Математический анализ: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «У...

Author: Ананьев Б.И. | Густомесов В.А. | Жаворонков В.Д. | Филиппова Т.Ф. | Фомина Н.Г.

60 downloads 176 Views 285KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра математического анализа

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине

«Математический анализ» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.02 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Очная форма Курс - 1, 2, 3

обучения

Заочная форма Курс - 1, 2, 3

обучения

Семестр – 1, 2, 3, 4, 5

Семестр – 1, 2, 3, 4, 5, 6

Объем в часах всего – 684

Объем в часах всего – 684

в т.ч.: лекции – 172

в т.ч.: лекции – 60

практические занятия – 170

практические занятия – 40

самостоятельная работа – 342

самостоятельная работа - 584

Экзамен – 1, 2, 3, 4, 5 семестр

Экзамен – 1, 3, 4, 5, 7 семестр Зачет – 1, 3, 4, 5, 6 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математический анализ» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007. – 25 с.

Составители: Ананьев Б.И., д. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры математического анализа УрГПУ Густомесов В.А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры математического анализа УрГПУ Жаворонков В.Д., к. ф.-м. н., доцент, проф. кафедры математического анализа УрГПУ Филиппова Т.Ф., д. ф.-м. н., проф., зав. кафедрой математического анализа УрГПУ Фомина Н.Г., ст. преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ Протокол от 14.11.2005 № 3. И.о. зав. кафедрой В.П. Першиков Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ присвоен рег. № от . Начальник отдела

Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Программа базового курса математического анализа основывается на государственном стандарте подготовки специалистов по специальности «050201 – Математика». Цель преподавания курса математического анализа заключается: 1. В систематическом формировании фундаментальных знаний в следующих областях: - множества, отображения, функции и операции предельного перехода; - понятия непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости; - многомерные пространства и функции нескольких переменных; - числовые и функциональные ряды; - методы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных; 2. В раскрытии прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций. Данный курс является одним из основополагающих в системе математического образования. Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов путем геометрических и физических интерпретаций, а также построением аналитических моделей практических задач. Он включает в себя строгое изложение всего материала раздела "Алгебра и начала анализа" программы основной общеобразовательной школы. Сюда включены также фрагменты, непосредственно примыкающие к этому разделу и расширяющие кругозор будущего учителя математики – введение в теорию рядов (включая степенные ряды), простейшие обыкновенные дифференциальные уравнения. Курс базируется на общематематическом материале (элементы математической логики и теории множеств, общие понятия функции, числовой функции, аксиоматика поля R с аксиомой о разделяющем числе). В первом семестре рассматриваются две основные темы: «Предел» и «Непрерывность». Им предшествует небольшое введение в теорию множеств, где рассматриваются понятия ограниченного множества, точных граней множества и их свойства. Дается обзор основных свойств действительных чисел в свете введенных понятий из теории множеств. Рассматривается понятие функции, изучаются основные свойства функций и операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Теория предела строится на двух эквивалентных определениях предела по Гейне и Коши. Тема непрерывность функции предполагает изучение локальных свойств непрерывной функции, а затем свойства непрерывной функции на отрезке. Завершает тему обзор теории основных элементарных функций. В конце семестра рассматривается понятие “сравнение 3

