Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей: Учебное пособие

Ромакина 

Геометрии коевклидовой и  копсевдоевклидовой плоскостей 

Учебное пособие 2008 

0

Свойства процессов и явлений нашей жизни обусловлены нашими идеалами, нашими принципами и представлениями истины, как свойства пространства обусловлены строением его абсолюта. Ромакина Л.Н., доцент кафедры геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского

1

УДК [514.13+514.14+514.15](075/8) ББК 22.151.2 я73 Р 69 Ромакина Л.Н. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Учебное пособие по спецкурсу для студентовматематиков педагогических специальностей вузов. – Саратов: ООО Издательство «Научная книга», 2008. – 279с. Рекомендовано к изданию кафедрой геометрии государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Саратовского

Р е ц е н з е н т ы: 1. Игошин В.И., доктор педагогических наук, кандидат физикоматематических наук, профессор кафедры геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского. 2. Киотина Г.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета имени С.А. Есенина.

Книга адресована студентам математических специальностей вузов, предназначена в качестве учебного пособия по специальным курсам, посвященным вопросам неевклидовых геометрий. Может быть использована учителями средних школ при подготовке элективных курсов и проведении занятий в классах с углубленным изучением математики. В книге с проективной точки зрения рассмотрены геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей, соответствующих по принципу двойственности плоскостям евклидовой и псевдоевклидовой соответственно. Определены основные метрические инварианты, проведена классификация преобразований фундаментальных групп, дано конструктивное определение преобразований каждого класса. Построены теории линий второго порядка.

ББК 22.151.2 я73

ISBN 978-5-9758-0909-4

© Ромакина Л.Н., 2008

2

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Часть I. Геометрия коевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . . 8 Глава 1. Проективные инварианты коевклидовой плоскости. . . . . . 8 1.1 Абсолют и фундаментальная группа коевклидовой плоскости. Семейство канонических реперов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Формулы преобразования координат. Ориентация плоскости. . . 11 1.3 Различные типы прямых. Прямые коевклидовой плоскости. . . . . 13 1.4 Уравнение изотропной прямой. Отрезки и лучи изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой. . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Отрезки неизотропной прямой. Инвариант двух точек неизотропной прямой. Середины неизотропных отрезков. . . . . . . . . . 18 1.6 Инвариант двух изотропных прямых. Полоса. . . . . . . . . . . . 24 1.7 Инвариант трёх неизотропных прямых одного пучка. . . . . . . . 25 1.8 Инвариант трёх неизотропных прямых. . . . . . . . . . . . . . . . 26 Глава2. Ковекторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1 Определение ковектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Координаты ковектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Преобразование координат ковектора. . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Внутренние операции над ковекторами. . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Ковекторное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Скалярное умножение ковекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7 Ортонормированные базисы ковекторного пространства Ψ. . . . 42 2.8 Ориентация ковекторного пространства. . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9 Измерение углов между неизотропными прямыми. Измерение направленных неизотропных отрезков. . . . . . . . . . . . . . 45 2.10 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. . . . . . 47 2.11 Расстояние между точками изотропной прямой. . . . . . . . . . 48 Глава 3. Изображение коевклидовой плоскости . . . . . . . . . . . . . 50 3.1 Введение коевклидовых координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Преобразование коевклидовых координат. . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Изображение коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Глава 4. Линейные преобразования коевклидовой плоскости. . . . . . 56 4.1 Классификация преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Свойства преобразований коевклидовой плоскости. Движения. . 62 4.3 Конструктивное определение коевклидовых преобразований. . . 68 4.4 Инволюции коевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3

Глава 5. Квадрики коевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . . . . 84 5.1 Уравнения квадрики. Овальная линия. . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2 Типы и классы овальных линий. Геометрический смысл инварианта квадрики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3 Канонические уравнения овальных линий. . . . . . . . . . . . . . 91 5.4 Центры овальных линий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5 Метрическое определение овальных линий. . . . . . . . . . . . . 101 5.6 Геометрический смысл коэффициентов канонических уравнений овальных линий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Часть II. Геометрия копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . 110 Глава 1. Проективные инварианты копсевдоевклидовой плоскости . 110 1.1 Абсолют и фундаментальная группа копсевдоевклидовой плоскости. Семейство канонических реперов. Абсолютные углы. . . . . 110 1.2 Преобразование координат точек копсевдоевклидовой плоскости. Согласование и ориентация копсевдоевклидовой плоскости. 114 1.3 Типы прямых копсевдоевклидовой плоскости. Инвариант двух точек неизотропной прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1.4 Взаимное расположение двух прямых. . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.5 Квадранты копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . . 124 1.6 Лучи и отрезки неизотропной прямой. . . . . . . . . . . . . . . . 127 1.7 Лучи и отрезки изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1.8 Инвариант двух изотропных прямых. Изотропная полоса. . . . . 132 1.9 Инвариант трёх неизотропных прямых пучка. . . . . . . . . . . . 133 1.10 Инвариант трёх неизотропных прямых. . . . . . . . . . . . . . 134 Глава 2. Ковекторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.1 Преобразование координат ковектора. . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.2 Скалярное умножение ковекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.3 Базисы пространства Ψ. Ортонормированные базисы. . . . . . . 139 2.4 Измерение в пучках неизотропных прямых. . . . . . . . . . . . . 141 2.5 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Расстояние между точками изотропной прямой. . . . . . . . . . . . . . . 143 2.6 Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. Проекции ковектора на координатные оси. . . . . . . . . . . . . 144 2.7 Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. Проекции ковектора на координатные оси. . . . . . . . . . . . . 146 2.8 Метрические соотношения на копсевдоевклидовой плоскости. . 148 Глава 3. Изображение копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . 150 3.1 Копсевдоевклидовы координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.2 Изображение копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4

Глава 4. Линейные копсевдоевклидовы преобразования. . . . . . . 159 4.1 Вид преобразования. Инвариантные изотропные прямые копсевдоевклидовых преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.2 Классификация преобразований копсевдоевклидовой плоскости. 161 4.3 Движения и псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости. . 169 4.4 Полудвижения, абсолютные движения и абсолютные псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . . . 171 4.5 Дополнительные теоремы о линейных преобразованиях копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.6 Конструктивное определение преобразований. . . . . . . . . . . 176 4.7 Инволюции копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . . . . . 197 Глава 5. Квадрики копсевдоевклидовой плоскости. . . . . . . . . . 199 5.1 Типы невырожденных линий второго порядка. . . . . . . . . . . 199 5.2 Инвариант овальной линии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.3 Основные элементы, определяющие овальную линию. . . . . . . 205 5.4 Каноническое уравнение эллипса и бигиперболы. . . . . . . . . 210 5.5 Метрическое определение эллипса. . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.6 Метрическое определение бигиперболы. . . . . . . . . . . . . . 220 5.7 Каноническое уравнение параболы и гиперболической параболы 224 5.8 Метрические определения параболы и гиперболической параболы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.9 Бипарабола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.10 Орипарабола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.11 Гипербола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.12 Оригипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 5.13 Эквигипербола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Приложение 1. Системы аксиом Вейля коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Приложение 2. Преобразования коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Таблицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Приложение 3. Овальные линии копсевдоевклидовой плоскости. Таблица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Приложение 4. Абсолюты плоских геометрий с проективной метрикой Кэли – Клейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

5

ПРЕДИСЛОВИЕ Идея исследования различных неевклидовых геометрий в единой логической системе коренится в трудах английского математика Артура Кэли (Cayley Arthur, 1821 – 1895), который вводит мероопределение с помощью образа второго порядка и тем самым устанавливает связь между теорией инвариантов и проективной геометрией [5, стр. 329]. Впервые сформулирована данная идея в знаменитой лекции немецкого математика Феликса Клейна (Klein Christian Felix, 1849 – 1925), прочитанной в 1872 году в университетете г. Эрланген (Германия) и известной под названием «Эрлангенская программа» [12, стр. 656]. Согласно представлениям Кэли и Клейна о геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований, существует девять различных геометрий [3], [5], [7, стр. 106], [10], определенных образом второго порядка на проективной плоскости. Интересно отметить, что Клейн шесть из девяти соответствующих мероопределений считал «логически равноправными с евклидовой геометрией», но «непригодными к практическим применениям во внешнем мире» [5, стр.209]. Возможно, именно эта «непригодность» с точки зрения корифея геометрии привела к ситуации, когда к началу третьего тысячелетия от рождества Христова четыре из девяти указанных геометрий оказались почти неизвестными миру. Двум из четырех «таинственных незнакомок» посвящена данная книга. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей [9, стр. 367] соответствуют по малому принципу двойственности евклидовой и псевдоевклидовой планиметриям. Абсолюты этих плоскостей – вырожденные линии второго порядка, пары прямых, мнимо сопряженных и действительных соответственно. В книге определены фундаментальные группы преобразований, семейства канонических реперов и метрические инварианты указанных плоскостей. Введены понятие ковектора и основные операции над ковекторами. Проведена классификация линейных преобразований каждой плоскости, показано, что существует четыре класса коевклидовых линейных преобразований первого рода и три – второго, семь классов линейных копсевдоевклидовых преобразований первого рода и четыре – второго, конструктивно определен каждый класс преобразований. Доказаны свойства коевклидовых и копсевдоевклидовых преобразований. На коевклидовой плоскости выделены движения как преобразования, сохраняющие без изменения углы между прямыми. На копсевдоевклидовой плоскости аналогично выделены движения, полудвижения как преобразования, сохраняющие расстояния между прямыми, пересекающимися на одной из абсолютных прямых, и абсолютные движения как преобразования, сохраняющие расстояния между прямыми, пересекающимися на любой абсолютной прямой. 6

Построены теории линий второго порядка. Определены центры квадрик, основные инварианты и инварианты квадрик относительно групп движений. Показано, что на коевклидовой плоскости существует три типа овальных линий, на копсевдоевклидовой – девять. Найдены аналитические условия принадлежности линии заданному типу, метрические характеристики и канонические уравнения линий каждого типа. Введены собственные координаты точек данных плоскостей. Построены изображения коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей в евклидовом трехмерном пространстве – соответственно круговой и гиперболический цилиндры с отождествленными симметричными относительно центра цилиндра точками. Предложены геометрические интерпретации используемых понятий. Изложение коевклидовой и копсевдоевклидовой геометрий проведено на основе геометрии проективной, что способствует формированию у читателя целостного представления геометрии, определяет единую схему изучения различных геометрий, приводит к более глубокому, неформальному усвоению геометрических понятий, к новому взгляду на известные факты, в частности, и факты геометрии Евклида, установлению новых связей между различными понятиями. Проведение аналогий при изучении на основе проективной геометрии двойственных пар геометрий (евклидова – коевклидова, псевдоевклидова – копсевдоевклидова) позволяет осмыслить, а, нередко, и переосмыслить, многие основополагающие геометрические понятия. Книга адресована студентам математических специальностей вузов и может быть использована в качестве учебного пособия по специальным курсам, посвященным вопросам неевклидовых геометрий. Автор выражает глубокую благодарность своему начному руководителю профессору Рязанского государственного педагогического университета Киотиной Галине Васильевне и рецензенту Игошину Владимиру Ивановичу, профессору Саратовского государственного университета, за ценные советы и замечания по содержанию данного пособия, а также за привитые интерес к неевклидовым геометриям и потребность в научном творчестве.

август, 2008 год.

7

Часть I. Геометрия коевклидовой плоскости Глава 1. плоскости

Проективные

инварианты

коевклидовой

1.1 Абсолют и фундаментальная группа коевклидовой плоскости. Семейство канонических реперов 1. Группа евклидовых преобразований плоскости является подгруппой группы проективных преобразований, относительно которой инвариантны действительная прямая и пара комплексно сопряженных, так называемых циклических, точек на ней [2, стр. 77]. Фигуру, инвариантную относительно группы преобразований некоторой плоскости, будем как обычно называть абсолютом этой плоскости [2, стр. 326], [8, стр. 189]. Абсолют евклидовой плоскости – действительную прямую с парой П принадлежащих ей комплексно сопряженных точек – обозначим АЭ , учитывая, что с его помощью на евклидовой плоскости можно ввести параболическое измерение расстояний между точками и эллиптическое измерение углов [5, стр. 190]. По малому принципу двойственности абсолюту евклидовой плоскости соответствует вырожденная линия второго порядка – пара комплексно сопряженных прямых, пересекающихся в действительной точке. Обозначим эту фигуру АПЭ . Проективную плоскость P2 с фиксированной вырожденной квадрикой Э AП назовем коевклидовой плоскостью.∗ Вырожденную квадрику AПЭ будем называть абсолютной квадрикой, или абсолютом коевклидовой плоскости. Точки множества K 2 = P2 \ AПЭ назовем собственными точками коевклидовой плоскости, а точки самой квадрики – несобственными, или абсолютными, или бесконечно удаленными точками коевклидовой плоскости. На плоскости P2 выберем проективный репер R = {A1, A2, A3, E} таким образом, чтобы комплексно сопряженные прямые l1 и l2, определяющие абсолютную квадрику, в репере R были заданы соответственно уравнениями:

x1 = i x2

и

x1 = – i x2 .

(1)

Тогда единственная действительная точка абсолюта, точка Р пересечения прямых l1 и l2, совпадает с координатной вершиной A3 выбранного репера, а уравнение x12 + x22 = 0 определяет вырожденную квадрику AПЭ . ∗

Приставка ко- (от лат. con – вместе) здесь – соответствие по принципу двойственности.

8

Выделим из группы проективных преобразований плоскости P2 множества преобразований G1 и G2, относительно которых фигура AПЭ остаётся инвариантной. Во множество G1 отнесём все проективные преобразования плоскости P2, в которых абсолютные прямые l1 и l2 являются двойными, а во множество G2 – преобразования, переводящие абсолютные прямые l1 и l2 друг в друга.∗ Преобразования множеств G1, G2 назовём линейными преобразованиями коевклидовой плоскости первого и второго рода соответственно. Если матрица

⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ , a33 ⎟⎠

a12 a22 a32

(2)

где det || aij || ≠ 0, i, j = 1, 2, 3, определяет проективные преобразования плоскости P2, то в репере R множества G1 и G2 изоморфны соответственно множествам невырожденных матриц вида:

⎛ a11 ⎜ ⎜ − a12 ⎜ a ⎝ 31

a12 a11 a32

0 ⎞ ⎛ a11 ⎟ ⎜ 0 ⎟ и ⎜ a12 ⎜a a33 ⎟⎠ ⎝ 31

a12 − a11 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. a33 ⎟⎠

Таким образом, множество всех линейных преобразований коевклидовой плоскости состоит из двух связных компонент G1, G2 и может быть задано невырожденной матрицей вида:

⎛ a11 ⎜ ⎜ − ε a12 ⎜ a ⎝ 31

a12 ε a11 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, a33 ⎟⎠

(3)

где ε = ± 1, а33 (а112 + а122 ) ≠ 0. Преобразования, заданные матрицей (3), образуют группу.∗∗ Назовем ее фундаментальной группой G преобразований коевклидовой плоскости. Преобразовния группы G будем называть коевклидовыми преобразованиями. Первая компонента G1 группы G, в отличие от второй, не содержащей тождественного преобразования, является разрешимой группой Ли. ∗

Множества G1, G2 содержат все линейные преобразования плоскости Р2, относительно которых инвариантна квадрика A ПЭ , и каждое преобразование множеств G1, G2 является линейным [11, стр. 118, 119]. ∗∗ Инварианты этой группы определяют коевклидову геометрию [5].

9

2. Матрица (3) содержит пять коэффициентов, определенных в силу однородности проективных координат с точностью до общего множителя. Следовательно, группа преобразований коевклидовой плоскости зависит от четырех независимых параметров. Число независимых коэффициентов в матрице преобразований пространства называют подвижностью пространства [4]. Определив матрицу (3), мы показали, что подвижность коевклидовой плоскости равна четырем.∗ Можно показать, что подвижность пространства, фундаментальная группа которого есть подгруппа группы проективных преобразований, (в частности, подвижность коевклидовой плоскости) не зависит от выбора координатного репера и равна (n + 1) 2 − 1 − k , где n – размерность пространства, а k – число независимых параметров, необходимых для задания абсолюта пространства. Заметим, что, в отличие от количества коэффициентов, вид матрицы (3) определен видом уравнений (1), то есть, определен, в том числе, и выбором координатного репера. В свою очередь координатный репер видом уравнений (1) определен неоднозначно. Покажем, что семейство проективных реперов, допускающих задание абсолютной квадрики уравнениями (1) (все реперы этого семейства будем называть каноническими реперами коевклидовой плоскости) зависит от четырех параметров. То есть на коевклидовой плоскости существует ∞ 4 канонических реперов. Для этого достаточно показать, что для полной фиксации канонического репера необходимо израсходовать четыре параметра. Прежде всего, выделим геометрические свойства канонического репера, инвариантные относительно всех коевклидовых преобразований. 1. Третья координатная вершина А3 совпадает с точкой Р пересечения абсолютных прямых. 2. Координатные вершины А1, А2, а следовательно, и координатные прямые А1А3 и А2А3 гармонически разделяют прямые абсолюта. 3. Точки Е12 = А1 + А2 и Е21 = А1 – А2 гармонически разделяют прямые абсолюта. Отметим общие положения, которые помогут вести подсчет расходуемых параметров при фиксации канонического репера. 10. Точку не проективной плоскости можно задать ∞ 2 способами, расходуя два параметра, равные, например, соответственно двум отношениям однородных проективных координат данной точки. 20. Задать точку на прямой можно ∞1 способами, затратив один параметр.

∗

Подвижность евклидовой плоскости также равна четырем, а подвижность, например, плоскости флаговой, так называемой плоскости Галилея, [5], [7] – пяти.

10

30. Задать прямую на плоскости можно ∞ 2 способами. Действительно, каждую прямую проективной плоскости можно определить заданием любых двух ее точек. Задание двух точек на плоскости зависит от четырех параметров (m=2×2=4). Но для задания прямой полная фиксация самих точек не требуется. Следовательно, в m включены лишние параметры. Пару точек на прямой можно выбрать ∞ 2 способами (n=2). Например, фиксируя одну из точек, вторую перемещать вдоль прямой, потратить при этом один параметр, и еще один параметр потратить, перемещая первую точку. Именно эти два параметра являются лишними. Следовательно, задать прямую на плоскости можно, расходуя два параметра (m-n). 40. Задание прямой, проходящей через данную точку, зависит от одного параметра. Действительно, для фиксации прямой, проходящей через данную точку, требуется еще одна точка (два параметра). Но эта точка может быть выбрана на прямой ∞1 способами, то есть один из двух параметров – лишний. Вести подсчет параметров, расходуемых при канонизации репера, можно следующим образом. Третья вершина репера совпадает с общей точкой абсолютных прямых, то есть, определена однозначно заданием абсолюта. Задание прямой, проходящей через эту точку, например, прямой A1A3, зависит от одного параметра. Еще один параметр израсходуем на задание точки A1 на прямой A1A3. Положение прямой A1A3 однозначно определяет положение прямой A2A3, гармонически разделяющей с прямой A1A3 пару абсолютных прямых. Расходуя один параметр, построим точку A2 на прямой A2A3. На прямой A1A2 однозначно определена пара точек E12(1:1:0), E'12(–1:1:0), гармонически разделяющих абсолютные прямые и пару точек A1, A2. На прямой A3E12, расходуя один параметр, выберем единичную точку E(1:1:1) координатного репера. Таким образом, однозначное задание единичной точки и вершин канонического репера зависит от четырех параметров. Можно показать, что число параметров семейства канонических реперов некоторого пространства совпадает с подвижностью этого пространства. Этот факт объясняет выбор термина «подвижности пространства», как степени свободы перемещения канонических реперов. Отметим, что введенный канонический репер коевклидовой плоскости является аналогом ортонормированного репера плоскости евклидовой (см. §3 гл. 2), его применение позволяет получить более компактные метрические формулы. По ходу изложения мы будем отмечать, какие именно рассуждения и формулы соответствуют каноническому реперу, а какие являются общими для произвольных реперов плоскости. 1.2 Формулы преобразования координат. Ориентация плоскости 1. Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – канонические реперы коевклидовой плоскости, причем вершины репера R' в репере R имеют координаты: A'1 (а11: а21: а31), A'2 (а12: а22: а32), A'3 (а13: а23: а33), E' (а10: а20: а30). 11

Найдем выражение координат (x1: x2: x3) произвольной точки X коевклидовой плоскости, заданных в каноническом репере R, через ее координаты (x'1: x'2: x'3) в репере R'. Будем считать, что столбцы матрицы

⎛ а11 ⎜ ⎜ а21 ⎜а ⎝ 31

а12 а22

а13 а23

а32

а33

а10 ⎞ ⎟ а20 ⎟ а30 ⎟⎠

(4)

перехода от репера R к реперу R' согласованы [2, стр.19]. Свойства канонических реперов коевклидовой плоскости (п. 2, §1) определяют условия связи для коэффициентов матрицы (4):

a21 = −εа12 , а22 = εa11 , а13 = а23 = 0, ε = ±1.

(5)

Действительно, по первому свойству вершина A'3 репера R' совпадает с вещественной точкой прямых (1). Поэтому в матрице (4) а13 = а23 = 0. По второму свойству вершины A'1, A'2 репера R' гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых (1). Запись данного свойства в координатах приводит к равенству:

a11а12 + а21а22 = 0.

(6)

Согласно третьему свойству точки Е'12 = А'1 + А'2 и Е'21 = А'1 – А'2, с координатами в репере R (а11+а12: а21+а22: а31+а32) и (а11–а12: а21–а22: а31–а32) соответственно, гармонически разделяют прямые абсолюта (1). Данное требование равносильно аналитическому условию 2 2 a112 − а122 + а21 − а22 = 0.

(7)

(a

(8)

Условия (6), (7) дают 2 11

)(

)

2 2 + а21 а21 − а122 = 0.

2 2 Коэффициенты матрицы (4) – действительные числа, и a11 + а21 ≠ 0, так как иначе первая и третья вершины репера R' совпадают, что невозможно. Поэтому равенства (6) и (8) приводят к первым двум условиям из (5). Таким образом, формулы преобразования проективных координат точек коевклидовой плоскости при переходе от репера R к реперу R' имеют вид:

⎧ ρ x1 = a11x1′ + a12 x2′ , ⎪ ⎨ ρ x2 = −εa12 x1′ + εa11x2′ , ⎪ρ x = a x′ + a x′ + a x′ . 31 1 32 2 33 3 ⎩ 3 12

(9)

2. Пусть W – множество всех канонических реперов коевклидовой плоскости. Будем говорить, что произвольные реперы R и R' из W находятся в отношении ∆ и называть их одинаково ориентированными, если в формулах (9) перехода от репера R к реперу R' ε = 1. Если в формулах (9) ε = 1, то каждая абсолютная прямая задана в реперах R и R' одним и тем же уравнением из (1). Следовательно, одинаково ориентированные реперы R и R' имеют один и тот же порядок следования абсолютных прямых. Данный геометрический смысл отношения ∆ показывает, что ∆ рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве W. Множество W разобьем на классы эквивалентности по отношению ∆. Полученное фактор-множество W / ∆ содержит два элемента. Действительно, выберем из W два репера: R = {A1, A2, A3, E} и R0 = {A2, A1, A3, E}. В репере R координаты вершин репера R0 имеют вид: A2 (0:1:0), A1 (1:0:0), A3 (0:0:1), E(1:1:1). В соответствующих формулах перехода от R к R0 ε = –1. Следовательно, реперы R и R0 определяют различные элементы фактормножества W / ∆, то есть в реперах R и R0 различный порядок следования абсолютных прямых. Очевидно, что в произвольном каноническом репере R' из W порядок следования прямых абсолюта совпадает с порядком следования этих прямых либо в репере R, либо в репере R0. Таким образом, каждый репер из W попадает в класс, определенный или репером R, или репером R0. Каждый элемент фактор-множества W / ∆ назовем ориентацией множества W всех канонических реперов коевклидовой плоскости. Выберем произвольно одну из ориентаций множества W и назовем ее положительной. Другую ориентацию назовем отрицательной. Все реперы положительной ориентации назовем правыми, а реперы отрицательной ориентации – левыми. Коевклидову плоскость K2 назовем ориентированной, если на множестве W всех ее канонических реперов задана положительная ориентация. Задать положительную ориентацию можно, считая правым произвольно выбранный канонический репер.∗ Согласно определениям §1 преобразования фундаментальной группы G первого (второго) рода не изменяют (изменяют) ориентацию коевклидовой плоскости. 1.3 Различные типы прямых. Прямые коевклидовой плоскости 1. Для успешного освоения «неевклидовых миров» нам предстоит освободить себя от некоторых стереотипов. Многие из этих стереотипов сложились задолго до того, как мы начали изучать геометрию в школе. Например, гуляя по прямой дороге и двигаясь от ее фиксированной точки, мы всегда идем или в одну, или в другую сторону. То есть, находясь в некоторой точке прямой, мы видим два и только два ее направления. Этот ∗

Далее будем считать, что плоскость K2 ориентирована, и применять только правые канонические реперы.

13

факт для нас, жителей евклидова мира, настолько привычен, что мы по неосторожности, не встречая в жизни «иных прямых дорог», можем приписать его вообще всем «дорогам». А «дороги» бывают разными. Примем единственное общее требование: «дорога» должна быть замкнутой, если все ее точки равноправны. а

б

Р

в

+

K1

г

+K

2

K1

K2

Рис. 1

На рисунке 1 изображены четыре прямые, с которыми нам предстоит познакомиться. Проективная прямая (рис. 1, а) не имеет особенных точек, все ее точки равноправны. Никакая точка проективной прямой не разрывает ее на части. Поэтому по такой прямой нельзя «гулять» в ту или в другую сторону. Здесь нет понятия «направление». Если проективная прямая скользит сама по себе, любые ее четыре точки переходят в такие ее четыре точки, что сохраняется без изменения некоторое число, сложное отношение данных четырех точек [2, стр. 28]. На рисунке 1, б показана прямая, одна точка (Р) которой особенная, она бесконечно удалена, недостижима для нас.∗ Принимая во внимание недостижимость точки Р, считаем ее удаленной из прямой, «вырезанной». Тогда прямая перестает быть замкнутой, но остается одним целым «куском». Именно с такими, и только с такими, прямыми мы встречаемся в евклидовом мире. Поэтому для нас так сложно представлять прямую замкнутой. Вообще, такие прямые, их называют аффинными, или параболическими [8, стр. 155], существуют не только в евклидовом мире. Все прямые, например, пространств Минковского и Галилея [3], [7], [10] являются аффинными. По параболическим прямым можно «гулять в сторону». Строгое обоснование этого факта будет дано в §5. Там же приведем основные понятия и отношения для точек аффинных прямых. Если бесконечно удаленными точками проективной прямой являются две мнимо сопряженные точки (на рисунке 1, в точки K1, K2), то прямую будем называть эллиптической. Эллиптическими прямыми являются все прямые эллиптического пространства, или пространства Римана [8], [9]. ∗

Можно представлять, что приближаясь к этой точке, температура окружающей области, в том числе и нашего тела, снижается, а в самой точке равна абсолютному нулю, то есть движение молекул прекращается, прекращается и наше существование.

14

Полагая, что по мнимой точке произвести разрез прямой невозможно, мы получаем замкнутую эллиптическую прямую. Но наличие бесконечно удаленных точек K1, K2 существенно отличают эллиптическую прямую от проективной. Они дают возможность вводить для точек эллиптической прямой отношения и понятия, неприменимые к точкам проективной прямой (§§ 6, 7). Наиболее интересными являются прямые с двумя действительными бесконечно удаленными точками, гиперболические прямые (рис. 1, г). Разрезав такую прямую по недостижимым точкам, получим два ее «куска», каждый из которых имеет два направления, или две «стороны для прогулок». Гиперболическими прямыми являются, например, прямые пространства Лобачевского. Во второй части пособия мы опишем геометрию гиперболических прямых, как неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости. 2. Все действительные прямые коевклидовой плоскости либо проходят через действительную абсолютную точку Р, либо пересекают абсолютные прямые в комплексно сопряжённых точках. То есть являются либо параболическими, либо эллиптическими прямыми. Прямые первого типа будем называть изотропными прямыми коевклидовой плоскости, второго – неизотропными. Через каждую точку коевклидовой плоскости проходит одна и только одна изотропная прямая. Свойство прямой быть изотропной (неизотропной) инвариантно относительно преобразований группы G, так как в каждом преобразовании этой группы точка P является неподвижной. На коевклидовой плоскости только для изотропных прямых имеет смысл понятие параллельности, то есть пересечения в бесконечно удаленной точке. В этом смысле все изотропные прямые параллельны. 1.4 Уравнение изотропной прямой. Отрезки и лучи изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой 1. Изотропные прямые коевклидовой плоскости в силу наличия бесконечно удаленной действительной точки P являются аффинными прямыми. Следовательно, на них могут быть введены понятия и отношения аффинной геометрии. Пусть А (а1: а2: а3) – некоторая точка коевклидовой плоскости. Прямая AP в каноническом репере R имеет уравнение:

x1 a1

x2 a2

x3 a3 = 0,

0

0

1

или a2 x1 – a1 x2 = 0, где a12 + a22 ≠ 0 , так как точки A и P различны. 15

С другой стороны, каждая прямая, заданная уравнением

λ x1 + µ x 2 = 0 ,

(10)

где λ2 + µ2 ≠ 0, содержит абсолютную точку P(0:0:1). Следовательно, уравнение (10) определяет изотропную прямую коевклидовой плоскости. Две точки А и В коевклидовой плоскости назовем коллинеарными, если они принадлежат одной изотропной прямой. Обозначение: А||B. Условие коллинеарности точек А (а1 : а2 : а3) и В (b1 : b2 : b3), заданных однородными координатами в некотором каноническом репере, в координатах имеет вид:

a1 b1

a2 b2

a3 b3 = 0,

0

0

1

или

a1 : a2 = b1 : b2.

(11)

2. Каждая точка А изотропной прямой разделяет множество всех точек этой прямой на два класса. Обоснуем это утверждение. Пусть Р – действительная точка абсолюта. Если две точки U, V изотропной прямой l, содержащей точку А, не разделяют пару точек А и Р, то есть, если (UV AP) > 0, то будем говорить, что эти точки находятся в отношении õ. Обозначение: U õ V. Отношение õ является отношением эквивалентности, так как обладает следующими свойствами. 10. Отношение õ рефлексивно. Действительно, для каждой точки М прямой l: М õ М, так как

(ММ AР) = 1 > 0. 20. Отношение õ симметрично. Так как для любых точек М и N прямой l справедливо утверждение: если М õ N, то N õ М. Действительно, если

(MN AР) > 0, то

(NM

AР ) =

1 (MN AР) > 0 .

30. Отношение õ транзитивно. Для любых точек L, M, N прямой l имеем: если L õ M и M õ N, то L õ N. Так как если

(LM AР) > 0 и (MN AР) > 0, то (LN AР) = (LM AР)(MN AР) > 0. 16

Множество всех точек прямой АР разобьем на классы эквивалентности по отношению õ. Если две точки находятся в отношении õ, поместим их в один класс, если точки не находятся в отношении õ, поместим их в различные классы. Для любой точки Т прямой АР существует единственная точка Т', четвертая гармоническая к тройке точек Т, А, Р. Точки Т и Т' принадлежат различным классам по отношению õ, так как

(ТТ' АР) = – 1 < 0. Для каждой точки М прямой АР имеет место равенство:

(ТТ' АР) = (ТМ АР)(МТ' АР) < 0, следовательно, числа (ТМ АР) и (МТ' АР) имеют разные знаки, поэтому точка М принадлежит либо классу, содержащему точку Т, либо классу, содержащему точку Т'. Таким образом, существует точно два класса эквивалентности по отношению õ. Каждый класс назовем лучом с началом в данной точке А. Будем говорить, что каждый луч с началом в точке А определяет направление на прямой l. Очевидно, на каждой изотропной прямой относительно ее некоторой точки существует точно два направления. Рассуждая аналогично, можно доказать, что каждые две коллинеарные точки А и В разделяют множество всех точек содержащей их изотропной прямой на три класса. Множество точек, состоящее из коллинеарных точек А, В и всех точек X, разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару A, B, назовём изотропным отрезком AB. Точки A и B назовём концами этого отрезка. Множество всех точек изотропной прямой АВ, не разделяющих с точкой Р пару точек А и В, можно разбить точно на два класса так, чтобы любые две точки одного класса не разделяли пару точек А и Р, или, что равносильно, не разделяли пару точек В и Р. Каждый из классов является лучом с началом в точке А, или лучом с началом в точке В. 3. Пусть A, B, C – три различные точки изотропной прямой. Число –(ABCР), инвариантное относительно фундаментальной группы преобразований коевклидовой плоскости, назовём простым отношением трёх точек A, B, C изотропной прямой. Если (ABCР) = –t, то будем говорить, что точка C делит изотропный отрезок AB в отношении t. Обозначение: (АВ,С) = t. Если точка C принадлежит изотропному отрезку AB, то есть разделяет с точкой P пару точек A, B, то по определению t больше нуля. Найдём формулы деления отрезка в данном отношении t. Точки A, B, C лежат на одной изотропной прямой, согласно рассуждениям пункта 1 их координаты в каноническом репере R можно записать в виде A (µ: λ: a), B (µ: λ: b), C (µ: λ: c). Учитывая, что (ABCР)= – t, выразим c через a, b и t.

17

λ aλ b λ c0 1 c−a ( ABCP ) = = = −t . λ aλ b c−b 0 1 0 λc Откуда

c=

a + bt 1+ t

(12)

Серединой изотропного отрезка AB назовём точку, которая с бесконечно удаленной точкой P гармонически разделяет пару A, B.∗ Если точка C – середина отрезка AB, то есть (ABCP)= –1, то формула (12) принимает вид

c=

a+b . 2

(13)

1.5 Отрезки неизотропной прямой. Инвариант двух точек неизотропной прямой. Середины неизотропных отрезков 1. Каждая неизотропная прямая коевклидовой плоскости является эллиптической. Она замкнута и имеет две абсолютные мнимо сопряженные точки. Понятие направления, в привычном для нас смысле, на эллиптической прямой ввести нельзя. Так как никакая точка эллиптической прямой не разбивает ее на части. Если провести рассуждения пункта 2 §4 для неизотропной прямой l коевклидовой плоскости и вместо абсолютной точки Р принять в рассуждениях некоторую точку В этой прямой, получим следующее утверждение. Любые две точки А и В неизотропной прямой l коевклидовой плоскости разбивают множество всех точек этой прямой, за исключением точек А и В, на два непустых непересекающихся множества. Каждое из этих множеств с точками А, В назовем неизотропным отрезком, определенным точками А и В (или отрезком АВ), и обозначим: АВ. Точки А и В назовем концами отрезков АВ. Если указана некоторая точка T прямой l, то отрезок АВ, содержащий эту точку, будем обозначать АТВ. ∗

В качестве определяющего для середины изотропного отрезка принято свойство середины отрезка общее для всех геометрий с аффинной базой [7].

18

Согласно определению для любых двух точек М, N одного неизотропного отрезка АВ имеем: (MN AB) > 0, то есть для каждой точки М неизотропного отрезка АТВ справедливо неравенство: (МТ АВ) > 0. Пусть А, В, Т и N – точки неизотропной прямой l, причем (ТN АВ) < 0. Различные неизотропные отрезки АТВ и ANB назовем смежными отрезками прямой l, определенными точками А и В, или кратко: смежными отрезками прямой l. 2. На евклидовой плоскости существуют имманентные, присущие природе плоскости, постоянные величины измерения углов. Например, прямой угол. Выбор прямого угла в качестве некоторого эталона измерения углов определен уже в знаменитом сочинении Евклида «Начала», в четвертом постулате: «требуется, чтобы все прямые углы были равны» [2, стр 244]. В чем же отличие прямого угла от любого другого? Чем обусловлено его особое положение? С проективной точки зрения все прямые углы расширенной евклидовой плоскости [2, стр. 7] характеризуются тем свойством, что их стороны гармонически разделяют комплексно сопряженные прямые, проходящие через вершину угла и циклические точки абсолюта [2, стр. 80]. Угол AOB (рис. 2) расширенной B евклидовой плоскости с бесконечно удаленной прямой АВ является прямым J2 и только тогда, когда тогда A (J1J2 AB) = –1. Здесь J1, J2 – комплексно сопряженные, циклические точки, а J1 – сложное отношение (J1J2 AB) соответствующих четырех точек. При условии

(J1J2 AB) = – 1 O

выполняется равенство:

Рис. 2

(J1J2 AB) = (J1J2 BА).

Это равенство с евклидовой точки зрения означает, что каждый прямой угол равен своему смежному углу. Следовательно, прямой угол – естественная константа измерения углов на евклидовой плоскости. Для измерения расстояний между точками евклидовой плоскости таких естественных, то есть обусловленных строением абсолюта, констант не существует. Поэтому, измеряя отрезки евклидовой плоскости, мы вынуждены всякий раз вводить произвольно некоторый единичный отрезок. Принцип измерения отрезков в евклидовом мире удачно представлен в мультфильме «Тридцать восемь попугаев». Помните ставшую на многие годы популярной реплику Удава: «А в попугаях-то я гораздо длиннее!»? 19

Руководствуясь принципом двойственности, на коевклидовой плоскости, на неизотропных ее прямых, следует ожидать наличие естественных констант измерения расстояний между точками. Другими словами, должен существовать инвариант двух точек неизотропной K2 прямой. Определим этот инвариант. l1 Р Если прямая а (рис. 3) пересекает K1 абсолютные прямые l1 и l2 в комплексно сопряженных точках K1 и K2, то для l2 A любых её двух точек A и B существует инвариант группы преобразований B коевклидовой плоскости: (AB K1K2) – Рис. 3 сложное отношение соответствующих четырёх точек. Число

1 |AB| = ln ( ABK 1 K 2 ) 2i

(14)

назовём расстоянием между точками А и В. По свойству [2, стр. 30] сложного отношения четырех точек

(AB K1K2)(BA K1K2) = 1, (AB K1K2)(AB K2K1) = 1, поэтому расстояние между двумя точками зависит и от порядка задания точек (|AB| = –|BA|), и от порядка задания абсолютных прямых, то есть, принята во внимание ориентация плоскости. Для точек А, В, С, K1, K2 одной прямой [6, стр. 21] имеет место равенство:

(AB K1K2) = (AС K1K2)(СВ K1K2), согласно которому на основании равенства (14) для любой точки С прямой АВ имеем:

AB = =

1 1 ln ( ABK 1 K 2 ) = ln [( ACK 1 K 2 )(CBK 1 K 2 )] = 2i 2i

1 1 ln ( ACK 1 K 2 ) + ln (CBK 1 K 2 ) = AC + CB . 2i 2i

Следовательно, расстояние между точками обладает свойством аддитивности. Для любых трех точек A, B, C одной неизотропной прямой: 20

|AB| = |AC| + |CB|. 3. Выразим расстояние |АВ| через однородные координаты точек А(а1: а2: а3) и В(b1: b2: b3) в некотором правом каноническом репере R. Точки пересечения прямой АВ абсолютными прямыми (1) в репере R можно задать координатами: K1 (i: 1: k1) и K2 (–i: 1: k2), где k1, k2 – сопряженные комплексные числа. Поэтому в репере R имеем:

a1

( ABK 1 K 2 ) =

a 2 b1

b2

1 −i 1 (a − ia 2 )(b1 + ib2 ) . = 1 a 2 b1 b2 (a1 + ia 2 )(b1 − ib2 ) −i 1 i 1 i a1

(15)

Комплексные числа а1 ± iа2, b1 ± ib2 в показательной форме имеют вид:

a 1 + ia a 1 − ia где ρ1 =

a12 + a22 ,

= ρ 1 e iα ,

b 1 + ib

= ρ 1 e − iα ,

b 1 − ib

2 2

2 2

= ρ 2 e iβ , = ρ 2 e − iβ ,

ρ 2 = b12 + b22 и

cos α = sin α =

a1 a +a a2

2 2

a +a

2 2

2 1

2 1

, ,

cos β = sin β =

b1 b +b b2

2 2

b +b

2 2

2 1

2 1

, (17)

.

Из условий (15), (16) находим:

ρ1e − iα ρ 2 e iβ ( ABK 1K 2 ) = iα − iβ = e − 2 iα e 2 iβ = e 2 i (β −α ) . ρ1e ρ 2 e Подставим это значение в формулу (14). Тогда

AB =

(16)

1 1 ln ( ABK 1 K 2 ) = ln e 2 i ( β −α ) = β − α . 2i 2i

Следовательно,

cos AB = cos α cos β + sin α sin β , sin AB = cos α sin β − sin α cos β . 21

Согласно формулам (17)

cos AB =

sin AB =

a 1b1 + a 2 b 2 a 12 + a 22

b12 + b 22

,

(18)

.

(19)

a1b 2 − a 2 b1 a12 + a 22

b12 + b 22

Если однородные проективные координаты одной из точек A, B умножить на отрицательное число, то знак правых частей в равенствах (18), (19) изменится на противоположный. Следовательно, формулами (18), (19) значения sin |AB|, cos |AB| определены с точностью до знака, аналогично измерению угла между двумя прямыми евклидовой плоскости [5, стр. 148]. Таким образом, формулами (18), (19) на промежутке (− π ; π ] определено четыре значения расстояния |AB| между точками A и B (±φ, π ± φ).∗ Для действительных чисел а1, а2, b1, b2 справедливы неравенства

a1b1 + a2b2 a12 + a22 b12 + b22

a1b2 − a2b1

≤ 1,

a12 + a22 b12 + b22

≤ 1.

(20)

Поэтому расстояние между действительными точками, вычисленное по формулам (18), (19) является числом действительным. 4. Точки A и B будем называть ортогональными, если они гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых. В обозначениях, принятых для вывода формул (18), (19) для ортогональных точек А и В выполняется условие (AB K1K2) = – 1. По определению логарифмической функции комплексного переменного [11, стр. 329] имеем:

AB =

1 1 1 1 π ln ( ABK1 K 2 ) = ln(− 1) = [ln − 1 + i arg(− 1)] = [0 + iπ ] = . 2i 2i 2i 2i 2

Следовательно,

π 2

– одна из естественных констант измерения

расстояний между точками на коевклидовой плоскости. Условие ортогональности точек А и В в координатах имеет вид:

∗

Вообще, число |AB| формулами (14), (18), (19) определено с точностью до числа кратного π, так как логарифм числа [5, стр. 158], [12, стр. 329] определен с точностью до 2kiπ, где k – целое число. Условимся в качестве значения |AB| выбирать число, не превосходящее по модулю π.

22

a1b1 + a2b2 = 0.

(21)

Для любых точек А и В неизотропной прямой l найдется единственная пара ортогональных точек S1, S2, гармонически разделяющих точки А, В. Пусть N, T – точки прямой l, и (NT AB) < 0. Тогда одна и только одна из точек S1, S2 принадлежит отрезку ANB (ATB), предположим, S1 (S2) принадлежит отрезку ANB (ATB). Точку S1 (S2) назовем серединой неизотропного отрезка АNВ (ATB), а точку S2 (S1) – квазисерединой неизотропного отрезка АNВ (ATB). Пусть в некотором каноническом репере R заданы точки А(a1: a2: a3) и B(b1: b2: b3) неизотропной прямой l. Найдем координаты точек S1, S2, середин смежных неизотропных отрезков, определенных на прямой l точками А и В. Учитывая условие (21) ортогональности двух точек, точки S1, S2 зададим в репере R координатами: S1 (s1: s2: m), S2 (–s2: s1: n). Тогда условие гармонической сопряженности пар точек А, В и S1, S2, в координатах имеет вид:

s12 (a1b2 + a 2 b1 ) − 2s1 s 2 (a1b1 − a 2 b2 ) − s 22 (a1b2 + a 2 b1 ) = 0 . Из последнего уравнения находим

(

)(

)

2 2 2 2 s1 a1b1 − a 2 b2 ± a1 + a 2 b1 + b2 = . s2 a1b2 + a 2 b1

(22)

Заметим, что выражение (22) доказывает существование двух действительных точек, середин и квазисередин неизотропных отрезков АВ. Прямая АВ имеет уравнение: x1(a2b3 − a3b2 ) + x2 (a3b1 − a1b3 ) + x3 (a1b2 − a2b1 ) = 0. Принадлежность точек S1, S2 прямой АВ определяет координаты этих точек в репере R:

(a b −a b ± 1 1

2 2

(a

2 1

(a b

2 2 2 1

(a b − a b ± 1 1

2 2

(a

2 1

)(

))

)(

+ a22 b12 + b22 (a2b1 − a1b2 ) :

)

− a12b22 :

))

)

(23)

+ a22 b12 + b22 (a2b3 − a3b2 ) + (a1b2 + a2b1 )(a3b1 − a1b3 ) .

Если задана хотя бы одна из точек N, Т одного из двух смежных отрезков АВ, например, точка N, то неравенство

(S1N AB) > 0 ((S2N AB) < 0) позволит из точек (23) выбрать середину отрезка ANB (АТВ).

23

(24)

Согласно формулам (18), (19), (23) для середины (квазисередины) S неизотропного отрезка АВ имеют место равенства: cos |AS| = cos |SB|, sin |AS| = sin |SB|, следовательно, |AS| = |SB|. 1.6 Инвариант двух изотропных прямых. Полоса

На коевклидовой плоскости для измерения углов между неизотропными прямыми справедлив принцип измерения отрезков плоскости евклидовой. Но в пучке изотропных прямых измерение можно ввести с помощью абсолюта, без использования вспомогательных единиц измерения. Расстоянием между изотропными прямыми a и b назовем число δab:

δ ab =

1 ln (abl 1 l 2 ) , 2i

(25)

где l1, l2 – прямые абсолюта. Очевидно, что каковы бы ни были точки A и B, взятые на изотропных прямых a и b соответственно, расстояние между ними равно расстоянию между прямыми a и b: |AB| = δab. Формула

cos δ ab =

a1b1 + a2b2 a12 + a22 b12 + b22

,

(26)

полученная по аналогии с формулой (18), выражает расстояние δab через однородные координаты изотропных прямых a (а1: а2: 0) и b (b1: b2: 0) в произвольном каноническом репере. Две изотропные прямые a и b назовем перпендикулярными (или ортогональными), если они гармонически разделяют прямые абсолюта. В этом случае имеем

δ ab =

1 1 π ln (− 1 ) = πi = . 2i 2i 2

Таким образом, расстояние между ортогональными изотропными прямыми равно

π

. 2 В координатах условие ортогональности изотропных прямых a (а1: а2: 0) и b (b1: b2: 0) в любом каноническом репере имеет вид:

a1b1 + a2b2 = 0.

(27)

Полосой с изотропными сторонами а, b назовем множество всех изотропных прямых, проходящих через некоторую точку отрезка АВ с концами на прямых а и b. Обозначение: ab. По теореме §10 [2, стр.32] 24

определение полосы ab не зависит от выбора отрезка АВ. Точку X назовем внутренней точкой полосы ab, если прямая XP принадлежит полосе ab. Изотропную прямую, содержащую середину отрезка АВ, назовем биссектрисой полосы ab. 1.7 Инвариант трёх неизотропных прямых одного пучка

Рассмотрим пучок K неизотропных прямых коевклидовой плоскости с центром в точке S. Пусть k – изотропная прямая SP. Простым отношением трех неизотропных прямых a, b, c пучка K P назовем число –(abсk), инвариантное относительно преобразований l фундаментальной группы G. a Обозначение: (ab,c). k А Множество прямых, состоящее из прямых а, b и множества всех прямых x С c пучка K, попарно разделяющих с S прямой k пару прямых a и b, назовем b B углом со сторонами a, b. Обозначение: Рис. 4 ab. Точку S пересечения прямых а и b назовем вершиной угла ab. Точку М коевклидовой плоскости будем называть внутренней точкой угла ab, если прямая MS принадлежит этому углу. Если в принятых обозначениях (ab,с) = λ, будем говорить, что прямая c делит угол ab в отношении λ. Чтобы найти зависимость между однородными координатами прямых a(ai), b(bi), c(ci), i=1, 2, 3, заданных в некотором каноническом репере R, и числом λ, проведём изотропную прямую l: x1 = 0 (или x2 = 0), отличную от прямой k. Тогда точки A, B, C (рис. 4) пересечения соответственно прямых a, b, c прямой l имеют координаты:

A(0: –a3: a2), B(0: –b3: b2), С(0: –с3: с2), (A(–a3: 0: a1), B(–b3: 0: b1), С(–с3: 0: с1)). Если прямая k не является координатной прямой, то, учитывая равенство: – (abсk) = (AB,С) = λ, находим

a2 b a1 b ⎛ +λ 1 ⎜ +λ 2 b3 b3 ⎜ c2 a3 с1 a3 = = , ⎜ c3 1+ λ 1+ λ с3 ⎜ ⎝ 25

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠

(28)

Если прямая k совпадает с одной из координатных прямых (x1 = 0 или x2 = 0), то, рассуждая аналогично, находим одно из равенств (28). Еще одно равенство получим из первого, учитывая принадлежность прямых a, b, c одному пучку, то есть, учитывая условие:

a1

b1

c1

a2 b2 c2 = 0. a3 b3

c3

Прямую q назовём биссектрисой угла ab с вершиной в точке S, если она с изотропной прямой k = SP гармонически разделят пару прямых a, b, то есть если (ab,q) = 1. Из равенств (28) при λ = 1 находим выражение однородных координат (qi), i = 1, 2, 3, биссектрисы q угла ab через координаты сторон этого угла:

a1 b1 + q1 a3 b3 = q3 2

,

a2 b2 + q2 a3 b3 = q3 2

.

(29)

Отметим, что вид формул (28), (29) зависит только от координат точки Р, общей точки абсолютных прямых, и не зависит от вида уравнений (1) этих прямых. Следовательно, для коевклидовой плоскости формулы деления угла в данном отношении имеют вид (28), (29) не только в канонических реперах, но и во всех реперах, допускающих задание абсолютных прямых уравнениями вида:

x1 = zx2 , x1 = zx2 , где z, z – взаимно сопряженные комплексные числа. 1.8 Инвариант трёх неизотропных прямых

P

l2 C0 A0

+ l 1

+ A b

C a

Рис. 5

c B

+B

0

Очевидно, инвариант трех неизотропных прямых, не проходящих через одну точку, является также инвариантом трех точек попарного пересечения этих прямых. Рассмотрим три неизотропные прямые a, b, c, не принадлежащие одному пучку. Определив инвариант прямых a, b, c, мы определим и инвариант трех точек: A = b ∩ c, B = a ∩ c, C = a ∩ b. Пусть прямые a, b, c, пересекают 26

абсолютную прямую, например, прямую l1, в мнимых точках A0, B0, C0 соответственно (рис. 5). Сложное отношение четырёх точек (A0B0C0P) инвариантно относительно всех линейных преобразований коевклидовой плоскости K2 (всех преобразований группы G). Выразим модуль комплексного числа (A0B0C0P) через однородные координаты прямых a, b, c, заданные в некотором каноническом репере R: a(ai), b(bi), c(ci), i = 1, 2, 3. Точки A0, B0, C0 в репере R имеют координаты: A0 (–ia3 : –a3 : a2 + ia1), B0 (–ib3 : –b3 : b2 + ib1), C0 (–ic3 : –c3 : c2 + ic1). Поэтому

− a3 −c ( A0 B0C0 P ) = 3 − a3 0

a2 + ia1 c2 + ic1 a2 + ia1 1

− b3 b2 + ib1 0 1 b (a c − a c + i(a1c3 − a3c1 )) . = 3 2 3 3 2 − b3 b2 + ib1 a3 (b2 c3 − b3c2 + i(b1c3 − b3c1 )) − c3 c2 + ic1

Модуль числа (A0B0C0P) равен:

J = ( A0 B0C0 P ) =

( a ((b c

). −b c ) )

b32 (a1c3 − a3c1 ) + (a2 c3 − a3c2 ) 2 3

2

2

− b3c1 ) + (b2 c3 2

1 3

2

3 2

И окончательно 2

2

⎛ b1 c1 ⎞ ⎛ b2 c2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ b c3 ⎠ ⎝ b3 c3 ⎠ . J= ⎝ 3 2 2 ⎛ a1 c1 ⎞ ⎛ a2 c2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ a 3 c3 ⎠ ⎝ a 3 c3 ⎠

(30)

Вид формулы (30), очевидно, зависит от координат точек A0, B0, C0, следовательно, зависит от вида уравнений (1) абсолютных прямых. Поэтому формула (30) имеет место только в канонических реперах коевклидовой плоскости. Каков геометрический смысл инварианта J? Ответ на этот вопрос найдем в следующей главе. Но прежде предлагаем читателю самостоятельно определить геометрический смысл инварианта трех попарно непараллельных прямых, не проходящих через одну точку, на евклидовой плоскости. То есть определить числовую характеристику треугольника евклидовой плоскости, неизменную при всех евклидовых линейных преобразованиях. 27

Глава2. Ковекторы 2.1 Определение ковектора

Вводить понятие ковектора на коевклидовой плоскости будем во многом по аналогии с введением понятия вектора на плоскости евклидовой [1], учитывая, естественно, проективный характер изложения. Поэтому некоторые этапы рассуждений будем опускать, предоставив читателю возможность восстановить их самостоятельно. Упорядоченную пару неизотропных прямых a, b назовём дублетом и ____

обозначим ab . Прямые a и b будем называть соответственно началом и ____

концом дублета ab , или сторонами дублета. Точку пересечения прямых a, b ____

____

назовём вершиной дублета ab ( a I b = A – вершина дублета ab ). Неизотропную прямую a будем считать дублетом, начало и конец ____

которого совпадают, назовём его нулевым дублетом и обозначим aa . ____

Вершиной нулевого дублета aa будем считать любую точку прямой a. Два дублета назовём коллинеарными, если коллинеарны вершины этих дублетов (п. 1, §4, гл. 1). Отношение коллинеарности дублетов, очевидно, является отношением эквивалентности. ____

____

Коллинеарные дублеты ab и cd назовём эквиполлентными, если ____

____

коллинеарны дублеты ac и bd . Для коллинеарных и эквиполлентных дублетов примем обозначения: ____

____

____

____

ab || cd , ab ≅ cd соответственно. По определению:

⎧⎪ ab || cd , ab ≅ cd ⇔ ⎨ ⎪⎩ ac || bd . Коллинеарность, а, следовательно, и эквиполлентность дублетов сохраняются при любом преобразовании коевклидовой плоскости. Докажем, что отношение эквиполлентности дублетов является отношением эквивалентности. ____

____

____

____

____

____

Очевидно, что ab ≅ ab и если ab ≅ cd , то cd ≅ ab . Следовательно, отношение ≅ рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность этого ____

____

____

____

____

____

отношения. Пусть ab ≅ cd и cd ≅ ef . Покажем, что ab ≅ ef . По определению эквиполлентности дублетов данные условия означают, что

ab || cd , cd || ef

и

ac || bd , ce || df .

Введём следующие обозначения (рис. 6) вершин дублетов: 28

(1)

a I b = A , b I d = B , a I c = C , c I d = O , e I f = A1 , e I c = C1 . (2) ____

____

____

____

Из того, что ab || cd и cd || ef следует коллинеарность точек в парах О, А и О, А1, а, следовательно, и коллинеарность точек А, А1. Таким образом, ____

____

ab || ef .

Р

____

Остается

показать,

что

____

ae || bf . Трёхвершинники АВС и А1В1С1 В1 f А1 удовлетворяют условию теоремы С1 e Дезарга [2, стр. 26], так как прямые, b соединяющие соответственные В А a вершины этих трёхвершинников, С О проходят через одну точку О. Поэтому c согласно теореме Дезарга точки d пересечения соответственных сторон Рис. 6 трёхвершинников лежат на одной прямой. По определению коллинеарности дублетов из последних двух условий (1) с учетом введенных обозначений (2) имеем:

ac || bd ⇔ (a I c ) || (b I d ) ⇔ C || B ,

____

____

ce || df ⇔ (c I e ) || (d I f ) ⇔ C1 || B1 ,

____

____

поэтому соответственные стороны BC и B1C1 пересекаются в абсолютной точке P. Следовательно, точка P лежит и на прямой, соединяющей точки пересечения соответственных сторон AC, A1C1 и AB, A1B1. Таким образом, прямая ( AC I A1C1 ) U ( AB I A1 B1 ) является изотропной, следовательно, точки (a I e ) и (b I f ) коллинеарны, то есть ae || bf . Что и требовалось доказать. Разобьём множество всех дублетов коевклидовой плоскости на классы эквивалентности по отношению эквиполлентности дублетов. Каждый элемент полученного фактор-множества назовём ковектором коевклидовой плоскости. Таким образом, ковектор есть множество всех эквиполлентных между собой дублетов, каждый из которых будем называть представителем класса или представителем ковектора. Обозначать ковекторы будем жирным шрифтом заглавными латинскими буквами A, B, C,… (по вершине некоторого представителя класса), либо двумя строчными латинскими буквами ab, cd, ef,… (по соответствующим сторонам некоторого представителя ковектора). Ковектор, представленный нулевым дублетом, назовём нулевым ковектором и обозначим буквой О. 29 ____

____

Изотропную прямую, содержащую вершины представителей ковектора, назовем направляющей данного ковектора. Ковекторы, представленные коллинеарными дублетами, будем называть коллинеарными. Нулевой ковектор будем считать коллинеарным любому ковектору. Два ковектора будем называть равными, если представители этих ковекторов эквиполлентны. 2.2 Координаты ковектора 1. Выберем некоторый канонический репер R коевклидовой плоскости. Абсолютная квадрика AПЭ в репере R имеет (§1, гл. 1) уравнение

х12 + x22 = 0 .

(3)

____

Пусть стороны a, b дублета ab в репере R заданы соответственно уравнениями:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 и b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0 ,

(4)

где а3 ≠ 0, b3 ≠ 0, так как прямые а и b – неизотропные. ⎛b a ⎞ ⎛b a ⎞ Числа ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ и ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ назовём соответственно первой и второй ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠ _____

координатами дублета ab в репере R. Будем записывать:

⎛b a b a ⎞ ab ⎜⎜ 1 − 1 ; 2 − 2 ⎟⎟ . ⎝ b3 a3 b3 a3 ⎠

_____

(5)

Нулевой дублет, очевидно, имеет нулевые координаты. Итак, каждому дублету коевклидовой плоскости К 2 = P2 \ AПЭ поставили в соответствие упорядоченную пару чисел. Докажем две теоремы. Теорема 1. Дублеты коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в одном и том же репере пропорциональны. _____

_____

Доказательство. Пусть стороны дублетов ab и cd в репере R имеют координаты а(ai), b(bi), c(ci), d(di), i = 1, 2, 3. Так как a, b, c, d – неизотропные прямые, числа a3, b3, c3, d3 – ненулевые. Вершины K и H данных дублетов в репере R имеют соответственно координаты:

K (a2b3 − a3b2 : a3b1 − a1b3 : a1b2 − a2b1 ) , H (c2d3 − c3d2 : c3d1 − c1d3 : c1d2 − c2d1 ) . (6) I. Если данные дублеты коллинеарны, то прямая KH содержит абсолютную точку P (0:0:1), то есть выполняется равенство

30

a 2 b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a 2 b1

c 2 d 3 − c3 d 2

c3 d1 − c1d 3

c1d 2 − c2 d1 = 0.

