Анализ передачи сигнала в линейных электрических системах: Методические указания к выполнению курсовой работы по ТОЭ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет»

Анализ передачи сигнала в линейных электрических системах Методические указания к выполнению курсовой работы по ТОЭ

Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2009

УДК 621.3 А64 Сформулированы варианты задания по анализу передачи электрических сигналов в линейных электрических цепях. Представлены основные соотношения, необходимые для выполнения курсовой работы, а также даны методические рекомендации и приведены примеры расчета для каждого этапа передачи электрического сигнала. Методические указания подготовлены на кафедре “Электротехника и транспортное электрооборудование” и предназначены для студентов факультета транспорта и энергетики.

С о с т а в и т е л и : В. Н. Ашанин, А. И. Герасимов, А. П. Чепасов

Р е ц е н з е н т : А. И. Диянов, кандидат технических наук, главный метролог ФГУП «НИИФИ»

2

Введение Важнейшими задачами учебной дисциплины «Теоретические основы электротехники» являются изучение нестационарных режимов работы электрической цепи и периодических несинусоидальных процессов, способов их математического описания, установление общих взаимосвязей воздействий и реакций в электрических цепях во временной и частотной областях, анализ передачи сигнала через линейную электрическую цепь. В этой связи в основу данной работы положена инженерная задача анализа передачи сигнала произвольной формы через линейную электрическую цепь в режиме согласованной нагрузки. Для этого в настоящих методических указаниях конкретизирован существующий теоретический материал и изложены методики расчета цепей в переходных режимах, анализа периодического электрического сигнала сложной формы и передачи его в линейной электрической цепи. В работе задействованы основные, наиболее важные и сложные разделы курса «Теоретические основы электротехники»: • анализ переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка классическим и операторным методами; • разложение периодического несинусоидального сигнала в тригонометрический ряд Фурье; • расчет пассивных линейных четырехполюсников; • анализ амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик системы передачи сигнала. Практические навыки, полученные в ходе выполнения курсовой работы, позволяют лучше освоить, понять и логически связать многие разделы дисциплины «Теоретические основы электротехники».

3

Задание на выполнение курсовой работы Для выполнения анализа передачи сигнала предлагается электрическую цепь представить в виде каскадного соединения основных ее элементов: формирователя периодического негармонического напряжения, периодизатора и пассивного четырехполюсника, работающих в режиме согласованной нагрузки. Структурная схема системы передачи электрического сигнала показана на рисунке1:

u1(t)

u2(t)

u3(t)

1 – формирователь несинусоидального напряжения u1(t); 2 – периодизатор, осуществляющий повторение во времени через период Т напряжения с заданным видом симметрии u2 (t); 3 – пассивный линейный четырехполюсник, позволяющий осуществлять передачу сигнала в режиме согласованной нагрузки

Рисунок 1 – Структурная схема линейной электрической цепи

Для выполнения задания преподавателем задается номер варианта курсовой работы. В соответствии с этим номером из таблицы А1 (приложения) осуществляется выбор: • электрической схемы формирователя негармонического напряжения для расчета переходного процесса (рисунок А1 приложения); • исходных параметров элементов электрической цепи формирователя и выходного напряжения u1(t). Для выполнения первого раздела курсовой работы необходимо определить закон изменения во времени напряжения на заданном элементе формирователя несинусоидального напряжения после коммутации. Эту задачу следует решать любым целесообразным (или определенным по заданию преподавателя) методом расчета переходных процессов: классическим или операторным.

4

На основании полученного аналитического выражения следует построить график изменения искомого напряжения в функции времени в интервале от t = 0 до t = 3τmax, где τmax – максимальная постоянная времени составляющей переходного процесса. График необходимо строить в выбранном масштабе величин. Во втором разделе работы полученный выходной сигнал u1(t) с помощью периодизатора повторяется во времени с периодом Т с обеспечением одного из видов симметрии: а) относительно начала координат; б) относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов; в) относительно начала координат и оси абсцисс; г) относительно оси ординат или отсутствия какой-либо симметрии. Полученное периодическое напряжение u2(t) должно быть разложено в тригонометрический ряд Фурье аналитическим или графоаналитическим способом. При этом необходимо учесть влияние заданного вида симметрии. Количество гармоник в разложении периодического несинусоидального напряжения u2(t) и заданный вид симметрии определяются номером варианта в соответствии с таблицей А2 приложения. По результатам расчета определяется аналитическое выражение напряжения u2(t) и затем строится график полученного напряжения с учетом всех гармонических составляющих. Полученную функцию u2(t) необходимо сравнить с функцией, полученной в результате расчета переходных процессов u1(t). Сравнение осуществить визуально по графикам, построенным в одних и тех же координатных осях. В третьем разделе курсовой работы из таблицы А3 приложения выбирается электрическая схема пассивного четырехполюсника. Проводится расчет его А-параметров и комплексного коэффициента передачи по напряжению КU. Определяются АЧХ и ФЧХ характеристики четырехполюсника и для согласованного режима работы рассчитывают его выходное напряжение u3(t). В заключении проводится сравнительный визуальный графический анализ напряжений на разных участках системы передачи: u1(t), u2(t), u3(t).

