ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «П...
741 downloads
591 Views
781KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ Механика Методическое пособие для поступающих в университет
ПЕНЗА ИИЦ ПГУ 2007
УДК 530.1 С23 Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика» Пензенского государственного университета Л. И. Мокиевский; учитель физики высшей категории школы-лицея № 230 г. Заречного А. И. Сеитов
С23
Кривецков, С. Е. Сборник задач по физике. Механика : методическое пособие для поступающих в университет / сост.: С. Е. Кривецков, П. П. Першенков, В. В. Деревянкина ; под ред. П. П. Першенкова. – Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2007. – 68 с.
В части пособия «Механика» представлены типичные задачи по кинематике, динамике, статике, гидростатике и применению законов сохранения импульса и механической энергии, предлагаемые на вступительном экзамене по физике в Пензенском государственном университете. По каждой из указанных тем приведены основные формулы, знание которых необходимо для успешного решения задач. Рассмотрены примеры решения типовых задач этих разделов физики. Представлены задачи для самостоятельного решения. Ко всем рассмотренным задачам даны ответы. Сборник может использоваться абитуриентами для самостоятельной подготовки, для занятий на подготовительных курсах, а также для подготовки к ЕГЭ (уровни В, С).
УДК 530.1
2
1. Кинематика Скорость Здесь и в дальнейшем используется понятие приращение, обозначаемое буквой Δ. Приращением любой величины называется разность ее конечного и начального значений. Средняя скорость (средняя путевая скорость)
v cp =
ΔS S = , Δt t
где ΔS , S – путь за время Δt и t соответственно. Скорость (мгновенная скорость) r r r Δr dr , v = lim = Δt →0 Δt dt r где r – радиус-вектор точки. Разложение вектора скорости на составляющие r r r r v = v X i + vY j + v Z k ,
r где v X , vY , v Z – проекции вектора v на оси X, Y, Z, соответственно; r v = v = v 2X + vY2 + v 2Z .
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Равномерное движение (v = const) S(t) = v t.
(1.5)
В случае равномерного прямолинейного движения обычно считают, что материальная точка движется вдоль оси X, и общая форма уравнения движения имеет вид:
x = x0 ± vt ,
(1.6)
здесь x0 – начальная координата тела, которая в выбранной системе координат может быть как положительной, так и отрицательной величиной; знак + перед членом со скоростью ставится в том случае, если направление вектора скорости совпадает с положительным направлением оси X. Связь скоростей в подвижной и неподвижной системах отсчета (СО) r r r (1.7) v = v′ + u . r r r где v – скорость в неподвижной СО; v′ – скорость в подвижной СО; u – скорость подвижной СО относительно неподвижной.
3
Задачи с решениями
1р) Стоя на ступеньках эскалатора метро, пассажир съезжает за 1 минуту. По неподвижному эскалатору он спускается за 40 секунд. Сколько времени займет спуск идущего пассажира по движущемуся вниз эскалатору? Дано: Решение: t1 = 60 c Пусть длина эскалатора l, скорость эскалатора u, скоt2 = 40 c рость человека v. t3 = ? Когда человек стоит на эскалаторе, который движется l со скоростью u, время его спуска t1 = . Если человек со скоростью v идет по u l неподвижному эскалатору, он спускается за время t2 = . v Когда же человек со скоростью v идет по движущемуся со скоростью u l эскалатору, время его спуска становится равным t3 = . u+v l l Из первого соотношения: u = , из второго: v = . Подставив полученt2 t1 ные формулы в выражение для t3, будем иметь: t3 =
l l l + t1 t2
=
l t1t2 tt = 12 . l ( t1 + t2 ) t1 + t2
Используя заданныевеличины, получим: t3 =
60 ⋅ 40 = 24 с. 60 + 40
Ответ: 24 с.
2р) Автомобиль проехал вторую половину пути со скоростью в 1,5 раза большей, чем первую. Определить скорости автомобиля на первой и второй половинах пути в км/час, если средняя скорость автомобиля на всем пути равна vср = 30 км/час. Дано: v2 = 1,5 v1 vср = 30 км/ч
Решение: S , где tд – tд время, за которое материальная точка проходит путь S. Исходя из введенных обозначений, здесь tд = t1 + t2 .
По определению средней скорости v ср =
v1 – ? v2 – ? Время, за которое автомобиль проходит первую половину пути t1 = а время прохождения им второй половины пути t2 = 4
S . 2v 2
S , 2v1
Тогда v ср =
S
=
2v1v 2 . ( v1 + v2 )
S S + 2v1 2v 2 Подставив заданное в условии значение v2, получим: vср =
2v1 ⋅ 1,5v1 6v1 . = v1 + 1,5v1 5 5 v1 = v ср = 25 км/час, 6 v 2 = 1,5v1 = 37,5 км/час. Ответ: 25 км/час; 37,5 км/час.
