Физика. Раздел 5. ''Молекулярная физика. Термодинамика'': Основные законы и формулы: Методические указания к решению задач

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра физики

ФИЗИКА Раздел 5. Молекулярная физика. Термодинамика. Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач.

Факультеты все Специальности все

Санкт-Петербург 1997

Утверждено редакционно-издательским советом института. УДК 53(07) Физика. Раздел 5. "Молекулярная физика. Термодинамика". Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач. - СПб.:СЗПИ, 1997, - 23 с., ил. 2. Данное учебно-методическое пособие содержит основные законы и формулы физики, рекомендации к решению задач, примеры решения задач и рекомендуемую литературу по разделу "Молекулярная физика. Термодинамика", а также справочные таблицы. Пособие составлено в соответствии с программой по физике для инженерных специальностей высших учебных заведений. Рассмотрено на заседании кафедры физики. Одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники. Рецензенты: кафедра физики СЗПИ (и.о.зав.каф. физики В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц.); А.Г.Дмитриев, докт. физ.-мат. наук, проф. каф. экспериментальной физики СПбГТУ. Составители: Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф. К.Ф.Комаровских, докт. физ.-мат. наук, проф. В.Б.Харламова, доц. Научные редакторы: Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф. И.В.Попов, канд. физ.-мат. наук, доц.

3

Предисловие Цель настоящего учебно-методического пособия - оказание помощи студентам СЗПИ всех специальностей в изучении курса физики. Основной учебный материал пособия содержит шесть разделов физики, изданных отдельными брошюрами: 1. Физические основы механики. 2. Электростатика. Постоянный электрический ток. 3. Магнитостатика. Электромагнетизм. 4. Колебания и волны. Волновая оптика. 5. Молекулярная физика. Термодинамика. механики. 6. Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой Физика твердого тела. Физика атомного ядра. В каждом из разделов приведены основные формулы и примеры решения задач. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, список рекомендуемой учебной литературы и справочные таблицы. Общие методические указания к решению задач, выполнению и оформлению контрольных работ 1. В зависимости от объема изучаемого курса физики студенты выполняют разное число контрольных работ: - односеместровый курс физики - две конрольные работы; - двухсеместровй курс физики - три контрольные работы; - трехсеместровый курс физики - пять контрольных работ. 2. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения о студенте (фамилия, имя, отчество, факультет, шифр, номер специальности), а также номер контрольной работы, номер варианта и номера всех задач контрольной работы. 3. Условие каждой задачи переписывается полностью, без сокращений. 4. Решения сопровождаются подробными пояснениями, с обязательным использованием рисунков, выполненных чертежными инструментами. При этом оставляются поля и промежутки не менее 10 мм между строками для замечаний преподавателя. 5. Последовательность решения задач: а) вводятся буквенные обозначения всех используемых физических величин; б) под рубрикой "Дано" кратко записывается условие задачи с переводом единиц в систему СИ; в) приводится рисунок, поясняющий условие; г) формулируются физические законы и обосновываются возможности их использования при решении данной задачи; 4

д) на основе сформулированных законов составляются уравнения для искомых величин в системе СИ; е) находятся решения этих уравнений и выводятся рабочие формулы в общем виде; ж)по рабочим формулам проверяется размерность искомых величин; и) проводятся вычисления (с точностью не более 2-3 значащих цифр) в системе СИ. Числовые значения величин записываются в виде десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой, умноженной на соответствующую степень десяти. 6. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы. Выполненная контрольная работа сдается на рецензию преподавателю по крайней мере за одну-две недели до экзамена (зачета) по физике. После рецензирования вносятся исправления в решения задач в соответствии с замечаниями преподавателя. Исправленные решения помещаются в конце тетради с контрольной работой, которая сдается на повторную рецензию. Зачет по контрольной работе принимается преподавателем в процессе собеседования по правильно решенной и отрецензированной контрольной работе. Литература Основная 1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа. 1989. 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука. 1982 и др.издания. 2. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. М.: Наука. 1989. Дополнительная 3. Комаровских К.Ф. и др. Молекулярная физика. Основы термодинамики. Текст лекций. Л.: СЗПИ 1989. 4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука. 1990. 5. Чертов А.Б., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа. 1988, 1991.

