Сравнительный анализ численных методов построения сечений Пуанкаре задачи Хилла

УДК 521.135

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ ПУАНКАРЕ ЗАДАЧИ ХИЛЛА С.И. Сумароков, Н.В. Батхина, А.Б. Батхин В данной работе осуществлено сравнение численных методов построения сечений Пуанкаре задачи Хилла.

Введение Исследование задачи Хилла – в первую очередь ее устойчивых и неустойчивых

периодических решений, условно-периодических, гомоклинических и гетероклинических

траекторий – позволяет приблизиться к пониманию поведения неинтегрируемых гамильтоновых систем.

В научной литературе много примеров численного решения неинтегрируемых га-

мильтоновых систем. Первой работой, давшей толчок к изучению таких систем с использо-

ванием сечений Пуанкаре, следует назвать статью Эно и Хейлеса [1]. Большое количество подобных физических примеров дано в книге Лихтенберга и Либермана [2] и обзоре Чирикова Б.В. [3].

Процедура построения сечений Пуанкаре требует огромного количества расчетного

времени, поскольку оператор отображения строится путем численного интегрирования

системы дифференциальных уравнений. Поэтому сразу же возникает проблема выбора эффективного численного метода интегрирования.

Эффективность численного алгоритма складывается из двух составляющих - точно-

сти и быстродействия. Алгоритм эффективен, если при фиксированной точности он обла-

дает наибольшим быстродействием по сравнению с другими алгоритмами.

Мерой быстродействия численного метода является количество перевычислений

функций правых частей уравнений на интервале движения.

Точность численного интегрирования системы дифференциальных уравнений опре-

деляется несколькими факторами.

Во-первых, это точность самого численного метода. Она определяется порядком

аппроксимирующей формулы, и повышение этого порядка уменьшает локальную ошибку метода, т.е. ошибку, допускаемую на каждом шаге интегрирования. Повышение порядка

метода позволяет не только уменьшить глобальную ошибку, но и увеличить шаг интегриро-

вания, что в свою очередь приводит к уменьшению ошибок округления и сокращает время

вычислений. Следует отметить, что повышение порядка метода обычно приводит к улучшению свойств устойчивости метода [4]. Во-вторых,

движение

это

небесных

сама

тел.

система

Функции

дифференциальных

правых

частей

этих

уравнений,

уравнений

описывающая

нерегулярны

в

окрестности сближения гравитирующих масс. И хотя в практических задачах небесной

механики соударения тел, как правило, не рассматриваются, наличие особенностей в уравнениях

движения

оказывает

существенное

влияние

на

процесс

численного

Особенности в правых частях дифференциальных уравнений и тесные сближения с интегрирования.

возмущаемыми телами приводят к неравномерному изменению функций правых частей

уравнений движения. При численном решении задачи такая неравномерность приводит к нерациональному дроблению шага интегрирования, что в свою очередь снижает точность численного интегрирования и увеличивает затраты машинного времени.

В данной работе проведен сравнительный анализ использования различных числен-

ных методов интегрирования для построения сечений Пуанкаре задачи Хилла как в физи-

ческих, так и регулярных переменных.

1. Модель Хилла Модель Хилла, по нашему мнению, представляет собой модель нулевого уровня в

исследовании сложных задач небесной механики. Это начальный уровень сложности в ие-

рархии моделей ограниченной задачи трех тел. Модель Хилла - это реальная динамическая система, которую можно использовать не только в теории Луны [5], но и в других спут-

никовых задачах, в которых отношение планетоцентрических расстояний спутника и внеш-

него тела является малой величиной, а орбита внешнего тела почти круговая. Ее можно

применять и в исследовании тройных звездных системах, у которых одно из взаимных расстояний мало по сравнению с двумя другими [6]. С помощью этой модели исследовалось

движение звезд шарового скопления в поле галактики[7].

Модель Хилла является предельным случаем общей задачи трех тел. Она появилась в

небесной механике в связи с разработкой теории движения Луны. Если, для определенно-

сти, назвать одно из трех тел Землей, другое – Луной и третье – Солнцем, то от общей за-

дачи трех тел к задаче Хилла можно перейти, сделав следующие предположения [8]: сол-

нечный паралакс равен нулю; эксцентриситет орбиты равен нулю; наклонение плоскости

орбиты Луны равно нулю.

