Лекции по квантовой механике

Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà

Ã.À. Ðîçìàí

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ

Ïñêîâ 2003 1

ÁÁÊ 22.314 Ð649

Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû ôèçèêè è ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì. Êèðîâà

Ðîçìàí Ã.À. Ð649 Ëåêöèè ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. - Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2003. - 156 ñ. Ð649

Àâòîð ïðèçíàòåëåí Ãåíåðàëüíîìó äèðåêòîðó ÎÎÎ «ÏÎ N-P-N», äåïóòàòó Îáëàñòíîãî Ñîáðàíèÿ äåïóòàòîâ Ïñêîâñêîé îáëàñòè Èãîðþ Íèêîëàåâè÷ó Ñàâèöêîìó çà áëàãîòâîðèòåëüíóþ ïîìîùü â èçäàíèè äàííîé êíèãè.

© Ðîçìàí Ã.À., 2003

ISBN 5-87854-214-5

© Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà (ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2003 2

Ïðåäèñëîâèå Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ òðåòüåé ÷àñòüþ êóðñà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, èçó÷àåìîé ñòóäåíòàìè ôèçè÷åñêîé ñïåöèàëüíîñòè. Êàê èçâåñòíî, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñîâìåñòíî ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè è ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêîé îáðàçóþò ôóíäàìåíò ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Èìåííî ïîýòîìó áóäóùèé ó÷èòåëü ôèçèêè îáÿçàí îñíîâàòåëüíî èçó÷èòü ýòó èíòåðåñíóþ è âàæíóþ íàóêó, èìåþùóþ íå òîëüêî ó÷åáíîå, íî è ìèðîâîççðåí÷åñêîå çíà÷åíèå.  äàííîì ó÷åáíîì ïîñîáèè êîíñïåêòèâíî ïðåäñòàâëåíà îñíîâíàÿ ÷àñòü ïðîãðàììíîãî ìàòåðèàëà, îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëåíî ðàñêðûòèþ åãî ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè èçëîæåí â ðàíåå èçäàííîì ïîñîáèè, ïîýòîìó îí íå âêëþ÷åí â äàííîå èçäàíèå. Èñêëþ÷åíû òàêæå íåêîòîðûå âîïðîñû, êîòîðûå ïî íàøåìó ìíåíèþ, ïåðåãðóæåíû ìàòåìàòè÷åñêèìè ðàñ÷åòàìè è èçëîæåíèå êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ëþáîì ó÷åáíèêå ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íå âêëþ÷åíû â ïîñîáèå è çàäà÷è, òàê êàê íàìè âûïóùåí ñïåöèàëüíûé “Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå”. Ïðîô. Ã.À. Ðîçìàí

3

....

4

Ââåäåíèå Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà-ýòî ðàçäåë òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ñâîéñòâà è ñòðîåíèå àòîìîâ è ìîëåêóë, ñâîéñòâà àíñàìáëåé (ñèñòåì) ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñîâðåìåííîé ôèçèêè òâåðäîãî òåëà (çîííîé òåîðèè), íà åå ïîëîæåíèÿõ ïîñòðîåíà êâàíòîâàÿ õèìèÿ è êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è äðóãèå ðàçäåëû òåîðåòè÷åñêîé è ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôèçèêè. Íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ïîíÿòèÿ “êâàíòîâàÿ ôèçèêà” è “êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà”. Ïåðâîå ïîíÿòèå - áîëåå îáùåå è íàðÿäó ñ êâàíòîâîé ìåõàíèêîé âêëþ÷àåò â ñåáÿ êàê óïîìÿíóòûå âûøå ðàçäåëû, òàê è òàêèå íàóêè, êàê êâàíòîâàÿ ýëåêòðîíèêà, òåîðèÿ êâàíòîâàííûõ ïîëåé è ò.ä.  îñíîâå êâàíòîâîé ôèçèêè ëåæèò ôóíäàìåíòàëüíîå ïîëîæåíèå î äèñêðåòíîñòè ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â àòîìàõ è àíñàìáëÿõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.  îñíîâó æå êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïîëîæåíà èäåÿ î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîì äóàëèçìå â ïðîÿâëåíèè ñâîéñòâ ÷àñòèö ìèêðîìèðà, à äèñêðåòíîñòü èçìåíåíèÿ ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóåò êàê ñëåäñòâèå îñíîâíîãî ïîëîæåíèÿ. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñôîðìèðîâàëàñü â ïåðèîä 1925-1927 ã.ã. â ðàáîòàõ âåëèêèõ ôèçèêîâ ÕÕ â. Ý.Øðåäèíãåðà, Â.Ãåéçåíáåðãà, Í.Áîðà, Ì.Áîðíà, Ï.Äèðàêà è äð. Êàê è ëþáàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îïèðàåòñÿ íà ýêñïåðèìåíòàëüíûå ôàêòû. Îíà íå òîëüêî îáúÿñíÿåò òå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, êîòîðûå âûçâàëè íåïðåîäîëèìûå çàòðóäíåíèÿ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, íî è ïðåäñêàçàëà ðÿä íîâûõ ÿâëåíèé, âïîñëåäñòâèè îáíàðóæåííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî. Áóäó÷è áîëåå îáùåé ôèçè÷åñêîé òåîðèåé, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ïîä÷èíÿåòñÿ ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ, âêëþ÷àÿ â ñåáÿ, êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, êëàññè÷åñêóþ ìåõàíèêó.

5

Ãëàâà 1 1. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå îñíîâàíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè 1.1. Ðàçðåøåíèå “óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû”  êîíöå Õ1Õ â. ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî èçëó÷åíèå àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì Âèíà, Ñòåôàíà-Áîëüöìàíà, Êèðõãîôà. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè èçëó÷åíèÿ u îò ÷àñòîòû n, îñíîâàííûé íà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, èçîáðàæåí íà ðèñ.1. Òåîðèÿ ÿâëåíèÿ, îñíîâàííàÿ íà êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ - òåîðèÿ Ðåëåÿ-Äæèíñà - äàâàëà èíóþ çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ íà ãðàôèêå èçîáðàæåíà ïóíêòèðíîé ëèíèåé: ÷åì áîëüøå ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ n, òåì áîëüøå ïëîòíîñòü ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ u. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû, ïëîòíîñòü ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ òàêæå ðàñòåò íåîãðàíè÷åííî. Ýòîò âûâîä êëàññè÷åñêîé òåîðèè è ïîëó÷èë íàçâàíèå “óëüòðàôèîëåòîâàÿ êàòàñòðîôà”. Âûõîä èç êðèçèñíîé ñèòóàöèè, â êîòîðîì îêàçàëàñü êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà, áûë íàéäåí íåìåöêèì ôèçèêîì Ìàêñîì Ïëàíêîì. Íà çàñåäàíèè íåìåöêîãî ôèçè÷åñêîãî îáùåñòâà îí äîëîæèë (ýòî áûëî â ñàìîì êîíöå XIX â., 14 äåêàáðÿ 1900ã), ÷òî íàøåë âûõîä èç “óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû”. Îí ñäåëàë ðåâîëþöèÐèñ. 1. îííîå ïðåäïîëîæåíèå: àòîìû íàãðåòîãî òåëà èçëó÷àþò ýíåðãèþ íå íåïðåðûâíî, êàê âñåãäà ñ÷èòàëîñü â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, à ïîðöèÿìè, äèñêðåòíî. Ïðè÷åì, íàèìåíüøàÿ ïîðöèÿ èçëó÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå èçëó÷åíèÿ: E = hν , ãäå âåëè÷èíà h ÿâëÿëàñü ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, âïîñëåäñòâèè îíà ñòàëà íàçûâàòüñÿ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà è âîøëà â ÷èñëî ìèðîâûõ êîíñòàíò, îïðåäåëÿþùèõ ñóùåñòâîâàíèå íàøåé Âñåëåííîé. 14 äåêàáðÿ 1900 ã. âîøëî â èñòîðèþ ÷åëîâå÷åñòâà êàê äàòà ðîæäåíèÿ êâàíòîâîé ôèçèêè. 6

 1905 ã. À. Ýéíøòåéí îáîáùèë èäåþ Ïëàíêà, èñïîëüçîâàâ (ïðèìåíèâ) åå äëÿ îáúÿñíåíèÿ ÿâëåíèÿ ôîòîýôôåêòà. Îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ íå òîëüêî èçëó÷àåòñÿ è ïîãëîùàåòñÿ ïîðöèÿìè, êâàíòàìè, íî è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âíå àòîìîâ ëîêàëüíûìè îáðàçîâàíèÿìè, êâàíòàìè.  1927 ãîäó àìåðèêàíñêèé ôèçèê Ëüþèñ äàë èìÿ êâàíòó ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, íàçâàâ åãî ôîòîíîì.

1.2. Ìîäåëè ñòðîåíèÿ àòîìà è êâàíòîâàÿ òåîðèÿ Í.Áîðà Ïîñëå îòêðûòèÿ ïåðâîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû-ýëåêòðîíà â 1897 ã., áûëè ïðåäëîæåíû ìîäåëè ñòðîåíèÿ àòîìîâ.  1901 ã. Òîìñîí ïðåäëîæèë òàêóþ ìîäåëü: àòîì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå îáëàêî, âíóòðè êîòîðîãî âêðàïëåíû ýëåêòðîíû. Òàê êàê àòîì â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè íåéòðàëåí, òî ñóììàðíûé çàðÿä ýëåêòðîíîâ äîëæåí ðàâíÿòüñÿ çàðÿäó ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî îáëàêà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî òàêàÿ ìîäåëü ìîãëà îáúÿñíèòü íåêîòîðûå ÿâëåíèÿ, îíà áûëà ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíîé.  êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå Ìàêñâåëëà äîêàçûâàåòñÿ (òåîðåìà Èðíøîó), ÷òî ñòàòè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàðÿäîâ íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â óñòîé÷èâîì ðàâíîâåñèè. À àòîìû ñóùåñòâóþò ìèëëèàðäû ëåò.  ñëåäóþùåì ãîäó äðóãîé ôèçèê ëîðä Êåëüâèí “óñîâåðøåíñòâîâàë” ýòó ìîäåëü: â ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîì îáëàêå ýëåêòðîíû ðàñïîëàãàþòñÿ ïî îáîëî÷êàì è íàõîäÿòñÿ â äâèæåíèè. Îäíàêî, è ýòà ìîäåëü îêàçàëàñü ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíîé: óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ çàðÿä, óòâåðæäàåò êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, äîëæåí èçëó÷àòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ïîòåðÿâ ýíåðãèþ, îñòàíîâèòñÿ. Íåñêîëüêî ëåò àíãëèéñêèé ôèçèê Ý. Ðåçåðôîðä èçó÷àë ðàññåÿíèå ðàäèîàêòèâíûõ èçëó÷åíèé ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òîíêóþ ìåòàëëè÷åñêóþ ôîëüãó. Íàðÿäó ñ ÷àñòèöàìè, ðàññåÿííûìè â íàïðàâëåíèè ïåðâîíà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ, áûëè îáíàðóæåíû ÷àñòèöû, ðàññåÿííûå â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.  1911 ã. Ðåçåðôîðä ïðåäëîæèë íîâóþ ìîäåëü âíóòðåííåãî ñòðîåíèÿ àòîìà, ïîçâîëèâøàÿ åìó îáúÿñíèòü ïàðàäîêñàëüíûå ðåçóëüòàòû åãî îïûòîâ. Ñâîþ ìîäåëü îí íàçâàë “ïëàíåòàðíîé “, òàê êàê îíà íàïîìèíàëà åìó ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó ïëàíåò: â öåíòðå àòîìà íàõîäèòñÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå ÿäðî, â êîòîðîì ïðàêòè÷åñêè ñîñðåäîòî÷åíà âñÿ ìàññà àòîìà, âîêðóã ÿäðà âðàùàþòñÿ (êàê ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà) ýëåêòðîíû (ñåãîäíÿ ìû íàçâàëè áû ýòó ìîäåëü ÿäåðíîé, à íå ïëàíåòàðíîé, òàê êàê ìîäåëü Ðåçåðôîðäà òîëüêî âíåøíå ïîõîæà íà ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó). È ýòà ìîäåëü, ïî òîé æå ïðè÷èíå, ÷òî è ìîäåëü Êåëüâèíà, ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíà. 7

Ìîäåëü Ðåçåðôîðäà áûëà “ñïàñåíà” â 1913 ã. äàòñêèì ôèçèêîì Íèëüñîì Áîðîì áëàãîäàðÿ ââåäåíèþ â êëàññè÷åñêóþ ôèçèêó ïàðàäîêñàëüíûõ äëÿ íåå óòâåðæäåíèé-ïîñòóëàòîâ. Èõ äâà: 1.  àòîìå ñóùåñòâóþò ñòàöèîíàðíûå ýëåêòðîííûå îðáèòû, íàõîäÿñü íà êîòîðûõ ýëåêòðîí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ. 2.Òîëüêî ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ ýëåêòðîí ïîãëîùàåò èëè èçëó÷àåò ýíåðãèþ. Ïåðâîíà÷àëüíî â òåîðèè Áîðà áûëî åùå îäíî óòâåðæäåíèå: ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ èçìåíÿåòñÿ äèñêðåòíî. Íåìåöêèé ôèçèê Çîììåðôåëüä óñëîæíèë ìîäåëü Áîðà, ââåäÿ íàðÿäó ñ êðóãîâûìè îðáèòàìè è ýëëèïòè÷åñêèå îðáèòû. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå ñòàëî îïðåäåëÿòñÿ äâóìÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè: ãëàâíûì (ââåäåííûì åùå Áîðîì) è îðáèòàëüíûì.  òîì æå 1913 ã. íåìåöêèå ôèçèêè Ôðàíê è Ãåðö ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâèëè ñóùåñòâîâàíèå â àòîìàõ äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, òåì ñàìûì ãèïîòåçà Í. Áîðà ïåðåøëà â ðàíã òåîðèè (õîòÿ è íå ïîíÿòíîé ñ ïîçèöèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè).  1921 ã. òåîðèÿ Áîðà ïîëó÷èëà åùå îäíî ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå: â îïûòàõ Øòåðíà è Ãåðëàõà áûëî îáíàðóæåíî íîâîå êâàíòîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â àòîìå (ìû íå ðàññìàòðèâàåì ýòè ôàêòû ïîäðîáíî, òàê êàê ýòî äåëàåòñÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè, íàøà çàäà÷à - íàìåòèòü ýòàïû ðàçâèòèÿ ôèçèêè, ïðèâåäøèå åå ê ñîçäàíèþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè - îñíîâíîìó îáúåêòó äàííîãî êóðñà).