5

Особенности при выполнении курсовой работы При расчете переходных процессов и получении комплексносопряженных корней характеристического уравнения, что указывает на колебательный характер переходного процесса, в качестве несинусоидальной функции u1(t) выбирается огибающая переходного процесса в области положительных значений напряжения на интер1 вале времени от 0 до 3⋅ , где δ – коэффициент затухания свободной δ составляющей напряжения в исследуемой электрической цепи. При наличии какой-либо симметрии раскладываемого в ряд Фурье напряжения за период Т функции выбирается интервал времени от 0 до 6 τmax (Т / 2 = 3 τmax ). При отсутствии симметрии Т = 3 τmax .

Вопрос согласования отдельных элементов системы передачи решается с помощью согласующих устройств на каждом этапе преобразования сигнала, рассмотрение которых не входит в рамки данной курсовой работы. Расчет четырехполюсника осуществляется для согласованного режима работы при нагружении на характеристическое сопротивление.

6

Методические указания к выполнению курсовой работы В соответствии со структурной схемой задания курсовой работы на первом этапе производится расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и определяется напряжение на одном из ее элементов, т.е. происходит формирование сигнала u1(t) на половине периода Т / 2. По заданному варианту задания из данных таблицы А1 приложения выбираются электрическая схема цепи в переходном режиме, параметры элементов, а также определяется искомое напряжение на отдельном элементе цепи. Во всех рассматриваемых цепях действует источник постоянной ЭДС. Необходимо расчетным путем определить закон изменения во времени искомого напряжения после коммутации. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения u1(t) на интервале времени от 0 до 3 τmax. Расчет цепи в переходном режиме производится одним из методов: классическим или операторным.

Методика расчета электрических цепей классическим методом Переходные процессы в линейных электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями. Решение таких уравнений представляет собой сумму двух решений: частного и общего. При этом частное решение (принужденная составляющая) определяется напряжением на элементе в установившемся режиме при t → ∞ – U частн = U пр = U уст . Общее решение (свободная составляющая искомого напряжения) зависит от вида корней характеристического уравнения, которые в рассматриваемых цепях второго порядка могут быть:

• отрицательными вещественными неравными (p1 ≠ p2); • отрицательными вещественными равными (p1 = p2); • комплексно-сопряженными (p1,2 = δ ± jωсв ).

7

Соответственно этим трем видам корней форма записи решения для свободной составляющей напряжения приводится к виду: • uсв = A1e p1t + A2 e p2t ;

• uсв = ( A1 + tA2 ) e pt ; • uсв = Aeδt ⋅ sin ( ωсв t + ψ ) , где A1 и A2 − постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

δ − коэффициент затухания, характеризующий затухание огибающей свободной составляющей напряжения при переходном процессе; ωсв и Ψ − угловая частота колебаний и начальная фаза свободной составляющей напряжения при переходном процессе. При определении начальных условий используются законы коммутации и уравнения равновесия электрической цепи после коммутации, составленные по первому и второму законам Кирхгофа. При анализе цепи в переходном режиме учитывают два закона коммутации: 1) ток в электрической ветви с индуктивной катушкой в момент коммутации iL(0+) равен току в этой ветви до коммутации iL ( 0− ) при неизменной индуктивности ветви: iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) при L = const; 2) напряжение на конденсаторе в момент коммутации uC ( 0+ )

равно напряжению до коммутации uС ( 0− ) при неизменной емкости:

uС ( 0+ ) = uС ( 0− ) при С = const. С учетом изложенного алгоритм расчета переходного процесса в цепи с источником постоянной ЭДС классическим методом представляется в следующем виде: 1. Рассчитывают исходную электрическую цепь постоянного тока до коммутации с целью определения начальных условий iL ( 0− ) и uС ( 0− ) , учитывая, что ХL = 0, а ХC = ∞ .

