Об универсально эквивалентных разрешимых группах

Алгебра и логику 39, N 2 (2000), 227-240

УДК 512.5

ОБ УНИВЕРСАЛЬНО

ЭКВИВАЛЕНТНЫХ

Р А З Р Е Ш И М Ы Х ГРУППАХ*)

Е, И. ТИМОШЕНКО

В [1] доказано, что для любого целого m ) 1 и любых гх,Г2 ^ 2 (ri,r2 ^ 1 при т = 1) свободные разрешимые группы Fri (A m ) и F f 2 (A m ) имеют одинаковые универсальные теории. О.Шапюи [2] получил классификацию метабелевых групп с двумя порождающими, имеющими ту же универсальную теорию, что и свободная метабелева группа. Оказывается, что так называемые V-свободные метабелевы группы с двумя порождающими исчерпываются группами F2(A 2 ) и дискретным сплетением ZfZ двух бесконечных циклических групп. Мы доказываем более общую теорему 1, из которой следует первый из отмеченных результатов. С ее помощью доказывается теорема 2, где описываются все подгруппы с двумя порождающими из декартова произ­ ведения свободных разрешимых групп одной ступени разрешимости, уни­ версально эквивалентные свободной разрешимой группе той же ступени разрешимости. Так как любая конечно-порожденная метабелева группа конечно определена в многообразии метабелевых групп [3] и потому вкла­ дывается в декартову степень свободной метабелевой группы (следствие 5), отсюда следует второй из указанных результатов. При доказательстве универсальной эквивалентности двух групп С?, *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00567, а также научной программой Министерства образования Российской Федерации "Фундаментальные исследования высшей школы. Университеты России".

@ Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

228

Е. И. Тимошенко

Н необходимо и достаточно убедиться в том, что любая конечная подмо­ дель из одной группы изоморфно вкладывается в другую. Все необходимые и используемые без доказательства утверждения содержатся в [4]. Т Е О Р Е М А 1. Пусть F(B) — свободная группа многообразия В , ап­ проксимируемая конечными р-группами для бесконечного набора простых чисел р. Если подгруппа G группы F(B) порождает то же многообразие, что и группа F ( B ) , то универсальные теории групп G и F(B) совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку G является подгруппой в F ( B ) , достаточно доказать, что каждая конечная подмодель из F(B) имеет изо­ морфную копию в G. Согласно определению 17.12 из [4], группа D называется дискрими­ нирующей, если каждое конечное множество равенств w = 1, которые нарушаются в группе £>, можно нарушить в D одновременно. По теореме 17.9 из [4], если группа D аппроксимируется конечными р-группами для бесконечного набора простых чисел р, то она является дискриминирую­ щей. Значит, G ~ дискриминирующая группа. Пусть F — свободная группа того же ранга, что и группа F ( B ) , a #i,ar 2 ,... ~ базис группы F. Обозначим через V вербальную подгруппу многообразия В . Тогда F(B) =

F/V.

Пусть модель М состоит из конечного числа произвольных элемен­ тов группы F ( B ) . Расширим эту модель до модели М, включив в нее все элементы вида u^u^V^^w^w^V,

где 1 ^ и,г2,г'з ^ га. Для каждо­

го неединичного элемента из модели М найдутся элементы Ai,...,/t n из группы G, зависящие от w^, w,-2, w^ и такие, что w^w^wj^hi^...,hn)

ф 1 1

в группе G. Тогда найдутся g%y ...,fl£, не зависящие от слов w^w^w^ такие, что m^^wj^g^ w^w^wf1

и

..., 1 при любом п > 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно следствию 2, достаточно доказать, что группы G и 1*2 (А п ) универсально эквивалентны. По лемме 1 группа G является подгруппой группы ^ ( А п ) . Кроме того, группа G изоморфна полупрямому произведению F00(An~1)

3 (b)

свободной разрешимой группы счетного ранга с базисом т/,-,г 6 Z, и бес­ конечной циклической группы (6), причем ftj/,-6"1 = j/i+i. Рассмотрим под­ группу G\ группы G, порожденную элементом Ь2 и подгруппой /^(А"""" 1 ). Пусть N — нормальное замыкание в G\ коммутаторов [t/,-, y,+2«L h n € Z. Понятно, что группа G\/N изоморфна сплетению группы / ^ ( А " " 1 ) и бес­ конечной циклической группы. Напомним еще одно определение из [4]. Группа В дискриминирует многообразие В, если В € В и для каждого конечного множества слов W} не являющихся тождествами многообразия В, равенства w = l,w E TV, могут быть одновременно нарушены. Известно, что группа F00(An"1)

дис­

1 1

криминирует многообразие А* " . Так как свойство группы быть дис­ криминирующей для многообразия В задается посредством V-формул, то группа, универсально эквивалентная дискриминирующей для многообра­ зия В , сама является таковой. Поэтому группа ^ ( А " " 1 ) дискриминирует многообразие А""*1. Известно, что бесконечная циклическая группа яв­ ляется дискриминирующей. Группа G\/N

изоморфна сплетению групп

Об универсально эквивалентных разрешимых группах

231

F2(A n ~ 1 ) и Z. Согласно теореме 22.42 из [4] она порождает многообра­ зие А". Ссылка на теорему 1 завершает доказательство следствия. Согласно [4] группа А дискриминируется группой J3, если для лю­ бого конечного множества а\,..., ар неединичных элементов из А найдется гомоморфизм из Л в В, при котором образы элементов ai, ...,а р отличны от 1. Л Е М М А 2. Пусть А — конечно определенная в некотором мно­ гообразии М группа, а группа В ей универсально эквивалентна.

Тогда

группа А дискриминируется группой В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А = ( а ь ...,а п | г г (а), ...,г т (а)) - зада­ ние группы А в многообразии М и

где a

jiPj*