1
ÓÄÊ 373.167.1:51+51(075.3) ÁÁÊ 22.1ÿ721 Â19
Ñåðèÿ «Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò» îñíîâàíà â 1980 ã.
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß:
Á.Ì.Áîëîòîâñêèé, À.À.Âàðëàìîâ, Â.Ë.Ãèíçáóðã, Ã.Ñ.Ãîëèöûí, Þ.Â.Ãóëÿåâ, Ì.È.Êàãàíîâ, Ñ.Ñ.Êðîòîâ, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Þ.À.Îñèïüÿí (ïðåäñåäàòåëü), Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, À.Ð.Õîõëîâ, À.È.×åðíîóöàí (ó÷åíûé ñåêðåòàðü)
Â19
Âàñèëüåâ Í.Á., Ñàâèí À.Ï., Åãîðîâ À.À. Èçáðàííûå îëèìïèàäíûå çàäà÷è. Ìàòåìàòèêà. Ì.: Áþðî Êâàíòóì, 2007. 160 ñ. (Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò». Âûï. 100. Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 2/2007.) ISBN 5-85843-065-1 Êíèãà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñáîðíèê çàäà÷ ðàçëè÷íûõ îëèìïèàä ïî ìàòåìàòèêå, ïðîâîäèâøèõñÿ â ðàçíûå ãîäû. Îñíîâîé äëÿ íåå ïîñëóæèëà êíèãà Í.Á.Âàñèëüåâà è À.Ï.Ñàâèíà «Èçáðàííûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàä», âûøåäøàÿ â 1968 ãîäó. Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì èçäàíèåì êíèãà ñóùåñòâåííî ðàñøèðåíà è ïåðåðàáîòàíà. Âñå çàäà÷è ñíàáæåíû îòâåòàìè è óêàçàíèÿìè, ìíîãèå ïîäðîáíûìè ðåøåíèÿìè. Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà ñòàðøåêëàññíèêàì, ó÷èòåëÿì, ðóêîâîäèòåëÿì ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ è âñåì ëþáèòåëÿì ïîëîìàòü ãîëîâó íàä ìàòåìàòè÷åñêèìè çàäà÷àìè. ÁÁÊ 22.1ÿ721
ISBN 5858430651 2
© Áþðî Êâàíòóì, 2007
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
 1968 ãîäó èçäàòåëüñòâîì ÌÃÓ áûëà âûïóùåíà êíèãà Í.Á.Âàñèëüåâà è À.Ï.Ñàâèíà «Èçáðàííûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàä». Êíèãà ñîñòîÿëà èç äâóõ ÷àñòåé ïî 120 çàäà÷ â êàæäîé è ïðåäíàçíà÷àëàñü äëÿ ó÷àùèõñÿ Âñåñîþçíîé çàî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû ïðè ÌÃÓ.  íåé íå áûëî àëãåáðàè÷åñêèõ è àðèôìåòè÷åñêèõ çàäà÷, òàê êàê ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî èì áóäóò ïîñâÿùåíû äðóãèå êíèãè. Ïî ðàçíûì ïðè÷èíàì òàêèå êíèæêè òàê è íå ïîÿâèëèñü.  ïðåäèñëîâèè ê ñâîåé êíèãå Í.Á.Âàñèëüåâ è À.Ï.Ñàâèí ïèñàëè: «Àâòîðû ñòàðàëèñü âûáðàòü èç ìíîæåñòâà çàäà÷, ïðåäëàãàâøèõñÿ â ïîñëåäíèå ãîäû íà ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàäàõ, òå, êîòîðûå êàçàëèñü èì íåîáû÷íûìè è íàèáîëåå êðàñèâûìè. Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî â ýòîò ñáîðíèê ïîïàëè, çà î÷åíü íåáîëüøèì èñêëþ÷åíèåì, òðóäíûå çàäà÷è... Çäåñü âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è, íà ðåøåíèå êîòîðûõ ìîæíî ïîòðàòèòü íå òîëüêî íåñêîëüêî ÷àñîâ, íî è íåñêîëüêî íåäåëü. Ïî÷òè âñå çàäà÷è ñíàáæåíû óêàçàíèÿìè èëè îòâåòàìè. Íåêîòîðûå èç ýòèõ çàäà÷ ðåøåíû ïîäðîáíî, íî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ óêàçàíèÿ íàïèñàíû íàñòîëüêî êîðîòêî, ÷òî òðåáóåòñÿ åùå áîëüøàÿ ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà, ÷òîáû ïîëó÷èòü èõ ðåøåíèå». Íèêîëàé Áîðèñîâè÷ Âàñèëüåâ (19401998) è Àíàòîëèé Ïàâëîâè÷ Ñàâèí (19321998) áûëè âûäàþùèìèñÿ äåÿòåëÿìè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîñâåùåíèÿ. Åùå ñòóäåíòàìè îíè ó÷àñòâîâàëè â ðàáîòå øêîëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ è ïðîâåäåíèè ìîñêîâñêèõ è äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàä. Ïðèäóìàííûå èìè çàäà÷è äî ñèõ ïîð ñîñòàâëÿþò çàìåòíóþ ÷àñòü «ìàòåìàòè÷åñêîãî ôîëüêëîðà».  1970 ãîäó íà÷àë âûõîäèòü æóðíàë «Êâàíò», àêòèâíûìè ÷ëåíàìè ðåäêîëëåãèè êîòîðîãî äî ïîñëåäíèõ ñâîèõ äíåé áûëè Í.Á.Âàñèëüåâ è À.Ï.Ñàâèí, âî ìíîãîì îïðåäåëèâøèå ñòèëü è óðîâåíü ìàòåìàòè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ æóðíàëà.  ÷àñòíîñòè, Í.Á.Âàñèëüåâ áåññìåííî ðóêîâîäèë «Çàäà÷íèêîì «Êâàíòà», à À.Ï.Ñàâèí âåë ðàçäåë «Êâàíò» äëÿ ìëàäøèõ øêîëüíèêîâ». Ïðè ïîäãîòîâêå íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ ìíîþ áûëè íàïèñàíû íåñêîëüêî áîëåå ïîäðîáíûå óêàçàíèÿ è ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷ è äîáàâëåíû äâå ãëàâû, ïîñâÿùåííûå àëãåáðå è àðèôìåòèêå. 3
Êðîìå òîãî, íåñêîëüêî çàäà÷ áûëè çàìåíåíû íà áëèçêèå ïî ñîäåðæàíèþ ïîó÷èòåëüíûå çàäà÷è, ïîÿâèâøèåñÿ óæå ïîñëå 1968 ãîäà (â ÷àñòíîñòè, èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà»). Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëàãàåìàÿ âàì êíèãà ñîñòîèò èç «ôóíäàìåíòà» êíèãè Í.Á.Âàñèëüåâà è À.Ï.Ñàâèíà (ãëàâû «Ðàçíûå çàäà÷è» è «Ãåîìåòðè÷åñêèå çàäà÷è») è åùå äâóõ ãëàâ («Àëãåáðàè÷åñêèå çàäà÷è» è «Äåëèìîñòü öåëûõ ÷èñåë»).  êíèãó âîøëè çàäà÷è, ïðåäëàãàâøèåñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàäàõ ðàçíûõ óðîâíåé, à òàêæå íåêîòîðûå çàäà÷è èç äðóãèõ èñòî÷íèêîâ (ñáîðíèêè çàäà÷, ôîëüêëîð è ò.ä.). Áëèçêèå ïî òåìàòèêå è èäåÿì ðåøåíèÿ çàäà÷è îáúåäèíåíû â ãðóïïû, îòäåëÿåìûå äðóã îò äðóãà ïîäçàãîëîâêàìè èëè îòòî÷èÿìè âèäà ***. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è ñíàáæåíû çíà÷êàìè * è **. Çàäà÷è, óçëîâûå äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçäåëîâ, ïîìå÷åíû çíà÷êîì °. Ñáîðíèê îòíþäü íå ïðåòåíäóåò íà àáñîëþòíóþ ïîëíîòó (ýòî â ïðèíöèïå íåâîçìîæíî). Òàê, íàïðèìåð, â àëãåáðàè÷åñêîé ÷àñòè îòñóòñòâóþò êëàññè÷åñêèå çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ. Áûòóåò ìíåíèå, ÷òî ê ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå, â îòëè÷èå îò ýêçàìåíà ïî ìàòåìàòèêå, ïîäãîòîâèòüñÿ íåëüçÿ.  îáùåì, ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Òåì íå ìåíåå, ãîòîâèòü ñåáÿ ê ó÷àñòèþ â îëèìïèàäå íóæíî. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðåøàòü íåñòàíäàðòíûå çàäà÷è, ÷òîáû âîéòè â êðóã èäåé è ïîíÿòèé, íàó÷èòüñÿ âèäåòü òó íèòî÷êó, ïîòÿíóâ çà êîòîðóþ ìîæíî «âûòÿíóòü» ðåøåíèå. Íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ýòà êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ-«îëèìïèàäíèêîâ». Îíà ìîæåò áûòü ïîëåçíà è ó÷èòåëÿì, âåäóùèì êðóæêè è âíåêëàññíûå çàíÿòèÿ, è âîîáùå âñåì ëþáèòåëÿì ïîëîìàòü ãîëîâó íàä ìàòåìàòè÷åñêèìè çàäà÷àìè. Ìíå äîâåëîñü ïîäãîòîâèòü ê ïóáëèêàöèè ðàñøèðåííîå èçäàíèå êíèãè äâóõ ëþäåé, êîòîðûå â òå÷åíèå ïî÷òè ñîðîêà ëåò áûëè ìîèìè áëèçêèìè äðóçüÿìè. Íàñêîëüêî êíèãà óäàëàñü, ñóäèòü ÷èòàòåëÿì. ß áëàãîäàðþ È.Â.ßùåíêî, äèðåêòîðà Ìîñêîâñêîãî öåíòðà íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ, ñòàâøåãî îäíèì èç èíèöèàòîðîâ íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ, è Ì.Þ.Ïàíîâà, îêàçàâøåãî ñóùåñòâåííóþ ïîìîùü ïðè ïîäãîòîâêå ðóêîïèñè êíèãè. Âûðàæàþ òàêæå ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü À.Â.Æóêîâó, Æ.Ì.Ðàááîòó è À.Â.Ñïèâàêó çà öåííûå ñîâåòû, îáñóæäåíèÿ è ïîìîùü â îòáîðå çàäà÷. Î âñåõ çàìå÷åííûõ îïå÷àòêàõ, íåòî÷íîñòÿõ è äðóãèõ íåäîñòàòêàõ êíèãè ïðîñèì ñîîáùèòü â ðåäàêöèþ æóðíàëà «Êâàíò». À.À.Åãîðîâ 4
ÃËÀÂÀ 1
ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀ×È
Àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ 1°. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ÷èñëî N åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë, òî êàæäîå èç ÷èñåë 2N è N 2 òîæå åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë; á) åñëè ÷èñëà N1 è N2 ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, òî è N1N2 òàêæå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë. 2. Åñëè ñóììà (ðàçíîñòü) äâóõ öåëûõ ÷èñåë åñòü òî÷íûé êâàäðàò, òî óäâîåííàÿ ñóììà (ðàçíîñòü) êóáîâ ýòèõ ÷èñåë åñòü ñóììà òðåõ êâàäðàòîâ. 3. à) Ìîæíî ëè ÷èñëî 3a4 + 1 (ãäå à öåëîå) ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë? á*) Êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî êîëè÷åñòâî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ
x 2 + y2 + z2 = 3t 4 + 1 ? 4*. Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ÷èñëî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ
x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz = 3 . 5. Ìîæíî ëè ÷èñëî 12 + 22 + L + 20012 ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû à) 2000; á) 1999 ðàçëè÷íûõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë? 6°. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1 . Íàéäèòå a4 + b4 + c4 . 7. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè x y z + + = 1, a b c a b c + + = 0, x y z x 2 y2 z2 òî 2 + 2 + 2 = 1 (x, y, z, a, b, ñ îòëè÷íû îò 0). a b b 3 8. à°) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a + b + c = a 3 + b3 + c3 , òî
a + b + c 2n +1 = a2n +1 + b2n +1 + c2n +1 äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n. 5
1 1 1 1 = + + , òî a+b+c a b c 1 1 1 1 = + + + b2n +1 + c2n +1 a2n +1 b2n +1 c2n +1
á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè
a2n +1
äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n. 2 2 2 2 9. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a + b = c + d è a + b = c + d , òî
a n + b n = c n + dn äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n. 10. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
1 1 1 + + , 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx åñëè xyz = 1. 11. ×èñëà õ, ó è z ïîïàðíî ðàçëè÷íû è óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì 1 1 1 x+ = y+ = z+ . y z x ×åìó ìîæåò ðàâíÿòüñÿ xyz? 12. Äîêàæèòå, ÷òî, åñëè x 3 + y3 + z3 - 3xyz = 0 , òî ëèáî x + y + z = 0, ëèáî x = y = z. 13. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ad bc = 1, òî
a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd ¹ 1 . 14. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëà à, b, ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî
a 2 b - c + b 2 c - a + c 2 a - b ¹ 0 . Ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé 15. Âû÷èñëèòå à)
20032 + 20032 × 20042 + 20042 ;
á) 1993 × 1995 × 1997 × 1999 + 16 . 16. Çàïèøèòå ÷èñëî
2 7-4 3 , èñïîëüçîâàâ çíàê òîëüêî îäèí ðàç. 17. Çàïèøèòå ÷èñëî
10 + 24 + 40 + 60 áåç «äâóõýòàæíûõ ðàäèêàëîâ». 6
18. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå:
3
3
5 - 3 4 èëè
3
2 + 3 20 - 3 25 ?
19°. Ïóñòü D êîðåíü óðàâíåíèÿ D 3 - D - 1 = 0 . Âû÷èñëèòå à) 3 3D2 - 4D + 3 3D2 + 4D + 2 ; á) 3 3D2 - 4D + D 4 2D2 + 3D + 2 . 20. Ñðàâíèòå ÷èñëà
123 2 - 15 + 2 3 3 4 - 3 è 3. 21*. ×òî áîëüøå: 3
2 + 5 + 3 2 - 5 èëè 1?
22*. Íàéäèòå n-é çíàê ïîñëå çàïÿòîé â äåñÿòè÷íîì ðàçëîæån íèè ÷èñëà 5 + 26 , åñëè à) n = 1000; á) n = 1001. 23*. Ïóñòü D íàèáîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ x 3 - 3x2 + 1 = 0 . Íàéäèòå ïåðâûå 300 çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé â äåñÿòè÷íîì ðàçëîæåíèè ÷èñëà D2000 . 24**. Ïóñòü D êîðåíü óðàâíåíèÿ x 3 - x - 3 = 0 . ×òî áîëüøå: D èëè 5 13 ? 25. Ïðè êàêèõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ m è n ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
3 + 5 2
m
= 5+3 2
n
?
4
26. Èìååò ëè óðàâíåíèå x + y 2 + z + w 2 ðåøåíèÿ â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ x, ó, z, w?
4
=5+4 2
1967
3- 2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå 27. Äîêàæèòå, ÷òî 2 2 a 3 - b 2 , ãäå à è b öåëûå ÷èñëà, ïðè÷åì 3a - 2b = 1 . 28. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ÷èñëî
n
2 - 1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçíîñòè m + 1 - m , ãäå m öåëîå. 29. ×èñëà à, b, ñ êîðíè óðàâíåíèÿ x 3 - 3x + 1 , ïðè÷åì a < b < c. Äîêàæèòå, ÷òî b2 - a = c2 - b = a2 - c = 2 . Öèôðû è ÷èñëà 30°. Çàïèøèòå â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè ÷èñëî: 101011 K 1010 { 1010111110101 2n +1 à) ; á) . 1100111110011 K 10011 110011 { 2n +1
7
93 . K3 31. Íàéäèòå ñóììó öèôð ÷èñëà 99 1 424 n äåâÿòîê
32. Íàéäèòå ñóììó öèôð âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: à) îò 1 äî 2000; á) îò 1 äî 10n . 33. Íàéäèòå à) êîëè÷åñòâî; á) ñóììó öèôð â äåñÿòè÷íîé K 9 (êîëè÷åñòâî öèôð â êàæäîì çàïèñè ÷èñëà 9 × 99 × 9999 × K × 99 123 22002
÷èñëå â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â ïðåäûäóùåì). 34*. Ñóùåñòâóåò ëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñóììà öèôð êâàäðàòà êîòîðîãî ðàâíà à) 1994; á) 1993? 35. Íàáîðùèê ðàññûïàë íåêîòîðîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ øåñòîé ñòåïåíüþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à. Íàéäèòå à, åñëè öèôðû ðàññûïàííîãî ÷èñëà 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9. 36. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî à) 53 × 83 × 109 + 40 × 66 × 96 ; á) 16016003; â) 1280000401; ã) 210 + 512 ; 5125 - 1 ä**) 25 5 -1 ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì. 37. Äåëèòñÿ ëè ÷èñëî 2202 + 1 íà 2101 + 251 + 1 ? Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðîãðåññèè
1 1 1 1 38. Íà äîñêå çàïèñàíû äðîáè 1, , , ,K , . 2 3 4 12 à) Ìîæíî ëè ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè çíàêè «+» è «» òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííàÿ ñóììà îêàçàëàñü ðàâíà 0? á) Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë íóæíî âû÷åðêíóòü, ÷òîáû ïîñëå íåêîòîðîé ðàññòàíîâêè çíàêîâ ïîëó÷èëàñü ñóììà, ðàâíàÿ 0? 39. Ïóñòü Sk ñóììà ïåðâûõ k ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, am åå m-é ÷ëåí. Íàéäèòå: à) ap + q , åñëè ap = q , ap = q ( p ¹ q ); á) Sp + q , åñëè Sp = q , Sq = p ( p ¹ q ); â) Sp + q , åñëè Sp = Sq ( p ¹ q ). 40. Ìîæíî ëè èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 1/2, 1/3,
..., 1/n,
âûäåëèòü: à) àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñ 2000 ÷ëåíîâ; 8
á) áåñêîíå÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ? 41. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, åñëè èõ ñóììà ðàâíà S, à ñóììà èõ îáðàòíûõ âåëè÷èí ðàâíà Ò. 42. Íàéäèòå ñóììó: à) 1 + 11 + 111 + K + 111 1 42K 4 31 ; n
á) x + 2x2 + K + nx n . 43. Äîêàæèòå, ÷òî 1 1 1 1 1 1 1- + - +K= +K+ . 2 3 4 2n n + 1 2n 44. Äëÿ äàííîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n âû÷èñëèòå ö 1 öæ 1 öæ 1 ö æ 1 æ . çè1 + ÷ø çè1 + ÷ø çè1 + ÷ø K ç1 + n × n + 2 ø÷ 1× 3 2×4 3×5 è
45. Âû÷èñëèòå
3 22
2
+
3×5 23
2
+
3 × 5 × 17 24
2
2 +K+
20
1
99
.
+ 1 22 + 1 K 22 + 1 2101
2
46. Íàéäèòå ñóììó:
1 1
1
3
1
1
4
1
O 1 n
1 2
3
1
4
.
1
O 1 n
47. Íàéäèòå ñóììû: à) sin x + sin 2x + K sin nx ; á) cos x + cos 2x + K + cos nx ; 1 1 1 + +K+ . â) cos x cos 2x cos 2x cos 3 x cos nx cos n + 1 x 2n - 2 öåëîå (n íàòóðàëüíîå ÷èñëî), òî è 48. Åñëè ÷èñëî n 2n -1 -2 2 ÷èñëî òîæå öåëîå. Äîêàæèòå ýòî. 2n - 1 49. Ñóùåñòâóåò ëè àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ñîñòîÿíèÿ èç à) òðåõ; á) ÷åòûðåõ; â*) n; ã**) áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà ÷èñåë, 9
êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ öåëîé ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíüþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? 50. Ìîæåò ëè ñóììà 1993-õ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë áûòü 1993-é ñòåïåíüþ íåêîòîðîãî ÷èñëà? 2 2 2 51. Ìîæíî ëè ìåæäó ÷èñëàìè 1 ,2 ,K ,n ðàññòàâèòü çíàêè «ïëþñ» èëè «ìèíóñ» òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííàÿ ñóììà îêàçàëàñü ðàâíîé 0, åñëè: à) n = 1999; á) n = 2000; â) n = 2001? 52. Ìîæíî ëè ìåæäó ÷èñëàìè 13,23,K ,n3 ðàññòàâèòü çíàêè «ïëþñ» èëè «ìèíóñ» òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ñòàëà ðàâíà 0, åñëè: à) n = 1999; á) n = 2000; â) n = 2001? Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí 53. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ
x
2
+ 2x
2
- 1993 x 2 + 2x + 1995 = 0 . 2
54.  êâàäðàòíîì óðàâíåíèè x + px + q = 0 êîýôôèöèåíòû ð è q íåçàâèñèìî ïðîáåãàþò âñå çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [ -1; 1] . Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, ïðîáåãàåìûõ äåéñòâèòåëüíûìè êîðíÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ. 55. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè óðàâíåíèÿ x 2 + p1x + q1 = 0 è x2 + p2 x + q2 = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè èìåþò îáùèé íåöåëûé êîðåíü, òî p1 = p2 è q1 = q2 . 56. Ïóñòü D êîðåíü óðàâíåíèÿ x2 + px + q = 0 ( q ¹ 0 ), à E êîðåíü óðàâíåíèÿ x2 - px - q = 0 . Äîêàæèòå, ÷òî ìåæäó ÷èñëàìè D è E íàéäåòñÿ êîðåíü óðàâíåíèÿ x 2 - 2 px - 2q = 0 . 57. à, b, c ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè óðàâíåíèÿ x2 + ax + bc = 0 è x2 + bx + ca = 0 èìåþò ðîâíî îäèí îáùèé êîðåíü, òî äðóãèå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ x2 + cx + ab = 0 . 58. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ ÷èñåë p1, p2, q1, q2 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
q1 - q2 2 + p1 - p2 p1q2 - p2q1 < 0 , òî êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ x2 + p1x + q1 = 0 è x2 + p2 x + q2 = 0 èìåþò âåùåñòâåííûå êîðíè è ìåæäó äâóìÿ êîðíÿìè êàæäîãî èç íèõ ëåæèò êîðåíü äðóãîãî. 59. Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí f x = ax2 + bx + c òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå f x = x íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé. Ìîæåò ëè èìåòü êîðíè óðàâíåíèå f f x = x ? 60. Íåðàâåíñòâî x2 + px + q > 0 (ð è q öåëûå ÷èñëà) 10
âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ öåëûõ õ Äîêàæèòå, ÷òî îíî âåðíî è ïðè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ õ. 61. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí a2 x + bx + c ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, èìåþùèé äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ íà èíòåðâàëå 0;1 . 62. Ïóñòü abc ïðîñòîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî (à, b, c öèôðû). Ìîæåò ëè êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìåòü ðàöèîíàëüíûå êîðíè? 63. Ìîæåò ëè óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìåòü ðàöèîíàëüíûå êîðíè, åñëè ÷èñëà à, b è ñ íå÷åòíû? 64. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà à, b, c òàêîâû, ÷òî ax 2 + bx + c £ 1 ïðè âñåõ -1 £ x £ 1 . Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ õ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî cx2 + bx + a £ 2 . 65. Ðàññìàòðèâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå ïàðàáîëû y = x 2 + px + + q , ïåðåñåêàþùèåñÿ ñ îñÿìè êîîðäèíàò â òðåõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ. Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòè, îïèñàííûå îêîëî òðåóãîëüíèêîâ ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ, èìåþò îáùóþ òî÷êó. Íåðàâåíñòâà è îöåíêè 66°. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå:
19971998 × 19981999 × 19991997
à)
èëè
19971997 º
º 19981998 º 19991999 ; á) 19931991 × 19911993 èëè 19923984 ? 67. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå: 1 2
3
5
1
6
èëè
1
1 2
1
O
3
1
4 O
1 1995
?
1
1 1995
68. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå: à) 3100 + 4100 èëè 5100 ; á) 29200 × 2151 èëè 5279 × 3300 ? 69. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå:
1990 + 1992 èëè 2 1991 ? 70. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå:
3
3 + 3 5 èëè
3
32 ? 11
71. Äîêàæèòå, ÷òî 13 1 1 11 < +K + < à) ; 12 1993 7968 6 1 1 1 < +K + < 1; á) 2 n +1 2n 1 1 n â) 1 + + K + n > . 2 2 2 72. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå:
101965 + 1 101966 + 1 èëè ? 101966 + 1 101967 + 1 73. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâà: 1 1 3 5 99 1 < × × ×K× < ; à) 15 2 4 6 100 10 1 3 5 2n - 1 < 1 á*) × × × K × (n > 1). 2 4 6 2n 3n + 1 74. Áîëüøå èëè ìåíüøå åäèíèöû ÷èñëî
0,999991,00001 × 1,000010,99999 ? 75. m è n íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òàêèå, ÷òî
2>
m . Äîêàæèn
1 m > . n 2 2n2 76. Äîêàæèòå äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n íåðàâåíñòâî
òå, ÷òî
à)
2-
6 + 3 + 6 +K + 3 < 3 ; 14444244443 2n ðàäèêàëîâ
á)
a2 + a2 + K + a2 < a + 1 ; 1444424444 3 n ðàäèêàëîâ
â)
2 2 2 K 2
!
1 4
2 2 2 K 2 (â ÷èñëèòåëå n ðàäèêàëîâ, â çíàìåíàòåëå n 1 ðàäèêàë). 77. Ñóììà íåñêîëüêèõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ðàâíà ñóììå èõ êâàäðàòîâ. ×òî áîëüøå: ñóììà ÷åòâåðòûõ ñòåïåíåé ýòèõ ÷èñåë èëè ñóììà èõ êóáîâ? 78. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k èç îòðåçêîâ äëèíû ak, bk, ck (a > 0, b > 0, c > 0) ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê, òî ñðåäè ÷èñåë à, b, ñ åñòü äâà ðàâíûõ. 12
79. q1, q2,K , qn êâàäðàòû ðàçëè÷íûõ öåëûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò åäèíèöû. Äîêàæèòå, ÷òî
1 ÙÉ 1 Ù É 1 Ù 1 É Ê1 q Ú Ê1 q Ú K Ê1 q Ú ! 2 . 1 ÛË 2 Û n Û Ë Ë 80. Êàêîå èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë à èëè b áîëüøå, åñëè 1 a 1 b ! ? 4 81. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a, b, k, n óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó ab > ka + nb, òî
a+b >
k+ n
2
.
82. Ïðè êàêèõ m èç ðàâåíñòâà m a - 1 = a2 + b ñëåäóåò, ÷òî a > b? 83. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà à, b è ñ òàêîâû, ÷òî 1 2 c = a2 + b2 - ab . ×òî áîëüøå: à + ñ èëè b? 2 84. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñóììû 1 + x 2 + 1 + y2 +
+ 1 + z2 , åñëè ÷èñëà õ, ó, z íåîòðèöàòåëüíû è x + y + z = 1. 85. Íàéäèòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ
a - v 2 + b - u 2 , åñëè
2 2 a 2 + b2 = 1 , à v + u = 4 . 86. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè
x 2 - 6 x + 13 + x 2 - 14 x + 58 . 87. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó è z óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåí1 1 1 ñòâàì xyz > 1, x y z . Ñêîëüêî ñðåäè íèõ ÷èñåë, x y z ìåíüøèõ åäèíèöû? 88. Ïóñòü õ è ó ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, S íàèìåíüøåå èç 1 1 ÷èñåë õ, y , . Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå S. x y Ïðè êàêèõ õ è ó îíî äîñòèãàåòñÿ? 89. Ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1, x2,K , xn ðàâíà 1. x1 x2 , ,K Ïóñòü S íàèáîëüøåå èç ÷èñåë 1 x1 1 x1 x2 xn K, 1 x1 x2 K xn . Íàéäèòå íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå S. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ x1, x2,K , xn îíî äîñòèãàåòñÿ?
13
Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 90*. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: x 3 + 3x - 2 = 0 ; x4 - 4x - 1 = 0 ; x4 + 8x - 7 = 0 ; 1 x 3 + x2 + x = - ; 3 3 ä) 2x 3 + x - 3 = 3 - x 3 ;
à) á) â) ã)
å) nx
n +1
- n + 1 x n + 1 = 0 (íàéäèòå ïîëîæèòåëüíûå êîðíè);
æ) x 2k + 1 1 + x 2 + K + x 2k - 2 = 2kx 2k -1 . 91. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à ðåøèòå óðàâíåíèå
à) x 2 - a
2
- 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 ;
á) x 3 + 2ax2 + a2 x + a - 1 = 0 , ãäå õ íåèçâåñòíîå, à âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð. 92. Ìîæåò ëè óðàâíåíèå
x+a x +b + x = c ïðè íåêîòîðûõ âåùåñòâåííûõ à, b, ñ èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé? 93°. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: 3 2 à) 2x = 3x - x - 1 1 + x ; 3
2
á) 16 x = 11x + x - 1 94. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x2 - x + 1 .
2x 4 + 2y 4 = 4 xy - 1 . 95. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) x 1 - y2 + y 2 - z2 + z 3 - x 2 = 3 ; á) x 1 - y + y 1 - x = xy ;
x1 x2 K xn . 2 3 3 96. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå 1 + x + 1 - x = a èìååò êîðíè? 97. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ð ÷èñëî 3 1 - p + 3 1 + p áóäåò öåëûì? 98. Ðåøèòå óðàâíåíèå â)
x1 12 2 x2 22 K n xn n2
x 3 + 1 = 2 3 2x - 1 . 14
Ñèñòåìû óðàâíåíèé 99. Ðåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé:
ì x + y 3 = z, ï à) ïí y + z 3 = x, ï 3 ïî z + x = y;
ì x3 + y3 = z, ïï á) í y3 + z3 = x, ï 3 3 ïî z + x = y;
ì x + y2 = z 3 , ïï 2 â) í x + y3 = z 4, ï 3 4 5 ïî x + y = z ;
ì ïx + ã) ïí ïy ïî
3x - y = 3, x 2 + y2 x + 3y = 0.; x 2 + y2
ìï x 5 + xy 4 = y10 + y6, ä) í 6 2 3 ïî x + x = 8 y + 2y. 100. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò ñèñòåìà óðàâíåíèé
ì x + y2 + z4 = 0, ïï 2 4 í y + z + x = 0, ï 2 4 ïî z + x + y = 0 ? 101. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì 2x 2 = y, ï 2 ï1 + x ïï 2y2 = z, í 2 ï1 + y ï 2z2 ï = x. ïî1 + z2 102*. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì x1 + x2 = 1, ï ï x2 + x3 = 1, ï íKKKKKK ï ï x24 + x25 = 1, ï x + x = 1. 1 î 25 15
103. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
ì3 x1x2 = x1 + x2 + 2, ï3 x x = x + x + 2, 2 3 ïï 2 3 íKKKKKKKK ï3 x x = x n -1 + xn + 2, ï n -1 n ïî3 xn x1 = xn + x1 + 2. 104. Íà äîñêå çàïèñàíû 3 óðàâíåíèÿ:
ax 3 + bx2 + cx + d = 0 ( a ¹ 0 ), bx 3 + cx 2 + dx + a = 0 , cx 3 + dx 2 + ax + b = 0 . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ èìåþò îáùèé êîðåíü, òî è âñå òðè óðàâíåíèÿ èìåþò îáùèé êîðåíü. Ìíîãî÷ëåíû 105. Ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà õ, ó, è z òàêîâû, ÷òî x 3 - 3x = y3 - 3y = z3 - 3z . Íàéäèòå x2 + y2 + z2 . 106. Ìíîãî÷ëåí p x ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ òîëüêî ïðè öåëûõ õ. Äîêàæèòå, ÷òî p x = Hx + b , ãäå b öåëîå ÷èñëî, à H = 0 èëè H = ±1 . 107. Äîêàæèòå, ÷òî íè îäèí ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè íå ìîæåò ïðèíèìàòü â òî÷êå 7 çíà÷åíèå 11, à â òî÷êå 11 çíà÷åíèå 13. 108. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ ìíîãî÷ëåíà p x ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè p 0 è p 1 íå÷åòíûå ÷èñëà, òî óðàâíåíèå p x = 0 íå èìååò öåëûõ êîðíåé. 109. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîãî÷ëåí p x ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîé, ÷òî âñå ÷èñëà p 0 , p 1 ,K , p k ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè ÷èñëàìè? 110. Íàéäèòå ñóììó êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà
x
4
- x +1
1965
+ x5 + x - 1
1965
à) ïðè ÷åòíûõ; á) ïðè íå÷åòíûõ ñòåïåíÿõ õ. 111. Ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà ðàâíà 2, à ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè íå÷åòíûõ ñòåïåíÿõ õ ðàâíà ñóììå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ õ. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà íà x2 - 1 . 16
2n +1
112. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîãî÷ëåí x + 1 + x n + 2 ïðè ëþáîì 2 öåëîì n ³ 0 äåëèòñÿ íà x + x + 1 . 113. Ìîæíî ëè, ïîëüçóÿñü òîëüêî îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñîñòàâèòü èç ìíîãî÷ëåíîâ f x è g x âûðàæåíèå, ðàâíîå õ, åñëè à) f x = x2 + x , g x = x2 + 2 ; á) f x = 2x2 + x , g x = 2x ; â) f x = x2 + x , g x = x2 - 2 ? 114. Íà äîñêå íàïèñàíî óðàâíåíèå
x 3 + K + x2 + K x + K = 0 . Äâîå èãðàþò â òàêóþ èãðó. Ïåðâûé ñòàâèò íà ëþáîå èç ïóñòûõ ìåñò öåëîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ. Çàòåì âòîðîé ñòàâèò öåëîå ÷èñëî íà îäíî èç îñòàâøèõñÿ ìåñò. Íàêîíåö, ïåðâûé ñòàâèò öåëîå ÷èñëî íà ïîñëåäíåå ñâîáîäíîå ìåñòî. Ìîæåò ëè ïåðâûé èãðàòü òàê, ÷òîáû íåçàâèñèìî îò õîäà âòîðîãî âñå êîðíè ïîëó÷èâøåãîñÿ óðàâíåíèÿ îêàçàëèñü öåëûìè ÷èñëàìè? 115. Äàí ìíîãî÷ëåí p x ñ à) íàòóðàëüíûìè; á) öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îáîçíà÷èì ÷åðåç an ñóììó öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà p n . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ÷èñëî, âñòðå÷àþùååñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1, a2,K, an ,K áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ðàç. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè 116. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à°) x - 3x + 1 = 0 ; 3
á) x 3 - 3x + 3 = 0 . 117*. Ðåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé:
ì2x2 - 1 = y, ïï 2 à) í2y - 1 = z, ï 2 ïî2z - 1 = x; ì 2x = y, ï 2 ï1 - x ï 2y = z, á) í 2 ï1 - y ï 2z = x; ï î1 - z 2 17
ïì 2 x - y 1 + 4xy = â) í 2 2 ïî x + y = 1.
3,
118. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè x + y + z = xyz, òî
2x 2y 2z 2x 2y 2z + + = × × . 2 2 2 2 2 1- x 1- y 1- z 1 - x 1 - y 1 - z2 119. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáûõ ÷åòûðåõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü äâà ÷èñëà õ è ó òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà x-y 0£ 1) ÷èñëî 1+
1 1 1 + +K+ n 2 3
íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì. 195. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè âñÿêîì ïðîñòîì ð ÷èñëèòåëü äðîáè, ïîëó÷àþùåéñÿ ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ âûðàæåíèÿ 1 1 1 1+ + +K + , 2 3 p -1 äåëèòñÿ íà ð. 196. Ìîæíî ëè ÷èñëî 1 ïðåäñòàâèòü â âèäå 1 1 1 1 + + +K+ , n1 n2 n3 n1971 ãäå n1, n2, n3,K , n1971 ðàçëè÷íûå íå÷åòíûå ÷èñëà? Íåñêîëüêî òåîðåì 197. (Àëãîðèòì Åâêëèäà.) Äàíû äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà à è b. Ïðè äåëåíèè íà b ÷èñëî à äàåò îñòàòîê, ðàâíûé r1 . Ðàçäåëèì b íà r1 (ÿñíî, ÷òî r1 < b ), ïîëó÷èì â îñòàòêå r2 , äàëåå r2 ðàçäåëèì íà r1 è ïîëó÷èì â îñòàòêå r3 è ò.ä. Äîêàæèòå, ÷òî íà íåêîòîðîì øàãó rn -1 ðàçäåëèòñÿ íà rn íàöåëî, ïðè ýòîì rn = ÍÎÄ a, b . 198. Äîêàæèòå, ÷òî íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü ïðîñòîãî ÷èñëà ð, íà é n ù énù é n ù é n ù êîòîðóþ äåëèòñÿ n!, ðàâíà ê ú + ê 2 ú + ê 3 ú + K + ê m ú , ãäå ë pû ë p û ë p û ëp û pm £ n < pm +1 . 24
199. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî n! íè ïðè êàêîì íàòóðàëüíîì n íå äåëèòñÿ íà pn (ð ïðîñòîå ÷èñëî). n -1 ! 200. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî (n!)! äåëèòñÿ íà n ! . 201. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå n, äëÿ êîòîðûõ à) (n 1)! íå äåëèòñÿ íà n; á) (n 1)! íå äåëèòñÿ íà n2 . 202. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëî ð èç íàáîðà 2, 3, 4, ..., n âçàèìíî ïðîñòî ñî âñåìè îñòàëüíûìè ÷èñëàìè ýòîãî íàáîðà, òî n îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì, áîëüøèì . 2 203. (Òåîðåìà Âèëüñîíà.) Äîêàæèòå, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî ð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (ð 1)! + 1 äåëèòñÿ íà ð. 204. (Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà.) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ð ïðîñòîå ÷èñëî, òî a p - a äåëèòñÿ íà ð ïðè ëþáîì öåëîì à. 205. (Òåîðåìà Ýéëåðà.) Îáîçíà÷èì ÷åðåç M n , ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ n è âçàèìíî ïðîñòûõ ñ íèì. Ïóñòü à âçàèìíî ïðîñòîå ñ n ÷èñëî. M n - 1 äåëèòñÿ íà n. Äîêàæèòå, ÷òî a 206. (Ôóíêöèÿ Ýéëåðà M n .) Êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, M n êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ n è âçàèìíî ïðîñòûõ ñ íèì. k à) Íàéäèòå M p , ãäå ð ïðîñòîå ÷èñëî, k íàòóðàëüíîå. á*) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà m è n âçàèìíî ïðîñòû, òî M mn = M m × M n .
â) Íàéäèòå M n , åñëè n = p1D1 p2D2 K pkDk , ãäå p1, p2,K , pk ðàçëè÷íûå ïðîñòûå äåëèòåëè ÷èñëà n. Ñìåñü
207. Ïðîñòûå ÷èñëà ð è q òàêîâû, ÷òî p3 - 1 äåëèòñÿ íà q, a q 1 äåëèòñÿ íà ð. Äîêàæèòå, ÷òî q = p2 + p + 1 . 208. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû òðåõ êóáîâ öåëûõ ÷èñåë. 209. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû òðåõ êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 210. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå x 2 + y2 + z2 = 1967 íå èìååò ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ. 211. Ïóñòü a1, a2, a3,K , a2n è b1, b2, b3,K , b2n äâà íàáîðà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïîëó÷åííûõ íåêîòîðûìè ïåðåñòàíîâêàìè èç 25
íàáîðà 1, 2, 3,
, 2n. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-íèáóäü äâà èç ÷èñåë a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3,K , a2n + b2n äàþò ïðè äåëåíèè íà 2n îäèíàêîâûå îñòàòêè. n n + 1 212. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäíèå öèôðû ÷èñåë âèäà 2 ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, è íàéäèòå íàèìåíüøèé ïåðèîä. 213. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäíèå öèôðû ÷èñåë âèäà nn ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, è íàéäèòå íàèìåíüøèé ïåðèîä. 214. Äîêàæèòå, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà k, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëà kk + 1 äåëÿòñÿ íà 30, îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Íàéäèòå ðàçíîñòü ýòîé ïðîãðåññèè. 215. Äàíà òàáëèöà ÷èñåë
0
1 1
2
3
3
5
4
8
12
1967
K 7
K K
KKKK K (ïîä êàæäîé ïàðîé ÷èñåë çàïèñàíà èõ ñóììà). Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, ñòîÿùåå âíèçó, äåëèòñÿ íà 1967. 216. ×èñëà Ôèáîíà÷÷è un îáðàçóþò ñëåäóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (êàæäîå ÷èñëî, íà÷èíàÿ ñ òðåòüåãî, ðàâíî ñóììå äâóõ ïðåäûäóùèõ, ò.å. un = un -1 + un - 2 ïðè n ³ 3 ). Äîêàæèòå, ÷òî u5n äåëèòñÿ íà 5. 217. Ïóñòü a1, a2, a3,K , an ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, îáðàçîâàííûõ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó:
a1 = 1 ,
n
an = nan -1 + -1 .
Äîêàæèòå, ÷òî an äåëèòñÿ íà n 1 ïðè n > 1. 218. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë a1, a2, a3,K , an îáðàçîâàíà ïî çàêîíó
a0 = a1 = 1,
an +1 = anan -1 + 1 .
Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî a21968 ÷åòíî, íî íå äåëèòñÿ íà 4. 219. Íåêîòîðûå èç 20 ëèñòîâ áóìàãè ðàçðåçàëè íà 10 ÷àñòåé, çàòåì íåêîòîðûå èç ïîëó÷èâøèõñÿ ëèñòîâ ðàçðåçàëè åùå íà 10 ÷àñòåé è ò.ä. Êîãäà ïîäñ÷èòàëè îáùåå êîëè÷åñòâî ïîëó÷èâøèõñÿ ëèñòîâ, òî ïîëó÷èëè, ÷òî èõ ÷èñëî ðàâíî 1968. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ïîäñ÷åòå áûëà äîïóùåíà îøèáêà. 220. Ïÿòíàäöàòü ïðîñòûõ ÷èñåë îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Äîêàæèòå, ÷òî ðàçíîñòü ýòîé ïðîãðåññèè áîëüøå 30000. 26
221. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ÷èñåë k, k + 1, k + 2, ..., 2k ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k íàéäåòñÿ ïîëíûé êâàäðàò. 222. Ìîæíî ëè âûáðàòü 1000000 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàê, ÷òîáû íèêàêàÿ ñóììà íåñêîëüêèõ èç ýòèõ ÷èñåë íå ÿâëÿëàñü ïîëíûì êâàäðàòîì? 223. Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3, ..., 1991. Ðàçðåøàåòñÿ âçÿòü íåñêîëüêî ÷èñåë, ñóììà S êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 5, âû÷åðêíóòü èõ è âïèñàòü ÷èñëî S/5. Ìîæíî ëè äîáèòüñÿ, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå íà äîñêå îñòàëîñü åäèíñòâåííîå ÷èñëî: à) 1; á) 2? Óðàâíåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ 224. Ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ n ñîêðàòèìà äðîáü 4n + 5 ? 7n + 5 n5 + 3 ? 225. Ïðè êàêèõ öåëûõ n áóäåò öåëûì ÷èñëî 2 n +1 226. ×èñëî 3m + 5n äåëèòñÿ íà 19. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 7m + 18n òîæå äåëèòñÿ íà 19. 227. Îñòàï Áåíäåð îðãàíèçîâàë â ãîðîäå Àðáàòîâå ðàçäà÷ó ñëîíîâ íàñåëåíèþ. Íà ðàçäà÷ó ÿâèëîñü 28 ÷ëåíîâ ïðîôñîþçà è 37 íå ÷ëåíîâ, ïðè÷åì Îñòàï ðàçäàâàë ñëîíîâ ïîðîâíó ÷ëåíàì ïðîôñîþçà è ïîðîâíó íå ÷ëåíàì. Îêàçàëîñü, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèøü îäèí ñïîñîá ðàçäà÷è (òàê, ÷òîáû ðàçäàòü âñåõ ñëîíîâ). Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ñëîíîâ ìîãëî áûòü ó Îñòàïà Áåíäåðà? 228. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a2 + b2 = c2 è à, b, ñ âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî abc äåëèòñÿ íà 60. 229. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 121k + 8 íè ïðè êàêîì öåëîì k íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 230. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå k, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî 22k + 5 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà. 231. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò öåëûõ ÷èñåë à, ïðè êîòîðûõ ÷èñëî a2 + a + 1969 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà? 232. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå x 2 + xy = y2 íå èìååò ðåøåíèé â öåëûõ íåíóëåâûõ ÷èñëàõ. 233. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ õ è ó óðàâíåíèÿ à) 3x - y 3 = 1 ; á) 3x - 2y = 1 ; â) 1 + x + x 2 + x 3 = 2y . 234. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèÿ à) 19 x 2 - 65y2 = 1965 ; á) 19 x 3 - 17y 3 = 50 ; 27
â) 5x 3 + 11y3 + 13z3 = 0 ( xyz ¹ 0 ) íå èìåþò ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ. 235. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå
n + n +K + n + n = m. 14444 4244444 3 1961 çíàê êîðíÿ
236. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x n = ym , ãäå íàòóðàëüíûå ÷èñëà m è n âçàèìíî ïðîñòû, çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè x = t m , y = t n (t ëþáîå öåëîå ÷èñëî). á) Êàêèìè äîëæíû áûòü ÷èñëà à è b, ÷òîáû ÷èñëî log a b áûëî ðàöèîíàëüíûì? 237. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ à) x x + y y = x y + y x ; x
y
á) x y = y x . 238. à) Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ x 2 + x + 1 = y2 . á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë à, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî 8a2 - 2a - 3 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà. 239. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå
x 2 - 5 y2 = 1 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ. 240. Ïóñòü õ è ó öåëûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ
2x 2 + x = 3y2 + y .
(* )
Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëà à) õ ó; á) 2õ + 2ó +1 ïîëíûå êâàäðàòû. â) Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå ( * ) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ.
28
ÃËÀÂÀ 3
ÐÀÇÍÛÅ ÇÀÄÀ×È
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé 241. Äâîå ÷àñîâ íà÷àëè è êîí÷èëè áèòü îäíîâðåìåííî. Ïåðâûå áüþò ÷åðåç êàæäûå äâå ñåêóíäû, âòîðûå ÷åðåç êàæäûå òðè ñåêóíäû. Âñåãî ïðîçâó÷àëî 13 óäàðîâ (ñëèâøèåñÿ óäàðû âîñïðèíèìàëèñü êàê îäèí). Ñêîëüêî âðåìåíè íà ïåðâûõ ÷àñàõ? 242. Èç Íüþ-Éîðêà â Ãàâð â 12 ÷àñîâ åæåäíåâíî îòïðàâëÿåòñÿ ïàðîõîä. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïîðòàìè îí ïîêðûâàåò çà 7 ñóòîê. Ñêîëüêî ïàðîõîäîâ, ñëåäóþùèõ èç Íüþ-Éîðêà â Ãàâð, âñòðåòèò íà ñâîåì ïóòè ïàðîõîä, îòïðàâëÿþùèéñÿ â 6 ÷àñîâ èç Ãàâðà â Íüþ-Éîðê? 243. Èìåþòñÿ äâà ñîñóäà.  ïåðâîì íàõîäèòñÿ îäèí ëèòð âîäû, à âòîðîé ïóñòîé. Èç ïåðâîãî ïåðåëèâàþò ïîëîâèíó èìåþùåéñÿ â íåì âîäû âî âòîðîé, çàòåì èç âòîðîãî ïåðåëèâàþò òðåòü èìåþùåéñÿ â íåì âîäû â ïåðâûé, çàòåì èç ïåðâîãî ïåðåëèâàþò ÷åòâåðòü èìåþùåéñÿ â íåì âîäû âî âòîðîé è ò.ä. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âîäû, îêàçàâøåéñÿ â ïåðâîì ñîñóäå ïîñëå 1965-ãî ïåðåëèâàíèÿ. 244. à) Âîñüìèêëàññíèêè ïîñòðîåíû â øåðåíãó. Ïåðåä êàæäûì èç íèõ ñòîèò ñåìèêëàññíèê, êîòîðûé íèæå åãî ïî ðîñòó. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè øåðåíãó âîñüìèêëàññíèêîâ âûñòðîèòü ïî ðîñòó è øåðåíãó ñåìèêëàññíèêîâ òîæå âûñòðîèòü ïî ðîñòó, òî ïîïðåæíåìó êàæäûé âîñüìèêëàññíèê áóäåò âûøå ñòîÿùåãî ïåðåä íèì ñåìèêëàññíèêà. á) Ïîëê ñîëäàò âûñòðîåí â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà òàê, ÷òî â êàæäîé øåðåíãå ñîëäàòû ñòîÿò ïî ðîñòó. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â êàæäîé êîëîííå ïåðåñòðîèòü ñîëäàò ïî ðîñòó, òî â êàæäîé øåðåíãå îíè ïî-ïðåæíåìó áóäóò ñòîÿòü ïî ðîñòó. 245.  ÿùèê âëîæèëè k ÿùèêîâ.  êàæäûé èç k âëîæåííûõ ÿùèêîâ ëèáî âëîæèëè k íîâûõ ÿùèêîâ, ëèáî íå âëîæèëè íè îäíîãî è ò.ä. (ðèñ.1). Íàéäèòå ÷èñëî ïóñòûõ ÿùèêîâ, åñëè çàïîëíåííûõ ÿùèêîâ (ò.å. ÿùèêîâ, â êîòîðûå âëîæåíû äðóãèå ÿùèêè) îêàçàëîñü m øòóê. 246. Îäèí ìàòåìàòèê âûïèñûâàåò Ðèñ.1 29
ïîäðÿä íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïîâòîðÿÿ íåêîòîðûå èç íèõ, òàê ÷òîáû ó êàæäîãî ÷èñëà n îêàçàëèñü âûïèñàííûìè ðîâíî n åãî äåëèòåëåé (âêëþ÷àÿ 1 è ñàìî ÷èñëî n). Ïîëó÷àåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, ... à) Ñêîëüêî ðàç îí âûïèøåò ÷èñëî 3m ? á) Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñòðåòÿòñÿ âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. 247. ×èñëà 1, 2, ..., n ðàñïîëîæåíû íà îêðóæíîñòè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ïåðåñòàâèòü ëþáûå äâà èç ýòèõ ÷èñåë. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî õîäîâ, ïîñëå êîòîðûõ ÷èñëà áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ â òîì æå ïîðÿäêå, íî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. 248°.  òàáëèöå m ´ n ðàçðåøàåòñÿ èçìåíèòü çíàê ó âñåõ ÷èñåë îäíîé ñòðîêè èëè ó âñåõ ÷èñåë îäíîãî ñòîëáöà. Äîêàæèòå, ÷òî íåñêîëüêèìè òàêèìè çàìåíàìè ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî ñóììû ÷èñåë â êàæäîì ñòîëáöå è â êàæäîé ñòðîêå áóäóò íåîòðèöàòåëüíû. 249. Èìååòñÿ 35 öåëûõ ÷èñåë. Ðàçðåøàåòñÿ îäíîâðåìåííî ïðèáàâèòü ïî åäèíèöå ê íåêîòîðûì 23 èç íèõ. Äîêàæèòå, ÷òî, ïîâòîðèâ ýòó îïåðàöèþ íåêîòîðîå ÷èñëî ðàç, ìîæíî ñäåëàòü âñå äàííûå ÷èñëà ðàâíûìè. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ÷èñëà m è n (m < < n), ÷òîáû áûëà ðàçðåøèìà îáùàÿ çàäà÷à*: çàäàíû ïðîèçâîëüíûå n öåëûõ ÷èñåë, ðàçðåøàåòñÿ ïðèáàâëÿòü ïî åäèíèöå ê ëþáûì m èç íèõ è òðåáóåòñÿ äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû âñå îíè ñòàëè ðàâíûìè? 250.  n êîøåëüêàõ ëåæàò äåíüãè. Èç ïåðâîãî êîøåëüêà 1 ñîäåðæàùèõñÿ â íåì äåíåã, çàòåì èç ïåðåêëàäûâàþò âî âòîðîé n 1 âòîðîãî ïåðåêëàäûâàþò â òðåòèé îêàçàâøåéñÿ òàì ñóììû, n 1 çàòåì èç òðåòüåãî ïåðåêëàäûâàþò â ÷åòâåðòûé îêàçàâøåéñÿ n òàì ñóììû è ò.ä., íàêîíåö, èç ïîñëåäíåãî ïåðåêëàäûâàþò â 1 ïåðâûé îêàçàâøåéñÿ òàì ñóììû. Êàêîå êîëè÷åñòâî äåíåã áûëî n ïåðâîíà÷àëüíî â êàæäîì êîøåëüêå, åñëè ïîñëå âñåõ ïåðåêëàäûâàíèé â êàæäîì êîøåëüêå îêàçàëîñü ïî À ðóáëåé? 251*.  ÿùèê ïîñòàâèì äâà ÿùèêà, â êàæäûé èç ýòèõ äâóõ ïîñòàâèì åùå ïî äâà ÿùèêà, â êàæäûé èç ýòèõ ÷åòûðåõ ïîñòàâèì åùå ïî äâà ÿùèêà è ò.ä. ×åðåç n òàêèõ øàãîâ ïîëó÷àåì 2n ìàëåíüêèõ ÿùèêîâ.  êàæäûé èç íèõ êëàäåì ïî ìîíåòå îðëîì 30
èëè ðåøêîé ââåðõ. Çà îäíó îïåðàöèþ ðàçðåøàåòñÿ ïåðåâåðíóòü îäíîâðåìåííî âñå ìîíåòû â êàêîì-ëèáî ÿùèêå (ëþáîãî ðàçìåðà). à) Äîêàæèòå, ÷òî íå áîëåå ÷åì çà n îïåðàöèé ìîæíî óðàâíÿòü ÷èñëî ìîíåò, ëåæàùèõ îðëîì ââåðõ, ñ ÷èñëîì ìîíåò, ëåæàùèõ ðåøêîé ââåðõ. á) Çà êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî îïåðàöèé ìîæíî (ïðè ïðîèçâîëüíîì íà÷àëüíîì ðàñïîëîæåíèè ìîíåò) äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû âñå ìîíåòû ëåæàëè îðëîì ââåðõ? 252.  êðóãëîé ãîñòèíîé çàìêà ðàçâåøàíû ïîðòðåòû âñåõ åãî ïðåæíèõ âëàäåëüöåâ. Ñëóãå ðàçðåøàåòñÿ ìåíÿòü ìåñòàìè ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ïîðòðåòà, êðîìå ïîðòðåòîâ îòöà è ñûíà. Äîêàæèòå, ÷òî îí ìîæåò ïåðåâåñèòü ïîðòðåòû â ïðîèçâîëüíîì çàäàííîì ïîðÿäêå (ðàñïîëîæåíèÿ ïîðòðåòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ ïîâîðîòîì, ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè). 253°. Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3, ..., 1965. Ðàçðåøàåòñÿ ñòåðåòü ëþáûå äâà ÷èñëà, çàïèñàâ âìåñòî íèõ ìîäóëü èõ ðàçíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî íåëüçÿ äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû íà äîñêå îñòàëñÿ íîëü. 254.  n ñòàêàíàõ äîñòàòî÷íî áîëüøîé âìåñòèìîñòè íàëèòî ïîðîâíó âîäû (n > 1). Ðàçðåøàåòñÿ ïåðåëèâàòü èç ëþáîãî ñòàêàíà â ëþáîé äðóãîé ñòîëüêî âîäû, ñêîëüêî â íåì óæå èìååòñÿ. Ïðè êàêèõ n ìîæíî çà íåêîòîðîå ÷èñëî òàêèõ ïåðåëèâàíèé ñëèòü âñþ âîäó â îäèí ñòàêàí? 255*. Ïî îêðóæíîñòè íàïèñàíû â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå íåñêîëüêî ïëþñîâ è ìèíóñîâ âñåãî n øòóê. Çàòåì â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó îäèíàêîâûìè çíàêàìè ïèøóòñÿ ïëþñû, ìåæäó ðàçíûìè ìèíóñû, à ïåðâîíà÷àëüíûå çíàêè ñòèðàþòñÿ; ñ íîâûì íàáîðîì ïðîäåëûâàåòñÿ òî æå ñàìîå è ò.ä. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè n = 2k (k íàòóðàëüíîå ÷èñëî), òî èç ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ïëþñîâ è ìèíóñîâ â êîíöå êîíöîâ ïîëó÷èòñÿ íàáîð èç îäíèõ ïëþñîâ. á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè n íå÷åòíî è åñòü õîòÿ áû îäèí ïëþñ è õîòÿ áû îäèí ìèíóñ, íèêîãäà íå ïîëó÷èòñÿ íàáîð èç îäíèõ ïëþñîâ. â) Âûÿñíèòå, èç êàêèõ ïåðâîíà÷àëüíûõ íàáîðîâ â êîíöå êîíöîâ ïîëó÷èòñÿ íàáîð èç îäíèõ ïëþñîâ, åñëè n íå ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ äâîéêè. 256**. Äàíî 2n öåëûõ ÷èñåë a1, a2,K , a2n . Ñîñòàâëÿåòñÿ ðÿä ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé
a2 - a1 , a3 - a2 , K , a2n -1 - a2n , a2n - a1 . Ñ ïîëó÷åííûìè ÷èñëàìè ïðîäåëûâàåòñÿ òî æå ñàìîå è ò.ä. 31
Äîêàæèòå, ÷òî ÷åðåç íåñêîëüêî øàãîâ ïîëó÷èòñÿ ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç îäíèõ íóëåé. Áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà 257. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé âîçðàñòàþùåé áåñêîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè íàéäåòñÿ ÷ëåí, äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êîòîðîãî íà÷èíàåòñÿ ñ öèôðû 1. 258. Ðàçáåéòå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà äâà ïîäìíîæåñòâà, òàê ÷òîáû íè îäíî èç íèõ íå ñîäåðæàëî áåñêîíå÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. 259*. Âñå íàáîðû (ëþáîé êîíå÷íîé äëèíû) èç öèôð 0 è 1 êàêèì-òî îáðàçîì ðàçáèòû íà äâà êëàññà. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèôð 0 è 1 ìîæíî ðàçðåçàòü íà òàêèå êóñêè, ÷òî âñå îíè, êðîìå, áûòü ìîæåò, ïåðâîãî êóñêà, ïðèíàäëåæàò îäíîìó êëàññó. 260*. Äîêàæèòå, ÷òî èç 11 ëþáûõ áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ìîæíî âûáðàòü äâå, ñîâïàäàþùèå â áåñêîíå÷íîì ÷èñëå ðàçðÿäîâ. Ãðàôû, êîìáèíàòîðèêà 261. à°) Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ëþáûõ øåñòè ÷åëîâåê íàéäóòñÿ ëèáî òðîå ïîïàðíî çíàêîìûõ ìåæäó ñîáîé, ëèáî òðîå ïîïàðíî íå çíàêîìûõ. á) 17 ìàòåìàòèêîâ èç ðàçíûõ ñòðàí ïåðåïèñûâàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Êàæäûå äâà ïåðåïèñûâàþòñÿ íà îäíîì èç òðåõ ÿçûêîâ: àíãëèéñêîì, ôðàíöóçñêîì èëè ðóññêîì. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òðè ìàòåìàòèêà, êîòîðûå ïåðåïèñûâàþòñÿ íà îäíîì è òîì æå ÿçûêå. 262. Ñðåäè äåâÿòè ìóøêåòåðîâ íåêîòîðûå ïîññîðèëèñü è âûçâàëè äðóã äðóãà íà äóýëü. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñðåäè íèõ íåò òðåõ, êîòîðûå äîëæíû äðàòüñÿ äðóã ñ äðóãîì, òî ñðåäè ìóøêåòåðîâ íàéäóòñÿ ÷åòâåðî äðóçåé. 263*.  øàõìàòíîì òóðíèðå ó÷àñòâóþò 11 ÷åëîâåê.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñðåäè ëþáûõ òðåõ äâîå åùå íå ñûãðàëè äðóã ñ äðóãîì. Äîêàæèòå, ÷òî ñûãðàíî íå áîëåå 30 ïàðòèé. 264*.  íåêîòîðîé ñòðàíå ìåæäó ëþáûìè ãîðîäàìè èìååòñÿ íåïîñðåäñòâåííîå æåëåçíîäîðîæíîå ñîîáùåíèå òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè (ò.å. äëÿ ëþáûõ äâóõ ãîðîäîâ X è Y èìååò ìåñòî îäíî èç äâóõ: èëè ìîæíî ïðîåõàòü èç X â Y, èëè èç Y â X). Èç êàæäîãî ãîðîäà ìîæíî âûåõàòü â êàêîé-íèáóäü äðóãîé. Íàçîâåì ãîðîä «ëåãêî äîñòóïíûì», åñëè èç ëþáîãî äðóãîãî ãîðîäà ìîæíî ïîïàñòü â íåãî ëèáî íåïîñðåäñòâåííî, ëèáî ÷åðåç îäèí ïðîìåæó32
òî÷íûé ãîðîä. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò íå ìåíåå òðåõ ëåãêî äîñòóïíûõ ãîðîäîâ. 265. Ïðè äâîðå êîðîëÿ Àðòóðà ñîáðàëèñü 2n ðûöàðåé, ïðè÷åì êàæäûé èç íèõ èìååò ñðåäè ïðèñóòñòâóþùèõ íå áîëåå n 1 âðàãîâ. Äîêàæèòå, ÷òî Ìåðëèí ñîâåòíèê êîðîëÿ Àðòóðà ìîæåò ðàññàäèòü ðûöàðåé çà êðóãëûì ñòîëîì, òàê ÷òî íè îäèí èç íèõ íå áóäåò ñèäåòü ðÿäîì ñî ñâîèì âðàãîì. 266.  íàðîäíîé äðóæèíå 100 ÷åëîâåê, è êàæäûé âå÷åð íà äåæóðñòâî âûõîäÿò òðîå. Äîêàæèòå, ÷òî íåëüçÿ ñîñòàâèòü ãðàôèê äåæóðñòâ òàê, ÷òîáû ëþáûå äâà ÷åëîâåêà äåæóðèëè âìåñòå ðîâíî îäèí ðàç. 267. Ñîñòàâüòå îòðÿäó äðóæèííèêîâ òàêîå ðàñïèñàíèå äåæóðñòâ íà íåäåëþ, ÷òîáû êàæäûé äåíü íà äåæóðñòâî âûõîäèëè òðîå è êàæäûå äâîå äåæóðèëè âìåñòå ðîâíî îäèí ðàç. Ñêîëüêî ÷åëîâåê äîëæíî áûòü â òàêîì îòðÿäå? Ñêîëüêî ðàç äîëæåí äåæóðèòü êàæäûé èç íèõ? (Ñðàâíèòå ýòó çàäà÷ó ñ çàäà÷åé 87.) 268. Íåêàÿ êîìèññèÿ ñîáèðàëàñü 40 ðàç. Êàæäûé ðàç íà çàñåäàíèè ïðèñóòñòâîâàëî 10 ÷åëîâåê, ïðè÷åì íèêàêèå äâîå èç ÷ëåíîâ êîìèññèè íå âñòðå÷àëèñü íà åå çàñåäàíèÿõ áîëåå îäíîãî ðàçà. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ÷ëåíîâ êîìèññèè áîëüøå 60. Òóðíèðû 269.  òóðíèðå ó÷àñòâóþò 10 øàõìàòèñòîâ, ïðè÷åì êàæäûå äâîå ó÷àñòíèêîâ âñòðå÷àþòñÿ ïî îäíîìó ðàçó. Ìîãóò ëè êàêèå-íèáóäü òðè øàõìàòèñòà íàáðàòü íà ÷åòûðå î÷êà áîëüøå, ÷åì îñòàëüíûå ñåìåðî? 270. Ïÿòü ïåíñèîíåðîâ ðåøèëè ïðîâåñòè òóðíèð â äîìèíî, òàê ÷òîáû êàæäûå äâîå èç íèõ áûëè îäèí ðàç ïàðòíåðàìè è äâà ðàçà ïðîòèâíèêàìè (êàæäóþ ïàðòèþ èãðàþò äâîå íà äâîå). Ñêîëüêî ïàðòèé îíè äîëæíû ñûãðàòü? Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ðàñïèñàíèé òàêîãî òóðíèðà (ñîñòàâèòü ðàñïèñàíèå çíà÷èò óêàçàòü, êàêèå ïàðû èç ïÿòè ïåíñèîíåðîâ À, Á, Â, Ã, Ä äîëæíû èãðàòü ìåæäó ñîáîé)? 271. Øåñòü øàõìàòèñòîâ À, Á, Â, Ã, Ä è Å ñûãðàëè â òóðíèðå ïî îäíîé ïàðòèè. Øàõìàòèñò À ïðîèãðàë òîëüêî ïîáåäèòåëþ è çàíÿâøåìó ïîñëåäíåå ìåñòî, Á âûèãðàë òðè ïàðòèè,  ñûãðàë âñå ïàðòèè âíè÷üþ, à îïåðåäèë Ä íà ïîëòîðà î÷êà, Å âûèãðàë ó Ä è ñûãðàë âíè÷üþ ñ ïîáåäèòåëåì òóðíèðà. Êòî ñêîëüêî î÷êîâ íàáðàë? 272.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëè ïÿòü êîìàíä, êîòîðûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïî íîìåðàì çàíÿòûõ èìè ìåñò: A1, A2, A3, A4, A5 . Îïðåäåëèòå, êàê çàêîí÷èëàñü êàæäàÿ èãðà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êàæäûå äâå êîìàíäû âñòðå÷àëèñü îäèí ðàç, 33
ïðè÷åì êîìàíäà A1 íè ðàçó íå ñûãðàëà âíè÷üþ, A2 íå ïðîèãðàëà íè îäíîãî ìàò÷à, A4 íå âûèãðàëà íè îäíîãî ìàò÷à (çà ïîáåäó êîìàíäà ïîëó÷àëà 2 î÷êà, çà íè÷üþ 1 î÷êî, çà ïîðàæåíèå 0 î÷êîâ). Ïðèíöèï Äèðèõëå 273°.  ðîçûãðûøå ïåðâåíñòâà ïî ôóòáîëó â Àâñòðàëèè êàæäûå äâå êîìàíäû âñòðå÷àþòñÿ îäèí ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò ñîñòÿçàíèé íàéäóòñÿ äâå êîìàíäû, ñûãðàâøèå ê ýòîìó ìîìåíòó îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ìàò÷åé. 274°. Äîêàæèòå, ÷òî èç n + 1 öåëûõ ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü äâà, ðàçíîñòü êîòîðûõ äåëèòñÿ íà n. 275. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ñóùåñòâóåò ÷èñëî âèäà 11...1100...00 (ñ íåêîòîðûì ÷èñëîì íóëåé è ñ íåêîòîðûì ÷èñëîì åäèíèö), äåëÿùååñÿ íà n. 276. Äîêàæèòå, ÷òî èç n + 1 ÷èñåë, ìåíüøèõ 2n, âñåãäà ìîæíî âûáðàòü äâà, îòíîøåíèå êîòîðûõ ñòåïåíü äâîéêè. 277. à) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü èç ïåðâûõ 100 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàê, ÷òîáû íè îäíî èç íèõ íå áûëî â 2 ðàçà áîëüøå äðóãîãî? á) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? 278. à) Äîêàæèòå, ÷òî èç n +1 ÷èñåë, ìåíüøèõ 2n, âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òðè ÷èñëà, èç êîòîðûõ îäíî ðàâíî ñóììå äâóõ äðóãèõ. á) Äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà a1 < a2 < K < ak < n . Äîêàæèòå, n +1 , òî ñðåäè ÷èñåë a1, a2,K , ak ìîæíî íàéòè òðè, ÷òî åñëè k > 2 îäíî èç êîòîðûõ ðàâíî ñóììå äâóõ äðóãèõ. 279. ×èñëà îò 1 äî 2n âûïèñàíû â ðÿä â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå è ïîä êàæäûì ÷èñëîì íàïèñàí åãî íîìåð â ýòîì ðÿäó. Çàòåì êàæäîå ÷èñëî ñêëàäûâàåòñÿ ñî ñâîèì íîìåðîì. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ýòèõ ñóìì íàéäóòñÿ äâå, ðàçíîñòü êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 2n. 280*. Èìååòñÿ íåîãðàíè÷åííîå ÷èñëî áåëûõ è ÷åðíûõ êóáèêîâ. Íóæíî ïîñòðîèòü èç íèõ (ñíèçó ââåðõ) ñïëîøíóþ áàøíþ êîíå÷íîé âûñîòû â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, òàê ÷òîáû êàæäûé ÷åðíûé êóáèê â áàøíå ãðàíè÷èë ñ ÷åòíûì ÷èñëîì áåëûõ, à êàæäûé áåëûé ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ÷åðíûõ. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì çàäàííîì íèæíåì ñëîå òàêóþ áàøíþ ïîñòðîèòü ìîæíî. 34
281*. 2n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âûïèñàíû â ðÿä. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè âûïèñàòü âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè âñåõ ýòèõ ÷èñåë, òî ñðåäè íèõ áóäåò íå áîëåå n ðàçëè÷íûõ. Äîêàæèòå, ÷òî èç äàííîãî ðÿäà ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî ñòîÿùèõ ïîäðÿä ÷èñåë, òàê ÷òî èõ ïðîèçâåäåíèå áóäåò òî÷íûì êâàäðàòîì. 282*. Äàíû 20 ðàçëè÷íûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, òàêèõ ÷òî ñàìîå áîëüøîå èç íèõ íå ïðåâîñõîäèò 70. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè âñåâîçìîæíûõ ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé ýòèõ ÷èñåë èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå ÷åòûðå ðàâíûõ. Êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè 283. Çàäàíû íåñêîëüêî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, èç êîòîðûõ íè îäíî íå ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì äðóãîãî. Ïóñòü Kn êîëè÷åñòâî çàäàííûõ ÷èñåë ñ n öèôðàìè. Äîêàæèòå, ÷òî
9 K1 K2 K . + + K + nn + K £ 10 101 102 10 (Ìû ãîâîðèì, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî à ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ÷èñëà b, åñëè à = b èëè åñëè ê à ìîæíî äîïèñàòü ñïðàâà íåñêîëüêî öèôð òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ b.) 284*.  ìàðñèàíñêîì àëôàâèòå âñåãî äâå áóêâû: À è Á. Êàæäûå äâà ñëîâà îäèíàêîâîé äëèíû îòëè÷àþòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå â òðåõ ìåñòàõ. Äîêàæèòå, ÷òî ñëîâ äëèíû n íå áîëåå ÷åì 2n . n +1 285.  âûðàæåíèè x1 : x2 : K : xn äëÿ óêàçàíèÿ ïîðÿäêà, â êîòîðîì íóæíî âûïîëíÿòü äåëåíèå, ðàññòàâëÿþòñÿ ñêîáêè è ðåçóëüòàò çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òàêîé äðîáè: xi1 × xi2 × K × xik x j1 × x j2 × K × x jn - k (êàæäîå èç ÷èñåë x1,K , xn ñòîèò èëè â ÷èñëèòåëå, èëè â çíàìåíàòåëå ýòîé äðîáè). Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ äðîáåé òàêîãî âèäà ìîæíî ïîëó÷èòü èç äàííîãî âûðàæåíèÿ, ïî-ðàçíîìó ðàññòàâëÿÿ â íåì ñêîáêè? 286°.  àëôàâèòå íåêîòîðîãî àôðèêàíñêîãî ÿçûêà n áóêâ. ×òîáû ïåðåäàâàòü òåëåãðàììû íà ýòîì ÿçûêå, íóæíî ñîñòàâèòü «àçáóêó Ìîðçå», ò.å. êàæäîé áóêâå ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê è òèðå. Äîêàæèòå, ÷òî îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ òàêàÿ áóêâà, äëÿ êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê è òèðå ñîñòîèò íå ìåíåå ÷åì èç log2 n - 1 çíàêîâ. 35
287°. à) Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè 80 ìîíåò åñòü îäíà ôàëüøèâàÿ áîëåå ëåãêàÿ, ÷åì îñòàëüíûå. Êàêèì íàèìåíüøèì ÷èñëîì âçâåøèâàíèé íà ðû÷àæíûõ âåñàõ áåç ãèðü ìîæíî âûäåëèòü ôàëüøèâóþ ìîíåòó? á) Òà æå çàäà÷à äëÿ n ìîíåò. 288. Èìååòñÿ ïÿòü ãðóçèêîâ ðàçíîé ìàññû è ðû÷àæíûå âåñû áåç ãèðü. Ðàñïîëîæèòå ãðóçèêè ïî âîçðàñòàíèþ ìàññû, âûïîëíèâ ñåìü âçâåøèâàíèé. 289*. Èç íàáîðà ãèðü ìàññàìè 1, 2, 3, ..., 26 ã âûäåëèòå øåñòü ãèðü, òàê ÷òîáû èç íèõ íåëüçÿ áûëî âûáðàòü äâà íàáîðà îäèíàêîâîé ìàññû. Äîêàæèòå, ÷òî íåëüçÿ âûáðàòü ñåìü ãèðü, îáëàäàþùèõ òåì æå ñâîéñòâîì. 290*. Èç 19 øàðîâ äâà ðàäèîàêòèâíû. Ïðî ëþáóþ êó÷êó øàðîâ çà îäíó ïðîâåðêó ìîæíî óçíàòü, èìååòñÿ ëè â íåé õîòÿ áû îäèí ðàäèîàêòèâíûé øàð èëè íåò (íî íåëüçÿ óçíàòü, ñêîëüêî òàêèõ øàðîâ â êó÷êå). Äîêàæèòå, ÷òî çà âîñåìü ïðîâåðîê âñåãäà ìîæíî âûäåëèòü îáà ðàäèîàêòèâíûõ øàðà. 291*. Èç 11 øàðîâ äâà ðàäèîàêòèâíû. Ïðî ëþáóþ êó÷êó øàðîâ çà îäíó ïðîâåðêó ìîæíî óçíàòü, èìååòñÿ ëè â íåé õîòÿ áû îäèí ðàäèîàêòèâíûé øàð èëè íåò (íî íåëüçÿ óçíàòü, ñêîëüêî òàêèõ øàðîâ â êó÷êå). Äîêàæèòå, ÷òî ìåíåå ÷åì çà ñåìü ïðîâåðîê íåëüçÿ ãàðàíòèðîâàòü íàõîæäåíèå îáîèõ ðàäèîàêòèâíûõ øàðîâ. 292. Èìååòñÿ 10 ìåøêîâ ìîíåò.  äåâÿòè ìåøêàõ ìîíåòû íàñòîÿùèå (ìàññîé 10 ã), à â îäíîì ìåøêå ôàëüøèâûå (ìàññîé 11 ã). Îäíèì âçâåøèâàíèåì íà âåñàõ ñî ñòðåëêîé, óêàçûâàþùåé ðàçíîñòü ìàññ, íàõîäÿùèõñÿ íà ïðàâîé è íà ëåâîé ÷àøêàõ, îïðåäåëèòå, â êàêîì ìåøêå ôàëüøèâûå ìîíåòû. 293. Èìååòñÿ 11 ìåøêîâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìîíåò, è âåñû ñî ñòðåëêîé, óêàçûâàþùåé ðàçíîñòü ìàññ, íàõîäÿùèõñÿ íà ïðàâîé è íà ëåâîé ÷àøêàõ. Êàêîâî íàèìåíüøåå ÷èñëî âçâåøèâàíèé, çà êîòîðîå ìîæíî âûäåëèòü ìåøîê ñ ôàëüøèâûìè ìîíåòàìè? Èçâåñòíî òîëüêî, ÷òî ôàëüøèâûå ìîíåòû îòëè÷àþòñÿ ïî âåñó îò íàñòîÿùèõ. Òàáëèöû 294.  êàæäóþ êëåòêó òàáëèöû 10 ´ 10 òðåáóåòñÿ âïèñàòü îäíî èç ÷èñåë 1 èëè 1, òàê ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå âñåõ ÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå áûëî ðàâíî 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî çàïîëíèòü òàáëèöó? 295.  êëåòêè òàáëèöû 10 ´ 10 òðåáóåòñÿ âïèñàòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 100, òàê ÷òîáû ÷èñëà â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå îáðàçîâûâàëè àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. 36
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? 296. Çàïîëíèòå êëåòêè òàáëèöû 4 ´ 4 , òàê ÷òîáû ÷èñëà â êàæäîì ñòîëáöå è â êàæäîé ñòðîêå îáðàçîâûâàëè ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ (ðèñ.2). 297.  êëåòêè êâàäðàòíîé òàáëèöû n ´ n çàïèñàíû ÷èñëà, ïðè÷åì èçâåñòíî, ÷òî ñóììà 2n 1 ÷èñåë, ñîñòàâëÿþùèõ Ðèñ.2 ïðîèçâîëüíûé êðåñò (ò.å. çàïîëíÿþùèõ íåêîòîðóþ ñòðîêó è íåêîòîðûé ñòîëáåö) ðàâíà 0. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ÷èñëà â òàáëèöå ðàâíû 0. 298*. Íà êëåò÷àòîé äîñêå 11 ´ 11 îòìå÷åíû 22 êëåòêè, òàê ÷òî íà êàæäîé ãîðèçîíòàëè îòìå÷åíû ðîâíî äâå êëåòêè. Äâà ðàñïîëîæåíèÿ êëåòîê ýêâèâàëåíòíû, åñëè, ìåíÿÿ ëþáîå ÷èñëî ðàç ãîðèçîíòàëè ìåæäó ñîáîé, ìû èç îäíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ìîæåì ïîëó÷èòü äðóãîå. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íåýêâèâàëåíòíûõ ðàñïîëîæåíèé îòìå÷åííûõ êëåòîê? 299*.  êàæäîé êëåòêå êâàäðàòíîé òàáëèöû n ´ n ñòîèò öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè ýòîì, åñëè íà ïåðåñå÷åíèè ñòîëáöà è ñòðîêè ñòîèò 0, òî ñóììà ÷èñåë â ýòîì ñòîëáöå è â ýòîé ñòðîêå âìåñòå íå ìåíüøå n. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà âñåõ ÷èñåë â n2 . òàáëèöå íå ìåíüøå 2 300. Âñå ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàçáèòû íà n ðàâíûõ ÷àñòåé è ÷åðåç òî÷êè äåëåíèÿ ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà. Çàòåì â êàæäîé èç ïîëó÷èâøèõñÿ ìàëåíüêèõ òðåóãîëüíèêîâ çàïèñûâàþò îäíî èç ÷èñåë 1 èëè 1, òàê ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà â êàæäîì òðåóãîëüíèêå íà âñå ÷èñëà â òðåóãîëüíèêàõ, èìåþùèõ ñ íèì îáùóþ ñòîðîíó, ðàâíÿëîñü 1. à) Äîêàæèòå, ÷òî â óãëàõ òðåóãîëüíèêà äîëæíû ñòîÿòü ðàâíûå ÷èñëà. á) Ñêîëüêèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè ìîæíî çàïîëíèòü òàêèì îáðàçîì íàøó òðåóãîëüíóþ òàáëèöó? Èãðû 301. Èìååòñÿ äîñêà 3 ´ 3 è äåâÿòü êàðòî÷åê ðàçìåðîì â îäíó êëåòêó, íà êîòîðûõ íàïèñàíû êàêèå-òî ÷èñëà. Äâîå èãðàþùèõ ïîî÷åðåäíî êëàäóò ïî îäíîé êàðòî÷êå íà êëåòêè äîñêè. Ïîñëå òîãî êàê âñå êàðòî÷êè ðàçëîæåíû, ïåðâûé (íà÷èíàþùèé) ïîäñ÷èòûâàåò ñóììó øåñòè ÷èñåë, ñòîÿùèõ â âåðõíåé è íèæíåé ñòðîêàõ, âòîðîé ïîäñ÷èòûâàåò ñóììó â ëå37
âîì è ïðàâîì ñòîëáöàõ (ðèñ.3). Âûèãðûâàåò òîò, ó êîãî ñóììà áîëüøå. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ïðàâèëüíîé èãðå ïåðâîãî èãðîêà âòîðîé íå ñìîæåò âûèãðàòü, íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêèå ÷èñëà íàÐèñ.3 ïèñàíû íà êàðòî÷êàõ. 302°. Äâîå èãðàþò â òàêóþ èãðó: ïåðâûé íàçûâàåò ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî îò 1 äî 10, âòîðîé ïðèáàâëÿåò ê íåìó îäíî èç ÷èñåë îò 1 äî 10 è íàçûâàåò ñóììó, çàòåì ïåðâûé ñíîâà ïðèáàâëÿåò ê ýòîé ñóììå îäíî èç ÷èñåë îò 1 äî 10 è íàçûâàåò íîâóþ ñóììó è ò. ä. Âûèãðûâàåò òîò, êòî ïåðâûì íàçîâåò 100. Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîé èãðå íà÷èíàþùèé ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå âûèãðûø. 303. Èìååòñÿ äâå êó÷êè ïî n ñïè÷åê. Äâà èãðîêà ïîî÷åðåäíî áåðóò ëþáîå êîëè÷åñòâî ñïè÷åê èç îäíîé èç êó÷åê, íå îáÿçàòåëüíî âñÿêèé ðàç èç îäíîé è òîé æå. Çàïðåùàåòñÿ îñòàâëÿòü â îáåèõ êó÷êàõ ðàâíîå ÷èñëî ñïè÷åê, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà â îäíîé êó÷êå ñïè÷åê óæå íåò. Âûèãðûâàåò òîò, êòî çàáåðåò âåñü îñòàòîê. Êàê íàäî èãðàòü, ÷òîáû âûèãðàòü? 304. Äâîå èãðàþò â òàêóþ èãðó: èç êó÷êè, ãäå èìååòñÿ 25 ñïè÷åê, áåðóò ïî î÷åðåäè îäíó, äâå èëè òðè ñïè÷êè. Âûèãðûâàåò òîò, ó êîãî â êîíöå áóäåò ÷åòíîå ÷èñëî ñïè÷åê. Êòî âûèãðûâàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå íà÷èíàþùèé èëè åãî ïðîòèâíèê? 305**. Íà äîñêå íàïèñàíû äâàäöàòü ÷èñåë: 1, 2, 3, ..., 19, 20. Äâîå èãðàþùèõ ïî î÷åðåäè ñòàâÿò ïåðåä ýòèìè ÷èñëàìè çíàêè + èëè . (Çíàê ìîæíî ñòàâèòü ïåðåä ëþáûì åùå íå èñïîëüçîâàííûì ÷èñëîì.) Ïåðâûé ñòðåìèòñÿ ê òîìó, ÷òîáû ïîëó÷åííàÿ ïîñëå ðàññòàíîâêè âñåõ äâàäöàòè çíàêîâ ñóììà áûëà êàê ìîæíî ìåíüøå ïî ìîäóëþ. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ïî ìîäóëþ ñóììó ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå âòîðîé? Êàðòî÷êè ñ ÷èñëàìè 306*. Äàíû äâàäöàòü êàðòî÷åê, íà êàæäîé èç êîòîðûõ íàïèñàíà îäíà öèôðà 0, 1, 2, ..., 9, ïðè÷åì êàæäàÿ öèôðà íàïèñàíà íà äâóõ êàðòî÷êàõ. Ìîæíî ëè ðàñïîëîæèòü ýòè êàðòî÷êè â ðÿä òàê, ÷òîáû íóëè ñòîÿëè ðÿäîì, ìåæäó åäèíèöàìè ëåæàëà ðîâíî îäíà êàðòî÷êà, ìåæäó äâîéêàìè äâå, è òàê äàëåå äî äåâÿòîê, ìåæäó êîòîðûìè äîëæíî ëåæàòü äåâÿòü êàðòî÷åê (ðèñ.4)? 307. à) Ïî êðóãó âûïèñàíû ð ïëþñîâ è q ìèíóñîâ, à ÷èñëî ïàð ðÿäîì Ðèñ.4 38
ñòîÿùèõ ïëþñîâ, b ÷èñëî ïàð ðÿäîì ñòîÿùèõ ìèíóñîâ. Äîêàæèòå, ÷òî p q = a b. á) Êàæäîå èç ÷èñåë x1, x2,L , xm ðàâíî ëèáî +1, ëèáî 1. Èçâåñòíî, ÷òî x1x2 + x2 x3 + K + xm -1xm + xm x1 = 0 . Äîêàæèòå, ÷òî m äåëèòñÿ íà 4. 308. Íàéäèòå âñå äåñÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ ïåðâàÿ öèôðà ðàâíà êîëè÷åñòâó íóëåé â ÷èñëå, âòîðàÿ êîëè÷åñòâó åäèíèö, è ò.ä., äåñÿòàÿ êîëè÷åñòâó äåâÿòîê. 309. à ÷èñëî áîëüøåå 2. Íåêòî ïèøåò íà êàðòî÷êàõ ÷èñëà a, a2, a3,K , an (êàæäîå ÷èñëî íà îäíîé êàðòî÷êå). Ïîòîì ÷àñòü êàðòî÷åê îí êëàäåò ñåáå â ïðàâûé êàðìàí, ÷àñòü â ëåâûé, à îñòàëüíûå âûáðàñûâàåò. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ÷èñåë â ïðàâîì êàðìàíå íå ìîæåò áûòü ðàâíà ñóììå ÷èñåë â ëåâîì. 310.  àâòîáóñå áåç êîíäóêòîðà åõàëè 4n ïàññàæèðîâ, ó êîòîðûõ áûëè òîëüêî ìîíåòû â 10, 15 è 20 êîïååê. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé ïàññàæèð, òåì íå ìåíåå, ñìîã çàïëàòèòü çà ïðîåçä è ïîëó÷èòü ñäà÷ó. Äîêàæèòå, ÷òî íàèìåíüøåå îáùåå ÷èñëî ìîíåò, êîòîðîå ìîãëî áûòü ó âñåõ ïàññàæèðîâ, ðàâíî 5n. (Ñòîèìîñòü ïðîåçäà â àâòîáóñå 5 êîï.) Íåñêîëüêî òåîðåì 311. Äàíî 50 ðàçëè÷íûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a1, a2,K , a50 . Êàê èõ íàäî çàíóìåðîâàòü, ÷òîáû âåëè÷èíà a1 - a2 + a2 - a3 + K + a50 - a1 áûëà íàèáîëüøåé? 312*. Íà êîëüöåâîé àâòîìîáèëüíîé äîðîãå ñòîÿò n îäèíàêîâûõ àâòîìàøèí. Îáùåå êîëè÷åñòâî áåíçèíà ó âñåõ ýòèõ ìàøèí äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíà èç íèõ ñìîãëà ïðîåõàòü ïî âñåé êîëüöåâîé äîðîãå. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ àâòîìàøèí ìîæåò, çàáèðàÿ ïî ïóòè áåíçèí ó îñòàëüíûõ àâòîìàøèí, ïðîåõàòü ïî âñåé êîëüöåâîé äîðîãå. 313*. n2 + 1 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë âûïèñàíû â ðÿä. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü n + 1 èç ýòèõ ÷èñåë, òàê ÷òî îíè áóäóò ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èëè â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ. 314*.  øêîëå ðàáîòàþò íåñêîëüêî êðóæêîâ. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ k êðóæêîâ (k = 1, 2, ...) êîëè÷åñòâî ðåáÿò, êîòîðûå ïðèøëè áû íà ñîâìåñòíîå çàíÿòèå ýòèõ êðóæêîâ, íå ìåíüøå k. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü â êàæäîì êðóæêå ñòàðîñòó, òàê ÷òîáû íèêòî íå áûë ñòàðîñòîé ñðàçó äâóõ êðóæêîâ. 315. Ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â óçëàõ ñåòêè, r íàðèñîâàííîãî íà êëåò÷àòîé áóìàãå, ðàâíà j + - 1 , ãäå j 2 39
