Методы современной математической физики

METHODS OF MODERN MATHEMATICAL PHYSICS 1. FUNCTIONAL ANALYSIS

MICHAEL REED

BARRY SIMON

Department of Mathematics Duke University

Departments of Mathematics and Physics Princeton Universttg

ACADEMIC PRESS NEW YORK LONDON лт

М.Рид,Б.Саймон

МЕТОДЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1

функциональный анализ Перевод с английского А. К. ПОГРЕБКОВА и В. Н. СУШКО Под редакцией М. К. ПОЛИВАНОВА С предисловием Н. Н. БОГОЛЮБОВА

Издательство .Мир1 Москва 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию Предисловие Введение Содержание следующих томов

.. • '

I. Предварительные сведения

13

1. Множества и функции 2. Метрические и нормированные линейные пространства Дополнение к § 1.2. Верхний и нижний пределы . 3. Интеграл Лебега 4. Абстрактная теория меры 5. Два приема доказательства сходимости 6. Равностепенная непрерывность Замечания Задачи , II. Гильбертовы пространства

13 16 24 25 32 40 42 45 46 ...... *

1. Геометрия гильбертова пространства 2. Лемма Рисса 3. Ортонормированные базисы 4. Тензорные произведения гильбертовых пространств 5. Эргоднческая теория. Введение Замечания Задачи III. Банаховы пространства

5 7 9 12

.. ..

1. Определения' и примеры 2. Сопряженные и вторые сопряженные пространства 3. Теорема Хана—Банаха 4. Операции над банаховыми пространствами 5. Теорема Бэра'о категории и ее следствия Замечания Задачи -

50 50 55 58 64 69 76 79 83 83 87 91 94 96 101 102

356

Оглавление

IV. Топологические пространства

106

1. Общие понятия . . 2. Направленности н сходимость 3. Компактность Дополнение к § IV.3. Теорема Стоуна — Вейерштрасса 4. Теория меры на компактных пространствах 5. Слабые топологии на банаховых пространствах Дополнение к § IV.5. Слабая и сильная измеримость Замечания Задачи V. Локально выпуклые пространства

106 111 114 120 122 129 133 135 138 .

1. Общие свойства • .. 2. Пространства Фреше .. . 3. Быстро убывающие функции и обобщенные функции умеренного роста Дополнение к § V.3. ^-представление для ЗР и N. Тогда оценка || Тхп — Тхт || а = || Т ( * „ - х т ) || а < | Т || || хп-ха \\ t < г доказывает, что {Тх„\—последовательность Коши в Vt. Так как V2 полно, то" Тхп. сходится к некоторому у 6 V2. Положим Тх = у. Прежде всего нужно доказать, что это определение не зависит от выбора последовательности {хп\, сходящейся к х. Если хп—»-х и х'п—+х, то последовательность jclt х[, х3, х*, ... —>-х, и в силу уже приведенных аргументов Тхх, Txi, . . . —*-у для некоторого у. Но в таком случае lim Тх'п=у= Н т Тхп = у. Более того, можно л-»- QD

л-»»ао

показать, что определенный так оператор Т ограничен, ибо || Тх || а = lim || Тхп || а < (см. задачу 8) л-*ао

^

lim С | | # л | | 1 =

Л-»-оо

=

С\\х\}±.

(см. дополнение к § 1.2)

2. Метрические и нормированные линейные пространства

23

Доказательство линейности и единственности мы оставляем читателю. | С помощью доказанной теоремы можно дать весьма элегантное определение интеграла Римана. Пусть PC [а, Ь] — семейство ограниченных, непрерывных справа (т. е. таких, что lim/(jc) = /(#)), * I у

кусочно-непрерывных функций на [а, Ь], обладающих тем свойством, что lim / (х) существует для всех у и равен / (у) для всех у, х tУ

кроме конечного числа. Наделим PC [а, Ь] нормой sup | / ( * ) | . Пусть х0, ...,хп — разбиение отрезка [а, Ь], * 0 = а, хп = Ь. Пусть Xi(x), i = l , 2, ...,п — 1,—характеристическая функция полуинтервала [*,_!, Х[), а х„ (х) — характеристическая функция отрезка п

ixn-i> хп1- Функцию на [а, Ь] вида 2 sfl(j(x) c вещественными st называют ступенчатой функцией (чтобы понять почему—нарисуйте график). Множество всех ступенчатых функций для всех возможных конечных разбиений является нормированным линейным пространством с нормой ="l

