Компьютерный практикум по общей физике. Часть 5. Квантовая физика: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ×ÀÑÒÜ 5

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

ÎÁÍÈÍÑÊ 2004

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ЧАСТЬ 5

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

ÎÁÍÈÍÑÊ 2004

УДК 537 (075): 004.3

Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 5. Квантовая физика: Учебное пособие по курсу «Общая физика». – Обнинск: ИАТЭ, 2004. – 80 с.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса, изучающих общую физику. Оно содержит задания компьютерного практикума и примеры выполнения заданий с использованием специализированных пакетов (MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA). Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Ф.И. Карманов к.ф.-м.н., доцент В.В. Бурмистров Темплан 2004, поз. 26

© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2004 г. © А.В. Тихоненко, 2004 г.

Редактор О.Ю. Волошенко Компьютерная верстка А.В. Тихоненко ЛР № 020713 от 27.04.1998 Подписано к печати 27.10.04 Печать ризограф. Заказ №

Бумага KYMLUX Тираж 120 экз.

Формат бум. 60х84/16 Печ. л. 5.0 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ. 249040, г. Обнинск, Студгородок, 1 2

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА __________________________ 5 ÃËÀÂÀ 1. ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÑÂÅÒÀ _______________________ 5 ТЕМА 1. ФОРМУЛА ПЛАНКА И ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ____________ 5 Задание 1.1. Законы теплового излучения как следствия формулы Планка____5 Задание 1.2. Исследование формулы Планка_____________________________6

ТЕМА 2. ЭФФЕКТ КОМПТОНА _________________________________________ 7 Задание 2.1. Формула эффекта Комптона _______________________________7 Задание 2.2. Исследование формул эффекта Комптона ____________________8

ÃËÀÂÀ 2. ÎÄÍÎÌÅÐÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ___________________________ 9 ТЕМА 3. РАССЕЯНИЕ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ БАРЬЕРЕ _______ 9 Задание 3.1. Волновые функции _______________________________________9 Задание 3.2. Плотности потоков вероятности ___________________________10 Задание 3.3. Коэффициенты отражения и прохождения __________________11

ТЕМА 4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР __________ 12 Задание 4.1. Волновые функции ______________________________________13 Задание 4.2. Плотности потоков вероятности ___________________________14 Задание 4.3. Коэффициенты отражения и прохождения __________________15

ТЕМА 5. КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО БАРЬЕРА __________ 16 Задание 5.1. Вычисление коэффициента прохождения одномерного барьера _21

ÃËÀÂÀ 3. ÊÂÀÍÒÎÂÛÉ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÎÑÖÈËËßÒÎÐ ______ 22 ТЕМА 6. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА __________ 22 Задание 6.1. Волновые функции гармонического осциллятора _____________24 Задание 6.2. Графики волновых функций и амплитуд вероятностей ________24 Задание 6.3. Средние значения _______________________________________25 Задание 6.4. Минимальное значение соотношения неопределенностей______25

ТЕМА 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА ОСЦИЛЛЯТОРА _______ 26 Задание 7.1. Матричные элементы ____________________________________26 Задание 7.2. Правила отбора для дипольных переходов осциллятора _______26

ÃËÀÂÀ 3. ÂÎÄÎÐÎÄÎÏÎÄÎÁÍÛÅ ÀÒÎÌÛ ____________________ 28 ТЕМА 8. УГЛОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА_____ 28 Задание 8.1. Угловые волновые функции водородоподобного атома ________30 Задание 8.2. Графики волновых функций и амплитуд вероятностей ________30

ТЕМА 9. РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА _ 31 Задание 9.1. Радиальные волновые функции водородоподобного атома _____33 Задание 9.2. Круговые орбиты _______________________________________33 Задание 9.3. Средние значения _______________________________________33 Задание 9.4. Графики волновых функций и амплитуд вероятностей ________33

ТЕМА 10. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА ____________ 34 Задание 10.1. Волновые функции водородоподобного атома ______________35 Задание 10.2. Плотность электрического заряда водородоподобного атома __35 Задание 10.3. Правила отбора для дипольных переходов атома ____________36

3

ТЕМА 11. ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ _______________ 38 Задание 11.1. Частоты излучения атома в магнитном поле ________________38 Задание 11.2 .Волновые функции атома в магнитном поле ________________38 Задание 11.3. Плотность электрического заряда атома в магнитном поле ____39

ÃËÀÂÀ 4. ÒÅÏËÎÅÌÊÎÑÒÜ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË ______________________ 40 ТЕМА 12. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ _______________________________ 40 Задание 12.1. Теория Эйнштейна теплоемкости твердых тел ______________40 Задание 12.2. Теория Дебая теплоемкости твердых тел ___________________41

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ _____________ 43 1. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА _____________________________________ 43 Пример к заданию 1.1. ______________________________________________43

2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ _________________________________________ 44 3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ _________________________________________ 55 Пример к заданию 5.1_______________________________________________55

4. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР _________________________ 58 Пример к заданиям 6.1 - 6.3 __________________________________________58

5. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ _____________________________________ 61 Решение радиального уравнения Шредингера водородоподобного атома____61 Пример к заданиям 8.1 и 8.2 _________________________________________67 Пример к заданиям 9.1 и 9.4 _________________________________________71 Пример к заданиям 10.1 и 10.2 _______________________________________72 Пример к заданию 11.2______________________________________________75

6. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ _____________________________________ 78 Пример к заданиям 12.1 и 12.2 _______________________________________78

4

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА ÃËÀÂÀ 1. ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÑÂÅÒÀ ТЕМА 1. ФОРМУЛА ПЛАНКА И ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Ôîðìóëà Ïëàíêà Èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà ðàâíà:

ε _ ν (ν , T ) =

2 ⋅π ⋅ h ν 3 ⋅ h⋅ν c2 e k ⋅T − 1

èëè

1

ε _ λ (λ, T ) = 2 ⋅ π ⋅ h ⋅ c2 ⋅ e

h⋅c λ ⋅k ⋅T

⋅ −1

1

λ5

.

ЗАДАНИЕ 1.1. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ ПЛАНКА 1.1.1. Получить закон Стефана-Больцмана как следствие формулы Планка, выполнив интегрирование излучательной способности абсолютно черного тела по частотам ∞

ε (T ) = ∫ ε _ ν (ν , T ) ⋅ dν 0

или по длинам волн ∞

ε (T ) = ∫ ε _ λ ( λ , T ) ⋅ d λ 0

и получить выражение для постоянной Стефана-Больцмана σ. 1.1.2. Получить закон Вина как следствие формулы Планка, исследовав излучательную способность абсолютно черного тела по частотам или длинам волн на экстремум и вычислив произведения

T ⋅ν max 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

5

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

или

T ⋅ λmax , где νmax и λmax - частота и длина волны излучения, соответствующие максимуму излучательной способности. 1.1.3. Получить закон Релея-Джина как следствие формулы Планка, разложив излучательную способность абсолютно черного тела по переменным

h ⋅ν h⋅c или λ ⋅ k ⋅T k ⋅T до членов первого порядка. ЗАДАНИЕ 1.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПЛАНКА 1.2.1. Построить двумерные графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты или длины волны для разных значений температуры. 1.2.2. Построить двумерные графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от температуры для разных значений частоты или длины волны. 1.2.3. Построить двумерные графики зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты или длины волны и закона Релея-Джина. 1.2.4. Построить поверхностные графики и графики линий уровня зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты и температуры или длины волны и температуры:

ε _ ν (ν ,T )

или

ε _ λ ( λ ,T ) .

6

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 2. ЭФФЕКТ КОМПТОНА ВВЕДЕНИЕ

Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ýëåêòðîíà è ôîòîíà Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ýëåêòðîíà äî ðàññåÿíèÿ (ïåðâîíà÷àëüíî ýëåêòðîí ïîêîèëñÿ):

E = m ⋅ c2 , P = 0 . Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ôîòîíà äî ðàññåÿíèÿ (e – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ôîòîíà äî ðàññåÿíèÿ):

ε = h ⋅ν , p =

h ⋅ν ⋅e. c

Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ýëåêòðîíà ïîñëå ðàññåÿíèÿ (u – ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ïîñëå ðàññåÿíèÿ):

E'=

m ⋅ c2 u2 1− 2 c

, P' =

m⋅u u2 1− 2 c

.

Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ôîòîíà ïîñëå ðàññåÿíèÿ (e' – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ôîòîíà ïîñëå ðàññåÿíèÿ):

ε ' = h ⋅ν ', p ' =

h ⋅ν ' ⋅e'. c

ЗАДАНИЕ 2.1. ФОРМУЛА ЭФФЕКТА КОМПТОНА 2.1.1. Записать законы сохранения энергии импульса системы электрона и фотона, используя в качестве параметра частоту или длину волны света, используя соотношение:

( e ⋅ e ') = cos (θ ) , где θ угол между векторами e и e'. 2.1.2. Записать законы сохранения энергии импульса системы электрона и фотона, используя подстановку

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

7

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

λ=

c

ν

,λ'=

c

ν'

;

и получить систему двух уравнений относительно переменных λ' и u. 2.1.3. Решить полученную систему уравнений и выразить сдвиг частоты:

Δλ = λ '− λ . ЗАДАНИЕ 2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛ ЭФФЕКТА КОМПТОНА 2.2.1. Построить двумерные графики зависимости сдвига частоты и скорости электрона от угла рассеяния для разных значений длины волны. 2.2.1. Построить двумерные графики зависимости сдвига частоты и скорости электрона от длины волны для разных значений угла рассеяния. 2.2.3. Построить поверхностные графики и графики линий уровня зависимостей сдвига частоты и скорости от угла рассеяния и длины волны:

Δλ (θ , λ ) , u (θ , λ ) .

8

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ÃËÀÂÀ 2. ÎÄÍÎÌÅÐÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ВВЕДЕНИЕ

Ïëîòíîñòü ïîòîêà âåðîÿòíîñòè

j (x ) =

dψ (x ) dψ ( x ) ⎞ = ⎛ − ψ (x ) ⋅ ⎜ψ ( x ) ⋅ ⎟. dx dx ⎠ 2⋅ m ⋅i ⎝

Êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ

R=

jотр (x ) jпад (x )

,

T=

jпр ( x )

jпад ( x )

.

ТЕМА 3. РАССЕЯНИЕ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ БАРЬЕРЕ Ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð

⎧⎪0, ( x < 0 ) V ( x) = ⎨ , ⎪⎩V 0, ( x > 0 ) ãäå V0 (V0 > 0)– «âûñîòà» ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà

⎧⎪ψ 1 ( x ) ⎫⎪ ⎪⎧1 ⋅ e− i⋅k 1⋅x + A ⋅ ei⋅k1⋅x , ( x < 0 ) ψ ( x) = ⎨ . ⎬=⎨ − i⋅k 2⋅ x , ( x > 0) ⎩⎪ψ 2 ( x ) ⎭⎪ ⎩⎪ B ⋅ e ãäå A, B - àìïëèòóäû îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí,

k1 =

2⋅m⋅E , k1 = =

2 ⋅ m ⋅ ( E − V 0) =

.

ЗАДАНИЕ 3.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 3.1.1. Определить A и B, сшивая решения в точке x = 0:

⎧ψ 1 ( x ) = ψ 2 ( x ) x =0 x =0 ⎪ ⎨⎛ d ⎞ ⎛d ⎞ , ⎪⎜ ψ 1 ( x ) ⎟ = ⎜ ψ 2 ( x ) ⎟ ⎠ x=0 ⎝ dx ⎠ x =0 ⎩⎝ dx

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

9

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

⎧(1 ⋅ e − i⋅k1⋅x + A ⋅ ei⋅k1⋅x ) = ( B ⋅ e − i⋅k 2⋅x ) x =0 x =0 ⎪⎪ ⎨⎛ d ⎞ ⎛d ⎞ . − i⋅k 1⋅ x + A ⋅ ei⋅k1⋅x ) ⎟ = ⎜ ( B ⋅ e− i⋅k 2⋅x ) ⎟ ⎪⎜ (1 ⋅ e ⎠ x=0 ⎝ dx ⎠ x =0 ⎪⎩⎝ dx 3.1.2. Определить амплитуды прошедшей и отраженной волн как функций координаты x с параметрами k1, k2:

A ( k1, k 2 ) , B ( k1, k 2 )

и перейти от параметров k1, k2 к параметру E: 3.1.3. Построить графики зависимости волновых функций для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x:

⎧ψ 1 ( x, E ) = 1 ⋅ e − i⋅k ⋅x + A ( E ) ⋅ ei⋅k ⋅x , ( x < 0 ) ⎪ − i⋅k ⋅ x , (0 < x < a) ⎪ψ 2 ( x, E ) = B ( E ) ⋅ e ⎨ − i⋅k ⋅ x , ( x < 0) ⎪ψ 1_ in ( x, E ) = 1 ⋅ e ⎪ i ⋅k ⋅ x ( x < 0) ⎩ψ 1_ out ( x, E ) = A ( E ) ⋅ e , ЗАДАНИЕ 3.2. ПЛОТНОСТИ ПОТОКОВ ВЕРОЯТНОСТИ 3.2.1. Определить плотности потоков вероятности для отраженной и прошедшей волн. Плотность потока вероятности в области x < 0:

j1 ( x ) =

dψ 1 ( x ) dψ 1 ( x ) ⎞ = ⎛ − ψ 1( x ) ⋅ ⎜ψ 1 ( x ) ⋅ ⎟. dx dx ⎠ 2⋅m⋅i ⎝

Плотность потока вероятности в области 0 < x < a:

j2 ( x) =

dψ 2 ( x ) dψ 2 ( x ) ⎞ = ⎛ −ψ 2 ( x ) ⋅ ⎜ψ 2 ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅m⋅i ⎝ dx dx ⎠

Плотность потока вероятности прошедшей волны в области x > a:

j _ tr ( x ) =

dψ 3 ( x ) dψ 3 ( x ) ⎞ = ⎛ −ψ 3 ( x ) ⋅ ⎜ψ 3 ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅m⋅i ⎝ dx dx ⎠

Плотность потока вероятности падающей волны в области 0 < x < a:

j _ in ( x ) =

10

dψ _ in ( x ) dψ _ in ( x ) ⎞ = ⎛ − ψ _ in ( x ) ⋅ ⎜ψ _ in ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅m⋅i ⎝ dx dx ⎠ 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

Плотность потока вероятности отраженной волны в области 0 < x < a:

j _ out ( x ) =

dψ _ out ( x ) dψ _ in ( x ) ⎞ = ⎛ −ψ _ out ( x ) ⋅ ⎜ψ _ out ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅ m⋅i ⎝ dx dx ⎠

3.2.2. Построить графики зависимости плотностей потоков вероятности для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x. ЗАДАНИЕ 3.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ 3.3.1. Определить коэффициенты отражения и прохождения как функции энергии частицы E с параметром V0:

R ( E, a ) =

J _ out ( E , a ) J _ tr ( E , a ) , , T ( E, a ) = J _ in ( E , a ) J _ in ( E , a )

где

⎧ J _ in ( E , a ) = j _ in ( x, E , a ) x →−∞ ⎪⎪ ⎨ J _ out ( E , a ) = j _ out ( x, E , a ) x→−∞ . ⎪ ⎪⎩ J _ tr ( E , a ) = j _ tr ( x, E , a ) x→+∞ 3.3.2. Доказать тождество, выражающее закон сохранения плотности вероятности:

R2 + T 2 = 1. 3.3.3. Построить двумерные графики зависимостей коэффициентов отражения и прохождения от энергии частицы E и ширины барьера a

R ( E, a ) , T ( E, a ) .

ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèè, ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ âåðîÿòíîñòè, êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ I. Исследование волновых функции, плотностей потоков вероятности по величине параметров E и a:

ψ = ψ ( x, E , a ) , j = j ( x, E , a ) .

II. Исследование коэффициентов отражения и прохождения по величине параметра a:

R ( E, a ) , T ( E, a ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

11

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР ВВЕДЕНИЕ

Ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð

⎧0, ( x < 0 ) ⎪ V ( x ) = ⎨V 0, ( 0 < x < a ) , ⎪ ⎩0, ( x > a )

ãäå V0 (V0 > 0)– «âûñîòà» ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, a – øèðèíà ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (ðèñ. 1.1).