÷èñëî óçëîâ, ëåæàùèõ íà åãî ñòîðîíàõ è â âåðøèíàõ (óçëàìè ñåòêè ìû íàçûâàåì òî÷êè, ãäå ïåðåñåêàþòñÿ ëèíèè ñåòêè; ñòîðîíà êëåòêè ïðèíÿòà çà 1). Äîêàæèòå ýòó ôîðìóëó: à) äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà m ´ n êëåòîê, ó êîòîðîãî ñòîðîíû èäóò ïî ëèíèÿì ñåòêè; á) äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè, ó êîòîðîé îñíîâàíèÿ è îäíà áîêîâàÿ ñòîðîíà èäóò ïî ëèíèÿì ñåòêè; â) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàäà÷è íà êëåò÷àòîé áóìàãå 316. Ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè m è n íàðèñîâàí íà êëåò÷àòîé áóìàãå, òàê ÷òî åãî ñòîðîíû ïðîõîäÿò ïî ëèíèÿì ñåòêè. Ñêîëüêî êëåòîê ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà? 317*. Äîêàæèòå, ÷òî øàõìàòíûé êîíü íå ìîæåò îáîéòè äîñêó 4 ´ n , ïîáûâàâ íà êàæäîì ïîëå ðîâíî îäèí ðàç è ïîñëåäíèì õîäîì âåðíóâøèñü íà èñõîäíóþ êëåòêó (n ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî). 318. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ìîæíî è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèòü â âèäå x + y 2 + 3 x + y , 2 ãäå õ è ó öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. 319.  ãîðîäå 10 óëèö ïàðàëëåëüíû è 10 äðóãèõ ïåðåñåêàþò èõ ïîä ïðÿìûì óãëîì. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ïîâîðîòîâ ìîæåò èìåòü çàìêíóòûé ìàðøðóò, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âñå ïåðåêðåñòêè? 320. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî âåðåâî÷åê, ñîåäèíÿþùèõ ñîñåäíèå óçëû âîëåéáîëüíîé ñåòêè m ´ n ñ êâàäðàòíûìè ÿ÷åéêàìè, ìîæíî ðàçîðâàòü òàê, ÷òîáû ñåòêà íå ðàñïàëàñü íà êóñêè? 321*. Íà êëåò÷àòîé áóìàãå íà÷åð÷åíà çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ, âñå çâåíüÿ êîòîðîé ðàâíû è âñå âåðøèíû êîòîðîé ëåæàò â óçëàõ êëåò÷àòîé áóìàãè. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî çâåíüåâ òàêîé ëîìàíîé îáÿçàòåëüíî ÷åòíî. 322*. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíà ñåòêà, îáðàçîâàííàÿ èç ïðàâèëüíûõ øåñòèóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíîé 1 (ñîòû). Æóê ïðîïîëç, äâèãàÿñü ïî ëèíèÿì ñåòêè, èç óçëà À â óçåë  ïî êðàò÷àéøåìó ïóòè, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà 100 (ðèñ.5). Äîêàæèòå, ÷òî ïîëîâèíó ïóòè îí ïîëç â îäíîì íàïðàâëåíèè. Ðèñ.5 40
Ðàñïîëîæåíèå òî÷åê è ôèãóð 323. Áåëóþ ïëîñêîñòü èñïà÷êàëè ÷åðíîé êðàñêîé (òåì ñàìûì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ðàçáèòû íà äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà «÷åðíûå» è «áåëûå»). à) Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ äâå òî÷êè îäíîãî öâåòà, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 1966 ì. á) Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ äâå òî÷êè ðàçíîãî öâåòà, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 1966 ì. 324. Íàéäèòå âñå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîñòàâèòü íà ìåñòî ìíîãîòî÷èÿ, ÷òîáû ñëåäóþùàÿ çàäà÷à èìåëà åäèíñòâåííîå ðåøåíèå: «Íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû íåñêîëüêî ïðÿìûõ, ïðè÷åì èçâåñòíî, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ ðîâíî â ... òî÷êàõ. Íàéäèòå ÷èñëî ïðÿìûõ». 325. Ãîðîä ñîñòîèò èç 50 êâàðòàëîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò ïåðèìåòð 600 ì. Ïî âíåøíèì ñòîðîíàì êâàðòàëîâ ïðîõîäèò êîëüöåâîå øîññå. Òóðèñò îáîøåë ãîðîä ïî ýòîìó øîññå çà ïîëòîðà ÷àñà è ïðî÷åë â ñïðàâî÷íèêå, ÷òî ñóììàðíàÿ äëèíà âñåõ óëèö ãîðîäà, íå ñ÷èòàÿ øîññå, ñîñòàâëÿåò 12 êì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ øåë òóðèñò? 326. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè n ³ 5 äàííûé ïðÿìîóãîëüíèê ìîæíî ðàçáèòü íà n ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òàê ÷òîáû íèêàêèå äâà ñîñåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêà ðàçáèåíèÿ íå îáðàçîâûâàëè âìåñòå ïðÿìîóãîëüíèêà. 327*. Äîêàæèòå, ÷òî ñåìü ïðÿìûõ è ñåìü òî÷åê íåëüçÿ ðàñïîëîæèòü íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîõîäèëè ðîâíî òðè ïðÿìûå è íà êàæäîé ïðÿìîé ëåæàëè ðîâíî òðè òî÷êè. 328°. Äîêàæèòå, ÷òî èç êóñêà ïðîâîëîêè äëèíîé 120 ñì íåëüçÿ, íå ðàçëàìûâàÿ åãî, ñäåëàòü êàðêàñ êóáà ñ ðåáðîì äëèíîé 10 ñì. 329. Òóðèñò, ïðèåõàâøèé â Ìîñêâó íà ïîåçäå, âåñü äåíü áðîäèë ïî ãîðîäó ïåøêîì. Ïîóæèíàâ â êàôå íà îäíîé èç ïëîùàäåé, îí ðåøèë âåðíóòüñÿ íà âîêçàë, è ïðè ýòîì èäòè òîëüêî ïî òåì óëèöàì, ïî êîòîðûì îí øåë äî ýòîãî íå÷åòíîå ÷èñëî ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî îí ñìîæåò ýòî ñäåëàòü. 330.  íåêîòîðîì ãîñóäàðñòâå ñèñòåìà àâèàëèíèé óñòðîåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî ëþáîé ãîðîä ñîåäèíåí àâèàëèíèÿìè íå áîëåå ÷åì ñ òðåìÿ äðóãèìè è èç êàæäîãî ãîðîäà ìîæíî ïðîåõàòü â ëþáîé äðóãîé, ñäåëàâ íå áîëåå îäíîé ïåðåñàäêè. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ãîðîäîâ ìîæåò áûòü â ýòîì ãîñóäàðñòâå? 331. Íà êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ÷àñòåé ìîãóò ðàçáèòü ïëîñêîñòü ÷åòûðå îêðóæíîñòè? n îêðóæíîñòåé? 41
332. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ áóêâ äîñòàòî÷íî ðàññòàâèòü â âåðøèíàõ n-óãîëüíîé ïðèçìû, ÷òîáû â êîíöàõ êàæäîãî ðåáðà ñòîÿëè ðàçíûå áóêâû (ðèñ.6)? Òîò æå âîïðîñ äëÿ n-óãîëüíîé ïèðàìèäû. 333. Ñòîðîíû âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîíóìåðîâàíû ÷èñëàìè Ðèñ.6 îò 1 äî n. Âíóòðè ýòîãî n-óãîëüíèêà áåðåòñÿ òî÷êà è ñîåäèíÿåòñÿ ñ êàæäîé âåðøèíîé îòðåçêîì. Íóæíî ïðîíóìåðîâàòü ýòè îòðåçêè ÷èñëàìè îò 1 äî n, òàê ÷òîáû ñóììà íîìåðîâ ñòîðîí äëÿ âñåõ n òðåóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå ðàçáèò ìíîãîóãîëüíèê, áûëà îäíà è òà æå. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî ìîæíî ñäåëàòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íå÷åòíî. 334. Íà îêðóæíîñòè äàíû 1966 òî÷åê A1, A2, A3,K , A1966 . Ñîñòàâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ. Êàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ áîëüøå: òåõ, äëÿ êîòîðûõ òî÷êà A1 ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé, èëè òåõ, äëÿ êîòîðûõ îíà âåðøèíîé íå ÿâëÿåòñÿ? 335. Îêðóæíîñòü ïîêðûòà íåñêîëüêèìè äóãàìè. Ýòè äóãè ìîãóò íàêëàäûâàòüñÿ äðóã íà äðóãà, íî íè îäíà èç íèõ íå ïîêðûâàåò îêðóæíîñòü öåëèêîì. Äîêàæèòå, ÷òî âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî èç ýòèõ äóã, òàê ÷òîáû îíè òîæå ïîêðûâàëè âñþ îêðóæíîñòü è â ñóììå ñîñòàâëÿëè íå áîëüøå 720° . 336. Èç òî÷êè Î íà ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû íåñêîëüêî âåêòîðîâ, ñóììà äëèí êîòîðûõ ðàâíà 4. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî âåêòîðîâ, òàê ÷òî äëèíà èõ ñóììû áîëüøå 1. 337. à) Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü çàìêíóòóþ ñàìîïåðåñåêàþùóþñÿ ëîìàíóþ ëèíèþ, êîòîðàÿ êàæäîå ñâîå çâåíî ïåðåñåêàåò îäèí ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî òàêàÿ ëîìàíàÿ îáÿçàòåëüíî èìååò ÷åòíîå ÷èñëî çâåíüåâ. Äëÿ ÷åòíûõ n ³ 6 ïîñòðîéòå ïðèìåðû. á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî n ³ 5 ñóùåñòâóåò ñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ èç n çâåíüåâ, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò êàæäîå ñâîå çâåíî ðîâíî äâà ðàçà. 338.  ëåñó, èìåþùåì ôîðìó âûïóêëîé ôèãóðû ïëîùàäè S, çàáëóäèëñÿ ÷åëîâåê. Äîêàæèòå, ÷òî îí ñìîæåò âûéòè èç ëåñà, ïðîéäÿ ïóòü, íå áîëüøèé ÷åì 2SS . Äðóãèìè ñëîâàìè, äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèíèÿ äëèíû 2SS , êîòîðóþ íåëüçÿ ïîìåñòèòü öåëèêîì íè â êàêóþ âûïóêëóþ ôèãóðó ïëîùàäè S. 339. Âíóòðè êâàäðàòà îòìå÷åíû 1965 òî÷åê, òàê ÷òî íèêàêèå òðè èç ýòèõ òî÷åê è âåðøèí êâàäðàòîâ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ïðîâåëè íåñêîëüêî ðàçðåçîâ, ñîåäèíÿþùèõ ýòè òî÷êè ìåæäó ñî42
áîé è ñ âåðøèíàìè êâàäðàòîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî âåñü êâàäðàò ðàçáèò íà òðåóãîëüíèêè, âíóòðè êîòîðûõ íåò äàííûõ òî÷åê. Ñêîëüêî ïðîâåäåíî ðàçðåçîâ è ñêîëüêî ïîëó÷èëîñü òðåóãîëüíèêîâ? 340. Íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû íåñêîëüêî òî÷åê, âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ðàçëè÷íû. Êàæäóþ òî÷êó ñîåäèíÿþò îòðåçêîì ñ áëèæàéøåé. à) Ìîæåò ëè ïðè ýòîì ïîëó÷èòüñÿ çàìêíóòûé ìíîãîóãîëüíèê? á) Ìîãóò ëè ïîëó÷èòüñÿ ïåðåñåêàþùèåñÿ îòðåçêè? 341. Íà êàæäîé èç ïëàíåò íåêîòîðîé ñèñòåìû íàõîäèòñÿ àñòðîíîì, íàáëþäàþùèé áëèæàéøóþ ïëàíåòó. Ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïëàíåòàìè ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëî ïëàíåò íå÷åòíî, òî êàêóþ-íèáóäü ïëàíåòó íèêòî íå íàáëþäàåò. 342.  êâàäðàòå ñî ñòîðîíîé 1 âûáðàíû 102 òî÷êè, èç êîòîðûõ íèêàêèå òðè íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ, ïëîùàäü êîòîðîãî ìåíüøå ÷åì 0,01. 343. Ìîæíî ëè ðàçìåñòèòü 1963 òî÷êè â êâàäðàòå ñî ñòîðîíîé 1 òàê, ÷òîáû ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê, ëåæàùèé âíóòðè çàäàííîãî 1 è ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîêâàäðàòà, ïëîùàäè 200 íàì êâàäðàòà, ñîäåðæàë âíóòðè ñåáÿ õîòÿ áû îäíó èç ýòèõ òî÷åê? 344*.  êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1 áðîñèëè 51 òî÷êó. Äîêàæèòå, ÷òî íåêîòîðûå òðè èç ýòèõ òî÷åê îáÿçàòåëüíî îêàçàëèñü âíóòðè 1 íåêîòîðîãî êðóãà ðàäèóñà . 7 345*. n òî÷åê íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî ëþáîé òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ èìååò ïëîùàäü íå áîëüøå 1. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ýòè òî÷êè ìîæíî ïîìåñòèòü â òðåóãîëüíèê ïëîùàäè 4. 346. Íà ïëîñêîñòè äàíû 100 òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî èõ ìîæíî çàêëþ÷èòü â íåñêîëüêî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðóãîâ, ñóììà äèàìåòðîâ êîòîðûõ ìåíüøå 100 è ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ èç êîòîðûõ áîëüøå 1. (Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êðóãàìè ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ áëèæàéøèìè òî÷êàìè.) 347. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíû n òî÷åê. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ëþáûõ òðåõ èç íèõ èìåþòñÿ äâå, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìåíüøå 1. Äîêàæèòå, ÷òî íà ïëîñêîñòè ìîæíî ðàçìåñòèòü äâà êðóãà ðàäèóñà 1, êîòîðûå çàêðîþò âñå ýòè òî÷êè. 348. Ìîæíî ëè îòìåòèòü íà ïëîñêîñòè 225 òî÷åê òàê, ÷òîáû íàèáîëüøåå èç ðàññòîÿíèé ìåæäó íèìè áûëî íå áîëüøå 21, à íàèìåíüøåå íå ìåíüøå 3? 349. n êðóãëûõ ìîíåò ðàäèóñà r öåëèêîì (íå ñâåøèâàÿñü) ëåæàò íà êðóãëîì ñòîëå ðàäèóñà R áåç íàëîæåíèé, òàê ÷òî 43
áîëüøå íåëüçÿ ïîëîæèòü íè îäíîé ìîíåòû. Äîêàæèòå, ÷òî 1æR R ö çè - 1÷ø < n £ . 2 r r Äâèæåíèå è ïðåñëåäîâàíèå 350. Ïî ïðÿìîëèíåéíîìó æåëîáó äëèíîé 1 ì, çàêðûòîìó ñ îáîèõ êîíöîâ, êàòàþòñÿ 100 ìàëåíüêèõ àáñîëþòíî óïðóãèõ øàðèêîâ. Ñêîðîñòü êàæäîãî øàðèêà 100 ì/ñ. Ñêîëüêî áóäåò ñòîëêíîâåíèé â òå÷åíèå îäíîé ñåêóíäû? (Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü; øàðèêè ñ÷èòàòü òî÷êàìè, äâèãàþùèìèñÿ ïî îäíîé ïðÿìîé, íà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå êîòîðûõ íå çàäàíî.) 351. Ïî àëëåå äëèíîé 100 ì ïðîãóëèâàþòñÿ òðè äæåíòëüìåíà. Ïåðâûé õîäèò ñî ñêîðîñòüþ 1 êì/÷; âòîðîé ñî ñêîðîñòüþ 2 êì/÷, òðåòèé ñî ñêîðîñòüþ 3 êì/÷. Äîéäÿ äî êîíöà àëëåè, êàæäûé ïîâîðà÷èâàåòñÿ è èäåò ñ ïðåæíåé ñêîðîñòüþ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü òàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ â îäíó ìèíóòó, â òå÷åíèå êîòîðîãî âñå òðîå áóäóò èäòè â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè. 352. Ïî ÷åòûðåì ïðÿìûì äîðîãàì, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ïàðàëëåëüíû è íèêàêèå òðè íå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó, ðàâíîìåðíî êàæäûé ñî ñâîåé ñêîðîñòüþ èäóò ÷åòûðå ïåøåõîäà. Èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûé ïåøåõîä âñòðåòèòñÿ ñî âòîðûì, ñ òðåòüèì è ñ ÷åòâåðòûì, à âòîðîé ñ òðåòüèì è ñ ÷åòâåðòûì. Äîêàæèòå, ÷òî òðåòèé è ÷åòâåðòûé ïåøåõîäû òîæå âñòðåòÿòñÿ äðóã ñ äðóãîì. 353. Óëèòêà ïîëçëà ñ íåïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.  òå÷åíèå øåñòè ìèíóò íåñêîëüêî ÷åëîâåê íàáëþäàëè çà íåé, òàê ÷òî íè â êàêîé ìîìåíò îíà íå áûëà áåç íàáëþäåíèÿ. Êàæäûé íàáëþäàë ðîâíî îäíó ìèíóòó è îáíàðóæèë, ÷òî çà ýòó ìèíóòó óëèòêà ïðîïîëçëà ðîâíî 1 ì. Äîêàæèòå, ÷òî çà âñå øåñòü ìèíóò óëèòêà ìîãëà ïðîïîëçòè ñàìîå áîëüøåå 10 ì. 354. Ñàìîëåò-ðàçâåä÷èê ëåòàåò ïî êðóãó ñ öåíòðîì â òî÷êå À. Ðàäèóñ êðóãà 10 êì, ñêîðîñòü ñàìîëåòà 1000 êì/÷.  íåêîòîðûé ìîìåíò èç òî÷êè À ñòàðòóåò ðàêåòà, êîòîðàÿ èìååò òó æå ñêîðîñòü, ÷òî è ñàìîëåò, è óïðàâëÿåòñÿ òàê, ÷òî îíà âñå âðåìÿ íàõîäèòñÿ íà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ñàìîëåò ñ òî÷êîé À. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ðàêåòà äîñòèãíåò ñàìîëåòà? 355*. Ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè äîðîãàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà ðàññòîÿíèè 3à äðóã îò äðóãà, ñòîèò áåñêîíå÷íûé ðÿä îäèíàêîâûõ äîìèêîâ ðàçìåðîì a ´ a íà ðàññòîÿíèè 2à îäèí îò äðóãîãî (ðèñ.7). Ïî îäíîé èç äîðîã ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v è èíòåðâàëîì 9à äâèãàåòñÿ êîëîííà ïîëèöåéñêèõ.  òîò ìîìåíò, êîãäà îäèí èç ïîëèöåéñêèõ íàõîäèòñÿ íàïðîòèâ îäíîãî èç äîìèêîâ (â òî÷êå À), 44
ïî äðóãóþ ñòîðîíó îò ýòîãî äîìèêà íà âòîðîé äîðîãå (â òî÷êå Â) ïîÿâëÿåòñÿ ãàíãñòåð. Ñ êàêîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ è â êàêîì íàïðàâëåíèè äîëæåí èäòè ãàíãñòåð ïî ñâîåé äîðîãå, ÷òîáû ñêðûâàòüñÿ îò ïîëèöåéñêèõ çà äîìàìè? 356*. Íà ìàëåíüêîì îñòðîâå ñòîèò ïðîæåêòîð, ëó÷ êîòîðîãî îñâåùàåò íåêîòîðûé îòðåçîê ïîâåðõíîñòè ìîðÿ, íà÷èíàþùèéñÿ ó îñòðîâà. Ïðîæåêòîð ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, òàê ÷òî êîíåö åãî ëó÷à ïåðåìåùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Äîêàæèòå, ÷òî êàòåð, ðàçâèâàþùèé v ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü , íå ñìîæåò íåçàìåòíî 8 (íå ïîïàäàÿ â ëó÷ ïðîæåêòîðà) ïîäîéòè ê îñòðîâó. Ðèñ.7 357*. Ê íåïðîçðà÷íîé ïëàíåòå, èìåþùåé ôîðìó øàðà, ïîäëåòàåò êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, êîòîðûé ìîæåò ëåòàòü ñî ñêîðîñòüþ v. Åäèíñòâåííûé æèòåëü ïëàíåòû ìîæåò ïåðåäâèãàòüñÿ ïî åå ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ íå áîëåå u. Äîêàæèòå, ÷òî v > 10 , òî êîðàáëü ñìîæåò îáíàðóæèòü æèòåëÿ, êàê áû òîò åñëè u íè ïûòàëñÿ ñêðûòüñÿ. 358. Ó÷åíèê ïëàâàåò â êðóãëîì áàññåéíå. Íà êðàþ áàññåéíà ñòîèò ó÷èòåëü, êîòîðûé íå óìååò ïëàâàòü, íî áåãàåò â ÷åòûðå ðàçà áûñòðåå, ÷åì ïëàâàåò ó÷åíèê. Ñìîæåò ëè ó÷åíèê óáåæàòü îò ó÷èòåëÿ, åñëè îí áåãàåò áûñòðåå, ÷åì ó÷èòåëü? *** 359*. Èç ëþáîé òî÷êè ãîðîäà â ëþáóþ äðóãóþ ìîæíî ïîïàñòü, íå ïðîõîäÿ ÷åðåç ëþáîé íàïåðåä çàäàííûé ïåðåêðåñòîê. Äîêàæèòå, ÷òî ñ ëþáîãî ïåðåêðåñòêà íà ëþáîé äðóãîé âåäóò ïî êðàéíåé ìåðå äâà íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòè. (Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ãîðîäå áîëüøå äâóõ ïåðåêðåñòêîâ.) 360*. Ñ íåâûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì ïðîäåëûâàþòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàöèè: åñëè À è  äâå åãî íå ñîñåäíèå âåðøèíû è ìíîãîóãîëüíèê ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé ÀÂ, òî ÷àñòü êîíòóðà, ëåæàùàÿ ìåæäó òî÷êàìè À è Ðèñ.8 Â, ñèììåòðè÷íî îòðàæàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñåðåäèíû îòðåçêà À (ðèñ.8). Äîêàæèòå, ÷òî ÷åðåç êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ îïåðàöèé ìíîãîóãîëüíèê ïðåâðàòèòñÿ â âûïóêëûé. 45
ÃËÀÂÀ 4
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀ×È
Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå 361. Ðàçäåëèòå óãîë â 19° íà 19 ðàâíûõ ÷àñòåé ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. S íà 3 ðàâíûå ÷àñòè ñ ïîìîùüþ 362. Ðàçäåëèòå óãîë â 7 öèðêóëÿ è ëèíåéêè. 363. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê, åñëè äàíà ïðÿìàÿ, íà êîòîðîé ëåæèò îñíîâàíèå, è äàíû äâå òî÷êè, ÿâëÿþùèåñÿ îñíîâàíèÿìè âûñîò, îïóùåííûõ íà áîêîâûå ñòîðîíû. 364. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê, çíàÿ ïîëîæåíèå îäíîé èç åãî âåðøèí, ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû è òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò. 365. Äàíû ïðÿìàÿ è äâå òî÷êè, ëåæàùèå ïî îäíó ñòîðîíó îò ýòîé ïðÿìîé. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê, îñíîâàíèå êîòîðîãî ëåæèò íà äàííîé ïðÿìîé, à äàííûå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ îðòîöåíòðîì (òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò) è öåíòðîì òÿæåñòè (òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí). 366. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê, åñëè èçâåñòíû äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê îäíîé èç åãî ñòîðîí, è äëèíû âûñîò, ïðîâåäåííûõ ê äâóì äðóãèì ñòîðîíàì. 367. Äàíû ïðÿìàÿ è äâå òî÷êè, ëåæàùèå ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê, äëÿ êîòîðîãî äàííûå òî÷êè áûëè áû îñíîâàíèÿìè âûñîò, à òðåòüÿ âûñîòà ëåæàëà áû íà äàííîé ïðÿìîé. 368. Ïîñòðîéòå ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ïî ãèïîòåíóçå è ìåäèàíå, ïðîâåäåííîé ê îäíîìó èç êàòåòîâ. 369. Íà äîñêå áûëà íà÷åð÷åíà òðàïåöèÿ, â íåé áûëà ïðîâåäåíà ñðåäíÿÿ ëèíèÿ EF è îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð OK èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íà áîëüøåå îñíîâàíèå. Çàòåì òðàïåöèþ ñòåðëè. Êàê âîññòàíîâèòü ÷åðòåæ ïî ñîõðàíèâøèìñÿ îòðåçêàì EF è OK? 370. Íà îäíîé èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà îòìå÷åíà òî÷êà À. Ïðîâåäèòå ÷åðåç íåå ïðÿìóþ, òàê ÷òîáû îíà ðàçäåëèëà ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. 371. Äàíû îêðóæíîñòü, òî÷êà À, ëåæàùàÿ íà îêðóæíîñòè, è òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ âíóòðè îêðóæíîñòè. Ïîñòðîéòå íà îêðóæíîñòè òî÷êè  è Ñ òàêèå, ÷òîáû òî÷êà Ì áûëà 46
à) òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC; á) òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ABC; â) òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC. 372. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì âûñîòàì, îïóùåííûì íà äâå ñòîðîíû, è áèññåêòðèñå, ïðîâåäåííîé ê òðåòüåé ñòîðîíå. 373. Ïîñòðîéòå ÷åòûðåõóãîëüíèê ïî äëèíàì åãî ñòîðîí, åñëè èçâåñòíî, ÷òî åãî ìîæíî âïèñàòü â îêðóæíîñòü. 374. Íà îêðóæíîñòè îòìå÷åíû òðè òî÷êè. Íàéäèòå íà îêðóæíîñòè ÷åòâåðòóþ òî÷êó, òàêóþ ÷òîáû â ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ ìîæíî áûëî âïèñàòü îêðóæíîñòü. 375. Äàíû îêðóæíîñòü è âíóòðè íåå äâå òî÷êè À è Â. Ïîñòðîéòå âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êè À è Â. 376. Ïîñòðîéòå ïàðàëëåëîãðàìì, äâå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàò íà îäíîé äàííîé îêðóæíîñòè, äâå äðóãèå íà äðóãîé äàííîé îêðóæíîñòè, à òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàõîäèòñÿ â äàííîé òî÷êå. 377. Íà îêðóæíîñòè äàíû òî÷êè À è Â. Ïðîâåäèòå õîðäó XY, òàê ÷òîáû îòíîøåíèå ÀÕ : AY è ðàçíîñòü óãëîâ ÕÀ è YAB èìåëè çàäàííûå çíà÷åíèÿ. 378. ×åðåç òî÷êè À è  ïðîâåäèòå îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïåðåñåêëà áû äâå äàííûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå â òî÷êàõ Ðèñ. 9 Å è F, òàê ÷òîáû EF = AB (ðèñ.9). 379.  äàííóþ îêðóæíîñòü âïèøèòå òðàïåöèþ, åñëè èçâåñòíà äëèíà åå áîêîâîé ñòîðîíû è ðàññòîÿíèå îò öåíòðà äî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. Ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê 380. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàí êâàäðàò. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, òàêèõ ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò êàæäîé èç íèõ äî ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ ñòîðîíû êâàäðàòà, âçÿòûå â íåêîòîðîì ïîðÿäêå, îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. 381. Ïî âíóòðåííåé ñòîðîíå îêðóæíîñòè êàòèòñÿ îêðóæíîñòü âäâîå ìåíüøåãî ðàäèóñà (ðèñ.10). Íà ìåíüøåé îêðóæíîñòè îòìå÷åíà òî÷êà À. Ïî êàêîé òðàåêòîðèè îíà äâèæåòñÿ? 382. Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ABC. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñ- Ðèñ. 10 47
òî òî÷åê Ì òàêèõ, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÀÂÌ è ÀÑÌ îáà ðàâíîáåäðåííûå. 383. Èç äàííîé òî÷êè Ì êâàäðàòíîãî áèëüÿðäà âûïóñêàåòñÿ øàðèê ïàðàëëåëüíî îäíîé èç äèàãîíàëåé. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Ð íà áèëüÿðäå òàêèõ, ÷òî øàðèê, âûïóùåííûé èç òî÷êè Ð îäíîâðåìåííî ñ ïåðâûì øàðèêîì ñî ñêîðîñòüþ ðàâíîé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè ïåðâîãî, ñòîëêíåòñÿ ñ íèì. Íåðàâåíñòâà è ýêñòðåìóìû 384. Äàíà îêðóæíîñòü è íà íåé òî÷êà À. Ïðîèçâîëüíàÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì À ïåðåñåêàåòñÿ ñ äàííîé îêðóæíîñòüþ â òî÷êàõ K è Ð è êàñàåòñÿ äèàìåòðà äàííîé îêðóæíîñòè â òî÷êå Í (ðèñ.11). Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ KÐ è ÀÍ. 385. ABCD âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê. Äîêàæèòå, ÷òî à) AB + CD < AC + BD; á) åñëè AB + BD £ AC + CD , òî À < ÀÑ. 386. Ìîãóò ëè âñå âûñîòû òðåóãîëüÐèñ. 11 íèêà áûòü ìåíüøå 1 ñì, à åãî ïëîùàäü áîëüøå 10000 êì2 ? 387. D è Å ñåðåäèíû ñòîðîí À è ÂÑ òðåóãîëüíèêà ABC. Òî÷êà Ì ëåæèò íà ñòîðîíå ÀÑ. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè MD < AD, òî ME > ÑÅ. 388. Äàíû òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ãäå íóæíî âûáðàòü òî÷êó Ì, ÷òîáû ñóììà ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÌ è ÑÂÌ, áûëà íàèìåíüøåé? 389. Íà ïðîäîëæåíèè íàèáîëüøåé ñòîðîíû ÀÑ òðåóãîëüíèêà ABC îòëîæåí îòðåçîê CD = ÂÑ. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë ABD òóïîé. 390. Äîêàæèòå, ÷òî âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, èìåþùèé îñü ñèììåòðèè, ÿâëÿåòñÿ ëèáî âïèñàííûì â îêðóæíîñòü, ëèáî îïèñàííûì îêîëî îêðóæíîñòè. 391.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå òðè òóïûõ óãëà. Äîêàæèòå, ÷òî èç äâóõ åãî äèàãîíàëåé áîëüøåé ÿâëÿåòñÿ òà, êîòîðàÿ ïðîâåäåíà èç âåðøèíû îñòðîãî óãëà. 392. Äîêàæèòå, ÷òî êðóãè, ïîñòðîåííûå íà ñòîðîíàõ ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà êàê íà äèàìåòðàõ, öåëèêîì åãî íàêðûâàþò. 48
393. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü êâàäðàòà, ëåæàùåãî âíóòðè òðåóãîëüíèêà, íå ïðåâîñõîäèò ïîëîâèíû ïëîùàäè ýòîãî òðåóãîëüíèêà. 394. Äâóìÿ îòðåçêàìè äëèíû 1 îòðåæüòå îò äàííîãî óãëà ÷åòûðåõóãîëüíèê íàèáîëüøåé ïëîùàäè (ðèñ.12). Ðèñ. 12 395. Âíóòðè îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå Î äàíà òî÷êà À, îòëè÷íàÿ îò Î. Íàéäèòå íà îêðóæíîñòè òî÷êó Ì, äëÿ êîòîðîé óãîë ÀÌÎ ìàêñèìàëåí. 396. Êàêóþ íàèìåíüøóþ øèðèíó äîëæíà èìåòü áåñêîíå÷íàÿ ïîëîñà áóìàãè, ÷òîáû èç íåå ìîæíî áûëî âûðåçàòü ëþáîé òðåóãîëüíèê ïëîùàäè 1? 397. Íà ïëîñêîñòè äàíû òî÷êè À è Â. Ïîñòðîéòå êâàäðàò, ó êîòîðîãî ñóììà ðàññòîÿíèé îò âåðøèí äî òî÷êè À áûëà áû ìèíèìàëüíîé, à òî÷êè À è  ëåæàëè áû íà åãî ãðàíèöå. 398. Íà ãèïîòåíóçå À ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC íàéäèòå òî÷êó Ì, äëÿ êîòîðîé òðåóãîëüíèê ÌCK (K ïðîåêöèÿ òî÷êè Ì íà êàòåò ÂÑ) èìååò íàèáîëüøóþ ïëîùàäü. 399.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC íà ñòîðîíå ÂÑ âûáðàíà òî÷êà Ì. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ÌÐK ìèíèìàëüíîãî ïåðèìåòðà, òàê ÷òîáû òî÷êà Ð ëåæàëà íà ñòîðîíå ÀÂ, à òî÷êà K íà ñòîðîíå ÑÀ. 400. Äàí òðåóãîëüíèê, äëèíû ñòîðîí êîòîðîãî ðàçëè÷íû. Íàéäèòå íà ïëîñêîñòè òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà áûëà áû ìèíèìàëüíîé. 401. Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîí À è ÀÑ çà âåðøèíû  è Ñ îòìå÷åíû òî÷êè B¢ è C¢ , òàêèå ÷òî
BB¢ + CC ¢ = BC (ðèñ.13). Äëÿ êàêèõ ïîëîæåíèé òî÷åê B¢ è C¢ äëèíà îòðåçêà B¢C ¢ áóäåò íàèìåíüøåé? 402. Äàíû äâå êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ Ðèñ. 13 âíóòðè ìåíüøåé èç íèõ, ïðîâåäèòå ëó÷, òàê ÷òîáû äëèíà åãî îòðåçêà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó îêðóæíîñòÿìè, áûëà à) íàèìåíüøåé; á) íàèáîëüøåé. 403.  ïðîèçâîëüíîì âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå íàéäèòå òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âñåõ âåðøèí áûëà áû íàèìåíüøåé. 404. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ âíóòðè äàííîãî óãëà, ïðîâåäèòå 49
Ðèñ. 14
ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè. 405.  äàííûé ïðÿìîóãîëüíèê ïîìåñòèòå ðîìá íàèáîëüøåé ïëîùàäè. 406. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå íàéäåòñÿ äèàãîíàëü, êîòîðàÿ îòðåçàåò îò íåãî òðåóãîëüíèê ïëîùàäè íå áîëüøåé, ÷åì îäíà øåñòàÿ ïëîùàäè øåñòèóãîëüíèêà (ðèñ.14). Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå
407. Îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà êàòåòå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà êàê íà äèàìåòðå, äåëèò ãèïîòåíóçó â îòíîøåíèè 1:3. Âû÷èñëèòå óãëû òðåóãîëüíèêà. 408.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC (À = ÂÑ) óãîë ABC ðàâåí 80°. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà âçÿòà òî÷êà Î òàê, ÷òî óãîë ÎÀÑ ðàâåí 10°, à óãîë ÎÑÀ ðàâåí 30° (ðèñ.15). Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà ÀÎÂ. 409. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà Ñ òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè ðàññòîÿíèå îò âåðøèíû Ñ äî îðòîöåíòðà òðåóãîëüíèêà ðàâíî ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ðèñ. 15 410. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíû óãëîâ òðåóãîëüíèêà, åñëè öåíòðû åãî âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèÿ ýòîãî òðåóãîëüíèêà. 411. Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Í. Èçâåñòíî, ÷òî ÑÍ = ÀÂ. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà òðåóãîëüíèêà ïðè âåðøèíå Ñ. 412. Äàí òðåóãîëüíèê ABC, ó êîòîðîãî óãîë À âäâîå áîëüøå óãëà Â, à ñòîðîíà À âäâîå áîëüøå ñòîðîíû ÀÑ. Íà ñòîðîíå À îòìå÷åíà òî÷êà Å òàêàÿ, ÷òî ÀÅ = ÀÑ. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÑÅ, åñëè ÀÑ = 1. 413. Òðåóãîëüíèê è âïèñàííûé â íåãî ðîìá èìåþò îáùèé óãîë. Îòíîøåíèå ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçóþùèõ ýòîò óãîë, ðàâíî k. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêà è ðîìáà. 414. Íà êàæäîé èç ïðÿìûõ, ñîäåðÐèñ. 16 æàùèõ ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, îòëî50
æèì â îáå ñòîðîíû îò âåðøèí ïî îòðåçêó, ðàâíîìó äëèíå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ëåæàùåé íà ýòîé ïðÿìîé, ïîëó÷èì øåñòü òî÷åê (ðèñ.16). Ñîåäèíèì èõ òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ âûïóêëûé øåñòèóãîëüíèê. Âûðàçèòå ïëîùàäü ïîëó÷åííîãî øåñòèóãîëüíèêà ÷åðåç ïëîùàäü S èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà. 415. Äàíû äâà ñìåæíûõ ïðÿìûõ óãëà ñ âåðøèíîé â òî÷êå Î (ðèñ.17).  îäèí èç íèõ âïèñàíà îêðóæíîñòü ðàäèóñà r, à â äðóãîé îêðóæíîñòü ðàäèóñà R (R > r). Îáùàÿ âíåøíÿÿ êàñàòåëüíàÿ ê ýòèì îêðóæíîñòÿì ïåðåñåêàåò ñòîðîíû óãëîâ â òî÷êàõ À è Â. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü Ðèñ. 17 òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ. 416. Ñòîðîíû ÀÂ, ÂÑ è ÑÀ òðåóãîëüíèêà ABC ðàçäåëåíû òî÷êàìè C ¢, A¢ è B¢ â îäíîì è òîì æå îòíîøåíèè k (ðèñ.18). Íàéäèòå k, åñëè ïðÿìûå AA¢, BB¢ è CC¢ îãðàíè÷èâàþò òðåóãîëüíèê, ïëî1 ïëîùàùàäü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò 4 äè äàííîãî. 417. Íà ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñòðîåíû êâàäðàòû, ðàñïîëîæåííûå âíå òðåóãîëüíèêà. Âû÷èñëèòå ïëîùàäü øåñòèóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî òåìè âåðøèíà- Ðèñ. 18 ìè êâàäðàòîâ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòíû ãèïîòåíóçà c è ñóììà s êàòåòîâ òðåóãîëüíèêà. 418. Èç äâóõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà îäèí â äâà ðàçà áîëüøå äðóãîãî. Íàéäèòå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, çíàÿ, ÷òî îíè âûðàæàþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè. 419. Âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ðàçáèò äèàãîíàëÿìè íà ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ.19). Èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäè ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ âûðàæàþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷åòûðåõ ÷èñåë íå Ðèñ. 19 51
ìîæåò îêàí÷èâàòüñÿ öèôðàìè ...1965. 420.  òðåóãîëüíèêå ABC ñ óãëîì 120° ïðè âåðøèíå Ñ ïðîâåäåíû áèññåêòðèñû AA1, BB1 è CC1 . Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà A1B1C1 . 421. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê. Ñåðåäèíû åãî ñòîðîí ïîñëåäîâàÐèñ. 20 òåëüíî ñîåäèíåíû îòðåçêàìè (ðèñ.20). Âûðàçèòå ïëîùàäü ïîëó÷åííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ÷åðåç ïëîùàäü äàííîãî. Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî: ïðÿìûå è ìíîãîóãîëüíèêè 422.  ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê âïèñàí äðóãîé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äàííîãî (ðèñ.21).  êàêîì îòíîøåíèè âåðøèíû âïèñàííîãî òðåóãîëüíèêà äåëÿò ñòîðîíû äàííîãî? 423. Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, ïðè÷åì èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ ABC, ABD è BCD ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî ABCD ïðÿìîóãîëüíèê. 424. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû äëèí èõ ãèïîòåíóç, òî Ðèñ. 21 òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. 425. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé äëèí äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà è äëèíîé åãî òðåòüåé ñòîðîíû ðàâíà äèàìåòðó âïèñàííîé îêðóæíîñòè, òî òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé. 426. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ âåðøèíó ïðÿìîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ öåíòðîì êâàäðàòà, ïîñòðîåííîãî íà ãèïîòåíóçå âíå òðåóãîëüíèêà, äåëèò ïðÿìîé óãîë ïîïîëàì (ðèñ.22). 427.  ïðÿìîóãîëüíèê ABCD âïèñàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ÀÐK, òàê ÷òî âåðøèíà K íàõîäèòñÿ íà ñòîðîíå ÂÑ, à Ð íà CD (ðèñ.23).  òðåóãîëüíèêå ÀÐK èç âåðøèíû K ïðîâåäåíà âûñîòà KÍ. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ÂÍÑ ðàâíîñòîðîííèé. 428.  òðåóãîëüíèê ABC âïèñàíî Ðèñ. 22 òðè êâàäðàòà: ó îäíîãî äâå âåðøèíû 52
ëåæàò íà ñòîðîíå ÀÂ, ó äðóãîãî íà ñòîðîíå ÂÑ, ó òðåòüåãî íà ñòîðîíå ÀÑ. Îêàçàëîñü, ÷òî âñå òðè êâàäðàòà ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîñòîðîííèé. 429. Íà äâóõ ñìåæíûõ ñòîðîíàõ ïàðàëëåëîãðàììà âíå åãî ïîñòðîåíû ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè. Äîêàæèòå, ÷òî òðåòüè âåðøèíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ è ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà ïàðàëëåëîãðàììà ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè Ðèñ. 23 ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. 430. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó òðåóãîëüíèêà, ðàçáèâàåò åãî íà äâà òðåóãîëüíèêà, ïîäîáíûõ äàííîìó, òî äàííûé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé, à ïðîâåäåííàÿ ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ãèïîòåíóçå. 431.  îêðóæíîñòü âïèñàíû äâå òðàïåöèè ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè. Äîêàæèòå, ÷òî äèàãîíàëè îäíîé òðàïåöèè ðàâíû ïî äëèíå äèàãîíàëÿì äðóãîé. 432. ×åðåç òî÷êó, âçÿòóþ íà ïðîäîëæåíèè äèàãîíàëè òðàïåöèè, è ñåðåäèíû îñíîâàíèé ïðîâåäåíû äâå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè â òî÷êàõ K è L (ðèñ.24). Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçîê KL ïàðàëëåëåí îñíîâàíèÿì òðàïåöèè.
