ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

Дж.Келли ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ Монография посвящена общей, или теоретико-множественной, топологии. В ней собраны наиболее важные результаты из этой области математики. Большое внимание в книге уделено таким фундаментальным вопросам, как сходимость по направленному множеству, топологические произведения и фактор-пространства, метризационные теоремы, теория бикомпактных пространств, равномерная топология, теория функциональных пространств и др. В прекрасно подобранных упражнениях излагается большой дополнительный материал, касающийся связей между общей топологией, функциональным анализом и алгеброй. Книга предназначена для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов, а также для научных работников в различных областях математики, интересующихся методами общей топологии и их приложениями. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие автора 11 Глава 0 Предварительные сведения 13 Множества (13). Подмножества и дополнения; объединения и пересечения (14). Отношения (20). Функции (25). Упорядочения (29). Алгебраические понятия (34). Вещественные числа (37). Счетные множества (44). Кардинальные числа (48). Порядковые числа (50). Декартовы произведения (51). Принцип максимальности Хаусдорфа (53). Глава 1 Топологические пространства 60 Топологии и окрестности (60). Замкнутые множества (63). Точки накопления (65). Замыкание (66). Внутренность и граница (69). Базы и предбазы (72). Переход к индуцированной топологии; отделенность (78). Связные множества (82). Задачи (84). Глава 2 Сходимость по Мору — Смиту 91 Введение (91). Направленные множества и направленности (95). Поднаправленности и предельные точки (101). Последовательности и подпоследовательности (105) Классы сходимости (106). Задачи (110). Глава 3 Произведения и фактор-пространства 119 Непрерывные отображения (120). Произведения пространств (125). Фактор-пространства (131). Задачи (140) Глава 4 Вложения и метризация 152 Существование непрерывных функций (153). Вложение в кубы (157).

Метрические и псевдометрические пространства (161) Метризация (169). Задачи (177). Глава 5 Бикомпактные пространства 183 Эквивалентные утверждения (183). Бикомпактность и аксиомы отделимости (190). Произведения бикомпактных пространств (193). Локально бикомпактные пространства (197). Фактор-пространства (200). Бикомпактные расширения (201). Лемма Лебега о покрытии (209). Паракомпактность (212). Задачи (219). Глава 6 Равномерные пространства 233 Равномерность и равномерная топология (235). Равномерная непрерывность; произведение равномерностей (241). Метризация (246). Полнота (253). Пополнение (260). Бикомпактные пространства (263). Только для метрических пространств (267). Задачи (272). Глава 7 Функциональные пространства (пространства отображений) 286 Поточечная сходимость (286). Бикомпактно открытая топология и совместная непрерывность (291). Равномерная сходимость (297). Равномерная сходимость на бикомпактных множествах (302). Бикомпактность и равностепенная непрерывность (305). Однообразная непрерывность (309). Задачи (313). Добавление Элементарная теория множеств 325 Классификационная схема аксиом (326). Классификационная схема аксиом (продолжение) (328). Элементарная алгебра классов (329). Существование множеств (332). Упорядоченные пары; отношения (335), Функции (336). Вполне упорядочение (339). Порядковые числа (343) Целые числа (349). Аксиома выбора (350). Кардинальные числа (353). Библиография 361 Предметный указатель 377 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — счетности вторая 75 Абсолютная Gδ 275 — — первая 77 Аксиом схема классификационная Аксиомы замыкания Куратовского 68 329 — метрики 162 Аксиома бесконечности 349 База топологии 72 — выбора 351 — — в точке 77 — объемности 327 — равномерности 237 — подмножеств 332 — системы окрестностей 77, 153 — подстановки 338 Банахова алгебра 319 — регулярности 343 Бикомпактность локальная — соединения 338 равномерная 283

