Об операторах Римана - Лиувилля с переменными пределами

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2001. Том 42, № 1

УДК 517.51

ОБ ОПЕРАТОРАХ РИМАНА ––– ЛИУВИЛЛЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ Д. В. Прохоров Аннотация: Даны критерии Lp − Lq -ограниченности и компактности оператора φ(x) R f (y)(x − y)α−1 dy при α, p, q ∈ Римана — Лиувилля вида f (x) 7→ v(x)χ(a,b) (x) ψ(x) 1 (0, ∞) и p > max( α , 1), где v — измеримая, а φ„ψ — абсолютно непрерывные неубывающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условию 0 ≤ ψ(x) < φ(x) ≤ x, x ∈ (a, b). Библиогр. 8.

Введение Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞. Мы рассматриваем оператор вида φ(x) Z

(T ψ,φ f )(x) = v(x)χ(a,b) (x) a,b

f (y) dy , (x − y)1−α

ψ(x)

где весовая функция v измерима, а φ и ψ — абсолютно непрерывные неубывающие на [a, b] функции, удовлетворяющие условию 0 ≤ ψ(x) ≤ φ(x) ≤ x, x ∈ [a, b], при этом равенство φ(x) = ψ(x) возможно, лишь когда φ(x) = ψ(a) или φ(b) = ψ(x). Для p ∈ (0, ∞) положим Z∞ kf kp =

 p1 |f (x)| dx p

0

и обозначим через Lp ≡ Lp (R+ ) пространство всех измеримых на R+ функций таких, что kf kp < ∞. В работе [1] об оценках сингулярных чисел оператора Rα : L2 → L2 вида v(x) (Rα f )(x) = α x

Zx

f (y) dy , (x − y)1−α

x > 0,

(1)

0

в случае α >

1 2

дан следующий критерий ограниченности и компактности: kRα kL2 →L2

 2Zk+1  12 |v(x)|2 ≈ A = sup dx , x k∈Z

(2)

2k

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 00–01–00239) и Министерства образования РФ (грант 10.98 ГР).

c 2001 Прохоров Д. В.

Об операторах Римана — Лиувилля

157

причем Rα : L2 → L2 компактен тогда и только тогда, когда A < ∞ и  2Zk+1 lim

|k|→∞

 12 |v(x)|2 dx = 0. x

(3)

2k

Затем этот результат был обобщен на случай Rα : Lp → Lq при p > max( α1 , 1) для 1 < p = q < ∞ в [2], для 1 < p, q < ∞ в [3] и для 0 < p, q < ∞ в [4]. Отметим, что эта задача для оператора Rα , когда α ∈ [1, ∞) и 1 < p, q < ∞, решена в другой форме в более общей ситуации с двумя весовыми функциями (см., например, обзор [5]), а также ограниченность T ψ,φ , когда α = 1, 0 < q < ∞, a,b

p > 1 или α > 1, 1 < p, q < ∞, может быть получена из работы [6]. В этой работе мы получаем критерии ограниченности и компактности оператора T ψ,φ из Lp в Lq при 0 < p, q < ∞, p > max( α1 , 1). a,b

Без потери общности всюду в работе неопределенности вида 0·∞, 0/0, ∞/∞ полагаются равными нулю. Неравенство A  B означает A ≤ γB, где γ зависит только от p, q, α; соотношения A ≈ B интерпретируются как A  B  A, χE обозначает характеристическую функцию множества E, Z и N — стандартные обозначения множеств всех целых и натуральных чисел соответственно. Обозначим p0 = p/(p − 1), q 0 = q/(q − 1) и для произвольного оператора T : Lp → Lq положим kT k = kT kLp →Lq . Под классом AC ↑ [a, b] понимаем множество всех абсолютно непрерывных неубывающих на [a, b] функций ϕ, удовлетворяющих условию 0 ≤ ϕ(x) ≤ x, x ∈ [a, b]. Каждой функции ϕ из AC ↑ [a, b] соответствуют две обратные функции: «левая» ϕ−1 Λ (x) = inf{s | ϕ(s) = x, s ∈ [a, b]} и «правая» ϕ−1 (x) = sup{s | ϕ(s) = x, s ∈ [a, b]}, которые заданы на [ϕ(a), ϕ(b)] Π и обладают свойствами −1 −1 −1 −1 −1 x ≤ ϕ−1 Λ (x) ≤ ϕΠ (x), ϕ(ϕΛ (x)) = ϕ(ϕΠ (x)) = x, ϕΛ (ϕ(x)) ≤ x ≤ ϕΠ (ϕ(x)). −1 Очевидно, для строго возрастающей ϕ обе функции ϕ−1 Λ , ϕΠ совпадают с обратной ϕ−1 . Кроме того, будем использовать сокращения T −,ϕ ≡ T ϕ(a),ϕ и a,b a,b T ϕ,− ≡ T ϕ,ϕ(b) . a,b

a,b

1. Ограниченность и компактность оператора с переменным верхним пределом Теорема 1. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, max( α1 , 1) < p ≤ q < ∞, v — α−1 . измеримая функция, φ ∈ AC ↑ [a, b], a0 = φ−1 Π (φ(a)) и (Ωv)(x) = v(x)(x−φ(a)) p q Тогда для ограниченности T −,φ из L в L необходимо и достаточно, чтобы a,b A −,φ < ∞, где a,b

