Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методические указания по курсу ''Методы вычислений''

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т

М а те ма ти че ски й фа культе т

Чи сле нные ме то дыр е ше ни я о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

М е то ди че ски е ука за ни я п о кур су «М е то дывычи сле ни й» для студе нто в IV-V кур со в все х фо р м о б уче ни я

Со ста ви те ль В .П.Тр о фи мо в В о р о не ж 2002 г.

Н а сто ящи е ме то ди че ски е ука за ни я п р е дна зна че ны для вып о лне ни я ла б о р а то р но й р а б о ты «Чи сле нные ме то ды р е ше ни я о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й» п о кур су «М е то дывычи сле ни й» студе нта ми IV-V кур со в дне вно го и ве че р не го о тде ле ни й ма те ма ти че ско го фа культе та . Ра зр а б о тка мо ж е тб ыть и сп о льзо ва на для са мо сто яте льно й р а б о ты студе нто в и п о дго то вке к экза ме ну. Ра зр а б о тка п р е дста вляе т со б о й суще стве нно п е р е р а б о та нный и до п о лне нный ва р и а нтме то ди че ски х ука за ни й [5] . Ли те р а тур а . 1. Ба хва ло в Н .С., Ла п и н А.В ., Чи ж о нко в Е .В . Чи сле нные ме то дыв за да ча х и уп р а ж не ни ях. / По д р е д. В .А.Са до вни че го : У че б . п о со б и е .– М .: В ысш. шк., 2000. – 190 с. 2. Ар уша нян И .О ., Чи ж о нко в Е .В . М а те р и а лысе ми на р ски хза няти й п о кур су «М е то ды вычи сле ни й» / По д р е д. О .Б.Ар уша няна : У че б . п о со б и е . – 2-е и зд. – М .: И зд-во Ц ПИ п р и ме ха ни ко -ма те ма ти че ско м ф-те М ГУ , 1999. – 96 с. 3. Пли с А.И ., Сли ви на Н .А. Ла б о р а то р ный п р а кти кум п о высше й ма те ма ти ке : У че б . п о со б и е для втузо в. – 2-е и зд., п е р е р а б . и до п . – М .: В ысш. шк., 1994. – 416 с. 4. Х а йр е р Э ., Н ё р се тт С., В а нне р Г. Ре ше ни е о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Н е ж е стки е за да чи : Пе р . с а нгл. – М .: М и р , 1990. – 512 с. 5. Аб р о ськи на Г.С., Тр о фи мо в В .П. М е то ди че ски е ука за ни я п о ме то да м вычи сле ни й и вычи сли те льно й п р а кти ке . Ча сть III: - В о р о не ж .: В ГУ , 1989. – 24 с. 1. П о ст ан о в казад ач и . Пусть тр е б уе тся на йти ди ффе р е нци р уе мую п р и x ≥ x 0 функци ю y€ = y€ ( x ) , удо вле тво р яю щую ди ффе р е нци а льно му ур а вне ни ю п р и x > x0 и на ча льно му усло ви ю п р и x = x0 :

dy = f (x, y( x )), dx

x0 < x < x0 + H ,

H > 0,

y ( x0 ) = y 0 .

(1)

Буде м счи та ть, что п р а ва я ча сть ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я f ( x, y ) удо вле тво р яе т усло ви ям те о р е мы суще ство ва ни я и е ди нстве нно сти р е ше ни я y€ = y€ ( x ) за да чи Ко ши (1). Чи сле нно е р е ше ни е за да чи (1) со сто и т в п о стр о е ни и та б ли цы п р и б ли ж е нных зна че ни й y1 , y 2 , K, y N то чно го р е ше ни я y€ ( x ) в то чка х

x1 , x 2 ,K, x N о тр е зка [x0 ; x0 + H ] . Пр и это м ве ли чи ну

y€ ( x k ) − y k

на зыва ю т 2

ло ка льно й а лго р и тми че ско й о ши б ко й чи сле нно го ме то да п р и x = x k . В р е а льных вычи сле ни ях все гда п р и сутствуе т о ши б ка о кр угле ни я и фа кти че ски б удут ~ вычи сле ны y i (i = 1, K , N ) . Суще ствуе тмно ж е ство ме то до в р е ше ни я за да чи Ко ши (1). М ы р а ссмо тр и м два ва ж не йши х кла сса чи сле нных ме то до в: ме то ды, о сно ва нные на р а зло ж е ни и р е ше ни я в р яд Те йло р а , и ме то дып о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и . H В ыб е р е м xi = x0 + ih, i = 1,K, N , h = . То чки xi на зыва ю тся узла ми N се тки , а ве ли чи на h - ша го м се тки . 2. М ет о д Т ейло ра. Пр е дп о ла га я, что то чно е р е ше ни е y€ ( x ) за да чи (1) являе тся а на ли ти че ско й функци е й в не ко то р о й о кр е стно сти U ( x0 ) то чки x0 , р а зло ж и м y€ ( x ) в р яд Те йло р а в то чке x n ∈U ( x 0 ) : ∞

y€ ( k ) ( xn ) y€ ( x) = ∑ ( x − xn ). k! k =0

(2)

За ме ти м, что y€ ′( x ) = f ( x, y€ ( x ) ) и , сле до ва те льно ,

y€ ( j ) ( x) = f ( j−1) ( x, y€ ( x)),

j = 2,3K

y€ ( k ) ( x ) = f ( k −1) (x, y€ ( x) ), k = 2,3K Пр о и зво дные п р а ви ла м ди ффе р е нци р о ва ни я сло ж но й функци и :

f (1) (x, y€ ( x)) =

f

(2)

