ガウス過程―表現と応用 (紀伊國屋数学叢書 9)

紀伊國屋数学叢書 9

編集委員 伊藤

清 三   (東京大学名誉教授)

戸 田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜  (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

飛 田武幸 櫃田倍之

ガ ウ ス過 程 表現 と応用

紀伊國屋書店

ま

  筆 者 達 が 語 りあ って,Gauss過 企 画 し てか ら も はや2年 ころはGauss過

え

が

き

程 に つ い て の一 書 を世 に贈 ろ う と意 気 ごん で

もの歳 月 を 閲 した.執 筆 に あた って我 々が 意 図 した と

程 の美 しい 理論 がた だ 数学 の世 界 だ け に留 ま らず,物 理 学 や

工 学 を 修 め る人 々に もさ らには 実 務 に携 わ る人 々に も広 く理 解 され る よ うに と い うこ とで あ った.脱 稿 に あた って顧 み る と き,筆 の 及 ば なか った と ころ も あ り,少 なか らぬ憾 み は残 るが,我 々 の意 の あ る と ころ は汲 んで 頂 け る こと と信 ず る.   Gauss型

の ラン ダム な現 象 を モ デ ル とす るGauss過

程 が 確 率 論 の興 味 あ る

研 究 課 題 で あ るば か りで な く,応 用面 か らい って もいか に重要 な も ので あ るか は ここに 説 明す るまで もな か ろ う.ま たそ の 詳 しい事 情 は 本 書 を通 じて理 解 さ れ る こ とを期 待 す る もの で あ る.本 書 で は特 にGauss過 理 論 に重 点 を お くこ とに した.こ の理 論 はP.Levyに

程 の"標 準 表 現"の

(1955年)以

よ っ て提 唱 さ れ て

来 日も浅 く,ま だ周 知 の話 題 とい うまで に は至 ってい な い.そ れ

に もか か わ らず,時 間 の推 移 を考 慮 した い わ ゆ る因 果 的(causal)な

議論を し

よ う とす る と きに は常 に基 本的 な手 法 と して登 場 す べ き も ので あ る と断 言 す る こ とが で き る.こ の よ うな 目的 のた め に本 書 が 些 か な りと も読 者 の お役 に立 つ こ とが で き るな らば 筆者 等 に と って は無 上 の 光 栄 で あ る.   本 書 は 入 門者 に も,ま た 数 学 専攻 以 外 の 方々 に も親 しん で頂 け る よ うに,初 等 的 な 準備 の段 階 か ら始 ま って い る.そ して 徒 らに議 論 の 細部 に立 ち入 る こ と は避 け て,い ち早 く最 近 の興 味 あ る話 題 につ な が る よ うに し,一 貫 した理 論 の 紹 介 に な る よ う配慮 した つ も りで あ る.特 定 の章 に特 に興 味 を 持 た れ る読 者 の た め に は解 題 を 設 け て更 に 深 い研 究 に進 まれ る た めの参 考 に供 す る こ と とした. また全 体 の 流れ か ら幾 分 逸 脱す る と思 われ る話 題 は 最後 に付 章 と して それ らを 収 め て お いた.

  C.F. Gauss生

誕200年 祭 を 明年 に ひか え,彼 の名 を冠 した このGauss過

程

の研 究 が大 きな飛 躍 を 遂 げ,ま たそ の重要 さ の認識 が益 々深 め られ る こ とを期 待 し た い.   最 後 に,お 世 話 に な った紀 伊 國 屋 書 店編 集 部,特 に渦 岡 謙一,水 野寛 両 氏 に 深 く感 謝 の意 を 表 す る次 第 で あ る.

1976年2月

名古屋 にて 著

者

目

次

ま えが き

序

章

第1章  確 率論 に お け る基 本概 念 と極 限定 理 §1.1 確 率論 にお け る公 理 系 と確 率 変 数

  9

§1.2 確 率変 数(確 率 ベ ク トル)の 分 布 と特性 関 数

 11

§1.3 確 率 変 数 列 の収 束

  15

§1.4  独立 確 立 変数 の和 に関 す る極 限 定 理

  16

§1.5  条 件 付 平 均値 とマ ル チ ン ゲ ール

 17

§1.6  関 数 空 間上 の確 率 測 度(確 率 過 程 の構 成)  第2章 

Gauss型

21

確 率変 数 系

§2.1  Gauss型

確 率 変 数 系 の定 義

  25

§2.2  Gauss型

確 率変 数 系 の特 性

  28

§2.3  複 素Gauss型

確率変数系

 

§2.4  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程,標

準表 現

§2.5  連 続 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程―

特 にBrown運

第3章

  Gauss型

  37 動

  43

定 常過 程 とそ の表 現

§3.1  離 散 パ ラ メ ー タ ー 定 常 過 程 §3.2  定 常Gauss過

31

程 の ス ペ ク トル 表 現

  50  

56

§3.3  定 常 過 程 の 標 準 表 現Ⅰ(離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合) 

60

§3.4  定 常 過 程 の 標 準 表 現Ⅱ(連 続 パ ラ メ ー タ ー の 場 合) 

68

第4章   Gauss過

程 の標 準 表 現 の一 般 論 と重 複 度

§4.1  ラ ン ダ ム 性 の 動 き

 

72

§4.2  標 準 表 現 と 重 複 度 §4.3  Gauss過

 74

程 と再 生 核Hilbert空

間

 

§4.4  標 準 表 現 お よび 非 標 準 表 現 の 例

  89

§4.5  予 測 理 論 へ の応 用

第5章

  93

  Markov性

§5.1  離 散 パ ラ メ ー タ ー 多 重Markov過

程

§5.2  連 続 パ ラ メ ー タ ー 多 重Markov §5.3  狭 義 多 重Markov過 §5.4  多 重Markov定

§5.6  T-正

Gauss過

  100 程

 

程 程

  125

程

  134

値性

  Gauss過

  144

程 の 同等性

§6.1  問 題 の 意 味 と定 式 化 §6.2  Gauss測

  151

度 の 同等 性 に 関 す る一 般 的 な定 理

§6.3  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過 §6.4  Brown運

  152

程 の同 等 性

動 に 同 等 なGauss過

§6.5  一 般 のGauss過

 

159

程 の標 準表 現

程 と 同 等 なGauss過

 162

程 の標 準 表 現

§6.6  新 生 過 程 の 構 成 法

付

104  111

常Gauss過

§5.5  LevyのM(t)-過

第6章

84

 173   176

章  確 率 積分 とマ ルチンゲー ル §A.1  多 重Wiener積 §A.2  Wiener空 §A.3 Itoの

分

 181

間 に お け る マ ル チ ン ゲ ー ル とIto積

公 式 とGirsanovの

定理

分

 

187

  197

参考文献

  202

索

  206

引

序

章

  本 書 で 扱 うのは 時 間 とと もに変 化 し てい る ラン ダム な現 象(偶 然現 象 と も呼 ばれ る),す な わ ち確 率 過 程 で あ って,そ の中 で も特 に重 要 なGauss型

の場合

の数 学 的 な理 論 で あ る.   主題 に入 る前 に なぜGauss型 な らな い.ま ず,Gauss型

の確 率 過 程 が重 要 で あ るか を説明 しな け れ ば

確 率変 数 あ るい はGauss分

う.ラ ン ダムな 現 象 を数 値 で 記述 す る と きGauss分 18世 紀 末 のP.S.

Laplaceに

布 に つ い て考 え て み よ 布 に した が うよ うな 例 は

よる研 究 以来 数 多 く知 られ て き た こ とで,そ

の

分 布 の重 要 さの 認識 は歳 月 と とも に深 め られ て きて い る.詳 しい記 述 は 本 論 に 譲 る と して,こ こで は手 早 く直 観 的 な 把 握 をす る こ とに し よ う.C.F. の誤差 論(1821年)に

Gauss

よれ ば,小 さな誤 差 が 積 り重 な った とき,も し各誤 差 が

独 立 に現 わ れ るな ら ば,そ れ ら総 体 の 分 布 はGauss型

に な る とい う.こ の認

識 は極 め て重要 な発 見 で あ って,ラ ンダ ム な現 象 を も数 学 の 対 象 に く り込 む大 きな原 動 力 とな った.も

う少 し数 学 的 な記 述 を しよ う.各 観 測 の結 果 をXn,

 と しそれ らが 独立 な確 率変 数 とみ な され る もの とす る.同 種 の観 測 を く り返 す とす れ ば 各Xnが 同 じ分 布 に したが うと して よい(も ち ろんGauss型 は限 ら ない).そ れ らの平 均値 はm,分

と

散 は σ2と しさ ら に3次 の モ ー メ ン トも

有 限 で あ る場 合 を 考 え る.有 限和Sn=X1+X2+…+Xnを

規 格化 した も の,

す な わ ちSnか ら平 均値E(Sn)=n・mを

引 き去 り標 準 偏 差 

で 割 った も の

の分 布 はnが 大 きけ れば 十 分Gauss分

布 に近 い.こ の事 実 は経 験 的 に知 られ

て きた ことで もあ り,ま た この種 の議 論 は 中心 極 限 定理 と呼 ば れ て確 率論 にお

け る極 限 定理 の中 で 中心 的 な位置 を 占め て い る(第1章

§1.4で 詳 し く述 べ る).

この原 理 は古 くか ら知 られ て い た ことで あ りな が ら,現 在 で も なお興 味深 い研 究対 象 とな っ てお り,応 用 面 か らの期 待 も大 き い.   こ うして生 れ て きたGauss分

布 の統 計 的 性質 をみ てみ よ う.そ れ は直 線 全

体 の上 に分 布 して い て,密 度関 数

を も つ.も

ち ろ んmは

平 均 値,σ2は

分 散 で あ る.そ

れ で は この分 布 の別 な 成 因

も 探 り な が ら そ の 分 布 の 特 性 を ど う把 え た ら よ い か を 考 え て み よ う.  ⅰ) モ ー メ ン トに つ い て は,す わ りのn次

べ て の 次 数 に つ い て 有 限 で あ り,平 均 値 の ま

モ ー メ ン ト μnは

nが 奇数 の とき nが 偶 数の とき で あ る.ま た この分 布 は平 均値 に関 して対 称 で あ り,分 布 の形 態 の特 性 を示 す 歪 度(そ れ は 

で 定 義 され る), 尖度 

と も に0で

あ る.

