Основы математической статистики для управленцев: Учебное пособие

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÅÂÅÐÎ-ÇÀÏÀÄÍÀß ÀÊÀÄÅÌÈß ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍ...

Author: Курзенев В.А.

21 downloads 202 Views 8MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ

ÑÅÂÅÐÎ-ÇÀÏÀÄÍÀß ÀÊÀÄÅÌÈß ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÉ ÑËÓÆÁÛ

Êóðçåíåâ Â. À.

ÎÑÍÎÂÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ ÄËß ÓÏÐÀÂËÅÍÖÅÂ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì ïî îáðàçîâàíèþ â îáëàñòè ñòàòèñòèêè è àíòèêðèçèñíîãî óïðàâëåíèÿ â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè 061700 «Ñòàòèñòèêà», 351000 «Àíòèêðèçèñíîå óïðàâëåíèå» è äðóãèì ýêîíîìè÷åñêèì ñïåöèàëüíîñòÿì

Èçäàòåëüñòâî ÑÇÀÃÑ 2005

ÁÁÊ

22.172

Îäîáðåíî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ÑÇÀÃÑ Ðåêîìåíäîâàíî ê èçäàíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì ÑÇÀÃÑ

Êóðçåíåâ Â. À. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äëÿ óïðàâëåíöåâ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. — ÑÏá: Èçä-âî ÑÇÀÃÑ, 2005. — 208 ñ., ïðèë. Ðåöåíçåíò: Çàñëóæåííûé ðàáîòíèê âûñøåé øêîëû, äîêòîð ôèëîñîôñêèõ íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû ñîöèîëîãèè ÐÃÏÓ èì. À. È. Ãåðöåíà È. À. Ãðîìîâ.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò îñíîâíûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, íåîáõîäèìûå äëÿ óïðàâëåíöåâ. Îáúåêòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé. Îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì è èõ ñòàòèñòèêå. Ïîñîáèå âêëþ÷àåò ýëåìåíòû òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà, à òàêæå ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìîå ÷èñëî ïðèìåðîâ è óïðàæíåíèé äëÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà è íåîáõîäèìûå ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû äëÿ ðàñ÷åòîâ. Îíî àäðåñîâàíî ñòóäåíòàì óïðàâëåí÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé áëîêà «Ýêîíîìèêà è óïðàâëåíèå».

ISBN 5-89781-172-5

© ÑÇÀÃÑ, 2005 © Êóðçåíåâ Â. À., 2005: òåêñò

Ââåäåíèå Áîëüøèíñòâî çàäà÷, âñòðå÷àþùèõñÿ â ïðàêòèêå óïðàâëåíèÿ ñîöèàëüíûìè, ýêîíîìè÷åñêèìè è èíûìè ñèñòåìàìè, ñâÿçàíû ñ íåîáõîäèìîñòüþ ó÷åòà ñëó÷àéíîñòè. Êîíöåïöèÿ îïðåäåëåííîãî è ñëó÷àéíîãî äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî îáñóæäåíà â ôèëîñîôñêèõ äèñöèïëèíàõ è çäåñü íå ðàññìàòðèâàåòñÿ. Îáùåèçâåñòíî, ÷òî ñëó÷àéíîå â ïðèðîäå ñóùåñòâóåò òàê æå, êàê è îïðåäåëåííîå. Â ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèé ÷àùå âñåãî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ ðåçóëüòàòàìè íàáëþäåíèé, âûðàæåííûõ â êàêèõ-ëèáî îáðàçàõ èëè â êîëè÷åñòâåííûõ âåëè÷èíàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ ïðàêòè÷åñêè âñåãäà îòðàæàþò è ñëó÷àéíûé õàðàêòåð ÿâëåíèé. Åñëè âñïîìíèòü ñëîâà «îòöà êèáåðíåòèêè» Í. Âèíåðà: «Âûñøèì íàçíà÷åíèåì ìàòåìàòèêè ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ñêðûòîãî ïîðÿäêà â õàîñå, êîòîðûé íàñ îêðóæàåò», òî ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, êàêóþ ðîëü èãðàåò ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, èçó÷àþùàÿ òåîðèþ ñëó÷àÿ, è ñêîëü âàæíû åå ïðèëîæåíèÿ äëÿ ïðàêòèêè. Ýòó äèñöèïëèíó íàçûâàþò òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé, è åå îñíîâû èçëàãàþòñÿ â ïåðâîé ÷àñòè ïðåäëàãàåìîé êíèãè. Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñâÿùåíà, ïî ñóùåñòâó, âîïðîñàì ïðèëîæåíèÿ òåîðèè ê ïðàêòèêå. Åå îñîáåííîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íåé èçëàãàþòñÿ ìåòîäû èñïîëüçîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé, íàïðèìåð, äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ è ïðîâåðêè èõ ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Êëàññè÷åñêîå íàçâàíèå ýòîé ÷àñòè — «Ñòàòèñòèêà», èëè, áîëåå ñòðîãî, «Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà». Ïðåäëàãàåìîå ïîñîáèå ñîäåðæèò íå òîëüêî îñíîâíûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, íî è âêëþ÷àåò, ïî ìíåíèþ àâòîðà, ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìîå ÷èñëî ïðèìåðîâ è óïðàæíåíèé äëÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà. Â òî æå âðåìÿ îíî íå ïðåòåíäóåò íà êíèãó äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ, õîòÿ è ìîæåò áûòü ïîëåçíûì äëÿ ýòèõ öåëåé. Êîíñïåêòèâíîñòü èçëîæåíèÿ äåëàåò ýòî ïîñîáèå íå ñîâñåì ëåãêèì äëÿ ñâîáîäíîãî ÷òåíèÿ. Îäíàêî, êàê ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ïðè âíèìàòåëüíîé ðàáîòå ñ íèì ìîæíî äîñòàòî÷íî îïåðàòèâíî îñâîèòü îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ïîëîæåíèÿ òåîðèè è ïîëó÷èòü ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìûå íàâûêè äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Êíèãà ñíàáæåíà îñíîâíûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè òàáëèöàìè äëÿ ðàñ÷åòîâ. Îíà àäðåñóåòñÿ ñòóäåíòàì óïðàâëåí÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé áëîêà «Ýêîíîìèêà è óïðàâëåíèå».

3

×àñòü I. Âåðîÿòíîñòü 1. Ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü 1.1. Ïðåäìåò òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Èñïûòàíèÿ, èñõîäû, ñîáûòèÿ Ìàòåìàòè÷åñêàÿ íàóêà, èçó÷àþùàÿ çàêîíû ñëó÷àÿ, íàçûâàåòñÿ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Îñíîâíûå îáúåêòû èçó÷åíèÿ: ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïðåæäå âñåãî, â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ââîäÿòñÿ äâå âçàèìîñâÿçàííûå ãðóïïû ïîíÿòèé: 1) èñïûòàíèå — îïûò — ýêñïåðèìåíò — êîìïëåêñ óñëîâèé; 2) èñõîäû (ðåçóëüòàòû), ñîáûòèÿ. Ïîíÿòèÿ â êàæäîé ãðóïïå ïîëàãàþò ýêâèâàëåíòíûìè. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ íåêîòîðûé «ýêñïåðèìåíò», ò. å. îñóùåñòâëÿåòñÿ êîìïëåêñ óñëîâèé. Êàæäûé ýêñïåðèìåíò — èñïûòàíèå çàâåðøàåòñÿ èñõîäîì èëè ñîáûòèåì. Ïðèìåðû èñïûòàíèé: Ïðèìåðû èñõîäîâ: 1) áðîñàíèå ìîíåòû (êîñòè); 1) ãåðá; 2) òàñîâêà êàðò; 2) ðàñêëàäêà; 3) âûíèìàíèå êàðòû èç êîëîäû; 3) òóç; 4) âûíèìàíèå øàðà èç óðíû; 4) ÷åðíûé øàð; 5) èãðà â ðóëåòêó; 5) 25; 6) âûáîð íàóãàä; 6) áåëûé øàð; 7) «áðîñàíèå æðåáèÿ» è ò. ä. 7) êîðîòêèé æðåáèé; 8) îáíàðóæåíèå; 8) ñèãíàë; 9) èçìåðåíèå; 9) Ï=310°; 10) ïåðåäà÷à èíôîðìàöèè; 10) ñèãíàë ñ èñêàæåíèåì; 11) ñòðàõîâàíèå. 11) ñóììà. Òåïåðü ìîæíî äàòü ñîäåðæàòåëüíîå îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì A (ñîáûòèåì) ïî îòíîøåíèþ ê äàííîìó ýêñïåðèìåíòó S íàçûâàþò âñÿêèé ôàêò-èñõîä, êîòîðûé ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè â çàâèñèìîñòè îò ñëó÷àÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîáûòèé èñïîëüçóþò áîëüøèå áóêâû àëôàâèòà: A, B, C ... 4

1. Ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü

Èç îáùåãî êëàññà ñîáûòèé âûäåëÿþò ñîáûòèÿ ñ îñîáûìè ñâîéñòâàìè. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì Ω íàçûâàþò òàêîé èñõîä, êîòîðûé âñåãäà ïðîèñõîäèò ïðè îñóùåñòâëåíèè äàííîãî ýêñïåðèìåíòà. Êàê áóäåò ïîêàçàíî, ýòî ñîáûòèå èãðàåò ðîëü åäèíèöû ïðè ïðîèçâåäåíèè ñîáûòèé. Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì íàçûâàþò òàêîé èñõîä, êîòîðûé íèêîãäà íå íàñòóïàåò ïðè îñóùåñòâëåíèè äàííîãî ýêñïåðèìåíòà. Ýòî ñîáûòèå áóäåò èãðàòü ðîëü íóëÿ ïðè ñëîæåíèè ñîáûòèé. Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèåì ê ñîáûòèþ A (èëè äîïîëíåíèåì ê A) íàçûâàþò èñõîä-ñîáûòèå, êîòîðîå ïðîèñõîäèò òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè A íå ïðîèñõîäèò.

1.2. Àëãåáðà ñîáûòèé

∅ A

Íà ñëó÷àéíûõ ñîáûòèÿõ íåîáõîäèìî ââåñòè ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàöèè, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëÿòü ñîáûòèå ÷åðåç êîìáèíàöèþ áîëåå ïðîñòûõ. Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ óäîáíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ äëÿ íåãî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî. Ïîýòîìó, êàê è íà ìíîæåñòâàõ, íà ñîáûòèÿõ ìîæíî ââåñòè àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè, ò. å. ââåñòè àëãåáðó. 1. Åñëè ïðè ïîÿâëåíèè A îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò ñîáûòèå B, òî A íàçûâàþò ÷àñòíûì ñëó÷àåì B (A ⊂ B èëè A âëå÷åò B). Íà îñíîâàíèè ýòîé îïåðàöèè ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ðàâíîñèëüíîñòè. Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Ðàâíîñèëüíûìè íàçûâàþòñÿ äâà ñîáûòèÿ, åñëè êàæäîå èç íèõ åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé äðóãîãî, ò. å. A ⊂ B ⇒ A= B B ⊂ A Ñóììîé äâóõ ñîáûòèé (èëè îáúåäèíåíèåì) íàçûâàþò ñîáûòèå, ðàâíîñèëüíîå íàñòóïëåíèþ õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ äâóõ ñîáûòèé. Èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: A ∪ B, A+B, A èëè B. 5

×àñòü I. Âåðîÿòíîñòü

Äëÿ îïåðàöèè ñóììû (ñëîæåíèÿ) èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

1) A ∪ A = A 2) A ∪ Ω = Ω 3) A ∪ ∅ = A 4) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B. Îïåðàöèþ ñóììèðîâàíèÿ ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà n ñîáûòèé. Ïðîèçâåäåíèåì (ñîâìåùåíèåì) äâóõ ñîáûòèé íàçûâàþò ñîáûòèå, ðàâíîñèëüíîå íàñòóïëåíèþ îáîèõ ýòèõ ñîáûòèé. Èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: A ∩ B; AB; A è B. Äëÿ îïåðàöèè ïðîèçâåäåíèÿ (óìíîæåíèÿ) èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: 2.

1) A ∩ A = A 2) A ∩ Ω = A 3) A ∩ ∅=∅ 4) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A. Îïåðàöèþ ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà n ñîáûòèé. Äëÿ ââåäåííûõ îïåðàöèé ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà êîììóòàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè.

(( A ∪ B ) ∩ C = A ∩ C ∪ B ∩ C) Ñ ïîìîùüþ ïðîèçâåäåíèÿ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Î ï ð å ä å ë å í è å 6 . Äâà ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, ò. å. A ∩ B = ∅. 3. Ðàçëîæåíèå ñîáûòèÿ íà ÷àñòíûå ñëó÷àè. Åñëè ñîáûòèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ò. å. A = B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bk и Bi ∩ Bj = ∅, òî ãîâîðÿò, ÷òî A ðàñïài≠ j

äàåòñÿ íà ÷àñòíûå ñëó÷àè Â1, …, Âk.

6


4.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

1) A ∪ A = Ω 2) A ∩ A = ∅ 3) A ∪ B = A ∩ B 4) A ∪ B ∪ A ∩ B = Ω

(

)

5) ( A ∪ B ) ∩ A ∩ B = A ∩ A ∩ B ∪ A ∩ B ∩ B = ∅ 6) A ∩ B = A ∪ B 7) Ω = ∅ 8) ∅ = Ω. 5.

Â çàêëþ÷åíèå ââåäåì äâà âàæíûõ îïðåäåëåíèÿ. Î ï ð å ä å ë å í è å 7 . Ñîáûòèÿ Â1, …, Âk îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé, åñëè èõ îáúåäèíåíèå åñòü äîñòîâåðíîå ñîáûòèå è îíè ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, ò. å. B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn = Ω è Bi ∩ Bj = ∅ i ≠ j i, j = 1, 2, ... , n.

{

}

Ïðèìåð. A, A îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé. Î ï ð å ä å ë å í è å 8 . Íåðàçëîæèìîå ñîáûòèå íàçûâàþò ýëåìåíòàðíûì, à ïîëíóþ ãðóïïó ýëåìåíòàðíûõ — ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.

1.3. Îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêîå è ñòàòèñòè÷åñêîå. Î ï ð å ä å ë å í è å 9 (êëàññè÷åñêîå). Ïóñòü â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà S âîçìîæíî òîëüêî n íåñîâìåñòèìûõ è ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ B1, B2 ,..., Bn , ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé, è ïóñòü A åñòü ñóììà îïðåäåëåííûõ m èç íèõ, ò. å. A = Bi1 ∪ Bi2 ∪ .... ∪ Bim , òîãäà âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A íàçûâàþò ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ ÷èñëà ò ê ÷èñëó ï, ò. å. P ( A) ≡

m . n 7


Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Ýòî îïðåäåëåíèå ïðèìåíèìî ê êîìáèíàòîðíûì çàäà÷àì, êîãäà ÷èñëî èñõîäîâ êîíå÷íî è ñîáûòèÿ ðàâíîâîçìîæíû. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 0 (ñòàòèñòè÷åñêîå). Ïóñòü S — ýêñïåðèìåíò èç n íåçàâèñèìûõ, îñóùåñòâëÿåìûõ íà ïðàêòèêå èñïûòàíèé è ïóñòü ñîáûòèå A íàñòóïàåò µ ðàç, òîãäà ÷èñëî P(A), îêîëî êîòîðîíàçûâàþò ñòàòèñòè-

ãî êîëåáëåòñÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ ÷åñêîé âåðîÿòíîñòüþ, ò. å. P ( A) = lim

n →∞

µ n

.

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . ×èñëî n ìîæåò áûòü î÷åíü áîëüøèì, è íàéòè ïðåäåë íå âñåãäà îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì. Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå íå èñïîëüçóåò ïðåäïîëîæåíèÿ î ðàâíîâîçìîæíîñòè èñõîäîâ, â ÷åì ñîñòîèò åãî äîñòîèíñòâî, îäíàêî îíî èñïîëüçóåò ñõåìó íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé íà ïðàêòèêå, ÷òî ñâÿçàíî ñ îïðåäåëåííûìè çàòðàòàìè, è ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 2 òàêæå èìååò îãðàíè÷åíèÿ. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå îïðåäåëåíèÿ. Ïðèâåäåì åùå îäíî. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 1 (ãåîìåòðè÷åñêîå). Ïóñòü íà ìíîæåñòâî èç ï-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà G ⊂ Rn áðîñàåòñÿ ï-ìåðíàÿ òî÷êà íàóãàä è ïóñòü èìååòñÿ ïîäìíîæåñòâî g ∈ G, òîãäà ïîä âåðîÿòíîñòüþ ïîïàäàíèÿ ýòîé òî÷êè íà óêàçàííîå ïîäìíîæåñòâî ïîíèìàþò îòíîøåíèå ìåðû ïîäìíîæåñòâà ê ìåðå âñåãî ìíîæåñòâà, ò. å.

(

)

P попад ( ⋅) в g =

mesg . mesG

Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Â îïðåäåëåíèè 11 èìååò ìåñòî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. Ïðè ýòîì çäåñü ðàâíîâîçìîæíûå ñîáûòèÿ — ñîáûòèÿ, êîãäà òî÷êè ïîïàäàþò â îáëàñòè ðàâíîé ìåðû, íàïðèìåð, ïëîùàäè. Ïðèìåð. Çàäà÷à Áþôôîíà, èãðà â ðóëåòêó.

8


1.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 1.1. Èìåþòñÿ äâå èãðàëüíûå êîñòè. Ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñóììà âûïàâøèõ ÷èñåë ÷åòíà. Ñîáûòèå Â — íà îäíîé èç ãðàíåé åäèíèöà. Êàêîâ ñìûñë ñîáûòèé: 1) A ∪ B; 2) A ∩ B; 3) B; 4) A ∩ B? Ðåøåíèå: 1) Ñóììà âûïàâøèõ ÷èñåë ÷åòíà èëè æå íå÷åòíà, íî íà îäíîé èç êîñòåé åäèíèöà, à íà äðóãîé ÷åòíîå ÷èñëî. 2) Íà îäíîé èç êîñòåé åäèíèöà, à íà äðóãîé íå÷åòíîå ÷èñëî. 3) Íè íà îäíîé èç êîñòåé íåò åäèíèöû. 4) ×åòíûå ñóììû êðîìå ïàð ñ åäèíèöåé. Ïðèìåð 1.2. Ñîáûòèå À — õîòÿ áû îäèí èç òðåõ ïðîåêòîâ íå îêóïàåòñÿ. Ñîáûòèå Â — âñå òðè ïðîåêòà îêóïàþòñÿ. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ: 1) A ∩ B; 2) A ∪ B ? Ðåøåíèå: 1) Ñîáûòèÿ À è Â íå ìîãóò ïðîèñõîäèòü îäíîâðåìåííî, ïîýòîìó A ∩ B åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå ∅. 2) Ñîáûòèå À èëè Â âñåãäà èìååò ìåñòî, ïîýòîìó A ∪ B åñòü äîñòîâåðíîå ñîáûòèå. Ïðèìåð 1.3. Â ãðóïïå 25 ñòóäåíòîâ, èç íèõ 10 þíîøåé è 15 äåâóøåê. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî íàóãàä âûçâàííûé ñòóäåíò áóäåò þíîøåé? Ðåøåíèå: À — ñîáûòèå, ÷òî íàóãàä âûçâàííûé ñòóäåíò — þíîøà. Âåðîÿòíîñòü P ( A) = m / n , ãäå ò = 10, à ï = 25, òîãäà P ( A) = 0,4. Ïðèìåð 1.4. Èç 30 êàðòî÷åê ñ ðàçëè÷íûìè áóêâàìè ðóññêîãî àëôàâèòà íàóãàä îäíó çà äðóãîé áåðóò 7 êàðòî÷åê. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòè áóêâû â ïîðÿäêå èõ âûíèìàíèÿ ñîñòàâÿò ñëîâî «ÑÏÓÒÍÈÊ»? Ðåøåíèå: ×èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ò = 1, ÷èñëî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ: 7 n = C30 = 30!/7!(30 − 7)! = 24 ⋅ 25 ⋅ 26 ⋅ 27 ⋅ 28 ⋅ 29 ⋅ 30 ≈ 1010

P ( A) = 1/1010 = 10−10. 9


Ïðèìåð 1.5. Èç êîëîäû êàðò (52) âûíèìàþòñÿ íàóãàä ñðàçó 3 êàðòû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòî áóäóò «òðîéêà», «ñåìåðêà», «òóç»? Ðåøåíèå: ×èñëî òðîåê, ñåìåðîê è òóçîâ — ïî ÷åòûðå (ïî ÷èñëó ìàñòåé), ò. å. áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ m = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 , à ÷èñëî âñåõ ðàçëè÷íûõ òðîåê êàðò êàê ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ

òîãäà

P ( A) = 64 ⋅ 3!⋅ 49!/52! = 0,0029.

Çàäà÷è 1.1. Ïóñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî áðà÷íûõ ïàð. Ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî «æåíèõó áîëüøå 20 ëåò», ñîáûòèå Â: «æåíèõ ñòàðøå íåâåñòû», ñîáûòèå Ñ: «íåâåñòå áîëüøå 20 ëåò». Êàêîâ ñìûñë ñîáûòèé: 1) A ∩ B ∩ C; 2) B; 3) A ∩ B ∩ C?; 4) A ∩ C ? Îòâåò: à) «æåíèõ ñòàðøå íåâåñòû è îáîèì áîëüøå 20 ëåò», á) «æåíèõ íå ñòàðøå íåâåñòû»; â) «æåíèõó è íåâåñòå áîëüøå 20 ëåò è æåíèõ íå ñòàðøå íåâåñòû»; ã) «æåíèõó áîëüøå, à íåâåñòå íå áîëüøå 20 ëåò». 1.2. Ïóñòü À, Â, Ñ — ïðîèçâîëüíûå ñîáûòèÿ. Óïðîñòèòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáûòèé:

(

)

(

)(

à) ( A ∪ B ) ∩ A ∪ B ; á) ( A ∪ B ) ∩ ( B ∪ C );

)

â) ( A ∪ B ) ∩ A ∪ B A ∪ B . Îòâåò: à) À; á) B ∪ A ∩ C; â) ( A ∩ B ). 1.3. À, Â, Ñ – ïðîèçâîëüíûå ñîáûòèÿ. Êàê çàïèñàòü, ÷òî ïðîèçîøëè: à) âñå ñîáûòèÿ, á) íè îäíîãî ñîáûòèÿ, â) òîëüêî ñîáûòèå À, ã) òîëüêî À è Â, ä) ïî êðàéíåé ìåðå îäíî, å) ïî êðàéíåé ìåðå äâà, æ) îäíî è òîëüêî îäíî ñîáûòèå? Îòâåò: à) A ∩ B ∩ C; á) A ∩ B ∩ C; â) À ∩ B ∩ C ; ã) À ∩ B ∩ C ; ä) A ∪ B ∪ C; å) ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C );

(

) (

) (

)

æ) À ∩ B ∩ C ∪ Â ∩ À ∩ C ∪ Ñ ∩ B ∩ A .

10


1.4. Òîìà ïÿòèòîìíîé ýíöèêëîïåäèè ïî ýêîíîìèêå ñòîÿò íà ïîëêå â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîìà îêàæóòñÿ óïîðÿäî÷åííûìè? Îòâåò: Ð(À)=2/5!=1/60. 1.5. Òåëåôîííûé íîìåð ñîñòîèò èç ïÿòè öèôð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî öèôðû íîìåðà ðàçíûå? 5 /105 = 0,3024. Îòâåò: P ( A) = C10

1.6. Ãðóïïà ñòóäåíòîâ â 28 ÷åëîâåê ñ ñîîòíîøåíèåì þíîøåé è äåâóøåê 1:1 íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ äåëèòñÿ ïîïîëàì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî â ïîäãðóïïàõ ÷èñëî þíîøåé è äåâóøåê îäèíàêîâî.

(

)

7 7 14 Îòâåò: P ( A) = C14 ⋅ C14 / C28 ≈ 0,59.

1.7. Ñðåäè 16 ýêçàìåíàöèîííûõ áèëåòîâ 4 ñîäåðæàò îòíîñèòåëüíî ëåãêèå âîïðîñû. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü: à) ïåðâîìó ýêçàìåíóþùåìóñÿ âçÿòü îäèí èç òàêèõ áèëåòîâ; á) äâóì ýêçàìåíóþùèìñÿ íå âçÿòü íè îäíîãî òàêîãî áèëåòà. Îòâåò: à) P ( A) = á) P ( B ) =

4 = 0,25; 16 2 C12 2 C16

=

12!⋅ 2!⋅ 14! 11 = ≈ 0,55 2!⋅ 10!⋅ 16! 20

1.8. Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ çàäà÷è 1.7, îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ÷åòûðåõ ïåðâûõ ýêçàìåíóþùèõñÿ äâîå âîçüìóò áèëåòû ñ îòíîñèòåëüíî ëåãêèìè âîïðîñàìè. Îòâåò: Ð ( À ) =

2 Ñ 42 ⋅ Ñ12 4 Ñ16

=

99 ≈ 0,217. 455

11


1.9. Ïîëíàÿ êîëîäà êàðò (52 êàðòû) äåëèòñÿ ïîïîëàì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî ÷åðíûõ è êðàñíûõ êàðò â îáåèõ ïà÷êàõ áóäåò îäèíàêîâûì.

(Ñ ) Îòâåò: Ð ( À ) = 13 26

2

(26!) ≈ 0,22. 4 (13!) ⋅ 52! 4

=

26 Ñ 52

1.10. Ñðåäè 25 ñòóäåíòîâ ãðóïïû, â êîòîðîé 10 äåâóøåê, ðàçûãðûâàåòñÿ 5 áèëåòîâ. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè îáëàäàòåëåé áèëåòîâ îêàæóòñÿ äâå äåâóøêè. Îòâåò: Ð ( À ) =

3 2 Ñ15 ⋅ Ñ10

=

5 Ñ 25

195 ≈ 0,385. 506

1.11. Â ôèðìó ïîñòóïèëî 15 êîìïüþòåðîâ. Èçâåñòíî, ÷òî øåñòü èç íèõ íóæäàþòñÿ â îáùåé ðåãóëèðîâêå. Ìàñòåð áåðåò ïåðâûå ïîïàâøèåñÿ ïÿòü. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà èç íèõ íóæäàþòñÿ â îáùåé ðåãóëèðîâêå? Îòâåò: Ð ( À ) =

Ñ 93 ⋅ Ñ 62 5 Ñ15

60 . 143

=

1.12. Â ëèôò äåâÿòèýòàæíîãî äîìà íà ïåðâîì ýòàæå âîøëè ïÿòü ÷åëîâåê. Êàæäûé èç íèõ ñ îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ âûõîäèò íà ëþáîì ýòàæå, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) âñå ïàññàæèðû âûéäóò íà îäíîì è òîì æå ýòàæå; á) âñå âûéäóò íà øåñòîì ýòàæå; â) âñå âûéäóò íà ðàçíûõ ýòàæàõ. Îòâåò: à) Ð ( À ) = â) Ð ( Ñ ) =

8 5

8

56 5

8

= =

1 4

8

=

1 1 1 ; á) Ð ( Â ) = 5 = ; 4096 32768 8

7 . 4096

1.13. Â óñëîâèè çàäà÷è 1.12 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà îäíîì èç ýòàæåé âûéäóò òðè ÷åëîâåêà, à íà äðóãîì — äâà. Îòâåò: Ð ( À ) =

Ñ 53 ⋅ Ñ 81 ⋅ Ñ 71 85

.

2. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 2.1. Îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðèâåäåííûå â ï. 1.3 îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñâÿçàíû ñ îïðåäåëåííîé ñõåìîé è íåñóò â íåêîòîðîì ñìûñëå ïå÷àòü êîíêðåòíîñòè. Åñòåñòâåííî ñòðåìëåíèå èìåòü åäèíîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ïåðåéòè íà áîëåå âûñîêèé óðîâåíü àáñòðàêöèè, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé, îïðåäåëåííûõ ðàçëè÷íûì îáðàçîì. À. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 9 (êëàññè÷åñêîìó): 1) Âåðîÿòíîñòü åñòü ÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé, ò. å. 0 ≤ P ( A) ≤ 1. Â ñàìîì äåëå ýòî òàê. Åñëè ñîáûòèå À åñòü íåâîçìîæíîå, òî èìååì A = ∅ ⇒ P ( A) =

0 = 0 , à åñëè ñîáûòèå À åñòü äîñòîâåðíîå, n

n =1 . n Äëÿ äðóãèõ ñîáûòèé âåðîÿòíîñòü áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ ìåæäó ýòèìè äâóìÿ êðàéíèìè çíà÷åíèÿìè. 2) Âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ âñåãäà ðàâíà åäèíè-

òî èìååì A = Ω = B1 ∪ B2 ∪ .... ∪ Bn ⇒ P ( A) = P ( Ω ) =

öå, P ( Ω ) = 1. Ýòî ïîêàçàíî âûøå. 3) Âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé, ò. å. A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∪ B ) =

= P ( A) + P ( B ) . Â ñàìîì äåëå, èç n íåñîâìåñòèìûõ ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ ñîáûòèþ A ñîîòâåòñòâóåò m1 èç íèõ, à ñîáûòèþ B – m2 èç íèõ. Òîãäà îáúåäèíåíèþ A ∪ B ñîîòâåòñòâóåò m1 + ò2 èñõîäîâ èç n. Ïî îïðåäåëåíèþ 9 èìååì m1 + m2 m1 m2 = + = P ( A) + P ( B ) — ôîðìóëà ñëîn n n æåíèÿ âåðîÿòíîñòè. P( A ∪ B) =

13


4) Âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà 1 ìèíóñ âå-

( )

ðîÿòíîñòü èñõîäíîãî, ò. å. P A = 1 − P ( A). Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó n −m m = 1 − = 1 − P ( A). n n Èëè A ∪ A = Ω; P A ∪ A = P ( Ω ); P ( A) + P A = 1.

( )

P À =

(

)

( )

5) Âåðîÿòíîñòü ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ íå ïðåâîñõîäèò âåðîÿòíîñòü âñåãî ñîáûòèÿ, ò. å. A ⊂ B ⇒ P ( B ) ≥ P ( A).

(

)

Â ñàìîì äåëå, B = A ∪ A ∩ B. P ( B ) = P ( A ) + P A ∩ B ≥ P ( A ). Â. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 10 (ñòàòèñòè÷åñêîìó): ñâîéñòâà ýòîé âåðîÿòíîñòè î÷åâèäíî îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè ÷àñòîòû. ×àñòîòà ñîáûòèÿ w ( A) =

µ n

õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì:

1) ×àñòîòà ñîáûòèÿ åñòü ÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé, ò. å. 0 ≤ w ( A) ≤ 1 , ïîñêîëüêó äëÿ íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ m ðàâíî íóëþ, à äëÿ äîñòîâåðíîãî — n. 2) ×àñòîòà äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà åäèíèöå, ò. å. w ( Ω ) = 1 , ò. ê. äëÿ íåãî âñåãäà µ = n. 3) ×àñòîòà ñóììû äâóõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå ÷àñòîò ýòèõ ñîáûòèé, ò. å.

A ∩ B = ∅ ⇒ w ( A ∪ B ) = w ( A ) + w ( B ), т. к. w ( A ∪ B ) =

µ A + µB

. n 4) ×àñòîòà ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ðàçíîñòè ìåæäó åäèíèöåé è èñõîäíûì ñîáûòèåì. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü êàê

( )

w A = 1 − w ( A),

( )

т. к. A ↔ µ A , A ↔ n − µ A ⇒ w A =

14

n − µA = 1 − w ( A). n

2. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

Ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ 10 P ( A) = lim w ( A), òî î÷åâèän →∞

íî, ÷òî ñâîéñòâà ñòàòèñòè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè P ( A) àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì ÷àñòîòû (ìîæíî ýòîãî äàæå ïîòðåáîâàòü). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè èìåþò ìåñòî òå æå ñâîéñòâà: 1) 0 ≤ P ( A) ≤ 1 ; 2) P ( Ω ) = 1 ; 3) A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) — ôîðìóëà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé;

( )

4) P A = 1 − P ( A). Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Î÷åâèäíî ôîðìàëüíîå ñîâïàäåíèå ñâîéñòâ 1–4 âåðîÿòíîñòè îïðåäåëåíèé 9 è 10. Â ìàòåìàòèêå ïîêàçûâàåòñÿ è èõ ñîâïàäåíèå ñî ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè îïðåäåëåíèÿ 11. Âñå ýòî äàåò îñíîâàíèå ïåðåéòè îò ðàññìîòðåííûõ ÷àñòíûõ îïðåäåëåíèé ê îáùåìó àáñòðàêòíîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè êàê íåêîòîðîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå.

2.2. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî Ïîñòðîèì íåêîòîðóþ ôîðìàëüíóþ êîíñòðóêöèþ. Èç îïðåäåëåíèÿ 8 ï. 1.2 ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé åñòü ïîëíàÿ ãðóïïà íåðàçëîæèìûõ ñîáûòèé, ñóììà êîòîðûõ åñòü äîñòîâåðíîå ñîáûòèå Ω = {Bi }; i = 1, 2, ..., n ïðè èõ ïîïàðíîé íåñîâìåñòíîñòè, ò. å. B ∩ B = ∅, i ≠ j . Äàëåå, ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñèi j ñòåìà ïîäìíîæåñòâ F ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Bi . Ýëåìåíòû ýòîé ñèñòåìû F áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñëó÷àéíîå ñîáûòèå åñòü íåêîòîðàÿ êîìáèíàöèÿ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå). Ïóñòü ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ òàêîâà, ÷òî îíà âêëþ÷àåò ñóììó, ïðîèçâåäåíèå ñîáûòèé, ïðîòèâîïîëîæíîå, äîñòîâåðíîå è íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, ò. å. 1) A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F ; 2) A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F ; 15


3) A ∈ F ⇒ A ∈ F; 4) Ω ∈ F; 5) ∅ ∈ F. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ñîáûòèé, ïîðîæäåííûõ ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ, è ñîäåðæèò äîñòîâåðíîå è íåâîçìîæíîå ñîáûòèÿ. Òàêàÿ ñèñòåìà èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ F ñî ñâîéñòâàìè 1–5 íàçûâàåòñÿ σ-àëãåáðîé èëè áîðåëåâñêèì òåëîì ïîäìíîæåñòâ. Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A∈F îïðåäåëåíî íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ò. å. çàäàíà ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ P ( A) ñî ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè, òîãäà òðîéêà {Ω, F, P} íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì, à ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà P, îïðåäåëåííàÿ íà σ-àëãåáðå F, âåðîÿòíîñòüþ.

2.3. Àêñèîìàòèêà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ââåäåíèå ôóíêöèè P íà F äîëæíî ñîïðîâîæäàòüñÿ ââåäåíèåì íåêîòîðûõ ïðàâèë — àêñèîì ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ âåðîÿòíîñòè. À ê ñ è î ì à 1 . Ïóñòü èìååòñÿ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω = {Bi } è ïóñòü F — σ-àëãåáðà, òîãäà ëþáîé ýëåìåíò À èç σ-àëãåáðû F åñòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå. À ê ñ è î ì à 2 . Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ À èç σ-àëãåáðû F ñóùåñòâóåò ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ Ð ñî çíà÷åíèÿìè ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé, ò. å.

∀A ∈ F ∃P ( A) : 0 ≤ P ( A) ≤ 1 , êîòîðóþ íàçûâàþò âåðîÿòíîñòüþ. À ê ñ è î ì à 3 . Çíà÷åíèå ôóíêöèè îò äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíî åäèíèöå, ò. å. P ( Ω ) = 1. À ê ñ è î ì à 4 . Çíà÷åíèå ôóíêöèè äëÿ äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñîáûòèé ðàâíî ñóììå çíà÷åíèé ôóíêöèé îò ýòèõ äâóõ ñîáûòèé, ò. å.

A, B ∈ F; A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ). Çíà÷åíèå ôóíêöèè îò ñóììû ï íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñîáûòèé ðàâíî ñóììå çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè îò ñîáûòèé, ò. å.

{ An } ∈ F; Ai ∩ Aj = ∅ ⇒ P  ∪ An  = ∑ P ( An ). n

16



n

2. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

Ýòó àêñèîìó íàçûâàþò àêñèîìîé êîíå÷íîé, à åñëè n → ∞ — ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè. À ê ñ è î ì à 5 . Åñëè èìååòñÿ ñèñòåìà âëîæåííûõ ñîáûòèé ñ ÷èñëîì, ñòðåìÿùèìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, è òàêàÿ, ÷òî ïðîèçâåäåíèå èõ ñòðåìèòñÿ ê íåâîçìîæíîìó ñîáûòèþ, òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèé ðàâåí íóëþ, ò. å. ∞

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... и ∩ An = ∅ ⇒ lim P ( An ) = 0. n =1

n →∞

Ýòó àêñèîìó íàçûâàþò àêñèîìîé íåïðåðûâíîñòè. Ïðè ââåäåíèè àêñèîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñèñòåìà àêñèîì áûëà íåïðîòèâîðå÷èâà. Óêàçàííàÿ ñèñòåìà óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó òðåáîâàíèþ. Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Ñèñòåìà F ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ñîãëàñíî àêñèîìå 5, à ñèñòåìà àêñèîì 1–6 èìååò íåêîòîðûé ïðîèçâîë â çàäàíèè ôóíêöèè P, ïðîñòðàíñòâå Ω è â ýòîì ñìûñëå íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ïðèìåðû âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ: Ïðèìåð 1. Èãðà ñ áðîñàíèåì ìîíåòû.

Ω : {Ã .Ð .}

F : {∅, Ã , Ð , Ã ∪ Ð = Ω} 1 P : P( Ã ) = P ( Ð ) = . 2

Ïðèìåð 2. Áðîñàíèå êîñòè.

Ω : {1.2.3.4.5.6}

F : {множество подмножеств Ω} P : {P1.P2.P3.P4 .P5 .P6 }

Pi ≥ 0 и P1 + ... + P6 = 1 A = {i1,i2,....,ik}k≤6 → P ( A) = Pi1 + Pi2 + .... + Pik , k ≤ 6.

17

3. Îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 3.1. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü Íà âîçìîæíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A ìîæåò âëèÿòü íàñòóïëåíèå íåêîòîðîãî äðóãîãî ñîáûòèÿ B. Ýòà ñâÿçü âûðàæàåòñÿ ÷åðåç òàê íàçûâàåìóþ óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ïóñòü A è B — ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ïóñòü âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ Â ñòðîãî áîëüøå íóëÿ, ò. å. P ( B ) > 0. Òîãäà âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ B íàçûâàþò óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ, îáîçíà÷àþò ÷åðåç P ( A | B ) или PB ( A) è îïðåäåëÿþò ïî ïðàâèëó: PB ( A) =

P( A ∩ B) P( B)

.

Äðóãèìè ñëîâàìè, óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè ñîáûòèÿ B íàçûâàþò îòíîøåíèå P ( A ∩ B ) к P ( B ). Ïðèìåð. A ↔ m благоприятных исходов

 k  B ↔ l благоприятных исходов  ↔ PB ( A) = = l A ∩ B ↔ k благоприятных исходов  k P( A ∩ B) n = = . l P( B) n

Ââåäåííàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò îñíîâíûì àêñèîìàì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ïîýòîìó ïðèíèìàåòñÿ çà âåðîÿòíîñòü. Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü: 1) PB ( A) — åñòü ôóíêöèÿ îò A è äëÿ ëþáîãî A íåîòðèöàòåëüíà,

PB ( A) ≥ 0; 2) 0 ≤ PB ( A) ≤ 1, ïîñêîëüêó A ∩ B ⊂ B ⇒ P ( A ∩ B ) ≤ P ( B ); 18

3. Îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

3) PB ( Ω ) = 1, PB ( Ω ) =

P(Ω ∩ B) P( B)

P( B)

=

P( B)

= 1,

÷òî ñëåäóåò èç Ω ∩ B = B; 4) A ∩ C = ∅, òîãäà PB ( A ∪ C ) = =

P( A ∩ B) + P(C ∩ B) P( B)

(

P ( A ∪ C ) ∩ B) P( B)

)=

= PB ( A) + PB ( C ),

P  ∪ ( An ∩ B )  n = PB  ∪ An  =  P( B) n 

∑

P ( An ∩ B )

n

P( B)

=

∑ P ( A ). B

n

n

Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü PA ( B ) =

P( A ∩ B) P ( A)

. Ñîïîñòàâëåíèå PA ( B ) с PB ( A) ïðèâî-

äèò ê ôîðìóëå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé:

P ( A ∩ B ) = P ( B ) ⋅ PB ( A) = P ( A) ⋅ PA ( B ) Ïðèìåð. Â óðíå íàõîäÿòñÿ a áåëûõ øàðîâ è b ÷åðíûõ øàðîâ. Êàêîâà P (âåðîÿòíîñòü âûòàñêèâàíèÿ äâóõ ÷åðíûõ øàðîâ ïîäðÿä)? B — ïåðâîå âûòàñêèâàíèå ÷åðíîãî øàðà; A — âòîðîå âûòàñêèâàíèå ÷åðíîãî øàðà. P ( A ∩ B ) = P ( B ) ⋅ PB ( A) =

b b −1 ⋅ . a + b a + b −1

19


3.2. Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà Ò å î ð å ì à 1 (ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè). Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ, çàâèñÿùåãî îò ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó, ðàâíà ñóììå ïðîèçâåäåíèé âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé íà óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè èñõîäíîãî ñîáûòèÿ. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:

Если: 1) A1, A2 ,. .. . , An — полная группа событий   Ai ∩ Aj = ∅ при i ≠ j; A1 ∪ A2 ∪ .. .. ∪ An = Ω  ⇒ P ( B ) =  2) B — произв. сл. (завис. от Ai )  n

=

∑ P ( A )P i

i =1

Ai

( B ) — ôîðìóëà ïîëíîé çàâèñèìîñòè.

Äîêàçàòåëüñòâî.

{ Ai } — ïîëíàÿ ãðóïïà, ïîýòîìó èìååì n n  n ∪ Ai = Ω; B ∩ Ω = B ∩  ∪ Ai  = ∪ Ai ∩ B. i =1  i =1  i =1

(

)

Ïîñêîëüêó Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i ≠ j, òî è ( Ai ∩ B ) ∩ Aj ∩ B = ∅. Òîãäà ñ ó÷åòîì àêñèîìû àääèòèâíîñòè èìååì n

P ( B ∩ Ω ) = P ( B) = P ∪ ( Ai ∩ B) = i =1

n

∑ P ( A ∩ B). i

i =1

Íî ñîãëàñíî òåîðåìå óìíîæåíèÿ P ( Ai ∩ B ) = P ( Ai ) ⋅ PAi ( B ). Ñëåäîâàòåëüíî, P ( B ) =

n

∑ P ( A )P i

i =1

Ai

( B ).

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Ai íàçûâàþò èíîãäà ãèïîòåçàìè.