(3) вычи сляю тся

по

∂f ∂f dy€ + = f x (x, y€ ( x)) + f y ( x, y€ ( x) ) f (x, y€ ( x )), ∂x ∂y dx

∂2 f ∂ 2 f dy€ ∂ 2 f (x, y€ ( x)) = 2 + 2 + ∂x ∂x∂y dx ∂y 2

2  dy€  ∂f d y€ =   + 2 dx ∂ y dx   2

f xx (x, y€ ( x)) + 2 f xy (x, y€ ( x )) f (x, y€ ( x)) + f yy ( x, y€ ( x) )[ f ( x, y€ ( x))] + 2

f y ( x, y€ ( x))[ f x ( x, y€ ( x)) + f y (x, y€ ( x)) f ( x, y€ ( x))], K

3

И сп о льзуя (3), п е р е п и ше м (2) п р и x = x n +1 , h = x n +1 − x n , в ви де : p

y€ ( xn+1 ) = y€ ( xn ) + ∑ k =1

f ( k −1) ( xn , y€ ( xn )) k h + Rp , k!

(4)

где R p - чле ны высши х п о р ядко в. За ме ни в в (4) y€ ( x n ) на y n и о тб р о си в R p , п о лучи м а лго р и тм ме то да Те йло р а p

yn +1 = yn + ∑ k =1

f ( k −1) (xn , yn ) k h . k!

(5)

О б ычно а лго р и тм (5) за п и сыва ю тв ви де :

yn +1 = yn + hTp (xn , yn , h ),

n = 0,1,K, N − 1,

где p −1

T p ( xn , y n , h ) = ∑ j =0

(6)

f ( j ) ( xn , yn ) j h . ( j + 1)!

М е то д (6) на зыва ю тм ет о д о м Т ейло рап о ря д ка p . Зам еч ан и я : 1. Д ля ме то да Те йло р а п о р ядка p о ста то чный чле н R p в фо р муле (4) и ме е т p +1 ви д R p = O ( h ) п р и h → 0 . Сле до ва те льно , е сли в а лго р и тме (6) y n = y€ ( x n ) , то p +1 ло ка льна я а лго р и тми че ска я о ши б ка ме то да и ме е тп о р ядо к O ( h ) . 2. О б ще е ко ли че ство ша го в чи сле нно го р е ше ни я за да чи (1) на о тр е зке [x0 ; x0 + H ] о п р е де ляе тся о тно ше ни е м N = H / h . Пр и за да нно й то чно сти п р и б ли ж е нно го р е ше ни я чи сло ша го в N уме ньша е тся с уве ли че ни е м п о р ядка p ме то да Те йло р а . Н о уве ли че ни е п о р ядка ме то да п р и во ди тк р о сту чи сла чле но в в фо р муле (7). Д ля чи сле нно й р е а ли за ци и а лго р и тма (6) нуж но вычи слять

∂ k f ( x, y ) p( p + 1) 2 зна че ни й функци и f ( x, y ) и все х е е ча стных п р о и зво дных ∂x j ∂y k − j j = 1,K, k . В ычи сле ни е б о льшо го чи сла ча стных п р о и зво дных п р и k < p, являе тся тр удно й за да че й. По это му ме то ды Те йло р а выше че тве р то го п о р ядка в вычи сли те льно й п р а кти ке о б ычно не и сп о льзую тся. М ет о д Т ейло рап ерв о го п о ря д ка. И з фо р мулы(6) п р и p = 1 п о луча е м

yn +1 = yn + hf (xn , yn ),

n = 0,1,K, N − 1.

(7)

Э то та лго р и тм на зыва е тся я в н ы м м ет о д о м Э йлера. Зде сь T1 (xn , yn , h ) = f (xn , y n ) . 4

М ет о д Т ейло рав т о ро го п о ря д ка. Пр и p = 2 и з фо р мулы(6) п о луча е м

yn+1 = yn + hT2 ( xn , yn , h), где

T2 ( xn , yn , h) = f ( xn , yn ) +

n = 0,1,K, N − 1,

(8)

h [ f x (xn , yn ) + f y (xn , yn ) f (xn , yn )]. 2

3. М ет о д Рун ге-Кут т а. М е то д Рунге -Кутта и ме е тто тж е п о р ядо к то чно сти , что и ме то д Те йло р а , но и склю ча е тне о б хо ди мо сть вычи сле ни я зна че ни й ча стных п р о и зво дных о тп р а во й ча сти ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я f ( x, y ) . О сно вна я и де я ме то да со сто и т в за ме не функци и T p ( xn , y n , h ) в фо р муле (6) др уго й функци е й K p ( xn , yn , h ) , не

тр е б ую ще й вычи сле ни я ча стных п р о и зво дных о т f ( x, y ) и удо вле тво р яю ще й усло ви ю

Tp ( xn , yn , h ) − K p ( xn , yn , h ) ≤ Ch p ,

(9)

где C - ко нста нта , не за ви сяща я о т h . Та ки м о б р а зо м, а лго р и тм ме то да Рунге Кутта и ме е тви д:

yn +1 = yn + hK p (xn , yn , h),

n = 0,1,K, N − 1,

(10)

где K p ( xn , yn , h ) удо вле тво р яе т усло ви ю (9). О че ви дно , ме то д (10) и ме е т ту ж е а лго р и тми че скую о ши б ку, что и ме то д Те йло р а . Алго р и тм (10) п р и нято на зыва ть м ет о д о м Рун ге-Кут т ап о ря д ка p . Ф ункци ю K p ( xn , yn , h ) р а зыски ва ю тв ви де : p

K p ( xn , yn , h) = ∑ a pj k j ,

(11)

j =1

где

k1 = f ( xn , yn ),

k2 = f (xn + α 2 h, yn + β 21hk1 ),

k3 = f (xn + α 3h, yn + β 31hk1 + β 32hk2 ),

KKK

k p = f (xn + α p h, yn + β p1hk1 + β p 2 hk2 + K + β pp−1hk p−1 ). 5

В фо р мула х (11) ко эффи ци е нты a pj ( j = 1,K, p ) и α r , β rs ( r = 2,K, p; s = 1,K, p − 1) на хо дятся и з усло ви я (9). М ет о д Рун ге-Кут т ап ерв о го п о ря д ка. Пр и p = 1 п о луча е м и з (11)

K1 (xn , yn , h ) = a11k1 = a11 f (x n , yn ).