0

0

(7)

1

Раскрывая определитель из равенства (7) по последней строке, находим

a3b1 − a1b3 c3d1 − c1d 3 = , a2b3 − a3b2 c2 d 3 − c3d 2

(8)

d1 c1 b1 a1 − − d 3 c3 b3 a3 = c2 d 2 . a2 b2 − + − + c3 d 3 a3 b3

(9)

или

Последнее равенство означает пропорциональность координат заданных дублетов. ____

____

II. Обратно. Пусть координаты дублетов ab и cd в репере R пропорциональны, то есть имеет место равенство (9). Равносильное ему равенство (8) означает коллинеарность точек K и H, а, следовательно, и ____

____

коллинеарность дублетов ab и cd . Что и требовалось доказать. Теорема 2. Дублеты эквиполлентны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в одном и том же репере равны. Доказательство. ____

____

____

____

____

____

I. Если ab ≅ cd , то по определению ab || cd и ac || bd . Согласно предыдущей теореме имеют место пропорции (9) и

c1 a1 d1 b1 − − c3 a 3 d 3 b3 = , c2 a2 d 2 b2 − − c3 a 3 d 3 b3

(10)

равносильные соответственно равенствам

b1 d 2 a1 d 2 b1 c2 a1 c2 a2 d1 a2 c1 b2 d1 b2 c1 − − + + − − + = 0, (11) b3 d 3 a3 d 3 b3 c3 a3 c3 a3 d 3 a3 c3 b3 d 3 b3 c3 c1 d 2 a1 d 2 b2 c1 a1 b2 c2 d 2 a2 d1 c2 d1 a2 b1 − − + − + + − = 0. (12) c3 d 3 a3 d 3 b3 c3 a3 b3 c3 d 3 a3 d 3 c3 d 3 a3 b3 31

Складывая равенства (11), (12) и группируя слагаемые левой части, получим

⎛ d 2 a2 ⎞⎛ b1 a1 d1 c1 ⎞ ⎛ a1 d1 ⎞⎛ b2 a2 d 2 c2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟⎜⎜ − − + ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟⎜⎜ − − + ⎟⎟ = 0. (13) ⎝ d3 a3 ⎠⎝ b3 a3 d3 c3 ⎠ ⎝ a3 d3 ⎠⎝ b3 a3 d3 c3 ⎠ Вычтем равенство (12) из равенства (11). После соответствующей группировки слагаемых имеем условие:

⎛ с2 b2 ⎞⎛ b1 a1 d1 c1 ⎞ ⎛ b1 c1 ⎞⎛ b2 a2 d 2 c2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟⎜⎜ − − + ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟⎜⎜ − − + ⎟⎟ = 0. (14) ⎝ c3 b3 ⎠⎝ b3 a3 d 3 c3 ⎠ ⎝ b3 c3 ⎠⎝ b3 a3 d 3 c3 ⎠ Систему условий (13), (14) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно переменных

xj =

bj b3

−

aj a3

−

dj d3

+

cj c3

, j = 1, 2.

Предположим, что определитель этой системы равен нулю, то есть справедливо равенство отношений

c1 b1 d 1 a1 − − c 3 b3 d 3 a3 = . c 2 b2 d 2 a1 − − c 3 b3 d 3 a3

(15)

____

____

По теореме 1 условие (15) означает коллинеарность дублетов bc и ad . Покажем, что последнее невозможно. Пусть Q и Т – точки пересечения прямых b, c и a, d соответственно (рис. ____ ____

P

7), тогда в силу условий ab || cd и ____ ____

a b

Т Q

ac || bd точки P, Q, Т являются диагональными для полного четырёхвершинника [2, стр. 42]:

(a I b)(c I d )(a I c )(b I d ).

c d

Следовательно, эти точки не лежат ____

Рис. 7

на одной прямой, то есть дублеты bc ____

и ad не коллинеарны. 32

Итак, определитель системы линейных однородных уравнений (13), (14) отличен от нуля. Следовательно, система имеет только нулевое решение:

b1 a1 d1 c1 b a d c − − + = 0, 2 − 2 − 2 + 2 = 0. b3 a3 d 3 c3 b3 a3 d 3 c3

(16)

Равенства (16) означают, что соответствующие координаты дублетов ____

____

ab и cd равны.

II. Обратно. Непосредственно из равенств (16) следуют пропорции (9), ____

____

(10), которые согласно теореме 1 приводят к условиям: ab ≅ cd . Что и требовалось доказать. 2. Последняя теорема позволяет ввести понятие координат ковектора. ____

Пусть дублет ab с координатами (v1; v2) в репере R является представителем ковектора V. Пару чисел (v1; v2) назовём координатами ковектора V в репере R. Согласно теореме 2 координаты ковектора не зависят от выбора его представителя и однозначно определены заданием проективного репера.∗ Каждому ковектору коевклидовой плоскости поставили в соответствие единственную упорядоченную пару действительных чисел, координат ковектора в заданном каноническом репере. Докажем справедливость обратного утверждения. Для каждой упорядоченной пары чисел (v1; v2) и каждой неизотропной прямой а коевклидовой плоскости найдется ____

единственная неизотропная прямая b, такая что дублет ab имеет координаты (v1; v2) в заданном репере R. То есть существует ∞ 2 дублетов с координатами (v1; v2) в репере R. По теореме 2 и определению ковектора каждый из указанных дублетов представляет один и тот же ковектор коевклидовой плоскости. Следовательно, каждая упорядоченная пара действительных чисел (v1; v2) однозначно определяет ковектор коевклидовой плоскости, с координатами (v1; v2) в заданном каноническом репере. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством R2 всех упорядоченных пар действительных чисел и множеством Ψ всех ковекторов коевклидовой плоскости. Уравнение направляющей ковектора V (v1; v2) в репере R имеет вид:

v1 x1 + v 2 x 2 = 0. ∗

(17)

Семейство ϑ реперов коевклидовой плоскости, в которых имеет место введенное понятие координат ковектора, шире семейства канонических реперов этой плоскости. Но как и в канонических реперах в каждом репере семейства ϑ третья координатная вершина – общая точка прямых абсолюта. Данное свойство реперов семейства ϑ гарантирует наличие ненулевых третьих однородных координат каждой неизотропной прямой.

33

2.3 Преобразование координат ковектора

Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – произвольные канонические реперы коевклидовой плоскости, а формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R' имеют вид ((9), гл. 1). Найдем формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R'. Пусть ковектор V имеет в репере R координаты (v1; v2), а в репере R' – координаты (v'1; v'2). Предположим, что прямые а и b, стороны дублета ab , представляющего ковектор V, заданы в репере R уравнениями (4). По формулам (9), главы 1 найдем координаты прямых а и b в репере R':

a(a1a11 − εa2 a12 + a3 a31 : a1a12 + εa2 a11 + a3 a32 : a3 a33 ) ,

(18)

b(b1a11 − εb2 a12 + b3 a31 : b1a12 + εb2 a11 + b3 a32 : b3 a33 ) .

(19)

Дублет ab в репере R' согласно условию (5) имеет координаты:

⎛ а ⎛b a ⎞ a ⎛b a ⎞ a ⎛b a ⎞ a ⎛ b a ⎞⎞ ab ⎜⎜ 11 ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ − ε 12 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟; 12 ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ + ε 11 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ⎟⎟ . (20) ⎝ а33 ⎝ b3 a3 ⎠ a33 ⎝ b3 a3 ⎠ a33 ⎝ b3 a3 ⎠ a33 ⎝ b3 a3 ⎠ ⎠

_____

По определению координат ковектора, сравнивая условия (5) и (20), получаем искомые формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R':

⎧ ′ a11 ⎪⎪ v1 = a v1 − ε 33 ⎨ a12 ⎪v 2′ = v1 + ε ⎪⎩ a 33

a12 v2 , a 33 a11 v2 . a 33

(21)

2.4 Внутренние операции над ковекторами

На множестве Ψ всех ковекторов коевклидовой плоскости введем внутренние операции, результатом которых являются вновь ковекторы множества Ψ. 1. Откладывание ковектора от прямой Пусть на коевклидовой плоскости заданы прямая u и ковектор С, _____

ab . Отложить ковектор С от

представленный, например, дублетом _____

_____

прямой u означает построить дублет uv эквиполлентный дублету ab .

34

_____

_____

Построение. Из отношения ab ≅ uv _____

_____

_____

по определению следует, что

_____

ab || uv и au || bv . Первое из этих условий означает, что вершины дублетов

_____

_____

ab и uv лежат на одной изотропной прямой, следовательно, вершина _____

дублета uv , обозначим её буквой K, определена однозначно пересечением прямой P U (a I b ) с прямой u. Аналогично, из условия au || bv следует, что _____

_____

_____

вершина дублета bv однозначно определена пересечением прямой P U (a I b ) с прямой b. Эту точку обозначим N. Прямая v = KN, _____

_____

удовлетворяющая условию uv || ab , определена единственным образом. 2. Сложение ковекторов Пусть заданы ковекторы ab и cd, имеющие в каноническом репере R координаты (x1; y1), (x2; y2) соответственно. Суммой ковекторов ab и cd назовём новый ковектор ef, построенный следующим образом. _____

_____

Пусть дублеты ab и cd – некоторые представители ковекторов ab и cd соответственно. От фиксированной прямой u отложим ковектор ab, то есть _____

_____

построим дублет uv эквиполлентный дублету ab . Затем от прямой v _____

_____

отложим ковектор cd, то есть построим прямую t так, что vt ≅ cd . Ковектор _____

ef представим дублетом ut . Будем записывать: ab+cd= ef. Найдём координаты ковектора ef в репере R. Пусть прямые u, v и t в репере R имеют соответственно координаты (ui ), _____

_____

(vi ), и (ti ), i = 1, 2, 3. Запишем условие uv ≅ ab в координатах:

v1 u1 − = x1 , v3 u3 _____

v2 u2 − = y1 . v3 u3

(22)

_____

Условие vt ≅ cd в координатах имеет вид

t1 v1 − = x2 , t3 v3

t2 v2 − = y2 . t3 v3

Из равенств (22), (23) находим

t1 u1 − = x1 + x2 , t 3 u3

t2 u2 − = y1 + y2 . t3 u3

____

Следовательно, дублет ut имеет координаты (x1 + x2; y1 + y2). Последнее означает: 1) сумма ковекторов не зависит от выбора прямых u и t; 35

(23)

2) сумма ковекторов не зависит от выбора их представителей; 3) координаты суммы ковекторов равны суммам соответствующих координат слагаемых. Отсюда непосредственно следуют единственность суммы ковекторов и «правило трехсторонника» сложения ковекторов: ab + bc = ac. Операция сложения ковекторов обладает следующими свойствами: I1. Для любых двух ковекторов А и В: А + В = В + А. I2. Для любых трёх ковекторов А, В, С: (А + В) + С = А + (В + С). I3. Для любого ковектора А: А + О = А. I4. Для каждого ковектора А существует единственный ковектор (–А): А + (–А) = О. Ковектор (–А) назовём противоположным ковектору А. Выполнение свойств I1 – I4 можно доказать, применяя координаты ковекторов. Суммой конечного числа ковекторов А1, А2, …, Аn назовём ковектор, построенный последовательным откладыванием слагаемых от некоторой прямой. Разностью ковекторов А и В назовём ковектор Х такой, что Х + В = А. Обозначение: А – В = Х. Сумму ковекторов мы определили конструктивно, то есть построили её, конкретно указали объект, который назовём суммой ковекторов. Такой способ определения понятия доказывает существование объекта, соответствующего этому понятию. Иначе обстоит дело с разностью ковекторов. Существование разности ковекторов необходимо доказывать. Можно кроме того доказать и её единственность.∗ 3. Умножение ковектора на действительное число ____

Заданы дублет ab с вершиной в точке S и действительное число α . ____

Через точки Р и S проведём прямую k и построим дублет av такой, что: 1) прямая v проходит через точку S пересечения прямых а и b; P 2) (kabv) = α. A2 По свойству сложного отношения четырёх прямых пучка существует A1 B2 единственная прямая v, k удовлетворяющая условиям 1, 2. a B1 V2 b Ковектору А, представленному ____

S

v Рис. 8

∗

V1

дублетом ab , и действительному числу α поставим в соответствие ковектор V, представителем которого является дублет

____

av .

Ковектор

V

назовём

Аналогичные доказательства для разности векторов можно найти в пособии [1, стр. 13]. 36

произведением ковектора А и числа α и обозначим: V = αA. Заметим, что существование ковектора V в отличие от его единственности доказано. Найдём зависимость между координатами ковекторов А(x1; y1) и V(x2; y2), заданных в каноническом репере R. Пусть прямые a(ai), b(bi), v(vi), i = 1, 2, 3, пересекают координатные прямые x2 = 0 и x1 = 0 в точках Aj, Bj, Vj, j = 1, 2, соответственно (рис. 8). Имеем:

A1(–a3:0: a1), B2(0: –b3: b2), V1(–v3:0: v1), A2(0:–a3: a2), B2(0: –b3: b2), V2(0: –v3: v2). Учитывая что (PA1 B1V1) = (PA2 B2V2) = (ka bv) [2, стр. 32], находим:

b3 (a 3 v1 − a1v3 ) b3 (a 3 v 2 − a 2 v3 ) = =α , v 3 (a 3b1 − a1b3 ) v 3 (a 3b2 − a 2 b3 ) или

v1 a v2 a − 2 − 1 v3 a3 v a3 = α. = 3 b1 a1 b2 a2 − − b3 a 3 b3 a3 ____

____

Так как дублеты ab и av представляют соответственно ковекторы А (x1; y1) и V (x2; y2), то последние равенства дают:

x 2 = α x1 , y 2 = α y1 . Откуда непосредственно следуют утверждения. 1. Координаты ковектора V выражены только через координаты ковектора А и число α, следовательно, построение V не зависит от выбора представителя ковектора А. 2. Согласно теореме 1 ковекторы А и V коллинеарны, и, обратно, если ковекторы А и V коллинеарны, то существует единственное действительное число α такое, что V= αA. 3. Для каждого ковектора А и вещественного числа α определён единственный ковектор V: V = αА. Действительно, если существует ковектор V' = αA, то его координаты x2', y2' выражаются через координаты ковектора А равенствами: x2' = α x1, y2' = α y1, следовательно, ковекторы V и V' совпадают. Заметим, если α > 0, то пара прямых a, k не разделяет пару b, v, если α < 0, то пары a, k и b, v разделяют друг друга, причём разделяют гармонически при α = – 1. С учётом этого можно дать следующее определение.

37

Пусть V = αA, если α ≥ 0 , то ковекторы А и V назовём сонаправленными, если α < 0, – противоположно направленными. При α = –1 ковектор V является противоположным ковектору А. Применяя координаты ковекторов, можно доказать свойства операции умножения ковектора на число. Для любых ковекторов А, В и любых действительных чисел α, β имеют место равенства: II1. α ( β А) = ( αβ ) А. II2. (α + β ) А = α А + β А. II3. α (А + В) = α А+ α В. II4. 1А = А. 2.5 Ковекторное пространство

Операции сложения ковекторов и умножения ковекторов на действительные числа обладают свойствами I1 – I4, II1 – II4, следовательно, множество Ψ всех ковекторов коевклидовой плоскости является векторным пространством над полем действительных чисел [2, стр. 245], [12, стр. 110], элементы которого – ковекторы коевклидовой плоскости. Множество Ψ назовем ковекторным пространством. Пусть А1, А2, …, Аn – некоторые ковекторы из Ψ, а α1, α2, …, αn – действительные числа. Линейной комбинацией ковекторов А1, А2, …, Аn с коэффициентами α1, α2, …, αn назовем выражение

α1 А1 + α 2 А2 + ... + α n An .

(24)

Линейную комбинацию ковекторов (24) будем называть нетривиальной, если хотя бы одно из чисел α1, α2, …, αn отлично от нуля, и тривиальной, если все числа α1, α2, …, αn равны нулю. Ковекторы А1, А2, …, Аn будем называть линейно зависимыми, если существует их нетривиальная комбинация, являющаяся нулевым ковектором. Если нулевому ковектору равна только тривиальная комбинация ковекторов А1, А2, …, Аn, то эти ковекторы назовем линейно независимыми. Пусть в каноническом репере R коевклидовой плоскости заданы ковекторы: А1 (1; 0) и А2 (0; 1). Линейная комбинация этих ковекторов

α 1 А1 + α 2 А2 имеет в репере R координаты (α1; α2) и равна нулевому ковектору тогда и только тогда, когда числа α1, α2 одновременно равны нулю. Следовательно, ковекторы А1, А2 линейно независимы. Если ковекторы А и В линейно зависимы и ковектор В ненулевой, то, очевидно, существует ненулевое число α такое, что А = αВ. То есть по утверждению 2 (п. 3, §4) ковекторы А и В являются коллинеарными. И, обратно, любые два коллинеарных ковектора линейно зависимы. 38

Пусть теперь А и В – некоторые неколлинеарные ковекторы из Ψ. Покажем, что каждый ковектор X из Ψ можно представить в виде линейной комбинации ковекторов А и В. Пусть в каноническом репере R ковекторы А, В, X заданы координатами: А (a1; a2), В (b1; b2), X (x1; x2). Существуют числа α и β такие, что

αА + β В = X.

(25)

Действительно, равенство (25) в координатах имеет вид:

⎧ α a1 + β b1 = x1 , ⎨ ⎩α a2 + β b2 = x2 .

(26)

Так как ковекторы А и В неколлинеарные, то их координаты непропорциональны, поэтому

a1

b1

a2

b2

≠ 0.

(27)

При условии (27) система уравнений (26) имеет единственное решение:

α=

x1

b1

a1

x1

x2

b2

a2

x2

a1

b1

a1

b1

a2

b2

a2

b2

, β=

.

(28)

Таким образом, ковектор X представим в виде линейной комбинации ковекторов А и В. Следовательно, ковекторы А, В, X линейно зависимы. В равенстве (25) число α (β) равно нулю тогда и только тогда, когда ковектор X коллинеарен ковектору В (А). Числа α и β одновременно равны нулю тогда и только тогда, когда ковектор X нулевой. Итак, справедливы следующие утверждения. III1. В ковекторном пространстве Ψ существует два линейно независимых ковектора. III2. Любые три ковектора пространства Ψ линейно зависимы. Следовательно, ковекторное пространство Ψ является двумерным векторным пространством. Базисом пространства Ψ назовем любую упорядоченную линейно независимую пару ковекторов. Согласно предыдущим рассуждениям базис пространства Ψ существует, и если А1, А2 – базис пространства Ψ, то для каждого ковектора X из Ψ существует единственная пара чисел (v1; v2) таких, что: 39

X = v1 А1 + v2 A2 .

(29)

Числа (v1; v2) назовем координатами ковектора X в базисе А1, А2. Если в каноническом репере R ковекторы А1, А2 базиса пространства Ψ имеют координаты: А1 (a11; a12), А2 (a21; a22), а ковектор X в базисе А1, А2 – координаты (v1; v2), то координаты (x1; x2) ковектора X в репере R имеют вид:

x1 = v1a11 + v2 a 21 , x2 = v1a12 + v2 a 22 .

(30)

Координаты базисных ковекторов А1, А2 в репере R непропорциональны, следовательно, равенства (30) дают однозначное выражение чисел v1, v2:

v1 =

x1

a 21

a11

x1

x2

a 22

a12

x2

a11

a 21

a11

a 21

a12

a 22

a12

a 22

, v2 =

.

(31)

Таким образом, равенства (30) – есть формулы связи координат ковектора в некотором каноническом репере с его координатами в некотором базисе пространства Ψ. 2.6 Скалярное умножение ковекторов

На множестве Ψ кроме внутренних операций (§4) можно ввести внешнюю операцию – скалярное умножение ковекторов. Квадратичная форма x12 + x22 , определяющая абсолютную квадрику AПЭ (1), индуцирует на множестве Ψ билинейную форму φ, которая каждым двум ковекторам X и Y, заданным в некотором каноническом репере R координатами X (x1; x2) и Y (y1; y2), ставит в соответствие число:

φ(Х, Y) = x1 y1 + x2 y2.

(32)

Число φ(Х, Y) назовём скалярным произведением ковекторов X, Y и обозначим XY (либо ab*cd при соответствующем задании ковекторов). Число ХХ назовём скалярным квадратом ковектора X и обозначим: X 2. Модулем ковектора назовём число, равное квадратному корню из скалярного квадрата ковектора: |X|=

X2 .

(33)

Очевидно, модуль ковектора, представленного дублетом с действительными сторонами (ai), b(bi), i = 1, 2, 3, является числом вещественным: 40

2

2

⎛b a ⎞ ⎛b a ⎞ | X |= x12 + x22 = ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠

(34)

Применяя координаты ковекторов, можно доказать свойства операции скалярного умножения ковекторов. Для любых ковекторов А, В, С и любого действительного числа α имеют место следующие условия. IV1. АВ = ВА. IV2. ( α А) В = α (АВ). IV3. (А + В) C = АС + ВС. IV4. Скалярный квадрат любого ковектора неотрицателен. Скалярный квадрат ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор является нулевым. Расстоянием между ковекторами Х и Y назовём расстояние между направляющими этих ковекторов. Обозначение: | XY | – расстояние между ковекторами X и Y. Очевидно, расстояние между ковекторами равно расстоянию между вершинами дублетов, представляющих соответственно ковекторы Х и Y. Найдём выражение расстояния между ковекторами через их координаты в каноническом репере. Пусть в каноническом репере R даны ковекторы X (x1; x2) и Y (y1; y2). Тогда изотропные прямые mx, my, направляющие этих ковекторов, имеют в репере R координаты: mx (x1: x2:0), my (y1: y2:0). По определению расстояние между ковекторами Х, Y равно расстоянию между прямыми mx, my. По формуле (26) главы 1 имеем:

cos XY =

x1 y1 + x2 y2 x12 + x22 y12 + y22

.

(35)

Из формул (34), (35) и определения скалярного произведения ковекторов следует формула:

XY = X Y cos XY . Таким образом, скалярное произведение ковекторов равно произведению их модулей на косинус расстояния между ними. Ковекторы Х, Y назовём ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Аналитическая запись условия ортогональности ковекторов X (x1; x2) и Y (y1; y2) имеет вид:

x1 y1 + x2 y2 = 0.

41

(36)

Расстояние между ортогональными ковекторами равно π/2. С проективной точки зрения ортогональность ковекторов означает гармоническую сопряженность направляющих данных ковекторов относительно абсолютных прямых. 2.7 Ортонормированные базисы ковекторного пространства Ψ

Пусть R = {A1, А2, А3, Е} – произвольный репер коевклидовой плоскости, третья вершина А3 которого является общей точкой Р прямых абсолюта. Дублеты со сторонами А1А2, А2Е и А1А2, А1Е назовем первым и вторым координатными дублетами репера R соответственно. Если R является каноническим репером, то в нем координаты ковекторов Е1 и Е2, представленных соответственно первым и вторым координатными дублетами репера R, имеют вид:

E 1 (1;0 ), E 2 (0 ;1). Ковекторы Е1 и Е2 линейно независимы, следовательно, образуют базис пространства Ψ. По формулам (35), (34) находим:

Е1 Е 2 =

π , Е1 = Е 2 = 1 . 2

Таким образом, канонические реперы коевклидовой плоскости являются аналогами ортонормированных реперов плоскости евклидовой. Базис Е1, Е2 пространства Ψ назовем ортонормированным, если существует канонический репер R коевклидовой плоскости, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2. Каждый канонический репер, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2 базиса пространства Ψ, будем называть присоединенным к базису Е1, Е2. Все канонические реперы, присоединенные к некоторому базису пространства Ψ, очевидно, имеют общие изотропные координатные оси. Докажем теорему. Теорема 3. Базис Е1, Е2 пространства Ψ является ортонормированным тогда и только тогда, когда направляющие ковекторов Е1, Е2 ортогональны. Доказательство. I. Пусть Е1, Е2 – ортонормированный базис пространства Ψ. По определению существует канонический репер R, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2. Следовательно, направляющие ковекторов Е1, Е2 являются изотропными координатными прямыми А1А3, А2А3 репера R. По свойству канонического репера эти прямые ортогональны. II. Пусть направляющие ковекторов Е1, Е2 базиса пространства Ψ ортогональны. Покажем, что существует канонический репер R 42

коевклидовой плоскости, координатные дублеты которого представляют неколлинеарные ковекторы Е1, Е2. Пусть дублеты ab, cd (рис. 9) с вершинами в ортогональных точках А, С представляют ковекторы Е1, Е2 соответственно. Первую вершину А1 искомого репера R поместим в точку пересечения прямой а изотропной прямой СР (А1 = а ∩ СР), вторую – в точку А (А2 = А), третью – совместим с общей точкой абсолютных прямых (А3 = Р). Через точку Н пересечения P=A3 прямых а и с проведем изотропную прямую НР. Точку пересечения прямых d и НР обозначим Т. По E построению дублеты со сторонами d С соответственно а, А1Т и с, d Т эквиполлентны, следовательно, с b представляют один и тот же ковектор. A1 Единичную точку Е репера R поместим Н в точку пересечения прямых b и А1Т. a A2=A Репер R построен. Дублет ab является Рис. 9 первым координатным дублетом репера R, дублет

cd эквиполлентен

второму координатному дублету. Репер R является каноническим репером коевклидовой плоскости так как по построению его вершины А1, А2 – ортогональные точки, а третья вершина является действительной точкой абсолюта. Согласно определению базис Е1, Е2 пространства Ψ является ортонормированным. Что и требовалось доказать. Если канонический репер R является присоединенным к ортонормированному базису А1, А2 пространства Ψ, то базисные ковекторы в репере R имеют координаты: А1 (1; 0), А2 (0; 1). Тогда для произвольного ковектора X в соответствующих формулах (30) связи координат (v1; v2) в базисе А1, А2 и координат (x1; x2) в репере R а11 = а22 = 1, а12 = а21 = 0. Следовательно, каждый ковектор задан в присоединенном к ортонормированному базису пространства Ψ каноническом репере теми же координатами, что и в самом базисе. 2.8 Ориентация ковекторного пространства

Покажем, что ориентация коевклидовой плоскости K2 индуцирует ориентацию ковекторного пространства Ψ. На ориентированной коевклидовой плоскости K2 выберем правый канонический репер R. Ковекторы Е1, Е2 некоторого базиса ковекторного пространства Ψ плоскости K2 зададим в репере R координатами: 43

E1 (е11 ; е12 ), E 2 (е21 ; е22 ).

(37)

Базис Е1, Е2 пространства Ψ назовем правым (левым), если число

Δ=

е11

е21

е12

е22

(38)

больше (меньше) нуля. Покажем, что знак числа ∆ сохраняется неизменным при переходе от репера R к любому одинаково ориентированному с R каноническому реперу, то есть определение правого (левого) базиса не зависит от выбора репера R. Пусть R' – канонический репер коевклидовой плоскости, и формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R' имеют вид (21). Перепишем равенства (21) для координат базисных ковекторов Е1, Е2 (37):

⎧ a11 ′ = е ⎪⎪ 11 a е11 − ε 33 ⎨ a12 ⎪е12 ′ = е11 + ε a33 ⎪⎩

a12 е12 , a33 a11 е12 , a33

а11 ⎧ ′ = е ⎪⎪ 21 а е21 − ε 33 ⎨ а12 ⎪е22 ′ = е21 + ε ⎪⎩ а33

а12 е22 , а33 а 22 е22 . а33

(39)

Определим число

′ е11 Δ′ = ′ е12

′ е21 . е′22

(40)

По формулам (39)

Δ′ =

а11 а е11 − ε 12 е12 а33 а33

а11 а е21 − ε 12 е22 а33 а33

а12 а е11 + ε 11 е12 а33 а33

а12 а е21 + ε 11 е22 а33 а33

а112 + а122 =ε Δ. 2 (41) а33

Согласно равенству (41) числа ∆ и ∆' имеют одинаковые (разные) знаки, если ε = 1 (ε = –1). То есть в одинаково ориентированных реперах R, R' (ε = 1) числа ∆, ∆' одного знака. Таким образом, если базис Е1, Е2 пространства Ψ является правым (левым) в каноническом репере R, то он является правым (левым) в любом одинаково ориентированном с R каноническом репере. Ковекторы Е1, Е2 линейно независимы, так как образуют базис пространства Ψ. Поэтому число ∆ (38) отлично от нуля, то есть ∆ либо 44

больше, либо меньше нуля. Следовательно, каждый базис пространства Ψ является либо правым, либо левым базисом. Таким образом, множество всех базисов ковекторного пространства Ψ коевклидовой плоскости состоит из двух классов: семейства всех правых и семейства всех левых его базисов. Каждый класс назовем ориентацией ковекторного пространства Ψ. Для задания ориентации пространства Ψ достаточно указать некоторый канонический репер плоскости K2, который будем считать правым, так как ориентация пространства Ψ индуцирована ориентацией коевклидовой плоскости, либо непосредственно указать правый базис пространства Ψ.∗ 2.9 Измерение углов между неизотропными прямыми. Измерение направленных неизотропных отрезков 1. Мы уже отмечали, что на коевклидовой плоскости не существует проективного инварианта двух неизотропных прямых. Измерение углов на коевклидовой плоскости введем с помощью ковекторов. Мерой угла с неизотропными сторонами a и b назовём модуль ____

ковектора, представленного дублетом ab . Обозначение: ∠ab – мера угла ab. Согласно определению меры угла и формуле (34) для прямых а(ai), b(bi), i = 1, 2, 3, в каноническом репере R имеем 2

2

⎛b a ⎞ ⎛b a ⎞ ∠a b = ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠

(42)

Возвращаясь к параграфу 8 главы 1, можно дать геометрическое толкование инварианта трёх неизотропных прямых. Учитывая равенство (42) и формулу (30) §8 главы 1, находим

J =

∠ bc . ∠ ac

(43)

Таким образом, на коевклидовой плоскости отношение углов в треугольнике (или точнее: трехстороннике) является инвариантным относительно преобразований фундаментальной группы этой плоскости.∗∗ 2. В §5 дано определение неизотропных отрезков и показано, что каждые две точки неизотропной прямой коевклидовой плоскости определяют ∗

Аналогично ориентации векторного двумерного евклидова пространства, где, как правило, в качестве ориентира принимают движение часовой стрелки. ∗∗ По принципу двойственности на евклидовой плоскости имеем: отношение сторон треугольника инвариантно относительно каждого линейного преобразования евклидовой плоскости.

45

на данной прямой два смежных отрезка. Введенное в том же параграфе понятие расстояния между точками неизотропной прямой еще не дает нам возможности измерять неизотропные отрезки. Действительно, формулы (14), (18), (19) не отражают различий между смежными отрезками. Чтобы ввести измерение неизотропных отрезков воспользуемся понятием ориентации ковекторного пространства Ψ. Пусть АВ – неизотропный отрезок, а R = {A1, A2, A3, Е} – правый канонический репер коевклидовой плоскости, причем координатные оси репера R не содержат ни одну из точек А и В. Неизотропному отрезку АВ плоскости K2 поставим в соответствие такой базис А, В пространства Ψ, в котором ковекторы А и В представлены соответственно дублетами ( АА1 )( АА2 ), ( ВА1 )( ВА2 ) . Базис А, В назовем соответствующим отрезку АВ в репере R. Неизотропный отрезок АВ назовем положительно (отрицательно) направленным, или кратко: положительным (отрицательным), если соответствующий ему базис А, В пространства Ψ является правым (левым). Направленный неизотропный отрезок АВ будем обозначать [AB]. Введенное понятие положительного (отрицательного) неизотропного отрезка не зависит от выбора правого канонического репера, так как от этого выбора не зависит понятие правого (левого) базиса пространства Ψ (§8). Длиной положительного (отрицательного) неизотропного отрезка АВ назовем модуль расстояния |AB|∗ между концами А и В данного отрезка, определенного формулами (14), (18), (19), взятый со знаком плюс (минус). Длину направленного неизотропного отрезка [АВ] обозначим |[AB]|. Пусть АВ – положительный неизотропный отрезок прямой l коевклидовой плоскости, а а = АТВ и а' = АNB – смежные отрезки прямой l, определенные точками А и В. Длины отрезков а, а' обозначим |a| и |a' | соответственно. Так как отрезок АВ – положительный, то |a| и |a' | – положительные числа. Кроме того, в общем случае∗∗ длины отрезков а и а' не равны. Поэтому по определению длины неизотропного отрезка и расстояния между точками неизотропной прямой получаем:

a + a′ =

1 1 ln( ABK1 K 2 ) + ln( ABK1 K 2 ) . 2i 2i T N

(44)

В равенстве (44) нижние индексы Т и N указывают на то, что в качестве длин отрезков а и а' выбраны различные числа, определенные формулами (14), (18), (19). Далее так как |a| ≠ |a' |, по формуле (44) имеем

∗ ∗∗

Точки А и В образуют неизотропный отрезок, то есть неколлинеарны, поэтому |AB| ≠ 0. Когда точки А и В не ортогональны.

46

a + a′ =

1 ln ( ABK 1 K 2 )(ВАK 1 K 2 ) = 2i

1 1 ln ( AAK 1 K 2 ) = = 2π ik = πk . 2i 2i

(45)

Полагая k = 1, выберем наименьшее значение суммы положительных чисел |a|, |a' |. Тогда сумма длин смежных неизотропных направленных отрезков равна π. 2.10 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере

На коевклидовой плоскости (как и на евклидовой) не существует инварианта точки и неизотропной прямой. То есть не существует числовой величины, соответствующей паре (точка, неизотропная прямая), инвариантной относительно группы преобразований коевклидовой плоскости. Укажем способ, позволяющий единственным образом каждой паре (точка, неизотропная прямая) поставить в соответствие действительное число, инвариантное относительно некоторой подгруппы группы коевклидовых преобразований.∗ Пусть даны точка A и неизотропная прямая m. Построим изотропную прямую k, ортогональную изотропной прямой AP. Точку пересечения прямых m и k обозначим K. Прямая AK, очевидно, неизотропная. Расстоянием от точки A до неизотропной прямой m назовем меру угла между прямыми m и AK. Обозначение: ρ(A, m) – расстояние от точки А до прямой m. Пусть точка A и прямая m заданы своими однородными координатами в репере R: A(a1 : a2 : a3), m(m1 : m2 : m3). Тогда уравнение прямой AP имеет вид: a2 x1 – a1 x2 = 0, а прямой k – вид: a1 x1 – a2 x2 = 0. Следовательно, точка K и прямая AK имеют однородные координаты:

K (m3 a2 : −m3 a1 : a1m2 − a2 m1 ) ,

AK ( a1 a 2 m 2 − a 22 m1 + a1 a 3 m3 : a 2 a 3 m3 + a1 a 2 m1 − a12 m 2 : − m3 ( a12 + a 22 )) . Найдем угол между прямыми m и AK: 2

2

⎛ a22 m1 − a1a2m2 − a1a3m3 m1 ⎞ ⎛ a12 m2 − a1a2 m1 − a2 a3m3 m2 ⎞ − ⎟⎟ . − ⎟⎟ + ⎜⎜ ∠m( AK) = ⎜⎜ 2 2 2 2 m m1 ⎠ ( ) ( + ) m a + a m a a 3⎠ 3 1 2 3 1 2 ⎝ ⎝ ∗

Как и на евклидовой плоскости такой подгруппой является группа движений коевклидовой плоскости, которая будет определена в следующей главе.

47

После необходимых преобразований подкоренного выражения получаем формулу для определения расстояния от точки до неизотропной прямой:

ρ ( A, m) =

a1m1 + a 2 m2 + a3 m3 .

m3 a12 + a 22

(46)

Последняя формула позволяет дать геометрическое толкование проективных координат коевклидовой плоскости. Пусть произвольная точка А коевклидовой плоскости в каноническом репере R = {A1, A2, A3, E} имеет однородные координаты: A(a1 : a2 : a3), причем a3 > 0. По формуле (18) главы 1 найдем косинусы расстояний от точки А до собственных для коевклидовой плоскости координатных вершин А1, А2:

a1

cos AA1 =

a12 + a 22

a2

, cos AA2 =

a12 + a 22

.

(47)

Согласно формуле (46)

ρ ( A, A1 A2 ) =

a3 a12 + a 22

.

(48)

Таким образом, точку А в репере R можно задать координатами:

A(cos AA1 : cos AA2 : ρ ( A, A1 A2 )) . Значения cosAA1, cosAA2, определенные равенствами (47), будем называть направляющими косинусами точки А в репере R. Заметим, что

cos 2 AA1 + cos 2 AA2 = 1 .

(49)

Расстояние ρ(A, A1A2) от точки А до неизотропной координатной прямой назовем высотой точки А в репере R и обозначим hA. 2.11 Расстояние между точками изотропной прямой

Пусть произвольные неизотропные прямые m и n пересекаются в точке В, коллинеарной данной точке А. Обозначим точки пересечения прямых m и n изотропной прямой k, ортогональной изотропной прямой АР, через M и N соответственно (рис. 10). Получим две пары коллинеарных дублетов:

mn || ( AM )( AN ); ( MA)( MB ) || ( NA)( NB ). 48

(50)

Условия (50) означают, что ковекторы, представленные дублетами ( MA)( MB ), ( NA)( NB ) , равны. Тогда по определению равны и расстояния от точки А до прямых m и n. Доказана теорема. Р Теорема 4. Расстояния от данной точки А до каждой неизотропной k прямой пучка с центром в точке B А а изотропной прямой АР равны. М Следствием теоремы 4 и b определения расстояния от точки до прямой является следующая теорема. m n Теорема 5. Расстояние от точки А до произвольной неизотропной В N прямой, проходящей через точку В, Рис. 10 коллинеарную точке А, равно расстоянию от точки В до каждой неизотропной прямой, проходящей через точку А. Теоремы 4, 5 позволяют ввести понятие расстояния между коллинеарными точками. Расстоянием между точками А и В изотропной прямой назовем расстояние от любой из этих точек до произвольной неизотропной прямой, проходящей через вторую точку. Обозначение: ρ(А, В). Расстояние между коллинеарными точками будем также называть длиной изотропного отрезка с концами в данных точках. Обозначение: |AB|. Пусть в некотором каноническом репере R коллинеарные точки А и В заданы своими однородными координатами: А(а1: а2: а3), B(а1: а2: b3). Тогда каждая неизотропная прямая m, проходящая через точку В, имеет в репере R координаты m (m1: m2: m3), для которых выполняется условие:

m1 a1 + m2 a 2 + m3 b3 = 0.

(51)

Согласно определению ρ(А, В) = |AB| = ρ(А, m), поэтому равенства (46), (51) дают формулу для вычисления расстояния между двумя коллинеарными точками коевклидовой плоскости:

ρ ( A, B ) = | AB | =

a3 − b3 a12 + a22

.

(52)

Число ρ(А, В), определенное равенством (52), не является инвариантом всех преобразований коевклидовой плоскости, в главе 4 найдем подгруппу группы коевклидовых преобразований, относительно которой введенное расстояние между коллинеарными точками является инвариантным.

49

Глава 3. Изображение коевклидовой плоскости 3.1 Введение коевклидовых координат

Заметим, что до настоящего момента мы пользовались проективными координатами объектов коевклидовой плоскости. То есть коевклидову плоскость рассматривали как проективную с некоторой фиксированной фигурой, вырожденной квадрикой АПЭ , не предполагая принципиальных различий между координатами точек этой фигуры и точек, ей не принадлежащих. Теперь изменим позицию исследования, введем в рассмотрение собственно коевклидовы координаты. Геометрически переход от проективных координат к собственно коевклидовым означает удаление абсолютной квадрики в бесконечность. Э Все точки квадрики АП , заданной в некотором проективном репере R на плоскости Р2 уравнением

x12 + x 22 = 0 ,

(1)

и только эти точки будем считать бесконечно удаленными. Пусть точка М проективной плоскости Р2 задана в репере R однородными координатами (x1: x2: x3). Необходимо найти такие функции x, y, z от переменных x1, x2, x3:

x = x (x1, x2, x3), y = y (x1, x2, x3), z = z (x1, x2, x3), которые бесконечно велики при условии (1) и принимают конечные значения при условии

x 12 + x 22 ≠ 0 .

(2)

Проективные координаты точек пропорциональны, поэтому отображение f: ( x1 ; x 2 ; x 3 ) a ( x; y ; z ) должно быть, по возможности, однородным нулевой степени. Это обеспечит отображение ненулевых пропорциональных троек чисел (x1: x2: x3) и (λx1: λx2: λx3), задающих одну точку на коевклидовой плоскости, в одну тройку чисел (x; y; z), что в дальнейшем даст нам возможность построить изображение коевклидовой плоскости в евклидовом трехмерном пространстве. Потребуем также, чтобы отображение f было инъективным на множестве всех непропорциональных ненулевых троек действительных чисел. Несколько ослабим одно из требований и отображение f, осуществляющее переход от проективных координат точек коевклидовой плоскости к координатам коевклидовым, зададим формулами:

50

x=

x1 x12 + x22

,

y=

x2 x12 + x 22

z=

,

x3 x12 + x 22

.

(3)

Очевидно, что отображение f не является однородным нулевой степени. Действительно, для любого ненулевого вещественного числа λ

f ( λ x1 ; λ x 2 ; λ x 3 ) =

λ f ( x1 ; x 2 ; x 3 ) . λ

Это приводит к тому, что пропорциональные ненулевые тройки действительных чисел (x1: x2: x3) и (–x1: –x2: –x3), являющиеся проективными координатами одной и той же точки, переходят при отображении f в различные тройки чисел (x; y; z) и (–x; –y; –z). Чтобы предотвратить возможное несоответствие, тройки чисел (x; y; z) и (–x; –y; –z) отождествим, будем считать коевклидовыми координатами одной и той же точки плоскости. Итак, упорядоченную тройку чисел x, y, z, определенных равенствами (3) с точностью до общего множителя ± 1, назовем собственно коевклидовыми (или кратко: коевклидовыми) координатами точки М коевклидовой плоскости относительно репера R. Коевклидовы координаты единичной точки E и собственных для плоскости вершин A1, A2 канонического репера R коевклидовой плоскости имеют относительно этого репера следующий вид: 1 1 1 ⎞ ⎛ E⎜± ;± ;± ⎟ , А1 (± 1; 0 ; 0 ), А 2 (0 ; ± 1; 0 ). 2 2 2 ⎠ ⎝

3.2 Преобразование коевклидовых координат

Пусть R и R' – канонические реперы коевклидовой плоскости. Найдем формулы преобразования коевклидовых координат точек при переходе от репера R к реперу R'. Пусть произвольная точка М коевклидовой плоскости имеет в репере R проективные координаты (x1: x2: x3), а в репере R' – координаты (x'1: x'2: x'3). Тогда коевклидовы координаты (x; y; z) точки М относительно репера R определены с точностью до общего множителя ± 1 равенствами (3), а координаты (x'; y'; z') относительно репера R' – с точностью до общего множителя ± 1 равенствами:

x′ =

x1′ x1′ 2 + x2′2

,

y′ =

x2′ x1′ 2 + x2′ 2

,

z′ =

x3′ x1′ 2 + x2′2

.

(4)

Формулы преобразования проективных координат точек коевклидовой плоскости при переходе от репера R к реперу R' ((9), гл. 1) имеют вид: 51

⎧ ρ x1 = a11x1′ + a12 x′2 , ⎪ ⎨ ρ x2 = −εa12 x1′ + εa11x2′ , ⎪ρ x = a x′ + a x′ + a x′ . 31 1 32 2 33 3 ⎩ 3

(5)

Подставим значения x1, x2, x3 из формул (5) в равенства (3). Тогда с учетом равенств (4) получаем:

a11 a12 ⎧ ′ x x y ′, = + ⎪ 2 2 2 2 a11 + a12 a11 + a12 ⎪ a12 a11 ⎪⎪ y = −ε x′ + ε y ′, 2 2 2 2 ⎨ a11 + a12 a11 + a12 ⎪ ⎪ a31 a32 a33 x′ + y′ + z ′. ⎪z = 2 2 2 2 2 2 a11 + a12 a11 + a12 a11 + a12 ⎪⎩

(6)

Формулы (6) – искомые формулы преобразования коевклидовых координат точек. 3.3 Изображение коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве∗ 1. Пусть на коевклидовой плоскости K2 выбран проективный репер R, уравнение абсолютной квадрики в котором имеет вид (1), а в евклидовом трехмерном пространстве E3 – декартова прямоугольная система координат Oxyz. Изображением в пространстве E3 точки M' плоскости K2 с коевклидовыми координатами (x; y; z) относительно репера R назовем точку M евклидова пространства E3 с координатами (x; y; z) в системе Oxyz. Изображением F фигуры F' коевклидовой плоскости назовем множество всех точек пространства E3, являющихся изображением точек фигуры F'. Согласно формулам (3) первые две коевклидовы координаты каждой точки коевклидовой плоскости связаны условием:

x2 + y2 = 1.

(7)

Это обстоятельство позволяет нам получить достаточно наглядное изображение коевклидовой плоскости. Уравнение (7) в евклидовом пространстве определяет круговой цилиндр единичного радиуса, а коевклидовы координаты точек плоскости K2 ∗

Заметим, что мы найдем изображение коевклидовой плоскости в рамках принятого определения. Не следует отождествлять это понятие с понятием модели коевклидовой плоскости.

52

определены с точностью до общего множителя ±1. Поэтому изображением точки коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве является пара точек на круговом цилиндре (7), симметричных относительно начала координат. А сам круговой цилиндр (7), на котором точки, симметричные относительно начала координат (центра цилиндра), отождествлены (склеены), является изображением коевклидовой плоскости. 2. Пусть в репере R проективными координатами задана точка M (m1: m2: m3), m12 + m22 ≠ 0 , коевклидовой плоскости. Рассмотрим в евклидовом пространстве Е3 прямую m, проходящую через начало координат в направлении ненулевого вектора m (m1; m2; m3). Точки пересечения прямой m с цилиндром (7) обозначим M1, M2. Евклидовы координаты этих точек, очевидно, определены системой уравнений (7) и

x = λm1 , y = λm2 , z = λm3 .

(8)

Подставим значения координат x, y из уравнений (8) в уравнение (7), получим условие, определяющее значение множителя λ:

λ2 (m12 + m22 ) = 1.

(9)

Условия (8), (9) определяют евклидовы координаты точек M1, M2:

⎛ ±m ± m3 ± m2 1 M 1, 2 ⎜ ; ; ⎜ m2 + m2 m12 + m22 m12 + m22 1 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

(10)

Согласно формулам (3) пара точек (8) является изображением точки M коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве. Проведенные рассуждения, очевидно, определяют способ построения изображения точки коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве. Изображением координатных вершин А1, А2 канонического репера R являются соответственно склеенные точки в парах:

(А (А

) ( 0 ; − 1 ; 0 ) ),

1 1

( 1 ; 0 ; 0 ), А 12 ( − 1 ; 0 ; 0 ) ;

1 2

( 0 ;1 ; 0 ), А 22

(11)

то есть склеенные точки пересечения цилиндра (7) соответственно с координатными осями Ox и Oy. 3. Пусть относительно репера R неколлинеарные точки A, B коевклидовой плоскости с проективными координатами (ai), (bi), i = 1, 2, 3, имеют коевклидовы координаты:

A( xa ; y a ; z a ) ,

B( xb ; yb ; zb ) . 53

(12)

Тогда формула (18) главы 1 для вычисления расстояния между точками A и B в коевклидовых координатах имеет вид:

cos AB = xa xb + y a yb .

(13)

Найдем геометрическую интерпретацию полученной формулы. Обозначим через A0, B0 проекции изображений точек A, B на координатную плоскость Oxy. Точки A0, B0 лежат на окружности ω плоскости Oxy единичного радиуса с центром в начале системы координат Oxyz, их евклидовы координаты имеют вид: A0 (x a ; y a ;0 ) ,

B 0 (x b ; y b ;0 ) .

Следовательно, косинус угла между радиус-векторами этих точек определен формулой:

(

)

cos OA 0 , OB 0 = x a x b + y a y b .

(14)

Длина s дуги окружности ω, соединяющей точки А0, В0, равна:

(

)

s = OA 0 OB 0 cos OA 0 , OB 0 .

(15)

Сравнивая формулы (13), (14), (15) и учитывая, что векторы OA0 ,OB0 единичные, получаем следующий результат. Интерпретацией расстояния между точками коевклидовой плоскости может служить арккосинус длины дуги, соединяющей проекции изображений данных точек на сечение кругового цилиндра плоскостью Oxy. 4. Если уравнение прямой l коевклидовой плоскости в проективных координатах имеет вид

u1 x1 + u 2 x 2 + u 3 x3 = 0 ,

(16)

то, переходя к коевклидовым координатам, получим систему уравнений:

⎧u1 x + u 2 y + u3 z = 0, ⎨ x 2 + y 2 = 1, ⎩

(17)

определяющую в евклидовом пространстве изображение прямой l. Первое уравнение системы (17) в системе Oxyz задает плоскость, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору n (u1; u2; u3). Следовательно, изображением прямой коевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является сечение кругового цилиндра (7) плоскостью, проходящей через начало координат, со склеенными диаметрально противоположными точками. Для изотропных прямых коевклидовой плоскости в уравнении (16) u3 = 0, следовательно, изображением изотропной прямой коевклидовой 54

плоскости в евклидовом пространстве является противоположных образующих цилиндра (7).

пара

диаметрально

5. Пусть прямые a, b коевклидовой плоскости заданы в каноническом репере R уравнениями: a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3 = 0 , b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0. Тогда векторы

⎛ a ⎞ ⎛b b ⎞ a n a ⎜⎜ 1 ; 2 ;1 ⎟⎟ , n b ⎜⎜ 1 ; 2 ;1 ⎟⎟ ⎝ a3 a3 ⎠ ⎝ b3 b3 ⎠ евклидова пространства с единичными проекциями на ось Oz являются нормальными векторами плоскостей, содержащих изображения прямых a, b. Обозначим через ∆ модуль разности векторов n a , n b , тогда 2

∆ = n a − nb =

2

⎛ b1 a1 ⎞ ⎛b a ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . ⎝ b3 a 3 ⎠ ⎝ b3 a 3 ⎠

(18)

Правая часть равенства (18) согласно формуле (42) главы 2 равна мере угла между прямыми a, b. Таким образом, величина ∆ (18) – есть интерпретация меры угла между неизотропными прямыми коевклидовой плоскости. Если прямые a, b – изотропные, то в каноническом репере R их можно задать однородными проективными координатами: a (а1: a2 :0), b(b1: b2 :0). Расстояние между прямыми a, b, вычисленное по формуле (26) главы 1, равно:

cos δ ab =

a1b1 + a2b2 a12 + a22 b12 + b22

(19)

Правая часть равенства (19) равна косинусу угла между векторами n a (a1 ; a 2 ;0 ), n b (b1 ; b2 ;0 ) , нормальными векторами плоскостей, содержащих изображения изотропных прямых a, b в евклидовом пространстве. Следовательно, расстояние между изотропными прямыми коевклидовой плоскости можно интерпретировать как величину двугранного угла между плоскостями пространства Е3, содержащими изображения данных прямых. Согласно формуле (48) главы 2 и определению коевклидовых координат интерпретацией высоты точки в координатном репере R является евклидова длина отрезка образующей цилиндра (7) с концами в изображении данной точки в евклидовом пространстве и его проекции на плоскость Oxy.

55

Глава 4. Линейные преобразования коевклидовой плоскости 4.1 Классификация линейных преобразований

Проведём классификацию преобразований фундаментальной группы коевклидовой плоскости по наличию двойных элементов (точек и прямых). Пусть M (x1: x2: x3) – двойная точка некоторого преобразования Н группы G ((3), гл. 1) коевклидовых преобразований, заданной матрицей:

⎛ a11 ⎜ ⎜ − ε a12 ⎜ a ⎝ 31

a12

ε a11 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, a33 ⎟⎠

(1)

где ε = ±1. Тогда её проективные координаты, неравные нулю одновременно, удовлетворяют системе уравнений:

⎧ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 , ⎪ ⎨ ρx2 = −εa12 x1 + εa11 x2 , ⎪ ρx = a x + a x + a x , 31 1 32 2 33 3 ⎩ 3 или

⎧(a11 − ρ )x1 + a12 x 2 = 0, ⎪ ⎨− εa12 x1 + (εa11 − ρ )x 2 = 0, ⎪a x + a x + (a − ρ )x = 0. 32 2 33 3 ⎩ 31 1

(2)

Система (2) однородных линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда равен нулю ее определитель, то есть при условии:

a11 − ρ

a12

0

− εa12

εa11 − ρ

0

a31

a32

a33 − ρ

= 0.

(3)

Преобразуем уравнение (3) к виду:

(a33 − ρ )((a11 − ρ )(εa11 − ρ ) + εa122 ) = 0 . Последнее уравнение имеет три корня

a11 (ε + 1) ± a112 (ε + 1) − 4ε (a112 + a122 ) = . 2 2

ρ1 = a33 , ρ 2,3

56

(4)

Каждому значению корня уравнения (4) соответствует определенный набор инвариантных элементов преобразования, поэтому дальнейшая классификация преобразований подразумевает исследование решений уравнения (4). С целью упрощения рассуждений преобразования первого и второго рода будем классифицировать отдельно. 1. Преобразования первого рода При ε = 1 уравнение (4) имеет корни: ρ1 = а33, ρ2,3 = а11 ± ia12. Возможны следующие случаи: корни уравнения (4) различны; уравнение (4) имеет один двукратный корень; все корни уравнения (4) совпадают. Рассмотрим более подробно каждый из указанных случаев. 1. Корни уравнения (4) различны Найдём двойные точки преобразований первого рода, соответствующие значениям ρi, i = 1, 2, 3. Система уравнений (2) при первом значении корня ρ = ρ1 = а33 имеет вид:

⎧(a11 − a33 )x1 + a12 x2 = 0, ⎪ ⎨− a12 x1 + (a11 − a33 )x2 = 0, ⎪ a x + a x = 0. ⎩ 31 1 32 2

(5)

Каждое уравнение системы (5) в рассматриваемом случае задаёт изотропную прямую ((10), гл. 1), следовательно, система (5) определяет единственную инвариантную точку – действительную точку абсолюта P(0:0:1). При условии ρ = ρ2,3 = а11 ± ia12 система уравнений (2) имеет вид:

⎧a12 (± ix1 − x2 ) = 0, ⎪ ⎨a12 ( x1 ± ix2 ) = 0, ⎪a x + a x + (a − (a ± ia )) x = 0. 32 2 33 11 12 3 ⎩ 31 1

(6)

Соответственно знаку «+» или «–» получаем две различные системы (6). Первые два уравнения каждой из этих систем равносильны и, так как корни уравнения (4) различны, то есть а12 ≠ 0, эти уравнения определяют одну из прямых абсолюта. Следовательно, сами системы (6) определяют комплексно сопряженные инвариантные точки

(− a33 + (a11 ± ia12 ) : − a12 ± i(a11 − a33 ) : a31 ± ia32 ) ,

(7)

по одной на каждой из абсолютных прямых. Из инвариантности точек (7) следует инвариантность проходящей через них неизотропной действительной прямой: 57

(

)

2 x1(a31(a33 − a11) − a12a32) + x2 (a32(a33 − a11) + a12a31) + x3 (a33 − a11) + a12 = 0. (8) 2

Предположим, что преобразование имеет еще одну действительную инвариантную прямую. Тогда точка ее пересечения с прямой (8) является двойной точкой преобразования. Но данное преобразование действительных двойных точек не имеет, следовательно, прямая (8) – единственная неподвижная прямая преобразования. Итак, в первом (наиболее общем) случае преобразование имеет следующие инвариантные элементы: две несобственные комплексно сопряженные точки; одну действительную неизотропную прямую. 2. Уравнение (4) имеет двукратный корень Каждое из равенств ρ1 = ρ2, ρ1 = ρ3 приводит к совпадению всех корней уравнения (4), поэтому в рассматриваемом случае эти равенства неуместны. Остается возможным: ρ2 = ρ3. Тогда а12 = 0. Система уравнений (2) при ρ = ρ1 определяет единственную двойную точку P (0:0:1), а при ρ = ρ2 = ρ3 – множество двойных точек, совпадающее с неизотропной прямой

a31 x1 + a32 x2 + (a33 − a11 ) x3 = 0.

(9)

Итак, в случае существования двукратного корня уравнения (4) имеем поточечную неподвижность неизотропной (так как а33 ≠ а11) прямой (9) и, как следствие, – неподвижность каждой изотропной прямой. Преобразование такого вида (при а12 = 0) назовём коллинеарным, учитывая, что каждая точка плоскости коллинеарна со своим образом в данном преобразовании. 3. Уравнение (4) имеет трёхкратный корень В этом случае а12 = а11 – а33 = 0. Первые два уравнения системы (5) являются тождествами. Следовательно, при а31 ≠ 0, а32 ≠ 0 все неподвижные точки преобразования заполняют изотропную прямую

x1 a31 + a32 x 2 = 0.

(10)

Двойных неизотропных прямых преобразование, очевидно, не имеет. При дополнительных условиях на коэффициенты, а31 = а32 = 0, получим частный вид преобразования – тождественное преобразование. 2. Преобразования второго рода При ε = –1 уравнение (4) имеет следующие корни:

ρ1 = a33 , ρ2,3 = ± a112 + a122 . Рассмотрим все возможные случаи взаимного отношения указанных корней. 58

1. Корни уравнения (4) различны Тогда при ρ = ρ1 = а33 система уравнений (2) имеет вид:

⎧(a11 − a33 ) x1 + a12 x2 = 0, ⎪ ⎨a12 x1 − (a11 + a33 ) x2 = 0, ⎪ ⎩a31 x1 + a32 x2 = 0.