8

2. На основании законов коммутации определяют значения независимых начальных условий iL ( 0+ ) и uС ( 0+ ) :

iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) , uС ( 0 + ) = u С ( 0 − ) . 3. Рассчитывают искомое напряжение на элементе в установившемся (принужденном) режиме ( t → ∞ ) . При этом учитывается, что после коммутации электрическая цепь изменяет свою конфигурацию и работает в режиме постоянного тока ( Х L → 0, Х C → ∞ ) . 4. Составляют характеристическое уравнение для электрической цепи после коммутации. В линейных цепях это уравнение целесообразно получить через комплексное входное сопротивление цепи относительно источника энергии Z ( jω) . Произведя в полученном выражении замену комплексной частоты j ω на оператор преобразования Лапласа р и приравняв его нулю, получают характеристическое уравнение цепи Z(p)=0. Решая его, находят корни уравнения p1 , p2 . 5. Составляют в общем виде решение дифференциального уравнения, определяющее искомое напряжение в переходном режиме работы электрической цепи как сумму принужденной и свободной составляющих u ( t ) = u уст + uсв .

6. Для нахождения значений постоянных интегрирования переходного процесса составляют систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи в момент коммутации ( t = 0+ ) . Учитывая определенные в п. 2 независимые начальные условия, из системы уравнений находят зависимое начальное условие искомого напряжения. 7. В соответствии с полученными корнями характеристического уравнения составляют решение искомого напряжения в аналитической форме: • если корни вещественные различные p1 ≠ p2 , то u1 ( t ) = u уст + A1e p1t + A2 e p2t ;

9

• если корни вещественные равные p1 = p2 = p , то

u1 ( t ) = u уст + ( А1 + А2t )e pt ; • если корни комплексно-сопряженные p1,2 = −δ ± jωсв , то

u1 ( t ) = uуст + Ae−δt sin ( ωсвt + ψ ) . 8. Используя найденные независимые и зависимые начальные условия, определяют постоянные интегрирования реакции цепи для искомого напряжения. 9. На основании полученного аналитического выражения строят график u1(t) в интервале времени от 0...3τmax , при этом постоянные времени для апериодического процесса определяют по формулам 1 1 1 ; τ2 = τ1 = , а для колебательного − τ = . p1 p2 δ

Пример расчета переходного процесса классическим методом В цепи (рисунок 2), питаемой от источника постоянной ЭДС, до размыкания ключа, был установившийся режим постоянного тока. Необходимо найти напряжение на индуктивной катушке после коммутации при следующих параметрах элементов цепи: Е=120 В, R1=10 Ом, R2 = 90 Ом, R3 =1000 Ом, R4 =1000 Ом, С =10 мкФ, L =10 мГн. a i1 i2

b Рисунок 2 − Исходная электрическая схема цепи до коммутации

10

Особенность расчета напряжения на индуктивной катушке состоит в том, что вначале целесообразно найти изменения тока на индуктивности после коммутации iL(t), а затем, проведя операцию его дифференцирования, определяют искомое напряжение по закону di (t ) Ома в дифференциальной форме uL=L L . dt В соответствии c алгоритмом расчета переходного процесса классическим методом определим искомое напряжение uL. 1. Рассчитываем электрическую цепь до коммутации. Учитывая действие источника постоянной ЭДС в электрической цепи, определяем начальные условия: Rэкв =

R3 R4 1000 ⋅ 1000 + R1 + R2 = + 10 + 90 = 600 Oм, 2000 R3 + R4

i1 ( 0− ) =

120 Е = = 0, 2 А, Rэкв 600

Е = i1 ( 0− )( R1 + R2 ) + U ab , iC (0− ) = 0,

U C = U cb = U ab = E − i1 ( 0− )( R1 + R2 ) = 100 B, U 100 = 0,1 A. iL ( 0− ) = ab = R4 1000 2. Таким образом, начальные условия, определяющие энергетическое состояние цепи до коммутации, имеют значения: iL (0+ ) = iL ( 0− ) = 0,1 A,

uC (0+ ) = uC ( 0− ) = 100 B. 3. В установившемся режиме при t → ∞ электрическая цепь является цепью постоянного тока, т. е. XL → 0, XС →∞ (рисунок 3). С учетом изменившейся конфигурации электрической цепи ток индуктивной катушки, равный току источника энергии, определяется по уравнению: i1уст = iLуст =