5

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Основные законы и формулы Уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона PV =

m RT, µ

где P - давление газа, V - его объем, T - абсолютная температура, m - масса газа, µ - масса одного моля газа,R = 8,31 Дж/(моль К) - газовая постоянная, m/µ - число молей. Количество вещества газа (в молях) N m ν= или ν = , NA µ где N - число молекул газа, NA = 6,02.1023 моль-1 - постоянная Авогадро. Количество вещества в смеси газов определяется ν = ν1+ν2+...+νn = N1/NA + N2/NA + ... + Nn/NA или ν = m1/µ1 + m2/µ2 + ... + mn/µn , где νI, Ni, mi, µI - соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-й компоненты смеси. Молярная масса смеси газов µ = (m1 + m 2 +...+m n ) / ( ν1 + ν 2 +...+ ν n ), где mi - масса i-го компонента смеси, νi - количество вещества i-го компонента смеси, n - число компонентов смеси. Массовая доля wi i-го компонента смеси газов (в долях единицы) w i = mi / m , где m- масса смеси.

n = N / V = NA ρ / µ, где N - число молекул, содержащихся в данной системе; ρ -плотность веществ; V - объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений P = P1 + P2 +...+ Pn , где n - число компонентов смеси.

6

Парциальным давлением называется давление газа, которое имел бы каждый газ, входящий в состав смеси, при условии, что при данной температуре он один заполнял бы весь объем. Основное уравнение кинетической теории газов 2 2 m < v2 > P = n < ε n >= n , 3 3 2 где n- число молекул в единице объема, - средняя энергия поступательного движения одной молекулы, m - масса молекулы, среднее значение квадрата скорости. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы 3 < ε k >= kT, 2 . -23 где k = R/Na = 1,38 10 Дж/К - постоянная Больцмана. Средняя полная кинетическая энергия молекулы i < ε i >= kT, 2 где i - число степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа i = 3; для двухатомного газа i = 5; для многоатомного газа i = 6. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры P = nkT , Скорости молекул: cредняя квадратичная < v к в >= 3kT / m 1 = 3RT / µ , cредняя арифметическая < v >= 8kT / πm 1 = 8RT / πµ , наиболее вероятная < v В >= 2kT / m 1 = 2RT / µ , где mi - масса одной молекулы. Относительная скорость молекулы u = v / vв , где v - скорость данной молекулы. Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) позволяет найти число молекул dN , относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+ du, 2

dN = ( 4 / π )Ne − u u 2 du . Здесь du - величина интервала относительных скоростей, малая по сравнению со скоростью u. При решении задач на закон распределения молекул по скоростям удобно пользоваться следующей таблицей 7

u

dN/Ndu

u

dN/Ndu

u

dN/Ndu

o

0

0,9

0,81

1,8

0,29

0,1

0,02

1,0

0,83

1,9

0,22

0,2

0,09

1,1

0,82

2,0

0,16

0,3

0,18

1,2

0,78

2,1

0,12

0,4

0,31

1,3

0,71

2,2

0,09

0,5

0,44

1,4

0,63

2,3

0,06

0,6

0,57

1,5

0,54

2,4

0,04

0,7

0,68

1,6

0,46

2,5

0,03

0,8

0,76

1,7

0,36

Чтобы определить, какая часть молекул ∆N/N имеет относительные скорости в диапазоне от u1 до u2, надо вычислить выражение

∆N 4 = N π

u2

∫

2

e − u u2 du

.

u1

Интегрирование можно выполнить численно, найдя площадь под кривой, построенной по таблице на миллиметровке в диапазоне от u1 до u2. Масштабы по осям при этом должны быть одинаковы. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n = n0

E − n e kT

,

где n - концентрация частиц, En - их потенциальная энергия, концентрация частиц в тех точках поля, где En=0. Средняя длина свободного пробега молекул газа 1 < l >= , 2πd 2n где d - эффективный диаметр молекул. Среднее число соударений молекул в единицу времени . < z >=