Из него:
3р) От перекрестка один автомобиль поехал на север со скоростью 80 км/час, второй – на восток со скоростью 60 км/час. Определить скоростью второго автомобиля относительно первого (в км/час). Дано: Решение: v1 = 80 км/ч Чтобы решить задачу, необходимо считать первый v2 = 60 км/ч автомобиль неподвижным. Для этого к вектору скорости первого автомобиля v21 – ? r v1
r v2
r v1′
r v 2,1
r равный по величине, но противоположный по направлению v1 пристроим uur вектор v1′ (cм. рисунок). В этих условиях первый автомобиль как бы стоит на uur r месте, а второй кроме вектора скорости v 2 имеет также скорость v1′ . Тогда в соответствии с законом сложения скоростей, вектор скорости второго автомобиля относительно первого r r ur v 21 = v1 + v′1 . Так как эти векторы расположены по условию под 90°, величина относительной скорости v 21 = v12 + v 22 = 6400 + 3600 = 100 км/час. Ответ: 100 км/час. 5
4р) Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с разными скоростями относительно эскалатора v1 = 2 м/с и v 2 = 3 м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора l = 100 м, его скорость u = 1,5 м/с. Дано: l = 100 м u = 1,5 м v1 = 2 м/с v 2 = 3 м/с S–?
Решение: Кинематическая схема объектов, рассматриваемых в задаче, изображена на рисунке.
r v1
1 0
r v2
2
r u
x
r u l
В выбранной системе координат уравнения движения людей будут иметь вид: x1 = ( v1 + u ) t ; . x2 = l − ( v 2 − u ) t. В уравнениях учтено, что для первого объекта скорость движения эскалатора складывается с собственной скоростью, а для второго – вычитается. В момент встречи координаты людей становятся одинаковыми, т.е. при t = tв x1 = x2 = S. Используя условие равенства координат, получаем:
( v1 + u ) tв = l − ( v 2 − u ) tв . Отсюда имеем: l . v1 + v 2 Подставив полученное значение, например, в первое уравнение, определим искомую в задаче величину: ( v + u )l . S = x1 ( t = tв ) = 1 v1 + v 2 Учитывая исходные данные, получим: ( 2 + 1,5)100 = 70 м. S= 2+3 Ответ: 70 м. 5р) Катер, отправляясь от пристани, выронил спасательный круг. Через τ = 1 час движения вниз по течению реки катер повернул обратно и встретил tв =
6
спасательный круг на расстоянии L = 6 км от пристани. Определить в км/час скорость течения реки, если скорость катера относительно воды во время всего рейса оставалась постоянной. Решение: Дано: Часы включаем в момент, когда круг упал в воду. Киτ = 1 час нематическая схема движения рассматриваемых в задаче L = 6 км объектов может быть представлена следующим образом: u –? r r r v1 1 u 3 v2 x 0
2
r u
L S
r r в ней u – скорость течения реки, v = v1 = v 2 – скорость катера относительно воды, S – расстояние, которое прошел катер до поворота обратно, L – заданное в задаче расстояние от пристани. Скорость катера при движению по течению реки равна сумме скорости течения реки и собственной скорости самого катера относительно воды, и уравнение движения катера может быть представлено виде: x1 = ( v + u ) t . При t равном заданному в задаче времени τ координата x1 становится равна расстоянию S, изображенному на кинематической схеме. То есть при t = τ x1 = S, имеем: S = (v + u)τ . Так как круг перемещается со скоростью течения реки, кинематическое уравнение его движения в выбранной системе координат может быть представлено следующим образом: x2 =ut . Для определения момента встречи катера и круга необходимо записать уравнение движения катера с того момента, когда он начал движение навстречу кругу, то есть находился в точке 3 с координатой S и начал двигаться против течения. Это произошло на τ позже, чем включены кинематические часы, то есть мы должны учесть в кинематическом уравнении эффект задержки события во времени. В этих условиях уравнение движения катера имеет вид: x3 = S − ( v − u )( t − τ) . В нем учтено, что скорость катера в рассматриваемый момент направлена против течения реки. В некоторый момент tв катер и круг встретились, попали в одну и ту же точку пространства, то есть при t = tв x2 = x3 = L. Последнее соотношение соответствует записи следующей системы уравнений: 7
⎧ L = utв , ⎪ ⎨ L = S − ( v − u )( tв − τ ) , ⎪ ⎩ S = ( v + u ) τ. Решение ее дает: ⎧ L = u tв , ⎨ ⎩ L = uτ + vτ − vtв + vτ + utв − uτ. Подставив первое уравнение во второе, получаем: utв = uτ + vτ − vtв + vτ + utв − uτ . Отсюда: 2vτ = vtв и tв = 2τ . Подстановка полученного значения в первое уравнение системы дает: L 6 u= = = 3 км/час. 2τ 2 Ответ: 3 км/час. Задачи для самостоятельного решения 1.1. Расстояние между железнодорожными станциями 16,6 км. Какова разность времен прихода звука от одной станции к другой по рельсам и по воздуху? Принять скорость звука в воздухе и в стали 330 м/с и 5500 м/с, соответственно. 