 ⅱ) 指 数2の 安 全 な 分布 で,分 布 の重 畳(独 立 な二 つ の確 率 変 数 の和 の分 布 に 相 当す る)に 関 し て閉 じて い る.こ 数 系(第2章

の性 質 を と りあげ て,Gauss型

§2.1参 照)を 考 え る とき,そ

確 率変

の 中 で線 型 的 な演 算 が 自由 に行 え

る し,実 は この系 の線 型的 構 造 のみ が決 定 的 な も の とな って い る.こ の よ うな 事 実 は議 論 が簡 単 に な る とい うよ りは,む し ろGauss分

布 自体 が持 って い る

固 有 の基 本 的 性 質 と理 解 す べ きで あ ろ う.  ⅲ)  Gauss分

布 は誤 差な どの偶 然 現 象 のみ か ら生 ず る とす る のは 一 方 的 で

あ る.次 の よ うな 考 察 もで き る.n次

元球 面(半 径 は 

と して お く)上 の 一

様 分 布 を原 点 を通 る一 つ の直 線 の上 に射 影す る と き,得 られ た分 布 はnが 大 き けれ ばGauss分

布 に近 い.こ れ は統 計 力学 な どで よ く知 られ た事 実 で あ るが,

また解 析 学 の立 場 か らの この事 実 の認 識 は 重要 な こ とで あ る.Gauss分

布に

関 した 確 率 論 の話 題 と関 数 解 析学 や量 子 力学,統 計 力学 等 との深 い つ な が りが

見 られ る一 因 も上記 の性質 に よるも の と考 え られ る.ま た この ことは,Gauss 分布 を 有 限 区間 の上 の分布 で近 似す る と き一 つ の意 味 の あ る近似 法を 提 示 して い る と見 る こ とが で きる.  ⅳ) も う一 つ の大 切 な観 点 は応 用面 か ら与 え られ る.そ れ は歴 史的 事 実 だ け で は な く未来 に も向 け られ る.ラ ン ダ ムな現 象 をす べ てGauss分 し よ う とす るわ けで は な いが,多

くの偶然 現 象 をGauss型

布 の責 任 に

と仮 定 した り或 い

は それ で近 似 す る こ とに よ って新 た な展 望 が 開か れ る例 は応 用 面 に数 多 く見 ら れ る とこ ろで あ る.理 論 的 根拠 は 何れ 与 え られ るに もせ よ,Gauss分

布 が王

座 の位 置 を ゆ るぎな きも の とし てい る ことは 疑 う余 地 は な い.   な お,Gauss分

布 の特 徴づ けは第2章

§2.2で 行 うが,そ

れ と併 せ て上記

の よ うな考 察 を して お くこ とは,我々 の 目標 に対 す る研 究 手段 を探 る手 が か り ともな る も ので あ る.

  さて次 に 時 間変 数 をパ ラ メ ータ ーに もつGauss型 Gauss過

確 率変 数 系,す な わ ち

程 を 考 え よ う.そ れ は個々 の変 数 がGauss分

布 に した が うばか り

で な く,任 意 に有 限 個 の 時点 を と った と き同 時分 布 もや は り多次 元Gauss分 布 に した が うもの であ る.一 般 にGauss型

確 率 変数 系 の分 布 は 平 均 ベ ク トル

と共 分 散行 列 に よ って一 意 的 に決 定 され る(第2章

§2.1参 照).し た が って,例

えば 平均 ベ ク トル は0と した と き,共 分 散 行 列 の解 析 的(あ るい は代 数 的)性 質 のみ を研 究 すれ ば よい とす るの は早 計 で あ る.Gauss過 つ れ て変 化 して い くGauss型

程 は 時間 の動 きに

の ラン ダム現 象 が モ デ ル であ るが,そ の よ うな

現 象 の変 化 は到 底 共 分散 を見 た だ けで推 察 で き るも ので は な く,よ り深 い確 率 論 的 な洞 察 が必 要 で あ る.未 来 とか過 去 とか を考 慮 しな が ら時 間 が移 るに つれ て ラン ダム な従 属性 が時 々刻 々 と変 化 す る様 子 を 明確 に し な けれ ば な らな い. こ うい った解 析 をす るの に最 も強 力 な手段 とし て考 え られ るの は   1°)  まず 典型 的 で あ りか つ 基本 的 で あ る よ うなGauss過

程 を見 出 し,そ の

性 質 を詳 細 に調 べ,   2°) 一般のGauss過

程 を1°)で 定 め た過 程 を基 に して表 現 す る,

と い う方 法 で あ ろ う.   こ う 考 え た と き1°)に

該 当 す る も の は 第2章

な ら な い.こ

書 こ う.Brown運

れ をB(t)と

立 な 増 分 を も ち,そ

て こ れ は,時

動 に他

動 は 時 間 の推 移 に つれ て常 に 独

の 増 分 は 時 間 的 に も,ま

の よ う な 性 質 を も つGauss過

に 述 べ るBrown運

た 空 間 的 に も一 様 で あ る.ま

程 は 本 質 的 に はBrown運

たこ

動 に 限 ら れ る.そ

し

間 の パ ラ メ ー タ ー を 離 散 的 に し た と き 同 じ 分 布 に し た が う独 立 確

率 変 数 列 の 和 に 相 当 す る も の で あ る.   と こ ろ で,こ

のBrown運

動 と は1828年R.

Brownが

水 中 の花 粉 を 観 測 し

て い て 発 見 し た 微 粒 子 の 不 規 則 な 運 動 の こ とで あ っ た が,A. 年 に こ れ を モ デ ル に し て 数 学 的定 式 化 に 成 功 し た.そ Brown運

動 の 研 究 はP.

LevyやN.

Wiener等

多 くの 最 近 の 数 学 者 に よ っ てMarkov過 性 質,そ

の 後,確

率過 程 と して の

に よ っ て系 統 的 に 始 め ら れ,

程 と し て の 性 質,見

本 関 数 の 解 析的

の 他 の 精 細 な 事 実 に 到 る ま で 詳 し く調 べ られ て い る.

  こ の よ う に 基 本 的 で あ りま た よ く知 ら れ て き たBrown運 2°)の 立 場 に 移 る こ と を 提 唱 し た の はP. Gauss過

Einsteinは1905

程 

と 積 分 核F(t,u)と

Levyで

動を 基礎にして

あ っ た(1955年).彼

が 与 え られ た と き,Brown運

は

動 

を用 い て (Wiener積

分)

と表 現 す る こ とを 考 え た.も ち ろ ん この よ うな表現 は一 意 的 で は な いが,そ の 中 で標 準 的 な も のを 見 出 し,そ れ を用 い て{X(t)}の

性 質 を解 明 し てい こ う と

い うので あ る.こ の方 向 か らは標 準 表 現 の存 在 と一 意 性,Markov性

や定 常 性

な どの反 映 の しか た等 々重 要 な 問題 が 出 て くる.こ うい った 内容 こそ,本 書が 主題 とし て と りあげ た い事 柄 で あ る.

 以 上 で 我 々 の立場 は 明確 とな った.さ らに,本 書 の及 ば な か った と こ ろで は あ るが 応 用面 の こ とに触 れ な けれ ば な らな い.こ こで応 用面 とい うのは この理 論 の応 用 され る分 野 とい うよ りはむ し ろ理 論 そ の もの がは い りこん で い る守備

範囲 とい うべ きで あ ろ う.そ の分野 に貢献 す る 目的 だ けで な く,数 学 的 研究 を 剌 激 し課題 を提 供す る場 とし て眺 め なけ れ ば な らな い.そ うい った 分野 の代表 的 な もの を若 干 説 明 して お きたい.   信 号 の伝 達 や デ ー ター観 測 な どの場 合 に生 ず るノ イズ は,真 の値 をか き乱 す ラン ダム な 自然現 象 とし て周 知 で あ る.そ の よ うな ノ イ ズは 多 くの 場合Gauss 型 で あ り,ゆ ら ぐ振 幅 を も った単 振 動 を周 波 数 に つ いて一 様 な重 み で集 め た も の,す なわ ち ホ ワイ トノイ ズ にな って い る.さ らに通 信 の場 合 で い えば 送信 信 号 自体 が確 率過 程 とみ なす 立場 が あ り一 定 時 間 に どれ だ け新 しい ラン ダ ムな量 が 加 わ って い くかは 重 要 な観 点 とな る.第2章

で定 義 す る新生 過 程(innovation)

とい う言 葉 も この考 え方 か らす れ ば 理解 し易 い で あ ろ う.通 信 にせ よ,デ ー タ 観 測 にせ よ,現 時 点 ま でに 得 られ た資 料 を 元 に し て予測 した りフ ィル タ リン グ (filtering)を 行 う ことに な り,我 々が 議論 し よ う とす る標 準 表 現 の理 論 とは共 通 の問 題 が多 く,い つ も同 じ考 え方 の上 に立 っ てい る.   生 物 のモ デル に 移 ろ う.生 体 内 に お こるゆ らぎが 生物 の行 動 の中 に ラ ンダ ム な要 素 を与え た り,生 物集 団 の盛 衰 に は内 的 お よび外 的 な ラ ンダ ムな要 因 に大 き く支 配 され る こ とが あ る.こ うい った ゆ らぎ は数学 的 に 理 想化 し て記 述 す る と き,Gauss型

の ラ ンダ ムな変 数 と して表 わ され うる こ とが 多 い.こ

うし て

生物 あ るい はそ の集 団 の特 性量 が 時 間 と と もに移 っ てい く有 様 はGauss過 や そ の汎関 数 とし てモ デ ル化 され,Markov性

程

に対 す る示唆 を 与 えた り,定 常

過 程 の 典型 を 示 し て くれ る ので あ る.   さ らに大 切 な 方面 と して量 子 力学 へ の数学 的 アブ ローチ を忘 れ て は な らな い. 確 率 論 との深 い 関連 は 実 に多 様 で あ って,そ れ らを系 統 的 に位 置 づ け て言 う こ とは 不可 能 で あ る.量 子力 学 に対 して確 率 論 が果 す 役 割 は,古 典 力学 に対 し て 微 積分 が果 し た も のに 匹敵 す る と言 って も過 言 で はあ るま い.Gauss過 直 接 関係 した例 を と って い えば,場 の理 論 が あ げ られ る.Euclid自 定 常Gauss型Markov過

程 が対応 し,そ

程に

由場 に は

の見 本 関数 空 間 に よる この場 の美 し

い記 述 が な され る.さ らに一 般 化 され た場 では,高 次 の もの を含 め てMarkov 性 とか,T-正

値 性 な どの概 念 や 新 たな 視 点 を要 求 し,確

率 論固 有 の興 味 との

接 点 を見 出す ことが で きる.そ して こ こで も常 にGauss型が中

心 で あ る こと

に 注意 した い.本 書 の第5章 は この よ うな こ と も若 干 意識 して述 べ た つ も りで あ るが筆 が 足 りな か った こ とを遺 憾 に思 ってい る.意 の あ る と ころを汲 んで 頂 けれ ば幸 いで あ る.

  我 々が 述べ よ う と志 し て触 れ え なか った話 題 が二 つ あ る.そ の一 つ はGauss 過程 の見 本関 数 の性 質 で あ る.た とえ ば連 続 性 とか 一 定 の レベ ルを 通過 す る回 数 とか い った見 本関 数 の解 析 的 な性 質 に つ いて で あ る.い くらか の事実 は標 準 表 現 の理論 の応 用 として知 る こ とはで き るが,し か し詳 しい見 本関 数 の行 動 を 調べ るに はそ れ特 有 の 手法 もい くつ か あ り,ま た研究 の 目標 自体 も標 準 表 現 の それ とは 自ら趣 を異 に してい る.最 近 の話 題 に まで 及 ぼ うとす れ ば尨 大 な準備 も必 要 とな るの で,重 要 な課題 であ りなが ら こ こで は割 愛 せ ざ るを え なか った. 僅 か に第6章 でGauss測

度 の 同等 性 を論 ず る中 で一 つ の見 方 を 示 し えた に過

ぎな か った ことを残 念 に思 う次第 で あ る.   も う一 つ取 り残 した こ とは多 次 元 パ ラ メ ータ ーを もつGauss過 る.Gauss型

程 の話 で あ

確 率場 として量 子 力学 そ の他 で広 い応 用 を も持 つ 重要 な過 程 で

あ るに もか か わ らず こ こで と りあげ な か った のは,本 書 の一 つ の章 とす るには 余 りに も大 きな分 野 で あ る こと と,さ らに標 準表 現を 扱 う立 場 か らは 時 間 のパ ラ メー タ ーの1次 元的 な動 きを重 視す るた め本 書 の副題 に て らし て多 次 元パ ラ メ ータ ーの場 合 を と りあげ るのに若 干 の逡 巡 を感 じた か らで あ る.別 な機 会 が あれ ば是 非 論 じた い と願 うもので あ る.