Ср а вни ва я T1 ( xn , y n , h ) = f ( xn , y n ) с K1 ( xn , y n , h ) , не ме дле нно п о луча е м и з усло ви я (9), что a11 = 1 . Та ки м о б р а зо м ме то д Рунге -Кутта п е р во го п о р ядка со вп а да е тс явным ме то до м Э йле р а :

yn +1 = yn + hf (xn , yn ),

n = 0,1, K, N − 1.

М ет о д Рун ге-Кут т ав т о ро го п о ря д ка. Пр и p = 2 п о луча е м и з (11)

K2 (xn , yn , h ) = a21 f (xn , yn ) + a22 f (xn + α 2 h, yn + β 21hf (xn , yn )).

(12)

(xn , yn ) п о луча е м f ( xn + α 2 h, yn + β 21hf (xn , yn )) = f ( xn , yn ) + α 2 hf x ( xn , yn ) + β 21hf ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) + O(h 2 ).

(13)

Ра зла га я f ( x, y ) во вто р о м сла га е мо м в (12) п о фо р муле Те йло р а в то чке

По дста вляя (13) в (12), и ме е м

K2 (xn , yn , h) = (a21 + a22 ) f (xn , yn ) +

a22α 2 hf x ( xn , yn ) + a22 β 21hf (xn , yn ) f y ( xn , yn ) + O(h 2 ).

(14)

h [ f x (xn , yn ) + f y (xn , yn ) f (xn , yn )] и (14), 2 п о луча е м и з усло ви я (9) не ли не йную си сте му ур а вне ни й для о п р е де ле ни я ко эффи ци е нто в a21 , a22 , α 2 , β 21 : Ср а вни ва я T2 ( xn , yn , h) = f ( xn , yn ) +

 a21 + a22 = 1   a22α 2 = 1 / 2  a β = 1 / 2.  22 21 О тсю да сле дуе т, что для р а зли чных a22 ≠ 0 суще ствуе т це ло е се ме йство ме то до в Рунге -Кутта

вто р о го

п о р ядка с ко эффи ци е нта ми

a21 = 1 − a22 , и

α 2 = β 21 = 1 /(2a22 ) : 6

yn +1 = yn + hK2 (xn , yn , h ) =    1 1 yn + h (1 − a22 ) f ( xn , yn ) + a22 f  xn + h, yn + hf (xn , yn ). 2a22 2a22   

(15)

Пр и ве де м п р и ме р ыа лго р и тмо в ме то да Рунге -Кутта вто р о го п о р ядка . М ет о д Хью н а(м о д и ф и ци ро в ан н ы й м ет од т рап еци й). В это м случа е a22 = 1 / 2 , a21 = 1 − a22 = 1 / 2, α 2 = β 21 = 1 /(2a22 ) = 1. И з (15) п о луча е м а лго р и тм ме то да Х ью на

yn +1 = yn + hK2 (xn , yn , h ) = yn +

h [ f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + hf (xn , yn ))]. 2

(16)

М о д и ф и ци ро в ан н ы й м ет о д Э йлера. В это м случа е a22 = 1 , a21 = 1 − a22 = 0 α 2 = β 21 = 1 /(2a22 ) = 1 / 2. И з (15) п о луча е м а лго р и тм мо ди фи ци р о ва нно го ме то да Э йле р а

h h   yn +1 = yn + hK2 (xn , yn , h ) = yn + hf  xn + , yn + f (xn , yn ). 2 2  

(17)

М ет о д Рун ге-Кут т ач ет в ерт о го п о ря д ка. Н а и б о ле е ча сто в вычи сли те льно й п р а кти ке и сп о льзуе тся ме то д Рунге -Кутта че тве р то го п о р ядка , а лго р и тм ко то р о го о п р е де ляе тся фо р мула ми

yn +1 = yn + hK4 (xn , yn , h ),

n = 0,1,K, N − 1,

(18)

где

K 4 ( xn , yn , h ) = k1 = f ( xn , yn ),

1 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), 6

h h   k2 = f  xn + , yn + k1 , 2 2   h h   k3 = f  xn + , yn + k2 , 2 2   k4 = f (xn + h, yn + hk3 ).

О тме ти м, что е сли п р а ва я ча сть ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я f ( x, y ) не за ви си т о т y , то фо р мула (18) со вп а да е т с ква др а тур но й фо р муло й Си мп со на . Ре ше ни е

за да чи

Ко ши

y ′ = f (x ), y ( x0 ) = y0

р а вно си льно

вычи сле ни ю

x

и нте гр а ла y ( x ) =

∫ f (s )ds ).

x0

7

Зам еч ан и е. М е то д (18) ча сто на зыва ю тп р о сто «ме то до м Рунге -Кутта » б е з всяки х ука за ни й на п о р ядо к. Ло ка льна я а лго р и тми че ска я о ши б ка это го ме то да 5 не п р е во схо ди т Ch , где C > 0 - ко нста нта , не за ви сяща я о т h . О дна ко о це ни ть C не п р о сто . Э то суще стве нный не до ста то к ме то да Рунге -Кутта . Гр уб о е о це но чно е п р а ви ло выб о р а ша га h п р е дло ж е но Ко лла тцо м: е сли для не ко то р о й то чки