1.2. Велосипедист, движущийся равномерно по прямолинейному участку дороги, увидел, как человек, стоящий у дороги, ударил стержнем по висящему рельсу, а через 1 с после этого услышал звук. С какой скоростью двигался велосипедист, если он проехал мимо человека через 69 с после начала наблюдения? Скорость звука в воздухе 340 м/с. 1.3. Автобус, двигавшийся по расписанию со скоростью 50 км/ч, простоял перед закрытым железнодорожным переездом 1,5 мин. С какой скоростью он должен продолжить движение, чтобы не выбиться из расписания, если расстояние от переезда до ближайшей остановки маршрута равно 3,75 км? 1.4. Из пункта A выехал велосипедист со скоростью 7,2 км/час. Через 15 мин после него по той же дороге выехал мотоциклист со скоростью 36 км/час. Через какое время после выезда велосипедиста мотоциклист нагонит его? 1.5. Велосипедист из пункта А в пункт В ехал со скоростью 10 м/с, а обратно со скоростью 15 м/с. Определить среднюю скорость велосипедиста. 1.6. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч. 1.7. Расстояние между расположенными друг за другом городами A и B, B и С равны L = 100 км и R = 100 км. Автомобиль ехал из A в B со скоро8
стью v = 100 км/час, из B в С со скоростью u = 50 км/час и возвратился в B со скоростью v. Определить (в км/час) среднюю путевую скорость за время движения. 1.8. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург. Первый автомобиль первую половину пути ехал со скоростью 120 км/ч, а вторую – со скоростью 80 км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения ехал со скоростью 120 км/ч, а вторую – со скоростью 80 км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше? 1.9. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью 700 км/ч, вторую треть – со скоростью 500 км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости на первых двух участках пути. 1.10. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как 1:3:4:2, потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении 2:4:3:1, соответственно, и на последнем участке скорость поезда равна 80 км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно. 1.11. Расстояние от пункта А до пункта В катер проходит по течению реки за 3 ч, обратный путь занимает у катера 6 ч. За какое время катер пройдет расстояние от А до В при выключенном моторе? Скорость катера относительно воды при включенном моторе постоянна. 1.12. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек увеличит свою скорость относительно эскалатора вдвое, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? 1.13. Автоколонна движется со скоростью 36 км/ч, растянувшись вдоль дороги на расстояние 600 м. Из хвоста колонны в голову посылается машина сопровождения, которая затем возвращается обратно. Сколько времени ушло на поездку, если скорость машины 72 км/ч? 1.14. Спортсмены бегут колонной длиной 20 м со скоростью 3 м/с. Навстречу бежит тренер со скоростью 1 м/с. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и бежит назад с прежней скоростью. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся? 1.15. При скорости ветра 10 м/с капля дождя падает под углом 30° к вертикали. При какой скорости ветра капля будет падать под углом 60°? 1.16. Лодочник, переправляясь через реку, все время направляет лодку под углом 60° к берегу, чтобы переплыть реку по кратчайшему расстоянию. Найти скорость лодки относительно воды, если скорость воды в реке равна 1 м/с. 1.17. В безветренную погоду самолет затрачивает на перелет между городами 6 ч. На сколько минут увеличится время полета, если будет дуть боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета? Скорость самолета относительно воздуха равна 328 км/ч. 9
1.18. Поезд движется на север со скоростью 20 м/с. Пассажиру вертолета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется на запад со скоростью 20 м/с. Найти скорость вертолета и направление его полета. Ответы. 1.1. 47,3 с. 1.2. 5 м/с. 1.3. 75 км/ч. 1.4. 1125 с. 1.5. 12 м/с. 1.6. 72 км/ч. 1.7. 75 км/час. 1.8. Второй. 1.9. 700 км/час. 1.10. 40 км/ч. 1.11. 12 ч. 1.12. 1,5 мин. 1.13. 80 с. 1.14. 10 м. 1.15. 30 м/с. 1.16. 2 м/с. 1.17. 9 мин. 1.18. 28,2 м/c, северо-восток.
Равнопеременное движение Ускорение (мгновенное ускорение) r r Δv d v r . = a = lim Δ t→ 0 Δ t dt Разложение ускорения на составляющие r r r r r a = a X i + aY j + aZ k ; a = a = a X2 + aY2 + aZ2 , r где a X , aY , aZ – проекции вектора a на оси X, Y, Z соответственно. v Равнопеременное движение ( a = const ) в плоскости X0Y aX t 2 x = x0 +v0 X t + ; v X = v0 X + a X t ; 2 a t2 y = y0 + v0Y t + Y ; vY = v 0Y + aY t ; 2
(1.8)
(1.9)
(1.10)
v2X − v02 X vY2 − v02Y x − x0 = y − y0 = ; ; (1.11) 2aX 2aY где x, y – координаты в момент времени t; x0 , y0 – начальные координаты; v X , vY – значения проекций скорости в момент времени t; v0 X , v0Y – проекции начальной скорости; a X , aY – значения проекций ускорения. Если направление движения не изменяется, то справедливы соотношения v 2 − v02 at2 ; v = v 0 ± at ; S = , (1.12) S = v 0t ± ±2a 2 где знак «+» соответствует равноускоренному движению; знак «–» – равнозамедленному. Задачи с решениями
6р) Подъезжая к светофору со скоростью 10 м/с, автомобиль тормозит в течение четырех секунд и останавливается рядом со светофором. На каком расстоянии от светофора находился автомобиль в начале торможения? 10
Дано: v0 = 10 м/c tдв = 4 с S–?
