Гладкие многообразия и наблюдаемые

Джет Неструев

Издание второе, исправленное и дополненное



Š 22.182 H56 “„Š 515.2

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¥áâà㥢 56 ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ¨ − ¡«î¤ ¥¬ë¥. Œ.: Œ–Œ, 2000{2003, | 317 á. ISSBN 5-900916-57-X

¥à¢®¥ àãá᪮¥ ¨§¤ −¨¥ í⮩ ª−¨£¨ ¢ëè«® ¢ ¨§¤ â¥«ìá⢥ Œ–Œ ¢ 2000 £®¤ã. ਠ¯®¤£®â®¢ª¥ ¨§¤ −¨ï −   −£«¨©áª®¬ ï§ëª¥ (Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 220, 2002) ¡ë«® ¤®¡ ¢«¥−® §− ç¨â¥«ì−®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ã¯à ¦−¥−¨© ¨ ¨á¯à ¢«¥−ë ¢á¥ ¢ë¥−−ë¥ ®¯¥ç âª¨. ‚ᥠí⨠¨§¬¥−¥−¨ï ãçâ¥−ë ¯à¨ ¯®¤£®â®¢ª¥ − áâ®ï饩 í«¥ªâà®−−®© ¢¥àᨨ.

c Œ. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢, 2000, 2003


।¨á«®¢¨¥
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‘â à®¥ ¤®¡à®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ç áâ−ë¬ á«ãç ¥¬ £®à §¤® ¡®«¥¥ ®¡é¥© ª®−áâàãªæ¨¨, ª®â®àãî ¬®¦−® − §¢ âì ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ¨áç¨á«¥−¨¥¬ − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−묨  «£¥¡à ¬¨, ¨«¨ ¯à®áâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ¨áç¨á«¥−¨¥¬. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®−® ¢® ¢áñ¬ ᢮¥¬ ®¡êñ¬¥ ¥áâì ¯à®áâ® á«¥¤á⢨¥  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨©. â®â ä ªâ, § ¬¥ç â¥«ì−ë© á ¬ ¯® ᥡ¥, ¨¬¥¥â ¢¥á쬠 ¢ ¦−ë¥ ¯à¨«®¦¥−¨ï, ¯à®áâ¨à î騥áï ®â ¤¥«¨ª â−ëå ¢®¯à®á®¢  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ ¤® ⥮ਨ í«¥¬¥−â à−ëå ç áâ¨æ. á−®¢− ï 楫ì í⮩ ª−¨£  ¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ¤ âì ¯®¤à®¡−®¥ ®¡êïá−¥−¨¥, ¯®ç¥¬ã ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï  á¯¥ªâ®¬ ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë. ¡− à㦨âì íâ® ¬®¦−®, ¯®á¬®âॢ −  í«¥¬¥−â à−ãî ⥮à¨î ¬−®£®®¡à §¨© £« § ¬¨ ¥áâ¥á⢮¨á¯ëâ â¥«ï. ®í⮬ã íâ  ª−¨£  § ®¤−® á«ã¦¨â ¨ ¢¢¥¤¥−¨¥¬ ¢ ⥮à¨î £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©, £¤¥ á«®¢  ú⥮à¨ï £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©û ¬ë ¯®−¨¬ ¥¬ ¢ è¨à®ª®¬ á¬ëá«¥, ¢ª«îç î饬 ¢ á¥¡ï ¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥. ƒ« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨ï¬ ¯®á¢ïé¥−® á⮫쪮 à §−ëå ¨ å®à®è¨å ª−¨£, çâ® ¯®ï¢«¥−¨¥ ¥é¥ ®¤−®© âॡã¥â ¯®ïá−¥−¨ï. ਠáâ −¤ àâ−®¬ ¯®¤å®¤¥ ¤¥©á⢨¥ à §¢®à ç¨¢ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ‘− ç «  ⥬ ¨«¨ ¨−ë¬ á¯®á®¡®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, ᪠¦¥¬, M. ‡ â¥¬ áâநâáï  «£¥¡à  FM £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  −ñ¬ ¨ â ª ¤ «¥¥. ‚ í⮩ ¦¥ ª−¨£¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì ¤¥©á⢨© ®¡à é ¥âáï: ¬ë − ç¨− ¥¬ á −¥ª®â®à®© 3

4

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ª®¬¬ãâ â¨¢−®© R- «£¥¡àë1 F ,   § â¥¬ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¬−®£®®¡à §¨¥ M = MF ª ª R-ᯥªâà í⮩  «£¥¡àë. (…áâ¥á⢥−−®, ¤«ï ⮣®, ç⮡ë MF ¤¥©á⢨⥫ì−® ¬®£«® − §ë¢ âìáï £« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬, −ã¦−® çâ®¡ë  «£¥¡à  F 㤮¢«¥â¢®àï«  ®¯à¥¤¥«¥−−ë¬ ãá«®¢¨ï¬; í⨠ãá«®¢¨ï ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ £« ¢¥ 3, £¤¥ ¯®¤à®¡−® ®¡á㦤 îâáï 㯮¬ï−ãâë¥ §¤¥áì ®á−®¢−ë¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï.) ’ ª®© ¯®¤å®¤ ᥣ®¤−ï −¥«ì§ï − §¢ âì −®¢ë¬, ®−, ᪠¦¥¬, è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ. ¤−® ¨§ ¥£® ¯à¥¨¬ãé¥á⢠á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ®− á á ¬®£® − ç «  −¥ á¢ï§ − á ¢ë¡®à®¬ ®¯à¥¤¥«¥−−®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨− â, ¯®í⮬㠮⯠¤ ¥â ¯à¨áãé ï  − «¨â¨ç¥áª®¬ã ¯®¤å®¤ã −¥®¡å®¤¨¬®áâì ¯®áâ®ï−−® ¤®ª §ë¢ âì, çâ® â® ¨«¨ ¨−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¨«¨ ᢮©á⢮, ¯®«ãç¥−−®¥ ¢ −¥ª®â®à®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨− â, −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ®â ¢ë¡®à  ª®®à¤¨− â −¥ § ¢¨á¨â. â® ®¡êïá−ï¥â ¯®¯ã«ïà−®áâì ¡¥áª®®à¤¨− â−®© â®çª¨ §à¥−¨ï á।¨ ¬ â¥¬ â¨ª®¢ ᮠ᪫®−−®áâìî ª ãâ®−ç¥−−®©  «£¥¡à¥, −® ¥£® ã஢¥−ì  ¡áâࠪ樨 ®¡¥áªãà ¦¨¢ ¥â ¡®«¥¥ ¯à £¬ â¨ç−ëå ¯à¨ª« ¤−ëå ¬ â¥¬ â¨ª®¢ ¨ 䨧¨ª®¢. „¥©á⢨⥫ì−® −®¢®© ï¥âáï ¬®â¨¢¨à®¢ª   «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤  ª ¯®−ïâ¨î £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ¢®ªà㣠ª®â®à®£® à §¢®à ç¨¢ ¥âáï ¢¥áì á⠪−¨£¨. −  ¨á室¨â ¨§ ¯à¨è¥¤è¥£® ¨§ ¥áâ¥á⢥−−ëå − ãª, â®ç−¥¥ ¨§ 䨧¨ª¨, ¯®−ïâ¨ï − ¡«î¤ ¥¬®©, ª®â®à®¥ ¨ ᮧ¤ ¥â ¨−âã¨â¨¢−® ¯à®§à ç−®¥ ®¡®á−®¢ −¨¥ ¤«ï ¢á¥å ®á−®¢−ëå ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¨ ª®−áâàãªæ¨©. ਠí⮬ ¯®−ïâ¨ï á®áâ®ï−¨ï 䨧¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¨ ¨§¬¥à¨â¥«ì−®£® ¯à¨¡®à  ¯à¨¤ îâ ¢¥á쬠  ¡áâà ªâ−ë¬  «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¯®−ïâ¨ï¬ â®çª¨ ᯥªâà  ¨ í«¥¬¥−â   «£¥¡àë FM ®éãâ¨¬ë© ä¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá«. ¤¨− ¨§ ®á−®¢−ëå ¯à¨−樯®¢ ᮢ६¥−−®© 䨧¨ª¨ ã⢥ত ¥â: áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 â®, çâ® − ¡«î¤ ¥¬®. ‚ ¬ â¥¬ â¨ª¥, ª®â®à ï −¥ ï¥âáï íªá¯¥à¨¬¥−â «ì−®© − ãª®©, ª®−楯æ¨ï − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¯® áãé¥áâ¢ã −¨ª®£¤  ¥é¥ á¥àìñ§−® −¥ à áᬠâਢ « áì. ®í⮬㠢á类¥ ®¡á㦤¥−¨¥ ¯à®¡«¥¬ë áãé¥á⢮¢ −¨ï ¢ ¥¥ ä®à¬ «ì−ëå à ¬ª å ¢á¥£¤  −¥á¥â ¢ ᥡ¥ ¨§àï¤−ãî ¤®«î 1‡¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ R ®¡®§− ç ¥â ¯®«¥ ¤¥©á⢨⥫ì−ëå ç¨á¥«. ‚¯à®ç¥¬, ¨ íâ®

®ç¥−ì ¢ ¦−®, −¨çâ® −¥ ¬¥è ¥â § ¬¥−¨âì ¥£® −  «î¡®¥ ¤à㣮¥ ¯®«¥ (¨«¨ ª®«ìæ®), ¥á«¨ ⮣® âॡãîâ ãá«®¢¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨.

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5

¬¥â ä¨§¨ª¨. ‘®¢à¥¬¥−−ë© ¬ â¥¬ â¨ª ¨§ã砥⠬−®¦¥á⢠, á− ¡¦¥−−ë¥ â¥¬¨ ¨«¨ ¨−묨 áâàãªâãà ¬¨, ᮢ¥àè¥−−® −¥ § ¡®âïáì ® ⮬, ª ª ®â«¨ç¨âì ®¤¨− í«¥¬¥−â à áᬠâਢ ¥¬®£® ¬−®¦¥á⢠ ®â ¤à㣮£®. ®áª®«ìªã ¦¥ ¢á类¥ − ¡«î¤¥−¨¥ âॡã¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á।áâ¢, −¥ ¨¬¥îé¨å − ¤«¥¦ é¥© ä®à¬ «¨§ æ¨¨ ¢ âà ¤¨æ¨®−−®© ¬ â¥¬ â¨ª¥, ¢®¯à®á ® − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¢ë−®á¨âáï §  ¯à¥¤¥«ë í⮩ − ãª¨. ’ ª®¥ ¯®«®¦¥−¨¥ ¤¥« −¥ ¬®¦¥â ãáâà ¨¢ âì ¬ â¥¬ â¨ª®¢, ¨, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® â¥å, ªâ® ¢¬¥á⥠á à娬¥¤®¬ ¨ ìîâ®−®¬ à áᬠâਢ ¥â ᢮î − ãªã ª ª − âãà «ì−ãî 䨫®á®ä¨î.  ¯à¨¬¥à 䨧¨ª¨, ¨§ãç ï ª¢ −â®¢ë¥ ï¢«¥−¨ï, áâ «ª¨¢ îâáï á ¯à¨−樯¨ «ì−®© −¥¢®§¬®¦−®áâìî ¯®«−®áâìî ®â¤¥«¨âì − ¡«î¤ î饣® ®â − ¡«î¤ ¥¬®£®. ®í⮬㠢á类¥  ¤¥ª¢ â−®¥ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¥ ®¯¨á −¨¥ ⮩ ¨«¨ ¨−®© ®¡« á⨠ª¢ −⮢®© 䨧¨ª¨ −¥ ¬®¦¥â −¥ ¢ª«îç âì ¢ ª ç¥á⢥ ᢮¥© −¥®âꥬ«¥¬®© ç á⨠− ¤«¥¦ é¨¬ ®¡à §®¬ ä®à¬ «¨§®¢ −−ãî ª®−楯æ¨î − ¡«î¤¥−¨ï. Š®−楯æ¨ï − ¡«î¤¥−¨ï ¤®«¦−  ¡ëâì ç¥âª® áä®à¬ã«¨à®¢ −  ¢ «î¡®© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¢á直© à §, ª®£¤  ¨¤¥â à¥çì ® áãé¥á⢮¢ −¨¨. Š ª, − ¯à¨¬¥à, − ¡«î¤ âì à¥è¥−¨ï ®¡é¨å á¨á⥬ −¥«¨−¥©−ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå ¨, ¨áå®¤ï ¨§ í⮣®, ¯à ¢¨«ì−® áâ ¢¨âì § ¤ çã ® áãé¥á⢮¢ −¨¨ ¨ ¥¤¨−á⢥−−®á⨠¢ ⮬ ¨«¨ ¨−®¬ ª®−ªà¥â−®¬ á«ãç ¥? â®â ¢®¯à®á −¥ â ª ¡¥áá¬ëá«¥−, ª ª íâ® ¬®¦¥â ¯®ª § âìáï −  ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ¨ ¥£® ¨áá«¥¤®¢ −¨¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¢¥á쬠 −¥®¦¨¤ −−ë¬ ¨ 㤨¢¨â¥«ì−ë¬ à¥§ã«ìâ â ¬. ˆ§ãç¥−¨¥ ⮣®, ª ª ¨§¬¥à¨â¥«ì−ë¥ ¯à¨¡®àë ¬®¦−® ¢¢¥á⨠¢ ¬ â¥¬ â¨ªã, ¥áâ¥á⢥−−® − ç âì á ª« áá¨ç¥áª®£® ã஢−ï, â. ¥. á ⮩ ç á⨠¬ â¥¬ â¨ª¨, ª®â®à ï ¢®§−¨ª«  ¯®¤ ¢«¨ï−¨¥¬ −㦤 ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¨ ç쨬 ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ï§ëª®¬ ®−  á â¥å ¯®à ¨ ï¥âáï. ®í⮬㠬ë áâ àâ㥬 á ¯®¤à®¡−®£® ®¡êïá−¥−¨ï ⮣®, ¯®ç¥¬ã á«¥¤ãîé ï á奬 ï¢«ï¥âáï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ ®¯¨á −¨¥¬ ª« áá¨ç¥áª®© ¯à®æ¥¤ãàë ¨§¬¥à¥−¨ï:

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।¨á«®¢¨¥

−→ Š®¬¬ãâ â¨¢− ï ã−¨â à− ï R-algebra A ˆ§¬¥à¨â¥«ì−ë© ¯à¨¡®à −→ «¥¬¥−â  «£¥¡àë A ‘®áâ®ï−¨¥ − ¡«î¤ ¥¬®© −→ ƒ®¬®¬®à䨧¬ ã−¨â à−ëå 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë R- «£¥¡à h : A → R ®ª § −¨¥ ¨§¬¥à¨â¥«ì−®£® −→ ‡− ç¥−¨¥ í⮩ äã−ªæ¨¨ ¯à¨¡®à  h(a), a ∈ A ”¨§¨ç¥áª ï « ¡®à â®à¨ï

‡ â¥¬ ¬ë ®¯¨á뢠¥¬ ¯¥à¢ë¥, − ¨¡®«¥¥ ¢ ¦−ë¥ ¯®á«¥¤á⢨ï í⮩ ¨−â¥à¯à¥â æ¨¨. ‘ ¬®¥ ¢ ¦−®¥ ¨§ −¨å, ¨¬¥î饥 äã−¤ ¬¥−â «ì−®¥ §− ç¥−¨¥ ¨ 㯮¬ï−ã⮥ ¢ëè¥, á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥−−®© ç áâìî ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë. Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, ¢ à ¬ª å 㯮¬ï−ã⮩ áå¥¬ë £« ¤ª¨¥ (¨«¨ ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬ë¥) ¬−®£®®¡à §¨ï ¯®ï¢«ïîâáï ª ª R-ᯥªâàë −¥ª®â®à®£® ª« áá  R- «£¥¡à, − §ë¢ ¥¬ëå ¯® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ £« ¤ª¨¬¨,   í«¥¬¥−âë íâ¨å  «£¥¡à ®ª §ë¢ îâáï £« ¤ª¨¬¨ äã−ªæ¨ï¬¨ −  ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᯥªâà å. ਠí⮬ R-ᯥªâà −¥ª®â®à®© R- «£¥¡àë A | í⮠ᮢ®ªã¯−®áâì ¢á¥å ¥ñ ã−¨â à−ëå £®¬®¬®à䨧¬®¢ ¢ R- «£¥¡àã R, â. ¥. â®, çâ® ú¬®¦−® 㢨¤¥âìû ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¤ −−®©  «£¥¡àë. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, £« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï áãâì ú¬¨àëû, ¢®§¬®¦−®áâì − ¡«î¤ âì ª®â®àë¥ − ¬ ¯à¥¤®áâ ¢«ïîâ £« ¤ª¨¥  «£¥¡àë. ‚¢¨¤ã  «£¥¡à ¨ç¥áª®© ã−¨¢¥àá «ì−®á⨠¯à¨¢¥¤¥−−®© ¢ëè¥ á奬ë, ú−¥£« ¤ª¨¥û  «£¥¡àë ¯®§¢®«ïîâ − ¬ 㢨¤¥âì ú−¥£« ¤ª¨¥ ¬¨àëû ¨ ¨áá«¥¤®¢ âì ¨å ®á®¡¥−−®á⨠| ¢ ¯àאַ¬ ¨ ¯¥à¥−®á−®¬ á¬ëá«¥ | ¬¥â®¤ ¬¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï. ®á«¥¤−¥¥, ®¤− ª®, | ᮢᥬ −¥ â® − ¨¢−®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥, ª®â®à®¥ ¨§ãç ¥âáï −  ¯¥à¢®¬ ªãàᥠ«î¡®£® ã−¨¢¥àá¨â¥â ,   £®à §¤® ¡®«¥¥ ¤¥«¨ª â− ï ª®−áâàãªæ¨ï. á−®¢ ¬ í⮣® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¨ ¯®á¢ïé¥−  ¢â®à ï ç áâì ª−¨£¨. ‚ £« ¢¥ 9 ¬ë ú®âªà뢠¥¬û ¯®−ï⨥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡à®©, âé â¥«ì−®  − «¨§¨àãï ¯à®á⥩襥 ¯®−ï⨥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ¯®−ï⨥ ¯à®¨§¢®¤−®© (  â®ç−¥¥

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ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à ). ®¬¨¬® í⮣® ¢ −¥© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−® ®¡á㦤 îâáï á −®¢®© â®çª¨ §à¥−¨ï ¯à®á⥩訥 ª®−áâàãªæ¨¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, − ¯à¨¬¥à, ª á â¥«ì−®¥ ¨ ª®ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨ï, ¢¯«®âì ¤® à áá«®¥−¨ï ¤¦¥â®¢, −¥®¡å®¤¨¬®£® ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠ú «£¥¡à ¨ç¥áª®£®û ¨ áâ −¤ àâ−®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  ®á−®¢− ï  «£¥¡à  ï¥âáï  «£¥¡à®© £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  £« ¤ª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨. Š ª ¨««îáâà æ¨ï ¢®§¬®¦−®á⥩ ú «£¥¡à ¨ç¥áª®£®û ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¢ ª®−æ¥ í⮩ £« ¢ë ¯à¨¢®¤¨âáï ¯®áâ஥−¨¥ £ ¬¨«ìâ®−®¢  ä®à¬ «¨§¬  − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡à®©. „¥áïâ ï ¨ ®¤¨−− ¤æ â ï £« ¢ë ¯®á¢ïé¥−ë ¨§ãç¥−¨î à áá«®¥−¨© ¨ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© á  «£¥¡à ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥−¨ï. â® «®£¨ç¥áª¨ −¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®£® à §¢¨â¨ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¢ ¤ãå¥ £« ¢ë 9. ’ ¬, ¢ ç áâ−®áâ¨, ãáâ − ¢«¨¢ ¥âáï íª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª â¥£®à¨¨ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ¨ ª â¥£®à¨¨ ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−ëå ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© − ¤ £« ¤ª®©  «£¥¡à®© C ∞ (M). ‡ ¢¥àè ¥âáï ¦¥ ®¤¨−− ¤æ â ï £« ¢  ¨§ãç¥−¨¥¬ ¬®¤ã«¥© ¤¦¥â®¢ ¯à®¨§¢®«ì−®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ¨ ®¡êïá−¥−¨¥¬ ã−¨¢¥àá «ì−®© ஫¨, ª®â®àãî í⨠¬®¤ã«¨ ¨£à îâ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤−¨¥ £« ¢ë §− ª®¬ïâ ç¨â â¥«ï á −¥ª®â®à묨 ¯à®á⥩訬¨ ãáâ®ï¢è¨¬¨áï ç áâﬨ í⮣® −®¢®£® ¯®¤å®¤  ª ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ã ¨áç¨á«¥−¨î, ¯®«−ãî «®£¨ç¥áªãî áâàãªâãàã ª®â®à®£® ¥éñ ¯à¥¤á⮨â ãáâ −®¢¨âì. ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ ®¤−  ¨§ ®á−®¢−ëå 楫¥© í⮩ ª−¨£¨ | ¯®ª § âì, çâ® ìîâ®− ¨ ‹¥©¡−¨æ ®âªà뫨 ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ¯à¨¬¥à−® ¢ ⮬ ¦¥ á¬ëá«¥, ª ª Š®«ã¬¡ ¬¥à¨ªã, ¨ ¯à¨£« á¨âì ç¨â â¥«ï ¯à®¤®«¦¨âì íªá¯¥¤¨æ¨î. ‡ ¡¥£ ï ¢¯¥à¥¤ ¨ ¢ëå®¤ï §  à ¬ª¨ í⮩ ª−¨£¨, ®â¬¥â¨¬, çâ® ¬¥å −¨§¬ ª¢ −⮢®© − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨¬¥¥â ¯à¨−樯¨ «ì−® ª®£®¬®«®£¨ç¥áªãî ¯à¨à®¤ã ¨ ï¥âáï ¯®¤å®¤ï饩 ᯥ樠«¨§ æ¨¥© â¥å ¥áâ¥á⢥−−ëå ¬¥â®¤®¢ − ¡«î¤¥−¨ï à¥è¥−¨© (−¥«¨−¥©−ëå)

8

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¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå, ª®â®àë¥ ¯®á⥯¥−−® ¯à®ïá−ïîâáï ¢ १ã«ìâ â¥ à §¢¨â¨ï ¢â®à¨ç−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¨ −®¢®© ¢¥â¢¨ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, − §ë¢ ¥¬®© ª®£®¬®«®£¨ç¥áª®© 䨧¨ª®©.  áâ®ïé ï ª−¨£   ¤à¥á®¢ −  ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì − ç¨− î騬 ¬ â¥¬ â¨ª ¬ ¨ 䨧¨ª ¬, −® −¥ ⮫쪮 ¨¬,   ¨ ¢á¥¬, ªâ® ¤®¯ã᪠¥â, çâ® ¬®¦¥â §− âì −¥ ¢áñ ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ ¨áç¨á«¥−¨¨ ¨ â¥å £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¡à § å, ª®â®àë¥ ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬  áá®æ¨¨àãîâáï á ¥£® áâàãªâãà ¬¨. „«ï ¥ñ ¯®−¨¬ −¨ï âॡã¥âáï ¬¨−¨¬ «ì− ï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª ï ¯®¤£®â®¢ª  ¢ ¯à¥¤¥« å áâ −¤ àâ−ëå ã−¨¢¥àá¨â¥âáª¨å ªãàᮢ ¬−®£®¬¥à−®£®  − «¨§ , «¨−¥©−®© ¨ ®¡é¥©  «£¥¡àë,   â ª¦¥ −¥ª®â®àë© − ¢ëª ª â¥£®à−®£® ¬ëè«¥−¨ï. ‘ ⥬, ç⮡ë −¥ ®â¢«¥ª âìáï ®â ®á−®¢−®© «¨−¨¨, ¬ë â ª¦¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ¨§¢¥áâ−묨 á«¥¤ãî騥 í«¥¬¥−â à−ë¥ ä ªâë,  ªªãà â−®¥ ¨§«®¦¥−¨¥ ª®â®àëå § −ï«® ¡ë ¤®áâ â®ç−® ¬−®£® ¬¥áâ  ¨, ᢥàå ⮣®, ¡ë«® ¡ë áªãç−®. â® | à §¡¨¥−¨¥ ¥¤¨−¨æë, ⥮६  “¨â−¨ ® ¯®£à㦥−¨¨ ¨ â¥®à¥¬ë ® −¥ï¢−®© ¨ ®¡ ®¡à â−®© äã−ªæ¨¨. Š − ¡«î¤ ¥¬®á⨠„¦¥â 
¥áâà㥢  ‚ 1969 £®¤ã «¥ªá −¤à ‚¨−®£à ¤®¢, ®¤¨− ¨§  ¢â®à®¢ í⮩ ª−¨£¨, − ç « ¢¥á⨠−  ¬¥å¬ â¥ Œƒ“ ᥬ¨− à, 楫ìî ª®â®à®£® ¡ë«® à §®¡à âìáï ¢ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¯®¤®¯«ñª¥ ª¢ −⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ‚ −ñ¬ ¯à¨−﫨 ãç á⨥ −¥ª®â®àë¥ áâ㤥−âë-¬ â¥¬ â¨ª¨, ¥£® ãç¥−¨ª¨, ¨ −¥áª®«ìª® ¬®«®¤ëå 䨧¨ª®¢, ¨−¢ à¨ −â−ãî ª®¬¯®−¥−âã ª®â®àëå ®¡à §®¢ «¨ „¬¨â਩ ®¯®¢, ‚« ¤¨¬¨à •®«®¯®¢ ¨ ‚« ¤¨¬¨à −¤à¥¥¢. —¥à¥§ ¯ àã «¥â áâ «® ïá−®, çâ® ¨§¢¥áâ−ë¥ âàã¤−®á⨠Š’ ¯à®¨á⥪ îâ ®â⮣® ç⮠䨧¨ª¨ ¤«ï ¢ëà ¦¥−¨ï ᢮¨å ¬ëá«¥© ¯®«ì§ãîâáï −¥¯®¤å®¤ï騬 ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ ï§ëª®¬, ¨ çâ® ¯®¤å®¤ï騩 ï§ëª ¯®¯à®áâã −¥¨§¢¥áâ¥− (á¬. í¯¨£à ä). …᫨, − ¯à¨¬¥à, ¯à® − «¨§¨à®¢ âì â®, ç⮠䨧¨ª¨ − §ë¢ îâ ¯à¨−樯®¬ ª®¢ à¨ −â−®áâ¨, ¢ëïá−ï¥âáï, çâ® ¢á类¥ á¥à쥧−®¥ ¨§«®¦¥−¨¥ ¥£® á ¬®£® ¨ ¥£® ¯®á«¥¤á⢨© ¯à¥¤¯®« £ ¥â ª®−楯âã «ì−® ¯à ¢¨«ì−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¯®−ï⨩

।¨á«®¢¨¥

9

¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à , ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ãà ¢−¥−¨ï ¨«¨, ᪠¦¥¬, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®© ä®à¬ë ¢â®à®£® ¯®à浪 . ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ ¢ 1971 £®¤ã ®â 䨧¨ç¥áª®£® ᥬ¨− à  ®â¤¥«¨«áï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨©, ª®â®àë© § −ï«áï ¨§ãç¥−¨¥¬ áâàãªâãàë ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¨ ¢ëïá−¥−¨¥¬ ⮣®, ç⮠ï¥âáï  − «®£®¬  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ ¤«ï á¨á⥬ (−¥«¨−¥©−ëå) ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© á ç áâ−묨 ¯à®¨§¢®¤−묨. ¤−®¢à¥¬¥−−® á í⨬ 㯮¬ï−ãâë©  ¢â®à − ç « ç¨â âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᯥæªãàáë. ¥à¢®¥ ¢à¥¬ï ãç áâ−¨ª¨ íâ¨å ᥬ¨− à®¢ ¨ á«ãè â¥«¨ ᯥæªãàᮢ ®¡å®¤¨«¨áì ¢¥á쬠 á奬 â¨ç−묨 − ¡à®áª ¬¨ «¥ªæ¨© ¨ ᮡá⢥−−묨 § ¯¨áª ¬¨. ¤− ª® «¥â ç¥à¥§ ¤¥áïâì ᤥ« «®áì ®ç¥¢¨¤−®, çâ® − ª®¯¨¢è¨¥áï §  íâ® ¢à¥¬ï ¬ â¥à¨ «ë ¤®«¦−ë ¡ëâì á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ ®¡à ¡®â −ë ¨ § ¯¨á −ë. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ − ç «¥ ¢®á쬨¤¥áïâëå £®¤®¢ த¨«áï „¦¥â ¥áâà㥢, â. ¥. £à㯯  ¬ â¥¬ â¨ª®¢, à¥è¨¢è ï − ¯¨á âì ¡¥áª®−¥ç−ãî á¥à¨î ª−¨£ ¯®¤ − §¢ −¨¥¬ ú«¥¬¥−âë ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ïû. ’®£¤  ¡ë« á®áâ ¢«¥− ¯®¤à®¡−ë© ¯« − ¯¥à¢ëå ¢ë¯ã᪮¢ ¨ − ¯¨á − ¯¥à¢ë© ¨§ −¨å, ᮤ¥à¦ −¨¥ ª®â®à®£® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¢ë¬ ¢®á쬨 £« ¢ ¬ í⮩ ª−¨£¨. ‡ â¥¬, á ¯®ç⨠¯ïâ− ¤æ â¨«¥â−¨¬ ¯¥à¥à뢮¬, ¢ë§¢ −−ë¬ à冷¬ ®¡ê¥ªâ¨¢−ëå ¨ áã¡ê¥ªâ¨¢−ëå ¯à¨ç¨−, ¡ë« − ¯¨á − ¢â®à®© ¢ë¯ãáª, ª®â®àë©, ᯫ ¢«¥−−ë© á ¯¥à¢ë¬, ¨ á®áâ ¢«ï¥â − áâ®ïéãî ª−¨£ã. −  ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥¤¨−®¥ 楫®¥ ¨ ᮧ− â¥«ì−® ᤥ« −  −¥§ ¢¨á¨¬®© ®â ¢á¥£® −¥áâà㥢᪮£® § ¬ëá« . ‚ í⮩ ª−¨£¥ ç¨â â¥«ì − ©¤¥â ®â¢¥â −  ¢®¯à®á, çâ® â ª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à. ¤− ª® „¦¥â ¥áâà㥢 −¥ â¥àï¥â − ¤¥¦¤ë à á᪠§ âì ¥¬ã ¢ −¥¤ «ñª®¬ ¡ã¤ã饬 ¨ ® ⮬, çâ® â ª®¥ á¨á⥬  −¥«¨−¥©−ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå, ¤¨ää¥à¥−樠«ì− ï ä®à¬  ¢â®à®© á⥯¥−¨ ¨  − «®£¨ç−ë¥ ¢¥é¨. —¨â â¥«ì, ª®â®à®¬ã ¡¥§ ¯à®¬¥¤«¥−¨ï § å®ç¥âáï § £«ï−ãâì ¢¯¥à¥¤, ¬®¦¥â ®¡à â¨âìáï ª «¨â¥à âãà¥, ¯à¨¢¥¤¥−−®© ¢ ª®−æ¥ ¯®á«¥á«®¢¨ï −  áâà. 299.
®«¥¥ ¯®«−ë© á¯¨á®ª «¨â¥à âãàë ¬®¦−® − ©â¨ ¢ [8].

10

।¨á«®¢¨¥

„¦¥â ¥áâà㥢 ï¥âáï áã£ã¡® èâ â᪨¬ 䨫®á®ä®¬ ¨ − ¤ −¨¬ −¥ âï£®â¥¥â ¡à¥¬ï ¢®¥−−®© â ©−ë, ª ª − ¤ ¨§¢¥áâ−ë¬ äà −æã§áª¨¬ £¥−¥à «®¬. ®í⮬ã −¥â −¨ª ª®£® ᥪà¥â  ¢ ⮬, çâ® ¢ − ¯¨á −¨¨ í⮩ ª−¨£¨ ¯à¨−﫨 ãç á⨥ . Œ. áâ è®¢, . ‚.
®ç à®¢, . Œ. ‚¨−®£à ¤®¢, Œ. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢, ‘. ‚. „㦨− ¨ .
. ‘®á¨−᪨©. …¥ ¨¤¥ï ¨ ®á−®¢−ë¥ ®à¨£¨− «ì−ë¥ − ¡«î¤¥−¨ï ¯à¨− ¤«¥¦ â . Œ. ‚¨−®£à ¤®¢ã. ¨áã−ª¨ ¢ë¯®«−¥−ë . Œ. áâ è®¢ë¬. „¦¥â ¥áâà㥢 ¢ëà ¦ ¥â á¢®î ¨áªà¥−−îî ¡« £®¤ à−®áâì ˆ. C. Šà á¨«ì騪㠧  àï¤ ¯®«¥§−ëå ᮢ¥â®¢ ¨ ¯®¬®éì ¯à¨ à¥¤ ªâ¨à®¢ −¨¨ −¥ª®â®àëå äà £¬¥−⮢ ª−¨£¨. „¦¥â ¥áâà㥢 Œ®áª¢ -¥à¥á« ¢«ì-‘ «¥à−® ¯à¥«ì 2000 £.

ƒ« ¢  1

‚‚…„…
ˆ…

1.0. â  £« ¢  ᮤ¥à¦¨â ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì−®¥ ®¡á㦤¥−¨¥ ¯®−ïâ¨ï ª®−¥ç−®¬¥à−®£® £« ¤ª®£® (â. ¥. ¡¥áª®−¥ç−® ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬®£®) ¬−®£®®¡à §¨ï | ®á−®¢−®£® ¯¥àá®− ¦  ¢á¥© − è¥© ª−¨£¨. —¥¬ ¦¥ ¢ ¦−ë ¨ ¨−â¥à¥á−ë £« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï? ‚®-¯¥à¢ëå, ¬ë ¦¨¢¥¬ ¢−ãâਠ¬−®£®®¡à §¨ï (‚ᥫ¥−− ï | ç¥âëà¥å¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, ¥á«¨ ¢¥à¨âì ©−è⥩−ã) ¨ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ (§¥¬−®© ¯®¢¥àå−®áâ¨, ¬®¤¥«ìî ª®â®à®© á«ã¦¨â áä¥à  S 2).  á ®ªà㦠îâ ¬−®£®®¡à §¨ï: ¯®¢¥àå−®áâì ç èª¨ ¥áâì ¬−®£®®¡à §¨¥ (  ¨¬¥−−®, â®à S 1 × S 1, ¡®«¥¥ ç áâ® ®¯¨á뢠¥¬ë© ª ª ¯®¢¥àå−®áâì ¡ã¡«¨ª  ¨«¨ ®¡àãç «ì−®£® ª®«ìæ  ¨«¨ ª ª ª ¬¥à   ¢â®¬®¡¨«ì−®£® ª®«¥á ); à㡠誠 | íâ® ¤¢ã¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ á ªà ¥¬ ¨ â.¤. à®æ¥ááë, ¯à®¨á室ï騥 ¢ ¯à¨à®¤¥, ç áâ®  ¤¥ª¢ â−® ¬®¤¥«¨àãîâáï ¤¢¨¦¥−¨¥¬ â®ç¥ª −  £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨ïå, ®á®¡¥−−® ¥á«¨ í⨠¯à®æ¥ááë −¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª à §à뢠¬ ¨«¨ ª â áâà®ä ¬. (Š â áâà®äë | ¢ ¯à¨à®¤¥, ã¯à ¢«¥−¨¨ ¨«¨ −  ¡¨à¦¥ | ¨§ãç îâáï ú⥮ਥ© ª â áâà®äû, ª®â®à ï ¨¬¥¥â ¤¥«® −¥ á ¬−®£®®¡à §¨ï¬¨, −® á £« ¤ª¨¬¨ ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨ ¬−®£®®¡à §¨©.) ¤− ª®, ç⮠ï¥âáï £®à §¤® ¡®«¥¥ ¢ ¦−ë¬ á â®çª¨ §à¥−¨ï í⮩ ª−¨£¨, ¬−®£®®¡à §¨ï ¥áâ¥á⢥−−® ¢®§−¨ª îâ ¢® ¬−®£¨å ®¡« áâïå ¬ â¥¬ â¨ª¨ (¢  «£¥¡à¥ ¨  − «¨§¥ áâ®«ì ¦¥ ç áâ®, ª ª ¢ £¥®¬¥âਨ) ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥−¨ïå (®á®¡¥−−® ¢ ¬¥å −¨ª¥). ०¤¥ 祬 ¬ë ¯®¯ëâ ¥¬áï ®¡êïá−¨âì, çâ® â ª®¥ £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, ¯à¨¢¥¤¥¬ −¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢. 11

12

ƒ« ¢  1

z

O x

y

A(xA, yA, zA) B(xB, yB , zB )

¨á. 1.1. 1.1. Š®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¢à é î饣®áï ⢥म£® ⥫  ¢ ¯à®áâà −á⢥ (Rot(3)).  áᬮâਬ ⢥म¥ ⥫® ¢ ¯à®áâà −á⢥, § ªà¥¯«¥−−®¥ ¢ â®çª¥ O è à−¨à®¬, ᯮᮡ−ë¬ ¯à®¢®à ç¨¢ âìáï ¢ «î¡®¬ − ¯à ¢«¥−¨¨ (à¨á. 1.1). Œë å®â¨¬ ®¯¨á âì ¬−®¦¥á⢮ ¯®«®¦¥−¨© ⥫ , ¨«¨, ª ª íâ® − §ë¢ îâ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å −¨ª¥, ¥£® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮. ¤¨− ¨§ ¢®§¬®¦−ëå ᯮᮡ®¢ à¥è¥−¨ï í⮩ § ¤ ç¨ á®á⮨⠢ ¢ë¡®à¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨− â Oxyz. ’®£¤  ¯®«®¦¥−¨¥ ⥫  ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®®à¤¨− â ¬¨ (xA, yA, zA), (xB , yB , zB ) ¤¢ãå ª®−䨣ãà æ¨®−−ëå â®ç¥ª A,B. ¤− ª® ®ç¥¢¨¤−®, çâ® â ª®© ¢ë¡®à ¯ à ¬¥â஢ −¥ íª®−®¬¨ç¥−: ¨−âã¨â¨¢−® ïá−®, çâ® ä ªâ¨ç¥áª¨ −ã¦−® ⮫쪮 âਠ¯ à ¬¥âà  ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¯®«®¦¥−¨ï ⥫ . ® ªà ©−¥© ¬¥à¥ íâ® â ª, ¥á«¨ ⥫® −¥ ®ç¥−ì ᨫì−® ᬥé¥−® ®â−®á¨â¥«ì−® − ç «ì−®£® ¯®«®¦¥−¨ï OA0 B0 . „¥©á⢨⥫ì−®, − ¯à ¢«¥−¨¥ OA ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤¢ã¬ï ¯ à ¬¥âà ¬¨ (− ¯à¨¬¥à, xA,yA −  à¨á. 1.1) ¨ ⮫쪮 ®¤¨− ¯ à ¬¥âà −㦥−, çâ®¡ë ¯®ª § âì, ª ª ⥫® ¯®¢¥à−ãâ® ®â−®á¨â¥«ì−® ®á¨ OA (− ¯à¨¬¥à,

‚¢¥¤¥−¨¥

13

−−→ −−−→ 㣮« ϕB = B0 OB, £¤¥ ¢¥ªâ®à AB0 à ¢¥− ¢¥ªâ®àã A0 B0). ã¦−® ¯®¤ç¥àª−ãâì, çâ® í⨠¯ à ¬¥âàë −¥ ïîâáï ®¡ëç−묨 ¥¢ª«¨¤®¢ë¬¨ ª®®à¤¨− â ¬¨; −¨ª ª¨¬ ¥áâ¥á⢥−−ë¬ á¯®á®¡®¬ −¥«ì§ï ãáâ −®¢¨âì ¡¨¥ªâ¨¢−®£® (â. ¥. ¢§ ¨¬−® ®¤−®§− ç−®£®) ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ¬−®¦¥á⢮¬ ¯®«®¦¥−¨© ⥫  ¨ ®¡ëç−ë¬ âà¥å¬¥à−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ R3 . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ¬ë ¯®¢¥à−¥¬ AB −  㣮« ϕ = 2π, ⥫® −¥ § ©¬¥â −®¢®£® ¯®«®¦¥−¨ï, ®−® ¢¥à−¥âáï ¢ ¯®«®¦¥−¨¥ OAB. ’® ¥áâì ¤¢ã¬ §− ç¥−¨ï¬ ¯ à ¬¥âà  ϕ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤−® ¯®«®¦¥−¨¥ ⥫ . ¥à¢®¥, çâ® ¯à¨å®¤¨â ¢ £®«®¢ã ¢ â ª®© á¨âã æ¨¨, | íâ® − «®¦¨âì ®£à −¨ç¥−¨¥ −  ¯ à ¬¥âà ϕ.  ¨¬¥−−®, áç¨â âì, çâ® íâ®â ¯ à ¬¥âà ¨§¬¥−ï¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å ®â 0 ¤® 2π. ’ ª®© ¢ë室 ¨§ ¯®«®¦¥−¨ï, ®¤− ª®, −¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¯à¨¥¬«¥¬ë¬, ¯®áª®«ìªã ⮣¤  −¥¯à¥àë¢−®¬ã ¨§¬¥−¥−¨î ¯®«®¦¥−¨ï ⥫  (− ¯à¨¬¥à, ¢à é¥−¨î) −¥ ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì −¥¯à¥àë¢−®¥ ¨§¬¥−¥−¨¥ ¯ à ¬¥â஢. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, «®ª «ì−®, ᪠¦¥¬ ®ª®«® − ç «ì−®£® ¯®«®¦¥−¨ï OA0 B0 , áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªâ¨¢−®¥ ᮮ⢥âá⢨¥, ãáâ − ¢«¨¢ ¥¬®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ OAB → (xA, yA, ϕB ), ¬¥¦¤ã ¯®«®¦¥−¨ï¬¨ ⥫  ¨ ®ªà¥áâ−®áâìî − ç «  ª®®à¤¨− â ¢ âà¥å¬¥à−®¬ ¯à®áâà −á⢥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¢à é î饣®áï ⢥म£® ⥫  ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡ê¥ªâ, ª®â®àë© «®ª «ì−® ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á − âà¥¬ï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬¨ ª®®à¤¨− â ¬¨, ®¤− ª® £«®¡ «ì−® ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ á«®¦−ãî áâàãªâãàã. 1.2. «£¥¡à ¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå−®áâì V . ‚ ¤¥¢ï⨬¥à−®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà −á⢥ R9 à áᬮâਬ ¬−®¦¥á⢮ V â®ç¥ª, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å á«¥¤ãî饩 á¨á⥬¥ è¥á⨠ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢−¥−¨©:

 2 2 2   x1 + x2 + x3 = 1; x24 + x25 + x26 = 1;   x2 + x2 + x2 = 1; 7 8 9

x1x4 + x2x5 + x3 x6 = 0; x1x7 + x2x8 + x3 x9 = 0; x4x7 + x5x8 + x6 x9 = 0.

14

ƒ« ¢  1

ª §ë¢ ¥âáï, çâ® íâ® £« ¤ª ï âà¥å¬¥à− ï ¯®¢¥àå−®áâì ¢ R9 (3 = 9 − 6). ¥âàã¤−® ®¯¨á âì (¯®¯à®¡ã©â¥ í⮠ᤥ« âì!) ¡¨¥ªâ¨¢−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®ªà¥áâ−®á⨠¯à®¨§¢®«ì−®© â®çª¨ (᪠¦¥¬, (1,0,0,0,1,0,0,0,1)) í⮩ ¯®¢¥àå−®á⨠¢ ®ªà¥áâ−®áâì − ç «  ª®®à¤¨− â ¥¢ª«¨¤®¢  ¯à®áâà −á⢠ R3 . ® íâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à áè¨à¥−® ¤® ®â®¡à ¦¥−¨ï ¢á¥© ¯®¢¥àå−®á⨠V , ¯®áª®«ìªã ¯®¢¥àå−®áâì V ª®¬¯ ªâ−  (¯®ç¥¬ã?). Œë ¯®«ã稫¨ ¥é¥ ®¤¨− ¯à¨¬¥à ®¡ê¥ªâ , «®ª «ì−® ¯®å®¦¥£® −  âà¥å¬¥à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ R3 , −® á ¤à㣮© £«®¡ «ì−®© áâàãªâãன. ¥ á«¥¤ã¥â ¯®« £ âì, çâ® ¬−®¦¥á⢮ à¥è¥−¨© «î¡ëå 6  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢−¥−¨© á 9 −¥¨§¢¥áâ−묨 ®¡ï§ â¥«ì−® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì â ªãî ¦¥ ¯à®áâãî «®ª «ì−ãî áâàãªâãàã | ¬®£ãâ ¡ëâì â®çª¨ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥−¨ï ¨ ¤à㣨¥ ®á®¡¥−−®áâ¨. (‚ í⮬ á®á⮨⠮¤−  ¨§ ¯à¨ç¨− ⮣®, çâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª ï £¥®¬¥âà¨ï, ¨§ãç îé ï  «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï, ª ª ®−¨ − §ë¢ îâáï, −¥ ï¥âáï à §¤¥«®¬ ⥮ਨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©.) 1.3. ’à¥å¬¥à−®¥ ¯à®¥ªâ¨¢−®¥ ¯à®áâà −á⢮ RP 3 . ‚ ç¥âëà¥å¬¥à−®¬ ¯à®áâà −á⢥ R4 à áᬮâਬ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯àï¬ëå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ − ç «® ª®®à¤¨− â. Œë å®â¨¬ à áᬠâਢ âì íâ® ¬−®¦¥á⢮ ª ª ú¯à®áâà −á⢮û, úâ®çª ¬¨û ª®â®à®£® ïîâáï ¯àï¬ë¥. Š ¦¤ ï úâ®çª û í⮣® ¯à®áâà −á⢠, − §¢ −−®£® £¥®¬¥âà ¬¨ XIX ¢¥ª  ¯à®¥ªâ¨¢−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ RP 3 , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï − ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ (a1 , a2, a3, a4) ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯àאַ©, â. ¥. ç¥â¢¥àª®© ¤¥©á⢨⥫ì−ëå ç¨á¥«. ®áª®«ìªã ¯à®¯®à樮− «ì−ë¥ ç¥â¢¥àª¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤−ã ¨ âã ¦¥ ¯àï¬ãî, ª ¦¤ ï â®çª  R3 ¥áâì ª« áá íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¯à®¯®à樮− «ì−ëå ç¥â¢¥à®ª ç¨á¥«, ®¡®§− ç ¥¬ëå P = (a1 : a2 : a3 : a4), £¤¥ (a1 , a2, a3, a4) | ¯à®¨§¢®«ì−ë© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ª« áá  P . ‚ ®ªà¥áâ−®á⨠ª ¦¤®© â®çª¨ ¯à®áâà −á⢮ RP 3 ãáâ஥−® ¯®¤®¡−® R3 . „¥©á⢨⥫ì−®, â®çªã P0 = (a01 : a02 : a03 : a04), ã ª®â®à®© a4 = 0, ¬®¦−® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ P0 = (a01/a04 : a02/a04 : a03/a04 : 1) ¨ ¤à®¡¨ a01/a04 , a02 /a04, a03/a04 ¬®£ãâ à áᬠâਢ âìáï ª ª ¥¥ ª®®à¤¨− âë.  áᬮâॢ ¢á¥ â®çª¨ P , ã ª®â®àëå a4 = 0, ¨ áç¨â ï x1 = a1/a4 , x2 = a2/a4 , x3 = a3 /a4 ¨å ª®®à¤¨− â ¬¨, ¬ë ¯®«ã稬 ¡¨¥ªæ¨î ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ P0 ¢ ¯à®áâà −á⢥ R3 . —¥âëà¥

‚¢¥¤¥−¨¥

15

¯®¤®¡−ë¥ ®ªà¥áâ−®á⨠(¤«ï a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 0) ¯®ªà뢠î⠢ᥠ¯à®áâà −á⢮ RP 3 . ¤− ª® â®çª¨, ¯à¨− ¤«¥¦ é¨¥ ¤¢ã¬ ¨ ¡®«¥¥ ®ªà¥áâ−®áâï¬, ¨¬¥îâ ¢ íâ¨å ®ªà¥áâ−®áâïå à §−ë¥ ª®®à¤¨− âë (− ¯à¨¬¥à, â®çª  (6 : 12 : 2 : 3) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ª®®à¤¨− âë (2, 4, 2/3) ¢ ®¤−®© ¨ (3, 6, 3/2) ¢ ¤à㣮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨− â). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ 楫®¬ áâàãªâãà  RP 3 ®â«¨ç−  ®â áâàãªâãàë R3 . 1.4. ‘¯¥æ¨ «ì− ï ®à⮣®− «ì− ï £à㯯  SO(3).  áᬮâਬ £à㯯ã SO(3) ¨§®¬¥â਩ ¯à®áâà −á⢠ R3 , á®åà −ïîé¨å ®à¨¥−â æ¨î ¨ ®áâ ¢«ïîé¨å −  ¬¥á⥠− ç «® ª®®à¤¨− â. Š ¦¤ ï â ª ï ¨§®¬¥âà¨ï ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ ¨−¢ à¨ −â−ë¬ − ¯à ¢«¥−¨¥¬ ¨ 㣫®¬ ¯®¢®à®â  ϕ. „«ï ®¯à¥¤¥«¥−¨ï − ¯à ¢«¥−¨© ¢ R3 «®ª «ì−® âॡãîâáï ¤¢¥ ª®®à¤¨− âë, ᪠¦¥¬ a,b (¤®ª ¦¨â¥!). ˆâ ª, ®¯ïâì ¯®«ãç ¥¬, çâ® âਠª®®à¤¨− âë (ϕ, a, b) ®¯à¥¤¥«ïîâ í«¥¬¥−â £à㯯ë SO(3), −® ïîâáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬¨ ª®®à¤¨− â ¬¨ ⮫쪮 «®ª «ì−®. 1.5. ” §®¢®¥ ¯à®áâà −á⢮ B(D2 ) ¡¨«ìïठ −  ¤¨áª¥. “¯à㣨© ¡¨«ìïà¤−ë© è à P ¤¢¨¦¥âáï á ¥¤¨−¨ç−®© ᪮à®áâìî ¯® ¯®¢¥àå−®á⨠¤¨áª  D2 , ®âà ¦ ïáì ®â ¥£® ª®«ì楢®© £à −¨æë C ¯® ®¡ëç−®¬ã § ª®−ã (㣮« ¯ ¤¥−¨ï à ¢¥− 㣫㠮âà ¦¥−¨ï). Œë å®â¨¬ ®¯¨á âì ä §®¢®¥ ¯à®áâà −á⢮ B(D2 ) í⮩ ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨á⥬ë, â®çª ¬¨ ª®â®à®£®, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, ïîâáï á®áâ®ï−¨ï á¨á⥬ë. ®¤ á®áâ®ï−¨¥¬ á¨áâ¥¬ë ¬ë ¯®−¨¬ ¥¬ ¯®«®¦¥−¨¥ è à  P ¢¬¥á⥠á − ¯à ¢«¥−¨¥¬ ¥£® ¢¥ªâ®à  ᪮à®áâ¨. ®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ á®áâ®ï−¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï âà¥¬ï ª®®à¤¨− â ¬¨ (x, y; ϕ) (á¬. à¨á. 1.2), ¬®¦¥â ¯®ª § âìáï, çâ® B(D2 ) ª ª ¬−®¦¥á⢮ ᮢ¯ ¤ ¥â á D2 × S 1 , £¤¥ S 1 | ¥¤¨−¨ç− ï ®ªàã¦−®áâì (S 1 = R mod 2π). ¤− ª® íâ® −¥ â ª, ¯®áª®«ìªã ¢ ¬®¬¥−â ã¤ à  è à  ® ¡®àâ ¡¨«ìïठ, ᪠¦¥¬, ¢ â®çª¥ (x0, y0), − ¯à ¢«¥−¨¥ ¢¥ªâ®à  ᪮à®á⨠᪠窮¬ ¬¥−ï¥â ᢮¥ §− ç¥−¨¥ á ϕ1 −  ϕ2 (á¬. à¨á. 1.2). ®í⮬ã −ã¦−® ®â®¦¤¥á⢨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á®áâ®ï−¨ï: (x0, y0 , ϕ1) ≡ (x0, y0, ϕ2 ).

(1.1)

16

ƒ« ¢  1

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, B(D2 ) = (D2 × S 1 )/ ∼, £¤¥ ç¥à¥§ / ∼ ®¡®§− ç¥−  ä ªâ®à¨§ æ¨ï ¯® ®â−®è¥−¨î íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠∼ ¬¥¦¤ã ¢á¥¬¨ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨ï¬¨ (1.1) ®â−®á¨â¥«ì−® ¢á¥å ¢®§¬®¦−ëå á⮫ª−®¢¥−¨© è à  á £à −¨æ¥© C.

ϕ 1 ϕ 2

¨á. 1.2. ®áª®«ìªã ®â®¦¤¥á⢫¥−¨ï ¯à®¨§¢®¤ïâáï ⮫쪮 ¤«ï â®ç¥ª £à −¨æë C, ¢á¥ â®çª¨ ¬−®¦¥á⢠ B 0 (D2 ) = Int D2 × S 1 = (Int D2 × S 1 )/ ∼, £¤¥ Int D2 = D2
C | ¢−ãâà¥−−®áâì ¤¨áª  D2 , ¨¬¥îâ ®ªà¥áâ−®áâ¨, ãáâ஥−−ë¥ ¯®¤®¡−® ®âªàëâë¬ ®ªà¥áâ−®áâï¬ ¢ R3 (á ª®®à¤¨− â ¬¨ (x, y; ϕ)). ‚¥á쬠 ¯à®á⮥, −® ¢á¥ ¦¥ âॡãî饥 ¤®ª § â¥«ìá⢠ (¯à¨¢¥¤¨â¥) ã⢥ত¥−¨¥ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¯®á«¥ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨ï ú£à −¨ç−ë¥ á®áâ®ï−¨ïû (x, y; ϕ), (x, y) ∈ C, ⮦¥ ¨¬¥îâ ®ªà¥áâ−®áâ¨, ¯®¤®¡−ë¥ ®âªàëâë¬ ¬−®¦¥á⢠¬ ¢ R3. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬−®£®®¡à §¨¥ B(D2 ) «®ª «ì−® ãáâ஥−® â ª ¦¥, ª ª R3, ®¤− ª®, ª ª ¬ë −¨¦¥ ¯®ª ¦¥¬, ¢ 楫®¬ ®â«¨ç ¥âáï ®â R3.

‚¢¥¤¥−¨¥

17

‚ ª ç¥á⢥ ¡®«¥¥ á«®¦−®£® ¯à¨¬¥à  ¨áªãè¥−−ë© ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¯®¯à®¡®¢ âì ®¯¨á âì ä §®¢®¥ ¯à®áâà −á⢠ ¡¨«ìïठ ¢−ãâਠ¯àאַ㣮«ì−®£® âà¥ã£®«ì−¨ª , à áᬮâॢ âà¥ã£®«ì−¨ª¨ √ π á ®áâàë¬ ã£«®¬ a) ; ¡) 2π/4. 6 1.6. Š ¯à¨¢¥¤¥−−ë¬ ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à ¬ âà¥å¬¥à−ëå ¬−®£®®¡à §¨© ¬ë ¯à¨è«¨ ¨§ à §−ëå ®¡« á⥩ ¬ â¥¬ â¨ª¨ ¨«¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥−¨©: ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å −¨ª¨ (¯. 1.1),  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ (¯. 1.2), ª« áá¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ (¯. 1.3), «¨−¥©−®©  «£¥¡àë (¯. 1.4) ¨ ¬¥å −¨ª¨ (¯. 1.5). த¢¨−ãâë© ç¨â â¥«ì −¥ ®è¨¡áï, § ¬¥â¨¢, çâ® −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ¢ ¯à¨¬¥à å (1.1 { 1.4) ¢ à §−ëå ®¡«¨çìïå ¢®§−¨ª ¥â ®¤−® ¨ â® ¦¥ ¬−®£®®¡à §¨¥: Rot(3) = V = RP 3 = SO(3).
®«¥¥ â®ç−®, ¢á¥ í⨠¬−®£®®¡à §¨ï ¤¨ä䥮¬®àä−ë, â. ¥. íª¢¨¢ «¥−â−ë ª ª £« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï (áâண®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ á¬. ¢ ¯. 6.7). ®á«¥¤−¥¥ ¨§ ¯®áâ஥−−ëå ¬−®£®®¡à §¨© | B(D2 ) (¯à¨¬¥à 1.5 | ®â«¨ç ¥âáï ®â ®áâ «ì−ëå (â. ¥. −¥ ¤¨ä䥮¬®àä−® ¨¬), ¯®áª®«ìªã, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ®−® ¤¨ä䥮¬®àä−® âà¥å¬¥à−®© áä¥à¥ S 3 .  ç¨− î騩 ç¨â â¥«ì −¥ ¤®«¦¥− ®âç ¨¢ âìáï, ¥á«¨ ®− −¥ 㢨¤¥« í⮣® | íâ® −¥ ¯à®áâ® § ¬¥â¨âì ¨ ¤®áâ â®ç−® á«®¦−® ¤®ª § âì. Š ªãî ¦¥ ¬®à «ì ¬®¦−® ¢ë¢¥á⨠¨§ ¯à¨¢¥¤¥−−ëå ¯à¨¬¥à®¢? ˆáâ®à¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨ ãç¨â, çâ® ¥á«¨ ®¤¨− ¨ â®â ¦¥ ®¡ê¥ªâ ¯®¤ à §−묨 ¬ áª ¬¨ ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ à §«¨ç−ëå ®¡« áâïå ¬ â¥¬ â¨ª¨ ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥−¨© ¨ ¨£à ¥â ¢ −¨å ¢ ¦−ãî ஫ì, â® â ª®© ®¡ê¥ªâ ¤®«¦¥− ¨§ãç âìáï á ¢−ãâà¥−−¥© â®çª¨ §à¥−¨ï ª ª á ¬®áâ®ï⥫ì−®¥ ¯®−ï⨥. ’ ª ¡ë«® á â ª¨¬¨ äã−¤ ¬¥−â «ì−묨 ¯®−ïâ¨ï¬¨, ª ª £à㯯  ¨«¨ «¨−¥©−®¥ ¯à®áâà −á⢮, ¨ íâ® ®ª §ë¢ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï −¥ ¬¥−¥¥ ¢ ¦−®£® ¯®−ïâ¨ï £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï. 1.7. ਢ¥¤¥−−ë¥ ¯à¨¬¥àë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¬−®£®®¡à §¨¥ M ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬−®¦¥á⢮ â®ç¥ª, «®ª «ì−® ãáâ஥−−®¥ ª ª ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà −á⢮ Rn, ®¤− ª® ¥£® £«®¡ «ì− ï áâàãªâãà ,

18

ƒ« ¢  1

¢®®¡é¥ £®¢®àï, ®â«¨ç ¥âáï ®â áâàãªâãàë Rn . Š ª¨¥ ¦¥ ¬¥â®¤ë ¯à¨£®¤−ë ¤«ï ¨§ãç¥−¨ï ®¡ê¥ªâ®¢ â ª®£® த ? ®áª®«ìªã ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠ª ¦¤®© â®çª¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¥¢ª«¨¤®¢ë ª®®à¤¨− âë, â® ¬®¦−® ¯®¯ëâ âìáï ¯®ªàëâì M ª®®à¤¨− â−묨 ®ªà¥áâ−®áâﬨ (¨«¨ ª àâ ¬¨, ¨«¨ «®ª «ì−묨 á¨á⥬ ¬¨ ª®®à¤¨− â, ª ª ¨å ¥é¥ − §ë¢ îâ). ‘¥¬¥©á⢮ ª àâ, ¯®ªà뢠î饥 M, − §ë¢ ¥âáï  â« á®¬. â®â â¥à¬¨−, ª®−¥ç−®, ¯®¤áª § − £¥®£à ä¨ç¥áª¨¬  â« á®¬ | ¬−®¦¥á⢮¬ ª àâ, ¯®ªà뢠î騬 ¢ 㪠§ −−®¬ á¬ëá«¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ S 2 (¯®¢¥àå−®áâì ‡¥¬«¨).

¨á. 1.3. —â®¡ë ¨á¯®«ì§®¢ âì ®â¤¥«ì−ë¥ ª àâë ¤«ï ¨§ãç¥−¨ï áâàãªâãàë ¬−®£®®¡à §¨ï M ¢ 楫®¬, −¥®¡å®¤¨¬® §− âì, ª ª ¯¥à¥å®¤¨âì ®â ®¤−®© ª àâë ª ¤à㣮©, â. ¥. ª ª ᪫¥¥−ë ª àâë ¢¤®«ì ¨å ®¡é¥© ç á⨠(á¬. à¨á. 1.3). ƒ®¢®àï ¡®«¥¥ áâண®, ¬ë ¤®«¦−ë 㬥âì ¤¥« âì ¯à¥®¡à §®¢ −¨¥ ª®®à¤¨− â, ¢ëà ¦ ï ª®®à¤¨− âë â®ç¥ª ¢ ®¤−®© ª à⥠ç¥à¥§ ª®®à¤¨− âë ¢ ¤à㣮© (¥á«¨, ª®−¥ç−®, â®çª¨ ¯à¨− ¤«¥¦ â ®¡¥¨¬ ª àâ ¬). ‚ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à  ¯à¥¤¯à¨¨¬ç¨¢ë© ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â − ©â¨ ¯à¥®¡à §®¢ −¨ï ª®®à¤¨− â ¤«ï  â« á  ¨§ ç¥âëà¥å ª àâ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ RP 3 , ®¯¨á −−®£® ¢ ¯. 1.3. …᫨ ¬ë å®â¨¬ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¯®«ãç¨âì £« ¤ª¨¥

‚¢¥¤¥−¨¥

19

¬−®£®®¡à §¨ï, â® ¤®«¦−ë ¯®âॡ®¢ âì, çâ®¡ë ¯à¥®¡à §®¢ −¨ï ª®®à¤¨− â § ¤ ¢ «¨áì å®à®è¨¬¨ (¢ −¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥) äã−ªæ¨ï¬¨. ‚ í⮬ á®á⮨⠪®®à¤¨− â−ë© ¨«¨ ª« áá¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ ª £« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨ï¬. „¥â «ì−® ®− ¡ã¤¥â ®¯¨á − ¢ £« ¢¥ 5. 1.8.
®«¥¥ ¢ ¦−ë¬, á − è¥© â®çª¨ §à¥−¨ï, ï¥âáï  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ ª ¨§ãç¥−¨î ¬−®£®®¡à §¨©. ਠí⮬ ¯®¤å®¤¥ ¬ë § ¡ë¢ ¥¬ ® ª àâ å ¨ ¯à¥®¡à §®¢ −¨¨ ª®®à¤¨− â ¨ à ¡®â ¥¬ ⮫쪮 á R- «£¥¡à®© FM £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® R- «£¥¡à  FM ¯®«−®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬−®£®®¡à §¨¥ M ¨ ï¥âáï 㤮¡−ë¬ ¤«ï à ¡®âë ®¡ê¥ªâ®¬. ‚ ¯®á«¥¤ãîé¨å ¯ã−ªâ å ¬ë ¯à¥¤¯à¨−¨¬ ¥¬ ¯®¯ëâªã ¤ âì ç¨â â¥«ï¬ ¨−âã¨â¨¢−®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¥ ® ú− âãà «ì−®© 䨫®á®ä¨¨û, «¥¦ é¥© ¢ ®á−®¢¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ . 1.9. ਠ®¯¨á −¨¨ ª« áá¨ç¥áª¨å 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬ ¨«¨ ¯à®æ¥áᮢ ª«îç¥¢ë¬ ï¢«ï¥âáï ¯®−ï⨥ á®áâ®ï−¨ï á¨á⥬ë. ’ ª, ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å −¨ª¥ á®áâ®ï−¨¥ ¤¢¨¦ã饩áï â®çª¨ ®¯¨á뢠¥âáï ¥¥ ¯®«®¦¥−¨¥¬ ¨ ᪮à®áâìî ¢ ¤ −−ë© ¬®¬¥−⠢६¥−¨. ‘®áâ®ï−¨¥ ¤ −−®£® £ §  á â®çª¨ §à¥−¨ï â¥à¬®¤¨− ¬¨ª¨ ®¯¨á뢠¥âáï ¥£® ⥬¯¥à âãன, ®¡ê¥¬®¬, ¤ ¢«¥−¨¥¬ ¨ â. ¤. —â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ॠ«ì−®¥ á®áâ®ï−¨¥ ¤ −−®© á¨á⥬ë, íªá¯¥à¨¬¥−â â®àã ¯à¨å®¤¨âáï ¯®«ì§®¢ âìáï à §«¨ç−묨 ¨§¬¥à¨â¥«ì−묨 ¯à¨¡®à ¬¨ ¨ ãáâனá⢠¬¨, ¯®ª § −¨ï ª®â®àëå ®¯¨á뢠îâ á®áâ®ï−¨¥ á¨á⥬ë. ।¯®«®¦¨¬, çâ® M ¥áâì ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢®§¬®¦−ëå á®áâ®ï−¨© ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S. ’®£¤  ª ¦¤®¬ã ¨§¬¥à¨â¥«ì−®¬ã ¯à¨¡®àã D ᮮ⢥âáâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï fD −  ¬−®¦¥á⢥ M, ª®â®à ï ª ¦¤®¬ã á®áâ®ï−¨î S ∈ M ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¯®ª § −¨¥ fD (S) í⮣® ¯à¨¡®à . ‘ 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥−¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨−â¥à¥á ⮫쪮 ⥠å à ªâ¥à¨á⨪¨ ª ¦¤®£® á®áâ®ï−¨ï, ª®â®àë¥ ¢ ¯à¨−樯¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨§¬¥à¥−ë, â ª çâ® ¬−®¦¥á⢮ M ¢á¥å á®áâ®ï−¨© ¯®«−®áâìî ®¯¨á뢠îâáï − ¡®à®¬
S ¢á¥å äã−ªæ¨© ¢¨¤  fD , £¤¥ D | ¨§¬¥à¨â¥«ì−ë¥ ãáâனá⢠, ¡ëâì ¬®¦¥â ¢®®¡à ¦ ¥¬ë¥, ¯®áª®«ìªã −¥¢®§¬®¦−® ¯®áâநâì ¢á¥ ¬ë᫨¬ë¥ ¨§¬¥à¨â¥«ì−ë¥ ¯à¨¡®àë, ¤  ¢ í⮬ ¨ −¥â ¯à ªâ¨ç¥áª®© −¥®¡å®¤¨¬®áâ¨.

20

ƒ« ¢  1

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á ⥮à¥â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥−¨ï, 䨧¨ç¥áª ï á¨á⥬  ï¥âáï −¥ ¡®«¥¥ 祬 − ¡®à®¬ ¢á¥å äã−ªæ¨©, ®¯à¥¤¥«¥−−ëå ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¨§¬¥à¨â¥«ì−묨 ¯à¨¡®à ¬¨ (− áâ®ï騬¨ ¨«¨ ¢®®¡à ¦ ¥¬ë¬¨). 1.10. ।¯®«®¦¨¬, çâ® äã−ªæ¨¨ f1 , . . . , fk ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¨§¬¥à¨â¥«ì−ë¬ ãáâனá⢠¬ D1 , . . . , Dk 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S ¨ ϕ(x1, . . . , xk ) | ¯à®¨§¢®«ì− ï úå®à®è ïû ¤¥©á⢨⥫ì−®§− ç− ï äã−ªæ¨ï k ¯¥à¥¬¥−−ëå. ‚ ¯à¨−樯¥ ¢®§¬®¦−® ¯®áâநâì â ª®¥ ãáâனá⢮ D, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï äã−ªæ¨ï fD ¥áâì á«®¦− ï äã−ªæ¨ï ϕ(f1, . . . , fk ). „¥©á⢨⥫ì−®, â ª®¥ ãáâனá⢮ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥−®, ¥á«¨ ᪮−áâàã¨à®¢ âì ¢á¯®¬®£ â¥«ì−®¥ ãáâனá⢮, á¨−⥧¨àãî饥 §− ç¥−¨¥ ϕ(x1 , . . . , xk ) ¯® ¢å®¤−ë¬ §− ç¥−¨ï¬ x1, . . . , xk (íâ® ¢á¥£¤  ¬®¦−® ᤥ« âì, ¥á«¨ äã−ªæ¨ï ϕ ¤®áâ â®ç−® å®à®è ï) ¨ ¯®¤ ¢ âì −  ¢å®¤ë í⮣® ãáâனá⢠ ᨣ− «ë ®â ¯à¨¡®à®¢ D1 , . . . , Dk .
㤥¬ ®¡®§− ç âì ãáâனá⢮ D ç¥à¥§ ϕ(D1 , . . . , Dk ). ‚ ç áâ−®áâ¨, ¥á«¨ ¬ë ¢®§ì¬¥¬ ϕ(x1 , x2) = x1 + x2 (¨«¨ ϕ(x) = λx, λ ∈ R, ¨«¨ ϕ(x1 x2) = x1x2), â® ¤«ï «î¡ëå ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனá⢠D1 , D2 ᬮ¦¥¬ ᪮−áâàã¨à®¢ âì ãáâனá⢮ D1 + D2 (¨«¨ λD1 , ¨«¨ D1 D2 ). „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ äã−ªæ¨¨ fi = fDi ¯à¨− ¤«¥¦ â
S , â® ¨ äã−ªæ¨¨ f1 + f2, λfi , f1 f2 â ª¦¥ ¯à¨− ¤«¥¦ â
S . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬−®¦¥á⢮
S ¢á¥å äã−ªæ¨© f = fD , ®¯¨á뢠îé¨å á¨á⥬ã S, ¨¬¥¥â áâàãªâãàã  «£¥¡àë − ¤ R ¨«¨ R- «£¥¡àë. 1.11.   á ¬®¬ ¤¥«¥ ¬−®¦¥á⢮
S ¢á¥å äã−ªæ¨© fD : MS → R ᫨誮¬ ¢¥«¨ª® ¨ £à®¬®§¤ª® ¤«ï ¡®«ìè¨−á⢠ ª« áá¨ç¥áª¨å § ¤ ç. ‘¨áâ¥¬ë ¨ ¯à®æ¥ááë, ®¯¨á뢠¥¬ë¥ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥, ®¡ëç−® ïîâáï −¥¯à¥àë¢−묨 ¨«¨ £« ¤ª¨¬¨ ¢ −¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥. ®í⮬ã à §àë¢−ë¥ äã−ªæ¨¨ fD −¥ −¥áãâ ᮤ¥à¦ â¥«ì−®© ¨−ä®à¬ æ¨¨ ® à áᬠâਢ ¥¬ëå á¨á⥬ å (¨«¨ ¯à®æ¥áá å) | − ¬ −ã¦−ë ⮫쪮 ú£« ¤ª® à ¡®â î騥û ¨§¬¥à¨â¥«ì−ë¥ ãáâனá⢠ D.
®«¥¥ ⮣®, § ¤ ç¨ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ®¡ëç−® ä®à¬ã«¨àãîâáï ¢ â¥à¬¨− å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨©, â ª çâ® ¬ë ¤®«¦−ë ¨¬¥âì ¢®§¬®¦−®áâì ¡à âì ¯à®¨§¢®¤−ë¥ ®â

‚¢¥¤¥−¨¥

21

äã−ªæ¨© fD á⮫쪮 à §, ᪮«ìª® ¯®âॡã¥âáï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª à áᬮâà¥−¨î ¬¥−ì襣®, 祬
S , ¬−®¦¥á⢠ FS £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© fD : MS → R.
« £®¤ àï ¢ª«îç¥−¨î FS ⊂
S ¬−®¦¥á⢮ FS − á«¥¤ã¥â áâàãªâãàã R- «£¥¡àë.  ç¨− ï á í⮣® ¬®¬¥−â  ¬ë § ¡ã¤¥¬ ® áãé¥á⢮¢ −¨¨
S , â ª ª ª £« ¢−ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ¨§ãç¥−¨ï ¡ã¤¥â £« ¤ª ï R- «£¥¡à  FS . 1.12. ‚ í⮬ ¯ã−ªâ¥ ¬ë ¡®«¥¥ ¤¥â «ì−® ®¯¨è¥¬, −  çâ®  «£¥¡à  FS ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®å®¦  ¢ ª« áá¨ç¥áª®© á¨âã æ¨¨.  ¯à¨¬¥à, á â®çª¨ §à¥−¨ï ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å −¨ª¨, á¨á⥬  S ¨§ N ¬ â¥à¨ «ì−ëå â®ç¥ª ¢ ¯à®áâà −á⢥  ¤¥ª¢ â−® ®¯¨á뢠¥âáï §− ç¥−¨ï¬¨ ¯®«®¦¥−¨ï ¨ ᪮à®á⨠¢á¥å â®ç¥ª á¨á⥬ë. ®í⮬ã − ¬ −ã¦−® 6N ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனá⢠Di ¤«ï − å®¦¤¥−¨ï íâ¨å ¢¥«¨ç¨−. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®,  «£¥¡à  FS á®á⮨⠨§ ¢á¥å äã−ªæ¨© ¢¨¤  ϕ(f1, . . . , f6N ), £¤¥ fi | ú¡ §¨á−ë¥ äã−ªæ¨¨û, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¨§¬¥à¨â¥«ì−묨 ãáâனá⢠¬¨ Di ,   ϕ : R6N → R | «î¡ ï úå®à®è ïû (£« ¤ª ï) äã−ªæ¨ï. ‚ ¡®«¥¥ á«®¦−ëå á«ãç ïå ¬¥¦¤ã ¡ §¨á−묨 äã−ªæ¨ï¬¨ ¬®£ãâ ¢®§−¨ª âì á®®â−®è¥−¨ï.  ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¬ë ¨§ãç ¥¬ á¨á⥬㠨§ ¤¢ãå â®ç¥ç−ëå ¬ áá, ᮥ¤¨−¥−−ëå áâ¥à¦−¥¬ ¯à¥−¥¡à¥¦¨¬® ¬ «®© ¬ ááë, â® ¡ §¨á−ë¥ äã−ªæ¨¨ á¢ï§ −ë á®®â−®è¥−¨¥¬ 3  (fi − fi+3 )2 = r2 , i=1

£¤¥ r | ¤«¨−  áâ¥à¦−ï,   äã−ªæ¨¨ fi (ᮮ⢥âá⢥−−® fi+3 ) áãâì §− ç¥−¨ï i-®© ª®®à¤¨− âë ¯¥à¢®© (ᮮ⢥âá⢥−−® ¢â®à®©) ¬ ááë. ‘ãé¥áâ¢ã¥â â ª¦¥ á®®â−®è¥−¨¥, ¢ ª®â®à®¥ ªà®¬¥ ª®®à¤¨− â â®ç¥ª ¢å®¤ïâ ª®¬¯®−¥−âë ¢¥ªâ®à®¢ ¨å ᪮à®á⥩. Œë ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥¬ ¤®â®è−®¬ã ç¨â â¥«î ¢ë¯¨á âì ¥£® á ¬®áâ®ï⥫ì−®. ¡®¡é ï í⨠¯à¨¬¥àë, ¬®¦−® ᪠§ âì, çâ® ®¡ëç−® áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á− ï á¨á⥬  ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனá⢠D1 , . . . , Dk , ª®â®àë¥  ¤¥ª¢ â−® ®¯¨á뢠îâ á¨á⥬ã S á ¢ë¡à −−®© â®çª¨ §à¥−¨ï. ’®£¤  R- «£¥¡à  FS á®á⮨⠨§ ¢á¥å í«¥¬¥−⮢ ¢¨¤  ϕ(f1 , . . . , fk ), £¤¥ ϕ : Rk → R | úå®à®è ïû äã−ªæ¨ï ¨

22

ƒ« ¢  1

fi = fDi | äã−ªæ¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¡ §¨á−묨 ¨§¬¥à¨â¥«ì−묨 ãáâனá⢠¬¨. ਠí⮬ ¬¥¦¤ã ¡ §¨á−묨 äã−ªæ¨ï¬¨ ¬®£ãâ ¡ëâì á®®â−®è¥−¨ï ¢¨¤  F (f1, . . . , fk ) = 0. ‚ í⮬ á«ãç ¥  «£¥¡à  FS ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á −  á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ãáâì Rk | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà −á⢮ á ª®®à¤¨− â ¬¨ f1 , . . . , fk ¨ U = {(f1 , . . . , fk ) | ai < fi < bi }, £¤¥ ¨−â¥à¢ « ]ai, bi [ á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¢®§¬®¦−ëå ¯®ª § −¨© ¯à¨¡®à  Di. ‘®®â−®è¥−¨ï Fj (f1, . . . , fk ) = 0 ¬¥¦¤ã ¡ §¨á−묨 ¯¥à¥¬¥−−묨 f1 , . . . , fk ®¯à¥¤¥«ïîâ ¯®¢¥àå−®áâì M ¢ ®¡« á⨠U, ¨ FS ¥áâì R- «£¥¡à  ¢á¥å £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¯®¢¥àå−®á⨠M. 1.13. ਬ¥à (â¥à¬®¤¨− ¬¨ª  ¨¤¥ «ì−®£® £ § ). ‘ â®çª¨ §à¥−¨ï â¥à¬®¤¨− ¬¨ª¨ ¯à¨ à áᬮâà¥−¨¨ ¨¤¥ «ì−®£® £ §  − á ¨−â¥à¥áãîâ á«¥¤ãî騥 ®á−®¢−ë¥ ¯ à ¬¥âàë: ®¡ê¥¬ V , ¤ ¢«¥−¨¥ p ¨  ¡á®«îâ− ï ⥬¯¥à âãà  T í⮣® £ § . ⨠¢¥«¨ç¨−ë, ª ª å®à®è® ¨§¢¥áâ−®, 㤮¢«¥â¢®àïîâ á®®â−®è¥−¨î pV = cT , £¤¥ c | −¥ª®â®à ï ª®−áâ −â . ’ ª ª ª 0 < p < ∞, 0 < V < ∞, 0 < T < ∞, â® ®¡« áâì U à á¯®«®¦¥−  ¢ ¯¥à¢®¬ ®ªâ −⥠¯à®áâà −á⢠ R3 = {(V, p, T )} ¨ £¨¯¥à¯®¢¥àå−®áâì M ¢ í⮩ ®¡« á⨠§ ¤ ¥âáï ãà ¢−¥−¨¥¬ pV = cT . ‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï R- «£¥¡à  á®á⮨⠨§ ¢á¥å £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  M.

¨á. 1.4. ˜ à−¨à−ë¥ ¬¥å −¨§¬ë (5; 2, 2, 2), (1; 4, 1, 4), (1; 1, 1, 1), (2; 1, 2, 1), (5; 3, 3, 1). 1.14. ਬ¥à (¯«®áª¨¥ è à−¨à−ë¥ ¬¥å −¨§¬ë). Œ¥å −¨§¬ë â ª®£® த  (á¬. à¨á. 1.4) á®áâ ¢«¥−ë ¨§ n > 3 ¨¤¥ «ì−ëå áâ¥à¦−¥© −  ¯«®áª®áâ¨, ¤«¨−ë íâ¨å áâ¥à¦−¥© à ¢−ë, ᮮ⢥âá⢥−−®, (l1; l2, . . . , ln); áâ¥à¦−¨ −  ª®−æ å ᮥ¤¨−¥−ë ¨¤¥ «ì−묨 è à−¨à ¬¨ ¢ 横«¨ç¥áª®¬ ¯®à浪¥; ¯¥à¢ë© áâ¥à¦¥−ì −¥¯®¤¢¨¦−® § ªà¥¯«¥− −  ¯«®áª®áâ¨; ®áâ «ì−ë¥ áâ¥à¦−¨ ¬®£ãâ

‚¢¥¤¥−¨¥

23

¤¢¨£ âìáï − á⮫쪮 ᢮¡®¤−®, − áª®«ìª® íâ® ¯®§¢®«ï¥â ª®−䨣ãà æ¨ï; è à−¨àë ¬®£ãâ ᢮¡®¤−® ¤¢¨£ âìáï ®¤¨− − ¤ ¤à㣨¬. 祢¨¤−®, ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ è à−¨à−®£® ¬¥å −¨§¬  ¯®«−®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâìî ¤«¨− áâ¥à¦−¥©, ¯®í⮬㠬®¦−® ááë« âìáï −  ª®−ªà¥â−ë© ¬¥å −¨§¬ ¯à®á⮠㪠§ë¢ ï ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì, − ¯à¨¬¥à, (5; 2, 3, 2). ‚ ª−¨£¥ ç¨â â¥«ì − ©¤¥â æ¥«ë© àï¤ ã¯à ¦−¥−¨©, á¢ï§ −−ëå á è à−¨à−묨 ¬¥å −¨§¬ ¬¨. ¥à¢ë¥ § ¤ ç¨ ¬®¦−® ¯®¯à®¡®¢ âì à¥è¨âì ¯àאַ ᥩç á. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ ª®−䨣ãà æ¨®−−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ á«¥¤ãîé¨å è à−¨à−ëå ¬¥å −¨§¬®¢: 1. —¥âëà¥å㣮«ì−¨ª¨: (5; 2, 2, 2); (1; 4, 1, 4); (1; 1, 1, 1); (2; 1, 2, 1); (5; 3, 3, 1). 2.
ïâ¨ã£®«ì−¨ª¨: (1; 1, 1, 1, 1); (1; 4, 1, 1, 4); (6; 6, 2, 2, 6); (3.9; 1, 1, 1, 1). Œë − ¤¥¥¬áï, çâ® ç¨â â¥«ì ¯®«ãç¨â 㤮¢®«ìá⢨¥, ®âªàë¢, çâ® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ (1; 1, 1, 1, 1) ¥áâì áä¥à  á ç¥âëàì¬ï àã窠¬¨. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¯ïâ¨ã£®«ì−¨ª  § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¤«¨− áâ¥à¦−¥©, −® −¥ ®â ¯®à浪 , ¢ ª®â®à®¬ ®−¨ ᮥ¤¨−¥−ë. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ è à−¨à−®£® ¬¥å −¨§¬  (n − α; 1, . . . , 1), á®áâ®ï饣® ¨§ n + 1 áâ¥à¦−ï ¥áâì 1. ‘ä¥à  S n−2 ¥á«¨ α = 1/2. 2. (n − 2)-¬¥à−ë© â®à T n−2 = S 1 × · · · × S 1 if α = 3/2. 1.15. „® á¨å ¯®à ¬ë, ¯®« £ ïáì −  䨧¨ç¥áªãî ¨−âã¨æ¨î ç¨â â¥«ï, −¥ ¯à¨¢®¤¨«¨ ®¡êïá−¥−¨© ⮣®, çâ® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì−®á⨠®§− ç ¥â ¯®−ï⨥ á®áâ®ï−¨ï s ∈ MS 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S. ’¥¯¥àì, ¯®á«¥ ⮣® ª ª ¡ë«  ®¯¨á −  á¨á⥬  äã−ªæ¨© FS , ã − á ¯®ï¢¨«áï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨ áâண¨© ¨ ¨¬¥î騩 ïá−ë© ä¨§¨ç¥áª¨© á¬ë᫠ᯮᮡ ᤥ« âì íâ®.

24

ƒ« ¢  1

Œ¥â®¤®«®£¨ç¥áª®© ®á−®¢®© ¢á¥å 䨧¨ç¥áª¨å à áá㦤¥−¨© á«ã¦¨â ¯®−ï⨥ ¨§¬¥à¥−¨ï. ®í⮬㠤¢  á®áâ®ï−¨ï − è¥© á¨áâ¥¬ë ¤®«¦−ë à áᬠâਢ âìáï ª ª ®¤¨− ª®¢ë¥ ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  ª ¦¤®¥ ¨§ ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனá⢠¤ ¥â ®¤¨− ª®¢ë¥ ¯®ª § −¨ï ¢ ®¡®¨å á®áâ®ï−¨ïå. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ª ¦¤®¥ á®áâ®ï−¨¥ s ∈ MS ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®ª § −¨ï¬¨ ¢á¥å ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனáâ¢, â. ¥. ᮮ⢥âá⢨¥¬ FS → R, ᮯ®áâ ¢«ïî騬 ª ¦¤®© äã−ªæ¨¨ fD ∈ FS ¥¥ §− ç¥−¨¥ fD (s) ∈ R (¯®ª § −¨¥ ¯à¨¡®à  D ¢ í⮬ á®áâ®ï−¨¨). Š ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, í⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¥áâì £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, á®áâ®ï−¨¥ s à áᬠâਢ ¥¬®© 䨧¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¥áâì −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à s : FS → R. Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å R-£®¬®¬®à䨧¬®¢ FS → R ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ |FS |. ’®£¤  ¯à¨¢¥¤¥−−®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ®§− ç ¥â ¯à®áâ®, çâ® ¬−®¦¥á⢠ MS ¨ |FS | ᮢ¯ ¤ îâ. 1.16. ‘㬬¨àãï ¨§«®¦¥−−®¥ ¢ ¯¯. 1.9{1.15, ¬®¦−® ᪠§ âì, çâ® «î¡ ï ª« áá¨ç¥áª ï á¨á⥬  ®¯¨á뢠¥âáï − ¡®à®¬ ¯®¤å®¤ïé¨å ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனá⢠¨ ª ¦¤®¥ á®áâ®ï−¨¥ á¨áâ¥¬ë ¥áâì − ¡®à ¯®ª § −¨© ãáâனáâ¢, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 í⮬ã á®áâ®ï−¨î. ”à § , ¢ë¤¥«¥−− ï ªãàᨢ®¬, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥¢¥¤¥−  −  ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨© ï§ëª ¯à¨ ¯®¬®é¨ á«¥¤ãî饣® á«®¢ àï: 䨧¨ç¥áª ï á¨á⥬  ⇔ ¬−®£®®¡à §¨¥, M; á®áâ®ï−¨¥ á¨á⥬ë ⇔ â®çª  ¬−®£®®¡à §¨ï, x ∈ M; ¨§¬¥à¨â¥«ì−®¥ ãáâனá⢮ ⇔ äã−ªæ¨ï −  M, f ∈ F ; − ¡®à ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனá⢠⇔ £« ¤ª ï R- «£¥¡à , F ; ¯®ª § −¨¥ ¨§¬¥à¨â¥«ì−®£® ãáâனá⢠ ⇔ §− ç¥−¨¥ äã−ªæ¨¨, f(x); − ¡®à ¯®ª § −¨© ãáâனáâ¢, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤ −−®¬ã á®áâ®ï−¨î, ⇔ £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à x : F → R (f → f(x)). ‚ १ã«ìâ â¥ ¯¥à¥¢®¤  ¯®«ã稬 á«¥¤ãî饥 ¢ë᪠§ë¢ −¨¥: «î¡®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®© F äã−ªæ¨© −  −¥¬, ª ¦¤®© â®çª¥ x ∈ M ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à F → R, ª®â®àë© á®¯®áâ ¢«ï¥â ª ¦¤®© äã−ªæ¨¨ f ∈ F ¥¥ §− ç¥−¨¥ f(x) ¢ â®çª¥ x.

