èñëþ¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è iìïóëüñíå çîáðàæåííÿ, ó ÿêîìó îïåðàòîð pˆ1 ¹ îïåðàòîðîì ìíîæåííÿ: Z

hx1 |e−ipˆ1 x2 /~ |x012 i = Z

=

dp1 hx1 |p1 ie−ip1 x2 /~ hp1 |x012 i 0

eip1 x1 /~ −ip1 x2 /~ e−ip1 x12 /~ √ e = δ(x1 − x2 − x012 ) = hx1 − x2 |x012 i. dp1 √ 2π~ 2π~

Îòæå, ìà¹ìî

hx1 , x2 |x012 , p012 i = hx1 − x2 |x012 ihx2 |p012 i

àáî ó çâè÷àéíèõ ïîçíà÷åííÿõ

0

eip12 x2 /~ ψx012 ,p012 (x1 , x2 ) = δ(x1 − x2 − x012 ) √ . 2π~

Öåé âèðàç äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ â êîîðäèíàòíîìó çîáðàæåííi çáiãà¹òüñÿ ç òèì, ùî áóâ çíàéäåíèé ó çãàäàíîìó ïðèêëàäi. 93. Êâàíòîâà òåëåïîðòàöiÿ

Ó 1997 ðîöi â Iíñòèòóòi åêñïåðèìåíòàëüíî¨ içèêè óíiâåðñèòåòó â Iíñáðóöi (Àâñòðiÿ) áóëà åêñïåðèìåíòàëüíî ðåàëiçîâàíà òàê çâàíà êâàíòîâà òåëåïîðòàöiÿ íà îòîíàõ1 . Ïiä òåëåïîðòàöi¹þ ðî1 Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl, Harald Weinfurter, and Anton Zeilinger, Nature (London) 390, 575 (1997).

729

çóìiþòü çíèêíåííÿ äåÿêîãî îá'¹êòà â îäíié òî÷öi ïðîñòîðó i âèíèêíåííÿ éîãî â iíøié2 . Ñàìà iäåÿ áóëà âèñëîâëåíà 1993 ðîêó3 , ðóíòó¹òüñÿ âîíà íà ïàðàäîêñi ÀéíøòàéíàÏîäîëüñüêîãîîçåíà, ïðî ÿêèé iøëîñÿ â 4. Àâòîðè iäå¨ ó ñâî¨é ïåðøié ðîáîòi ïðàöþâàëè ç ÷àñòèíêàìè, ùî ìàþòü ñïií ~/2, òîáòî ç äèñêðåòíèìè ñòàíàìè. Öi ðåçóëüòàòè ëåãêî ïåðåîðìóëþâàòè íà îòîíè, äëÿ ÿêèõ òàêîæ ¹ äâà ìîæëèâi ñòàíè ïîëÿðèçàöi¨. Òóò ìè îáãîâîðèìî iäåþ êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨, âèêîðèñòîâóþ÷è ñòàíè ç íåïåðåðâíèìè çìiííèìè. Ïiçíiøå â íàñ áóäå ìîæëèâiñòü ðîçãëÿíóòè òåëåïîðòàöiþ òàêîæ i äëÿ äèñêðåòíèõ ñòàíiâ, äå ìè îáãîâîðèìî i ñàì åêñïåðèìåíò. îçãëÿíåìî êâàíòîâîìåõàíi÷íó ñèñòåìó, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ çi ñïëóòàíî¨ EPR-ïàðè äâîõ ÷àñòèíîê òà íåâçà¹ìîäiþ÷î¨ ç öi¹þ ïàðîþ òðåòüî¨ ÷àñòèíêè, ùî ïåðåáóâà¹ ó ñòàíi ϕ. Õâèëüîâà óíêöiÿ òàêî¨ EPR-ïàðè, çíàéäåíà â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài,

ψx012 ,p012 (x1 , x2 ) = δ(x1 − x2 −

ip012 x2 /~ 0 e , x12 ) √

2π~

îïèñó¹ ñêîðåëüîâàíèé ñòàí äâîõ ÷àñòèíîê iç êîîðäèíàòàìè x1 òà x2 , âiäñòàíü ìiæ ÿêèìè äîðiâíþ¹ x012 , à ïîâíèé iìïóëüñ äîðiâíþ¹ p012 . Áóäåìî íàçèâàòè öi ÷àñòèíêè EPR12-ïàðîþ. Ââàæà¹ìî, ùî õâèëüîâà óíêöiÿ ϕ = ϕ(x3 ) òðåòüî¨ ÷àñòèíêè ç êîîðäèíàòîþ x3 íîðìîâàíà íà îäèíèöþ. Õâèëüîâà óíêöiÿ âñi¹¨ ñèñòåìè òðüîõ ÷àñòèíîê äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi:

ψx012 ,p012 (x1 , x2 , x3 ) = ϕ(x3 )ψx012 ,p012 (x1 , x2 ). Âîíà íîðìîâàíà ÿê çâè÷àéíî äëÿ íåïåðåðâíèõ çíà÷åíü êâàíòîâèõ ÷èñåë x012 , p012 íà äåëüòà-óíêöi¨. Ïîñòàâèìî ïåðåä ñîáîþ çàâäàííÿ òåëåïîðòóâàòè ñòàí ϕ ç òðåòüî¨ ÷àñòèíêè íà ïåðøó. Ç öi¹þ ìåòîþ ïðîâåäåìî â íàøié ñèñòåìi äâi îïåðàöi¨ âèìiðþâàííÿ. Ñïî÷àòêó âèìiðÿ¹ìî é çàiêñó¹ìî âiäñòàíü ìiæ äðóãîþ òà òðåòüîþ ÷àñòèíêàìè é ïîçíà÷èìî ¨¨ ÷åðåç x023 . Ó ðåçóëüòàòi öi¹¨ îïåðàöi¨ ïî÷àòêîâèé ñòàí íàøî¨ ñèñòåìè çìiíèòüñÿ i ¨¨ õâèëüîâà óíêöiÿ çðåäóêó¹òüñÿ äî ψ ′ (x1 , x2 , x3 ). Íà 2

Òåëåïîðòàöiÿ: âiä ãðåö. τ η ˜λε äàëåêî; âiä iòàë. porto, portare íîñèòè, ïåðåâîäèòè; çâîäèòè, äîñòàâëÿòè, ¨õàòè; ïåðåäàâàòè; íàíîñèòè; ñêåðîâóâàòè. 3 Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crepeau, Ri hard Jozsa, Asher Peres, and William K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).

730

äðóãîìó åòàïi âèìiðÿ¹ìî ïîâíèé iìïóëüñ p023 äðóãî¨ i òðåòüî¨ ÷àñòèíîê. Ïiñëÿ öüîãî ñòàí ñèñòåìè òðüîõ ÷àñòèíîê áóäå îïèñóâàòè õâèëüîâà óíêöiÿ ψ ′′ (x1 , x2 , x3 ). Çíàéäåìî òåïåð ÿâíèé âèãëÿä öi¹¨ óíêöi¨. Ïåðåõîäèìî äî îá÷èñëåíü. Äëÿ òîãî ùîá ïðîâåñòè ïåðøèé âèìið, òîáòî âèìiðÿòè êîîðäèíàòè äðóãî¨ i òðåòüî¨ ÷àñòèíîê, ìè ïîâèííi íàñàìïåðåä õâèëüîâó óíêöiþ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó ðîçêëàñòè â ðÿä (ó íàøîìó âèïàäêó iíòå ðàë) çà âëàñíèìè óíêöiÿìè âiäˆ2 = x2 òà x ˆ3 = x3 . Îñêiëüêè öi ïîâiäíèõ îïåðàòîðiâ êîîðäèíàò x îïåðàòîðè ìè áåðåìî ó âëàñíîìó, òîáòî êîîðäèíàòíîìó, çîáðàæåííi, òî ¨õíi âëàñíi óíêöi¨ ¹ äåëüòà-óíêöiÿìè i îòæå, ìà¹ìî: Z Z ′ ψx012 ,p012 (x1 , x2 , x3 ) = dx2 dx′3 δ(x′2 − x2 )δ(x′3 − x3 )

× ψx012 ,p012 (x1 , x′2 , x′3 ). Âèìiðþâàííÿ âiäñòàíi ìiæ äðóãîþ i òðåòüîþ ÷àñòèíêàìè îçíà÷à¹, ùî â öüîìó ðîçêëàäi ìè ïîâèííi áðàòè iíòå ðàëè çà x′2 , x′3 ïðè óìîâi, ùî (x′2 − x′3 ) = x023 . Ó ðåçóëüòàòi ïî÷àòêîâèé ñòàí ñèñòåìè òðüîõ ÷àñòèíîê ðåäóêó¹òüñÿ äî Z Z ′ ′ ′ ψ (x1 , x2 , x3 ) = C dx2 dx′3 δ(x′2 − x′3 − x023 )

× δ(x′2 − x2 )δ(x′3 − x3 )ψx012 ,p012 (x1 , x′2 , x′3 ), òóò ñòàëà C ′ óâåäåíà äëÿ òîãî, ùîá çàáåçïå÷èòè óìîâó íîðìóâàííÿ çðåäóêîâàíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Iíòå ðàëè, çàâäÿêè äåëüòàóíêöiÿì, áåðóòüñÿ òóò åëåìåíòàðíî, i ìè çíàõîäèìî, ùî

ψ ′ (x1 , x2 , x3 ) = C ′ δ(x2 − x3 − x023 )ψx012 ,p012 (x1 , x2 , x3 ). Âèêîðèñòàéìî ÿâíèé âèãëÿä õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó i çíàéäåìî, ùî ip012 x2 /~ ′ ′ 0 0 e ψ (x1 , x2 , x3 ) = C ϕ(x3 )δ(x2 − x3 − x23 )δ(x1 − x2 − x12 ) √ 2π~ àáî, áåðó÷è äî óâàãè âëàñòèâîñòi äåëüòà-óíêöi¨, çàïèøåìî ¨¨ òàê: ′

′

ψ (x1 , x2 , x3 ) = C δ(x2 − x3 −

x023 )δ(x1

− x3 −

x013 )ϕ(x1

−

ip012 x2 /~ 0 e , x13 ) √

2π~

731

äå ââåäåíî ïîçíà÷åííÿ x013 = x012 + x023 . Ïåðåõîäèìî äî âèìiðþâàííÿ ïîâíîãî iìïóëüñó äðóãî¨ òà òðåòüî¨ ÷àñòèíîê. Çíîâó æ äëÿ öüîãî ñïî÷àòêó ðîçêëàäà¹ìî ψ ′ (x1 , x2 , x3 ) â ðÿäè (íàñïðàâäi iíòå ðàëè) çà âëàñíèìè óíêöiÿìè îïåðàòîðiâ iìïóëüñiâ pˆ2 òà pˆ3 , òîáòî çà õâèëÿìè äå Áðîéëÿ: Z Z eip2 x2 /~ eip3 x3 /~ ′ √ C(p2 , p3 ), ψ (x1 , x2 , x3 ) = dp2 dp3 √ 2π~ 2π~ Z Z −ip2 x′2 /~ e−ip3 x′3 /~ ′ ′ e √ C(p2 , p3 ) = dx2 dx3 √ ψ ′ (x1 , x′2 , x′3 ). 2π~ 2π~ Òåïåð çãiäíî ç òèì, ùî ìè iêñó¹ìî ïîâíèé iìïóëüñ çíà÷åííÿì p023 , òî ç öüîãî ðîçêëàäó çàëèøà¹ìî äîäàíîê, ó ÿêîìó p2 + p3 = p023 . Òîáòî ñòàí ψ ′ (x1 , x2 , x3 ) ðåäóêó¹òüñÿ äî Z Z ′′ ′′ ψ (x1 , x2 , x3 ) = C dp2 dp3 δ(p2 + p3 − p023 )

eip2 x2 /~ eip3 x3 /~ √ √ C(p2 , p3 ). 2π~ 2π~

×

Ñòàëó âåëè÷èíó C ′′ ìè ââåëè â öåé âèðàç, òóðáóþ÷èñü ïðî íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Ïiäñòàâèìî ó âèðàç äëÿ ψ ′′ (x1 , x2 , x3 ) óíêöiþ C(p2 , p3 ) ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó óíêöi¨ ψ ′ (x1 , x2 , x3 ) i îòðèìà¹ìî: Z Z Z Z ′′ ′′ ′ ′ ψ (x1 , x2 , x3 ) = C dx2 dx3 dp2 dp3 δ(p2 + p3 − p023 ) ′

′

′

′

ei(x2 −x2 )p2 /~ ei(x3 −x3 )p3 /~ ′ ψ (x1 , x′2 , x′3 ) 2π~ 2π~ Z Z Z Z ′′ ′ 0 ′ ′ = C C ϕ(x1 − x13 ) dx2 dx3 dp2 dp3 δ(p2 + p3 − p023 ) ×

×

ei(x2 −x2 )p2 /~ ei(x3 −x3 )p3 /~ 2π~ 2π~

×δ(x′2 732

−

x′3

−

x023 )δ(x1

−

x′3

ip012 x′2 /~ 0 e . − x13 ) √

2π~

Ïðè iíòå ðóâàííi â öié îðìóëi íå âèíèêà¹ æîäíèõ òðóäíîùiâ, îñêiëüêè òðè äåëüòà-óíêöi¨ çíiìàþòü iíòå ðóâàííÿ çà x′2 , x′3 i, íàïðèêëàä, çà p3 , à iíòå ðàë çà p2 , ùî çàëèøà¹òüñÿ, äà¹ äåëüòàóíêöiþ âiä ïðîñòîðîâèõ êîîðäèíàò, i âæå íà îäíîìó ïîäèõó îäåðæó¹ìî: Z Z Z ′′ ′′ ′ 0 ′ ψ (x1 , x2 , x3 ) = C C ϕ(x1 − x13 ) dx2 dp2 dp3

×δ(p2 + p3 − p023 ) ×δ(x′2 ′′

− x1 + ′

x013

= C C ϕ(x1 −

′

0

ei(x2 −x2 )p2 /~ ei(x3 −x1 +x13 )p3 /~ 2π~ 2π~ −

ip012 x′2 /~ 0 e x23 ) √

2π~

ip012 (x1 −x013 +x023 )/~ 0 e √ x13 )

2π~

×

Z

×

ei(x3 −x1 +x13 )p3 /~ eip12 (x1 −x13 +x23 )/~ √ = C ′′ C ′ ϕ(x1 − x013 ) 2π~ 2π~

×

ei(x3 −x1 +x13 )p23 /~ 1 2π~ 2π~

=

C ′′ C ′ ei(x3 −x1 +x13 )p23 /~ 0 0 0 √ ϕ(x1 − x013 )eip12 (x1 −x13 +x23 )/~ 2π~ 2π~

dp2

Z

dp3 δ(p2 + p3 −

i(x2 −x1 +x013 −x023 )p2 /~ 0 e p23 )

2π~

0

0

0

0

Z

0

0

0

dp2 ei(x2 −x3 −x23 )p2 /~ 0

0

×δ(x2 − x3 − x023 ).

Îñòàòî÷íî öåé âèðàç ïåðåïèñó¹ìî òàê: ′′

iα(x1 )

ψ (x1 , x2 , x3 ) = e

ϕ(x1 −

x013 )δ(x2

− x3 −

ip023 x3 /~ 0 e , x23 ) √

2π~

äå àçà

α(x1 ) = p023 (x012 + x023 )/~ − p012 x012 /~ + x1 (p012 − p023 )/~, 733

ïðè÷îìó äëÿ çàáåçïå÷åííÿ íîðìóâàííÿ ìè ïîêëàëè C ′′ C ′ = 2π~. Ìè îòðèìàëè ÷óäîâèé ðåçóëüòàò. Ñïðàâäi, õâèëüîâà óíêöiÿ ψ ′′ îïèñó¹ ñèñòåìó òðüîõ ÷àñòèíîê, iç ÿêèõ äðóãà i òðåòÿ ¹ ñïëóòàíîþ EPR23-ïàðîþ, à ñòàí ïåðøî¨ ÷àñòèíêè îïèñó¹òüñÿ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ ϕ. Îòæå, â ðåçóëüòàòi ïðîâåäåííÿ îïåðàöi¨, ùî ñêëàäà¹òñÿ ç äâîõ âèìiðþâàíü, ñòàí ϕ (ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà) ìè ïåðåêèíóëè, òîáòî òåëåïîðòóâàëè, ç òðåòüî¨ ÷àñòèíêè íà ïåðøó. Ïðè÷îìó, ùî âàæëèâî, ìè íå òîðêàëèñü ïåðøî¨ ÷àñòèíêè: âèìiðè âèêîíóâàëè íàä äðóãîþ i òðåòüîþ ÷àñòèíêàìè. Âàæëèâî òàêîæ, ùî âiäñòàíü äî ïåðøî¨ ÷àñòèíêè âiä äâîõ iíøèõ ìîæå áóòè áóäü-ÿêîþ çà âåëè÷èíîþ. Íàïðèêëàä, ïåðøà ÷àñòèíêà ìîæå áóòè â îêîëèöi íàéÿñêðàâiøî¨ çîði α â ñóçið'¨ Öåíòàâðà, à äâi ðåøòà â ëàáîðàòîði¨ íà Çåìëi. Ìè òî íå òîðêàëèñü ïåðøî¨ ÷àñòèíêè, àëå âîíà áóëà â EPR1 2-ïàði, i çðîçóìiëî, ùî çàâäÿêè ñàìå öüîìó i ñòàëî ìîæëèâèì òåëåïîðòóâàííÿ. Òîáòî ïåðåêèäàííÿ ñòàíó ϕ âiäáóëîñü ÿêðàç öèì êâàíòîâèì êàíàëîì. Îñêiëüêè ñòàí ϕ ïiä ÷àñ òåëåïîðòóâàííÿ äåùî ñïîòâîðþ¹òüñÿ íàáiãàííÿì àçîâîãî ìíîæíèêà çi çìiííîþ àçîþ α(x1 ), òî äëÿ òî÷íîãî âiäòâîðåííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ϕ íàì ïîòðiáíî çíà÷åííÿ âåëè÷èí p012 , p023 ïåðåäàòè çâè÷àéíèì êëàñè÷íèì êàíàëîì (óæå áóäü-ÿêèìè çàñîáàìè, íàïðèêëàä, çâè÷àéíîþ ïîøòîþ) íà ïåðøó ÷àñòèíêó. Ìîæíà, çâè÷àéíî, ïiä ÷àñ äðóãîãî âèìiðó ïiäiáðàòè p023 = p012 i öÿ ïðîáëåìà çíèêà¹ (îäíàê ïðî öå òàêîæ ïîòðiáíî ïîâiäîìèòè). Ùî ñòîñó¹òüñÿ ñòàëî¨ ñêëàäîâî¨ àçè α(x1 ), òî ç íåþ, çðîçóìiëî, íiÿêèõ ïðîáëåì íåìà¹. Ïiäêðåñëèìî, ùî êëàñè÷íèé êàíàë ïåðåäà÷i iíîðìàöi¨ çàâæäè ïîòðiáíèé, áîäàé äëÿ òîãî, ùîá ïîâiäîìèòè, ùî òåëåïîðòàöiÿ âiäáóëàñü. Îòæå, äëÿ åêñïåðèìåíòàëüíîãî ñïîñòåðåæåííÿ ÿâèùà êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨ ïîòðiáíî ñïî÷àòêó ìàòè â ñâî¹ìó ðîçïîðÿäæåííi EPR 12-ïàðó, à ïiçíiøå âñþ âèíàõiäëèâiñòü ñïðÿìóâàòè íà ðåàëiçàöiþ äâîõ óêàçàíèõ âèùå âèìiðþâàíü. Íà çàâåðøåííÿ äåêiëüêà ñëiâ ïðî içè÷íó íåìîæëèâiñòü ðåàëiçàöi¨ êëàñè÷íî¨ òåëåïîðòàöi¨, òîáòî íåìîæëèâiñòü ïåðåêèäàííÿ òî÷íèõ çíà÷åíü äèíàìi÷íèõ çìiííèõ, ÿêi çàáåçïå÷óþòü êëàñè÷íèé îïèñ ñèñòåìè. Òàêèìè çìiííèìè ¹, íàïðèêëàä, óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè òà êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi äî íèõ iìïóëüñè. Îòæå, íå òîðêàþ÷èñü ïèòàííÿ ñàìîãî ìåõàíiçìó êëàñè÷íîãî òåëåïîðòóâàííÿ, âàæëèâî òå, ùî ïðèíöèï íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à íå äîçâîëÿ¹ îäíî734

÷àñíî çíàòè òî÷íi çíà÷åííÿ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ4 . Ó ðåçóëüòàòi êëàñè÷íå òåëåïîðòóâàííÿ äàñòü òàêå ñïîòâîðåííÿ îá'¹êòà, ùî ãîäi é ãîâîðèòè, âëàñíå, ïðî éîãî òåëåïîðòàöiþ. 94. Ñïiíîâi ñòàíè ñèñòåìè ÷àñòèíîê

Ïðè äîñëiäæåííi àòîìà ãåëiþ, ìîëåêóëè âîäíþ òà âèâ÷åííi õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó ìè ïîáà÷èëè, ùî ñïiíîâi ñòàíè âiäiãðàþòü âèíÿòêîâî âàæëèâó ðîëü. Ïðîâåäåìî òåïåð äîêëàäíiøèé àíàëiç öèõ ñòàíiâ äëÿ ñèñòåì ÷àñòèíîê, ùî ìàþòü ñïií ~/2, âæå ó çâ'ÿçêó ç iíøèì ÿâèùåì, à ñàìå, ç òàê çâàíîþ êâàíòîâîþ òåëåïîðòàöi¹þ. Ïî÷íiìî iç ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê. ßêùî â ñèñòåìi íåìà¹ ñïiíîâèõ âçà¹ìîäié, òî ñïiíîâà õâèëüîâà óíêöiÿ ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi ñïiíîâèõ óíêöié îêðåìèõ ÷àñòèíîê. Ìîæëèâèìè ¹ ÷îòèðè ðiçíi ñòàíè ç ïðîåêöiÿìè ïîâíîãî ñïiíó, ðiâíèìè ~, −~, 0, 0. Öi ñòàíè òàêi:

| ↑1 i| ↑2 i, | ↓1 i| ↓2 i, | ↑1 i| ↓2 i, | ↓1 i| ↑2 i,

iíäåêñè áiëÿ ñòðiëîê óêàçóþòü íîìåðè ÷àñòèíîê. Iç öèõ ñòàíiâ ìîæíà óòâîðèòè ÷îòèðè ñóïåðïîçèöiéíi ñòàíè, àáî òàê çâàíi ñïëóòàíi ñòàíè Áåëëà: 1 √ |Ψ± i = | ↑ i| ↓ i ± | ↓ i| ↑ i , 1 2 1 2 12 2 1 √ | ↑ i| ↑ i ± | ↓ i| ↓ i |Φ± i = 1 2 1 2 . 12 2 4

Îäèí iç ìîæëèâèõ ìåõàíiçìiâ ìàéñòåðíî îïèñàâ Ì. Â. îãîëü: Çìèëóéñÿ, Âàêóëî! æàëiáíî ïðîñòîãíàâ ÷îðò, âñå, ùî òîái ïîòðiáíî, âñå çðîáëþ, âiäïóñòè ëèøå äóøó íà ïîêàÿíi¹: íå êëàäè íà ìåíå ñòðàøíîãî õðåñòà! . . . Âæå âåçè ìåíå íà ñîái! ×ó¹ø, íåñè, ÿê ïòàõ! Êóäè? ïðîìîâèâ ñóìíèé ÷îðò. Â Ïåòåìáóð , ïðÿìî äî öàðèöi! I êîâàëü çîìëiâ âiä æàõó, âiä÷óâøè, ùî çäiéìà¹òüñÿ â ïîâiòðÿ... . . . I êîëè öàðèöÿ . . . ïî÷àëà ðîçïèòóâàòè, ÿê âîíè æèâóòü íà Ñi÷i, ÿêi çâè÷à¨ âîäÿòüñÿ, âií, âiäiéøîâøè íàçàä, íàõèëèâñÿ äî êèøåíi, ñêàçàâ òèõî: Âèíîñü ìåíå øâèäøå! i ãóëüê îïèíèâñÿ çà øëà áàóìîì. Ùå øâèäøå ðåøòó íî÷i íiñ ÷îðò êîâàëÿ íàçàä. I ðàïòîì îïèíèâñÿ Âàêóëà áiëÿ ñâî¹¨ õàòè. . . Ì. Â. îãîëü Íi÷ ïåðåä içäâîì (1832 ð.).

735

Âîíè ¹ îðòîíîðìîâàíèìè, â öüîìó ëåãêî ïåðåñâiä÷èòèñü, áåðó÷è äî óâàãè óìîâè îðòîíîðìîâàíîñòi âèõiäíèõ ñòàíiâ:

h↑1 | ↑1 i = 1,

h↑1 | ↓1 i = 0,

h↓1 | ↑1 i = 0,

h↓1 | ↓1 i = 1,

i àíàëîãi÷íî äëÿ äðóãî¨ ÷àñòèíêè. Ó öèõ ñïëóòàíèõ ñòàíàõ íàïðÿìîê ñïiíó êîæíî¨ ç ÷àñòèíîê ¹ íåâèçíà÷åíèì. Îäíàê ìiæ íàïðÿìêàìè ñïiíiâ îáîõ ÷àñòèíîê iñíó¹ êâàíòîâà êîðåëÿöiÿ, ÿêà íå çàëåæèòü âiä âiäñòàíi ìiæ íèìè. ßêùî, íàïðèêëàä ó ñòàíi |Ψ− 12 i, âèìiðþâàííÿ ïðîåêöi¨ ñïiíó ïåðøî¨ ÷àñòèíêè äà¹ íàïðÿìîê ñïií óâåðõ, òî âèìiðþâàííÿ ïðîåêöi¨ ñïiíó äðóãî¨ (ÿêà ìîæå ïåðåáóâàòè ÿê çàâãîäíî äàëåêî âiä ïåðøî¨) äîêîíå÷íî äàñòü ðåçóëüòàò ñïií óíèç. Ìiðîþ ñïëóòàíîñòi ¹ âiäñòàíü ñóïåðïîçèöiéíîãî ñòàíó äâîõ ÷àñòèíîê

ψs = a| ↑1 i| ↓2 i + b| ↓1 i| ↑2 i + c| ↑1 i| ↑2 i + d| ↓1 i| ↓2 i, |a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1 âiä àêòîðèçîâàíîãî ñòàíó ψf = α| ↑1 i + β| ↓1 i γ| ↑2 i + δ| ↓2 i ,

|α|2 + |β|2 = 1,

|γ|2 + |δ|2 = 1,

êîëè âîíè ¹ íåçàëåæíèìè. Ëåãêî ïåðåâiðèòè, ùî ñòàíè ψs òà ψf çáiãàþòüñÿ çà óìîâè, ùî αγ = c, αδ = a, βγ = b, βδ = d, òîáòî êîëè (ab − cd) = 0, îñêiëüêè ç ïåðøèõ äâîõ ðiâíÿíü ìà¹ìî γ/δ = c/a, òîäi ÿê ç ðåøòè äâîõ âèïëèâà¹, ùî γ/δ = b/d. Îòæå, ìiðîþ ñïëóòàíîñòi ñòàíiâ, òîáòî âiäñòàííþ ìiæ íèìè, ìîæå ñëóãóâàòè ± âåëè÷èíà |ab−cd|. Äëÿ ðîçãëÿíóòèõ ñòàíiâ |Ψ± 12 i, |Φ12 i öÿ âåëè÷èíà äîñÿãà¹ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åííÿ 1/2. Âèõiäíi ñòàíè íåâàæêî ïåðåïèñàòè ÿê ñóïåðïîçèöiþ ñòàíiâ ± |Ψ± 12 i òà |Φ12 i: 1 − i + |Φ i | ↑1 i| ↑2 i = √ |Φ+ 12 12 , 2 736

1 − i − |Φ i | ↓1 i| ↓2 i = √ |Φ+ 12 12 , 2 1 − | ↑1 i| ↓2 i = √ |Ψ+ i + |Ψ i 12 12 , 2 1 − i − |Ψ i | ↓1 i| ↑2 i = √ |Ψ+ 12 12 . 2 + − Âàæëèâî òàêîæ çàóâàæèòè, ùî ñòàíè |Ψ+ 12 i, |Φ12 i, |Φ12 i ¹ ñèìåòðè÷íèìè ùîäî ïåðåñòàíîâîê íîìåðiâ ÷àñòèíîê, à ñòàí |Ψ− 12 i àíòèñèìåòðè÷íèé. îçãëÿíüìî òåïåð ñèñòåìó òðüîõ ÷àñòèíîê, îäíà ç ÿêèõ, íàïðèêëàä ïåðøà, ïåðåáóâà¹ â ñòàíi

|ϕi1 = a| ↑1 i + b| ↓1 i, a = h↑1 |ϕi1 ,

b = h↓1 |ϕi1 ,

|a|2 + |b|2 = 1, à ñòàí äâîõ iíøèõ îïèñó¹ õâèëüîâà óíêöiÿ

1 √ | ↑ i| ↓ i − | ↓ i| ↑ i . |Ψ− i = 2 3 2 3 23 2

Ïîâíà õâèëüîâà óíêöiÿ äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi

|ψ123 i = |Ψ− 23 i|ϕi1 . Ïîñòàâèìî òåïåð òàêå ïèòàííÿ. ßêùî ìè ïåðåâåäåìî ïåðøó é äðóãó ÷àñòèíêè â ñóïåðïîçèöiéíèé ñïëóòàíèé ñòàí |Ψ− 12 i, òî ó ÿêîìó ñòàíi ïåðåáóâàòèìå òðåòÿ ÷àñòèíêà? Íà öå ìè çíàéäåìî ± âiäïîâiäü, ÿêùî ñòàí |ψ123 i ðîçêëàäåìî çà áàçèñîì |Ψ± 12 i, |Φ12 i, ùî óòâîðþ¹ ïîâíèé íàáið. Îòæå, ìà¹ìî − − + |ψ123 i = hΨ+ 12 |ψ123 i|Ψ12 i + hΨ12 |ψ123 i|Ψ12 i + − − + hΦ+ 12 |ψ123 i|Φ12 i + hΦ12 |ψ123 i|Φ12 i.

47

I. Î. Âàêàð÷óê

737

Îá÷èñëèìî ïðîåêöi¨ ñòàíó |ψ123 i íà âiäïîâiäíi áàçèñíi ñòàíè, âèêîðèñòîâóþ÷è ¨õ îçíà÷åííÿ. Ìà¹ìî 1 − − √ hΨ+ |ψ i = h↑ |ϕi h↓ |Ψ i + h↓ |ϕi h↑ |Ψ i 1 1 2 1 1 2 12 123 23 23 2 1 − i + bh↑ |Ψ i = √ ah↓2 |Ψ− 2 23 23 , 2 äå, çãiäíî ç îçíà÷åííÿìè, 1 1 √ h↓ | ↑ i| ↓ i − h↓ | ↓ i| ↑ i = − √ | ↑3 i, h↓2 |Ψ− i = 2 2 3 2 2 3 23 2 2 1 1 √ h↑2 |Ψ− i = h↑ | ↑ i| ↓ i − h↑ | ↓ i| ↑ i = √ | ↓3 i 2 2 3 2 2 3 23 2 2 i îòæå,

hΨ+ 12 |ψ123 i =

1 −a| ↑3 i + b| ↓3 i . 2

Àíàëîãi÷íî çíàõîäèìî ðåøòó ïðîåêöié: 1 − − √ hΨ− |ψ i = h↑ |ϕi h↓ |Ψ i − h↓ |ϕi h↑ |Ψ i 123 1 1 2 1 1 2 12 23 23 2 1 1 −a| ↑3 i − b| ↓3 i = − |ϕi3 , = 2 2

hΦ+ 12 |ψ123 i = =

hΦ− 12 |ψ123 i = = 738

1 − √ h↑1 |ϕi1 h↑2 |Ψ− 23 i + h↓1 |ϕi1 h↓2 |Ψ23 i 2 1 a| ↓3 i − b| ↑3 i , 2 1 − √ h↑1 |ϕi1 h↑2 |Ψ− i − h↓ |ϕi h↓ |Ψ i 1 1 2 23 23 2 1 a| ↓3 i + b| ↑3 i . 2

Îòæå, ìè îòðèìó¹ìî òàêèé ðîçêëàä: " 1 − −a| ↑3 i + b| ↓3 i |Ψ+ i + −a| ↑ i − b| ↓ i |ψ123 i = 3 3 |Ψ12 i 12 2

# − + + a| ↓3 i − b| ↑3 i |Φ12 i + a| ↓3 i + b| ↑3 i |Φ12 i .

Öåé ðîçêëàä, çðîçóìiëî, ìîæíà çíàéòè çîâñiì ïðîñòî 1 √ | ↑ i| ↓ i − | ↓ i| ↑ i i|ϕi = |ψ123 i = |Ψ− 2 3 2 3 1 23 2 " 1 × a| ↑1 i + b| ↓1 i = √ a| ↑1 i| ↑2 i| ↓3 i − a| ↑1 i| ↓2 i| ↑3 i 2

#

+b| ↓1 i| ↑2 i| ↓3 i − b| ↓1 i| ↓2 i| ↑3 i , i ÿêùî, çàìiñòü âèõiäíèõ ñòàíiâ ïåðøî¨ i äðóãî¨ ÷àñòèíêè, ïiä± ñòàâèòè ñþäè ¨õíi âèðàçè ÷åðåç |Ψ± 12 i, |Φ12 i, òî çðàçó îòðèìà¹ìî ïîïåðåäíþ îðìóëó. Òåïåð ìè ìà¹ìî âiäïîâiäü íà íàøå çàïèòàííÿ. À ñàìå, çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, ìíîæíèê áiëÿ |Ψ− 12 i i âèçíà÷à¹ ñòàí, ó ÿêîìó ïåðåáóâà¹ òðåòÿ ÷àñòèíêà, ÿêùî ïåðøi äâi ïåðåáóâàþòü ó ñïëóòàíîìó ñòàíi |Ψ− 12 i. ßê áà÷èìî, öåé ìíîæíèê äîðiâíþ¹

−a| ↑3 i − b| ↓3 i = −|ϕi3 = eiπ |ϕi3 i, òàêèì ÷èíîì, òðåòÿ ÷àñòèíêà ¹ ó ñòàíi |ϕi; ìè íå áåðåìî äî óâàãè àçîâîãî ìíîæíèêà (−) = eiπ . Îòæå, ìà¹ìî ñïðàâó ç êâàíòîâîþ òåëåïîðòàöi¹þ, ÿêó ìè îïèñàëè â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié ç íåïåðåðâíèìè iíäåêñàìè ñòàíiâ. Ñïðàâäi, ÿêùî ïî÷àòêîâèé ñïiíîâèé ñòàí ñèñòåìè òðüîõ ÷àñòèíîê áóâ ïðèãîòîâëåíèé òàê, ùî äðóãà i òðåòÿ ÷àñòèíêè ïåðåáóâàëè â ñïëóòàíîìó ñòàíi |Ψ− 23 i, à ïåðøà ó ñòàíi |ϕi, òî â ðåçóëüòàòi äåÿêî¨ ñïåöiàëüíî¨ îïåðàöi¨ (àáî ñïåöiàëüíîãî âèìiðþâàííÿ), ïðîâåäåíî¨ íàä ïåðøîþ i äðóãîþ ÷àñòèíêàìè, ùî 47*

739

ïåðåâîäèòü ¨õ ó ñòàí |Ψ− 12 i, òðåòÿ ÷àñòèíêà îïèíèòüñÿ ó ñòàíi |ϕi. Òîáòî ìè òåëåïîðòóâàëè ñòàí |ϕi ç ïåðøî¨ ÷àñòèíêè íà òðåòþ. ßê ïðèêëàä îáãîâîðèìî ìîæëèâó òåëåïîðòàöiþ åëåêòðîíà. Ïðè ðîçùåïëåííi ïàðàïîçèòðîíiþ (çâ'ÿçàíîãî ñòàíó åëåêòðîíà i ïîçèòðîíà ç ñóìàðíèì ñïiíîì, ðiâíèì íóëåâi), íàïðèêëàä ïiä äi¹þ ïàðè îòîíiâ, âèíèêà¹ ñïëóòàíà EPR 12-ïàðà åëåêòðîí ïëþñ ïîçèòðîí. ßêùî äî öi¹¨ ïàðè äîëó÷èòè ùå îäèí åëåêòðîí (íåõàé öå ÷àñòèíêà ïiä íîìåðîì òðè), ÿêèé ðóõàòèìåòüñÿ ó ñòàíi ñïií óâåðõ (àáî ñïií óíèç) íàçóñòði÷ ïîçèòðîíîâi, i ÿêùî âîíè óòâîðÿòü ïàðàïîçèòðîíié, òî öå îçíà÷àòèìå, ùî ïîçèòðîí çàõîïëåíî ó çâ'ÿçàíèé ñòàí çi ñïiíîì óíèç (àáî ââåðõ), à òàêîæ ùî ïåðøèé åëåêòðîí ðàïòîì îïèíèâñÿ òàêîæ ó ñòàíi ñïií óâåðõ (àáî ñïií óíèç), õî÷à äîòè âií íå ìàâ ïåâíîãî ñïiíîâîãî ñòàíó. Ñïðàâäi, ìè ìà¹ìî âiäîìîñòi ëèøå ùîäî ïîâíîãî, ðiâíîãî íóëåâi, ñïiíó ïî÷àòêîâîãî ïàðàïîçèòðîíiþ, à íå îêðåìî ïðî êîæíó ç ÷àñòèíîê iç öi¹¨ ñïëóòàíî¨ ïàðè. Îòæå, ñïiíîâèé ñòàí åëåêòðîíà, ùî ÷èñëèòüñÿ â íàñ ÷àñòèíêîþ íîìåð òðè, òåëåïîðòó¹òüñÿ äî ïåðøîãî, ÿêèé óòâîðèâñÿ ïiñëÿ ðîçïàäó ïî÷àòêîâîãî ïàðàïîçèòðîíiþ, i õòîçíà, íà ÿêié âåëèêié âiäñòàíi âií ïåðåáóâà¹ âiä òî÷êè, äå óòâîðèâñÿ íîâèé ïàðàïîçèòðîíié. ßêùî ìîâà éäå ïðî åêñïåðèìåíòàëüíå ïiäòâåðäæåííÿ ÿâèùà êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨, òî ïðèíöèïîâèìè ìîìåíòàìè ¹ ïðèãîòóâàííÿ ñïëóòàíîãî ñòàíó |Ψ− 23 i òà ìèñòåöòâî åêñïåðèìåíòàòîðà âèòÿãóâàííÿ çi ñòàíó |ψ123 i ñïëóòàíî¨ ñêëàäîâî¨ |Ψ− 12 i. ßê ìè âæå çàçíà÷àëè, öå âäàëîñü çðîáèòè 1997 ðîêó íà îòîíàõ, ÷àñòèíêàõ, ÿêi òàêîæ ìàþòü äâà ìîæëèâi ñòàíè ïîëÿðèçàöi¨.

95. Òåëåïîðòàöiÿ îòîíiâ

Îáãîâîðèìî Iíñáðóêñüêèé åêñïåðèìåíò 1997 ðîêó ç òåëåïîðòàöi¨ îòîíiâ, ïðî ÿêèé iøëîñÿ â ïîïåðåäíiõ äâîõ ïàðàãðààõ. Îñêiëüêè îòîí ìà¹ äâi ìîæëèâi ïîëÿðèçàöi¨, òî âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨ ek,α âiäiãðà¹ ðîëü ñïiíîâî¨ ñêëàäîâî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îòîíà. Îòæå, ìè çíîâó ìà¹ìî êâàíòîâîìåõàíi÷íèé îá'¹êò iç äâîìà ñòàíàìè, òîìó âñi ðåçóëüòàòè i âèñíîâêè äëÿ ÷àñòèíîê çi ñïiíîì ~/2 îðìàëüíî ïåðåíîñèìî íà îòîíè ùîäî ¨õ ïîëÿðèçàöiéíèõ ñòàíiâ. Çîêðåìà çi ñòàíîì ñïií óíèç çiñòàâëÿ¹ìî ñòàí îòîíà ç 740

âåðòèêàëüíîþ ïîëÿðèçàöi¹þ, ïîçíà÷ìî éîãî ÿê | li; ñòàí iç ãîðèçîíòàëüíîþ ïîëÿðèçàöi¹þ îòîíà | ↔i âiäïîâiäàòèìå ñòàíîâi ñïií óâåðõ:     0 1 | ↓i → | li =   , | ↑i → | ↔i =   . 1 0

Òåïåð ïðèãàäàéìî ñèòóàöiþ ç òåëåïîðòàöi¹þ ñïiíîâîãî ñòàíó ç 94 i ïåðåîðìóëþéìî ¨¨ âèñíîâêè íà òåïåðiøíié âèïàäîê. Îòæå, çàäàìî ñòàí òðüîõ îòîíiâ òàê, ùî îäèí iç íèõ, íàïðèêëàä, ïåðøèé, ïåðåáóâà¹ ó ñïåöiàëüíî ïiäãîòîâàíîìó ñòàíi

|ϕi1 = a | ↔i + b | li, |a|2 + |b|2 = 1,

à äâà iíøi ó ñïëóòàíîìó ñóïåðïîçèöiéíîìó ñòàíi 1 |Ψ− | ↔i2 | li3 − | ↔i3 | li2 . 23 i = √ 2

Õâèëüîâà óíêöiÿ, ùî îïèñó¹ ñèñòåìó òðüîõ îòîíiâ ó ïî÷àòêîâîìó ñòàíi, äîðiâíþ¹

|ψ123 i = |Ψ− 23 i|ϕi1 .