Рис. 1.1 Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà

⎧ψ 1( x ) ⎫ ⎧1 ⋅ ei ⋅ k ⋅ x + B1 ⋅ e − i ⋅ k ⋅ x , ( x < 0 ) ⎪ ⎪ ⎪⎪ ψ ( x ) = ⎨ψ 2 ( x ) ⎬ = ⎨ A2 ⋅ e−κ ⋅ x + B 2 ⋅ eκ ⋅ x , ( 0 < x < a ) , ⎪ ⎪ ⎪ i ⋅ k ⋅( x − l ) , ( x > a) ⎩ψ 3 ( x ) ⎭ ⎩⎪ A3 ⋅ e ãäå B1, A2, B 2, A3 - àìïëèòóäû ïðîøåäøåé è îòðàæåííîé âîëí,

k=

12

⎧ 2 ⋅ m ⋅ (V 0 − E ) ⎪ , ( E < V0 ) 2⋅m⋅ E ⎪ = . ,κ = ⎨ = ⋅ ⋅ − 2 0 m E V ⎪ ( ) , ( E > V0 ) ⎪ ⎩ = 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 4.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 4.1.1. Определить A и B, сшивая решения ψ 1 ( x ) , ψ 2 ( x ) , ψ 3 ( x ) на границах барьера в точках x = 0 и x = a:

⎧ψ 1 ( x ) = ψ 2 ( x ) x =0 x =0 ⎪ ⎨⎛ d ⎞ ⎛d ⎞ ⎪⎜ ψ 1 ( x ) ⎟ = ⎜ ψ 2 ( x ) ⎟ ⎠ x =0 ⎝ dx ⎠ x =0 ⎩⎝ dx ⎧ψ 2 ( x ) = ψ 3 ( x ) x=a x=a ⎪ ⎨⎛ d ⎞ ⎛d ⎞ = ⎜ ψ 3( x) ⎟ ⎪⎜ ψ 2 ( x ) ⎟ ⎠ x=a ⎝ dx ⎠ x =a ⎩⎝ dx

,

⎧(1 ⋅ e −i⋅k ⋅x + B1 ⋅ ei⋅k ⋅x ) = ( A2 ⋅ e−κ ⋅x + B 2 ⋅ eκ ⋅x ) x =0 x =0 ⎪⎪ ⎨⎛ d ⎞ ⎛d ⎞ − i ⋅k ⋅ x + B1 ⋅ ei⋅k ⋅x ) ⎟ = ⎜ ( A2 ⋅ e−κ ⋅x + B 2 ⋅ eκ ⋅x ) ⎟ ⎪⎜ (1 ⋅ e ⎠ x=0 ⎝ dx ⎠ x =0 ⎪⎩⎝ dx

(

)

⎧ψ ( A2 ⋅ e −κ ⋅x + B 2 ⋅ eκ ⋅x ) = A3 ⋅ ei⋅k ⋅( x−l ) x =a ⎪⎪ 2 x=a ⎨⎛ d ⎞ ⎛d ⎞ ⎪⎜ ( A2 ⋅ e −κ ⋅x + B 2 ⋅ eκ ⋅x ) ⎟ A3 ⋅ ei⋅k ⋅( x −l ) ⎟ =⎜ ⎠ x=a ⎝ dx ⎠ x=a ⎪⎩⎝ dx

(

.

)

4.1.2. Определить амплитуды прошедшей и отраженной волн как функций координаты x с параметрами k, κ:

B1 ( k , κ ) , A2 ( k , κ ) , B 2 ( k , κ ) , A3 ( k , κ ) и перейти от параметров k, κ к параметрам E, a:

B1 ( E , a ) , A2 ( E , a ) , B 2 ( E , a ) , A3 ( E , a ) . 4.1.3. Построить графики зависимости волновых функций для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x:

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

13

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

⎧ψ 1 ( x, E , a ) = 1 ⋅ e −i⋅k ⋅x + B1 ( E , a ) ⋅ ei⋅k ⋅x , ( x < 0) ⎪ κ ⋅x −κ ⋅ x ⎪ψ 2 ( x, E , a ) = A2 ( E , a ) ⋅ e + B 2 ( E , V0 ) ⋅ e , ( 0 < x < a ) ⎪ i⋅k ⋅( x −l ) , ( x > a) ⎪ψ 3 ( x, E , a ) = A3 ( E , a ) ⋅ e ⎪ − i ⋅k ⋅ x , ( x < 0) . ⎨ψ 1_ in ( x, E , a ) = 1 ⋅ e ⎪ i⋅k ⋅ x ( x < 0) ⎪ψ 1_ out ( x, E , a ) = B1 ( E , a ) ⋅ e , ⎪ψ 21 ( x, E , a ) = A2 ( E , a ) ⋅ e −κ ⋅x , ( x < 0) ⎪ ⎪ψ 22 ( x, E , a ) = B 2 ( E , a ) ⋅ eκ ⋅x , ( x < 0) ⎩ ЗАДАНИЕ 4.2. ПЛОТНОСТИ ПОТОКОВ ВЕРОЯТНОСТИ 4.2.1. Определить плотности потоков вероятности для отраженной и прошедшей волн. Плотность потока вероятности в области x < 0:

j1 ( x ) =

dψ 1 ( x ) dψ 1 ( x ) ⎞ = ⎛ − ψ 1( x ) ⋅ ⎜ψ 1 ( x ) ⋅ ⎟. dx dx ⎠ 2⋅m⋅i ⎝

Плотность потока вероятности в области 0 < x < a:

j2 ( x) =

dψ 2 ( x ) dψ 2 ( x ) ⎞ = ⎛ −ψ 2 ( x ) ⋅ ⎜ψ 2 ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅m⋅i ⎝ dx dx ⎠

Плотность потока вероятности прошедшей волны в области x > a:

j _ tr ( x ) =

dψ 3 ( x ) dψ 3 ( x ) ⎞ = ⎛ −ψ 3 ( x ) ⋅ ⎜ψ 3 ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅m⋅i ⎝ dx dx ⎠

Плотность потока вероятности падающей волны в области 0 < x < a:

j _ in ( x ) =

dψ _ in ( x ) dψ _ in ( x ) ⎞ = ⎛ − ψ _ in ( x ) ⋅ ⎜ψ _ in ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅m⋅i ⎝ dx dx ⎠

Плотность потока вероятности отраженной волны в области 0 < x < a:

j _ out ( x ) =

dψ _ out ( x ) dψ _ in ( x ) ⎞ = ⎛ −ψ _ out ( x ) ⋅ ⎜ψ _ out ( x ) ⋅ ⎟. 2⋅ m⋅i ⎝ dx dx ⎠

4.2.2. Построить графики зависимости плотностей потоков вероятности для падающей, прошедшей и отраженной волн от координаты x.

14

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 4.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ 4.3.1. Определить коэффициенты отражения и прохождения как функции энергии частицы E с параметром V0:

R ( E, a ) =

J _ out ( E , a ) J _ tr ( E , a ) , T ( E, a ) = , J _ in ( E , a ) J _ in ( E , a )

где

⎧ J _ in ( E , a ) = j _ in ( x, E , a ) x →−∞ ⎪⎪ ⎨ J _ out ( E , a ) = j _ out ( x, E , a ) x→−∞ . ⎪ ⎪⎩ J _ tr ( E , a ) = j _ tr ( x, E , a ) x→+∞ 4.3.2. Доказать тождество, выражающее закон сохранения плотности вероятности:

R2 + T 2 = 1. 4.3.3. Построить двумерные графики зависимостей коэффициентов отражения и прохождения от энергии частицы E и ширины барьера a

R ( E, a ) , T ( E, a ) .

ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèè, ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ âåðîÿòíîñòè, êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ I. Исследование волновых функции, плотностей потоков вероятности по величине параметров E и a:

ψ = ψ ( x, E , a ) , j = j ( x, E , a ) .