1.3. Âîëíîâûå è êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ñâåòà Ê íà÷àëó Õ1Õ â ñîïåðíè÷åñòâå äâóõ òåîðèé ñâåòà (êîðïóñêóëÿðíîé è âîëíîâîé) ââåðõ îäåðæàëà âîëíîâàÿ òåîðèÿ. Ó ñâåòà áûëè îáíàðóæåíû òàêèå ÿâëåíèÿ, êàê èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ è ïîëÿðèçàöèÿ, êîòîðûå ìîãëè áûòü îáúÿñíåíû íåïðîòèâîðå÷èâî ñ îäíèõ ïîçèöèé òîëüêî èñõîäÿ èç òåîðèè, ÷òî ñâåò-ýòî âîëíîâîé ïðîöåññ, ñâåò èìååò âîëíîâóþ ïðèðîäó. Äæ. Ìàêñâåëë â ñâîåé ýëåêòðîäèíàìèêå ïîêàçàë, ÷òî ñâåò ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè.  1887 ã. Ã. Ãåðö ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèë ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Íî â òîì æå ãîäó òîò æå Ã. Ãåðö îáíàðóæèë íîâîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, íàçâàííîå ôîòîýôôåêòîì: ïîä âîçäåéñòâèåì ñâåòà ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ïðèîáðåòàåò ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä. Ðîññèéñêèé ôèçèê À.Ñòîëåòîâ óñòàíîâèë äâà çàêîíà ýòîãî ÿâëåíèÿ: 8

1. Âåëè÷èíà ôîòîòîêà çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòîâîãî ïîòîêà; 2. Ýíåðãèÿ âûëåòàþùèõ çàðÿäîâ îò èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà íå çàâèñèò. Âòîðîé çàêîí íå ìîã áûòü îáúÿñíåí ñ òî÷êè çðåíèÿ âîëíîâîé òåîðèè. È òîëüêî â 1905 ã. À.Ýéíøòåéí, èñõîäÿ èç êîðïóñêóëÿðíûõ ïðåäñòàâëåíèé î ñâåòå, ñìîã îáúÿñíèòü âñå îñîáåííîñòè îáíàðóæåííîãî Ãåðöåì ÿâëåíèÿ. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â âèäå êîðïóñêóë - êâàíòîâ, Ýéíøòåéí íàïèñàë ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

mv 2 hν = A + , 2

(1)

êîòîðîå âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè ïðè ôîòîýôôåêòå. Ñëåâà ñòîèò âåëè÷èíà ýíåðãèè êâàíòà ñâåòà (ïî ãèïîòåçå Ïëàíêà),ñïðàâà-ïåðâûé ÷ëåí îïðåäåëÿåò ðàáîòó ïî âûðûâàíèþ çàðÿäà(â äàííîì ñëó÷àå ýëåêòðîíà) èç ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè,âòîðîé ÷ëåí îïðåäåëÿåò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà.  1923 ã àìåðèêàíñêèé ôèçèê À. Êîìïòîí ýêñïåðèìåíòàëüíî èçó÷èë ðàññåÿíèå ñâåòà íà íåïîäâèæíûõ ýëåêòðîíàõ.  ðåçóëüòàòå ðàññåÿíèÿ óìåíüøàëàñü ÷àñòîòà ñâåòà. Âîëíîâàÿ òåîðèÿ íå ìîãëà îáúÿñíèòü ýòîò ýôôåêò. Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòîòà ðàññåÿííîãî ñâåòà äîëæíà îñòàòüñÿ ïðåæíåé. Òîëüêî ðàññìàòðèâàÿ ñâåò êàê ïîòîê êîðïóñêóë, êâàíòîâ, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ðåøàÿ çàäà÷ó íà ñòîëêíîâåíèå, ìîæíî áûëî îáúÿñíèòü âñå îñîáåííîñòè ýôôåêòà Êîìïòîíà. Èòàê, ñóùåñòâóþò ÿâëåíèÿ (èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ, ïîëÿðèçàöèÿ), â êîòîðûõ ñâåò ïðîÿâëÿåò âîëíîâûå ñâîéñòâà, â äðóãèõ (ôîòîýôôåêò, êîìïòîí-ýôôåêò) – êîðïóñêóëÿðíûå. Íî î÷åíü âàæíî îòìåòèòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì âîëíîâûå è êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ó ñâåòà ïðîÿâëÿëèñü áû îäíîâðåìåííî.

1.4. Êîðïóñêóëÿðíûå è âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö Ê íà÷àëó 20-õ ãîäîâ ÕÕâ. áûëè èçâåñòíû òðè ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû: ýëåêòðîí, ïðîòîí è ôîòîí.  ÿâëåíèè Êîìïòîíà, â ôîòîýôôåêòå, â îïûòàõ ïî ðàññåÿíèþ àòîìîâ (îïûòû Ðåçåðôîðäà) ïðè íàáëþäåíèè îòêëîíåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ïðîÿâëÿëè êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà. 9

Íî â 1921 ã. äâóìÿ ôèçèêàìè Ðàìçàóýðîì è Òàóíñåíäîì áûë ïîñòâëåí îïûò ïî ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ íà àòîìàõ èíåðòíûõ ãàçîâ. Ðåçóëüòàò îïûòà îêàçàëñÿ íåîæèäàííûì è ïðåäñòàâëåí íà ãðàôèêå (ðèñ.2.), ïî îñÿì êîîðäèíàò îòëîæåíû v-cêîðîñòü ýëåêòðîíîâ, s-ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ. Ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ìàëî èõ âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ öåíòðàìè ðàññåÿíèÿ, ïîýòîìó áîëüøèíñòâî ýëåêòðîíîâ íå èçìåíèò íàïðàâëåíèå ñâîåãî äâèæåíèÿ, ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ áóäåò ìàëûì. Ïðè óìåíüøåíèè ñêîðîñòè ýëåêòðîíîâ ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ äîëæíî âîçðàñòàòü, ýòî ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêèì çàêîíàì ñîóäàðåÐèñ. 2. íèé. Îäíàêî, âîïðåêè îæèäàíèÿì, ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîèñõîäèëî ðåçêîå ïàäåíèå ýôôåêòèâíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ, è òîëüêî çàòåì îíî ñíîâà ñòàëî íàðàñòàòü. Èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèé, ÷òî ýëåêòðîíû ÿâëÿþòñÿ êîðïóñêóëàìè, îïûò Ðàìçàóýðà-Òàóíñåíäà îáúÿñíèòü áûëî íåëüçÿ. ×òîáû îáúÿñíèòü òî íîâîå, ÷òî ôèçèêè óâèäåëè â îïûòàõ ÐàìçàóýðàÒàóíñåíäà, çàáåæèì íåìíîãî âïåðåä.  1923ã. ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ëóè äåÁðîéëü, çàíèìàÿñü èñòîðèåé ôèçèêè, îáðàòèë âíèìàíèå íà äâîéñòâåííîñòü ïðîÿâëåíèÿ ñâîéñòâ ñâåòà: â îäíèõ îïûòàõ ñâåò ïðîÿâëÿåò âîëíîâûå ñâîéñòâà, â äðóãèõ - êîðïóñêóëÿðíûå (ìû îáñóæäàëè ýòî âûøå). Äå–Áðîéëþ ïðèøëà íà óì “áåçóìíàÿ” èäåÿ: à íå îáëàäàþò ëè è ÷àñòèöû âåùåñòâà (ýëåêòðîíû è ïðîòîíû) íå òîëüêî êîðïóñêóëÿðíûìè, íî è âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè? Âîëíîâûå ñâîéñòâà ñâåòà õàðàêòåðèçóþòñÿ äëèíîé âîëíû λ . Ïîýòîìó, ðåøèë äå-Áðîéëü, íóæíî ââåñòè äëèíó âîëíû äëÿ ÷àñòèö, ÷òîáû õàðàêòåðèçîâàòü èõ âîëíîâûå ñâîéñòâà. È îí ïîñòóëèðóåò ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:

λ=

h , mv

(2)

ãäå h-ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, m-ìàññà ÷àñòèöû, λ - õàðàêòåðèñòèêà âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèöû, v-ñêîðîñòü åå äâèæåíèÿ. Îáúÿñíèì îïûò ïî ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ íà àòîìàõ èíåðòíûõ ãàçîâ, îïèðàÿñü íà ãèïîòåçó äå-Áðîéëÿ. Åñëè ýëåêòðîíû îáëàäàþò âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, òî, âñòðå÷àÿ ïðå10

ïÿòñòâèå, ýëåêòðîíû äîëæíû èñïûòûâàòü ÿâëåíèå äèôðàêöèè. Íî ïðè ýòîì î÷åíü âàæíî, ÷òîáû ðàçìåðû ïðåïÿòñòâèÿ áûëè ñðàâíèìû ñ äëèíîé âîëíû. Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ýòî ìîæåò îñóùåñòâèòüñÿ ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ.  ýòîì ñëó÷àå âîëíà îãèáàåò ïðåïÿòñòâèå è çàõîäèò â îáëàñòü “ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè”. Ïðè ýòîì äîëæíî ðåçêî óìåíüøèòñÿ ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ, ÷òî è íàáëþäàëîñü â îïûòå Ðàìçàóýðà-Òàóíñåíäà, à íà ãðàôèêå – ñîîòâåòñòâóåò ðåçêîìó ïàäåíèþ êðèâîé ðàññåÿíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáúÿñíèòü ðàññìàòðèâàåìûé îïûò, íóæíî áûëî âûéòè çà ïðåäåëû êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé è ïðèçíàòü, ÷òî ýëåêòðîíû îáëàäàþò íå òîëüêî êîðïóñêóëÿðíûìè, íî è âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè. Îäíàêî, óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ýëåêòðîíû îáëàäàþò âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè íå ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà-ýòî âîëíà. Íèæå ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà âàæíîì ðàçëè÷èè ýòèõ ïîíÿòèé.

2. Ãèïîòåçà äå-Áðîéëÿ Ñôîðìóëèðóåì åùå ðàç ñóòü ãèïîòåçû äå-Áðîéëÿ è ïðîàíàëèçèðóåì ñëåäñòâèÿ èç íåå. Ïîìèìî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äëèíû âîëíû λ =

h , äå-Áðîéëü ïîñòóëèmv

ðóåò äëÿ ÷àñòèö eùå äâà ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿåòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê ôîðìóëàìè À. Ýéíøòåéíà, èñïîëüçîâàííûõ èì äëÿ îáúÿñíåíèÿ ÿâëåíèÿ ôîòîýôôåêòà: (3) E = hν = hω è P=

hν = hk , c

2π h - âîëíîâîå ÷èñëî, h = . 2π λ Ïåðâîíà÷àëüíî äå-Áðîéëü âêëàäûâàë â ñâîþ ãèïîòåçó ïðÿìîé ñìûñë÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ âîëíîé. Ïîòðåáîâàëîñü çíà÷èòåëüíîå âðåìÿ, ãëóáîêîå îñìûñëåíèå ýòîé ãèïîòåçû êðóïíåéøèìè ôèçèêàìè ÕÕ â. (Áîð, Øðåäèíãåð, Ãåéçåíáåðã, Áîðí, Äèðàê è äð.), ÷òîáû ïðèéòè ê ñîâðåìåííîìó òîëêîâàíèþ ãèïîòåçû äå Áðîéëÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèö äå-Áðîéëü èñïîëüçóåò ôîðìóëó âîëíîâîé ôóíêöèè ïëîñêîé âîëíû: ãäå ω = 2πν - öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, k =

11

Ψ = Ae − i (ωt −kx ) .

(4) Òàê êàê âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé, òî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà îíà èìåòü íå ìîæåò. Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî ïîçíàâàòåëüíîå çíà÷åíèå èìååò íå ñàìà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äå-Áðîéëÿ, à êâàäðàò åå ìîäóëÿ. Ïðèìåíèòåëüíî ê îïèñàíèþ äóàëèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ýòè ôîðìóëû (2), (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè äå-Áðîéëÿ.  ýòèõ ôîðìóëàõ ñâÿçûâàþòñÿ êîðïóñêóëÿðíûå è âîëíîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Äåéñòâèòåëüíî, â ëåâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë ñòîÿò ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, ñïðàâà æå - õàðàêòåðèñòèêà âîëíîâîãî ïðîöåññà - ÷àñòîòà. Çäåñü ïðîñëåæèâàåòñÿ äèàëåêòè÷åñêîå åäèíñòâî êîðïóñêóëÿðíî - âîëíîâûõ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè óðàâíåíèÿìè è ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ âîëíû äå-Áðîéëÿ (4):

ω=

E p è k= . h h

Òîãäà âîëíîâóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü òàê:

Ψ = Ae

−

i (Et − px ) h

.

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ â ýêñïîíåíòå - ( Et − px) , íàçûâàåòñÿ ôàçîé âîëíû äå-Áðîéëÿ. Îïðåäåëèì, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê (ÃÌÒ), èìåþùèõ îäíó è òó æå ôàçó. Ïîñêîëüêó ó ýòèõ ÃÌÒ ôàçà îäíà è òà æå, ìîæåì íàïèñàòü ðàâåíñòâî:

ωt − kx = const

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíóþ ïî t: ω − k (dx / dt ) = 0 Îáîçíà÷èì: dx / dt = U ô ãäå: U ô - ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû äå-Áðîéëÿ (ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïîñòîÿííîé ôàçû). Îòêóäà: ω / k = U ô . Ïîêàæåì, ÷òî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ìîæåò áûòü áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà. Ñëåäîâàòåëüíî, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü - ýòî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå. Ïîñêîëüêó ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ìîãóò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ñâåòà, òî íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè ÑÒÎ. Ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóëû äëÿ Uô: Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (3): 12

mc 2

ν2 2 2 ω h E c 2 = mc = c > c Uô = ⋅ = = mν k h p ν mν . 2 ν 1− 2 c 1−

Ýòîò ðåçóëüòàò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ âîëíû äåÁðîéëÿ íå ñâÿçàí ìàòåðèàëüíûé ïðîöåññ, êîòîðûé, ñîãëàñíî ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, íå ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. Óñòàíîâèì òàê íàçûâàåìûé çàêîí äèñïåðñèè.  ôèçèêå ïîä ýòèì çàêîíîì ïîíèìàþò çàâèñèìîñòü êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû îò λ èëè k. Ìû óñòàíîâèì çàêîí äèñïåðñèè äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì âûøå âûðàæåíèåì. Çàìåíèì E â ÷èñëèòåëå ñ ïîìîùüþ âòîðîé ôîðìóëû Ýéíøòåéíà: Uô =

m2c 4 + p 2c 2 E m 2c 4 = = c2 + 2 2 . hk h k p

Èç ïðèâåäåííûõ ðàñ÷åòîâ ñëåäóåò, ÷òî U ô - ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà. Ýòî âûðàæåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå çàêîíà äèñïåðñèè äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè. Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàçíûõ k è

Uô -

ðàçíàÿ. Ïðîâåäåííûé âûøå àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äå-Áðîéëÿ íå èìååò íåïîñðåäñòâåííîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Êðîìå òîãî, ê òîìó, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå, ìîæíî ñäåëàòü äîïîëíåíèå: ôîðìóëà äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè äå-Áðîéëÿ èìååò âèä ïëîñêîé âîëíû, à ïëîñêàÿ âîëíà áåçãðàíè÷íà ïî ñâîåìó îïðåäåëåíèþ. Ýëåìåíòàðíàÿ æå ÷àñòèöà âñåãäà ëîêàëèçîâàíà â ïðîñòðàíñòâå. Ïîñëåäíåå åùå ðàç óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äåÁðîéëÿ íå îïèñûâàåò ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà. Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì óðàâíåíèåì äå-Áðîéëÿ è ïîëó÷èì òó ôîðìóëó, êîòîðóþ äå-Áðîéëü ïåðâîíà÷àëüíî íàïèñàë êàê ñàìîñòîÿòåëüíóþ, íåçàâèñèìóþ, ïîñòóëèðóåìóþ:

p=

hν hω = . c c 13

Ïåðåõîäÿ îò ÷àñòîòû ê äëèíå âîëíû, ìîæíî çàïèñàòü èìïóëüñ ð è â òàêîé ôîðìå:

p = hk = À òàê êàê

h 2π h ⋅ = . 2π λ λ

p = mν , òî ìû òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì ôîðìóëó äå-Áðîéëÿ (2): λ=

h . mv

(2)

Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, óðàâíåíèÿ äå-Áðîéëÿ ñîäåðæàò ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íå ìîãóò áûòü ñîâìåñòèìûìè. Äåéñòâèòåëüíî, â ôîðìóëàõ:

E = hω ; p = hk ñëåâà ñòîÿò õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùèå ñâîéñòâà êîðïóñêóë (÷àñòèö), ñïðàâà - õàðàêòåðèñòèêè âîëíîâîãî ïðîöåññà, êîòîðûé íåëüçÿ ñåáå ïðåäñòàâèòü ëîêàëèçîâàííûì â îäíîé òî÷êå, â êîòîðîé ìîæåò íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà. Äóàëüíîñòü ïîäõîäà ê ñâîéñòâàì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö - ýòî ïðèíöèïèàëüíîå ïîëîæåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýòî îáóñëîâëåíî íåàäåêâàòíîñòüþ (íåñîîòâåòñòâèåì) èñïîëüçóåìîãî êëàññè÷åñêîãî ôèçè÷åñêîãî ñëîâàðÿ äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ÷àñòèö ìèêðîìèðà. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óïîòðåáëÿòü, ñîïîñòàâëÿòü, ìèêðî÷àñòèöå ïëîñêóþ âîëíó äå-Áðîéëÿ íåëüçÿ (âîëíà äå-Áðîéëÿ - ýòî ïëîñêàÿ áåãóùàÿ âîëíà, íå èìåþùàÿ ëîêàëèçàöèè, ãðàíèö; ÷àñòèöà æå - ýòî ëîêàëèçîâàííûé ôèçè÷åñêèé îáúåêò). Èç òåîðèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ èçâåñòíî, ÷òî, îáðàçóÿ ñóïåðïîçèöèþ ïëîñêèõ âîëí âñåâîçìîæíûõ ÷àñòîò, ìîæíî ñîçäàòü ëîêàëèçîâàííîå âîëíîâîå îáðàçîâàíèå. Ýòî îáðàçîâàíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå âîëíîâîãî ïàêåòà. Âîçíèêàåò âîïðîñ: à íåëüçÿ ëè ýëåìåíòàðíóþ ÷àñòèöó ðàññìàòðèâàòü êàê âîëíîâîé ïàêåò?