Булево кольцо 116 — σ-кольцо 284 Вложение 161, 251. 261, 262 — в кубы 157, 161 Вполне упорядочение 50, 339 Гипотеза континуума 360 —— — обобщенная 360 Гнездо 54, 351 Гомеоморфизм (топологическая эквивалентность) 123 Гомоморфизм (представление) 35, 147 — кольцевой 135 —, ядро 35 Грань верхняя 29 — — наименьшая 29 — нижняя 29 — — наибольшая 29 Группа 34 — абелева (коммутативная) 34 — топологическая 145 — —, подгруппа 147 — —, пополнение 280 — —, равномерность двусторонняя 278 — —,— левая 278 — —, — правая 278 — целых чисел 38 Диагональ 22 Диагональный процесс 313 Диаметр 165 Доказательство по индукции 38, 341 Дополнение 16, 329 — абсолютное 16 — относительное 16 Евклидова плоскость 89 Евклидово n-пространство 52, 126 Задача Куратовского 86 Звездная вписанность 230 — нормальность 230 Звездное измельчение 230 Идеал 35, 115, 117 — двусторонний 35 — дуальный 115, 117 — левый 35

— максимальный в структуре 115 Изометрия 167 Изоморфизм равномерный 242 Инвариант метрический 167 — равномерный 242 — топологический 125 Индукция математическая 38 — трансфинитная 341, 347 Интеграл Римана 114 Интервал замкнутый 64 — полуоткрытый 64 Кардинал 353 Категория 267 Класс 13 — конечный 355 — наполненный 344 — сходимости 107 — эквивалентности 23 Классификатор 326 Классы, объединение 329, 331 — равномощные 353 —,разность 330 Коллективная нормальность 232 Кольцо 35 — нормированное 320 — характеристическое 227 — эндоморфизмов группы 36 Компактность секвенциальная 313 — счетная 277 Комплект псевдометрик 252 — равномерности 252 Композиция отношений 21 — функций 27 Компонента 83 Критерии метризационные 173, 177 Куб 157 Лемма Куратовского 55 — Лебега о покрытии 209 — Тьюки 55 — Урысона 157 — Цорна 55 Метрика 161 — вещественных чисел обычная 163 — двусторонне инвариантная 279

— левоинвариантная 279 — правоинвариантная 279 — Хаусдорфа 178 Метрики инвариантные 278 Множества, декартово произведение 21, 51 — направленные, направленное произведение 99 — отделенные 80 — равномощные 48 —,разность 16 —, сумма 15 Множество 13 — вещественных чисел индуктивное 38 —, внутренность 69 —, внутренняя точка 69 — вполне упорядоченное 50 — — —,секция 340 — выпуклое 150 —, граница 71 — замкнутое 63, 78 —, замыкание 66, 78 — канторово (канторов дисконтинуум) 223 — — обобщенное (обобщенный канторов дисконтинуум) 223 — конечное 355 — координатное 52 — линейно упорядоченное (цепь) 31 —, мощность 353 —, направление 95 — направленное 95 — нигде не плотное 197, 268 — нулей непрерывной вещественной функции 182 — ограниченное 32 —. окрестность 153 Множество открытое 60 — почти открытое 279 — предельная точка 65 — производное 66 — пустое 15, 331 — счетно бесконечное 44

— счетное 45 — упорядоченное 31 — — полное 29 Направленность 95 — Коши 254 — монотонная 111 —,предел 99 —,предельная точка 103 — сходящаяся 96 — универсальная 116 Непрерывность в точке 140 — однообразная 309, 311 — равностепенная 305, 308 — — равномерная 315 Неравенство треугольника 162 Нормальный делитель 35, 147 Образ 25, 26, 120 Объединение 15 Оператор 25 — замыкания 67, 68 — — Куратовского 68 Определение по индукции 39 — функции по трансфинитной индукции 347 Ординал 345 Отношение 21 — антисимметричное 23 — асимметричное 339 —, область значений 21 —,— определения 21 — обратное 21, 336 — рефлексивное 23 — симметричное 23 —, сужение 24 — тождественное 22 — транзитивное 23 — эквивалентности 23 Отображение 25 — в 120 Отображение взаимно однозначное 120 — вычисления 158, 287 — замкнутое 133 — индуцированное 26