II. Исследование коэффициентов отражения и прохождения по величине параметра a:

R ( E, a ) , T ( E, a ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

15

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 5. КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО БАРЬЕРА ВВЕДЕНИЕ

Êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî îäíîìåðíîãî áàðüåðà

⎛ 2 x 2( E ) ⎞ T = T0 ⋅ exp ⎜ − ⋅ ∫ 2 ⋅ m ⋅ (V ( x ) − E ) ⋅ dx ⎟ = ⎜ = x1( E ) ⎟ ⎝ ⎠ x 2( E ) ⎛ ⎞ = T0 ⋅ exp ⎜ −2 ⋅ ∫ κ ( x ) ⋅ dx ⎟ ⎜ ⎟ x1( E ) ⎝ ⎠

,

ãäå

κ ( x) =

2 ⋅ m ⋅ (V ( x ) − E ) =

,

V(x) – ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ áàðüåðà,

x1 (E ), x2 (E ) – îñîáûå òî÷êè (ãðàíèöû îáëàñòè, â êîòîðûõ V (x ) ≥ E ) (ðèñ. 5.1). Ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû

(x < 0) ⎧0, ⎪ а) V ( x, α ) = ⎨ − α ⋅ ( x − a ), (0 < x < a ) , ⎪0, (x > a ) ⎩

Рис. 5.1.а 16

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

(x < −a ) ⎧0, ⎪− α ⋅ x, (− a < x < 0) ⎪ б) V ( x, α ) = ⎨ ⎪+ α ⋅ x, (0 < x < + a ) ⎪⎩0, (x > + a )

Рис. 5.1.б

(x < −a ) ⎧0, ⎪ 2 2 в) V ( x, β ) = ⎨ − β ⋅ (x − a ), (− a < x < 0) ⎪0, (x > 0) ⎩

Рис. 5.1.в

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

17

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

(x < −a ) ⎧0, ⎪ 2 2 г) V ( x, β ) = ⎨− β ⋅ (x − a ), (− a < x < + a ) ⎪0, (x > + a ) ⎩

Рис. 5.1.г

(x < −a ) ⎧0, ⎪ 2 д) V ( x, β ) = ⎨ β ⋅ x , (− a < x < + a ) ⎪0, (x > + a ) ⎩

Рис. 5.1.д

18

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

(x < 0) ⎧0, ⎪ 2 е) V ( x, β ) = ⎨ β ⋅ x , (0 < x < + a ) ⎪0, (x > + a ) ⎩

Рис. 5.1.е

(x < −a ) ⎧0, ⎪ 2 2 ⎪ − β ⋅ (x − a ), (− a < x < 0) ж) V ( x, β ) = ⎨ ⎪ − β ⋅ a ⋅ (x − a ), (0 < x < + a ) ⎪⎩0, (x > +a )

Рис. 5.1.ж

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

19

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

(x < −a ) ⎧0, ⎪ 2 2 ⎪− β ⋅ (x − a ), (− a < x < 0) з) V ( x, β ) = ⎨ 2 (0 < x < + a ) ⎪β ⋅ x , ⎪0, (x > + a ) ⎩

Рис. 5.1.з

(x < −a ) ⎧0, ⎪ 2 2 ⎪ − β ⋅ (x − a ), (− a < x < 0) и) V ( x, β ) = ⎨ (0 < x < + a ) ⎪ β ⋅ a ⋅ x, ⎪⎩0, (x > + a )

Рис. 5.1.и ãäå α, β, a – ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû.

20

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 5.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО БАРЬЕРА

5.1.1. Вычислить положения точек поворота для заданных потенциальных барьеров (рис. 5.1). 5.1.2. Вычислить коэффициент прохождения одномерного барьера как функцию энергии частицы E для случая 0 < E < Vmax :

⎛ 2 x 2( E ) ⎞ T = T0 ⋅ exp ⎜ − ⋅ ∫ 2 ⋅ m ⋅ (V ( x ) − E ) ⋅ dx ⎟ . ⎜ = x1( E ) ⎟ ⎝ ⎠ 5.1.3. Построить графики зависимости коэффициента прохождения от энергии частицы E:

T = T (E ) .

ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ I. Исследование коэффициента прохождения как функции энергии частицы E по величине параметров α, β a:

T = T (E , α ) , T = T ( E , β ) , T = T ( E , a ) . II. Сравнение коэффициентов прохождения для разных потенциальных барьеров.

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

21

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÃËÀÂÀ 3. ÊÂÀÍÒÎÂÛÉ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÎÑÖÈËËßÒÎÐ ТЕМА 6. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ВВЕДЕНИЕ

Íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà

ψ _ n ( x ) = Cn ⋅ e

1 x2 − ⋅ 2 2 x0

⎛ x ⎞ ⋅ Hn ⎜ ⎟ , ⎝ x0 ⎠

ãäå 2 2 ⎞ ⎛ dn n u (ξ ) = H _ n (ξ ) = ( −1) ⋅ eξ ⋅ ⎜ n e −ξ ⎟ ⎝ dξ ⎠

- ïîëèíîìû Ýðìèòà,

Cn =

1 2 n !⋅ π ⋅ x0 n

- íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò,

x0 =

ψ _ n ( x) =

x m ⋅ω = , ,ξ = = x⋅ m ⋅ω x0 =

1 2 n !⋅ π ⋅ x0 n

⋅e

1 x2 − ⋅ 2 2 x0

x2

⋅ ( − x0 ) ⋅ e x 0 n

2

Ðåêóððåíòíûå ôîðìóëû äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà

1 2

ξ ⋅ H (ξ , n ) = n ⋅ H (ξ , n − 1) + ⋅ H (ξ , n + 1) . Íîðìèðîâî÷íîå óñëîâèå +∞

∫

ψ _ n ( x ) ⋅ dx = 1 . 2

−∞

22

x2

d n − x 02 ⋅ ne . dx

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè

ρ _ n ( x) = ψ _ n ( x)

2

.

Ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà

Aˆ =

+∞

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ Aˆ ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx .

−∞

Ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà êîîðäèíàòû +∞

xˆ =

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ xˆ ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx =

−∞ +∞

=

+∞

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ x ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx = ∫ x ⋅ ψ _ n ( x )

−∞

. 2

⋅ dx

−∞

Ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà èìïóëüñà +∞

pˆ x =

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ pˆ

x

⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx =

−∞ +∞

=

⎛= ∂ ⎞

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ ⎜⎝ i ⋅ ∂x ⎟⎠ ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx = .

−∞

⎛ = ∂ψ _ n ( x ) ⎞ ⎟ ⋅ dx ∂x ⎠

+∞

=

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ ⎜⎝ i ⋅

−∞

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè îïåðàòîðà êîîðäèíàòû

f ( xˆ ) =

+∞

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ f ( xˆ ) ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx =

−∞

=

+∞

+∞

−∞

−∞

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ f ( x ) ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx = ∫ f ( x ) ⋅ ψ _ n ( x )

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

, 2

⋅ dx

23

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ +∞

xˆ k =

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ xˆ

k

⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx =

−∞ +∞

=

∫ ψ _ n ( x) ⋅ x

k

⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx =

−∞

.

+∞

∫x

k

⋅ ψ _ n ( x ) ⋅ dx 2

−∞

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà

f ( pˆ x ) =

+∞

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ f ( pˆ ) ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx = x

−∞

,

+∞

⎛= ∂ ⎞ = ∫ ψ _ n ( x ) ⋅ f ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx ⎝ i ∂x ⎠ −∞ +∞

pˆ xk =

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ pˆ

k x

⋅ψ _ n ( x ) ⋅ dx =

−∞

⎛ = ∂ kψ _ n ( x ) ⎞ = ∫ ψ _ n ( x) ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ dx k i x ∂ −∞ ⎝ ⎠ +∞

.

Íåîïðåäåëåííîñòè êîîðäèíàòû è èìïóëüñà

Δx =

Δp =

(Δx )2

=

x2 − x

(Δp )2

=

pˆ x2 − pˆ x

2

, 2

.

ЗАДАНИЕ 6.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА 6.1.1. Получить аналитические выражения волновых функций для разных значений n. 6.1.2. Получить аналитические выражения амплитуд вероятностей для разных значений n. 6.1.3. Проверить выполнение нормировочного условия. ЗАДАНИЕ 6.2. ГРАФИКИ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ И АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6.2.1. Построить графики волновых функций для разных значений n. 6.2.2. Построить графики амплитуд вероятностей для разных значений n.