  序章 の解 題   誤差 理 論 の最 初 の展 開 は,C.F.

Gauss(1809以

確 率論 に お け る業 績 に つ い ては,B.V. Gauss分

降)に よ って行 われ た.彼 の

Gnedenko(1960)に

布 の モ ー メン ト,特 性関 数 等 につ い て は,K.

の ひ と りに よるT. Hida(1975)§1.6お

要 約 され て い る. Ito(1976)お

よび著 者

よび §1.7に 詳 しい が,本 書 の理 解 の

た め に 必 要 な 事 柄 は,第3章 n次 元 球 面 のGauss分

に ま と め て お い た.P.

Levy(1951)の

布 へ の近 似 が 展 開 され て い る .ま た,T.

第3部

で,

Hida(1975)

の ま え が き に はBrown運

動 の 発 見 に は じ ま る歴 史 の 概 略 が 述 べ ら れ て あ る .

A. Einstein(1905)が,現

代 的 なBrown運

こ の 論 文 を 含 め て,和   ま たGauss過 (1979)が

動 の定 式 化 の発 端 を 与 え てい る.

訳 の選 集 が 発 行 され て い る(1971)

程 と場 の 理 論 と の 美 し い 結 び つ き に つ い て はB. Simon(1974),

適 当 な 解 説 書 と い え よ う.

  本 書 の 内 容の 論 理 的 構 成 を 示 す ダ イ ヤ グ ラ ム を,次 は,理

.

の ペ ー ジ に 掲 げ る.そ

解 す る順 序 を 考 え る と き の 指 針 に も な る で あ ろ う.

れ

本 書 の ダ イヤ グラ ム

第1章 

確 率 論 に お け る 基 本 概 念 と極 限 定 理

  本章 で は,以 下 の章 を通 じ て よ く用 い られ る確 率論 の基 本的 な概 念 を説 明 し, Ganss分 布 へ の 自然 な導 入 とし て 中心 極 限定 理 を述 べ て お こ う.詳 しい論 証 に つい ては,そ れ ぞれ 該 当 の 書を 参 照 し てい た だ きた い.またこ

こで 取 りあげ る

事 項 は,後 で 必要 にな る こ とだ けに 留 めた.

  §1.1.  確 率論 にお け る公 理 系 と確 率 変数   確 率 論 の基礎 は,現 在で はH. る.それ は,A.N.

Lebesgueに

Kolmogorovの

よ る積 分 論 に基 い て定 式 化 され

考 え に よ るので あ るが,そ れ に よ って古 くか

ら行 われ てい た極 限 定理 や 条件 付 確 率 の概 念 が 明確 にな った.確 率 は,確 率空 間(全 測度 が1の 測 度 空 間)を 基 に して考 え られ る.こ れ を 定義 す るた め に, まず 集合Ω を1つ 与 え る.Ω の部分 集 合 か らな る族Bで 次 の条件 をみ たす もの を完 全 加法 族(ま た は σ-加法族)と い う:   (B.1) Ω ∈B. ならば

 (B.2) 

及び   (B.3)    Bの

B∈Bな

各 集 合Bに

空 間(Ω,B)に   (P.1)  (P.2)

ら ば,Bc=Ω-B∈B. 対 して,値P(B)が

与 え られ た 確 率 測 度 と い う:

任 意 のB∈Bに Bn∈B 

定 ま り次 の 条 件 を み た す と き,Pを

対 し て,

(n=1,2,…)が

互 に 素 

な ら ば,

可測

及び   (P.3) 

P(Ω)=1.

  以 上に よ っ て 定 ま る 組(Ω,B,P)を を,集

合Ω に 構 造B及

こ と も あ る.古 Bの

びPが

確 率 空間 と い う.確 率 空 間(Ω,B,P)

付 与 さ れ た こ と を 強 調 し て,Ω(B,P)と

くか ら の よ び 方 に 従 っ て,各B∈Bを

確 率 とい う こ と も あ る.事

ちBi(i=1,2,…)が,互

象BcはBの

事 象B,P(B)を

余 事 象 で あ る.ま

に 素 で あ る と き,そ

書 く 事象

た,事

象 た

れ らは互 に排 反 で あ る と も い

う.   さ て,2つ き,事

の 事 象AとBに

象AとBは

対 し て,P(A∩B)=P(A)・P(B)が

互 に 独 立 で あ る と い う.よ

Bi(i=1,2,…)が

与 え られ た と き,任

な りた つ と

り一 般 に,多

意 のnに

く の 事 象(事

象 系)

対 し て,

(ikは 互 に異 な る よ うに 選 ぶ) が な りた つ と き,こ   わ れ わ れ が,こ で あ るが,他

れ ら の 事 象Biは

こ で 導 入 した 確 率 空 間(Ω,B,P)は,全

に もLebesgue積

い て しば し ば 転 用 され る.確 素)数 値 可 測 関 数X(ω)を

で 定 義 さ れ た(実 た(有

値(ま た は ベ ク トル 値)確

動 き に つ れ て,ラ

よ び,簡

数 ま た は,そ

元ベ

の 部分 集 合 たは 確 率

率 過 程 と い う.つ

の よ うに 書 く こ と に し よ う.Tと

合 に よ っ て は,確

単 にE(X)と

ま た は 複

限 ま た は 無 限)次

3,…},{…,-1,0,1,2,…},(-∞,∞),[0,∞),[0,1]な

 確 率変 数X(ω)が

率論 にお

ま り,

ン ダ ム性 が 変 化 す る過 程 が 記 述 さ れ る の で あ る.今 後,

確 率 過 程 を 

が 多 い,場

測 度空間

パ ラ メ ー タ ー と す る確 率 変 数X(t,ω)(ま

ベ ク トルX(t,ω))を,数 t∈Tの

率 空 間(Ω,B,P)上

確 率 ベ ク トル と い う.実

す る と き,t∈Tを

測 度1の

分 論 に お い て使 用 され る 概 念 が,確

確 率 変 数 と い う.ま

ク トル 値 可 測 関 数,X(ω)を をTと

互 に 独 立 で あ る と い う.

し て{1,2,

どを考 え る こ と

率 過 程 自 身 を 確 率 ベ ク トル と み な す こ と も あ る.

の 平均 値 と

可 積分 で あ る とき,  書 く.ま たX(ω)が 

乗 可 積 分 で あ る と き,   を,X(ω)のp次

のモーメン ト

と い う.な p=2の

お,p乗

と き,2次

散 と い い,V(X)と 考 え る.例

可 積 分 な ら,可

積 分 で あ る こ と に 注 意 し て お こ う .特

の モ ー メ ン トE[￨X-E(X)￨2]=E(X2)-E(X)2をXの 書 く.確 率ベ ク トルX(ω)の

i,j=1,2,…)を

対 し て,ベ

ク ト ルE(X)=

平 均 ベ ク トル,V(X)=E({Xi-E(Xi)}・{Xj-E(Xj)}); 共 分 散 行 列 と い う.こ

ト行 列 で あ る こ と に 注 意 し て お く.確

こ で,共

対 し て,事 象Bi∈Biを

が 互 に 独 立 な らば,σ-加

分 散行 列 は 非負 定値 エ ル ミ ッ

率 過 程 の と き は 共 分 散 関 数 と よぶ.

  独 立 性 の 概 念 を も う少 し一般 化 し よ う.σ-加 Bi(i=1,2,…)に

分

場 合 に は成 分 毎 に これ ら の 量 を

え ば,X(ω)=(X1(ω),X2(ω),…)に

(E(X1),E(X2),…)を

に

法 族Bの

部 分 σ-加 法 族 の 系

任 意 に選 ぶ と き ,Bi(i=1,2,…)た

法族Bi(i=1,2,…)が

ち

互 に 独 立 で あ る とい う.さ ら に,

こ れ に な ら っ て,確 率 変 数 の 独 立 性 を 定 義 し て お く と便 利 で あ る:{Xi(ω); i=1,2,…}を B(Xi)と

確 率 変 数 列 とす る.各Xi(ω)の

した と き,Bi(i=1,2,…)た

(i=1,2,…)た …)に

ち は,互

張 る 最 小 の 部 分 σ-加 法 族 をBi=

ち が 互 に 独 立 で あ る と き,確 率 変 数Xi(ω)

に 独 立 で あ る と い う.確 率 ベ ク トル 列{Xi(ω);i=1,2,

対 して も 同 様 に 独 立 性 が 定 義 で き る .Lebesgue積

分 の定 義 か ら,直 ち

に 次 の 命 題 が 導 か れ る.   命 題1.1. 

確 率 変 数Xi(ω)(i=1,2,…)た

ち が,互

に 独 立 な ら ば,そ

を 成 分 とす る 確 率 ベ ク トルX(ω)=(X1(ω),X2(ω),…)の

れ ら

共 分 散行 列 は対 角

型 で あ る.

  §1.2.  確 率 変 数(確

率 ベ ク トル)の

  まず 実 数 値 確 率変 数X(ω)を 数 直 線Rへ

分 布 と特 性 関 数

与 え よ う.こ

の 可 測 写 像 で あ る か ら,RのBorel集

{ω;X(ω)∈ Γ}は 事 象 で あ る(σ-可 測 族Bに か れ るR上

のR上

  (1.1) 

合 Γ に 対 し て,Ω 属 す).従

の 確 率 測 度Φ(Γ)=P{ω;X(ω)∈Γ}が

っ て 改 め て 確 率 空 間(R,Σ,Φ)が る.こ

の と きX(ω)は(Ω,B,P)か

確 定 す る が,こ

定 義 さ れ る.こ

の 測 度 Φ をXの 分 布 と い う.ま F(x)=Φ((-∞,x])

っ て,X(ω)に

た,

こでΣ

はBorel集

ら実 の部 分 集 合 よっ て 導 の Φに よ 合族 であ

に よ っ て 定 義 さ れ る関 数FをXの   (F.1) 

右 連 続(実

際,Fの

  (F.2) 

単 調 非 減 少,

分布 関 数 と い う.分 定 義(1.1)で

布 関 数Fは,

右 に 閉 じ た 区間 を 使 っ た か ら),

及び   (F.3) を み た す.逆

に,(F.1)∼(F.3)を

確 率 測 度 Φ が 唯1つ

定 ま り,確

  測 度Φ がLebesgue測

率 空 間(R,Σ,Φ)が

存 在 す る が,こ

定 義 さ れ る.

定 理 を述 べ て お こ う:

定 理   可 測 空 間(Ω,B)上

考 え る.任 意 のA∈Bに

の2つ

対 し て,μ(A)=0がμ(A)=0を

べ て のA∈Bに

が な りた つ.関 数f(ω)は Nikodymの

の 測 度 μ及 びμ

を

引 き おこ す と き(言

い か え れ ば 測 度μ が μ に 対 し て 絶 対 運 続 で あ る と き),B-可 が 存 在 し て,す

み た す

れ を 分 布Φ の 密 度 関 数 と い う.

