О независимой базируемости многообразий полугрупп

Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 81—96

УДК 512:519.4

О НЕЗАВИСИМОЙ БАЗИРУЕМОСТИ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП

В. Ю. ПОПОВ

§ 1. Введение и формулировка основного результата

Множество Σ предложений языка логики первого порядка называется независимым, если для любого ϕ из Σ предложение ϕ не выводится из множества Σ\{ϕ}. Нетрудно показать, что произвольное множество предложений языка логики первого порядка равносильно некоторому независимому множеству предложений (см. [1]). Однако если рассматривать предложения лишь специального вида, аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно. Первый пример многообразия универсальных алгебр, не имеющего независимого базиса тождеств, указан в [2], а в [3] построен первый пример квазимногообразия универсальных алгебр, не имеющего независимого базиса квазитождеств. Существует антимногообразие, у которого нет независимого базиса антитождеств (см., напр., [4, теор. 6.3.12]). К настоящему времени получено много примеров многообразий и квазимногообразий без независимого базиса (см. [4, 5]). Первый пример многообразия полугрупп указанного типа приведён в [6]. Другие примеры таких многообразий построены в [7—9]. В [7] указан пример системы тождеств моноидов, в [10] — инверсных полугрупп, в [11] — групп, не имеющих c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

82

В. Ю. Попов

независимого базиса. В [8] доказано, что существует многообразие полугрупп, порождённое конечной полугруппой и не имеющее независимого базиса. В [11] показано существование многообразий групп X и Y, X ⊂ Y, таких, что X независимо базируемо, но не имеет в Y покрывающего многообразия, а значит, X не является независимо базируемым в Y. Рассмотрим следующие два утверждения. А. Многообразие полугрупп X обладает независимым базисом тождеств. Б. Многообразие полугрупп X обладает покрывающим многообразием в любом интервале вида [X; Y], где Y — многообразие полугрупп, строго содержащее X. ВОПРОС [12, 2.55]. а) Всегда ли из А следует Б; б) всегда ли из Б следует А? Отрицательный ответ на этот вопрос даёт следующая ТЕОРЕМА. Существуют независимо базируемые многообразия полугрупп X и Y, X ⊂ Y, такие, что X не обладает покрывающим многообразием в интервале [X; Y].

§ 2. Определения и обозначения Для произвольного слова u обозначим через ℓ(u) его длину. Множество всех букв из слова u обозначим через c(u). Подстановкой называется любой гомоморфизм из одной свободной полугруппы в другую. Для произвольных слов u и v, записанных в алфавите Y , будем говорить, что они графически равны, если u и v равны как элементы свободной полугруппы с множеством свободных образующих Y . Слово w называется [13] изотермом для тождества u = v, если для любой подстановки ϕ из того, что ϕ(u) является подсловом в слове w, следует, что ϕ(u) и ϕ(v) графически равны. Слово w называется изотермом для системы тождеств Σ, если для каждого тождества u = v из этой

О независимой базируемости многообразий полугрупп

83

системы слово w является изотермом для u = v и v = u. Это означает, что из Σ не вытекает никакое нетривиальное тождество, одна из частей которого есть w. Говорят [14, 15], что слово u избегает v, если среди подслов слова u нет слов ϕ(v), где ϕ — произвольная подстановка. Пусть w — некоторое подслово слова v. Очевидно, что u избегает v, если u избегает w. Кроме того, для любых слова u и тождества v1 = v2 таких, что u избегает v1 , слово u будет изотермом для тождества v1 = v2 . Предположим, что тождество u = v выводится из множества тождеств Σ. Тогда либо u = v ∈ Σ, либо существует конечная цепочка равенств u = w1 = w2 = . . . = wl = v такая, что каждое последующее слово в этой цепочке получается из предыдущего применением одного из тождеств системы Σ (см. [16]). В дальнейшем число l назовем длиной вывода тождества u = v из тождеств системы Σ, а саму цепочку — выводом тождества. Тождество u = v называется уравновешенным [5], если каждая буква входит в слова u и v одинаковое число раз. Для любого w применение уравновешенного тождества к этому слову не меняет его длину. В частности, степень буквы — изотерм для любого уравновешенного тождества. Для произвольного множества тождеств Σ обозначим через var Σ многообразие полугрупп, заданное системой Σ. Множество всех тождеств, выполняющихся в многообразии var Σ называем эквациональной теорией многообразия var Σ и обозначаем eq(var Σ). Будем использовать запись Σ ⊢ u = v, если тождество u = v выводимо из множества тождеств Σ, и Σ 6⊢ u = v в противном случае. Запись Σ ⊢Z u = v означает, что тождество u = v выводимо из множества тождеств Σ в многообразии Z. Пусть An = x21 x22 . . . x2n−1 x2n , n ∈ N, ← Bn = s31 s32 . . . s3n−1 s3n , Bn = s3n s3n−1 . . . s32 s31 , n ∈ N, ← Cn = x1 x2 . . . xn−1 xn , Cn = xn xn−1 . . . x2 x1 , n ∈ N, Σ1 = {y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 | n ∈ N\{1}}, Σ1,k = {y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 | n ∈ N\{1, k}},