Ðèñ. 24
Ðèñ. 25
433. Ñåðåäèíû ñòîðîí À è CD, ÂÑ è DE âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Ñåðåäèíû ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ ñíîâà ñîåäèíåíû (ðèñ.25). Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäíèé 1 îòðåçîê ïàðàëëåëåí îòðåçêó ÀÅ è ðàâåí ïî äëèíå AE . 4 434. ×åðåç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé ïðîâåäåíû äâå ïðîèçâîëüíûå ñåêóùèå. Äîêàæèòå, ÷òî õîðäû, ñîåäèíÿþùèå äðóãèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñåêóùèõ ñ îêðóæíîñòÿìè, ïàðàëëåëüíû (ðèñ.26). 53
Ðèñ. 26
Ðèñ. 27
435. ×åðåç ñåðåäèíû äèàãîíàëåé ÀÑ è BD âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå BD è ÀÑ ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñîåäèíåíà ñ ñåðåäèíàìè ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî ýòèìè ÷åòûðüìÿ îòðåçêàìè äàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê äåëèòñÿ íà ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. 436. Íåêîòîðûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî âïèñàííûì è îïèñàííûì. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíû (ðèñ.27). Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî: îêðóæíîñòè 437. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå ñåðåäèíû äóã ñòÿãèâàåìûõ ïðîòèâîëåæàùèìè ñòîðîíàìè âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 438. Ñîåäèíèòå âñå âåðøèíû ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíàìè äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ åãî ñòîðîí. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü îáðàçîâàâøåãîñÿ ïðè ýòîì ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé äâóõ íå ïðèìûêàþùèõ ê íåìó òðåóãîëüíèêîâ. 439. Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã ïðÿìîóãîëüíèêà, îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû íà äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà èëè èõ ïðîäîëæåíèÿ (ðèñ.28). Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðîâ íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè íà îêðóæíîñòè. 440. Èç òî÷êè Ð, ëåæàùåé âíå äàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüÐèñ. 28 íûå PT1 è PT2 ( T1 è T2 òî÷êè 54
êàñàíèÿ). Âíóòðè îêðóæíîñòè ïîñòðîåíà äóãà TT 1 2 ñ öåíòðîì â òî÷êå Ð (ðèñ.29). Ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà À ýòîé äóãè ñîåäèíåíà ñ òî÷êàìè T1 è T2 . Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè M1 è M2 , â êîòîðûõ ïðÿìûå AT1 è AT2 âòîðîé ðàç ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòü, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíû. 441.  îêðóæíîñòü âïèñàí ÷åòûðåõóãîëüíèê. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè ýòîé îêðóæíîñòè ïðîèçâå- Ðèñ. 29 äåíèå ðàññòîÿíèé äî îäíîé ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ðàññòîÿíèé äî äðóãîé ïàðû ñòîðîí, à òàêæå ïðîèçâåäåíèþ ðàññòîÿíèé äî äèàãîíàëåé. 442. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â òðàïåöèè äèàãîíàëè ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ñóììà êâàäðàòîâ äëèí äèàãîíàëåé ðàâíà êâàäðàòó ñóììû äëèí îñíîâàíèé. 443. Òðè îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êè À è Â. ×åðåç òî÷êó À ïðîâåäåíà ïðîèçâîëüíàÿ ñåêóùàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îêðóæíîñòè âòîðè÷íî â òî÷êàõ Ñ, D è Å (ðèñ. 30). Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå CD : DE íå çàâèñèò îò âûáîðà ñåêóùåé. 444. ×åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó Ì äèàìåòðà îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà ñåêóùàÿ ïîä óãëîì 45° ê äèàìåòðó. Ïóñòü À è  òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñåêóùåé ñ îêðóæíîñòüþ. Äîêàæèòå, ÷òî MA2 + MB2 íå çàâèñèò îò Ðèñ. 30 âûáîðà òî÷êè Ì. 445.  îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû òðè ðàâíûå õîðäû ÀÂ, ÂÑ è CD. Äîêàæèòå, ÷òî äèàìåòð BE îòñåêàåò îò õîðäû AD îòðåçîê AF, ðàâíûé ÀÂ, à õîðäà ÑÅ äåëèò îòðåçîê FD ïîïîëàì. 446°. Íà ëó÷å, ïðîâåäåííîì ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ðàäèóñà r, âûáðàíû òî÷êè À è  òàê, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé îò íèõ äî öåíòðà îêðóæíîñòè ðàâíî r 2 . Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè Ð îêðóæíîñòè îòíîøåíèå ÀÐ : ÂÐ ïîñòîÿííî. 447. Òî÷êè K è Ð ñèììåòðè÷íû îñíîâàíèþ âûñîòû ÂÍ òðåóãîëüíèêà ABC îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí À è ÂÑ (ðèñ.31). Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà KÐ ñî ñòîðîíàìè À è ÂÑ èëè èõ ïðîäîëæåíèÿìè îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC. 55
448.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëü ÀÑ áîëüøå äèàãîíàëè BD. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ì îäíó èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ÀÑ è îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà BCD (ëþáóþ). Äîêàæèòå, ÷òî BD îáùàÿ âíåøíÿÿ êàñàòåëüíàÿ ê îïèñàííûì îêðóæíîñòÿì òðåóãîëüíèêîâ ÀÌ è AMD. Ðèñ. 31 449. Ïðî ñîâîêóïíîñòü ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ èçâåñòíî, ÷òî èõ îñíîâàíèÿ ëåæàò íà äàííîé ïðÿìîé, îíè èìåþò îáùóþ âåðøèíó À íà ýòîé ïðÿìîé, êðîìå òîãî, ðàäèóñû îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ýòè òðåóãîëüíèêè, ðàâíû (ðèñ.32). Äîêàæèòå, ÷òî âñå áîêîâûå ñòîðîíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ, íå ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âåðøèíó À, êàñàþòñÿ îäíîé îêðóæíîñòè.
Ðèñ. 32
Ðèñ. 33
450. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Ïîñòðîåíû ÷åòûðå îêðóæíîñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ êàñàåòñÿ èçâíå îäíîé ñòîðîíû è ïðîäîëæåíèé äâóõ ñîñåäíèõ ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà (íàïðèìåð, ñòîðîíû À è ïðîäîëæåíèé ñòîðîí AD è ÂÑ, ðèñ.33). Äîêàæèòå, ÷òî öåíòðû ýòèõ îêðóæíîñòåé ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. 451. Òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî÷êà Ð âíå ýòîé ïðÿìîé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1, O2 è O3 öåíòðû îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ ÐÂÀ, ÐÑÀ è ÐÂÑ. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè O1, O2, O3 è Ð ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. 452. Òðè îêðóæíîñòè D1, D2 è D 3 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå Î. Òî÷êè À,  è Ñ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îêðóæíîñòåé D1 è D2 , D2 è D 3 , D 3 è D1 . Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Ì îêðóæíîñòè D1 ïðîâåäåíû ñåêóùèå MAP è MCQ (Ð è 56
Q òî÷êè, ñîîòâåòñòâåííî, íà D2 è D 3 ). Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè Ð,  è Q ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. 453. ×åðåç âåðøèíû Ñ,  è öåíòð âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Ì. Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, è áèññåêòðèñà óãëà À ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó Ì. 454.  òðåóãîëüíèêå ABC íà ñòîðîíå À âûáðàíà òî÷êà Ð, à íà ñòîðîíå ÂÑ òî÷êà K. Íà îòðåçêàõ ÀK è ÑÐ êàê íà äèàìåòðàõ ïîñòðîåíû îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî èõ îáùàÿ õîðäà ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC. 455.  îäíîì àðõèâå íàéäåíà çàïèñêà ñ îïèñàíèåì ìåñòà, ãäå ñïðÿòàí ÿùèê ñî ñòàðèííûìè ðóêîïèñÿìè.  çàïèñêå ãîâîðèòñÿ: «Ïîäîéäèòå ê áåðåçå è èäèòå îò íåå äî äóáà, èçìåðÿÿ ðàññòîÿíèå. Îêîëî äóáà ïîâåðíèòå íàïðàâî è ïðîéäèòå òàêîå æå ðàññòîÿíèå. Ïóñòü Ì òî÷êà îñòàíîâêè. Çàòåì ñíîâà îò áåðåçû èäèòå äî êàìåííîãî ñòîëáà, îò êîòîðîãî ïðîéäåòå âëåâî òàêîå æå ðàññòîÿíèå.  ðåçóëüòàòå îñòàíîâèòåñü â òî÷êå K.  ñåðåäèíå îòðåçêà ÌK çàêîïàí ÿùèê ñ ðóêîïèñÿìè». Êîãäà èñòîðèêè ïðèáûëè íà óêàçàííîå ìåñòî, òî îáíàðóæèëè, ÷òî áåðåçû óæå íåò. Êàê íàéòè ÿùèê ñ ðóêîïèñÿìè? 456.  êâàäðàòå ðàñïîëîæåíî íåñêîëüêî îäèíàêîâûõ êðóãîâ. Ëþáûå äâà èç íèõ íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ðàçðåçàòü êâàäðàò íà âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè òàê, ÷òîáû êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê çàêëþ÷àë â ñåáå ðîâíî ïî îäíîìó êðóãó. Âåðíî ëè òàêîå óòâåðæäåíèå, åñëè âìåñòî êðóãîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàâíûå ìåæäó ñîáîé òðåóãîëüíèêè? åñëè ðàäèóñû êðóãîâ íå îäèíàêîâû? 457. Òîðò èìååò ôîðìó ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 1. Èç ñåðåäèíû êàæäîé ñòîðîíû âíóòðü òîðòà (â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè) ïðîâîäèòñÿ ðàçðåç äëèíû 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ýòîì îò òîðòà áóäåò îòðåçàí õîòÿ áû îäèí êóñîê. Ñòåðåîìåòðèÿ 458.  ïðîñòðàíñòâå äàíû äâà òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è A¢B¢C ¢ , ëåæàùèå â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Ì, äëÿ êîòîðûõ îáúåìû òåòðàýäðîâ ÌÀÂÑ è MA¢B¢C ¢ ðàâíû. 459°. Äîêàæèòå, ÷òî òðè îòðåçêà, ñîåäèíÿþùèå ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð òåòðàýäðà, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì. 460. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü òåòðàýäð, â êîòîðîì êàæäîå ðåáðî áûëî áû ñòîðîíîé òóïîãî èëè ïðÿìîãî ïëîñêîãî óãëà? 57
461. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, ó êîòîðîãî íåò ïëîñêèõ ïðÿìûõ óãëîâ, èìååò ìåñòî îäíî èç äâóõ: èëè â íåêîòîðîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ïëîñêèõ îñòðûõ óãëà, èëè â íåêîòîðîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ïëîñêèõ òóïûõ óãëà. 462. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ðåáåð ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïèðàìèäû ìîæíî ïåðåñå÷ü ïëîñêîñòüþ? Òîò æå âîïðîñ äëÿ ïðàâèëüíîé n-óãîëüíîé ïðèçìû. 463. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìíîãîãðàííèêà, èìåþùåãî 7 ðåáåð. Ïîñòðîéòå ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, èìåþùåãî n ðåáåð, äëÿ n ³ 8 . 464°. Íåêîòîðàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò âñå çâåíüÿ çàìêíóòîé ëîìàíîé ëèíèè A1 A2 K An A1 â òî÷êàõ B1, B2, K , Bn . Äîêàæèòå, ÷òî A1B1 A2 B2 AB × ×K × n n = 1. B1 A2 B2 A3 Bn A1 465. Ïðîñòðàíñòâåííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî ñôåðû (êàæäàÿ ñòîðîíà êàñàåòñÿ ñôåðû). Äîêàæèòå, ÷òî à) ñóììû åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû; á) òî÷êè êàñàíèÿ ñòîðîí ñî ñôåðîé ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. 466. à) Íà ñòîðîíàõ À è AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âçÿòû òî÷êè K è L ñîîòâåòñòâåííî, Ð òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ AK AL = E. =D, è îòðåçêà KL. Íàéäèòå ÀÐ/ÀÑ, åñëè AB AD á) Íà ðåáðàõ AA¢ , À è AD ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA¢B¢C ¢D¢ âçÿòû òî÷êè K, L è Ì ñîîòâåòñòâåííî, Ð òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ AP äèàãîíàëè AC¢ ñ ïëîñêîñòüþ KLM. Íàéäèòå , åñëè AC¢ AM AK AL = J. = D, = E, AD AA¢ AB 467. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà òåòðàýäðà1 ðàâíîñèëüíû: à) åãî ãðàíè ðàâíûå îñòðîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè; á) ïåðèìåòðû âñåõ ãðàíåé ðàâíû; â) ñóììû ïëîñêèõ óãëîâ ïðè êàæäîé âåðøèíå ðàâíû 180°; ã) öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð ñîâïàäàþò; ä) îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð, ïåðïåíäèêóëÿðíû; å*) ïëîùàäè âñåõ ãðàíåé ðàâíû. Ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîé çàäà÷å òåòðàýäðû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè. 1
58
468. Äàíà ïëîñêîñòü è äâå òî÷êè À è  âíå åå. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Ì íà ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ îòðåçêè ÀÌ è ÂÌ ñîñòàâëÿþò ñ ïëîñêîñòüþ îäèíàêîâûå óãëû. 469°. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ëþáûå äâå èç íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ ïðîñòðàíñòâà ïåðåñåêàþòñÿ, òî ëèáî âñå ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ëèáî ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó. á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ëþáûå äâå èç íåñêîëüêèõ îêðóæíîñòåé â ïðîñòðàíñòâå èìåþò 2 îáùèå òî÷êè, òî îíè ëèáî ïðîõîäÿò ÷åðåç 2 ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, ëèáî ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ëèáî ëåæàò íà îäíîé ñôåðå. 470. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà òåòðàýäðà1 ýêâèâàëåíòíû: à) åãî âûñîòû ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå; á) ïðîòèâîïîëîæíûå ðåáðà ïåðïåíäèêóëÿðíû; â) ñóììû êâàäðàòîâ ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð ðàâíû; ã) îñíîâàíèåì îäíîé èç âûñîò ñëóæèò îðòîöåíòð ãðàíè, íà êîòîðóþ âûñîòà îïóùåíà; ä*) ìîãóò ëè âñå ãðàíè îðòîãîíàëüíîãî òåòðàýäðà áûòü òóïîóãîëüíûìè òðåóãîëüíèêàìè? 471. Ìåäèàíîé òåòðàýäðà íàçûâàåòñÿ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó ñ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè. Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíû òåòðàýäðà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ ýòîé òî÷êîé â îòíîøåíèè 1 : 3, ñ÷èòàÿ îò ãðàíè. 472°. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïðîåêöèè ìíîãîóãîëüíèêà íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü ðàâíà S cos D , ãäå S åãî ïëîùàäü, D óãîë, ïîä êîòîðûì íàêëîíåíà åãî ïëîñêîñòü ê ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. 473*. Êàê íóæíî ðàñïîëîæèòü â ïðîñòðàíñòâå ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ÷òîáû ïëîùàäü åãî ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü áûëà íàèáîëüøåé? 474*. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïðîåêöèè ïðîèçâîëüíîãî òåòðàýäðà íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü áóäåò ìàêñèìàëüíîé â îäíîì èç ñëåäóþùèõ 7 ïîëîæåíèé: èëè îäíà èç 4 ãðàíåé ãîðèçîíòàëüíà, èëè îäíà èç 3 ïàð ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð ãîðèçîíòàëüíà. Êàêîé ñëó÷àé èìååò ìåñòî äëÿ ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ñ ðåáðîì îñíîâàíèÿ à è áîêîâûì ðåáðîì b? 475. Îïðåäåëèòå ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû, îïèñàííîé îêîëî øàðà, åñëè ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ ðàâíà S. 476. Âíóòðè øàðà îòìå÷åíà òî÷êà. ×åðåç ýòó òî÷êó ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ïðîâîäÿòñÿ òðè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè, êîòîðûå ïåðåñåêàþò øàð ïî òðåì êðóãàì. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ïëîùàäåé ýòèõ òðåõ êðóãîâ äëÿ äàííîé òî÷êè ïîñòîÿííà. 59
477*. à) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ñóùåñòâîâàë øàð, êàñàþùèéñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà ABCD, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî óñëîâèå AB + CD = AC + BD = BC + AD. á) ×åì çàìåíÿòñÿ ýòî óñëîâèå, êîãäà øàð êàñàåòñÿ òðåõ ðåáåð îäíîé ãðàíè è ïðîäîëæåíèé òðåõ äðóãèõ ðåáåð? â) Äëÿ êàêèõ òåòðàýäðîâ ñóùåñòâóþò äâà øàðà òèïà á), ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì ðàâíûì ãðàíÿì? Äëÿ êàêèõ òåòðàýäðîâ ñóùåñòâóþò øàð à) è îäèí èç øàðîâ á)? ã) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò øàð à) è äâà øàðà á), òî òåòðàýäð ïðàâèëüíûé è ñóùåñòâóþò âñå ïÿòü øàðîâ: à) è ÷åòûðå øàðà á). 478. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé âûïóêëûé ÷åòûðåõãðàííûé óãîë ìîæíî ïåðåñå÷ü ïëîñêîñòüþ òàê, ÷òîáû â ñå÷åíèè ïîëó÷èëñÿ ïàðàëëåëîãðàìì. 479*. Ñêîëüêî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ñôåð, êàñàþùèõñÿ âñåõ ïëîñêîñòåé ãðàíåé òåòðàýäðà? Óêàæèòå âñå âîçìîæíîñòè. 480*. Íåñêîëüêî ãðàíåé âûïóêëîãî áåëîãî ìíîãîãðàííèêà ïîêðàøåíû â ÷åðíûé öâåò òàê, ÷òî íèêàêèå äâå ÷åðíûå ãðàíè íå èìåþò îáùåãî ðåáðà. Äîêàæèòå, ÷òî â ìíîãîãðàííèê íåëüçÿ âïèñàòü øàð, åñëè à) ñóììà ïëîùàäåé ÷åðíûõ ãðàíåé áîëüøå ñóììû ïëîùàäåé áåëûõ ãðàíåé; á) ÷åðíûõ ãðàíåé áîëüøå, ÷åì áåëûõ ãðàíåé.
60
ÎÒÂÅÒÛ. ÓÊÀÇÀÍÈß. ÐÅØÅÍÈß.
Ãëàâà 1. Àëãåáðàè÷åñêèå çàäà÷è 1. à) Åñëè N = a2 + b2 , òî 2N = 2a2 + 2b2 = 2
2
(
)
+ 2ab .
(
)
= a - b + a + b , N 2 = a 2 - b2
2
2
2
á) Åñëè N1 = a12 + b12 , N2 = a22 + b22 , òî N1N2 = a1a2 + b1b2 + 2
+ b1a2 - a1b2 .
2
2. Åñëè a ± b = n , òî 2 a3 ± b3 = a ± b a m b + a2 + b2 .
(
3. à) 3a4 + 1 = a2 - a
) + (a 2
2
+a
) + (a 2
2
)
2
-1 .
á) Áåñêîíå÷íî Ýòî ëåãêî ñëåäóåò èç ïóíêòà à): äëÿ ëþáîãî t åñòü ðåøåíèå âèäà x = t 2 - t , y = t 2 + t , z = t 2 - 1 . 4. Áåñêîíå÷íî. Óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ òàê:
x - y 2 + y - z 2 + z - x 2
=6,
îòêóäà âèäíî, ÷òî ëþáàÿ òðîéêà âèäà x = n, y = n 1, z = n 2 åìó óäîâëåòâîðÿåò. 5. à), á) Ìîæíî. Ïîñêîëüêó 32 + 42 = 52 , ñóììó 12032 + 2
2
2
+ 16042 = 3 × 401 + 4 × 401 = 5 × 401 2
ìîæíî çàìåíèòü íà
2
2005 , à ñóììó 3 × 402 + 4 × 402 íà 20102 . 1 6. . Åñëè a + b + c = 0, òî a2 + b2 + ñ2 = -2ab - 2ac - 2bc è 2 2 1 ab + ac + bc = - , à a2 + b2 + c2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2 2 1 2 + 2a2c2 + 2b2c2 , íî ab + ac + bc = , è òîãäà a2b2 + a2c2 + 4 1 + b2c2 + 2abc a + b + c = . 4 x y z 7. Ïóñòü = q, = p, = r . Òîãäà p + q + r = 1, b a c 1 1 1 2 + + = 0 , ò.å. pq + pr + qr = 0 è p + q + r = p2 + q2 + r 2 . p q r Ñëåäîâàòåëüíî, p2 + q2 + r 2 = 1 . 2
(
)
61
8. à), á) Äîêàæèòå, ÷òî îäíà èç ñóìì a + b, a + c, b + c ðàâíà íóëþ. 9. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî à = ñ è b = d, ëèáî a = d, b = c. 1 1 1 1 + + = + 10. 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz 1 + x + xy x xy + + = 1. x + xy + 1 xy + 1 + x y-z , 11. 1 èëè 1. Ïåðåìíîæèâ ðàâåíñòâà x - y = yz y-x z-x , x-z= , ïîëó÷èì x - y y - z x - z = y-z= xy xz y - z z - x y - x , îòêóäà x2 y2 z2 = 1 . = x 2 y2 z2 3
12. x 3 + y3 + z3 - 3xyz = x + y + z3 - 3xy x + y + z = 1 x + y + z x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz = x + y + z x - y 2 + 2 2 2 + x - z + y - z . 13. Åñëè a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd = 1 , òî
(
)
2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 + 2ab + 2cd = 2ad - 2bc , èëè a + b 2 + a - d 2 + b + c 2 + c + d 2 = 0 , îòêóäà a = b, a = d, b = c, c = d, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ad bc = 1. 14. Ðàçëîæèòå ëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè. 15. à) 20032 + 2003 + 1 . Ïóñòü 2003 = à. Ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ðàâíî 2
2
(
)
2
a2 + a2 a + 1 + a + 1 = a2 + a + 1 . á) 19962 - 5 . 16. 3 - 1 . 17. 2 + 3 + 5 . 18. ×èñëà ðàâíû. Âîçâåäèòå äàííûå ÷èñëà â êâàäðàò. 19. à) 2. Åñëè D 3 - D - 1 = 0 , òî D = D 3 - 1 , 3 3D2 - 4D = 3D2 - 3D - D = 3D 2 - 3D - D 3 + 1 = 1 - D , 3 3D2 + 4D + 2 = 3D2 + 3D + 1 + D + 1 = 1 + D . á) 2. Çàìåòèì, ÷òî D 4 = D2 + D è 2
2D2 + 3D + 2 = D + 1 + D2 + D + 1 = 2
(
)
= D + 1 + D 3 + D = D + 1 D + 1 + D 2 . 62
Ñëåäîâàòåëüíî,
(
) (
) )
(
)
D 4 D + 1 D2 + D + 1 = D 2 + D D + 1 D 2 + D + 1 = 2
(
2
(
)
4
= D + 1 D 3 + D2 + D = D + 1 D 2 + 2D + 1 = D + 1 . 20. ×èñëà ðàâíû. Åñëè D =
(
3
2 , òî
)
12 2 - 15 = 3 4D - 5 = D + 1 4D - 4 - 1 = 3
3
) ((D + 2) D - 1 - 1) = (D + 1)(D - D + 2D - 3) = = (D + 1)(D - 2D + 2D - 1) = (D + 1) D - 1 D + 1 = = D - 1 D + 1 (D - D + 1) = D - 1 (D - D + 1) (
3
3
= D +1 3
3
4
3
4
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
(èáî D + 1 D - 1 = D2 - D + 1 ).
Àíàëîãè÷íî, 2 3 3 4 - 3 = 2 D2 - D + 1 . Îêîí÷àòåëüíî,
123 2 - 15 + 2 3 3 4 - 3 = D - 1 D2 - D + 1 + 2 D2 - D + 1 =
(
)
= D + 1 D - D + 1 = D + 1 = 3 . 2
3
3
3
21. ×èñëà ðàâíû. Ïóñòü x = 2 + 5 + 2 - 5 . Òîãäà x 3 = 4 - 3x , ò.å. x 3 + 3x - 4 = 0 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü, ðàâíûé 1. Ïîýòîìó õ = 1. n 22. 0 ïðè n íå÷åòíîì è 9 ïðè n ÷åòíîì. Åñëè 5 + 26 =
= An + Bn 26 , ãäå An è Bn öåëûå ÷èñëà, òî
( (5 +
) + (5 - 26 ) 1 26 ) = (5 + 26 )
= An - Bn 26 è 5 + 26
(
)
n
n
n
n
n
( (5 -
= 2 An . Òàê êàê
0 , óðàâíåíèå èìååò 3 êîðíÿ D > E > J , ïðè÷åì 2 < D < 3 , 0 < E < 1 , -1 < J < 0 . Ïóñòü Sn = D n + En + J n . Ïî òåîðåìå Âèåòà D + E + J = 3 , DE + DJ + EJ = 0 , ïîýòîìó
(
)
2
S2 = D2 + E2 + J 2 = D + E + J - 2 DE + DJ + EJ = 9 . 63
Òàê êàê
D 3 = 3D2 - 1 , E3 = 3E2 - 1 , J 3 = 3J 2 - 1 , ïîëó÷àåì
(
(* )
)
S3 = D 3 + E3 + J 3 = 3 D2 + E2 + J 2 - 3 = 24 . Äîêàæåì, ÷òî Sn öåëîå ÷èñëî ïðè ëþáîì n Î N . Äëÿ ýòîãî, óìíîæèâ ðàâåíñòâà ( * )íà D n - 3 , En - 3 , J n - 3 ñîîòâåòñòâåííî è ñëîæèâ ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ Sn = 3Sn -1 - Sn - 3 , èç êîòîðîãî ïî èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî Sn öåëîå. n Òàê êàê E < 1 , J < 1 , òî ïðè áîëüøèõ n ÷èñëî D = Sn -
(
- En + J n
)
ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò Sn . Îöåíèì ñóììó E2000 + J 2000 .
2 æ 2ö æ 3ö Èç íåðàâåíñòâ f ç ÷ < 0 , f ç - ÷ < 0 ñëåäóåò, ÷òî 0 < E < , è 3ø è 5ø 3 2000 3 2 2 æ ö J < < , òàê ÷òî E2000 + J 2000 < 2 ç ÷ . è 3ø 5 3 3 12 4 1 1 16 1 æ 1 ö æ 2ö æ 2ö < ,ç ÷ < è, òåì ñàìûì, ç ÷ < 2 . Äàëåå, ç ÷ = è 3ø è 3ø 100 81 5 è 5 ø 10 500
2000
163
1 É2Ù É 1 Ù 3 É 1 Ù Íî òîãäà 2 Ê Ú 2Ê 2 Ú 2 Ê 2 Ú 325 . Òàê ÷òî ïåð10 Ë3Û Ë 10 Û Ë 10 Û âûå 300 çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé ðàâíû 9. 24. D > 5 13 . Ïóñòü f x = x 3 - x - 3 . Ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå f x = 0 èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü D , ïðè÷åì 1 < D < 2 . Ïîñòàðàåìñÿ ïîòî÷íåå îöåíèòü ÷èñëî D . Òàê êàê 5 1 æ 5ö 5 < 0 , òî D > . Ðàññìîòðèì ÷èñëî D . Ïîñêîëüêó fç ÷ =è 3ø 3 27 D3 = D + 3 è D5 = D 3 + 3D2 , òî D5 = 3D2 + D + 3 . Íî 2
3 æ 3ö 3D2 + D + 3 > 3 ç ÷ + + 3 = 13 . Èòàê, D > 5 13 . è 5ø 5 25. Ïðè m = n = 0. Åñëè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî èç óñëîâèÿ,
(
)
m
(
)
(
3- 2
n
òî 3 - 5 2 = 5 - 3 2 . Îäíàêî 3 - 5 2 > 1 , à 5 - 3 2 < 1 . 26. Íåò. Âîñïîëüçóéòåñü óêàçàíèåì ê ïðåäûäóùåé çàäà÷å è òåì, ÷òî 5 - 4 2 < 0 . 27. Åñëè
)
1967
= a 3 - b 2 , òî
(
3+ 2 2
)
1967
2
= a 3 + b 2 . Ïåðåìíîæèâ ðàâåíñòâà, èìååì 1 = 3a - 2b . 64
=
(1 + 2 )
28. Åñëè
an2
-
n
= an + bn 2 , òî
n
= -1 . Íî òîãäà
2bn2
(
)
n
(
)
2 -1
n
=
(1 - 2 )
2bn2
n
= an - bn 2 è
+ 1 - 2bn2 ïðè ÷åò-
2 - 1 = 2bn2 - 2bn2 - 1 ïðè íå÷åòíîì n. íîì n è 29. Ïóñòü à êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ, ò.å. a3 - 3a + 1 = 0 . Äîêàæåì, ÷òî x = a2 - 2 òîæå åãî êîðåíü. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì
(
)
x 3 - 3x + 1 = a2 - 2 3
3
(
)
- 3 a2 - 2 + 1 = a6 - 6a4 + 9a2 - 1 . ( * ) 6
2
Ïîñêîëüêó a = 3a - 1 , òî a = 9a - 6a + 1 , a4 = 3a2 - a . Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíèå äâà âûðàæåíèÿ â ( * ), ïîëó÷àåì, ÷òî x 3 - 3x + 1 = 0 . Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ðàâåíñòâî a2 - 2 = a íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ëèáî a2 - 2 = b , ëèáî a2 - 2 = c . Äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ óáåäèòåñü, ÷òî ðàâåíñòâî a2 - 2 = c íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó a2 - 2 = b , b2 - 2 = c , c2 - 2 = a . 9091 30. à), á) . á) Ïðåîáðàçóåì ÷èñëèòåëü: 9901 102k +1 - 1 4 101011 10 + 100 + 1 = K 10101 = 102k + 8 + 102k + 6 + { 9 2k +1 =
9 × 102k + 8 + 9 × 102k + 6 + 102k + 5 - 104 + 900 + 9 = 9
102k + 5 × 9091 - 9091 = 9091 × 11 K1 . { 9 2k + 5 Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåòñÿ çíàìåíàòåëü. 3 n n n n 31. 18n. 10 - 1 = 103 - 3 × 102 + 3 × 10 - 1 = =
(
)
= 99 K 9 7 00 K 0 2 99 K9 . 123 123 123 n -1
n -1
n
32. à) 2802; á) 45n × 10n -1 + 1 . Ïîäñ÷èòàåì ñóììó öèôð K 9 . Äëÿ ýòîãî âûïèøåì ìíîæåñòâà âñåõ öåëûõ ÷èñåë îò 0 äî 99 123 n öèôð
èõ âñå ïîäðÿä ïî ïîðÿäêó è ðàññìîòðèì ïàðû ÷èñåë, ðàâíîîòñòîÿùèõ îò íà÷àëà è êîíöà çàïèñè: (0; 99 K 9) ïåðâàÿ ïàðà, 123 n öèôð
(1; 99 K 9 8) âòîðàÿ,
, (4 99 K 9 ; 5 00 K 0 ) ïîñëåäíÿÿ ïàðà. 123 123 123 n öèôð
n -1 öèôð
n -1 öèôð
Ñóììà öèôð ÷èñåë êàæäîé ïàðû â ëþáîì ðàçðÿäå îäíà è òà æå îíà ðàâíà 9, ðàçðÿäîâ âñåãî n, òàê ÷òî ñóììà öèôð ÷èñåë îäíîé ïàðû ðàâíà 9n, à êîëè÷åñòâî ïàð ðàâíî ïîëîâèíå êîëè÷åñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ÷èñåë, ò.å. 5 × 10n-1 . 65
Òàêèì îáðàçîì, ñóììà öèôð âñåõ öåëûõ ÷èñåë îò 0 äî 99 K9 123 ðàâíà 45n × 10n -1 . Òåïåðü ëåãêî ðåøèòü îáå ÷àñòè çàäà÷è.
n öèôð
33. à) 22003 - 1 öèôðà; á) 9 × 22002 . Óìíîæèì ÷èñëî K 9 , n ³ k . Èìååì A = a1 K ak , ãäå a1,K , ak ¹ 0 öèôðû, íà 99 123
(
n öèôð
)
n
n
K 0 - a1 K ak . B = A 10 - 1 = A × 10 - A = a1 K ak 00 123 n
Âûïîëíÿÿ âû÷èòàíèå «ñòîëáèêîì», ïîëó÷èì
(
)
K 9 9 - a1 9 - a2 (10 - ak ) . B = A 10n - 1 = a1 K ( ak - 1) 99 123 n -k
Ýòî ÷èñëî n + k -çíà÷íî, à ñóììà öèôð åãî ðàâíà 9n. Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíî
1 + 2 + 22 + K + 22002 = 22003 - 1 , à ñóììà öèôð ðàâíà 9 × 22002 . 34. à) Íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê ÷èñëî 1994 ïðè äåëåíèè íà 9 äàåò îñòàòîê 5. á) Ñóùåñòâóåò. Äëÿ ÷èñëà âèäà n = 9k + 4 ñóììà öèôð ÷èñëà
(10
k
)
2
- 3 â òî÷íîñòè ðàâíà n. Âûáîð òàêîãî ÷èñëà îáóñëîâëåí ñðàâíèòåëüíîé ïðîñòîòîé âû÷èñëåíèÿ ñóììû öèôð:
(10
k
)
-3
2
= 102k - 6 × 10k + 9 = 99 K 9 4 00 K0 9 . 123 123 k -1
k -1
ßñíî, ÷òî ñóììà öèôð ðàâíà 9k + 4. Äëÿ n = 1993 ÷èñëî k = 221. 35. 27. Ïóñòü ðàññûïàííîå ÷èñëî ðàâíî a6 . Ïîñêîëüêó ñóììà öèôð ÷èñëà a6 , ðàâíàÿ 45, äåëèòñÿ íà 9, òî è ñàìî ÷èñëî a6 äåëèòñÿ íà 9. Çíà÷èò, ÷èñëî à äåëèòñÿ íà 3. Òàê êàê a6 äåâÿòèçíà÷íîå ÷èñëî, à 26 = 64 , ïîëó÷àåì:
( )
206 = 64000000 < a6 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, 326 = 230 = 210 3
3
9
6
6
6
6
6
3
= 6
= 1024 > 1000 = 10 > a . Èòàê, 20 < a < 32 , íî a ¹ 30 , òàê êàê â ÷èñëå 306 øåñòü íóëåé, à ó íàñ âñåãî îäèí íóëü. Îñòàëèñü òðè êàíäèäàòà: à = 21; à = 24; à = 27. Íî ÷èñëî 217 îêàí÷èâàåòñÿ íà 1, à òàêîé öèôðû ó íàñ íåò. ×èñëî 246 , êàê ëåãêî ïîíÿòü, âîçâîäÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ÷èñëî 4 â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü, îêàí÷èâàåòñÿ íà 6, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå íåâîçìîæíî. Îñòàåòñÿ ëèøü ÷èñëî 27. 66
Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó â óñëîâèè ñêàçàíî, ÷òî ðàññûïàíà øåñòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà, íåò íåîáõîäèìîñòè ïðîâåðèòü öèôðîâîé ñîñòàâ ÷èñëà 276 . 36. à) Ïîñêîëüêó 53 + 96 = 83 + 66 = 109 + 40 = 149, äàííîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 149. á) 16016003 + 1 = 40022 . â) Ïóñòü à = 20. Äàííîå ÷èñëî ðàâíî
(
) ((a + 1)(a - a) + 1) . + (5 ) - 2 × 2 × 5 =
a7 + a2 + 1 = a2 + a + 1
( )
ã) 210 + 512 = 2 5
(
= 25 + 56
) - (2 2
3
2
× 53
+ 2 × 25 × 56
)
2
3
6 2
2
5
6
.
