Моделирование на АВК-6 линейных стационарных динамических систем: Методические указания к выполнению лабораторной работы

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский политехнический университет _____________________________________________________________

УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ, к.т.н., доцент ___________ Мельников Ю.С. "_____"_____________1998г.

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА АВК-6 ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Методические указания к выполнению лабораторной работы №203 по курсу "Теория автоматического управления" для студентов специальности 21.06 - роботы и робототехнические системы

Томск - 1998

2

УДК 62.50 Моделирование на АВК-6 линейных стационарных динамических систем: Методические указания к выполнению лабораторной работы 203 по курсу "Теория автоматического управления" для студентов специальности 21.06. Томск: изд.ТПУ, 1998.- 10 с.

Составители Рецензент

А.В.Воронин, А.М.Малышенко, доц., канд. техн. наук В.Н.Шкляр

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры интегрированных систем управления "____"____________1998г. Зав. кафедрой проф., д-р техн. наук ______________________А.М.Малышенко

3

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью данной лабораторной работы является приобретение навыков в составлении схем моделирования линейных стационарных непрерывных динамических систем (ЛСНДС) по их типовым математическим моделям на аналоговых вычислительных комплексах АВК-6 и их параметрической настройке. 2 ТИПОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛСНДС Для линейных стационарных непрерывных динамических систем обычно относят к числу типовых следующие математические модели. 1. Модель в виде дифференциального уравнения, записанная в форме "вход выход", т.е. типа ( pn + a n − 1 pn − 1 + L + a 1 p + a 0 ) y ( t ) = ( bm pm + bm− 1 pm− 1 + L + b1 p + b0 ) g ( t ) . (1) Здесь a 0 , a 1 , ..., a n − 1 , b0 , ..., bm - постоянные величины, p = d . - оператор dt дифференцирования, x , y - входной и выходной сигналы ЛСНДС. В многомерных по входу и выходу системах подобным уравнением описывается взаимосвязь между каждой парой входных и выходных сигналов. 2. Модель в виде передаточной функции между входом x ( t ) и выходом y ( t ) определяемой как y ( s ) bms m + bm− 1 s m− 1 + L + b1 s + b0 Wxy ( s ) = = (2) x ( s) s n + a n− 1s n− 1 + L + a1s + a 0 для одномерной по входу и выходу системы, или в виде передаточной матрицы Wy 1 x 1 ( s ) Wy 1 x 2 ( s ) L Wy1x r ( s ) Wy 2 x 1 ( s ) Wy 2 x 2 ( s ) L Wy2x r ( s ) W( s) = M M O M Wy kx 1 ( s ) Wy kx 2 ( s ) L Wy kx r ( s )

L M M M M N

O P P P P Q

(3)

для многомерного объекта с x ∈ R r , y ∈ R k . 3. Модель в виде операторной структурной схемы, графически отображающей уравнения динамики системы, записанные в операторной форме (обычно с использованием преобразования Лапласа). 4. Модель в форме уравнений состояния и выхода системы вида x&( t ) = Ax ( t ) + Bu( t ) + Ef ( t ) , (4) y ( t ) = Cx ( t ) + D u( t ) + Ff ( t ), где x ∈ R n , y ∈ R r , u ∈ R m - соответственно векторы состояния, выхода и управляемого входа системы; f ∈ R q вектор неуправляемого входа (возмущений), а A , B, C, D , E , F матрицы соответствующих размерностей. Подобное описание динамики системы используется при анализе и синтезе систем методами пространства состояний.

4

Между всеми перечисленными типовыми моделями у полностью управляемых и наблюдаемых систем существуют однозначные связи и поэтому каждую из них можно получить не только по исходной совокупности линейных дифференциальных и алгебраических уравнений системы, но и по любой другой типовой математической модели. 3 МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛСНДС НА АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСАХ Моделирование процессов в непрерывных динамических системах (решение совокупности описывающих их дифференциальных и алгебраических уравнений) осуществляется на аналоговых вычислительных комплексах (АВК) обычно методом понижения порядка производных с использованием для этих целей блоков интегрирования, сложения, инвертирования, умножения, деления и формирования функций одной или нескольких переменных. Дифференцирующие блоки для этих целей не применяются из-за их повышенной чувствительности к высокочастотным помехам. Процедура формирования по исходной математической модели системы соответствующей схемы набора на АВК и ее параметрической настройки включает в себя: 1) приведение исходной математической модели к виду, удобному для моделирования методом понижения порядка; 2) составление схемы набора всех уравнений математической модели системы; 3) вывод "машинных" уравнений по этой схеме набора; 4) выбор масштабов отображения входных, выходных и внутренних координат моделируемой системы электрическими сигналами в схеме набора на АВК (машинными переменными), а также масштаба времени и по ним уравнений параметрической настройки (уравнений размерностей) аналоговой модели системы; 5) выбор параметров настройки модели с учетом действующих в АВК ограничений на сигналы по вышеуказанным уравнениям параметрической настройки, и, если выявится необходимость, доработка схемы набора; 6) расчет начальных значений машинных переменных и входных сигналов в АВК с учетом моделируемых начальных условий в системе и координатных воздействий на нее. На АВК-6 ограничены возможности прямого моделирования по структурной схеме, так как ограничен список типовых звеньев САУ, которые могут быть реализованы на отдельном интеграторе. Фактически он включает лишь три звена приведенные в таблице 1 - безинерционное, интегратор и апериодическое звено 1-го порядка. Несколько расширяет возможности АВК отнесение к типовым звена 2-го порядка, хотя для его моделирования требуется два линейных блока.