(11)

Ранг системы уравнений (11) в данном случае больше единицы, следовательно, система определяет единственную неподвижную точку – абсолютную точку P(0:0:1). 2 2 получим соответственно знаку «+» или «–» две При ρ = ρ 2,3 = ± a11 + a12 системы уравнений:

(

)

⎧ − a ± a 2 + a 2 x − a x = 0, 11 12 1 12 2 ⎪ 11 ⎪ 2 2 ⎨a12 x1 − a11 ± a11 + a12 x2 = 0, ⎪ ⎪a31 x1 + a32 x2 − − a33 ± a112 + a122 x3 = 0. ⎩

(

)

(

)

(12)

Первые два уравнения систем (12) в силу пропорциональности их коэффициентов задают одну изотропную прямую. Поэтому каждая из систем уравнений (12) определяет собственную для коевклидовой плоскости неподвижную точку преобразования:

((а

11

)(

)

± а112 + а122 ± а112 + а122 − а33 :

(

)

а12 ± а112 + а122 − а33 :

)

(13)

а11а31 + а12 а32 ± а31 а112 + а122 . Две первые координаты точек (13) не пропорциональны, следовательно, сами точки определяют неизотропную прямую. Таким образом, преобразование имеет действительную двойную неизотропную прямую

(a

31a33

2 2 2 + a11a31 + a12 a32 : a32 a33 + a12 a31 − a11a32 : a33 − a11 − a12

)

(14)

и две инвариантные ортогональные друг другу изотропные прямые

(a

12

)

: a11 ± a112 + a122 : 0 ,

проходящие соответственно знаку «+», «–» через точки (13). 59

(15)

Отметим, что при а12 = 0 системы уравнений (12) определяют двойные точки преобразования: (а11 – а33 : 0 : а31) и (0 : а11 + а33 : – а32), неподвижные изотропные прямые: x2 = 0 и x1 = 0, проходящие через эти точки, и двойную неизотропную прямую (14). 2. Уравнение (4) имеет двукратный корень Тогда априори возможны три случая:

ρ1 = ρ2 ≠ ρ3, ρ1 = ρ3 ≠ ρ2, ρ2 = ρ3 ≠ ρ1. Но в последнем случае получаем а11 = а12 = 0. Это приводит к равенству нулю определителя матрицы (1) преобразований группы G, то есть сама матрица не задает преобразование коевклидовой плоскости. Нас этот случай не интересует. В первом (втором) случае имеем 2 2 a33 = a11 + a12

(a

33

)

2 2 = − a11 + a12 .

(16)

Достаточно исследовать один из указанных случаев, например, первый, так как матрица проективных преобразований определена с точностью до общего ненулевого множителя, и во втором случае, умножив на (–1) все коэффициенты матрицы преобразований, придем к первому равенству (16). При ρ = ρ1 = ρ2 система уравнений (2) имеет вид

(

)

⎧ a − a 2 + a 2 x + a x = 0, 11 12 1 12 2 ⎪ 11 ⎪ 2 2 ⎨a12 x1 − a11 + a11 + a12 x2 = 0, ⎪ ⎪a31 x1 + a32 x2 = 0. ⎩

(

)

(17)

Ранг последней системы уравнений меньше трёх, так как коэффициенты первых двух уравнений пропорциональны. Если ранг системы уравнений (17) равен двум, то получаем единственную двойную точку P (0:0:1). Если ранг системы уравнений (17) равен единице, коэффициенты уравнений в этом случае удовлетворяют двум условиям

a11a31 + a12 a32 + a31a33 = 0 , a11a32 − a12 a31 − a32 a33 = 0 ,

(18)

то в данном преобразовании инвариантны все точки изотропной прямой (10). Заметим, что при a12 ≠ 0 и выполнении одного из равенств (16) условия (18) равносильны. 2 2 + a12 и первом условии (16) система уравнений (2) При ρ = ρ 3 = − a11 принимает вид

60

(

)

⎧ a + a 2 + a 2 x + a x = 0, 11 12 1 12 2 ⎪ 11 ⎪ 2 2 ⎨a12 x1 + − a11 + a11 + a12 x2 = 0, ⎪ ⎪a31 x1 + a32 x2 + 2 a112 + a122 x3 = 0. ⎩

(

)

(19)

Для каждой коллинеации коевклидовой плоскости a11 + a12 ≠ 0 . Поэтому последнее уравнение системы (19) определяет неизотропную прямую, следовательно, сама система (её ранг равен двум) определяет собственную неподвижную точку преобразования 2

2

K (2a33(a11 − a33 ) : 2a12a33 : −a11a31 − a12a32 + a31a33) . Изотропная прямая k (a12: a33 – a11: 0), проходящая через эту неподвижную точку, является двойной прямой преобразования. Докажем, что в рассматриваемом случае преобразование имеет еще одну двойную изотропную прямую.∗ Существует единственная изотропная прямая m, гармонически разделяющая с прямой k пару абсолютных прямых, переходящих друг в друга в преобразовании второго рода. Пусть m' – ее образ в данном преобразовании. Учитывая инвариантность прямой k, имеем (l1l2 km) = (l2l1km') = –1, но (l1l2 km') = (l2l1 km')–1 = –1, поэтому (l1l2 km') = (l1l2 km). Следовательно, прямые m и m' совпадают. Итак, при условии 2 a33 = a112 + a122

(20)

преобразование имеет две неподвижные ортогональные изотропные прямые и одну неподвижную точку на одной из этих прямых. Заметим, что при условиях (18) и a12 ≠ 0 указанная неподвижная точка имеет координаты (a11 – a33: a12: a31) и является центром пучка неизотропных прямых, инвариантных в силу поточечной неподвижности прямой (10). Если a12 = 0, то условие (20) определяет два варианта: a11=a33 и a11= –a33. В первом случае неподвижная точка имеет координаты: (0: –2a11: a32). Если a31 = 0, то есть если выполняются условия (18), эта точка является центром пучка инвариантных неизотропных прямых. Во втором случае неподвижная точка (2a11:0: a31) при a32 = 0, то есть при условиях (18), также является центром пучка двойных неизотропных прямых. Таким образом, при одновременном выполнении условий (18), (20) преобразование имеет поточечно неподвижную изотропную прямую, ∗

Данный факт непосредственно следует и из теоремы 8 о свойстве преобразований второго рода, которая будет доказана в следующем параграфе.

61

двойную собственную для коевклидовой плоскости точку, ортогональную указанной изотропной прямой, и двойную изотропную прямую, проходящую через эту точку. Преобразование второго рода, определённое условиями (18) и (20) назовём центральной симметрией. 3.Уравнение (4) имеет трехкратный корень Тогда a11 = a12 = a33 = 0 и, следовательно, матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости. Результаты проведенной классификации преобразований коевклидовой плоскости представлены в приложении, в таблицах 1, 2. 4.2 Свойства преобразований коевклидовой плоскости. Движения

Докажем общие свойства всех преобразований коевклидовой плоскости. Теорема 1. Каждое преобразование Н группы G, заданное матрицей (1), изменяет меру данного угла в k раз, где 2 a 33 a112 + a122 .

k =

(21)

Доказательство. Пусть (ai), (bi), i = 1, 2, 3, – однородные координаты прямых a' и b' соответственно в каноническом репере R. На прямой a' выберем две точки, например, F'1(0: – a3 : a2) и F'2(– a3 : 0 : – a1). Прообразы этих точек в преобразовании Н группы G имеют координаты:

F1 ( − a 3 a12 a 33 : a 3 a11 a 33 : a 3 a12 a 31 − a 3 a11 a 32 − ε a 2 ( a112 + a122 ));

F2 ( − a3 a11 a33 : − a3 a12 a33 : a3 a11 a31 + a3 a12 a32 + a1 ( a112 + a122 )). Следовательно, однородные координаты прообраза прямой a' в преобразовании H имеют вид:

a (a1a11 − εa2 a12 + a3 a31 : a1a12 + εa2 a11 + a3 a32 : a3 a33 ) . Аналогично, однородные преобразовании H имеют вид:

координаты

прообраза

прямой

b'

в

b (b1a11 − εb2 a12 + b3 a31 : b1a12 + εb2 a11 + b3 a32 : b3 a33 ) . Мера угла a'b', вычисленная по формуле (42) главы 2, равна:

(

) (

)

⎛ b1 a1 ⎞ ⎛ b2 a2 ⎞ a32 b12 + b22 + b32 a12 + a22 − 2a3b3 (a1b1 + a2b2 ) ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ = .(22) a32b32 ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠ 2

2

Определим меру угла ab: 62

2

⎛b1a11 −εb2a12 +b3a31 a1a11 −εa2a12 + a3a31 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − b a a a 3 33 3 33 ⎝ ⎠

2

⎛b a +εb a +b a a a +εa a +a a ⎞ +⎜⎜ 1 12 2 11 3 32 − 1 12 2 11 3 32 ⎟⎟ . b3a33 a3a33 ⎝ ⎠

В последнем выражении после возведения в квадрат, группировки 2 2 слагаемых при множителях a 3 , b 3 , − 2 a 3 b 3 и приведения подобных слагаемых имеем:

∠ab =

a112 + a122 2 a 33

(

)

(

)

a 32 b12 + b22 + b32 a12 + a 22 − 2 a 3b3 (a1b1 + a 2 b2 ) .(23) a 32 b32

Из равенств (22), (23) следует

∠ a 'b' k= = ∠ ab

a 332 a112 + a122 .

Теорема доказана. Теорема 2. Каждое преобразование H коевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), изменяет расстояние от точки до неизотропной прямой в k раз, где число k определено выражением (21). Доказательство. Каждое преобразование Н группы G переводит прямую m (m1: m2: m3) в прямую m':

(a11(a31m3 − a33m1 ) + a12 (a32m3 − a33m2 ) : ε (a12 (a33m1 − a31m3 ) + a11(a32m3 − a33m2 )) :

(

))

− m3 a112 + a122 , а точку B(b1:b2:b3) в точку B' (a11b1+a12b2 : – εa12b1+εa11b2 : a31b1+a32b2+a33b3). Согласно формуле (46) главы 2 имеем:

ρ (B, m) =

ρ (B′, m′) =

b1m1 + b2 m2 + b3m3 m3 b12 + b22

,

(24)

a33 b1m1 + b2 m2 + b3m3 m3 a112 + a122 b12 + b22

Из выражений (24), (25) получаем равенство:

63

.

(25)

ρ (B ′, m ′ ) k= = ρ (B , m )

2 a 33 . 2 2 a11 + a12

Что и требовалось доказать. Число k назовём коэффициентом искажения преобразования H. Инвариант k является аналогом коэффициента подобия евклидовой плоскости. Преобразования коевклидовой плоскости, сохраняющие без изменения меры углов, назовём движениями коевклидовой плоскости. Пусть преобразование H задано матрицей (1). Согласно теореме 1 H является движением тогда и только тогда, когда k = 1, то есть когда выполняется условие (20). Преобразования группы G, удовлетворяющие условию (20), образуют группу. Назовём эту группу группой движений коевклидовой плоскости. Последняя колонка таблиц 1, 2 определяет место движений среди всех преобразований коевклидовой плоскости. Следствием теоремы 2 является следующее утверждение. Теорема 3. Преобразование коевклидовой плоскости не изменяет расстояние от точки до прямой тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости. Учитывая определение расстояния между коллинеарными точками (глава 2, §11) и теорему 2, получаем теорему. Теорема 4. Преобразование коевклидовой плоскости не изменяет расстояние между коллинеарными точками тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости.∗ Следующие три теоремы характеризуют преобразования первого рода коевклидовой плоскости. Теорема 5. Пусть M' – образ произвольной точки M в преобразовании H коевклидовой плоскости. Если расстояние MM' постоянно, то есть не зависит от выбора точки M, то H – преобразование первого рода. Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R преобразования коевклидовой плоскости заданы матрицей (1), а точка M – однородными координатами (x1: x2: x3), тогда однородные координаты точки M' в том же репере имеют вид:

M ′(a11 x1 + a12 x2 :−ε a12 x1 + ε a11 x2 : a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) .

(26)

По формуле (18) главы 1

a11 x12 + a12 x1 x2 (1 − ε ) + εa11 x22 cos MM ′ = . (x12 + x22 ) a112 + a122 ∗

(27)

Отметим, что движения коевклидовой плоскости можно определить как преобразования, сохраняющие без изменения расстояния между точками изотропных прямых (см., например, [9, стр. 367]).

64

Так как по условию теоремы MM' – const, то правая часть равенства (27) не должна зависеть от переменных x1, x2, то есть необходимо иметь тождество

a11 x12 + a12 x1 x2 (1 − ε ) +ε a11 x22 =λ, x12 + x22 где

λ = cos MM ′ a112 + a122 , откуда получаем:

x12 (a11 − λ ) + x22 (ε a11 − λ ) + a12 x1 x2 (1 − λ ) = 0 . Последнее равенство является тождественным при выполнении условий: a11 = λ, εa11 = λ, a12(1– ε) = 0, то есть при ε = 1. Что и требовалось доказать. Формула (27) при ε = 1 имеет вид

a11 . a112 + a122

cos MM ′ =

(28)

Таким образом, справедлива теорема. Теорема 6. Если M' – образ точки M в преобразовании первого рода коевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) при ε = 1, то выполняется равенство (28). Далее рассмотрим более подробно преобразования, при которых каждая точка плоскости лежит на одной изотропной прямой со своим образом. Такие преобразования мы назвали коллинеарными. Пусть точка M' (26) – образ точки M (x1: x2: x3) в преобразовании H группы G. Условие коллинеарности точек M и M' имеет вид:

a11 x1 + a12 x2

− εa12 x1 + εa11 x2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3

x1

x2

x3

0

0

1

= 0,

или

a12 (εx12 + x22 ) + a11 x1 x2 (1 − ε ) = 0.

(29)

a12 (x12 + x22 ) = 0.

(30)

При ε = 1 имеем

65

2 2 Так как для собственных точек коевклидовой плоскости x1 + x2 ≠ 0 , то условие (30) выполняется тогда и только тогда, когда a12 = 0. При ε = – 1 условие (29) имеет вид

a12 x22 + 2a11 x1 x2 − a12 x12 = 0.

(31)

Последнее равенство должно быть тождественным, так как M – произвольная точка плоскости. То есть необходимо иметь a11 = a12 = 0. Но при нулевых значениях коэффициентов a11 и a12 матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости. Таким образом, среди преобразований второго рода коллинеарных преобразований нет. Доказана теорема. Теорема 7. Преобразование группы G, заданное матрицей (1), является коллинеарным тогда и только тогда, когда это преобразование первого рода и a12 = 0. Две следующие теоремы описывают свойства преобразований второго рода. Теорема 8. Каждое преобразование второго рода имеет две инвариантные ортогональные друг другу изотропные прямые. Доказательство данной теоремы следует из предыдущих рассуждений. Действительно, равенство (31) определяет координаты точек, коллинеарных со своими образами в преобразовании второго рода. Все такие точки заполняют две изотропные прямые:

(

)

m1 : a12 x1 − a11 − a112 + a122 x2 = 0,

(

)

m2 : a12 x1 − a11 + a112 + a122 x2 = 0.

Для прямых m1, m2 выполняется условие ортогональности ((14) глава 1). Что и требовалось доказать. Приведем еще одно доказательство, основанное на применении принципа двойственности проективной плоскости. К коевклидовым преобразованиям мы отнесли все преобразования проективной плоскости, относительно которых инвариантна абсолютная квадрика, пара мнимо сопряженных прямых. Очевидно, все коевклидовы преобразования оставляют неподвижным пучок прямых, определенный абсолютной квадрикой. В результате преобразований второго рода абсолютные прямые переходят друг в друга. Для доказательства утверждения теоремы применим принцип двойственности: проведем рассуждения для объекта, состоящего из прямолинейного ряда точек (соответствующего по принципу двойственности пучку прямых) и пары мнимо сопряженных точек этого ряда (соответствующей паре мнимо сопряженных прямых пучка), переходящих друг в друга при каждом преобразовании объекта. Пусть проективные преобразования прямолинейного ряда точек заданы формулами 66

ρx1′ = b11 x1 + b12 x2 ,

ρx′2 = b21 x1 + b22 x2 ,

где

b11

b12

b21 b22

≠ 0,

а мнимо сопряженные точки в некотором проективном репере R0 на этой прямой имеют координаты: J1(i : 1), J2(– i : 1). Условия b22 = – b11, b21 = b12 определяют те преобразования прямолинейного ряда точек, при которых точки J1, J2 переходят друг в друга. Найдем инвариантные элементы преобразований при данных условиях. Пусть (x1: x2) – двойная точка преобразования. Тогда ее координаты удовлетворяют системе уравнений

ρx1 = b11 x1 + b12 x2 , ρx2 = b12 x1 − b11 x 2 , которая имеет ненулевые решения только в случае равенства нулю своего определителя, то есть при условии

b11 − ρ

b12

b12

− b11 − ρ

= 0.

Последнее уравнение имеет два различных действительных корня

ρ1, 2 = ± b112 + b122 , каждому корню соответствует инвариантная точка преобразования K1, 2 (b12 : ± b11 + b12 − b11 ) . Непосредственной проверкой убеждаемся, что (K1 K2 J1 J2) = –1. Итак, все проективные преобразования прямой, в результате которых переходят друг в друга мнимо сопряженные точки одной пары, имеют две действительные инвариантные точки. Причем эти двойные точки гармонически разделяют данную пару мнимо сопряженных точек. По принципу двойственности теорема справедлива. Теорема 9. Каждая точка коевклидовой плоскости со своим образом в любом преобразовании второго рода гармонически разделяет пару двойных изотропных прямых преобразования. Доказательство. Продолжая рассуждения доказательства предыдущей теоремы, найдем образ M' точки M (m1: m2) в проективных преобразованиях прямой 2

2

ρx1′ = b11 x1 + b12 x 2 , ρx′2 = b12 x1 − b11 x2 . Точка М' в репере R0 имеет координаты:

M ′(b11m1 + b12 m2 : b12 m1 − b11m2 ) . 67

Поэтому (MM' K1 K2) = –1. По принципу двойственности это означает, что каждая изотропная прямая коевклидовой плоскости в преобразовании второго рода переходит в прямую, гармонически разделяющую с данной прямой пару двойных изотропных прямых преобразования. Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. 4.3 Конструктивное определение коевклидовых преобразований

Найдем определяющие элементы преобразований коевклидовой плоскости и способ построения образов фигур в заданном преобразовании. 1. Отражение от неизотропной прямой (евклидово вращение) Зафиксируем неизотропную прямую t и на ней пару точек N1, N2. Пусть Ñ2 – точка, ортогональная точке N2, а S – середина неизотропного отрезка N2N1Ñ2. Возможны два принципиально различных варианта расположения точек N1, N2: 1) |[N1 N2]| > |[N2 S]|,∗ в этом случае точки N2, S не разделяют пару точек N1, Ñ2, то есть (SN2 N1 Ñ2) > 0; 2) |[N1 N2]| < |[N2 S]|, точки N2, S разделяют пару точек N1, Ñ2, то есть (SN2 N1 Ñ2) < 0. 1. Пусть |[N1 N2]| > |[N2 S]|. Каждой точке M коевклидовой плоскости и действительному положительному числу k поставим в соответствие такую точку M' этой плоскости, для которой выполняются следующие условия: 1) |[MM']| = |[N1N2]|, то есть ((PМ)(PМ') l1 l2) = ((PN1)(PN2) l1 l2), где l1, l2 – прямые абсолюта, Р – точка их пересечения; 2) ∠(N2 М') t = k ∠(N1 М) t; 3) если точка М0, коллинеарная точке М на прямой t, принадлежит (не принадлежит) неизотропному отрезку N1 S N2, то ковекторы, представленные дублетами ( M ′N 2 )t , ( MN 2 )t , сонаправлены (противоположно направлены). Покажем, что введенное соответствие является преобразованием коевклидовой плоскости. Пусть произвольная точка М принадлежит изотропной прямой m. Тогда существует единственная прямая m' такая, что (m m' l1 l2) = ((PN1)(PN2) l1 l2). Для каждой точки М прямая MN1 определена единственным образом, следовательно, единственным образом определено число α = k ∠(N1М) t. Существуют две прямые m1, m2, проходящие через точку N2, такие, что ∠m1 t = α, ∠m2 t = α. Ковекторы m1 t, m2 t являются противоположными, то есть (m1 m2 t (PN2)) = –1 < 0. Это означает, что пара прямых m1, m2 разделяет пару прямых t, PN2. Возможны два варианта расположения прямых m1, m2, t, ∗

Будем считать, что все рассматриваемые неизотропные отрезки положительные, и из двух смежных отрезков будем использовать наименьший по длине (гл. 2, §9).

68

МN2: пара прямых m1, m2 не разделяет (рис. 11) или разделяет (рис. 12) пару прямых t, МN2. Для каждой точки М коевклидовой плоскости дублет ( MN 2 )t представляет ковектор, сонаправленный одному из ковекторов m1 t, m2 t. m 1,2

P

P M

M m1,2

N2

t

N2 t

m2,1

m'

m2,1

Рис. 11

m'

Рис. 12

В каждом из возможных случаев положения точки М относительно неизотропного отрезка N1N2 условию 3 определения соответствия удовлетворяет одна и только одна из прямых m1, m2. Следовательно, определена и притом единственным образом точка M' пересечения этой прямой с прямой m'. Аналогично можно показать, что для каждой точки М' коевклидовой плоскости найдется единственная точка М плоскости – ее прообраз в указанном соответствии. Таким образом, введенное соответствие является преобразованием коевклидовой плоскости. Назовем данное преобразование отражением от неизотропной прямой t с коэффициентом k. Для того чтобы найти матрицу данного преобразования, выделим следующие три его свойства. Во-первых, по условию 1 определения согласно теореме 5 преобразование является преобразованием первого рода. Во-вторых, согласно второму условию определения прямая t – двойная прямая данного преобразования, а число k – его инвариант (k > 0). В-третьих, условие 1 исключает наличие двойной изотропной прямой в данном преобразовании. Указанные свойства однозначно определяют место отражения от неизотропной прямой в таблице 1 линейных преобразований коевклидовой плоскости (приложение 2). Найдем аналитическую запись отражения в присоединенном репере. 69

Первую вершину канонического репера R совместим с данной точкой N2, вторую – с точкой Ñ2, ортогональной точке N2, получим: N2(1:0:0), Ñ2 (0:1:0). Точку N1 зададим в репере R координатами: N1 (n:1:0). Тогда при n > 0 серединой неизотропного отрезка N2 N1 Ñ2 является точка S = N2 + Ñ2, ее координаты: (1:1:0). При n < 0 – точка S = N2 – Ñ2 с координатами (1:–1:0). Пусть отражение от прямой t = N1 N2 задано матрицей (1) при ε = 1, тогда инвариантность прямой t, заданной в репере R уравнением x3 = 0, определяет нулевые значения коэффициентов а31, а32 матрицы (1). Первое условие определения отражения от неизотропной прямой каждой точке M (m1: m2: m3) коевклидовой плоскости ставит в соответствие точку М' (m2 + nm1 : – m1 + nm2 : a33m3). Прямые N1 М и N2 М' в репере R имеют соответственно уравнения:

− m3 x1 + nm3 x 2 + (m1 − nm2 )x3 = 0,

(32)

a33m3 x2 − (nm2 − m1 )x3 = 0,

(33)

а дублеты ( M ′N 2 )t , ( MN 2 )t заданы координатами:

⎛ a 33 m 3 ( M ′N 2 ) t ⎜⎜ 0 ; ⎝ nm 2 − m 1

⎞ ⎟⎟ , ⎠

⎛ m ( MN 2 ) t ⎜⎜ 0 ; 3 ⎝ m2

⎞ ⎟⎟. ⎠

(34)

Определим меры углов, образованных прямой t с прямыми N1 М и N2 М'. 2

2

m3 1 + n 2 ⎛ m3 ⎞ ⎛ nm3 ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 − ⎟⎟ = ∠((MN1 ) t ) = ⎜⎜ 0 + , (35) − m nm m − nm m nm − 1 2 ⎠ 1 2 ⎠ 1 2 ⎝ ⎝ 2

a m ⎛ a m ⎞ 2 ∠(( M ′N 2 ) t ) = (0 − 0) + ⎜⎜ 0 + 33 3 ⎟⎟ = 33 3 . nm2 − m1 ⎠ m1 − nm2 ⎝

(36)

Выражения (35), (36) и второе условие в определении отражения приводят к равенству:

a33 = k n 2 + 1. Таким образом, канонический вид матрицы отражения коэффициентом k в некотором каноническом репере может иметь вид:

0 ⎛n 1 ⎞ ⎜ ⎟ − n 1 0 ⎜ ⎟. ⎜ 0 0 ± k n2 + 1 ⎟ ⎝ ⎠ 70

(37) с

(38)

Точка М0, проекция точки М на прямую t из центра Р, имеет координаты: М0 (m1: m2: 0) и принадлежит неизотропному отрезку N1 S N2 тогда и только тогда, когда выполняется неравенство: (M0 S N1 N2) > 0, равносильное при n > 0 (n < 0) неравенству:

⎛ m ⎞ ⎜⎜ n − 1 ⎟⎟(n − 1) > 0, m2 ⎠ ⎝

⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎜ ⎜ n − m1 ⎟(n + 1) > 0 ⎟. ⎟ ⎜⎜ m2 ⎟⎠ ⎠ ⎝⎝

(39)

Условие |[N1 N2]| > |[N2 S]| при n > 0 (n < 0) в координатах имеет вид: n – 1 < 0, (n + 1 > 0).

(40)

Следовательно, в данном случае при n > 0 (n < 0) точка М0 принадлежит неизотропному отрезку N1SN2 тогда и только тогда, когда выполняется неравенство:

n−

m1 < 0, m2

⎛ ⎞ m ⎜⎜ n − 1 > 0 ⎟⎟ . m2 ⎝ ⎠

(41)

Требование сонаправленности (противоположной направленности) ковекторов, представленных дублетами (34), приводит к соответствующим неравенствам:

⎛ m a 33 ⎜⎜ n − 1 m2 ⎝

⎞ ⎟⎟ > 0, ⎠

⎛ ⎛ m ⎜ a 33 ⎜ n − 1 ⎜ ⎜ m2 ⎝ ⎝

⎞ ⎞ ⎟⎟ < 0 ⎟ . ⎟ ⎠ ⎠

(42)

Требование условия 3 в определении отражения однозначно задает в третьем столбце матрицы (38) при n > 0 (n < 0) знак «–» («+»). 2. Если |[N1 N2]| < |[N2 S]|, то знак соответствующего неравенства (40) следует заменить на противоположный. Этому случаю в матрице (38) при n > 0 (n < 0) будет соответствовать знак «+» («–»).

Пусть H – отражение от неизотропной прямой t с коэффициентом k. В определении отражения Н сохраним без изменения первые два условия. В третьем условии поменяем местами требования сонаправленности и противоположной направленности указанных ковекторов. Получим преобразование Н' коевклидовой плоскости, которое назовем отражением от неизотропной прямой t, сопряженным отражению Н. Матрицы преобразований Н и Н' имеют вид (38) с противоположными знаками при . Если М1 и М'1 – образы некоторой точки М в коэффициенте k сопряженных отражениях соответственно Н и Н' от неизотропной прямой t, то М1М'1 – изотропный отрезок с серединой на прямой t. Согласно проведенной в §1 классификации коевклидовых преобразований при отражении от неизотропной прямой инвариантна 71

фигура, составляющая абсолют евклидовой плоскости. В силу инвариантности в каждом коевклидовом преобразовании общей точки Р прямых абсолюта при отражении от неизотропной прямой неподвижным является объект, инвариантный относительно вращений евклидовой плоскости. Поэтому отражение от неизотропной прямой будем также называть евклидовым вращением. Коэффициент k отражения от неизотропной прямой является, очевидно, коэффициентом искажения данного преобразования. Отражение от неизотропной прямой t с коэффициентом k является движением тогда и только тогда, когда k = 1. 2. Сжатие к неизотропной прямой Сжатием к неизотропной прямой t с коэффициентом k (k ≠ 0, k ≠ 1) назовем преобразование коевклидовой плоскости, которое каждой точке М ставит в соответствие такую точку М', что: 1) точки М, М' коллинеарны; 2) точка Т, коллинеарная точке М на прямой t, делит изотропный отрезок М'М в отношении (–k), то есть (М'М ТР) = k, где Р – действительная точка абсолюта. Прямую t назовем осью сжатия. Согласно введенному определению сжатие к неизотропной прямой является коллинеарным преобразованием. Найдем аналитическую запись сжатия к неизотропной прямой. Пусть в каноническом репере R ось сжатия t и точка М имеют однородные координаты (t1: t2: t3), t3 ≠ 0, и (x1: x2: x3) соответственно. Так как прямая ММ' – изотропная, а точка Т ей принадлежит, то в репере R точки М' и Т можно задать координатами (x1: x2: x'3) и (x1: x2: t'3) соответственно. Прямая t содержит точку Т, поэтому выполняется равенство

x1 t1 + x2 t2 + t'3 t3 = 0,

(43)

откуда находим

t 3′ = −

t1 t x1 − 2 x 2 . t3 t3

Из того, что (M'M ТP) = k, получаем

x3′ = t 3′ (1 − k ) + kx 3 ,

(44)

или с учетом выражения (43)

x3′ =

t ( k − 1) t1 ( k − 1) x2 + kx3 . x1 + 2 t3 t3 72

(45)

Итак, проективные координаты (x'1: x'2: x'3) точки M', образа точки M при отражении с коэффициентом k от неизотропной прямой t (t1: t2: t3), выражаются через координаты (x1: x2: x3) точки M следующим образом:

⎧ ρx1′ = t3 x1 , ⎪⎪ ⎨ρx2′ = t3 x2 , ⎪ ρx′ = t (k − 1) x + t (k − 1) x + kt x . 1 2 2 3 3 ⎪⎩ 3 1

(46)

Матрица сжатия к неизотропной прямой имеет вид

⎛ t3 ⎜ 0 ⎜ ⎜ ( k − 1) t 1 ⎝

0 t3 ( k − 1) t 2

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ kt 3 ⎟⎠

(47)

и при соответствующих обозначениях совпадает с матрицей A2, представленной во второй строке таблицы 1 (приложение 2). С другой стороны, согласно результатам классификации преобразований и теореме 1 каждое преобразование, заданное матрицей A2, является сжатием к неизотропной оси t (а31: а32: а33− а11) с коэффициентом k = а33 / а11. Таким образом, преобразования, заданные матрицей A2, и только они являются сжатиями к неизотропной прямой. Заметим, что при k < 0 пара точек М, М' разделяет пару точек Р, Т, то есть изотропный отрезок ММ' содержит точку оси сжатия. При k > 0 изотропный отрезок ММ' не содержит точек оси сжатия. По формуле (46) главы 2 найдем расстояния от точек М, М' до прямой t.

ρ (M , t ) =

m1 t 1 + m 2 t 2 + m 3 t 3 t3

m +m 2 1

2 2

,

ρ (M ′, t ) =

k m1 t 1 + m 2 t 2 + m 3 t 3 t3

m +m 2 1

2 2

. (48)

Сравнивая выражения из (48), получаем

ρ (M ′ , t ) = k ρ (M , t ) . Следовательно, в данном преобразовании при |k | > 1, расстояние от точки до оси сжатия увеличивается. Преобразование в этом случае можно называть растяжением с коэффициентом k от оси t. При |k | < 1 расстояние от точки до оси сжатия уменьшается. Сжатие к неизотропной прямой t при k = –1 является движением. В этом случае прямая t делит изотропный отрезок MM' пополам. Указанное преобразование является аналогом центральной симметрии плоскости евклидовой. Назовем его симметрией относительно неизотропной прямой. 73

3. Изотропный сдвиг Пусть задан ненулевой ковектор V. Рассмотрим преобразование, которое каждой неизотропной прямой a коевклидовой плоскости ставит в

соответствие такую прямую а', что дублет aa ' представляет данный ковектор V. Найдем способ построения образа прямой а в данном преобразовании P

pq является (рис. 13). Дублет p представителем данного ковектора V. Пусть А – точка пересечения M' q направляющей ковектора V с заданной a' прямой а, а М – точка пересечения a прямых а и р. M A Прямая а' проходит через точку А и точку М' пересечения изотропной Рис. 13 прямой РМ с прямой q. Заметим, что в данном преобразовании инвариантна каждая изотропная прямая, то есть преобразование является коллинеарным. Кроме того, преобразование имеет бесконечное множество двойных точек, заполняющих направляющую ковектора V. Следовательно, указанное преобразование является преобразованием, заданным матрицей A3 (таблица 1, приложение 2). Назовем введенное преобразование изотропным сдвигом на ковектор V. Изотропный сдвиг на ковектор является движением и представляет собой аналог параллельного переноса евклидовой плоскости. Построение точки M', образа точки M в данном преобразовании, можно P q провести, используя способ построения образа некоторой прямой, проходящей через точку M. a Пусть M – произвольная точка p M' K' плоскости, а дублет pq с вершиной S A является представителем ковектора V (рис. 14). Через точку M проведем произвольно неизотропную прямую a. K S Точку ее пересечения с прямой p M обозначим K, а с прямой PS – A. Пусть изотропная прямая PK пересекает Рис. 14 прямую q в точке K', тогда M' – точка пересечения прямых PM и AK'. Найдем аналитическую запись введенного преобразования. 74

Пусть в некотором каноническом репере R ковектор V имеет координаты (v1; v2), а точка M – координаты (x1: x2: x3). Тогда точка М', принадлежащая прямой MP, может быть задана тройкой пропорциональных чисел (x1: x2: x'3). представляет ковектор V, следовательно, прямая PS, Дублет pq направляющая ковектора V, имеет однородные координаты (v1: v2: 0). Для упрощения выкладок без потери общности рассуждений прямую a проведем через вершину А2(0:1:0) канонического репера. Тогда ее однородные координаты имеют вид (x3: 0: – x1). Точка A пересечения прямых a и PS имеет в репере R координаты: A(x2 v2: – x1 v1: x3 v2). Найдем однородные координаты прямой АМ':

AM' (x1 x'3 v1 + x2 x3 v2: x1 x'3 v2 – x1 x3 v2: – x1 (x1 v1 + x2v2)). Согласно определению преобразования дублеты aa' эквиполлентны, поэтому равны их соответствующие координаты:

x1 x3′ v1 + x2 x3v2 x + 3 = v1 , − x1 ( x1v1 + x2 v2 ) x1

и

pq

x1 x3′ v2 − x1 x3v2 = v2 . − x1 ( x1v1 + x2 v2 )

Из последнего равенства находим x'3:

x'3 = – x1 v1 – x2v2 + x3. Тогда матрица изотропного сдвига на ковектор V имеет вид

0 ⎛ 1 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎜− v − v 2 ⎝ 1

0⎞ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠

(49)

и при соответствующих обозначениях совпадает с матрицей A3 таблицы 1 преобразований коевклидовой плоскости (приложение 2). Можно показать, что каждое преобразование, представленное матрицей А3, является изотропным сдвигом. 4. Тождественное преобразование Тождественное преобразование, при котором каждая точка плоскости остается инвариантной, может быть задано матрицей A4 (таблица 1, приложение 2) коевклидовых преобразований. 5. Поворотное отражение от неизотропной прямой Пусть λ – некоторое действительное число, причем λ ≠ ± 1. Зафиксируем неизотропную прямую t и на ней точку N. Каждой точке M коевклидовой плоскости поставим в соответствие точку М' таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

75

1) изотропные прямые MP и М'P гармонически разделяют изотропные ортогональные прямые NP и ÑP (Ñ – точка прямой t, ортогональная точке N); 2) прямая t делит угол M'NM в отношении (–λ), то есть ((NM')(NM) t (NP)) = λ. Введенное соответствие, очевидно, является взаимно однозначным отображением коевклидовой плоскости на себя. Покажем, что оно является преобразованием второго рода. Действительно, пусть Т – некоторая точка на прямой l1 абсолюта. Согласно условию 1 введенное преобразование переводит точку Т в точку изотропной прямой, гармонически разделяющей с прямой l1 пару прямых NP и ÑP, то есть в точку прямой l2 абсолюта. Таким образом, данное преобразование переводит друг в друга абсолютные прямые, следовательно, является преобразованием второго рода. Назовем введенное преобразование поворотным отражением от неизотропной прямой t с центром в точке N и коэффициентом λ. Найдем аналитическую запись поворотного отражения в присоединенной канонической системе координат. Учитывая ортогональность точек N и Ñ, совместим собственные вершины канонического репера с этими точками: А1 = N(1:0:0), А2 = Ñ(0:1:0). Пусть М (m1: m2: m3) – произвольная точка плоскости, а М' (m'1: m'2: m'3) – ее образ в данном преобразовании. Прямые PN, PÑ, PM, PM' имеют следующие однородные координаты:

(0:1:0), (1:0:0), (–m2: m1:0), (–m'2: m'1:0). Согласно условию 1 получаем:

m1 : m1′ = m2 : m2′ .

(50)

Однородные координаты прямых NP, NÑ, NM, NM' имеют вид:

(0:1:0), (0:0:1), (0: –m3: m2), (0: –m'3: m'2). Следовательно, условие 2 дает:

m2 : m2′ = λm3 : m3′ .

(51)

Отношения (50), (51) определяют формулы поворотного отражения:

ρx1′ = a11 x1 , ρx 2′ = − a11 x 2 , ρx3′ = −λa11 x3 .

(52)

Матрица преобразования, очевидно, является матрицей вида A5 из таблицы 2 (приложение 2) преобразований коевклидовой плоскости. Ортогональные точки N, Ñ являются инвариантными точками в поворотном отражении от прямой NÑ. Число λ – инвариант преобразования. Так как по определению λ ≠ ± 1, движений среди поворотных отражений от неизотропной прямой нет. Поясним выбор названия преобразования. 76

Прямая t является инвариантной прямой преобразования. Причем если λ > 0 (λ < 0), то согласно второму условию определения преобразования ковекторы, представленные дублетами (MN ) t , (M ′N ) t , сонаправлены (противоположно направлены). Поэтому преобразование называем отражением от прямой t с коэффициентом λ. Пусть M0, M'0 – точки, коллинеарные на прямой t точкам М, М' соответственно. Тогда по первому условию определения преобразования точки N и Ñ являются серединами неизотропных отрезков, определенных точками M0, M'0. Поэтому |M0N| = |NM'0|. Учитывая, что М || M0 и М' || M'0, имеем: |МN| = |M0N|, |NM'| = |NM'0|. Таким образом, |MN| = |NM'|. То есть данное преобразование не изменяет расстояния от каждой точки плоскости до фиксированной точки N, названной центром преобразования. Тем же свойством обладает поворот вокруг некоторой точки евклидовой плоскости. Поэтому отражение называем поворотным с центром в точке N. Два поворотных отражения от неизотропной прямой t с коэффициентом λ назовем сопряженными, если центры этих отражений – ортогональные точки. Аналитическая запись поворотного отражения, сопряженного отражению (52), имеет вид:

ρx1′ = a11 x1 , ρx 2′ = − a11 x 2 , ρx3′ = λa11 x3 .

(53)

Справедливы следующие утверждения. 1. Образы каждой точки коевклидовой плоскости в сопряженных поворотных отражениях от неизотропной прямой t коллинеарны и симметричны относительно этой прямой. 2. Композиция сопряженных поворотных отражений от неизотропной прямой t с коэффициентом λ является сжатием к оси t с коэффициентом (–λ2). 6. Центральная симметрия

P

k

M

K Рис. 15

M'

Симметрией с центром в точке K назовем преобразование коевклидовой плоскости, которое каждой точке М ставит в соответствие точку M', для которой выполняются условия: 1) точка М' принадлежит прямой MK; 2) изотропные прямые MP и М'P гармонически разделяют изотропные ортогональные прямые PK и k (рис. 15). Точку K назовем центром симметрии. Прямые PK и k – ортогональные, то есть гармонически разделяют прямые l1, l2 абсолюта. Поэтому по второму 77

условию определения при центральной симметрии точки прямой l1 (l2) переходят в точки прямой l2 (l1). Следовательно, центральная симметрия является преобразованием второго рода. В данном преобразовании инвариантна каждая прямая пучка с центром в точке K. Следовательно, данное преобразование указано в последней строке таблицы 2 коевклидовых преобразований (приложение 2), и может быть задано матрицей A5 при условиях (18) и (20). Найдем аналитическую запись данного преобразования в присоединенном каноническом репере. Пусть центр симметрии совпадает с первой координатной вершиной (K(1:0:0)), тогда поляра k этой точки относительно абсолютной квадрики имеет в выбранном репере уравнение: x1 = 0. Гармоническая разделенность точек М (m1: m2: m3) и М' (m'1: m'2: m'3) относительно изотропных прямых PK и k дает

m2′ : m1′ = −m2 : m1 .

(54)

Точки K, M и M' лежат на одной прямой, следовательно:

m3′ : m2′ = m3 : m2 .

(55)

Условия (54), (55) определяют аналитическую запись центральной симметрии:

ρx1′ = a11 x1 , ρx 2′ = −a11 x 2 , ρx3′ = − a11 x3 .

(56)

Согласно проведенной классификации преобразований коевклидовой плоскости и теореме 9 каждое преобразование, заданное матрицей A5 при условиях (18) и (20) является центральной симметрией. Каждая центральная симметрия в силу выполнения условия (20) является движением коевклидовой плоскости. 7. Скользящее отражение Пусть заданы точка K и ковектор V с направляющей PK. Композицию симметрии с центром в точке K и изотропного сдвига на ковектор V назовем скользящим отражением. Как композиция движений скользящее отражение является движением коевклидовой плоскости. Продолжая рассуждения предыдущего пункта, найдем матрицу композиции симметрии с центром в точке K(1:0:0), заданной в репере R формулами (56), и изотропного сдвига на ковектор V (v1; v2), заданного в любом каноническом репере матрицей (49), определенной с точностью до числового множителя. Вершина каждого представителя данного ковектора лежит на прямой PK, следовательно, первая координата ковектора в присоединенном каноническом репере R равна нулю.

78

Тогда матрица скользящего отражения в репере R имеет вид

⎛ − 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎜ ⎟⎜ 0 1 0 ⎜ ⎟⎜ 0 ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 0 ⎝ ⎠⎝

0⎞ ⎛ −1 0 ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ 0 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − v2

0 1 − v2

0⎞ ⎟ 0⎟ . 1 ⎟⎠

(57)

Следующая теорема позволит нам определить каждое коевклидово движение второго рода. Теорема 10. Каждое движение второго рода можно представить композицией центральной симметрии и изотропного сдвига на ковектор с направляющей, проходящей через центр симметрии. Доказательство. Пусть движение H второго рода и изотропный сдвиг на ковектор V(x; y) представлены соответственно матрицами:

⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a12 ⎜a ⎝ 31

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, a33 ⎟⎠

a12 − a11 a32

2 2 2 где a11 + a12 = a33 , то есть справедливо условие (20), и

⎛ 1 ⎜ C =⎜ 0 ⎜− x ⎝

0 1 −y

0⎞ ⎟ 0⎟ . 1 ⎟⎠

Задача сводится к построению матрицы В, которая задает симметрию с центром на изотропной прямой (x: y: 0), и для которой А = ВС. Последним равенством однозначно определена матрица

⎛ a11 ⎜ B = ⎜ a12 ⎜ a + xa 33 ⎝ 31

a12 − a11 a32 + ya33

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, a33 ⎟⎠

которая при условии (20) определяет движение второго рода. Согласно проведенной классификации, преобразование, матрицей A, имеет инвариантную точку

заданное

K (2a33(a11 − a33 ) : 2a12a33 : −a11a31 − a12a32 + a31a33) на изотропной прямой, заданной уравнением

(a11 + a33 ) x1 + a12 x2 = 0. 79

(58)

Все неподвижные точки изотропного сдвига на ковектор принадлежат направляющей ковектора. Следовательно, в композиции некоторого преобразования и изотропного сдвига на ковектор неподвижными могут быть только точки направляющей ковектора. Поэтому примем изотропную прямую (58) в качестве направляющей ковектора V. Тогда отношение координат ковектора V равно отношению двух первых координат этой прямой. То есть выполняется условие:

x : y = ( a11 + a33 ) : a12 .

(59)

Матрица B должна определять центральную симметрию, поэтому ее элементы должны удовлетворять условиям (18), которые приводят к следующим уравнениям относительно x, y:

xa 33 ( a11 + a 33 ) + ya 33 a12 = − a11 a 31 − a12 a32 − a 31 a33 ,

(60)

xa 33 a12 + ya 33 ( a 33 − a11 ) = a11 a 32 − a12 a 31 − a 32 a 33 .

(61)

При условии (20) ранг расширенной матрицы системы уравнений (60), (61) равен единице, поэтому возможны два случая. 1. Правые части уравнений (60), (61) одновременно не обращаются в нуль, это означает, что для коэффициентов матрицы A не выполняются одновременно условия (18). Тогда движение H не является центральной симметрией. Если правая часть уравнения (60) отлична от нуля, то уравнения (59), (60) однозначно определяют одновременно ненулевые значения x, y:

x=−

(a11 + a33 )(a11a31 + a12 a32 + a31a33 ) , a33 ((a11 + a33 ) 2 + a122 )

(62)

a12 ( + a11 a 31 + a12 a 32 + a 31 a 33 ) , a 33 (( a11 + a 33 ) 2 + a122 )

(63)

y =−

при которых матрица B задает симметрию с центром в точке K, а прямая PK является направляющей ковектора V. Если правая часть уравнения (60) равна нулю, то одновременно не равные нулю значения x, y, участвующие в задании матриц B, C, можно однозначно определить из уравнений (59), (61):

x=

(a11 + a33 )(a11a32 − a12 a31 − a32 a33 ) , 2 2a12 a33

(64)

( a11 a 32 − a12 a 31 − a 32 a 33 ) . 2 a 332

(65)

y=

80

Матрица B построена. 2. Правые части уравнений (60), (61) одновременно равны нулю. Это приводит к выполнению условий (18), при которых матрица A задает центральную симметрию. Тогда система уравнений (59), (60), (61) имеет единственное нулевое решение, определяющее нулевой ковектор V. Теорема справедлива в силу произвольного выбора движения H. Найдем условия, при которых композиция центральной симметрии и изотропного сдвига коммутативна. Пусть симметрия с центром в точке K задана в присоединенном каноническом репере R (K = A1(1:0:0)) формулами (56), а изотропный сдвиг на ковектор V (v1; v2) с направляющей v (v1: v2: 0) матрицей (49). Коммутативность произведения матриц заданных преобразований приводит к равенству

⎛ − 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎜ ⎟⎜ 0 1 0 ⎜ ⎟⎜ 0 ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ − v ⎝ ⎠⎝ 1

0 1 − v2

0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − v1

0 1 − v2

0 ⎞⎛ − 1 0 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ 0 1 0 ⎟, 1 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠

(66)

из которого находим значение первой координаты ковектора V: v1 = 0. Следовательно, направляющая v ковектора V имеет в репере R координаты: v (0: 1: 0) и проходит через точку K, центр симметрии. Обратно. Если направляющая v (v1: v2: 0) ковектора V содержит центр симметрии, точку K(1:0:0), то v1 = 0. Последнее условие обеспечивает выполнение равенства (66). Следовательно, композиция центральной симметрии и изотропного сдвига коммутативна. Таким образом, справедлива теорема. Теорема 11. Композиция центральной симметрии и изотропного сдвига на ковектор коммутативна тогда и только тогда, когда направляющая ковектора проходит через центр симметрии. Из теоремы 11 и определения скользящего отражения непосредственно следует теорема. Теорема 12. В скользящем отражении композиция центральной симметрии и изотропного сдвига коммутативна. 4.4 Инволюции коевклидовой плоскости

Инволюционным (инволютивным) преобразованием (или инволюцией∗) называют нетождественное преобразование, совпадающее со своим обратным [2, стр. 50], [6, стр.62].

∗

Термин инволюция (от лат. involutio – изгиб, свертывание, скрученное состояние молодых листьев) ввел создатель проективной геометрии Ж.Дезарг.

81

Пусть Н – инволюционное преобразование некоторого множества Ф, а М – произвольная точка из Ф. Тогда если Н (М) = М', то Н (М') = М. Признак инволюционности [6, стр.63] преобразования Н можно записать в виде:

Н2 = Е,

(67)

где Е – тождественное преобразование. Найдем инволюции фундаментальной группы коевклидовой плоскости. 1. Инволюции первого рода Пусть преобразование первого рода коевклидовой плоскости задано матрицей (1) при условии ε = 1. Определим матрицу квадрата данного преобразования.

⎛ a112 − a122 ⎜ A=⎜ − 2a11a12 ⎜a a − a a + a a 31 33 ⎝ 11 31 12 32

2a11a12 a112 − a122 a11a32 + a12 a31 + a32 a33

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. 2 ⎟ a33 ⎠

Матрица A задает тождественное преобразование тогда и только тогда, когда имеют место следующие равенства: 2 a112 − a122 = a33 , a11a12 = 0, a11a31 − a12 a32 + a31a33 = 0, a11a32 + a12 a32 + a32 a33 = 0.

(68)

Из второго равенства получаем a11 = 0 или a12 = 0. 2 2 При a11 = 0 первое равенство (68) дает: − a12 = a 33 . Следовательно, в данном случае имеем: a11 = a12 = a33 = 0. При этих требованиях матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости. При a12 = 0 последние два условия (68) имеют вид

a31 (a11 + a33 ) = 0,

a32 ( a11 + a33 ) = 0.

Откуда с учетом первого равенства (68) получаем две возможные матрицы преобразований:

⎛ a11 ⎜ E =⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

0 a11 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, a11 ⎟⎠

⎛ a11 ⎜ I =⎜ 0 ⎜a ⎝ 31

0 a11 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. − a11 ⎟⎠

Матрица E задает тождественное преобразование, которое согласно определению не является инволюционным. Матрица I определяет симметрию относительно неизотропной прямой (a31: a32: – 2a11). 82

Доказана теорема. Теорема 13. Инволюционными преобразованиями первого рода коевклидовой плоскости являются симметрии относительно неизотропной прямой, и только они. 2. Инволюции второго рода Преобразование H второго рода зададим матрицей (1) при ε = –1. Матрица квадрата данного преобразования имеет вид:

⎛ a112 + a122 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ B=⎜ 0 a112 + a122 0 ⎟. ⎜a a − a a + a a 2 ⎟ a a a a a a a − + + 11 31 12 32 31 33 11 32 12 31 32 33 33 ⎠ ⎝ Последняя матрица определяет тождественное преобразование при одновременном выполнении условий (18), (20). При этих условиях преобразование H является центральной симметрией. Таким образом, справедлива теорема. Теорема 14. Инволюционными преобразованиями второго рода коевклидовой плоскости являются центральные симметрии, и только они. Итак, линейными инволюциями коевклидовой плоскости являются только симметрии либо относительно прямой, либо относительно точки. Эти преобразования являются аналогами соответственно центральной и осевой симметрии евклидовой плоскости, которые также являются линейными инволюциями. В данной главе мы рассматривали только линейные преобразования коевклидовой плоскости. Можно показать, что на коевклидовой плоскости, как и на плоскости евклидовой, существуют нелинейные инволюционные преобразования. Например, инверсии. Их можно определить, как преобразования, соответствующие по принципу двойственности инверсиям плоскости евклидовой.

83

Глава 5. Квадрики коевклидовой плоскости 5.1 Уравнения квадрики. Овальная линия 1. Множество всех точек коевклидовой плоскости, проективные координаты в некотором каноническом репере R которых удовлетворяют уравнению

a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0 ,

(1)

назовем линией второго порядка, или квадрикой коевклидовой плоскости. Напомним, что репер R выбран таким образом, чтобы уравнение абсолютной квадрики в нем имело вид (1) главы 4. Уравнение (1) назовем общим уравнением квадрики, а его коэффициенты, определенные с точностью до общего множителя, – однородными проективными координатами квадрики, или кратко: координатами квадрики. Симметрическую матрицу

⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a12 ⎜a ⎝ 13

a12 a 22 a 23

a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ a33 ⎟⎠

(2)

назовем матрицей координат квадрики (1), или: матрицей квадрики (1). Линию второго порядка будем называть овальной, если существуют действительные точки ей принадлежащие, и матрица квадрики – невырожденная, то есть определитель матрицы А отличен от нуля. Последнее условие означает, что ранг квадратичной формы (обозначим его r), определяющей левую часть уравнения (1) и инвариантный относительно всех проективных преобразований, равен трем. Напомним, что на проективной плоскости [2, стр. 55] уравнение (1) при условии r < 3 определяет квадрику, распавшуюся на пару прямых, различных (действительных или мнимых) при r = 2, или слившихся при r = 1. Такие квадрики, равно как и невырожденные квадрики, не имеющие действительных точек, их называют нулевыми, не представляют особого интереса. Поэтому наши исследования относятся только к овальным линиям. 2. Через каждую точку C(c1: c2: c3) проективной плоскости проходят две касательные к овальной линии [2, стр. 61]: действительные различные, если точка внешняя по отношению к квадрике; мнимо сопряженные, если точка – внутренняя; совпавшие, если точка принадлежит квадрике. В последнем случае уравнение касательной к линии имеет вид [2, стр. 58]:

x1(c1a11 +c2a12 +c3a13) + x2 (c1a12 +c2a22 +c3a23) + x3(c1a13 +c2a23 +c3a33) = 0. (3) 84

Пусть точка С пробегает всю линию. Тогда уравнение (3) определяет семейство всех касательных к линии (1). Очевидно, квадрику можно рассматривать как огибающую этого семейства. Обозначим через (X1: X2: X3) однородные координаты касательной, проходящей через точку С линии. Тогда из уравнения (3) для находим

λX 1 = c1a11 + c2 a12 + c3 a13 , λX 2 = c1a12 + c2 a22 + c3a23 , λX 3 = c1 a13 + c 2 a 23 + c3 a 33 ,

(4)

где λ – произвольное ненулевое число. Определитель матрицы А отличен от нуля, поэтому уравнения (4) разрешимы относительно координат точки С. Эти координаты удовлетворяют уравнению (1), так как точка С лежит на квадрике. Подставляя значения c1, c2, c3 из уравнений (4) в уравнение (1), после несложных преобразований получим уравнение относительно координат касательной

A11 X 12 + A22 X 22 + A33 X 32 + 2 A12 X 1 X 2 + 2 A13 X 1 X 3 + 2 A23 X 2 X 3 = 0 , (5) где Aij, i, j = 1, 2, 3, – алгебраические дополнения соответствующих коэффициентов aij уравнения (1). Уравнение (5) является уравнением семейства всех касательных к линии (1), то есть определяет квадрику как огибающую этого семейства. Числа Aij назовем тангенциальными координатами квадрики, а уравнение (5) – уравнением квадрики в тангенциальных координатах. 3. Уравнение (1) в общем случае содержит шесть коэффициентов, определенных с точностью до общего множителя, следовательно, семейство всех линий второго порядка зависит от пяти параметров. Подвижность коевклидовой плоскости равна четырем. Поэтому должно существовать некоторое число, зависящее от координат квадрики, инвариантное относительно группы G ((3), гл. 1) преобразований коевклидовой плоскости. Действительно, пусть общее уравнение квадрики, полученной из квадрики (1) некоторым преобразованием Н группы G, имеет вид

′ x12 + a 22 ′ x 22 + a 33 ′ x32 + 2a12 ′ x1 x 2 + 2a13 ′ x1 x3 + 2a 23 ′ x 2 x3 = 0 . a11

(6)

Матрица A' координат a'ij, i, j = 1, 2, 3, квадрики (6) может быть представлена [6, стр. 81] в виде произведения матриц:

A′ = B T AB , где В – матрица, обратная к матрице преобразования Н, а BT – матрица, транспонированная по отношению к матрице В. 85

Пусть матрица В преобразования обратного к преобразованию Н, и, следовательно, также принадлежащего группе G, имеет вид:

⎛ b1 ⎜ В = ⎜ − εb2 ⎜ b ⎝ 3

b2 0 ⎞ ⎟ εb1 0 ⎟ , b4 b5 ⎟⎠

(7)

2 2 где det B = ± b5 (b1 + b2 ) ≠ 0 . Выпишем определенные с точностью до общего ненулевого множителя коэффициенты матрицы А':

λa11′ = a11b12 + a22b22 + a33b32 − 2εa12b1b2 + 2a13b1b3 − 2εa23b2b3 , λa12′ = εa12b12 − εa12b22 + a11b1b2 + a13b2b3 − − a22b1b2 + εa23b1b3 + a13b1b4 − εa23b2b4 + a33b3 4 , ′ = a22b12 + a11b22 + 2εa12b1b2 + 2a13b2b4 + 2εa23b1b4 + a33b42 , λa22

λa13′ = b5 (a13b1 − εa23b2 + a33b3 ),

(8)

′ = b5 (a13b2 + εa23b1 + a33b3 ), λa23 ′ = a33b52 . λa33 Условия (8) можно рассматривать как систему шести неоднородных уравнений второй степени относительно пяти неизвестных bm, m=1÷5. Последнее уравнение из (8) определяет два варианта, принципиально различных для решения данной системы:

a33 ≠ 0 ,

(9)

a 33 = 0 .