'iXC (х)

Ц»

=

S UP 2J SiXi (x) xela, &] *"^

= tel

m

a

x

\si • n

Обозначим это пространство через S[a, b]. Хорошее упражнение (задача 10)—доказать, что S[a, b] плотно в PC [а, 6]. Для любой ступенчатой функции 2

s

i%i

B

согласии с интуитивным понима-

нием интеграла § [ 2 «/X* (•*)] 0. Можно найти такое а 6 lim pt (Л), что \Ь—а| 0 множество Ап{а\а>Ь-{-в\ конечно, а А(\\а\а>Ь—е} бесконечно. В случае последовательности {а„\ говорят, что &€limpt{a n }, если для всех N и всех е существует такое п> N, что | b-~-an | < е; в этом случае полагают lim ап =• sup {b | b £ lim pt {а„}}. Наконец, перечислим свойства lim (сформулированные для ограниченных'множеств; полезное упражнение—выяснить, какие из них переносятся на неограниченные множества). Предложение. (a) Йгп (ап + Ьп) < l i m а„ + lim Ьп\ (b) Ша„Ь„ 0 ; (c) Шп(са„) = с\\тап, если с > 0 ; (d) Шп (сап) = с1шр„, если с < 0. 1.3. Интеграл Лебега Выше мы видели, что на С [а, Ь] существуют две вполне естественные метрики. В § 1.5 мы увидим, что С [а, Ь] с метрикой sup [, 6]

является полным метрическим пространством. С другой рассмотренной нами метрикой d3 (/, g) = || f—g\\

и

где Ц А|| г = J | h (JC)|dx, а

пространство С [а, Ь] неполно. Чтобы убедиться в этом на примере С[0, 1], рассмотрим функцию fn, изображенную на рис. 1.3.

Р и с . 1.3. График fn.

26

/. Предварительные сведения

Нетрудно понять, что в метрике || • || j такие функции /„ образуют последовательность Коши, которая, однако, не сходится ни к какой функции из С [0, 1]; напротив, в некоем интуитивном смысле она «сходится» к характеристической функции отрезка [1/4, 3/4] (которая, конечно, не лежит в С[0, 1]!). Пространство С [а, Ь] с метрикой || • || t всегда можно пополнить, реализуя элементы пополнения как классы эквивалентных последовательностей Коши непрерывных функций, но эта •реализация отнюдь не отличается прозрачностью! Рассмотренный выше пример наводит на мысль попытаться реализовать элементы пополнения как функции. Если бы это удалось, мы ъ

сумели бы определить интеграл ^\f(x)\dx . а

(просто как dt(/, 0)!)

для любой функции из пополнения. Простейший путь такой реализации—попробовать действовать в обратном порядке. Введем расширенное понятие интеграла на большем, чем С [а, Ь], пространстве—назовем его Ll[a, b]. Затем докажем полноту L1 [а, Ь]. Тогда в соответствии с общей теорией замыкание С в L1 будет полным (причем окажется, что С = L 1 ). Как же можно расширить понятие интеграла Римана? В основе обычного определения риманова интеграла лежит разбиение области определения f на все более. и более мелкие части. Для

ft

a

Р и с . 1.4. Интеграл Римана (слева) и интеграл Лебега.

«скверных» функций этот метод не подходит. Простейшее усовершенствование состоит в делении на все более мелкие части области значений / (рис. 1.4). Такой метод чувствительнее к виду функций и потому в состоянии охватить большее их многообразие. l Итак, мы интересуемся множествами вида f~ [a, Ь] и их размерами. Предположим, что у нас есть некая функция \i, задающая размер множеств и обобщающая функцию \i([a, b]) = b —a.

3. Интеграл Лебега

'27

Мы вскоре вернемся к этой функции и увидим, что не все множества обладают «размером». Поэтому мы ограничим тип функ1 ций /, требуя, чтобы множества f' [a, b] имели «размеры». Глядя на рис. 1.4, для / ^ 0 положим по определению