функций”, понятие эквивалентных функций. Введение этих понятий связывает понятие предела и изучаемое во втором семестре понятие дифференцируемой функции. Во втором семестре изучается тема "Производная функции и ее приложения". Здесь вводится понятие производной и доказываются ее свойства. Рассматриваются свойства дифференцируемой функции (локальные и глобальные). Завершает теоретическое построение этого раздела формула Тейлора. Большое внимание в этом разделе уделяется приложениям: исследованию функции, построению графиков, вычислению предела и построению простейших моделей на основе производной и формулы Тейлора. В третьем семестре изучается тема "Первообразная, интеграл Римана и его приложения". Здесь рассматриваются понятия первообразной, неопределенного и определенного интеграла, изучаются условия интегрируемости функций и основные методы интегрирования. Обосновывается возможность применения интеграла Римана для вычисления площадей, объемов и длин дуг. Большое внимание в этом разделе уделяется приложениям. Решаются задачи с физическим содержанием. В четвертом семестре рассматривается понятие числового ряда. Изучаются вопросы сходимости числовых рядов и доказываются основные признаки сходимости. Вводятся понятия функциональных последовательностей и рядов и исследуются свойства их равномерной сходимости. Введенные понятия конкретизируются на примере степенного ряда, в том числе, исследуются вопросы, связанные с областью сходимости степенного ряда и возможностью разложения основных элементарных функций в ряды Тейлора. В заключение рассмотрено понятие тригонометрического ряда Фурье. В пятом семестре рассматриваются вопросы дифференциального и интегрального исчисления для функций нескольких переменных. Изучаются понятия предела и непрерывности функций многих переменных, вводятся определения частных производных и рассматривается понятие дифференцируемой функции нескольких переменных. Приводятся приложения дифференциального исчисления к решению задач на экстремум функции нескольких переменных. Вторая часть семестра посвящена изложению теории интегрирования для функции нескольких переменных (понятиям двойного, тройного и криволинейного интеграла) и их применению к вычислениям геометрических и физических величин. По учебным планам университета на изучение базового курса математического анализа отводится 342 часа аудиторных занятий. Предусматривается также проведение контрольных работ (2 аудиторные контрольные работы в каждом семестре), коллоквиумов (1-4 семестры), зачетов и экзаменов в соответ4

ствии с действующими на данный момент рабочими учебными планами и программами, а также графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий (5 комплектов домашних заданий; в течение каждого семестра - по одному комплексному заданию, затрагивающему все наиболее важные вопросы программы).

2. Учебно-тематическое планирование 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения 1 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

1.

Действительные числа и их свойства Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция Последовательности. Пределы последовательностей Предел функции. Свойства пределов Равномерная непрерывность функции на множестве Свойства непрерывных функций Элементарные функции Вычисление пределов функций Итого:

16

8

4

4

8

8

4

2

2

4

32

16

8

8

16

20

10

6

4

10

8

4

2

2

4

16 24 16 140

8 12 8 70

4 6 4 36

4 6 4 34

8 12 8 70

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

5

Аудиторные занятия ВсеЛекПракго ции тические

Самостоятельная работа

2 семестр № п/п

9.



Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций Итого:

132

132

Аудиторные занятия Всего ЛекПракции тические

66

66


34

32

66

34

32

66




Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования 11. Мера и измеримость по Жордану Определенный интеграл. Формула 12. Ньютона-Лейбница Понятие квадрируемой фигуры, 13. кубируемого тела, спрямляемой кривой. Несобственные интегралы Итого: 10.

34 22 36


20 8 18

Самостоя тельная работа

10

10

14

4

4

14

10

8

18

12

12

24

36

34

70

24 48 140

70




14. Числовые ряды и их свойства Условия и признаки сходимости 15. числовых рядов Функциональные последователь16. ности и ряды, виды и условия их сходимости Степенные ряды и ряды Тейлора. 17. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций

6

16 32


8 16


4

4

8

8

8

16

8

6

14

8

8

16

14 28 16 32

18.

Тригонометрические ряды и ряды Фурье Итого:

24 132

12 66

6

6

12

34

32

66


19.

20. 21. 22. 23. 24.



Введение в теорию функций многих переменных. Множества в многомерном пространстве и их свойства Функции многих переменных (ФМП) и их свойства Предел и непрерывность ФМП Дифференциальное исчисление ФМП и его приложения Двойные интегралы, их свойства и приложения Криволинейные интегралы, их свойства и приложения Итого:

16

8 24 28 32 32 140


8

4 12 14 16 16 70


4

4

8

2

2

4

6

6

12

8

6

14

8

8

16

8

8

16

36

34

70

Учебно-тематический план заочной формы обучения 1 семестр № п/п



1.