E ≈ 0,11 A. R1 + R2 + R4

11

iL уст i3 уст

i1 уст

iС уст

Рисунок 3 – Схема электрической цепи в установившемся режиме после коммутации

4. Составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации. С этой целью определяется сначала комплексное входное сопротивление цепи относительно зажимов внешнего источника энергии: 1 j ωC Ζ ( jω) = + R1 + R2 + jωL . 1 R4 + j ωC R4 ⋅

Затем, заменяя в полученном выражении j ω на p и приравнивая его к нулю, получим характеристическое уравнение цепи и находим его корни: R4 + R1 + R2 + pL = 0, R4 pC + 1 R4 + R1R4 pC + R1 + R2 R4 pC + R2 + R4 p 2 LC + pL = 0, R4 pC + 1 10−4 p 2 + 1,01 p + 1100 = 0, p1 = p2 =

−1,01 + 0,7616 2 ⋅ 10−4 −1,01 − 0,7616 2 ⋅ 10

−4

= −1241,8 c −1 , = −8858, 2 c −1.

12

5. Составляем в общем виде уравнение для определения реакции цепи с учетом полученных неравных действительных значений корней характеристического уравнения: iL ( t ) = iL уст + iLсв = 0,11 + A1e p1t + A2 e p2t . 6. Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 используем независимые и зависимые начальные условия

iL ( 0+ ) = 0,1 A; diL ( 0+ ) dt

u (0 ) = L + . L

Электрическая схема цепи для момента времени t(0 + )после коммутации представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 − Эквивалентная электрическая схема цепи в момент коммутации при t=0+

Составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа: ⎧ E = iL ( 0+ )( R1 + R2 ) + U L ( 0+ ) + i3 ( 0+ ) R4 ; ⎪ ⎨iL ( 0+ ) = i3 ( 0+ ) + iC ( 0+ ) ; ⎪ ⎩uC ( 0+ ) = i3 ( 0+ ) ⋅ R4 .

13

Решая эту систему, находим искомое зависимое начальное условие U (0 ) i3 ( 0+ ) = c + = 0,1 A; R4

U L ( 0+ ) = E − iL ( 0+ )( R1 + R2 ) − i3 ( 0+ ) R4 = 10 Β; diL ( 0+ )

U L ( 0+ ) L

=

10

= 1000. 10 ⋅ 10−3 Для нахождения постоянных интегрирования составляем систему уравнений: p1 0 ⎧i ( 0 ) = i + A2 e p2 0 ; Lуст + A1е ⎪L + ⎨ di ( 0 ) U ( 0 ) ⎪ L + = L + = A1 p1e p1 0 + A2 p2e p2 0 . L ⎩ dt dt

=

Учитывая, что e 0 =1, система уравнений преобразуется в следующий вид: ⎧0,1 = 0,11 + A1 + A2 , ⎨ ⎩1000 = A1 p1 + A2 p2 . Решая эту систему, находим значения постоянных интегрирования реакции цепи: A1 = 0,1197, A2 = −0,1297. 7. Таким образом, аналитическое выражение тока индуктивной катушки iL(t) имеет вид: iL ( t ) = 0,11 + 0,1197e −1241,8t − 0,1297e −8858,2t , А.

Поскольку по заданию необходимо определить напряжение на индуктивной катушке, то на основании дифференциального закона Ома производим операцию дифференцирования уравнения iL(t): di (t ) uL ( t ) = L L = dt

(

))

(

=10 ⋅ 10−3 0,1197 −1241,8e−1241,8t + ( −0,1297 )( −8858, 2 ) e−8858,2t = = −1, 49e −1241,8t + 11, 49e−8858,2t B.