3. Âîëíîâîé ïàêåò Âûðàçèì ñôîðìóëèðîâàííîå âûøå ïðåäñòàâëåíèå î âîëíîâîì ïàêåòå ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì. Ïîñòðîèì âîëíîâîé ïàêåò ââèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ âîëí äå-Áðîéëÿ. Âîçüìåì èíòåðâàë èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû â ïðåäåëàõ îò ω + ∆ω äî ω − ∆ω ,èëè â èíòåðâàëå âîëíîâîãî ÷èñëà îò k 0 + α äî

k 0 − α , ãäå α U 0 , òàê è ïðè E < U 0 . Èíòåðåñíî, ÷òî ïðè E > U 0 ÷àñòèöà ìîæåò íå òîëüêî òóííåëèðîâàòü, íî è èñïûòàòü îòðàæåíèå îò áàðüåðà ( R ≠ 0). Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïàðàäîêñàëüíû, îäíàêî îíè ïîäòâåðæäàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî, íàïðèìåð â ðàäèîàêòèâíîì àëüôà-ðàñïàäå, èëè â õîëîäíîé ýëåêòðîííîé ýìèññèè, èëè â ðàáîòå òóííåëüíîãî äèîäà è ò.ä. Èç ôîðìóëû (18.15) ñëåäóåò, ÷òî ïðîöåññ òóííåëèðîâàíèÿ òåì âåðîÿòíåå, ÷åì ìåíüøå ðàçíîñòü U 0 − E è ÷åì óæå øèðèíà ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà à. Êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ìàññû ÷àñòèöû.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè âûñêàçàííûõ óòâåðæäåíèé ïðèâåäåì êîëè÷åñòâåííûé ïðèìåð:

êàêîâ êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè D áàðüåðà ïðÿìîó-

ãîëüíîé ôîðìû ïðè U 0 = 20 ýÂ, a = 10 −10 ì äëÿ ýëåêòðîíà è ïðîòîíà ñ ýíåðãèÿìè 10 ýÂ. Ðàñ÷åò ïî ôîðìóëå (18.15) äàåò ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: äëÿ 73

ýëåêòðîíà Dýë = 0,157; äëÿ ïðîòîíà (ìàññà êîòîðîãî ïî÷òè â 2000 ðàç áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà) Dïð ≈ 10 −60. Ðåàëüíûå ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû èìåþò ñëîæíóþ êîíôèãóðàöèþ. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåí ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, êîòîðûé ïðèáëèæåííî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû. Äëÿ Ðèñ. 5 êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà íà÷àëüíûì ÷èñëîì ÷àñòèö áóäåò òî èõ ÷èñëî, êîòîðîå ïðîøëî ÷åðåç ïðåäûäóùèé ïðÿìîóãîëüíûé áàðüåð. Ïîýòîìó ðåçóëüòèðóþùèé êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç áàðüåð ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïðèáëèæåííî áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîýôôèöèåíòîâ ïðîçðà÷íîñòè ÷åðåç îòäåëüíûå ïðÿìîóãîëüíûå ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû U (x ) êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè

D ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

D = Do e

 2 x 2 − ∫  h x1

 2 m[U ( x )− E ]dx  

.

74

(18.16)

Ãëàâà 4 19. Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè Ïîëå íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûì, åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ýòîì ïîëå U ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî ðàññòîÿíèÿ r

÷àñòèöû îò íåêîòîðîé òî÷êè ïîëÿ, íàçûâàåìîé öåíòðîì ïîëÿ, ò.å. U (r ) è íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ óäàëåíèÿ îò öåíòðà ïîëÿ. Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â äàííîé çàäà÷å èìååò âèä:

2m (E − U )Ψ = o. (19.1) h2 Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè åñòåñòâåííî ââåñòè ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðå ïîëÿ. Çàïèøåì îïåðàòîð Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: ∆Ψ +

1 ∂  2 ∂  ∆θ ,ϕ , r + r 2 ∂r  ∂r  r 2

(19.2)

∂2 1 ∂  1 ∂  . +  sin θ 2 sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ 2

(19.3)

∆= ãäå

∆ θ ,ϕ =

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (19.1), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (19.2) è (19.3) è îäíîâðåìåííî ñäåëàåì ïåðåñòàíîâêó ñëàãàåìûõ, à òàêæå óìíîæèì âñå ÷ëåíû íà

r2 : ∂ 2 ∂Ψ 2mr 2 + 2 ( E − U ) Ψ = − ∆θ ,ϕ Ψ. r ∂r ∂r h

(19.4)

 ëåâîé ñòîðîíå óðàâíåíèÿ (19.4) ïðîèçâîäÿòñÿ äåéñòâèÿ ïî ïåðåìåí-

r , à â ïðàâîé- òîëüêî ïî óãëîâûì ïåðåìåííûì θ èϕ . Ýòî ïîçâîëÿåò íàì ïðåäñòàâèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêíîé

öèé:

75

(19.5) Ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (19.5) â óðàâíåíèå (19.4) è ñîâåðøåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé, ïîëó÷àåì :

1 ∂  2 ∂R  2 m 2 1  + 2 r (E − U ) = − ∆θ ,ϕ Y . r R ∂r  ∂r  h Y

(19.6)

Òàê êàê ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà (19.6) çàâèñÿò îò ðàçíûõ ïåðåìåííûõ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ÷àñòè ïî îòäåëüíîñòè äîëæíû ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç λ . Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî îäíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (19.1) ìû ïîëó÷èëè äâà óðàâíåíèÿ .Ëåâàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà (19.6) äàñò íàì òàê íàçûâàåìîå ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ôóíêöèè R (r ): 1 d  2 dR   2m (E − U ) − λ2  R = 0 + r r 2 dr  dr   h r 

(19.7)

Ôóíêöèÿ Y (θ , ϕ ) íàçûâàåòñÿ ñôåðè÷åñêîé è äëÿ íåå ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå èç ïðàâîé ÷àñòè (19.6), êîòîðîå ìû òàêæå ïðèðàâíÿåì ê êîíñòàíòå λ , è ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

1 ∂  1 ∂ 2Y ∂Y  + λY = 0 .  sin θ + ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2 sin θ ∂θ 

(19.8)

Óðàâíåíèå (19.7) çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (r ), ïîýòîìó ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç çàíîâî, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ óðàâíåíèåì (19.8). Åãî ðåøåíèå íå çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (r ), ïîýòîìó åãî ðåøåíèå áóäåò ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ çàäà÷ ñ ïîëåì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè. Âìåñòå ñ òåì, óðàâíåíèå (19.8) ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè äàëüíåéøåå ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ñôåðè÷åñêóþ ôóíêöèþ Y (θ , ϕ ) â ñëåäóþùåì âèäå:

Y (θ , ϕ ) = P (θ ) ⋅ Φ (ϕ ).

Îáîçíà÷àÿ ïîñòîÿííóþ ðàçäåëåíèÿ ÷åðåç

P (θ ) èΦ (ϕ ) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà óðàâíåíèÿ :

76

(19.9)

m 2 , äëÿ ôóíêöèé

d 2Φ + m 2Φ = 0 dϕ 2

(19.10)

è dP   m2 1 d   sin θ  +  λ − dθ   sin θ dθ  sin 2 θ

  P = 0 . (19.11)  Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (19.10). Óáåäèìñÿ, ÷òî åãî ðåøåíèå èìååò âèä

Φ (ϕ ) = C ⋅ exp(imϕ ) . Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì åãî â óðàâíåíèå (19.10):

d 2Φ d  dΦ  d d imϕ  = = Cime imϕ = C ⋅ im e = 2 dϕ  dϕ  dϕ dϕ dϕ = C ⋅ im ⋅ im ⋅ e imϕ = −Cm 2 ⋅ e imϕ = −m 2 Φ. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå âûðîæäàåòñÿ â òîæäåñòâî: 0=0 .Ëåãêî

(

óáåäèòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ

)

Φ (ϕ ) îáëàäàåò ïåðèîäè÷íîñòüþ ñ ïåðèîäîì

2π : Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìó-

ëîé Ýéëåðà exp(im ⋅ 2π ) = cos(2πm ) + i sin (2πm ). Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü

m îáÿçàí áûòü öåëûì ÷èñëîì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óðàâíåíèå (19.10) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà, ìû ïîëó÷èì ïîëíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, åñëè ïîòðåáóåì, ÷òîáû ïîñòîÿííàÿ m ïðèíèìàëà çíà÷åíèÿ 0, ± 1,±2.... Ïîñòîÿííóþ Ñ ìîæíî îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ íîðìè2π

∫Φ

2

dϕ = 1 èëè

o

ðîâêè:

2π

2π

2π

0

0

0

2 2 • − imϕ imϕ ∫ Φ ⋅ Φ dϕ = ∫ Ce ⋅ Ce dϕ = C ∫ dϕ = C ⋅ 2π = 1

îòêóäà C=

1 . 2π

(19.12)

Èòàê, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.11) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

Φ (ϕ ) = 2π exp(imϕ ). 1

77

(19.13)

Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (19.11). Ñäåëàåì çàìåíó cos θ = α , è ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé ïðèäàäèì óðàâíåíèþ (19.11) ñëåäóþùèé âèä: d dα

Ôóíêöèÿ

2  ( 1 − α 2 ) ddPα  + λ − 1 −mα 2  P = 0.    

(19.14)

P (α ) , íàçûâàåìàÿ ïðèñîåäèíåííûì ïîëèíîìîì Ëåæàíä-

ðà, äîëæíà áûòü íåïðåðûâíîé è êîíå÷íîé ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ óãëà θ . Êàê ïîêàçûâàåòñÿ â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî (19.15) λ = l (l + 1) . ãäå l ≥ 0 è öåëîå ÷èñëî Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.14) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

Pl (α ) = m

l +m m l 1 2 2 d 1 ( ) ( − α α 2 − 1) , l l +m 2 l! dα

(19.16)

ïðè ýòîì ïðè çàäàííîì l ÷èñëî m ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü (2l + 1) çíà÷åíèÿ: m = -l, -l +1, ...... 0, 1, 2, ..... l-1, l. Óñëîâèå íîðìèðîâêè èñõîäíîé ôóíêöèè

∫Ψ

(19.17) 2

d τ = 1 çàìåíÿåòñÿ äâóìÿ

óñëîâèÿìè íîðìèðîâêè: ∞

π

2π

0

0

0

2 • ∫ R Rr dr = 1 è

• ∫ sin θdθ ∫ Y Ydϕ = 1 .

(19.18)

20. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè Êëàññè÷åñêîé âåëè÷èíå-ìîìåíòó êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîïîñòàâëÿåòñÿ îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ

ˆ →

M.

Íàéäåì ïðàâèëà êîììóòàöèè äëÿ êîìïîíåíò ýòîãî îïåðàòîðà. Ðàññìîòðèì êîììóòàòîð Mˆ Mˆ − Mˆ Mˆ : x

y

y

x

78

Mˆ x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x = ∂  ∂ ∂  ∂ ∂ ∂  ∂ ∂  2 2 = (− ih )  y − z  z − x  − (− ih )  z − x  y − z  = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z y x z x z z y      

∂ 

∂

2 = (− ih )  y ∂ − x ∂  = ihMˆ z . y  x

(20.1)

Ñîâåðøàÿ öèêëè÷åñêóþ ïåðåñòàíîâêó èíäåêñîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü åùå äâà ñîîòíîøåíèÿ:

Mˆ y Mˆ z − Mˆ z Mˆ y = ihMˆ x

,

Mˆ z Mˆ x - Mˆ x Mˆ z = ihMˆ y .

(20.2)

Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (20.1) è (20.2) óòâåðæäàþò, ÷òî â îäíîì îïûòå âñå òðè ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ îïðåäåëèòü íåëüçÿ. Ââåäåì îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ :

Mˆ 2 = Mˆ 2 x + Mˆ 2 y + Mˆ 2 z .

(20.3)

Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå ïîëå, òî öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïåðåõîäà: x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ,

(20.4)

z = r cos θ.

Ñîîòâåòñòâåííî, â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è åãî êîìïîíåíòû çàïèøóòñÿ òàê:

 ∂  ∂ Mˆ x = −ih sin ϕ + ctgθ cos ϕ , ∂ϕ  ∂θ   ∂ ∂  Mˆ y = −ih cos ϕ − ctgθ sin ϕ , θ ϕ  ∂ ∂  ∂ . Mˆ z = −ih ∂ϕ Mˆ 2 = −h 2 ∆ . θ ,ϕ

79

(20.5)

Ëàïëàñèàí

∆θ ,ϕ áûë ââåäåí íàìè ðàíåå ÷èñòî ôîðìàëüíî òàê:

∆θ ,ϕ =

∂ ∂2 1 ∂ 1 + sin θ . ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 sin θ ∂θ

(19.3)

Íî òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî îí ñâÿçàí ñ êâàäðàòîì îïåðàòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñ îïåðàòîðîì

Mˆ 2 êîììóòè-

ˆ . À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îäíîì îïûòå ðóåò êàæäàÿ ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà M ìîæíî îäíîâðåìåííî îïðåäåëèòü äâå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû

M 2 è , íàïðèìåð , M z , òàê êàê îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì âåëè÷èíàì, êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì: Mˆ 2 Mˆ z − Mˆ z Mˆ 2 = 0. Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà ìîæíî ñîñòàâèòü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå. Ñîñòàâèì òàêèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ Mˆ z è Mˆ 2 : ∂ Mˆ z Φ = M z Φ èëè − ih Φ = M zΦ , ∂ϕ åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

Φ (ϕ ) = ãäå m =

1 exp(imϕ ), 2π

(20.6)

(20.7)

Mz - öåëîå ÷èñëî, ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ 0, ± 1, ± 2... , îòêóäà h

(20.8) M z = mh. Ðàâåíñòâî (20.8) óêàçûâàåò, ÷òî ïðîåêöèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå (íàïðàâëåíèå îñè Oz –ïðîèçâîëüíîå) ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ïðîåêöèè íà äâå äðóãèå îñè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé èìåòü íå ìîãóò. Âìåñòå ñ òåì, ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (20.8) íå ñâÿçàí íåïîñðåäñòâåííî ñ õàðàêòåðîì ïîëÿ, åãî ñèììåòðèåé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî óðàâíåíèå (19.8) íå çàâèñèò îò ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U, îïðåäåëÿþùåé õàðàêòåð ïîëÿ, åãî ñèììåòðèþ. Òåïåðü çàéìåìñÿ óðàâíåíèåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  îïåðàòîðíîì âèäå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ ñòàíäàðòíî:

Mˆ 2Y (θ , ϕ ) = M 2Y (θ , ϕ ) , èëè − h 2 ∆ θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) = M 2Y (θ , ϕ ). (20.9) 80

ãäå îïåðàòîð

∆θ ,ϕ äàåòñÿ ôîðìóëîé (19.3).