Действительные числа и их свойства Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция Последовательности. Пределы последовательностей Предел функции. Свойства пределов Итого:

28

4

2

2

24

16

4

2

2

12

40

6

4

2

34

36

6

4

2

30

120

20

12

8

100

2. 3. 4.

7




5. 6. 7. 8.




Равномерная непрерывность функции на множестве Свойства непрерывных функций Элементарные функции Вычисление пределов функций Итого:

18

4

32 28 34 112

6 6 4 20


2

2

14

4 4 2 12

2 2 2 8

26 22 30 92


9.



Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций Итого:



20 112

112

20

12

8

92

12

8

92




Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования 11. Мера и измеримость по Жордану Определенный интеграл. Формула 12. Ньютона-Лейбница Понятие квадрируемой фигуры, 13. кубируемого тела, спрямляемой кривой. Несобственные интегралы Итого: 10.

20 38 36


4 6 4


2

2

16

4

2

32

2

2

32

4

2

20

12

8

100

6 26 120

20




14. Числовые ряды и их свойства

15 8


1

1


14

Условия и признаки сходимости числовых рядов Функциональные последователь16. ности и ряды, виды и условия их сходимости Степенные ряды и ряды Тейлора. 17. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций Тригонометрические ряды и ряды 18. Фурье Итого: 15.

21

3

2

1

18

1

1

18

1

1

20

1

1

20

6

4

90

2 20 2 22 22 100

2 10


19.

20. 21. 22. 23. 24.



Введение в теорию функций многих переменных. Множества в многомерном пространстве и их свойства Функции многих переменных (ФМП) и их свойства Предел и непрерывность ФМП Дифференциальное исчисление ФМП и его приложения Двойные интегралы, их свойства и приложения Криволинейные интегралы, их свойства и приложения Итого:

15

12 10 27 28 28 120


1

2 2 1 2 2 10

1


14

1

1

10

1

1

8

1

26

1

1

26

1

1

26

6

4

110

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Действительные числа и их свойства Аксиоматика действительного числа. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств. 2. Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции. Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции. 9

3. Последовательности. Пределы последовательностей Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Число e . Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши. 4. Предел функции. Свойства пределов Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность. Первый замечательный предел. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность функции, имеющей конечный предел. Знак функции в окрестности, ограниченность функции 1/g(x). Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. 5. Равномерная непрерывность функции на множестве Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке. 6. Свойства непрерывных функций Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ограниченность непрерывной функции. Достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции. 7. Элементарные функции Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Степенная функция с рациональным показателем. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические функции и обратные к ним. 8. Вычисление пределов функций Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Замена функций эквивалентными им функциями при вычислении пределов. 9. Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные. Дифференцируемые функции и их свойства. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Диффе10

ренцирование параметрически заданных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования функции и построение графика функции. Понятие математической модели. 10. Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования Определение первообразной, первообразная линейной комбинации, свойства первообразной. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. 11. Мера и измеримость по Жордану Мера Жордана на плоскости. Ее свойства: аддитивность, монотонность, регулярность, инвариантность относительно движений. Критерии измеримости по Жордану. Измеримость плоских фигур. 12. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница Определение интеграла Римана. Необходимое условие существования интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл интеграла Римана. Равномерная непрерывность функции. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов с помощью подстановки и по частям. 13. Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой. Несобственные интегралы Вычисление площади плоской фигуры в декартовой, полярной системах координат; площади фигуры, заданной параметрически. Нахождение массы и длины плоской кривой. Нахождение объема тела вращения. Вычисление работы силы. Несобственные интегралы. 14. Числовые ряды и их свойства Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд. Остаток ряда. Теорема об остатках. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. 15. Условия и признаки сходимости числовых рядов Теоремы сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости положительного ряда. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Дирихле. Умножение рядов. 11