(xn , yn ) ве ли чи на

k2 − k3 б о льше не ско льки х со тых, то ша г h уме ньша ю т. k1 − k 4

4. О бщи й о д н о ш аго в ы й м ет од . М е то д, а лго р и тм ко то р о го о п р е де ляе тся фо р муло й

yn +1 = yn + hΦ f ( xn , yn , h ), n = 0,1,K, N − 1, (19) где Φ f - функци я а р гуме нто в x, y, h за ви си то тп р а во й ча сти ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я f ( x, y ) , на зыва е тся о бщи м о д н о ш аго в ы м м ет од ом. О че ви дно , что ме то дыТе йло р а и Рунге -Кутта являю тся ча стными случа ями о б ще го о дно ша го во го ме то да . yn+1 = ~ yn + hΦ f (xn , ~ yn , h) + δ n , yn - р е ше ни е ур а вне ни я ~ О б о зна чи м че р е з ~ n = 0,1,K, N − 1 с на ча льным усло ви е м ~y . 0

Т ео рем а(о це нка гло б а льно й п о гр е шно сти о б ще го о дно ша го во го ме то да ). Пусть вып о лне нысле дую щи е усло ви я: 1. Ф ункци я Φ f (x, y, h ) о п р е де ле на и не п р е р ывна в о б ла сти

D = [x0, x0 + H ]× (− ∞,+∞) × [0, h0 ],

h0 > 0 и суще ствуе т ко нста нта

M > 0 , не

за ви сяща я о т x и h , та ка я, что в о б ла сти D

Φ f ( x, y , h ) − Φ f ( x, z , h ) ≤ M y − z .

2. Суще ствуе тко нста нта L > 0 и це ло е

p > 0 та ки е , что в о б ла сти D

w(t + h) − v ≤ Lh p , h w(x ) - р е ше ни е ур а вне ни я y ′ = f (x, y ) на где удо вле тво р яю ще е на ча льно му усло ви ю w(t ) = v . Φ f (t, v, h) −

о тр е зке

[t, t + h] ,

То гда для гло б а льно й о ши б ки ме то да (19) сп р а ве дли ва о це нка

δ  exp[M ( xn − x0 )] − 1  y€ ( xn ) − ~ yn ≤ y€ ( xo ) − ~ y0 exp[M ( xn − x0 )] +  Lh p +  , h M 

δ j , δ j -ло ка льна я о ши б ка о кр угле ни я на где δ = 0≤max j ≤ N −1

(20)

j -о м ша ге .

8

И з (20) сле дуе т, что гло б а льна я о ши б ка о б ще го о дно ша го во го ме то да (19) со сто и ти з тр е х ча сте й: 1) о ши б ка п р и вычи сле ни и на ча льно го усло ви я, 2) сумма р на я а лго р и тми че ска я о ши б ка ме то да , ха р а кте р и зуе ма я ве ли чи но й

Lh p , уб ыва ю ща я с уме ньше ни е м h , 3) о ши б ка о кр угле ни я, п р е дста вле нна я чле но м

δ , ко то р ый р а сте т с h

уме ньше ни е м h . И з (20) сле дуе т, что п о п ытка уме ньши ть а лго р и тми че скую о ши б ку ме то да п р и во ди тк уме ньше ни ю h и , сле до ва те льно , к уве ли че ни ю о ши б ки о кр угле ни я. Кр о ме то го , гло б а льна я о ши б ка р а сте т с уве ли че ни е м дли ны и нте р ва ла , на ко то р о м р а зыски ва е тся р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. 4. М ет о д ы п о ли н о м и альн о й ап п ро кси м аци и . Пусть то чным р е ше ни е м за да чи (1) являе тся п о ли но м сте п е ни k : k

y€ ( x) = ∑γ j x j .

(21)

j =0

Пр е дп о ло ж и м,

y€ ( x ) и п р а во й ча сти ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я в m + 1 то чка х

что

на м и зве стны зна че ни я

то чно го

р е ше ни я

y€ ′( x ) = f (x, y€ (x )) xn−i (i = 0,1K, m) . Н а ше й це лью являе тся п о стр о е ни е та ки х чи сле нных ме то до в, ко то р ые п о зво ли ли б ы в это м случа е на йти y n +1 , со вп а да ю ще е со зна че ни е м то чно го р е ше ни я в то чке xn+1 : y€ ( x n +1 ) = y€ ( x n + h ) = y n+1 . Н а п р и ме р , для k = 1 в (21)

это п о зво ляе тсде ла ть явный ме то д Э йле р а . Лю б о й ме то д, да ю щи й во змо ж но сть на йти то чно е зна че ни е y€ ( xn +1 ) = y n+1 р е ше ни я y€ ( x ) за да чи (1), являю ще го ся п о ли но мо м (21), на зыва ю т м ет од ом п о ли н о м и альн о й ап п ро кси м аци и (ф о рм уло й ч и слен н о го и н т егри ро в ан и я ) п о ря д ка k . П ред уп режд ен и е. Н е п ута ть п о р ядо к k ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и с п о р ядко м p ме то да Те йло р а . В о тли чи е о т ме то да Те йло р а б о льши нство ме то до в п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и и сп о льзуе т для вычи сле ни я y n +1 и нфо р ма ци ю о не ско льки х п р е дыдущи х ша га х. По это му ме то д п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и п р и m ≥ 1 на зыва ю тм н о го ш аго в ы м в о тли чи е , на п р и ме р , о тме то до в Рунге -Кутта , ко то р ые являю тся о д н о ш аго в ы м и . О б щи й ви д а лго р и тма ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и :