‚¢¥¤¥−¨¥

25

1.17. ‘ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥−¨ï ®á−®¢− ï ¨¤¥ï ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ã−ªâ  á®á⮨⠢ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¨ â®çª¨ x ¬−®£®®¡à §¨ï M ¨ £®¬®¬®à䨧¬  R- «£¥¡à x : F → R  «£¥¡àë äã−ªæ¨© F ¢  «£¥¡àã R, ª®â®à®¥ § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© x(f) = f(x).

(1.2)

â  ä®à¬ã« , ¯à®ç¨â −− ï á«¥¢  − ¯à ¢®, ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ x : F → R, ª®£¤  § ¤ −  äã−ªæ¨ï f ∈ F . à®ç¨â −− ï á¯à ¢  − «¥¢®, ®−  ®¯à¥¤¥«ï¥â äã−ªæ¨î f : M → R, ¥á«¨ ¨§¢¥áâ¥− £®¬®¬®à䨧¬ x ∈ M. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ã«  (1.2) «¥¦¨â ¢ ®á−®¢¥ ¢ ¦−®£® ®â−®è¥−¨ï ¤¢®©á⢥−−®á⨠¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¬−®£®®¡à §¨ï ¨ äã−ªæ¨ï¬¨ −  −¥¬, ¤¢®©á⢥−−®áâ¨, ¯®¤®¡−®© ⮩, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¨ ª®¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ «¨−¥©−®©  «£¥¡à¥, −® §− ç¨â¥«ì−® ¡®«¥¥ á«®¦−®©. 1.18. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ M ↔ |F | ¬¥¦¤ã ¬−®¦¥á⢮¬ M, −  ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«¥−ë äã−ªæ¨¨ f ∈ F , ¨ ᥬ¥©á⢮¬ ¢á¥å £®¬®¬®à䨧¬®¢ R- «£¥¡à F → R −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ª®à४â−® ¯®áâ஥−®. â® ¯à®¨á室¨â, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¯®â®¬ã, çâ® ¬−®¦¥á⢮ |F | ¬®¦¥â ®ª § âìáï úáãé¥á⢥−−® ¬¥−ì訬û (¯à¨¬¥à ¡ã¤¥â ¤ − ¢ ¯. 3.6) ¨«¨ ú¡®«ì訬û, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 ਬ¥à. ‚®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ M ¬−®¦¥á⢮ N ¢á¥å − âãà «ì−ëå ç¨á¥«. ãáâì F ¥áâì ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å äã−ªæ¨© −  N (â. ¥. ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⥩ {a (k)}) â ª¨å, çâ® lim a (k) áãé¥áâ¢ã¥â ¨ k→∞

ª®−¥ç¥−. ’®£¤  £®¬®¬®à䨧¬ã α : F → R,

{a (k)} → lim a (k) k→∞

−¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â −¨ª ª ï â®çª  M = N.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ £®¬®¬®à䨧¬ã α ᮮ⢥âáâ¢ã¥â −¥ª®â®à ï â®çª  n ∈ N, ⮠ᮣ« á−® (1.2), n(a(·)) = a(n),

26

ƒ« ¢  1

â ª çâ® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠a(·) = {a(k)} ¨¬¥¥¬ lim a(k) = a(n). ® íâ® −¥ â ª, − ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠a(i) = 0, i  n, a(i) = 1, i > n. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, |F | ¡®«ìè¥, 祬 M, ¯® ªà ©−¥© ¬¥à¥ −  £®¬®¬®à䨧¬ α. ¤− ª® ¬ë ¬®¦¥¬ ¤®¡ ¢¨âì ª N ú¡¥áª®−¥ç−®áâìû ∞ ¨ à áè¨à¨âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠(í«¥¬¥−âë F ), ¯®«®¦¨¢ a(∞) = lim a(k), ¯®á«¥ 祣® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠¬®¦−® à áᬠâਢ âì k→∞

ª ª äã−ªæ¨¨ −  N ∪ {∞}. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, £®¬®¬®à䨧¬ α ᮮ⢥âáâ¢ã¥â úâ®çª¥û ∞. ਥ¬, á®áâ®ï騩 ¢ ¤®¡ ¢«¥−¨¨ úâ®ç¥ª −  ¡¥áª®−¥ç−®áâ¨û (¨«¨ ¬−¨¬ëå â®ç¥ª, −¥á®¡á⢥−−ëå â®ç¥ª, â®ç¥ª  ¡á®«îâ  ¨ â. ¤.), ªà ©−¥ ¯®«¥§¥− ¨ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ − − ¬¨ ¢ £« ¢¥ 8. 1.19.  §¢¨¢ ï ¢ £« ¢¥ 3  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ ª ¯®−ïâ¨î £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ¬ë ¡ã¤¥¬ áâ à⮢ âì á −¥ª®â®à®©  ¡áâà ªâ−®© R- «£¥¡àë, í«¥¬¥−âë ª®â®à®© ¡ã¤¥¬ − §ë¢ âì úäã−ªæ¨ï¬¨û. Š®−¥ç−®, F −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì−®©  «£¥¡à®©, ®−  ¤®«¦−  㤮¢«¥â¢®àïâì −¥ª®â®àë¬ ãá«®¢¨ï¬ ú£« ¤ª®áâ¨û. ƒàã¡® £®¢®àï,  «£¥¡à  F ¤®«¦−  ¡ëâì £« ¤ª®© ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® «®ª «ì−® (§− ç¥−¨¥ í⮣® á«®¢  ¤®«¦−® ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥−® ¢ ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å â¥à¬¨− å!) íâ   «£¥¡à  ãáâ஥−  â ª ¦¥, ª ª  «£¥¡à  C ∞ (Rn ) ¡¥áª®−¥ç−® ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬ëå (£« ¤ª¨å) äã−ªæ¨© −  Rn. ‚ í⮬ ¨ á®áâ®¨â  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ᯮᮡ ᪠§ âì, çâ® ¬−®£®®¡à §¨¥ M ¨¬¥¥â â ªãî ¦¥ «®ª «ì−ãî áâàãªâãàã, ª ª ¨ Rn. „¥â «ì−® ¨ áâண® íâ® ¡ã¤¥â ®¡êïá−¥−® ¢ £« ¢¥ 3. ª §ë¢ ¥âáï, çâ®, ª®£¤  ¢ë¯®«−¥−ë ãá«®¢¨ï £« ¤ª®áâ¨, â®  «£¥¡à  F ¯®«−®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬−®£®®¡à §¨¥ M ª ª ¬−®¦¥á⢮ |F | ¢á¥å £®¬®¬®à䨧¬®¢ R- «£¥¡à ¨§ F ¢ R ¨ ¬®¦¥â ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âìáï ª ª R- «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  M = |F |. «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï ¡ã¤¥â ¯à¨¢¥¤¥−® ¢ ¯¥à¢®¬ ¯ã−ªâ¥ £« ¢ë 4. 1.20. “á«®¢¨ï £« ¤ª®á⨠−ã¦−ë ¨ ¯à¨ ª« áá¨ç¥áª®¬ ª®®à¤¨− â−®¬ ¯®¤å®¤¥, ª®â®àë© ¤¥â «ì−® ¨§« £ ¥âáï ¢ £« ¢¥ 5. ‚ ç áâ−®áâ¨, ¯à¥®¡à §®¢ −¨¥ ª®®à¤¨− â ¤®«¦−® § ¤ ¢ âìáï £« ¤ª¨¬¨

‚¢¥¤¥−¨¥

27

äã−ªæ¨ï¬¨. ‘âண®¥ ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï ¡ã¤¥â ¤ −® ¢ ¯. 5.8. 1.21. „¢  ®¯à¥¤¥«¥−¨ï £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï |  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¨ ª®®à¤¨− â−®¥, | ª®−¥ç−®, íª¢¨¢ «¥−â−ë. â® ¡ã¤¥â ¤®ª § −® ¢ £« ¢¥ 7. ¥à¢ ï ¯®«®¢¨−  ¤ −−®© ª−¨£¨ ¨ ᮤ¥à¦¨â ¤¥â «ì−®¥ ¨§«®¦¥−¨¥ íâ¨å ¤¢ãå ¯®¤å®¤®¢ ª ¯®−ïâ¨î £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï ¨ ¨å íª¢¨¢ «¥−â−®áâ¨,   â ª¦¥ ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ ¯à¨¬¥à®¢, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¡®«¥¥ áâண¨© à §¡®à ¯à¨¬¥à®¢, ¯à¨¢¥¤¥−−ëå ¢ëè¥ ¢ ¯¯. 1.1{1.5.

ƒ« ¢  2

ƒ‹„Šˆ… ”“
Š–ˆˆ ‚ Rn

2.1. â  £« ¢  −®á¨â ¢á¯®¬®£ â¥«ì−ë© å à ªâ¥à ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯ãé¥−  ¯à¨ ¯¥à¢®¬ çâ¥−¨¨. ‡¤¥áì ¬ë ¯®ª §ë¢ ¥¬, ª ª áâநâì −¥ª®â®àë¥ á¯¥æ¨ä¨ç¥áª¨¥ £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ −  Rn, ª®â®àë¥ ®¡à é îâáï (¨«¨ −¥ ®¡à é îâáï) ¢ −ã«ì −  ¯®¤¬−®¦¥á⢠å ᯥ樠«ì−®£® ¢¨¤ . ⨠äã−ªæ¨¨ ¯®− ¤®¡ïâáï − ¬ ¯®§¤−¥¥ ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ¬−®£¨å ã⢥ত¥−¨©, ®á®¡¥−−® ¢ £« ¢¥ 3. «£¥¡àã £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  Rn ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì C ∞ (Rn). 2.2. ।«®¦¥−¨¥. ‘ãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (R), ª®â®à ï ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¯à¨ ¢á¥å ®âà¨æ â¥«ì−ëå §− ç¥−¨ïå  à£ã¬¥−â  ¨ áâண® ¯®«®¦¨â¥«ì−  ¯à¨ ¥£® ¯®«®¦¨â¥«ì−ëå §− ç¥−¨ïå.
®ª ¦¥¬, çâ® í⨬¨ ᢮©á⢠¬¨ ®¡« ¤ ¥â äã−ªæ¨ï  0, x  0, f(x) = −1/x , x > 0. e

(2.1)

(‘¬. £à ä¨ª −  § ¤−¥¬ ¯« −¥ à¨á. 2.1.) …¤¨−á⢥−−®¥, çâ® −ã¦−® ¤®ª § âì, | íâ® £« ¤ª®áâì äã−ªæ¨¨ f. ˆ−¤ãªæ¨¥© ¯® n ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¯à®¨§¢®¤− ï ¯®à浪  n äã−ªæ¨¨ f ¨¬¥¥â ¢¨¤  0, x  0, f (n) (x) = (2.2) −1/x −2n e Pn (x)x , x > 0, 28

ƒ« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¢ Rn

29

1

-1

0

1

2

4

¨á. 2.1. â®â à¨áã−®ª ¨««îáâà¨àã¥â ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 2.2 ¨ á«¥¤á⢨¥ 2.3. £¤¥ Pn (x) { ¬−®£®ç«¥−, ¨ çâ® f (n) −¥¯à¥àë¢− . „«ï n = 0 íâ® ®ç¥¢¨¤−®, ¯®áª®«ìªã lim e−1/x = 0. …᫨ (2.2) ¢ë¯®«−¥−® ¤«ï x→+0

−¥ª®â®à®£® n  0, â®, ®ç¥¢¨¤−®, f (n+1) (x) = 0 ¯à¨ x < 0, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤«ï x > 0 ¨¬¥¥¬   f (n+1) (x) = e−1/x Pn (x) + x2Pn (x) − 2nxPn (x) x−2n−2 . â® ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f (n+1) â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (2.2) ¯à¨ x = 0. —â®¡ë ¯®ª § âì, çâ® f (n+1) { −¥¯à¥àë¢− ï äã−ªæ¨ï ¨ f (n+1) (0) = 0, § ¬¥â¨¬, çâ® ¯® ¯à ¢¨«ã ‹®¯¨â «ï lim e−1/xxα = 0 ¤«ï «î¡®£® x→+0

α ∈ R. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, lim f (n+1) (x) = 0, ¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢x→+0

è¨áì ¥é¥ à § ¯à ¢¨«®¬ ‹®¯¨â «ï, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ f (n) (x) − f (n) (0) f (n+1) (x) − 0 = lim , x→0 x→0 x 1

f (n+1) (0) = lim

â ª çâ® äã−ªæ¨ï f (n+1) (x) à ¢−  −ã«î ¯à¨ x  0 ¨ −¥¯à¥àë¢−  ¤«ï ¢á¥å x.  “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì f | äã−ªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥−− ï ä®à¬ã«®© (2.1) ¨ ¯ãáâì ck = max |f (k) |. 1. „®ª ¦¨â¥ çâ® ck < ∞ ¤«ï ¢á¥å k.

30

ƒ« ¢  2

2. ˆáá«¥¤ã©â¥ ¯®¢¥¤¥−¨¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠{ck } ª®£¤  k → ∞. 2.3. ‘«¥¤á⢨¥. „«ï «î¡®£® r > 0 ¨ a ∈ Rn áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï g ∈ C ∞ (Rn ), ®¡à é îé ïáï ¢ −ã«ì ¯à¨ ¢á¥å x ∈ Rn , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î x − a  r, ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì− ï ¯à¨ ¢á¥å ®áâ «ì−ëå x ∈ Rn .
 ¯à¨¬¥à, â ª®© ï¥âáï äã−ªæ¨ï g(x) = f(r2 − x − a2), £¤¥ f { äã−ªæ¨ï, ¯®áâ஥−− ï ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¥¤«®¦¥−¨ï. ‘¬. à¨á. 2.1.  2.4. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì U ⊂ Rn | ¯à®¨§¢®«ì−®¥ ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮. ‘ãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (Rn ), çâ®  f(x) = 0, x∈ / U, f(x) > 0, x ∈ U.
…᫨ U = Rn , â® ¯®«®¦¨¬ f ≡ 1, ¥á«¨ U = ∅, â® f ≡ 0. ãáâì ⥯¥àì U = Rn , U = ∅ ¨ {Uk } { ¯®ªàë⨥ ®¡« á⨠U áç¥â−ë¬ ¬−®¦¥á⢮¬ ®âªàëâëå è à®¢ (− ¯à¨¬¥à, ¬−®¦¥á⢮¬ ¢á¥å è à®¢ á à æ¨®− «ì−묨 à ¤¨ãá ¬¨, «¥¦ é¨å ¢ U, æ¥−âàë ª®â®àëå | â®çª¨ á à æ¨®− «ì−묨 ª®®à¤¨− â ¬¨). ‘®£« á−® á«¥¤á⢨î 2.3 áãé¥áâ¢ãîâ £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ fk ∈ C ∞ (Rn) â / Uk . ª¨¥, çâ® fk (x) > 0, ª®£¤  x ∈ Uk , ¨ fk = 0, ª®£¤  x ∈ ®«®¦¨¬ p f ∂ k . Mk = sup p1 (x) ∂ x1 . . . ∂ pn xn 0
p
k, p1 +...+pn =p, x∈Rn

‡ ¬¥â¨¬, çâ® Mk < ∞, â ª ª ª ¢−¥ ª®¬¯ ªâ−®£® ¬−®¦¥á⢠ U k (ç¥àâ  á¢¥àåã ®§− ç ¥â § ¬ëª −¨¥) äã−ªæ¨ï fk ¨ ¢á¥ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤−ë¥ à ¢−ë −ã«î. „ «¥¥, àï¤ ∞  fk Mk 2k k=1

ƒ« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¢ Rn

31

á室¨âáï ª £« ¤ª®© äã−ªæ¨¨ f, ¯®áª®«ìªã ¤«ï «î¡ëå p1 , . . . , pn àï¤ ∞  1 ∂ p1 +...+pn fk Mk 2k ∂xp11 . . . ∂xpnn k=1 á室¨âáï à ¢−®¬¥à−® (¯®â®¬ã çâ® ¤«ï «î¡®£® k  p1 + . . . + pn  ¡á®«îâ− ï ¢¥«¨ç¨−  k-£® ç«¥−  −¥ ¯à¥¢®á室¨â 2−k ). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, äã−ªæ¨ï f ®¡« ¤ ¥â âॡ㥬묨 ᢮©á⢠¬¨.  B

A

¨á. 2.2. ”ã−ªæ¨ï, à §¤¥«ïîé ï ¤¢  ¬−®¦¥á⢠ 2.5. ‘«¥¤á⢨¥. „«ï «î¡ëå ¤¢ãå −¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï § ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥á⢠A, B ⊂ Rn áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (Rn ), çâ®   ¯à¨ x ∈ A; f(x) = 0 f(x) = 1 ¯à¨ x ∈ B;  0 < f(x) < 1 ¤«ï ¢á¥å ®áâ «ì−ëå x ∈ Rn. (‘¬. à¨á. 2.2.)
‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à¥¤«®¦¥−¨¥¬ 2.4, ¢ë¡¥à¥¬ äã−ªæ¨î fA , ª®â®à ï à ¢−  −ã«î −  A ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì−  ¢−¥ A, ¨  − «®£¨ç−ãî äã−ªæ¨î fB ¤«ï B. ‚ ª ç¥á⢥ f ⮣¤  ¬®¦−® ¢§ïâì äã−ªæ¨î fA f= .  fA + fB

32

ƒ« ¢  2

2.6. ‘«¥¤á⢨¥.
ãáâì U ⊂ Rn | ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ ¨ f ∈ C ∞ (U). ’®£¤  ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ U áãé¥áâ¢ãîâ ®ªà¥áâ−®áâì V ⊂ U ¨ äã−ªæ¨ï g ∈ C ∞ (Rn) â ª¨¥, çâ® f V ≡ g V .
 áᬮâਬ ®âªàëâë© è à W á æ¥−â஬ ¢ â®çª¥ x, § ¬ëª −¨¥ ª®â®à®£® ᮤ¥à¦¨âáï ¢ U. ãáâì V { è à ¬¥−ì襣® à ¤¨ãá , ª®−æ¥−âà¨ç−ë© è àã W . ˆáª®¬ ï äã−ªæ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥−  á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:  h(y) · f(y) ¯à¨ y ∈ U, g(y) = 0 ¯à¨ y ∈ Rn \ U, £¤¥ äã−ªæ¨ï h ∈ C ∞ (Rn) ¢ë¡à −  ᮣ« á−® á«¥¤á⢨î 2.5 â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«−ï«®áì ãá«®¢¨¥ h V ≡ 1, h Rn \W ≡ 0.  2.7. ।«®¦¥−¨¥. „«ï «î¡®£® −¥¯ãá⮣® ®âªàë⮣® ¬−®¦¥á⢠ U ⊂ Rn áãé¥áâ¢ã¥â £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (U), ã ª®â®à®© ¢á¥ ¯®¢¥àå−®á⨠ã஢−ï ª®¬¯ ªâ−ë, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® λ ∈ R ¬−®¦¥á⢮ f −1 (λ) ª®¬¯ ªâ−®.
¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ Ak ¬−®¦¥á⢮ â®ç¥ª x ∈ U, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¤¢ã¬ á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: (i) x  k, (ii) à ááâ®ï−¨¥ ®â x ¤® £à −¨æë U −¥ ¬¥−ìè¥ ç¥¬ 1/k (¥á«¨ U = Rn , â® ãá«®¢¨¥ (ii) ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯ãé¥−®). 祢¨¤−®, çâ® ¢á¥ â®çª¨ Ak ïîâáï ¢−ãâà¥−−¨¬¨ ¤«ï Ak+1 . ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, Ak ¨ ¤®¯®«−¥−¨¥ ¢ Rn ª ¢−ãâà¥−−®á⨠Ak+1 ¥áâì ¤¢  −¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï § ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥á⢠. ® á«¥¤á⢨î 2.5 áãé¥áâ¢ãîâ äã−ªæ¨¨ fk ∈ C ∞ (Rn) â ª¨¥, çâ®   ¯à¨ x ∈ Ak , fk (x) = 0 fk (x) = 1 ¯à¨ x ∈ Rn \ Ak+1 ,  0 < f (x) < 1 ¢® ¢á¥å ®áâ «ì−ëå á«ãç ïå . k

ƒ« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¢ Rn

33

®áª®«ìªã «î¡ ï â®çª  x ∈ U ¡ã¤¥â ¯à¨− ¤«¥¦ âì ¢−ãâà¥−−®á⨠¬−®¦¥á⢠Ak ¯à¨ ¤®áâ â®ç−® ¡®«ìè¨å k, á㬬 

f=

∞ 

fk

k=1

¢ ®ªà¥áâ−®á⨠«î¡®© â®çª¨ ¬−®¦¥á⢠ U ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ª®−¥ç−®¥ ç¨á«® −¥−ã«¥¢ëå á« £ ¥¬ëå ¨ ï¥âáï £« ¤ª®© äã−ªæ¨¥© −  U.  áᬮâਬ â®çªã x ∈ U
Ak . ’ ª ª ª ¢á¥ äã−ªæ¨¨ fi −¥®âà¨æ â¥«ì−ë, f(x)  k − 1. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¤«ï «î¡®£® λ ∈ R ¬−®¦¥á⢮ f −1 (λ) ¥áâì § ¬ª−ã⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ª®¬¯ ªâ−®£® ¬−®¦¥á⢠ Ak , £¤¥ k | − âãà «ì−®¥ ç¨á«®, â ª®¥ çâ® λ < k − 1. ‡ ¬ª−ã⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ª®¬¯ ªâ−®£® ¬−®¦¥á⢠ ¢á¥£¤  ª®¬¯ ªâ−®, ¯®í⮬ã f ¥áâì ¨áª®¬ ï äã−ªæ¨ï.  ‡ ä¨ªá¨à㥬 á¨á⥬㠪®®à¤¨− â x1 , . . . , xn ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠U â®çª¨ z.  ¯®¬−¨¬, çâ® ®¡« áâì U − §ë¢ ¥âáï §¢¥§¤ç â®© ®â−®á¨â¥«ì−® â®çª¨ z, ¥á«¨ ¢¬¥á⥠ᮠ¢á类© â®çª®© y ∈ U ®â१®ª (z, y) 楫¨ª®¬ ¯à¨− ¤«¥¦¨â U. 2.8. ‹¥¬¬  ¤ ¬ à . ‚áïª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï f ¢ §¢¥§¤ç â®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥

f(x) = f(z) +

n  (xi − zi )gi (x), i=1

£¤¥ gi | £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨.
„¥©á⢨⥫ì−®, à áᬮâਬ äã−ªæ¨î ϕ(t) = f(z + (x − z)t).

(2.3)

34

ƒ« ¢  2

’®£¤  ϕ(0) = f(z) ¨ ϕ(1) = f(x) ¨ ᮣ« á−® ä®à¬ã«¥ ìîâ®− ‹¥©¡−¨æ 

1 dϕ ϕ(1) − ϕ(0) = dt dt 0

=

1  n 0

i=1

∂f (z + (xi − zi )t)(xi − zi )dt ∂xi

n  ∂f = (xi − zi ) (z + (xi − zi )t)dt. ∂xi i=1 1

0

‡ ¬¥â¨¢ ⥯¥àì, çâ® äã−ªæ¨¨

1 gi (x) =

∂f (z + (xi − zi )t)dt ∂xi

0

ïîâáï £« ¤ª¨¬¨, ¬ë § ¢¥à訬 ¤®ª § â¥«ìá⢮ «¥¬¬ë ¤ ¬ à .  ãáâì, ¯® ¯à¥¦−¥¬ã, x1 , . . . , xn | 䨪á¨à®¢ −− ï á¨á⥬  ª®®à¤¨− â ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠U â®çª¨ z ¨ τ = (i1, . . . , in) | ¬ã«ì∂ |τ | ∂ |τ | ⨨−¤¥ªá. ®«®¦¨¬ |τ | = i1 + . . . + in, = , ∂xτ ∂xi11 . . . ∂xinn (x − z)τ = (x1 − z1)i1 · . . . · (xn − zn)in ¨ τ ! = i1! · . . . · in!. 2.9. ‘«¥¤á⢨¥. (ï¤ ’¥©«®à  ¢ ä®à¬¥ ¤ ¬ à .) ‚áïª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï f ¢ §¢¥§¤ç â®© ®ªà¥áâ−®á⨠U â®çª¨ z ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ n |τ |   1 τ∂ f f(x) = (x − z) (z) + (x − z)σ gσ (x), (2.4) τ τ! ∂x |τ |=0

|σ|=n+1

£¤¥ gσ ∈ C ∞ (U).
„¥©á⢨⥫ì−®, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì «¥¬¬®© ¤ ¬ à  ¤«ï ª ¦¤®© ¨§ äã−ªæ¨© gi ¢ à §«®¦¥−¨¨ (2.3), äã−ªæ¨î f ¬®¦−®

ƒ« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¢ Rn

35

¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ n n   f(x) = f(z) + (xi − zi )gi (z) + (xi − zi)(xj − zj )gij (x). i=1

i,j=1

®¢â®àïï íâ®â ¯à®æ¥áá ¤«ï äã−ªæ¨© gij ¨ â ª ¤ «¥¥, ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª à §«®¦¥−¨î n   f(x) = f(z) + (x − z)τ ατ + (x − z)σ gσ (x), |τ |=1

|σ|=n+1 ∞

£¤¥ ατ | ª®−áâ −âë ¨ gσ ∈ C (U). ਬ¥−ïï ⥯¥àì ª í⮬ã ∂ |τ | (z), |τ |  n, ¬ë à ¢¥−áâ¢ã ¢á¥¢®§¬®¦−ë¥ ®¯¥à â®àë ¢¨¤  ∂xτ 1 ∂ |τ |f ¢¨¤¨¬, çâ® ατ = (z).  τ ! ∂xτ 2.10. ‘«¥¤á⢨¥.
ãáâì f(x) ∈ C ∞ (R) ¨ f(0) = 0. ’®£¤  f(x)/x ∈ C ∞ (R).
„¥©á⢨⥫ì−®, ¯® «¥¬¬¥ ¤ ¬ à  ¢áïª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï f(x) ∈ C ∞ (R) ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ f(x) = f(0) + xg(x), ∞

£¤¥ g(x) ∈ C (R). …᫨ ¦¥ f(0) = 0, â® f(x)/x = g(x).



2.11. ‹¥¬¬ . …᫨ f ∈ C ∞(Rn ), ¯à¨ç¥¬ f(z) = f(y) = 0, £¤¥ z ¨ y | ¤¢¥ à §«¨ç−ë¥ â®çª¨ ¯à®áâà −á⢠ Rn , â® äã−ªæ¨î f ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®¨§¢¥¤¥−¨© ¢¨¤  gi hi , £¤¥ gi (z) = 0, hi (y) = 0. ‹¨−¥©−®© § ¬¥−®© ª®®à¤¨− â § ¤ çã ¬®¦−® ᢥá⨠ª á«ãç î z = (0, . . . , 0, 0), y = (0, . . . , 0, 1). ® «¥¬¬¥ ¤ ¬ à  2.8 ¢á猪ï äã−ªæ¨ï f, â ª ï çâ® f(z) = 0, ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ n  f(x) = xi gi (x). i=1

  ।áâ ¢¨¢ äã−ªæ¨î gi (x) ¢ ¢¨¤¥ gi (x) = gi (x) − αi + αi , £¤¥ αi = gi (y), ¨ § ¬¥â¨¢, çâ® ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¨ xi gi (x) − αi ¯¥à¢ë©

36

ƒ« ¢  2

ᮬ−®¦¨â¥«ì ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ z,   ¢â®à®© | ¢ â®çª¥ y, ¬ë ᢥ¤¥¬ § ¤ çã ª á«ãç î «¨−¥©−®© äã−ªæ¨¨ n  f(x) = αi xi . i=1

“á«®¢¨¥ f(y) = 0 ®§− ç ¥â, çâ® αn = 0. ।áâ ¢¨¢ ⥯¥àì xi , i < n, ¢ ¢¨¤¥ xi = xn xi − xi (xn − 1), ¬ë § ¢¥à訬 ¤®ª § â¥«ìá⢮ «¥¬¬ë.  “¯à ¦−¥−¨¥. 1. ®ª ¦¨â¥ çâ® «î¡ ï äã−ªæ¨ï −  ¯«®áª®á⨠f(x, y) ∈ C ∞(R2 ), ®¡à é îé ïáï ¢ −ã«ì −  ª®®à¤¨− â−®¬ ªà¥á⥠K = {x = 0} ∪ {y = 0} ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ f = xy g(x, y),

g(x, y) ∈ C ∞ (R2 ).

2. ‘¯à ¢¥¤«¨¢ «¨  − «®£¨ç−ë© à¥§ã«ìâ â ¤«ï ®¡ê¥¤¨−¥−¨ï ¯àאַ© x = 0 ¨ ¯ à ¡®«ë y = x2?

ƒ« ¢  3

‹ƒ…› ˆ ’—Šˆ

3.1. ‚ í⮩ ¨ á«¥¤ãî饩 £« ¢ å ¨§« £ ¥âáï  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ ª ⥮ਨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©, ªà âª¨© − ¡à®á®ª ª®â®à®£® ¢ ¨−âã¨â¨¢−ëå â¥à¬¨− å ¡ë« ᤥ« − ¢ £« ¢¥ 1. ‘− ç «  ¬ë ¤ ¥¬ ¯®¤à®¡−ë© ®â¢¥â −  á«¥¤ãî騩 äã−¤ ¬¥−â «ì−ë© ¢®¯à®á: § ¤ −   ¡áâà ªâ− ï R- «£¥¡à  F , ª ª − ©â¨ ¬−®¦¥á⢮ (£« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥) M, â ª®¥, çâ®  «£¥¡à  (£« ¤ª¨å) äã−ªæ¨© −  −¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ®â®¦¤¥á⢫¥−  á F . ‚ ¤ «ì−¥©è¥¬ F ¡ã¤¥â ¯à¥¤¯®« £ âìáï ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  áá®æ¨ â¨¢−®©  «£¥¡à®© á ¥¤¨−¨æ¥© − ¤ R, ¨«¨, ª®à®ç¥, R- «£¥¡à®©. ‚ᥠ£®¬®¬®à䨧¬ë R- «£¥¡à, ¨«¨ ¯à®áâ® R£®¬®¬®à䨧¬ë α : F1 → F2, ¯à¥¤¯®« £ îâáï ã−¨â à−묨, â. ¥. ¯¥à¥¢®¤ï騬¨ ¥¤¨−¨æã  «£¥¡àë F1 ¢ ¥¤¨−¨æã F2 . ®¤ç¥àª−¥¬, çâ®, å®âï í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë F ¬ë ¡ã¤¥¬ − §ë¢ âì úäã−ªæ¨ï¬¨û, ¢ ¤¥©á⢨⥫ì−®á⨠íâ® −¥ äã−ªæ¨¨,    ¡áâà ªâ−ë¥ ®¡ê¥ªâë −¥®¯à¥¤¥«¥−−®© ¯à¨à®¤ë. ‡ ¤ ç  ¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ¯à¥¢à â¨âì í⨠ ¡áâà ªâ−ë¥ ®¡ê¥ªâë ¢ − áâ®ï騥 äã−ªæ¨¨ −  ¬−®£®®¡à §¨¨. „«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®¡¨âìáï ãá¯¥å  ¢ í⮬ ¯à¥¤¯à¨ï⨨, − ¬ ¯à¨¤¥âáï − «®¦¨âì −  F −¥ª®â®àë¥ ãá«®¢¨ï. Š«î祢묨 §¤¥áì ¡ã¤ãâ ãá«®¢¨ï £¥®¬¥âà¨ç−®á⨠(¯. 3.7), ¯®«−®âë (¯. 3.27) ¨ £« ¤ª®á⨠( ¯. 4.1) R- «£¥¡à.  ç−¥¬ á ¯à®á⮩ ¨««îáâà æ¨¨ ⮣®, ª ª¨¬ ®¡à §®¬  ¡áâà ªâ−® ®¯à¥¤¥«¥−−ãî R- «£¥¡àã ¬®¦−® ¯à¥¢à â¨âì ¢ − áâ®ïéãî  «£¥¡àã úå®à®è¨åû äã−ªæ¨© −  −¥ª®â®à®¬ ¬−®¦¥á⢥.

37

38

ƒ« ¢  3

3.2. ਬ¥à. ãáâì F ¥áâì R- «£¥¡à  ¢á¥å ¡¥áª®−¥ç−ëå ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⥩ {ai } = (a0, . . . , an , . . .), ã ª®â®àëå ⮫쪮 ª®−¥ç−®¥ ç¨á«® ç«¥−®¢ ®â«¨ç−® ®â −ã«ï. ¯¥à æ¨¨ á«®¦¥−¨ï ¨ ã¬−®¦¥−¨ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠−  ¤¥©á⢨⥫ì−®¥ ç¨á«® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®ç«¥−−®: {ai } + {bi } = {ai + bi },

λ{ai } = {λai },

λ ∈ R.

ந§¢¥¤¥−¨¥ {ci } ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⥩ {ai} ¨ {bi } ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©  ci = a k bl . k+l=i

Œ®¦¥â «¨ íâ   «£¥¡à  ¡ëâì ॠ«¨§®¢ −  ª ª  «£¥¡à  úå®à®è¨åû äã−ªæ¨© −  −¥ª®â®à®¬ ¬−®¦¥á⢥? Œë − ¤¥¥¬áï, çâ® ç¨â â¥«ì 㣠¤ « ®â¢¥â. ‘®¯®áâ ¢¨¢ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠{ai } ¬−®£®ç«¥− ai xi , ¬ë ¯®«ã稬 ¨§®¬®à䨧¬ i0

R- «£¥¡àë F −  R- «£¥¡àã R[x] ¬−®£®ç«¥−®¢ ®â ¯¥à¥¬¥−−®© x. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì {ai} ∈ F ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìá猪ª äã−ªæ¨ï −  M = R, ¯à¨−¨¬ îé ï ¢ â®çª¥ ai ti . t ∈ R §− ç¥−¨¥ i0

3.3. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì R- «£¥¡àë F1 ¨ F2 ª ª «¨−¥©−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ ¨§®¬®àä−ë ¯«®áª®á⨠R2 = {(x, y)},   ã¬−®¦¥−¨¥ ¢ −¨å § ¤ ¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ä®à¬ã« ¬¨: F1 : (x1, y1)(x2 , y2) = (x1x2, y1 y2), F2 : (x1, y1)(x2 , y2) = (x1x2 + y1y2 , x1y2 + x2 y1).  ©¤¨â¥ ¬−®¦¥á⢠ Mi ¤«ï ª ¦¤®©  «£¥¡àë Fi , i = 1, 2, â®ç−® 㪠§ ¢, ª ª¨¥ äã−ªæ¨¨ −  Mi ®â¢¥ç îâ í«¥¬¥−âã (x, y) ∈ Fi. ˆ§®¬®àä−ë «¨  «£¥¡àë F1 ¨ F2 ? 3.4. ‚¥à−¥¬áï ª à áᬮâà¥−¨î  ¡áâà ªâ−ëå  «£¥¡à F . ‚ᯮ¬¨− ï 䨫®á®ä¨î ¯. 1.16 (â®çª  ¬−®£®®¡à §¨ï ¨«¨ á®áâ®ï−¨¥ 䨧¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï − ¡®à®¬ ¯®ª § −¨© ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ¯à¨¡®à®¢), ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§− ç¥−¨ï ¨ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï.

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

39

¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ M = |F | ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å R-£®¬®¬®à䨧¬®¢ ¨§ F ¢ R: M  x : F → R,

f → x(f).

«¥¬¥−âë ¬−®¦¥á⢠ M ¨−®£¤  ¡ã¤ãâ − §ë¢ âìáï R-â®çª ¬¨  «£¥¡àë F ,   á ¬® M | ¤¢®©á⢥−−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬, ¨«¨ ¯à®áâà −á⢮¬ R-â®ç¥ª  «£¥¡àë F . „ «¥¥, à áᬮâਬ ¬−®¦¥á⢮
¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ì−ëå äã−ªæ¨© −  M:
= {ϕ : M → R}. Œ−®¦¥á⢮
¨¬¥¥â ¥áâ¥á⢥−−ãî áâàãªâãàã R- «£¥¡àë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x), (ϕ · ψ)(x) = ϕ(x) · ψ(x),

(3.1)

(λϕ)(x) = λϕ(x). ¯à¥¤¥«¨¬ ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ τ : F →
,

(3.2)

¯®«®¦¨¢ (τ (f))(x) = x(f). ¡à §  «£¥¡àë F ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ τ ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì ç¥à¥§ F ,   ®¡à § í«¥¬¥−â  f | ç¥à¥§ f. …᫨ ¡ë ®â®¡à ¦¥−¨¥ τ ¡ë«® ¨§®¬®à䨧¬®¬ F −  F, â® ¬ë ¬®£«¨ ¡ë à áᬠâਢ âì F ª ª ॠ«¨§ æ¨î F −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ M = |F |. ‚ëïá−¨¬, ª®£¤  ¦¥ τ ¡ã¤¥â ¨§®¬®à䨧¬®¬. 3.5. ‡ ¬¥â¨¬ á− ç « , çâ® τ | £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ®¯à¥¤¥«¥−¨¥¬ ®â®¡à ¦¥−¨ï τ ¨ ⥬, çâ® «î¡®© í«¥¬¥−â x ∈ M ¥áâì R-£®¬®¬®à䨧¬, ¯®«ãç ¥¬ “ (f + g)(x) = x(f +g) = x(f)+x(g) = f(x)+ g“(x) = (f“+ g“)(x),

= f · â. ¥. f + g = f + g . − «®£¨ç−® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® fg g¨

= λf . ¥¤®¢¥à稢®¬ã ç¨â â¥«î ४®¬¥−¤ã¥âáï ¯à®¢¥á⨠íâã λf ¯à®¢¥àªã á ¬®áâ®ï⥫ì−®. 

40

ƒ« ¢  3

ˆ§ ¤®ª § −−®£® ã⢥ত¥−¨ï, ¢ ç áâ−®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® F ¥áâì ¯®¤ «£¥¡à  R- «£¥¡àë
.  ç¨− ï á í⮣® ¬®¬¥−â  ¬ë § ¡ã¤¥¬ ® áãé¥á⢮¢ −¨¨  «£¥¡àë
¨ ®£à −¨ç¨¬áï à áᬮâॠ® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨î £®¬®¬®à䨧¬ τ : F → F −¨¥¬ R- «£¥¡àë F. áîàꥪ⨢¥− (â. ¥. ï¥âáï ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ −  ¢áî  «£¥¡àã F ). •®â¥«®áì ¡ë, çâ®¡ë £®¬®¬®à䨧¬ τ ¡ë« â ª¦¥ ¨ ¨−ꥪ⨢¥− (â. ¥. −¥ ¨¬¥« ï¤à ). Š ᮦ «¥−¨î, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ íâ® −¥ â ª. 3.6. ਬ¥à. ।¯®«®¦¨¬, çâ®  «£¥¡à  F ª ª «¨−¥©−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¨§®¬®àä−® ¯«®áª®á⨠R2 = {(x, y)} ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ¢ F ®¯à¥¤¥«¥−® ä®à¬ã«®© (x1, y1)(x2 , y2) = (x1x2, x1 y2 + x2 y1). ®ª ¦¥¬, çâ® ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ M = |F | á®á⮨⠨§ ®¤−®© â®çª¨. â® ¡ã¤¥â ®§− ç âì, çâ® τ −¥ ¨−ꥪ⨢−®, ¯®áª®«ìªã ⮣¤  F ¨§®¬®àä−® R, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª F ¤¢ã¬¥à−® − ¤ R. «¥¬¥−â (1, 0), ®ç¥¢¨¤−®, ¥áâì ¥¤¨−¨æ   «£¥¡àë F , ¨ «î¡®© í«¥¬¥−â (x, y) ®¡à â¨¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  x = 0.  ¨¬¥−−®, (x, y)−1 = (x−1 , −yx−2). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¢  «£¥¡à¥ F áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−ë© ¨¤¥ «, ®â«¨ç−ë© ®â {0}, ¨ íâ®â ¨¤¥ « I ¨¬¥¥â ¢¨¤ I = {(0, y)| y ∈ R}. ” ªâ®à «£¥¡à  F /I ¥áâ¥á⢥−−® ¨§®¬®àä−  R, ¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ q : F → F /I = R ¥áâì ¯à®¥ªæ¨ï (x, y) → x. ¥ áãé¥áâ¢ã¥â R-£®¬®¬®à䨧¬®¢ F → R, ®â«¨ç−ëå ®â q, â ª çâ® M = {q}. 3.7. “ª ¦¥¬ ⥯¥àì ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«¦−  㤮¢«¥â¢®àïâì R- «£¥¡à  F ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë £®¬®¬®à䨧¬ τ ¡ë« ¨−ꥪ⨢¥− (¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ï«áï ¨§®¬®à䨧¬®¬). ।«®¦¥−¨¥. ƒ®¬®¬®à䨧¬τ ¨−ꥪ⨢¥− ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¨¤¥ « I(F ) = Ker x âਢ¨ «¥−. x∈M

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

41


‡ ¬¥â¨¬, çâ® τ (f) = f = 0 ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  f(x) = x(f) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ M. ® íâ® ¨ ®§− ç ¥â, çâ®  f∈ Ker x = I(F ).  x∈M

„®ª § −−®¥ ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¬®â¨¢¨àã¥â á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥−¨¥. R- «£¥¡à  F − §ë¢ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©, ¥á«¨  I(F ) = Ker x = {0}. x∈|F|

(«£¥¡à  F ¨§ ¯à¨¬¥à  3.6 −¥ ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©, ¯®áª®«ìªã ¤«ï −¥¥ I(F ) = I = {(0, y)|y ∈ R} = 0.) ®¤ç¥àª−¥¬, çâ®  «£¥¡à , ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ª®â®à®© ¯ãáâ®, −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. „®ª ¦¨â¥, çâ®  «£¥¡à  ¯®«¨−®¬®¢ R[x1, . . . , xn] ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©. 2.ãáâì V ª®−¥ç−®¬¥à−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ − ¤ R ¨ ¯ãáâì G : V → V | «¨−¥©−ë© ®¯¥à â®à.  áᬮâਬ  «£¥¡àã FG ¯®à®¦¤¥−−ãî, ª ª ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ Gk , k = 0, 1, . . . ,. ¯¨è¨â¥ ®¯¥à â®àë G ¤«ï ª®â®àëå  «£¥¡à  FG ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©. ‚ ¯¯. 3.5, 3.7 ¬ë ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤®ª § «¨ á«¥¤ãî騩 ¢ ¦−ë© à¥§ã«ìâ â. 3.8. ’¥®à¥¬ . ‹î¡ ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  ª −®−¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä−  R- «£¥¡à¥ F äã−ªæ¨©, ®¯à¥¤¥«¥−−ëå −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ R-â®ç¥ª M = |F | = HomR (F , R) ᮣ« á−® ¯à ¢¨«ã f(x) = x(f).  ˆ¬¥ï ¢ ¢¨¤ã íâ®â ¨§®¬®à䨧¬, ¬ë ¡ã¤¥¬, − ç¨− ï á í⮣® ¬¥áâ , ®â®¦¤¥á⢫ïâì  ¡áâà ªâ−ë¥ R- «£¥¡àë F , ª®â®àë¥ ¡ã¤ã⠯।¯®« £ âìáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨, á R- «£¥¡à ¬¨ F äã−ªæ¨© −  ¤¢®©á⢥−−ëå ¯à®áâà −á⢠å M = |F |. ¡®§− ç¥−¨¥ F −¥ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï, ¨ í«¥¬¥−âë f ∈ F ç áâ® ¡ã¤ãâ à áᬠâਢ âìáï ª ª äã−ªæ¨¨ M → R. 3.9. “¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥àì⥠ª ª¨¥ ¨§ á«¥¤ãîé¨å  «£¥¡à ïîâáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨.

42

ƒ« ¢  3

1. «£¥¡à  R[[x1, . . . , xn]] ä®à¬ «ì−ëå á⥯¥−−ëå à冷¢. 2. ” ªâ®à- «£¥¡à  R[x1, . . . , xn ]/f k R[x1, . . . , xn ], f ∈ R[x1, . . . , xn ]. 3. «£¥¡à  à®á⪮¢ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© ¢ â®çª¥ 0 ∈ Rn . 4. «£¥¡à  ¢á¥å £« ¤ª¨å ®£à −¨ç¥−−ëå äã−ªæ¨©. 5. «£¥¡à  ¢á¥å £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å (¯¥à¨®¤  1) äã−ªæ¨© −  R (á¬. ¯. 3.18). 6. ®¤ «£¥¡à  ¯à¥¤ë¤ã饩  «£¥¡àë, á®áâ®ïé ï ¨§ ¢á¥å ç¥â−ëå äã−ªæ¨©. 7. «£¥¡àë F1 ¨ F2 ®¯¨á −−ë¥ ¢ ã¯à ¦−¥−¨¨ 3.3. 8. «£¥¡à  ¢á¥å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ á ¯®áâ®ï−−묨 ª®íää¨æ¨¥−â ¬¨ ¢ Rn (ã¬−®¦¥−¨¥ ¢ í⮩  «£¥¡à¥ ¥áâì ª®¬¯®§¨æ¨ï ®¯¥à â®à®¢). 3.10. «£¥¡à  FS äã−ªæ¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨§¬¥à¨â¥«ì−ë¬ ãáâனá⢠¬ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë (á¬. ¯¯. 1.9, 1.15), ¢á¥£¤  ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©. ⮠᢮©á⢮ ¥áâì ¬ â¥¬ â¨ç¥áª ï ॠ«¨§ æ¨ï 䨧¨ç¥áª®£® ¯®áâã« â , £« áï饣®, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ ¯®ª § −¨ï ¤¢ãå ¯à¨¡®à®¢ ᮢ¯ ¤ î⠯ਠ«î¡ëå á®áâ®ï−¨ïå á¨á⥬ë, â® í⨠ãáâனá⢠ ¨§¬¥àïîâ ®¤¨− ¨ â®â ¦¥ 䨧¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà (â. ¥. ¯à¨¡®àë ¤ã¡«¨àãîâ ¤à㣠¤à㣠, ¨ ®¤¨− ¨§ −¨å ï¥âáï «¨è−¨¬). 3.11. ।«®¦¥−¨¥. „«ï ¯à®¨§¢®«ì−®© R- «£¥¡àë F ä ªâ®à Ker p, ï¥âáï £¥®¬¥âਠ«£¥¡à  F /I(F ), £¤¥ I(F ) = p∈|F|

ç¥áª®© ¨ |F | = |F /I(F )|.
¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : |F /I(F )| → |F |, ᮯ®áâ ¢¨¢ ª ¦¤®¬ã £®¬®¬®à䨧¬ã b : F /I(F ) → R £®¬®¬®à䨧¬ ϕ(b) = a = b ◦ pr, £¤¥ pr ¥áâì ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ pr: F → F /I(F ). ®ª ¦¥¬, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ ¡¨¥ªâ¨¢−® (â. ¥. ¢§ ¨¬−® ®¤−®§− ç−®). 祢¨¤−®, ϕ(b1 ) = ϕ(b2), ¥á«¨ b1 = b2, â ª çâ® ϕ | ¨−ꥪ⨢−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥. ãáâì ⥯¥àì a ∈ |F |. ’®£¤  Ker a ⊃ I(F ). ®í⮬ã ä®à¬ã«  b(g) = a(f), £¤¥ g ∈ F /I(F ) ¨ f ∈ F | ¯à®¨§¢®«ì−ë© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ª« áá  á¬¥¦−®á⨠g,

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

43

ª®à४â−  ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ b : F /I(F ) → R. ¥âàã¤−® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ϕ(b) = a, â. ¥. ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ ¥áâì áîàꥪæ¨ï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ϕ ®â®¦¤¥á⢫ï¥â |F | ¨ |F /I(F )|. ãáâì, ¤ «¥¥, b ∈ |F /I(F )| ¨ a = ϕ(b) = b ◦ pr. ’®£¤  Ker b = Ker a/I(F ). âá   I(F /I(F )) = Ker b = (Ker a/I(F )) = 

b∈|F/I(F)|



a∈|F|

Ker a / I(F ) = I(F )/I(F ) = {0}.



a∈|F|

3.12. „«ï § ¤ −−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© R- «£¥¡àë F ¢¢¥¤¥¬ ⮯®«®£¨î −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¬−®¦¥á⢥ M = |F |. ‘ 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥−¨ï ¤¢  á®áâ®ï−¨ï s1, s2 ª« áá¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S (¤¢¥ R-â®çª¨) ¡«¨§ª¨, ¥á«¨ ¡«¨§ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®ª § −¨ï ¢á¥å ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனáâ¢, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ¨§¬¥à¨â¥«ì−®£® ãáâனá⢠ D ¢ë¯®«−¥−® ãá«®¢¨¥ fD (s2 ) ∈ ]fD (s1 ) − ε, fD (s1) + ε[ . Œë ¢ëà §¨¬ íâã ¬ëá«ì ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨, ᪠§ ¢, ç⮠⮯®«®£¨ï −  M § ¤ ¥âáï ¡ §¨á®¬ ®âªàëâëå ¬−®¦¥á⢠¢¨¤  f −1 (V ), £¤¥ V ⊂ R | ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ ¨ f ∈ F . (‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëà ¦¥−¨¥ f −1 ¨¬¥¥â á¬ë᫠⮫쪮 ¯®â®¬ã, çâ® ¬ë ®â®¦¤¥á⢨«¨ F á  «£¥¡à®© äã−ªæ¨© f : M → R.) ƒ®¢®àï ¨− ç¥, ⮯®«®£¨ï ¢ ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ M = |F | ï¥âáï á ¬®© á« ¡®© ¨§ ¢á¥å, ¤«ï ª®â®àëå ¢á¥ äã−ªæ¨¨ ¨§ F −¥¯à¥àë¢−ë. 3.13. ।«®¦¥−¨¥. ’®¯®«®£¨ï ¯à®áâà −á⢠ |F |, ¢¢¥¤¥−− ï ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ã−ªâ¥, å ã᤮à䮢 .
ãáâì x ¨ y | ¤¢¥ à §«¨ç−ë¥ â®çª¨ ¯à®áâà −á⢠ |F |, â. ¥. à §−ë¥ £®¬®¬®à䨧¬ë ¨§ F ¢ R. â® ®§− ç ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥−â f ∈ F , ¤«ï ª®â®à®£® f(x) = f(y), − ¯à¨¬¥à f(x) < f(y). ’®£¤  ¬−®¦¥á⢠       f(x) + f(y)  f(x) + f(y)  −1 −1 f −∞, , f , +∞ 2 2

44

ƒ« ¢  3

áãâì −¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®ªà¥áâ−®á⨠â®ç¥ª x ¨ y.  ’¥¯¥àì, £®¢®àï ú¯à®áâà −á⢮ M = |F |û, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ âì ⮯®«®£¨ç¥áªãî (å ã᤮à䮢ã) áâàãªâãàã −  M = |F |. 3.14. ‚ í⮬ ¯ã−ªâ¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® F0 ¥áâì −¥ª®â®à ï R- «£¥¡à  äã−ªæ¨© −  § ¤ −−®¬ ¬−®¦¥á⢥ M0 . ‘ãé¥áâ¢ã¥â ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ θ : M0 → |F0|, ª®â®à®¥ â®çª¥ a ∈ M0 áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ £®¬®¬®à䨧¬ f → f(a). „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, θ(a)(f) = f(a), a ∈ M0 , ¯®í⮬㠥᫨ í«¥¬¥−â f ∈ F0 , à áᬠâਢ ¥¬ë© ª ª äã−ªæ¨ï −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ |F0|, ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì −  ¬−®¦¥á⢥ θ(M0 ), â® f ¥áâì −ã«ì  «£¥¡àë F0. ‚ ç áâ−®áâ¨,  «£¥¡à  F0 ¡ã¤¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ।«®¦¥−¨¥. …᫨ F0 ¥áâì ¯®¤ «£¥¡à  R- «£¥¡àë −¥¯à¥àë¢−ëå äã−ªæ¨© −  ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà −á⢥ M0 , â® ®â®¡à ¦¥−¨¥ θ : M0 → |F0| −¥¯à¥àë¢−®.
।¯®«®¦¨¬, çâ® U = f −1 (V ) | ¡ §¨á−®¥ ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ ¢ |F0|. ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î £®¬®¬®à䨧¬ F0 → R ¯à¨− ¤«¥¦¨â U ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¯¥à¥¢®¤¨â äã−ªæ¨î f ¢ −¥ª®â®àãî â®çªã ®âªàë⮣® ¬−®¦¥á⢠ V ⊂ R. ®í⮬㠮¡à â−ë© ®¡à § θ−1 (U) á®á⮨⠨§ ¢á¥å â®ç¥ª a ∈ M0 , ¤«ï ª®â®àëå f(a) ∈ V , ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¥áâì ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¢ M.  ⬥⨬, çâ® íâ® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¯à¨¬¥−¨¬® ¢ ®¡é¥¬ ¤«ï − á á«ãç ¥ (ª®£¤  F0 | ¯à®¨§¢®«ì− ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  ¨ M0 = |F0|), ¯®áª®«ìªã M0 ¥áâì ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¨ í«¥¬¥−âë F0 ¥áâì −¥¯à¥àë¢−ë¥ äã−ªæ¨¨ −  −¥¬ (á¬. ¯. 3.12). “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¤«ï á«¥¤ãîé¨å  «£¥¡à: 1. R[x, y]/xyR[x, y]; 2. R[x, y, z]/(x2 + y 2 + z 2 − 1)R[x, y, z]. 3.15. ਬ¥à. ãáâì F = R [x1 , . . . , xn] | R- «£¥¡à  ¬−®£®ç«¥−®¢ ®â n ¯¥à¥¬¥−−ëå. Š ¦¤ë© £®¬®¬®à䨧¬ a : F → R ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ (λ1 , . . . , λn ), £¤¥ λi = a(xi),

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

45

¯®áª®«ìªã   a ck1 ...kn xk11 . . . xknn k1 ...kn

=



ck1 ...kn (a(x1))k1 . . . (a(xn ))kn

k1 ...kn

=



ck1 ...kn λk11 . . . λknn .

k1 ...kn

„ «¥¥, ®â®¡à ¦¥−¨¥ F → R § ¤ −−®¥ ¯à ¢¨«®¬,   ck1 ...kn xk11 . . . xknn −→ ck1 ...kn λk11 . . . λknn , ¤«ï «î¡ëå λ1 , . . . , λn ∈ R ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬  «£¥¡àë F −  R. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ |F | ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥áâ¥á⢥−−® ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á ¯à®áâà −á⢮¬ Rn = {(λ1 , . . . , λn )}. ’®¯®«®£¨ï, ®¯à¥¤¥«¥−− ï −  ¯à®áâà −á⢥ |F | (á¬. ¯. 3.12), ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡ëç−®© ⮯®«®£¨¥© ¯à®áâà −á⢠ Rn.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¬−®¦¥á⢮ f −1 (V ), £¤¥ f | ¬−®£®ç«¥− ¨ V ®âªàëâ® ¢ R, ï¥âáï ®âªàëâë¬, ¯®áª®«ìªã ¬−®£®ç«¥−ë ïîâáï −¥¯à¥àë¢−묨 äã−ªæ¨ï¬¨. „ «¥¥, ®âªàëâë© è à à ¤¨ãá  r á æ¥−â஬ (b1 , . . . , bn) ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ f −1 (R+), £¤¥ R+ = {t ∈ R | t > 0}, ¥á«¨ ¢§ïâì n  2 f =r − (bi − xi )2. i=1

®áª®«ìªã â ª¨¥ è àë ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ ®¡ëç−®© ⮯®«®£¨¨ −  Rn , ¤¢¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ⮯®«®£¨¨ ᮢ¯ ¤ îâ.  3.16. ਬ¥à. ãáâì F = C ∞(U) |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ®âªàë⮬ ¬−®¦¥á⢥ U ⊂ Rn ¨ θ : U → |F | | ®â®¡à ¦¥−¨¥, ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ ä®à¬ã«®© θ(x)(f) = f(x), x ∈ U, f ∈ F . ®ª ¦¥¬, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ θ ¥áâì £®¬¥®¬®à䨧¬, â ª çâ® ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ |C ∞ (U)| £®¬¥®¬®àä−® U.
®áª®«ìªã ¨−ꥪ⨢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï θ ®ç¥¢¨¤−  (í«¥¬¥−âë f áãâì äã−ªæ¨¨ −  U), ¬ë − ç¨− ¥¬ á ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¥£®

46

ƒ« ¢  3

áîàꥪ⨢−®áâ¨. ãáâì p ∈ |F |, â. ¥. p : F → R ¥áâì £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à. ‚롥६ £« ¤ªãî äã−ªæ¨î f ∈ C ∞ (U), ã ª®â®à®© ¢á¥ ¯®¢¥àå−®á⨠ã஢−ï ª®¬¯ ªâ−ë (â ª ï äã−ªæ¨ï áãé¥áâ¢ã¥â ᮣ« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 2.7). ’®£¤  ª®¬¯ ªâ−®, ¢ ç áâ−®áâ¨, ¬−®¦¥á⢮ L = f −1 (λ), £¤¥ λ = p(f). ।¯®«®¦¨¬, çâ® â®çª¥ p −¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â −¨ª ª ï â®çª  ¬−®¦¥á⢠ U. ’®£¤  ¤«ï «î¡®© â®çª¨ a ∈ U áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï fa ∈ F , çâ® fa (a) = p(fa ). Œ−®¦¥á⢠ Ua = {x ∈ U fa (x) = p(fa )}, a ∈ L, ®¡à §ãîâ ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ L. ®áª®«ìªã ¬−®¦¥á⢮ L ª®¬¯ ªâ−®, ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ë¡à âì ¨§ í⮣® ¯®ªàëâ¨ï ª®−¥ç−®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥ {Ua1 , . . . , Uam }.  áᬮâਬ äã−ªæ¨î m  g = (f − p(f))2 + (fai − p(fai ))2 . i=1

â® £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï, ª®â®à ï −¨£¤¥ −¥ ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì, ¯®áª®«ìªã ¢ â®çª å L −¥ ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì å®âï ¡ë ®¤−  ¨§ äã−ªæ¨© fai − p(fai ),   ¢−¥ L ®â«¨ç−  ®â −ã«ï äã−ªæ¨ï f − p(f). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, äã−ªæ¨ï 1/g â ª¦¥ ¯à¨− ¤«¥¦¨â F , â. ¥. g | ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥−â  «£¥¡àë f. ®áª®«ìªã p ¥áâì £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à (  ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 ã−¨â à−ë¥ £®¬®¬®à䨧¬ë), p(g) = 0. ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î äã−ªæ¨¨ g  p(g) = (p(f) − p(f))2 + (p(fai ) − p(fai ))2 = 0. ®«ãç¥−−®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â áîàꥪ⨢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï θ. ’®, çâ® θ ¥áâì £®¬¥®¬®à䨧¬, −¥¬¥¤«¥−−® á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤«®¦¥−¨© 3.14 ¨ 2.4.  ’®«ìª® çâ® ¤®ª § −−ë© à¥§ã«ìâ â, ¢ ç áâ−®áâ¨, ®§− ç ¥â, çâ® |C ∞ (Rn)| ≡ Rn . 3.17. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ ¤ã «ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¤«ï ª ¦¤®© ¨§ á«¥¤ãîé¨å  «£¥¡à: 1. C ∞(R3 )/(x2 + y 2 + z 2 − 1)C ∞ (R3 ).

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

2. 3. 4. 5. 6.

7. 8.

9. 10. 11. 12.

47

C ∞(R3 )/(x2 + y 2 − z 2 )C ∞(R3 ). «£¥¡à  £« ¤ª¨å ç¥â−ëå äã−ªæ¨© −  ¯àאַ©. «£¥¡à  £« ¤ª¨å ç¥â−ëå äã−ªæ¨© ¯¥à¨®¤  1 −  ¯àאַ©. «£¥¡à  £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨¨ −  ¯àאַ©, ¨¬¥îé¨å à æ¨®− «ì−ë© ¯¥à¨®¤ (−¥ ®¡é¨© ¤«ï ¢á¥å). «£¥¡à  äã−ªæ¨©, § ¤ −−ëå −  ¢á¥© ¯àאַ© ¢ ¢¨¤¥ ®â−®è¥−¨ï ¤¢ãå ¬−®£®ç«¥−®¢ p(x)/q(x), q(x) = 0 ¤«ï ¢á¥å x ∈ R. «£¥¡à  äã−ªæ¨© ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饩 § ¤ ç¨ á ¤®¯®«−¨â¥«ì−ë¬ ãá«®¢¨¥¬ deg p(x)  deg q(x). «£¥¡à  äã−ªæ¨©, § ¤ −−ëå −  ¢á¥© ¯àאַ© ¢ ¢¨¤¥ ®â−®è¥−¨ï ¤¢ãå ¬−®£®ç«¥−®¢ p(x)/q(x), £¤¥ q(x) −¥ ⮦¤¥á⢥−−ë© −ã«ì (â.¥. à æ¨®− «ì−ëå ¤à®¡¥©). ®¤ «£¥¡à  {f ∈ C ∞ (R2) | f(x + 1, y) = f(x, y)}  «£¥¡àë C ∞(R2 ). ®¤ «£¥¡à  {f ∈ C ∞ (R2 ) | f(x + 1, −y) = f(x, y)}  «£¥¡àë C ∞ (R2). ®¤ «£¥¡à  {f ∈ C ∞(R2 ) | f(x, y + 1) = f(x, y) = f(x + 1, y)}  «£¥¡àë C ∞ (R2 ). ®¤ «£¥¡à 

{f ∈ C ∞ (R3 \ 0) | f(x, y, z) = f(λx, λy, λz),

∀ λ = 0}

 «£¥¡àë C ∞ (R3 \ 0). 13. ®¤ «£¥¡à  {f ∈ C ∞ (R2 ) | f(x + 1, −y) = f(x, y) = f(x, y + 1)}  «£¥¡àë C ∞ (R2 ). 14. ®¤ «£¥¡à  {f ∈ C ∞ (R3 \ 0) | f(x, y, z) = f(λx, λy, λz),

∀λ ∈ R+}

 «£¥¡àë C ∞ (R3 \ 0). 3.18. ਬ¥à. ãáâì F á®á⮨⠨§ ¢á¥å £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© ¯¥à¨®¤  1 −  ¯àאַ© R1 . Š ª ®¡ëç−®, ª ¦¤ ï â®çª  a ∈ R1 ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ F → R (f → f(a)). ¤− ª® à §−ë¥ â®çª¨ ¬®£ãâ ®¯à¥¤¥«ïâì ®¤¨− ¨ â®â ¦¥ £®¬®¬®à䨧¬ | íâ® ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì, ¥á«¨ à ááâ®ï−¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¥áâì 楫®¥ ç¨á«®.

48

ƒ« ¢  3

®ª ¦¥¬, çâ® «î¡®© £®¬®¬®à䨧¬ F → R ®¯à¥¤¥«ï¥âáï −¥ª®â®à®© â®çª®© a ∈ R.
„®ª § â¥«ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ã−ªâ¥.  ¨¬¥−−®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® £®¬®¬®à䨧¬ p : F → R1 −¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï −¨ª ª®© â®çª®© a ∈ R1 . ’®£¤  ¤«ï «î¡®© â®çª¨ a ∈ R áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï fa ∈ F , â ª ï, çâ® p(fa ) = fa (a). ˆ§ ¯®ªàëâ¨ï § ¬ª−ã⮣® ¨−â¥à¢ «  [0, 1] ®âªàëâ묨 ¬−®¦¥á⢠¬¨ ¢¨¤  Ua = {x ∈ R fa (x) = p(fa )}, a ∈ R, ¢ë¡¥à¥¬ ª®−¥ç−®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥ Ua1 , . . . , Uam . ”ã−ªæ¨ï m  g= (fai − p(fai ))2 i=1

−¥ ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì −  [0, 1] ¨, ¢ ᨫ㠯¥à¨®¤¨ç−®áâ¨, −¨£¤¥ −  R1 . ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, 1/g ∈ F . „ «¥¥ à áá㦤 ¥¬, ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ã−ªâ¥.  ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ |F | ¬®¦¥â ¡ëâì ®â®¦¤¥á⢫¥−® á ä ªâ®à¯à®áâà −á⢮¬ R/Z, £¤¥ Z ⊂ R | ¯®¤£à㯯  楫ëå ç¨á¥«. Š®−¥ç−® ¦¥, R/Z ¥áâì S 1 | ®ªàã¦−®áâì. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë áâண® ¤®ª § «¨, çâ® £« ¤ª¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¯¥à¨®¤  1 −  ¯àאַ© | íâ® ä ªâ¨ç¥áª¨ £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ −  ®ªàã¦−®áâ¨, çâ® − å®¤¨âáï ¢ ¯®«−®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á − è¨¬¨ ¨−âã¨â¨¢−묨 ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨ï¬¨. 3.19. ãáâì ⥯¥àì F1 ¨ F2 | £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ R- «£¥¡àë ¨ ϕ : F1 → F2 | £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à. „«ï ¤¢®©á⢥−−ëå ¯à®áâà −á⢠|F1| ¨ |F2| ®¯à¥¤¥«¥−® ¤¢®©á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ |ϕ| : |F2| → |F1|, ª®â®à®¥ ¯¥à¥¢®¤¨â â®çªã x ∈ F2 ¢ â®çªã x ◦ ϕ ∈ F1 . ®ª ¦¥¬, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ |ϕ| −¥¯à¥àë¢−®.
 áᬮâਬ ¡ §¨á−®¥ ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ U = f −1 (V ) ⊂ F1 , £¤¥ f ∈ F1 ¨ V ⊂ R | ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮. ’®£¤  U ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ â®çª¨ x ∈ |F1| â ª¨¥, çâ® f(x) ∈ V . ¡à â−ë© ®¡à § U ®â−®á¨â¥«ì−® |ϕ| á®á⮨⠨§ ¢á¥å â®ç¥ª y ∈ |F2|, â ª¨å, çâ®

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

49

|ϕ|(y) ∈ U, â. ¥. f(|ϕ|(y)) ∈ V . ® f(|ϕ|(y)) = f(y ◦ ϕ) = (y ◦ ϕ)(f) = y(ϕ(f)) = ϕ(f)(y) (ç¨â â¥«î ४®¬¥−¤ã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì ª ¦¤®¥ ¨§ íâ¨å à ¢¥−áâ¢!). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¬−®¦¥á⢮ |ϕ|−1 (U) á®á⮨⠨§ ¢á¥å â ª¨å â®ç¥ª y ∈ |F2|, çâ® ϕ(f)(y) ∈ V . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, |ϕ|−1 (U) ®âªàëâ®.  3.20. …᫨ ϕ1 : F1 → F2 , ϕ2 : F2 → F3 | £®¬®¬®à䨧¬ë £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å R- «£¥¡à F1, F2 , F3 , ⮣¤ , ®ç¥¢¨¤−®, |ϕ2 ◦ ϕ1 | = |ϕ1 | ◦ |ϕ2 |

¨

| idFi | = id|Fi | .

„ «¥¥, ¥á«¨ ¤«ï £®¬®¬®à䨧¬  ϕ : F1 → F2 áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â−ë© ϕ−1 , â® |ϕ−1 | = |ϕ|−1 . ‚ ç áâ−®áâ¨, ¥á«¨ ϕ | ¨§®¬®à䨧¬, â® |ϕ| | £®¬¥®¬®à䨧¬. 3.21. ˆâ ª, ⥯¥àì ¬ë 㬥¥¬ ¯® § ¤ −−®©  ¡áâà ªâ−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© R- «£¥¡à¥ |F | áâநâì â ª®¥ å ã᤮à䮢® ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà −á⢮ M = |F |, çâ® F ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®©  «£¥¡àë ¢á¥å −¥¯à¥àë¢−ëå äã−ªæ¨© −  −¥¬. Œ®¦¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ¤«ï ¢ë¯®«−¥−¨ï − è¥© ¯à®£à ¬¬ë ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¯®−ïâ¨ï ¬−®£®®¡à §¨ï ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¯®áâ㫨஢ âì, çâ® «®ª «ì−®  «£¥¡à  F ¤®«¦−  ¡ëâì ãáâ஥− , ª ª C ∞(Rn ) (â. ¥. çâ® M ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®ªàë⮠ᥬ¥©á⢮¬ ¬−®¦¥á⢠Ei â ª, çâ® ®£à −¨ç¥−¨¥  «£¥¡àë F −  ª ¦¤®¥ ¨§ Ei ¨§®¬®àä−® C ∞ (Rn )). ª §ë¢ ¥âáï, ®¤− ª®, çâ® íâ® −¥ â ª ¯à®áâ®, ª ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï á ¯¥à¢®£® ¢§£«ï¤ , ¨ −  ¯ã⨠ª ¤®á⨦¥−¨î 楫¨ − ¬ ¯à¨¤¥âáï ¯à¥®¤®«¥âì â¥å−¨ç¥áª¨¥ âàã¤−®áâ¨, á¢ï§ −−ë¥ á ¯®−ï⨥¬ ®£à −¨ç¥−¨ï. 3.22. ਬ¥à. ।¯®«®¦¨¬, çâ® F = C ∞ (R) ¨ R+ ⊂ R | ¬−®¦¥á⢮ ¯®«®¦¨â¥«ì−ëå ¤¥©á⢨⥫ì−ëå ç¨á¥«. Œë ¬®¦¥¬ ¯®¯à®¡®¢ âì ¯®«ãç¨âì  «£¥¡àã £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  R+ , ®£à −¨ç¨¢ −  R+ äã−ªæ¨¨ ¨§ F .  áᬮâਬ, ®¤− ª®, äã−ªæ¨î 1/x, ª®â®à ï, −¥á®¬−¥−−®, ï¥âáï £« ¤ª®© −  R+. Ÿá−®, çâ® íâ  äã−ªæ¨ï −¥ ï¥âáï ®£à −¨ç¥−¨¥¬ ª ª®©-«¨¡® äã−ªæ¨¨ f ∈ F = C ∞ (R). Š ª ¦¥ ¯®«ãç âì ¨§ F ¯®¤®¡−ë¥ äã−ªæ¨¨?

50

ƒ« ¢  3

3.23. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì F | £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  ¨ A ⊂ |F | | ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¤¢®©á⢥−−®£® ¯à®áâà −á⢠; ®£à −¨ç¥−¨¥¬ F A  «£¥¡àë F −  A − §®¢¥¬ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å äã−ªæ¨© f : A → R, â ª¨å, çâ® ã «î¡®© â®çª¨ a ∈ A áãé¥áâ¢ãîâ ®ªà¥áâ−®áâì U ⊂ A ¨ í«¥¬¥−â f ∈ F , â ª¨¥, çâ® (®¡ëç−®¥) ®£à −¨ç¥−¨¥ äã−ªæ¨¨ f −  U ᮢ¯ ¤ ¥â á ®£à −¨ç¥−¨¥¬ f (¯®−¨¬ ¥¬®© ª ª äã−ªæ¨ï −  |F |) −  U. (   «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ ï§ëª¥ ®£à −¨ç¥−¨¥ − §ë¢ ¥âáï «®ª «¨§ æ¨¥©, íâ  ®¯¥à æ¨ï ¡ã¤¥â à áᬮâà¥−  − ¬¨ ¢ ¯. 10.6.) 祢¨¤−®, F A ¥áâì R- «£¥¡à . ‚¥à−¥¬áï ⥯¥àì ª ¯à¨¬¥àã 3.22 ¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® äã−ªæ¨ï 1/x ¯à¨− ¤«¥¦¨â C ∞ (R) R+ . „¥©á⢨⥫ì−®, ᮣ« á−® ¯. 2.5 ¤«ï «î¡®© â®çª¨ a ∈ R+ áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï α ∈ C ∞(R), ª®â®à ï ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì, ª®£¤  x  a/3, ¨ à ¢−  1 ¯à¨ x  2a/3. ‚®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ f äã−ªæ¨î, ª®â®à ï à ¢−  0 ¯à¨ x = 0 ¨ α(x)/x ¯à¨ x = 0. 祢¨¤−®, f ∈ C ∞(R) ¨ −  ®âªàë⮬ ¨−â¥à¢ «¥ ]2a/3, 4a/3[ äã−ªæ¨¨ f ¨ 1/x ᮢ¯ ¤ îâ. − «®£¨ç−ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦−® ¯®ª § âì, çâ® «î¡ ï £« ¤ª ï ∞ äã−ªæ¨ï −  R+ ¯à¨− ¤«¥¦¨â C (R) R+ , â. ¥. ¢ë¯®«−ï¥âáï à  ¢¥−á⢮ C ∞ (R) R+ = C ∞ (R+). â® ã⢥ত¥−¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡®¡é¥−® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. 3.24. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì F = C ∞ (U), £¤¥ U ⊂ Rn | −¥¯ãá⮥ ®âªàë⮥ …᫨ ¬−®¦¥á⢮ V ®âªàëâ® ¬−®¦¥á⢮. ∞ ¢ U = |F |, â® F V = C (V ).
⮦¤¥á⢫¥−¨¥ U = |F | ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï ¡ë«® ãáâ −®¢«¥−® ¢ ¯. 3.16. ।¯®«®¦¨¬, f ∈ C ∞ (V ), x ∈ V . ‘®£« á−® ¯. 2.6 áãé¥áâ¢ãîâ â ª ï ®ªà¥áâ−®áâì x, çâ® W â®çª¨ ∞ n W ⊂ V , ¨ â ª ï äã−ªæ¨ï g ∈ C (R ), çâ® g W = f W . ˆ¬¥¥¬ â ª¦¥: g|W = f|W , £¤¥ g = g|U . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f ∈ C ∞ (U) V , â. ¥. C ∞ (V ) ⊂ C ∞ (U) V . ¡à â−®¥ ¢ª«îç¥−¨¥ á«¥¤ã¥â −¥¯® ∞ á।á⢥−−® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï  «£¥¡àë C (U) V . 

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

51

“¯à ¦−¥−¨¥. „«ï ¬−®¦¥á⢠A = {1/n | n = 1, 2, 3, . . . } ¨ B = A ∪ {0}, A ⊂ B ⊂ R, ®¯¨è¨â¥ ®£à −¨ç¥−¨ï R[x] A ¨ R[x] B . 3.25. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª®£¤  F ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© R- «£¥¡à®©,   A | ¯®¤¬−®¦¥á⢮¬ ¤¢®©á⢥−−®£® ¯à®áâà −á⢠ |F |, ª ¦¤®© äã−ªæ¨¨ f ∈ F ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¥ ®£à  −¨ç¥−¨¥ −  A ⊂ |F |, ¯à¨− ¤«¥¦ é¥¥, ®ç¥¢¨¤−®,  «£¥¡à¥ F A. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï: ρA : F → F A , f → f A . (‡¤¥áì, ª ª ®¡ëç−®, í«¥¬¥−â f ∈ F à áᬠâਢ ¥âáï ª ª äã−ªæ¨ï −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ |F |.) ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì i : F1 → F2 | ¨§®¬®à䨧¬ ¤¢ãå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å  «£¥¡à, A2 ⊂ |F2 |, A1 = |i|(A2). ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥ F1 A1 → F2 A2 , f → f ◦ |i| A2 ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬.
„®ª § â¥«ìá⢮ ¯®«ãç ¥âáï −¥¯®á।á⢥−−®© ¯à®¢¥àª®© ®¯à¥¤¥«¥−¨©.  3.26. ’¥¯¥àì à áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï ρA : F → F |F| ¤«ï − ¨¡®«¥¥ ¢ ¦−®£® ç áâ−®£® á«ãç ï A = |F |. ’ ª ª ª  «£¥¡à  F ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© (à §«¨ç−ë¥ í«¥¬¥−âë f ∈ F ®â®¦¤¥á⢫ïîâáï á à §«¨ç−묨 äã−ªæ¨ï¬¨ −  |F |), £®¬®¬®à䨧¬ ρ ¨−ꥪ⨢¥−. Š ¦¥âáï ¤®¢®«ì−® áâà −−ë¬, çâ® ¥£® áîàꥪ⨢−®áâì −¥ ®ç¥¢¨¤− : ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, ¤ −−®¬ã ¢ ¯. 3.23,  «£¥¡à  F |F| á®á⮨⠨§ ¢á¥å äã−ªæ¨©, ª®â®àë¥ «®ª «ì−® ¢¥¤ãâ ᥡï â ª ¦¥, ª ª í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë F , | −¥ ïá−®, ¯®ç¥¬ã ¢á¥ â ª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¤®«¦−ë ¯à¨− ¤«¥¦ âì F . ˆ ¤¥©á⢨⥫ì−®, íâ® −¥ ¢á¥£¤  â ª.

52

ƒ« ¢  3

3.27. ਬ¥à. ãáâì F | ¯®¤ «£¥¡à   «£¥¡àë C ∞ (Rn ), á®áâ®ïé ï ¨§ äã−ªæ¨©, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ¯® ¬®¤ã«î ¬¥−ìè¥ −¥ª®â®à®£® ¬−®£®ç«¥− . ’®£¤  ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ |F | £®¬¥®¬®àä−® Rn .
„®ª § â¥«ìá⢮  − «®£¨ç−® ¯à¨¢¥¤¥−−®¬ã ¢ ¯. 3.16, ⮫쪮 äã−ªæ¨î f á ª®¬¯ ªâ−묨 ¯®¢¥àå−®áâﬨ ã஢−ï −ã¦−® ¢ë¡à âì â ª, çâ®¡ë ®−  ¯à¨− ¤«¥¦ «  F , −® f(x) → ∞ ¯à¨ x → ∞, − ¯à¨¬¥à, ¬®¦−® ¢§ïâì f : x → x2 + 1. ’®£¤  1/f(x) → 0 ¯à¨ x → ∞ ¨ äã−ªæ¨ï 1/f â ª¦¥ ¯à¨− ¤«¥¦¨â F . „ «¥¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ¯. 3.16.  ˆâ ª,  «£¥¡à  F |F| = F Rn ᮢ¯ ¤ ¥â á  «£¥¡à®© C ∞ (Rn) ¢á¥å £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  Rn . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, «î¡ ï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (Rn ) ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠¯à®¨§¢®«ì−®© â®çª¨ a ∈ Rn ᮢ¯ ¤¥â á äã−ªæ¨¥© fθ, £¤¥ θ | £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï, ®¡à é îé ïáï ¢ −ã«ì ¢−¥ è à  à ¤¨ãá  2 á æ¥−â஬ ¢ â®çª¥ a ¨ à ¢− ï 1 ¢−ãâਠª®−æ¥−âà¨ç−®£® è à  à ¤¨ãá  1 (á¬. ¯. 2.5),   äã−ªæ¨ï fθ, ®ç¥¢¨¤−®, ¯à¨− ¤«¥¦¨â  «£¥¡à¥ F . ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, £®¬®¬®à䨧¬ ρ : F → F |F| = C ∞ (Rn ) −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì áîàꥪ⨢−ë¬. 3.28. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  F − §ë¢ ¥âáï ¯®«−®©, ¥á«¨ £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï ρ : F → F |F| áîàꥪ⨢¥− (  §− ç¨â, ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬), â. ¥. «î¡ ï äã−ªæ¨ï |F | → R, «®ª «ì−® ᮢ¯ ¤ îé ï á í«¥¬¥−â ¬¨  «£¥¡àë F , á ¬  ¯à¨− ¤«¥¦¨â F . Ÿá−®, çâ®  «£¥¡àë C ∞ (U), £¤¥ ¬−®¦¥á⢮ U ⊂ Rn ®âªàëâ®, ïîâáï ¯®«−묨 (á¬. ¯. 3.24). «£¥¡à  ¨§ ¯®á«¥¤−¥£® ¯à¨¬¥à  (¯. 3.27) −¥ ï¥âáï ¯®«−®©. “¯à ¦−¥−¨¥. Š ª¨¥ ¨§ á«¥¤ãîé¨å  «£¥¡à ïîâáï ¯®«−묨: (i) F = R [x]; (ii)  «£¥¡à  ¢á¥å £« ¤ª¨å ®£à −¨ç¥−−ëå äã−ªæ¨©; (iii)  «£¥¡à  ¢á¥å £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å (á ¯¥à¨®¤®¬ 1) äã−ªæ¨© −  R? 3.29. ‚¥à−¥¬áï ⥯¥àì ª ®¡é¥© á¨âã æ¨¨, ª®£¤  A ï¥âáï ¯®¤¬−®¦¥á⢮¬ ¤¢®©á⢥−−®£® ¯à®áâà −á⢠ |F | £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

53

R- «£¥¡àë F . …áâ¥á⢥−−® § ¤ âìáï ¢®¯à®á®¬: ¬®¦−® «¨ ®â®¦¤¥á⢨âì ¬−®¦¥á⢠ |F A | ¨ A ⊂ |F |? ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì A ⊂ |F |, £¤¥ F | £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à . ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥ µ : A → |F A |, a → (f → f(a)), ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ −  ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¯à®áâà −á⢠ |F A|.
’ ª ª ª ¢á¥ í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë F , ¯®−¨¬ ¥¬ë¥ ª ª äã−ªæ¨¨ −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ |F |, −¥¯à¥àë¢−ë,  «£¥¡à  F A ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®©  «£¥¡àë −¥¯à¥àë¢−ëå äã−ªæ¨© −  A,   ¯®í⮬㠮⮡ࠦ¥−¨¥µ −¥¯à¥àë¢−® ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 3.14. „ «¥¥, µ ¨−ꥪ⨢−®: ¥á«¨ a1 ¨ a2 | à §«¨ç−ë¥ â®çª¨ ¢ A, â® áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï f0 ∈ F , ¯à¨−¨¬ îé ï à §«¨ç−ë¥ §− ç¥−¨ï ¢ íâ¨å â®çª å, −® äã−ªæ¨ï f0 A , ¯à¨− ¤«¥¦ é ï  «£¥¡à¥ F A , ¯à¨−¨¬ ¥â ¢ â®çª å a1 ¨ a2 ⥠¦¥ §− ç¥−¨ï, çâ® ¨ f0 , â ª çâ® í⨠â®çª¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ à §«¨ç−ë¥ £®¬®¬®à䨧¬ë F A → R. —â®¡ë ¤®ª § âì −¥¯à¥àë¢−®áâì ®¡à â−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï −1 µ : µ(A) → A, à áᬮâਬ ¡ §¨á−®¥ ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¬−®¦¥á⢠ A, ¨¬¥î饥 ¢¨¤ A ∩ f −1 (V ), £¤¥ f ∈ F , V ⊂ R | ®âªàëâ®. â® ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ®â®¡à ¦ ¥âáï −  ¬−®¦¥á⢮ µ(A)∩(f A )−1 (V ), â. ¥. −  ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¯à®áâà −á⢠ µ(A).  …᫨ A ⊂ B ⊂ |F |, â® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï 3.23 áࠧ㠦¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ® (F B ) A = F A. ‘®¢¯ ¤¥−¨¥ µ(A) á |F A| ¤ «® ¡ë ¯®«®¦¨â¥«ì−ë© ®â¢¥â −  ¢®¯à®á, ¯®áâ ¢«¥−−ë© ¢ − ç «¥ − áâ®ï饣® ¯ã−ªâ . ˆ§ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 3.24 á«¥¤ã¥â, çâ® â ª®¥ ᮢ¯ ¤¥−¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï  «£¥¡à F = C ∞ (U), £¤¥ U ⊂ Rn ®âªàëâ®, ¥á«¨ A ⊂ |F | = U â ª¦¥ ®âªàëâ®. ¤− ª® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ íâ® −¥ â ª. 3.30. ਬ¥à. ãáâì F = R[x]. ’®£¤  (á¬. ¯. 3.15) |F | = R. ãáâì A = R+ ⊂ R | ¯®«®¦¨â¥«ì− ï ¯®«ã¯àﬠï. ’®£¤  £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï ρA : R [x] → R [x] R+ ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, â ª ª ª «î¡®© ¬−®£®ç«¥− á⥯¥−¨ n ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

54

ƒ« ¢  3

᢮¨¬¨ §− ç¥−¨ï¬¨ ¢ (n + 1) â®çª¥,   §− ç¨â, ¨ ᢮¨¬¨ §− ç¥−¨ ﬨ −  R+ . ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ®â®¡à ¦¥−¨¥ µ : R+ → |R [x] R+ | ï¥âáï ¢«®¦¥−¨¥¬ R+ ¢ R = |R [x] R+ | = |R [x]|, â ª çâ® ¢ ¤ − −®¬ á«ãç ¥ A = R+ ¨ |F A | = R −¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®â®¦¤¥á⢫¥−ë. 3.31. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯à¥¤¥«¨â¥ ¤¢®©á⢥−−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ª ª®© R- «£¥¡àë ï¥âáï ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ § ¤ −−®£® è à−¨à−®£® ¬¥å −¨§¬  (á¬. ¯. 1.14). 3.32. ‚® ¨§¡¥¦ −¨¥ á¨âã æ¨©, ¯®¤®¡−ëå ®¯¨á −−®© ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.30, − ¬ ¯®− ¤®¡¨âáï ãá«®¢¨¥, £ à −â¨àãî饥 ¡¨¥ªâ¨¢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï µ : A → |F A|, a → (f → f(a)). ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  F − §ë¢ ¥âáï § ¬ª−ã⮩ ®â−®á¨â¥«ì−® £« ¤ª¨å ª®¬¯®§¨æ¨© ¨«¨ C ∞ -§ ¬ª−ã⮩, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ª®−¥ç−®£® − ¡®à  ¥¥ í«¥¬¥−⮢ f1 , . . . , fk ∈ F ¨ «î¡®© äã−ªæ¨¨ g ∈ C ∞ (Rk ) − ©¤¥âáï â ª®© í«¥¬¥−â f ∈ F , çâ®   f(a) = g f1 (a), . . . , fk (a) ¤«ï ¢á¥å a ∈ |F |. (3.3) ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ãç áâ¢ãîé ï ¢ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨ äã−ªæ¨ï f ∈ F ®¯à¥¤¥«¥−  ®¤−®§− ç−® ¢¢¨¤ã £¥®¬¥âà¨ç−®á⨠ «£¥¡àë F . ‚ á«ãç ¥ ª®£¤  FS | íâ®  «£¥¡à  äã−ªæ¨©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå −  −¥ª®â®à®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ S á ¯®¬®éìî ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ¯à¨¡®à®¢, C ∞ -§ ¬ª−ãâ®áâì  «£¥¡àë FS ¢á¥£¤  ¨¬¥¥â ¬¥áâ®. â® á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® á«®¦− ï äã−ªæ¨ï (3.3) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥−  á ¯®¬®éìî ãáâனá⢠, á¨−⥧¨àãî饣® äã−ªæ¨î g(f1 , . . . , fl) | á¬. ¯. 1.10. 3.33. “¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥àì⥠ª ª¨¥ ¨§  «£¥¡à, ¯¥à¥ç¨á«¥−−ëå ¢ ã¯à ¦−¥−¨¨ 3.28 § ¬ª−ãâë. 3.34. ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ µ : A → |F A| (á¬. ¯. 3.29) áîàꥪ⨢−® (¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬) ¤«ï C ∞ -§ ¬ª−ãâëå  «£¥¡à F ¯à¨ «î¡®¬ ¡ §¨á−®¬ ¬−®¦¥á⢥ A: A = {a ∈ |F | α < h(a) < β}, α, β ∈ R, h ∈ F . (¢ ¡®«¥¥ ®¡é¥© ä®à¬¥ − ¬ íâ®â 䠪⠢ ¤ «ì−¥©è¥¬ −¥ ¯®âॡã¥âáï).