24

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 6.3. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 6.3.1. Вычислить средние значения операторов координаты и импульса. 6.3.2. Вычислить средние значения функций операторов координаты и импульса: 2 3 4 а) xˆ , xˆ , xˆ ;

б)

pˆ x2 , pˆ x3 , pˆ x4 ;

( ) = ⋅ m0 ⋅ ω ⋅ x ; ˆ ) = ⋅ pˆ / m0 ; в) кинетическая энергия E ( p ˆ ). в) полная энергия E = H = V (xˆ ) + E ( p в) потенциальная энергия V xˆ кин

2

2

1 2

2 x

1 2

2

2 x

2

кин

2 x

ЗАДАНИЕ 6.4. МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

6.4.1. Вычислить неопределенности координаты и импульса:

Δx =

2

x 2 − x , Δp =

pˆ x2 − pˆ x

2

.

6.4.2. Вычислить значение соотношения неопределенностей:

Δx ⋅ Δp . 6.4.3. Вычислить минимальное значение соотношения неопределенностей для n = 0:

Δx ⋅ Δp .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

25

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ПРАВИЛА ОТБОРА ОСЦИЛЛЯТОРА ЗАДАНИЕ 7.1. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 7.1.1. Вычислить матричные элементы (плотности вероятности перехода из состояния, характеризуемым квантовым числом n, в состояние, характеризуемое квантовым числом m) для операторов координаты и импульса: а) матричные элементы для оператора координаты +∞

x _ nm =

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ xˆ ⋅ψ _ m ( x ) ⋅ dx =

−∞

.

+∞

=

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ x ⋅ψ _ m ( x ) ⋅ dx

−∞

б) матричные элементы для оператора импульса +∞

p _ nm =

∫ ψ _ n ( x ) ⋅ pˆ

x

⋅ψ _ m ( x ) ⋅ dx =

−∞ +∞

⎛= ∂ ⎞ = ∫ ψ _ n ( x ) ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ψ _ m ( x ) ⋅ dx ⎝ i ∂x ⎠ −∞

.

7.1.2. Получить матричное представление для операторов координаты и импульса:

X = x _ nm , P = p _ nm . ЗАДАНИЕ 7.2. ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ ОСЦИЛЛЯТОРА

7.2.1. Вычислить матричные элементы дипольного момента μ = q ⋅ x осциллятора: +∞

μ _ nm = q ⋅ x _ nm = q ⋅ ∫ ψ _ n ( x ) ⋅ x ⋅ψ _ m ( x ) ⋅ dx . −∞

26

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

7.2.2. Используя рекуррентные формулы для полиномов Эрмита показать, что матричные элементы дипольного момента осциллятора отличны от нуля только в случае:

m = n − 1, m = n + 1 . Сформулировать правила отбора для дипольных переходов осциллятора. 7.2.3. Вычислить частоты дипольных переходов осциллятора. ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé è àìïëèòóä âåðîÿòíîñòåé I. Исследование волновых функций и амплитуд вероятностей как функции координаты x по величине параметра E (энергии) или ω (частоты):

ψ _ n = ψ _ n ( x, E ) , ψ _ n = ψ _ n ( x, ω ) . Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû II. Вычислить матричные элементы и получить матричное представление для операторов координаты и импульса для значений:

0 < n < 10, 0 < m < 10 .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

27

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÃËÀÂÀ 3. ÂÎÄÎÐÎÄÎÏÎÄÎÁÍÛÅ ÀÒÎÌÛ ТЕМА 8. УГЛОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА ВВЕДЕНИЕ

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïî ϕ

Φ _ m (ϕ ) = C _ ϕ ⋅ ei⋅m⋅ϕ ,

ãäå

1 , 2 ⋅π

C _ϕ =

m = ±1, ±2, ±3, … - àçèìóòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. Íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïî θ

S _ lm (θ ) = C _ lm ⋅ P _ lm ( cos (θ ) ) ,

ãäå íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò ðàâåí:

C _ lm =

( 2 ⋅ l + 1) ⋅ ( l − m ) ! , 2 ⋅ (l + m )! l = 1, 2, 3, …

- îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.

( 2 ⋅ l + 1) ⋅ ( l − m ) ! ⋅ P _ lm cos θ ( ( )) 2 ⋅ (l + m)! èëè â ïåðåìåííîé x = cos(θ ) : S _ lm ( x ) = C _ lm ⋅ P _ lm ( x ) . S _ lm (θ ) =

Ïðèñîåäèíåííûå ïîëèíîìû Ëåæàíäðà:

P _ lm ( x ) = (1 − x

28

2

)

m 2

⎡ l + m (1 − x 2 ) l ⎤ d ⎥, ⋅ ⎢ l +m ⎢ dx 2l ⋅l! ⎥ ⎣ ⎦

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

( 2 ⋅ l + 1) ⋅ ( l − m ) ! ⋅ 1 − x 2 m2 ⋅ d l +m ⎡⎢ (1 − x 2 ) ( ) dx l +m ⎢ 2 l ⋅ l ! 2 ⋅ (l + m)!

S _ lm ( x ) =

⎣

l

⎤ ⎥. ⎥ ⎦

Íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå óãëîâîãî óðàâíåíèÿ äëÿ âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà

Y _ lm (θ , ϕ ) = S _ lm (θ ) ⋅ Φ _ m (ϕ ) ,

Y _ lm (θ , ϕ ) = α m ⋅

( 2 ⋅ l + 1) ⋅ ( l − 4 ⋅π

(l+

m m

)! × )! ,

× P1_ lm ( cos (θ ) ) ⋅ ei⋅m⋅ϕ P1 _ lm ( cos (θ ) ) = P _ lm ( cos (θ ) )

m→ m

,

ãäå

l = 1, 2, 3, …, m = ±1, ±2, ±3, …±l,

( m ≥ 0) . 1 m 0 − < ( ) ( ) ⎪⎩ ⎧⎪1

α _m= ⎨

m

Íîðìèðîâî÷íûå óñëîâèÿ 2⋅π

∫ Φ _ m ( ϕ ) ⋅ Φ _ m (ϕ ) ⋅ d ϕ = 1 , 0

π

∫ S _ lm (θ ) ⋅ S _ lm (θ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ dθ = 1 , 0

π

2⋅π

0

0

∫ dθ ⋅

∫ dϕ ⋅ Y _ lm (θ , ϕ ) ⋅ Y _ lm (θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) = 1 .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

29

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè ïî óãëó θ:

ρ (θ ) = S _ lm (θ ) ïî óãëîâûì ïåðåìåííûì

2

,

(θ , ϕ ) :

ρ (θ , ϕ ) = Y _ lm (θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) . 2

ЗАДАНИЕ 8.1. УГЛОВЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА

8.1.1. Получить аналитические выражения для волновых функций S(θ) для разных значений l и m. 8.1.2. Получить аналитические выражения для амплитуд вероятностей |S(θ)|2 и |Y(θ)|2·sin(θ) для разных значений l и m. 8.1.3. Проверить выполнение нормировочных условий. ЗАДАНИЕ 8.2. ГРАФИКИ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ И АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТЕЙ

8.2.1. Построить графики волновых функций S(θ) и амплитуд вероятностей |S(θ)|2 для разных значений l и m. 8.2.2. Построить графики амплитуд вероятностей |Y(θ)|2·sin(θ) для разных значений l и m.

30

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ТЕМА 9. РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА ВВЕДЕНИЕ

Íîðìèðîâàííûå ðàäèàëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà l

Z

⎛ 2 ⋅ Z ⎞ − n ⋅ a1 ⋅ r ⋅r⎟ ⋅e × R _ ln ( r ) = C _ ln ⋅ ⎜ ⎝ n ⋅ a1 ⎠ , ⎛ 2⋅Z ⎞ ×Q ⎜ ⋅ r , ( 2 ⋅ l + 1) , ( n − l − 1) ⎟ ⎝ n ⋅ a1 ⎠

ãäå íîðìèðîâî÷íûé êîýôôèöèåíò ðàâåí 3 2

⎛ Z ⎞ 4 C _ nl = ⎜ , ⎟ ⋅ n ⋅ ( n − l − 1) !⋅ ( n + l ) ! ⎝ n ⋅ a1 ⎠ N = n − l −1 - ðàäèàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî,

Q ( x , n, m ) =

⎞ 1 x −n ⎛ d m ⋅ e x ⎜ m ( e− x x n+m ) ⎟ n! ⎝ dx ⎠

- ïðèñîåäèíåííûå ïîëèíîìû Ëÿãåððà,

a1 =

=2 ≈ 0.523 ⋅ 10−8 см ( СЕГ ) m ⋅ e2

- ïåðâûé Áîðîâñêèé ðàäèóñ. Ðàäèàëüíûå âîëíîâûå ôóíêöèè â ïåðåìåííîé ρ:

ρ=

2⋅Z ⋅r , n ⋅ a1

R _ nl ( ρ ) = C _ nl ⋅ ρ l ⋅ e

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

−

ρ 2

⋅ Q ( 2 ⋅ l + 1, n − l − 1, ρ ) .

