Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 218-242
УДК 510.642+512.57
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ СВОЙСТВ
НЕКОТОРЫХ
СУПЕРИНТУИЦИОНИСТСКИХ
П Р Е Д И К А Т Н Ы Х ЛОГИК*)
Д . Е. Т И Ш К О В С К И Й
В [1] введен и исследован класс квазицилиндрических алгебр: дока зано, что каждая суперинтуиционистская предикатная логика полна от носительно некоторого многообразия квазицилиндрических алгебр. Дан ная статья продолжает исследования в этом направлении: осуществляется трансляция свойства Бета, проективного свойства Бета, интерполяционно го свойства, дизъюнктивного свойства и экзистенциального свойства су перинтуиционистских предикатных логик на язык соответствующих мно гообразий квгьзицилиндрических алгебр. Основные обозначения и опреде ления указанной выше работы сохранены.
§ 1. Некоторые определения и обозначения Будем рассматривать языки 1-го порядка, не содержащие функцио нальных символов, предметных констант и символа равенства. При этом множество предметных переменных любого рассматриваемого языка пред полагается равным фиксированному счетному множеству Var = {#,• | г < < и}. Так как при вышеуказанных соглашениях множество предикатных символов однозначно определяет язык 1-го порядка, будем отождествлять *' Работа поддержана Российским гуманитарным научным фондом t проект N 00— 03-00108.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
Алгебраические эквиваленты некоторых свойств
219
множество предикатных символов и соответствующий ему язык, исполь зуя для них одно и то же обозначение. Пусть Р — некоторое множество предикатных символов. Функция # : Р -> а; каждому р из Р ставит в соответствие его арность, т. е. всякий р из Р является #р-арньш преди катным символом. Обозначим через For(P) множество всех формул языка Р. Для каждой формулы А обозначим через FV(A) множество свободных переменных формулы А, а через Р(А) — множество всех предикатных символов, встречающихся в формуле А. Через s^A обозначается резуль тат замены свободных вхождений переменной Xi в А на переменную х$, при условии, что эта замена допустима, т.е. ни одно свободное вхожде ние x-i в А не попадает в область действия квантора по Xj. Для любых двух формул А и В выражение А ~ В служит сокращением формулы (АэВ)Л(ВэА). Пусть Рг — некоторое фиксированное множество предикатных сим волов, содержащее для всякого натурального п счетное множество преди катных символов арности п. Всякое множество формул языка Рг, содер жащее интуиционистскую предикатную логику и замкнутое относительно правил: подстановки [1], modus ponens и обобщения, будем называть супер интуиционистской
логикой. Так как далее будут рассматриваться только
суперинтуиционистские логики, будем опускать в указанном словосочета нии слово "суперинтуиционистский". Пусть L ~~ некоторая логика, Р ~ некоторое множество предикат ных символов. L-теорией в языке Р называется всякое множество фор мул указанного языка Р , содержащее все формулы языка Р , являющиеся подстановочными частными случаями формул логики L, и замкнутое от носительно правил modus ponens и обобщения. Ясно, что множество всех формул языка Р , являющихся подстановочными частными случаями фор мул логики L, образует наименьшую L-теорию в языке Р . Эту теорию будем обозначать через L(P). Пусть L — логика, Р — некоторый язык 1-го порядка, Г U {А} С С For(P). Пишем Г Ь-£, А и говорим, что в L из Г выводима А, если формула А принадлежит наименьшей Х-теории в языке Р , содержащей
220
Д. Е.
Тишковский
множество Г. Если Г — пустое множество, пишем L Ь А и говорим, что в L выводима А. Формулы А и В называют конгруэнтными (пишем: А ~ В), если А и В получаются друг из друга применением общеизвестного принципа замены связанных переменных (см., например, [2]). Через
а
обозначается
сигнатура
(Л, V, Т, 1_, -», D, V,-, 3,-, s*•). .