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

55


‚¢¨¤ã á«¥¤á⢨ï 2.3, áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï g ∈ C ∞ (R), çâ® g ≡ 0 −  R \ ]α, β[ ¨ g > 0 −  ]α, β[. ’ ª ª ª  «£¥¡à  F ï¥âáï C ∞ -§ ¬ª−ã⮩, áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ F , çâ® f(a) = g(h(a)) ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª a ∈ |F |. ®í⮬ã f(a) > 0 ¯à¨ a ∈ A, ¨ f A ï¥âáï ®¡à â¨¬ë¬ í«¥¬¥−⮬  «£¥¡àë F A . „ «¥¥, ¯ãáâì b ∈ |F | | ®¡à § ª ª®©-«¨¡® â®çª¨ b ∈ |F A | ¯à¨ ¥áâ¥á⢥−−®¬ ®â®¡à ¦¥−¨¨ |F A | → |F |. …᫨ b ∈ / A, â®  0 = f(b ) = (f A )(b), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® äã−ªæ¨ï f A ®¡à â¨¬ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, µ(A) = |F A |.  3.35. ˆ¬¥ï ¢ ¢¨¤ã १ã«ìâ â ¯ã−ªâ  3.34, å®â¥«®áì ¡ë ¯à¥¢à â¨âì £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî R- «£¥¡àã F ¢ C ∞-§ ¬ª−ãâãî  «£¥¡àã F.  ¨¡®«¥¥ ¯àאַ© ¯ãâì ª í⮬ã á«¥¤ãî騩. ⮦¤¥á⢫ïï F á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩  «£¥¡à®© äã−ªæ¨© −  |F |, à áᬮâਬ ¬−®¦¥á⢮ F äã−ªæ¨© −  |F |, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ëå ¢ ¢¨¤¥ g(f1 , . . . , fl ),

£¤¥

l ∈ N,

f1 , . . . , fl ∈ F ,

g ∈ C ∞(Rl ).

  ¬−®¦¥á⢥ F ¥áâì ®ç¥¢¨¤− ï áâàãªâãà  R- «£¥¡àë, ¯à¨ç¥¬ F ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®©  «£¥¡àë F. ¡®§− ç¨¬ ¥áâ¥á⢥−−®¥ ¢«®¦¥−¨¥ F ⊂ F ᨬ¢®«®¬ iF . ’ ª ª ª ª®¬¯®§¨æ¨ï £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© | á−®¢  £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï, F ï¥âáï C ∞ -§ ¬ª−ã⮩  «£¥¡à®©. Š ⮬㠦¥ íâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï  «£¥¡à , â ª ª ª á®á⮨⠨§ äã−ªæ¨©, § ¤ −−ëå −  −¥ª®â®à®¬ ¬−®¦¥á⢥ (á¬. ¯. 3.14). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®áâந«¨ ¥áâ¥á⢥−−®¥ ¢«®¦¥−¨¥ iF : F → F ¯à®¨§¢®«ì−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© R- «£¥¡àë F ¢ C ∞ -§ ¬ª−ãâãî R- «£¥¡àã F , ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ (¢à¥¬¥−−®) − §ë¢ âì C ∞ -§ ¬ëª −¨¥¬ F . â   «£¥¡à  ®¡« ¤ ¥â § ¬¥ç â¥«ì−ë¬ á¢®©á⢮¬. 3.36. ।«®¦¥−¨¥. ‹î¡®© £®¬®¬®à䨧¬ α : F → F  ¨§ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© R- «£¥¡àë F ¢ C ∞ -§ ¬ª−ãâãî R- «£¥¡àã F  ¬®¦¥â ¡ëâì ¥¤¨−á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®¤®«¦¥− ¤® £®¬®¬®à䨧¬  α : F → F , § ¤ −−®£® −  C ∞ -§ ¬ëª −¨¨  «£¥¡àë F .
।¯®«®¦¨¬, çâ® âॡ㥬®¥ ¯à®¤®«¦¥−¨¥ αáãé¥áâ¢ã¥â, â. ¥. α = α ◦ iF , £¤¥ iF : F → F | ¥áâ¥á⢥−−®¥ ¢«®¦¥−¨¥. ’®£¤ 

56

ƒ« ¢  3

¨§ ¯. 3.20 á«¥¤ã¥â, çâ® |α| = |iF | ◦ |α|. ‡¤¥áì |α| ®¡®§− ç ¥â ¤¢®©á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ (á¬. ¯. 3.19). „ «¥¥, ¤«ï «î¡®© â®çª¨ a ∈ |F  | ¨¬¥¥¬ α(g(f1 , . . . , fl ))(a) = g(f1 , . . . , fl )(|α|(a)) = g(iF (f1 ), . . . , iF (fl ))(|α|(a)) = g(f1 , . . . , fl )(|iF |(|α|(a))) = g(f1 , . . . , fl )(|α|(a)) = g(f1 (|α|(a)), . . . , fl (|α|(a))) = g(α(f1 ), . . . , α(fl ))(a). âá ¢¢¨¤ã £¥®¬¥âà¨ç−®á⨠F  α(g(f1 , . . . , fl )) = g(α(f1 ), . . . , α(fl )). …᫨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ α áãé¥áâ¢ã¥â, ¯®á«¥¤−ïï ä®à¬ã«  ¤®ª §ë¢ ¥â ¥£® ¥¤¨−á⢥−−®áâì. „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ áãé¥á⢮¢ −¨ï ¬®¦−® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï í⮩ ä®à¬ã«®©, ª ª ®¯à¥¤¥«¥−¨¥¬ α, ¥á«¨ ãáâ −®¢¨âì, çâ® ¥¥ ¯à ¢ ï ç áâì ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥− , â. ¥. ¥á«¨ ¯®ª § âì, çâ® ¨§ à ¢¥−á⢠ g(f1 , . . . , fl ) = g  (f1 , . . . , fl
) á«¥¤ã¥â, çâ® g(α(f1 ), . . . , α(fl )) = g (α(f1 ), . . . , α(fl
)) ’ ª ª ª F  | £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï  «£¥¡à , ¤®áâ â®ç−® ¤®ª § âì ¯®á«¥¤−¥¥ à ¢¥−á⢮ ¢ ¯à®¨§¢®«ì−®© â®çª¥ a ∈ |F  |. ® g(α(f1 ), . . . , α(fl ))(a) = g(α(f1 )(a), . . . , α(fl )(a)) = = g(f1 (a), . . . , fl (a)) = g(f1 , . . . , fl )(a), £¤¥ a = |α|(a). − «®£¨ç−®, g  (α(f1 ), . . . , α(fl
)(a) = g  (f1 , . . . , fl
)(a). ‘à ¢−¨¢ ï ¤¢¥ ¯®á«¥¤−¨¥ ä®à¬ã«ë, ¯®«ã稬, çâ® £®¬®¬®à䨧¬ α ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−, çâ® ¨ § ¢¥à蠥⠤®ª § â¥«ìá⢮.  3.37. ‡ ¬¥ç â¥«ì−®, çâ® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 3.36 ¯®«−®áâìî å à ªâ¥à¨§ã¥â C ∞ -§ ¬ëª −¨¥ F £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© R- «£¥¡àë F . „«ï ®¡êïá−¥−¨ï í⮣® ä ªâ  ¢  ¤¥ª¢ â−ëå â¥à¬¨− å ¯®− ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

57

¯à¥¤¥«¥−¨¥. C ∞ -§ ¬ª−ãâ ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  F ¢¬¥áâ¥ á £®¬®¬®à䨧¬®¬ i : F → F − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª®© ®¡®«®çª®© R- «£¥¡àë F , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® £®¬®¬®à䨧¬  α : F → F  ¨§  «£¥¡àë F ¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî C ∞ -§ ¬ª−ãâãî R- «£¥¡àã F  − ©¤¥âáï ¥¤¨−á⢥−−®¥ à áè¨à¥−¨¥ α £®¬®¬®à䨧¬  α (â. ¥. â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ α : F → F , çâ® α = α ◦ i). „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯à¨ § ¤ −−ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨ïå ¤¨ £à ¬¬  F? ?? ?? ? i ??

α

F

~

~

~

/ F ~>

α

¢á¥£¤  ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®¯®«−¥−  (¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯ã−ªâ¨à−®© áâ५ª¨ α) ¤® ª®¬¬ãâ â¨¢−®©. ’¥¯¥àì ¨§ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 3.36 ¢ë⥪ ¥â, çâ® C ∞ -§ ¬ëª −¨¥ F (á¬. 3.35) ï¥âáï £« ¤ª®© ®¡®«®çª®©  «£¥¡àë F . 3.38. ।«®¦¥−¨¥. ƒ« ¤ª ï ®¡®«®çª  «î¡®© R- «£¥¡àë F ¥¤¨−á⢥−−  á â®ç−®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ . ’®ç−¥¥, ¥á«¨ ¯ àë (ik , F k ), k = 1, 2, ïîâáï £« ¤ª¨¬¨ ®¡®«®çª ¬¨  «£¥¡àë F , áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−ë© ¨§®¬®à䨧¬ j : F 1 → F 2 , ¤«ï ª®â®à®£® i2 = j ◦ i1. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, á«¥¤ãîé ï ¤¨ £à ¬¬  ª®¬¬ãâ â¨¢−  F 1 `@o

j /

> @@ j −1 ~~ @@ ~ ~ i1 @@ ~~~ i2

F2

F


०¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®© £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ (i, F)  «£¥¡àë F «î¡®© £®¬®¬®à䨧¬ α : Fk → F , ¤«ï ª®â®à®£® α ◦ i = i, ï¥âáï ⮦¤¥á⢥−−ë¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬, α = idF (¢ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 3.37 úà¥è¥−¨¥ ãà ¢−¥−¨ï α ◦ i = iû ¥¤¨−á⢥−−®,   ã í⮣® ãà ¢−¥−¨ï áãé¥áâ¢ã¥â ®ç¥¢¨¤−®¥ à¥è¥−¨¥ idF ).

58

ƒ« ¢  3

„ «¥¥, ᮣ« á−® ⮬㠦¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨î ¤«ï (i1, F1), £®¬®¬®à䨧¬ i2 : F → F 2 ¥¤¨−á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ i2 = j1 ◦ i1, £¤¥ j1 : F1 → F 2 | £®¬®¬®à䨧¬. − «®£¨ç−®, i1 = j2 ◦ i2, £¤¥ j2 : F 2 → F 1 | â ª¦¥ £®¬®¬®à䨧¬. ®í⮬ã i2 = j1 ◦ i1 = j1 ◦ (j2 ◦ i2) = (j1 ◦ j2) ◦ i2 . ‚¢¨¤ã § ¬¥ç −¨ï ¢ − ç «¥ ¤®ª § â¥«ìá⢠ ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® j1 ◦ j2 = idF 2 . − «®£¨ç−®, j2 ◦ j1 = idF 1 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, j1 ¨ j2 | ®¡à â−ë¥ ¤à㣠¤àã£ã ¨§®¬®à䨧¬ë, ¨ ¤«ï § ¢¥àè¥−¨ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¤®áâ â®ç−® ¯®«®¦¨âì j = j1 (¥¤¨−á⢥−−®áâì ¨§®¬®à䨧¬  á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨).  ¥¯®á।á⢥−−® ¨§ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢à¥¬¥−−ë© â¥à¬¨− úC ∞ -§ ¬ëª −¨¥û (á¬. ¯. 3.35) å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᢮¨¬ ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ á¢®©á⢮¬, ¯à¨¢¥¤¥−−ë¬ ¢ ¯à¥¤«®¦¥−¨¨ 3.36, ¨, §− ç¨â, ᮢ¯ ¤ ¥â á â¥à¬¨−®¬ ú£« ¤ª ï ®¡®«®çª û. ˆ¬¥−−® ¯®á«¥¤−¨© â¥à¬¨− ¨ ¡ã¤¥â 㯮âॡ«ïâìáï ¢ ¤ «ì−¥©è¥¬. 3.39. ‘®£« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 3.37 £« ¤ª ï ®¡®«®çª  F £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡àë F ï¥âáï ®¡ê¥ªâ®¬, ª®â®àë© ¨£à ¥â ã−¨¢¥àá «ì−ãî à®«ì ¢ ¥¥ ®â−®è¥−¨ïå (â. ¥. £®¬®¬®à䨧¬ å) á ú¬¨à®¬û C ∞-§ ¬ª−ãâëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å  «£¥¡à. ƒ« ¤ª ï ®¡®«®çª  ï¥âáï, ¬®¦−® ᪠§ âì, ú¯®«−®¬®ç−ë¬ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥¬û  «£¥¡àë F ¢ í⮬ ¬¨à¥, ¨  «£¥¡à  F ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â á ¯®á«¥¤−¨¬ ¨áª«îç¨â¥«ì−® ç¥à¥§ í⮣® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï. —¨â â¥«ì, ¢®§¬®¦−®, § ¬¥â¨«, çâ® à áá㦤¥−¨ï ¢ ¯. 3.38 ïîâáï ¢¥á쬠 ®¡é¨¬¨ ¯® ᢮¥© ¯à¨à®¤¥. ˆáªãáá⢮ ®âë᪠−¨ï ¨ ¨á¯®«ì§®¢ −¨ï â ª¨å à áá㦤¥−¨© ï¥âáï ®¤−®© ¨§ ®â«¨ç¨â¥«ì−ëå ç¥àâ ⥮ਨ ª â¥£®à¨©, ®¡é¥¨§¢¥áâ−®© ¯®¤ − §¢ −¨¥¬  ¡áâà ªâ−®© 祯ãå¨. ®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¯à¥¦¤¥ 祬 ¨§ãç âì íâã ⥮à¨î ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨, − ¤® ª −¥© ¯à¨¢ëª−ãâì, ¯®í⮬ã, −¥¯®á।á⢥−−® −¥ ¨§« £ ï ¥¥, ¬ë ¡ã¤¥¬ ç áâ® ¨á¯®«ì§®¢ âì áâ −¤ àâ−ë¥ à áá㦤¥−¨ï ¨ ¯à¨¥¬ë ⥮ਨ ª â¥£®à¨© (− ¯à¨¬¥à ¢ ¯¯. 6.4, 6.6, 6.16, 6.17). ਠ⥮à¥â¨ª®-¬−®¦¥á⢥−−®¬ ¯®¤å®¤¥ ª ¬ â¥¬ â¨ª¥ ¨§ãç îâ ¢−ãâà¥−−îî ¯à¨à®¤ã ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨å ®¡ê¥ªâ®¢ | â®ç¥ç−ëå ¬−®¦¥áâ¢, á− ¡¦¥−−ëå ª ª®©-«¨¡® áâàãªâãன. â® ¡¨®«®£¨ï ¢¨¤®¢. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ª â¥£®à−ë©

«£¥¡àë ¨ â®çª¨

59

¯®¤å®¤ | íâ® çâ®-â® ¢à®¤¥ á®æ¨®«®£¨¨: §¤¥áì 㦥 ¨−â¥à¥áãîâáï −¥ ᢮©á⢠¬¨ ®â¤¥«ì−ëå ®¡ê¥ªâ®¢,   ¨å ®â−®è¥−¨ï¬¨ (ª®â®àë¥ ¢ ⥮ਨ − §ë¢ îâáï ú¬®à䨧¬ ¬¨û) á ®¡ê¥ªâ ¬¨ â ª®£® ¦¥ ¨«¨  − «®£¨ç−®£® ⨯ . Œ®¦−® â ª¦¥ ᪠§ âì, çâ® ª â¥£®à−ë© ¯®¤å®¤  − «®£¨ç¥− íªá¯¥à¨¬¥−â «ì−®¬ã ¬¥â®¤ã ¢ ¥áâ¥á⢥−−ëå − ãª å, − ¯à¨¬¥à ¢ ª¢ −⮢®© ¬¥å −¨ª¥, ª®£¤  ®¡ê¥ªâë −¥ ¨§ãç îâáï ¨ −¥ ¬®£ãâ ¨§ãç âìáï á ¬¨ ¯® ᥡ¥,    − «¨§¨àãîâáï ç¥à¥§ ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ¤à㣨¬¨ ®¡ê¥ªâ ¬¨. 3.40. “¯à ¦−¥−¨¥.  ©â¨ £« ¤ªãî ®¡®«®çªã (i)  «£¥¡àë R[x1, . . . , xn]; (ii)  «£¥¡àë äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© R ¢¨¤  n  f(x) = ak (x)|x|k , x ∈ R, k=0 ∞

£¤¥ ai ∈ C (R).

ƒ« ¢  4

ƒ‹„Šˆ… Œ
ƒ‡ˆŸ ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

4.1. ®«− ï (á¬. ¯. 3.28) £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï (á¬. ¯. 3.7) R- «£¥¡à  F − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª®©, ¥á«¨ − ©¤¥âáï â ª®¥ −¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥â−®¥ ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ {Uk } ¤¢®©á⢥−−®£® ¯à®áâà −á⢠ |F |, çâ® ¢á¥  «£¥¡àë F U (á¬. ¯. 3.23) ¨§®¬®àä−ë  «£¥¡à¥ C ∞ (Rn) k £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà −á⢥. ”¨ªá¨à®¢ −−®¥ − âãà «ì−®¥ ç¨á«® n − §ë¢ ¥âáï à §¬¥à−®áâìî  «£¥¡àë F . ƒ« ¤ª¨¥ n-¬¥à−ë¥  «£¥¡àë ïîâáï ¤«ï − á £« ¢−ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ¨§ãç¥−¨ï: ¨å ¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª R- «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  n-¬¥à−ëå £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨ïå. ‘ â®çª¨ §à¥−¨ï ä®à¬ «ì−®© ¬ â¥¬ â¨ª¨ R- «£¥¡à  F ¯®«−®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¬−®£®®¡à §¨¥ M ª ª ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ M = |F | ¥¥ R-â®ç¥ª (á¬. ¯. 3.8), ¨ ª ⮬㠦¥ á −¥© 㤮¡−¥¥ ¢á¥£® à ¡®â âì: ¢áï ¤¨ää¥à¥−樠«ì− ï ¬ â¥¬ â¨ª  ä ªâ¨ç¥áª¨ ®¡à é ¥âáï ¨¬¥−−® á F . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ «ì−® ¯à®áâà −á⢮ M −¥ âॡã¥âáï. ¤− ª® ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ¬®¦−® ¡ë«® − £«ï¤−® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì M ª ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¡ê¥ªâ, − ¬ á«¥¤ã¥â − ãç¨âìáï à ¡®â âì ®¤−®¢à¥¬¥−−® á £« ¤ª®©  «£¥¡à®© F ¨ ¯à®áâà −á⢮¬ M = |F | ¥¥ R-â®ç¥ª. ⮩ 楫¨ ¢ ®á−®¢−®¬ ¨ ¯®á¢ïé¥−  − áâ®ïé ï £« ¢ .  áᬠâਢ ï ®¤−®¢à¥¬¥−−® F ¨ M = |F |, ¬ë £®¢®à¨¬ ® £« ¤ª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨. •®âï á− ç «  ¢ í⮩ ¯ à¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

60

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

61

¢â®à®© ®¡ê¥ªâ, ¬ë ¨¤¥¬ −  ãáâ㯪¨ ᢮¥© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¨−âã¨æ¨¨ (¨ âà ¤¨æ¨®−−®© â¥à¬¨−®«®£¨¨) ¨ £®¢®à¨¬, çâ® F | íâ®  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M (= |F |). 4.2. ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®¡é¨¬ ï¥âáï ¯®−ï⨥ £« ¤ª®©  «£¥¡àë á ªà ¥¬. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥−â  Uk ¯®ªàëâ¨ï {Uk } ¬ë âॡ㥬, çâ®¡ë  «£¥¡à  F U ¡ë«  ¨§®¬®àä−  «¨¡® k C ∞ (Rn ), «¨¡® C ∞ (Rn+), £¤¥ Rn+ = {(r1, . . . , r2) ∈ Rn r1  0},   C ∞(Rn+ ) á®á⮨⠨§ ®£à −¨ç¥−¨© (¢ ®¡ëç−®¬ á¬ëá«¥) ¢á¥å äã−ªæ¨© ¨§ C ∞(Rn ) −  ¬−®¦¥á⢥ Rn+. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª § âì, çâ®  «£¥¡àë C ∞(Rn ) ¨ C ∞ (Rn+) −¥ ¨§®¬®àä−ë. ’®çª¨ ¯à®áâà −á⢠ |F |, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ªà î ¯®«ã¯à®áâà −á⢠ Rn+ ¯à¨ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¨ Uk = Rn+ , − §ë¢ îâáï £à −¨ç−묨 â®çª ¬¨. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¬−®¦¥á⢮ £à −¨ç−ëå â®ç¥ª ∂|F | ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï (¡¥§ ªà ï). Š ª ¨ ¢ëè¥, ¯®¤ç¥àª¨¢ ï £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî áâ®à®−ã í⮣® ¯®−ïâ¨ï, ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® F | íâ®  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ á ªà ¥¬ M (= |F |). 4.3. ‹¥¬¬ . ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  F , ¨§®¬®àä− ï ®¤−®© ¨§  «£¥¡à C ∞(Rn ) ¨ C ∞ (Rn+), ï¥âáï C ∞ -§ ¬ª−ã⮩ á¬. ¯. (3.32).
‹¥¬¬   ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ á«¥¤ã¥â ¨§ ¡®«¥¥ ᨫì−®£® ã⢥ত¥−¨ï: ¯ãáâì i : F1 → F2 | ¨§®¬®à䨧¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å R- «£¥¡à ¨  «£¥¡à  F1 ï¥âáï C ∞ -§ ¬ª−ã⮩, ⮣¤  ¨  «£¥¡à  F2 â ª¦¥ C ∞ -§ ¬ª−ãâ . ஢¥àª  í⮣® ã⢥ত¥−¨ï ᮢ¥àè¥−−®  − «®£¨ç−  ¤®ª § â¥«ìáâ¢ã ¥¤¨−á⢥−−®á⨠£®¬®¬®à䨧¬  α ¢ ¯. 3.36 ¨ −¥ ¤®«¦−  ¢ë§¢ âì âàã¤−®á⥩ ã ç¨â â¥«ï. 

62

ƒ« ¢  4

4.4. ।«®¦¥−¨¥. ƒ« ¤ª¨¥  «£¥¡àë C ∞ -§ ¬ª−ãâë (â® ¦¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï £« ¤ª¨å  «£¥¡à á ªà ¥¬).
।¯®«®¦¨¬, çâ® F ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®© (¢®§¬®¦−®, á ªà ¥¬), l ∈ N, g ∈ C ∞(Rl ), f1 , . . . , fl ∈ F ,   {Uk } | ¯®ªàë⨥, ãç áâ¢ãî饥 ¢ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨ 4.1 (¨«¨ 4.2).  áᬮâਬ äã−ªæ¨î h : |F | → R,

h(a) = g(f1(a), . . . , fl (a)).

® «¥¬¬¥ 4.3 ¤«ï «î¡®£® k áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ hk ∈ F Uk , çâ® ∀a ∈ Uk

hk (a) = g(f1 (a), . . . , fl(a)).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠«î¡®© â®çª¨ äã−ªæ¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á äã−ªæ¨¥© ¨§ F . ’ ª ª ª ¢¢¨¤ã ¯. 4.1 (¨«¨ ¯. 4.2)  «£¥¡à  F ï¥âáï ¯®«−®©, â® h ∈ F .  4.5. ਬ¥à. ।¯®«®¦¨¬, çâ® F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© R á ¯¥à¨®¤®¬ 1: F = {f ∈ C ∞(R) | f(r + 1) = f(r)

∀r ∈ R}.

祢¨¤−®, çâ® F , ¡ã¤ãç¨ ¯®¤ «£¥¡à®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡àë, á ¬  ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©. ¥âàã¤−® ¤®ª § âì, çâ® F ï¥âáï ¯®«−®©. (‚ ¯ã−ªâ¥ 4.22 ¬®¦−® − ©â¨ ®¡é¥¥ ®¡êïá−¥−¨¥ ¯®«−®âë ¢á¥å  «£¥¡à, à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ¯à¨¬¥à å 4.5{4.8.) ‚ ¯. 3.18 ¡ë«® ¯®ª § −®, çâ® ¯à®áâà −á⢮ |F | ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®ªàã¦−®áâì S 1 .  áᬮâਬ ⥯¥àì äã−ªæ¨¨ g1 , g2 ∈ F : g1 (r) = sin2 πr,

g2 (r) = cos2 πr

¨ ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ ®ªàã¦−®á⨠|F | ¬−®¦¥á⢠¬¨ Ui = {r ∈ |F | gi (x) = 0}, i = 1, 2. ‹¥£ª® ãáâ −®¢¨âì ¡¨¥ªæ¨¨ Ui ↔ ]0, 1[, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨§®¬®à䨧¬ ¬   F Ui ∼ (∼ = C ∞ ]0, 1[ = C ∞ (R)).

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

63

’ ª¨¬ ®¡à §®¬,  «£¥¡à  F ï¥âáï £« ¤ª®©  «£¥¡à®© à §¬¥à−®á⨠1,   ¬−®£®®¡à §¨¥, ª®â®à®¥ ®−  ®¯à¥¤¥«ï¥â, | íâ® ®ªàã¦−®áâì S 1 = |F |. − «®£¨ç−® ¬®¦−® ãáâ −®¢¨âì, çâ® R- «£¥¡à  F = {f ∈ C ∞ (R2 ) f(r1 + 1, r2 ) = f(r1 , r2 ) ∀(r1 , r2) ∈ R2 } ï¥âáï £« ¤ª®©  «£¥¡à®© à §¬¥à−®á⨠2. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¯à®áâà −á⢮ M = |F | £®¬¥®¬®àä−® 樫¨−¤àã. 4.6. “¯à ¦−¥−¨¥.  áᬮâà¨â¥ ¢−¨¬ â¥«ì−¥¥ ¯à¥¤ë¤ã騩 ¯à¨¬¥à ¨ − ©¤¨â¥ ®è¨¡ªã ¢ á«¥¤ãî饬 à áá㦤¥−¨¨: úâ ª ª ª ¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï á ¯¥à¨®¤®¬ 1 ¯à¨−¨¬ ¥â ®¤−® ¨ ⮦¥ ª®−¥ç−®¥ §− ç¥−¨¥ § ¬ª−ã⮣® ¨−â¥à¢ «   ¢ ª®−æ å  ∞ [0, 1], ⮣¤  ª ª  «£¥¡à  C ]0, 1[ ᮤ¥à¦¨â ª ª −¥®£à −¨ç¥−−ë¥ äã−ªæ¨¨, â ª ¨ äã−ªæ¨¨, ¨¬¥î騥 à §«¨ç−ë¥ ¯à¥¤¥«ë ¢ â®çª å 0 ¨ 1, â®  «£¥¡à  F ]0,1[ (£¤¥ F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −    R á ¯¥à¨®¤®¬ 1) −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§®¬®àä−®©  «£¥¡à¥ C ∞ ]0, 1[ û. 4.7. ਬ¥àë. I. F = {f ∈ C ∞(R2 ) f(r1 , r2 ) = f(r1 + 1, −r2) ¤«ï ¢á¥å (r1 , r2) ∈ R2 }. à®áâà −á⢮ |F | − §ë¢ ¥âáï ®âªàëâë¬ «¨á⮬ Œñ¡¨ãá . r1

r2

¨á. 4.1. II. F = {f ∈ C ∞ (š) f(r1 , r2) = f(r1 + 1, −r2 ) ¤«ï ¢á¥å (r1, r2 ) ∈ š}, £¤¥ š | ¯®«®á  {(r1 , r2 ) ∈ Rr − 1  r2  1}.

64

ƒ« ¢  4

â® £« ¤ª ï  «£¥¡à  á ªà ¥¬,   ¯à®áâà −á⢮ |F | ¨§¢¥áâ−® ª ª (§ ¬ª−ãâë©) «¨áâ Œñ¡¨ãá  (á¬. à¨á. 4.1).

¨á. 4.2. III.  áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ¯®¤ «£¥¡àã  «£¥¡àë C ∞(R2 ): F = {f ∈ C ∞(R2 ) f(r1 , r2) = f(r1 + 1, −r2 ) = f(r1 , r2 + 1) ¤«ï ¢á¥å (r1 , r2) ∈ R2 }. ˆá¯®«ì§ãï äã−ªæ¨¨ g1 (r1 , r2 ) = sin2 πr1,

h1 (r1, r2 ) = sin2 πr2,

g2 (r1 , r2) = cos2 πr1,

h2 (r1, r2 ) = cos2 πr2,

¬®¦−® ¯®ªàëâì ¯à®áâà −á⢮ |F | ç¥âëàì¬ï ®âªàëâ묨 ¬−®¦¥á⢠¬¨ Uik = {(r1 , r2 ) ∈ |F | gi (r1, r2 ) = 0, hk (r1, r2 ) = 0}, i, k = 1, 2.

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

65

„«ï ª ¦¤®£® ¨§ íâ¨å ¬−®¦¥á⢠«¥£ª® áâநâáï £®¬¥®¬®à䨧¬ −  ®âªàëâë© ª¢ ¤à â, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨§®¬®à䨧¬ã R- «£¥¡àë F U −   «£¥¡àã £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ®âªàë⮬ ª¢ ¤à â¥. ®ik í⮬ã F U ∼ = C ∞ (R2 ) ¨ F ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®© à §ik ¬¥à−®á⨠2. à®áâà −á⢮ |F | ¨§¢¥áâ−® ª ª ¡ãâ뫪  Š«¥©− . ®«¥§−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥, ª ª ª¢ ¤à âë Uik ú᪫¥¨¢ îâáïû ¯à¨ ¨å ¯®£à㦥−¨¨ ¢ |F |.  ç «® í⮣® ¯à®æ¥áá  ¨§®¡à ¦¥−® −  à¨á. 4.2. —â® ¯à®¨§®©¤¥â, ¥á«¨ ¯à®æ¥áá ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¢ âà¥å¬¥à−®¬ ¯à®áâà −á⢥, ¯®ª § −® −  à¨á. 4.3 (−  á ¬®¬ ¤¥«¥ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥−¨ï ¯® ¬ «¥−쪮© ®ªàã¦−®á⨠㠡ãâ뫪¨ Š«¥©−  −¥â, ¢ ¤ −−®¬ á«ãç ¥ ¥£® − «¨ç¨¥ ¢ë§¢ −® ⥬, çâ® ¡ãâ뫪  Š«¥©−  −¥ ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ âà¥å¬¥à−®¥ ¯à®áâà −á⢮). 4.8. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® R- «£¥¡à  F = {f ∈ C ∞ (R2 ) | f(r1 , r2 ) = f(r1 + 1, −r2) = f(−r1 , r2 + 1),

(r1, r2 ) ∈ R2 }

£« ¤ª ï.  ©¤¨â¥ ª ª ¬®¦−® ¡®«ìè¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¯¨á −¨© ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà −á⢠ |F |. „®ª ¦¨â¥, − ¯à¨¬¥à, çâ® |F | £®¬¥®¬®àä−® ¯à®áâà −áâ¢ã, â®çª ¬¨ ª®â®à®£® ïîâáï ¯àï¬ë¥ ¢ R3 , ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ − ç «® ª®®à¤¨− â. 4.9. ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ á ªà ¥¬ M = |F |.  ¯®¬−¨¬, ç⮠ᮣ« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 4.2 â®çªã p ∈ M ¬ë − §ë¢ ¥¬ £à −¨ç−®© â®çª®© ¬−®£®®¡à §¨ï M, ¥á«¨ ®−  ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £à −¨ç−®© â®çª¥ ¯®«ã¯à®áâà −á⢠ Rn+. Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å £à −¨ç−ëå â®ç¥ª ®¡®§− ç ¥âáï ∂M ¨ − §ë¢ ¥âáï ªà ¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. Œë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î ¤®ª § â¥«ìá⢮ á«¥¤ãî饣® ã⢥ত¥−¨ï: ¥á«¨ ªà © ∂M n-¬¥à−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M = |F | −¥ ¯ãáâ, â® F ∂M ï¥âáï £« ¤ª®©  «£¥¡à®© à §¬¥à−®á⨠(n − 1) ¨ ã ∂M −¥â £à −¨ç−ëå â®ç¥ª. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. „®ª ¦¨â¥ á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥−¨¥ ¥á«¨ ªà © ∂M n-¬¥à−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M = |F | −¥ ¯ãáâ, â® F ∂M | £« ¤ª ï  «£¥¡à  à §¬¥à−®á⨠(n−1) ¨ ∂M −¥ ¨¬¥¥â £à −¨ç−ëå â®ç¥ª (á¬. ¢â®à®¥ ã¯à ¦−¥−¨¥ ¢ ¯. 4.2).

66

ƒ« ¢  4

¨á. 4.3. 2. ஢¥àìâ¥, çâ® ¬−®£®®¡à §¨¥ ∂|F | ¢ ¯à¨¬¥à¥ 4.7 (II) ¬®¦−® ®â®¦¤¥á⢨âì á ®ªàã¦−®áâìî (á¬. ¯. 4.5). 4.10. ‡ ¬¥ç −¨¥. „ «¥ª® −¥ ®ç¥¢¨¤−®, çâ® à §¬¥à−®áâì £« ¤ª®©  «£¥¡àë ®¯à¥¤¥«¥−  ª®à४â−®, â. ¥. ®â ¢ë¡® −¥ § ¢¨á¨â à  ¯®ªàëâ¨ï {Uk } ¨ ¨§®¬®à䨧¬®¢ F Uk ∼ = C ∞ (Rn) (á¬. ¯. 4.1). â® −¥¯®á।á⢥−−® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣® ä ªâ , çâ®  «£¥¡àë C ∞ (Rn ) ¨ C ∞ (Rm ) −¥ ¨§®¬®àä−ë ¯à¨ n = m. —¨â â¥«ì, âé â¥«ì−® ¯à®à ¡®â ¢è¨© ¯à¥¤ë¤ã騥 ¯à¨¬¥àë, −¥á®¬−¥−−® çã¢áâ¢ã¥â, çâ® íâ®â 䠪⠢¥à¥−.  ¡®«¥¥ ®¯ëâ−ë© ç¨â â¥«ì, ¢®§¬®¦−®, ᬮ¦¥â ¥£® «¥£ª® ¤®ª § âì á ¯®¬®éìî

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

67

â¥®à¥¬ë ‘ à¤  ®¡ ®á®¡ëå â®çª å £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨©. Œë ¦¥ ¤ ¤¨¬ áâண®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ⮫쪮 ¢ £« ¢¥ 9, £¤¥ íâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ 㬥áâ−ë¬.  ¯®ª  çâ® ç¨â â¥«ì-᪥¯â¨ª ¬®¦¥â à áᬠâਢ âì à §¬¥à−®áâì ª ª ¨−¢ à¨ −â ¯®ªàëâ¨ï {Uk },   −¥ á ¬®© £« ¤ª®©  «£¥¡àë F . 4.11. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M,   N ⊂ M = |F | | ¥£® ¯®¤¬−®¦¥á⢮. …᫨  «£¥¡à  FN = F N ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®©, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® N ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M,   FN |  «£¥¡à®© £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¨ N. …᫨ £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï i : F → FN áîàꥪ⨢¥−, £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ N ⊂ M = |F | − §ë¢ ¥âáï § ¬ª−ãâë¬. 4.12. ãáâì N | § ¬ª−ã⮥ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï M. „®áâ â®ç−® «¨ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−ë ¡ë«¨ ¬ë ¢ 4.11, £®¢®àï ®¡ FN ª ª ®¡ ú «£¥¡à¥ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ Nû? ⢥â −  íâ®â ¢®¯à®á ¤ ¥â á«¥¤ãî饥 ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M ¨ N ⊂ M = |F | | § ¬ª−ã⮥ £« ¤ª®¥ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥. ’®£¤  I. N § ¬ª−ãâ® ª ª ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà −á⢠ M; II. N = |FN |.
I. ãáâì a ∈ M
N | ¯à¥¤¥«ì− ï â®çª  ¬−®¦¥á⢠ N,   U ⊂ M | â ª ï ¥¥ ®ªà¥áâ−®áâì, çâ® F U ∼ = C ∞ (Rn ). â®â ¨§®¬®à䨧¬ ¬®¦−® ¢ë¡à âì â ª, ç⮡ë í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë F U , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®®à¤¨− â−ë¬ äã−ªæ¨ï¬ r1 , . . . , rn ∈ C ∞ (Rn), ®¡à é «¨áì ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ a.  áᬮâਬ äã−ªæ¨î −  U
a, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî äã−ªæ¨¨ 1/(r12 +. . .+rn2 ). â  äã−ªæ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥−  á −¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ−®á⨠U 
a â®çª¨ a ¤® £« ¤ª®© äã−ªæ¨¨ g −  ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¨ M
a.

68

ƒ« ¢  4

¯à¨− ¤«¥¦¨â  «£¥¡à¥ 祢¨¤−®, çâ® ®£à −¨ç¥−¨¥ g N F N = FN , −® −¥ ¯à¨− ¤«¥¦¨â ®¡à §ã £®¬®¬®à䨧¬  ®£à −¨ç¥−¨ï i : F → F N . â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® a ∈ N. II.  áᬮâਬ ⥯¥àì R-â®çªã b : FN → R ¨ ª®¬¯®§¨æ¨î c = b ◦i : F → R. ।¯®«®¦¨¬, çâ® c ∈ / N. ¡®¡é ï á«¥¤á⢨¥ 2.5, ¯®áâந¬ â ªãî äã−ªæ¨î f ∈ F , çâ® f N ≡ 0, f(c) = 0. ® ⮣¤  i(f) = 0 ¨ f(c) = 0. ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¦¥−¨¥ b → c = b ◦ i ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥© |FN | −  N. ‚¬¥áâ¥ á ¯à¥¤«®¦¥−¨¥¬ 3.29 íâ® ¤ ¥â âà¥¡ã¥¬ë© à¥§ã«ìâ â.  4.13. ਬ¥à.  áᬮâਬ ¢ R2 ¬−®¦¥á⢮ S 1 , § ¤ ¢ ¥2 2 ¬®¥ ãà ¢−¥−¨¥¬ r1 + r2 − 1 = 0. ஢¥à¨¬, çâ® R- «£¥¡à  ∞ 2 FS1 = C (R ) S1 ¨§®¬®àä−   «£¥¡à¥ £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© R, ¯¥à¨®¤ ª®â®àëå à ¢¥− 1 (á¬. ¯à¨¬¥à 4.5).
‘− ç «  § ¬¥â¨¬, çâ® FS1 = C ∞ (R2 )|S1 = C ∞ (R2 \ {0})|S1 ¨ à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ w : R → S 1 ⊂ R2 ,

r → (cos 2πr, sin 2πr).

祢¨¤−®, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à |w| : FS1 → C ∞ (R), |w|(f)(r) = f(w(r)) = f(cos 2πr, sin 2πr),

r ∈ R.

∞ ¨−ꥪ⨢¥− ¨ ¥£® ®¡à § ᮤ¥à¦¨â ¯®¤ «£¥¡àã Cper (R) £« ¤ª¨å 1-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© −  R. —â®¡ë ¤®ª § âì, çâ® £®¬®¬®à∞ 䨧¬ |w| áîàꥪ⨢¥−, à áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ ι : Cper (R) → ∞ 2 C (R \ {0}) ®¯à¥¤¥«¥−−ë© á®£« á−® ä®à¬ã«¥  arg z  , z = r1 + ir2 . ι(f)(r1 , r2 ) = f 2π

祢¨¤−®, |w|(ι(f)|S1 ) = f.  “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡ ï £« ¤ª ï −¥ç¥â− ï äã−ªæ¨ï ¯¥à¨®¤  2π −  ¯àאַ© ¨¬¥¥â ¢¨¤ g(x) sin x, £¤¥ g(x) | £« ¤ª ï −¥ç¥â− ï äã−ªæ¨ï ¯¥à¨®¤  2π.

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

69

2. ‚¥à−® «¨, çâ® «î¡ ï £« ¤ª ï ç¥â− ï äã−ªæ¨ï −  ¯àאַ© á ¯¥à¨®¤®¬ 2π ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ f(cos x) ¤«ï −¥ª®â®à®© äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞ (R)? 4.14.  ¯®¬−¨¬, çâ® ®£à −¨ç¥−¨¥ í«¥¬¥−⮢ R- «£¥¡àë F −  ¯®¤¬−®¦¥á⢮ N ⊂ |F | ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥−® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ (á¬. ¯. 3.23). ¤− ª® ¥á«¨ N ⊂ |F | ï¥âáï § ¬ª−ãâë¬ £« ¤ª¨¬ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬, â® ¥áâì ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ᯮᮡ ®¯à¥¤¥«¨âì  «£¥¡àã FN = F N . ˆ¬¥−−®, ¯ãáâì AN ⊂ F | ¬−®¦¥á⢮ í«¥¬¥−⮢  «£¥¡àë F , ®¡à é îé¨åáï ¢ −ã«ì −  N, â. ¥. AN = {f ∈ F ∀a ∈ N, f(a) = 0}. â®, ®ç¥¢¨¤−®, ¨¤¥ «  «£¥¡àë F , ¨ ¬®¦−® à áᬮâà¥âì ä ªâ®à «£¥¡àã F /AN . ‘ãé¥áâ¢ã¥â (á¬. ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 4.12) ®ç¥¢¨¤−®¥ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ ä ªâ®à «£¥¡àë F /AN ¨  «£¥¡àë FN = F N , ¤«ï ª®â®à®£® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ ϕ : F → F /AN áâ −®¢¨âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ ®£à −¨ç¥−¨ï p : F → FN F N

`BB BB B p BBB

F /AN

F

< yy yy y yy ϕ yy

4.15. ਬ¥à. ãáâì S 1 | ®ªàã¦−®áâì ¨§ ¯à¨¬¥à  4.13. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, AS1 | £« ¢−ë© ¨¤¥ « ¢ C ∞ (R2 ), ¯®à®¦¤¥−−ë© äã−ªæ¨¥© r12 + r22 − 1.
ãáâì f ∈ AS1 . „®ª ¦¥¬, çâ® f(r1 , r2 ) = g(r1 , r2 ) · (r12 + r22 − 1) ¤«ï −¥ª®â®à®© äã−ªæ¨¨ g ∈ C ∞ (R2). ‚¢¨¤ã ¯®«−®âë  «£¥¡àë C ∞ (R2) ¤®áâ â®ç−® ¯®áâநâì äã−ªæ¨î g ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠®ªàã¦−®á⨠S 1 , ᪠¦¥¬ ¢ R2 \{0}. „«ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬

70

ƒ« ¢  4

¢á¯®¬®£ â¥«ì−ë¥ äã−ªæ¨¨ 1−t u(t, r1, r2 ) = t +  , r12 + r22 h(t, r1, r2 ) = f (r1 · u(t, r1, r2), r2 · u(t, r1, r2)) ¨, ¨á¯®«ì§ãï ®ç¥¢¨¤−ë¥ á®®â−®è¥−¨ï r12 + r22 − 1 1 ∂u  = , = 1−  2 ∂t r1 + r22 r12 + r22 + r12 + r22 h(0, r1 , r2) = 0 (â ª ª ª f ∈ AS1 ), h(1, r1 , r2) = f(r1 , r2 ), ¯®«ã稬

1 f(r1 , r2 ) = 1 =

0



∂h (t, r1, r2 )dt = ∂t

0

 ∂f ∂f r1 (r1u, r2 u) + r2 (r1 u, r2u) dt ∂r1 ∂r2  · (r12 + r22 − 1). 2 2 2 2 r1 + r2 + r1 + r2

¥à¢ë© ᮬ−®¦¨â¥«ì ¢ ¯®á«¥¤−¥¬ ¢ëà ¦¥−¨¨ ¨ ¥áâì ¨áª®¬ ï äã−ªæ¨ï g(r1 , r2).  4.16. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì A = C ∞ (R2). ®ª ¦¨â¥ çâ®  «£¥¡à  A/(y 2 − x3)A −¥ ï¥âáï £« ¤ª®©. ‘â −¤ àâ−ë© ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥−¨î ¯®¤®¡−ëå § ¤ ç ®á−®¢ − −  á«¥¤ãîé¨å á®®¡à ¦¥−¨ïå: 1. …᫨  «£¥¡à  ï¥âáï £« ¤ª®©, â® ¥¥ «®ª «¨§ æ¨ï ¯® ¬ ªá¨¬ «ì−®¬ã ¨¤¥ «ã ¨§¬®àä−   «£¥¡à¥ à®á⪮¢ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  −¥ª®â®à®¬ ¯à®áâà −á⢥ Rk ¢ − ç «¥ ª®®à¤¨− â, á¬. ¯à¨¬¥à III −  áâà. 212; 2. ”®à¬ «ì−®¥ ¯®¯®«−¥−¨¥ í⮩ «®ª «¨§ æ¨¨ ¨§®¬®àä−®  «£¥¡à¥ ä®à¬ «ì−ëå á⥯¥−−ëå à冷¢.

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

71

‡ ¤ ç , ®¤− ª®, à¥è ¥âáï £®à §¤® ¯à®é¥, ¥á«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì í«¥¬¥−â à−ë¥ á।á⢠ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¢ ª®¬¬ãâ â¨¢−ëå  «£¥¡à å (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 9.34). 4.17. ‹¥¬¬ë. ¥âàã¤−® ®¡®¡é¨âì ã⢥ত¥−¨ï 2.3{2.7 á Rn −  ¯à®¨§¢®«ì−ë¥ ¬−®£®®¡à §¨ï. ‚ ç áâ−®áâ¨, ¤«ï «î¡®©  «£¥¡àë F £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥−¨ï. I. „«ï «î¡®£® ®âªàë⮣® ¬−®¦¥á⢠ U ⊂ M áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ F , çâ® f(x) > 0 f(x) = 0

¤«ï ¢á¥å x ∈ U, ¯à¨ x∈ / U.

II. „«ï «î¡ëå ¤¢ãå −¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï § ¬ª−ãâëå ¯®¤¬−®¦¥á⢠A, B ⊂ M − ©¤¥âáï â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ F , çâ® f(x) = 0 f(x) = 1 0 0: hλ (f)(r1 , . . . , rn+1 ) = f(λr1 , . . . , λrn+1 ) ¤«ï ¢á¥å f ∈ F ,

(r1 , . . . , rn+1 ) ∈ Rn+1
{0}.

ª §ë¢ ¥âáï, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ä ªâ®à¬−®¦¥á⢮ ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬. ¡®¡é ï à áá㦤¥−¨¥ ¯. 4.13, ¯®ª · ¦¨â¥, çâ® ä ªâ®à¬−®£®®¡à §¨¥ Rn+1 /R+ ¬®¦¥â ¡ëâì ®â®¦¤¥á⢫¥−® á § ¬ª−ãâë¬ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¢ Rn+1 , â®çª¨ ª®â®à®£® 2 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢−¥−¨î r12 + . . . + rn+1 = 1. â® n-¬¥à− ï áä¥à  S. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¨¤¥ « ASn = {f ∈ F , f(a) = 0 ¤«ï ¢á¥å a ∈ S n } ï¥âáï £« ¢−ë¬ ¨¤¥ «®¬, ¯®à®¦¤¥−−ë¬ äã−ª2 樥© (r1 , . . . , rn+1 ) → r12 + . . . + rn+1 − 1.
II. ‚ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥ § ¬¥−¨¬ £à㯯ã R+ −  ¬ã«ì⨷ ¯«¨ª â¨¢−ãî £à㯯ã R ¢á¥å −¥−ã«¥¢ëå ¤¥©á⢨⥫ì−ëå ç¨á¥« (á ¤¥©á⢨¥¬, ®¯¨á뢠¥¬ë¬ ⮩ ¦¥ ä®à¬ã«®©). „®ª ¦¨â¥, çâ® ä ªâ®à¨§ æ¨ï ¯à®áâà −á⢠ M = |F | ¯® í⮬㠤¥©áâ¢¨î ¯à¨¢®¤¨â ª £« ¤ª®¬ã ¬−®£®®¡à §¨î. ਠn = 2 ¯à®¢¥àìâ¥, çâ® ¥£® ¬®¦−® ®â®¦¤¥á⢨âì á ¯à®¥ªâ¨¢−®© ¯«®áª®áâìî (á¬. ¯. 4.8). ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ íâ® ¬−®£®®¡à §¨¥ ¨§¢¥áâ−® ª ª n-¬¥à−®¥ ¤¥©á⢨⥫ì−®¥ ¯à®¥ªâ¨¢−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¨ ®¡®§− ç ¥âáï RP n . III. RP n ¬®¦−® â ª¦¥ ¯®«ãç¨âì ¨§ S n , n  1, ä ªâ®à¨§ãï · · ¯® ¤¥©áâ¢¨î £à㯯ë Z2 = R /R+ . ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì, çâ® ä ªâ®à¯à®áâà −á⢮ ¯®«ãç¥−® ú᪫¥¨¢ −¨¥¬û ¢á¥å ¯ à ¤¨ ¬¥âà «ì−® ¯à®â¨¢®¯®«®¦−ëå â®ç¥ª −  áä¥à¥. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® RP 1 ∼ = S 1. 4.26. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ãáâì • | £à㯯   ¢â®¬®à䨧¬®¢  «£¥¡àë F = C ∞ (R2 ) á ®¤−®© ®¡à §ãî饩 γ: γ(f)(r1 , r2 ) = f(−r1, −r2 ) ¤«ï ¢á¥å

(r1 , r2) ∈ R2 ,

f ∈ F.

76

ƒ« ¢  4

®ª ¦¨â¥, çâ®  «£¥¡à  F • •-¨−¢ à¨ −â−ëå äã−ªæ¨© −¥ ï¥âáï £« ¤ª®© (¨ ¤ ¦¥ £« ¤ª®© á ªà ¥¬). 2. ãáâì • | £à㯯  ¢à é¥−¨© ¯«®áª®á⨠¢®ªà㣠− ç «  ª®®à¤¨− â:   cos ϕ − sin ϕ |γ| = , sin ϕ cos ϕ γ(f)(r1 , r2 ) = f(r1 cos ϕ − r2 sin ϕ, r1 sin ϕ + r2 cos ϕ) ¤«ï ¢á¥å (r1 , r2) ∈ R2 , f ∈ F = C ∞ (R2 ). ®ª ¦¨â¥ çâ® ¯à®áâà −á⢮ |F •| ¥áâì § ¬ª−ãâ ï ¯®«ã¯àﬠï â ª çâ® F • |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ á ªà ¥¬. ¡êïá−¨â¥, ¯®ç¥¬ã íâ   «£¥¡à  −¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á® ¢á¥©  «£¥¡à®© £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¯®«ã¯àאַ©? 4.27. ‡ ¬¥ç −¨ï. I. ® àï¤ã ¯à¨ç¨− ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ £à㯯®¢®£® ¤¥©á⢨ï −  ¬−®£®®¡à §¨¨, ¤ −−®¥ ¢ ¯. 4.19, −¥ ®ç¥−ì 㤠ç−®, ¨ ¥£® á«¥¤ã¥â áç¨â âì ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì−ë¬. “¤®¢«¥â¢®à¨â¥«ì−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¡ã¤¥â ¤ −® ⮫쪮 ¢ ¯. 6.10. II. Šà®¬¥ ⮣®, ã − á −¥â 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì−®£® ªà¨â¥à¨ï £« ¤ª®á⨠ «£¥¡àë F • •-¨−¢ à¨ −â−ëå äã−ªæ¨©, ¤®áâ â®ç−® ¯à®á⮣®, çâ®¡ë ¬ë ¬®£«¨ ¯à¨¢¥á⨠¥£® §¤¥áì. —¨â â¥«î, ®¤− ª®, ¡ã¤¥â ¯®«¥§−® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ã «î¡®© â®çª¨ a ∈ M áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ−®áâì U ⊂ M, U  a, çâ® |γ|(U)∩U = ∅ ¤«ï «î¡®£® −¥¥¤¨−¨ç−®£® γ ∈ •, â®  «£¥¡à  F • ï¥âáï £« ¤ª®©. III. ‘«¥¤ãî騥 è¥áâì ¯ã−ªâ®¢ ¤® −¥ª®â®à®© á⥯¥−¨ ïîâáï ¯à¥¦¤¥¢à¥¬¥−−묨. ‚¢¨¤ã ¨å ®â−®á¨â¥«ì−®© á«®¦−®á⨠¯à¨ ¯¥à¢®¬ çâ¥−¨¨ í⨠¯ã−ªâë ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯ãé¥−ë. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦−® áࠧ㠯¥à¥å®¤¨âì ª £« ¢¥ 5. 4.28. …᫨ 䨧¨ç¥áª ï á¨á⥬  á®á⮨⠨§ ¤¢ãå −¥§ ¢¨á¨¬ëå ç á⥩, â® ¥áâ¥á⢥−−® ¯®¤ ¥¥ á®áâ®ï−¨¥¬ ¯®−¨¬ âì ¯ àã (a1, a2), £¤¥ a1 ¨ a2 | ᮮ⢥âá⢥−−® á®áâ®ï−¨ï ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ç á⥩. …᫨ á®áâ®ï−¨ï ai à áᬠâਢ âì ª ª â®çª¨ ¬−®£®®¡à §¨© Mi (i = 1, 2), −  ª®â®àëå ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−ë ¨ å®à®è® ¨§¢¥áâ−ë

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

77

 «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© Fi , ¯®«¥§−® ®¯à¥¤¥«¨âì ¬−®£®®¡à §¨¥ M á®áâ®ï−¨© 楫®© á¨á⥬ë ç¥à¥§ í⨠ «£¥¡àë. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì F1 F2 | £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ R- «£¥¡àë. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¨å â¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ F1 ⊗ F2 â ª¦¥ ï¥âáï R

£¥®¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡à®©. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. «£¥¡à  F = F1 ⊗ F2 (£« ¤ª ï ®¡®«®çª  (á¬. ¯. R

3.37) â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï F1 ⊗ F2 ª®¬¬ãâ â¨¢−ëå  «£¥¡à) R

− §ë¢ ¥âáï  «£¥¡à®© £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¤¥ª à⮢®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© M1 ¨ M2 . ‚ á«¥¤ãî饬 ¯ã−ªâ¥ ¬ë ¯à¨¢¥¤¥¬ ®¡®á−®¢ −¨¥ í⮩ â¥à¬¨−®«®£¨¨. 4.29. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì F | ú «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¤¥ª à⮢®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© M1 ¨ M2 û. ’®£¤  |F | ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥ £®¬¥®¬®àä−® ¤¥ª à⮢㠯ந§¢¥¤¥−¨î ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®áâà −á⢠M1 = |F1| ¨ M2 = |F2 |. (Œë ¯à¥¤« £ ¥¬ ç¨â â¥«î ¥é¥ à § ¢¥à−ãâìáï ª í⮬㠤®ª § â¥«ìáâ¢ã ¯®á«¥ ¯à®çâ¥−¨ï £« ¢ë 6.)
 è¥© 楫ìî ï¥âáï ®â®¦¤¥á⢨âì ¯à®áâà −á⢮ M1 × M2 á ¬−®¦¥á⢮¬ R-â®ç¥ª  «£¥¡àë F = F1 ⊗ F2 . Š ¦¤®© ¯ à¥ R

(a1, a2) ∈ M1 × M2 ᮯ®áâ ¢¨¬ £®¬®¬®à䨧¬ a1 ⊗ a2: F1 ⊗ F2 → R, R

f1 ⊗ f2 → f1 (a1) · f2(a2 ),

fi ∈ Fi

(i = 1, 2).

‡ ¬¥â¨¬, çâ®  «£¥¡à  R C ∞-§ ¬ª−ãâ  (á¬. ¯. 3.32). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ £®¬®¬®à䨧¬ a1 ⊗ a2 ¬®¦−® ¥¤¨−á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®¤®«¦¨âì ¤® £®¬®¬®à䨧¬  a1 ⊗ a2 : F = F1 ⊗ F2 −→ R. R

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®áâ஥−® ®â®¡à ¦¥−¨¥ π : M1 × M2 → |F |,

(a1 , a2) → a1 ⊗ a2 .

−® ¨−ꥪ⨢−®: ¥á«¨ a1 ⊗ a2 ᮢ¯ ¤ ¥â á a1 ⊗ a2 , â®, ãç¨â뢠ï, çâ® í⨠£®¬®¬®à䨧¬ë ᮢ¯ ¤ îâ −  í«¥¬¥−â å ¢¨¤  f1 ⊗ 1

78

ƒ« ¢  4

¨ 1 ⊗ f2, âãâ ¦¥ ¯®«ã稬 fi (ai) = fi (ai ) ¤«ï ¢á¥å

fi ∈ Fi ,

i = 1, 2.

’ ª ª ª  «£¥¡àë Fi £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥, â® ai = ai , ®âªã¤  ¢ë⥪ ¥â ¨−ꥪ⨢−®áâì π. ‘îàꥪ⨢−®áâì π á«¥¤ã¥â ¨§ í«¥¬¥−â à−ëå ᢮©á⢠â¥−§®à−ëå ¯à®¨§¢¥¤¥−¨©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, π ®â®¦¤¥á⢫ï¥â M1 × M2 ¨ |F | ª ª ¬−®¦¥á⢠. áâ «®áì ¤®ª § âì, çâ® π ¯¥à¥¢®¤¨â áâ −¤ àâ−ãî ⮯®«®£¨î ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï M1 × M2 ¢ ⮯®«®£¨î ¯à®áâà −á⢠ |F | (á¬. ¯. 3.12).  áᬮâਬ ¡ §¨á ®âªàëâëå ¬−®¦¥á⢠¢ M1 × M2 , í«¥¬¥−âë ª®â®à®£® ¨¬¥îâ ¢¨¤ U1 × U2 , £¤¥ Ui = {a ∈ Mi | αi < fi (a) < βi},

fi ∈ Fi , αi , βi ∈ R, i = 1, 2.

’®£¤  ¬−®¦¥á⢠ V1 = U1 × M2 ={(a1, a2) | α1 < a1 ⊗ a2(f1 ⊗ 1) < β1}, V2 = M1 × U2 ={(a1, a2) | α2 < a1 ⊗ a2(1 ⊗ f2) < β2} ®âªàëâë ¢ ⮯®«®£¨¨, ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®© ¢ M1 × M2 ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ π. Šà®¬¥ ⮣®, V1 ∩ V2 = U1 × U2 . ¡à â−®, ¨§ ª®−áâàãªæ¨¨ £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ (á¬. ¯. 3.37) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¯®áâ஥−¨ï ¡ §¨á  ⮯®«®£¨¨ ¢ |F | ¬®¦−® ¢§ïâì ¯à®¨§¢®«ì−®¥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¢ F , ª®â®à®¥ ¯®à®¦¤ ¥â ¯®¤ «£¥¡àã á £« ¤ª®© ®¡®«®çª®©, ᮢ¯ ¤ î饩 á F . ‚ ¤ −−®¬ á«ãç ¥ ¤®áâ â®ç−® ¢§ïâì ¬−®¦¥á⢮ äã−ªæ¨© ¢¨¤  f1 ⊗ f2 , fi ∈ Fi , i = 1, 2.  áᬮâਬ ¡ §¨á−®¥ ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 â ª®© äã−ªæ¨¨: V = {(a1, a2 ) ∈ M1 × M2 = |F | α < f1 (a1)f2 (a2) < β}, α, β ∈ R. ãáâì r1 , r2 | ª®®à¤¨− âë −  ¯«®áª®á⨠R2 . Œ−®¦¥á⢮ â®ç¥ª í⮩ ¯«®áª®áâ¨, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å −¥à ¢¥−áâ¢ã α < r1 r2 < β, ®âªàëâ® ¨ ¢¬¥áâ¥ á «î¡®© ¨§ ᢮¨å â®ç¥ª ᮤ¥à¦¨â ¯àאַ㣮«ì−¨ª {(r1, r2 ) | α1 < r1 < β1; α2 < r2 < β2} (á¬. à¨á. 4.5).

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

79

¨á. 4.5. ®í⮬ã V ï¥âáï ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥¬ ¬−®¦¥á⢠¢¨¤  {(a1, a2) ∈ M1 × M2 | α1 < f1 (a1) < β1, α2 < f2 (a2) < β2},   §− ç¨â ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ M1 × M2 .



4.30. ‹¥¬¬ -¯à¨¬¥à. ƒ« ¤ª ï ®¡®«®çª  R- «£¥¡àë C ∞ (Rk ) ⊗ C ∞ (Rl ) R

¨§®¬®àä−  R- «£¥¡à¥ C ∞(Rk+l ).
 áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à i : C ∞ (Rk ) ⊗ C ∞ (Rl ) −→ C ∞ (Rk+l ), R

i(f ⊗ g)(r 1 , . . . , rk+l ) = f(r1 , . . . , rk ) · g(rk+1 , . . . , rk+l ). ®ª ¦¥¬, çâ® i 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ (á¬. ¯. 3.37). ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì
: C ∞ (Rk ) ⊗ C ∞ (Rl ) → F R

∞

| £®¬®¬®à䨧¬ ¢ C -§ ¬ª−ãâãî (3.29) R- «£¥¡àã F .

80

ƒ« ¢  4

ƒ®¬®¬®à䨧¬
 : C ∞(Rk+l ) → F ï¥âáï ¯à®¤®«¦¥−¨¥¬
(â. ¥.
=
 ◦ i) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¤«ï ¢á¥å (r1 , . . . , rk ) ∈ Rk , (s1 , . . . , sl ) ∈ Rl , g ∈ C ∞ (Rk+l ) ¢ë¯®«−ï¥âáï á®®â−®è¥−¨¥
 (g) = g(
(r1 ⊗ 1), . . . ,
(rk ⊗ 1),
(1 ⊗ s1 ), . . . ,
(1 ⊗ sl )). (‡¤¥áì ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ri ¨ sj ª ª äã−ªæ¨¨ −  Rk ¨ Rl , ¨ ¢¢¨¤ã C ∞ -§ ¬ª−ãâ®á⨠ «£¥¡àë F ¢ëà ¦¥−¨¥ á¯à ¢  ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−®.) ’ ª ª ª ¯®á«¥¤−ïï ä®à¬ã«  ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−  ¤«ï «î¡®£® g ∈ C ∞ (Rk+l ), âà¥¡ã¥¬ë© £®¬®¬®à䨧¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨−á⢥−¥−. ‚¢¨¤ã â¥®à¥¬ë ® ¥¤¨−á⢥−−®á⨠(á¬. ¯. 3.38) «¥¬¬  ¤®ª § − .  4.31. ।«®¦¥−¨¥. …᫨ R- «£¥¡àë F1 ¨ F2 ïîâáï £« ¤ª¨¬¨, â® £« ¤ª®© ¡ã¤¥â ¨  «£¥¡à  F = F1 ⊗ F2 (4.28). R


Œë 㪠¦¥¬ §¤¥áì ⮫쪮 ®á−®¢−ë¥ ¨¤¥¨, ®áâ ¢¨¢ ¤¥â «¨ ãá¥à¤−®¬ã ç¨â â¥«î (á¬. ¯. 4.29). ai ∈ Mi = |Fi | ¨ Ui  ai | â ª¨¥ ®ªà¥áâ−®áâ¨, çâ® ãáâì ∞ ∼ Fi Ui = C (Rni ), i = 1, 2. ®áâ à ¥¬áï ãáâ −®¢¨âì ¨§®¬®à䨧¬ F U1 ×U2 ∼ = C ∞ (Rn1 +n2 ). ‚¢¨¤ã ¯. 4.30 ¤®áâ â®ç−® ¯®ª § âì, çâ® F U1 ×U2 ∼ = F1 U1 ⊗ F2 U2 . R

® ª ª ¡ë«® ¯®ª § −® ¢ëè¥, áãé¥áâ¢ã¥â £®¬®¬®à䨧¬ i : F1 U1 ⊗ F2 U2 −→ F U1 ×U2 , R

㤮¢«¥â¢®àïî騩, ª ª ®ª §ë¢ ¥âáï, ãá«®¢¨î ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨. 

ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

81

“¯à ¦−¥−¨ï. 1. ãáâì F1 | £« ¤ª ï  «£¥¡à  á ªà ¥¬ (á¬. ¯. 4.2) ¨ let F2 | £« ¤ª ï  «£¥¡à . ‘«¥¤ãï ¤®ª § â¥«ìáâ¢ã ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¥¤«®¦¥−¨ï, ¯®ª ¦¨â¥, çâ® F = F1 ⊗ F2 | R

£« ¤ª ï  «£¥¡à  á ªà ¥¬. 2. áâ −¥âáï «¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¯à¥¤ë¤ã饥 ã⢥ত¥−¨¥, ¥á«¨ F2 â ª¦¥ ¡ã¤¥â £« ¤ª®©  «£¥¡à®© á ªà ¥¬? 4.32. ਬ¥àë. I. –¨«¨−¤à ¢ ¯à¨¬¥à¥ 4.5 (II) ï¥âáï ¤¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥¬ ®ªàã¦−®á⨠S 1 ¨ ¯àאַ© R. II. n-¬¥à−ë© â®à T n (á¬. 4.24 (III)) ï¥âáï ¤¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥¬ T n−1 ¨ S 1 . ‚ ç áâ−®áâ¨, T 2 = S 1 × S 1 . 4.33. “¯à ¦−¥−¨¥. —¨â â¥«î, ᢥ¤ã饬㠢 ⮯®«®£¨¨, ®ç¥−ì ¯®«¥§−® ¡ã¤¥â ¤®ª § âì, çâ® «¨áâ Œñ¡¨ãá  (4.7 (I)) −¥ ï¥âáï ¤¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥¬ R ¨ S 1 (íâ® ¬®¦−® ¤®ª § âì ¨ ¡¥§ ¯®¬®é¨ ¬®é−ëå ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢).

ƒ« ¢  5

Š’› ˆ ’‹‘›

5.1. ‚ í⮩ £« ¢¥ ¨−âã¨â¨¢− ï ¨¤¥ï ú¢¢¥¤¥−¨ï «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− âû ®ä®à¬«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ áâண®£® ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬®£® ¬−®£®®¡à §¨ï. â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, ª®−¥ç−® ¦¥, ®ª ¦¥âáï íª¢¨¢ «¥−â−ë¬  «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ã, ¤ −−®¬ã ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥. „®ª § â¥«ìá⢮ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¡ã¤¥â ¯à¨¢¥¤¥−® ¢ £« ¢¥ 7. Š®®à¤¨− â−ë© ¯®¤å®¤ ¡®«¥¥ âà ¤¨æ¨®−¥− ¨ ¨−®£¤ , ª®−¥ç−®, ¡®«ìè¥ ¯®¤å®¤¨â ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥−¨© (ª®£¤  −ã¦−® çâ®-«¨¡® ¢ëç¨á«¨âì). ¤− ª® íâ®â ¯®¤å®¤ ªã¤  ¬¥−¥¥ 㤮¡¥− ¤«ï à §¢¨â¨ï ⥮ਨ, â ª ª ª âॡã¥â áªãç−ëå ¯à®¢¥à®ª ª®à४â−®á⨠¢¢®¤¨¬ëå á ¯®¬®éìî ª®®à¤¨− â ¯®−ï⨩ ¨ ª®−áâàãªæ¨©, â. ¥. ¨å −¥§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢ë¡®à  «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â. ਠª®®à¤¨− â−®¬ ¯®¤å®¤¥ áâàãªâãà  ¬−®£®®¡à §¨ï −  ¬−®¦¥á⢥ § ¤ ¥âáï á ¯®¬®éìî ᥬ¥©á⢠ ᮣ« á®¢ −−ëå ª àâ, á®áâ ¢«ïîé¨å £« ¤ª¨©  â« á, â ª ¦¥, ª ª ¯®«¨â¨ç¥áª ï áâàãªâãà  −  ¯®¢¥àå−®á⨠‡¥¬«¨ ®¯¨á뢠¥âáï ª àâ ¬¨ £¥®£à ä¨ç¥áª®£®  â« á . ‚뤥«¥−−ë¥ â¥à¬¨−ë ¡ã¤ãâ áâண® ®¯à¥¤¥«¥−ë ¢ á«¥¤ãîé¨å ¯ã−ªâ å. 5.2. Š à⮩ (U, x) −  ¬−®¦¥á⢥ M − §ë¢ ¥âáï ¡¨¥ªæ¨ï x : U → Rn ¯®¤¬−®¦¥á⢠ U ⊂ M −  ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ x(U) ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà −á⢥ Rn . –¥«®¥ ç¨á«® n (n  0) − §ë¢ ¥âáï à §¬¥à−®áâìî ª àâë. ਬ¥àë. I. …᫨ U | ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ ¢ Rn, ⮠⮦¤¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ª àâã (U, id) −  ¬−®¦¥á⢥ Rn . 82

Š àâë ¨  â« áë

ϕ

83

ϕ

A

ψ ψ

¨á. 5.1. II. ãáâì T 2 | ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¤¢®©−®£® ¯«®áª®£® ¬ ïâ−¨ª  (à¨á. 5.1). ’®£¤  (U, s), £¤¥  π π  U = (ϕ, ψ) ∈ T 2 | ϕ, ψ ∈ ]− , [ , 4 4   s ®¡®§− ç ¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ s U  (ϕ, ψ) −→ (sin ϕ, sin ψ) ∈ R2 , ï¥âáï ª à⮩ −  T 2. (‡ ¬¥â¨¬, çâ®, ¯à¨¯¨áë¢ ï ª ¦¤®¬ã ¯®«®¦¥−¨î ¬ ïâ−¨ª  ¥£® ª®−楢ãî â®çªã A ∈ R2, ¬ë −¥ ¯®«ã稬 ª àâë, â. ª. â ª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ −¥ ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©.) III. ãáâì S | £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ z = 1+x2 −y 2. pr ’®£¤  ¢¥à⨪ «ì− ï ¯à®¥ªæ¨ï S  (x, y, z) −→ (x, y) ∈ R2 ®ªà¥áâ−®á⨠U ⊂ S â®çª¨ (0,0,1) ®¯à¥¤¥«ï¥â ª àâã (U, pr) −  S (à¨á. 5.2). 5.3. ãáâì ¤ −  ª àâ  (U, x) ¨ â®çª  a ∈ U. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® x(a) | â®çª  ¢ Rn, â. ¥. x(a) = (r1 , . . . , rn) ∈ Rn ; ç¨á«® ri − §ë¢ ¥âáï i-© ª®®à¤¨− â®© â®çª¨ a, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï äã−ªæ¨ï (ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ª ¦¤®© â®çª¥ a ∈ U ¥¥ i-î ª®®à¤¨− âã) − §ë¢ ¥âáï i-© ª®®à¤¨− â−®© äã−ªæ¨¥© (¢ ª à⥠x); ®−  ®¡®§− ç ¥âáï xi : U → R. Š àâ  ¯®«−®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ n äã−ªæ¨ï¬¨ | ¢ «¨â¥à âãॠ¢ëà ¦¥−¨¥ ú«®ª «ì−ë¥ ª®®à¤¨− âëû ç áâ® ®¡®§− ç ¥â úª àâãû ¨¬¥−−® ¢ í⮬ á¬ëá«¥.

84

ƒ« ¢  5

z

y

x

¨á. 5.2. 5.4. „¢¥ ª àâë (U, x) ¨ (V, y) −  ®¤−®¬ ¨ ⮬ ¦¥ ¬−®¦¥á⢥ M − §ë¢ îâáï ᮣ« á®¢ −−묨, ¥á«¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ § ¬¥−ë ª®®à¤¨− â, â. ¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) → y(U ∩ V ), ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ ®âªàëâëå ¯®¤¬−®¦¥á⢠¢ Rn ¨«¨ U ∩ V = ∅ (á¬. à¨á. 5.3). â−®è¥−¨¥ ᮣ« á®¢ −−®á⨠à¥ä«¥ªá¨¢−®, ᨬ¬¥âà¨ç−® ¨ âà −§¨â¨¢−® (¢ ᨫã ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᢮©á⢠¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ¢ Rn) â ª ç⮠ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å ª àâ −  § ¤ −−®¬ ¬−®¦¥á⢥ M à §¡¨¢ ¥âáï −  ª« ááë íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠(¬−®¦¥á⢠ ᮣ« á®¢ −−ëå ª àâ). ਬ¥àë. I. ‚ᥠª àâë (U, id), £¤¥ U | ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¢ Rn (n 䨪á¨à®¢ −®), ᮣ« á®¢ −ë. II. Š àâ  (U, s) −  ¤¢®©−®¬ ¬ ïâ−¨ª¥ T 2 , ®¯¨á −− ï ¢ ¯. 5.2 (II), −¥ ᮣ« á®¢ −  á ª à⮩ (U, c), £¤¥ c

U  (ϕ, ψ) −→ (sin ϕ, g(ψ)),

Š àâë ¨  â« áë

y

85

x

V U ¨á. 5.3.

  g(ψ) à ¢−® sin ψ ¤«ï ®âà¨æ â¥«ì−ëå ψ ¨ 1−cos ψ ¤«ï −¥®âà¨æ â¥«ì−ëå ψ. à¨ç¨−  í⮣® á®á⮨⠢ ⮬, çâ® § ¬¥−  ª®®à¤¨− â c ◦ s−1 −¥ ï¥âáï £« ¤ª®© ¢ â®çª¥ (0, 0) ∈ R2 . 5.5. ‘¥¬¥©á⢮ A ᮣ« á®¢ −−ëå ª àâ xα : Uα → Rn −  ¬−®¦¥á⢥ M (£¤¥ n  0 䨪á¨à®¢ −®,   α ¯à®¡¥£ ¥â −¥ª®â®à®¥ ¬−®¦¥á⢮ ¨−¤¥ªá®¢J) − §ë¢ ¥âáï  â« á®¬ −  M, ¥á«¨ Uα ¯®ªà뢠îâ M, â. ¥. α∈J Uα = M. –¥«®¥ ç¨á«® n − §ë¢ ¥âáï à §¬¥à−®áâìî  â« á  A. â« á ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì−ë¬, ¥á«¨ ®− −¥ ᮤ¥à¦¨âáï −¨ ¢ ª ª®¬ ¤à㣮¬  â« á¥. 祢¨¤−®, «î¡®©  â« á ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¥¤¨−á⢥−−®¬ ¬ ªá¨¬ «ì−®¬  â« á¥,   ¨¬¥−−® ¢  â« á¥, á®áâ®ï饬 ¨§ ¢á¥å ª àâ, ᮣ« á®¢ −−ëå á ª ¦¤®© ¨§ ª àâ ¤ −−®£®  â« á . „¢   â« á  − §ë¢ îâáï ᮣ« á®¢ −−묨, ¥á«¨ «î¡ ï ª àâ  ®¤−®£®  â« á  ᮣ« á®¢ −  á «î¡®© ª à⮩ ¤à㣮£®. ®á«¥¤−¥¥ ãá«®¢¨¥ à ¢−®á¨«ì−® ⮬ã, çâ® ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥ íâ¨å  â« á®¢ â ª¦¥

86

ƒ« ¢  5

ï¥âáï  â« á®¬. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¬ë ¢®§ì¬¥¬ ¤¢  ᮣ« á®¢ −−ëå  â« á , â® ®−¨, ¢¬¥áâ¥ á ¨å ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥¬, ᮤ¥à¦ âáï ¢ ®¤−®¬ ¨ ⮬ ¦¥ ¬ ªá¨¬ «ì−®¬  â« á¥. â−®è¥−¨¥ ᮣ« á®¢ −−®á⨠ â« á®¢ ï¥âáï à¥ä«¥ªá¨¢−ë¬, ᨬ¬¥âà¨ç−ë¬ ¨ âà −§¨â¨¢−ë¬ (¢¢¨¤ã ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᢮©á⢠¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ¢ Rn ), â ª ç⮠ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å  â« á®¢ −  ¤ −−®¬ ¬−®¦¥á⢥ M à §¡¨¢ ¥âáï −  ª« ááë, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â ஢−® ®¤¨− ¬ ªá¨¬ «ì−ë©  â« á. ਬ¥àë. I. à®áâà −á⢮ Rn ®¡« ¤ ¥â  â« á®¬, á®áâ®ï騬 ¨§ ¥¤¨−á⢥−−®© ª àâë (Rn, id).

¨á. 5.4. II. ‘ä¥à  S 2 ®¡« ¤ ¥â  â« á®¬, á®áâ®ï騬 ¨§ ¤¢ãå ª àâ (− ¯à¨¬¥à, áâ¥à¥®£à ä¨ç¥áª¨å ¯à®¥ªæ¨© ¨§ ᥢ¥à−®£® ¨ î¦−®£® ¯®«îᮢ, à¨á. 5.4). III. „¢®©−®© ¬ ïâ−¨ª (á¬. ¯. 5.2, II) â ª¦¥ ¨¬¥¥â  â« áë, á®áâ®ï騥 ¨§ ¤¢ãå ª àâ. ®áâ à ©â¥áì − ©â¨ â ª®©  â« á.

Š àâë ¨  â« áë

87

5.6. ‚®§¬®¦−®, ç¨â â¥«ì 㤨¢«¥−, ¯®ç¥¬ã ¬ë −¥ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï ª ª ¬−®¦¥á⢠, á− ¡¦¥−−ë¥  â« á®¬. à®áâ® −¥ å®â¨¬, ¯®â®¬ã çâ® â ª®¥ ®¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ § áâ ¢¨«® ¡ë − á ¯à¨á¢ ¨¢ âì ¢ë᮪®¥ §¢ −¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï −¥ª®â®àë¬ −¥áª« ¤−ë¬ ®¡ê¥ªâ ¬. ‚®â −¥ª®â®àë¥ ¨§ −¨å. I. „¨áªà¥â− ï ¯àﬠï. â® ¬−®¦¥á⢮ â®ç¥ª ¯àאַ© R á ¤¨áªà¥â−ë¬  â« á®¬, á®áâ®ï騬 ¨§ ¢á¥å ª àâ ¢¨¤  ({r}, v), £¤¥ r ∈ R ¨ v(r) = 0 ∈ R0.  II. „«¨−− ï ¯àﬠï. â® −¥á¢ï§−®¥ ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥ R = α Rα íª§¥¬¯«ï஢ Rα ¯àאַ© R, ¨−¤¥ªá¨à®¢ −−ëå 㯮à冷ç¥−−ë¬ −¥áç¥â−ë¬ ¬−®¦¥á⢮¬ ¨−¤¥ªá®¢ α (− ¯à¨¬¥à, α ¬®¦¥â ¯à®¡¥£ âì á ¬® ¬−®¦¥á⢮ R).   ¬−®¦¥á⢥ R áãé¥áâ¢ãîâ ¥áâ¥á⢥−−ë¥ ¯®à冷ª ¨ ⮯®«®£¨ï (¨−¤ãæ¨à®¢ −−ë¥ â®¯®«®£¨¥© R ¨ −¥á¢ï§−ë¬ ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥¬). “ −¥£® ¥áâì ¨ ¥áâ¥á⢥−−ë©  â« á A = {(Rα, idα) : α ∈ R}, £¤¥ idα : Rα → R1 | ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ ª ¦¤®£® íª§¥¬¯«ïà  Rα á ¨á室−ë¬ ¯à®â®â¨¯®¬ R1 = R. III. àﬠï á ¤¢®©−®© â®çª®©. â® ¯àﬠï R, ª ª®â®à®© ¤®¡ ¢«¥−  â®çª  θ,    â« á á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ª àâ: (U, x) ¨ (V, y), £¤¥ U =R, V ={θ} ∪ R
{0},

x = id, y(θ) = 0,

y(r) = r, r ∈ R
{0}.

ƒ®¢®àï ¯® ¤à㣮¬ã, ¯àﬠï á ¤¢®©−®© â®çª®© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥− , ¥á«¨ ã ¤¢ãå íª§¥¬¯«ï஢ ¯àאַ© ®â®¦¤¥á⢨âì ¢á¥ â®çª¨ á ®¤¨− ª®¢ë¬¨ ª®®à¤¨− â ¬¨, §  ¨áª«îç¥−¨¥¬ −ã«ï. 5.7. ‘«¥¤ãî騥 ®¯à¥¤¥«¥−¨ï −ã¦−ë ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨áª«îç¨âì ¨§ à áᬮâà¥−¨ï ¯ â®«®£¨ç¥áª¨¥  â« áë ⨯  ®¯¨á −−ëå ¢ ¯. 5.6.
㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ®  â« á A −  M 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î áç¥â−®áâ¨, ¥á«¨ ®− á®á⮨⠨§ −¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥â−®£® ç¨á«  ª àâ ¨«¨ ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® ª àâë ᮣ« á®¢ −ë á ª àâ ¬¨ â ª®£® −¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥â−®£®  â« á . â« á A −  M 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î • ã᤮àä , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª a, b ∈ M − ©¤ãâáï −¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ª àâë (U, x), (V, y), ᮤ¥à¦ é¨¥ í⨠â®çª¨ (a ∈ U, b ∈ V , U ∩ V = ∅) ¨ ᮣ« á®¢ −−ë¥ á ª àâ ¬¨  â« á  A.

88

ƒ« ¢  5

Ÿá−®, çâ® ¤¨áªà¥â− ï ¨ ¤«¨−− ï ¯àï¬ë¥ ¨§ ¯. 5.6 (I, II) −¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î áç¥â−®áâ¨,   ¯àﬠï á ¤¢®©−®© â®çª®© 5.6 (III) | ãá«®¢¨î • ã᤮àä . 5.8. Š®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï. Œ−®¦¥á⢮ á ¬ ªá¨¬ «ì−ë¬  â« á®¬ Amax = {(Uα , xα)},

xα : Uα → Rn ,

n  0,

㤮¢«¥â¢®àïî騬 ãá«®¢¨ï¬ áç¥â−®á⨠¨ • ã᤮àä , − §ë¢ ¥âáï n-¬¥à−ë¬ ¤¨ää¥à¥−æ¨àã¥¬ë¬ ¨«¨ £« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬. ‚ £« ¢¥ 7 ¡ã¤¥â ¤®ª § −®, çâ® íâ® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ íª¢¨¢ «¥−â−® ¤ −−®¬ã ¢ ¯. 4.1. „«ï ⮣® çâ®¡ë ®¯¨á âì ª ª®¥-«¨¡® ª®−ªà¥â−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ (M, Amax ), ¬ë ç áâ® ¡ã¤¥¬ 㪠§ë¢ âì −¥ª®â®àë© ¬¥−ì訩  â« á A ⊂ Amax, â ª ª ª Amax ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «î¡ë¬ ¨§ ᢮¨å ¯®¤ â« á®¢ (á¬. ¯. 5.5). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ®¡®§− ç ¥¬ − è¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ (M, A) ¨ £®¢®à¨¬, çâ® A | £« ¤ª¨©  â« á −  M. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨« £ â¥«ì−®¥ ú£« ¤ª¨©û −¥ï¢−® ¢ª«îç ¥â ᮣ« á®¢ −−®áâì, ãá«®¢¨¥ • ã᤮àä  ¨ ãá«®¢¨¥ áç¥â−®áâ¨. 5.9. ’¥¯¥àì ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® «î¡®© £« ¤ª¨©  â« á A = {(Uα , xα)} −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M ®¯à¥¤¥«ï¥â ⮯®«®£¨ç¥áªãî áâàãªâãàã −  ¬−®¦¥á⢥ M, ¯¥à¥−¥á¥−−ãî ®â®¡à ¦¥−¨n ﬨ x−1 α ¨§ ¬−®¦¥á⢠xα (Uα ) ⊂ R . ’®ç−¥¥, ¡ §¨á ®âªàëâëå ¬−®¦¥á⢠¢ ¯à®áâà −á⢥ M á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¬−®¦¥á⢠¢¨¤  x−1 α (Bβ ), £¤¥ Bβ | ¢á¥¢®§¬®¦−ë¥ ®âªàëâë¥ è àë, ᮤ¥à¦ é¨¥áï ¢ xα(Uα ). ¥¯®á।á⢥−−® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¢ë⥪ ¥â, çâ® M ï¥âáï ¢ í⮬ á«ãç ¥ å ã᤮àä®¢ë¬ â®¯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà −á⢮¬ á® áç¥â−®© ¡ §®©. â  â®¯®«®£¨ç¥áª ï á¨âã æ¨ï −  M ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ¢á¥£¤ , ª®£¤  M á− ¡¦¥−®  â« á®¬.  ¯à¨¬¥à, £®¢®àï, çâ® ¬−®£®®¡à §¨¥ M ª®¬¯ ªâ−® ¨«¨ á¢ï§−®, ¬ë ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬, çâ® ®−® ï¥âáï ª®¬¯ ªâ−ë¬ (á¢ï§−ë¬) ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ®â−®á¨â¥«ì−® ®¯¨á −−®© ¢ëè¥ â®¯®«®£¨¨. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® «î¡ ï ª àâ  (U, x) ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ ®âªàë⮣® ¢ í⮩ ⮯®«®£¨¨ ¯®¤¬−®¦¥á⢠ U ⊂ M −  ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ x(U) ⊂ Rn .