Åñëè îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (20.9) ðàçäåëèòü íà - h 2 , òî óðàâíåíèå (20.9) ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ (19.8), êîòîðîå èìååò ðåøåíèå ïðè

λ = l (l + 1). Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-

ñà ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:

M 2 = h 2 l (l + 1).

(20.10)

Âñå, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ñïðàâåäëèâî è îòíîñèòåëüíî êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà: èõ êâàíòîâàíèå çàâèñèò íå îò ñèììåòðèè ïîëÿ, à îáóñëîâëåíî êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì ÷àñòèö ìèêðîìèðà. Óñòàíîâèâ ñâîéñòâà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí-êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà è åãî ïðîåêöèè íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå - çàéìåìñÿ íàõîæäåíèåì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè. Âñïîìíèì, êàêàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ, åñëè ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò åå îïåðàòîðà ïî âðåìåíè ðàâíà íóëþ è ñàì îïåðàòîð ýòîé âåëè÷èíû êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà. Ïðîâåðèì âûïîëíèìîñòü âñåõ ýòèõ òðåáîâàíèé, äëÿ ÷åãî ïðåäñòàâèì îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè â ñëåäóþùåì âèäå:

pˆ 2 h2 h 1 ∂  2 ∂  h2 1 Tˆ = ∆θ ,ϕ . (20.11) =− ∆=− − r 2m 2m 2m r 2 ∂r  ∂r  2m r 2 Ó÷èòûâàÿ âèä îïåðàòîðà êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà (20.5), ìîæíî îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè çàïèñàòü òàê: Mˆ 2 Tˆ = Tˆr + , 2mr

ãäå

(20.12)

Tˆr ñëåäóåò íàçâàòü îïåðàòîðîì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàäèàëüíîãî

äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè âèäà U (r ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê: Mˆ 2 + U (r.) Hˆ = Tˆr + 2mr 2

81

(20.13)

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî îïåðàòîðû

Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z , Mˆ 2 çàâèñÿò

òîëüêî îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò

r , à òàêæå, ÷òî îïåðàòîðû Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z êîì-

ìóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì Mˆ 2 , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ýòè îïåðàòîðû êîììóòèðóþò ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hˆ . È ïîñêîëüêó ýòè îïåðàòîðû íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ íåêîììóòàòèâíîñòü ìåæäó ñîáîé ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ áóäóò ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (îïðåäåëÿåìàÿ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà

Hˆ ), êâàäðàò ìîìåíòà èìïóëüñà (îïðåäåëÿåìûé îïåðàòîðîì Mˆ 2 ) è îäíà èç ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà, íàïðèìåð M z (âûáîð ýòîé ïðîåêöèè îáóñëîâëåí “ïðîñòûì” âèäîì îïåðàòîðà

Mˆ z ïî ñðàâíåíèþ ñ âèäîì äâóõ äðó-

ãèõ ïðîåêöèé Mˆ x èMˆ y , ñì.(20.5)). Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ÷åòíîñòè âîëíîâûõ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ÷àñòèöû â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå. Ðàíåå ìû ðåøàëè âîïðîñ î ÷åòíîñòè èëè íå ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, îñòàåòñÿ îíà íåèçìåííîé èëè ìåíÿåò çíàê ïðè ñîâåðøåíèè îïåðàöèè èíâåðñèè, ò.å. çàìåíû êîîðäèíàò x → (− x ), y → (− y ), z → (− z ). Ïðè ïåðåõîäå ê ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòà îïåðàöèÿ ñâî-

äèòñÿ ê ñëåäóþùèì çàìåíàì: θ → (π − θ ), ϕ → (ϕ + π ) ïðè íåèçìåííîì

r.

Òàêèì îáðàçîì, ÷åòíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ (r, θ , ϕ ) ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ øàðîâîé ôóíêöèè

Y (θ ,ϕ ) = P(θ )Φ(ϕ ) .

×åòíîñòü æå ôóíêöèè Φ (ϕ ) =

1 exp(imϕ ) 2π

îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ìíîæèòåëÿ íîñòè ÷èñëà

exp(imϕ ) , êîòîðàÿ çàâèñèò îò ÷åò-

m: exp[im(ϕ + π)] = (− 1)m exp(imϕ) .

82

Óñòàíîâèì, ÷òî îïðåäåëÿåò ÷åòíîñòü ïîëèíîìà Ëåæàíäðà

m Pl . Èç ôîðìó-

ëû(19.16) ñëåäóåò, ÷òî ÷åòíîñòü ïîëèíîìà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì (l − m ). Ýòî

(

âèäíî íåïîñðåäñòâåííî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ìíîæèòåëü 1 − α 2

)

m 2

ÿâëÿåòñÿ

÷åòíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó α = cos θ , à ÷åòíîñòü ïðîèçâîäíîé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì [2l − (l + m )] = l − m . ×åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ñîìíîæèòåëåé. Ïîñêîëüêó ÷åòíîñòü îäíîãî çàâèñèò îò ÷èñëà m , à äðóãîãî -îò ÷èñ-

(l − m ),

òî ÷åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ÷èñëà

m + (l − m ) = l.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åòíîñòü ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè Yl m (θ , ϕ )

ëà

îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà l .×åòíîñòü ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà l . Íî ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ñâÿçàíî ñî çíà÷åíèåì èìïóëüñà ÷àñòèöû è íàçûâàåòñÿ îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì (êâàíòîâîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì), ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î ñîâïàäåíèè ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ñ ÷åòíîñòüþ ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû. Ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå íà íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà. Òàêàÿ ñèñòåìà ïîëó÷èëà íàçâàíèå ðîòàòîðà. Ïîñêîëüêó r = const , òî ìîæíî ïîëîæèòü U (r ) = 0 è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ðîòàòîðà ïðèíèìàåò âèä:

∆θ ,ϕ Yl (θ , ϕ ) + m

ãäå

2ma0 m EYl (θ , ϕ ) = 0. 2 h

(20.14)

a0 − ðàäèóñ ðîòàòîðà.

Äëÿ çíà÷åíèé ýíåðãèè ðîòàòîðà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

El =

h2 h2 ( ) + = 1 l l l (l + 1), 2ma 2 o 2J

(20.15)

ãäå 2 J = ma 0 -ìîìåíò èíåðöèè ðîòàòîðà. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì äëÿ íîðìèðîâàííîé øàðîâîé ôóíêöèè

83

Yl (θ , ϕ ) = m

(2l + 1) (l − m )! exp(imϕ )P m (cos θ ) , l 4π (l + m )!

(20.16)

òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü âîëíîâûå ôóíêöèè ðîòàòîðà ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ êâàíòîâûõ ÷èñåë. Ìîäåëü æåñòêîãî ðîòàòîðà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñîñòîÿíèé ìîëåêóë . Íàïðèìåð, åñëè l = 0, òîãäà è m = 0 è Yo = o

1 ; 4π

ïðè l = 1, m = −1, 0, + 1 è ò.ä. Ïîñêîëüêó Yl

m 2

íå çàâèñèò îò óãëà ϕ , òî ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè

âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íûì (ïëîñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïîêàçàíî íà ðèñ. 6. Ïðè ïîäñ÷åòå ñðåäíèõ çíà÷åíèé âñòðå÷àþòñÿ èíòåãðàëû âèäà

l = 0, m = 0

l = 1, m = 0

l = 1, m = ±1

Ðèñ. 6

∫e

− im 'ϕ + imϕ

dϕ ,

êîòîðûå îòëè÷íû îò íóëÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî m = m' èëè ∆m = ±1, îòñþäà ïîëó÷àåì ïðàâèëà îòáîðà äëÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà m: ∆m = 0,±1. Åñëè êâàíòîâîå ÷èñëî l = 0 , òî ãîâîðÿò, ÷òî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â s − ñîñòîÿíèè, ïðè l = 1 -â p - ñîñòîÿíèè è ò.ä., ñîîòâåòñòâåííî ãîâîðÿò î s, p è ò.ä. – ýëåêòðîíàõ. 84

21. Àòîì âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû Àòîì âîäîðîäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé, ïîëó÷èâøåé òî÷íîå ðåøåíèå . Àòîì âîäîðîäà ñîñòîèò èç ÿäðà-ïðîòîíà è îäíîãî ýëåêòðîíà, ìåæäó êîòîðûìè äåéñòâóåò êóëîíîâñêàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà

U (r) = −

e2 . 4πε o r

Ìàññà ïðîòîíà â 1836 ðàç áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà, ïîýòîìó ïðèáëèæåííî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïîêîÿùèìñÿ (ÑÎ “Ïðîòîí”). Ýíåðãèÿ òàêîé ñèñòåìû èç 2-õ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè:

1 d  2 dR   2m  Ze 2  l (l + 1) − + + r E    R = 0 , 4πε o r  r 2 dr  dr   h 2  r2 

(19.7)

ãäå äëÿ îáùíîñòè çàðÿä ÿäðà âçÿò ðàâíûì Ze (êàê áóäåò ó âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ). Óðàâíåíèå (19.7) íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà. Ôîðìó åãî çàïèñè ìîæíî èçìåíèòü, åñëè ñäåëàòü ïîäñòàíîâêó:

χ (r ) . r  ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ê íîâîé ïåðåìåííîé, ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå, êîòîðîå ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñ îäíîìåðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà äëÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå ñ ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì R (r ) =

U ýô = U (r ) +

h 2 l (l + 1) . 2mr 2

Íåîòðèöàòåëüíûé ÷ëåí

h 2 l (l + 1) 2mr 2 íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé.  ñîñòîÿíèè l = 0 (s − ñîñòîÿíèå) öåíòðîáåæíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ è ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîâïàäàåò â íàøåé çàäà÷å ñ êóëîíîâñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà.

85

Åñëè ó÷åñòü è äâèæåíèå ÿäðà âîêðóã îáùåãî öåíòðà ìàññ ÿäðà è ýëåêòðîíà, òî â ïðåäûäóùèõ ôîðìóëàõ íåîáõîäèìî çàìåíèòü ìàññó ýëåêòðîíà íà ïðèâåäåííóþ ìàññó ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö :

µ=

mM ÿ . m+ Mÿ

Ïðè r → 0 U ýô èçìåíÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ÿõ ôóíêöèÿ U ýô èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó

1 , íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèr2

1 , íàõîäÿñü â îáëàñòè îòðèöàr

òåëüíûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè.  îáëàñòè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû äâèæåíèå ÷àñòèöû ïðîèñõîäèò â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è ïîýòîìó âîçìîæíû ñâÿçàííûå (ñòàöèîíàðíûå) ñîñòîÿíèÿ ñ äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè. Âðåìåííàÿ è óãëîâàÿ ÷àñòü ðåøåíèÿ íàìè óæå îïðåäåëåíà (âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ó âñåõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷ îäèíàêîâà, óãëîâàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè óñòàíîâëåíà íàìè âûøå), ïîýòîìó íàì íåîáõîäèìî ëèøü ðåøèòü ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå (19.7). Ýòà î÷åíü ñëîæíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à, îíà ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèìåíåíèÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ïîýòîìó ìû ïðèâåäåì ëèøü ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ( à ëþáîçíàòåëüíûõ ÷èòàòåëåé îòñûëàåì ê êíèãàì Ë. Ä. Ëàíäàó è Å. Ì. Ëèôøèö Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Â. Â. Ìóëòàíîâñêèé è À. Ñ. Âàñèëåâñêèé Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ( êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà) è äð.). Äëÿ óðîâíåé ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

1 mZ 2 e 4 ⋅ . 32π 2ε 2 o h 2 n 2 ãäå n = 1,2,3... - ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. En = −

(21.1)

Âîëíîâûå ôóíêöèè àòîìà âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ èìåþò âèä:

86

Yl (θ , ϕ ) = m

2l + 1 (l − m )! m ⋅ ⋅ exp(imϕ )Pl (cos θ ), 4π (l + m )! 3

 Z 2 4  ρ 2 l +1  ⋅ exp −  ρ l Qn −l −1 (ρ ), Rn ,l =  ( ) ( ) − − + na n l 1 ! n l ! 2    o 2 2Z r 4πε o h ρ= , ao = , n ao me 2 Qn −l −1

2 l +1

= exp (ρ )ρ

− 2 l −1

d k − ρ 2 l +1+k (e ρ ) dρ k

(21.2)

ãäå n = 1,2,3..., l = 0,1,2,....n − 1; m = −l ,−l + 1,....l − 1, l ; k = n − l − 1; 2l Qk - íàçûâàåòñÿ ïîëèíîìîì Ëàãåððà.

Óðîâíè ýíåðãèè

E n âûðîæäåíû. Óðîâíþ ýíåðãèè ñ íîìåðîì n ïðè-

íàäëåæèò ÷èñëî ñîñòîÿíèé, ðàâíîå n −1

l

l =0

m=− l

∑ ∑m = n ò.å. èìååò ìåñòî

2

(21.3)

,

n 2 -êðàòíîå âûðîæäåíèå.