Примеры решения задач

8

n0 -

Пример1. Определить число молекул, содержащихся в объеме 1 мм3 воды, и массу молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр молекул. Дано: H2O V= 1 мм3 = 10-9м3 ______________ N - ? m1 - ? d - ? Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро NA на количество вещества ν N = νN A . Так как ν = m / µ, где µ - молярная масса, то N = (m / µ) NA. Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим N = ρVN A / µ. Произведем вычисления, учитывая, что µ = 18 . 10-3 кг/моль, ρ=1,0.103 кг/м3 (см. справочные таблицы) 10 3 ⋅ 10 −9 6,02 ⋅ 10 23 = 3,34 ⋅ 1019 молекул. N= −3 18 ⋅ 10 Массу m1 одной молекулы можно найти по формуле m1 = µ / N A . (2) Подставив в (2) значения µ и NA , найдем массу молекулы воды 18 ⋅ 10 −3 = 2,99 ⋅ 10 −26 кг. m1 = 23 6,02 ⋅ 10 Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V1 = d3, где d - диаметр молекулы. Отсюда

d = 3 V1 . (3) Объем V1 найдем, разделив объем моля Vm на число молекул в моле, т.е. на NА V1 = Vm / N A . (4) Подставив выражение (4) в (3), получим d = 3 Vm / N A , где Vm = µ / ρ. Тогда

d = 3 µ / (ρN A ) . Проверим, дает ли правая часть выражения (5) единицу длины 9

(5)

1/ 3

⎧ [µ ] ⎫ ⎨ ⎬ = (1 кг/моль)1/3 / ( 1 кг/м3 . 1 моль-1 )1/3 = 1 м. [ ρ ][ N ] A ⎭ ⎩ Произведем вычисления 18 ⋅ 10 −3 d=3 3 м = 3,11⋅ 10 −10 м = 311 п м. . 23 10 ⋅ 6,02 ⋅ 10 Пример2. Найти массу сернистого газа (SO2), занимающего объем 25 л при температуре 270С и давлении 101 кПа. Äàíî: SO2 V = 25 ë = 25.10-3 ì3 t = 270C P = 101 кПа = 1,01.105 Па ___________________ m-? Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева масса газа равна m = pVµ / RT . Определяем молярную массу сернистого газа по данным таблицы Менделеева µ = 32 + 16 ⋅ 2 = 64 ⋅ 10 − 3 кг/моль и абсолютную температуру T = t + 2730 = 270 + 2730 = 3000 K. Вычисляем массу 101 , ⋅ 10 5 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 ⋅ 64 ⋅ 10 −3 m= = 0,065 кг. 8,31⋅ 300

Пример3. Баллон содержит 80 г кислорода и 300 г аргона. Давление смеси 10 атм, температура 150С. Принимая данные газы за идеальные, определить емкость баллона. Дано: O2 m1 = 80 г = 8.10-2кг Аr m2 = 300 г = 3.10-1кг t = 150C P = 10 атм = 1,01.106 Па _____________________ V-?

10

Решение. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью. По уравнению Менделеева-Клапейрона парциальные давления кислорода p1 и аргона p2 выражаются формулами m RT m RT P1 = 1 ⋅ P2 = 2 ⋅ . и µ1 V µ2 V Следовательно, по закону Дальтона для смеси газов p = p1 + p2 или ⎛m m ⎞ RT P= ⎜ 1 + 2⎟⋅ , µ2 ⎠ V ⎝ µ1

откуда емкость баллона

⎛m m ⎞ RT . V=⎜ 1 + 2⎟⋅ (1) ⎝ µ1 µ 2 ⎠ P Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу: m1 = 80 г = 0,08 кг; µ1 = 32 кг/кмоль; m2 = 300 г = 0,3 кг; µ2 = 40 кг/кмоль; p = 10 атм = 10 . 1,01. 105 н/м2; T = 150 + 2730 = 2880K; R = 8,31 . 103 Дж / (кмоль . град). Подставим числовые значения в формулу (1) и произведем вычисления ⎛ 0,08 0,3 ⎞ ⎛ 8,31⋅ 10 3 ⋅ 288 ⎞ 3 V=⎜ + ⎟ м ≈ 24 л. ⎟ ⋅⎜ ⎝ 32 40 ⎠ ⎝ 10 ⋅ 101 , ⋅ 10 5 ⎠

Пример 4. Найти кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре 130С, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода. Дано: O2 m = 4 г = 4.10-3 кг t = 130C _____________ εвр - ? Wвр - ? Решение. Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая энергия, выражаемая формулой 1 ε 0 = kT, (1) 2 где k - постоянная Больцмана, T- абсолютная температура газа.