三 使 う の でRadon-Nikodymの

  Radon-Nikodymの

与 え る と,(1.1)を

度 に 関 し て 絶 対 連 続 で あ れ ば,Radon-Nikodymの

意 味 の導 関 数f(x)=F′(x)が 念 の た め に,再

み た す 関 数Fを

測 な 非 負 関 数f(ω)

関 して

μ-測 度0を

除 い て 唯1つ

定 ま る.こ のf(ω)がRadon-

導 関 数 で あ る.

  分 布 Φ に対 し て,Fourier-Stieltjes変

換

 (1.2)

に よっ て 定 ま る 関 数 φ(z)を

分 布 Φ(ま

(characteristic

い う.Φ が 確 率 変 数Xに

function)と

φ(z)=E(eizX), 

た は 分 布 関 数F)の

特 性 関 数

対 応 す る 分 布 と す る と,

z∈R

で あ り,こ れ をXの 特 性 関 数 と い う こ と も あ る.(X(ω)が

確 率変 数 で あ る か

らeizX(ω)は複 素 数 値 確 率 変 数 で あ る こ と に 注 意 し よ う.)φ(z)は

次 の性質 を

み た す:   (C.1) 

正 定 値 性:任

意 個 のz1,…,zn∈Rと

α1,…,αn∈Cに 対 し て,

  (C.2) 

zに つ い て一 様 連 続,

及 び   (C.3) 

φ(0)=1.

  定 理1.1.(S.

Bochner) 

と な る 確 率 測 度 Φ が,可

(C.1)∼(C.3)を

測 空 間(R,Σ)上

み た す 関 数 φ(z)に 対 し て,

に 定 ま る.

具 体 的 に は,次

の 定 理 に よ っ て 対 応 φ→ Φ が 明 確 に な る.

  定 理1.2.(P.

Levyの

が な りた つ.た

だ し

反 転 公 式)φ

を 分 布 Φの 特 性 関 数 と す る と,

また は

とす る. 以 上 に よ り, 

が 互 に1:1対

  分 布 列 Φn(n=1,2,…)が

応 を 与 え る こ とが わ か っ た.

あ っ た と き,こ

と を 意 味 す る こ とに し よ う:各f∈C0={f;fは

に対 して,積 分 

が 

れ が 分 布 Φ に 収 束 す る とは 次 の こ 連 続 で  に 収 束 す る.こ

の こ とを対応

す る特 性 関 数 φn(z),φ(z)を 使 っ て 言 い かえる こ とが で き て 次 の 定 理 が な りた つ.   定 理1.3.(P.

Levy,

V. Glivenko) 

性 関 数φn(z)は

φ(z)に 広 義 一 様 収 束 す る.

  2)  分 布 Φn(n=1,2,…)の す れ ば,φ(z)も

1)  分 布 列 Φnが Φ に収 束 す れ ば,特

特性 関 数 φn(z)がz=0の

近 傍 でφ(z)に 一 様 収 束

あ る分 布 Φ の 特 性 関 数 で あ り,分 布 列 Φnは Φ に 収 束 す る.

  以 上,本

節 で 述 べ て 来 た こ と は,そ

で き る:r(0に

びX(ω)にp次

が な りた つ と き,Xn(ω)はX(ω)にp次

はlimit

in the

書 く.

の モー メ ン トが あ って

平 均 収束(ま た はLp-収

に 平 均 収 束 と い い,  meanの

て 特 に 重 要 で,そ

収 束 す る)と い

確 率 収 束 す る と い う.

と し て,Xn(ω)及

と き,単

た は 確 率1で

対 して

が な りた つ と き,Xn(ω)はX(ω)に

p=2の

法 則 収 束 す る と い う.

概 収 束 す る(ま

の と き, 

  D) 

要 に 応 じて使 い

意 味 で あ る.こ

の理 由 は 第2章

の 収 束 はGauss過

束)す

る と い う.

と 書 く.こ

の記 号

程 の研究 に お い

で 明 確 に な る で あ ろ う.

  これ ら の 収 束 の 間 の 相 互 関 係 が 次 の 定 理 で 述 べ ら れ る.   定 理1.5. 

1°)  Xn(ω)がX(ω)に

  2°)  確 率 収 束 す れ ば,法則   3°)  Lp-収 束    4°) 

の と き,Lp-収

概 収 束 す れ ば,確

収 束 す る.

す れ ば,確

率 収 束 す る.

束 す れ ばLq-収 束 す る.

率 収 束 す る.

  5°)  確 率 収 束 す れ ば,確

率 変 数 列Xn(ω)(n=1,2,…)か

ら,適

当 な 部 分

列 を とっ て 概 収 束 さ せ る こ とが で き る.

  §1.4.  独 立 確 率 変 数 の 和 に 関 す る 極 限 定 理   独 立 確 率 変 数 列Xk(ω)(k=1,2,…)を1つ

と し て,そ

のn→

与 え よ う.そ

のn部

分和 を

∞ と し た と き の 行 動 に つ い て 知 ら れ て い る こ とを ま と め て お

く.   命 題1.2. 

1°)(Tchebychevの

  2°)  (Kolmogorovの

不 等 式)確

  定 理1.6.(大

  定 理1.7.(大

率 変 数Xk,(k=1,2,…)が

1°)の 不 等 式 を 使 っ て,次

2°)の

互 に 独 立 で,分

意 の ε>0に

独 立 確 率 変 数 列 でE(Xk)=mk,

対 して

不 等 式 を 使 え ば,次

の 定 理 が 導 か れ る.

数 の 強 法 則   Xk(k=1,2,…)が

mk, 

有 限 の と き,

の 定 理 が 導 か れ る.

数 の弱 法 則)Xk(k=1,2,…)が

 と す る と,任

  命 題1.2 

分 散V(X)が

とす る と,

散 は有 限 とす る. 

  命 題1.2 

不 等 式)X(ω)の

とす る.こ

独 立 確 率 変 数 列 で,E(Xk)=

の と き,

(a.e.P). 一 言 付 け 加 え て お く と,弱 法 則 は 確 率 収 束 を,強 し て い る の で あ る.定

法 則 は よ り強 く概 収 束 を 主 張

理1.7は 次 の 形 に 詳 し くす る こ と が で き る.

  定 理1.7′.  定 理1.7と 同 じ 仮 定 の も とで,任

意 の ε>0に

対 して

(a.e.P)

(1.3) 

が な りた つ.   〔注意 〕 定 理1.7′よ り精 密 な重 複 対数 の法則 が 知 られ てい る.   次 の 定 理 は,確

率 論 で よ く現 わ れ る 典 型 的 な 法 則 収 束 の 例 で あ る.条 件 は よ

り弱 め られ る が,こ

こ で は 比 較 的 簡 明 な 場 合 に つ い て 述 べ る.

  定 理1.8.(中

心 極 限 定 理)  Xk(k=1,2,…)が

し 平 均 値mk,分

散Vk及 び3次

独 立 確 率 変 数 列 で,各kに

モ ー メ ン トCk=E{￨Xk-mk￨3}が

対

存 在 す る と き,

及び

の 分布 は 標準 正 規 分布 に収 束す る:

な ら ば, 

  Xkを

す べ て 同 じ 分 布 と し た と き,定

と き の 行 動 を 示 し て い る.古 の 定 理 は,定

理1.8の

た と お り,Gauss分

理1.8は(1.3)に

典 的 なBernoulli試

お い て ε=0と

した

行 に 対 す るGauss-Laplace

特 別 な 場 合 で あ るが 応 用 上 も 大 切 で あ る .序 章 に も述 べ 布 が 確 率 論 に お け る 中 心 的 な 役 割 を 果 す 由 縁 の1つ

は,こ

の 古 典 的 な 定 理 に 現 わ れ て い る と言 え る.

  §1.5.  条 件 付 平 均 値 と マ ル チ ン ゲ ー ル   条 件 付 平 均 値 はRadon-Nikodymの

定 理 を 使 って 定 義 さ れ る.そ

の方 法 を

述 べ て お こ う.   定 理1.9. 

(Ω,B,P)を

度 μ(A)(A∈B)を  族 と し,測

度 μをB上

確 率 空 間 と し よ う.可

積 分 関 数f(ω)に 対 し て,測

で 与 え る.BをBの に 制 限 し た も の をμ と 書 け ば,B∈Bに

部 分 σ-加法

対 し て,

 (1.4)

を み た すB-可

測 関 数g(ω)が

  実際 は,確

存 在 す る.

率 測 度PをBに

れ ば よい.B上

制 限 し てRadon-Nikodymの

の 測 度 と し てμ はPに

  定 義1.1. 

上 の(1.4)で

平 均 値 と よ び,E(f￨B)と =1(ω∈A);=0(ω

書 く.f(ω)が

∈ Ω-A))の

生 成 さ れ る も の で あ る と き,E(f￨B)を 干 付 け 加 え て お け ば,Bが

件 付 平 均 値 は,確   命 題1.3. 

率1で

関 す る条件 付

特 に 事 象A∈Bの

定 義 関 数(f(ω)

と き ,対 応 す るg(ω)をAのBに

書 く.特

通 常 の 確 率,平

す

関 し て 絶 対 連 続 と な る か ら で あ る.

定 ま った 関 数g(ω)をf(ω)のBに

件 付 確 率 と よ び,P(A￨B)と

と も あ る.若

導 関 数 をgと

にBが.確

関す る 条

率 変 数 系{Xi;i=1,2,…}で

直 接E(f￨X1,X2,…)の 特 に{φ,Ω}の

よ うに 書 く こ

と き,条 件 付 確 率 や 条

均 値 に 一 致 す る.

条 件 付 平 均 値 は 次 の 性 質 を 持 つ:

  1°)  a,bを 定 数 と し て,

  2°) 確 率 変 数 列fn(ω) が もE(f￨B)に   3°) Bの2つ る.こ

単 調 増 大 でf(ω)に 概 収 束 す れば,E(fn￨B)

概 収 束 す る. の 部 分 σ-加法 族B1とB2の

間 に 包 含 関 係B1⊃B2が

あ る とす

の と き,

  (1.5) 

E[E(f￨B1)￨B2]=E(f￨B2).

  4°) 部 分 σ-加法族B1とB2が

互 に 独 立 な ら ば,B1-可

測 な 関 数f1(ω)に

対

して E(f1￨B2)=E(f1) が な りた つ.   5°) f2(ω)がB-可

測 な ら ば, E(f1f2￨B)=f2・E(f1￨B)

が な りた つ.   [注 意]  命 題1.3に お け る等 式 は,確 率1で な りたつ.概

収 束 に な ら っ て"概 等 式"

とで もい うべ き もので あろ う.以 後,概 等式 で あ る こ とを強 調 す る とき は,記 号a.e.P を 付 す.   条 件 付 平 均 値 を 直 接 そ の 構 造 に 反 映 し た マ ル チ ン ゲ ー ル と よ ば れ る確 率 過 程 が,以

下 の 議 論 を 通 じ て よ く使 わ れ る.

  定 義1.2. 