20


Ò å î ð å ì à 2 (ôîðìóëà Áàéåñà). Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè âûïîëíåíèÿ ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó, ò. å. ãèïîòåç, ïðè íàñòóïëåíèè ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ:

PB ( Ai ) =

PAi ( B ) ⋅ P ( Ai ) n

∑ P( A ) P i

i =1

Ai

( B)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ 1 è ôîðìóëå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì PB ( Ai ) =

P ( Ai ∩ B ) P( B)

=

PAi ( B ) ⋅ P ( Ai ) Т. 1 PAi ( B ) ⋅ P ( Ai ) = n . P( B) P ( Ai ) PAi ( B )

∑ i =1

Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Ôîðìóëà Áàéåñà äàåò îòâåò íà âîïðîñ: êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè íàñòóïëåíèè ñîáûòèÿ B íàñòóïèò Ai.

3.3. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ êàæäîãî èç íèõ íå çàâèñèò îò íàñòóïëåíèÿ äðóãîãî, ò. å.

PB ( A) = P ( A), оòêóäà P ( A ∩ B) = P ( A) ⋅ P ( B). Ò å î ð å ì à 3 . Åñëè äâà ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû, òî îíè íåçàâèñèìû è ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè è íåçàâèñèìû èõ ïðîòèâîïîëîæíûå. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü èíà÷å:

1) A и B   A, B — независимы ⇒ 2) A и B  независимы.  3) A и B 

21


Äîêàçàòåëüñòâî (äëÿ 1).

P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) — ïî îïðåäåëåíèþ 2 è óñëîâèþ òåîðåìû,

(

)

( )

P A ∩ B = P ( A) PA B — ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ, íî

( )

( )

( )

( )

P ( A) = P ( A) P ( B ) + P ( A) PA B ∴1 = P ( B ) + PA B ⇒ P B = PA B , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Òàê êàê òåîðåìà óìíîæåíèÿ ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíà íà n ñîáûòèé

P ( A1, A2 ,...., An ) = P ( A1 ) ⋅ PA1 ( A2 ) ⋅ PA1 A2 ( A3 ) ⋅⋅⋅⋅PA1 ⋅⋅⋅⋅ An−1 ( An ), òî äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé P ( A1, A2 ,...., An ) =

n

∏ P ( A ). i

i =1

Ò å î ð å ì à 4 . Âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé çà âû÷åòîì âåðîÿòíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé, ò. å.

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ). Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, èìååì

( ) ( ) B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ↔ P( B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B) A ∪ B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ↔ P( A ∪ B) = = P( A ∩ B) + P( A ∩ B) + P( A ∩ B) P ( A) + P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) ∴ A = ( A ∩ B ) ∪ A ∩ B ↔ P ( A) = P ( A ∩ B ) + P A ∩ B

//

P( À ∪ Â )

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ).

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ òðåõ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé:

P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) −

− P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ). 22


 n  Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé: P  ∪ Ai  = 1 − i = 1  

n

∏ P ( A ). i

i =1

3.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 3.1. Áðîñàþòñÿ äâå èãðàëüíûå êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå âûïàâøèõ ÷èñåë áóäåò: à) ÷åòíûì; á) êðàòíûì òðåì? Ðåøåíèå: à) À — ñîáûòèå íà 1-é êîñòè — ÷åòíîå ÷èñëî; ñîáûòèå Â — íà 2-é êîñòè – ÷åòíîå ÷èñëî, A ∪ B — õîòÿ áû íà îäíîé ÷åòíîå ÷èñëî. Òîãäà P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ); Ð ( À) = Ð (Â ) =

á) Ð ( À ) = Ð ( Â ) =

3 1 1 1 1 1 3 = ⇒ Ð ( À ∪ Â ) = + − ⋅ = = 0,75. 6 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 5 = ⇒ Ð(À ∪Â)= + − ⋅ = . 6 3 3 3 3 3 9

Ïðèìåð 3.2. Íà ýêñïåðòèçó ïîñòóïèë ïðîåêò ðåøåíèÿ, êîòîðûé áûë íàïðàâëåí îäíîâðåìåííî òðåì ýêñïåðòàì. Â ïðîåêòå èìååòñÿ ïðîòèâîðå÷èå. Âåðîÿòíîñòü åãî âûÿâëåíèÿ ïåðâûì ýêñïåðòîì 0,2; âòîðûì — 0,5; òðåòüèì — 0,6. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî îíî áóäåò âûÿâëåíî: à) òîëüêî ïåðâûì ýêñïåðòîì; á) õîòÿ áû îäíèì ýêñïåðòîì; â) âòîðûì è òðåòüèì ýêñïåðòàìè? Ðåøåíèå: à) Ïóñòü À1 — ñîáûòèå îáíàðóæèë ïåðâûé ýêñïåðò, À2 — âòîðîé è À3 – òðåòèé. Òîãäà À1 ∩ A2 ∩ À3 åñòü îöåíèâàåìîå ñî-

(

)

áûòèå À è Ð ( À ) = Ð À1 ∩ À2 ∩ À3 = 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ (1 − 0,6 ) = 0,04. á) Ïóñòü A1 ∪ A2 ∪ A3 = A — îöåíèâàåìîå ñîáûòèå. Íî ( À1 ∪ À2 ∪ À3 ) ∪ À = Ω, À = À1 ∪ À2 ∪ À3 = À1 ∩ À2 ∩ À3

23


(

)

( )

( ) ( ) ( )

Ð À ∪ À = Ð ( À) + Ð À = 1 ⇒ Ð ( À) = 1 − Ð À1 ⋅ Ð À2 ⋅ Ð À3 = = 1 − (1 − 0,2) ⋅ (1 − 0,5 ) ⋅ (1 − 0,6 ) = 0,84.

â) À1 ∩ À2 ∩ À3 = À — îöåíèâàåìîå ñîáûòèå.

(

)

Ð ( À ) = 1 − Ð ( À1 ) ⋅ ( ÐÀ2 ) ⋅ Ð ( À3 ) = (1 − 0,2 ) ⋅ 0,5 ⋅ 0,6 = 0,24.

Ïðèìåð 3.3. Íàçåìíàÿ ñèñòåìà îáùåñòâåííîãî òðàíñïîðòà ãîðîäà ñîñòîèò èç òðåõ âèäîâ òðàíñïîðòà: àâòîáóñîâ, òðîëëåéáóñîâ è òðàìâàåâ. Àâòîáóñû ñîñòàâëÿþò 50% âñåãî ïàðêà, òðîëëåéáóñû — 30%, òðàìâàè — 20%. Äîëÿ ýêñïëóàòèðóåìûõ ìàøèí, íå ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåáîâàíèÿì ïî òåõíè÷åñêîìó ñîñòîÿíèþ, ñîñòàâëÿåò ñîîòâåòñòâåííî 0,025; 0,020 è 0,015. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âçÿòîå íàóãàä òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî ïîëíîñòüþ èñïðàâíî? Ðåøåíèå: Ïóñòü Ài – âçÿòîå íàóãàä òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî è îòíîñèòñÿ ê i-ìó âèäó (i=1, 2, 3), à Â — òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî èñïðàâíî. Òîãäà Ð(À1) = 0,5; Ð(À2) = 0,3; Ð(À3) = 0,2. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè

Ðí 1 ( Â ) = 1 − 0,025 = 0,975, Ðí 2 ( Â ) = 1 − 0,020 = 0,980, Ðí 3 ( Â ) = 1 − 0,015 = 0,985,

Ð ( Â ) = Ð ( À1 ) ⋅ Ðí 1 ( Â ) + Ð ( À2 ) ⋅ Ðí 2 ( Â ) + Ð ( À3 ) ⋅ Ðí 3 ( Â ) = = 0,5 ⋅ 0,975 + 0,3 ⋅ 0,980 + 0,2 ⋅ 0,985 ≈ 0,98.

Ïðèìåð 3.4. Òî÷êè è òèðå ïðè òåëåãðàôå âñòðå÷àþòñÿ â îòíîøåíèè 5:3. Ïðè ïåðåäà÷å 2/5 ÷èñëà «òî÷åê» è 1/3 ÷èñëà «òèðå» èñêàæàþòñÿ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî íà âûõîäå áóäåò òî÷êà? Ðåøåíèå: À1 — ïåðåäàíà «òî÷êà», À2 — ïåðåäàíî «òèðå», Â — íà âûõîäå «òî÷êà». 5 3 2 3 1 Ð ( À1 ) = ; Ð ( À2 ) = ; Ðí 1 ( Â ) = 1 − = ; Ðí 2 ( Â ) = ; 8 8 5 5 3 5 3 3 1 1 Ð (Â ) = ⋅ + ⋅ = . 8 5 8 3 2

24


Ïðèìåð 3.5. Äâà þðèñòà ðàññìàòðèâàþò äîêóìåíò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, äåëàÿ ïî îäíîé ïðàâêå. Êâàëèôèêàöèÿ ïåðâîãî þðèñòà 0,8, à âòîðîãî — 0,4. Ñäåëàíà îäíà âåðíàÿ ïðàâêà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî âåðíóþ ïðàâêó ñäåëàë ïåðâûé þðèñò. Ðåøåíèå: À1 — îáà þðèñòà ñäåëàëè ïî íåâåðíîé ïðàâêå; À2 — îáà þðèñòà ñäåëàëè ïî âåðíîé ïðàâêå; À3 — ó ïåðâîãî þðèñòà âåðíàÿ ïðàâêà, ó âòîðîãî — íåâåðíàÿ; À4 — ó ïåðâîãî íåâåðíàÿ ïðàâêà, ó âòîðîãî âåðíàÿ.

P ( A1 ) = (1 − 0,8 )(1 − 0,4 ) = 0,12; P ( A2 ) = 0,8 ⋅ 0,4 = 0,32;

P ( A3 ) = 0,8 (1 − 0,4 ) = 0,48; P ( A4 ) = (1 − 0,8 ) ⋅ 0,4 = 0,08. Â – îäíà âåðíàÿ ïðàâêà.

Ðí1 ( Â ) = 0; Ðí2 ( Â ) = 0; Ðí3 ( Â) = 1; Ðí4 ( Â ) = 1; Ðå ( À1 ) =

0,48 ⋅ 1 6 = . 0,12 ⋅ 0 + 0,32 ⋅ 0 + 0,48 ⋅ 1 + 0,08 ⋅ 1 7

Çàäà÷è 3.1. Êóðñàíò ñäàñò çà÷åò ïî ñòðåëüáå, åñëè ïîëó÷èò îöåíêó íå íèæå 4. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü ñäà÷è çà÷åòà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êóðñàíò ïîëó÷àåò çà ñòðåëüáó 5 ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3 è 4 ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,6? Îòâåò: 0,9. 3.2. Â êîðîáêå ëåæàò 8 êðàñíûõ è 12 ñèíèõ êàðàíäàøåé. Íàóäà÷ó âûíèìàþò òðè êàðàíäàøà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ êðàñíûé? Îòâåò: ≈ 0,8. 3.3. Äîêóìåíò ïîñëåäîâàòåëüíî ïå÷àòàåòñÿ ÷åòûðüìÿ ìàøèíèñòêàìè íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Âåðîÿòíîñòü âíåñåíèÿ îøèáêè êàæäîé ìàøèíèñòêîé ðàâíà 0,01. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âûïóñêà äîêóìåíòà áåç îøèáîê? Îòâåò: ≈ 0,96. 3.4. Ïðè âêëþ÷åíèè äâèãàòåëü íà÷èíàåò ðàáîòàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí íà÷íåò ðàáîòàòü ñî âòîðîãî âêëþ÷åíèÿ? Îòâåò: 0,16. 25


3.5. Ìîíåòó áðîñàþò äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîÿâèòñÿ äâà ãåðáà èëè äâå ðåøêè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòðåáóåòñÿ íå áîëåå òðåõ áðîñàíèé. Îòâåò: 0,75. 3.6. ×åòûðå îõîòíèêà ñòðåëÿþò îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ïî áóéâîëó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóéâîë ïîäñòðåëåí, åñëè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äëÿ êàæäîãî îõîòíèêà ðàâíà 2/3? Îòâåò:

80 . 81

3.7. ×àñû èçãîòàâëèâàþòñÿ íà òðåõ çàâîäàõ è ïîñòóïàþò â ìàãàçèí. Ïåðâûé çàâîä ïðîèçâîäèò 40% ïîñòóïàþùåé ïðîäóêöèè, âòîðîé — 45%, òðåòèé — 15%. Â ïðîäóêöèè ïåðâîãî çàâîäà ñïåøàò 80% ÷àñîâ, ó âòîðîãî — 70%, ó òðåòüåãî — 90%. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êóïëåííûå â ýòîì ìàãàçèíå ÷àñû ñïåøàò? Îòâåò: 0,77. 3.8. Ãðóïïà ñòóäåíòîâ ñîñòîèò èç ïÿòè îòëè÷íèêîâ, øåñòè õîðîøî óñïåâàþùèõ è äâåíàäöàòè çàíèìàþùèõñÿ ñëàáî. Îòëè÷íèêè íà ýêçàìåíå ìîãóò ïîëó÷èòü òîëüêî îòëè÷íûå îöåíêè. Õîðîøî óñïåâàþùèå ñòóäåíòû ìîãóò ïîëó÷èòü ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ õîðîøèå è îòëè÷íûå îöåíêè. Ñëàáî çàíèìàþùèåñÿ ìîãóò ïîëó÷èòü ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ õîðîøèå, óäîâëåòâîðèòåëüíûå è íåóäîâëåòâîðèòåëüíûå îöåíêè. Äëÿ ñäà÷è ýêçàìåíà íàóãàä âûçûâàåòñÿ îäèí ñòóäåíò. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí ïîëó÷èò õîðîøóþ èëè îòëè÷íóþ îöåíêó. Îòâåò:

15 . 23

3.9. Èç äåñÿòè ìîíåò ÷åòûðå ïîääåëüíûå. Ïîääåëüíàÿ ìîíåòà ëåã÷å íîðìû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3, à íåïîääåëüíàÿ ìîíåòà ëåã÷å íîðìû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,1. Âçÿòàÿ íàóäà÷ó ìîíåòà îêàçàëàñü ëåã÷å íîðìû. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà ïîääåëüíàÿ. Îòâåò:

2 . 3

3.10. Òðè ñòðåëêà îäíîâðåìåííî âûñòðåëèëè, è â ìèøåíè îáíàðóæåíû äâå ïóëè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåòèé ñòðåëîê 26

4. Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ è ñõåìà Áåðíóëëè. Ïîíÿòèå î öåïÿõ Ìàðêîâà

ïîðàçèë ìèøåíü, åñëè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà ðàâíà 0,6, äëÿ âòîðîãî — 0,5, à äëÿ òðåòüåãî — 0,4. 10 . 19 3.11. Ïðîèçâîäèòñÿ îòáîð ýêñïåðòîâ èç äåñÿòè ÷åëîâåê, âêëþ÷àþùèõ òðåõ ýêñïåðòîâ âûñøåé êâàëèôèêàöèè, ÷åòûðåõ — ïåðâîé êàòåãîðèè, äâóõ — âòîðîé êàòåãîðèè è îäíîãî — òðåòüåé êàòåãîðèè. Èìååòñÿ äâàäöàòü êîíòðîëüíûõ âîïðîñîâ. Ýêñïåðò âûñøåé êâàëèôèêàöèè ìîæåò îòâåòèòü íà âñå âîïðîñû, ïåðâîé êàòåãîðèè — íà 16 âîïðîñîâ, âòîðîé — íà 10 âîïðîñîâ è òðåòüåé — íà 5. Âûçâàííûé íàóãàä ýêñïåðò îòâåòèë íà 3 ïðîèçâîëüíî çàäàííûõ âîïðîñà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòîò ýêñïåðò èç âûñøåé êàòåãîðèè? Îòâåò: ≈ 0,58.

Îòâåò:

4. Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ è ñõåìà Áåðíóëëè. Ïîíÿòèå î öåïÿõ Ìàðêîâà 4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2 ï. 3.3 ñîáûòèå A íå çàâèñèò îò ñîáûòèÿ B, åñëè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A íå ìåíÿåòñÿ îò ïîÿâëåíèÿ èëè íåïîÿâëåíèÿ B. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Îñóùåñòâëåíèå êîìïëåêñà óñëîâèé S íà ïðàêòèêå íàçûâàþò èñïûòàíèåì (ýêñïåðèìåíòîì èëè îïûòîì). Íåîäíîêðàòíîå ïîâòîðåíèå èñïûòàíèé íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èñïûòàíèé. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Èñïûòàíèÿ E1, E2,...., En íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòü òîãî èëè èíîãî èñõîäà êàæäîãî èñïûòàíèÿ íå çàâèñèò îò èñõîäîâ äðóãèõ èñïûòàíèé. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ ìîãóò ïðîèçâîäèòüñÿ êàê ïðè îäèíàêîâîì êîìïëåêñå óñëîâèé S, òàê è ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ Si. Â ïåðâîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A âî âñåõ èñïûòàíèÿõ îäíà è òà æå, âî âòîðîì — ìåíÿåòñÿ îò èñïûòàíèÿ ê èñïûòàíèþ. Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ïóñòü èìååòñÿ {En } — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé è A åñòü íåêîòîðîå ñîáûòèå, òîãäà óñïåõîì íàçûâàþò êàæäîå íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ A â ýòîé ïîñëåäîâà27


òåëüíîñòè èñïûòàíèé è íåóñïåõîì — íàñòóïëåíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ A. Ñõåìà Áåðíóëëè. Ïóñòü p — âåðîÿòíîñòü óñïåõà (A), à q = (1 − p ) — âåðîÿòíîñòü íåóñïåõà; ïóñòü òàêæå Pn ( m ) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñåðèè n èñïûòàíèé áóäåò ðîâíî m óñïåõîâ. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à: îïðåäåëèòü Pn ( m ). Èìååì: A, A A, A, A,...., A ,....,

( n − m ) раз

m раз

p, p, .... , p q, q,...., q pm ⋅ qn −m (â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé)

Äðóãèå êîìáèíàöèè ñåðèè, î÷åâèäíî, áóäóò èìåòü òàêóþ æå âåðîÿòíîñòü. Âñåãî êîìáèíàöèé áóäåò Cnm. Òîãäà â ñèëó íåñîâìåñòíîñòè êîìáèíàöèé îáùàÿ âåðîÿòíîñòü: Pn ( m ) = Cnm pm qn −m

Pn ( m )

Pn ( m ≥ ) =

n

∑

k= m

Pn ( k) = 1 −

m −1

∑ P (k) n

k= 0

Pn (1) = 1 − qn — õîòÿ áû 1 ðàç

0

1 2 3..........m

n

4.2. Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé Ó ò â å ð æ ä å í è å 1 . Â ñåðèè èç ï íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñóùåñòâóåò íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ m0 ñîáûòèÿ À, îïðåäåëÿåìîå èç íåðàâåíñòâà, ò. å. 28


n — независимых испытаний  существует наивероятнейшее  A — событие, р — вер. успеха  ⇒ число успехов  m : np − q ≤ m ≤ np + p. q — вер. неуспеха 0 0  Äîêàçàòåëüñòâî: Pn ( m )

Pn ( m + 1) =

=

Cnm ⋅ pm ⋅ qn − m Cnm +1 ⋅

p

m +1

n − m −1

⋅q

=

n !( m + 1) !( n − m − 1) ! q ⋅ = m !( n − m ) ! n ! p

m − ( np − q) m +1 q mq + q − np + mp ⋅ +1−1 = 1+ = 1+ . n−m p (n − m) p (n − m) p

Ñëó÷àè:

1) m < ( np − q) ⇒ Pn ( m ) < Pn ( m + 1)

2) m > ( np − q) ↔ m + 1 > np + p ⇒ Pn ( m ) > Pn ( m + 1)

Òîãäà íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî m0 äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü Pn (m) → 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, Pn (m + 1) np − q ≤ m0 ≤ np + p ⇒ p −

m q m0 p q p ≤ ≤ p + ∴ lim 0 = p, ãäå , →0 n n n n →∞ n n n

ïðè n→+∞.

Pn ( m )

m0

n

n

29


4.3. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû ñõåìû Áåðíóëëè Ò å î ð å ì à 1 (ß. Áåðíóëëè). n — независимых испытаний  m  '  ⇒ ∀ε > 0. lim P  − p > ε  = 0 n →∞  n m — число успехов события A 

Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé âåðîÿòíîñòü óêëîíåíèÿ îòíîøåíèÿ ÷èñëà óñïåõîâ ê ÷èñëó èñïûòàíèé îò âåðîÿòíîñòè óñïåõà p ñîáûòèÿ A ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî (ñì. ëèòåðàòóðó). Ò å î ð å ì à 2 (ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà–Ëàïëàñà). n — независимых испытаний m — число успехов события A

   ⇒ p, q — вер. успеха и неуспеха ( A)   n→∞  2 m −np ) ( − 1 2npq = lim Pn ( m ) : n →∞ 2π npq

å

= 1∴ Ð n ( m ) ≅

1 2π npq

å

−

( m −np )2   1  2npq  1 + O      n  

Ýòî çíà÷èò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ÷èñëà óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè â ïðåäåëå îïèñûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì äèñêðåòíûì ïîëèíîìîì Ãàóññà. Çàìå÷àíèå 2.

a
0 è Pii ( n ) = 0 ïðè n ≠ kT, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå Ei íàçûâàåòñÿ íåïåðèîäè÷åñêèì. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 1 . Öåïü íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíîé, åñëè ñèñòåìà ìîæåò ïåðåéòè â ëþáîå ñîñòîÿíèå äëÿ âûáðàííîãî ÷èñëà øàãîâ, ò. å. ∃ s ≥ 1, Pij ( s ) > 0 äëÿ ∀i, j = 1, 2,..., k. Ò å î ð å ì à (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Åñëè ïðîñòàÿ è îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà òðàíçèòèâíà, òî äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ Ei â ñîñòîÿíèå Ej çà ï øàãîâ Pij ( n ) ñóùåñòâóåò ïðåäåë, ðàâíûé âåðîÿòíîñòè Pj, íå çàâèñÿùèé îò íà÷àëà, ò. å. lim Pij ( n ) = Pj . n →∞

35


Ïî ñóùåñòâó, ýòà òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî íàñòîÿùåå íå çàâèñèò îò «ãëóáîêîãî» ïðîøëîãî, èëè ÷òî çàâèñèìîñòü íàñòîÿùåãî îò ïðîøëîãî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îñëàáåâàåò.

4.5. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 4.1. Èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë íàóäà÷ó âûïèñàíû 200 äâóçíà÷íûõ ÷èñåë (îò 0 äî 99). Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ ÷èñëî 33 âñòðå÷àåòñÿ òðè ðàçà. Ðåøåíèå:

Pn ( m ) = Cnm pm qn −m ; n = 200; m = 3; p =

1 = 0,01; q = 0,99 ⇒ 100

3 Pn ( m ) = C200 ⋅ 0,013 ⋅ 0,99197 ≈ 0,18.

Ïðèìåð 4.2. Â ñèñòåìå êîíòðîëÿ îêðóæàþùåé ñðåäû â çàäàííîì ðàéîíå ïðîèçâîäèòñÿ ïÿòü íåçàâèñèìûõ çàáîðîâ ïî÷âû ñ âåðîÿòíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ îòðàâëÿþùèõ âåùåñòâ 0,6. Äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ îá îáúÿâëåíèè ðàéîíà îïàñíîé çîíîé òðåáóåòñÿ íå ìåíåå òðåõ îáíàðóæåíèé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ðàéîí áóäåò îáúÿâëåí îïàñíîé çîíîé? Ðåøåíèå:

Pn ( ≥ m ) = 1 −

m −1

∑ P ( k). n

k=0

ò5 ( ≥ 3) = 1 − Ñ50 ð0 q5 − C51 p ⋅ q4 − C52 p2q3 = 1 − 1 ⋅ 0,60 ⋅ 0,45 − −5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,44 − 10 ⋅ 0,62 ⋅ 0,43 ≅ 0,761. Ïðèìåð 4.3. Ïðè ïåðåäà÷å èíôîðìàöèè ïî çàäàííîìó êàíàëó ñâÿçè âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ êàæäîãî äîíåñåíèÿ ðàâíà 0,02. Âñåãî ïåðåäàíî ÷åòûðå äîíåñåíèÿ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè ïåðåäàííûõ äîíåñåíèé áóäåò íå áîëåå îäíîãî èñêàæåíèÿ?

36


Ðåøåíèå:

Pn ( ≤ m ) =

m−1

∑ P (k). n

k=0

Ð4 ( ≤ 1) = Ñ40 ⋅ 0,020 ⋅ 0,984 + Ñ41 ⋅ 0,02 ⋅ 0,983 = = 1 ⋅ 1 ⋅ 0,984 + 4 ⋅ 0,02 ⋅ 0,983 ≅ 0,995. Ïðèìåð 4.4. Ñàìîëåò Ì×Ñ ïðîâîäèò îïåðàöèþ ïî òóøåíèþ ëåñíîãî ïîæàðà. Ñáðîøåíî ïÿòü âîäÿíûõ êîíòåéíåðîâ ñ âåðîÿòíîñòüþ ïîïàäàíèÿ êàæäîãî â çîíó îãíÿ 0,7. Îïðåäåëèòü íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî êîíòåéíåðîâ, ïîïàâøèõ íåïîñðåäñòâåííî â çîíó îãíÿ. Ðåøåíèå: np – q≤ m0 ≤ np + p; n = 5; p = 0,7; q = 1 – 0,7=0,3; 5⋅0,7 – 0,3 ≤ m0≤ 3,5 + 0,7 ⇒ m0 = 4.

Çàäà÷è 4.1. Â áèáëèîòåêå èìåþòñÿ êíèãè òîëüêî ïî ãóìàíèòàðíûì è åñòåñòâåííî-íàó÷íûì äèñöèïëèíàì. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëþáîé ÷èòàòåëü âîçüìåò êíèãó ïî ãóìàíèòàðíûì è åñòåñòâåííî-íàó÷íûì äèñöèïëèíàì ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî 0,7 è 0,3. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïÿòü ÷èòàòåëåé ïîäðÿä âîçüìóò êíèãè èëè òîëüêî ãóìàíèòàðíûå èëè òîëüêî åñòåñòâåííî-íàó÷íûå, åñëè êàæäûé áåðåò îäíó êíèãó. Îòâåò: 0,17. 4.2. ×òî âåðîÿòíåå — âûèãðàòü ó ðàâíîñèëüíîãî ïðîòèâíèêà: à) òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ èëè ïÿòü èç âîñüìè; á) íå ìåíåå òðåõ ïàðòèé èç ÷åòûðåõ èëè íå ìåíåå ïÿòè ïàðòèé èç âîñüìè? Íè÷åéíûé ðåçóëüòàò èñêëþ÷àåòñÿ. Îòâåò: à) á)

1 7 и — âåðîÿòíåå âûèãðàòü òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ; 4 32

5 93 и — âåðîÿòíåå âûèãðàòü íå ìåíåå ïÿòè ïàðòèé èç âîñüìè. 16 256

4.3. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè 10 áðîñàíèÿõ èãðàëüíîé êîñòè äâà ðàçà âûïàäóò 6 î÷êîâ? Îòâåò: ≈ 0,29. 37


4.4. Ìîíåòó áðîñàþò 100 ðàç. Ñêîëüêî ðàç âåðîÿòíåå âñåãî âûïàäåò ïðè ýòîì ãåðá? ×åìó ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíà ýòà âåðîÿòíîñòü? Îòâåò: 50 ðàç; P = 0,0796. 4.5. Â ñåìüå äåñÿòü äåòåé. Ñ÷èòàÿ âåðîÿòíîñòè ðîæäåíèÿ ðàâíûì 0,5, îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äàííîé ñåìüå: à) ïÿòü ìàëü÷èêîâ; á) ìàëü÷èêîâ íå ìåíåå òðåõ, íî íå áîëåå âîñüìè. Îòâåò: à)

63 997 ; á) . 256 1024

4.6. Îïòîâàÿ áàçà ñíàáæàåò 12 ìàãàçèíîâ, îò êàæäîãî èç êîòîðûõ ìîæåò ïîñòóïèòü çàÿâêà íà î÷åðåäíîé äåíü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,4, íåçàâèñèìî îò çàÿâîê äðóãèõ ìàãàçèíîâ. Íàéòè íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî çàÿâîê â äåíü. Îòâåò: 5 çàÿâîê.

5. Cëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ õàðàêòåðèñòèêè 5.1. Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ 1)

2)

38

Èíòóèòèâíûå (ñîäåðæàòåëüíûå) ïðåäñòàâëåíèÿ: Ïîä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ïîíèìàþò âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíÿòü òî èëè èíîå çíà÷åíèå, ïðè÷åì íåèçâåñòíî çàðàíåå, êàêîå èìåííî. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà, çíà÷åíèå êîòîðîé åñòü ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå èñõîäîì íåêîòîðîãî ýêñïåðèìåíòà. Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ìîæíî îïðåäåëèòü òàê æå, êàê ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ îò ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò êîëè÷åñòâåííûé ðåçóëüòàò èñïûòàíèÿ. Ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: à) îñòàòîê âêëàäà ïî âûáðàííîìó íàóäà÷ó ëèöåâîìó ñ÷åòó; á) ÷èñëî âûçîâîâ íà òåëåôîííîé ñòàíöèè; â) ïðîäîëæèòåëüíîñòü îáñëóæèâàíèÿ ïîêóïàòåëÿ è ò. ä. Âñÿêîå ñîîòíîøåíèå, óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ñîîòâåòñòâóþùèìè

5. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ õàðàêòåðèñòèêè

èì âåðîÿòíîñòÿìè íàçûâàþò çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ôóíêöèþ, âûðàæàþùóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèìåò çíà÷åíèå ìåíüøå, ÷åì çàäàííîå ÷èñëî x, íàçûâàþò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è îáîçíà÷àþò ÷åðåç F ( x ) = P{X < x}. Òåîðåòè÷åñêèå (ôîðìàëüíûå) ïðåäñòàâëåíèÿ: Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ïóñòü {Ω, F, P} — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, ãäå Ω = {ω} — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé êàê òî÷å÷íîå ìíîæåñòâî, è ïóñòü X = f (ω ) åñòü íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ îò ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ, äëÿ êîòîðîé îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòü P {ω : f (ω ) < x} = P {X < x}. Òîãäà ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ X = f (ω ) íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, à ôóíêöèÿ F ( x ) = P{X < x} äëÿ

∀x ∈ ( −∞,∞ ) ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Â îïðåäåëåíèè 1 ìíîæåñòâî {ω : f (ω ) < x} ⊂ F ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: 1) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 (â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè êàê âåðîÿòíîñòè). 2) x2 > x1 ⇒ F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) F ( x2 ) = P{X < x} = P{X < x1 } + P{x1 ≤ X < x2 } ⇒ F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) ≥0 F ( x1 )

è P{x1 ≤ X < x2 } = F(x2 ) − F(x1 ). 3) F ( x ) = F ( x − 0 ) — ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ñëåâà (áåç äîêàçàòåëüñòâà). 4) F ( −∞ ) = 0; F ( +∞ ) = 1 — î÷åâèäíî. 39


5.2. Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îáû÷íî çàäàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ èëè òàáëèöåé çíà÷åíèé ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñòÿìè

X1 X2 X3 ....Xn P1 P2 P3 .... Pn

n

, где

∑ P = 1. i

i =1

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Åñëè äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàåòñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ (òàáëèöåé), òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòî:

0, X ≤ x1   < P , x 1 1 X ≤ x2  F (x) =   P + .... + P , x ≤ x ≤ x k k k+1  1 xn < x < +∞  1 ,

Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ. Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî èíòåðâàëà (a, b) è ñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ p ( x ) ≥ 0 òàêàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ëþáîé èíòåðâàë îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò ýòîé β

ôóíêöèè, ò. å. ∀α è β : a ≤ α < β ≤ b, P{α ≤ X ≤ β } = p ( x ) dx,

∫

α

40

5. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ õàðàêòåðèñòèêè ∞

ïðè÷åì

∫ p ( x ) dx = 1.

−∞

Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ p(x) èç îïðåäåëåíèÿ 3 íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. ∞

Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Î÷åâèäíî, òðåáîâàíèå

∫ p ( x ) dx = 1 â îïðåäå-

−∞

ëåíèè 3 îçíà÷àåò lim p ( x ) = 0. Òîãäà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàx→±∞

öèÿ p(x) ñëåäóþùàÿ: ïëîùàäü ïîä êðèâîé ðàâíà åäèíèöå. Ç à ì å ÷ à í è å 5 . Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé íóëþ.

Ç à ì å ÷ à í è å 6 . Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé âî âñåõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà (a, b) è ñâÿçàíà ñ ïëîòíîñòüþ ñîîòíîøåíèÿìè: F (x) =

x

∫ p (t)dt; F′( x ) = p ( x ), ò. å. ïëîòíîñòü åñòü ïðîèçâîäíàÿ îò

−∞

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. β

Î÷åâèäíî òàêæå: P{α ≤ X ≤ β } = F ( β ) − F (α ) = p ( x ) dx.

∫

α

41


5.3. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 5.1. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé òðè áåëûõ øàðà è ïÿòü ÷åðíûõ øàðîâ, íàóãàä èçâëåêàþò òðè øàðà. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà m — ÷èñëî âûíóòûõ ÷åðíûõ øàðîâ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû m. Ðåøåíèå: ÷èñëî âûíóòûõ ÷åðíûõ øàðîâ m ìîæåò ïðèíèìàòü ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: 0, 1, 2, 3. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè òðåõ âûíóòûõ øàðîâ íå áóäåò ÷åðíûõ, ðàâíà:

P0 =

C33 C83

=

C2 ⋅ C1 15 3!⋅ 5! 1 = ; îäèí ÷åðíûé øàð P1 = 3 3 5 = ; 8! 56 56 C8

äâà ÷åðíûõ P2 =

C31 ⋅ C52 C83

=

C3 15 5 è òðè ÷åðíûõ P3 = 53 = . 28 C8 28

Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä: 0

m Ðm

1

1 15

/56

2 15

/56

3 5

/28

/28

Ïðèìåð 5.2. Äàí çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Õi

–2

0

2

3

Ði

0,1

0,5

0,3

0,1

Ñîñòàâèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1= 6–3X, Y2=X2. Ðåøåíèå: Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y1: -3; 0; 6 è 12. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y1 èìååò âèä:

42

Yi

–3

0

6

12

Pi

0,1

0,3

0,5

0,1

5. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ õàðàêòåðèñòèêè

Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y2=X2 èìååò âèä: Yi

0

4

9

Pi

0,5

0,4

0,1

Çàäà÷è 5.1. Ýêçàìåíàòîð çàäàåò íå áîëåå òðåõ äîïîëíèòåëüíûõ âîïðîñîâ ñòóäåíòó. Ýêçàìåí ñ÷èòàåòñÿ íåñäàííûì è çàêàí÷èâàåòñÿ, êàê òîëüêî ýêçàìåíàòîð íå ïîëó÷àåò îòâåòà íà î÷åðåäíîé âîïðîñ. Âåðîÿòíîñòü îòâåòà ñòóäåíòîì íà ëþáîé âîïðîñ ýêçàìåíàòîðà ðàâíà 0,6. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî çàäàííûõ âîïðîñîâ. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îòâåò: mi

1

2

3

Pi

0,4

0,24

0,36

5.2. Ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ âîïðîñîâ. Íà êàæäûé âîïðîñ äàíû òðè âîçìîæíûõ îòâåòà, ñðåäè êîòîðûõ íåîáõîäèìî âûáðàòü îäèí ïðàâèëüíûé. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âîïðîñîâ, íà êîòîðûå ïîëó÷åí ïðàâèëüíûé îòâåò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü Ð òîãî, ÷òî ìåòîäîì ïðîñòîãî óãàäûâàíèÿ óäàñòñÿ îòâåòèòü ïî êðàéíåé ìåðå íà òðè âîïðîñà? Îòâåò: mi

0

Ði

16

1 /81

32

2 /81

24

/81

3

4

8

1

/81

/81

Ð=1/9. 5.3. Àêàäåìèÿ çàêóïèëà 500 ñòóëüåâ. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ïåðåâîçêå ñòóëüåâ ñî ñêëàäà â àêàäåìèþ áóäåò ñëîìàí êàêîé-ëèáî ñòóë ðàâíà 0,01. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) áóäåò ñëîìàíî ðîâíî 3 ñòóëà; á) ìåíåå 3 ñòóëüåâ; â) õîòÿ áû îäèí? Îòâåò: 0,139; 0,124; 0,04.

43


5.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàíà ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè: x1  0

Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå (0,25; 0,75). Îòâåò:  0 x x 1 1 

5.5. Íà øîññå óñòàíîâëåí êîíòðîëüíûé ïóíêò ïî ïðîâåðêå òåõíè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ìàøèí. Íàéòè âåðîÿòíîñòü âðåìåíè îæèäàíèÿ î÷åðåäíîé ìàøèíû áîëüøåãî ÷åì 10 ìèí., åñëè âðåìÿ ìåæäó ïðîõîæäåíèåì ìàøèí ðàñïðåäåëåíî ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ð(t)=0,2e–0,2t. Îòâåò: P=e–2. 5.6. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (áåçîòêàçíîé ðàáîòû íåêîòîðîãî ïðèáîðà) ðàâíà: F ( x ) = 1 − e

−x

T

( x > 0 ).

Íàéòè âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà çà âðåìÿ x>3T. Îòâåò: 0,05.

6. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îñíîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 6.1. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íåïðå44

6. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îñíîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ

ðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû) ÿâëÿåòñÿ èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èíîãäà íà ïðàêòèêå óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ðàññìàòðèâàþò äâå ãðóïïû õàðàêòåðèñòèê. I. Õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ 1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ñðåäíåå, öåíòð ðàñïðåäåëåíèÿ). Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü {Ω, F, P} — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è X = f (ω ) — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Òîãäà âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó

∫

f (ω ) dP =

Ω

∞

∫ xdF ( x ) è îáîçíà÷àåìàÿ ÷åðåç ÅÕ, íàçûâà-

−∞

åòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, ïðè÷åì F(x) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. +∞

Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû EX =

∫ xp ( x )dx, à äëÿ

−∞

n

äèñêðåòíîé EX =

∑Χ P. i i

i =1

Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ EX: 1) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû ðàâíî ñàìîé ïîñòîÿííîé, ò. å. Ñ — const ⇒ EC = C. ∞

Â ñàìîì äåëå, C =

∫ CdF ( x ) = C.

−∞

2) Ïîñòîÿííóþ ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ò. å. C —const ⇒ ECX = CEÕ. ∞

Â ñàìîì äåëå, EÑ =

∫ CxdF ( x) = ÑEÕ.

−∞

3) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ò. å. X, Y — íåçàâèñèìûå ⇒ E ( X + Y ) = EX + EX .

45


Â ñàìîì äåëå, ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∫ ∫ ( x + y) dF ( x ) dF ( y) = ∫ xdF ( x ) + ∫ ydF ( y) = EX + EY. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áóäåò äàíî â ðàçäåëå 8 «Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí». Ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóåò èç íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. 4) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, ò. å. X, Y — íåçàâèñèìûå ⇒ E ( XY ) = EX ⋅ EY. 2.

Íà÷àëüíûé ìîìåíò k-ãî ïîðÿäêà. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Â óñëîâèÿõ îïðåäåëåíèÿ 1 âåëè÷èíà, îïðå∞

äåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó α k =

∫ x dF ( x ), íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì ìîk

−∞

ìåíòîì k-ãî ïîðÿäêà. Î÷åâèäíî, αk = EX k, äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó+∞

÷àéíûõ âåëè÷èí α k =

∫x

k

p ( x ) dx, à äëÿ äèñêðåòíûõ α k =

∑X

k i Pi .

i

−∞

Îñíîâíîå ñâîéñòâî: åñëè ñóùåñòâóåò íà÷àëüíûé ìîìåíò k-ãî ïîðÿäêà, òî ñóùåñòâóþò è âñå íà÷àëüíûå ìîìåíòû ìåíüøåãî ïîðÿäêà, ò. å. ∃α k ⇒ ∃ α1,α 2 ,....,α k−1.

1.

II. Õàðàêòåðèñòèêè ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Äèñïåðñèÿ Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Â óñëîâèÿõ îïðåäåëåíèÿ 1 ï. 6.1 âåëè÷è∞

íà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó

∫ ( x − EX )

2

dF ( x ) è îáîçíà÷àåìàÿ ÷å-

−∞

ðåç DX, íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí DX = ðåòíûõ DX =

∑ ( X − EX ) P . 2

i

i

46

i

∫ ( x − EX )

2

p ( x ) dx, à äëÿ äèñê-


Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Äèñïåðñèÿ åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå 2 êâàäðàòà óêëîíåíèÿ îò ñðåäíåãî, ò. å. DX = E ( X − EX ) . Ñâîéñòâà äèñïåðñèè DX: 1) Äèñïåðñèÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû ðàâíà íóëþ: DC = 0. 2) Ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà âûíîñèòñÿ èç-ïîä çíàêà äèñïåðñèè â êâàäðàòå: D ( CX ) = C2 DX; D ( − X ) = DX. 3) Äèñïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé ýòèõ âåëè÷èí, ò. å. X, Y — íåçàâèñèìûå

⇒ D ( X + Y ) = DX + DY. 4) Ñëîæåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé íå èçìåíÿåò äèñïåðñèè, ò. å. D ( X + C ) = DX. Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà y ≡ åòñÿ íîðìèðîâàííûì óêëîíåíèåì, à âåëè÷èíà íûì óêëîíåíèåì. Ey = 0, à Dy = 1. 2.

X − EX

íàçûâà-

DX

DX — ñòàíäàðò-

Öåíòðàëüíûé ìîìåíò k-ãî ïîðÿäêà Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Â óñëîâèÿõ îïðåäåëåíèÿ 1 ï. 6.1 âåëè÷è∞

íà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó

∫ ( x − EX )

k

dF ( x ) è îáîçíà÷àåìàÿ

−∞

÷åðåç µk , íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì k-ãî ïîðÿäêà. k Äðóãèìè ñëîâàìè, µk = E ( X − EX ) . Î÷åâèäíî, µ1 = 0, µ2 = DX. Ñâÿçü ìåæäó öåíòðàëüíûìè è íà÷àëüíûìè ìîìåíòàìè k

µk =

∑ C ( −1) l k

k−l

α1k−l ⋅ α l .

l =0

3.

Àñèììåòðèÿ Àñèììåòðèÿ — ýòî âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ÷åðåç A ≡

µ3 3

.

µ2 2

Îíà õàðàêòåðèçóåò «ñêîøåííîñòü» ðàñïðåäåëåíèÿ.

47


4.

Ýêñöåññ Ýêñöåññ — ýòî âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ êàê E ≡

µ4 − 3. Îíà õàµ22

ðàêòåðèçóåò «êðóòèçíó» ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Â îïðåäåëåíèÿõ 1–5 õàðàêòåðèñòèêè ñóùåñòâóþò, åñëè èíòåãðàëû ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî. 5. Ìîäà Ìî åñòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìóìó ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò. å. max p(x) = p(Mo), è íàèáîëüøåìó çíà÷åíèþ âåðîÿòíîñòè äëÿ äèñêðåòíîé. 6. Ìåäèàíà Ìå åñòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, âåðîÿòíîñòè áûòü áîëüøå è ìåíüøå êîòîðîé äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ îäèíàêîâû è ðàâíû îäíîé âòîðîé, ò. å.

P{X < Me} = Âåð{X > Me} =

1 = F ( Me ). 2

6.2. Îñíîâíûå äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 1.

Âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå: à) Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ P( X = a) = 1. 0, x < a á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =  . 1, x ≥ a

2.

â) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå EX= p. ã) Äèñïåðñèÿ DX = pq. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå: à) Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ P ( X = m ) = Cnm pm qn −m. // Pn ( m )

48


  á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =   

0, x < 0

∑C

m m n −m , n p q

1, x > n

n

â) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå EX =

x ≤ n.

∑ mC

m m n −m n p q

= np.

m =1

ã) Äèñïåðñèÿ DX = npq.

3.

Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå (âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ íà m-ì èñïûòàíèè): à) Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ P ( x = m ) = pqm ; m = 0, 1, 2,...

  á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =   

∑ pq


1− p . p

0

, m −1

1

x<m

, x ≥ m < n. ,

x≥n


ã) Äèñïåðñèÿ DX =

4.

1− p p2

.

Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà: à) Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ P{X = k} =

λk k!

   á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =    

e−λ .

0, x < 0

λ

k

∑ k! e λ , x ≥ 0, k < x. −

k

1, x → +∞

â) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

EX =

∞

∑ k=1

k

λk k!

e−λ = λ ⋅ e−λ

ã) Äèñïåðñèÿ DX = λ.

50

∞

λ k−1

∑ (k − 1)! = λ ⋅ e λ ⋅ eλ = λ. k=1

−


6.3. Íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 1.

Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå:

 1 , x ∈ a,b   à) Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p ( x ) =  b − a .  0 , , x ∉ a b     

x≤a ,  0 x − a  , a ≤ x < b. á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =  b−a x≥b ,  1

P{α ≤ X ≤ β } =

β

β −α

dx

∫b−a = b−a . α a


b

ã) Äèñïåðñèÿ DX = 2.

xdx

∫b−a =

a+b . 2

( b − a )2 . 12

Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ): ïîòîê ñîáûòèé X — ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ ïîÿâëåíèÿìè ñîáûòèé.

51


x0  p ( x ) =  Ã (α ) , ãäå Ã (α ) = xα −1e − x dx.  0 0 , x≤0 

∫

 µα x uα −1e − µu du , x ≥ 0  á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =  Ã (α ) . 0  0 , x x0     x0  x 

α > 0, x0 > 0.

α

x  á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) = 1 −  0  — ðàñïðåäåëåíèå  x  ãîäîâûõ äîõîäîâ.


α x . α −1 0

ã) Äèñïåðñèÿ

α  x02, α > 2  DX = ( α −1)( α − 2)  +∞ α ≤2  α ∈ (0,2].

54

α ≈ 0,5 — ðàñïðåäåëåíèå Óèëëèñà α = 1 — çàêîí Ëîòêè, Öèïôà


6.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 6.1. Äàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X:

 0, x < − π 2   F ( x ) =  0,5 ⋅(1 + sin x ), − π ≤ x ≤ π . 2 2  π  1, x > 2  Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ çàäàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ðåøåíèå: Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:

 0, x < − π 2   p ( x ) = F ′ ( x ) =  0,5 ⋅ cos x, − π ≤ x ≤ π . 2 2   0, x > π 2  Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíû: π

EX =

∫ π

−

π

DX =

2

2

2

2

∫ π

−

x ⋅ 0,5 ⋅ cos xdx = π

( x − EX )

2

⋅ 0,5 ⋅ cos xdx = 2.

2

55


Ïðèìåð 6.2. Îòêëîíåíèå ëàéíåðà îò ãåíåðàëüíîãî êóðñà åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé èìååò âèä: x ≤ −m  0 B x  F ( x ) =  À + arcsin , − m < x < m , m  1 π  x≥m

ãäå À è Â — íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû, m — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå îòêëîíåíèÿ. Íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ À è Â, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ, ìîäó è ìåäèàíó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ðåøåíèå: 1) F ( −∞ ) = F ( −m ) = 0 = A + F ( +∞ ) = F ( m ) = 1 = A +

B  π B  −m  arcsin   = A+ π ⋅ − 2  = A− 2 ; m    

B

π

B π B m arcsin   = A + ⋅ = A + ; 2 π π 2 m B

Â   À − 2 = 0 òîãäà èç ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé   À+ Â =1  2 1 íàõîäèì À = ; Â = 1. 2  0, x ∉ ( −m, m )  ′ 2) p ( x ) =  1 1 x 1 1 , x ∈ ( −m, m )  + arcsin  = ⋅ m π m2 − x2  2 π m

EÕ =

1

x

∫π

2

m −x

−m m

DÕ =

∫π

−m

56

1

⋅

2

dx =

x2 m 2 − x2

1

π

dx =

m

∫

−m

xdx m 2 − x2

= 0;

m2 ; max p ( x ) = p ( 0 ) ⇒ M0 = 0; 2 x


M 1 1 1 1 = F ( Me ); + arcsin e = ⇒ Me = 0. m 2 2 2 π

Ïðèìåð 6.3. Êîíôëèêòû â ðàáîòå íåêîòîðîãî êîëëåêòèâà çà ïåðèîä âðåìåíè (0, t) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ôóíê-

 0, t ≤ 0 öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( t) =  , ãäå t — ñðåäíåå âðåìÿ −t / t 1 − e 0 , t > 0 ìåæäó êîíôëèêòàìè. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ è âåðîÿòíîñòü áåñêîíôëèêòíîé ðàáîòû â êîëëåêòèâå êî âðåìåíè t = t0. Ðåøåíèå:

 0, t ≤ 0  ; 1) p ( t) = F ′ ( t) =  1 − t / t0 ,t>0 t e  0 2) P = 1 − F ( t0 ) = 1 − 1 − e −1 =

1 ≅ 0,368. e

Çàäà÷è 6.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà

x F ( x ) = A + Barctg , ãäå À è Â — íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû. Íàéòè 2 ïàðàìåòðû À è Â, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ð(õ) è âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë (–2, 2).

1 1 2 1 1 ;P= . Îòâåò: A = ; B = ; p ( x ) = 2 2 2 π π x +4 6.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíåíà «çàêîíó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà» íà ó÷àñòêå îò –1 äî +1. Íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ, ìîäó è ìåäèàíó.

57


Îòâåò: à)

á) ÅÕ=0; â) DX=1/6; ã) Ì0= 0; ä) Ìå = 0. 6.3. Âåðîÿòíîñòü ñðàáàòûâàíèÿ òàêñîôîíà 0,8. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû — êîëè÷åñòâà îïóùåííûõ æåòîíîâ äî ñðàáàòûâàíèÿ òàêñîôîíà. Îòâåò: 5 4 è 516. 6.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X â èíòåðâàëå (2; 4) çàäàíà ïëîò-

3 9 íîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè: p ( x ) = − x2 + x − 6. Íàéòè 4 2 ìîäó, ìåäèàíó è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû X. Îòâåò: XMo = 3; Xme = 3; ÅX = 3.

7. Cåìåéñòâî íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé 7.1. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â ñèëó öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû Ëÿïóíîâà, îñíîâíîé ñìûñë êîòîðîé ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñóììû áåñêîíå÷íî óâåëè÷èâàþùåãîñÿ ÷èñëà n ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ, ñ îãðàíè÷åííîé äèñïåðñèåé, ïðîèçâîëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó çàêîíó. Èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü

(

)

X ∈ N a,σ 2 . Íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå àäåêâàòíûìè ìîäåëÿìè äëÿ ïîäàâëÿþùåãî ÷èñëà íàáëþäàåìûõ âåëè÷èí íà ïðàêòèêå. Ïîýòîìó íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ðàñ58

7. Ñåìåéñòâî íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé

ñìàòðèâàåòñÿ ïîäðîáíåå äðóãèõ. Êàê áóäåò ïîêàçàíî, èç íåãî ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå. à) Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p ( x ) =

1

σ 2π

á) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =

1) 2)

e

−

ïðè x ∈ ( −∞,∞ ).

2σ 2

x

1

σ 2π

( x −a )2

∫e

−

( x −a )2 2σ 2

dx.

−∞

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ: Ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ a è σ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ðàñïðåäåëåíèå, ïðè÷åì σ > 0, a ∈ (−∞, ∞). ÅÕ=à; DX=σ2. Äîêàæåì ïåðâîå ðàâåíñòâî: ∞

ÅÕ =

∫

x

−∞

=

σ 2π

e

−

( x − a)2

∞

1

σ 2π

σ = 2π

1

∫ (σ z + a)e

2σ

−

2

z2 2

dx =

∫ z ⋅e

−∞

−

z2 2 dz +

σ 2π

⋅ σ dz =

−∞

∞

1

a 2π

∞

∫e

−∞

−

1 2π

∞

∫

xe

−

( x − a )2 2σ 2

x−a dx =

σ

≡z

=

dx = σ dz

−∞

∞

∫ (σ z + a)e

−

z2 2 dz =

−∞

z2 2 dz = 0 +

a 2π 2π

= a.

a — ñðåäíåå (öåíòðàëüíàÿ òî÷êà). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ DX=σ2.

1

3)

p(x) èìååò åäèíñòâåííûé max ïðè x = a ∴ p ( a ) =

4)

Ãðàôèê p(x) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x = a. Îêîëî íåå ãðóïïèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ãðàôèê p(x) íå ïåðåñåêàåò îñü õ, ïðè x → ±∞ êðèâàÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ê îñè àáñöèññ. Ïëîùàäü ïîä êðèâîé p(x) ðàâíà 1.

5)

σ 2π

.

{ } P{ x − a ≤ 3σ } = 0,997

P x − a ≤ 1,965σ = 0,95

59


6)

σ õàðàêòåðèçóåò ìåðó ðàññåÿíèÿ îò öåíòðà. σ < 1 — êðèâàÿ êðó÷å, σ > 1 — êðèâàÿ áîëåå ïîëîãà ïî ñðàâíåíèþ ñ σ = 1.

A=0èE=0 7)

«Óñòîé÷èâîñòü» ðàñïðåäåëåíèÿ:

Xi ∈ N

(

n

ai ,σ i2

) ⇒ ∑ X ∈N ( a,σ ), ãäå a = ∑ a è σ = ∑σ . 2

2

i

i

2 i

1

7.2. Ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè Ãàóññà è Ëàïëàñà Åñëè ïðèíÿòü çàìåíó

x−a

σ

= z, òî ôóíêöèÿ p(x) ìîæåò áûòü

ïðåäñòàâëåíà êàê p (σ z + a ) ≡ ϕ ( z ) =

1 2π

e

−

z2 2

è ìîæåò ðàññìàòðè-

âàòüñÿ êàê ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1, êîòîðîå íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ.

60


Â ñàìîì äåëå, ôóíêöèÿ ϕ ( z ), íàçûâàåìàÿ ôóíêöèåé Ãàóññà, èìååò âñå ñâîéñòâà ïëîòíîñòè: 1) ϕ ( z ) ≥ 0. ∞

2)

∫ ϕ ( z) dz = 1.

−∞

3) ϕ ( z ) = ϕ ( −z ). 4) lim ϕ ( z ) = 0. z→±∞

Òîãäà ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì ïðåäåëîì F ( z ) =

z

1 2π

∫e

−

u2 2 du.

Äëÿ åå îïðåäå-

−∞

ëåíèÿ óäîáíî ââåñòè è òàáóëèðîâàòü âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ — ôóíêöèþ Ëàïëàñà, îïðåäåëÿåìóþ êàê Φ ( z ) ≡

1 2π

z

∫e

−

u2 2 du,

ñî ñâîé-

0

ñòâàìè: 1) Ô(z) — ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, ò. ê.

Φ ′( z) =

1 2π

e

−

u2 2

> 0 äëÿ ∀z.

2) Ô(z) — íå÷åòíàÿ, ò. å. –Ô(z) = Ô(–z) è Ô(z) = 0. 3) lim Φ ( z ) = 0,5 è òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ z→∞

F ( z) = =−

1 2π

0

1 2π −∞

∫

∫

e

−

u2 2 du +

−∞

u2 − e 2 du + Φ

1 2π

z

∫

e

−

u2 2 du =

0

( z ) = 0,5 + Φ ( z ).

0

−

2π 2

61


 x−a Ñëåäîâàòåëüíî, F ( x ) = P {X < x} = 0,5 + Φ  , è òîãäà âå σ  ðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â èíòåðâàë ñîîòâåòñòâåííî áóäåò  x −a  x1 − a  P {x1 < X < x2 } = Φ  2  −Φ  .  σ   σ 

Ïðè

x1 ≡ a − zσ x2 ≡ a + zσ

èìååì P { x − a < z ⋅ σ } = 2Φ ( z ).

7.3. Ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäîâ, áàíêîâñêèõ âêëàäîâ, ìåñÿ÷íîé çàðïëàòû, ïîñåâíûõ ïëîùàäåé è ò. ï. Â åãî îñíîâå ëåæèò ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà î ñòðåìëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ n íåçàâèñèìûõ ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè óñëîâèè èõ ðàâíîìåðíîé ìàëîñòè ê ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîìó çàêîíó. à) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p ( õ ) =

1 xσ 2π

e

−

( ln x −a )2 2σ 2

x ∈ ( 0,∞ ).

á) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

F (x) =

62

1

σ 2π

x

∫e 0

−

( ln u −a )2 2σ 2

du 1 = u σ 2π

ln x

∫e

−∞

−

( v −a )2 2σ 2

dv = FN ( ln x,a,σ ).


Çàìå÷àíèå. Ñ ñåìåéñòâîì íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñâÿçàíû χ 2 -ðàñïðåäåëåíèå (Ïèðñîíà), t-ðàñïðåäåëåíèå (Ñòüþäåíòà), F-ðàñïðåäåëåíèå (Ôèøåðà-Ñíåäåêîðà), êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ðàçäåëå ñòàòèñòèêè.

7.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 7.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó X∈N(0,1). Âåðîÿòíîñòü êàêîãî ñîáûòèÿ áîëüøå: Õ ≤ 0,7 èëè Õ > 0,7? Ðåøåíèå: âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ëàïëàñà.

{ } P { Õ > 0,7} = 1 − P { Õ ≤ 0,7} = 1 − 0,516 = 0,484 ⇒ P{ Õ ≤ 0,7} > P { Õ < 0,7}. P Õ ≤ 0,7 = 2Φ(0,7) = 2 ⋅ 0,258 = 0,516;

Ïðèìåð 7.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó X∈N(0,σ2). Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë (–1, 1) ðàâíà 0,7. Íàéòè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå (ñòàíäàðòíîå) îòêëîíåíèå σ è çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè. 1    1 Ðåøåíèå: P Õ < 1 = P  Õ < ⋅ σ  = 2Φ   = 0,35. σ σ  

{

}

Ïî òàáëèöå ôóíêöèé Ô(z) èìååì

p(õ) =

1,04 2π

å

−

õ2 1,827

1

σ

≈ 1,04 ⇒ σ ≅ 0,961.

.

63


Ïðèìåð 7.3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X∈N(à, σ2). Íåîáõîäèìî àïïðîêñèìèðîâàòü íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíûì íà ó÷àñòêå α , β  , ñîõðàíèâ íåèçìåííûì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Íàéòè α, β è çàïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå: Óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ñðåäíèõ: à = äèñïåðñèé: σ 2 =

( β − α )2 12

α+β 2

; ðàâåíñòâî

. Ðåøàÿ óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî α è β,

èìååì: α = à − σ 3; β = à + σ 3. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òîãäà

(

)

 0, õ ∉ à − σ 3, à + σ 3  p(õ) =  1 . , õ ∈ à − σ 3, à + σ 3   2σ 3

(

)

Çàäà÷è 7.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 168 è 6. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ X ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå (174; 180). Îòâåò: P{ α < x < β } = 0,136. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà íàõîäèì ïî òàáëèöå. 7.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X∈N(à, σ). Îïðåäåëèòü àáñöèññû õ1, õ2 è îðäèíàòó òî÷åê ïåðåãèáà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ð(õ). Îòâåò: õ1 = à − σ ; õ2 = à + σ ; y ≅

0,24

.

σ 7.3. Ôóòáîëèñò íàíîñèò óäàð ïî ìÿ÷ó, ïðèöåëèâàÿñü â ñåðåäèíó âîðîò. Øèðèíà âîðîò 10 ì, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå òî÷êè ïîïàäàíèÿ ñîñòàâëÿåò 8 ì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ìÿ÷ ïîïàäåò â ñòâîð âîðîò? Îòâåò: Ð=0,468.

64

8. Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

7.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X∈N(à, σ). Íàéòè: à) P{a − 2σ < X < a + 2σ }; á) P{à − 2,5σ < X < a + 2,5σ }; â) P{à − 3σ < X < a + 3σ }. Îòâåò: à) 0,954; á) 0,987; â) 0,997. 7.5. Èìåþòñÿ äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1∈N(0, σ1) è X∈N2(0, σ2),

σ1>σ2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ t > 0 P { X1 < t} ≤ P { X2 < t}.

8. Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíûå âåêòîðû) 8.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ñèñòåìå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ñîâîêóïíîñòü äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {X, Y}, îïðåäåëåííûõ íà îäíîì è òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå {Ω, F, P} è ðàññìàòðèâàåìûõ ñîâìåñòíî, íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî åñòü ñëó÷àéíàÿ òî÷êà íà ïëîñêîñòè xy ñ êîîðäèíàòàìè X è Y. Ýêâèâàëåíòíûå íàçâàíèÿ ñèñòåìû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: ñëó÷àéíûé âåêòîð, äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ñîâîêóïíîñòü òðåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {X, Y, Z}, ðàññìàòðèâàåìûõ ñîâìåñòíî, íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé òðåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èëè ñëó÷àéíîé òî÷êîé (ñëó÷àéíûì âåêòîðîì) â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Àíàëîãè÷íî ñèñòåìà n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {X1, X2,....,Xn} åñòü n-ìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (n-ìåðíûé âåêòîð). Äâóìåðíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (ñëó÷àéíûé âåêòîð, ñèñòåìó äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) õàðàêòåðèçóåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x,y). 65


Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F(x,y) ñèñòåìû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {X, Y} íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî âûïîëíåíèÿ äâóõ ñîáûòèé â âèäå íåðàâåíñòâ X < x è Y < y, ò. å. F ( x, y) = P {ω : f (ω ) = X < x, g (ω ) = Y < y} = P{X < x, Y < y}. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x,y) åñòü ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ. Îíà õàðàêòåðèçóåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè â ëåâóþ íèæíþþ îáëàñòü ïëîñêîñòè xy, îãðàíè÷åííóþ ñâåðõó y, à ñïðàâà –x.

8.2. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñèñòåìû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) 1)

0 ≤ F ( x, y) ≤ 1 (â ñèëó ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè).

2)

F ( x, y) — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ïî x è y (èç îïðåäåëåíèÿ

3)

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ). F ( x, y) —íåïðåðûâíà ñëåâà ïî x è ïî y (áåç äîêàçàòåëüñòâà).

4)

F ( −∞, −∞ ) = F ( −∞, y) = F ( x, −∞ ) = 0 (î÷åâèäíî).

5)

F ( +∞, y) = F2 ( y); F ( x, +∞ ) = F1 ( x ); F ( +∞, +∞ ) = 1. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü

F ( x, +∞ ) = P{X < x, Y < +∞} = P{X < x} = F1 ( x ).

{

}

P ( X, Y ) ⊂ S = F ( b,d ) − F ( a,d ) − F ( b, c ) + F ( a, c ).

66


Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y.

8.3. Ñèñòåìà äâóõ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (íåïðåðûâíàÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè îíà ïðèíèìàåò ëþáîå çíà÷åíèå èç íåêîòîðîé îáëàñòè D è ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ p ( x, y) ≥ 0 : òàêàÿ, ÷òî 1)

bd  äëÿ ∀S ⊂ D P ( X, Y ) ∈ S =  p ( x, y) dy dx, ãäå S = [a,b] × [c,d]   a c  è

{

} ∫∫

∞   p ( x, y) dx  dy = 1.   −∞  −∞  ∞

2)

∫ ∫

Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Ôóíêöèÿ p(x,y) èç îïðåäåëåíèÿ 4 íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èëè äâóìåðíîé (ñîâìåñòíîé) ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y. Ïîâåðõíîñòü (ãðàôèê ôóíêöèè p(x,y)) íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà p(x,y): 1) p ( x, y) = ∞

2)

∫

−∞

∂ 2 F ( x, y) ∂ x∂ y

p ( x, y) dy = p1 ( x ) è

∞

∫ p ( x,y) dx = p ( y). 2

−∞

67


Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî F ( x, y) =

x y

∫ ∫ p (t,s) dtds è

−∞ −∞

F1 ( x ) =

∞ ∞   p ( x1y) dx  dy∴ F1′ ( x ) = p ( x, y) dy = p1 ( x ).   −∞  −∞ −∞  x

∫ ∫

∫

Ïðèìåð 1. Ñèñòåìà äâóõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íîðìàëüíà, åñëè

p( x,y) =

1 2πσ1σ2

 1  exp − 2 2 1− r  2 1− r 

(

)

 ( x − a)2 ( x − a)( y − b) ( y − b)2   − + 2 r  σ1σ2  σ12 σ22   

σ 1 > 0; σ 2 > 0 è r < 1. Òî÷êà (a,b) — öåíòðàëüíàÿ òî÷êà (öåíòð ãðóïïèðîâàíèÿ), r — ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé ïîëîæåíèå îñåé ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò. Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Ñîîòâåòñòâóþùèì ïîâîðîòîì îñåé êîîðäèíàò ìîæíî ñäåëàòü èõ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ýëëèïñà, ÷òî ýêâèâàëåíòíî r = 0 è «ðàçäåëåíèþ» ïëîòíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y íà ïðîèçâåäåíèå

p ( x ) ⋅ p ( y) .

68


8.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 8.1. Äâà ñòðåëêà íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãîãî ïðîèçâîäÿò ïî îäíîìó âûñòðåëó, êàæäûé ïî ñâîåé ìèøåíè. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X — ÷èñëî ïîïàäàíèé ïåðâîãî ñòðåëêà; Y — âòîðîãî ñòðåëêà. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà Ð1, äëÿ âòîðîãî — Ð2. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x,y) ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y). Ðåøåíèå: Òàê êàê ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìû, òî F(x, y) = P(X<x) P(Y 1  Àíàëîãè÷íî

0, y ≤ 0  F2 ( y) = q2 =1 − Ð2 , 0 < y ≤1. 1 , y > 1  Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè F(x, y) äàíû â òàáëèöå: y

x x≤0

0< x ≤1

1<x

y≤0

0

0

0

0< y ≤1

0

q1 × q2

q2

1 , y >  2 2 69


Òðåáóåòñÿ: íàéòè êîýôôèöèåíò à; îïðåäåëèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû. Ðåøåíèå: Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ππ 22

èìååì:

∫∫

π π

a sin ( x + y) dxdy = 1, îòêóäà:

π π

=à

∫∫ 00

∫ ∫ a sin ( x + y) dxdy = 0 0

00

22

2 2

π

sin ( x + y) dxdy = a

2

∫(

)

π

− cos ( x + y) / 02 dx =

0

π

π π  2 2     π  π   = a  − cos  x +  + cos x dx = a   cos x +  dx + cos xdx  = 2 2      0  0 0    2

∫

∫

π π  π 2   = a − sin  x +  / 0 + sin x /02  2   1 a= . 2

∫

  = 2a = 1  

Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X, Y):

π π 1  2 sin ( x + y ), 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 ; p ( x, y ) =  π π  0, x < 0, y < 0, x > , y > .  2 2

70


Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ:

1 F ( x, y) = P ( X < x, Y < y) = 2

=

=

1 2

xy

∫∫ sin ( x + y) dxdy= 00

x

x

0

0

1 y ∫ ( − cos ( x + y) ) /0 d x = 2 ∫ ( ( − cos ( x + y) + cos x )d x =

(

)

1 sin x + sin y − sin ( x + y) . 2

Çàäà÷è 8.1. Êîîðäèíàòû X è Y ñëó÷àéíîé òî÷êè ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî âíóòðè ïðÿìîóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî àáñöèññàìè x = 2, x = 4 è îðäèíàòàìè y = 2, y = 4. Íàéòè ïëîòíîñòü è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû âåëè÷èí X è Y. 1  , 2 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y≤ 4 Îòâåò: p ( x, y) =  4 F(x, y) = F1(x)F2(y), 0, x < 2, x > 4, y < 2, y > 4.  x >4 y>4 1, 1 ,    x −2  y −2 , 2 ≤ x ≤ 4, F2 ( y) =  , 2 ≤ y ≤ 4. ãäå F1 ( x ) =   2  2 0 , x< 2 y< 2 0,

8.2. Ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ: p ( x, y) =

(

π 16 + x 2

a 2

)(25 + x ) 2

.

Òðåáóåòñÿ: îïðåäåëèòü âåëè÷èíó à; íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x, y). x 1  1 y 1 1 Îòâåò: a = 20, F ( x, y) =  arctg +  ⋅  arctg + . 4 2 π 5 2 π 71


8.3. Ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) ðàñïðåäåëåíà ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ âíóòðè êâàäðàòà S ñ àáñöèññàìè x = 0, x = 1 è îðäèíàòàìè y = 0, y = 1. Íàïèñàòü âûðàæåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ð(x, y). Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû. 1, ( x, y) ∈ S . Îòâåò: p ( x, y) =  0, ( x, y) ∉ S

0, x ≤ 0 y ≤ 0  x ⋅ y, 0 < x ≤1, 0 < y ≤ 1 F ( x, y) = x, 0 < x ≤ 1, y > 1 . y, x > 1, 0 < y ≤ 1  1, x > 1, y > 1. 8.4. Áðîñàþò äâå èãðàëüíûå êîñòè. Ïóñòü ξ — ñóììà î÷êîâ, âûïàäàþùèõ íà èõ âåðõíèõ ãðàíÿõ. Íàïèñàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Îòâåò:

ξ

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

36Ð

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

8.5. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà î÷êîâ, âûáèâàåìûõ êàæäûì èç äâóõ ñòðåëêîâ, òàêîâû:

ξ

1

2

3

η

1

2

3

Ð

0,1

0,3

0,6

Ð

0,2

0,3

0,5

Íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû î÷êîâ, âûáèâàåìûõ äâóìÿ ñòðåëêàìè. Îòâåò:

72

ξ +η

2

3

4

5

6

Ð

0,02

0,09

0,26

0,33

0,30

9. Ñâÿçü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

8.6. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà:

(

)

c R − x2 + y2 , x2 + y2 ≤ R;  p ( x, y) =  0, x2 + y2 ≤ R.  Îïðåäåëèòü: à) ïîñòîÿííóþ ñ; á) âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êðóã ðàäèóñà à < R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îòâåò: a) c =

3 a2  2a  á) , = p 1− . 3 2  3R  R  πR

3

8.7. Îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) ïî çàäàííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: F(x,y) = (1–e–ax)(1–e–by), (x≥0, y≥0). Îòâåò: ð(x,y) = abe–(ax+by). 8.8. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíàì ðàâíîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî â èíòåðâàëàõ (–1; 1) è (0; 2). Îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû (X, Y). 1  , −1 < x < 1, 0 < y < 2; Îòâåò: p ( x, y) =  4 0, x ≤ −1, x ≥ 1, y ≤ 0, y ≥ 2. 

9. Ñâÿçü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 9.1. Î ðàñïðåäåëåíèè ñîñòàâëÿþùèõ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ìàðãèíàëüíûìè (÷àñòíûìè) ðàñïðåäåëåíèÿìè è âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà êàê (ñì. ï. 8.2 ñâîéñòâî 5) F1 ( x ) = F ( x, +∞ ) è F2 ( y) = F ( +∞, y). 73


Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, åñëè îíà çàäàåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ñîâìåñòíîãî âûïîëíåíèÿ íåðà-

ω : f (ω ) = X < x  âåíñòâà ñ ðàâåíñòâîì   ⊂ F,  ϕ (ω ) = Y = y  ò. å. P{X < x, Y = y} ≡ Fy ( x ) è P{X = x, Y < y} ≡ Fx ( y). Äðóãèìè ñëîâàìè, óñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðè óñëîâèè, ÷òî äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíÿëà îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Óñëîâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóåò óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ py ( x ) =

∂ Fy ( x ) ∂x

è px ( y) =

∂ Fx ( y) . ∂y

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè è ñâîéñòâà 2 ï. 8.3 ìîæíî çàïèñàòü: p ( x, y) p ( x, y) py ( x ) = è px ( y) = p2 ( y) p1 ( x ) p ( x, y) = py ( x ) p2 ( y) = px ( y) p1 ( x ) = p1 ( x ) px ( y) = p2 ( y) py ( x )

(òåîðåìà óìíîæåíèÿ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ).

9.2. Íåçàâèñèìîñòü è ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìàðãèíàëüíûõ, ò. å.

F ( x, y) = F1 ( x ) ⋅ F2 ( y) (ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ). Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî P{X < x, Y < y} = P{X < x} ⋅ P{Y < y}.

74


Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â îïðåäåëåíèè 3 ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

p ( x, y) = p1 ( x ) ⋅ p2 ( y). Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ êàê

Pik = P{X = xi } ⋅ P{Y = yk} = Pi ⋅ Pk. Ç à ì å ÷ à í è å 5 . Óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî âûðàçèòü ïî àíàëîãèè ñ íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè ÷åðåç óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèåì: px ( y) = p2 ( y) и py ( x ) = p1 ( x ).

Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ÿâëÿþòñÿ çàâèñèìûìè, åñëè F ( x, y) ≠ F1 ( x ) F2 ( y). Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Çàâèñèìîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îò Y â âèäå çàâèñèìîñòè ÷åðåç óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ py(x) èëè px(y) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé èëè ñòîõàñòè÷åñêîé. Ïðèìåðû:

à) è á) — íåçàâèñèìûå X è Y

75


â) – å) — ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü.

9.3. Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü Õàðàêòåðèñòèêîé ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y ìîãóò ñëóæèòü êîâàðèàöèÿ (êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò) è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè. Îíè ÿâëÿþòñÿ óñðåäíåííûìè, ÷èñëîâûìè. Î ï ð å ä å ë å í è å 6 . Êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ñìåøàííîìó öåíòðàëüíîìó ìîìåíòó âòîðîãî ïîðÿäêà (µ11(X,Y)).

cov ( X,Y ) =

∫∫ ( x − EX )( y − EY )dF ( x,y), ò. å. R2

cov ( X,Y ) ≡ E ( X − EX )( Y − EY ) = E ( XY ) − EX ⋅ EY. Î ï ð å ä å ë å í è å 7 . Êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà (áåçðàçìåðíàÿ), îïðåäå-

76


ëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó: r ( X, Y ) =

cov ( X, Y ) DX ⋅ DY

, ãäå DX è DY — êîíå÷íûå

äèñïåðñèè. Ç à ì å ÷ à í è å 6 . Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü «òåñíîòû» ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Î ï ð å ä å ë å í è å 8 . Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè cov ( X,Y ) = r ( X,Y ) = 0. Ò å î ð å ì à 1 (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Åñëè X è Y — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî X è Y — íåêîððåëèðîâàííûå. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî, îäíàêî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ïðè íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè

r ( X, Y ) = 0   ⇔ X, Y — íåçàâèñèìû. X, Y ∈ N 

Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè: 1) X è Y — íåçàâèñèìû ⇒ r ( X,Y ) = 0. 2) r ( X, Y ) ≤ 1. 3) r ( X, Y ) = ±1 ⇔ Y = aX + b (ìåæäó X è Y ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ ñâÿçü).

9.4. Èçìåðåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (Ìåðà ðàçëè÷èÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ) 1)

Ðàâíîìåðíàÿ ìåòðèêà Êîëìîãîðîâà ∀ F ( x ) è G ( x ) ρ ( F, G ) = sup F ( x ) − G ( x ) . x

77


2)

Ìåòðèêà Ëåâè êàê inf h: L ( F,G ) = inf h ≤ h.

∀ F ( x), G ( x): 3)

F ( x − h ) − h ≤ G ( x ) ≤ F ( x + h ) + h,

G ( x − h) − h ≤ F ( x ) ≤ G ( x + h) + h.

Ðàññòîÿíèå ïî âàðèàöèè Åñëè

{ } P ( Y ∈ B ) = P{ω : Y = ϕ (ω ) ∈ B} ≡ Q ( A)

P ( X ∈ B ) = P ω : X = f (ω ) ∈ B ≡ P ( A)

Var ( P,Q ) = sup P ( A) − Q ( A) . A∈F

Ç à ì å ÷ à í è å . Èíîãäà äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ êîíöåíòðàöèè, îïðåäåëÿåìàÿ êàê

Q ( x ) = sup P ( a ≤ X ≤ a + x ) − ∞ < a < +∞. a

Ôóíêöèÿ êîíöåíòðàöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íî íå íàîáîðîò.

9.5. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 9.1. Ñèñòåìà äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) ïîä÷èíåíà çàêîíó ðàâíîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âíóòðè êðóãà ðàäèóñà 1 ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Íàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû è îòäåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó. Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y çàâèñèìûìè. Â ñëó÷àå èõ çàâèñèìîñòè îïðåäåëèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè îíè êîððåëèðîâàííûìè. Ðåøåíèå: Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y), ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé âíóòðè êðóãà ðàäèóñà 1, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé: 1 2 2  π , x + y ≤ 1, p ( x, y) =   0, x2 + y2 > 1. 

78


Òîãäà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îòäåëüíûõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó (X, Y): p1 ( x, y) =

∞

∫

1 − x2

p ( x, y) dy =

−∞

∫

2

− 1 −x

1

π

dy =

2 1 − x2

π

.

2 1 − x2 , x ≤ 1  . Ñëåäîâàòåëüíî, p1 ( x ) =  π 0, > x 1  2 1 − y2 , y ≤ 1  Àíàëîãè÷íî: p2 ( y) =  π .  0, > y 1  Äëÿ òîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y çàâèñèìûìè, íàõîäèì óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè: 1  , y < 1, x < 1 − y2  2 − 2 1 y . py ( x ) =   2 y < 1, x > 1 − y 0, 1  , x < 1, y < 1 − x2  2 2 1 x − . px ( y) =   2 x < 1, y > 1 − x 0,

Òàê êàê ð1(x) ≠ ðy(x), p2(y) ≠ px(y), òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ÿâëÿþòñÿ çàâèñèìûìè. ßâëÿþòñÿ ëè ýòè âåëè÷èíû êîððåëèðîâàííûìè? Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì êîâàðèàöèþ. Èìåÿ â âèäó, ÷òî ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè ÅX = ÅY = 0, ïîëó÷èì:

cov ( X, Y ) =

1

1

1

1 − x2

∫∫ xyp ( xy) dxdy = π ∫∫ xydxdy = π ∫ xdx ∫

( D)

( D)

−1

ydy = 2

− 1 −x

79


=

1

π

1

∫

−1

y2 1 − x2 1 x / dx = 2 − − x 1 2 2π

1

∫ x (1 − x ) − (1 − x ) dx = 0, 2

2

ò. å. ñëó÷àé-

−1

íûå âåëè÷èíû X è Y íåêîððåëèðîâàíû.

Çàäà÷è 9.1. Èìååòñÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (X, Y) ñ ïëîòíîñòüþ ð(x, y) = Axy â îáëàñòè D è ð(x, y) = 0 âíå ýòîé îáëàñòè. Îáëàñòü D — òðåóãîëüíèê, îãðàíè÷åííûé ïðÿìûìè x + y – 1= 0, x = 0, y = 0. Íàéòè: à) âåëè÷èíó À; á) ÅÕ è ÅY; â) Dx è Dy; ã) cov(x, y); ä) r(x, y). Îòâåò: a) A = 24; á) EX = EY = 2/5; â) Dx = Dy = 1/25; ã) cov(x, y) = –2/75; ä) r(x, y) = –2/3. 9.2. Ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â òðåóãîëüíèêå, îãðàíè÷åííîì ïðÿìûìè x + y = a, x = a, y = a, ãäå à > 0. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü: à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y); á) çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ îäíîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y; â) óñëîâíûå ôóíêöèè è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ îäíîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y. Îòâåò: 0, x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≤ a   1 ( x + y − a )2 , x + y > a, x ≤ a, y ≤ a  a2  2 y à) F ( x, y) =  2 , x > a, 0 < y ≤ a a  x2  2 , 0 < x ≤ a, y > a a 1, x > a, y > a 

2  , x + y ≥ a, x ≤ a, y ≤ a, p ( x, y) =  a2 0, x + y < a, x > a, y > a. 

80


0, y ≤ 0 0, x ≤ 0  2  2 y x á) F1 ( x ) =  2 , 0 < x ≤ a, F2 ( y) =  2 , 0 < y ≤ a a a 1, y > a 1, x > a   2y  2x  , 0 < y ≤ a,  , 0 < x ≤ a, , p2 ( y) =  a2 p1 ( x ) =  a2 0, y ≤ 0, y > a. 0, x ≤ 0, x > a  

1  , 0 < x ≤ a, a − x < y < a â) py ( x ) =  x 0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, 

1  , 0 < y ≤ a, a − y < x < a p› ( y) =  y 0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.  9.3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) x + y, 0 < x < 1, 0 < y < 1 çàäàíà âûðàæåíèåì: p ( x, y) =  0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âåëè÷èí X è Y.

Îòâåò: −

1 . 11

9.4. Ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X, Y) ïîä÷èíåíà çàêîíó ðàâíîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âíóòðè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à, äèàãîíàëè êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y çàâèñèìûìè. Â ñëó÷àå èõ çàâèñèìîñòè óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè îíè êîððåëèðîâàííûìè. Îòâåò: X è Y çàâèñèìûå, íî íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.

81

10. Ôóíêöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû 10.1. Ôóíêöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ ϕ : R1 → R1, â âèäå ïðàâèëà ϕ ñîîòâåòñòâèÿ ýëåìåíòó (÷èñëó) x ∈ R1 åäèíñòâåííîãî ÷èñëà y ∈ R1 : y = ϕ ( x ), òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèîíàëüíî ñâÿçàííûìè è äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y=ϕ (X), ãäå X — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — àðãóìåíò ñ èçâåñòíîé ôóíêöèåé (çàêîíîì) ðàñïðåäåëåíèÿ. Íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ (çàêîí) ðàñïðåäåëåíèÿ Y. Ñëó÷àè: 1) X — äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà: X1 X2 ...Xn ⇒ Y — äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà:

ϕ ( X1 )... ϕ ( Xn )

P1P2…Pn ñîîòâåòñòâèå ñîõðàíÿåòñÿ P1P2…Pn. 2)

X — íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Òîãäà Y=ϕ (X) — íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. a) ϕ (x) — íåïðåðûâíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò íà [a, b], òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = ϕ −1( y) — âîçðàñòàþùàÿ.

Èùåòñÿ FY ( y) = P{Y < y}.

{

}

(

)

FY ( y) = P{Y < y} = P X < ϕ −1 ( y) = FX ϕ −1 ( y) , ò. å. èìååì

(

)

FY ( y) = FX ϕ −1 ( y) . 82

10. Ôóíêöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû

Äèôôåðåíöèðóÿ ïî ó îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà, äëÿ ïëîòíîñòè ïî-

(

)(

)

′ ëó÷èì pY ( y) = pX ϕ −1 ( y) ⋅ ϕ −1 ( y) . á) ϕ (x) — íåïðåðûâíà, ñòðîãî óáûâàåò. Òîãäà è ϕ −1 ( y) óáûâà-

{

}

(

)

åò, è FY ( y) = P{Y < y} = P X > ϕ −1 ( y) = 1 − FX ϕ −1 ( y) .

(

)(

)

′ Äëÿ ïëîòíîñòè èìååì pY ( y) = − pX ϕ −1( y) ⋅ ϕ −1 ( y) . Íî äëÿ óáûâàþùåé ôóíêöèè ϕ −1 ( y) ïðîèçâîäíàÿ îòðèöàòåëüíàÿ. Îáúåäèíÿÿ ñëó÷àè à) è á) äëÿ ìîíîòîííîé ϕ èìååì:

(

)(

)

′ pY ( y) = pX ϕ −1 ( y) ⋅ ϕ −1 ( y) , ò. å. äîêàçàíà òåîðåìà 1.

Ò å î ð å ì à 1 . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò îáðàòíîé ôóíêöèè íà ìîäóëü ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè, ò. å.

X — íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà  ϕ (⋅) — ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü Y = ϕ ( X )  ⇒ ∃ F(x) —ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ X  ϕ — ìîíîòîííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ

(

)(

)

′ ⇒ pY ( y) = pX ϕ −1 ( y) ⋅ ϕ −1 ( y) . Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Äëÿ êóñî÷íî-ìîíîòîííîé ôóíêöèè ϕ îáëàñòü çàäàíèÿ «ðàçáèâàþò» íà ó÷àñòêè, ãäå ϕ — ìîíîòîííà, è òîãäà èìååì

(

)(

pY ( y) = pX ϕ1−1 ( y) ⋅ ϕ1−1 ( y)

)′ + p ( ϕ X

2

−1

( y)) ⋅ (ϕ2−1 ( y))′

+ ...

Ïðèìåð 1.

(

)

X ∈ N a,σ 2 ; y = ϕ ( x ) = Ax + B; Y = AX + B; x = ϕ −1 ( y) =

y− B . A 83

×àñòü I. Âåðîÿòíîñòü 2

(ϕ

−1

( y) )

′

1 1 = ∴ pY ( y) = ⋅e A A 2π ⋅ σ

(

Y ∈ N aA + B,σ 2 A

 y2 − B  −a    A  − 2σ 2

=

1 A σ 2π

⋅e

−

( y− B − aA)2 2σ 2 A2

) . Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò íîðìàëüíîé ñëó÷àé2

íîé âåëè÷èíû åñòü íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ïðèìåð 2.

(

)

(

)

′ 1 X ∈ N a,σ 2 , y = ex , Y = e X ; ϕ −1 ( y) = ln y; ϕ −1 ( y) = ; y

( ln y− a)  −  1 ⋅ e 2σ 2 , y > 0 pY ( y) =  yσ 2π  0 , y < 0.  Ïðèìåð 3.

(

)

1 ′ X ∈ N ( 0,1); y = x2 ; Y = X 2 ; ϕ −1 ( y) = x = y; ϕ −1 ( y) = 2 y  0, y < 0  pY ( y) =  2 ⋅ 1 − y — ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà ñ îäíîé ñòåïåíüþ e 2  π 2 2 y  ñâîáîäû.

10.2. Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ò å î ð å ì à 2 . Ôóíêöèÿ (ïëîòíîñòü) ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé — ñâåðòêîé ôóíêöèé (ïëîòíîñòåé) ðàñïðåäåëåíèé ñëàãàåìûõ, ò. å. 84


X è Y íåïðåðûâíûå, F ( z ) = F1 ∗ F2 ( z ) =  ∞ ∞ íåçàâèñèìûå  F z y dF y F2 ( z − x ) dF1 ( x ) = − = ( ) ( ) 1 2  ñëó÷àéíûå  −∞ −∞ âåëè÷èíû. ⇒ p ( z ) = p1 ∗ p2 ( z ) = ∃p ( x, y) ); p1 ( x ); p2 ( y)   ∞ ∞ F ( x, y); F1 ( x ); F2 ( y)  p z x p x dx p1 ( z − y) p2 ( y) dy = − = ) 1( ) 2(  Z =X +Y  −∞ −∞

∫

∫

∫

∫

(Êîìïîçèöèÿ — ñâåðòêà ðàñïðåäåëåíèé)

Äîêàçàòåëüñòâî.

p ( x, y) = p1 ( x ) ⋅ p2 ( y). F ( z ) = P{Z < z} = P{X + Y < z}. F ( z) =

∞

∫

p1 ( x ) dx

−∞

z−x

∫

−∞

∞

=

p2 ( y) dy =

∞

∫ F ( z − x ) p ( x ) dx = 2

1

−∞

 d 

∫ F ( z − y) p ( y) dy dz . 1

2

−∞

p ( z) =

∞

∞

∫ p ( z − x ) p ( x ) dx = ∫ p ( z − y) p ( y) dy. 2

−∞

1

1

2

−∞

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

85


Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Åñëè õîòÿ áû îäíà èç X è Y íåïðåðûâíà ⇒ X+Y — íåïðåðûâíà.