∫

Òàê êàê Rn ,l rRn` ,l ` dτ ≠ 0 ïðè ëþáûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà èìååò âèä: ∆n = ëþáîå ÷èñëî.

n , n' òî

n ïðàâèëî îòáîðà (21.4)

22. Ðàäèàëüíàÿ è óãëîâàÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ãäå- ëèáî â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ìîæíî îïðåäåëèòü, ñîñòàâèâ êâàäðàò ìîäóëÿ ïîëíîé êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè ÷àñòèöû:

W = Ψ (r ,θ ,ϕ ) . 2

(22.1) 87

Âåðîÿòíîñòü æå íàõîæäåíèÿ òîé æå ÷àñòèöû â ýëåìåíòå îáúåìà

dV = r 2 dr sin θdθdϕ

(22.2)

ðàâíà:

WdV = r 2 R(r ) dr ⋅ Yl ,m (θ , ϕ ) sin θdθdϕ . 2

2

(22.3)

Åñëè âûðàæåíèå (22.3) ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî óãëàì, òî ìû ïîëó÷èì âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â ñëîå ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè âåðîÿòíîñòü òàê:

Ddr = r 2 R (r ) ãäå

2

∫ Y (θ , ϕ ) l ,m

2

r , r + dr. Îáîçíà÷èì ýòó

dΩ ,

(22.4)

dΩ = sin θdθdϕ − ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà. Âûøå (21.2) ìû çàïèñàëè îáùèé âèä ðàäèàëüíîé ôóíêöèè

R (r ). Ýòà n , òàê

ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèåì ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà

è îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì l. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (21.2), ìîæíî íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà àòîìà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ìû âèäèì, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó êàê âáëèçè ÿäðà, òàê è íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî ìàëà. Íà êîíå÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ ôóíêöèÿ

Wn,l (r ) îáðàùàåòñÿ â íóëü n − l − 1 ðàç è ýëåêòðîííîå

îáëàêî âåðîÿòíîñòè ðàçáèâàåòñÿ íà ñëîè. Âû÷èñëåíèå ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû ïðèâîäèò ê ôîðìóëå:

[

]

a0 3n 2 − l (l + 1) , (22.5) 2 èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ýòî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå áûñòðî ðàñòåò ïðè óâåëè÷åíèè ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, à ïðè çàäàííîì n óáûâàåò ñ ðîñòîì îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Ðåçêîé ãðàíèöû ó àòîìà íåò.  ñîñòîÿíèÿõ ñ l = n − 1 âåðîÿòíîñòü rn ,l =

 2r  , W (r ) ~ r 2 n exp −  na0 

88

è ìàêñèìóì ôóíêöèè W (r ) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå ñ rn = a0 n 2 . Ýòè ðàññòîÿíèÿ ñîâïàäàþò ñ ðàäèóñàìè áîðîâñêèõ êðóãîâûõ îðáèò äëÿ àòîìà âîäîðîäà. Äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ íóæíî â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ ôîðìóë ââåñòè ìíîæèòåëü Z , íàïðèìåð, ðàäèóñû áîðîâñêèõ îðáèò äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå:

ao 2 n . (22.6) Z Ðàññìîòðèì äàëåå óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè. Âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â ïðåäåëàõ ýëåìåíòàðíîãî rn =

óãëà dΩ , çàäàííîãî óãëàìè θ , ϕ , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: dΩ(θ, ϕ) = Yl , m * (θ, ϕ)Yl , m (θ, ϕ)sin θdθdϕ

Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ôóíêöèè

Yl ,m îò óãëà ϕ èìååò âèä

exp(imϕ ), òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò îò óãëà ϕ , ÷òî ãîâîðèò îá îñåâîé ñèììåòðèè ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè, îäèíàêîâîé âî âñåõ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ ïîëÿõ.

23. Óðîâíè ýíåðãèè â àòîìå âîäîðîäà Ëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ôîðìóëû ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñîâïàäàþò ñ òàêîâûìè, ïîëó÷åííûìè â ïîëó êëàññè÷åñêîé (ïîëó êâàíòîâîé) òåîðèè Í.Áîðà. Îäíàêî, èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ ôîðìóë ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íà, òàê êàê ýòè äâå òåîðèè èñõîäÿò èç ðàçíûõ ïðåäïîñûëîê.  òåîðèè Áîðà ñ÷èòàëîñü, ÷òî ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå, êîòîðàÿ èìååò òèïè÷íî êëàññè÷åñêèé õàðàêòåð. Ñïåöèàëüíûì ïîñòóëàòîì Áîð “ñïàñàåò” ñâîþ ìîäåëü àòîìà, äåëàÿ “áåçóìíîå” äëÿ òîãî âðåìåíè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî, íàõîäÿñü íà îðáèòå, ýëåêòðîí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ, õîòÿ è äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Èçëó÷åíèå ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ. Ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå íåëüçÿ ãîâîðèòü î äâèæåíèè ïî êàêîé-ëèáî îðáèòå, ýòî ñëåäóåò èç êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ñâîéñòâ ýëåêòðîíà, èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà äëÿ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèè èìïóëüñà ∆x ⋅ ∆p x ≈ h. Âìåñòî ïðåäñòàâëåíèÿ î äâèæåíèè ýëåêòðîíà ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå âîë89

íîâîé ôóíêöèåé, ïðè ýòîì ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â îïðåäåëåííîì ýíåðãåòè÷åñêîì ñîñòîÿíèè.  òåîðèè Áîðà ïåðåõîä ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ ñâÿçàí ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåùåíèåì ýëåêòðîíà, ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè ïîãëîùåíèå è èçëó÷åíèå ýíåðãèè íå ñâÿçàíî ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåùåíèåì, à îáóñëîâëåíî èçìåíåíèåì ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà. Äî ñèõ ïîð ìû ðåøàëè çàäà÷ó äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà â ÑÎ “ßäðî”, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ìàññà ÿäðà íàñòîëüêî ïðåâûøàåò ìàññó ýëåêòðîíà (â1836 ðàç), ÷òî äâèæåíèåì ÿäðà â äàííîé çàäà÷å ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ýêñïåðèìåíò æå óêàçûâàåò, ÷òî áîëåå òî÷íîå ñîîòâåòñòâèå îïûòó ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ðåøàòü çàäà÷ó â ÑÎ “Öåíòð ìàññ”. Òîãäà, ââîäÿ ïðèâåäåííóþ ìàññó ñèñòåìû

µ=

m⋅M , m+M

ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (19.7) ëèøü çàìåíîé m → µ . Ñîîòâåòñòâåííî è âî âñåõ ôîðìóëàõ íåîáõîäèìî ñäåëàòü ïîäîáíóþ çàìåíó.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîëó÷èì:

mZ 2 e 4 m 1  µZ 2 ⋅ e 4 1 ⋅ 2 =− ⋅ 1 − . 2 2 M 32π ε o h n 32π 2ε o h 2 n 2  Èç ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ ñäâèãàþòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì ðàññìîòðåíèåì, êîãäà ìû ñ÷èòàåì ìàññó ÿäðà áåñêîíå÷íîé. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ëèíèè èçëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ èçîòîïîâ íå ñîâïàäàþò. Ýòîò ñäâèã ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé íàçûâàåòñÿ èçîòîïè÷åñêèì ñäâèãîì. En = −

24. Âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû Âîäîðîäîïîäîáíûìè àòîìàìè ÿâëÿþòñÿ àòîìû ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ, íà âíåøíåé îáîëî÷êå êîòîðûõ íàõîäèòñÿ îäèí ýëåêòðîí (ïðèìå÷àíèå: ìû íå áóäåì ñïåöèàëüíî ðàññìàòðèâàòü âîäîðîäîïîäîáíûå èîíû, âîçíèêàþùèå ïðè çàõâàòå íåéòðàëüíûìè àòîìàìè äîïîëíèòåëüíîãî ýëåêòðîíà, òåîðèÿ äëÿ íèõ åùå áîëåå ñëîæíà, ÷åì äëÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ). Åñëè â ýëåêòðîííîé îáîëî÷êå ùåëî÷íîãî ìåòàëëà ñîäåðæèòñÿ Z ýëåêòðîíîâ, òî Z − 1 ýëåêòðîí îáðàçóåò çàìêíóòóþ îáîëî÷êó èíåðòíîãî ãàçà. Ïîñëåäíèé âàëåíòíûé ýëåêòðîí ëåãêî èîíèçèðóåòñÿ, åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü àíàëîãîì åäèíñòâåííîãî ýëåêòðîíà àòîìà âîäîðîäà. 90

Îäíàêî, ýòîò âíåøíèé “âîäîðîäîïîäîáíûé” ýëåêòðîí îêàçûâàåò ïîëÿðèçóþùåå äåéñòâèå íà ýëåêòðîíû âíóòðåííèõ îáîëî÷åê.  ñèëó ýòîãî âî âñå ðàññóæäåíèÿ è ôîðìóëû, ïðîâåäåííûå äëÿ àòîìà âîäîðîäà, íåîáõîäèìî ââåñòè ïîïðàâêè. Òàê ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âíåøíåãî ýëåêòðîíà äîëæíà áóäåò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ñëåäóþùåé áîëåå ñëîæíîé ôîðìóëå, ó÷èòûâàþùåé îòëè÷èå ïîëÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ îò ïîëÿ àòîìà âîäîðîäà: U (r ) = −

e 2  1 C1 C2  + ....  + + 4πε 0  r r 2 r 3 

(24.1)

Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ïåðâîé ïîïðàâêîé ñ êîýôôèöèåíòîì

C1 ,

òî ïîñëå îòíîñèòåëüíî íåñëîæíûõ ðàñ÷åòîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: âñå ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå äëÿ àòîìà âîäîðîäà ñîõðàíÿþòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî êâàíòîâîå ÷èñëî l äîëæíî áûòü çàìåíåíî íà íîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî l', êîòîðîå ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì l ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì:

l ' = l − C1

me 2 .  1 2  l −  ⋅ 4πε o h  2

(24.2)

Ñîîòâåòñòâåííî èçìåíèòñÿ è ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî

n íà

n' = n + σ(l ), ãäå ïîïðàâêà ðàâíà âòîðîìó ÷ëåíó â ôîðìóëå (24.2). Òàêèì îáðàçîì ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ôîðìóëîé: E n ,l = −

1 me 2 ⋅ . 32π 2ε 0 h 2 [n + σ (l )]2

(24.3)

Èçëó÷åíèå ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà ñ îäíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà äðóãîé ïðè ñîáëþäåíèè ïðàâèë îòáîðà : ∆n = ëþáîå öåëîå ÷èñëî, ∆l = ±1 (ìåæäó s ↔ p, p ↔ d è ò.ä.). Ñàìîé èíòåíñèâíîé ëèíèåé ÿâëÿåòñÿ ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ çà ñ÷åò ïåðåõîäà ìåæäó îñíîâíûì è ïåðâûì âîçáóæäåííûì ñîñòîÿíèÿìè. Ýòà ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíîé (äëÿ ëèòèÿ - 2 s → 2 p ). Ïîñêîëüêó ∆n = ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òî âîçìîæíû ïåðåõîäû(äëÿ ëèòèÿ) èç 2 s âî âñåâîçìîæíûå mp ñîñòîÿíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñåðèÿ ëèíèé íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé, åñëè m = 2,3,4... ; ïðè ïåðåõîäàõ 2 p → md , m = 3,4,5... ñåðèÿ ëèíèé íàçûâàåò91

ñÿ äèôôóçíîé; åñëè ñîâåðøàþòñÿ ïåðåõîäû 2 p → ms m = 3,4,5..., òî ñåðèÿ ëèíèé íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïîáî÷íîé èëè ðåçêîé è ò.ä. Ñïåêòðû îñòàëüíûõ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ èìåþò àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó. Çàâåðøèì ðàññìîòðåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè “ïðîâåðêîé” âûïîëíèìîñòè ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ, êîòîðûé óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ (ýòî è óñòàíàâëèâàåò ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ) ðåçóëüòàòû êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷è ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòàìè êëàññè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå ∆E n ,n +1 = E n − E n +1

ê

E n , ó÷èòûâàÿ, ÷òî

êâàíòîâàííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè ýëåêòðîíà â àòîìå îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n :

∆E n ,n +1 En

1 1 − 2 n (n + 1)2 = 2n + 1 ≈ 2 = 1 (n + 1)2 n . 2 n

Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ êâàíòîâîãî ÷èñëà n (ýòî ìû èñïîëüçîâàëè â ïðåäûäóùèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ) ðàññìàòðèâàåìàÿ äðîáü ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. À òàê êàê âåëè÷èíà

E n êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà, òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âîç-

ìîæåí, åñëè ðàçíîñòü

E n ,n +1 ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, ÷òî âîçìîæíî

ïðè ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà. Íî ýòî è åñòü îñíîâíîé ïðèçíàê êëàññè÷íîñòè ñèñòåìû.

25. Ìàãíèòíûé ìîìåíò îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå  ïîëóêëàññè÷åñêîé òåîðèè Í. Áîðà äâèæåíèå ýëåêòðîíà â àòîìå ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññè÷åñêè, ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îðáèòå, îáëàäàÿ îïðåäåëåííîé ñêîðîñòüþ Èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé î ñâÿçè êðóãîâîãî òîêà (à äâèæåíèå ýëåêòðîíà âîêðóã ÿäðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êðóãîâîé ýëåêòðè÷åñêèé òîê) ñ åãî ñîáñòâåííûì ìàãíèòíûì ïîëåì, ìîæíî ââåñòè ôèçè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ ýëåêòðîííîãî òîêà - îðáèòàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò, îïðåäåëèâ åãî ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

92

M ìàã = µ o IS , ãäå

(25.1)

µ o − ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ âàêóóìà, I – âåëè÷èíà êðóãîâîãî òîêà, S

– ïëîùàäü, îõâà÷åííàÿ êîíòóðîì êðóãîâîãî òîêà, íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî “ïðàâèëó áóðàâ÷èêà”( ñ ó÷åòîì çíàêà íîñèòåëÿ çàðÿäà).  êâàíòîâîé ìåõàíèêå íå ñóùåñòâóåò ïîíÿòèÿ “îðáèòà”, âìåñòî òî÷å÷íîãî ýëåêòðîííîãî çàðÿäà ââîäèòñÿ ýëåêòðîííîå îáëàêî âåðîÿòíîñòè, ïëîòíîñòü ïîòîêà êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

(

)

r ieh Ψ ∇Ψ • − Ψ • ∇Ψ , je = − 2m å

(25.2)

ãäå çíàê (-) îáóñëîâëåí çàðÿäîì ýëåêòðîíà. Ìû ââåëè èíäåêñ ó ìàññû, ÷òîáû îòëè÷èòü åå îò ìàãíèòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Âûáåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà “ßäðî”, â ýòîé ÑÎ ýëåêòðîííîå îáëàêî âåðîÿòíîñòè ñîâåðøàåò âðàùåíèå â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå ÿäðà. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïðîåêöèè îïåðàòîðà “íàáëà” íà îñè ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èìåþò âèä:

∇r = òàê:

∂ ∂r

, ∇θ =

1 ∂ r ∂θ

, ∇ϕ =

1 ∂ r sin θ ∂ϕ

(25.3)

Ôîðìóëà (25.2) ñ ó÷åòîì (25.3) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ïðîåêöèÿõ •  ∂Ψnlm  Ψnlm ∂Ψ nlm − Ψ • nlm  ∂r ∂r 

 ,  

j e, r = −

ieh 2m å

j e, θ = −

∂Ψnlm ∂Ψ • nlm ieh  Ψnlm − Ψ • nlm  ∂θ ∂θ 2m å r 

j e, ϕ

 ,  

•  ∂Ψnlm ieh  Ψnlm ∂Ψ nlm − Ψ • nlm =− ∂ϕ ∂ϕ 2m å r sin θ 

 .  

(25.4)

Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè èìååò âèä:

Ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )P (θ )Φ (ϕ ), 93

ïðè÷åì, ôóíêöèè R (r ) è P (θ ) ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè, à Φ=

1 imϕ e . Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî je ,r = je ,θ = 0. Ïîýòîìó çàéìåìñÿ 2π

àíàëèçîì ïðîåêöèè

je ,ϕ . Îòëè÷èå å¸ îò íóëÿ îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå îáúåìà âîêðóã ÿäðà ïîòîê ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè ïðîèñ-

r

õîäèò âäîëü îðòà e ϕ , ò.å. ïî øè-

Ðèñ. 7.