Решение: Кинематическая схема для решения задачи изображена на рисунке. В ней учтено, что при торможении автомобиля вектор r r v0 a 0 x S
r его ускорения a направлен в сторону противоположную направлению вектоr ра его скорости v 0 . В выбранной системе координат уравнение движения автомобиля имеет вид: at 2 , x = v 0t − 2 величина его скорости определяется соотношением: v = v0 − at . При t = tдв по условию v = 0 и x = S. Подставив эти условия в записанные выше уравнения, получим следующую систему уравнений: ⎧ v0 = atдв ⎪ ⎨ atдв2 S = v t − ⎪ 0 дв ⎩ 2 v Выразив из первого уравнения ускорение: a = 0 и подставив это выраtдв жение во второе, имеем: vt vt S = v0tдв − 0 дв = 0 дв . 2 2 Подстановка исходных данных дает: 10 ⋅ 4 S= = 20 м. 2 Ответ: 20 м.
7р) Двигаясь с постоянным ускорением, тело за 5 секунд прошло 100 метров. Какой путь оно прошло за последнюю секунду своего движения? Дано: Решение: S = 100 м Кинематическая схема для решения задачи изображена tд = 5 с на рисунке. S5 – ? S(t = 4) S5 r a x 0 S 11
В ней S(t = 4) – расстояние, пройденное телом за 4 секунды от начала движения, S – расстояние, пройденное телом за пять секунд движения, а S5 – расстояние, пройденное телом за последнюю, пятую секунду движения. Из рисунка видно, что S5 = S − S ( t = 4 ) . Так как начальная скорость тела равна нулю, уравнение его движения имеет вид a t2 . x= 2 В выбранной системе координат S(t = 4) = x(t = 4), имеем: 16a 25a 25a 16a 9a , а S = x(t = 5) = . Тогда . S (t = 4) = S5 = − = 2 2 2 2 2 При t = tд x = S, т.е. at 2 S= д , 2 откуда 2S a= 2 . tд Подставив в S5 выражение для ускорения a, получим: 9S S5 = 2 . tд 9 ⋅ 100 Подстановка численных значений дает: S5 = = 36 м. 25 Ответ: 36 м. Задачи для самостоятельного решения 2.1. Автомобиль разгоняется из состояния покоя до скорости 36 км/час за 5 секунд. Определить ускорение автомобиля и пройденный им за это время путь, полагая, что он движется прямолинейно. 2.2. При наборе высоты самолет летит по прямой, составляющей угол 30° с горизонтом, с постоянным ускорением 2 м/с2. На какую высоту поднимется самолет за 10 секунд, считая от момента времени, когда скорость его была равна 30 м/с? 2.3. По одному направлению из одной точки одновременно начали движение два тела: одно равномерно со скоростью 980 м/с, другое – равноускоренно без начальной скорости с ускорением 9,8 м/с2. Через какое время второе тело нагонит первое? 2.4. Велосипедист ехал по прямолинейному участку дороги со скоростью 10 м/с. Когда он поравнялся с неподвижным автомобилем, тот начал двигаться равноускоренно в том же направлении. Определить скорость автомобиля в тот момент, когда он догонит велосипедиста.
12
2.5. Снаряд, скорость которого 1500 м/с, пробивает стенку за 10–3 с и после этого имеет скорость 300 м/с. Считая движение равнозамедленным, определить толщину стены. 2.6. Во сколько раз скорость пули в середине ствола меньше, чем при вылете из ствола? Движение пули внутри ствола считать равноускоренным. 2.7. Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния? 2.8. За время 3 секунды после начала равноускоренного движения первый вагон поезда проходит мимо наблюдателя, стоящего в начальный момент времени у начала этого вагона. За какое время пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из девяти вагонов? 2.9. Две частицы в момент v , м /с времени t = 0 вышли из одной точки. 2 Определите по графикам зависимости скорости от времени время но1 вой встречи частиц. Частицы движутся по одной прямой в одном на0 0 2 4 6 8 1 0 t, с правлении. 2.10. По графику зависимости скорости тела от времени определить среднюю скорость на первой половине пути.