84

В. Ю. Попов ← Σ2 = {t3 Bn t = t3 Bn t | n ∈ N\{1}}, Σ3 = {x3 = x4 , y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 }, Σ4 = {y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 t3 Bn t = ← = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 t3 Bn t | n ∈ N\{1}}, Σ4,k = {y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 t3 Bn t = ← = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 t3 Bn t | n ∈ N\{1, k}}, ← ← ← ← ← Σ5 = {yCn y Cn yCn y Cn yCn y = y Cn yCn y Cn yCn y Cn y | n ∈ N\{1}}, Σ = Σ1 ∪ Σ2 ∪ Σ3 , Σ′ = Σ3 ∪ Σ4 .

Для любого натурального числа l обозначим через Zl алфавит, соS Zl . Для произвольного стоящий из букв zl,1 , zl,2 , . . . , zl,m , . . . . Пусть Z =

натурального числа m рассмотрим тождество

l∈N

u1,1 v1,1 v1,2 . . . v1,m−1 v1,m u1,2 = u2,1 v2,m v2,m−1 . . . v2,2 v2,1 u2,2 , где ℓ(u1,i ) > 3, ℓ(vi,j ) > 3, ℓ(u2,i ) = 1, c(ui,k ) ⊆ Zm+1 , c(vi,j ) ⊆ Zj для любых i, k ∈ {1, 2}, j ∈ {1, 2, . . . , m}. Множество всех тождеств такого вида обозначим через Sn . Докажем, что многообразия X = var Σ и Y = var Σ1 ∪ Σ3 удовлетворяют всем условиям теоремы. Кроме этого, при помощи описанных выше систем тождеств рассмотрим некоторые задачи, близкие к задаче о независимой базируемости (см. § 5).

§ 3. Вспомогательные утверждения ЛЕММА 1. Справедливо равенство var Σ = var Σ′ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что var Σ |= τ , τ ∈ Σ′ , и var Σ′ |= τ , τ ∈ Σ. Первое очевидно. Покажем, что имеет место второе соотношение. Для произвольного n ∈ N\{1} рассмотрим подстановку ϕ(t) = t; ϕ(si ) = si , i ∈ {1, . . . , n}; ϕ(u) = t, u ∈ {x1 , . . . , xn , y, y1 , y2 , y3 }.

О независимой базируемости многообразий полугрупп

85

Очевидно, что ϕ переводит тождество ← y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 t3 Bn t = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 t3 Bn t

(1)

← t2n+16 Bn t = t2n+16 Bn t.

(2)

в

Если 2n + 13 раз применить к (2) тождество x3 = x4 , получим ← t3 Bn t = t3 Bn t.

(3)

Поскольку n выбрано произвольно, выполняется var Σ′ |= τ , τ ∈ Σ2 . Рассмотрим подстановку ψ(y) = y; ψ(xi ) = xi , i ∈ {1, . . . , n}; ψ(yj ) = yj , j ∈ {1, 2, 3}; ψ(u) = y1 , u ∈ {s1 , . . . , sn , t}. Ясно, что ψ переводит (1) в y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y13n+5 = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y13n+5 .

(4)

Применяя 3n + 4 раза к (4) тождество y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 ,

(5)

y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 = y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 .