9

m

m

yn +1 = ∑ ai yn−i + h ∑ bi f (xn−i , yn−i ), i =0

(22)

i =−1

2m + 3 ко эффи ци е нто в a 0 , a1 ,K, a m , b−1 , b0 , b1 ,K, bm о п р е де ляю тся та к, что е сли то чно е р е ше ни е y€ ( x ) за да чи (1) являе тся п о ли но мо м сте п е ни k и е сли п р е два р и те льно на йде нные зна че ни я y n , y n−1 ,K, y n−m являю тся то чными ( y n −i = y€ ( x n−i ) п р и i = 0,1,K, m ), то а лго р и тм (22) да е тто чно е зна че ни е р е ше ни я y n +1 = y€ ( x n+1 ) . О че ви дно , что 2m + 3 ≥ k + 1 (чи сло п а р а ме тр о в - ко эффи ци е нто в где

ме то да до лж но б ыть б о льше чи сла ко эффи ци е нто в п о ли но ма (21)). Н а йде м усло ви я, ко то р ым до лж ны удо вле тво р ять ко эффи ци е нты a0 , a1 ,K, am , b−1 , b0 , b1 ,K, bm ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и п о р ядка k . Се ме йство за да ч Ко ши , р е ше ни е м ко то р ых являе тся п о ли но м (21), и ме е т ви д k

y ′( x) = ∑ jγ j x j −1.

(23)

j =1

Д ля удо б ства вычи сле ни й п о ло ж и м x n = 0 . То гда x n+1 = h , x n−i = − ih, i = 1,K, m . И з (21) и (23) и ме е м: k

yn +1 = ∑γ j h j , j =0

yn = γ 0 , k

yn −i = ∑γ j ( −i) j h j ,

i = 1,K, m,

j =0 k

f (xn +1 , yn +1 ) = ∑ jγ j h j −1 , j =1

f ( xn , y n ) = γ 1 , k

f (xn −i , y n −i ) = ∑ jγ j (−i ) j −1 h j −1 ,

i = 1, K, m.

j =1

По дста вляя на йде нные выр а ж е ни я в (22) и п р и р а вни ва я ко эффи ци е нты п р и γ j h j , j = 0,1K, m , п о лучи м си сте му k + 1 ур а вне ни й о тно си те льно 2m + 3 не и зве стных a0 , a1 ,K, am , b−1 , b0 , b1 ,K, bm :

10

m  ai = 1 ∑  i =0 m m ∑ ( −i ) j a j + j ∑ ( −i ) j −1 b j = 1,  i=0 i = −1

( 24) j = 1,K, k .

Си сте ма (24) на зыва е тся усло в и ем ко ррект н о ст и мно го ша го во го ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и п о р ядка k . Зам еч ан и е. Е сли п о тр е б о ва ть, что б ы ме то д б ыл то че н для случа я, ко гда р е ше ни е за да чи (1) п р и на дле ж и т сп е ци а льно му кла ссу функци й и ных, че м п о ли но мы (на п р и ме р , эксп о не нци а льных), то мо ж но п о лучи ть др уги е усло ви я ко р р е ктно сти п р и б ли ж е нно го ме то да . М е то д п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и (22), ко эффи ци е нты ко то р о го a0 , a1 ,K, am , b−1 , b0 , b1 ,K, bm удо вле тво р яю тусло ви ю ко р р е ктно сти (24), на зыва ю т со ст оят ельн ы м . М е то д (22) на зыва е тся я в н ы м , е сли b−1 = 0 , и н ея в н ы м , е сли b−1 ≠ 0 . Ло кальн ая алго ри т м и ч еская о ш и бка со сто яте льно го мно го ша го во го ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и п о р ядка k п р и е сте стве нных о гр а ни че ни ях на п р а вую ча сть ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я f (x, y ) о п р е де ляе тся выр а ж е ни е м

Ck = y€ ( k +1) (ξ )h k +1 = O(h k +1 ),

(25)

где Ck - ко нста нта , не за ви сяща я о т h , xn − mh ≤ ξ ≤ x n + h . О п и ше м два ва ж ных се ме йства со сто яте льных ме то до в п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и , ча сто и сп о льзуе мые в вычи сли те льно й п р а кти ке . М ет о д А д ам са-Баш ф о рт а(экст рап о ля ци о н н ы й м ет о д А д ам са). М е то д Ада мса -Ба шфо р та п о р ядка k являе тся явным мно го ша го вым ме то до м п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и , п о луче нным и з (22) п р и усло ви и

m = k − 1, a1 = a2 = K = ak −1 = 0, b−1 = 0,

(26)

то е сть k −1

yn+1 = a0 y0 + h ∑ bi f (xn−i , yn−i )

(27)

i =0

Ко эффи ци е нты ме то да a0 , b0 , b1 ,K, bk −1 о п р е де ляю тся и з усло ви я ко р р е ктно сти (24). В это м случа е (24) п р и ме тви д

   

a0 = 1 k −1 1 j −1 ( ) , − i b = ∑ i j i =0

j = 1,K, k .

( 28)

11

О п р е де ли те ль это й си сте мы о тли че н о тнуля и , сле до ва те льно , суще ствуе т е ди нстве нно е р е ше ни е . Та ки м о б р а зо м, для лю б о го k р е ше ни е си сте мы (28) о дно зна чно о п р е де ляе т ме то д Ада мса -Ба шфо р та п о р ядка k (ме то д являе тся со сто яте льным). Т абли ца1. А лго ри т м ы м ет о д аА д ам са-Баш ф о рт а. По р ядо к Пе р вый В то р о й

Тр е ти й Ч е тве р тый

Алго р и тм

y n+1 = yn + hf (xn , yn )

(явный ме то д Э йле р а )

1 3  y n+1 = y n + h  f ( xn , y n ) − f ( xn−1 , y n−1 ) 2 2  16 5  23  y n+1 = y n + h  f (x n , y n ) − f (x n−1 , y n−1 ) + f ( xn−2 , y n−2 ) 12 12 12  59 37 9  55  y n+1 = y n + h  f ( xn , y n ) − f ( xn−1 , y n−1 ) + f ( xn−2 , y n−2 ) − f ( xn−3 , y n−3 ) 24 24 24   24