Zb A −,φ = sup A −,φ (t) = sup a,b

a0 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, 0 < q < p < ∞, p > max( α1 , 1), −1 1 1 1 ↑ 0 r = q − p , v — измеримая функция, φ ∈ AC [a, b], a = φΠ (φ(a)) и (Ωv)(x) = v(x)(x − φ(a))α−1 . Тогда оператор T −,φ : Lp → Lq ограничен, если и только если a,b D −,φ < ∞, где a,b

Zb D −,φ =

(φ(x) − φ(a))

r p0

Zb

 r1  pr q |(Ωv)(t)| dt |(Ωv)(x)| dx . q

a,b

a0

x

Более того, kT −,φ kLp →Lq ≈ D −,φ . a,b

a,b

Доказательство. Не теряя общности, ограничимся случаем a = a0 . Необходимость. Сначала заметим, что (4) справедливо для веса v0 и строго возрастающей абсолютно непрерывной функции φ0 таких, что |v0 (x)| ≤ |v(x)|, φ(a) ≤ φ0 (x) ≤ φ(x) ≤ φ0 (b), x ∈ [a, b]. Кроме того, предположим, что Ωv0 из Lq и supp{v0 } — ограниченное множество. Тогда Zb D0 ≡

(φ0 (x) − φ(a))

Zb

r p0

q

 pr

|(Ωv0 )(t)| dt

a

 r1 q |(Ωv0 )(x)| dx 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, max( α1 , 1) < p ≤ q < ∞, v — измеримая функция, φ ∈ AC ↑ [a, b] и a0 = φ−1 Π (φ(a)). Тогда для компактности оператора T −,φ из Lp в Lq необходимо и достаточно, чтобы A −,φ < ∞ и a,b

a,b

lim0 A −,φ (t) = lim A −,φ (t) = 0.

t→a

t→b

a,b

a,b

Доказательство. Необходимость. Так как оператор T −,φ компактa,b ный, то T −,φ ограничен, и из теоремы 1 имеем A −,φ < ∞. Далее используем a,b a,b известный факт, что компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Положим 1

fT −,φ ,1,s (x) ≡ fs (x) = χ[φ(a),φ(s)] (x)(φ(s) − φ(a))− p ,

s ∈ (a0 , b).

a,b 0

Тогда kfs kp = 1 и для произвольного фиксированного g ∈ Lp Z∞  φ(s)  10 Z p p0 fs (x)g(x) dx ≤ kfs kp |g(x)| dx −→ 0, 0

s → a0 .

φ(a)

Таким образом, fs → 0 слабо при s → a0 , и из компактности T −,φ имеем a,b

lim0 kT −,φ fs kq = 0. Но

s→a

a,b

Zb kT −,φ fs kq ≥

q



1 2 (φ(s)+φ(a))

Z

α−1

|v(x)|

(x − y)

1 −p

(φ(s) − φ(a))

 q1

q dy

dx

a,b

s

Zb 

φ(a)

q



1 2 (φ(s)+φ(a))

Z

|(Ωv)(x)|

1 −p

(φ(s) − φ(a))

q dy

 q1 dx  A −,φ (s). a,b

s

φ(a)

Следовательно, A −,φ (s) → 0 при s → a0 . Проводя подобные рассуждения с a,b последовательностью Zb − 10 q q q−1 fT −,φ ,2,s (x) = χ[s,b) (x) |(Ωv)(y)| dy |(Ωv)(x)| sign v(x) a,b

s

162

Д. В. Прохоров 0

0

∗ для двойственного оператора T −,φ : Lq → Lp , который также компактный, a,b

получим A −,φ (s) → 0 при s → b. a,b

Достаточность. Для a0 < ξ < η < b положим Pξ = χ(a,ξ) T −,φ , a,b

Pξ,η = χ[ξ,η] T −,φ , a,b

Pη = χ(η,b) T −,φ . a,b

Тогда T −,φ = Pξ +Pξ,η +Pη . Применяя теорему 1 к операторам Pξ и Pη , получим a,b