Ñïðîåêòó¹ìî |ψ123 i íà ñïëóòàíèé ñòàí |Ψ− 12 i ïåðøîãî i äðóãîãî îòîíiâ. ßê ïîêàçàíî â 94, öÿ ïðîåêöiÿ äîðiâíþ¹ (−1/2)|ϕi3 . Òîáòî ñòàí |ϕi â ðåçóëüòàòi òàêîãî ïðîåêòóâàííÿ ïåðåêèäà¹òüñÿ çi çíàêîì ìiíóñ iç ïåðøîãî îòîíà íà òðåòié. Êiíöåâà õâèëüîâà óíêöiÿ òðüîõ îòîíiâ ′ |ψ123 i = −|Ψ− 12 i|ϕi3 ,

à éìîâiðíiñòü ðåàëiçàöi¨ òàêî¨ ïîäi¨ äîðiâíþ¹ (−1/2)2 = 1/4. Ñàìå öþ òåëåïîðòàöiþ i âèÿâèëè â Iíñòèòóòi åêñïåðèìåíòàëüíî¨ içèêè Iíñáðóêñüêîãî óíiâåðñèòåòó. îçãëÿíüìî ñõåìó öüîãî óíiêàëüíîãî åêñïåðèìåíòó, ÿêà ïîäàíà íà ðèñ. 74. Êîðîòêèé åìòîñåêóíäíèé iìïóëüñ óëüòðàiîëåòîâîãî ëàçåðíîãî ñâiòëà ïîøèðþ¹òüñÿ çëiâà íàïðàâî êðiçü íåëiíiéíèé êðèñòàë. Êðèñòàë âiä ÷àñó äî ÷àñó ïåðåòâîðþ¹ ïîîäèíîêi óëüòðàiîëåòîâi îòîíè ó äâà ÷åðâîíi îòîíè (2 òà 3) ç íèæ÷îþ åíåð i¹þ, 741

èñ. 74.

742

Ñõåìà Iíñáðóêñüêîãî åêñïåðèìåíòó ç êâàíòîâî¨ òåëåïîðòàöi¨.

òîáòî âiäáóâà¹òüñÿ ïðîöåñ äâîîòîííîãî âèïðîìiíþâàííÿ. Îäèí ç îòîíiâ ïîëÿðèçîâàíèé âåðòèêàëüíî, à iíøèé ãîðèçîíòàëüíî. Íàðîäæåíi îòîíè ïîøèðþþòüñÿ â ìåæàõ ïîâåðõîíü äâîõ êîíóñiâ âèïðîìiíþâàííÿ, ó êîæíîìó ç ÿêèõ âîíè ìàþòü ïåâíó ïîëÿðèçàöiþ5 . Íà äâîõ ëiíiÿõ ïåðåòèíó öèõ êîíóñiâ îòîíè íå ìàòèìóòü âèçíà÷åíî¨ ïîëÿðèçàöi¨: âîíè ïåðåáóâàòèìóòü ó ñóïåðïîçèöiéíîìó ñòàíi. Ïðè÷îìó, íàïðèêëàä, çâè÷àéíèìè ïîâîðîòàìè êðèñòàëà ìîæíà ïðèãîòóâàòè àíòèñèìåòðè÷íó ñóïåðïîçèöiþ ¨õíiõ ïîëÿðèçàöiéíèõ ñòàíiâ. Ïîçíà÷èìî öi îòîíè íîìåðàìè 2 òà 3. Îòæå, ìè ìà¹ìî ñïëóòàíèé ñòàí |Ψ− 23 i, òîáòî ïðèãîòóâàëè EPR23-ïàðó îòîíiâ. Ôîòîí 2 ïiñëÿ âiäáèâàííÿ âiä äçåðêàëà ðóõà¹òüñÿ äî àíàëiçàòîðà A. Âiäáèòà âiä äçåðêàëà ÷àñòèíà ïåðâèííîãî iìïóëüñó çíîâó ïðîõîäèòü êðiçü êðèñòàë i ïîðîäæó¹ äâà iíøi îòîíè 1 òà 4. Ïîëÿðèçàòîð P ïðèãîòîâëÿ¹ ñòàí |ϕi äëÿ îòîíà 1. Äåòåêòîð iêñó¹ îòîí 4 i öèì ïiäòâåðäæó¹, ùî îòîí 1 áóâ âiäiñëàíèé òàêîæ äî àíàëiçàòîðà A. Îòæå, ó äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó ïðèãîòîâëåíî ïî÷àòêîâèé ñòàí |ψ123 i ñèñòåìè ç òðüîõ ÷àñòèíîê, à ñàìå: ç îòîíà 1 ó ñòàíi |ϕi, ÿêèé íàïðàâëåíî äî àíàëiçàòîðà A, îòîíà 2 ç EPR23-ïàðè, ùî ðóõà¹òüñÿ òàêîæ äî A, i 3-ãî îòîíà ç öi¹¨ ïàðè íà øëÿõó äî àíàëiçàòîðà B . Ïåðåõîäèìî íàðåøòi äî àíàëiçó ðåçóëüòàòiâ âèìiðþâàííÿ íàä îòîíàìè 1 òà 2. Â àíàëiçàòîði A, ÿêèé ñêëàäà¹òüñÿ ç íàïiââiäáèâàþ÷îãî äçåðêàëà, âiäáóâà¹òüñÿ ðîçùåïëåííÿ ïðîìåíiâ: êîæåí îêðåìèé îòîí ìà¹ ï'ÿòäåñÿò íà ï'ÿòäåñÿò øàíñiâ ïðîéòè êðiçü äçåðêàëî àáî âiäáèòèñü. Îòæå, êîæåí iç îòîíiâ ïåðåáóâà¹ â ñóïåðïîçèöiéíîìó ñòàíi. ßêùî äâà iäåíòè÷íi îòîíè âäàðÿòü ó òîé ñàìèé ÷àñ îá äçåðêàëî êîæåí çi ñâîãî áîêó, òî âiäáèòà ÷àñòèíà ïðîìåíÿ é òà, ùî ïðîéøëà, iíòåðåðóþòü i îòîíè òèì ñàìèì óòðà÷àþòü ñâîþ iíäèâiäóàëüíiñòü. Ïîâíà õâèëüîâà óíêöiÿ îòîíiâ ÿê áîçå-÷àñòèíîê äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi ïðîñòîðîâî¨ ÷àñòèíè íà ñïiíîâó, òîáòî ïîëÿðèçàöiéíó, i ïîâèííà áóòè ñèìåòðè÷íîþ ùîäî ¨õ ïåðåñòàíîâîê. 5

Â îïòè÷íî îäíîâiñíèõ êðèñòàëàõ òàê çâàíà çâè÷àéíà õâèëÿ ïîëÿðèçîâàíà ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ïëîùèíè ãîëîâíîãî ïåðåðiçó (òîáòî ïëîùèíè, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç ëiíiþ íàïðÿìêó ïðîìåíÿ i îïòè÷íó âiñü êðèñòàëà), à iíøà íåçâè÷àéíà õâèëÿ ïîëÿðèçîâàíà ïàðàëåëüíî äî ãîëîâíîãî ïåðåðiçó. Â äîñòàòíüî òîâñòèõ êðèñòàëàõ çâè÷àéíà é íåçâè÷àéíà õâèëi ¹ ïðîñòîðîâî ðîçäiëåíèìè.

743

Äâà îòîíè çàëèøàþòü äçåðêàëî â îäíîìó íàïðÿìêó (îäíîìó ïó÷êó), ÿêùî ¨õ ïðîñòîðîâà õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ ñèìåòðè÷íîþ, òîáòî âîíè îáèäâà ïîòðàïëÿþòü â îäèí iç äåòåêòîðiâ. Ùîá ïîòðàïèòè â ðiçíi äåòåêòîðè, âîíè ïîâèííi îïèñóâàòèñü àíòèñèìåòðè÷íîþ ÷àñòèíîþ ïîñòîðîâî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Ñïðàâäi, îòîíè ïîòðàïëÿþòü îäíî÷àñíî â ðiçíi äåòåêòîðè, ÿêùî âîíè îáèäâà àáî ïðîõîäÿòü êðiçü íàïiâïðîçîðå äçåðêàëî, àáî îáèäâà âiäáèâàþòüñÿ. À ïiäðàõóíîê iìîâiðíîñòi òàêî¨ ïîäi¨, çãiäíî ç ïðèíöèïàìè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ðîáèìî òàê: áåðåìî ñóìó ïðîñòîðîâèõ àìïëiòóä öèõ äâîõ àëüòåðíàòèâíèõ ïîäié i ïiäíîñèìî ¨¨ ìîäóëü äî êâàäðàòà. Íàãàäà¹ìî, ùî ïðè âiäáèâàííi àìïëiòóäà åëåêòðîìàãíiòíî¨ õâèëi íàáèðà¹ äîäàòêîâî¨ àçè ñòîñîâíî àìïëiòóäè õâèëi, ÿêà ïðîéøëà êðiçü äçåðêàëî. Iíøèìè ñëîâàìè, ó ïðîñòîðîâî¨ ÷àñòèíè õâèëüîâî¨ óíêöi¨ îòîíà ïðè öüîìó íàáiãà¹ äåÿêà àçà6 . Îòæå, ïðè óòâîðåííi ñïëóòàíîãî ñòàíó äâîõ îòîíiâ, êîëè ¨õ ðå¹ñòðóþòü îäíî÷àñíî â ðiçíèõ äåòåêòîðàõ, ïðîñòîðîâó ÷àñòèíó õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ìîæíà çðîáèòè àíòèñèìåòðè÷íîþ ïiäáîðîì öi¹¨ àçè. Òîáòî àìïëiòóäà äðóãî¨ ïîäi¨ (ìîâà éäå ïðî âiäáèâàííÿ îòîíiâ) äîäà¹òüñÿ çi çíàêîì ìiíóñ, ÿêùî àçó ïiäiáðàòè ðiâíîþ π . Êîëè ïðîñòîðîâà ÷àñòèíà õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¹ àíòèñèìåòðè÷íîþ, òî çðîçóìiëî, ùî îòîíè íå ìîæóòü áóòè â îäíîìó ïó÷êó, îñêiëüêè òàêà õâèëüîâà óíêöiÿ ïðîñòî áóäå ðiâíà íóëåâi, i òîìó âîíè ïîòðàïëÿþòü â ðiçíi äåòåêòîðè. Ó öüîìó âèïàäêó äëÿ çáåðåæåííÿ ñèìåòðè÷íîñòi ïîâíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ¨¨ ïîëÿðèçàöiéíà ÷àñòèíà ìóñèòü áóòè òàêîæ àíòèñèìåòðè÷íîþ, òîáòî äîðiâíþâàòè |Ψ− 12 i. Òîìó ÿêùî äâà äåòåêòîðè ñïðàöüîâóþòü îäíî÷àñíî (ñõåìà óâiìêíóòà íà çáiæíiñòü), òî ìè çíà¹ìî, ùî îòîíè 1 òà 2 ïåðåáóâàþòü ó ñïëóòàíîìó àíòèñèìåòðè÷íîìó ñòàíi |Ψ− 12 i. À öå, ñâî¹þ ÷åðãîþ, ãîâîðèòü ïðî òå, ùî ÷àñòèíêà 3 ïåðåáóâà¹ ó ñòàíi (−)|ϕi3 . Òîáòî, ÿê òiëüêè äâà äåòåêòîðè â àíàëiçàòîði A ñïðàöþâàëè îäíî6

ßê ïîêàçàíî â 25 ïðè ïðîõîäæåííi ÷àñòèíêè êðiçü ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð (ÿêèì òóò äëÿ îòîíà ¹ íàïiâïðîçîðå äçåðêàëî), õâèëÿ, ùî ïðîéøëà êðiçü áàð'¹ð, íàáóâà¹ ñòîñîâíî âiäáèòî¨ õâèëi äîäàòêîâî¨ àçè (π/2 − ka), k = 2π/λ õâèëüîâèé âåêòîð ÷àñòèíêè, λ äîâæèíà õâèëi. Íàïðèêëàä, äëÿ òîíêîãî áàð'¹ðà, a → 0, öÿ äîäàòêîâà àçà äîðiâíþ¹ π/2, à ÿêùî øèðèíó áàð'¹ðà âèáðàòè ðiâíîþ 3/4 äîâæèíè õâèëi, a = 3λ/4, òî äîäàòêîâà àçà ìà¹ äîðiâíþâàòè (−π).

744

÷àñíî, ìîæíà çâiäñè ïåðåäàâàòè êëàñè÷íèì êàíàëîì iíîðìàöiþ7 äî òî÷êè B ïðî òå, ùî â àíàëiçàòîði B ïîâèíåí âèÿâèòèñü ñòàí (−)|ϕi. Òèì ñàìèì, ñòàí |ϕi òåëåïîðòîâàíî ç ÷àñòèíêè 1 íà ÷àñòèíêó 3. Íåõàé äëÿ âèçíà÷åíîñòi îòîí 1 ïðèãîòîâàíî ïîëÿðèçàòîðîì P ó ñòàíi ç 45◦ -íîþ ïîëÿðèçàöi¹þ8 , òîáòî éîãî ïî÷àòêîâà õâèëüîâà 7

Òðàäèöiéíèìè ïåðñîíàæàìè â àíãëîìîâíié íàóêîâié ëiòåðàòóði, ÿêi îáìiíþþòüñÿ iíîðìàöi¹þ ìiæ ïóíêòàìè A òà B , ¹ ïiäëiòêè: Àëiñà ç Àìñòåðäàìà òà Áîá iç Áîñòîíà. 8 Äiþ òàêîãî ïîëÿðèçàòîðà çàäà¹ìî ìàòðèöåþ 1 = 2

Pˆπ/4

1

1

1

1

!

.

Îòæå, ÿêùî îòîí ïîòðàïëÿ¹ â ïîëÿðèçàòîð ó ñòàíi | li, òî ïiñëÿ öüîãî ìà¹ìî: 1 Pˆπ/4 | li = 2

1

1

1

1

!

0 1

!

1 = 2

1

!

=

1

1 | li + | ↔i 2

1 = √ |ւ րi . 2

Òîáòî ìè îòðèìó¹ìî ñòàí iç ïîëÿðèçàöi¹þ â 45◦ , îäíàê âåëè÷èíà ïîòîêó öi¹¨ õâèëi äîðiâíþ¹ ëèøå ïîëîâèíi ïàäàþ÷îãî ïîòîêó. ßêùî íà öåé ïîëÿðèçàòîð ïàäà¹ õâèëÿ â ïîëÿðèçàöiéíîìó ñòàíi â 45◦ , òî 1 Pˆπ/4 |ւ րi = √ 2 2

1

1

1

1

!

1

!

1

1

1 = √ 2

1

!

= |ւ րi .

Òîáòî 45◦ -ñòàí |ւ րi ¹ âëàñíèì ñòàíîì îïåðàòîðà Pˆπ/4 , i õâèëÿ ïðîõîäèòü áåç óòðàò. Ïîëÿðèçàòîð, íàëàøòîâàíèé íà ñòàí (−45◦ ), çàäà¹ìî ìàòðèöåþ 1 Pˆ−π/4 = 2

1 −1

−1

!

.

1

√ Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî (−45◦ )-ñòàí |տ ցi = (| ↔i − | li) / 2 ¹ éîãî âëàñíèì ñòàíîì. Ìàòðèöi âåðòèêàëüíîãî òà ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëÿðèçàòîðiâ òàêi: Pˆl =

1

0

0

0

!

, Pˆ↔ =

0

0

0

1

!

,

òàê ùî Pˆl | li = | li, àëå Pˆl | ↔i = 0; àíàëîãi÷íî Pˆ↔ | li = 0, Pˆ↔ | ↔i = | ↔i.

745

óíêöiÿ

|ϕi = |ւ րi ,

1 |ւ րi = √ (| li + | ↔i) . 2

Äëÿ àíàëiçó ïîëÿðèçàöiéíîãî ñòàíó îòîíà 3 âèêîðèñòîâóâàëîñü ïîëÿðèçàöiéíå äçåðêàëî ç äâîìà äåòåêòîðàìè. Îäèí iç íèõ íàëàøòîâàíèé íà 45◦ -ñòàí, òîáòî íà âèÿâëåííÿ ñòàíó |ϕi, à iíøèé íà ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî íüîãî (−45◦ )-ñòàí. ßêùî ñïðàöþâàëè îäíî÷àñíî äâà äåòåêòîðè â àíàëiçàòîði A i 45◦ -äåòåêòîð â àíàëiçàòîði B , òî ìîæíà ãîâîðèòè ïðî òåëåïîðòàöiþ çà óìîâè, ùî (−45◦ )-äåòåêòîð ïðîìîâ÷àâ. Ñïðàâäi, ïðè òåëåïîðòàöi¨ éìîâiðíiñòü îäíî÷àñíîãî ñïðàöüîâóâàííÿ äâîõ äåòåêòîðiâ â àíàëiçàòîði A äîðiâíþ¹ 1/4, îñêiëüêè ïðè öüîìó ðåàëiçó¹òüñÿ ñòàí Ψ− 12 îäèí + − iç ÷îòèðüîõ áàçèñíèõ ñòàíiâ Áåëëà (Ψ− , Ψ , Φ , Φ ) . Iìîâiðíiñòü 12 12 12 12 ñïðàöþâàííÿ â öåé ìîìåíò (45◦ )-äåòåêòîðà â àíàëiçàòîði B äîðiâíþ¹ îäèíèöi, i îòæå, ïîâíà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî öi òðè äåòåêòîðè çàãîâîðÿòü îäíî÷àñíî, äîðiâíþ¹ 1/4. Ïðè öüîìó âàæëèâî, ùî ïðè òåëåïîðòàöi¨ (−45◦ )-äåòåêòîð ó B íå ñïðàöüîâó¹. Ïðèïóñòèìî, ùî îòîíè 1 òà 2 âäàðÿòü ó äçåðêàëî àíàëiçàòîðà A íåîäíî÷àñíî, òîáòî âîíè íå iíòåðåðóþòü. Öå ëåãêî çðîáèòè, çàòðèìàâøè îòîí 1 íà éîãî øëÿõó äî A, íàïðèêëàä, çìiíîþ ïîëîæåííÿ äçåðêàëà, ùî âiäáèâà¹ ïåðâiñíèé åìòîñåêóíäíèé iìïóëüñ. Òåïåð iìîâiðíiñòü îäíî÷àñíîãî ñïðàöþâàííÿ îáîõ äåòåêòîðiâ â A äîðiâíþ¹ äâîì øàíñàì iç ÷îòèðüîõ: îáèäâà îòîíè àáî âiäáèâàþòüñÿ âiä äçåðêàëà, àáî îáèäâà ïðîéøëè êðiçü íüîãî. À éìîâiðíiñòü ñïðàöüîâóâàííÿ êîæíîãî ç äåòåêòîðiâ ó B äîðiâíþ¹ 1/2. Òàê ùî éìîâiðíiñòü îäíî÷àñíîãî ñïðàöüîâóâàííÿ òðüîõ äåòåêòîðiâ (äâîõ â A i îäíîãî â B ) äîðiâíþ¹ 2/4 × 1/2 = 1/4. Òîáòî ìà¹ìî òó ñàìó éìîâiðíiñòü, ùî i ïðè òåëåïîðòàöi¨, îäíàê òåïåð ñïðàöüîâó¹ i (−45◦ )-äåòåêòîð â àíàëiçàòîði B . Îòæå, ÿêùî ïiäðàõóâàòè êiëüêiñòü ñïðàöþâàíü (−45◦ )-äåòåêòîðà çàëåæíî âiä ÷àñó çàòðèìêè îòîíà 1, òî â ìiíiìóìi öi¹¨ çàëåæíîñòi (ÿêèé òåîðåòè÷íî äîðiâíþ¹ íóëåâi) ìàòèìåìî òåëåïîðòàöiþ ñòàíó |ϕi ç òî÷êè A â òî÷êó B . 96. Êâàíòîâèé êîìï'þòåð

Òåîðiÿ êâàíòîâèõ êîìï'þòåðiâ ìiæäèñöèïëiíàðíà íàóêà, ùî âèíèêëà íà ïåðåòèíi êâàíòîâî¨ içèêè i ìàòåìàòèêè. Êâàíòîâi êîìï'þòåðè âèÿâëÿþòü ïîðiâíÿíî ç êëàñè÷íèìè îá÷èñëþâàëüíèìè ìàøèíàìè ïðèíöèïîâi ïåðåâàãè çàâäÿêè âèêîðèñòàííþ ñóòò¹746

âî êâàíòîâèõ ååêòiâ. Òàêà íàóêà, ÿê êðèïòîãðàiÿ, òàêîæ çíàéøëà íîâèé ðîçâèòîê, îñêiëüêè òåõíi÷íi çàñîáè çàõèñòó iíîðìàöi¨ ïðÿìî ïîâ'ÿçàíi ç ìîæëèâîñòÿìè îá÷èñëþâàëüíèõ ìàøèí, à êðiì òîãî, íîâi ìîæëèâîñòi äàþòü i ïðèíöèïè êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Òîðêíåìîñü òóò öèõ ïèòàíü iç ìåòîþ çàöiêàâèòè ×èòà÷à. Íåïîäiëüíà îäèíèöÿ êëàñè÷íî¨ iíîðìàöi¨, ùî íàáóâà¹ äâà çíà÷åííÿ 0 i 1, ìà¹ íàçâó áiò. Êâàíòîâi ñèñòåìè ç äâîìà ñòàíàìè íàçèâàþòü êâàíòîâèìè áiòàìè (qubits), ñêîðî÷åíî êóáiòàìè àáî êâàáiòàìè, áàçèñîì ÿêèõ ¹:   1 |0i ≡ | ↑i =   , 0



|1i ≡ | ↓i = 

0 1



.

Òîáòî êâàáiò öå íîðìîâàíi íà îäèíèöþ âåêòîðè äâîâèìiðíîãî ãiëüáåðòîâîãî ïðîñòîðó. Âií ìîæå çîáðàæàòè ÷èñëà 0 i 1. Êâàáiòîì ìîæå ñëóãóâàòè áóäü-ÿêà êâàíòîâà ñèñòåìà, ÿêà ìà¹ äâà ñòàíè (àáî é áiëüøå). Ç ïðèêëàäàìè òàêèõ ñèñòåì ìè âæå íåîäíîðàçîâî ìàëè ñïðàâó. Âiçüìåìî ïðÿìèé äîáóòîê äâîõ êâàáiòiâ:     1 0      0   1      |00i = |0i|0i =   , |01i = |0i|1i =   ,  0   0      0 0



0



   0    |10i = |1i|0i =   ,  1    0



0



   0    |11i = |1i|1i =   .  0    1

Îòæå, ìè îòðèìó¹ìî áàçèñ ó 4-âèìiðíîìó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði, ÿêèé ìîæå çîáðàæàòè ÷èñëà âiä 0 äî 3. Ïðÿìèé äîáóòîê N êâàáiòiâ 747

î÷åâèäíî óòâîðþ¹ áàçèñ, âåêòîð x ó ÿêîìó äîçâîëÿ¹ çîáðàæàòè âñi öiëi ÷èñëà âiä 0 äî 2N − 1 (N êâàáiòîâèé ðå iñòð):

|xi = |xN −1 xN −2 . . . x2 x1 x0 i, j = 0, . . . , N − 1.

xj = (0, 1),

îçãëÿíüìî êâàíòîâi ëîãi÷íi åëåìåíòè, òîáòî îïåðàòîðè, ùî çìiíþþòü ñòàíè îêðåìîãî êâàáiòà i ç ÿêèõ ñêëàäà¹òüñÿ ìàøèíà ïiä íàçâîþ êâàíòîâèé êîìï'þòåð. Ïåðåòâîðåííÿ Àäàìàðà çàäà¹ìî óíiòàðíèì îïåðàòîðîì (äèâ. ïðèêëàä 3 äî 13)   1 1 1 ˆ =√  , H 2 1 −1 äiþ ÿêîãî íà âåêòîð ñòàíó ëåãêî çíàõîäèìî    1 1 1 1 ˆ    = √1 (|0i + |1i), H|0i =√  2 2 1 −1 0







1 1 0 1 ˆ    = √1 (|0i − |1i). H|1i =√  2 2 1 −1 1

Òîáòî öåé îïåðàòîð òâîðèòü ñóïåðïîçèöiéíi ñòàíè, ùî â çàãàëüíîìó âèïàäêó çàïèñó¹ìî òàê:

1 1 ˆ H|xi = √ (|0i + (−)x |1i) = √ (|0i + eiπx |1i) 2 2 1 X iπxy e |yi. =√ 2 y=0,1 ˆ N íà ñòàí |xi êâàíÄiÿ ïðÿìîãî äîáóòêó N îïåðàòîðiâ Àäàìàðà H òîâîãî ðå iñòðà, ñêëàäåíîãî ç N äâîñòàíîâèõ ïiäñèñòåì, ¹ òàêîþ: ˆ N |xi = H 748

1 X

2N/2

y

eiπxy |yi,

xy =

N −1 X

xj yj ,

j=0

yj = (0, 1), à

X y

≡

X

...

y0 =0,1

X

.

yN−1 =0,1

ˆ N íà ñòàí |xi ïåðåâîäèòü Òàêèì ÷èíîì, äiÿ îïåðàòîðà Àäàìàðà H N éîãî â ñòàí, ùî ¹ ñóïåðïîçèöi¹þ 2 ñòàíiâ, i êîæåí ç ÿêèõ âèçíà÷à¹ íàòóðàëüíå ÷èñëî ç îáëàñòi âiä 0 äî 2N − 1. Öå íàéãîëîâíiøà ïåðåâàãà êâàíòîâîãî êîìï'þòåðà íàä êëàñè÷íèì, àäæå â êëàñè÷íîìó êîìï'þòåði êîæåí éîãî ñòàí çàäà¹ ëèøå îäíå ÷èñëî, à ó êâàíòîâîìó éîãî ñòàí çàäà¹ 2N ÷èñåë. Íàïðèêëàä, ÿêùî êâàáiòè öå àòîìè, òî ñïåöiàëüíî ïiäiáðàíi ëàçåðíi iìïóëüñè äiþòü íà ¨õíi åëåêòðîííi ñòàíè i ïî÷àòêîâà ñóïåðïîçèöiÿ 2N ÷èñåë åâîëþöiîíó¹ äî iíøî¨ ñóïåðïîçèöi¨ òàê, ùî çìiíþ¹òüñÿ êîæíå âõiäíå ÷èñëî. Öå îçíà÷à¹, ùî êâàíòîâèé êîìï'þòåð çà îäèí êðîê ïðîâîäèòü îäíó îïåðàöiþ íàä 2N ðiçíèìè âõiäíèìè ÷èñëàìè ïàðàëåëüíî, i â ðåçóëüòàòi íà âèõîäi ìà¹ìî ñóïåðïîçèöiþ 2N íîâèõ ÷èñåë. Êëàñè÷íèé êîìï'þòåð òàêi îá÷èñëåííÿ ìóñèòü ïðîâîäèòè çà 2N êðîêiâ àáî çà îäèí êðîê, àëå íà 2N ïàðàëåëüíî ïðàöþþ÷èõ êîìï'þòåðàõ. Îòæå, êâàíòîâèé êîìï'þòåð äà¹ âåëèêèé âèãðàø ÿê ÷àñó îá÷èñëåíü, òàê îá'¹ìó ïàì'ÿòi. Öÿ âëàñòèâiñòü êâàíòîâîãî êîìï'þòåðà ìà¹ íàçâó êâàíòîâèé ïàðàëåëiçì, i ñàìå âîíà âèçíà÷à¹ éîãî òàê çâàíó íàäååêòèâíiñòü. Óâåäåìî ùå îäèí óíiòàðíèé îïåðàòîð   1 0 ˆ , Φ(ϕ) = 0 eiϕ ÿêèé íàçèâà¹òüñÿ îïåðàòîðîì çìiíè àçè. Î÷åâèäíî

ˆ Φ(ϕ)|xi = eiϕx |xi,

x = (0, 1).

ˆ òà Φ(ϕ) ˆ Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî öèõ äâîõ îïåðàòîðiâ H äîñòàòíüî äëÿ òîãî, ùîá ñêîíñòðóþâàòè äîâiëüíèé óíiòàðíèé êâàíòîâèé îïåðàòîð, òîáòî êâàíòîâèé ëîãi÷íèé åëåìåíò, ùî äi¹ íà îäèí êâàáiò. 749

Íàâåäåìî çàðàç ïðîñòèé îäíîêâàáiòîâèé êâàíòîâèé ïðèñòðié òàê çâàíèé iíòåðåðîìåòð ÌàõàÖàíäåðà (äèâ. ðèñ. 75). Îòæå, íåõàé ìè ìà¹ìî íàïiâïðîçîðèé áàð'¹ð äëÿ ÷àñòèíîê, öå ìîæå áóòè òîíêå íàïiâïîñðiáëåíå äçåðêàëî 1, íà ÿêå ïàäà¹ îòîí.

èñ. 75. Iíòåðåðîìåòð ÌàõàÖàíäåðà. 1,4 äiëüíèêè ÷àñòèíîê ó âiäíîøåííi 50/50; 2,3 äçåðêàëà;

D0 , D1

äåòåêòîðè ÷àñòèíîê.

Âiäáèâàþ÷èñü âiä äâîõ çâè÷àéíèõ ïëîñêèõ äçåðêàë 2 òà 3, ïó÷êè ðîùåïëåíîãî âèõiäíîãî ïó÷êà çíîâó ñõîäÿòüñÿ íà íàïiâïîñðiáëåíîìó äçåðêàëi 4. Îá÷èñëèìî éìîâiðíîñòi ïîòðàïëÿííÿ ÷àñòèíêè â äåòåêòîðè D0 òà D1 . Àìïëiòóäà ïîòðàïëÿííÿ ÷àñòèíêè â äåòåê√ √ òîð D0 ïî ïðàâîìó øëÿõó äîðiâíþ¹ eiπ/2 / 2 × eiπ/2 / 2 = eiπ /2 îñêiëüêè ÷àñòèíêà äâi÷i ïðîõîäèòü êðiçü áàð'¹ð, ùîðàçó óïîëîâèíþþ÷è éìîâiðíiñòü, i äâi÷i íàáóâà¹ àçó π/2 (äèâ. 25 òà âèíîñêó íà ñòîð. 744). Àìïëiòóäà ïîòðàïëÿííÿ ÷àñòèíêè â öåé äåòåêòîð ïî ëiâîìó √ øëÿõó, √ êîëè âîíà ëèøå âiäáèâà¹òüñÿ âiä äçåðêàë, äîðiâíþ¹ 1/ 2 × 1/ 2 = 1/2. Ïîâíà àìïëiòóäà ïîòðàïëÿííÿ â D0 , çãiäíî ç ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨, äîðiâíþ¹ ñóìi àìïëiòóä ïî ïðàâîìó é 750

ëiâîìó øëÿõàõ:

A0 =

1 eiπ + = 0, 2 2

i, îòæå, ÷àñòèíêà íiêîëè íå ïîòðàïèòü ó äåòåêòîð D0 . Àíàëîãi÷íî îá÷èñëþ¹ìî é àìïëiòóäó ïîòðàïëÿííÿ ÷àñòèíêè â äåòåêòîð D1 . Îòæå, ïî ïåðøîìó øëÿõó àìïëiòóäà ïîòðàïëÿííÿ â D1 √ √ ïðàâîìó iπ/2 /2; ïî ëiâîìó øëÿõó ìà¹ìî àìïe äîðiâíþ¹ eiπ/2 / √2 × 1/ 2 = √ iπ/2 / 2 = eiπ/2 /2. Òàê, ùî ïîâíà àìïëiòóäà ëiòóäó, ðiâíó 1/ 2 × e éìîâiðíîñòi ïîòðàïèòè â D1 äîðiâíþ¹ iπ 1 iπ 1 iπ A1 = e 2 + e 2 = e 2 , 2 2

à éìîâiðíiñòü |A1 |2 = 1, òîáòî ÷àñòèíêà çàâæäè ïîòðàïëÿ¹ â äåòåêòîð D1 . À òåïåð ïîñòàâèìî íà îáîõ øëÿõàõ îòîíà çñóâà÷i àç ϕ0 i ϕ1 (äèâ. ðèñ. 76) i îòðèìà¹ìî ïðèñòðié, ÿêèé i ¹ îäíîêâàáiòîâèì êîìï'þòåðîì.

èñ. 76.

Îäíîêâàáiòîâèé êâàíòîâèé êîìï'þòåð.

751

ßê âií ïðàöþ¹? Çíîâó ðàõó¹ìî àìïëiòóäè A0 i A1 , ÿê i â ïîïåðåäíüîìó âèïàäêó: π π 1 1 1 1 1 A0 = √ ei 2 eiϕ1 ei 2 √ + √ eiϕ0 √ = eiϕ0 1 − eiϕ , 2 2 2 2 2

π π 1 1 ei(π/2+ϕ0 ) 1 1 A1 = √ ei 2 eiϕ1 √ + √ eiϕ0 ei 2 √ = 1 + eiϕ , 2 2 2 2 2 ϕ = ϕ1 − ϕ0 .

Íåõàé ðiçíèöÿ àç ϕ ìîæå íàáóâàòè çíà÷åíü 0 àáî π : ϕ0 = 0, π , ϕ1 = 0, π. ßêùî àçè îäíàêîâi, òî ϕ = 0 i A0 = 0, A1 = ei(π/2+ϕ0 ) . Îòæå, ñïðàöüîâó¹ äåòåêòîð D1 : |A1 | = 1, |A0 | = 0. ßêùî àçè ðiçíi, òî ϕ = ±π , òî A0 = eiπ/2 , A1 = 0. Òîáòî ñïðàöüîâó¹ äåòåêòîð D0 : |A1 | = 0, |A0 | = 1. ßê áà÷èìî, ìà¹ìî îá÷èñëþâàëüíó ìàøèíó, ÿêà ïîðiâíþ¹ íàì àçè, ïðè÷îìó öåé ïðèñòðié âèêîíó¹ ëèøå îäíó äiþ çàïóñê îòîíà, i ìà¹ìî ðåçóëüòàò. À îá÷èñëåííÿ íà êëàñè÷íîìó êîìï'þòåði âèìàãà¹ äâi äi¨: ïîòðiáíî âçÿòè ðiçíèöþ àç i ïîòiì ïîðiâíÿòè ¨¨ ç íóëåì. Íàø êâàíòîâèé êîìï'þòåð, çàâäÿêè êâàíòîâîìó ïàðàëåëiçìó (âií äîäà¹ àìïëiòóäè äâîõ øëÿõiâ), âèêîíó¹ ëèøå îäíó äiþ i âèçíà÷à¹ ðiçíèöþ àç. Ñàìå âîíà ¹ âiäïîâiäàëüíîþ çà iíòåðåðåíöiþ, à íå ñàìi àçè. Çàóâàæèìî, ùî öÿ çàäà÷à ¹ ñïðîùåíèì âàðiàíòîì òàê çâàíî¨ çàäà÷i Äîé÷à. Çàìiñòü îòîíà ìîæíà âçÿòè, íàïðèêëàä, åëåêòðîí, ùî äèðàãó¹ íà äâîõ ùiëèíàõ, i ìàãíiòíèì ïîëåì çìiíþâàòè àçó (ååêò ÀàðîíîâàÁîìà). Ç îêðåìèõ êâàáiòiâ i îäíî- òà äâîêâàáiòîâèõ ëîãi÷íèõ åëåìåíòiâ áóäóþòü òàê çâàíó êâàíòîâó ìåðåæó, ÿêà çìiíþ¹ ñòàíè êâàíòîâîãî ðå iñòðó öå âñå ðàçîì i óòâîðþ¹ êâàíòîâèé ïðîöåñîð. Äâîêâàáiòîâèé ëîãi÷íèé åëåìåíò, î÷åâèäíî, ¹ âæå ìàòðèöåþ 4×4 i, íàïðèêëàä, îïåðàòîð âèêëþ÷àþ÷å àáî äîðiâíþ¹   I 0 \= , XOR 0 σ ˆx äå I îäèíè÷íà ìàòðèöÿ 2×2, σ ˆx ìàòðèöÿ Ïàóëi9 . Çâè÷àéíèì ìíîæåííÿì ìàòðèöü ëåãêî ïîêàçàòè, ùî

9 Àáðåâiàòóðà XOR ïîõîäèòü âiä àíãëiéñüêîãî ex lusive ÷àþ÷å àáî.

752

or,

òîáòî âèêëþ-

\ |00i = |00i, XOR \ |01i = |01i, XOR \ |10i = |11i, XOR \ |11i = |10i. XOR \ íå çìiíþ¹ Îòæå, ÿêùî ïåðøèé êâàáiò ¹ |0i, òî îïåðàòîð XOR äâîêâàáiòîâîãî ñòàíó, àëå ÿêùî ïåðøèé êâàáiò ¹ |1i, òî îïåðàòîð \ çìiíþ¹ ñòàí äðóãîãî êâàáiòà çi ñòàíó |0i ïåðåâîäèòü éîãî XOR â |1i i íàâïàêè. Êâàíòîâå îá÷èñëåííÿ ¹ åâîëþöi¹þ êâàíòîâîãî ðå iñòðó ïiä äi¹þ óíiòàðíèõ îïåðàòîðiâ êâàíòîâî¨ ìåðåæi, ùî çàäàþòü ïîòðiáíó ïðîãðàìó ðîçðàõóíêó. Íàéáiëüøîþ ïðîáëåìîþ ¹ ïðèãîòóâàííÿ ïî÷àòêîâîãî ñòàíó i ç÷èòóâàííÿ êiíöåâîãî ñòàíó (òîáòî ðåçóëüòàòó). Ç÷èòóâàííÿ îçíà÷à¹ âèìiðþâàííÿ, ÿêå ðóéíó¹ ñòàí óíàñëiäîê ðåäóêöi¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨. Äëÿ òîãî, ùîá âèëó÷èòè ç êiíöåâîãî ñòàíó âñþ iíîðìàöiþ, ïîòðiáíî ïiñëÿ êîæíîãî ç÷èòóâàííÿ âiäòâîðþâàòè öþ õâèëüîâó óíêöiþ. Îòæå, îòðèìàòè ðåçóëüòàòè ìîæíà ëèøå çi ñòàòèñòè÷íîãî àíàëiçó ïðè áàãàòîêðàòíîìó âèìiðþâàííi, òîáòî ïðè áàãàòîêðàòíîìó ïîâòîðåííi ðîáîòè êâàíòîâîãî êîìï'þòåðà. Àëå, ÿê ìè áà÷èëè, íàéáiëüøîþ ïåðåâàãîþ êâàíòîâîãî êîìï'þòåðà ¹ éîãî íàäååêòèâíiñòü: äëÿ îêðåìèõ çàäà÷ ÷àñ ðîçðàõóíêó íà êâàíòîâîìó êîìï'þòåði ïðîïîðöiéíèé äî ñòåïåíÿ âiä êiëüêîñòi íåîáõiäíèõ åëåìåíòàðíèõ îïåðàöié, à íà êëàñè÷íîìó åêñïîíåíòi. 97. Êâàíòîâà êðèïòîãðàiÿ

Ùî òàêå êðèïòîãðàiÿ? Öå íàóêà ïðî çáåðåæåííÿ òà¹ìíèöi çìiñòó äåÿêîãî òåêñòó çà äîïîìîãîþ ïðîöåäóðè øèðóâàííÿ. Êðèïòîãðàiÿ ¹ îäíèì iç ðîçäiëiâ êðèïòîëîãi¨, ÿêà îõîïëþ¹ òàêîæ i êðèïòîàíàëiç, òîáòî íàóêó ïðîíèêíåííÿ â òà¹ìíèöþ çàõèùåíîãî òåêñòó. 48

I. Î. Âàêàð÷óê

753

Íàäååêòèâíiñòü êâàíòîâîãî êîìï'þòåðà çàñìóòèëà ëþáèòåëiâ îáìiíþâàòèñü êîíiäåíöiéíîþ iíîðìàöi¹þ â çàøèðîâàíîìó âèãëÿäi. i÷ ó òiì, ùî íàäiéíiñòü øèðó ¹ â îáåðíåíié çàëåæíîñòi âiä øâèäêîäi¨ êîìï'þòåðà. Ìîâà éäå ïðî íàäiéíiñòü â îá÷èñëþâàëüíîìó ñåíñi, òîáòî ðîçêðèòòÿ øèðó â ïðèíöèïi ¹ ìîæëèâèì, îäíàê íà öå ïîòðiáåí ÷àñ, ïiñëÿ ÿêîãî iíîðìàöiÿ ïåðåñòà¹ áóòè òà¹ìíîþ. Iíøèé õàðàêòåð íàäiéíîñòi ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî áåç êëþ÷à íå ìîæíà âiäòâîðèòè ç êðèïòîòåêñòó çìiñòó ïîâiäîìëåííÿ10 . Òàêèì ¹ òàê çâàíèé øèð îäíîðàçîâîãî áëîêíîòà íàçâà ïîõîäèòü âiä òîãî, ùî êîïi¨ êëþ÷iâ çàïèñàíi íà ñòîðiíêàõ áëîêíîòà, i ÿê òiëüêè êëþ÷ âèêîðèñòàíî, öÿ ñòîðiíêà çíèùó¹òüñÿ. Ïðèêëàäîì êðèïòîãðài¨ ç âiäêðèòèì êëþ÷åì ¹ RSA-êîä, çàïðîïîíîâàíèé 1977 ðîêó (íàçâà ïiøëà âiä ïåðøèõ ëiòåð ïðiçâèù éîãî àâòîðiâ P. Rivest, A. Shamir, A. Adleman). Êîä ïðàöþ¹ òàê. Êîíiäåíòè Àëiñà i Áîá (äèâ. âèíîñêó íà ñòîð. 745) âèáèðàþòü äâà äîñèòü âåëèêi ïðîñòi ÷èñëà p òà q i îá÷èñëþþòü äîáóòîê N = pq . Ïîòiì âèïàäêîâèì ÷èíîì âèáèðàþòü íàòóðàëüíå ÷èñëî e, âçà¹ìíî ïðîñòå ç ÷èñëîì (p − 1)(q − 1) i ìåíøå çà íüîãî, òîáòî íàéáiëüøèé ñïiëüíèé äiëüíèê äëÿ öèõ ÷èñåë äîðiâíþ¹ îäèíèöi. Ïiñëÿ öüîãî çíàõîäÿòü íàòóðàëüíå ÷èñëî d, îáåðíåíå äî e â òîìó ñåíñi, ùî ëèøîê âiä äiëåííÿ ÷èñëà ed íà (p − 1)(q − 1) äîðiâíþ¹ îäèíèöi. Ó òåîði¨ ÷èñåë êàæóòü, ùî ëèøîê ÷èñëà ed çà ìîäóëåì (p − 1)(q − 1) äîðiâíþ¹ îäèíèöi, i ïèøóòü öå òàê: ed ≡ 1 mod ((p − 1)(q − 1)). Òåïåð (e, N ) öå âiäêðèòèé êëþ÷, d òà¹ìíèé. Äàëi Áîá àáî áóäü-õòî iíøèé ïèøå ëèñò Àëiñi, êîðèñòóþ÷èñü âiäêðèòèì êëþ÷åì. Ñïî÷àòêó âií êîæíó ëiòåðó òåêñòó ïåðåâîäèòü ó äåÿêó ïîñëiäîâíiñòü ÷èñåë, ïîòiì êîæíå ç öèõ ÷èñåë n çàøèðîâó¹, çàìiíþþ÷è éîãî íà ëèøîê ÷èñëà ne çà ìîäóëåì N , i âiäêðèòî ïåðåñèëà¹ öåé êðèïòîòåêñò Àëiñi. Âîíà, ìàþ÷è òà¹ìíèé êëþ÷, êîæíå ÷èñëî ç êðèïòîòåêñòó ïiäíîñèòü äî ñòåïåíÿ d çà ìîäóëåì N i îòðèìó¹ âèõiäíå ÷èñëî n, îñêiëüêè ned ≡ n mod N . Ñòîðîííiì îñîáàì âiäîìi ëèøå ÷èñëà N òà e, à íå p òà q , òîáòî ðîçêëàä N íà ïðîñòi ìíîæíèêè ¹ òà¹ìíèöåþ. I õî÷à àë îðèòì ðîçêëàäó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòi ìíîæíèêè áóâ âiäîìèé ùå Åâêëiäîâi, îäíàê ÷àñ, ïîòðiáíèé íà öå, âèÿâëÿ¹òüñÿ, äóæå øâèäêî çðîñòà¹ çi çáiëüøåííÿì N , à ñàìå åêñïîíåíöiéíî äî N 1/3 (lnN )2/3 . Êiëüêiñòü 10 ×èòà÷åâi, ÿêèé áàæà¹ äîêëàäíiøå îçíàéîìèòèñü iç òåîði¹þ çàõèñòó iíîðìàöi¨, ðåêîìåíäó¹ìî ïiäðó÷íèê: Î. Â. Âåðáiöüêèé, Âñòóï äî êðèïòîëîãi¨. Âèäàâíèöòâî íàóêîâî-òåõíi÷íî¨ ëiòåðàòóðè, Ëüâiâ, 1998.