5125 - 1 = x 4 + x 3 + x2 + x + 1 = 525 - 1 2 2 = x 2 + 3x + 1 - 5x x + 1 . Ïðè x = 525 ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ä)
(
Åñëè
x = 525 ,
òî
)
ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ äâóõ êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 37. Äåëèòñÿ. Åñëè x = 250 , òî
2202 + 1 = 4 x 4 + 1 = 4x 4 + 4x 2 + 1 - 4x 2 =
(
)(
)
= 2x 2 + 2x + 1 2x 2 - 2x + 1 , íî 2x2 + 2x + 1 = 2101 + 251 + 1 .
1 38. à) Íåëüçÿ.  ñóììó áóäåò âõîäèòü ÷èñëî ± . Åñëè ñóììà 8 p 1 r p ± = , ãäå S äåëèòñÿ íà 8, r âñåõ îñòàëüíûõ ÷èñåë , òî q 8 s q íå÷åòíî (÷èñëî q ñîäåðæèò äâîéêó íå áîëåå ÷åì âî âòîðîé ñòåïåíè). á) Ñëåäóåò âûêèíóòü âñå äðîáè, çíàìåíàòåëè êîòîðûõ äåëÿòñÿ íà 5, 7, 8, 9, 11, ò.å. 6 ÷èñåë. Äëÿ îñòàâøèõñÿ ÷èñåë òðåáóåìàÿ 1 1 1 1 1 =0. ðàññòàíîâêà çíàêîâ âîçìîæíà: 1 - - - + 2 3 4 6 12 39. à) 0; á) ð q; â) 0. 40. à) Ìîæíî. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ak } , ãäå k ak = , à k = 1, 2,
, 2000, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. 2000! Äåéñòâèòåëüíî, 1 k +1 k = = const . d = ak +1 - ak = 2000! 2000! 2000! á) Íåò. 67
 àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè an +1 - an = d ïîñòîÿííàÿ 1 âåëè÷èíà. Íî â áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà ðàçnk 1 1 íîñòü ñîñåäíèõ ÷ëåíîâ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. n nk nk +1 æ Sö 2 41. ç ÷ . èTø 10n +1 - 9n - 10 . 42. à) 81 1 n 2 1 + 11 + K + 111 1 42K 4 31 = 9 10 - 1 + 10 - 1 + K + 10 - 1 . n
(
á)
nx n + 2 - n + 1 x n +1 + x
x - 1 2
)
. Ïóñòü Sn x èñêîìàÿ ñóììà.
Âû÷èñëèòå ðàçíîñòü xSn x - Sn x .
1 1 1 1 1ö æ1 1 +K= 1+ +K+ - 2ç + +K + ÷ = è2 4 2 2n 2 2n 2n ø 1 1 1 = + +K+ . 2n n +1 n + 2 1 2n + 2 k + 1 2 . 44. . Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî 1 + = k k + 2 k k + 2 n+2 20 21 2k 2 1 2 1 K 2 1 1 1 45. 101 . k 2 4 22 22 43. 1 -
2
20
0
1
k
1 22 1 22 1 K 22 1 2k 2
2 46. 1. Èñõîäíîå âûðàæåíèå ðàâíî 1 1 1 1 1 x 2 x
k 1
22
1
1
2k 2
2k 1
2
1 x 1 2x 2x
2
1,
ãäå õ äðîáü â çíàìåíàòåëå âòîðîãî ñëàãàåìîãî. sin nx sin n 1 x 47. à) . Ïóñòü x sin 2 Sn x = sin x + sin 2x + K + sin nx . Òîãäà
sin 68
2x x x x x + K + sin sin nx = Sn x = sin sin x + sin sin 2 2 2 2 2
1 2k 2
2
.
=
1É 3x 3x 5x x xÙ É cos cos cos cos K cos Ê nx Ú 2 ÊË 2 2 2 2 2Û Ë
x ÙÙ É cos Ê nx Ú Ú 2 ÛÛ Ë
2n 1 x Ù 1É x cos cos Ú 2 ÊË 2 2 Û
sin nx º sin n 1 x .
sin n 1 x cos nx . Ïóñòü Cn x èñêîìàÿ ñóììà. Ïðåîáx sin 2 x ðàçóéòå sin Cn x , êàê â ïóíêòå à). 2 á)
â)
sin nx . sin x cos x cos n + 1 x 1 1 = ( tg k + 1 x - tg kx ) . cos kx cos k + 1 x sin x
2n - 2 = m , òî n n m 22 -1 - 2 2 a - 1 = = 2 am -1 + am - 2 + K + 1 . a -1 2n - 1
48. Åñëè a = 2n è
(
)
(
)
49. à) Ýòî ïðîãðåññèÿ 1, 25, 49. á) Âîçüìåì ïðîãðåññèþ 1, 25, 49, 73 è óìíîæèì âñå åå ÷ëåíû íà 732 . Ïîëó÷àåòñÿ ïðîãðåññèÿ 2
2
3
732, 5 × 73 , 7 × 73 , 73 , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ. â) Åñëè óæå ïîñòðîåíà n-÷ëåííàÿ ïðîãðåññèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç ñòåïåíåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a1, a2,K , an , âîçüìåì ñëåäóþùèé ÷ëåí ýòîé ïðîãðåññèè an +1 è óìíîæèì âñå ÷ëåíû ýòîé n + 1 -÷ëåííîé ïðîãðåññèè íà ank+1 , ãäå k íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå âñåõ ñòåïåíåé, âñòðå÷àþùèõñÿ â ÷èñëàõ a1, a2,K , an . Ïîëó÷àåòñÿ n + 1 -÷ëåííàÿ ïðîãðåññèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç ñòåïåíåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ã) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïðîãðåññèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç ñòåïåíåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: a1, a2,K , an K . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî an ³ n2 . Ðàññìîòðèì ñóììó îáðàòíûõ âåëè÷èí ÷ëå1 1 +K+ íîâ ýòîé ïðîãðåññèè Sn = . ßñíî, ÷òî a1 an Sn £ 1 +
1 1 1 1 +K + 2 < 1+ +K + = 2 1 2 × n 2 n 1 n = 1+1-
1 1 1 1 1 1 + - +K+ - = 2- < 2. n -1 n n 2 2 3 69
Èòàê, ñóììà Sn îãðàíè÷åíà. Îäíàêî äëÿ ëþáîé ïðîãðåññèè 1 1 1 an = a + dn (a > 0, d > 0). Ñóììà a + a + K + a ñòàíîâèòñÿ n 1 2 ñêîëü óãîäíî áîëüøîé ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n.  ñàìîì äåëå, 1 c 1 ³ , ãäå c = > 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, an £ a + d n , ò.å. an n a+d
1 1 1 1 1ö æ + +K+ ³ c ç1 + + K + ÷ . è 2 a1 a2 an nø 1 1 k Èç çàäà÷è 71, â) ñëåäóåò, ÷òî ñóììà 1 + + K + k > , ò.å. ïðè 2 2 2 äîñòàòî÷íî áîëüøîì k îíà áîëüøå ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî ÷èñëà. 50. Ìîæåò. Åñëè Sm,n ñóììà íå÷åòíûõ ÷èñåë îò m äî n, òî n - m + 2 m + n Sm,n = . Ìîæíî ïîäîáðàòü m è n òàê, ÷òîáû 4 âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà n m + 2 = 2 × 1993, m + n = 2 × 19931992 . 51. à) Ìîæíî; á) ìîæíî; â) íåëüçÿ. 2
2
2
Çàìåòèì, ÷òî a2 - a + 1 - a + 2 + a + 3 = 4 ïðè ëþáîì à. Ïîýòîìó ñóììà a2 - a + 1 2 - a + 2 2 + a + 3 2 - a + 4 2 + 2
2
2
+ a + 5 + a + 6 - a + 7 = 0 . Èòàê, ðàññòàâëÿÿ çíàêè ìåæäó ëþáûìè âîñåìüþ ïîñëåäîâàòåëüíûìè êâàäðàòàìè òàêèì îáðàçîì: + + + + , ìû ïîëó÷èì íóëåâóþ ñóììó. Îñòàëîñü ðàçáèòü íà âîñüìåðêè ÷èñëà îò 0 äî 19992 äëÿ ïóíêòà à) è ÷èñëà 12,22,K ,20002 äëÿ ïóíêòà á). â) Òàê êàê ñóììà 12 + 22 + K + 20002 íå÷åòíà, òî ïðè ëþáîé ðàññòàíîâêå çíàêîâ ñóììà ±12 ± 22 ± L ± 20012 áóäåò íå÷åòíîé. 52. à) Ìîæíî; á) ìîæíî; â) íåëüçÿ. à), á) Óáåäèòåñü â òîì, ÷òî ðàññòàíîâêà çíàêîâ + + + + + + + + ïåðåä êóáàìè ëþáûõ 16 ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë äàåò íóëåâóþ ñóììó.  ñëó÷àå à) ðàçáèâàåì ÷èñëà 03,13,23,K ,19993 íà ãðóïïû ïî 16 ïîñëåäîâàòåëüíûõ êóáîâ, â ñëó÷àå á) íà÷èíàÿ ñ 1. â) Ñóììà êóáîâ 13 + 23 + K + 20013 íå÷åòíà. Ïîýòîìó íå÷åòíà è ëþáàÿ ñóììà âèäà ±13 ± 23 ± K ± 20013 . 53. 3994. Ïîñëå çàìåíû t = x2 + 2x ïîëó÷àåì óðàâíåíèå t 2 - 1993t + 1995 = 0 . Ïóñòü t1 è t2 êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Âèåòà, ïîäñ÷èòàéòå ñóììû êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèé x2 + 2x = t1 è x2 + 2x = t2 . 70
é 1+ 5 1+ 5ù ; 54. ê ú. 2 2 û ë 55. Åñëè óðàâíåíèå x2 + px + q = 0 èìååò íå öåëûé êîðåíü D , òî D èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Îáùèé æå êîðåíü óðàâíåíèé q - q1 èç óñëîâèÿ çàäà÷è ïðè p1 ¹ p2 è q1 ¹ q2 ðàâåí D = 2 , ò.å. p1 - p2 ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì. 56. Ïóñòü D êîðåíü óðàâíåíèÿ f ( x ) = x2 + px + q = 0 , à E êîðåíü óðàâíåíèÿ g ( x ) = x2 - px - q = 0 , òîãäà à
+ 2E
- 2 p E - 2q = -E
D2 - 2 pD - 2q = 3D2 - 2D2 + 2 pD + 2q = 3D 2 , E2 - 2 p E - 2q = -E2
2
2
.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x2 - 2 px - 2q ïðèíèìàåò íà êîíöàõ îòðåçêà [D; E] çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, ò.å. èìååò
êîðåíü íà èíòåðâàëå (D; E) . 57. Åñëè a ¹ b , òî îáùèé êîðåíü äàííûõ óðàâíåíèé ðàâåí ñ. 58. Óñëîâèå, ÷òî êîðíè òðåõ÷ëåíîâ f1 ( x ) = x 2 + p1x + q1 è f2 ( x ) = x2 + p2 x + q2 âåùåñòâåííû è ïåðåìåæàþòñÿ, ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ãðàôèêè y = f1 ( x ) è y = f2 ( x ) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå
(x0, y0 ) , ëåæàùåé íèæå îñè àáñöèññ: q - q1 f1 ( x ) = f2 ( x ) , íàõîäèì x0 = 2 p2 - p1 2 R = (q1 - q2 ) + ( p1 - p2 )( p1q2 - p2q1 ) .
y0 < 0 . Ðåøàÿ óðàâíåíèå 2
è y0 = R ( p1 - p2 ) , ãäå
Çàìå÷àíèå. ×èñëî R íàçûâàåòñÿ ðåçóëüòàíòîì ìíîãî÷ëåíîâ f1 è f2 . Ðàâåíñòâî R = 0 ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî f1 ( x ) è f2 ( x ) èìåþò îáùèé êîðåíü. 59. Åñëè óðàâíåíèå f ( x ) = x íå èìååò êîðíåé, òî ëèáî f ( x ) > x ïðè âñåõ õ, ëèáî f ( x ) < x ïðè âñåõ õ. Íî òîãäà ëèáî f f ( x ) > f ( x ) > x , ëèáî f f ( x ) < f ( x ) < x ïðè âñåõ õ. Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è âåðíî íå òîëüêî äëÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà y = f ( x ) , íî è äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. 60. Åñëè ñóùåñòâóåò õ, ïðè êîòîðîì f ( x ) £ 0 , òî êîðíè x1 è x2 óðàâíåíèÿ f ( x ) = 0 ñóùåñòâóþò è ðàñïîëîæåíû íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (m, m + 1) , ãäå m öåëîå ÷èñëî, òàê ÷òî x1 - x2 < 1 , p è m < - < m + 1 . Ïîýòîìó ð íå÷åòíî è D > 0. Íî ïî òåîðåìå 2 2 Âèåòà D = p2 - 4q = ( x1 - x2 ) < 1 , ÷òî íåâîçìîæíî. 71
61. à = 5. Ïóñòü 0 < x1 < 1 , 0 < x2 < 1 êîðíè ìíîãî÷ëåíà Òîãäà è f ( x ) = a (x - x1 )( x - x2 ) f ( x ) = ax2 + bx + c . 1 2 2 1 £ f (0) f (1) = a x1 (1 - x1 ) x2 (1 - x2 ) < . Íî òîãäà a > 16 , ò.å. 16 a ³ 5 . Ïðè à = 5 òðåõ÷ëåí 5x 2 - 5x + 1 èìååò 2 êîðíÿ íà èíòåðâàëå (0; 1) . p r 62. Ïóñòü íåñîêðàòèìûå äðîáè è - ( p, q, r, s íàòóq s ðàëüíûå) êîðíè òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c . Òîãäà ax2 + bx + c =
= (qx + p) ( sx + r ) (äîêàæèòå!) è abc = (10q + p) (10 s + r ) , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðîñòîòå ÷èñëà abc . 63. Íåò, òàê êàê D = b2 - 4ac ïðè íå÷åòíûõ à, b è ñ íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà (D ïðè äåëåíèè íà 8 äàåò â îñòàòêå 5). 64. Ïóñòü f ( x ) = ax 2 + bx + c , g ( x ) = cx 2 + bx + a . Òàê êàê f (1) = g (1) è f ( -1) = g ( -1) , òî g (1) £ 1 , g ( -1) £ 1 è, êðîìå òîãî, c = f (0 ) £ 1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x Î [ -1;1] , äëÿ êîòîðîé g ( x ) > 2 . Òîãäà âåðøèíà ïàðàáîëû y = g ( x ) òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (x0; g ( x0 )) , ïðè÷åì x0 £ 1 è g (x0 ) > 2 . Âûäåëÿÿ ïîëíûé êâàäðàò, ïîëó÷èì g ( x ) = 2 = c ( x - x0 ) + g ( x0 ) . Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî áëèæàéøåå ê x0 èç ÷èñåë 1 è 1 (ìîæíî ñ÷èòàòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî ýòî
1). Òîãäà
1 - x0 £ 1 è ïîýòîìó
2
g (x0 ) = g (1) - c (1 - x0 ) £
£ g (1) + c £ 2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó g (x0 ) > 2 . Ïðè-
ìåð òðåõ÷ëåíà f ( x ) = 2x2 - 1 ïîêàçûâàåò, ÷òî îöåíêó g ( x ) £ 2 óëó÷øèòü íåëüçÿ (â ýòîì ñëó÷àå g ( x ) = - x 2 + 2 ). 65. Âñå òàêèå îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó (0; 1) . Âîçìîæíû 3 ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïàðàáîëû (ðèñ.34). Âî âñåõ
Ðèñ. 34 72
ñëó÷àÿõ OA × OB = OC × OP , îòêóäà x1x2 = q × OP , à òàê êàê ïî òåîðåìå Âèåòà x1x2 = q , ïîëó÷àåì ð = 1. 66. à) Âòîðîå ÷èñëî. Îáîçíà÷èì ïåðâîå ÷èñëî ÷åðåç À, à âòîðîå ÷åðåç Â. Ïóñòü à = 1998. Òîãäà
A a2 - a = 2 < 1. B a + 2a + 1
(a + 1)a -1 × (a - 1)a +1 =
á) Âòîðîå ÷èñëî. Åñëè à = 1992, òî
=
a a -1 2 a - 1 < a 2a . a +1
67. Âòîðîå. Ïóñòü x =
1 5+
1 2+ 3+x æ 3ö 68. à) Âòîðîå, èáî ç ÷ è 5ø
100
1
6+ 1 O 1995
ßñíî, ÷òî y > x. Íî òîãäà
1
, y=
0, b > 0, a ¹ b . 2 2 71. à) Ïóñòü n = 1992. Ðàçîáüåì äàííóþ ñóììó íà 3 ãðóïïû ïî n ñëàãàåìûõ: Sn =
1 1 1 1 1 1 +K + += +K + + +K + . 1 2 2 1 3 3 1 4 + + + n n n 42444 n 144 n 42444 n 144 2443 144 3 3
Ïîñêîëüêó
1 1 1 n < +K+ < , 2 n +1 2n n + 1 73
1 1 1 n < +K+ < , 3 2n + 1 3n 2n + 1 1 1 1 n < +K+ < , 4 3n + 1 4n 3n + 1 ïîëó÷àåì
1 1 1 1 1 n n n + + < Sn < + + < 1+ + , n + 1 2n + 1 3n + 1 2 3 4 2 3 13 11 ò.å. . < Sn < 12 6 1 1 1 1 1 1 1 + +K+ > + +K+ = , á) 2n 144 2n 24 23 n +1 n + 2 n2444 n 2 n ðàç
1 1 1 1 1 1 n + +K+ < + +K+ = < 1. 2n 14444 1 n +1 n + 2 n +1 n4 n+ + 24444 4 31 n + 1 n ðàç
1 1 1 + +K+ k 2k -1 + 1 2k -1 + 2 2 ïî 2k ñëàãàåìûõ è âîñïîëüçóéòåñü ïóíêòîì á). 72. Ïåðâîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèòå ðàçíîñòü äàííûõ ÷èñåë. 1 3 99 . Òîãäà 73. à) Ïóñòü x = × × K × 2 4 100 â) Ðàçáåéòå ñóììó íà ãðóïïû âèäà
12 32 - 1 992 - 1 12 992 2 . × × × < < × × x K K 22 42 1002 22 - 1 1002 - 1 Ïîñëå óïðîùåíèé ïîëó÷àåì
1 1 < x2 < . 200 101 á) Âîñïîëüçóéòåñü èíäóêöèåé. Ïðè ïåðåõîäå îò n ê n + 1 íóæíî äîêàçàòü íåðàâåíñòâî
2n + 1 < 2n + 2
3n + 1 , 3n + 4
ñòàíîâÿùååñÿ î÷åâèäíûì ïîñëå âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò è íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. 1 74. Ìåíüøå. Ïóñòü D = 5 . Äàííîå ÷èñëî ðàâíî 10 1 - Dö 1+ D 1- D 2 (1 - D ) × (1 + D ) = çèæ ÷ × 1- D < 1. 1 + Dø
74
m 2n2 - m2 2n2 - m2 n 2 -m 75. Åñëè 2 > , òî = > ³ n n 2 2n2 n n 2 +m 1 ³ . 2 2n2 2 76. à) Çàìåíèòå 3 íà 6. á) a2 + a < ( a + 1) .
â) Îáîçíà÷èì
2 + 2 +K + 2 = a 144424443
(a < 2). Èìååì
n -1
2- 2+a 1 1 = > . 2-a 2+ 2+a 4 77. Ñóììà ÷åòâåðòûõ ñòåïåíåé íå ìåíüøå ñóììû êóáîâ. Ïóñòü x > 0. Ñðàâíèì ðàçíîñòü x 4 - x 3 ñ ðàçíîñòüþ x 2 - x :
x 4 - x 3 - x2 - x = x2 x2 - x - x2 - x = x2 - x x2 - 1 = 2
= x ( x + 1) ( x - 1) ³ 0 .
Îñòàëîñü çàïèñàòü íåðàâåíñòâà xi2 - xi3 ³ xi2 - xi äëÿ êàæäîãî i = = 1, 2,
, n è ïî÷ëåííî ñëîæèòü èõ. 78. Ïóñòü a < b < c. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k k
k
æ aö æ bö çè ÷ø + çè ÷ø < 1 c c è òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè ak, bk, ck íåò. 79. ßñíî, ÷òî qk ³ k2 ïðè k =1, 2,
, n. Ïîýòîìó
æ 1ö æ 1ö æ 1ö æ 1ö 1 n+2 çè1 - q ÷ø K çè1 - q ÷ø ³ çè1 - 22 ÷ø K çè 1 - n2 ÷ø = 2n + 2 > 2 (ñì. çàäà÷ó n 1 44). 1 a +1-b < a (1 - b ) < 80. a > b, òàê êàê . 2 2 81. Ñëîæèòå íåðàâåíñòâà a > k + nb/a è b > n + ka/b è âîñïîëüçóéòåñü íåðàâåíñòâîì ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãåîìåòðè÷åñêèì. 82. 3 - 2 2; 3 + 2 2 . Åñëè b ³ a , òî m ( a - 1) ³ a2 + a , ò.å. a2 - (m - 1) a + m £ 0 , îòêóäà m2 - 6m + 1 ³ 0 . 83. a + c > b. Ðàññìîòðèòå òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b è óãëîì arccos1 4 ìåæäó íèìè. 1 84. 10 ïðè x = y = z = . Äàííàÿ ñóììà ýòî äëèíà 3 ëîìàíîé ëèíèè, ïîìåùåííîé íà ðèñ.35 (À = 1, ÂÑ = 3).
75
Ðèñ. 35
Ìèíèìóì ñóììû äîñòèãàåòñÿ, êîãäà x = y = z, à ëîìàíàÿ ïðè ýòîì ñîâïàäàåò ñ îòðåçêîì ÀÑ. 85. 9 è 1. Òî÷êà (a; b) ëåæèò íà îêðóæíîñòè x2 + y2 = 1 , à òî÷êà (u; v) íà îêðóæíîñòè x2 + y2 = 4 . 86. 41 . Äàííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà ñóììå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè M ( x; 0) äî òî÷åê A (3; 2) è B (7; 3) ñîîòâåòñòâåííî. Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè A¢ (3; - 2) äî òî÷êè Â. 87. Îäíî. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, x < y < z. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ V2 = xy + xz + yz , V1 = x + y + z , V3 = xyz . ×èñëà õ, ó è z êîðíè ìíîãî÷ëåíà
P (t ) = (t - x ) (t - y ) (t - z ) = t 3 - V1t2 + V2t - V3 .
Ïî óñëîâèþ V3 > 1 , ïîýòîìó z > 1 è V1 > 1 . Ìíîãî÷ëåí P (t ) ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè x < t < y è t < z. Ïðè ýòîì åñëè P (1) < 0 , òî y < 1, åñëè æå P (1) > 0 , òî x < 1 < y. Äàëåå,
P (1) = 1 - V1 + V2 - V3 > 1 - V1 + V1V 3 - V 3 = 1 - V 1 1 - V 3 > 0 . Ïîýòîìó 0 < x < 1, 1 < y < z. 1 . 88. 2 ïðè x = 2 , y = 1 2 n 1 2 89. Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå s ðàâíî è äîñòèãàåòñÿ ïðè k æ 1 - ö xk = 2 n ç1 - 2 n ÷ . Ïóñòü y0 = 1 , yk = 1 + x1 + K + xk ( 1 £ k £ n ). è ø Òîãäà yn = 2 , xk = yk - yk -1 è åñëè âñå äàííûå ÷èñëà íå ïðåâîñy x y õîäÿò s, ò.å. k = 1 - k -1 £ s , òî 1 - s £ k -1 . Ïåðåìíîæèâ ýòè yk yk yk 1 y n íåðàâåíñòâà (k = 1, 2,
, n), ïîëó÷èì (1 - s ) £ 0 = . Ïîýòîìó yn 2 1 1 y s ³ 1 - 2 n . Ýòî çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ, êîãäà 1 - s = 2 n = k -1 yk 1 2 äëÿ âñåõ k, ò.å. ïðè y1 = 2 n , y2 = 2 n ,
, yn = 2 . 76
1 1 + 2 + 3 1 - 2 . Âûïîëíèòå çàìåíó x = t - , ãäå t t > 0. (Ôóíêöèÿ y = f (t ) âîçðàñòàåò ïðè t > 0 è ïðèíèìàåò âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.) 90. à)
á)
3
2 1± 2 2 -1 2 . x 4 - 4 x - 1 = x2 + 1 - 2 ( x + 1) . 2
2 -1 ± 4 2 - 1 2 . x 4 + 8 x - 7 = x 2 + 1 - 2 ( x - 2) . 2 1 3 ã) - 3 . Ïåðåïèøèòå óðàâíåíèå òàê: ( x + 1) = -2x 3 . 2 +1
â)
ä)
3
3 . Îáîçíà÷èâ y = 2x 3 + x - 3 , ïîëó÷àåì ñèñòåìó 2 ìï x = 2y 3 + y - 3, í 3 ïî y = 2x + x - 3. 2
å) 1. Óáåäèòåñü â òîì, ÷òî nx n +1 - (n + 1) x n + 1 = ( x - 1) × Q ( x ) , ãäå Q ( x ) ìíîãî÷ëåí ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. æ) 1. ßñíî, ÷òî x > 0. Çàìåòèì, ÷òî x2k + 1 ³ 2xk , à â ñèëó íåðàâåíñòâà ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãåîìåòðè÷åñêèì 1 + x 2 + K + x 2k - 2 ³ kxk -1 . Ïåðåìíîæèâ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà, âèäèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íå ìåíüøå ïðàâîé. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ ðàâåíñòâà â âûïèñàííûõ íåðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåì, ÷òî õ = 1. 91. à) Ïðè à < 3 ðåøåíèé íåò, 1 ïðè à = 3, -1 ± a + 3 ïðè 3 < a < 1; 1, -1 ± 2 ïðè à = 1; -1 ± a + 3 , 1 ± a + 1 ïðè a > 1. Ðàññìîòðèòå óðàâíåíèå êàê êâàäðàòíîå îòíîñèòåëüíî à, âûðàçèòå à ÷åðåç õ, à çàòåì ðåøèòå ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ.
-a - 1 ± a2 + 2a - 3 ïðè a < 3 è a > 1; 1, 0 ïðè 2 à = 1, 4; 1 ïðè à = 3; 1 à ïðè 3 1 , òî ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ 80
öåëûõ k, äåëÿùèõñÿ íà an , ÷èñëî p k áóäåò ñîñòàâíûì. Åñëè an = 1 è p 1 ïðîñòîå ÷èñëî, òî ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí p k + 1 = kq k + p 1 . Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k, äåëÿùèõñÿ íà p 1 , p k + 1 äåëèòñÿ íà p 1 è íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì. 110. à) 1; á) 1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà p x = a0 x n + a1x n -1 + K + an èìååì p 1 = a0 + a1 + K + an , n n -1 p -1 = -1 a0 + -1 a0 + K + an , òàê ÷òî ñóììà êîýôôèöèåíp 1 + p -1 à ïðè íå÷åòíûõ òîâ ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ ðàâíà 2 p 1 - p -1 . 2 111. õ + 1. 112. Ïóñòü h x = x 2 + x + 1 . Òîãäà x + 1 = h x - x2 è
h x - x
2 2n +1
+ x n + 2 = p x h x - x n +2 x 3n - 1 , íî x 3n - 1 äå-
ëèòñÿ íà x - 1 = x - 1 x + x + 1 . 3
2
113. à) Íåò, òàê êàê f 2 = g 2 = 6 , à 2 íå äåëèòñÿ íà 6. á) Íåò, òàê êàê f 1 2 = g 1 2 = 1 . 2
â) Äà. x = f - g + 2g - 3f . 114. Ìîæåò. Åñëè ïåðâûé èãðîê ïîñòàâèò ñâîèì ïåðâûì õîäîì 1 ïåðåä õ, à ïðè âòîðîì ñâîåì õîäå ïîñòàâèò íà îñòàâøååñÿ ìåñòî ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå ïîñòàâëåííîìó âòîðûì, ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí x 3 - ax2 - x + a = x2 - 1 x - a , âñå êîðíè êîòîðîãî öåëûå. 115. Ïóñòü p x = b0 x n + K + bn -1x + bn , bn ¹ 0 . à) Åñëè ÷èñëà b0, b1 K bn íåîòðèöàòåëüíû, òî ñóììà öèôð ÷èñëà p 10l ïðè 10l > max bi áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíà ñóììå âñåõ 0 £ i£ n öèôð ÷èñåë b0, b1,K , bn . á) Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî b0 > 0 (èíà÷å áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãî÷ëåí - p x ). Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå m, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí Q x = P x + m èìååò ïîëîæèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû (äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû m áûëî ñòðîãî
áîëüøå íàèáîëüøåãî èç ÷èñåë b0 , b1 ,K , bn ). Îñòàëîñü ïðèìåíèòü ðåçóëüòàò ïóíêòà à) ê ìíîãî÷ëåíó Q x . 7S 5S S . Âûïîëíèâ çàìåíó 116. à) -2 sin ; 2 sin ; 2 sin 18 18 18 S S x = 2 sin M , ãäå - £ M £ , ïðèâåäèòå óðàâíåíèå ê âèäó 2 2 81
1 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èìååò â òî÷íîñòè 3 êîðíÿ íà 2 é S Sù ïðîìåæóòêå ê - ; ú . ë 2 2û sin 3M =
á) -2 sin
4S 2S S ; 2 sin ; 2 sin . 9 9 9
117. à) cos M, cos 2M, cos 4M , ãäå M = 0 ;
2S 4 S 6 S 2S ; ; ; ; 7 7 7 9
4 S 2S 8 S ; ; . Ïîñëå çàìåíû x cos M , ãäå 0 M S ñèñòåìà 3 9 9 ïðèâîäèòñÿ ê âèäó y = cos 2M , z = cos 4M , cos 8M = cos M . 2S 3S S ; ± . Âûïîëíèòå á) tg M, tg 2M, tg 4M , ãäå M = 0 ; ± ; ± 7 7 7 S S çàìåíó x = tg M , ãäå - < M < . 2 2 S 5S 25S 29S 49S 53S ; ; ; ; ; . Ïîñëå â) cos M; sin M , ãäå M = 36 36 36 36 36 36 çàìåíû x = cos M ; y = sin M , ãäå 0 M 2S , è ïîäñòàíîâêè âî âòîðîå óðàâíåíèå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 2 cos M - sin M 1 + 2 sin 2M =
3,
êîòîðîå çàìåíîé u = 2 cos M - sin M ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
u3 - 3u + 3 = 0 . Ðåøàÿ åãî (ñì. çàäà÷ó 116, á)), íàõîäèì u, à 2 cos M - sin M = u1,2,3 . S S 118. Ïóñòü x = tg D, y = tg E, z = tg J , ãäå - < D < , 2 2 S S S S - < E < , - < J < . Èç ðàâåíñòâà tg D + tg E + tg J = 2 2 2 2 = tg D tg E tg J ñëåäóåò, ÷òî D + E + J = Sn , ãäå n = 0, n = ±1 . Íî òîãäà
çàòåì ïîëó÷àåì îòâåò èç óðàâíåíèé
tg 2D + tg 2E + tg 2J = tg 2D tg 2E tg 2J .
119. Ïóñòü x1 < x2 < x3 < x4 äàííûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
æ 1ö æ 1ö çè1 + y ÷ø - çè1 + x ÷ø x-y = = tg D - E , 1 + x + y + 2xy 1ö æ 1ö æ 1 + ç1 + ÷ ç1 + ÷ è xø è yø 82
æ 1ö 1ö æ ãäå D = arctg ç1 + ÷ , E = arctg ç1 + ÷ , ïðè÷åì D è E ïðèíàäè è yø xø æ 1ö æ S Sö ëåæàò èíòåðâàëó ç ; ÷ , òàê ÷òî ñðåäè ÷èñåë arctg ç1 + ÷ , i = è 4 2ø xi ø è S = 1, 2, 3, 4 íàéäóòñÿ äâà, ðàçíîñòü êîòîðûõ ìåíüøå, ÷åì 12 S = 2 - 3 ). ( tg 12 120. Èíäóêöèåé ïî n íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî xn = tg nD , ãäå 2xm D = arctg 2 . à) ïðè ëþáîì m èìååì x2m = . Åñëè x2m = 0 , 1 - xm2 òî òîãäà è xm = 0 . Ïîýòîìó åñëè xn = 0 ïðè n = 2k 2s + 1 , òî è 2 xs 1± 5 , îòêóäà xs = x2 s +1 = 0 . Íî òîãäà x2 s = -2 = 2 2 1 - xs 1 èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ïðîòèâîðå÷èå. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî xn ¹ 2 íè ïðè êàêîì n (äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî). á) Äîêàæåì, ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ïóñòü xm + n = xm ïðè íåêîòîðûõ m è n ( m, n ³ 1 ). Òàê êàê xn = tg nD , èìååì tg m + n D - tg mD =
sin nD = 0, cos m + n D cos mD
îòêóäà xn = tg nD = 0 , ÷òî íåâîçìîæíî (ñì. ïóíêò à)). Ãëàâà 2. Äåëèìîñòü öåëûõ ÷èñåë 121. Ðàññìîòðèòå ÷èñëà ð 1, ð, ð + 1. 122. ð = 3. Åñëè p ¹ 3 , ÷èñëî 14 p2 + 1 äåëèòñÿ íà 3. 123. Åñëè ïðîèçâåäåíèå Ð âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, íå áîëüøå n, òî Ð 1 < n íå äåëèòñÿ íè íà îäíî ïðîñòîå ÷èñëî p < n. n òîæå äåëèòåëü. 124. Åñëè d äåëèòåëü ÷èñëà n, òî d n Ïðè÷åì ëèáî d. ëèáî íå áîëüøå n . d 125. nk 2 . 126. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 124. Ïîëåçíî òàêæå çàìåòèòü, ÷òî n ïðè d ³ 1 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî d + £ n + 1 . d 127. Âñÿêèé äåëèòåëü ÷èñëà n èìååò âèä p1J1 p2J2 × K × pkJk , ãäå 0 £ J i £ D i (i = 1, ..., k) è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì 83
÷èñåë
J1, J 2,K, J k .
Êîëè÷åñòâî òàêèõ íàáîðîâ ðàâíî
D1 + 1 D2 + 1 × K × Dk + 1 . 128. Óìíîæüòå âòîðîå ðàâåíñòâî íà mn. 129. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî
K 111 K3 K3 11111 11 × 100 01 . 14 4244 3 = 111 1 424 1424 2n +1
2n
130. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2n
131. Ïóñòü Q = ÍÎÊ 1,2,K , éë k n ùû íàèìåíüøåå îáùåå êðàò-
íîå ÷èñåë 1,2,K , éë k n ùû . ßñíî, ÷òî
Q = p1D1 p2D2 × K × plDl , ãäå p1 < p2 < K < pl ïðîñòûå ÷èñëà, ïðè÷åì pl £ Êðîìå òîãî,
D pi j
£
k
n
D1 ïðè D > 1 è ð > 3, à pi j > Di + 1 ïðè Èç òîãî, ÷òî p pi ³ 3 , ñëåäóåò, ÷òî k £ 1 , ïðè÷åì D = 1 ïðè p ³ 3 . Îñòàëîñü k l k ðàññìîòðåòü ÷èñëà âèäà 2 × 3 ,2 p è 3l p , ãäå p ³ 3 . 133. n ïðîñòîå, ëèáî n ñòåïåíü äâîéêè, ëèáî n = 6. Ïóñòü n óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: ÷èñëà a1, a2,K , ak , âçàèìíî ïðîñòûå ñ n, îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Î÷åâèäíî, a1 = 1 , ak = n - 1 , a2 = p íàèìåíüøåå ïðîñòîå ÷èñëî, íà êîòîðîå íå äåëèòñÿ n. Åñëè ð = 2, òî ïðîãðåññèÿ èìååò âèä 1, 2, ..., n 1, ò.å. n ïðîñòîå. Åñëè ð = 3, òî ðàçíîñòü ïðîãðåññèè ðàâíà 2, à òîãäà n íå èìååò íå÷åòíûõ äåëèòåëåé è ïîòîìó n ñòåïåíü äâîéêè. Åñëè ð > 3, òî n - 1 = 1 + k - 1 p - 1 , îòêóäà n = 2 + k - 1 p - 1 . Åñëè q ïðîñòîé äåëèòåëü ÷èñëà ð 1,òî q < ð 1 è n äåëèòñÿ íà q, îòêóäà q = 2, ò.å. p = 2m + 1 , ïðè÷åì m ÷åòíî (åñëè m íå÷åòíî, òî ð äåëèòñÿ íà 3). Ïóñòü k > 2. Òîãäà
84
a3 = 1 + 2 p - 1 = 2m +1 + 1 äåëèòñÿ íà 3, íî è n äåëèòñÿ íà 3, ò.å. a3 íå âçàèìíî ïðîñòî ñ n. Ïîýòîìó k = 2, n 1 = p, n 2 è n 4 ñòåïåíè äâîéêè, ïîñêîëüêó îíè íå ìîãóò èìåòü ïðîñòûõ íå÷åòíûõ äåëèòåëåé (ýòè ÷èñëà ìåíüøå ð), ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè n = 6. 134. à) 2; á) 7. n 135. 96. Äâå ïîñëåäíèå öèôðû ÷èñåë âèäà 4 ïîâòîðÿþòñÿ ñ ïåðèîäîì 10. Îñòàëîñü íàéòè ïîñëåäíþþ öèôðó äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà 4
4N
4
}
1972 ÷åòâåðêè
.
Çàìå÷àíèå. Áóäåì ïèñàòü
a º b mod m
(* )
(÷èòàåòñÿ «a ñðàâíèìî ñ b ïî ìîäóëþ m», à ñàìî ñîîòíîøåíèå ( * ) íàçûâàåòñÿ ñðàâíåíèåì ïî ìîäóëþ m), åñëè à b äåëèòñÿ íà m. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñðàâíåíèé: 1) Åñëè a º b mod m è b º c mod m , òî a º c mod m . 2) Åñëè a º b mod m , òî a + c º b + c mod m äëÿ ëþáîãî ñ. 3) Åñëè a º b mod m è c º d mod m , òî a + c º b + + d mod m . 4) Åñëè a º b mod m , òî ac º bc mod m äëÿ ëþáîãî ñ. 5) Åñëè ac º bc mod m è ñ âçàèìíî ïðîñòî ñ m, òî a º b mod m . 6) Åñëè a º b mod m è c º d mod m , òî ac º bd mod m . Èñïîëüçîâàíèå ñðàâíåíèé îáëåã÷àåò ðåøåíèå íåêîòîðûõ çàäà÷ ïðî îñòàòêè è íà äåëèìîñòü. Ïðèìåð îáðàùåíèÿ ñî ñðàâíåíèÿìè ïðèâåäåí â óêàçàíèè ê ñëåäóþùåé çàäà÷å. 136. Ðàññìîòðèòå ñòåïåíè îñòàòêîâ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ìîäóëÿì. Íàïðèìåð, åñëè à íå äåëèòñÿ íà 5, òî a4 º 1 mod 5 . Äîêàæåì ýòî. Âîçâîäÿ ñðàâíåíèå
a º ±1 èëè ±2 mod 5 â êâàäðàò (ñì. ñâîéñòâî 6 ñðàâíåíèé), ïîëó÷èì a2 º 1 èëè 4 mod 5 , èëè
a2 º ±1 mod 5 . 85
Âîçâåäÿ ïîñëåäíåå ñðàâíåíèå â êâàäðàò, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
a4 º 1 mod 5 . 137. Ïóñòü n = 10a + b , b íå÷åòíàÿ öèôðà. Òîãäà n = 100a2 + 20ab + b2 . Ïåðâîå ñëàãàåìîå íå âëèÿåò íà äâå ïîñëåäíèå öèôðû, âî âòîðîì ñëàãàåìîì ÷åòíîå ÷èñëî äåñÿòêîâ, à èç ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â ðàçðÿä äåñÿòêîâ ïåðåõîäèò ÷åòíîå ÷èñëî ( 12 = 01 , 32 = 09 , 52 = 25 , 72 = 49 , 92 = 81 ). 138. Íåò. Åñëè äâå ïîñëåäíèå öèôðû êâàäðàòà îäèíàêîâûå (è îòëè÷íû îò íóëÿ), òî îíè ÷åòâåðêè (äîêàæèòå!). Åñëè n2 = K 4444 , òî n = 2k, íî òîãäà 4k2 = K 4444 , ò.å. k2 = K 11 , 2
÷òî íåâîçìîæíî. Â òî æå âðåìÿ, 122 = 144 , 382 = 1444 .
2
139. 10a + 5 = 100 a2 + a + 25 , à ÷èñëî a2 + a ÷åòíî. 140. 6. Èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 137 ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäíÿÿ öèôðà êâàäðàòà 4 èëè 6, ïðè÷åì åñëè êâàäðàò îêàí÷èâàåòñÿ ÷åòâåðêîé, òî åé ïðåäøåñòâóåò ÷åòíàÿ öèôðà. 141. 52n +1 + 3n + 2 × 2n -1 º 5 × 6n + 27 × 6n -1 º 57 × 6n -1 mod 19 .