Тогда 2

(/)>2„(/), так что lim 2 (/) = sup (2 (/)) существует

(он может быть равен оо). По определению мы полагаем )fdx равным этому пределу. Заметим, что для технических целей (т. е. для. доказательства теорем!) принимается другое определение; оно эквивалентно данному, но доказать это нелегко. Однако при неформальных размышлениях лучше всегда иметь в виду определение с помощью Нт2 а »(/). Итак, мы свели исходную задачу к проблеме расширения понятия размера. Прежде всего нужно решить, какие множества должны иметь размер. Почему не все? Существует классический пример (ем. также задачу 13), который показывает, 8что размер не может быть определен для всех множеств в R , если мы хотим, чтобы он был инвариантным относительно вращений и переносов (и не был тривиальным, например нулевым для всех множеств): можно разделить единичный шар на конечное число экзотических кусков, передвинуть эти куски с помощью вращений и переносов и, собрав их заново, получить два шара с единичным радиусом (парадокс Банаха—Тарского). Таким образом, все множества не могут обладать размером, и потому лишь некоторое их семейство J8 будет семейством «измеримых множеств». Какими же свойствами мы хотим наделить S3? Желательно, чтобы и / - 1 [[0, а)], и ^~г[[а, оо)] были измеримы (/^0), следовательно, чтобы 3} обладало свойством: А € S} влечет за собой К \ Л € S . Далее, когда / непрерывна, мы хотим, чтобы /^[(а, Ь)] лежало в &, следовательно, 59 должно содержать открытые множества. Наконец (в согласии с нашим интуитивным пониманием размера), мы хотим, чтобы

если

А„ попарно не пересекаются, т. е. мы хотим, чтобы

ао

U An(t3i,

п=\

если каждое

Ап£3}.

Определение. Борелевы множества прямой R образуют наименьшее семейство множеств из R со следующими свойствами:

28

/.. Предварительные сведения

.

(i) семейство замкнуто относительно дополнений; (Н) семейство замкнуто относительно счетных объединений; (iii) семейство содержит каждый открытый интервал. Наименьшее семейство с такими свойствами существует. В самом деле, если {ЗВЛ}аел—совокупность семейств, обладающих свойствами (i), (ii) и (iii), то этими же свойствами обладает и Л 5?fc. Таким образом, пересечение всех семейств со свойстаеА

вами (i)—(iii) есть наименьшее такое семейство. Теперь определим меру Лебега множеств из 32—борелевых множеств в R. Определение. Пусть 3—семейство всех счетных объединений попарно не пересекающихся открытых интервалов (т. е. в точности семейство всех открытых множеств), и пусть i

»

(допускается бесконечное значение). Для любого £ 6 5 ? положим по определению inf ц ( / ) . / 65 в с/

Это понятие размера имеет четыре основных свойства:

Теорема 1.8. (а) ц(0)

(Ь) Если {Л п }~ = 1 с .S и А„ попарно не пересекаются (Ап Л Ат= при всех тфп), то ц( U Ап ) = 2 V-(А'п). \л=1

/

0

я=1

(c) ц (В) — inf {у. (I) | В е-*-0

е->0

существуют; обозначим их a(jc-f-O) и а(х—0) соответственно.1 Поскольку интервал (а, Ь) не включает точек а и Ь, естественно положить ца ((а, Ь)) = а (Ь—0)—а(а + 0). На основе такого понятия размера интервала можно построить на борелевых множествах в R меру ца, т. е. отображение ц а : 3J—*[0, оо] со свойствами |А а (иЯ/)= 2 M B , - ) , если В1Г\В/ = 0; и ц а ( 0 ) = О . Попостроению эта мера обладает свойством регулярности На (В)-= sup {ц (С) | Сс В, С компактно} = = inf {и (О) | В с О, О открыто}. Кроме того, |* (С) < оо для любого компактного множества С. Мера с этими двумя свойствами регулярности называется борелевой мерой. В частности, ца([а, 6]) = а(Ь•+-0)—а(а^0). Теперь можно построить интеграл /—>-^fdna (часто мы будем также писать \fdxx) со свойствами (а)—(е) теоремы 1.9; 1он называется интегралом Лебега—Стильтьеса. Пространства L ([а, 6], da) и L 1 (R, da) можно построить, как и прежде. Эти пространства классов эквивалентных функций полны в метрике р (/, g) = = ^ |/—g\d\i a , и в них справедливы аналоги теорем о монотонной и мажорированной сходимостях. Непрерывные функции из С\а, 6]. образуют плотное подпространство в L1 ([a, b], da); говоря 1 иначе, L ([a, 6], da)—это пополнение С [а, 6] по метрике р а (/, g)= ь == j I /—§\ ^ a > г Д е А1151 определения р а нужно использовать только a

интеграл Римана—Стильтьеса (см. задачу 11). Рассмотрим три примера, иллюстрирующие разнообразие мер Лебега—Стильтьеса. Промер 1. Пусть a—непрерывно дифференцируемая функция. b