,
где Т, JL — пропозициональные константы, ->, Vi, 3,, 5*- — унарные, а Л, V, D — бинарные символы операций. Алгебру А = (Дя") назовем квазицилиндрической,
если (А, Л, V, Э, -ч,Т, J_) — псевдобулева алгебра и
в А для любых i , j , fc,/ < u; верны следующие совокупности тождеств: (Q1) з\Х = X;
(Q10) s)(X Э У) = 4 * Э ^ У ;
(Q2) У.-З^-Х" - 3,-Х;
(Q11) з){Х Л У) - ^-Х" Л s)Y]
(Q3) s'V.X = V.-JT;
(Q12) s){X V У) - s)X V *}У;
(Q4) З.-^Х - s)X (i ф j);
(Q13) *rX
(Q5) 3f-± - _L;
(Q14) V,-(X DY)
,хкп),
т.е. Ti Э Pa{xJQ,...,xjm)
D С и Г2 Э
,Xkn). Таким образом, a = vipa(«jo» ••• >^jm) < *>iC
и
t>2C < V2Pb(xk0, • • • , ^ J = Ь. Остается заметить, что в силу С Е For(Po)
Алгебраические эквиваленты некоторых свойств
239
элементы viC, v2C принадлежат AQ и совпадают. Значит, V^
сверхамаль-
гамируем. П Л Е М М А 6.4, Пусть класс У'4"' амальгамируем, А и В — формулы, Т^=±{С £ For(P(A) П Р(В)) | A \-L С } . Ясли Г f/L В, mo Л \fL В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО является модификацией доказательства соот ветствующей леммы в [10]. Пусть Р 0 ^
Р{А) П Р(В),
Т\ т± {В* £
£ For(P(J3)) | Г h L В'}, Г2 ^- {А' £ For(P(A)) | A h L А'}. Очевидно, что Гх и Г 2 являются L-теориями, В Л х и г2 : AQ —> Л 2 по правилу п||С||то — ЦСНтх и г 2 ||С|| То ^ ||С||т 2 для всех С £ For(P 0 ). Легко дока зать, что i\ и г2 являются гомоморфизмами. Проверим, например, условия гомоморфизма для гх и операции s%-: ч«*-||С||т0 = ^И^СЦть = ||^C' / || T l = = ^-ЦС'Цт! = ^J-||C||TI = 5 ^ I | | C | | T 0 J г Д е С" ~ некоторая конгруэнтная фор муле С формула, для которой допустима замена переменных s* С'. Условия гомоморфизма для других операций проверяются аналогичным образом. Так как для любых C,D £ For(Po) верна цепочка эквивалентностей ||С||т 0 - \\D\\ro C - D G T o ^^
II^IITI
= ||-D||TI
И
ЦС||Т2
Ф=> C = D£T1HC~D£T2
= ||^1|т 2 »
то
h
и
Л такие, что eiii = е2г2. Для каждого предикатного символа/? полагаем:
(
ei\\p(x0,...
,a:#p~i)||Tn
е2\\р{х0,...
, а?#Р-1)||та, если р Е Р(А),
Т
если р G Р(В), в остальных случаях.
240
Д. Е.
Тишковский
Отображение v корректно определено для р G Ро, так как ei||p(a?o,... . . . ,s#p-i)||7i = вгНК^о, .-•
=
eiii||p(a?o,... ,a?# P -i)||r 0
»S#P-I)HT2-
=
е2г2\\р(х0,...
,Z#P_I)||T0
=
Кроме того, A i ^ ( z 0 , . . . » « # P - i ) = Де,-||р(а? 0 ,...
. . . , ## P -i)||Ti С Д||р(ж 0 ? • • • » ##p-i||r,- С # р . Следовательно, по лемме 1.4, г; продолжается до означивания в алгебре Л . Нетрудно доказать, что vC - eiHCHm если С 6 F o r ( P ( B ) ) , и vC = е 2 ||С||т 2 , если С Е БЪг(Р(Л)). Итак, В £ Т ь т.е. ||B||ri
< "Г. Значит, vB = е ^ ^ Ц т !
< Т , так
как ei — мономорфизм. Подобным образом, из А £ Т 2 заключаем, что и А — Т . Значит, A Y^A В . И, наконец, поскольку L полна относительно V^\
получаем A \fL В . П Л Е М М А 6 . 5 . Если класс
обладает
сверхамалъгамируем,
то логика
L
ИС.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Идея доказательства принадлежит Л . Л . Ма ксимовой [8, 9]. Пусть L Ь A D В , Р 0 ^± Р ( А ) П P(J3), Л 0 , Л х и А2 алгебры Линденбаума—Тарского логики L в языках Ро, Р ( А ) и Р(В)
со
ответственно. Заметим, что все указанные алгебры локально-финитарны, т. е. принадлежат V^K
Очевидно, что AQ вложима в алгебры А\ и Л 2 при
помощи отображений %\ и г2 соответственно, определенных равенствами ч\\С\\цРо)
^ \\С\\ЦР{А))
и i 2 | | C | | L ( f t ) ^ \\С\\цР(в)),
С е For(Fo).
w
Так как F ( ' сверхамальгамируем, то найдутся алгебра А в V^ мономорфизмы ei : А\ -> Л и е2 : Л 2 —> А такие, что e\ii
и
= е2г2 и д л я
всех ai E |«Ai | и а 2 € | Л 2 | eifli < е 2 а 2 Эа 0 £ |Ло|(а1 < 4 a 0 & «2^0 < ^2), ^2^2 < ^ i a i Эа 0 £ |Ло|(а 2 < г 2 а 0 & 1га0 < а\). Д л я каждого предикатного символа р полагаем: ei||p(a:o, • • • , vp(xQ,...