v, м/с 2
0
4
8
t, c
2.11. Тело за 15 с от начала движения прошло 180 м, двигаясь равноускоренно. Какой путь оно пройдет за 50 с от начала движения? 2.12. Два пункта А и В расположены на расстоянии 240 метров друг от друга на склоне горы. От пункта А начинает равноускоренно спускаться к пункту В велосипедист с начальной скоростью 8 м/с. Одновременно из пункта В к пункту А начинает равнозамедленно подниматься мотоциклист с начальной скоростью 16 м/c. Они встречаются через 10 секунд, к этому времени велосипедист проехал 130 метров. С каким ускорением ехал каждый их них? 2.13. Два автобуса выехали с остановки с интервалом в 1 минуту и шли с одинаковым ускорением 0,4 м/c2. Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними станет равным 4,2 км? 2.14. За пятую секунду равноускоренного движения из состояния покоя тело прошло 90 метров. Какой путь оно пройдет за седьмую секунду своего движения? 2.15. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за 5 с, а второй – за 4 с. Длина каждого вагона – 22,5 м. Найти ускорение поезда. 13
2.16. В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу, мимо него прошел за 2,2 с предпоследний вагон. Последний вагон прошел мимо пассажира за 2 с. На сколько опоздал пассажир к отходу поезда? Поезд движется равноускоренно. Длина вагонов одинакова. 2.17. Путь тела разбит на равные отрезки. Тело начинает двигаться равноускоренно и проходит первый отрезок за 1 с. За сколько секунд тело пройдет девятый отрезок? 2.18. Поезд прошел 46 км за 40 мин. В начале движения он шел с ускорением +a, в конце (до остановки) – с ускорением −a, остальное время с постоянной скоростью 72 км/ч. Чему равно абсолютное значение ускорения a? 2.19. На рисунке показаны графики зависиv мости скоростей от времени для двух частиц, движущихся вдоль одной прямой из одного и того же начального положения. Найти время встречи частиц, если t1 = 3 с, t2 = 4 с. 0 t1 t2 t Ответы. 2.1. 2 м/с2, 25м. 2.2. 200 м. 2.3. 200 с. 2.4. 20 м/с. 2.5. 0,9 м. 2.6. 2 2.7. 5 м/с. 2.8. 9 с. 2.9. 20 с. 2.10. 1,2 м/с. 2.11. 2000 м. 2.12. 1 м/с2, 1 м/с2. 2.13. 205 с. 2.14. 130 м. 2.15. 0,25 м/с2. 2.16. ≈20 с. 2.17. ≈0,18 с. 2.18. 0,2 м/с2. 2.19. 6 с.
Свободное падение Если ось X параллельна поверхности земли, ось Y направлена вертикально вверх, то при движении тела в поле силы тяжести Земли x = x0 + v0 X t ; y = y0 + v 0 Y t −
v X = v0 X ; 2
gt ; 2
vY = v 0 Y − g t ,
.
(1.13)
Задачи с решениями
8р) Два тела брошены вертикально вверх друг за другом с интервалом в 4 секунды. Начальная скорость тел одинакова и равна 30 м/с. Через какой промежуток времени после вылета второго тела они столкнутся? Решение: Дано: Исходя из вопроса задачи, имеет смысл кинематические v0 = 30 м/c Δt = 4 с часы включить в момент начала движения второго тела. Уравнение его движения в соответствии с кинематичеtc – ? ской схемой, изображенной на рисунке, имеет вид: gt 2 . y2 = v 0t − 2 14
Так как первое тело во времени опережает кинематические часы, уравнение его движения будет содержать время t + Δt , т.е.: 2 g ( t + Δt ) . y1 = v 0 ( t + Δt ) − 2 В момент столкновения координаты тел будут одинаковы, то есть при t = tc y1 = y2. Получаем уравнение вида: 2 g ( t с + Δt ) gtс2 . = v 0 ( t с + Δt ) − v 0t с − 2 2 Раскрыв квадрат суммы, получим: gt 2 g v0tс − с = v0tc + v0 Δtc − ( tc2 + 2tc Δt + Δt 2 ) . 2 2 Приведя подобные члены, имеем: Δt 2 . gtc Δt = v 0 Δt − g 2 Откуда 2v − g Δt 2 ⋅ 30 − 10 ⋅ 4 tc = 0 = = 1 с. 2g 2 ⋅ 10
y
r v0 0
r g
Ответ: 1 с. 9р) Пуля пущена с начальной скоростью 200 м/с под углом 60° к горизонту. Определить максимальную высоту ее подъема и дальность полета. Решение: Дано: v0 = 200 м/c Кинематическая схема задачи имеет вид, изображенный α = 60° на рисунке: y S, h – ? r r v0 v0 y
α
h
r v0x
x S
Из него видно, что проекция начальной скорости на ось X v0x = v0 ⋅ cosα , проекция начальной скорости на ось Y v 0y = v 0 ⋅ sinα . Уравнения движения тела имеют вид: gt 2 . x = v0 xt , y = v0 yt − 2 В момент падения, который обозначим tдв вертикальная координата тела y = 0, а координата x равна искомому расстоянию S. Математически это означает:
g tдв2 , S = v 0 xtдв . 0 = v 0 y tдв − 2 15
Из первого уравнения tдв =
2v 0 y
(корень tдв = 0 нас не интересует, так как соg ответствует началу движения). Подставив полученный корень во второе уравнение, имеем: 2v v 2v 2 sin α ⋅ cos α v02 sin 2α S = 0x 0 y = 0 = = 3,53 ⋅ 103 м. g g g В данном случае траектория тела симметричная, поэтому можно считать, что tдв в два раза больше времени подъема тела до высшей точки его траектории. Максимальная высота подъема определяется координатой Y в момент времени tп = tдв/2. То есть v 0 y g v 02 y v02 y ⎛ tдв ⎞ h = y ⎜ t = ⎟ = v0 y ⋅ − ⋅ 2 = = 1,53 ⋅ 103 м. g g g 2 2 2 ⎝ ⎠ Ответ: 1,53·103 м. Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 3.1. Тело свободно упало с высоты 500 метров. Определить среднюю скорость падения тела. 3.2. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю. 3.3. Из равномерно поднимающегося вертолета вертикально вверх брошен предмет со скоростью 20 м/с относительно вертолета. Через сколько времени встретятся вертолет и предмет? 3.4. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 40 м/с относительно земли. Одновременно с предельной высоты, которой может достичь это тело, начинает падать вертикально вниз другое тело с той же начальной скоростью. Определить время, по истечении которого тела встретятся. 3.5. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно за другим через 1 с. Через какое время от начала падения первого тела расстояние между телами будет равно 20 м? 3.6. Из гондолы аэростата, поднимающегося равномерно со скоростью 4 м/с, на высоте 15 м от земли бросили вверх камень со скоростью 6 м/с относительно аэростата. На какой высоте будет аэростат в момент падения камня на землю? 3.7. Самолет летит горизонтально со скоростью 720 км/ч на высоте 500 м. Когда он пролетает над точкой А, с него сбрасывают груз. На каком расстоянии от точки А груз упадет на землю? 3.8. Тело брошено горизонтально. Через 3 секунды после броска угол между направлением полной скорости и полного ускорения стал равным 60°. Определить величину полной скорости. 16