(6)

получим

Поскольку n выбрано произвольно, получаем var Σ′ |= τ , τ ∈ Σ1 . В силу Σ3 ⊆ Σ′ и var Σ′ |= τ , τ ∈ Σ1 ∪ Σ2 , справедливо соотношение var Σ′ |= τ , τ ∈ Σ. 2 ЛЕММА 2. Многообразие var(Σ1 ∪ Σ3 ) является независимо базируемым. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что ни одно тождество системы Σ1 ∪ Σ3 не следует из остальных. Для любого тождества u = v, принадлежащего множеству (Σ1 ∪ ∪Σ3 )\{x3 = x4 }, выполняются соотношения ℓ(u) > 4, ℓ(v) > 4. Следовательно, слова x3 , x4 — изотермы для системы тождеств (Σ1 ∪Σ3 )\{x3 = x4 }. Тогда (Σ1 ∪ Σ3 )\{x3 = x4 } 6⊢ x3 = x4 .

86

В. Ю. Попов Рассмотрим множество тождеств (Σ1 ∪ Σ3 )\{y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 }.

Очевидно, что слова y12 y22 y32 y1 и y12 y22 y32 y12 избегают x3 и, следовательно, являются изотермами для тождеств x3 = x4 и x4 = x3 . Несложно убедиться в том, что для любого тождества u = v из множества Σ1 имеют место соотношения ℓ(u) = ℓ(v) > 16. Поскольку ℓ(y12 y22 y32 y1 ) = 7 и ℓ(y12 y22 y32 y12 ) = 8, слова y12 y22 y32 y1 и y12 y22 y32 y12 являются изотермами для системы тождеств Σ1 , а следовательно, для (Σ1 ∪ Σ3 )\{y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 }. Отсюда (Σ1 ∪ Σ3 )\{y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 } 6⊢ y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 . Предположим, что для некоторых натуральных чисел p, q и k тождество y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p = y1 y2 y3 y 2 Ak yy12 y22 y32 y1q

(7)

выводится из множества Σ1,k ∪ Σ3 , причём k — наименьшее из возможных. Пусть I — множество пар натуральных чисел (p, q) таких, что (7) выводится из Σ1,k ∪ Σ3 . Обозначим через V(p,q) , (p, q) ∈ I, наименьшую длину вывода (7) из Σ1,k ∪ Σ3 . Пусть V = min V(p,q) . (p,q)∈I

Выберем p и q такие, что (p, q) ∈ I и V = V(p,q) . Рассмотрим цепочку равенств y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p = w1 = w2 = . . . = wV = y1 y2 y3 y 2 Ak yy12 y22 y32 y1q , в которой каждое последующее слово получается из предыдущего применением одного из тождеств системы Σ1,k ∪ Σ3 . Предположим, что слово w1 получается из y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p

(8)

при помощи тождества x3 = x4 . Тогда существует подстановка ϕ такая, что (8) содержит ϕ(x3 ) или ϕ(x4 ). Легко понять, что (8) содержит ϕ(x3 ) или ϕ(x4 ) тогда и только тогда, когда y1p содержит ϕ(x3 ) или ϕ(x4 ). Следовательно, существует натуральное r такое, что p > > 3r и w1 = y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p+r , или такое, что p > 4r и w1 = = y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p−r . Таким образом, одно из тождеств y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p+r = y1 y2 y3 y 2 Ak yy12 y22 y32 y1q ,

(9)

y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p−r = y1 y2 y3 y 2 Ak yy12 y22 y32 y1q

(10)

О независимой базируемости многообразий полугрупп

87

выводится из Σ1,k ∪ Σ3 , причём минимальная длина вывода не превосходит V − 1, что противоречит определению V. Аналогично рассматривается случай, когда w1 получается из (8) при помощи (5). Пусть существует натуральное n такое, что w1 получается из (8) при помощи (6). В этом случае (8) содержит одно из подслов ϕ(y1 y2 y3 yAn y 2 y12 y22 y32 y1 ),

(11)

ϕ(y1 y2 y3 y 2 An yy12 y22 y32 y1 ),

(12)

где ϕ — некоторая подстановка. Пусть (11) или (12) является подсловом y1p . Поскольку (6) — уравновешенное тождество, (8) графически равно w1 . Следовательно, цепочка равенств y1 y2 y3 yAk y 2 y12 y22 y32 y1p = w2 = w3 = . . . = wV = y1 y2 y3 y 2 Ak yy12 y22 y32 y1q является выводом (7) из Σ1,k ∪ Σ3 , т. е. V > V(p,q) , что противоречит определению V. Поэтому (8) содержит подслово вида (11) или (12), не являющееся подсловом y1p . Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично. Легко понять, что для любой подстановки ϕ можно выделить начальное подслово слова (11), имеющее вид zuzvz, где z — некоторая буква, u и v — непустые слова. Очевидно, что для любых i ∈ {1, 2, . . . , k} и непустых u, v слово (8) не содержит подслов вида xi uxi vxi , y2 uy2 vy2 , y3 uy3 vy3 , yuyvy. Тогда y1 — первая буква в (11). Отсюда (11) — начальное подслово слова (8) или одного из y12 y22 y32 y1p ,

(13)

y1 y22 y32 y1p .

