Изучение дисперсии света: Лабораторная работа

Федеральное агентство по образованию

Лабораторная работа №13

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИЗУЧЕНИЕ ДИСПЕРСИИ СВЕТА

ИЗУЧЕНИЕ ДИСПЕРСИИ СВЕТА Лабораторная работа 13

Цель работы: определить зависимость показателя преломления стекла, из которого сделана призма спектроскопа, от длины световой волны, построить график дисперсионной кривой n = f(λ). Зависимость фазовой скорости V распространения волн в среде от частоты ω или длины λ волны V=f(ω) или V=f(λ) называется дисперсией волн. Фазовая скорость V есть скорость движения поверхности одинаковой фазы волн и может быть найдена для одномерной волны

2π   y = A cos ωt − x = A cos(ωt − kx)  λ 

путем дифференцирования уравнения волновой поверхности ωt − kx = Ф ; Составители: Алсагаров А.А. Алсагаров В.И. Шелкунова З.В.

V=

dx ω λ = = . dt k T

(1)

Для характеристики переноса энергии волн вводится понятие групповой скорости U, которая связана с фазовой скоростью V. Ниже приведен расчет групповой скорости U для двух плоских волн, у которых амплитуды одинаковы, а частоты ω и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

ω=

ω1 + ω 2

;

2 k − k1 ∆k = 2 ; 2

∆ω =

ϖ 2 − ω1 2

;

k=

y = y1 + y2 = A cos(ω1t − k1 x ) + A cos(ω 2t − k 2 x ) =

Улан-Удэ, 2006

= 2 A cos(∆ωt − ∆kx ) ⋅ cos(ωt − kx )

k1 + k 2 ; 2

(2)

Результирующая волна у (2) является плоской, ее амплитуда 2Аcos(∆ωt-∆kx) зависит от координаты х и времени t. Учитывая, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды, можно найти скорость распространения энергии, т.е. групповую скорость U:

dx ∆ω dω = = dk dt ∆k

U=

(3)

нормальной, в противном случае - аномальной. При нормальной дисперсии, как это следует из формулы (4), фазовая скорость V больше групповой U, при аномальной - U больше V. На рис.1 (а,б) показана зависимость n от λ и ω. Участки ав и сd дисперсионной кривой рис.1 (а,б) соответствуют нормальной, участок вс - аномальной дисперсии.

Формулу (3) можно преобразовать, если учесть, что

ω=

2π

λ

V, k=

dω = 2π Тогда получаем формулу:

U=

dω dV =V − λ dk dλ

2π

,

dk = −

2π

λ λ2 λdV − Vdλ

λ2

dλ ,

.

(4)

связывающую групповую скорость с фазовой. Фазовую скорость света в среде характеризуют показатель преломления n, который показывает, во сколько раз фазовая скорость света с в вакууме больше фазовой скорости V в данной среде:

n=

c V

(5)

Поэтому, говоря о дисперсии как о зависимости фазовой скорости V от длины λ (или частоты ω) волны, в равной степени можно говорить о зависимости показателя преломления n от λ или ω. Если показатель преломления n уменьшается с рос-

dn < 0 (фазовая скорость V увеличиdλ dV вается с ростом λ , > 0 ), то такая дисперсия называется dλ том длины волны λ,

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов и спектроскопов, которые разлагают белый свет в спектр. При прохождении через призму красные лучи имеют меньший показатель преломления n, чем фиолетовые лучи (нормальная дисперсия). Вывод формулы призмы: пусть дана трехгранная призма с преломляющим углом α. При симметричном ходе луча (рис.2) угол отклонения δ имеет наименьшее значение, а ϕ=ϕ2=ϕ1, тогда закон преломления можно записать:

n=

sin ϕ sin ψ

(6)

по электромагнитной теории Максвелла выражается формулой: n =

Выразим угол падения ϕ и угол преломления ψ через δ и α. Из рис.2 следует: α=2ψ, δ=(ϕ1-ψ)+(ϕ2-ψ)=2ϕ-α, откуда

ψ=

α

2

,

ϕ=

δ +α 2

(7)

После подстановки ψ и ϕ в (6) получаем формулу призмы:

n=

sin

δ +α

sin

2

α

.

(8)

2

В большинстве случаев призмы делают с α=600, тогда (8) запишется:

n = 2 sin

δ +α 2

- расчетная формула

(9)

Объяснение нормальной и аномальной дисперсии

В вакууме дисперсия света отсутствует, групповая и фазовая скорости совпадают. Дисперсия является результатом взаимодействия света как электромагнитной волны с электронами молекул вещества. Показатель преломления n

εµ = ε , т.е. µ ≅ 1 и на первый взгляд про-

тиворечит данным опыта. Так например, для воды n равно 1,33, в то время как теоретическое значение должно быть 9, т.к. ε=81. Это "противоречие" не связано с принципиальными недостатками теории Максвелла, а явилось следствием пренебрежения зависимости ε, а следовательно, и n от частоты. Величина ε в переменном поле гораздо меньше, чем в стационарном (электростатическом) поле, где она обусловлена ориентационной поляризацией. В переменном электрическом поле молекулы не могут мгновенно изменять свою ориентацию, т.е. ориентационная поляризация практически отсутствует. Решающую роль в этом случае играет электронная поляризация - смещение электронов под действием электромагнитного поля световой волны. Используя известные соотношения из курса электричества, можно записать выражение для n в виде:

1 1 P n = εµ = ε = 1 + ℵ = 1 + ℵ = 1 + ⋅ , 2 2 ε 0E

(10)

где ℵ - диэлектрическая восприимчивость cреды; ε0 - диэлектрическая постоянная; Е - напряженность электрического поля.