3.9. Определить синус угла, под которым тело было брошено к горизонту, если через 5 секунд после начала движения его скорость была направлена горизонтально. Начальная скорость тела 100 м/c. 3.10. Тело брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 50 м/с. Через какое время тело достигнет высшей точки подъема? 3.11. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если от одного игрока к другому мяч летит 2 секунды? 3.12. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 12 секунд. Какой наибольшей высоты достиг снаряд? 3.13. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы дальность его полета была в четыре раза больше максимальной высоты его подъема? 3.14. Из пружинного пистолета пуля вылетает со скоростью 20 м/с. Под каким минимальным углом к горизонту надо произвести выстрел, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии 20 м на одном уровне с пистолетом? 3.15. Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45° к горизонту? 3.16. С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением 10 м/с2? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно 500 м, пушка стреляет под углом 45° к горизонту. 3.17. Летчик бомбардировщика обнаружил корабль противника, идущий встречным курсом с постоянной скоростью. Пикируя точно на корабль под углом 45° к горизонту, летчик сбрасывает бомбу и поражает цель. Какова была скорость корабля, если в момент освобождения бомбы самолет пикировал со скоростью 720 км/ч, находясь на высоте 500 м? 3.18. Камень бросают горизонтально с вершины горы, склон которой образует угол α с горизонтом. С какой скоростью нужно бросить камень, чтобы он упал на склон горы на расстоянии L от вершины? 3.19. Одна из труб фонтана, расположенного на уровне поверхности земли, наклонена под углом 45° к горизонту. Струя из этой трубы достигает земли на расстоянии 10 метров от трубы. Сечение отверстия трубы 1 см2. Определить объем воды, вытекающей из трубы за 1 час. 3.20. Мяч падает из состояния покоя вертикально с высоты 1 м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о доску равно 4 м. Удар – абсолютно упругий. Определить угол наклона доски к горизонту. Ответы. 3.1. 50 м/с. 3.2. 10 м, 15 м/с . 3.3. 4 с. 3.4. 1с. 3.5. 2,5 с. 3.6. 27 м. 3.7. 2000 м. 3.8. 60 м/с. 3.9. 0,5. 3.10. 2,5 с. 3.11. 5 м. 3.12. 180 м. 3.13. 45°. 3.14. 15°. 3.15. ≈0,73 с, ≈2,73 с. 3.16. 100 м/с. 3.17. ≈15 м/с. ctg α 3.18. 2 Lg sin α . 3.19. 3,6 м3. 3.20. 30°. 2 17
Вращательное движение Частота вращения
n=
1 , T
(1.14)
ω=
Δϕ , Δt
(1.15)
где T – период вращения. Угловая скорость
где Δϕ – угол поворота за время Δ t ;
2π (1.16) = 2 πn . T Связь линейной и угловой скорости при вращательном движении v = ωr , (1.17) где r – радиус окружности. Центростремительное ускорение v2 (1.18) = ω2 r . aц = r При качении тела скорость каждой его точки r r r (1.19) v = v П + v ВР , r r где v П , v ВР – скорости, обусловленные поступательным и вращательным движениями, соответственно. ω=
Задачи с решениями
10р) Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по сухому шоссе со скоростью 72 км/ч. Определить в км/час наибольшую и наименьшую скорости точек на ободе его колес относительно поверхности дороги. Дано: Решение: v = 72 км/ч Изобразим на рисунке колесо автомобиля, у которого центр колеса, очевидно, перемещается со скоростью r vmаx – ? vmin – ? движения самого автомобиля. vП A В любой момент времени каждая точка колеса r v Вр участвует как в поступательном, так и во вращательном движениях. Величина суммарной скоr С v рости конкретной точки относительно дороги в каждый момент равна векторной сумме скороr r сти поступательного движений v Вр O vП r иrвращательного r v=v П +v ВР . В верхней точке колеса А (см. рисунок) эти векторы направлены в одну сторону, их векторное сложение дает скалярную сумму указанных величин v A = vп + v вр . 18
v вр
Известно, что величина линейной скорости вращательного движения точек, лежащих на ободе колеса, равна скорости поступательного движе-
ния центра колеса vп . Поскольку скорость поступательного движения колеса v, то v A = 2V = 144 км/ч. Точка А – единственная точка колеса, в которой описанные векторы направлены в одну сторону (в остальных точках они направлены под разными углами). Следовательно, именно это точка имеет максимальную скорость, т.е. vmаx = 144 км/ч. r r Теперь рассмотрим точку O. Векторы v п и v вр направлены здесь в разные стороны, поэтому их векторное сложение приводит к скалярному вычитанию указанных величин, то есть vО = vп − vвр . vО = 0 . Вследствие равенства модулей этих векторов Это наименьшая из всех возможных значений скорости величина. То есть vmin = 0. Ответ: vmаx = 144 км/ч, vmin = 0. 11р) Две параллельные рейки движутся со скоростями v1 = 6 м/c и v2 = 4 м/c (см. рис). Между рейками зажат диск (см. рисунок), катящийся по рейкам без скольжения. Какова скорость его центра? r v1
A
O
r v2
B
Дано: v1 = 6 м/c v2 = 4 м/c v0 – ?