(14)

Рассмотрим последний случай, остальные рассматриваются аналогично. Слово (11) можно представить в виде ϕ(y1 )ϕ(y2 )ϕ(y3 yAn y 2 )ϕ(y1 )ϕ(y1 )ϕ(y2 )ϕ(y2 )ϕ(y32 )ϕ(y1 ). Следовательно, каждая буква, входящая в ϕ(y1 ), имеет не менее четырёх различных вхождений в (11), а входящая в ϕ(y2 ) — не менее трёх. Получаем ϕ(y1 ) = y1 , откуда ϕ(y2 ) = y2 u для некоторого (возможно, пустого)

88

В. Ю. Попов

слова u. Буква y2 встречается в (14) лишь дважды, Это противоречит тому, что каждая буква, входящая в ϕ(y2 ), имеет не менее трёх различных вхождений в (11). Поэтому (11) не является начальным подсловом слова (14), а следовательно, (8) не содержит подслова (11), не являющегося подсловом слова y1p . Итак, для любых натуральных чисел p, q и k тождество (7) не выводимо из Σ1,k ∪ Σ3 . Поскольку (Σ1 ∪ Σ3 )\{y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 } 6⊢ y12 y22 y32 y1 = = y12 y22 y32 y12 и (Σ1 ∪ Σ3 )\{x3 = x4 } 6⊢ x3 = x4 , получаем, что система тождеств Σ1 ∪ Σ3 независима. 2 Аналогичным образом доказывается ЛЕММА 3. Многообразие var Σ′ является независимо базируемым. ЛЕММА 4. Для любых натуральных m > n имеет место соотно← ← шение {t3 Bm t = t3 Bm t, x3 = x4 } ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно проверить соотношение при любом натуральном n.

← Тождество t3 Bn+1 t = t3 Bn+1 t представимо в виде t3 Bn−1 s3n s3n+1 t = ← = t3 s3n+1 s3n Bn−1 t. Рассмотрим подстановку ϕ такую, что ϕ(t) = t, ϕ(sn+1 ) = sn , ϕ(si ) = si , i ∈ {1, 2, . . . , n}. Очевидно, ← ← ϕ(t3 Bn−1 s3n s3n+1 t) = t3 Bn−1 s6n t, ϕ(t3 s3n+1 s3n Bn−1 t) = t3 s6n Bn−1 t. Трижды применяя тождество x3 = x4 к каждому из слов t3 Bn−1 s6n t, ← ← t3 s6n Bn−1 t, получим слова t3 Bn−1 s3n t, t3 s3n Bn−1 t, соответственно. По опре← ← делению Bn и Bn выполняются равенства t3 Bn−1 s3n t = t3 Bn t, t3 s3n Bn−1 t = ← ← = t3 Bn t. Следовательно, соотношение {t3 Bn+1 t = t3 Bn+1 t, x3 = x4 } ⊢ ← ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t действительно имеет место. 2 ЛЕММА 5. Пусть Σ′′ — система тождеств такая, что var(Σ ∪ ∪Σ5 ) ⊆ var Σ′′ ⊆ var(Σ1 ∪ Σ3 ). Тогда для любого n > 3 соотношение Σ′′ ⊢ ← ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t выполняется тогда и только тогда, когда Σ′′ ∩ Sn 6= ∅.

О независимой базируемости многообразий полугрупп

89

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Σ′′ — система тождеств такая, что var Σ ∪ Σ5 ⊆ var Σ′′ ⊆ var Σ1 ∪ Σ3 , Σ′′ ∩ Sn 6= ∅. Покажем, что Σ′′ ⊢ t3 Bn t = ← = t3 Bn t. Пусть ξ ∈ Σ′′ ∩ Sn . Рассмотрим подстановку   t, если z ∈ Z m+1 ; ϕ(z) =  sl , если z ∈ Zl , l ∈ {1, 2, . . . , n}. Легко понять, что ϕ переводит ξ в ℓ(v ) ℓ(v ) ℓ(v1,1 ) ℓ(v1,2 ) . . . sn−11,n−1 sn 1,n tℓ(u1,2 ) = s2 ℓ(v ) ℓ(v ) ℓ(v ) ℓ(v ) = tℓ(u2,1 ) s1 2,n s2 2,n−1 . . . sn−12,2 sn 2,1 tℓ(u2,2 ) .