確 率 変 数 列{Mn(ω);n=1,2,…}と

族 の 増 加 列{Bn;n=1,2,…}が

σ-加 法 族Bの

与 え ら れ て,次 の 条 件(M.1)∼(M.3)を

満足す

散 パ ラ メ ー タ ー)マ

ル チ ンゲ ー

る と き,組M={Mn,Bn;n=1,2,…}を(離 ル(martingale)と

い う:

  (M.1) 

MnはBn-可

  (M.2) 

E(￨Mn￨)m 

(a.e.P)

お け る等号 が 不 等 号  (ま た は  )に 代 っ た と き,劣(ま

た は 優)

マ ル チ ン ゲ ー ル と い う.   [注 意1] 

マ ル チ ン ゲ ー ルMは 確率 過 程 で あ るが,σ-加法 族 の 増加 列{Bn;n=1,2,…}

が 重 要 な 役割 を 果 す ので,M={Mn,Bn;n=1,2,…}と   [注 意2] 

書 くこ とにす る.

こ こで は,時 間 のパ ラ メー ターが 自然数N={1,2,…}を

動 く とき に定 義 し

た が,全 順 序 集 合Tな ら何 で も よ い:T=N∪{∞}={1,2,…,∞},T=[0,∞),T= (-∞,∞),T=[0,1]な

どの場 合 が 本 書 で は よ く現 わ れ る.時 間 パ ラ メー ターが 連 続

の 場 合 は付 章 で 詳 述 す るで あろ う.   マ ル チ ン ゲ ー ル の 例 を い くつ か あ げ よ う:   [例1] 

f(ω)をE(￨f￨)0に

に 述 べ る定 理

マ ル チ ン ゲ ー ル へ の 拡 張 で あ る.

マ ル チ ン ゲ ー ル(ま た は 劣 マ ル チ ン ゲ ー

対 して 不等 式

及び

が な りた つ.但

し,M+N=max{MN,0}と

  マ ル ン チ ン ゲ ー ル に つ い て は,n→

す る. ∞ と し た と き の 行 動 が 特 に 重 要 で あ る.

そ れ に 関 し 以 後 よ く使 う結 果 を あ げ よ う.

定 理1.11. M={Mn,Bn;n=1,2,…}を

マ ル チ ン ゲ ー ル と す る と,

な らば,確 率1で 極 限値

で あ る. 

が 存在 す る.   この定 理 に関 す る次 の系 は,第6章

にお け るGauss過

程 の 同等 性 の問 題 を

論 ず る と きに有 効 で あ る.   系   Mを 正 則 な マル チ ン ゲ ール とす る(例1参

照).こ

の と き,確 率1で 極

限値  (1.7)

が 存 在 し て,M∞ ル に な る,但

再 びマル チ ンゲ ー

し,B∞=σ{Bn;n=,1,2,…}=(す

の σ-加法 族)で Mが

を 加 えたM={Mn,Bn;n=1,…,∞}も

あ る.逆

に,マ

べ て の 

ル チ ン ゲ ールMに

マ ル チ ン ゲ ー ル で あ れ ば,Mは

対 し て 極 限(1.7)が

存 在 し て,

正 則 で あ る.

  〔注意 〕 Mが 正 則 で あれ ば,Mn=E[f￨Bn](n=1,2,…)を が 存 在す るが,も ち ろ んM∞=E[f￨B∞]で

を含 む 最 小

み たす 確 率変 数f=f(ω)

あ る.

 §1.6. 関数 空 間上 の確率 測 度(確 率 過程 の構 成)   §1.1に お いて 述 べ た よ うに,確 率過 程{X(t,ω);t∈T}は,全

順 序集 合T

を パ ラメ ータ ーに もつ確 率変 数 の系 で あ るが,各 ω∈ Ωを 固定 して みれ ば(各 見 本 ωを 取 り出 して みれ ば)そ れ は定 義域Tを

動 く関 数 で あ る.言 いか えれ ば,

RTの 要 素 で あ る.従 って対 象 とす る確 率 過 程 の(数 学的)実 在 性 を問 わ れ た と き,そ れ に答 え るに は,特 にΩとし てRTを 率 測度Pを

と り,そ の あ る σ-加法族B上 に確

作 り,そ の有 限 次元 分 布 を{X(t,ω)}の

そ れ と一 致 させ る こ とが

で きれ ば十 分 で あ る.も ちろ ん,そ の特別 な場 合 と して,独 立 確 率 変 数 の和 や マ ルチ ン ゲー ル のn→ ∞ と した 時 の行 動 を 記 述す るた め に はRN(Nは 体)上

の確 率 測 度 を考 えれ ば十 分 な ので あ る.

自然 数全

  ま ずRTの RTの

σ-加法 族 を 設 定 す る こ とか ら始 め る.Tを

部 分 集 合Aが

上 のBorel集

合Bが

筒 集 合 で あ る と は,n(0,b>0及

よ っ て 与 え ら れ る確 率 びc>0が

存 在 し て,

 (1.10)

を み た せ ば,Cの

  第1章

μ に よ る外 測 度 は1で

あ る.但

し,μ はXの

分 布 と す る.

の解題

  確 率 論 の 全 般 的 な 基 礎 付 け を 完 成 し た 形 で 与 え た の は,A.N. (1933)が

Kolmogorov

最 初 で あ る.

  §1.1の

内 容 に つ い て は,K. Ito(1976)に

  §1.2の

定 理1.1.∼1.4.の

  §1.3に

お け る収 束 定 理 に つ い て は,上

形 に 直 接 対 応 し た 形 で は,T.

あ る.

証 明 は 上 記 の 書,第2章

を み られ た い.

記 の 書 に も あ る が,こ

Hida(1975)第1章

も 便 利 で あ ろ う.定

に よれ ば 法 則 収 束 が 最 も 弱 い 収 束 と い う こ と に な る が,あ ら概 収 束 が で る こ とがA.V.

Skorokhod(1961,英

こ に 述 べ た 理1.5

る意 味 で 法 則 収 束 か

訳1965)第1章

§6に 主 張

さ れ て い る:Rn上

の 分 布 の 列{Φn;n=1,2,…}がΦ

率 空 間(Ω,B,P)と  

に 法 則 収 束 す る と き,確

そ の 上 の 確 率ベ ク トル{Xn;n=1,2,…}を

適 当 に 作 っ て,

1)  Xnの 分 布 はΦnで あ り,

  2)  XnはΦ   §1.4の

に 従 う あ る 確 率 ベ ク トルXに

諸 定 理 の 証 明 も 上 記K.

明 確 な 証 明 は,A.N.

概 収 束 させ る こ とが で き る.

Itoお よ びT.

Kolmogorov(1933)が最

Hidaの

本 に あ る.定 理1.7の

初 で あ る が,そ れ に よ っ て 彼 の

公 理 論 的 確 率 論 の 有 効 性 が 疑 い も な い も の に な っ た の で あ る.定 更 に 詳 し く,重

複 対 数 の 法 則(A.Ya.

Khintchine(1933)お

よ びW.

(1943))が

知 られ て い る.

  §1.5に

述 べ た 形 の 条 件 付 平 均 値 お よ び 確 率 の 定 義 は,J.L.

に よ る."マ 不 等 式,定

ル チ ン ゲ ー ル"も 理1.10が

Feller

本的 な

証 明 され た. 判 定 条 件 は,例

Prokhorov(1956)で

法 則 収 束 の 問 題 と し て 定 式 化 さ れ て,そ る.こ

よ り

Doob(1953)

そ の 書 に お い て は じ め て 導 入 され て,基

  §1.6 Kolmogorov-Prokhorovの さ れ て い る.Yu.V.

理1.7′

の 条 件 は そ れ 以 前 か ら,知

わ れ て い た よ うで あ る.

え ばT.

Hidaの

本 に証 明

よ り一 般 に 連 続 関 数 の 空 間Cの

上の

の 帰 結 と し て 判 定 条 件が 与 え られ て い

られ て い て,い

くつ か の 文 献 に お い て 既 に 使

第2章 

  本 章 で は,特 Gauss型 §2.2で

Gauss型

確率 変 数系

に 無 限 個 の 変 数 か ら な るGauss型

確 率 変 数 系 を 取 り 扱 う.

確 率 変 数 系 の 特 色 は そ の 線 型 性 に あ る と言 え る.こ れ に つ い て は, 述 べ る こ と に す る.§2.3に

お け るGauss型

変 数 系 の 複 素 化 は,次

章 に お け る 定 常 過 程 の ス ペ ク トル 理 論 を 展 開 す る の に 便 利 で あ る か ら こ こに 取 り上 げ た.§2.4お

よび §2.5で

形 を 述 べ て お い た.Gauss過 特 に §2.4で る と,一

特 にGauss過

程 の 標 準 表 現 の最 も 原 始 的 な

程 か ら 新 生 過 程(innovation)を

離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 に 詳 し く述 べ た.連

取 り出 す 操 作 は 続 パ ラ メ ータ ーに な

つ の新 生 過 程 だ け で 表 現 が つ く さ れ る わ け で は な い の で,章

再 び 取 り上 げ る こ とに し,こ

  §2.1.  Gauss型

を改 め て

こ で は 例 を あ げ る だ け に 留 め た.

確率 変 数 系 の定 義

  実 数 値 を と る確 率 変 数X(ω)は,そ

の分布 が絶 対連 続 で 密度 関 数 が

 (2.1)

で あ る と きGauss型 こ こにmは σ=1の

確 率 変 数(Gaussian

random

variable)と

平 均 値 で σ2は 分 散 で あ る.こ の 分 布 をN(m,σ2)と と き,Xを

標 準Gauss型

元Gauss分

か く.特にm=0,

確 率 変 数 と い う.

  n次 元 確 率 ベ ク トルX(ω)=(X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω))に じ くそ の分 布 がn次

よば れ る.

布,す

つ い て は,同

な わ ち絶 対 連続 で 密 度 関数 が

 (2.2)

で あ る と きn次

元Gauss型

確 率 ベ ク トル(Gaussian

random

vector)と

よ

ぶ.た

だ しm=(m1,m2,…,mn)(∈Rn)は

平 均 ベ ク トル で あ り,V=(Vij)は

共 分 散 行 列:

(それ は対 称 正 定値 行 列 で あ る)で あ って￨V￨はVの

行 列 式 を あ らわす.

  よ り一般 に,多 数 の 確率 変 数 の系 に 対 し ては 次 の よ うな定 義 をす る.   定 義2.1.  確 率変 数 の系X={Xλ(ω);λ∈Λ}が 一次 結 合

がGauss型

確 率 変 数 とな る と き,XをGauss型

system)と

い う.特 にXが

process)と  

あ って,任

意 の有 限個 の

確 率 変 数 系(Gaussian

確 率 過 程 の と き に は そ れ をGauss過

程(Gaussian

呼 ぶ.