16. Функциональные последовательности и ряды, виды и условия их сходимости Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. 17. Степенные ряды и ряды Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. 18. Тригонометрические ряды и ряды Фурье Тригонометрический ряд. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций. Теорема о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде. Определение тригонометрического ряда Фурье. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле. Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании ряда Фурье. Разложение функций в ряд Фурье. 19. Введение в теорию функций многих переменных. Множества в многомерном пространстве и их свойства Метрика и норма в Rn. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Компактность и связность множеств в Rn. 20. Функции многих переменных (ФМП) и их свойства Функции многих переменных (ФМП), их линии (поверхности) уровня, графики. 21. Предел и непрерывность ФМП Предел ФМП в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне. Непрерывность ФМП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса. 22. Дифференциальное исчисление ФМП и его приложения Дифференцируемость и дифференциал ФМП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению и градиент, геометрический смысл градиента. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Глобальный экстремум. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. Неявные функции. Условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявных функций. 23. Двойные интегралы, их свойства и приложения Мера Жордана плоской области и ее свойства, измеримость по Жордану. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла 12

Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам. Замена переменных под знаком двойного интеграла. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла. 24. Криволинейные интегралы, их свойства и приложения Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла первого рода. Определение криволинейного интеграла второго рода; его свойства; вычисление. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения криволинейных интегралов.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. Метод математической индукции. 2. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем. 3. Построение графиков функций методом преобразований графиков элементарных функций (растяжение, сдвиг, параллельный перенос, операции взятия модуля). 4. Прикладные задачи, приводящие к использованию понятия производной. 5. Исследование функций, заданных параметрически. Методы построения графиков. 6. Мера Жордана на плоскости. Свойства измеримых фигур. 7. Интегрирование иррациональных функций. 8. Специальные методы интегрирования тригонометрических функций. 9. Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности функции и его свойства. 10. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. 11. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы. 12. Понятия внутренней, предельной, граничной точки множества. Открытые и замкнутые множества, компактность и связность множеств в Rn. 13. Метрика и норма в Rn. Сравнение норм. 14. Методы построения графиков функций двух переменных. 15. Равномерная непрерывность функции многих переменных на множестве. Модуль непрерывности. 16. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. 17. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам. 18. Приложения двойного и тройного интеграла в геометрии и механике. 19. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. 13

20. Приложения криволинейных интегралов. 4.2 Темы контрольных работ 1. Пределы числовых последовательностей. 2. Вычисление пределов функций, свойства непрерывных функций. 3. Техника дифференцирования. 4. Исследование функций на экстремум. Построение графиков функций на основе дифференциального исчисления. 5. Методы вычисления неопределенных интегралов. 6. Определенный интеграл (методы вычисления, приложения). 7. Исследование сходимости числовых рядов. 8. Степенные ряды и их свойства. Функциональные ряды. 9. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экстремумы. 10. Методы вычисления двойных интегралов и приложения. Криволинейные интегралы. 4.3.Примерные темы курсовых работ 1. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности Кантора. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике. 2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности Вейерштрасса. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике. 3. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности в виде существования "разделяющего" числа. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике. 4. Верхний и нижний пределы последовательности. 5. Рекуррентные последовательности и их пределы. 6. Анализ методики изучения тригонометрических и обратных тригонометрических функций, тождеств, уравнений и неравенств в школьном курсе. 7. Выпуклые функции и некоторые их применения при доказательстве некоторых классических неравенств. 8. Гиперболические функции и их свойства. 9. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Анализ темы в школьном курсе. 10. Построение кривых, заданных в полярных координатах. 11. Построение кривых, заданных параметрически. 12. Предел функции в средней школе. 13. Понятие "непрерывность функции" в средней школе. 14. Классические неравенства в задачах на экстремум. 15. Контрпримеры в математическом анализе. 16. Интерполяционные многочлены и их применение. 17. Квадратурные формулы. 14