ðîòíîìó êðóãó â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îñè Îz (ñì. ðèñ. 7). Âûøå ìû îïðåäåëèëè èíòåãðàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò êðóãîâîãî òîêà (25.1).×åðåç âûäåëåííóþ íàìè ïëîùàäêó dσ áóäåò òå÷ü ýëåìåíòàðíûé ïîòîê ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè. Ïîýòîìó ïîäñ÷èòàåì ýëåìåíò ìàãíèòíîãî ìîìåíòà

dM ìàã z = µ o dJS . Ðàññìîòðèì ýëåìåíò ïîòîêà ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè ÷åðåç ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó dσ , ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ

je,ϕ : dJ = je,ϕ ⋅ dσ ,

(25.5)

ãäå j e,ϕ = −

1 1 −imϕ  1 1 imϕ  ∂  ∂ ieh   RP  − Ψ • e RP e = Ψ 2m e  r sin θ ∂ϕ  r sin θ ∂ϕ 2π 2π  

 1 1 (− im )e −imϕ − Ψ • 1 Ψ r sin θ RP r sin θ π 2  ehm 2 =− Ψ . me r sin θ

=−

ieh 2 me

1 2π

 RP (im )e imϕ  = 

Èñïîëüçóÿ ðèñóíîê, îïðåäåëÿåì âåëè÷èíó ïëîùàäè, îáìåòàåìîé ïîòîêîì ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè : S = π (r sin θ )2 . Òîãäà 94

M Z = ∫ dM z = ∫ µ 0 ( j e ) ϕ dσ ⋅ S = = −µ 0 ∫ =−

2emh 2 Ψ dσ ⋅ π( r sin θ) 2 = 2m e r sin Θ

µ 0 emh 2m e

∫Ψ

2

dV = −

µ 0 emh , 2m e

ãäå èñïîëüçîâàíî óñëîâèå íîðìèðîâêè. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè âîêðóã ÿäðà ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà.  êîíå÷íóþ ôîðìóëó âõîäèò ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî m , ÷òî è îïðåäåëÿåò åãî íàçâàíèå. Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà â àòîìå:

Mz

ìåõ

= mh.

Ñîñòàâèì îòíîøåíèå ìàãíèòíîãî è ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòîâ: ìàã

Mz µe = − 0 = Ã. ìåõ 2me Mz

(25.6)

Ýòî îòíîøåíèå íîñèò íàçâàíèå ãèðîìàãíèòíîãî îòíîøåíèÿ. Êàê âèäèì, îíî íå ñîäåðæèò ïîñòîÿííîé Ïëàíêà. Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ óòâåðæäàåì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî êàê â êâàíòîâîé, òàê è â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Çíàê “-“ â ôîðìóëå (25.6) îçíà÷àåò, ÷òî â îðáèòàëüíîì äâèæåíèè ïðîåêöèè íà îñü Oz ìåõàíè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ìîìåíòîâ ýëåêòðîíà íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Íàëè÷èåì îðáèòàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè îáúÿñíÿþòñÿ äèàìàãíèòíûå è ïàðàìàãíèòíûå ñâîéñòâà àòîìîâ. Äèàìàãíèòíûé ýôôåêò ñâÿçàí ñ ïðîÿâëåíèåì ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûé èíäóêöèè ïðè ïîìåùåíèè àòîìà âî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå. Îí ïðèâîäèò ê îñëàáëåíèþ âíåøíåãî ïîëÿ è èñ÷åçàåò ïðè âûêëþ÷åíèè âíåøíåãî ïîëÿ. Ýòîò ýôôåêò ïðèñóù âñåì âåùåñòâàì. Íî â ðÿäå âåùåñòâ (ïàðàìàãíåòèêè è ôåððîìàãíåòèêè) îí íå ÿâëÿåòñÿ ïðåîáëàäàþùèì. Ïðè ýòîì â àòîìå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ÷åòíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè.  ñëó÷àå æå íàëè÷èÿ íåñïàðåííûõ ýëåêòðîíîâ ìàãíèòíûå ìîìåíòû èõ íå ñêîìïåíñèðîâàíû è âåùåñòâî ïðîÿâëÿåò ïàðàìàãíèòíûé ýôôåêò.  îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíûå ìîìåíòû àòîìîâ îðèåíòèðîâàíû õàîòè÷íî, ïàðàìàãíåòèê íå íàìàãíè÷åí, ïðè âêëþ÷åíèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðîèñõîäèò óïîðÿäî÷èâàíèå íàïðàâëåíèé ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ, êîòîðîìó ïðåïÿòñòâóåò âíóòðåííåå (òåïëîâîå) äâèæåíèå ñòðóêòóðíûõ ÷àñòèö âåùåñòâà. 95

Ãëàâà 5 26. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå (ìåòîä ÂÊÁ - Âåíòöåëÿ-Êðàìåðñà-Áðèëëþýíà) Íå âñå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè ðåøàþòñÿ òî÷íî. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ðàçíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷. Îäíèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ÂÊÁ. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå ïðîèçâîëüíîé ôîðìû:

d 2 Ψ 2m + 2 (E − U )Ψ = 0. dx 2 h  êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè âîçüìåì ôóíêöèþ âèäà:

(26.1)

S Ψ = exp(i ), h ãäå S –ôóíêöèÿ äåéñòâèÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ïîñòîÿííîé Ïëàíêà – Äæ.ñ è ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ìàëîé âåëè÷èíû h - ÷òî ïîçâîëèò íàì â ïîñëåäóþùåì ðàçëîæèòü ýòó ôóíêöèþ äåéñòâèÿ â ðÿä ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó h. Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (26.1): S S d 2 Ψ d  d i h  d  i i h dS  e e = = =  dx  h dx  dx 2 dx  dx    S S S S 2 i  d 2 S i  1  dS  i h  dS  i i h d 2 S 1 i h  dS   = − =  2 e h  − 2  e e e   .    2 2  h  dx  h  dx dx  h dx  h dx      

Ïîñëå óìíîæåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ íà ýêñïîíåíòó, ïîëó÷àåì:

h 2 è ñîêðàùåíèÿ íà

ih S ' '− S ' 2 +2m(E − U ) = 0

Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðÿäà ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ÷èìñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ: 96

(26.2)

h . Îãðàíè-

S ≈ S o + hS1 .

(26.3)

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòå S ' è

S ' ':

S ′ = S 0′ + hS1′ ; S ′′ = S 0′′ + hS1′′. Óðàâíåíèå (26.2) ïðèíèìàåò âèä: ihS 0 ' ' + ih 2 S1 ' '− S '2 0 −2hS '0 S '1 −h 2 S1 '2 +2m(E − U ) = 0.

Îáúåäèíèì ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè:

(

)

2m(E − U ) + h(iS ' '0 −2 S '0 S '1 ) + h 2 iS1 ' '− S ' 21 − S ' 2 0 = 0.

Ïðåíåáðåæåì ïðåäïîñëåäíèì ÷ëåíîì, òàê êàê îí èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè. Îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ðàâíû íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ïàðàìåòðå â ëþáîé ñòåïåíè: 2m(E − U ) − S '2 0 = 0, iS ' '0 −2S '0 S '1 = 0.

Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì: S '0 = ± 2m(E − U ).

Íî

2m (E − U ) åñòü êëàññè÷åñêèé èìïóëüñ p. Òîãäà 2 ∂S 0 ' = ± p, ⇒ S 0 = ± ∫ pdx. ∂x x

x

1

Âòîðîå óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: S '1 =

i i i S0 '' i d ln S '0 , ⇒ S1 ' = ln S '0 = ln p. ⋅ = 2 S 0 ' 2 dx 2 2

Èòàê, x2

S = ± ∫ pdx + ih ln p . x1

Ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèÿ, êîòîðîå ñòîèò â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè âîëíîâîé ôóíêöèè. Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ, ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå ôóíêöèè äåéñòâèÿ:

97

 i i  Ψ = åxp S  = exp ±  h h   =

 i exp ±  h p 

1

x2



x1



i

∫ pdx  ⋅ exp h ih ln

 p= 

   x2   = C 1 exp i pdx  + C 1 exp − i pdx ∫  1 p h ∫  2 p  h x1    x1 

x2

x2

 (26.4)

x1



∫ pdx .

Ýòî è åñòü ïðèáëèæåíèå ÂÊÁ.

27. Ïîíÿòèå î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû Âûÿñíÿÿ âîïðîñ î ïîëíîòå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íåêîòîðîãî îïåðàòîðà Lˆ , áûëî óêàçàíî, ÷òî ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû æèòü ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ýòîãî îïåðàòîðà:

Ψ ìîæíî ðàçëî-

Ψ = ∑ Ñn un ,

ãäå

C n = ∫ u n* Ψdτ .

(27.1)

Ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ Ñ n ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ Ψ. Ïîýòîìó âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïîëüçîâàòüñÿ ôóíêöèåé ìîæíî ðàáîòàòü ñ ñîâîêóïíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ êóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ

Ψ,

Cn . Ãîâîðÿò, ÷òî ñîâî-

Ñn ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ôóíêöèþ Ψ , íî â

ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà

Lˆ ïî ïîëíîìó íàáîðó åãî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Ïîëíûé íàáîð êîýôôèöèåíòîâ Ñ n - ýòî è åñòü ôóíêöèÿ Ψ â Lˆ - ïðåäñòàâëåíèè.  ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ìîæíî çàäàâàòü è îïåðàòîð. Ïóñòü èìååòñÿ îïåðàòîð

Mˆ , êîòîðûé, äåéñòâóÿ íà ôóíêöèþ v ïåðåâîäèò å¸ â

ôóíêöèþ u :

u = Mˆ v

(27.2)

Çàäàäèì ôóíêöèè u è v â ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà Lˆ , ò.å. çàäàäèì 98

èõ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû ïî ïîëíîé ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé

un îïåðàòîðà Lˆ : u = ∑ anun

è

v = ∑ bn u n .

Ïîäñòàâèì ýòè ðàçëîæåíèÿ â (27.2):

∑a u

n n

= Mˆ ∑ bn un

Óìíîæèì îáå ñòîðîíû íà

èëè

∑a u

n n

= ∑ bn Mˆ un .

u k* è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåé îáëàñòè

èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: * a k = ∑ bn ∫ u k Mˆ u n d τ . n

* Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: M kn = ∫ u k Mˆ u n dτ , òîãäà äëÿ êîýôôèöèåíòà

ak

ïîëó÷èì:

ak = ∑ bn M kn .

(27.3)

n

Ôîðìóëà

(27.3)

îïðåäåëÿåò

τ ïåðåõîä îò ôóíêöèè

v, äàííîé â L − ïðåäñòàâëåíèè ê ôóíêöèè u, òàêæå äàííîé â L - ïðåäñòàâëåíèè. Ýòîò ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ Ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ

M kn .

M kn çàäàåò îïåðàòîð Mˆ â L − ïðåäñòàâ-

ëåíèè. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òàáëèöû, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé, à êîýôôèöèåíòû

M kn - ýëåìåí-

òàìè ìàòðèöû. Î÷åíü âàæåí ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ñîñòàâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå

Lˆ â åãî ñîáñòâåííîì L − ïðåäñòàâëåíèè, êîãäà â êà÷åñòâå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Lˆ. îïåðàòîðà

Ñîñòàâèì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà

Lˆ â L − ïðåäñòàâëåíèè:

* * Lkn = ∫ u k Lˆ u n dτ = Ln ∫ u k u n dτ = Lnδ kn ,

ò.å. îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò ëèøü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñ k 99

(27.4)

= n, êîòîðûå

ðàñïîëîæåíû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû Lkn . Èòàê, ìàòðèöà îïåðàòîðà â åãî ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè (ò.å. êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ýòîãî îïåðàòîðà) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, îòëè÷íûìè îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ ëèøü ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïðè ýòîì íà äèàãîíàëè ñòîÿò åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå, êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Åñëè âûáèðàåòñÿ èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå, òî â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà, ò.å. ïëîñêèå âîëíû.

28. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîé ôîðìå Ïóñòü ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà

Lˆ , ñîîòâåòñòâóþùåãî

L , áóäóò ôóíêöèè un (x ). Ðàçëîæèì ôóíêöèþ Ψ ( x, t ) â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà Lˆ : íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå

Ψ ( x, t ) = ∑ C n (t )un ( x ).

(28.1)

n

Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

ih

∂Ψ ∂ = Hˆ Ψ : ih ∑ C n (t )un ( x ) = Hˆ ∑ C n (t )u ( x ) . ∂t ∂t n n

(28.2)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè, ìîæíî ñïðàâà ïîñòàâèòü ôóíêöèþ

C n (t ) ïåðåä îïåðàòîðîì Ãà-

ìèëüòîíà. Ïðîèçâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ñëåâà â (28.2), ïîëó÷àåì:

ih ∑ u n ( x ) n

dC n (t ) = ∑ C n (t ) Hˆ un ( x ). dt n

100

(28.3)

*

Óìíîæèì (28.3) íà u m ( x ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííîé õ.  ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé

un (x ) ñëåâà îñòàíåòñÿ

ëèøü îäèí ÷ëåí ñ íîìåðîì n=m. Èòàê, âìåñòî (28.3) ïîëó÷àåì:

ih ãäå

dC n (t ) = ∑ H mn Cn (t ), dt

H mn = ∫ u m ( x) Hˆ u n ( x) dτ *

(28.4)

, m = 1,2....

Óðàâíåíèå (28.4) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè. Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Q (28.4) äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷è, êîãäà âíåøíèå ïîëÿ, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, íå çàâèñÿò îò âðåìåíè - ñëó÷àé ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû. Âîñïîëüçóåìñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì, èëè Ŗïðåäñòàâëåíèåì, áàçèñîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà, íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè. Òîãäà

H mn = ∫ u * m Hˆ u n dτ = En ∫ u * m u n dτ = Enδ mn

è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä:

ih Ïîñêîëüêó

dC n (t ) = E n C n (t ). dt

(28.5)

E n = Const , òî óðàâíåíèå (28.5) ðåøàåòñÿ ýëåìåíòàðíî: Ñ n (t ) = C n (0)e

i ( − E nt ) h

è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê:

Ψ ( x, t ) = ∑ C n u n = ∑ C n (0)u n ( x ) e

i ( − Et ) h

,

(28.6)

÷òî óæå áûëî íàìè ïîëó÷åíî ðàíåå.

29. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè è îò ÷èñëà èçìåðåíèé ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ðåøàåòñÿ çàäà÷à. 101

Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷, ò.å. íàõîäèòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íå òî÷íî, à ïðèáëèæåííî. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûì ìåòîäîì ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé. Ðàññìîòðèì ñóòü ýòîãî ìåòîäà. Ïóñòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà H ˆ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïåðàòîðîâ:

Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ ,

(29.1)

ïðè÷åì èçâåñòíî òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ Ãàìèëüòîíèàíà

Hˆ 0 , ò.å. èç-

âåñòíû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óðàâíåíèÿ:

Hˆ 0 Ψ 0 = E 0 Ψ 0 . Òàê êàê îïåðàòîð

(29.2)

Vˆ íå ðàâåí íóëþ, òî íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü

óðàâíåíèå:

( Hˆ 0 + Vˆ )Ψ = EΨ.

(29.3)

Òåîðèÿ âîçìóùåíèé ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà “âîçìóùåíèå”

Vˆ

ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì. Êðèòåðèé “ìàëîñòè” óñòàíîâèì íèæå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà

Hˆ ÿâ-

ëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè è ãàìèëüòîíèàí H ˆ íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Áóäåì èñêàòü òàêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðè Vˆ = 0 ïåðåõîäÿò â ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íèÿ íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà

Ψ0

è ñîáñòâåííûå çíà÷å-

E0 .

Îáîçíà÷èì ýòè èñêîìûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÷åðåç Ψm è E m . Ðàçëîæèì èñêîìóþ ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ ñòâåííûì ôóíêöèÿì

Ψm ïî ñîá-

0 Ψn íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà Hˆ 0 :

Ψm = ∑ Cn Ψn . 0

(29.4)

n

Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèå (29.3):

∑ (E

m

0 0 − Hˆ 0 )C n Ψn = ∑VˆCn Ψn .

Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà Ψk 0• è ïðîèíòåãðèðóåì ïî 102

âñåìó ïðîñòðàíñòâó èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ, ó÷òåì ïðè ýòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòü íåâîçìóùåííûõ ôóíêöèé. Òîãäà ïîëó÷èì :

C k ( Em − E k ) = ∑Vkn C n , 0

(29.5)

n

ãäå 0• 0 Vkn = ∫ Ψk VˆΨn dτ

(29.6)

ÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ, âû÷èñëåííûìè ñ ïîìîùüþ íåâîçìóùåííûõ ôóíêöèé. Ïðåäñòàâèì èñêîìûå âåëè÷èíû

E m è Cn â âèäå ðàçëîæåíèé â ðÿä:

E m = E m + E m + E m + ... , 0

1

2

C n = Cn + C n + Cn ..., 0

1

2

ñ÷èòàÿ êîýôôèöèåíòû E m è C n âåëè÷èíàìè òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷òî 1

è ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû âîçìóùåíèÿ. Ïîäñòàâèì ýòè ðàçëîæåíèÿ â ðàâåíñòâî (29.5): (C k 0 + C k 1 + C k 2 + ...)( E m 0 + E m1 + ... − E k 0 ) = = ∑ Vkn (C n 0 + C n1 + ...). n

Ðàñêðîèì ñêîáêè è ïðèðàâíÿåì ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè (ñ ó÷åòîì ñäåëàííîãî âûøå çàìå÷àíèÿ î ìàëîñòè âåëè÷èí E m è C n1 ) :

C k ( E m − E k ) = 0, 0

0

0

C k ( E m − E k ) + Ck E m = ∑Vkn C n , 1

0

0

0

1

0

n

C k ( E m − E k ) + Ck E m + C k E m = ∑Vkn Cn , 2

0

0

0

2

1

1

1

n

.......................................................................... Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò (ò.ê. Ñk 0 ≠ 0) ,÷òî âîçìîæíî ëèøü îñíîâíîå ñîñòîÿíèå: E m 0 = E k 0 , ÷òî ñèìâîëè÷åñêè ìîæíî çàïèñàòü òàê:  1, k = m 0 . C k = δ km =   0, k ≠ m

103

Ïîäñòàâèì ýòîò ðåçóëüòàò âî âòîðîå ðàâåíñòâî:

δ km E m + Ck ( E m − E k ) = Vkm . 1

1

0

0

Çäåñü ñïðàâà ó÷òåíî, ÷òî òîëüêî îäèí êîýôôèöèåíò Ñ n 0 = δ km = 1. Ïðè k = m íàõîäèì âåëè÷èíó ïåðâîé ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè: E m = Vmm , 1

à ïðè

k ≠ m (δ km = 0) êîýôôèöèåíòû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ðàâåíñòâîì: Ck = 1

Vkm . 0 0 Em − E k

1 C m ýòîé ôîðìóëîé íå îïðåäåëÿåòñÿ. Îí ìîæåò áûòü

Êîýôôèöèåíò

íàéäåí èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, èìåþùåé ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ñëåäóþùèé âèä:

∫Ψ

m

0

+ Ψm

1 2

1•

1•

dτ = 1 + C m + C m = 1 ⇒ C m + C m = 0. 1

1

Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì Ñ m = 0. 1

Ïîÿñíèì, êàê áûëî ïîëó÷åíî óñëîâèå íîðìèðîâêè:

∫ Ψm

0

(

)

2 * + Ψm1 dτ = ∫ Ψm 0 + Ψm1  Ψm 0• + Ψm1 dτ =  

= ∫ Ψm 0 Ψm 0• dτ + ∫ Ψm1Ψm 0• dτ + ∫ Ψm 0 Ψm1• dτ =

=1+ ∫ Ψm1Ψm 0 •dτ + ∫ Ψm 0 Ψm1•dτ . Ïîêàæåì, ÷åìó ðàâíû ïîñëåäíèå äâà èíòåãðàëà. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè Ψm1 â ðÿä:

Ψm = ∑ Cm Ψm . 1

1

0

Óìíîæèì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà

0• Ψm è ïðîèíòåãðèðóåì

ïî âñåìó îáúåìó èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ:

∫Ψ

m

0•

Ψm dτ = ∑ ∫ Cm Ψm Ψm dτ = C m . 1

1

104

0

0•

1

Àíàëîãè÷íî îáúÿñíÿåòñÿ ïîÿâëåíèå êîýôôèöèåíòà

Ñm . 1•

Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå: Ψm1 = ∑ ' n

Vnm E m0

− E n0

Ψn 0 ,

ãäå øòðèõ ó çíàêà ñóììèðîâàíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî â ñóììå íåò ÷ëåíà n=m. Îòñþäà âèäíî, ÷òî òðåáîâàíèå “ìàëîñòè” âîçìóùåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå: Vnm T. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ V (t ), óäîâëåòâîðÿåò ïîëíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà :

∂Ψ = ( Hˆ 0 + V (t )) Ψ. (31.1) ∂t Äëÿ íàõîæäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (31.1), ïðåäñòàâèì å¸ â âèäå ðÿäà: ih

Ψ = ∑ Ñ k (t )uk exp( −

i E k t ), h

(31.2)

E n è un − ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà

Hˆ 0

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äî âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé

En . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t ≤ 0 â

ñóììå (31.2) îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå:

Ψíà÷ = un exp( −

i E n t ), h

÷òî ýêâèâàëåíòíî ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè Ñ k (t ) = δ kn ïðè t ≤ 0. Ïî èñòå÷åíèè äåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ, ò.å. ïðè t ≥ T , êîýôôèöèåíòû

Ck ñíîâà ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ Cmn (t ), èõ âåëè÷èíà çàâèñèò îò âèäà îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ V (t ) è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå îòìå÷àåòñÿ âòîðûì èíäåêñîì. Èòàê, ïðè t > T ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé 106

ôóíêöèåé:

Ψêîí = ∑ C mn (t )um exp( − m

iE m t ). h

Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé äóëÿ êîýôôèöèåíòà

Em , áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êâàäðàòîì ìî-

Cmn (t ) : Pmn = C mn (t ) . 2

Pmn îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñèñòåìû çà âðåìÿ T èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ n êîíå÷íîå m. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ñ mn âûðàæåíèå (31.2) ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (31.1). Çàòåì óìíîæèì îáå ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà

i • um exp( E m t ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ, îò h

êîòîðûõ çàâèñÿò ýòè ôóíêöèè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

ih

∂C m (t ) • = ∑ ∫ um Vu k dτ ⋅ exp(iω mn t )C k (t ). ∂t m

(31.3)

hω mn = Em − E n , à òàêæå ïðèíÿòî âî âíèìàíèå ÷òî

ãäå

Hˆ 0 Ψk = E k Ψk .  äàëüíåéøåì èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà m íå ðàâíî n, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ

∫u

• n

Vun dτ = 0.  ýòèõ ñëó÷àÿõ â ñóììå (31.3) áóäåò îòñóòñòâîâàòü ÷ëåí ñ

m=n, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (31.3) ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ:

Ñk (0) = δ kn , Ck (0) = 1 ïðè k = n,

C k (0) = 0 ïðè k ≠ n.

Âîçüìåì â êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ Ñ k (t ) èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ: Ck (t ) = δ nk . Ïîäñòàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü (31.3), òîãäà ìû ïîëó0

÷èì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ Ñ m 107

(1)

(t ) :

∂C (t ) 0 = ∑Vmk (t ) exp(iω mk t )C k = Vmn (t ) exp(iω mn t ), ih m ∂t k (1)

ãäå ó÷òåíî, ÷òî C k 0 = 1, k = n. Îòñþäà T

C m (t ) = − (1)

i Vmn (t ) exp(iω mn t )dt . h ∫0

(31.4)

Ïîäñòàâëÿÿ (31.4) â (31.3), ìîæíî íàéòè âòîðîå ïðèáëèæåíèå è ò.ä. Åñëè V ( x, t ) ìàëî, òî äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ 1-ì èëè 2-ì ïðèáëèæåíèÿìè.

32. Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ïîä âëèÿíèåì âîçìóùåíèÿ, çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè Ïóñòü âîçìóùåíèå çàâèñèò îò âðåìåíè òàê, ÷òî ïðè t ≤ 0 V ( x,0) = 0.

Îíî ðàâíî íóëþ è äëÿ t ≥ T . Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó

(31.4) è îãðàíè÷èâàÿñü 1-ì ïðèáëèæåíèåì, èìååì: ∞

T

Ñ m (t ) = − (1)

i i Vmn (t ) exp(iω mn t )dt = − ∫ Vmn (t ) exp(iω mn t )dt. (32.1) ∫ h0 h −∞

Îïðåäåëèì çíà÷åíèå ýòîãî êîýôôèöèåíòà, èñïîëüçóÿ èíòåãðàë Ôóðüå: åñëè ∞

V ( x, t ) = ∫V ( x, ω) exp(−iωt )dω, −∞

òî V ( x, ω) =

1 ∞ V ( x, t ) exp(iωt )dt . 2π −∫∞

Ïðåäñòàâèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âîçìóùåíèÿ Vmn (t ) òàê:

108

Vmn (t ) = ∫ um • ( x )V ( x , t )un ( x )dτ =

∞

∫

−∞

∞

exp(iωt ) ∫ um ( x )V ( x , ω)un dτdω = −∞

∞

= ãäå

∫ exp( −iωt )V

mn

(ω )dω ,

−∞

Vmn (ω ) − ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êîìïîíåíòû Ôóðüå. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ôóðüå, èìååì:

Vmn (ω ) =

1 Vmn (t ) exp(iωt )dt. 2π ∫

Ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (32.1), ïîëó÷àåì:

Ñ m (t ) = (1)

2π Vmn (ω mn ). ih

Òîãäà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ n â ñîñòîÿíèå m ,áóäåò ðàâíà:

Pmn =

4π 2 2 Vmn (ω mn ) . 2 h

(32.2)

Ýòà ôîðìóëà ñîäåðæèò âàæíûé ðåçóëüòàò. Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà Vmn (ω mn )

≠ 0 , ò.å. ïåðåõîä ñ óðîâíÿ

E n íà óðîâåíü Em âîçìîæåí ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà â ñïåêòðå âîçìóE m − En , ïåðåõîä íîñèò ðåçîíàíñíûé h õàðàêòåð, âûïîëíÿåòñÿ ïðàâèëî ÷àñòîò Áîðà. Çàìåòèì, ÷òî â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå íåâîçìîæíî, òàê êàê â îòñóòñòâèå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ àòîì ñêîëü óãîäíî äîëãî äîëæåí íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè, â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ýíåðãèè. Îäíàêî îïûò ãîâîðèò î äðóãîì. Äåëî â òîì, ÷òî ìû ñóùåñòâåííî óïðîñòèëè çàäà÷ó î äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà è íå ó÷ëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå äâèæóùèìñÿ ýëåêòðîíîì è äåéñòâóþùèì íà íåãî ñàìîãî. Îáúÿñíåíèå ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàí-

ùåíèÿ ñîäåðæèòñÿ ÷àñòîòà ω mn =

109

òîâîé ìåõàíèêè ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîñòóëàò.  êà÷åñòâå êîíêðåòíîé çàäà÷è ðàññìîòðèì êâàíòîâûå ïåðåõîäû ïîä âëèÿíèåì ñâåòîâîé âîëíû. Îíî îêàçûâàåò ìåíüøåå âëèÿíèå (îáû÷íî), ÷åì êóëîíîâñêîå ïîëå ÿäðà è äðóãèõ ýëåêòðîíîâ, ïîýòîìó åãî äåéñòâèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå. Êðîìå òîãî, ÷àñòî áûâàåò äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ âëèÿíèåì ýëåêòðè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ, òàê êàê ìàãíèòíîå ïîëå äåéñòâóåò íà ýëåêòðîí çíà÷èòåëüíî ñëàáåå. Ïóñòü ïàäàþùèé ñâåò ìîíîõðîìàòè÷åí è ïîëÿðèçîâàí. Òîãäà íàïðÿæåííîñòü åãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàïèøåòñÿ òàê: r r E ( x, t ) = E0Cos(ωt − kx ), ãäå k =

2π 2πc , ω= . λ λ

Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàññìîòðåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìà ñ âèäèìûì è óëüòðàôèîëåòîâûì ñâåòîì, äëèíà âîëíû êîòîðîãî

λ ≥ 10 −8 ñì. Òàê êàê ðàçìåð àòîìà ≈ 10 −8 ñì , òî â ïðåäåëàõ ñèñòåìû ôàçà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû

2πx λ

ñóùåñòâåííî íå ìåíÿåòñÿ. Åñëè âûáðàòü

2πx ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. λ Òîãäà âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû çàïèøåòñÿ òàê:

íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðå ñèñòåìû, âåëè÷èíîé

r r E (t ) = E 0Cosωt.

Çàïèøåì ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñ ýëåêòðîíîì:

r r V ( r , t ) = −eϕ ( r , t ),

rr

r

r

ãäå ϕ (r , t ) = − Er - ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, r - ðàäèóñ-âåêòîð ýëåêòðîíà. Ðàññ÷èòàåì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîä âëèÿíèåì âîçìóùåíèÿ V ýëåêòðîí â ñèñòåìå ïåðåøåë èç ñîñòîÿíèÿ ýíåðãèåé

Ψn c ýíåðãèåé E n â ñîñòîÿíèå Ψm ñ

Em . Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Vmn (ω mn ) :

Vmn (ω mn ) =

1 2π

∞

∫ exp(iω

−∞

mn

rr • t ) Ψm ( − eEr ) Ψn dxdydz dt =

{

110

}

r 1 = ∫ Ψm ( − er ) Ψn 2π •

r ω exp( i t ) E (t )dt. mn ∫ ∞

−∞

r

Ïîñëåäíèé èíòåãðàë åñòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèè E (ω mn ) â èíòåãðàë Ôóðüå. Ïîýòîìó:

r r Vmn (ω mn ) = ( − er ) mn E (ω mn ).

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà îïðåäåëèòñÿ ïî ôîðìóëå (32.2):

Pmn =

r 2 r 4π 2 ( −er ) mn E (ω mn ) . 2 h

(32.3)

Îïèñàííîå âçàèìîäåéñòâèå ñâåòîâîé âîëíû ñ àòîìîì íàçûâàåòñÿ r äèïîëüíûì. Ðîëü äèïîëüíîãî ìîìåíòà âûïîëíÿåò âåëè÷èíà (− er )mn c êîìïîíåíòàìè:

d mn = −e ∫ Ψ • m xΨn dτ . x

Ñîîòâåòñòâåííî ñîñòàâëÿþòñÿ è äâå äðóãèå êîìïîíåíòû äèïîëüíîãî r 2 ìîìåíòà. Êâàäðàò êîìïîíåíòû Ôóðüå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E (ω mn ) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïðîøåäøåé çà âðåìÿ T ÷åðåç îáúåì àòîìà. Äåéñòâèòåëüíî, ïëîòíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ðàâíà

ε 0 E 2 / 4 (èìååòñÿ åùå ðàâíàÿ ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ). Ïîòîê ýíåðãèè ðàâåí ñ

ε0E 2 (ñ -ñêîðîñòü ñâåòà). Îòñþäà âñÿ ïðîòåêøàÿ ÷åðåç 1 ñì2 ýíåðãèÿ W 4

îïðåäåëèòñÿ ïî ôîðìóëå: ε 0ñ ∞ 2 ε0c W= 4 ∫ E (t )dt = 4 −∞

∞

∫

∞

dt

−∞

∫

−∞

∞

E (ω) exp(iωt )dω ∫ E • (ω` ) exp(−iω`t )dω` . −∞

Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ∞

∫ exp[i (ω − ω )]dt = 2πδ (ω − ω ), `

`

−∞

òîãäà, èíòåãðèðóÿ ïî t , íàéäåì : 111

( )(

)

W = ε 0 πc / 2 ⋅ ∫∫ E (ω)E • ω` δ ω − ω` dωdω` = −∞

∞

ε 0 πc ∞ 2 ∫ E (ω) dω = 2 −∞

(32.4)

= ε 0 πc ∫ E (ω) dω. 2

0

Ïðè ýòîì íàäî èìåòü ââèäó, ÷òî E (ω ) = E • ( −ω ) , òàê êàê E(t) äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Åñëè ÷åðåç W (ω ) îáîçíà÷èòü ïðîøåäøóþ ýíåðãèþ íà èíòåðâàë ÷àñòîòû dω , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: ∞

W = ∫ W (ω )dω .