11

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) приписываются две степени свободы, то энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой 1 ε вр = 2 ⋅ kT. (2) 2 Подставив в формулу (2) k=1,38 . 10-23 Дж/град и T = 130 + 2730 = 2860 K, получим ε 0 = 138 , ⋅ 1023 ⋅ 286 = 3,94 ⋅ 10 −21 Дж. Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется из равенства Wвр = Nε вр , (3) где N - число всех молекул газа. Число молекул N можно получить по формуле N = N A ν, (4) где NA - число Авогадро, ν - число киломолей газа. Если учесть, что число киломолей равно

ν=

m , µ

где m - масса газа, µ - масса одного киломоля газа, то формула (4) примет вид m N = NA . (5) µ Подставив это выражение N в равенство (3), получим m Wвр = N A ε вр . (6) µ Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ: N A = 6,02 ⋅ 10 26 кмоль-1; m = 4 ⋅ 10 −3 кг; µ = 32 кг/кмоль; ε вр = 3,94 ⋅ 10 −21 Дж. Подставив эти значения в формулу (6), найдем Wвр= 6,02 . 1026 . 4 . 10-3/32 . 3,94 . 10-21 Дж = 296 Дж . Пример5. На какой высоте под уровнем моря плотность воздуха уменьшается в 2 раза? Считать, что температура воздуха не зависит от высоты и равна 00С. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Дано: ρ1 / ρ2 = 2 t = 00C __________ h-?

12

Решение. Плотность идеального газа ρ и его концентрация n связаны соотношением ρ = nm0 , где m0 = µ / NA - масса одной молекулы, µ -молярная масса, NA -число Авогадро. Таким образом, отношение плотностей газа ρ1/ρ2 равно отношению концентраций молекул n1/n2. В соответсвии с распределением Больцмана концентрация n на высоте h равна n = n0 exp (-En / (êT)), где n0 - концентрация молекул на уровне моря и En - потенциальная энергия молекулы на высоте h E = m0gh . Учитывая, что −

имеем

n1 = n0

и

n2=n0 e

ρ1 n 1 = =e ρ2 n 2

m0gh к T

=

m0 gh к T µhgh e RT

,

,

так как NA к = R. Берем натуральный логарифм от обеих частей выражения и находим RT ρ1 ln . h= µg ρ 2 Подставив в полученную формулу данные из условия задачи, получим . . 8,31273 ln 2 h= = 5,5 .10 3м = 5,5 км. . −3 . 29 10 9,8

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Основные законы и формулы Первое начало термодинамики Q = ∆U + A, где Q - теплота, сообщенная системе; U - изменение внутренней энергии системы; A - работа, совершенная системой против внешних сил. Связь между удельной c и молярной Cµ теплоемкостями Cµ = cµ. Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме

13

iR . 2µ Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении i+2 R cp = . 2 µ Внутренняя энергия газа (энергия теплового движения молекул) i m ∆U = c v m∆T = R ∆T. 2 µ Работа расширения газа от объема V1 до объема V2 cv =

V2

A=

∫ pdV. V1

Cовершаемая работа равна: при изотермическом процессе A = ( m / µ ) RT ln( V2 /V1 ), при изобарическом процессе A = p ( V2 - V1 ), при адиабатическом процессе γ −1 ⎤ RT m ⎡⎢ ⎛ V1 ⎞ ⎥ A = − ∆U = −mc v ∆T = 1− ⎜ ⎟ γ − 1 µ ⎢ ⎝ V2 ⎠ ⎥, ⎣ ⎦ где γ = cp / cv - показатель адиабаты. Уравнение Пуассона, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе, pV γ = const èëè TV γ-1 = const. Коэффициент полезного действия тепловой машины Q − Q2 η= 1 , Q1 где Q1 - тепло, переданное рабочему телу; Q2 - тепло, отданное теплоприемнику. Термический КПД цикла Карно T − T2 η= 1 , T1 где T1 - температура теплоотдачика; T2 - температура теплоприемника. Увеличение энтропии при переходе из состояния A в состояние В B