2n +1 - 3 × 7n + 5n +1 × 6n º 142. Ïðè n = 11 + 22l. 2 º 2 4n + 7n mod 23 .
n5 - 5n3 + 4n = n n2 - 1 n2 - 4 = n - 2 n - 1 n n +
143.
+ 1 n + 2 . Ïðîèçâåäåíèå ïÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë çàâåäîìî äåëèòñÿ íà 5, íà 8 è íà 3. 144. ð = 5. 145. 113 = 1331 º 1 mod 133 . Ïîýòîìó 1119 º 11 mod 133 , 118 º 116 × 112 º 112 mod 133 è 1119 + 118 + 1 º 0 mod 133 .
146. Ðàññìîòðèòå îñòàòêè ÷èñåë 12,22,K ,182 ïðè äåëåíèè íà 19. 147. Ïðè íå÷åòíûõ n.
n12 - n8 - n4 + 1 =
n - 1 n + 1 2 n2 + 1
2
n
4
+1 .
148. k = 6l + 1. 149. n = 2 × 51964 .
5
32×5 + 1 = 32 + 1 - 1 + 1 = a5 - 5a4 + 10a3 - 5a2 + 5a - 1 + 1 = 2
4 3 2 = a a - 5a + 10a - 5a + 5 ,
ãäå a = 3 + 1 . Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äåëèòñÿ íà 25, ïîñêîëüêó à äåëèòñÿ íà 5 è âûðàæåíèå â ñêîáêàõ òîæå äåëèòñÿ íà 5 (è íå 86
n
äåëèòñÿ íà 25). Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè, äîêàæèòå, ÷òî 32×5 + 1 äåëèòñÿ íà 5n+1 è íå äåëèòñÿ íà 5n+ 2 . 150. a) n = 21k; á) n = 3 × 7k -1 . Ñì. óêàçàíèå ê ïðåäûäóùåé çàäà÷å. 151. à = 1407. Ïîñêîëüêó 1967 = 7 × 281 è 137 + 144 = 281 , 2k -1
A = 1372k -1 + a -137
º 1372k -1 1 - a mod 281 .
Èòàê, a - 1 º 0 mod 281 , ò.å. a = 281l +1.  òî æå âðåìÿ, A º 42k -1 a + 1 mod 7 . Çíà÷èò, a + 1 = 281l + 2 º 0 mod 7 , ò.å.
l º 5 mod 7 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî a = 281 7 p + 5 + 2 . Íàèìåíüøåå à ïîëó÷àåòñÿ ïðè ð = 0. 4 2 2 2 152. n = 1. n + n + 1 = n + n + 1 n - n + 1 .
4
153. 2, 5 = 2 + 1 , 257 = 4 + 1 . ×èñëî âèäà nn + 1 ìîæåò 2
áûòü ïðîñòûì ëèøü ïðè n = 2k . Ïðè ýòîì 88 = 224 + 1 = 28
8
16
= 2 +1 2 64
4
× 2
8
16
- 2 + 1 ÷èñëî ñîñòàâíîå, à 16
60
10 6
4
4
18
3
64
+1 = 2
+1= +1>
19
> 2 = 2 ×2 = 2 > 2 × 10 > 10 . 154. p = q = 2. 155. n = 2. Îäíî èç ÷èñåë 2n - 1 è 2n + 1 äåëèòñÿ íà 3. 156. Åñëè p = kl, ãäå k > 1 , l > 1 , òî
2 p - 1 = 2kl - 1 = 2k - 1 2(k -1)l + 2(k - 2)l + K + 1 . 157. Åñëè n = 24 × l , ãäå l > 1 íå÷åòíîå ÷èñëî, òî 4
+ 1 = 2 4
22 + 1 = 22
l
24
- 2
æ 4 + 1 ç 22 è
l
24
l-1
ö + K + 1÷ . ø
158. Åñëè k < 21969 êîëè÷åñòâî âïèñàííûõ íóëåé, òî ÷èñëî 1969 îêàæåòñÿ ðàâíûì 102 + k +1 + 1 . Ïîêàçàòåëü ñòåïåíè 21969 + k + 1 îáÿçàòåëüíî áóäåò èìåòü íå÷åòíûé äåëèòåëü, ïîñêîëüêó 21969 + k + 1 < 21970 + 1 . 159. Íåò. 160. ×èñëî 229 äåâÿòèçíà÷íî. Åñëè â åãî äåñÿòè÷íîé çàïèñè íåò íóëÿ, òî ñóììà åãî öèôð è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9. 161. 46. Òðåáóåòñÿ íàéòè íàèìåíüøåå m, ïðè êîòîðîì âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
7 × 10n < 2m < 8 × 10n , ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. 87
162. Ïîíÿòíî, ÷òî ïîâòîðÿþùàÿñÿ öèôðà ìîæåò áûòü òîëüêî ÷åòíîé è íå íóëåì (òàêîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5). Íî ÷èñëî 2n íå ìîæåò îêàí÷èâàòüñÿ íà ...2222, ...4444, ...6666, ...8888, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
2n-1 =
K 2222 K 6666 = K 111 , 2n-1 = = K 333 , 2 2
2n- 2 =
K 4444 K 8888 = K 11 , 2n- 3 = = K1 , 4 8
ïîëó÷àåì, ÷òî íåêîòîðàÿ ìåíüøàÿ ñòåïåíü äâîéêè ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíûì ÷èñëîì. 163. Ïîñëåäíÿÿ öèôðà ÷èñëà 2n ïîâòîðÿåòñÿ ñ ïåðèîäîì 4, ïîñêîëüêó ðàçíîñòü
2n + 4 - 2n = 16 × 2n - 2n = 15 × 2n äåëèòñÿ íà 10. Ðàññìîòðèì ÷åòûðå ñëó÷àÿ: n º 0, 1, 2, 3 mod 4 . b n mod 4 b mod 3 a mod 3 2n mod 3 0 6 0 1 1 1 2 1 1 0 2 4 1 1 0 3 8 1 1 0 Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííîé òàáëèöû, ëèáî b = 6, ëèáî à äåëèòñÿ íà 3. Íî ïîñêîëüêó b ÷åòíàÿ öèôðà, ab äåëèòñÿ íà 6 â ëþáîì ñëó÷àå. 164. 2n - 1 2n +1 + 2n + 1 2n -1 = 2n - 1 2n +1 + 1 + 2n + 1 2n -1 -
- 1 = 2n × M , ãäå M ÷åòíî. 165. Ñóùåñòâóþò. Ýòî, íàïðèìåð, ÷èñëà à è à + 1, ãäå K 9 7 99 K9 . a = 9{ 123 13
14
166. 13. Åñëè ïîñëåäíÿÿ öèôðà ÷èñëà à ðàâíà 0, 1, 2, à ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 7, ñóììà öèôð ÷èñëà à + 7 òîæå äåëèòñÿ íà 7. Åñëè ïîñëåäíÿÿ öèôðà ÷èñëà à ðàâíà 3, à ñóììà öèôð ÷èñëà à + 7 ïðè äåëåíèè íà 7 äàåò â îñòàòêå 1, òî áëèæàéøèì ê à + 7 (îíî îêàí÷èâàåòñÿ íà 0) ÷èñëîì ñ ñóììîé öèôð, äåëÿùåéñÿ íà 7, áóäåò à + 13. Ïðèìåð: 1006 993 = 13. 167. 11967, 71967, 281967, 19671967. 168. 42857. 169. 102564. 170. 8 × 123 456 789 = 987 654 312 . 88
171. 8712. 172. 11 101 111. 173. Âîñïîëüçóéòåñü ïðèçíàêàìè äåëèìîñòè íà 9 è íà 11. 174. 1! + 2! + 3! = 9. Ïðè n > 3 ïîñëåäíÿÿ öèôðà ñóììû ôàêòîðèàëîâ ðàâíà 3. 175. 3. Ïóñòü à ïåðâàÿ öèôðà äåñÿòè÷íûõ çàïèñåé ÷èñåë 2n è 5n . Òîãäà ïðè íåêîòîðûõ k è l
a × 10k < 2n < a + 1 × 10k,
a × 10l < 5n < a + 1 × 10l .
Ïåðåìíîæèâ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì 2
ò.å.
a2 × 10k +l < 10n < a + 1 × 10k +l , 2
a2 < 10n - k -l < a + 1 .
Ïîñêîëüêó à öèôðà, ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè à = 3, n k l = 1. m k m+1 176. 1972. Ïóñòü 10l < 2k < 10l+1 , 10 < 5 < 10 . Òîãäà
10l + m < 10k < 10l + m + 2 , ò.å. k = l + m + 1.  íàøåì ñëó÷àå k = 1972. 177. 10. 178. 3 è 9. Ïóñòü k èñêîìîå ÷èñëî. Òîãäà k íå÷åòíî è ñóùåñòâóåò ÷èñëî à, äåëÿùååñÿ íà k è îêàí÷èâàþùååñÿ íà 1. ×èñëî 10à îêàí÷èâàåòñÿ íà 10 è äåëèòñÿ íà k. Ðàññìîòðèì ÷èñëî b, ïîëó÷åííîå ïåðåñòàíîâêîé 0 è 1 â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà 10à. Òîãäà 10à b = 9, ò.å. 9 äåëèòñÿ íà k. 179. 8. Ïîäñ÷èòàéòå ñóììó îñòàòêîâ, ïîëó÷àåìûõ îò äåëåíèÿ ÷èñëà n íà ÷èñëà, áîëüøèå n/2, à çàòåì îöåíèòå ï. 180. Åñëè ð = 30k + r, ãäå r < 30, òî r íå äåëèòñÿ íè íà 2, íè íà 3, íè íà 5, à âñå òàêèå r ïðîñòûå. 181. Íåò. Äèñêðèìåíàíò òðåõ÷ëåíà y = ax2 + bx + c ðàâåí D = b2 - 4ac . Ðàññìîòðèòå îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñëà D íà 8. 182. 1734 = 2 × 17 × 34 , 1352 = 4 × 13 × 52 . Ïóñòü õ è ó èñêîìûå äâóçíà÷íûå ÷èñëà. Òîãäà 100x + y = kxy, ò.å. 100 x = kx - 1 y , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ó äåëèòñÿ íà õ, ïðè÷åì èõ ÷àñòíîå l = ó/õ ìåíüøå 9 è ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 100. 183. 1641. 184. Íà ïåðâîì, âòîðîì èëè ïîñëåäíåì ìåñòàõ. Åñëè âû÷åðêèâàåìàÿ öèôðà b ñòîèò íà n-ì ìåñòå, òî ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü òàê: a × 10n + b × 10n -1 + c (çäåñü a ³ 1 , 1 £ c £ 9 × 10n - 2 - 1 ), à 89
÷èñëî ñ âû÷åðêíóòîé öèôðîé b èìååò âèä 10n -1 a + c . Îòíîøåíèå
a × 10n + b × 10n -1 + c b × 10n -1 - 9c = 10 + n -1 10 a + c 10n -1 a + c ïðè a ³ 10 íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì (÷èñëèòåëü ïîñëåäíåé äðîáè íå ðàâåí íóëþ è ïî ìîäóëþ ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ). Íåñêîëüêî óòî÷íèâ ïðîâåäåííîå ðàññóæäåíèå, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âû÷åðêèâàåìàÿ öèôðà ïðè n ³ 4 äîëæíà áûòü íóëåì. 185. Ïóñòü 10100 1099 - 1 < A2 < 10199 , òîãäà
10199 - 10100 < A < 10199 .
(* )
Íî
10199 - 10199 - 10100 = = 10199
æ 1 ö ç 1 - 1 - 1099 ÷ = è ø
1 1099 > 1 1 + 1 - 99 10 10199 ×
10 > 1. 2
Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàéäåòñÿ öåëîå ÷èñëî À, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó ( * ). Ïîïóòíî ìû óñòàíîâèëè, ÷òî çà À ìîæíî ïðèíÿòü é 10199 ù = éë1098 10 ùû . êë úû 186. Íè Pn - 1 , íè Pn + 1 íå äåëÿòñÿ íè íà îäíî ïðîñòîå ÷èñëî, íå áîëüøåå, ÷åì
Pn .
187. N = p1p2 K pn + 1 . N íå äåëèòñÿ íè íà îäíî èç ÷èñåë p1, p2,K , pn è, ñëåäîâàòåëüíî, ëèáî ñàìî N ïðîñòîå, ëèáî åãî ïðîñòîé äåëèòåëü áîëüøå âñåõ pi (i = 1, 2, ..., n). 188. Âñÿêèé ïðîñòîé äåëèòåëü ÷èñëà n! 1 áîëüøå n. 189. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë âèäà 4n + + 3 êîíå÷íî. Ïóñòü p1, p2,K , pm âñå òàêèå ÷èñëà. ×èñëî N = 4 p1p2 K pm - 1 íå äåëèòñÿ íè íà îäíî èç pi è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêó îíî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì âèäà 4n + 3, èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü òàêîãî æå âèäà, îòëè÷íûé îò âñåõ pi . Äëÿ ÷èñåë âèäà 6n + 5 ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû. 190. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî N 2 ïðåäñòàâèìî â âèäå 2 N = p + n2k . Òîãäà N - nk = 1 , à N + nk = p , ò.å. p = 2nk + 1 . Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïàð n; k , äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî 2nk + 1 íå ïðîñòîå. Òàê ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî êâàäðàòîâ, íå ïðåäñòàâèìûõ â òðåáóåìîì âèäå. 90
n
191. Ïóñòü Fn = 22 + 1 . Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå
0
0
1
n
1 × F0 F1 K Fn = 22 - 1 22 + 1 22 + 1 K 22 + 1 = 22n +1 - 1 = = Fn +1 - 2 . Íèêàêîé ïðîñòîé äåëèòåëü ÷èñåë Fi ïðè 1 £ i £ n íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà Fn +1 . 192. Ýòî, íàïðèìåð, ÷èñëà
2 + ( n + 1) !,
3 + (n + 1) !,
K,
(n + 1) + (n + 1) !.
193. Âîñïîëüçóéòåñü òàê íàçûâàåìîé «êèòàéñêîé òåîðåìîé îá îñòàòêàõ». Êèòàéñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ. Ïóñòü äàíû ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà m1, m2,K , mn è öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà r1, r2,K , rn òàêèå, ÷òî 0 £ ri £ mi - 1 (i = 1, 2,
, n). Ñóùåñòâóåò ò ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, N + 1,K , N + n - 1 òàêèõ, ÷òî N + i º ri +1 mod mi +1 (i = 0, 1,
, n 1). Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðè m1 = 22, m2 = 32,K , mn = pn2 ( pn n-å ïðîñòîå ÷èñëî) è r1 = r2 = K = rn = 0 ñóùåñòâóþò ÷èñëà N, N + 1, ..., N + n 1 òàêèå, ÷òî Ni äåëèòñÿ íà mi +1 = pi2+1 (i = 0, 1, ..., n 1). 194. Ïóñòü 2k £ n < 2k +1 . Òîãäà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ñóììû äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ÷èñëèòåëü ïîëó÷åííîé äðîáè îêàæåòñÿ íå÷åòíûì, à çíàìåíàòåëü äåëÿùèìñÿ íà 2k . 195. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîæäåñòâ
1 p , +1 = p -1 p -1
1 1 p , ... + = p - 2 2 2 ( p - 2) K,
Ïîñëå ñëîæåíèÿ ïîëó÷àåì
1 1 4p + = p - 1 p + 1 p2 - 1 . 2 2
æ ö 1 1 1 1 1 ç ÷ 1+ +K+ = pç + +K + p - 1 p + 1÷ . 2 1 × ( p - 1) 2 × ( p - 2) p -1 × çè ÷ 2 2 ø 196. Íåò. Ïóñòü ni = 3k £ n1971 < 3k +1 . Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ 91
ñóììû äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïîëó÷èòñÿ äðîáü ñ ÷èñëèòåëåì, íå äåëÿùèìñÿ íà 3. 197. Ïî óñëîâèþ a = k1b + r1,
b = k2r1 + r2, KKKKKK rn - 2 = kn +1rn -1 + rn, rn -1 = kn + 2rn. Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ri óáûâàþùàÿ, îíà â êîíöå êîíöîâ îáîðâåòñÿ, íî ýòî è çíà÷èò, ÷òî ïðè íåêîòîðîì n îñòàòîê rn -1 äåëèòñÿ íà rn . Íî è rn - 2, rn - 3,K , a è b äåëÿòñÿ íà rn , ò.å. rn îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë à è b. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, rn äåëèòñÿ íà êàæäûé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë à è b. Ïîýòîìó rn = ÍÎÄ ( a, b ) . énù 198. Ñóùåñòâóåò â òî÷íîñòè ê k ú ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n ëp û è äåëÿùèõñÿ íà pk . Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü ïðîñòîãî ÷èñëà p, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ n!, â òî÷íîñòè ðàâíà énù énù é n ù ê ú + ê 2ú +K+ ê kú , ë pû ë p û ëp û k k +1 ãäå p £ n < p . énù n énù é n ù n n 199. ê ú + ê 2 ú + K + ê k ú < + 2 + K + k + K = p ë pû ë p û ëp û p p n = £ n. p -1 200. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå n. ×èñëî
(n !) n -1 !
äåëèòñÿ íà pk , ãäå
æénù é n ù ö k = ( n - 1) ! ç ê ú + ê 2 ú + K÷ . èë pû ë p û ø Ñ äðóãîé ñòîðîíû, (n!)! äåëèòñÿ íà pl , ãäå
é n !ù é n ! ù l = ê ú + ê 2ú +K ë p û ëp û Íî [ma] ³ m [a] ïðè íàòóðàëüíîì m è ïîëîæèòåëüíîì à. Ïîýòîìó l ³ k . Îòñþäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. 201. à) Åñëè n ïðîñòîå ÷èñëî, n = 4; á) åñëè n = p, n = 2ð (p ïðîñòîå ÷èñëî), n = 8, n = 9. 92
202. ßñíî, ÷òî p ïðîñòîå. Åñëè æå p £ n 2 , òî 2p £ n . 203. Åñëè p = ab ñîñòàâíîå ÷èñëî, òî (ð 1)! + + 1 íå äåëèòñÿ íà à. Ïóñòü òåïåðü ð ïðîñòîå ÷èñëî. Ïóñòü a (1 £ a £ p - 1) íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè a ¹ 1 , a ¹ p - 1 ñðåäè ÷èñåë 2, 3, ..., p 2 íàéäåòñÿ òàêîå a¢ , ÷òî a ¢a º 1 (mod p) .  ïðîèçâåäåíèè 1 × 2 × K × ( p - 1) îáúåäèíèì â ïàðû ñîìíîæèòåëè 2 è 2¢ , 3 è 3¢ è ò.ä. Òàêèå ïðîèçâåäåíèÿ äàþò ïðè äåëåíèè íà p îñòàòîê 1. Áåç ïàðû îñòàþòñÿ ÷èñëà 1 è ð 1. Ïîýòîìó
(p - 1) ! º p - 1 (mod p) , ò.å. (ð 1)! + 1 äåëèòñÿ íà p. 204. Åñëè à äåëèòñÿ íà p, óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Åñëè à íå äåëèòñÿ íà p, âûïèøåì ÷èñëà à, 2à, ..., ( p - 1) a . Âñå ýòè ÷èñëà äàþò ðàçëè÷íûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà ð. Ïîýòîìó
a × 2a × K × ( n - 1) a º 1 × 2 × K × ( p - 1)(mod p) , îòñþäà a ( p - 1) ! º ( p - 1) ! (mod p) . Ïîýòîìó (ñì. ñâîéñòâî 5 ñðàâíåíèé, ñ. 85) a p -1 º 1 (mod p) . 205. Ïóñòü n ñîñòàâíîå ÷èñëî, à ÷èñëî à âçàèìíî ïðîñòî ñ n. Ðàññìîòðèòå âñå âîçìîæíûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë íà n, âçàèìíî ïðîñòûå ñ n: p -1
r1 = 1, r2,K , rM n (ýòî âñå ÷èñëà, ìåíüøèå n è âçàèìíî ïðîñòûå ñ íèì). Óìíîæèì âñå ÷èñëà âûïèñàííîé ñòðî÷êè íà à:
a, ar2,K , arM n . Âñå ýòè ÷èñëà ïî-ïðåæíåìó âçàèìíî ïðîñòû ñ n è äàþò ïðè äåëåíèè íà n ðàçëè÷íûå îñòàòêè, ò.å. âòîðàÿ ñòðî÷êà îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîé ëèøü ïîðÿäêîì ÷èñåë. Ïåðåìíîæèâ ÷èñëà ïåðâîé è âòîðîé ñòðî÷åê, ïîëó÷àåì ñðàâíåíèå
r1r2 K rM n º aM n r1r2 K rM n ( mod n) , èëè
aM n º 1 ( mod n) . Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ýéëåðà ïðè n = p. 206. à) pk - pk -1 . 93
á) Âûïèøåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî mn:
1
2 K n n + 1 n + 2 K 2n KKKKKKKKK KKKKKKK (m - 1) n n (m - 1) + 1 K mn
 ýòîé òàáëèöå èìååòñÿ â òî÷íîñòè M ( n) ñòîëáöîâ, ñîñòîÿùèõ èç ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n.  êàæäîì ñòîëáöå ñòîèò àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ äëèíû m ñ ðàçíîñòüþ n. Âñå îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà m ÷èñåë ñòîëáöà ðàçëè÷íû (ýòî ñëåäóåò èç âçàèìíîé ïðîñòîòû ÷èñåë m è n). Ïîýòîìó ñðåäè íèõ â òî÷íîñòè M (m ) ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ m. Ïîýòîìó â òàáëèöå â òî÷íîñòè M (m ) M ( n) ÷èñåë âçàèìíî ïðîñòû ñ mn.
(
) ( )( ) ( ) = (p - p )(p - p )K (p - p ) =
D D D D D D â) M p1 1 p2 2 K pk k = M p1 1 M p2 2 K M pk k = D1 1
D1 -1 1
D2 2
D2 -1 2
Dk k
Dk -1 k
æ 1öæ 1ö æ 1ö = n ç1 - ÷ ç1 - ÷ K ç1 - ÷ . p1 ø è p2 ø è pk ø è
207. Ïîñêîëüêó p3 - 1 = ( p - 1) p2 + p + 1 , a q ïðîñòîå
÷èñëî, áîëüøåå p 1, èìååì p2 + p + 1 = kq (k íàòóðàëüíîå ÷èñëî). Èç òîãî, ÷òî q = lp + 1 è p2 + p + 1 = k (lp + 1) , ñëåäóåò,
÷òî k 1 äåëèòñÿ íà p, ò.å. k = sp + 1. Íî òîãäà p2 + p + 1 = (sp + 1) q è ïîòîìó p2 + p + 1 ³ (sp + 1)( p + 1) , ÷òî âîçìîæíî ëèøü ïðè s = = 0, ò.å. ïðè k = 1. Çàìåòèì, ÷òî ìû íå ïîëüçîâàëèñü ïðîñòîòîé ÷èñëà ð, òàê ÷òî ýòî óñëîâèå ìîæíî ñíÿòü. Ïðèìåð: p = 6, q = 43, p3 - 1 = 215 = 5 × 43 , a - 1 = 42 M p , 43 = 62 + 6 + 1 . 208 è 209. Òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå ÷èñëà âèäà 9n + 5 è 8n + 7 ñîîòâåòñòâåííî. 210. 1967 º 7 ( mod 8) . 211. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå îñòàòêè ÷èñåë ai + bi (i = 1, 2, ... ..., 2n) îò äåëåíèÿ íà 2n ðàçëè÷íû. Èõ ñóììà ðàâíà
1 + 2 + K + 2n = n (2n + 1) º n ( mod 2n ) , ò.å. íå äåëèòñÿ íà 2n. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà ñóììà äàåò ïðè 94
äåëåíèè íà 2n òàêîé æå îñòàòîê, ÷òî è ñóììà
a1 + a2 + K + an + b1 + b2 + K + bn
= 2n (2n + 1) º 0 ( mod 2n ) .
Ïðîòèâîðå÷èå. 212. Ïåðèîä 20. Äîêàæèòå, ÷òî íàèìåíüøèé ïåðèîä äåëèòñÿ íà 10 è íå ðàâåí 10, à
(n + 20) (n + 21) - n (n + 1) 2
2
º 0 ( mod 10 ) .
213. Ïåðèîä 20. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ïîñëåäíèå öèôðû 5 ÷èñåë n è n ñîâïàäàþò. 214. Ðàçíîñòü ðàâíà 30. 215. Ïóñòü a1, a2,K , an ÷èñëà, çàïèñàííûå â ïåðâîé ñòðîêå, S èõ ñóììà. Èìååì:
(a1 + a2 ) + (a2 + a3 ) + K + an -1 + an
= 2S - a1 - an .
Ïðèìåíèòå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðè ïîìîùè êîòîðîãî ïîëó÷àåòñÿ î÷åðåäíàÿ ñòðîêà òàáëèöû ê ýòèì ÷èñëàì. 216. Âîñïîëüçóéòåñü ðàâåíñòâîì un + 5 = 5un +1 + 3un . 217. Äîêàæèòå, ÷òî an = ( n - 1) an -1 + an - 2 . 218. Äîêàæèòå, ÷òî îñòàòêè îò äåëåíèÿ an íà 4 ïîâòîðÿþòñÿ ïðè n > 1 ñ ïåðèîäîì 3, ò.å. ÷òî an + 3 º an ( mod 4) ïðè n ³ 2 .
Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ÷èñëî 21968 - 1 äåëèòñÿ íà 3. 219. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà 11 êîëè÷åñòâà ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé íå ìåíÿåòñÿ, íî 20 º 1968 mod11 . 220. Ðàçíîñòü ïðîãðåññèè äîëæíà äåëèòüñÿ íà 2, 3, 5, 7, 11, 13, ò.å. d ³ 2 × 3 × K × 13 > 30000 . 221. Åñëè l 2 < k , à (l + 1)2 > 2k , òî l 2 - l - 1 < 0 , ò.å. l < 1 + 2 . Äëÿ k = 1 óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. 222. Ìîæíî. Ýòî, ñêàæåì, ÷èñëà 2,23,25,K ,22n-1 . Ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü äâîéêè, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ ñóììà ëþáûõ ÷èñåë èç ýòîãî ìíîæåñòâà, íå÷åòíà. 223. à), á). Íåëüçÿ. Äîêàæèòå, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà 4 ñóììû âñåõ èìåþùèõñÿ íà äîñêå ÷èñåë íå ìåíÿåòñÿ. 224. Ïðè n º 5 ( mod 23) . Ïîñêîëüêó 7 ( 4n + 5) - 4 (7n + 3) = = 23, ëþáîé îáùèé äåëèòåëü ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äåëèòåëü ÷èñëà 23. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ n ÷èñëèòåëü (à ñëåäîâàòåëüíî, è çíàìåíàòåëü) äåëèòñÿ íà 23. Èìååì: 4n + 3 = 23k. Ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïðè n = 5 è k = 1: 4 × 5 + 3 = 23 × 1 . Íî òîãäà 4 ( n - 5) = 23 (k - 1) , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî n = 5 +23l, ãäå l öåëîå. 95
225. Ïðè n = 3, 1, 0, 1, 2. Âîñïîëüçóéòåñü ðàâåíñòâîì
n5 + 3 n5 + n 3 - n 3 - n + n + 3 n+3 = = n3 - n + 2 , n2 + 1 n2 + 1 n +1 n+3 < 1 ïðè n > 2 , n ¹ -3 . n2 + 1 226. Âîñïîëüçóéòåñü ðàâåíñòâîì
à òàêæå òåì, ÷òî 0
0 öåëûå ÷èñëà. 237. à) õ = ó. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî õ > ó, ïîëó÷àåì x x - y x - x y - y y = ( x - y ) × M , ãäå Ì > 0. á) õ = ó. Âîñïîëüçóéòåñü ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 236, à). k2 - k + 1 2k - 1 = y , 238. à) x = , ãäå k ¹ ±1 ðàöèîíàëüíîå 1 - k2 1 - k2 ÷èñëî. Ïîñêîëüêó (0,1) ðàöèîíàëüíîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèå, ïîëîæèì y = kx + 1, ãäå k ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå è âûðàçèì õ ÷åðåç k.
97
Åñëè, íàîáîðîò, ( x, y ) ðåøåíèå, òî ó 1 = kx, ãäå k ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. á) Ïóñòü
8a2 - 2a - 3 = x2 ,
(* )
ãäå õ ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Çàìåòüòå, ÷òî à = 2, õ = 5 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ( * ). Ââåäèòå ðàöèîíàëüíûé ïàðàìåòð k ïî ôîðìóëå k ( a - 2) = x - 5 . 239. Çàìåòèì, ÷òî õ = 9, ó = 4 ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ.
n
Ïóñòü 9 + 4 5 = An + Bn 5 . Öåëûå ÷èñëà An è Bn óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ, òàê êàê
1= 9-4 5
9 + 4 5 = A n
n
n
- Bn 5
A
n
+ Bn 5 = An2 - 5Bn2 .
240. à) Ïóñòü x y = t. Òîãäà ó = x t è
t (6 x + 1) = x2 + 3t2 .
(* )
Åñëè ð ïðîñòîé äåëèòåëü ÷èñëà t, òî õ äåëèòñÿ íà ð è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü ( * * ) äåëèòñÿ íà ÷åòíóþ ñòåïåíü ð. Ïîýòîìó âñÿêèé ïðîñòîé äåëèòåëü t âõîäèò â åãî ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â ÷åòíîé ñòåïåíè. Ðåøåíèå á) àíàëîãè÷íî à). â) Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê âèäó 2
2
3 ( 4 x + 1) = 2 (6 y + 1) + 1 , èëè 3 p2 - 2q2 = 1 , ãäå ð = 4õ + 1, q = 6y + 1. Îäíî èç ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ p = q = 1 (åìó ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ õ = ó = = 0). Ïî àíàëîãèè ñ ðåøåíèåì çàäà÷è 119 äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëà pn è qn , îïðåäåëÿåìûå ïðè n ³ 0 ðàâåíñòâîì
3+ 2
2+ 3
2 n +1
= pn 3 + qn 2
òîæå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ( * ), êîòîðûì íå îáÿçàòåëüíî ñîîòâåòñòâóþò öåëûå çíà÷åíèÿ õ è ó. Îäíàêî, çàïèñàâ ñîîòíîøåíèå
pn +1 3 + qn +1 2 =
2 n +1 +1
=
= 5 + 2 6 pn 3 + qn 2 = 5 pn + 4qn 3 + 6 pn + 5qn 2 , ïîëó÷èì, ÷òî pn +1 = 5pn + 4qn, qn +1 = 6 pn + 5qn . Ïîëüçóÿñü ýòèìè ñîîòíîøåíèÿìè, óáåäèòåñü, ÷òî pn + 2 º pn ( mod 4) , a qn + 2 º qn ( mod 6) . À ïîñêîëüêó p0 = q0 = 1 , òî è p2n º 1 ( mod 4) , q2n º 1 ( mod 6) , ò.å. ýòèì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò öåëûå çíà÷åíèÿ õ è ó. Íàïðèìåð, ïðè n = 2 ïîëó÷àåì õ = 22, y = 18. 98
Ãëàâà 3. Ðàçíûå çàäà÷è 241. 10 ÷àñîâ. 242. 14. 243. 1/2. 244. à) Âûñòðîèì âîñüìèêëàññíèêîâ ïî ðîñòó, íà÷èíàÿ ñ ñàìîãî íèçêîãî. Äëÿ k-ãî ïî ðîñòó âîñüìèêëàññíèêà íàéäóòñÿ k ñåìèêëàññíèêîâ, êîòîðûå íèæå åãî. á) Ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å à): äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè òå æå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ëþáûõ äâóõ êîëîíí. 245. Êàæäûé ðàç ÷èñëî ïóñòûõ ÿùèêîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íà k 1, íàïîëíåííûõ íà 1. Âíà÷àëå (êîãäà íå áûëî íè îäíîãî çàïîëíåííîãî ÿùèêà) áûë îäèí ïóñòîé ÿùèê. Êîãäà çàïîëíåííûõ ÿùèêîâ áóäåò m, ïóñòûõ ÿùèêîâ áóäåò 1 + (k - 1) m . 246. à) Ñîãëàñíî ïðàâèëó, ïî êîòîðîìó ñîñòàâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îáùåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë 1, 3, 32,K ,3m-1 (äåëèòåëåé ÷èñëà 3m-1 ) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíî 3m-1 , îáùåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë 1, 3, 32,K ,3m (äåëèòåëåé ÷èñëà 3m ) ðàâíî 3m . Ïîýòîìó ÷èñëî 3m âñòðå÷àåòñÿ
3m - 3m -1 = 2 × 3m -1 ðàç , ò.å. ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 3m è íå äåëÿùèõñÿ íà 3. á) Äîêàæåì, ÷òî êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n âñòðå÷àåòñÿ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ÷èñåë, ìåíüøèõ n è âçàèìíî ïðîñòûõ ñ íèì, ò.å. M ( n ) ðàç (î ôóíêöèè M ( n) ñì. çàäà÷ó 206). Áóäåì ðàññóæäàòü ïî èíäóêöèè. Íà÷àëî èíäóêöèè î÷åâèäíî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6,
Ïóñòü óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ m < n. Äîêàæåì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî è äëÿ n.Ðàññìîòðèì ïðàâèëüíûå äðîáè
1 2 3 n -1 n , , ,K , , . n n n n n Ñðåäè íèõ M ( n) íåñîêðàòèìûõ. Ïóñòü d äåëèòåëü ÷èñëà n, à n d1 = . Âûïèøåì äðîáè, ÷èñëèòåëè êîòîðûõ äåëÿòñÿ íà d1 . d Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ýòèõ äðîáåé íà d1 ïîëó÷àåòñÿ òàêîé ðÿä 1 2 d äðîáåé: , ,K , . Ñðåäè ýòèõ äðîáåé â òî÷íîñòè M ( d) íåñîêd d d ðàòèìûõ, ò.å. ñòîëüêî, ñêîëüêî ðàç ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âûïèñàíî ÷èñëî d. 99
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè d1 = 1, d2,K , dn = n âñå äåëèòåëè ÷èñëà n, òî ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ñðåäè n óæå íåñîêðàòèìûõ äðîáåé îêàæåòñÿ M (1) , M (d2 ) ,K , M (n ) äðîáåé ñî çíàìåíàòåëÿìè 1, d2,K , n . Òàê êàê âñå ýòè äðîáè ðàçëè÷íû, òî
M (1) + M (d2 ) + K + M ( n) = n . Èç ñêàçàííîãî è ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî â íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñëî n çàïèñàíî
M ( n) = n - M (1) - M (d2 ) - K - M dk -1 ðàç .
247. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè ÷åòíîì n íà ìåñòå ìîãóò nö n æ îñòàòüñÿ òîëüêî äâà «ïðîòèâîïîëîæíûõ» ÷èñëà k è k + çè k < ÷ø , 2 2 à ïðè íå÷åòíîì n òîëüêî îäíî êàêîå-òî ÷èñëî k. Âñå îñòàëüíûå ìîæíî ðàçáèòü íà ïàðû (ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî äèàìåòðà, n-2 ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç k) è ïîìåíÿòü ìåñòàìè, çàòðàòèâ íà ýòî 2 n -1 (ïðè ÷åòíîì n) èëè (ïðè íå÷åòíîì n) õîäîâ. Ïîñêîëüêó 2 îäíèì õîäîì ìû ìîæåì ïîñòàâèòü íà ñâîè ìåñòà íå áîëåå äâóõ ÷èñåë, ìåíüøèì ÷èñëîì õîäîâ îáîéòèñü íåëüçÿ. 248. Êàæäàÿ îïåðàöèÿ íàä ñòðîêîé èëè ñòîëáöîì, ãäå ñóììà ÷èñåë îòðèöàòåëüíà, óâåëè÷èâàåò ñóììó ÷èñåë â òàáëèöå, à âñåãî ðàçíûõ òàáëèö, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü çàìåíàìè çíàêîâ, êîíå÷íîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå íåñêîëüêèõ òàêèõ çàìåí ìû ïðèäåì ê òàáëèöå, ñ êîòîðîé óæå íåâîçìîæíî ïðîäåëàòü ýòó îïåðàöèþ. 249. Ðàñïîëîæèì äàííûå 35 ÷èñåë ïî îêðóæíîñòè. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà èç äàííûõ ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü îäíî, áîëüøåå âñåõ îñòàëüíûõ. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç Ì. Óâåëè÷èì íà åäèíèöó 23 ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñî ñëåäóþùåãî ïîñëå Ì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, çàòåì ñëåäóþùèå 23 ÷èñëà (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) è çàòåì ñëåäóþùèå çà íèìè 23 ÷èñëà. Ïîñêîëüêó 2 × 35 - 3 × 23 = 1 , â ðåçóëüòàòå âñå ÷èñëà, êðîìå Ì, óâåëè÷àòñÿ íà 3, à Ì íà 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ñðåäè ÷èñåë k ñàìûõ áîëüøèõ. Ïåðåñòàâèì ÷èñëà íà îêðóæíîñòè òàê, ÷òîáû ýòè k ÷èñåë ñòîÿëè ïîäðÿä. Óâåëè÷èì íà åäèíèöó 23 ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñî ñëåäóþùåãî ïîñëå k ñàìûõ áîëüøèõ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, çàòåì ñëåäóþùèå 23 ÷èñëà (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) è ò. ä., ïîâòîðèâ ýòó îïåðàöèþ 3k ðàç. Ïîñêîëüêó 2k × 35 - 3k × 23 = k , â ðåçóëüòàòå k ñàìûõ áîëüøèõ ÷èñåë óâåëè÷àòñÿ íà 2k 1, à îñòàëüíûå íà 2k. Ïîâòîðÿÿ òàêèå îïåðàöèè, ìîæíî çà íåñêîëüêî øàãîâ óìåíü100
øèòü ðàçíèöó ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì èç 35 ÷èñåë äî íóëÿ. A ðóáëåé, âî âòîðîì 250.  ïåðâîì êîøåëüêå áûëî A n - 1 2 A ðóáëåé, â îñòàëüíûõ ïî A ðóáëåé. A+ n - 1 2 Âî âñåõ êîøåëüêàõ (êðîìå ïåðâîãî) ïîñëå òîãî, êàê èç íèõ 1 áåðóò îêàçàâøåéñÿ òàì ñóììû, îñòàåòñÿ À ðóáëåé, ñëåäîâàn òåëüíî, ïåðåêëàäûâàåìàÿ ñóììà âî âñåõ ñëó÷àÿõ (êðîìå ñóìì, A ïåðåêëàäûâàåìûõ èç ïåðâîãî êîøåëüêà âî âòîðîé) ðàâíà . n -1 Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ êîøåëüêàõ, êðîìå ïåðâîãî è âòîðîãî, ñóììà äåíåã â ðåçóëüòàòå ïåðåêëàäûâàíèé íå ìîæåò èçìåíèòüñÿ. Îïðåäåëèòü ïåðâîíà÷àëüíûå ñóììû äåíåã â ïåðâîì è âî âòîðîì êîøåëüêå òåïåðü íåòðóäíî. 251. à) Íàçîâåì ñàìûé áîëüøîé ÿùèê ÿùèêîì ðàíãà n, ñëåäóþùèå ïî âåëè÷èíå äâà ÿùèêà ÿùèêàìè ðàíãà n 1, è ò. ä. äî ÿùèêîâ ðàíãà 1, â êîòîðûõ ëåæàò ìîíåòû. Ðàçíîñòü ÷èñëà îðëîâ è ðåøåê â êàêîì-íèáóäü ÿùèêå íàçîâåì äåôåêòîì ýòîãî ÿùèêà. Äåôåêò ñàìîãî áîëüøîãî ÿùèêà íàçîâåì îáùèì äåôåêòîì è îáîçíà÷èì ÷åðåç d. Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî âñåãäà íàéäåòñÿ ÿùèê, ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè âñåõ ìîíåò â êîòîðîì îáùèé äåôåêò óìåíüøàåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå âäâîå, òî çàäà÷à áóäåò ðåøåíà, ïîñêîëüêó d £ 2n è d âñåãäà ÷åòíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáùèé äåôåêò ïîëîæèòåëåí è ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè ìîíåò â ëþáîì ÿùèêå óìåíüøàåòñÿ ïî ìîäóëþ ìåíüøå ÷åì âäâîå. Òîãäà äåôåêò d¢ êàæäîãî ÿùèêà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó 1 d - 2d¢ > . 2 d (Ìû ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî îáùèé äåôåêò d ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè âñåõ ìîíåò â ÿùèêå ñ äåôåêòîì d¢ ìåíÿåòñÿ íà 2d¢ .) Òàêèì îáðàçîì, èëè d¢ < d 4 , èëè d¢ > 3d 4 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äåôåêò 3d > 1 , ïîñêîëüêó d êàæäîãî ÿùèêà ðàíãà 1 íå áîëüøå 3d/4 ( 4 ÷åòíî), çíà÷èò, d¢ < d 4 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äåôåêò ÿùèêà ðàíãà 2 íå áîëüøå d/2, à çíà÷èò, ìåíüøå d/4, îòñþäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äåôåêò ëþáîãî ÿùèêà ðàíãà 3 ìåíüøå d/4, è ò.ä. Ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ: ñ îäíîé ñòîðîíû, äåôåêò ÿùèêà ðàíãà n ìåíüøå d/4, ñ äðóãîé îí ïðîñòî ðàâåí d, è d > 0. á) 2n - 1 . 101
252. Çàôèêñèðóåì ïîëîæåíèå ïîðòðåòà îòöà. Èç èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ ïîðòðåòîâ ìû ìîæåì, ñîâåðøàÿ äâèæåíèå ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, «ïåðåãíàòü» ëþáîé ïîðòðåò òàê, ÷òî ïîðòðåò ñûíà îêàæåòñÿ ðÿäîì ñ ïîðòðåòîì îòöà. Ïîñëå ýòîãî ïðåäïèñàííûìè ïåðåñòàíîâêàìè âûñòðàèâàåì îñòàëüíûå ïîðòðåòû â ëþáîì íàïåðåä çàäàííîì ïîðÿäêå, à çàòåì, äâèãàÿñü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ñòàâèì íà íóæíîå ìåñòî ïîðòðåò ñûíà. Çàìå÷àíèå.  çàäà÷àõ, ãäå ðå÷ü èäåò î êàêèõ-òî ïðîöåññàõ èëè îïåðàöèÿõ, êîòîðûå ìîæíî ïðîäåëûâàòü ìíîãèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, êàê ïðàâèëî, íå íóæíî ñëåäèòü çà âñåìè ìåëî÷àìè. Òàê æå êàê â ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ, ãäå ðå÷ü èäåò î äâèæåíèè ñëîæíîé ñèñòåìû, îáû÷íî áûâàåò äîñòàòî÷íî ñëåäèòü çà íåêîòîðûìè îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè: ýíåðãèåé, èìïóëüñîì è ò.ä., òàê è â ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ î ïðîöåññàõ î÷åíü ÷àñòî íóæíî âûáðàòü îäíó êàêóþ-íèáóäü âåëè÷èíó â êà÷åñòâå «îñíîâíîé íàáëþäàåìîé» è ñëåäèòü çà åå èçìåíåíèåì.  çàäà÷å 248 òàêóþ ðîëü èãðàëà ñóììà âñåõ ÷èñåë òàáëèöû; â çàäà÷å 249 ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì èç äàííûõ ÷èñåë, â çàäà÷å 251, à) îáùèé äåôåêò; â çàäà÷å 251, á) óäîáíî ñëåäèòü çà òåì, êàê ìåíÿåòñÿ ÷èñëî ÿùèêîâ ðàíãà 2 ñ äåôåêòîì 0 è ò.ä. Ïîìíèòå, êàê äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåëüçÿ ïîäíÿòü ñåáÿ çà âîëîñû, êàê ýòî äåëàë áàðîí Ìþíõãàóçåí?  ñèñòåìå, íà êîòîðóþ íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, ñîõðàíÿåòñÿ èìïóëüñ! Òî÷íî òàê æå â ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ, ãäå íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷èòü êàêîé-òî ðåçóëüòàò ïîñëå ðÿäà îïåðàöèé çàâåäîìî íåâîçìîæíî, ÷àñòî ìîæíî íàéòè òàêóþ âåëè÷èíó èëè òàêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû, êîòîðûå ñîõðàíÿþòñÿ ïðè âñåõ îïåðàöèÿõ, îïèñûâàåìûõ â óñëîâèè çàäà÷è. Ïîñìîòðèòå, íàïðèìåð, ðåøåíèå çàäà÷è 253. 253. ×åòíîñòü ñóììû âûïèñàííûõ íà äîñêå ÷èñåë ïðè âûïîëíåíèè ðàçðåøåííîé îïåðàöèè íå èçìåíÿåòñÿ. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî âíà÷àëå ýòà ñóììà ðàâíà íå÷åòíîìó ÷èñëó: 1965 × 1966 1 + 2 + 3 + K + 1965 = = 1965 × 983 . 2 254. Òîëüêî ïðè n = 21,22,23,K Ýòà çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé îáðàòíîé çàäà÷å.  îäèí èç n ñòàêàíîâ íàëèòî À ìë âîäû, îñòàëüíûå ïóñòûå. Èç êàæäîãî ñòàêàíà ðàçðåøàåòñÿ ïåðåëèâàòü ïîëîâèíó èìåþùåéñÿ â íåì âîäû â ëþáîé äðóãîé ñòàêàí. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ n ìîæíî ðàçëèòü âîäó ïîðîâíó ïî âñåì ñòàêàíàì. 102
Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëå ëþáîãî ÷èñëà ïåðåëèâàíèé êîëè÷åñòâî k âîäû â ëþáîì ñòàêàíå èìååò âèä l A ìë, ãäå k è l íåêîòîðûå 2 íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó ïðè n, íå ÿâëÿþùåìñÿ ñòåïåíüþ 1 k ¹ , òî ïðè ýòèõ n ðàçëèòü âîäó ïîðîâíó ïî âñåì äâîéêè, n 2l ñòàêàíàì íåëüçÿ. 255. Çàïèøåì âìåñòî ïëþñîâ ïëþñ åäèíèöû, à âìåñòî ìèíóñîâ ìèíóñ åäèíèöû. Îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà òåïåðü âûãëÿäèò òàê: ñòèðàþòñÿ äâà ðÿäîì ñòîÿùèå ÷èñëà è âìåñòî íèõ âïèñûâàåòñÿ èõ ïðîèçâåäåíèå. à) Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî çà äâà øàãà ÷èñëà, ñòîÿùèå íà íå÷åòíûõ (ñîîòâåòñòâåííî, ÷åòíûõ) ìåñòàõ, ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðåäïèñàíî ïðàâèëàìè, ò.å. íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ îêàçûâàþòñÿ âïèñàííûìè èõ ïðîèçâåäåíèÿ. Äàëüøå ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî k. á) Ïåðåä òåì, êàê âñå ÷èñëà ñòàëè åäèíèöàìè, äîëæíû íà âñåõ ìåñòàõ ñòîÿòü ìèíóñ åäèíèöû, à ïåðåä ýòèì ìèíóñ è ïëþñ åäèíèöû äîëæíû ÷åðåäîâàòüñÿ. Íî ýòî ïðè íå÷åòíîì n íåâîçìîæíî. â) n = 2k 2l + 1 , ïðè÷åì ðàññòàíîâêà ïëþñîâ è ìèíóñîâ äîëæíà áûòü «ïåðèîäè÷åñêîé», ò.å. ñîñòîÿòü èç ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì 2l + 1 îäèíàêîâûõ ãðóïï ïî 2k ïëþñ è ìèíóñ åäèíèö. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî k, ÷òî ÷åðåç êàæäûå 2k øàãîâ ÷èñëà, ïîïàðíî îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà íà 2k (ò.å. ïåðâîå, 2k + 1 -å, 2 × 2k + 1 -å, è ò.ä.), ïðåîáðàçóþòñÿ òàê æå, êàê íàáîð èç 2l + 1 åäèíèö è ìèíóñ åäèíèö. 256. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî åñëè ÷åòíûå ÷èñëà çàìåíèòü íà +1, à íå÷åòíûå íà 1, òî óêàçàííîå â çàäà÷å ïðåîáðàçîâàíèå íàä çíàêàìè ÷èñåë â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèþ ñòðîêè +1 è 1 èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è. Çíà÷èò, ÷åðåç íåñêîëüêî øàãîâ âñå ïîëó÷åííûå íàìè ÷èñëà áóäóò ÷åòíûìè: ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ñòðîêà áóäåò ñîñòîÿòü èç îäíèõ 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñàìîå áîëüøîå èç ÷èñåë ïðè îïåðàöèè, óêàçàííîé â çàäà÷å, íå ìîæåò ðàñòè. Ýòèõ óêàçàíèé äîñòàòî÷íî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî çàïèñàòü, íàïðèìåð, òàê: äëÿ ðÿäà èç îäíèõ íóëåé óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî; ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ ðÿäîâ, ñîñòàâëåííûõ èç ÷èñåë, ìåíüøèõ 2m-1 , óòâåðæäåíèå äîêàçàíî, è äîêàæåì åãî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðÿäà ÷èñåë, ìåíüøèõ 2m ( m ³ 1 ). Ìû çíàåì, ÷òî ÷åðåç íåñêîëüêî øàãîâ ýòîò ðÿä ïðåâðàòèòñÿ â ðÿä èç ÷åòíûõ ÷èñåë: 2b1,2b2,K ,2b2n ,
103
ãäå êàæäîå ÷èñëî ìåíüøå 2m , ò.å. êàæäîå bk ìåíüøå 2m-1 . Íî ìû ïðåäïîëîæèëè ïî èíäóêöèè, ÷òî ðÿä b1, b2,K, b2n , ãäå âñå ÷èñëà ìåíüøå 2m-1 , ÷åðåç íåñêîëüêî øàãîâ ñòàíåò íóëåâûì. ßñíî, ÷òî òî æå ñàìîå ïðîèçîéäåò è ñ ðÿäîì 2b1,2b2,K ,2b2n . 257. Åñëè a + kd £ 10n < a + k + 1 d , ïðè÷åì d < 10n , ãäå k < n, òî a + k + 1 d < 2 × 10n . 258. Âîò îäèí èç ñïîñîáîâ. Ðàçîáüåì ðÿä íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà òàêèå êóñêè: 47444 8 } } 678 64748 644 1; 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9, 10; 11, 12, 13, 14, 15; K è áóäåì ïî î÷åðåäè îòíîñèòü ýòè êóñêè òî ê îäíîìó ìíîæåñòâó, òî ê äðóãîìó. Êîëè÷åñòâî ÷èñåë â n-ì êóñêå ðàâíî n, ïîýòîìó åñëè ðàçíîñòü áåñêîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâíà d, òî íà÷èíàÿ ñ d-ãî êóñêà íè îäèí êóñîê íå âòèñíåòñÿ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîãðåññèè. 259. Îòìåòüòå êðàñíûì êàðàíäàøîì òå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, äëÿ êîòîðûõ âñå íà÷èíàþùèåñÿ ñ íèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíå÷íîé äëèíû ïðèíàäëåæàò ïåðâîìó êëàññó, è ñèíèì êàðàíäàøîì òå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, äëÿ êîòîðûõ âñå íà÷èíàþùèåñÿ ñ íèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèíàäëåæàò âòîðîìó êëàññó; îñòàëüíûå îñòàâèì íåîòìå÷åííûìè. Ðàññìîòðèòå òðè ñëó÷àÿ (õîòÿ áû îäèí èç êîòîðûõ èìååò ìåñòî): 1) êðàñíûõ îòìåòîê áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî; 2) ñèíèõ îòìåòîê áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî; 3) íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, íèêàêèõ îòìåòîê íåò. 260.  ëþáîì ðàçðÿäå îäèííàäöàòè áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ñòîèò íàáîð èç îäèííàäöàòè öèôð, ñðåäè êîòîðûõ íàâåðíÿêà åñòü äâå îäèíàêîâûõ öèôðû. Ðàçðÿäîâ áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî. Çíà÷èò, êàêîé-òî íàáîð ïîâòîðÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîâïàäàþùèì öèôðàì äðîáè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ. 261. à) Âûáåðåì îäíîãî èç ýòèõ øåñòè ÷åëîâåê, íàçîâåì åãî À. Åñëè À çíàêîì ïî êðàéíåé ìåðå ñ òðåìÿ, òî ëèáî ýòè òðîå íå çíàêîìû ìåæäó ñîáîé, ëèáî íàéäåòñÿ òðîéêà ïîïàðíî çíàêîìûõ (À è åùå äâîå). Åñëè À çíàêîì íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ, òî ëèáî îñòàëüíûå òðîå çíàêîìû ìåæäó ñîáîé, ëèáî íàéäåòñÿ òðîéêà ïîïàðíî íåçíàêîìûõ (À è åùå äâîå èç òåõ, ñ êåì îí íå çíàêîì). á) Äëÿ êàæäîãî ìàòåìàòèêà íàéäóòñÿ øåñòü ìàòåìàòèêîâ, ñ êîòîðûìè îí ïåðåïèñûâàåòñÿ íà îäíîì ÿçûêå, ñêàæåì, íà àíãëèéñêîì. Åñëè èç ýòèõ øåñòè êàêèå-òî äâîå ïåðåïèñûâàþòñÿ ïîàíãëèéñêè, òî âñå äîêàçàíî. Åñëè âñå øåñòåðî ïåðåïèñûâàþòñÿ 104
ìåæäó ñîáîé òîëüêî ïî-ôðàíöóçñêè èëè ïî-ðóññêè, òî äåëî ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåé çàäà÷å. 262. Åñëè êòî-òî èç ìóøêåòåðîâ äîëæåí äðàòüñÿ íå áîëåå ÷åì ñ äâóìÿ, ò.å. ó íåãî íå ìåíåå øåñòè äðóçåé, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 261,à). Åñëè êòî-òî äîëæåí äðàòüñÿ ñ ÷åòûðüìÿ èëè áîëåå, òî òîæå âñå ÿñíî. Ñëó÷àé, êîãäà êàæäûé äîëæåí äðàòüñÿ ðîâíî ñ òðåìÿ, íåâîçìîæåí, ïîòîìó ÷òî ÷èñëî 9×3 ïîëó÷àåòñÿ ïðè ýòîì íå öåëûì. äóýëåé 2 263. Ðàññìîòðèì òîãî ó÷àñòíèêà, êîòîðûé ñûãðàë íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ïàðòèé. Òîãäà êàæäûé èç k øàõìàòèñòîâ, ñ êîòîðûìè îí âñòðå÷àëñÿ, ñûãðàë íå áîëåå 10 k + 1 = 11 k ïàðòèé (èç ýòèõ k øàõìàòèñòîâ íèêàêèå äâîå íå èãðàëè ìåæäó ñîáîé). Êàæäûé èç îñòàëüíûõ 10 k øàõìàòèñòîâ ñûãðàë íå áîëåå k ïàðòèé. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî ñûãðàííûõ ïàðòèé íå ïðåâîñõîäèò 1 k + k 11 - k + 10 - k k = k 11 - k . 2 Ïðè öåëûõ k ³ 0 ýòî ÷èñëî íå áîëüøå 30. 264. Äîêàæèòå ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 1) Ãîðîä À, â êîòîðûé âåäåò íàèáîëüøåå ÷èñëî ïóòåé èç äðóãèõ ãîðîäîâ, ëåãêî äîñòóïåí. 2) Âûäåëèì ãîðîäà, â êîòîðûå ìîæíî ïîïàñòü èç Â, è ñðåäè íèõ âûáåðåì ãîðîä À, â êîòîðûé âåäåò íàèáîëüøåå ÷èñëî ïóòåé èç âûäåëåííûõ ãîðîäîâ. Ðèñ. 36 Òîãäà  ëåãêî äîñòóïåí. 3) Âûäåëèì ãîðîäà, â êîòîðûå ìîæíî ïîïàñòü èç  (ïî÷åìó îíè åñòü?), è ñðåäè íèõ âûáåðåì ãîðîä Ñ, â êîòîðûé âåäåò íàèáîëüøåå ÷èñëî ïóòåé èç âûäåëåííûõ ãîðîäîâ. Òîãäà Ñ ëåãêî äîñòóïåí. Óæå äëÿ 4-õ ãîðîäîâ ìîæíî òàê óñòðîèòü ñîîáùåíèå, ÷òî ÷åòûðåõ ëåãêî äîñòóïíûõ ãîðîäîâ íå áóäåò. Òàê, íà ðèñóíêå 36 ãîðîä D òàêîâûì íå ÿâëÿåòñÿ. 265. Ðàññàäèì ðûöàðåé êàê-òî çà êðóãëûì ñòîëîì. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ãäå-òî ðÿäîì ñèäÿò äâà âðàãà À è  (À Ðèñ. 37 105
ñèäèò ïîñëå  ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå), òî ìîæíî ïåðåñàäèòü ðûöàðåé òàê, ÷òî ÷èñëî ïàð ñèäÿùèõ ðÿäîì âðàãîâ óìåíüøèòñÿ. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ìåñòî, ãäå ïîñëå A¢ (äðóãà À) ñèäèò B¢ (äðóã Â) (äîêàæèòå, ÷òî òàêîå ìåñòî îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ!), è ïåðåñàäèì âñþ öåïî÷êó îò  äî A¢ â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ðèñ.37). Çàìå÷àíèå. Ïðåäûäóùèå øåñòü çàäà÷ îòíîñÿòñÿ ê ðàçäåëó ìàòåìàòèêè, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ òåîðèÿ ãðàôîâ. Ãðàô (ðèñ.38) ýòî ñèñòåìà òî÷åê (âåðøèí ãðàôà), íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû ëèíèÿìè (îíè íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè ãðàôà). Êîíå÷íî, çàäà÷è 260 265 íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ òåîðèè ãðàôîâ, òîëüêî ôîðìóëèðîâêè ïîëó÷èëèñü áû áîëåå îäíîîáðàçÐèñ. 38 íûå è ñêó÷íûå. Íî âî âñÿêîì ñëó÷àå, ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ î÷åíü ïîëåçíî ðèñîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôû. Õîòÿ òåîðèÿ ãðàôîâ, êàê ñàìîñòîÿòåëüíàÿ âåòâü ìàòåìàòèêè, âîçíèêëà ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî, â íåé óæå íàêîïèëîñü ìíîãî ðàçëè÷íûõ ïîíÿòèé è òåîðåì, îíà áûñòðî ðàçâèâàåòñÿ è íàõîäèò ðàçíîîáðàçíûå ïðèìåíåíèÿ â ýêîíîìèêå (òåîðèÿ òðàíñïîðòíûõ ñåòåé, ñåòåâûå ãðàôèêè â ïëàíèðîâàíèè è ïð.), òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è âíóòðè ìàòåìàòèêè. 266. Âûáåðåì îäíîãî èç äðóæèííèêîâ. Åñëè áû îïèñàííîå â çàäà÷å ðàñïðåäåëåíèå äåæóðñòâ áûëî âîçìîæíî, òî îñòàëüíûå 99 äðóæèííèêîâ ìîãëè áû ðàçáèòüñÿ íà ïàðû, êîòîðûå äåæóðèëè âìåñòå ñ âûáðàííûì äðóæèííèêîì, íî 99 íå÷åòíîå ÷èñëî. 267.  îòðÿäå äîëæíî áûòü ñåìü ÷åëîâåê; êàæäûé äîëæåí äåæóðèòü ïî òðè ðàçà; îäíî èç âîçìîæíûõ ðàñïèñàíèé â òàáë.1. Òàáëèöà 1
Ñíà÷àëà äîêàæèòå, ÷òî êàæäûé äîëæåí äåæóðèòü ïî òðè ðàçà. Èíòåðåñíî, ÷òî ëþáûå äâà ðàñïèñàíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì äíåé è íóìåðàöèåé äðóæèííèêîâ. Ïîïðîáóéòå ýòî äîêàçàòü! 106
268. Èç ïðèñóòñòâîâàâøèõ íà êàæäîì çàñåäàíèè ìîæíî 10 × 9 = 45 ïàð ÷åëîâåê. Êàæäàÿ ïàðà ÷ëåíîâ êîìèññèè âûáðàòü 2 ìîãëà âñòðåòèòüñÿ íå áîëåå ÷åì íà îäíîì çàñåäàíèè. Âñåãî çàñåäàíèé áûëî 40, ñëåäîâàòåëüíî, âñåãî ïàð ÷ëåíîâ êîìèññèé ñóùåñòâóåò ìåíåå 45 × 40 = 1800 . Íî èç 60 ÷åëîâåê ìîæíî ñîñòà60 × 59 < 1800 ïàð. âèòü òîëüêî 2 269. Íåò. Òðîå øàõìàòèñòîâ ìîãóò íàáðàòü ìàêñèìóì 24 î÷êà (3 â ïàðòèÿõ ìåæäó ñîáîé è 21 â ïàðòèÿõ ñ îñòàëüíûìè), à 7×6 = 21 ïàðòèþ, ò.å. îñòàëüíûå ñåìåðî ñûãðàëè ìåæäó ñîáîé 2 íàáðàëè âìåñòå íå ìåíåå 21 î÷êà. 270. Ïÿòü ïàðòèé; øåñòü ðàçëè÷íûõ ðàñïèñàíèé. Åñëè óêàçàòü, ñ êåì èãðàåò ïàðà íàçîâåì åå êîìàíäîé A; B è (À; òîò, êòî íå ó÷àñòâóåò â èãðå ïðîòèâ ïàðû A; B ), òî îñòàëüíûå ïàðòèè ñîñòàâëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð, åñëè ïåðâûå äâå ïàðû êîìàíä A; B è C; D , à âòîðûå A; E è B; C , òî ñëåäóþùèå 3 ïàðû êîìàíä ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà èõ ïåðå÷èñëåíèÿ ýòî E; D è A; C ; B; D è C; E ; A; D è B; E . Äëÿ ïîäñ÷åòà êîëè÷åñòâà ðàñïèñàíèé çàìåòèì, ÷òî íà÷àëüíóþ ïàðó êîìàíä ñ èãðîêîì À ìîæíî âûáðàòü èç ÷åòâåðêè À, Â, Ñ, D òðåìÿ ñïîñîáàìè, à âòîðóþ ïàðó, êîòîðîé ïðåäñòîèò èãðàòü ñ êîìàíäîé A; E , åùå äâóìÿ. Îñòàëüíûå ïàðû îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Èòîãî èìååòñÿ 3 ´ 2 = 6 ðàñïèñàíèé. 271. Á 4; à 3;  2,5; Å è À ïî 2; Ä 1. Ïîñòàðàéòåñü ïîñëåäîâàòåëüíî îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå âîïðîñû. Êòî áûë ïåðâûì, ñêîëüêî î÷êîâ îí íàáðàë? Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî î÷êîâ, èñõîäÿ èç óñëîâèÿ çàäà÷è, ìîãëè íàáðàòü Ä, Å è À? Ñêîëüêî î÷êîâ íàáðàëè à è Ä? 272.  òàáëèöå 2 íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà ñòîÿò êîëè÷åñòâà î÷êîâ, ïîëó÷åííûå Òàáëèöà 2 â èãðå êîìàíäû Ai ñ êîìàíäîé Aj . Íå çàáûâàéòå ïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî âñå ó÷àñòíèêè íàáðàëè ðàçíîå êîëè÷åñòâî î÷êîâ. Ñíà÷àëà ðàçáåðèòåñü, êàê ñûãðàëè ñâîè ïàðòèè ïåðâûå äâîå. Çàìå÷àíèå. Êîíå÷íî, êîëè÷åñòâî çàäà÷ ïðî ðàçëè÷íûå òóðíèðû ìîæíî áûëî áû çíà÷èòåëüíî óâå107
ëè÷èòü, íî âñå îíè ðåøàþòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâî. ×òîáû îêîí÷àòåëüíî ðàñïðàâèòüñÿ ñ ýòèìè çàäà÷àìè, ñîâåòóåì âàì ðåøèòü òàêîé îáùèé âîïðîñ: êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë a1, a2,K , an , ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðèäóìàòü òóðíèð n øàõìàòèñòîâ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïåðâûé íàáðàë a1 î÷êîâ, âòîðîé a2 î÷êîâ, ..., n-é an î÷êîâ (çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî a1 ³ a2 ³ K ³ an ³ 0 , è 2ak öåëîå ÷èñëî äëÿ âñåõ k). Îêàçûâàåòñÿ, íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1, a2,K , an , ìîæíî çàïèñàòü òàê: 1) an + an -1 ³ 1 , 2) an + an -1 + an - 2 ³ 3 , ................ k) an + an -1 + K + an - k ³ ................
k k + 1 2
n 2) an + an -1 + K + a2 ³
n - 2 n - 1 ,
n 1) an + an -1 + K + a2 + a1 =
2
n - 2 n 2
.
273. Åñëè ê äàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè â èãðàõ ïðèíèìàëè ó÷àñòèå m + 1 êîìàíä, òî êàæäàÿ èç íèõ ñûãðàëà íå áîëåå m ìàò÷åé. Òàêèì îáðàçîì, âñå ýòè êîìàíäû ìîæíî ðàçáèòü íà m ãðóïï: ïåðâàÿ ãðóïïà êîìàíäû, ñûãðàâøèå ïî îäíîé èãðå, âòîðàÿ ãðóïïà êîìàíäû, ñûãðàâøèå ïî äâå èãðû, è ò.ä.  íåêîòîðûõ ãðóïïàõ ìîæåò íå áûòü íè îäíîé êîìàíäû, íî ïîñêîëüêó êîìàíä âñåãî m + 1, à ãðóïï m, òî îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ ãðóïïà, â êîòîðóþ âõîäÿò ïî êðàéíåé ìåðå äâå êîìàíäû. Çàìå÷àíèå. Ìû ñïåöèàëüíî òàê ïîäðîáíî ðàçîáðàëè ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, ÷òîáû âûäåëèòü òî ïðîñòîå ðàññóæäåíèå, êîòîðîå ëåæèò â îñíîâå äîêàçàòåëüñòâà.  äðóãèõ òåðìèíàõ åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: «åñëè â m ÿùèêàõ ëåæàò m +1 ïðåäìåòîâ, òî íàéäåòñÿ ÿùèê, â êîòîðîì ëåæàò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ïðåäìåòà». Òàêîå ðàññóæäåíèå èñïîëüçóåòñÿ è â íåñêîëüêèõ ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ. Ñ åãî ïîìîùüþ äîêàçûâàåòñÿ öåëûé ðÿä êðàñèâûõ òåîðåì, è îíî èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå ïðèíöèï Äèðèõëå. Âîò îäèí õàðàêòåðíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ïðèíöèïà Äèðèõëå: 108
Òåîðåìà. Åñëè öåëûå ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòû, òî íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k, äëÿ êîòîðîãî ak - 1 äåëèòñÿ íà b. k Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÷èñëà 1, a, a2,K , a è âûïèøåì èõ îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà b. Òàê êàê ýòèõ ÷èñåë b + 1, à ðàçëè÷íûõ îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà b ñóùåñòâóåò òîëüêî b (à èìåííî 0, 1, ..., b 1), òî ñðåäè ýòèõ ÷èñåë íàéäóòñÿ äâà ÷èñëà, äàþùèå îäèíàêîâûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà b. Ïóñòü ýòè ÷èñëà a n1 è a n2 ( n1 < n2 ). Òîãäà èõ ðàçíîñòü a n2 - n1 - 1 a n äåëèòñÿ
n -n íà b, à ïîñêîëüêó à è b âçàèìíî ïðîñòû, òî è a 2 1 - 1 äåëèòñÿ íà b.
274. Êàêèå-òî äâà èç äàííûõ ÷èñåë äàþò ïðè äåëåíèè íà n îäèíàêîâûå îñòàòêè. Èõ ðàçíîñòü è äåëèòñÿ íà n. 275. Åñëè n íå äåëèòñÿ íè íà 2, íè íà 5, ñðåäè ÷èñåë 1, 11, 111, 1111,
, 111 1 42K 4 31 ,
íàéäóòñÿ äâà, äàþùèå ïðè äåëåíèè íà n n
îäèíàêîâûå îñòàòêè. Èõ ðàçíîñòü èìååò âèä 11 K 100 K 0 . ×èñëî { 123
111 K 1 42 4 31 äåëèòñÿ íà n.
m
l
m
Åñëè n = 2k × 5l × n¢ , ãäå n¢ íå äåëèòñÿ íè íà 2, íè íà 5, ñëåäóåò ê ÷èñëó èç îäíèõ åäèíèö, äåëÿùåìóñÿ íà n¢ , ïðèïèñàòü íóæíîå êîëè÷åñòâî íóëåé. 276. Ïóñòü a1 < a2 < K < an +1 äàííûå ÷èñëà. Âûäåëèì â ai ñòåïåíè äâîéêè, ò.å. çàïèøåì ai â âèäå ai = 2ki ai¢ , ãäå ki ³ 0 , à a¢i íå÷åòíîå ÷èñëî (i = 1, 2,
, n + 1). Ñðåäè ÷èñåë a¢i íå áîëüøå n ðàçëè÷íûõ (ïî÷åìó?), íî òîãäà êàêèå-òî äâà èç íèõ ñîâïàäàþò. Åñëè ai¢ = a ¢j , òî îòíîøåíèå a j ê ai ñòåïåíü äâîéêè. 277. à) 67. Çàïèøåì âñå ÷èñëà îò 1 äî 100 â òàáëèöó (ñì. òàáë. 3), â êàæäîé ñòðîêå êîòîðîé îòíîøåíèå ëþáûõ äâóõ ÷èñåë ñòåïåíü äâîéêè. Ïîñìîòðèì, êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ, ìîæíî âçÿòü èç êàæäîé ñòðîêè: èç ïåðâîé 4, èç âòîðîé è òðåòüåé ïî 3 è ò.ä. Åñëè æå âçÿòü 68 ÷èñåë, òî ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîé èç ñòðîê òàáëèöû îêàæåòñÿ áîëüøå ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîãî êîëè÷åñòâà ÷èñåë, ïðè ýòîì îäíî èç íèõ îêàæåòñÿ âäâîå áîëüøå äðóãîãî. á) 217 = 131072 . Èç ïåðâîé è òðåòüåé ñòðîê íóæíûå ÷èñëà âûáèðàþòñÿ îäíîçíà÷íî, èç âòîðîé äâóìÿ ñïîñîáàìè, èç 109
Òàáëèöà 3
÷åòâåðòîé, ïÿòîé è øåñòîé òîæå äâóìÿ ñïîñîáàìè, îò 7-é äî 13-é îäíîçíà÷íî, îò 14-é äî 25-é äâóìÿ ñïîñîáàìè. Íàêîíåö, èç âñåõ îñòàâøèõñÿ ñòðîê, ñîñòîÿùèõ èç îäíîãî ÷èñëà, òàêæå îäíîçíà÷íî. Èòîãî êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ âûáîðîê ðàâíî 217 , ïîñêîëüêó â òî÷íîñòè èç 17 ñòðîê âûáîð ÷èñåë ìîæíî îñóùåñòâèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè. 278. à) Ïóñòü a1 < a2 < K < an +1 äàííûå ÷èñëà. Âûa2, a3,K , an +1 , ïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî äâå ãðóïïû ÷èñåë 144244 3 n ÷èñåë
an +1 - a1, an - a1,K , a2 - a1 . Âñåãî âûïèñàíî 2n ÷èñåë, íå ïðåâîñ144444244444 3 n ÷èñåë
õîäÿùèõ 2n 1. Çíà÷èò, ñðåäè íèõ åñòü 2 ñîâïàäàþùèõ ÷èñëà. Íî òîãäà ïðè íåêîòîðûõ k è l áóäåò ak - a1 = al , ò.å. ak = al + a1 . (Ìû äîêàçàëè äàæå íåñêîëüêî áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå.) á) Ðàññìîòðèòå ðÿä èç 2k 1 ÷èñåë: a2, a3,K ak, ak +1 - a1, ak - a1, ak - a1,K , a2 - a1 . 279. Ïóñòü x1 ñóììà ïåðâîãî ÷èñëà è åãî íîìåðà, x2 ñóììà âòîðîãî ÷èñëà è åãî íîìåðà, è ò.ä. Ðàññìîòðèì îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë x1, x2,K , xn íà 2n, è äîêàæåì, ÷òî êàêèå-òî äâà èç íèõ ðàâíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå îñòàòêè ðàçëè÷íû. Òîãäà èõ ñóììà ðàâíà 2n 2n - 1 0 + 1 + 2 + K + 2n - 1 = . 2 110
Î÷åâèäíî, ÷òî ñóììà ÷èñåë x1, x2,K , x2n ìèíóñ ñóììà îñòàòêîâ äåëèòñÿ íà 2n. Íî x1 + K + x2n = 2 ×
2n 2n + 1 è ðàçíîñòü 2
2n 2n + 1 2n 2n - 1 3ö æ = 2n ç n + ÷ è 2 2 2ø íå äåëèòñÿ íàöåëî íà 2n. Ïðîòèâîðå÷èå. 280. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è âèäíî, ÷òî åñëè ïåðâûé ñëîé â áàøíå çàäàí, òî ïî íåìó åäèíñòâåííûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ âòîðîé ñëîé, ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ñëîþ îäíîçíà÷íî ñòðîèòñÿ òðåòèé è ò. ä. Òàê ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íóþ áàøíþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì çàäà÷è. Ïîñòàðàåìñÿ îáðåçàòü ýòó áåñêîíå÷íóþ áàøíþ òàê, ÷òîáû óñëîâèÿ ñîñåäñòâà áûëè âûïîëíåíû âî âñåõ ñëîÿõ, â òîì ÷èñëå è â âåðõíåì. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ïàðû ñîñåäíèõ ñëîåâ. Òàê êàê ÷èñëî òàêèõ ïàð êîíå÷íî, òî â áåñêîíå÷íîé áàøíå âñòðåòÿòñÿ äâå îäèíàêîâûå ïàðû ñëîåâ. Íî åñëè äâà ýòàæà áàøíè ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò ñ äâóìÿ äðóãèìè ýòàæàìè, òî ýòàæè ïîä íèìè òîæå ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäóò. Ïóñòü k-é ýòàæ ñîâïàäàåò ñ l-ì, a k + 1-é ñ l + 1-ì. Òîãäà ñîâïàäàþò k 1-é ýòàæ ñ l 1-ì, k 2-é ñ l 2-ì, è ò. ä. Îáîçíà÷èì |l k| ÷åðåç n. Òîãäà, î÷åâèäíî, n + 2-é ýòàæ áóäåò ñîâïàäàòü ñî 2-ì, à n +1-é ñ 1-ì. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî åñëè ïî ïåðâûì äâóì ýòàæàì ïî îáùåìó ïðàâèëó ñîñåäñòâà ïîñòðîèòü íóëåâîé ýòàæ, ýòîò íóëåâîé ýòàæ áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïåðâûì. Òàêèì îáðàçîì, n + 1-é è n-é ýòàæè îáà ñîâïàäàþò ñ ïåðâûì ýòàæîì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî n-é ýòàæ ìîæíî ñ÷èòàòü âåðõíèì, åñëè îáðåçàòü íà íåì áàøíþ, òî âñå óñëîâèÿ áóäóò âûïîëíåíû. 281. Ïóñòü p1, p2,K , pn âñåâîçìîæíûå ïðîñòûå ìíîæèòåëè äàííûõ ÷èñåë. Äîêàæåì, ÷òî ìîæíî âûáðàòü òàêîé îòðåçîê â äàííîì ðÿäó ÷èñåë, â êîòîðîì êàæäîå èç pk âñòðå÷àåòñÿ ìíîæèòåëåì ÷åòíîå ÷èñëî ðàç. Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíèå âñåõ ÷èñåë â ýòîì îòðåçêå áóäåò ïîëíûì êâàäðàòîì. Âûïèøåì ñëåâà îò ðÿäà äàííûõ ÷èñåë ñòîëáèêîì ÷èñëà p1, p2,K , pn è ïîä êàæäîé çàïÿòîé, îòäåëÿþùåé îäíî èç äàííûõ ÷èñåë îò äðóãîãî, áóäåì ïðîòèâ ÷èñëà pk ïèñàòü 0, åñëè îíî âñòðå÷àåòñÿ äî ýòîé çàïÿòîé ÷åòíîå ÷èñëî ðàç â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ äàííûõ ÷èñåë, è 1, åñëè îíî âñòðå÷àåòñÿ íå÷åòíîå ÷èñëî ðàç. Íàïèøåì òàêîé ñòîëáåö òàêæå ïåðåä ïåðâûì ÷èñëîì â íàøåì ðÿäó (îí áóäåò ñîñòîÿòü èç îäíèõ íóëåé), à òàêæå â ñàìîì êîíöå, ïîñëå ïîñëåäíåãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, ïîëó÷åííàÿ òàáëèöà èç íóëåé è åäèíèö ìîæåò âûãëÿäåòü òàê (ñì. òàáë. 4). 2×
111
Òàáëèöà 4
Âñåãî ñóùåñòâóåò 2n ðàçëè÷íûõ ñòîëáöîâ èç åäèíèö è íóëåé, ïîýòîìó ñðåäè 2n + 1 ñòîëáöà â íàøåé òàáëèöå âñòðåòÿòñÿ äâà îäèíàêîâûõ. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñîîòâåòñòâóþùåì îòðåçêå ðÿäà äàííûõ ÷èñåë êàæäîå pk âñòðå÷àåòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî ðàç. 282. Åñëè ðàçíîñòåé, ðàâíûõ åäèíèöå, íå áîëüøå òðåõ, ðàçíîñòåé, ðàâíûõ 2, íå áîëüøå 3, è ò. ä., òî
a20 - a19 + a19 - a18 + K + a2 - a1 + a1 ³ ³ 3 × 1 + 3 × 2 + K + 3 × 6 + 7 + 1 = 71 . Ïðèíöèï Äèðèõëå çäåñü íå íóæåí. 283. Ïóñòü m ÷èñëî öèôð ó íàèáîëüøåãî èç ÷èñåë. Ê êàæäîìó èç íàøèõ ÷èñåë, ó êîòîðîãî n < m öèôð, äîïèøåì âñåìè âîçìîæíûìè ñïîñîáàìè åùå m n öèôð: òîãäà âìåñòî îäíîãî nçíà÷íîãî ÷èñëà ó íàñ áóäåò 10n - m m-çíà÷íûõ ÷èñåë. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå ÷èñëà ðàçëè÷íû, îòêóäà
10m -1k1 + 10m - 2 k2 + K < 9 × 10m -1 . 284. Âìåñòå ñ êàæäûì èç k ìàðñèàíñêèõ ñëîâ äëèíû n ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ñëîâà, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ îò íåãî òîëüêî îäíîé áóêâîé (â îäíîì ìåñòå). Ïîëó÷åííûå k ãðóïï ïî n + 1 ñëîâó â êàæäîé íå ïåðåñåêàþòñÿ (ò.å. êàæäîå ñëîâî ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ òîëüêî â îäíîé ãðóïïå), ïîýòîìó k n + 1 < 2n . 285. 2n- 2 . Äîêàæèòå, ÷òî â ðåçóëüòàòå ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ëþáàÿ äðîáü, ó êîòîðîé x1 ñîñòîèò â ÷èñëèòåëå, à x2 â çíàìåíàòåëå. Ýòî ìîæíî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè. Åñëè â íåêîòîðîå âûðàæåíèå x1 : K : xn âìåñòî xn ïîäñòàâèòü xn : xn +1 òî â îêîí÷àòåëüíîì ðåçóëüòàòå xn +1 áóäåò ñòîÿòü â ÷èñëèòåëå, åñëè xn ñòîÿëî â çíàìåíàòåëå, è íàîáîðîò. Åñëè â âûðàæåíèå x1 : K : P : xn , ãäå Ð íåêîòîðàÿ ñêîáêà èëè ïðîñòî áóêâà xn -1 ïîäñòàâèòü âìåñòî
P : xn : xn +1 , òî
P : xn
ñêîáêó
xn +1 áóäåò ñòîÿòü òàì æå, ãäå xn . Èíäóêöèþ íóæíî íà÷èíàòü ñ n = 3. 286. Ñóùåñòâóåò 2k+1 - 2 ðàçëè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê è òèðå äëèíû íå áîëåå ÷åì k. Åñëè k £ log 2 n - 1 , òî 2k +1 - 2 £ n - 2 < n . 112
287. à) ×åòûðüìÿ âçâåøèâàíèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî íåëüçÿ âûäåëèòü ôàëüøèâóþ ìîíåòó ìåíüøèì ÷èñëîì âçâåøèâàíèé, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ñîîáðàæåíèè: ïóñòü ïîñëå êàêîãîòî âçâåøèâàíèÿ îñòàëîñü m ïîäîçðèòåëüíûõ ìîíåò. Ñëåäóþùåå âçâåøèâàíèå ìîæåò äàòü îäèí èç òðåõ ðåçóëüòàòîâ: ïðàâàÿ ÷àøêà òÿæåëåå, ëåâàÿ ÷àøêà òÿæåëåå, ðàâíîâåñèå; ïóñòü êîëè÷åñòâî ìîíåò, îñòàþùèõñÿ ïîäîçðèòåëüíûìè ïîñëå êàæäîãî èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ, ðàâíî ñîîòâåòñòâåííî m1, m2, m3 . Ïîñêîëüêó m . Òàêèì m1 + m2 + m3 ³ m , îäíî èç ÷èñåë m1, m2, m3 íå ìåíåå 3 îáðàçîì, çà k âçâåøèâàíèé ÷èñëî ïîäîçðèòåëüíûõ ìîíåò ìîæåò óìåíüøèòüñÿ íå áîëåå ÷åì â 3k ðàç. Âçâåøèâàíèå ìîíåò ìîæíî ïðîèçâîäèòü òàê: ñðàâíèòü äâå ãðóïïû ïî 27 òîãäà ÷èñëî ïîäîçðèòåëüíûõ ìîíåò óìåíüøèòñÿ äî 27 (èëè äî 26), çàòåì ñðàâíèòü äâå ãðóïïû ïî 9 èç ÷èñëà ïîäîçðèòåëüíûõ, è ò.ä. á) Íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, áîëüøåå èëè ðàâíîå log 3 n . 288. Ñîñòàâëÿÿ ïëàí âçâåøèâàíèé, ïîëåçíî ïîìíèòü, ÷òî k âçâåøèâàíèÿìè ìîæíî âûáðàòü îäèí âàðèàíò íå áîëåå ÷åì èç 2k âàðèàíòîâ. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïîðÿäêîâ âçâåøèâàíèÿ: âîçüìåì äâå êàêèå-ëèáî ïàðû ãðóçèêîâ: (1, 2) è (3, 4). Ïóñòü 1 KC, íî òîãäà ME > > EC. Ðèñ. 78 143
388. Èñêîìàÿ òî÷êà Ì îñíîâàíèå âûñîòû ÂÌ òðåóãîëüíèêà ABC. 389. Ïóñòü D, E, J óãëû òðåóãîëüíèêà, ïðè÷åì E > D . Òîãäà J 180° = D + E + J < 2E + J , îòêóäà E + > 90° . Íî ýòî è òðåáîâà2 ëîñü. 390. Îñü ñèììåòðèè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ëèáî äèàãîíàëü, ëèáî ñðåäíÿÿ ëèíèÿ. 391. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü íà äèàãîíàëè, ïðîâåäåííîé èç îñòðîãî óãëà, êàê íà äèàìåòðå. 392. Åñëè áû áûëà òî÷êà, íå ïîêðûâàåìàÿ ýòèìè êðóãàìè, òî êàæäàÿ ñòîðîíà áûëà áû âèäíà èç ýòîé òî÷êè ïîä óãëîì ìåíüøèì 90° . 393. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òðè âåðøèíû êâàäðàòà ëåæàò íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà (ðèñ.79,à, á). Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ðàñïîëîæåííîãî òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.79,á, íå ïðåâîñõîäèò ïîëîâèíû ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà.