Этого можно добиться, считая массу Солнца и расстояние до Земли неограниченно возрастающими, причем так, чтобы отношение массы Солнца М′ к кубу этого расстояния a′ приближалось к некоторому пределу, который есть среднее движение Солнца n ′ = где

γM ′ a′3

,

γ - постоянная тяготения. С физической точки зрения движения Луны происходит в

поле,

представляющем

собой

параллельного поля Солнца.

суперпозицию

радиального

поля

Земли

и

плоско-

Следуя Дж. Хиллу [5], выберем прямоугольную геоцентрическую систему координат, равномерно вращающуюся с угловой скоростью n ′ и ось абсцисс направим по прямой Земля-Луна. В безразмерных переменных уравнения движения имеют вид [8]

x , r3

x = 3x + 2 y −

y y = −2 x − 3 , r где

(1)

r = x 2 + y 2 , и обладает интегралом Якоби. x2+ y2 = 3x2 +

где C - постоянная Якоби. В канонических переменных x , y , px , p y

(

мощью гамильтониана H в следующем виде

2 − C , r

)

(2)

задача Хилла может быть записана с по-

x=

∂H , ∂px

px = −

y=

∂H , ∂x

∂H , ∂p y

py = −

∂H , ∂y

(3)

(4)

где px = x − y , p y = y + x ,

1 1 3 1 H = ( px2 + py2 ) − ( xp y − yp x ) + ( x 2 + y 2 ) − x 2 − . 2 2 2 r

(5)

2. Регуляризация задачи Хилла Уравнения движения (1) имеют особенность в начале координат. Поэтому при

их решении возникают как теоретические, так и практические трудности. Сильное гравитационное воздействие при прохождении окрестности начала координат приводит к значи-

тельным изменениям орбиты, что, в свою очередь, вынуждает при численном интегрирова-

нии дробить величину шага. Из-за ошибок округления точность интегрирования в окрестности сингулярности резко падает. Для устранения особенностей из дифференциальных

уравнений используют различные преобразования, называемые регуляризацией. Процедура

регуляризации, предложенная Леви-Чивита [9], позволяет устранить особенности дифференциальных уравнений движения (1). Это достигается путем перехода к параболическим координатам Леви-Чивита по формулам [8]

x = ξ 2 −η 2

(6)

y = 2ξη и заменой независимой переменной вдоль траектории:

(

)

dt = 4 ξ 2 + η 2 dτ . Обозначая штрихом дифференцирование по

τ

(7)

, перепишем систему (1) в виде:

ξ ′′ − 8(ξ 2 + η 2 )η ′ = Vξ

η ′′ + 8(ξ 2 + η 2 )ξ ′ = Vη

(8)

где

V (ξ ,η ) = 4 − 2C (ξ 2 + η 2 ) + 6(ξ 2 + η 2 )(ξ 2 − η 2 ) 2

(9)

Интеграл Якоби в регулярных переменных принимает следующий вид

(ξ ′ ) 2 + (η ′ ) 2 = 2V (ξ ,η )

(10)

Преобразование Кустаанхеймо-Штифеля [10] вместе с временным преобразованием dt = rds осуществляет и регуляризацию, и стабилизацию уравнений, устраняя одновременно сингулярность уравнений в начале координат и неустойчивость решений в смысле Ляпунова.

Введем для регулярных координат сопряженные импульсы pξ , pη по формулам

px =

pξ ξ − pηη 2(ξ + η ) 2

2

,

pξ η + pηξ

py =

2(ξ 2 + η 2 )

.

(11)

~

Тогда новый гамильтониан Η в регулярных переменных принимает форму

~ 1 Η = ( pξ2 + pη2 ) + 2(ξ 2 + η 2 )[( pξ η − pηξ ) + 6ξ 2η 2 − (ξ 4 − ξ 2η 2 + η 4 ) + C ] . (12) 2 ~

Следует отметить, что гамильтониан Η по всем новым переменным является полиномиальной функцией.