tℓ(u1,1 ) s1

По определению ξ справедливы соотношения ℓ(u1,i ) > 3, ℓ(vi,j ) > 3, ℓ(u2,i ) = 1, i ∈ {1, 2}, j ∈ {1, 2, . . . , m}. Применяя подстановку ϕ и ис← пользуя x3 = x4 , ξ можно привести к виду t3 Bn t = t3 Bn t. ← Пусть теперь Σ′′ ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t. Покажем, что Σ′′ ∩ Sn 6= ∅. С точностью до обозначения переменных (3) является тождеством из семейства Sn . Следовательно, эквациональная теория многообразия var Σ′′ содержит непустое подмножество множества Sn . Пусть Sn = eq(var Σ′′ ) ∩ Sn . Для произвольного ξ ∈ Sn обозначим через Vξ наименьшую длину вывода ξ из системы Σ′′ . Пусть V = min Vξ ; зафиксируем ξ ∈ Sn такое, что Vξ = V. ξ∈Sn

Если V = 0, то требуемое условие выполняется. При V > 0 зафиксируем некоторую цепочку равенств u1,1 v1,1 v1,2 . . . v1,n−1 v1,n u1,2 = U1 = U2 = . . . = UV = u2,1 v2,n v2,n−1 . . . v2,2 v2,1 u2,2 ,

(15)

являющуюся выводом ξ из системы Σ′′ . Обозначим через U = V тождество системы Σ′′ , при помощи которого U1 получается из u1,1 v1,1 v1,2 . . . v1,n−1 v1,n u1,2 .

(16)

Поскольку var Σ ∪ Σ5 ⊆ var Σ′′ , тождество U = V выводимо из Σ ∪ Σ5 . Пусть цепочка U = V1 = V2 = . . . = V l = V осуществляет этот вывод.

90

В. Ю. Попов В зависимости от того, получено ли V1 из U при помощи тожде-

ства систем Σ1 , Σ2 , Σ5 или из x3 = x4 , y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 , существует пять случаев. Рассмотрим только случай тождества y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 , остальные рассматриваются аналогично. Поскольку V1 получено из U при помощи y12 y22 y32 y1 = y12 y22 y32 y12 , слово U для некоторой подстановки ϕ содержит подслово ϕ(y12 y22 y32 y1 ) или ϕ(y12 y22 y32 y12 ). Рассмотрим только первый случай, второй рассматривается аналогично. Слово U содержит подслово ϕ(y12 y22 y32 y1 ), поэтому слово (16) содержит подслово ψ(ϕ(y12 y22 y32 y1 )) для некоторой подстановки ψ. Заметим, что в (16) слова u1,1 , v1,1 , v1,2 , . . . , v1,n−1 , v1,n

(17)

записаны в непересекающихся алфавитах и u1,2 ∈ c(u1,1 ). Слово y12 y22 y32 y1 начинается и заканчивается буквой y1 , следовательно, ψ(ϕ(y12 y22 y32 y1 )) либо является подсловом одного из слов (17), либо содержит v1,1 v1,2 . . . v1,n−1 v1,n

(18)

в качестве собственного подслова. Предположим второе, тогда ψ(ϕ(y1 )) = u1,2 в силу ℓ(u1,2 ) = 1. Отсюда (18) является одним из слов ψ(ϕ(y22 y32 )) или ψ(ϕ(y32 )). Очевидно, что (18) не может иметь вид ψ(ϕ(y32 )). Поскольку n > 3, слово (18) нельзя представить в виде ψ(ϕ(y22 y32 )), следовательно, оно не является собственным подсловом слова ψ(ϕ(y12 y22 y32 y1 )). Предположим теперь, что ψ(ϕ(y12 y22 y32 y1 )) — подслово одного из слов (17). Очевидно, что замена подслова ψ(ϕ(y12 y22 y32 y1 )) на ψ(ϕ(y12 y22 y32 y12 )) переводит любое слово (17) в слово, длина которого больше 3, при этом не изменяется множество букв, из которых состоит слово. Значит, U1 является словом вида (16), т. е. U1 = u2,1 v2,n v2,n−1 . . . v2,2 v2,1 u2,2 ∈ Sn .