(10)

и В матрице В: b5 ≠ 0, следовательно, условия (9), (10) инвариантны относительно группы G. Инвариантность условий (9), (10) относительно коевклидовых преобразований определена также и геометрическим смыслом этих условий: при условии (9) ((10)) координаты действительной абсолютной точки Р(0:0:1) не удовлетворяют (удовлетворяют) уравнению (1), следовательно, точка Р не принадлежит (принадлежит) линии (1). 86

При условии (9) система (8) содержит шесть уравнений. Исключая неизвестные bm, получим одно условие, связывающее координаты aij, a'ij квадрики и ее образа. Это условие дает нам некоторое число, инвариантное относительно каждого преобразования группы G. Назовем данное число инвариантом квадрики коевклидовой плоскости. Выражение инварианта квадрики через ее координаты, учитывая геометрический смысл инварианта, найдем в следующем параграфе. При условии (10) система (8) содержит только пять уравнений и, следовательно, не определяет зависимость между координатами квадрики и ее образа. Таким образом, квадрики, заданные уравнением (1) при условии (10), не имеют инварианта группы коевклидовых преобразований, следовательно, все такие квадрики коевклидово эквивалентны (G-эквивалентны), то есть могут быть переведены друг в друга некоторым преобразованием группы G. Действительно, для каждого значения ε система (8) определяет с точностью до общего множителя единственный набор пяти чисел bm, то есть для любых двух квадрик указанного вида существуют преобразование первого и преобразование второго рода, которыми одна из квадрик может быть переведена в другую. Две квадрики коевклидовой плоскости назовем равными, если существует движение коевклидовой плоскости, которое одну из этих квадрик переводит в другую. 5.2 Типы и классы овальных линий. Геометрический смысл инварианта квадрики 1. Классификацию овальных линий проведем, учитывая положение линии по отношению к абсолюту. Абсолют коевклидовой плоскости содержит одну действительную точку, поэтому возможны три случая.

l1

P l2

P l1

k2

l2

k1

k2

k1

Рис. 17

Рис. 16

10. Действительная точка абсолюта является внешней точкой по отношению к квадрике. Тогда квадрика имеет две различные действительные изотропные касательные (рис. 16). Такие овальные линии будем называть

87

когиперболами, учитывая их соответствие по принципу двойственности с гиперболами евклидовой плоскости. 20 . Абсолютная точка P является внутренней по отношению к овальной линии, следовательно, линия имеет две мнимо сопряженные изотропные касательные k1, k2 (рис. 17). Назовем такие линии коэллипсами. Частным видом коэллипсов являются линии, для которых абсолютные прямые являются касательными. Будем называть такие линии коокружностями. 30. Абсолютная точка P лежит на линии. Овальная линия имеет две совпавшие действительные изотропные касательные (рис. 18). Такие линии l1 назовем копараболами. Для них выполняется условие (10). k1 = k2 Таким образом, на коевклидовой Р плоскости существуют три типа овальных линий: когиперболы, l2 копараболы и коэллипсы, в частности, Рис. 18 коокружности. 2. Для когипербол и коэллипсов, заданных уравнением (1), выполняется условие (9). Следовательно, согласно рассуждениям предыдущего параграфа существует число, характеризующее связь между коэффициентами квадрики (1), инвариантное относительно группы преобразований коевклидовой плоскости. Определим его геометрический смысл. Через действительную абсолютную точку проходят две изотропные касательные k1, k2 к квадрике (1), действительные или мнимые (рис. 16, 17). Сложное отношение четырех прямых (k1k2 l1l2), где l1, l2 – абсолютные мнимо сопряженные прямые, является проективным инвариантом, а так как любая коллинеация проективной плоскости сохраняет касание фигур, то указанное сложное отношение четырех прямых является инвариантом квадрики. Выразим косинус расстояния между изотропными касательными квадрики (1) через ее тангенциальные координаты. Пусть прямая ki , где i = 1, 2, задана уравнением

λ i x1 + µ i x 2 = 0 ,

(11)

при λ i2 + µ i2 ≠ 0 , i = 1, 2. Полагая λi ≠ 0 , находим уравнение

⎛ ⎛ µ ⎞2 ⎞ ⎛ µi µ ⎞ 2⎜ i x2 a11 ⎜⎜ ⎟⎟ − 2a12 + a22 ⎟ + 2 x2 x3 ⎜⎜ a23 − a13 i ⎟⎟ + a33 x32 = 0, ⎜ ⎝ λi ⎠ ⎟ λi λi ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(12)

определяющее отношение x2 : x3 проективных координат общих точек прямой ki и квадрики (1) при условии (9). 88

Так как прямая ki – касательная к квадрике, то уравнение (12) имеет единственный корень, следовательно, его дискриминант равен нулю:

⎛ µi ⎜⎜ ⎝ λi

2

⎞ 2 µ 2 ⎟⎟ a13 − a11a33 + 2 i (a12 a33 − a13 a23 ) + a23 − a22 a33 = 0, λ i ⎠

(

)

(

)

или в тангенциальных координатах 2

⎛ µi ⎜⎜ ⎝ λi

⎞ µ ⎟⎟ A22 + 2 i A12 + A11 = 0 . λi ⎠ (13)

Согласно формуле (18) главы 1

λ1λ 2 + µ1 µ 2 . 2 2 2 2 λ1 + µ1 λ 2 + µ 2

cos k1k 2 =

(14)

Преобразуем правую часть равенства (14): 1+

λ1λ2 + µ1 µ 2 λ +µ 2 1

=

2 1

λ +µ 2 2

2 2

=

µµ 1+ 1 2 λ1λ2 ⎛ µ1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ λ1 ⎠

2

2

⎛ ⎛µ ⎞ ⎜1 + ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜⎝ λ1 ⎟⎠ ⎝

µ1 µ 2 λ1λ2

2

⎞⎛ ⎛ µ ⎞ ⎟⎜1 + ⎜ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ λ2 ⎟⎠ ⎠⎝ 1+

2

2

⎛ µ 2 ⎞ ⎛ µ1 ⎞ ⎛ µ 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 ⎝ λ2 ⎠ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ2 ⎠

=

1+

⎛ µ1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ λ1 ⎠

2

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

µ1 µ 2 λ1λ2 2

=

⎛ µ 2 ⎞ ⎛ µ1 µ 2 ⎞ µµ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ + ⎟ − 2 1 2 + 1 ⎟ ⎜ λ1λ2 ⎝ λ2 ⎠ ⎝ λ1 λ ⎠ 2

µ1 µ 2 λ1λ2 2

⎛ µ1 µ 2 ⎞ ⎛ µ1 µ 2 ⎞ ⎜⎜ − 1⎟⎟ + ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎠ ⎝ λ1 λ2 ⎠ ⎝ λ1λ2

2

.

Отношение µ : λ является корнем уравнения (13). По формулам Виета находим

µ1 µ 2 A11 = λ1 λ2 A22 ,

A µ1 µ 2 + = −2 12 . A22 λ1 λ2 89

Таким образом,

cos k1k 2 = ±

A11 + A22

( A11 − A22 )2 + 4 A122

.

(15)

Знак плюс (минус) в формуле (15) соответствует положительному (отрицательному) значению координаты А22. Левая часть равенства (15) может быть выражена через инвариант квадрики – (k1k2 l1l2), следовательно, и правая часть этого равенства является инвариантом линии. Обозначим его ∇ . Геометрический смысл инварианта ∇ определен: ∇ – есть косинус расстояния между изотропными касательными к линии (1). 3. Уравнение (13) определяет изотропные касательные к линии (1). 2 Обозначим дискриминант уравнения (13) 4ϒ. Тогда ϒ= A12 − A11 A22 . Число ϒ позволит нам определить тип квадрики по ее тангенциальным координатам. Выполняется равенство

(1 − ∇ 2 )( A11 + A22 ) 2 , ϒ= 4∇ 2

(16)

устанавливающее связь числа ϒ с инвариантом ∇. Равенство (16) показывает, что знак числа ϒ зависит от модуля ∇, следовательно, является инвариантом квадрики. Если ϒ больше нуля (модуль ∇ при этом меньше единицы), то уравнение (13) имеет два различных действительных корня, то есть квадрика (1) имеет две действительные изотропные касательные, следовательно, является когиперболой. Если ϒ меньше нуля (модуль ∇ больше единицы), то корни уравнения (13) мнимо сопряженные. Следовательно, квадрика имеет мнимо сопряженные изотропные касательные и является коэллипсом. В случае, когда модуль ∇ бесконечно велик (А11 = А22, А12 = 0) квадрика касается абсолютных прямых, то есть является коокружностью. Выразив ϒ через однородные координаты квадрики, получим: ϒ = – а33 D, где D – определитель матрицы координат линии. Мы рассматриваем овальные линии, для которых D ≠ 0. Поэтому условие ϒ = 0 равносильно условию (10). Таким образом, при ϒ = 0 (модуль ∇ равен единице и выполняется условие (10)), квадрика имеет слившиеся изотропные касательные и является копараболой. Мы уже показали, что все копараболы коевклидово эквивалентны, то есть представляют самостоятельный класс овальных линий коевклидовой плоскости. 90

Множество всех коэллипсов и множество всех когипербол разобьем на классы таким образом, чтобы в один класс попали линии с равными инвариантами ∇, а линии с различными инвариантами ∇ находились в различных классах. Справедливы следующие утверждения. 1. Любые две линии одного класса коевклидово эквивалентны, то есть для каждой пары линий одного класса существует преобразование группы G, которое одну из линий переводит в другую. 2. Не существует преобразования группы G, которое линию одного класса переводит в линию другого класса. Итак, на коевклидовой плоскости существует три типа овальных линий и бесконечное множество их классов, каждый из которых определен типом линии и значением инварианта ∇. 5.3 Канонические уравнения овальных линий 1. Как обычно, каноническим уравнением овальной линии будем называть уравнение наиболее простого вида∗, определяющее линию в некотором каноническом репере. Канонический репер, в котором уравнение квадрики имеет канонический вид, будем называть присоединенным репером квадрики. Семейство всех канонических реперов коевклидовой плоскости зависит от четырех параметров, следовательно, пристраивая к линии наиболее удобным способом канонический репер, мы имеем право израсходовать не более четырех параметров. 2. Пусть на коевклидовой плоскости задан некоторый коэллипс γ. Построим присоединенный репер R коэллипса. В каждом каноническом репере коевклидовой плоскости третья координатная вершина совпадает с действительной абсолютной точкой, которая согласно определению коэллипса является его внутренней точкой, поэтому через точку P=A3 проходят две мнимо сопряженные касательные k1, k2 коэллипса. Существует единственная пара действительных изотропных прямых а, b, гармонически разделяющих абсолютные прямые и пару касательных k1, k2.∗∗ Затратим один параметр, совместив координатную прямую A1A3 с прямой a. После этого однозначно определена прямая A2A3=b. Точки пересечения коэллипса с прямой а обозначим K1, K2. Точка, четвертая гармоническая к тройке точек K1, K2, A3 на прямой а, определена геометрически ∗

Очевидно, данное определение нельзя считать строгим математическим определением, так как понятие «простой вид» субъективно. По возможности, мы будем стремиться к тому, чтобы квадратичная форма, определяющая каноническое уравнение квадрики, имела канонический вид [1, стр. 268]. ∗∗ Доказательство этого факта проективной геометрии предлагаем читателю провести самостоятельно.

91

единственным образом. Поместим в эту точку первую координатную вершину A1. Этот шаг расходует еще один параметр. Очевидно, что точкам K1, K2 можем теперь присвоить координаты: K1 (1:0:α) и K2 (1:0: – α), где α – некоторое действительное число. На прямой b точку А2 совместим с четвертой гармонической к тройке точек H1, H2, A3, где H1, H2 – точки пересечения прямой b с линией γ. Затратим на этот шаг один параметр. Точки H1, H2 можно задать координатами: H1 (0:1: β) и H2 (0:1: – β), β – действительное число. На прямой A1A2 однозначно определена пара ортогональных точек E12 (1 : 1 : 0), E12′ (−1 : 1 : 0), гармонически разделяющая пару вершин репера. На прямую A3E12 поместим единичную точку Е репера (расходуем один параметр) таким образом, чтобы выполнялось равенство:

( A3 EF1 F2 ) =

1+ α 2 + β 2 1− α 2 + β 2

,

где F1, F2 – точки пересечения линии γ с прямой А3Е12. Тогда эти точки в 2 2 2 2 репере R будут иметь координаты: F1 (1 : 1 : α + β ) и F2 (1 : 1 : − α + β ) . Итак, затратив четыре параметра, мы определили канонический репер ∗ R. Назовем этот репер – присоединенным репером коэллипса. Найдем уравнение квадрики в присоединенном репере. Любые пять точек общего положения на проективной плоскости определяют единственную овальную линию [2, стр. 65], через них проходящую. Учитывая, что точки K1, K2, H1, H2, F1 принадлежат линии, то есть их координаты удовлетворяют уравнению (1), найдем условия на координаты квадрики. Первая пара точек дает условия:

a11 + 2a13α + a33α2 = 0, a11 – 2a13α + a33α2 = 0. Откуда

a13 = 0, a11 = − a33α 2 .

(17)

Следующие точки определяют равенства:

a12 = 0, a23 = 0, a22 = −a33 β 2 .

(18)

Таким образом, уравнение квадрики принимает вид:

α 2 x12 + β 2 x 22 − x32 = 0 . ∗

(19)

Вообще, репер определен с точностью до порядка следования двух первых координатных вершин и единичных точек Е13, Е'13 на изотропной координатной прямой.

92

Назовем уравнение (19) каноническим уравнением коэллипса. Переходя к тангенциальным координатам квадрики, получим уравнение

X 12

α

2

+

X 22

β

= X 32 .

2

(20)

3. Некоторые отличия появляются при построении присоединенного репера когиперболы. Существует единственная пара ортогональных изотропных прямых, гармонически разделяющих пару действительных изотропных касательных квадрики. Но только одна из этих прямых пересекает квадрику в действительных точках. Примем эту прямую в качестве координатной прямой А1А3. Согласуясь с рассуждениями предыдущего пункта, координаты точек пересечения квадрики координатными прямыми А1А3, А2А3 примем соответственно в виде:

K1 (1:0: α), K2 (1:0: –α) и H1 (0:1: iβ), H2 (0:1: – iβ), где α, β – действительные числа. Координаты точек F1, F2 пересечения линии γ прямой А3Е12 при выборе единичной точки Е репера, соответствующем выполнению равенства

( A3 EF1 F2 ) =

1+ α 2 − β 2 1− α − β 2

2

,

имеют вид:

F1 (1 : 1 : α 2 − β 2 ), F2 (1 : 1 : − α 2 − β 2 ). Тогда в общем уравнении квадрики

a12 = a13 = a 23 = 0, a11 = α 2 a 33 , a 22 = β 2 a33 . Следовательно, в построенном присоединенном репере уравнение когиперболы имеет вид

α 2 x12 − β 2 x 22 − x32 = 0 .

(21)

Назовем уравнение (21) каноническим уравнением когиперболы. В тангенциальных координатах каноническое уравнение принимает вид

X 12

α

2

−

X 22

β

2

= X 32 .

(22)

4. Присоединенный репер копараболы построим следующим образом. Вершина A3 совпадает с абсолютной точкой и лежит на копараболе. Изотропную касательную копараболы примем в качестве координатной

93

прямой A1A3, затратим на этот шаг один параметр. Существует единственная действительная изотропная прямая a, ортогональная прямой A1A3. Очевидно, эта прямая содержит вторую вершину координатного репера. Поместим, расходуя один параметр, вершину A2 в точку пересечения прямой a с копараболой. Еще один параметр потратим на задание вершины A1 как точки пересечения прямой A1A3 с единственной касательной квадрики, проходящей через ее точку A2. Построим пару действительных изотропных прямых, гармонически разделяющих пару абсолютных прямых и пару координатных прямых A1A3, A2A3. Такая пара прямых существует и притом единственная: A3E12, A3E'12. Пусть прямая A3E12 пересекает квадрику в точке K. Единичную точку репера поместим на прямую A3E12 так, чтобы выполнялось равенство: (KEA3E12) = α, где α – действительное число. Тем самым израсходован последний четвертый параметр. Присоединенный репер линии построен. Определим уравнение копараболы в присоединенном репере. Точки A2, A3 принадлежат линии, следовательно, в общем уравнении (1) линии a22 = a33 = 0. Прямые A1A2, A1A3 касаются линии. Поэтому a12 = a13 = 0. Точка K в построенном репере имеет координаты: K(α:α:1). Принадлежность точки K линии дает: αa11 = – 2а23. Таким образом, каноническое уравнение копараболы имеет вид

x12 − α x 2 x 3 = 0 .

(23)

Или в тангенциальных координатах

X 12 =

4

α

X2X3.

5.4 Центры овальных линий 1. Прежде чем ввести понятие центра овальной линии, докажем два факта проективной геометрии. Лемма 1. Если для точек Q, K1, K2, H1, H2 проективной прямой выполняется условие

(QK1 H 1 H 2 ) = ( K 2QH1 H 2 ),

(24)

то на этой прямой существует единственная точка Т такая, что

(TK 1 H 1 H 2 ) = ( K 2TH 1 H 2 )

(25)

и пара точек Q, T гармонически разделяет пары точек K1, K2 и H1, H2. Доказательство этой леммы и следующей проведем для двух случаев: 1) точки H1, H2 – действительные; 2) точки H1, H2 – мнимо сопряженные. 94

Пусть в некотором проективном репере на прямой K1K2 точки Q, K1, H1, H2 имеют соответственно первому и второму случаю координаты:

Q(1 : 0), K1 (a1 : a2 ), H1 (1 : 1), H 2 (−1 : 1),

(Q(1 : 0), K1 (a1 : a2 ), H1 (i : 1), H 2 (−i : 1)). Условие (24) определяет единственную точку K2 (–a1: a2). Для точки T(t1: t2) имеет место равенство (25), поэтому t1t2 = 0. Последнему равенству удовлетворяют координаты двух точек на данной прямой: Q(1:0) и T(0:1), гармонически разделяющих пары точек K1, K2 и H1, H2, поскольку выполняются равенства

(QTK1 K 2 ) = −1, (QTH1 H 2 ) = −1. Что и требовалось доказать. Лемма 2. Если пара точек Q, T гармонически разделяет пары точек K1, K2 и H1, H2, то выполняются равенства (24) и (25). Доказательство. Пусть на прямой QT в некотором проективном репере точки Q, Т и H1 имеют соответственно первому и второму случаям координаты:

Q(1 : 0), T (0 : 1), H1 (1 : 1)

и

Q(1 : 0), T (0 : 1), H 1 (i : 1) .

По условию леммы (QT H1H2) = –1, следовательно, точка H2 имеет координаты: H2 (–1:1) или H2 (–i:1). Если в заданном репере (a1: a2) – координаты точки K1, то согласно условию (QT K1K2) = –1 точка K2 имеет координаты: (–a1: a2). Непосредственная проверка доказывает утверждение леммы. Действительно,

(QK1 H 1 H 2 ) =

a1 + a 2 a1 + a 2 , ( K 2 QH 1 H 2 ) = , a1 − a 2 a1 − a 2

(TK 1 H 1 H 2 ) =

a1 + a 2 a1 + a 2 ( K TH H ) = 2 1 2 a 2 − a1 . a 2 − a1 ,

2. Полярной осью овальной линии коевклидовой плоскости назовем поляру действительной абсолютной точки относительно данной линии. Собственную для коевклидовой плоскости точку S назовем центром овальной линии, если модули расстояний от нее до точек пересечения линии с любой проходящей через S неизотропной прямой равны. По принципу двойственности на плоскости евклидовой введенному объекту соответствует ось линии второго порядка как прямая, образующая равные углы с двумя касательными к линии, проходящими через произвольную точку на этой прямой. 95

На евклидовой плоскости оси линии второго порядка пересекаются в ее центре, а центр линии является полюсом бесконечно удаленной прямой относительно этой линии [2, стр. 76]. Естественно предположить, что на коевклидовой плоскости центры овальной линии, если они существуют, находятся на поляре абсолютной точки относительно данной линии, то есть на полярной оси линии. Проверим это предположение. Пусть S – центр овальной линии γ, а q – поляра S относительно линии. Проведем произвольную хорду SX и обозначим точки ее пересечения с линией – K1, K2 , а с абсолютными прямыми – H1, H2. По определению центра линии |SK1| = |SK2|, следовательно, (SK1 H1H2) = (K2S H1H2). Согласно лемме 1 существует точка Т, гармонически разделяющая с точкой S пару точек K1, K2. Очевидно, точка Т лежит на поляре точки S относительно линии, то есть на прямой q. По той же лемме (ST H1H2) = –1 для каждой секущей SX. Следовательно, для каждой секущей SX соответствующие точки Т принадлежат изотропной прямой, ортогональной прямой SP, то есть q проходит через абсолютную точку P. По теореме о взаимности поляритета [2, стр. 60] S принадлежит поляре точки P относительно линии γ. Доказана теорема. Теорема 1. Если овальная линия коевклидовой плоскости имеет центр, то он принадлежит полярной оси данной линии. 3. Пусть S – центр невырожденной линии γ, заданной уравнением (1) при а33 ≠ 0, а q – поляра точки S относительно γ. При доказательстве теоремы 1 установлено, что изотропные прямые q и SP гармонически разделяют друг друга, то есть ((SP)q l1l2) = –1. С учетом этого прямые q и SP можно задать соответственно уравнениями:

u1 x1 + u 2 x 2 = 0

(26)

− u2 x1 + u1 x2 = 0.

(27)

и Поляра абсолютной точки P (0 : 0 : 1) относительно γ имеет [2, стр. 60] уравнение

a13 x1 + a 23 x 2 + a33 x3 = 0

(28)

и согласно доказанной теореме содержит точку S. Система уравнений (27), (28) определяет координаты центра S линии:

S (−u1a33 : −u 2 a33 : u1a13 + u 2 a23 ) .

(29)

Поляра точки S относительно линии γ имеет уравнение 2 x1(u1(a132 − a11a33) +u2 (a13a23 − a21a33))+ x2 (u1(a13a23 − a12a33) +u2 (a23 − a22a33)) = 0,

96

или в тангенциальных координатах линии

x1 (u 2 A12 − u1 A22 ) + x 2 (u1 A12 − u 2 A11 ) = 0 .

(30)

Уравнения (26), (30) определяют одну прямую q, следовательно, их коэффициенты при переменных x1, x2 пропорциональны, то есть

u 2 A12 − u1 A22 u1 A12 − u 2 A11 = , u1 u2

(31)

или

u12 A12 + u1u 2 ( A22 − A11 ) − u 22 A12 = 0 . Откуда

A11 − A22 ± ( A11 − A22 ) 2 + 4 A122 u1 = . u2 2 A12

(32)

Если линия не является коокружностью, то есть одновременно не выполняются условия A11 = A22, A12 = 0, то выражение (32) дает два различных действительных отношения u1 : u2, каждое из которых определяет действительный центр линии. Согласно лемме 1 центры линии сопряжены относительно абсолютных прямых. Непосредственная проверка доказывает, что центры линии гармонически разделяют действительные изотропные касательные к линии (см. уравнение (13) и равенство (32)). Следовательно, имеют место следующие теоремы. P P l1 S1 k1

S2

S2 l2

k2 l2

S1 k2

Рис. 19

l1

k1

Рис. 20

Теорема 2. Каждая когипербола имеет два действительных ортогональных центра, гармонически разделяющих изотропные касательные линии.

97

Теорема 3. Каждый коэллипс, отличный от коокружности, имеет два действительных ортогональных центра, гармонически разделяющих мнимо сопряженные изотропные касательные линии. Полярная ось когиперболы проходит через общие с изотропными касательными точки когиперболы. Поэтому согласно теореме 2 один из центров когиперболы является внутренним по отношению к линии, другой – внешним (рис. 19). Поляра абсолютной точки относительно коэллипса не имеет с линией общих точек, следовательно, центры коэллипса являются по отношению к нему внешними точками (рис. 20). Следствием доказанных теорем (1 – 3) и свойств полного четырехвершинника [2, стр. 42] является теорема, конструктивно определяющая положение центров коэллипсов и когипербол. Теорема 4. Центры когиперболы (коэллипса) являются диагональными точками полного четырехвершинника, образованного точками пересечения данной линии абсолютными прямыми. Применяя метод координат, нетрудно проверить справедливость следующих утверждений. 10. Если одна из двух комплексно сопряженных точек принадлежит овальной линии γ, то линии γ принадлежит и вторая точка. 20. Через две комплексно сопряженные точки проходит и только одна вещественная прямая. 30. Если прямая проходит только через одну из двух комплексно сопряженных точек, то она является мнимой прямой. 40. Для каждой точки мнимой прямой комплексно сопряженная точка лежит на прямой, комплексно сопряженной данной прямой. Имеют место следующие рассуждения. Пусть прямая абсолюта li, i = 1, 2, пересекает квадрику в точках Ai, Bi А1 (рис. 21), тогда, очевидно, эта четверка точек состоит двух пар комплексно l2 сопряженных точек. Пусть точкам A1, P сопряжены точки A2, B2 B1 B2 A2 соответственно. Тогда прямые A1A2, B1 B1B2 являются действительными, а S1 прямые A1B2, A2B1 – мнимыми. Прямые первой пары назовем S2 l1 действительными фокальными осями когиперболы (коэллипса), а прямые Рис. 21 второй пары – мнимыми фокальными осями когиперболы (коэллипса). Центр линии, являющийся пересечением действительных (мнимых) фокальных осей, будем называть соответственно действительным (мнимым) центром линии. Следует помнить, что оба центра – точки действительные. 98

На рисунке 21 представлены центры коэллипса, как диагональные точки полного четырехвершинника, образованного пересечением линии абсолютными прямыми. Для коэллипса, заданного каноническими уравнениями (19) при |β| > |α| (|β| < |α|), действительным центром является координатная вершина А1 (А2) мнимым – вершина А2 (А1). Для когиперболы, заданной уравнением (21), действительным центром является координатная вершина А2, мнимым – вершина А1. Два коэллипса (две когиперболы) назовем сопряженными, если они имеют общие изотропные касательные и мнимый центр одного (одной) из них является действительным центром другого (другой). Каноническое уравнение коэллипса, сопряженного коэллипсу, заданному уравнением (19), имеет вид:

β 2 x12 + α 2 x22 − x32 = 0 . Каноническое уравнение когиперболы, сопряженной когиперболе (21), имеет вид:

α 2 x12 − β 2 x22 + x32 = 0 . Пользуясь, например, каноническим уравнением когиперболы, можно показать, что мнимый центр когиперболы является ее внутренней точкой, а действительный центр – внешней (рис. 22). S

P

l1 A1

q K1 H1

A2 S2

S1

P

l1 Рис. 22

l2

Q l2

T H2

B2

B1

N2

N1 k

p

K2 Рис. 23

В частном случае, если А12 = 0 и А11 ≠ А22, из равенства (31) получаем u1u2 = 0, тогда центрами линии являются точки S1(0:–a33: a23) и S2(–a33: 0: a13). Для коокружности А11 = А22, А12 = 0. При этих условиях уравнения (26) и (30) равносильны. Следовательно, каждая изотропная прямая содержит центр коокружности. В соответствии с теоремой 1 имеет место теорема. 99

Теорема 5. Центром коокружности является каждая точка полярной оси данной коокружности. 4. Для общего уравнения копараболы имеет место условие (10). Поэтому для определения центра копараболы, способ, предложенный в пункте 3, непригоден. Найдем центр S копараболы, заданной уравнением (1) при условии а33 = 0. По теореме 1 S принадлежит полярной оси p линии. Прямая p, очевидно, является касательной к линии в точке P (рис. 23). Построим изотропную прямую q, гармонически разделяющую с прямой p пару абсолютных прямых. Проведем касательную k через собственную точку Q пересечения линии прямой q. Точку пересечения прямых p и k обозначим S. Докажем, что S является центром копараболы. Пусть Т – произвольная точка прямой q, по построению q – поляра точки S относительно линии. Согласно определению поляры выполняется равенство:

( STK 1 K 2 ) = −1 ,

(33)

где K1, K2 – точки пересечения прямой ST с копараболой. Учитывая, что (pq l1l2) = –1, находим

( STH 1 H 2 ) = −1 ,

(34)

где H1, H2 – точки пересечения прямой ST абсолютными прямыми. По лемме 2 из условий (33), (34) следует равенство

( SK1 H1 H 2 ) = ( K 2 SH1 H 2 ) . Таким образом, S – центр линии. Найдем координаты центра копараболы (1), а33 = 0. В принятых обозначениях прямые p и q имеют соответственно уравнения:

a13 x1 + a 23 x 2 = 0 ,

a23 x1 − a13 x2 = 0 .

Координаты точки пересечения линии с прямой q имеют вид: 2 3 2 Q ( − 2 ( a133 + a13 a 23 ) : − 2 ( a132 a 23 + a 23 ) : a11 a132 + 2 a12 a13 a 23 + a 22 a 23 ),

а уравнение проходящей через эту точку касательной k к линии – вид: 2 3 2 + 2a12 a23 − a13 a22 a23 )+ x1 (a11a133 + 2a11a13 a23 2 − a11a132 a23 ) + x2 (2a12 a132 + 2a132 a22 a23 + a22 a23 2 2 2 x3 (a132 + a23 ) = 0.

100

Следовательно, центр копараболы, точка пересечения прямых k и р, имеет координаты: 2 2 2 S (−a23 (a132 + a23 ) : a13 (a132 + a23 ) : a12 (a23 − a132 ) + a13a23 (a11 − a22 )) .(35)

Непосредственная проверка показывает, что центр копараболы принадлежит прямой n, соединяющей точки N1 (2ia23 − 2a13 : 2ia13 + 2a23 : a11 − a22 − 2ia12 ), N2 (− 2ia23 − 2a13 : 2a23 − 2ia13 : a11 − a22 + 2ia12 ) пересечения копараболы абсолютными прямыми (рис.22). Две копараболы назовем сопряженными, если они имеют общие касательные, а отрезок каждой изотропной прямой с концами на данных копараболах имеет середину на общей неизотропной касательной копарабол. Каноническое уравнение копараболы, сопряженной копараболе (23), имеет вид

x12 + α x2 x3 = 0 . 5.5 Метрическое определение овальных линий 1. Пусть f1, f2 – неизотропные прямые, 2φ – мера угла между ними, а α – некоторое положительное число, причем φ < α. Найдем огибающую множества Ŋ всех прямых коевклидовой плоскости, каждая из которых образует с данными прямыми f1, f2 углы, сумма мер которых равна данной величине 2α. Канонический репер плоскости выберем таким образом, чтобы данные прямые в нем имели однородные координаты:

f1 (ϕ : 0 : 1), f 2 (−ϕ : 0 : 1) . По формуле (42) главы 2 ∠f1 f 2 = 2ϕ. Если прямая принадлежит множеству Ŋ, то для нее выполняется равенство:

∠mf1 + ∠mf 2 = 2α .

(36)

Запишем равенство (36) в координатах: 2

2

⎛ ⎛ X1 ⎞ X 22 X1 ⎞ X 22 ⎜⎜ϕ − ⎟⎟ + 2 + ⎜⎜ϕ + ⎟⎟ + 2 = 2α , X X X X3 3⎠ 3 3⎠ ⎝ ⎝ или 2

⎛ X 1 ⎞ X 22 ⎜⎜ϕ + ⎟⎟ + 2 = 2α − X X3 3 ⎠ ⎝ 101

2

⎛ X 1 ⎞ X 22 ⎜⎜ϕ − ⎟⎟ + 2 . X X3 3 ⎠ ⎝

После возведения обеих частей последнего равенства в квадрат и приведения подобных слагаемых получаем 2

⎛ X1 ⎞ X 22 X ⎟⎟ + 2 = α 2 − ϕ 1 . α ⎜⎜ ϕ − X3 ⎠ X3 X3 ⎝ Возведем в квадрат обе части равенства и приведем подобные слагаемые. Производя замену: β2 = α2 – φ2, получим уравнение (20), определяющее коэллипс в тангенциальных координатах. Если однородные координаты прямой m удовлетворяют уравнению (20), то для прямой m выполняется равенство (36). Действительно, из уравнения (20) находим 2

β 2 X 12 X 22 1 ⎛ X1 2 2 ⎞ ⎜ ⎟⎟ . β ϕ α = − = − α 2 X 32 α 2 ⎜⎝ X 3 X 32 ⎠ Следовательно,

∠ mf 1 =

1

α

ϕ

X1 −α X3

2

, ∠ mf

2

=

1

α

ϕ

X X

1

+α

2

.

3

Равенство (36) выполняется с учетом того, что φ < α и из уравнения (20) следует неравенство: |X1: X3| ≤ α. Таким образом, огибающая множества прямых Ŋ является коэллипсом. Непосредственная проверка доказывает, что данные прямые f1, f2 являются действительными фокальными осями коэллипса. 2. Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что когипербола является огибающей множества всех прямых коевклидовой плоскости, каждая из которых образует с данными прямыми f1, f2 углы, абсолютная величина разности мер которых равна данной величине 2α. 3. В обозначениях первого пункта в случае совпадения прямых f1, f2, фокальных осей коэллипса, φ = 0, то есть β = α. Уравнение (20) в этом случае определяет коокружность. Следовательно, коокружность является частным видом коэллипса, что согласуется с типологией овальных линий (см. §2). Определим коокружность как точечное множество. Зафиксируем некоторую неизотропную прямую a. Найдем множество всех точек М коевклидовой плоскости, расстояние от которых до данной прямой a есть постоянная величина, равная α. Поместим вершины A1, A2 координатного репера на прямую a. Тогда уравнение прямой a имеет вид: x3 = 0. Определим расстояние от точки М (x1: x2: x3) до прямой a по формуле (30) главы 2 и приравняем его к α:

102

ρ (M , a) =

x3 x12 + x 22

= α.

(37)

После соответствующих преобразований получаем уравнение относительно однородных координат текущей точки искомого множества:

α 2 x12 + α 2 x 22 − x 32 = 0 ,

(38)

определяющее на коевклидовой плоскости коокружность. Если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению (38), то для нее выполняется условие (37). Следовательно, введенное множество точек является коокружностью. Данную прямую a будем называть базой, а величину α – высотой коокружности. 4. Определим множество γ всех точек коевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных неизотропных прямых есть постоянная положительная величина λ. Пусть заданы две неизотропные прямые а и b. Выберем канонический репер R так, чтобы данные прямые в нем имели соответственно координаты: а(0: α: 1), b(0: –α: 1), где α – положительное число. Для этого, расходуя три параметра, координатную вершину А1 поместим в точку пересечения прямых а и b, а точкам пересечения изотропной координатной прямой А2А3 с прямыми а и b присвоим координаты: K1 (0:1: –α), K2 (0:1: α). То есть вершину А2 репера поместим в середину отрезка K1K2. Очевидно, существует однопараметрическое семейство таких канонических реперов (каждый репер определен фиксированным значением α). Мера угла между прямыми а и b, вычисленная по формуле (42) главы 2, в репере R равна 2α. Определим расстояния от точки М (x1: x2: x3) до прямых a и b по формуле (46) главы 2:

ρ1 = ρ (M , a ) =

αx2 + x3 x +x 2 1

2 2

,

ρ 2 = ρ (M , b ) =

αx2 − x3 x +x 2 1

2 2

.

(39)

Условие

ρ12 + ρ 22 = λ

(40)

⎛λ ⎞ x12 + ⎜ − α 2 ⎟ x22 − x32 = 0. 2 ⎝2 ⎠

(41)

в координатах имеет вид:

λ

С другой стороны, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (41), то для точки М выполняется условие (40). Следовательно, уравнение (41) определяет множество γ. 103

По определению λ > 0. Следовательно, при λ > 2α2 уравнение (41) имеет вид (19) и задает коэллипс с действительным центром А1, а при λ < 2α2 – имеет вид (21) и задает когиперболу с действительным центром А2. Если λ = 2α2, то уравнение (41) определяет прямые а и b. С другой стороны, каждое уравнение вида (19) ((21)) имеет вид (41), где λ > 2α2 (λ < 2α2). Таким образом, каждый коэллипс (каждая когипербола) является множеством всех точек коевклидовой плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до неизотропных прямых а и b, пересекающихся в действительном (мнимом) центре коэллипса (когиперболы) и образующих угол 2α с биссектрисой на полярной оси линии, есть постоянная величина λ, причем λ > 2α2 (λ < 2α2). 5. Копараболу можно рассматривать как огибающую множества Ŋ всех прямых коевклидовой плоскости, расстояние от которых до данной точки равно мере угла, образованного с данной прямой. Действительно, выберем канонический репер так, чтобы данные прямая d и точка F имели в нем следующие однородные координаты:

d (0 : 1 : α ); F (0 : α : 1), где α – положительное число. Пусть прямая m (X1: X2: X3) принадлежит множеству Ŋ. Тогда

ρ ( F , m) = ∠md .

(42)

В координатах условие (42) имеет вид

αX 2 + X 3 X 12 ⎛ X 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ + − = . α X3 X 32 ⎜⎝ X 3 α ⎟⎠ 2

(43)

После соответствующих преобразований получаем уравнение

X 12 =

4

α

X2X3.

(44)

Для прямой коевклидовой плоскости, однородные координаты которой удовлетворяют уравнению (44), очевидно, выполняется условие (42). Следовательно, уравнение (44), определяющее в тангенциальных координатах копараболу коевклидовой плоскости, является уравнением рассматриваемого множества прямых. Что и требовалось доказать. Данную прямую d и данную точку F будем называть соответственно директрисой и фокусом копараболы. Непосредственная проверка показывает, что директриса копараболы является полярой ее фокуса относительно самой копараболы. В однородных координатах относительно текущей точки линии уравнение (44) имеет вид (23). Точки пересечения копараболы абсолютными 104

прямыми имеют проективные координаты (iα:–α:1), (–iα:–α:1) и принадлежат прямой d. Согласно рассуждениям пункта 4 §4 прямая d содержит центр копараболы. Таким образом, директриса копараболы соединяет мнимо сопряженные точки пресечения копараболы абсолютными прямыми, а значит, не имеет с линией действительных общих точек, и содержит центр копараболы. Изотропная касательная копараболы (23) имеет уравнение: x2 = 0. Следовательно, ортогональная ей изотропная прямая q(1:0:0) содержит фокус F копараболы. Назовем прямую q фокальной осью копараболы. Прямую, проходящую через центр копараболы и ее фокус, назовем центральной осью копараболы, в дальнейшем будем обозначать ее f. Центральная ось f пересекает копараболу в двух действительных точках: F1(–α:α:1), F2(α:α:1), гармонически разделяющих центр и фокус линии. Заметим, что расстояния от фокуса до этих точек не зависят от коэффициента α, то есть одни и те же для всех копарабол. Действительно,

α2

cos FF1 = cos FF2 =

α 2 α 2 +α 2

=

2 2 ,

то есть FF1 = FF2 = π / 4. 6. Покажем, что множество γ всех точек коевклидовой плоскости, абсолютная величина разности квадратов расстояний от которых до данных неизотропных прямых а и b есть постоянная величина, является копараболой. Канонический репер R выберем таким образом, чтобы прямые а и b были заданы в нем уравнениями:

a : 2 x2 + αx3 = 0, b : x3 = 0 ,

(45)

где α ≠ 0, так как прямая а – неизотропная. Для построения такого репера при фиксированном значении α потребуется израсходовать четыре параметра. Расстояния от точки М (x1: x2: x3) до прямых a и b, вычисленные по формуле (46) главы 2, равны:

ρ1 = ρ (M , a ) =

2 x2 + αx3

α x +x 2 1

2 2

, ρ 2 = ρ (M , b ) =

x3 x +x 2 1

2 2

.

(46)

Равенство

ρ12 − ρ 22 = λ2

(47)

приводит к однородному уравнению второй степени относительно координат точки М: 105

α 2 λ2 x12 + (α 2 λ2 − 4 )x22 − 4αx2 x3 = 0.

(48)

ив Определитель матрицы коэффициентов уравнения (48) равен общем случае отличен от нуля, кроме того, уравнение не содержит квадрата третьей координаты точки М. Следовательно, множество точек, определенное уравнением (48), является невырожденной линией второго порядка, проходящей через действительную абсолютную точку Р(0:0:1), то есть является копараболой. Полагая λ = 2 : |α|, от уравнения (48) перейдем к каноническому уравнению (23) копараболы. Таким образом, если точка М принадлежит множеству γ, то она принадлежит копараболе (23). Обратно. Пусть точка М (x1: x2: x3) принадлежит копараболе (23). Через центр А1 копараболы проведем неизотропные прямые а и b, образующие угол φ = 2 : |α|, так, чтобы прямая b являлась касательной к копараболе в точке А2, а прямая а разделяла с прямой А1Е23, Е23 = А2 + Р, пару касательных b и А1Р к копараболе в отношении (– 2 : |α|). Тогда прямые а и b в присоединенном репере копараболы будут иметь уравнения (45). Для точки М, очевидно, выполняется условие (47), где λ = φ и

ρ1 = ρ (M , a ), ρ 2 = ρ (M , b ). Что и требовалось доказать. 7. Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что каждую невырожденную овальную линию коевклидовой плоскости можно рассматривать как огибающую множества прямых, отношение расстояния от которых до данной точки F к мере угла, образованного с данной прямой d, есть постоянная величина ε. Данные прямую d, точку F, и величину ε будем называть соответственно директрисой, фокусом и эксцентриситетом овальной линии. Эксцентриситет копараболы, очевидно, равен единице. 5.6 Геометрический смысл коэффициентов канонических уравнений овальных линий 1. Пусть коэллипс задан каноническим уравнением (19), или в тангенциальных координатах – уравнением (20). Пусть для определенности α и β – положительные числа, причем, α > β. Центрами коэллипса (19) являются координатные вершины A1(1:0:0), A2(0:1:0) канонического репера R. Найдем углы между касательными к коэллипсу, проведенными через его центр. Прямая k, проходящая через точку A1, имеет в репере R уравнение:

x3 = tx2 ,

где t – параметр прямой. 106

(49)

Координаты общих точек коэллипса и прямой k удовлетворяют системе уравнений (19), (49). Следствием указанной системы является уравнение:

α 2 x12 = x22 (t 2 − β 2 ),

(50)

которое дает значения параметра t для касательных k1, k2 коэллипса: t = β; –β. Угол между касательными

k1 : β x2 − x3 = 0, k 2 : β x2 + x3 = 0 найдем по формуле (42) главы 2: ∠k1k 2 = 2 β . Аналогично находим угол между касательными

h1 : α x1 − x3 = 0, h2 : α x1 + x3 = 0, проходящими через центр A2 коэллипса. Имеем ∠h1h2 = 2α , где α > 0. Через каждую точку полярной оси коэллипса, в нашем случае прямой А1А2 (x3 = 0), проходит пара касательных к линии. Координаты (X1: X2: X3) каждой касательной удовлетворяют уравнению (20). Поэтому пару d1, d2 касательных коэллипса (20), пересекающихся на его полярной оси, можно задать уравнениями:

d1, 2 : X 1 x1 + X 2 x2 ±

X 12

α

2

+

X 22

β

2

x3 = 0,

(51)

где (x1: x2: x3) – однородные координаты текущей точки касательной. Действительно, точка пересечения прямых (51) имеет в репере R координаты: (–X2: X1:0) и принадлежит полярной оси коэллипса. Угол между прямыми d1, d2 обозначим 2ω:

X 12 + X 22 = 2ω. ∠d1d 2 = 2αβ β 2 X 12 + α 2 X 22

(52)

Так как числа α, β, ω – действительные положительные и β < α, имеет место неравенство:

β < ω < α.

(53)

Таким образом, 2β, 2α – соответственно наименьший и наибольший угол между касательными коэллипса, проходящими через некоторую точку его полярной оси. Назовем эти углы соответственно меньшим и большим полярными углами коэллипса. Прямые k1, k2 и h1, h2, проходящие через центр коэллипса и образующие соответственно меньший и больший полярные углы, назовем главными полярными касательными коэллипса. 107

Определенный геометрический смысл коэффициентов канонического уравнения коэллипса позволяет утверждать, что числа α, β являются инвариантными относительно всех движений коевклидовой плоскости. 2. Для когиперболы, заданной каноническим уравнением (21), или каноническим уравнением в тангенциальных координатах (22), координатная вершина A1(1:0:0) является внутренним, а вершина A2(0:1:0) – внешним центром. Пусть для определенности α и β – положительные числа. Комплексно сопряженные касательные

k1 : iβ x2 − x3 = 0, k 2 : iβ x2 + x3 = 0 когиперболы, проходящие через внутренний центр, образуют мнимый угол величиной 2iβ. Действительные касательные

h1 : α x1 + x3 = 0, h2 : α x1 − x3 = 0, проходящие через внешний центр линии, образуют действительный угол величиной 2α. Для любой пары d1, d2 касательных когиперболы, пересекающихся на полярной оси, имеем

∠ d 1d 2 = 2

X 12 + X 22 X 12 X 22 , − 2 2

α

(54)

β

2 ⎞ 2 ⎛ ⎜ X : X : ± X1 − X 2 ⎟ 2 где ⎜ 1 2 ⎟ – однородные координаты прямых d1, d2. 2 α β ⎝ ⎠

Возможны следующие случаи. 1. Знаменатель подкоренного выражения в равенстве (54) меньше нуля. Тогда прямые d1, d2 мнимо сопряженные, а действительная точка их пересечения находится внутри когиперболы. Выражение (54) в этом случае определяет мнимый угол, обозначим его 2iω. Для действительных величин ω и β имеет место неравенство: ω >β. Назовем прямые k1, k2 главными мнимыми полярными касательными когиперболы, а угол, образованный этими прямыми – меньшим мнимым полярным углом когиперболы. 2. Знаменатель подкоренного выражения равенства (54) равен нулю. Тогда d1, d2 – совпавшие изотропные касательные когиперболы имеют однородные координаты: d1,2 (α: β: 0), или d1,2 (–α: β: 0). Полярный угол в каждом из указанных случаев не определен.

108

3. Знаменатель подкоренного выражения в равенстве (54) больше нуля. Действительные прямые d1, d2 пересекаются в точке, внешней по отношению к когиперболе. Выражение (54) определяет действительный угол 2ω. Так как α, β – действительные положительные числа, то α < ω. Угол 2α назовем меньшим действительным полярным углом когиперболы, а прямые h1, h2, образующие этот угол, – главными действительными полярными касательными когиперболы. Геометрический смысл коэффициентов α, β канонического уравнения когиперболы показывает, что эти коэффициенты являются инвариантными относительно всех движений коевклидовой плоскости. 3. Пусть копарабола задана каноническим уравнением (23), или уравнением в тангенциальных координатах (44). Тогда неизотропная касательная k копараболы, проходящая через ее центр A1(1:0:0), имеет уравнение x3 = 0 и образует с центральной осью копараболы

f = A1F : x2 – αx3 = 0 угол величиной

1

α

.

⎛ ⎞ α X 12 ⎟ – некоторая неизотропная касательная : X Пусть h ⎜⎜ X 1 : 3 ⎟ 2 4 X 3 ⎝ ⎠ копараболы (44). Определим величину ζ угла между этой касательной и центральной осью f: 2

∠hf =

X 12 ⎛ αX 12 1 ⎞ + ⎜⎜ + ⎟⎟ = ζ . 2 2 X 3 ⎝ 4X 3 α ⎠

(55)

Если прямая h проходит через центр копараболы, то она совпадает с прямой k. Тогда и только тогда выполняется равенство: ζ = любом другом случае выполняется неравенство:

1

α

1

α

. Очевидно, в

< ζ.

Прямую k будем называть центральной касательной копараболы. Угол, который центральная касательная образует с центральной осью копараболы, назовем центральным углом копараболы, а его меру

1

α

–

центральным параметром копараболы. Очевидно, центральный параметр копараболы, а, следовательно, и коэффициент α канонического уравнения копараболы, является инвариантным относительно всех движений коевклидовой плоскости.

109

Часть II. плоскости

Геометрия

копсевдоевклидовой

Глава 1. Проективные инварианты копсевдоевклидовой плоскости 1.1 Абсолют и фундаментальная группа копсевдоевклидовой плоскости. Семейство канонических реперов. Абсолютные углы 1. Проективную плоскость P2 с фиксированной вырожденной квадрикой A , состоящей из пары действительных прямых, назовем копсевдоевклидовой Г плоскостью. Вырожденную квадрику AП будем называть абсолютной квадрикой, или абсолютом копсевдоевклидовой плоскости. С его помощью на копсевдоевклидовой плоскости можно ввести гиперболическое измерение расстояний между точками и параболическое измерение углов между прямыми [3], [5, стр. 190-193], [7]. Г Точки множества K 2 = P2 \ AП назовем собственными точками копсевдоевклидовой плоскости, а точки самой квадрики – несобственными, или абсолютными, или бесконечно удаленными точками копсевдоевклидовой плоскости. Абсолют копсевдоевклидовой плоскости соответствует по принципу двойственности абсолюту псевдоевклидовой плоскости, состоящему из действительной прямой и пары действительных точек на ней [6], [7]. Следовательно, копсевдоевклидова геометрия на плоскости может быть получена из псевдоевклидовой∗ по малому принципу двойственности. Мы, следуя идеи Ф. Клейна, определим геометрию копсевдоевклидовой плоскости как совокупность свойств, инвариантных относительно группы копсевдоевклидовых преобразований, являющейся подгруппой группы проективных преобразований. На плоскости P2 выберем проективный репер R = {A1, A2, A3, E}, в котором прямые l1 и l2, определяющие абсолютную квадрику, заданы соответственно уравнениями: Г П

x1 = x2

x1 = − x2 .

и

(2)

Тогда точка Р пересечения прямых l1 и l2, совпадает с координатной вершиной A3 выбранного репера, а уравнение

x12 − x22 = 0

(2)

Г определяет вырожденную квадрику AП .

∗

Построение псевдоевклидовой геометрии на основе векторной аксиоматики Вейля предложено в пособии [7].

110

Выделим из группы проективных преобразований плоскости P2 Г множества преобразований Q1 и Q2, относительно которых фигура AП остаётся инвариантной. Пусть множество Q1 содержит все проективные преобразования плоскости P2, в которых абсолютные прямые l1 и l2 являются двойными, а множество Q2 – все преобразования, переводящие абсолютные прямые l1 и l2 друг в друга.∗ Преобразования множеств Q1 и Q2 назовём линейными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости первого и второго рода соответственно. Если матрица

⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ , a33 ⎟⎠

где det || aij || ≠ 0, i, j = 1, 2, 3, определяет проективные преобразования плоскости P2, то в репере R множества Q1 и Q2 изоморфны множествам невырожденных матриц соответственно вида:

⎛ a11 ⎜ ⎜ a12 ⎜a ⎝ 31

a12 a11 a 32

0 ⎞ ⎛ a11 ⎟ ⎜ 0 ⎟ и ⎜ − a12 ⎜ a a 33 ⎟⎠ ⎝ 31

a12 − a11 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. a33 ⎟⎠

Таким образом, множество всех линейных преобразований копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух связных компонент Q1, Q2 и может быть задано невырожденной матрицей вида:

⎛ a11 ⎜ ⎜ ε a12 ⎜ a ⎝ 31

0 ⎞ a12 ⎟ ε a11 0 ⎟ , a32 a33 ⎟⎠

(3)

2 2 где ε = ±1, а11 − а12 ≠ 0, а33 ≠ 0 . Преобразования, заданные матрицей (3), образуют группу. Назовем ее фундаментальной группой Q преобразований копсевдоевклидовой плоскости. Преобразования группы Q будем называть копсевдоевклидовыми. Первая компонента группы Q является разрешимой группой Ли, в отличие от второй, не содержащей тождественного преобразования, и, следовательно, не являющейся группой.

∗

Множества Q1, Q2 содержат все линейные преобразования плоскости K2, и любое преобразование множеств Q1, Q2 является линейным [11, стр. 118, 119].

111

2. Матрица (3) содержит пять коэффициентов, определенных с точностью до общего множителя. Следовательно, группа преобразований копсевдоевклидовой плоскости зависит от четырех независимых параметров. То есть подвижность [4] копсевдоевклидовой плоскости равна четырем. Покажем, что семейство всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости, то есть проективных реперов, допускающих задание абсолютной квадрики уравнением (2), зависит от четырех параметров. Для этого достаточно показать, что для полной фиксации канонического репера необходимо израсходовать четыре параметра. Действительно. Все канонические реперы копсевдоевклидовой плоскости обладают следующими свойствами. 1. Третья вершина репера совпадает с точкой Р пересечения абсолютных прямых. 2. Первая и вторая координатные вершины, а, следовательно, и проходящие через них изотропные координатные оси, гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых. 3. Единичные точки Е12 = А1 + А2, Е21 = А1 – А2 неизотропной координатной прямой А1А2 принадлежат абсолютным прямым (1) l1, l2 соответственно. Согласно первому свойству реперов третья координатная вершина А3 определена однозначно уравнениями (1), ее задание не требует введения параметра. Один параметр потратим на задание прямой, проходящей через точку А3, например, прямой A1A3. Еще один параметр израсходуем на задание точки A1 на прямой A1A3. Положение прямой A1A3 однозначно определяет положение прямой A2A3, гармонически разделяющей с прямой A1A3 пару абсолютных прямых. Расходуя один параметр, построим точку A2 на прямой A2A3. Положение вершин координатного репера однозначно определено заданием трех параметров. На прямой A1A2 однозначно определена пара точек E12 (1 : 1 : 0), E21 (−1 : 1 : 0) пересечения этой прямой с прямыми абсолюта. На прямой A3E12, расходуя один параметр, выберем единичную точку E (1 : 1 : 1) координатного репера. Таким образом, однозначное задание единичной точки и вершин канонического репера зависит от четырех параметров. Следовательно, на копсевдоевклидовой плоскости существует ∞ 4 канонических реперов. 3. Абсолют копсевдоевклидовой плоскости разбивает множество всех ее собственных точек на два непустых непересекающихся множества. Определим эти множества следующим образом. Если две точки А и В копсевдоевклидовой плоскости не разделяют точки пересечения прямой АВ прямыми абсолюта, то будем говорить, что точки А и В находятся в отношении Θ. Обозначение: А Θ В. Отношение Θ является отношением эквивалентности. Действительно, условие А Θ В равносильно неравенству

112

((PA)(PB) l1l2) > 0. Поэтому для отношения Θ выполняются следующие три утверждения. 1. Отношение Θ рефлексивно: А Θ А, так как

((PA)(PA) l1l2) = 1 > 0. 2. Отношение Θ симметрично: если А Θ В, то В Θ А. Так как если

((PA)(PB) l1l2) > 0, то 1 ((PB)(PA) l1l2) = (( PA)( PB)l l ) > 0. 1 2 3. Отношение Θ транзитивно: если А Θ В и В Θ С, то А Θ С. Так как если

((PA)(PB) l1l2) > 0 и ((PB)(PC) l1l2) > 0, то ((PA)(PC) l1l2) = ((PA)(PB) l1l2) ((PB)(PC) l1l2) > 0. В предыдущих рассуждениях A, B, C – произвольные точки плоскости. Разобьем по отношению Θ множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости на классы. Если две точки находятся в отношении Θ, то отнесем эти точки в один класс, точки, не находящиеся в отношении Θ, поместим в различные классы. Пусть М – произвольная точка плоскости, а М' – любая точка изотропной прямой, ортогональной к прямой РМ. Тогда ((PМ)(PМ') l1l2) = – 1 < 0. Следовательно, точки М и М' принадлежат различным классам по отношению Θ. Для любой собственной точки Н копсевдоевклидовой плоскости выполняется условие:

((PМ )(PН ) l l )((PН )(РМ ′) l l ) = ((PМ )(РМ ′) l l ) < 0 . 1 2

1 2

1 2

Поэтому для точки Н справедливо одно и только одно из двух условий: Н Θ М, или Н Θ М'. То есть любая собственная точка плоскости принадлежит либо классу, содержащему точку М, либо классу, содержащему точку М'. Таким образом, фактор-множество K2 / Θ содержит два элемента. Каждый элемент назовем абсолютным углом копсевдоевклидовой плоскости. Если на копсевдоевклидовой плоскости задан некоторый канонический репер R, то абсолютный угол, содержащий первую координатную вершину, будем называть первым абсолютным углом относительно репера R, другой абсолютный угол – вторым абсолютным углом относительно репера R. Пусть в данном каноническом репере R={A1, A2, A3, E} некоторая точка копсевдоевклидовой плоскости задана своими координатами: M (m1 : m2 : m3). По определению точка M принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, если 113

(( PM )(PA ) l l ) > 0 ((( PM )( PA ) l l ) < 0). 1

1 2

1

1 2

В координатах последние неравенства имеют соответственно вид:

m12 − m22 > 0

(m

2 1

)

− m22 < 0 .

(4)

1.2 Преобразование координат точек копсевдоевклидовой плоскости. Согласование и ориентация копсевдоевклидовой плоскости 1. Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – канонические реперы копсевдоевклидовой плоскости, и вершины репера R' в репере R имеют координаты:

A1′ (a11 : a 21 : a31 ), A2′ (a12 : a 22 : a32 ), A3′ (a13 : a 23 : a33 ), E ′(a10 : a 20 : a30 ) . Выразим координаты (x1: x2: x3) произвольной точки X плоскости в репере R через ее координаты (x'1: x'2: x'3) в репере R'. Предположим, что столбцы матрицы

⎛ а11 а12 а13 а10 ⎞ ⎜ ⎟ а а а а ⎜ 21 22 23 20 ⎟ ⎜а ⎟ ⎝ 31 а32 а33 а30 ⎠

(5)

перехода от репера R к реперу R' согласованы [2, стр.19]. Учитывая свойства канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости (п. 2, §1), найдем условия, связывающие коэффициенты матрицы (5). Третья вершина каждого канонического репера совпадает с общей точкой абсолютных прямых, то есть одна и та же для всех канонических реперов. Следовательно, в матрице (5) а13 = а23 = 0. Единичные точки каждой неизотропной координатной прямой принадлежат прямым абсолюта. Поэтому координаты точек Е'12 = А'1 + А'2, Е'21 = А'1 – А'2 репера R' удовлетворяют одному из уравнений (1). Следовательно, имеют место равенства:

а11 + a12 = ε (а21 + а22 ), а11 − а12 = −ε (a21 − а22 ), ε = ±1. Таким образом, коэффициенты матрицы (5) связаны условиями:

a21 = εа12 , а22 = εa11 , а13 = а23 = 0, ε = ±1.

(6)

При условиях (6) вершины репера R' в репере R имеют координаты:

A1′(a11 : εa12 : a31 ), A2′ (a12 : εa11 : a32 ), A3′ (0 : 0 : а33 ), E ′(a10 : a20 : a30 ) , (7) в силу согласованности столбцов матрицы (5) связанные условиями: 114

а11 + a12 = а10 , ε (а11 + а12 ) = а20 , а31 + а32 + а33 = а30 .

(8)

Следовательно, формулы преобразования проективных координат точек копсевдоевклидовой плоскости при переходе от репера R к реперу R' имеют вид:

⎧ ρ x1 = a11 x1′ + a12 x′2 , ⎪ ⎨ ρ x2 = εa12 x1′ + εa11 x′2 , ⎪ρ x = a x′ + a x′ + a x′ . 31 1 32 2 33 3 ⎩ 3

(9)

2. Пусть W – множество всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости, а R и R' – произвольные реперы из W, причем вершины репера R' в репере R имеют координаты (7) при условиях (8). Вершины А'1, А'2 репера R' не принадлежат абсолюту, значит, их координаты в любом каноническом репере, в частности, в репере R не удовлетворяют уравнениям (1), поэтому а112 − а122 ≠ 0 . Для действительного числа ∆ = а112 − а122 остаются возможными два варианта: 1) ∆ > 0 ; 2) ∆ < 0 . Неравенства из 1), 2) определяют взаимное расположение вершин А1, А'1 реперов соответственно R и R' относительно абсолютных углов. Действительно, если Р – общая точка абсолютных прямых, то

а11 + а12 а112 − а122 ∆ (( PА1 )(PA1′) l1l2 ) = а − а = . = 2 2 ( ) ( ) а а а а − − 11 12 11 12 11 12

(10)

Поэтому неравенство ∆ > 0 ( ∆ < 0 ) означает, что вершины А1, А'1 принадлежат одному абсолютному углу (различным абсолютным углам). То есть при ∆ > 0 ( ∆ < 0 ) порядок следования абсолютных углов относительно реперов R и R' один и тот же (различный). Указанный геометрический смысл неравенств из 1), 2) обеспечивает их инвариантность относительно всех копсевдоевклидовых преобразований. Если ∆ > 0 , реперы R и R' назовем согласованными и будем говорить, что они находятся в отношении Ŝ. Обозначение: R Ŝ R'. В противном случае, при ∆ < 0 , реперы R и R' назовем несогласованными. Геометрический смысл неравенства ∆ > 0 , очевидно, приводит к утверждению: отношение Ŝ является отношением эквивалентности на множестве W. Приведем и аналитическое доказательство данного утверждения. 1. Ŝ – рефлексивно. Действительно, первая вершина репера R имеет в этом репере координаты: А1(1:0:0). Поэтому в формулах (9) перехода от репера R к самому себе:

а12 = 0, а11 ≠ 0. 2 2 Следовательно, ∆ = а11 − а12 > 0 и R Ŝ R.