Zb kPξ k  sup

a0 0, {bn } — неубывающая последовательность натуральных чисел и для всех n ∈ N выполнено bn ≤ n, wn ≥ 0, an ≥ 0. Положим X X α−1 q  q1 bn  ∞ 1 q wn C = sup n−m+ am , 2 {an }∞ 1 n=1 m=1 P p где супремум берется по всем последовательностям {an } таким, что an = 1. Если max(1overα, 1) < p ≤ q < ∞, то C ≈ A0 , где X  q1 1 ∞ 0 α−1 q 0 (wk k ) A = sup bnp . n∈N

n

k=n

Если 0 < q < p < ∞, p > и 1r = 1q − p1 , то C  D0 , а в случае bn = n даже C ≈ D0 , где X X  pr  r1 ∞ ∞ r p0 0 α−1 q α−1 q D = bn (wk k ) (wn n ) . max( α1 , 1)

n=1

k=n

Следующий результат связан с двойственным оператором вида Zb

∗

T −,φ g(y) = χ[φ(a),φ(b)] (y) a,b

v(x)g(x) χ[φ(a),φ(x)] (y) dx. (x − y)1−α

y

Теорема 6. Пусть α > 0, 0 ≤ a < b ≤ ∞, v — измеримая функция, α−1 φ ∈ AC ↑ [a, b], a0 = φ−1 . Если 1 < p ≤ q < Π (φ(a)) и (Ωv)(x) = v(x)(x − φ(a)) ∗ ∗ 1/(1 − min(α, 1)), то kT −,φ kLp →Lq ≈ A −,φ , где a,b

a,b

Zb

∗

A −,φ = sup a,b

a0 0 выполнено a,b

φ(τ Z )



h

−p r

 p1 Z∞ (y) dy

 10 p ≤ 1, |(Ωv)(x)| dx p0

τ

φ(a) p

p

двойственная версия весового L − L неравенства Харди влечет верхнюю оценку J2  D∗−,φ kgkp . a,b

Для нижней границы возьмем вес v1 такой, что supp{v1 } — ограниченное 0 множество, Ωv1 из Lp и |v1 (x)| ≤ |v(x)|, x ∈ [a, b]. Определим D1∗ , E1∗ подобно ∗ ∗ D −,φ , E −,φ с v1 вместо v соответственно. Положим также a,b

a,b

g(x) = (φ(x) − φ(a))

r pq

Zb

 r0 q p p0 p0 −1 |(Ωv1 )(t)| dt |(Ωv1 )(x)| sign v(x).

x

Тогда kgkp = имеем ∗

r

D1∗ p 

≈

r

E1∗ p

и, так как x ≥ 2y − φ(a) влечет x − y ≥ x − 21 (x + φ(a)),

1 2 (φ(a)+φ(b))

Zb



Z

|v(x)g(x)| dx (x − y)1−α

kT −,φ gkq ≥ a,b

dy

φ−1 Λ (2y−φ(a))

φ(a)



 q1

q

1 2 (φ(a)+φ(b))

Z



Zb

≈ φ(a)

φ−1 Λ (2y−φ(a))

q  q1 |(Ωv)(x)g(x)| dx dy

Об операторах Римана — Лиувилля 

1 2 (φ(a)+φ(b))

Z

≥

[2y − 2φ(a)]

r p

Zb



p0

167  r0

 q1

p

|(Ωv1 )(x)| dx

dy

r

 E1∗ q .

φ−1 Λ (2y−φ(a))

φ(a)

∗ ∗ Поэтому kT −,φ k  E1∗ и теорема Фату влечет требуемую оценку kT −,φ k  E ∗−,φ . a,b

a,b

a,b

Теорема доказана. 3. Случай двух переменных пределов Лемма. Пусть α > 0, Fα (t, s) = (s + t)α − tα . Тогда (I) если 0 ≤ t ≤ s, то Fα (t, s) ≈ sα ; (II) если 0 ≤ s ≤ t, то Fα (t, s) ≈ stα−1 . Доказательство. Пусть 0 ≤ t ≤ s. Фиксируем s > 0 и рассмотрим функцию g(t) = Fα (t, s). В силу монотонности g на [0, s] имеем min(g(0), g(s)) ≤ g(t) ≤ max(g(0), g(s)) для всех t ∈ [0, s], но g(s) = (2α − 1)sα , g(0) = sα и тем самым утверждение (I) показано. По теореме Лагранжа существует θ ∈ (0, 1) такое, что Fα (t, s) = αs(θs + t)α−1 . Если теперь 0 ≤ s ≤ t, то Fα (t, s) ≈ stα−1 . Лемма доказана. Теорема 7. Пусть α > 0, 0 < a < b ≤ ∞, v — измеримая функция, ψ ∈ AC ↑ [a, b] и ψ(b) ≤ a; кроме того, определим λ, b0 ∈ [a, b] и функцию l −1 соотношениями λ + ψ(λ) = 2a, b0 = ψΛ (ψ(b)), l(x) = 2a − x. Тогда (I) если 1 < p ≤ q < ∞, то kT ψ,− k ≈ A ψ,− , где a,b

 A ψ,− = a,b

a,b

A0 ,

если 2a − ψ(b) ≥ b0 ,

A1 + A21 + A22 + A3 + A4

иначе,

Z t A0 = sup A0 (t) = sup a