(

)

(

)

Ç à ì å ÷ à í è å 3 . X ∈ N a1,σ 12 ; Y ∈ N a2 ,σ 22 è X, Y íåçàâèñè-

(

)

ìû ⇒ X + Y ∈ N a1 + a2 , σ 12 + σ 22 . Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Óñòîé÷èâîñòüþ ê ñëîæåíèþ îáëàäàþò òàêæå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, Êîøè, ãèïåðáîëè÷åñêîå è äðóãèå.

10.3. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êàê äëÿ âñÿêîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü åå ïðåäåë. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ñëåäóþùèå âèäû ñõîäèìîñòè. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . {Xn } — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè âåðîÿòíîñòü óêëîíåíèÿ îò ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò. å. lim P{ X − Xn > ε } = 0. n →∞

Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

{Xn } ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì, åñëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà óêëîíåíèÿ îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò. å. lim E{Xn − X} = 0. 2

n →∞

Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . {Xn } — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå X ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1), åñëè âåðîÿòíîñòü íàèáîëüøåãî óêëîíåíèÿ îò ñëó÷àé  íîé âåëè÷èíû ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò. å. lim P  sup X − Xn > ε  = 0. n →∞ n > n   0

86


Èíîãäà óäîáíî ðàññìàòðèâàòü öåíòðèðîâàííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Yn =

1.

X1 + X2 + .... + Xn EX1 + .... + EXn − , EXi < ∞. n n

Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë (òåîðåìà Áåðíóëëè). Âåðîÿòíîñòü óêëîíåíèÿ öåíòðèðîâàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò íóëÿ â p

ïðåäåëå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò. å. Yn → 0 (ïî âåðîÿòíîñòè), èëè n →∞

{

} n→∞

P Yn > ε → 0.

2.

Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë (òåîðåìà Áîðåëÿ). Îí ñîîòâåòñòâóåò ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåíòðèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ê íóëþ, ò. å.

Yn =

1 n

n

ï. í.

∑ ( Xk − EXk ) → 0, èëè 1

Xi − íåçàâèñ., îäèíàêîâî    µ   ⇒ lim P sup − p > ε  = 0, ãäå n →∞  n   DXi < ∞ 

ðàñïðåäåëåííûå

µ= 3.

∑X . i

Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Âåðîÿòíîñòü óêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îãðàíè÷åíà îòíîøåíèåì äèñïåðñèè ê êâàäðàòó óêëîíåíèÿ, ò. å. X — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà; EX, DX ε ≤ 4.

DX

ε2

.

Òåîðåìà ×åáûøåâà. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn } ïðèìåíèì çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X k — ïîïàðíî íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû (îäíèì è òåì æå ÷èñëîì), ò. å. DXk ε → 0.

6.

Òåîðåìà. ×òîáû ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîèçâîëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Xn } áûë ïðèìåíèì çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû (⇔) èìåëî ìåñòî:

lim E n→ ∞

  

n

∑ 1

 n +  2

7.

 ( X k − EX k )  n

∑ 1

2

 ( X k − EX k ) 

2

= 0.

Òåîðåìà Ëÿïóíîâà. Äëÿ òîãî ÷òîáû óêëîíåíèå ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áûëî â ïðåäåëå ðàñïðåäåëåíî íîðìàëüíî, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå n

∑C

Ck ≡ E Xk − EXk

k

lim

n →∞

1

Bk2+σ

= 0 , ãäå

2+σ

,σ > 0 .

n

Bn2 ≡

∑ DX

k

1

Òîãäà

 1 lim P a < n →∞ B n  88

n

∑ 1

 1 ( Xk − EXk ) < b = 2π 

b

∫e a

−

t2 2 dt =

Φ ( b ) − Φ ( a )  .


10.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è Ïðèìåðû Ïðèìåð 10.1. Äàí ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ. Xi

0

1

2

Pi

0,2

0,3

0,5

Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y=ϕ (X)=X3–2X2+X–1. Ðåøåíèå: Îïðåäåëÿåì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ Y è èõ âåðîÿòíîñòè: y=ϕ (0)= –1; y=ϕ (1)= –1; y=ϕ (2)=1 ⇒ y1= –1; P(Y= –1)=P(X= 0)+P(X=1)=0,2+0,3=0,5, y2=1; P(Y=1) =P(X=2) = 0,5. Èìååì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y: Yi

–1

1

Pi

0,5

0,5

Ïðèìåð 10.2. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y=5–2X, åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ÅÕ= 0, σ = 4, ò. å. Õ∈N(0, 4). 1 Ðåøåíèå: Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ϕ −1 ( y) = (5 − y) ⋅ . 2

(ϕ

−1

( y) )′

=

1 2

− 1 5−y 1 = py ( y) = px  e  2  2  8 2π

(5− y)2 128

=

1 8 2π

e

−

( y−5)2 128

.

89


Çàäà÷è 10.1. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y = X , åñëè Õ — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ðõ(x) è âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè îò 0 äî ∞.

Îòâåò: ðy(y)=2y⋅ðx(y2), y>0. 10.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî â èí π π òåðâàëå  − ,  . Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âå 2 2 ëè÷èíû Y = sin X.

Îòâåò: py ( y) =

1

π 1 − y2

, y ∈ ( −1,1); pY ( y) = 0 äëÿ y ∉ ( −1,1).

10.3. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, èìåþùèõ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè 0 è 2, äèñïåðñèÿìè 6 è 3,

(

)

(

)

ò. å. X ∈ N 0, 6 , Y ∈ N 2, 3 . Îòâåò: Z=X+Y, p ( z ) =

1 3 2π

e

−

( z −2)2 18

.

10.4. Ñîñòàâèòü êîìïîçèöèþ äâóõ ïîêàçàòåëüíûõ çàêîíîâ ñ ïàðàìåòðàìè λ1 = λ2 = λ = 0,2 (ò. å. íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ1 è Õ2, èìåþùèõ ïëîòíîñòè: p1 ( x1 ) = λ e − λ x1 , p2 ( x2 ) = λ e − λ x21 ( x2 > 0, x1 > 0 ). 2 −λz Îòâåò: Z=X1+X2, p ( z ) = λ e

λ = 0,2

= 0,004e −0,2z .

10.5. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ:

90

Xi

2

–1

0

1

2

Pi

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

11. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ èç òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ

Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y =X2 + 1. Îòâåò: Yi

1

2

5

Pi

0,3

0,5

0,2

10.6. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ õàðàêòåðèñòèêàìè ÅX è σx2. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y è Z ñâÿçàíû ñ X çàâèñèìîñòÿìè Y = X2, Z = X3. Íàéòè êîâàðèàöèè (êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû): cov(X,Y) = Kxy, cov(X,Z) = Kxz, cov(Y,Z) = Kyz. Îòâåò: Kxy=2σ2mx; Kxz = 3σ x4 + 3mx2σ x2 ; Kyz = 12mxσ x4 + 6mx3σ x2 .

11. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ èç òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÷àñòî îêàçûâàþòñÿ äîâîëüíî ãðóáûìè ìîäåëÿìè äëÿ îïèñàíèÿ íàáëþäåíèé, îñîáåííî ïðè íàáëþäåíèÿõ çà ïîâåäåíèåì äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Åñëè òðåáóåòñÿ èìåòü áîëåå ñòðîãèå è òîíêèå îáîñíîâàíèÿ ñ êîëè÷åñòâåííûìè îöåíêàìè, òî íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äðóãèå îáúåêòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Íàèáîëåå àäåêâàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ïðè îïèñàíèè ÿâëåíèé â äèíàìèêå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.

11.1. Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà Îïðåäåëåíèå 1. Ïîä ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì Xt ≡ X ( t ) ïîíèìàþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ãäå ïàðàìåòð t ïðèíàäëåæèò ïðîèçâîëüíîìó ìíîæåñòâó âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ò. å. t ∈Τ ⊂ R1. Ýòîò ïàðàìåòð íàçûâàþò âðåìåíåì. Åñëè ïàðàìåòð t áåðåòñÿ èç ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà, òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íàçûâàþò äèñêðåòíûì, à åñëè èç êîíòèíóàëüíîãî, òî íåïðåðûâíûì. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ åñòü èíäåêñèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè ñëó÷àéíûé ïðîöåññ åñòü ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ïðîèçâåäåíèè ìíîæåñòâ (σ-àëãåáðû è ìíîæåñòâà Ò), ò. å. Xt ≡ f (ω,t ) åñòü ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïðè ôèêñèðîâàííîì ïàðàìåòðå t∈ Τ èìååò ìåñòî ñëó91


÷àéíàÿ âåëè÷èíà â òî÷êå t, à ïðè ôèêñèðîâàííîì ñîáûòèè ω0 ∈ Ω èìååò ìåñòî íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ f (ω0 ,t ), êîòîðóþ íàçûâàþò âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé èëè ðåàëèçàöèåé. 1.

T = { . }, òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Õ åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

2.

T = {1, 2, ..., n}, òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ åñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð ðàçìåðà ï: (X1, X2, …, Xn).

3.

T = {1, 2, …, n, …}, òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ åñòü ïîñëåäîâà-

4.

òåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: (X1, X2, …, Xn, …). Èìååòñÿ ï ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, …, Xn è ï âåùåñòâåííûõ ÷èñåë λ1, λ2 , …, λn , òîãäà X ( t ) =

n

∑ Χ cos λ t i

i

åñòü ñëó÷àéíûé

i =1

ïðîöåññ («ãàðìîíèêè» ñî ñëó÷àéíûìè àìïëèòóäàìè).

11.2. Ïðîñòåéøèå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ îáû÷íî îïèñûâàåòñÿ ÷åðåç ñåìåéñòâî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñïåöèàëüíûì óñëîâèÿì (ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàíèÿ). Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå ï-ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Ïîêàæåì ýòî. Ïóñòü èìååòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî {Ω,Ξ, P}, íà êîòîðîì çàäàí ñëó÷àéíûé âåêòîð (X1, X2, …, Xn). Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (ðàñïðåäåëåíèåì) ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçûâàþò F ( x1,x2 ,…,xn ) = P ( X1, X2 ,…, Xï ) ∈ A , ãäå À — åñòü áîðåëåâî ìíîæåñòâî (èç σ-àëãåáðû Ξ ). Èç ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê íàèáîëåå èíôîðìàòèâíûìè ÿâëÿþòñÿ ìîìåíòû: 1) Íà÷àëüíûé ìîìåíò 1-ãî ïîðÿäêà (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå) — EX= (EX1, EX2, …, EXn)T; 2) Ñìåøàííûé ìîìåíò 2-ãî ïîðÿäêà (íà÷àëüíûé è öåíòðàëü-

{

}

{ (

)}

íûé) — êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà R1 = E Χi Χ j , i, j = 1, 2, …, n

{

(

)}

èëè êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà R = E ( Xi − EXi ) X j − EX j , i,

j = 1, 2, …, n.

92


Äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èìååì ïî àíàëîãèè ñëåäóþùåå. Íà òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ

X ( t) = X ( ω,t), t ∈T. Äàëåå èç íàáîðà âñåâîçìîæíûõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîëüíûì ñëó÷àéíûì âåêòîðàì

( X ( t1 ) , X ( t2 ) ,…, X ( tn )) âèäà

(

) {(

) }

 F x , x ,…,x = P X ( t ), X ( t ),…, X ( t ) ∈ A  t1 t2 tn 1 2 n  , âûáèðàåòñÿ ðàñt1, t2 ,…, tn ∈T; n = 1, 2, 3, …   ïðåäåëåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñïåöèàëüíûì óñëîâèÿì ñèììåòðèè è ñîãëàñîâàíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà: 1) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå — ñðåäíåå, åñëè îíî ñóùåñòâóåò a ( t ) = EX ( t ). 2) Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (ñìåøàííûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò 2-ãî ïîðÿäêà): R( t,τ ) = E ( X ( t ) − a ( t ) ) ( X (τ ) − a (τ ) ), èëè êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ (ñìåøàííûé íà÷àëüíûé ìîìåíò 2-ãî ïîðÿäêà): R1 ( t,τ ) = EX ( t ) X (τ ). Íà ïðàêòèêå ýòè õàðàêòåðèñòèêè èñïîëüçóþòñÿ î÷åíü øèðîêî.

11.3. Î íåêîòîðûõ òèïàõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ Ñóùåñòâóåò äîâîëüíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçíûõ òèïîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå èìåþòñÿ èõ êëàññèôèêàöèè ïî ðàçëè÷íûì ïðèçíàêàì. Íàèáîëåå ïðîñòûìè è ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå òèïû. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t) íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, ò. å. a(t) = const, à êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà è çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ:

R( t,τ ) = R( t − τ ). Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t) íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêèì (ñ ñèëüíûì ïåðåìåøèâàíèåì), åñëè åãî 93


ñðåäíåå çíà÷åíèå ïî âðåìåíè (íà èíòåðâàëå Ò) ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ. Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t) íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè âñå åãî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêèå, ò. å. p ( x1,x2 ,…, xn ) =

1

(2π )

n 2

(

detR

(

)

 1  exp − R−1x, x , ãäå R = rij  2 

{ }n×n ,

)

rij = E ( Xi − ai ) X j − aj , ai = EXi , rii = DΧ i , detR > 0, ïðè÷åì äëÿ ëþáûõ t1, t2 , …, tn ∈T. Äëÿ ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èìååò ìåñòî a ( t ) = EX ( t ),

(

)(

)

R( t,τ ) = E X ( t) − a ( t) X (τ ) − a (τ ) .

Åñëè çàäàíû a ( t ) è R( t,τ ), òî äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ( t1 ), X ( t2 ),…, X ( tn ) çàäàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ñðåäíåå çíà÷åíèå) è êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà R ðàçìåðà n×n. Ñëåäîâàòåëüíî, a ( t ) è R ( t,τ ) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò âñå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, à ïîòîìó è ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóþò ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

(

)

Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t) íàçûâàåòñÿ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè äëÿ ëþáûõ ti, i = 1, 2, …, n òàêèõ, ÷òî t1 ≤ t2 ≤ … ≤ ti ≤ ti +1 ≤ … ≤ tn , ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû-ïðèðàùåíèÿ

{( X (t ) − X (t )),( X (t ) − X (t )),…,( X ( t ) − X ( t ) )} íåçàâè2

1

3

2

n

n −1

ñèìû, à åñëè, êðîìå òîãî, ïðèðàùåíèå ( X ( ti + h ) − X ( ti ) ) çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè h è íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû ti, òî òàêîé ïðîöåññ íàçûâàþò ñ íåçàâèñèìûìè è îäíîðîäíûìè ïðèðàùåíèÿìè. Î ï ð å ä å ë å í è å 6 . Ïðîöåññîì áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ (âèíåðîâñêèì) íàçûâàþò ãàóññîâ ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè è îäíîðîäíûìè ïðèðàùåíèÿìè, ò. å. òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ t > s ïðèðàùåíèå

X ( t ) − X ( s ) ðàñïðåäåëåíî ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ äèñïåðñèåé

σ 2 ⋅ ( t − s ).

94


Íà ïðàêòèêå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü â âèäå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà òèïà áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ñî ñìåùåíèåì. Òàêîé ïðîöåññ èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå è îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîé ìîäåëüþ ïðè îïèñàíèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè. Î ï ð å ä å ë å í è å 7 . Ïóñòü X(t) åñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå äâóõ ñëàãàåìûõ, ò. å. X ( t + dt ) − X ( t ) = a ( t, X ( t ) ) ⋅ dt + b ( t, X ( t ) ) ( W ( t + dt ) − W ( t ) ), ãäå

W( t ) — ïðîöåññ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, a ( t, X ( t ) ) — êîýôôèöèåíò ñìåùåíèÿ (ñíîñà), b ( t, X ( t ) ) — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè. Òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ dX ( t ) =

= a ( t, X ) dt + b ( t, X ) dW, íàçûâàåòñÿ äèôôóçèîííûì ïðîöåññîì (ïðîöåññîì «áåëîãî øóìà»). Äîâîëüíî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå â ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè ïîëó÷èëè òàêæå ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, ïî ñóùåñòâó, êàê îáîáùåíèå ìàðêîâñêèõ öåïåé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ÿâëÿþòñÿ è äèôôóçèîííûå ïðîöåññû. Êëàññó ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà.

×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 12. Ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ 12.1. Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è ñòàòèñòè÷åñêèå ñîâîêóïíîñòè Âûÿâëåíèå è èññëåäîâàíèå çàêîíîìåðíîñòåé, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ ðåàëüíûå ïðîöåññû, ÿâëÿåòñÿ ñóòüþ ëþáîé íàó÷íîé äèñöèïëèíû. Â ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ çàêîíîìåðíîñòè, êàê ïðàâèëî, âûÿâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ öåëåíàïðàâëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî èçó÷åíèÿ ìàññîâûõ ÿâëåíèé, âêëþ÷àþùåãî ñëåäóþùèå ýòàïû: 1) ñáîð äàííûõ; 2) ñèñòåìàòèçàöèþ è óïîðÿäî÷åíèå; 3) ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç. Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñîñòàâëÿþò ïðèåìû è ñïîñîáû íàó÷íîãî àíàëèçà äàííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê ìàññîâûì ÿâëåíèÿì, ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ îáîáùàþùèõ õàðàêòåðèñòèê è âûÿâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé, îáëàäàþùèõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ. Ñâÿçü âåðîÿòíîñòè è ñòàòèñòèêè. Èçó÷åíèå âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé ïîçâîëÿåò ïîíÿòü ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé íà àáñòðàêòíîì óðîâíå, íå ïðèáåãàÿ ê ïðàêòèêå (ýêñïåðèìåíòó). Â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå èññëåäîâàíèå ñâÿçàíî ñ êîíêðåòíûìè äàííûìè è èäåò îò ïðàêòèêè (íàáëþäåíèÿ) ê ãèïîòåçå è åå ïðîâåðêå. Òåîðèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåäëîæåíèé, êîòîðàÿ ìîæåò ñëóæèòü ìîäåëüþ ÿâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, íàáëþäàåìîãî â ñâÿçè ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. n Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ìíîæåñòâî îäíîðîäíûõ îáúåêòîâ {ℜi }1 , ïîäëåæàùèõ ñòàòèñòè÷åñêîìó èçó÷åíèþ íà îñíîâå ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà, ýêâèâàëåíòíîãî ñõåìå ðàâíîâåðîÿòíîãî âûáîðà ýëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà ñ âîçâðàùåíèåì, íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòüþ; îòäåëüíûå îáúåêòû ℜi — ýëåìåíòàìè ñîâîêóïíî96

12. Ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ

ñòè, à èõ ÷èñëî (n) — îáúåìîì ñîâîêóïíîñòè. Ñòàòèñòè÷åñêóþ ñîâîêóïíîñòü òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé â ñõåìå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé äëÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðóþ è ïðèíèìàþò çà ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü. Ïðèìåðû: 1. {ℜi } — ðàáî÷èå ïðåäïðèÿòèÿ; 2. {ℜi } — ïðåäïðèÿòèÿ ðåãèîíà. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ïîä ïðèçíàêîì (A) ïîíèìàþò òó èëè èíóþ õàðàêòåðèñòèêó ýëåìåíòîâ ñîâîêóïíîñòè, îïèñûâàþùóþ íåêîòîðîå ñâîéñòâî èëè ñîñòîÿíèå íàáëþäàåìîãî ýëåìåíòà. Ïðèçíàê ìîæåò áûòü êîëè÷åñòâåííûì è êà÷åñòâåííûì. Ïðèìåðû: 1. Ïîë, ïðîôåññèÿ, ñîðò, öâåò è ò. ä. — êà÷åñòâåííûå ïðèçíàêè. 2. Ìàññà, ðîñò, îáúåì, çàðàáîòíàÿ ïëàòà, ïðèáûëü è ò. ä. — êîëè÷åñòâåííûå ïðèçíàêè. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Îñîáàÿ ãðóïïà ïðèçíàêîâ — ðàíãîâûå ïîêàçàòåëè. Èõ çíà÷åíèÿ óñòàíàâëèâàþòñÿ ïóòåì óïîðÿäî÷åííîãî ðàíæèðîâàíèÿ îáúåêòîâ ñîâîêóïíîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðûì ïðèçíàêîì è ïðèñâîåíèÿ êàæäîìó èç îáúåêòîâ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà ðàíãà. Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Êîëè÷åñòâåííûå ïðèçíàêè ìîãóò áûòü äèñêðåòíûìè è íåïðåðûâíûìè (íàïðèìåð, ðåçóëüòàòû ñ÷åòà (g) è ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé (n)). Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ïðîöåññ èçó÷åíèÿ ïðèçíàêîâ ýëåìåíòîâ ñîâîêóïíîñòè (èçìåðåíèå, ðåãèñòðàöèÿ, îïèñàíèå è ò. ä.) íàçûâàþò ñòàòèñòè÷åñêèì íàáëþäåíèåì. Ñïëîøíîå íàáëþäåíèå — èçó÷àåòñÿ êàæäûé ýëåìåíò ñîâîêóïíîñòè, âûáîðî÷íîå íàáëþäåíèå — èçó÷àåòñÿ âûáîðêà, ò. å. ÷àñòü ñîâîêóïíîñòè (âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü). Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå âñþ èñõîäíóþ ñîâîêóïíîñòü íàçûâàþò ãåíåðàëüíîé. Ðàñ÷ëåíåíèå ñîâîêóïíîñòè, ïðè êîòîðîì ãðóïïû áóäóò ñîñòîÿòü èç îäíîðîäíûõ ýëåìåíòîâ, íàçûâàþò ãðóïïèðîâêîé. Ïîðÿäîê îðãàíèçàöèè ñòàòèñòè÷åñêîãî íàáëþäåíèÿ: à) ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è; á) îïðåäåëåíèå ïðèçíàêà, êîòîðûé èçó÷àåòñÿ; â) îïèñàíèå ãðàíèö ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè; ã) çàäàíèå ñïîñîáà ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé (ñïëîøíîå èëè âûáîðî÷íîå); ä) âûáîð ïðàâèëà îòáîðà ýëåìåíòîâ ñîâîêóïíîñòè; å) âûáîð ñïîñîáà ðåãèñòðàöèè äàííûõ è çàäàíèå íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè èçìåðåíèé. Îñíîâíûå òðåáîâàíèÿ ê ñîâîêóïíîñòè: 1) îäíîðîäíîñòü; 2) ñîïîñòàâèìîñòü, ò. å. ïðàêòè÷åñêàÿ íåðàçëè÷èìîñòü ýëåìåíòîâ ïî äðóãèì, êðîìå èçó÷àåìîãî, ïðèçíàêàì. 97

×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà

12.2. Ðàñïðåäåëåíèå êà÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü {ℜi }1 — ñîâîêóïíîñòü, À — àëüòåðíàòèâíûé ïðèçíàê, ò. å. À — íàëè÷èå ïðèçíàêà, A — îòñóòñòâèå ïðèçíàêà äëÿ èçó÷àåìûõ ýëåìåíòîâ ℜi . Òîãäà ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ, ïðåäñòàâëÿåìûå â âèäå 2-õ ðàçðÿäíîé ãðóïïèðîâêè n

ℜi

1

2

3

4

... n

Ðåçóëüòàò íàáëþäåíèé

À

A

À

A

... A

Âàðèàíòà

À

A

Σ

×àñòîòà

mA

mA

n

: m A + m A = n,

íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèåì àëüòåðíàòèâíîãî ïðèçíàêà. Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû

mA m A è íàçûâàn n

þò äîëÿìè ïðèçíàêà. Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñêîëüêî âàðèàöèé ïðèçíàêà À, òî ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ìíîãîðàçðÿäíîé ãðóïïèðîâêè Âàðèàíòà ×àñòîòà

A1

A2

… AS

Σ

m1

m2

… mS

n

S

, ãäå

∑m

i

= n,

1

êîòîðóþ òàêæå íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèåì ïðèçíàêà À. Î ï ð å ä å ë å í è å 6 . Ïóñòü {ℜi }1 — ñîâîêóïíîñòü; À è Â — àëüòåðíàòèâíûå ïðèçíàêè äëÿ ýëåìåíòîâ. Òîãäà ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ â âèäå ãðóïïèðîâêè 2-ãî ïîðÿäêà íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèåì äâóõ àëüòåðíàòèâíûõ ïðèçíàêîâ: n

98


Â

Â

B

Σ

À

m AB

m AB

mA

A

m AB

m AB

mA

Σ

mB

mB

n

A m A + m A = n; mB + mB = n  m AB + m AB = m A ; m AB + m AB = mB  m AB + m AB = m A ; m AB + m AB = mB

Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Åñëè ïðèçíàêè À è Â èìåþò âàðèàöèè ïî ãðóïïàì s è t, òî ãðóïïèðîâêà 2-ãî ïîðÿäêà äëÿ íàáëþäåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðèöó s × t ïîðÿäêà, êîòîðóþ íàçûâàþò òàáëèöåé âçàèìîñîïðÿæåííîñòè.

12.3. Ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ Î ï ð å ä å ë å í è å 7 . Êàæäîå îòäåëüíîå çíà÷åíèå ïðèçíàêà Õ ýëåìåíòîâ íàçûâàþò âàðèàíòîé Xi, à èçìåí÷èâîñòü âåëè÷èíû ïðèçíàêà âàðèàöèåé. Î ï ð å ä å ë å í è å 8 . Ãðóïïèðîâêà ñîâîêóïíîñòè ïî îòäåëüíûì âàðèàíòàì íàçûâàåòñÿ ïåðâè÷íîé îáðàáîòêîé äàííûõ íàáëþäåíèé. Ïðè ýòîì ÷èñëî ïîâòîðåíèé mi âàðèàíò Xi íàçûâàþò ÷àñòîòîé âàðèàíòû Xi (ñòàòèñòè÷åñêèé âåñ), à îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó wi=mi/n — ÷àñòîñòüþ. Î ï ð å ä å ë å í è å 9 . Óïîðÿäî÷åííàÿ ñîâîêóïíîñòü âàðèàíò ïðèçíàêà (X1<X2 0.

à)

ν = 1⇒ Xa =

1 n ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ, ãäå Xi — ∑Xm i i— n i=1

çíà÷åíèå ïðèçíàêà â äèñêðåòíîì âàðèàöèîííîì ðÿäå èëè ñåðåäèíû èíòåðâàëîâ â èíòåðâàëüíîì âàðèàöèîííîì ðÿäå. 101


á) ν = −1 ⇒ X−1 =

∑m m ∑X

i

— ñðåäíÿÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ

i i

  =   

  n ïðè mi = 1. 1  ∑X  i 

 ∑ Xi2 ⋅ mi â) ν = 2 ⇒ X2 =   ∑ mi 

1

2  — ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ.  

ã) ν = 0 ⇒ X0 = n X1m1 ⋅ X2m2 ⋅…⋅ Xnmn = n ∏ Ximi — ñðåäíÿÿ ãåîìåòi

ðè÷åñêàÿ (ïðè àíàëèçå âðåìåííûõ ðÿäîâ). Ñâîéñòâî ìàæîðàíòíîñòè ñðåäíèõ: X−1 ≤ X0 ≤ X1 ≤ X2 ≤ … (Òåîðåìà Áîÿðñêîãî). Ç à ì å ÷ à í è å 7 . Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ïðèìåíÿþò ñòðóêòóðíûå èëè ïîðÿäêîâûå ñðåäíèå: ìåäèàíó è ìîäó, ïîëüçóÿñü ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F*(x) è ìàêñèìàëüíîé ÷àñòîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî. Ìå — çíà÷åíèå ïðèçíàêà, ïðèõîäÿùåãîñÿ íà ñåðåäèíó ðàíæèðîâàííîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà. Ìî — çíà÷åíèå ïðèçíàêà, íàáëþäàåìîãî íàèáîëüøåå ÷èñëî ðàç. (2) Õàðàêòåðèñòèêè ðàññåÿíèÿ à) Ðàçìàõ âàðüèðîâàíèÿ R = Xmax – Xmin. á) Ñðåäíåå ëèíåéíîå îòêëîíåíèå Ea = â) Äèñïåðñèÿ D = σ 2 =

102

(

)

2 1 n ∑ Xi − X mi . n i =1

1 n ∑ Xi − X mi . n i =1


ã) Ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå σ = D . ä) Êîýôôèöèåíò âàðèàöèè V =

σ X

100% ïðè X ≠ 0.

(3) Ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ, õàðàêòåðèñòèêè ôîðìû à) Ìîìåíò k-ãî ïîðÿäêà: Mk ( c ) =

1 n k ∑ ( Xi − c ) mi . n i =1

á) Ïðè c = 0 èìååì íà÷àëüíûé ìîìåíò: α k =

1 n k ∑ Xi mi . n i =1

â) Ïðè c = Xa èìååì öåíòðàëüíûé ìîìåíò:

µk = ã) Àñèììåòðèÿ A =

(

1 n ∑ Xi − Xa n i =1

)

k

mi .

µ3 µ = 3/3 2 . 3 σ µ2

ä) Ýêñöåññ (êðóòèçíà) Ý =

µ4 µ − 3 = 42 − 3. 4 σ µ2

Ç à ì å ÷ à í è å 8 . Äëÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê (1)–(3) cïðàâåäëèâû âñå óòâåðæäåíèÿ äëÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàññìîòðåííûå ðàíåå. Ç à ì å ÷ à í è å 9 . Åñëè ñîâîêóïíîñòü ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ ãðóïï, òî èìååòñÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó îáùèìè è ãðóïïîâûìè ñðåäíèìè è äèñïåðñèÿìè:

X=

1 1 Xk ⋅ nk è D = ∑ Dk ⋅ nk + Dì ãð Xk , ãäå ∑ n k=1 n k=1

( )

— ÷èñëî ãðóïï, nk — ÷èñëåííîñòü ãðóïï ( n =

∑ n ), k

k=1

Xk è Dk — ãðóïïîâûå õàðàêòåðèñòèêè,

( )

Dì ãð Xk — ìåæãðóïïîâàÿ äèñïåðñèÿ.

( )

Dì ãð Xk =

2 1 Xk − X mk . ∑ n k=1

(

)

103

13. Ââåäåíèå â òåîðèþ âûáîðî÷íîãî ìåòîäà 13.1. Âûáîðî÷íûå íàáëþäåíèÿ Èçó÷åíèå âñåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàíî ñ áîëüøèìè çàòðàòàìè. Ïîýòîìó ÷àùå âñåãî èçó÷àþò òîëüêî ÷àñòü ñîâîêóïíîñòè èç ãåíåðàëüíîé, à ýòî ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì ñëåäóþùèõ çàäà÷: 1) êàê îðãàíèçîâàòü âûáîðî÷íîå íàáëþäåíèå, ÷òîáû ïîëó÷èòü íàèáîëüøóþ èíôîðìàöèþ (ïîëíóþ) — ïðîáëåìà ðåïðåçåíòàòèâíîñòè âûáîðêè; 2) êàê íàèëó÷øèì îáðàçîì èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû âûáîðêè ïðîáëåìà îöåíêè. Ïî ðåçóëüòàòàì âûáîðî÷íîãî íàáëþäåíèÿ òðåáóåòñÿ âûñêàçàòü îïðåäåëåííûå ñóæäåíèÿ î ãåíåðàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè, ïî êîòîðîìó îáû÷íî äåëàþòñÿ íåêîòîðûå àïðèîðíûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Ñïîñîáû ôîðìèðîâàíèÿ âûáîðêè: 1) Ñëó÷àéíûé îòáîð — ïóòåì æåðåáüåâêè èëè ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. 2) Íåñëó÷àéíûé îòáîð, íàïðèìåð, ñåðèéíûé (ãíåçäîâîé) — ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòáèðàþòñÿ ãðóïïû, ìåõàíè÷åñêèé — óïîðÿäî÷åííûå ýëåìåíòû îòáèðàþòñÿ ïî óñòàíîâëåííîìó ïðèçíàêó. Âñåãäà ñòðåìÿòñÿ ê ñëó÷àéíîìó îòáîðó. Ñëó÷àéíûé îòáîð ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñõåìå âîçâðàòíîé è áåçâîçâðàòíîé âûáîðêè (âîçâðàùåííûé è íåâîçâðàùåííûé øàð).

13.2. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè è òðåáîâàíèÿ ê íèì Ïîñêîëüêó ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé (íàáëþäåíèé) íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F(x), òî ýòó ôóíêöèþ è áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïî ðåçóëüòàòàì îäíîé ñëó÷àéíîé âûáîðêè âûïîëíèòü ñëåäóþùåå: 1) îöåíèòü äîñòàòî÷íî òî÷íî çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ õàðàêòåðèñòèê (ïàðàìåòðîâ) ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; 2) ëèáî îöåíèòü èíòåðâàë, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòèêè (ïàðàìåòðà) ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ. Â ñèëó ñëó÷àéíîñòè îòáîðà âîçâðàòíóþ âûáîðêó îáúåìà n ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñõåìó n ïîâòîðíûõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, ãäå 104

13. Ââåäåíèå â òåîðèþ âûáîðî÷íîãî ìåòîäà

)

(

ðåçóëüòàòû êàæäîãî èñïûòàíèÿ j ∈ 1,n  åñòü íåçàâèñèìûå îäèíà  êîâî ñ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj, ò. å. Fj(xj, θ) = F(x, θ) è F(x(1),…, x(n), θ) = F(x(1), θ)...F(x(n), θ). Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ïóñòü F(x, θ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì θ. Èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ — âûáîðêè θ n ( X1 ,..., Xn ), çíà÷åíèå êîòîðîé ïðèíèìàåòñÿ çà íàèëó÷øåå â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðèáëèæåíèÿ ê çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà θ, íàçûâàåòñÿ òî÷å÷íîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ. Â ñèëó ñëó÷àéíîñòè âûáîðêè òî÷å÷íàÿ îöåíêà åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Èçìåðèìóþ ôóíêöèþ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé f(X1,…,Xn) íàçûâàþò ñòàòèñòèêîé. Ïîýòîìó θ n — åñòü ñòàòèñòèêà. Ïðèìåðû òî÷å÷íûõ îöåíîê: n =1 X; 1. Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ X n ∑ i n i =1

(

)

2 1 n . Xi − X n ∑ n i =1 Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Òî÷å÷íàÿ îöåíêà θ n ïàðàìåòðà íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê èñòèííîìó çíà-

2. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ sn2 =

Âåð

{

}

÷åíèþ ïàðàìåòðà, ò. å. θ n →θ , èëè lim P θ n − θ < ε = 1 äëÿ ∀ε > 0. n →∞

Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Òî÷å÷íàÿ îöåíêà θ n — íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííîé, åñëè ïðåäåë ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé îöåíîê ñîâïàäàåò ñ èñòèííûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà, ò. å. lim Eθ n = θ , n →∞

è íåñìåùåííîé, åñëè ñîîòâåòñòâåííî Eθ n = θ . Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Íåñìåùåííóþ òî÷å÷íóþ îöåíêó θ n íàçûâàþò ýôôåêòèâíîé (äîïóñòèìîé), åñëè äèñïåðñèÿ îöåíêè ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé (èç äèñïåðñèé âñåõ íåñìåùåííûõ îöåíîê ýòîãî ïàDθ n , ãäå θ n — ëþáàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíðàìåòðà), ò. å. Dθ n = min

êà θ ïðè Fn* ( x, θ ).

θn

105


Ýòà îöåíêà ðåàëèçóåò ðàâåíñòâî â âûðàæåíèè

Dθ n ≥

1  ∂ ln p ( x, θ )  n ⋅ E   ∂θ  

2

— íåðàâåíñòâî Ðàî-Êðàìåðà (äëÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ íåçàâèñèìûõ âûáîðîê).

êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè Ôèøåðà

Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Ñòàòèñòèêà — òî÷å÷íàÿ îöåíêà θ n — íàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íîé, åñëè âûáîðî÷íûå äàííûå íå ìîãóò äàòü äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î ïàðàìåòðå θ. Èíà÷å: óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè âûáîðêè ïðè èçâåñòíîì θ n íå çàâèñèò îò θ. Òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê òî÷å÷íûì ñòàòèñòè÷åñêèì îöåíêàì: à) ñîñòîÿòåëüíîñòü; á) íåñìåùåííîñòü; â) ýôôåêòèâíîñòü; ã) äîñòàòî÷íîñòü. Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Â ñèëó ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà âûáîðêè òî÷å÷íàÿ îöåíêà θ n åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à òîãäà âåëè÷èíà δ ≡ θ − θ n , íàçûâàåìàÿ îøèáêîé âûáîðêè, òîæå åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Î ï ð å ä å ë å í è å 6 . Ïóñòü θ n — åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p(θ ), òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà δ ≡ θ − θ n èìååò òî æå ðàñïðåäåëåíèå. Åñëè çàäàíà âåðîÿòíîñòü P(–ε1< δ < ε2) = 1– a, ãäå (–ε1, ε2) — èíòåðâàë, à âåëè÷èíà α — áëèçêàÿ ê íóëþ (α > 0), òî ñ ó÷åòîì çíà÷åíèÿ δ ýòó âåðîÿòíîñòü ìîæ-

(

)

íî ïåðåïèñàòü êàê P θ n − ε1 < θ < θ n + ε2 = 1 − α . Òîãäà èíòåðâàë

(θ

n

)

− ε1 , θ n + ε2 íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ñ äîâå-

(

) (

)

ðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè θ n − ε1 è θ n + ε2 ; âåðîÿòíîñòü P = 1– α íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, α — óðîâíåì çíà÷èìîñòè.

106

13. Ââåäåíèå â òåîðèþ âûáîðî÷íîãî ìåòîäà

Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Â îòëè÷èå îò âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë çäåñü èìååò ìåñòî âåðîÿòíîñòü âêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû θ â èíòåðâàë ñî ñëó÷àéíûìè ãðàíèöàìè.

(

Î ï ð å ä å ë å í è å 7 . Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë θ n − ε1 , θ n + ε 2

)

íàçûâàþò èíòåðâàëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ. Òàêèì îáðàçîì, ïîä èíòåðâàëüíîé îöåíêîé ïîíèìàþò èíòåðâàë ñî ñëó÷àéíûìè ãðàíèöàìè, êîòîðûé âêëþ÷àåò â ñåáÿ íåèçâåñòíûé îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ. Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Åñëè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè θ n íóæíî çíàòü âèä ôóíêöèè îò âûáîðêè, òî äëÿ èíòåðâàëüíîé íóæíî çíàòü åùå çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ θ n , êîòîðûé îáû÷íî çàäàåòñÿ. Î ï ð å ä å ë å í è å 8 . Ïðè ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ θ n îòíîñèòåëüíî θ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñèììåòðè÷íûé

(

)

èíòåðâàë (ε, ε), ò. å. P θ − θ n < ε = 1 − α , òîãäà ε íàçûâàþò ïðåäåëüíîé îøèáêîé âûáîðêè. Ç à ì å ÷ à í è å 5 . Ïðè èíòåðâàëüíîé îöåíêå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ çàäà÷è: 1) îïðåäåëåíèå äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè ïî çàäàííîìó èíòåðâàëó è îáúåìó âûáîðêè; 2) îïðåäåëåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïî çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè è îáúåìó âûáîðêè; 3) îïðåäåëåíèå îáúåìà âûáîðêè ïî çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè è äîâåðèòåëüíîìó èíòåðâàëó.

107

14. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê 14.1. Ìåòîäû íàõîæäåíèÿ îöåíîê Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ê âûáîðó ôóíêöèè îò íàáëþäåíèé äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðè óäîâëåòâîðåíèè òðåáîâàíèé ê ñòàòèñòèêå: 1) èç çàäàííûõ òðåáîâàíèé âûâîäèòñÿ ôîðìóëà äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè (îáû÷íî çàäàåòñÿ âèä ôóíêöèè). Íàïðèìåð, êëàññ ëèíåéíûõ îöåíîê θ = ∑ ai Xi . Äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæèòü ñóùåñòâîâàíèå è êîíå÷íîñòü ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé è äèñïåðñèè; 2) ñòàòèñòèêà âûáèðàåòñÿ ïî íåêîòîðûì ñîîáðàæåíèÿì, à çàòåì ïðîâåðÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ. Ïðè ïîñëåäíåì ïîäõîäå èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû âûáîðà ôóíêöèé: (1) Ìåòîä àíàëîãèè. Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âûáèðàþòñÿ àíàëîãè÷íûå ïàðàìåòðû âûáîðî÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ îöåíîê äîëè ïðèçíàêà, ñðåäíåé è äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èñïîëüçóåòñÿ âûáîðî÷íàÿ äîëÿ

θ = p =

1 m , âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ X n = ∑ Xi , âûáîðî÷íàÿ äèñn i n

ïåðñèÿ: sn2 =

(

)

2 1 n . Ïðè ïðîâåðêå òðåáîâàíèé îöåíêà Xi − X n ∑ n i

sn2 îêàçûâàåòñÿ ñìåùåííîé è ïîýòîìó äîëæíà áûòü óìíîæåíà

íà êîððåêòèðóþùèé ìíîæèòåëü

n . n −1

(2) Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ìèíèìèçèðóåòñÿ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé âûáîðî÷íûõ äàííûõ îò îïðåäåëÿåìîé îöåíêè.

108

14. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê

Ïðèìåð 1. n

U = ∑( Xi − θ ) ; 2

i =1

(

)

n dU 1 n =0 = −2∑ Xi − θ n = 0∴ θ n = ∑ Xi = X n dθ θ =θ n n i =1 i =1

(îöåíêà äëÿ ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé). Èñêîìàÿ îöåíêà åñòü ñðåäíÿÿ âûáîðî÷íàÿ. (3) Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïóñòü p(x, θ) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Òîãäà äëÿ âîçâðàòíîé ñëó÷àéíîé âûáîðêè, ðàññìàòðèâàåìîé ïî ñõåìå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, èìååò ìåñòî

(

) (

) (

)

(

)

p x(1) , ..., x( n ) , θ = p x(1) , θ ⋅ p x(2) , θ ⋅ ... ⋅ p x( n ) , θ , ãäå x(1) , ..., x( n ) — åñòü ïåðåìåííûå, à θ — çàäàííûé ïîñòîÿííûé ïàðàìåòð. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ôóíêöèÿ âèäà

(

) (

) (

)

(

)

p x(1) , ..., x( n ) , θ = p x(1) ,θ ⋅ p x(2) ,θ ⋅ ... ⋅ p x(n ) ,θ = = px1 (θ ) ⋅ px2 (θ ) ⋅ ... ⋅ pxn (θ ),

ãäå x1,…,xn ôèêñèðîâàíû, à θ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ âûáîðêè. Ïóñòü

(

)

(

n

)

n

L ( x1 , ..., xn ,θ ) ≡ ln p x(1) , ..., x( n ) ,θ = ∑ ln p x( i ) ,θ =∑ ln pxi (θ ). dL( Òîãäà θ èùåòñÿ èç óñëîâèÿ: dθ

i =1

) =0= θ = θ

n

1

∑ p (θ ) ⋅ i =1

xi

i =1

dpxi (θ ) dθ

.

Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Â ñëó÷àå îöåíêè íåñêîëüêèõ ïàðàìåòðîâ θ1, ..., θn î÷åâèäíî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ìàêñèìóìà L ÿâëÿåòñÿ

∂L = 0 ; i = 1, ..., n. ∂θ i

109


Ïðèìåð 2. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì

pN ( x ) =

1

σ 2π

e

−

( x − x )2 2σ 2

2 , ãäå θ1 = X, θ 2 = σ .

Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âîçâðàòíîé âûáîðêè:

pN ( x1 , ..., xn , θ1 , θ2 ) =

1

(2πθ )

n

⋅e

−

∑ ( xi −θ1 )

2

2θ2

.

2

2

(x −θ ) n ( ln2π + lnθ2 ) − ∑ i 1 . 2 2θ 2 2

L(

à) ∂L ∂θ1

= θ1 =θ 1

)=−

)

(

1 1 2 Xi − θ 1 = 0 ⇒ θ 1 = ∑ Xi ∴θ 1 = X ∑ 2θ2 n

âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ. á) ∂L ∂θ2

=

=− θ2 = θ 2 ,θ1 = θ 1

(

1 ∑ Xi − θ 1 n

)

2

(

n 1 + 2 ∑ Xi − θ 1 2θ 2 2θ 2 =

(

1 Xi − X ∑ n

)

2

= 0 ⇒ θ 2 =

) =s 2

2 n

âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.

14.2. Îöåíêà äîëè ïðèçíàêà Ïðè îöåíêå äîëè ïðèçíàêà À èìååì ãåíåðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ äîëåé p. Âîçâðàòíàÿ âûáîðêà îáúåìà n ñíîâà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê n ïîâòîðíûõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, è âåðîÿòíîñòü ïîëóm ÷èòü âûáîðêó ñ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé ïðèçíàêà p = ìîæíî n îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå: Pn ( m ) = Cnm pm ⋅ qn − m = Cnm pm (1 − p )

110

n −m

.


Ïóñòü p — îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð, òîãäà ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ: n −m m  m  p  , θ  = Cnmθ m (1 − θ ) è L  ,θ  = ln Cnm + m lnθ + ( n − m ) ln (1 − θ ) n n   

m n −m m m ∂L è p = . = − = 0 ⇒ θ = n n ∂θ θ =θ θ 1 −θ

Ýòà òî÷å÷íàÿ îöåíêà ïðîâåðÿåòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèå òðåáîâàíèÿ: m 1) Ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè p = ñëåäóåò èç çàêîíà áîëüøèõ n ÷èñåë (ÇÁ×) â ôîðìå Áåðíóëëè. m 2) Íåñìåùåííîñòü îöåíêè: E p = E   = p. n 3) Äîñòàòî÷íîñòü îöåíêè ñëåäóåò èç óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, îïðåäåëÿåìîé êàê îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòè îäíîé äàííîé âûáîðêè pm .qn–m ê âåðîÿòíîñòè ëþáîé âûáîðêè Cnm pm ⋅ qn − m

è ðàâíîé

1 (íå çàâèñèò îò p). Ñnm

4) Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî p åñòü ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà. Ïðè íàõîæäåíèè ïðåäåëüíîé îøèáêè âûáîðêè èñïîëüçóåòñÿ èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà

(

)

P p − ε1 < p < p + ε 2 = 1 − α ; p − ε1 ≡ p1 è p + ε 2 ≡ p2 . Ïðè âûáîðêå îáúåìà n < 20 èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ðàñ÷åòà ïî áèíîìèàëüíîìó çàêîíó, ñóùåñòâóþò òàáëèöû äëÿ îïðåäåëåíèÿ p1 è p2 ïî äàííûì α, n, p. Ïðè np ≥ 10, ò. å. ïðè n ≥ 20 èñïîëüçóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà Ëàïëàñà, à ïðè ìàëûõ p àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà Ïóàññîíà:

(

)

()

P p − p < εα = 2Φ ( zα ) = 1 − α ïðè εα = zα σ p ;

()

σ p =

pq ≈ n

(

p 1 − p n

). 111


14.3. Òî÷å÷íûå îöåíêè äëÿ ñðåäíåé è äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Ïóñòü X è σ2 — ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Âûáîðêà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñèñòåìà n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ è ñîâïàäàþùèõ ñ ãåíåðàëüíûì:

EXi = X è DXi = σ 2 . Âîçâðàòíàÿ âûáîðêà îáúåìà n, ãäå Xi — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. (1) Äëÿ îöåíêè ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé X âûáåðåì ñòàòèñòèêó

≡ . Ïóñòü ñòàòèñòèêà θ = X θ =X n n

1 n ∑ Xi — âûáîðî÷íàÿ ñðåän i =1

íÿÿ. Òîãäà äëÿ íåå:

1 nX =1E EX Xi ) = ∑ EXi = = X, n ( ∑ n n n 1 nσ 2 σ 2 = 1 D DX X DX = = n ( ) ∑ i n2 ∑ i n2 = n . n2

Âåð. Â ñèëó ÇÁ× (òåîðåìà ×åáûøåâà) X n → X îöåíêà ñîñòîÿòåëüíà, à íåñìåùåííîñòü ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà. Äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ýòà îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, ÷òî ïðîâåðÿåòñÿ ÷åðåç íåðà . âåíñòâî Ðàî-Êðàìåðà. Òàêèì îáðàçîì X ≈ X n

(2) Äëÿ îöåíêè ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè âûáåðåì ñòàòèñòèêó:

θ = sn2 ≡

(

1 n ∑ Xi − X n

) = n1 ∑ X 2

n

2 i

— −X âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ. n 2

i =1

n n =1 X èX 2 = 1  X2 + X X  Ñ ó÷åòîì X n n  ∑ ∑ ∑ i i i j n i =1 n2  i =1 i≠ j 

èìååì sn2 =

112

n −1 n 2 1 ∑ Xi − n2 n2 i =1

∑X X . i

i≠ j

j


Ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà äèñïåðñèè DX=D(X+C) èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñïðàâà èç âñåõ Xi è Xj ìîæíî âû÷åñòü X. È òîãäà, ïðîâåðÿÿ ñòàòèñòèêó íà ñìåùåííîñòü, ïîëó÷èì

Esn2 =

n −1 n ∑ E Xi − X n2 i =1

(

)

2

−

(

)(

)

1 ∑ E Xi − X Xj − X = n 2 i, j i≠ j

=

n −1 n −1 2 σ . ⋅ nσ 2 = n n2

1 Ñòàòèñòèêà îêàçàëàñü ñìåùåííîé (ñìåùåíèå a = − σ 2 ). Îáû÷n íî ââîäèòñÿ «ñêîððåêòèðîâàííàÿ» âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ:

(

)

2 n 2 1 n . sn = Xi − X n ∑ n −1 n − 1 i =1 Ýòà îöåíêà íå ñìåùåíà, è â ñèëó ÇÁ× ñîñòîÿòåëüíà. Òàêèì îá-

s2 ≡

ðàçîì, σ 2 ≈ s2 . n ≈ 1 ⇒ s2 ≈ sn2 . n −1 Áåçâîçâðàòíàÿ âûáîðêà. Òî÷å÷íàÿ îöåíêà ñðåäíåãî íå èçìå-

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Ïðè áîëüøèõ n:

íèòñÿ, à äëÿ äèñïåðñèè çàìåíèòñÿ íà s′2 =

N −1 2 s , ãäå N — îáúåì N

ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.

( )

2 1 n −3 4  = N −n ⋅σ D′ X n σ . è D s2 =  µ4 − N −1 n n n − 1 

( )

15. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ 15.1. Îöåíêè ñðåäíåé è äèñïåðñèè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè À. Îöåíêà ñðåäíåé ïðè èçâåñòíîé ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè σ 2. (x − X )

2

Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü: p ( x ) =

1

σ 2π

e

−

2σ 2

.

= 1 X åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 1) Îöåíêà X n ∑ i n i =1 n

2 ∈ N  X , σ . X n   n  

− X òîæå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à ïîòîìó 2) Òîãäà δ = X n

(

)

−X 0, ãäå K = 1: ∫ e 2 ⋅ y 2 dy. 0  0, x ≤ 0

Åñëè Xi óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì çàâèñèìîñòÿì, òî

pχ 2 ( x,ν ) = K e

−

x 2

ν

−1

⋅ x 2 , ãäå ν = n − l — ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû Xi. Eχ 2 = ν ; Dχ 2 = 2ν . Ïðè ν ≥ 30 χ2 ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó.

(2) — Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (t-ðàñïðåäåëåíèå). Ïóñòü Z∈N(0, 1), U — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èç χ2-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ν ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Âåëè÷èíà T =

Z ν ïîä÷èíÿåòñÿ t-ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïëîòíîñòüþ U

 t2  ps ( t,ν ) = B  1 +  ν  

−

ν +1 2

∞

 q2  , ãäå B = 1: ∫  1 +  ν  −∞ 

−

ν +1 2

dq.

115


ET = 0; D (T ) =

ν . Ïðè ν ≥ 20 t-ðàñïðåäåëåíèå ñòðåìèòñÿ ê ν −2

íîðìàëüíîìó. Òîãäà:

t  r2  P (T < t ) = S ( t,ν ) = B ∫  1 + ν  −∞   Ââåäåì ñòàòèñòèêó T ≡

−

ν +1 2

dr ≈ 0,5 + Φ ( t ).

−X X n n . Ýòî åñòü ñòàòèñòèêà Ñòüþs

äåíòà ñî ñòåïåíüþ ñâîáîäû ν = n − 1. Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ S(t, n) = P(T < t) àíàëîãè÷-

X  n −X íî ôîðìóëå Ëàïëàñà P  s  

{

  n < t  = 2S ( t,ν ) − 1 = 1 − α èëè  

}

−ε < X < X + ε = 2S t,ν − 1, ãäå ε = ts . P X n n ( ) n

Òîãäà S ( t,ν ) = 1 − −1

α 2

 α  ⇒ tα = S−1  1 − ,ν . Äàëåå àíàëîãè÷íî ï. À, 2  

ñëó÷àè I–III. Â ñëó÷àå III èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Âíà÷àëå íàõîäÿò n1 ïðè σ2=s2. Ïî n1 è ν1=n1–1, çàäàííîìó Ð=1–α, îïðåäåëÿþò t1 è âû÷èñëÿþò n2 = Ñ.

ε2

è ò. ä.

Îöåíêè äèñïåðñèè. Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà äèñïåðñèè. Ââåäåì ñòàòèñòèêó χ 2 =

s2

σ2

( n − 1). Îíà ïîä÷èíÿåòñÿ χ2-ðàñïðå-

äåëåíèþ ñ ν = n –1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.

116

t12 s2

15. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ

(

)

Òîãäà P u1 < χ 2 < u2 = Fχ 2 ( u2 ,ν ) − Fχ 2 ( u1 ,ν ). Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ èíòåðâàëà ñëåâà èìååì

 s2 ( n − 1) s2 ( n − 1)  P a∴ P  >θ 2  = 0,5 −Φ ( z ) =α , ïî òàáëèöå íàn 

õîäèòñÿ zα, à çàòåì θ 2 = à + za

à (1 − à ) n

; H0 îòêëîíÿåòñÿ, åñëè

m âûáîðî÷íàÿ ÷àñòîñòü θ = >θ 2 . n

2.

Ñðàâíåíèå äîëè ïðèçíàêà â äâóõ ñîâîêóïíîñòÿõ. m1 m2 , — ÷àñòîñòè îäíîãî è òîãî æå ïðèçíàêà â äâóõ ñîâîêóïn1 n2

íîñòÿõ èç n1 è n2 åäèíèö. Ãèïîòåçû H0:{îáå ñîâîêóïíîñòè} èç îäíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ äîëåé p. Í1: ñîâîêóïíîñòè íå èç îäíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. à) Áîëüøèå âûáîðêè. n1, n2 > 30 ∴ Ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòîñòåé áëèçêî ê íîðìàëüíîìó. Îíè íå ñìåùåíû E

m1 m =E 2 = p n1 n2

 m  p (1 − p ) m è èìåþò äèñïåðñèè: σ 2  1  = èσ 2  2 n n 1  1   n2

124

 p (1 − p ) . = n2 

17. Ïðîâåðêà ïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåç

Ïðèíèìàåì ñòàòèñòèêó: θ ≡

(

)

m1 m2 − ∴θ ∈N 0, σ 2 (θ ) , ãäå n1 n2

 m1  2  m2   1 1   +σ   = p (1 − p )  + .  n1   n2   n1 n2 

σ 2 (θ ) =σ 2 

Ïóñòü P{ θ < zα σ (θ )} = 2Φ ( z ) =1 −α . 2

Îòêóäà θ1,2 = ∓ zα

2

1 1  p (1 − p )  +  , ãäå îöåíêà p ïðîèçâåäå n1 n2 

íà ïî äâóì âûáîðêàì p =

m m m1 + m2 . Òîãäà èìååì θ = 1 − 2 n1 n2 n1 + n2

è ïðàâèëî ïðîâåðêè: θ ∈(θ1 ,θ 2 ) ⇒ H0 íå îòâåðãàåòñÿ. á) Ìàëûå âûáîðêè. (Èñïîëüçóåòñÿ χ2-ñòàòèñòèêà Ïèðñîíà).

17.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç îòíîñèòåëüíî ñðåäíåé 1.

Ñðàâíåíèå ñðåäíåé ñ íîðìàòèâîì.

H0 : X = a (ò. å. ãåíåðàëüíàÿ ñðåäíÿÿ ðàâíà çàäàííîìó ÷èñëó à). Äâà ñëó÷àÿ: à) Áîëüøàÿ âûáîðêà, è ãåíåðàëüíàÿ äèñïåðñèÿ σ2 èçâåñòíà. Òîãäà â ñèëó öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû âûáîðî÷ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó. íàÿ ñðåäíÿÿ X n

Çäåñü êðèòåðèé ïðîâåðêè z =

−a X n (íîðìèðîâàííîå îòêëî σ X

( ) n

íåíèå). Òîãäà z∈N(0,1). Çàäàâøèñü óðîâíåì çíà÷èìîñòè α,

{

íàéäåì äëÿ Í1 : X ≠ à èç P z < zα

 1 −α zα =Φ −1  2  2

2

}=2Φ (z ) =1−α çíà÷åíèå α

2

 . Òîãäà êðèòè÷åñêèå òî÷êè z1 =− zα 2 ; z2 =+ zα 2 .  125


(

)

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè z ∈ − zα , zα , òî 2

2

H0 íå îòêëîíÿåòñÿ. Äëÿ àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç H1 : X

> a ïðîèçâîäèòñÿ îäíî
à, òîãäà β îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ β = P{|z| < zα}. Ïåðåéäÿ îò z ê íîðìèðîâàííîìó îòêëîíåíèþ îò íîâîãî öåíòðà à1, èìååì: z′ =

−a −a a−a X a − a1 X n n 1 1 = + = z + λ, λ ≡ . σ Xn σ Xn σ Xn σ X n

( ) ( ) ( )

( )

Òîãäà:

{

β = P z′ < zα

2

} {λ =P

− zα < z < λ + zα 2

2

} (λ ) (λ ) =Φ

+ zα

2

−Φ

− zα . 2

( )

íåèçâåñòíà. Ïðè íåèçâåñòíîé σ äëÿ á) Ìàëàÿ âûáîðêà, è σ X n

n > 30 åå ìîæíî çàìåíèòü íà âûáîðî÷íóþ íåñìåùåííóþ s=

1 n ( Xi − X ∑ n −1

) . Åñëè n < 30, òî óäîáíåå èñïîëüçîâàòü 2

t-ñòàòèñòèêó Ñòüþäåíòà ñ ν = n –1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû:

−a X n n , à äàëåå àíàëîãè÷íî ñõåìå à), çàìåíÿÿ â âûðàs æåíèè äëÿ âåðîÿòíîñòè ôóíêöèþ Ëàïëàñà ôóíêöèåé Ñòüþäåíòà (ï. 14.1). t=

2.

Ñðàâíåíèå ñðåäíèõ äâóõ ñîâîêóïíîñòåé.

Ïåðâàÿ ñîâîêóïíîñòü X, σ x   H0 : X = Y Âòîðàÿ ñîâîêóïíîñòü Y, σ y 

126

,s  Âûáîðêè n , X n1 x  1   Âûáîðêè n2 , Yn2 , sy


Èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà θ =

−Y X n1 n2 σ X −Y

(

n1

n2

)

. (Â äàëüíåéøåì èí-

äåêñû ïðè âûáîðî÷íûõ ñðåäíèõ îïóñêàåì.) Â ñèëó íåñìåùåííîñòè èY →E X èìååì Eθ = 0. Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè âûáîðîê n1 è n2 èìååì

) ( ) ( )

(

2 2 −Y =σ 2 X +σ 2 Y =σx +σy . σ2 X

n1

n2

Ïðåäïîëîæåíèå: σ x2 =σ y2 =σ 2 .

−Y X −Y = σ 2  1 + 1 , à ñòàòèñòèêà Òîãäà σ 2 X θ= .   1 1  n1 n2  + σ n1 n2

(

)

Ïðè n > 20 ÷ 30 X , Y è θ ðàñïðåäåëåíû ïðèáëèçèòåëüíî íîðìàëüíî.

+ ∑( X − X ) ∑ ( Y − Y ) 2

Ïîëàãàÿ σ 2 ≈ s2 =

i

2

i

n1 + n2 − 2

=

n1sx2 + n2 sy2 n1 + n2 − 2

,

áóäåì èìåòü íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííóþ ñòàòèñòèêó

θ =

−Y X n1sx2 + n2 sy2

.

n1 + n2 − 2 1 1 + n1 n2

.

Äàëåå ïðîâåðêà âåäåòñÿ îáû÷íûì îáðàçîì ñ ïðèìåíåíèåì ôóíêöèé Ëàïëàñà èëè Ñòüþäåíòà.

127


17.3. Ñðàâíåíèå äèñïåðñèé äâóõ íîðìàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé Ïåðâàÿ ñîâîêóïíîñòü íîðìàëüíàÿ, σ 12 Âòîðàÿ ñîâîêóïíîñòü − íîðìàëüíàÿ, σ 22 2 2 H : σ σ = 0 1 2 Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ s12 ïðè îáúåìå n1 Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ s22 ïðè îáúåìå n 2

Èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà F =

s12 , ãäå s12 > s22 (Ôèøåð–Ñíåäåêîð). s22

Ðàñïðåäåëåíèå ÔèøåðàÑíåäåêîðà. Ïóñòü U è V — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå χ2-ðàñïðåäåëåíèå ñî ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ν1 è n2, òîãäà F =

U V : çàâèñèò îò äâóõ ïàðàìåòðîâ ν1 è ν2 ñ ïëîò-

ν1 ν 2

ν +ν  − 1 2 ν1 2   − 1 ν C ⋅ x 2 1 + 1 x  ν  íîñòüþ pF ( x,ν1 ,ν2 ) =  . Ïðè ν1, ν2 >> 1∴ pF ≈ pN. 2  0, x < 0 

Èìååì ñòàòèñòèêó F =

s12 ν 1  ;  . Òîãäà ïîðÿäîê ïðîâåðêè ãèïîs22 ν 2 

òåçû H0: 1) Ïðè çàäàííîì α íàéäåì ïî òàáëèöå Ôèøåðà–Ñíåäåêîðà êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå Fα(P{F > Fα(α, ν1, ν2)} = α). 2 2 = s1 ≤ F , òî Í = s1 > F , òî Í îòêëîíÿåòñÿ; åñëè F 2) Åñëè F α α 0 0 s22 s22 íå îòêëîíÿåòñÿ.

Àëüòåðíàòèâíûå ãèïîòåçû: åñëè H1 :σ 12 ≠ σ 22 , òî èñïîëüçóåòñÿ äâóõñòîðîííèé êðèòåðèé, åñëè H1 :σ 12 > σ 22 , òî èñïîëüçóåòñÿ îäíîñòîðîííèé êðèòåðèé. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Ñðàâíåíèå äèñïåðñèé ïðîèçâîäèëîñü áåç ïðåäïîëîæåíèé î ñðåäíèõ. 128


Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Äëÿ ñðàâíåíèÿ (ðàâåíñòâà) äèñïåðñèé áîëåå äâóõ ñîâîêóïíîñòåé èñïîëüçóþòñÿ êðèòåðèè χ2-Ïèðñîíà, Áàðòëåòòà, Êîõðàíà, Õàðòëè è ò. ä., ãäå ââîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàòèñòèêè äëÿ äèñïåðñèé. Èõ íàçûâàþò òàêæå êðèòåðèÿìè îäíîðîäíîñòè.

17.4. Ñðàâíåíèå äâóõ çàâèñèìûõ âûáîðîê (ïàðíûå ñðàâíåíèÿ) Ïóñòü èìåþòñÿ äâà ðÿäà íàáëþäåíèé

X : X1 , X2 ,…, Xn Y : Y1 , Y2 ,…, Yn

è ïóñòü

íàáëþäåíèÿ ñâÿçàíû ïîïàðíî (íàïðèìåð, ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà äî è ïîñëå âíåäðåíèÿ íîâîé òåõíîëîãèè). Èìååì: n ñâÿçàííûõ ïàð (Xi, Yi). Çàäà÷à: óñòàíîâèòü, êîãäà ðàçëè÷èå ìåæäó Xi è Yi ìîæíî îòíåñòè çà ñ÷åò ñëó÷àéíûõ îòêëîíåíèé, à êîãäà çà ñ÷åò âëèÿíèÿ èçó÷àåìîãî ôàêòîðà. n

di ∑ i =1 Ââåäåì di ≡ Xi − Yi ∴ d n = . Ëîãè÷íî ïðîâåðèòü ãèïîòåçó n

H0 :d = 0 ïðîòèâ H1 :d

> 0 èëè H1 :d ≠ 0.
25 ñîäåðæèò îäíà è òà æå âûáîðêà; 2) íå ìåíåå 7 çíà÷åíèé îäíîé âûáîðêè ñ áîëüøèì ðàçìàõîì ëåæàò âíå ðàçìàõà äðóãîé âûáîðêè. á) Êðèòåðèé ìåäèàíû. Äëÿ îáúåäèíåííîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà èùåòñÿ Me, îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî íàáëþäåíèé â êàæäîé âûáîðêå, ìåíüøèõ è áîëüøèõ Me (m11, m12 — äëÿ ïåðâîé è m21, m22 — äëÿ âòîðîé), îïðåäåëÿþòñÿ òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû mij′ èç óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ìåäèàí âûáîðîê: m11 ′ = m12 ′ = 0,5n1 è m21 ′ = m22 ′ = 0,5n2 . Äàëåå îöåíèâàåòñÿ ðàñõîæäåíèå òåîðåòè÷åñêîé è îïûòíîé ÷àñòîò ñ ïîìîùüþ χ2 (ñì. ï. 16.1 — ñðàâíåíèå äîëåé äâóõ ìàëûõ âûáîðîê). â) Ðàíãîâûå êðèòåðèè. Êðèòåðèé Óèëêîêñîíà. Èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà çàìåíÿþòñÿ íà èõ ïîðÿäêîâûå íîìåðà — ðàíãè. Êðèòåðèé u =

()

( ), ( )

−E R R σ R

()

= n1 + n2 +1 , σ R = ãäå E R 2 130

( n1 + n2 +1) n2 12n1

.

18. Ýëåìåíòû íåïàðàìåòðè÷åñêîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ

— ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàíãà äëÿ íàáëþäåíèé îäíîé âûáîðêè R â îáúåäèíåííîì ðàíæèðîâàííîì ðÿäó ñ ðàíãîì R êàæäîãî çíà÷åíèÿ. Çäåñü ðàíãè èìåþò çíà÷åíèÿ 1, 2, ... , (n1 + n2). Ïðè ñâÿçàííûõ ðàíãàõ (îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà) íàçíà÷àåòñÿ ñðåäíèé ðàíã. Ýòî âëèÿåò òîëüêî íà

()

= σ R

(n

2

)

−1 n − ∑ T n i⋅ 2 , 12n1n n −1

ãäå n = n1 + n2; Ti = (ti –1)ti(ti + 1); ti — ÷èñëî ðàâíûõ ðàíãîâ â îäíîé «ñâÿçêå». N (0, 1). Çàäàåòñÿ α, îïðåäåëÿåòñÿ zα è ïðîâåÏðè n1, n2 ≥ 20 u∈ ?

ðÿåòñÿ u ∈( −zα , zα ). 2.

Ðàíãîâûé êðèòåðèé ïàðíûõ ñîïîñòàâëåíèé. Ïîïàðíî ñâÿçàííûå íàáëþäåíèÿ, êàê â ï. 17.4. Ðàçíîñòè |di| ðàñïîëàãàþò â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå. di = 0 íå ó÷èòûâàþòñÿ; min|di| ↔ 1. Ëþáîìó ðàíãó R ïðèïèñûâàþò ñîîòâåòñòâóþùèé çíàê di. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû ïî êðèòåðèþ Óèëêîêñîíà

u=

− E ( R) R

σ ( R)

— ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ðàíãîâ. , ãäå R

E ( R) =

n ( n +1) 4

σ 2 ( R) =

; σ 2 ( R) =

n ( n + 1)( 2n + 1)

n ( n + 1)( 2n + 1) 24

−

24 ∑Ti

;

48 ?

N(0, 1). Äàëåå ïî èçâåñòíîé ñõåìå: α → zα → u ∈( −zα , zα ). Ïðè n > 25 u∈

18.2. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû î ñîãëàñîâàííîñòè âûáîðî÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òåîðåòè÷åñêèì (ãåíåðàëüíûì). Îñîáîå çíà÷åíèå èìååò ïðîâåðêà ãèïîòåçû î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè H0 : Fn* ( x ) = F ( x ). 131


1.

Êðèòåðèé χ2 Ïèðñîíà. l

(m − m )

i =1

mi

2

χ2 =∑

i

i

, ãäå — ÷èñëî êëàññîâ (ãðóïï), íà êîòîðîå

i — ÷àñòîòà âàðèàíò â i-é ãðóïðàçáèòî îïûòíîå ðàñïðåäåëåíèå; m ïå; mi — òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, ðàññ÷èòàííàÿ ïî ãèïîòåòè÷åñêîìó òåîðåòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ. [mi = npi, äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ mi = n∆Φ ].

Çäåñü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ν = − k − 1, ãäå k — ÷èñëî ïàðàìåòðîâ. Ñõåìà ïðîâåðêè: 2 ?

ïî òàáëèöå < χ 2 → H ïðè χ < χ 2. α  → χα2 → χ 0 α α 2

>

Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Óñëîâèå äëÿ ïðèìåíèìîñòè êðèòåðèÿ: 1) âûáîðêà ñëó÷àéíàÿ; 2) n ≥ 50, mi ≥ 5÷10. 2. Êðèòåðèé Ðîìàíîâñêîãî (ïðè ôèêñèðîâàííîì α = 0,027).

r= 3.

χ 2 −ν N ( 0, 1). Òîãäà r ≤ 3 ⇒ H0 íå îòâåðãàåòñÿ. , ãäå r∈ 2ν

Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà.

(

)

D = n max Fn* ( xi ) − F ( xi ) . Ïðè n < 35 ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåi

çû èñïîëüçóåòñÿ êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå D (ïî òàáëèöàì), ïðè n ≥ 35 èñïîëüçóåòñÿ ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Êîëìîãîðîâà. Ñõåìà ïðîâåðêè ïðåæíÿÿ. 4.

Êðèòåðèé w2 Ñìèðíîâà-Êðàìåðà-Ìèçåñà. l

(

W = nω 2 = n ∑ Fn* ( xi ) − F ( xi ) i =1

)

2

∞

(

)

= n ∫ Fn* ( x ) − F ( x ) dF ( x ). −∞

Ôóíêöèÿ nw2 òàáóëèðîâàíà äëÿ ðàçëè÷íûõ α. Ñõåìà ïðîâåðêè òà æå.

19. Ýëåìåíòû ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà è äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà. Ââåäåíèå â ôàêòîðíûé àíàëèç 19.1. Ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà Öåëü ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà — ïîëó÷åíèå áîëåå ïîëíîãî îáúåìà èíôîðìàöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûìè ìåòîäàìè ïðè òåõ æå çàòðàòàõ. Äàííûå êîíòðîëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ïîäâåðãàþòñÿ ñïåöèàëüíîìó ñòàòèñòè÷åñêîìó àíàëèçó — äèñïåðñèîííîìó àíàëèçó (ÄÀ). Åãî ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ: 1) â ðàñ÷ëåíåíèè îáùåé äèñïåðñèè ïðèçíàêà íà êîìïîíåíòû ñîãëàñíî âëèÿíèþ êîíêðåòíûõ ôàêòîðîâ è 2) â ïðîâåðêå ãèïîòåç î çíà÷èìîñòè èõ âëèÿíèÿ. Îñíîâíîå äîïóùåíèå: çíà÷åíèå ðåçóëüòàòà ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ðÿäà êîìïîíåíò. Ñ ë ó ÷ à é À . Èññëåäóåòñÿ âëèÿíèå îäíîãî ôàêòîðà, òîãäà ìîäåëü ñòðóêòóðû ðåçóëüòàòà ýêñïåðèìåíòà: xij = x + α j + ε ij ,

ãäå xij — i-å çíà÷åíèå ïðèçíàêà, ïîëó÷åííîå íà j-ì óðîâíå ôàêòîðà (óðîâåíü — ìåðà, êîëè÷åñòâî); x — îáùàÿ ñðåäíÿÿ; αj — ýôôåêò ôàêòîðà íà j-ì óðîâíå; eij — ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà, âûçâàííàÿ âëèÿíèåì âñåõ äðóãèõ ôàêòîðîâ. Ñ ë ó ÷ à é Â . Ìîäåëü ýêñïåðèìåíòà ïðåäóñìàòðèâàåò âëèÿíèå íåñêîëüêèõ ôàêòîðîâ è èõ âçàèìîäåéñòâèå. Äëÿ äâóõ ôàêòîðîâ (A è B) ñòðóêòóðà ðåçóëüòàòèâíîãî ïðèçíàêà èìååò ìîäåëü xijk = x + α i + β j + γ ij + ε ijk ,

ãäå xijk — ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà â k-ì íàáëþäåíèè íà i-ì óðîâíå A è j-ì óðîâíå B; αi — ýôôåêò ôàêòîðà A; βj — ýôôåêò ôàêòîðà B; γij — ñîâìåñòíûé ýôôåêò, ò. å. ýôôåêò âçàèìîâëèÿíèÿ ôàêòîðîâ À è Â; εijk — ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äèñïåðñèîííîì àíàëèçå ñîâîêóïíîñòü ðàçáèâàåòñÿ íà ãðóïïû, îòëè÷àþùèåñÿ ïî óðîâíþ ôàêòîðîâ. Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Ââîäèòñÿ äîïóùåíèå: 1) ïðèçíàêè ïðèáëèçèòåëüíî íîðìàëüíû; 2) äèñïåðñèè â ãðóïïàõ îäèíàêîâû.

133


19.2. Îäíîôàêòîðíûé àíàëèç ïðè ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíîì ïëàíå ýêñïåðèìåíòà Ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíûé ïëàí ýêñïåðèìåíòà: èçó÷àåòñÿ òîëüêî âëèÿíèå îäíîãî ôàêòîðà. Ïóñòü ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ (N) ðàçáèòû íà p ãðóïï, ðàçëè÷àþùèõñÿ ìåæäó ñîáîé ïî óðîâíþ ôàêòîðà. ×èñëî íàáëþäåíèé â j-é ãðóïïå — nj.

Ñóììà

x11, x21,…, xi1,…, xn11

n1

∑x

j

x1 j , x2 j ,…, xij ,…, xnj j

nj

∑x

p

x1 p , x2 p ,…, xip ,…, xn p p

np

∑x

Èòîãî

N = ∑ nj

∑∑ x

Ãðóïïîâàÿ ñðåäíÿÿ

Îáúåì âûáîðêè

1

Íîìåð âûáîðêè

Íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà

Òàáëèöà 1

i1

= T1

∑x

i1

=

T1

n1

ij

= Tj

Tj

xj =

i

nj

ip

= Tp

xp =

i

ij

i

i

1 n1

x1 =

i

=G

x=

j

Tp np

1 1 p xij = ∑ xj ∑∑ N i j p 1

Ïîñêîëüêó èìååì ñëó÷àé A, òî òðåáóåòñÿ íàéòè ìåæãðóïïîâóþ äèñïåðñèþ è âíóòðèãðóïïîâóþ. Ïåðâàÿ îáóñëîâëåíà âëèÿíèåì èçó÷àåìîãî ôàêòîðà, âòîðàÿ — ñëó÷àéíîñòüþ. 1) Ïóñòü èìååì îáùóþ ñóììó êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé:

∑∑ (x

ij

i

2)

134

j

− x )2 = ∑∑ (xij − xj )2 + ∑ nj (xj − x )2 i

j

j

|||

|||

|||

Q0

Q1

Q2

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê äèñïåðñèé íåîáõîäèìî êàæäóþ èç ñóìì ðàçäåëèòü íà ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ν0, ν1, ν2 ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî: ν0= N–1; ν1=N–p; ν2=p –1.

19. Ýëåìåíòû ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà è äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà

Òîãäà íåñìåùåííûå îöåíêè s02 =

Q0 Q1 Q ; s12 = ; s22 = 2 , N −1 N−p p −1

ãäå s12 — õàðàêòåðèçóåò ðàññåÿíèå âíóòðè ãðóïïû, s22 — ðàññåÿíèå ãðóïïîâûõ ñðåäíèõ. 3)

Çàäà÷ó ðàçëè÷èÿ äèñïåðñèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷å ïðîâåðêè ñóùåñòâåííîñòè ðàçëè÷èÿ ìåæäó âûáîðêàìè. Â ñàìîì äåëå, åñëè âëèÿíèå ôàêòîðà îòñóòñòâóåò, òî s12 è s22 , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåçàâèñèìûå îöåíêè äèñïåðñèè ñîâîêóïíîñòè σ2, à åñëè ôàêòîð îêàçûâàåò çàìåòíîå âëèÿíèå, òî

s22

s12 áîëüøå êðèòè÷åñêîãî ïðåäåëà, à ñëåäîâàòåëüíî,

âûáîðêè âçÿòû èç ðàçíûõ ñîâîêóïíîñòåé. 2

H0 : σ 12 = σ 22 . Ïî âûáîðî÷íûì äàííûì âû÷èñëÿþòñÿ s12 è s2 ; èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà

s22  p − 1  ïî òàáëèöå ;   → çàäàåòñÿ α → Fα → F ≤ Fα ⇒ H0 2 s1  N − p  íå îòêëîíÿåòñÿ. F=

Òàáëèöà 2 Õàðàêòåð âàðèàöèè

Ñóììà êâàäðàòîâ

Ñèñòåìàòè÷åñêàÿ (ìåæãðóïïîâàÿ)

Q2 = ∑ nj xj − x

Îñòàòî÷íàÿ (âíóòðèãðóïïîâàÿ)

Q1 = ∑∑ xij − xj

Èòîãî

Q0 = ∑∑ xij − x

(

j

i

i

j

j

)

2

×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû

Îöåíêà äèñïåðñèè

p–1

s22 =

Q2 p −1 Q1 N− p

(

)

N–p

s12 =

(

)

N–1

—

2

2

Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé òàáë. 1: Q0 = ∑∑ xij2 − i

j

G2 G2 ; Q2 = ∑ Tj2 − è Q1 = Q0 − Q2 . N N j

135


19.3. Îäíîôàêòîðíûé àíàëèç ïðè ãðóïïèðîâêå ïî ñëó÷àéíûì áëîêàì Ñóòü ìåòîäà ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà — «ìåòîäà ñëó÷àéíûõ áëîêîâ» — çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäâàðèòåëüíîì ðàçáèåíèè íàáëþäàåìîãî ïðîñòðàíñòâà íà «áëîêè» ñ ïðèìåðíî îäèíàêîâûìè ýëåìåíòàìè âíóòðè êàæäîãî. Çàòåì êàæäûé áëîê ðàçáèâàåòñÿ íà ÷èñëî ãðóïï, ñîâïàäàþùèõ ñ êîëè÷åñòâîì óðîâíåé ôàêòîðà. ×èñëî åäèíèö íàáëþäåíèÿ êàæäîãî óðîâíÿ ôàêòîðà äîëæíî áûòü îäèíàêîâûì, ò. å. n1 = n2 =…= n p = n. Ðàñïðåäåëåíèå óðîâíåé ôàêòîðà ïî ãðóïïàì ñëó÷àéíî. Ìîäåëü ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ðåçóëüòàòà: xij = x + α i + β j + ε ij , ãäå αi — ýôôåêò áëîêîâ; βj — ýôôåêò óðîâíÿ ôàêòîðà. Ïðè ìåòîäå «ñëó÷àéíûõ áëîêîâ» óìåíüøàåòñÿ ðàçáðîñ íàáëþäåíèé. Òàáëèöà 3 Ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ ïî áëîêàì Óðîâåíü ôàêòîðà

Ñðåäíÿÿ ïî óðîâíþ ôàêòîðà

1

2

...

i

1

x11

x21

...

xi1

xn1

T1

x1

2 ...

x12 ...

x22 ...

... ...

xi2 ...

xn2 ...

T2 ...

x2 ...

j ...

x1j ...

x2j ...

... ...

xij ...

xnj ...

Tj ...

xj

p

x1p

x2p

...

xip

xnp

Tp

xp

Ñóììà ïî âåðòèêàëè B1

B2

...

Bi

Bn

G

x

Ñðåäíÿÿ ïî áëîêàì

B2

...

Bi

Bn

—

—

B1

...

Ñóììà ïî ñòðîêàì

n

Ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé çäåñü äîëæíà áûòü ðàçáèòà íà 3 ñîñòàâëÿþùèå.

∑(x

ij

i, j

−x

) = ∑(x 2

ij

i, j

(

− Bi + Bi − xj + xj − x + x − x ) = 2

) (

) (

)

2

= ∑  xij − Bi − xj + x + Bi − x + xj − x  =   i, j

136


(

) + ∑( B − x ) + ∑( x

(

)

= ∑ xij − Bi − xj + x i, j

2

2

i

i, j

(

2

)

2

Q2 — âàð. ìåæäó áëîêàìè

(

Âû÷èñëåíèÿ: Åñëè Q0 ≡ ∑ xij − x i, j

ãäå Q0 = ∑ xij2 − i, j

−x

i, j

= ∑ xij − Bi − xj + x + p∑ Bi − x + i, j i Q1 — îñòàò.âàðèàöèÿ

j

)

2

)

2

=

(

)

n ∑ xj − x j 2

Q3 — ìåæãðóïï. âàðèàöèÿ ìåæóðîâíåâàÿ

⇒ Q1 = Q0 − ( Q2 + Q3 ), 2

Tj G2 B2 G 2 G2 ; Q2 = ∑ i − ; Q3 = ∑ . − N p N N i j n

×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû äëÿ: Q0 → N − 1; Q2 → n − 1; Q3 → p − 1;

Q1 → ν 1 = ν 0 − (ν 2 + ν 3 ) = ( n − 1)( p − 1). Äàëåå èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé F =

s22 ; s12

  p −1  ; ïðîâåðÿ ( n − 1)( p − 1) 

≤ F → H íå îòêëîíÿåòñÿ. åòñÿ H0 : σ 12 = σ 32 ; α → Fα → F α 0 Òàáëèöà 4 Õàðàêòåð âàðèàöèè


Ñèñòåìàòè÷åñêàÿ (ìåæãðóïïîâàÿ)

Q3 = n ∑ xj − x

Ìåæäó áëîêàìè

Q2 = ∑ p Bi − x

j

(

)

(

)

i

2

2

Îñòàòî÷íàÿ (âíóòðèãðóïïîâàÿ)

Q1 = Q0 − ( Q2 + Q3 )

Èòîãî

Q0 = ∑∑ xij − x i

j

(

)

2

×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû

Îöåíêà äèñïåðñèè

p –1

s32 =

Q3 p −1

n–1

s22 =

Q2 n −1

(n–1)(p –1)

s12 =

( n − 1)( p − 1)

N–1

—

Q1

137


19.4. Äâóõôàêòîðíûé àíàëèç ïðè ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíîì ïëàíå ýêñïåðèìåíòà Ïóñòü âûÿâëÿåòñÿ ðîëü äâóõ ôàêòîðîâ A è B è èõ âçàèìîäåéñòâèÿ íà íåêîòîðûé ðåçóëüòàòèâíûé ïðèçíàê. Ìîäåëü ýêñïåðèìåíòà: xijk = x + α i + β j + γ ij + ε ijk . Îïûò ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ A è B. Îïûò ïîâòîðÿåòñÿ n ðàç äëÿ êàæäîãî ñî÷åòàíèÿ ôàêòîðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì n çíà÷åíèé ïðèçíàêà. Äàííûå ýêñïåðèìåíòà ñâîäÿòñÿ â òàáëèöó.

ôàêòîðà Â

Óðîâåíü

Òàáëèöà 5 Óðîâåíü ôàêòîðà À

Ñóììà

À1

À2

...

Àp

Â1

õ111, õ112,..., õ11n

õ211, õ212,..., õ21n

...

õp11, õp12,..., õp1n

∑x

Â2

õ121, õ122,..., õ12n

õ221, õ222,..., õ22n

õp21, õp22,..., õp2n

∑x

...

...

...

...

...

...

Âq

õ1q1, õ1q2,..., õ1qn

õ2q1, õ2q2,..., õ2qn

...

õpq1, õpq2,..., õpqn

∑x

Ñóììà

∑x

∑x

...

∑x

∑x

1 jk

j, k

2 jk

j, k

Ïî äàííûì òàáëèöû îïðåäåëÿþòñÿ:

∑X

ijk

1) îáùàÿ ñðåäíÿÿ X =

ijk

npq

;

∑x

ijk

2) ñðåäíÿÿ ïî ñòðîêàì Tj =

i, k

;

pn

∑x

ijk

3) ñðåäíÿÿ ïî ñòîëáöàì Ti =

138

jk

qn

;

j, k

pjk

i1k

i,k

i 2k

i,k

iqk

i, k

ijk

i, jk


∑x

ijk

4) ñðåäíÿÿ äëÿ ñî÷åòàíèÿ óðîâíåé ôàêòîðîâ Xij =

k

n

.