754

öüîãî ÷àñó i ¹ êðèòåði¹ì íàäiéíîñòi øèðó11 . Íàéâðàçëèâiøèì ìiñöåì òàêîãî øèðóâàííÿ ¹ îïåðàöiÿ îáìiíó òà¹ìíèì êëþ÷åì. Ùîá óíèêíóòè öüîãî, Àëiñà òâîðèòü òà¹ìíèé êëþ÷ ñàìà, à Áîá, ìàþ÷è, ÿê i âñi, ¨¨ âiäêðèòèé êëþ÷, ïåðåäà¹ iíîðìàöiþ, ÿêó, êðiì íå¨, íiõòî íå ðîçøèðó¹. Ïîäiáíî Áîá ìîæå ïîøèðèòè ñâié àëãîðèòì øèðóâàííÿ, i áóäü-õòî, â òîìó ÷èñëi Àëiñà, çàøèðó¹ äîêóìåíò, ÿêèé ïðî÷èòà¹ ëèøå âií. Ìiæ iíøèì, ïðèâàòíèé òà¹ìíèé êëþ÷ ìîæå ñëóãóâàòè ÿê åëåêòðîííèé ïiäïèñ îñîáè. Iäåÿ öèðîâîãî ïiäïèñó ðóíòó¹òüñÿ íà òîˆ i äåøèðóâàííÿ D ˆ äåÿêîãî ïîâiìó, ùî îïåðàöi¨ øèðóâàííÿ E ˆ ˆ ˆ ˆ äîìëåííÿ M ¹ âçà¹ìíî îáåðíåíèìè: E DM = D EM = M . Àëiñà øèðó¹ ñâié ïiäïèñ òàê: ñïî÷àòêó âèêîíó¹ îïåðàöiþ äåøèðóâàííÿ ïîâiäîìëåííÿ-ïiäïèñó M ñâî¨ì ñåêðåòíèì ïðèâàòíèì êëþ÷åì ˆ A , à ïîòiì ïiääà¹ îòðèìàíèé òåêñò øèðóâàííþ âiäêðèòèì êëþD ˆB D ˆ A M . Áîá, îòðèìàâøè öþ ˆB i îäåðæó¹ òåêñò M ′ = E ÷åì Áîáà E ˆ B , øèðó¹ iíîðìàöiþ, äåøèðó¹ ¨¨ ñâî¨ì ïðèâàòíèì êëþ÷åì D ˆ âiäêðèòèì êëþ÷åì Àëiñè EA i îòðèìó¹ ïiäïèñ Àëiñè M , îñêiëüêè Â D ˆBE Â D ˆBM′ = E Â D ˆB = 1 i E ˆ A = 1. ˆBE ˆB D ˆ A M = M , òîìó ùî D E Ïiäïèñ Àëiñè M íå ìîæíà ïiäðîáèòè, îñêiëüêè íiõòî íå âîëîäi¹ ¨¨ ïðèâàòíèì êëþ÷åì. Áðóòàëüíà àòàêà RSA-øèðó íà êâàíòîâîìó êîìï'þòåði, òîáòî ðîçêëàä íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N íà ïðîñòi ìíîæíèêè, iç ÷àñîì ðîçøèðîâêè, ïðîïîðöiéíèì äî ñòåïåíÿ ln N , ðîáèòü ðåàëüíèì íåñàêöiîíîâàíèé äîñòóï äî iíîðìàöi¨, à øèð íåíàäiéíèì. Àëå çàâäÿêè çíîâó æ òàêè êâàíòîâié ìåõàíiöi âèíèêàþòü iíøi ìîæëèâîñòi çðîáèòè øèðóâàííÿ íàäiéíèì. Ó ðîëi êâàíòîâîãî øèðó ìîæíà âèáðàòè ñóêóïíiñòü EPR-ïàð ÷àñòèíîê. Âiçüìiìî, íàïðèêëàä, ñèí ëåòíèé ñïëóòàíèé ñòàí ñèñòåìè äâîõ ÷àñòèíîê, ñïiíè ÿêèõ äîðiâíþþòü ~/2, à ïîâíèé ñïií äîðiâíþ¹ íóëåâi. Àëiñà, âèìiðþþ÷è ïîëÿðèçàòîðîì ó òî÷öi A ñïiíîâi ñòàíè ÷àñòèíîê iç êîæíî¨ EPR-ïàðè, îòðèìó¹ ïîñëiäîâíiñòü iç íóëiâ (ñïií óâåðõ) i îäèíèöü (ñïií óíèç), à Áîá ó òî÷öi B ç÷èòó¹ çi ñâîãî ïîëÿðèçàòîðà äîïîâíþþ÷ó ïîñëiäîâíiñòü îäèíèöü i íóëiâ âiä iíøèõ ÷àñòèíîê âiäïîâiäíèõ EPR-ïàð. Öÿ öiëêîì âèïàäêîâà ïîñëiäîâíiñòü ñèìâîëiâ i ¹ øèðîì, ÿêèì Àëiñà i Áîá îáìiíÿëèñü 11 Àâòîðè RSA-êîäó çàïðîïîíóâàëè ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè 129-çíà÷íå ÷èñëî, âiäîìå òåïåð ÿê ÷èñëî RSA-129. Ëèøå ÷åðåç 17 ðîêiâ çäiéñíåíî àêòîðèçàöiþ öüîãî ÷èñëà çóñèëëÿìè ïîíàä 1600 êîìï'þòåðiâ, îá'¹äíàíèõ ó ìåðåæó.

48*

755

ïiä ÷àñ ñâî¨õ âèìiðiâ. Äàëi Àëiñà, íàïðèêëàä, äîäàþ÷è ÷èñëà ç öi¹¨ âèïàäêîâî¨ ïîñëiäîâíîñòi äî âiäïîâiäíèõ öèð iç ïîñëiäîâíîñòi âiäêðèòîãî òåêñòó, ùî íåîáõiäíî ïåðåäàòè Áîáîâi, îòðèìó¹ øèðîâàíèé òåêñò. Áîá ëåãêî âiäòâîðþ¹ ïî÷àòêîâèé òåêñò ïðèéíÿòîãî âiä Àëiñè ïîâiäîìëåííÿ îïåðàöi¹þ âiäíiìàííÿ øèðó âiä êðèïòîòåêñòó. Íåñàíêöiîíîâàíå âòðó÷àííÿ ó êâàíòîâèé êàíàë EPR-ïàð ïiä ÷àñ òâîðåííÿ øèðó ïðèâîäèòü äî íåçâîðîòíî¨ ðåäóêöi¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ EPR-ïàðè òà ðóéíóâàííÿ øèðó, ùî ìîæóòü çàóâàæèòè êîíiäåíòè. Äëÿ òîãî ùîá íå ðóéíóâàòè ñòàíè îòîíiâ, ïîòðiáíî ðîáèòè ¨õíi êîïi¨, òîáòî êëîíóâàòè öi ñòàíè (íàçâà êëîí ïîõîäèòü âiä ãðåöüêîãî κλων ïàðîñòîê, ïàãií). Ïiä êëîíóâàííÿì ðîçóìiþòü ñòâîðåííÿ òî÷íî¨ êîïi¨ âèõiäíîãî êâàíòîâîãî îá'¹êòà ïðè çáåðåæåííi éîãî â òîìó ïî÷àòêîâî íåâiäîìîìó ñòàíi, ó ÿêîìó âií áóâ äî êëîíóâàííÿ. Öå, îäíàê, çàáîðîíåíî òàê çâàíîþ òåîðåìîþ ïðî íåìîæëèâiñòü êëîíóâàííÿ, ÿêà ¹ íàñëiäêîì êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨. Ñïðàâäi, íåõàé ïðèñòðié äëÿ êëîíóâàííÿ ïåðåâîäèòü àìïëiòóäó äåÿêîãî ñòàíó îá'¹êòà â äîáóòîê àìïëiòóä (îá'¹êòà òà êîïi¨). ßêùî ìà¹ìî ñóïåðïîçèöiéíèé ñòàí îá'¹êòà, íàïðèêëàä, iç äâîõ àìïëiòóä, òî, ç îäíîãî áîêó, ëiíiéíèé îïåðàòîð êëîíóâàííÿ ïåðåâîäèòü öåé ñòàí ó ñóìó äîáóòêiâ àìïëiòóä, à ç iíøîãî ìè ïîâèííi ìàòè, çà îçíà÷åííÿì, äîáóòîê ñóïåðïîçèöiéíèõ ñòàíiâ. Îñêiëüêè ñóìà äîáóòêiâ íå äîðiâíþ¹ äîáóòêîâi ñóìè, òî çâiäñè âèïëèâà¹, ùî îïåðàöiÿ êëîíóâàííÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ñòàíiâ ¹ íåìîæëèâîþ. Îòæå, êîæíà ñïðîáà ïiäñëóõàòè iíîðìàöiþ, ÿêîþ îáìiíþþòüñÿ Àëiñà i Áîá, äîêîíå÷íî òÿãíå çà ñîáîþ ñïîòâîðåííÿ ñòàíiâ îòîíiâ, ÿêå ìîæíà âèÿâèòè. 98. Íåðiâíîñòi Áåëëà

Ìà¹ìî òåïåð çðó÷íó íàãîäó çíîâó îáãîâîðèòè ïðîáëåìó ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ, àíàëiçóþ÷è âèìiðþâàííÿ ñïiíîâèõ ñòàíiâ ñèñòåì äâîõ ÷àñòèíîê. Ïðèïóñòèìî, ùî iñíóþòü ñõîâàíi ïàðàìåòðè, ÿêi, çà êàíîíàìè êëàñè÷íî¨ içèêè, äàþòü ïîâíó iíîðìàöiþ ïðî içè÷íi âåëè÷èíè êâàíòîâîìåõàíi÷íî¨ ñèñòåìè. Ó íàøîìó ðîçãëÿäi òàêèìè âåëè÷èíàìè áóäóòü ïðîåêöi¨ ñïiíiâ ÷àñòèíîê íà ïåâíi íàïðÿìêè. Íåõàé ìè ìà¹ìî äâi ÷àñòèíêè, êîæíà çi ñïiíîì ~/2, ÿêi óòâîðþþòü EPR-ïàðó ç ïîâíèì ñïiíîì, ðiâíèì íóëåâi. Ó äåÿêèé ïî÷àò756

êîâèé ìîìåíò ÷àñó ÷àñòèíêè ïî÷èíàþòü ðîçëiòàòèñü. Ïåðøà ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ â íàïðÿìêó òî÷êè A, äðóãà â íàïðÿìêó òî÷êè B . Ó öèõ òî÷êàõ çíàõîäÿòüñÿ ïðèëàäè, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ âèìiðþþòü ïðîåêöi¨ ñïiíiâ ÷àñòèíîê íà íàïðÿìêè, ùî çàäàþòü îäèíè÷íi âåêòîðè a òà b âiäïîâiäíî. Öi ïðîåêöi¨ ìîæóòü ìàòè çíà÷åííÿ (+~/2) àáî (−~/2), i íàäàëi âèìiðþâàòèìåìî ¨õ â îäèíèöÿõ ~/2. Îòæå, â òî÷öi A îòðèìó¹ìî çíà÷åííÿ σ1 (a, λ), äå a ïàðàìåòð ïðèëàäó, λ ñõîâàíèé ïàðàìåòð, ÿêèé äà¹ çìîãó òî÷íî âèçíà÷àòè çíà÷åííÿ ïðîåêöi¨ âëàñíîãî ìîìåíòó ç äâîõ ìîæëèâèõ çíà÷åíü: σ1 (a, λ) = ±1. Àíàëîãi÷íî äëÿ äðóãî¨ ÷àñòèíêè â òî÷öi B îòðèìó¹ìî çíà÷åííÿ σ2 (b, λ), ÿêå òàêîæ ìîæå íàáóâàòè äâà çíà÷åííÿ: σ2 (b, λ) = ±1. Ïðèëàäè â òî÷êàõ A òà B ðîçâåäåíi íà âåëèêó âiäñòàíü òàê, ùîá ìiæ àêòàìè âèìiðþâàíü ó íèõ íå áóëî ïðè÷èííîãî çâ'ÿçêó. Òîáòî, ùîá çà ÷àñ âèìiðþâàíü iíîðìàöiÿ, ÿêà ïîøèðþ¹òüñÿ çi øâèäêiñòþ ñâiòëà, íå ïðîéøëà öi¹¨ âiäñòàíi. Îòæå, óìîâè åêñïåðèìåíòó ç âèìiðþâàííÿ ïðîåêöié ñïiíó ÷àñòèíîê çàäîâîëüíÿþòü ïðèíöèï ëîêàëüíîñòi: âåëè÷èíà σ1 çàëåæèòü ëèøå âiä âåêòîðà a, à íå âiä a òà b. Àíàëîãi÷íî σ2 çàëåæèòü ëèøå âiä b. Çðîçóìiëî, ùî ïðèëàäè â òî÷êàõ A òà B ìîæóòü ïåðåëàøòîâóâàòèñü, çìiíþþ÷è íàïðÿìêè îäèíè÷íèõ âåêòîðiâ íà iíøi, íàïðèêëàä, íà a′ òà b′ . Íåõàé ìà¹ìî N òàêèõ EPR-ïàð ÷àñòèíîê, êîæíó ç ÿêèõ íóìåðó¹ìî iíäåêñîì j . Ñõîâàíèé ïàðàìåòð äëÿ j -òî¨ ïàðè ïîçíà÷à¹ìî ÷åðåç λj . Áóäåìî òåïåð ïðîâîäèòè âèìiðè ç êîæíîþ ïàðîþ ç òèì, ùîá ìîæíà áóëî á âèçíà÷àòè ñåðåäíi çíà÷åííÿ âèìiðþâàíèõ âåëè÷èí. Iç öi¹þ ìåòîþ óòâîðèìî ç âèìiðÿíèõ âåëè÷èí òàêó êîíñòðóêöiþ: h i Pj = σ1 (a, λj ) σ2 (b, λj ) + σ2 (b′ , λj )

h i + σ1 (a′ , λj ) σ2 (b, λj ) − σ2 (b′ , λj ) , j = 1, . . . , N.

ßêùî âåëè÷èíè σ2 äëÿ b i b′ íàáóâàþòü îäíàêîâèõ çíàêiâ, òî äðóãà êâàäðàòíà äóæêà äîðiâíþ¹ íóëåâi, à ïåðøà êâàäðàòíà äóæêà, ÿê i 757

âåñü âèðàç Pj , äîðiâíþ¹ (+2) àáî (−2) çàëåæíî âiä çíàêà σ1 (a, λj ) òà çíàêà öi¹¨ êâàäðàòíî¨ äóæêè. ßêùî æ σ2 äëÿ b i b′ ìàþòü ðiçíi çíàêè, òî ïåðøà êâàäðàòíà äóæêà äîðiâíþ¹ íóëåâi i ïðàöþ¹ äðóãà êâàäðàòíà äóæêà, òàê ùî çíîâó Pj = ±2. Îá÷èñëèìî òåïåð ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ âåëè÷èíè Pj øëÿõîì ïiäñóìîâóâàííÿ ¨¨ çà iíäåêñîì j òà äiëåííÿì îòðèìàíî¨ ñóìè íà êiëüêiñòü ïàð, òîáòî íà N . Îñêiëüêè ïðè ïiäñóìîâóâàííi âíåñîê äåÿêèõ ïàð ìîæå âçà¹ìíî êîìïåíñóâàòèñü, òî øóêàíå ñåðåäí¹ çàäîâîëüíÿ¹ òàêó íåðiâíiñòü:

X N 1 Pj ≤ 2. N j=1

Êîðèñòóþ÷èñü òèì, ùî EPR-ïàðè ¹ ðiâíîïðàâíèìè, ââîäèìî îçíà÷åííÿ ñåðåäíüîãî: N 1 X σ1 (a, λj )σ2 (b, λj ) = hσ1 (a)σ2 (b)i, N j=1

ðîçóìiþ÷è, ùî N ≫ 1. Çà äîïîìîãîþ öüîãî îçíà÷åííÿ çíàéäåíà íåðiâíiñòü ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó äëÿ âåëè÷èíè Pj íàáèðà¹ òàêîãî âèãëÿäó: hσ1 (a)σ2 (b)i + hσ1 (a)σ2 (b′ )i + hσ1 (a′ )σ2 (b)i − hσ1 (a′ )σ2 (b′ )i ≤ 2.

Öå i ¹ çíàìåíèòà íåðiâíiñòü Äæîíà Áåëëà, ÿêó âií óñòàíîâèâ 1964 ðîêó. Çðîáèìî äåÿêi çàóâàæåííÿ. Ïî-ïåðøå, ìè îòðèìàëè ëèøå îäíó ç íåðiâíîñòåé Áåëëà, ïîäiáíèì ÷èíîì ¨õ ìîæíà âèâåñòè öiëó íèçêó. Ïî-äðóãå, ïðè âèâåäåííi öi¹¨ íåðiâíîñòi ìè íà ÿêèéñü ÷àñ çàáóëè ïðî êâàíòîâó ìåõàíiêó. Òîáòî ìè íå çâåðòàëèñÿ äî êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ïðèíöèïiâ. Ñóòò¹âèì ó âèâåäåííi ¹ ãiïîòåçà ïðî iñíóâàííÿ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ. Òå, ùî ìè ãîâîðèëè ïðî ñïiíè ÷àñòèíîê, çîâñiì íå îçíà÷à¹, ùî ìè êîðèñòó¹ìîñü êâàíòîâîþ ìîâîþ. Ïðî ñèñòåìè ç äâîìà ìîæëèâèìè ñòàíàìè ìîæíà ãîâîðèòè i êëàñè÷íîþ ìîâîþ, à íåðiâíiñòü Áåëëà öå çâè÷àéíèé àíàëiç ðåçóëüòàòiâ åêñïåðèìåíòó ç âèçíà÷åííÿ ñòàíiâ, ó ÿêèõ ïåðåáóâà¹ äîñëiäæóâàíà 758

ñèñòåìà i ÿêi îäíîçíà÷íî iêñó¹ ñõîâàíèé ïàðàìåòð λ. Äëÿ ïîäàëüøîãî âàæëèâèì ¹ òå, ùî ðîçóìiòè ïiä çíàêîì óñåðåäíåííÿ. Ñàìå òîäi i âñòóïà¹ ó ãðó êâàíòîâà ìåõàíiêà, êîëè îá÷èñëåííÿ ñåðåäíüîãî ìè ïðîâîäèìî çãiäíî ç ¨¨ ïðèíöèïàìè. ßê ïðèêëàä çàïðîâàäèìî ìîäåëü äâîõ êëàñè÷íèõ ñïiíiâ iç ïðîòèëåæíèìè íàïðÿìêàìè é ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíèõ çà êóòàìè12 . Îòæå, ñõîâàíèé ïàðàìåòð λ âèçíà÷èìî òàê:

0 ≤ λ ≤ 2π,

λ = i cos λ + j sin λ,

i, j îðòè äåêàðòîâî¨ ñèñòåìè êîîðäèíàò. Îäèíè÷íèé âåêòîð λ âêàçó¹ íàïðÿìîê âëàñíîãî ìîìåíòó ïåðøî¨ ÷àñòèíêè, òîáòî λ ¹ ñïiíîì ÷àñòèíêè. Âåëè÷èíà   1, (λa) > 0, σ1 = sign(λa) =  −1, (λa) < 0 âèçíà÷à¹ íàïðÿìîê ïðîåêöi¨ ñïiíó íà a. Âëàñíèé ìîìåíò äðóãî¨ ÷àñòèíêè çàâæäè ìà¹ ïðîòèëåæíèé íàïðÿìîê äî λ, îñêiëüêè ïîâíèé ìîìåíò äîðiâíþ¹ íóëåâi, òîìó

σ2 = sign(−λb) = −sign(λb).

Ïiä óñåðåäíåííÿì ðîçóìi¹ìî iíòå ðóâàííÿ

1 h. . .i = 2π

Z2π

dλ(. . .),

0

ùî âiäïîâiäà¹ âåëèêèì çíà÷åííÿì N . Îäèíè÷íèé âåêòîð a çàiêñó¹ìî âçäîâæ x,

a = i,

(λa) = cos λ,

à îäèíè÷íèé âåêòîð

b = i cos ϕab + j sin ϕab , (λb) = cos λ cos ϕab + sin λ sin ϕab = cos(λ − ϕab ),

äå ϕab êóò ìiæ âåêòîðàìè a òà b,

(ab) = cos ϕab , 12

Äèâ. òàêîæ: A. Peres, Am. J. Phys. 745

46(7),

1978.

759

ïðè÷îìó 0 ≤ ϕab ≤ π . Îá÷èñëèìî ñåðåäí¹

1 K(ϕab ) = hσ1 (a)σ2 (b)i = − 2π 1 =− 2π

1 =− 2π

Z2π 0

Z2π

dλ sign(λa)sign(λb)

0

dλ sign(cos λ)sign[cos(λ − ϕab )]

Zπ/2

1 dλ sign[cos(λ − ϕab )] + 2π

−π/2

3π/2 Z

dλ sign[cos(λ − ϕab )].

π/2

îáèìî çàìiíó çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ λ′ = λ − ϕab : π/2−ϕ Z ab

1 dλ sign(cos λ ) + 2π

1 K(ϕab ) = − 2π

′

′

−π/2−ϕab

1 = 2π

−π/2 Z

1 dλ − 2π

−π/2−ϕab

′

π/2−ϕ Z ab

3π/2−ϕ Z ab

dλ′ sign(cos λ′ )

π/2−ϕab

1 dλ + 2π ′

−π/2

Zπ/2

1 dλ − 2π

π/2−ϕab

′

3π/2−ϕ Z ab

dλ′ .

π/2

Åëåìåíòàðíå iíòå ðóâàííÿ äà¹

2ϕab . π Ïiäñòàâëÿþ÷è öå ñåðåäí¹ â íåðiâíiñòü Áåëëà, îòðèìà¹ìî, ùî 2 2 − (ϕab + ϕab′ + ϕa′ b − ϕa′ b′ ) ≤ 2. π K(ϕab ) = −1 +

Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî öå ñïiââiäíîøåííÿ âèêîíó¹òüñÿ çàâæäè. Íåõàé, íàïðèêëàä, ìè ðîçòàøîâó¹ìî îäèíè÷íi âåêòîðè âiÿëîì, ïî÷èíàþ÷è ç a′ , ó òàêîìó ïîðÿäêó (ïðîòè ãîäèííèêîâî¨ ñòðiëêè): (a′ , a, b′ , b), òî íåðiâíiñòü ïåðåõîäèòü ó 2 − 4 ϕab ≤ 2, π 760

i îñêiëüêè 0 ≤ ϕab ≤ π , òî âîíà âèêîíó¹òüñÿ çàâæäè. Äî òàêî¨ æ íåðiâíîñòi ïðèâîäÿòü i ïîñëiäîâíîñòi (a′ , a, b, b′ ), (a, a′ , b, b′ ) òà (a, a′ , b′ , b), à ïðè (a, b, a′ , b′ ) ìà¹ìî 2 − 2 (ϕab + ϕa′ b ) ≤ 2, π ùî òàêîæ çàâæäè âèêîíó¹òüñÿ. Ïåðåáèðàþ÷è âñi ìîæëèâi âèïàäêè, ïåðåêîíó¹ìîñü, ùî íåðiâíiñòü Áåëëà äëÿ âèáðàíî¨ ìîäåëi ìà¹ ñèëó. Âiçüìåìî òåïåð äî ðîçãëÿäó êâàíòîâó ìîäåëü. Íåõàé EPR-ïàðà ïåðåáóâà¹ â ñèí ëåòíîìó ñïëóòàíîìó ñòàíi

1 |Ψ− 12 i = √ (| ↑1 i| ↓2 i − | ↓1 i| ↑2 i). 2 Âåëè÷èíè

ˆ 1 a), σ1 (a) = (σ

ˆ 2 b), σ2 (b) = (σ

ˆ 1, σ ˆ 2 ìàòðèöi Ïàóëi, ÿêi â îäèíèöÿõ ~/2 ïðåäñòàâëÿþòü äå σ ñïiíè ÷àñòèíîê. Âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ σ1 (a) i σ2 (b) òàêîæ äîðiâíþþòü (±1). Ñïðàâäi, σ1 (a) = ax σ ˆx + ay σ ˆy + az σ ˆz   az ax − iay , =  ax + iay −az

i ç ñåêóëÿðíîãî ðiâíÿííÿ ëåãêî çíàõîäèìî, ùî âëàñíå çíà÷åííÿ äîðiâíþ¹ (±|a|), à, çà îçíà÷åííÿì, |a| = 1. Ùå ïðîñòiøå ìîæíà öå ïîáà÷èòè, ÿêùî âåêòîð a ñïðÿìóâàòè âçîâæ îñi z . Òåïåð ñåðåäí¹

hσ1 (a)σ2 (b)i = hΨ− σ1 a)(ˆ σ2 b)|Ψ− 12 |(ˆ 12 i.

îçïèøåìî ñêàëÿðíi äîáóòêè i îá÷èñëèìî ñïî÷àòêó ñåðåäí¹ âiä ìiøàíîãî äîáóòêó: 1 hΨ− σ1x σ ˆ2y |Ψ− h↑1 |h↓2 | − h↓1 |h↑2 | 12 |ˆ 12 i = 2 x y ×σ ˆ1 σ ˆ2 | ↑1 i| ↓2 i − | ↓1 i| ↑2 i

761

" 1 h↑1 |ˆ σ1x | ↑1 ih↓2 |ˆ σ2y | ↓2 i − h↑1 |ˆ σ1x | ↓1 ih↓2 |ˆ σ2y | ↑2 i = 2 −h↓1 |ˆ σ1x |

↑1 ih↑2 |ˆ σ2y |

↓2 i +

h↓1 |ˆ σ1x |

↓1 ih↑2 |ˆ σ2y |

#

↑2 i .

Óñi öi ìàòðè÷íi åëåìåíòè ìàòðèöü Ïàóëi ìè äîáðå çíà¹ìî: ïåðøèé i ÷åòâåðòèé äîäàíêè äîðiâíþþòü íóëåâi, îñêiëüêè äiàãîíàëüíi åëåìåíòè äîðiâíþþòü íóëåâi, à äðóãèé âçà¹ìíî ñêîðî÷ó¹òüñÿ ç òðåòiì. Ó ðåçóëüòàòi ñåðåäí¹

hΨ− σ1x σ ˆ2y |Ψ− 12 |ˆ 12 i = 0. Ìè âèáðàëè x- òà y -êîìïîíåíòè, àëå âñi âîíè ¹ ðiâíîïðàâíèìè, i òîìó ñåðåäíi âiä óñiõ ìiøàíèõ äîáóòêiâ äîðiâíþþòü íóëåâi. Âiçüìåìî òåïåð ñåðåäí¹ âiä äîáóòêiâ ç îäíàêîâèìè êîìïîíåíòàìè i âèêîíà¹ìî òàêi æ îá÷èñëåííÿ, íàïðèêëàä:

hΨ− σ1x σ ˆ2x |Ψ− 12 |ˆ 12 i = −1, à âíàñëiäîê ðiâíîïðàâíîñòi yy - òà zz -ñåðåäíi òàêîæ äîðiâíþþòü (−1). Òåïåð î÷åâèäíî, ùî íàøå âèõiäíå ñåðåäí¹ (íà âiäìiíó âiä êëàñè÷íîãî ïîçíà÷ìî éîãî øòðèõîì) çâîäèòüñÿ äî ñêàëÿðíîãî äîáóòêó:

K ′ (ϕab ) = hσ1 (a)σ2 (b)i = −(ab) = − cos ϕab . Âèêîðèñòîâóþ÷è öi ðåçóëüòàòè, çàïèøåìî íåðiâíiñòü Áåëëà â òàêîìó âèãëÿäi:

|(ab) + (ab′ ) + (a′ b) − (a′ b′ )| ≤ 2 àáî, çâàæàþ÷è íà òå, ùî a òà b ¹ îäèíè÷íèìè âåêòîðàìè, ìà¹ìî, ùî

| cos ϕab + cos ϕab′ + cos ϕa′ b − cos ϕa′ b′ | ≤ 2, äå, ÿê i â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäi, ââåäåíî êóòè ìiæ âiäïîâiäíèìè îäèíè÷íèìè âåêòîðàìè. 762

Ó òîìó, ùî öÿ íåðiâíiñòü ïîðóøó¹òüñÿ äëÿ äåÿêèõ ðîçòàøóâàíü âåêòîðiâ, ïåðåêîíó¹ìîñü íà âiÿëi (a′ , b, a, b′ ) ç êóòàìè â 45◦ ìiæ íèìè:

cos ϕab + cos ϕab′ + cos ϕa′ b − cos ϕa′ b′

√ 3π π − cos = 2 2. 4 4 ′ Äëÿ âiÿëà (b, a, b, a ), êîëè íàïðÿìêè a i b çáiãàþòüñÿ (a = b), à êóòè = 3 cos

ϕaa′ = ϕab′ = ϕ i

ϕa′ b′ = 2ϕ,

ëiâà ÷àñòèíà íåðiâíîñòi

|1 + 2 cos ϕ − cos 2ϕ| = |2 + 2(1 − cos ϕ) cos ϕ|.

Öÿ âåëè÷èíà áiëüøà, íiæ 2 äëÿ âñiõ êóòiâ, ÿêi ¹ ìåíøèìè çà π/2, 0 < ϕ < π/2. Òîäi ÿê ÿê äëÿ êëàñè÷íîãî âèïàäêó ëiâà ÷àñòèíà íåðiâíîñòi äëÿ òàêîãî âiÿëà âåêòîðiâ òî÷íî äîðiâíþ¹ 2. Ïðèíàãiä± íî çàóâàæèìî, ùî ñïëóòàíi ñòàíè |Ψ± 12 i, |Φ12 i íàçèâàþòü òàêîæ ñòàíàìè Áåëëà ó çâ'ÿçêó ç òèì, ùî âîíè ìàêñèìàëüíî ïîðóøóþòü íåðiâíîñòi Áåëëà. Çâiäñè ðîáèìî âèñíîâîê, ùî äëÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íîãî óñåðåäíåííÿ íåðiâíiñòü Áåëëà íå ìà¹ ìiñöÿ. À öå, ñâî¹þ ÷åðãîþ, ãîâîðèòü ïðî òå, ùî ãiïîòåçà ïðî iñíóâàííÿ ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ ó êâàíòîâié ìåõàíiöi íå ñïðàâäèëàñü. Çàãàëîì êàæó÷è, òàêå äîâåäåííÿ âiäñóòíîñòi ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ, íà íàø ïîãëÿä, íå ¹ àæ òàêèì ïåðåêîíëèâèì, îñêiëüêè i áåç îá÷èñëåíü çðîçóìiëî, ùî ïîðóøåííÿ íåðiâíîñòi Áåëëà çàâäÿ÷ó¹ íàÿâíîñòi ïåðåõðåñíèõ äîäàíêiâ ïðè îá÷èñëåííi ñåðåäíiõ iç ñóïåðïîçèöiéíîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ. Äëÿ õâèëüîâèõ óíêöié, ÿêi ìîæíà àêòîðèçóâàòè ùîäî ïåðøî¨ i äðóãî¨ ÷àñòèíîê, íåðiâíiñòü Áåëëà áóäå ñïðàâäæóâàòèñü. Ñàìå ïåðåõðåñíi äîäàíêè i òâîðÿòü êâàíòîâîìåõàíi÷íi iíòåðåðåíöiéíi ååêòè, ùî ¹ ÷óæèìè äëÿ êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè. Òîìó çàïðîâàäæåííÿ êëàñè÷íîãî îïèñó ÷åðåç ñõîâàíi ïàðàìåòðè ç êâàíòîâîìåõàíi÷íèì óñåðåäíåííÿì iç ñóïåðïîçèöiéíîþ õâèëüîâîþ óíêöi¹þ íå çëiêâiäîâó¹ iíòåðåðåíöiéíèõ ååêòiâ. åçþìóþ÷è, ñòâåðäæó¹ìî, ùî êâàíòîâà ìåõàíiêà áåç ñõîâàíèõ ïàðàìåòðiâ ¹ âíóòðiøíüî íåñóïåðå÷ëèâîþ òåîði¹þ. Ó çâ'ÿçêó çi ñêàçàíèì, ìîæíà íàâåñòè òàêó àíàëîãiþ. åîìåòðiÿ Åâêëiäà âèñòîÿëà äâi òèñÿ÷i ðîêiâ ïåðåä ñïðîáàìè âèâåñòè ¨¨ 763

ï'ÿòèé ïîñòóëàò ïðî ïàðàëåëüíi ïðÿìi ç ÷îòèðüîõ iíøèõ. Òåïåð ìè âæå çíà¹ìî, ùî öå íåìîæëèâî. Îäíàê öi ñïðîáè âðåøòi-ðåøò ïðèâåëè äî ñòâîðåííÿ Ê. Ô. àóññîì, Ì. Ëîáà÷åâñüêèì i ß. Áîëüÿ¨, íåçàëåæíî îäèí âiä îäíîãî, íååâêëiäîâî¨ ãåîìåòði¨, â ÿêié íåìà¹ òâåðäæåííÿ ïðî ïàðàëåëüíi ïðÿìi. Àëå é ãåîìåòðiÿ Åâêëiäà ç ¨¨ ï'ÿòèì ïîñòóëàòîì âèÿâèëàñü âíóòðiøíüî íåñóïåðå÷ëèâîþ. Ïîâåðòàþ÷èñü äî êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, ñòâåðäæó¹ìî, ùî ñòâîðåííÿ òåîði¨ çi ñõîâàíèìè ïàðàìåòðàìè ç êëàñè÷íèì îïèñîì ÿâèù ¹ ìîæëèâèì, àëå öå íå îçíà÷àòèìå, ùî êâàíòîâà ìåõàíiêà ¹ ñóïåðå÷ëèâîþ àáî íåïîâíîþ òåîði¹þ àòîìíèõ ÿâèù.

Ë À Â À XIII ÓÕ ×ÀÑÒÈÍÊÈ Â ÄÅÔÎÌÎÂÀÍÎÌÓ ÏÎÑÒÎI

99. Äåîðìîâàíi äóæêè Ïóàññîíà

Ïðîáëåìà âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé içè÷íèõ ñèñòåì ó ïðîñòîðàõ iç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà, àáî ïðîñòî ó äåîðìîâàíîìó ïðîñòîði, ÿêî¨ ìè òîðêàëèñÿ â 9, ïîòðåáó¹ îñîáëèâîãî ðîçãëÿäó, îñêiëüêè âîíà ñòîñó¹òüñÿ óíäàìåíòàëüíèõ çàñàä ìåõàíiêè òà âèìàãà¹ äîäàòêîâîãî àíàëiçó êîíöåïöi¨ ñïîñòåðåæóâàíèõ âåëè÷èí i çiñòàâëåííÿ ¨ì îïåðàòîðiâ, ðîçâèòêó íîâèõ ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîäiâ, çîêðåìà i íàáëèæåíèõ, äëÿ ðîçâ'ÿçêó êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ çàäà÷, à òàêîæ ïåðåãëÿäó óìîâ çàñòîñóâàííÿ êâàçiêëàñè÷íîãî íàáëèæåííÿ. Îòæå, ìîâà éäå ïðî òå, ùî çâè÷íà íàì êàíîíi÷íà ïðàâà ÷àñòèíà äóæîê Ïóàññîíà äëÿ óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò Q òà iìïóëüñiâ P ¹ ˆ äåùî çìiíåíîþ òàê, ùî êîìóòàòîð äëÿ âiäïîâiäíèõ îïåðàòîðiâ Q ˆ òà P â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði äîðiâíþ¹

ˆ Pˆ ] = i~f , [Q, äå âiäïîâiäàëüíà çà äåîðìàöiþ âåëè÷èíà f ¹, âçàãàëi êàæó÷è, ˆ Pˆ ), à â çâè÷àéíîìó íåäåîðìîâàíîˆ i Pˆ , f = f (Q, óíêöi¹þ Q ìó ïðîñòîði âîíà äîðiâíþ¹ îäèíèöi, f = 1. Äåîðìàöiþ ïðèéíÿòî ââàæàòè íåçíà÷íîþ, òîáòî ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ f ïîâèííî íå äóæå âiäðiçíÿòèñü âiä îäèíèöi. Öå, ìàáóòü, ¹äèíà óìîâà íà f , õî÷à ìîæíà âèìàãàòè ¨¨ iíâàðiàíòíîñòi ùîäî ïåðåòâîðåíü àëiëåÿ ÷è ó ðåëÿòèâiñòñüêîìó âèïàäêó iíâàðiàíòíîñòi ñòîñîâíî ïåðåòâîðåíü Ëîðåíöà. Îäíàê öi óìîâè íå ¹ îáîâ'ÿçêîâèìè ìè ìîæåìî âèáðàòè äåÿêèì ñïîñîáîì âèãëÿä äåîðìàöiéíî¨ óíêöi¨ â êîíêðåòíié ñèñòåìi âiäëiêó, â ÿêié i âèâ÷à¹ìî òå ÷è iíøå içè÷íå ÿâèùå. Òîìó ùî ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ ¹ ñïîòâîðåíèìè, ìè âæå íå ìîæåìî 765

ˆ òà Pˆ , çìiñíàäàâàòè âåëè÷èíàì, ç ÿêèìè çiñòàâëÿ¹ìî îïåðàòîðè Q òó êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèõ óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ. Óïåðøå äåîðìîâàíi êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ äîñëiäæóâàëè ó çâ'ÿçêó ç iäå¹þ êâàíòóâàííÿ ïðîñòîðó. Ìîæíà ïiäiéòè äî ïðîáëåìè ç äåîðìàöi¹þ äóæîê Ïóàññîíà i ç ÷èñòî ïðàêòè÷íîãî áîêó ïðè ðîçâ'ÿçêó çàäà÷ íà âëàñíi çíà÷åííÿ òà âëàñíi óíêöi¨ îïåðàòîðiâ. ßêùî ìè ìà¹ìî ãàìiëüòîíiàí ó ðiâíÿííi Øðåäèí åðà ç ïîòåíöiàëîì, ÿêèé íå äîçâîëÿ¹ çíàéòè òî÷íîãî àíàëiòè÷íîãî ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i, òî ìîæíà çâåñòè éîãî äî çíàéîìîãî âèãëÿäó (íàïðèêëàä, ãàìiëüòîíiàíà ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà), àëå ÷åðåç òàêi óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè, îïåðàòîðè ÿêèõ óæå íå çàäîâîëüíÿþòü àëãåáðè àéçåíáåð à. Ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ öèìè îïåðàòîðàìè ¹, ÿê êàæóòü, çäåîðìîâàíèìè. Òàêîþ ïðîöåäóðîþ ìè ïåðåíîñèìî íåçðó÷íèé âèãëÿä ãàìiëüòîíiàíà â äåîðìàöiþ äóæîê Ïóàññîíà. Iíîäi öå äà¹ çìîãó ååêòèâíiøå çíàõîäèòè íàáëèæåíi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Äåÿêi äåîðìàöiéíi óíêöi¨ äîçâîëÿþòü òàêi ïåðåêèäàííÿ íåçðó÷íîñòåé iç ãàìiëüòîíiàíà íà ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ òðàêòóâàòè ÿê çàäà÷ó, â ÿêié ìàñà ÷àñòèíêè çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò (äèâ. 9). Ìîæíà çðàçó ñòàðòóâàòè ç äîáðèì ãàìiëüòîíiàíîì, àëå ç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà ç äåÿêîþ äîâiëüíîþ äåîðìàöiéíîþ óíêöi¹þ, ÿêà çàëåæèòü ÿê âiä êîîðäèíàò, òàê i âiä iìïóëüñiâ. Óçàãàëi êàæó÷è, ìè âæå íå çàâæäè çìîæåìî ïðîñòî çðîáèòè çâîðîòíèé ïåðåõiä, òîáòî ïåðåêèíóòè öþ äåîðìàöiþ äî ãàìiëüòîíiàíà. Îòæå, òàêi çàäà÷i íàáóâàþòü ñàìîñòiéíîãî iíòåðåñó, òàê ñàìî ÿê i çàäà÷i ïðî ðóõ ÷àñòèíêè ç ìàñîþ, ùî çàëåæèòü âiä ¨¨ êîîðäèíàò. Ïðè öüîìó íàñ çóñòði÷à¹ ïðîáëåìà âçà¹ìíîãî ðîçòàøóâàííÿ â êiíåòè÷íié åíåð i¨ îïåðàòîðiâ iìïóëüñiâ òà îáåðíåíî¨ ìàñè. îçãëÿíüìî êîíêðåòíèé âèãëÿä äåîðìàöiéíî¨ óíêöi¨ f , ÿêèé ìà¹ ñòîñóíîê äî ïðîáëåìè êâàíòóâàííÿ ïðîñòîðó. Îòæå, íåõàé çàäàíî êîìóòàòîð ˆ Pˆ ] = i~(1 + β Pˆ 2 ), [Q,

β > 0.

d 2 i, ÿêå Ïîêàæåìî, ùî iñíó¹ ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ âåëè÷èíè h(∆Q) íå äîðiâíþ¹ íóëåâi. Iç ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé àéçåíáåð à ìà¹ìî: 2 d 2 ih(∆P d )2 i ≥ ~ (1 + βhPˆ 2 i)2 , h(∆Q) 4 766

i2 2 h d 2 ih(∆P d )2 i ≥ ~ 1 + βhPˆ i2 + βh(∆P d )2 i , h(∆Q) 4

# " 2 (1 + βhP ˆ i2 )2 ~ d )2 i . d 2i ≥ + 2β(1 + βhPˆ i2 ) + β 2 h(∆P h(∆Q) d )2 i 4 h(∆P

Ïðè çàäàíîìó hPˆ i ïðàâà ÷àñòèíà öi¹¨ íåðiâíîñòi íàáóâà¹ ìiíiìàëüíîãî çíà÷åííÿ çà óìîâè, ùî

−

(1 + βhPˆ i2 )2 + β 2 = 0. 2 2 d h(∆P ) i

Âèêîðèñòîâóþ÷è çâiäñè çíà÷åííÿ

1 + βhPˆ i2 , β

çíàõîäèìî, ùî

d )2 i = h(∆P

äå

d 2 i ≥ h(∆Q) d 2 imin , h(∆Q) d 2 imin = ~2 β(1 + βhPˆ i2 ). h(∆Q)

d 2 i íå Îñêiëüêè β > 0, òî é ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ âåëè÷èíè h(∆Q) äîðiâíþ¹ íóëåâi. ˆ Pˆ ðîçóìiòè óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè òà iìïóëüßêùî ïiä Q, ñè ó ïðîñòîði ç äóæêîþ Ïóàññîíà, ùî çäåîðìîâàíà óíêöi¹þ f = 1 + β Pˆ 2 , ïðî ùî éøëà ìîâà â 9, òî (ïðè hPˆ i = 0) äîõîäèìî âèñíîâêó, ùî â òàêîìó ïðîñòîði iñíó¹ êâàíò äîâæèíè q √ 2 d h(∆Q) imin = ~ β . Îñêiëüêè ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ ˆ , íå äîðiâíþ¹ íóëåâi, òî öå îçíà÷à¹, âåëè÷èíè, ÿêó ïðåäñòàâëÿ¹ Q ˆ íå ìà¹ âëàñíèõ ùî â òàêîìó êâàíòîâàíîìó ïðîñòîði îïåðàòîð Q çíà÷åíü, çãiäíî ç 9. Íàñàìêiíåöü ðîçãëÿíåìî óìîâó êâàíòóâàííÿ Áîðà Çîììåðåëüäà ó çìiííèõ (Q, P ). Äëÿ êàíîíi÷íî-ñïðÿæåíèõ 767

êîîðäèíàò q òà iìïóëüñiâ p óìîâó êâàíòóâàííÿ çàïèñó¹ìî ÷åðåç ïëîùó, îáìåæåíó àçîâîþ òðà¹êòîði¹þ (äèâ. 30): Z Z dq dp = 2π~(n + ν),

n = 0, 1, 2, . . . , i âåëè÷èíó ν âèçíà÷àþòü ãðàíè÷íi óìîâè, 0 ≤ ν < 1. Ïåðåéäåìî âiä êàíîíi÷íèõ çìiííèõ (q , p) äî íîâèõ âåëè÷èí Q, P , êëàñè÷íà äóæêà Ïóàññîíà ÿêèõ äîðiâíþ¹ f : Îòæå ìà¹ìî

{Q, P } = f. Z Z

J dQ dP = 2π~(n + ν),

äå ÿêîáiàí ïåðåõîäó

∂(q, p) J= =1 ∂(Q, P )

∂(Q, P ) ∂(q, p)

i îñêiëüêè îáåðíåíèé ÿêîáiàí ïåðåõîäó

∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂(Q, P ) = − = {Q, P } = f, ∂(q, p) ∂q ∂p ∂p ∂q òî óìîâà êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà ó ïðîñòîðàõ iç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà ¹ òàêîþ Z Z dQ dP = 2π~(n + ν), 0 ≤ ν < 1. f

Ùîäî óìîâ çàñòîñîâíîñòi öüîãî ïðàâèëà êâàíòóâàííÿ, òî âîíè ïîòðåáóþòü äåòàëüíiøîãî äîñëiäæåííÿ, çîêðåìà âåëè÷èíà ν ìîæå çàëåæàòè âiä ïàðàìåòðiâ äåîðìàöi¨, ÿêi âõîäÿòü ó óíêöiþ f . Ïðèêëàä.