18. Мера множества по Жордану. Значение меры Жордана в школьном курсе математики. 19. Исследование свойств обратных функций в зависимости от свойств прямых функций (монотонности, ограниченности, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости). Изучение обратных функций в средней школе. 20. Применение многочленов Бернштейна для разложения непрерывной функции в ряд многочленов. 21. Несобственные интегралы на ограниченном промежутке. 22. Несобственные интегралы на неограниченном промежутке. 23. Определенный интеграл в средней школе. 24. Приближение непрерывных функций тригонометрическими полиномами. 25. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов. 26. Свойства определенного интеграла. Приложения интеграла в механике и физике. 27. Формула Тейлора с дополнительным членом в различных формах (Пеано, Лагранжа и др.). Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях. 28. Функции ограниченной вариации. 29. Экстремальные задачи в школьном курсе математики. 30. Разработка теста для контроля по теме “Числовые ряды”. 31. Декарт: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки. 32. Ньютон: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки. 33. Лейбниц: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки. 34. Коши: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки. 35. Вейерштрасс: его жизнь, деятельность, математические работы, вклад в развитие науки. 36. Интеграл Римана - Стильтьеса, его свойства и приложения. 37. Интегралы, зависящие от параметра. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению некоторых несобственных интегралов. 38. Задачи линейного программирования и симплекс-метод. Задача о рационе. 39. Методы решения задач на условный экстремум для функций одной и нескольких переменных. 40. Экстремум квадратичных функций на полиэдральных множествах. 41. Метод множителей Лагранжа. 42. Теоремы отделимости и опорные функции множеств. 43. Элементы теории матричных игр. 44. Аддитивные функции промежутка и теория интегрирования. 45. Бета и Гамма функции (эйлеровы интегралы), формула Стирлинга, приложения. 46. Признаки сходимости положительных рядов. (Даламбера, Коши, Раабе, Куммера и др.). 15

47. Принцип сжатых отображений и его применение в математическом анализе и алгебре. 48. Пространства Банаха. 49. Свойства отображений метрических пространств, непрерывность на компактных множествах. 50. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. 51. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах. 4.1. Вопросы для экзамена Семестр 1 1. Аксиоматика множества действительных чисел. Модуль действительного числа, его свойства. 2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств. 3. Свойства точных граней числовых множеств. Теорема о характеризации точных граней. 4. Понятие функции (отображения). Основные свойства функций (понятия сюръекции, инъекции, биекции, сложной и обратной функции), примеры. 5. Числовые функции. Свойства числовых функций: ограниченность, монотонность, четность и нечетность. График функции и геометрическая иллюстрация основных свойств. График обратной функции. 6. Периодические функции. Теоремы о свойствах периодов. Основной период. Примеры. 7. Построение графиков числовых функций методом преобразований. 8. Понятие числовой последовательности. Определение предела последовательности. Единственность предела последовательности. 9. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами. Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. 10. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их свойства. 11. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. 12. Теоремы о пределах монотонных последовательностей. 13. Определение числа е (теоремы о свойствах соответствующей последовательности). 14. Теорема Кантора о вложенных отрезках. 15. Условие Коши для последовательностей и критерий Коши сходимости числовой последовательности. 16. Понятие подпоследовательности, верхний и нижний пределы последовательности. Теорема Вейерштрасса. 17. Определение предела функции (по Коши). Единственность предела. Геометрический смысл предела. Случаи конечных и бесконечных пределов в конечной точке и в бесконечности. 18. Определения предела функции по Гейне, теорема об эквивалентности определений по Гейне и по Коши. 16

19. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел. 20. Свойства функций, имеющих пределы, и свойства пределов, связанные с неравенствами. 21. Теорема о замене переменной при вычислении предела. 22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема о их основных свойствах. 23. Теорема об арифметических свойствах пределов числовых функций. 24. Теорема о пределах монотонных функций. 25. Понятие односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существование предела функции. 26. Условие Коши для числовых функций. Критерий Коши существования предела. 27. Определение непрерывности функции в точке, геометрический смысл, примеры. Разрывные функции, классификация точек разрыва. 28. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность сложной функции. 29. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке. 30. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней функции, непрерывной на отрезке. 31. Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Следствия теоремы Коши. 32. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции. 33. Непрерывность элементарных функций (многочлены и рациональные функции, степенная функция с рациональным показателем). 34. Непрерывность элементарных функций (тригонометрические функции и обратные к ним). 35. Определение степени с произвольным вещественным показателем. Показательная функция, ее непрерывность. 36. Логарифмическая функция, непрерывность. Гиперболические функции. 37. Первый замечательный предел. 38. Второй замечательный предел и его следствия. 39. Сравнение функций, эквивалентные функции. Использование эквивалентных функций при вычислении пределов (примеры). Семестр 2 1. Определение производной. Таблица производных (вывод формул производных элементарных функций, исходя из определения производной). 2. Геометрический, физический, экономический смысл производной. 3. Односторонние и бесконечные производные. 4. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. 5. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. 6. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Таблица производных. 7. Дифференцирование обратной функции. 17

8. Дифференцирование сложной функции. 9. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. 10. Инвариантность формы I дифференциала. 11. Дифференцирование параметрически заданных функций (первая производная). 12. Производные и дифференциалы высших порядков. 13. Дифференцирование параметрически заданных функций (производные высших порядков). 14. Формула Лейбница (для производных и дифференциалов). 15. Понятия глобального и локального экстремума. Теорема Ферма. 16. Теорема Ролля. 17. Теорема Лагранжа. 18. Теорема Коши. 19. Правило Лопиталя. 20. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано). 21. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа). 22. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие монотонности. 23. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (в терминах первой производной). 24. Достаточное условие экстремума (в терминах второй производной). 25. Понятия выпуклости и вогнутости функции. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). 26. Достаточное условие выпуклости (вогнутости). 27. Точки перегиба (определение, теоремы о точках перегиба). 28. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Семестр 3 1. Определение первообразной, свойства первообразной. 2. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. 3. Интегрирование по частям. 4. Интегрирование рациональной функции. Простейшие рациональные функции и их интегралы. 5. Интегрирование рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов. 6. Интегрирование рациональной функции. Метод Остроградского. 7. Интегрирование тригонометрических функций. Основные подстановки. Универсальная тригонометрическая подстановка. 8. Интегрирование иррациональных функций (рациональные выражения, содержащие корни из линейной функции). 9. Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера. 10. Интегрирование гиперболических функций. 11. Квадрильяж плоских фигур. Внешняя и внутренняя мера Жордана, их свойства. 12. Измеримость плоских фигур по Жордану. 18

13. Понятие границы. Мера границы плоской фигуры. Критерий измеримости, связанный с понятием границы плоской фигуры. 14. Определение интеграла Римана. Геометрический смысл интеграла, примеры. 15. Необходимое условие существования определенного интеграла. 16. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Критерий интегрируемости. 17. Связь понятий интеграла Римана и меры Жордана. 18. Равномерная непрерывность функции (определение, теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке). 19. Классы интегрируемых функций (непрерывные, монотонные функции). 20. Свойства интеграла Римана. 21. Интегрируемость кусочно-непрерывной функции. 22. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом. 23. Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. 24. Формула Ньютона-Лейбница. Связь понятий определенного и неопределенного интеграла. 25. Теорема о замене переменной в определенном интеграле. 26. Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле. 27. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат. 28. Нахождение объема тела вращения. 29. Понятие спрямляемой кривой и нахождение длины плоской кривой. 30. Вычисление площади боковой поверхности фигуры вращения. 31. Физические приложения определенного интеграла (вычисление пути, массы стержня и работы силы). 32. Методы приближенного вычисления определенного интеграла. 33. Понятие несобственного интеграла. Свойства и методы вычисления. Семестр 4 1. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд. 2. Теорема об остатках числового ряда. Положительные ряды. 3. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда. 4. Теоремы сравнения. 5. Признак Коши сходимости числового ряда. 6. Признак Даламбера сходимости числового ряда. 7. Интегральный признак сходимости положительного ряда. 8. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. 9. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа. 10. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Дирихле. 11. Умножение рядов. Теоремы сходимости. 19

12. Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости. 13. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. 14. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. 15. Степенные ряды. Теорема Абеля. 16. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. 17. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. 18. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. 19. Тригонометрический ряд. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций. 20. Теорема о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде. Определение тригонометрического ряда Фурье. 21. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье. Семестр 5 1. Метрика и норма. Аксиомы метрики и нормы, примеры метрических и нормированных пространств. Метрика и норма в R n. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn. 2. Теорема о покоординатной сходимости в Rn . Теорема Вейерштрасса. 3. Открытые и замкнутые множества. Теорема об открытости (замкнутости) дополнения множества. Понятие граничных точек и границы множества. Свойства границ множеств в Rn. 4. Компактность и связность множеств в Rn. Основные определения и примеры. 5. Линии, поверхности уровня и графики функций многих переменных. Определения и основные приемы построения графиков функции многих переменных. 6. Предел функций многих переменных в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне. 7. Повторные пределы. Теорема о существовании повторных пределов функций многих переменных. 8. Непрерывность функций многих переменных в точке и на множестве. 9. Теорема о сохранении знака непрерывной функции многих переменных в окрестности точки. 10. Теорема о непрерывности сложной функции многих переменных. 11. Теорема о достижимости точных граней функции многих переменных на компакте. Теорема о достижимости промежуточных значений функции многих переменных на связном множестве. 12. Определение равномерной непрерывности функции многих переменных. Теорема Кантора. 20

13. Определение модуля непрерывности и его свойства. Критерий равномерной непрерывности. Понятие диаметра множества. Колебание функции на множестве. 14. Дифференциал функции многих переменных. Эквивалентное условие дифференцируемости функции многих переменных. 15. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции многих переменных. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. 16. Частные производные и частные дифференциалы. Теорема о существовании частных производных дифференцируемой функции. Единственность дифференциала. 17. Достаточные условия дифференцируемости. Непрерывно дифференцируемые функции. 18. Теорема о дифференцируемости сложной функции. 19. Производная по направлению и градиент, геометрический смысл частных производных и градиента. 20. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. 21. Формула Тейлора. 22. Локальные экстремумы функции многих переменных. Необходимые условия существования. 23. Достаточные условия существования экстремумов функции многих переменных. 24. Глобальный экстремум. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. 25. Неявные функции. Условия существования и непрерывности неявных функций. 26. Теорема о дифференцируемости неявных функций. Формула для вычисления производной функции, заданной неявно. 27. Понятие двойного интеграла Римана. Геометрический смысл двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции. 28. Необходимое и достаточное условие существования двойного интеграла (суммы и интегралы Дарбу). Классы интегрируемых функций. 29. Арифметические свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов, связанные с неравенствами. 30. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для прямоугольной области. 31. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для произвольной квадрируемой области. 32. Основные свойства двойного интеграла. 33. Отображения плоских областей. Переход к криволинейным координатам при вычислении площадей плоских фигур. 34. Якобиан и матрица Якоби. Вычисление якобиана при переходе к полярным, сферическим и цилиндрическим координатам. Теорема о замене переменных под знаком двойного интеграла. 21

35. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла. 36. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства и методы вычисления криволинейного интеграла первого рода. 37. Определение криволинейного интеграла второго рода; его свойства. Теорема о существовании криволинейного интеграла второго рода. Методы его вычисления. 38. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода. Понятие ориентированной области. 39. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. 40. Необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 41. Признак точного дифференциала и нахождение «первообразной» для прямоугольной области. Формулировка признака для односвязных областей. 42. Интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина. 43. Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать: основные определения и теоремы курса, предусмотренные программой. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь: 1) применять формулы элементарной математики в объеме программы средней школы при решении задач по курсу математического анализа; 2) находить пределы последовательностей в метрическом пространстве n R; 3) находить пределы функций одной и многих переменных, используя основные свойства пределов, замечательные пределы и правило Лопиталя; 4) находить частные производные и дифференциалы 1-го и 2-го порядков элементарных функций, применять методы дифференциального исчисления при исследовании функций многих переменных на экстремум и при решении задач на максимум и минимум; 5) вычислять определенные, двойные и криволинейные интегралы, применять интегральное исчисление для нахождения площадей, длин кривых, объемов, массы, пути и работы переменной силы; 6) исследовать числовые и функциональные ряды на сходимость, равномерную сходимость, находить область сходимости степенного ряда; 7) находить разложения элементарных функций в ряды Тейлора.

22

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1. Рекомендуемая литература Основная 1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.:Дрофа, 2004. – 640 с. 2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: учеб пособие/ Г.Н. Берман. – СПб.: Лань, 1977. – 448 с. 3. Данилин, А.Р. Введение в математику [Текст]: учеб. пособие/ Урал. гос. пед. ун-т; А.Р. Данилин, Т.Ф. Филиппова, Р.А. Яхин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 128 с. 4. Степенные ряды и дифференциальные уравнения [Текст]: методическая разработка./ Урал. гос. пед. ун-т.; сост. А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 55с. 5. Данилин, А.Р. Математический анализ. Начальный курс [Текст]: учебное пособие/ А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 2003. – 119 с. 6. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа [Текст] Учеб. пособие/ Л.Д. Кудрявцев. – М.: Физматгиз, 2002. – 400 с. 7. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч 1 [Текст]/ Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 288 с. 8. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч 2 [Текст]/ Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 255 с. 9. Теория предела [Текст]: метод разр./ Урал. гос.пед. ун-т; В.А. Густомесов, А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 40 с. 10. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1 [Текст] / Г.М. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 2005. – 448 с. 11. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2 [Текст] / Г.М. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 2005. – 464 с. Дополнительная 1. Интегральное исчисление [Текст]: метод разработка/ Урал. гос. пед. ун-т;. Н.Г. Фомина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 45 с. 2. Контрольная работа по теме «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» [Текст]/ Урал. гос. пед. ун-т; А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ,1997. – 32 с. 3. Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление» [Текст] / Урал. гос. пед. ун-т;. Р.А. Яхин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1994. – 24 с. 4. Методические указания к решению задач и индивидуальные задания по теме «Функции многих переменных» [Текст]: методическая разработка/ 23

Урал. гос. пед. ун-т; сост. Е.С. Адыйуллина, Т.М. Когай. – Екатеринбург: УрГПУ, 2005. – 35 с. 5. Методические указания к решению задач и индивидуальные домашние задания по теме «Ряды» [Текст]/ Урал. гос. пед. ун-т; М.А. Альшанский, А.Р. Данилин, Н.Г. Фомина. – Екатеринбург: УрГПУ, 2000. – 37 с. 6. Степенные ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] /Урал. гос. пед. ун-т;. А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 55 с. 7. Яхин Р.А., Коган Д.А. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах и их приложения. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГПУ, 2000 7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Ананьев Борис Иванович доктор физико-математических наук доцент доцент кафедры математического анализа УрГПУ Густомесов Валерий Алексеевич кандидат физико-математических наук доцент доцент кафедры математического анализа УрГПУ Жаворонков Владимир Дмитриевич кандидат физико-математических наук доцент профессор кафедры математического анализа УрГПУ Филиппова Татьяна Федоровна доктор физико-математических наук профессор заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ Фомина Нина Гервасиевна старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ Раб телефон 371-12-61

24

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Математический анализ» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.02 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,5 Тираж экз. Заказ . Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

25

Математический анализ: Рабочая учебная программа дисциплины

Recommend Documents