—- линейное 37 — —, нуль-пространство 37 — многозначное 25 — монотонное 31 — на 120 — непрерывное 121 — открытое 127 —, продолжение 26 — равномерно непрерывное 241, 259 — — открытое 270 —.сохраняющее порядок 31 —, сужение 26 — факторное (фактор-отображение) 135 — ^-накрывающее 315 Пара неупорядоченная 334 — упорядоченная 335 Парадокс Бурали—Форти 346 — Рассела 355 Паракомпакт 212 Пересечение 15, 115, 329, 331 Плоскость Тихонова 179 Подгруппа 34 — инвариантная 35, 147 — нормальная 35, 147 — топологической группы 147 Подмножество 14 — вполне ограниченное 265 — всюду плотное 75 — конфинальное 96 — нигде не плотное 197, 268 — одноточечное 15 — связное 82 — собственное 16 Поднаправленность 101 Подпокрытие 76 Подпоследовательность 93 Подпространство 78 — линейное 36 Покрытие 76 — однообразное 211 — открытое 76 Покрытие равномерное 266 — точечно конечное 230

Поле 36 — упорядоченное 37 Полнота топологическая метрическая 275 Порядок линейный (простой) 31 — словарный (лексикографический) 42 Последовательность 91, 106 — абсолютно суммируемая 113 — по направленному множеству 96 Постулат Цермело 55 Предбаза равномерности 237 — системы окрестностей в точке 78 — топологии 74 — — произведения стандартная 127 Предел направленности 99 — повторный 100, 101 Преобразование топологическое 123 Принцип вполне упорядочения 56 — максимального элемента 55 — максимальности Хаусдорфа 56, 352 — математической индукции 38 — минимального элемента 56 Проектирование на координатное множество 52, 125 — — разбиение 135 Произведение направлений 99 — псевдометрических пространств 166 — равномерностей 244 — равномерных пространств 244 — топологических пространств 127 — упорядоченных множеств 42 Прообраз 27, 120 Пространства равномерно эквивалентные 242 Пространство абсолютно замкнутое (H-замкнутое) 208, 209 — бикомпактное 183 — булево 227 — —, характеристическое кольцо 227 Пространство векторное 36

— дверное 110 — координатное 125 — линделёфово 77 — линейное 36 — — вещественное 36, 150 — — нормированное 317 — локально бикомпактное 197 — — связное 90 — метризуемое 169 — метрическое 162 — нормальное 153 — однородное 148 — отображений (функций) 286 — паракомпактное 212 —, подмножество нехудое 269 —, — худое 269 — полное в смысле Чеха 277 — — топологически 276 — полуоткрытых интервалов (стрелка) 88, 181 — псевдометризуемое 169, 246 — псевдометрическое 162 — — полное 261 — —, пополнение 261 — равномерное 236 — — вполне ограниченное 264 — —, метризация 247 — — метризуемое 246 — — отделимое 241 — — полное 256 — —, пополнение 262 — — предкомпактное 264 — разбиения 135 — регулярное 154 — с первой аксиомой счетности 77 — связное 82 — сепарабельное 75 — слабо паракомпактное 230 — со счетной базой 75 — совершенно нормальное 182 — сопряженное к нормированному 317 — счетномерное 218 — тихоновское 159

— топологически полное 276 — топологическое 60 — — антидискретное 60 — — дискретное 61 — — линейное 150 Пространство топологическое, метризация 169 — — метризуемое 169 — —, плотное подмножество 75 — — регулярное 154 — финально компактное 77 — хаусдорфово 98 — Хелли 222 — худое 269 — экстремально несвязное 285 — ящичное 148 Прямая Александрова 222 — трансфинитная 222 Псевдометрика 162 —, комплект 252 Равномерность 236 — вещественных чисел обычная 236 — относительная 243 —, порожденная псевдометрикой 246 —, — семейством псевдометрик 249 — поточечной сходимости 290 — произведения 244 — псевдометрическая 246 — равномерной сходимости 298, 300 —, сужение 243 Разбиение 135 — единицы 231 — непрерывное 138, 182 Разложение двоичное 44 — десятичное 44 — по основанию 44 — троичное 44 Разность симметричная 116 Расстояние 162, 168 Расширение бикомпактное 204 — — одноточечное 203 — — Стоуна—Чеха 206 — — Уолмена 226 Расширения бикомпактные