Д ля чи сле нно й р е а ли за ци и ме то да Ада мса -Ба шфо р та п о р ядка k тр е б уе тся k ста р то вых зна че ни й y n , y n−1 ,K, y n −k +1 (ме то д являе тся k - ша го вым). М ет о д А д ам са-М улт о н а(и н т ерп о ля ци о н н ы й м ет о д А д ам са). М е то д Ада мса -М улто на п о р ядка k являе тся не явным мно го ша го вым ме то до м п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и , п о луче нным и з (22) п р и усло ви и

m = k − 2, a1 = a2 = K = ak −2 = 0, b−1 ≠ 0,

(29)

то е сть k −2

yn +1 = a0 y0 + h ∑ bi f (xn−i , yn−i )

(30)

i =−1

Ко эффи ци е нтыме то да a0 , b−1 , b0 , b1 ,K, bk − 2 о п р е де ляю тся и з усло ви я ко р р е ктно сти (24). В это м случа е (24) п р и ме тви д

   

a0 = 1 1 ( −i ) j−1 bi = , ∑ j i =−1 k −2

j = 1,K, k .

(31)

О п р е де ли те ль это й си сте мы о тли че н о тнуля и , сле до ва те льно , суще ствуе т е ди нстве нно е р е ше ни е . Та ки м о б р а зо м, для лю б о го k р е ше ни е си сте мы (31) о дно зна чно о п р е де ляе т ме то д Ада мса -М улто на п о р ядка k (ме то д являе тся со сто яте льным). Д ля чи сле нно й р е а ли за ци и ме то да Ада мса -М улто на п о р ядка k тр е б уе тся k − 1 ста р то вых зна че ни й y n , y n−1 ,K, y n −k + 2 (ме то д являе тся (k − 1) - ша го вым).

12

Т абли ца2. А лго ри т м ы м ет о д аА д ам са-М улт о н а. По р ядо к Пе р вый В то р о й

Тр е ти й Ч е тве р тый

y n+1 = y n + hf ( xn+1 , y n+1 )

Алго р и тм (не явный ме то д Э йле р а )

1 1  y n+1 = y n + h  f (x n+1 , y n+1 ) + f ( xn , y n ) (ме то д тр а п е ци й) 2 2  8 1 5  y n+1 = y n + h  f ( xn+1 , yn+1 ) + f ( xn , y n ) − f ( xn−1 , y n−1 ) 12 12 12  19 5 1 9  y n+1 = y n + h  f ( xn+1 , y n+1 ) + f ( xn , y n ) − f ( xn−1 , y n−1 ) + f (x n−2 , y n−2 ) 24 24 24  24 

Св я зьн ея в н ы х м ет о д о в с м ет о д ам и п ро гн о за-ко ррекци и . За п и ше м а лго р и тм (22) не явно го (b−1 ≠ 0) мно го ша го во го п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и в ви де

ме то да

m

yn +1 = ∑ ( ai yn −i + hbi f ( xn−i , yn−i ) ) + hb−1 f (xn +1 , yn+1 ).

(32)

i =0

Д ля о п р е де ле ни я е ди нстве нно й не и зве стно й ве ли чи ны y n+1 п о луча е м и з (32) ур а вне ни е

yn +1 = F ( yn+1 ),

(33)

где m

F ( yn+1 ) = ∑ ( ai yn−i + hbi f (xn−i , yn−i ) ) + hb−1 f (xn+1 , yn +1 ).

(34)

i =0

Пусть f ( x, y ) удо вле тво р яе т усло ви ю Ли п ши ца с ко нста нто й Ln+1 п р и ( ( ( x = xn+1 для все х y ∈ [ y n+1 − δ , y n +1 + δ ] , δ > 0 , где y n+1 - то чно е р е ше ни е ур а вне ни я (33). Пр и вып о лне ни и усло ви я

h < b−1 Ln +1 < 1,

h
1 , то

yn → ∞ п р и

(43)

n → ∞ (да ж е в то м случа е , ко гда

ко р е нь zi - п р о сто й). Е сли zi - ко р е нь кр а тно сти li > 1 и zi = 1 , то и з (43) сле дуе т,

yn → ∞ п р и n → ∞ . Зам еч ан и е. Пр и σ = 0 зна че ни е z = 1 являе тся п р о стым ко р не м ха р а кте р и сти че ско го мно го чле на P(z,0) то гда и то лько то гда , ко гда

что

b−1 + b0 + b1 + K + bm ≠ 0 . Т ео рем а (кр и те р и й усто йчи во сти ме то до в п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и ). Со сто яте льный ме то д п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и (22), удо вле тво р яю щи й усло ви ю b−1 + b0 + b1 + K + bm ≠ 0 , усто йчи в (в т о м см ы сле, 15

чт о ло кальн ая алго ри т м и ч еская о ш и бка м ет о д а и о ш и бка о круглен и я о ст аю т ся о гран и ч ен н ы м и п ри д о ст ат о ч н о м ало й в ели ч и н е ш ага h ) то гда и i = 1,K m − 1 мно го чле на то лько то гда , ко гда все ко р ни ς i ,

P(z,0) z m+1 − a0 z m − a1 z m−1 − K − am ~ P (z ) = = z −1 z −1

(44)

та ко вы, что ς i ≤ 1, а те ко р ни , для ко то р ых ς i = 1 , п р о стые . Ко р ни мно го чле на (44) п р и нято на зыва ть п арази т н ыми . Зам еч ан и е. М е то ды Ада мса -Ба шфо р та и Ада мса -М улто на усто йчи вые . Д е йстви те льно , для эти х ме то до в a0 = 1 , a1 = a2 = Kam = 0 . По это му