P=

∑p=n V

0p =

n 0 ex ,

(11)

Р-вектор электронной поляризации, выраженной через смещение х и концентрацию внешних, оптических электронов. Величину смещения х в (11) найдем из дифференциального уравнения вынужденных колебаний электрона: (12) m& x&+ 2 β ⋅ x&+ ω 02 x = eE 0 cos ωt = eE , где m - масса электрона, β - коэффициент затухания, ω0 собственная частота колебаний электронов. Из уравнения (12) получаем:

b

d

Если вещество характеризуется набором различных собственных частот ωoi , тогда дисперсионная кривая имеет вид:

f

а c

Выполнение работы Приборы и принадлежности: ртутная лампа, гониометр, призма (α = 600).

i e

Устройство гониометра Г5М.

x=

(

eE ω 20 − ω 2

(

m ω 20

−ω

)

2 2

)

. 2

+ 4β ω

(13)

2

Подставляя (13) в (11), а затем в (10), имеем:

n =1+

(

n 0 e 2 ω 20 − ω 2

(

 2 mε 0  ω 20 − ω 2 

)

2

)

2

2

.

(14)

+ 4β ω  

Сделаем анализ формулы (14). Пусть β=0, тогда (14) запишется:

n =1+

n0 e 2

(

2 mε 0 ω 20

−ω

2

)

.

(15)

По мере увеличения частоты световой волны ω до ω0, n увеличивается (нормальная дисперсия, участок на дисперсионной кривой, (аb), рис.1). Вблизи ω=ω0 показатель преломления изменяется от -∞ до +∞, проходя значение n=1 при ω=ω0 (аномальная дисперсия, участок вс рис.1). По мере дальнейшего увеличения ω от ω0 показатель преломления n снова увеличивается (нормальная дисперсия, участок cd дисперсионной кривой).

Гониометр состоит из автоколлиматора 1 (рисунок 1), микроскопа 2, корпуса 3, столика 4 с лимбом и осевой системой. Фокусировка автоколлиматора производится маховичком 5 по шкале 6, на которой имеется индекс «∞» и деления. Винт 7 служит для юстировки визирной оси по вертикали. Окуляры крепятся к автоколлиматору собственными кольцами 8. Лимб гониометра освещается лампой, закрытой колпачком 9. Установка оси лимба в вертикальное положение производится винтами 10 по уровню 11. Поворот лимба относительно столика осуществляется маховичком 12 при завинченном винте 13.

Для правильной установки измеряемой призмы предусмотрен наклон столика в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, осуществляемый винтами 17 и 18. Для изменения высоты столика имеется набор колец 19. Прибор включается в сеть переменного тока выключателем 20 на передней панели прибора. Снятие отсчета.

Поле зрения отсчетного микроскопа приведено на рисунке 4.

Рисунок 1 - Общий вид гониометра Г5М

Вращение лимба со столиком производится грубо от руки и точно микрометренным винтом 14 при завинченном винте 13. Вращение столика при неподвижном лимбе производится грубо от руки при завинченном винте 13 и отпущенном винте 15. Точное вращение осуществляется микрометренным винтом 16 при завинченных винтах 15 и 13.

Рисунок 4 - Поле зрения отсчетного микроскопа

Чтобы снять отсчет по лимбу, необходимо повернуть маховичок оптического микрометра до совмещения верхних и нижних изображений штрихов лимба в левом окне. Число градусов равно видимой ближайшей левой от вертикального индекса цифре. Число десятков минут равно числу интервалов, заключенных между верхним штрихом, который

соответствует отсчитанному числу градусов и нижним оцифрованным штрихом, отличающимся от верхнего на 180°. Число единиц минут отсчитывается по шкале микрометра в правом окне по левому ряду чисел. Число десятков секунд – в том же окне по правому ряду чисел. Число единиц секунд равно числу делений между штрихами, соответствующими отсчету десятков секунд, и неподвижным горизонтальным индексом. Положение, показанное на рисунке 4, соответствует отсчету 0°15'57,5''. 1. Включить лампу. В направлении щели коллиматора установить зрительную трубу и по лимбу определить угол ϕ0. 2. Повернув, направить зрительную трубу на спектр и измерить ϕ1 - угловое положение линий спектра. Данные занести в таблицу 1. 3. Пользуясь таблицей синусов, рассчитать по расчетной формуле (6) показатель преломления n. 4. Построить график зависимости n=f(α). Таблица 1 желтая светло- голу- фиолеЦвета красная зеленая бая товая (начало спектра) 0,7 0,57 0,54 0,45 0,41 λ

ϕ0 ϕ1 δ=ϕ1-ϕ0

n 1,68 1,66 1,64 1,62 0,4 1. 2. 3. 4. 5. 6.

0,5

0,6

0,7

λ, мкм

Контрольные вопросы Какое явление называют дисперсией света? Каков физический смысл дисперсии? Что такое нормальная, аномальная дисперсия? Что такое фазовая скорость? Что такое групповая скорость и как она связана с фазовой? Каков физический смысл показателя преломления? Как зависит показатель преломления от частоты света?

Литература 1. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики, т.3. М., 1971, с.131-140. 2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс физики, т.3. М., 1968. 3. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, т.3. Л., 1962, с.145-163.

α +δ 2 sin

α +δ 2 n График дисперсионной кривой n=f(λ)

В методических указаниях к лабораторной работе для студентов дневного и заочного обучения всех специальностей по «Оптике» приведены основные формулы, графики для определения дисперсии света.

Ключевые слова: дисперсия света, аномальная дисперсия света, фазовая скорость, показатель преломления, гониометр.

Подписано в печать 16.03.2006 г. Формат 60 * 841/16. Усл.п.л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 42. Издательство ВСГТУ, г. Улан-Удэ, ул.Ключевская, 40в.