Ðèñ. 79
394. Âíà÷àëå ïîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íå óìåíüøàåòñÿ, åñëè, íå ìåíÿÿ óãëà ìåæäó îòðåçêàìè äëèíû 1, ïåðåäâèíóòü èõ òàê, ÷òîáû èõ îáùèé êîíåö ëåæàë íà áèññåêòðèñå äàííîãî óãëà. Çàòåì ïîêàæèòå, ÷òî êàæäûé èç ýòèõ îòðåçêîâ âûãîäíî ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû îí îòñåêàë îò ïîëîâèíû äàííîãî óãëà ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. 395. Äîêàæèòå, ÷òî AM ^ OA . 396. Äîêàæèòå, ÷òî ó ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ïëîùàäè 1 õîòÿ áû îäíà èç âûñîò íå áîëüøå âûñîòû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà òàêîé æå ïëîùàäè. 397. Òî÷êè À è  êîíöû äèàãîíàëè êâàäðàòà. Óêàçàíèå. Ìîæíî ñ÷èÐèñ. 80 òàòü, ÷òî  âåðøèíà êâàäðàòà À = 144
= 1. Ïóñòü À ðàñïîëîæåíà òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå (ðèñ.80). Òîãäà ñóììà ðàññòîÿíèé îò À äî âåðøèí ðàâíà S = 1 + cos D +
+
cos D - sin D 2 + cos2 D .
Î÷åâèäíî, ÷òî 0 £ D £
S è òîãäà 4
S çíà÷åíèå 1 + 2 4 äîñòèãàåòñÿ.  ñëó÷àÿõ, êîãäà À ñòîðîíà êâàäðàòà èëè À S ³ 2 cos D + 1 ³ 1 + 2 , ïðè÷åì ïðè D =
âåðøèíà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò À äî âåðøèí áîëüøå, ÷åì 1 + 2 . 398. Ì ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû. 399. Ýòî òðåóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé îñíîâàíèÿìè âûñîò òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. 400. Ýòî òî÷êà, èç êîòîðîé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà âèäíû ïîä óãëàìè 120° , åñëè íàèáîëüøèé èç óãëîâ ìåíüøå 120° , è âåðøèíà òóïîãî óãëà, åñëè ýòîò óãîë íå ìåíüøå 120° . 401. Åñëè AB¢ = AC ¢ .  ýòîì ñëó÷àå òî÷êè B¢ è C¢ ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè êàñàíèÿ âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè ñ ïðîäîëæåíèÿìè ñòîðîí À è ÀÑ (ðèñ.81). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü ñëåäóþùåå: åñëè õ òàêàÿ òî÷êà íà ñòîðîíå ÂÑ, ÷òî BX = BB¢ , à CX = CC ¢ , òî S+D ÐB¢XC ¢ = . Åñëè R ðàäèóñ 2 îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðå- Ðèñ. 81 S+D D = 2R cos óãîëüíèêà B¢XC ¢ , òî B¢C ¢ = 2R sin è B¢C ¢ 2 2 áóäåò ìèíèìàëüíà ïðè ìèíèìàëüíîì R. Îäíàêî èç âñåõ îêðóæíîñòåé, ïåðåñåêàþùèõ ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîí À è ÀÑ ñòîðîíó ÂÑ, íàèìåíüøèé ðàäèóñ èìååò âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. 402. à) Ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòåé. á) Ëó÷, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ðàäèóñó, ïðîõîäÿùåìó ÷åðåç äàííóþ òî÷êó (ñì. òàêæå çàäà÷ó 395). 403. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. 404. Ýòî ïðÿìàÿ, îòðåçîê êîòîðîé, âûñåêàåìûé íà íåé ñòîðîíàìè óãëà, äåëèòñÿ äàííîé òî÷êîé ïîïîëàì. 405. Îäíà èç äèàãîíàëåé ðîìáà ñîâïàäàåò ñ äèàãîíàëüþ ïðÿìîóãîëüíèêà. 406. Ïëîùàäü îäíîãî èç òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÕ, ÂÕÑ, CZD, DZE, EYF è FAY (ðèñ.82) íå áîëüøå 1/6 ïëîùàäè øåñòèóãîëüíèêà. Ïóñòü, íàïðèìåð, ýòî òðåóãîëüíèê ÀÕÂ, íî òîãäà îäíà èç 145
ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÑ èëè ABF íå áîëüøå ïëîùàäè ÀÕÂ. 407. 30°, 60°, 90° . 408. 70° . Óêàçàíèå. Ïóñòü K òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ÑÎ è áèññåêòðèñû óãëà ÂÀÎ (ðèñ.83). Äîêàæèòå ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ AKB è AKO. 409. 60°, 120° . Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò âåðøèÐèñ. 82 íû Ñ äî îðòîöåíòðà ðàâíî 2R cos C , ãäå R ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 410. 18°, 18°, 144° . 411. 45° èëè 135° . Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 409. 412. 1. Ïóñòü À áèññåêòðèñà óãëà À (ðèñ.84). Äîêàæèòå, ÷òî 'ABC » 'LAC . Èç ýòîãî ïîäîÐèñ. 83 áèÿ ñëåäóåò, ÷òî a2 = b2 + bc , îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî a = 3 . Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ïðÿìîóãîëüíûé ( ÐC = 90° ) è ÐA = 60° . 2k . Âîñïîëüçóéòåñü 413. k + 1 2 Ðèñ. 84 òåì, ÷òî äèàãîíàëü ðîìáà áèññåêòðèñà óãëà òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. 414. 13S. rR R + r . 415. R-r 3± 5 416. . 2 417. c2 + s2 . 418. tmn, tm2, t m2 - n2 , ãäå m è n âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, m < n < 2m, t ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èç óêàçàíèÿ ê çàäà÷å 412 ñëåäóåò, ÷òî ñòîðîíû à, b è ñ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
a2 = b b + c , 146
ðåøåíèÿ êîòîðîãî â öåëûõ ÷èñëàõ íàì ïðåäñòîèò íàéòè. Áóäåì ÍÎÄ a, b, c = 1 . Òîãäà ÍÎÄ a, c = 1 , ñ÷èòàòü, ÷òî a b ÍÎÄ b, c = 1 . Ïóñòü x = , y = . Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà õ è ó c c óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
x 2 = y2 + y . Ïîëîæèâ y = kx, ãäå k íåêîòîðîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, èìååì k2 k x= , y= . 2 1 - k2 1- k m Çàïèøåì k â âèäå k = , ãäå m è n (m < n) âçàèìíî ïðîñòûå n íàòóðàëüíûå ÷èñëà. m2 mn a b = x, = y , èç , y= 2 . Òàê êàê Òîãäà x = 2 2 c c n - m2 n -m âçàèìíîé ïðîñòîòû ÷èñëèòåëåé è çíàìåíàòåëåé ñëåäóåò a = mn, b = m 2 , c = n2 - m 2 . Èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà a + b > c ïîëó÷èì ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî n < 2m. Èòàê, âñå âçàèìíî ïðîñòûå òðîéêè îïèñàíû. Óìíîæåíèåì òðîéêè íà ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå t ïîëó÷àåì âñå ðåøåíèÿ. 419. Äîêàæèòå, ÷òî S1S4 = S2 S3 . Äàëåå âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ öèôðàìè
65, íå ìîæåò áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì. 420. 90° . Äîêàæèòå, ÷òî C1 A1 è C1B1 áèññåêòðèñû óãëîâ CC1B è CC1 A ñîîòâåòñòâåííî. 421. 1/2. 422. 1/2. 423. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî a + b = c + d, a + d = b + c, îòêóäà a = c, b = d, ïîñëå ÷åãî èç ðàâåíñòâà a + d + e = a + b + m ïîëó÷àåì e = m. 424. Ïóñòü D è E íàèìåíüøèå óãëû äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ, S1 è S2 èõ ïëîùàäè, c1 è c2 èõ ãèïîòåíóçû. Èç ôîðìóë 1 1 S1 = c12 sin2 2D , S2 = c22 sin2 2E 4 4 ñëåäóåò, ÷òî sin 2D = sin 2E , ò.å. D =E. 425. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ðàññòîÿíèå îò âåðøèíû Ñ òðåóãîëüíèêà äî òî÷êè êàñàíèÿ ñ âïè- Ðèñ. 85 147
ñàííîé îêðóæíîñòüþ ðàâíî p c, ð ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà (ðèñ.85). 426. Öåíòð Î êâàäðàòà ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 427. Òî÷êè Â, K, H è À ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Ïîýòîìó ÐKBH = ÐKAH = 60° . Àíàëîãè÷íî, ÐKCH = ÐKPH = 60° . 428. Ïóñòü S ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, à, b, ñ åãî ñòîðîíû, ha, hb, hc ñîîòâåòñòâóþùèå âûñîòû Ñòîðîíû êâàäðàòîâ ðàâíû 2s 2s 2s aha , , = , îòêóäà ñîîòâåòñòâåííî a + ha a + ha b + hb c + hc a + ha = b + hb = c + hc . Îòñþäà ïîëó÷èòå, ÷òî a = b = c. 429. Òðåóãîëüíèêè KAD, LCD è KBL ðàâíû ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè (ðèñ.86). 430. Äîêàæèòå, ÷òî äàííûé òðåóãîëüíèê íå ìîæåò áûòü îñòðî-
Ðèñ. 86
Ðèñ. 87
óãîëüíûì, çàòåì ðàññìîòðèòå ñëó÷àé òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. 431. Äîêàæèòå, ÷òî ó ýòèõ òðàïåöèé ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, è èñïîëüçóéòå òåîðåìó î ñåãìåíòå, âìåùàþùåì äàííûé óãîë (ñì. çàäà÷ó 374). 432. Èç ïîäîáèé òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî (ðèñ.87) BK BN NC PC = = = KA AQ QA PA è CL CS CS PC = = = . LD MD AM PA
Ðèñ. 88 148
433. Óäîáíî ïðåäñòàâèòü ñòîðîíû ïÿòèóãîëüíèêà êàê âåêòîðû è ÷åðåç íèõ âûðàçèòü óêàçàííûé îòðåçîê. Âîçìîæíû è äðóãèå ðåøåíèÿ. 434. Ðàññìîòðèòå âïèñàííûå óãëû (ðèñ.88).
435. Ïóñòü K, L, M è N ñåðåäèíû ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà (ðèñ.89). Òðåóãîëüíèêè NPM è BKL ðàâíû. Ïîýòîìó 1 SBLK = SNPM = SNOM = SABC . 4 1 Êðîìå òîãî, SMND = SACD , òàê 4 1 ÷òî SNOMD = SABCD . 4 436. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî È
Ðèñ. 89 È
âûäåëåííûå íà ðèñ.90 äóãè KL è MN â ñóììå äàþò 180° (äîêàæèòå ýòî!). È È 437. Äîêàæèòå, ÷òî óãëîâàÿ ìåðà ñóììû äóã KBM è LDN ðàâíà 180° (ðèñ.91).
Ðèñ. 90
Ðèñ. 91
438. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BLC ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ABK è KCD (ðèñ.92). 439. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà AMBO (ðèñ.93) ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, à óãîë AMB ðàâåí îäíîìó èç óãëîâ, îáðàçîâàííûõ äèàãîíàëÿìè ïðÿìîóãîëüíèêà. Ðèñ. 92 440. Çàìåòèì, ÷òî D ÐT1 AT2 = 180° (ðèñ.94). Ïîýòîìó 2
Ð1 + Ð2 =
D 2
è
D D - = 90° . 2 2 441. Ïóñòü P, Q, R, S îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ,
ÐM1T2 M2 = 180° - ÐPT2T1 - Ð1 - Ð2 = 180° - 90° +
149
Ðèñ. 93
Ðèñ. 94
îïóùåííûõ èç òî÷êè Ì îïèñàííîé îêðóæíîñòè íà ïðÿìûå ÀÂ, ÂÑ, CD è DA ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.95). Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèêè SMRè MPQ ïîäîáíû, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî êàæäàÿ èç ÷åòâåðîê òî÷åê S, M, R, D è M, Q, B, P ëåæèò íà íåêîòîðîé îêðóæíîñòè (êàæäàÿ ÷åòâåðêà íà ñâîåé). Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ïðîâåäèòå è äëÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 442. Ïóñòü ABCD òðàïåöèÿ ( AD 2 BC ). Ðàññìîòðèòå òðåóãîëüíèê ACK, ãäå CK 2 BD , à òî÷êà K ëåæèò íà ïðÿìîé AD. 443. Ïðîâåäèòå äâå óêàçàííûå ñåêóùèå, ñîåäèíèòå òî÷êè èõ ïåðåñåÐèñ. 95 ÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòÿìè ñ òî÷êîé  è äîêàæèòå ïîäîáèå îáðàçîâàâøèõñÿ òðåóãîëüíèêîâ. 444. Ïóñòü R ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî AM 2 + BM 2 = 2R2 . Îäèí èç ñïîñîáîâ äîêàçàòåëüñòâà ñâÿçàí ñ òàêèì óòâåðæäåíèåì: åñëè À è CD ïåðïåíäèêóëÿðíûå õîðäû îêðóæíîñòè ðàäèóñà R, òî AC 2 + BD2 = 4 R2 . 445. Äèàìåòð ÂÅ ïåðïåíäèêóëÿðåí õîðäå ÀÑ, à óãëû ÂÀÑ è CAD ðàâíû. Ïîýòîìó AB = AF. Âòîðàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî EC ^ AD . 446. Ïóñòü Î öåíòð îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ ÎÀÐ è ÎÐÂ. 447. Ïóñòü Å òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ KP è À (ðèñ.96). Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî òî÷êè K, H è Ð ëåæàò íà Ðèñ. 96 150
îäíîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Â, äîêàæèòå, ÷òî 2ÐHKP = ÐHBP . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÐHEP = ÐHBP , ò.å. ÷òî òî÷êè Å, Í, Ð ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì ÂÑ. 448. ÐMBD = ÐMCD = ÐMAB . 449. ×òîáû äîãàäàòüñÿ, ÷òî ýòî çà îêðóæíîñòü, íà÷åðòèòå ïîáîëüøå ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ; îñîáåííî âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ èõ áîêîâûìè ñòîðîíàìè, êîãäà îñíîâàíèå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ èëè ê áåñêîíå÷íîñòè. Èñêîìàÿ îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ äàííîé ïðÿìîé â òî÷êå À è â 2 ðàçà áîëüøå âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 450. Ñîåäèíèòå ïîñëåäîâàòåëüíî öåíòðû ïîëó÷åííûõ îêðóæíîñòåé è äîêàæèòå, ÷òî ïîñòðîåííûå îòðåçêè ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíû äàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïîñëå ÷åãî äîêàæèòå, ÷òî ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ïîëó÷åííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíû ïî 180° . 451. Äîêàæèòå, ÷òî â ÷åòûðåõóãîëüíèêå O1O2 PO2 (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Ñ ëåæèò ìåæäó À è Â) ÐO3 = 180° - ÐPCB , à ÐO2 = 180° - ÐPCA . 452. Äîêàæèòå ñíà÷àëà, ÷òî åñëè Õ è Y òî÷êè, ëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî íà äâóõ îêðóæíîñòÿõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êàõ K è Í, òî òî÷êè Õ, K è Y ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÐXKH + ÐYKH = 360° . 453. Äîêàæèòå, ÷òî ÐCMB = 180° - ÐCAB , ýòèì áóäåò äîêàçàíî âòîðîå óòâåðæäåíèå, à çàòåì ÷òî äóãà ÑÌ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ðàâíà äóãå Ì òîé æå îêðóæíîñòè, îòêóäà ñëåäóåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå. 454. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü íà ÀÑ êàê íà äèàìåòðå è äîêàæèòå ëåììó: åñëè òðè îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ, òî òðè èõ îáùèå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. 455. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè íà÷àòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïîñòðîåíèå èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì îäíó è òó æå òî÷êó. 456. Äëÿ öåíòðà êàæäîé îêðóæíîñòè ðàññìîòðèòå âñå òî÷êè, óäàëåííûå îò ýòîãî öåíòðà íå äàëüøå, ÷åì îò ëþáîãî äðóãîãî, è ïîêàæèòå, ÷òî ýòî âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ñîäåðæàùèé âûáðàííóþ îêðóæíîñòü, à òàêæå, ÷òî âñå òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè, ïðèìûêàÿ äðóã ê äðóãó, çàïîëíÿþò âåñü êâàäðàò. 457. Ðàññìîòðèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óãëîâ ìåæäó ðàçðåçàìè è ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòîðîíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. 458. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòåé ÀÂÑ è A¢B¢C ¢ ðàâíî îòíîøåíèþ ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÑ è A¢B¢C ¢ . Èñêîìîå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî äâå ïëîñêîñòè, ïðîõî151
äÿùèå ÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ÀÂÑ è A¢B¢C ¢ (ñàìó ëèíèþ ñëåäóåò èñêëþ÷èòü). 459. Ýòè îòðåçêè äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììîâ, îáðàçîâàííûõ ñðåäíèìè ëèíèÿìè ãðàíåé. 460. Óãëû ïðè ñàìîì áîëüøîì ðåáðå òåòðàýäðà îñòðûå. 461. Ïóñòü ABCDA¢B¢C ¢D¢ ïàðàëëåëåïèïåä áåç ïðÿìûõ ïëîñêèõ óãëîâ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óãëû À è A¢ â îñíîâàíèÿõ ABCD è A¢B¢C ¢D¢ òóïûå, è, ñëåäîâàòåëüíî, óãëû  è B¢ îñòðûå. Ðàññìàòðèâàÿ ãðàíü ABA¢B¢ , âèäèì, ÷òî ëèáî ê âåðøèíå À ïðèëåæàò äâà òóïûõ óãëà, à ê âåðøèíå  äâà îñòðûõ, ëèáî ê âåðøèíå A¢ äâà òóïûõ, à ê âåðøèíå B¢ äâà îñòðûõ. Òåïåðü ÿñíî, ÷òî, êàê áû íè ðàñïîëàãàëèñü òóïûå óãëû â ãðàíÿõ ADD¢A è BCC ¢B , ðîâíî â îäíîé èç âåðøèí À, Â, A¢ , B¢ ñõîäÿòñÿ òðè òóïûõ èëè òðè îñòðûõ óãëà. 462. n + 1 ðåáðî. Ìíîãîóãîëüíèê, ïîëó÷àþùèéñÿ â ñå÷åíèè, íå ìîæåò èìåòü áîëüøå ñòîðîí, ÷åì êîëè÷åñòâî ãðàíåé ïèðàìèäû. 463. Ïóñòü åñòü m-ãðàííèê, èìåþùèé 7 ðåáåð. Íè îäíà èç åãî ãðàíåé íå ìîæåò áûòü ÷åòûðåõóãîëüíèêîì. Çíà÷èò, âñå åãî ãðàíè 3m òðåóãîëüíèêè. Íî òîãäà îí èìååò ðåáåð, ÷òî íåâîçìîæíî, 2 òàê êàê 7 íå äåëèòñÿ íà 3. Ìíîãîãðàííèê ñ 2m ðåáðàìè nóãîëüíàÿ ïèðàìèäà, à ñ 2n + 3 ðåáðàìè n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà, íà îäíîé èç áîêîâûõ ãðàíåé êîòîðîé êàê íà îñíîâàíèè ïîñòðîåí òåòðàýäð. 464. Ïóñòü h1, h2,K , hn ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê A1, A2,K , An äî ïëîñêîñòè. Ïðîèçâåäåíèå èç óñëîâèÿ çàäà÷è ðàâíî
h1 h2 h h × × K × n -1 × n = 1 . h2 h3 hn h1 465. à) Äîêàçàòåëüñòâî íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íîé òåîðåìû ïëàíèìåòðèè. á) Ïóñòü ñòîðîíû ÀÂ, ÂÑ, CD è DA êàñàþòñÿ ñôåðû â òî÷êàõ K, L, M, N ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ÷òî AK BL CM DN × × × = 1. KB LC MD NA Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç òî÷êè K, L, M è äîêàæåì, ÷òî îíà ïåðåñå÷åò ðåáðî DA â òî÷êå N. Ïóñòü N* òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåêóùåé ïëîñêîñòè ñ DA. Òîãäà (ñì. çàäà÷ó 464)
AK BL CM DN * × × × = 1. KB LC MD N * A 152
Ñëåäîâàòåëüíî,
DN DN * = * . NA N A
Èòàê, N = N* . DE 466. à) . Ïóñòü Î òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé D+E AP = x . Òîãäà ïàðàëëåëîãðàììà ABCD è AO
SAKL = SAKP + SALP = DxSABO + ExSAOD = DE SABD . á)
DEJ . Âîñïîëüçóéòåñü ðåçóëüòàòîì ïóíêòà à). DE + DJ + EJ
467. à) Ðàññìîòðèòå ðàçâåðòêó òåòðàýäðà è âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî åñëè D, E, J ïëîñêèå óãëû òðåõãðàííîãî óãëà, òî D +E > J. á) Äîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî a = a ¢ (ðèñ.97). Èç ðàâåíñòâà ïåðèìåòðîâ ãðàíåé ñëåäóåò, ÷òî a + b = a ¢ + b ¢ è a + b ¢ = b + a ¢ . Ñëîæèâ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì, ÷òî a = a ¢ . Ðàâåíñòâà b = b ¢ è c = c¢ äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. â) Ðàçâåðòêà òåòðàýäðà òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì ïðîâåäåíû ñðåäíèå ëèíèè. ã) Âñå ãðàíè îñòðîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, ïðè÷åì óãëû, ïîêàçàííûå íà ðèñóíêå 97, ðàâíû. Êðîìå òîãî, ðàâíû ðàäèóñû îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî ãðàíåé. ä) Ñì. çàäà÷ó 459. å) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîåêöèÿ òåòðàýäðà íà ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ ðåáðàì À è CD, ïàðàëëåëîãðàìì, è ïîëó÷èòå îòñþäà ðàâåíñòâî ðåáåð ÀÑ è BD, à òàêæå AD è BC, ïîñëå ÷åãî àíàëîãè÷íî óñòàíîâèòå ðàâåíñòâî À = CD. Ìîæíî Ðèñ. 97 òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû ðåáåð À è CD, ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòèì ðåáðàì. 468. Ïóñòü A¢ è B¢ ïðîåêöèè òî÷êè À è  íà ïëîñêîñòü. Íàñ A¢M A¢A = èíòåðåñóþò òî÷êè Ì, äëÿ êîòîðûõ . Ãåîìåòðè÷åñêèì B¢ M B¢ B ìåñòîì òî÷åê M áóäåò îêðóæíîñòü (èëè ïðÿìàÿ, åñëè AA¢ = BB¢ ) 469. à) Ïóñòü l1 è l2 ëþáûå äâå èç äàííûõ ïðÿìûõ è åñòü òðåòüÿ ïðÿìàÿ l3 , íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç èõ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ. 153
Òîãäà ïðÿìûå l1, l2, l3 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè è âñÿêàÿ äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàÿñü ñ êàæäîé èç ïðÿìûõ l1, l2, l3 , èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå 2 îáùèå òî÷êè ñ ýòîé ïëîñêîñòüþ. á) Ïóñòü äâå èç äàííûõ îêðóæíîñòåé Z1 è Z2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ À è Â. Åñëè åñòü îêðóæíîñòü Z3 , ïåðåñåêàþùàÿñÿ ñ êàæäîé èç íèõ â äâóõ òî÷êàõ è íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáå òî÷êè À è Â, òî èìåþòñÿ äâå âîçìîæíîñòè. 1) Îêðóæíîñòè Z1 è Z2 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íî òîãäà Z3 èìååò 3 îáùèõ òî÷êè ñ ýòîé ïëîñêîñòüþ. 2) Åñëè Z1 è Z2 íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, òî îíè ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîé ñôåðå è òîãäà Z3 ëåæèò íà ýòîé ñôåðå. Îñòàëüíûå îêðóæíîñòè òàêæå ëåæàò â ïåðâîì ñëó÷àå íà ïëîñêîñòè, âî âòîðîì íà ñôåðå. 470. à), á). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âûñîòû èç âåðøèí À è D ïåðåñåêàþòñÿ, òî AD ^ BC è, íàîáîðîò, åñëè AD ^ BC , òî è âûñîòû ïåðåñåêàþòñÿ. Äàëåå ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé ññûëêà íà çàäà÷ó 469, à). â) Âïèøåì òåòðàýäð ABCD â ïàðàëëåëåïèïåä, ïðîâåäÿ ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé ÷åðåç åãî ðåáðà. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîòèâîïîëîæíûå ðåáðà òåòðàýäðà ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ãðàíè ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðîìáû, ò.å. âñå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû, à äèàãîíàëè ãðàíåé ðàâíû ðåáðàì òåòðàýäðà. Äàëåå âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí. ã) Åñëè îñíîâàíèå âûñîòû òåòðàýäðà îðòîöåíòð ãðàíè, òî, ïî òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ, åãî ïðîòèâîïîëîæíûå ðåáðà ïåðÐèñ. 98 ïåíäèêóëÿðíû. ä) Íå ìîãóò. Èç ïóíêòà â) ñëåäóåò (ðèñ.98), ÷òî a2 + a12 = b2 + b12 = c2 + c12 . Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ
2bc cos D = b2 + c2 - a2 ,
2a1c cos E = a12 + c2 - b12 = b12 + b2 - a2 + c2 - b12 = b2 + c2 - a2 , àíàëîãè÷íî
2a1b cos J = b2 + c2 - a2 . Ïîýòîìó cos D, cos E,cos J èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå óãëû ïðè âåðøèíå À ëèáî îñòðûå, ëèáî ïðÿìûå, ëèáî 154
òóïûå. Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ è ê ëþáîé äðóãîé âåðøèíå. Îäíàêî äâóõ âåðøèí, â êîòîðûõ ñõîäèëèñü áû òîëüêî òóïûå èëè òîëüêî ïðÿìûå óãëû, â òåòðàýäðå áûòü íå ìîæåò, òàê ÷òî ëèáî îäíà èç ãðàíåé ñ âåðøèíîé À, ëèáî ãðàíü BDÑ îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê. 471. Ðàññìîòðèòå òðåóãîëüíèê BDK (ðèñ.99).  íåì DK è BK ìåäèàíû ãðàíåé ÀÂÑ è ADC, Ì è Ðèñ. 99 N èõ öåíòðû òÿæåñòè. Íàéäèòå îòíîøåíèå ÎÌ : OD (íàïðèìåð, âîñïîëüçóéòåñü ìåòîäîì ðåøåíèÿ çàäà÷è 466, à)). 472. Ðàçäåëèòå ìíîãîóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè è òðàïåöèè ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, è âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ïðè ïðîåêòèðîâàíèè èõ âûñîòû óìíîæàþòñÿ íà cos D , à îñíîâàíèÿ íå ìåíÿþòñÿ. 473. Ïëîùàäü ïðîåêöèè ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà óäâîåííîé ïëîùàäè ïðîåêöèè òðåóãîëüíèêà KLM (ðèñ.100) è áóäåò ìàêñèìàëüíîé, êîãäà ïëîñêîñòü KLM ãîðèçîíòàëüíà. 474. Ïðîåêöèÿ òåòðàýäðà ëèáî òðåóãîëüíèê, ëèáî ÷åòûðåõóãîëüíèê.  ïåðâîì ñëó÷àå ïëîùàäü ïðîåêöèè íå áîëüøå ïëîùàäè îäíîé èç ãðàíåé. Âî âòîðîì íå
Ðèñ. 100
Ðèñ. 101
áîëüøå óäâîåííîé ïëîùàäè ïðîåêöèè ïàðàëëåëîãðàììà ñå÷åíèÿ òåòðàýäðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ÷åòûðåõ ðåáåð è ïàðàëëåëüíîé äâóì îñòàëüíûì ðåáðàì (ðèñ.101). Äàëåå ðàññóæäàåì òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåé çàäà÷å. Ïðàâèëüíóþ a 3 íóæíî ðàñïîëàãàòü òàê, ÷òîáû îäíî ïèðàìèäó ïðè b ³ 2 ðåáðî îñíîâàíèÿ è ïðîòèâîïîëîæíîå åìó áîêîâîå ðåáðî áûëè a 3 ãîðèçîíòàëüíû, à ïðè b £ ãîðèçîíòàëüíîé äîëæíà áûòü 2 ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ. 155
475. 6S.  êàæäîé ãðàíè ñîåäèíèòå òî÷êè êàñàíèÿ ñ âåðøèíàìè è ðàññìîòðèòå âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì òðåóãîëüíèêè. 476. Ïóñòü Î öåíòð øàðà, R åãî ðàäèóñ, Ð òî÷êà âíóòðè øàðà, ÎÒ = d, ÷åðåç d1, d2, d3 îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèÿ îò Î äî ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, ïðîâåäåííûõ ÷åðåç òî÷êó Ð. Äîêàæèòå, ÷òî d12 + d22 + d32 = d2 (îòñþäà ïîëó÷èòñÿ, ÷òî
ñóììà ïëîùàäåé êðóãîâ ðàâíà S 3R2 - d2 ). 477. à) Ïóñòü òàêîé øàð ñóùåñòâóåò, òîãäà îòðåçêè îò êàæäîé âåðøèíû äî òî÷åê êàñàíèÿ ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç ýòîé âåðøèíû, ðàâíû. Íà êàæäîé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð ëåæèò ðîâíî ïî îäíîìó èç ýòèõ îòðåçêîâ. Ïîýòîìó óñëîâèå AB + CD = AC + BD = = BC + AD âûïîëíÿåòñÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ ïîêàæèòå, ÷òî èç ðàâåíñòâà ñóìì ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð ñëåäóåò, ÷òî îêðóæíîñòè, âïèñàííûå â ñîñåäíèå ãðàíè, êàñàþòñÿ èõ îáùèõ ðåáåð â îäíîé è òîé æå òî÷êå Ðèñ. 102 (ðèñ.102). Ïîñëå ýòîãî äîêàæèòå, ÷òî âñå âïèñàííûå â ãðàíè îêðóæíîñòè ëåæàò íà îäíîé ñôåðå. á) Åñëè øàð êàñàåòñÿ ðåáåð ÀÂ, ÂÑ è ÑÀ è ïðîäîëæåíèé ðåáåð AD, BD è CD, òî AB CD = BC AD = CA BD. â) Èç ïîëó÷åííûõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî äâà øàðà òèïà á) ñóùåñòâóþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîòèâîïîëîæíûå ðåáðà ðàâíû. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò è äâà äðóãèõ øàðà òèïà á). Øàð òèïà à) è øàð òèïà á) ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ ïðàâèëüíûõ ïèðàìèä (øàð á) ïðè ýòîì êàñàåòñÿ ðåáåð îñíîâàíèÿ). ã) Ñëåäóåò èç â). 478. Ïóñòü l1 è l2 ïðÿìûå, ïî êîòîðûì ïåðåñåêàþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ÷åòûðåõãðàííîãî óãëà (îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç åãî âåðøèíó). Âñÿêàÿ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç l1 è l2 , è ïåðåñåêàþùàÿ ðåáðà ÷åòûðåõãðàííîãî óãëà, ïåðåñåêàåò åãî ïî ïàðàëëåëîãðàììó. 479. 5, 6, 7 èëè 8. Çàâåäîìî ñóùåñòâóåò ñôåðà, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ãðàíåé òåòðàýäðà (âïèñàííàÿ ñôåðà) è ÷åòûðå ñôåðû, êàñàþùèõñÿ ãðàíåé è èõ ïðîäîëæåíèé (âíåâïèñàííûå ñôåðû). Êðîìå òîãî, èìåþòñÿ åùå øåñòü îáëàñòåé (â ôîðìå ÷åòûðåõñêàòíîé êðûøè), ïðèìûêàþùèõ ê ðåáðàì òåòðàýäðà è îãðàíè÷åííûõ âñåìè ÷åòûðüìÿ ïëîñêîñòÿìè ãðàíåé. Íà ðèñóíêå 103 òàêîé «êðûøåé» ÿâëÿåòñÿ A¢AA¢¢B¢BB¢¢ . Åñëè ñóùåñòâóåò ñôåðà, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ãðàíåé «êðûøè», òî åå öåíòð I ïðèíàäëåæèò 156
áèññåêòîðíîé ïëîñêîñòè S äâóãðàííîãî óãëà ñ ðåáðîì À è ïðÿìîé l, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó À è ñîñòîÿùåé èç òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò ïëîñêîñòåé ABD, ÀÂÑ è ADC (áèññåêòðèñà òðåõãðàííîãî óãëà AA¢A¢¢B ). Ïîñêîëüêó äëÿ «êðûøè» ïðè ðåáðå CD öåíòð âïèñàííîé â íåå ñôåðû äîëæåí òàêæå ïðèíàäëåæàòü óïîìÿ- Ðèñ. 103 íóòûì ïëîñêîñòè è ïðÿìîé, èç åäèíñòâåííîñòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè ñëåäóåò, ÷òî åñëè â îäíó èç «êðûø» ìîæíî âïèñàòü ñôåðó, òî â ïðîòèâîïîëîæíóþ åé íåëüçÿ. Äîïóñòèì, ÷òî òî÷êà I ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé l è ïëîñêîñòè S ïðèíàäëåæèò «êðûøå» ñ ðåáðîì ÀÂ. Ïóñòü U ðàññòîÿíèå îò òî÷êè I äî âñåõ ÷åòûðåõ ïëîñêîñòåé. Ðàññìîòðèì øåñòèãðàííèê DACBI. Ïóñòü ïëîùàäè ãðàíåé ÀÂÑ, ADB, ADC è BDC ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî S1, S2, S3, S4 . Òîãäà îáúåì V òåòðàýäðà ÀÂÑ, î÷åâèäíî, ðàâåí 1 V = VIADC + VIBDC - VIADB = U S3 + S4 - S1 - S2 . 3 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âïèñàííîé â «êðûøó» ñôåðû íåîáõîäèìî óñëîâèå S3 + S4 > S1 + S2 . Äîêàæåì, ÷òî ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì. Ïóñòü I òî÷êà, óäàëåííàÿ îò òðåõ èç 3V = U, äàííûõ ïëîñêîñòåé íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå S3 + S4 - S1 - S2 à U¢ ðàññòîÿíèå îò I äî ÷åòâåðòîé èç íèõ (íàïðèìåð, äî ïëîñêîñòè ÀÂÑ). Òîãäà
VABCD =
1 1 1 U S3 + S4 - S2 - S U¢S1 = U S3 + S4 - S1 - S2 . 3 3 3
Îòêóäà U = U¢ . Èòàê, åñëè S3 + S4 > S1 + S2 , ñôåðà âïèñûâàåòñÿ â «êðûøó» ñ ðåáðîì ÀÂ, åñëè S1 + S2 > S3 + S4 â «êðûøó» ñ ðåáðîì CD. Ïðè S3 + S4 = S1 + S2 òàêîé ñôåðû íåò. Òàêèì îáðàçîì, åñëè S1 + S2 ¹ S3 + S4 , S1 + S3 ¹ S2 + S4 , S1 + S4 ¹ S2 + S3 , ñóùåñòâóþò âñå 3 âíåâïèñàííûå ñôåðû âòîðîãî ðîäà. Åñëè âåðíî òîëüêî îíî èç ðàâåíñòâ S1 + S2 = S3 + S4 , S1 + S3 = S2 + S4 , S1 + S4 = S2 + S3 , òàêèõ ñôåð äâå, åñëè äâà ðàâåíñòâà, òî îäíà è, íàêîíåö, åñëè âñå 3 ðàâåíñòâà, ò.å. åñëè S1 = S2 = S3 = S4 íè îäíîé. 157
480. à) Ïóñòü ñôåðà êàñàåòñÿ äâóõ ÷åðíîé è áåëîé ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà ñ îáùèì ðåáðîì À (ðèñ.104) â òî÷êàõ K è L ñîîòâåòñòâåííî. Òðåóãîëüíèêè AKB è ALB ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì è, ñëåäîâàòåëüíî, èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè. Òàê êàê âñÿêàÿ ÷åðíàÿ ãðàíü ãðàíè÷èò òîëüêî ñ áåëûìè ãðàíÿìè, à ñóììà Ðèñ. 104 ïëîùàäåé âñåõ ðàññìîòðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ, ðàâíàÿ ñóììå ïëîùàäåé ÷åðíûõ ãðàíåé, áîëüøå ñóììû ïëîùàäåé áåëûõ ãðàíåé, âîçíèêàåò ïðîòèâîðå÷èå. á) Ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî. Òîëüêî íóæíî ðàññìàòðèâàòü íå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ AKB è ALB, à óãëû ïðè âåðøèíàõ K è L. Ñóììà ýòèõ óãëîâ äëÿ ÷åðíûõ ãðàíåé ðàâíà 2Sm , ãäå m ÷èñëî ÷åðíûõ ãðàíåé, è, ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøå, ÷åì 2Sk , ãäå k ÷èñëî áåëûõ ãðàíåé.
158
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ãëàâà 1 ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀ×È Àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (5). Ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé (6). Öèôðû è ÷èñëà (7). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðîãðåññèè (8). Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí (10). Íåðàâåíñòâà è îöåíêè (11). Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (14). Ñèñòåìû óðàâíåíèé (15). Ìíîãî÷ëåíû (16). Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè (17).
3 5
Ãëàâà 2 ÄÅËÈÌÎÑÒÜ ÖÅËÛÕ ×ÈÑÅË 19 Äåëèìîñòü è äåëèòåëè (19). Ñðàâíåíèÿ ïî ìîäóëþ è àðèôìåòèêà îñòàòêîâ (20). Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè (21). Äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà (21). Áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë (23). Íåñêîëüêî òåîðåì (24). Ñìåñü (25). Óðàâíåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ (27). Ãëàâà 3 ÐÀÇÍÛÅ ÇÀÄÀ×È 29 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé (29). Áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà (32). Ãðàôû, êîìáèíàòîðèêà (32). Òóðíèðû (33). Ïðèíöèï Äèðèõëå (34). Êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè (35). Òàáëèöû (36). Èãðû (37). Êàðòî÷êè ñ ÷èñëàìè (38). Íåñêîëüêî òåîðåì (39). Çàäà÷è íà êëåò÷àòîé áóìàãå (40). Ðàñïîëîæåíèå òî÷åê è ôèãóð (41). Äâèæåíèå è ïðåñëåäîâàíèå (44). Ãëàâà 4 ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀ×È 46 Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå (46). Ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê (47). Íåðàâåíñòâà è ýêñòðåìóìû (48). Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå (50). Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî: ïðÿìûå è ìíîãîóãîëüíèêè (52). Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî: îêðóæíîñòè (54). Ñòåðåîìåòðèÿ (57). ÎÒÂÅÒÛ. ÓÊÀÇÀÍÈß. ÐÅØÅÍÈß
61
159
Íèêîëàé Áîðèñîâè÷ Âàñèëüåâ, Àíàòîëèé Ïàâëîâè÷ Ñàâèí, Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷ Åãîðîâ Èçáðàííûå îëèìïèàäíûå çàäà÷è Ìàòåìàòèêà Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò». Âûïóñê 100 Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹2/2007 Ðåäàêòîð À.Þ.Êîòîâà Îáëîæêà À.Å.Ïàöõâåðèÿ Ìàêåò è êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Å.Â.Ìîðîçîâà Êîìïüþòåðíàÿ ãðóïïà Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà ÈÁ ¹ 85 Ôîðìàò 84108 1/32. Áóì. îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà êóäðÿøåâñêàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Îáúåì 5 ïå÷.ë. Òèðàæ 3500 ýêç. Çàêàç ¹ . 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïð., 64-À, «Êâàíò» Òåë.: (495)930-56-48, e-mail:
[email protected] Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ Îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè «×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò» 142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè. Càéò: www.chpk.ru. E-mail:
[email protected] Ôàêñ: 8(49672)6-25-36, ôàêñ: 8(499)270-73-00 Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59
160