5

Приведение исходной математической модели к виду удобному для моделирования на АВК обычно сводится к записи всех входящих в нее алгебраических и интегральных уравнений в явном виде относительно одной из координатных систем. Дифференциальные уравнения разрешаются относительно старшей производной. Для каждого уравнения составляется ''цепочка'' интегрирующих усилителей, последовательно понижающих порядок производной. Затем на вход каждой цепочки задается сумма членов выражающих в уравнениях старшие производные с помощью соответствующим образом соединенных операционных элеметов. Во многих случаях эта процедура эквивалентна переходу к одной из канонических форм в пространстве состояний. Рассмотрим пример получение схемы набора. Пусть ЛСНДС описывается совокупностью уравнений d2y ( t ) dy( t ) a2 a (5) + + a 0 y ( t ) = b1 x 1 ( t ); 1 dt dt2 d1 y ( t ) + d 2 z ( t ) = 0 . (6) Путем выделения старшей производной сигнала y ( t ) модель сводится к виду dy( t ) d2y ( t ) A (7) = − − A 2 y ( t ) + B1 x 1 ( t ); 1 dt dt2 z ( t ) = − D y ( t ), (8) a a b d где A 1 = 1 , A 2 = 0 , B1 = 1 , D = 1 . a2 a2 a2 d2 Структурная схема динамической системы, описываемой данными уравнениями, может быть изображена следующим образом

Схема набора модели на АВК-6, фактически дублирующая ее, приведена на рисунке 2.

6

"Машинные" уравнения для представленной модели могут быть записаны в форме u1 = − k 6 u2 − k 7 uy + k 1 ux 1 , duy du2 = k 3 u1 , = k 4 u2 , u z = k 5 uy . dt м dt м

или, после преобразований d 2 uy duy k k = − − k 7 k 3 k 4 uy + k 1 k 3 k 4 u x 1 , 6 3 dt м dt2

(10)

м

u2 = k 5 uy . (11) Последние подобны уравнениям(7), (8), причем сигналы ux 1 , uy , u z в модели отображают соответственно x 1 , y , z , а t м - независимую переменную t . Маштабы отображения входных, выходных и внутренних координат z i , i = 1, n моделируемой системы электрическими сигналами в схеме набора на АВК (машинными переменными) определяются как u mzi = zi (12) zi Напряжения u i выбираются из условия, что в процессе моделирования они не будут выходить из диапазона [− 10 ÷ + 10 ] в. Независимая переменная t в уравнениях моделируемой системы может быть также отображена машинной переменной t м с маштабом mt = t м t , (13) что дает возможность "сжимать'' или ''растягивать'' временные интервалы. Машинное время t м выбирается исходя из условий удобства отображения информации и характеристик интеграторов. В АВК-6 длительность переходных процессов не должна привышать 100с. Если из (12) и (13) выразить uzi и t м как uzi = mzi ⋅ z i , t м = mt t и подставить их в уравнения (10) и (11), то получим " машинные" уравнения подобные уравнениям исходной математической модели, отличающиеся от последних лишь видом входящих в них коэффициентов. Приравнивая соответствующие коэффициенты в уравнениях этих двух моделей, получим совокупность равенств, из которых определяются параметры настройки АВК. Для рассматриваемого примера, приняв uy = my ⋅ y , ux 1 = mx 1 ⋅ x 1 , t м = mt ⋅ t , uz = mz ⋅ z (14) и подставив эти значения в (10),(11), получим my d 2 y my dy k k = − − k 7 k 3 k 4 my y + k 1 k 3 k 4 mx 1 x 1 , 6 3 mt dt m2 dt2

(15)

t

mz z = k 5 my ⋅ y .

(16)

7

Разделив уравнения (15) и (16) на коэффициент при левой части и приравняв соответствующие коэффициенты в (7),(8) и (15),(16) имеем k6 k3

mt = A1 , my

k1 k3 k4mx 1

m2t my

= B1 ,

k7 k3 k4m2t = A2 , k5 my mz

(17) = − D.