31

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå

D ( r ) = R _ nl ( r ) ⋅ r 2 . 2

Êâàíòîâûå ÷èñëà äëÿ êðóãîâûõ îðáèò

n − l = 1. Ðàäèóñû êðóãîâûõ îðáèò

D0 ( r ) = R _ nm ( r ) ⋅ r 2 , m = n − 1 , 2

d D0 ( r ) = 0 . dr Íîðìèðîâî÷íîå óñëîâèå ∞

∫ R _ nl ( r ) ⋅ R _ nl ( r ) ⋅ r

2

⋅ dr = 1 .

0

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû è ôóíêöèè ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû ∞

rˆ = ∫ R _ nl ( r ) ⋅ rˆ ⋅ R _ nl ( r ) ⋅ r 2 ⋅ dr = 0

.

∞

= ∫ R _ nl ( r ) ⋅ r ⋅ R _ nl ( r ) ⋅ r 2 ⋅ dr 0

∞

f ( rˆ ) = ∫ R _ nl ( r ) ⋅ f ( rˆ ) ⋅ R _ nl ( r ) ⋅ r 2 ⋅ dr = 0

.

∞

= ∫ R _ nl ( r ) ⋅ f ( r ) ⋅ R _ nl ( r ) ⋅ r ⋅ dr 2

0

32

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ЗАДАНИЕ 9.1. РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА

9.1.1. Получить аналитические выражения для волновых функций R(r) для разных значений n и l. 9.1.2. Получить аналитические выражения для амплитуды вероятности D(r) для разных значений n и l. 9.1.3. Исследовать радиальные волновые функции R(r) и амплитуды вероятности D(r) для разных значений n и l на экстремум. 9.1.4. Проверить выполнение нормировочного условия. ЗАДАНИЕ 9.2. КРУГОВЫЕ ОРБИТЫ 9.2.1. Получить аналитические выражения для волновых функций R(r) для круговых орбит для разных значений n. 9.2.2. Получить аналитические выражения для амплитуды вероятности Dкруг(r) для круговых орбит для разных значений n. 9.2.3. Вычислить радиусы круговых орбит для разных значений n. ЗАДАНИЕ 9.3. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ 9.3.1. Вычислить средние значения оператора координаты для разных значений n и l. 9.3.2. Вычислить средние значения функций оператора координаты для разных значений n и l:

1 1 f1 (rˆ ) = , f 2 (rˆ ) = 2 . rˆ rˆ ЗАДАНИЕ 9.4. ГРАФИКИ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ И АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТЕЙ

9.4.1. Построить графики волновых функций R(r) и амплитуд вероятностей D(r) для разных значений n и l. 9.4.2. Построить графики амплитуд вероятностей |Y(θ)|2·sin(θ) для разных значений l и m. ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé è àìïëèòóä âåðîÿòíîñòåé Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé è àìïëèòóä âåðîÿòíîñòåé êàê ôóíêöèè êîîðäèíàòû r ïî âåëè÷èíå ïàðàìåòðà Z:

R = R _ nl ( r , Z ) , D = D _ nl ( r , Z ) . 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

33

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 10. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА ВВЕДЕНИЕ

Íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà

ψ ( r , θ , ϕ ) = ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) = R _ nl ( r ) ⋅ Y _ lm (θ , ϕ ) , l

Z

⎛ 2 ⋅ Z ⎞ − n⋅a1 ⋅r ⎛ 2⋅Z ⎞ ⋅r⎟ ⋅e ⋅ Q ⎜ 2 ⋅ l + 1, n − l − 1, ⋅r⎟, R _ nl ( r ) = C _ nl ⋅ ⎜ n ⋅ a1 ⎠ ⎝ n ⋅ a1 ⎠ ⎝

Y _ lm (θ , ϕ ) = C _ lm ⋅ P1 _ lm ( cos (θ ) ) ⋅ ei⋅m⋅ϕ ,

P1_ lm ( cos (θ ) ) = P _ lm ( cos (θ ) )

m→ m

3

⎛ Z ⎞2 4 C _ nl = ⎜ , ⎟ ⋅ n ⋅ ( n − l − 1) !⋅ ( n + l ) ! ⎝ n ⋅ a1 ⎠

( 2 ⋅ l + 1) ⋅ ( l −

C _ lm = α _ m ⋅

4 ⋅π

(l+

m m

)! , )!

ãäå

l = 1, 2, 3…, m = ±1, ±2, ±3, …±l,

( m ≥ 0) . m ⎪⎩( −1) ( m < 0 ) ⎧⎪1

α _m= ⎨

Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè

ρ ( r , θ , ϕ ) = ρ _ nlm ( r , θ , ϕ ) = ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ r 2 , 2

34

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

Ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà

ρ e _ nlm ( r , θ , ϕ ) = −e0 ⋅ ρ _ nlm ( r , θ , ϕ ) ,

ρ e _ nlm ( r , θ , ϕ ) = −e0 ⋅ ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ r 2 . 2

Ñïåöèàëüíàÿ ñâÿçü äåêàðòîâûõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò

r = x2 + y 2 + z 2 ⎛

⎞ ⎟. ⎜ x2 + y 2 + z 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ z ⎟ ϕ = arctan ⎜ ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠

θ = arccos ⎜

y

ЗАДАНИЕ 10.1. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 10.1.1. Получить аналитические выражения для волновых функций для разных значений n, l и m:

ψ ( r , θ , ϕ ) = ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) , 10.1.2. Получить аналитические выражения для амплитуды вероятности для разных значений n, l и m:

ρ ( r , θ , ϕ ) = ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ r 2 . 2

10.1.2. Получить аналитические выражения для плотности электрического заряда водородоподобного атома для разных значений n, l и m:

ρ e ( r , θ , ϕ ) = −e0 ⋅ ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ r 2 . 2

ЗАДАНИЕ 10.2. ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА

10.2.1. Получить аналитические выражения для плотности электрического заряда водородоподобного атома в декартовых координатах:

(

ρ e ( x, y, z ) = −e0 ⋅ ψ _ nlm ( r , θ , ϕ )

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

2

⋅ sin (θ ) ⋅ r 2

)

r =r ( x , y , z )

θ =θ ( x , y , z ) ϕ =ϕ ( x , y , z )

.

35

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

10.2.2. Построить графики плотности электрического заряда водородоподобного атома для фиксированных значений координаты z:

ρ e ( x, y, z ) = ρ e _ nlm ( x, y, z ) z =Const . ЗАДАНИЕ 10.3. ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ АТОМА ВВЕДЕНИЕ

Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû äèïîëüíîãî ìîìåíòà àòîìà

μ = q ⋅r , μ _ kj = q ⋅ r _ kj = q ⋅ ∫ψ _ k ( r ) ⋅ r ⋅ψ _ j ( r ) ⋅ dV , r _ kj = { x _ kj , y _ kj , z _ kj} , ⎧ x _ kj = ψ _ k ( r ) ⋅ x ⋅ψ _ j ( r ) ⋅ dV ∫ ⎪ . ⎪ ⎨ y _ kj = ∫ψ _ k ( r ) ⋅ y ⋅ψ _ j ( r ) ⋅ dV ⎪ ⎪⎩ z _ kj = ∫ψ _ k ( r ) ⋅ z ⋅ψ _ j ( r ) ⋅ dV Çàìå÷àíèå. Ïðè âûâîäå ïðàâèë îòáîðà äëÿ îðáèòàëüíîãî è àçèìóòàëüíîãî êâàíòîâûõ ÷èñåë (l, m) ìîæíî ñ÷èòàòü âîëíîâûå ôóíêöèè çàâèñÿùèìè òîëüêî îò óãëîâ θ è ϕ:

ψ _ nlm ( r , θ , ϕ ) → ψ _ lm (θ , ϕ ) = C ⋅ ei⋅m⋅ϕ ⋅ P _ lm (θ , ϕ ) . Ïðè ýòîì ðàäèóñ-âåêòîð ìîæíî ñ÷èòàòü íåèçìåííûì è ïîëîæèòü åãî ðàâíûì åäèíèöå. Ñâÿçü ñôåðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò (r = 1)

X = sin (θ ) ⋅ cos (ϕ ) , Y = sin (θ ) ⋅ sin (ϕ ) , Z = cos (θ ) . Êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

cos (ϕ ) =

36

1 i⋅ϕ 1 ⋅ ( e + e −i⋅ϕ ) , sin (ϕ ) = ⋅ ( ei⋅ϕ − e − i⋅ϕ ) . 2 2⋅

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

Ðåêóððåíòíûå Ëåæàíäðà

x ⋅ P ( x, l , m ) =

ôîðìóëû

äëÿ

ïðèñîåäèíåííûõ

ïîëèíîìîâ

l+m l − m +1 ⋅ P ( x, l − 1, m ) + ⋅ P ( x, l + 1, m ) . 2⋅l +1 2⋅l +1 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

10.3.1. Записать выражения для матричных элементов

X _ kj , Y _ kj, Z _ kj . 10.3.2. Используя рекуррентные формулы для присоединенных полиномов Лежандра показать, что матричные элементы дипольного момента атома отличны от нуля только в случае:

m → m, m → m − 1, m → m + 1 . l → l − 1, l → l + 1 Сформулировать правила отбора для дипольных переходов атома. 10..3. Вычислить частоты дипольных переходов атома. ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé è àìïëèòóä âåðîÿòíîñòåé I. Исследование плотности электрического заряда водородоподобного атома как функции координат по величине параметра Z:

ρ e _ nlm ( x, y, z, Z ) . II. Исследование плотности электрического заряда водородоподобного атома в различных сечениях - как функции координат x и y при различных значениях координаты z:

ρ e _ nlm ( x, y, z ) z =Const .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

37

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 11. ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ВВЕДЕНИЕ

Óðîâíè ýíåðãèè âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà â ìàãíèòíîì ïîëå

E _ nm = −

R ⋅ = ⋅ Z 2 e0 ⋅ H ⋅ = + ⋅m, n2 2 ⋅ m0 ⋅ c

ãäå n – ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî, m - àçèìóòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. ×àñòîòû èçëó÷åíèÿ âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà â ìàãíèòíîì ïîëå

ω=

E_nm - E_n'm' = ω _nn' + Ω ⋅ ( m - m' ) , h Ω=

e0 ⋅ H ⋅ = 2 ⋅ m0 ⋅ c

- Ëàðìîðîâà ÷àñòîòà. ЗАДАНИЕ 11.1. ЧАСТОТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 11.1.1. Вычислить частоты излучения водородоподобного атома в магнитном поле. 11.1.2. Провести сравнение с частотами излучения в отсутствие магнитного поля. Определить, для каких уровней снимается вырождение по азимутальному квантовому числу. ЗАДАНИЕ 11.2 .ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 11.2.1. Получить аналитические выражения для радиальных волновых функций водородоподобного атома в магнитном поле, используя подстановку:

R _ nl ( r , θ , ϕ ) → R _ η lm ( r , θ , ϕ ) , где параметр η определяется из формулы:

−

R⋅=⋅Z2

η2

R ⋅ = ⋅ Z 2 e0 ⋅ H ⋅ = =− + ⋅m. 2 ⋅ m0 ⋅ c n2

11.2.2. Построить графики радиальных волновых функций водородоподобного атома в магнитном поле. 38

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

11.2.2. Получить аналитические выражения для волновых функций водородоподобного атома в магнитном поле:

ψ _ η lm ( r , θ , ϕ ) = R _ η l ( r ) ⋅ Y _ lm (θ , ϕ ) . 11.2.3. Получить аналитические выражения для амплитуды вероятности водородоподобного атома в магнитном поле:

ρ ( r , θ , ϕ ) = ψ _ η lm ( r , θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ r 2 . 2

11.1.2. Получить аналитические выражения для плотности электрического заряда водородоподобного атома для разных значений n, l и m:

ρ e ( r , θ , ϕ ) = −e0 ⋅ ψ _ η lm ( r , θ , ϕ ) ⋅ sin (θ ) ⋅ r 2 . 2

ЗАДАНИЕ 11.3. ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА АТОМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

11.3.1. Получить аналитические выражения для плотности электрического заряда водородоподобного атома в магнитном поле в декартовых координатах:

(

ρ e ( x, y, z ) = −e0 ⋅ ψ _ η lm ( r , θ , ϕ )

2

⋅ sin (θ ) ⋅ r 2

)

r =r( x , y , z )

θ =θ ( x , y , z ) ϕ =ϕ ( x , y , z )

.

11.3.2. Построить графики плотности электрического заряда водородоподобного атома в магнитном поле для фиксированных значений координаты z:

ρ e ( x, y, z ) = ρ e _ η lm ( x, y, z ) z =Const . ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Èññëåäîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé è àìïëèòóä âåðîÿòíîñòåé I. Исследование плотности электрического заряда водородоподобного атома как функции координат по величине параметра Z:

ρ e _ nlm ( x, y, z, Z ) .

II. Исследование плотности электрического заряда водородоподобного атома как функции координат по величине магнитного поля H:

ρ e _ nlm ( x, y, z, H ) .

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

39

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÃËÀÂÀ 4. ÒÅÏËÎÅÌÊÎÑÒÜ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË ТЕМА 12. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ВВЕДЕНИЕ

ЗАДАНИЕ 12.1. ТЕОРИЯ ЭЙНШТЕЙНА ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ВВЕДЕНИЕ

Ýíåðãèÿ ÷àñòèöû òâåðäîãî òåëà

ε _ n = n ⋅ = ⋅ω , ãäå ω - ÷àñòîòà êîëåáàíèé, n – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà ïî ýíåðãèè

N (ε ) = N 0 ⋅ e

−

ε k ⋅T

, N (n) = N 0 ⋅ e

−

n⋅=⋅ω k ⋅T

.

Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû ∞

ε _ av =

∑εn ⋅ N0 ⋅ e n=0

∞

∑ N0 ⋅ e

−

−

n⋅=⋅ω k ⋅T

∞

=

n⋅=⋅ω k ⋅T

= ⋅ω ⋅ ∑ n ⋅ e

n=0

n =0 n⋅=⋅ω ∞ − k ⋅T

−

n⋅=⋅ω k ⋅T

.

∑e n=0

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ (îäíîãî ìîëÿ òâåðäîãî òåëà)

U = 3 ⋅ N _ A ⋅ ε _ av , ãäå N_A – ÷èñëî Àâîãàäðî. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü òâåðäîãî òåëà

c _V =

dU . dT

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

12.1.1. Вычислить среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы . 12.1.2. Вычислить внутреннюю энергию одного моля твердого тела U. 12.1.3. Вычислить молярную теплоемкость твердого тела c_V.

40

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

12.1.4. Получить закон Дюлонга-Пти, разложив молярную теплоемкость твердого тела по переменной

= ⋅ω k ⋅T до членов первого порядка. 12.1.5. Построить двумерные графики зависимости молярной теплоемкости твердого тела от температуры для разных значений частоты. ЗАДАНИЕ 12.2. ТЕОРИЯ ДЕБАЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ВВЕДЕНИЕ

Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ, ñ ÷àñòîòîé ω_i

ïðèõîäÿùàÿñÿ

íà

îäíó

ñòåïåíü

ñâîáîäû

= ⋅ ωi

εi = e

=⋅ωi k ⋅T

−1

Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ N ñâÿçàííûõ ÷àñòèö, ñîâåðøàþùèõ íîðìàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ 3⋅ N

= ⋅ ωi

3⋅ N

ε _ av = ∑ ε i = ∑ i =1

i =1

e

=⋅ωi k ⋅T

→ ε _ av =

ω _ max

∫

−1

0

= ⋅ω

e

=⋅ω k ⋅T

⋅ dZ (ω ) ,

−1

ãäå ω_max – ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

Z (ω _ max ) = 3 ⋅ N ,

dZ (ω ) =

3 ⋅V ⋅ ω 2 ⋅ dω . 2 ⋅ π 2 ⋅ c3

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ (îäíîãî ìîëÿ òâåðäîãî òåëà)

3 ⋅ N _ A ⋅V ⋅ = U= ⋅ 2 ⋅ π 2 ⋅ c3 =

ω _ max

∫ 0

ξ0

ω3 e

=⋅ω k ⋅T

⋅ dω =

−1

3 ⋅ N _ A ⋅V ⋅ k ξ ⋅∫ ξ ⋅ dξ 2 3 3 2 ⋅π ⋅ c ⋅ = e −1 0

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

4

,

3

41

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ãäå

ξ=

= ⋅ω = ⋅ ω _ max , ξ0 = . k ⋅T k ⋅T

Äåáàåâñêàÿ òåìïåðàòóðà

= ⋅ ω _ max , k T _ D = ξ0 ⋅T .