Š àâë ¨  â« áë

89

5.10. ਬ¥àë ¬−®£®®¡à §¨© ¨§ £¥®¬¥âਨ. I. ‘ä¥à  S n = {x : |x| = 1} ⊂ Rn+1 ¨¬¥¥â  â« á ¨§ ¤¢ãå ª àâ, § ¤ ¢ ¥¬ëå áâ¥à¥®£à ä¨ç¥áª¨¬¨ ¯à®¥ªæ¨ï¬¨  − «®£¨ç−® ¤¢ã¬¥à−®¬ã á«ãç î (á¬. ¯. 5.5, (II)). ‘ä¥à  S n | íâ® ¯à®á⥩襥 ª®¬¯ ªâ−®¥ á¢ï§−®¥ n-¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥. II. ƒ¨¯¥à¡®«®¨¤ x2 + y 2 − z 2 = 1 ¢ R3 ¨¬¥¥â ¯à®á⮩  â« á ¨§ ç¥âëà¥å ª àâ (U± , pzy ), (V± , pzx ), £¤¥  U± = {(x, y, z) | x = ± 1 + z 2 − y 2 , ±x > 0}, √ V± = {(x, y, z) | y = ± 1 + z 2 − x2, ±y > 0},   pzy ¨ pzx | ¯à®¥ªæ¨¨ −  ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯«®áª®áâ¨. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ¤¢ã¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ á¢ï§−®, −® −¥ ª®¬¯ ªâ−®. l

l

⊥

¨á. 5.5. III.
஥ªâ¨¢−®¥ ¯à®áâà −á⢮ RP n | ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯àï¬ëå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ − ç «® ª®®à¤¨− â O ¢ Rn+1 . „«ï «î¡®© â ª®© ¯àאַ© l à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ª àâã (Ul , pl ). Œ−®¦¥á⢮ Ul á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¯àï¬ëå, ®¡à §ãîé¨å á l 㣮«, −¥ ¯à¥¢®á室ï騩, ᪠¦¥¬, 30◦ (à¨á. 5.5). „«ï ®¯à¥¤¥«¥−¨ï pl

90

ƒ« ¢  5

¢ë¡¥à¥¬ ¡ §¨á ¢ n-¯«®áª®á⨠l⊥  O, ¯¥à¯¥−¤¨ªã«ïà−®© ª l, ¨ § ä¨ªá¨à㥬 ®¤−® ¨§ ¯®«ã¯à®áâà −á⢠¢ Rn+1
l⊥; ª ¦¤®© ¯àאַ© l ∈ Ul ®â®¡à ¦¥−¨¥ pl ¯à¨¯¨á뢠¥â ª®®à¤¨− âë ¢ l⊥ ¯à®¥ªæ¨¨ −  l⊥ ¥¤¨−¨ç−®£® ¢¥ªâ®à , − ¯à ¢«¥−−®£® ¢ ¢ë¡à −−®¥ ¯®«ã¯à®áâà −á⢮ ¨ ®¯à¥¤¥«ïî饣® ¯àï¬ãî l . Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å ª àâ (Ul , pl ) ®¡à §ã¥â £« ¤ª¨©  â« á, − ¤¥«ïî騩 RP n áâàãªâãன ª®¬¯ ªâ−®£® á¢ï§−®£® n-¬¥à−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï. IV. ƒà áᬠ−®¢® ¯à®áâà −á⢮ Gn,m | íâ® ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å m-¬¥à−ëå ¯«®áª®á⥩ ¢ Rn, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ − ç «® ª®®à¤¨− â O. „«ï ¯®áâ஥−¨ï ®¤−®© ª àâë ¢ë¡¥à¥¬ ¢ Rn ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨− â (x1 , x2, . . . , xn) ¨ ¢ ª ç¥á⢥ U ¢®§ì¬¥¬ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å m-¬¥à−ëå ¯«®áª®á⥩, § ¤ ¢ ¥¬ëå ¢ íâ¨å ª®®à¤¨− â å á¨á⥬®© ãà ¢−¥−¨© ¢¨¤  xm+i =

m 

aij xj ,

i = 1, . . . , n − m,

j=1

  ®â®¡à ¦¥−¨¥ p : U → Rm(n−m) ª ¦¤ãî â ªãî ¯«®áª®áâì ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ − ¡®à ª®íää¨æ¨¥−⮢ aij , ãç áâ¢ãîé¨å ¢ § ¤ î饩 ¥¥ á¨á⥬¥. ‚롨à ï à §«¨ç−ë¥ ¤¥ª à⮢ë á¨á⥬ë, ¬®¦−® ¯®áâநâì à §«¨ç−ë¥ ª àâë, ¢¬¥á⥠¯®ªà뢠î騥 ¢á¥ ¯à®áâà −á⢮ Gn,m . ‚¯à®ç¥¬, ¤«ï ¯®ªàëâ¨ï ¤®áâ â®ç−® ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¤−ã ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬ã, «¨èì ¬¥−ïï ¢ −¥© ¯®à冷ª ª®®à¤¨− â. ‘®£« á®¢ −−®áâì ª àâ ¢ë⥪ ¥â ¨§ £« ¤ª®© § ¢¨á¨¬®á⨠à¥è¥−¨© «¨−¥©−®© á¨á⥬ë ãà ¢−¥−¨© ®â ¥¥ ª®íää¨æ¨¥−⮢. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥âáï m(n − m)-¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, ïî饥áï ®¡®¡é¥−¨¥¬ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à , ¨¬¥−−® Gn,1 = RP n−1 . Œ®¦−® à áᬠâਢ âì ¯«®áª®á⨠−¥ ⮫쪮 ¢ Rn, −® ¨ ¢ ¯à®¨§¢®«ì−®¬ ª®−¥ç−®¬¥à−®¬ ¢¥ªâ®à−®¬ ¯à®áâà −á⢥ V . ®«ãç î饥áï ¬−®£®®¡à §¨¥ ®¡®§− ç ¥âáï GV,m . “¯à ¦−¥−¨¥. ‘ª®«ìª® á¢ï§−ëå ª àâ ¯®− ¤®¡¨âáï, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì  â« á ¤«ï ¡ãâ뫪¨ Š«¥©− ? (á¬. 4.7, III)? „®ª ¦¨â¥, çâ® ¤¢ãå ¤®áâ â®ç−®.

Š àâë ¨  â« áë

91

5.11. ਬ¥àë ¬−®£®®¡à §¨© ¨§  «£¥¡àë. I. ¡é ï «¨−¥©− ï £à㯯  GL(n) ¢á¥å «¨−¥©−ëå ¨§®¬®à䨧¬®¢ ¯à®áâà −á⢠ Rn ¨¬¥¥â  â« á, á®áâ®ï騩 ¨§ ®¤−®© ª àâë à §¬¥à−®á⨠n2 , ¯à¨¯¨á뢠î饩 ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥−âã g ∈ GL(n) n2 ª®¬¯®−¥−â ¥£® ¬ âà¨æë á⮫¡¥æ §  á⮫¡æ®¬ ¢ ¢¨¤¥ ®¤−®£® ¢¥ªâ®àá⮫¡æ  á n2 ª®¬¯®−¥−â ¬¨. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ¬−®£®®¡à §¨¥ −¥ ª®¬¯ ªâ−® ¨ −¥ á¢ï§−®. II. ‘¯¥æ¨ «ì− ï ®à⮣®− «ì− ï £à㯯  SO(n) ¢á¥å ¯®«®¦¨â¥«ì−ëå ®à⮣®− «ì−ëå ¬ âà¨æ ®¡« ¤ ¥â £« ¤ª¨¬  â« á®¬ (n(n − 1)/2)-¬¥à−ëå ª àâ. …£® ¯®áâ஥−¨¥ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¬¥à®¬ 5.10 (III).. 5.12. ਬ¥àë ¬−®£®®¡à §¨© ¨§ ¬¥å −¨ª¨. I. Š®−䨣ãà æ¨®−−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ¤¢®©−®£® ¬ ïâ−¨ª  (á¬. ¯¯. 5.2 II ¨ 5.4, II), ª ª ç¨â â¥«ì − ¢¥à−®¥ 㦥 ¤®£ ¤ «áï, ï¥âáï ¤¢ã¬¥à−ë© â®à T 2 = S 1 × S 1. II. Š®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ â®−ª®£® ®¤−®à®¤−®£® ¤¨áª , æ¥−âà ª®â®à®£® § ä¨ªá¨à®¢ − è à−¨à®¬ (¯®§¢®«ïî騬 ¤¨áªã ¯®¢®à ç¨¢ âìáï −  «î¡®© 㣮« ¢ «î¡®¬ − ¯à ¢«¥−¨¨ âà¥å¬¥à−®£® ¯à®áâà −á⢠), ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ¤¢ã¬¥à−ë¬  â« á®¬. Œë − áâ®ï⥫ì−® ४®¬¥−¤ã¥¬ ç¨â â¥«î − ©â¨ â ª®©  â« á ¨ áà ¢−¨âì ¥£® á  â« á®¬ ¯à®¥ªâ¨¢−®© ¯«®áª®á⨠RP 2.  ¤® â ª¦¥ ¯à¨−ïâì ¢® ¢−¨¬ −¨¥ â®, çâ® ¥á«¨ ®¤−ã áâ®à®−ã ¤¨áª  ¯®ªà á¨âì ¢ §¥«¥−ë© æ¢¥â, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩  â« á ᮢ¯ ¤ ¥â á  â« á®¬ áä¥àë S 2 . III. Š®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ⢥म£® ⥫ , ᢮¡®¤−® ¢à é î饣®áï ¢ ¯à®áâà −á⢥ ¢®ªà㣠䨪á¨à®¢ −−®© â®çª¨ (á¬. â ª¦¥ ¯. 1.1), ï¥âáï âà¥å¬¥à−ë¬ ª®¬¯ ªâ−ë¬ á¢ï§−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬. —¨â â¥«î ¯à¥¤« £ ¥âáï − ©â¨  â« á ¤«ï í⮣® ¬−®£®®¡à §¨ï ¨ áà ¢−¨âì ¥£® á RP 3 ¨ SO(3). 5.13. “¯à ¦−¥−¨¥.  áᬮâਬ ¬−®£®®¡à §¨ï, ª®â®àë¥ −¥ä®à¬ «ì−® ®¡á㦤 «¨áì − ¬¨ ¢ £« ¢¥ 1): 1. ஥ªâ¨¢−®¥ ¯à®áâà −á⢮ RP 3 . 2. ‘ä¥à  S 3, ã ª®â®à®© ®â®¦¤¥á⢫¥−ë  −⨯®¤ «ì−ë¥ â®çª¨.

92

ƒ« ¢  5

3. „¨áª D3 , ã ª®â®à®£® ®â®¦¤¥á⢫¥−ë  −⨯®¤ «ì−ë¥ £à −¨ç−ë¥ â®çª¨ (â. ¥., â®çª¨ ∂D3 = S 2 ). 4. ‘¯¥æ¨ «ì− ï ®à⮣®− «ì− ï £à㯯  SO(3). 5. Š®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ⢥म£® ⥫ , ᢮¡®¤−® ¢à é î饣®áï ¢®ªà㣠−¥¯®¤¢¨¦−®© â®çª¨ ¢ R3 . ®ª ¦¨â¥, çâ® ®−¨ ¢á¥ ¤¨ä䥮¬®àä−ë, ¨á¯®«ì§ãï 1. ¯®áâ஥−¨¥  â« á®¢ ¨ ¤¨ä䥮¬®à¨§¬®¢ ¬¥¦¤ã ª àâ ¬¨; 2. ¯®áâ஥−¨¥ ¨§®¬®à䨧¬®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £« ¤ª¨å R «£¥¡à. 5.14.  −¥¥ (á¬. ¯. 4.2) ¬ë ¢¢¥«¨ ¯®−ï⨥ ¬−®£®®¡à §¨ï á ªà ¥¬  «£¥¡à ¨ç¥áª¨. ’¥¯¥àì ¤ ¤¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥. â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢ â®ç−®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯à¥¤¥«¥−¨¥¬ ®¡ëç−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï (á¬. 5.8), −® ¯®−ï⨥ ª àâë −㦤 ¥âáï ¢ ¬®¤¨ä¨ª æ¨¨ ¯ã⥬ § ¬¥−ë Rn −  Rn+ . ’®ç−¥¥, ª à⮩ á ªà ¥¬ (U, x) −  ¬−®¦¥á⢥ M − §ë¢ ¥âáï ¡¨¥ªâ¨¢−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ x : U → Rn+ ¯®¤¬−®¦¥á⢠ U ⊂ M −  ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ x(U) ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯®«ã¯à®áâà −á⢥ Rn+ = {(r1, . . . , rn) ∈ Rn | rn  0}. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ª àâ  ¢ Rn ï¥âáï ç áâ−ë¬ á«ãç ¥¬ ª àâë ¢ Rn+ , ¨¡® x(U) ¬®¦¥â −¥ ¯¥à¥á¥ª âì úªà ïû ¯®«ã¯à®áâà −á⢠ {(r1, . . . , rn) ∈ Rn | rn = 0}. ‚ᥠ¤ «ì−¥©è¨¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï (à §¬¥à−®áâì, ᮣ« á®¢ −−®áâì,  â« áë ¨ â. ¤.) ®áâ îâáï ⥬¨ ¦¥, −® á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¬¥−®© Rn −  Rn+. ®¢â®àïï í⨠¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ −−ë¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï, ¬ë ¯®«ã稬 ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï á ªà ¥¬. “á¥à¤−®¬ã ç¨â â¥«î ¡ã¤¥â ¯®«¥§−® ¯à®¨§¢¥á⨠¢á¥ í⨠¯®¢â®à¥−¨ï ¢ ¤¥â «ïå | å®à®è¨© ᯮᮡ ¯à®¢¥à¨âì, − áª®«ìª® ®− ®¢« ¤¥« £« ¢−ë¬ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥¬ 5.8.

Š àâë ¨  â« áë

93

5.15. …᫨ A = (Uα , xα)α∈J á®á⮨⠨§ ª àâ á ªà ¥¬, â® ¬−®¦¥á⢮ ∂M = {m ∈ M | ∃ α ∈ J, m = x−1 α (r1 , . . . , rn ), rn = 0} â®ç¥ª, ª®â®àë¥ ¯à¨ ª®®à¤¨− â−ëå ®â®¡à ¦¥−¨ïå ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ £à −¨ç−ãî (n − 1)-¬¥à−ãî ¯«®áª®áâì ¯®«ã¯à®áâà −á⢠ Rn+ , − §ë¢ ¥âáï ªà ¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. Š®£¤  ∂M ¯ãáâ®, ¬ë á−®¢  ¯®«ã稬 ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ®¡ëç−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, â ª ª ª ®âªàë⮥ ¯®«ã¯à®áâà −á⢮ {rn > 0} £®¬¥®¬®àä−® ¯à®áâà −áâ¢ã Rn. ‚ «¨â¥à âãॠâ¥à¬¨− ú¬−®£®®¡à §¨¥û ¨−®£¤  ¢ª«î砥⠢ á¥¡ï ¬−®£®®¡à §¨¥ á ªà ¥¬. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¦¥−¨¥ § ¬ª−ã⮥ ¬−®£®®¡à §¨¥ 㯮âॡ«ï¥âáï ¤«ï ®¡®§− ç¥−¨ï ¬−®£®®¡à §¨ï á ¯ãáâë¬ ªà ¥¬. ।«®¦¥−¨¥. Šà © ∂M n-¬¥à−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M á ªà ¥¬ ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன (n − 1)-¬¥à−®£® § ¬ª−ã⮣® ¬−®£®®¡à §¨ï. ‘奬  ¤®ª § â¥«ìá⢠: çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì  â« á −  ∂M, −ã¦−® ¢§ïâì ¯¥à¥á¥ç¥−¨ï ª àâ −  M á £à −¨ç−®© (n − 1)-¬¥à−®© ¯«®áª®áâìî ¯®«ã¯à®áâà −á⢠ Rn−1 = {(r1, . . . , rn ) ∈ Rn+ | rn = 0}. 5.16. ਬ¥àë ¬−®£®®¡à §¨© á ªà ¥¬. I. n-¬¥à−ë© ¤¨áª Dn = {x | x  1} ⊂ Rn ï¥âáï n-¬¥à−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ á ªà ¥¬ ∂Dn = S n−1 . II. …᫨ M | n-¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ (¡¥§ ªà ï) á  â« á®¬ A, â®, úã¡à ¢ ¨§ −¥£® ®âªàëâë© ¤¨áªû, ¬®¦−® ¯®«ãç¨âì ¬−®£®®¡à §¨¥ á ªà ¥¬. ’®ç−¥¥, −ã¦−® ¢§ïâì ª ªãî-«¨¡® ª àâã (U, x) ∈ A, ¢ë¡à âì ¢ x(U) ⊂ Rn ®âªàëâë© n-¬¥à−ë© ¤¨áª V ¨ à áᬮâà¥âì ¬−®¦¥á⢮ M
x−1 (V ) á ®ç¥¢¨¤−®© áâàãªâãன ¬−®£®®¡à §¨ï á ªà ¥¬; M
x−1 (V ) ¨−®£¤  − §ë¢ î⠯ப®«®âë¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬. III.   à¨á. 5.6 ¯à¥¤áâ ¢«¥−ë ú¢á¥û ª®¬¯ ªâ−ë¥ ¤¢ã¬¥à−ë¥ ¬−®£®®¡à §¨ï á ªà ¥¬ S 1 . −¨ − §ë¢ îâáï:

94

ƒ« ¢  5

¨á. 5.6. 2-¤¨áª®¬, ¯à®ª®«®âë¬ â®à®¬, ¯à®ª®«®â®© ®à¨¥−â¨à㥬®© ¯®¢¥àå−®áâìî த  2,. . . , ¯à®ª®«®â®© ®à¨¥−â¨à㥬®© ¯®¢¥àå−®áâìî த  k, . . . (¢¥àå−¨© àï¤), «¨á⮬ Œñ¡¨ãá , ¯à®ª®«®â®© ¡ãâ뫪®© Š«¥©− , . . . , ¯à®ª®«®â®© −¥®à¨¥−â¨à㥬®© ¯®¢¥àå−®áâìî த  k, . . . ’¥à¬¨− ®à¨¥−â¨à㥬ë©, ª®â®àë© ¬ë −¥ ¡ã¤¥¬ §¤¥áì ®¡á㦤 âì, ¤«ï ¤¢ã¬¥à−®£® á«ãç ï à ¢−®á¨«¥− ¢ëà ¦¥−¨î ú−¥ ᮤ¥à¦ é¨© «¨áâ Œñ¡¨ãá û. 5.17. ਠ «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ ¨§ãç¥−¨¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© äã−¤ ¬¥−â «ì−ë¬ ¯®−ï⨥¬ ¡ë«  R- «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© F . âã R- «£¥¡àã ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨ ¤«ï ¬−®£®®¡à §¨ï M, § ¤ −−®£® á ¯®¬®éìî  â« á  A. ¯à¥¤¥«¥−¨ï. ”ã−ªæ¨ï f : M → R −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M á £« ¤ª¨¬  â« á®¬ A − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ª àâë

Š àâë ¨  â« áë

95

(U, x) ∈ A äã−ªæ¨ï f ◦ x−1 : x(U) → R, ®¯à¥¤¥«¥−− ï −  ®âªàë⮬ ¬−®¦¥á⢥ x(U) ⊂ Rn , ï¥âáï £« ¤ª®©, â. ¥. ¯à¨− ¤«¥¦¨â C ∞(x(U)). Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  M ®¡®§− ç ¥âáï C ∞ (M).   í⮬ ¬−®¦¥á⢥ áãé¥áâ¢ã¥â ®ç¥¢¨¤− ï áâàãªâãà  R- «£¥¡àë, ¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢à¥¬¥−−® − §ë¢ âì ¥£® R- «£¥¡à®© £« ¤ª¨å ®â−®á¨â¥«ì−®  â« á  A äã−ªæ¨© −  M. ‹¥£ª® ãáâ −®¢¨âì, çâ® ¬−®¦¥á⢮ C ∞(M) ¡ã¤¥â ⥬ ¦¥ á ¬ë¬ ¤«ï «î¡®£®  â« á  A, ᮣ« á®¢ −−®£® á A.
®«¥¥ ⮣®, ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® C ∞ (M) | â  ¦¥ R- «£¥¡à , çâ® ¨ ¯à¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ ¯®¤å®¤¥ (C ∞ (M) = F ), −® íâ® ¡ã¤¥â ¤®ª § −® ⮫쪮 ¢ £« ¢¥ 7. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ¯¨è¨â¥  «£¥¡àã £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© (¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï, ¯à¨¢¥¤¥−−®£® ¢ëè¥) ª®−䨣ãà æ¨®−−®£® ¯à®áâà −á⢠ ¤¢®©−®£® ¬ ïâ−¨ª  (á¬. 5.12). 2. ’®â ¦¥ ¢®¯à®á ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤  ϕ-áâ¥à¦¥−ì ª®à®ç¥ ψ-áâ¥à¦−ï, â ª çâ® ¢à é¥−¨¥ ¯®á«¥¤−¥£® ¯à¥ªà é ¥âáï, ª®£¤  ®− ¤®á⨣ ¥â ϕ-®á¨ (á¬. à¨á. 5.1). ¯¨è¨â¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥. 5.18. „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¤¢ãå ¯®¤å®¤®¢ (¢ £« ¢¥ 7) − ¬ ¯®− ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì M | ¬−®£®®¡à §¨¥, A | £« ¤ª¨©  â« á ¨ C ∞ (M) | R- «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  M (®â−®á¨â¥«ì−®  â« á  A). ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (M), ¢á¥ ¯®¢¥àå−®á⨠ã஢−ï ª®â®à®© (â. ¥. ¬−®¦¥á⢠ f −1 (λ), λ ∈ R) ª®¬¯ ªâ−ë. â® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®ª § −® á ¨á¯®«ì§®¢ −¨¥¬ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 2.7, ®¡®¡é¥−¨¥¬ ª®â®à®£® ®−® ï¥âáï,   â ª¦¥ «¥¬¬ë ® à §¡¨¥−¨¨ ¥¤¨−¨æë, áä®à¬ã«¨à®¢ −−®© ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¤«ï ¬−®£®®¡à §¨© á  â« á ¬¨ (áà. á ¯. 4.18).

ƒ« ¢  6

ƒ‹„Šˆ… ’†…
ˆŸ

6.1. ãáâì F1 |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M1,   F2 | −  M2 . ⮡ࠦ¥−¨¥ f : M1 → M2 − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª¨¬, ¥á«¨ f = |ϕ|, £¤¥ ϕ : F2 → F1 | −¥ª®â®àë© £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à.  ¯®¬−¨¬, çâ® Mi = |Fi |, i = 1, 2, ïîâáï ¤¢®©á⢥−−묨 ¯à®áâà −á⢠¬¨ ª Fi (á¬. ¯. 3.4), â. ¥. á®áâ®ïâ ¨§ ¢á¥å £®¬®¬®à䨧¬®¢ R- «£¥¡à x : Fi → R, i = 1, 2,   |ϕ| : |F1| → |F2 | | ¤¢®©á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ ¢ ¯. 3.19 ä®à¬ã«®© |ϕ| : x → x ◦ ϕ. ‚ᥠ£®¬®¬®à䨧¬ë ¯à¥¤¯®« £ îâáï ã−¨â à−묨: ϕ(1) = 1. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ϕ ¨−ꥪ⨢−®, ¥á«¨ f áîàꥪ⨢−®. ®áâன⥠ª®−âà¯à¨¬¥à, ®¯à®¢¥à£ î騩 ®¡à â−®¥ ã⢥ত¥−¨¥ (¢ á«ãç ¥ −¥ã¤ ç¨ ¢¥à−¨â¥áì ª í⮬ã ã¯à ¦−¥−¨î ¯® ¯à®çâ¥−¨¨ ¯. 6.5). 6.2. ਬ¥à. ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M, −  ª®â®à®¬ ¤¥©áâ¢ã¥â £à㯯  •. ⮡ࠦ¥−¨¥ p = |i| : M → M/•, ¤¢®©á⢥−−®¥ ¢«®¦¥−¨î i : F • → F  «£¥¡àë •-¨−¢ à¨ −â−ëå äã−ªæ¨© (á¬. 4.22) ¢ F , ª®−¥ç−® ¦¥, £« ¤ª®¥.  áᬮâਬ £à㯯㠕 = Z, ¤¥©áâ¢ãîéãî −  R ᤢ¨£ ¬¨ r → r + n, n ∈ Z. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ S 1 ¬−®¦¥á⢮ ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠r1 ∼ r2 ⇔ r1 − r2 ∈ Z. ãáâì F , ª ª ¨ ¢ ¯. 4.2, | 96

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

97

 «£¥¡à  £« ¤ª¨å •-¨−¢ à¨ −â−ëå äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© R. …áâ¥á⢥−− ï ¯à®¥ªæ¨ï p : R → S 1 ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬, â ª ª ª ®−  ᮢ¯ ¤ ¥â á |i|, £¤¥ i | ¢«®¦¥−¨¥ F → C ∞ (R). ƒ®¢®àïâ, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ p − ¬ â뢠¥â ¯àï¬ãî R −  ®ªàã¦−®áâì S 1 . 6.3. ਬ¥à. ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M,   N ⊂ M | £« ¤ª®¥ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ M (á¬. ¯. 4.11). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢«®¦¥−¨¥ N → M ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬, â ª ª ª ᮢ¯ ¤ ¥â á |p|, £¤¥ p : F → FN = F N | £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï (á¬. ¯. 4.11). ãáâì S 1 ¨ F | ⥠¦¥, çâ® ¨ ¢ ¯. 6.2,   FC |  «£¥¡à  ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ì−®§− ç−ëå äã−ªæ¨© ª®¬¯«¥ªá−®£® ¯¥à¥¬¥−−®£® z = x + iy, £« ¤ª® § ¢¨áïé¨å ®â ¯¥à¥¬¥−−ëå x ¨ y.  áᬮâਬ ¢«®¦¥−¨¥ i : S 1 → C ([r] −→ e2πir ), £¤¥ [r] ∈ S 1 | ª« áá íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠â®çª¨ r ∈ R. „ «¥¥, ®¯à¥¤¥«¨¬ £®¬®¬®à䨧¬ β : FC → F ,

β(f)(r) = f(e2πir ),

f ∈ FC, r ∈ R.

‚«®¦¥−¨¥ i ᮢ¯ ¤ ¥â á |β| ¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ S 1 ¢ R2 = C. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¬ë 㦥 ¢áâà¥ç «¨áì á í⨬ ¢«®¦¥−¨¥¬ ¢ ¤à㣮¬ ª®®à¤¨− â−®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¨ (á¬. ¯. 4.13). 6.4. ਬ¥àë. ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ®âªàë⮬ «¨á⥠Œñ¡¨ãá  (á¬. ¯. 4.7 (I)),   F (S 1) |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å 1-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© (ú®ªàã¦−®áâìû | á¬. ¯. 3.18). I.  áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ë α, β : F → F (S 1 ),

α(f)(r) = f(r, 0),

β(f)(r) = f(2r, b),

£¤¥ f ∈ F , r ∈ R ¨ b = 0 | «î¡®¥ ¤¥©á⢨⥫ì−®¥ ç¨á«®.

98

ƒ« ¢  6

b=2 |β|

b=1 |α|

¨á. 6.1. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ç¥¬ã ¯à¨ b = 0 ä®à¬ã«  γ(f)(r) = f(r, b) −¥ § ¤ ¥â −¨ª ª®£® £®¬®¬®à䨧¬  γ : F → F (S 1)? ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï |α| ¨ |β| ¯®ª § −ë −  à¨á. 6.1. ⬥⨬, çâ® ®¡à § ®â®¡à ¦¥−¨ï |β| ú¢¤¢®¥ ¤«¨−−¥¥û, 祬 ®¡à § |α|. II. ‘ãé¥áâ¢ã¥â § ¬¥ç â¥«ì−®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  −  ®ªàã¦−®áâì,   ¨¬¥−−® ®â®¡à ¦¥−¨¥ g = |ξ|, £¤¥ ξ : F (S 1) → F ,

ξ(f)(r1 , r2) = f(r1 ).

‡ ¬¥â¨¬, çâ® α ◦ ξ = idF(S1 ). ⮡ࠦ¥−¨¥ g = |ξ| ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª úᯫî騢 −¨¥ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  −  ¥£® á।−îî ®ªàã¦−®áâìû (à¨á. 6.2). 6.5. ਬ¥à. ‚롥६ ¨àà æ¨®− «ì−®¥ ç¨á«® λ ∈ R ¨ à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f : R1 → R2

( r → (r, λr) ).

’®£¤  f = |ϕ|, £¤¥ ϕ : C ∞ (R2 ) → C ∞ (R1 ),

ϕ(g)(r) = g(r, λr)

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

99

¨á. 6.2. ¤«ï ¢á¥å g ∈ C ∞ (R2 ), r ∈ R. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ |ϕ| ®£à −¨ç¥−¨¥ £®¬®¬®à䨧¬  ϕ −  ¯®¤ «£¥¡àã ¤¢ ¦¤ë ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© (á¬. ¯. 4.24, (III) ¤«ï n = 2). ¡à § £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï |ϕ| : R1 → T 2 ¢áî¤ã ¯«®â¥− ¢ â®à¥ T 2,   §− ç¨â, £®¬®¬®à䨧¬ ϕ ¨−ꥪ⨢¥−. â®â ¯à¨¬¥à ¨−â¥à¥á¥− ⥬, çâ® ¢ −¥¬  «£¥¡à  äã−ªæ¨© ú−¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥−−ëåû ®ª §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®àä−®© ¯®¤ «£¥¡à¥  «£¥¡àë C ∞ (R1 ). Š®£¤  ç¨á«® λ ¢ë¡à −® à æ¨®− «ì−ë¬, ®¡à § ®â®¡à ¦¥−¨ï |ϕ| ª®¬¯ ªâ¥−. — áâ−ë© á«ãç © ¯à¨¢®¤¨âáï −  à¨á. 6.3. ®áâ à ©â¥áì 㣠¤ âì, ª ª®¥ §− ç¥−¨¥ ç¨á«  λ ¢ë¡à −® §¤¥áì. 6.6. ’¥¯¥àì, ª®£¤  ¢¢¥¤¥−® ¯®−ï⨥ £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï ¬−®£®®¡à §¨©, ®−¨ ¡®«ìè¥ −¥ ïîâáï ®â¤¥«ì−묨, −¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ®¡ê¥ªâ ¬¨,   ᮡà −ë ¢ −¥ç⮠楫®¥, − §ë¢ ¥¬®¥ ª â¥£®à¨¥©. „à㣨¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ª â¥£®à¨© ïîâáï £àã¯¯ë ¨ ¨å £®¬®¬®à䨧¬ë, ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà −á⢠ ¨ −¥¯à¥àë¢−ë¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï, R- «£¥¡àë ¨ £®¬®¬®à䨧¬ë R- «£¥¡à, «¨−¥©−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ ¨ «¨−¥©−ë¥ ®¯¥à â®àë. Š ª ®â¬¥ç «®áì ¢ ¯. 3.39,

100

ƒ« ¢  6

¨á. 6.3. ¬ë −¥ ¡ã¤¥¬ ¤ ¢ âì ª ª¨å-«¨¡® ä®à¬ «ì−ëå ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¨§  ¡áâà ªâ−®© ⥮ਨ ª â¥£®à¨©, −® ç áâ® ¡ã¤¥¬ ú¬ë᫨âì −  ï§ëª¥ ª â¥£®à¨©û. ‚ ç áâ−®áâ¨, 㪠¦¥¬ ¤¢  äã−¤ ¬¥−â «ì−ëå ᢮©á⢠ ª â¥£®à¨¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© ¨ ®â®¡à ¦¥−¨©: I. ¥á«¨ a = |α| : M1 → M2 ¨ b = |β| : M2 → M3 | £« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 £®¬®¬®à䨧¬ ¬ R- «£¥¡à α : F2 → F1 ¨ β : F3 → F2, â® b ◦ a : M1 → M3 | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, â ª ª ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®¬¯®§¨æ¨¨ α ◦ β (¢ ®¡à â−®¬ ¯®à浪¥) £®¬®¬®à䨧¬®¢ α ¨ β; II. ⮦¤¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ id : M1 = M

→

M2 = M

ï¥âáï £« ¤ª¨¬, â ª ª ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮦¤¥á⢥−−®¬ã £®¬®¬®à䨧¬ã id: F2 = F

→

F1 = F .

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

101

„à㣨¥ 㯮¬¨− ¢è¨¥áï ¢ëè¥ ª â¥£®à¨¨ â ª¦¥ ®¡« ¤ îâ  − «®£¨ç−묨 ᢮©á⢠¬¨. ।¯®«®¦¨¬, − ¬ § ¤ − −¥ª®â®àë© − ¡®à ®â®¡à ¦¥−¨© ᮠ᢮©á⢠¬¨ I ¨ II. ’¨¯¨ç−ë¬ úâà¬ ⥮ਨ ª â¥£®à¨©û ï¥âáï ú®¡à é¥−¨¥ áâ५®ªû: ¥á«¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ A → B ¯à¨− ¤«¥¦¨â − è¥¬ã − ¡®àã, ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì − «¨ç¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï B → A ¢ −®¢®¬, ¤¢®©á⢥−−®¬ − ¡®à¥ ®â®¡à ¦¥−¨©, ¢ ª®â®à®¬ ª®¬¯®§¨æ¨ï § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ®¡à â−®¬ ¯®à浪¥. ®«ã稬 ¤¢®©á⢥−−ãî ª â¥£®à¨î, â ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ᢮©á⢠¬ I ¨ II. ” ªâ¨ç¥áª¨ ¬ë 㦥 ¨á¯®«ì§®¢ «¨ íâ®â ¯à¨¥¬, ¯¥à¥å®¤ï ®â £®¬®¬®à䨧¬®¢ £« ¤ª¨å R- «£¥¡à ª £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨ï¬ ¬−®£®®¡à §¨©. ‘®¤¥à¦ −¨¥ £« ¢ 4 ¨ 6 ¬®¦−® १஢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ | íâ® £« ¤ª ï R- «£¥¡à , ¯®−¨¬ ¥¬ ï ª ª ®¡ê¥ªâ ¤¢®©á⢥−−®© ª â¥£®à¨¨. 6.7. ãáâì M1 ¨ M2 | ¬−®£®®¡à §¨ï. ƒ« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ a : M1 → M2 − §ë¢ ¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ b : M2 → M1 , çâ® b ◦ a = idM1 , a ◦ b = idM2 . Œ−®£®®¡à §¨ï M1 ¨ M2 − §ë¢ îâáï ¤¨ä䥮¬®àä−묨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ®¤−®£® ¨§ −¨å −  ¤à㣮¥. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤¢  ¬−®£®®¡à §¨ï ¤¨ä䥮¬®àä−ë ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¨å R- «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© ¨§®¬®àä−ë. „¨ä䥮¬®àä−®áâì ï¥âáï ®â−®è¥−¨¥¬ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¨ ¡ã¤¥â ®¡®§− ç âìáï ∼ =. ‚ £« ¢¥ 4, £®¢®àï ¯à® ¬−®£®®¡à §¨ï úâ® ¦¥ á ¬®¥û, ú¨¤¥−â¨ç−®¥û, ¬ë −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ¨¬¥«¨ ¢ ¢¨¤ã, çâ® ®−¨ ¤¨ä䥮¬®àä−ë. „¥©á⢨⥫ì−®, á â®çª¨ §à¥−¨ï ⥮ਨ ¤¨ä䥮¬®àä−ë¥ ¬−®£®®¡à §¨ï | íâ® ®¤−® ¨ â® ¦¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ à §«¨ç−ëå ®¡«¨çìïå. 6.8. ਬ¥àë. I.  áá㦤¥−¨ï ¯. 4.13 ¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª ¤®ª § â¥«ìá⢮ ⮣®, çâ® ¤¢  ᯮᮡ  ¯®áâ஥−¨ï ®ªàã¦−®á⨠(ª ª ä ªâ®à¬−®£®®¡à §¨¥ ¯àאַ© R1 ¨ ª ª ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ R2 ) ¯à¨¢®¤ïâ ª ¤¨ä䥮¬®àä−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨ï¬.

102

ƒ« ¢  6

II. ‹¨−¥©−ë© ®¯¥à â®à A : Rn → Rn ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  det A = 0, â. ¥. ª®£¤  ®− ¡¨¥ªâ¨¢¥−. III. ãáâì F1 ¨ F2 |  «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨ïå M1 ¨ M2 . ‚®®¡é¥ £®¢®àï, ¡¨¥ªâ¨¢−®á⨠£« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï |α| : M1 → M2, £¤¥ α : F2 → F1 | £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à, −¥¤®áâ â®ç−® ¤«ï ¥£® ¤¨ä䥮¬®àä−®áâ¨. ‚ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à  ¬®¦−® ¢§ïâì ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : R → R,

r → r3 .

6.9. “¯à ¦−¥−¨ï. I. „®ª ¦¨â¥, çâ® ªà © § ¬ª−ã⮣® «¨áâ  Œñ¡¨ãá  (á¬. ¯. 4.7 (II)) ¤¨ä䥮¬®àä¥− ®ªàã¦−®á⨠S 1 . II. ‘«¥¤ãï ¯à¨¬¥àã 4.13, ¯®áâன⥠¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¬®¤¥«ï¬¨ áä¥àë S n , ®¯¨á −−묨 ¢ ¯. 4.25 (I). 6.10. ‚¥à−¥¬áï ª ⥬¥ £« ¢ë 4, çâ®¡ë ¤ âì, ª ª ¨ ®¡¥é «¨, ¡®«¥¥ 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì−ë¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï £à㯯®¢®¬ã ¤¥©á⢨î, ä ªâ®à¬−®£®®¡à §¨ï¬ ¨ ¤¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï¬. ⨠®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¡ã¤ãâ ¤ −ë ¢ ¤ãå¥ â¥®à¨¨ ª â¥£®à¨© | ®á−®¢ë¢ ïáì −  £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨ïå ¨ ¤¨ £à ¬¬ å. ãáâì F |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M,   • | £à㯯   ¢â®¬®à䨧¬®¢ í⮩ R- «£¥¡àë. ƒ« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ a : M → N ¨§ M ¢ N − §ë¢ ¥âáï •-¨−¢ à¨ −â−ë¬, ¥á«¨ a ◦ |γ| = a ¤«ï ¢á¥å γ ∈ •. 祢¨¤−®, ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ ¨§ M −  ä ªâ®à¬−®£®®¡à §¨¥ M/• ï¥âáï •-¨−¢ à¨ −â−ë¬ (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, ª®−¥ç−®, çâ® M/• | £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, â. ¥.  «£¥¡à  F • -¨−¢ à¨ −â−ëå äã−ªæ¨© ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®© | á¬. ¯. 4.23). ª §ë¢ ¥âáï, ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ ï¥âáï úã−¨¢¥àá «ì−ë¬û •-¨−¢ à¨ −â−ë¬ £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì F (N) |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  £« ¤ª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ N ¨ a : M → N | −¥ª®â®à®¥ •-¨−¢ à¨ −â−®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®â−®á¨â¥«ì−® ¤¥©á⢨ï

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

103

• −  M, ¯à¨ç¥¬ M/• | £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ b : M/• → N, ¤«ï ª®â®à®£® ª®¬¬ãâ â¨¢−  á«¥¤ãîé ï ¤¨ £à ¬¬ : a /N ME EE z< EE z E z q EE" z b M/•
 ¬ − ¤® ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ −¨¥ ¨ ¥¤¨−á⢥−−®áâì £®¬®¬®à䨧¬  R- «£¥¡à β : F (N) → F • , ¤«ï ª®â®à®£® ¤¨ £à ¬¬  α

F `@o

@@ @@ @ i @@

F

•

F (N)

|x

x

x

x

β

£¤¥ a = |α|, ª®¬¬ãâ â¨¢− . Ÿá−®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â −¥ ¡®«¥¥ ®¤−®£® â ª®£® β.  áãé¥áâ¢ã¥â ®− ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  Im α = α(F (N)) á®á⮨⠨§ •-¨−¢ à¨ −â−ëå í«¥¬¥−⮢. ® ¤«ï •-¨−¢ à¨ −â−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï a íâ® ¢á¥£¤  ¢ë¯®«−ï¥âáï: ¤«ï ¢á¥å γ ∈ •, f ∈ F (N) ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á®®â−®è¥−¨ï γ(α(f)) = α(f) ◦ γ = f ◦ (α ◦ |γ|) = f ◦ a = α(f).



6.11. ‡ ¬¥ç −¨¥. “−¨¢¥àá «ì−®¥ ᢮©á⢮, å à ªâ¥à¨§ãî饥 ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ M → M/•, ®¯à¥¤¥«ï¥â ä ªâ®à¬−®£®®¡à §¨¥ M/• ®¤−®§− ç−® á â®ç−®áâìî ¤® ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ . „®ª § â¥«ìá⢮ í⮣® ã⢥ত¥−¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮¯¨à®¢ −® á ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¥¤¨−á⢥−−®á⨠£« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ (3.38), ¨ ¬ë ¯à¥¤« £ ¥¬ ç¨â â¥«î ¯à®¤¥« âì íâ®. ¡é¨© ¯à¨−樯 ¤®ª § â¥«ìá⢠⠪®£® ⨯ , ª®â®àë© − ¬ ᥩç á −¥ å®â¥«®áì ¡ë ä®à¬ «¨§®¢ âì, á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ú«î¡®¥ ã−¨¢¥àá «ì−®¥ ᢮©á⢮ ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡ê¥ªâ ®¤−®§− ç−®û. 6.12. ‚¥à−¥¬áï ⥯¥àì ª ¤¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï¬ (á¬. ¯. 4.28). ãáâì Fl , l = 1, 2, |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ Ml . ஥ªæ¨¨

104

ƒ« ¢  6

pl : M1 × M2 → Ml ,

(a1, a2) → al,

l = 1, 2,

ïîâáï £« ¤ª¨¬¨, â ª ª ª pl = |πl|, £¤¥ £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à πl ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®¬¯®§¨æ¨î il

σ

Fl → F1 ⊗ F2 → F1 ⊗ F2 = F (M1 × M2 ); R

R

§¤¥áì σ | £®¬®¬®à䨧¬ £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ (á¬. ¯. 3.37),    f ⊗ 1, il(f) = 1 ⊗ f,

l = 1, l = 2,

¤«ï ¢á¥å f ∈ Fl .

 à  ¯à®¥ªæ¨© (p1 , p2 ) ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ¢ ¦−ë¬ ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ á¢®©á⢮¬. ।«®¦¥−¨¥. „«ï «î¡®£® £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M ¨ «î¡®© ¯ àë £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© fl : N → Ml , l = 1, 2, áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f : N → M1 × M2 , § ¬ëª î饥 ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî ¤¨ £à ¬¬ã f1 ppppp

M1

p ppp p p xp fMMM MMM M p1 MMMM

N NN NNN f2  NNN NNN  N&  M f  q8 2 



qq qqq q q qqq p2

M1 × M2


¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ F (N)  «£¥¡àã £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  N. ãáâì fl = |ϕl|, £¤¥ ϕl : Fl → F (N), l = 1, 2, | ¤¢®©á⢥−−ë¥ £®¬®¬®à䨧¬ë R- «£¥¡à.  è¥ ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¡ã¤¥â ¤®ª § −®, ¥á«¨ ¬ë ãáâ −®¢¨¬ áãé¥á⢮¢ −¨¥ ¨ ¥¤¨−á⢥−−®áâì á«¥¤ãî饩 ¤¨ £à ¬¬ë:

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

105

hh4 F (N) jTT ϕ1hhhhhhhhhh  A [7 7 TTTTTTTϕ TT2TT 7 hhhh TTTT h  h h 7 TTTT hhh  ϕ hhhh 7ψ  X

F1 KKXXXXXXX XXX K

7  fffff F2 fffff xxx XXXXX  i 7 f KK f f f π XXXXX1 f KK xx XXXXXX fffff2ffff 7 K xx  7 fXXX X f X x f π1 KKK% f x { f XXXXX i2  sffff X, _? F1 ⊗ F2 F (M1 × M2 ) o

σ

R

‘®£« á−® ã−¨¢¥àá «ì−®¬ã ᢮©áâ¢ã â¥−§®à−ëå ¯à®¨§¢¥¤¥−¨© áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−ë© £®¬®¬®à䨧¬ ψ, ¯®ª § −−ë© −  ¤¨ £à ¬¬¥. ’ ª ª ª R- «£¥¡à  F (N) ï¥âáï £« ¤ª®©,   £®¬®¬®à䨧¬ £« ¤ª®© ®¡®«®çª¨ ®¡« ¤ ¥â ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ á¢®©á⢮¬, ®¯¨á −−ë¬ ¢ ¯. 3.38, â® £®¬®¬®à䨧¬ ϕ â ª¦¥ ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥− ¨ ¥¤¨−á⢥−.  6.13. ‡ ¬¥ç −¨¥. ।«®¦¥−¨¥ 6.12 ¬®¦−® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ ¯®áâ஥−¨¨ £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© ¨§ −¥ª®â®à®£® âà¥â쥣® ¬−®£®®¡à §¨ï M3 ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ M1 × M2 ¤¢ãå § ¤ −−ëå ¬−®£®®¡à §¨©.  ¯à¨¬¥à, £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ ¬−®£®®¡à §¨ï N ¢ S 1 × S 1 | íâ® ¯ à  £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© ¨§ N ¢ S 1 , â. ¥. ¯ à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  N, § ¤ −−ëå ¯® ¬®¤ã«î 1. 6.14. áâ ¢è ïáï ç áâì í⮩ £« ¢ë ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡á㦤¥−¨¥ à §¢¨âëå ¢ 6.1{6.13 ¯®−ï⨩ ¨ ª®−áâàãªæ¨© −  úï§ëª¥ ª®®à¤¨− âû, ¢¢¥¤¥−−®¬ ¢ £« ¢¥ 5. ãáâì (M, A) ¨ (N, B) | ¬−®£®®¡à §¨ï á £« ¤ª¨¬¨  â« á ¬¨ A ¨ B (á¬. ¯. 5.8). ⮡ࠦ¥−¨¥ f : M → N − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª¨¬ (¨«¨ ¡¥áª®−¥ç−® ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬ë¬) ¢ â®çª¥ a ∈ M, ¥á«¨ ¤«ï −¥ª®â®à®© ¯ àë ª àâ (U, x) ¨ (V, y), ᮮ⢥âá⢥−−® ᮣ« á®¢ −−ëå á  â« á ¬¨ A ¨ B ¨ ¯®ªà뢠îé¨å â®çª¨ a ¨ f(a), ®â®¡à ¦¥−¨¥ y ◦ f ◦ x−1 , ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠x(f −1 (V ) ∩ U) â®çª¨ x(a) ∈ Rn , ï¥âáï ¡¥áª®−¥ç−® ¤¨ää¥à¥−æ¨àã¥¬ë¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ®¡« á⥩ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà −á⢠(á¬. à¨á. 6.4). ⮡ࠦ¥−¨¥ f : M → N − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª¨¬, ¥á«¨ ®−® ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ¢® ¢á¥å â®çª å.

106

ƒ« ¢  6

M U

y f

x

V

N ¨á. 6.4.   ª®®à¤¨− â−®¬ ï§ëª¥ £« ¤ª®¥ ¡¨¥ªâ¨¢−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f : M → N − §ë¢ ¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f −1 â ª¦¥ £« ¤ª®¥. 6.15. ਠࠡ®â¥ á ª®−ªà¥â−묨 ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨ ¬−®£®®¡à §¨© ®¡ëç−® ¯®«ì§ãîâáï ¨å ª®®à¤¨− â−®© § ¯¨áìî, â. ¥. ä ªâ¨ç¥áª¨ 㯮¬ï−ãâë¬ ¢ëè¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ y ◦ f ◦ x−1 , ª®â®à®¥, ¡ã¤ãç¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ®¡« á⥩ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà −áâ¢, § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ¢¨¤¥ äã−ªæ¨© yi = fi (x1, . . . , xm ),

i = 1, . . . , n,

£¤¥ m = dim M, n = dim N. „«ï £« ¤ª®£® (£« ¤ª®£® ¢ â®çª¥) ®â®¡à ¦¥−¨ï ¢á¥ äã−ªæ¨¨ fi , i = 1, . . . , n, ¡ã¤ãâ â ª¦¥ £« ¤ª¨¬¨ (ᮮ⢥âá⢥−−® £« ¤ª¨¬¨ ¢ â®çª¥).

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

107

¥âàã¤−® § ¬¥â¨âì, çâ® ¥á«¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®¯¨á뢠¥âáï £« ¤ª¨¬¨ äã−ªæ¨ï¬¨ ¢ −¥ª®â®à®¬ ᥬ¥©á⢥ ¯ à ª àâ, ᮣ« á®¢ −−ëå á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨  â« á ¬¨, ¯à¨ç¥¬ ª àâë −  M ¯®ªà뢠î⠢ᥠ¬−®£®®¡à §¨¥, â® íâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¡ã¤¥â ®¯¨á뢠âìáï £« ¤ª¨¬¨ äã−ªæ¨ï¬¨ ¤«ï «î¡®© ¯ àë ª àâ, ᮣ« á®¢ −−ëå á ⥬¨ ¦¥  â« á ¬¨ (ª®−¥ç−®, −¥ à áᬠâਢ îâáï ª àâë, ¤«ï ª®â®àëå −¥ ®¯à¥¤¥«¥−  ª®¬¯®§¨æ¨ï y ◦ f ◦ x−1 ). ª¢¨¢ «¥−â−®áâì íâ¨å ª®®à¤¨− â−ëå ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ¡ã¤¥â ãáâ −®¢«¥−  ¢ £« ¢¥ 7. 6.16. ਬ¥àë. I. ⮡ࠦ¥−¨¥ a : T 2 → R2, ª®â®à®¥ ª ¦¤®¬ã ¯®«®¦¥−¨î ¤¢®©−®£® ¬ ïâ−¨ª  (á¬. ¯. 5.2 (II)) áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¥£® ª®−楢ãî â®çªã A (á¬. à¨á. 5.1 ¢ £« ¢¥ 5), ï¥âáï £« ¤ª¨¬.
‡ ä¨ªá¨à㥬 −¥ª®â®à®¥ ¯®«®¦¥−¨¥ ¤¢®©−®£® ¬ ïâ−¨ª ; ⮣¤  ¢á¥ ¤®áâ â®ç−® ¡«¨§ª¨¥ ¥£® ¯®«®¦¥−¨ï å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¤¢ã¬ï 㣫 ¬¨ (ϕ, ψ), â ª çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ª àâã


U  (¯®«®¦¥−¨¥) −→ (ϕ, ψ), ᮣ« á®¢ −−ãî á® áâ −¤ àâ−ë¬  â« á®¬ â®à . Œ−®£®®¡à §¨¥ R2 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®ªàëâ® ®¤−®© ª à⮩ id: R2 → R2. Œ®¦−® ᪠§ âì, çâ® ¢ ¢ë¡à −−ëå «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å ®â®¡à ¦¥−¨¥ a ®¯¨á뢠¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ r1 = R cos ϕ + r cos ψ, r2 = R sin ϕ + r sin ψ. ‘âண¨© á¬ëá« íâ¨å á«®¢ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¯à¨¢¥¤¥−−ë¥ ä®à¬ã«ë −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ®¯¨á뢠î⠮⮡ࠦ¥−¨¥ (id) ◦ a ◦
−1 , ¨ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï 6.14 á«¥¤ã¥â, çâ® a | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥.  II. ‡ ä¨ªá¨à㥬 ¥¤¨−¨ç−ë© ¢¥ªâ®à v ∈ S n−1 ∈ Rn ¨ à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ fv : SO(n) → S n−1 ,

(A → A(v)).

஢¥àìâ¥, çâ® fv ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬, ¨á¯®«ì§ãï  â« áë, 㯮¬ï−ãâë¥ ¢ ¯. 5.10 (I) ¨ 5.11 (II).

108

ƒ« ¢  6

Œ®¦−® â ª¦¥ à áᬮâà¥âì ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : SO(n) × S n−1 → S n−1 ,

(A, v) → A(v),

¨ ¯®¯ëâ âìáï ¤®ª § âì ¥£® £« ¤ª®áâì, à ¡®â ï á  â« á®¬ −  SO(n) × S n−1 . “ ç¨â â¥«ï 墠â¨â ¬ã¤à®á⨠−¥ ¯ëâ âìáï íâ® ¤¥« âì ¢á¥à쥧,   á® ¢à¥¬¥−¥¬ ¤®ª § âì £« ¤ª®áâì ϕ, ¨á¯®«ì§ãï ª®−楯âã «ì−ë¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï. 6.17. „à㣨¥ ¯à¨¬¥àë. I.  áᬠâਢ ï 4-¬¥à−®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà −á⢮ R4 ª ª  «£¥¡àã ª¢ â¥à−¨®−®¢ H, ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ç¨áâ® ¬−¨¬ëå ª¢ â¥à−¨®−®¢ r1 i + r2j + r3 k ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ V ∼ = R3 ¨ ¢¢¥¤¥¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ (H
{0}) × V → V,

(q, v) → qvq −1.

‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® −¥−ã«¥¢®£® ª¢ â¥à−¨®−  q ¬ âà¨æ  «¨−¥©−®£® ®¯¥à â®à  v → qvq −1 ¢ ª®®à¤¨− â å r1 , r2 , r3 ï¥âáï ®à⮣®− «ì−®©, â ª çâ® ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ H
{0} → SO(3). „¢  ª¢ â¥à−¨®−  q1 ¨ q2 ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤−® ¨ â® ¦¥ ¯à¥®¡à §®¢ −¨¥ ¯à®áâà −á⢠ V ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  q1 = λq2 ¤«ï −¥ª®â®à®£® λ ∈ R
{0}. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ RP 3 → SO(3).  ¯®¬−¨¬, çâ® RP 3 | íâ® ¢ â®ç−®á⨠䠪â®à¬−®£®®¡à §¨¥ · ¯à®áâà −á⢠ R4
{0} = H
{0} ¯® £à㯯¥ R ¢á¥å £®¬®â¥â¨© á æ¥−â஬ ¢ − ç «¥ ª®®à¤¨− â, á¬. ¯. 4.25, ¨ çâ® ¯à®¥ªæ¨ï H
{0} → RP 3 ®¡« ¤ ¥â ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ á¢®©á⢮¬ (á¬. ¯. 6.10). ¥¡¥á¯®«¥§−®, å®âï ¨ −¥ ᮢᥬ ¯à®áâ®, ¯®¯ëâ âìáï ãáâ −®¢¨âì £« ¤ª®áâì í⮣® ®â®¡à ¦¥−¨ï, ¨á¯®«ì§ãï  â« áë, ®¯¨á −−ë¥ ¢ ¯¯. 5.10 (III) ¨ 5.11 (II). …é¥ âàã¤−¥¥ ¤®ª § âì, çâ® íâ® ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ (ª ª 㯮¬¨− «®áì ¢ ¯. 1.6). II. Š®¬¯®§¨æ¨ï S 3 → R4
{0} → SO(3) → S 2 , £¤¥ ¯¥à¢ ï áâ५ª  | ¯à®áâ® ¢ª«îç¥−¨¥,   ¤¢¥ ¤à㣨¥ ®¯à¥¤¥«¥−ë ¢ ¯¯. 6.17 (I) ¨ 6.16 (II), − §ë¢ ¥âáï ®â®¡à ¦¥−¨¥¬

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

109

•®¯ä . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ª®¬¯®§¨æ¨î ¯¥à¢ëå ¤¢ãå áâ५®ª ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ∼ =

S 3 → RP 3 −→ SO(3), £¤¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ S 3 → RP 3 ®¯¨á −® ¢ ¯. 4.25 (III) ª ª ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ S 3 → S 3 /Z2 ∼ = RP 3. “¯à ¦−¥−¨¥. ®áâ à ©â¥áì ¤®ª § âì, çâ® ¯à®®¡à § «î¡®© â®çª¨ ¨§ S 2 ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ •®¯ä  h : S 3 → S 2 ï¥âáï § ¬ª−ãâë¬ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¢ S 3 , ¤¨ä䥮¬®àä−ë¬ S 1 . 6.18. ਬ¥à £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï ¬−®£®®¡à §¨ï á ªà ¥¬. ãáâì D3 | 3-¬¥à−ë© § ¬ª−ãâë© ¤¨áª á æ¥−â஬ ¢ − ç «¥ ª®®à¤¨− â O ∈ R3 ¨ à ¤¨ãᮬ π. ‘®¯®áâ ¢¨¬ ª ¦¤®© â®çª¥ a ∈ D3 ¯®¢®à®â ¯à®áâà −á⢠ R3 ¯à®â¨¢ ç á®¢®© áâ५ª¨ ¢®ªà㣠«¨−¨¨, ᮥ¤¨−ïî饩 a á − ç «®¬ ª®®à¤¨− â, −  㣮« α = a. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥−® ®â®¡à ¦¥−¨¥ g : D3 → SO(3). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤¨ ¬¥âà «ì−® ¯à®â¨¢®¯®«®¦−ë¥ â®çª¨ ªà ï ∂D3 = S 2 ¬−®£®®¡à §¨ï D3 ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤¨− ¨ â®â ¦¥ ¯®¢®à®â. ‡− ç¨â, ¬−®£®®¡à §¨¥ SO(3) ∼ = RP 3 ®à⮣®− «ì−ëå ¯à¥®¡à §®¢ −¨© 3 ¯à®áâà −á⢠ R ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ¤¨áª D3 ᮠ᪫¥¥−−묨 ¤¨ ¬¥âà «ì−® ¯à®â¨¢®¯®«®¦−묨 â®çª ¬¨ ªà ï. ⮡ࠦ¥−¨¥ g : D3 → SO(3) ï¥âáï £« ¤ª¨¬ áîàꥪ⨢−ë¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï á ªà ¥¬ −  ¬−®£®®¡à §¨¥ ¡¥§ ªà ï. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ®¡à § ªà ï S 2 = ∂D3 ¯à¨ í⮬ ®â®¡à ¦¥−¨¨ ï¥âáï £« ¤ª¨¬ § ¬ª−ãâë¬ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¢ SO(3), ¤¨ä䥮¬®àä−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨î RP 2 . 6.19. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ‚믨è¨â¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®à⮣®− «ì−®© ¯à®¥ªæ¨¨ ¥¤¨−¨ç−®© áä¥àë S n ⊂ Rn+1 −  £¨¯¥à¯«®áª®áâì Rn ⊂ Rn+1 ¢ ª àâ å, ®¯¨á −−ëå ¢ ¯. 5.10 (I), ¨ ¯à®¢¥àìâ¥, çâ® íâ  ¯à®¥ªæ¨ï ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬. 2. „®ª ¦¨â¥, çâ® SO(4) ∼ = S 3 × SO(3). “ª § −¨¥: SO(3) ¬®¦−® ¯®−¨¬ âì ª ª ¬−®¦¥á⢮ ®àâ®−®à¬¨à®¢ −−ëå ¯ à {u, v} ¢ R3 ,   SO4 | ª ª ¬−®¦¥á⢮ ®àâ®−®à¬¨à®¢ −−ëå â஥ª

110

ƒ« ¢  6

{u, v, w} ¢ R4 ; ¯ãáâì R4 = H ¨ R3 = V ⊂ H, ª ª ¢ ¯à¨¬¥à¥ 6.17 (I); ¨áá«¥¤ã©â¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ S 3 × SO(3) → SO(4),

(u, {v, w}) → {u, uv, uw}.

6.20.  ¡®à ¢á¥å £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© (¢ á¬ëá«¥ ª®®à¤¨− â−®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï 6.13) â ª¦¥ ®¡« ¤ ¥â ¤¢ã¬ï ᢮©á⢠¬¨, ª á î騬¨áï ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¨ ⮦¤¥á⢥−−ëå ®â®¡à ¦¥−¨© ¨ 㯮¬¨− ¢è¨¬¨áï ¢ ¯. 6.6 (çâ® ¨ −¥ 㤨¢¨â¥«ì−®, â ª ª ª ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ íª¢¨¢ «¥−â−®  «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ã | á¬. ¯. 6.1). Š« áá ¢á¥å £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© ¢ á¬ëá«¥ ¯. 5.8 ¢¬¥á⥠á ᥬ¥©á⢮¬ ¢á¥å £« ¤ª¨å (á¬. ¯. 6.14) ®â®¡à ¦¥−¨© á®áâ ¢«ï¥â ª â¥£®à¨î ª®®à¤¨− â−ëå ¬−®£®®¡à §¨©. „«ï ¤ «ì−¥©è¥£® − ¬ ¯®âॡãîâáï ª« áá¨ç¥áª¨¥ ã⢥ত¥−¨ï «®ª «ì−®£® ¬−®£®¬¥à−®£®  − «¨§  | â¥®à¥¬ë ® −¥ï¢−®© ¨ ®¡ ®¡à â−®© äã−ªæ¨¨. Œë ¯à¨¢®¤¨¬ ¨å §¤¥áì ¢ 㤮¡−®© ¤«ï − á ä®à¬¥, ¡¥§ ¤®ª § â¥«ìáâ¢; ¯®á«¥¤−¨¥ ¬®¦−® − ©â¨ ¢ «î¡®¬ ã−¨¢¥àá¨â¥â᪮¬ ªãàᥠ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  − «¨§ . 6.21. ’¥®à¥¬  ®¡ ®¡à â−®© äã−ªæ¨¨.
ãáâì £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rn ¨¬¥¥â −¥¢ë஦¤¥−−ë© ïª®¡¨ − ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠− ç «  ª®®à¤¨− â 0 ∈ Rn :   ∂fi  det f (0) = det (0) = 0. ∂xj ’®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâë¥ ¬−®¦¥á⢠ U  0 ¨ V  f(0) def â ª¨¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ = f U : U → V ¨¬¥¥â £« ¤ª®¥ ®¡à â−®¥ ϕ−1 : V → U, ¬ âà¨æ  Ÿª®¡¨ ª®â®à®£® ¢ «î¡®© â®çª¥ y ∈ V ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥  −1 (ϕ−1 )(y) = ϕ (ϕ−1 (y)) .  6.22. ’¥®à¥¬  ® −¥ï¢−®© äã−ªæ¨¨.
ãáâì ¤«ï £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï f = (f1 , . . . , fn+m ) : Rn × Rm → Rm

ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

111

f(a, b) = 0 ∈ Rm ¨ (m × m)-¬ âà¨æ  ¯à®¨§¢®¤−ëå ¯® ¯¥à¥¬¥−−ë¬ xn+1 , . . . , xn+m −¥¢ë஦¤¥− :   ∂fi det (a) = 0. ∂xn+j 1
i,j
m ’®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ®âªàëâë¥ ¬−®¦¥á⢠ U ¨ V , a ∈ U ⊂ Rn , b ∈ V ⊂ Rm ¨ â ª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï g : U → V , çâ® f(x, g(x)) = 0 ¤«ï ¢á¥å x ∈ U.   ª®−¥æ, − ¬ ¯®− ¤®¡¨âáï ¥é¥ ®¤−  ª« áá¨ç¥áª ï ⥮६  (⥮६  ® «¨−¥ à¨§ æ¨¨ £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï), ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï ᮡ®©  ¬ «ì£ ¬ã ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å. 6.23. ’¥®à¥¬ .
ãáâì f : Rn → Rm , m  n, | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, â ª®¥, çâ® f(0) = 0 ¨ à −£ ¬ âà¨æë   ∂fi M= (0) ∂xj 1im, 1jn

à ¢¥− m. ’®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ®ªà¥áâ−®á⨠−ã«ï U, V ⊂ Rn ¨ â ª®© ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ϕ : U → V , çâ® (f ◦ ϕ)(x1, . . . , xn) = (xn−m+1 , . . . , xn ).  6.24. ‡ ¬¥ç −¨¥. ’ਠ⥮६ë, áä®à¬ã«¨à®¢ −−ë¥ ¢ëè¥, ïîâáï ú«®ª «ì−묨û ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¢ ¨å ãá«®¢¨ïå ¤ −ë ¥¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà −á⢠,   § ª«îç¥−¨ï ª á îâáï ®ªà¥áâ−®á⥩ (¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà −á⢠å). ¤− ª® ¨å ¬®¦−® ¯à¨¬¥−ïâì ¨ ¤«ï ú£«®¡ «ì−®£®û á«ãç ï ¬−®£®®¡à §¨©, à áᬠâਢ ï ®â¤¥«ì−ë¥ ª®®à¤¨− â−ë¥ ®ªà¥áâ−®áâ¨. ਠí⮬, ¢ ᨫ㠥¤¨−á⢥−−®á⨠®¡à â−®© (¨«¨ −¥ï¢−®©) äã−ªæ¨¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®ªà¥áâ−®áâ¨, −  ®¡é¥© ç á⨠¤¢ãå ®ªà¥áâ−®á⥩ ¯®áâ஥−−ë¥ äã−ªæ¨¨ (®â®¡à ¦¥−¨ï) ᮢ¯ ¤ îâ, ¯®íâ®¬ã ¨å ¬®¦−® ú᪫¥¨âìû ¯® ¢á¥¬ã ¬−®£®®¡à §¨î. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, § ª«îç¥−¨¥, ᪠¦¥¬, â¥®à¥¬ë ® −¥ï¢−®© äã−ªæ¨¨ ¬®¦−® áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¥á«¨ f : M → N | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨©, m = dim M > n = dim N, ¨ 类¡¨ − f ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¨¬¥¥â à −£ n , â® f −1 (z) ⊂ M ï¥âáï ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ N.

112

ƒ« ¢  6

6.25. “¯à ¦−¥−¨¥. «®áª¨© è à®¢®© ¬¥å −¨§¬ (á¬. ¯. 1.14) − §ë¢ ¥âáï −¥¢ë஦¤¥−−ë¬ ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® áâ¥à¦−¨ −¥«ì§ï à á¯®«®¦¨âì −  ®¤−®© ¯àאַ©, (â. ¥., ¥á«¨ ¬¥¦¤ã ¨å ¤«¨− ¬¨ −¥â «¨−¥©−ëå á®®â−®è¥−¨© á ª®íää¨æ¨¥−â ¬¨ ±1). 1. „®ª ¦¨â¥, çâ® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ −¥¢ë஦¤¥−−®£® è à−¨à−®£® ¬¥å −¨§¬  ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬. 2. ®ª ¦¨â¥, çâ® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ −¥¢ë஦¤¥−−®£® ¯ïâ¨ã£®«ì−¨ª  (á¬. ¯. 1.14) ¤¨ä¥®¬®àä−® áä¥à¥ á −¥ ¡®«¥¥, 祬 4 àã窠¬¨, ¨«¨ −¥á¢ï§−®¬ã ®¡ê¥¤¨−¥−¨î ¤¢ãå â®à®¢, ¨«¨ −¥á¢ï§−®¬ã ®¡ê¥¤¨−¥−¨î ¤¢ãå áä¥à.

ƒ« ¢  7

Š‚ˆ‚‹…
’
‘’œ Š„ˆ
’
ƒ ˆ ‹ƒ…ˆ—…‘Šƒ …„…‹…
ˆ‰

7.1. –¥«ìî í⮩ £« ¢ë ï¥âáï ¤®ª § â¥«ìá⢮ ⮣®, çâ® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï (¯¯. 4.1 ¨ 5.8) ¨ £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© (¯¯. 6.1 ¨ 6.14) ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤−¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¯®−ïâ¨ï¬. ’¥¬ á ¬ë¬ ¡ã¤¥â ¯®ª § −®, çâ® ª®®à¤¨− â−ë© ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ë íª¢¨¢ «¥−â−ë. ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ¤¢ãå ®¯à¥¤¥«¥−¨© £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï ¡ã¤¥â áä®à¬ã«¨à®¢ −  ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå ⥮६ | 7.2 ¨ 7.7. ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ®¯à¥¤¥«¥−¨© £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à¦ −¨¥ ⥮६ë 7.16. 7.2. ’¥®à¥¬ .
ãáâì F = C ∞(M) |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¥£® £« ¤ª¨¬  â« á®¬ A. ’®£¤  F ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®© (¢ á¬ëá«¥ ¯. 4.1),   ®â®¡à ¦¥−¨¥ θ : M → |F |,

p → (f → f(p)),

ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬.
„®ª § â¥«ìá⢮ ¡ã¤¥â ¯à®¢¥¤¥−® ¢ ç¥âëॠ蠣 . ‚®-¯¥à¢ëå, ¡ã¤¥â ãáâ −®¢«¥−  ¡¨¥ªâ¨¢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï θ : M → |F | (¯. 7.3), ¤ «¥¥ ¬ë ¤®ª ¦¥¬, çâ® íâ® £®¬¥®¬®à䨧¬ (¯. 7.4), § â¥¬ ¡ã¤¥â ¯®ª § −®, çâ® C ∞ (M) | £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¨ ¯®«− ï  «£¥¡à  (¯. 7.5), ¨ − ª®−¥æ, çâ® ®−  ï¥âáï £« ¤ª®© (¯. 7.6). 7.3. ⮡ࠦ¥−¨¥ θ : M → |F | ¡¨¥ªâ¨¢−®. 113

114

ƒ« ¢  7

 ˆ−ꥪ⨢−®áâì ®ç¥¢¨¤− : ¥á«¨ p, q ∈ M | à §«¨ç−ë¥ â®çª¨, â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (M), çâ® f(p) = f(q) (− ¯à¨¬¥à, äã−ªæ¨ï, ¯®«®¦¨â¥«ì− ï ¢ ¬ «®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ p, −¥ ᮤ¥à¦ é¥© â®çªã q, ¨ à ¢− ï −ã«î ¢−¥ í⮩ ®ªà¥áâ−®áâ¨, á¬. ¯. 2.3); −  â ª®© äã−ªæ¨¨ §− ç¥−¨ï £®¬®¬®à䨧¬®¢ θ(p), θ(q) : f → R à §«¨ç−ë, â ª ª ª θ(q)(f) = f(q) = f(p) = θ(p)(f). „®ª ¦¥¬ áîàꥪ⨢−®áâì. ãáâì p : F → R | ª ª®©-«¨¡® £®¬®¬®à䨧¬, f ∈ C ∞ (M) | äã−ªæ¨ï á ª®¬¯ ªâ−묨 ¯®¢¥àå−®áâﬨ ã஢−ï (á¬. ¯. 5.18) ¨ λ = p(f). „®¯ãá⨬, −¨ ®¤−  ¨§ â®ç¥ª ª®¬¯ ªâ−®£® ¬−®¦¥á⢠ L = f −1 (λ) −¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £®¬®¬®à䨧¬ã p. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ᥬ¥©á⢮ äã−ªæ¨© {fx : x ∈ L}, çâ® fx (x) = p(fx ).  áᬮâਬ ¯®ªàë⨥ ¬−®¦¥á⢠ L ®âªàëâ묨 ¬−®¦¥á⢠¬¨ Ux = {q ∈ M : fx (q) = p(fx )} ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¨§ −¥£® ª®−¥ç−®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥ Ux1 , . . . , Uxm .  áᬮâਬ äã−ªæ¨î m  g = (f − λ)2 + (fxk − p(fxk ))2. k=1

â  £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï −  M −¨£¤¥ −¥ ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì. ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï 1/g, ¨ ⥯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ «¥£ª® ¯®«ãç¨âì áâ −¤ àâ−®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, §− ª®¬®¥ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢:  (p(fx ) − p(fx ))2 = 0, p(g) = (p(f) − λ)2 +     1 1 1 = p(1) = p g · = p(g) p = 0. g g ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, £®¬®¬®à䨧¬ p § ¤ ¥âáï −¥ª®â®à®© â®çª®© ¬−®¦¥á⢠ L ⊂ M, â ª çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ θ áîàꥪ⨢−®.  7.4. ⮡ࠦ¥−¨¥ θ : M → |F | ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬.  ãáâì U | ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ ¢ |F |. ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 3.12 ¬−®¦¥á⢮ U ï¥âáï ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥¬ ¬−®¦¥á⢠¢¨¤  f −1 (V ), £¤¥ V ⊂ R ®âªàëâ®. ’ ª ª ª äã−ªæ¨ï f ∈ F = C ∞ (M)

ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª®®à¤¨− â−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨©

115

£« ¤ª ï (¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, −¥¯à¥àë¢− ï), â® ¬−®¦¥á⢠ f −1 (V ),  , §− ç¨â, ¨ ¨å ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥ U, ®âªàëâë ¢ ⮯®«®£¨¨ ¬−®£®®¡à §¨ï M. ‚¥à−®¥ ¨ ®¡à â−®¥, ¤«ï «î¡®£® ®âªàë⮣® ¢ ⮯®«®£¨¨ ¬−®£®®¡à §¨ï M ¬−®¦¥á⢠ U áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï f ∈ F , çâ® U = f −1 (R+ ). ‹¥¬¬  4.17, I, ®ç¥¢¨¤−®, ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢®©, ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® ¢ ¥¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨ïå M ¥áâì ¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ á¬ëá«¥ ¯. 5.8. ® R+ ®âªàëâ® ¢ R, â ª çâ® U ®âªàëâ® ¢ ⮯®«®£¨¨ ¯à®áâà −á⢠ |F |.  7.5. «£¥¡à  F = C ∞ (M) ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¨ ¯®«−®©.  ƒ¥®¬¥âà¨ç−®áâì  «£¥¡àë F ®ç¥¢¨¤− , â ª ª ª ¢á¥ í«¥¬¥−âë f ∈ F ïîâáï ¤¥©á⢨⥫ì−묨 äã−ªæ¨ï¬¨ −  ¬−®¦¥á⢥ M,   ⮫쪮 ⮦¤¥á⢥−−® à ¢− ï −ã«î äã−ªæ¨ï ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¢® ¢á¥å â®çª å ¬−®¦¥á⢠ M. 祢¨¤−® ¨ â®, çâ® F ï¥âáï ¯®«−®©: «î¡ ï äã−ªæ¨ï f : M → R, £« ¤ª ï ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠«î¡®© â®çª¨, ¡ã¤¥â £« ¤ª®© −  ¢á¥¬ ¬−®£®®¡à §¨¨, â. ¥. f ∈ F = C ∞ (M) (á¬. ¯. 5.17).  7.6. C ∞ (M) ï¥âáï £« ¤ª®© R- «£¥¡à®©.  „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¬ë ¯®áâந¬ â ª®© áç¥â−ë©  â« á A2 = {(Uk , xk )}, çâ® xk (Uk ) = Rn.  ç−¥¬ á ¯à®¨§¢®«ì−®£® −¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥â−®£®  â« á  A0 = {(Vl , yl )}, ᮣ« á®¢ −−®£® á § ¤ −−ë¬  â« á®¬ A. ‹î¡®¥ ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮ yl (Vl ) ⊂ Rn ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥−® ¢ ¢¨¤¥ áç¥â−®£® ®¡ê¥¤¨−¥−¨ï ®âªàëâëå ∞  è à®¢ ¢ Rn, â. ¥. yl(Vl ) = Gli , £¤¥ i=1

Gli = {r ∈ Rn : r − ali  < rli }. ‘¥¬¥©á⢮

  A1 = (yl−1 (Gli ), yl y−1 (G ) ) : l, i ∈ N , l

li

®ç¥¢¨¤−®, ï¥âáï áç¥â−ë¬  â« á®¬ −  M, ᮣ« á®¢ −−ë¬ á A0,   §− ç¨â, ¨ á A. ‡ ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¯® «î¡®© ª à⥠(U, x) −  M, £¤¥ x(U) | ®âªàëâë© è à ¢ Rn , ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâநâì ª àâã (U, η ◦ x),

116

ƒ« ¢  7

£¤¥ (η ◦ x)(U) = Rn , ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ η ¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì−ë© ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ®âªàë⮣® è à  x(U) −  Rn .  ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ x(U) | ®âªàëâë© è à á à ¤¨ãᮬ ρ ¨ æ¥−â஬ a, ¡¨¥ªæ¨î η : x(U) → Rn ¬®¦−® § ¤ âì ä®à¬ã«®© η(r) = 

ρ(r − a) . − r − a2

ρ2

⮡ࠦ¥−¨¥ η ®¡à â¨¬®: sρ , η −1 (r) = a +  ρ2 + s2 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ª àâ  (U, η ◦ x) ᮢ¬¥áâ−  á (U, x). ஢¥¤ï â ªãî ª®−áâàãªæ¨î ¤«ï ª ¦¤®© ª àâë  â« á  A1, ¬ë ¯®«ã稬 âà¥¡ã¥¬ë©  â« á A2 = {(Uk , xk )}.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì−ãî ª àâã (Uk , xk ) ∈ A2. Œ−®¦¥á⢮ Uk , ®ç¥¢¨¤−®, ®âªàëâ® ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà −á⢥ M. Ÿá−®, çâ® ®£à −¨ç¥−¨¥  «£¥¡àë F = C ∞(M) −  íâ® ¬−®¦¥á⢮ á®á⮨⠨§ ¢á¥å äã−ªæ¨© f : Uk → R, ¤«ï ª®â®àëå n f ◦ x−1 k | £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï −  R . ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ᮮ⢥âá⢨¥ −1 f → f ◦xk ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§®¬®à䨧¬ R- «£¥¡àë C ∞ (M) Uk −  C ∞ (Rn ),   íâ® §− ç¨â, çâ® F = C ∞ (M) | £« ¤ª ï  «£¥¡à .  ’¥¬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬  7.2 ¤®ª § − .  7.7. ’¥®à¥¬ .
ãáâì F | ¯à®¨§¢®«ì− ï £« ¤ª ï R- «£¥¡à . ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £« ¤ª¨©  â« á A −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ M = |F |, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ F → C ∞ (M),

f → (p → p(f)),

 «£¥¡àë F −   «£¥¡àã C ∞ (M) £« ¤ª¨å ®â−®á¨â¥«ì−® A äã−ªæ¨© −  M (á¬. 5.17) ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬.
„«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¯®âॡã¥âáï ç¥âëॠ蠣 . ‘− ç «  (¯. 7.8) ¬ë ¯®áâந¬ ª àâã x : U → Rn ¤«ï ª ¦¤®£® ®âªàë⮣® ¬−®¦¥á⢠ U ¨§ áç¥â−®£® ¯®ªàëâ¨ï ¯à®áâà −á⢠ |F |, ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã, ¤®ª §ë¢ ¥¬ãî −  ¢â®à®¬ è £¥ (¯. 7.9). „ «¥¥ ¬ë ¯®ª §ë¢ ¥¬, çâ® «î¡ë¥ ¤¢¥ ª àâë ᮣ« á®¢ −ë.   ç¥â¢¥à⮬ ¨ ¯®á«¥¤−¥¬ è £¥ ¬ë ¤®ª §ë¢ ¥¬, çâ® f ∈ F

ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª®®à¤¨− â−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨©

117

⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  f ∈ C ∞ (M) (£¤¥ f,  ¡áâà ªâ−ë© í«¥¬¥−â  «£¥¡àë F , ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á äã−ªæ¨¥© f : |F | → R, p → p(f)). 7.8. Š®−áâàãªæ¨ï ª àâë x : U → Rn .  ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î £« ¤ª¨å  «£¥¡à (¯. 4.1) áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ ¯à®áâà −á⢠ |F | ®âªàëâ묨 U, ¤«ï ¬−®¦¥á⢠¬¨ ∞ n ª®â®àëå áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ i : F U → C (R ). ‚®§ì¬¥¬ «î¡®¥ â ª®¥ U ¨ ¯®áâந¬ ª àâã x : U → Rn. Š®¬¯®§¨æ¨ï |p| µ U −→ |F U | −→ |F |, £¤¥ µ | ¢«®¦¥−¨¥ (á¬. ¯. 3.29),   p : F → F U | ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®£à −¨ç¥−¨ï (á¬. ¯. 3.25), ª ª «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢«®¦¥−¨¥¬ U ⊂ |F |. ’ ª ª ª µ | £®¬¥®¬®à䨧¬ −  |F U | (íâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï −¨¦¥ ¢ ¯. 7.9),   |p| ◦ µ | ¢«®¦¥−¨¥ U ⊂ |F |, â® |p| ¤®«¦−® ¡ëâì £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ −  U ⊂ |F |. ‚®§ì¬¥¬ ⥯¥àì ¢ ª ç¥á⢥ h : F → C ∞(Rn ) ª®¬¯®§¨æ¨î p i F −→ F U −→ C ∞ (Rn ), h = i ◦ p.  áᬮâਬ ¤¢®©á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ |h| = |p| ◦ |i|. ’ ª ª ª |C ∞(Rn )| = Rn (ᮣ« á−® 3.5),   i ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, â® ¢¢¨¤ã 3.20 |i| ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ |i| : Rn → |F U |. ® |p| â ª¦¥ ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ (−  U ⊂ |F |), ¨ ª®¬¯®§¨æ¨ï |h| = |p| ◦ |i| ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ |h| : Rn → U, £¤¥ U ®âªàëâ® ¢ |F |. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¬ë ¯®«ã稬 âॡ㥬ãî ª àâã, ¥á«¨ ¯®«®¦¨¬ x = |h|−1 : U → Rn.  | ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧7.9. ‹¥¬¬ . ‚«®¦¥−¨¥ µ : U → |F U ¬®¬ −  |F U |.  ।¯®«®¦¨¬, çâ® µ −¥ áîàꥪ⨢−®, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â â®ç ª  a ∈ |F U |
µ(U); ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§− ç¥−¨¥ a = |i|−1(a), £¤¥ i : F U → C ∞ (Rn ) | ¨§®¬®à䨧¬, ¢¢¥¤¥−−ë© ¢ ¯. 7.8.  áᬮâਬ ¤¢  á«ãç ï, ª®£¤  â®çª  a ¯à¨− ¤«¥¦¨â ¨ −¥ ¯à¨− ¤«¥¦¨â § ¬ëª −¨î ¬−®¦¥á⢠ µ(U).

118

ƒ« ¢  7


¥à¢ë© á«ãç ©: a ∈ µ(U).  áᬮâਬ äã−ªæ¨î f, ®¯à¥¤¥«¥−−ãî −  Rn
{a}, f : x → 1/x − a, ¨ äã−ªæ¨î g = f ◦|i|−1 ◦µ, ®¯à¥¤¥«¥−−ãî −  U. “⢥ত ¥âáï, çâ® g ∈ F U . „¥©á⢨⥫ì−®, ã «î¡®© â®çª¨ r ∈ Rn
{a} ¥áâì ®ªà¥áâ−®áâì, −  ª®â®à®© f ᮢ¯ ¤ ¥â á £« ¤ª®© äã−ªæ¨©, ®¯à¥¤¥«¥−−®© −  ¢á¥¬ Rn . ‘।¨ ¯à®®¡à §®¢ â ª¨å ®ªà¥áâ−®á⥩ ®â−®á¨â¥«ì−® ®â®¡à ¦¥−¨ï |i|−1 ◦ µ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ q ∈ U − ©¤¥âáï ®ªà¥áâ−®áâì, −  ª®â®à®© g ᮢ¯ ¤ ¥â á äã−ªæ¨¥© ¨§ F U . ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î  «£¥¡àë F U (á¬. ¯. 3.23) íâ® §− ç¨â, çâ® g «®ª «ì−® ᮢ¯ ¤ ¥â á äã−ªæ¨¥©, ¯à¨− ¤«¥¦ é¥© F , ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, g ∈ F U , ª ª ¨ ã⢥ত «®áì. ® ⥯¥àì à áᬮâਬ äã−ªæ¨î i(g), £« ¤ªãî (−  ¢á¥¬ Rn !) ¨ ᮢ¯ ¤ îéãî á f −  ¬−®¦¥á⢥ |i|−1(µ(U)), § ¬ëª −¨¥ ª®â®à®£® ᮤ¥à¦¨â â®çªã a, ¨ ¯®«ã稬 ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, â ª ª ª f úáâ −®¢¨âáï ¡¥áª®−¥ç−®©û ¢ a. ‚â®à®© á«ãç ©: a ∈ / µ(U).  áᬮâਬ −  Rn ¤¢¥ £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨: ⮦¤¥á⢥−−ë© −ã«ì ¨ äã−ªæ¨î f0 , ®¡à é îéãîáï ¢ −ã«ì −  § ¬ª−ã⮬ ¬−®¦¥á⢥ | i |−1 ( µ(U)) ¨ à ¢−ãî 1 ¢ â®çª¥ a (f0 áãé¥áâ¢ã¥â ¢¢¨¤ã ¯. 2.5). â® à §«¨ç−ë¥ äã−ªæ¨¨, ¯®íâ®¬ã ¨å ¯à®®¡à §ë ¯à¨ ¨§®¬®à䨧¬¥ i ïîâáï à §«¨ç−묨 í«¥ ¬¥−â ¬¨  «£¥¡àë F U , çâ® −¥¢®§¬®¦−®, â ª ª ª ®¡  ®−¨ à ¢−ë −ã«î −  U. ˆâ ª, ¤®ª § −®, çâ® ¢«®¦¥−¨¥ µ ï¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬ −  |F U |.  7.10.
®áâ஥−−ë¥ ¢ ¯. 7.8 ª àâë ᮣ« á®¢ −ë.  ।¯®«®¦¨¬, x : U → Rn ¨ y : V → Rn | ¤¢¥ â ª¨¥ ª àâë, ∞   i : F U → C (Rn ) ¨ j : F V → C ∞ (Rn) | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨§®¬®à䨧¬ë R- «£¥¡à. ãáâì W = U ∩ V = ∅. (‘«ãç © W = ∅ âਢ¨ «¥−.) ‚¢¨¤ã ¯. 3.25 ¨¬¥îâáï ¨§®¬®à䨧¬ë i W : F W → C ∞ (x(W )), j W : F W → C ∞ (y(W )), ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¨§®¬®à䨧¬ t : C ∞ (x(W )) ∼ = C ∞(y(W )), ç⮠ᮣ« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 3.16 ¤®ª §ë¢ ¥â ¤¨ä䥮¬®àä−®áâì § ¬¥−ë ª®®à¤¨− â |t| : y(W ) → x(W ).  7.11. ‡ ª«îç¨â¥«ì−ë© è £:

f ∈ F ⇔ f ∈ C ∞ (M).

ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª®®à¤¨− â−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨©

119

 ãáâì f ∈ F . „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ £« ¤ª®á⨠f ¢ á¬ëá«¥ C ∞ (M) (á¬. ¯. 5.17) − ¬ − ¤® ¯®ª § âì, çâ® äã−ªæ¨ï f ◦ x−1 ï¥âáï £« ¤ª®© äã−ªæ¨¥© −  Rn ¤«ï «î¡®© ¨§ ª àâ x : U → Rn , ¯®áâ஥−−ëå ¢ ¯. 7.8. ® ¨¬¥îâ ¬¥áâ® à ¢¥−á⢠ (á¬. ¯. 7.8) f ◦ x−1 = f ◦ |h| = f ◦ |p| ◦ |i| = i(p(f)) ∈ C ∞ (Rn ), â ª ª ª i | ¨§®¬®à䨧¬  «£¥¡à F U ¨ C ∞ (Rn ). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, f ◦ x−1 ∈ C ∞ (Rn ). ¡à â−®, ¯ãáâì f ∈ C ∞ (M). â® §− ç¨â, çâ® ¤«ï «î¡®© ª àâë (U, x) äã−ªæ¨ï f ◦ x−1 = i(f ◦ |p|) ¯à¨− ¤«¥¦¨â C ∞ (Rn) ¨ ï¥âáï ®¡à §®¬ (¯à¨ i) í«¥¬¥−â   «£¥¡àë F U (  ¨¬¥−−®, ®¡à §®¬ í«¥¬¥−â  f ◦ |p|). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f «®ª «ì−® ᮢ¯ ¤ ¥â á í«¥¬¥−â ¬¨  «£¥¡à F U ,   §− ç¨â, ¨ á í«¥¬¥−â ¬¨  «£¥¡àë F . ’ ª ª ª F | ¯®«− ï  «£¥¡à , f ∈ F .  7.12. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ãáâ −®¢¨«¨ íª¢¨¢ «¥−â−®áâì ¤¢ãå ®¯à¥¤¥«¥−¨© £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï:  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® (¯. 4.1) ¨ ª®®à¤¨− â−®£® (¯. 5.8). ’¥®à¥¬ë,  − «®£¨ç−ë¥ 7.2 ¨ 7.7, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¬−®£®®¡à §¨© á ªà ¥¬. „®ª § â¥«ìá⢠ ¯à®¢®¤ïâáï â®ç−® â ª ¦¥ (á ®ç¥¢¨¤−묨 ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï¬¨ ¤«ï â®ç¥ª ªà ï). —¨â â¥«î, ¦¥« î饬㠯஢¥à¨âì, − áª®«ìª® ®− ®¢« ¤¥« ᮤ¥à¦ −¨¥¬ ¯¯. 7.1{7.12, ¡ã¤¥â ¯®«¥§−® ¯à®¢¥á⨠í⨠¤®ª § â¥«ìá⢠ ¢ ¤¥â «ïå.   á ¬®¬ ¤¥«¥  − «®£¨ íâ¨å ⥮६ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï áãé¥á⢥−−® ¡®«¥¥ è¨à®ª®£® ª« áá  ®¡ê¥ªâ®¢, − ¯à¨¬¥à ¤«ï á«¥¤ãîé¨å. 7.13. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ƒ« ¤ª¨¬ ¬−®¦¥á⢮¬ − §ë¢ ¥âáï ¯ à  ¢¨¤  (W, C ∞ (W )), £¤¥ W | § ¬ª−ã⮥ ¯®¤¬−®¦¥áâ¢o W ⊂ M £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M ¨ C ∞ (W ) |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  W , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: def C ∞ (W ) = {f W | f ∈ C ∞ (M)}. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï £« ¤ª¨å ¬−®¦¥á⢠⠪¦¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ⥮६ë,  − «®£¨ç−ë¥ 7.2 ¨ 7.7. 7.14. “¯à ¦−¥−¨ï.  ©¤¨â¥  «£¥¡àë C ∞ (W ) ¤«ï á«¥¤ãîé¨å á«ãç ¥¢.

