О линейных функциональных уравнениях

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ *). Ф. Р и с е . Перевод с немецкого М. М. Гринблюма.

В настоящей работе рассматривается проблема обращения для одного класса линейных функциональных уравнений. Первый параграф имеет вспомогательное значение, второй посвящен исследованию проблемы в общем виде, и, наконец,. в третьем дается приложение общих результатов к линейным интегральным уравнениям. В этой работе не так важны новые результаты, как применение чрезвычайно элементарного метода. Наиболее существенными здесь являются доказательства „конечности", в которых устанавливается, что некоторые про­ цессы не продолжаются неограниченно, а непременно обрываются. Важней­ шим применяемым здесь понятием является понятие компактного множества (именно, компактной последовательности), введенное Фреше в общую теорию множеств и оказавшееся очень полезным в различных областях анализа. Благо­ даря этому понятию оказалось возможным дать очень удачное и простое опре­ деление вполне непрерывного преобразования, в основном построенное так жеу как аналогичное определение, данное Гильбертом для функций от бесконечного числа переменных. То, что мы здесь ограничились рассмотрением непрерывных функций, несу­ щественно. Читатель, знакомый с новейшими работами по функциональным про­ странствам, легко заметит, что построенный здесь метод может быть применен более общим образом; он заметит также, что в некоторых функциональных про­ странствах, как, например, в пространстве функций с суммируемыми квадратами и в гильбертовом счетномерном пространстве, наш метод упрощается. Рассматриваемое здесь пространство, которое кажется на первый взгляд более простым, служит как бы пробным камнем для применимости этого метода в общем виде. § 1. Определения и леммы. Основным объектом настоящего исследования является совокупность функ­ ций f{x), определенных на отрезке а < > < 6 и непрерывных всюду на этом отрезке. Переменное х принимает, таким образом, лишь действительные значе­ ния, однако значения функции могут быть и комплексными. Заметим здесь же,, что все полученные в настоящей работе результаты верны без всяких изменений и для совокупности всех непрерывных на а < х < Ъ функций, принимающих лишь, действительные значения. !

) F. R i e s z , Uber Hneare Fnnktionalgleichungen, Acta Mathematica, т. 41, 1918, стр. 71—98.

Ф. РИСС

176

Положенную в основу совокупность мы в дальнейшем будем для краткости на­ зывать функциональным пространством. Максимальное значение величины \f(x) \ мы будет называть нормой f(x) и обозначать через \\f\\. Очевидно, что вели­ чина \\f\\, вообще говоря, положительна; она обращается в нуль лишь в случае, когда f(x)==0. Далее, для \\f\\ справедливы соотношения

II с f{x) || = И || f(x) ||, || л -К 2 1| < || Л || +1| и II • Будем называть расстоянием между функциями fx и f2 величину ||/\—А11 = = ||/>2 — /*! ||i т. е. норму их разности. В этих условиях утверждение, что последо­ вательность функций {fn} равномерно сходится к функции /*, равносильно утверждению, что расстояние \\f—fn\\ стремится к нулю. На основании так называемого общего принципа сходимости, для того чтобы последовательность { fn } равномерно сходилась, необходимо и достаточно, чтобы \\fm — fn \\ -> О при т->оо и ю->оо. Поэтому, если все расстояния \\fm — fn\\ имеют отличную от нуля нижнюю грань, то последовательность не может равномерно сходиться. В дальнейшем мы будем заниматься проблемой обращения линейных пре­ образований. Преобразование Т, посредством которого каждому элементу нашего функционального пространства соответствует единственным образом опреде­ ленный элемент T[f], называется линейным, если оно обладает свойством дистрибутивности и ограниченно. Преобразование называется дистрибутивным, если для всех f имеют место тождества

T[cf\ = cT[f], Tfa+f^TlfA

+ TlfJ.