Ïî ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà èìååì ÷åòûðå ñîñòàâëÿþùèå ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé

∑( x

ijk

ijk

)

2

(

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

2

− X = ∑ Ti − X + ∑ Tj − X + ∑ Xij − Ti − Tj + X + ∑ xijk − Xij ijk ijk ijk ijk |||

|||

Âë. ô À → Q4

|||

Âë. ô Â → Q3

|||

Âçàèì. À è Â → Q2

Îñòàò. â. → Q1

Òàáëèöà 6 Èñòî÷íèê âàðèàöèè


Ôàêòîð À

Q4 = nq∑ Ti − X i

Ôàêòîð Â

)

(

)

Q3 = np∑ Tj − X j

Âçàèìîäåéñòâèå À×Â

(

2

(

(

Îñòàòî÷íàÿ âàðèàöèÿ

Q1 = ∑ xijk − Xij

Èòîãî

Q0 = ∑ xijk − X

ijk

ijk

(

)

2

)

2

Îöåíêà äèñïåðñèè ñâîáîäû

p–1

s42 =

Q4 p −1

q–1

s32 =

Q3 q −1

(p–1)(q–1)

s22 =

( p − 1)( q − 1)

N–pq

s12 =

Q1 N − pq

N–1

—

2

Q2 = n∑ Xij − Ti −Tj + X ij

×èñëî ñòåïåíåé

)

2

Q2

N = npq. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñîîòâåòñòâåííî: 1) ìåæäó ñòîëáöàìè ν4 = ð –1; 2) ìåæäó ñòðîêàìè ν3 = q –1; 3) äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ν2 = (ð –1)(q –1); 4) âíóòðè ÿ÷ååê (n –1)pq = N–pq. Äàëåå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç ïî èçâåñòíîé ñõåìå: 2 A = s4 ;  p − 1 ; 1) F   s12  N − pq 

139

×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 2 B = s3 ;  q − 1 ; 2) F   s12  N − pq 

2

AB = s2 ; 3) F s12

 ( p − 1)( q − 1)   .  N − pq 

 q Tj2  G2  p T 2  G2 Îáû÷íî èñïîëüçóþò: Q4 =  ∑ i  − ; Q3 =  ∑ ; −  j np  N  i nq  N   2  n 2 Tij2  Ti2 q Tj G2 −∑ −∑ + ; Q1 = ∑  ∑ xijk − Q2 = ∑   N n  ij np i nq j np ij  k

Tij2

p

n

G = ∑ xijk ; Tij = ∑ xijk , Ti è Tj — ñóììû ïî i è j. ijk

k

20. Îñíîâû òåîðèè êîððåëÿöèè è ðåãðåññèè 20.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç çàâèñèìîñòè íå âûÿâëÿåò ñóùåñòâî ïðè÷èííûõ ñâÿçåé ìåæäó ÿâëåíèÿìè. Ïðè÷èííûé àíàëèç ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì êà÷åñòâåííîãî (ñîäåðæàòåëüíîãî) èçó÷åíèÿ ñâÿçåé, êîòîðîå ïðåäøåñòâóåò èëè ñîïðîâîæäàåò ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ñâÿçü óñëîâíîé ñðåäíåé îäíîé âåëè÷èíû îò ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé äðóãîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ êîððåëÿöèîííîé ñâÿçüþ, à óðàâíåíèå ñâÿçè yk = f ( xk ) — óðàâíåíèåì ðåãðåññèè íà õ. Èíà÷å: ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòîõàñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè, ïðè êîòîðîé èçìåíåíèå îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ óñëîâíîé ñðåäíåé äðóãîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y, íàçûâàåòñÿ êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòüþ. Ñâÿçü èëè êîððåëÿöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ íàçûâàåòñÿ ïàðíîé. Åñëè ñ ðîñòîì âåëè÷èíû Õ âåëè÷èíà Y â ñðåäíåì ðàñòåò, òî êîððåëÿöèÿ ïîëîæèòåëüíàÿ, åñëè Y óáûâàåò, òî êîððåëÿöèÿ îòðèöàòåëüíàÿ.

140

20. Îñíîâû òåîðèè êîððåëÿöèè è ðåãðåññèè

Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Êîððåëÿöèîííûì ïîëåì íàçûâàåòñÿ äèàãðàììà, èçîáðàæàþùàÿ ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé äâóõ ïðèçíàêîâ.

Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Ñîâîêóïíîñòü äâóõ ïðèçíàêîâ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ ÷åðåç ÷èñëîâûå äàííûå íàáëþäåíèé â âèäå òàáëèöû, êîòîðóþ íàçûâàþò êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöåé. Ïðè èçó÷åíèè çàâèñèìîñòè èñïîëüçóþò äâà ïîäõîäà (ìîäåëè). 1. Ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü. Ýêñïåðèìåíòàòîð çàäàåò çíà÷åíèå âåëè÷èíû Õ è íàáëþäàåò Y. Òîãäà êàæäîìó Õ ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèå Y ñ äèñïåðñèåé σ2. Íàáëþäåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ. Å(y)=α+βx — óðàâíåíèå ðåãðåññèè. 2. Êîððåëÿöèîííàÿ ìîäåëü. Çäåñü Õ è Y åñòü âûáîðêè èç äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, X è Y íå ôèêñèðîâàííûå.

Ëèíèè ðåãðåññèè: 1. Ex(y)=α+βx. 2. Ey(y)=α1+β1y.

141


20.2. Óðàâíåíèå ïàðíîé ðåãðåññèè Ïîñòðîåíèå óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì äâóõ çàäà÷: 1. Âûáîðà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ è îïðåäåëåíèÿ âèäà óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè (ýòàï ñïåöèôèêàöèè). 2. Îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ (êîýôôèöèåíòîâ) óðàâíåíèÿ. Ïåðâàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ íà îñíîâå êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà èçó÷àåìîé ñâÿçè ñ ïðèíÿòèåì âèäà óðàâíåíèé (ëèíåéíîãî, ãèïåðáîëè÷åñêîãî, ïàðàáîëè÷åñêîãî, ëîãè÷åñêîãî òèïà). Ìîæíî èñïîëüçîâàòü ãðàôèêè. Âòîðàÿ çàäà÷à ñâÿçàíà ñ ïîñëåäóþùåé ïðîâåðêîé îöåíîê ïàðàìåòðîâ. (1) Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïàðíîé ðåãðåññèè y=α+βx+ε, ãäå α, β — íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèè, ε — ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ (âîçìóùåíèå), ó = α + βx — ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü.

(

)

2 Ïóñòü ε ∈ N 0, σ ε = const è Εε i ε j = 0 ïðè i ≠ j.

Äëÿ ëþáîãî íàáëþäåíèÿ: yi=α+βxi+εi. Çàäàþòñÿ Xi è íàáëþäàþòñÿ Yi, ñòðîÿòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè äëÿ α è β èç ñèñòåìû óðàâ = a + bx åñòü îöåíêà íåíèé îòíîñèòåëüíî α è β. Ñëåäîâàòåëüíî y ìîäåëè y=α+βx+ε. (2) Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ÌÍÊ) äëÿ ïàðíîé ðåãðåññèè (ìèíèìóì ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé íàáëþäåíèé îò ëèíèè ðåãðåññèè). = Y − ( a + bX ) , ãäå Y — ôàêòè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ, ei = Yi − y i i i i

— ñîîòâåòñòâóþùèå èì ðàñ÷åòíûå çíà÷åíèÿ. Ñóììà êâàäy i

ðàòîâ îòêëîíåíèé I ≡ ∑ ei2 = ∑ ( Yi − a − bXi ) . Ìèíèìóì äîñòè2

i

ãàåòñÿ ïðè

i

∂I ∂I =0 è = 0, ò. å. ∂a ∂b

∂I  = −2∑ ( Yi − a − bXi ) = 0  ∂a  i → ∂I = −2∑ ( Yi − a − bXi ) Xi = 0  ∂b i = a + bX Y n n ⇒ , b= a = Y − bX n

n

  ⇒ ∑i Xi Yi = a∑i Xi + b∑i Xi2   i

i

Y ∑ X Y − nX ∑ X − nX i

i

2 i

i

142

∑ Y = na + b∑ X

n

2

n

n

.

i

i


(3) Ñâîéñòâà îöåíîê ÌÍÊ. à) Íåñìåùåííîñòü Eà=α è Eb=β. 2 2 á) Ñîñòîÿòåëüíîñòü lim σ a = 0 è lim σ b = 0. n →∞

n →∞

â) Ýôôåêòèâíîñòü. Èìååò ìåñòî, åñëè â ï. (1) σ ε2 = const è

( )

Ε ε i ε j = 0. (4) Îøèáêè êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè. Ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé îò ëèíèè ðåãðåññèè I = ∑ ei2 . Íåñìåùåííàÿ îöåíêà äèñïåðñèè îòíîñèòåëüíî ðåãðåññèè åñòü I , ò. ê. äâå ñòåïåíè ñâîáîäû «òåðÿþòñÿ» ïðè îïðåäåëån −2 íèè à è b. Ò. å. s2 åñòü âûáîðî÷íàÿ îöåíêà äèñïåðñèè âîçìóùåíèé εi. s2 =

Ìîæíî íàéòè:

D ( b) = sb2 =

∑(

s2 Xi − X n

)

, D ( a ) = sa2 = 2

∑X

n∑

(

2 i

Xi − X n

)

2

s2 .

Äàëåå ìîæíî ïðîâåðèòü çíà÷èìîñòü a è b ïî ñõåìå ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç. Îáû÷íî ïðîâåðÿþò çíà÷èìîñòü b Í0:

β = 0 ïî ñòàòèñòèêå t =

b ïî Ñòüþäåíòó ïðè ν = n–2. Åñëè t > tα , sb

òî Í0 — îòêëîíÿåòñÿ. (5) Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ëèíèè ðåãðåññèè. +b X −X =Y Äëÿ ñëó÷àÿ y ( ) èìååì s = sn + ( X − X ) , ãäå ∑( )

s2 xp − X n

2

i

i

2 y

n

2

2

i

n

. õð — çíà÷åíèå õ, äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ y min sy2 = xp

s2 . ïðè x p = X n

(

)

± t s2 . Òîãäà äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû åñòü y i α y 143


20.3. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî èçìåðÿòü ñòåïåíü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Äëÿ âûáîðî÷íûõ äàííûõ ýìïèðè÷åñêàÿ ìåðà ñâÿçè X è Y îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, îïðåäåëÿåìûé ïî ïðàâèëó coν ( X, Y ) = r = sx sy

∑(X

i

∑(

Xi − X n

i

=

)(

Y −Y −X n n i

i

) ⋅ ∑( 2

)

Yi − Y n

i

n ∑ Xi Yi − ∑ Xi ∑ Yi n X 2 −  ∑ i

( ∑ X )  n∑ Y − ( ∑ Y )  2

i

=

.

2

2

i

)

2

i

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Î÷åâèäíî −1 ≤ r ≤ 1 ⇒ r = 1 (ëèíåéíàÿ ñâÿçü ñ ïîëîæèòåëüíûì óãëîì íàêëîíà), r = −1 (îáðàòíàÿ ëèíåéíàÿ ñâÿçü), r = 0 (îòñóòñòâóåò ëèíåéíàÿ ñâÿçü).

Ïðè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ X è Y r åñòü ìåðà ëèíåéíîé ñîãëàñîâàííîñòè X è Y. Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Ïðè ìîäåëè ñ ôèêñèðîâàííûìè X r åñòü ìåðà áëèçîñòè ýìïèðè÷åñêèõ òî÷åê ê ëèíèè ðåãðåññèè. Ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðîì ïàðíîé ðåãðåññèè b è êîýôôèöèåís òîì êîððåëÿöèè r : b = r Y , ãäå sY , sx — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå sx

îòêëîíåíèÿ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî r îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç byx è bxy êàê

r = byx bxy . Åñëè çàâèñèìîñòü ìåæäó ïðèçíàêàìè ôóíêöèîíàëüíàÿ, òî byx =

144

1 ⇒ r = 1. bxy


Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè r . Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà Í0: r = 0. Ââîäèòñÿ ñòàòèñòèêà Ñòüþäåíòà t =

r n − 2 ïî ôîðìóëå → t, ñîïîñòàâ2 1 − r

ëÿåòñÿ ñ òàáëè÷íîé tα ïðè n –2 ñòåïåíÿõ ñâîáîäû è çàäàííîé α. Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Òàê êàê âåëè÷èíà t ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì íàáëþäåíèé n è âåëè÷èíîé r , òî ìîæíî íàéòè r min , ïðè êîòîðîì Í0: r = 0 ìîæåò áûòü îòêëîíåíà ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïðèìåð: n = 42; r = 0,65 ⇒ t = 5,27; ïðè α = 0,05 è (n –2) = 40; tα = 2,02 è r ≠ 0. Ïðè r min = 0,30 èìååì îòêëîíåíèå ãèïîòåçû Í0. Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè åñòü âåëè÷èíà, ðàâíàÿ êâàäðàòó êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè. Ýòî åñòü ìåðà êà÷åñòâà ïîäáîðà ëèíèè ðåãðåññèè. Åñëè çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ïðåäñòàâèòü â âèäå Yi = Y + ki + ei ,

(

)

ãäå ki = b Xi − X — ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îò óðàâíåíèÿ

(

)

≡ bX , òî ðåãðåññèè, ei = Yi − Y − ki — ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, y i i ìîæíî çàïèñàòü äëÿ ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé:

∑ (Y − Y) = ∑ k + ∑ e , 2

2 i

i

2 i

è òîãäà ñ ó÷åòîì çíà÷åíèé k è b

∑ ( y − Y ) = ∑ (Y − Y) ∑ (Y − Y) ∑ ki2

2

i

2

i

i

2

2 2 = r ⇒ r =

sy2 sY2

=1−

s2 , sY2

ãäå sy2 — äèñïåðñèÿ ëèíèè ðåãðåññèè îòíîñèòåëüíî ñðåäíåé; s2 — äèñïåðñèÿ îñòàòî÷íûõ ÷ëåíîâ îòíîñèòåëüíî ëèíèè ðåãðåññèè;

sY2 — îáùàÿ äèñïåðñèÿ. s2 Âåëè÷èíó r = 1 − 2 íàçûâàþò èíäåêñîì êîððåëÿöèè. sY 145


20.4. Êîýôôèöèåíò ðàíãîâîé êîððåëÿöèè Èíîãäà ïðèçíàêè íå èìåþò àáñîëþòíîé øêàëû èçìåðåíèÿ (ïðîôåññèè, ïðåäïî÷òåíèÿ, êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè è ò. ä.) èëè ïðàêòè÷åñêè èõ íåëüçÿ èçìåðèòü. Òîãäà äàííûå óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó (ðàíæèðóþòñÿ). Ðàíã 1 ïðèïèñûâàåòñÿ íàèáîëåå âàæíîìó îáúåêòó, ðàíã 2 — ñëåäóþùåìó è ò. ä. Åñëè îáúåêòû ðàíæèðîâàíû ïî äâóì ïðèçíàêàì, òî ìîæíî íàéòè âçàèìîñâÿçü. Î ï ð å ä å ë å í è å 5 . Êîýôôèöèåíòîì ðàíãîâîé êîððåëÿöèè Ñïèðìýíà íàçûâàþò âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ ïî ïðàâèëó 6∑ di2 r S ≡ 1 − , n n2 − 1

(

)

ãäå di — ðàçíîñòü çíà÷åíèé ðàíãîâ, ðàñïîëîæåííûõ â äâóõ ðÿäàõ ó îäíîãî è òîãî æå îáúåêòà, n — ÷èñëî äàííûõ (÷èñëî ðàíãîâ). ïîëíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü

−1

ïîëíàÿ ïðÿìàÿ ñâÿçü

≤ r S ≤

+1

.

Ç à ì å ÷ à í è å 5 . Êîýôôèöèåíò r S åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé êîýôôèöèåíòà ïàðíîé êîððåëÿöèè. Êîýôôèöèåíò r S ìîæíî ïîëó÷èòü èç r çàìåíîé õ è y íà ñîîòâåòñòâóþùèå ðàíãè. Ïðèìåð 1. Ñòóäåíò

À

Á

Â

Ã

Ä

Å

Æ

Ç

È

Ê

Âñòóïèòåëüíûé ýêçàìåí

2

5

6

1

4

10

7

8

3

9

Ýêçàìåíàöèîííàÿ ñåññèÿ

3

6

4

1

2

7

8

10

5

9

di

–1

–1

2

0

2

3

–1

–2

–2

0

di2

1

1

4

0

4

9

1

4

4

0

∑d 146

2 i

= 28, r S = 1 −

6 ⋅ 28

(

)

10 102 − 1

= 0,83.


Ç à ì å ÷ à í è å 6 . Åñëè îáúåêòû ñâÿçàíû (íåðàçëè÷èìû), òî èì ïðèïèñûâàåòñÿ îäèíàêîâûé ñðåäíèé ðàíã. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè r S . Í0: rS = 0. Ïîëàãàþò, ÷òî r S ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó çàêîíó. Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê Sr =

1 n −1

. Ïóñòü α = 0,05, òîãäà:

1,96 −1,96 èëè r S > . à) Í0 — îòêëîíÿåòñÿ, åñëè r S < n −1 n −1 1,96 −1,96 èëè r S ≤ . á) Í0 — íå îòêëîíÿåòñÿ, åñëè r S ≥ n −1 n −1

20.5. Êîýôôèöèåíò ñîãëàñîâàííîñòè Èìååòñÿ íåñêîëüêî ðÿäîâ ðàíãîâ (ðàáîòàåò ãðóïïà ýêñïåðòîâ). Î ï ð å ä å ë å í è å 6 . Êîýôôèöèåíòîì ñîãëàñîâàííîñòè (êîíêîðäàöèè) íàçûâàþò âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ ïî ïðàâèëó W=

12∑ Di2

(

m2 n 3 − n

)

,

ãäå n — ÷èñëî îáúåêòîâ; m — ÷èñëî ýêñïåðòîâ (ðÿäîâ ðàíãîâ); Di — îòêëîíåíèå ñóììû ðàíãîâ îáúåêòà îò ñðåäíåé èõ ñóììû äëÿ âñåõ îáúåêòîâ (0 ≤ W ≤ 1).

20.6. Ìíîæåñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ Î ï ð å ä å ë å í è å 7 . Ðåãðåññèÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâåííîé, åñëè åå óðàâíåíèå îïèñûâàåò ñâÿçü êàêîé-ëèáî õàðàêòåðèñòèêè ÿâëåíèÿ îò íåñêîëüêèõ ôàêòîðîâ, ò. å. çàâèñèìîñòü îäíîé âåëè÷èíû îò íåñêîëüêèõ m. Â ýòîì ñëó÷àå óäîáíà ìàòðè÷íàÿ çàïèñü. Èçâåñòíàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü òîãäà çàïèøåòñÿ â âèäå n-ìåðíîãî âåêòîðà íàáëþäåíèé: y = Xα + ε ,

n ãäå y = { yi } i =1 — âåêòîð çíà÷åíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé, 147


{ }

X = xij — ìàòðèöà çíà÷åíèé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ (n × m);

{ }

α = αj

m

1

— âåêòîð íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ;

(

)

ε = { εi } i =1 — ñëó÷àéíûé âåêòîð îøèáîê Eε i = 0, Dε i = σ 2 , Åε i ε j = 0 . n

= Xa, ãäå Óðàâíåíèå ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè ïðèìåò âèä y m — âåêòîð îöåíîê ïàðàìåòðîâ. Âåêòîð îòêëîíåíèé îöåía = aj j =1 êè e = y − Xa.

{ }

Î÷åâèäíî, ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé: T Q ≡ e T e = ( y − Xa ) ( y − Xa ) = yT y − a t X T y − yT Xa + aT X T Xa. Ïîäáîð âåêòîðà îöåíîê a îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ìåòîäó íàèìåíü-

∂ Q  ∂ Q  øèõ êâàäðàòîâ, ò. å. èç òðåáîâàíèÿ =   ∂ a  ∂ aj 

m

= 0.

j=n

T T T T ∂ Q ∂ T T T = y y − 2a X y + a X Xa = −2X y + 2X Xa = 0. ∂a ∂a

(

)

Îòñþäà X T y = X T Xa ⇒ a = X T X

(

)

−1

X T y.

Î ï ð å ä å ë å í è å 8 . Îöåíêà âåêòîðà íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïîñëåäíåé ôîðìóëå, íàçûâàåòñÿ îöåíêîé ÌÍÊ. Ïðèìåð 1. Ïóñòü ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ m = 2, ÷èñëî èçìåðåíèé n.

 1x11 x12   y1   ; y =   ; Òîãäà X =      y   1xn1 xn 2  n

148


∑x ∑x ∑x x

 n X X =  ∑ xi1  ∑ x i2

i1 2 i1

T

i1

∑x ∑x x ∑x

  ∑ yi   ; X T y =  y x  . i1 i 2   ∑ i i1  2   ∑ y x  i2  i i2 i2

i2

Ç à ì å ÷ à í è å 7 . à) Îöåíêà a îêàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé −1 è Ea = X T X X T ⋅ XEα + Eε = α.

(

)

b) Ñðàâíåíèå êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè, ñîèçìåðÿþùèõ âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ âîçäåéñòâóþùèõ íà ÿâëåíèå ôàêòîðîâ, ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíûì òîëüêî ïðè óñëîâèè íîðìèðîâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïî ôîðìóëå aj = aj

sxj sy

, ãäå sxj — ñðåäíå-

êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ïåðåìåííîé xj , sy — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äëÿ y. Ç à ì å ÷ à í è å 8 . Êîýôôèöèåíò ìíîæåñòâåííîé êîððåëÿöèè ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå:

R = 1−

∑e

2 i

∑ ( y − Y) i

2

aT X T y − nY 2 èëè R = . yT y − nY 2

20.7. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè Ïðè îöåíêå a âåêòîðà íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïî ÌÍÊ îò-

íîñèòåëüíî âåêòîðà îøèáîê ïðåäïîëàãàåòñÿ εi ∈N ( 0,σ ); Eε i ε j = 0 ïðè i ≠ j. Åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû Õ — ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ò. å.

(

ñóùåñòâóåò X T X

)

−1

, òî îöåíêè ÌÍÊ — íå ñìåùåíû, ñîñòîÿòåëü-

íû è ýôôåêòèâíû.

T Äèñïåðñèÿ îöåíêè: coν ( a ) = Ε ( a − α )( a − α )  .   149


Èìååì a − α = XT X

(

)

−1

XTy − α = XT X

(

)

−1

X T ( Xα + ε ) − α = X T X

(

)

−1

X T ε.

Òîãäà −1 −1 coν ( a ) = E  X T X X T εε T X X T X  =   −1 −1 T = E εε ⋅ X T X = σ 2 ⋅ I X T X .

(

( )(

)

( (

)

) )

||

σ 2 ⋅I

Òàêèì îáðàçîì coν ( a ) = σ 2 ⋅ X T X

(

)

−1

.

Íî σ2 — íåèçâåñòíàÿ. Ïóñòü e ≡ y − y , òîãäà îöåíêà äèñïåðñèè ei2 Q eTe ∑ = = ⇒ coν ( a ) = s2 X T X s = n − m −1 n − m −1 n − m −1

(

2

)

−1

.

Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ðåãðåññèè. Óðàâíåíèå ðåãðåññèè = Xa. y — ñëó÷àéíàÿ âåÂ íåì a åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òîãäà è y ëè÷èíà. = D ( Xa ) = Xcoν ( a ) X T ⋅ I = σ 2 X X T X −1 X T ⋅ I Òîãäà D y

()

(

≈ s2 X X T X èëè D y

()

(

)

−1

X T ⋅ I.

Òîãäà äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë 1   X X T X −1 X T  2 ⋅ I , y + s ⋅ t X XT X − ⋅ y s t α  α     

(

)

)

(

)

ãäå tα — t-ñòàòèñòèêà ïî òàáëèöå ïðè çàäàííîé α. Ïðîãíîçíîå çíà÷åíèå y : Xa.

150

−1

1 2  XT  ⋅ I ,  


20.8. Íåëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ ×àñòî èññëåäóåìîå ÿâëåíèå íàèáîëåå àäåêâàòíî îïèñûâàþò óðàâíåíèÿ íåëèíåéíûå êàê ïî ïåðåìåííûì, òàê è ïî ïàðàìåòðàì. (1) Ïóñòü íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü ïàðàìåòðû óðàâíåíèÿ y = a0 + a1x1 + a2 x2 + a3 x12 + a4 x22 + e.

Ââåäåì ïåðåìåííûå: z1 ≡ x1 ; z2 ≡ x2 ; z3 ≡ x12 ; z4 ≡ x22 . Òîãäà y = a0 + a1z1 + a2 z2 + a3 z3 + a4 z4 + e. Â âåêòîðíîé çàïèñè óðàâíåíèå ðåãðåññèè ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíî−1 ìó y = Za, è ïî àíàëîãèè ñ ï. 20.6 èìååì a = ZT Z ZT y.

(

)

Îøèáêè ïàðàìåòðîâ è äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû èùóòñÿ êàê â ï. 20.7. Ïðèìåð: Çàðåãèñòðèðîâàíû äàííûå, õàðàêòåðèçóþùèå èíòåíñèâíîñòü îðîøåíèÿ õ è óðîæàéíîñòü y çåðíîâîé êóëüòóðû. y, ö/ãà

6

7

13

16

20

24

22

20

õ, äì

0,9

1,0

1,8

2,4

4,0

5,8

7,6

8,5

Ïðèíèìàåì y = a0 + a1x + a2 x2 = a0 + a1z1 + a2 z2 . = 0,9127 + 7,7231x − 0,6638x2 . Âûïîëíÿÿ âûêëàäêè, èìååì: y

151


(2) Íåëèíåéíîñòü ìîäåëè ïî ïàðàìåòðàì. Íàïðèìåð: f ( a1 , a2 ) = a1x a2 , f ( a1 , a2 , a3 ) = a1 K a2 L1− a3 . Óðàâíåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ëèíåéíûì ñ ïîìîùüþ ëîãàðèôìèðîâàíèÿ. Îäíàêî îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ ñìåùåííûìè. Â îáùåì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ íåëèíåéíûé ÌÍÊ, ìèíèìè-

(

)

çèðóþùèé Q = ∑ ei2 = ∑ yi − f ( a ) . 2

Ç à ì å ÷ à í è å 9 . Ìîäåëü y = a1x1a2 x2a3 íàçûâàþò ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåãðåññèåé, êîòîðàÿ òàêæå ìîæåò ñâîäèòüñÿ ê ëèíåéíîé ñ ïîìîùüþ ëîãàðèôìèðîâàíèÿ èëè æå îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

21. Óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè 21.1. Ïðîâåðêà óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè Ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé ñõåìû äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà (ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíûé ïëàí ýêñïåðèìåíòà) ìîæíî ïðîâåðèòü íàëè÷èå ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè. Â êà÷åñòâå ôàêòîðà çäåñü âûñòóïàåò íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ. Äëÿ êàæäîãî óðîâíÿ ôàêòîðà èìååòñÿ íåñêîëüêî íàáëþäåíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Åñëè ñèñòåìàòè÷åñêàÿ äèñïåðñèÿ çíà÷èòåëüíî âûøå ñëó÷àéíîé, òî ãèïîòåçà îá îòñóòñòâèè ñâÿçè îòêëîíÿåòñÿ (ò. å. ïðèíèìàåòñÿ íàëè÷èå ñâÿçè). (1) Â ñëó÷àå ïðîâåðêè ëèíåéíîé ñâÿçè ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé ,

∑ (Y − Y) i

2

=

− Y) ∑ (Y 2

i

ñóììà êâàäðàòîâ ðåãðåññèè

å ∑ 2

+

i

îòêëîíåíèå îò ðåãðåññèè

. ãäå ei = Yi − y i Ñõåìà äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà:

152

(

Q1 = ∑ ei2 = ∑ Yi − y i

) – {ν = n − 2} è s 2

2 1

=

Q1 ; n −2

,

21. Óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè

)

(

2

− Y ñν = 1 è s2 = Q ; Q2 = ∑ y i 2 2

F=

= α → Fα ; F

s22  1  ; ; s12  n − 2 

òàáë.

S22 > Fα ⇒ H0 : σ 12 = σ 22 — îòêëîíÿåòñÿ, ò. å. âëèS12

ÿíèå ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé íåñóùåñòâåííî. (2) Â ñëó÷àå ïðîâåðêè ãèïîòåçû î íåëèíåéíîé ñâÿçè îïðåäåëÿþò-

∑ e ( ëð) è ∑ e ( íëð). Èõ ðàçíîñòü ( ∑ e ( ëð ) − ∑ e ( íëð ) ) ïîêàçûâàåò, êàê èçìåíÿ2 i

ñÿ îòêëîíåíèÿ

2 i

2 i

2 i

åòñÿ ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé. Ñõåìà äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà:

(

)

2

Q0 = ∑ ei2 ( ë ) = ∑ Yi − y i

ñ {ν = n − 3} ; s2 = Q1 = ∑ ei2 ( íëð) = ∑ Yi − y i 1

(

ñ {ν = n − 2};

)

2

Q1 — äëÿ ïàn −3

ðàáîëè÷åñêîé ðåãðåññèè;

Q2 = Q0 − Q1 ñ {ν = 1} è s22 = Q2 ;

F=

α

s22 ; s12

 1   ; n − 3

ïî òàáëèöå

→

2 = s2 > F ⇒ H : σ 2 = σ 2 — îòêëîíÿåòñÿ (Í : èçFα ; F α 0 1 2 0 s12

ìåíåíèå ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé íåñóùåñòâåííî).

21.2. Ñòðóêòóðà óðàâíåíèé ðåãðåññèè Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ïîä ñòðóêòóðîé óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè áóäåì ïîíèìàòü êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ è âçàèìíûõ ñîîòâåòñòâèé (ñâÿçåé) ìåæäó íèìè.

153


Êàê ñîñòàâèòü óðàâíåíèå? Ïðè îòáîðå ïåðåìåííûõ äëÿ óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè ñòðåìÿòñÿ îãðàíè÷èòü ÷èñëî ó÷èòûâàåìûõ ôàêòîðîâ è îñòàâèòü òîëüêî òå ïåðåìåííûå, êîòîðûå âíîñÿò îùóòèìûé âêëàä â îáúÿñíåíèå èçìåíåíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Ïðèåìû ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ðåãðåññèè (îòáîðà ïåðåìåííûõ): 1) Èç ïîëíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ â ðàçâåðíóòîì óðàâíåíèè ðåãðåññèè ïîñëåäîâàòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ òå, ÷åé âêëàä â ñóììó êâàäðàòîâ ïîñëå îöåíèâàíèÿ îêàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì ïî ñðàâíåíèþ ñ óñòàíîâëåííûì óðîâíåì. 2) Ñòðóêòóðà óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ â õîäå «íàðàùèâàíèÿ» åãî ïåðåìåííûìè. Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòü, ò. å. íàëè÷èå ñâÿçè ìåæäó íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè â óðàâíåíèè ðåãðåññèè. Åñëè òàêàÿ ñâÿçü ñòðîãàÿ (íàïðèìåð, ëèíåéíàÿ), òî ìàòðèöà −1 X T X â óðàâíåíèè a = X T X X T y (ï. 20.6) íå áóäåò èìåòü îáðàò íîé â ñèëó detXTX= 0 è îöåíêè à íàéòè íå óäàåòñÿ. Ïðè íåñòðîãîé ñâÿçè detXTX ≈ 0 îöåíêè íåíàäåæíû, ò. å. ïëîõèå.

(

)

Íà íàëè÷èå ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè óêàçûâàåò detXTX ≅ 0. Óñòðàíåíèå ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè äîñòèãàåòñÿ ïóòåì ïåðåñìîòðà ñòðóêòóðû óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ èñêëþ÷åíèÿ îäíîé èç äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõ ïåðåìåííûõ èëè òðàíñôîðìàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ (íàïðèìåð, âìåñòî ïåðåìåííûõ áåðóò èõ ïðèðàùåíèÿ è ò. ï.).

21.3. Ñèñòåìà ðåãðåññèîííûõ óðàâíåíèé Ïðè ñòàòèñòè÷åñêîì îïèñàíèè êîìïëåêñà çàâèñèìîñòåé (à íå îòäåëüíûõ çàâèñèìîñòåé) íåîáõîäèìî ðàçðàáîòàòü ñèñòåìó ðåãðåññèîííûõ óðàâíåíèé. (1) Âçàèìîçàâèñèìàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Ýíäîãåííûìè ïåðåìåííûìè â ñèñòåìå ðåãðåññèîííûõ óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ïåðåìåííûå, îïðåäåëÿåìûå ìîäåëüþ èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ, à ýêçîãåííûìè — íåçàâèñèìûå îò ñòðóêòóðû ìîäåëè (èõ çíà÷åíèå óñòàíàâëèâàåòñÿ âíå ìîäåëè). Ìîäåëü ñîäåðæèò ïàðàìåòðû — êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿåìûå â õîäå ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ. Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ìîäåëü ñèñòåìû ðåãðåññèîííûõ óðàâíåíèé, â êîòîðîé çàâèñèìûå ïåðåìåííûå îäíèõ óðàâíåíèé âûñòóïà154

21. Óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè

þò â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ äðóãèõ, íàçûâàþò âçàèìîçàâèñèìîé. Âçàèìîçàâèñèìàÿ ìîäåëü èìååò äâå ôîðìû: ñòðóêòóðíóþ è ïðèâåäåííóþ. Ïðèâåäåííàÿ ôîðìà åñòü ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ ñòðóêòóðíîé. Ñòðóêòóðíàÿ ôîðìà: Ãy + Ax = ε , ãäå Ã, À — (n × n) è (n × m) — ìàòðèöû íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ; y − ( n × 1) — âåêòîð èç ýíäîãåí íûõ ïåðåìåííûõ; x − ( m × 1) — âåêòîð èç ýêçîãåííûõ ïåðåìåííûõ; ε, ε ∈ N ( 0, σ ) — ñëó÷àéíûé âåêòîð. Ïðèâåäåííàÿ ôîðìà: y = − Ã −1 Ax + Ã −1 ε = Bx + η, ãäå Â ≡ − Ã −1 À; η ≡ Ã −1 ε . (2) Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ âçàèìîçàâèñèìîé ñèñòåìû. Çàäà÷à: îöåíèòü ïàðàìåòðû Ã è À ïî çíà÷åíèÿì Â èç ïðèâåäåííîé ôîðìóëû. Ïîñêîëüêó Â = –Ã–1À, òî Â+Ã–1À=Înxm èëè ÃÂ+À=Înxm. Íî çàäà÷à îöåíêè Ã è À èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íåîäíîçíà÷íà. Íåîáõîäèìî ââîäèòü îãðàíè÷åíèÿ íà Ã è À. 1. Åñëè èõ êîëè÷åñòâî ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïî Â èñêîìûå Ã è À, òî ìîäåëü íàçûâàþò òî÷íî èäåíòèôèöèðóåìîé. Â ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ êîñâåííûé ÌÍÊ. Åãî ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîé îöåíêå ïàðàìåòðîâ êàæäîãî óðàâíåíèÿ ïðèâåäåííîé ôîðìû ìîäåëè â îòäåëüíîñòè ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ. Çàòåì ýòè ïàðàìåòðû òðàíñôîðìèðóþòñÿ â ïàðàìåòðû ñòðóêòóðíîé ôîðìû. 2. Åñëè êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé íà Ã è À áîëüøå, òî ñèñòåìà ñâåðõèäåíòèôèöèðóåìàÿ. Èñïîëüçóåòñÿ äâóõøàãîâûé ÌÍÊ. Íà ïåðâîì øàãå îöåíèâàþòñÿ ïàðàìåòðû ïðèâåäåííîé ôîðìû ñ îöåíêîé ñèñòåìàòè÷åñêîé è ñëó÷àéíîé ñîñòàâ-

+ ν , ãäå y — îöåíêè ïî ëÿþùåé, ò. å. ïðåäïîëàãàåòñÿ yi = y i i i = d x + …+ d x . Íà âòîðîì øàãå ïðèâåäåííîé ôîðìå y i i1 1 ij j

, äà÷àñòü ýíäîãåííûõ ïåðåìåííûõ çàìåíÿåòñÿ îöåíêàìè y i ëåå ê ñòðóêòóðíîìó óðàâíåíèþ ïðèìåíÿåòñÿ ÌÍÊ.

155

22. Ââåäåíèå âî âðåìåííûå ðÿäû 22.1. Çàäà÷è àíàëèçà Äëÿ èçó÷åíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ íåîáõîäèìî âûáðàòü ïîäõîäÿùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü. Òàêîé ìîäåëüþ ìîæåò áûòü äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ñòðîãîå îïðåäåëåíèå êîòîðîãî äàíî â ï. 11.1. Äàäèì ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ñîãëàñîâàííûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . Âðåìåííûì ðÿäîì íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êàæäûé ÷ëåí (óðîâåíü) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñâÿçàí ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ìîìåíòîì âðåìåíè èëè âðåìåííûì èíòåðâàëîì. Åñëè íå íàáëþäàåòñÿ èçìåíåíèé â ñðåäíèõ çíà÷åíèÿõ ÷ëåíîâ (ñëó÷àéíîé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òàêîé ðÿä íàçûâàþò ñòàöèîíàðíûì. Ïðèìåð (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàáëþäåíèé âåëè÷èí âî âðåìåíè). Îñíîâíûå çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ: 1) Îïèñàíèå èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîêàçàòåëÿ (íàïðèìåð, ñðåäíåãî) âî âðåìåíè è âûÿâëåíèå ñâîéñòâ ðÿäà (ñïîñîáû — ñãëàæèâàþùèå ôèëüòðû; ïîäáîð êðèâûõ — òðåíäà òåíäåíöèè; âûäåëåíèå ñåçîííûõ è äðóãèõ ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé; ðàñ÷åò ñðåäíåãî òåìïà ðîñòà è ò. ä.). 2) Îáúÿñíåíèå ìåõàíèçìà èçìåíåíèÿ óðîâíåé âðåìåííîãî ðÿäà (ñ ïîìîùüþ ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà). 3) Ñòàòèñòè÷åñêîå ïðîãíîçèðîâàíèå — ýêñòðàïîëÿöèÿ òåíäåíöèè.

22.2. Íåêîòîðûå ïðèåìû âûÿâëåíèÿ òåíäåíöèè âðåìåííûõ ðÿäîâ (1) Ôèëüòðàöèÿ è ñãëàæèâàíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ (ôèëüòðàöèÿ). Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ïîä ôèëüòðàöèåé âðåìåííûõ ðÿäîâ ïîíèìàþò îïåðàöèþ çàìåíû ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàáëþäåíèé âî âðåìåíè ðàñ÷åòíûìè îöåíêàìè ñðåäíèõ íà âðåìåííîì èíòåðâàëå ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó (ñ ìåíüøåé èçìåí÷èâîñòüþ). Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Åñëè îöåíêà îñóùåñòâëÿåòñÿ íà ìîìåíò âíóòðè çàäàííîãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà, òî îïåðàöèþ íàçûâàþò ñãëà156

22. Ââåäåíèå âî âðåìåííûå ðÿäû

æèâàíèåì, åñëè íà ìîìåíò ïðàâîãî êîíöà èíòåðâàëà — ôèëüòðàöèåé, íà ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû çà èíòåðâàëîì — ïðîãíîçîì. Ïðàâèëî, ñîãëàñíî êîòîðîìó èùåòñÿ îöåíêà, íàçûâàåòñÿ ôèëüòðîì. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíû ëèíåéíûå ôèëüòðû, èìåþùèå âèä = y t

S

∑a y r

r= −q

t+r

, ãäå ar — âåñîâîé êîýôôèöèåíò; yt+r — íàáëþäåíèå íà

ìîìåíò (t+r); q — óðîâíè (¹ çíà÷åíèé) äî ìîìåíòà t; s — óðîâíè (íîìåðà çíà÷åíèé) ïîñëå ìîìåíòà t. (2) Ñêîëüçÿùèå ñðåäíèå. Åñëè ∑ar = 1 è ar = const, òî ôèëüòð áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé. Î ï ð å ä å ë å í è å 4 . Ñðåäíåàðèôìåòè÷åñêóþ îöåíêó íà ñêîëüçÿùåì âðåìåííîì èíòåðâàëå ñ åäèíè÷íûì øàãîì íàçûâàþò ñêîëüçÿùåé ñðåäíåé. Åñëè ïðèíÿòü ar =

t+ p 1 = 1 , ãäå r =–p, .… , p; òî y yi . ∑ tcc 2 p + 1 i=t− p 2p + 1

Ç à ì å ÷ à í è å 2 . ×àùå âñåãî íà ïðàêòèêå m = 2p + 1 ïðèíèìàþò 3, 5, 7 ëåò. Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Ïðè m > 3 ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé: =y + yt + p − yt − ( p +1) . y t t −1 2p + 1

( )

= σ 2 / m. Î÷åâèäíî D y t Ñêîëüçÿùàÿ ñðåäíÿÿ ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ãðóáîé îáðàáîòêîé. Ç à ì å ÷ à í è å 4 . Áîëåå òîíêîé ìîäèôèêàöèåé ÿâëÿåòñÿ âçâåøåííàÿ ñêîëüçÿùàÿ ñðåäíÿÿ, êîãäà â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà êàæäîìó çíà÷åíèþ yi ïðèïèñûâàåòñÿ âåñ â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ îò i äî ñåðåäèíû èíòåðâàëà. Åñëè ñêîëüçÿùàÿ ñðåäíÿÿ çàìåíÿåò íå öåíòðàëüíûé, à ïîñëåäm = 1 íèé ÷ëåí â èíòåðâàëå ñãëàæèâàíèÿ, òî y ∑y . t m r =0 t−r

=y + yt − yt − m . Îòêóäà ìîæíî ïîëó÷èòü y t t −1 m 157


Ñòåïåíü «îáíîâëåíèÿ» ñðåäíåé îïðåäåëÿåòñÿ âåñîì

1 â ïîm

ñëåäíåì ÷ëåíå. t

= α (1 − α )r y , ãäå m = t, α — (3) Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ñðåäíÿÿ: y ∑ t t−r r =0

êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé âåñ òåêóùåãî íàáëþäåíèÿ (ïàðàìåòð ñãëàæèâàíèÿ: 0 < α < 1). Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû ñ ïîìî-

)

(

=y +α y −y . ùüþ ïåðåãðóïïèðîâêè ëåãêî ïîëó÷èòü y t t −1 t −1 t Îáû÷íî α ≈ 0,2 èëè α áåðóò èç èíòåðâàëà [0,1; 0,3]. Ýòà ôîðìóëà îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïðîãíîçà.

( )

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî D y týêñ =

α 2−α

σ 2.

(4) Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðàçíîñòåé. yt = yt + ε t ,

ãäå yt — ñèñòåìàòè÷åñêàÿ (ðåãóëÿðíàÿ) êîìïîíåíòà; εt — ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà, yt = f ( t) îïðåäåëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïîëèíîìîì. Ïîëàãàþò εt∈N(0, σ2) è Eεtεr = 0. Äàëåå âû÷èñëÿþòñÿ ïåðâûå ðàçíîñòè Ut = yt – yt–1; âòîðûå ðàçíîñòè Ut(2) = Ut − Ut −1 è òàê äàëåå, ïîêà ðàçíîñòè íå áóäóò ïðèìåðíî ðàâíûìè. Ïîðÿäîê ðàçíîñòè ïðèíèìàåòñÿ çà ñòåïåíü ïîëèíîìà.