Уравнения движения задачи Хилла в регулярных координатах в канонической форме

записываются в виде

ξ′ =

~ ∂Η , ∂pξ

pξ′ = −

~ ∂Η , ∂ξ

η′ =

~ ∂Η , ∂pη

pη′ = −

~ ∂Η . ∂η

(13)

(14)

3. Сечения Пуанкаре Поскольку найти аналитическое выражение для решения уравнений (1) невозможно,

т.к. поток не интегрируем, то приходится строить каждую траекторию в четырехмерном

фазовом пространстве R4 численно.

Вместо прямого изучения поведения динамической системы (1) в фазовом простран-

стве R , полезно сначала понизить размерность пространства до трех за счет использова4

ния интеграла Якоби (2), а затем выбрать некоторую секущую поверхность S, которую

трансверсально пересекают фазовые кривые. Отмечая точкой на секущей поверхности S каждое пересечение с фазовой траекторией, происходящее в определенном направлении, получим на этой поверхности набор точек P1 , P2 ,..., Pn ,... , последовательно переходящих друг в друга. Положение каждой точки этой последовательности однозначно определяется

положением предыдущей (рис.1). То есть существует некоторая функция Т, связывающая между собой положения следующих одна за другой точек

Pn +1 = T ( Pn )

(15)

Это соотношение называют точечным отображением Пуанкаре, а получающийся граф на плоскости S – сечением Пуанкаре.

Использование сечений Пуанкаре оказывается весьма полезным как в силу их

наглядности, так и в вычислительном отношении, поскольку при переходе к отображению

Пуанкаре размерность исследуемой системы уменьшается на единицу.

Задачи изучения решений системы дифференциальных уравнений (1) и сечения Пу-

анкаре, порождаемого этими решениями на поверхности S эквивалентны [11].

Неподвижным точкам сечения соответствуют замкнутые фазовые траектории – пе-

риодические решения дифференциальных уравнений (1). Устойчивым периодическим орбитам соответствуют эллиптические неподвижные точки сечения, каждая из которых окружена гладкими замкнутыми кривыми, соответствующими нерезонансными торами. Гладкие кривые на секущей плоскости являются образом условно-периодического движения дина-

мической системы (1). Такую часть сечения Пуанкаре называют “островом”. Поскольку

структура отображения Пуанкаре повторяется на всех масштабах вблизи всех эллиптиче-

ских точек, порождаемых различными резонансами, то иногда можно обнаружить целый

“архипелаг”, состоящий из множества более мелких “островов” (рис.2).

Неустойчивым периодическим решениям системы (1) соответствуют седловые не-

подвижные точки в сечении Пуанкаре, образованные пересечением устойчивой и неустойчивой сепаратрисными поверхностями [2,11]. При некоторых значениях постоянной Якоби

эти сепаратрисы на сечении расщепляются, изгибаются и трансверсально пересекаются в

бесконечном числе точек, которые называют гомоклиническими, а их множество – гомоклинической траекторией. Возникает режим нерегулярного движения – траектории чрезвычайно

чувствительны к малым изменениям начальных условий и замысловато бродят по широким областям фазового пространства. На сечении Пуанкаре это проявляется в виде множества

беспорядочно разбросанных точек.

Для получения сечения Пуанкаре задачи Хилла в первую очередь строится его “ске-

лет” - неподвижные точки отображения и сепаратрисы. Следующие шаги состоят в проведении исследования устойчивости неподвижных точек и поведения сепаратрис с изменением постоянной Якоби.

4. Численные методы Все обсуждаемые в статье численные методы интегрирования дифференциальных

уравнений являются дискретными методами, позволяющими определить значения искомых функций на множестве точек t n , n ∈ N . Переход к новым значениям функций реализуется

{

}

на основании функциональной зависимости, определяемой правыми частями дифференциальных уравнений и ранее определёнными значениями функций x k , а также независимой переменной t k . Следуя традиции, будем называть численный метод явным или неявным, если искомые значения функций входят в упомянутые выше зависимости явным или неяв-

ным образом, соответственно. Метод называют одношаговым, если используются лишь зна-

чения функций на предыдущем шаге, и многошаговым, если применяется значения функций, полученных на нескольких предыдущих шагах.