•

Тогда }ia ((a, 6))= $ (da/dx)dx, где dx—мера Лебега, так что можно a

ожидать- (и на самом деле это так), что

В итоге такие меры можно по существу описать с помощью меры Лебега. 493

34

/. Предварительные сведения

Пример 2. Предположим, что а(х) — характеристическая функция луча [0, оо). Тогда ц а (я, Ь)=1, если 0£(а, Ь), и = 0 , если 0^(а, Ь). Легко описать меру, которая при этом возникает: (ха(В) = 1, если 0£В, И Ца (В) = 0, если 0 $ В . Мы предлагаем читателю явно построить соответствующий интеграл и убедиться, что Мера da известна под именем меры Дирака (поскольку она в точности 1отвечает б-функции). Рассмотрим L1 (R, da) в этом случае. В & имеем р (/, g)= \ f (0)—g(0) |, т. е. р (/, g) = 0 тогда и только тогда, когда f(O)=g(O). В итоге мы видим, что классы эквивалентности в V- полностью задаются значением f (0), так что L1 (R, da) представляет собой одномерное векторное пространство! Обратите внимание, насколько эта ситуация отличается от случая L1 (R, dx), где значение «функции» в одной точке не определено (поскольку элементы в L1—это классы эквивалентности). Пример 3. В нашем последнем примере будет использоваться довольно патологическая функция а(х), которую мы сначала построим. Пусть S—следующее подмножество отрезка [0, 1]: т. е. при построении S нужно' на каждом шаге добавлять к S среднюю треть каждой части, не попавшей в S на предыдущем шаге (см. рис. 1.5). Лебегова мера S равна 1/3+2(1/9) + + 4 (1/27) + . . . = 1. Положим С = [0, 1] \ S. Лебегова мера этого ьч-Н

о

) t) С

i

\

) t >С

Р и с . 1.5. Множество Кантора.

') t i l

г

множества равна нулю. Множество С, называемое канторовым, множеством, легко описать, если представить каждое х£[0, 1] троичной дробью. Тогда х£С в том и только том случае, когда его троичное разложение не содержит 1. Канторово множество служит примером несчетного множества меры 0. Чтобы убедиться в этом, отобразим С взаимно однозначно на [0, 1], заменяя все цифры 2 на 1 и истолковывая результат как двоичное разложение числа из [0, 1]. Построим теперь а(х) следующим образом: положим а (х) = 1/2 на (1/3, 2/3); а (х)= 1/4 на (1/9, 2/9); а(х)=3/4 на (7/9, 8/9) и т. д.; см. рис. 1.6. Продолжим а на [0, 1], сделав ее непрерывной. Тогда a—непостоянная непрерывная функция со странным свойством: а' (х) существует п. в. по отношению

4. Абстрактная теория меры

35

к мере Лебега и равна нулю п. в. Теперь мы можем построить меру |х о . Поскольку а непрерывна, |х о ({р})= 0 для любого одноточечного множества {р\. Тем не менее | i o сосредоточена на множестве С в том смысле, что |Ха([0, 1] \ Q = | i a ( S ) = 0. С другой стороны, лебегова мера С равна нулю. Таким образом, |х о и мера Лебега «проживают» на совершенно разных множествах. 1т 3. 4

о

i

»

Р и с . 1.6. Функция Кантора.

Рассмотренные три примера моделируют (в смысле, который мы сейчас уточним) основные типы наиболее общих мер Лебега — Стильтьеса. Предположим, что |х—мера Бореля на R. Прежде всего пусть Р = {x\\i({x})=£0}, т . е . Р—множество чистых точек меры |х. Поскольку |х—борелева мера [|х (С) < оо для любого компактного С], Р—счетное множество. Положим по определению

= 2 Тогда |Хрр—мера и разность |x c o n t =|x—(х„ р положительна. При этом |x cont обладает свойством Рс»лЛ{Р\)'=и Д л я в с е х Р> т - е - н е имеет чистых точек, а |х рр имеет только чистые точки в том смысле, что |хрр (X) = 2 |хрр ({*})• Определение. Борелева мера ц на R называется непрерывной, если она не имеет чистых точек. Она называется чисто точечной мерой, если р(Х)= 2 и - ( * ) Д л я любого борелева множества X. Таким образом, мы убедились, что справедлива Теорема 1.13. Любую борелёву меру можно единственным образом разложить в сумму ц = |хрр + |x cont , где |x c o n t —непрерывная, a |Xpp—чисто точечная меры. 2*