Совместное решение (17) с учетом всех выбранных масшабов ( а если необходимо, то и их коррекции) позволяет определить все настраиваемые параметры модели, т.е. коэффициенты k 1 , k 3 − k 7 . Часть из этих параметров, в силу недоопределенности системы уравнений (17), предварительно задается с учетом их возможной реализации в линейных блоках АВК, а остальные после этого находятся из (17). 4. СХЕМЫ НАБОРА ТИПОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЛСНДС Математические модели для одномерных по входу и выходу ЛСНДС в форме "вход - выход" (1) и в виде передаточной функции (2) легко взаимно преобразуемы. В этой связи их набор на АВК практически идентичен. Заметим, что отличительной особенностью уравнения (1) является наличие производных в его правой части, что вносит дополнительные сложности в процедуру моделирования. При этом по условиям физической реализуемости m ≤ n. Так как использование дифференцирующих усилителей в составе АВК нежелательно, то для набора на АВК модели (1), (2) обычно предварительно преобразуют к одной из типовых структурных схем, не требующих дифференцирования входного воздействия. Один из вариантов структурной схемы для модели (1) приведен на рисунке 3. Здесь a 0 , a 1 , ..., a n − 1 - коэффициенты левой части дифференциального уравнения. Значения коэффициентов h0 , h1 и т. д. могут быть расчитаны по выражениям h0 = bn h1 = bn − 1 − h0 a n − 1 h2 = bn − 2 − h0 a n − 2 − h1 a n − 1 . . . . . . . . . . . . . В тех случаях, когда исходная информация о моделируемой системе представлена в виде ее структурной схемы, набор модели на АВК можно производить поэлементно, используя для типовых динамических звеньев их структурные аналоги согласно таблице 1, а для более сложных звеньев вышеописанный метод набора модели по дробно-рациональной передаточной функции. В случае представления исходной математической модели исследуемой системы в

8

координатах пространства состояний, т.е. в виде (4), схема ее набора на АВК формируется так, как это было описано выше при изложении процедуры формирования схем набора дифференциальных уравнений методом понижения порядка. Отличие здесь лишь в векторно матричной форме уравнений (4). Поэтому они должны рассматриваться как совокупности дифференциальных ( для уравнений состояния) и алгебраических (для уравнений выхода) уравнений. 5 ПРОГРАММА РАБОТЫ 1. Ознакомиться с методикой моделирования линейных стационарных динамических систем на АВК-6 , используя [1,2] и данные методические указания. 2. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением dy( t ) T + y( t) = k x ( t) , dt a) составить схему набора на АВК-6, приняв параметры T , k и масштаб времени mt согласно указанию преподавателя, из таблицы 2; б) определить моделированием реакцию на входное воздействие x ( t ) = 1( t ) при y( 0) = 0; в) сравнить результаты моделирования этой реакции с аналитическими решениями вышеуказанной задачи Коши. Таблица 2 mt Вариант 1 2 T k 1 0.2 5 1 0,1 2 0,1 1,5 1 0,1 3 0,5 5 1 0,1 4 0,01 2 1 10 3. Составить модель системы , описываемой уравнениями (5) и (6), приняв параметры согласно таблице 3. Определить для нее переходные функции по обоим входам. Таблица 3 Вариант Параметры a0 a1 a2 b1 d1 d2 1 500 20 1 100 2 6 2 200 10 1 200 10 5 3 10 0,5 0.05 25 2 5 4 100 1 0.2 20 1 0,2

9

4. Составить модель системы, структурная схема которой представлена на рисунке 3, а параметры заданы в таблице 4. Моделированием оценить устойчивость и качество переходных процессов (перерегулирование, время переходного процесса и период колебаний).

Таблица 4 Вариант

W1 ( s )

1

5

2

2 1 o. 1s + 1 0. 1s 0. 2s + 1

3 4

W2 ( s ) 10 0. 1s + 1 1 0. 1s + 1 1 2 0. 1s + 1

W3 ( s ) 2 s+1 10 s 3 0. 2s + 1

W4 ( s ) 1 2s 0. 2s + 1

1

5 10 s

W5 ( s ) 0. 1s 0. 2s + 1 0. 5 0. 2s 0. 05s + 1 0. 2

6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как составляются схемы набора на АВК дифференциальных уравнений при использовании метода понижения порядка? 2. Каковы ограничения на уровни входных и выходных сигналов операционных усилителей АВК-6? 3. Как устанавливается масштаб для представления координат системы и времени на АВК? 7 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА В отчете должны быть приведены цель лабораторной работы, исходные задания по программе работы, схемы набора исследуемых систем и расчет их параметров, результаты моделирования в соответствии с заданием и выводы о динамических свойствах моделируемых систем.

10

8 ЛИТЕРАТУРА 1. Витенберг И.М. Программирование аналоговых вычислительных машин. - М.: Машиностроение, 1972. - 408с. 2. Алексаков Г.Н., Гаврилин В.В., Федоров В.А. Персональный аналоговый компьютер АВК-6. - М.: Изд-во МИФИ, 1989. -71с.

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА АВК-6 ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Методические указания по выполнению лабораторной работы Составители Воронин Александр Васильевич, Малышенко Александр Максимович

Подписано к печати Формат 60х84.16, Бумага писчая №2. Плоская печать. Усл. печ. л. 0,58. Уч.- изд.л. 0,53. Тираж 50 экз. Заказ Бесплатно. ИПФ ТПУ, Лицензия Л.Т №1 от 18.077.94. Ротапринт ТПУ. 634034, Томск, пр.Ленина,30