P(z,0) z m+1 − z m ~ P (z ) = = = zm . z −1 z −1

Зде сь все ко р ни мно го чле на P (z ) р а вны нулю и , сле до ва те льно , ле ж а т внутр и е ди ни чно го кр уга . yn - р е ше ни е ур а вне ни я О б о зна чи м че р е з ~

~

m

m

i=0

i=−1

~ yn+1 =∑ai ~ yn−i +h∑bi f ( xn−i , ~ yn−i ) +δn ,

n =m,K, N −1

yi ( i = 0,1,K, m ). со ста р то выми зна че ни ями ~ Т ео рем а (о це нка гло б а льно й п о гр е шно сти мно го ша го во го ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и ). Пусть вып о лне нысле дую щи е усло ви я: 1. Пр а ва я ча сть ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я f ( x, y ) о п р е де ле на не п р е р ывна в о б ла сти D = [x0, x0 + H ]× (− ∞,+∞) и суще ствуе тко нста нта M > 0 , не за ви сяща я о т x та ка я, что в о б ла сти D

f (x, y ) − f ( x, z ) ≤ M y − z .

2. Пусть y€ ( x ) - то чно е р е ше ни е ур а вне ни я за да чи Ко ши (1) и ме е тна о тр е зке

[x0 , x0 + H ] не п р е р ывные

п р о и зво дные до п о р ядка k + 1 , ( k > 1) . 3. М е то д п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и (22) являе тся со сто яте льным и b−1 + b0 + b1 + K + bm ≠ 0 . i = 1,K m − 1 4. Пр и до ста то чно ма ло м h (h < h0 , h0 > 0) все ко р ни ς i , мно го чле на

P(z,0) z m+1 − a0 z m − a1 z m−1 − K − am ~ P (z ) = = z −1 z −1

та ко вы, что ς i ≤ 1, а те ко р ни , для ко то р ых ς i = 1 , п р о стые . 16

То гда для гло б а льно й о ши б ки ме то да (22) сп р а ве дли ва о це нка

y€ ( xn+1 ) − ~ yn+1 ≤

G 1− µ M

 ( 1 + µ M )Θ + xn  δ + Khk  exp(GLxn ),  h 

(45)

~ yn −i − y€ ( xn −i ) , δ = max δ j , δ j -ло ка льна я о ши б ка о кр угле ни я на где Θ = max 0≤ i ≤ m m≤ j ≤ N −1 j -о м ша ге , G, L, K - п о сто янные , за ви сящи е о т ко эффи ци е нто в фо р мулы (22) и п р а во й ча сти ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я

f (x, y ) и не за ви сящи е о т h ,

µ = hb−1 . И з (45) сле дуе т, что гло б а льна я о ши б ка ме то да п о ли но ми а льно й а п п р о кси ма ци и со сто и ти з тр е х ча сте й: 1) о ши б ка п р и вычи сле ни и ста р то вых зна че ни й, 2) сумма р на я а лго р и тми че ска я о ши б ка ме то да , ха р а кте р и зуе ма я ве ли чи но й p Kh , уб ыва ю ща я с уме ньше ни е м h , δ 3) о ши б ка о кр угле ни я, п р е дста вле нна я чле но м , ко то р ый р а сте т с h уме ньше ни е м h . По гр е шно сть, о че ви дно , р а сте т с уве ли че ни е м дли ны о тр е зка , на ко то р о м р а зыски ва е тся р е ше ни е . Зам еч ан и е. В се о п и са нные ме то ды р е ше ни я за да чи Ко ши (1) п е р е но сятся на си сте мыди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

dY = F ( x, Y ( x)), dx где

Y = ( y1 , y2 ,K, ys ),

x0 ≤ x ≤ x0 + H ,

H > 0,

F = ( f1, f 2 ,K, f s ),

и ли

dy1 = f1 (x, y1 ( x),K, y s ( x )), dx dy2 = f 2 (x, y1 ( x),K, ys ( x)), dx … … .

dys = f s ( x, y1 ( x),K, y s ( x)). dx

17

Ф о р мулы со хр а няю тся в п р е ж не м ви де , нуж но то лько за ме ни ть y на Y , f на F . В о це нка х п о гр е шно сти а б со лю тна я ве ли чи на за ме няе тся на но р му ве кто р а . 6. Зад ан и е. Н а йди те на о тр е зке [0,1] р е ше ни е за да чи Ко ши для си сте мы о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

dy1 = f1 (x, y1 ( x ), y2 (x )), dx dy2 = f 2 (x, y1 ( x), y2 ( x)), dx

y1 (0) = y10 ,

y2 (0) = y20

−4 с то чно стью ε = 10 , ме то да ми Рунге -Кутта , Ада мса -Ба шфо р та че тве р то го п о р ядка и п р о гно за -ко р р е кци и (и сп о льзуя для п р о гно за а лго р и тм (37) и ко р р е кци и – ме то д Ада мса -М улто на че тве р то го п о р ядка ).