14

8. Для определения масштаба графика uL(t) по оси абсцисс определяем постоянные времени переходного процесса: τ1 =

1 1 = ≈ 0,8 мс, p1 1241,8

τ2 =

1 1 = ≈ 0,11 мс. p2 8858, 2

Таким образом, τmax = τ1 = 0,8 мс и график uL(t)= u1(t) необходи-

мо построить на интервале времени ( 0...3τ max ) = (0...0, 24) мс , что показано на рисунке 5. UL , В

t, мс

Рисунок 5 – График изменения искомого напряжения во времени

15

Операторный метод расчета переходного процесса В основу данного метода положено преобразование Лапласа, предполагающее замену реальной функции времени (оригинала) f(t) изображением F(p). При этом исходные реальные элементы и схемы электрических цепей заменяются их операторными схемами замещения: − для индуктивной катушки (рисунок 6): U L ( p ) = pL I ( p ) − L i ( 0 ) , где pL − операторное сопротивление индуктивной катушки; iL ( 0 ) − начальное значение тока индуктивной катушки в момент коммутации;

Рисунок 6 – Операторная схема замещения индуктивной катушки

− для конденсатора (рисунок 7): U С ( p ) = I ( p) ⋅ где

1 pC

1 UС ( 0) + , pC p

− операторное емкостное сопротивление конденсатора;

U С ( 0 ) − начальное значение напряжения на конденсаторе в момент коммутации.

Рисунок 7 – Операторная схема замещения конденсатора

16

В общем виде основные законы электрической цепи в операторной форме имеют вид:

• закон Ома для ветви I ( p) =

U ( p) ; Z ( p)

• первый закон Кирхгофа для узла n

∑ Ii ( p ) = 0 ; i =1

• второй закон Кирхгофа для контура n

∑ Ek ( p) + I k ( p) Z k ( p) = 0.

k =1

Для перехода от операторного изображения искомой величины к оригиналу используют теорему разложения. При неравных корнях характеристического уравнения формула разложения имеет вид F(p)=

n N ( p )e pit N ( p) i ⇒ ∑ , pit M ( p) M '( p ) e i =1 i

где pi − корни полинома знаменателя дроби M ( p ) = 0 , равные корням характеристического уравнения; п − число корней. Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом может быть представлен в следующем виде: 1. Для исходной схемы электрической цепи определяют независимые начальные условия iL ( 0+ ) ; uC ( 0+ ) . 2. С учетом начальных условий составляют операторную схему замещения цепи после коммутации. 3. Составляют систему уравнений электрического равновесия цепи по любому целесообразному методу расчета сложных электрических цепей в операторной форме и, решая ее, находят изображение искомой величины U(p). 17

4. Используя теорему разложения (или таблицы соответствия изображений и оригиналов), определяют оригинал искомой функции u(t). 5. По полученному аналитическому выражению u(t) строят график в интервале времени от 0 до 3 τmax .

Пример расчета переходного процесса операторным методом Исследуем ту же электрическую цепь, что и в классическом методе (см. рисунок 2). Поэтому для расчета независимых начальных условий воспользуемся полученными результатами и анализ с краткими комментариями проведем по вышеуказанному алгоритму: 1. Независимые начальные условия определяются аналогично классическому методу: U С ( 0+ ) = U С ( 0− ) = 100 B, iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) = 0,1 A.

2. Операторная схема замещения цепи с учетом ненулевых начальных условий представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 – Операторная схема замещения исследуемой электрической цепи

18

3. Составляем систему уравнений по методу контурных токов: E ⎧ ⎪ I11 ( p )( R1 + pL + R4 + R2 ) − I 22 ( p ) ⋅ R4 = p + i ( 0 ) ⋅ L; ⎪ ⎨ ⎪I ( p ) ⎛ R + 1 ⎞ − I ( p ) ⋅ R = − UС ( 0) . ⎜ 4 ⎟ 11 4 ⎪⎩ 22 pC ⎠ p ⎝ Решая эту систему методом Крамера, находим:

(1100 + 10−2 p ) − 1000 ∆=

⎛ 10 −1000 ⎜1000 + ⎜ p ⎝

5

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

101000 + 10 p 2 + 1100 ⋅ 105 ; p

⎛ 120 ⎞ 100 ⎛ 105 ⎞ 20100 p 2 + 120 ⋅105 p + p3 ∆1 = ⎜ + 10−3 ⎟ − 1000 − ; ⎜1000 + ⎟= p ⎜⎝ p ⎟⎠ p3 ⎝ p ⎠ N ( p) ∆ 20100 p = 120 ⋅105 + p 2 I11 ( p ) = 1 = = ; 3 2 5 ∆ 10 p + 10100 p + 1100 ⋅10 p M ( p ) I1 ( p ) = I11 ( p ) ;

M ( p ) = 0;