36

/. Предварительные сведения

В итоге мы обобщили пример 2, введя в рассмотрение суммы мер Дирака. Существуют ли обобщения примеров 1 и 3? Определение. Мы говорим, что ц абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, если существует функция /, локально ъ принадлежащая L 1 (т. е. \ \ f (x) | dx < оо для любого конечного а

интервала (а, Ь)), такая, что

для любой борелевой функции g из L 1 (R, d\i). В таком случае мы пишем d\i = f dx. Это определение обобщает пример 1; несколько ниже мы дадим другое (но эквивалентное!) определение абсолютной непрерывности. Определение. Мы говорим, что ц сингулярна относительно меры Лебега, тогда и только тогда, когда J A ( S ) = O ДЛЯ некоторого множества S, такого, что R \ S имеет нулевую лебегову меру. В число фундаментальных результатов входит следующая Теорема 1.14 (теорема Лебега о разложении). Пусть \а—борелева мера. Тогда (А единственным образом представима в виде = i г е М- =f ac +Using» Д мера (АаС абсолютно непрерывна относительно лебеговой меры, a jAslng сингулярна относительно лебеговой меры. Итак, теоремы 1.13 и I.I4 говорят нам, что любая мера (х на R обладает каноническим разложением (А = (Арр + (Аас + Using» где цт чисто точечна и сингулярна относительно меры Лебега, (Аас абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, a fxsing—непрерывна и сингулярна относительно меры Лебега. К такому же разложению приходят в квантовой механике, где любое состояние представляет собой сумму связанных состояний, состояний рассеяния и состояний, не имеющих физической интерпретации (в дальнейшем ценой значительных усилий мы продемонстрируем, что состояния лоследнего типа в квантовой механике не встречаются, т. е. что для некоторых определенных см гл мер Using = ° ( - - XIII)). Это завершает наше изучение мер на R. Следующий уровень обобщения включает в себя меры на множествах с некоторой заданной на них топологической структурой; мы вернемся к изучению такого промежуточного случая в § IV.4. А сейчас обсудим наиболее общий подход, позволяющий иметь дело с произвольными множествами. Прежде всего нам понадобится обобщение борелевых множеств.

37

4. Абстрактная теория меры

Определение. Непустое семейство 9L подмножеств некоторого множества М называется а-кольцом, если 00

(a) Л,- € 54, / = 1 , 2 , . . . , влечет за собой U At €54; (b) если А, В€58, то А\В£91. Если М g 5i, мы говорим, что 9L есть а-поле. Определение меры очевидно! Определение. Мера на множестве М с а-кольцом 5? есть отображение ц: 54—«-[О, оо] со свойствами: (а) ц ( 0 ) = О (Ь) ц( U v4f) = 2 И (Лг), если Л,- П А} = 0 для всех 1ф\. Мы часто будем говорить о пространстве с мерой без явного упоминания 91, но это о-кольцо—важнейший элемент определения. Иногда мы будем писать . Для некоторых патологически «больших» пространств хотелось бы использовать понятие а-кольца, а не о-поля, но для простоты мы будем рассматривать меры на о-полях и будем предполагать, что все пространство не слишком велико в смысле'следующего определения: Определение. Мера \и на а-поле ¥ называется а-конечной тогда 00

и только тогда, когда М = и Ait

где у. (А{) < оо при всех i.

Мы предполагаем, что все наши меры а-конечны. Определение. Пусть М, N—множества .с а-полями Э1 и $F. Отображение Т: М—>-N называется измеримым (относительно 91 и W), если ( V X € f ) T~l[А]€51. Отображение /: М—>-R называется измеримым, если оно измеримо по отношению к 91 и борелевым множествам на R. Имея меру {х на пространстве с мерой М, можно определить ^ fd.fi для любой положительной вещественнозначной измеримой функции на М и образовать S?1 (M, d/i)—множество интегрируе1 мых функций и L (A1, dft)—множество классов эквивалентности 1 равных п. в. по мере ц функций из Л? (М, dp). Так же как в случае =, справедливы следующие важнейшие теоремы: Теорема

1.15 (теорема

о монотонной сходимости). Если

/ € 8 ' 1 ( ^ d ) 0 < / ( ) < / ( ) < . - H / ( x ) = Hm/„(*),то/e? 1 тогда и только тогда, когда lim ||/ n ||i