В ари ан т ы зад ан и й. № ва р и а нта

f1 (x, y1 ( x), y2 ( x) )

f 2 (x, y1 ( x), y2 ( x))

y10

y20

0,5

1,5

1

arctg (x 2 + y 22 )

2

x 2 y1 + y2

cos( y1 + xy 2 )

-1

1

3

x 2 + y22

xy1 y2

1

0

0

0

sin( x + y1 )

sin(x 2 + y 22 ) cos( y1 y 2 )

sin( y1 + y2 )

0

0

6

2 3x 2 + y12 + y1

x 2 + y12 + y2

0,5

1,2

7

y1 + y2

0

0

8

y12 + y 22

-1

1

1

1

0,7

-0,5

0

0

0,2

0

1

-1

0

0

4 5

9 10 11 12 13 14

(2 + y

(1 + y

+ y22 ) y1 y 2 2 1

+ y22 ) cos( x + y2 ) exp( y1 y 2 ) 1 ch (x + y 2 ) 2 1

cos( xy1 )

−1 / 2

exp(− y1 − y 2 ) sin( xy2 )

(1 + y

−1

+ y22 ) sin( x − y2 ) exp(− y1 y 2 ) 2 1

−1 / 2

sh(x 2 − y1 )

arctg ( y1 ) x + cos( xy1 )

18

№ ва р и а нта

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

f1 (x, y1 ( x), y2 ( x) )

f 2 (x, y1 ( x), y2 ( x))

sin( y1 y2 )

cos( xy1 y2 ) a = 0,05 a = 0,06 a = 0,07 a = 0,08 a = 0,09 2 axy2 + x y1 a = 0,1 a = 0,11 a = 0,12 a = 0,13 a = 0,14 a = 0,05 a = 0,06 a = 0,07 axy2 − y1 a = 0,08 a = 0,09 a = 0 ,1 a = 0 ,11

y2

y2

y10

y20

-1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1/6 1/7 0,125 1/9 0,1 1/11 1/11 1/12 1/13 1/14 1/6 1/7 0,125 1/9 0,1 1/11 1/12

П ри ло жен и е. Д ля вып о лне ни я за да ни я мо ж но и сп о льзо ва ть сле дую щи е п р о це дур ы(на языке Па ска ль): 1) Пр о це дур а rung, р е а ли зую ща я а лго р и тм ме то да Рунге -Кутта че тве р то го п о р ядка (18): Procedure rung(h:real; var x0:real;var y0:vector; n:integer); {Входные параметры: h – шаг интегрирования системы; x0 – стартовое значение аргумента; y0 – массив, содержащий значения решения системы в точке x0; n - размерность системы. Выходные параметры: y0 – массив, содержащий значения решения системы в точке x0+h. Здесь vector - одномерный массив порядка n} var i:integer; begin 19

f(x0,y0,k1); for i:=1 to n do yt[i]:=y0[i]+0.5*h*k1[i]; f(x0+0.5*h,yt,k2); for i:=1 to n do yt[i]:=y0[i]+0.5*h*k2[i]; f(x0+0.5*h,yt,k3); for i:=1 to n do yt[i]:=y0[i]+h*k3[i]; f(x0+h,yt,k4); x0:=x0+h; for i:=1 to n do y0[i]:=y0[i]+(h/6)*(k1[i]+2*k2[i]+2*k3[i]+k4[i]) end;

ad , р е а ли зую ща я а лго р и тм ме то да Ада мса -Ба шфо р та 2) Пр о це дур а че тве р то го п о р ядка (см. Та б ли цу 1): Procedure ad(h:real;var yt:start;var y0:vector); {Входные параметры: h – шаг интегрирования системы; yt – двумерный массив порядка (n,4)(n-размерность системы),столбцы которого являются решениями системы в четырех стартовых точках. Выходные параметры: y0 – массив, содержащий решение системы в точке, отстоящей на 4h от первой стартовой. Здесь start – двумерный массив порядка (n,4), vector - одномерный массив порядка n, kof – одномерный массив порядка 4.} var i,j:integer; kf:kof; begin kf[1]:=-9.0/z; kf[2]:=37.0/z; kf[3]:=-59.0/z; kf[4]:=55.0/z; for i:=1 to n do for j:=1 to 4 do y0[i]:=y0[i]+h*yt[j,i]*kf[j] end;

3) Пр о це дур а ad_mult, р е а ли зую ща я а лго р и тм ме то да п р о гно за -ко р р е кци и : п р о гно з - явный ме то д (37), ко р р е кци я - ме то д Ада мса -М улто на че тве р то го п о р ядка (см. Та б ли цу 2). Procedure ad_mult(x0,h,eps:real;ys:start;var yc:vector); { {Входные параметры: x0 – первая стартовая точка решения системы; h - шаг интегрирования системы; eps- значение ε в условии окончания итерационного процесса при коррекции решения

(max y 1≤i ≤ n

[l +1]

i

)

− yi[l ] < ε ;

ys – двумерный массив порядка (n,3) (n-размерность системы), столбцами которого являются решения системы в трех стартовых точках. Выходные параметры: yc - массив, содержащий решение системы в точке, отстоящей на 3h от первой стартовой. Здесь start – двумерный массив порядка (n,3), vector - одномерный массив порядка n, kof – одномерный массив порядка 4.} 20

var i,j :word; yt :start; { yp,y :vector; { ka_m :kof; x :real; begin yp:=ys[3]; for j:=1 to 3 do f(x0+j*h,ys[j+1],yt[j]); ka_m[1]:=1/z; ka_m[2]:=-5/z; ka_m[3]:=19/z; ka_m[4]:=9/z; for i:=1 to n do yp[i]:=yp[i]+2*h*yt[3,i]; {прогноз} f(x0+4*h,yp,yt[4]); yc:=ys[4]; for i:=1 to n do for j:=1 to 4 do yc[i]:=yc[i]+h*yt[j,i]*ka_m[j]; while nr(yp,yc)>=eps do {nr – имя функции,вычисляющей норму разности двух векторов} begin yp:=yc; y:=ys[4]; f(x0+4*h,yc,yt[4]); for i:=1 to n do for j:=1 to 4 do y[i]:=y[i]+h*yt[j,i]*ka_m[j]; yc:=y end end; function nr(z,z1:vector):real; {vector - одномерный массив порядка n} var i :word; q :real; begin q:=0; for i:=1 to n do if abs(z1[i]-z[i])>=q then q:=abs(z1[i]-z[i]); nr:=q end;

Со ста ви те ль – Тр о фи мо в В а ле р и й Па вло ви ч Ре да кто р - Буни на Т.Д .

21