115

2. Ŝ – симметрично. Действительно, из формул (9) так как ∆ ≠ 0 находим

⎧ x1′ εa11 x1 a12 x 2 ⎪⎪ ρ = ε ∆ − ε ∆ , ⎨ x ′ − εa x a x 12 1 ⎪ 2 = + 11 2 . ⎪⎩ ρ ε∆ ε∆ ′ : a′21 : a31 ′ ), (a12 ′ : a22 ′ : a32 ′ ) соответственно вершин Следовательно, для координат (a11 А1, А2 репера R в репере R' имеет место равенство: 2

2

1 ⎛а ⎞ ⎛а ⎞ а ′ − а ′ = ⎜ 11 ⎟ − ⎜ 12 ⎟ = . ∆ ⎝ ε∆ ⎠ ⎝ ∆ ⎠ 2 11

2 12

′ 2 − а12 ′ 2 > 0 . Таким образом, если R Ŝ R', то R' Ŝ R. Очевидно, если ∆ > 0 , то ∆ ′ = а11 3. Ŝ – транзитивно. Действительно, если формулы перехода от репера R к реперу R' имеют вид (9), от репера R' к реперу R'' – вид:

⎧ ρ x1′ = b11 x1′′ + b12 x2′′, ⎪ ⎨ ρ x2′ = εb12 x1′′ + εb11 x2′′, ⎪ρ x′ = b x′′ + b x′′ + b x′′, ⎩ 3 31 1 32 2 33 3

(∗)

а от репера R к реперу R'' – вид:

⎧ ρρ x1 = c11 x1′′ + c12 x2′′, ⎪ ⎨ ρρ x2 = εc12 x1′′ + εc11 x2′′, ⎪ρρ x = c x′′ + c x′′ + c x′′, 3 31 1 32 2 33 3 ⎩

(∗∗)

то, подставляя значения координат (x'1: x'2: x'3) из формул (∗) в формулы (9) и сравнивая полученный результат с формулами (∗∗), приходим к равенству:

с112 − с122 = (a11b11 + ε a12 b12 ) − (a11b12 + ε a12 b11 ) = 2

(

2

)(

)

= a112 − a122 b112 − b122 . Если а11 − а12 > 0 и b11 − b12 > 0 , то c11 − c12 > 0 . Следовательно, если R Ŝ R' и R' Ŝ R'', то R Ŝ R''. Что и требовалось доказать. 2

2

2

2

2

2

Множество W всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости разобьем на классы по отношению Ŝ таким образом, чтобы любые два репера одного класса находились в отношении Ŝ, а любые два репера различных классов были несогласованными. Покажем, что фактормножество W / Ŝ состоит из двух элементов. Выберем из W два репера: R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A2, A1, A3, E}. По свойству 2 (п. 2, §1) канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости точки А1, А2, первые вершины реперов R и R' соответственно, принадлежат 116

различным абсолютным углам. Поэтому реперы R и R' определяют различные элементы фактор-множества W / Ŝ. Первая вершина произвольного репера R'' из W принадлежит одному из двух абсолютных углов, то есть принадлежит одному абсолютному углу с одной и только одной из точек А1, А2. Это означает, что каждый репер из W попадает в класс, определенный или репером R, или репером R'. Таким образом, существует точно два элемента фактор-множества W / Ŝ. Каждый элемент фактор-множества W / Ŝ назовем согласованием множества W всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости. Одно из согласований множества W, произвольно выбранное, назовем положительным, другое – отрицательным. Все реперы положительного согласования назовем правосогласованными, а реперы отрицательного согласования – левосогласованными. Копсевдоевклидову плоскость K2 назовем согласованной, если на множестве W указано согласование, которое будем считать положительным. Чтобы задать положительное согласование множества W достаточно выбрать в качестве правосогласованного произвольный репер этого множества. 3. Будем говорить, что произвольные реперы R и R' из множества W всех канонических реперов копсевдоевклидовой плоскости находятся в отношении ∆ и называть их одинаково ориентированными, если в формулах (9) перехода от репера R к реперу R' ε = 1. Обозначение: R ∆ R'. Как и на коевклидовой плоскости (гл. 2, ч. 1) геометрический смысл отношения ∆ заключается в следующем: одинаково ориентированные реперы R и R' из W имеют один и тот же порядок следования абсолютных прямых. Очевидно, что отношение ∆ рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве W. Множество W разобьем на классы эквивалентности по отношению ∆. Покажем, что фактор-множество W / ∆ содержит точно два элемента. Выберем из множества W два репера: R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A1, A2, A3, E'}, где Е' = А1 – А2 + А3. Вершины репера R' в репере R заданы координатами:

A1 (1:0:0), A2 (0:1:0), A3 (0:0:1), E' (1: –1:1). Матрица перехода от репера R к реперу R'

⎛1 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 − 1⎟ ⎜0 0 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ после согласования ее столбцов принимает вид:

117

(11)

⎛1 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 0 − 1⎟ . ⎜0 0 1 1 ⎟ ⎝ ⎠

(12)

В соответствующих формулах перехода от репера R к реперу R' ε = –1. Следовательно, реперы R и R' определяют различные элементы фактормножества W / ∆, то есть в реперах R и R' различный порядок следования абсолютных прямых. Абсолют копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух прямых, поэтому порядок их следования в произвольном репере R'' из W совпадает с порядком следования этих прямых либо в репере R, либо в репере R'. Таким образом, каждый репер из W попадает в класс, определенный или репером R, или репером R'. То есть на множестве W существует точно два класса эквивалентности по отношению ∆. Каждый элемент фактор-множества W / ∆ назовем ориентацией множества W. Одну, произвольно выбранную, ориентацию множества W назовем положительной, другую – отрицательной. Все реперы положительной ориентации назовем правыми, а реперы отрицательной ориентации – левыми. Копсевдоевклидову плоскость K2 назовем ориентированной, если на множестве W задана положительная ориентация. Задать положительную ориентацию можно, считая правым произвольно выбранный канонический репер.∗ Каждое преобразование группы Q первого (второго) рода не изменяет (изменяет) ориентацию плоскости. 1.3 Типы прямых копсевдоевклидовой плоскости. Инвариант двух точек неизотропной прямой 1. Все действительные прямые копсевдоевклидовой плоскости (рис. 24) либо проходят через общую точку P абсолютных прямых, такие прямые будем называть изотропными, либо не содержат точку Р и, следовательно, имеют две бесконечно удаленные точки, назовем их неизотропными. В принятой терминологии [8, стр. 155] K2 • неизотропные прямые копсевдоевклиl1 P K1 довой плоскости – гиперболические, изотропные – параболические, или B a l2 аффинные. A b Свойство прямой быть изотропной (неизотропной), очевидно, является Рис. 24 инвариантным относительно всех копсевдоевклидовых преобразований. ∗

Далее копсевдоевклидову плоскость будем считать ориентированной.

118

Для изотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости в силу наличия одной бесконечно удалённой точки P и соответствующего выбора канонического репера справедливы все рассуждения, проведенные для изотропных прямых плоскости коевклидовой (§4, глава 1, часть I). Через каждую точку копсевдоевклидовой плоскости проходит одна и только одна изотропная прямая. Причем любые две точки одной изотропной прямой находятся в отношении Θ. Следовательно, каждая изотропная прямая за исключением ее несобственной точки полностью принадлежит одному из двух абсолютных углов. Уравнение изотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости имеет вид:

λ x1 + µ x 2 = 0 ,

(13)

где λ2 + µ2 ≠ 0. Две точки А и В назовем коллинеарными, если они принадлежат одной изотропной прямой. Обозначение: А||B. Условие коллинеарности точек А (а1 : а2 : а3) и В (b1 : b2 : b3), заданных в некотором каноническом репере, в координатах имеет вид:

a1 : a2 = b1 : b2.

(14)

Следовательно, коллинеарность точек равносильна пропорциональности двух первых координат этих точек в некотором каноническом репере. 2. Все неизотропные прямые содержат две несобственные, бесконечно удаленные точки, поэтому каждая неизотропная прямая копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух связных частей, как гипербола евклидовой плоскости. Каждая часть целиком принадлежит одному абсолютному углу. Множество всех точек неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости, принадлежащих одному абсолютному углу, назовем ветвью данной прямой. Если копсевдоевклидова плоскость согласована, то есть абсолютные углы упорядочены, то соответственно принадлежности абсолютному углу ветви будем называть первой или второй. Пусть неизотропная прямая а (рис. 24) пересекает абсолютные прямые l1 и l2 в точках K1 и K2 соответственно. Расстоянием между точками A и B ориентированной копсевдоевклидовой плоскости назовем число |АВ|, определенное формулой

АВ =

1 ln ( ABK 1 K 2 ) . 2

(15)

Расстояние |AB| инвариантно относительно всех копсевдоевклидовых преобразований и не зависит от выбора канонического репера, так как число (AB K1K2) – инвариант группы Q. Сложное отношение четырех точек обладает следующими свойствами: 119

( ABCD ) =

1 , (BACD )

( ABCD ) =

1 , ( ABDC )

поэтому расстояние |AB| зависит от порядка следования и точек (|AB|= –|BA|), и абсолютных прямых, то есть, учтена ориентация плоскости. Для каждой точки С прямой АВ имеет место равенство:

(AB K1K2) = (AС K1K2) (СB K1K2), с учетом которого формула (15) дает:

1 1 ln ( ABK 1 K 2 ) = ln (( ACK 1 K 2 )(CBK 1 K 2 )) = 2 2 1 1 = ln ( ACK 1 K 2 ) + ln (CBK 1 K 2 ) = AC + CB . 2 2

AB =

Следовательно, расстояние между точками обладает свойством аддитивности: для любых трех точек A, B, C одной прямой |AB| = |AC| + |CB|. 3. Выразим расстояние |AB| через однородные координаты точек A (a1: a2: a3) и B (b1: b2: b3) в некотором правом каноническом репере R. Абсолютные прямые l1, l2 в любом каноническом репере имеют уравнения (1), следовательно, точки K1, K2 в репере R можно задать координатами: K1(1:1: k1), K2(1: –1: k2), где k1, k2 – некоторые действительные числа. Учитывая, что две первые координаты точек K1, K2 определяют принадлежность этих точек абсолютным прямым, найдем сложное отношение точек А, В, K1, K2 по первой паре координат данных точек.

a1

( ABK 1K 2 ) =

a2 b1

b2

1 1 −1 1 (a − a2 )(b1 + b2 ) . = 1 a1 a2 b1 b2 (a1 + a2 )(b1 − b2 ) −1 1 1 1

(16)

Гиперкомплексные числа гиперболического типа a1 ± a2, b1 ± b2 в показательной форме имеют вид:

где ρ1 =

a1 + a 2 = ρ 1e α ,

b1 + b 2 = ρ 2 e β ,

a1 − a 2 = ρ 1e −α ,

b1 − b 2 = ρ 2 e − β ,

a12 − a 22 ,

ρ 2 = b12 − b22 и

120

(17)

ch α = sh α =

a1 a −a a2 2 1

2 2

a 12 − a 22

,

ch β =

,

sh β =

b1 b −b b2 2 1

2 2

b12 − b 22

, ,

(18)

chα, shα – гиперболические функции:

e iα − e − iα shα = , 2

e i α + e − iα сhα = , 2 для которых имеет место тождество:

ch 2α − sh 2α = 1 . Из равенств (16), (17) находим:

ρ 1e − α ρ 2 e β ( ABK 1 K 2 ) = α − β = e − 2α e 2 β = e 2 (β −α ) . ρ1e ρ 2 e Подставим это значение в формулу (15). Тогда |AB| =

1 1 2 ( β −α ) ln ( ABK 1 K 2 ) = ln e = β −α . 2 2

Следовательно,

ch AB = ch α ch β − sh α sh β , sh AB = ch α sh β − sh α ch β . Согласно формулам (18)

ch AB =

sh AB =

a1b1 − a 2 b2 ,

a12 − a 22 b12 − b22 a1b2 − a 2 b1 a12 − a 22 b12 − b22

.

(19)

(20)

Мы рассматриваем действительные точки А, В, поэтому сложное отношение четырех точек (AB K1K2) – число действительное. Если точки А и В принадлежат одному абсолютному углу, то, очевидно, 121

( ABK1K 2 ) > 0,

(21)

следовательно, расстояние между точками А и В, определенное по формуле (15), является числом действительным [12, стр. 328]. Условие (21), принадлежности точек А и В одному абсолютному углу, согласно равенству (16) в однородных координатах точек А, В имеет вид:

(a

2 1

)(

)

− a22 b12 − b22 > 0.

(22)

Формулы (19), (20) определяют значения sh |AB|, ch |AB| с точностью до знака, так как с точностью до знака определены однородные координаты точек А и В. Если выполняются условия (21), (22) и расстояние |AB| – действительное число, то правая часть равенства (19), которая по модулю больше, либо равна единице, должна быть числом положительным. Поэтому условимся однородные координаты точек А и В выбирать таким образом, чтобы выполнялось неравенство:

а1b1 − a2b2 > 0.

(23)

Если точки А и В находятся в различных абсолютных углах, то имеют место неравенства

( ABK 1 K 2 ) < 0,

(a

2 1

)(

)

− a22 b12 − b22 < 0.

(24)

Тогда расстояние |АВ|, определенное по формуле (15), является числом мнимым [12, стр. 329]. Таким образом, расстояния между точками неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости являются действительными величинами, если точки принадлежат одному абсолютному углу, и мнимыми, если точки принадлежат различным абсолютным углам копсевдоевклидовой плоскости. Вообще, формула (19) получена для точек неизотропных прямых. Но ее формальное применение для коллинеарных точек А и В, их координаты связаны условием (14), определяет нулевое расстояние между этими точками. С другой стороны, если расстояние между точками А и В равно нулю, то в формуле (19) равна единице правая часть равенства, следовательно, для координат точек А и В выполняется условие коллинеарности (14). Если хотя бы одна из точек А, В бесконечно удалена, то сложное отношение точек А, В, K1, K2 равно нулю. Так как логарифм нуля не определен, не определено и расстояние между точками А и В. Но формальное применение к точкам А, В формулы (19) (координаты бесконечно удаленной точки удовлетворяют уравнению из (1)) дает бесконечно большое значение ch |AB|, а, следовательно, и бесконечно большое значение |AB|. Это соответствует, формально, термину «бесконечно удаленная точка». 122

Точки A и B будем называть ортогональными, если они гармонически сопряжены относительно абсолютных прямых. В принятых для вывода формулы (19) обозначениях для ортогональных точек А и В выполняется условие: (ABK1K2) = (BAK1K2) = –1, или в однородных координатах точек

a1b1 − a2 b2 = 0 . Следовательно,

π

i. Действительно, 2 логарифмической функции [12, стр. 329]:

AB =

|AB|=|BA|=

(25) по

определению

π 1 1 1 1 ln( ABK1 K 2 ) = ln(− 1) = [ln − 1 + i arg(− 1)] = [0 + iπ ] = i. 2 2 2 2 2 π

i – естественная константа измерения расстояний 2 между точками на копсевдоевклидовой плоскости. Итак, на копсевдоевклидовой плоскости существует два типа вещественных прямых: изотропные прямые, расстояния между различными точками которых, формально вычисленные по формуле (19), равны нулю; неизотропные прямые, расстояния между различными точками которых, вычисленные по формуле (19), отличны от нуля и являются числами мнимыми или действительными. Таким образом,

1.4 Взаимное расположение двух прямых

Точка пересечения двух прямых копсевдоевклидовой плоскости либо является собственной точкой плоскости, прямые в этом случае будем называть пересекающимися, либо принадлежит абсолюту, то есть является бесконечно удаленной точкой. Поэтому на копсевдоевклидовой плоскости имеет смысл понятие параллельности прямых, то есть пересечения в бесконечно удаленной точке. В этом смысле все изотропные прямые параллельны. Две неизотропные прямые назовем параллельными, если точка их пересечения принадлежит одной из абсолютных прямых.∗ Очевидно, свойство прямых быть параллельными сохраняется в каждом преобразовании копсевдоевклидовой плоскости. Выполняются следующие утверждения. 1. Через точку, не принадлежащую данной неизотропной прямой, проходят ровно две прямые, параллельные данной прямой.

∗

Термин «параллельные» будем применять только к неизотропным параллельным прямым.

123

2. Для каждой неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости существует два однопараметрических семейства параллельных ей прямых. Каждое семейство представляет собой пучок прямых с центром в одной из двух несобственных точек данной прямой. Две прямые ориентированной копсевдоевклидовой плоскости будем называть 1- параллельными (2 - параллельными), если точка их пересечения принадлежит первой (второй) прямой абсолюта. 1.5 Квадранты копсевдоевклидовой плоскости 1. Покажем, что любая неизотропная прямая l разбивает множество всех точек каждого абсолютного угла на два непустых непересекающихся множества. Пусть K1, K2 – точки пресечения прямой l с прямыми l1, l2 абсолюта. Рассмотрим точки A, B, принадлежащие абсолютному углу Г1 (рис. 25). Точки пересечения прямой AP с прямыми Ki B, i = 1, 2, и l обозначим соответственно Bi, L.

Р N А2

В1 А

l2

B2 L

K2

C2

В

T C1

l1 C

M

K1 H

А'

F2

F

F1 Рис. 25

Будем говорить, что точки A и B абсолютного угла Г1 находятся в отношении ~, порожденном прямой l (обозначение: l~(A, B)), если точки A, Bi не разделяют пару точек P, L В определении точки B1, B2 (K1, K2) равноправны. Действительно, применяя свойства сложного отношения четырех точек прямой и сложного отношения четырех прямых пучка, получим цепочку равенств:

(AB1 PL) = ((K2 A)(K2 B1) l2l) = ((K2 T)(K2 B1) l2l) = (TB1 NK1) = ((PT)(PB1) l2l1) = (ML K2 K1), 124

где T, N, М – точки пересечения прямых K2А и K1B, l2 и K1B, РТ и l соответственно. Поэтому если (AB1 PL) > 0, то

(ML K2K1) > 0.

(26)

Но точки А, В принадлежат одному абсолютному углу, следовательно,

((PA)(PB) l2l1) = (LH K2K1) > 0,

(27)

где H – точка пересечения прямых l и РВ. Из условий (26), (27) получаем

(MH K2K1) = (ML K2K1)(LH K2K1) > 0, следовательно,

(AB2 PL) = ((K2 T)(K2 B) l2l) = (TB NK1) = (MH K2K1) > 0. Таким образом, если точки A, B1 не разделяют пару точек P, L, то и точки A, B2 не разделяют эту пару. Следовательно, отношение ∼ не зависит от порядка следования абсолютных прямых. Покажем, что отношение ~ является отношением эквивалентности на множестве всех точек абсолютного угла Г1. Пусть М, А, В, С – произвольные точки угла Г1. 1. Отношение ~ рефлексивно: l~(М, М), так как

(ММ1 PL) = (ММ PL) = 1 > 0, где М1 – точка пересечения прямых МP и K1М. 2. Если l~(A, B), то l~(B, А). Действительно, по определению условие l~(A, B) означает, что точки A, B2 не разделяют пару точек P, L (рис. 25), то есть (AB2 PL) > 0. Но

(AB2 PL) = ((K2 A)(K2 B2) l2l1) = (A2B PH). Следовательно, пара точек A2, B не разделяет пару точек P, H, то есть согласно определению отношения ~ выполняется условие l~(B, А). Таким образом, отношение ~ симметрично. 3. Если l~(A, B) и l~(В, C), то l~(A, C). В обозначениях рисунка 25 условия l~(A, B) и l~(В, C) равносильны соответственно неравенствам:

(AB1 PL) > 0 и (ВС1 PH) > 0. Последнее неравенство дает:

(ВС1 PH) = ((K1В)(K1С1) l1 l) = (В1С2 PL) > 0. Поэтому

(АС2 PL) = (AB1 PL)(В1С2 PL) > 0. 125

Следовательно, точки А, С2 не разделяют пару точек P, L, то есть имеет место условие l~(A, C). Отношение ~ транзитивно. Пусть A некоторая точка заданного абсолютного угла, а l – данная прямая. На прямой АР построим точку А', гармонически разделяющую с точкой А пару точек Р и L, где L – точка пересечения прямых l и АР. Тогда для каждой точки X1 прямой АР выполняется и притом только одно из неравенств: (AX1 PL) > 0, или (A'X1 PL) > 0. Следовательно, для каждой точки X данного абсолютного угла, не принадлежащей прямой l, выполняется и притом только одно из условий: l~(A, X), или l~(А', X) (для точек В, С, F на рисунке 25 выполняются условия: l~(A, В), l~(A, С), l~(A', F)). Таким образом, прямая l разбивает по отношению ~ множество всех точек заданного абсолютного угла на два непустых непересекающихся класса. Каждый класс назовем квадрантом, определенным данной прямой l (или квадрантом относительно прямой l). Очевидно, каждая неизотропная прямая делит всю копсевдоевклидову плоскость на четыре квадранта. 2. Получим аналитическую запись условия принадлежности двух точек плоскости одному квадранту относительно некоторой прямой. Пусть неизотропная прямая l задана в каноническом репере R уравнением:

u1 x1 + u 2 x 2 + u 3 x3 = 0.

(28)

Точка пересечения прямых l и l1 имеет координаты: K1(–u3 : –u3 : u1+u2). Данным точкам А, В в репере R присвоим координаты: A (a1 : a2 : a3), B (b1 : b2 : b3). Тогда уравнение прямой K1B имеет вид:

x1 (− u1b2 − u2b2 − u3b3 ) + x2 (u1b1 + u2b1 + u3b3 ) + x3u3 (b1 − b2 ) = 0.

(29)

Точки L и В1 пересечения прямой АР с прямыми l и K1B соответственно имеют в репере R координаты:

L(− a1u 3 : − a 2 u 3 : a1u1 + a 2 u 2 ), B1 (a1u3 (b2 − b1 ) : a2u3 (b2 − b1 ) : a2 (u1b1 + u2b1 + u3b3 ) − a1 (u1b2 + u2b2 + u3b3 )). Условие принадлежности точек A и B одному квадранту относительно прямой l имеет вид: (АB1 LP) > 0, или в координатах:

(b1 − b2 )(a1u1 + a2u2 + a3u3 ) > 0. (a1 − a2 )(b1u1 + b2u2 + b3u3 )

(30)

Отметим, что по условию точки А и В принадлежат одному абсолютному углу, следовательно, их координаты связаны условием (22). 126

1.6 Лучи и отрезки неизотропной прямой 1. Пусть K1, K2 – точки пересечения неизотропной прямой t с абсолютными прямыми l1, l2. Можно показать, что каждая точка А некоторой ветви γ прямой t разделяет множество всех точек этой ветви на два класса (рис. 26)∗. Одному классу принадлежат точки, попарно не разделяющие никакую из пар точек Ki, А, i = 1, 2. Каждый класс назовем лучом с началом в точке A. Обозначение: АK1, AK2. 2. На некоторой ветви γ неизотропной прямой t выберем произвольно пару точек А, В. На прямой t найдется единственная пара ортогональных точек S, S0, гармонически разделяющих пару точек A и B (рис. 26). Точки S, S0 ортогональны, то есть (SS0 K1 K2) = –1 < 0, поэтому одна и только одна из них принадлежит ветви γ, обозначим ее S, вторую точку обозначим S0. Точки А, В и множество всех точек ветви γ, не разделяющих с точкой S • пару А, В, назовем отрезком АВ. Точки K1 • γ S0 А и В назовем концами отрезка АВ, • K2 точку S – серединой отрезка АВ, а точку S0 – квазисерединой отрезка АВ. Длиной отрезка АВ назовем • B(A) S A(B) • модуль расстояния |AB| между концами • отрезка, определенного формулой (15). Рис. 26 Концы отрезка по определению принадлежат одному абсолютному углу, поэтому для них справедливо неравенство (21), тогда согласно формуле (15) длина отрезка – число действительное. Пусть X, Y – некоторые точки отрезка АВ, по определению:

(XS AB) > 0 и (YS AB) > 0. Тогда

(XY AB) = (XS AB)(SY AB) = (XS AB):(YS AB) > 0. Следовательно, любая пара точек отрезка не разделяет его концы. Рассмотрим множество Ŋ всех точек ветви γ, не принадлежащих отрезку АВ. Пусть U, V – любые точки из Ŋ. Тогда

(US AB) < 0 и (VS AB) < 0, следовательно,

(UV AB) = (US AB)(SV AB) = (US AB):(VS AB) > 0. То есть любые две точки множества Ŋ не разделяют концы отрезка АВ. ∗

Рисунок 26 для наглядности выполнен с учетом замкнутости проективной прямой t, ветвь γ изображена дугой K1ABK2.

127

Если K1, K2 – точки пересечения прямой t прямыми абсолюта, то, учитывая принадлежность точек U, V одной ветви γ, получаем неравенство:

(UV K1 K2) > 0.

(31)

Пусть пара точек U, V разделяет пару точек K1, A, то есть (UV K1 A) < 0, тогда при выполнении неравенства (31) получаем:

(UV K2 A) = (UV K2 K1)(UV K1 A) < 0, (UV K1 B) = (UV K1 A)(UV AB) < 0, (UV K2 B) = (UV K2 A)(UV AB) < 0. Следовательно, если пара точек U, V разделяет хотя бы одну из пар точек Ki, A; Ki, B, i = 1, 2, то она разделяет и любую другую из этих пар. Будем говорить, что точки U, V множества Ŋ находятся в отношении ọ, если пара точек U, V не разделяет пару точек K1, A. Обозначение: U ọ V. Отношение ọ, очевидно, является отношением эквивалентности. Разделим по отношению ọ все точки множества Ŋ на классы. Если две точки находятся в отношении ọ, то отнесем эти точки к одному классу. Если точки не находятся в отношении ọ, отнесем их к различным классам. Покажем, что фактор-множество Ŋ / ọ содержит точно два элемента. Пусть в проективном репере R0 = {A, K1, B} прямой t точки K2, U, W имеют координаты: K2 (k : 1), U (u : 1), W (–u : 1), где k и u – решения совместной системы неравенств: k < 1, u < 1, u(u – k) > 0, u2 – k2 > 0. Тогда для точек A, B, K1, K2, U, W выполняются условия:

(AB K1K2) = 1 – k > 0,

(32)

то есть точки А и В принадлежат одной ветви γ прямой t, определенной точками K1, K2, и

(UA K1K2) = u : (u – k) > 0, (WU K1K2) = (u + k):(u – k) > 0, (33) то есть точки U, W также принадлежат ветви γ. Из условий

(SS0 K1K2) = –1, (SS0 АB) = –1, (АSK1K2) > 0 находим единственную точку S ( 1 + 1 − k : 1 ) – середину отрезка АВ. Так как справедливы неравенства:

(SUАB) < 0 и (SWАB) < 0, то точки U, W принадлежат множеству Ŋ, и так как

(UW K1A) < 0,

128

(34)

эти точки принадлежат различным классам по отношению ọ. Следовательно, фактор-множество Ŋ / ọ содержит не менее двух элементов. Для каждой точки F прямой t выполняется условие:

(FW K1A) = (FU K1A)(UW K1A). Согласно неравенству (34) выражения (FW K1A) и (FU K1A) имеют разные знаки, то есть либо (FW K1A) > 0, либо (FU K1A) > 0. Поэтому каждая точка множества Ŋ попадает либо в класс, содержащий точку W, либо в класс, содержащий точку U. Следовательно, множество Ŋ разбито по отношению ọ точно на два класса. Что и требовалось доказать. Таким образом, каждые две точки А и В одной ветви неизотропной прямой разделяют ветвь на три части: отрезок АВ; два луча с началами в точках А и В, причем ни один из лучей не содержит точек отрезка АВ. 3. Получим формулы для вычисления координат точки S, середины неизотропного отрезка АВ. Пусть в некотором каноническом репере заданы точки A (a1 : a2 : a3), B (b1 : b2 : b3) и точки K1 (1:1: k1), K2 (1: –1: k2) пересечения неизотропной прямой АВ с абсолютными прямыми l1, l2. Согласно неравенству (22) условие принадлежности точек А, В одной ветви γ прямой АВ имеет вид:

(

)(

)

∆ = a12 − a22 b12 − b22 > 0 .

(35)

Ортогональным точкам S, S0, учитывая условие (25), присвоим однородные координаты: S (s1 : s2 : s), S0 (s2 : s1 : s0). Гармоническая сопряженность пар точек A, B и S, S0 приводит к уравнению относительно координат s1, s2:

s12 (a1b2 + a2b1 ) − 2 s1s2 (a1b1 + a2b2 ) + s22 (a1b2 + a2b1 ) = 0.

(36)

Решения квадратного уравнения (36) определяют зависимость между двумя первыми координатами точек S, S0:

⎛ s1 ⎜⎜ ⎝ s2

(

)(

)

a1b1 + a 2 b2 ± a12 − a 22 b12 − b22 ⎞ ⎟⎟ = . a b + a b 1 2 2 1 ⎠1, 2

(37)

Подкоренное выражение в равенствах (37) согласно условию (35) больше нуля, следовательно, равенства (37) определяют два действительных отношения s1 : s2. Принадлежность точки S прямой АВ дает:

a1

a2

a3

b1

b2

b3 = 0.

s1

s2

s3 129

(38)

Из условий (37), (38) находим координаты точек S, S0:

((a1b2 − a2b1 )(a1b1 + a2b2 ±

(a b

2 2 1 2

(

)

(

)

∆ :

)

− a22b12 :

(39)

)

b2b3 a12 − a22 − a2 a3 b12 − b22 ± ∆ (a3b2 − a2b3 )), где значение ∆ определено условием (35). По определению середины отрезка для точки S выберем те координаты, при которых S принадлежит ветви γ, то есть при которых выполняется условие

(SAK1K2) > 0, равносильное неравенству:

∆ ± (a1b1 + a 2 b2 ) > 0. Итак, координаты середины отрезка определены условиями (39), (35), (40).

АВ

(40) неизотропной

прямой

4. Пусть неизотропная прямая t пересекает абсолютные прямые в точках K1, K2, а точки А и В прямой t принадлежат различным абсолютным углам. Очевидно, что точки А и В разбивают множество всех точек прямой t на два класса Ŋ1, Ŋ2, каждый из которых содержит одну из точек K1, K2. Класс Ŋi, i = 1, 2, содержит все такие точки X прямой t, для которых выполняется условие: (XKi AВ) > 0. Назовем каждый класс Ŋ1, Ŋ2 квазиотрезком АВ, или соответственно принадлежности точки K1 (K2) – квазиотрезком АK1В (АK2В), а точки А и В – концами квазиотрезка АK1В (АK2В). Каждый квазиотрезок АK1В (АK2В), очевидно, состоит из двух лучей различных ветвей прямой t с началами в точках А, В и общей бесконечно удаленной точкой. Квазиотрезки АK1В и АK2В назовем смежными. Точки S1, S2, гармонически разделяющие пары точек K1, K2 и А, В, назовем серединами квазиотрезка АK1В (АK2В). Если точки А и В в некотором каноническом репере заданы координатами: A (a1 : a2 : a3), B (b1 : b2 : b3), то условие (39) определяет координаты середин квазиотрезка АK1В (АK2В). Так как точки А и В принадлежат различным абсолютным углам, то значение ∆, определенное равенством из (35), согласно неравенству (24) меньше нуля, следовательно, середины квазиотрезка – точки мнимые. Так как мнимые части координат (39) отличаются только знаком, то середины квазиотрезка – мнимо сопряженные точки.

130

1.7 Лучи и отрезки изотропной прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой 10. Каждая точка А изотропной прямой разделяет множество всех точек этой прямой на два класса. Любые две точки одного класса не разделяют пару точек А и Р. Каждый класс назовем лучом с началом в данной точке А. 20. Любые две точки А и В изотропной прямой разделяют множество всех точек этой прямой на три класса: отрезок АВ; два луча АР и ВР. Точки А, В и множество всех точек X, разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару коллинеарных точек A, B, назовём отрезком AB изотропной прямой, или изотропным отрезком АВ. Точки A и B назовём концами этого отрезка. Пусть A, B, C – три различные точки изотропной прямой. Число –(ABCP), инвариантное относительно фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости, назовём простым отношением трёх точек A, B, C изотропной прямой. Обозначение: (АВ,С). Если (AB,C) = t, то будем говорить, что точка C делит изотропный отрезок AB в отношении t. Если точка C принадлежит изотропному отрезку AB, то есть разделяет с точкой P пару точек A, B, то, очевидно, t больше нуля. Найдём формулы деления отрезка изотропной прямой в данном отношении t. Точки A, B, C лежат на одной изотропной прямой, поэтому согласно равенству (14) отношения двух первых координат этих точек равны. Зададим точки A, B, C в некотором каноническом репере R координатами: A (µ : λ : a), B (µ : λ : b), C (µ : λ : c). Учитывая, что (AB,C) = t, получаем

( ABCP ) = c − a = −t. c−b

Выразим c через a, b и t:

c=

a + bt . 1+ t

(41)

Серединой изотропного отрезка AB назовём точку, которая с бесконечно удаленной точкой P гармонически разделяет пару A, B. Если C – середина отрезка AB, то формула (41) принимает вид:

c=

a+b . 2

(42)

Заметим, что в применяемых канонических реперах коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей общая точка прямых абсолюта имеет одни и те же координаты, поэтому формулы (41), (42) полностью совпадают с формулами (12), (13) §4 главы 1 первой части пособия. 131

1.8 Инвариант двух изотропных прямых. Изотропная полоса

На копсевдоевклидовой плоскости с помощью абсолюта, без использования вспомогательных единиц измерения, можно ввести гиперболическое измерение углов между изотропными прямыми. Расстоянием между изотропными прямыми a и b назовем число δab:

δ ab =

1 ln (abl 1l 2 ) , 2

(43)

где l1 и l2 – абсолютные прямые. Очевидно, расстояние между любыми точками A, B изотропных прямых a и b соответственно равно расстоянию между прямыми a, b: |АВ| = δab. На основании равенства (43) по аналогии с выводом формул (19), (23), получим формулу, выражающую расстояние δab через однородные координаты изотропных прямых a (a1: a2:0) и b (b1: b2:0):

chδ ab =

a1b1 − a2b2 a −a 2 1

b −b

2 2

2 1

2 2

, где a1b1 − a2b2 > 0.

(44)

Прямые a и b принадлежат одному абсолютному углу, если они не разделяют прямые абсолюта, в этом случае их однородные координаты удовлетворяют условию:

(a

2 1

)(

)

− a 22 b12 − b22 > 0.

(45)

Две изотропные прямые a и b назовем перпендикулярными (или ортогональными), если они гармонически разделяют прямые абсолюта. Для перпендикулярных прямых а и b

δ ab =

π 1 ln (− 1 ) = i, 2 2

итак, πi / 2 – имманентная величина измерения в пучке изотропных прямых. В координатах условие ортогональности изотропных прямых a (a1: a2:0) и b (b1: b2:0) в каноническом репере имеет вид:

a1b1 − a2b2 = 0.

(46)

Изотропной полосой аb назовем множество всех изотропных прямых, пересекающих некоторый отрезок АВ с концами на изотропных прямых а, b. Определение изотропной полосы не зависит от выбора отрезка АВ [2, стр.32]. Точку X назовем внутренней точкой изотропной полосы ab, если изотропная прямая XP принадлежит полосе ab. Изотропную прямую, содержащую середину отрезка АВ, назовем биссектрисой изотропной полосы ab. 132

1.9 Инвариант трёх неизотропных прямых пучка

Пусть Р – общая точка абсолютных прямых, a и b – неизотропные прямые, пересекающиеся в точке S. Прямые а, b и множество всех прямых пучка с центром в точке S, разделяющих с прямой SP пару a, b, назовем углом со сторонами a, b, если прямые a и b не параллельны, и полосой со сторонами a, b, если прямые a и b параллельны. Будем говорить, что угол ab образован прямыми a и b (полоса ab P образована прямыми a и b). Точку S назовем вершиной угла (полосы) ab. a Очевидно, вершина угла – собственная k А точка плоскости, вершина полосы – бесконечно удаленная. c С Множество всех прямых пучка с S b центром в точке S, не принадлежащих углу (полосе) ab, назовем дополнением В l угла (полосы) ab. Рис. 27 Точку М будем называть внутренней точкой угла (полосы) ab с вершиной S, если прямая MS принадлежит углу (полосе) ab. Если прямая MS принадлежит дополнению угла (полосы) ab, точку М будем называть внешней точкой угла (полосы) ab. Множество всех внешних точек угла (полосы) ab за исключением точек изотропной (абсолютной) прямой SP можно разделить на два непустых непересекающихся класса следующим образом. Для любых двух точек N и K одного класса (различных классов) пара прямых SN и SK не разделяет (разделяет) прямые в парах SP, a и SP, b. Простым отношением трех неизотропных прямых a, b, c пучка с центром в точке S назовем число: –(abck), где k – изотропная или абсолютная прямая SP, инвариантное относительно преобразований группы Q. Если в принятых обозначениях (abck) = – λ, будем говорить, что прямая c делит угол (полосу) ab в отношении λ. Обозначение: (ab,c) = λ. Выберем некоторый канонический репер R и определим зависимость между однородными координатами в репере R прямых a(ai), b(bi), c(ci), i = 1, 2, 3, и числом λ. Проведём изотропную прямую l: x1 = 0 (или x2 = 0), отличную от прямой k. Тогда точки A, B, C (рис. 27) пересечения прямой l с прямыми a, b, c соответственно имеют координаты:

A(0:–a3:a2), B(0:–b3:b2), C(0:–c3:c2), (A(–a3:0:a1), B(–b3:0:b1), C(–c3:0:c1)). Если прямая k не является координатной, то, учитывая равенство (abck) = (ABCP) = –λ, находим выражения для координат прямой с: 133

a2 b ⎛ +λ 2 ⎜ b3 ⎜ c 2 = a3 ⎜ c3 1+ λ ⎜ ⎝

a1 b +λ 1 b3 c1 a3 = 1+ λ c3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

(47)

Если прямая k совпадает с одной из координатных прямых (x1 = 0 или x2 = 0), то, рассуждая аналогично, находим одно из равенств (47). Еще одно равенство получим из первого, учитывая принадлежность прямых a, b, c одному пучку, то есть, учитывая условие:

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 = 0. c3

Прямую q назовём биссектрисой угла (полосы) ab с вершиной S, если она с изотропной (абсолютной) прямой k = SP гармонически разделят пару прямых a, b, то есть если (ab,q) = 1. Из равенств (47) при λ = 1 находим выражение однородных координат (qi), i = 1, 2, 3, биссектрисы q угла (полосы) ab через соответствующие координаты сторон угла (полосы):

q1 = q3

a1 b1 + a3 b3 2

,

q2 = q3

a2 b2 + a3 b3 2

.

(48)

Формулы (47), (48) совпадают с соответствующими формулами (28), (29), полученными для прямых коевклидовой плоскости в §7 главы 1 первой части пособия. A0 B0

l2

P C0

l1

C B

A

a b Рис. 28

c

1.10 Инвариант трёх неизотропных прямых

Пусть в некотором каноническом репере R заданы три неизотропные попарно непараллельные прямые a, b, c, не принадлежащие одному пучку прямых. Определив инвариант прямых a, b, c, мы определим инвариант трех точек A, B, C попарного пересечения этих прямых (рис. 28). Пусть прямые a(ai), b(bi), c(ci), где 134

i = 1, 2, 3, пересекают абсолютную прямую, например, l1, в точках A0, B0, C0 соответственно. Сложное отношение четырёх точек (A0B0C0P) инвариантно относительно всех линейных преобразований копсевдоевклидовой плоскости. Выразим модуль гиперкомплексного числа (A0B0 C0P) гиперболического типа через однородные координаты прямых a, b, c. Точки A0, B0, C0 в репере R имеют координаты:

A0 (–a3: –a3: a1 + a2), B0 (–b3: –b3: b1 + b2), C0 (–c3: –c3: c1 + c2). Поэтому

( A0 B0C0 P ) = b3 (a1c3 − a3c1 + a2 c3 − a3c2 ) = a3 (b1c3 − b3c1 + b2 c3 − b3c2 )

⎛ c1 a1 ⎞ ⎛ c2 a2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ c a3 ⎠ ⎝ c3 a3 ⎠ =⎝ 3 . ⎛ c1 b1 ⎞ ⎛ c2 b2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ c3 b3 ⎠ ⎝ c3 b3 ⎠ Таким образом, если J = |(A0B0C0P)|, то 2

2

⎛ c1 a1 ⎞ ⎛ c2 a2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎜⎜ − ⎟⎟ c a3 ⎠ ⎝ c3 a3 ⎠ J= ⎝ 3 . 2 2 ⎛ c1 b1 ⎞ ⎛ c2 b2 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ c3 b3 ⎠ ⎝ c3 b3 ⎠ Геометрический смысл инварианта J преобразований будет определен в следующей главе.

135

(49)

копсевдоевклидовых

Глава 2. Ковекторы Ковектор на копсевдоевклидовой плоскости определим в полном соответствии с определением ковектора на плоскости коевклидовой. Рассуждения, приведенные в §§1–5 главы 2 первой части пособия, полностью отнесем и к геометрии копсевдоевклидовой плоскости. Различия появляются в определении и свойствах скалярного произведения ковекторов, формулах преобразования координат ковекторов, в определении ортонормированных базисов. Поэтому в данной главе мы сразу перейдем к обозначенным вопросам, отправляя читателя при необходимости к первой части пособия. 2.1 Преобразование координат ковектора 1. Пусть R = {A1, A2, A3, E} и R' = {A'1, A'2, A'3, E'} – канонические реперы ориентированной копсевдоевклидовой плоскости, а преобразование проективных координат точек при переходе от репера R к реперу R' задано формулами (9) §2 главы 1. Найдем формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R'. Пусть ковектор V имеет в репере R координаты (v1; v2), а в репере R' – координаты (v'1; v'2). Прямые а, b, стороны дублета, представляющего ковектор V, зададим в репере R уравнениями:

a : a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0, b : b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0. По формулам (9) §2 главы1 найдем координаты прямых а и b в репере R':

a (a1a11 + εa2a12 + a3a31 : a1a12 + εa2a11 + a3a32 : a3a33 ) ,

(1)

b (b1a11 + εb2 a12 + b3 a31 : b1a12 + εb2 a11 + b3 a32 : b3 a33 ) .

(2)

Дублет ab в репере R' ((5), гл. 2, часть 1) имеет координаты:

⎛ а ⎛ b a ⎞ a ⎛ b a ⎞ a ⎛ b a ⎞ a ⎛ b a ⎞⎞ ab ⎜⎜ 11 ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ + ε 12 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟; 12 ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ + ε 11 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ⎟⎟ . ⎝ а33 ⎝ b3 a3 ⎠ a33 ⎝ b3 a3 ⎠ a33 ⎝ b3 a3 ⎠ a33 ⎝ b3 a3 ⎠ ⎠

_____

(3)

Следовательно, формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R' имеют вид:

a12 ⎧ ′ a11 = + v v ε v2 , ⎪⎪ 1 a 1 a 33 33 ⎨ a a ⎪v2′ = 12 v1 + ε 11 v2 . ⎪⎩ a33 a33 136

(4)

2.2 Скалярное умножение ковекторов

Множество Ψ всех ковекторов копсевдоевклидовой плоскости является двумерным ковекторным пространством (аналогичное доказательство дано для ковекторного пространства коевклидовой плоскости (§5, гл. 2, ч. 1)), множество Ψ назовем ковекторным пространством копсевдоевклидовой 2 2 плоскости. Вырожденная квадратичная форма x1 − x2 , определяющая Г

абсолютную квадрику AП , на ковекторном пространстве Ψ индуцирует билинейную форму φ, которая каждым двум ковекторам, заданным в некотором каноничеком репере R координатами: Х(x1; x2), Y(y1; y2), ставит в соответствие число:

ϕ ( X , Y ) = x1 y1 − x2 y2 . Число ϕ (Х, Y) назовём скалярным произведением ковекторов X, Y и обозначим XY (либо ab*cd при соответствующем задании ковекторов). Можно доказать, что операция скалярного умножения ковекторов обладает следующими свойствами. 10. Для любых двух ковекторов А и В: АВ = ВА. 20. Для любых двух ковекторов А, В и любого действительного числа α: (αА) В = α(АВ). 30. Для любых трёх ковекторов А, В и С: (А + В) C = АС + ВС. Число ХХ назовём скалярным квадратом ковектора X и обозначим: X 2. Модулем ковектора назовём число, равное квадратному корню из скалярного квадрата ковектора: | X | = X 2 . Выразим модуль ковектора, представленного в репере R дублетом с действительными сторонами a(ai), b(bi), i = 1, 2, 3, через однородные координаты сторон представителя: 2

2

⎛b a ⎞ ⎛b a ⎞ X = x − x = ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠ 2 1

2 2

(5)

Вершина K дублета ab имеет в репере R координаты:

K (a 2 b3 − a3b2 : a3b1 − a1b3 : a1b2 − a 2 b1 ) . Возможны следующие случаи расположения точки K. 1 (2). Если точка K принадлежит первому (второму) абсолютному углу, то есть, не разделяет (разделяет) с координатной вершиной A1 абсолютные прямые, то справедливо неравенство:

Λ >0

(Λ

где 137

< 0 ),

(6)

b1 a1 b2 a 2 − + − b3 a 3 b3 a 3 Λ = (( PK )( PA1 ) l1l 2 ) = − . ⎞ ⎛ b1 a1 b a − − ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ b3 a 3 ⎝ b3 a 3 ⎠ Следовательно, подкоренное выражение в равенстве (5) меньше (больше) нуля, и модуль ковектора, представленного дублетом ab , является числом мнимым (действительным). Обратно. Если модуль ковектора, представленного дублетом ab , является мнимым (действительным) числом, то есть подкоренное выражение в равенстве (5) меньше (больше) нуля, то Λ > 0 (Λ < 0). Следовательно, точка K, а, значит и направляющая ковектора, принадлежат в репере R первому (второму) абсолютному углу. 3. Если ковектор представлен дублетом с параллельными сторонами, точка K в этом случае принадлежит одной из абсолютных прямых, и ее координаты удовлетворяют одному из уравнений (1), то подкоренное выражение в равенстве (5) равно нулю. Следовательно, модуль ненулевого ковектора, представленного дублетом с параллельными сторонами, равен нулю. Обратно. Если модуль ненулевого ковектора, представленного дублетом

ab , равен нулю, то

b1 a1 b a − = 2 − 2 . b3 a3 b3 a3

(7)

В этом случае либо числитель, либо знаменатель выражения Λ (6) через однородные координаты прямых a, b равен нулю. То есть точка K принадлежит одной из абсолютных прямых. Следовательно, прямые a и b параллельны. Доказано еще одно свойство скалярного произведения ковекторов. 40. Скалярный квадрат любого ненулевого ковектора положителен (отрицателен) тогда и только тогда, когда направляющая ковектора принадлежит второму (первому) абсолютному углу. Скалярный квадрат ненулевого ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор представлен дублетом с параллельными сторонами. Ненулевой ковектор, модуль которого является числом мнимым (действительным), назовем ковектором первого (второго) типа. Ненулевой ковектор, модуль которого равен нулю, назовем изотропным ковектором. Каждому изотропному ковектору X (x1; x2), где |x1| = |x2|, поставим в соответствие число: ψ (X) = |x1|, которое назовем псевдомодулем изотропного ковектора X. Обозначение:║X║– псевдомодуль изотропного ковектора. 138

Расстоянием между неизотропными ковекторами Х и Y назовём расстояние между направляющими ковекторов Х и Y. Обозначение: |XY|. Найдём выражение расстояния между неизотропными ковекторами через их координаты. Пусть в репере R неизотропные ковекторы Х (x1; x2) и Y (y1; y2), |x1| ≠ |x2|, ____

____

|y1| ≠ |y2|, представлены дублетами ab и cd соответственно, со сторонами a(ai), b(bi), c(ci), d(di), i = 1, 2, 3. Точка M пересечения прямых a и b в репере R имеет координаты:

⎛ a2 b2 b1 a1 a1b2 − a2b1 ⎞ ⎟⎟ , ⎜⎜ − : − : a b b a a b 3 3 3 3 3 ⎠ ⎝ 3

(8)

или согласно определению координат ковектора М (–µx2: µx1: µλ), где µ – ненулевое число. Аналогично, точка N пересечения прямых c и d имеет координаты: N (–νy2: νy1: νρ), ν – ненулевой множитель. По определению расстояние между ковекторами Х, Y равно расстоянию между точками M и N, то есть согласно формуле (19) главы 1 имеем:

ch XY =

± ( x1 y1 − x2 y 2 ) x −x 2 1

2 2

y −y 2 1

2 2

.

(9)

Знак в формуле (9) выберем так, чтобы правая часть равенства была положительной. Тогда расстояние между ковекторами Х, Y является числом действительным (мнимым), если направляющие ковекторов принадлежат одному (различным) абсолютным углам. Непосредственная проверка доказывает справедливость формулы: XY = | X | | Y | ch | XY |.

(10)

Таким образом, скалярное произведение ковекторов равно произведению их модулей на гиперболический косинус расстояния между ними. Ковекторы Х, Y назовём ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. С проективной точки зрения ортогональность ковекторов означает гармоническую сопряженность направляющих ковекторов относительно абсолютных прямых. Расстояние между π ортогональными ковекторами равно i . 2 2.3 Базисы пространства Ψ. Ортонормированные базисы 1. В первой части пособия (§5, гл. 2) было доказано, что каждый ковектор пространства Ψ может быть представлен в виде линейной комбинации двух линейно независимых ковекторов. Причем доказательство не содержало понятий и формул метрического характера. Следовательно, 139

данный факт имеет место и в копсевдоевклидовом ковекторном пространстве Ψ. То есть любые два линейно независимых ковектора пространства Ψ образуют базис этого пространства. В пространстве Ψ существует три типа ковекторов. Покажем, что любые два ненулевых ковектора различных типов линейно независимы. Предположим противное. Пусть данные ненулевые ковекторы А и В линейно зависимы, тогда существует действительное ненулевое число α, для которого имеет место равенство: А = αВ. Тогда

А2 = α2В2, где α2 > 0. По условию данные ковекторы разных типов. Если ковекторы А и В неизотропные, то их скалярные квадраты имеют разные знаки, что противоречит последнему равенству. Если один из ковекторов изотропный, например, А, то левая часть последнего равенства равна нулю, а правая – ненулевая. Полученное противоречие доказывает утверждение. Очевидно, что два изотропных ковектора линейно независимы тогда и только тогда, когда вершины представителей этих ковекторов принадлежат различным прямым абсолюта. И два неизотропных ковектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они имеют различные направляющие. В зависимости от типов ковекторов Е1 и Е2 в базисе будем различать следующие типы базисов пространства Ψ. 1. Изотропный базис. Оба базисных ковектора Е1, Е2 – изотропные, представленные дублетами с вершинами на различных прямых абсолюта. 2 (3). Полуизотропный базис первого (второго) типа. Один из ковекторов Е1, Е2 является изотропным, другой – ковектором первого (второго) типа. 4 (5). Неизотропный базис первого (второго) типа. Оба базисных ковектора первого (второго) типа с различными направляющими. 6. Неизотропный базис. Один из ковекторов Е1, Е2 первого, другой – второго типа. Доказать существование каждого типа базисов можно непосредственно задав базисные ковекторы в некотором каноническом репере копсевдоевклидовой плоскости. В следующем пункте рассмотрим один из неизотропных базисов – ортонормированный базис пространства Ψ. 2. Ортонормированные базисы ковекторного копсевдоевклидова пространства Ψ введем также как и ортонормированные базисы ковекторного пространства Ψ коевклидовой плоскости (§7, гл. 2, ч. 1), учитывая метрику пространства Ψ, определенную формулами (5), (9). Пусть R = {A1, А2, А3, Е} – произвольный репер копсевдоевклидовой плоскости, третья вершина А3 которого является общей точкой Р прямых

140

абсолюта. Дублеты со сторонами А1А2, А2Е и А1А2, А1Е назовем первым и вторым координатными дублетами репера R соответственно. Если R – канонический репер, то в нем координаты ковекторов Е1 и Е2, представленных соответственно первым и вторым координатными дублетами репера R, имеют вид:

E 1 (1;0 ), E 2 (0 ;1). По формулам (9), (5) находим:

Е1 Е 2 =

π i, Е1 = 1, Е 2 = i. 2

Ковекторы Е1 и Е2 линейно независимы, следовательно, образуют базис пространства Ψ. Так как скалярные квадраты ковекторов Е1, Е2 имеют разные знаки, то базис Е1, Е2 – неизотропный. Базис пространства Ψ назовем ортонормированным, если существует канонический репер R копсевдоевклидовой плоскости, координатные дублеты которого представляют ковекторы данного базиса. Каждый канонический репер, координатные дублеты которого представляют ковекторы Е1, Е2 базиса пространства Ψ, будем называть присоединенным к базису Е1, Е2. Во всех канонических реперах копсевдоевклидовой плоскости изотропные координатные оси ортогональны, поэтому в пространстве Ψ, как и в пространстве Ψ (теорема 3, гл. 2, ч. 1), имеет место критерий ортонормированного базиса. Приведем его без доказательства. Базис Е1, Е2 пространства Ψ является ортонормированным тогда и только тогда, когда направляющие ковекторов Е1, Е2 ортогональны. Существование ортогонального базиса следует из существования ортогональных прямых. Справедливо утверждение. Каждый ковектор задан в присоединенном к ортонормированному базису пространства Ψ каноническом репере теми же координатами, что и в самом базисе. 2.3 Ориентация ковекторного пространства

На копсевдоевклидовой плоскости, в отличие от плоскости коевклидовой, имеет место понятие согласованности канонических реперов, поэтому появляются некоторые отличия в ориентации ковекторного пространства Ψ, индуцированной ориентацией и согласованием копсевдоевклидовой плоскости. На ориентированной согласованной копсевдоевклидовой плоскости K2 выберем правый правосогласованный канонический репер R. Ковекторы Е1, Е2 некоторого базиса ковекторного пространства Ψ плоскости K2 зададим в репере R координатами: 141

E1 (е11 ; е12 ), E 2 (е21 ; е22 ).

(11)

Базис Е1, Е2 пространства Ψ назовем правым (левым), если число

е11 е12

Δ=

е21 е22

(12)

больше (меньше) нуля. Покажем, что определение правого (левого) базиса не зависит от выбора правого правосогласованного репера R, то есть, знак числа ∆ сохраняется неизменным при переходе от репера R к любому одинаково ориентированному согласованному с R каноническому реперу. Пусть R' – канонический репер копсевдоевклидовой плоскости. Формулы преобразования координат ковектора при переходе от репера R к реперу R' имеют вид (4). Для координат базисных ковекторов Е1, Е2 (11) формулы (4) имеют вид:

⎧ a11 ′ е = ⎪⎪ 11 a е11 + ε 33 ⎨ a12 ⎪е12 ′ = е11 + ε a33 ⎪⎩

a12 е12 , a33 a11 е12 , a33

а11 ⎧ ′ е = ⎪⎪ 21 а е21 + ε 33 ⎨ а12 ⎪е22 ′ = е21 + ε ⎪⎩ а33

а12 е22 , а33 а 22 е22 . а33

(13)

Число

′ е11 Δ′ = ′ е12

′ е21 ′ е22

(14)

согласно формулам (13) равно

Δ′ =

а а11 е11 + ε 12 е12 а33 а33

а а11 е21 + ε 12 е22 а33 а33

а а12 е11 + ε 11 е12 а33 а33

а12 а е21 + ε 11 е22 а33 а33

а112 − а122 =ε Δ. 2 (15) а33

Равенство (15) показывает, что числа ∆ и ∆' имеют одинаковые (разные) знаки, если выполняется неравенство:

а112 − а122 ε >0 2 а33

⎞ ⎛ a112 − a122 ⎟⎟. ⎜⎜ ε 0 < 2 a 33 ⎠ ⎝

142

(16)

Следовательно, в одинаково ориентированных (ε = 1) согласованных а − а122 > 0 реперах R, R' числа ∆, ∆' одного знака. То есть если базис Е1, Е2 пространства Ψ является правым (левым) в каноническом репере R, то он является правым (левым) в любом одинаково ориентированном согласованном с R каноническом репере. Число ∆ (12) отлично от нуля, так как базисные ковекторы Е1, Е2 линейно независимы, поэтому ∆ или больше, или меньше нуля. Следовательно, каждый базис пространства Ψ является либо правым, либо левым базисом. Таким образом, множество всех базисов ковекторного пространства Ψ копсевдоевклидовой плоскости состоит из двух классов: семейства всех правых и семейства всех левых его базисов. Каждый класс назовем ориентацией ковекторного пространства Ψ. Будем говорить, что переход от канонического репера R к каноническому реперу R' не меняет ориентацию пространства Ψ, если каждый правый (левый) базис в репере R является правым (левым) и в репере R'. Очевидно, что переход от репера R к реперу R' не меняет ориентацию пространства Ψ тогда и только тогда, когда имеет место первое неравенство из (16). Реперы R и R' в этом случае либо одинаково ориентированы и согласованы, либо различно ориентированы и несогласованны. Для задания ориентации пространства Ψ достаточно указать некоторый канонический репер плоскости K2, который будем считать правым, и некоторый канонический репер, который будем считать правосогласованным, либо непосредственно указать правый базис пространства Ψ.