(

)

p 10 p 2 + 101000 p + 1100 ⋅ 105 = 0; p1 = 0; 2

D = (101000 ) − 4 ⋅10 ⋅ 1100 ⋅ 105 = 5801 ⋅ 106 ; p2 =

−101000 + 76,164 ⋅103 = −1241,8 c−1; 20

p3 =

−101000 − 76,164 ⋅ 103 = −8858,2 c−1, 20

M ′ ( p ) = 30 p 2 + 202000 p + 1100 ⋅ 105. 4. Используя теорему разложения, находим:

19

N ( p1 ) = 120 ⋅ 105 ; M ' ( p1 ) = 1100 ⋅ 105 ; N ( p1 )

M ' ( p1 )

= 0,109; 2

N ( p2 ) = 20100 ( −1241,8 ) + 120 ⋅ 105 + ( −1241,8 ) = −11, 418 ⋅ 106 ; 2

M ' ( p2 ) = 30 ( −1241,8 ) + 202000 ( −1241,8 ) + 1100 ⋅ 105 = −94,581 ⋅ 106 ; A1 =

N ( p2 )

M ' ( p2 )

= 0,1207; 2

N ( p3 ) = 20100 ( −8858, 2 ) + 120 ⋅ 105 + ( −8858, 2 ) = −87,582 ⋅ 106 ; 2

M ' ( p3 ) = 30 ( −8858, 2 ) + 202000 ( −8858, 2 ) + 1100 ⋅ 105 = 675 ⋅ 106 ; A2 =

N ( p3 )

M ' ( p3 )

= −0,129.

Таким образом, уравнение для тока индуктивной катушки после коммутации имеет вид: iL (t ) = 0,109 + 0,12e −1241,8t − 0,129e−8858,2t , А. 5. Для нахождения искомого напряжения u L (t ) воспользуемся дифференциальным законом Ома для индуктивной катушки: di ( t ) uL ( t ) = L L = dt

(

)

= 10 ⋅ 10−3 0,12 ( −1241,8 ) e −1241,8t + ( −0,129 )( −8858, 2 ) e−8858,2t = = −1, 4e −1241,8t + 11, 4e−8858,2t , B. Это выражение определяет искомое напряжение u1(t) и его также необходимо изобразить графически на интервале времени от 0...3τmax , что должно соответствовать графику на рисунке 5.

20

Разложение периодического несинусоидального напряжения в тригонометрический ряд Фурье Во втором разделе курсовой работы производится разложение полученного несинусоидального напряжения u1(t) в тригонометрический ряд Фурье. При этом в соответствии с таблицей А2 приложения и номером варианта задается симметрия на периоде T = 2 ⋅ ( 3τmax ) , либо функция задается несимметричной на периоде Т = 3 τmax . Несинусоидальное периодическое напряжение u1(t) удовлетворяет условиям Дирихле (имеет конечное число разрыв первого рода и конечное число экстремумов за период) и может быть разложено в тригонометрический ряд Фурье в соответствии с формулой: ∞

u2 ( t ) = U 0 + ∑ U kmsin ( k ω1t + ψ k ) k =1

или ∞

(

)

′ сosk ω1t + U km ′′ sink ω1t , u2 ( t ) = U 0 + ∑ U km k =1

2π – основная угловая частота (основная гармоника) T изменения напряжения u1(t); k – номер гармонической составляющей;

где ω1 = 2πf1 =

U 0 − постоянная составляющая напряжения на нулевой гармонике; U km и ψ k − амплитуда и начальная фаза k-й гармоники напряжения; ′ − амплитуда косинусной составляющей k-й гармоники наU km пряжения;

′′ − амплитуда синусной составляющей k-й гармоники. U km Между вышеуказанными двумя формами записи ряда Фурье существует следующая связь:

21

U km = tgψ k =

(U km′′ ) + (U km′ ) ; 2

′ U km ′′ U km

2

;

′ = U km ⋅ sinψ k ; U km ′′ = U km ⋅ сosψ k . U km Следует обратить внимание на то, что при определении угла ′ ψ k по вышеприведенной формуле, по знакам составляющих U km ′′ необходимо установить, в каком квадранте плоскости этот и U km ′′ положительно, а U km ′ отрицательно, угол находится. Так, если U km ′′ < 0 и U km ′ < 0, то угол ψ k расположен в четвертом квадранте; если U km ′ >0, то угол ψ k – ′′