この 場 合 も,n次

元 確 率 ベ ク トル の と き の よ う に,平

均ベ ク ト ルm=(mλ;

λ∈ Λ): mλ=E(Xλ),

λ∈ Λ

お よび 共 分 散 行 列V=(Vλ,μ): Vλ,μ=E{(Xλ-mλ)(Xμ-mμ)}, 

が 定 ま る.そ し てVは ∈ Λ に 対 し てn次

λ,μ ∈ Λ

次 の 意 味 で 正 定 値 で あ る.す なわ ち,任 意 の λ1,λ2,…,λn

行 列 

2次 の モ ー メ ン トの 存 在 を 仮 定 す れ ば,必

が 正 定 値 と な る.こ ず し もGauss型

確 率 変 数 の 系 に 対 し て な りた つ こ と で あ る(第1章

の 性 質 は,

と限 らず に任 意 の

§1.1参 照).だ

が,Gauss

型 を 仮 定 す れ ば 次 の よう な 著 し い 事 実 が 証 明 され る.   定 理2.1. 

mλ,λ ∈ Λ,を 任 意 の ベ ク トル,(Vλ,μ)を 正 定 値 とす る と き,そ

れ ら を そ れ ぞ れ 平 均ベ クト ル ,共 分 散 行 列 とす るGauss型 す る.し

確 率 変 数系 が 存在

か も そ の よ うな 系 の 分 布 は 一 意 的 で あ る.

  [注 意]  最 後 の主 張 は 次 の こ とを意 味 す る:X={Xλ;λ

∈Λ}お よ びX′={X′λ;λ∈ Λ}

が い ず れ も平 均 ベ ク トルmλ,共 分 散 行 列(Vλ,μ)をもつGauss型 意 の有 限 個 の λ1,…,λnに n次 元Gauss分

対 し て(Xλ1,…,Xλn)と(X′λ1,…,X′λn)の

分 布(そ れ は

布)が 同 じで あ る.

  こ の 定 理 の 前 半 の 証 明 は,ま

ず Ω=RΛ

に と り完 全 加 法 族BはΩ

体 か ら 生 成 され る も の を と っ て 可 測 空 間(Ω,B)を 筒 集 合,た Borel集

確率 変 数 系 な ら ば,任

の筒 集 合 全

構 成 す る.つ

い で任 意 の

と え ばC={ω=(ωλ);(ωλ1,ωλ2,…ωλn)∈B},Bはn次

合,な

る 筒 集 合 に 対 し て は(2.2)のp(x)を

元

用いて

 (2.3)

と 定 め る こ と に よ っ て(Ω,B)上

の 確 率 測 度Pλ1,λ2,…,λnが 定 義 さ れ る.Λ

の 有 限 部 分 集 合(λ1,λ2,…,λn)を,個

数nも

含 め て い ろ い ろ と動 か し て 両 立 条

件 を み た す 確 率 測 度 の 系{Pλ1,λ2,…,λn}が 得 ら れ る.そ 拡 張 定 理(定 理1.12)が

使 え て,こ

め る こ と が わ か る.最 (Ω,B,P)上

で,定

の 系 が 一 意 的 に(Ω,B)上

後 にXλ(ω)=ωλ

義 され たGauss型

こ でKolmogorovの

と お け ば{Xλ;λ

の 確 率 測 度Pを ∈ Λ}は

定

確 率 空 間

確 率 変 数 系 で 平 均 ベ ク トル と 共 分 散 行 列

は そ れ ぞ れ 与 え ら れ たmλ,(Vλ,μ)に 等 し いこ と が わ か る.   定 理 の 後 半 は,有

限 次 元Gauss分

布 が(2.2)で

見 ら れ る よ うに 平 均 ベ ク ト

ル と共 分 散 行 列 に よ っ て 一 意 に 定 ま る こ と と上 の 注 意 と か ら 直 ち に証 明 さ れ る.  な お(2.3)に

よ るPλ1,λ2,…,λnの

の階

定 義 で 行 列 

数 がn以 下 に な る ときは 若干 の修 正 を要 す る こ とに注 意 し よ う.そ の と き分 布 は 退化 す るが,や は りn以 下 の 次 元 のGauss分

布 で あ る.

  次 の定 理 は証 明 な し に述 べ るが,確 率変 数 列 の収束 に関 す る一 般 的定 理 を用 い て示 され る性 質 で あ る.   定 理2.2.  XをGauss型 収 束 また は概 収 束,あ たGauss型   XをGauss型

確 率変 数 系 とす る と,そ の部 分 集 合 も,Xに

確率

るいは 平均 収束 の意 味 で の極 限 変数 をつ け加 え た系 も ま

で あ る. 確 率 変 数 系 とす る と,定 義2.1と

定 理2.2に

1次 結 合及 び そ れ らの平 均 収束 に よる極 限 を つ け加 え たGauss型

よ りXに

その

確 率変 数 系

をXに

よ る 線 型 包 と い い,H(X)と

書 く こ と に す る.Xの

内 積(X,Y)=E(XY),X,Y∈H(X),に

線 型 包H(X)に

よ っ て 自然 にHilbert構

は,

造がはい

る.

  §2.2.  Gauss型   次 にGauss型

確 率 変 数 系 の特 性 確 率 変 数 ま た は 変 数 系,あ

い くつ か の 性 質 を 列 挙 し よ う.は

るい は そ の分 布 の特 徴 づ け とな る

じ め の 三 つ は1次

元 分 布 に つ い て で あ る. 

1°)  あ る 分 布 の 特 性 関 数 が ψ(t)で あ る と し よ う.も

と表 わ さ れ る な ら ば,γkをk次

しt=0の

半 不 変 係 数(semi-invariant)と

分 布 はn次

ま で の 半 不 変 係 数 が 存 在 す る と い う.

  さ て,平

均 値m,分

散 σ2のGauss分

布(そ

れ は(2.1)で

近傍 で

呼 び,こ

の

与 え られ る)の

特

性 関 数 φ(t)は

 (2.4)

と表 わ され る ので,す べ て の次 数 の半 不 変係 数 が 存 在 す る ことが わ か り  (2.5)

で あ る.逆 た はGauss分

に こ の 条 件(2.5)を

み た す 分 布 は あ る1点

に 集 中 す る δ-分布 か ま

布 で あ る.

  な お 上 のGauss分

布 につ い て は

γ1=m,γ2=σ2 で あ る.ま

た 平 均 値 の ま わ りのk次

モ ー メ ン トmkに つ い て は

m2r+1=0, m2r=(2r-1)!!σ2r

で あ る.

  2°) 絶対 連 続 な確 率 分 布 の 密度 関 数 をp(x)と し,一 種 の情報 量H(p)を

で 定 義 す る.分

え られ,そ

散 を 一 定(=σ2)に

し た と きH(p)を で あ る.す

の値 は 

最 大 に す るpは(2.1)で

な わ ちGauss分

与

布 が この情 報

量 を 最 大 にす る も ので あ る.   3°) Gauss分

布 は指 数2の 安定(stable)な

分布 とし て特 徴 づ け ら れ る.

そ の 意 味 を説 明 す るた め に,ま ず 安 定 な 分 布 の定 義 か ら始 め よ う.  同 じ一 つ の 分 布 に 従 う独 立 な 確 率 変 数X,X1,…,Xnを

した と き,定 数cn,rnを

適 当 に選 ぶ とSnとcnX+rnと

そ の 分 布 は 安 定 で あ ると い う.特 にrn=0と

と

と っ て 

が 同 じ分 布 に従 う と き,

で き る と きに はそ の分 布 は狭 義 の

安定 分 布 で あ る と い う.   安 定 な 分 布 に 対 し ては 定 義 か ら

で な けれ ば な ら な い こ とが わ か る.こ の αをそ の 安定 な 分 布 の(特 性)指 (exponent)と

数

呼 ぶ.対 称 な指 数αの狭 義 の安 定 分 布 の 特 性 関数 は

 (2.6) 

φ(t)=exp[-c￨t￨α], 

c>0

と か け る.   さ て,Gauss分 際(2.1)で

与 え られ るGauss分

nσ2のGauss分 α=2で

布 に も ど っ て,そ

布 で あ り,従

あ る こ とが わ か る.ま

定 分 布 で あ る.逆

に 指 数2の

れ は 安 定 な 分 布 で そ の 指 数 は2で 布 に つ い て み る と,Snは

っ て 

あ る.実

平 均 値nm,分

散

そ して特 に

た 平 均 値0のGauss分 狭 義 の 安 定 分 布 は(2.6)か

布 は 指 数2の

狭義の安

ら平 均 値0のgauss

分 布 に 限 る こ と が わ か る.   つ い でGauss型

確 率 変 数 系 に つ い て 考 え よ う.

  4°)  (X,Y)がGauss型

で あ れ ば,そ

の 一 方 を きめ た と きの条 件 つ き確

率 分 布,た

と え ば も

確 率1でGauss型

均 値E(X￨Y),E(Y￨X)は 実 はn=2と

で あ る.ま

そ れ ぞ れY,Xの1次

した と き の(2.2)の

た条 件 付 平

関 数 で あ る.こ

れ ら の事

形

 (2.7)

を 見 れ ば 定 義 か ら直 ち に 導 か れ る.こ Gauss型

れ ら の 性 質 は2個

以上 の変数 か ら な る

確 率 変 数 系 に 対 し て 容 易 に 一 般 化 され る.た

がGauss型

な らE(X￨Y1,Y2)はY1,Y2の1次

関 数 で あ る.

  逆 に,YがGauss型,E(X￨y)がYの1次

布 

と え ば,(X,Y1,Y2)

関 数 で,さ

が 確 率1でGauss型

らに条 件 付確 率 分

で あ る な ら ば,(X,Y)がGauss型

に

な る.   一 般 にXとYが 0に 等 し い.と

独 立 で 共 に 有 限 な 分 散 を も てば 両 者 の 共 分 散 は(存 こ ろ が(X,Y)がGauss型

な ら(2.7)か

"共 分 散=0"な

らば

互 に"独

在 し て)

ら わ か る よ うに

立"

と な る.   5°)  再 生 性 が あ る.す

な わ ち,XとYと

型 で あ れ ば,和X+Yは

ま たGauss型

で あ る.と

ころ が,Gauss型

が 独 立 で あ り,か で あ る こ とは,既

の 著 し い 特 徴 と し て,この

つ 両 者 がGauss

に3°)で

み た 通 り

部 分 的 な 逆 が な りた

つ の で あ る.   定 理2.3.(Levy-Cramer)  YもGauss型   証 明 は,仮

XとYが

独 立 でX+YがGauss型

な ら,Xも

で あ る. 定 を 用 い てXやYの

特 性 関 数 が2次

の 整 関 数 に な る こ とを 導 き,

さ ら に そ れ らが 特 性 関 数 と し て の 性 質 を も つ と い う制 約 か らGauss分 の に な る こ とを 示 す こ と に よ っ て 与 え られ る.

布のも

 Gauss型

確率 変数 系 に関 す る次 の よ うな 特 徴 づけ もP. Levyに

よる もの で

あ る.証明 の方 法 は上 の定 理 と同 じ くや は り特 性 関数 を用 い る も ので,こ こで は 事 実 だ けを 述べ てお く.  6°) 与 え られ た2次 元確 率 ベ ク トル(X,Y)に 数Uお

よびYと

対 し て,Xと

独 立 な確 率 変

独 立 なVが 存 在 し て Y=aX+U

 (2.8) {

X=bY+V

と書 け る な ら ば,次

の 三 つ の 可 能 性 し か な い,

 ⅰ)  (X,Y)はGauss型  ⅱ)  XとYは

で あ る,

独 立 で あ る,

 ⅲ)  定 数 α,β,γ が 存 在 し て αX+βY=γ   [注 意]  上 記4°),5°),6°)を

が 成 り立 つ(一 次 関 係 が あ る).