(

2 11

)

2.4 Измерение в пучках неизотропных прямых

На копсевдоевклидовой плоскости как и на коевклидовой не существует проективного инварианта двух неизотропных прямых. Измерение в пучках неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости можно ввести с помощью ковекторов. Отметим, что на копсевдоевклидовой плоскости существует два вида пучков неизотропных прямых: пучки непараллельных прямых с центрами в собственных точках плоскости и пучки параллельных прямых с центрами на абсолютной квадрике. В пучке непараллельных прямых введем измерение гиперболического типа. Каждой паре непараллельных прямых a и b поставим в соответствие ____

число, равное модулю ковектора, представленного дублетом ab , которое назовем мерой угла с неизотропными сторонами a и b. Обозначение: ∠ab – мера угла ab. Два различных угла будем называть равными, если равны меры этих углов. 143

Согласно определению меры угла и формуле (5) для прямых a(ai) и b(bi), i = 1, 2, 3, имеем 2

2

⎛b a ⎞ ⎛b a ⎞ ∠a b = ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠

(17)

Если вершина угла ab принадлежит первому (второму) абсолютному углу, то согласно рассуждениям предыдущего параграфа мера угла – величина мнимая (действительная неотрицательная). Учитывая последнее равенство и формулу (49) главы 1, находим геометрический смысл инварианта J трёх неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости:

J =

∠ ac . ∠ bc

(18)

Таким образом, на копсевдоевклидовой плоскости отношение углов в трехстороннике является инвариантным относительно преобразований фундаментальной группы этой плоскости. В пучке параллельных прямых можно ввести измерение параболического типа. Расстоянием между параллельными прямыми a и b (или шириной полосы ab) назовем число, равное псевдомодулю изотропного ковектора, представленного дублетом ab. Обозначение: |ab| – расстояние между параллельными прямыми a и b, ширина полосы ab. Расстояние между параллельными прямыми a(ai), b(bi), i = 1, 2, 3, можно вычислить по формуле:

ab =

b1 a1 − b3 a3 .

(19)

2.5 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Расстояние между точками изотропной прямой 1. На копсевдоевклидовой плоскости∗ не существует числовой величины, соответствующей паре (точка, неизотропная прямая), инвариантной относительно фундаментальной группы преобразований. Но каждой такой паре можно определенным образом поставить в соответствие действительное число, инвариантное относительно некоторой подгруппы фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости.∗∗ ∗

Как и на евклидовой, псевдоевклидовой, коевклидовой плоскостях. Такой подгруппой группы копсевдоевклидовых преобразований является, например, группа копсевдоевклидовых движений, определим которую в следующей главе. ∗∗

144

Пусть даны точка A и неизотропная прямая m (рис. 29). Р Построим изотропную прямую k, ортогональную изотропной прямой AP. l2 Точку пересечения прямых m и k k l1 обозначим K. Прямая AK, очевидно, A неизотропная. Расстоянием от точки A до неизотропной прямой m назовем меру m K K2 K1 угла между прямыми m и AK. Рис. 29 Обозначение: ρ (A, m). Пусть точка A и прямая m заданы своими однородными координатами в каноническом репере R: A (a1 : a2 : a3), m(m1 : m2 : m3). Тогда уравнения прямых AP и k имеют соответственно вид:

AP : a 2 x1 − a1 x 2 = 0, k : a1 x1 − a 2 x 2 = 0. Следовательно, точка K и прямая AK имеют в репере R однородные координаты:

K (−m3 a2 : −m3 a1 : a1m2 + a2 m1 ) ,

AK ( − a1a2 m2 − a 22 m1 − a1a3 m3 : a2 a3 m3 + a1a2 m1 + a12 m2 : m3 ( a12 − a22 )). Найдем угол между прямыми m и AK: 2

2

⎛ − a22m1 − a1a2m2 − a1a3m3 m1 ⎞ ⎛ a12m2 + a1a2m1 + a2a3m3 m2 ⎞ ∠m( AK) = ⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎜⎜ − ⎟⎟ . 2 2 2 2 m a a m m a a m1 ⎠ − ( ) ( − ) 3⎠ 3 1 2 3 1 2 ⎝ ⎝ После необходимых преобразований подкоренного выражения получаем формулу для определения расстояния от точки А до неизотропной прямой m в каноническом репере:

ρ ( A, m) =

a1m1 + a 2 m2 + a3 m3 m3 a12 − a 22

.

(20)

Если собственная точка А копсевдоевклидовой плоскости принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, то подкоренное выражение в формуле (20) больше (меньше) нуля, следовательно, расстояние от каждой точки первого (второго) абсолютного угла до любой неизотропной прямой – действительная неотрицательная (мнимая) величина, равная нулю тогда и только тогда, когда точка лежит на данной прямой. 145

2. На копсевдоевклидовой плоскости справедливы теоремы 4, 5, доказанные в главе 2 первой части пособия. Приведем лишь формулировки этих теорем, так как их доказательства на плоскости копсевдоевклидовой полностью совпадают с доказательствами на плоскости коевклидовой. Теорема 1. Расстояния от данной точки А до каждой неизотропной прямой пучка с центром в точке B изотропной прямой АР равны. Теорема 2. Расстояние от точки А до произвольной неизотропной прямой, проходящей через точку В, коллинеарную точке А, равно расстоянию от точки В до каждой неизотропной прямой, проходящей через точку А. На основе теорем 1, 2 введем понятие расстояния между коллинеарными точками копсевдоевклидовой плоскости. Расстоянием между точками А и В изотропной прямой назовем расстояние от любой из этих точек до произвольной неизотропной прямой, проходящей через вторую точку. Обозначение: ρ (А, В). Расстояние между коллинеарными точками А и В будем также называть длиной изотропного отрезка АВ. Обозначение: |АВ|. По аналогии с выводом формулы (52) главы 2 части 1 получим формулу для вычисления расстояний между коллинеарными точками, заданными координатами А(а1: а2: а3), B(а1: а2: b3) в произвольном каноническом репере:

ρ ( A, B ) = | AB | =

а3 − b3 a −a 2 1

2 2

.

(21)

Если в заданном каноническом репере R коллинеарные точки А и В принадлежат первому (второму) абсолютному углу, то расстояние между ними в репере R – величина действительная положительная (мнимая). В следующей главе будет доказано, что расстояние между коллинеарными точками является инвариантным относительно группы движений, подгруппы группы копсевдоевклидовых преобразований, которая также будет определена в следующей главе. 2.6 Направляющие косинусы и высота точки в каноническом репере. Проекции ковектора на координатные оси 1. Формула (20) позволяет дать геометрическое толкование проективных координат точек копсевдоевклидовой плоскости. Пусть произвольная точка А копсевдоевклидовой плоскости в каноническом репере R={А1, А2, A3, E} имеет однородные координаты A(a1: a2 : a3), причем a3 > 0. По формуле (19) главы 1 найдем гиперболические косинусы расстояний от точки А до собственных для коевклидовой плоскости координатных вершин A1, А2:

146

a1

ch AA1 =

a −a 2 1

2 2

ia2

, ch AA2 =

a −a 2 1

2 2

.

(22)

Согласно формуле (20)

ρ ( A, A1 A2 ) =

a3 a12 − a22

.

(23)

Таким образом, точку А в репере R можно задать координатами:

A (ch AA1 : −ich AA2 : ρ ( A, A1 A2 )) .

Значения ch|AA1|, ch|AA2|, определенные равенствами (22), будем называть направляющими косинусами точки А в репере R. Заметим, что

ch 2 AA1 + ch 2 AA2 = 1 .

(24)

Расстояние ρ (A, A1A2) от точки А до неизотропной координатной прямой назовем высотой точки А в репере R и обозначим hA. 2. Пусть в каноническом репере R ковектор V представлен дублетом bc со сторонами b(bi), c(ci), i = 1, 2, 3. Обозначим точки пересечения прямых b, c изотропной координатной прямой А1А3 (А2А3) через B1, C1 (B2, C2) соответственно. Изотропный отрезок В1C1 (В2C2) будем называть проекцией ковектора V на координатную прямую А1А3 (А2А3), или первой (второй) проекцией ковектора V в репере R. Обозначение: В1C1 = пр1V, В2C2 = пр2V. Модуль расстояния между точками B1, C1 (B2, C2) назовем модулем первой (второй) проекции ковектора V в репере R. Точки B1, C1 (B2, C2) заданы в репере R соответственно координатами:

B1 (− b3 : 0 : b1 ), C1 (− c3 : 0 : c1 ) (B2 (0 : −b3 : b2 ), C2 (0 : −c3 : c2 )).

Запишем координаты этих точек в виде:

⎛ ⎛ b ⎞ c ⎞ B1 ⎜⎜1 : 0 : − 1 ⎟⎟, C1 ⎜⎜1 : 0 : − 1 ⎟⎟ b3 ⎠ c3 ⎠ ⎝ ⎝

⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞ ⎜ B2 ⎜ 0 : 1 : − b2 ⎟, C2 ⎜ 0 : 1 : − c2 ⎟ ⎟. ⎜ ⎜ ⎜ b3 ⎟⎠ c3 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝

Расстояние между коллинеарными точками B1, C1 (B2, C2), вычисленное по формуле (21), равно

147

B1C1 =

⎛ ⎞ ⎜ B2C2 = −i c2 − b2 ⎟. ⎜ c3 b3 ⎟⎠ ⎝

c1 b1 − c3 b3

(25)

Таким образом, модуль первой (второй) проекции ковектора V в репере R равен модулю первой (второй) координаты этого ковектора в данном репере. Согласно формуле (5) модуль ковектора V равен

V =

пр 1V

2

− пр 2V . 2

(26)

Если прямые b и c параллельны, то есть ковектор V – изотропный, то справедливо равенство: пр 1V = пр 2V . Псевдомодуль изотропного ковектора равен модулю любой его проекции:

V = пр 1V = пр 2V .

(27)

2.7 Метрические соотношения на копсевдоевклидовой плоскости

Следующие теоремы определяют зависимости между введенными в предыдущих параграфах метрическими характеристиками объектов копсевдоевклидовой плоскости. Теорема 3. Две различные Р параллельные прямые образуют неравные углы с любой K непараллельной им неизотропной l2 (l1) прямой. l1 (l2) Доказательство. Пусть a b неизотропная прямая t совпадает с координатной прямой А1А2, то есть A B t имеет в репере R={А1, А2, A3, E} уравнение: x3 = 0. Рис. 30 Выберем на прямой t (рис. 30) пару точек A(a:1:0), B(1:b:0) и проведем через них параллельные прямые соответственно a и b. Пусть общая несобственная точка прямых a и b принадлежит прямой l1 (l2) и имеет в репере R координаты: K(±1:1:k), где k – некоторое действительное число. Тогда уравнения прямых a и b имеют соответственно вид:

kx1 − akx2 + ( a ± 1) x3 = 0,

bkx1 − kx2 + (1 m b) x3 = 0.

По формуле (17) найдем меры углов at и bt. 148

k ⎞ ⎛ ak ⎞ 1± a ⎛ ∠at = ⎜ 0 − , ⎟ − ⎜0 + ⎟ =k a m 1⎠ ⎝ a m 1⎠ 1m a ⎝

( 28)

b ±1 . b m1

( 29 )

2

2

2

2

bk ⎞ ⎛ k ⎞ ⎛ ∠bt = ⎜ 0 − ⎟ − ⎜0 + ⎟ =k 1m b ⎠ ⎝ 1m b ⎠ ⎝

Меры углов at и bt равны тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий: k = 0, ab = 1. Но каждое из этих условий приводит к совпадению прямых a и b. На этот случай утверждение теоремы не распространяется. Что и требовалось доказать. Теорема 4. Отношение мер углов, образованных любыми двумя параллельными прямыми с данной непараллельной им неизотропной прямой, однозначно определено заданием вершин этих углов. Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R уравнение данной неизотропной прямой t имеет вид: x3 = 0. Выберем на прямой t две точки: A(a:1:0), B(1:b:0) (рис. 30). Тогда для любой пары параллельных прямых a и b, проходящих соответственно через точки А, В, отношение мер углов, образованных этими прямыми с прямой t, есть согласно равенствам (28), (29) постоянная величина:

λ=

∠β = ∠α

(b ± 1)(1 m a ) , (b m 1)(1 ± a )

(30)

однозначно определенная заданием точек А и В. Теорема доказана. Теорема 5. Квадрат расстояния от точки до неизотропной прямой равен произведению расстояний от этой прямой до параллельных ей прямых, проходящих через данную точку, взятому со знаком плюс (минус), если точка принадлежит первому (второму) абсолютному углу. Доказательство. Выберем канонический репер R таким образом, чтобы данная неизотропная прямая m совпадала с координатной прямой А1А2. Данную точку зададим координатами: A (a1: a2: a3). По формуле (23) расстояние от точки A до прямой m (x3 = 0) равно:

ρ ( А, m ) =

a3 a −a 2 1

2 2

.

(31)

Несобственные точки прямой m (рис. 31) в репере R имеют координаты: K1 (1:1:0), K2 (–1:1:0). Следовательно, прямые, параллельные прямой m, проходящие через точку A, имеют уравнения:

АK1 : а3 x1 − а3 x2 + (а2 − а1 )x3 = 0; АK 2 :

а3 x1 + а3 x2 − (а1 + а2 ) = 0. 149

(32)

Найдем по формуле (23) расстояния от прямой m до прямых AK1, AK2:

( АK 1 ) m =

a3 , a 2 − a1

( AK 2 ) m =

a3 . a1 + a 2

(33)

Если точка А принадлежит первому (второму) абсолютному углу, то для 2 2 2 2 ее координат выполняется ((4), гл. 1) неравенство: a1 − a2 > 0 a1 − a2 < 0 . Поэтому из условий (31), (33) для точки А первого (второго) абсолютного угла получаем:

(

ρ 2 ( A, m ) = ( AK 1 ) m ( AK 2 ) m

(ρ ( A, m ) = − ( AK )m ( AK 2

1

2

)

)

)m .

(34)

Что и требовалось доказать. Теорема 6. Модуль меры угла между двумя неизотропными прямыми Р вдвое больше модуля расстояния от вершины угла до неизотропной прямой, l2 параллельной сторонам этого угла. l1 Доказательство. Пусть прямая m A параллельна неизотропным непараллельным прямым AK1, AK2, где K1, K2 – несобственные точки данных m K2 K1 прямых (рис 31). Рис. 31 Координатную прямую А1А2 репера R совместим с прямой m. Тогда уравнение прямой m в репере R: x3 = 0, а координаты ее бесконечно удаленных точек: K1 (1:1: 0), K2 (1: –1: 0). Если данная точка имеет в репере R координаты: A(a1: a2: a3), то прямые AK1, AK2 заданны уравнениями (32). Меру угла между прямыми AK1, AK2 найдем по формуле (17): 2

2

2 a3 ⎛ a a3 ⎞ ⎛ a3 a3 ⎞ ⎟⎟ = ⎟⎟ − ⎜⎜ − . (35) ∠( AK1 )( AK2 ) = ⎜⎜ 3 + 2 2 + − a a a a a a a a + − a2 − a1 2 1⎠ 2 1⎠ ⎝ 1 2 ⎝ 1 2 Расстояние от точки А до прямой m определено равенством (31). Сравнивая выражения (31), (35) (одна из величин, определенных этими равенствами – число действительное, другая – мнимое), получаем утверждение теоремы. Что и требовалось доказать. Следствием теорем 5, 6 является следующая теорема. Теорема 7. Мера угла между неизотропными прямыми вдвое меньше произведения расстояний от этих прямых до прямой, параллельной каждой из них.

Глава 3. Изображение копсевдоевклидовой плоскости 3.1 Копсевдоевклидовы координаты

150

1. Собственно копсевдоевклидовы (или: копсевдоевклидовы) координаты введем аналогично введению координат коевклидовых (гл. 3, часть 1), учитывая, естественно, особенности строения копсевдоевклидовой плоскости. В данной главе приведем лишь основные этапы рассуждений. Пусть в каждом каноническом репере копсевдоевклидовой плоскости K2 Г абсолютная квадрика АП задана уравнением

x12 − x22 = 0 .

(1)

Каждой точке М копсевдоевклидовой плоскости с проективными координатами (x1: x2: x3) в некотором каноническом репере R поставим в соответствие упорядоченную тройку чисел: x = x (x1, x2, x3), y = y (x1, x2, x3), z = z (x1, x2, x3), определенных с точностью до общего множителя ± 1 равенствами:

x=

x1 x12 − x22

,

y=

x2 x12 − x22

,

z=

x3 x12 − x22

,

(2)

если точка М принадлежит первому абсолютному углу, и равенствами:

x=

ix1 x12 − x22

,

y=

ix2 x12 − x22

,

z=

ix3 x12 − x22

,

(3)

если точка М принадлежит второму абсолютному углу. Числа x, y, z, определенные равенствами (2) ((3)), назовем копсевдоевклидовыми координатами точки М первого (второго) абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости относительно репера R. Очевидно, что копсевдоевклидовы координаты всех точек абсолютной квадрики (1) бесконечно велики, а копсевдоевклидовы координаты собственных для плоскости K2 точек – конечные действительные числа. Копсевдоевклидовы координаты собственных для плоскости вершин A1, A2 канонического репера R имеют относительно этого репера следующий вид:

А1 (± 1; 0 ; 0 ), А 2 (0 ; ± 1; 0 ). 2. Пусть R и R' – канонические реперы копсевдоевклидовой плоскости. Найдем формулы преобразования копсевдоевклидовых координат точек при переходе от репера R к реперу R'. Пусть произвольная точка М плоскости имеет в репере R проективные координаты (x1: x2: x3), в репере R' – координаты (x'1: x'2: x'3), а формулы (9) главы 1 определяют в проективных координатах переход от репера R к реперу R'.

151

Копсевдоевклидовы координаты (x; y; z) точки М первого (второго) абсолютного угла относительно репера R определены с точностью до общего множителя ± 1 равенствами (2) ((3)), а координаты (x'; y'; z') относительно репера R' – с точностью до общего множителя ± 1 равенствами:

x′ =

x1′ x1′2 − x2′2

x′2

y′ =

,

x1′ 2 − x′22

x3′

z′ =

,

x1′2 − x2′2

,

(4)

если точка М принадлежит первому абсолютному углу в репере R', и в противном случае – равенствами:

x′ =

ix1′ x1′ 2 − x2′2

ix2′

y′ =

,

x1′ 2 − x′22

ix3′

z′ =

,

x1′2 − x2′2

.

(5)

Принципиально различны два следующих возможных варианта взаимного отношения реперов R и R'. 1. Реперы R и R' согласованы. По определению в формулах (9) главы 1 ∆ = а112 − а122 > 0 . Если точка М принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, то она принадлежит первому (второму) абсолютному углу и в репере R'. Подставим в равенства (2) ((3)) значения x1, x2, x3 из формул (9) главы 1. С учетом равенств (4) ((5)) получаем:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪z = ⎪⎩

a11

x=

a −a a12 2 11

y=ε

a −a 2 11

a31 a −a 2 11

2 12

2 12

x′ +

2 12

a12

x′ + x′ + ε a32

a −a 2 11

y ′,

a −a a11 2 11

2 12

2 12

a −a 2 11

y′ +

2 12

y ′, (6)

a33 a −a 2 11

2 12

z ′.

Формулы (6) определяют преобразование копсевдоевклидовых координат точек при переходе от репера R к согласованному с ним реперу R'. 2. Реперы R и R' – несогласованные реперы копсевдоевклидовой плоскости. Тогда в формулах (9) главы 1 перехода от R к R': ∆ = а112 − а122 < 0 . Если точка М принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, то она принадлежит второму (первому) абсолютному углу в репере R'. Подставим в равенства (2) ((3)) значения x1, x2, x3 из формул (9) главы 1. После замены по формулам (5) ((4)) получаем:

152

⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪z = ⎪⎩

a11

x=

a −a a12 2 12

y =ε

a −a 2 12

a31 a −a 2 12

2 11

2 11

2 11

x′ +

a12

x′ + x′ + ε a32

a −a 2 12

y ′,

a −a a11 2 12

2 11

2 11

a −a 2 12

y′ +

2 11

y ′, (7)

a33 a −a 2 12

2 11

z ′.

Формулы (7) определяют в копсевдоевклидовых координатах точек переход от репера R к несогласованному с ним реперу R'. 3.2 Изображение копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве 1. Пусть на копсевдоевклидовой плоскости K2 задан некоторый канонический репер R, а в евклидовом трехмерном пространстве E3 – декартова прямоугольная система координат Oxyz. Изображением в пространстве E3 точки M' плоскости K2 с копсевдоевклидовыми координатами (x; y; z) относительно репера R назовем точку M евклидова пространства E3 с координатами (x; y; z) в системе Oxyz. Изображением F фигуры F' коевклидовой плоскости назовем множество всех точек пространства E3, являющихся изображением точек фигуры F'. Согласно формулам (2), (3) первые две копсевдоевклидовы координаты каждой точки первого, второго абсолютного угла относительно репера R копсевдоевклидовой плоскости связаны соответственно условиями:

x 2 − y 2 = 1,

(8)

y 2 − x 2 = 1.

(9)

Следовательно, изображением точки первого (второго) абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве является пара точек на гиперболическом цилиндре (8) ((9)), симметричных относительно начала координат. Гиперболические цилиндры (8), (9) с отождествленными симметричными относительно начала координат точками являются изображением копсевдоевклидовой плоскости. 2. В пункте 2 §3 (гл. 3, часть 1) определен способ построения изображения точек коевклидовой плоскости в пространстве Е3. Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что изображением некоторой точки первого (второго) абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости, заданной в каноническом репере R проективными координатами 2 2 M (m1: m2: m3), m1 − m 2 ≠ 0 , является пара отождествленных точек

153

пространства Е3 пересечения гиперболического цилиндра (8) ((9)) прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора m (m1; m2; m3). 3. Пусть А, В – неколлинеарные точки копсевдоевклидовой плоскости. Выберем канонический репер R Y плоскости так, чтобы относительно него точка А находилась в первом γ1 абсолютном углу. Пусть относительно A0 репера R точки A, B с проективными i = 1, 2, 3, координатами (ai), (bi), B0 имеют копсевдоевклидовы O координаты: А (xa; ya; za), B (xb; yb; zb). K X 1. Если точка В принадлежит первому абсолютному углу в репере R, Рис. 32 то согласно равенствам (2), (3) формула (19) главы 1 для вычисления гиперболического косинуса расстояния между точками A и B в копсевдоевклидовых координатах имеет вид:

ch AB = xa xb − ya yb .

(10)

Найдем геометрическую интерпретацию полученной формулы. Обозначим через А', В' изображения точек А, В в евклидовом пространстве Е3. Пусть A0, В0 – проекции точек А', В' на координатную плоскость Oxy. Согласно рассуждениям пункта 1 точки А', В' лежат на цилиндре (8), следовательно, точки A0, B0 лежат на гиперболе γ1:

x 2 − y 2 = 1, z = 0

(11)

плоскости Oxy с центром в начале системы координат Oxyz, параметрические уравнения которой можно записать в виде:

x = cht , y = sht , z = 0 .

(12)

Для определенности будем считать, что точки А0, B0 имеют положительные абсциссы (рис. 32). Пусть а, b – параметры точек А0, B0 гиперболы γ1 соответственно. Тогда евклидовы координаты точек А0, B0 имеют вид:

A 0 (cha ; sha ; 0 ), B 0 (chb ; shb ; 0 ),

(13)

где параметры а, b численно равны удвоенной площади секторов А0ОK, В0ОK соответственно, где A0K, В0K,– дуги гиперболы γ1 [12, стр. 154]:

a = 2Sсек A0OK ; b = 2Sсек B0OK . 154

(14)

Точки А0, B0 – проекции изображений точек А (xa; ya; za), B (xb; yb; zb) копсевдоевклидовой плоскости на плоскость Oxy, следовательно,

x а = ch а , y а = sh а , z а = 0 , (15)

x b = chb , y b = shb , z b = 0 . Формула (10) при условиях (15) имеет вид:

ch AB = cha chb − sha shb = ch (a − b ) . Откуда получаем равенство:

(

AB = ± (a − b ) = ± 2 S сек

A0 OK

− S сек

B0 OK

) = ±2 S

сек A0 OB 0

(16)

.

(17)

Таким образом, интерпретацией длины неизотропного отрезка АВ является удвоенная площадь гиперболического сектора, ограниченного дугой с концами в проекциях изображений точек А, В на координатную плоскость Oxy. 2. Если точка В принадлежит второму абсолютному углу, то ортогональная ей точка В на прямой АВ принадлежит первому, одному с точкой А, абсолютному углу. Расстояние между ортогональными точками i, поэтому по свойству аддитивности расстояния между точками равно имеем:

|AB| = |AB| + |BB| = |AB| + i,

(18)

откуда

|AB| = i – |BA|. Тогда по формуле (17)

AB =

π 2

i ± 2 S сек

A0 OB 0

,

(19)

где В0 – проекция изображения в евклидовом пространстве Е3 точки В на координатную плоскость Oxy. Формула (19) дает интерпретацию расстояния между точками различных абсолютных углов копсевдоевклидовой плоскости. 4. Пусть уравнение прямой l копсевдоевклидовой плоскости в проективных координатах имеет вид

u1 x1 + u 2 x 2 + u 3 x3 = 0 ,

155

(20)

тогда, переходя к копсевдоевклидовым координатам точек прямой l, получим совокупность систем уравнений:

⎡⎧u1 x + u 2 y + u3 z = 0, ⎢⎨ 2 2 ⎢⎩ x − y = 1, ⎢ u x + u y + u z = 0, 2 3 ⎢⎧ 1 ⎨ ⎢⎩ y 2 − x 2 = 1, ⎣

(21)

определяющую в евклидовом пространстве изображение прямой l. Первое уравнение каждой системы уравнений совокупности (21) в системе координат Oxyz задает плоскость, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору n (u1; u2; u3). Каждая из систем уравнений совокупности (21) определяет в евклидовом пространстве Е3 сечение одного из гиперболических цилиндров (8), (9) указанной плоскостью, которое является изображением в пространстве Е3 одной из ветвей прямой l. Таким образом, изображением прямой копсевдоевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является сечение гиперболических цилиндров (8), (9) плоскостью, проходящей через начало координат, со склеенными диаметрально противоположными точками. Для изотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости в уравнении (20) u3 = 0, следовательно, изображением изотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является пара диаметрально противоположных образующих одного из цилиндров (8), (9). 5. Пусть различные неизотропные прямые a, b копсевдоевклидовой плоскости заданы в каноническом репере R соответственно уравнениями:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 , b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0. Тогда точка K пересечения прямых а и b имеет в репере R координаты:

⎛a b b a a b − a 2 b1 K ⎜⎜ 2 − 2 ; 1 − 1 ; 1 2 b3 b3 a3 a 3b3 ⎝ a3

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(22)

Проведем рассуждения, предполагая для определенности, что точка K принадлежит второму абсолютному углу. То есть для координат точки K справедливо неравенство: 2

⎛ b1 ⎛b a ⎞ a ⎞ ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ a3 ⎠ a3 ⎠ ⎝ b3 ⎝ b3

2

> 0.

(23)

Нормальные векторы плоскостей, содержащих изображения прямых a, b в евклидовом пространстве, имеют (см. п. 4) координаты: 156

⎛ a a ⎞ ⎛ b b ⎞ n a ⎜⎜ 1 ; 2 ;1 ⎟⎟ , n b ⎜⎜ 1 ; 2 ;1 ⎟⎟ . ⎝ a3 a3 ⎠ ⎝ b3 b3 ⎠

(24)

Введем обозначение: n = na – nb. Тогда координаты вектора n, однозначно определеннные координатами прямых а, b, имеют вид:

⎛ a ⎞ b a b n ⎜⎜ 1 − 1 ; 2 − 2 ; 0 ⎟⎟ . b3 a 3 b3 ⎝ a3 ⎠

(25)

Для координат вектора n выполняется неравенство (23). Y Следовательно, прямая n, проходящая γ1 через начало координат в системе Oxyz в направлении этого вектора, содержит согласно рассуждениям пунктов 1, 2 N изображения точек первого N' O абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости. Поэтому прямая n A1 X пересекает гиперболу γ1 (11), (12), содержащую проекции изображений Рис. 33 всех точек первого абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости. Вектор n коллинеарен координатной плоскости Oxy. Отложим этот вектор от начала координат в плоскости Oxy (рис. 33). Пусть

ON = n , O N ′ = n ′, где N' – точка пересечения прямой ON = n с гиперболой γ1 (11),(12). Векторы n, n' коллинеарны, следовательно, можем ввести обозначение:

k = n : n′ .

(26)

Заметим, что ненулевое число k однозначно определено координатами прямых а и b, так как этими координатами однозначно определены векторы n, n'. Согласно условию (25) координаты вектора n' можно записать в виде:

⎛1 ⎛ a b ⎞ 1 ⎛a b ⎞ ⎞ n ′ ⎜⎜ ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ ; ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ; 0 ⎟⎟ . b3 ⎠ k ⎝ a 3 b3 ⎠ ⎠ ⎝ k ⎝ a3

(27)

Точка N', очевидно, имеет те же координаты (26). Учитывая, что точка N' принадлежит гиперболе γ1, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (11), получаем равенство:

157

2

k =

2

⎛ b1 ⎛b a ⎞ a ⎞ ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . a3 ⎠ a3 ⎠ ⎝ b3 ⎝ b3

(28)

Правая часть равенства (23) есть копсевдоевклидова мера угла между прямыми а и b ((17), гл. 2). Таким образом, число k, определенное равенством (26), является интерпретацией меры угла между неизотропными прямыми копсевдоевклидокой плоскости. Если прямые а и b параллельны, то первая и вторая координаты вектора n (25) равны по абсолютной величине. Интерпретацией расстояния между параллельными прямыми а и b ((19), гл. 2) является длина проекции вектора n на координатную прямую, например, Ox. Если прямые a, b – изотропные, то расстояние между ними равно расстоянию между любыми двумя точками А и В, взятыми на прямых а и b соответственно. Интерпретация копсевдоевклидова расстояния между точками получена в пункте 3. 6. Пусть на копсевдоевклидовой плоскости в каноническом репере R проективными координатами заданы: точка А (а1: а2: а3) и неизотропная прямая m (m1: m2: m3). Расстояние от точки А до прямой m определено формулой (20) главы 2. Перепишем эту формулу в копсевдоевклидовых координатах (2), (3) (xa; ya; za) точки А:

ρ (A , m ) = x a

m1 m2 + ya + za . m3 m3

(29)

Вектор

⎛ m ⎞ m m ⎜⎜ 1 ; 2 ;1 ⎟⎟ ⎝ m3 m3 ⎠

(30)

евклидова пространства Е3 является нормальным с единичной проекцией на ось Oz вектором плоскости, содержащей изображение прямой m. Радиус-вектор а точки А', изображения точки А в пространстве Е3, в системе координат Oxyz имеет координаты: (xa; ya; za). Согласно равенству (30) расстояние от точки до неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости можно интерпретировать как модуль скалярного произведения векторов а и m. Интерпретацией высоты точки в заданном каноническом репере является согласно формуле (23) главы 2 модуль аппликаты изображения данной точки в пространстве Е3. Интерпретацией модуля расстояния между коллинеарными точками по формуле (21) главы 2 является модуль разности аппликат изображений данных точек в пространстве Е3. 158

Глава 4. Линейные копсевдоевклидовы преобразования 4.1 Вид преобразования. Инвариантные изотропные прямые копсевдоевклидовых преобразований 1. Пусть фундаментальная группа Q копсевдоевклидовой плоскости ((3), гл. 1) задана матрицей

⎛ a11 ⎜ ⎜ ε a12 ⎜ a ⎝ 31

(

преобразований

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, a33 ⎟⎠

a12 ε a11 a32

(1)

)

2 2 где ε = ±1, а33 а11 − а12 ≠ 0. Если в каноническом репере R некоторая точка копсевдоевклидовой плоскости задана своими координатами: M (m1: m2: m3), то условие принадлежности точки M первому (второму) абсолютному углу ((4), гл. 2) в координатах имеет вид:

m12 − m22 > 0

(m

2 1

)

− m22 < 0 .

Точка M' (a11m1 + a12m2: εa12m1 + εa11m2: m'3), образ точки M в преобразовании Н, заданном матрицей (1), принадлежит первому (второму) абсолютному углу, если выполняются соответствующие неравенства:

(a

2 11

)(

)

− a122 m12 − m22 > 0

((a

2 11

)(

) )

− a122 m12 − m22 < 0 .

Следовательно, преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), сохраняет (изменяет) принадлежность точки данному абсолютному углу, то есть сохраняет (изменяет) согласование плоскости (см. §2, гл. 1), тогда и только тогда когда для коэффициентов матрицы (1) выполняется соответствующее неравенство:

(а

2 11

)

− а122 > 0

((a

2 11

) )

− a122 < 0 .

(2)

Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие (изменяющие) принадлежность точки данному абсолютному углу, будем называть соответственно преобразованиями первого (второго) вида. 2. Прежде чем провести классификацию преобразований копсевдоевклидовой плоскости докажем утверждения, позволяющие найти инвариантные изотропные прямые преобразований каждого рода. Образом точки М (m1: m2: m3) в копсевдоевклидовом преобразовании H первого рода ((1), ε =1) является точка

M ′ (a11m1 + a12 m2 : a12 m1 + a11m2 : a31m1 + a32 m2 + a33 m3 ) 159

(3)

Изотропная прямая, содержащая точку M, является инвариантной в преобразовании Н тогда и только тогда, когда точки M и М' коллинеарны. Условие коллинеарности точек М, М' в координатах имеет вид:

m1 a11m1 + a12 m2

m2 a12 m1 + a11m2

0

0

m3 a31m1 + a32 m2 + a33 m3 = 0, 1

или

(

)

a12 m12 − m22 = 0 . Если для преобразования H а12 ≠ 0, то последнее условие равносильно равенству |m1| = |m2|, которое имеет место только для точек абсолютных прямых l1, l2 копсевдоевклидовой плоскости. Следовательно, при а12 ≠ 0 преобразование не имеет собственных инвариантных изотропных прямых. Если в матрице (1) преобразования H а12 = 0, то каждая точка копсевдоевклидовой плоскости коллинеарна со своим образом в данном преобразовании. То есть каждая изотропная прямая в преобразовании H является инвариантной. Такие преобразования в соответствии с определением, введенным в первой части пособия для преобразований коевклидовой плоскости, будем называть коллинеарными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости. Образом точки М (m1: m2: m3) в копсевдоевклидовом преобразовании второго рода, заданном матрицей (1) при ε = – 1, является точка

M ′(a11m1 + a12m2 : −a12m1 − a11m2 : a31m1 + a32m2 + a33m3 ) .

(4)

Условие коллинеарности точек М, М' в координатах имеет вид:

a12 m12 + 2a11 m1 m 2 + a12 m 22 = 0 .

(5)

Уравнение (5) относительно координат точки М является тождеством тогда и только тогда, когда а11 = а12 = 0. Но при этих условиях матрица (1) не определяет преобразования копсевдоевклидовой плоскости, так как ее определитель равен нулю. Следовательно, среди преобразований второго рода копсевдоевклидовой плоскости нет коллинеарных преобразований. Определяя из уравнения (5) зависимости между двумя первыми однородными координатами точки М

⎛ m1 ⎜⎜ ⎝ m2

− a11 ± a112 − a122 ⎞ ⎟⎟ = , a 12 ⎠ 1, 2 160

(6)

получаем две изотропные прямые

)

(

d 1, 2 : ± а112 − а122 − а11 x1 − a12 x 2 = 0 , проходящие через соответствующую точку М, и инвариантные в силу коллинеарности точек М, М'. Непосредственная проверка дает: (d1d2 l1l2) = –1. Для преобразований первого (второго) вида выполняется первое (второе) условие (5) главы 1. Следовательно, в правой части равенств (6) для преобразований первого (второго) вида получаем числа действительные (комплексно сопряженные). Соответственно виду преобразования получаем либо вещественные, либо мнимо сопряженные инвариантные прямые d1, d2. Таким образом, справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Если Н – коллинеарное преобразование копсевдоевклидовой плоскости, то Н – преобразование первого рода. Теорема 2. Если Н – преобразование первого рода копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1) при ε = 1, то при а12 ≠ 0 Н не имеет инвариантных изотропных прямых, а при а12 = 0 Н является коллинеарным преобразованием, в котором инвариантна каждая изотропная прямая. Теорема 3. Каждое преобразование второго рода копсевдоевклидовой плоскости имеет две ортогональные друг другу инвариантные изотропные прямые. Инвариантные прямые являются действительными, если преобразование первого вида, комплексно сопряженными, если преобразование второго вида. 4.2 Классификация преобразований копсевдоевклидовой плоскости Классификацию преобразований копсевдоевклидовой плоскости проведем с учетом наличия инвариантных элементов преобразований. Пусть M (x1: x2: x3) – двойная точка преобразования группы Q (1), тогда её проективные координаты, неравные нулю одновременно, удовлетворяют системе уравнений:

⎧ρx1 = a11 x1 + a12 x2 , ⎪ ⎨ρx2 = εa12 x1 + εa11 x2 , или ⎪ρx = a x + a x + a x , 31 1 32 2 33 3 ⎩ 3

⎧(a11 − ρ ) x1 + a12 x2 = 0, ⎪⎪ ⎨εa12 x1 + (εa11 − ρ ) x2 = 0, ⎪ ⎪⎩a31 x1 + a32 x2 + (a33 − ρ ) x3 = 0.

(7)

Ненулевые решения данной системы однородных линейных уравнений существуют при условии равенства нулю определителя системы, то есть при условии:

a11 − ρ a12 εa12 εa11 − ρ a31

0 0 a33 − ρ

a32 161

= 0.

(8)

Преобразуем уравнение (8) к виду:

(a33 − ρ )((a11 − ρ )(εa11 − ρ ) − εa122 ) = 0.

(9)

Каждому значению корня уравнения (9) соответствует определенный набор инвариантных элементов преобразования, поэтому классификация преобразований предполагает исследование решений уравнения (9). С целью упрощения рассуждений преобразования первого и второго рода будем классифицировать отдельно. 1. Преобразования первого рода При ε = 1 уравнение (9) имеет корни: ρ1 =а33, ρ2 = а11 + а12, ρ3 = а11 – а12. Рассмотрим возможные случаи: корни уравнения (9) различны; уравнение (9) имеет один двукратный корень; все корни уравнения (9) совпадают. 1. Корни уравнения (9) различны Найдём двойные точки преобразований первого рода, соответствующие значениям ρi, i = 1, 2, 3. Система уравнений (7) при первом значении корня ρ = ρ1 =а33 имеет вид:

⎧ (a 11 − a 33 )x1 + a 12 x 2 = 0 , ⎪ ⎨ a 12 x1 + (a 11 − a 33 )x 2 = 0 , ⎪a x + a x = 0. 32 2 ⎩ 31 1

(10)

Каждое уравнение системы (10) задаёт изотропную прямую ((13), гл. 1), следовательно, система (10) в рассматриваемом случае определяет единственную инвариантную точку – абсолютную точку P(0:0:1). При условии ρ = ρ2 = а11 + а12 система уравнений (7) имеет вид:

⎧a12 (x1 − x 2 ) = 0, ⎪ ⎨a12 (x1 − x 2 ) = 0, ⎪a x + a x + (a − а − а )x = 0. 32 2 33 11 12 3 ⎩ 31 1

(11)

Так как в рассматриваемом случае все корни уравнения (9) различны, то а12 ≠ 0. Следовательно, система уравнений (11) определяет инвариантную точку на первой абсолютной прямой:

H 1 (a11 + a12 − a 33 : a11 + a12 − a 33 : a 31 + a 32 ) .

(12)

При ρ = ρ3 = а11 – а12 система уравнений (7) имеет вид:

⎧a12 ( x1 + x2 ) = 0, ⎪ ⎨a12 ( x1 + x2 ) = 0, ⎪a x + a x + (a − a + a )x = 0 32 2 33 11 12 3 ⎩ 31 1 162

(13)

и определяет инвариантную точку на второй абсолютной прямой

H 2 (a11 − a12 − a 33 : a12 − a11 + a 33 : a 31 − a 32 ) .

(14)

Таким образом, в первом (наиболее общем) случае преобразование имеет три несобственные инвариантные точки: P, H1, H2. Из инвариантности точек H1, H2 следует инвариантность проходящей через них неизотропной прямой:

(

)

x1 (a12a32 + a31a33 − a11a31) + x2 (a12a31 + a32a33 − a11a32 ) + x3 (a11 − a33 ) − a122 = 0. (15) 2

Предположим, что преобразование имеет еще одну действительную собственную инвариантную прямую t. Тогда точка Т ее пересечения с прямой (15) является двойной точкой преобразования и либо является собственной точкой копсевдоевклидовой плоскости, либо совпадает с одной из точек Н1, Н2 абсолютной квадрики. Если Т совпадает с Н1 (Н2), то точка пересечения прямой t с абсолютной прямой l1 (l2) также инвариантна в данном преобразовании. Но данное преобразование не имеет двойных точек, отличных от точек P, H1, H2. Следовательно, прямая (15) – единственная неподвижная прямая преобразования. Итак, если корни уравнения (9) различны, то преобразование имеет следующие инвариантные элементы: три несобственные точки; одну действительную неизотропную прямую. 2. Уравнение (9) имеет двукратный корень Возможны три варианта: ρ1 = ρ2, ρ1 = ρ3, или ρ2 = ρ3. Определим для каждого варианта неподвижные элементы преобразования. 1. Пусть ρ1 = ρ2, то есть а33 = а11 + а12. Тогда при ρ = ρ1 = ρ2 система уравнений (7) принимает вид:

⎧a12 (x1 − x2 ) = 0, ⎨ ⎩a31 x1 + a32 x2 = 0.

(16)

Если а12 = 0, то ρ2 = ρ3 и, следовательно, уравнение (9) имеет трехкратный корень, что не соответствует данному случаю. Поэтому а12 ≠ 0. Система уравнений (16) при а32 ≠ – а31 определяет единственную неподвижную точку P (0:0:1), а при а32 = – а31 – множество двойных точек, совпадающее с абсолютной прямой l1. При ρ = ρ3 = а11 – а12 система уравнений (7) имеет вид:

⎧a12 ( x1 + x 2 ) = 0, ⎨ ⎩a31 x1 + a32 x 2 + 2a12 x3 = 0 и определяет неподвижную точку на абсолютной прямой l2: 163

(17)

K1 (− 2a12 : 2a12 : a31 − a32 ) .

(18)

2. Пусть ρ1 = ρ3, то есть а33 = а11 – а12. Тогда по аналогии с первым случаем при а32 ≠ а31 получаем двойную точку на абсолютной прямой l1:

K 2 (2a12 : 2a12 : a31 + a32 ) ,

(19)

а при а32 = а31 – точку K2 и бесконечное множество двойных точек, заполняющих абсолютную прямую l2. Заметим, что в двух рассмотренных вариантах при условиях

a33 = a11 + a12 , а32 = −а31

(a33 = a11 − a12 ,

a32 = a31 )

(20)

в силу поточечной инвариантности прямой l1 (l2) преобразования имеют бесконечное множество двойных неизотропных параллельных друг другу прямых, принадлежащих пучку с центром в точке K1 (K2). Согласно теореме 2 в рассмотренных случаях при условии (20) двойных изотропных прямых преобразования не имеют. При условиях

a33 = a11 + a12 , a32 ≠ − a31

(a33 = a11 − a12 ,

a32 ≠ a31 )

(21)

в двух рассмотренных вариантах преобразования имеют только две несобственные неподвижные точки P и K1 (K2), следовательно, при этих условиях преобразования не имеют собственных инвариантных прямых. 3. Пусть ρ2 = ρ3. Тогда а11 + а12 = а11 – а12, и, следовательно, а12 = 0. По теоремам 1, 2 преобразования этого вида и только они являются коллинеарными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости. При ρ = ρ1 = а33 система уравнений (7) принимает вид

⎧ (a 11 − a 33 ) x1 = 0 , ⎪ ⎨ (a 11 − a 33 ) x 2 = 0 , ⎪ ⎩ a 31 x1 + a 32 x 2 = 0

(22)

и так как а33 ≠ а11 (иначе совпадают все три корня уравнения (9)) определяет единственную двойную точку преобразования: Р (0:0:1). При ρ = ρ2 = ρ3 = а11 система уравнений (7) равносильна уравнению

a31 x1 + a32 x 2 + (a33 − a11 )x3 = 0 ,

(23)

которое при а33 ≠ а11 определяет неизотропную прямую инвариантных точек данного преобразования. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Каждое коллинеарное преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1) при a11 ≠ a33, имеет поточечно неподвижную неизотропную прямую. 164

3. Уравнение (9) имеет трёхкратный корень В этом случае ρ1 = ρ2 = ρ3, следовательно, а12 = 0, а11 = а33. При этих условиях, при ρ = а11 = а33, первые два уравнения системы (7) являются 2 2 тождествами. Поэтому при a31 + а32 ≠ 0 все неподвижные точки преобразования заполняют изотропную прямую

а 31 x1 + а 32 x 2 = 0 .

(24)

Заметим, что условие а32 = ± а31 выделяет самостоятельный класс преобразований, так как при этом условии прямая (24) является абсолютной. Преобразования каждого выделенного класса (а12 = 0, а11 = а33, а32 ≠ ± а31 и а12 = 0, а11 = а33, а32 = ± а31) являются коллинеарными, следовательно, в них инвариантна каждая изотропная прямая. Поэтому наличие двойной неизотропной прямой возможно только при поточечной инвариантности этой неизотропной прямой. Но каждая неподвижная точка преобразования принадлежит прямой (24), следовательно, двойных неизотропных прямых преобразования указанных классов не имеют. При дополнительных условиях на коэффициенты, а31 = а32 = 0, системе уравнений (7) удовлетворяют координаты любой точки, следовательно, преобразование указанного вида является тождественным преобразованием копсевдоевклидовой плоскости. 2. Преобразования второго рода При ε = – 1 уравнение (9) имеет следующие корни:

ρ1 = a33 , ρ 2,3 = ± a112 − a122 . Для преобразований первого вида корни ρ2, ρ3 – действительные, для преобразований второго вида – комплексно сопряженные. Рассмотрим все возможные случаи взаимного отношения указанных корней для преобразований первого и второго видов. 1. Корни уравнения (9) различны Тогда при ρ = ρ1 = a33 система уравнений (7) имеет вид:

⎧(a11 − a 33 )x1 + a12 x 2 = 0, ⎪ ⎨a12 x1 + (a11 + a 33 )x 2 = 0, ⎪ a x + a x = 0. 32 2 ⎩ 31 1

(25)

(

)

Ранг системы уравнений (25) в данном случае а 33 ≠ ± а112 − а122 больше единицы, следовательно, система определяет единственную неподвижную точку – точку P (0:0:1) пересечения прямых абсолюта.

165

При ρ = ρ 2,3 = ± a112 − a122 соответственно знаку «+» или «–» получаем две системы уравнений:

(

)

⎧ − a ± a 2 − a 2 x − a x = 0, 11 12 1 12 2 ⎪ 11 ⎪ 2 2 ⎨a12 x1 + a11 ± a11 − a12 x 2 = 0, ⎪ 2 2 ⎪⎩a31 x1 + a32 x 2 − − a33 ± a11 − a12 x3 = 0.

(

)

(

)

(26)

Пусть а12 ≠ 0. Тогда первые два уравнения систем (26) в силу пропорциональности их коэффициентов задают одну изотропную прямую. Поэтому каждая из систем уравнений (26) определяет собственную для копсевдоевклидовой плоскости неподвижную точку преобразования:

(±

(а (± 12

)

а112 − а122 − а 33 :

)(

а112 − а122 − а11 ±

(

а12 а 31 + а 32 ±

)

а112 − а122 − а 33 :

))

(27)

а112 − а122 − а11 .

Точки (27) при |а11| > |а12| (для преобразований первого вида) являются действительными, а при |а11| < |а12| (для преобразований второго вида) – мнимыми, комплексно сопряженными. Две первые координаты точек (27) не пропорциональны, следовательно, точки определяют действительную неизотропную прямую. Таким образом, при а12 ≠ 0 преобразование имеет двойную неизотропную прямую

(a

2 a + a11a31 − a12 a32 : a32 a33 + a12 a31 − a11a32 : a33 − a112 + a122

31 33

и две инвариантные ортогональные сопряженные) изотропные прямые

(±

(действительные

)

a112 − a122 − а11 : −a12 : 0 ,

или

)

(28) мнимо

(29)

проходящие соответственно знаку «+» или «–» через точки (27). Условие а12 = 0 не выделяет самостоятельный класс преобразований, так как в этом случае набор неподвижных элементов преобразования остается тем же. Отметим, что при а12 = 0 системы уравнений (26) определяют неподвижные точки преобразования: (а11 – а33: 0: а31) и (0: а11 + а33: – а32), проходящие через эти точки неподвижные изотропные прямые: x2 = 0 и x1 = 0, и двойную неизотропную прямую

(а

31

)

2 (а11 + а33 ) : a32 (a33 − a11) : a33 − a112 .

166

2. Уравнение (9) имеет двукратный корень Возможны только два варианта: ρ1 = ρ2 ≠ ρ3, ρ1 = ρ3 ≠ ρ2. Так как при ρ2 = ρ3 получаем равенство а112 − а122 = 0 , при котором матрица (1) не определяет коллинеацию проективной плоскости. В первом (втором) случае имеем

a33 = a112 − a122

(a

33

= − a112 − a122

).

(30)

Коэффициенты матрицы копсевдоевклидовых преобразований (1) – 2 2 действительные числа, причем а 33 (а11 − а12 ) ≠ 0 , поэтому выполнение равенств (30) возможно только для преобразований первого вида. Достаточно исследовать преобразования, для которых выполняется одно из указанных равенств (30), например, первое, так как матрица проективных преобразований определена с точностью до общего ненулевого множителя, и при выполнении второго равенства, умножив все коэффициенты матрицы преобразований на (–1), придем к первому случаю. При ρ = ρ1 = ρ 2 = а112 − а122 система уравнений (7) имеет вид

(

)

⎧ a − a 2 − a 2 x + a x = 0, 11 12 1 12 2 ⎪ 11 ⎪ 2 2 ⎨ a12 x1 + a11 + a11 − a12 x 2 = 0 , ⎪ ⎪ a 31 x1 + a 32 x 2 = 0 . ⎩

(

)

(31)

Пусть а12 ≠ 0. Тогда ранг последней системы уравнений меньше трёх, так как коэффициенты первых двух уравнений пропорциональны. Если ранг системы уравнений (31) равен двум, то получаем единственную двойную точку Р(0:0:1). Если ранг системы уравнений (31) равен единице, коэффициенты уравнений в этом случае удовлетворяют двум условиям

a11 a31 − a12 a32 + a31 a33 = 0 , a11a32 − a12 a31 − a32 a33 = 0 ,

(32)

то в данном преобразовании инвариантны все точки изотропной прямой (24). Заметим, что при а12 ≠ 0 и выполнении одного из равенств (30) условия из (32) равносильны. Пусть а12 = 0. Тогда одно из двух первых уравнений системы (31) является тождеством. Если удовлетворены условия (32), то есть матрица преобразования имеет один из следующих видов:

⎛ а11 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

0 − а11 а32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, а11 ⎟⎠

⎛ а11 ⎜ ⎜ 0 ⎜а ⎝ 31 167

0 − а11 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟, − а11 ⎟⎠

то система уравнений (31) (её ранг равен единице) определяет поточечно неподвижную изотропную координатную прямую (x2 = 0, или x1 = 0). В противном случае ранг системы уравнений (31) равен двум. Поэтому система определяет единственную неподвижную точку Р (0:0:1). 2 2 и первом условии (30) система уравнений (7) При ρ = ρ3 = − a11 + a12 принимает вид

(

)

⎧ a + a 2 − a 2 x + a x = 0, 11 12 1 12 2 ⎪ 11 ⎪ 2 2 ⎨ a12 x1 − − a11 + a 11 − a12 x 2 = 0 , ⎪ ⎪ a 31 x1 + a 32 x 2 + 2 a 112 − a122 x 3 = 0 . ⎩

(

)

(33)

Для каждой коллинеации копсевдоевклидовой плоскости a112 − a122 ≠ 0 . Поэтому последнее уравнение системы (33) определяет неизотропную действительную прямую, следовательно, сама система (её ранг равен двум) определяет собственную действительную двойную точку преобразования

K (2a33 (a11 − a33 ) : −2a12a33 : −a11a31 + a12a32 + a31a33 ) . Изотропная прямая k1 (а12: а11 – а33: 0), проходящая через эту неподвижную точку, является двойной прямой преобразования. Согласно теореме 3 преобразование имеет еще одну инвариантную изотропную прямую k2 (а11 – а33 : а12 : 0), ортогональную прямой k1. Итак, при условии 2 a33 = a112 − a122

(34)

преобразование имеет две неподвижные ортогональные изотропные прямые и одну неподвижную точку на одной из этих прямых. Заметим, что при условиях (32) и а12 ≠ 0 указанная неподвижная точка имеет координаты (a11 − a33 : − a12 : a31 ) и является центром пучка неизотропных прямых, инвариантных в силу поточечной неподвижности прямой (24). Если а12 = 0, то условие (34) определяет два варианта:

a11 = a33 и a11 = − a33 . В первом случае неподвижная точка имеет координаты: (0 : −2а11 : а32 ) . Если а31 = 0, то есть если выполняются условия (32), эта точка является центром пучка двойных неизотропных прямых. Во втором случае неподвижной является точка (2а11 : 0 : а 31 ) . Которая при а32 = 0, то есть при выполнении условий (32), также является центром пучка неподвижных неизотропных прямых. 168

Таким образом, при одновременном выполнении условий (32), (34) преобразование имеет двойную собственную точку, двойную изотропную прямую, проходящую через эту точку, и поточечно неподвижную изотропную прямую, ортогональную указанной двойной точке. 3.Уравнение (9) имеет трехкратный корень 2 2 Тогда a11 − a12 = a33 = 0 и, следовательно, матрица (1) не определяет преобразование копсевдоевклидовой плоскости. Результаты проведенной классификации преобразований представлены в таблицах 3, 4 (приложение 3). Конструктивное определение преобразований каждого класса и их названия введем в §6. 4.3 Движения и псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости Теоремы 1 – 4, доказанные в предыдущих параграфах, и проведенная классификация определяют инвариантные элементы копсевдоевклидовых преобразований. Докажем теоремы, определяющие числовые характеристики преобразований копсевдоевклидовой плоскости. Теорема 5. Каждое преобразование H группы Q, заданное матрицей (1), изменяет меру данного угла в k раз, где

k =

a 332 a112 − a122 .

(35)

Доказательство. Пусть (ai), (bi), где i = 1, 2, 3, – однородные координаты прямых a' и b' соответственно. На прямой a' выберем две точки, например, F1′(0 : −a3 : a2 ) и F2′(−a3 : 0 : a1 ) . Прообразы этих точек в преобразовании Н группы Q имеют координаты:

F1 ( a3 a12 a33 : − a3 a11 a33 : − a3 a12 a31 + a3 a11 a32 + εa 2 ( a112 − a122 )) ; F2 ( − a 3 a11 a 33 : a 3 a12 a 33 : a 3 a11 a 31 − a 3 a12 a 32 + a1 ( a112 − a122 )) . Следовательно, однородные координаты прообраза прямой a' в преобразовании H имеют вид:

a (a1a11 + εa2 a12 + a3a31 : −a1a12 − εa2 a11 + a3a32 : a3a33 ) . Аналогично, однородные преобразовании Н имеют вид:

координаты

прообраза

прямой

b (b1a11 + εb2 a12 + b3 a31 : −b1a12 − εb2 a11 + b3 a32 : b3 a33 ) . Найдём по формуле (17) главы 2 меру угла a'b': 169

(36) b'

в

(37)

⎛ b1 a1 ⎞ ⎛ b2 a2 ⎞ a32 (b12 − b22 ) + b32 (a12 − a22 ) − 2a3b3 (a1b1 − a2b2 ) ⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎜⎜ − ⎟⎟ = .(38) a32b32 ⎝ b3 a3 ⎠ ⎝ b3 a3 ⎠ 2

2

Мера угла ab равна

a112 − a122 ∠ab = 2 a33

(

)

(

)

a32 b12 − b22 + b32 a12 − a22 − 2a3b3 (a1b1 − a2b2 ) . (39) a32b32

Из равенств (38), (39) следует

∠a' b' k = = ∠ ab

a 332 a112 − a122 .

Теорема доказана. Число k назовём коэффициентом искажения преобразования H. Согласно неравенствам (2) коэффициент искажения преобразований первого (второго) вида является числом действительным (мнимым). Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие меры углов без изменения, назовём движениями копсевдоевклидовой плоскости. Очевидно, все движения копсевдоевклидовой плоскости являются преобразованиями первого вида. Пусть преобразование H задано матрицей (1). Согласно теореме 5 H является движением тогда и только тогда, когда k = 1, то есть когда выполняется условие (34). Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, коэффициент искажения которых равен мнимой единице, назовем псевдодвижениями копсевдоевклидовой плоскости. Все псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости являются преобразованиями второго вида. Для коэффициентов матрицы (1) псевдодвижений копсевдоевклидовой плоскости выполняется равенство: 2 а33 = а122 − а112 .

(40)

Одновременное выполнение условий (34), (40) для коэффициентов матрицы (1) преобразования копсевдоевклидовой плоскости невозможно, следовательно, не существует преобразования копсевдоевклидовой плоскости, которое является движением и псевдодвижением. Все движения (псевдодвижения) копсевдоевклидовой плоскости сохраняют (изменяют) тип каждого неизотропного ковектора данной плоскости. Теорема 6. Каждое преобразование H копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), изменяет расстояние от точки до прямой в k раз, где число k определено выражением (35). 170

Доказательство. Каждое копсевдоевклидово переводит прямую m (m1: m2: m3) в прямую m':

преобразование

Н

(а11 (а31 m3 − a33 m1 ) − a12 (a32 m3 − a33 m2 ) : ε (a12 (a33 m1 − a31 m3 ) + a11 (a32 m3 − a33 m2 )) :

))

(

m3 a122 − a112 , а точку B(b1:b2:b3) в точку B' (a11b1+a12b2: εa12b1+εa11b2: a31b1+a32b2+a33b3). Согласно формуле (20) главы 2 имеем:

ρ (B, m) =

ρ (B′, m′) =

b1m1 + b2 m2 + b3 m3 m3 b12 − b22

,

(41)

a33 b1m1 + b2 m2 + b3 m3 m3 a112 − a122 b12 − b22

.