Преобразование называется ограниченным, если существует постоянное число М такое, что \\T[f\\\<M\\f\\ для всех f. Непосредственно из определения линейности заключаем, что если Т—линейное преобразование, то оно переводит любую ограниченную последовательность {/*„}, т. е. такую последовательность, для которой |[ fn || имеют конечную верхнюю грань, в ограниченную же последовательность. Далее из соотношений

II T[f]-T[fn)

|| = || T[f-fn)

|| < Ж || f-fn

||

следует, что равномерно сходящаяся последовательность переводится посредством линейного преобразования Т в равномерно же сходящуюся последовательность и что, кроме того, предельные функции обеих последовательностей также соот­ ветствуют друг другу. Короче говоря, преобразование Т непрерывно. Смысл обозначений сТ, Тх-{-Т2, ТгТ2, Тп достаточно ясен и ни в каких специальных пояснениях не нуждается. Далее совершенно очевидно, что пре­ образования, построенные таким путем из линейных преобразований, т. е. суммы, произведения и степени линейных преобразований, также являются линейными преобразованиями. Тождественное преобразование условимся обозначать через Е. Посредством Е каждая функция переводится сама в себя. Мы будем заниматься вопросом об обращении преобразования вида Б = Е— А, где Е является тождественным преоб­ разованием, в то время как А является преобразованием специального вида, а именно вполне непрерывным преобразованием. Прежде чем ввести понятие пол­ ной непрерывности, необходимо определить понятие компактной последовательности.

О ЛИНКЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

177

Согласно Фреше (Frechet) последовательность {fn } называется компактной, если любая ее бесконечная часть содержит равномерно сходящуюся подпоследо­ вательность. В частности любая равномерно сходящаяся последовательность компактна; однако обратное утверждение неверно, так как, например, соединяя в одну две равномерно сходящиеся последовательности с разными предельными функциями, мы получим компактную последовательность. Необходимое и достаточное условие компактности было уже давно сформу­ лировано Арцела (Arzela) r ). Мы не будем пока пользоваться этим условием, удовольствуясь на первых порах указанием признака, невыполнение которого означает, что рассматриваемая последовательность не компактна. Этот признак заключается в том, что если последовательность {fn\ компактна, то нижняя греть расстояний \\fm — fn\\ (m ф №) должна бить равна нулю, так как после­ довательность {fn} содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность. Следующее свойство компактной последовательности, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что всякая компактная последовательность является вместе с тем ограниченной. В самом деле, в противном случае она содержала бы подпоследовательность из членов, нормы которых монотонно стремятся к бесконечности, но тогда все подпоследовательности этой последней, очевидно, тоже обладали бы этим свойством, и, значит, ни одна из них не могла бы равномерно сходиться. Напротив, не всякая ограниченная последовательность компактна: например, последовательность fn(x)=vn в O ^ . r ^ l ограниченна, но не компактна, так как она сама и все ее подпоследовательности сходятся к фуякдни, имеющей разрыв в точке х — 1. Тот факт, что ограниченная последовательность может не быть компактной, служит основанием для выделения специального тина линейных преобразований, называемых вполне непрерывными. Любое линейное преобразование, как было выше указано, переводит огра­ ниченную последовательность в ограниченную, равномерно сходящуюся в равно­ мерно сходящую и, таким образом, компактную — в компактную; мы будем гово­ рить, что линейное преобразование вполне непрерывно, если оно переводит любую ограниченную последовательность в компактную. Приведем простейшие примеры вполне непрерывных линейных преобразо­ ваний: T[f]—f(a); это преобразование переводит каждую функцию f(x) в по­ стоянное; равное f(a); далее, T[f]=f(a)-Jrf(b)x или, более обще,

nn=f(ai)9i || -> || /'* || 2 ), || др» || -> || —/*|| = || ЛИ, и, значит, вследствие того, что |[ /^п) || + || (}п) || = 1, имеем 2 |[ /* || = 1; с друj //Я>1 гой стороны, f*, как предельная функция последовательностей {/v должна принадлежать обоим многообразиям Lx и Х2 и поэтому должна быть тождественным нулем; получается противоречие с только что доказанным равен­ ством 2 || f* || = 1 , J

) Так как L!; конечномерно, то —• можно было бы заменить через 1, однако такое уточнение нам здесь не нужно: лемма 3 нам потребуется лишь позже. 2 ) Справедливость соотношения ;!/(n) |l -> \\ f* || для всякой равномерно сходящейся последовательности f^ -> f* получается проще всего из неравенств || /** [| < 1| f* — f ^гЦ\ -\+ I! t{n) 1!, II f{n) II < !! /"* — f{n) il + li f* !l и предельного соотношения [| f* — f{n) il -*0.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

183

§ 2. Обращение линейных преобразований. Мы здесь будем рассматривать преобразование вида В = Е— А, где Е— тождественное, а А— вполне непрерывное линейное преобразование нашего функционального пространства. Однородное функциональное уравнение В [