22.3. Ñðåäíèé òåìï ðîñòà Îí õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå ðÿäà è îïðåäåëÿåòñÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñðåäíÿÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíûõ (öåïíûõ) òåìïîâ ðîñòà. Ïóñòü èìååì y1 , y2 , …, yn . Òåìï ðîñòà åñòü τ i =

yi +1 , i = 1, 2, …, n − 1, à ñðåäíèé òåìï yi

τ = n −1

yn n −1 = τ 1 ⋅ τ 2 …τ Ò −1 . y1

Òîãäà äëÿ ïðîãíîçà íà ìîìåíò m > n, èìååì: ym = y1 (τ ) 158

m −1

.

23. Íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà 23.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàäà÷è ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà Ìíîãîìåðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç (ÌÑÀ) ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì ðàçäåëîì ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè. Åãî îñíîâíàÿ öåëü ñîñòîèò â âûÿâëåíèè õàðàêòåðà è ñòðóêòóðû âçàèìîñâÿçåé ìåæäó êîìïîíåíòàìè ìíîãîìåðíîãî ïðèçíàêà. ÌÑÀ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ñîñòàâíóþ ÷àñòü îáùåãî ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà. Äàííûå î ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ îáúåêòàõ è ïðîöåññàõ îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ìíîãîìåðíûõ íàáëþäåíèé, íàïðèìåð, â âèäå ìàòðèöû:

 Χ 11 ( t) Χ 12 ( t) … Χ 1m ( t)  Χ t Χ t … Χ t  22 ( ) 2m ( )   21 ( ) ,      Χ n1 ( t) Χ n 2 ( t) … Χ nm ( t) ãäå Χ ij ( t) — çíà÷åíèå j-ãî àíàëèçèðóåìîãî ïðèçíàêà, õàðàêòåðèçóþùåãî ñîñòîÿíèå i-ãî îáúåêòà â ìîìåíò âðåìåíè t. Åñëè íàáëþäåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê îäíîìó ìîìåíòó âðåìåíè, òî èíäåêñ t îïóñêàåòñÿ. Ìíîãîìåðíûé ïðèçíàê â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(

)

âåêòîð-ñòðîêè x1 ( t) , x2 ( t), …, xm ( t) , èëè, îïóñêàÿ èíäåêñ t, îí çà-

ò ïèñûâàåòñÿ êàê âåêòîð-ñòîëáåö x = ( x1 , x2 , …, xm ) . Ðåàëüíûé îáúåêò (ïðîöåññ, ÿâëåíèå, ñèñòåìà), êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàáîðîì âõîäíûõ ïåðåìåííûõ, ò. í. ýêçîãåííûõ (îáúÿñíÿþùèõ), è âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ, ò. í. ýíäîãåííûõ (îáúÿñíÿåìûõ). Ìíîãîìåðíûé ïðèçíàê îáû÷íî è îïèñûâàåòñÿ ýòèìè äâóìÿ íàáîðàìè. Ñðåäè åãî êîìïîíåíò ìîãóò áûòü êîëè÷åñòâåííûå, ïîðÿäêîâûå (îðäèíàëüíûå) è êëàññèôèêàöèîííûå (íîìèíàëüíûå). Åñëè ïðèðîäà ðåçóëüòèðóþùèõ (ýíäîãåííûõ) ïîêàçàòåëåé êîëè÷åñòâåííàÿ, òî äëÿ èññëåäîâàíèÿ îáû÷íî èñïîëüçóþò òàêèå ðàçäåëû ÌÑÀ êàê ðåãðåññèîííûé è êîððåëÿöèîííûé àíàëèç, àíàëèç âðåìåííûõ ðÿäîâ, äèñïåðñèîííûé àíàëèç. Åñëè æå ïðèðîäà ýòèõ ïîêàçàòåëåé íîñèò íåêîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð, íàïðèìåð, ïîðÿä159


êîâûé èëè êëàññèôèêàöèîííûé, òî ïðèìåíÿþò àíàëèç ðàíãîâûõ êîððåëÿöèé, äèñêðèìèíàíòíûé è êëàñòåð-àíàëèç. Î÷åâèäíî, ÷òî íàðÿäó ñ òðàäèöèîííûìè çàäà÷àìè îöåíèâàíèÿ è ïðîâåðêè ãèïîòåç â ÌÑÀ ïðèîáðåòàþò âàæíóþ ðîëü çàäà÷è ñíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè è êëàññèôèêàöèè ìíîãîìåðíîãî ïðèçíàêà. ×èñëî ñîñòàâëÿþùèõ (êîìïîíåíò) ïðèçíàêà ò ìîæåò áûòü î÷åíü áîëüøèì. Ýòî ñàìî ïî ñåáå ñîçäàåò áîëüøèå òðóäíîñòè ïðè ðåàëèçàöèè ïðîöåäóð îáðàáîòêè èñõîäíûõ äàííûõ. Â òî æå âðåìÿ íåêîòîðûå ñîñòàâëÿþùèå-ïðèçíàêè ìîãóò áûòü âçàèìîñâÿçàíû, ò. å. èíôîðìàöèÿ äóáëèðóåòñÿ; ðÿä ïðèçíàêîâ îêàçûâàþòñÿ íåèíôîðìàòèâíûìè, ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî îáúåêòà ê äðóãîìó îíè ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿþòñÿ; íåêîòîðûå ïðèçíàêè ìîæíî «ñóììèðîâàòü». Âñå ýòî äàåò îñíîâàíèå ïîñòàâèòü çàäà÷ó ñíèæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ìíîãîìåðíîãî ïðèçíàêà. Ïðè åå ðåøåíèè íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ìåòîäû ôàêòîðíîãî àíàëèçà, ìåòîä ãëàâíûõ êîìïîíåíò.

23.2. Î ìîäåëÿõ è ìåòîäàõ ôàêòîðíîãî àíàëèçà â ÌÑÀ Ñòðóêòóðà ñâÿçåé ìåæäó ò ñîñòàâëÿþùèìè ïðèçíàêà (x1, x2,…,xm) ìîæåò îáúÿñíÿòüñÿ òåì, ÷òî ýòè ïåðåìåííûå çàâèñÿò îò ìåíüøåãî ÷èñëà äðóãèõ, íåèçìåðÿåìûõ («ñêðûòûõ») ôàêòîðîâ (f1, f2,…,fr) r < m, íåêîððåëèðîâàííûõ ìåæäó ñîáîé. Îñíîâíàÿ öåëü ôàêòîðíîãî àíàëèçà — âûÿâëåíèå ñêðûòûõ îáùèõ ôàêòîðîâ ñ ìèíèìèçàöèåé èõ ÷èñëà è ñòåïåíè çàâèñèìîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ïðèçíàêà îò îñòàëüíûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò. Îáùèå ôàêòîðû ìîæíî ñ÷èòàòü ïðè÷èíàìè, à íàáëþäàåìûå ïðèçíàêè ñëåäñòâèÿìè. Îñíîâíûì ïðåäïîëîæåíèåì ÿâëÿåòñÿ âçàèìíàÿ íåçàâèñèìîñòü (íåêîððåëèðîâàííîñòü) èñõîäíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïðèçíàêà. Ïóñòü èìåþòñÿ öåíòðèðîâàííûå íàáëþäåíèÿ X1, X2,…, Xn (ëþáîå íàáëþäåíèå öåíòðèðóåòñÿ âû÷èòàíèåì èç íåãî ñðåäíåãî). Òîãäà ëèíåéíàÿ (íàèáîëåå ðàñïðîñòðà íåííàÿ) ìîäåëü ôàêòîðíîãî àíàëèçà èìååò âèä x = Qf + ε , ãäå x —

{ }

åñòü ò-ìåðíûé ïðèçíàê; Q = qij

i =1, 2, …, m j =1, 2, …, r

— ìàòðèöà «íàãðóçîê» îá-

ò ùèõ ôàêòîðîâ íà èññëåäóåìûå ïðèçíàêè; f = ( f1 , f2 , …, fr ) — âåê-

ò òîð ôàêòîðîâ; ε = ( ε1 , ε2 , …, ε m ) — âåêòîð îñòàòî÷íûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò. 160

23. Íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Äëÿ êîíêðåòíîãî íàáëþäåíèÿ Χ ν (ν = 1, 2, …, n ) èìååì Χ ν = Qfν + εν . Ïðè äîïóùåíèè î íîðìàëüíîì õàðàêòåðå è íåêîððåëèðîâàííîñòè îñòàòî÷íûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò, ò. å. ε ∈ N ( 0, V ); V = Εε ⋅ ε ò = { diagDε i } i =1,2,…,m , è ïîñêîëüêó

( )

Ε x = 0, Ε x ⋅ x ò = R = QQò + V, òî ìîæíî ñ÷èòàòü Ε f = 0, Ε ff ò = Ir è f ∈ N ( 0, Ir ). Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Ëèíåéíàÿ ìîäåëü ôàêòîðíîãî àíàëèçà èìååò ôîðìàëüíîå ñõîäñòâî ñ ìîäåëüþ ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè. Îòëè ÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ìîäåëè ôàêòîðíîãî àíàëèçà ïåðåìåííûå f íå ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäàåìûìè, òîãäà êàê â ìîäåëè ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè îíè ÿâëÿþòñÿ àðãóìåíòàìè. Îñíîâíûìè çàäà÷àìè ôàêòîðíîãî àíàëèçà ÿâëÿþòñÿ: – çàäà÷à ñóùåñòâîâàíèÿ ìîäåëè (êàêîâî ñîîòíîøåíèå ìåæäó r è m è ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäëèâî ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå); – çàäà÷à åäèíñòâåííîñòè ìîäåëè (ïðè êàêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ìàòðèöó Q è êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó V îïðåäåëåíèå ïàðà ìåòðîâ ìîäåëè f è Q åäèíñòâåííî); – êàê êîíêðåòíî âû÷èñëèòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ìîäåëè; – ñòàòèñòè÷åñêîå îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ ñòðóêòóðíûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (ïî íàáëþäåíèÿì ïðè çàäàííîì ÷èñëå ôàêòîðîâ r); – ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç (îá èñòèííîì ÷èñëå r è íåðàâåíñòâå íóëþ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Q); – ïîñòðîåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê äëÿ íåíàáëþäàåìûõ ôàêòîðîâ fi , i = 1, 2, …, n. Ïðè ðåøåíèè óêàçàííûõ çàäà÷ èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðèåìû è ìåòîäû (ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, öåíòðîèäíûé ìåòîä äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ôàêòîðíûõ «íàãðóçîê» è îñòàòî÷íûõ äèñïåðñèé; ìåòîä Áàðòëåòòà è ìåòîä Òîìñîíà ïðè îöåíêå çíà÷åíèé îáùèõ ôàêòîðîâ). Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò òàêæå ÷àñòíûå ñëó÷àè ëîãè÷åñêîé ñõåìû ôàêòîðíîãî àíàëèçà íà îñíîâå ýâðèñòè÷åñêîãî ïîäõîäà: ìåòîä ýêñòðåìàëüíîé ãðóïïèðîâêè ïàðàìåòðîâ, ìåòîä êîððåëÿöèîííûõ ïëåÿä.

161


23.3. Ìåòîä ãëàâíûõ êîìïîíåíò Ïóñòü ðàçìåðíîñòü ïðèçíàêà ïðè îáñëåäîâàíèè îáúåêòîâ åñòü ò è íåîáõîäèìî ïåðåéòè ê íîâîìó ïðèçíàêó ñ ìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ r. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñ ïîìîùüþ âåêòîðà x íàäî íàéòè íîâûé ò âåêòîð z = ( z1 , z2 , …, zr ) âñïîìîãàòåëüíûõ ïîêàçàòåëåé ñ âîçìîæíî ìàëîé ðàçìåðíîñòüþ (r = 1, 2, 3). Íîâûå ïðèçíàêè z1 , z2 , …, zr ìîãóò âûáèðàòüñÿ èç èñõîäíûõ ïî êàêîìó-ëèáî ïðàâèëó, íàïðèìåð, êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè èñõîäíûõ. Ïóñòü èìååòñÿ àíàëèçèðóåìûé ò-ìåðíûé ïðèçíàê x ñëó÷àé ò íîé âåëè÷èíû ñ âåêòîðîì ñðåäíèõ a = ( a1 , a2 , …, am ) è êîâàðèàöè-

{ }

îííîé (êîððåëÿöèîííîé) ìàòðèöåé R = σ ij

i =1,2,…,m j =1,2,…,m

.

Ââåäåì êëàññ äîïóñòèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé èññëåäóåìûõ ïðèçíàêîâ x1, x2, …, xm â âèäå ëèíåéíûõ îðòîãîíàëüíûõ íîðìèðîâàííî-öåíòðèðîâàííûõ êîìáèíàöèé m   F = z : zj = ∑ cjν ( xν − aν ); j = 1, 2, …, r , ν =1  

ãäå

∑ ñ ν = 1, ∑ c ν c ν = 0 äëÿ 2 j

j

k

j = 1, 2, …, r è k = 1, 2, …, r; j ≠ k.

Â êà÷åñòâå ìåðû èíôîðìàòèâíîñòè îáû÷íî ïðèíèìàþò Dz1 + Dz2 + + Dzr , Ir z ( x ) = Dx1 + Dx2 + + Dxm

(

)

ãäå D — åñòü îïåðàòîð (ñèìâîë) äèñïåðñèè. Òîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì r âåêòîð íîâûõ ïðèçíàêîâ Ò z ( x ) = z1 ( x ), z2 ( x ),…,zr ( x ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíà-

(

)

 l11 l1m  öèÿ z = Lx, ãäå L =   åñòü ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé    l l  r1 rm óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ îðòîãîíàëüíîñòè, è êîãäà Ir z1 ( x ) , z2 ( x ) , …, zr ( x ) = max Ir z ( x ) ïî âñåì z ( x ) ∈ F.

(

162

)

(

)


Íîâûå ïåðåìåííûå z1 ( x) , z2 ( x) , …, zr ( x) íàçûâàþòñÿ ãëàâíû ìè êîìïîíåíòàìè âåêòîðà x. Î ï ð å ä å ë å í è å 1 . Ïåðâîé ãëàâíîé êîìïîíåíòîé z1 ( x ) èññëå T äóåìîé ñèñòåìû ïîêàçàòåëåé õ = ( õ1 , õ2 , …, õm ) íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ëèíåéíàÿ (íîðìèðîâàííàÿ è öåíòðèðîâàííàÿ) êîìáèíàöèÿ ýòèõ ïîêàçàòåëåé, êîòîðàÿ ñðåäè âñåõ ïðî÷èõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé òàêîãî òèïà îáëàäàåò íàèáîëüøåé äèñïåðñèåé. Î ï ð å ä å ë å í è å 2 . k-é ãëàâíîé êîìïîíåíòîé zk ( x ) ñèñòåìû ïîêàçàòåëåé íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ (íåêîððåëèðîâàííàÿ ñ ïðåäûäóùèìè ãëàâíûìè êîìïîíåíòàìè, íîðìèðîâàííàÿ è öåíòðèðîâàííàÿ) êîìáèíàöèÿ ñ íàèáîëüøåé äèñïåðñèåé ñðåäè ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé òàêîãî òèïà. Âèä ìàòðèöû L çàâèñèò òîëüêî îò ýëåìåíòîâ êîððåëÿöèîííîé (êîâàðèàöèîííîé) ìàòðèöû R. Èñõîäíóþ ñèñòåìó ïîêàçàòåëåé îáû÷íî ïðåäâàðèòåëüíî öåíòðèðóþò, è òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü Ε xj = 0; j = 1, 2, …, m. Îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì èìååò âèä  D l T x → max  1 ,   l1T ⋅ l1 = 1 ãäå l1 — âåêòîð èç ýëåìåíòîâ ïåðâîé ñòðîêè â ìàòðèöå L. Ðåøàÿ çà-

( )

äà÷ó ïî ìåòîäó Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ åå îïðåäåëåíèÿ:

2 D l1T x = E l1T x = Ε l1T x ⋅ xT l1 = l1T Rl1 ; ϕ l1 , λ = l1T Rl1 − λ l1T l1 − 1 ;

( ) ( )

(

)

∂ϕ T = 2Rl1 − 2λl1 = 0, ( R − λ I ) l1 = 0. ∂l1

( )

(

)

Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåíóëåâîãî ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî

det( R − λ I ) = 0. Ïðè ñèììåòðè÷íîñòè è íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû R ýòî óðàâíåíèå èìååò ò âåùåñòâåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ êîðíåé — ñîáñòâåííûõ ÷èñåë λ1 ≥ λ2 ≥ …λ m ≥ 0. Ïîñêîëüêó Dz1 = D l1T x = l1T Rl1 ,

( )

à èç ñèñòåìû èìååì l1T Rl1 = λ, òî Dz1 ( x) = λ. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîé äèñïåðñèè ïåðåìåííîé z1 íóæíî âûáðàòü íàèáîëüøåå èç ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû R, ò. å. 163


Dz1 ( x) = λ1 . Ýòî ñîáñòâåííîå ÷èñëî âíåñåì â óðàâíåíèå ( R − λ1 I ) l1 = 0, îòêóäà íàõîäèì ñîáñòâåííûé âåêòîð l1. Òàêèì îáðàçîì, 1-ÿ ãëàâíàÿ êîìïîíåíòà åñòü ëèíåéíàÿ êîì áèíàöèÿ z1 ( x ) = l1T x. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àþò è äðóãèå ãëàâíûå êîì ïîíåíòû zk ( x ) = lkT x. Ìàòðèöà L ñîñòîèò èç ñòðîê

ljÒ = lj1 , lj2 , …, ljm ; j = 1, 2, …, r,

(

)

êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ìàòðèöû R. Äëÿ ãëàâíûõ êîìïîíåíò èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãëàâíûõ êîìïîíåíò ðàâíî íóëþ Ε z = Ε ( Lx) = L( Ε x) = 0; 2) êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà ãëàâíûõ êîìïîíåíò åñòü Rz = Ε zz Ò = L Ε xx Ò LÒ = LRLÒ ,

( )

( ( ))

ljÒ ( R − λk I ) lk = ljÒ ⋅ 0, ljÒ Rlk = λklk , ( k = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, r ).  λ1 0 Îòêóäà ñëåäóåò Rz = LRLÒ =   0 

0

λ2 0

0 0 ;  λr 

3) ñóììà äèñïåðñèé èñõîäíûõ ïðèçíàêîâ ðàâíà ñóììå äèñïåðm

ñèé ãëàâíûõ êîìïîíåíò

m

∑ Dx = ∑ Dz . k

k=1

k

k =1

Èç óêàçàííûõ ñâîéñòâ ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå ìåðû èíôîðìàòèâíîñòè äëÿ ìåòîäà ãëàâíûõ êîìïîíåíò ìîæíî âçÿòü

λ + λ2 + + λ r Ir z ( x ) = 1 . λ1 + λ2 + + λm

(

164

)


( ( ) )

Äëÿ íîðìèðîâàííûõ ïðèçíàêîâ D xj = 1 èìååì

λ + λ2 + + λ r Ir z ( x ) = 1 . m

(

)

Äëÿ âûáîðî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê λ i è li (ïî âûáîðî÷íîé ìàòðè ) ïðè óñëîâèè x ∈ N ( 0, R), i = 1, 2, …, m èçâåñòíî, ÷òî êàê öå R i îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ îíè ÿâëÿþòñÿ îöåíêàìè ñîñòîÿòåëüíûìè, íåñìåùåííûìè è àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíûìè. Äëÿ íèõ ìîæíî íàõîäèòü è èíòåðâàëüíûå îöåíêè.

23.4. Êëàññèôèêàöèÿ îáúåêòîâ. Ýëåìåíòû êëàñòåð-àíàëèçà Î ï ð å ä å ë å í è å 3 . Ïîä êëàññèôèêàöèåé ïîíèìàþò 1) ðàçäåëåíèå ðàññìàòðèâàåìîé ñîâîêóïíîñòè îáúåêòîâ èëè ÿâëåíèé íà îäíîðîäíûå (â íåêîòîðîì ñìûñëå) ãðóïïû ëèáî 2) âêëþ÷åíèå êàæäîãî îáúåêòà èç ìíîæåñòâà ê êàêîìó-òî çàðàíåå èçâåñòíîìó êëàññó. Ç à ì å ÷ à í è å 1 . Åñëè êðîìå êëàññèôèöèðóåìîé ñîâîêóïíîñòè èìåþòñÿ âûáîðî÷íûå äàííûå ïî êàæäîìó êëàññó, òî çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè íàçûâàþò êëàññèôèêàöèåé ñ îáó÷åíèåì, åñëè æå òàêèõ «îáó÷àþùèõ» âûáîðîê íå èìååòñÿ, òî çàäà÷ó íàçûâàþò êëàññèôèêàöèåé áåç îáó÷åíèÿ. Ç à ì å ÷ à í è å 2 . Çàäà÷à êëàññèôèêàöèè, íàïðèìåð, ïðåäøåñòâóåò ïðèìåíåíèþ ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè. Âñå èìåþùèåñÿ äàííûå äîëæíû áûòü ðàçáèòû íà îäíîðîäíûå êëàññû, ïîñëå ÷åãî èùóòñÿ êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèè äëÿ êàæäîãî êëàññà. Ç à ì å ÷ à í è å 3 . Èñõîäíûå äàííûå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû íå òîëüêî â âèäå ìàòðèöû íàáëþäåíèé Õ (ñì. ï. 23.1), íî è â âèäå ìàòðèöû ïàðíûõ ñðàâíåíèé

 γ 11 ( t) γ 12 ( t) γ t γ t ( ) 22 ( ) Γ =  21    γ m1 ( t) γ m2 ( t)

γ 1m ( t)  γ 2m ( t)  .   γ mm ( t)

165


Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ îäíîìîìåíòíûå ñðàâíåíèÿ, ïîýòîìó èíäåêñ t ìîæíî îïóñòèòü. Â ìàòðèöå ïàðíûõ ñðàâíåíèé ïðèíèìàþò ò = ï. Îáùàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: âñþ àíàëèçèðóåìóþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ, ñòàòèñòè÷åñêè ïðåäñòàâèìóþ ÷åðåç ìàòðèöó íàáëþäåíèé (ìàòðèöó ïàðíûõ ñðàâíåíèé), íåîáõîäèìî ðàçäåëèòü íà ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîå ÷èñëî (çàðàíåå èçâåñòíîå èëè íåò) îäíîðîäíûõ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ãðóïï èëè êëàññîâ. Â çàâèñèìîñòè îò èñõîäíîé èíôîðìàöèè î ïðèðîäå âûÿâëÿåìûõ êëàññîâ è ïîñòàâëåííîé çàäà÷è èñïîëüçóþò ëèáî 1) ìåòîäû «ðàñùåïëåíèÿ» ñìåñåé âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé (êàæäûé êëàññ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îäíîìîäàëüíàÿ ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñ ïëîòíîñòüþ

(

)

pj x,θ j , j = 1, 2, …, k è íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì θ j , à êàæäîå íàáëþäåíèå Xi ñ÷èòàåòñÿ èçâëå÷åííûì èç îäíîé èç ýòèõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, íåèçâåñòíî èç êàêîé èìåííî, ëèáî 2) ìåòîäû àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè (êëàñòåð-àíàëèçà), êîãäà íåò äîñòàòî÷íîé èíôîðìàöèè äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èñêîìûõ êëàññîâ. 1) Ìåòîäû «ðàñùåïëåíèÿ» ñîñòàâëÿþò îñíîâó äèñêðèìèíàíòíîãî àíàëèçà, â êîòîðîì ïðåäïîëàãàåòñÿ íàëè÷èå îáó÷àþùèõ âûáîðîê. Ïðè äèñêðèìèíàíòíîì àíàëèçå íàáëþäåíèå îòíîñÿò ê òîìó êëàññó (òîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè), â ðàìêàõ êîòîðîãî (êîòîðîé) îíî âûãëÿäèò áîëåå ïðàâäîïîäîáíî. Èñõîäíûìè äëÿ êëàññèôèêàöèè ÿâëÿþòñÿ ò-ìåðíûå íàáëþäåíèÿ Õ1, Õ2, … Õn è k îáó÷àþùèõ âûáîðîê. Îáùàÿ ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü â âèäå ñìåñè k êëàññîâ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëå-

(

k

)

íèÿ p ( x ) = ∑ Pj pj x,θ j , ãäå Pj — âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ â âûj =1

áîðêå ýëåìåíòà èç êëàññà j ñ ïëîòíîñòüþ pi(x) èëè «óäåëüíûé âåñ» ýëåìåíòîâ j-ãî êëàññà âî âñåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè; θ j — íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ïëîòíîñòåé ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ. Ðåøèòü çàäà÷ó «ðàñùåïëåíèÿ» ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé — ýòî çíà÷èò ïî âûáîðêå êëàññèôèöèðóåìûõ íàáëþäåíèé Õ1, Õ2, … Õn èç îáùåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïîñòðîèòü ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè äëÿ ÷èñëà êîìïîíåíòîâ ñìåñè k, èõ óäåëüíûõ âåñîâ Pi è äëÿ êàæäîãî èç

(

)

êîìïîíåíòîâ pj x,θ j àíàëèçèðóåìîé ñìåñè. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü

(

)

÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäà èçâåñòíû k è(èëè) Pj, à îöåíèâàåòñÿ pj x,θ j ñ 166


ïðåäâàðèòåëüíûì îöåíèâàíèåì ïî îáó÷àþùèì âûáîðêàì âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà θ j ; èëè æå èçâåñòíû pj ( x) è ïî íèì îöåíèâàþòñÿ Pj . Ïóñòü èìååòñÿ íàáëþäåíèå Xi. Ê êàêîé èç k àíàëèçèðóåìûõ ãå-

(

)

íåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé pj x,θ j , j =1, 2,…, k ñëåäóåò åãî îòíåñòè? Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñíà÷àëà îöåíèâàþò íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð θ j , èñïîëüçóÿ îáó÷àþùèå âûáîðêè, çàòåì ïîî÷åðåäíî âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ èìåþùåãîñÿ íàáëþäåíèÿ Xi

(

)

â ðàìêàõ êàæäîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè pj x(1) , x(2) , …, x( n) è îòíîñÿò ýòî íàáëþäåíèå ê òîìó êëàññó, äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ îêàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåé. 2) Ìåòîäû àâòîìàòè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè — êëàñòåð-àíàëèçà — ïðèìåíÿþòñÿ ïðè îòñóòñòâèè èíôîðìàöèè î âåðîÿòíîñòíîì îïèñàíèè êëàññîâ. Â ýòîì ñëó÷àå ââîäèòñÿ «ïðèçíàêîâîå» ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì îáúåêòû ðàññìàòðèâàþòñÿ â âèäå òî÷åê. Òàêèìè òî÷êàìè â ò-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ ò X1 = ( X11 , X12 ,…, X1m ) ,

ò ò X2 = ( X21 , X22 ,…, X2m ) ,…, Xn = ( Xn1 , Xn2 ,…, Xnm ) .

Îáó÷àþùèå âûáîðêè îòñóòñòâóþò. Áëèçîñòü ìåæäó îáúåêòàìè ìîæíî ïðèíèìàòü çà îäíîðîäíîñòü. Òîãäà êëàññèôèêàöèÿ áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ðàñ÷ëåíåíèè ñîâîêóïíîñòè òî÷åê-íàáëþäåíèé íà êëàññû òàê, ÷òîáû îáúåêòû â êëàññå íàõîäèëèñü íà íåáîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà. Ýòè êëàññû íàçûâàþò êëàñòåðàìè èëè îáðàçàìè. Çà êîëè÷åñòâåííóþ õàðàêòåðèñòèêó îäíîðîäíîñòè (ìåðó áëèçîñòè) ïðèíèìàþò ñïåöèàëüíóþ ìåòðèêó â ïðîñòðàíñòâå ïðèçíàêîâ-îáúåêòîâ. Ýòî ðàññòîÿíèå ñîïîñòàâëÿåòñÿ ñ íåêîòîðûì ïîðîãîì, îïðåäåëÿåìûì â êàæäîì ñëó÷àå öåëÿìè çàäà÷è. Åñëè íàáëþ äåíèÿ Xi èçâëåêàþòñÿ èç íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñ îäíîé è òîé æå êîâàðèàöèîííîé (êîððåëÿöèîííîé) ìàòðèöåé R, òî çà ìåðó áëèçîñòè äâóõ îáúåêòîâ óäîáíåå âñåãî ïðèíÿòü ðàññòîÿ ò íèå Ìåõàëîíîáèñà dM Xi , Xj = Xi − Xj Λò R−1 Λ Xi − X j , ãäå R —

(

) (

)

(

)

êîâàðèàöèîííàÿ (êîððåëÿöèîííàÿ) ìàòðèöà îáùåé ãåíåðàëüíîé 167


ñîâîêóïíîñòè, èç êîòîðîé èçâëåêàþòñÿ íàáëþäåíèÿ Xi; Λ — ñèììåòðè÷íàÿ, íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ λmr (îáû÷íî äèàãîíàëüíàÿ). ×àñòíûìè ñëó÷àÿìè ýòîé ìåòðèêè ÿâëÿþòñÿ:

– åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå dE Xi , X j =

(

) ∑(X m

ik

)

2

− X jk .

k =1

Îíî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ìíîãîìåðíîé íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé R (ò. å. êîìïîíåíòû Xij âçàèìíî íåçàâèñèìû è èìåþò îäíó è òó æå äèñïåðñèþ), ïðè óñëîâèè îäíîðîäíîñòè ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñ ò ëó êîìïîíåíò âåêòîðà íàáëþäåíèé Xi = ( Xi1 , Xi2 ,…, Xim ) è ïðè ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ïðèçíàêîâ ò = 1, 2, 3. – âçâåøåííîå åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå dâÅ Xi , X j =

(

) ∑w (X

)

m

k

2

− X jk , ãäå wk — «âåñ» (êîýôôèöèåíò

ik

k=1

m

∑w

âàæíîñòè), wk ≥ 0,

k

= 1.

k =1

m – ðàññòîÿíèå Õåììèíãà dH Xi , X j = ∑ Xik − X jk .

(

)

k =1

Â ðÿäå ñèòóàöèé ïðè êëàññèôèêàöèè îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ââîäèòü ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ãðóïïàìè îáúåêòîâ. Ïóñòü Sl åñòü l-ÿ ãðóïïà (êëàñòåð) îáúåêòîâ, nl — ÷èñëî îáúåêòîâ, îáðàçóþùèõ ãðóïïó Sl, âåêòîð X ( l) — ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âåêòîðíûõ íàáëþäåíèé, âõîäÿùèõ â Sl («öåíòð òÿæåñòè» l-é ãðóïïû). Òîãäà ðàññòîÿ-

(

)

íèå ìåæäó ãðóïïàìè îáîçíà÷àþò ÷åðåç ρ Sl ,Sq . Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìè ðàññòîÿíèÿìè ìåæäó ãðóïïàìè Sl è Sq ÿâëÿþòñÿ: 1) «áëèæíåãî ñîñåäà» ρmin Sl ,Sq = min d Xi , X j ïî âñåì Xi ∈Sl , X j ∈Sq ;

(

)

(

2) «äàëüíåãî ñîñåäà»

(

)

(

)

)

ρmax Sl , Sq = max d Xi , X j ïî âñåì Xi ∈Sl , X j ∈Sq ; 168


3) ïî «öåíòðàì òÿæåñòè» ρ Sl , Sq = d X ( l), X ( q) ;

) (

(

(

)

4) ïî «ñðåäíåé ñâÿçè» ρcp Sl ,Sq =

1 nl ⋅ nq

)

∑ ∑ d ( X , X ).

Xi ∈Sl X j ∈Sq

i

j

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êà÷åñòâà ðàñ÷ëåíåíèÿ çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè íà êëàññû èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ôóíêöèîíàëû. Íàïðèìåð, ñóììà âíóòðèêëàññíûõ äèñïåðñèé (k êëàññîâ): k

Q ( S) = ∑

∑d

l =1 Xi ∈Sl

2

( X , X ( l)). i

23.5. Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ ÌÑÀ äëÿ àíàëèçà âðåìåííûõ ðÿäîâ (ìåòîä «ãóñåíèöà») Ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îáðàáîòêè âðåìåííûõ ðÿäîâ. Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âðåìåííîé ðÿä ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ðàñ÷ëåíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ìíîãîìåðíûõ èñõîäíûõ äàííûõ, ê êîòîðûì ïðèìåíÿþò ìåòîä ãëàâíûõ êîìïîíåíò, à çàòåì âîññòàíàâëèâàþò èñõîäíûé ðÿä. Ïóñòü èìååòñÿ âðåìåííîé ðÿä { xi } i =1 , îáðàçîâàííûé ïîñëåäîN

âàòåëüíîñòüþ N ðàâíîîòñòîÿùèõ çíà÷åíèé íåêîòîðîé (âîçìîæíî, ñëó÷àéíîé) ôóíêöèè. Âûáèðàåòñÿ íåêîòîðîå ÷èñëî M u2 =

α4

= 0,015 ⇒ u2 ≈ 35, ( v = 19; α = 0,015)

2

1

< χ 2 < u2

}

α4

= 0,985 ⇒ u1 ≈ 8,7; (ν = 19, α = 0,985) 2 = 1 − α4

P χ 2 > u1 = 1 −

 s2 ( n − 1) s2 ( n − 1)   8,252 (20 − 1) 8,252 (20 − 1)  ; ;  ;   ; u2 u1 35 8,7   

(4,479; 18,017) — äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë

6.

Îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ñîîòâåòñòâóþùèé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè Ð=1–α5, äëÿ îöåíêè äîëè ïðèçíàêà. Îáúåì âûáîðêè ðàâåí 100, âûáîðî÷íàÿ äîëÿ ïðèçíàêà ðàâíà 15+K. n=100, K=0, Ð=1–α5; α5=0,05; m=15

{

}

p = m = 0,15; P p − p < ε = 2Φ ( z) = 1 − α , z = 1,96 α 5 α n

()

σ p =

(

p 1 − p n

) = 0,036; ε

α

= 1,96 × 0,036 = 0,0706;

( p − ε ; p + ε ); (0,15 − 0,0706; 0,15 + 0,0706); α

α

(0,0794; 0,2206) — äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë

183

7.

Ïðîâåðèòü ïî âûáîðêå 2 ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ðàâíî À íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α6 ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå — ñðåäíåå çíà÷åíèå íå ðàâíî À. H0 : X = 16 = 14,858, s2 = 7,94 H1 : X ≠ 16, n = 25, X n −X X n X = 16, α 6 = 0,03, t = n s2

{

}

P t > tα = α 6 , P { t < −tα } = P { t > tα } =

α6 2

tα = 2,349 14,858 − 16 25 = −2,025 t = 2.82 t ∈( −t ; t ) α

α

−2,025 ∈( −2,349; 2,349)

ãèïîòåçà Í0 ïðèíèìàåòñÿ 8.

Ïðîâåðèòü ïî âûáîðêå 3 ãèïîòåçó î òîì, ÷òî äèñïåðñèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ðàâíà T2 íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α7 ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå äèñïåðñèÿ íå ðàâíà T2. H0 : σ 2 = 16 H1 : σ 2 ≠ 16 n = 20, s2 = 8,25

α7 = 0,05 T2 = 16

χ2 =

( n − 1) s2 T2

{

}

{

}

P χ 2 > u2 =

α7 2

P χ 2 > u1 = 1 − 184

= 0,025 ⇒ u2 = 32,852

α7 2

= 0,075 ⇒ u1 = 8,907

Ïðèëîæåíèå 1

χ = 2

(20 − 1) 8,25 = 9,797

16 9,797 ∈( 8,907; 32,852)

ãèïîòåçà Í0 ïðèíèìàåòñÿ. 9.

Ïî âûáîðêàì 2 è 3 ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ðàâíû íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α8 ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå — îíè íå ðàâíû.

H0 : X = Y H1 : X ≠ Y

α 8 = 0,02 = 14,858; Y = 16,392 X n n sx2 = 7,94 sy2 = 8,25

ν = n1 + n2 − 2 = 43 θ=

−Y X n n

n1 + n2 − 2

n s +n s

1 1 + n1 n2

2 1 x

2 2 y

åñòü t — ñòàòèñòèêà Ñòüþäåíòà

tα = 2,418; θ =

14,858 − 16,392 25 ⋅ 7,94 + 20 ⋅ 8,25

25 + 20 − 2 1 1 + 25 20

= −1,759

θ = −1,759 ∈( −2,418; 2,418) ãèïîòåçà Í0 ïðèíèìàåòñÿ 10. Ïî âûáîðêå 1 ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå c ïàðàìåòðàìè X = A = 16, σ 2 = T2 = 16 íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α9=0,05. 185

Η 0 : { âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü} ⊂ Ν (16; 16) Η1 : { âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü} ⊄ Ν (16; 16) l

χ = ∑ 2

(m

ip

− mi

mip

i =1

) ; ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ν = l − r − 1, ãäå r — 2

÷èñëî ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ; l — êîëè÷åñòâî èíòåðâàëîâ èíòåðâàëüíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà. L = 10, r = 2.

{

}

2 > χ 2 = 0,05 ⇒ χ 2 = 14,067; χ 2 = 20,066 > 14,067. P χ α α

ãèïîòåçà Í0 íå ïðèíèìàåòñÿ. 11. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êðàéíèõ òî÷åê («íàòÿíóòîé íèòè») íàéòè ëèíåéíûå ôóíêöèè ðåãðåññèè äëÿ ñâÿçàííûõ âûáîðîê XY, XZ, YZ è ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè. à) Êðàéíèå òî÷êè äëÿ âûáîðîê XY åñòü M1(9,27; 5,17) è N1(20,68; 10,86). Óðàâíåíèå ïðÿìîé ÷åðåç äâå òî÷êè íà ïëîñêîñòè x0y â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå

x − 9,27 y − 5,17 ; îòêóäà îêîí÷àòåëüíî = 20,68 − 9,27 10,86 − 5,17 y = 0,499x + 0,547. á) Êðàéíèå òî÷êè äëÿ âûáîðîê XZ åñòü M2(9,27; 21,11) è N2(20,68; 10,85). Óðàâíåíèå ïðÿìîé ÷åðåç äâå òî÷êè íà ïëîñêîñòè x0z â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå

x − 9,27 z − 21,11 , îòêóäà îêîí÷àòåëüíî = 20,68 − 9,27 10,85 − 21,11 z = –0,899x + 29,446. â) Êðàéíèå òî÷êè äëÿ âûáîðêè YZ åñòü M3(5,17; 21,11) è N1(10,86; 10,85). Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè y0z â êà-

y − 5,17 z − 21,11 , = 10,86 − 5,17 10,85 − 21,11 îòêóäà îêîí÷àòåëüíî z = –1,803y + 30,432.

íîíè÷åñêîé ôîðìå èìååò âèä

186

õi

–∞

10

11,5

13,0

14,5

16,0

17,5

19,0

20,5

+∞

Èíòåðâàë

(–∞; 9,25)

[9,25; 10,75)

[10,75; 12,25)

[12,25; 13,75)

[13,75; 15,25)

[15,25; 16,75)

[16,75; 18,25)

[18,25; 19,75)

[19,75; 21,25)

[21,25; +∞)

1

12

17

15

26

23

9

12

4

1

mi

+∞

1,125

0,750

0,375

0

–0,375

–0,75

–1,125

–1,5

–∞

σ

xi − X

0,5000

0,3697

0,2734

0,1462

0

–0,1462

–0,2734

–0,3697

–0,4332

–0,5

x −X Ô i   σ 

1,0000

–

0,1303

0,0963

0,1272

0,1462

0,1462

0,1272

0,0963

0,0635

0,0668

Pi = ∆Ôi

–

15,64

11,56

15,26

17,54

17,54

15,26

11,56

7,62

8,38

mip = nPi

–

3,64

–5,44

0,26

–8,46

–5,46

6,26

0,43

3,62

7,38

mip − mi − mi

–

13,25

29,59

0,0676

71,57

29,81

39,19

0,18

13,10

54,46

ip

(m

) 2

− mi

2

) 2

χ = 20,066

–

0,847

2,560

0,004

4,080

1,700

2,570

0,016

1,719

6,499

mip

ip

(m

12. Ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàéòè ëèíåéíûå ôóíêöèè ðåãðåññèè äëÿ äâóìåðíûõ âûáîðîê çàäà÷è 11 è íàëîæèòü èõ ãðàôèêè íà ãðàôèêè ïðåäûäóùåé çàäà÷è. Âûáîðî÷íûå ñðåäíèå = 1 X = 14,853; Y = 1 Y = 8,591; Z = 1 Z = 16,283. X n n ∑ ∑ ∑ i i i n i n i n i n

à) Äëÿ âûáîðîê XY óðàâíåíèå ðåãðåññèè y = a1 + b1x, n

∑ X Y − nX i

b1 =

i

n

Y n

i =1

n

n ∑ X − nX 2 i

2

=

3944,2 − 30 × 14,853 × 8,591 6890,58 − 30 × (14,853)

i =1

= 8,591 − 0,427 × 14,853 ≈ 2,25. a1 = Y n − b1 X n Îêîí÷àòåëüíî èìååì y = 0,427x + 2,25.

Ãðàôèêè ïàðíîé ðåãðåññèè Y íà X

188

2

≈ 0,427,


á) Äëÿ âûáîðîê XZ óðàâíåíèå ðåãðåññèè z = a2 + b2 x, n

∑X Z i

b2 =

i

Z − nX n n

i =1

n

n ∑ Xi2 − nX 2

=

7019,03 − 30 × 14,853 × 16,283 6890,58 − 30 × (14,853)

2

≈ −0,87,

i =1

−b X = 16,283 − −0,87 × 14,853 ≈ 29,201. a2 = Z n n ( ) 2 Îêîí÷àòåëüíî èìååì z = −0,87x + 29,201.

Ãðàôèêè ïàðíîé ðåãðåññèè Z íà X

â) Äëÿ âûáîðîê YZ óðàâíåíèå ðåãðåññèè z = a3 + b3 y. n

∑YZ i

b3 =

i

Z − nY n n

i =1

n

∑ Yi2 − nY n 2

=

4090,43 − 30 × 8,591 × 16,283 2267,44 − 30 × ( 8,591)

2

≈ −2,00.

i =1

− b Y = 16,283 − −2,00 8,591 = 33,465. a3 = Z n ( ) 3 n Îêîí÷àòåëüíî èìååì z = −2y + 33,465.

189

13. Ïîëàãàÿ, ÷òî êàæäûé i-é ñòîëáåö â âûáîðêå 2 ñîîòâåòñòâóåò i-ìó óðîâíþ ôàêòîðà Ai, îöåíèòü âëèÿíèå ôàêòîðà À íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α10 ïðè ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíîì ïëàíå ýêñïåðèìåíòà.

Ãðóïïîâàÿ ñðåäíÿÿ X j

Ñóììà Tj

Íîìåð óðîâíÿ Íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ j ôàêòîðà ïðèçíàêà

Îáúåì âûáîðêè nj

Âûáîðêó 2 ïðåäñòàâëÿåì êàê íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà.