Для численного моделирования решений плоского кругового варианта задачи Хилла

применялись

методы

Дормана-Принса,

Адамса-Башфорта-Мултона.

Грега-Булирша-Штера,

предиктор-корректор

Применение различных методов интегрирования объясняется особенностями зада-

чи. Во-первых, для изучения глобальных бифуркационных явлений используется метод

отображений Пуанкаре, позволяющий достаточно наглядно представлять проекции четы-

рёхмерного фазового пространства задачи Хилла. Поскольку задача имеет естественный

параметр – постоянную Якоби, - то для построения сечений Пуанкаре требуется выполнение большой счётной работы, а значит необходимо применять высокоэффективные, с точки

зрения использования машинного времени, методы. С другой стороны, повышение скоро-

сти интегрирования ни в коей мере не должно достигаться за счёт снижения точности рас-

чётов. Анализ различных численных алгоритмов и их реализаций – это попытка найти определённый компромисс между этими противоречивыми требованиями.

Применяемые методы тестировались и сравнивались по следующим параметрам:

• эффективность счёта – по временным затратам;

• качество результатов – обратным интегрированием и сохранением первого инте-

грала. 4.1 Метод Дормана-Принса Этот метод относится к явным одношаговым многостадийным методам типа Рунге-

Кутты. Его описание можно найти в книге Хайрера Э., Нерсетта С., Ваннера Г.[12]. Пусть s – целое число (число стадий) и a ij , bi , c j – вещественные коэффициенты. Тогда численный метод

k1 = f (t 0 , y 0 ), k 2 = f (t 0 + c 2 h, y 0 + ha 21 k1 )

(16)

y1 = y 0 + h(b1 k1 + … + bs k s ) называется s-стадийным явным методом Рунге-Кутта. Последнее время разработаны методы высоких порядков, а также схемы расчёта коэффи-

циентов метода [12].

Изменение правых частей дифференциальных уравнений происходит с различной

скоростью, поэтому большое значение при реализации метода играют выбор шага интег-

рирования и выбор порядка. Для этого необходимо на каждом шаге проводить мониторинг

погрешности интегрирования. Чаще всего это реализуется с помощью так называемого вложенного метода суть которого состоит в том, что для контроля используется s + 1 стадийный метод порядка p + 1 , в который уже встроен s -стадийный метод порядка p . Выбор данного алгоритма обусловлен следующими соображениями. Увеличение по-

рядка метода приводит к значительному росту числа этапов, а значит и к увеличению числа

вычислений правых частей системы дифференциальных уравнений. Это увеличение, однако, может быть скомпенсировано увеличением шага интегрирования.

Алгоритм Дормана-Принса хорош именно тем, что для него очень удачно реализо-

ван описанный выше мониторинг погрешности.

Превосходство метода 10-го порядка проявляется лишь при интегрировании с ло-

кальной погрешностью меньшей, чем 10-13.

Удачно реализованный способ изменения шага интегрирования приводит к тому,

что ошибка в первом интеграле системы накапливается достаточно медленно.

При локальной точности меньшей,чем 10-16 метод Дормана-Принса становится неэффективным. 4.2 Метод Грега-Булирша-Штера В последнее десятилетие в численных исследованиях задач небесной механики по-

лучили распространение экстраполяционные методы, разработанные Булиршем и Штером

[13]. Достоинство этих методов интегрирования заключается в том, что для достижения вы-

сокой точности не требуется многократных перевычислений правых частей решаемой сис-

темы дифференциальных уравнений. Экстраполяционные методы позволяют одновременно

варьировать порядок метода, величину основного шага интегрирования и число этапов на

каждом шаге. Поэтому одинаковой точности вычислений можно достичь либо увеличивая

порядок метода, либо увеличивая число этапов вычислений на шаге, либо уменьшая вели-

чину шага интегрирования. Поскольку с увеличением порядка экстраполяции возрастает влияние погрешностей округления, как правило, порядок метода не превышает 6. Решая задачу Коши, зададимся базовой длиной шага h > 0 и выберем некоторую последовательность положительных чисел

n1 < n2 < n3 < ...

(17)

hi = h / ni .