T_D=

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

12.2.1. Вычислить внутреннюю энергию одного моля твердого тела U как функции температуры T с параметром T_D. 12.2.2. Вычислить молярную теплоемкость твердого тела c_V. 12.2.3. Получить закон Дюлонга-Пти как предел формулы Дебая для молярной теплоемкости твердого тела. 12.2.4. Построить двумерные графики зависимости молярной теплоемкости твердого тела от температуры для разных значений частоты.

42

1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 1. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 1.1. Получить закон Вина как следствие формулы Планка, исследовав излучательную способность абсолютно черного тела по длине волны на экстремум и вычислив произведение T·λmax. Формула Планка

Замена переменной

Исследование излучательной способности на экстремум

Вычисление искомого соотношения (закон Вина)

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

43

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ 1.1. MATHCAD ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

ПОЛИНОМЫ ЛЯГЕРРА

44

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

ОБОБЩЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЯГЕРРА

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

45

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

46

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

1.2. MATHEMATICA ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

TableForm[Table[HermiteH[n,z],{n,7}]]

2z − 2 + 4 z2

− 12 z + 8 z3 12 − 48 z2 + 16 z4 120 z − 160 z3 + 32 z5 − 120 + 720 z2 − 480 z4 + 64 z6 − 1680 z + 3360 z3 − 1344 z5 + 128 z7 Plot[HermiteH[4,x],{x,-2.5,2.5},PlotRange→{30,60}] 60

40

20

-2

-1

1

2

-20

Graphics

ПОЛИНОМЫ ЛЯГЕРРА

TableForm[Table[LaguerreL[n,z],{n,5}]]

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

47

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

1 H 2 − 4 z + z 2L 2 1 H6 − 18 z + 9 z2 − z3L 6 1 H24 − 96 z + 72 z2 − 16 z3 + z4L 24 1 H120 − 600 z + 600 z2 − 200 z3 + 25 z4 120

1−z

− z 5L

Plot[LaguerreL[4,x],{x,-5,15},PlotRange→{10,30}] 30 25 20 15 10 5 -5

5

10

15

-5 -10

Graphics

ОБОБЩЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЯГЕРРА

TableForm[Table[LaguerreL[n,m,z],{n,2},{m,2}]]

2−z 1 H 6 − 6 z + z 2L 2

3−z 1 H12 − 8 z + z 2L 2

Plot[LaguerreL[4,3,x],{x,-5,15},PlotRange→{25,30}]

48

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

30 20 10

-5

5

10

15

-10 -20

Graphics ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

TableForm[Table[LegendreP[n,z],{n,5}]] z 2 − 1 + 3z 2 3z 2

2 3 − + 5z 2 3 − 15 z2 + 35 z4 8 4 8 15 z − 35 z3 + 63 z5 8 4 8

Plot[LegendreP[4,x],{x,-1.25,1.25}, PlotRange→{-1,3}] 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -1

-0.5

0.5

1

-0.5 -1

Graphics

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

49

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

LegendreP[8,3,x] TableForm[Table[LegendreP[n,m,z],{n,3},{m,3}]] −1−z H− 1 + zL $%%%%%%%%%%%

0

−1−z H− 1 + zL z 3 $%%%%%%%%%%%

− 3 H− 1 + z L H1 + z L

−1+z

−1+z

Plot[LegendreP[6,2,x],{x,-1,1},PlotRange→{20,24}] 20

10

-1

-0.5

0.5

1

-10

-20

Graphics СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ

TableForm[Table[SphericalHarmonicY[l,m,θ,φ], {l,3},{m,2}]]

50

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

1.3. MAPLE

> restart: > with(orthopoly): ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

> H(3,x); H(4,x);

8 x 3 − 12 x 12 + 16 x 4 − 48 x 2 или > simplify(HermiteH(3,x)); simplify(HermiteH(4,x));

8 x 3 − 12 x 12 + 16 x 4 − 48 x 2 > plot(HermiteH(4,x), x=-2.5..2.5,y=-30..60);

ПОЛИНОМЫ ЛЯГЕРРА

> restart: > with(orthopoly): > L(3,x); L(4,x);

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

51

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

1−3x+

3 2 1 3 x − x 2 6

1 − 4 x + 3 x2 −

2 3 1 4 x + x 3 24

или > simplify(LaguerreL(3,x)); simplify(LaguerreL(4,x));

1−3x+

3 2 1 3 x − x 2 6

1 − 4 x + 3 x2 −

2 3 1 4 x + x 3 24

> plot(LaguerreL(4,x), x=-5..15,y=-10..30);

ОБОБЩЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЯГЕРРА

> restart: > with(orthopoly): > L(3,1,x); L(4,3,x);

4 − 6 x + 2 x2 −

52

1 3 x 6

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

35 − 35 x +

21 2 7 3 1 4 x − x + x 2 6 24

Полиномы Лягерра > simplify(LaguerreL(3,1,x)); simplify(LaguerreL(4,3,x));

4 − 6 x + 2 x2 − 35 − 35 x +

1 3 x 6

21 2 7 3 1 4 x − x + x 2 6 24

> plot(LaguerreL(4,3,x), x=-5..15,y=-25..30);

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

> restart: > with(orthopoly): > P(3,x); P(4,x);

5 3 3 x − x 2 2

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

53

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

3 35 4 15 2 x − x + 8 8 4 или > simplify(LegendreP(3,x)); simplify(LegendreP(4,x));

5 3 3 x − x 2 2

3 35 4 15 2 + x − x 8 8 4 > plot(LegendreP(4,x), x=-1.25..1.25,y=-1..3);

54

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 5.1 1. Вычислить значения особых точек для потенциального барьера:

(x < −a ) ⎧0, ⎪+ α ⋅ (x + a ), (− a < x < 0) ⎪ V ( x, α ) = ⎨ . ( ) ( ) − ⋅ x − a , 0 < x < + a α ⎪ ⎪⎩0, (x > + a )

2. Вычислить коэффициент прохождения одномерного барьера как функцию энергии частицы E. 3. Построить графики зависимости коэффициента прохождения от энергии частицы E и параметров a и α. Вычисление положения точек поворота для барьера

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

55

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Вычисление коэффициента прохождения барьера

Задаваемые параметры

Исследуемые функции

56

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

Графики График потенциальной энергии

График зависимости коэффициента прохождения от энергии частицы

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

57

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

4. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 6.1 - 6.3 1. Получить аналитические выражения волновых функций квантового осциллятора для разных значений n. 2. Проверить выполнение нормировочного условия. 3. Построить графики волновых функций и амплитуд вероятностей для разных значений n. Полиномы Эрмита и волновые функции квантового осциллятора

Проверка нормировочного условия

58

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

Графики волновых функций и амплитуд вероятностей

4. Вычислить средние значения функций операторов координаты и импульса:

⎛i d ⎞ x⋅ p = x⋅⎜ ⎟, ⎝ = dx ⎠

⎛ ⎛ i ⎞2 d 2 ⎞ x2 ⋅ p2 = x2 ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎝ = ⎠ dx 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

59

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Полиномы Эрмита и волновые функции квантового осциллятора

Средние значения функций операторов координаты и импульса

60

2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ

×ÀÑÒÜ 5. ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÔÈÇÈÊÀ

5. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ РЕШЕНИЕ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА

Радиальное уравнение Шредингера для водородоподобного атома

RadDifEqnHdrLAt = D@R @rD, 8r, 2