1

9,27

15,51 15,84 18,60 12,73 5

71,95 14,39

2

16,32 14,72 11,75 16,25 14,69 5

73,73 14,75

3

15,22 20,11 8,43

12,48 14,44 5

80,68 16,14

4

16,89 19,32 9,63

15,93 12,12 5

73,89 14,78

ð=5

14,23 10,82 17,50 16,44 12,18 5

71,17 14,23

Èòîãî

( Q = ∑n (X

) = 204,6; = 11,36; −X )

Q0 = ∑∑ Xij − X i

j

2

j

j

25 371,42 X = 14,86

2

2

g

Q1 = Q0 − Q2 = 204,6 − 11,36 = 193,24.

ν 0 = n − 1 = 25 − 1 = 24; ν2 = p − 1 = 5 − 1 = 4; ν1 = n − p = 25 − 5 = 20. s02 = s22 =

190

Q

ν0 Q2

ν2

=

Q 193,24 204,6 ≈ 8,525; s12 = 1 = = 9,66; 24 20 ν1

=

11,36 = 2,84. 4


H0 : σ 12 = σ 22 H1 : σ 12 ≠ σ 22 , α10 = 0,05; F =

s22 ; s12

= 2,84 ≈ 0,29; 0,29 < 2,87, Fα = 2,87; F 9,66

Òîãäà H0 ïðèíèìàåòñÿ, ò. å. ôàêòîð À íå âëèÿåò. 14. Ïðîèçâåñòè ñãëàæèâàíèå çàäàííîãî âðåìåííîãî ðÿäà ìåòîäîì ñêîëüçÿùèõ ñðåäíèõ, âûÿâèòü òðåíä ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è íàéòè ïðîãíîç íà 3 âðåìåííûå åäèíèöû. Ïîñòðîèòü ãðàôèêè. Ïðèíèìàåì âåëè÷èíó ñêîëüçÿùåãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà ò = 3, òîãäà ñãëàæåííûå çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå t +1

=1 y ∑ yi , tcc 3 i = t −1

Âðåìÿ 1 Ïàðàìåòð –

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36,9 36,3 38,3 39,3 40,0 40,7 41,3 42,7 44,1 46,9 46,0

Âðåìÿ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Ïàðàìåòð 48,7 49,2 49,3 48,7 50,9 54,7 55,6 53,4 53,8 55,7 58,9 – Ïðèíèìàåì ãèïîòåçó î ëèíåéíîì õàðàêòåðå òðåíäà. Òîãäà ìîäåëü y = a + bt, n = 1 t = 1 295 ≈ 12,29, Y = 1 y = 1 1129,92 = 47,08, T n n ∑ ∑ i 24 n i =1 i 24 n

n

∑TY − nT i

b=

i

n

Y n

i =1

n

∑T − nT 2 I

2

=

15268,5 − 24 × 12,29 × 47,08 4900,08 − 24 × (12,29)

2

≈ 1,08,

i =1

− bT a=Y n n = 47,08 − 1,08 × 12,29 ≈ 34,5.

191

Óðàâíåíèå òðåíäà: y( t) = 34,5 + 1,08t.

Ïðîãíîç íà 3 âðåìåííûå åäèíèöû: y27 = 34,5 + 1,08 × 27 = 63,66.

Ïðèëîæåíèå 2 Ôóíêöèÿ Ëàïëàñà Φ ( z) = z 00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7

0 0,0000 ,0398 ,0793 0,1179 ,1554 ,1915 0,2257 ,2580 ,2881 0,3159 ,3413 ,3643 ,3849 0,4032 ,4192 ,4332 ,4452 ,4554 ,4641 ,4713 ,4772 ,4821 ,4860 ,4892 ,4918 ,4937 ,4953 ,4965 0,4974 ,4981 ,4986 ,4990 ,4993 ,4995 ,4996 ,4997 ,4998 ,4998

1 ,0040 ,0438 ,0832 ,1217 ,1591 ,1950 ,2291 ,2611 ,2910 ,3186 ,3437 ,3665 ,3869 ,4049 ,4207 ,4345 ,4463 ,4564 ,4649 ,4719 ,4778 ,4826 ,4864 ,4895 ,4920 ,4939 ,4954 ,4966 ,4975 ,4981 ,4986 ,4990 ,4993 ,4995 ,4996 ,4997 ,4998 ,4998

Ñ î 2 ,0080 ,0478 ,0871 ,1255 ,1628 ,1985 ,2324 ,2642 ,2939 ,3212 ,3461 ,3686 ,3888 ,4066 ,4222 ,4357 ,4474 ,4573 ,4656 ,4726 ,4783 ,4830 ,4867 ,4898 ,4922 ,4941 ,4956 ,4967 ,4975 ,4982 ,4987 ,4990 ,4993 ,4995 ,4996 ,4997 ,4998 ,4999

ò û å 3 ,0120 ,0517 ,0910 ,1293 ,1664 ,2019 ,2357 ,2673 ,2967 ,3238 ,3485 ,3708 ,3907 ,4082 ,4236 ,4370 ,4484 ,4582 ,4664 ,4732 ,4788 ,4834 ,4871 ,4900 ,4924 ,4942 ,4957 ,4968 ,4976 ,4983 ,4987 ,4991 ,4993 ,4995 ,4996 ,4997 ,4998 ,4999

z

1 2π

ä î ë 4 ,0160 ,0557 ,0948 ,1331 ,1700 ,2054 ,2389 ,2703 ,2995 ,3264 ,3508 ,3729 ,3925 ,4099 ,4251 ,4382 ,4495 ,4591 ,4671 ,4738 ,4793 ,4838 ,4874 ,4903 ,4926 ,4944 ,4958 ,4969 ,4977 ,4983 ,4988 ,4991 ,4994 ,4995 ,4997 ,4997 ,4998 ,4999

∫e

2 −t

2

dt , ãäå z =

0

è ä ë ÿ z 5 6 ,0199 ,0239 ,0596 ,0636 ,0987 ,1026 ,1368 ,1406 ,1736 ,1772 ,2088 ,2123 ,2422 ,2454 ,2734 ,2764 ,3023 ,3051 ,3289 ,3315 ,3531 ,3554 ,3749 ,3770 ,3944 ,3962 ,4115 ,4131 ,4265 ,4279 ,4394 ,4406 ,4505 ,4515 ,4599 ,4608 ,4678 ,4686 ,4744 ,4750 ,4798 ,4803 ,4842 ,4846 ,4877 ,4880 ,4906 ,4908 ,4928 ,4930 ,4946 ,4947 ,4959 ,4960 ,4970 ,4971 ,4978 ,4978 ,4984 ,4984 ,4988 ,4988 ,4991 ,4992 ,4994 ,4994 ,4995 ,4996 ,4997 ,4997 ,4998 ,4998 ,4998 ,4998 ,4999 ,4999

7 ,0279 ,0675 ,1064 ,1443 ,1808 ,2157 ,2486 ,2794 ,3078 ,3340 ,3577 ,3790 ,3980 ,4147 ,4292 ,4418 ,4525 ,4616 ,4693 ,4756 ,4808 ,4850 ,4883 ,4911 ,4932 ,4949 ,4962 ,4971 ,4979 ,4985 ,4989 ,4992 ,4994 ,4996 ,4997 ,4998 ,4998 ,4999

x−a

σ 8 ,0319 ,0714 ,1103 ,1480 ,1844 ,2190 ,2517 ,2823 ,3106 ,3365 ,3599 ,3810 ,3997 ,4162 ,4306 ,4429 ,4535 ,4625 ,4699 ,4761 ,4812 ,4854 ,4886 ,4913 ,4934 ,4950 ,4963 ,4972 ,4980 ,4985 ,4989 ,4992 ,4994 ,4996 ,4997 ,4998 ,4998 ,4999

9 ,0359 ,0753 ,1141 ,1517 ,1879 ,2224 ,2549 ,2852 ,3133 ,3389 ,3621 ,3830 ,4015 ,4177 ,4319 ,4441 ,4545 ,4633 ,4706 ,4767 ,4817 ,4857 ,4889 ,4915 ,4936 ,4952 ,4964 ,4973 ,4980 ,4986 ,4989 ,4992 ,4994 ,4996 ,4997 ,4998 ,4998 ,4999 193

Ïðèëîæåíèå 3 Ïðåäåëû äëÿ χ 2 -ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 194

α

0,995 0,39⋅10–4 0,010 0,071 0,207 0,412 0,676 0,989 1,314 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,760 11,808 12,461 13,121 13,787 14,458 15,134 15,815 16,501 17,192 17,887 18,586 19,289 19,996 20,707

0,975 0,98⋅10–3 0,050 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,688 12,401 13,120 13,844 14,573 14,308 16,047 16,791 17,539 18,291 19,047 19,803 20,569 21,336 22,106 22,878 23,654 24,433

0,95 0,39⋅10–2 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,671 15,379 16,151 16,928 17,708 18,498 19,281 20,072 20,867 21,664 22,465 23,269 24,075 24,884 25,695 26,509

0,05 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 44,985 46,194 47,400 48,602 49,802 50,998 52,192 53,384 54,572 55,758

0,025 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,336 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 42,194 44,461 45,722 46,979 48,232 49,483 50,725 51,966 53,203 54,437 55,668 56,895 58,120 59,342

0,005 7,879 10,597 12,838 14,830 16,750 18,475 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,804 34,267 35,713 37,156 38,582 39,897 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 53,003 56,328 57,648 58,964 60,275 61,581 62,882 64,181 65,476 66,766

Ïðèëîæåíèå 4 Äâóõñòîðîííèå ïðåäåëû äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà

{

}

P t > têð = α ν α 0,20 1 3,0770 2 1,8850 3 6377 4 5332 5 4759 6 1,4390 7 4149 8 3998 9 3830 10 3720 11 1,3630 12 3562 13 3502 14 3450 15 3406 16 1,3360 17 3334 18 3304 19 3277 20 3253 21 1,3230 22 3212 23 3195 24 3178 25 3163 26 1,3150 27 3137 28 3125 29 3114 30 3104 32 1,3080 34 3070 36 3050 38 3042 40 3031 42 1,3200 44 3011 46 3002

0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 6,3130 12,7060 31,8200 63,6560 127,6560 318,3080 636,6190 2,9200 4,3020 6,9640 9,9240 14,0890 22,3270 31,5990 3534 3,1820 4,5400 5,8400 7,4580 10,2140 12,9240 1318 2,7760 3,7460 4,6040 5,5970 7,1730 8,6100 0150 5706 3649 0321 4,7730 5,8930 6,8690 1,9430 2,4460 3,1420 3,7070 4,3160 5,2070 5,9580 8946 3646 2,9980 4995 0293 4,7850 4079 8595 3060 8965 3554 3,8320 5008 0413 8331 2622 8214 2498 6897 2968 4,7800 8125 2281 7638 1693 5814 1437 5869 1,7960 2,2010 2,7180 3,1050 3,4980 4,0240 4,4370 7823 1788 6810 0545 4284 3,929 3178 7709 1604 6503 0123 3725 8520 2208 7613 1448 6245 2,976 3257 7874 1405 7530 1314 6025 9467 2860 7328 0728 1,7460 2,119 2,5830 2,9200 3,2520 3,6860 4,0150 7396 1098 5668 8982 2224 6458 3,9650 7341 1009 5514 8784 1966 6105 9216 7291 0930 5395 8609 1737 5794 8834 7247 0860 5280 8453 1534 5518 8495 1,7210 2,079 2,5170 2,8310 8,1350 3,5270 8,8190 7167 0739 5083 8188 1188 5050 7921 7139 0687 4999 8073 1040 4850 7676 7109 0639 4922 7969 0905 4668 7454 7081 0595 4851 7874 0782 4502 7251 1,7060 2,055 2,4780 2,7780 3,0660 3,4350 3,7060 7033 0518 4727 7707 0565 4210 6896 7011 0484 4671 7633 0469 4082 6739 6991 0452 4620 7564 0380 3962 6594 6973 0423 4573 7500 0298 3852 6466 1,6930 2,0360 2,4480 2,7380 3,0140 3,3650 3,6210 6909 0322 4411 7284 0020 3479 6007 6883 0281 4345 7195 2,9900 3326 5821 6860 0244 4286 7116 9808 3190 5657 6839 0211 4233 7045 9712 3069 5510 1,6820 2,0180 2,4180 2,6980 2,6930 3,2960 3,5370 6802 0154 4141 6923 9555 2861 5258 6787 0129 4102 6870 9488 2771 5150 195

ν α 48 50 55 60 65 70 80 90 100 120 150 200 250 300 400 500

0,20 2994 2987 1,9970 2958 2947 2938 1,2920 2910 2901 2886 2872 2858 2849 2844 2837 1,2830

0,10 6772 6759 1,6730 6706 6686 6669 1,6640 6620 6602 6577 6551 6525 6510 6499 6487 1,6470

0,05 0106 0086 2,0040 0003 1,9970 9944 1,9900 9867 9840 9799 9759 9719 9695 9679 9659 1,9640

0,02 4066 4033 2,3960 3901 3851 3808 2,3730 3885 3642 3578 3515 3451 3414 3388 3357 2,333

0,01 6822 6778 2,6680 6603 6536 6479 2,6380 6316 6259 6174 6090 6006 5956 5923 5882 2,7850

0,005 9426 9370 2,9240 9146 9060 8987 2,8870 8779 8707 8599 8492 8385 8222 8279 8227 2,8190

0,002 2689 2614 3,2560 2317 2204 2108 3,1950 1833 1737 1595 1456 1315 1232 1176 1107 3,1080

0,001 5051 4960 3,4760 4602 4466 4350 3,4160 4019 3905 3735 3586 3398 3299 3233 3150 3,3100

197

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

v2

v1

161 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,86 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 4,23 4,21 4,20 4,18 4,17 4,08 4,00 3,92 3,84

1

200 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,88 3,80 3,74 3,68 3,63 3,59 3,55 3,52 3,49 3,47 3,44 3,42 3,40 3,38 3,37 3,35 3,34 3,33 3,32 3,23 3,15 3,07 2,99

2

216 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 3,16 3,13 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,98 2,96 2,95 2,93 2,92 2,84 2,76 2,68 2,60

3

225 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,73 2,71 2,70 2,69 2,61 2,52 2,44 2,37

4 230 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,14 3,02 2,96 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2,66 2,64 2,62 2,60 2,59 2,57 2,56 2,54 2,53 2,45 2,37 2,29 2,21

5 234 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,47 2,46 2,44 2,43 2,42 2,34 2,25 2,17 2,09

6 237 19,36 8,88 6,09 4,88 4,21 3,679 3,50 3,29 3,14 3,01 2,92 2,84 2,77 2,70 2,66 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,45 2,43 2,41 2,39 2,37 2,36 2,35 2,34 2,25 2,17 2,08 2,01

7 239 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,30 2,29 2,28 2,27 2,18 2,10 2,01 1,94

8 241 19,38 8,81 6,00 4,78 4,10 8,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,72 2,65 2,59 2,54 2,50 2,46 2,43 2,40 2,37 2,35 2,32 2,30 2,28 2,27 2,25 2,24 2,22 2,21 2,12 2,04 1,95 1,88

9 242 19,39 8,78 5,96 4,47 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,67 2,60 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,20 2,28 2,26 2,24 2,22 2,20 2,19 2,18 2,16 2,07 1,99 1,90 1,83

10 244 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,25 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,10 2,09 2,00 1,92 1,83 1,75

12 246 19,43 8,69 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,98 2,82 2,70 2,60 2,51 2,44 2,39 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,15 2,13 2,10 2,09 2,06 2,05 2,03 2,02 2,00 1,99 1,90 1,81 1,72 1,64

16 248 19,44 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,93 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 2,15 2,12 2,09 2,07 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,84 1,75 1,65 1,57

20 249 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2,50 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19 2,15 2,11 2,08 2,05 2,03 2,00 1,98 1,96 1,90 1,93 1,91 1,90 1,89 1,79 1,70 1,60 1,52

24 250 19,46 8,62 5,74 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,46 2,38 2,31 2,25 2,20 2,15 2,11 2,07 2,04 2,00 1,98 1,96 1,94 1,92 1,95 1,88 1,87 1,85 1,84 1,74 1,65 1,65 1,46

30 251 19,47 8,60 5,71 4,46 3,77 3,34 3,05 2,82 2,67 2,53 2,42 2,34 2,27 2,21 2,16 2,11 2,07 2,02 1,89 1,96 1,93 1,91 1,89 1,87 1,85 1,84 1,81 1,80 1,79 1,69 1,59 1,55 1,39

40

Âåðõíèå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû Fêð äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà-Ñíåäåêîðà à) Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α = 0,05 253 19,48 8,57 5,68 4,42 3,72 3,279 3,00 2,77 2,61 2,47 2,36 2,28 2,21 2,15 2,09 2,04 2,00 1,96 1,92 1,89 1,87 1,84 1,82 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,72 1,61 1,50 1,49 1,28

60

253 19,49 8,56 5,66 4,40 3,71 3,28 2,98 2,76 2,59 2,45 2,35 2,26 2,19 2,12 2,07 2,02 1,98 1,94 1,90 1,87 1,84 1,82 1,80 1,77 1,76 1,74 1,72 1,71 1,69 1,59 1,48 1,36 1,24

120

254 19,50 8,53 5,63 4,36 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,92 1,88 1,84 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,69 1,67 1,65 1,64 1,62 1,51 1,39 1,25 1,00

∞


v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

v1

647,7 38,50 17,44 12,71 10,00 8,813 8,072 7,570 7,209 6,936 6,724 6,553 6,414 6,297 6,199 6,155 6,042 5,978 5,921 5,871 5,826 5,786 5,749 5,716 5,686 5,658 5,633 5,609 5,587 5,567 5,423 5,285 5,152 5,023

1

799,5 39,00 16,04 10,64 8,433 7,259 6,541 6,059 5,714 5,456 5,255 5,095 4,965 4,856 4,765 4,686 4,618 4,559 4,507 4,461 4,419 3,382 3,349 4,318 4,290 4,265 4,242 4,220 4,200 4,182 4,051 3,925 3,804 3,688

2

864,1 39,16 15,43 9,979 7,763 6,598 5,889 5,416 5,078 4,825 4,630 4,474 4,347 4,241 4,152 4,976 4,012 3,953 3,903 3,858 3,818 3,782 3,750 3,721 3,694 3,669 3,647 3,626 3,607 3,589 3,463 3,342 3,227 3,116

3

899,5 39,24 15,10 9,604 7,387 6,227 5,522 5,052 4,718 4,468 4,275 4,121 3,995 3,891 3,804 3,729 3,664 3,608 3,558 3,514 3,474 3,440 3,408 3,379 3,353 3,328 3,306 3,286 3,267 2,249 3,126 3,007 2,894 2,786

4 921,8 39,29 14,88 9,364 7,146 6,987 5,285 4,817 4,184 4,236 4,044 3,891 3,766 3,663 3,576 3,502 3,437 3,382 3,332 3,289 3,250 3,125 3,183 3,154 3,128 3,104 3,082 3,062 3,043 3,026 2,903 2,786 2,515 2,566

5 937,1 39,33 14,73 9,197 6,977 5,819 5,118 4,651 4,319 4,072 3,880 3,728 3,614 3,501 3,414 3,340 3,276 3,220 3,171 3,128 3,089 3,054 3,023 2,994 2,968 2,944 2,922 2,902 2,884 2,866 2,744 2,627 2,524 2,408

6 948,2 39,35 14,62 9,074 6,853 5,695 4,994 4,528 4,197 3,949 3,758 3,606 3,482 3,379 3,293 3,219 3,155 3,090 3,050 3,007 2,968 2,933 2,902 2,873 2,847 2,824 2,802 2,782 2,763 2,746 2,623 2,506 2,299 2,237

7 956,6 39,37 14,57 8,979 6,757 5,599 4,899 4,433 4,102 3,854 3,663 3,511 3,388 3,285 3,198 3,124 3,061 3,005 2,956 3,912 2,974 2,889 2,807 2,779 2,753 2,724 2,707 2,687 2,668 2,651 2,528 2,411 2,299 2,191

8 963,2 38,38 14,47 8,904 6,681 5,523 4,823 4,357 4,026 3,779 3,587 3,435 3,312 3,209 3,122 3,048 2,984 2,929 2,880 2,836 2,797 2,762 2,731 2,702 2,676 2,649 2,630 2,610 2,591 2,574 2,451 4,334 2,221 2,113

9 968,6 39,39 14,41 8,843 6,619 5,461 4,761 4,295 3,963 3,716 3,525 3,373 3,249 3,146 3,050 2,986 2,922 2,866 2,817 2,773 2,734 2,699 2,668 2,639 2,613 2,589 2,567 2,547 2,528 2,511 2,388 2,270 2,157 2,048

10 976,6 39,41 14,33 8,751 6,524 5,366 4,665 4,199 3,868 3,620 3,429 3,277 3,153 3,050 2,963 2,889 2,824 2,768 2,719 2,675 2,636 2,601 2,569 2,541 2,514 2,490 2,468 2,446 2,429 2,412 2,288 2,160 2,054 1,944

12 984,8 39,43 14,25 8,656 6,422 5,268 4,567 4,101 3,769 3,521 3,329 3,177 3,052 2,949 2,862 2,787 2,723 2,666 2,617 2,573 2,533 2,498 2,466 2,437 2,411 2,386 2,344 2,343 2,324 2,307 2,181 2,061 1,945 1,832

16

á) Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α = 0,025

993,1 39,44 14,16 8,559 6,328 5,168 4,466 3,999 3,666 3,418 3,226 3,072 2,947 2,843 2,755 2,680 2,615 2,559 2,508 2,464 2,424 2,389 2,356 2,327 2,300 2,275 2,253 2,232 2,213 2,195 2,067 1,944 1,824 1,708

20 997,2 39,45 14,12 8,510 6,278 5,117 4,415 3,947 3,614 3,365 3,172 3,018 2,893 2,788 2,700 2,625 2,559 2,502 2,452 2,407 2,367 2,331 2,298 2,269 2,242 2,217 2,194 2,173 2,154 2,135 2,006 1,881 1,759 1,640

24 1001,4 39,46 14,08 8,461 6,226 5,065 4,362 3,894 3,560 3,311 3,117 2,963 2,837 2,732 2,643 2,567 2,502 2,444 2,383 2,348 2,306 2,271 2,238 2,209 2,181 2,156 2,133 2,112 2,092 2,073 1,942 1,815 1,689 1,566

30 1005,6 37,47 14,08 8,411 6,175 5,012 4,308 3,839 3,505 3,255 3,061 2,906 2,779 2,674 2,585 2,508 2,442 2,384 2,332 2,287 2,246 2,209 2,176 2,146 2,118 2,092 2,069 2,047 2,027 2,009 1,875 1,744 1,614 1,483

40 1009,8 39,48 13,99 8,360 6,122 4,958 4,254 3,784 3,449 3,198 3,003 2,847 2,720 2,614 2,524 2,447 2,380 2,321 2,269 2,223 2,181 2,144 2,110 2,079 2,051 2,025 2,001 1,979 1,959 1,940 1,802 1,666 1,529 1,388

60

1014,0 39,49 13,94 8,309 6,069 4,904 4,198 3,727 3,391 3,139 2,944 2,787 2,659 2,551 2,461 2,383 2,315 2,255 2,203 2,156 2,114 2,076 2,041 2,009 1,981 1,954 1,929 1,907 1,886 1,866 1,724 1,581 1,432 1,268

120

1018,3 39,49 13,90 8,257 6,015 4,849 4,142 3,670 3,332 3,079 2,882 2,724 2,595 2,487 2,395 2,316 2,247 2,185 2,133 2,085 2,042 2,033 1,967 1,935 1,905 1,878 1,852 1,829 1,807 1,786 1,737 1,482 1,310 1,000

∞

v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

v1

4052 98,49 23,12 21,20 16,26 13,74 12,25 11,26 10,56 10,04 9,85 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,28 8,18 8,10 8,02 7,94 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 7,64 7,60 7,56 7,31 7,08 6,84 6,64

1

4999 99,05 30,81 18,00 13,27 10,92 9,55 8,65 8,02 7,56 7,20 6,93 6,70 6,51 6,38 6,23 6,11 6,01 5,93 5,85 5,78 5,72 5,66 5,61 5,57 5,53 5,49 5,45 5,42 5,39 5,18 4,08 4,78 4,60

2

5403 99,17 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,18 5,09 5,01 4,94 4,87 4,82 4,76 4,72 4,68 4,64 4,60 4,57 4,54 4,51 4,31 4,13 3,94 3,78

3

5625 99,25 28,71 15,28 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,20 5,03 4,89 4,77 4,67 4,58 4,50 4,43 4,37 4,31 4,26 4,22 4,18 4,14 4,11 4,07 4,04 4,02 3,83 3,65 3,47 3,32

4 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 4,23 4,17 4,10 4,04 3,99 3,94 3,90 8,86 3,82 3,79 3,76 3,73 3,70 3,51 3,34 3,17 3,02

5 5859 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,29 4,10 4,01 3,94 8,87 8,81 3,76 3,71 3,67 3,63 3,59 3,56 3,53 8,50 3,47 3,29 3,12 2,95 2,80

6 5928 99,34 26,67 14,90 10,45 8,26 7,00 6,19 5,62 5,21 4,88 4,65 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,85 3,77 3,71 3,65 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 2,95 2,79 2,64

7 5981 99,36 27,49 14,80 10,27 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,56 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 8,23 3,20 3,17 2,99 2,82 2,65 2,51

8 6022 99,38 27,34 14,66 10,15 7,98 6,71 5,91 5,35 4,95 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,45 3,40 3,35 3,30 3,25 3,21 3,17 3,14 3,11 3,08 3,06 2,88 2,72 2,56 2,41

9 6056 99,40 27,23 14,54 10,05 7,87 6,62 5,82 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,22 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,67 2,47 2,32

10 6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,52 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,45 3,37 3,20 3,23 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,66 2,50 2,33 2,18

12 6159 99,44 26,83 14,15 9,68 7,52 6,27 5,48 4,92 4,52 4,21 4,98 3,78 3,62 3,48 3,37 3,27 3,19 3,12 3,05 2,99 2,94 2,89 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2,66 2,49 2,32 2,15 1,99

16

â) Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α = 0,01

6208 99,45 26,69 14,02 9,55 7,39 6,15 5,36 4,80 4,41 4,10 3,86 3,67 3,51 3,36 3,25 3,16 3,07 3,00 2,94 2,88 2,83 2,78 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,37 2,20 2,03 1,87

20 6234 99,47 26,60 13,93 9,47 7,31 6,07 5,28 4,73 4,33 4,02 3,70 3,59 3,43 3,29 3,18 3,08 3,00 2,92 2,86 2,80 2,45 2,70 2,66 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,29 2,12 1,94 1,79

24 6258 99,47 26,50 13,83 9,38 7,23 5,98 5,20 4,64 4,25 3,94 3,70 3,51 3,34 3,20 3,10 3,00 2,91 2,84 2,77 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,38 2,20 2,03 1,85 1,69

30 6286 99,48 26,41 13,74 9,29 7,14 5,90 5,11 4,66 4,17 3,86 3,61 3,42 3,26 3,12 3,01 2,92 2,83 2,76 2,68 2,63 2,58 2,53 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,29 2,11 1,93 1,75 1,59

40 6323 99,49 26,27 13,61 9,17 7,02 5,78 5,00 4,45 4,05 3,74 3,49 3,30 3,14 3,00 2,89 2,79 2,71 2,63 2,56 2,51 2,46 2,41 2,36 2,32 2,28 2,25 2,22 2,19 2,16 1,91 1,97 1,59 1,41

60 6334 99,49 26,23 13,57 9,13 6,69 5,75 4,96 4,41 4,01 3,70 3,46 3,27 3,11 2,97 2,86 2,76 2,68 2,60 2,53 2,47 2,42 2,37 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,15 2,13 1,94 1,74 1,54 1,36

120 6366 99,50 26,12 13,46 9,02 6,88 5,65 4,86 4,31 3,91 3,60 3,36 3,16 3,00 2,87 2,75 2,65 2,57 2,49 2,42 2,36 2,31 2,26 2,21 2,17 2,13 2,10 2,06 2,03 2,01 1,81 1,60 1,37 1,09

∞

v2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

v1

16211 198,5 55,55 81,33 22,78 18,63 16,23 14,68 13,61 12,82 12,22 11,75 11,37 11,06 10,79 10,57 10,38 10,21 10,07 9,943 9,829 9,727 9,634 9,551 9,475 9,405 9,342 9,283 9,229 9,179 8,827 8,484 8,179 7,879

1

20000 199,0 49,79 26,28 18,31 15,54 12,40 11,04 10,10 9,427 8,912 8,509 8,186 7,921 7,700 7,513 7,353 7,214 7,095 6,986 6,891 6,806 6,730 6,661 6,598 6,540 6,488 6,440 6,395 6,354 6,066 5,795 5,539 5,298

2

21615 199,1 47,46 24,25 16,53 12,91 10,88 9,596 8,717 8,080 7,600 7,225 6,925 6,680 6,476 6,303 6,155 6,027 5,916 5,817 5,730 5,652 5,582 5,519 5,461 5,409 5,361 5,317 5,276 5,238 4,975 4,729 4,497 4,279

3

22500 199,2 46,19 23,15 15,55 12,07 10,05 8,805 7,955 7,342 6,880 6,521 6,233 5,998 6,802 5,537 5,496 5,374 5,268 5,174 5,091 5,016 4,950 4,889 4,836 4,785 4,739 4,607 4,659 4,623 4,373 4,139 3,920 3,715

4 23056 199,3 45,89 22,45 14,91 11,46 9,522 8,301 7,471 6,872 6,421 6,071 5,791 5,562 5,372 5,211 5,074 4,956 4,852 4,761 4,680 4,608 4,544 4,485 4,432 4,384 4,340 4,299 4,252 4,227 3,986 3,760 3,548 3,349

5 23437 199,3 44,83 21,97 14,51 11,07 9,155 7,952 7,133 6,514 6,101 5,757 5,481 5,257 5,078 4,913 4,778 4,662 4,561 4,472 4,393 4,322 4,259 4,201 4,150 4,102 4,059 4,019 3,983 3,949 3,712 3,491 3,248 3,091

6 23715 199,3 41,43 21,62 13,20 10,78 8,885 7,961 6,884 6,302 5,864 5,524 5,252 5,031 5,847 4,092 4,559 4,441 4,344 4,256 4,178 4,109 4,046 3,990 3,939 3,892 3,350 3,811 3,774 3,741 3,508 3,291 3,087 2,886

7 23925 199,3 44,12 21,35 13,95 10,56 8,678 7,496 6,693 6,115 5,682 5,345 5,076 4,856 4,674 4,520 4,389 4,275 4,177 4,090 4,012 3,944 3,882 3,826 3,755 3,729 3,685 3,648 3,612 3,580 3,349 3,134 2,933 2,744

8 24091 199,3 43,88 21,13 13,77 10,39 8,513 7,338 6,541 5,967 5,536 5,202 4,935 4,717 4,536 4,383 4,253 4,141 4,042 3,956 3,878 3,811 3,750 3,694 3,644 3,598 3,557 3,518 3,483 3,450 3,222 3,008 2,808 2,621

9 24224 199,4 43,68 20,96 13,61 10,25 8,380 7,210 6,417 5,846 5,418 5,085 4,819 4,603 4,423 4,271 4,142 4,030 3,932 3,847 3,770 3,703 3,642 3,587 3,537 3,491 3,440 3,411 3,376 3,344 3,116 2,904 2,705 2,518

10 24426 199,4 43,38 20,70 13,38 10,08 8,176 7,014 6,227 5,661 5,236 4,906 4,642 4,428 4,249 4,099 3,970 3,859 3,763 3,677 3,602 3,535 3,474 3,419 3,370 3,325 3,283 3,246 3,211 3,178 2,953 2,741 2,543 2,358

12 24630 199,4 43,09 20,43 13,14 9,814 7,967 6,814 6,032 5,470 5,048 4,721 4,460 4,246 4,069 3,960 3,792 3,683 3,586 3,502 3,427 3,360 2,299 3,245 3,196 3,151 3,110 3,072 3,037 3,005 2,781 2,570 2,372 2,186

16

ã) Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α = 0,005

24836 199,4 42,77 20,16 12,90 9,588 7,754 6,608 5,831 5,274 4,855 4,529 4,270 4,058 3,882 3,734 3,607 3,497 3,402 3,317 3,243 3,176 3,116 3,062 3,913 2,968 2,927 2,889 2,855 2,823 2,589 2,387 2,188 1,999

20 24940 199,4 42,62 20,03 12,78 9,474 7,645 6,502 5,729 5,173 4,755 4,431 4,172 3,961 3,785 3,637 3,511 3,401 3,306 3,222 3,147 3,080 3,020 2,966 2,917 2,872 2,831 2,794 2,759 2,727 2,502 2,289 2,089 1,898

24 25044 199,4 42,46 19,89 12,65 9,358 7,534 6,396 5,524 5,070 4,654 4,330 3,970 3,861 3,686 3,538 3,412 3,303 3,207 3,123 3,048 2,982 2,922 2,867 2,818 2,773 2,732 2,694 2,660 2,627 2,401 2,187 1,983 1,789

30 25148 199,4 42,30 19,75 12,53 9,240 7,422 6,287 5,518 4,965 4,550 4,228 3,865 3,760 3,585 3,437 3,310 2,201 3,405 3,021 2,946 2,879 2,819 2,765 2,716 2,670 2,629 2,591 2,556 2,594 2,295 2,078 1,870 1,669

40 25253 199,4 42,14 19,61 12,40 2,121 7,308 6,177 5,410 4,859 4,445 4,122 3,757 3,655 3,460 3,332 3,205 3,096 3,000 2,915 2,640 2,773 2,713 2,658 2,608 2,563 2,521 2,483 2,447 2,415 2,183 1,962 1,746 1,532

60

25359 199,4 41,98 19,46 12,27 2,001 7,193 8,064 5,300 4,750 4,336 4,014 3,757 3,547 3,372 3,224 3,097 2,987 2,890 2,805 2,730 2,661 2,601 2,546 2,496 2,450 2,407 2,369 2,333 2,299 2,063 1,834 1,605 1,363

120

25465 199,4 41,82 19,32 12,14 8,879 7,076 5,950 5,187 4,638 4,225 3,903 3,646 3,435 3,260 3,111 2,283 2,873 2,776 2,690 2,614 2,545 2,483 2,427 2,376 2,329 2,286 2,246 2,210 2,176 1,931 1,688 1,431 1,000

∞

Îãëàâëåíèå ÂÂÅÄÅÍÈÅ ................................................................................. 3

×àñòü I. ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ ............................................................. 4

1. Ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü ........................................................... 4 1.1. Ïðåäìåò òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Èñïûòàíèÿ, èñõîäû, ñîáûòèÿ .................................... 4 1.2. Àëãåáðà ñîáûòèé .................................................... 5 1.3. Îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè ........................................ 7 1.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è .................................................. 9

2. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ....... 13 2.1. Îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè .............................. 13 2.2. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî .................................. 15 2.3. Àêñèîìàòèêà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé .......................... 16

3. Îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ............................. 18 3.1. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ........................................... 18 3.2. Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà ................... 20 3.3. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ................................................. 21 3.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 23

4. Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ è ñõåìà Áåðíóëëè. Ïîíÿòèå î öåïÿõ Ìàðêîâà .................................................. 27 4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé ............................. 27 4.2. Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé ..................................................... 28 4.3. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû ñõåìû Áåðíóëëè ..................... 30 4.4. Ïðîñòàÿ è îäíîðîäíàÿ öåïè Ìàðêîâà ....................... 31 4.5. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 36

201

5. Cëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ õàðàêòåðèñòèêè ........................ 38 5.1. Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ........................................ 38 5.2. Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ..... 40 5.3. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 42

6. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îñíîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................... 44 6.1. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ..................................... 44 6.2. Îñíîâíûå äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ...................... 48 6.3. Íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ................................. 51 6.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 55

7. Cåìåéñòâî íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ............................... 58 7.1. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå .................................... 58 7.2. Ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè Ãàóññà è Ëàïëàñà ..................................... 60 7.3. Ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ............ 62 7.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 63

8. Ñèñòåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíûå âåêòîðû) ............ 65 8.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ñèñòåìå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ...... 65 8.2. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñèñòåìû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) .......................... 66 8.3. Ñèñòåìà äâóõ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (íåïðåðûâíàÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) .......... 67 8.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 69

9. Ñâÿçü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .................................................... 73 9.1. Î ðàñïðåäåëåíèè ñîñòàâëÿþùèõ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà . 73 9.2. Íåçàâèñèìîñòü è ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ............................. 74 9.3. Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü ................................ 76 9.4. Èçìåðåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (Ìåðà ðàçëè÷èÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ) ........................ 77 9.5. Ïðèìåðû è çàäà÷è ................................................ 78

202

10. Ôóíêöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû ........ 82 10.1. Ôóíêöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ............................... 82 10.2. Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ...... 84 10.3. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû ........... 86 10.4. Ïðèìåðû è çàäà÷è .............................................. 89

11. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ èç òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ .......... 91 11.1. Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ......................... 91 11.2. Ïðîñòåéøèå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà .. 92 11.3. Î íåêîòîðûõ òèïàõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ............... 93

×àñòü II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ ...................... 96

12. Ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ .......................................... 96 12.1. Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è ñòàòèñòè÷åñêèå ñîâîêóïíîñòè ............................... 96 12.2. Ðàñïðåäåëåíèå êà÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ ................ 98 12.3. Ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâåííûõ ïðèçíàêîâ ............. 99 12.4. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè îïûòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ....................................... 101

13. Ââåäåíèå â òåîðèþ âûáîðî÷íîãî ìåòîäà .......................... 104 13.1. Âûáîðî÷íûå íàáëþäåíèÿ ................................... 104 13.2. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè è òðåáîâàíèÿ ê íèì .......... 104

14. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê .................... 14.1. Ìåòîäû íàõîæäåíèÿ îöåíîê ............................... 14.2. Îöåíêà äîëè ïðèçíàêà ....................................... 14.3. Òî÷å÷íûå îöåíêè äëÿ ñðåäíåé è äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ....................................

108 108 110 112

15. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ .................................. 114 15.1. Îöåíêè ñðåäíåé è äèñïåðñèè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ............. 114 203

15.2. Ïðèáëèæåííûé ìåòîä èíòåðâàëüíîé îöåíêè ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé ............................................ 117 15.3. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ïðè ìíîãîñòóïåí÷àòîì îòáîðå ................................ 118

16. Ââåäåíèå â òåîðèþ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç ..... 16.1. Îáùàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è .................................. 16.2. Êðèòåðèé ïðîâåðêè. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ............ 16.3. Îáùàÿ ñõåìà ïðîâåðêè ãèïîòåç ...........................

120 120 120 122

17. Ïðîâåðêà ïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåç ................................ 17.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåç îòíîñèòåëüíî äîëè ïðèçíàêà ..... 17.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç îòíîñèòåëüíî ñðåäíåé ............... 17.3. Ñðàâíåíèå äèñïåðñèé äâóõ íîðìàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ........................... 17.4. Ñðàâíåíèå äâóõ çàâèñèìûõ âûáîðîê (ïàðíûå ñðàâíåíèÿ) .............................................

123 123 125 128 129

18. Ýëåìåíòû íåïàðàìåòðè÷åñêîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ ........................................................... 130 18.1. Íåïàðàìåòðè÷åñêèå ñðàâíåíèÿ äâóõ âûáîðîê ........ 130 18.2. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ ........................................... 131

19. Ýëåìåíòû ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà è äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà. Ââåäåíèå â ôàêòîðíûé àíàëèç ......................................... 19.1. Ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà ....................................... 19.2. Îäíîôàêòîðíûé àíàëèç ïðè ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíîì ïëàíå ýêñïåðèìåíòà ............................. 19.3. Îäíîôàêòîðíûé àíàëèç ïðè ãðóïïèðîâêå ïî ñëó÷àéíûì áëîêàì .......................................... 19.4. Äâóõôàêòîðíûé àíàëèç ïðè ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíîì ïëàíå ýêñïåðèìåíòà .............................

133 133 134 136 138

20. Îñíîâû òåîðèè êîððåëÿöèè è ðåãðåññèè .......................... 140 20.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ....................... 140 20.2. Óðàâíåíèå ïàðíîé ðåãðåññèè .............................. 142 204

20.3. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ................................. 20.4. Êîýôôèöèåíò ðàíãîâîé êîððåëÿöèè .................... 20.5. Êîýôôèöèåíò ñîãëàñîâàííîñòè ........................... 20.6. Ìíîæåñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ ................... 20.7. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè ..................................... 20.8. Íåëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ ......................................

144 146 147 147

21. Óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè ........................................................ 21.1. Ïðîâåðêà óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè ........................... 21.2. Ñòðóêòóðà óðàâíåíèé ðåãðåññèè .......................... 21.3. Ñèñòåìà ðåãðåññèîííûõ óðàâíåíèé ......................

152 152 153 154

22. Ââåäåíèå âî âðåìåííûå ðÿäû ........................................... 22.1. Çàäà÷è àíàëèçà ................................................ 22.2. Íåêîòîðûå ïðèåìû âûÿâëåíèÿ òåíäåíöèè âðåìåííûõ ðÿäîâ ................................. 22.3. Ñðåäíèé òåìï ðîñòà ...........................................

156 156

23. Íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ................................................. 23.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàäà÷è ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ...................................... 23.2. Î ìîäåëÿõ è ìåòîäàõ ôàêòîðíîãî àíàëèçà â ÌÑÀ ................................... 23.3. Ìåòîä ãëàâíûõ êîìïîíåíò ................................. 23.4. Êëàññèôèêàöèÿ îáúåêòîâ. Ýëåìåíòû êëàñòåð-àíàëèçà ................................... 23.5. Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ ÌÑÀ äëÿ àíàëèçà âðåìåííûõ ðÿäîâ (ìåòîä «ãóñåíèöà») .....................

149 151

156 158

159 159 160 162 165 169

ÐÅÊÎÌÅÍÄÓÅÌÀß ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ ..................................... 171

Ïðèëîæåíèå 1. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà .................... 172

Ïðèëîæåíèå 2. Ôóíêöèÿ Ëàïëàñà ................................... 193 205

Ïðèëîæåíèå 3. Ïðåäåëû äëÿ χ2-ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà ...... 194 Ïðèëîæåíèå 4. Äâóõñòîðîííèå ïðåäåëû äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ................................. 195

Ïðèëîæåíèå 5. Âåðõíèå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû Fêð äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà-Ñíåäåêîðà ........................ 197

Äëÿ çàïèñåé

Êóðçåíåâ Â. À.

ÎÑÍÎÂÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ ÄËß ÓÏÐÀÂËÅÍÖÅÂ Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñ ïðèìåðàìè è çàäà÷àìè

Çàâ. ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì îòäåëîì Ë. Å. Âîñòðÿêîâ Ðåäàêòîð Ñ. Â. ×óáèíñêàÿ-Íàäåæäèíà Êîððåêòîð Å. Â. Âåðåöóí Âåðñòêà Å. È. Îñòðîâîé

Издательство СЗАГС. 199004, СанктПетербург, В. О. 8я линия, д. 61. Подписано в печать 31.01.2005 г. Формат 60×90/16. Усл.печ. листов 13. Печать офсетная. Гарнитура PragmaticaC, PetersburgC. Тираж 1000 экз. Комплекс издательских и полиграфических работ выполнен ООО «Полиграфуслуги» Издательский дом «Виктория плюс»

Основы математической статистики для управленцев: Учебное пособие

Recommend Documents