120

ƒ« ¢  7

1. W = K | ª®®à¤¨− â−ë© ªà¥áâ −  ¯«®áª®áâ¨: K = {(x, y) ⊂ R2 | xy = 0}.  2. W ⊂ R2 § ¤ ¥âáï ãà ¢−¥−¨¥¬ y = |x|. 3. W | âà¥ã£®«ì−¨ª ¢ R2 : W = T1 ∪ T2 ∪ T3, £¤¥ T1 = {(x, y) | 0  y  1, x = 0}, T2 = {(x, y) | 0  x  1, y = 0}, T3 = {(x, y) | x + y = 1, x, y  0}. 4. W | âà¥ã£®«ì−¨ª, ®¯¨á −−ë© ¢ § ¤ ç¥ 3, ¢¬¥áâ¥ á ¢−ãâà¥−−¥© ®¡« áâìî: W = {(x, y) | x + y  1, x, y  0}. 5. W | ª®−ãá x2 + y 2 = z 2 ¢ R3 . 6. W = Wi , i = 1, 2, 3, | ®¤¨− ¨§ âà¥å ®¤−®¬¥à−ëå, £®¬¥®¬®àä−ëå ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¯®«¨í¤à®¢, ¨§®¡à ¦¥−−ëå −  à¨á. 7.1. ‚ £« ¢¥ 9 ç¨â â¥«î ¡ã¤¥â ¯à¥¤«®¦¥−® ã¯à ¦−¥−¨¥ 9.36 (5), ¢ ª®â®à®¬ ¯à¥¤« £ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ®  «£¥¡àë C ∞ (Wi ), i = 1, 2, 3, ¯®¯ à−® −¥¨§®¬®àä−ë. 7. W ⊂ R2 | § ¬ëª −¨¥ £à ä¨ª  äã−ªæ¨¨ y = sin x1 .

W2 W1

W3 ¨á. 7.1. 1-᪥«¥â â¥âà í¤à 

Š®−¥ç−® ¦¥, áãé¥áâ¢ãîâ à §−ë¥ ®¯¨á −¨ï à áᬠâਢ ¥¬ëå  «£¥¡à  ¯à¨¬¥à, ¢¥à®ïâ−® − ¨¡®«¥¥ ¯àאַ© ¨ 㤮¡−ë© á¯®á®¡ ®¯¨á −¨ï £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  âà¥ã£®«ì−¨ª¥ (á¬. ¢ëè¥ § ¤ çã 3) á®á⮨⠢ à áᬮâà¥−¨¨ â஥ª (f1 , f2, f3 ), fi ∈ C ∞([0, 1]), â ª¨å, çâ® f1(1) = f2 (0), f2 (1) = f3 (0), f3 (1) = f1 (0). ®¯à®¡ã©â¥

ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª®®à¤¨− â−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨©

121

¤ âì  − «®£¨ç−®¥ ®¯¨á −¨¥ ¤«ï ¤«ï £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ªà¥á⥠¨ â¥âà í¤à¥, 㯮¬ï−ãâëå ¢ § ¤ ç å 1 ¨ 6 ᮮ⢥âá⢥−−®. 7.15. ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®¦¥á⢠ ¥áâ¥á⢥−−® ¢®§−¨ª î⠯ਠà áᬮâà¥−¨¨ á ¬ëå à §−ëå § ¤ ç. Œë ¯à®¨««îáâà¨à㥬 íâ®, ¯à¥¤«®¦¨¢ ç¨â â¥«î á«¥¤ãî騥 “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ®ª ¦¨â¥, çâ® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ è à−¨à−®£® ¬¥å −¨§¬  ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª £« ¤ª®¥ ¬−®¦¥á⢮. 2. ¯à¥¤¥«¨â¥, ª ª¨¥ ¨§ £« ¤ª¨å ¬−®¦¥áâ¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç¥âëà¥å㣮«ì−¨ª ¬ ¨ ¯ïâ¨ã£®«ì−¨ª ¬, ¯¥à¥ç¨á«¥−−ë¬ ¢ ã¯à ¦−¥−¨¨ 1 ¯. 1.14 −¥ ïîâáï £« ¤ª¨¬¨ ¬−®£®®¡à §¨ï¬¨ ¨ ®¯¨è¨â¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥  «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© (áà ¢−¨â¥ á ã¯à. 6.25). 3. „®ª ¦¨â¥, çâ® £« ¤ª®¥ ¬−®¦¥á⢮, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 −¥¦¥á⪮¬ã ¢ë஦¤¥−−®¬ã ¯ïâ¨ã£®«ì−¨ªã (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 6.25), − ¯à¨¬¥à, (2; 2, 1, 1, 2), −¥ ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¨ ®¯¨è¨â¥ ¥£® ®á®¡ë¥ â®çª¨ (¯ïâ¨ã£®«ì−¨ª − §ë¢ ¥âáï ¢ë஦¤¥−−ë¬, ¥á«¨ ¥£® ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ á®á⮨⠨§ ®¤−®© â®çª¨, − ¯à¨¬¥à, (4;1,1,1,1)). ‡ ¬¥ç −¨¥. ƒ« ¤ª®¥ ¬−®¦¥á⢮, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç¥âëà¥å㣮«ì−¨ªã (5; 3, 3, 1) ú¤¨ä¥®¬®àä−®û ¯ à¥ ®ªàã¦−®á⥩, ª®â®àë¥ ª á îâáï ¤àã£-¤à㣠 ¢ −¥ª®â®à®© â®çª¥, ᪠¦¥¬, z. ƒ« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ −  í⮬ ¬−®¦¥á⢥ ¬®£ãâ à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯ àë (f1 , f2), £¤¥ f1 , f2 ∈ C ∞ (S 1), â ª¨¥ çâ® f1 (z) = f2 (z) and f1 (z) = f2 (z). ®¯à®¡ã©â¥  − «®£¨ç−ë¬ ®¡à §®¬ ®¯¨á âì £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ −  £« ¤ª¨å ¬−®¦¥áâ¢ å ¨§ ã¯à ¦−¥−¨© 2 ¨ 3. 7.16. ‘®¢¯ ¤¥−¨¥ ¤¢ãå ®¯à¥¤¥«¥−¨© £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨©, ¤ −−ëå ¢ ¯¯. 6.1 ¨ 6.14, á®áâ ¢«ï¥â ã⢥ত¥−¨¥ á«¥¤ãî饩 ⥮६ë. ’¥®à¥¬ .
ãáâì M ¨ N | ¬−®£®®¡à §¨ï ᮮ⢥âá⢥−−® á £« ¤ª¨¬¨  â« á ¬¨ A ¨ B ¨  «£¥¡à ¬¨ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© FM ¨ FN . ⮡ࠦ¥−¨¥ ϕ : M → N ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ®â−®á¨â¥«ì−®  â« á®¢ A ¨ B (á¬. ¯. 6.14) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 

122

ƒ« ¢  7

®−® £« ¤ª®¥ ¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï 6.1, â. ¥. ϕ∗ (FN ) ⊂ FM , £¤¥ ϕ∗ : FN → FM , f → f ◦ ϕ.
„®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¨¢®¤¨âáï −¨¦¥, ¯¯. 7.17 ¨ 7.18 ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ç áâï¬ â¥®à¥¬ë ú⮫쪮 ⮣¤ û ¨ ú⮣¤ û. 7.17. …᫨ ϕ : M → N | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, â® ϕ∗ (FN ) ⊂ FM .  ।¯®«®¦¨¬, f ∈ FN ¨ a ∈ M. ‚롥६ ª àâã (V, y) ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ ϕ(a) ¨ ª àâã (U, x) ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ a, ᮣ« á®¢ −−ë¥ á®®â¢¥âá⢥−−® á  â« á ¬¨ B ¨ A ¨ â ª¨¥, çâ® ϕ(U) ⊂ V . ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ∗(f) ◦ x−1 = (f ◦ ϕ) ◦ x−1 = (f ◦ y −1 ) ◦ (y ◦ ϕ ◦ x−1 ) ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ª ª ª®¬¯®§¨æ¨ï ¤¢ãå £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨© ®¡« á⥩ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà −á⢠å. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ϕ∗ (f) ï¥âáï äã−ªæ¨¥©, «®ª «ì−® ᮢ¯ ¤ î饩 á í«¥¬¥−⮬  «£¥¡àë FM . ’ ª ª ª FM | ¯®«− ï  «£¥¡à  (á¬. ¯. 7.5), â® ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® ϕ∗(f) ∈ FM .  7.18. …᫨ ϕ∗(FN ) ⊂ FM , â® ϕ : M → N | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ª®®à¤¨− â−ëå ¬−®£®®¡à §¨©.  ‚롥६ ¯à®¨§¢®«ì−ë¥ ª àâë (U, x) ∈ A ¨ (V, y) ∈ B, ¤«ï ª®â®àëå ϕ(U) ⊂ V . ‘®£« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 6.14 − ¬ − ¤® ¤®ª § âì, çâ® «®ª «ì−ë¥ ª®®à¤¨− âë â®çª¨ ϕ(a) ∈ V ïîâáï £« ¤ª¨¬¨ äã−ªæ¨ï¬¨ ®â «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â â®çª¨ a ∈ U. i „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, äã−ªæ¨¨ y ◦ ϕ U , i = 1, . . . , dim N, ¤®«¦−ë i ¡ëâì £« ¤ª¨¬¨. „«ï ª ¦¤®© äã−ªæ¨î ¨§ äã−ªæ¨© y ¯®¤¡¥à¥¬ i fi ∈ FN , â ªãî, çâ® y = fi V . ‘®£« á−® ãá«®¢¨î ϕ∗(FN ) ⊂ FM äã−ªæ¨¨ ϕ∗(fi ) = fi ◦ ϕ ïîâáï £« ¤ª¨¬¨, ¯®í⮬㠣« ¤ª¨¬¨ ïîâáï ¨ äã−ªæ¨¨ y i ◦ ϕ U = ϕ∗(fi ) U .  7.19. Œë ¤®ª § «¨, çâ® ¤¢¥ ª â¥£®à¨¨ | ¬−®£®®¡à §¨© ª ª £« ¤ª¨å  â« á®¢ á £« ¤ª¨¬¨ ¢ á¬ëá«¥ ¯. 6.14 ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨ ¨ ¬−®£®®¡à §¨© ª ª £« ¤ª¨å R- «£¥¡à á £« ¤ª¨¬¨ ¢ á¬ëá«¥

ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª®®à¤¨− â−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨©

123

¯. 6.1 ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨ | íª¢¨¢ «¥−â−ë. ‘ í⮣® ¬®¬¥−â  ¬ë −¥ ¡ã¤¥¬ à §«¨ç âì í⨠¤¢¥ ª â¥£®à¨¨. —¨â â¥«ì, §− ª®¬ë© á ¯®−ï⨥¬ ª®¬¯«¥ªá−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ¢®§¬®¦−®, 㦥 ®¡à â¨« ¢−¨¬ −¨¥ −  â®â ä ªâ, çâ®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, â ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ −¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®¬¯«¥ªá−ë¬ á¯¥ªâ஬  «£¥¡àë £®«®¬®àä−ëå äã−ªæ¨© −  −ñ¬.  ¯à¨¬¥à, ª ª íâ® å®à®è® ¨§¢¥áâ−® ¨§ í«¥¬¥−â à−®© ⥮ਨ äã−ªæ¨© ª®¬¯«¥ªá−®£® ¯¥à¥¬¥−−®£®, −  ਬ −®¢®© áä¥à¥ (¨ «î¡®¬ ¤à㣮¬ ª®¬¯ ªâ−®¬ ª®¬¯«¥ªá−®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨) £®«®¬®àä−ë¥ äã−ªæ¨¨ ᢮¤ïâáï ª ª®−áâ −â ¬. ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥, ª § «®áì ¡ë, ¬®¦−® ¤ã¬ âì, çâ® úᯥªâà «ì−ë©û ¯®¤å®¤, ¯à¨−ïâë© ¢ í⮩ ª−¨£¥, ¬¥−¥¥ ã−¨¢¥àá «¥−, 祬 áâ −¤ àâ−ë©, ®¯¥à¨àãî騩 á ª àâ ¬¨ ¨  â« á ¬¨. “¢ ¦¥−¨¥ ¯à¨−樯  − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, ⥬ −¥ ¬¥−¥¥, § áâ ¢«ï¥â − á ¯®−¨¬ âì ª®¬¯«¥ªá−ë¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ª ª £« ¤ª¨¥, −® á− ¡¦ñ−−ë¥ ¤®¯®«−¨â¥«ì−® ª®¬¯«¥ªá−®© áâàãªâãன. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ª®¬¯«¥ªá−ë¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ¯à¨ â ª®¬ ¯®¤å®¤¥ ¨−â¥à¯à¥â¨àãîâáï ª ª à¥è¥−¨ï −¥ª®â®àëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨©,   ª®¬¯«¥ªá−ë¥ ª àâë ¯®ï¢«ïîâáï ª ª ¨å «®ª «ì−ë¥ à¥è¥−¨ï. â  â®çª  §à¥−¨ï, ¯® áãé¥áâ¢ã ¢®á室ïé ï ª ¨¬ −ã, −¥á¬®âàï −  ª ¦ãéãîáï á«®¦−®áâì, −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ¨¬¥¥â ¬−®£® ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢.  ¯à¨¬¥à, ®−  ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡®¡é¥−  −  «î¡ë¥ ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¥  «£¥¡àë ¬¥â®¤ ¬¨ ú «£¥¡à ¨ç¥áª®£®û ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ®á−®¢ë ª®â®à®£® ®¯¨á뢠îâáï −¨¦¥ ¢ £« ¢ å 9 ¨ 11.

ƒ« ¢  8

‘…Š’› ˆ ˆ‡Šˆ

8.1. ‚ ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å ¬ë ¯®áâ à «¨áì ¤¥â «ì−® à §¢¨âì ⥮à¨î £« ¢−ëå ¯®−ï⨩ − áâ®ï饩 ª−¨£¨ | £« ¤ª¨å R- «£¥¡à ¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©. ਠí⮬ ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ £« ¢−ë© ª« áá £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¡ê¥ªâ®¢, á ª®â®à묨 ¡ã¤¥¬ à ¡®â âì. ¤− ª® ¡®«ìè¨−á⢮ ¨§ â¥å ®¯à¥¤¥«¥−¨©, ª®−áâàãªæ¨© ¨ १ã«ìâ â®¢, á ª®â®à묨 ç¨â â¥«ì ¢áâà¥â¨âáï ¢ í⮩ ª−¨£¥, á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï  «£¥¡à, ¡®«¥¥ ®¡é¨å, 祬 £« ¤ª¨¥ R- «£¥¡àë. „«ï ⮣® çâ®¡ë ¯®ª § âì, ª ª à ¡®â ¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¨−âã¨æ¨ï ¢ íâ¨å ¡®«¥¥ ®¡é¨å á¨âã æ¨ïå, − ¬ ¯®− ¤®¡ïâáï −¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥−¨ï ¯®−ï⨩ â®çª¨, £« ¤ª®©  «£¥¡àë ¨ ¬−®£®®¡à §¨ï. 8.2. Œ®¦−® 㪠§ âì æ¥«ë© àï¤ ¯à¨ç¨−, ¯®ç¥¬ã ¦¥« â¥«ì−® ®¡®¡é¥−¨¥ ¯®−ïâ¨ï â®çª¨. I. •®âï ú¯®ª § −¨ï ¨§¬¥à¨â¥«ì−ëå ãáâனáâ¢û (á¬. ¯. 1.9), ª®â®àë¥ ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¤«ï ¬®â¨¢¨à®¢ª¨ − è¨å ª®−áâàãªæ¨©, ®¡ëç−® ïîâáï ¤¥©á⢨⥫ì−묨 ç¨á« ¬¨, ç áâ® ¯à¨å®¤¨âáï à áᬠâਢ âì ¨§¬¥à¥−¨ï ¡®«¥¥ ®¡é¥© ¯à¨à®¤ë (ª®¬¯«¥ªá−ë¥ ç¨á« , ¬ âà¨æë, ¢ëç¥âë ¯® ¬®¤ã«î ª ª®£®-−¨¡ã¤ì ç¨á«  ¨ â. ¤.). “¡¥¤¨â¥«ì−ë¬ ¯à¨¬¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ª®¬¯«¥ªá−ë© ä §®¢ë© ¬¥â®¤, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ¢ í«¥¬¥−â à−®© ⥮ਨ í«¥ªâà¨ç¥á⢠. II. …᫨ à¥è¥−¨¥ ª ª®©-«¨¡® ¯à®¡«¥¬ë (䨧¨ç¥áª®© ¨«¨ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®©) ᢮¤¨âáï ª à¥è¥−¨î  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢−¥−¨ï á ª®íää¨æ¨¥−â ¬¨ ¢ ª®«ìæ¥ A (¨«¨ ¢ ¯®«¥ A, −¥ ïî饬áï  «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª−ãâë¬), â®, ª ª ¯à ¢¨«®, ¯®«¥§−¥¥ ¨áª âì à¥è¥−¨¥ ¢ à áè¨à¥−¨¨ B ⊃ A í⮣® ª®«ìæ ,   −¥ ¢ á ¬®¬ ª®«ìæ¥. 124

‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

125

à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ï¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ −¨¥ ª®¬¯«¥ªá−ëå ª®à−¥© ¬−®£®ç«¥−  á ¤¥©á⢨⥫ì−묨 ª®íää¨æ¨¥−â ¬¨. Œ¥−¥¥ âਢ¨ «ì−ë© ¯à¨¬¥à | ®¯¥à â®àë
 ã«¨, ¢®§−¨ª î騥 ¢ ª¢ −⮢®© ¬¥å −¨ª¥ í«¥ªâà®−®¢ ª ª ¬ âà¨ç−ë¥ à¥è¥−¨ï σ1, σ2 , σ3 á¨á⥬ë ãà ¢−¥−¨© σ12 = σ22 = σ32 = −1, σ2 σ3 − σ3σ2 = σ1 , σ1σ2 − σ2σ1 = σ3 , σ1 σ3 − σ3σ1 = −σ2 . III. Œ â¥¬ â¨ªã −à ¢¨âáï ¨§¡ ¢«ïâìáï ®â ¨áª«îç¥−¨©, ®− áâ६¨âáï ª íáâ¥â¨ç−®© ã−¨ä¨ª æ¨¨ «î¡®© ⥮ਨ; ¢ १ã«ìâ â¥ ®− ç áâ® ¢¢®¤¨â ï§ëª, ¢ ª®â®à®¬ ¨áª«îç¥−¨ï ®ª §ë¢ îâáï ç áâìî ®¡é¥£® ¯à ¢¨« . ’ ª, ¯ à ««¥«ì−ë¥ ¯àï¬ë¥ ú¯¥à¥á¥ª îâáï −  ¡¥áª®−¥ç−®áâ¨û, ¬−¨¬ë¥ ¨ ¡¥áª®−¥ç−® 㤠«¥−−ë¥ â®çª¨ ¯®ï¢«ïîâáï ¢® ¬−®£¨å á¨âã æ¨ïå, ¢ ç áâ−®áâ¨, ¢ á¢ï§¨ á R- «£¥¡à ¬¨ (á¬. 1.18). â®â âàîª á ¯à¨¤ −¨¥¬ ¨−âã¨â¨¢−®£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¬ëá«  à §«¨ç−ë¬  «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ á¨âã æ¨ï¬ ®á®¡¥−−® ¯«®¤®â¢®à¥− ¢  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ, ¨¤¥¨ ª®â®à®© ¡ã¤ãâ §¤¥áì ç áâ® ¨á¯®«ì§®¢ âìáï. 8.3. Œ®â¨¢¨àãî騩 ¯à¨¬¥à. …᫨ f ∈ R[x] | −¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬−®£®ç«¥− á⥯¥−¨ 2, â®, ®ç¥¢¨¤−®, −¥â −¨ ®¤−®© R-â®çª¨  «£¥¡àë R[x], ïî饩áï ª®à−¥¬ í⮣® ¬−®£®ç«¥− , â. ¥. −¥â â ª®£® £®¬®¬®à䨧¬  α : R[x] → R, çâ® α(f) = 0. ¤− ª® áãé¥áâ¢ã¥â ஢−® ¤¢  £®¬®¬®à䨧¬  ¢ ¯®«¥ ª®¬¯«¥ªá−ëå ç¨á¥«, α, α : R[x] → C, ¤«ï ª®â®àëå α(f) = α(f) = 0. ¨¦¥ íâ® ¡ã¤¥â ¤®ª § −® (á¬. ¯. 8.7), −® ¬ë ४®¬¥−¤ã¥¬ ç¨â â¥«î ¯®áâ à âìáï ¤®ª § âì í⮠ᥩç á. ƒ®¬®¬®à䨧¬ë ⨯  α ¨ α á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ª ª ª®¬¯«¥ªá−ë¥ â®çª¨  «£¥¡àë R[x]. 8.4. ãáâì k | −¥ª®â®à®¥ ¯®«¥, K ⊃ k | ª®«ìæ® ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© −ã«ï,   F | ª®¬¬ãâ â¨¢− ï k- «£¥¡à  á ¥¤¨−¨æ¥©. à¨−¨¬ ï ¢® ¢−¨¬ −¨¥ ¯à¨¬¥à 8.3, ¥áâ¥á⢥−−® ®¯à¥¤¥«¨âì â®çªã  «£¥¡àë F ú− ¤ ª®«ì殬û K ª ª í¯¨¬®à䨧¬ k- «£¥¡à a : F → K ¨ â®çª¨ ai : F → Ki ⊃ k,

i = 1, 2,

126

ƒ« ¢  8

áç¨â âì ⮦¤¥á⢥−−묨 (íª¢¨¢ «¥−â−묨), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¨§®¬®à䨧¬ I : K1 → K2 , çâ® a2 = I ◦ a1. ’¥¯¥àì ¬®¦−® ¤ âì á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì K | k- «£¥¡à  ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© −ã«ï. Š« áá íª¢¨¢ «¥−â−®áâ¨ í¯¨¬®à䨧¬®¢ k- «£¥¡à a : F → K ⊃ k − §ë¢ ¥âáï K-â®çª®© k- «£¥¡àë F . à® ª®«ìæ® K £®¢®àïâ, çâ® ®−® ï¥âáï ®¡« áâìî â®çª¨ a. ‚ ¤ «ì−¥©è¥¬ ¬ë ç áâ® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ® â®çª å  «£¥¡àë F , −¥ ãâ®ç−ïï ¨å ®¡« áâì. —¨â â¥«ì ¤®«¦¥− ¯®¬−¨âì, çâ® ã ª ¦¤®© â®çª¨ k- «£¥¡àë F ¥áâì á¢®ï ®¡« áâì ¨ à §«¨ç−ë¥ â®çª¨ ¬®£ãâ ¨¬¥âì à §«¨ç−ë¥ (¨«¨ ®¤¨− ª®¢ë¥) ®¡« áâ¨. 8.5. ‘ â®çª¨ §à¥−¨ï − è¥© 䨧¨ç¥áª®© ¨−â¥à¯à¥â æ¨¨ (¢ â¥à¬¨− å ¨§¬¥à¥−¨©) ¨§®¬®à䨧¬ I ¢ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨ 8.4 ¬®¦−® ¨á⮫ª®¢ âì ª ª íª¢¨¢ «¥−â−ãî § ¬¥−ã úá¨á⥬ë − ¡«î¤¥−¨©û, ª®â®à ï, ª®−¥ç−®, −¥ ¤®«¦−  ¢«¨ïâì −  ¬−®¦¥á⢮ â®ç¥ª (á®áâ®ï−¨©), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå  «£¥¡à®© F . ¯à¥¤¥«¥−¨¥ 8.4 ¬®¦−® â ª¦¥ ¬®â¨¢¨à®¢ âì ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨, çâ® ¡ã¤¥â ᤥ« −® ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ã−ªâ¥. 8.6. ’¥®à¥¬ . ’®çª¨ ª®¬¬ãâ â¨¢−®© k- «£¥¡àë F (¯®−¨¬ ¥¬ë¥ ¢ á¬ëá«¥ ¯. 8.4) − å®¤ïâáï ¢® ¢§ ¨¬−® ®¤−®§− ç−®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯à®áâ묨 ¨¤¥ « ¬¨  «£¥¡àë F , ª®â®à®¥ § ¤ ¥âáï ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ (a : F → K) −→ Ker a ⊂ F .
à®áâ®â  ¨¤¥ «  Ker a § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ª« áá  £®¬®¬®à䨧¬  a ¨ à §«¨ç−ë¥ ª« ááë íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à §«¨ç−ë¬ ¨¤¥ « ¬, | ®ç¥¢¨¤−®. „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ áîàꥪ⨢−®á⨠¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì−ë© ¯à®á⮩ ¨¤¥ « p ⊂ F . ’®£¤  ¢ ª®«ìæ¥ F /p −¥â ¤¥«¨â¥«¥© −ã«ï, ¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ q : F → F /p ï¥âáï â®çª®©  «£¥¡àë F , ¤«ï ª®â®à®© Ker q = p.  Œ−®¦¥á⢮ ¯à®áâëå ¨¤¥ «®¢ k- «£¥¡àë F − §ë¢ ¥âáï ¯à®áâë¬ á¯¥ªâ஬  «£¥¡àë F ¨ ®¡®§− ç ¥âáï Spec F . ‘®£« á−® ⥮६¥ Spec F ¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª  «£¥¡àë F . 祢¨¤−®, ¯à¨ k = R ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«îç¥−¨¥

‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

127

Spec F ⊃ |F |, â ª çâ® í«¥¬¥−âë Spec F ®¡®¡é îâ ¯®−ï⨥ R-â®çª¨, â. ¥. R-â®çª¨ ¢ á¬ëá«¥ ¯. 3.4 | íâ® úâ®çª¨ − ¤ ¯®«¥¬ Rû ¢ á¬ëá«¥ ¯. 8.4. 8.7. ਬ¥àë (®á−®¢ −−ë¥ −  ⥮६¥ 8.6). I. “ ª®¬¯ ªâ−®£® £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì â®ç¥ª − ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ªá−ëå ç¨á¥« C.
ãáâì a : C ∞ (M) → C | C-â®çª  ¨ a(f) = i ∈ C. ’®£¤  a(1 + f 2 ) = 0 ¨ ¯®í⮬ã 1 + f 2 ∈ ker a. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, í«¥¬¥−â 1 + f 2 ®ç¥¢¨¤−® ®¡à â¨¬ ¢ C ∞ (M) ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, −¥ ¬®¦¥â ¯à¨− ¤«¥¦ âì −¨ª ª®¬ã ᮡá⢥−−®¬ã ¨¤¥ «ã ¢ C ∞ (M).  II. Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯®«¨−®¬¨ «ì−®©  «£¥¡àë R[x] ¬®¦−® ®â®¦¤¥á⢨âì á ª®¬¯«¥ªá−®© ¯®«ã¯«®áª®áâìî {z | Im z  0}, ª ª®â®à®© ¤®¡ ¢«¥−  â®çª  ω, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¨¤¥ «ã {0} ⊂ R[x].
’ ª ª ª R[x] | ª®«ìæ® £« ¢−ëå ¨¤¥ «®¢, «î¡®© ¯à®á⮩ ¨¤¥ « §¤¥áì ¨¬¥¥â ¢¨¤ R[x]f, £¤¥ f | −¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬−®£®ç«¥−. ® ⮣¤  ¬ë ¨¬¥¥¬ «¨¡® f = 0, «¨¡® f = a(x − b), «¨¡®, − ª®−¥æ, f = a(x − c)(x − c), £¤¥ a, b ∈ R,   c ¨ c | ᮯà殮−−ë¥ ª®¬¯«¥ªá−ë¥ ç¨á« . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡®¬ã −¥−ã«¥¢®¬ã ¯à®á⮬㠨¤¥ «ã ¢ R[x] ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨¡® ®¤−® ¤¥©á⢨⥫ì−®¥ ç¨á«®, «¨¡® ¯ à  ᮯà殮−−ëå ª®¬¯«¥ªá−ëå ç¨á¥«.  ’¥¬ á ¬ë¬ ¬ë ¤®ª § «¨ ã⢥ত¥−¨¥, 㯮¬¨− ¢è¥¥áï ¢ ª®−æ¥ ¯. 8.3. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ãáâì k | ¯®«¥, ¨ X | ä®à¬ «ì− ï ¯¥à¥¬¥−− ï; ®¯¨è¨â¥ Spec k[X]. def  k 2. ®ª ¦¨â¥, çâ® µ∞ z = k µz , z ∈ M, ¥áâì ¯à®á⮩ ¨¤¥ « ∞ ¢ C (M). 8.8. Œë − ã稫¨áì ª ¦¤®© k- «£¥¡à¥ F áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ â®ç¥ç−®¥ ¬−®¦¥á⢮ Spec F , ¨ ¡ë«® ¡ë ¥áâ¥á⢥−−® ¯®¯ëâ âìáï á− ¡¤¨âì ¥£® ⮯®«®£¨¥©. ‚ á室−®© á¨âã æ¨¨, à ¡®â ï á |F |, ¬ë ¢¢®¤¨«¨ ⮯®«®£¨î, ¨−¤ãæ¨à®¢ −−ãî ⮯®«®£¨¥© R,

128

ƒ« ¢  8

−® ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì−®© k- «£¥¡àë F ã − á −¥â ¡®«ìè¥ ä¨ªá¨à®¢ −−®£® ¯®«ï R á § á«ã¦¨¢ î饩 ¤®¢¥à¨ï ⮯®«®£¨¥©. ã¦−  −®¢ ï ¨¤¥ï, çâ®¡ë ®âë᪠âì ⮯®«®£¨î ¢ Spec F . ãáâì C | § ¬ª−ã⮥ ¬−®¦¥á⢮ ¢ Rn; ⮣¤  − ©¤¥âáï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (Rn ), ¤«ï ª®â®à®© f(r) = 0 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  r ∈ C. ’® ¦¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï § ¬ª−ã⮣® ¬−®¦¥á⢠ B −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M: áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï f ∈ F = C ∞ (M), ¤«ï ª®â®à®© f(p) = 0 ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  p ∈ B (á¬. ¯. 4.17 (I)). â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¯®á«ã¦¨â ®á−®¢®© ¤«ï ¢¢¥¤¥−¨ï ⮯®«®£¨¨ ¢ Spec F . ‚®-¯¥à¢ëå, § ¬¥â¨¬, çâ® «î¡®© í«¥¬¥−â f ∈ F ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª äã−ªæ¨ï −  Spec F . ˆ¬¥−−®, ¤«ï «î¡®£® ¯à®á⮣® ¨¤¥ «  p ∈ Spec F ¯®«®¦¨¬ f(p) = f mod p. „«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® ¯®¤¬−®¦¥á⢠ E ⊂ F ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ V (E) ⊂ Spec F ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯à®áâëå ¨¤¥ «®¢, ᮤ¥à¦ é¨å E. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ p ∈ V (E), â® ¤«ï «î¡®© äã−ªæ¨¨ f ∈ E ¨¬¥¥¬ f(p) = 0. ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ⮯®«®£¨î ‡ à¨á᪮£® −  ¯à®á⮬ ᯥªâॠSpec F «î¡®© k- «£¥¡àë F ª ª ⮯®«®£¨î, ¢ ª®â®à®© − ¡®à {V (E) | E ⊂ F } á®áâ ¢«ï¥â ¡ §¨á § ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥áâ¢. 8.9. ¯à¥¤¥«¥−¨¥ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£® ¢ Spec F ¬®¦−® ¤ âì ¨ ¢ â¥à¬¨− å ®¯¥à æ¨¨ § ¬ëª −¨ï. „«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® ¬−®¦¥ á⢠ M ⊂ Spec F à áᬮâਬ ¨¤¥ « IM = p ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ p∈M

§ ¬ëª −¨¥ M ¬−®¦¥á⢠ M ª ª M = {p ∈ Spec F | p ⊃ IM }. â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¨¬¥¥â ïá−ë© á¬ëá«: ¥á«¨ í«¥¬¥−â f ∈ F ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì −  M, â. ¥. p ∈ M ⇒ f(p) = 0 ⇔ f ∈ p, â® ®− ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì −  M; ®¡à â−®, ¥á«¨ «î¡®© í«¥¬¥−â f, ®¡à é î騩áï ¢ −ã«ì −  M, à ¢¥− −ã«î ¨ ¢ −¥ª®â®à®© â®çª¥ p ∈ Spec F , â® p ∈ M . (’®â ä ªâ, çâ® íâ  ª®−áâàãªæ¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ⮩ ¦¥ ⮯®«®£¨¨, çâ® ¡ë«  ¢¢¥¤¥−  ¢ ¯. 8.8, ¢ë⥪ ¥â −¥¯®á।á⢥−−® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨©.)

‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

129

‚®§¬®¦−®, ç¨â â¥«ì § ¨−â¥à¥áã¥âáï, ª ª®© æ¥−®© ¤®á⨣−ãâ  ªà ©−ïï ®¡é−®áâì í⮩ ª®−áâàãªæ¨¨. ª §ë¢ ¥âáï, ⮯®«®£¨ï ‡ à¨á᪮£® ¢ Spec F −¥å ã᤮à䮢 . ‚ ç áâ−®áâ¨, Spec F ᮤ¥à¦¨â −¥§ ¬ª−ãâë¥ â®çª¨, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥−ë ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ã−ªâ¥. 8.10. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. „®ª ¦¨â¥, çâ® ®¤−®â®ç¥ç−®¥ ¬−®¦¥á⢮ {p} ⊂ Spec F § ¬ª−ãâ® ¢ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¨¤¥ « p ¬ ªá¨¬ «¥−. R[X] . ‘à ¢−¨â¥ 2. ¯¨è¨â¥ ⮯®«®£¨î ‡ à¨á᪮£® −  ⮯®«®£¨î ∞ ‡ à¨á᪮£® −  R[X] = R ¨ ⮯®«®£¨î ‡ à¨á᪮£® −  C (R) = R. 3. ¯¨è¨â¥ ⮯®«®£¨î ‡ à¨á᪮£® −  Spec R[X]. 8.11. ।«®¦¥−¨¥. ‡ ¬ëª −¨¥ â®çª¨ q ∈ Spec F (â®ç−¥¥ £®¢®àï, ®¤−®â®ç¥ç−®£® ¬−®¦¥á⢠ {q}, q ∈ Spec F ) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬−®¦¥á⢮¬ V (q) = {p ∈ Spec F | q ⊂ p}. („à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, {q} | íâ® ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ®¡é¨å −ã«¥© ¤«ï ¢á¥å äã−ªæ¨© ¨§ ¨¤¥ «  q.)
® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 8.8 ¬−®¦¥á⢮ V (q) § ¬ª−ãâ®. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¥á«¨ E ⊂ F , q ∈ V (E), â® q ⊃ E ⇒ V (q) ⊂ V (E).  8.12. ‘«¥¤áâ¢¨ï ¨ ¯à¨¬¥àë. I. ’ ª ª ª ¢ k- «£¥¡à¥ −¥â ¤¥«¨â¥«¥© −ã«ï, â® {0} ∈ Spec F ¨ {0} = Spec F . ®í⮬㠨¤¥ « {0} − §ë¢ ¥âáï ®¡é¥© â®çª®© ¬−®¦¥á⢠ F . II. ‚ ç áâ−®áâ¨, â®çª  ω ¨§ ¯à¨¬¥à  8.7 (II) | ¨¬¥−−® â ª ï ®¡é ï â®çª . III. ãáâì f ∈ k[x1, . . . , xn] = F | −¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬−®£®ç«¥− ®â n ¯¥à¥¬¥−−ëå − ¤  «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª−ãâë¬ ¯®«¥¬ k.  áᬮâਬ ¯à®á⮩ ¨¤¥ « p = k[x1, . . . , xn] · f. ‡ ¬ëª −¨¥ â®çª¨ p ¢ ¯à®á⮬ ᯥªâॠSpec F  «£¥¡àë ¬−®£®ç«¥−®¢ F á®á⮨â, ªà®¬¥ á ¬®© â®çª¨ p, ¨§ ¢á¥å ¬ ªá¨¬ «ì−ëå ¨¤¥ «®¢,

130

ƒ« ¢  8

ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â®çª ¬ £¨¯¥à¯®¢¥àå−®á⨠Hf = {(r1 , . . . , rn) ∈ kn | f(r1 , . . . , rn ) = 0}. ’®çª  p − §ë¢ ¥âáï ¯®í⮬㠮¡é¥© â®çª®© í⮩ £¨¯¥à¯®¢¥àå−®áâ¨. (Š ¦¤®© â®çª¥ (r1, . . . , rn ) ∈ kn ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ « F ¯®à®¦¤¥−−ë© ¢á¥¬¨ ¬®−®¬ ¬¨ x1 −r1 , . . . , xn −rn.) IV. ‘®£« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 8.11 § ¬ëª −¨¥ â®çª¨ p ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à  ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ¯à®áâë¥ ¨¤¥ «ë, ᮤ¥à¦ é¨¥ p. ‘ â®çª¨ §à¥−¨ï ú£¥®¬¥âਨ ¬ ªá¨¬ «ì−ëå ¨¤¥ «®¢û «î¡®© â ª®© ¨¤¥ « ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®¢¥àå−®áâì ú¬¥−ì襩 à §¬¥à−®áâ¨û, ᮤ¥à¦ éãîáï ¢ £¨¯¥à¯®¢¥àå−®á⨠Hf ¨ ï¥âáï ®¡é¥© â®çª®© í⮩ ¬¥−ì襩 ¯®¢¥àå−®áâ¨. 8.13. ’¥®à¥¬ .
à®á⮩ ᯥªâà Spec F «î¡®© k- «£¥¡àë F ª®¬¯ ªâ¥−. ¥à¥ä®à¬ã«¨à㥬 ⥮६㠢 â¥à¬¨− å § ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥áâ¢:  ¥á«¨ {Mα }α∈A | â ª®¥ ᥬ¥©á⢮ § ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥áâ¢, çâ® Mα = ∅, â® ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ë¡à âì ª®−¥ç−®¥ ¯®¤á¥¬¥©á⢮ α∈A

Mα1 , . . . , MαN á ¯ãáâë¬ ¯¥à¥á¥ç¥−¨¥¬. „®ª ¦¥¬ ⥮६㠢 í⮩ (íª¢¨¢ «¥−â−®©) ä®à¬¥.
¥ â¥àïï ®¡é−®áâ¨, ¬®¦−® áç¨â âì, çâ® Mα = V (Eα ), £¤¥ Eα ⊂ F | −¥ª®â®à®¥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ {Eα } ⊂ F ¨¤¥ «, ¯®à®¦¤¥−−ë© ¬−®¦¥á⢮¬ Eα , ¨ § ¬¥â¨¬, çâ® ∅=





Mα =

α∈A

 V (Eα ) = V ( {Eα }).

α∈A

α∈A

 ® íâ® §− ç¨â, çâ® ¨¤¥ « α∈A{Eα } −¥ ᮤ¥à¦¨âáï −¨ ¢ ª ª®¬ ¯à®á⮬,   §− ç¨â, ¨ −¨ ¢ ª ª®¬ ¬ ªá¨¬ «ì−®¬ ¨¤¥ «¥  «£¥¡àë F . „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, 

{Eα} = F  1.

α∈A

‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

131

®íâ®¬ã ¬ë ¬®¦¥¬ − ©â¨ α1 , . . . , αN ∈ A ¨ fi ∈ {Eαi },  i = 1, . . . , N, ¤«ï ª®â®àëå N i=1 fi = 1. ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ N  i=1

Mαi

N  = V ( {Eαi }) = V (F ) = ∅.



i=1

8.14. ®á¬®âਬ ⥯¥àì, ª ª ¯à®áâë¥ á¯¥ªâàë ¢¥¤ãâ á¥¡ï ¯à¨ £®¬®¬®à䨧¬ å ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å k- «£¥¡à. ãáâì F1 ¨ F2 ¥áâì k- «£¥¡àë, ¨ α : F2 → F1 | £®¬®¬®à䨧¬ k- «£¥¡à. “⢥ত ¥âáï, çâ® ¥á«¨ p ⊂ F1 | ¯à®á⮩ ¨¤¥ «, â® íâ® ¦¥ ¢¥à−® ¤«ï α−1 (p) ⊂ F2 .
…᫨ q1 ∈ α−1 (p), â® ¤«ï «î¡®£® q2 ∈ F2 ¢ë¯®«−ïîâáï á®®â−®è¥−¨ï α(q1 q2) ∈ α(α−1 (p)q2 ) = pα(q2 ) ⊂ p. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, q1 q2 ∈ α−1 (p) ¨ α−1 (p) | ¨¤¥ «. „®ª ¦¥¬, çâ® ®− ¯à®áâ. ãáâì q1 , q2 ∈ F2 ¨ q1 q2 ∈ α−1 (p). ’®£¤  α(q1)α(q2 ) ∈ p ¨ ¢¢¨¤ã ¯à®áâ®âë p å®âï ¡ë ®¤¨− ¨§ í«¥¬¥−⮢ α(q1), α(q2 ), ᪠¦¥¬ ¯¥à¢ë©, ¯à¨− ¤«¥¦¨â p. âá ¢¨¤−®, çâ® q1 ∈ α−1 (α(q1)) ⊂ α−1 (p), â. ¥. ¨¤¥ « α−1 (p) ¯à®áâ.  ’¥¯¥àì «î¡®¬ã £®¬®¬®à䨧¬ã k- «£¥¡à α : F2 → F1 ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¯à®áâëå ᯥªâ஢ |α| : Spec F1 → Spec F2

(p → α−1 (p)).

8.15. „«ï «î¡®£® £®¬®¬®à䨧¬  k- «£¥¡à α : F2 → F1 ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¯à®áâëå ᯥªâ஢ |α| : Spec F1 → Spec F2 −¥¯à¥àë¢−® ¢ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£®.
„®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© −¥¯®á।á⢥−−ãî ¯à®¢¥àªã ®¯à¥¤¥«¥−¨©, ¨ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ¥£® ç¨â â¥«î.  8.16. ’¥¯¥àì, ¯¥à¥¯¨á ¢  − «®£¨ç−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¤«ï £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© (¯. 6.1), ¯®«ã稬 á«¥¤ãî饥

132

ƒ« ¢  8

¯à¥¤¥«¥−¨¥. ⮡ࠦ¥−¨¥ β : Spec F1 → Spec F2 − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª¨¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ k- «£¥¡à α : F2 → F2, çâ® β = |α|. ˆâ ª, ç¨â â¥«ì ¢áâà¥â¨«áï ¥é¥ á ®¤−¨¬ ¯à¨¬¥à®¬ ª â¥£®à¨©: ª â¥£®à¨¥© ¯à®áâëå ᯥªâ஢ k- «£¥¡à, ¢ ª®â®à®© ¬®à䨧¬ ¬¨ ïîâáï £« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï ᯥªâ஢. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® íâ  ª â¥£®à¨ï ï¥âáï ¤¢®©á⢥−−®© (¢ á¬ëá«¥ ¯. 6.6) ª â¥£®à¨¨ k- «£¥¡à ¨ ¨å £®¬®¬®à䨧¬®¢. 8.17. ãáâì ¨¤¥ « p ∈ Spec F , £¤¥ F | −¥ª®â®à ï k- «£¥¡à , 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î F /p = k. ’®£¤  «¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® p | ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ «. Œë ¯à¥¤« £ ¥¬ ç¨â â¥«î â ª¦¥ á«¥¤ãî饥 “¯à ¦−¥−¨¥. 1. ˆ¤¥ « p | ¬ ªá¨¬ «ì−ë© â®£¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  F /p | ¯®«¥. 2. …᫨ F | ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−− ï  «£¥¡à , p | ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ «, â® F /p | ª®−¥ç−®¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ à áè¨à¥−¨¥ k. 8.18. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. Œ ªá¨¬ «ì−ë¬ á¯¥ªâ஬ Spm F ¤«ï k- «£¥¡àë F − §ë¢ ¥âáï ¬−®¦¥á⢮ ¬ ªá¨¬ «ì−ëå ¨¤¥ «®¢  «£¥¡àë F . ।ë¤ã騩 ¯ã−ªâ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯¯. 8.10{8.11, £¤¥ à áᬠâਢ «®áì § ¬ëª −¨¥ ®¤−®â®ç¥ç−ëå ¬−®¦¥á⢠¢ Spec F , − ¢®¤¨â −  ¬ëá«ì ® à áᬮâà¥−¨¨ Spm F ¢¬¥áâ® Spec F . „¥©á⢨⥫ì−®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¨§¡ ¢¨¬áï ®â â ª®© ¯ â®«®£¨¨, ª ª −¥§ ¬ª−ãâë¥ â®çª¨,   − ¡®à â®ç¥ç−ëå ®¡« á⥩ ¡ã¤¥â ¡®«¥¥ ®¡®§à¨¬ë¬. ¤− ª® ¨§ãç âì ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë ¯®ç⨠−¥ ¨¬¥¥â á¬ëá«  ¢¢¨¤ã á«¥¤ãî饣® äã−¤ ¬¥−â «ì−®£® ®¡áâ®ï⥫ìá⢠: ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯à®áâëå ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë ¬®£ãâ ¨¬¥âì ¯à®®¡à §, −¥ ïî騩áï ¬ ªá¨¬ «ì−ë¬ ¨¤¥ «®¬ (á¬. ¯. 8.19). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, −¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®â®¡à ¦¥−¨ï ¬ ªá¨¬ «ì−ëå ᯥªâ஢, ª®â®à®¬ã ¡ë ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦−® ¡ë«® ᮯ®áâ ¢¨âì £®¬®¬®à䨧¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å  «£¥¡à. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ᮮ⢥âá⢨¥ A → Spm A −¥ ï¥âáï äã−ªâ®à®¬ ¨§ ª â¥£®à¨¨ K- «£¥¡à ¢ ª â¥£®à¨î ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®áâà −áâ¢.

‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

133

8.19. ਬ¥à. ãáâì F2 = k[x1, x2 ] |  «£¥¡à  ¬−®£®ç«¥−®¢ ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥−−ëå, F1 = k(x1) | ¯®«¥ à æ¨®− «ì−ëå äã−ªæ¨©, α : F2 → F1 | ª®¬¯®§¨æ¨ï í¯¨¬®à䨧¬  ä ªâ®à¨§ æ¨¨ F2 = k[x1, x2] → k[x1, x2]/(x2 ) = k[x1] ¨ ¢«®¦¥−¨ï k[x1] → k(x1 ) = F1 . ˆ¤¥ « {0} ⊂ k(x1 ) ¬ ªá¨¬ «¥−, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨¤¥ « α−1 ({0}) = F2 · x2 | ¯à®á⮩, −® −¥ ¬ ªá¨¬ «ì−ë©. ’¥¬ á ¬ë¬ ¤®ª § −® ¢ë¤¥«¥−−®¥ ªãàᨢ®¬ ã⢥ত¥−¨¥ ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ã−ªâ . 8.20. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ãáâì M | ª®¬¯ ªâ−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡®© ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ « ¢ C ∞ (M) ¨¬¥¥â ¢¨¤ µz , z ∈ M (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 2 ¨§ ¯. 8.7). 2. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® −¥ª®¬¯ ªâ−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M ¢  «£¥¡à¥ C ∞ (M) áãé¥áâ¢ãîâ ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë, −¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë¥ ¢ ¢¨¤¥ µz , z ∈ M. 3. ®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡®© â ª®© ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ « ¨¬¥¥â ¡¥áª®−¥ç−®¥ ç¨á«® ®¡à §ãîé¨å. 8.21. ‚ ®á⠢襩áï ç á⨠í⮩ £« ¢ë ¬ë ®¡á㤨¬ −¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ ¯à®áâëå ¨ ¬ ªá¨¬ «ì−ëå ᯥªâ஢, ®â«¨ç î騥 ¨å ®â £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©. Š ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 8.7 (II), ¯à®á⮩ ᯥªâà ¬®¦¥â ªà®¬¥ ú¢¨¤¨¬ëåû â®ç¥ª ᮤ¥à¦ âì â®çª¨ á −¥®ç¥¢¨¤−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¨−â¥à¯à¥â æ¨¥© (¢ 㪠§ −−®¬ ¯à¨¬¥à¥ | íâ® ¯à®á⮩ ¨¤¥ « ω).  ç−¥¬ á −¥ª®â®àëå ¯à¨¬¥à®¢, ¯®ª §ë¢ îé¨å, çâ® úâ®çª¨û â ª®£® ⨯  ¬®£ãâ ¢®§−¨ª âì ¨ ¢ ¬ ªá¨¬ «ì−®¬ ᯥªâॠSpm F . 8.22. ਧࠪ¨. —¨â â¥«ì, ¢−¨¬ â¥«ì−® ¯à®ç¨â ¢è¨© ¯à¨¬¥à 8.7 (I), ª®−¥ç−®, § ¬¥â¨«, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë  «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ª®¬¯ ªâ−®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ − å®¤ïâáï ¢® ¢§ ¨¬−® ®¤−®§− ç−®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡ëç−묨 R-â®çª ¬¨ í⮩  «£¥¡àë (â. ¥. ®¡ëç−묨 â®çª ¬¨ ¬−®£®®¡à §¨ï). „«ï −¥ª®¬¯ ªâ−ëå ¬−®£®®¡à §¨© í⮠㦥 −¥ â ª.

134

ƒ« ¢  8

„¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì Ic | ¨¤¥ « ¢á¥å äã−ªæ¨© á ª®¬¯ ªâ−ë¬ −®á¨â¥«¥¬ −  −¥ª®¬¯ ªâ−®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨. ¨ª ª®© ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ «, ᮤ¥à¦ é¨© Ic , −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ï¤à®¬ ª ª®©«¨¡® R-â®çª¨ (¤®ª § â¥«ìá⢮ ®áâ ¢«ï¥âáï ç¨â â¥«î ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¦−¥−¨ï). ’ ª¨¥ ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ úâ®çª ¬û ¨á室−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ª®â®àë¥ ¬ë − §ë¢ ¥¬ ¯à¨§à ª ¬¨. ‚ ¯¯. 8.24{8.26 ¬ë 㢨¤¨¬, ª ª ¬®£ãâ ¬ â¥à¨ «¨§®¢ âìáï â ª¨¥ ¯à¨§à ª¨. 8.23. ०¤¥ 祬 ¯à®¤®«¦¨âì à á᪠§ ® ¯à¨§à ª å, ᤥ« ¥¬ ®¤−® § ¬¥ç −¨¥. ãáâì F | R- «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ª®¬¯ ªâ−®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ M. Š ª 㯮¬¨− «®áì ¢ëè¥, M = Spm F , −® −¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® M = Spec F . ® í⮬㠯®¢®¤ã ç¨â â¥«î á⮨⠢믮«−¨âì á«¥¤ãî饥 “¯à ¦−¥−¨¥. ”ã−ªæ¨ï f ∈ F − §ë¢ ¥âáï ¯«®áª®© ¢ â®çª¥ a ∈ M , ¥á«¨ ®−  ¢¬¥á⥠ᮠ¢á¥¬¨ ᢮¨¬¨ ¯à®¨§¢®¤−묨 ®¡à é ¥âáï ¢ í⮩ â®çª¥ ¢ −ã«ì. ”ã−ªæ¨¨, ¯«®áª¨¥ ¢ ¤ −−®© â®çª¥ a ∈ M, ®¡à §ãîâ ¨¤¥ «. „®ª ¦¨â¥, çâ® íâ®â ¨¤¥ « ¯à®áâ, â. ¥. ï¥âáï â®çª®© ¯à®áâà −á⢠ Spec F , ª®â®à®© −¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â −¨ª ª ï â®çª  −  M. 8.24. ਬ¥à (ª®¬¯ ªâ¨ä¨ª æ¨ï ¯àאַ©). ãáâì F = C ∞ (R) | R- «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© R,   Ic , ª ª ¨ ¢ëè¥, | ¨¤¥ « äã−ªæ¨© á ª®¬¯ ªâ−묨 −®á¨â¥«ï¬¨. Œ®¦−® ¯®¯ëâ âìáï ®¯¨á âì ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë, ᮤ¥à¦ é¨¥ Ic, −® ã ¡®«ìè¨−á⢠ íâ¨å ¨¤¥ «®¢-¯à¨§à ª®¢ −¥â à §ã¬−®£® ª®−áâàãªâ¨¢−®£® ®¯¨á −¨ï. ¤− ª® ¥áâì ¤¢  ®ç¥−ì ¬¨«ëå ¬−®¦¥á⢠ äã−ªæ¨©, ᮤ¥à¦ é¨å Ic, | íâ® ¬−®¦¥á⢠ µ+∞ ¨ µ−∞ : µ±∞ = {f ∈ F | lim f(r) = 0}. r→±∞

Š ᮦ «¥−¨î, í⨠¬−®¦¥á⢠ −¥ ïîâáï ¨¤¥ « ¬¨ (¨, ¬®¦−® ᪠§ âì, ⮫쪮 ¯®í⮬ã −¥ ïîâáï ¬ ªá¨¬ «ì−묨 ¨¤¥ « ¬¨). â® −¥¯à¨ïâ−®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¬®¦−® ¯à¥®¤®«¥âì á«¥¤ãî騬

‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

135

®¡à §®¬. ®«®¦¨¬ dk f dk f ¨ lim áãé¥áâ¢ãîâ} r→+∞ drk r→−∞ drk ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ µ±∞ ª ª F1 ∩ µ±∞ . ’®£¤  á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥−¨ï I. µ+∞ ¨ µ−∞ | ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë  «£¥¡àë F1 , ᮤ¥à¦ é¨¥ Ic. II. …᫨ M = [0, 1] ⊂ R1 ¨  «£¥¡à  FM á®á⮨⠨§ ®£à −¨ç¥−¨© ¢á¥¢®§¬®¦−ëå äã−ªæ¨© ¨§ F −  M, â® ¬−®£®®¡à §¨¥ á ªà ¥¬ M £®¬¥®¬®àä−® |F1|. III. ਠ⠪®¬ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¨ ¨¤¥ « Ic áâ −®¢¨âáï ¨¤¥ «®¬ äã−ªæ¨©, à ¢−ëå −ã«î ¢ ®ªà¥áâ−®áâïå ª®−殢 ®â१ª  [0, 1],   ¨¤¥ «ë µ+∞ ¨ µ−∞ áâ −®¢ïâáï ᮮ⢥âá⢥−−® â®çª ¬¨ 0 ¨ 1. IV. âá á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á¥ ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥ ¨¤¥ «ë  «£¥¡àë F1 , ªà®¬¥ µ+∞ ¨ µ−∞ , ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®¡ëç−ë¬ â®çª ¬ ¯àאַ© R1 ; çâ® ª á ¥âáï ¨¤¥ «®¢ µ±∞ , â® íâ® ú¯à¨§à ª¨û, ¯à¨á®¥¤¨−¥−−ë¥ ª ¯àאַ© á 楫ìî ᤥ« âì ¥¥ ª®¬¯ ªâ−®©. V. „®ª ¦¨â¥, çâ®  «£¥¡à  F1 −¥ ¨§®¬®àä−   «£¥¡à¥ FM ¨ ¢®®¡é¥ −¥ ï¥âáï £« ¤ª®©. ®¯à®¡ã©â¥ ¢¬¥áâ® F1 ¯®áâநâì ¤àã£ãî ¯®¤ «£¥¡àã  «£¥¡àë F , ¨§®¬®àä−ãî FM . 8.25. „à㣮© ¯à¨¬¥à. ‘।¨ ¬−®£®ç¨á«¥−−ëå ¬¥â®¤®¢ ª®¬¯ ªâ¨ä¨ª æ¨¨ ¯àאַ© à áᬮâਬ ¥é¥ ⮫쪮 ®¤¨−. ãáâì F1 = {f ∈ F | ∀k  0 lim

dk f dk f = lim ∈ R}. r→+∞ drk r→−∞ drk

F2 = {f ∈ F1 | ∀k lim ®«®¦¨¬

µ∞ = µ+∞ ∩ F2 (= µ−∞ ∩ F2). ‹¥£ª® ¤®ª § âì, ç⮠⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà −á⢮ |F2| £®¬¥®¬®àä−® ®ªàã¦−®á⨠S 1 .  £«ï¤−® íâ® ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ᪫¥©ªã ú¡¥áª®−¥ç−® 㤠«¥−−ëå ª®−殢û ¯àאַ© á ¯®¬®éìî ú¯à¨§à ª û, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¨¤¥ «ã µ∞ (á¬. à¨á. 8.1). Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, ¯®¤ «£¥¡à  F2 −¥ ï¥âáï £« ¤ª®©, −® ¥áâì ¢  «£¥¡à¥ F ¨ £« ¤ª¨¥ ¯®¤ «£¥¡àë, ¨§®¬®àä−ë¥ C ∞ (S 1). …᫨ ¯®áâ஥−¨¥ £« ¤ª¨å § ¬¥−¨â¥«¥© ¤«ï F1

136

ƒ« ¢  8

¨á. 8.1. ¨ F2 ¢ë§ë¢ ¥â âàã¤−®áâ¨, ¯®áâன⥠á− ç «  £« ¤ª¨¥ ¢«®¦¥−¨ï R1 → [0, 1] ¨ R1 → S 1 ,   § â¥¬ à áᬮâà¨â¥ ú®£à −¨ç¥−¨ïû äã−ªæ¨© ¨§ C ∞ [0, 1] ¨ C ∞ (S 1) −  ¢«®¦¥−−ãî ¯àï¬ãî. 8.26. „ «ì−¥©è¨¥ ¯à¨¬¥àë. I. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ F  «£¥¡àã ª®¬¯«¥ªá−®§− ç−ëå äã−ªæ¨© ª®¬¯«¥ªá−®£® ¯¥à¥¬¥−−®£®, ®¯à¥¤¥«¥−−ëå, £®«®¬®àä−ëå ¨ ®£à −¨ç¥−−ëå ¢ ®¡« á⨠|z| < 1. ‘।¨ ¬ ªá¨¬ «ì−ëå ¨¤¥ «®¢  «£¥¡àë F − ¬, ª®−¥ç−®, ¨§¢¥áâ−ë ¨¤¥ «ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â®çª ¬ a, |a| < 1,   ¨¬¥−−® µa = {f ∈ F | f(a) = 0}. Œ®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì µa ¨ ¯à¨ |a| = 1, ¯®«®¦¨¢ µa = {f ∈ F | lim f(z) = 0}. z→a

„®ª ¦¨â¥, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì−ë© á¯¥ªâà  «£¥¡àë F á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¨¤¥ «®¢ µa , |a|  1. II.  ©¤¨â¥ ¬ ªá¨¬ «ì−ë© á¯¥ªâà  «£¥¡àë F2 ª®¬¯«¥ªá−®§− ç−ëå äã−ªæ¨© ¤¢ãå ª®¬¯«¥ªá−ëå ¯¥à¥¬¥−−ëå,  − «¨â¨ç¥áª¨å ¨ ®£à −¨ç¥−−ëå ¢ ®âªàë⮬ ¯®«¨¤¨áª¥, â. ¥. −  ¬−®¦¥á⢥ {(z1, z2 ) | |z1| < 1, |z2| < 1}.

ƒ« ¢  9

„ˆ””……
–ˆ‹œ
… ˆ‘—ˆ‘‹…
ˆ… ŠŠ ‘…Š’ ŠŒŒ“’’ˆ‚
‰ ‹ƒ…›

9.1. á−®¢ë¢ ïáì −  ®¯¨á −−®© ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å ä®à¬ «¨§ æ¨¨ ¯à®æ¥áá  − ¡«î¤¥−¨ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥, ¬®¦−® ¯à¨©â¨ ª −¥ª®â®àë¬ ¢¥á쬠 ¢ ¦−ë¬ ¢ë¢®¤ ¬. ‚®-¯¥à¢ëå, ®¡à â¨¬ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ï§ëª®¬ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¯®áª®«ìªã ¢áï ¨−ä®à¬ æ¨ï ® ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ § ª«îç¥−  ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩  «£¥¡à¥ − ¡«î¤ ¥¬ëå, ®âá á −¥¨§¡¥¦−®áâìî ¢ë⥪ ¥â, çâ® −¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ®¯¨á −¨ï 䨧¨ç¥áª¨å § ¤ ç ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï ®¤−¨¬ ¨§  á¯¥ªâ®¢ ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë. ¡êïá−¥−¨¥ ⮣®, ª ª ¨§¢«¥çì ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  ¨§ ¨§¢¥áâ−ëå 䠪⮢, ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥¬ëå − ¬ í«¥¬¥−â à−ë¬  − «¨§®¬, ï¥âáï ®á−®¢−®© 楫ìî − áâ®ï饩 £« ¢ë. ç¥−ì ¢ ¦−®, çâ® ¯®«ãç¥−−ë¥ ª®−áâàãªæ¨¨ ¬®¦−® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−ëå, ¨ ᮢᥬ −¥ ®¡ï§ â¥«ì−® £« ¤ª¨å, ª®¬¬ãâ â¨¢−ëå  «£¥¡à. ® á ¬®¥ £« ¢−®¥, ¯®¦ «ã©, −¥ ¢ í⮬. ’®, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ¥áâì ä®à¬ «ì−®¥ á«¥¤á⢨¥  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨©, ï¥âáï −¥ ⮫쪮 㤨¢¨â¥«ì−® ªà á¨¢ë¬ ¨ −¥®¦¨¤ −−ë¬ ä ªâ®¬, ¨¬¥î騬 ¢ ¦−®¥ §− ç¥−¨¥ ¢−ãâਠᠬ®© ¬ â¥¬ â¨ª¨. â® ¯®§¢®«ï¥â â ª¦¥ ¯¥à¥á¬®âà¥âì −¥ª®â®àë¥ áãé¥áâ¢ãî騥 ¯ à ¤¨£¬ë, ª á î騥áï

137

138

ƒ« ¢  9

¢§ ¨¬®®â−®è¥−¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨ á ¥áâ¥á⢥−−묨 − ãª ¬¨, ¨, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, á 䨧¨ª®© ¨ ¬¥å −¨ª®©. “¢ ¦¥−¨¥ ª®−楯樨 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠ï¥âáï ¤«ï ¬ â¥¬ â¨ª¨ £ à −⮬ ¥¥ áãé¥á⢮¢ −¨ï ª ª ¥áâ¥á⢥−−®-− ãç−®© ¤¨á樯«¨−ë. 9.2.  ç−¥¬ á ¯à®á⥩襣® ¯®−ïâ¨ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ¯à®¨§¢®¤−®©, ä®à¬ «¨§ãî饩 ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨ ¨¤¥î ᪮à®áâ¨. ‚ í«¥¬¥−â à−®© ¬¥å −¨ª¥ − ¬ ®¡êïá−ïîâ, ç⮠᪮à®áâì | íâ® ¢¥ªâ®à, ¯®¤à §ã¬¥¢ ï ¯®¤ ¢¥ªâ®à®¬ − ¯à ¢«¥−−ë© ®â१®ª. ’ ª ï â®çª  §à¥−¨ï −¥ ¬®¦¥â áç¨â âìáï 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì−®©, ¯®áª®«ìªã ᮢ¥àè¥−−® −¥¯®−ïâ−®, çâ® â ª®¥ ú− ¯à ¢«¥−−ë© ®â१®ªû ¢ á«ãç ¥  ¡áâà ªâ−®£® (ú¨áªà¨¢«¥−−®£®û) ¬−®£®®¡à §¨ï. ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ ®á−®¢ â¥«¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®© £¥®¬¥âਨ ®¯à¥¤¥«ï«¨ ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ª ª ¢¥«¨ç¨−ã, ª®â®à ï ¢ § ¤ −−®© á¨á⥬¥ «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å à ªâ¥à¨§ã¥âáï − ¡®à®¬ ¨§ n ç¨á¥«, ¯à¨ç¥¬ íâ®â − ¡®à ®¯à¥¤¥«¥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¨§¬¥−ï¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¤à㣮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨− â. ’ ª®© ¯®¤å®¤ â ª¦¥ −¥ã¤®¢«¥â¢®à¨â¥«¥−, â ª ª ª ®¯¨á뢠¥â ¢¥ªâ®àë ¢ «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å, ¯® áãé¥áâ¢ã −¥ ®¡êïá−ïï, çâ® íâ® â ª®¥. ‚® ¬−®£¨å ᮢ६¥−−ëå ã祡−¨ª å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®© £¥®¬¥âਨ ¬®¦−® − ©â¨ ¤à㣮¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à , ª®â®à®¥ −¥  ¯¥««¨àã¥â ª «®ª «ì−ë¬ ª®®à¤¨− â ¬: ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ − §ë¢ ¥âáï ª« áá íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠£« ¤ª¨å ªà¨¢ëå, ª á îé¨åáï ¤à㣠¤à㣠 ¢ § ¤ −−®© â®çª¥ ¨−â¥à¥áãî饣® − á £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï. ®¯ëâ ¢è¨áì − ©â¨ á㬬㠤¢ãå â ª¨å ª« áᮢ ¨«¨ ã¬−®¦¨âì â ª®© ª« áá −  ç¨á«®, â. ¥. ¯®¯à®¡®¢ ¢ ¢¢¥á⨠áâàãªâãàã «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ −  ¬−®¦¥á⢥ ¢á¥å ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢, ¬ë ã¡¥¤¨¬áï, çâ® ¨ ¤ −−ë© ¯®¤å®¤ −¥ ®ç¥−ì-⮠㤮¡¥− ¤«ï à ¡®âë. à¨−樯¨ «ì− ï ¯à¨ç¨−  −¥ã¤®¢«¥â¢®à¨â¥«ì−®á⨠¢á¥å íâ¨å ®¯à¥¤¥«¥−¨© ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ®−¨ −®áïâ ®¯¨á â¥«ì−ë© å à ªâ¥à, −¨ç¥£® −¥ £®¢®àï ® äã−ªæ¨®− «ì−®© ஫¨ í⮣® ¯®−ïâ¨ï ¢ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ ¨áç¨á«¥−¨¨. Œ®¦−® ¯®−ïâì íâã ஫ì, ¯à® − «¨§¨à®¢ ¢, çâ® â ª®¥ ᪮à®áâì á â®çª¨ §à¥−¨ï  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

139

ãáâì A | −¥ª®â®à ï  «£¥¡à  − ¡«î¤ ¥¬ëå. ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î M = |A| ¥áâì ¬−®£®®¡à §¨¥ á®áâ®ï−¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á¨áâ¥¬ë ¨ −¥ª®â®à®¥ ª®−ªà¥â−®¥ á®áâ®ï−¨¥ á¨áâ¥¬ë ¥áâì í«¥¬¥−â h ∈ |A|. ®í⮬ã í¢®«îæ¨ï á®áâ®ï−¨ï á¨áâ¥¬ë ¢® ¢à¥¬¥−¨ ®¯¨á뢠¥â ᥬ¥©á⢮ ht . ‘â «® ¡ëâì, ᪮à®áâì ¨§¬¥−¥−¨ï á®áâ®ï−¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ ¬®¬¥−⠢६¥−¨ t0 ¥áâì def dht –h = : A → R, (9.1) dt t=t0 £¤¥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î dht 1 = lim (ht+–t − ht ), –t→0 –t dt ª ª®© ¡ë á¬ëá« ¬ë −¨ ¢ª« ¤ë¢ «¨ §¤¥áì ¢ ¯®−ï⨥ ¯à¥¤¥« . ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, â®, çâ® ¬ë ¢®á¯à¨−¨¬ ¥¬ ª ª ¤¢¨¦¥−¨¥, ¥áâì 䠪⠨§¬¥−¥−¨ï ¯®ª § −¨© ¯à¨¡®à®¢ á â¥ç¥−¨¥¬ ¢à¥¬¥−¨,   ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥−¨ï ¥áâì ᪮à®áâì ¨§¬¥−¥−¨ï íâ¨å ¯®ª § −¨©. ¥à¥¢®¤ ᪠§ −−®£® −  £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ï§ëª, ®ç¥¢¨¤−®, ®áãé¥á⢫ï¥âáï −  ®á−®¢¥ ᮮ⢥âá⢨ï M  z ↔ h = hz ∈ |A|, £¤¥ A = C ∞ (M) ¨ hz (f) = f(z), ∀f ∈ C ∞(M). ਠí⮬ ¯¥à¥¢®¤¥ ᥬ¥©á⢮ {ht } ®ª §ë¢ ¥âáï ªà¨¢®© z(t) −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M, ¨ ªà¨¢ ï z(t) â ª®¢ , çâ® ht = hz(t) ,   ¯à®¨§¢®¤− ï dht ï¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ª í⮩ ªà¨¢®©,   §− ç¨â, dt ¨ ª ¬−®£®®¡à §¨î M. ‘®®â−®è¥−¨¥ (9.1) ¯à¨ í⮬ ¯à¨−¨¬ ¥â ¢¨¤ dhz(t) –z = : A → R, (9.2) dt t=t0 £¤¥ z = z(t0) ¨, ®ç¥¢¨¤−®, –z ↔ –h . ˆâ ª, ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¨−â¥à¯à¥â æ¨¨ ᪮à®áâì ¨§¬¥−¥−¨ï á®áâ®ï−¨ï ᨪ á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à á⥬ë, ®¯¨á뢠¥¬®©  «£¥¡à®© A ←→ ª ¬−®£®®¡à §¨î M ‚ëè¥ â¥à¬¨− úª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®àû ¨á¯®«ì§®¢ «áï ¢ ¨−âã¨â¨¢−®¬ á¬ëá«¥, ¨ ⥯¥àì − è¥© 楫ìî ï¥âáï ¥£® áâண®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¨áª«îç¨â¥«ì−® ¢ â¥à¬¨− å  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå A.  ©¤¥−− ï ¨−â¥à¯à¥â æ¨ï ¯®§¢®«ï¥â ᤥ« âì íâ® ¥áâ¥á⢥−−ë¬

140

ƒ« ¢  9

®¡à §®¬. …¤¨−á⢥−−®, çâ® ¤«ï í⮣® −ã¦−® ᤥ« âì, | ãïá−¨âì ¬ â¥¬ â¨ç¥áªãî ¯à¨à®¤ã ®¯¥à â®à  –h (¨«¨ –z ), −¥áâண® ®¯à¥¤¥«¥−−®£® ä®à¬ã«®© (9.1) (ᮮ⢥âá⢥−−® (9.2)), ¯®áª®«ìªã −¥ ¢á类¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ A ¢ R, − ¯à¨¬¥à h, ¥áâ¥á⢥−−® − §ë¢ âì ᪮à®áâìî ¨§¬¥−¥−¨ï á®áâ®ï−¨ï. 9.3. «£¥¡à  − ¡«î¤ ¥¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á®ç¥â −¨¥ ¤¢ãå áâàãªâãà: áâàãªâãàë ¢¥ªâ®à−®£® ¯à®áâà −á⢠ ¨ ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®©. ‚§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à  –h (¨«¨ –z ) á ¯¥à¢®© ¨§ −¨å ®ç¥¢¨¤−®: ®− ï¥âáï R-«¨−¥©−ë¬, â. ¥. –h

k  j=1

k   λj fj = λj –h (fj ),

λj ∈ R, fj ∈ C ∞ (U). (9.3)

j=1

“¯à ¦−¥−¨¥. “¡¥¤¨â¥áì ¢ í⮬. „«ï ⮣® çâ®¡ë ¢ëïá−¨âì ¢§ ¨¬®®â−®è¥−¨ï ¬¥¦¤ã ®¯¥à â®à®¬ –h ¨ ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®© áâàãªâãன  «£¥¡àë C ∞ (M), −ã¦−® ¢ëç¨á«¨âì ¤¥©á⢨¥ í⮣® ®¯¥à â®à  −  ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ¤¢ãå − ¡«î¤ ¥¬ëå. Œë ¨¬¥¥¬ dht (fg) d(ht (f)ht (g)) = –h (fg) = t=t0 dt t=t0 dt dht (f) dht (g) = ht0 (g) + ht0 (f) dt t=t0 dt t=t0 = –h (f)h(g) + h(f)–h (g), â. ¥. –h 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饬㠯ࠢ¨«ã ‹¥©¡−¨æ : –h (fg) = –h (f)h(g) + h(f)–h (g).

(9.4)

‚ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ®−® ¢ë£«ï¤¨â â ª: –z (fg) = –z (f)g(z) + f(z)–z (g).

(9.5)

ˆâ ª, ¯à ¢¨«  (9.3) ¨ (9.4) ¯®«−®áâìî ॣ㫨àãîâ ¢§ ¨¬®®â−®è¥−¨ï ®¯¥à â®à  –h á ¡ §®¢ë¬¨ áâàãªâãà ¬¨  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå. ®í⮬ã ã − á ⥯¥àì ¥áâì ¢á¥ ®á−®¢ −¨ï ¯à¨−ïâì á«¥¤ãî饥

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

141

9.4. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ⮡ࠦ¥−¨¥ ξ : C ∞ (M) → R − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ª ¬−®£®®¡à §¨î M ¢ â®çª¥ z ∈ M, ¥á«¨ ®−® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¢ã¬ á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: 1) R-«¨−¥©−®áâì: k k   ξ( λj fj ) = λj ξ(fj ), j=1

λj ∈ R, fj ∈ C ∞ (M);

j=1

2) ‹®ª «ì−®¥ ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ  (¨«¨ ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ  ¢ â®çª¥ z): ξ(fg) = f(z)ξ(g) + g(z)ξ(f),

f, g ∈ C ∞ (M).

祢¨¤−®, çâ® ¥á«¨ ¬ë ®¯à¥¤¥«¨¬ á㬬㠤¢ãå ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  −  ¤¥©á⢨⥫ì−®¥ ç¨á«® ¯® á«¥¤ãî騬 ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ¯à ¢¨« ¬: (ξ + ξ  )(f) = ξ(f) + ξ  (f), (λξ)(f) = λξ(f), λ ∈ R, â® ¨ ¢ ⮬, ¨ ¢ ¤à㣮¬ á«ãç ¥ १ã«ìâ â ¡ã¤¥â R-«¨−¥©−ë¬ ®¯¥à â®à®¬, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ¯à ¢¨«ã ‹¥©¡−¨æ , â. ¥. á−®¢  ¡ã¤¥â ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ¬−®¦¥á⢮ Tz M ¢á¥å ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢ â®çª¥ z ∈ M ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன ¢¥ªâ®à−®£® ¯à®áâà −á⢠ − ¤ R. −® − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M ¢ â®çª¥ z. ‡ ¬¥ç −¨¥. ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à 0z ∈ Tz M ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© −ã«¥¢®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ C ∞ (M) ¢ R ¨ ¢ â ª®¬ ª ç¥á⢥ ᮢ¯ ¤ ¥â á 0z
¤«ï «î¡®© ¤à㣮© â®çª¨ z  . ¤− ª® ¥áâ¥á⢥−−® ¤¥« âì à §«¨ç¨¥ ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ 0z ¨ 0z
, z = z , ¯®áª®«ìªã ®−¨ ª á îâáï M ¢ à §−ëå â®çª å (㤮¢«¥â¢®àïîâ à §«¨ç−ë¬ ¯à ¢¨« ¬ ‹¥©¡−¨æ ). ‘¬. â ª¦¥ ¯. 9.52.

142

ƒ« ¢  9

9.5. ®á¬®âਬ ⥯¥àì, ª ª ®¯¨á뢠îâáï ®¯¥à â®àë ξ ∈ Tz M ¢ «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å. ãáâì U | ®¡« áâì ¢ Rn. ‡ ä¨ªá¨à㥬 á¨á⥬㠫®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â x1, . . . , xn . ãáâì ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨− â z =(z1, . . . , zn ), y =y(–t) = (z1 + α1 –t, . . . , zn + αn –t),

αi ∈ R.

’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, z = y(0) ¨ n  df(y(t)) f(y(–t)) − f(z) ∂f = αi –z (f) = lim = . –t→0 –t dt ∂x t=0 i z i=1

â® −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ äã−ªæ¨¨ f ¯® − ¯à ¢«¥−¨î α = (α1, . . . , αn), â. ¥. –z ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯¥à â®à®¬ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï ¯® − ¯à ¢«¥−¨î α ¨, §− ç¨â, å à ªâ¥à¨§ã¥âáï 㯮à冷ç¥−−ë¬ − ¡®à®¬ ¨§ n ç¨á¥«. â® − ¡«î¤¥−¨¥ ¯à®ïá−ï¥â áªàëâë© á¬ëá« ª« áá¨ç¥áª®£® ®¯¨á â¥«ì−®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à .  áá㦤¥−¨ï, ¯à¨¢¥¤¥−−ë¥ ¢ ¯¯. 9.3 ¨ 9.5, ¡ §¨àãîâáï −  ¯®−ï⨨ ®¯¥à â®à  –z , ª®â®à®¥ −¥ ¡ë«® áâண® ®¯à¥¤¥«¥−®, ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, â ª¦¥ −¥ ïîâáï áâண¨¬¨. −¨, ⥬ −¥ ¬¥−¥¥, ¯®§¢®«¨«¨ − ¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì ª®−楯æ¨î ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ¢ â¥à¬¨− å  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå (®¯à¥¤¥«¥−¨¥ 9.4), ¨, ¨á¯®«ì§ãï íâ® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª ª ®â¯à ¢−ãî â®çªã, ¬ë ⥯¥àì ¬®¦¥¬ áà ¢−¨âì − è ¯®¤å®¤ á ®¡ëç−ë¬. 9.6. ’¥®à¥¬  ® ª á â¥«ì−®¬ ¢¥ªâ®à¥.
ãáâì M | £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, z ∈ M ¨ x1 , . . . , xn | −¥ª®â®à ï á¨á⥬  «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠U  z. ’®£¤  ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨− â «î¡®© ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξ ∈ Tz M ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥− ¢ ¢¨¤¥ ξ=

n  i=1

αi

∂ , ∂xi z

αi ∈ R.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

143

„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤«ï £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© ¯®−ïâ¨ï ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ¨ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï ¯® − ¯à ¢«¥−¨î ᮢ¯ ¤ îâ.
„®ª § â¥«ìá⢮ í⮩ ⥮६ë á®á⮨⠨§ −¥áª®«ìª¨å è £®¢, ¯¥à¢ë© ¨§ ª®â®àëå ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥âáï á ¬®áâ®ï⥫ì−® ᤥ« âì ç¨â â¥«î. 9.7. ‹¥¬¬ -ã¯à ¦−¥−¨¥.
ãáâì f = const ∈ R, ⮣¤  ξ(f) = 0.  9.8. ‹¥¬¬ . Š á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ï¥âáï «®ª «ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬, â. ¥. ¥á«¨ äã−ªæ¨¨ f, g ∈ F ᮢ¯ ¤ îâ −  ®âªàë⮬ ¬−®¦¥á⢥ U  z, â® ¤«ï «î¡®£® ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ξ ∈ Tz M ¢ë¯®«−ï¥âáï à ¢¥−á⢮ ξ(f) = ξ(g).  „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ í⮣® ã⢥ত¥−¨ï ¤®áâ â®ç−® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¥á«¨ ¤«ï −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U  z ¢ë¯®«−¥−® à ¢¥−á⢮ f|U = 0, â® ξ(f) = 0. „¥©á⢨⥫ì−®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ᮣ« á−® á«¥¤á⢨î 2.5 − ©¤¥âáï â ª ï äã−ªæ¨ï h ∈ C ∞ (M), çâ® h(z) = 0 ¨ h|M \U = 1. ’®£¤  f = hf ¨, ᮣ« á−® ¯à ¢¨«ã ‹¥©¡−¨æ  ξ(f) = ξ(hf) = f(z)ξ(h) + h(z)ξ(f) = 0.



9.9. ‹¥¬¬ . „«ï «î¡®© ®âªàë⮩ ®ªà¥áâ−®á⨠U  z ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ Tz U ¨ Tz M ¥áâ¥á⢥−−® ¨§®¬®àä−ë.  ‚«®¦¥−¨¥ i : U ⊂ M ®âªàë⮣® ¬−®¦¥á⢠ U ¢ ¬−®£®®¡à §¨¥ M ¯®à®¦¤ ¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ dz i : Tz U → Tz M. ˆ¬¥−−®, ¯ãáâì ξ ∈ Tz U ¨ f ∈ C ∞(M). ®«®¦¨¬ dz i(ξ)(f) = ξ(f U ). (஢¥àìâ¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ dz i(ξ) ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥ ï¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬.) 祢¨¤−®, ®â®¡à ¦¥−¨¥ dz i R-«¨−¥©−®. ®áâந¬ ®¡à â−®¥ ¥¬ã ®â®¡à ¦¥−¨¥. „«ï í⮣® á− ç «  § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ¢á类© äã−ªæ¨¨ g ∈ C ∞(U) ¬®¦−® − ©â¨ äã−ªæ¨î f ∈ C ∞ (M), ᮢ¯ ¤ îéãî á g ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z. „¥©á⢨⥫ì−®, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï á«¥¤á⢨¥¬ 2.5 ¨ à áᬮâਬ äã−ªæ¨î h ∈ C ∞(U), ⮦¤¥á⢥−−® à ¢−ãî −ã«î ¢−¥ −¥ª®â®à®© ª®¬¯ ªâ−®© ®ªà¥áâ−®á⨠V0 ⊂ U ¨ ¯à¨−¨¬ îéãî §− ç¥−¨¥ 1 ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠V1 ⊂ V0 í⮩ â®çª¨ (á¬. ¯. 2.5). ’®£¤ 

144

ƒ« ¢  9

¢ ª ç¥á⢥ f ∈ C ∞ (M) ¬®¦−® ¢§ïâì äã−ªæ¨î, à ¢−ãî −ã«î ¢−¥ U ¨ ᮢ¯ ¤ îéãî á gh ¢ U. ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì £®¬®¬®à䨧¬ πU : Tz M → Tz U, ¯®«®¦¨¢ πU (η)(g) = η(f). ˆ§ «¥¬¬ë 9.8 á«¥¤ã¥â, çâ® §− ç¥−¨¥ η(f) −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  äã−ªæ¨¨ f, â. ¥. £®¬®¬®à䨧¬ πU ®¯à¥¤¥«¥− ª®à४â−®. ’¥¯¥àì «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® dz i ◦ πU = id ¨ πU ◦ dz i = id.  9.10. ˆ§ ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬ë ¢ë⥪ ¥â, çâ® − ¬ ¤®áâ â®ç−® ®£à −¨ç¨âìáï á«ãç ¥¬ M = U ⊂ Rn. ਠí⮬ ¬®¦−® áç¨â âì ®¡« áâì U §¢¥§¤ç â®© ®â−®á¨â¥«ì−® â®çª¨ z, â. ¥. â ª®©, çâ® ¢¬¥á⥠ᮠ¢á类© â®çª®© y ∈ U ®â१®ª [z, y] 楫¨ª®¬ ¯à¨− ¤«¥¦¨â U. ‘®£« á−® á«¥¤á⢨î 2.9 ¨§ «¥¬¬ë ¤ ¬ à  ¢áïª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï f ¢ §¢¥§¤ç â®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ n n   ∂f f(x) = f(z) + (xi − zi ) (z) + (xi − zi )(xj − zj )gi,j (x). ∂x i i=1 i,j=1 ਬ¥−¨¢ ⥯¥àì ª ¯®á«¥¤−¥¬ã à ¢¥−áâ¢ã ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξ ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à ¢¨«®¬ ‹¥©¡−¨æ , áࠧ㠦¥ ¯®«ã稬, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï ξ ∈ Tz M n  ∂f ξ(f) = αi (z), ∂xi i=1 £¤¥ αi = ξ(xi − zi ) = ξ(xi ). ’¥®à¥¬  ¤®ª § − .  9.11. ˆ§ â¥®à¥¬ë ® ª á â¥«ì−®¬ ¢¥ªâ®à¥ á«¥¤ã¥â, çâ® Tz M ¥áâì n-¬¥à−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ − ¤ R. „¥©á⢨⥫ì−®, ᮣ« á−® í⮩ ⥮६¥ ¤«ï «î¡®© ª®®à¤¨− â−®© ®ªà¥áâ−®á⨠(U, x) â®çª¨ z ª á â¥«ì−ë¥ ¢¥ªâ®àë ∂ ∂ , ..., ∂x1 z ∂xn z  ∂ ¯®à®¦¤ îâ ¯à®áâà −á⢮ Tz M. ãáâì ξ = nj=1 αj | −¥ª®∂xj ∂ â®à ï «¨−¥©− ï ª®¬¡¨− æ¨ï ¢¥ªâ®à®¢ . ®áª®«ìªã, ®ç¥¢¨¤∂xj −®, αj = ξ(xj ), â® ¢¥ªâ®à ξ ®â«¨ç¥− ®â −ã«ï, ¥á«¨ å®âï ¡ë ®¤¨−

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

145

¨§ ª®íää¨æ¨¥−⮢ αj ®â«¨ç¥− ®â −ã«ï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥ªâ®àë ∂ «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ë ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ª ∂xj á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ Tz U. ˆ§®¬®à䨧¬ dz i : Tz U → Tz M, ¯®áâ஥−−ë© ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë, ¯®ª §ë¢ ¥â ⥯¥àì, ∂ çâ® dim Tz M = n. ¨¦¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¢¥ªâ®àë , ∂xj  ∂  ®¡à §ãî騥 ¡ §¨á Tz U, á ¢¥ªâ®à ¬¨ dz i , ®¡à §ãî騬¨ ∂xj ¡ §¨á Tz M. ˆ§ ᪠§ −−®£® ¢ë⥪ ¥â, çâ® à §¬¥à−®áâì ª á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ Tz M à ¢−  ç¨á«ã «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â ¢ «î¡®© ᮤ¥à¦ é¥© ¥¥ ª àâ¥, â. ¥. à §¬¥à−®á⨠¬−®£®®¡à §¨ï M. 9.12. ãáâì ⥯¥àì y1, . . . , yn | ¤à㣠ï á¨á⥬  «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z. ’®£¤  ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ∂ ∂ ¡ §¨á¥ ,..., ª á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ ∂y1 z ∂yn z n  ∂ ξ= βk . ∂yk z k=1 „ «¥¥, n n   ∂ ∂yk ∂ αi αi ξ= = ∂xi z ∂xi ∂yk z i=1 i=1 k=1 n n   ∂yk  ∂ = αi , ∂x i ∂yk z i=1 k=1 n 

â. ¥. βk =

n  i=1

αi

∂yk , ∂xi

¨ ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤  ®â ¡ §¨á  ∂ , ..., ∂x1 z

k = 1, . . . , n,

∂ , ∂xn z

146

ƒ« ¢  9

ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® á¨á⥬¥ «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â x1 , . . . , xn , ª ¡ §¨áã ∂ ∂ , ..., , ∂y1 z ∂yn z ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã á¨á⥬¥ «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â y1, . . . , yn , á«ã¦¨â ¬ âà¨æ  Ÿª®¡¨   ∂y1 ∂y1  ∂x1 . . . ∂xn   . ..  .. Jz =  . .   ..  .  ∂yn ∂yn  ... ∂x1 ∂xn z ˆ−¤¥ªá z 㪠§ë¢ ¥â, çâ® í«¥¬¥−âë ¬ âà¨æë Ÿª®¡¨ ¢ëç¨á«ïîâáï ¢ â®çª¥ z. “áâ −®¢«¥−−ë¥ ¯à ¢¨«  § ¬¥−ë ª®®à¤¨− â ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® − è ¯®¤å®¤ íª¢¨¢ «¥−â¥− ¯®¤å®¤ã, ¯à¨−ï⮬㠢 â¥−§®à−®¬  − «¨§¥. 9.13. „¨ää¥à¥−樠« £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï. ‚¯®«−¥ ¥áâ¥á⢥−−®, çâ® ¢á类¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨© ¯®à®¦¤ ¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ ª á â¥«ì−ëå ª −¨¬ ¢¥ªâ®à®¢. (®¯à®¡ã©â¥ ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬ á ¬®áâ®ï⥫ì−®, ¯à®¤®«¦¨¢ −¥ä®à¬ «ì−ë¥ à áá㦤¥−¨ï ¯. 9.2.) ‘âண ï ¦¥ ª®−áâàãªæ¨ï á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ãáâì ϕ : M → N | −¥ª®â®à®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨ ξ ∈ Tz M. ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥ η = ξ ◦ ϕ∗ : C ∞ (N) → R ï¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ª ¬−®£®®¡à §¨î N ¢ â®çª¥ ϕ(z). „¥©á⢨⥫ì−®, ¥£® R-«¨−¥©−®áâì ®ç¥¢¨¤− . Šà®¬¥ ⮣®, ¥á«¨ f, g ∈ C ∞(N), â® η(fg) = ξ(ϕ∗ (fg)) = ξ(ϕ∗ (f)ϕ∗ (g)) = ξ(ϕ∗ (f))(ϕ∗ (g)(z)) + (ϕ∗ (f)(z))ξ(ϕ∗ (g)) = η(f)g(ϕ(z)) + f(ϕ(z))η(g). ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ⮡ࠦ¥−¨¥ dz ϕ : Tz (M) → Tz (N),

ξ → ξ ◦ ϕ∗,

ξ ∈ Tz M,

− §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥−樠«®¬ ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ ¢ â®çª¥ z ¬−®£®®¡à §¨ï M.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

147

ϕ

ο ¨á. 9.1. 祢¨¤−®, ¤¨ää¥à¥−樠« dz ϕ ï¥âáï «¨−¥©−ë¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬. 9.14. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ ψ : N → L | ¥é¥ ®¤−® £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, â® dz (ψ ◦ ϕ) = dϕ(z) ψ ◦ dz ϕ.