òîíiàíîì

Çíàéòè îöiíêó çíèçó åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ãàìiëü-

2 ˆ2 ˆ = P + mω Q ˆ2 H 2m 2 ó ïðîñòîði ç ìiíiìàëüíîþ äîâæèíîþ. ˆ = 0 i ç óðàõóâàííÿì Äëÿ ñåðåäíüî¨ åíåð i¨ â ïðèïóùåííi, ùî hPˆ i = 0, hQi òîãî, ùî òåïåð " # 2 1 ˆ2 ≥ ~ + 2β + β 2 hPˆ 2 i , Q 4 hPˆ 2 i

768

çíàõîäèìî íåðiâíiñòü: E≥

"

hPˆ 2 i 1+ 2m

βm~ω 2

2 #

+

m~2 ω 2 m~2 ω 2 . +β 4 8hPˆ 2 i

Ìiíiìiçó¹ ïðàâó ÷àñòèíó öi¹¨ íåðiâíîñòi âåëè÷èíà m~ω hP i = 2

,s

ˆ2

i â ðåçóëüòàòi ìà¹ìî, ùî

2s

~ω 4 E≥ 2

1+

1+

βm~ω 2

βm~ω 2

2

2

,

3

βm~ω 5 + . 2

Îòæå, åíåð iÿ îñíîâíîãî ñòàíó ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà â ïðîñòîðàõ, äå iñíó¹ ìiíiìàëüíà äîâæèíà, ¹ âèùîþ, íiæ ó çâè÷àéíîìó ïðîñòîði. 100. àðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð ó êâàíòîâàíîìó ïðîñòîði

îçãëÿíåìî ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð iç ãàìiëüòîíiàíîì 2 ˆ2 ˆ2 ˆ = P + mω Q H 2m 2 ó ïðîñòîði ç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà,

ˆ Pˆ ] = i~(1 + β Pˆ 2 ), [Q,

β > 0,

êîëè, ÿê ïîêàçàíî â ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðài, iñíó¹ ìiíiìàëüíà √ äîâæèíà ~ β . Çíàéäåìî ðiâíi åíåð i¨ òàêî¨ ìîäåëi. Ïðàöþ¹ìî â iìïóëüñíîìó çîáðàæåííi (Pˆ = P ) i ââîäèìî íîâó çìiííó p òàêèì ñïiââiäíîøåííÿì: p p 1 P = √ tg(p β), −π/2 ≤ p β ≤ π/2. β

ˆ = i~ d/dp. Ñïðàâäi, Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî òåïåð îïåðàòîð Q êîìóòàòîð √ i~ d tg(p β) i~ ˆ √ [Q, P ] = √ = 2 dp β cos (p β) h p i 2 = i~ 1 + tg (p β) = i~(1 + βP 2 ) 49

I. Î. Âàêàð÷óê

769

ˆ ÿâëÿþòü ñîáîþ çáiãà¹òüñÿ ç âèõiäíèì, i îòæå, îïåðàòîðè p òà Q ˆ p] = i~. àìiëüòîíiàí çàêàíîíi÷íî ñïðÿæåíi äèíàìi÷íi çìiííi, [Q, ïèñó¹ìî ÷åðåç íîâó çìiííó p: √ tg2 (p β) mω 2 ~2 d2 ˆ H= − 2mβ 2 dp2 àáî 2 2 2 1 1 ˆ = − mω ~ d + √ − . H 2 2 2 dp 2mβ cos (p β) 2mβ

ßê áà÷èìî, ìè çâåëè öþ çàäà÷ó äî çàäà÷i ç ïðèêëàäó 1 äî ïàðà2 ãðàà 23, √ ÿêùî â íüîìó çðîáèòè òàêi çàìiíè: x → p, m → 1/mω , a → 1/ β , U0 → 1/2mβ . Òîìó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàò iç öüîãî ïðèêëàäó, çðàçó âèïèñó¹ìî øóêàíi ðiâíi åíåð i¨:   s 2 2 2 2 2 βm~ ω   − 1 , En = 1 + 2n + 1 + 8 βm~ω 2mβ

n = 0, 1, 2, . . . . îçêðèâàþ÷è êâàäðàò, ïåðåïèñó¹ìî öåé âèðàç òàê:   s 2 βm~ω 1  βm~ω 1 + . n2 + n + En = ~ω  n + 1+ 2 2 2 2

Âèðàç äëÿ åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó, n = 0, óçãîäæó¹òüñÿ ç ðåçóëüòàòîì, ÿêèé ìè îòðèìàëè â ïðèêëàäi äî ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà. ßêùî äåîðìàöiÿ äóæîê Ïóà ñîíà âiäñóòíÿ (β = 0), òî ìà¹ìî çâè÷àéíi ðiâíi åíåð i¨ äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà. Äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà äåîðìàöi¨ β ìà¹ìî En = βm~2 ω 2 (n + 1)2 /2, i çàëåæíiñòü ðiâíiâ åíåð i¨ âiä êâàíòîâîãî ÷èñëà n ¹ êâàäðàòè÷íîþ, ÿê i äëÿ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïðÿìîêóòíié ïîòåíöiàëüíié ÿìi ç áåçìåæíî âèñîêèìè ñòiíêàìè. Ïðèêëàä. îçðàõóâàòè ðiâíi åíåð i¨ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç äåîðìàöi¹þ f = 1 + βP 2 ç óìîâè êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà:

Z Z

dQ dP = 2π~(n + ν), 1 + βP 2 mω 2 Q2 P2 + = E. 2m 2

770

Ïîòðiáíèé íàì iíòå ðàë Z Z

I

=

√ Z2mE

dQ dP = 1 + βP 2 −

r

=

2

Z2mE

äå

√

dP 1 + βP 2

2 mω 2

ïiñëÿ çàìiíè çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ, P = ìî: 8E ω

Z 0

π/2

dQ

r

E−

P2 , 2m

2mE

s

Q0 =

ZQ0 −Q0

2mE

√

2 mω 2 −

I=

√

dP 1 + βP 2

E− √

P2 , 2m

2mE sin x, 0 ≤ x ≤ π/2, ëåãêî áåðå-

π p cos2 x 1 + 2βmE − 1 . dx = 2 4βmE 1 + 2βmE sin x

Òåïåð ç óìîâè êâàíòóâàííÿ çíàõîäèìî ðiâíi åíåð i¨:

En = ~ω (n + ν) +

βm~ω (n + ν)2 , 2

n = 0, 1, . . .

Ïðè β = 0, ÿê âiäîìî, âåëè÷èíà ν = 1/2, à ïðè β 6= 0 öÿ âåëè÷èíà, âçàãàëi êàæó÷è, ¹ óíêöi¹þ β . ßêùî âèáðàòè 2s

1 1 4 ν= + 2 βm~ω

1+

βm~ω 2

2

3

− 15 ,

òî ìè îòðèìà¹ìî òî÷íèé ðåçóëüòàò, íàâåäåíèé ó òåêñòi öüîãî ïàðàãðàà. 101.

óõ ó öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîìó ïîëi â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði ç äåîðìîâàíîþ àë åáðîþ àéçåíáåð à

îçãëÿíåìî ðóõ ÷àñòèíêè â N -âèìiðíîìó ïðîñòîði â ñèëîâîìó ïîëi ç ãàìiëüòîíiàíîì ! ˆ2 ˆ P Q ˆ = + NU √ H , 2m N 49*

771

ˆ = (Pˆ1 , . . . , PˆN ) òà Q ˆ = (Q1 , . . . , QN ) äå êîìïîíåíòè îïåðàòîðiâ P çàäîâîëüíÿþòü êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ, ˆj , Q ˆ k ] = 0, [Q ˆ j , Pˆk ] = i~δjk f, [Q ∂f ˆ −1 ˆ ˆ ˆ k Pˆj ), [Pˆj , Pˆk ] = −i~ Q (Qj Pk − Q ˆ ∂Q i, j = 1, . . . , N, ˆ ÿêà, ÿê i ïîòåíöiàëüíà åíåðç äåîðìàöiéíîþ óíêöi¹þ f = f (Q), ˆ = (Q ˆ2 + . . . + iÿ U , ìà¹ öåíòðàëüíó ñèìåòðiþ i çàëåæèòü âiä Q 1 ˆ j , Pˆk çàäîâîëüíÿþòü òàêîæ òîòîæíiñòü ßêîái ˆ 2 )1/2 . Îïåðàòîðè Q Q N (äèâ. 9), ïðè÷îìó êîìóòàòîð [Pˆj , f ] = −i~f

∂f ˆ −1 ˆ Q Qj . ˆ ∂Q

Ôàêòè÷íî ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ êîìïîíåíòàìè îïåˆ òà ìiæ êîìïîíåíòàìè îïåðàòîðiâ Q ˆ òà P ˆ ìè ïîñòóëþ¹ìî, ðàòîðà Q ˆ ¹ íàà ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ êîìïîíåíòàìè îïåðàòîðà P ñëiäêîì òîòîæíîñòi ßêîái. Çàäà÷à ïîëÿãà¹ ó çíàõîäæåííi âëàñíèõ çíà÷åíü âèïèñàíîãî âèùå ãàìiëüòîíiàíà. Âîíà ¹ äåÿêèì óçàãàëüíåííÿì çàäà÷i, ÿêó ìè ðîçãëÿäàëè â 99. Ó íàøîìó âèïàäêó, ÿêùî âçÿòè äåîðìàöiéíó óíêöiþ

ˆ 2, f = 1 + νQ òî â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði (N = 1) ïðèõîäèìî äî çàäà÷i ç iñíóâàííÿì ìiíiìàëüíîãî çíà÷åííÿ ñåðåäíüîãî êâàäðàòà iìïóëüñó1 . 1

Iñòîðè÷íî ñêëàëîñü òàê, ùî ïîçíà÷åííÿ ñòàëî¨ ν â äåîðìàöiéíié óíêöi¨ f , ÿêà çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò Q, çáiãà¹òüñÿ ç ïîçíà÷åííÿì ñòàëî¨ ν , ùî âõîäèòü ó îðìóëó êâàçiêëàñè÷íîãî êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà. Ñïîäiâà¹ìîñü, ùî ×èòà÷ ðîçðiçíÿòèìåìå ¨õ i äàñòü ñîái ðàäó ç öèì âèïàäêîâèì âèðîäæåííÿì.

772

Ñïðàâäi, çi ñïiââiäíîøåíü íåâèçíà÷åííîñòåé àéçåíáåð à, êîëè ñåˆ = 0, hPˆ i = 0, ìà¹ìî ùî ðåäíi çíà÷åííÿ hQi 2 2 ˆ 2 ihPˆ 2 i ≥ ~ 1 + νhQ ˆ2i . hQ 4 Çâiäêè çíàõîäèìî, ùî çàâæäè

hPˆ 2 i ≥ hPˆ 2 imin = ~2 ν.

Öå îçíà÷à¹, ùî äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè (U = 0) iñíó¹ ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ ¨¨ êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨

~2 ν hPˆ 2 imin = . 2m 2m Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ E , Emin =

ˆ = EΨ, HΨ ˆ = (ˆ ˆ = (ˆ p1 , . . . , pˆN ) i q q1 , . . . , qˆN ), âèêîðèñòîâóþ÷è íîâi îïåðàòîðè p ÿêi ââåäåìî òàê: ˆ −1/2 , ˆ = f −1/2 Pf p ˆ ˆ = Q. q Öi îïåðàòîðè, ÿê ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, çàäîâîëüíÿþòü ñòàíäàðòíi êîìóòàöiéíi ñïiââiäíîøåííÿ:

[ˆ qj , qˆk ] = 0, [ˆ pj , pˆk ] = 0, [ˆ qj , pˆk ] = i~δjk . Îòæå, ðiâíÿííÿ íà âëàñíi çíà÷åííÿ çâîäèìî äî òàêîãî: " # ˆf p ˆ f 1/2 qˆ f 1/2 p + NU √ Ψ = EΨ. 2m N Ìè ìîæåìî éîãî iíòåðïðåòóâàòè ÿê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi ñèëîâîãî öåíòðà â ñåðåäîâèùi, ó ÿêîìó âîíà ìà¹ ååêòèâíó ìàñó, çàëåæíó âiä êîîðäèíàòè q , 773

m → mf −2 , iç ñèìåòðèçîâàíèì ðîçòàøóâàííÿì íåêîìóòóþ÷èõ âåˆ , çàâäÿêè ëè÷èí â îïåðàòîði êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨. Îïåðàòîðè q òà p êîìóòàöiéíèì ñïiââiäíîøåííÿì, òðàêòó¹ìî ÿê îïåðàòîðè êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèõ óçàãàëüíåíèõ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ. Óâåäåííÿì õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ¯ = f 1/2 Ψ íàøå ðiâíÿííÿ ìîæíà çàïèñàòè ùå é òàê: ˆf p ˆ qˆ fp ¯ + NU √ ψ¯ = E ψ. 2m N Íàäàëi ïðàöþâàòèìåìî â q -çîáðàæåííi, êîëè

ˆ = q = (q1 , . . . , qN ), q ∂ ∂ ˆ = −i~∇ = −i~ ,... . p ∂q1 ∂qN Óâåäåìî òåïåð äî ðîçãëÿäó çàìiñòü ψ¯ õâèëüîâó óíêöiþ

ψ = f 1/2 ψ¯ = f Ψ, äëÿ ÿêî¨ çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ: " # ˆf p ˆ f −1/2 f 3/2 p q + NU √ ψ = Eψ. 2m N Áåðó÷è äî óâàãè, ùî óíêöiÿ f çàëåæèòü ëèøå âiä äîâæèíè âåêòîðà q , ðîçïèøåìî öå ðiâíÿííÿ â ÿâíîìó âèãëÿäi: ( ~2 f 2 2 ~2 df 2 q − − ∇ + NU √ 2m 8m dq N

) ~2 (N − 1) df d2 f + ψ = Eψ. f + 2 4m q dq dq Äàëi âíàñëiäîê öåíòðàëüíî¨ ñèìåòði¨ íàøî¨ çàäà÷i, ðîçäiëÿ¹ìî êóòîâi é ðàäiàëüíó çìiííi, ÿê öå äåòàëüíî çðîáëåíî â 44, i îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ ðàäiàëüíî¨ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ R(q), ÿêå ïiñëÿ 774

ïiäñòàíîâêè

R(q) = q −

N−1 2

f 1/2 χ,

äëÿ íîâî¨ óíêöi¨ χ íàáèðà¹ âèãëÿäó: " ~2 d2 ~2 f 2 ∗ ∗ − + l (l + 1) 2 2m dx 2mq 2

+N U

q √ N

# ~2 f df (N − 1) χ = Eχ, + 4mq dq

äå îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî

N −3 , 2 ïðè÷îìó 0 ≤ q < ∞, à íîâà çìiííà x âèçíà÷åíà ñïiââiäíîøåííÿì l∗ = l +

dx = dq/f . Çàóâàæèìî, ùî ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χ ìîæíà áóëî íàïèñàòè é çðàçó ç ðiâíÿííÿ äëÿ ψ¯, óâîäÿ÷è âåêòîð x, ÿêèé ìà¹ òîé ñàìèé íàïðÿìîê, ùî é q, à éîãî äîâæèíà x âèçíà÷åíà ïîïåðåäíiì ñïiââiäíîøåííÿì. Ôóíêöiÿ f ìîæå áóòè ÿê äîäàòíîþ, òàê i âiä'¹ìíîþ, îñêiëüêè ðiâíÿííÿ ¹ iíâàðiàíòíèì ùîäî çàìiíè f íà (−f ). Íàãàäà¹ìî òàêîæ, ùî ïðè N = 1 âåëè÷èíà l = 0, 1. Ïåðåéäiìî äî íîâèõ çìiííèõ q x q′ = √ , x′ = √ , N N ïðè÷îìó øòðèõîâàíi âåëè÷èíè q ′ òà x′ çâ'ÿçàíi ìiæ ñîáîþ òèì ñàìèì ðiâíÿííÿì, ùî é íåøòðèõîâàíi, ç óíêöi¹þ f = f (q ′ ). Íàäàëi äëÿ çðó÷íîñòi çàïèñó øòðèõè ç íîâèõ çìiííèõ çíiìà¹ìî: q ′ → q, x′ → x. Ó ðåçóëüòàòi íàøå ðiâíÿííÿ íàáèðà¹ òàêîãî âèãëÿäó: ~2 d2 E − ∗ 2 + w(x) χ = χ, 2m dx N

m∗ = N 2 m, 775

äå ååêòèâíèé ïîòåíöiàë

w(x) = U (q) +

~2 f df ~2 f 2 ∗ ∗ (N − 1), l (l + 1) + 2m∗ q 2 4m∗ q dq

äå óíêöiþ q = q(x) ≥ 0 âèçíà÷à¹ìî çãiäíî çi ñïiââiäíîøåííÿìè ìiæ x òà f : Z dq x= + const, f (q)

ñòàëà âåëè÷èíà âèçíà÷à¹ ìåæi îáëàñòi çìiíè x. Îòæå, ìè çâåëè âèõiäíó çàäà÷ó íà âëàñíi çíà÷åííÿ ç âèõiäíèì ãàìiëüòîíiàíîì äî îäíîâèìiðíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç ååêòèâíèì ïîòåíöiàëîì w(x), çàëåæíèì âiä çìiííî¨ x ÷åðåç âåëè÷èíó q = q(x). Ïðè÷îìó äðóãèé äîäàíîê ó ååêòèâíîìó ïîòåíöiàëi öå ñïîòâîðåíèé óíêöi¹þ f âiäöåíòðîâèé ïîòåíöiàë, ÿêèé äîðiâíþ¹ íóëåâi ïðè N = 1, à îñòàííié äîäàíîê, ùî òàêîæ çíèêà¹ â îäíîâèìiðíîìó ïðîñòîði, äà¹ âíåñîê äî ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ ÷àñòèíêè, óíàñëiäîê ñâî¹ðiäíèõ êîìóòàöiéíèõ ñïiââiäíîøåíü. Äëÿ äåÿêèõ êëàñiâ ïîòåíöiàëiâ òà äåîðìàöiéíèõ óíêöié ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χ äîïóñêà¹ òî÷íèé àíàëiòè÷íèé ðîçâ'ÿçîê. Ó òèõ âèïàäêàõ, êîëè öå íåìîæëèâî, öå ðiâíÿííÿ äîçâîëÿ¹ ðîçâ'ÿçóâàòè éîãî ìåòîäîì òåîði¨ çáóðåíü çà ñòåïåíÿìè 1/N . Äîêëàäíî òàêèé ïiäõiä îïèñàíî â 47, äå çíàéäåíî ÿâíèé âèãëÿä ïîïðàâîê äëÿ âëàñíèõ çíà÷åíü åíåð ié. Íà çàâåðøåííÿ ðîçãëÿíåìî ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð iç äåîðìàöi¹þ. Îòæå, íåõàé ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ

U = mω 2 q 2 /2, à óíêöiþ f âèáåðåìî ó âèãëÿäi

f (q) = 1 + νN q 2 . Ïðè ν = 0 ïðèõîäèìî äî çâè÷àéíîãî N -âèìiðíîãî ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ç ÷àñòîòîþ ω . Òåïåð ååêòèâíèé ïîòåíöiàë äîðiâíþ¹: mω 2 ~2 ν 2 l∗ (l∗ + 1) ~2 ν 2 + + (N − 1) q 2 w(x) = 2 2m 2m

+ 776

~2 l∗ (l∗ + 1) ~2 ν ~2 νl∗ (l∗ + 1)N + (N − 1)N + , 2m∗ q 2 2m∗ m∗

à ç ðiâíÿííÿ, ÿêå çâ'ÿçó¹ x òà q , ìà¹ìî, ùî √ 1 tg(x νN ). q=√ νN Ïiäñòàíîâêà öüîãî âèðàçó â ðiâíÿííÿ äëÿ w(x) ïðèâîäèòü íàñ ïiñëÿ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü äî òàêîãî ååêòèâíîãî ïîòåíöiàëó: ( ) ~2 ν A(A − 1) B(B − 1) mω 2 w(x) = , + − 2mN cos2 y ~ν sin2 y

1 1 A= + 2 2

s

4l(l + N − 2) +

N2

+

2mω ~ν

2

,

N + 2l − 1 , 2 √ y = x νN .

B=

àäiàëüíå ðiâíÿííÿ ç òàêèì ïîòåíöiàëîì ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê (äèâ. Ïðèêëàä 2 äî 23): , mω 2 ~2 ν Enr ,l = (A + B + 2nr )2 − , 2m ~ν

nr = 0, 1, 2, . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. Ó íàøîìó âèïàäêó ( s 2mω 2 ~2 ν N 2 4l(l + N − 2) + N + Enr ,l = + l + 2nr 2m 2 ~ν +

N + l + 2nr 2

2

) N2 . + l(l + N − 2) + 4

Öåé ðîçâ'ÿçîê ïðè N = 1, çðîçóìiëî, çáiãà¹òüñÿ äëÿ êâàíòîâèõ ÷èñåë n = 2nr + l, l = 0, 1 ç òèì, ÿêèé ìè îòðèìàëè â 100 äëÿ ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà ïðè î÷åâèäíèõ çàìiíàõ: ν íà β , à òàêîæ 1/m íà mω 2 i íàâïàêè. Öiêàâî òàêîæ, ùî çàâäÿêè òîìó, ùî f 6= 1 äèñêðåòíèé ñïåêòð äëÿ åíåð i¨ iñíó¹ i äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, êîëè ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ U äîðiâíþ¹ íóëåâi, ω = 0. 777

Ïðèêëàä 1. Ëîãàðèìi÷íèé ïîòåíöiàë

îçãëÿíüìî ìîäåëüíó çàäà÷ó ç ëîãàðèìi÷íèì ïîòåíöiàëîì: 8 < ∞,

U (q) =

:

U0 N

ln

2

q q0

q < 0,

q≥0

,

.

ç äåîðìàöiéíîþ óíêöiþ f √ f = qν N , U0 , q0 ñòàëi âåëè÷èíè. Ç ðiâíÿííÿ, ÿêå çâ'ÿçó¹ q ç x, ó íàøîìó âèïàäêó çíàõîäèìî √ q = q0 eν N x .

Ñòàëó iíòå ðóâàííÿ òóò ïiäiáðàíî òàê, ùîá q = q0 ïðè x = 0, ïðè÷îìó çìiííà x íàáóâà¹ âñi çíà÷åííÿ ç äiéñíî¨ îñi: −∞ < x < ∞. Iç âèðàçó äëÿ ååêòèâíîãî ïîòåíöiàëó ìà¹ìî: w(x)

~2 ν 2 8mN

=

U0 ν 2 x2 +

×

[(N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + 2(N − 1)] .

Iç öèì ïîòåíöiàëîì ðiâíÿííÿ íà âëàñíi p çíà÷åííÿ çâîäèòüñÿ äî çàäà÷i ïðî ãàðìîíi÷íèé îñöèëÿòîð iç ÷àñòîòîþ ν 2U0 /m∗ . Îòæå, âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨ r

En,l

n

2U0 m

1 n+ 2

~2 ν 2 8m

=

~ν

×

[(N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + 2(N − 1)] ,

=

0, 1, 2, . . . .

+

Ïðèêëàä 2. Ëiíiéíèé ïîòåíöiàë

îçãëÿíüìî ùå îäíó ìîäåëüíó ñèñòåìó ç ïîòåíöiàëîì, ëiíiéíèì çà q (

U (q) =

− √µN q,

∞,

q > 0, q≤0

ç åêçîòè÷íîþ äåîðìàöi¹þ f = −νN q 2 ,

ïðè÷îìó µ > 0, ν > 0. Òåïåð çìiííà x=

778

1 , νN q

0 ≤ x < ∞,

à ååêòèâíèé ïîòåíöiàë w(x)

µ √ νN N x

=

−

+

~2 2mx2

(N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + (N − 1) . 4

ßê áà÷èìî, òåïåð çàäà÷à îá÷èñëåííÿ âëàñíèõ çíà÷åíü åíåð i¨ ç ðiâíÿííÿ çâîäèòüñÿ äî êóëîíiâñüêî¨ i â ðåçóëüòàòi ëåãêî çíàõîäèìî En,l = −2m

µ 2 h

ν~

2n + 1 +

p

(N + 2l)2 − 8l

i−2

,

n = 0, 1, 2, . . . 102. Àòîì âîäíþ â äåîðìîâàíîìó ïðîñòîði

Îá÷èñëèìî ñïåêòð âëàñíèõ çíà÷åíü åíåð i¨ äëÿ ÷àñòèíêè, ÿêà ðóõà¹òüñÿ â ñèëîâîìó ïîëi êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó Q e2 √ NU =− , Q N

U (q) = −

e2 √ , qN N

(e çàðÿä) ç äåîðìàöiéíîþ óíêöi¹þ √ f (q) = 1 + ν N q. Âèêîðèñòîâóþ÷è çàãàëüíi ðåçóëüòàòè òåîði¨ ç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà çíàõîäèìî ååêòèâíèé ïîòåíöiàë: ~2 ν(N − 1) ~2 ν ∗ ∗ 1 2 √ l (l + 1) − e − w(x) = − m 4m qN N

~2 l∗ (l∗ + 1) ~2 ν 2 N −1 ∗ ∗ + + l (l + 1) + , 2mN 2 q 2 2mN 2 2

ïðè÷îìó çâ'ÿçîê ìiæ çìiííèìè x òà q ¹ òàêèì: √ 1 x = √ ln 1 + ν N q + const. ν N

779

Ïîêëàäà¹ìî const = 0, òîäi x çìiíþ¹òüñÿ â ìåæàõ: 0 ≤ x < ∞. Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè âåëè÷èíè

q=

eν

√

Nx

−1 ν N √

â ååêòèâíèé ïîòåíöiàë çíàõîäèìî: ( 2B ~2 ν 2 A (A − 1) − w(x) = 2 8mN th y sh y

4m + 2 ~ ν

) ~2 ν ∗ ∗ N −1 , e + l (l + 1) + 2m 2 2

A = l∗ + 1, ~2 ν 2m ~2 ν ∗ ∗ 2 l (l + 1) − (N − 1) , B= 2 e − ~ ν 2m 4m √ y = xν N /2. àäiàëüíå ðiâíÿííÿ ç òàêèì ïîòåíöiàëîì ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê (äèâ. Ïðèêëàä 3 ç 23): , ~2 ν 2 B2 E = − (A + nr )2 − 8m (A + nr )2

+

4m ~2 ν

~2 ν ∗ ∗ N −1 e + l (l + 1) + 2m 2 2

çà óìîâè B > A2 , ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî nr = 0, 1, 2 . . . . Îñòàòî÷íî ìà¹ìî äëÿ ñïåêòðà: 2 m ~2 ν ∗ ∗ N −1 ~2 ν 2 2 2 n − 2 2 e − l (l + 1) + En,l = − 8m 2~ n 2m 2 ν ~2 ν ∗ ∗ N −1 2 + e + l (l + 1) + , 2 2m 2 780

äå n = nr + l∗ + 1 = nr + l + (N − 1)/2 ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Ïðè÷îìó çâ'ÿçàíi ñòàíè iñíóþòü çà óìîâè, ùî

~2 ν ∗ ~2 ν (N − 1) > (l + 1)(2l∗ + 1). 4m 2m Ïðè ν = 0 îòðèìó¹ìî âiäîìèé ñïåêòð åíåð i¨ äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó â ïðîñòîði N âèìiðiâ: e2 −

En,l = −

me4 . 2~2 [nr + l + (N − 1)/2]2

ßêùî âèìiðíiñòü ïðîñòîðó N = 3, òî îòðèìà¹ìî òàêèé âèðàç2 : 2 ~2 ν 2 2 m ~2 ν 2 En,l = − n − 2 2 e − [l(l + 1) + 1] 8m 2~ n 2m ~2 ν ν 2 [l(l + 1) + 1] , n = nr + l + 1. e + + 2 2m Ïðèêëàä 1. Îá÷èñëèòè ç óìîâ êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà √ åíåð åòè÷íi ðiâíi àòîìà âîäíþ â ïðîñòîði ç ìiíiìàëüíîþ äîâæèíîþ ~ β , êîëè äåîðìàöiéíà óíêöiÿ f = 1 + βPr2 , Pr ðàäiàëüíà êîìïîíåíòà iìïóëüñó. Âèõîäèìî ç ðàäiàëüíî¨ óìîâè êâàíòóâàííÿ,

Z Z

dr dPr = 2π~(nr + ν), 1 + βPr2

äå nr = 0, 1, 2 . . ., à 0 ≤ ν < 1 i, ïîâòîðþþ÷è ðîçðàõóíêè, âèêîíàíi â Ïðèêëàäi 3 äî 30, çâîäèìî ëiâó ÷àñòèíó öüîãî ðiâíÿííÿ äî òàáëè÷íîãî iíòå ðàëà π/2 Z

4pϕ b

cos2 x dx (1 + b sin x)(1 + 2βbm|E| sin2 x) 2

0

2πpϕ = 1 − 2βm|E|

pϕ

p me2 − 1 − 2βm|E| + β(me2 /pϕ )2 2m|E|

p

!

.

p

Òóò b = (me2 ǫ)2 /p2ϕ 2m|E|, ǫ = 1 − 2|E|p2ϕ /me4 åêñöåíòðèñèòåò, ìîìåíò iìïóëüñó pϕ = ~(l + 1/2), l = 0, 1, 2, . . . . Òåïåð óìîâà êâàíòóâàííÿ ¹ òàêîþ: p me2 = ~(nr + ν)(1 − 2βm|E|) + pϕ 1 − 2βm|E| + β(me2 /pϕ )2 . 2m|E|

p 2

A

Öåé âèðàç óïåðøå çíàéäåíî ó ñòàòòi: C. Quesne, V. M. Tka huk, J. Phys. 4267 (2004).

37,

781

ßêùî ν = 1/2, òî ç öüîãî ðiâíÿííÿ â ëiíiéíîìó íàáëèæåííi ïî β çíàõîäèìî "

En,l

me4 = − 2 2 1 − 2β 2~ n

me2 ~

2

1 n2

#

2l + 1 n + −1 2l + 1 4n

,

äå n = nr + l + 1 ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Ìà¹ìî òîíêó ñòðóêòóðó ñïåêòðà äåîðìàöiÿ çíiìà¹√âèðîäæåííÿ çà îðáiòàëüíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì l. Ïðè β → ∞, Enr = −e2 /~ β(2nr + 1).

Ïðèêëàä 2. Îá÷èñëèòè ç óìîâ êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà åíåð åòè÷íi ðiâíi ÷àñòèíêè â êóëîíiâñüêîìó ïîëi U = −e2 /r ç ìàñîþ, çàëåæíîþ âiä ðàäiàëüíî¨ êîîðäèíàòè r , m∗ = m(1 + a/r), m > 0, a > 0. Çàïèøåìî âèðàç äëÿ åíåð i¨ ÷àñòèíêè, âèêîðèñòîâóþ÷è ñåðè÷íi êîîðäèíàòè: p2ϕ p2 e2 E = r∗ + − , ∗ 2 2m 2m r r òóò óçàãàëüíåíèé iìïóëüñ pϕ = ~(l + 1/2), îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî l = 0, 1, 2, . . . . Ç öüîãî âèðàçó çíàõîäèìî ðàäiàëüíó êîìïîíåíòó iìïóëüñó

s

pr =

äå

2m

e∗2 +E r

−

p∗2 ϕ , r2

2 2 p∗2 ϕ = pϕ − 2mae ,

e∗2 = e2 + aE.

Ìè çâåëè íàø ïðèêëàä äî ñòàíäàðòíî¨ êâàçiêëàñè÷íî¨ çàäà÷i ïðî àòîì âîäíþ (äèâ. Ïðèêëàä 3 äî 30). Çâ'ÿçàíi ñòàíè iñíóþòü çà óìîâè, ùî p∗2 ϕ > 0, e2 + aE > 0: m∗ e∗4 E=− , 2~2 (nr + l∗ + 1)2 äå ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî nr = 0, 1, 2, . . ., à ååêòèâíå îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî q l∗ = (l + 1/2)2 − 2a/aB − 1/2. îçâ'ÿçóþ÷è êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ äëÿ åíåð i¨ E , îñòàòî÷íî ìà¹ìî: En,l

e2 ~2 n∗2 =− + a ma2

r

!

2a 1 + ∗2 −1 , n aB

äå ååêòèâíå ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî n∗ = nr + l∗ + 1.

Çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì âèáèðà¹ìî òàê, ùîá ïðè a = 0 öåé âèðàç ïåðåõîäèâ ó îðìóëó Áîðà äëÿ åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà âîäíþ. Ç óìîâè iñíóâàííÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ âèõîäèòü, ùî a < aB /8.

782

103. Ïðîáëåìà Êåïëåðà â òåîði¨ Äiðàêà ç äåîðìàöi¹þ

îçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî ðóõ ðåëÿòèâiñòñüêî¨ ÷àñòèíêè ç ìàñîþ, ùî çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò, ó ïðîñòîði ç äåîðìîâàíîþ àëãåáðîþ àéçåíáåð à. Êðiì çàãàëüíîãî àíàëiçó, ìè çíàéäåìî òàêîæ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ ðóõó ÷àñòèíêè â êóëîíiâñüêîìó ïîëi äëÿ ïåâíèõ çàëåæíîñòåé âiä êîîðäèíàò ìàñè ÷àñòèíêè òà äåîðìàöiéíî¨ óíêöi¨ 3 . Ïî÷íåìî ç ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ ÷àñòèíêè ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U ó ñòàíäàðòíèõ ïîçíà÷åííÿõ: h i ˆ + m∗ c2 βˆ + U Ψ = EΨ, ˆ P)c (α

ˆ βˆ ìàòðèöi Äiðàêà, à êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè çàäîâîëüíÿäå α, þòü ïåðåñòàâíi ñïiââiäíîøåííÿ ç äåîðìîâàíîþ àë åáðîþ àéçåíáåð à,   [xj , xk ] = 0,    [xj , Pˆk ] = i~δjk f ,   ∂f ˆ ∂f ˆ  ˆ ˆ  [Pj , Pk ] = −i~ Pk − Pj , (j, k) = 1, 2, 3; ∂xj ∂xk

ç äåîðìàöiéíîþ óíêöi¹þ f = f (x, y, z), ÿêà çàëåæèòü ëèøå âiä êîîðäèíàò ÷àñòèíêè. Ïðèïóñêà¹ìî, ùî é ìàñà ÷àñòèíêè m çàìiíåíà íà äåÿêó ååêòèâíó ìàñó m∗ , ÿêà òàêîæ çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò ÷àñòèíêè:

m∗ = mf1 ,

f1 = f1 (x, y, z).

Çàïðîâàäæåííÿ â ðiâíÿííÿ Äiðàêà óíêöié f òà f1 îçíà÷à¹ ââåäåííÿ äîäàòêîâèõ ñèë, ÿêi äiþòü íà ÷àñòèíêó, êðiì òèõ, ùî ïðåäñòàâëåíi óíêöi¹þ U . Óâåäåìî íîâèé iìïóëüñ:

ˆ −1/2 , ˆ = f −1/2 Pf p ˆ = f 1/2 p ˆ f 1/2 , P 3

Äèâ. òàêîæ: I. O. Vakar huk, J. Phys. A

38,

7567 (2005).

783

òàê, ùî êîîðäèíàòè òà íîâi iìïóëüñè ¹ êàíîíi÷íî ñïðÿæåíèìè,     [xj , xk ] = 0,

  

[xj , pˆk ] = i~δjk , [ˆ pj , pˆk ] = 0.