(18)

Определим длины шагов

Выполним теперь ni шагов длины hi численным методом порядка p и вычислим приближенное решение задачи

x hi (t 0 + hi ) = T i ,1 .

(19)

Вычислив (19) для ряда последовательных значений i , исключим из асимптотического разложения глобальной погрешности

x n (t ) − x (t ) = e p h p + ... + eN h N + E h h N +1

(20)

возможно большее число членов, найдя интерполяционный многочлен

p( h ) = e0 + e p h p + e p+1h p+1 + ... + e p+ k −2 h p+ k −2 ,

(21)

для которого

p( hi ) = T i,1 ,

i = j, j − 1,..., j − k + 1 .

.

(22)

И наконец, в пределе при h → ∞ будем считать

p( 0 ) = e 0 = T j , k численным решением, полученным методом экстраполяции.

(23)

Условия (22) дают систему k линейных уравнений для определения k неизвестных e0 , e p , e p+1 ,..., e p+ k −2 . Точность аппроксимации решения задачи Коши величиной T j ,k определяется численным методом порядка p + k − 1 . К достоинствам метода следует отнести то, что он дает полную таблицу результатов

вычислений

T 11 T 21T 22 T 31T 32T 33

(24)

……………...… … ……... ... которые образуют последовательность вложенных методов и позволяют легко оценить ло-

кальную погрешность и выбирать стратегию методов переменного порядка.

В качестве последовательности (17) могут использоваться несколько числовых

последовательностей:

последовательность

Ромберга

[14]

1,

2,

4,

8,

16,

последовательность Булирша 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32,...., в которой чередуются числа

32,...;

2k и

1,5 ∗ 2 k (для этой последовательности в высших порядках требуется меньшее число

вычислений

функций,

чем

для

последовательности

Ромберга);

гармоническая

последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...., – наиболее экономичная при работе с

дифференциальными уравнениями с фиксированным или ограниченным порядком. Булирш и Штер считали, что вместо полиномиальной (21) лучше использовать ра-

циональные функции. Однако численными экспериментами доказано [15], что рациональная экстраполяция почти никогда не является более выигрышной, чем полиномиальная. Метод Адамса-Башфорта-Мултона

Этот алгоритм интегрирования является комбинацией явного и неявного многошагового методов, реализующийся по предикторно-корректорной схеме. Для k -шагового метода предсказывающий и исправляющий алгоритмы могут быть представлены формулами [16…]:

k

x n +1 = x n + h ∑ γ r ∇ r f n ,

(25)

r =0 k

x n +1 = x n + h∑ γ r ∇ r f n , ∗

(26)

r =0

где ∇ f – разделённые разности порядка r

r . Традиционно, предсказывающую часть обо-

значают через P , исправляющую – через C , а вычисление правых частей дифференциальных уравнений - через E . Тогда кратко схема метода может быть записана в виде

P (EC ) , где k – число итераций. k

Наиболее эффективная реализация метода получается при интегрировании с постоянным шагом, т.к. в этом случае нет необходимости пересчёта коэффициентов и несложно оценить локальную погрешность по формуле Милна[16]

∆ = hγ k ∇ k f n .

(27)

Следует отметить некоторые особенности описываемого метода. Прежде всего, в

отличие от одношаговых методов, многошаговые должны содержать фазу разгона. Это мо-

жет быть сделано с помощью специальных самостартующих алгоритмов, либо с помощью

одношаговых методов, где интегрирование ведётся с очень малым шагом. Нами был применён второй способ, что упростило алгоритм. Далее, вычисление правых частей произво-

дится на каждом шаге лишь несколько раз, что может способствовать повышению эффек-

тивности счёта. Однако устойчивость метода, особенно его предсказывающей части, значи-

тельно ниже, чем для одношаговых методов того же порядка, и радиус устойчивости понижается при увеличении порядка метода до 16. Это приводит к тому, что приходится сильно

уменьшать шаг интегрирования и в итоге увеличивать машинные затраты. Ещё одна особенность предикторно-корректорного метода заключается в том, что даже при реализации

алгоритма с постоянным шагом интегрирования, достаточно легко достигается изменение

порядка метода. Если на каждом шаге интегрирования обеспечить мониторинг погрешности, то можно динамически понижать или повышать порядок интегрирования. Это особенно

хорошо себя оправдывает при интегрировании в регулярных переменных, когда правые части не содержат особенностей. Сохранение шага интегрирования приводит к значительной экономии машинного времени.