(42)

ρ (B′, m′) , из выражений (41), (42) получаем равенство (35). ρ (B, m) Что и требовалось доказать. Следствиями теоремы 6 являются следующие утверждения. Теорема 7. Преобразование копсевдоевклидовой плоскости не изменяет расстояние от точки до прямой тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости. Теорема 8. Преобразование копсевдоевклидовой плоскости не изменяет расстояния между коллинеарными точками тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости. Последние две колонки таблиц 3, 4 (приложение 2) определяет место движений и псевдодвижений среди копсевдоевклидовых преобразований. Полагая k =

4.4 Полудвижения, абсолютные движения псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости

и

абсолютные

Теорема 9. Каждое преобразование H копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), изменяет расстояние между двумя 1-параллельными (2-параллельными) прямыми копсевдоевклидовой плоскости в m раз, где

m=

a33 a11 − εa12 ,

⎛ a33 ⎜m = ⎜ a11 + εa12 ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(43)

Доказательство. Для параллельных прямых a'(ai), b'(bi), i = 1, 2, 3, пересекающихся на второй (первой) абсолютной прямой ((1), гл. 1), соответственно верхнему (нижнему) знаку выполняется условие: 171

а1 b1 1

а2 а3 b2 b3 = 0, ±1 0

или

⎛b a ⎞ b1 a1 − = ±⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ . b3 a3 ⎝ b3 a3 ⎠

(44)

Расстояние между прямыми a', b' согласно формуле (19) главы 2 равно:

a ′b ′ =

a 3 b1 − a1b3 . a3 b3

(45)

Пользуясь выражениями (36), (37), найдем расстояние между прямыми a, b, прообразами прямых a', b' в преобразовании H:

ab =

a11 (a3 b1 − a1b3 ) + εa12 (a3b2 − a 2 b3 ) . a3b3 a33

(46)

Равенства (45), (46) при условиях (44) дают

a ′b ′ a 33 =m= ab a11 ± ε a12 . Что и требовалось доказать. Преобразования группы Q, которые не изменяют расстояния между параллельными прямыми пучков с центрами на одной из абсолютных прямых, назовем полудвижениями копсевдоевклидовой плоскости. Согласно предыдущей теореме преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), является полудвижением, тогда и только тогда, когда выполняется одно и только одно из условий:

a33 = a11 + a12 ,

a33 = −a11 + a12 ,

a33 = a11 − a12 ,

a33 = −a11 − a12 .

(47)

Заметим, что выполнение условия (34) при выполнении только одного из условий (47) невозможно, следовательно, не существует преобразования копсевдоевклидовой плоскости, которое является движением и полудвижением. Преобразование копсевдоевклидовой плоскости согласно теореме 9 не изменяет расстояние между любыми двумя параллельными прямыми тогда и только тогда, когда для коэффициентов матрицы (1) этого преобразования одновременно выполняются условия: 172

a 33 a 33 = 1, = 1. a 11 + ε a 12 a 11 − ε a 12 Последние равенства дают:

⎧а11 = 0, ⎨ ⎩ а33 = а12 ,

(48)

⎧ а12 = 0 , ⎨ ⎩ а 33 = а11 .

(49)

или

Преобразования, для коэффициентов матрицы (1) которых выполняются равенства (49) ((48)), удовлетворяют условию (34) ((40)). Следовательно, все преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие без изменения расстояния между любыми двумя параллельными прямыми, являются либо движениями, либо псевдодвижениями этой плоскости. Учитывая этот факт, дадим следующее определение. Движения (псевдодвижения) копсевдоевклидовой плоскости, которые не изменяют расстояния между любыми двумя параллельными прямыми, назовем абсолютными движениями (абсолютными псевдодвижениями) копсевдоевклидовой плоскости. Условиями (49) ((48)) на коэффициенты матрицы (1) определены все абсолютные движения (абсолютные псевдодвижения) копсевдоевклидовой плоскости. Каждое абсолютное движение и каждое абсолютное псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости сохраняет без изменения псевдомодуль любого изотропного ковектора этой плоскости. Выпишем матрицы всех абсолютных движений и всех абсолютных псевдодвижений. Все копсевдоевклидовы преобразования при условиях (49) могут быть заданы одной из следующих матриц:

0 ⎛ a ⎜ H1 = ⎜ 0 a ⎜а ⎝ 31 а32 ⎛ a ⎜ H3 = ⎜ 0 ⎜a ⎝ 31

0⎞ ⎟ 0 ⎟, a ⎟⎠

0⎞ ⎟ − a 0 ⎟, a32 a ⎟⎠ 0

⎛ a ⎜ H2 = ⎜ 0 ⎜а ⎝ 31

a а32

⎛ a ⎜ H4 = ⎜ 0 ⎜a ⎝ 31

0 ⎞ ⎟ − a 0 ⎟. a32 − a ⎟⎠

173

0

⎞ ⎟ ⎟, − a ⎟⎠ 0 0

(50)

0

(51)

Матрицы Н1, Н2 определяют абсолютные движения первого рода, а матрицы Н3, Н4 – абсолютные движения второго рода. Все копсевдоевклидовы преобразования первого рода при условиях (48) могут быть заданы одной из матриц:

a ⎛ 0 ⎜ L1 = ⎜ a 0 ⎜a ⎝ 31 a32

0⎞ ⎟ 0 ⎟, a ⎟⎠

⎛ 0 ⎜ L2 = ⎜ a ⎜a ⎝ 31

a 0 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. − a ⎟⎠

(52)

Матрицы всех абсолютных псевдодвижений второго рода имеют один из следующих видов:

a ⎛ 0 ⎜ L3 = ⎜ − a 0 ⎜a ⎝ 31 a32

0⎞ ⎟ 0 ⎟, a ⎟⎠

a ⎛ 0 ⎜ L4 = ⎜ − a 0 ⎜a ⎝ 31 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. − a ⎟⎠

(53)

Согласно проведенной классификации копсевдоевклидовых преобразований (таблица 3, приложение 2) матрица H1 в каждом каноническом репере задает одно из следующих трех преобразований: 1) сдвиг на ненулевой неизотропный ковектор при |а32| ≠ |a31|; 2) сдвиг на изотропный ковектор при |а32| = |a31|; 3) тождественное преобразование при а32 = a31 = 0. Матрица Н2 совпадает с матрицей А2 (таблица 3, приложение 2) в случае а33 = –а11, следовательно, определяет частный вид сжатия к неизотропной прямой – симметрию относительно прямой (см. п. 4, §6). Таким образом, каждое абсолютное движение первого рода является либо изотропным сдвигом, либо симметрией относительно прямой. Каждое абсолютное движение второго рода является либо скользящим отражением, либо отражением от точки. Действительно, каждое абсолютное движение второго рода может быть задано одной из матриц H3, H4 (51). Если в матрице преобразования H3 (H4) а31 = 0 (а32 = 0), то согласно проведенной классификации преобразований (таблица 4, приложение 2) в данном преобразовании поточечно инвариантна координатная прямая А1А3 (А2А3) и действительная точка K координатной прямой А2А3 (А1А3), следовательно, преобразование является отражением от указанной точки K координатной прямой. Если в матрице преобразования H3 (H4) а31 ≠ 0 (а32 ≠ 0), то в данном преобразовании инвариантна одна действительная точка K, принадлежащая (А1А3). Согласно классификации координатной прямой А2А3 копсевдоевклидовых преобразований имеем скользящее отражение. Что и требовалось доказать. Матрицы L2, L1 в каждом каноническом репере при а32 = ±а31 задают гомотетию, а при а32 ≠ ± а31 – скользящую гомотетию (приложение 2). 174

Матрицы L3, L4 определяют евклидово вращение (таблица 4, приложение 2), инвариантные точки которого гармонически сопряжены относительно собственных координатных вершин. Следовательно, каждое абсолютное псевдодвижение является или гомотетией, или скользящей гомотетией, или евклидовым вращением. Более подробно преобразования, заданные матрицами (50) – (53), исследуем при конструктивном определении копсевдоевклидовых преобразований (§6). Обратим внимание на тот факт, что абсолютными движениями и абсолютными псевдодвижениями второго рода преобразования являются только в определенном каноническом репере. Непосредственная проверка доказывает справедливость следующих теорем. Теорема 10. Все абсолютные движения образуют группу. Теорема 11. Все абсолютные движения и абсолютные псевдодвижения образуют группу. 4.5 Дополнительные теоремы копсевдоевклидовой плоскости

о

линейных

преобразованиях

Следующие две теоремы характеризуют преобразования первого рода копсевдоевклидовой плоскости. Теорема 12. Пусть в преобразовании H копсевдоевклидовой плоскости М' – образ произвольной точки М. Если расстояние ММ' постоянно, то есть не зависит от выбора точки М, то Н – преобразование первого рода. Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R преобразования копсевдоевклидовой плоскости заданы матрицей (1), а точка М – однородными координатами (x1: x2: x3), тогда однородные координаты точки М' в том же репере имеют вид:

M ′(a11 x1 + a12 x2 : ε a12 x1 + ε a11 x2 : a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) .

(54)

По формуле (19) главы 1

ch MM ′ =

a11 x12 + a12 x1 x2 (1 − ε ) − εa11 x22

(x

2 1

− x22

)

a112 − a122

.

(55)

Так как ММ' – const, то правая часть равенства (55) не должна зависеть от переменных x1, x2, то есть необходимо иметь тождество

a11 x12 + a12 x1 x 2 (1 − ε ) − ε a11 x 22 = λ, x12 − x 22 где 175

λ = ch M M ′ a112 − a122 , из которого получаем

x12 (a11 − λ ) + x22 (λ −ε a11 ) + a12 x1 x2 (1 − ε ) = 0 . Последнее равенство является тождественным при условий: a11 = λ , ε a11 = λ , a12 (1 − ε ) = 0 , то есть при ε = 1. Что и требовалось доказать. Формула (55) при ε = 1 имеет вид

ch M M ′ =

a11 a112 − a122

выполнении

.

(56)

Таким образом, справедлива теорема. Теорема 13. Если М' – образ точки М в преобразовании первого рода коевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) при ε = 1, то имеет место равенство (56). В теореме 3 для каждого преобразования второго рода установлено наличие двух инвариантных ортогональных друг другу изотропных прямых. Следующая теорема дает еще одно свойство преобразований второго рода. Теорема 14. Каждая точка копсевдоевклидовой плоскости со своим образом в любом преобразовании второго рода гармонически разделяет пару инвариантных изотропных прямых преобразования. Доказательство. Образом точки M (m1: m2: m3) в преобразовании второго рода, заданном матрицей (1) при ε = – 1, является точка М' (4). Пусть прямая ММ' пересекает неподвижные изотропные прямые t1, t2 преобразования в точках Т1, Т2 соответственно. Выражение (6) определяет зависимости двух первых координат точек Т1, Т2. Найдем сложное отношение четырех точек Т1, Т2, М, М'.

− a11 + a112 − a122

(T1T2 MM ′) =

m1

a12 − a11 − a112 − a122 m2

a11m1 + a12m2

− a11 + a − a

a12

a11m1 + a12m2

− a12 m1 − a11m2

2 11

2 12

a12 − a12m1 − a11m2

− a11 − a − a 2 11

m1

2 12

= −1.

a12 m2

Следовательно, точки M, M' гармонически разделяют инвариантные изотропные прямые t1, t2. Что и требовалось доказать. 4.6 Конструктивное определение преобразований

Найдем определяющие элементы преобразований копсевдоевклидовой плоскости и способ построения образов фигур в преобразовании. 176

1. Поворотное отражение первого вида Выберем некоторую неизотропную прямую t и на ней пару точек N1, N2, принадлежащих одному абсолютному углу. Каждой точке M копсевдоевклидовой плоскости и действительному положительному числу k поставим в соответствие такую точку М' этой плоскости, что: 1) |MM'| = |N1N2|, то есть (l1 l2 (PМ)(PМ')) = (l1 l2 (PN1)(PN2)); 2) ∠(N2М') t = k ∠(N1М) t; 3) точки M, М' принадлежат одному квадранту (различным квадрантам) относительно прямой t. Покажем, что введенное соответствие является преобразованием первого рода копсевдоевклидовой плоскости. Для каждой собственной точки M копсевдоевклидовой плоскости условие 1 однозначно определяет изотропную прямую m' (рис. 34), содержащую точку М'. По условию P точки N1, N2 принадлежат одному абсолютному углу. Следовательно, прямая t образует с прямыми N2М' и m' l1 углы, меры которых N1М l2 M m1 M1' одновременно либо действительные неотрицательные, либо чисто мнимые K1 N1 t N2 K2 с неотрицательной мнимой частью m2 величины. Поэтому при M2' действительном положительном Рис. 34 значении k условию 2 удовлетворяют две прямые m1, m2 пучка с центром в точке N2, гармонически сопряженные относительно прямых N2P и t. Следовательно, первые два условия определения задают точки M1', M2' в различных квадрантах относительно прямой t. В зависимости от требования условия 3 однозначно определим образ точки M. Условия 1 – 3, очевидно, однозначно определяют прообраз М каждой точки М' копсевдоевклидовой плоскости. По теореме 12 согласно условию 1 введенное преобразование первого рода. Точки N1, N2 принадлежат одному абсолютному углу, поэтому по условию 1 каждая точка плоскости принадлежит одному абсолютному углу со своим образом в данном преобразовании, следовательно, преобразование первого вида. Согласно первому условию преобразование не имеет инвариантных изотропных прямых. Согласно второму условию данная неизотропная прямая t – неподвижная прямая преобразования. Предположим, что преобразование имеет еще одну неподвижную неизотропную прямую u. Если прямые t и u не параллельны, то точка их пересечения является собственной неподвижной точкой в данном преобразовании, что противоречит условию 1.

177

Если прямые t и u параллельны, то прямая u проходит через одну из точек K1, K2 пересечения прямой t соответственно с прямой l1, l2 абсолюта, например, через точку K2. Тогда вторая несобственная точка U прямой u, точка ее пересечения с прямой l1, также инвариантна в данном преобразовании. Поэтому условие 2 для точки U принимает вид: ∠(N2U) t = k ∠(N1U) t, где k – произвольно заданное, не зависящее от выбора точек N1, N2 положительное число. Но для параллельных прямых UN1, UN2 согласно теореме 4 главы 2 отношение мер углов (N2U) t и (N1U) t вполне определено заданием точек N1, N2. Полученное противоречие доказывает, что прямая t – единственная неподвижная прямая в данном преобразовании. Следовательно, преобразование указано в первой строке таблицы 3 (приложение 2). Назовем данное преобразование поворотным отражением первого вида k I с коэффициентом k от неизотропной прямой t. Обозначение: t R . Получим каноническую матрицу введенного преобразования. Пусть в каноническом репере R поворотное отражение первого вида задано матрицей (1) при ε = 1, а данные точки N1, N2 – координатами: N1(n: 1:0), N2(1:0:0). То есть репер выбран таким образом, что координатная прямая А1А2 совпадает с данной прямой. Тогда инвариантность этой прямой (x3 = 0) определяет нулевые значения коэффициентов а31, а32 матрицы преобразования. Поэтому первое условие определения поворотного отражения первого вида каждой точке M (m1: m2: m3) копсевдоевклидовой плоскости ставит в соответствие точку М' (m2 – nm1: m1 – nm2: a33m3). Прямые N1М и N2М' в репере R имеют соответственно уравнения:

− m3 x1 + nm3 x 2 + (m1 − nm2 )x3 = 0,

(57)

a33 m3 x 2 + (nm2 − m1 )x3 = 0.

(58)

Определим меры углов, образованных прямой t с прямыми N1М и N2М'. 2

2

m3 1 − n 2 ⎛ m3 ⎞ ⎛ nm3 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ 0 − ⎟⎟ = ∠((MN1 ) t ) = ⎜⎜ 0 + , (59) − m nm m − nm m nm − 1 2 1 2 ⎠ 1 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2

i a33 m3 ⎛ a m ⎞ 2 . ∠(( M ′N 2 ) t ) = (0 − 0) − ⎜⎜ 0 − 33 3 ⎟⎟ = nm − m m − nm 2 1 ⎠ 1 2 ⎝

(60)

Точки N1, N2 принадлежат одному (первому) абсолютному углу, следовательно, n2 – 1 > 0. Равенства (59), (60) и второе условие определения поворотного отражения первого вида приводят к условию: 178

a33 = k n 2 − 1.

(61)

Таким образом, матрица поворотного отражения первого вида с коэффициентом k в достаточно удобно выбранном каноническом репере может иметь вид:

0 ⎛− n 1 ⎞ ⎜ ⎟ − n 1 0 ⎜ ⎟. ⎜ 0 0 ± k n 2 − 1 ⎟⎠ ⎝

(62)

Каждое требование условия 3 в определении поворотного отражения первого вида однозначно задает знак «+», или «–» в матрице (62). М' принадлежат одному квадранту Действительно, если точки M, (различным квадрантам) относительно прямой t, то для их координат согласно условию (30) главы 1 выполняется соответствующее неравенство:

a33 (n + 1) < 0,

( a (n + 1) > 0 ) 33

(63)

Из условий (61), (63) учитывая, что k > 0 и n 2 − 1 > 0, получаем в матрице (62) в случае принадлежности точек M, М' одному квадранту относительно прямой t знак «+» при n < –1, и знак «–» при n > –1. В случае принадлежности точек M, М' различным квадрантам относительно прямой t – знак «+» при n > –1, и знак «–» при n < –1. Матрица (62) задает движение копсевдоевклидовой плоскости при k =1 и |n| > 1. Точки N1, N2 принадлежат одному абсолютному углу, следовательно, в матрице (62) n ≠ 0. При этом условии матрица (62) не может иметь вид ни одной из матриц H1, H2 (50). Таким образом, абсолютных движений среди поворотных отражений первого вида от неизотропной прямой нет. 2. Поворотное отражение второго вида Выберем некоторую неизотропную прямую t и на ней пару точек N1, N2, принадлежащих соответственно второму и первому абсолютным углам. Каждой точке M копсевдоевклидовой плоскости и мнимому с положительной мнимой частью числу k поставим в соответствие такую точку М' этой плоскости, что: 1) |MM'| = |N1N2|, то есть (l1 l2 (PМ)(PМ')) = (l1 l2 (PN1)(PN2)); 2) ∠(N2М') t = k ∠(N1М) t; 3) точки М', M1 (М', M2) принадлежат одному квадранту относительно прямой t, где Мi – точка пересечения прямой Ki M, i =1, 2, с изотропной прямой, гармонически разделяющей с прямой PM абсолютные прямые. По условию 1 для каждой точки M плоскости определена единственная изотропная прямая m', проходящая через точку М'.

179

Точка N2 (N1) принадлежит первому (второму) абсолютному углу, поэтому для точки М (М'), не принадлежащей прямой t, величина угла (N2М')t ((N1М) t) – число мнимое с положительной мнимой частью (действительное положительное). Следовательно, при каждом мнимом с положительной мнимой частью значении k условию 2 удовлетворяют две прямые m1, m2 пучка с центром в точке N2, причем эти прямые гармонически сопряжены относительно прямых N2P и t. Поэтому точки M1', M2' пересечения прямых m1, m2 с изотропной прямой m' принадлежат различным квадрантам относительно прямой t. Точки M1, M2 принадлежат одной изотропной прямой, гармонически сопряженной с прямой МР относительно прямых абсолюта, поэтому, в частности, принадлежат одному абсолютному углу. Построим (рис. 35) точку L2 (L1) пересечения прямой MK1 (MK2) с абсолютной прямой l2 (l1). По построению P, M, M0 – диагональные точки полного четырехвершинника K1L1K2L2. Следовательно, точки M1, M2 пересечения противоположных сторон этого четырехвершинника с диагональю PM0 гармонически сопряжены с диагональными точками P, M0. Это означает, что точки M1, M2 принадлежат различным квадрантам относительно прямой t = K1K2. Поэтому в квадранте каждой точки Мi, i = 1, 2, найдется единственная точка Мj', j =1, 2. Таким образом, условия 1– 3 однозначно определяют точку М'. Повторяя рассуждения предыдущего пункта, можно показать, P что введенное соответствие является преобразованием первого рода копсевдоевклидовой плоскости. K1 Причем прямая t – единственная M1 неподвижная прямая данного L2 М0 преобразования. Следовательно, преобразование указано в первой M K2 M2 L1 строке таблицы 3 копсевдоевклидовых t преобразований. Рис. 35 N2 принадлежат Точки N1, различным абсолютным углам, поэтому согласно условию 1, различным абсолютным углам принадлежат и точки М, М'. Следовательно, данное преобразование второго вида. Назовем введенное преобразование поворотным отражением второго k II вида с коэффициентом k от неизотропной прямой t. Обозначение: t R . При соответствующем задании канонического репера поворотное отражение второго вида с коэффициентом k от неизотропной прямой t можно задать матрицей (62) при |n| < 1. Заметим, что согласно равенствам (59), (60) условие (61) имеет вид: 180

a33 = −ik 1 − n 2 .

(64)

Если точки М', M1 (М', M2) принадлежат одному квадранту относительно прямой t, то в соответствии с неравенством (30) главы 1 для матрицы (62) получаем первое (второе) неравенство из (63). Учитывая, что при |n| < 1 всегда выполняется неравенство n > –1, необходимо иметь а33 < 0 (а33 > 0), поэтому случаю принадлежности точек М', M1 (М', M2) одному квадранту относительно прямой t в матрице (62) соответствует знак «+» («–»). Матрица (62) задает псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости при |n| < 1 и k = i. Абсолютных псевдодвижений среди поворотных отражений второго вида от неизотропной прямой нет. Применяя теоремы 5, 13, можно показать, что каждое преобразование, указанное в первой строке таблицы 3 (приложение 2) преобразований копсевдоевклидовой плоскости, является поворотным отражением от неизотропной прямой либо первого, либо второго вида. 3. Гомотетия относительно пучка параллельных прямых Пусть заданы две неизотропные параллельные прямые a, b и некоторое действительное число λ (λ ≠ 0, λ ≠ 1). Пучок прямых, параллельных прямым a, b, будем обозначать (a, b). Гомотетией∗ относительно пучка (a, b) с коэффициентом λ назовем преобразование Н (λa , b ) копсевдоевклидовой плоскости, которое каждой точке М плоскости ставит в соответствие такую точку М', что: 1) прямая ММ' принадлежит пучку (a, b); 2) |MM'| = ln λ , то есть прямые абсолюта разделяют изотропные прямые (РМ), (РМ') в отношении λ: ((PM)(PM') l1l2) = λ. Условия 1, 2 при λ ≠ 0 определяют взаимно однозначное отображение копсевдоевклидовой плоскости на себя. Заметим, что в определении гомотетии λ ≠ 1, то есть изотропные прямые (РМ), (РМ') – различные, следовательно, гомотетия не является тождественным преобразованием. Если λ > 0, то по условию 2 при гомотетии с коэффициентом λ каждая точка плоскости принадлежит одному абсолютному углу со своим образом, если λ < 0, то точка и ее образ принадлежат различным абсолютным углам. Следовательно, при λ > 0 (λ < 0) гомотетия является преобразованием первого (второго) вида. Найдем аналитическую запись гомотетии относительно пучка параллельных прямых с коэффициентом λ. По теореме 12 гомотетия является преобразованием первого рода, так как расстояние между точками и их образами в данном преобразовании постоянно. ∗

Напомним, что термин гомотетия образован от греческих слов: «οµος» - равный, одинаковый, «θετος» - установленный, расположенный.

181

Пусть в произвольном каноническом репере R точка M копсевдоевклидовой плоскости имеет координаты: M (x1: x2: x3). Тогда точка М', заданная координатами (54) при ε = 1, является ее образом в преобразовании первого рода. Запишем условие ((PM)(PM') l1l2) = λ в координатах:

x1 x 2 a11 x1 + a12 x 2 1 1 −1 x1 x 2 a11 x1 + a12 x 2 −1 1 1

a12 x1 + a11 x 2 1 = λ. a12 x1 + a11 x 2 1

(65)

После необходимых преобразований равенство (65) принимает вид:

(x

2 1

)

− x 22 (a 11 (1 − λ ) + a 12 (1 + λ ) ) = 0 .

(66)

2 2 Учитывая, что M – собственная точка плоскости, то есть x1 − x 2 ≠ 0 , находим связь на коэффициенты матрицы исследуемого преобразования:

a12 =

λ −1 a11 . λ +1

(67)

Параллельные прямые a, b однозначно определяют точку S , центр пучка (a, b). Так как S лежит на одной из абсолютных прямых, ее однородные координаты в репере R можно записать в виде: S (±1:1: s). Согласно первому условию определения гомотетии точки S, M, M' принадлежат одной прямой, следовательно, выполняется равенство:

x1

x2

a11 x1 + a12 x2

a12 x1 + a11 x2

±1

1

x3 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = 0.

(68)

s

Преобразуем равенство (68) к виду:

x12 (a31 m sa12 ) − x22 (a32 m sa12 ) + x1x2 (a32 m a31) + (x1x3 − x2 x3 )(a33 − a11 ± a12 ) = 0 . Последнее равенство является тождеством, так как справедливо для любой точки копсевдоевклидовой плоскости. Поэтому

a31 = ±a32 = ±sa12 ,

a33 = a11 m a12 .

(69)

Условия (67), (69) однозначно определяют формулы преобразования координат при гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка (a, b) с центром в точке S (±1:1: s).

182

Положим a11 = λ + 1 , тогда если S принадлежит первой прямой абсолюта (в равенствах (69) это условие соответствует верхнему знаку), имеем:

a12 = λ − 1, a31 = a32 = s (λ − 1), a33 = 2 , если S лежит на второй абсолютной прямой (нижний знак в (69)), имеем:

a12 = λ − 1, a31 = − a32 = s(λ − 1), a33 = 2λ . Следовательно, матрицы преобразования имеют соответственно вид:

0⎞ λ −1 0⎞ λ −1 ⎛ λ +1 ⎛ λ +1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 0 ⎟. λ + 1 0 ⎟, G2 = ⎜ λ − 1 λ +1 G1 = ⎜ λ − 1 ⎜ s (λ − 1) s (λ − 1) 2 ⎟ ⎜ s (λ − 1) s (1 − λ ) 2λ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(70)

Гомотетия относительно пучка параллельных прямых представлена в третьей строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости, так как каждая из матриц (70) имеет вид А1 при условиях (20). С другой стороны, для каждой матрицы А1 при условиях (20) можно найти действительные числа s и λ (причем λ ≠ 0, λ ≠ 1), при которых матрица А1 совпадает с одной из матриц (70). Следовательно, каждое преобразование, представленное в третьей строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости, является гомотетией относительно некоторого пучка параллельных прямых. Согласно проведенной классификации преобразований при гомотетии инвариантна каждая точка одной из абсолютных прямых, следовательно, каждая прямая плоскости, не принадлежащая пучку гомотетии, переходит в параллельную ей прямую. Каждая прямая пучка гомотетии остается инвариантной. Расстояние между параллельными прямыми, пересекающимися на второй (первой) прямой абсолюта при гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка с центром на первой (второй) прямой абсолюта, заданной соответствующей матрицей (70), согласно равенству (43) изменяется в |λ| –1 (|λ|) раз. Последнее равенство из (69) является одним из условий (47), следовательно, гомотетия в общем случае является полудвижением. При λ = – 1 получим частный вид гомотетии относительно пучка параллельных прямых, при котором согласно условию 2 определения гомотетии каждая точка плоскости переходит в ортогональную ей точку, то есть, точка и ее образ перестановочны в данном преобразовании. Учитывая это свойство, дадим следующее определение. Гомотетию с коэффициентом λ = – 1 относительно пучка параллельных прямых (a, b) назовем ортогональным отражением в пучке (a, b). 183

Матрицы G1, G2 (70), задающие гомотетию в произвольном каноническом репере, при λ = – 1 и только в этом случае принимают вид матриц L2, L1 из (52) при условиях а31 = а32, а31 = –а32 соответственно. Следовательно, гомотетия является абсолютным псевдодвижением тогда и только тогда, когда λ = – 1, то есть когда гомотетия является ортогональным отражением в пучке параллельных прямых. 4. Сжатие к неизотропной прямой Пусть t – неизотропная прямая копсевдоевклидовой плоскости, k – действительное число (k ≠ 0, k ≠ 1). Сжатием к неизотропной прямой t с k коэффициентом k назовем преобразование С t , которое каждой точке М копсевдоевклидовой плоскости ставит в соответствие такую точку M', что: 1) точки М и М' коллинеарны; 2) (ММ',Т) = – 1/ k, или (MM' РТ) = k, где Р (0:0:1) – точка пересечения абсолютных прямых, Т – точка пересечения прямых t и МР. При k ≠ 0, k ≠ 1 условия 1, 2 определяют взаимно однозначное отображение копсевдоевклидовой плоскости на себя, отличное от тождественного преобразования. Заметим, что при k < 0 пара точек M, M' разделяет пару точек Р, Т, то есть изотропный отрезок MM' пересекает прямую t. При k > 0 отрезок MM' не пересекает прямую t. Согласно определению сжатие к неизотропной прямой является коллинеарным преобразованием копсевдоевклидовой плоскости. В данном преобразовании инвариантна каждая точка прямой t. Действительно, любая точка М прямой t является точкой пересечения этой прямой с изотропной прямой МР. Поэтому условие 2 в определении сжатия к неизотропной прямой t с коэффициентом k принимает вид: (MM'РМ) = k. Последнее равенство имеет смысл только в случае совпадения точек М и M'. Аналитическая запись сжатия к неизотропной прямой t (t1: t2: t3) совпадает с записью этого преобразования на коевклидовой плоскости ((47), гл. 4, ч. 1). Матрица преобразования имеет вид:

⎛ t3 ⎜ ⎜ 0 ⎜ (k − 1)t 1 ⎝

0 t3 (k − 1)t 2

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ kt 3 ⎟⎠

(71)

и совпадает с матрицей А2 четвертой строки таблицы 3 копсевдоевклидовых преобразований (приложение 2). Для матрицы (71) выполняется первое неравенство (2), следовательно, каждое отражение от неизотропной прямой является преобразованием первого вида. 184

Условие 2 определения сжатия к неизотропной прямой дает возможность рассматривать частный вид данного преобразования. Сжатие к неизотропной прямой t с коэффициентом k = –1 назовем симметрией относительно неизотропной прямой t. Прямую t назовем осью симметрии. Ось симметрии делит отрезок MM' пополам, так как точка пересечения прямой t с изотропной прямой МР гармонически разделяет с абсолютной точкой Р пару точек M, M'. Матрица (71) может совпадать только с одной из матриц (50), с матрицей Н2, причем тогда и только тогда, когда k = –1. Следовательно, сжатие к неизотропной прямой t является абсолютным движением тогда и только тогда, когда оно является симметрией относительно неизотропной прямой t. Вид матрицы (71) не зависит от выбора системы координат, в каждом каноническом репере матрица (71) задает сжатие к неизотропной прямой, и каждое сжатие к неизотропной прямой можно задать матрицей (71). Следовательно, в каждом каноническом репере симметрия относительно любой неизотропной прямой является абсолютным движением. В §7 будет показано, что симметрия относительно неизотропной прямой является инволютивным преобразованием. 5. Изотропный сдвиг Изотропным сдвигом на ковектор V назовем преобразование, которое каждой неизотропной прямой a копсевдоевклидовой плоскости ставит в

соответствие такую прямую a', что дублет aa ' является представителем . данного ковектора V. Обозначение: Изотропный сдвиг на нулевой ковектор, очевидно, является P тождественным преобразованием. Ненулевой ковектор p копсевдоевклидовой плоскости может N' быть неизотропным или изотропным. q В зависимости от вида заданного V будем ненулевого ковектора N a различать два вида изотропного A сдвига: сдвиг на неизотропный ковектор; сдвиг на изотропный a' ковектор. Укажем способ построения образа Рис. 36 прямой а при сдвиге на неизотропный ковектор. Пусть дублет pq (рис. 36) представляет данный неизотропный ковектор V. Примем обозначения: N – точка пересечения данной прямой a с прямой p, A – точка пересечения направляющей ковектора V с прямой а. 185

Прямая а' проходит через точку А и точку N' пересечения изотропной прямой PN с прямой q. В данном преобразовании инвариантна каждая изотропная прямая, то есть преобразование является коллинеарным. Кроме того, в преобразовании инвариантна каждая точка направляющей ковектора V. Следовательно, данное преобразование представлено в пятой строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости (приложение 2). Построение точки M' – образа точки M в данном преобразовании – можно провести, используя способ построения образа некоторой прямой, проходящей через точку M.∗ При сдвиге на изотропный P ковектор V, представитель pq (рис. 37) M' имеет вершину на одной из абсолютных прямых, на той же прямой пересекается p N' любая прямая со своим образом в q данном преобразовании. M Построение точки М', образа точки l1(l2) М при сдвиге на изотропный ковектор, N A pq , представленный дублетом a показано на рисунке 37. a' Аналитическая запись Рис. 37 изотропного сдвига на ковектор V может быть получена по аналогии с записью изотропного сдвига коевклидовой плоскости ((49), глава 4, часть 1). В каждом каноническом репере матрица изотропного сдвига на ⎛ a31 a32 ;− ⎝ a11 a11

ковектор V ⎜⎜ −

⎞ ⎟⎟ имеет вид: ⎠

⎛ а11 0 ⎜ А3 = ⎜ 0 а11 ⎜а ⎝ 31 а32

0⎞ ⎟ 0 ⎟. а11 ⎟⎠

(72)

Можно показать, что каждое преобразование, представленное матрицей А3 таблицы 3 (приложение 2), является изотропным сдвигом. Заметим, что матрица (72) определяет три различных класса преобразований копсевдоевклидовой плоскости. ∗

Аналогичный способ указан в первой части пособия при построении образа точки коевклидовой плоскости при изотропном сдвиге на ненулевой ковектор.

186

Действительно, если ковектор V – нулевой, то a31 = a32 = 0. Тогда матрица А3 совпадает с матрицей А4 (последняя строка таблицы 3) и определяет тождественное преобразование копсевдоевклидовой плоскости. Если V – ненулевой изотропный ковектор, то |a31| = |a32| ≠ 0. При этих условиях матрица (72) определяет сдвиг на изотропный ковектор. Преобразование указанно в шестой строке таблицы 3 копсевдоевклидовых преобразований. Если V – ненулевой неизотропный ковектор, то |a31| ≠ |a32|. Матрица (72) определяет сдвиг на неизотропный ковектор. Преобразование указанно в пятой строке таблицы 3. Изотропный сдвиг на любой ковектор является абсолютным движением копсевдоевклидовой плоскости. Матрица (72) имеет вид матрицы Н1 из (50). 6. Скользящая гомотетия Имеет место теорема. Теорема 15. Композиция гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка параллельных прямых (a, b) и сдвига на ненулевой изотропный ковектор V, направляющая которого не содержит центр пучка (a, b), коммутативна. Доказательство. Согласно рассуждениям пункта 3 гомотетию с коэффициентом λ относительно пучка (a, b) с центром в точке S (±1:1: s) на первой (второй) прямой абсолюта в каждом каноническом репере можно задать соответственно первой (второй) матрицей (70). Если вторая (первая) абсолютная прямая является направляющей изотропного ковектора V, то в каждом каноническом репере ковектор V можно задать координатами: V (– v; ± v), где v – некоторое действительное число. Сдвиг на ненулевой изотропный ковектор V (– v; ± v) зададим матрицей:

Т 1, 2

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟. ⎜ v m v 1⎟ ⎝ ⎠

(73)

Непосредственная проверка дает:

λ −1 0 ⎞⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞⎛ λ + 1 λ −1 0 ⎞ ⎛ λ +1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ λ + 1 0 ⎟⎜ 0 1 0⎟ = ⎜ 0 1 0⎟⎜ λ −1 В1 = ⎜ λ −1 λ +1 0⎟ = ⎜ s(λ −1) s(λ −1) 2⎟⎜ v − v 1 ⎟ ⎜ v − v 1 ⎟⎜ s(λ −1) s(λ −1) 2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0⎞ λ +1 λ −1 ⎛ ⎜ ⎟ =⎜ 0⎟ . λ −1 λ +1 ⎜ s (λ − 1) + 2v s (λ − 1) − 2v 2 ⎟ ⎝ ⎠ 187

(74)

λ −1 0 ⎞ λ − 1 0 ⎞⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞⎛ λ + 1 ⎛ λ +1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ λ +1 0 ⎟ = В2 = ⎜ λ − 1 λ + 1 0 ⎟⎜ 0 1 0⎟ = ⎜ 0 1 0⎟⎜ λ − 1 ⎜ s(λ − 1) s(1 − λ) 2λ ⎟⎜ v v 1 ⎟ ⎜ v v 1 ⎟⎜ s(λ − 1) s(1 − λ) 2λ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ λ +1 ⎛ ⎜ λ −1 =⎜ ⎜ s (λ − 1) + 2vλ ⎝

λ −1 0⎞ ⎟ λ +1 0 ⎟. s(1 − λ ) + 2vλ 2λ ⎟⎠

(75)

Таким образом, G1 T1 =T1 G1, G2 T2 =T2 G2. Что и требовалось доказать. Композицию гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка параллельных прямых (a, b) и сдвига на ненулевой изотропный ковектор V, направляющая которого не содержит центр пучка (a, b), назовем скользящей гомотетией с коэффициентом λ на ковектор V относительно пучка (a, b), или кратко: скользящей гомотетией. Матрицы В2 (В1) имеют вид матрицы А1 (таблица 3, приложение 2) при условиях (21) соответственно, так как по условию данный ковектор V – ненулевой, то есть в матрицах (73), (74), (75) v ≠ 0. Следовательно, скользящая гомотетия представлена во второй строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости. С другой стороны, каждую матрицу вида А1 при условиях (21) можно представить соответствующей матрицей В2, В1, а, следовательно, в виде произведения матрицы Т1,2 (73) и соответствующей матрицы (70). Таким образом, каждое преобразование, представленное во второй строке таблицы 3, является скользящей гомотетией. При λ > 0 (λ < 0) скользящая гомотетия является преобразованием первого (второго) вида. В силу выполнимости условий (21) скользящая гомотетия в общем случае (при λ ≠ –1) является полудвижением. Расстояние между параллельными прямыми, пересекающимися на второй (первой) прямой абсолюта при скользящей гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка с центром на первой (второй) прямой абсолюта изменяется в

1

λ

(λ ) раз.

Центр пучка (a, b) – единственная неподвижная точка преобразования. Матрицы В1, В2 имеют вид матриц L1, L2 соответственно и задают абсолютное псевдодвижение тогда и только тогда, когда λ = – 1. В этом случае гомотетия относительно пучка параллельных прямых, входящая в композицию скользящей гомотетии, является ортогональным отражением в пучке (a, b). 7. Тождественное преобразование Тождественное преобразование может быть задано матрицей A4 таблицы 3 копсевдоевклидовых преобразований.

188

8. Псевдоевклидово вращение Выберем неизотропную прямую t, пару ортогональных точек K, N на этой прямой и действительное число λ, λ ≠ ±1, λ ≠ 0. λ Псевдоевклидовым вращением с коэффициентом λ (обозначение: PR K , N ) назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, в котором каждой точке M плоскости соответствует такая ее точка M', для которой выполняются следующие условия: 1) изотропные прямые РМ и РМ' гармонически разделяют изотропные прямые РK и РN; 2) прямая KN делит угол M'KM в отношении (–λ), то есть ((KM')(KM)(KN)(KP)) = λ. Точку K назовем центром псевдоевклидова вращения, точку N – коцентром. Условия 1, 2 при λ ≠ 0 определяют преобразование копсевдоевклидовой плоскости. Требование λ ≠ ±1 исключает инвариантность каждой прямой пучка с центром в точке K (N). Найдем аналитическую запись псевдоевклидова вращения с коэффициентом λ. Прежде всего, покажем, что введенное преобразование Н второго рода. Пусть точка М', заданная в некотором каноническом репере R однородными координатами (4), – образ произвольной точки M (m1: m2: m3) в преобразовании Н копсевдоевклидовой плоскости. Центр и коцентр вращения зададим в том же репере однородными координатами: K (k1: k2: k), N (k2: k1: n). Гармоническая разделенность каждой точки М плоскости со своим образом в данном преобразовании относительно изотропных прямых PK, PN приводит к следующему условию:

m1 k1 m1 k2

m 2 a11 m1 + a12 m 2 k2 k2 m 2 a11 m1 + a12 m 2 k1 k1

εa12 m1 + εa11 m 2 k1 = −1, εa12 m1 + εa11 m 2 k2

или

(m

2 1

)(

)

+ m 22 2 a11 k1 k 2 − ε a12 ( k 12 + k 22 ) +

(

)

+ m1 m 2 (1 + ε ) 2 a12 k1 k 2 − a11 ( k 12 + k 22 ) = 0 .

(76)

Тождественное выполнение равенства (76) равносильно двум условиям:

(

)

a11 k12 + k 22 =− , ε = −1. a12 2k1k 2 189

(77)

Следовательно, данное преобразование второго рода. Прямые KN и KP в репере R имеют соответственно уравнения:

(

)

x1 (nk 2 − kk1 ) + x 2 (kk 2 − nk1 ) + x3 k12 − k 22 = 0,

(78)

x1 k 2 − x 2 k1 = 0.

(79)

Прямые KM, KM' заданы в репере R уравнениями:

x1 (k 2 m3 − km2 ) + x 2 (km1 − k1 m3 ) + x3 (k1 m2 − k 2 m1 ) = 0,

(80)

x1 (m1 (a31k 2 + a12 k ) + m2 (a32 k 2 + a11k ) + m3 a33k 2 ) + x2 (m1 (a11k − a31k1 ) + m2 (a12 k − a32 k1 ) − m3 a33 k1 ) +

(81)

x3 (− m1 (a12 k1 + a11k 2 ) − m2 (a11k1 + a12 k 2 ) ) = 0.

Вычислим сложное отношение четырех прямых KM', KM, KN, KP по первой и третьей координатам и приравняем его к λ. В результате необходимых преобразований получим уравнение относительно координат точки М:

m12 ( f1 − λh1 ) + m1 m2 ( f 2 − λh2 ) + m22 ( f 3 − λh3 ) + (82)

+ m1 m3 ( f 4 − λh4 ) + m2 m3 ( f 5 − λh5 ) = 0, где

(

)

f1 = k 2 a31 k12 − a31 k 22 − a12 kk 2 + a12 nk1 + a11 nk 2 − a11 kk1 , f 2 = (k12 − k 22 )(a32 k 2 + a11 k − a12 n − a 31 k1 ),

(

)

f 3 = k1 a32 k 22 − a32 k12 + a11 kk 2 − a11 nk1 + a12 kk1 − a12 nk 2 , f 4 = a 33 k 2 (k12 − k 22 ),

h1 = (a11k 2 + a12 k1 )(nk 2 − kk1 ),

f 5 = − a33 k1 (k12 − k 22 ),

(

(83)

)

h2 = − k12 − k 22 (a11 k + a12 n ),

h3 = (a11 k1 + a12 k 2 )(kk 2 − nk1 ),

(

)

(

)

h4 = k12 − k 22 (a12 k1 + a11 k 2 ), h5 = k12 − k 22 (a11k1 + a12 k 2 ). Второе условие в определении псевдоевклидова вращения должно выполняться для каждой точки плоскости, следовательно, условие (82) должно быть тождественным. Это возможно только в случае равенства нулю всех коэффициентов уравнения (82). Приравнивая к нулю указанные коэффициенты, получим пять уравнений вида: 190

fi = λhi ,

(84)

где i = 1 ÷ 5, а значения fi, hi определены равенствами (83). Решения системы уравнений (84), ajl , где j, l =1, 2, 3, являются коэффициентами искомой матрицы введенного преобразования. Совместное решение четвертого и пятого уравнения из системы (84) приводит к равенствам (77) и

(

)

a33 λ k12 − k 22 = . a12 2 k1 k 2

(85)

Из первого и третьего уравнения системы (84) при выполнении равенства (77) получаем значения

a31 nk 2 (λ − 1) − kk1 (λ + 1) = , 2k1k 2 a12

(86)

a32 kk2 (λ + 1) − nk1 (λ − 1) = , 2k1k 2 a12

(87)

удовлетворяющие второму уравнению (84). Итак, матрицу введенного преобразования можно записать в виде:

(

)

⎞ ⎛ 2k1k2 0 − k12 + k22 ⎟ ⎜ 2 2 2 0 − k k k + k ⎟. ⎜ 1 2 1 2 ⎜ nk (λ − 1) − kk (λ + 1) kk (λ + 1) − nk (λ − 1) λ (k 2 − k 2 ) ⎟ 1 2 1 1 2 ⎠ ⎝ 2

(88)

Для собственных вещественных точек K, N числа k1, k2 – действительные, причем |k1| ≠ |k2|, поэтому для коэффициентов а11, а12 матрицы (88) выполняется неравенство:

(

а112 − а122 = k12 + k 22

)

2

(

− 4k12 k 22 = k12 − k 22

)

2

> 0,

следовательно, псевдоевклидово вращение – преобразование первого вида. Так как по условию λ ≠ ±1, то выполнение равенства (34) для коэффициентов матрицы (88) невозможно. Это означает, что псевдоевклидовы вращения не содержат движений. Матрица (88) указана в первой строке таблицы 4 преобразований второго рода (приложение 3). Псевдоевклидовы вращения F1, F2 с центром K и коцентром N назовем сопряженными, если их коэффициенты – противоположные числа. Образы одной и той же точки в сопряженных псевдоевклидовых вращениях симметричны относительно прямой KN. Докажем, что если псевдоевклидовы вращения F1, F2 имеют противоположные коэффициенты и центр (коцентр) вращения F1 является 191

коцентром (центром) вращения F2, то псевдоевклидовы вращения F1, F2 совпадают, то есть для любой точки М плоскости: F1 (M) = F2 (M). Действительно, по первому условию определения псевдоевклидова вращения для F1, F2 имеем: ((PM')(PM) (PK)(PN)) = –1. Пусть K0, N0 – точки, коллинеарные соответственно точкам K и N на прямой ММ' (рис. 38). Тогда ((PM')(PM) (PK)(PN)) = (M'M K0N0). Поэтому по свойствам сложного отношения четырех прямых пучка и сложного отношения четырех точек одной прямой получаем: ((NM')(NM) (NK)(NP)) = (M'M SN0) = (M'M SK0)(M'M K0N0) = = – (M'M SK0) = – ((KM')(KM) (KN)(KP)), где S – точка пересечения прямых ММ' и t. Так как вращения F1, F2 имеют противоположные коэффициенты, то последнее равенство с учетом второго условия определения вращения доказывает утверждение. Данные точки K, N являются инвариантными элементами преобразования. Кроме того, как и в Р каждом преобразовании копсевдоевклидовой плоскости в М преобразовании (88) инвариантна точка K0 М' Р пересечения абсолютных прямых. N0 Следовательно, данное преобразование можно рассматривать как вращение N S вокруг точки Р в плоскости, абсолют K которой состоит из точек K, N и Рис. 38 проходящей через них прямой, то есть в псевдоевклидовой плоскости. Это свойство введенного преобразования объясняет его название – псевдоевклидово вращение. Из условий (77), (85) находим

λ=

а33 а −а 2 11

2 12

.

(89)

Таким образом, модуль коэффициента псевдоевклидова вращения (89) является коэффициентом искажения данного преобразования (35). 2 2 Пусть при условии а11 − а12 > 0 задана матрица А5 из таблицы 4 (приложение 2). Тогда по формуле (89) можно однозначно определить 192

значение λ. Затем, рассматривая выражения (77), (85), (86), (87) как n k k1 , , можно однозначно уравнения относительно переменных k2 k2 k2 определить инвариантные точки K, N. Следовательно, заданием матрицы А5 2 2 при условии а11 − а12 > 0 однозначно определено некоторое псевдоевклидово вращение. 9. Евклидово вращение Выберем неизотропную прямую t, пару мнимо сопряженных ортогональных точек K, N на этой прямой и мнимое число λ. λ Евклидовым вращением с коэффициентом λ (обозначение: ER K , N ) назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, в котором каждой точке M плоскости соответствует такая ее точка M', что: 1) изотропные прямые РМ и РМ' гармонически разделяют мнимо сопряженные изотропные прямые РK и РN; 2) ((KM)(KM'),(KN)) = – 1/ λ, или ((KM)(KM')(KP)(KN)) = λ. Найдем аналитическую запись евклидова вращения с коэффициентом λ. Ортогональные мнимо сопряженные точки K, N в некотором каноническом репере зададим координатами:

K (a + ib : a − ib : a3 + ib3 ), N (a − ib : a + ib : a3 − ib3 ). Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущего пункта, получим матрицу евклидова вращения

⎛ b2 − a2 a2 + b2 0 ⎞ ⎟ ⎜ 2 2 2 2 a −b 0 ⎟. (90) −a −b ⎜ ⎜ − (aа + bb ) + iλ (ab − a b) (aa − bb ) − iλ (ab + a b) 2iabλ ⎟ 3 3 3 3 3 3 3 3 ⎠ ⎝ По определению λ – мнимое число, поэтому все коэффициенты аij, i, j = 1, 2, 3, матрицы (90) – действительные числа, следовательно, матрица определяет преобразование второго рода копсевдоевклидовой плоскости. Для коэффициентов а11, а12 матрицы (90) справедливо неравенство:

(

а112 − а122 = b 2 − a 2

) − (a 2

2

+ b2

)

2

= − 4a 2b 2 < 0,

(91)

следовательно, евклидово вращение – преобразование второго вида. Поэтому евклидовы вращения не содержат движений. В евклидовом вращении инвариантны данные, мнимо сопряженные точки K, N и, следовательно, проходящая через них прямая. Таким образом, введенное преобразование можно рассматривать как некоторое вращение вокруг точки Р плоскости евклидовой с абсолютом, состоящим из пары точек 193

K, N. Все евклидовы вращения представлены во второй строке таблицы 4 копсевдоевклидовых преобразований (приложение 2). Матрица (90) определяет псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости, если для ее коэффициентов выполняются условия (40). В этом случае λ = ± i. Рассмотрим один из частных видов евклидовых вращений, для которых λ = ± i. Канонический репер R выберем таким образом, чтобы инвариантные точки вращения оказались гармонически сопряженными относительно координатных вершин А1, А2. На прямой t существует единственная пара действительных точек А1, А2, гармонически разделяющих данные ортогональные мнимо сопряженные точки K, N. В репере R для координат точек K(a + ib: a – ib: a3 + ib3), N(a – ib: a + ib: a3 – ib3) выполняется одно из равенств: a = ± b, а матрица (90) (при λ = ± i) принимает вид одной из матриц L3, L4 (53). Следовательно, в заданном каноническом репере R выделенный вид евклидова вращения является абсолютным псевдодвижением. 10. Отражение от точки Отражением от заданной точки K, или симметрией относительно точки K (обозначение: ZK), назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, при котором каждой точке М плоскости соответствует такая ее точка М', что: 1) М' принадлежит прямой MK; 2) точки М, М' гармонически разделяют изотропные ортогональные прямые PK и k (рис. 39).∗ Точку K назовем центром отражения (или центром симметрии). Данное преобразование является преобразованием второго рода, так как l1 P любую точку абсолютной прямой l1 (l2) переводит в точку, лежащую на прямой, гармонически разделяющей с прямой l1 (l2) прямые k и PK, то есть на прямой l2 (l1). Кроме того, в данном преобразовании инвариантна каждая прямая пучка с центром в точке K. M K l2 M' k Следовательно, преобразование расположено в последней строке Рис. 39 таблицы 4 (приложение 2). Найдем его аналитическую запись. Если точка K в некотором каноническом репере R имеет координаты: K (k1: k2: k3), то условие гармонической сопряженности точки М (m1: m2: m3) со своим образом М' (54) ∗

Если точки М, М' принадлежат одному абсолютному углу, то точка K – середина, или квазисередина неизотропного отрезка ММ'.

194

в данном преобразовании относительно ортогональных изотропных прямых PK и k дает отношение (77). Точки K, M, M' по определению преобразования лежат на одной прямой, следовательно, выполняется равенство:

a11m1 + a12m2 − a12m1 − a11m2 a31m1 + a32m2 + a33m3 m1 m2 m3 = 0, k1 k2 k3

(92)

или

m12 (a31k 2 + a12 k3 ) + m22 (a12 k3 − a32 k1 ) + m1m2 (2a11k3 − a31k1 + a32 k 2 ) + (93) m1m3 (a33k 2 − a12 k1 − a11k 2 ) + m2 m3 (− a11k1 − a33k1 − a12 k 2 ) = 0. Тождественное выполнение равенства (93) дает однозначное выражение отношений:

a31 k =− 3, a12 k2

a32 k 3 = , a12 k1

a33 k12 − k 22 = . a12 2 k1 k 2

(94)

Следовательно, матрица отражения от точки K может иметь вид:

(

⎛ − k12 + k 22 ⎜ Z = ⎜ − 2k1k 2 ⎜ − 2k k 1 3 ⎝

)

2k1k 2 k12 + k 22 2k 2 k 3

⎞ ⎟ 0 ⎟. k12 − k 22 ⎟⎠ 0

(95)

Для коэффициентов матрицы (95) вида А5 (приложение 2) выполняются условия (30), (32), таким образом, каждое отражение от точки является преобразованием первого вида и движением. Система уравнений (77), (94) относительно переменных (k 3 : k1 ), (k 2 : k1 ) , коэффициентов матрицы (95), допускает единственное решение, следовательно, каждое преобразование, заданное матрицей А5 при условиях (30) и (32) является отражением от точки. Центр отражения, точка K (k1: k2: k3), является действительной собственной точкой копсевдоевклидовой плоскости, поэтому

k12 + k 22 ≠ 0, k12 − k 22 ≠ 0. Если центр отражения принадлежит изотропной координатной прямой x1 = 0 (x2 = 0), то матрица (95) принимает вид матрицы Н3 (Н4) (51) при условии a31 = 0 (a32 = 0) соответственно, следовательно, отражение от некоторой собственной точки изотропной координатной прямой является абсолютным движением копсевдоевклидовой плоскости. 195

Таким образом, свойство отражения от точки быть абсолютным движением зависит от выбора системы координат. Если центр симметрии совпадает с координатной вершиной, то в матрице Н3 (Н4) (51) a31 = a32 = 0. 11. Скользящее отражение На копсевдоевклидовой плоскости имеют место следующие три теоремы, справедливые и на плоскости коевклидовой. Теорема 16. Композиция отражения от точки и сдвига на данный неизотропный ковектор является коммутативной тогда и только тогда, когда центр симметрии принадлежит направляющей ковектора. Доказательство. Пусть в каноническом репере R отражение от точки K(k1: k2: k3) задано матрицей Z (95), а сдвиг на неизотропный ковектор V(v1; v2) матрицей:

⎛ 1 ⎜ T =⎜ 0 ⎜− v ⎝ 1

0 1 − v2

0⎞ ⎟ 0 ⎟. 1 ⎟⎠

(96)

Произведение матриц Z и T коммутативно тогда и только тогда, когда выполняется условие

k1v1 + k 2 v 2 = 0.

(97)

Направляющая ковектора V(v1; v2) ((17), гл. 2, ч. 1) в репере R имеет однородные координаты: (v1: v2: 0). Следовательно, условие (97) выражает принадлежность точки K направляющей ковектора V. Что и требовалось доказать. Преобразование копсевдоевклидовой плоскости, являющееся композицией сдвига на неизотропный ковектор V и отражения от точки K, принадлежащей направляющей ковектора V, назовем скользящим отражением от точки K с ковектором V, или кратко: скользящим K отражением. Обозначение: SV = Z K ° TV . K Если V – нулевой ковектор, то SV – центральная симметрия. Итак, центральная симметрия – частный случай скользящего отражения. Следствием теоремы 16 и определения скользящего отражения является следующая теорема. Теорема 17. В скользящем отражении композиция отражения от точки и сдвига на неизотропный ковектор коммутативна. Следующая теорема позволит нам конструктивно определить каждое движение второго рода. Теорема 18. Любое движение второго рода можно представить в виде композиции отражения от точки и сдвига на ковектор, направляющая которого проходит через центр отражения. 196

Теорема справедлива, так как согласно проведенной классификации копсевдоевклидовых преобразований каждое движение второго рода копсевдоевклидовой плоскости является либо скользящим отражением, либо отражением от точки, которое можно рассматривать как скользящее отражение с нулевым ковектором. Если ковектор V – нулевой, то, очевидно, матрица S скользящего отражения имеет вид Z (95). Пусть в каноническом репере R ненулевой ковектор V задан координатами (v1; v2), а точка K (–v2: v1: k) – некоторая точка направляющей этого ковектора. Тогда матрица S скользящего отражения от точки K с ковектором V имеет вид:

(

)

⎛ − v12 + v22 ⎜ 2v1v2 S =⎜ ⎜ 2v k + v v 2 + v 2 1 1 2 ⎝ 2

(

− 2v1v2

)

v12 + v22

(

2v1k + v2 v − v 2 1

⎞ ⎟ 0 ⎟. v22 − v12 ⎟⎠ 0

2 2

)

(98)

Если точка K, центр отражения, принадлежит первой (второй) координатной оси, то v1 = 0 (v2 = 0), и матрица S принимает вид матрицы H4 (H3) (51). Следовательно, скользящее отражение от некоторой точки координатной прямой является абсолютным движением. 4.7 Инволюции копсевдоевклидовой плоскости 1. Инволюции первого рода Пусть преобразование Н первого рода копсевдоевклидовой плоскости задано матрицей (1) при ε = 1. Определим матрицу А квадрата данного преобразования.

⎛ a112 + a122 ⎜ A=⎜ 2a11 a12 ⎜a a + a a + a a 12 32 31 33 ⎝ 11 31

2a11 a12 a112 + a122 a11 a32 + a12 a31 + a32 a33

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. 2 ⎟ a33 ⎠

Матрица A задает тождественное преобразование тогда и только тогда, когда имеют место следующие равенства: 2 a112 + a122 = a33 , a11 a12 = 0, a11 a31 + a12 a32 + a31 a33 = 0, a11 a32 + a12 a31 + a32 a33 = 0.

(99)

Из второго равенства (99) получаем a11 = 0 или a12 = 0. 2 2 При a11 = 0 первое равенство (99) дает: a12 = a33 . Следовательно, в данном случае имеем: a11 = a12 = a33 = 0. Но при таких требованиях матрица (1) не определяет преобразование коевклидовой плоскости. 197

При a12 = 0 последние два условия (99) имеют вид

a31 (a11 + a33 ) = 0,

a32 (a11 + a33 ) = 0.

Откуда с учетом первого равенства (99) получаем две возможные матрицы преобразований.