Òåïåð ðiâíÿííÿ Äiðàêà ñòà¹ òàêèì: h i 1/2 1/2 2 ˆ ˆ f (αˆ p)f c + mc f1 β + U Ψ = EΨ. Çðîáèìî ïåðåòâîðåííÿ

¯ = f 1/2 Ψ, Ψ ¯ íàáèðà¹ ó ðåçóëüòàòi ÿêîãî ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ íîâî¨ óíêöié Ψ âèãëÿäó: h i ¯ = E Ψ. ¯ ˆ p)c + mc2 f1 βˆ + U Ψ f (αˆ

Ìè ìîæåìî äèâèòèñü íà öå ðiâíÿííÿ, ÿê íà çâè÷àéíå ðiâíÿííÿ ˆ βˆ ìíîæàòüñÿ íà äåÿêi, çàëåæÄiðàêà, ó ÿêîìó ìàòðèöi Äiðàêà α, ˆ ˆ′ = fα ˆ , βˆ′ = f1 β. íi âiä êîîðäèíàò, ìàñøòàáíi ìíîæíèêè f, f1 : α ′ ′ ˆ ˆ òà ìàòðèöÿ β ìiæ ñîáîþ àíòèêîìóòóþòü, Êîìïîíåíòè ìàòðèöi α ˆ ′ äîðiâíþþòü f 2 , à êâàäðàò βˆ′ äîêâàäðàòè êîìïîíåíò ìàòðèöi α 2 ðiâíþ¹ f1 . Ïåðø íiæ ïî÷èíàòè ðîçìîâó ïðî òî÷íi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ äîöiëüíî ïåðåéòè â ðiâíÿííi Äiðàêà äî íåðåëÿòèâiñòñüêî¨ ìåæi äëÿ òîãî, ùîá ç'ÿñóâàòè âëàñòèâîñòi óíêöié f òà f1 . Ùîá îäåðæàòè ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ç ïîïåðåäíüîãî ðiâíÿííÿ Äiðàêà ïðè c → ∞, óâåäåìî íîâó óíêöiþ ψ òàêèì ñïiââiäíîøåííÿì: h i ¯ = f (αˆ ˆ p)c + mc2 f1 βˆ + E − U ψ. Ψ Òåïåð äëÿ óíêöi¨ ψ çíàõîäèìî òàêå ðiâíÿííÿ: ( ˆ p)f (αˆ ˆ p) m2 c4 f12 − (E − U )2 f (αˆ + 2m 2mc2

) ˆ ) i~cf ˆ ∇U i~f (α ˆ + βˆ (α∇f + 1 ) ψ = 0. 2mc 2 784

Áóäåìî âiäðàõîâóâàòè åíåð iþ âiä åíåð i¨ ñïîêîþ mc2 ,

E ′ = E − mc2 ,

é ïiñëÿ ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü îäåðæó¹ìî:

(

ˆ ) ˆ ∇U ˆ p)f (αˆ ˆ p) (E ′ − U )2 i~f (α f (αˆ +U − + 2m 2mc2 2mc

) i~cf mc2 2 ′ ˆ + f1 − 1 + βˆ (α∇f 1 ) ψ = E ψ, 2 2 Ç îñòàííiõ äâîõ äîäàíêiâ ó iãóðíèõ äóæêàõ öüîãî ðiâíÿííÿ âèïëèâà¹ óìîâà íà ïîâåäiíêó óíêöi¨ f1 â íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi. Ñïðàâäi, äëÿ òîãî, ùîá øâèäêiñòü ñâiòëà c âèïàëà ç íàøîãî ðiâíÿííÿ ïðè c → ∞, íåîáõiäíî, ùîá f12 − 1 ∼ 1/c2 . Ôóíêöiÿ f1 ìîæå ïðÿìóâàòè äî îäèíèöi ïðè c → ∞ i øâèäøå, íiæ 1/c2 , i òîäi âîíà íå çàëèøà¹ æîäíîãî ñëiäó â íåðåëÿòèâiñòñüêi ìåæi. ßêùî

f12 − 1 =

2 U1 , mc2

c → ∞,

äå U1 = U1 (x, y, z) äåÿêà óíêöiÿ êîîðäèíàò, òî ç ðiâíÿííÿ äëÿ ψ çíàõîäèìî éîãî íåðåëÿòèâiñòñüêó ìåæó: ˆ p)f (αˆ ˆ p) f (αˆ + U + U1 ψ = E ′ ψ. 2m Çðîáèìî ïiäñòàíîâêó

ψ=

p

f ϕ,

i, ïðèïóñêàþ÷è, ùî óíêöiÿ f çàëåæèòü âiä äîâæèíè r ðàäióñâåêòîðà r, ïiñëÿ ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü, iç âèêîðèñòàííÿì âëàñòèâîñòåé ìàòðèöi α îäåðæó¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ: ( ) ˆ f 1/2 )2 (f 1/2 p + U + ∆U + U1 ϕ = E ′ ϕ, 2m

∆U = 50

I. Î. Âàêàð÷óê

f df ˆ ˆ (SL), mr dr 785

ˆ = ~σ/2 ˆ = (ˆ ˆ îïåðàòîð ñïiíó ÷àñòèíêè, σ σx , σ ˆy , σ ˆz ) ìàòäå S ˆ ðèöi Ïàóëi, L îðáiòàëüíèé ìîìåíò iìïóëüñó. Îòðèìàíå ðiâíÿííÿ ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ ÷àñòèíêè, ìàñà ÿêî¨ çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò, m ¯ = m/f 2 , ïðè÷îìó ç òî÷íî âèçíà÷åíèì ðîçòàøóâàííÿì îïåðàòîðà iìïóëüñó òà îáåðíåíî¨ ìàñè â îïåðàòîði êiíåòè÷íî¨ åíåð i¨: Tˆ =

1 1 1 ˆ 1/4 . ˆ√ p p 2m ¯ 1/4 ¯ m ¯ m

Êðiì òîãî, ÿêùî ÷àñòèíêà ìà¹ ñïií, òî â íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi çàëèøà¹òüñÿ âåëè÷èíà ∆U , íàçâåìî ¨¨ äåîðìàöiéíîþ ñïiíîðáiòàëüíîþ âçà¹ìîäi¹þ. ßêùî çàïèñàòè ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ ϕ ÷åðåç ñòàðèé iìïóëüñ ç P, òî ìà¹ìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ó ïðîñòîði ç äåîðìîâàíîþ àë åáðîþ àéçåíáåð à: ! ˆ2 P + U + ∆U + U1 ϕ = E ′ ϕ. 2m Îòæå, ÿêùî â íåðåëÿòèâiñòñüêié òåîði¨ çðàçó ñòàðòóâàòè çi çâè÷àéíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ âèâ÷åííÿ ïîâåäiíêè ÷àñòèíêè ç äåîðìîâàíèìè ïåðåñòàâíèìè ñïiââiäíîøåííÿìè äëÿ êîîðäèíàò òà iìïóëüñiâ, òî ìè âòðà÷à¹ìî âíåñîê âiä äåîðìàöiéíî¨ ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ ∆U , à òàêîæ ìîæëèâèé çàëèøîê U1 âiä çàëåæíîñòi ìàñè ÷àñòèíêè âiä êîîðäèíàòè. îçãëÿíåìî òåïåð ðóõ ÷àñòèíêè â öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íèõ ïîëÿõ U, f, f1 , òîáòî ââàæà¹ìî, ùî öi óíêöi¨ çàëåæàòü ëèøå âiä ¯ i çâåâiäñòàíi r . Ïîâåðíåìîñü äî ðiâíÿííÿ Äiðàêà äëÿ óíêöi¨ Ψ äåìî éîãî äî ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ. Äëÿ öüîãî ââîäèìî îïåðàòîð ðàäiàëüíîãî iìïóëüñó

pˆr = r −1 (rˆ p − i~)

ˆ, i ðàäiàëüíó ñêëàäîâó ìàòðèöi α ˆ n), α ˆ r = (αˆ

786

r n= . r

Äàëi ââîäèìî îïåðàòîð, ÿêèé ñâîãî ÷àñó çàïðîâàäèâ ùå Äiðàê, h i ˆ ˆ ˆ ˆ ~K = β (σ L) + ~ ,

ˆ , ïåðåòâîðþ¹ìî ðiâíÿííÿ äëÿ Ψ ¯ â òàêå: i, îá÷èñëþþ÷è äîáóòîê α ˆr K i~cf ˆ ˆ ¯ = E Ψ. ¯ α ˆ r β K + mc2 f1 βˆ + U Ψ fα ˆ r pˆr c + r ˆ ¹ iíòå ðàëîì ðóõó ç âëàñíèìè çíà÷åííÿìè Îïåðàòîð K 1 = ±1, ±2, . . . , k=± j+ 2 j êâàíòîâå ÷èñëî ïîâíîãî ìîìåíòó iìïóëüñó. Òîìó ó ïðåäñòàâˆ ¹ äiàãîíàëüíèì, ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ Äiðàêà ëåííi, äå îïåðàòîð K ìà¹ âèãëÿä: i~cf ˆ ¯ = 0, fα ˆ r pˆr c + α ˆ r βk + mc2 f1 βˆ + U − E R r ïðè÷îìó

¯ = Y R, ¯ Ψ ˆ, Y ñåðè÷íèé ñïiíîð, ÿêèé ¹ âëàñíîþ óíêöi¹þ îïåðàòîðà K ¯ ðàäiàëüíà óíêöiÿ. R Óâåäåìî òåïåð íîâó ðàäiàëüíó óíêöiþ R òàêèì ñïiââiäíîøåííÿì: i~ ñ f 2 ˆ + mc f1 βˆ + E − U R. ¯ = fα R ˆ r pˆr c + α ˆ r βk r Ïiäñòàâëÿþ÷è öåé âèðàç ó ïîïåðåäí¹ ðiâíÿííÿ, çíàõîäèìî ðiâíÿííÿ äëÿ R: d f 2 2 2 2 ˆ c (f pˆr ) + ~ c kf β + m2 c4 f12 dr r

dU df1 ~2 c2 f 2 k2 3 2 ˆ + fα ˆrc i ~ − i~mc α ˆ r βf − (E − U ) R = 0. + r2 dr dr îçäiëåííÿ ïðîñòîðîâèõ çìiííèõ âiä çìiííèõ, ùî îïèñóþòü âíóòðiøíi ñòóïåíi âiëüíîñòi, ìîæëèâå òóò, ÿêùî ìíîæíèêè áiëÿ 50*

787

ìàòðèöü βˆ, α ˆ r òà α ˆ r βˆ ìàòèìóòü îäíàêîâi çàëåæíîñòi âiä ðàäiàëüíî¨ çìiííî¨ r , òîáòî dU d f , = C1 dr r dr

d C2 dr

f df1 , = r dr

äå C1 , C2 ñòàëi âåëè÷èíè. ßêùî öi óìîâè âèêîíàíî, òî ðiâíÿííÿ äëÿ R íàáóâà¹ âèãëÿäó: ( f 2 2 2 2ˆ d c (f pˆr ) + ~ c Λf dr r

+

) ~2 c2 f 2 k2 + m2 c4 f12 − (E − U )2 R = 0, r2

äå îïåðàòîð

mc ˆ ˆ = kβˆ + i α Λ ˆ r C1 − i α ˆ r βC2 . ~c ~ ˆ íå çàëåæèòü âiä ðàäiàëüíî¨ êîîðäèíàòè i éîãî ëåãÎïåðàòîð Λ êî çâåñòè äî äiàãîíàëüíîãî âèãëÿäó. Çâàæàþ÷è íà âëàñòèâîñòi ìàòðèöü α ˆ r òà βˆ, âèáåðåìî ¨õ òàê:     I 0 0 −i , α . βˆ =  ˆr =  0 −I i 0 ˆ äîðiâíþ¹: Òîäi ìàòðèöÿ îïåðàòîðà Λ  C1 mc + C2 k  ~c ~ ˆ = Λ   C1 mc + C2 −k − ~c ~ 788



  , 

à éîãî âëàñíi çíà÷åííÿ s

λ=±

k2

+

mc ~

C2

2

−

C1 ~c

2

.

ˆ ¹ äiàãîíàëüßêùî ïðàöþâàòè â ïðåäñòàâëåííi, äå îïåðàòîð Λ íèì, òî íàøå ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ R îñòàòî÷íî íàáóâà¹ òàêîãî âèãëÿäó: ( d f c2 (f pˆr )2 + ~2 c2 λf dr r +

) ~2 c2 f 2 k2 2 4 2 2 + m c f1 − (E − U ) R = 0. r2

Çàóâàæèìî, ùî îñêiëüêè óíêöi¨ f , f1 òà U çâ'ÿçàíi äâîìà óìîâàìè, òî ëèøå îäíà ç íèõ ¹ íåçàëåæíîþ, íàïðèêëàä, öå ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ U . îçãëÿíüìî òåïåð ïðîáëåìó Êåïëåðà, òîáòî ðóõ çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè â êóëîíiâñüêîìó ïîëi, êîëè ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ

U =−

e2 , r

äå e2 êâàäðàò çàðÿäó. Ç ðiâíÿíü, ÿêi çâ'ÿçóþòü óíêöi¨ U, f, f1 , çíàõîäèìî äåîðìàöiéíó óíêöiþ

f = 1 + νr, äå ν ñòàëà âåëè÷èíà ç ðîçìiðíiñòþ, îáåðíåíîþ äî äîâæèíè, i óíêöiþ a f1 = 1 + , r a ñòàëà, ùî ìà¹ ðîçìiðíiñòü äîâæèíè. Ïðè÷îìó

C1 = −e2 ,

C2 = a,

ˆ à âëàñíi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Λ s mca 2 e2 2 − . λ = ± k2 + ~ ~c 789

Ïiñëÿ ñòàíäàðòíî¨ ïiäñòàíîâêè χ R= , r äå χ = χ(r), ðàäiàëüíå ðiâíÿííÿ íàáóâà¹ òàêîãî âèãëÿäó:

äå

~2 ∗ ∗ e∗2 ~2 d2 + l (l + 1) − − χ = E ∗ χ, 2m dx2 2mr 2 r dx =

dr , f

çâiäêè ìà¹ìî, ùî

xν = ln(1 + νr),

0 ≤ x < ∞.

Çiðêîâi âåëè÷èíè â ðàäiàëüíîìó ðiâíÿííi òàêi:

 2 2 mca 2  e ∗ ∗ 2   l (l + 1) = k + −λ− ,   ~ ~c        E 2 ~2 k2 ν ~2 ν ∗2 e = + λ − mc2 a, e −  2  mc m 2m        2 2 2 2 2 4    E∗ = E − m c − ~ k ν . 2mc2 2m Ååêòèâíå îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî  √ 2  ¯2 − 1   k −α 1 1 , l∗ = − + |2λ − 1| =  2 2 √   k2 − α ¯2 α ¯ 2 = α2 −

mca 2

, ~ α = e2 /~c ñòàëà òîíêî¨ ñòðóêòóðè; òóò âåðõí¹ çíà÷åííÿ l∗ âèçíà÷à¹ âåðõíié çíàê äëÿ λ, à íèæí¹ íèæíié. Îòæå, ðàäiàëüíå 790

ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χ ðîçïàäà¹òüñÿ íà äâà íåçàëåæíi ðiâíÿííÿ: äëÿ äîäàòíîãî é âiä'¹ìíîãî çíà÷åíü âåëè÷èíè λ. ßêùî òåïåð ðàäiàëüíó êîîðäèíàòó r ÿâíî âèðàçèòè ÷åðåç x i ïiäñòàâèòè â ðiâíÿííÿ äëÿ χ, òî ïiñëÿ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü ïðèõîäèìî äî òàêîãî ðiâíÿííÿ:

2B d2 A(A − ν/2) − − 2+ χ = εχ, dx th(xν/2) sh2 (xν/2) äå

A(A − ν/2) = ν 2

B=

l∗ (l∗ + 1) , 4

∗ ∗ me∗2 ν 2 l (l + 1) , + ν 2~2 4

2m ~2 ν 2 l∗ (l∗ + 1) e∗2 ν ∗ ε= 2 E − − . ~ 4m 2 Äîáðå âiäîìî, ùî öå ðiâíÿííÿ ìà¹ òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê (äèâ. Ïðèêëàä 3 äî 23) ç ðiâíÿìè åíåð i¨

B2 ν 2 ε = − A + nr − , 2 (A + νnr /2)2 nr = 0, 1, 2, . . . ðàäiàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî, ïðè÷îìó çâ'ÿçàíi ñòàíè iñíóþòü çà óìîâ, ùî B > A2 ,

A ≥ 0,

B ≥ 0.

Îñêiëüêè â íàøîìó âèïàäêó

A=

ν ∗ (l + 1), 2 791

òî ç óðàõóâàííÿì îçíà÷åíü çiðêîâèõ âåëè÷èí äëÿ ðiâíiâ åíåð i¨ E çíàõîäèìî òàêå êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ:

E 2 − m2 c4 mc2

=

~2 ν 2 2 ~2 ν 2 2 (k − α ¯2 ) − n 2m 4m E − νamc2 mc2 2 ~2 ν 2 m e2 E 2 2 , − mc a − (k + α ¯ ) ~2 n2 mc2 2m

+ νe2 −

n = nr + l∗ + 1 ãîëîâíå êâàíòîâå ÷èñëî. Âàæëèâî, ùî ç öüîãî ðiâíÿííÿ âåëè÷èíà λ âèïàëà, çàëåæíiñòü âiä íå¨ çàëèøèëàñü ëèøå â ååêòèâíîìó îðáiòàëüíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëi l∗ . Îòæå, îäèí ðîçâ'ÿçîê√ íàøîãî ðiâíÿííÿ äëÿ χ äà¹ ðàäiàëüíó óíêöiþ χnr ,l∗ äëÿ l∗ = k2 − α ¯ 2 −1 ç åíåð i¹þ En,k ; äðóãèé ðîçâ'ÿçîê ìà¹ìî äëÿ âiä'¹ìíîãî çíàêà âåëè÷èíè λ âií äîðiâíþ¹ óíêöi¨ χnr ,l∗ +1 iç âëàñíèì çíà÷åííÿì åíåð i¨ En+1,k . Ó íåðåëÿòèâiñòñüêîìó âèïàäêó ïåðøèé ðîçâ'ÿçîê äà¹ l∗ = l = 0, 1, 2, . . ., à äðóãèé l∗ = l = 1, 2, . . ., äå l çâè÷àéíå îðáiòàëüíå êâàíòîâå ÷èñëî. Òîáòî ðiâíi åíåð i¨ äëÿ öèõ äâîõ ðîçâ'ÿçêiâ çáiãàþòüñÿ, çà âèíÿòêîì îñíîâíîãî ñòàíó. îçâ'ÿçóþ÷è êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ äëÿ E = En,k , îñòàòî÷íî çíàõîäèìî

E =

+

×

νe2 (n2 + k2 + α ¯ 2 ) mc 2 e2 a + 2 n2 + α2 ~ n2 + α2 ( 2 νe2 α ¯2 k2 + α ¯2 mc2 1+ 2 + 1+ 1 + α2 /n2 n 2mc2 n2

k2 + α ¯2 1 + aν + n2

+

~ν 2mc

2

α2 1+ 2 n

)1/2 2+α 2 )2 (k ¯ , × 2(k2 − α ¯ 2 ) − n2 − n2 792

Óìîâà iñíóâàííÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ âèïëèâà¹ ç óìîâ íà âåëè÷èíè A, B :

E 2 ~2 ν 2 e > k + mc2 a. mc2 m Äëÿ âèõiäíî¨ óíêöi¨ Ψ ç óðàõóâàííÿì óñiõ çðîáëåíèõ çàìií çíàõîäèìî:

i~ñf ˆ Ψ = f −1/2 Y f α ˆ r pˆr c + α ˆ r βk r χ , + mc2 f1 βˆ + E − U r

äå χ ìàòðèöÿ-ñòîâï÷èê ç åëåìåíòàìè χnr ,l∗ òà χnr ,l∗ +1 . Îòæå, ìè çíàéøëè òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ïðîáëåìè Êåïëåðà â òåîði¨ Äiðàêà ç àë åáðîþ àéçåíáåð à, ùî çäåîðìîâàíà óíêöi¹þ, ëiíiéíî çàëåæíîþ âiä r , i ç ìàñîþ ÷àñòèíêè, ùî çàëåæèòü îáåðíåíî ïðîïîðöiéíî âiä r . Îáãîâîðèìî îòðèìàíi ðåçóëüòàòè. ßêùî ó âèðàçi äëÿ åíåð i¨ ïîêëàñòè ν = 0, òîáòî çíÿòè äåîðìàöiþ, òî îòðèìó¹ìî ðiâíi åíåð i¨ äëÿ äiðàêiâñüêî¨ çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêè, ìàñà ÿêî¨ çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò:

mc2 E= 1 + α2 /n2

me2 a + ~2 n2

r

α ¯2 1+ 2 n

!

,

à ç óìîâè iñíóâàííÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ ìà¹ìî, ùî a < e2 /mc2 . Çíàéäåìî íåðåëÿòèâiñòñüêó ìåæó, c → ∞, âèðàçó äëÿ åíåð i¨. Ïðèïóñêà¹ìî, ùî óíêöiÿ f1 çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó, ÿêó ìè ðàíiøå íàêëàäàëè, äëÿ òîãî, ùîá çàëåæíiñòü ìàñè ÷àñòèíêè âiä ¨¨ êîîðäèíàò çàëèøàëà ñâié ñëiä ó íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi. Öå îçíà÷à¹, ç óðàõóâàííÿì ÿâíîãî âèãëÿäó óíêöi¨ f1 , ùî ïàðàìåòð a ∼ 1/c2 . Òîìó ïðèéìà¹ìî, ùî

a=

e2 a ¯, mc2 793

äå âåëè÷èíà a ¯ ¹ çíåðîçìiðåíîþ ñòàëîþ. Ó öüîìó âèïàäêó íåðåëÿòèâiñòñüêà ìåæà äëÿ åíåð i¨ E ¹ òàêîþ: 2 m ~2 ν 2 ′ 2 2 E = E − mc = − 2 2 e − k 2~ n 2m ~2 ν 2 me4 ~2 ν 2 2 ν 2 n + k + 2 2a ¯(2 − a ¯), e + − 8m 2 2m 2~ n ïðè÷îìó, ÿê âèïëèâà¹ ç óìîâè iñíóâàííÿ çâ'ÿçàíèõ ñòàíiâ, ñïåêòð åíåð i¨ ¹ îáìåæåíèì,

e2 >

~2 ν 2 k + e2 a ¯. m

ßêùî a ¯ = 0, òîáòî çíÿòè çàëåæíiñòü ìàñè âiä êîîðäèíàò i íå âðàõîâóâàòè äåîðìàöiéíî¨ ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨, òî îòðèìà¹ìî ðåçóëüòàò iç 102 äëÿ òðèâèìiðíîãî ïðîñòîðó:

E

′

− ç óìîâîþ, ùî

2 ~2 ν [l(l + 1) + 1] e − 2m ~2 ν ~2 ν 2 2 ν 2 n + [l(l + 1) + 1] , e + 8m 2 2m

m = − 2 2 2~ n

e2 >

2

~2 ν [(l + 1)(2l + 1) + 1] . 2m

Ñïðàâäi, ÿêùî íå áðàòè äî óâàãè äåîðìàöiéíî¨ ñïiíîðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨ ∆U , ÿêà ïðèðîäíî âèíèêà¹ â íàñ ó íåðåëÿòèâiñòñüêié ìåæi ç ðiâíÿííÿ Äiðàêà, à çðàçó ñòàðòóâàòè ç ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, òî ïîòðiáíî âiäíÿòè âíåñîê âiä ∆U , ÿêå â íàøîìó âèïàäêó äîðiâíþ¹

∆U = 794

ν ˆˆ 1 ν2 ˆ ˆ (SL) + (S L) . m m r

ˆ L) ˆ = (J ˆ2 − L ˆ2 − S ˆ 2 )/2 äîÎñêiëüêè âëàñíå çíà÷åííÿ îïåðàòîðà (S 2 2 2 ðiâíþ¹ ~ [j(j + 1)− l(l + 1)− 3/4]/2 = ~ [(j + 1/2) − l(l + 1)− 1]/2 = ~2 [k2 − l(l + 1) − 1]/2, òî öåé âíåñîê ëåãêî âðàõóâàòè, à ñàìå, ùîá çàáðàòè âíåñîê âiä ∆U , íåîáõiäíî âiä åíåð i¨ E ′ âiäíÿòè âíåñîê âiä ïåðøîãî äîäàíêà â ∆U , ðiâíèé ~2 ν 2 [k2 − l(l + 1) − 1]/2m, à äðóãèé äîäàíîê îá'¹äíàòè ç êóëîíiâñüêèì ïîòåíöiàëîì çàìiíîþ: e2 → e2 + ~2 ν[k2 − l(l + 1) − 1]/2m. Ó ðåçóëüòàòi ïðèõîäèìî äî îðìóëè äëÿ åíåð i¨, âèïèñàíî¨ âèùå. Êðiì òîãî, â óìîâó, ùî îáìåæó¹ ñïåêòð äëÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà k, íåîáõiäíî ïîêëàñòè j = l + 1/2, òîáòî âçÿòè áiëüøå çíà÷åííÿ k2 = (l + 1)2 . Íàâåäåìî òåïåð íàñòóïíi ÷ëåíè ðîçêëàäó åíåð i¨ çà ñòåïåíÿìè 2 1/c , îïóñêàþ÷è ãðîìiçäêi, àëå ïðîñòi îá÷èñëåííÿ: E (1) = ∆1 E (1) + ∆2 E (1) + ∆3 E (1) , äå ïîïðàâêà íåçàëåæíà âiä ïàðàìåòðà ν 3 n me4 α2 3 (1) (1 + a ¯) − (1 + a ¯/3) , ¯) ∆1 E = − 2 2 (1 − a 2~ n |k| 4

ÿêà ïðè a ¯ = 0 ïåðåõîäèòü ó äîáðå âiäîìó îðìóëó Çîììåðåëüäà äëÿ òîíêî¨ ñòðóêòóðè åíåð åòè÷íèõ ðiâíiâ àòîìà âîäíþ (äèâ. 77), äàëi ïîïðàâêà ïîðîäæåíà ëèøå äåîðìàöi¹þ ~ν 2 ~2 ν 2 (n2 − k2 )4 (1) ∆2 E = − , 8mc 2m n4 i íàðåøòi, ïåðåõðåñíèé äîäàíîê

∆3 E (1) = ×

~2 ν 2 α2 νe2 α2 2 2 2 2 (1 − a ¯ )n|k| − k − n a ¯ + 2 n4 8m n4 ( (n2 + k2 )2 + (1 − a ¯2 )

) i h n 3 (n4 − k4 ) . × 2k4 − (n2 + k2 )2 + 2 |k| 795

åçóëüòàòè, ÿêi ìè îäåðæàëè, êðiì çàãàëüíîãî iíòåðåñó, ìîæóòü çíàéòè çàñòîñóâàííÿ ïðè äîñëiäæåííi åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà íàíîãåòåðîñèñòåì, êîëè ååêòèâíà ìàñà åëåêòðîíiâ çàëåæèòü âiä êîîðäèíàò, à òàêîæ êîëè â òàêèõ îá'¹êòàõ âàæëèâèì ¹ âðàõóâàííÿ ðåëÿòèâiñòñüêèõ ååêòiâ, çîêðåìà ñïií-îðáiòàëüíî¨ âçà¹ìîäi¨. Íàñàìêiíåöü çàóâàæèìî, ùî é äàëi ¹ âiäêðèòèì ïèòàííÿ ó çâ'ÿçêó ç âèêîðèñòàííÿì äåîðìîâàíèõ êîìóòàöiéíèõ ñïiââiäíîøåíü ó ðåëÿòèâiñòñüêié çàäà÷i Êåïëåðà. Îñêiëüêè íåäåîðìîâàíà çàäà÷à Êåïëåðà ¹ ëîðåíö-êîâàðiàíòíîþ, òî âèíèêà¹ ïèòàííÿ, ÷è öÿ âëàñòèâiñòü ìàëà á çáåðiãà¹òèñü ó äåîðìîâàíîìó ïðîñòîði. Õî÷à âiäîìî, ùî êâàíòîâàíèé ïðîñòið÷àñ iç äåîðìîâàíèìè äóæêàìè Ïóàññîíà ìîæå áóòè ëîðåíö-iíâàðiàíòíèì, î÷åâèäíî, ùî â íàøîìó âèïàäêó çàäà÷à íå ¹ òàêîþ.

Ë À Â À XIV ÒÅÎIß ÎÇÑIßÍÍß

104. Àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ

Îäíèì iç ïîòóæíèõ åêñïåðèìåíòàëüíèõ ìåòîäiâ äîñëiäæåííÿ áóäîâè ñóáàòîìíèõ ñèñòåì, àòîìíèõ ÿäåð, àòîìiâ, ìîëåêóë, êîíäåíñîâàíèõ òië ¹ áîìáàðäóâàííÿ ¨õ ÷àñòèíêàìè. Ó ðåçóëüòàòi çiòêíåíü ÷àñòèíîê âîíè âiäõèëÿþòüñÿ âiä ñâîãî ïî÷àòêîâîãî íàïðÿìêó ðóõó, ïðè öüîìó ìîæóòü çìiíþâàòè àáî íå çìiíþâàòè ñâîãî âíóòðiøíüîãî ñòàíó. Öåé ïðîöåñ íàçèâàþòü ðîçñiÿííÿì ÷àñòèíîê. Âèìiðþâàííÿ öèõ âiäõèëåíü i çìií âíóòðiøíüîãî ñòàíó äîçâîëÿþòü ðîáèòè âèñíîâêè ïðî õàðàêòåð ìiæ÷àñòèíêîâî¨ âçà¹ìîäi¨, ïðîñòîðîâó ñòðóêòóðó ÷àñòèíîê, à òàêîæ ïðî ñòðóêòóðó ¨õíüîãî åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà. Íàãàäà¹ìî, ùî ñàìå iñíóâàííÿ àòîìíîãî ÿäðà âñòàíîâèâ ó 1911 ðîöi Å. åçåðîðä ó äîñëiäàõ iç ðîçñiÿííÿ α÷àñòèíîê íà òîíêèõ ïëàñòèíêàõ çîëîòà. ßêùî ÷àñòèíêè, ùî ðîçñiþþòüñÿ, íå çìiíþþòü ñâîãî âíóòðiøíüîãî ñòàíó, òî òàêå ðîçñiþâàííÿ íàçèâàþòü ïðóæíèì. Ïðè íåïðóæíîìó ðîçñiÿííi âíóòðiøíié ñòàí ñèñòåìè çìiíþ¹òüñÿ. Íàïðèêëàä, ðîçñiþâàííÿ åëåêòðîíiâ àòîìàìè ¹ íåïðóæíèì, ÿêùî àòîìè â ðåçóëüòàòi çiòêíåíü ç åëåêòðîíàìè ïåðåõîäÿòü ó çáóäæåíèé ñòàí. Ó öüîìó ïàðàãðài ìè çóïèíèìîñü íà àíàëiçi ïðîöåñiâ ïðóæíîãî ðîçñiÿííÿ. Åêñïåðèìåíò iç ðîçñiÿííÿ, ó ÿêîìó ¹ ïó÷îê ÷àñòèíîê, ìiøåíü i äåòåêòîð, ïîâèíåí ïðîâîäèòèñü ïðè âèêîíàííi òàêèõ óìîâ, ÿê òîòîæíiñòü ÷àñòèíîê ïàäàþ÷îãî íà ìiøåíü ïó÷êà i äîñòàòí¹ ¨õ ðîçäiëåííÿ â ÷àñi. Öå íåîáõiäíî äëÿ òîãî, ùîá ïàäàþ÷i ÷àñòèíêè âçà¹ìîäiÿëè ç ÷àñòèíêàìè ìiøåíi íåçàëåæíî i ùîá äåòåêòîð iêñóâàâ ¨õ îêðåìî. Ïó÷îê ïîâèíåí áóòè äîñèòü âóçüêèì: éîãî ïîïåðå÷íi ðîçìiðè ìóñÿòü áóòè ìåíøèìè çà ìiøåíü. Ó ñâîþ ÷åðãó ìiøåíü ìà¹ áóòè õiìi÷íî îäíîðiäíîþ, à òîâùèíà ¨¨ äîñòàòíüî ìàëîþ, ùîá çàïîáiãòè áàãàòîêðàòíîìó ðîçñiÿííþ. Ìè áóäåìî ââàæàòè, ùî âñi 797

öi óìîâè âèêîíàíi, i ÿê ìîäåëü ðîçãëÿíåìî ðîçñiÿííÿ îäíi¹¨ ÷àñòèíêè ìàñè m1 íà iíøié ÷àñòèíöi ìàñè m2 , êîîðäèíàòè ÿêèõ ¹ r1 òà r2 , à âçà¹ìîäiÿ ìiæ íèìè îïèñó¹òüñÿ ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U (r), äå âiäíîñíèé ðàäióñ-âåêòîð r = r1 −r2 . ßê ìè çíà¹ìî, çàäà÷à ïðî ðóõ äâîõ òië çâîäèòüñÿ äî çàäà÷i ïðî ðóõ îäíi¹¨ ÷àñòèíêè çi çâåäåíîþ ìàñîþ m, 1/m = 1/m1 + 1/m2 , ó ïîëi U (r) íåðóõîìîãî ñèëîâîãî öåíòðà (äèâ. 38). Öå çäiéñíþ¹òüñÿ ïåðåõîäîì äî ñèñòåìè êîîðäèíàò, ó ÿêié öåíòð ìàñ ÷àñòèíîê ¹ íåðóõîìèì. Êóò ðîçñiÿííÿ â ñèñòåìi öåíòðà ìàñ ïîçíà÷èìî ÷åðåç θ . Âií ïîâ'ÿçàíèé ïðîñòèìè ñïiââiäíîøåííÿìè ç êóòàìè ðîçñiÿííÿ ÷àñòèíîê θ1 òà θ2 â ëàáîðàòîðíié ñèñòåìi, òîáòî â ñèñòåìi êîîðäèíàò, ó ÿêié, íàïðèêëàä, äðóãà ÷àñòèíêà (ìiøåíü) äî çiòêíåííÿ áóëà íåðóõîìîþ:

tg θ1 =

m2 sin θ , m1 + m2 cos θ

θ2 =

π−θ . 2

Öi îðìóëè ëåãêî çíàõîäèìî ç îçíà÷åíü ëàáîðàòîðíî¨ ñèñòåìè òà ñèñòåìè öåíòðà ìàñ ç óðàõóâàííÿì çàêîíó çáåðåæåííÿ iìïóëüñó. Äëÿ ÷àñòèíîê iç ðiâíèìè ìàñàìè θ1 = θ/2, θ2 = (π − θ)/2, òàê ùî ñóìà θ1 + θ2 = π/2. Òîáòî ÷àñòèíêè ðîçëiòàþòüñÿ ïiñëÿ çiòêíåííÿ ïiä ïðÿìèì êóòîì. Íàäàëi ìè áóäåìî ïðàöþâàòè â ñèñòåìi öåíòðà ìàñ. Íà âåëèêèõ âiääàëÿõ âiä ñèëîâîãî öåíòðà ÷àñòèíêà, ùî íàëiòà¹ íà íüîãî, ðóõà¹òüñÿ âiëüíî i ¨¨ åíåð iÿ äîðiâíþ¹ ~2 k2 /2m, äå k õâèëüîâèé âåêòîð, p = ~k iìïóëüñ ÷àñòèíêè. Óñi öi âåëè÷èíè ¹ çàäàíèìè çà óìîâàìè åêñïåðèìåíòó. Õâèëüîâà óíêöiÿ ÷àñòèíêè ¹ ïëîñêîþ õâèëåþ 1 ψk (r) = √ eikr . V Ìè íîðìó¹ìî ¨¨ íà âåëèêèé îá'¹ì ïåðiîäè÷íîñòi V , ó ÿêîìó çíàõîäèòüñÿ åêñïåðèìåíòàëüíà óñòàíîâêà äëÿ äîñëiäæåííÿ ïðîöåñiâ ðîçñiÿííÿ. Ïiñëÿ ðîçñiÿííÿ íà ñèëîâîìó öåíòði ÷àñòèíêà òàêîæ çäiéñíþ¹ âiëüíèé ðóõ ç iìïóëüñîì p′ = ~k′ . Îñêiëüêè ìè ðîçãëÿäà¹ìî ïðóæíi çiòêíåííÿ, òî åíåð iÿ ÷àñòèíêè çáåðiãà¹òüñÿ: ′

~2 k2 ~2 k 2 = . 2m 2m Òàêèì ÷èíîì, |k| = |k′ | i çìiíþ¹òüñÿ ëèøå íàïðÿìîê ðóõó ÷àñòèíêè (äèâ. ðèñ. 77). 798

èñ. 77.

îçñiÿííÿ ÷àñòèíêè çi çâåäåíîþ ìàñîþ íà ñèëîâîìó öåíòði.

Îòæå, ïîñòàíîâêà çàäà÷i â òåîði¨ ðîçñiÿííÿ ¹ iíøîþ, íiæ ó çàäà÷i íà çíàõîäæåííÿ âëàñíèõ óíêöié i âëàñíèõ çíà÷åíü îïåðàòîðà àìiëüòîíà. Îñêiëüêè åíåð iÿ ÷àñòèíêè ~2 k2 /2m ¹ âåëè÷èíîþ çàäàíîþ, òî çàäà÷à ïîëÿãà¹ â ðîçâ'ÿçóâàííi ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(r): 2 2 ~ ∇ ~2 k2 − + U (r) ψ(r) = ψ(r). 2m 2m Öåíòðàëüíèì ïîíÿòòÿì òåîði¨ çiòêíåíü ¹ ååêòèâíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ. Çóïèíèìîñü íà éîãî âèçíà÷åííi. Äëÿ öüîãî îá÷èñëèìî ãóñòèíó ïîòîêó äëÿ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè

j0 =

~k ~ {ψk∗ ∇ψk − ψk ∇ψk∗ } = . 2mi mV

óñòèíà ïîòîêó äëÿ ðîçñiÿíî¨ ÷àñòèíêè

j=

~ {ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ } , 2mi

ïðè÷îìó òóò ó õâèëüîâié óíêöi¨ âðàõîâó¹ìî ëèøå âíåñîê âiä ðîçñiÿííÿ. Ó íàïðÿìêó ðîçñiÿííÿ ÷åðåç åëåìåíò ïëîùi dS çà îäèíèöþ 799

÷àñó ïðîéäå jdS ÷àñòèíîê. Ùîá óíèêíóòè íåïîðîçóìiíü, íàãàäà¹ìî ùå ðàç, ùî óìîâè åêñïåðèìåíòó, ÿêi ìè îáãîâîðþâàëè, äîçâîëÿþòü íàì ðîçãëÿäàòè ïó÷îê ç îäíi¹¨ ÷àñòèíêè. ßêùî âçÿòè âiäíîøåííÿ êiëüêîñòi ðîçñiÿíèõ ÷àñòèíîê äî âåëè÷èíè ïàäàþ÷îãî ïîòîêó, òî ìè îòðèìà¹ìî âåëè÷èíó

dσ =

j dS , j0

ÿêà íàçèâà¹òüñÿ äèåðåíöiàëüíèì ååêòèâíèì ïåðåðiçîì ðîçñiÿííÿ i ìà¹ ðîçìiðíiñòü ïëîùi. Óâåäåìî îäèíè÷íèé âåêòîð n=r/r óçäîâæ íàïðÿìêó ðóõó ÷àñòèíêè, òîäi âåêòîð dS = ndS , äå dS âåëè÷èíà åëåìåíòà ïëîùi. Çà îçíà÷åííÿì, åëåìåíò òiëåñíîãî êóòà dΩ = dS/r 2 , òîìó äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ

(jn)r 2 dσ = . dΩ j0 Ñàìå öÿ âåëè÷èíà âèìiðþ¹òüñÿ â åêñïåðèìåíòàõ iç ðîçñiþâàííÿ øëÿõîì ïiäðàõóíêó äåòåêòîðîì ðîçñiÿíèõ ÷àñòèíîê. Îòæå, íàøå çàâäàííÿ çíàéòè õâèëüîâó óíêöiþ ðîçñiÿíî¨ ÷àñòèíêè ψ(r) íà âåëèêèõ âiääàëÿõ âiä ñèëîâîãî öåíòðà. Çà äîïîìîãîþ öi¹¨ óíêöi¨ ïiäðàõó¹ìî ïîòiê j òà îá÷èñëèìî äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ. Äëÿ âèêîíàííÿ öi¹¨ ïðîãðàìè ïåðåòâîðèìî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà é çîáðàçèìî éîãî â iíòå ðàëüíié îðìi. Ïî÷íåìî ç òîãî, ùî ïðåäñòàâèìî éîãî òàê:

(∇2 + k2 )ψ(r) =

2m U (r)ψ(r). ~2

Ôîðìàëüíèé ðîçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ çàïèøåìî çà äîïîìîãîþ óíêöi¨ ðiíà G(r, r′ ), ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ ç δ-óíêöi¹þ â ïðàâié ÷àñòèíi

(∇2 + k2 )G(r, r′ ) = δ(r − r′ ). ßêùî óíêöiÿ G âiäîìà, òî çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê íàøîãî âèõiäíîãî ðiâíÿííÿ ìîæå áóòè çàïèñàíèé ó âèãëÿäi Z 2m ψ(r) = ψk (r) + G(r, r′ ) 2 U (r′ )ψ(r′ )dr′ . ~ 800

Ñïðàâäi, ÿêùî ïîäiÿòè íà öåé âèðàç îïåðàòîðîì ∇2 +k2 , òî ïåðøèé äîäàíîê iç ψk (r) äà¹ íóëü, à äiÿ íà G(r, r′ ) ïiä iíòå ðàëîì äà¹ δóíêöiþ, ÿêà çíiìà¹ iíòå ðóâàííÿ, i ìè îòðèìà¹ìî ïðàâó ÷àñòèíó âèõiäíîãî ðiâíÿííÿ. Äëÿ òîãî ùîá çíàéòè óíêöiþ ðiíà, ïðèãàäàéìî, ùî êóëîíiâñüêèé ïîòåíöiàë çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Ïóàñ îíà:

∇2

1 = −4πδ(R). R

Îòæå, ç ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ ðiíà

G(r, r′ ) = G(R),

R = r − r′

ïðè k = 0 îòðèìà¹ìî, ùî G(R) = −1/4πR. Ç iíøîãî áîêó, ÿêùî R 6= 0, òî óíêöiÿ ðiíà ïîâèííà ìàòè åêñïîíåíòíèé âèãëÿä, îñêiëüêè ïðàâà ÷àñòèíà ðiâíÿííÿ äîðiâíþ¹ íóëåâi, à äðóãi ïîõiäíi âiä óíêöi¨ G(R) ïðîïîðöiéíi ¨é ñàìié. Òàêèì ÷èíîì, ïðèéìà¹ìî, ùî 1 αR G(R) = − e . 4πR Òåïåð

1 1 1 αR αR ∇ G(R) = − ∇ e ∇ + ∇e 4π R R 1 2 αR 1 1 αR αR 2 1 +2 ∇ ∇e + ∇ e e ∇ = − 4π R R R 1 1 2α 2α αR 2 αR αR = − +α e −4πe δ(R) − 2 e + 4π R R R 2

= δ(R) + α2 G(R), äå ìíîæíèê áiëÿ δ-óíêöi¨ áåðåòüñÿ, çðîçóìiëî, ïðè R = 0. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî íàø âèðàç äëÿ óíêöi¨ ðiíà çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ äëÿ íå¨, ÿêùî α2 + k2 = 0, òîáòî α = ±ik. Îòæå,

G(r, r′ ) = − 51

I. Î. Âàêàð÷óê

1 ′ e±ik|r−r | . ′ 4π|r − r | 801

ßê áà÷èìî, ìè îòðèìàëè ñåðè÷íi õâèëi. Îñêiëüêè íàñ öiêàâèòèìóòü âåëèêi çíà÷åííÿ êîîðäèíàòè r , òî i äëÿ óíêöi¨ ψ(r), ó ðiâíÿííÿ ÿêî¨ âõîäèòü G(R), ìè òàêîæ îòðèìó¹ìî ñåðè÷íó õâèëþ. Ïðè÷îìó çíàê + ó ïîêàçíèêó åêñïîíåíòè âiäïîâiäà¹ õâèëÿì, ùî ïîøèðþþòüñÿ âiä öåíòðà (ðîçñiÿíi õâèëi), à çíàê − äà¹ õâèëi, ùî çáiãàþòüñÿ äî öåíòðà. Íàñ öiêàâèòü ñàìå ðîçñiÿíà õâèëÿ, òîìó ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ ψ(r) îñòàòî÷íî çàïèøåìî â òàêîìó âèãëÿäi:

ψ(r) = ψk (r) −

m 2π~2

Z

′

eik|r−r | U (r′ )ψ(r′ ) dr′ . |r − r′ |

Çàçíà÷èìî, ùî öå íå ¹ ðîçâ'ÿçîêîì ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà, îñêiëüêè ïiä iíòå ðàë âõîäèòü øóêàíà óíêöiÿ. Îòðèìàíèé âèðàç ¹ òî÷íèì iíòå ðàëüíèì ðiâíÿííÿì äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(r) i ëèøå iíøèì çàïèñîì ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Îñêiëüêè íàñ öiêàâèòü ðîçâ'ÿçîê ïðè r → ∞, çðîáèìî äåÿêi ïðîñòi ïåðåòâîðåííÿ. Ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ U (r′ ) ìà¹ äåÿêèé ðàäióñ äi¨ r0 . Öå îçíà÷à¹, ùî ïðè r ′ > r0 óíêöiÿ U (r ′ ) øâèäêî ñïàäà¹ i âíåñêó â iíòå ðàë íå äà¹. Îòæå, àêòóàëüíi çíà÷åííÿ çìiííî¨ iíòå ðóâàííÿ r′ îáìåæåíi ðàäióñîì r0 . Òîìó ïðè r → ∞ âåëè÷èíà r ′ /r ¹ ìàëîþ. Òàêèì ÷èíîì, ìè ìîæåìî ñêîðèñòàòèñü ðîçêëàäîì: s ′ 2 p 2rr′ r ′ 2 ′ ′2 |r − r | = r − 2rr + r = r 1 − 2 + r r

rr′ ≃ r 1 − 2 + ··· r

= r − nr′ + · · · ,

äå îäèíè÷íèé âåêòîð n = r/r. ßêùî çáåðiãàòè ëèøå âåäó÷i ÷ëåíè àñèìïòîòèêè, òî õâèëüîâà óíêöiÿ Z ′ ′ m eikr e−ik r U (r′ )ψ(r′ ) dr′ , ψ(r) = ψk (r) − 2 2π~ r äå õâèëüîâèé âåêòîð

k′ = kn çà âåëè÷èíîþ çáiãà¹òüñÿ ç õâèëüîâèì âåêòîðîì ÷àñòèíêè, ùî íàëiòà¹, à çà íàïðÿìêîì ðóõó ðîçñiÿíî¨ ÷àñòèíêè. Iíøèìè ñëîâàìè, 802

~k′ öå iìïóëüñ ðîçñiÿíî¨ ÷àñòèíêè. Ïåðåïèøåìî îòðèìàíèé âèðàç äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ òàê: eikr 1 ikr e + ψ(r) = √ f , r V äå âåëè÷èíó Z √ m ′ −ik′ r′ V ψ(r′ ) dr′ f =− U (r ) e 2π~2

íàçèâàþòü àìïëiòóäîþ ðîçñiÿííÿ. Âîíà âiäiãðà¹ öåíòðàëüíó ðîëü ó òåîði¨ çiòêíåíü. Àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ çàëåæèòü pâiä âåêòîðiâ k i k′ , òîáòî âiä åíåð i¨ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè, k = 2mE/~2 , i êóòà ′ k: d ðîçñiÿííÿ θ = k

f = f (k, k′ ) = f (k, θ).

Àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ f ìà¹ ðîçìiðíiñòü äîâæèíè. Çíàéäåìî çâ'ÿçîê ìiæ àìïëiòóäîþ f i äèåðåíöiàëüíèì ïåðåðiçîì ðîçñiÿííÿ. Äëÿ öüîãî ïîòðiáíî çíàéòè ïîòiê ðîçñiÿíèõ ÷àñòèíîê: ~ ∗ (ψ ∗ ∇ψðîç − ψðîç ∇ψðîç j= ), 2mi ðîç

1 eikr f. ψðîç (r) = √ V r Íàñ öiêàâèòü âèïàäîê r → ∞. Îá÷èñëþ¹ìî ïîõiäíi, çàëèøàþ÷è ãîëîâíèé âíåñîê: 1 1 ~k 1 n|f |2 2 = j0 n |f |2 2 . j= mV r r Ïiäñòàâëÿ¹ìî öåé âèðàç â îçíà÷åííÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ i îñòàòî÷íî çíàõîäèìî: dσ = |f |2 . dΩ Ó ãðàíèöi ìàëèõ çíà÷åíü åíåð i¨ k → 0 àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ f = −a,

äå âåëè÷èíó a ÷àñòî íàçèâàþòü äîâæèíîþ ðîçñiþâàííÿ. Âîíà õàðàêòåðèçó¹ ðàäióñ äi¨ ìiæ÷àñòèíêîâèõ âçà¹ìîäié. 51*

803

îçãëÿíüìî ðîçñiþâàííÿ òîòîæíèõ ÷àñòèíîê. Ó öüîìó âèïàäêó íàì ïîòðiáíî ïåâíèì ÷èíîì ñèìåòðèçóâàòè õâèëüîâó óíêöiþ. Çàëåæíî âiä ñïiíîâîãî ñòàíó i ñòàòèñòèêè, ÿêié ïiäêîðÿþòüñÿ ÷àñòèíêè, ïðîñòîðîâà õâèëüîâà óíêöiÿ ìîæå áóòè ñèìåòðè÷íîþ àáî àíòèñèìåòðè÷íîþ ùîäî ¨õ ïåðåñòàíîâêè. Îñêiëüêè ìè ïðàöþ¹ìî â ñèñòåìi öåíòðà ìàñ, òî õâèëüîâà óíêöiÿ âiäíîñíîãî ðóõó çàëåæèòü âiä ðàäióñ-âåêòîðà r = r1 − r2 . Ïåðåñòàíîâêà ÷àñòèíîê ìiñöÿìè ïðèâîäèòü äî çàìiíè r1 − r2 = r íà r2 − r1 = −r. Ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ òàêà çàìiíà îçíà÷à¹ çàìiíó êóòà ðîçñiÿííÿ θ íà (π − θ). Îòæå, íàëåæíî ñèìåòðèçîâàíà õâèëüîâà óíêöiÿ eikr ikr −ikr [f (θ) ± f (π − θ)] . ψ(r) = const × e ± e + r Òåïåð äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ

dσ = |f (θ) ± f (π − θ)|2 . dΩ ßêùî ñèñòåìà ÷àñòèíîê íå ìà¹ âèçíà÷åíîãî ñïiíîâîãî ñòàíó, òîáòî ïó÷îê ¹ íåïîëÿðèçîâàíèì, òî äëÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ áåðåìî ñóìó: dσ = C+ |f (θ) + f (π − θ)|2 + C− |f (θ) − f (π − θ)|2 . dΩ Íàïðèêëàä, äëÿ ÷àñòèíîê, ñïií ÿêèõ äîðiâíþ¹ 1/2, óñiõ ìîæëèâèõ ñïiíîâèõ ñòàíiâ ¹ ÷îòèðè: îäèí ñèí ëåòíèé, êîëè ïîâíèé ñïií S = 0, i òðè òðèïëåòíi ñòàíè ç ïðîåêöiÿìè ñïiíó m = −1, 0, 1, êîëè ïîâíèé ñïií S = 1. Ó öüîìó âèïàäêó âàãîâi êîåiöi¹íòè C+ = 1/4, C− = 3/4. 105. Áîðíiâñüêå íàáëèæåííÿ

Çóïèíèìîñÿ íà îá÷èñëåííi àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ â òàê çâàíîìó áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííi (Ì. Áîðí, 1926). Ó öüîìó ïiäõîäi iíòå ðàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ðîçâ'ÿçó¹ìî ìåòîäîì iòåðàöié. Ó ïåðøîìó áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííi ó âèõiäíèé âèðàç äëÿ àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ Z √ m ′ −ik′ r′ U (r ) e f =− V ψ(r′ ) dr′ 2π~2 804

ïiäñòàâëÿ¹ìî ïåðøó iòåðàöiþ iíòå ðàëüíîãî ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ ψ(r′ ), òîáòî ïëîñêó õâèëþ:

1 ′ ψ(r′ ) = ψk (r′ ) = √ eikr , V m f =− 2π~2

Z

′

e−ik r U (r)eikr dr.

Óâåäåìî êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åíåð i¨ ìiæ÷àñòèíêîâî¨ âçà¹ìîäi¨ Z νq = e−iqr U (r)dr, òóò q = k′ − k iìïóëüñ ïåðåäà÷i, ïðè÷îìó

q = |k′ − k| =

p

√ θ k′ 2 − 2kk′ + k2 = k 2 − 2 cos θ = 2k sin . 2

Îòæå, àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ â ïåðøîìó áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííi

f =−

m νq , 2π~2

à äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç

2 m dσ = ν . q dΩ 2π~2

Áîðíiâñüêå íàáëèæåííÿ çàñòîñîâíå çà óìîâè, ùî ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ ìîæå ðîçãëÿäàòèñü ÿê çáóðåííÿ. Öå îçíà÷à¹, ùî åíåð iÿ é iìïóëüñ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè ïîâèííi áóòè äîñòàòíüî âåëèêèìè. îçãëÿíüìî äîêëàäíiøå öi óìîâè. Äëÿ öüîãî íàì ïîòðiáíî ïîâåðíóòèñü äî iíòå ðàëüíîãî ðiâíÿííÿ ç ïîïåðåäíüîãî ïàðàãðàà äëÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ(r) i ïiäñòàâèòè éîãî äðóãó iòåðàöiþ ó âèðàç äëÿ àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ f : Z m ′ ′ ′ f = − dr′ e−ik r U (r′ )eikr 2 2π~ ) ( Z ik|r′ −r′′ | e m ′ ′′ U (r′′ )e−ik(r −r ) + . . . . dr′′ ′ × 1− 2π~2 |r − r′′ | 805

Óìîâîþ çáiæíîñòi öüîãî ðÿäó, òîáòî óìîâîþ çàñòîñîâíîñòi áîðíiâñüêîãî íàáëèæåííÿ, ¹, î÷åâèäíî, íåðiâíiñòü: m Z ik|r′ −r′′ | ′′ −ik(r′ −r′′ ) ′′ e U (r )e dr ≪ 1. 2π~2 |r′ − r′′ |

Çà öi¹¨ óìîâè äðóãà iòåðàöiÿ äàñòü íàáàãàòî ìåíøèé âíåñîê â àìïëiòóäó ðîçñiÿííÿ, íiæ ïåðøà. Çàìiñòü r′′ óâåäåìî íîâó çìiííó iíòå ðóâàííÿ r = r′ − r′′ i çàïèøåìî öþ íåðiâíiñòü òàê: Z ikr m e ′ −ikr U (r − r) ≪ 1. dr e 2π~2 r

ßêùî ðàäióñ äi¨ ïîòåíöiàëó äîðiâíþ¹ a, òî, ïî-ïåðøå, çâàæàþ÷è íà îöiíî÷íèé õàðàêòåð íàøèõ îá÷èñëåíü, çàìiíèìî U äåÿêèì ¯ ç îñíîâíî¨ îáëàñòi éîãî iñíóâàííÿ. Ïî-äðóãå, îñêiëüçíà÷åííÿì U êè äîâæèíè ðàäióñ-âåêòîðiâ r′ òà r′′ , çà ÿêèìè âiäáóâà¹òüñÿ iíòå ðóâàííÿ ó âèðàçi äëÿ àìïëiòóäè f , òàêîæ îáìåæåíi ðàäióñîì äi¨ ïîòåíöiàëó, òî é iíòå ðóâàííÿ çà r îáìåæèìî öèì ðàäióñîì. Ïiñëÿ öèõ ñïðîùåíü òà iíòå ðóâàííÿ çà êóòîâèìè çìiííèìè íàøà íåðiâíiñòü íàáèðà¹ òàêîãî âèãëÿäó: a Z 2m|U¯ | ikr dr e sin kr ≪ 1 2 ~ k 0

àáî ïiñëÿ iíòå ðóâàííÿ ¯ | m|U 2ika − 2ika − 1 e ≪ 1. 2 2 2~ k ßêùî øâèäêîñòi ÷àñòèíîê, ÿêi íàëiòàþòü íà ìiøåíü, ¹ ìàëèìè, ka < 1, òî çâiäñè, ðîçêëàäàþ÷è åêñïîíåíòó â ðÿä, îòðèìó¹ìî òàêó óìîâó: 2 ~ ¯ ≪ 1. |U | ma2

Ïðè âåëèêèõ øâèäêîñòÿõ ÷àñòèíîê, êîëè âåëè÷èíà ka > 1, åêñïîíåíòà øâèäêî îñöèëþ¹ i â ñåðåäíüîìó âíåñêó íå äà¹, òîìó òåïåð íàøà óìîâà ¹ òàêîþ: ¯| ma|U ≪1 ~2 k 806

àáî

¯| a|U ≪ 1, ~v v = ~k/m øâèäêiñòü ÷àñòèíêè. ßê ïðèêëàä ðîçãëÿíüìî ðîçñiþâàííÿ íà êóëîíiâñüêîìó ïîòåíöiàëi U (r) = Ze2 /r. Îñêiëüêè äëÿ öüîãî ïîòåíöiàëó iíòå ðàë çà r â óìîâi çàñòîñîâíîñòi áîðíiâñüêîãî íàáëèæåííÿ ìà¹, ÿê ëåãêî áà÷èòè, ëîãàðèìi÷íó ðîçáiæíiñòü, òî ñêîðèñòàéìîñü òàêèì òðþêîì. îçãëÿíüìî åêðàíîâàíèé ïîòåíöiàë Þêàâè

Ze2 −r/a e r ¯ ∼ Ze2 /a, i òåïåð íàøà çi ñêií÷åííèì ðàäióñîì äi¨ a, äëÿ ÿêîãî U äðóãà óìîâà (êîëè ka > 1) U (r) =

Ze2 ≪ 1, ~v ÿê íåçàëåæíà âiä ïàðàìåòðà a, ìà¹ ñèëó çà áóäü-ÿêèõ éîãî çíà÷åíü, à îòæå, i ïðè a → ∞, òîáòî äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó. Òîìó áîðíiâñüêå íàáëèæåííÿ çàñòîñîâíå i äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó, ÿêùî íàëiòàþ÷à íà ìiøåíü ÷àñòèíêà ìà¹ äîñòàòíüî âåëèêó øâèäêiñòü. Òîìó ùî êîåiöi¹íò Ôóð'¹ äëÿ êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó

νq =

4πe2 Z , q2

òî äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ 2 2Z m 4πe2 Z 2 2m e dσ = = 2 2 2 2 dΩ 2π~ q ~ (2k sin(θ/2)) àáî

dσ = dΩ

Ze2 4E

2

1 , sin θ/2 4

807

äå åíåð iÿ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè E = ~2 k2 /2m. Öÿ îðìóëà çáiãà¹òüñÿ ç âiäîìîþ îðìóëîþ åçåðîðäà, ÿêà îòðèìàíà ìåòîäàìè êëàñè÷íî¨ ìåõàíiêè. Ôîðìóëà åçåðîðäà íå ïðàöþ¹ ïðè ìàëèõ êóòàõ ðîçñiÿííÿ, êîëè θ → 0. Çàóâàæèìî, ùî òî÷íèé êâàíòîâîìåõàíi÷íèé ðîçâ'ÿçîê öi¹¨ çàäà÷i äà¹ öåé æå ðåçóëüòàò. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî â òî÷íîìó ðîçâ'ÿçêó ìîäóëü àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ äîðiâíþ¹ áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííþ íàáiãà¹ ëèøå àçà. Îòæå, êëàñè÷íà i êâàíòîâà ìåõàíiêà äàþòü äëÿ äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ â êóëîíiâñüêîìó ïîëi îäíàêîâèé ðåçóëüòàò. 106. îçñiÿííÿ åëåêòðîíiâ íà àòîìi

Ïðîâåäåìî ðîçðàõóíîê äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ åëåêòðîíiâ íà àòîìi áåç óðàõóâàííÿ îáìiííèõ ååêòiâ, òîáòî íå ñèìåòðèçóþ÷è õâèëüîâèõ óíêöié åëåêòðîíà, ùî íàëiòà¹ íà àòîì, iç õâèëüîâèìè óíêöiÿìè åëåêòðîíiâ, ÿêi ¹ â àòîìi. Óâåäåìî ïîòåíöiàë ïîëÿ ϕ òàê, ùî ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ åëåêòðîíà â ïîëi àòîìà

U = eϕ. Ïîòåíöiàë ϕ çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà:

∆ϕ = −4πρ,

äå ρ ãóñòèíà çàðÿäiâ àòîìà. Âîíà âðàõîâó¹ çàðÿä ÿäðà é çàðÿä àòîìíèõ åëåêòðîíiâ, ðîçïîäiëåíèõ ç ãóñòèíîþ n(r)

ρ = Z|e|δ(r) + en(r), íàãàäà¹ìî, ùî çàðÿä åëåêòðîíà e = −|e|. Çàïèøåìî ðîçêëàäè Ôóð'¹: 1 X ϕq eiqr , ϕ= V q

δ(r) =

n(r) = 808

1 X iqr e , V q

1 X nq eiqr . V q

Äëÿ êîåiöi¹íòiâ Ôóð'¹ öèõ âåëè÷èí ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà äà¹:

−q 2 ϕq = −4π(Z|e| + enq ), ϕq =

4π|e| (Z − nq ). q2

Êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ Z 4πe2 νq = U (r)e−iqr dr = eϕq = − 2 (Z − nq ), q äå óð'¹-îáðàç åëåêòðîííî¨ ãóñòèíè Z nq = n(r)e−iqr dr.

Òàêèì ÷èíîì, àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ â áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííi f = −mνq /2π~2 , à äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ 2 m 4πe2 dσ = (Z − nq ) . 2 2 dΩ 2π~ q

Ó öié îðìóëi çâåäåíà ìàñà m = me , äå me ìàñà åëåêòðîíà. Ïðîàíàëiçóéìî îòðèìàíèé âèðàç ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ iìïóëüñó ïåðåäà÷i q: Z Z −iqr nq = n(r)e dr = n(r) dr

− i äå

Z

1 qr n(r) dr − 2 r2

Z

(qr)2 n(r) dr + · · · = Z −

=

Z

q2 2 r + ···, 6

r 2 n(r) dr.

Äðóãèé äîäàíîê iç ñêàëÿðíèì äîáóòêîì qr ó öüîìó ðîçêëàäi ïðè iíòå ðóâàííi çà êóòîì θ äà¹ íóëü, à â òðåòüîìó äîäàíêó âiä óñåðåäíåííÿ cos2 θ âèíèêà¹ ìíîæíèê 1/3. Äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ó öié ãðàíèöi ¹ ñêií÷åííîþ âåëè÷èíîþ: !2 2 2me2 1 2 dσ r ~2 = 2 . , aB = r 2 = dΩ ~ 6 3aB me e2

809

Òàêèì ÷èíîì, íà âiäìiíó âiä âèïàäêó êóëîíiâñüêîãî ïîòåíöiàëó, óðàõóâàííÿ åëåêòðîííî¨ ñòðóêòóðè àòîìà ðîáèòü çàñòîñîâíèì áîðíiâñüêå íàáëèæåííÿ i ïðè ìàëèõ êóòàõ ðîçñiÿííÿ θ . Ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ iìïóëüñó ïåðåäà÷i q âåëè÷èíà nq → 0 i ìè îòðèìó¹ìî îðìóëó åçåðîðäà: 2me2 2 dσ = Z . dΩ ~2 q 2 107. Ìåòîä ïàðöiàëüíèõ õâèëü

Ó öåíòðàëüíîìó ïîëi U = U (r) ìîìåíò iìïóëüñó ¹ iíòå ðàëîì ðóõó, òîìó ñòàíè ç ðiçíèìè çíà÷åííÿìè îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà l äàâàòèìóòü ó ðîçñiÿííÿ íåçàëåæíi âíåñêè. Îòæå, ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ ìîæå áóòè çîáðàæåíèé ó âèãëÿäi ñóìè ïàðöiàëüíèõ ïåðåðåçiâ ðîçñiÿííÿ äëÿ ïåâíèõ çíà÷åíü îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Íàøèì çàâäàííÿì ¹ çíàéòè öåé âèðàç. Áóäü-ÿêèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà ìîæíà çîáðàçèòè (äèâ. 38) ó âèãëÿäi ðîçêëàäó çà äîáóòêàìè ñåðè÷íî¨ óíêöi¨ Yl,m (θ, ϕ) íà ðàäiàëüíó óíêöiþ RE,l (r), ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ ~2 l(l + 1) ~2 d2 + + U χl = Eχl , − 2m dr 2 2mr 2

χl , χl = χl (r). r Òóò ìè ðîçãëÿäà¹ìî âèïàäîê íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà, êîëè åíåð iÿ E = ~2 k2 /2m, òîìó äëÿ ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ χl ìà¹ìî ðiâíÿííÿ: RE,l (r) =

l(l + 1) 2m χl + 2 U χl − k2 χl = 0, r2 ~ ïîõiäíi óíêöi¨ χl çà r ïîçíà÷åíî øòðèõàìè. Ó òåîði¨ ðîçñiÿííÿ íàñ öiêàâëÿòü ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ ïðè r → ∞. Àíàëiç âèïèñàíèõ ðiâíÿíü äëÿ öüîãî âèïàäêó ìè ïðîâåëè ðàíiøå â 38. Òóò, îäíàê, íàñ öiêàâèòèìóòü i àçè õâèëüîâèõ óíêöié, òîìó çðîáèìî äîêëàäíiøèé àíàëiç ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Ïî÷íåìî ç âiëüíî¨ ÷àñòèíêè (U = 0). Òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χl ëåãêî çíàõîäèìî ïiäñòàíîâêîþ −χ′′l +

χl = r l+1 ul . 810

iâíÿííÿ äëÿ íîâî¨ óíêöi¨ ul ìà¹ âèãëÿä

u′′l +

2(l + 1) ′ ul + k2 ul = 0. r

Ïðîäèåðåíöiþ¹ìî öå ðiâíÿííÿ çà r :

u′′′ l −

2(l + 1) ′ 2(l + 1) ′′ ul + ul + k2 u′l = 0. r2 r

Óâåäåìî óíêöiþ wl øëÿõîì çàìiíè u′l = rwl i çíàéäåìî íàñòóïíå ðiâíÿííÿ:

wl′′ +

2(l + 2) ′ wl + k2 wl = 0. r

Ïîðiâíÿ¹ìî öå ðiâíÿííÿ ç ðiâíÿííÿì äëÿ óíêöi¨ ul+1 :

u′′l+1 +

2(l + 2) ′ ul+1 + k2 ul+1 = 0. r

Çâiäñè î÷åâèäíî, ùî wl = ul+1 . Îòæå, ìè çíàéøëè òàêå ñïiââiäíîøåííÿ: 1 ul+1 = u′l , r àáî

1 ul = u′l−1 . r Äàëi

ul =

1 d 1 d 1 d ul−1 = ul−2 = . . . = r dr r dr r dr

1 d r dr

l

u0 .

Òàêèì ÷èíîì, óðàõîâóþ÷è, ùî u0 = χ0 /r , 1 d l χ0 ul = . r dr r Âèïèøåìî òåïåð ðiâíÿííÿ äëÿ óíêöi¨ χ0 :

χ′′0 + k2 χ0 = 0. 811

îçâ'ÿçîê öüîãî îñöèëÿòîðíîãî ðiâíÿííÿ ïîâèíåí çàáåçïå÷èòè ñêií÷åííiñòü ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ R = χ0 /r íà ìàëèõ âiäñòàíÿõ, òîìó

χ0 = C sin kr. Çíàéäåìî ñòàëó C ç óìîâè íîðìóâàííÿ äëÿ íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà, íîðìóþ÷è õâèëüîâi óíêöi¨ íà δ-óíêöiþ âiä ìîäóëiâ õâèëüîâèõ âåêòîðiâ k: Z ∞ Rk′ ,l (r)Rk,l (r)r 2 dr = δ(k′ − k). 0

Òóò i äàëi ìè áóäåìî ïðèïèñóâàòè ðàäiàëüíié óíêöi¨, p êðiì îð2mE/~2 , áiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà l, êâàíòîâå ÷èñëî k = ùî âèçíà÷à¹ åíåð iþ. Ó íàøîìó âèïàäêó öÿ óìîâà íîðìóâàííÿ äà¹: Z ∞ 2 C sin k′ r sin kr dr = δ(k′ − k), 0

àáî

C2 2

Z

∞ −∞

sin k′ r sin kr dr = δ(k′ − k).

îçïèøåìî ëiâó ÷àñòèíó: Z C 2 1 2 ∞ ik′ r ′ e − e−ik r eikr − e−ikr dr 2 2i −∞

C2 =− 8

Z

∞

−∞

n

o ′ ′ ′ ′ ei(k +k)r + e−i(k +k)r − ei(k −k)r − e−i(k −k)r dr

C2 2π 2δ(k′ + k) − 2δ(k′ − k) . 8 Ìè âèêîðèñòàëè òóò äëÿ δ-óíêöi¨ òàêå çîáðàæåííÿ: Z ∞ 1 ′ ei(k −k)r dr = δ(k′ − k). 2π −∞ =−

Îñêiëüêè õâèëüîâi âåêòîðè k′ òà k ¹ äîäàòíèìè âåëè÷èíàìè i, çà óìîâîþ çàäà÷i, â òåîði¨ ðîçñiÿííÿ íå äîðiâíþþòü íóëåâi k′ > 0, 812

k > 0, òî δ(k′ + k) = 0. Îòæå, ëiâà ÷àñòèíà ðiâíÿííÿ óìîâè íîðìóâàííÿ äîðiâíþ¹ δ(k′ − k)πC 2 /2 i πC 2 /2 = 1. Òîìó r 2 , C= π χ0 = Òàêèì ÷èíîì,

ul =

r

1 d r dr

2 sin kr. π

l r

2 sin kr π r

i òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðàäiàëüíîãî ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ìà¹ âèãëÿä r 2 l 1 d l sin kr Rk,l (r) = Cl r , π r dr r äå ñòàëó íîðìóâàííÿ Cl íàì íåîáõiäíî ùå çíàéòè. Âåäó÷èé ÷ëåí àñèìïòîòèêè ïðè r → ∞ âiäøóêà¹ìî, ÿêùî ïîõiäíi áðàòè ëèøå âiä ñèíóñà: r r 21 d l 2 1 d l−1 Rk,l (r) ≃ Cl sin kr = kCl cos kr π r dr π r dr r π 2 1 d l−1 sin kr − = −kCl π r dr 2 r π 21 l = . . . = (−k) Cl . sin kr − l πr 2

Ñàìå âåäó÷èé ÷ëåí àñèìïòîòèêè i âèçíà÷à¹ iíòå ðàë íîðìóâàííÿ, îñêiëüêè ðåøòà ïîðiâíÿíî ç íèì (ðîçáiæíèì ïðè k′ = k) äàþòü çíèêàþ÷å ìàëèé âíåñîê. Òîìó ñòàëó Cl çíàõîäèìî ç óìîâè íîðìóâàííÿ öüîãî àñèìïòîòè÷íîãî âèðàçó: r 2 Z ∞ π 2 π l sin kr − l dr = δ(k′ − k). sin k′ r − l k Cl π 0 2 2

813

Ïîâòîðþþ÷è âèêëàäêè, çðîáëåíi âèùå äëÿ l = 0, çíàõîäèìî, ùî r 2 π l 2 k Cl = 1, 2 π àáî ç òî÷íiñòþ äî àçîâîãî ìíîæíèêà

Cl =

(−1)l . kl

Îñòàòî÷íî ðàäiàëüíà óíêöiÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè r 1 d l sin kr 1 2 l r − , Rk,l (r) = l k π r dr r à ¨¨ àñèìïòîòèêà ïðè r → ∞

Rk,l (r) =

r

2 sin kr − l π2 . π r

Ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ r , ðîçêëàäàþ÷è ñèíóñ, ìà¹ìî: r ∞ 1 2 l (kr)2n+1 1 d l1X Rk,l (r) = l r − (−)n . k π r dr r (2n + 1)! n=0

Êîæíå äèåðåíöiþâàííÿ ðàçîì iç ìíîæíèêîì 1/r çìåíøó¹ ñòåïiíü çìiííî¨ r íà 2. Òîáòî, äèåðåíöiþþ÷è l ðàçiâ r 2n , îòðèìó¹ìî âèðàç ∼ r 2n−2l . îëîâíèé âíåñîê ó Rk,l (r), ïðîïîðöiéíèé äî r l , îòðèìó¹ìî, ÿêùî n = l: r 1 2 l 1 d l k2l+1 2l r r Rk,l (r) = r→0 k l π r dr (2l + 1)! r 2 2l l! = kl+1 rl . π (2l + 1)! Ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåííÿ àñèìïòîòè÷íîãî âèãëÿäó ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ ÷àñòèíêè, ùî ðóõà¹òüñÿ â ïîëi ç ïîòåíöiàëüíîþ åíåð i¹þ U ïðè r → ∞. Îñêiëüêè ïðè r → ∞ âåëè÷èíà U → 0, òî çðîçóìiëî, ùî çàëåæíiñòü ðàäiàëüíî¨ óíêöi¨ Rk,l âiä âiäñòàíi r ¹ òàêîþ 814

æ, ÿê i äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè ìîæå çìiíèòèñü ëèøå àçà õâèëüîâî¨ óíêöi¨: r 2 sin kr − l π2 + δl , r → ∞. Rk,l (r) = π r Òóò δl äîäàòêîâà àçà, ùî íàáiãà¹ âíàñëiäîê äi¨ ïîëÿ U . Äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè, êîëè U = 0, äîäàòêîâà àçà δl = 0. Ìàþ÷è öi âèðàçè, ìè ìîæåìî çíàéòè òåïåð àñèìïòîòè÷íèé âèðàç õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ÷àñòèíêè, ùî ðîçñiþ¹òüñÿ íà ñèëîâîìó öåíòði. Âèáåðåìî òàêó ñèñòåìó êîîðäèíàò, ó ÿêié âiñü z íàïðÿìëåíà âçäîâæ iìïóëüñó íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè k, i ðîçêëàäåìî ïëîñêó õâèëþ â ðÿä çà äîáóòêàìè ñåðè÷íî¨ óíêöi¨ íà ðàäiàëüíó óíêöiþ âiëüíî¨ ÷àñòèíêè:

eikr =

∞ X l X

Al,m Yl,m (θ, ϕ)Rk,l (r),

l=0 m=−l

Al,m êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó. Îñêiëüêè kr = kz = kr cos θ i ç ëiâîãî áîêó âiäñóòíÿ çàëåæíiñòü âiä àçèìóòàëüíîãî êóòà ϕ, òî çàëèøà¹òüñÿ ëèøå âíåñîê iç ìàãíiòíèì êâàíòîâèì ÷èñëîì m = 0, êîëè ñåðè÷íà óíêöiÿ çâîäèòüñÿ äî ïîëiíîìà Ëåæàíäðà: r 2l + 1 Yl,0 (θ, ϕ) = Pl (cos θ), 4π ikr

e

=

∞ X

Bl Rk,l (r)Pl (cos θ).

l=0

Êîåiöi¹íòè ðîçêëàäó Bl çíàõîäèìî øëÿõîì ïîðiâíÿííÿ ìíîæíèêiâ áiëÿ r cos θ ó ëiâié i ïðàâié ÷àñòèíàõ öi¹¨ ðiâíîñòi r l! (2l)! (ikr cos θ)l 2 l+1 l = Bl k 2 r l × l 2 cosl θ. l! π (2l + 1)! 2 (l!) Çâiäñè ìà¹ìî

il Bl = k

r

π (2l + 1). 2 815

Òàêèì ÷èíîì, ikr

e

=

∞ l X i l=0

Ïðè r → ∞ ikr

e

=

∞ X l=0

k

r

π (2l + 1)Rk,l (r)Pl (cos θ). 2

sin kr − l π2 i (2l + 1)Pl (cos θ) . kr l

Õâèëüîâà óíêöiÿ ÷àñòèíêè â ïîòåíöiàëüíîìó ïîëi U íà âåëèêèõ âiäñòàíÿõ áóäå ìàòè âèãëÿä, ÿêèé ðiçíèòüñÿ âiä öüîãî äîäàòêîâîþ àçîþ δl ïiä çíàêîì ñèíóñà i ñòàëèìè Cl : ∞ X sin kr − l π2 + δl l . Cl i (2l + 1)Pl (cos θ) ψ(r) = kr l=0

Âiäíiìåìî âiä öüîãî âèðàçó ïëîñêó õâèëþ i îòðèìà¹ìî, çà îçíà÷åííÿì, õâèëüîâó óíêöiþ ðîçñiÿíî¨ ÷àñòèíêè

f

eikr = ψ(r) − eikr . r

√ Ìè íå áåðåìî òóò äî óâàãè ñòàëî¨ âåëè÷èíè 1/ V , ÿêà âèïàäà¹ ïðè âèçíà÷åííi àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ f . Îòæå, eikr f r

=

∞ 1 X l i (2l + 1)Pl (cos θ) kr l=0

n π o π . × Cl sin kr − l + δl − sin kr − l 2 2 Ñòàëi âåëè÷èíè Cl ïiäáåðåìî òàê, ùîá çàëèøàëàñü ëèøå õâèëÿ, ÿêà ïîøèðþ¹òüñÿ âiä öåíòðà. Äëÿ öüîãî òðåáà ïîêëàñòè Cl = eiδl . Ñïðàâäi,

816

π 1 n i(kr−lπ/2+δl ) π Cl sin kr − l + δl − sin kr − l = Cl e 2 2 2i o i(kr−lπ/2) −i(kr−lπ/2+δl ) −i(kr−lπ/2) −e − Cl e +e

=

o 1 n i(kr−lπ/2+δl ) Cl e − ei(kr−lπ/2) 2i

1 −i(kr−lπ/2) eikr e (Cl e−iδl − 1) = (−i)l (e2iδl − 1). 2i 2i Ó ðåçóëüòàòi −

f=

∞ i X (2l + 1)(1 − e2iδl )Pl (cos θ). 2k l=0

Öåé âèðàç ðîçâ'ÿçó¹ çàäà÷ó çîáðàæåííÿ ïîâíî¨ àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ ÷åðåç ïàðöiàëüíi âíåñêè ç ðiçíèìè çíà÷åííÿìè îðáiòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, ÿêi çàëåæàòü âiä äîäàòêîâî¨ àçè δl . Ïîâíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ Z Z π |f |2 sin θdθ σ = |f |2 dΩ = 2π 0

ëåãêî çíàéòè, ÿêùî âðàõóâàòè, ùî ïîëiíîìè Ëåæàíäðà ¹ âçà¹ìíî îðòîãîíàëüíèìè äëÿ ðiçíèõ çíà÷åíü l, ùî âèïëèâà¹ ç îðòîãîíàëüíîñòi ñåðè÷íèõ óíêöié: Z π 2 Pl′ (cos θ)Pl (cos θ) sin θ dθ = δl′ l . 2l + 1 0 Ó ïiäñóìêó

σ=

∞ 2 π X 2iδl 1 − e (2l + 1), k2 l=0

àáî

σ=

∞ 4π X (2l + 1) sin2 δl . k2 l=0

Çâiäñè, çîêðåìà, ìà¹ìî, ùî ìàêñèìàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ iç çàäàíèì l äîðiâíþ¹ 4π(2l + 1)/k2 , ÿêùî àçà δl = π/2 + nπ, n = 0, 1, 2, . . . . Ïðè δl = nπ ïàðöiàëüíèé âíåñîê äî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ äîðiâíþ¹ íóëåâi. Êîëè â îêîëi ìàêñèìóìó ïàðöiàëüíîãî âíåñêó â σ àçà δl øâèäêî çìiíþ¹ ñâî¹ çíà÷åííÿ ÿê óíêöiÿ åíåð i¨ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè, òî ãîâîðÿòü ïðî òàê çâàíèé ðåçîíàíñ. Ïðèïóñêàþ÷è ïîáëèçó ðåçîíàíñó ëiíiéíó çàëåæíiñòü àçè âiä åíåð i¨ 52

I. Î. Âàêàð÷óê

817

δl ≃ π/2 + 2(E − Er )/Γ, äå Er , Γ äîäàòíi âåëè÷èíè, ÿêi õàðàêòåðèçóþòü éîãî ïîëîæåííÿ i øèðèíó, òà, çàóâàæóþ÷è, ùî ïðè öüîìó ctg δl ≃ −2(E − Er )/Γ, çíàõîäèìî ïàðöiàëüíèé âíåñîê äî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ σl = =

4π 4π 1 (2l + 1) sin2 δl = 2 (2l + 1) 2 k k 1 + ctg2 δl π Γ2 (2l + 1) k2 (E − Er )2 + (Γ/2)2

îðìóëà ÁðåéòàÂi íåðà. Ïîâíèé ïåðåðiç ìîæíà çàïèñàòè ÷åðåç óÿâíó ÷àñòèíó àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ. Ñïðàâäi, ç âèðàçó äëÿ f ìà¹ìî ∞ 1 X Imf (θ) = (2l + 1)(1 − cos 2δl )Pl (cosl θ). 2k l=0

Îñêiëüêè ïðè θ = 0 ïîëiíîì Pl (1) = 1, òî ∞ 1X Imf (0) = (2l + 1) sin2 δl . k l=0

Îòæå,

σ=

4π Imf (0), k

òîáòî ïîâíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ âèçíà÷à¹òüñÿ óÿâíîþ ÷àñòèíîþ àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ âïåðåä. Öå ñïiââiäíîøåííÿ íàçèâàþòü îïòè÷íîþ òåîðåìîþ. Ïðèêëàä. îçñiÿííÿ íà ïîòåíöiàëi òâåðäèõ ñåð. Íåõàé ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ U äîðiâíþ¹ íóëåâi ïðè r > a i íàáóâà¹ áåçìåæíi çíà÷åííÿ ïðè r ≤ a. Ïðèêëàäîì òàêî¨ âçà¹ìîäi¨ ¹ çiòêíåííÿ áiëüÿðäíèõ êóëü äiàìåòðîì a. Òàêà óíêöiÿ U ìîäåëþ¹ âiäøòîâõóâàëüíó ÷àñòèíó âçà¹ìîäi¨, íàïðèêëàä, àòîìiâ ãåëiþ. îçãëÿíüìî âíåñîê ó ðîçñiÿííÿ s-õâèëü, òîáòî êîëè l = 0. Õâèëüîâà óíêöiÿ r 2 sin(kr + δ0 ) Rk,0 (r) = . π r Äëÿ çàáåçïå÷åííÿ óìîâè Rk,0 (r) = 0 ïðè r = a íåîáõiäíî ïîêëàñòè àçó

δ0 = −ka.

818

Òàêèì ÷èíîì, àìïëiòóäà ðîçñiþâàííÿ â íàáëèæåííi s-ðîçñiÿííÿ f=

i sin ka (1 − e−2ika ) = −e−ika . 2k k

Ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ åíåð i¨, êîëè ka ≪ 1, àìïëiòóäà f = −a.

Öiêàâî çiñòàâèòè öþ âåëè÷èíó ç àìïëiòóäîþ ðîçñiÿííÿ â áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííi m f =− νk . 2π~2 Òåïåð êîåiöi¹íò Ôóð'¹ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ (ka ≪ 1) νk =

2π~2 a, m

à ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ 2π~2 1 X ikr 2π~2 1 X a aδ(r). νk eikr = e = U = V m V m k k Öåé âèðàç óâiâ ó 1936 ðîöi Å. Ôåðìi äëÿ îïèñó âçà¹ìîäi¨ íåéòðîíiâ iç ÿäðàìè. Íàãàäà¹ìî, ùî òóò m ¹ çâåäåíîþ ìàñîþ i äëÿ ðîçñiÿííÿ äâîõ îäíàêîâèõ ÷àñòèíîê âîíà äîðiâíþ¹ ïîëîâèíi ìàñè ÷àñòèíêè. Íàïðèêëàä, äëÿ äâîõ àòîìiâ ãåëiþ 4π~2 U= aδ(r), m m ìàñà àòîìà. 108. Òåîðiÿ íåïðóæíîãî ðîçñiÿííÿ

Íåõàé ÷àñòèíêà ç iìïóëüñîì p = ~k i êîîðäèíàòîþ r íàëiòà¹ íà ñèñòåìó, ùî ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóêóïíîñòi N ÷àñòèíîê iç êîîðäèíàòàìè Rj , j = 1, . . . , N . Ïîçíà÷èìî îïåðàòîð ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ âçà¹ìîäi¨ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè iç ñèñòåìîþ ÷åðåç Vˆ . Âií ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè åíåð ié âçà¹ìîäi¨ ç êîæíîþ ÷àñòèíêîþ ñèñòåìè

Vˆ =

N X j=1

U (|r − Rj |).