4.3 Коррекция Накози Дискретизация исходной системы дифференциальных уравнений и применение со-

ответствующих аппроксимаций, обусловленных методом интегрирования, приводит к тому, что над гамильтоновой системой совершаются неканонические преобразования и вносятся

возмущения, которые приводят к не сохранению интеграла Якоби.

Идея метода Накози состоит в следующем. При наличии первого интеграла решения

дифференциальных уравнений лежат на некотором многообразии коразмерности 1. При

численном интегрировании, из-за вносимых возмущений, решение "уходит" с многообра-

зия, точнее, переходит на другое, соответствующее иному значению первого интеграла. Если на каждом шаге вносить небольшую поправку (в пределах точности интегрирования),

которая бы "возвращала" решение на исходное многообразие, то можно тем самым значи-

тельно повысить сохранение первого интеграла и исключить явления, напоминающие дис-

сипативные процессы, которые в консервативной системе в принципе не могут иметь мес-

та.

(

Более точно метод Накози формулируется таким образом. Пусть z = q , p

)

– точка

фазового пространства системы канонических уравнений с гамильтонианом H (z ) , который и есть первый интеграл. Если на очередном шаге интегрирования погрешность первого интеграла составила ε , то ищутся такие поправки ∆z к вектору z , которые обеспечи2

вают сохранение значения гамильтониана и минимизируют квадратичную форму ∆z . Получаем задачу на условный экстремум, которая решается приближённо по формуле

∆z = −

ε ∂Η ∂Η

∂z . 2

(28)

∂z

Вычислительные затраты на реализацию метода Накози невелики (для разных мето-

дов не превышают 10% от времени счёта по "нескорректированному" алгоритму) и поправки легко программируются. 5. Сравнение численных методов

В этом разделе приведены результаты сравнения численных методов построения се-

чений Пуанкаре задачи Хилла. Сравнение проводилось по трём параметрам – быстродейст-

вие, сохранение первого интеграла и точность интегрирования.

Первоначально задача моделировалась в безразмерных физических координатах,

однако исследования показали, что траектории близкие к столкновительным требуют больших затрат машинного времени. Это связано с сильным дроблением шага дискретизации. Сравнительный анализ интегрирования в физических и регулярных переменных для

орбиты близкой к ударной представлен на рис. 3. По оси Y отложен логарифм вызовов

правых частей систем (1) или (8), а по оси X – логарифм точности интегрирования с проти-

воположным знаком. Видно, что при высокой точности интегрирование в регулярных пере-

менных почти на порядок эффективнее, чем в физических, а более предпочтительным методом является экстраполяционный метод Булирша-Штера. Надо отметить, что для траек-

торий проходящих вдали от точки особенностей регуляризация даёт эффект, правда уже значительно меньший по сравнению с предыдущим случаем. Кроме методов, представлен-

ных на рис.3, был апробирован многошаговый метод предиктор-корректор 12-го порядка. Несмотря на малое число вызовов правых частей системы дифференциальных уравнений, слабая устойчивость метода вынуждает интегрировать с малым шагом и, как следствие это-

го, значительно повышает затраты машинного времени.

Точность метода может быть оценена разными способами. Прежде всего, если сис-

тема дифференциальных уравнений обладает первым интегралом, то численная модель

также должна обеспечивать его сохранение. Анализ показал, что распространённые алго-

ритмы интегрирования дают регулярную ошибку в первом интеграле, что может приводить

к диссипативным эффектам, отсутствующим в непрерывной модели. Рисунок 4 показывает

как изменяется ошибка в интеграле Якоби (2) с течением времени. Для примера была выбрана орбита, проходящая достаточно близко к гравитирующему телу.

Регуляризация позволяет существенно улучшить качество решения, но оно по-

прежнему содержит точки, в которых ошибка в первом интеграле значительна.