(19)

При этом из (15) вытекает, что длина вывода тождества U1 = u2,1 v2,n v2,n−1 . . . v2,2 v2,1 u2,2

(20)

О независимой базируемости многообразий полугрупп

91

меньше V, что противоречит определению V. Следовательно, множество Sn имеет непустое пересечение с Σ′′ . 2

§ 4. Доказательство теоремы Покажем, что многообразия X и Y удовлетворяют условиям теоремы. Из лемм 1 и 3 следует, что X является независимо базируемым многообразием, а из леммы 2 вытекает, что Y — независимо базируемое многообразие. По определению Σ = Σ1 ∪ Σ2 ∪ Σ3 , следовательно, Σ1 ∪ Σ3 ⊆ Σ, т. е. X ⊆ Y. Поэтому достаточно показать, что X 6= Y и X не обладает покрывающим многообразием в интервале [X; Y]. Предположим, что X = Y. Тогда для любого n выполняется соотно← шение Σ1 ∪ Σ3 ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t. Если Σ′′ является системой тождеств, для которой var Σ ⊆ var Σ′′ ⊆ var Σ1 ∪ Σ3 , то по лемме 5 для любого n > 3 из ← соотношения Σ′′ ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t следует Σ′′ ∩ Sn 6= ∅. Если в качестве Σ′′ рассмотреть систему тождеств Σ1 ∪ Σ3 , то для любого n > 3 выполняется соотношение (Σ1 ∪ Σ3 ) ∩ Sn 6= ∅. По определению системы Σ1 ∪ Σ3 имеем (Σ1 ∪ Σ3 ) ∩ Sn = ∅ для любого n, противоречие. Допустим, что многообразие X обладает покрывающим многообразием Z в интервале [X; Y]. Пусть Σ′′ — система тождеств, задающая Z. По определению выполняется соотношение X ⊆ Z ⊆ Y. Предположим, что ← для сколь угодно большого n имеет место соотношение Σ′′ ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t. ← В силу леммы 4, Σ′′ ⊢ t3 Bn t = t3 Bn t для любого n, т. е. X = Z, получаем противоречие с тем, что многообразие Z покрывает многообразие X. ← Следовательно, существует натуральное r такое, что Σ′′ 6⊢ t3 Bn t = t3 Bn t для любого n > r. В силу леммы 5 соотношение Σ′′ ∩ Sn = ∅ выполняется для любого n > r. Очевидно, что X ⊆ Z′ ⊆ Z, где Z′ — мно← гообразие, заданное системой тождеств Σ′′ ∪ {t3 Br+1 t = t3 Br+1 t}. Поскольку для любого n > r выполняется Σ′′ ∩ Sn = ∅, в силу леммы 5 ← верно Σ′′ 6⊢ t3 Br+1 t = t3 Br+1 t. Следовательно, Z′ 6= Z. Соотношение ← (Σ′′ ∪ {t3 Br+1 t = t3 Br+1 t}) ∩ Sn = ∅ справедливо для любого n > r + 1. ← ← Поэтому Σ′′ ∪ {t3 Br+1 t = t3 Br+1 t} 6⊢ t3 Br+2 t = t3 Br+2 t, а значит, Z′ 6= X.

92

В. Ю. Попов

Таким образом, X ⊂ Z′ ⊂ Z, противоречие. 2

§ 5. О независимо разбиваемых базисах тождеств Будем говорить, что система тождеств Σ независимо разбиваема, есS Σn такое, что var Σ 6= var Σ\Σn для люли существует разбиение Σ = n∈N

бого n ∈ N. Система тождеств Σ называется конечно независимо разбиS Σn такое, что Σn конечно и ваемой, если существует разбиение Σ = n∈N

var Σ 6= var Σ\Σn для любого n ∈ N (см. [4]). Очевидно, что произвольное многообразие, имеющее бесконечный независимый базис, имеет и независимо разбиваемый базис. Из теоремы очевидным образом вытекает, что многообразие X не имеет независимого базиса в многообразии Y. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Многообразие X не имеет независимо разбиваемого базиса в многообразии Y. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, напротив, существует независимо разS ′′ Σn многообразия X в многообразии Y. По опребиваемый базис Σ′′ = делению