Äëÿ ðîçðàõóíêó äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ áóäåìî âèõîäèòè ç âèðàçó äëÿ éìîâiðíîñòi ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó: 2π (0) (0) . |Vf i |2 δ Ef − Ei wi→f = ~ 52*

819

Õâèëüîâà óíêöiÿ íàëiòàþ÷î¨ ÷àñòèíêè äî ðîçñiÿííÿ ¹ ïëîñêîþ õâèëåþ

eikr |ki = √ . V Ìè íîðìó¹ìî õâèëüîâi óíêöi¨ íà âåëèêèé îá'¹ì ïåðiîäè÷íîñ(0) òi V . Ïî÷àòêîâà åíåð iÿ Ei ñêëàäà¹òüñÿ iç ñóìè åíåð i¨ ÷àñòèíêè 2 2 ~ k /2m é åíåð i¨ ñèñòåìè, ÿêó ìè ïîçíà÷èìî ÷åðåç EA : (0)

Ei

= EA +

~2 k2 . 2m

Iíäåêñîì A ìè íóìåðó¹ìî êâàíòîâi ñòàíè ñèñòåìè, à ¨¨ õâèëüîâà óíêöiÿ äîðiâíþ¹ |Ai. Îòæå, ïîâíà ïî÷àòêîâà õâèëüîâà óíêöiÿ ¹ äîáóòêîì õâèëüîâèõ óíêöié ÷àñòèíêè òà ñèñòåìè:

eikr |ii = |ki|Ai = √ |Ai. V Ó êiíöåâîìó ñòàíi õâèëüîâà óíêöiÿ ′

eik r |f i = |k′ i|A′ i = √ |A′ i, V à åíåð iÿ (0) Ef

′

= EA′

~2 k 2 + . 2m

Ìàòðè÷íèé åëåìåíò îïåðàòîðà çáóðåííÿ

Vf i = hf |Vˆ |ii. Äëÿ éîãî ðîçðàõóíêó ðîçêëàäåìî ñïî÷àòêó óíêöiþ U â ðÿä Ôóð'¹: 1 X νq eiq(r−Rj ) , U (|r − Rj |) = V q

νq = 820

Z

e−iqR U (R) dR.

Òåïåð

Vf i

N X 1 X ′ iqr = hA′ |e−iqRj |Ai, νq hk |e |ki V q j=1

′

iqr

hk |e

1 |ki = V

Z

′

e−ik r eiqr eikr dr = δq,k′ −k

ñèìâîë Êðîíåêåðà. Îòæå, √

Vf i =

äå q = k′ − k, à

N νq hA′ |ρq |Ai, V

N 1 X −iqRj ρq = √ . e N j=1

Iìîâiðíiñòü ïåðåõîäó çà îäèíèöþ ÷àñó

wi→f

2π N = |νq |2 |hA′ |ρq |Ai|2 δ ~ V2

′

~2 k 2 ~2 k2 − + EA′ − EA 2m 2m

!

.

ßêùî öåé âèðàç ïîäiëèòè íà âåëè÷èíó ïîòîêó, ùî íàëiòà¹,

j0 =

~k 1 , mV

ïiäñóìóâàòè çà âñiìà çíà÷åííÿìè iìïóëüñó ÷àñòèíêè ïiñëÿ ðîçñiÿííÿ k′ , à òàêîæ çà âñiìà ïî÷àòêîâèìè ñòàíàìè ñèñòåìè |Ai, ó ÿêèõ âîíà çíàõîäèòüñÿ ç iìîâiðíiñòþ wA , i çà âñiìà êiíöåâèìè ñòàíàìè |A′ i, òî ìè çíàéäåìî ïîâíèé ïåðåðiç íåïðóæíîãî ðîçñiÿííÿ: XXX ~k 1 σ= wA wi→f . mV ′ ′ k

A

A

Iìîâiðíiñòü ðåàëiçàöi¨ ïî÷àòêîâîãî ðiâíîâàæíîãî ñòàíó ñèñòåìè ÷àñòèíîê âèçíà÷à¹òüñÿ ðîçïîäiëîì Áîëüöìàíà

wA =

e−EA /T , Z 821

äå ñòàòèñòè÷íà ñóìà

Z=

X

e−EA /T .

A

Òàêèì ÷èíîì,

σ =

1 V ~k/mV (2π)3 ′

2

× |hA |ρq |Ai| δ

Z

dk′

XX A

A′

′

wA

2π N |νq |2 ~ V2

~2 k 2 ~2 k2 − + EA′ − EA 2m 2m

!

.

Òóò óæå ìè ïåðåéøëè âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèìè âåêòîðàìè äî iíòå ðóâàííÿ. Äëÿ òîãî ùîá ñêîðèñòàòèñü âëàñòèâiñòþ δ-óíêöi¨, ïåðåéäåìî äî ñåðè÷íèõ êîîðäèíàò: Z Z Z ′ ′ dk = dΩ k 2 dk′ i ââåäåìî íîâó çìiííó

ω=

~ 2 ′ (k − k 2 ), 2m

~ ′ ′ k dk . m Âåëè÷èíà ~ω äîðiâíþ¹ çìåíøåííþ åíåð i¨ ÷àñòèíêè ïðè ðîçñiÿííi. Ç ðiâíÿííÿ äëÿ ω âèçíà÷à¹ìî é ìåæi iíòå ðóâàííÿ ïðè çàäàíîìó ïî÷àòêîâîìó çíà÷åííi k. Òåïåð ïîâíèé ïåðåðiç Z Z 1 V 2π N m σ = dω k′ dΩ 3 2 ~k/mV (2π) ~ V ~ XX × wA |νq |2 |hA′ |ρq |Ai|2 δ(~ω + EA − EA′ ). dω = −

A

A′

Çíàê ìiíóñ âiä dω çíèêà¹ âíàñëiäîê çàìiíè ìiñöÿìè ìåæ iíòå ðóâàííÿ. Âèêîðèñòà¹ìî iíòå ðàëüíå çîáðàæåííÿ δ-óíêöi¨ 1 EA − EA′ δ(~ω + EA − EA′ ) = δ ω+ ~ ~ 822

=

1 2π~

Z

∞

e−i[ω+(EA −EA′ )/~]t dt

−∞

i äëÿ ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ îòðèìà¹ìî: Z Z Z ∞ dω ′ m2 2 k |νq | dΩ dt e−iωt σ = k~3 (2π)2 −∞

× N àáî

XX A′

A

wA

1 iEA′ t/~ ′ e hA |ρq |Aie−iEA t/~hA|ρ−q |A′ i 2π~

Z m 2 1 Z 1 N dΩ dω k ′ |νq |2 2 2π~ k 2π Z ∞ XX dt e−iωt wA hA′ |ρq (t)|AihA|ρ−q (0)|A′ i. ×

σ =

−∞

A

A′

Ìè ââåëè çîáðàæåííÿ àéçåíáåð à äëÿ âåëè÷èíè ρq : ˆ

ˆ

ρq (t) = eiHt/~ρq e−iHt/~, ˆ ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè, H ρq (0) = ρq , hA′ |ρq (t)|Ai = eiEA′ t/~hA′ |ρq |Aie−iEA t/~. Äàëi ìà¹ìî XX A

=

A′

X A

wA hA|ρ−q (0)|A′ i hA′ |ρq (t)|Ai

wA hA|ρ−q (0)ρq (t)|Ai = hρ−q (0)ρq (t)i,

äå êóòîâèìè äóæêàìè ïîçíà÷åíî ïîâíå óñåðåäíåííÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íå i ñòàòèñòè÷íå. Îòæå, ïîâíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ Z m 2 1 Z N dΩ dω |νq |2 k′ S(q, ω), σ= 2π~2 k 823

äå âåëè÷èíó

1 S(q, ω) = 2π

Z

∞

−∞

dt e−iωt hρ−q (0)ρq (t)i

íàçèâàþòü äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð. Âií âiäiãðà¹ öåíòðàëüíó ðîëü ó òåîði¨ íåïðóæíîãî ðîçñiÿííÿ. Âåëè÷èíó S(q, ω) íàçèâàþòü òàêîæ óíêöi¹þ Âàí îâà íà ÷åñòü áåëüãiéñüêîãî içèêàòåîðåòèêà Ëåîíà Âàí îâà, ÿêèé óâiâ ¨¨ â îáiã ó 1954 ðîöi. Ïðè âèâåäåííi öi¹¨ îðìóëè ìè âèêîðèñòàëè çîáðàæåííÿ àéçåíáåð à i çàëåæíiñòü âiä ÷àñó t äëÿ îïåðàòîðà ρq . Çàëåæíiñòü âiä ÷àñó ìîæíà ïåðåêèíóòè íà îïåðàòîð ρ−q . Ó ðåçóëüòàòi îòðèìà¹ìî

hρ−q (0)ρq (t)i = hρ−q (−t)ρq (0)i.

Êðiì òîãî, öÿ âåëè÷èíà íå çàëåæèòü i âiä íàïðÿìêó âåêòîðà q, îñêiëüêè â ðîçêëàäi â ðÿä Ôóð'¹ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåð i¨ U (|r − Rj |) ïðè ïiäñóìîâóâàííi çà q ìîæíà çðîáèòè çàìiíó q íà −q. Îòæå,

hρ−q (−t)ρq (0)i = hρq (−t)ρ−q (0)i = hρq (0)ρ−q (t)i.

Ìàþ÷è ïîâíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ σ , óâåäåìî äâi÷i äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç ðîçñiÿííÿ, ÿêèé âèìiðþ¹òüñÿ åêñïåðèìåíòàëüíî: 2 k′ m d2 σ = N ν S(q, ω), q 2 dΩdω k 2π~ òàê ùî Z Z d2 σ σ= dΩ dω . dΩ dω

Âií äîðiâíþ¹ âiäíîøåííþ êiëüêîñòi ÷àñòèíîê, ùî ðîçñiþþòüñÿ çà îäèíèöþ ÷àñó â îäèíèöþ òiëåñíîãî êóòà ç ðîçðàõóíêó íà îäèíè÷íèé iíòåðâàë åíåð i¨, äî âåëè÷èíè ïàäàþ÷îãî ïîòîêó. ßêùî âèêîðèñòàòè âèðàç äëÿ àìïëiòóäè ðîçñiÿííÿ f â áîðíiâñüêîìó íàáëèæåííi, òî

k′ d2 σ = N |f |2 S(q, ω). dΩdω k Íåïðóæíå ðîçñiÿííÿ äà¹ çìîãó âèçíà÷èòè ÿê ïðîñòîðîâó ñòðóêòóðó ðå÷îâèíè, òàê i ñòðóêòóðó ¨¨ åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà. Ñïðàâäi, ÿêùî ïðîiíòå ðóâàòè S(q, ω) çà âñiìà ÷àñòîòàìè ω , òî 824

îòðèìà¹ìî ñòàòè÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ñèñòåìè Sq , ÿêèé äà¹ iíîðìàöiþ ïðî ¨¨ ïðîñòîðîâó ñòðóêòóðó (äèâ. òàêîæ 56). Ìà¹ìî Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 dω S(q, ω) = dω e−iωt hρq (0)ρ−q (t)i dt 2π −∞ −∞ −∞ Z ∞ dt δ(t)hρq (0)ρ−q (t)i = hρq ρ−q i, = −∞

äå

Sq = hρq ρ−q i,

ñòàòè÷íèé ñòóêòóðíèé àêòîð. Òàêèì ÷èíîì, Z ∞ dωS(q, ω) = Sq . −∞

Äàëi äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ìîæíà çàïèñàòè â ðîçãîðíóòîìó âèãëÿäi: Z ∞ X 1 ˆ ˆ S(q, ω) = wA hA|ρ−q eiHt/~ρq e−iHt/~|Ai dt e−iωt 2π −∞ A

=

1 2π

Z

∞

dt e−iωt

−∞

XX A

wA ei(EA′ −EA )t/~

A′

× hA|ρ−q |A′ ihA′ |ρq |Ai =

XX A

A′

EA′ − EA wA |hA |ρq |Ai| δ ω − . ~ ′

2

Îòæå, âåëè÷èíà S(q, ω) ìà¹ δ-ïîäiáíi ïiêè äëÿ ÷àñòîò ω = (EA′ − EA )/~, ùî äîðiâíþþòü ðiçíèöi ðiâíiâ åíåð i¨ ñèñòåìè, íà ÿêié ðîçñiþ¹òüñÿ ÷àñòèíêà. Íàñïðàâäi êîíòóð äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà, âíàñëiäîê êâàçiñòàöiîíàðíîñòi ñòàíiâ, ¹ ðîçøèðåíèì. Äîäàòêîâå éîãî ðîçøèðåííÿ çóìîâëþþòü òàêîæ i òåïëîâi ðóõè àòîìiâ ðå÷îâèíè. Òàêèì ÷èíîì, äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ìà¹ âèðàçíi ìàêñèìóìè, ïîëîæåííÿ ÿêèõ i âèçíà÷à¹ åíåð åòè÷íi ðiâíi äîñëiäæóâàíî¨ ñèñòåìè. Íàïðèêëàä, ïó÷îê ÿäåð 3 He íåïðóæíî ðîçñiþ¹òüñÿ íà ìiøåíi, ÿêà ñêëàäà¹òüñÿ ç àòîìiâ ñâèíöþ-208. Ó ðåçóëüòàòi öüîãî ÿäðî 825

208 Pb

ïåðåõîäèòü iç äåÿêîãî ïî÷àòêîâîãî ñòàíó ç åíåð i¹þ EA â çáóäæåíèé ñòàí, åíåð iÿ ÿêîãî äîðiâíþ¹ EA′ . ×àñòèíêà 3 He ðå¹ñòðó¹òüñÿ ïðèëàäàìè ç åíåð i¹þ

~2 k′2 ~2 k2 = + EA − EA′ , 2m 2m äå ~2 k2 /2m êiíåòè÷íà åíåð iÿ ÿäðà 3 He, ÿêå ïàäà¹ íà ìiøåíü. Äëÿ ïåâíîãî êóòà ðîçñiÿííÿ çà ðiçíèöåþ åíåð ié ′

~2 k2 ~2 k 2 − , ~ω = 2m 2m íà ÿêié ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ìàêñèìóì äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà, âèçíà÷àþòü åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ÿäåð 208 Pb. îëîâíèì ó òàêîìó åêñïåðèìåíòi ¹ òî÷íå âèìiðþâàííÿ åíåð ié ðîçñiÿíèõ ÷àñòèíîê, çîêðåìà çà äîâæèíîþ òðåêiâ â åìóëüñi¨. Iíøèé ïðèêëàä öå íåïðóæíå ðîçñiÿííÿ íåéòðîíiâ ó ðiäêîìó 4 He. Ó öüîìó âèïàäêó íåéòðîí, ùî âçà¹ìîäi¹ ç ÿäðàìè àòîìiâ 4 He, çáóäæó¹ âñþ ¨õíþ ñóêóïíiñòü. Òîáòî íåéòðîí âiääà¹ åíåðãiþ ~ω é iìïóëüñ q = k′ − k ðiäèíi ÿê öiëîìó. Òèïîâèé ïiê äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà ðiäêîãî 4 Íå, âèçíà÷åíîãî ìåòîäîì íåïðóæíîãî ðîçñiÿííÿ íåéòðîíiâ, òîáòî âèìiðþâàííÿì äâi÷i äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ, íàãàäó¹ ðîçøèðåíèé ïðîiëü ñïåêòðàëüíî¨ ëiíi¨ àòîìà (äèâ. 63). Åêñïåðèìåíòàëüíi ïðîiëi äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà ìîäåëþþòü, ÿê ïðàâèëî, àóññiâñüêîþ àáî ëîðåíöiâñüêîþ êðèâîþ. Ëîðåíöiâñüêèé õàðàêòåð òàêî¨ êðèâî¨ ïîäiáíèé äî îïòè÷íèõ äèñïåðñiéíèõ îðìóë äëÿ ïîêàçíèêà çàëîìëåííÿ òà êîåiöi¹íòà ïîãëèíàííÿ ïîáëèçó ðåçîíàíñíèõ ÷àñòîò (äèâ. 64), êîëè âðàõîâóâàòè ÷àñ æèòòÿ êâàçiñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ ñèñòåì. àóññiâñüêèé õàðàêòåð êîíòóðà äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà îðìóþòü òåïëîâi ðóõè àòîìiâ. Òîìó â çàãàëüíîìó âèïàäêó ïðîiëü âåëè÷èíè S(q, ω) ìîæíà çîáðàçèòè çãîðòêîþ ëîðåíöiâñüêîãî òà àóññiâñüêîãî êîíòóðiâ. Íà ðèñ. 78 çîáðàæåíî âèçíà÷åíèé çà ïîëîæåííÿì öèõ ïiêiâ åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ðiäêîãî 4 Íå çàëåæíî âiä õâèëüîâîãî âåêòîðà q . Ïðî öåé ñïåêòð ãîâîðÿòü ÿê ïðî ñïåêòð åëåìåíòàðíèõ çáóäæåíü. Ó äiëÿíöi ìàëèõ çíà÷åíü õâèëüîâîãî âåêòîðà q çáóäæåííÿ îïèñóþòü çâóêîâi êîëèâàííÿ, åíåð iÿ ÿêèõ Eq = ~qc, c øâèäêiñòü çâóêó. Öi çáóäæåííÿ íàçèâàþòü îíîíàìè. Áiëÿ òî÷êè q = 826

èñ. 78.

Åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ðiäêîãî

4

He.

A−1 åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ìà¹ õàðàêòåðíèé ìiíiìóì q0 ≃ 1.91 Eq0 = ∆ ≃ 8.6◦ K. Öi çáóäæåííÿ íàçèâàþòü ðîòîíàìè. Íàçâà ïîõîäèòü âiä ïîìèëêîâîãî ïðèïèñóâàííÿ ¨ì âèõðîâèõ ðóõiâ ó ðiäèíi. Íàñïðàâäi ìåõàíiçì óòâîðåííÿ öi¹¨ ðåçîíàíñíî¨ äiëÿíêè ñïåêòðà ïîâ'ÿçàíèé ç iñíóâàííÿì õàðàêòåðíîãî äëÿ ðiäèí áëèæíüîãî ïîðÿäêó: êîëè íàéáëèæ÷i ñóñiäè âèáðàíîãî àòîìà ðîçòàøîâàíi íà âiäñòàíi, ÿêà ¹ ïîðÿäêó ñåðåäíüîþ ìiæàòîìíî¨ âiäñòàíi a, i ñòàòè÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ìà¹ ÿñêðàâî âèðàæåíèé ïiê ó òî÷öi q ≃ q0 (äèâ. ðèñ. 51). Ó âïîðÿäêîâàíèõ ñòðóêòóðàõ, ÿê ìè áà÷èëè íà ïðèêëàäi ïîëiåíîâîãî ëàíöþæêà òà êiëüöåâèõ îðãàíi÷íèõ ìîëåêóë, åíåð iÿ ¹ ïðîïîðöiéíîþ äî cos qa i ìà¹ õàðàêòåðíi ðåçîíàíñè ïðè

qa = 2πn,

n = 1, 2, 3, . . . ,

êîëè âîíà äîñÿãà¹ ìiíiìàëüíîãî íóëüîâîãî çíà÷åííÿ ñòîñîâíî åíåð i¨ îñíîâíîãî ñòàíó. Ïåðøèé òàêèé ðåçîíàíñíèé ìiíiìóì íà êðèâié åíåð iÿiìïóëüñ äëÿ ðiäêîãî 4 He òàêîæ ïîâèíåí âèíèêàòè â îêîëi òî÷êè q0 = 2π/a. Îäíàê, óíàñëiäîê õàðàêòåðíîãî äëÿ ðiäèíè áåçëàäó â ðîçòàøóâàííi àòîìiâ, öåé ìiíiìóì óæå íå äîðiâíþ¹ íóëåâi. Öå é ñïîñòåðiãà¹òüñÿ â åêñïåðèìåíòi. 827

Çi çáiëüøåííÿì õâèëüîâîãî âåêòîðà q øèðèíà ïiêiâ äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà çáiëüøó¹òüñÿ. Öå óñêëàäíþ¹ iäåíòèiêàöiþ ïîëîæåííÿ ¨õíiõ ìàêñèìóìiâ, à ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêèõ çíà÷åíü q = qc , âîíà ñòà¹ ïðîñòî íåìîæëèâîþ. Öå îçíà÷à¹, ùî ÷àñ æèòòÿ òàêèõ êâàçiñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ ¹ äóæå ìàëèì. Ñèëüíå çàãàñàííÿ öèõ ñòàíiâ óêàçó¹ íà òå, ùî âîíè ïðîñòî-íàïðîñòî âiäñóòíi, à òàêå êâàíòîâå ÷èñëî, ÿê õâèëüîâèé âåêòîð, ñòà¹ íåàäåêâàòíèì äëÿ ¨õ îïèñó1 . Âåëèêèé äåêðåìåíò çàãàñàííÿ öèõ ñòàíiâ çóìîâëåíèé òèì, ùî åëåìåíòàðíi çáóäæåííÿ ðîçïàäàþòüñÿ íà äâà i áiëüøå. Iìîâiðíiñòü òàêîãî ðîçïàäó ñèëüíî çðîñòà¹ ïðè ïiäõîäi äî çíà÷åííÿ A−1 , ÿêå i ¹ òî÷êîþ çàêií÷åííÿ ñïåêòðà. îëîâíèé âíåñîê qñ ≃ 2.7 ó öåé ìåõàíiçì äà¹ éìîâiðíiñòü ðîçïàäó çáóäæåíü ç åíåð i¹þ 2∆ íà äâà çáóäæåííÿ ç åíåð iÿìè ∆ i õâèëüîâèìè âåêòîðàìè q = q0 , òîáòî íà äâà ðîòîíè, ùî ðîçëiòàþòüñÿ ïiä êóòîì θ = π/2 √ . Ïðè÷îìó çàêîí çáåðåæåííÿ iìïóëüñó äà¹ qc = 2q0 sin(θ/2) = q0 2 ≃ 2.7 A−1 , ùî âiäïîâiäà¹ ñïîñòåðåæóâàíîìó çíà÷åííþ. 109. Äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð

Äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ïîâíiñòþ âèçíà÷à¹òüñÿ ñâî¨ìè ìîìåíòàìè Z ∞ n ω n S(q, ω)dω. ω = −∞

ßê ìè áà÷èëè, íóëüîâèé ìîìåíò, êîëè n = 0, äîðiâíþ¹ ñòàòè÷íîìó ñòðóêòóðíîìó àêòîðîâi Sq . Íåâàæêî îá÷èñëèòè ïåðøèé ìîìåíò: Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 ωS(q, ω)dω = ω ¯ = dω ωe−iωt hρq (0)ρ−q (t)i dt 2π −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ d 1 dt dωhρq (0)ρ−q (t)i e−iωt = − 2πi −∞ dt −∞

1 Íàâåäåìî ùå îäèí ïðèêëàä ñèñòåìè, ó ÿêié, óíàñëiäîê ñèëüíîãî çàãàñàííÿ, íåìà¹ ñòàöiîíàðíèõ ñòàíiâ. Êåëèõ çi çâè÷àéíèì âèíîì, ÿêùî íèì öîêàòèñü, äçâåíèòü ÷åðåç óòâîðåííÿ â íüîìó ñòîÿ÷èõ õâèëü, à êåëèõ iç øàìïàíñüêèì íi. Áóëüáàøêè â øàìïàíñüêîìó ¹ ðåçîíàòîðàìè, ó ÿêèõ çáóäæóþòüñÿ âèìóøåíi êîëèâàííÿ. Îñêiëüêè öi ðåçîíàòîðè ìàþòü çàãàñàííÿ i ¨õ ¹ áàãàòî, òî åíåð iÿ çâóêîâèõ õâèëü ñèëüíî ïîãëèíà¹òüñÿ.

828

= i

=

Z

∞ −∞

dt hρq (0)ρ−q (t)i

d δ(t) dt

d dt δ(t) hρq (0)ρ−q (t)i = −ihρq (0)ρ˙−q (t)i . −i dt −∞ t=0 Z

∞

Iç ðiâíÿííÿ ðóõó ìà¹ìî

ρ˙ −q (t) =

ˆ [ρ−q (t), H] , i~

ˆ ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè. äå H Îòæå, ïåðøèé ìîìåíò Z ∞ 1 ˆ ωS(q, ω)dω = − hρq [ρ−q , H]i. ~ −∞

ßêùî âèõîäèòè ç îðìóëè äëÿ S(q, ω), ó ÿêié çàìiñòü hρq (0)ρ−q (t)i ñòî¨òü hρ−q (−t)ρq (0)i, òî îòðèìà¹ìî, ùî Z ∞ 1 ˆ q i. ωS(q, ω)dω = h[ρ−q , H]ρ ~ −∞

Çðó÷íî öåé ïåðøèé ìîìåíò äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà çàïèñàòè ÿê ïiâñóìó äâîõ îñòàííiõ âèðàçiâ Z ∞ 1 ˆ ρq ]i. ωS(q, ω)dω = h[[ρ−q , H], 2~ −∞ Íåõàé ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìè ìà¹ âèãëÿä N

2 X ˆ =−~ ∇j 2 + Φ, H 2m j=1

äå Φ ïîòåíöiàëüíà åíåð iÿ. Êîìóòàòîð N

ˆ = − [ρ−q , H]

= −

~2 X [ρ−q , ∇j 2 ] 2m j=1

N ~2 q 2 ~2 X eiqRj √ (iq∇j ), ρ−q + 2m m N j=1

829

à ïîäâiéíèé êîìóòàòîð

ˆ ρq ] = [[ρ−q , H], Ó ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî Z ∞

N ~2 X eiqRj ~2 q 2 √ iq[∇j , ρq ] = . m m N j=1

ωS(q, ω) dω =

−∞

~q 2 . 2m

Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äèíàìi÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ïîáëèçó éîãî ïiêà ìîæíà çîáðàçèòè ëîðåíöåâîþ êðèâîþ:

S(q, ω) = Sq

Γq /2π , (ω − Eq /~)2 + (Γq /2)2

äå âåëè÷èíà Γq äåêðåìåíò çàãàñàííÿ, ÿêèé îðìó¹òüñÿ ðiçíèìè êàíàëàìè ðåàêöié ðîçïàäó çáóäæåíîãî ñòàíó ñèñòåìè. Iíòå ðàë çà âñiìà ÷àñòîòàìè âiä öüîãî âèðàçó, òîáòî íóëüîâèé ìîìåíò óíêöi¨ S(q, ω), äà¹, ÿê i ïîâèííî áóòè, ñòàòè÷íèé ñòóêòóðíèé àêòîð Sq . Öåé âèðàç äëÿ S(q, ω), òîáòî äëÿ äâi÷i äèåðåíöiàëüíîãî ïåðåðiçó ðîçñiÿííÿ, ìà¹ øèðîêå çàñòîñóâàííÿ, çîêðåìà i â òåîði¨ ÿäåðíèõ ðåàêöié (âiäîìèé ÿê îðìóëà ÁðåéòàÂi íåðà), êîëè àòîìíå ÿäðî i ÷àñòèíêà, ùî íà íüîãî íàëiòà¹, òèì÷àñîâî óòâîðþþòü ðàçîì ñêëàäíå ÿäðî çi ñâî¨ìè ðiâíÿìè åíåð i¨, ÿêå çãîäîì ðîçïàäà¹òüñÿ. Ùîäî äåêðåìåíòó çàãàñàííÿ, òî íàïðèêëàä, ó ðiäêîìó 4 He âií îðìó¹òüñÿ àíãàðìîíiçìîì êîëèâàíü ãóñòèíè, ÿêèé ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ðîçñiÿííÿ i ðîçïàä åëåìåíòàðíèõ çáóäæåíü, ïðè÷îìó Γq ∼ q 5 , q → 0. îçãëÿíåìî òåïåð äðóãèé ìîìåíò äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà. Âèêîíóþ÷è ðîçðàõóíêè, àíàëîãi÷íi äî òèõ, ÿêi íàâåäåíî â îñíîâíîìó òåêñòi öüîãî ïàðàãðàà ïðè îá÷èñëåííi ïåðøîãî ìîìåíòó, çíàõîäèìî, ùî

ω2

=

Z∞

−∞

ω 2 S(q, ω) dω = −hρq (0)¨ ρ−q (t)i

t=0

.

Äðóãó ïîõiäíó ρ¨−q (t) çàïèñó¹ìî ÿê êîìóòàòîð ïåðøî¨ ïîõiäíî¨ ˆ , ñâî¹þ ÷åðãîþ, ïåðøó ïîõiäíó çíîâó ρ˙ −q (t) ç ãàìiëüòîíiàíîì H 830

ˆ i â ðåçóëüòàòi: ïðåäñòàâëÿ¹ìî ÷åðåç êîìóòàòîð iç H Z∞

ω 2 S(q, ω) dω =

−∞

iE 1D h ˆ H ˆ . [ρ , H], ρ −q q ~2

Öåé ïîäâiéíèé êîìóòàòîð ëåãêî ðîçðàõîâó¹ìî, îñêiëüêè êîìóòàòîð ˆ ìè âæå ìàëè âèùå i òîìó âåëè÷èíè ρ−q ç H

Z∞

−∞

ω 2 S(q, ω) dω = −

1 + m

q2 ˆ hρq [ρ−q , H]i 2m

*

+ N iqRj X e ˆ √ (iq∇j ), H ρq . N j=1

Òóò ïåðøèé êîìóòàòîð çíîâó âæå ¹ ãîòîâèé, à äðóãèé îá÷èñëþ¹ìî â îäèí ðÿäîê i îñòàòî÷íî, çáèðàþ÷è âñå ðàçîì, îäåðæó¹ìî: * #+ " N iqRj 2 2 X i(q∇ Φ) qˆ p e ~q j j √ ω 2 = ρq + + , m 2m m N j=1

ˆ j îïåðàòîð iìïóëüñó j -î¨ ÷àñòèíêè, Φ ïîòåíöiàëüíà åíåðäå p iÿ ñèñòåìè. Ìîæíà çíàéòè iíøèé âèðàç äëÿ äðóãîãî ìîìåíòó, ÿêùî çíîâó, ïî÷èíàþ÷è ç îçíà÷åííÿ, ðîçðàõóíîê ïðîâåñòè òàê, ùîá îäèí ðàç ïîõiäíó çà ÷àñîì áðàòè âiä ρ−q (t), à äðóãèé ðàç ïåðåêèíóòè ¨¨ íà ˆ ó ìîìåíò ÷àñó ρq (t). Çàïèñóþ÷è öi ïîõiäíi ÷åðåç êîìóòàòîð ç H t = 0, çíàõîäèìî: ω2 =

Z∞

−∞

ω 2 S(q, ω) dω = −

E 1D ˆ ˆ [ρ , H][ρ , H] , q −q ~2

àáî â ÿâíîìó âèãëÿäi

ω2

 * N 2 X e−iqRj (qˆ p ) ~q j  √ = − ρq  m 2m N j=1

831

 + N iqRj 2 X (qˆ p ) e ~q j √ ×  + ρ−q  . m 2m N j=1

Öiêàâî çíàéòè êëàñè÷íó ìåæó öüîãî ðiâíÿííÿ. Êîëè ~ ñïðÿˆ j çàìiíèòè íà êëàñè÷íèé iììóâàòè äî íóëÿ, à îïåðàòîð p ïóëüñ ÷àñòèíêè pj i âçÿòè äî óâàãè, ùî ñåðåäí¹ hˆ pj i = 0, à h(qpj )(qpl )i/m2 = δlj q 2 hp2j i/3m2 = δlj q 2 T /m, T òåìïåðàòóðà, òî Z∞ q2 T ω 2 S(q, ω) dω = , ~ → 0. m −∞

Äîïèòëèâèé ×èòà÷ ç ðiâíîñòi ïðàâèõ ÷àñòèí îáîõ çíàéäåíèõ ðiâíÿíü äëÿ äðóãîãî ìîìåíòó ω 2 , ñïîñîáè îòðèìàííÿ ÿêèõ ðiçíÿòüñÿ ëèøå ïðîñòèì ïåðåêèäàííÿì ïîõiäíî¨ çà ÷àñîì, íàäèáà¹ íà íèçêó öiêàâèõ ñïiââiäíîøåíü (äèâ. òàêîæ âèíîñêó íà ñòîð. 607). Ïðèêëàä 1. Ñòàòè÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð êëàñè÷íî¨ ðiäèíè. Ïîðiâíÿ¹ìî ïðàâi ÷àñòèíè ðiâíÿíü äëÿ äðóãîãî ìîìåíòó äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà, çíàéäåíi â îñíîâíîìó òåêñòi, êîëè ~ → 0, i îòðèìà¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ:

X eiqRj i(q∇j Φ) q2 T q2 T √ Sq + hρq i= , m m m N j=1 N

òóò ìè ñêîðèñòàëèñü òèì, ùî h(qpj )2 i = q 2 T /m, i îçíà÷åííÿì ñòàòè÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà Sq = hρq ρ−q i. Ïîòåíöiàëüíó åíåð iþ çàïèñó¹ìî ÿê ñóìó åíåð ié ïîïàðíèõ ìiæ÷àñòèíêîâèõ âçà¹ìîäié Φ(|Ri − Rj |), i, j = 1, . . . , N , äëÿ ÿêèõ âèêîðèñòîâó¹ìî ðîçêëàä ó ðÿä Ôóð'¹, i òîäi ∇j Φ =

äå νk =

R

N X νk e−ikRj (−ik) ρ−k , V k6=0

e−ikR Φ(R) dR. Ó ðåçóëüòàòi íàøå ðiâíÿííÿ ñòà¹ òàêèì: √ N X (kq) N βνk hρq ρk−q ρ−k i, Sq 1 + β ν q = 1 − V V k6=0 q 2 k6=q

β = 1/T îáåðíåíà òåìïåðàòóðà. Ó íóëüîâîìó íàáëèæåííi äðóãèì äîäàíêîì ó ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ, ùî ìiñòèòü ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèì âåêòîðîì k, ìîæíà çíåõòóâàòè i çíàéòè

832

ñòàòè÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð ,

Sq = 1

1+β

N νq V

.

Öå é ¹ îäèí iç öiêàâèõ ðåçóëüòàòiâ, ÿêèé ìè çíàéøëè àêòè÷íî ç íi÷îãî ëèøå ïðîñòèì ïåðåêèäàííÿì ïîõiäíî¨ çà ÷àñîì, îá÷èñëþþ÷è äðóãèé ìîìåíò äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà S(q, ω). Ùîáiëüøå, ìè ìîæåìî îá÷èñëèòè é íàñòóïíå íàáëèæåííÿ äëÿ Sq , ÿêùî ïðèïóñòèòè, ùî√ â öüîìó íàáëèæåííi òðè÷àñòèíêîâèé ñòðóêòóðíèé àêòîð S3 (q1 , q2 , q3 ) = N hρq1 ρq2 ρq3 i ìîæíà ðîç÷åïèòè íà äîáóòîê òðüîõ ïàðíèõ ñòðóêòóðíèõ àêòîðiâ S3 (q1 , q2 , q3 ) = Sq1 Sq2 Sq3 i âçÿòè ¨õ ó ðiâíÿííi ïiä çíàêîì ñóìè çà k â íóëüîâîìó íàáëèæåííi:

Sq = 1/ 1 + β

äå óíêöiÿ Πq =

N νq + Π q , V

1 1 X (kq) βνk , V q 2 1 + βρνk 1 + βρν|k−q| k6=0 k6=q

ρ = N/V ãóñòèíà ÷àñòèíîê ó ñèñòåìi. Âåëè÷èíó Πq ìîæíà ñïðîñòèòè, ÿêùî çðîáèòè òàêi ïåðåòâîðåííÿ. Ïî-ïåðøå, äî îñòàííüîãî ìíîæíèêà äîäà¹ìî é âiäíiìà¹ìî îäèíèöþ. Âèðàç iç äîäàíîþ îäèíèöåþ äîðiâíþ¹ íóëåâi âíàñëiäîê íåïàðíîñòi óíêöi¨ ïiä çíàêîì ñóìè (âií çìiíþ¹ çíàê ïðè çàìiíi k íà (−k)), à ðàçîì iç ìiíóñ îäèíèöåþ öåé îñòàííié ìíîæíèê ìà¹ ñòðóêòóðó ïåðøîãî ìíîæíèêà ïiä çíàêîì ñóìè. Ïî-äðóãå, ðîáèìî çàìiíó k = −(k′ − q), ðîçáèâàþ÷è íàø âèðàç íà äâà äîäàíêè, i çàóâàæó¹ìî, ùî îäèí iç íèõ äîðiâíþ¹ (−Πq ). Íàðåøòi, ïiñëÿ çàìiíè íiìîãî iíäåêñó ïiäñóìîâóâàííÿ k′ íà (−k) îñòàòî÷íî çíàõîäèìî βρν|k+q| βρνk 1 X Πq = − . 2N k6=0 1 + βρνk 1 + βρν|k+q| k+q6=0

Îòæå, ìè çíîâó ç íi÷îãî çíàéøëè ÿâíèé âèãëÿä i íàñòóïíîãî íàáëèæåííÿ äëÿ ïàðíîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà êëàñè÷íî¨ ðiäèíè. Äëÿ iëþñòðàöi¨ îá÷èñëèìî âåëè÷èíó Πq äëÿ êëàñè÷íîãî åëåêòðîííîãî ãàçó, êîëè νk = 4πe2 /k2 , k 6= 0: Πq = −

4 1 X κD 2 2 2 2N k6=0 (k + κD )((k + q)2 + κD ) k+q6=0

=−

4 1 X 1 1 κD − 2 2 2N k6=0 (k2 + κD ) ((k + q)2 + κD ) (k + q)2 − k2 k+q6=0

= (ïiñëÿ çàìiíè â äðóãîìó äîäàíêó k = −(k′ + q) 49

I. Î. Âàêàð÷óê

833

ç ïiçíiøèì çíÿòòÿì øòðèõà) =−

4 1 X κD , 2 2 N (k + κD )(q 2 + 2qk) k6=0 k+q6=0

p

äå κD = 4πe2 βρ òàê çâàíèé îáåðíåíèé ðàäióñ Äåáàÿ. Òåïåð ïåðåõîäèìî âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà k äî iíòå ðóâàííÿ ó ñåðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ, âèáèðàþ÷è âiñü z óçäîâæ âåêòîðà q, i ïiñëÿ åëåìåíòàðíîãî iíòå ðóâàííÿ çà êóòàìè çíàõîäèìî Πq = −

2 βe2 κD 2πq

Z

∞

0

dx

x + q/2κD x . ln x2 + 1 x − q/2κD

Öåé iíòå ðàë äîðiâíþ¹ πarctg(q/2κD ), i îñòàòî÷íî ìà¹ìî2 Πq = −

2 βe2 κD arctg(q/2κD ). 2q

Ïðèêëàä 2. Äðóãèé ìîìåíò äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà áîçåðiäèíè â îñíîâíîìó ñòàíi.

Îá÷èñëèìî õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó òà ñòàòè÷íèé ñòðóêòóðíèé àêòîð, ïîðiâíþþ÷è ìiæ ñîáîþ, ÿê i â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàäi, äâà âèðàçè äëÿ ω 2 . Äëÿ öüîãî ðîçïèøåìî â ÿâíîìó âèãëÿäi ïðàâi ÷àñòèíè äâîõ âèðàçiâ äëÿ äðóãîãî ìîìåíòó ω 2 äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà, ÿêi íàâåäåíi â îñíîâíîìó òåêñòi öüîãî ïàðàãðàà. Âèêîðèñòà¹ìî òîé àêò, ùî õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî ñòàíó áîçå-ðiäèíè ψ0 ¹ äiéñíîþ i íå ìà¹ âóçëiâ (äèâ. òàêîæ 91 òà Ïðèêëàä 3 äî 81). Îòæå, ðîçïèñó¹ìî ïðàâó ÷àñòèíó ïåðøîãî âèðàçó äëÿ ω 2 : ω2

=

+

~2 m2

*

ρq

N X eiqRj j=1

√

N

+ 2

(q∇ j ln ψ0 )

+

~q 2 2m

2

hρq ρ−q i

N q 2 νq 1 X N (kq)νk hρq ρ−q i − √ hρq ρk ρ−k−q i. V m m N k6=0 V

Òóò êóòîâèìè äóæêàìè ïîçíà÷à¹ìî óñåðåäíåííÿ çà õâèëüîâîþ óíêöi¹þ îñíîâíîãî ñòàíó ψ0 . Êðiì òîãî, ïðè îäåðæàííi öüîãî âèðàçó ìè íåîäíîðàçîâî âèêîðèñòîâóâàëè òðþê ç iíòå ðóâàííÿì ÷àñòèíàìè. Äëÿ iëþñòðàöi¨ öüîãî 2 Äëÿ îá÷èñëåííÿ öüîãî iíòå ðàëà ñïî÷àòêó äèåðåíöiþ¹ìî éîãî çà ïàðàìåòðîì q i áåðåìî iíòå ðàë çà x, à íàñòóïíå iíòå ðóâàííÿ çà q , ç óìîâîþ, ùî ïðè q = 0, øóêàíèé iíòå ðàë äîðiâíþ¹ íóëåâi, ¹ åëåìåíòàðíèì i ïðèâîäèòü íàñ äî âèïèñàíîãî â òåêñòi ðåçóëüòàòó.