Отметим здесь ряд особенностей, связанных с применением метода Накози. Во-

первых, с его помощью легко обеспечить точность первого интеграла практически на уров-

не аппаратной точности. Следующие рисунки показывают эффективность коррекции, применённой при интегрировании различными методами. Обращаем внимание, что рис. 4 дан

в логарифмической шкале, а рис. 5 – в линейной. Интегрирование ведётся для орбиты,

проходящей вблизи гравитирующего тела, с точностью интегрирования 10-14.

Но за любую выгоду приходится расплачиваться. Проверка точности метода способом обратного интегрирования показала, что качество решения падает при использовании

коррекции Накози (см. рис. 6), а это заставляет применять методы более высокого порядка,

уменьшать шаг интегрирования и локальную погрешность. Во-вторых, поскольку мы численно исследуем модель Хилла на относительно небольших временных промежутках, то

гораздо выгоднее проводить расчеты в регулярных переменных без коррекции Накози, ибо в этом случае вносимая методом погрешность в первый интеграл оказывается пренебрежи-

мо малой.

Заключение Результаты исследований указывают, что в качестве оптимального метода

построения сечений Пуанкаре задачи Хилла следует использовать экстраполяционный

метод Грега-Булирша-Штера, при этом интегрирование следует проводить в регулярных переменных без применения коррекции Накози.

Авторы статьи выражают искреннюю признательность Т.В.Бордовициной за любезно

предоставленную программу численного интегрирования. методом Грега-Булирша-Штера. Summary THE ANALISYS OF NUMERICAL METHODS APPLIED TO POINCARE MAPS FOR HILL PROBLEM S.I. Sumarokov, N.V. Batkhina, A.B. Batkhin The comparison of different numerical methods applied to Poincare maps for Hill problem is provided.

ЛИТЕРАТУРА 1.

Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments// Astron. J. – 1964 – V.69,№1. - P.73-79

2. 3. 4. 5. 6.

Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. – М.: Мир, 1984,

528 с.

Chirikov B.V. A universal instability of many dimensional oscillator systems// Physics Report. - 1979 – V.52,№5. – P.263-379

Бордовицина Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. – М.:Наука - 1984 – 135 с.

Hill G. W. Researches in the Lunar Theory// The Collected Mathem. Works. V. 1. Washington, 1905, Р. 284

Аксенов Е.П. Задача Хилла и ее периодические решения// В сб.”Почти периодические

орбиты в небесной механике“/Под ред. Е.П. Аксенова. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – С.26-

7. 8. 9. 10.

46

Henon M. Numerical exploration of the restricted problem. VI. Hill′s case: non-periodic orbits//

Astron. and Astrophys. – 1970 – V.9,№ 1. – P.24-36

Себехей В. Теория орбит. – М.: Наука, 1982, 656 с. Levi-Civita T. Sur la regularisation du probleme des trois corps.// Acta math., 1920, V.42, p. 99-144 Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. - М.: Наука, 1975,

304 с.

11.

Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1972

12.

Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравне-

14. 15.

ний. – М.: Мир, 1990, 512 с. Bulirsch R., Stoer J. Fehlerabschazunger und Extrapolation mit ratioalen-Funktionen bei Verfahren vom Richardson-Typus.//Num. Math.,1964, V.6, p. 413-427 Romberg W. Verlinfachte numerische Integratoin//Noteke Vid. Selsk Forhdl, V.28, p.30-36 Deuflhard P. Order and stepsize control in extrapolation methods//Num. Math. - 1983 - V.41, - p. 399-422

16.

Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравне-

13.

ний/ Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. – М.:Мир, 1979.- 312 с.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3 1E-8

1E-9

log(DC)

1E-10

1E-11

1E-12

1E-13 Dopri Odex Dopri+reg

1E-14

Odex+reg

1E-15 0

40

80

120

T

Рис. 4

160

200

5E-16

4E-16

Dopri+reg+mc Odex+reg+mc

4E-16

3E-16

2E-16

2E-16

1E-16

9E-17

4E-17

-1E-17 0

40

T

80

120

160

200

Рис. 5 0 Odex Odex+reg Odex+reg+mc

-4

-8

-lg(DR)

log(DC)

3E-16

-12

-16

-20 0.80

1.20

1.60

2.00

2.40

lg(T)

Рис. 6

2.80

3.20

3.60

4.00