Решение: При решении задач такого рода следует по заданным исходным данным определить направление вращения диска и указать его на рисунке. Кроме того, необходимо уяснить, в каком направлении поступательно перемещается центр диска. r v0 r v0
O
r v Вр
r v Вр
r v0
19
ω
В рассматриваемой задаче диск будет вращаться по направлению часовой стрелки (на рисунке показано направление вращения тела), перемещение его центра в пространстве r будет происходить слева направо с искомой скорость, вектор которой v 0 . Каждая точка диска одновременно участвует как в поступательном со скоростью перемещения центра v0, так и во вращательном движении с линейной скоростью vвр, величина и направление которой зависят от положения точки на диске. В точке диска, которая сопрягается с верхr ней рейкой направление вектора v ВР будет совпадать с направлением вектоr r ра v 0 , а в нижней точке диска вектор v ВР будет направлен противоположно r вектору v 0 . Результирующая скорость диска как в точке А, так и в точке В будет такой, какова скорость соответствующей рейки, сцепленной с диском в данной точке. То есть в точке А: uur r r v1 = v 0 +v ВР , а в точке В: r r r v 2 =v 0 +v ВР . В скалярной форме вследствие изображенного направления складываемых векторов, получим: v1 = v0 + v ВР v 2 = v0 − v ВР . Сложение этих уравнений дает: 2v0 = v1 + v 2 , v + v2 6 + 4 отсюда v0 = 1 = = 5 м/c. 2 2 Ответ: 5 м/c. Задачи для самостоятельного решения При решении задач принять g = 10 м/с2. 4.1. Сколько оборотов сделает колесо, имеющее угловую скорость 4 рад/с за 50 секунд? 4.2. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса. 4.3. Линейная скорость точек на ободе вращающегося колеса равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает колесо? 4.4. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на расстояниях 30 см от оси, за 20 секунд проходят путь 4 метра. Сколько оборотов за это время сделал диск? Чему равен период обращения диска? 20
4.5. Минутная стрелка часов в четыре раза длиннее секундной. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше линейной скорости конца минутной стрелки? 4.6. Две частицы 1 и 2 движутся по окружности с посто2 янными угловыми скоростями: ω1 = π/6 рад/с и ω2 = π/3 рад/с. В 1 начальный момент времени угол между радиусами, проведенными к частицам, равен π/3. В какой момент времени частицы встретятся? 4.7. Найти линейную скорость и центростремительное ускорение точек на экваторе Земли, если ее радиус равен 6400 км. 4.8. Лопасти ветряной мельницы вращаются с постоянной угловой скоростью. Центростремительное ускорение точек, находящихся на конце лопасти, 6 м/с2. Определить центростремительное ускорение точек, лежащих на средине лопасти. 4.9. Гладкий диск радиусом R, плоскость которого горизонтальна, вращается вокруг своей оси с частотой 40 об/мин. От поверхности диска на расстоянии R/2 от оси отрывается небольшое тело, которое без трения скользит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска? 4.10. При взрыве покоящейся бомбы, имеющей форму цилиндра радиусом 0,2 м, осколки, разлетающиеся в радиальных направлениях, за время 1 с удаляются от оси цилиндра на расстояние 40 м. На какое расстояние от оси цилиндра удалятся осколки за то же время, если в момент взрыва бомба будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью 150 рад/с? Влиянием силы тяжести пренебречь. 4.11. Ось с двумя тонкими дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1500 об/мин. Пуля, летящая параллельно оси, пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено по углу относительно отверстия в первом диске на 0,1π рад. Найти скорость пули. 4.12. Пустотелый цилиндр диаметром 1 м вращается с постоянной частотой 100 об/с вокруг своей оси, расположенной вертикально. Горизонтально летевшая с постоянной скоростью пуля пробила цилиндр вдоль его диаметра. Чему равна максимальная скорость пули внутри цилиндра, если входное и выходное отверстия совпали? Влиянием силы тяжести пренебречь. 4.13. Диск катится без проскальзывания со скоростью 10 м/с. Какова скорость точки А? А Как она направлена? Ответ обоснуйте. 4.14. На экране демонстрируется движущаяся повозка. Радиус колес повозки 1/π м. Каждое колесо имеет 6 спиц. Скорость перемещения кинопленки равна 24 кадрам в с. Считая, что колеса повозки катятся без проскальзывания, определить, с какой минимальной скоростью должна двигаться повозка, чтобы ее колеса казались на экране невращающимися. 21
4.15. Две параллельные рейки движутся со скоростями V1 = 0,4 м/с и V2 = 0,6 м/с (см. рис.). Между рейками зажат диск, катящийся по ним без проскальзывания. Найти угловую скорость диска и скорость центра диска. Диаметр диска равен 20 см. 4.16. Две параллельные рейки движутся со скоростями V1 = 0,3 м/с и V2 = 0,1 м/с (см. рис.). Между рейками зажат диск, катящийся по ним без проскальзывания. Найти угловую скорость диска, а также скорость его центра. Диаметр диска равен 20 см.