834

íàâåäåìî ïåðåòâîðåííÿ îäíîãî ç ÷îòèðüîõ âèõiäíèõ äîäàíêiâ, ÿêi âèíèêàþòü ïðè ðîçïèñóâàííi ïðàâî¨ ÷àñòèíè ω 2 : *

ρq

j=1

=−

+

N X pj ) eiqRj (qˆ

i~ 2m

√

=−

m

N

Z

i~ m

Z

dR1 . . .

dRN ρq

Z

Z

dR1 . . .

dRN ψ0 ρq

N X eiqRj j=1

N X eiqRj j=1

√

N

√

N

(q∇j ψ0 )

(q∇j ψ02 )

= (iíòå ðó¹ìî ÷àñòèíàìè çà êîîðäèíàòàìè j -î¨ ÷àñòèíêè) =

Z

i~ 2m

Z

dR1 . . .

dRN ψ02

N X

eiqRj (q∇j )ρq √ . N j=1

îçïèñóþ÷è äiþ îïåðàòîðà ∇ j , çíàõîäèìî òàêå ñïiââiäíîøåííÿ: D

ρq

N X eiqRj (qˆ pj ) E j=1

√

N

m

=

~q 2 (1 − hρq ρ−q i) . 2m

Àíàëîãi÷íî çíàõîäèìî ïðàâó ÷àñòèíó i äðóãîãî âèðàçó äëÿ ω 2 ç îñíîâíîãî òåêñòó öüîãî ïàðàãðàà:

ω2

2 2 D N 2 E E ~q ~2 D X eiqRj ~2 q 4 √ (q∇j ln ψ0 ) + = 2 − ρ ρ . q −q m j=1 2m2 2m N

Ïðèðiâíþþ÷è îáèäâà çíàéäåíi âèðàçè äëÿ ω 2 , îñòàòî÷íî çíàõîäèìî òàêå ðiâíÿííÿ:

N N 2 E E ~2 D X eiqRj ~2 D X eiqRj 2 √ √ ρ − (q∇ ln ψ ) (q∇ ln ψ ) q j 0 j 0 2 m2 m N N j=1 j=1

+

~2 q 4 N q 2 νq (hρq ρ−q i − 1) + hρq ρ−q i 2 2m V m

1 X N (kq)νk hρq ρk ρ−k−q i = 0. −√ m N k6=0 V

Öå ðiâíÿííÿ äà¹ çìîãó çíàéòè õâèëüîâó óíêöiþ ψ0 . Âèáåðåìî ¨¨ òàê: 1

ψ0 = Ce− 4

P

k λk ρk ρ−k

,

äå λk íåâiäîìà óíêöiÿ, ÿêó ïîòðiáíî çíàéòè ç íàøîãî ðiâíÿííÿ, C ñòàëà íîðìóâàííÿ. ßêùî öþ óíêöiþ ψ0 ïiäñòàâèòè â ðiâíÿííÿ i çàëèøèòè ëèøå 52*

835

äîäàíêè áåç ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèì âåêòîðîì k, òî ëåãêî çíàõîäèìî:

−λ2q + 2 1 −

1 hρq ρ−q i

+

2N νq V

,

~2 q 2 = 0. 2m

Ùîá çàìêíóòè öå ðiâíÿííÿ, íàì ïîòðiáíî çíàéòè âèðàç äëÿ ñòðóêòóðíîãî àêòîðà îñíîâíîãî ñòàíó Sq = hρq ρ−q i ÷åðåç λq . Äëÿ öüîãî âèêîðèñòà¹ìî âèðàç, ÿêèì ìè âèùå iëþñòðóâàëè òðþê ç iíòå ðóâàííÿì ÷àñòèíàìè. Ïiäñòàâëÿþ÷è â éîãî ëiâó ÷àñòèíó ÿâíèé âèãëÿä õâèëüîâî¨ óíêöi¨ ψ0 , çíàõîäèìî òàêå ñïiââiäíîøåííÿ: X (kq) 1 Sq (1 + λq ) = 1 + √ λk hρq ρk ρ−k−q i. N k6=0 q 2 k+q6=0

Ìè îòðèìàëè ðiâíÿííÿ, ÿêå îðìàëüíî çáiãà¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿì iç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó äëÿ ñòðóêòóðíîãî àêòîðà êëàñè÷íî¨ ðiäèíè, ÿêùî ïiä λk ðîçóìiòè âåëè÷èíó βN νk /V i õâèëüîâèé âåêòîð ïiäñóìîâóâàííÿ k çàìiíèòè íà (−k). Òîìó ñêîðèñòà¹ìîñü ðîçâ'ÿçêîì iç ïîïåðåäíüîãî ïðèêëàäó i çíàéäåìî, ùî 1 Sq = , 1 + λq + Π q Πq = −

λ|k+q| 1 X λk . 2N 1 + λk 1 + λ|k+q| k6=0 k+q6=0

Âèêîðèñòà¹ìî öåé âèðàç ó íàøîìó ðiâíÿííi äëÿ λq (áåç âðàõóâàííÿ âåëè÷èíè Πq ÿê òàêî¨, ùî ìiñòèòü çàéâå ïiäñóìîâóâàííÿ çà õâèëüîâèì âåêòîðîì k). Ó ðåçóëüòàòi ìà¹ìî òàêå ðiâíÿííÿ íà λq : λ2q

2N + 2λq − νq V

,

~2 q 2 = 0. 2m

îçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ äå

λq = αq − 1, v , u u ~2 q 2 2N αq = t1 + νq .

V

2m

Ïåðåä êîðåíåì ìè âèáèðà¹ìî çíàê +, îñêiëüêè õâèëüîâà óíêöiÿ îñíîâíîãî √ ñòàíó äëÿ iäåàëüíîãî áîçå-ãàçó ψ0 = const = 1/ V N i îòæå, ïðè νq = 0 âåëè÷èíà λq ïîâèííà äîðiâíþâàòè íóëåâi. Çíàéäåíèé òóò âèðàç äëÿ ψ0 çáiãà¹òüñÿ ç òèì, ÿêèé ìè çíàéøëè â 91 ïðÿìèì ðîçâ'ÿçóâàííÿì ðiâíÿííÿ Øðåäèí åðà. Îäíàê òóò ìè çíàéøëè i ÿâíèé

836

âèðàç äëÿ ñòðóêòóðíîãî àêòîðà â íàáëèæåííi îäíi¹¨ ñóìè çà õâèëüîâèì âåêòîðîì k: 1 , Sq = αq + Πq Πq = −

1 1 1 X 1− 1− . 2N k6=0 αk α|k+q| k+q6=0

Ïiäðàõó¹ìî âåëè÷èíó Πq→0 äëÿ çàðÿäæåíîãî áîçå-ãàçó, êîëè νk = 4πe2 /k2 , k 6= 0: Πq→0 = −

1 X 1 1− p 2N k6=0 1 + (k0 /k)4

!2

,

äå k0 = (16πρme2 /~2 )1/4 , ρ = N/V . Ïiñëÿ ïåðåõîäó âiä ïiäñóìîâóâàííÿ çà k äî iíòå ðóâàííÿ Πq→0 = −

k03 4π 2 ρ

Z 0

∞

x2 1 − √

x2 1 + x4

2

dx.

Öåé iíòå ðàë çâîäèòüñÿ äî B -iíòå ðàëiâ Åéëåðà, i îñòàòî÷íî ìà¹ìî

Πq→0 = − Ïðèêëàä

ïóñòèòè, ùî δ -ïîäiáíèé ïiê

3.

k03 Γ2 24π 5/2 ρ

Åíåð åòè÷íèé

äèíàìi÷íèé

ñïåêòð

1 4

−

3 √ π 2π . 2

êâàíòîâî¨

ñòðóêòóðíèé

àêòîð

ðiäèíè.

ìà¹

ßêùî ïðèëèøå îäèí

S(q, ω) = Sq δ(ω − Eq /~),

äå Eq åíåð iÿ åëåìåíòàðíèõ çáóäæåíü, òî éîãî ïåðøèé ìîìåíò äà¹: ~q 2 Sq E q = . ~ 2m

Òîáòî ìè ïðèïóñêà¹ìî, ùî iñíóþòü ëèøå åëåìåíòàðíi çáóäæåííÿ, ïîâ'ÿçàíi ç ëþêòóàöiÿìè ãóñòèíè ÷àñòèíîê ñèñòåìè. Çâiäñè çíàõîäèìî âèðàç äëÿ åíåð åòè÷íîãî ñïåêòðà êâàíòîâî¨ ðiäèíè, âiäîìèé ÿê îðìóëà Ôåéíìàíà (1953 ð.): Eq =

~2 q 2 . 2mSq

. Ôåéíìàí çíàéøîâ öå ñïiââiäíîøåííÿ çà äîïîìîãîþ âàðiàöiéíîãî ïðèíöèïó, áåðó÷è ïðîáíó õâèëüîâó óíêöiþ íèæíüîãî çáóäæåíîãî ñòàíó êâàíòîâî¨ ðiäèíè ó âèãëÿäi äîáóòêó êîåiöi¹íòà Ôóð'¹ ëþêòóàöié ãóñòèíè ÷àñòèíîê ρ−q íà õâèëüîâó óíêöiþ îñíîâíîãî ñòàíó (äèâ. òàêîæ ïðèêëàä 3 äî 80). Òàêèé æå ðåçóëüòàò îòðèìà¹ìî â ïðèïóùåííi, ùî êîíòóð S(q, ω) ìà¹ ëîðåíöiâñüêèé àáî àóññiâñüêèé ïðîiëü. Íàïðèêëàä, äëÿ ëîðåíöiâñüêîãî ïðîiëþ äèíàìi÷íîãî ñòðóêòóðíîãî àêòîðà, íàâåäåíîãî â îñíîâíîìó òåêñòi öüîãî

837

ïàðàãðàà, ìà¹ìî: Z∞

Z∞

ω S(q, ω) dω = −∞

−∞

Z∞

= Sq

x −∞

[(ω − Eq /~) + Eq /~] S(q, ω) dω

Γq /2π Sq E q dx + x2 + (Γq /2)2 ~

Z∞

Γq /2π Sq E q dx = , x2 + (Γq /2)2 ~

−∞

îñêiëüêè ïåðøèé iíòå ðàë çà x = ω − Eq /~ äîðiâíþ¹ íóëåâi, à äðóãèé îäèíèöi. Óïåðøå åíåð åòè÷íèé ñïåêòð ðiäêîãî 4 He (ç ÿâíèì âèðàçîì äëÿ Sq ) íà ïðèêëàäi ìîäåëi ñëàáêîíåiäåàëüíîãî áîçåãàçó ùå â 1947 ðîöi îá÷èñëèâ Ì. Ì. Áîãîëþáîâ3 . Çíàéäåíèé âèðàç äëÿ ñïåêòðà Eq ¹ òî÷íèì ïðè q → 0, òîáòî â äiëÿíöi çâóêîâèõ êîëèâàíü: ~q Eq = c~q, Sq = , 2mc c øâèäêiñòü çâóêó. Ç âèñîêîþ òî÷íiñòþ öi ñïiââiäíîøåííÿ ïåðåâiðåíî íà ðiäêîìó 4 He â íåéòðîííèõ äèðàêöiéíèõ åêñïåðèìåíòàõ. Ó äiëÿíöi áiëüøèõ çíà÷åíü õâèëüîâîãî âåêòîðà îðìóëà Ôåéíìàíà äà¹ äëÿ 4 He ëèøå ÿêiñíi ðåçóëüòàòè. Çîêðåìà åíåð iÿ Eq ìà¹ õàðàêòåðíèé ðîòîííèé ìiíiìóì (àëå çàâèùåíèé óäâi÷i), ñïðè÷èíåíèé iñíóâàííÿì ìàêñèìóìó ñòðóêòóðíîãî àêòîðà, ÿêèé ñâiä÷èòü ïðî íàÿâíiñòü áëèæíüîãî ïîðÿäêó â ðiäèíi.

3 Ì. Ì. Áîãîëþáîâ (19091992) çðîáèâ âèäàòíèé âíåñîê ó ðiçíi äiëÿíêè ñó÷àñíî¨ ìàòåìàòèêè, içèêè, ìåõàíiêè. Ïðàöþâàâ ó Êè¹âi, ×åðíiâöÿõ, Ìîñêâi, Äóáíi, íåîäíîðàçîâî áóâàâ ó Ëüâîâi. Ó Êè¹âi çàñíóâàâ Iíñòèòóò òåîðåòè÷íî¨ içèêè Àêàäåìi¨ íàóê Óêðà¨íè, ÿêèé íàçâàíî òåïåð éîãî iì'ÿì.

ÏIÑËßÌÎÂÀ

Íà öüîìó çàâåðøó¹ìî âèêëàä êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Áàãàòî öiêàâèõ ïðîáëåì çàëèøèëîñü íåðîçãëÿíóòèìè, äåÿêèõ ïèòàíü ìè ëèøå òîðêíóëèñü ó íàäi¨ çàöiêàâèòè ×èòà÷à; ¹ ïèòàííÿ, ÿêi ñüîãîäíi ìîæëèâî ðîçãëÿíóòè ëèøå â ñïåöiàëüíèõ êóðñàõ. Îäíàê ×èòà÷, ÿêèé çàñâî¨â öåé ìàòåðiàë, òåðïåëèâî i ìóæíüî ïðîéøîâøè éîãî âiä ïî÷àòêó äî êiíöÿ, çäîáóäå äîñòàòíüî ãëèáîêå ðîçóìiííÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íèõ çàêîíiâ, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ Ïðèðîäà êåðó¹ âñiì òèì, ùî ìè ñïîñòåðiãà¹ìî íàâêîëî ñåáå. Àâòîð ìàâ ñïîêóñó (ÿêî¨ íå ïîçáóâñÿ é òåïåð) çàâåðøèòè êíèæêó ñïåöiàëüíèì îáãîâîðåííÿì iëîñîñüêèõ ïðîáëåì îñíîâ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè, âèêëàâøè ñâî¨ ïîãëÿäè, õî÷à äîñòàòíüîþ ìiðîþ âîíè ïðåäñòàâëåíi â ðiçíèõ ìiñöÿõ öüîãî ïiäðó÷íèêà. Òàêå îáãîâîðåííÿ, ìàáóòü, íàéêðàùå ïðîâîäèòè ÿê äèñêóñi¨, ó ðåçóëüòàòi ÿêèõ ìîæíà äiéòè äî òîíøîãî ðîçóìiííÿ òîãî, ÷îìó ñàìå òàê óëàøòîâàíèé Íàø Ñâiò. Çàçíà÷èìî, ùî àâòîð äàëåêèé âiä òi¹¨ äóìêè, íiáè âè÷åðïíî ïiçíàâàòè íàâêîëèøíié ñâiò ìîæíà ëèøå ïîñëiäîâíèì íàðîùóâàííÿì ëîãi÷íèõ çâ'ÿçêiâ ó âèãëÿäi òâåðäæåíü òà ðiâíÿíü. iíøi ïiäõîäè, ÿêi íå ïîòðåáóþòü ìîâè ðiâíÿíü, à âèêîðèñòîâóþòü, íàïðèêëàä, çàñîáè ìèñòåöòâà. Öi ðiçíi øëÿõè âçà¹ìîäîïîâíþâàëüíi. Ñàìå òîìó ìè íàìàãàëèñü ïðîâîäèòè ïîðiâíÿííÿ ðiçíèõ ÿâèù, ùî îïèñóþòüñÿ êâàíòîâîìåõàíi÷íèìè çàêîíàìè òà çàêîíàìè êëàñè÷íî¨ içèêè, íàâîäèëè àíàëîãi¨ ç iñòîði¨, ìóçèêè, ìèñòåöòâà. . . Òóò ìè ñòèêà¹ìîñü iç âiäîìîþ ïðîáëåìîþ äâîõ êóëüòóð, iç âçà¹ìîäi¹þ îáðàçíîãî òà ëîãi÷íîãî ìèñëåííÿ. . . . Ìîæëèâî, Ïðèðîäà ïiäñîâó¹ íàì ëèøå òå, ùî ìè õî÷åìî ïîáà÷èòè. Ìîæëèâî, ñïðàâæí¹ ðîçóìiííÿ âîíà âiääàëÿ¹ íà ìåæó ìîæëèâîñòåé íàøîãî ðîçóìó, äå âîíî ëèøå ìåðåõòèòü. Àëå âàæëèâèì ¹ òå, ùî ïðîñòå ñëîâî öiêàâî êåðó¹ íàìè â íåñòðèìíîìó ïðàãíåííi ïiçíàòè âñþ ¨¨ Êðàñó.

ÑÏÈÑÎÊ ÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍÎ ËIÒÅÀÒÓÈ

[1℄

Äàâûäîâ À. Ñ.

[2℄

Áëîõèíöåâ Ä. È.

Îñíîâû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà,

[3℄

Þõíîâñüêèé I. .

Êâàíòîâà ìåõàíiêà. Êè¨â: Ëèáiäü, 1995.

[4℄

ëàóáåðìàí À. Þ.

[5℄

Ôåäîð÷åíêî À. Ì.

[6℄

Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Íàóêà, 1973.

1983.

óí-òó, 1962.

ëà, 1993. Ò.2.

Êâàíòîâà ìåõàíiêà. Ëüâiâ: Âèä-âî Ëüâiâ.

Òåîðåòè÷íà içèêà.: Ó 2 ò. Êè¨â: Âèùà øêî-

Ñîêîëîâ À. À, Òåðíîâ È. Ì., Æóêîâñêèé Â. È.

õàíèêà. Ì.: Íàóêà, 1979.

Êâàíòîâàÿ ìå-

[7℄

Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèøèö Å. Ì.

[8℄

Äèðàê Ï. À. Ì.

[9℄

Ôîê Â. À.

Íà÷àëà êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà, 1976.

[10℄

Ôåðìè Å.

Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà: Êîíñïåêò ëåêöèé. Ì.: Ìèð,

[11℄

Øè Ë.

Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1959.

[12℄

Ôåéíìàí ., Ëåéòîí ., Ñýíäñ Ì.

[13℄

Ôåéíìàí ., Õèáñ À.

840

Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1989.

1979.

1968.

Ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà,

Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî èçèêå: Â 9 ò. Ì.: Ìèð, 1966. Ò. 8, 9. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà è èíòåãðàëû ïî òðàåêòîðèÿì. Ì.: Ìèð, 1968.

[14℄

Áîì Ä.

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ. Ì.: îñ. èçä-âî èç.-ìàò. ëèò., 1961.

[15℄

Ëåâè÷ Â. ., Âäîâèí Þ. À., Ìÿìëèí Â. À.

[16℄

Çîììåðåëüä À.

[17℄

Ìåññèà À.

[18℄

Íåéìàí É.

[19℄

ðèí Õ.

[20℄

Áàçü À. È., Çåëüäîâè÷ ß. Á., Ïåðåëîìîâ À. Ì.

[21℄

Êåìïåð Ô.

[22℄

Âàêàð÷óê I. Î., Êóëié Ò. Â., Êíiãiíiöüêèé Î. Â., Òêà÷óê Â. Ì.

èçèêè: Â 2 ò. Ì.: Íàóêà, 1971. Ò.2.

Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé

Ñòðîåíèå àòîìà è ñïåêòðû. Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1957. Ò.2. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà: Â 2 ò. Ì.: Íàóêà, 1978.

Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà, 1964. Ìàòðè÷íàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Ìèð, 1968.

àññåÿíèå, ðåàêöèè è ðàñïàäû â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ì.: Íàóêà, 1971. Ìèð, 1967.

Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.:

Çáiðíèê çàäà÷ ç êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè. Ëüâiâ, Ëüâiâñüêèé óíiâåðñèòåò, 1997.

[23℄

ðå÷êî Ë. ., Ñóãàêîâ Â. È., Òîìàñåâè÷ Î. Ô. è äð.

[24℄

Ôëþããå Ç.

[25℄

Èðîäîâ Å. È.

[26℄

Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðåòè÷åñêîé èçèêå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1972.

1974.

Çàäà÷è ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå: Â 2 ò. Ì.: Ìèð,

Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àòîìíîé è ÿäåðíîé èçèêå. Ì.: Íàóêà, 1966.

àëèöêèé Â. Ì., Êàðíàêîâ Á. Ì., Êîãàí Â. È.

òîâîé ìåõàíèêå. Ì.: Íàóêà, 1981.

Çàäà÷è ïî êâàí-

ÏÅÄÌÅÒÍÈÉ ÏÎÊÀÆ×ÈÊ Àáñîëþòíî ÷îðíå òiëî 14, 496

829 i äàëi

Àäiàáàòè÷íà ãiïîòåçà 536

åëié îðòî-, ïàðà- 656

Àäiàáàòè÷íå íàáëèæåííÿ 680, 683

åòåðîïîëÿðíèé õiìi÷íèé çâ'ÿçîê

Àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíò 259 Àìïëiòóäà ðîçñiÿííÿ 797, 803, 805, 809 Àíòèñèìåòðè÷íà õâèëüîâà óíêöiÿ 636, 639

689 îìåîïîëÿðíèé õiìi÷íèé çâ'ÿçîê 689 ðóïîâà øâèäêiñòü 57 þé åíñà ïðèíöèï 34

Àíòè÷àñòèíêè 603

àëiëåÿ ïåðåòâîðåííÿ 553 Áîçå-êîíäåíñàò 640, 642

àóññiâñüêèé êîíòóð 826

Áîçîíè 53, 105, 558,

iðîìàãíiòíå ñïiââiäíîøåííÿ 603

636, 637 ÁîðàÇîììåðåëüäà óìîâà êâàíòóâàííÿ 566 Áîðà ìàãíåòîí 511, 603 Áîðiâñüêèé ðàäióñ 346, 359 Áîðíiâñüêå íàáëèæåííÿ 804, 810 819, 824 Áðà-âåêòîð 136

Äå Áðîéëÿ ãiïîòåçà 25, 32, 47, 159 äîâæèíà õâèëi 25, 234, 260 õâèëÿ 25, 111 ÄåâiññîíàÄæåðìåðà äîñëiä 27, 35 Äåéòðîí 314 Äåòåðìiíiçì ëàïëàñiâñüêèé 42 Äèïîëüíå åëåêòðè÷íå

Âàêóóìíèé ñòàí 192, 196, 477, 483, 544 Âàëåíòíiñòü 699 Âàí äåð Âààëüñà ñèëè 690, 706 Âåêòîðíèé ïîòåíöiàë 31, 49 163, 472, 479 Âåêòîð ïîëÿðèçàöi¨ 474, 532, 740

âèïðîìiíþâàííÿ 499, 501, 511 Äèïîëüíå ìàãíiòíå âèïðîìiíþâàííÿ 511, 517 Äèïîëüíèé åëåêòðè÷íèé ìîìåíò 324, 428, 531 Äèïîëüíèé ìàãíiòíèé ìîìåíò 511

Âåêòîð ñòàíó 44, 480, 483 i äàëi

Äèïîëüíi ïåðåõîäè 507, 512

Âiêîâå (ñåêóëÿðíå) ðiâíÿííÿ 143

Äèñïåðñiÿ 58, 482, 539

Âiíà çàêîí 14

Äèåðåíöiàëüíèé ïåðåðiç

Âiðiàëó òåîðåìà 174, 364 Âèðîäæåííÿ ñïåêòðà 122

ðîçñiÿííÿ 468, 548, 800, 804, 808, 819 i äàëi

ÂÊÁ íàáëèæåííÿ 248

Äiðàêà äåëüòà-óíêöiÿ 76, 79, 82

Âîäíåâèé çâ'ÿçîê 706

Äîâãîõâèëüîâå íàáëèæåííÿ 534

àìiëüòîíà ðiâíÿííÿ 31, 153,

Äîäàòêîâà àçà 815

Äîâæèíà ðîçñiÿííÿ 803 168, 475 àìiëüòîíàßêîái ðiâíÿííÿ 31,

Äóàëiçì êîðïóñêóëÿðíî-õâèëüîâèé 38

248 àìiëüòîíiàí 88, 112, 562, 570, 610, 625, 670, 684, 690,

842

Åíiîí 641 Ååêò ÀàðîíîâàÁîìà 48

Çå¹ìàíà 625 Êàçèìèðà 485 Øòàðêà 428

Êîâàëåíòíèé õiìi÷íèé çâ'ÿçîê 328, 689, 697 Êîãåðåíòíi ñòàíè 132, 198, 201 Êîåiöi¹íò âiäáèâàííÿ áàð'¹ðà

Çàêîí çáåðåæåííÿ åíåð i¨ 23, 166, 304, 462 521, 545 i äàëi iìïóëüñó 828

228, 233 ïðîçîðîñòi 227, 234, 241 Êîìïàêòèiêîâàíi âèìiðíîñòi 370, 387

ìîìåíòó iìïóëüñó 264

Êîìïòîíiâñüêà äîâæèíà 557

ÑòåàíàÁîëüöìàíà 14, 21

Êîìóòàòîð 106, 766, 284, 289,

Iìïóëüñíå çîáðàæåííÿ 136, 557 Iíäåêñ çîáðàæåííÿ 134, 136, 198 ñòàíó 134, 140, 395, 640 Iíòå ðàë ïåðåêðèòòÿ 686, 692 Iíòåðåðåíöiÿ 37, 40

Éîííèé çâ'ÿçîê 705 Êàíîíi÷íî ñïðÿæåíi âåëè÷èíè 29, 118, 174, 264 Êâàäðóïîëüíå âèïðîìiíþâàííÿ 511, 513 Êâàçiñòàöiîíàðíi ñòàíè 170, 518, 521, 521, 522 Êâàíòîâà êðèïòîãðàiÿ 30, 753 Êâàíòîâàíèé ïðîñòið 767 Êâàíòîâà òåëåïîðòàöiÿ 30, 71, 93, 729, 735, 739, 741 i äàëi Êâàíòîâå ÷èñëî àçèìóòàëüíå 264 ãîëîâíå 266, 349, 362, 370, 567, 625 i äàëi ìàãíiòíå 356, 626 îðáiòàëüíå 349, 363, 382, 507, 565, 630 i äàëi ðàäiàëüíå 264, 349, 363, 365, 369, 383 i äàëi Êâàíòîâèé êîìï'þòåð 30 ïåðåõiä 518, 593, 595

508 i äàëi Êîîðäèíàòíå çîáðàæåííÿ 136, 138, 184, 252, 281, 399, 482 i äàëi Êîðåëÿöiÿ êâàíòîâà 736 Êðàòíiñòü âèðîäæåííÿ 345, 357, 425 Êóëîíiâñüêèé iíòå ðàë 654, 655, 663, 687, 695 i äàëi

Ëà åððà ïîëiíîì 344, 454 Ëàíäå ìíîæíèê 628 Ëåæàíäðà ïîëiíîì 297, 302, 379, 815 Ëåìáà çñóâ 614, 616 Ëiíiéíèé îïåðàòîð 103, 105, 147 Ëîðåíöà ïåðòâîðåííÿ 47, 571

Ìàòðèöÿ ðîçñiÿííÿ 460 Ìàòðèöi Äiðàêà 570, 572 Ïàóëi 143, 307, 576, 620, 752 Ìàòðè÷íèé åëåìåíò 139, 140, 144, 177, 195, 289, 314, 395, 429, 660 i äàëi Ìåòîä ÒîìàñàÔåðìi 673 Ôåéíìàíà 268, 837 Ìîëåêóëà âîäíþ 684 Ìîìåíò iìïóëüñó 25, 279, 320 êiëüêîñòi ðóõó 24, 253,

Êâàòåðíiîí 308

279, 285, 304, 579, 596 i äàëi

Êåïëåðà ïðîáëåìà 356, 561, 566,

êóòîâèé 280

Êåò-âåêòîð 136 Êëîíóâàííÿ ñòàíiâ 756 ÊëÿéíàîðäîíàÔîêà ðiâíÿííÿ 29, 556, 558, 560, 561 i äàëi

Íàáëèæåííÿ ÁîðíàÎïïåíãàéìåðà 683 Íàíîãåòåðîñèñòåìà 119

843

Íàïðÿìëåíiñòü õiìi÷íîãî çâ'ÿçêó 361 Íåéòðèíî 66 Íåïåðåðâíèé ñïåêòð 121, 124, 170 361, 810 i äàëi Íîðìóâàííÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ 44, 221 i äàëi Íóëüîâà åíåð iÿ 484, 485 çàäà÷à 390, 392 Íóëüîâå íàáëèæåííÿ 389, 407, 428, 562, 610, 649, 691 i äàëi Íóëüîâi êîëèâàííÿ 96, 170, 188 483, 603 i äàëi Íüþòîíà ðiâíÿííÿ 31, 154, 243, 247, 371, 554

Ïîçèòðîí 29, 594, 637 Ïîëÿðèçàöiÿ êðóãîâà 474, 505 ëiíiéíà 474 Ïîëÿðèçîâàíiñòü àòîìà 531, 537, 540 Ïîòåíöiàëüíèé áàð'¹ð 226, 227, 236, 240 Ïîâíà ñèñòåìà óíêöié 125 Ïîñòóëàòè Áîðà 23 Ïðàâèëà âiäáîðó äëÿ åëåêòðè÷íèõ i ìàãíiòíèõ äèïîëüíèõ ïåðåõîäiâ 506 êâàäðóïîëüíèõ ïåðåõîäiâ 515 Ïðàâèëî êâàíòóâàííÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà 25, 255,

Îáìiííà åíåð iÿ 62, 68, 144, 638 Îáìiííèé iíòå ðàë 655, 658, 667, 687, 692 Îïåðàòîð Àäàìàðà 144

566 ñóì 538 Ïðåäñòàâëåííÿ âçà¹ìîäi¨ 177 âëàñíå 480

iíâåðñi¨ 116, 303

àéçåíáåð à 174

ñòèñêàííÿ 115

iìïóëüñíå 200

içè÷íî¨ âåëè÷èíè 101, 103 Îïòè÷íà òåîðåìà 818 Îðòîãåëié 656 Îðòîãîíàëüíiñòü õâèëüîâèõ óíêöié 122 Îñöèëÿòîð àíãàðìîíi÷íèé 96,

êîîðäèíàòíå 196 Øðåäèí åðà 174 Ïðèíöèï äîïîâíþâàëüíîñòi 29 Ìîïåðòþ¨ 268 íàéìåíøî¨ äi¨ 31, 67, 268, 270

263, 396, 398, 444 i äàëi

íåâèçíà÷åíîñòåé 92, 95, 445

ãàðìîíi÷íèé 95, 183, 189,

Ïàóëi 593, 640

262

Ïàðàãåëié 656 Ïàðàäîêñ Àéíøòàéíà Ïîäîëüñüêîãîîçåíà 71 äå Áðîéëÿ 70 ç êîòîì Øðåäèí åðà 69

Ôåðìà 268 Ïðîáëåìà äâîõ êóëüòóð 56, 658, 839 Ïðîáíà óíêöiÿ 441, 442, 443, 444 665, 670, 671 i äàëi Ïóàññîíà äóæêè 118, 165 äåîðìîâàíi 119, 769

Ïàðàìåòð ñõîâàíèé 38, 756, 758 Ïàðàñòàòèñòèêà 641 Ïàóëi ðiâíÿííÿ 600, 603 Ïåðåõîäè çàáîðîíåíi 507, 523 ñïîíòàííi 170, 518

346, 366, 376, 624, 813 i äàëi åäóêöiÿ õâèëüîâî¨ óíêöi¨ 92, 753

Ïëàíêà ãiïîòåçà 15, 24, 477

åëåÿÄæèíñà çàêîí 17

Ïîâíèé ìîìåíò êiëüêîñòi ðóõó

iâíîâàæíå âèïðîìiíþâàííÿ 14

286, 596, 627

844

àäiàëüíå ðiâíÿííÿ 331, 334, 339,

îáîòà âèõîäó 22, 546

îòàòîð 320

Òî÷êà ïîâîðîòó 227, 241, 251, 255, 567 i äàëi

Ñàìîóçãîäæåíå ïîëå 669 Ñàìîñïðÿæåíèé îïåðàòîð 104, 157, 660 Ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ îïåðàòîðà 615,

Òðèïëåòíèé ñòàí 654, 656, 688 Òóíåëüíèé ååêò 52 Äæîçåñîíà 52, 617

660, 684 içè÷íî¨ âåëè÷èíè 102 Ñåêóëÿðíå ðiâíÿííÿ 143 Ñèëà Ëîðåíöà 518 îñöèëÿòîðà 543 Ñèìåòðè÷íà óíêöiÿ 53, 636, 639, 696 Ñèí ëåòíèé ñòàí 654, 688, 690 Ñïåêòð çíà÷åíü içè÷íî¨ âåëè÷èíè 111 Ñïiââiäíîøåííÿ íåâèçíà÷åíîñòåé 28, 89, 127, 766, 481 i äàëi Ñïií 304 Ñïiíîð 584, 596, 600 Ñïií-îðáiòàëüíà âçà¹ìîäiÿ 604 Ñïëóòàíi ñòàíè 729, 649, 735, 741 Ñïîíòàííå âèïðîìiíþâàííÿ 170, 499 Ñòàíè ñèìåòðè÷íi é àíòèñèìåòðè÷íi 737 Ñòàòèñòèêà ÁîçàÀéíøòàéíà 197, 636 ÔåðìiÄiðàêà 239 Ñòàöiîíàðíi ñòàíè 168 Ñòèñíóòå ñâiòëî 482 Ñòóïiíü éîííîñòi çâ'ÿçêó 705 Ñóìà ñòàíiâ 496 Ñóïåðñèìåòðiÿ 206, 558 Ñåðè÷íà óíêöiÿ 303, 504 Ñõîâàíi ïàðàìåòðè 763

Óìîâà çàñòîñîâíîñòi òåîði¨ çáóðåíü 395, 433 Óíiòàðíi ïåðåòâîðåííÿ 123, 577

Ôàçîâà òðà¹êòîðiÿ 260, 262 îá'¹ì 674 øâèäêiñòü 26, 159 Ôàêòîðèçàöi¨ ìåòîä 203, 365 Ôåðìiîí 53, 636 Ôëþêòóàöi¨ 418, 483, 558, 614 Ôîðìóëà Áàðäiíà ÊóïåðàØðiåðà 424 ÁðåéòàÂi íåðà 818, 830 Ïëàíêà 18, 21, 496 åçåðîðäà 469, 808 Ôîòîååêò 22, 477, 544 Ôîòîí 22, 70, 477, 494 i äàëi Ôðàóíãîåðîâi ëiíi¨ 499 Ôóíêöiÿ ðiíà 800 Åéði 220, 252

×àñòîòà ïåðåõîäó 177, 360 Øèðèíà ñïåêòðàëüíî¨ ëiíi¨ 484, 518, 522 Øðåäèí åðà ðiâíÿííÿ 26, 153, 160, 179, 184, 218, 276, 331, 335, 421, 520 i äàëi Øòàðêà ååêò ëiíiéíèé 429 êâàäðàòè÷íèé 429

ßâèùå áèòòÿ 43, 68, 658 Òåíçîð ïîëÿðèçîâàíîñòi 537 Òåîðiÿ Áîðà 23 Äiðàêà 29, 135, 579, 579 çáóðåíü 389, 389, 396, 424, 456, 523, 562, 642 i äàëi Òîìàñà ïîëîâèíêà 608 Òîíêà ñòðóêòóðà 100, 564, 567, 617, i äàëi

ßäåðíèé êâàäðóïîëüíèé ðåçîíàíñ 324

CP -iíâàðiàíòíiñòü

314

EPR-ïàðà 71, 728, 730, 740 EXAFS-ñïåêòðîñêîïiÿ 550 RSA-êîä 754 SUSY 206

IÌÅÍÍÈÉ ÏÎÊÀÆ×ÈÊ

Ààðîíîâ ß., 48

åëüìãîëüö . Ë. Ô., 268

Àéíøòàéí À., 22, 26, 28, 38, 477, 546, 553,

åðìàí ., 39

554, 636

åðîäîò, 166

Àìïåð À., 32

åðö ., 22

Àíäåðñîí Ê. Ä., 29, 594

iëüáåðò Ä., 28

Àðõiìåä, 166

þé åíñ Õ., 32

Áàáié Á. Ò., 499

àé åð ., 242

Áàëüìåð É., 24 Áàð ìàí Â., 64 Áàðäií Äæ., 424 Áåëë Äæ., 39, 758 Áåññåëü Ô.Â., 32 Áëåêåòò Ï., 594 Áîãîëþáîâ Ì. Ì., 838 Áîçå Ñ., 197, 636 Áîëüöìàí Ë., 14, 19 Áîëüÿ¨ ß., 764 Áîì Ä. Äæ., 48 Áîð Í., 2325, 29, 132, 349 Áîðí Ì., 23, 2628, 37, 44, 804 Áðiëëþåí Ë., 248 Áðîéëü Ë. äå, 25, 26, 47, 70 Áóíÿêîâñüêèé Â. ß., 90

Âàí îâ Ë., 824 Âàòñîí Ä., 240 Âåéëü ., 28, 117, 594 Âåíòöåëü ., 248

àëiëåé ., 31, 32, 117 àìîâ . À., 240 àóäñìiò Ñ., 305 àóññ ., 764 ëàóáåð ., 133, 198 îðäîí Äæ., 29 ðàññìàí ., 637 ðií ., 203 þðíi ., 240

Äåáàé Ï., 23, 25, 26 Äåâiññîí Ê., 27, 35 Äåêàðò ., 252 Äæåðìåð Ë., 27, 35 Äæåðiñ ., 248 Äæîçåñîí Á. Ä., 52, 53, 617 Äiðàê Ï. À. Ì., 2729, 50, 66, 136, 158, 268, 457, 568, 578, 593, 595, 637

Åâåðåòò ., 93

Âiëüñîí Â., 25

Åâêëiä, 166

Âiëüñîí Ê., 406

Åääií òîí À. Ñ., 618

Âiëüñîí . Â., 240, 525

Åéëåð Ë., 268

Âiìåí Ê., 642

Åéði . Á., 252

Âií Â., 14

Åðåíåñò Ï., 168, 243, 259

Âiíåð Í., 28

Åðñòåä Õ., 32 Åñàêi Ë., 53

àéäå åð Ì., 399

Åòâåø ., 32

àéçåíáåð Â., 27, 28, 89, 177, 304, 461, 644 àéòëåð Â., 684

Æèâåð I., 53

àìiëüòîí Ó. ., 268, 308 àðòði Ä. ., 670

846

Çîììåðåëüä À., 25, 564, 567

Éîðäàí Ï., 28

Ïàðñåë Å., 518

Éîñò ., 406

Ïàñòåð Ë., 304

Êàçèìèð ., 485 Êàëóöà Ò., 387

Ïàòèê Â., 680 Ïàóëi Â., 120, 304, 305, 375, 637, 640 Ïåíçiàñ À. À., 240, 525

Êàíò I., 370

Ïëàíê Ì., 13, 18, 21, 22, 268, 477

Êàðìàí Ò., 23

Ïîäîëüñüêèé Á., 71

Êåïëåð É., 24, 31

Ïðií ñãàéì Å., 16

Êåòòåðëå Â., 642

Ïóàíêàðå À., 553, 554

Êiðõãî ., 14 Êëàóçióñ . Þ. Å., 174

àìàí ×., 69

Êëiîðä Â. Ê., 570

àìçàóåð Ê., 27

Êëÿéí O., 29 Êîíäîí Å., 240 Êîïåðíèê Ì., 31 Êîðíåëë Å., 642 Êðàìåðñ . À., 248, 304 Êðiê Ô., 240 Êðîíi ., 304 Êóëîí Ø., 32 Êóïåð Ë., 424 Êóðëüáàóì Ô., 17 Êóù Ï., 603

Ëà ðàíæ Æ. Ë., 31, 268 Ëàíäàó Ë., 629 Ëàíäå À., 628 Ëàïëàñ Ï. Ñ., 42, 372 Ëåìá Ó., 614 Ëåíàðä Ô., 22

åçåðîðä Å., 23, 469, 797 åëåé Äæ., 15, 248 iäáåð É. ., 347 iòö Â., 24 îçåí Í., 71 óáåíñ ., 17 óáiíîâè÷ Â., 42, 513 óí å Ê., 372

Ñíàéäåð ., 120 Ñíîó ×., 658 Ñòåàí É., 14 Ñòîêñ Äæ. ., 253 Ñòîë¹òîâ Î. ., 22

Òîìàñ Ë., 608, 673 Òîìîíà à Ñ., 32 Òîìñîí . Ï., 27, 35

Ëåíö Â., 372

Óiëëåð Äæ., 93

Ëîáà÷åâñüêèé Ì., 764

Óëåíáåê Äæ., 305

Ëîíäîí Ô., 50, 684 Ëüþ¨ñ . Í., 22, 477 Ëþììåð Î., 16

Ôàðàäåé Ì., 32 Ôåéíìàí ., 27, 32, 66, 268, 838

Ëÿéáíiö . Â., 268

Ôåðìà Ï., 268

Ìåáióñ À. Ô., 253

Ôîê Â. À., 29, 670

Ìèñüêî Å., 680

Ôðàóíãîåð É., 499

Ìiëiÿí÷óê Â. Ñ., 428 Ìiëëiêåí ., 22 Ìîïåðòþ¨ Ï.-Ë. Ì. äå, 268

Íåéìàí É. îí, 39 Íåòåð Å., 268 Íåòòîë Äæ., 242 Íüþòîí I., 31, 32, 166

Îïïåíãàéìåð ., 120 Ïà¹ðëñ ., 120

Ôåðìi Å., 463, 636, 673, 819

Õþëñò Õ., 518 Öèöåðîí, 166 Øâàðö . À., 90 Øâií åð Þ., 32 Øðåäèí åð Å., 2629, 69, 132, 157, 159, 160, 198, 349, 375, 556, 644 Øðiåð Äæ., 424

Þåí ., 518

847

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ ÂÀÊÀ×ÓÊ Iâàí Îëåêñàíäðîâè÷

ÊÂÀÍÒÎÂÀ ÌÅÕÀÍIÊÀ âèäàííÿ òðåò¹, äîïîâíåíå Çàòâåðäæåíî Ìiíiñòåðñòâîì îñâiòè i íàóêè Óêðà¨íè ÿê ïiäðó÷íèê äëÿ ñòóäåíòiâ âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäiâ (Ëèñò 1.4/18 271 âiä 07.02.07)

Ìîâíèé ðåäàêòîð

Ìàðiÿ Áiëîóñ

Êîìï'þòåðíà âåðñòêà Òåõíi÷íèé ðåäàêòîð Õóäîæí¹ îîðìëåííÿ

Îëåíà Êiêò¹âà Ñîiÿ Äîâáà Ôåäið Ëóêàâèé

Ïiäïèñàíî äî äðóêó 07.02.2007. Ôîðìàò 60 × 901 /16 . Ïàïið îñ. àðí. Times. Äðóê îñ. Óìîâí. äðóê. àðê. 53. Óìîâí. àðáîâiäá. 53,23. Îáë. âèä. àðê. 42,78. Òèðàæ 7000 ïðèì. Çàì. Ëüâiâñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Iâàíà Ôðàíêà 79000, Ëüâiâ, âóë. Óíiâåðñèòåòñüêà, 1 Âèäàâíè÷î-âèðîáíè÷å ïiäïðè¹ìñòâî Ìiñiîíåð âóë. Âàñèëiÿíñüêà, 8, ì. Æîâêâà, Ëüâiâñüêà îáë., 80300

Our partners will collect data and use cookies for ad personalization and measurement. Learn how we and our ad partner Google, collect and use data. Agree & close