, s # p - i ) ^ < ег|Ь(я?о,... Т
S#P-I)||L(P(A))>
,S#P-I)||L(P(B))>
если
Р е Р(^),
если р 6 Р ( В ) , в остальных случаях.
Используя рассуждение из доказательства леммы 6.4, заключаем, что v корректно определено, продолжается до означивания в алгебре Л , vC ~
241
Алгебраические эквиваленты некоторых свойств = ^I\\C\\L(P(A))J
если С € For(P(A)), и vC = е 2 ||С||ь(р(в)).
если
С €
еБЬг(Р(в)). Поскольку L h A D В, то г?(Л Э В) — Т, т.е. vA < vB. Значит, e
i|Hlli/(F(yi)) < е2\\Щь(Р(В))- Класс V^
сверхамальгамируем, поэтому су
ществует С из For(Po) такая, что ||Л||цр(Д)) < *I||C||L(P 0 ) = ||C||L(P(A)) и ||C|| L (P(JB)) = «гЦСЦцА,) < ||В||ь(Р(В))« Таким образом, L Ь А Э С и L\~ С Э В,т.е. формула С является Интерпол янтом формул А и В, что и требовалось доказать. • ТЕОРЕМА 6.6. Пусть L — суперинтуиционистская логика, полная относительно некоторого многообразия V
предикатная квазицилиндри
ческих алгебр. Следующие условия эквивалентны: (1) L обладает ИСВ (ИС); (2) класс V^
амальгамируем
(сверхмальгамируем).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) => (2) следует из леммы 6.2. (2) => (1). Пусть У Н амальгамируем. Пусть А Ь^ J3. Значит, для Г из условия леммы 6.4 выполняется Г \~L В. Таким образом, для некоторого конечного подмножества Го множества Г верно Го KL В. Пусть С — конъ юнкция формул из Го- Так как С принадлежит Г, то A \~L С Кроме того, С Ьх В. Таким образом, С — интерполянт формул А и J3. В случае, когда y(w) сверхамальгамируем, утверждение теоремы следует из леммы 6.5. D
ЛИТЕРАТУРА 1. Д.Е. Тишковский, Об алгебраической семантике для суперинтуиционист ских предикатных логик, Алгебра и логика, 38, N 1 (1999), 68—95. 2. Ю. Л.Ершов, Е.А.Палютин, Математическая логика, М., Наука, 1979. 3. Е.Расёва, Р. Сикорскищ Математика метаматематики, М., Наука, 1972. 4. L. Maksimova, On maximal intermediate logics with disjunction property, Stud. Log., 45, N 1 (1986), 69-75. 5. A. Г. Драгалин, Математический интуиционизм. Введение в теорию дока зательств, М., Наука, 1979. 6. L. Maksimova, Explicit and implicit definability in modal and related logics, Bull. Sect. Log., Univ. Lodz, Dep. Log., 27, N 1/2 (1998), 36-39.
242
Д. Е.
Тишковский
7. Л. Л, Максимова, Теорема Крейга в суперинтуиционистских логиках и амальгамируемые многообразия псевдобулевых алгебр, Алгебра и логика, 16, N б (1977), 643-681. 8. Л. Л. Максимова^ Интерполяционные теоремы в модальных логиках и амальгамируемые многообразия топобулевых алгебр, Алгебра и логика, 18, N 5 (1979), 556-586. 9. Л, Л. Максимова, Модальные логики и многообразия модальных алгебр: свойства Бета, интерполяция и амальгамируемость, Алгебра и логика, 3 1 , N 2 (1992), 145-166. 10. J. Czelakowski, Logical matrices and the amalgamation property, Stud. Log., 4 1 , N 4 (1982), 329-341.
Адрес автора: ТИШКОВСКИЙ Дмитрий Евгеньевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail:
[email protected] Поступило 22 июля 1999 г.