V2
V1
V2
V1
4.17. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа передвинется на 1 м? 4.18. Винт аэросаней вращается с частотой 360 об/мин. Скорость поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью движется один из концов винта, если его радиус равен 1 м? 4.19. Волчок, вращаясь с частотой 20 об/с, свободно падает с высоты 5 метров. Сколько оборотов сделает он за время падения? Начальная скорость падения волчка равна нулю. 4.20. С колеса автомобиля, движущегося с r v постоянной скоростью v = 4 м/с, слетают комки грязи. Радиус колеса R = 0,4 м. На какую высоту α над дорогой будет отбрасываться грязь, оторвавА шаяся от точки А колеса, указанной на рисунке, которой соответствует угол α = 60°? Колесо катится без проскальзывания. Ответы. 4.1. 32. 4.2. 0,1 м. 4.3. 1,6 об/с. 4.4. 2,1 об, 9,4 с. 4.5. 15. 4.6. 10 с. 4.7. 465 м/с; 0,034 м/с2. 4.8. 3 м/с2. 4.9. 0,41 с. 4.10. 50 м. 4.11. 250 м/с. 4.12. 200 м/с. 4.13. ≈ 14 м/с. 4.14. 8 м/с. 4.15. 1 рад/с, 0,5 м/с. 4.16. 2 рад/с, 0,1 м/с. 4.17. 0,5 м. 4.18. 40 м/с. 4.19. 20. 4.20. 0,8 м.
22
2
Динамика
Законы Ньютона I закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, в которых материальная точка сохраняет неизменной свою скорость, если на нее не действуют силы или действие всех сил скомпенсировано. Такие системы отсчета называются инерциальными. II закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки с массой m r r F , (2.1) a= m r r где F = ∑ Fi – равнодействующая всех сил, действующих на материальную i
точку. III закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению: r r F12 = − F21 , (2.2) r r где F12 – сила, действующая со стороны 1 тела на 2; F21 – сила, действующая со стороны 2 тела на 1. Сила гравитационного притяжения двух материальных точек с массами m1 и m2 , расположенных на расстоянии r друг от друга, mm (2.3) Fгр = G 1 2 2 , r где G = 6,67⋅10−11 Н⋅м2/кг2 – гравитационная постоянная. Таким же выражением определяется и сила гравитационного взаимодействия двух шарообразных тел, но под r понимается расстояние между центрами шаров. Сила тяжести r r (2.4) Fтяж = mg , GM Где g = – ускорение свободного падения (М – масса Земли; R – ра( R + h) 2 диус Земли; h – высота тела над поверхностью Земли). Для малых высот r GM h h)? Масса колеса равна m. 8.18. Кусок какой длины необходимо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести переместился на 10 см? 8.19. Стержень массой 100 г согнули посередине под углом 120° и подвесили на нити, привязанной к точке сгиба. Груз какой массы (в г) надо прикрепить к концу одной из сторон угла, чтобы другая сторона заняла горизонтальное положение? 8.20. Из однородной круглой пластины, радиус которой R, вырезан круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга. На какое расстоянии сместилось положение центра тяжести? Ответы. 8.1. 8 Н·м. 8.2. 1,53 м. 8.3.
mg ⋅ cosα . 2
8.4. 0,225 м.
8.5. 17 кН.
μmg . 8.7. 8 Н. 8.8. 0,39 м. 8.9. 17 Н. 8.10. а) k1 + k2; cos α + μ sin α 1 4 . 8.12. 6 Н, 19 Н. 8.13. 60 Н, 80 Н. 8.14. mg ⋅ tgα . б) k1k2/(k1+ k2). 8.11. 3 3 h(2 R − h) . 8.18. 20 см. 8.19. 25 г. 8.15. 1,5 м. 8.16. arctg 0,8. 8.17. mg R−h R 8.20. . 6
8.6. F