⎛ a11 ⎜ E =⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

0 a11 0

0⎞ ⎟ 0 ⎟, a11 ⎟⎠

⎛ a11 0 ⎜ I = ⎜ 0 a11 ⎜a ⎝ 31 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟. − a11 ⎟⎠

Матрица E задает тождественное преобразование, которое согласно определению не является инволютивным. Матрица I совпадает с матрицей Н2 (50) и определяет абсолютное движение – симметрию относительно неизотропной прямой (a31 : a32: –2a11). Доказана теорема. Теорема 19. Инволюциями первого рода являются симметрии относительно неизотропных прямых, и только они. 2. Инволюции второго рода Преобразование H второго рода зададим матрицей (1) при ε = −1. Матрица квадрата данного преобразования имеет вид:

⎛ 0 0⎞ a112 − a122 ⎟ ⎜ 0 0 ⎟. B =⎜ a112 − a122 ⎜a a − a a + a a 2 ⎟ − a a + a a + a a a 11 31 12 32 31 33 11 32 12 31 32 33 33 ⎠ ⎝ Матрица В определяет тождественное преобразование тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия (17), (19). При этих условиях преобразование H является отражением от точки. Таким образом, справедлива теорема. Теорема 20. Инволюциями второго рода являются отражения от точки, и только они. Итак, инволюциями копсевдоевклидовой плоскости являются симметрии относительно прямой и отражения от точки.

198

Глава 5. Квадрики копсевдоевклидовой плоскости Для линий второго порядка копсевдоевклидовой плоскости справедливы все рассуждения пунктов 1, 2 §1 главы 5 первой части пособия, проведенные для линий плоскости коевклидовой. Исследуя квадрики копсевдоевклидовой плоскости, будем применять все термины, введенные в указанных пунктах. 5.1 Типы невырожденных линий второго порядка 1. Абсолютные прямые копсевдоевклидовой плоскости, в отличие от абсолютных прямых плоскости коевклидовой, являются действительными. В связи с этим теория линий второго порядка на копсевдоевклидовой плоскости значительно богаче. В зависимости от положения по отношению к абсолюту можно различать девять типов овальных линий. Рассмотрим каждый из возможных случаев взаимного расположения на копсевдоевклидовой плоскости невырожденной квадрики и прямых абсолюта. На рисунках 40 – 48 представлены линии γi, i = 1 ÷ 9, различных типов, для которых число общих точек с абсолютом равно: нулю (i = 1), единице (i = 2), двум (i = 3, 4, 5), трем (i = 6, 7), четырем (i = 8, 9). Название каждому типу линий дадим с учетом их схожести по наличию бесконечно удаленных элементов с невырожденными линиями второго порядка евклидовой плоскости. Параболы расширенной евклидовой плоскости касаются бесконечно удаленной прямой, поэтому условимся в названии линии использовать термин «парабола», если линия касается элементов абсолюта. Если линия проходит через общую точку абсолютных прямых, в названии используем приставку ори- (предел, граница, греч.). Если хотя бы одна из прямых абсолюта пересекает линию в двух действительных точках, в названии линии будем применять термин «гипербола», учитывая, что «евклидовы гиперболы» пересекают в двух точках бесконечно удаленную, абсолютную, прямую расширенной евклидовой плоскости.

γ2

γ1

Р Рис. 40

γ3

Р Рис. 41

Р Рис. 42

Пусть квадрика не имеет общих с абсолютом точек (рис. 40). Назовем такие квадрики эллипсами, так как на плоскости евклидовой (расширенной) именно эллипсы не имеют бесконечно удаленных точек. 199

Невырожденную линию второго порядка копсевдоевклидовой плоскости назовем параболой, если она имеет с абсолютом одну общую точку. Парабола изображена на рисунке 41. Квадрику назовем бипараболой, если она касается обеих абсолютных прямых (рис. 42). Бипараболу, учитывая ее метрическое свойство, будем также называть эквидистантой. Квадрику назовем орипараболой, если точка ее касания с абсолютом является общей точкой абсолютных прямых. Очевидно, орипарабола имеет две общие вещественные точки с абсолютом (рис. 43).

γ4

γ5

Р

γ6

Р

Рис. 43

Р

Рис. 44

Рис. 45

Гиперболой копсевдоевклидовой плоскости назовем линию, которая пересекает одну абсолютную прямую в двух действительных точках и не имеет общих действительных точек со второй прямой абсолюта (рис. 44). Линию назовем гиперболической параболой, если она касается одной прямой абсолюта и пересекает другую в двух вещественных точках (рис. 45). Квадрику назовем оригиперболой, если она содержит общую точку абсолютных прямых и имеет с каждой абсолютной прямой две действительные общие точки (рис. 46). γ7

Р

Рис. 46

γ8

γ9 Р

Р Рис. 47

Рис. 48

Пусть линия имеет с абсолютом четыре общие вещественные точки. Точка пересечения абсолютных прямых может быть по отношению к линии либо внешней (рис. 47), либо внутренней (рис. 48). В первом случае линию назовем бигиперболой, приставка би- (от лат. bi-, в сложных словах – двойной, двоякий) здесь указывает на различное положение линии внутри 200

абсолютных углов, во втором – эквигиперболой (от лат. aequus – равный, одинаковый), учитывая, что она одинаково расположена по отношению к абсолютным углам, по отношению к каждой изотропной прямой. 2. Найдем аналитические условия принадлежности овальной линии каждому определенному типу. Пусть в некотором каноническом репере R копсевдоевклидовой плоскости невырожденная линия второго порядка задана общим уравнением

a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0 ,

(1)

где D = det || aij || ≠ 0, i, j = 1, 2, 3, а прямые l1 и l2, определяющие абсолютную квадрику, – соответственно уравнениями:

x1 = x2 , x1 = − x2 .

(2) (3)

Тогда системы уравнений (1), (2) и (1), (3) определяют общие точки квадрики с абсолютом. Система уравнений (1), (2) ((1), (3)) равносильна при соответствующем знаке «+», «–» системе уравнений:

⎧⎪ x1 = ± x 2 , ⎨ 2 ⎪⎩ x1 (a11 ± 2a12 + a 22 ) + 2 x1 x3 (a13 ± a 23 ) + a33 x32 = 0.

(4)

Дискриминант второго уравнения соответствующей системы (4) равен

(

)

2 D1, 2 = 4 a132 ± 2a13a23 + a23 − a11a33 m 2a12a33 − a22a33 ,

(5)

или в тангенциальных координатах квадрики

D1, 2 = − 4( A11 m 2 A12 + A22 ) .

(6)

Введем обозначение:

∆1, 2 = −

D1, 2 = А11 m 2 А12 + А22 . 4

(7)

Знаки действительных чисел ∆1, ∆2 имеют геометрическую характеристику, они определяет количество и природу общих точек квадрики и соответствующей прямой абсолюта, следовательно, являются инвариантами квадрики. Каждому типу овальных линий соответствует определенный набор знаков чисел ∆1, ∆2 . Условие принадлежности общей точки абсолютных прямых овальной линии равносильно равенству нулю координаты а33 в общем уравнении линии. Следовательно, уравнения орипарабол и оригипербол, и только этих линий, характеризуются условием: 201

а33 = 0.

(8)

Условие (8) инвариантно относительно копсевдоевклидовых преобразований, так как относительно этих преобразований инвариантна точка пересечения прямых абсолюта. Остается аналитически разделить типы бигипербол и эквигипербол. Только для эквигиперболы точка пересечения прямых абсолюта – внутренняя, следовательно, только эквигипербола характеризуется тем свойством, что каждая изотропная прямая пересекает ее в двух вещественных точках. Зададим в каноническом репере R изотропную прямую k уравнением:

x 2 = tx1 .

(9)

x12 t 2 a 22 + 2ta12 + a11 + 2 x1 x3 (ta 23 + a13 ) + a33 x32 = 0 .

(10)

Тогда уравнение

(

)

определяет общие точки прямой k и овальной линии (1). Нас интересуют условия, при которых независимо от значения параметра t уравнение (10) имеет два вещественных корня. Дискриминант уравнения (10) в этом случае должен быть тождественно больше нуля:

(

)

d 2 = t 2 a 23 − a 22 a33 + 2t (a13 a 23 − a12 a33 ) + a132 − a11a33 > 0, 4

(11)

или в тангенциальных координатах:

− t 2 A11 + 2tA12 − A22 > 0.

(12)

Тождественное выполнение неравенства (12) равносильно условиям:

I = A11 A22 − A122 > 0, A11 < 0.

(13)

Условия (13) характеризуют тип эквигипербол, то есть имеют геометрическое значение, и, следовательно, инвариантны относительно всех преобразований копсевдоевклидовой плоскости. Итак, инвариантными относительно фундаментальной группы Q аналитическими характеристиками типов овальных линий являются: 1) знаки чисел ∆1, ∆2 (сами числа не сохраняются в преобразованиях); 2) равенство (или неравенство) нулю координаты а33 в общем уравнении квадрики (в случае неравенства нулю численное значение координаты может меняться); 3) одновременное выполнение условий (13). 202

Приведем таблицу, которая позволяет определить тип овальной линии копсевдоевклидовой плоскости по значениям чисел: ∆1, ∆2, а33, A11, I. Таблица 1. Типы овальных линий. №

Тип овальной линии

Значения ∆1, ∆2

Значение а33

Значения I, A11

1.

Эллипс

∆1 > 0, ∆2 > 0

a33 ≠ 0

I 0

a33 ≠ 0

I 0,

(189)

которое в координатах имеет вид:

x1 (α − 1)(α x1 − x 2 ) > 0,

(190)

или с учетом неравенства (186) вид:

x1 (α x1 − x 2 ) < 0 .

(191)

Уравнение (188) при условии (191) принимает вид (165), где

β =

1

λ 1−α

2

> 0.

(192)

Таким образом, все точки множества W, удовлетворяющие условию (185), принадлежат гиперболе с полярным диаметром K1K2, содержащим действительную точку первой абсолютной прямой. II. Обратно. Если точка М (x1: x2: x3) принадлежит гиперболе (165), (167) с полярным диаметром K1K2, то для ее координат выполняется неравенство (191). Следовательно, проекция точки М на полярную ось линии, точка М' (x1: x2: 0) удовлетворяет условию (189), то есть принадлежит квазиотрезку K1Н1K2, где Н1 – точка первой абсолютной прямой. Сама точка М в этом случае принадлежит множеству W. Покажем, что для точки М выполняется неравенство (185). Прямые MK1, MK2 в присоединенном репере R гиперболы имеют уравнения (187), поэтому

ρ (K 1 , МK 2 ) ρ (K 2 , MK 1 ) = =

x3 x1 1 − α 2

x32

α 2 − 1 α x12 − x1 x 2

.

x3 = − 1 α x1 − x 2 (193)

С учетом условий (165), (167), (191) при замене (192) получаем равенство (185). Следовательно, каждая точка гиперболы (165), (167) принадлежит совокупности Ŋ. Что и требовалось доказать.

250

5.12 Оригипербола 1. Пусть оригипербола γ копсевдоевклидовой плоскости задана в каноническом репере R общим уравнением (1), где а33 = 0. Присоединим R к линии. Учитывая, что полярная ось оригиперболы – изотропная прямая, поместим на нее (рис. 57) координатную прямую А1А3, тогда уравнение (23) полярной оси р линии γ в репере R будет иметь вид:

x2 = 0.

(194)

Следовательно, в уравнении (1) а13 = 0. Неизотропную координатную прямую А1А2 проведем через идеальные точки линии γ, тогда эти точки в репере R имеют координаты: Н1 (1:1:0), Н2 (1:–1:0). Принадлежность точек Н1, Н2 линии γ дает следующие условия на координаты линии:

а11 + 2 а12 + а 22 = 0, (195)

а11 − 2 а12 + а 22 = 0, откуда получаем: а22 = – а11, а12 = 0. Уравнение (1) линии γ принимает вид:

а11 x12 − a11 x22 + 2 a 23 x2 x3 = 0 .

(196)

H

h

h1

l1

l2 X1

H1 Y γ7 F1 L2

X2

h2

T A2

p

H2

L1 F2

Р

Рис. 57

251

А1 d

Полюсы абсолютных прямых l1, l2 (22) относительно линии γ в репере R заданы координатами:

F1 (− a23 : 0 : a11 ),

F2 (a23 : 0 : a11 ).

(197)

В уравнении (196) а23 ≠ 0, так как в противном случае это уравнение задает вырожденную абсолютную квадрику. Следовательно, F1, F2 – собственные точки плоскости, фокусы оригиперболы. Введем обозначение:

α =

а 23 . а11

При необходимости меняя порядок следования единичных точек Н1, Н2 координатной прямой А1А2, то есть меняя порядок следования абсолютных прямых, число α выберем положительным. Фокусы линии теперь имеют координаты:

F1 (− α : 0 : 1),

F2 (α : 0 : 1),

(198)

а уравнение (196) принимает вид:

x12 − x22 + 2α x2 x3 = 0 .

(199)

Уравнение (199) при α > 0 назовем каноническим уравнением оригиперболы.∗ Каноническое уравнение оригиперболы в тангенциальных координатах имеет вид:

α 2 X 12 − αX 2 X 3 + X 32 = 0.

(200)

Присоединенный канонический репер определен с точностью до порядка следования точек Е13 (1:0:1), Е'13 (1:0:–1) изотропной прямой А1А3. 2. Исследуем оригиперболу по ее каноническому уравнению. Очевидно, оба фокуса оригиперболы – точки внешние по отношению к линии. Фокальная ось оригиперболы совпадает с ее полярной осью. Расстояние между фокусами оригиперболы равно:

f = F1 F2 =

1 2α

(201)

и при данном расположении присоединенного канонического репера является числом действительным.

∗

При α < 0 получим уравнение оригиперболы, симметричной оригиперболе (199) (α > 0) относительно координатной прямой А1А2.

252

Собственную для плоскости прямую d, соединяющую идеальные точки линии γ, назовем базой оригиперболы γ. В репере R база оригиперболы (199) содержит собственные вершины репера и имеет уравнение:

d = H 1 H 2 : x3 = 0 .

(202)

База оригиперболы не имеет с линией собственных для плоскости общих точек, следовательно, при данном выборе репера первый абсолютный угол содержит две связные ветви оригиперболы, второй – одну. Все точки оригиперболы, расположенные во втором абсолютном углу, принадлежат одному квадранту относительно базы линии. Покажем, что ветви оригиперболы, принадлежащие первому абсолютному углу, расположены в различных квадрантах относительно базы оригиперболы. Пусть прямая, проходящая через первую вершину А1 репера, пересекает оригиперболу (199) в точках А, B первого абсолютного угла. Тогда для координат (а1: а2: а3), (b1: b2: b3) этих точек справедливы условия:

a 2 b3 = a3b2 , a12 − a 22 > 0, b12 − b22 > 0, a12 − a 22 + 2αa2 a3 = 0, b12 − b22 + 2αb2 b3 = 0. Следовательно, в репере R данные точки можно задать координатами: А(а1: а2: а3), B(– а1: а2: а3). Неравенство (30) главы 1 для точек А, В и прямой d не выполняется, следовательно, эти точки принадлежат различным квадрантам относительно прямой d. Утверждение доказано. Изотропная асимптота оригиперболы (199) совпадает с ее полярной осью и имеет в присоединенном репере уравнение (194). Неизотропные асимптоты оригиперболы заданы уравнениями:

h 1 = H1 F1 : x1 − x2 + αx3 = 0, h 2 = H 2 F2 : x1 + x2 − αx3 = 0.

(203)

Точку Н пересечения неизотропных асимптот линии γ назовем ортоцентром оригиперболы γ. Имеет место теорема. Теорема 23. Концы каждой проходящей через ортоцентр оригиперболы хорды ортогональны и гармонически разделяют ортоцентр и общую точку данной хорды и базы оригиперболы. Доказательство. В присоединенном каноническом репере R ортоцентр оригиперболы (199) имеет координаты: Н (0: α: 1). Любую прямую l, проходящую через точку H (рис. 57), в репере R можно задать уравнением:

l : x1 = α tx3 − tx2 , где t – параметр прямой l. 253

(204)

Прямая l пересекает оригиперболу в точках:

(

X 1, 2 ± α t : α

( 1 − t ± 1):

)

1− t2 ,

2

(205)

а точка Y ее пересечения с базой d линии γ имеет координаты:

Y (– t : 1: 0).

(206)

Несобственные точки прямой l зададим в репере R координатами:

L1 (1:1: z1), L2 (1: –1: z2),

(207)

где z1, z2 – некоторые функции параметра l. Непосредственная проверка дает:

( X 1 X 2 L1 L2 ) = −1, ( X 1 X 2 HY ) = − 1.

(208)

Теорема доказана. Изотропную прямую, проходящую через ортоцентр линии γ, назовем изотропной осью оригиперболы, а собственную для плоскости точку пересечения линии с ее изотропной осью – вершиной оригиперболы. Расстояние δ от ортоцентра оригиперболы до ее базы назовем главным параметром оригиперболы. В присоединенном каноническом репере R изотропная ось линии является координатной прямой А2А3 и имеет уравнение: x1 = 0. Главный параметр δ оригиперболы – число мнимое:

δ = ρ (Н , d ) = НA2 = −i

1

α

.

(209)

Вершина оригиперболы задана координатами: Т (0: 2α: 1). Расстояние ρ от вершины оригиперболы до ее базы вдвое меньше главного параметра оригиперболы:

ρ = ρ (Т , d ) = TA2 = −i

1 . 2α

(210)

Проведем изотропную прямую l второго абсолютного угла, содержащего вершину оригиперболы γ. В репере R прямую l можно задать уравнением: x1 = tx2, где t2 – 1 < 0. Собственная для плоскости точка K пересечения прямой l и линии (199) имеет координаты: K (2αt: 2α: 1 – t2). Модуль расстояния от нее до базы d (202) оригиперболы равен:

1− t2 ρ (K , d ) = . 2α При любом значении t (t2 – 1 < 0) выполняется неравенство: 254

(211)

1− t2 1 < = ρ. 2α 2α

(212)

Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 24. Для каждой точки оригиперболы, принадлежащей одному абсолютному углу с вершиной, модуль расстояния до базы линии меньше половины модуля главного параметра оригиперболы. 3. Определим группу симметрий оригиперболы. То есть найдем все преобразования копсевдоевклидовой плоскости, переводящие оригиперболу в себя. Пусть γ' – образ оригиперболы γ в некотором преобразовании H копсевдоевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) главы 4. Тогда уравнение линии γ' в координатах ( x1′ : x2′ : x3′ ) имеет вид:

(

)

(

)

x1′ 2 a112 − a122 + 2αε a12 a13 + x ′22 a122 − a112 + 2αε a11 a32 +

+ 2αε x1′ x 2′ (a11 a31 + a12 a32 ) + 2αε a33 x3′ (a12 x1′ + a11 x ′2 ) = 0 .

(213)

Линии γ и γ' совпадают тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Определитель матрицы копсевдоевклидова преобразования Н отличен от нуля, поэтому пропорциональность коэффициентов уравнений (199) и (213) определяет единственный (с точностью до общего ненулевого множителя) набор коэффициентов аij, где i, j = 1, 2, 3. Матрица преобразования Н имеет вид:

⎛ −1 0 0⎞ ⎜ ⎟ Z = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠

(214)

и задает симметрию с центром А1. То есть, первая вершина присоединенного канонического репера, точка пересечения базы линии и ее полярной оси, – центр оригиперболы. Осей симметрии оригипербола не имеет. Доказана теорема. Теорема 25. Группа симметрий оригиперболы копсевдоевклидовой плоскости содержит одно нетождественное преобразование – симметрию относительно точки пересечения базы и полярной оси оригиперболы. Центральной осью оригиперболы назовем прямую h, соединяющую центр и ортоцентр оригиперболы. 4. Пусть неизотропные непараллельные прямые а и b пересекаются в центре оригиперболы и симметричны относительно ее базы. Докажем, что разность квадратов расстояний от каждой точки оригиперболы до прямых а и b – постоянная величина.

255

В присоединенном репере R прямые а и b, проходящие через центр оригиперболы (199) и симметричные относительно ее базы d (202), можно задать уравнениями:

a : −ux2 + x3 = 0, (215)

b : ux2 + x3 = 0.

где u – действительное число. Будем считать, что u – число положительное. В этом случае прямая а и центральная ось h оригиперболы не разделяют базу и полярную ось. Действительно, координаты общих точек оригиперболы и прямой а удовлетворяют системе уравнений:

⎧ x3 = ux2 , ⎨ 2 2 ⎩ x1 − x2 + 2αx2 x3 = 0.

(216)

Следовательно, для них имеет место неравенство:

x12 − x22 = − 2α ux 2 x3 < 0 .

(217)

Согласно условию (4) главы 1 указанные точки принадлежат второму абсолютному углу, содержащему ортоцентр оригиперболы. Так как полярная ось р линии – изотропная прямая первого абсолютного угла, то (ah dp) > 0. Прямые а и b симметричны относительно прямой d. Поэтому при u > 0 прямая b и центральная ось линии разделяют базу и полярную ось оригиперболы. Мера φ угла между прямыми а и b равна:

ϕ = ∠ab = − (− u − u )2 = 2iu.

(218)

Расстояния от произвольной точки М (x1: x2: x3) оригиперболы до прямых а и b равны:

ρ (M , a ) =

− ux2 + x3 x −x 2 1

2 2

ρ (M , b ) =

,

ux2 + x3 x −x 2 1

2 2

.

(219)

Координаты точки М удовлетворяют уравнению (199), следовательно,

ρ 2 (M , a ) − ρ 2 (M , b) =

− 4ux2 x3 2u = . x12 − x22 α

(220)

Правая часть равенства (220) для данных прямых а и b и данной оригиперболы – постоянное число, равное произведению главного параметра линии и меры угла между прямыми а и b. Что и требовалось доказать. 256

С другой стороны. Пусть заданы положительное число λ и непараллельные прямые а, b, пересекающиеся, например, в первом абсолютном углу. Обозначим через φ меру угла между прямыми а и b. Докажем, что все точки плоскости, разность квадратов расстояний от которых до прямых а и b есть постоянная величина λ, принадлежат оригиперболе. Причем база оригиперболы является биссектрисой угла ab, главный параметр равен отношению (λ : φ), а центральная ось и прямая а не разделяют базу и полярную ось. Первую координатную вершину канонического репера R поместим в точку пересечения данных прямых а и b, а вторую – на биссектрису d угла между этими прямыми. Тогда данные прямые в репере R можно задать уравнениями (215), где u – некоторое положительное число. Для произвольной точки М (x1: x2: x3) копсевдоевклидовой плоскости расстояния до прямых а и b определены равенствами (219). Поэтому согласно условию:

ρ 2 (M , a ) − ρ 2 (M , b ) = λ

(221)

− 4ux2 x3 = λ, x12 − x22

(222)

получаем

или

x12 − x 22 + 4 Уравнение (223) при 2

u

λ

x 2 x3 = 0 .

(223)

u

λ = α совпадает с уравнением (199) и определяет

оригиперболу с главным параметром (λ : φ) и базой d. Для оригиперболы (199) выполнение условия (ah dp) > 0, где h – центральная, а p – полярная ось линии, доказано. Таким образом, доказана теорема. Теорема 26. Множество Ŋ всех точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до данных прямых а и b, образующих угол мерой φ, есть постоянная положительная величина λ, является оригиперболой с главным параметром (λ : φ), база которой совпадает с биссектрисой угла ab, а центральная ось и прямая а не разделяют базу и полярную ось. 5.13 Эквигипербола 1. Пусть эквигипербола γ копсевдоевклидовой плоскости (рис. 58, 59) задана в каноническом репере R общим уравнением (1), где а33 ≠ 0. Присоединим репер R к линии γ следующим образом.

257

Неизотропную координатную прямую А1А2 совместим с полярной осью линии, тогда уравнение (23) полярной оси р в репере R будет иметь вид (25). Следовательно, в уравнении (1)

а13 = а23 = 0.

(224)

Согласно рассуждениям §3 существуют два типа эквигипербол: фокальные и нефокальные. Дальнейшее присоединение репера R для каждого типа эквигипербол проведем отдельно.

l1

H2

T1

l2

F1 γ9 T2

Р A1 F2

H1

p

Рис. 58

1. Пусть γ – фокальная эквигипербола. Фокусы каждой овальной линии в случае их существования принадлежат (см. §3) одному абсолютному углу. Предположим, что фокусы F1, F2 эквигиперболы γ принадлежат первому абсолютному углу. Тогда, помещая координатную вершину А1 репера R в середину неизотропного отрезка F1F2, фокусы эквигиперболы γ зададим координатами:

F1 (– α2:1:0), F2 (α2:1:0),

(225)

где α – некоторое действительное число, причем α > 1. Учитывая, что фокусы линии (1) заданы координатами (21) при условиях (22), получаем равенства:

А11 = α 2 А22 , А12 = 0,

(226)

которые при условиях (224) и а33 ≠ 0 приводят к равенствам:

а 22 = α 2 а11 , а12 = 0. 258

(227)

Точкам Т1, Т2 пересечения эквигиперболы с изотропной координатной прямой А1А3 присвоим координаты:

Т1 (β:0:1), Т2 (–β:0:1),

(228)

где β – некоторое положительное число. Тогда

а33 = – β 2 а11.

(229)

Уравнение (1) при условиях (224), (227), (229) имеет вид:

x12 + α 2 x22 − β 2 x32 = 0 .

(230)

Уравнение (230) при α > 1 назовем каноническим уравнением фокальной эквигиперболы.∗ В тангенциальных координатах каноническое уравнение фокальной эквигиперболы имеет вид:

α 2 β 2 X 12 + β 2 X 22 − α 2 X 32 = 0.

(231)

Присоединенный канонический репер R построен с точностью до порядка следования точек Е13 (1:0:1), Е'13 (1:0:–1) изотропной прямой А1А3. 2. Если γ – нефокальная эквигипербола, заданная уравнением (1) при условиях (224), то полюсы Р1, Р2 (21) абсолютных прямых l1, l2 соответственно – несобственные точки плоскости (рис. 59), причем точка Р1 (Р2) принадлежит прямой l2 (l1). Поэтому для тангенциальных координат квадрики имеет место равенство: А11 = А22, которое при условиях (224) дает:

а11 = а22.

(232)

Уравнение (1) принимает вид:

a11 x12 + a11 x22 + 2 а12 x1 x2 + a33 x32 = 0. Идеальные точки линии γ (233) имеют в репере R координаты:

(

) ( − а ), Т (−

(233)

)

Т11 − а33 : − а33 : а11 + а12 , Т12 − а33 : − а33 : − а11 + а12 ,

(

Т 21 − а33 : − − а33 : а11

12

2 2

) (234)

− а33 : − а33 : а11 − а12 .

Собственные координатные вершины А1, А2 поместим в диагональные точки полного четырехвершинника, образованного идеальными точками

∗

Если |α| < 1, то уравнение (229) определяет фокальную эквигиперболу с фокусами во втором абсолютном углу.

259

Т 11 , Т 12 , Т 21 , Т 22 эквигиперболы. Пусть А1 (А2) – точка пересечения осей Т 11Т 22 и Т 12Т 21 ( Т 11Т 21 и Т 12Т 22 ) эквигиперболы. Тогда в уравнении (233) а12 = 0. Если точки Т1, Т2 пересечения эквигиперболы с изотропной координатной прямой А1А3 задать координатами (228), то уравнение (233) примет вид:

x12 + x22 − β 2 x32 = 0.

(235)

Уравнение (235) назовем каноническим уравнением нефокальной эквигиперболы. 2. Определим центры эквигипербол (фокальной и нефокальной). Теорема 27. Каждая эквигипербола является бицентральной линией. Доказательство. Пусть S (s1: s2: 0) – точка полярной оси линии (230), или (235). Симметрия относительно точки S ((95), гл. 4) переводит линию γ (230), (235) в линию γ', заданную в репере R уравнением:

((

x1′ 2 s12 + s 22

)

2

)

(

(

+ 4α 2 s1 s 2 + x ′22 α 2 s12 + s 22

(

)(

)

− 4 x1′ x 2′ s1 s 2 s12 + s 22 1 + α 2 − β

2

(s

2 1

)

2

− s 22

)

+ 4 s1 s 2 +

) x′ 2

3

2

= 0.

(236)

Пропорциональность координат квадрик (230) ((235)) и (236) дает значения: s1 = 0, или s2 = 0, при которых точка S является центром линии γ. Таким образом, координатные вершины А1, А2 – центры эквигиперболы. Что и требовалось доказать. l1

T1

l2 Р1

γ9 T2

Р A1 Р2 p

Рис. 59

Идеальные точки эквигиперболы (230) (фокальной при α > 1, нефокальной при α = 1) в присоединенном репере R имеют координаты: 260

(

) ( + 1), Т (− β : β :

)

Т11 β : β : α 2 + 1 , Т12 β : β : − α 2 + 1 ,

(

Т 21 β : −β : α 2

2 2

)

α 2 +1 .

(237)

Оси эквигиперболы (230)

d11 = T11T22 :

α 2 + 1 x2 − β x3 = 0,

d12 = T12T21 :

α 2 + 1 x2 + β x3 = 0

(238)

пересекаются в первой координатной вершине А1. Оси

d 21 = T11T21 :

α 2 + 1 x1 − β x3 = 0,

d 22 = T12T22 :

α 2 + 1 x1 + β x3 = 0

(239)

– во второй вершине А2 присоединенного репера. Для нефокальной эквигиперболы (235) в уравнениях (238), (239) α = 1. Доказана теорема. Теорема 28. Центры эквигиперболы являются внешними точками линии и находятся в диагональных точках полного четырехвершинника, образованного идеальными точками линии. Симметрия относительно полярной оси эквигиперболы (230) ((235)), заданной в репере R уравнением x3 = 0, имеет матрицу вида (34) и переводит линию в себя. Следовательно, эквигипербола симметрична относительно своей полярной оси. Каждый абсолютный угол содержит две связные ветви эквигиперболы, взаимно симметричные относительно полярной оси линии. Каждая ветвь эквигиперболы принадлежит углу, образованному полярной осью линии и i одной из ее осей d j , i, j = 1, 2 (238), (239). Каждая ветвь первого (второго) абсолютного угла принадлежит углу между прямыми пары (238) ((239)). Точки Т1, Т2 (228) и

B1 (0:β:α), B2 (0:–β:α),

(240)

пересечения эквигиперболы с изотропными прямыми, содержащими центры линии, назовем вершинами ветвей эквигиперболы. Расстояние а (b) от центра эквигиперболы до коллинеарной ему вершины линии назовем действительной (мнимой) полуосью линии, если это число действительное (мнимое). Число:

а = A1T1 = A1T2 =

α⎞ 1 ⎛ ⎜⎜ b = A2 B1 = A2 B 2 = − i ⎟⎟ β ⎝ β⎠

(241)

– действительная (мнимая) полуось эквигиперболы (230), (235) при α = 1. 261

Центр А1 (А2) эквигиперболы – середина изотропной хорды линии, действительной (мнимой) длины, следовательно, точка А1 (А2) – действительный (мнимый) центр эквигиперболы. Отметим, что оси эквигиперболы, проходящие через действительный (мнимый) центр линии, назовем их соответственно действительными (мнимыми) осями линии, прямые в парах (238) ((239)), взаимно симметричны относительно полярной оси эквигиперболы и образуют угол, мнимой (действительной) величины:

α 2 +1 ∠d d = −2i β 1 2 1 1

2 ⎛ 1 2 α + 1 ⎞⎟ ⎜ ∠d 2 d 2 = 2 . ⎜ ⎟ β ⎝ ⎠

(242)

3. Исследуем эквигиперболы по каноническим уравнениям. Инвариант фокальной эквигиперболы согласно формуле (18) §2 зависит только от коэффициента α канонического уравнения линии и равен:

α 2 −1 ∇э = 2 . α +1

(243)

Число α назовем главным параметром фокальной эквигиперболы. Инвариант нефокальной эквигиперболы равен нулю. Фокусы эквигиперболы (230) – внешние точки по отношению к линии. Гиперболический косинус расстояния между фокусами равен:

1+ α 4 . chF1F2 = 1−α 4

(244)

Фокальные оси линии (230) в репере R имеют уравнения:

f1 : x1 + α 2 x2 = 0,

f 2 : x1 − α 2 x2 = 0.

(245)

Фокальная ось f1 (f2) пересекает линию γ в точках N11, N21 (N12, N22):

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α α N11 ⎜⎜ − α 2 : 1 : α 2 + 1 ⎟⎟, N 21 ⎜⎜ − α 2 : 1 : − α 2 + 1 ⎟⎟. β β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(246)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α α N12 ⎜⎜ α 2 : 1 : α 2 + 1 ⎟⎟, N 22 ⎜⎜ α 2 : 1 : − α 2 + 1 ⎟⎟. β β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(247)

В репере R фокусы эквигиперболы принадлежат первому абсолютному углу, следовательно, фокальный параметр f линии – число действительное:

f =

1 1 α N 11 N 21 = N 12 N 22 = . 2 2 2 β α −1 262

(248)

Фокусам F1, F2 эквигиперболы (230) соответствуют асимптоты 1 2 1 2 эквигиперболы, касательные к линии в идеальных точках Т 1 , Т 1 , Т 2 , Т 2 соответственно:

h11 = F1T11 : x1 + α 2 x2 − β 1 + α 2 x3 = 0, h12 = F1T12 : x1 + α 2 x2 + β 1 + α 2 x3 = 0,

(249)

h21 = F2T21 : x1 − α 2 x2 − β 1 + α 2 x3 = 0, h22 = F2T22 : x1 − α 2 x2 + β 1 + α 2 x3 = 0. Асимптоты нефокальной эквигиперболы (235) проходят несобственные точки Р1, Р2 ее полярной оси и имеют уравнения:

(250) через

h11 = Р1T11 : x1 + x 2 − β 2 x3 = 0, h12 = Р1T12 : x1 + x 2 + β 2 x3 = 0, h21 = Р2T21 : x1 − x 2 − β 2 x3 = 0, h22 = Р2T22 : x1 − x 2 + β 2 x3 = 0.

(251)

4. В данном пункте докажем метрическое свойство эквигипербол. Все рассуждения проведем для фокальной эквигиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением (230). Аналогичное доказательство метрического свойства нефокальной эквигиперболы можно получить, полагая в соответствующих выражениях α = 1. Теорема 29. Произведение расстояний от произвольной точки М эквигиперболы до ее действительных (мнимых) осей есть постоянная величина, равная квадрату действительной (мнимой) полуоси линии, взятому со знаком «плюс», если точка М и действительный (мнимый) центр линии принадлежат одному абсолютному углу, и со знаком «минус» в противном случае. Доказательство. Пусть эквигипербола γ задана в каноническом репере R уравнением (230) при α 1, число а (b) – действительная (мнимая) полуось (240) эквигиперболы, а М (x1: x2: x3) – произвольная точка линии. Действительные (мнимые) оси эквигиперболы, прямые в парах (238) ((239)), пересекаются в точке первого (второго) абсолютного угла. По формуле (20) главы 2

ρ (M , d11 ) =

α 2 + 1 x2 − β x3 β x −x 2 1

2 2

(

)

, ρ M , d12 =

263

α 2 + 1 x2 + β x3 β x12 − x22

(252)

⎛ ⎜ 1 ⎜ ρ M , d2 = ⎜ ⎝

(

α 2 + 1 x1 − β x3

)

β x −x 2 1

2 2

Следовательно,

ρ (M , d )ρ (M , d 1 1

2 1

⎛ ⎜ ρ M , d1 ρ M , d 2 2 2 ⎜ ⎝

(

)(

(

)

, ρ M , d 22 =

2

+ 1 x22 − β 2 x32 2

2 1

2 1

2

2

2 1

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(255)

значения

квадрата

x 22 − x12

β 2 (x12 − x 22 )

2 2 2 ⎛ α − x x 1 2 ⎜ ρ M ,d1 ρ M ,d 2 = 2 2 ⎜ β 2 x12 − x 22 ⎝

)(

2 3

2 2

При подстановке в равенство (254) ((255)) координаты x2 (x1) из уравнения (230) получаем

(

(254)

2 2

2

ρ (M , d 11 )ρ (M , d 12 ) =

⎟ (253) ⎟ ⎠

β x12 − x22

) β (x − x ) (α + 1) x − β x ) = β (x − x ) )=

(α

α 2 + 1 x1 + β x3 ⎞⎟

)

(

)

(256)

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(257)

Каждое из равенств (256), (257) рассмотрим в двух возможных случаях. 1. Точка М принадлежит первому абсолютному углу. Тогда для ее 2 2 координат ((4), гл. 1) выполняется неравенство x1 − x2 > 0, при котором выражение (256) ((257)) принимает вид:

ρ (M , d 11 )ρ (M , d 12 ) = ⎛ α 1 2 ⎜ ( ) ( ) M d M d = , , ρ ρ 2 2 (258) ⎜ β ⎝

2 2

⎞ = − b 2 ⎟⎟ . ⎠

1

β

2

= а2 (259)

2. Точка М принадлежит второму абсолютному углу. Координаты точки 2 2 М удовлетворяют неравенству: x1 − x2 < 0, которое равенство (256) ((257)) приводит к виду:

ρ (M , d 11 )ρ (M , d 12 ) = −

1

β

2

= −а2

⎛ ⎞ α2 1 2 ⎜⎜ ρ (M , d 2 )ρ (M , d 2 ) = − 2 = b 2 ⎟⎟ . β ⎝ ⎠ Что и требовалось доказать. 264

(260) (261)

Используя доказанное свойство эквигиперболы, дадим ее метрическое определение по аналогии с определением бигиперболы (§6, пункт 2). Пусть даны две действительные неизотропные прямые d1, d2 и отрезок длиной а изотропной прямой, проходящей через точку пересечения данных прямых. Предположим, что общая точка прямых d1, d2 принадлежит первому абсолютному углу, тогда число а – действительное положительное. Обозначим теперь через W1 (W2) множество всех внутренних (внешних) точек угла между прямыми d1, d2 (§9, глава 1). Пусть Ŋ1 (Ŋ2) – множество всех точек из W1 (W2), произведение расстояний от каждой из которых до данных прямых d1, d2 есть постоянная величина, равная а2 (–а2). Объединение множеств Ŋ1, Ŋ2 является эквигиперболой с действительными осями d1, d2 и действительной полуосью а. Если прямые d1, d2 принадлежат второму абсолютному углу, то число а – мнимое. В этом случае Ŋ1 (Ŋ2) определим как множество всех точек из W2 (W1), произведение расстояний от каждой из которых до данных прямых d1, d2 есть постоянная величина, равная а2 (–а2). Тогда объединение множеств Ŋ1, Ŋ2 является эквигиперболой с мнимыми осями d1, d2 и мнимой полуосью а. Доказательства данных утверждений можно провести в полной аналогии с доказательствами соответствующих утверждений, приведенных в пункте 2 §6 для бигиперболы.

265

ЛИТЕРАТУРА: 1. Атанасян Л. С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1986.–336 с., ил. 2. Атанасян Л. С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 2. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1987.–352 с., ил. 3. Буземан Г., Келли П.Д. Проективная геометрия и проективные метрики. М., 1957. – 410 с. 4. Киотина Г.В. Пространства с обобщенной проективной метрикой. Пособие по спецкурсу. Рязанский государственный педагогический институт. Рязань, 1981. 5. Ф. Клейн. Неевклидова геометрия. – М. – Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. 6. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. МГЗПИ. М.: Просвещение, 1980. – 128 с. 7. Понарин Я.П. Неевклидовы геометрии с аффинной базой. Кировский государственный педагогический институт. – Киров, 1991. 8. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. – 744 с., ил. 9. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003. – 560 с. 10. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М., 1969, 304 с. 11. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. Геометрия. М.: ГИФМЛ, 1963. – 568 с., ил. 12. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. – 3-е изд.– М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. – 848 с.: ил.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА: Глаголев Н.А. Проективная геометрия. 2-е изд. М., 1963. – 344 с. Евклид. Начала. Книги I-VI, М. – Л., 1948. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 6-е изд. М., 1978. – 576с. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М., 1969. – 548 с. Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Неевклидовы геометрии. – В кн.: Энциклопедия элементарной математики. М., 1966, т. V. с. 83. 6. Харстхорн Р. Основы проективной геометрии / Пер. с англ. М., 1970. 7. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. 8-е изд. М., 1969. – 368 с. 1. 2. 3. 4. 5.

266

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Гиперболическая парабола 200, 226

Абсолют 8 - коевклидовой плоскости 8 - копсевдоевклидовой плоскости 110

Группа - движений коевклидовой плоскости 64 - фундаментальная преобразований 9, 111

Асимптоты - гиперболы 248 - овальной линии 210 - оригиперболы - - изотропные 253 - - неизотропные 253 - эквигиперболы 262

Движение 64, 170 - абсолютное 173 Длина - отрезка 127 - - изотропного 49, 146 - - положительного (отрицательного) неизотропного 46

База - оригиперболы 252 - эквидистанты 240

Дублеты 28 - коллинеарные 28 - координатные репера 141 - нулевые 28 - эквиполлентные 28

Базис пространства 39, 140 - - коевклидова ковекторного 39 - - - левый (правый) 44 - - - ортонормированный 42 - - - соответствующий неизотропному отрезку 46 - - копсевдоевклидова ковекторного 140 - - - левый (правый) 142 Бигипербола 200, 212

Изображение в евклидовом пространстве - точки (фигуры) коевклидовой плоскости 52 - точки (фигуры) копсевдоевклидовой плоскости 153

Бипарабола 200, 238

Инвариант квадрики 87, 90

Биссектриса - полосы 25, 134 - - изотропной 132 - угла 26, 134

Квадрант 126 Квадрики 84 - абсолютные 8, 110 - коевклидово эквивалентные 87 - распавшиеся 84 - нулевые 84

Вершина - ветви эквигиперболы 261 - дублета 28 - овальной линии 226 - оригиперболы 254 - полосы 133 - угла 25, 133

Квазиотрезок 130 Квазисередина отрезка 127 Ковекторы 29, 136 - изотропные (неизотропные) 138 - линейно зависимые (независимые) 38 - нулевые 29 - ортогональные 41, 139 - противоположно направленные 38 - противоположные 36 - равные 30 - сонаправленные 38

Ветвь прямой 119 Высота - бипараболы 240 - точки в каноническом репере 48, 147 Гипербола 200, 207, 245, 247

267

Координаты - дублета 30 - ковектора в каноническом репере 33 - ковектора в базисе ковекторного пространства 40 - точки 51, 151 - квадрики 84, 85 Коокружность 88 Копарабола 88 Коэллипс 88 Коэффициент искажения преобразования 64,170 Луч - изотропной прямой 17, 131 - неизотропной прямой 127 Мера угла 45, 143 Модуль ковектора 40, 137 Направление 17 Направляющая ковектора 30 Оригипербола 200, 252 Ориентация - ковекторного пространства 45, 143 - семейства канонических реперов 13, 118 Орипарабола 200, 242 Откладывание ковектора от прямой 34 Отрезок 127 - изотропный 17, 131 - направленный 46 - неизотропный 18 - смежный 19 Парабола 200, 226 Плоскость - коевклидова 9 - - ориентированная 13 - копсевдоевклидова 110 - - ориентированная 118 - - согласованная 117

Подвижность плоскости 10, 112 Полоса 24, 133 - изотропная 132 Полудвижение 172 Представитель ковектора 29 Преобразование - инволюционное 81 - коевклидовой плоскости 9 - - коллинеарное 52 - - линейное 9 - - - первого (второго) рода 9 - копсевдоевклидовой плоскости - - коллинеарное 160 - - линейное 111 - - - первого (второго) рода 111 - - - первого (второго) вида 159 Произведение - ковектора и действительного числа 37 - скалярное ковекторов 40, 137 Простое отношение - трех неизотропных прямых 26, 134 - - пучка 25, 133 - трех точек изотропной прямой 17, 131 Пространство ковекторное 38, 39,137 Прямые - аффинные 14 - гиперболические 15 - изотропные - - коевклидовой плоскости 15, 118 - - - ортогональные 24, 132 - неизотропные 15, 118 - параболические 14 - параллельные 123 - 1,2-параллельные 124 - пересекающиеся 123 - эллиптические 14 Псевдодвижение 170 - абсолютное 173 Псевдомодуль изотропного ковектора 138 Разность ковекторов 36

268

Расстояние между - изотропными прямыми 24, 132 - ковекторами 41, 139 - параллельными прямыми 144 - точками - - изотропной прямой 49, 146 - - неизотропной прямой 20, 119 Расстояние от точки до неизотропной прямой 47, 145 Реперы канонические 10, 112 - одинаково ориентированные 13, 118 - правые (левые) 13 - право(лево)согласованные 117 - присоединенные - - квадрики 91 - - коэллипса 92 - - когиперболы 93 - - копараболы 93 - присоединенные к базису ковекторного пространства 42, 141 - согласованные (несогласованные) 115 Середина - квазиотрезка 130 - отрезка - - изотропного 18, 131 - - неизотропного 23

- внешние - - угла (полосы) 133 - внутренние - - полосы 25, 132 - - угла 25, 133 - коллинеарные 15, 119 - овальной линии абсолютные (идеальные) 210 - ортогональные 22, 123 - циклические 8 Угол 25, 133 - абсолютный 113 - полярный - - действительный когиперболы 109 - - меньший (больший) коэллипса 107 - - мнимый когиперболы 108 Фокус овальной линии 104, 106, 205 Формулы преобразования - координат - - ковектора 34, 136 - - точек 12, 115 - коевклидовых координат точек 52 - копсевдоевклидовых координат точек 152, 153 Центр овальной лини (квадрики) 95, 98, 209

Согласование семейства канонических реперов 117

Эксцентриситет овальной линии 106

Сумма ковекторов 35

Эллипс 199, 212

Точки - бесконечно удаленные (несобственные) 8, 110

Эквидистанта 240 Эквигипербола 201, 208, 259, 260

269

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Системы аксиом Вейля коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей I. Построение геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскости было основано на идее Ф. Клейна о рассмотрении геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований. Система аксиом Вейля евклидовой геометрии [2, стр. 288], [7, стр. 116] определяет еще один подход в построении геометрии коевклидовой плоскости. 1. Пусть заданы два множества K, L элементов произвольной природы. Элементы множества K будем называть ковекторами, и обозначать жирным шрифтом либо одной заглавной латинской буквой, либо двумя строчными латинскими буквами, а элементы множества L назовем прямыми, и будем обозначать строчными латинскими буквами. Ковекторы и прямые примем в качестве основных неопределяемых объектов коевклидовой плоскости. 2. Основными отношениями между основными объектами будем считать: 1) сумму ковекторов: каждой паре ковекторов A и B поставим в соответствие новый ковектор C, который назовем суммой ковекторов A и B (обозначение: C = A + B); 2) произведение ковектора на действительное число: каждому ковектору A и каждому действительному числу α поставим в соответствие ковектор B, который назовем произведением ковектора A на число α (обозначение: B = αA); 3) откладывание ковектора от прямой: каждой упорядоченной паре прямых a и b поставим в соответствие определенный ковектор, который обозначим ab; 4) скалярное произведение ковекторов: каждой паре ковекторов A и B поставим в соответствие определенное действительное число α, которое назовем скалярным произведением ковекторов A, B (обозначение: AB = α). 3. Свойства основных отношений определяют аксиомы следующих пяти групп. 1. Аксиомы сложения ковекторов 1.1 Для любых двух ковекторов А и В: А + В = В + А. 1.2 Для любых трёх ковекторов А, В, С: (А + В) + С = А + (В + С). 270

1.3 Для любого ковектора А существует ковектор O: А + O = А. Ковектор O будем называть нулевым ковектором. 1.4 Для каждого ковектора А существует единственный ковектор (–А): А + (–А) = O. Ковектор (–А) назовём противоположным ковектору А. 2. Аксиомы умножения ковектора на действительное число 2.1 Для любого ковектора А и любых действительных чисел α и β: α (βА) = (αβ) А. 2.2 Для любого ковектора А и любых действительных чисел α и β: (α + β)А = αА + βА. 2.3 Для любых ковекторов А, В и действительного числа α: α (А + В) = αА + αВ. 2.4 Для любого ковектора А: 1А = А. 3. Аксиомы размерности Систему ковекторов A1,…, An назовем линейно зависимой, если существуют одновременно не равные нулю действительные числа α1,…, αn такие, что выполняется условие: α1 A1 + ...+αn An = O.

(1)

Если равенство (1) выполняется только при условии равенства нулю всех чисел α1,…, αn, то систему ковекторов A1,…, An назовем линейно независимой. 3.1 Существуют два линейно независимых ковектора. 3.2 Любые три ковектора линейно зависимы. Два линейно зависимых ковектора назовем коллинеарными. 4. Аксиомы откладывания ковектора от прямой 4.1 Для любого ковектора A и любой прямой a существует единственная прямая b, такая, что ab = A. Будем говорить, что ковектор A отложен от прямой a. 4.2 Для любых трех прямых a, b, c выполняется условие: ab + bc = ac. 271

5. Аксиомы скалярного произведения ковекторов 5.1 Для любых двух ковекторов А и В: АВ = ВА. 5.2 Для любых ковекторов А, В и любого действительного числа α : (αА) В = α (АВ). 5.3 Для любых трёх ковекторов А, В и С: (А + В) C = АС + ВС. Число AA назовем скалярным квадратом ковектора A, и обозначим А2. 5.4 Скалярный квадрат любого ковектора неотрицателен. Скалярный квадрат ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор является нулевым. Приведенные аксиомы групп 1-5 образуют систему аксиом Вейля (векторную аксиоматику) коевклидовой плоскости, обозначим ее ℑ1. Все 16 аксиом системы ℑ1 являются доказуемыми при построении коевклидовой геометрии на основе геометрии проективной (гл. 2, часть 1). Отметим, что система аксиом ℑ1 определяет и геометрию евклидовой плоскости, где в качестве основных объектов приняты вектор и точка. Следовательно, геометрию коевклидовой плоскости можно получить из геометрии евклидовой плоскости [2, стр. 288] формальной заменой терминов «вектор» – «ковектор», «точка» – «прямая», что согласуется с соответствием данных геометрий по принципу двойственности проективной плоскости. II. Заменим в системе аксиом ℑ1 коевклидовой плоскости аксиому 5.4 аксиомой 5.4∗: 5.4∗. Существуют по крайней мере два ненулевых ковектора А и В таких, что скалярный квадрат ковектора А больше нуля, а скалярный квадрат ковектора В меньше нуля. Полученную систему аксиом обозначим ℑ2. Система аксиом ℑ2 определяет геометрию копсевдоевклидовой (и псевдоевклидовой) плоскости. Векторное изложение псевдоевклидовой геометрии дано в пособии [7].

272

Приложение 2. Преобразования коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Таблицы. Таблица 1. Преобразования первого рода коевклидовой плоскости

Преобразование

Матрица преобразования

1. Отражение. Евклидово вращение

⎛ a11 a12 0 ⎞ ⎜ ⎟ A 1 = ⎜ − a12 a11 0 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠

Неподвижные точки преобразования Две мнимо сопряжённые точки на абсолютной квадрике

Неподвижные прямые преобразования

Преобразование является движением

Одна неизотропная прямая

a = a112 + a122

При 2 33

2. Сжатие. Коллинеарное преобразование

⎛ a11 0 ⎜ A 2 = ⎜ 0 a11 ⎜a ⎝ 31 a32

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ a33 ⎟⎠

Каждая точка одной неизотропной прямой

3. Изотропный сдвиг. Коллинеарное преобразование

⎛ a11 0 ⎜ A 3 = ⎜ 0 a11 ⎜a ⎝ 31 a32

0⎞ ⎟ 0⎟ a11 ⎟⎠

Каждая точка одной изотропной прямой

Каждая изотропная прямая

Всегда

4. Тождественное преобразование

⎛ a11 ⎜ A 4 =⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ a11 ⎟⎠

Каждая точка плоскости

Каждая прямая плоскости

Всегда

273

0 a11 0

Каждая изотропная прямая и одна неизотропная прямая

При

a33 = − a11

Таблица 2. Преобразования второго рода коевклидовой плоскости Преобразование

Матрица преобразования

Неподвижные точки преобразования

Неподвижные прямые преобразования

Преобразование является движением

1. Поворотное отражение

0⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ A5 = ⎜ a12 − a11 0 ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠

Две действительные точки

Одна неизотропная прямая и две изотропные прямые

Движений нет

2. Скользящее отражение

A5 , где a =a +a 2 33

2 11

2 12

A5 , где 3. Центральная симметрия

a33 = ± a112 + a122 a11a31 + a12a32 + a31a33 = 0 ,

a11a32 − a12a31 − a32a33 = 0.

274

Одна действительная

Каждая точка одной изотропной прямой и точка (a11 − a33 : a12 : a31 ) , ортогональная поточечно инвариантной изотропной прямой

Две ортогональные изотропные прямые

Всегда

Каждая прямая пучка с центром в точке

(a11 − a33 : a12 : a31 ) и ортогональная этой точке изотропная прямая

Всегда

Таблица 3. Преобразования первого рода копсевдоевклидовой плоскости Преобразование 1. Поворотные отражения

2. Скользящая гомотетия

Матрица преобразования

Неподвижные точки преобразования

⎛ a11 a12 0 ⎞ Две несобственные ⎜ ⎟ действительные A1 = ⎜ a12 a11 0 ⎟ точки по одной на ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠ абсолютных прямых А1 при условиях:

а33 = а11 ± а12 , а32 ≠ m а31 .

Одна точка на второй (первой) абсолютной прямой

Неподвижные прямые преобразования Одна неизотропная прямая Собственных инвариантных прямых нет

Является движением

Является псевдодвижением

При

a

2 33

При

= a −a 2 11

2 12

Движений нет

а

2 33

= а122 − а112

При а11 = 0 является абсолютным псевдодвижением При

А1 при условиях: 3. Гомотетия

а33 = а11 ± а12 , а32 = m а31.

Каждая точка одной абсолютной прямой и одна точка на второй абсолютной прямой

Пучок инвариантных параллельных неизотропных прямых Каждая

4. Сжатие к неизотропной прямой

0 ⎞ Каждая точка одной изотропная прямая ⎛ a11 0 ⎜ ⎟ неизотропной и одна поточечно A2 = ⎜ 0 a11 0 ⎟ прямой неподвижная ⎜a a ⎟ a неизотропная ⎝ 31 32 33 ⎠ прямая

275

Движений нет

При а33 = −а11 является абсолютным движением.

а11 = 0 является абсолютным псевдодвижением Псевдодвижений нет

Преобразование

5. Сдвиг на неизотропный ковектор

6. Сдвиг на изотропный ковектор 7. Тождественное преобразование плоскости

276

Матрица преобразования

⎛ a11 0 ⎜ A3 = ⎜ 0 a11 ⎜a ⎝ 31 a32

Неподвижные прямые преобразования

Является движением

Является псевдодвижением

Каждая изотропная прямая

Всегда. Абсолютное движение

Псевдодвижений нет

Каждая точка второй (первой) абсолютной прямой

Собственных инвариантных прямых нет

Всегда. Абсолютное движение

Псевдодвижений нет

Каждая точка плоскости

Каждая прямая плоскости

Всегда. Абсолютное движение

Псевдодвижений нет

Неподвижные точки преобразования

0⎞ Каждая точка ⎟ одной 0⎟ изотропной прямой a11 ⎟⎠

А3 при

а32 = ± а31 0⎞ ⎛ a11 0 ⎜ ⎟ A4 = ⎜ 0 a11 0 ⎟ ⎜0 0 a11 ⎟⎠ ⎝

Таблица 4. Преобразования второго рода копсевдоевклидовой плоскости Преобразование 1. Псевдоевклидово вращение. Преобразование первого вида 2. Евклидово вращение. Преобразование второго вида 3. Скользящее отражение

Матрица преобразования

⎛ a11 a12 0 ⎞ ⎜ ⎟ A5 = ⎜ − a12 − a11 0 ⎟, ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠ а112 − а122 > 0. ⎛ a11 a12 0 ⎞ ⎜ ⎟ A5 = ⎜ − a12 − a11 0 ⎟, ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠ а112 − а122 < 0. A5 , где 2 a 33 = a112 − a122

A5 , где

Неподвижные точки преобразования Две действительные точки

Две мнимо сопряженные точки

Одна Каждая точка

a33 = ± a112 − a122 , 4. Отражение от одной изотропной точки a11a31 − a12a32 + a31a33 = 0, прямой и точка,

a11a32 − a12a31 − a32a33 = 0.

277

ортогональная этой прямой

Неподвижные прямые преобразования Одна неизотропная действительная прямая и две ортогональные изотропные действительные прямые Одна неизотропная действительная прямая и две ортогональные изотропные мнимо сопряженные прямые Две ортогональные изотропные прямые Каждая прямая пучка с центром в точке (a11 − a33 : a12 : a31 ) и ортогональная этой точке изотропная прямая

Является Является движением псевдодвижен ием Движений нет

Псевдодвижений нет

Движений нет

При 2 а 33 = а122 − а112

Всегда

Псевдодвижений нет

Всегда

Псевдодвижений нет

Приложение 3. №

Тип линии

1

Эллипс

2

Овальные линии копсевдоевклидовой плоскости. Таблица Фокусы Два внутренних

Центры Внешний и внутренний

Парабола

Один внутренний

–

3

Бипарабола

–

4

Орипарабола

–

5

Нефокальная гипербола Фокальная гипербола

Рисунок

– Внешний и внутренний

Ось сим. Полярная ось

x12 − α 2 x22 − β 2 x32 = 0, α > 0

–

Полярная ось

x22 − x1 x2 + αx32 = 0, α > 0

Любая точка полярной оси

–

Полярная ось

x12 − x22 − α 2 x32 = 0

–

–

–

Два мнимо сопряженных Два мнимо сопряженных

0

Полярная ось Полярная ось

Каноническое уравнение

(x1 − x2 )2 − α

x3 ( x1 + x 2 ) = 0

x1 x2 − βx32 = 0 αx12 − x1 x2 + βx32 = 0, β > 0, | α |< 1

6

Гиперболическая парабола

Один внешний

–

–

Полярная ось

x22 − x1 x2 + αx32 = 0, α < 0

7

Оригипербола

Два внешних

Один внешний

–

–

x12 − x22 + 2α x2 x3 = 0, α > 0

8

Бигипербола

Два внешних

Внешний и внутренний

Полярная ось

x12 − α 2 x22 − β 2 x32 = 0, α < 0

9

Нефокальная эквигипербола

–

Два внешних

Полярная ось

x12 + x 22 − β 2 x32 = 0

Фокальная эквигипербола

Два внешних

Два внешних

Полярная ось

x12 + α 2 x22 − β 2 x32 = 0, α > 1

278

0

Приложение 4. Абсолюты плоских геометрий с проективной метрикой Кэли – Клейна

+

+

Евклидова

Коевклидова

•

•

•

Флаговая Галилея

Псевдоевклидова Минковского

Эллиптическая Римана

Копсевдоевклидова •

•

•

Гиперболическая Лобачевского

279

Бигиперболическая

Когиперболическая