Σ′′

⊢Y t3 Bn t

n∈N ← = t3 Bn t

для любого n. Согласно лемме 5 для любого

натурального n выполняется (Σ′′ ∪ Σ1 ∪ Σ3 ) ∩ Sn 6= ∅. По определению системы Σ1 ∪ Σ3 справедливо (Σ1 ∪ Σ3 ) ∩ Sn = ∅ для любого n и, следовательно, Σ′′ ∩ Sn 6= ∅. Пусть Σ′′1 ∩ Sn 6= ∅ лишь для конечного множества натуральных чисел n. Тогда для любого натурального n существует m такое, что (Σ′′ \Σ′′1 )∩Sm 6= ∅. В силу леммы 5 для сколь угодно большого n существу← ет m > n такое, что Σ′′ \Σ′′1 ⊢Y t3 Bm t = t3 Bm t. В силу леммы 4 для любого ← n выполняется Σ′′ \Σ′′1 ⊢Y t3 Bn t = t3 Bn t. Следовательно, Σ′′ \Σ′′1 — базис многообразия X в многообразии Y, откуда var Σ′′ = var Σ′′ \Σ′′1 , получаем противоречие с тем, что Σ′′ — независимо разбиваемый базис многообразия X в многообразии Y. Случай, когда Σ′′1 ∩Sn 6= ∅ для бесконечного множества натуральных чисел n, рассматривается аналогично. 2

О независимой базируемости многообразий полугрупп

93

В [17] построено квазимногообразие универсальных алгебр K, содержащее континуум подквазимногообразий, имеющих в K независимо разбиваемый базис квазитождеств, но не имеющих в K независимого базиса квазитождеств. Вопрос о существовании квазимногообразий универсальных алгебр K1 и K2 таких, что K1 имеет в K2 конечно независимо разбиваемый базис квазитождеств, но не имеет в K2 независимого базиса квазитождеств, до сих пор остаётся открытым. Для произвольных (квази-)многообразий колец, групп, моноидов K1 и K2 очевидно, что K1 имеет в K2 и независимый базис (квази-)тождеств, если K1 имеет в K2 конечно независимо разбиваемый базис (квази-)тождеств. В связи с этим, а также с учётом предложения 1 представляет интерес следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. 1. Многообразие X ∩ var Σ5 независимо базируемо. 2. Многообразие X ∩ var Σ5 имеет конечно независимо разбиваемый базис в многообразии Y. 3. Многообразие X ∩ var Σ5 не имеет независимого базиса в многообразии Y. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. В силу леммы 1 достаточно показать, что система тождеств Σ′ ∪ Σ5 независима. Заметим, что для любого n > 1 ← ← ← ← ← слова yCn y Cn yCn y Cn yCn y и y Cn yCn y Cn yCn y Cn y избегают ← ← ← ← ← x3 , x2 y 2 , y Ck yCk y Ck yCk y Ck y, yCk y Ck yCk y Ck yCk y, k ∈ N\{1, n}. Следовательно, всякая система тождеств, эквивалентная Σ′ ∪ ∪Σ5 , содержит Σ5 в качестве подсистемы. Поэтому можно воспользоваться той же схемой, что и при доказательстве леммы 3. 2. Поскольку всякая система тождеств, эквивалентная Σ′ ∪ Σ5 , содержит Σ5 как подсистему, в качестве конечно независимо разбиваемого базиса в многообразии Y многообразия X ∩ var Σ5 можно взять систему S ′′ Σn , где для любого n множество Σ′′n имеет вид

n∈N

← {t3 Bn+1 t = t3 Bn+1 t, ← ← ← ← ← yCn+1 y Cn+1 yCn+1 y Cn+1 yCn+1 y = y Cn+1 yCn+1 y Cn+1 yCn+1 y Cn+1 y}.