(9.6)

„®ª ¦¨â¥ â ª¦¥, çâ® ¥á«¨ N = L ¨ ψ = idN , â® dz ψ = idTz N . ”®à¬ã«  (9.6) ¤«ï ψ = ϕ−1 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® dϕ(z) ϕ−1 = (dz ϕ)−1 .

148

ƒ« ¢  9

‚ ç áâ−®áâ¨, dz ϕ ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ ϕ ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬. ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¢¥à−ãâìáï ª ¤¨áªãáᨨ ¯. 4.10 ¨ ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥 9.15. ।«®¦¥−¨¥. «£¥¡àë C ∞(M) ¨ C ∞ (N) −¥¨§®¬®àä−ë, ¥á«¨ dim M = dim N. ‚ ç áâ−®áâ¨,  «£¥¡àë C ∞ (Rn) ¨ C ∞ (Rm ) −¥¨§®¬®àä−ë, ¥á«¨ m = n.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì
: C ∞ (N) → C ∞ (M) ¥áâì ¨§®¬®à䨧¬. ’®£¤ , ϕ = |
| : M → N ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬. Š ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥−® ¢ëè¥, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤¨ää¥à¥−樠« Dz ϕ : Tz M → Tϕ(z) N ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï ¢á¥å z ∈ M. ®í⮬ã dim M = dim Tz M = dim Tϕ(z) N = dim N.



9.16. ¯¨è¥¬ dz ϕ ¢ ª®®à¤¨− â å. ãáâì, ª ª ¨ ¢ ¯. 6.15, (x1, . . . , xn) ¨ (y1 , . . . , ym ) | «®ª «ì−ë¥ ª àâë ¢ M ¨ N, ᮤ¥à¦ é¨¥ â®çª¨ z ¨ ϕ(z) ᮮ⢥âá⢥−−®, ¨ ϕ∗ (yi ) = ϕi (x1, . . . , xn) | äã−ªæ¨¨, ®¯¨á뢠î騥 ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ ¢ ª®®à¤¨− â å. ’®£¤  ¥á«¨ g ∈ C ∞ (N), â® " ∂ # ∂ ∗ )](g) = ◦ ϕ (g) [dz (ϕ)( ∂xi z ∂xi z ∂g(ϕ1 (x1, . . . , xn ), . . . , ϕm (x1, . . . , xn )) = ∂xi z m  ∂g(ϕ1(x1 , . . . , xn), . . . )) ∂ϕj (x1 , . . . , xn) = ∂yj z ∂xi z j=1 m #  ∂ϕj (x1, . . . , xn) " ∂g = )(z) ϕ∗( ∂xi z ∂yj j=1 m  ∂ϕj (x1, . . . , xn) ∂g ϕ(z) = ∂xi z ∂yj j=1

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

=

m  ∂ϕj

∂xi

j=1 m "

=

j=1

(z)

149

∂g (ϕ(z)) ∂yj

∂ϕj ∂ # (z) (g). ∂xi ∂yj ϕ(z)

ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, m  ∂   ∂ϕj ∂ dz (ϕ) (z) = , ∂xi z ∂x ∂y ϕ(z) i j j=1

(9.7)

â. ¥. ¬ âà¨æ  «¨−¥©−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï dz ϕ ®â−®á¨â¥«ì−® ¡ §¨á®¢ $ ∂ % $ ∂ % ⊂ Tϕ(z) (N), ⊂ Tz (M), ∂xi z ∂yj ϕ(z) ᮮ⢥âá⢥−−® ¥áâì 类¡¨¥¢  ¬ âà¨æ  ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ ¢ â®çª¥ z: & ∂ϕ & & i& & . ¨¦−¨© ¨−¤¥ªá z §¤¥áì 㪠§ë¢ ¥â −  â®, çâ® ¢á¥ ¯à®& ∂xj z ¨§¢®¤−ë¥, 䨣ãà¨àãî騥 ¢ í⮩ ¬ âà¨æ¥, ¢ëç¨á«ïîâáï ¢ â®çª¥ z. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®®à¤¨− â−®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«  dz ϕ ¨¬¥¥â ¢¨¤   ∂ϕ1 ∂ϕ1      ∂x1 . . . ∂xm  α1 β1   . . . . .  ..  =  .. .. ..  (9.8)   . .. ,   ∂ϕm ∂ϕm βm αn ... ∂x1 ∂xn z £¤¥ (α1 , . . . , αn ) ¨ (β1, . . . , βm ) | ª®®à¤¨− âë ¢¥ªâ®à  v ∈ Tz (M) $ ∂ % $ ∂ % ¨ ¥£® ®¡à §  dz ϕ(v) ®â−®á¨â¥«ì−® ¡ §¨á®¢ ¨ ∂xi z ∂yj ϕ(z) ᮮ⢥âá⢥−−®. 9.17. Š á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥. Š ª ¨§¢¥áâ−® ¨§ í«¥¬¥−â à−®© ¬¥å −¨ª¨, ¢á类¥ ª®−ªà¥â−®¥ á®áâ®ï−¨¥ ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¥ ¯®«®¦¥−¨¥¬ (ª®−䨣ãà æ¨¥©) ¨ ¬£−®¢¥−−®© ᪮à®áâìî. …᫨ M = MS | ¯à®áâà −á⢮ ª®−䨣ãà æ¨© (á¬. ¯¯. 1.1, 5.12) í⮩ á¨á⥬ë, â®, ª ª íâ® á«¥¤ã¥â

150

ƒ« ¢  9

¨§ á®®¡à ¦¥−¨©, ¯à¨¢¥¤¥−−ëå ¢ ¯. 9.2, ¯®−ï⨥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ª ¬−®£®®¡à §¨î MS ¨¤¥−â¨ç−® ¯®−ïâ¨î á®áâ®ï−¨ï á¨á⥬ë S. ’®ç−¥¥ £®¢®àï, ¥á«¨ ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξ ∈ Tz M, â® z | íâ® ¯®«®¦¥−¨¥ á¨á⥬ë,   ξ | ¬£−®¢¥−− ï ᪮à®áâì. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å á®áâ®ï−¨© á¨á⥬ë (®¡à â¨â¥ ¢−¨¬ −¨¥ −  § ¬¥ç −¨¥ 9.4) ¥áâì ' def TM = Tz M. z∈M

â® ¬−®¦¥á⢮ ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ á− ¡¦ ¥âáï áâàãªâãன £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ¨ ¯®«ãç¥−−ë© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ®¡ê¥ªâ − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. ®áª®«ìªã í¢®«îæ¨ï ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ñ − ç «ì−ë¬ á®áâ®ï−¨¥¬, â® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ãà ¢−¥−¨ï, ®¯¨á뢠î騥 ¢®§¬®¦−ë¥ í¢®«î樨 á¨á⥬ë, ®¡ï§ −ë ¡ëâì ãà ¢−¥−¨ï¬¨ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ T M. ®¬¨¬® ¬¥å −¨ª¨, −¥®¡å®¤¨¬®áâì à áᬮâà¥−¨ï ª á â¥«ì−ëå ¬−®£®®¡à §¨© ¥áâ¥á⢥−−® ¢®§−¨ª ¥â ¢ á ¬ëå à §−ëå ®¡« áâïå ¬ â¥¬ â¨ª¨, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¢ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®© £¥®¬¥âਨ. 9.18. —â®¡ë ¢¢¥á⨠áâàãªâãàã £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï −  T M, − ¬ ¯®− ¤®¡ïâáï á«¥¤ãî騥 ¯à®áâë¥ ä ªâë. I. ‚á类¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥
: M → N ¯®à®¦¤ ¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®¦¥á⢠T
: T M → T N, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξ ∈ Tz M ¢ dz
(ξ) ∈ T
(z) N. ‚¢¨¤ã 9.6 T (
◦ ) = T
◦ T . II. …᫨ W ⊂ Rn | ®âªàëâ ï ®¡« áâì  à¨ä¬¥â¨ç¥áª®£® ¯à®áâà −á⢠, â® T W ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á ®¡« áâìî W × Rn ⊂ Rn × Rn = R2n . ˆ¬¥−−®, ¥á«¨ z ∈ W, z = (z1 , . . . , zn) ¨ ξ ∈ Tz W , â® ξ ⇐⇒ (z1, . . . , zn, α1 , . . . , αn ),

¥á«¨ ξ =

n  i=1

αi

∂ . ∂xi

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

151

III. ¯à¥¤¥«¥−® ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®¦¥á⢠πT = πT M : T M → M,

Tz M  ξ → z ∈ M,

ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®¬ã ª á â¥«ì−®¬ã ¢¥ªâ®àã ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî â®çªã ª á −¨ï. IV. …᫨ U ⊂ M | ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮, â® ' ' πT−1 (U) = Tz M = Tz U = T U. z∈U

z∈U

9.19. ‡ ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¢áïª ï ª àâ  (U, x) ¬−®£®®¡à §¨ï M ¯®à®¦¤ ¥â, ᮣ« á−® ᪠§ −−®¬ã ¢ëè¥, ®â®¡à ¦¥−¨¥ T x : T U → T W ⊂ R2n,

W = x(U).

£¤¥

−®, ®ç¥¢¨¤−®, ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©. ⮦¤¥á⢫ïï § â¥¬ ᮣ« á−® 9.18 (IV) T U ¨ πT−1 (U), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ 2n-¬¥à−ãî ª àâã (πT−1(U), T x) −  T M. ‡¤¥áì ç¥à¥§ T x ®¡®§− ç¥−  á¨á⥬  ª®®à¤¨− â−ëå äã−ªæ¨© {xi , qj }, £¤¥ xi ¤«ï (z, ξ) ∈ T U ¥áâì i-ï ª®®à¤¨− â  â®çª¨ z,   qj | j-ï ª®¬¯®−¥−â  ¢ à §«®¦¥−¨¨ ¢¥ªâ®∂ à  ξ ¯® ¡ §¨áã . Š àâë ¯®¤®¡−®£® ¢¨¤  −  T M − §ë¢ îâáï ∂xi z ᯥ樠«ì−묨. …᫨ ª àâë (U, x) ¨ (V, y) −  M ᮣ« á®¢ −ë, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ᯥ樠«ì−ë¥ ª àâë (πT−1(U), T x) ¨ (πT−1(V ), T y) â ª¦¥ ᮣ« á®¢ −ë. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥,  − «¨â¨ç¥áª ï § ¯¨áì ®â®¡à ¦¥−¨ï § ¬¥−ë ª®®à¤¨− â (T y) ◦ (T x)−1 : T (W ) → T (W ),

W  = y(U  ),

¨¬¥¥â ¢¨¤ (á¬. (9.12)) yi = yi (x),

βj =

n  k=1

αk

∂yj (x), ∂xk

¨, áâ «® ¡ëâì, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨¬¥¥â á«¥¤ãîéãî ¬ âà¨æã Ÿª®¡¨   J ∗ , 0 J

152

ƒ« ¢  9

£¤¥ J | ¬ âà¨æ  Ÿª®¡¨ ®â®¡à ¦¥−¨ï § ¬¥−ë ª®®à¤¨− â y ◦ x−1 ,   §¢¥§¤®çª  ®¡®§− ç ¥â −¥ª®â®àãî (n×n)-¬ âà¨æã. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, (T y) ◦ (T x)−1 ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ ®âªàëâëå ¯®¤¬−®¦¥á⢠¢ R2n . ãáâì A = {(Uk , xk )} | −¥ª®â®àë©  â« á −  M. ’®£¤  ᮣ« á−® ᪠§ −−®¬ã ¢ëè¥ T A = {(πT−1(Uk ), T xk )} ï¥âáï ᯥ樠«ì−ë¬  â« á®¬ −  T M. …᫨  â« áë A1 ¨ A2 −  M ᮣ« á®¢ −ë, ⮠ᮣ« á®¢ −ë ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ᯥ樠«ì−ë¥  â« áë T A1 ¨ T A2. …᫨  â« á A áç¥â¥− ¨ å ã᤮à䮢, â® â ª®¢ë¬ ¡ã¤¥â ¨ T A. ® ¢á¥¬ í⨬ ¯à¨ç¨− ¬ áâàãªâãà  £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï −  ¬−®¦¥á⢥ T M, § ¤ ¢ ¥¬ ï  â« á®¬ T A, −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à   â« á  A −  M. Œ−®¦¥á⢮ T M, − ¤¥«¥−−®¥ ®¯¨á −−®© £« ¤ª®© áâàãªâãன, − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ πT : T M → M, ®¯¨á −−®¥ ¢ ¯. 9.18 (III), ï¥âáï £« ¤ª¨¬. −® − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. ‡¤¥áì ¬ë ¢¯¥à¢ë¥ 㯮âॡ«ï¥¬ â¥à¬¨− úà áá«®¥−¨¥û (áâண®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ á¬. ¢ ¯. 10.10), ¨§ãç¥−¨î ª®â®à®£® 楫¨ª®¬ ¯®á¢ïé¥−ë £« ¢ë 10 ¨ 11. ‚ ¤ −−®¬ á«ãç ¥ ®−  ¯¥««¨àã¥â ª ⮬ã ä ªâã, çâ® ª á â¥«ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ Tz M, á«®¨ ®â®¡à ¦¥−¨ï πT , ¢á¥ ®¤¨− ª®¢ë (¤¨ä䥮¬®àä−ë ¤à㣠¤àã£ã) ¨ úà áá« ¨¢ îâû ª á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ T M.
®«¥¥ ⮣®, í⨠᫮¨ ïîâáï ¨§®¬®àä−묨 ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¢¥ªâ®à−묨 ¯à®áâà −á⢠¬¨. ®¤®¡−ë¥ à áá«®¥−¨ï − §ë¢ îâáï ¢¥ªâ®à−묨 ¨ ¯®¤à®¡−® ¨§ãç îâáï ¢ £« ¢¥ 11. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ d
: T M → T N, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 £« ¤ª®¬ã ®â®¡à ¦¥−¨î
: M → N, ï¥âáï £« ¤ª¨¬. 9.20. ‘ â®çª¨ §à¥−¨ï ¯à¨−樯  − ¡«î¤ ¥¬®á⨠áãé¥á⢥−−® ¡®«¥¥ ¯à¨¢«¥ª â¥«ì−ë¬ ¡ë«® ¡ë  áá®æ¨¨à®¢ âì á® ¢á类© (£« ¤ª®©)  «£¥¡à®© A  «£¥¡àã T A, â ªãî, çâ® |T A| = T |A|. â®

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

153

¤¥©á⢨⥫ì−® ¬®¦−® ᤥ« âì, ®¤− ª® à áᬮâà¥−¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª®−áâàãªæ¨© ¢ë¢¥«® ¡ë − á §  à ¬ª¨ − áâ®ï饩 ª−¨£¨. ®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢ë−㦤¥−ë ®£à −¨ç¨âìáï ¯à¨¢®¤¨¬ë¬ −¨¦¥ ¯à¨¬¥à®¬ ⮣®, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¢ á«ãç ¥ ª®ª á â¥«ì−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ª à áᬮâà¥−¨î ª®â®à®£® ¬ë ᥩç á ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬. 9.21. ®¬¨¬® ®¯¨á −¨ï á®áâ®ï−¨ï ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¢ â¥à¬¨− å ú¯®«®¦¥−¨¥, ᪮à®áâìû áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤à㣮¥, ç áâ® ¡®«¥¥ 㤮¡−®¥ ®¯¨á −¨¥ ¢ â¥à¬¨− å ú¯®«®¦¥−¨¥, ¨¬¯ã«ìáû. ”ã−¤ ¬¥−â «ì−®¥ á®®â−®è¥−¨¥ p = mv, á¢ï§ë¢ î饥 ᪮à®áâì ¨ ¨¬¯ã«ìá ¬ â¥à¨ «ì−®© â®çª¨, ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¨¬¯ã«ìáë ïîâáï «¨−¥©−묨 äã−ªæ¨®− « ¬¨ −  ¯à®áâà −á⢥ ᪮à®á⥩. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë S, − å®¤ï饩áï ¢ ¯®«®¦¥−¨¨ z ∈ M = MS , ï¥âáï «¨−¥©−ë¬ äã−ªæ¨®− «®¬ −  ª á â¥«ì−®¬ ¯à®áâà −á⢥ Tz M, â. ¥. í«¥¬¥−⮬ ¤¢®©á⢥−−®£® ¯à®áâà −á⢠ Tz∗M = HomR (Tz M, R). def

à®áâà −á⢮ Tz∗M − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ª ¬−®£®®¡à §¨î M ¢ â®çª¥ z,   ¥£® í«¥¬¥−âë | ª á â¥«ì−묨 ª®¢¥ªâ®à ¬¨ ª M ¢ â®çª¥ z. ˆâ ª, ¨¬¯ã«ìáë ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨á⥬ë S áãâì ª á â¥«ì−ë¥ ª®¢¥ªâ®àë ¬−®£®®¡à §¨ï ª®−䨣ãà æ¨© M = MS . ⨠¨ ¬−®£¨¥ ¤à㣨¥ á®®¡à ¦¥−¨ï ¯à¨¢®¤ïâ − á ª ¯®−ïâ¨î ª®ª á â¥«ì−®£® ¬−®£®®¡à §¨ï. —â®¡ë ¥£® ®¯à¥¤¥«¨âì, à áᬮâਬ ¬−®¦¥á⢮ ' def T ∗M = Tz∗M z∈M

¢¬¥áâ¥ á ¥áâ¥á⢥−−®© ¯à®¥ªæ¨¥© πT∗ = πT ∗M : T ∗M → M,

Tz∗M  θ → z ∈ M.

9.22. …áâ¥á⢥−− ï áâàãªâãà  £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï −  T ∗M ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥−  ¯® á奬¥, 㦥 ¨á¯®«ì§®¢ −−®© − ¬¨

154

ƒ« ¢  9

¤«ï T M. Šà ©−¥ ¯®«¥§−®© ¯à¨ í⮬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¨−â¥à¯à¥â æ¨ï ª á â¥«ì−ëå ª®¢¥ªâ®à®¢ ª ª ¤¨ää¥à¥−樠«®¢ äã−ªæ¨© −  M. ˆ¬¥−−®, ¯ãáâì U  z | −¥ª®â®à ï ®ªà¥áâ−®áâì â®çª¨ z ∈ M ¨ f ∈ C ∞(U). ¯à¥¤¥«¨¬ äã−ªæ¨î dz f −  Tz M, ¯®«®¦¨¢ def

dz f(ξ) = ξ(f),

ξ ∈ Tz M.

“¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥ á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥−¨ï. 1. …᫨ f = const, â® dz f = 0. 2. dz (fg) = f(z)dz g + g(z)dz f. ‚ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥−¨ï áâàãªâãàë «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ −  Tz M (á¬. ¯. 9.4) äã−ªæ¨ï dz f ¡ã¤¥â «¨−¥©−®©. ®í⮬ã dz f ¥áâì ª á â¥«ì−ë© ª®¢¥ªâ®à ¢ â®çª¥ z, − §ë¢ ¥¬ë© ¤¨ää¥à¥−樠«®¬ äã−ªæ¨¨ f ¢ â®çª¥ z. …᫨ (U, x) | ª àâ , ᮤ¥à¦ é ï â®çªã z, â®  ∂  ∂x i = dz xi (z) = δji , z ∂xj ∂xj £¤¥ δji | ᨬ¢®« Šà®−¥ª¥à . â® ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ∗ (dz x1, . .. , dz xn ) ¥áâì ¡ §¨á  ¯à®áâà −á⢠ Tz M, ¤¢®©á⢥−−ë© ∂ ∂ ¡ §¨áã ,..., ¢ Tz M. ®í⮬㠢á直© ª®¢¥ªâ®à z ∂x1 ∂xn z θ ∈ Tz∗M ¥¤¨−á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ θ=

n 

pi dz xi ,

pi ∈ R.

i=1

®«¥§−® § ¬¥â¨âì, çâ®

 ∂  pi = θ . ∂xi z ‚ ç áâ−®áâ¨, ¥á«¨ θ = dz f, â® n  ∂   ∂f ∂f θ (z) ¨, §− ç¨â, dz f = (z)dz xi . = ∂xi z ∂xi ∂xi i=1

â  ä®à¬ã«  ®¯à ¢¤ë¢ ¥â ¢¢¥¤¥−−ãî â¥à¬¨−®«®£¨î ¨ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢á直© ª®¢¥ªâ®à θ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥− ¢ ¢¨¤¥

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

155

θ = dz f. ˆâ ª, ª á â¥«ì−ë¥ ¢¥ªâ®àë ¢ ¤ −−®© â®çª¥ ¨áç¥à¯ë¢ îâáï ¤¨ää¥à¥−樠« ¬¨ äã−ªæ¨© ¢ í⮩ â®çª¥. 9.23. ‚á类¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥
: M → N ¯®à®¦¤ ¥â «¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ∗ dz
∗ : T
(z) N → Tz∗ M,

ᮯà殮−−®¥ «¨−¥©−®¬ã ®â®¡à ¦¥−¨î dz
: Tz M → T
(z) N. …᫨ ξ ∈ Tz M ¨ g ∈ C ∞ (N), â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î dz
∗(d
(z) g)(ξ) = d
(z) g(dz
(ξ))       = dz
(ξ) (g) = ξ
∗ (g) = dz
∗ (g) (ξ). â® ®§− ç ¥â, çâ® dz
∗ (d
(z) g) = dz
∗ (g). ‡ ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¢ ®¡®§− ç¥−¨ïå ¯. 9.16 ¬ âà¨æ  ®â®¡à ¦¥−¨ï dz
∗ ®â−®á¨â¥«ì−® ¡ §¨á®¢ {dz xi } ¨ {d
(z) yj } ¢ Tz∗M ∗ ¨ T
(z) N ᮮ⢥âá⢥−−® ï¥âáï âà −ᯮ−¨à®¢ −−®© ¬ âà¨æ¥© & ∂y & & i & (z)&. Ÿª®¡¨ Jz = & ∂xj 9.24. ®áâ஥−¨¥ ᯥ樠«ì−ëå ª àâ −  T ∗M ¯à®¢®¤¨âáï  − «®£¨ç−® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« −® ¢ëè¥ ¤«ï T M. ‚¬¥á⮠᢮©á⢠I { IV ¯. 9.18 ¯à¨ í⮬ ¨á¯®«ì§ãîâáï á«¥¤ãî騥 ä ªâë. I. ‚á直© ¤¨ä䥮¬®à䨧¬
: M → N ¯®à®¦¤ ¥â ¡¨¥ªæ¨î
∗ : T ∗ M → T ∗N,

Tz∗M  θ → (dz
∗ )−1 (θ).

II. …᫨ W ⊂ Rn | ®âªàëâ ï ®¡« áâì, â® T ∗W = W × Rn ⊂ Rn × Rn = R2n, ¨ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ T ∗W = W × Rn ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® ¯à ¢¨«ã T ∗W  θ ⇐⇒ (z1, . . . , zn, p1 , . . . , pn ), n £¤¥ z = (z1, . . . , zn), θ = i=1 pi dz xi ¨ (xi) | áâ −¤ àâ−ë¥ n ª®®à¤¨− âë ¢ R .

156

ƒ« ¢  9

ãáâì ⥯¥àì (U, x) | −¥ª®â®à ï ª àâ  −  M ¨ W = x(U) ⊂ Rn . …áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ Tz U ¨ Tz M ¯® ¤¢®©á⢥−−®á⨠¯®§¢®«ï¥â ®â®¦¤¥á⢨âì Tz∗U ¨ Tz∗M, çâ®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¯à¨¢®¤¨â ª ®â®¦¤¥á⢫¥−¨î T ∗U ¨ πT−1∗ (U). âá, á ãç¥â®¬ II, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ᯥ樠«ì−ãî ª àâã (πT−1∗ (U), T ∗x) −  T ∗M. ‡¤¥áì ç¥à¥§ T ∗x ®¡®§− ç¥−  á¨á⥬  ª®®à¤¨− â−ëå äã−ªæ¨© {xi , pj }, £¤¥ xi ¤«ï (z, θ) ∈ T ∗U ¥áâì i-ï ª®®à¤¨− â  â®çª¨ z,   pj | j-ï ª®¬¯®−¥−â  ¢ à §«®¦¥−¨¨ ª®¢¥ªâ®à  θ ¯® ¡ §¨áã dxi . def …᫨ A = {(Uk , xk )} |  â« á −  M, â® T ∗A = {(πT−1∗ (Uk ), T ∗xk )} |  â« á (à §¬¥à−®á⨠2n) −  T ∗M. …᫨  â« áë A1 ¨ A2 −  M ᮣ« á®¢ −ë, ⮠ᮣ« á®¢ −ë ¨  â« áë T ∗A1 ¨ T ∗A2. ‚¢¨¤ã í⮣®  â« á T ∗A ®¯à¥¤¥«ï¥â −  T ∗M áâàãªâãàã £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, −¥ § ¢¨áïéãî ®â ¢ë¡®à  ª®−ªà¥â−®£®  â« á  A. ®«ãç¥−−®¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ £« ¤ª®¥ 2n-¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ T ∗M − §ë¢ ¥âáï ª®ª á â¥«ì−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ πT ∗ : T ∗ M → M ï¥âáï £« ¤ª¨¬. −® − §ë¢ ¥âáï ª®ª á â¥«ì−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M. 9.25. ‚á猪ï äã−ªæ¨ï f ∈ C ∞ (M) ¯®à®¦¤ ¥â £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ sdf : M → T ∗ M, sdf (z) = dz (f). â® ®â®¡à ¦¥−¨¥ å à ªâ¥à−® ⥬, çâ® ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ M ᮯ®áâ ¢«ï¥â â®çªã ¢ à áâã饬 − ¤ −¥© á«®¥ πT−1∗ (z) = Tz∗M ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï. ⮡ࠦ¥−¨ï â ª®£® த  − §ë¢ îâáï á¥ç¥−¨ï¬¨.
®«¥¥ ¯®¤à®¡−® íâ® ¯®−ï⨥ ®¡á㦤 ¥âáï ¢ á«¥¤ãîé¨å £« ¢ å, á¬. ¯¯. 10.12 ¨ 11.7. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ sdf ¢ ᯥ樠«ì−ëå «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å. 9.26. ⮡ࠦ¥−¨¥
: M → N ¯®à®¦¤ ¥â ᥬ¥©á⢮ ®â®∗ ¡à ¦¥−¨© dz
∗ : T
(z) N → Tz∗M, á¢ï§ë¢ îé¨å ª®ª á â¥«ì−ë¥

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

157

¯à®áâà −á⢠ ®â¤¥«ì−ëå â®ç¥ª ¬−®£®®¡à §¨© M ¨ N. ’¥¬ −¥ ¬¥−¥¥, íâ® −¥ ¯®§¢®«ï¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯®áâநâì ®â®¡à ¦¥−¨¥ ª®ª á â¥«ì−ëå ¬−®£®®¡à §¨© T ∗N → T ∗M, ᢮¤ï饥áï ª dz
∗ ∗ ¯à¨ ®£à −¨ç¥−¨¨ −  T
(z) M. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯®¤®¡−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ⮣¤ , ª®£¤ 
ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©, ¨ ®−® ï¥âáï £« ¤ª¨¬, ⮫쪮 ¥á«¨
| ¤¨ä䥮¬®à䨧¬. …᫨ dim M = dim N = n ¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥
: M → N ॣã«ïà−® ¢® ¢á¥å â®çª å ¬−®£®®¡à §¨ï M, â. ¥. ¢á¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ë áãâì ¨§®¬®à䨧¬ë, â® ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ T ∗M → T ∗N, ú− ªà뢠î饥û
¨ ᢮¤ï饥áï ª (dz
∗ )−1 ¯à¨ ®£à −¨ç¥−¨¨ −  Tz∗M. ⮡ࠦ¥−¨¥
∗ , à áᬮâà¥−−®¥ ¢ ¯. 9.24, ¥áâì ¥£® ç áâ−ë© á«ãç ©. 9.27. ‡ ¬¥ç â¥«ì−®, çâ® ª®ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ Tz∗M ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨ ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ᯮᮡ®¬, ª ª íâ® ¯à¨−ïâ® ¢  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ. ãáâì µz | ¨¤¥ «, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢á¥å äã−ªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ z: µz = {f ∈ C ∞(M) | f(z) = 0}. def

।«®¦¥−¨¥. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ¥áâ¥á⢥−−ë© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã Tz∗M ¨ ä ªâ®à¯à®áâà −á⢮¬ µz /µ2z .
 áᬮâਬ ä ªâ®à «£¥¡àã Jz1 M = C ∞ (M)/µ2z def

¨ ®â®¡à ¦¥−¨¥ dz : Jz1 M → Tz∗M,

dz ([f]) = dz f,

£¤¥ f ∈ C ∞ (M) ¨ [f] = f mod µ2z . ’ ª ª ª dz f = 0, ¥á«¨ z ∈ µ2z (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ ¨§ ¯. 9.22), â® íâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−®. 祢¨¤−®, ®−® R-«¨−¥©−® ¨ áîàꥪ⨢−®, ¯®áª®«ìªã (á¬. ¯. 9.22) ¢á直© ª®¢¥ªâ®à θ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥− ª ª ¤¨ää¥à¥−樠« −¥ª®â®à®© äã−ªæ¨¨, θ = dz f.

158

ƒ« ¢  9

 §«®¦¥−¨¥  «£¥¡àë C ∞(M) ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠫¨−¥©−ëå ¯à®áâà −á⢠C ∞ (M) = R ⊕ µz ,

f = f(z) + (f − f(z)),

¯®à®¦¤ ¥â ¯àאַ¥ à §«®¦¥−¨¥ Jz1M = R ⊕ µz /µ2z .

(9.9)

‚¢¨¤ã ã¯à ¦−¥−¨ï ¨§ ¯. 9.22 ®â®¡à ¦¥−¨¥ dz  −−㫨àã¥â ¥£® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, «¥¬¬  ¤ ¬ à  2.8 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥á«¨ f ∈ µz ¨ dz f = 0, â® f ∈ µ2z . ®í⮬㠮£à −¨ç¥−¨¥ dz −  µz /µ2z ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬.  ‘«¥¤á⢨¥. dim Jz1M = n + 1.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¤®ª § −−®¥ ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥¯¨á âì à ¢¥−á⢮ (9.9) ¢ ¢¨¤¥ Jz1M = R ⊕ Tz∗M.



Jz1 M,

9.28. ” ªâ®à «£¥¡à  ®ª § ¢è ïáï ¯®«¥§−®© ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï ¨§ ¯. 9.27, ï¥âáï, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢¯®á«¥¤á⢨¨, ®¤−®© ¨§ ¢ ¦−¥©è¨å ª®−áâàãªæ¨© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¨ − §ë¢ ¥âáï  «£¥¡à®© ¤¦¥â®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  (¨«¨ 1-¤¦¥â®¢)  «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© C ∞ (M) ¢ â®çª¥ z ∈ M. ¡ê¥¤¨−¥−¨¥ ' J 1M = Jz1 M z∈M

− ¤¥«ï¥âáï ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï, ¯®¤®¡−® ⮬㠪 ª íâ® ¡ë«® ᤥ« −® ¢ëè¥ ¤«ï T ∗M. “¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥¤¨â¥ ¢ ¤¥â «ïå ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®áâ஥−¨ï. ¯¨è¨â¥, ª ª®¢ë ᯥ樠«ì−ë¥ «®ª «ì−ë¥ ª®®à¤¨− âë −  J 1M. Œ−®£®®¡à §¨¥ J 1M − §ë¢ ¥âáï ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¤¦¥â®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¬−®£®®¡à §¨ï M. ®¤®¡−® ª á â¥«ì−ë¬ ¨ ª®ª á â¥«ì−ë¬ ¬−®£®®¡à §¨ï¬ J 1M à áá« ¨¢ ¥âáï − ¤ M ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¥áâ¥á⢥−−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï πJ 1 : J 1M → M,

πJ 1 ([f]1z ) = z,

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

159

£¤¥ [f]1z ®¡®§− ç ¥â ®¡à § äã−ªæ¨¨ f ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ C ∞ (M) → Jz1M. ®¤®¡−® πT ¨ πT ∗ (á¬. ¯¯. 9.19 ¨ 9.24 ᮮ⢥âá⢥−−®) ®â®¡à ¦¥−¨¥ πJ 1 â ª¦¥ ï¥âáï ¢¥ªâ®à−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ − ¤ M. …£® á«®¨ ¨¬¥îâ à §¬¥à−®áâì (n + 1). ‘® ¢á类© äã−ªæ¨¥© f ∈ C ∞ (M) ¬®¦−® á¢ï§ âì £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ sj1 f : M → J 1 M, sj1 f (z) = [f]1z , ïî饥áï á¥ç¥−¨¥¬ à áá«®¥−¨ï πJ 1 . ⮡ࠦ¥−¨¥ πJ 1 ,T ∗ : J 1M → T ∗M,

πJ 1 ,T ∗ ([f]1z ) = dz f,

á¢ï§ë¢ î饥 ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¬−®£®®¡à §¨ï 1-¤¦¥â®¢ ¨ ª®ª á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, ï¥âáï ®¤−®¬¥à−ë¬ ¢¥ªâ®à−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ − ¤ T ∗M. Œ−®£®®¡à §¨¥ J 1M § ¬¥ç â¥«ì−® ⥬, çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯®áâநâì ¨áç¥à¯ë¢ îéãî ⥮à¨î ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå á ®¤−®© −¥¨§¢¥áâ−®©. ਠí⮬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ãà ¢−¥−¨ï ¨−â¥à¯à¥â¨àãîâáï ª ª ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï ¢ J 1M. ’¥®à¥¬  ® ª á â¥«ì−®¬ ¢¥ªâ®à¥ ¯®§¢®«¨«  ᤥ« âì ¯¥à¢ë© è £ ¢ ®á¬ëá«¥−¨¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ª ª  á¯¥ªâ  ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë. Œë ᤥ« ¥¬ á«¥¤ãî騩, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¯®−ï⨥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ª ᯥªâà㠯ந§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë. ˆâ ª, ¯ãáâì A | ¯à®¨§¢®«ì− ï ã−¨â à− ï ª®¬¬ãâ â¨¢− ï K- «£¥¡à . ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ |A| K-ᯥªâà  «£¥¡àë, â. ¥. ᮢ®ªã¯−®áâì ¢á¥å (ã−¨â à−ëå) K-£®¬®¬®à䨧¬®¢ ¨§ A ¢ K. 9.29. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ⮡ࠦ¥−¨¥ ξ : A → K − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¨«¨ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬ ¢ â®çª¥ h ∈ |A|, ¥á«¨ ®−® 1) K-«¨−¥©−®, â. ¥. k k    λj fj = λj ξ(fj ), λj ∈ K, fj ∈ A; ξ j=1

j=1

160

ƒ« ¢  9

2) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à ¢¨«ã ‹¥©¡−¨æ  ¢ â®çª¥ h, â. ¥. ξ(fg) = f(h)ξ(f) + g(h)ξ(f),

f, g ∈ A.

â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢ á«ãç ¥ K = R ¨ A = C ∞ (M) ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯à¥¤¥«¥−¨¥¬ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ª ¬−®£®®¡à §¨î M (= |A|) ¢ â®çª¥ z ∈ M. —⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¤®áâ â®ç−® ¢á¯®¬−¨âì ¯à® ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ M = |C ∞ (M)| ¨ ¯à®¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì z ª ª £®¬®¬®à䨧¬ hz : f → f(z), f ∈ C ∞(M).   ¬−®¦¥á⢥ ¢á¥å ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¥áâ¥á⢥−−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï áâàãªâãà  K-¬®¤ã«ï (¢¥ªâ®à−®£® ¯à®áâà −á⢠ − ¤ K, ¥á«¨ K | ¯®«¥): def 1. (ξ1 + ξ2 )(a) = ξ1 (a) + ξ2 (a), a ∈ A; def 2. (kξ)(a) = kξ(a), k ∈ K, a ∈ A. ¡®§− ç¨¬ íâ®â K-¬®¤ã«ì ç¥à¥§ Th A. …᫨ K = R ¨ A = C ∞ (M), â® ¯à¨ 㪠§ −−®¬ ¢ëè¥ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¨ â®çª¨ z ∈ M á K-£®¬®¬®à䨧¬®¬ hz ¯à®áâà −á⢮ Tz M ¡ã¤¥â ¨¤¥−â¨ç−® Thz A. ‡ ¬¥ç −¨¥. ‚  «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ à áᬠâਢ îâáï á ¬ë¥ à §−ë¥ á¯¥ªâàë  «£¥¡à: ¬ ªá¨¬ «ì−ë¥, ¯à®áâë¥ (¨ ¤à㣨¥). ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¯®−¨¬ ï ᨬ¢®« h ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ®¯à¥¤¥«¥−¨¨, ç¨â â¥«ì «¥£ª® ᬮ¦¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®−ï⨥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ¨ ¤«ï â®ç¥ª íâ¨å ᯥªâ஢. 9.30. Š®ª á â¥«ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ ª ᯥªâà ¬ ª®¬¬ãâ â¨¢−ëå  «£¥¡à. ।«®¦¥−¨¥ 9.27, ¢ëïï ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áªãî ¯à¨à®¤ã ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï, 㪠§ë¢ ¥â, ª ª ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì ª®ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ª ᯥªâàã |A| ¯à®¨§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®© K- «£¥¡àë A ¢ −¥ª®â®à®© ¥£® â®çª¥ h ∈ |A|. ˆ¬¥−−®, ¯®«®¦¨¬ Th∗A = µh /µ2h , def

(9.10)

£¤¥ µh ¥áâì ï¤à® £®¬®¬®à䨧¬  K- «£¥¡à h : A → K. ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î Th∗A ï¥âáï K-¬®¤ã«¥¬. ‚ ¦−ãî ஫ì í⮣® ¯®−ïâ¨ï ¨««îáâà¨àã¥â á«¥¤ãî饥

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

161

।«®¦¥−¨¥. „«ï «î¡®© K- «£¥¡àë A ®¯à¥¤¥«¥−  ¥áâ¥á⢥−− ï áîàꥪæ¨ï K-¬®¤ã«¥© νh : HomK (Th∗A, K) → Th A.

(9.11)

…᫨ K | ¯®«¥, â® νh ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬.
‡ ¬¥â¨¬ á− ç « , çâ® ¢á类¥ K-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : Th∗ A → K ¯®à®¦¤ ¥â ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξϕ ∈ Th A,

ξϕ (a) = ϕ([a − h(a) · 1A ]),

£¤¥ [b] = b mod µ2h . (“¡¥¤¨â¥áì ¢ í⮬.) ‘®®â¢¥âá⢨¥ ϕ → ξϕ , ®ç¥¢¨¤−®, ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ K-¬®¤ã«¥© νh : HomK (Th∗A, K) → Th A. ⮡ࠦ¥−¨¥ νh áîàꥪ⨢−®. „¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì ξ ∈ Th A.  áᬮâਬ K-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕξ : Th∗A → K,

ϕξ ([a]) = ξ(a),

a ∈ µh .

ˆ§ ¯à ¢¨«  ‹¥©¡−¨æ  á«¥¤ã¥â, çâ® ξ(µ2h ) ⊂ µh , â ª çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕξ ®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−®. 祢¨¤−®, νh (ϕξ ) = ξ. …᫨ K | ¯®«¥, â® νh ï¥âáï â ª¦¥ ¨−ꥪ樥©. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ⥯¥àì a, b ∈ µh ¨ [a] = [b]. ’ ª ª ª K | ¯®«¥, â® ¢á¥£¤  ¬®¦−® − ©â¨ «¨−¥©−ãî äã−ªæ¨î ϕ −  ¢¥ªâ®à−®¬ (− ¤ K) ¯à®áâà −á⢥ Th∗A, â ªãî, çâ® ϕ([a]) = ϕ([b]), â. ¥. ξϕ (a) = ξϕ (b).  9.31. —â®¡ë  «£¥¡à ¨§®¢ âì ¯®−ï⨥ ¤¨ää¥à¥−樠«  £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï, § ¬¥â¨¬, çâ® ¢á类¬ã (ã−¨â à−®¬ã) £®¬®¬®à䨧¬ã K- «£¥¡à F : A1 → A2 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨å K-ᯥªâ஢ |F | : |A2| → |A1|,

|A2|  h → h ◦ F ∈ |A1|.

…᫨ ¯à¨ í⮬ ξ ∈ Th (A1), â® ®â®¡à ¦¥−¨¥ def

dh |F |(ξ) = ξ ◦ F : A1 → K ï¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ª ¯à®áâà −áâ¢ã |A1| ¢ â®çª¥ |F |(h) = h ◦ F . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ K-«¨−¥©−®¥

162

ƒ« ¢  9

(¤®ª ¦¨â¥ íâ®) ®â®¡à ¦¥−¨¥ dh |F | : Th (A1) → Th◦F (A2 ). …᫨ F = ϕ∗ , £¤¥ ϕ : M2 → M1 | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, ¨ Ai = C ∞ (Mi ), i = 1, 2, â® ¤¨ää¥à¥−樠«ë dh ϕ ¨ dh |F | ᮢ¯ ¤ îâ. 9.32. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. „®ª ¦¨â¥, çâ® TidK K = 0, £¤¥ idk : K → K | ¥¤¨−á⢥−− ï â®çª  K-ᯥªâà  K. 2. ãáâì i : K → A, k → k · 1A , | ª −®−¨ç¥áª®¥ ¢«®¦¥−¨¥ ¨ ξ ∈ Th A. „®ª ¦¨â¥, çâ® ξ Im i = 0, â. ¥. çâ® ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ ¢ â®çª¥ ¯¥à¥¢®¤¨â ª®−áâ −âë ¢ −ã«ì. 3. ãáâì F : A1 → A2 | í¯¨¬®à䨧¬ K- «£¥¡à. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ h ∈ |A2| ®â®¡à ¦¥−¨¥ dh |F | ¥áâì ¬®−®¬®à䨧¬. 4. ãáâì C 0M |  «£¥¡à  ¢á¥å −¥¯à¥àë¢−ëå äã−ªæ¨© −  M. „®ª ¦¨â¥, çâ® Tz (C 0M) = 0 ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M. 9.33. „®á⮨−á⢠  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤  ª ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ã ¨áç¨á«¥−¨î ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¤¥¬®−áâà¨à®¢ −ë 㦥 ᥩç á, å®âï ¬ë ¥é¥ −¥ ¯à®¤¢¨−㫨áì ¤ «ìè¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à . ‘ª ¦¥¬, ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ª á â¥«ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ ¬−®£®®¡à §¨© á ®á®¡¥−−®áâﬨ ¨ ¤ ¦¥ ¯à®¨§¢®«ì−ëå £« ¤ª¨å ¬−®¦¥á⢠¨ ¯®«ãç¨âì ¡« £®¤ àï í⮬㠯à®á⥩訥 ¨−¢ à¨ −âë ®á®¡ëå â®ç¥ª. ¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë í⮣® ¤ −ë −¨¦¥. ‘«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥−¨¥, ¤®ª § â¥«ìá⢮ ª®â®à®£® ¤®á«®¢−® ¯¥à¥−®á¨âáï ¨§ ¯. 9.9, ¡ã¤¥â ¢¥á쬠 ¯®«¥§−® ¯à¨  − «¨§¥ íâ¨å ¯à¨¬¥à®¢. Œë ¨á¯®«ì§ã¥¬ −¨¦¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¨ ®¡®§− ç¥−¨ï ¯¯. 3.23{3.25. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì F | ¯à®¨§¢®«ì− ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  ¨ U ⊂ |F | | ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮. ’®£¤  £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï ρU : F → F U ¨−¤ãæ¨àã¥â ¨§®¬®à䨧¬ dh (ρU ) : Th (F U ) → TρU ◦h (F ), h ∈ |F U |. 

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

163

 §ã¬¥¥âáï,  − «®£¨ç−®¥ ã⢥ত¥−¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−ëå K- «£¥¡à. ®¯à®¡ã©â¥ ¤®ª § âì íâ® á ¬®áâ®ï⥫ì−®. 9.34. “¯à ¦−¥−¨ï. 1.  áᬮâਬ ¯®«ãªã¡¨ç¥áªãî ¯ à ¡®«ã W = {(x, y) ∈ R2 | y 2 = x3 }. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®áâà −á⢮ Tz W ¤¢ã¬¥à−® ¤«ï z = (0, 0) ¨ ®¤−®¬¥à−® ¢® ¢á¥å ®áâ «ì−ëå â®çª å. âá, ®ç¥¢¨¤−®, á«¥¤ã¥â, çâ®  «£¥¡à  C ∞(W ) = C ∞ (R2)/(y 2 − x3)C ∞ (R2 ) −¥ ï¥âáï £« ¤ª®© (áà ¢−¨ á 4.16). 2. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥à £« ¤ª®£® ¬−®¦¥á⢠, ã ª®â®à®£® ª á â¥«ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ ®¤−®¬¥à−ë ¢® ¢á¥å â®çª å, ªà®¬¥ ®¤−®©, £¤¥ ®−® 3-¬¥à−®. 9.35. ਬ¥à. ãáâì K | ª®®à¤¨− â−ë© ªà¥áâ −  ¯«®áª®áâ¨: K = {(x, y) ⊂ R2 | xy = 0} ¨ F = C ∞ (K) = C ∞(R2 ) K |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  K. ¯¨è¥¬ Tz C ∞ (K) ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª z ∈ K. «¥¬¥−âë  «£¥¡àë C ∞ (K) ¬®¦−® ¯®−¨¬ âì ª ª ¯ àë (f(x), g(y)) £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ©, â ª¨å, çâ® f(0) = g(0). ˆ− ç¥ £®¢®àï, C ∞ (K) = {(f(x), g(y)) | f(0) = g(0)}. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®© −¥®á®¡®© â®çª¨ −  ªà¥áâ¥, â. ¥. â®çª¨ ¢¨¤  (x, 0), £¤¥ x = 0, ¨«¨ (0, y), £¤¥ y = 0, ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ®¤−®¬¥à−®. ãáâì, ᪠¦¥¬, z = (x, 0), x = 0 ¨ U = {(x , 0) | xx > 0}. ’®£¤  U ®âªàëâ® ¢ K = |F | ¨, §− ç¨â, ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.33¬ë ¨¬¥¥¬ Tz F = Tz F U . áâ «®áì ¨§ ¯. § ¬¥â¨âì, çâ® F U = C ∞ (R1+ ) = C ∞ (R1 ). ‚ ª ç¥á⢥ ¡ §¨á−®£® ¢¥ªâ®à  ¤«ï ¯à®áâà −á⢠¢¨¤  T(x,0) ¬®¦−® ¢§ïâì ®¯¥à â®à d d df (x), , (f(x), g(y)) = dx (x,0) dx (x,0) dx   ¤«ï ª á â¥«ì−ëå ¯à®áâà −á⢠¢¨¤  T(0,y) | ®¯¥à â®à d d dg , (f(x), g(y)) = (y). dy (0,y) dy (0,y) dy

164

ƒ« ¢  9

 áᬮâਬ ⥯¥àì â®çªã (0, 0). 祢¨¤−®, ®¯¥à â®àë d d ¨ dx (0,0) dy (0,0) ¡ã¤ãâ ª á â¥«ì−묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ í⮩ â®çª¥. −¨ «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ë, ¯®í⮬㠯à®áâà −á⢮ T(0,0) ¯® ªà ©−¥© ¬¥à¥ ¤¢ã¬¥à−®. ®áª®«ìªã ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®£à −¨ç¥−¨ï τ : C ∞ (R2 ) → C ∞ (K) ¥áâì í¯¨¬®à䨧¬, ⮠ᮣ« á−® § ¤ ç¥ 3 ¯ã−ªâ  9.32 ®â®¡à ¦¥−¨¥ d(0,0)τ : T(0,0)(C ∞ (K)) → T(0,0)(C ∞(R2 )) = R2 −¥ ¨¬¥¥â ï¤à , â ª çâ® ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ T(0,0)(C ∞ (K)) ¨§®¬®àä−® R2. ˆâ ª, ú®á®¡®áâìû â®çª¨ (0, 0) ∈ K ¯à®ï¢«ï¥âáï, ¢ ç áâ−®áâ¨, ¢ ⮬, çâ® à §¬¥à−®áâì ª á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ ¢ −¥© ¡®«ìè¥, 祬 ¤«ï ú−®à¬ «ì−ëåû â®ç¥ª. ®¤ç¥àª−¥¬, çâ® áâ −¤ àâ−ë© ª®®à¤¨− â−ë© ¯®¤å®¤ −¥ ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ª á â¥«ì−ë¥ ¢¥ªâ®àë ¢ â®çª¥ (0, 0). …᫨ ¦¥ ¯®−¨¬ âì ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ª ª ª« áá íª¢¨¢ «¥−â−ëå ªà¨¢ëå, â® −  ¬−®¦¥á⢥ ª á â¥«ì−ëå ª K ¢¥ªâ®à®¢ ¢ í⮩ â®çª¥ −¥«ì§ï ¢¢¥á⨠áâàãªâãàã «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠. 9.36. “¯à ¦−¥−¨ï. ãáâì W ⊂ Rn | £« ¤ª®¥   ¬−®¦¥á⢮. ∞ ∞ n ¯®¬−¨¬, çâ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î C (W ) = {f W | f ∈ C (R )}.  ©¤¨â¥ Tz W ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª z ∈ W ¢ á«¥¤ãîé¨å á«ãç ïå (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 7.14).  1. W ⊂ R2 § ¤ ¥âáï ãà ¢−¥−¨¥¬ y = |x|. 2. W | âà¥ã£®«ì−¨ª ¢ R2 : W = W1 ∪ W2 ∪ W3 , £¤¥ W1 = {(x, y) | 0  y  1, x = 0}, W2 = {(x, y) | 0  x  1, y = 0}, W3 = {(x, y) | x + y = 1, x, y  0}. 3. W | âà¥ã£®«ì−¨ª, ®¯¨á −−ë© ¢ § ¤ ç¥ 2, ¢¬¥áâ¥ á ¢−ãâà¥−−¥© ®¡« áâìî: W = {(x, y) | x + y  1, x, y  0}. 4. W | ª®−ãá x2 + y 2 = z 2 ¢ R3 .

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

165

5. W = Wi , i = 1, 2, 3, | ®¤¨− ¨§ âà¥å ®¤−®¬¥à−ëå £®¬¥®¬®àä−ëå ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¯®«¨í¤à®¢, ¨§®¡à ¦¥−−ëå −  à¨á. 7.1. ¡êïá−¨â¥, ¯®ç¥¬ã  «£¥¡àë C ∞ (Wi ), i = 1, 2, 3, ¯®¯ à−® −¥¨§®¬®àä−ë. 6. W ⊂ R2 | § ¬ëª −¨¥ £à ä¨ª  äã−ªæ¨¨ y = sin x1 . 9.37. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì dim Tz W = 0, £¤¥ W | £« ¤ª®¥ ¬−®¦¥á⢮. „®ª ¦¨â¥, çâ® z ï¥âáï ¨§®«¨à®¢ −−®© â®çª®© W . â® ã⢥ত¥−¨¥, ®¤− ª®, −¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−ëå  «£¥¡à. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥à  «£¥¡àë F â ª®©, çâ® |F |  R, −® dim Tz F = 0 ¤«ï ¢á¥å z ∈ |F |. Œ®¦¥â¥ «¨ ¢ë ¯®áâநâì  «£¥¡àã F á ¤¢®©á⢥−−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ |F |  R â ªãî, çâ® dim Tz F = 2 ¤«ï −¥ª®â®à®© â®çª¨ z ∈ |F |?  â ªãî, çâ® dim Tz F = 2¤«ï ¢á¥å z ∈ |F |? 9.38.
®«¥¥ á«®¦−ë¥ ®¡ê¥ªâë ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ª®â®àë¥ ¬®¦−® ᪮−áâàã¨à®¢ âì ¨§ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢, | íâ® ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï.  £«ï¤−®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¥ ® ¢¥ªâ®à−®¬ ¯®«¥ − ¬ ¤ îâ ¬−®£®ç¨á«¥−−ë¥ á¨«®¢ë¥ ¯®«ï, ¢áâà¥ç î騥áï ¢ 䨧¨ª¥ ¨ ¬¥å −¨ª¥, ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¤¢¨¦ã饩áï ᯫ®è−®© áà¥¤ë ¨ â. ¯. ú®«¥û áâ५®ª −  ¬¥â¥®à®«®£¨ç¥áª®© ª à⥠¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¤¢¨¦ãé¨åáï ¢®§¤ãè−ëå ¬ áá. ®¯ëâ ¥¬áï ä®à¬ «¨§®¢ âì íâ® ¯®−ï⨥ ¢ ⮬ ¦¥ ¤ãå¥, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« −® á ª á â¥«ì−묨 ¢¥ªâ®à ¬¨. ¥à¢ë© è £ ¢ í⮬ − ¯à ¢«¥−¨¨ ®ç¥¢¨¤¥−: ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M | í⮠ᥬ¥©á⢮ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ {Xz }z∈M , £¤¥ Xz ∈ Tz M. ‚ â¥à¬¨− å  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå C ∞ (M) íâ® ®§− ç ¥â, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ᥬ¥©á⢮¬ ®¯¥à â®à®¢ Xz : C ∞ (M) → R,

z ∈ M.

‚ ç áâ−®áâ¨, ¯®¤®¡−®¥ ᥬ¥©á⢮ ®¯¥à â®à®¢ ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª ¦¤®© äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞(M) ᥬ¥©á⢮ ç¨á¥« {Xz (f), z ∈ M}, ª®â®à®¥ 䨧¨ª − §¢ « ¡ë ᪠«ïà−ë¬ ¯®«¥¬,   ¬ â¥¬ â¨ª ¯à®áâ® äã−ªæ¨¥© −  M. ¡®§− ç¨¢ íâã äã−ªæ¨î X(f), ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î ¯®«ãç ¥¬ def X(f)(z) = Xz (f), z ∈ M.

166

ƒ« ¢  9

‚ íâ¨å ®¡®§− ç¥−¨ïå áâ −®¢¨âáï ïá−®, çâ® á«®¢  ú¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥û á«¥¤ã¥â ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª −¥ª®â®àãî ®¯¥à æ¨î −   «£¥¡à¥ C ∞(M): X : C ∞ (M) →?, £¤¥ ¢®¯à®á¨â¥«ì−ë© §− ª ®§− ç ¥â −¥ª®â®àãî ᮢ®ªã¯−®áâì äã−ªæ¨© −  M. Œë ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ä®à¬ «¨§ã¥¬ ¨¤¥î £« ¤ª®á⨠¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï X, ¯®«®¦¨¢ ? = C ∞ (M), â. ¥. ¯®âॡ®¢ ¢, ç⮡ë X(f) ∈ C ∞ (M) ¤«ï «î¡®© äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞ (M). ˆâ ª, £« ¤ª®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ X −  M ï¥âáï ®¯¥à â®à®¬, ¤¥©áâ¢ãî騬 −  C ∞ (M): X : C ∞ (M) → C ∞ (M). ‚¢¨¤ã R-«¨−¥©−®á⨠®â®¡à ¦¥−¨© Xz , úá®áâ ¢«ïîé¨åû ®¯¥à â®à X, ¯®á«¥¤−¨© â ª¦¥ ï¥âáï R-«¨−¥©−ë¬.
®«¥¥ ⮣®, ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ  ¢ â®çª¥ z ¤«ï ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  Xz ¯®§¢®«ï¥â ã¡¥¤¨âìáï, çâ® X(fg)(z) = Xz (fg) = Xz (f)g(z) + f(z)Xz (g)     = X(f)(z) g(z) + f(z) X(g)(z) = [X(f)g + fX(g)](z), â. ¥. ¤«ï ®¯¥à â®à  X ¢ë¯®«−¥−® ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ  X(fg) = X(f)g + fX(g),

f, g ∈ C ∞ (M).

(9.12)

‘ª § −−®¥ á«ã¦¨â ¬®â¨¢¨à®¢ª®© á«¥¤ãî饣® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. R-«¨−¥©−ë© ®¯¥à â®à X, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¯à ¢¨«ã ‹¥©¡−¨æ  (9.12), − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª¨¬ ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M. (‚áî¤ã −¨¦¥ á«®¢® ú£« ¤ª¨©û ¡ã¤¥â ®¯ã᪠âìáï, ¯®áª®«ìªã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® ⮫쪮 á £« ¤ª¨¬¨ ¢¥ªâ®à−묨 ¯®«ï¬¨.) 9.39. „ −−®¥ − ¬¨ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï áä®à¬ã«¨à®¢ −® ¢ â¥à¬¨− å ®á−®¢−®©  «£¥¡àë C ∞ (M) ¨ ¢¯®«−¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à¨−樯ã − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨.
®«¥¥ ⮣®, ¬ë ⥯¥àì ¬®¦¥¬ a posteriori ®¯à ¢¤ âì ¨á¯®«ì§®¢ −¨¥ á«®¢ ú¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥û ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨,  áá®æ¨¨à®¢ ¢ á ª ¦¤ë¬ ¢¥ªâ®à−ë¬

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

167

¯®«¥¬ X ᥬ¥©á⢮ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ {Xz ∈ Tz M}z∈M . ˆ¬¥−−®, ¯®«®¦¨¢ Xz (f) = X(f)(z),

z ∈ M,

(9.13)

¬ë «¥£ª® ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ®¯à¥¤¥«¥−−ë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ®â®¡à ¦¥−¨ï Xz : C ∞ (M) → R ïîâáï R-«¨−¥©−묨 ¨ 㤮¢«¥â¢®àïî⠯ࠢ¨«ã ‹¥©¡−¨æ  ¢ â®çª¥ z, â. ¥. ïîâáï ª á â¥«ì−묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ â®çª¥ z. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥ íâ®. 9.40. ।«®¦¥−¨¥. (‹®ª «¨§ã¥¬®áâì ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥©.)
ãáâì X | ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  M. …᫨ äã−ªæ¨¨ f, g ∈ C ∞ (M) ᮢ¯ ¤ îâ −  −¥ª®â®à®¬ ®âªàë⮬ ¬−®¦¥á⢥ U ⊂ M, â® äã−ªæ¨¨ X(f), X(g) â ª¦¥ ᮢ¯ ¤ îâ −  U.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¢¢¨¤ã «¥¬¬ë 9.8, Xz (f) = Xz (g) ¤«ï ¢á¥å z ∈ U. ‡− ç¨â, X(f)(z) = X(g)(z) ¤«ï ¢á¥å z ∈ U.  ˆ−â¥à¯à¥â æ¨ï ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï X ª ª ᥬ¥©á⢠ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯®§¢®«ï¥â á¢ï§ âì á −¨¬ á¥ç¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï sX : M → T M,

z → Xz ∈ Tz M ⊂ T M.

“¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥ çâ® ¢á类¥ (£« ¤ª®¥) á¥ç¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ sX , â ª çâ® ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï −  M ¯à¨ ¦¥« −¨¨ ¬®¦−® ¯®−¨¬ âì ª ª á¥ç¥−¨ï ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï. 9.41.  ¢¥−á⢮ (9.13) ¯®ª §ë¢ ¥â, ç⮠ᥬ¥©á⢮ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ {Xz }z∈M ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®à®¤¨¢è¥¥ ¨å ¯®«¥ X. ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì í⨬, ¬ë ¬®¦¥¬ ¡¥§ âà㤠 ¯®−ïâì, ª ª ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ X ®¯¨á뢠¥âáï ¢ â¥à¬¨− å «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â. „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ (U, x) | ª àâ  −  M ¨ z ∈ U, â® Xz , ª ª ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ¢ â®çª¥ z ∈ U, § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ¢¨¤¥ n  ∂ αi (z) (9.14) Xz = . ∂xi z i=1 ¡®§− ç¥−¨¥ αi (z) ¯®¤ç¥àª¨¢ ¥â, çâ® ª®®à¤¨− âë ¢¥ªâ®à  Xz § ¢¨áïâ ®â â®çª¨ z ∈ U, â. ¥. ïîâáï äã−ªæ¨ï¬¨ −  U.

168

ƒ« ¢  9

‚¢¨¤ã (9.13) ¨ (9.14) X(f)(z) = Xz (f) =

n 

αi (z)

i=1

â ª çâ® X(f) =

n "  ∂  # ∂f (f) (z), (z) = αi ∂xi ∂x i i=1

n 

αi

∂ (f), ∂xi

αi

∂ . ∂xi

i=1

¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, X=

n  i=1

∞

ਠí⮬ äã−ªæ¨¨ αi ∈ C (U). „¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì z ∈ U.  áᬮâਬ äã−ªæ¨î x“i ∈ C ∞ (M), ª®â®à ï ᮢ¯ ¤ ¥â á xi ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠xi ) ∈ V â®çª¨ z. ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î X(“ C ∞ (M). „ «¥¥, X(“ xi ) V = αi , ¯®áª®«ìªã x“i V = xi V , ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, αi ∈ C ∞ (V ). ®áª®«ìªã â®çª  z ∈ U ¯à®¨§¢®«ì− , íâ® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® αi | £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï −  U.

?

!! ¨á. 9.2.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

169

9.42. ®¢¥¤¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨ïå. ãáâì X | ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  M ¨ ϕ : M → N | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥. „¨ää¥à¥−樠«®¬ dz ϕ ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à Xz ®â®¡à ¦ ¥âáï ¢ ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à Yϕ(z) = dz ϕ(Xz ) ∈ Tϕ(z) N. ‘¥¬¥©á⢮ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ {Yϕ(z) }z∈M −¥ ®¡à §ã¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, −¨ª ª®£® ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï −  N. â® ¢¨¤−® ¨§ ⮣®, çâ® ¥á«¨ u ∈ N \ ϕ(M), â® ¢¥ªâ®à Yu −¥ ®¯à¥¤¥«¥−. …᫨ ¦¥ u ∈ ϕ(M), â® â®çª  u ¬®¦¥â ¨¬¥âì −¥áª®«ìª® ¯à®®¡à §®¢ ¨ ¯®í⮬㠢 ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à Yu ®¯à¥¤¥«¥− −¥®¤−®§− ç−® (á¬. à¨á. 9.2). ˆâ ª, ª ª ¯à ¢¨«®, ¯à¨ £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨ïå ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï −¥ ®â®¡à ¦ îâáï ¢¬¥áâ¥ á ¬−®£®®¡à §¨ï¬¨. ¤− ª® ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ë ïîâáï ¨áª«îç¥−¨¥¬ ¨§ ®¡é¥£® ¯à ¢¨«  ¨ ¥á«¨ ϕ | ¤¨ä䥮¬®à䨧¬, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï X ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥−® ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ã«ë Y = (ϕ−1 )∗ ◦ X ◦ ϕ∗. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. ஢¥àìâ¥, çâ® Y ¤¥©á⢨⥫ì−® ï¥âáï ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬. 2. „®ª ¦¨â¥, çâ® Yϕ(z) = dz ϕ(Xz ). ¨¦¥ (á¬. ¯. 9.47) ¡ã¤¥â ¯®ª § −®, çâ® ®¡à § ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï ¢á¥ ¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à §ã¬−ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¥−, ¥á«¨ − ¤«¥¦ é¨¬ ®¡à §®¬ ®¡®¡é¨âì ª®−楯æ¨î ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï. 9.43. „ −−®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï −  ¬−®£®®¡à §¨¨ ï¥âáï ç áâ−ë¬ á«ãç ¥¬ ®¡é¥©  «£¥¡à ¨ç¥áª®© ª®−楯樨 ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï, ª®â®à ï á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ãáâì A | ª®¬¬ãâ â¨¢− ï K- «£¥¡à . ¯à¥¤¥«¥−¨¥. K-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ – : A → A − §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬  «£¥¡àë A, ¥á«¨ ®−® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à ¢¨«ã ‹¥©¡−¨æ : –(ab) = a–(b) + b–(a) ∀ a, b ∈ A. ¡®§− ç¨¬ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨©  «£¥¡àë A ç¥à¥§ D(A). ãáâì –, ∇ ∈ D(A) ¨ a ∈ A. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®,

170

ƒ« ¢  9

– + ∇ ∈ D(A) ¨ a– ∈ D(A). ⨠®¯¥à æ¨¨ á− ¡¦ îâ D(A) ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன A-¬®¤ã«ï. ‚á类¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ K- «£¥¡àë A ¬®¦¥â ¡ëâì ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ −® ª ª ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  |A|. —⮡ë 㢨¤¥âì íâ®, ¤®áâ â®ç−® ¯¥à¥−¥á⨠ä®à¬ã«ã (9.13) −   «£¥¡à ¨ç¥áªãî á¨âã æ¨î. ãáâì – ∈ D(A) ¨ h ∈ |A|. ®«®¦¨¬ –h = h ◦ – : A → K. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, ®¯¥à â®à –h , ª ª ª®¬¯®§¨æ¨ï K-«¨−¥©−ëå ®¯¥à â®à®¢, â ª¦¥ K-«¨−¥¥− ¨ –h (ab) = h(–(ab)) = h(–(a)b + a–(b)) = h(–(a))h(b) + h(a)h(–(b)) = –h (a)h(b) + h(a)–h (b). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, –h ∈ Th (A). ‚ ¤ «ì−¥©è¥¬ ¤«ï ªà âª®á⨠¢¬¥áâ® D(C ∞ (M)) ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì ¯à®áâ® D(M). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  –h , § ¯¨á −−®¥ ¢ ¢¨¤¥ –h (f) = h(–(f)),

f ∈ A,

®ª §ë¢ ¥âáï ¨¤¥−â¨ç−ë¬ (9.13), ¥á«¨ K = R, A = C ∞ (M),   h = hz ∈ M = |A|, ¯® ®¡ëª−®¢¥−¨î, ¨−â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª £®¬®¬®à䨧¬, ¯¥à¥¢®¤ï騩 f ¢ f(z). …᫨  «£¥¡à  A ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©, â® á¨á⥬  ª á â¥«ì−ëå ª |A| ¢¥ªâ®à®¢ {–h }h∈|A| ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥â ú¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥û –. 9.44. ’®ç−® â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ (á¬. ¯¯. 9.33 { 9.36), ¬®¦−® à §¢¨âì ⥮à¨î ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© −  £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¡ê¥ªâ å £®à §¤® ¡®«¥¥ ®¡é¥© ¯à¨à®¤ë, 祬 £« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï.  ¯à¨¬¥à, ¨áå®¤ï ¨§ ¯. 9.33 ¬®¦−® à §¢¨âì ®¡éãî ⥮à¨î ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© −  ¯à®¨§¢®«ì−ëå § ¬ª−ãâëå ¯®¤¬−®¦¥áâ¢ å £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© ¡ãª¢ «ì−® â ª ¦¥, ª ª ¨ −  á ¬¨å íâ¨å ¬−®£®®¡à §¨ïå. ‚ ¯à¨¬¥à å, à áᬠâਢ ¥¬ëå −¨¦¥, ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ â ª¨¥ ¦¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¡®§− ç¥−¨ï, ª ª ¨ ¤«ï £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©. ‹®ª «¨§ã¥¬®áâì ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© (¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 9.40) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¢ í⮬ ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¡ãª¢ «ì−® â ª¨¬ ¦¥ ®¡à §®¬.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

171

9.45. ਬ¥à. ¯¨è¥¬ ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï −  ªà¥á⥠K, ¯à¨−ï¢ ®¡®§− ç¥−¨ï ¯. 9.35, £¤¥ ¨§ãç «¨áì ª á â¥«ì−ë¥ ¢¥ªâ®àë ª −¥¬ã. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ Ax ¨ Ay  «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© á 䨪á¨à®¢ −−묨 ª®®à¤¨− â−묨 äã−ªæ¨ï¬¨ x ¨ y ᮮ⢥âá⢥−−®. ¯à¥¤¥«¥−ë ¥áâ¥á⢥−−ë¥ ¢«®¦¥−¨ï ix : Ax → C ∞ (K), ∞

iy : Ay → C (K),

f(x) → (f(x), f(0)), g(y) → (g(0), g(y)),

  â ª¦¥ ¯à®¥ªæ¨¨ πx : C ∞ (K) → Ax,

(f(x), g(y)) → f(x),

πy : C ∞(K) → Ay ,

(f(x), g(y)) → g(y).

祢¨¤−®, πx ◦ ix = id ¨ πy ◦ iy = id. ®í⮬ã, ¥á«¨ – ∈ D(K), â® –x = πx ◦ – ◦ ix ∈ D(Ax ) ¨ –y = πy ◦ – ◦ iy ∈ D(Ay ). ®ª ¦¥¬, çâ® –(f(x), g(y)) = (–x(f), –y (g))

(9.15)

¨ ¯®«ï –x , –y ®¡à é îâáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ 0.  ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ϕ = ix(f) = (f(x), c) ∈ C ∞ (K), c = f(0).  áᬮâਬ â®çªã z = (0, y) ∈ K, y = 0. ’®£¤  ¤®áâ â®ç−® ¬ « ï ®ªà¥áâ−®áâì U â®çª¨ z ¥áâì ¨−â¥à¢ « ¨ ϕ|U ≡ c. ®í⮬㠢¢¨¤ã ᢮©á⢠ «®ª «¨§ã¥¬®á⨠ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ –z (ϕ) = 0. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, –(ϕ)(z) = 0 ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª ®á¨ y, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0). ® á®®¡à ¦¥−¨ï¬ −¥¯à¥àë¢−®á⨠–(ϕ) ⮦¤¥á⢥−−® à ¢−® −ã«î −  ¢á¥© í⮩ ®á¨. ®í⮬ã ix (πx(–(ϕ))) = –(ϕ), ¨«¨ ix (–x(f)) = –(ix(f)). ®á«¥¤−¥¥ à ¢¥−á⢮ ®§− ç ¥â, çâ® i x ◦ –x = – ◦ i x . Šà®¬¥ ⮣®, –x (f)(0) = 0, â ª ª ª –(ϕ)(0, 0) = 0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ –x ∈ D(Ax ) ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ 0. − «®£¨ç−®, i y ◦ –y = – ◦ i y , ¨ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ –y ∈ D(Ay ) ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ 0.

172

ƒ« ¢  9

‡ ¬¥â¨¢ ⥯¥àì, çâ® (f(x), g(y)) = ix(f) + iy (g) − (c, c), c = f(0) = g(0),   ¨ çâ® – (c, c) = 0, ¯®áª®«ìªã äã−ªæ¨¨ ¢¨¤  (c, c) ¥áâì ª®−áâ −âë ¢  «£¥¡à¥ C ∞(K), ¬ë ®ª®−ç â¥«ì−® ¯®«ãç ¥¬   – (f(x), g(y)) = –(ix(f)) + –(iy (g))   = ix(–x (f)) + iy (–y (g)) = –x (f), –y (g) , £¤¥ ¯®á«¥¤−¥¥ à ¢¥−á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® –x(f)(0) = –y (g)(0) = 0.



祢¨¤−®, ¢¥à−® ¨ ®¡à â−®¥: ¢áïª ï ¯ à  ¯®«¥© –x ∈ D(Ax ), –y ∈ D(Ay ) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯® ä®à¬ã«¥ (9.15) ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ – −  K, ¥á«¨ í⨠¯®«ï ®¡à é îâáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ 0. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ A-¬®¤ã«¨ ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¤«ï á«¥¤ãîé¨å  «£¥¡à. 1. „«ï ¢á¥å  «£¥¡à, à áᬮâà¥−−ë¥ ¢ ã¯à ¦−¥−¨¨ 9.36. 2. „«ï R- «£¥¡àë C m (R1), m  1, m à § −¥¯à¥àë¢−® ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬ëå äã−ªæ¨© −  ¯àאַ©. (“ª § −¨¥: à áᬮâà¨â¥ á− ç «  á«ãç © m = 0.) 3. „«ï A = K[X]/X l+1 K[X] |  «£¥¡àë á१ −−ëå ¯®«¨−®¬®¢, K = R ¨«¨ Z/mZ. 4. „«ï ¡ã«¥¢®©, â. ¥. ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë − ¤ F2 = Z/2Z, í«¥¬¥−âë ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ á®®â−®è¥−¨î a2 = a. 9.46. ‚¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¨. ‚ëè¥ ¬ë ä®à¬ «¨§®¢ «¨ ¤¢  £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¡à §  | ¬−®£®®¡à §¨¥, ã ª®â®à®£® ¢ ®¤−®© â®çª¥ úà áâ¥âû áâ५ª , ¨ ¬−®£®®¡à §¨¥, ¢® ¢á¥å â®çª å ª®â®à®£® úà áâãâû áâ५ª¨. 祢¨¤−®, ¥áâì ¨ ¯à®¬¥¦ãâ®ç− ï á¨âã æ¨ï, ª®£¤  áâ५ª¨ úà áâãâû ⮫쪮 ¢ â®çª å −¥ª®â®à®£® ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï, (¨«¨, ¡®«¥¥ ®¡é®, § ¬ª−ã⮣® ¯®¤¬−®¦¥á⢠). ’ ª®£® த  ¯à¨¬¥àë ¤ îâ ¯®«ï ᪮à®á⥩ â®ç¥ª ¤¢¨¦ã饩áï −¨â¨ ¨«¨ §¢ãç é¥© ¬¥¬¡à −ë.  áá㦤¥−¨ï,  − «®£¨ç−ë¥ â¥¬, çâ® ¯à¨¢¥«¨ − á ª ®¯à¥¤¥«¥−¨î ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

173

−  ¬−®£®®¡à §¨¨ M, ¯®§¢®«ïîâ ¡¥§ âà㤠 ¤ âì − ¤«¥¦ éãî ä®à¬ «¨§ æ¨î ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥. ãáâì N ⊂ M | ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï M. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. R-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ X : C ∞ (M) → C ∞ (N) − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ (ª M) ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ ¢¤®«ì N, ¥á«¨ X(fg) = X(f)g N + f N X(g). (9.16) ‘㬬  ¤¢ãå ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¢¤®«ì N ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤−®, ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ ¢¤®«ì N. Šà®¬¥ ⮣®, ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì ®¯¥à æ¨¨ ã¬−®¦¥−¨ï â ª¨å ¯®«¥© −  äã−ªæ¨¨ ¨§ C ∞ (M): def (fX)(g) = f N X(g), f, g ∈ C ∞ (M). ‘®¢®ªã¯−®áâì D(M, N) ¢á¥å ª á â¥«ì−ëå ¢¤®«ì N ¯®«¥© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M ï¥âáï C ∞ (M)-¬®¤ã«¥¬ ®â−®á¨â¥«ì−® íâ¨å ®¯¥à æ¨©. …᫨ z ∈ N, â® á«¥¤ãî騩  − «®£ ä®à¬ã«ë (9.13): Xz (f) = X(f)(z)

(9.17)

®¯à¥¤¥«ï¥â ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ª ¬−®£®®¡à §¨î M ¢ â®çª¥ z, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢¥ªâ®à−®¬ã ¯®«î X ¢¤®«ì ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï N. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® (9.17) â¥àï¥â á¬ëá«, ¥á«¨ z ∈ / N, â ª çâ® ¤ −−®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¨ −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯®«¥ ¢¥ªâ®à®¢ ¢¤®«ì ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï N. 9.47. ‚¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨©. ‘®®â−®è¥−¨¥ (9.16) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥¯¨á −® â ª¦¥ ¢ ¢¨¤¥ X(fg) = X(f)i∗ (g) + i∗(f)X(g), £¤¥ i : N → M ®¡®§− ç ¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¢«®¦¥−¨ï. ®á«¥ í⮣® áâ −®¢¨âáï ïá−®, çâ® ®−® −¥ â¥àï¥â á¬ëá« , ¥á«¨ i | ¯à®¨§¢®«ì−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ N ¢ M.

174

ƒ« ¢  9

¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì ϕ : N → M | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨©. R-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ X : C ∞ (M) → C ∞ (N) − §ë¢ ¥âáï ª á â¥«ì−ë¬ (ª M) ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ, ¥á«¨ X(fg) = X(f)ϕ∗ (g) + ϕ∗ (f)X(g) ∀f, g ∈ C ∞ (M).

(9.18)

‘®¢®ªã¯−®áâì Dϕ (M) ¢á¥å ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¢¤®«ì § ¤ −−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ ï¥âáï C ∞ (M)-¬®¤ã«¥¬, ¥á«¨ ®¯¥à æ¨î ã¬−®¦¥−¨ï ¯®«ï X ∈ Dϕ (M) −  f ∈ C ∞ (M) ®¯à¥¤¥«¨âì def ¯® ¯à ¢¨«ã (fX)(g) = ϕ∗ (f)X(g). C ∞ (M)-¬®¤ã«ì Dϕ (M) áâ −®¢¨âáï â ª¦¥ C ∞ (N)-¬®¤ã«¥¬, ¥á«¨ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ®¯¥à æ¨î ã¬−®¦¥−¨ï ¥£® í«¥¬¥−⮢ −  í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë C ∞ (N): def

(fX)(g) = fX(g),

f ∈ C ∞ (N), g ∈ C ∞(M), X ∈ Dϕ (M).

“¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥àìâ¥, çâ® á®®â−®è¥−¨¥ (9.17) ¢ ¤ −−®¬ ª®−⥪á⥠¯®§¢®«ï¥â á®®â−¥áâ¨ á ª ¦¤®© â®çª®© z ∈ N ª á â¥«ì−ë© ª M ¢¥ªâ®à ¢ â®çª¥ ϕ(z). ‚á类¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ X ∈ Dϕ (M) ¬®¦¥â ¡ëâì ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ −® ª ª ¨−ä¨−¨â¥§¨¬ «ì− ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ. „¥©á⢨⥫ì−®, â ª ª ª Xz ∈ Tϕ(z)M, íâ®â ¢¥ªâ®à ¥áâ¥á⢥−−® ¯®−¨¬ âì ª ª ¨−ä¨−¨â¥§¨¬ «ì−®¥ ᬥé¥−¨¥ ®¡à §  â®çª¨ z ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ ϕ. ‚¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨© ¢® ¬−®£¨å á«ãç ïå 㤮¡−® ¨ ¥áâ¥á⢥−−® − §ë¢ âì â ª¦¥ ®â−®á¨â¥«ì−묨 ¢¥ªâ®à−묨 ¯®«ï¬¨. ਬ¥à. ãáâì ϕ : N → M | ¯à®¨§¢®«ì−®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, X ∈ D(N) ¨ Y ∈ D(M). ’®£¤  X ◦ ϕ∗ ¨ ϕ∗ ◦ Y ïîâáï ¢¥ªâ®à−묨 ¯®«ï¬¨ ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ. â−®á¨â¥«ì−®¥ ¯®«¥ X ◦ϕ∗ 㬥áâ−® âࠪ⮢ âì ª ª ®¡à § ¯®«ï X ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ ϕ (á¬. ¯. 9.42).

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

175

9.48. ‡ ¬¥ç â¥«ì−ë© ¯à¨¬¥à ®â−®á¨â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï ¤ ¥â ã−¨¢¥àá «ì−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  M. −® áâநâáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.  áᬮâਬ ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ πT : T M → M (á¬. ¯. 9.17). ãáâì ξ | ª á â¥«ì−ë© ª M ¢¥ªâ®à, ¯®−¨¬ ¥¬ë© â ª¦¥ ¨ ª ª â®çª  ¬−®£®®¡à §¨ï T M. “−¨¢¥àá «ì−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ Z −  M ®¯à¥¤¥«¨¬ ª ª ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï πT : Z(f)(ξ) = ξ(f),

f ∈ C ∞ (M).

9.49. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. ®ª ¦¨â¥, çâ® Z(f) ∈ C ∞ (T M). (“ª § −¨¥: ¢®á¯®«ì§ã©â¥áì ᯥ樠«ì−묨 «®ª «ì−묨 ª®®à¤¨− â ¬¨ −  T M.) 2. “¡¥¤¨â¥áì, çâ® Z ¨ ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥ ï¥âáï ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ ¢¤®«ì πT . 3. ãáâì X ∈ D(M). „®ª ¦¨â¥, çâ® X = s∗X ◦ Z,

(9.19)

£¤¥ sX : M → T M, z → Xz ∈ Tz M, ¥áâì á¥ç¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢¥ªâ®à−®¬ã ¯®«î X. ”®à¬ã«  (9.19) ®¡êïá−ï¥â, ¯®ç¥¬ã ¯®«¥ Z ï¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬: ¢á¥ ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï −  M ¯®«ãç îâáï ¨§ −¥£® ¯à¨ ¯®¬®é¨ á¥ç¥−¨© ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï. 9.50. ¡á㦤 ¢è¨¥áï ¢ëè¥ ¢ à¨ −âë ¯®−ïâ¨ï ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï ®â«¨ç îâáï «¨èì ⥬, ª ª ¤«ï −¨å ¯®−¨¬ ¥âáï ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ , â. ¥. ¯à ¢¨«® ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï.  ¯¨è¥¬ ¥£®, −¥ ãâ®ç−ïï ®¡« áâì §− ç¥−¨© ®â®¡à ¦¥−¨ï X: X(fg) = fX(g) + gX(f).

(9.20)

â  § ¯¨áì ¨¬¥¥â á¬ë᫠⮣¤ , ª®£¤  ®¯à¥¤¥«¥−® ã¬−®¦¥−¨¥ ®¡ê¥ªâ®¢ X(g), X(f) −  äã−ªæ¨¨ f, g ᮮ⢥âá⢥−−®, ¨−묨 á«®¢ ¬¨, ª®£¤  ®¡« áâì §− ç¥−¨© ®â®¡à ¦¥−¨ï X ¥áâì ¬®¤ã«ì − ¤ ®¡« áâìî ®¯à¥¤¥«¥−¨ï. ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢ª«î砥⠢ á¥¡ï ¢á¥, çâ® ®¡á㦤 «®áì ¢ëè¥ ¢ á¢ï§¨ á ª á â¥«ì−묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ¨ ¢¥ªâ®à−묨 ¯®«ï¬¨.