み てGauss型

確率 変 数 系 の特 徴 を一 言 で語 ろ うとす

れ ば,そ れ は線 型 的 構 造 を もつ とい って よか ろ う.こ の系 の 研究 にHilbert空

間論 が大

きな 役 割 を果 す の も この構 造 と 定 理2.2の 反 映 と考 え られ る.   [補 足]  Gaussに

よるGauss分

  §2.3.  複 素Gauss型

布 の特 徴 づ け が あ る.文 献Gauss(1981)Ⅲ,6参

確率変数系

  この節 では 複素 数 値 を とる確 率変 数 でGauss型

の ものを 扱 うが まず そ の 定

義 が 問題 であ る.実 数 部 と虚 数 部 が と もにGauss分 だ け で は複 素Gauss型

照.

布 に従 う確 率変 数 とい う

と呼 ぶ に は不 十 分 で あ って,好 ま しい性 質 が い ろ い ろ

と導 かれ る よ うにす るに は も う少 し強 い 制約 を お く必 要 が あ る.   まず1変 数 の場 合 か ら始 め よ う.確率空 間(Ω,B,P)上

の複 素数 値 を とる確

率 変 数Z(w)が

  (2.9) 

Z(w)=X(w)+iY(w)+m, 

と表 わ さ れ,か

つXとYは

複 数Gauss型(Complex

X,Y実

独 立 で 平 均 値0の Gaussian)と

数 値,m複

同 じGauss分

い う.当然E(Z)=mで

素数

布 に 従 う と き, あ る.

  定 義2.2. 

複 素 数 値 を と る 確 率 変 数 の 系Z={Zλ(ω);λ

任 意 の 有 限 個 の(複 そ の 系Zを はZは

素 数 を 係 数 とす る)一

複 素Gauss型

複 素Gauss型

∈ Λ}が あ っ て,そ の

次 結 合 が 複 素Gauss型

確 率 変 数 系(complex

Gaussian

とな る とき system),ま

た

で あ る と い う.特 に Λ が 整 数 全 体,正 整 数 全 体 ま た は 実

数 の 区 間 で あ る と き 複 素Gauss過

程(complex

  [注意]  前 節 の実 数 値 を とるGauss型 節 の も の を実Gauss型

  複素Gauss型

Gaussian

process)と

い う.

確率 変 数 系 と混 乱 す る恐 れ の あ る ときは,前

確 率変 数 系 と書 い て は っ き り区別 す る こ とが あ る.

確 率変 数 系 の 性質 を述 べ る前 に,何 故 そ の よ うな 複 素系 を 考

え るか につ いて 少 し触 れ て お きた い.理 由 として は  ⅰ) 定 常Gauss過

程 の スペ ク トル分 解(後 出 第3章)に

必要 な ラ ン ダム測 度

を構 成 す ると き,そ れ は複 素 数値 を と りし か もGauss型

の 確率 変 数 系 と扱 わ

ねば な らな い.さ らにそ れ は確 率 振 幅 とし て電 気 工学 上 の意 味 を も っ てい るの で あ る,  ⅱ)  与 え られ たGauss過 お け ばFourier変

程 を 複 素 化(そ れ は 複 素Gauss型

に な る)し て

換 を 自由 に駆 使 す る ことが で きる,

 ⅲ)  後 の議 論 か ら 明 らか に され る よ うに,Gauss型

確 率 変 数系 の もつ 線型

的構 造 が 自然 な形 で 移 行 され る複 素数 値 確 率変 数 の系 とし て認 識 され る,  ⅳ)  こ こで は述 べ 得 な い事 柄 で あ るが,Gauss型

確 率変 数 を変 数 に も つ非

線 型 汎 関数 の解 析 にお いて は,そ の変 数 の複 素化 に相 当す る もの と し て 複 素 Gauss型

確 率 変 数 系 が登 場 す る,

等 が あげ られ る.   さ て主題 で あ る複 素Gauss型

確 率 変数 系 の性質 を述 べ よ う.以 下 で は 簡 単

のた め系 に属 す る各 確 率変 数 の"平 均 値 は0"で

あ る として お く.一 般 の場 合

は各 変 数 か ら平 均 値 を 引 き去れ ば,確 率 論 的構 造 を 変 え る こ とな く,容 易 に こ の場 合 に帰着 され る.   は じめ に定 義 か ら簡 単 に導 か れ る性 質 を列挙 し てお く.   1°) 系Z={Zλ(ω);λ (2.9)の

∈Λ}が 複 素Gauss型

で あれ ば,Zλ=Xλ+iYλ

分 解 を し て 得 ら れ る実数 値 確 率 変数 の系{Xλ,Yλ;λ ∈Λ}は(実)

と

Gauss型

確 率 変 数 系 で あ る.

  2°)  Z={Zλ(ω);λ Gauss型

∈ Λ}が 独 立 な 確 率 変 数 の 系 で,か

で あ れ ば 系Zは

複 素Gauss型

  3°)  系Z={Zλ(ω);λ

∈Λ}が

Zλ(ω)か ら な る 系Z={Zλ(ω);λ 自 明 な 場 合 を 除 きZ∪Zは   4°)  複 素Gauss型 そ の 系 に 概 収 束,平 複 素Gauss型

つ 各Zλ(ω)が

複素

で あ る.

複 素Gauss型

な ら ば,各

々 の共 役 複 素 数

∈ Λ}も ま た 複 素Gauss型

で あ る .し か し

そ う で は な い.

確 率 変 数 系 の 部 分 系 は ま た 複 素Gauss型 均 収 束,確

確 率 変 数 系 が 得 ら れ る(定

  次 の 命 題 は 複 素Gauss型

に な る.ま

た

率 収 束 の 意 味 で の 極 限 変 数 を つ け 加 え て も再 び 理2.2参

照).

につ い て の我 々の 定義 が 妥 当 な も の で あ る こ とを

示 し て い る.   命 題2.1. 

確 率 変 数 の組{Z1,Z2}が

複 素Gauss型

で あ る と す る.Z1とZ2

が 独 立 で あ る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は 両 者 の 共 分 散 が0と   証 明   こ こ で もZ1,Z2の も しZ1とZ2が   逆 に,共

す る が,一

般 性 を 失 う も の で は な い.

独 立 な ら共 分 散E(Z1Z2)=E(Z1)E(Z2)=0は

明 らか で あ る.

分 散 が0で

平 均 値 は0と

な る こ とで あ る.

あ った と し よ う.Z1,Z2を(2.9)の Zj=Xj+iYj, 

よ う に 分 解 す る:

j=1,2

仮定から E{(X1+iY1)(X2-iY2)}=0 す なわ ち E(X1X2)+E(Y1Y2)=0, 

を 得 る.と こ ろ で{Z1,Z2}が は と も に 複 素Gauss型

E(Y1X2)-E(X1Y2)=0

複 素Gauss型

だ か ら,Z1+Z2お

確 率 変 数 で あ る.両

者 の 実 数 部 と虚 数 部 が 独 立 と な る

こ とか ら

E(Y1X2)+E(X1Y2)=0, 

よ びZ1+iZ2

E(X1X2)-E(Y1Y2)=0

を 得 て,結

局E(X1X2)=E(Y1Y2)=E(Y1X2)=E(X1Y2)=0が

す な わ ち{X1,X2,Y1,Y2}が (X1,Y1)と(X2,Y2)は

わ か る.

独 立 な(実)Gauss型 独 立 で あ り,そ

確 率 変 数 系 で あ る.特

の こ と はZ1とZ2が

に

独 立 で あ る ことを

示 す.

  複 素Gauss型

確 率 変 数 系Z={Zλ(ω);λ

∈Λ}に 対 し て 平 均 ベ ク トルm=(mλ):

E(Zλ)=mλ, 

λ∈ Λ

お よび 共 分 散 行 列V=(Vλ,μ):

が 対 応 し,そ

れ が 正 定 値 と な る こ と は 前 節 の 場 合 と同 様 で あ る.

  いま   (2.10) 

実数

と お け ば,Vλ,μ の 定 義 とZλ,Zμ お よびZλ+iZμ

が 複 素Gauss型

でそれ ぞれ

実 数 部 と虚 数 部 が 独 立 に な る こ とを 用 い て

とな る こ とが わ か る.υλ,μ お よ びwλ,μ

に よ っ て で き る 行 列 を そ れ ぞ れ υ,w

とす る:

  (2.11) 

υ=(υ λ,μ), 

  補 題  V=(Vλ,μ),λ,μ (2.11)に

 (2.12)

∈Λ,を

w=(wλ,μ).

任 意 の 正 定 値 行 列 と す る.式(2.10)お

よ っ て 定 ま る 行 列 υ,wを

と り,新 た に 行 列

よび

を 構 成 す れ ば,Dも

正 定 値 で あ る.

  証 明   有 限 個 の パ ラ メ ー タ ー 集 合{λ}を と っ て,有

選 び,任

意 に 複 素 数{α λ},{βλ}を

限和

を 考 え る.仮

定 よ り(Vλ,μ)は

正 定 値 で あ り,し

た が っ て(Vλ,μ)も 正 定 値 で

あ るので

とな る.こ こで も和 は上 に選 ん だ有 限個 のパ ラ メ ー ター集 合 を動 くも の とす る, 両 者 を加 え て次 の 不等 式 が 得 られ る.

これ を整 理 し て

が 得 ら れ    定 理2.4. Λ

と な る こ とが わ か っ た.す

平 均 ベ ク トル,Vを

確 率 変 数 系Z={Zλ(ω);λ∈Λ}が

  証 明   与 え られ たVか

トル が0の(実)Gauss型 よ び{Yλ;λ

正 定 値 行 列V=

共分散行列に もつ 複 素

存 在 す る.

ら 上 の 補 題 に よ っ て 正 定 値 行 列Dを

各 成 分 は 実 数 で あ る こ と に 注 意 し よ う.こ

λ∈Λ}お

正 定 値 で あ る.

を パ ラ メ ー タ ー に も つ ベ ク トルm=(mλ)と

(Vλ,μ)が 与 え ら れ た と き,mを Gauss型

な わ ちDは

のDに

確 率 変 数 系{Xλ,Yλ;λ ∈Λ}の

構 成 す る.Dの

対 し て 定 理2.1か ∈Λ}が

共 分 散 行 列 が 共 に(2.11)の

ら平 均 ベ ク

存 在 し て,{Xλ; 行 列Vで

あ り,か

つE(YλXμ)=-E(XλYμ)=wλ,μ 用 い てZλ

と な っ て い る.こ

こ で 与 え ら れ た(mλ)を

を

に よ って定 義 す れ ば{Zλ(ω);λ ∈Λ}が 求 め る複 素Gauss型

確率変数系であ

る こ とは 容 易 に確 か め られ る.   上 の定 理 に お い て与 え られ たVの 各成 分Vλ,μ が すべ て実 数 の場 合 で も,定 理 の結果 は有 効 に用 い られ る ことを 注意 した い.そ の と きは(2.10)式

か らす

べ て の λ,μ につ い て wλ,μ=0 とな り,定 理 の証 明 で存 在 が 知 られ た{Xλ}と{Yλ}と

は独 立 に な って しま

う.特 にΛ が整 数 全体,非 負整 数 全 体 あ るい は実 数 の あ る区 間 な どの場 合,す な わ ちGauss過

程 の場 合 に は次の よ うな結 論 が 得 られ る.