топологически эквивалентные 204 Ретракт 224 Свойство двух точек 320 — делимое 180 — индуктивное 90 — наследственное 180 — неприводимое 90 Семейство 13 — множеств дизъюнктное 15 — — дискретное 172 — — замкнутое 211 — — конечного характера 54 — — локально конечное 172 — —, максимальный элемент 53 — —, минимальный элемент 54 — —, наибольший элемент 53 — —, наименьший элемент 53 — отображений поточечно замкнутое 287 Система окрестностей точки 62 — центрированная максимальная 194, 226 Совокупность 13 Соответствие 25 — взаимно однозначное 120 Сравнение топологий 61 Стрелка 88, 181 Структура 115 — дистрибутивная 115 —.объединение элементов 115 Сумма Дарбу верхняя 114 — — нижняя 114 — множеств (логическая сумма множеств) 15 — неупорядоченная 112 — упорядоченная 112 Сходимость непрерывная 317 — по Мору—Смиту 90 — покоординатная 129 — поточечная 129, 286 — равномерная 297 — — на бикомпактных множествах 302

— — — семействе множеств 300 Теорема Александера о предбазе 188 — Александрова об одноточечной бикомпактификации 203 — Александрова—Урысона о метризации 249 Теорема Асколи 307, 311 — Банаха—Штейнгауза 284 — Брауэра о редукции 90 — Бэра о категории 267 — Вейерштрасса—Стоуна 320 — Гейне—Бореля—Лебега 183, 195 — Дини 314 — Кантора 354 — Кантора—Бернштейна (Шредера— Бернштейна) 49, 354 — о замкнутом графике 281 — Стоуна о представлении 227 — Тихонова о вложении 161 — — — произведении 194 — Уоллеса о произведении 193 — Урысона о метризации 170 Теория интегрирования 112 Топология 60 — антидискретная 60 — бикомпактно открытая 292 — бикомпактной сходимости 302 — более сильная 61 — — слабая 61 — вещественных чисел обычная 61 — дискретная 61 — индуцированная на подмножестве 78 — метризуемая 169 — метрическая 169 — относительная 78 — порядковая 87 — поточечной сходимости 289 — произведения 125, 127 — псевдометрическая 162 — равномерная 238 — равномерной сходимости 298 — слабая сопряженного к

нормированному пространству 149 — совместно непрерывная 293, 294 —, сужение 78 — тривиальная 60 Точка 13 —, звезда 230 — изолированная 143 — накопления 65 Точка, окрестность 62 — полного накопления 221 Ультрафильтр 118 Универсум 331 Упорядочение 29 — архимедово 41 — линейное (совершенное) 31 — полное 29 — частичное 29 Условие Суслика 89 Фактор-группа 35, 147 Фактор-отображение 135 Фактор-пространство 136 Фактор-топология 132 Фильтр 118 — Коши 257 — сходящийся 118 Формулы де Моргана 18 Функционалы на линейных пространствах 149 Функция 25, 336 — вещественная полунепрерывная сверху 141 — — — снизу 141 — возрастающая 31 — выбора 52, 350 —, график 25 —, значение 25, 337 —, колебание 142

— линейная 37 — многозначная 25 — монотонная 31 —, область значений 336 —, — определения 336 —, определение по трансфинитной индукции 347 — полунепрерывная сверху, снизу 141 — почти периодическая 322 —, продолжение 26 —, сужение 26 — суммируемая 112 — характеристическая 46 Цепь 54 Числа кардинальные 48, 353 — бесконечные (трансфинитные) 359 — порядковые 50, 346 — целые 349 Шар замкнутый 162 — открытый 162 Элемент 13 k-пространство 304 T0-пространство 85 T1-пространство 85 T2-пространство (хаусдорфово) 98 T3-пространство (регулярное + T1) 154 T4 пространство (нормальное + T1) 153 σ-дискретное семейство множеств 173 σ -кольцо 284 σ -локально конечное семейство множеств 173