176

ƒ« ¢  9

¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì A | ª®¬¬ãâ â¨¢− ï K- «£¥¡à  ¨ P | A-¬®¤ã«ì. K-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ – : A → P − §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬  «£¥¡àë A á® §− ç¥−¨ï¬¨ ¢ P , ¥á«¨ ®−® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à ¢¨«ã ‹¥©¡−¨æ  (9.20), â. ¥. –(fg) = f–(g) + g–(f) ∀ f, g ∈ A. ¯¥à æ¨¨ ¯à¥¢à é îâ ᮢ®ªã¯−®áâì D(P ) ¢á¥å ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨©  «£¥¡àë A á® §− ç¥−¨ï¬¨ ¢ P ¢ A-¬®¤ã«ì. 9.51. ãáâì X ∈ D(P ) ¨ h : P → Q | £®¬®¬®à䨧¬ A-¬®¤ã«¥©. ’®£¤  h ◦ X ∈ D(Q). (஢¥àì⥠íâ®.)
®«¥¥ ⮣®, ®â®¡à ¦¥−¨¥ D(h) : D(P ) → D(Q),

D(P )  X → h ◦ X ∈ D(Q),

ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤−®, £®¬®¬®à䨧¬®¬ A-¬®¤ã«¥©. ਠí⮬ D(idP ) = idD(P ) , D(h1 ◦ h2 ) = D(h1 ) ◦ D(h2 ). â® ®§− ç ¥â, ç⮠ᮮ⢥âá⢨¥ P → D(P ) ï¥âáï äã−ªâ®à®¬ ¢ ª â¥£®à¨¨ A-¬®¤ã«¥© ¨ ¨å £®¬®¬®à䨧¬®¢. â® ®¤¨− ¨§ ®á−®¢−ëå äã−ªâ®à®¢ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï. ¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ ¡ã¤ãâ ®¯¨á −ë −¨¦¥. ®«−®¥ á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¯¨á −¨¥  «£¥¡àë íâ¨å äã−ªâ®à®¢ ¨ ®á®¡¥−−®á⥩ ¥¥ ॠ«¨§ æ¨¨ − ¤ ª®−ªà¥â−묨 ª®¬¬ãâ â¨¢−묨  «£¥¡à ¬¨ ¨ ¥áâì ¯à¥¤¬¥â ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¢ ᮢ६¥−−®¬ §− ç¥−¨¨ í⮣® á«®¢ . ®í⮬㠬®¦−® ã⢥ত âì, çâ® ¯®áâ஥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, − ç â®¥ ìîâ®−®¬ ¨ ‹¥©¡−¨æ¥¬, ¥é¥ −¥ § ¢¥àè¥−®. â® ¥é¥ ¯à¥¤á⮨â ᤥ« âì. 9.52. ®ª ¦¥¬, ª ª ᯥ樠«¨§¨à®¢ âì ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¨§ ¯. 9.50, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  ¨ ¢á¥¢®§¬®¦−ëå ⨯®¢ ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥©, à áᬮâà¥−−ëå ¢ëè¥,   â ª¦¥ ®¯¨á âì ¯à®æ¥¤ãàë ᮯ®áâ ¢«¥−¨ï ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«ï¬ ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢ 䨪á¨à®¢ −−®© â®çª¥. ਠí⮬ ¢áî¤ã ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® K = R. I. Š á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ª ¬−®£®®¡à §¨î M ¢ â®çª¥ z: A = C ∞ (M),

P = A/µz = R,

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

177

£¤¥ µz | ¨¤¥ « â®çª¨ z. II. ‚¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M: A = P = C ∞ (M). ‘®¯®áâ ¢«¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®¬ã ¯®«î X ∈ D(M) ª á â¥«ì−®£® ¢¥ªâ®à  Xz ∈ Tz M: D(A)  X → Xz = h ◦ X ∈ D(A/µz ), £¤¥ h : A → A/µz | £®¬®¬®à䨧¬ ä ªâ®à¨§ æ¨¨. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, Xz = D(h)(X). III. ‚¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ ¢¤®«ì ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï N ⊂ M: A = C ∞ (M), P = A/µN , £¤¥ µN = {f ∈ C ∞ (M) | f N = 0}. ‡¤¥áì −ã¦−® ®¡à â¨âì ¢−¨¬ −¨¥ −  ¥áâ¥á⢥−−ë© ¨§®¬®à䨧¬ C ∞ (N) = A/µN . …᫨ X ∈ D(M, N) = D(P ) ¨ z ∈ N, â® µz ⊃ µN ¨ ®¯à¥¤¥«¥−  ¥áâ¥á⢥−− ï ¯à®¥ªæ¨ï h : P = A/µN → A/µz . ਠí⮬ Xz = h ◦ X = D(h)(X). IV. ‚¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ : N → M: A = C ∞ (M),

P = C ∞(N),

ϕ = |F |,

£¤¥ F : A → P | −¥ª®â®àë© £®¬®¬®à䨧¬ R- «£¥¡à. ‡¤¥áì −ã¦−® ®¡à â¨âì ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® áâàãªâãà  A-¬®¤ã«ï −   «£¥¡à¥ P = C ∞ (N) § ¤ ¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã (f, g) → F (f)g = ϕ∗(f)g,

f ∈ C ∞ (M), g ∈ C ∞ (N).

ãáâì X ∈ Dϕ (M). …᫨ z ∈ N ¨ h : P → Q = P/µz | ¥áâ¥á⢥−− ï ¯à®¥ªæ¨ï, â® Xz = h ◦ X. ⢥⨬ § ®¤−® −  ¢®§¬®¦−ë© ¢®¯à®á ç¨â â¥«ï: çâ® â ª®¥ −¥¯à¥àë¢−ë¥ ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï −  M? â® í«¥¬¥−âë C ∞ (M)-¬®¤ã«ï D(C 0 (M)), £¤¥ C 0(M) |  «£¥¡à  −¥¯à¥àë¢−ëå äã−ªæ¨© −  M, ¯®−¨¬ ¥¬ ï ª ª C ∞ (M)-¬®¤ã«ì. − «®£¨ç−® ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨ ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï ª« áá  C m.

178

ƒ« ¢  9

9.53. ‡ ª −稢 ï ®¡á㦤¥−¨¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ¢®¯à®á®¢, á¢ï§ −−ëå á ¨¤¥¥© ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï, −ã¦−® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¬®¤ã«ì D(M) ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¨«¨, ¡®«¥¥ ®¡é®, ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨© ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë A ï¥âáï −®á¨â¥«¥¬ ¥é¥ ®¤−®© ®ç¥−ì ¢ ¦−®©  «£¥¡à ¨ç¥áª®© áâàãªâãàë.  ¨¬¥−−®, á«¥¤ãîé ï ¡¨«¨−¥©− ï ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª ï ®¯¥à æ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ⮦¤¥áâ¢ã Ÿª®¡¨, § ¤ ¥â −  D(A) áâàãªâãàã  «£¥¡àë ‹¨. def

।«®¦¥−¨¥. Š®¬¬ãâ â®à [–, ∇] = –◦∇−∇◦– ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨© –, ∇ ∈ D(A) á−®¢  ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬.
„¥©á⢨⥫ì−®, [–, ∇](fg) =(– ◦ ∇ − ∇ ◦ –)(fg) =–(f∇(g) + g∇(f)) − ∇(f–(g) + g–(f)) =–(f)∇(g) + f–(∇(g)) + –(g)∇(f) + g–(∇(f)) −∇(f)–(g) − f∇(–(g)) − ∇(g)–(f) − g∇(–(f)) =f–(∇(g)) − f∇(–(g)) + g–(∇(f)) − g∇(–(f)) =f[–, ∇](g) + g[–, ∇](f).  ®áª®«ìªã ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç−®áâì ª®¬¬ãâ â®à  ®ç¥¢¨¤− , − ¬ ®áâ ¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ®− 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⮦¤¥áâ¢ã Ÿª®¡¨. 9.54. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì ∇, –, – ∈ D(A). ’®£¤  [∇, [–, –]] = [[∇, –], –] + [–, [∇, –]].
‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, [[∇, –], –] + [–, [∇, –]] = [[∇, –], –] − [[∇, –], –] = [∇ ◦ – − – ◦ ∇, –] − [∇ ◦ – − – ◦ ∇, –] = ∇ ◦ – ◦ – − – ◦ ∇ ◦ – − – ◦ ∇ ◦ – + – ◦ – ◦ ∇ − ∇ ◦ – ◦ – + – ◦ ∇ ◦ – + – ◦ ∇ ◦ – − – ◦ – ◦ ∇ − ∇ ◦ – ◦ – − – ◦ – ◦ ∇ − ∇ ◦ – ◦ – + – ◦ – ◦ ∇ = ∇ ◦ (– ◦ – − – ◦ – ) − (– ◦ – − – ◦ – ) ◦ ∇

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

= ∇ ◦ [–, –] − [–, –] ◦ ∇ = [∇, [–, –]].

179



9.55. ¯¨á −¨¥ ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¢ â¥à¬¨− å «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â, − ©¤¥−−®¥ ¢ ¯. 9.39, ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®−¨ ïîâáï (᪠«ïà−묨) ¤¨ää¥à¥−樠«ì−묨 ®¯¥à â®à ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ®¡é¥£® ¢¨¤  – −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M § ¯¨á뢠¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: n  ∂ –= αi + β, αi , β ∈ C ∞ U. ∂x i i=1 ¡à â¨¬ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® ¥£® ᢮¡®¤−ë© ç«¥− β ¨¬¥¥â ¢¯®«−¥ ¨−¢ à¨ −â−ë© á¬ëá«: β = –(1). ®íâ®¬ã ¬ë ¬®¦¥¬ ã⢥ত âì, çâ® – ¥áâì ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  – − –(1) ¥áâì ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥. â® ¤ ¥â − ¬ ¡¥áª®®à¤¨− â−®¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ (᪠«ïà−ëå) «¨−¥©−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . −®, ®¤− ª®, −¥ ¢¯®«−¥ í«¥£ −â−® ¯® ᢮¥© ä®à¬¥ ¨ ¯® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ −¥ ¯®§¢®«ï¥â 㣠¤ âì  − «®£¨ç−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  ¢ëá襣® ¯®à浪 . úà¨ç¥è¥¬û ¥£® á í⮩ 楫ìî, § ¬¥â¨¢, çâ® ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ  ¤«ï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï – − –(1) íª¢¨¢ «¥−â−® á«¥¤ãî饬ã à ¢¥−áâ¢ã: –(fg) − f–(g) = g–(f) − fg–(1) ¨«¨ [–, f](g) = g[–, f](1), £¤¥ [–, f] = – ◦ f − f ◦ – | ª®¬¬ãâ â®à ®¯¥à â®à  – ¨ ®¯¥à â®à  ã¬−®¦¥−¨ï −  f. ãáâì ⥯¥àì g = hs. ’®£¤ , ãç¨â뢠ï, à ¢¥−á⢮ s[–, f](1) = [–, f](s), ¯®«ãç ¥¬ [–, f](hs) = h[–, f](s).

180

ƒ« ¢  9

®á«¥¤−¥¥ à ¢¥−á⢮ ¬®¦−® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ [[–, f], h](s) = 0. ®áª®«ìªã s | ¯à®¨§¢®«ì− ï äã−ªæ¨ï, íâ® ®§− ç ¥â, çâ® − ¬¨ ¤®ª § −® á«¥¤ãî饥 9.56. ।«®¦¥−¨¥. R-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ – : C ∞ (M) → C ∞ (M) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤  ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ª®£¤  ¤«ï «î¡ëå f, g ∈ C ∞ (M) [[–, f], g] = 0.

(9.21)

‡ ¬¥â¨¬, çâ® (9.21) íª¢¨¢ «¥−â−® ⮬ã, çâ® ¤«ï «î¡®£® f ∈ A ª®¬¬ãâ â®à [–, f] ï¥âáï C ∞ (M)-£®¬®¬®à䨧¬®¬. ƒ«ï¤ï −  ¯®á«¥¤−¥¥ à ¢¥−á⢮, ç¨â â¥«ì, − ¢¥à−®¥, 㦥 ¯®−¨¬ ¥â, ª ª ¤ âì ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  ¯à®¨§¢®«ì−®£® ¯®à浪  ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë A. ® ¯à¥¦¤¥ 祬 ¤ âì â ª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, § ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëà ¦¥−¨¥ [[–, f], g] −¥ ᨬ¬¥âà¨ç−® ®â−®á¨â¥«ì−® f ¨ g, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª −  á ¬®¬ ¤¥«¥ f ¨ g ¢å®¤ïâ ¢ −¥£® à ¢−®¯à ¢−®: [[–, f], g] = – ◦ fg + fg– − g– ◦ f − f– ◦ g = [[–, g], f]. ®íâ®¬ã ¬ë ¨§¬¥−¨¬ − è¨ ®¡®§− ç¥−¨ï, ᮯ®áâ ¢¨¢ ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥−âã f ∈ A ®â®¡à ¦¥−¨¥ δf : HomK (A, A) → HomK (A, A),

def

δf (–) = [–, f].

‚¢¨¤ã ᪠§ −−®£® ¢ëè¥ ®¯¥à â®àë δf ¨ δg ª®¬¬ãâ¨àãîâ ¨ ãá«®¢¨¥ (9.21) ¯à¨−¨¬ ¥â ¢¨¤ (δg ◦ δf )(–) = 0 ∀f, g ∈ A. ˆâ ª, ⥯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¤ âì á«¥¤ãî饥 ®á−®¢−®¥ 9.57. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì A | K- «£¥¡à . K-£®¬®¬®à䨧¬ – : A → A − §ë¢ ¥âáï «¨−¥©−ë¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   l, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå f0 , . . . , fl ∈ A (δf0 ◦ . . . ◦ δfl )(–) = 0.

(9.22)

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

181

¡®§− ç¨¬ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ ¯®à浪   l ¨§ A ¢ A ç¥à¥§ Di¨ l A. ’ ª ¦¥, ª ª ¨ D(A), íâ® ¬−®¦¥á⢮ ãá⮩稢® ®â−®á¨â¥«ì−® á«®¦¥−¨ï ¨ ã¬−®¦¥−¨ï −  í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë A ¨ ¯®í⮬㠥áâ¥á⢥−−® á− ¡¦ ¥âáï áâàãªâãன A-¬®¤ã«ï.
®«¥¥ ⮣®, −  í⮬ ¬−®¦¥á⢥ ¬®¦−® § ¤ âì ¥é¥ ®¤−ã áâàãªâãàã A-¬®¤ã«ï, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¤¥©á⢨¥ í«¥¬¥−â  f ∈ A −  ®¯¥à â®à – ª ª ª®¬¯®§¨æ¨î – ◦ f. ’ ªãî áâàãªâãàã − §ë¢ î⠯ࠢ®© ¨«¨, ¨−®£¤ , ¯«îᮢ®©,   ¤¥©á⢨¥ í«¥¬¥−â  f ∈ A −  ®¯¥à â®à – ç áâ® ®¡®§− ç îâ f + – ¢¬¥áâ® – ◦ f. Œ−®¦¥á⢮ Di¨ l A, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ª ª ¬®¤ã«ì ®â−®á¨â¥«ì−® ¯à ¢®£® ã¬−®¦¥−¨ï, ¬ë ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ Di¨ + l A. „¢¥ áâàãªâãàë ã¬−®¦¥−¨ï ¢ Di¨ l A ª®¬¬ãâ¨àãîâ, § ¤ ¢ ï ⥬ á ¬ë¬ áâàãªâãàã (+) ¡¨¬®¤ã«ï, ª®â®àë© ®¡®§− ç ¥âáï Di¨ l A. 9.58. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. „®ª ¦¨â¥ ¯®á«¥¤−¥¥ ã⢥ত¥−¨¥.  ¨¬¥−−®, ¯à®¢¥àìâ¥, çâ® ¬−®¦¥á⢮ Di¨ l A ãá⮩稢® ®â−®á¨â¥«ì−® ¯à ¢®£® ã¬−®¦¥−¨ï ¨ çâ® «¥¢®¥ ¨ ¯à ¢®¥ ã¬−®¦¥−¨ï ¢ Di¨ l A ª®¬¬ãâ¨àãîâ. 2. ‚ëïá−¨â¥, ¡ã¤¥â «¨ ¬−®¦¥á⢮ D(A) ãá⮩稢® ®â−®á¨â¥«ì−® ¯à ¢®£® ã¬−®¦¥−¨ï. —â®¡ë ¢ë¢¥á⨠àï¤ ¥áâ¥á⢥−−ëå ¨ ¯®«¥§−ëå ᢮©á⢠¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−묨  «£¥¡à ¬¨, − ¬ ¯®− ¤®¡ïâáï á«¥¤ãî騥 ®¡®§− ç¥−¨ï. ãáâì κ n = (1, 2, . . . , n) | 㯮à冷ç¥−−ë© − ¡®à 楫ëå ç¨á¥« ¨ κ = (i1, . . . , il), l  n, | ¥£® 㯮à冷ç¥−−®¥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮. ®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î |κ| = l, aκ = ai1 · . . . · ail ¨ δaκ = δai1 ◦ . . . ◦ δail ,   㯮à冷ç¥−−®¥ ¤®¯®«−¥−¨¥ κ ¤® κ n ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì ç¥à¥§ κ. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì A | K- «£¥¡à  ¨ –, ∇ | K-«¨−¥©−ë¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï ¨§ A ¢ A. ’®£¤   δaκ (–) ◦ δaκ (∇), ai ∈ A, (9.23) δaκn (– ◦ ∇) = |κ|
n

δaκn (–)(b) =



(−1)|κ| aκ –(aκ b),

|κ|
n

ai , b ∈ A.

(9.24)

182

ƒ« ¢  9

„«ï á«ãç ï, ª®£¤  – ∈ Di¨ m A, m < n, «¥¢ ï ç áâì ¯®á«¥¤−¥£® à ¢¥−á⢠ ᮣ« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î 9.57 ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¨ ¥£® ¬®¦−® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:  –(aκn b) = − (−1)|κ| aκ –(aκ b). (9.25) 0 n, â® –(aj1 · . . . · ajk−m ) ∈ I k−m−n ᮣ« á−® ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨î ¨−¤ãªæ¨¨, ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¢¥áì ¬®−®¬ ¢ 楫®¬ ¯à¨− ¤«¥¦¨â I k−n . 

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

183

„®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¤«ï  «£¥¡à £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ 9.57 ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡ëç−ë¬ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥¬ «¨−¥©−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à . ã¦−ë© − ¬ १ã«ìâ â ¡ã¤¥â á«¥¤®¢ âì ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¥¤«®¦¥−¨ï, á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ −¥£® ¨ ⥮६ë 9.62. 9.61. ‘«¥¤á⢨¥. …᫨ äã−ªæ¨¨ f ¨ g ᮢ¯ ¤ îâ ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U  z, â® ¤«ï «î¡®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  – ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥−á⢮ –(f)(z) = –(g)(z). ˆ− ç¥ £®¢®àï, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë ïîâáï «®ª «ì−묨.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì – | ®¯¥à â®à ¯®à浪   l. ®áª®«ìªã f − g ∈ µl+1 ¤«ï «î¡®£® l, â® ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.60 z –(f − g) ∈ µz .  â® á«¥¤á⢨¥ ¯®§¢®«ï¥â ¤«ï «î¡®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  – ∈ Di¨ l C ∞ (M) ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¨âì ¥£® ®£à −¨ç¥−¨¥ – U : C ∞ (U) → C ∞ (U) −  «î¡ãî ®âªàëâãî ®¡« áâì U ⊂ M, ¯®«®¦¨¢ – U (f)(z) = –(g)(z), f ∈ C ∞ (U), g ∈ C ∞ (M), z ∈ U, £¤¥ g | ¯à®¨§¢®«ì− ï äã−ªæ¨ï, ᮢ¯ ¤ îé ï á f ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z. ‘®£« á−® í⮬㠮¯à¥¤¥«¥−¨î – U (f U ) = –(f) U , ¥á«¨ f ∈ C ∞ (M). 祢¨¤−®, ®¯¥à â®à ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮢ®ªã¯−®áâìî ᢮¨å ®£à −¨ç¥−¨© −  ª àâë ¯à®¨§¢®«ì−®£®  â« á . áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢  á«¥¤ãîé ï 9.62. ’¥®à¥¬ .
ãáâì – ∈ Di¨ l C ∞ (M) ¨ x1, . . . , xn | á¨á⥬  «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U ⊂ M. ’®£¤  ®¯¥à â®à – U ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ l  ∂ |σ| – U = ασ σ , ∂x

ασ ∈ C ∞ U.

|σ|=0


ãáâì z ∈ U ¨ f ∈ C ∞ (M).  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì−ãî §¢¥§¤ç âãî ®ªà¥áâ−®áâì Uz ⊂ U â®çª¨ z ¨ ¢ í⮩ ®ªà¥áâ−®áâ¨

184

ƒ« ¢  9

¯à¥¤áâ ¢¨¬, ᮣ« á−® ¯. 2.9, äã−ªæ¨î f ¢ ¢¨¤¥ f=

l  ∂ |σ| f  (x − z)σ  (z) + h(x), ∂xσ σ!

|σ|=0

def

£¤¥ h(x) ∈ µl+1 ¨ (x − z)σ = (x1 − a1)σ1 · . . . · (xn − an)σn . z ®í⮬ã l  ∂ |σ|f (z)ασ (z), –(f)(z) = – U (f U )(z) = ∂xσ |σ|=0

£¤¥

 (x − z)σ  def ασ (x) = – U . σ! áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® äã−ªæ¨¨ ασ (x) ¯® ¯®áâ஥−¨î ïîâáï £« ¤ª¨¬¨.  —â®¡ë ¯®−ïâì, ª ª  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  9.57 à ¡®â ¥â ¢ á«ãç ¥, ª®£¤   «£¥¡à  A −¥ ï¥âáï  «£¥¡à®© äã−ªæ¨© −  £« ¤ª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨, ¯à®¤¥« ©â¥ á«¥¤ãî騥 9.63. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ¯¨è¨â¥ ¬®¤ã«¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ ¤«ï  «£¥¡àë C ∞ (K). (‘¬. ¯à¨¬¥àë 9.35 ¨ 9.45.) 2. த¥« ©â¥ â® ¦¥ á ¬®¥ ¤«ï  «£¥¡àë úá१ −−ëåû ¬−®£®ç«¥−®¢ A = K[X]/X n K[X], £¤¥ K = R ¨ K = Zm . (‘¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 2 ¨§ ¯. 9.45.) 3. ‚ ª« áá¨ç¥áª®© á¨âã æ¨¨ A = C ∞ (R) «î¡®© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¯®à浪  ¡®«ìè¥ ç¥¬ 1 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥− ª ª á㬬  ª®¬¯®§¨æ¨© ®¯¥à â®à®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ‚ëïá−¨â¥, ¡ã¤¥â «¨ íâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï  «£¥¡à ¨§ ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å ã¯à ¦−¥−¨©. 9.64. „¦¥âë ¯®à浪  l ¢ â®çª¥. ਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤−® ¢ ¦−®¥ ®¡®§− á«¥¤á⢨¥ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.60.  ¯®¬−¨¬, çâ® ç¥à¥§ µl+1 z ç ¥âáï (l + 1)-ï á⥯¥−ì ¨¤¥ «  µz , á®áâ®ï饣® ¨§ ¢á¥å äã−ªæ¨© −  M, ®¡à é îé¨åáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª¥ z.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

185

‘«¥¤á⢨¥.
ãáâì – ∈ Di¨ l C ∞ (M), f, g ∈ C ∞ (M) ¨ z ∈ M. ’®£¤  –(f)(z) = –(g)(z), ¥á«¨ f = g mod µl+1 z .
„¥©á⢨⥫ì−®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ f − g ∈ µl+1 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, z –(f − g) ∈ µz , â. ¥. –(f − g)(z) = 0.  â®â 䠪⠯®«¥§−® à áᬠâਢ âì, ¢¢¥¤ï ¢ à áᬮâà¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¤¦¥â®¢ l-£® ¯®à浪 , ¨«¨ l-¤¦¥â®¢, (£« ¤ª¨å) äã−ªæ¨© −  M ¢ â®çª¥ z (áà. á ¯. 9.27): Jzl M = C ∞ (M)/µl+1 z . def

¡à § äã−ªæ¨¨ f ¯à¨ ¥áâ¥á⢥−−®© ¯à®¥ªæ¨¨ C ∞ (M) → C ∞(M)/µl+1 = Jzl M z − §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¤¦¥â®¬ ¯®à浪  l (¨«¨ l-¤¦¥â®¬) ¢ â®çª¥ z ¨ ®¡®§− ç ¥âáï [f]lz . ‚ íâ¨å â¥à¬¨− å ãá«®¢¨¥ f = g mod µl+1 z ®§− ç ¥â, çâ® [f]lz = [g]lz , ¨ ¯à¥¤ë¤ã饥 á«¥¤á⢨¥ ã⢥ত ¥â, çâ® –(f)(z) = –(g)(z), ¥á«¨ [f]lz = [g]lz . ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ®â®¡à ¦¥−¨¥ h–,z : Jzl M → R,

[f]lz → –(f)(z),

®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−®. −®, ®ç¥¢¨¤−®, R-«¨−¥©−®. ‚ ¦−®áâì í⮣® ®â®¡à ¦¥−¨ï § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ®−® ¯®«−®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¯¥à â®à – ¢ â®çª¥ z. “¯à ¦−¥−¨¥. ⮡ࠦ¥−¨¥ h–,z ï¥âáï «¨−¥©−®© äã−ªæ¨¥© −  ¯à®áâà −á⢥ Jzl M.  ©¤¨â¥ ¡ §¨á ¯à®áâà −á⢠ Jzl M, ¢ ª®â®à®¬ ª®¬¯®−¥−âë í⮩ äã−ªæ¨¨ áãâì ç¨á«  ασ (z), ãç áâ¢ãî騥 ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ⥮६ë 9.62. 9.65. Œ−®£®®¡à §¨¥ ¤¦¥â®¢. ‘¥¬¥©á⢮ «¨−¥©−ëå äã−ªæ¨®− «®¢ {h–,z }z∈M ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¯¥à â®à –, â ª ª ª –(f)(z) = h–,z ([f]lz ).

(9.26)

®í⮬ã 㬥áâ−® ᪮−áâàã¨à®¢ âì −®¢ë© ®¡ê¥ªâ, ®¡ê¥¤¨−ïî騩 ®â¤¥«ì−ë¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï h–,z ¢ ¥¤¨−®¥ 楫®¥. ‘ í⮩ 楫ìî

186

ƒ« ¢  9

−ã¦−®, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ®¡ê¥¤¨−¨âì ¨å ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥−¨ï â ª ¦¥, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« −® ¢ ¯. 9.28 ¤«ï l = 1: ' J lM = Jzl M. z∈M

Œ−®¦¥á⢮ J lM á− ¡¦ ¥âáï áâàãªâãன £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï ¯®¤®¡−® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« −® ¢ëè¥ ¤«ï T M ¨ T ∗M. „¥â «¨ í⮣® ¯®áâ஥−¨ï ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥−ë ¢ ¯. 10.11. â® £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ − §ë¢ ¥âáï ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¤¦¥â®¢ ¯®à浪  l (¨«¨ l-¤¦¥â®¢) ¬−®£®®¡à §¨ï M. ⮡ࠦ¥−¨¥ πJ l = πJ l M : J lM → M,

J lM ⊃ Jzl M  θ → z ∈ M,

à áá« ¨¢ ¥â ¬−®£®®¡à §¨¥ J lM − ¤ M. ® í⮬㠮¯à¥¤¥«¥−¨î πJ−1l (z) = Jzl M. Šà®¬¥ ⮣®, á® ¢á类© äã−ªæ¨¥© f ∈ C ∞ (M) ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ á¢ï§ë¢ ¥âáï á¥ç¥−¨¥ sjl (f ) : M → J l M,

z → [f]lz ∈ Jzl M ⊂ J l M,

í⮣® à áá«®¥−¨ï. −® − §ë¢ ¥âáï l-¤¦¥â®¬ äã−ªæ¨¨ f. ‚á直© ®¯¥à â®à – ∈ Di¨ l C ∞ (M) ®¯à¥¤¥«ï¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥ h– : J lM → M × R,

Jzl M  θ → (z, h–,z (θ)).

ãáâì πR : M × R → R | ª −®−¨ç¥áª ï ¯à®¥ªæ¨ï. ’®£¤  ¢¢¨¤ã (9.26) πR (h–([f]lz )) = –(f)(z), ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, –(f) = πR ◦ h– ◦ sjl (f ) ,

(9.27)

£¤¥ –(f) ¯®−¨¬ ¥âáï ª ª £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ M ¢ R. â® á®®â−®è¥−¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢áï ¨−ä®à¬ æ¨ï ®¡ ®¯¥à â®à¥ – § è¨ä஢ −  ¢ ®â®¡à ¦¥−¨¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨© h– . ‚ ¯. 11.47 ¡ã¤¥â ¯®ª § −®, çâ® sjl ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪  l, ®¡« áâì §− ç¥−¨© ª®â®à®£® ¥áâì ¬−®¦¥á⢮ á¥ç¥−¨© à áá«®¥−¨ï πJ l . â®â ®¯¥à â®à ¥áâ¥á⢥−−® − §¢ âì ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪  l, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ ª®−ªà¥â−ë¥ ®¯¥à â®àë ¯®«ãç îâáï ¨§ −¥£® ¯ã⥬ ª®¬¯®§¨æ¨¨ á ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨ ¨§ J l M ¢ M × R. ‘¯¥æ¨ä¨ª  ®â®¡à ¦¥−¨©

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

187

¢¨¤  h– ¨§ J lM ¢ M × R ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á −  á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.  áᬮâਬ ¯à®¥ªæ¨î π : M × R → M,

(z, λ) → z.

−  ï¥âáï âਢ¨ «ì−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ − ¤ M á® á«®¥¬ R (á¬. ¯. 11.2). ’®£¤ , ª ª −¥âàã¤−® ¢¨¤¥âì, ®â®¡à ¦¥−¨ï ¢¨¤  h– ïîâáï ¬®à䨧¬ ¬¨ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï πJ l ¢ ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ π (á¬. ¯. 11.4) ¨, ¢ ç áâ−®áâ¨, ®â®¡à ¦ îâ á«®© πJ−1l (z) = Jzl M ¢ á«®© π −1 (z) = R. â® ®â®¡à ¦¥−¨¥ á«®¥¢, ®ç¥¢¨¤−®, ¨ ¥áâì h–,z . ‚ᥠí⨠䠪âë ®¡− à㦨¢ îâ äã−¤ ¬¥−â «ì−ãî à®«ì ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ¢ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ ¨áç¨á«¥−¨¨. ® í⮩ ¨ ¬−®£¨¬ ¤à㣨¬ ¯à¨ç¨− ¬, −¥ª®â®àë¥ ¨§ ª®â®àëå ¢áâà¥âïâáï ¯® 室㠤 «ì−¥©è¥£® ¨§«®¦¥−¨ï, ⥮à¨ï ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ï¥âáï −¥®¡å®¤¨¬®© ç áâìî ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï − ¤ £« ¤ª¨¬¨ ¬−®£®®¡à §¨ï¬¨. â  â¥®à¨ï ¡ã¤¥â à áᬮâà¥−  − ¬¨ ¢ £« ¢¥ 11. ‚¢¨¤ã ã−¨¢¥àá «ì−®á⨠®¯¥à â®à  sjl , ¢ëà ¦ ¥¬®© ä®à¬ã«®© (9.27), ¬−®£®®¡à §¨ï J l M ¨ −¥ª®â®àë¥ ¨å ¥áâ¥á⢥−−ë¥ ®¡®¡é¥−¨ï «¥¦ â ¢ ®á−®¢¥ ᮢ६¥−−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå. “−¨¢¥àá «ì−®áâì í⮣® ®¯¥à â®à  ¯à®ï¢«ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ¢ ⮬, çâ® ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨© à áá«®¥−¨ï πJ l : J l M → M (á¬. ¯. 11.7) ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬 ®¡ê¥ªâ®¬ äã−ªâ®à  ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï Di¨ l ¢ ª â¥£®à¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© (á¬. ¯. 11.55). 9.66. ‚ëè¥ ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® ¢ á«ãç ¥ ª®£¤  A = C ∞ (M) |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M, ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ 9.57 íª¢¨¢ «¥−â−® ®¡ëç−®¬ã ®¯à¥¤¥«¥−¨î «¨−¥©−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à , ¤¥©áâ¢ãî饣® −  äã−ªæ¨¨, §− ç¥−¨ï¬¨ ª®â®à®£® â ª¦¥ ïîâáï äã−ªæ¨¨ −  M, â. ¥. ᪠«ïà−®£®

188

ƒ« ¢  9

¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à . ¤− ª® ¨ á ¬ë© ®¡é¨© á«ãç ©, á«ãç © ¬ âà¨ç−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à , â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á − ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨.  ¯®¬−¨¬, çâ® â ª®© ®¯¥à â®à – ®¡ëç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¬ âà¨æ , á®áâ ¢«¥−− ï ¨§ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢:   –1,1 . . . –1,m ..  , ... – =  ... . –k,1 . . . –k,m £¤¥ –i,j | ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë ¯®à浪   l,   ¤¥©á⢨¥ í⮣® ®¯¥à â®à  −  ¢¥ªâ®à-äã−ªæ¨î f = (f1 , . . . , fn) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ¥áâ¥á⢥−−ë¬ á¯®á®¡®¬:      f1 –1,1(f1 ) + . . . + –1,m (fm ) –1,1 . . . –1,m ..   ..  =  .. ...  ... . . . . –k,1 . . . –k,m fm –k,1(f1 ) + . . . + –k,m (fm ) ‚ £« ¢¥ 11 ¡ã¤¥â ¯®ª § −®, çâ® ¢¥ªâ®à-äã−ªæ¨¨ 㪠§ −−®£® ¢¨¤  ¥áâ¥á⢥−−® à áᬠâਢ âì ª ª á¥ç¥−¨ï m-¬¥à−®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ M ¨ çâ® ª â¥£®à¨ï ¢á¥å ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© − ¤ M íª¢¨¢ «¥−â−  ª â¥£®à¨¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© − ¤  «£¥¡à®© C ∞ (M). ⨠¨ ᤥ« −−ë¥ ¢ ¯. 9.50 − ¡«î¤¥−¨ï § áâ ¢«ïî⠯।¯®« £ âì, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë ®¡é¥£® ¢¨¤  ¤®«¦−ë ¡ëâì ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨, á¢ï§ë¢ î騬¨ ¬®¤ã«¨ − ¤ −¥ª®â®à®© ®á−®¢−®©  «£¥¡à®© A. ‡ ¬¥ç â¥«ì−®, çâ® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ®¡é¥¥ ¯®−ï⨥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à , ¤®áâ â®ç−® ¯®¢â®à¨âì ú᪠«ïà−®¥û ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ 9.57. …¤¨−á⢥−−®¥, −  çâ® ¯à¨ í⮬ −ã¦−® ®¡à â¨âì ¢−¨¬ −¨¥, íâ® â®â ä ªâ, çâ® ¤«ï «î¡®£® -«¨−¥©−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï A-¬®¤ã«¥© – : P → Q ¨ a ∈ A ®¯à¥¤¥«¥− ª®¬¬ãâ â®à def

δa(–) = [–, a] : P → Q, £¤¥ í«¥¬¥−â a ∈ A ¯®−¨¬ ¥âáï ª ª ®¯¥à â®à ã¬−®¦¥−¨ï −  a í«¥¬¥−⮢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® A-¬®¤ã«ï. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, δa(–)(p) = –(ap) − a–(p),

p ∈ P.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

189

ˆâ ª, ¬®¦−® ¤ã¬ âì, çâ® á«¥¤ãî饥 ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢ úáâ −¤ àâ−®©û á¨âã æ¨¨ íª¢¨¢ «¥−â−® ®¡ëç−®¬ã ¯®−ïâ¨î (¬ âà¨ç−®£®) ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à . 9.67. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì A | ¯à®¨§¢®«ì− ï ª®¬¬ãâ â¨¢− ï K- «£¥¡à , P, Q | A-¬®¤ã«¨. K-£®¬®¬®à䨧¬ – : P → Q − §ë¢ ¥âáï «¨−¥©−ë¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   l, ¤¥©áâ¢ãî騬 ¨§ P ¢ Q, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå a0, . . . , al ∈ A (δa0 ◦ . . . ◦ δal )(–) = 0.

(9.28)

’®â ä ªâ, çâ® ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ᯥ樠«¨§ æ¨¨ (K = R, A = C ∞ (M), P ¨ Q | ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ A-¬®¤ã«¨) ¤ −−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡ëç−ë¬, ¡ã¤¥â ¤®ª § − ¢ £« ¢¥ 11 ¯®á«¥ ãáâ −®¢«¥−¨ï á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à−묨 à áá«®¥−¨ï¬¨ ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−묨 ¬®¤ã«ï¬¨. ¡®§− ç¨¬ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ ¯®à浪   l ¨§ P ¢ Q ç¥à¥§ Di¨ l (P, Q). â® ¬−®¦¥á⢮ ãá⮩稢® ®â−®á¨â¥«ì−® á«®¦¥−¨ï ¨ ®¡ëç−®£® («¥¢®£®) ã¬−®¦¥−¨ï −  í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë A: def

(a–)(p) = a · –(p),

a ∈ A, p ∈ P.

®í⮬㠮−® ¥áâ¥á⢥−−® á− ¡¦ ¥âáï áâàãªâãன «¥¢®£® A-¬®¤ã«ï.   −¥¬ â ª¦¥ ¬®¦−® § ¤ âì ¥é¥ ®¤−ã áâàãªâãàã A-¬®¤ã«ï, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¤¥©á⢨¥ í«¥¬¥−â  a ∈ A −  ®¯¥à â®à – ª ª ª®¬¯®§¨æ¨î – ◦ a. ’ ªãî áâàãªâãàã − §ë¢ î⠯ࠢ®© ¨«¨, ¨−®£¤ , ¯«îᮢ®©,   ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¤¥©á⢨¥ í«¥¬¥−â  a ∈ A −  ®¯¥à â®à – ç áâ® ®¡®§− ç îâ a+– ¢¬¥áâ® – ◦ a. Œ−®¦¥á⢮ Di¨ l (P, Q), à áᬠâਢ ¥¬®¥ ª ª ¬®¤ã«ì ®â−®á¨â¥«ì−® ¯à ¢®£® ã¬−®¦¥−¨ï, ¬ë ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ Di¨ + l (P, Q). „¢¥ áâàãªâãàë ã¬−®¦¥−¨ï ¢ Di¨ l (P, Q) ª®¬¬ãâ¨àãîâ, § ¤ ¢ ï ⥬ á ¬ë¬ áâàãªâãàã ¡¨¬®¤ã«ï, ª®â®àë© ®¡®§− ç ¥âáï Di¨ (+) l (P, Q). „«ï (+) ªà âª®á⨠¢¬¥áâ® ®¡®§− ç¥−¨ï Di¨ l (A, Q) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®¡®(+) §− ç¥−¨¥ Di¨ l Q. …᫨ h : P → Q | £®¬®¬®à䨧¬ A-¬®¤ã«¥©, ⮠ᮮ⢥âá⢨¥ – → h ◦ –, – ∈ Di¨ l P , § ¤ ¥â £®¬®¬®à䨧¬ A-¬®¤ã«ï Di¨ l P ¢ A-¬®¤ã«ì Di¨ l Q. ®í⮬ã ᮮ⢥âá⢨¥ P → Di¨ l P ï¥âáï

190

ƒ« ¢  9

äã−ªâ®à®¬ −  ª â¥£®à¨¨ A-¬®¤ã«¥©. ¡®§− ç¨¬ ¥£® Di¨ l . â® | ¥é¥ ®¤¨− ¯à¨¬¥à  ¡á®«îâ−®£® äã−ªâ®à  ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï (á¬. ¯. 9.51). ’ ª¨¥ äã−ªâ®àë ®¯à¥¤¥«¥−ë − ¤ ¢á¥¬¨  «£¥¡à ¬¨. ‚ë¡à ¢ −¥ª®â®àë© A-¬®¤ã«ì P , ¬ë ¯®«ã稬 ¯à¨¬¥à ®â−®á¨â¥«ì−®£® äã−ªâ®à  ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï Di¨ l (P, ·) : Q → Di¨ l (P, Q). ‚뢮¤ ä®à¬ã« (9.23){(9.25) ¨ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.59 ¡¥§ ¢áïª¨å ¨§¬¥−¥−¨© ¯¥à¥−®áïâáï á® á«ãç ï ᪠«ïà−ëå ®¯¥à â®à®¢ −  ®¡é¨© á«ãç ©. —â® ¦¥ ª á ¥âáï ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.60, â® ¥£®  − «®£®¬ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ á«ã¦¨â á«¥¤ãî饥 ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì I ⊂ A | ¨¤¥ «, P, Q | A-¬®¤ã«¨, p ∈ I k P , – ∈ Di¨ n(P, Q) ¨ n < k. ’®£¤  –(p) ∈ I k−nQ. ¤− ª® ¨ ¤«ï −¥£® ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯¥à¥−®á¨âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¡¥§® ¢áïª¨å ¨§¬¥−¥−¨©. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. “¡¥¤¨â¥áì, çâ® Di¨ 0 (P, Q) = Di¨ + 0 (P, Q) = HomK (P, Q). 2.  áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥−¨ï A-¬®¤ã«¥© i+ ¨ i+, ª®â®àë¥ ª ª ®â®¡à ¦¥−¨ï −¥áãé¨å ¬−®¦¥á⢠ïîâáï ⮦¤¥á⢥−−묨: i+ : Di¨ l (P, Q) → Di¨ + l (P, Q),

i+(f) = f,

i+ : Di¨ + l (P, Q) → Di¨ l (P, Q),

i+(f) = f.

„®ª ¦¨â¥, çâ® ®−¨ ïîâáï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−묨 ®¯¥à â®à ¬¨ ¯®à浪   l. 9.68. ¡à â¨¬ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® ¢á直© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¯®à浪   l ï¥âáï  ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   m, ¥á«¨ l  m. ®í⮬㠮¯à¥¤¥«¥−® ¥áâ¥á⢥−−®¥ ¢«®¦¥−¨¥ ¡¨¬®¤ã«¥© (+) Di¨ (+) l (P, Q) ⊂ Di¨ m (P, Q). ¡®§− ç¨¬ ¯àאַ© ¯à¥¤¥« 楯®çª¨ ¢«®¦¥−¨© (+)

(+)

(+)

Di¨ 0 (P, Q) ⊂ . . . ⊂ Di¨ l (P, Q) ⊂ Di¨ l+1 (P, Q) ⊂ . . . ç¥à¥§ Di¨ (+) (P, Q).

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

191

Š ª ®â¬¥ç¥−® ¢ëè¥, ª®¬¯®§¨æ¨ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢, ¥á«¨ ®−  ®¯à¥¤¥«¥− , ¥áâì á−®¢  ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à. ®í⮬㠮â−®á¨â¥«ì−® ®¯¥à æ¨¨ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¡¨¬®¤ã«ì Di¨ (+) (P, P ) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ (−¥ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî) A- «£¥¡àã. ਠí⮬ Di¨ (+) (P, Q) ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯à ¢ë© Di¨ (+) (P, P )- ¨ ª ª «¥¢ë© Di¨ (+) (Q, Q)-¬®¤ã«ì. 9.69. ’¥¯¥àì ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢á¥ −¥®¡å®¤¨¬®¥, çâ®¡ë ®â¢¥â¨âì −  ¢®¯à®á, § ¤ −−ë© ¢ ¯. 9.20: ᯥªâ஬ ª ª®©  «£¥¡àë ï¥âáï ª®ª á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ T ∗M.  ç−¥¬ á −¥®¡å®¤¨¬ëå  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ®¯à¥¤¥«¥−¨©. ãáâì A | K- «£¥¡à . “¯®¬ï−ã⮥ ¢ëè¥ (á¬. ¯. 9.68) ¢«®¦¥−¨¥ A-¬®¤ã«¥© Di¨ k−1 A ⊂ Di¨ k A ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ä ªâ®à¬®¤ã«ì def

Sk (A) = Di¨ k A/ Di¨ k−1 A, ª®â®àë© − §ë¢ ¥âáï ¬®¤ã«¥¬ ᨬ¢®«®¢ ¯®à浪  k (¨«¨ k-ᨬ¢®«®¢). Š« áá ᬥ¦−®á⨠®¯¥à â®à  – ∈ Di¨ k A ¯® ¬®¤ã«î Di¨ k−1 A ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì ç¥à¥§ smblk – ¨ − §ë¢ âì ᨬ¢®«®¬ –. ¯à¥¤¥«¨¬  «£¥¡àã ᨬ¢®«®¢  «£¥¡àë A, ¯®«®¦¨¢ ∞

S∗ (A) = ⊕ Sn (A). n=0

¯¥à æ¨ï ã¬−®¦¥−¨ï ¢ S∗ (A) ¨−¤ãæ¨à®¢ −  ®¯¥à æ¨¥© ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢. ’®ç−¥¥ £®¢®àï, ¤«ï í«¥¬¥−⮢ smbll – ∈ Sl (A) ¨ smblk ∇ ∈ Sk (A) ¯®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î def

smbll – · smblk ∇ = smblk+l (– ◦ ∇) ∈ Sl+k (A). â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª®à४â−®, â ª ª ª −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© ¢ ª« áá å smbll – ¨ smblk ∇. „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨, ᪠¦¥¬, smbll – = smbll – , â® – − – ∈ Di¨ l−1 A ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, (– − –) ◦ ∇ ∈ Di¨ l+k−1 A. ।«®¦¥−¨¥. S∗(A) | ª®¬¬ãâ â¨¢− ï  «£¥¡à .

192

ƒ« ¢  9


 ¬ −ã¦−® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® – ◦ ∇ − ∇ ◦ – = [–, ∇] ∈ Di¨ l+k−1 A, ¥á«¨ – ∈ Di¨ l A ¨ ∇ ∈ Di¨ k A. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¨−¤ãªæ¨¥© ¯® l+k. „«ï l+k = 0, â® ¥áâì ¤«ï l = k = 0, ã⢥ত¥−¨¥ ®ç¥¢¨¤−®, ¯®áª®«ìªã ᪠«ïà−ë¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë ¯®à浪  −ã«ì | íâ® ®¯¥à â®àë ã¬−®¦¥−¨ï −  í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë A,    «£¥¡à  A ª®¬¬ãâ â¨¢− . ˜ £ ¨−¤ãªæ¨¨ ®â l + k < n ª l + k = n ®¡®á−®¢ë¢ ¥âáï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®©, ¢ë⥪ î饩 ¨§ ¢¥á쬠 ç áâ−®£® á«ãç ï (9.23): δa (– ◦ ∇ − ∇ ◦ –) = δa(–) ◦ ∇ + – ◦ δa (∇) − δa(∇) ◦ – − ∇ ◦ δa(–) = [δa(–), ∇] + [–, δa(∇)]. ®à浪¨ ®¯¥à â®à®¢ δa(–) ¨ δa(∇) à ¢−ë ᮮ⢥âá⢥−−® l − 1 ¨ k − 1. ®í⮬ã ᮣ« á−® ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨î ¨−¤ãªæ¨¨ ¯®á«¥¤−¥¥ ¢ëà ¦¥−¨¥ ¥áâì ®¯¥à â®à ¯®à浪   k + l − 2. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¯®à冷ª ®¯¥à â®à  [–, ∇] −¥ ¯à¥¢®á室¨â l + k − 1.  ‘«¥¤ã¥â ®¡à â¨âì ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® S0(A) = A ¥áâì ¯®¤ «£¥¡à   «£¥¡àë S∗ (A) ¨ ®¯¥à æ¨ï «¥¢®£® (¯à ¢®£®) ã¬−®¦¥−¨ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ −  í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë A ᢮¤¨âáï ª ®¯¥à æ¨¨ «¥¢®£® (ᮮ⢥âá⢥−−® ¯à ¢®£®) ã¬−®¦¥−¨ï −  í«¥¬¥−âë í⮩ ¯®¤ «£¥¡àë. ‚¢¨¤ã ª®¬¬ãâ â¨¢−®á⨠ «£¥¡àë S∗ (A) í⨠®¯¥à æ¨¨ ã¬−®¦¥−¨ï ᮢ¯ ¤ îâ. 9.70. ãáâì ⥯¥àì smbll – ∈ Sl (A) ¨ smblk ∇ ∈ Sk (A). ’®£¤  ᮣ« á−® ¯®á«¥¤−¥¬ã ¯à¥¤«®¦¥−¨î [–, ∇] ∈ Di¨ l+k−1 A.  à¥ (smbll –, smblk ∇) ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì í«¥¬¥−â def

{smbll –, smblk ∇} = smblk+l−1 [–, ∇] ∈ Sk+l−1 (A). â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª®à४â−®, â. ¥. −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© ¢ ª« áá å smbll – ¨ smblk ∇, çâ® ¯à®¢¥àï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ª®à४â−®áâì ã¬−®¦¥−¨ï ¢ S∗ (A). ¯¥à æ¨ï { · , · } K-«¨−¥©−  ¨ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç− . −  㤮¢«¥â¢®àï¥â ⮦¤¥áâ¢ã

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

193

Ÿª®¡¨, ¯®áª®«ìªã ª®¬¬ãâ â®à «¨−¥©−ëå ®¯¥à â®à®¢ 㤮¢«¥â¢®àï¥â í⮬ ⮦¤¥áâ¢ã. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ S∗ (A) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢  «£¥¡àã ‹¨ ®â−®á¨â¥«ì−® í⮩ ®¯¥à æ¨¨. …᫨ s1, s2 ∈ S1(A), â® ¨ {s1, s2 } ∈ S1 (A). ˆ− ç¥ £®¢®àï, S1 (A) ⊂ S∗ (A) ¥áâì ¯®¤ «£¥¡à  ‹¨. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ãáâì s = smbl1 –. ®ª ¦¨â¥, ç⮠ᮮ⢥âá⢨¥ s ↔ – − –(1) ∈ D(A) ®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−® ¨ ãáâ − ¢«¨¢ ¥â ¨§®¬®à䨧¬  «£¥¡à ‹¨ S1 (A) ¨ D(A). 2. ‡ ä¨ªá¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì−ë© í«¥¬¥−â s ∈ S∗ (A). ®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ {s, · } : S∗ (A) → S∗ (A),

s1 → {s, s1 },

ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬  «£¥¡àë S∗ (A). 9.71. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ª®«ìæ® K |  «£¥¡à  − ¤ ¯®«¥¬ à æ¨®− «ì−ëå ç¨á¥« Q. ’®£¤  ¢á直© í«¥¬¥−â a ∈ A ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ K- «£¥¡à [δak (–)] (1). k! “¡¥¤¨¬áï ¢ í⮬. ‡ ¬¥â¨¬, ¢®-¯¥à¢ëå, çâ® δak (∇) = 0, ¥á«¨ ∇ ∈ Di¨ k−1 A. ®í⮬㠮⮡ࠦ¥−¨¥ ™a ®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−®. …£® K-«¨−¥©−®áâì ®ç¥¢¨¤− . „ «¥¥, ™a S0 (A) : S0 (A) = A → A ï¥âáï ⮦¤¥á⢥−−ë¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬, â ª çâ® ™a(1S∗ (A) ) = 1A (ã−¨â à−®áâì).  ª®−¥æ, ¥á«¨ – ∈ Di¨ k A, ∇ ∈ Di¨ l A, â® ¨§ ä®à¬ã«ë (9.23) á«¥¤ã¥â, çâ® ™a : S∗ (A) → A,

smblk (–) →

δak+l (– ◦ ∇) = Ckk+l δak (–) ◦ δal (∇).

(9.29)

’ ª ª ª δak (–) ∈ Di¨ 0 A = A ¨ δal (∇) ∈ Di¨ 0 A = A ¥áâì ®¯¥à â®àë ã¬−®¦¥−¨ï −  í«¥¬¥−âë [δak (–)](1) ¨ [δal (∇)](1)  «£¥¡àë A ᮮ⢥âá⢥−−®, â® ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï ™a ¢ë⥪ ¥â −¥¯®á।á⢥−−® ¨§ (9.29). ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì I ⊂ A | ¨¤¥ « ¨ š : A → A/I | ¥áâ¥á⢥−− ï ¯à®¥ªæ¨ï. ’®£¤  š ◦ ™a = 0, ¥á«¨ a ∈ I 2.

194

ƒ« ¢  9


ˆ§ ä®à¬ã«ë (9.24) ¢ë⥪ ¥â, çâ® [δak (–)](1)

=

k 

Cik ai–(ak−i ).

i=0

®í⮬㠥᫨ a ∈ I 2, â® [δak (–)](1) = –(ak ) mod I 2. …᫨, ᢥàå ⮣®, – ∈ Di¨ k A, â® ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.60, –(ak ) ∈ I k , k  1, ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, š(™a(smblk –)) = 0.  9.72. ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯¨á âì K-ᯥªâà |S∗ (A)|  «£¥¡àë S∗ (A). ãáâì h ∈ |A|. ’®£¤  ª®¬¯®§¨æ¨ï def

γh,a = h ◦ ™a : S∗ (A) → K ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ K- «£¥¡à ¨, §− ç¨â, ï¥âáï â®çª®© ᯥªâà  |S∗ (A)|. ‘«¥¤á⢨¥.
ãáâì µh = ker h ¨ a − h(a) · 1A = b − h(b) · 1a

mod µ2h .

’®£¤  γh,a = γh,b .
‡ ¬¥â¨¬, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, çâ® δλ·1A = 0 ¤«ï λ ∈ K. ®í⮬㠙a = ™a−h(a)·1A , ™b = ™b−h(b)·1A ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ®£à −¨ç¨âìáï á«ãç ¥¬ h(a) = h(b) = 0, çâ® à ¢−®§− ç−® ⮬ã, çâ® a, b ∈ µh . „ «¥¥, ᮣ« á−® − è¨¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨ï¬ a = a − b ∈ µ2h . ®áª®«ìªã δbk (–)

=

k δa+a
(–)

=

k  s=0

Csk δas
(δak−s (–)),

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

â®, ¯®«®¦¨¢ –s = − å®¤¨¬, çâ®

k! δ k−s (–) (k−s)! a

195

¨ áç¨â ï, çâ® – ∈ Di¨ k A, ¬ë

 1  k δa+a
(–) (1) k! k   1  k 1 s = δa (–) (1) + [δa
(–s )] (1) k! s! s=1

™b(smblk –) =

=™a(smblk –) +

k 

™a
(smbls (–s )).

s=1

®í⮬㠨§ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.71 á«¥¤ã¥â, çâ® h ◦ ™b = h ◦ ™a.   ¯®¬−¨¬, çâ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î (á¬. ¯. 9.30) ª®ª á â¥«ì−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ª ᯥªâàã |A| ¢ â®çª¥ h ∈ |A| − §ë¢ ¥âáï ä ªâ®àdef ¬®¤ã«ì Th∗(A) = µh /µ2h . ‘«¥¤á⢨¥ 9.72 ¯®§¢®«ï¥â ¯®áâநâì ®â®¡à ¦¥−¨¥ ih : Th∗(A) → |S∗ (A)|, ¯®«®¦¨¢ ih ([a]) = γh,a , a ∈ µh . ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ª ¦¤®¬ã úª®ª á â¥«ì−®¬ã ¢¥ªâ®àãû ª ú¬−®£®®¡à §¨îû |A| ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â®çª  ú¬−®£®®¡à §¨ïû |S∗ (A)|. ˆáá«¥¤ã¥¬ í⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¯®¤à®¡−¥¥. 9.73. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì K | ¯®«¥ ¨ ¢á直© ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξ ∈ Th A ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ú¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ïû X ∈ D(A), â. ¥. ¤«ï ¢á类£® ξ ∈ Th A áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ X ∈ D(A), çâ® ξ = h◦X. ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥ ih ¨−ꥪ⨢−®.
‘®£« á−® (9.11) ¢á类¬ã K-«¨−¥©−®¬ã ®â®¡à ¦¥−¨î ϕ : Th∗A → K ¬®¦−® ¯®áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξϕ = νh (ϕ) ∈ Th A. ãáâì ⥯¥àì a, b ∈ µh ¨ [a] = [b], £¤¥ [g] = g mod µ2h . ’ ª ª ª K | ¯®«¥, ⮠ᮣ« á−® ¯. 9.30 νh | ¨§®¬®à䨧¬, ¨ ¯®í⮬ã ξϕ (a) = ξϕ (b). த®«¦¨¬ ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξϕ ¤® ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï X ∈ D(A). ’®£¤  ¯à¥¤ë¤ã饥 −¥à ¢¥−á⢮ ¨−â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª h(X(a)) = h(X(b)). ⮦¤¥á⢫ïï ⥯¥àì D(A) ¨ S1(A) (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 1 ¨§ ¯. 9.70),

196

ƒ« ¢  9

¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® X(a) = ™a(X), X(b) = ™b(X), ¨ ¯®í⮬㠯®á«¥¤−¥¥ −¥à ¢¥−á⢮ ¬®¦−® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (h ◦ ™a)(X) = (h ◦ ™b )(X). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, γh,a = γh,b , çâ® à ¢−®á¨«ì−® −ã¦−®¬ã − ¬ −¥à ¢¥−áâ¢ã ih ([a]) = ih ([b]).  祢¨¤−®, çâ® ¯à¥¤¯®á뫪¨ ¤®ª § −−®£® ¯à¥¤«®¦¥−¨ï ¢ë¯®«−ïîâáï ¤«ï  «£¥¡àë A = C ∞ (M). ®í⮬ã, ¯®«®¦¨¢ iz = ihz ¤«ï â®çª¨ z ∈ M, ¨¬¥¥¬ 9.74. ‘«¥¤á⢨¥. ⮡ࠦ¥−¨¥ iz : Tz∗M → |S∗ (C ∞(M))| ¨−ꥪ⨢−®.  ¡ê¥¤¨−ïï ®â®¡à ¦¥−¨ï iz ¯® ¢á¥¬ â®çª ¬ z ∈ M, ¯®«ãç ¥¬ ¢«®¦¥−¨¥ = iz . (9.30) i : T ∗M → |S∗(C ∞ (M))|, i Tz M

9.75. ਢ¥¤¥¬ ¥é¥ −¥ª®â®àë¥ ä ªâë, ¯®«¥§−ë¥ ¯à¨ ¤ «ì−¥©è¥¬  − «¨§¥ K-ᯥªâà   «£¥¡àë S∗ (A). ãáâì h ∈ |S∗ (A)|. ⮦¤¥á⢨¬ A á S0 (A). ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤def −®, h = h A ∈ |A|. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ h ∈ Im ih , â® h A = h. “¡¥¤¨â¥áì, çâ® ¯à®¥ªæ¨ï πT ∗ : T ∗M → M ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ → h ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  A = C ∞ (M). ®¯¨á −¨¥¬ ®â®¡à ¦¥−¨ï h (’. ¥. ¥á«¨ h = hθ , θ ∈ T ∗M, â® h = hz , £¤¥ z = πT ∗ (θ).) ‡ ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¥á«¨ a ∈ A ¨ X ∈ D(A) = S1(A), â® h(aX) = h(a) h(X). ‚ ç áâ−®áâ¨, h(aX) = 0, ¥á«¨ a ∈ µh . ®í⮬㠪®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−® ®â®¡à ¦¥−¨¥ K-¬®¤ã«¥© h : D(A)/µh D(A) → K,

h (X

mod µh D(A)) = h(X).

‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ®¯à¥¤¥«¥−® ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ τh : D(A)/µh D(A) → Th A,

X

mod µh D(A) → h ◦ X.

‹¥¬¬ . …᫨ A = C ∞ (M), â® τh | ¨§®¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®à−ëå ¯à®áâà −á⢠− ¤ R.

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

197


ˆ§ â¥®à¥¬ë ® ᯥªâॠ7.7 ¢ë⥪ ¥â, çâ® h = hz ¤«ï −¥ª®â®à®© â®çª¨ z ∈ M, ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, h ◦ X = Xz (á¬. ¯. II ¨§ 9.52). ’ ª ª ª ¢á直© ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ξ ∈ Th A = Tz M ¬®¦−®, ®ç¥¢¨¤−®, ¯à®¤®«¦¨âì ¤® ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï −  M, â® τh | áîàꥪ⨢−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥. ˆ−ꥪ⨢−®áâì τh ®§− ç ¥â, çâ® ¨§ à ¢¥−á⢠ Xz = 0 á«¥¤ã¥â, çâ® X ∈ µh D(A) = µz D(M). ®á«¥¤−¥¥ «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨áå®¤ï ¨§ ⮣®, çâ® ¥á«¨ X=

n  i=1

αi (x)

∂ ∂xi

¢ −¥ª®â®à®© á¨á⥬¥ «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â, â® αi (z) = 0, â. ¥. ª®íää¨æ¨¥−âë αi , i = 1, . . . , n, ¯à¨− ¤«¥¦ â µz ú«®ª «ì−®û.  ‘«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ −, ç⮡ë áâண® ®¡®á−®¢ âì ¯®á«¥¤−¨© è £ ¢ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬ë. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì X ∈ D(M) ¨ Xz  = 0 ¤«ï −¥ª®â®à®© â®çª¨ z ∈ M. „®ª ¦¨â¥, ç⮠⮣¤  X = ni=1 fi Xi + Y, fi ∈ C ∞ (M), Y, Xi ∈ D(M) £¤¥ fi (ᮮ⢥âá⢥−−®, Xi ) ᮢ¯ ¤ ¥â á ∂ αi (ᮮ⢥âá⢥−−®, ), i = 1, . . . , n, ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠∂xi â®çª¨ z,   Y ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ¢ í⮩ ®ªà¥áâ−®áâ¨. ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®«−®áâìî ®¯¨á âì R-ᯥªâà  «£¥¡àë ᨬ¢®«®¢ S∗ (C ∞ (M)). 9.76. ’¥®à¥¬ . ⮡ࠦ¥−¨¥ i : T ∗M → |S∗ (C ∞(M))| ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, â. ¥. T ∗M ï¥âáï R-ᯥªâ஬  «£¥¡àë S∗ (C ∞(M)).
ˆ−ꥪ⨢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï i ¤®ª § −  ¢ á«¥¤á⢨¨ 9.74. „®ª ¦¥¬ áîàꥪ⨢−®áâì. ãáâì ¢ ®¡®§− ç¥−¨ïå ¯. 9.75 h ∈ |S∗(A)|, h = h A ¨ â®çª  z ∈ M â ª®¢ , çâ® A = C ∞ (M), h = hz . ’®£¤  Th A = Tz M ¨ ¢¢¨¤ã «¥¬¬ë 9.75 ®â®¡à ¦¥−¨¥ h ¬®¦−® ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª R-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ Tz M ¢ R, â. ¥. ª ª ª®¢¥ªâ®à dz f ∈ T ∗M (á¬. ¯. 9.22). ‘®£« á−®

198

ƒ« ¢  9

®¯à¥¤¥«¥−¨î h ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® γhz ,f (X) = (hz ◦ ™f )(X) = (hz ◦ X)(f) = Xz (f) = dz f(Xz ) = h(Xz ) = h(X). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, h S1 (A) = γhz ,f S1 (A) . ¨¦¥á«¥¤ãîé ï «¥¬¬ , ¯à¥¤¯®á뫪  ª®â®à®© ®ç¥¢¨¤−ë¬ ®¡à §®¬ ¢ë¯®«−ï¥âáï ¤«ï  «£¥¡àë C ∞ (M) ¡« £®¤ àï úà §¡¨¥−¨î ¥¤¨−¨æëû (á¬. «¥¬¬ã 4.18), ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® í⮣® ¤®áâ â®ç−® ¤«ï ã⢥ত¥−¨ï, çâ® h ¯à¨− ¤«¥¦¨â ®¡à §ã ®â®¡à ¦¥−¨ï i.  9.77. ‹¥¬¬ .
ãáâì K- «£¥¡à  A â ª®¢ , çâ® ¤«ï «î¡®£® − âãà «ì−®£® l ¢á直© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¯®à浪   l ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¬®−®¬®¢ ¢¨¤  aX1 ◦ . . . ◦ Xs , £¤¥ Xi ∈ D(A), s  l. ’®£¤ , ¥á«¨ h1 , h2 ∈ |S∗ (A)|, h1 A = h2 A ¨ h2 S1 (A) , â® h1 = h2 . h1 S1 (A) =
¥à¥å®¤ï ª ᨬ¢®« ¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢, ¬ë ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ®  «£¥¡à  S∗ (A) ¯®à®¦¤ ¥âáï ᢮¨¬ ¯®¤¬®¤ã«¥¬ S1 (A) = D(A), â. ¥. çâ® «î¡®© ᨬ¢®« s = smblk (δ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¬®−®¬®¢ as1 · . . . · sk , £¤¥ hi ¥áâì £®¬®¬®à䨧¬ si = smbl1 Xj , Xj ∈ D(A). ’ ª ª ª  «£¥¡à, â® hi (as1 · . . . · sk ) = hi (a)hi(s1 ) · . . . · hi (sk ) ¨ âॡ㥬®¥ à ¢¥−á⢮ h1 (s) = h2 (s) ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® ¯® ãá«®¢¨î h2(s) ¤«ï ¢á¥å a ∈ A = S0 (A) ¨ h1 (a) = h2(a) ¨ h1(s) = s ∈ D(A) = S1 (A).  9.78. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ R-ᯥªâà  «£¥¡àë ᨬ¢®«®¢ −  ªà¥á⥠S∗ (C ∞(K)), ¨á¯®«ì§ãï ¨ ¬®¤¨ä¨æ¨àãï ¯® ¬¥à¥ −¥®¡å®¤¨¬®á⨠ª®−áâàãªæ¨¨, ¯®§¢®«¨¢è¨¥ − ¬ ®¯¨á âì ᯥªâà  «£¥¡àë S∗ (C ∞(M)). ‚¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 9.71 íâ®â ᯥªâà ¥áâ¥á⢥−−® ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ª®ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ −  ªà¥áâ¥. 9.79. «£¥¡à  ᨬ¢®«®¢ ¢ ª®®à¤¨− â å. ’¥®à¥¬  9.76 ¯®§¢®«ï¥â ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë S∗ (C ∞ (M)) ª ª äã−ªæ¨¨ −  T ∗M. ¯¨è¥¬ íâã ¨−â¥à¯à¥â æ¨î ¢ â¥à¬¨− å ᯥ樠«ì−ëå ª®®à¤¨− â (á¬. ¯. 9.24).

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

199

ãáâì (U, x) | «®ª «ì− ï ª àâ  −  M. ’®£¤  ᮣ« á−® ¯. 9.24 (T ∗U, T ∗x) | «®ª «ì− ï ª àâ  −  T ∗M. ‹®ª «¨§ æ¨ï −  ®¡« áâì U ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢, ®¯à¥¤¥«¥−−ëå −  M, ¯®à®¦¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî «®ª «¨§ æ¨î  «£¥¡àë S∗ (C ∞ (M)), ª®â®à ï, ®ç¥¢¨¤−®, ᮢ¯ ¤ ¥â á S∗ (C ∞ (U)). ®íâ®¬ã ¬ë ¬®¦¥¬ ®£à −¨ç¨âìáï ¨−â¥à¯à¥â æ¨¥© ¥¥ í«¥¬¥−⮢ ª ª äã−ªæ¨© −  T ∗U. Œë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§− ç¥−¨ï ¯. 9.76. ãáâì θ = dz f ∈ T ∗U, f ∈ C ∞ (U) ¨ – ∈ Di¨ k C ∞ (M). ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ s äã−ªæ¨î −  T ∗M, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ᨬ¢®«ã smblk –. ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î s(θ) = γhz ,f (smblk (–)). ⮦¤¥á⢨¬, ª ª ¨ ¢ëè¥, ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ X ∈ D(U) á ¥£® ᨬ¢®«®¬. ‚ ¯. 9.76 ¡ë«® § ¬¥ç¥−®, çâ® γhz ,f (X) = Xz (f). ®í⮬ã s(θ) = Xz (f). ∂f ∂ , â® s(θ) = (z). ‚ ç áâ−®áâ¨, ¥á«¨ X = ∂xi ∂xi  ¯®¬−¨¬, ç⮠ᮣ« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î ᯥ樠«ì−ëå ª®®à¤¨− â (x, p) ¢ T ∗U ª®®à¤¨− â  pi (θ) ¥áâì i-ï ª®¬¯®−¥−â  ª®¢¥ªâ®à  θ ®â−®á¨â¥«ì−® ¡ §¨á  {dz xi} ¢ Tz∗M. ’ ª ª ª ¢ − è¥¬ á«ãç ¥ ∂f θ = dz f, â® pi (θ) = (z) ¨, §− ç¨â, ∂xi s ∂ = pi . ∂xi

‡ ¬¥â¨¬ ¤ «¥¥, çâ® â ª ª ª smblk+l (– ◦ ∇) = smblk (–) · smbll (∇), ¥á«¨ – ∈ Di¨ k C ∞ (M), ∇ ∈ Di¨ l C ∞(M), â® s(–◦∇) = s– · s∇ .  ∂ |σ| ®í⮬㠥᫨ – = |σ|
h aσ σ , â® ∂x  s– = aσ pσ , £¤¥ pσ = pi11 · . . . · pinn , ¥á«¨ σ = (i1 , . . . , in ). |σ|=k

200

ƒ« ¢  9

’ ª¨¬ ®¡à §®¬,  «£¥¡à  S∗ (C ∞(U)) ¨§®¬®àä−   «£¥¡à¥ ¯®«¨−®¬®¢ ®â ¯¥à¥¬¥−−ëå p1 , . . . , pn á ª®íää¨æ¨¥−â ¬¨ ¢  «£¥¡à¥ C ∞ (U). ˆ§ í⮣® −¥¯®á।á⢥−−® ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥 9.80. ।«®¦¥−¨¥. «£¥¡à  S∗(C ∞ (M)) ¨§®¬®àä−  ¯®¤ «£¥¡à¥  «£¥¡àë C ∞ (T ∗M), á®áâ®ï饩 ¨§ äã−ªæ¨©, ®£à −¨ç¥−¨ï ª®â®àëå −  á«®¨ Tz∗M ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï áãâì ¯®«¨−®¬ë. «£¥¡à  C ∞(T ∗ M) ¨§®¬®àä−  £« ¤ª®¬ã § ¬ëª −¨î  «£¥¡àë S∗ (C ∞ (M)). “¯à ¦−¥−¨ï. 1. „®ª ¦¨â¥, çâ® ®£à −¨ç¥−¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï s∗df : C ∞ (T ∗M) → C ∞(M) −  ¯®¤ «£¥¡àã S∗ (C ∞ (M)) ᮢ¯ ¤ ¥â á ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ™f : C ∞ (T ∗M) → C ∞(M) (á¬.9.71). 2. ãáâì A | K- «£¥¡à , h ∈ |A| ¨ S+(A) = i>0 Si (A). ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥  = h, h h: S∗ (A) → K, h = 0, A S+ (A) ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ K- «£¥¡à, â. ¥. h ∈ |S∗(A)|. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à¨ A = C ∞(M) ®â®¡à ¦¥−¨¥ |A| → |S∗ (A)|, h → h, ᮢ¯ ¤ ¥â á sdf ¤«ï f ≡ 0 (ª −®−¨ç¥áª®¥ ¢«®¦¥−¨¥ M ¢ T ∗M). 3.  ©¤¨â¥  − «®£ ®â®¡à ¦¥−¨ï sdf ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−ëå K- «£¥¡à. 4. ¯¨è¨â¥  «£¥¡àã ᨬ¢®«®¢ S∗ (C ∞ (K)), ॠ«¨§®¢ ¢ ¥¥ ª ª  «£¥¡àã äã−ªæ¨© −  ᯥªâॠ|S∗ (C ∞ (K))|. 9.81. ƒ ¬¨«ìâ®−®¢ ä®à¬ «¨§¬ −  T ∗M ¨ |S∗ (A)|. ¯¨è¥¬ ⥯¥àì ¤«ï A = C ∞ (M) ᪮¡ªã {·, ·}, ®¯à¥¤¥«¥−−ãî ¢ 9.70, ¢ ᯥ樠«ì−ëå «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å. ‚¢¨¤ã ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç−®á⨠íâ¨å ᪮¡®ª ¨ á®®â−®è¥−¨ï {s, s1 s2 } = {s, s1 }s2 + s1{s, s2 }

(9.31)

(á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ 2 ¨§ ¯. 9.70) íâã ᪮¡ªã ¤®áâ â®ç−® ¢ëç¨á«¨âì ¤«ï ª®®à¤¨− â−ëå äã−ªæ¨©. ‚ ®¡®§− ç¥−¨ïå ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ã−ªâ  ᮣ« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î ¨¬¥¥¬: {s– , s∇ } = s[–,∇] .

(9.32)

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

201

" ∂ ∂ # ’ ª ª ª [f, g] = [g, f] = 0, ¥á«¨ f, g ∈ C ∞ (U), , =0 ∂xi ∂xj " ∂ # ∂f ¨ ,f = , â®, ᮣ« á−® (9.32) ∂xi ∂xi ∂f(x) . (9.33) {f(x), g(x)} = 0, {pi , pj } = 0, {pi , f(x)} = ∂xi „ «¥¥, −  ®á−®¢ −¨¨ (9.31) ¤«ï F = f(x)pσ , G = g(x)pτ ¨¬¥¥¬ {F, G} ={f(x)pσ , g(x)pτ } ={f(x), g(x)}pσ pτ + {f(x), pτ }g(x)pσ + {pσ , g(x)}f(x)pτ + {pσ , pτ }f(x)g(x) ={pσ , g(x)}f(x)pτ − {pτ , f(x)}g(x)pσ . ‚¢¨¤ã ¯®á«¥¤−¥£® ¨§ à ¢¥−á⢠(9.33) n n   ∂pσ ∂g ∂pτ ∂f σ τ {p , g(x)} = , {p , f(x)} = . ∂pi ∂xi ∂pi ∂xi i=1 i=1 ‘®¡¨à ï ¢á¥ í⨠ä®à¬ã«ë ¢®¥¤¨−®, ¢ ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ä®à¬ã«ã  n   ∂F ∂G ∂G ∂F − , (9.34) {F, G} = ∂p ∂x ∂p ∂x i i i i i=1

  íâ® áâ −¤ àâ− ï ᪮¡ª  ã áá®−  −  T ∗M.
®«¥¥ ⮣®, íâ  ä®à¬ã«  ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥  «£¥¡àë ᨬ¢®«®¢ def XF = {F, ·}, £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨−â¥à¯à¥â¨à㥬®¥ ª ª ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ −  ¥¥ R-ᯥªâà¥, â. ¥. −  T ∗M, ¨¬¥¥â ¢¨¤  n   ∂F ∂ ∂F ∂ XF = − ; (9.35) ∂p ∂x i ∂xi i ∂pi i=1 â ª¨¬ ®¡à §®¬, XF ï¥âáï £ ¬¨«ìâ®−®¢ë¬ ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ −  T ∗M, ®â¢¥ç î騬 äã−ªæ¨¨ ƒ ¬¨«ìâ®−  F . â® ¤ ¥â − ¬ ®á−®¢ −¨¥ − §¢ âì ᪮¡ªã {·, ·} −   «£¥¡à¥ ᨬ¢®«®¢ S∗ (A) ¯à®¨§¢®«ì−®© K- «£¥¡àë A ᪮¡ª®©
ã áá®− ,   ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ {s, ·}, s ∈ S∗(A), £ ¬¨«ìâ®−®¢ë¬ ¢¥ªâ®à−ë¬ ¯®«¥¬ −  |S∗(A)|. ˆâ ª, ¬ë ¥é¥ à § ¢¨¤¨¬ ¯®«ì§ã ®â â®çª¨ §à¥−¨ï

202

ƒ« ¢  9

−  ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ª ª −   á¯¥ªâ ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë, ¢ë⥪ î饩 ¨§ 㢠¦¥−¨ï ¯à¨−樯  − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. —¨â â¥«ì ¬®¦¥â, − ¯à¨¬¥à, à §¢«¥çìáï, à §¢¨¢ £ ¬¨«ìâ®−®¢ã ¬¥å −¨ªã −  £« ¤ª¨å ¬−®¦¥áâ¢ å ¨«¨ − ¤  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬¨ ¯®«ï¬¨. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. ãáâì F = F (x, p) ∈ C ∞(T ∗M). “¡¥¤¨â¥áì, çâ® − å®¦¤¥−¨¥ äã−ªæ¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î s∗df (F ) = 0, f ∈ C ∞ (M), à ¢−®á¨«ì−® à¥è¥−¨î ãà ¢−¥−¨© ƒ ¬¨«ìâ®− |Ÿª®¡¨ ¨ − ©¤¨â¥  − «®£ íâ¨å ãà ¢−¥−¨© ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−®© K- «£¥¡àë A. 2. ¯¨è¨â¥ £ ¬¨«ìâ®−®¢ã ¬¥å −¨ªã −  ªà¥á⥠K. 9.82. ˆâ ª, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥−−ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ª« áá¨ç¥áª®© ª®−楯樨 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨ à §¢¨¢ ¥âáï «¥£ª® ¨ ¥áâ¥á⢥−−®, ¥á«¨ −¥ â¥àïâì ¨§ ¢¨¤ã íâ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮. Š®¬¬ãâ â¨¢−®áâì  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå, ª ª í⮠㦥 ®â¬¥ç «®áì, ä®à¬ «¨§ã¥â äã−¤ ¬¥−â «ì−ãî ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¨¤¥î −¥§ ¢¨á¨¬®á⨠− ¡«î¤¥−¨©.
®«¥¥ ¨§ë᪠−− ï ॠ«¨§ æ¨ï í⮩ ¨¤¥¨ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ª®¬¬ãâ â¨¢−ëå £à ¤ã¨à®¢ −−ëå  «£¥¡à, ¯® âà ¤¨æ¨¨ − §ë¢ ¥¬ëå 䨧¨ª ¬¨ á㯥ࠫ£¥¡à ¬¨, −¥ ¯à¨¢−®á¨â −¨ª ª¨å ¤®¯®«−¨â¥«ì−ëå âàã¤−®á⥩. ‚ᥠ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¨ ª®−áâàãªæ¨¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¤®á«®¢−® ¯¥à¥−®áïâáï −  íâ®â á«ãç ©,   â ª¦¥ −  «î¡ë¥ ¤à㣨¥ á«ãç ¨, ª®£¤  ¯®−ïâ¨î ª®¬¬ãâ â¨¢−®á⨠¬®¦−® ¯à¨¤ âì à §ã¬−ë© á¬ëá«. ‚ ª¢ −⮢®© 䨧¨ª¥, ª ª ¨§¢¥áâ−®, ¯à¨å®¤¨âáï ®âª § âìáï ®â ¯à¨−樯  −¥§ ¢¨á¨¬®á⨠− ¡«î¤¥−¨©.
ë«® ¡ë, ®¤− ª®, −¥¯à ¢¨«ì−® ¯ëâ âìáï ¯à®ª¢ −⮢ âì ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ á 楫ìî − ©â¨ ¥áâ¥á⢥−−ë¥ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥ á।á⢠ ¤«ï ®¯¨á −¨ï ª¢ −⮢ëå ¥−¨© ¯ã⥬ ¬¥å −¨ç¥áª®© § ¬¥−ë ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¥  «£¥¡à −  −¥ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¥. —¨â â¥«ì ¬®¦¥â ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¯®¯à®¡®¢ ¢ á¨á⥬ â¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ¯¥à¥−¥á⨠−  −¥ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¥  «£¥¡àë ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¨ ª®−áâàãªæ¨¨ − áâ®ï饩 £« ¢ë. ¥ã¤ ç  ¯®¯ë⮪ ¯®¤®¡−®£® த  ¯à¨−¨¬ ¥â ¯®¨áâ¨−¥ ª â áâà®ä¨ç¥áª¨¥ à §¬¥àë, ¥á«¨ ¯ëâ âìáï ¯¥à¥−®á¨âì ¡®«¥¥ â®−ª¨¥ ¨ £«ã¡®ª¨¥ ª®−áâàãªæ¨¨. ‚ᥠí⨠¨ ¬−®£¨¥ ¤à㣨¥

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥

203

¤®¢®¤ë 㪠§ë¢ îâ −  â®, çâ® ¢àï¤ «¨ ¬®¦−® ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨  ¤¥ª¢ â−® ä®à¬ «¨§®¢ âì ª¢ −â®¢ë© ¯à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠−  ï§ëª¥ −¥ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë (¨«¨ −¥ª®¬¬ãâ â¨¢−®© £¥®¬¥âਨ). ‘¥©ç á ¥áâì ¢á¥ ®á−®¢ −¨ï ¯®« £ âì, çâ® íâ  æ¥«ì ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®á⨣−ãâ  ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ −  ï§ëª¥ ¢â®à¨ç−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ïî饣®áï ᢮¥®¡à §−ë¬ á¨−⥧®¬ ®¡ëç−®£® (=¯¥à¢¨ç−®£®) ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï ¨ £®¬®«®£¨ç¥áª®©  «£¥¡àë. ‚® ¢á类¬ á«ãç ¥, −¥ ¢ë§ë¢ ¥â ᮬ−¥−¨©, çâ® íâ® ¨áç¨á«¥−¨¥ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ï§ëª®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ −¥«¨−¥©−ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå.

ƒ« ¢  10

ƒ‹„Šˆ… ‘‘‹…
ˆŸ

10.1. ‚−ãâà¥−−ïï áâàãªâãà  â®çª¨. Š®−楯æ¨ï − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, à §¢¨â ï ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å, ¯à¥¤¯®« £ ¥â, çâ® â®çª  | íâ® í«¥¬¥−â à−ë© ®¡ê¥ªâ, ª®â®àë© ¬®¦−® ¨−¤¨¢¨¤ã «¨§¨à®¢ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¤ −−®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨¡®à®¢, â. ¥. § ¤ −−®©  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå A. ¤− ª® ®¯ëâ ¦¨§−¨ ¢ ॠ«ì−®¬ 䨧¨ç¥áª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ ¯®¤áª §ë¢ ¥â, çâ® â®çª  ¬®¦¥â ¨¬¥âì âã ¨«¨ ¨−ãî ú¢−ãâà¥−−îî áâàãªâãàãû, − ¯à¨¬¥à ®¡« ¤ âì ⥬¯¥à âãன, 梥⮬, ¢« ¦−®áâìî ¨ â. ¤. ¨ â. ¯. ਤ −¨¥ â®ç−®£® ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® á¬ëá«  á«®¢ ¬ ú¢−ãâà¥−−ïï áâàãªâãà û ï¥âáï á«¥¤ãî騬 −¥®¡å®¤¨¬ë¬ è £®¬ ¢  − «¨§¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¬¥å −¨§¬  − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. â® ¬®¦−® ᤥ« âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯®−ïâ¨ï à áá«®¥−¨ï, ¨§ãç¥−¨¥ ª®â®à®£® á®áâ ¢«ï¥â ¯à¥¤¬¥â − áâ®ï饩 £« ¢ë. A priori, ¬ë ¤®«¦−ë ¤®¯ãáâ¨âì ¤¢¥ ¢®§¬®¦−®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ⮬ã, ª ª®© áâ âãá, ®â−®á¨â¥«ì−ë© ¨«¨  ¡á®«îâ−ë©, ¯à¨¤ ¥âáï ª®−楯樨 ¢−ãâà¥−−¥© áâàãªâãàë ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®£® ¬¥å −¨§¬  − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. â−®á¨â¥«ì−®áâì ¢−ãâà¥−−¥© áâàãªâãàë ®§− ç ¥â, çâ® ®−  ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§ãç¥−  −¥ ¢ëå®¤ï ¨§ à ¬®ª ª« áá¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ , ¯ã⥬ ¯à®á⮣® ¤®¡ ¢«¥−¨ï ª 㦥 ¨¬¥î騬áï ¯à¨¡®à ¬ −®¢ëå. Œ â¥¬ â¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮩ ª®−áâàãªæ¨¨ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ®  «£¥¡à  − ¡«î¤ ¥¬ëå A à áè¨àï¥âáï ¤® ¡®«ì襩  «£¥¡àë B ¯®á।á⢮¬ ¢«®¦¥−¨ï

204

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

205

i : A → B. ਠí⮬ ¢−ãâà¥−−ïï áâàãªâãà , ª®â®à®© ®¡« ¤ ¥â â®çª  z ∈ |A|, ®¯¨á뢠¥âáï ¥¥ ¯à®®¡à §®¬ |i|−1(z) ⊂ |B| ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ R-ᯥªâ஢ |i| : |B| → |A| (á¬. ¯. 3.19). ਬ¥à.
¥á梥â−ë© âà¥å¬¥à−ë© ¬¨à R3 ¬®¦−® ᤥ« âì 梥â−ë¬, ¥á«¨ ¤®¡ ¢¨âì ª ¨−áâà㬥−â ¬, ¨§¬¥àïî騬 ª®®à¤¨− âë â®çª¨, ¥é¥ ®¤¨− ¯à¨¡®à, ¨§¬¥àïî騩 梥â, â. ¥. ç áâ®âã í«¥ªâ஬ £−¨â−®£® ¨§«ãç¥−¨ï. «£¥¡à ¨ç¥áª¨ íâ® ®§− ç ¥â, çâ®  «£¥¡à  A = C ∞ (R3) § ¬¥−ï¥âáï  «£¥¡à®© B = A ⊗R C, £¤¥ C |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ú¬−®£®®¡à §¨¨ 梥⮢û, ª®â®à®¥ ¥áâ¥á⢥−−® ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á R1+. ‚«®¦¥−¨¥ i : A → B ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à ¢¨«®¬ A  a → a ⊗ 1C ∈ A ⊗R C. ‚®§¢à é ïáì ª ®¡é¥¬ã á«ãç î, § ¬¥â¨¬, çâ® |i|−1 (z) = |Bz |, £¤¥ Bz = B/(µz · B). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢−ãâà¥−−ïï áâàãªâãà  â®çª¨ z ∈ A − ¡«î¤ ¥¬  ¯à¨ ¯®¬®é¨  «£¥¡àë Az . ।¯®«®¦¥−¨¥, çâ® ¢á¥ â®çª¨ z ∈ |A| à ¢−®¯à ¢−ë ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ª ¦¤ ï ¨§ −¨å ®¡« ¤ ¥â â ª®© ¦¥ ¢−ãâà¥−−¥© áâàãªâãன (¬®¦¥â − å®¤¨âìáï ¢ â ª®¬ ¦¥ á®áâ®ï−¨¨ ¨ â. ¯.), ª ª ¨ «î¡ ï ¤à㣠ï, ®§− ç ¥â, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ᢮¥¬ à á¯®à殮−¨¨ à ¢−®§− ç−ë¥ ¤®¯®«−¨â¥«ì−ë¥ ¢®§¬®¦−®á⨠− ¡«î¤ âì §  ⥬, çâ® ¯à®¨á室¨â ú¢−ãâà¨û à §«¨ç−ëå â®ç¥ª ᯥªâà  |A|. â® à ¢−®á¨«ì−® ⮬ã, çâ® ¢á¥  «£¥¡àë ú¤®¯®«−¨â¥«ì−ëå − ¡«î¤ ¥¬ëåû Az ®¤¨− ª®¢ë, â. ¥. ¨§®¬®àä−ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©. …᫨ íâ® ãá«®¢¨¥ ॠ«¨§ã¥âáï −¥ª®â®àë¬ à¥£ã«ïà−ë¬ ®¡à §®¬ (á¬. ¯. 10.9), â® ®â®¡à ¦¥−¨¥ |i| : |B| → |A| − §ë¢ ¥âáï «®ª «ì−® âਢ¨ «ì−ë¬ £« ¤ª¨¬ à áá«®¥−¨¥¬. ‚ ¯à¨¢¥¤¥−−®¬ ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à¥ íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«−¥−®, ¨ ¢á¥  «£¥¡àë Az ¨§®¬®àä−ë C.   ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤, ®â−®á¨â¥«ì−ë¥ ¢−ãâà¥−−¨¥ áâàãªâãàë −¥ ¤®¡ ¢«ïîâ −¨ç¥£® −®¢®£® ¢ ª« áá¨ç¥áªãî á奬ã − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, â ª ª ª «î¡ ï −¥âਢ¨ «ì− ï áâàãªâãà  â ª®£® ⨯  ª®¬¯¥−á¨àã¥âáï ¯®¤å®¤ï騬 à áè¨à¥−¨¥¬  «£¥¡àë A. â®, ®¤− ª®, −¥ ¢á¥£¤  㤮¡−® ¤¥« âì, ¥á«¨ ¬−®£®®¡à §¨¥ M = |A| ¨£à ¥â ஫ì íªà − , −  ª®â®à®¬ ¢ëᢥ稢 îâáï â®çª¨, ¨¬¥î騥 à §−ë¥ ¢−ãâà¥−−¨¥ áâàãªâãàë. ’ ª, − ¯à¨¬¥à, ®¡á⮨⠤¥«®

206

ƒ« ¢  10

¢ á«ãç ¥ ॠ«ì−®£® 䨧¨ç¥áª®£® ¯à®áâà −á⢠.
®«¥¥ ⮣®, íâ®â ¢®¯à®á ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ⮫쪮 ¢®¯à®á®¬ 㤮¡á⢠, ¥á«¨ ú¢−ãâà¥−−¨¥ áâàãªâãàëû â®ç¥ª −  − è¥¬ íªà −¥ M  ¡á®«îâ−ë ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® −¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯¨á −ë à áᬮâà¥−−ë¬ ¢ëè¥ á¯®á®¡®¬, â. ¥. ¢ à ¬ª å ª« áá¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ . ’ ª®¢ë¬¨ ïîâáï ª¢ −â®¢ë¥ ï¢«¥−¨ï, ¬−®£®ç¨á«¥−−ë¥ ¯®¯ë⪨ ®¡êïá−¨âì ª®â®àë¥ ¢¢¥¤¥−¨¥¬ â ª − §ë¢ ¥¬ëå úáªàëâëå ¯ à ¬¥â஢û, â. ¥. ¤®¯®«−¨â¥«ì−ëå ª« áá¨ç¥áª¨å − ¡«î¤ ¥¬ëå, ®ª § «¨áì −¥á®áâ®ï⥫ì−묨. ‘ª § −−®¥ ¢ëè¥ ¯à¨§¢ −® ¯®¤ç¥àª−ãâì à®«ì ¬−®£®®¡à §¨ï ª ª ã−¨¢¥àá «ì−®£® (− è¥ 䨧¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà −á⢮) ¨«¨ ᯥ樠«¨§¨à®¢ −−®£® (− ¯à¨¬¥à, ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨á⥬ë) íªà − , −  ª®â®à®¬ ¢¨§ã «¨§¨àã¥âáï ¨−â¥à¥áãîé ï − á ¨−ä®à¬ æ¨ï. ¡á㦤 ¥¬®¥ ¢ í⮩ £« ¢¥ ¯®−ï⨥ à áá«®¥−¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨âã æ¨¨, ª®£¤  â®çª¨ −  íªà −¥ ¨¬¥îâ ®¤¨− ª®¢ë¥ ¢−ãâà¥−−¨¥ áâàãªâãàë. ¨¦¥, ¥á«¨ íâ® −¥ ®£®¢®à¥−® ®á®¡®, ¢á¥  «£¥¡àë ¯à¥¤¯®« £ îâáï £« ¤ª¨¬¨. 10.2. Š¢ §¨à áá«®¥−¨¥ ª ª à áè¨à¥−¨¥  «£¥¡à. ’¥®à¨î à áá«®¥−¨© 㤮¡−® ¯à¥¤¢ à¨âì ®¡á㦤¥−¨¥¬ ¡®«¥¥ ®¡é¥£® ¯®−ïâ¨ï | ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï. ‚  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å â¥à¬¨− å ¥£® ¬®¦−® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ƒ« ¤ª®¥ ª¢ §¨à áá«®¥−¨¥ | íâ® ¢«®¦¥−¨¥ £« ¤ª¨å  «£¥¡à i : A → B. Œ−®£®®¡à §¨¥ || − §ë¢ ¥âáï ¡ §®© ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï i, ¬−®£®®¡à §¨¥ |B| | â®â «ì−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï,   ®â®¡à ¦¥−¨¥ |i| : |B| → |A| | ¯à®¥ªæ¨¥©. 10.3. ਬ¥à I.  áá«®¥−¨¥-¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥. ãáâì A ¨ C | £« ¤ª¨¥  «£¥¡àë. ®«®¦¨¬ B = A ⊗R C (§¤¥áì, ª ª ¨ ¢ëè¥, ç¥àâ  á¢¥àåã ®§− ç ¥â £« ¤ª®¥ ¯®¯®«−¥−¨¥  «£¥¡àë, á¬. ¯. 3.37) ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢«®¦¥−¨¥ i : A → B ¯à ¢¨«®¬ a → a ⊗ 1. Š®−ªà¥â−ë¬ ¯à¨¬¥à®¬ â ª®£® ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï ¬®¦¥â á«ã¦¨âì à áá«®¥−¨¥ â®à  − ¤ ®ªàã¦−®áâìî, ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¢«®¦¥−¨¥

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

207

 «£¥¡à i : A → B, £¤¥ B = {g ∈ C ∞ (R2) | g(x + 1, y) = g(x, y + 1) = g(x, y)} |  «£¥¡à  ¤¢®ïª® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥−−ëå,   A | ¥¥ ¯®¤ «£¥¡à , á®áâ®ïé ï ¨§ äã−ªæ¨©, −¥ § ¢¨áïé¨å ®â y. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ A ={f ∈ C ∞ (R) | f(x + 1) = f(x)},

(10.1)

C ={f ∈ C ∞ (R) | f(y + 1) = f(y)},

(10.2)

â® «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® A ⊗ C ∼ = B.