  命題2.2 

与 え られ た(実)Gauss過

複 素Gauss過

程 に対 して それ と同 じ共 分散 を も つ

程が 存 在 す る.

  実 際(実)Gauss過

程{Xλ}が

与 え られ た と き(簡 単 の た めE(Xλ)=0,

λ∈Λ,と して お く),そ れ と独立 でか つ 同 じ分 布 に 従 うGauss過

程{Yλ}を

とって  (2.13)

とす れ ば{Zλ}が   定 義2.3. 

求 め る も の で あ る.

上 の よ う に し て 構 成 さ れ た 複 素Gauss過

程{Zλ}を{Xλ}の

複 素 形 とい う   [例1] Λ=[0,∞),mλ

≡0か

理2.1で

程 をBrown運

Brown運

定 ま るGauss過 動 は 通 常 λをtに

と書 く,{B(t)}の

つVλ,μ=λ∧ μ(=min{λ,μ})の 動(Brownian

か え て 

複 素 形 は 複 素Brown運

,あ 動(complex

motion)と

と き,定 い う.

る い は 単 に{B(t)} Brownian motion)

と 呼 ば れ る.そ   [例2] 

の 記 号 は 一 定 し て い な い が{Z(t)}と

Λ を1次

元 空 間RのBorel集

全 体 に と る.mλ=0,λ ら わ す)と あ る.対

∈Λ,か

し よ う.こ

(homogeneous

Gaussian

次Gauss型

合 でLebesgue測

度有 限 な も のの

つVλ,μ=￨λ ∩ μ￨(￨ ￨はLebesgue測

の(Vλ,μ)が

応 す る(実)Gauss型

書 く こ とが 多 い.

度を あ

正 定 値 と な る こ と は よ く知 ら れ た 事 実 で

確 率 変 数 系 を 斉 次Gauss型 random

measure)と

い う.そ

ラ ン ダ ム 測度 の複 素 形 が 複 素斉

ラ ン ダ ム測 度 で あ る.

  §2.4.  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過   (実)Gauss型

程,標

確 率 変 数 系X={Xλ(ω);λ

準 表現

∈ Λ}に お い てΛ がⅰ)整

た は 非 負 整 数 全 体 の と き離 散 パ ラ メ ー タ ー を も つGauss過

程 と い い,ⅱ)実

全 体 ま た は そ の 部 分 区 間 で あ る と き 連 続 パ ラ メ ー タ ー を も つGauss過 う.こ

れ ら の 場 合 に 一 般 の 系 と 区 別 す る た めXλ

はX(t)等

の 代 りにⅰ)で

の 伝 統 的 な 記 述 法 を 用 い る こ と に す る.こ

数全体 ま 数

程 とい

はXn,ⅱ)で

こ で 用 い た 記 号nと

かt

は共 に時 間 を 示す パ ラ メ ータ ー と見 れ ば今 後 の議 論 に対 す る直観 的 な認 識 が得 や す い で あ ろ う.   本 書 で 扱 う 内 容 か ら 言 え ばⅰ),ⅱ)の し い 方,す

な わ ちⅰ)の

各 場 合 の 相 違 は 極 め て 大 き い.ま

方 か ら始 め て,我

ず 易

々 が 何 を 問 題 に し よ う とす る か を 明

ら か に し た い.   Λ と し てI+={1,2,…}を

と りGauss過

程X={Xn(ω);n∈I+}*を

簡 単 の た め こ こ で もE(Xn)=0,n∈I+,と つ の で そ れ はL2(Ω,P)(=Ω るHilbert空

間)の

し てお く,各Xnは

上 の 関 数 でPに 関 し て2乗

元 とみ る こ と が で き る.そ

考 え る. 有 限 な 分散 を も

可 積 分 な もの全 体 の 作

こ で{Xn}にSchmidtの

直 交化 の方 法 を 適用 し て X1=a1,1ξ1, X2=a2,1ξ1+a2,2ξ2,

(*)  Gauss型

確率 変 数 系Xも

これ を 過 程 とみ た ときはXと

書 くこ とにす る.

 (2.14)

な る表 現 を 得 る.こ L2(Ω,P)の Xk, 

こ に 各an,jは

実 数 で,ξ1,ξ2,…,ξn,…

単 位 ベ ク トル で あ る.と

は 互 に 直 交 す る

こ ろ が ξjの構 成 法 を み れ ば,そ

の 一 次 結 合 と し て表 わ さ れ る の で{Xn,n∈I+}がGauss型

る こ と か ら{ξn;n∈I+}は

互 に 独 立 な(§2.24°)参

照)標

れ が であ

準Gauss型

確率 変

数 の 系 で あ る こ と が わ か る.   ま た,上

の よ うな ξjの 構 成 法 か ら 条 件 つ き 平 均 値 に つ い て

 (2.15)

が な りた つ.な

と書 け ば,右

ぜ な ら,

辺 の 第 一 項 はX1,X2,…,Xkの

二 項 はX1,X2,…,Xkと て(2.15)が

独 立 な も の で あ る か ら,条

で あ り, 

は1次

関 数)で

あ り,第

件 つ き平 均値 の定 義 に よ っ

得 ら れ る.

  特 に 上 の(2.15)でk=n-1と

 (2.16) 

関 数(実

とれ ば

Xn-E(Xn￨X1,X2,…,Xn-1)=an,nξn

の と き ξnは時刻nに お い てGauss過

た ラ ン ダ ム な 要 素 を 表 わ す も の とみ な され る.実 直 交 す な わ ち独 立 で あ り,し

か もXnは

程Xが

新 た に獲 得 し

際,ξnはX1,X2,…,Xn-1と

こ の ξnとX1,X2,…,Xn-1と

の関 数 と

し て 表 わ さ れ る か ら で あ る.   こ う し て ラ ン ダ ム な 現 象 の 時 間 的 推 移 を 見 よ う とす る と き(2.14)は 表 現 で あ る こ とが わ か り,ま

た ξnは 大 切 な 意 味 を も つ こ と も わ か る.こ

適切な う し

て 次 の 定 義 が 与 え ら れ る.   定 義2.4. ⅰ)Gauss過

程X={Xn;n∈I+}に

型 確 率 変 数 列{ξn;n∈I+}と2重

数 列an,j, 

対 し て,独 立 な 標 準Gauss

が存 在 し てXnと 

とが 同 じ 分 布 で あ る と き組{an,j,ξn}をXの  ⅱ)  Xの

表 現{an,j,ξn}が

あ っ て(2.14)と(2.15)を

の 表 現 を 標 準 表 現(canonical  ⅲ) 

表 現(representation)と

representation)と

そ の 表 現 の 核(kernel)と

対 し て 独 立 な 標 準Gauss型

を 定 義 し てX={Xn;n∈I+}がXと Xの

え られ たGauss過

程X={Xj;

確 率 変 数 列{ξn;n∈I+}を

用い

同 じ 分 布 に 従 う と き{an,j;ξj}を

表 現(representation)と

{Xn}が(2.15)を

新 生 変 数 列(innovation)

呼 ぶ.

  これ ま で 標 準 表 現 の み を 考 え て き た が,与 n∈I+}に

満 足 す る と き,そ い う.

標 準 表 現 に お け る 独 立 変 数 列{ξn}をXの

と 呼 び,an,jを

い う.

呼 ぶ こ と に す れ ば,標

み た さ な い表 現 が あ る.そ

準 的 で な い,す

単 に なわち

の よ うな 表 現 は 当 然 予 測 の理 論

そ の 他 応 用 面 か ら み て も役 立 た な い も の で あ る.標

準 表 現 で ない表 現 が 考 え ら

れ る こ と を 次 の 例 に よっ て 示 そ う.   [例1] 

系{X1,X2,X3}がGauss型

で,独

立 な 標 準Gauss型

確 率変 数

ξ1,ξ2,ξ3を用 い て  

X1=a1,1ξ1, X2=ca1,1ξ1+0ξ2, 

と表 わ され た と し よ う.一

X3=a3,1ξ1+0ξ2+a3,3ξ3

方 同 じ く独 立 な 標 準Gauss型

確 率 変 数 ξ1,ξ2,ξ3を

用 い て表 わ さ れ る

を 考 え れ ば,明 て い る.後

ら か に(X1,X2,X3)と(X1,X2,X3)と

者 が(2.15)を

に よ っ て 知 られ る.だ

は同 じ分 布 に従 っ

みた さな い こ とは

か ら 標 準 表 現 に は な っ て い な い し,ξ1,ξ2,ξ3は

新生

変 数 列 で は な い.   定 理2.5. 

与 え ら れ たGauss過

程X={Xn;n∈I+}の

標準表現は 常 に

存 在 し,次

の 意 味 で 一 意 的 で あ る.す

の 標 準 表 現 とす れ ば,任 あ りす べ て の に

意 のnに

な わ ち{an,j,ξn}と{an′,j,ξ′n}を

つ い てan,n=a′n,nか

対 し て 前 者 な らam,n=a′m,nで

二 つ

ま た はan,n=-a′n,nで 後 者 な らam,n=-a′m,n

と な る.   証 明   標 準 表 現 の 存 在 は 既 に 述 べ た よ う にSchmidtの

直 交化 の方 法 に よ っ

て 保 証 され た.   一 意 性 に つ い て は,(2.16)の

左 辺 は表 現 に無 関 係 な確 率変 数 だ か らそ の分

散 を とれ ばa2n,n=a′2n,nは す ぐ に 出 る,つ

い で,XmとXn,m>n,と

の共 分

散が

 (2.17)

とな る こ とを 用 い て,逐 る こ と が で き る.こ

次an,j,n>j,お

よ びa′n,j,n>j,を

う し て 二 重 数 列an,jの

きめ 方 はan,nの

の 自 由 性 し か あ り え な い こ と が わ か る.再

び(2.17)を

一意 的 に き め 符 号 の選 び 方 だ け

用 い て定 理 の 結 論 に 到

達 す る.   複 素Gauss過

程Z={Zn;m∈I+}を

表 現 が 存 在 す る.す E(ξn)=0, 

と っ て も 事 情 は 全 く同 様 で,常

な わ ち 独 立 な 複 素Gauss型

E(￨ξn￨2)=1,が

に標 準

確 率 変 数 列{ξn;n∈I+},

存 在 し て,Znは

 (2.18)

と表 わ さ れ,か

つ

 (2.19)

が な りた つ.   実 数 値 を と る場 合 と 同 様 に,{an,j,ξn}をZの

標 準 表 現{ξn}を

新 生 変数

列 と 呼 ぶ.   [例2] 

X={Xn;n∈I+}の

標 準 表 現 を{an,j,ξn}と 定 数,

し よ う.い

ま

とな る よ う な 特 別 な 場 合 を 考 察 し て み よ う.n>kと E(Xn￨X1,X2,…,Xk)を

み る と,そ

して条 件 付 平 均 値

れは

に 等 し い.標 準 表 現 の定 義 か ら

と 互 い に 独 立 な 確 率 変 数 の 和 の 形 に 分 解 され る.こ   は  に 定 義 す るMarkov過   定 義2.5.  process)で

  定 理2.6. 

に 等 し い こ と が わ か る.す

なわ ち 次

程 の 一 種 で あ る.

確 率 過 程X={Xn(ω);n∈I+}がMarkov過 あ る とは,任

が    上 の 例1を

の形 を見れ ば条 件 付 確 率

意 のn,k(k