SB − S A =

∫

dQ T

A

и складывается из приростов энтропий в промежуточных процессах

14

∆S AB =

∑ ∆S . i

i

Примеры решения задач Пример1. Чему равны удельные теплоемкости cv и сp некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1, 43 кг/м3? Дано: ρ = 1,43 кг/м3 i=5 ____________ cp - ? cv - ? Решение. Удельные теплоемкости равны iR i+2 R сv = . и cp = 2µ 2 µ Из уравнения Клапейрона-Менделеева находим mRT RT µ= =ρ , pV p так как плотность газа ρ = m / V. Подставляя молярную массу в формулы для теплоемкости, имеем: i+2 p i p . c = сv = p и 2 ρT 2 ρT Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомного газа число степеней свободы i = 5. Так как при нормальных условиях давление p = 1,01.105 Па и T = 2730 K, находим: , ⋅ 10 5 5 101 cv = = 650 Дж/(кг .К), , ⋅ 273 2 143

cp =

5+2 2

, ⋅ 105 101 = 970 Дж/(кг .К). , ⋅ 273 143

Пример 2. Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м3 и находится под давлением 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления 0,5 МПа. Найти изменение внутреннй энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу. Построить график процесса. Дано: О2 m = 2 кг

15

V1 = 1 м3 P1 = 0,2 МПа = 2.105 Па 1) P = const, V2 = 3 ì3 2) V = const, P3 = 0,5 ÌÏà = 5.105 Ïà ____________________ ∆U - ? A - ? Q - ? Решение. Изменение внутренней энергии газа iR ∆ U = с v m∆ T = m∆T, (1) 2µ где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), ∆T = T3 - T1 разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях. Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона pV = ( m / µ ) RT, откуда T = pVµ / (mR). Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой A1 = (m / µ) R∆T. Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю A2 = 0. Следовательно, полная работа, совершаемая газом, A = A1 + A2 = A1. Согласно первому началу термодинамики темплота Q1, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы A Q = ∆U + A . Произведем вычисления, учтя, что для кислорода µ = 32 .10-3 кг/моль (см. справочные таблицы): 2 ⋅ 10 5 ⋅ 1⋅ 32 ⋅ 10 −3 T1 = K = 385 K; 2 ⋅ 8,31 2 ⋅ 10 5 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 T2 = K = 1155 K; 2 ⋅ 8,31 5 ⋅ 10 5 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 T3 = K = 2887 K; 2 ⋅ 8,31 8,31 ⋅ 2 ⋅ (1155 − 385) A1 = Дж = 0,4 . 106 Дж = 0,4 МДж; −3 32 ⋅ 10 A = A1 = 0,4 ÌÄæ; 5 8,31 ⋅ 2(2887 − 385) ∆U = Дж = 3,24 . 106 Дж = 3,24 МДж; −3 2 32 ⋅ 10

16

Q = (3,24 + 0,4) МДж = 3,64 МДж. . Пример 3. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при температуре 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически. Дано: H2 m = 0,02 кг T1 = 300 K 1)∆Q = 0 V2/V1 = 5 2) ∆T = 0 V3/V2 = 1/5 ________________ T3 - ? A2 - ? A3 - ? Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением γ −1 T2 T2 ⎛ V1 ⎞ 1 = , =⎜ ⎟ или T1 n 1γ −1 T1 ⎝ V2 ⎠ где γ - отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме, n1 = V2/V1. Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры T2 = T1 / n1γ -1. Работа A1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле m m i A 1 = c V ( T1 − T2 ) = R( T1 − T2 ), µ µ 2 где сV - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа A2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде V m A 2 = RT2 ln 3 , V2 µ

или A2 =

1 m RT2 ln , n2 µ

где n2 = V2/V3. Произведем вычисления, учтя, что для водорода как двухатомного газа γ = 1,4, i = 5 и µ = 2 . 10-3 êã/ìîëü,

17

300 300 = K K. 51,4 −1 5 0,4 Так как 50,4 = 1,91 (находится логарифмированием), то 300 T2 = K = 157K; 191 , 0,02 ⋅ 5 ⋅ 8,31 A1 = ⋅ (300 − 157) Дж = 29,8 кДж. 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 1 0,02 A2 = ⋅ 8 31 ⋅ 157 , ln Дж = -21 кДж. 5 2 ⋅ 10 −3 Знак "минус" показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами. T2 =

Пример 4. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно (рис.3). Температура теплоотдатчика 5000K. Определить термический к.п.д. цикла и температуру теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу 350 Дж. Дано: T1 = 5000K Q1 = 1кДж .= 103 Äæ A = 350 Äæ _______________ η - ? T2 - ? Решение. Термический к.п.д. тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученная от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой η = A / Q1, где Q1 - теплота, полученная от теплоотдатчика; А - работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Зная к.п.д. цикла, можно по формуле η = (T1 - T2) / T1 определить температуру охладителя T2 (теплоприемника) T2 = T1 (1 - η). Произведем вычисления: η = 350 / 1000 = 0,35; T2 = 500 (1 - 0,35) K = 325 K. Пример 5. Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда при 20 С в пар при 1000С. Дано: m = 10 г = 10-2кг t1 = -200C 0