94

В. Ю. Попов 3. Пусть Σ′′ — некоторый независимый базис многообразия X∩var Σ5

в многообразии Y. Тогда система тождеств Σ′′ \Σ5 независима в многообразии Y, т. е. для любого ξ ∈ Σ′′ \Σ5 справедливо соотношение (Σ′′ \Σ5 )\{ξ} 6⊢Y∩var Σ5 ξ. Поскольку Σ′′ — независимый базис многообразия X ∩ var Σ5 в многообра← зии Y, для любого n имеем Σ′′ ⊢Y t3 Bn t = t3 Bn t. В силу леммы 5 выполняется Σ′′ ∩ Sn 6= ∅ для любого n > 3. Пусть ξ ∈ Σ′′ ∩ S4 . По определению множества Sn существует m такое, что ξ ∈ / Sk для любого k > m. Для любого n > 3 справедливо Σ′′ ∩ Sn 6= ∅, поэтому для любого k > m имеет ← место (Σ′′ \{ξ}) ∩ Sk 6= ∅. В силу леммы 5 верно (Σ′′ \{ξ}) ⊢Y t3 Bk t = t3 Bk t ← для любого k > m. По лемме 4, (Σ′′ \{ξ}) ⊢Y t3 Bk t = t3 Bk t для любого k. Легко понять, что ξ ∈ / Σ5 . Как было отмечено выше, всякая система тождеств, эквивалентная Σ′ ∪ Σ5 , содержит Σ5 как подсистему. Поэтому всякое тождество системы Σ′ ∪ Σ5 выводимо из системы тождеств Σ′′ \{ξ}. Это противоречит предположению о независимости системы Σ′′ . 2 По результатам работы были сделаны доклады на семинаре кафедры математической логики и теории алгоритмов „Алгоритмические вопросы алгебры и логики“ под руководством акад. РАН С. И. Адяна (МГУ, г. Москва) и на семинаре „Алгебраические системы“ под руководством проф. Л. Н. Шеврина (УрГУ, г. Екатеринбург). Автор выражает глубокую признательность руководителям и участникам этих семинаров за внимание к работе и полезные обсуждения. Автор благодарит А. М. Шура за ряд ценных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА 1. I. Reznikoff, Tout ensemble de formules de la logique classique est equivalent a un ensemble independant, C. R. Acad. Sci., Paris, 260 (1965), 2385—2388. 2. A. Tarski, Equational logic and equational theories of algebras, in: Contrib. Math. Logic, Proc. Logic Colloq., Hannover, 1966, North-Holland, Amsterdam, 1968, 275—288.

О независимой базируемости многообразий полугрупп

95

3. А. И. Мальцев, Универсально аксиоматизируемые подклассы локально конечных классов моделей, Сиб. матем. ж., 8, № 5 (1967), 1005—1014. 4. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1999. 5. Л. Н. Шеврин, М. В. Волков, Тождества полугрупп, Изв. вузов, Математика, 1985, № 11, 3—47. 6. А. Н. Трахтман, Многообразие полугрупп без неприводимого базиса тождеств, Матем. заметки, 21, № 6 (1977), 865—872. 7. G. Pollak, Some lattices of varieties containing elements without cover, Quad. Ric. Sci., 109 (1981), 91—96. 8. М. В. Сапир, Малые, кроссовы и предельные многообразия полугрупп, 16-я Всесоюзн. алгебр. конф., Тез. докл., ч. 2, Ленинград, 1981, 142—143. 9. А. Н. Трахтман, Шестиэлементная полугруппа, порождающая многообразие с континуумом подмногообразий, в сб. „Алгебраические системы и их многообразия“, Свердловск, 1988, 138—143. 10. Е. И. Клейман, Об условии покрытия в решётке многообразий инверсных полугрупп, в сб. „Исследование алгебраических систем по свойствам их подсистем“, Свердловск, 1980, 76—91. 11. Ю. Г. Клейман, О некоторых вопросах теории многообразий групп, Изв. АН СССР, Сер. матем., 47, № 1 (1983), 37—74. 12. Свердловская тетрадь. Нерешённые задачи теории полугрупп. Свердловск, 1979. 13. P. Perkins, Decision problems for equational theories of semigroups and general algebras, Ph. D. th., Univ. California, Berkeley, Calif., 1966. 14. D. R. Bean, A. Ehrenfeucht, G. McNulty, Avoidable patterns in strings of symbols, Pac. J. Math., 85, N 2 (1972), 261—294. 15. А. И. Зимин, Блокирующие множества термов, Матем. сб., 119, № 3 (1982), 363—375. 16. P. Perkins, Bases for equational theories of semigroups, J. Algebra, 11, N 2 (1969), 298—314.

96

В. Ю. Попов 17. В. А. Горбунов, Покрытия в решётках квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость, Алгебра и логика, 16, № 5 (1977), 507—548.

Поступило 23 ноября 2001 г. Адрес автора: ПОПОВ Владимир Юрьевич, матем.-механ. ф-т, Уральский гос. университет, пр. Ленина, 51, г. Екатеринбург, 620083, РОССИЯ. e-mail: [email protected]