(32.5)

0

Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ

(32.4) è (32.5), ïîëó÷àåì:

W (ω ) = ε 0π c E (ω ) . 2

Âûðàçèì îòñþäà

(32.6)

E (ω ) è ïîäñòàâèì â (32.3):

Pmn =

4π (− errmn ) 2 W (ω mn ) . 2 ε 0h c

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, W (ω ) = ρ cT , ãäå ρ - ïëîòíîñòü ëó÷èñòîé ýíåðãèè . È âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè áóäåò ðàâíà: Ð mn =

4π ε0h

2

(− errmn ) 2 ρ(ω).

(32.7)

33. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ Âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íå ïðîèñõîäÿò (íî ìîãóò ïðîèçîéòè ïîä äåéñòâèåì ñòîëêíîâåíèé). Óñòàíîâèì ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ïîãëîùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ ñâåòà. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ îñöèëëÿòîðà. Êâàíòîâûå óðîâíè îñöèëëÿòîðà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå : 112

1  E n = h ω  n + , n = 0,1,2 ... 2  Ýëåìåíòû ìàòðèöû ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà ðàâíû :

d mn = ex mn exp(iω mn t ) = ex mn exp(iω 0 ( m − n )), ãäå ω 0 - ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà,

xmn - ýëåìåíòû ìàòðèöû êîîð-

äèíàòû:

x mn = ∫ Ψm• xΨn dx. Ýëåìåíòû ìàòðèöû êîîðäèíàòû îòëè÷íû îò íóëÿ ïðè m = n ± 1. Ïîýòîìó ïðàâèëî îòáîðà èìååò âèä:

d mn ≠ 0 ïðè

m = n ± 1,

à ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû ðàâíû:

ω mn = ω 0 (m − n ) = ω 0 ,

÷òî îçíà÷àåò, ÷òî îñöèëëÿòîð ìîæåò ïîãëîùàòü è èçëó÷àòü òîëüêî ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó (òàê áûëî è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå). Ïðàâèëî îòáîðà äëÿ ïåðåõîäîâ îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà â àòîìå. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà äëÿ ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ â ïîëå öåíòðàëüíûõ ñèë. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé èìååò âèä:

Ψnlm ( r, θ , ϕ ) = Rnl ( r ) Pl m (Cosθ ) exp(imϕ ). Ìàòðèöû êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà îòëè÷àþòñÿ îò ìàòðèöû êîîðäèíàò ýëåêòðîíà òîëüêî ìíîæèòåëåì (-å ). Ðàñ÷åòû äàþò, ÷òî ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî èçìåíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó íîå ÷èñëî

m'−m = ±1, 0. Îðáèòàëü-

l ' = l ± 1, ò.å. ïåðåõîäû ïðîèñõîäÿò ìåæäó ñîñåäíèìè ïî M 2

ñîñòîÿíèÿìè. Ïðàâèëî îòáîðà äëÿ ðàäèàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò. Èç ñïåêòðîñêîïèè èçâåñòíî, ÷òî ïåðåõîäû âîçìîæíû ìåæäó l ↔ p, p ↔ d è ò.ä. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà äàåò îáúÿñíåíèå ýòîìó ôàêòó òîëüêî äëÿ òàêèõ ïåðåõîäîâ, äëÿ êîòîðûõ îòëè÷íû îò íóëÿ ýëåêòðè÷åñêèå ìîìåíòû.

Èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé

Ïðè êàæäîì ïåðåõîäå ýëåêòðîíà â àòîìå ñ îäíîãî óðîâíÿ íà äðóãîé ïðîèñõîäèò èçëó÷åíèå ýíåðãèè (åñëè m>n). Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ, èçëó÷åííàÿ çà 1 ñ â òåëåñíûé óãîë dΩ, ðàâíà: 113

d(

ω4 r 2 dW ) = mn 3 d mn Sin 2θ dΩ. 2π c dt

À ïîëíîå èçëó÷åíèå àòîìà çà 1ñ ïîëó÷èì, èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïî óãëàì: 4 r 2 dW 4ω mn d = mn . dt 3c 3 ×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíóþ íàáëþäàåìóþ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ, ñëåäóåò óìíîæèòü ýòó âåëè÷èíó íà ÷èñëî àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ â âîçáóæ-

äåííîì ñîñòîÿíèè. Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ÷àñòîòû ω mn , âûçâàííîãî ïåðåõîäîì àòîìà èç ñîñòîÿíèÿ m â ñîñòîÿíèå n , ðàâíà:

I mn = N m ⋅

4 r 2 4ω mn d mn . 3 3c

34. Êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà äëÿ èíäóöèðîâàííûõ è ñïîíòàííûõ ïåðåõîäîâ Ñîãëàñíî òåîðèè Ýéíøòåéíà âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ êâàíòà hω mn , èìåþùåãî ïîëÿðèçàöèþ α è ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â òåëåñíîì óãëå dΩ â 1ñ ðàâíà:

dWα = bnmα ρα (ω , Ω )dΩ,

(34.1)

ãäå bnmα − êîýôôèöèåíò Ýéíøòåéíà äëÿ èíäóöèðîâàííîãî ïðîöåññà, ïðè÷åì èìååòñÿ òàêîå ñîîòíîøåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ρ : ρ α (ω ) = ∫ ρα (ω , Ω )dΩ.

 íàøåé çàäà÷å èçëó÷åíèå ïîëÿðèçîâàíî, ïîýòîìó ôóíêöèÿ ρα (ω , Ω ) äîëæíà â îòíîøåíèè óãëà Ω íîñèòü õàðàêòåð δ -ôóíêöèè:

ρα (ω, Ω) = ρα (ω)δ(Ω).

(34.2)

Èíòåãðèðóÿ (34.2) ïî óãëó è èñïîëüçóÿ (34.1), íàõîäèì âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ â 1 ñ äëÿ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè: 114

(34.3) Wα = bnmα ρ α (ω ). Íà îñíîâàíèè ÇÑÏÝ âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ êâàíòà ñâåòà äîëæíà áûòü ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà àòîìà èç ñîñòîÿíèÿ E n â E m , ò.å. Wα = Pmn . Çíàÿ âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè

Pmn , íàõîäèì çíà÷åíèå êîýô-

ôèöèåíòà Ýéíøòåéíà bnmα äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîãëîùåíèÿ ñâåòà: 4π 2

2

d mn Cos 2θ mn . (34.4) h2 Èíäåêñ α õàðàêòåðèçóåò ïîëÿðèçàöèþ. Âûáåðåì α = 1 , îïðåäåëÿþùåå íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ê ëó÷ó è ëåæàùåå â ïëîñêîñòè ëó÷à è bnmα =

r âåêòîðà d mn , ñîîòâåòñòâóþùåãî íàïðàâëåíèþ α = 2. Òîãäà

θ mn =

π − ϑmn , 2

r ãäå θ mn − óãîë ìåæäó l è d mn , ϑmn − óãîë ìåæäó âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè r d mn è íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîãëîùàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Òîãäà:

bnm1 =

4π 2 r 2 d mn Sin 2ϑmn , bnm2 = 0. h2

(34.5)

Ïî Ýéíøòåéíó êîýôôèöèåíò ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ amn α ñâÿçàí ñ êîýôôèöèåíòîì èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ. Ê òîìó æå, ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ äîëæíî áûòü ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå : bmn α = bnmα . Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ïîëÿðèçàöèè α â òåëåñíîì óãëå dΩ ðàâíà: dWr` = a mn α dΩ =

ãäå ω =

hω 3 8π c

3 3

bmn α dΩ =

hω 3 8π 3c 3

bnmα dΩ,

Em − En = ω mn . h

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ bnmα ïðè α = 1, ïîëó÷àåì: 115

dWr`1 =

ω3mn

r 2 d mn Sin 2 ϑ mn dΩ , dWr`2 = 0.

2πc h Ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ðàâíà: Wr`1 =

3

3 4ω mn

3hc 3

2

(34.:6)

(34.7)

d mn .

35. Ïîíÿòèå î êâàíòîâîé òåîðèè äèñïåðñèè  êëàññè÷åñêîé òåîðèè äèñïåðñèè ýëåêòðîí ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ÷àñòèöà, äâèæóùàÿñÿ ïîä âëèÿíèåì êâàçèóïðóãîé ñèëû. Äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîëÿðèçóåìîñòè β ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå :

β=

1 e2 , mε 0 ω 02 − ω 2

(35.1)

ãäå e-çàðÿä ýëåêòðîíà, m - åãî ìàññà, ω 0 è ω − ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà è ÷àñòîòà âíåøíåãî ïîëÿ. Åñëè â àòîìå èìåþòñÿ ýëåêòðîíû, îáëàäàþùèå ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ω 0 , ω1 , ω 2 ...ω ê è ÷èñëî ýëåêòðîíîâ ñ ÷àñòîòîé ω ê åñòü f k , òî âìåñòî ïðåäûäóùåé ôîðìóëû íóæíî ñîñòàâèòü áîëåå ñëîæíîå âûðàæåíèå:

β=

e2 mε 0

∑ ω 2 −k ω 2 . f

(35.2)

k

×èñëî f k ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëî îñöèëëÿòîðîâ â àòîìå, îáëàäàþùèõ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ω ê . Ôîðìóëà (35.2) äàåò ïðàâèëüíóþ çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû β îò ÷àñòîòû ïàäàþùåãî ñâåòà. Îäíàêî, îïûò äàåò äëÿ ÷èñåë f k çíà÷åíèÿ, ìåíüøèå åäèíèöû, ÷òî ôèçè÷åñêè áåññìûñëåííî.  êâàíòîâîé òåîðèè äèñïåðñèè ïîëó÷àåòñÿ òà æå ôîðìóëà, íî ïðè ýòîì âåëè÷èíû f k óæå íå ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàìè ýëåêòðîíîâ ê- ñîðòà, à èìåþò ñîâñåì äðóãîé ñìûñë. Ïîýòîìó è íàçâàíèÿ ýòèõ âåëè÷èí äðóãîå - ñèëû îñöèëëÿòîðîâ. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ñèëû îñöèëëÿòîðîâ â ïîëíîì ñîãëàñèè ñ îïûòíûìè äàííûìè. Ñ÷èòàÿ ïàäàþùèé ñâåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèì, à äëèíó åãî âîëíû ìíîãî áîëüøå ðàçìåðîâ àòîìà èëè ìîëåêóëû, ìîæíî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñâåòîâîé âîëíû âíóòðè êâàíòîâîé ñèñòåìû ïðåäñòàâèòü â âèäå: 116

r r E = E 0 Cosωt. Ýòî ïîëå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå. Ýíåðãèÿ âîçìóùåíèÿ åñòü: r r V = −e( E 0 r )Cosω t. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåòñÿ òàê: ih

∂Ψ = ( Hˆ 0 + Vˆ )Ψ, ∂t

ãäå Hˆ 0 - íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí, ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè Ψn0 , à E n0 − ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Hˆ 0 .

Ïóñòü äî ìîìåíòà t=0, êîãäà íà àòîì ñòàëà äåéñòâîâàòü ñâåòîâàÿ âîëíà, îí íàõîäèëñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè øåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå:

( )

()

()

()

Ψn0 r . Áóäåì èñêàòü ðå-

()

Ψn r , t = Ψn0 r e −iωnt + f n r e −i (ωn −ω)t + ϕ n r e −i (ωn +ω)t ,

ãäå ω n =

E n0 . h

Ôóíêöèè f n è ϕ n c÷èòàþòñÿ âåëè÷èíàìè òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè,

( )

÷òî è âîçìóùåíèå. Ïîäñòàâèì Ψ r, t â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è îãðàíè÷èìñÿ ÷ëåíàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

[

]

[

]

e iωt h (ω n − ω ) − Hˆ 0 f n + e −iωt h (ω n + ω ) − Hˆ 0 ϕ n =

()

r r e i ωt + e − i ω t 0 Ψn r . = − e E0 r 2 Ïðèðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé ÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ ýêñïîíåíòàõ, ïî-

( )

ëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé f n è ϕ n :

[h(ω

]

( ) ()

]

( ) ()

1 r r − ω) − Hˆ 0 f n = − e E0 r Ψn0 r , 2 1 r r h (ωn + ω) − Hˆ 0 ϕ n = − e E0 r Ψn0 r . 2

[

n

117

Ïðåäñòàâèì èñêîìûå ôóíêöèè â âèäå ðÿäîâ: fn =

∑ Anm Ψm0 ,

ϕ n = ∑ Bnm Ψm0

m

m

è, ïîäñòàâëÿÿ â ïðåäûäóùèå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì: e r r h ∑ (ωn − ωm − ω)Anm Ψm0 = − E0 r Ψn0 r , 2

( ) ()

è h ∑ (ω n − ωm + ω)Bnm Ψm0 = −

( ) ()

e r r 0 E0 r Ψn . r . 2

Óìíîæàÿ íà Ψê0• è èíòåãðèðóÿ ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó ñ ó÷åòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé, íàõîäèì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ànk è Bnk : r

h (ω n − ω k − ω )Ank = −

(E rr ),

h (ω n − ω k + ω )Bnk

(Er rr ),

rkn

r = Ψk0• r Ψn0 dτ .

e 2 e =− 2

0 kn

0 kn

∫

Ðåøàÿ äàííóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: r r r r E 0 d kn E 0 d kn , Bnk = − , Ank = − 2h (ω nk − ω ) 2h (ω nk + ω ) r r ãäå ω nk = ω n − ω k − ýòî ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû àòîìà, à d nk = ernk − ìàò-

(

)

(

)

ðè÷íûé ýëåìåíò âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà. r Òåïåðü ìîæíî ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ψn (r ,t ) :  r r r r 1 E 0 d mn Ψn (r , t ) = Ψn0 (r ) − ∑ 2h 

(

) ω e − ω + ω e iωt



nm

 0 r  −iωt  Ψm (r )e . + ω  

−iωt

nm

Ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû áóäåò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ôîðìóëå: r r r ð nn = e ∫ Ψn• (r , t )r Ψn (r , t )dτ. Òîãäà âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ðàâåí: 118

( )

P = N p nn

  2 Ne 2 =  3h 

2 ωmn r mn  ∑ ω2 − ω2 E (t ). mn  

Òåïåðü ìîæíî ñîñòàâèòü ôîðìóëó äèñïåðñèè: P= χε 0 E , îòêóäà n2 −1 =

ãäå f mn =

2 Ne 2 3hε 0

ω

r

2

mn ∑ ωmn 2 − ω2 m

=

mn

Ne 2 mε 0

∑ ω2

f mn

mn

− ω2

,

2m 2 ω mn rmn , ïðè÷åì ∑ f mn = 1. 3h

Ýòî ðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ íà îñíîâå ïîëíîòû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ âû÷èñëÿþòñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû.  êâàíòîâîé òåîðèè f mn ìîæåò áûòü è ìåíüøå íóëÿ, êîãäà àòîì íàõîäèòñÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè è ω mn