18

t2 = 1000C ____________ ∆S - ? Решение. Изменение энтропии определяется формулой 2

∆S = S2 − S1 =

∫

dQ , T

1

где S1 и S2 - значения энтропии в первом и во втором состоянии, соответственно. В данном случае общее изменение энтропии ∆S складывается из изменений ее в отдельных процессах. 1)Нагревание массы m льда от температуры T1 до температуры T2. При этом dQ = mc1 dT, где c1 - удельная теплоемкость льда. Таким образом, изменение энтропии в этом процессе T2

∆S1 = mc1

∫

dT T = mc1 ln(T2 / T1).

T1

2) Плавление массы m льда при температуре T2. Здесь dQ λm = , T2 T2 где λ - удельная теплота плавления. Определяем изменение энтропии в этом процессе ∆S2 = λm / T2. 3)Нагревание массы m воды от T2 до T3. Аналогично пункту 1), получаем ∆S3 = mc2 ln(T3 / T2), где с2 - удельная теплоемкость воды. 4)Испарение массы m воды при температуре T3. Çäåñü dQ rm = , T3 T3 где r - удельная теплота парообразования. Определяем изменение энтропии в этом процессе ∆S4 = r m / T3

∫

∫

∆S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 + ∆S4 = m [c1 ln(T2 / T1) + λ/T2 + c2 ln(T3/T2) + r/T3]. Произведем вычисления, имея в виду, что c1=2,1.103 Дж / кг.К, T1 = 253K, T2 = 273K, T3 = 373K, λ = 3,35.105 Дж / кг, с2 = 4,19.103 Дж / (кг.К), r = 2,26.106 Дж / кг и получим ∆S=88 Дж / К.

19

Пример 6. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема в 10 л при температуре 800С к объему в 40 л при температуре 3000С. Дано: O2 m = 8 г = 8.10-3кг V1 = 10 л = 10-2м3 t1 = 800C V2 = 40 л = 4.10-2м3 t2 = 3000C _______________ ∆S -? Решение. Имеем изменение энтропии 2

∆S = S2 − S1 =

∫

dQ . T

1

Но

dQ = mc V dT + pdV ,

iR . 2µ Учитывая уравнение Клапейрона-Менделеева m pV = RT , µ

где c V =

2

2

∫

∫

c dT mRdV ∆S = m v + T µ V 1

1

или

∆S = mc v ln

T2 m V + R ln 2 . T1 µ V1

После вычислений получаем ∆S = 5,4 Дж/К .

20

СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ Основные физические постоянные (округленные значения) Физическая постоянная

Обозначение

Значение

Число Авогадро Универсальная газовая постоянная Постоянная Больцмана

NA R

6,02.1023моль-1 8,31Дж/(моль.К)

К

1,38.10-23Дж/К

Плотность жидкостей Плотность,кг/м3 Жидкость

Жидкость Вода (при 4°С) Глицерин Ртуть

1,00.103 1,26.103 13,6.103

Плотность,кг/м3 1,26.103 0,80.103

Сероуглерод Спирт

Козффициент поверхностного натяжения жидостей Жидкость

Коэффициент, Н/м 72.10-3 40.10-3 500.10-3 30.10-3 64.10-3

Вода Мыльная вода Ртуть Бензол Глицерин

Эффективный диаметр молекулы Газ Азот Водород

Диаметр,м 3,0.10-10 2,3.10-10

Газ Гелий Кислород

21

Диаметр,м 1,9.10-10 2,7.10-10

Относительные атомные массы (атомные веса) А и порядковые номера Z некоторых элементов Элемент Азот Алюминий Аргон Водород Вольфрам Гелий Железо Золото Калий Кальций Кислород Литий Магний Марганец Медь Молибден Натрий Неон Никель Олово Платина Углерод

Химический символ N Al Ar H W He Fe Au K Ca O Li Mg Mn Cu Mo Na Ne Ni Sn Pt C

22

А 14 27 40 1 184 4 56 197 39 40 16 6 24 55 64 96 23 20 59 119 195 12

Z 7 13 18 1 74 2 26 79 19 20 8 3 12 25 29 42 11 10 28 50 78 6