¨á. 10.1. ਬ¥à II.
ãâ뫪  Š«¥©− , à áá«®¥−− ï − ¤ ®ªàã¦−®áâìî (á¬. à¨á. 10.2). â® ¢«®¦¥−¨¥  «£¥¡àë A = {f ∈ C ∞(R) | f(x + 1) = f(x)} £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ© ¢  «£¥¡àã B = {g ∈ C ∞ (R2 ) | g(x + 1, y) = −g(x, y + 1) = g(x, y)} ¯® ¯à ¢¨«ã f → g : g(x, y) = f(x).

208

ƒ« ¢  10

¨á. 10.2. ਬ¥à III. „¢ã«¨áâ−®¥ − ªàë⨥ ®ªàã¦−®áâ¨. ‚«®¦¥−¨¥  «£¥¡àë A = {f ∈ C ∞(R) | f(x + 1) = f(x)} ¢ á¥¡ï ¯® ¯à ¢¨«ã f → g : g(x) = f(2x). ਬ¥à IV. ¤−®«¨áâ−®¥ à áá«®¥−¨¥ ¯àאַ© − ¤ ®ªàã¦−®áâìî. ãáâì B = C ∞ (R),   A ⊂ B á®á⮨⠨§ â¥å äã−ªæ¨© f ∈ B, ¤«ï ª®â®àëå äã−ªæ¨ï x → f(1/x) ¨ ¢á¥ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤−ë¥ ¨¬¥îâ ª®−¥ç−ë¥ ¯à¥¤¥«ë ¯à¨ x → 0. ¥âàã¤−® ¯®−ïâì, çâ® A ∼ = C ∞ (S 1 ) ¨ ¯à¨ ¯®¤å®¤ï饬 ¢ë¡®à¥ í⮣® ¨§®¬®à䨧¬  ¤ −−®¬ã ¢«®¦¥−¨î ®â¢¥ç ¥â ®â®¡à ¦¥−¨¥   1 − t2 2t 1 2 2 , . R → S = {(x, y) | x + y = 1} : t → 1 + t2 1 + t2 ¡à §®¬ í⮣® ®â®¡à ¦¥−¨ï ï¥âáï ¢áï ®ªàã¦−®áâì ¡¥§ ®¤−®© â®çª¨.

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

209

ਬ¥à V. ‚ ¯ã−ªâ¥ 9.18 ®¯¨á −® ®â®¡à ¦¥−¨¥

πT : T M → M,

(z, ξ) → z,

ª á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ T M ¬−®£®®¡à §¨ï M −  á ¬® íâ® ¬−®£®®¡à §¨¥. 祢¨¤−®, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®â®¡à ¦¥−¨¥  «£¥¡à £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© C ∞ (M) → C ∞ (T M) ï¥âáï £®¬®¬®àä−ë¬ ¢«®¦¥−¨¥¬ £« ¤ª¨å  «£¥¡à.  ¨¡®«¥¥ ¢ ¦−ë¬ ª« áᮬ £« ¤ª¨å ª¢ §¨à áá«®¥−¨© ïîâáï à áá«®¥−¨ï (á¬. ¯¯. 10.9 ¨ 10.10) | ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï, ®¡« ¤ î騥 ᢮©á⢮¬ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®áâ¨. ˆ§ ¯à¨¢¥¤¥−−®£® ᯨ᪠ ¯à¨¬¥àë I{III,V ®¡« ¤ îâ í⨬ ᢮©á⢮¬,   ¯à¨¬¥à IV | −¥â. —â®¡ë ¤ âì â®ç−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®áâ¨, − ¬ ¯®− ¤®¡ïâáï ¯®−ï⨥ á«®ï ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®æ¥¤ãà  «®ª «¨§ æ¨¨. 10.4. ‘«®© ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨, á«®¥¬ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï i : A → B − ¤ â®çª®© h ∈ |A| − §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¯à®®¡à § ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ |i| : |B| → |A|. ‚ ¯à¨¬¥à å I{II á«®¥¬ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï ï¥âáï ®ªàã¦−®áâì, ¢ ¯à¨¬¥à¥ III | ¯ à  â®ç¥ª,   ¢ ¯à¨¬¥à¥ IV, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢ë¡®à  â®çª¨ z, á«®© «¨¡® ¯ãáâ, «¨¡® á®á⮨⠨§ ®¤−®© â®çª¨. ˆ − ª®−¥æ, ¢ ¯à¨¬¥à¥ V á«®© Tz M ¨§®¬®àä¥− ¯à®áâà −áâ¢ã Rn . ¡à â¨â¥ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® ¢ ¯à¨¬¥à å I ¨ II ¡ §  ¨ á«®© ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï ®¤¨− ª®¢ë,   â®â «ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ à §«¨ç−ë. «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ á«®ï − ¤ â®çª®© a ∈ |A| ¬®¦−® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: íâ® ä ªâ®à «£¥¡à   «£¥¡àë B ¯® ¨¤¥ «ã, ¯®à®¦¤¥−−®¬ã ¬−®¦¥á⢮¬ i(µa ), £¤¥ µa ⊂ A | ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ « â®çª¨ a.

210

ƒ« ¢  10

10.5. Š â¥£®à¨ï ª¢ §¨à áá«®¥−¨©. Œ®à䨧¬ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï i1 : A → B1 ¢ ª¢ §¨à áá«®¥−¨¥ i2 : A → B2 | íâ®, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, £®¬®¬®à䨧¬  «£¥¡à ϕ : B2 → B1 , § ¬ëª î騩 ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî ¤¨ £à ¬¬ã i1 }}}

}} }~ } B1 o

AA ϕ

AA i AA 2 AA

B2

ª¢¨¢ «¥−â− ï ä®à¬ã«¨à®¢ª  −  ï§ëª¥ ᯥªâ஢ (á¬. 8.6 ¨ 3.4) á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤®«¦−  ¡ëâì ª®¬¬ãâ â¨¢−®© ¤¨ £à ¬¬  |B1|

CC CC CC C |i1| C!

|ϕ|

|A|

/ |B2 | { {{ {{ { {} { |i2 |

â® §− ç¨â, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ |ϕ| ¯¥à¥¢®¤¨â á«®¨ ®¤−®£® ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï ¢ á«®¨ ¤à㣮£®: |ϕ|(|i1|−1 (a)) ⊂ |i2 |−1 (a), ¨«¨, çâ® â® ¦¥ á ¬®¥, ϕ(B2 · i2(µa )) ⊂ B1 · i1 (µa ) ¤«ï «î¡®© â®çª¨ a ∈ |A|. ‘®¢®ªã¯−®áâì ¢á¥å ª¢ §¨à áá«®¥−¨© − ¤ £« ¤ª®©  «£¥¡à®© A = C ∞ (M) ¨ ¬®à䨧¬®¢ ¬¥¦¤ã −¨¬¨ á®áâ ¢«ï¥â ª â¥£®à¨î ª¢ §¨à áá«®¥−¨© − ¤ M, ®¡®§− ç ¥¬ãî QBM . …᫨ ϕ | ¨§®¬®à䨧¬, ¨«¨, çâ® íª¢¨¢ «¥−â−®, |ϕ| | ¤¨ä䥮¬®à䨧¬, â® ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï i1 ¨ i2 − §ë¢ îâáï íª¢¨¢ «¥−â−묨. ‚ ⮬ ç áâ−®¬ á«ãç ¥, ª®£¤  £®¬®¬®à䨧¬ ϕ áîàꥪ⨢¥−, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᮡá⢥−−®¬ã ¢«®¦¥−¨î ¬−®£®®¡à §¨© |B1| → |B2 |, à áá«®¥−¨¥ i1 − §ë¢ ¥âáï ¯®¤à áá«®¥−¨¥¬ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï |i2|. à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï á ¡ §®© M ¨ á«®¥¬ F á«ã¦¨â à áá«®¥−¨¥-¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ M × F á ¥áâ¥á⢥−−®© ¯à®¥ªæ¨¥© −  ¯¥à¢ë© ᮬ−®¦¨â¥«ì, ¨«¨, ¢  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å â¥à¬¨− å, ¥áâ¥á⢥−−®¥ ¢«®¦¥−¨¥  «£¥¡àë = C ∞(M) ¢ ¯®¯®«−¥−−®¥ â¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ A ⊗ C, £¤¥ C = C ∞ (F ).

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

211

Š¢ §¨à áá«®¥−¨¥, íª¢¨¢ «¥−â−®¥ ¢ ª â¥£®à¨¨ QBM ª¢ §¨à áá«®¥−¨î â ª®£® த , − §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ì−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬. Š¢ §¨à áá«®¥−¨¥, «®ª «ì−® ¨§®¬®àä−®¥ âਢ¨ «ì−®¬ã, − §ë¢ ¥âáï (¯à®áâ®) à áá«®¥−¨¥¬. ’®ç−ë© á¬ëá« íâ  äà §  ¯®«ãç¨â ¯®á«¥ ⮣®, ª ª ¬ë ®¡êïá−¨¬, çâ® â ª®¥ «®ª «¨§ æ¨ï. 10.6. ‹®ª «¨§ æ¨ï. –¥«ì í⮣® ¯ã−ªâ  | ®¯¨á −¨¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®© ª®−áâàãªæ¨¨, ¯®§¢®«ïî饩 ¤ âì ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ®¯¥à æ¨¨ ®£à −¨ç¥−¨ï £« ¤ª®©  «£¥¡àë −  ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ (á¬. ¯. 3.23). ãáâì A | ª®¬¬ãâ â¨¢−®¥ ª®«ìæ® á ¥¤¨−¨æ¥© ¨ S | ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®¥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¢ A, â. ¥. S § ¬ª−ãâ® ®â−®á¨â¥«ì−® ã¬−®¦¥−¨ï, ᮤ¥à¦¨â 1 ¨ −¥ ᮤ¥à¦¨â 0. ‚ ¬−®¦¥á⢥ ¢á¥å ¯ à ¢¨¤  (a, s), £¤¥ a ∈ A, s ∈ S, à áᬮâਬ ®â−®è¥−¨¥ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠def

(a1, s1 ) ∼ (a2, s2 ) ⇐⇒ ∃s ∈ S : s(a1s2 − a2s1 ) = 0. a Š« áá íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¯ àë (a, s) ®¡®§− ç ¥âáï (¨«¨ a/s) s ¨ − §ë¢ ¥âáï ä®à¬ «ì−®© ¤à®¡ìî; ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å ª« áᮢ ®¡®§− ç ¥âáï S −1A. ‘«®¦¥−¨¥ ¨ ã¬−®¦¥−¨¥ ä®à¬ «ì−ëå ¤à®¡¥© ¬®¦−® ¢¢¥á⨠ᮣ« á−® ®¡ëç−ë¬ ä®à¬ã« ¬: a1 a2 a1 a2 · = , s1 s2 s1 s2

a1 a2 a1s2 + a2s1 + = . s1 s2 s1 s2

Œ−®¦¥á⢮ S −1 A, ¯à¥¢à é¥−−®¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ ª®«ìæ®, − §ë¢ ¥âáï «®ª «¨§ æ¨¥© ª®«ìæ  A ¯® ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®¬ã ¯®¤¬−®¦¥áâ¢ã S. ’ਢ¨ «ì−ë¥ ¯à®¢¥àª¨ ¯à¥¤®áâ ¢«ïîâáï ç¨â â¥«î. ¯à¥¤¥«¨¬ ª −®−¨ç¥áª¨© £®¬®¬®à䨧¬ ι : A → S −1 A á®®â−®è¥−¨¥¬ ι(a) = a/1. ‚®®¡é¥ £®¢®àï, ι −¥ ï¥âáï −¨ ¬®−®¬®à䨧¬®¬, −¨ í¯¨¬®à䨧¬®¬. ãáâì ⥯¥àì P | A-¬®¤ã«ì. „¥©áâ¢ãï ¯® ¯à¨¢¥¤¥−−®© ¢ëè¥ á奬¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ −  ¬−®¦¥á⢥ ¯ à ¢¨¤  (p, s), £¤¥ p ∈ P , s ∈ S, ®â−®è¥−¨¥ íª¢¨¢ «¥−â−®áâ¨, ¯®«®¦¨¢ def

(p1 , s1 ) ∼ (p2 , s2 ) ⇐⇒ ∃s ∈ S : s(p1 s2 − p2 s1 ) = 0.

212

ƒ« ¢  10

p Š« áá íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¯ àë (p, s) ®¡®§− ç ¥âáï (¨«¨ p/s) s ¨ â ª¦¥ − §ë¢ ¥âáï ä®à¬ «ì−®© ¤à®¡ìî; ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å ª« áᮢ ®¡®§− ç ¥âáï S −1 P . “¯à ¦−¥−¨ï. I. ஢¥àìâ¥, çâ® ®¯¥à æ¨ï á«®¦¥−¨ï í«¥¬¥−⮢ S −1 P ¨ ®¯¥à æ¨ï ã¬−®¦¥−¨ï í«¥¬¥−â  S −1 P −  í«¥¬¥−â  «£¥¡àë S −1 A, ¢¢®¤¨¬ë¥ á«¥¤ãî騬¨ ä®à¬ã« ¬¨: p1 p2 p1 s2 + p2 s1 + = , s1 s2 s1s2

a1 p2 a1p2 · = , s1 s2 s1 s2

ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−ë ¨ ¯à¥¢à é îâ S −1 P ¢ S −1 A-¬®¤ã«ì. II. ãáâì ϕ : P −→ Q | £®¬®¬®à䨧¬ A-¬®¤ã«¥©. „®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ S −1 (ϕ) : S −1 P −→ S −1 Q, § ¤ ¢ ¥¬®¥ ä®à¬ã«®©  p  def ϕ(p) S −1 (ϕ) = , s s

p ∈ P, s ∈ S,

ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−® ¨ ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ S −1 A-¬®¤ã«¥©. ¥§î¬¨àãï १ã«ìâ âë í⮣® ¯ã−ªâ , ¬®¦−® ᪠§ âì, çâ® ¯à¨¢¥¤¥−−ë¥ §¤¥áì ª®−áâàãªæ¨¨ ᮯ®áâ ¢«ïîâ ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®¬ã ¯®¤¬−®¦¥áâ¢ã S ⊂ A äã−ªâ®à ¨§ ª â¥£®à¨¨ A-¬®¤ã«¥© ¢ ª â¥£®à¨î S −1 A-¬®¤ã«¥©. I. …᫨ ¢ A −¥â ¤¥«¨â¥«¥© −ã«ï ¨ S = A \ {0}, â® S −1 A ¥áâì ¯®«¥ ç áâ−ëå ª®«ìæ  A. II. ãáâì A = Z ¨ S | ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å −¥®âà¨æ â¥«ì−ëå á⥯¥−¥© ç¨á«  10. ’®£¤  S −1A | ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å à æ¨®− «ì−ëå ç¨á¥«, ¤¥áïâ¨ç− ï § ¯¨áì ª®â®àëå ª®−¥ç− . III. …᫨ A = C ∞ (M), x ∈ M ¨ S = A \ µx , â® S −1 A ¥áâì ª®«ìæ® à®á⪮¢ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  M ¢ â®çª¥ x (ç¨â â¥«¨, §− ª®¬ë¥ á ¯®−ï⨥¬ à®á⪠, ¬®£ãâ ¤®ª § âì íâ®â 䠪⠢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¦−¥−¨ï; ®áâ «ì−ë¥, ¯à¨−ï¢ ¥£® §  ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, ¬®£ãâ ¯®¯ëâ âìáï ¯®−ïâì ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá«).

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

213

10.7. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì U | ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¬−®£®®¡à §¨ï M, A = C ∞ (M) ¨ S = {f ∈ A | f(x) = 0 ∀x ∈ U}. ’®£¤  S −1 A ∼ = C ∞ (U),   ª −®−¨ç¥áª¨© £®¬®¬®à䨧¬ ι : C ∞ (M) → C ∞ (U) ᮢ¯ ¤ ¥â á £®¬®¬®à䨧¬®¬ ®£à −¨ç¥−¨ï: ι(f) = f U .
„«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ í⮣® ã⢥ত¥−¨ï à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ α : S −1 A → C ∞ (U), ¤¥©áâ¢ãî饥 ¯® ¯à ¢¨«ã   f f(x) α (x) = , f ∈ A, s ∈ S, x ∈ U, s s(x) â. ¥. ¯à¥¢à é î饥 ä®à¬ «ì−ãî ¤à®¡ì ¢ ®¡ëç−®¥ ç áâ−®¥ ¤¢ãå äã−ªæ¨©. â® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª®à४â−®, ¯®áª®«ìªã í«¥¬¥−âë s ∈ S −¥ ®¡à é îâáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª å U. ।¯®«®¦¨¬, çâ® α(f1 /s1 ) = α(f2 /s2 ). ’®£¤  äã−ªæ¨ï f1 s2 − f2 s1 ⮦¤¥á⢥−−® à ¢−  −ã«î −  U. ® «¥¬¬¥ II ¯ã−ªâ  4.17 áãé¥áâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï s ∈ S, ⮦¤¥á⢥−−® à ¢− ï −ã«î ¢−¥ U. ந§¢¥¤¥−¨¥ íâ¨å ¤¢ãå äã−ªæ¨© ¡ã¤¥â ⮦¤¥á⢥−−® à ¢−® −ã«î −  ¢á¥¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ M: s(f1 s2 − f2 s1 ) = 0 ª ª í«¥¬¥−â  «£¥¡àë A. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ä®à¬ «ì−ë¥ ¤à®¡¨ f1 /s1 ¨ f2 /s2 à ¢−ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©. â® ¤®ª §ë¢ ¥â ¨−ꥪ⨢−®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï α. …£® áîàꥪ⨢−®áâì ¢ë⥪ ¥â ¨§ á«¥¤ãî饩 «¥¬¬ë.  “¯à ¦−¥−¨¥. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥à â ª®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©, −® −¥ £« ¤ª®©  «£¥¡àë A ¨ â ª®£® ®âªàë⮣® ¯®¤¬−®¦¥á⢠ U ⊂ |A|, çâ®  «£¥¡àë S −1 A ¨ A|U −¥ ¨§®¬®àä−ë. 10.8. ‹¥¬¬ .
ãáâì U | ®âªàë⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮ ¬−®£®®¡à §¨ï M ¨ f ∈ C ∞ (U). ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï äã−ªæ¨ï g ∈ C ∞ (M), −¨£¤¥ −  U −¥ ®¡à é îé ïáï ¢ −ã«ì, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ fg £« ¤ª® ¯à®¤®«¦ ¥âáï −  ¢á¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ M ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, f = α(fg/g).
‘âண®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ í⮣® ä ªâ  ¬®¦−® ¯®«ãç¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ â¥å−¨ª¨ úà §¡¨¥−¨ï ¥¤¨−¨æëû, ®¯¨á −−®© ¢ £« ¢¥ 2. „¥â «¨ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¦−¥−¨ï. 

214

ƒ« ¢  10

’¥¯¥àì ¬ë ¢ á®áâ®ï−¨¨ ¤ âì áâண®¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï. ‚− ç «¥ − ¯®¬−¨¬, çâ® á® ¢á直¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ K- «£¥¡à ϕ : A −→ B á¢ï§ë¢ ¥âáï ®¯¥à æ¨ï § ¬¥−ë ª®«¥æ. −  á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢á直© B-¬®¤ã«ì R à áᬠâਢ def ¥âáï ª ª A-¬®¤ã«ì: a · r = ϕ(a)r, a ∈ A, r ∈ R. ‚ ç áâ−®áâ¨, ¨  «£¥¡à  B ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª A-¬®¤ã«ì, ¯®í⮬㠤«ï § ¤ −−®£® ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®£® ¯®¤¬−®¦¥á⢠ S ⊂ A ®¯à¥¤¥«¥− S −1 A-¬®¤ã«ì S −1 B. 10.9. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì A, B ¨ F | £« ¤ª¨¥  «£¥¡àë. ˆ−ꥪ⨢−ë© £®¬®¬®à䨧¬ i : A → B − §ë¢ ¥âáï à áá«®¥−¨¥¬ |B| − ¤ |A| á® á«®¥¬ |F |, ¥á«¨ ª ¦¤ ï â®çª  z ∈ |A| ®¡« ¤ ¥â ®âªàë⮩ ®ªà¥áâ−®áâìî Uz ⊂ |A|, − ¤ ª®â®à®© «®ª «¨§ æ¨ï £®¬®¬®à䨧¬  i íª¢¨¢ «¥−â−  à áá«®¥−¨î-¯à®¨§¢¥¤¥−¨î Sz−1 A → Sz−1 A ⊗ F , £¤¥ Sz ⊂ A | ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢− ï á¨á⥬ , ®â¢¥ç îé ï ¯®¤¬−®¦¥áâ¢ã Uz , â. ¥. á®áâ®ïé ï ¨§ ¢á¥å í«¥¬¥−⮢  «£¥¡àë A, §− ç¥−¨ï ª®â®àëå ¢ â®çª å Uz ®â«¨ç−ë ®â 0. ’®ç−¥¥ £®¢®àï, ¤®«¦¥− áãé¥á⢮¢ âì ¨§®¬®à䨧¬  «£¥¡à p : Sz−1 B → Sz−1 A ⊗ F , ¤¥« î騩 ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¬ âà¥ã£®«ì−¨ª Sz−1 A K

Sz−1 (i)

KKK KKK K j KK%

/ S −1 B z s ss s s ss sy ss p

Sz−1 A ⊗ F

£¤¥ j | ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ¢á直© í«¥¬¥−â a ¢ a ⊗ 1. ( ¯®¬−¨¬ ¥é¥ à §, çâ® ç¥àâ  ®¡®§− ç ¥â £« ¤ª®¥ § ¬ëª −¨¥  «£¥¡àë.)  áá«®¥−¨¥ π âਢ¨ «ì−® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¯à¥¤ë¤ã饥 ãá«®¢¨¥ ( ªá¨®¬  «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®áâ¨) ¢ë¯®«−ï¥âáï ¤«ï −¥£® ¯à¨ Ua = M. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨©  − «®£ ¯à¥¤ë¤ã饣® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ä®à¬ã«¨àã¥âáï −¥áª®«ìª® ¯à®é¥. ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ®¡®¨å ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¢¯®«−¥ ®ç¥¢¨¤− .

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

215

10.10. ¯à¥¤¥«¥−¨¥. ãáâì E ¨ M | £« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï. ƒ« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ π : E → M − §ë¢ ¥âáï à áá«®¥−¨¥¬, ¥á«¨ ¤«ï −¥ª®â®à®£® ¬−®£®®¡à §¨ï F ¢ë¯®«−ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥: «î¡ ï â®çª  x ∈ M ®¡« ¤ ¥â ®ªà¥áâ−®áâìî U ⊂ M, ¤«ï ª®â®à®© áãé¥áâ¢ã¥â âਢ¨ «¨§ãî騩 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ϕ : π −1 (U) → U × F , § ¬ëª î騩 ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî ¤¨ £à ¬¬ã ϕ / U ×F π −1 (U) GG GG G π GGGG#

U

xx xx x xx p x| x

£¤¥ p | ¯à®¥ªæ¨ï −  ¯¥à¢ë© ᮬ−®¦¨â¥«ì. ਠí⮬ M − §ë¢ ¥âáï ¡ §®©, F | á«®¥¬,   E | (â®â «ì−ë¬) ¯à®áâà −á⢮¬ à áá«®¥−¨ï π. ƒ®¢®àïâ â ª¦¥, F çâ® E à áá« ¨¢ ¥âáï − ¤ M á® á«®¥¬ F , ¨ ¯¨èãâ E → M. à®áâà −á⢮ à áá«®¥−¨ï π ®¡ëç−® ®¡®§− ç ¥âáï Eπ . “á«®¢¨¥ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠®§− ç ¥â, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ π «®ª «ì−® ãáâ஥−® ª ª ¯à®¥ªæ¨ï ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï ¬−®£®®¡à §¨© −  ®¤¨− ¨§ ᮬ−®¦¨â¥«¥©. ‘«®¥¬ à áá«®¥−¨ï π − ¤ â®çª®© x ∈ M − §ë¢ ¥âáï ¬−®¦¥á⢮ πx = π −1 (x). Š ¦¤ë© á«®© Eπ , á− ¡¦¥−−ë© áâàãªâãன ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï ¬−®£®®¡à §¨ï E, ¤¨ä䥮¬®àä¥− 䨪á¨à®¢ −−®¬ã ú¢−¥è−¥¬ãû á«®î F . 10.11. …é¥ −¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢. ‚ −¨¦¥á«¥¤ãîé¨å ¯à¨¬¥à å ¬ë ¯à¨¢®¤¨¬ ⮫쪮 £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ª®−áâàãªæ¨î. —¨â â¥«î ४®¬¥−¤ã¥âáï ¢ ª ¦¤®¬ á«ãç ¥ ®¯¨á âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢«®¦¥−¨¥ £« ¤ª¨å  «£¥¡à. I.  áá«®¥−¨¥ ¯àאַ© − ¤ ®ªàã¦−®áâìî (áà. ¯. 6.2). ।áâ ¢«ïï ᥡ¥ ®ªàã¦−®áâì ª ª ¬−®¦¥á⢮ ª®¬¯«¥ªá−ëå ç¨á¥«, ¯® ¬®¤ã«î à ¢−ëå ¥¤¨−¨æ¥, ®â®¡à ¦¥−¨¥ R1 → S 1 ¬®¦−® § ¤ âì ä®à¬ã«®© t → eit. „«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ S 1 ¢ ª ç¥á⢥ U ¢ ãá«®¢¨¨ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠¬®¦−® ¢§ïâì «î¡®¥ ᮤ¥à¦ é¥¥ x ᮡá⢥−−®¥ ®âªàë⮥ ¬−®¦¥á⢮.

216

ƒ« ¢  10

‚ ¯à¨¢¥¤¥−−®¬ ¯à¨¬¥à¥ á«®¥¬ á«ã¦¨â −ã«ì¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ Z.  áá«®¥−¨ï á −ã«ì¬¥à−묨 ᫮ﬨ − §ë¢ îâáï − ªàëâ¨ï¬¨. II. „à㣮© ¯à¨¬¥à − ªàëâ¨ï | ®â®¡à ¦¥−¨¥ S n → RP n , ª®â®à®¥ áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ â®çª¥ x ∈ S n ⊂ Rn ¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ íâã â®çªã ¨ − ç «® ª®®à¤¨− â (á¬. ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¢ ¯. 5.10). â® à áá«®¥−¨¥ âਢ¨ «ì−® − ¤ ¤®¯®«−¥−¨¥¬ ª «î¡®© £¨¯¥à¯«®áª®á⨠RP n \ RP n−1 . …£® á«®© á®á⮨⠨§ ¤¢ãå â®ç¥ª. III. âªàëâë© «¨áâ Œñ¡¨ãá  à áá« ¨¢ ¥âáï − ¤ ®ªàã¦−®R áâìî á® á«®¥¬ ¯àﬠï: M → S 1 . ‡¤¥áì M ¥áâì ¯®«®á  [0, 1] × R á ®â®¦¤¥á⢫¥−−묨 â®çª ¬¨ (0, y) ¨ (1, −y) ¤«ï ª ¦¤®£® y ∈ R, S 1 ¥áâì ®â१®ª [0, 1] á ®â®¦¤¥á⢫¥−−묨 ª®−æ ¬¨ 0 ¨ 1,   ¯à®¥ªæ¨ï π : M → S 1 ãáâ஥−  â ª: π(x, y) = x.  £«ï¤−® ¬®¦−® ᥡ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì (á¬. à¨á. 6.2), çâ® «¨áâ Œñ¡¨ãá  (áâ −¤ àâ−® ¢«®¦¥−−ë© ¢ R3) ᦨ¬ ¥âáï ª ᢮¥© á।−¥© «¨−¨¨ | ᫮ﬨ − ¤ â®çª ¬¨ á।−¥© «¨−¨¨ á«ã¦ â ¯¥à¯¥−¤¨ªã«ïà−ë¥ ¥© (®âªàëâë¥) ®â१ª¨. ஢¥à¨¬  ªá¨®¬ã «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠¤«ï í⮣® ¯à¨¬¥à . …᫨ a ∈ S 1 | ¢−ãâà¥−−ïï â®çª  ®â१ª  [0, 1], â® ¢ ª ç¥á⢥ ®ªà¥áâ−®á⨠U ¬®¦−® ¢§ïâì ]0, 1[, ¥á«¨ ¦¥ ¨−â¥à¢ « 1 1 a = 0, â® ¯®«®¦¨¬ U = {x ∈ S x = 2 },   ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ϕ : π −1 (U) → U × R ®¯à¥¤¥«¨¬ â ª:  (x, y), ¥á«¨ x < 12 , ϕ(x, y) = (x, −y), ¥á«¨ x > 12 . IV.  áá«®¥−¨¥ ¥¤¨−¨ç−ëå ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ª áä¥à¥ π : T1S 2 → S 2 . à®áâà −á⢮ í⮣® à áá«®¥−¨ï T1 S 2 = {(x, y) ∈ R3 × R3 |x| = 1, |y| = 1, x ⊥ y} ¥áâì ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ R6 . ‡ áâ ¢«ïï £à㯯㠮à⮣®− «ì−ëå ¯à¥®¡à §®¢ −¨© âà¥å¬¥à−®£® ¯à®áâà −á⢠ ¤¥©á⢮¢ âì −  䨪á¨à®¢ −−ë© ¥¤¨−¨ç−ë© ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ª áä¥à¥, ¬ë ¯®«ã稬 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ T1S 2 ∼ = SO(3) ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¤¨ä2 ∼ 3 䥮¬®à䨧¬ T1S = RP . —¨â â¥«ì, ª®−¥ç−®, § ¬¥â¨«, çâ®

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

217

¯à®áâà −á⢮ à áá«®¥−¨ï T1S 2 | íâ® ¥é¥ ®¤−  (¯ïâ ï) ॠ«¨§ æ¨ï ¬−®£®®¡à §¨ï, à áᬮâà¥−−®£® ¢ − ç «¥ ª−¨£¨ ¢ ¯à¨¬¥à å 1.1{1.4. ‘«®¥¬ í⮣® à áá«®¥−¨ï ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤−®, ®ªàã¦−®áâì. „«ï ¯à®¢¥àª¨ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠¤®ª ¦¥¬, çâ® à áᬠâਢ ¥¬®¥ à áá«®¥−¨¥ âਢ¨ «ì−® − ¤ «î¡®© ®âªàë⮩ ¯®«ãáä¥à®© ¢ S 2. „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ U | íâ  ¯®«ãáä¥à  ¨ S 1 | ¥¥ £à −¨æ , â®, ®â®¦¤¥á⢫ïï â®çª¨ U ¨ S 1 á ¨å à ¤¨ãᢥªâ®à ¬¨, ¯®«®¦¨¬ ϕ(x, z) = x × z (¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥) ¤«ï x ∈ U ¨ z ∈ S 1. ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë x ∈ U ¨ z ∈ S 1 −¨ª®£¤  −¥ ª®«¨−¥ à−ë, ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : U × S 1 → π −1 (U) ¥áâì ¤¨ä䥮¬®à䨧¬. V. Š®¬¯®§¨æ¨ï à áá«®¥−¨ï S 3 → RP 3 , ®¯à¥¤¥«¥−−®£® ¢ ¯à¨¬¥à¥ II, á à áá«®¥−¨¥¬ RP 3 → S 2, ®¯à¥¤¥«¥−−ë¬ ¢ ¯à¨¬¥à¥ IV, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© à áá«®¥−¨¥ S 3 − ¤ S 2 á® á«®¥¬ S 1, − §ë¢ ¥¬®¥ à áá«®¥−¨¥¬ •®¯ä , áà ¢−¨â¥ á. ¯. 6.17(II). ஢¥àªã ãá«®¢¨ï «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠¬ë ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î. VI. ’ ¢â®«®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ £à áᬠ−¨ −®¬. ãáâì Gn,k | ¬−®£®®¡à §¨¥ k-¬¥à−ëå «¨−¥©−ëå ¯®¤¯à®áâà −á⢠n-¬¥à−®£® ¯à®áâà −á⢠ Rn (á¬. ¯à¨¬¥à IV ¨§ ¯. 5.10) ¨ En,k ¥áâì ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯ à (x, L), £¤¥ x ∈ L ∈ Gn,k , á− ¡¦¥−−®¥ áâàãªâãன ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï ¢ Rn × Gn,k . ‘®®â¢¥âá⢨¥ (x, L) → L § ¤ ¥â ª¢ §¨à áá«®¥−¨¥ — = —n,k : En,k −→ Gn,k , − §ë¢ ¥¬®¥ ⠢⮫®£¨ç¥áª¨¬. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à¨ k = 1 ⠢⮫®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥ En,1 → Gn,1 = RP n−1 íª¢¨¢ «¥−â−® ¯à®¥ªæ¨¨ π : RP n \ {Lo } → RP n−1 , £¤¥ L0 ¥áâì (n + 1)-ï ®áì ª®®à¤¨− â ¢ Rn+1 (=ú¢¥à⨪ «ì− ïû ¯àﬠï), ¨ π ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª ¦¤®© ú− ª«®−−®©û ¯àאַ© ¥¥ ¯à®¥ªæ¨î −  Rn ∼ = {xn+1 = 0}.

218

ƒ« ¢  10

—â®¡ë ¯®ª § âì, ç⮠⠢⮫®£¨ç¥áª®¥ ª¢ §¨à áá«®¥−¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®áâ¨, ¯®áâந¬ ¯®ªàë⨥ ¬−®£®®¡à §¨ï Gn,k áâ −¤ àâ−®© á¨á⥬®© ®ªà¥áâ−®á⥩ UI , £¤¥ I = {i1 , . . . , ik }, 1  i1 < . . . < ik  n. Š ¦¤®¥ ¬−®¦¥á⢮ UI á®á⮨⠨§ ¢á¥å k-¯«®áª®á⥩ ¢ Rn , ¯à®¥ªâ¨àãîé¨åáï ¡¥§ ¢ë஦¤¥−¨ï −  RkI ¢¤®«ì Rn−k , £¤¥ I = {1, . . . , n}\I,   ᨬ¢®« Rm J , I J = {j1 , . . . , jm }, ®¡®§− ç ¥â m-¬¥à−®¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ¢ Rn , − âï−ã⮥ −  ¡ §¨á−ë¥ ¢¥ªâ®àë á −®¬¥à ¬¨ j1 , . . . , jm . …᫨ x ∈ L ¨ L ∈ UI , â® ¯ à¥ (x, L) ∈ En,k ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì ¯ àã (x, L), £¤¥ x ∈ RkI ∼ −  RkI . = Rk ¥áâì ¯à®¥ªæ¨ï x ¢¤®«ì Rn−k I ⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ï¥âáï âਢ¨ «¨§ãî騬 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ ⠢⮫®£¨ç¥áª®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ UI . ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ —n,k ï¥âáï à áá«®¥−¨¥¬. “¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥àìâ¥, çâ® ¯à¨ k = 1, n = 2 ¬ë ¯®«ã稬 −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª à áá«®¥−¨¥ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  − ¤ ®ªàã¦−®áâìî ¨§ ¯à¨¬¥à  III. ‚ᥠ¯¥à¥ç¨á«¥−−ë¥ à áá«®¥−¨ï −¥âਢ¨ «ì−ë.  ¯à¨¬¥à, «¨áâ Œñ¡¨ãá  −¥®à¨¥−â¨à㥬 ¨ ¯®í⮬ã −¥ ¤¨ä䥮¬®àä¥− 樫¨−¤àã S 1 × R. ¥âਢ¨ «ì−®áâì à áá«®¥−¨ï ¥¤¨−¨ç−ëå ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ª áä¥à¥ (¯à¨¬¥à IV) ¬®¦−® ãᬮâà¥âì ¨áå®¤ï ¨§ ⮣®, çâ® −  áä¥à¥ −¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï, ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ª®â®à®£® ®â«¨ç−ë ®â −ã«ï, ¨«¨ ¦¥ ¥á«¨ §− âì ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠ äã−¤ ¬¥−â «ì−ëå £à㯯. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¬−®£®®¡à §¨ï RP 3 ¨ S 2 × S 1 −¥ ¤¨ä䥮¬®àä−ë, ¨¡® ¨¬¥îâ à §«¨ç−ë¥ äã−¤ ¬¥−â «ì−ë¥ £à㯯ë: π1 (RP 3) = Z2 , π1 (S 2 × S 1 ) = Z. âá á«¥¤ã¥â â ª¦¥ −¥âਢ¨ «ì−®áâì à áá«®¥−¨ï •®¯ä  (¯à¨¬¥à V). VII. Š á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ πT : T M → M (á¬. ¯. 9.19). …᫨ (U, x) | «®ª «ì− ï ª àâ  −  M, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 âਢ¨ «¨§ãî騩 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ U × Rn → πT−1(U) ¥áâì ª®¬¯®§¨æ¨ï ¥áâ¥á⢥−−ëå ®â®¦¤¥á⢫¥−¨© U × Rn ←→ T U

¨ T U ←→ πT−1(U),

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

219

®¯¨á −−ëå ¢ ¯. 9.18 II ¨ IV: n  ∂ (z, q) → qi ∈ Tz M ⊂ T U, ∂xi z i=1 £¤¥ q = (q1, . . . , qn). ‚ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¬−®£®®¡à §¨ï M ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ª ª âਢ¨ «ì−ë¬, â ª ¨ −¥âਢ¨ «ì−ë¬. Œ−®£®®¡à §¨¥, ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ ª®â®à®£® âਢ¨ «ì−®, − §ë¢ ¥âáï ¯ à ««¥«¨§ã¥¬ë¬ | ¯à¨¬¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì «î¡ ï £à㯯  ‹¨. “¯à ¦−¥−¨¥. ਢ¥¤¨â¥ ¯® 2{3 ¯à¨¬¥à  ¯ à ««¥«¨§ã¥¬ëå ¨ −¥¯ à ««¥«¨§ã¥¬ëå ¬−®£®®¡à §¨©. VIII. Š®ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ πT ∗ : T ∗M → M (¯. 9.24). ‚ í⮬ á«ãç ¥, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬, −¥®¡å®¤¨¬ ï âਢ¨ «¨§ æ¨ï U × Rn → πT−1∗ (U) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨© U × Rn ←→ T ∗U

¨ T ∗U ←→ πT−1∗ (U),

®¯¨á −−ëå ¢ ¯. 9.24: (z, q) →

n 

pi dz xi z ∈ Tz∗M ⊂ T ∗U,

i=1

£¤¥ p = (p1 , . . . , pn ). IX.  áá«®¥−¨¥ l-¤¦¥â®¢ äã−ªæ¨© πJ l : J lM → M. ˆá¯®«ì§ãï «®ª «ì−ãî ª àâã (U, x) −  M, ¯®áâந¬ âਢ¨ «¨§ãî饥 ®â®¡à ¦¥−¨¥ U × RN → πJ−1l (U) = J l (U), £¤¥ N | ç¨á«® à §«¨ç−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå ¯®à浪   l, ᮣ« á−® ¯à ¢¨«ã (z, pl ) → [fpl ]lz ∈ Jzl M ⊂ J lU,  1 £¤¥ fpl = σ
l pσ (x−z)σ ¨ pl = (pσ ) |  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© ¢¥ªσ! â®à, ª®¬¯®−¥−âë ª®â®à®£® áãâì ᨬ¢®«ë pσ , |σ|  l, à §¬¥é¥−−ë¥ ¢ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®¬ ¯®à浪¥ ¨−¤¥ªá¨àãîé¨å ¨å ¬ã«ì⨨−¤¥ªá®¢. ”®à¬ã«  (2.4) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® l-¤¦¥âë äã−ªæ¨© ¢¨¤  fpl ¢ â®çª¥ z ¨áç¥à¯ë¢ îâ Jz M. ”ã−ªæ¨¨ xi , i = 1, . . . , n,

220

ƒ« ¢  10

¨ pσ , |σ|  l, ®ç¥¢¨¤−®, ®¡à §ãîâ «®ª «ì−ãî ª àâã −  πJ−1l (U), ¨ â ª¨¥ ᯥ樠«ì−ë¥ ª àâë ®¡à §ãîâ £« ¤ª¨©  â« á −  J l M. 10.12. ‘¥ç¥−¨ï. ‘¥ç¥−¨¥¬ à áá«®¥−¨ï π : E → M − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ s : M → E, ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®© â®çª¥ x ∈ M í«¥¬¥−â á«®ï, ¢¨áï饣® − ¤ í⮩ â®çª®©: s(x) ∈ πx. ˆ− ç¥ £®¢®àï, âॡã¥âáï, ç⮡ë π ◦ s = idM . Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å á¥ç¥−¨© à áá«®¥−¨ï π ®¡®§− ç ¥âáï ç¥à¥§ •(π).    «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ ï§ëª¥, á¥ç¥−¨¥¬ à áá«®¥−¨ï i : A → B ¡ã¤¥â £®¬®¬®à䨧¬  «£¥¡à σ : B → A, «¥¢ë© ®¡à â−ë© ª i, â. ¥. â ª®©, çâ® σ ◦ i = idA. ਬ¥àë. I.  áá«®¥−¨¥ π : R1 → S 1, ®¯¨á −−®¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 10.13 (I), −¥ ¨¬¥¥â −¨ ®¤−®£® á¥ç¥−¨ï. „¥©á⢨⥫ì−®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® f : S 1 → R1 | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨ π ◦ f = idS1 . ˆ§ ¯®á«¥¤−¥£® à ¢¥−á⢠ á«¥¤ã¥â, çâ® π f (S1 ) : f(S 1 ) → S 1 ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï f(S 1 ) ⊂ R1 −  S 1. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, § ¬¥â¨¬, çâ® ®¡à § «î¡®£® −¥¯à¥àë¢−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï f : S 1 → R1 ï¥âáï ¨−â¥à¢ «®¬, ª®−æë ª®â®à®£® áãâì ¬¨−¨¬ã¬ ¨ ¬ ªá¨¬ã¬ äã−ªæ¨¨ f. ® ¨−â¥à¢ « ¨ ®ªàã¦−®áâì −¥ £®¬¥®¬®àä−ë. II.  áá«®¥−¨¥ T1S 2 → S 2 (¯à¨¬¥à 10.13 (IV)) −¥ ¨¬¥¥â á¥ç¥−¨©. „¥©á⢨⥫ì−®, ¨§ − «¨ç¨ï á¥ç¥−¨ï f : S 2 → T1S 2 ¢ë⥪ «® ¡ë áãé¥á⢮¢ −¨¥ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬  ϕ : S 2 × S 1 → T1 S 2: ¤®áâ â®ç−® ¯®«®¦¨âì ϕ(x, α) à ¢−ë¬ ¢¥ªâ®àã, ¯®«ãç¥−−®¬ã ¨§ f(x) ¯®¢®à®â®¬ −  㣮« α (᪠¦¥¬, ¯à®â¨¢ ç á®¢®© áâ५ª¨, ¥á«¨ ᬮâà¥âì −  áä¥àã á− à㦨). III. ‘¥ç¥−¨ï âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ M á® á«®¥¬ F − å®¤ïâáï ¢® ¢§ ¨¬−® ®¤−®§− ç−®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á £« ¤ª¨¬¨ ®â®¡à ¦¥−¨ï¬¨ ¨§ M ¢ F . IV. ‘¥ç¥−¨ï ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ¥áâ¥á⢥−−® ¨−â¥à¯à¥â¨àãîâáï ª ª ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï −  í⮬ ¬−®£®®¡à §¨¨ (á¬. ¯. 9.40). ®¤®¡−ë¬ ¦¥ ®¡à §®¬ á¥ç¥−¨ï ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ M ¥áâ¥á⢥−−®  áá®æ¨¨àãîâáï á ¤¨ää¥à¥−樠«ì−묨 ä®à¬ ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¨«¨ 1-ä®à¬ ¬¨. â® ¯®−ï⨥ ¢¢®¤¨âáï ¨ ®¡á㦤 ¥âáï −¨¦¥ ¢ ¯¯. 11.41 { 11.44.

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

221

− «®£¨ç− ï á¨âã æ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤«ï à áá«®¥−¨© ¤¦¥â®¢, á¬. ¯¯. 9.65, 11.46 { 11.47. “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ á¥ç¥−¨ï sX , sdf ¨ sjl (f ) ª á â¥«ì−®£®, ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨© ¨ à áá«®¥−¨ï l-¤¦¥â®¢ (á¬. 9.40, 9.25 ¨ 9.65 ᮮ⢥âá⢥−−®) ¢ â¥à¬¨− å ᯥ樠«ì−ëå «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â. V. ¯¨è¥¬ −¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç â¥«ì−ë¥ á¥ç¥−¨ï ⠢⮫®£¨ç¥áª®£® à áá«®¥−¨ï —n,k : En,k → Gn,k (á¬. ¯à¨¬¥à VI ¨§ ¯. 10.11). ãáâì Mk,n | ¯à®áâà −á⢮ (k × n)-¬ âà¨æ, ¨¬¥îé¨å à −£ k. …᫨ J = (j1 , . . . , jk ), 1  j1 < . . . < jk  n, ¨ M ∈ Mk,n , â® MJ ®¡®§− ç ¥â (k × k)-¬ âà¨æã, ®¡à §®¢ −−ãî á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë M, ¨¬¥î騬¨ −®¬¥à  j1 , . . . , jk . ’ ª ª ª M ¨¬¥¥â à −£ k, â®å®âï ¡ë ®¤¨− ¨§ ¥¥ ¬¨−®à®¢ |MJ | ®â«¨ç¥− ®â −ã«ï. ®í⮬ã J |MJ |2 > 0. ‡ ä¨ªá¨à㥬 I = (i1 , . . . , ik ) ¨ à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî äã−ªæ¨î −  Mk,n : |MI | . 2 J |MJ |

νI (M) = 

祢¨¤−®, νI ∈ C ∞(Mk,n ).
®«¥¥ ⮣®, ¥á«¨ g ∈ GL(k, R), â® νI (gM) = |g|−1 νI (M).

(10.3)

I | ¬ âà¨æ , ¤®¯®«−¨â¥«ì− ï ª MI . ¡®ãáâì, ¤ «¥¥, M §− ç¨¬ ç¥à¥§ Matk,n ¯à®áâà −á⢮ ¢á¥å (k × n)-¬ âà¨æ − ¤ R. ⮡ࠦ¥−¨¥ mI : Mk,n → Matk,n ,

I M, mI (M) = νI (M)M

(10.4)

¢¢¨¤ã (10.3) ï¥âáï GL(k, R)-íª¢¨¢ à¨ −â−ë¬, â. ¥. mI (gM) = mI (M),

g ∈ GL(k, R).

(10.5)

−®, ®ç¥¢¨¤−®, £« ¤ª®¥. Šà®¬¥ ⮣®, mI (M) ∈ Mk,n , ¥á«¨ |MI | = 0. ‚ ¯à®â¨¢−®¬ á«ãç ¥ mI (M) ¥áâì −ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ .  áᬮâਬ ¥áâ¥á⢥−−ãî ¯à®¥ªæ¨î µ : Mk,n → Gn,k ,

222

ƒ« ¢  10

£¤¥ µ(M) ¥áâì ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ¢ Rn , ¯®à®¦¤¥−−®¥ áâப ¬¨ ¬ âà¨æë M. 祢¨¤−®, çâ® ãá«®¢¨ï µ(M) = µ(M) ¨ M = g(M) ¤«ï −¥ª®â®à®£® g ∈ GL(k, R) íª¢¨¢ «¥−â−ë. ®í⮬㠵(mI (M)) = µ(M), ¥á«¨ mI (M) ∈ Mk,n , ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  |MI | = 0. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¯®á«¥¤−¥¥ ãá«®¢¨¥, ª ª −¥âàã¤−® ¢¨¤¥âì, à ¢−®á¨«ì−® ⮬ã, çâ® µ(M) ∈ UI (á¬. ¯à¨¬¥à VI ¢ ¯. 10.11). ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì á¥ç¥−¨¥ sI,i : Gn,k → En,k ⠢⮫®£¨ç¥áª®£® à áá«®¥−¨ï —n,k , ¯®«®¦¨¢ sI,i (L) = (i-ï áâப  ¬ âà¨æë mI (M), L), £¤¥ L = µ(M). ‚¢¨¤ã (10.5) íâ® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª®à४â−®. ® ¯®áâ஥−¨î ¢¥ªâ®àë sI,1(L), . . . , sI,k (L) ¯à¨− ¤«¥¦ â L, ¥á«¨ L ∈ UI , ¨ ®¡à é îâáï ¢ −ã«ì ¢ ¯à®â¨¢−®¬ á«ãç ¥. Š ª ¯®ª §ë¢ ¥â ®¯à¥¤¥«ïîé ï ä®à¬ã«  (10.4), ¢á¥ á¥ç¥−¨ï sI,i ïîâáï £« ¤ª¨¬¨. 10.13. ®¤à áá«®¥−¨ï. ƒ®¢®àïâ, çâ® à áá«®¥−¨¥ η : Eη → M ï¥âáï ¯®¤à áá«®¥−¨¥¬ à áá«®¥−¨ï π : Eπ → M (®¡®§− ç¥−¨¥ η ⊂ π), ¥á«¨ (i) Eη | ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ Eπ ; (ii) ®â®¡à ¦¥−¨¥ η ¥áâì ®£à −¨ç¥−¨¥ π −  Eη ; (iii) ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ M á«®© ηx ¥áâì ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ á«®ï πx . “¯à ¦−¥−¨¥. „ ©â¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¯®¤à áá«®¥−¨ï. ਬ¥àë. I. ’ ¢â®«®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ £à áᬠ−¨ −®¬ (¯à¨¬¥à VI ¨§ 10.11) ï¥âáï ¯®¤à áá«®¥−¨¥¬ âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï Rn × Gn,k → Gn,k . II.  áá«®¥−¨¥ ¥¤¨−¨ç−ëå ª á â¥«ì−ëå ¢¥ªâ®à®¢ ª áä¥à¥ (¯à¨¬¥à IV ¨§ 10.13) −¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥−−ëå ¯®¤à áá«®¥−¨©. ‚ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ®−® ï¥âáï ¯®¤à áá«®¥−¨¥¬ ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ áä¥à®©.

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

223

10.14. ‘㬬  “¨â−¨. ® ¤¢ã¬ à áá«®¥−¨ï¬ η ¨ ζ − ¤ ®¤−¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ¬®¦−® ¯®áâநâì −®¢®¥ à áá«®¥−¨¥ π, á«®© ª®â®à®£® − ¤ «î¡®© â®çª®© x ∈ M ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥¬ á«®¥¢ ¤¢ãå ¤ −−ëå à áá«®¥−¨©: πx = ηx × ζx .  áá«®¥−¨¥ π âà ¤¨æ¨®−−® − §ë¢ ¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¨«¨ á㬬®© “¨â−¨ à áá«®¥−¨© η ¨ ζ ¨ ®¡®§− ç ¥âáï η ⊕ ζ. —â®¡ë ¯à¨¤ âì í⮩ ª®−áâàãªæ¨¨ â®ç−ë© á¬ëá«, −ã¦−® ®¡êïá−¨âì, ª ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨§ 㪠§ −−ëå á«®¥¢ á®áâ ¢«ï¥âáï ¬−®£®®¡à §¨¥. Š ª ¢á¥£¤ , ¥áâì ¤¢  ᯮᮡ  í⮠ᤥ« âì. «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ áã¬¬ë “¨â−¨ â ª®¢®: ¥á«¨ ¤¢  ¤ −−ëå à áá«®¥−¨ï ®â¢¥ç îâ à áè¨à¥−¨ï¬  «£¥¡à i : A → B ¨ j : A → C, â® ¨å á㬬  “¨â−¨ | íâ® £®¬®¬®à䨧¬ i ⊗ j : A → B ⊗A C, ¯¥à¥¢®¤ï騩 a ¢ a(1 ⊗ 1) = i(a) ⊗ 1 = 1 ⊗ j(a). ¡à â¨¬ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® ¢ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨ ãç áâ¢ã¥â â¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥  «£¥¡à B ¨ C, à áᬠâਢ ¥¬ëå ª ª ¬®¤ã«¨ − ¤ A,   −¥ − ¤ ¨á室−ë¬ ¯®«¥¬. â® ®§− ç ¥â, çâ® ã¬−®¦¥−¨¥ b ∈ B (ᮮ⢥âá⢥−−® c ∈ C) −  ∈ A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ª ª i(a)b (ᮮ⢥âá⢥−−® j(a)c).
« £®¤ àï í⮬㠯¥à¥¬−®¦ îâáï ¨¬¥−−® á«®¨,   −¥ â®â «ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ª®−áâàãªæ¨ï áã¬¬ë “¨â−¨ § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬. à®áâà −á⢮ à áá«®¥−¨ï η ⊕ ζ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª Eη⊕ζ = {(y, z) ∈ Eη × Eζ | η(y) = ζ(z)},   ¯à®¥ªæ¨ï | ª ª ®â®¡à ¦¥−¨¥, ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ¯ à¥ (y, z) â®çªã η(y). “¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥àìâ¥, çâ® ®¡  ®¯à¥¤¥«¥−¨ï áã¬¬ë “¨â−¨ íª¢¨¢ «¥−â−ë, ¯à¨ç¥¬ á«®© ¯®«ãç ¥¬®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®© â®çª®© ¡ §ë x − å®¤¨âáï ¢ ¥áâ¥á⢥−−®© ¡¨¥ªæ¨¨ á ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ηx × ζx .

224

ƒ« ¢  10

®«¥§−®¥  «ìâ¥à− â¨¢−®¥ ®¯¨á −¨¥ áã¬¬ë “¨â−¨ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ⮡ࠦ¥−¨¥ η × ζ : Eη × Eζ → M × M,

(e1, e2) → (η(e1 ), ζ(e2)),

ï¥âáï à áá«®¥−¨¥¬ á® á«®¥¬ (ηu , ζv ) ¢ â®çª¥ (u, v), u, v ∈ M. „¨ £®− «ì M– = {(z, z) | z ∈ M} ⊂ M × M ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤−®, ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¢ M × M. ⮡ࠦ¥−¨¥ z → (z, z) ®â®¦¤¥á⢫ï¥â ¥¥ á M. â® ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¢«¥ç¥â §  ᮡ®© ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ (η×ζ)−1(M – ) = Eη⊕ζ . ਠí⮬ ¯à®¥ªæ¨ï η ⊕ ζ ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á η × ζ (η×ζ)−1 (M ) . ஥ªæ¨¨ – pη : Eη × Eζ → Eη

¨ pζ : Eη × Eζ → Eζ ,

¡ã¤ãç¨ ®£à −¨ç¥−−묨 −  (η × ζ)−1 (M– ), ¯®à®¦¤ îâ £« ¤ª¨¥ áîàꥪ⨢−ë¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï pη : Eη⊕ζ → Eη

¨ pζ : Eη⊕ζ → Eζ def

ᮮ⢥âá⢥−−®. …᫨ s ∈ •(η ⊕ ζ), â®, ®ç¥¢¨¤−®, sη = pη ◦ s ∈ def •(η) ¨ sζ = pη ◦s ∈ •(ζ), ¯à¨ç¥¬ s(z) = (sη (z), sζ (z)) ∈ ηz ×ζz . â® ãáâ − ¢«¨¢ ¥â ¥áâ¥á⢥−−ãî ¡¨¥ªæ¨î •(η ⊕ ζ) = •(η) × •(ζ).

(10.6)

10.15. ਬ¥àë ¯àï¬ëå á㬬. I. ãáâì α : S11 ∪ S21 → S 1 , S11 ¨ S21 | ª®¯¨¨ S 1 , ¥áâì âਢ¨ «ì−®¥,   β : S 1 → S 1 | −¥âਢ¨ «ì−®¥ ¤¢ã«¨áâ−ë¥ − ªàëâ¨ï ®ªàã¦−®áâ¨. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ A  «£¥¡àã £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ®ªàã¦−®áâ¨, â. ¥.  «£¥¡àã £« ¤ª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å äã−ªæ¨© −  ¯àאַ©. ‚  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å â¥à¬¨− å ®â®¡à ¦¥−¨¥ α ®¯¨á뢠¥âáï ¢«®¦¥−¨¥¬ i : A → A⊕A, f → (f, f),   β ®¯¨á뢠¥âáï ¢«®¦¥−¨¥¬ j : A → A, ¯¥à¥¢®¤ï騬 f(x) ¢ f(2x). ‘¤¥« ¢ ®¤¨− ®¡å®¤ ¢¤®«ì ®ªàã¦−®áâ¨-¡ §ë ¨ ¯à®á«¥¤¨¢ §  ¢®§−¨ª î饩 ¯¥à¥áâ −®¢ª®© â®ç¥ª á«®ï, −¥âàã¤−® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® 1. α ⊕ α | âਢ¨ «ì−®¥ 4-«¨áâ−®¥ − ªàë⨥ ®ªàã¦−®áâ¨,

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

225

2. α ⊕ β ∼ = β ⊕ β | 4-«¨áâ−®¥ − ªàë⨥ ®ªàã¦−®áâ¨, â®â «ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ª®â®à®£® á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ª®¬¯®−¥−â á¢ï§−®áâ¨, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï −¥âਢ¨ «ì−ë¬ ¤¢ã«¨áâ−ë¬ − ªàë⨥¬. “¯à ¦−¥−¨¥. ®«ãç¨â¥ â®â ¦¥ १ã«ìâ â ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨, à áᬠâਢ ï â¥−§®à−ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï  «£¥¡à A1 ¨ A2 − ¤ A, £¤¥ A1 = A2 = A = C ∞ (S 1), ¯à¨ç¥¬ A1 ¨ A2 à áᬠâਢ îâáï ª ª A-¬®¤ã«¨ á® áâàãªâãன, ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®© ¢«®¦¥−¨ï¬¨ i ¨ j.

¨á. 10.3. àﬠï á㬬  ¤¢ãå «¨á⮢ Œñ¡¨ãá  II. àﬠï á㬬  ¤¢ãå «¨á⮢ Œñ¡¨ãá  (à¨á. 10.3), à áᬠâਢ ¥¬ëå ª ª à áá«®¥−¨ï − ¤ ®ªàã¦−®áâìî, âਢ¨ «ì− . —⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, −ã¦−® ¢ âਢ¨ «ì−®¬ à áá«®¥−¨¨ − ¤ ®ªàã¦−®áâìî á® á«®¥¬ R2 㪠§ âì ¤¢  ®¡à §ãîé¨å ¯àï¬ãî á㬬㠮¤−®¬¥à−ëå ¯®¤à áá«®¥−¨ï, ª ¦¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¥áâì «¨áâ Œñ¡¨ãá . „¥©á⢨⥫ì−®, ¯à®áâà −á⢮ í⮣® ¤¢ã¬¥à−®£® à áá«®¥−¨ï ¤¨ä䥮¬®àä−® ®âªàë⮬㠯®«−®â®à¨î S 1 × D2 . ।áâ ¢«ïï ᥡ¥ ¯®á«¥¤−¨© ¢«®¦¥−−ë¬ ¢ âà¥å¬¥à−®¥ ¯à®áâà −á⢮, ¢ë¡¥à¥¬ ¢ á«®¥ − ¤ ª ¦¤®© â®çª®© x ∈ S 1 ¯ àã ¯¥à¯¥−¤¨ªã«ïà−ëå ®â१ª®¢, £« ¤ª® § ¢¨áïé¨å ®â x ¨ à á¯®«®¦¥−−ëå â ª, çâ®, ª®£¤  x ¤¥« ¥â ¯®«−ë© ®¡å®¤ ®ªàã¦−®áâ¨, ª ¦¤ë©

226

ƒ« ¢  10

¨§ íâ¨å ®â१ª®¢ ¯®¢®à ç¨¢ ¥âáï −  180◦ . ⨠®â१ª¨ ®¯¨èãâ ¤¢  âॡ㥬ëå «¨áâ  Œñ¡¨ãá . III. ®ª ¦¨â¥, çâ® à áá«®¥−¨¥ 1-¤¦¥â®¢ (á¬. ¯. 9.28) ï¥âáï á㬬®© “¨â−¨ âਢ¨ «ì−®£® M × R → M ¨ ª®ª á â¥«ì−®£® πT ∗ à áá«®¥−¨© (á¬. ¯. 9.24). 10.16. ˆ−¤ãæ¨à®¢ −−®¥ à áá«®¥−¨¥. …᫨ § ¤ −® à áá«®¥−¨¥ π : Eπ → M ¨ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨© f : N → M, â® ¬®¦−® − ¤ ª ¦¤®© â®çª®© y ∈ N ú¯®¢¥á¨âìû íª§¥¬¯«ïà ¯à®áâà −á⢠ πf (y) . ’®, çâ® ¯à¨ í⮬ ¯®«ãç¨âáï, − §ë¢ ¥âáï à áá«®¥−¨¥¬, ¨−¤ãæ¨à®¢ −−ë¬ ¨§ π ¯®á।á⢮¬ ®â®¡à ¦¥−¨ï f. ਢ¥¤¥¬ ¤¢  ¢ à¨ −â  â®ç−®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® í⮩ − £«ï¤−®© ª àâ¨−¥. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¯à®áâà −á⢮ ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ def

Ef ∗ (π) = {(y, z) | y ∈ N, z ∈ Eπ , π(z) = f(y)}. ஥ªæ¨ï f ∗ (π) § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© f ∗ (π)(y, z) = y. “¡¥¤¨¬áï, çâ® ¯à¨ í⮬ ¢ë¯®«−ï¥âáï «®ª «ì− ï âਢ¨ «ì−®áâì. „«ï â®çª¨ b ∈ N ®¡®§− ç¨¬ a = f(b) ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ®ªà¥áâ−®áâì U â®çª¨ a ¢ M, − ¤ ª®â®à®© π âਢ¨ «ì−®. ãáâì ψ : π −1 (U) → U × F | âਢ¨ «¨§ãî騩 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ¨ ψ | ¥£® ª®¬¯®§¨æ¨ï á ¯à®¥ªæ¨¥© U × F → F . ®«®¦¨¬ χ(y, z) = (y, ψ(z)). ’®£¤  χ : (f ∗ (π))−1 (f −1 (U)) → f −1 (U) × F | ¯®á«®©−ë© ¤¨ä䥮¬®à䨧¬. £à −¨ç¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï π −  ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ N ⊂ M ï¥âáï ¯à®áâë¬, −® ¢ ¦−ë¬ ç áâ−ë¬ á«ãç ¥¬ ®¯¥à æ¨¨ ¨−¤ãæ¨à®¢ −¨ï. −® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: def (10.7) π N = π π−1 (N ) : π −1 (N) → N. “¯à ¦−¥−¨¥. “¡¥¤¨â¥áì, çâ® π N = i∗(π), £¤¥ i : N → M | ª −®−¨ç¥áª®¥ ¢«®¦¥−¨¥. «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬. ãáâì i : A → B | à áá«®¥−¨¥,

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

227

¯®−¨¬ ¥¬®¥ ª ª ¢«®¦¥−¨¥ £« ¤ª¨å  «£¥¡à,   ϕ : A → A1 | £®¬®¬®à䨧¬  «£¥¡à, ®â¢¥ç î騩 £« ¤ª®¬ã ®â®¡à ¦¥−¨î ¬−®£®®¡à §¨© |ϕ| : |A1 | → |A|.
㤥¬ à áᬠâਢ âì A1 ¨ B ª ª A-¬®¤ã«¨ á ã¬−®¦¥−¨¥¬, ¨−¤ãæ¨à®¢ −−ë¬ £®¬®¬®à䨧¬ ¬¨ ϕ ¨ i ᮮ⢥âá⢥−−®. ’®£¤  ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®¥ à áá«®¥−¨¥ |ϕ|∗(i) | íâ® ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥  «£¥¡à A1 → A1 ⊗A B. ‡ ¬¥ç −¨¥. Š®¬¬ãâ â¨¢−®áâì ¤¨ £à ¬¬ë ϕ / A1 A i 

B

/



|ϕ|∗(i)

A 1 ⊗A B

¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯®−ï⨥ ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï ®¡®¡é ¥â á㬬㠓¨â−¨. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. „®ª ¦¨â¥ íª¢¨¢ «¥−â−®áâì  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï. 2. ®ª ¦¨â¥, çâ® ®â−®á¨â¥«ì−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ X ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï ¬−®£®®¡à §¨© ϕ : N → M (á¬. ¯. 9.47) ¬®¦¥â ¡ëâì ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ −® ª ª á¥ç¥−¨¥ ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï ϕ∗ (πT M ), ¯®¤®¡−® ⮬㠪 ª ®¡ëª−®¢¥−−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥ ¨−â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª á¥ç¥−¨¥ sX ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï (ᬠ¯. 9.40). 10.17. ਬ¥àë. I. ãáâì µ | à áá«®¥−¨¥ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  − ¤ ®ªàã¦−®áâìî (10.11, III), fn : S 1 → S 1 | n-ªà â−®¥ − ªàë⨥ ®ªàã¦−®á⨠(áç¨â ï, çâ® S 1 = {z ∈ C | |z| = 1}, ¬®¦−® ¯®«®¦¨âì fn(z) = z n , n ∈ Z). ’®£¤   µ, ¥á«¨ n −¥ç¥â−®, fn∗ (µ) = IS1 , ¥á«¨ n ç¥â−®. (‡¤¥áì ¨ −¨¦¥ ç¥à¥§ IM ®¡®§− ç ¥âáï âਢ¨ «ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ M á® á«®¥¬ R.) II. Šà¨â¥à¨© âਢ¨ «ì−®á⨠¢ â¥à¬¨− å ¨−¤ãæ¨à®¢ −−ëå à áá«®¥−¨©.  áá«®¥−¨¥ âਢ¨ «ì−® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 

228

ƒ« ¢  10

¨á. 10.4. fn∗ (µ) ¯à¨ n = 1, 2, 3. ®−® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥−® ¨−¤ãæ¨à®¢ −¨¥¬ ¨§ à áá«®¥−¨ï − ¤ â®çª®©. 10.18. ¯à¥¤¥«¨¬ ª −®−¨ç¥áª¨© ¬®à䨧¬ κ : Ef ∗(π) → Eπ à ¢¥−á⢮¬ κ(y, z) = z. 祢¨¤−®, κ ¢¯¨á뢠¥âáï ¢ á«¥¤ãîéãî ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî ¤¨ £à ¬¬ã: Ef ∗ (π) κ f ∗ (π) 

N

f

/

/

Eπ 

π

M

â. ¥. ï¥âáï f-¬®à䨧¬®¬ à áá«®¥−¨ï f ∗ (π) ¢ à áá«®¥−¨¥ π. ‚®®¡é¥, ¥á«¨ § ¤ −ë à áá«®¥−¨ï π − ¤ M ¨ η − ¤ N ¨ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f : N → M, â® f-¬®à䨧¬®¬ ¨«¨ ¬®à䨧¬®¬ − ¤ f ¨§ η ¢ π − §ë¢ ¥âáï ¢á类¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

229

ψ : Eη → Eπ , ¤«ï ª®â®à®£® ª®¬¬ãâ â¨¢−  ¤¨ £à ¬¬  Eη η

ψ / Eπ



N

/

f

π 

M

®−ï⨥ f-¬®à䨧¬  ®¡®¡é ¥â ¯®−ï⨥ ¬®à䨧¬®¢ à áá«®¥−¨© − ¤ M: ¯®á«¥¤−¨¥ áãâì −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª ¬®à䨧¬ë − ¤ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ idM . ਬ¥à. ⮡ࠦ¥−¨¥ T
: T M → T N, ¯®à®¦¤¥−−®¥ £« ¤ª¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ (¯. 9.18)
: M → N, ï¥âáï
-¬®à䨧¬®¬ πT M ¢ πT N .  à  (f ∗ (π), η) ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ á¢®©á⢮¬: ¤«ï ¢á类£® à áá«®¥−¨ï η − ¤ M, § ¤ −−®£® ¢¬¥á⥠á −¥ª®â®àë¬ f-¬®à䨧¬®¬ ψ : η → π, áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−®¥ £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ χ, ¤¥« î饥 ª®¬¬ãâ â¨¢−®© ¤¨ £à ¬¬ã Eη RERR 33 RRR 33 E RRRRψR E RRR 3χ RRR 33 E" RR) 33 /E η 3 Ef ∗ (π) κ π 33 33 33  

f ∗ (π)

N

/ f



π

M

஢¥àª  ®ç¥−ì ¯à®áâ : ¥¤¨−á⢥−−®áâì á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ®, ¯®«ì§ãïáì ª®¬¬ãâ â¨¢−®áâìî ¤¨ £à ¬¬ë, ¬®¦−® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® y ∈ Eη − ©â¨ ¯à®¥ªæ¨¨ í«¥¬¥−â  χ(y) −  N ¨ Eπ . ‘ãé¥á⢮¢ −¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ï¢−®© ä®à¬ã«ë χ(y) = (η(y), ψ(y)). ˆ¬¥¥âáï ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ f(: •(π) → •(f ∗ (π)), − §ë¢ ¥¬®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ¯®¤ê¥¬  á¥ç¥−¨©. ˆ¬¥−−®, ¤«ï ¢á类£® s ∈ •(π) §− ç¥−¨¥ á¥ç¥−¨ï f((s) ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ y ∈ N ¥áâì ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î §− ç¥−¨¥ s ¢ â®çª¥ f(y). ’®ç− ï ä®à¬ã«  ¨¬¥¥â

230

ƒ« ¢  10

á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: ( f(s)(y) = (y, s(f(y))) ∈ Ef ∗ (π) . ( − §ë¢ ¥âáï ¯®¤−ï⨥¬ á¥ç¥−¨ï s ¢¤®«ì f. ‘¥ç¥−¨¥ f(s) 10.19. ¥£ã«ïà−ë¥ ¬®à䨧¬ë. …᫨ ¬ë à ¡®â ¥¬ á ¬−®£®®¡à §¨ï¬¨, â®çª¨ ª®â®àëå ®¡« ¤ îâ ®¤−®© ¨ ⮩ ¦¥ ú¢−ãâà¥−−¥© áâàãªâãனû, â® ¥áâ¥á⢥−−® ¢¢¥á⨠¢ à áᬮâà¥−¨¥ ¨ á¢ï§ë¢ î騥 ¨å ¬®à䨧¬ë ª ª ®â®¡à ¦¥−¨ï, á®åà −ïî騥 ¨−ä®à¬ æ¨î ®¡ í⮩ áâàãªâãà¥. ‚ á ¬®¬ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ íâ  ¨¤¥ï ä®à¬ «¨§ã¥âáï ¢ë¤¥«¥−¨¥¬ á«¥¤ãî饣® ª« áá  ¬®à䨧¬®¢ à áá«®¥−¨©. ˆ¬¥−−®, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ®¡®§− ç¥−¨ï¬¨ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ã−ªâ  ¨ − §®¢¥¬ f-¬®à䨧¬ ψ ॣã«ïà−ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® z ∈ N ®â®¡à ¦¥−¨¥ á«®¥¢ ψz : ηz → πf (z) ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬. ‘«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ãáâ − ¢«¨¢ ¥â ᯥæ¨ä¨ªã ॣã«ïà−ëå ¬®à䨧¬®¢. ’¥®à¥¬ .
ãáâì ψ : η → π | ॣã«ïà−ë© ¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨© − ¤ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ f : N → M. ’®£¤  ª −®−¨ç¥áª¨© ¬®à䨧¬ χ : η → f ∗ (π), ®¯¨á −−ë© ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ã−ªâ¥, ï¥âáï íª¢¨¢ «¥−â−®áâìî à áá«®¥−¨© − ¤ N.
„«ï «î¡®£® z ∈ N ®â®¡à ¦¥−¨¥ á«®¥¢ χz : ηz → f ∗ (π)z , ª ª íâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ª®−áâàãªæ¨¨ ®â®¡à ¦¥−¨ï χ, ª −®−¨ç¥áª¨ ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ψ : ηz → πf (z) ¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬. ˆ§ í⮣® ®ç¥¢¨¤−ë¬ ®¡à §®¬ á«¥¤ã¥â, çâ® χ : Eη → Ef ∗(π) | â ª¦¥ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬.  â® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® à áá«®¥−¨ï, á¢ï§ −−ë¥ à¥£ã«ïà−묨 ¬®à䨧¬ ¬¨ á ¤ −−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ π, ¨áç¥à¯ë¢ îâáï ¨−¤ãæ¨à®¢ −−묨 ¨§ −¥£® à áá«®¥−¨ï¬¨. ‚ á¢ï§¨ á í⨬ ¢®§−¨ª ¥â § ¬ −稢 ï ¨¤¥ï ¯®áâநâì ¤«ï § ¤ −−®£® ⨯  á«®¥¢ ã−¨¢¥àá «ì−®¥ à áá«®¥−¨¥, â. ¥. â ª®¥, çâ® ¢á¥ ®áâ «ì−ë¥ à áá«®¥−¨ï á í⨬ ¦¥ á«®¥¬ ¨−¤ãæ¨àãîâáï ¨§ −¥£® ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¢á¥¢®§¬®¦−ëå £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨©. ‡ ¬¥ç â¥«ì−®, çâ® íâ  ¨¤¥ï ¯®á«¥ − ¤«¥¦ é¥© ª®−ªà¥â¨§ æ¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ॠ«¨§®¢ − . ‘«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, ¢ ã¯à®é¥−−®¬ ¢¨¤¥, ª ª íâ® ¬®¦−® ¡ë«® ¡ë ᤥ« âì.

ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï

M

ϕ

231

2n

R

G2n,n ϕ (M)

¨á. 10.5. ⮡ࠦ¥−¨¥ ƒ ãáá  10.20. ਬ¥à (®â®¡à ¦¥−¨¥ ƒ ãáá ). ãáâì M | n-¬¥à−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥. ‘®£« á−® ⥮६¥ “¨â−¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® ¯®£à㦥−¨¥ ¢ R2n , â. ¥. â ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : M → R2n, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M ¤¨ää¥à¥−樠« dz ϕ : Tz M → Tϕ(z) R2n ï¥âáï ¨−ꥪ樥©. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ ra , a ∈ R2n , ®â®¡à ¦¥−¨¥ ᤢ¨£  R2n → R2n −  −a: R2n  v → v − a ∈ R2n ,   £à áᬠ−®¢® ¬−®£®®¡à §¨¥ G2n,n ¡ã¤¥¬ ¯®−¨¬ âì ª ª ¬−®£®®¡à §¨¥ ¢á¥å n-¬¥à−ëå «¨−¥©−ëå ¯®¤¯à®áâà −á⢠¢ TO R2n , O = (0, . . . , 0) ∈ R2n . ⮡ࠦ¥−¨¥ ƒ ãáá  g : M → G2n,n ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ M ®¡à § ª á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ Tz M ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ dz (rϕ(z) ◦ ϕ) : Tz M → TO R2n . ⮡ࠦ¥−¨¥ g ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ − ªà뢠¥âáï ¬®à䨧¬®¬ à áá«®¥−¨© γ : πT M → —2n,n , £¤¥ —2n,n : E2n,n → G2n,n | ⠢⮫®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥, ®¯¨á −−®¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ VI ¯ã−ªâ  10.11. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ξ ∈ Tz M, â®   γ(ξ) = dz (rϕ(z) ◦ ϕ)(ξ), g(z) ∈ E2n,n.

232

ƒ« ¢  10

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¢¨¤ã ⥮६ë 10.19 ¢á¥ ª á â¥«ì−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨−¤ãæ¨àãîâáï ¨§ ⠢⮫®£¨ç¥áª®£®. â®â 䠪⠨£à ¥â ¢ ¦−ãî à®«ì ¢ ⥮ਨ ¬−®£®®¡à §¨©.  ¯à¨¬¥à, ®− «¥¦¨â ¢ ®á−®¢¥ ⥮ਨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ª« áᮢ.

ƒ« ¢  11

‚…Š’
›… ‘‘‹…
ˆŸ ˆ …Š’ˆ‚
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11.1. Š ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥−® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥, á â®çª¨ §à¥−¨ï ¬¥å −¨§¬  − ¡«î¤ ¥¬®á⨠᫮© − ¤ â®çª®© à áá«®¥−¨ï ®¯¨á뢠¥â ú¢−ãâà¥−−¥¥ ãáâனá⢮û í⮩ â®çª¨. â® ¢−ãâà¥−−¥¥ ãáâனá⢮ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ᮡá⢥−−ãî ¬ â¥¬ â¨ç¥áªãî áâàãªâãàã.  ¯à¨¬¥à, á«®¨ ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï ®¡« ¤ îâ ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠, ¨ íâ  áâàãªâãà  ¨¬¥¥â ®ç¥¢¨¤−ë© ú䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«û. „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ ¬−®£®®¡à §¨¥ M ¥áâì ª®−䨣ãà æ¨®−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ −¥ª®â®à®© ¬¥å −¨ç¥áª®© á¨á⥬ë (á¬. ¯. 9.22), â® ¤«ï 䨪á¨à®¢ −−®© â®çª¨ a ∈ M ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ¨−â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠â®çª¨ á¨áâ¥¬ë ¢ ª®−䨣ãà æ¨¨ a.  áá«®¥−¨ï ¯®¤®¡−®£® ⨯ , ᮠ᫮ﬨ | «¨−¥©−묨 ¯à®áâà −á⢠¬¨, − §ë¢ îâáï ¢¥ªâ®à−묨 (â®ç−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ á¬. ¢ ¯. 11.2). −¨ ®¡à §ãîâ ¢¥á쬠 ¨−â¥à¥á−ë© ¨ ¢ ¦−ë© ª« áá à áá«®¥−¨©. ‚ ç áâ−®áâ¨, ¯®¬¨¬® ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï, ª í⮬㠪« ááã ¯à¨− ¤«¥¦ â â ª¨¥ −ã¦−ë¥ ¤«ï − á à áá«®¥−¨ï, ª ª ª®ª á â¥«ì−®¥ ¨ à áá«®¥−¨¥ ¤¦¥â®¢ | ®¤¨− ¨§ ®á−®¢−ëå ®¡ê¥ªâ®¢ ¨§ãç¥−¨ï ᮢ६¥−−®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨©. ‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì  «£¥¡à ¨ç¥áª¨ ®¯¨á −ë ¡®«¥¥ ¯à®áâë¬, 祬 ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ᯮᮡ®¬. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«−¥−¨¨ −¥ª®â®àëå ¥áâ¥á⢥−−ëå ãá«®¢¨© ॣã«ïà−®á⨠¢ ª ç¥á⢥ à áè¨à¥−¨©  «£¥¡à A → B, ®â¢¥ç îé¨å ¢¥ªâ®à−®¬ã à áá«®¥−¨î, ¤®áâ â®ç−® à áᬠâਢ âì à áè¨à¥−¨ï 233

234

ƒ« ¢  11

¢¨¤  A → S(P ), £¤¥ S(P ) | ¯®«− ï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï  «£¥¡à  −¥ª®â®à®£® A-¬®¤ã«ï P , − ¤«¥¦ é¨¬ ®¡à §®¬ ¯®¯®«−¥−− ï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§ãç¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ᢮¤¨âáï ª ¨§ãç¥−¨î ®¯à¥¤¥«¥−−®£® ª« áá  ¬®¤ã«¥© − ¤  «£¥¡à®© A = C ∞ (M). Œë − ç−¥¬ á £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï. ˆ§ã稢 ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©, ¬ë ¤®ª ¦¥¬ ®á−®¢−ãî ⥮६㠮¡ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠¯®−ïâ¨ï ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ M ¨ ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−®£® ¯à®¥ªâ¨¢−®£® ¬®¤ã«ï − ¤ A ¨ ¯®á«¥ í⮣® ᬮ¦¥¬ ®¡êïá−¨âì, ª ª ¢ ¤ −−®¬ ª®−⥪á⥠¯®ï¢«ïîâáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¥  «£¥¡àë ¬®¤ã«¥©. 11.2. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï.  áá«®¥−¨¥ π : E → M á® á«®¥¬ V − §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à−ë¬, ¥á«¨ 1. V | «¨−¥©−®¥ ¯à®áâà −á⢮ (− ¤ R); 2. πx | «¨−¥©−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ M; 3. ¢ë¯®«−¥−® ¢¥ªâ®à−®¥ ãá«®¢¨¥ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®áâ¨: ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ M − ©¤¥âáï ®ªà¥áâ−®áâì U ⊂ M, x ∈ U, ¨ âਢ¨ «¨§ãî騩 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ϕ : π −1(U) → U × V , «¨−¥©−ë© −  ª ¦¤®¬ á«®¥, â. ¥. â ª®©, çâ® ¢á¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕy : πy → V , y ∈ U, «¨−¥©−ë.  §¬¥à−®áâìî ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï − §ë¢ ¥âáï à §¬¥à−®áâì ¥£® á«®ï. ã«ì¬¥à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − §ë¢ ¥âáï −ã«¥¢ë¬ ¨ ®¡®§− ç ¥âáï OM . ¤−®¬¥à−®¥ âਢ¨ «ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ − §ë¢ ¥âáï ¥¤¨−¨ç−ë¬ ¨ ®¡®§− ç ¥âáï IM . 11.3. ¤ ¯â¨à®¢ −−ë¥ ª®®à¤¨− âë ¢ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨ïå. ãáâì (U, x) | «®ª «ì− ï ª àâ  −  M, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ¢¥ªâ®à−®¬ã ãá«®¢¨î «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠3 ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï 11.2, ϕ : π −1 (U) → U × V | ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 âਢ¨ «¨§ãî騩 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ¨ ξ ∈ V . ⮡ࠦ¥−¨¥ sϕξ : U → π −1(U),

U  x → ϕ−1 (x, ξ) ∈ π −1(U), ®ç¥¢¨¤−®, ï¥âáï á¥ç¥−¨¥¬ à áá«®¥−¨ï π U . …᫨ v1, . . . , vm | ¡ §¨á m-¬¥à−®£® ¢¥ªâ®à−®£® ¯à®áâà −á⢠ V , â® á¥ç¥−¨ï ej = sϕεj , 1  j  m, â ª®¢ë, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ U

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

235

¢¥ªâ®àë e1 (z) = ϕ−1 (z, v1), . . . , em (z) = ϕ−1 (z, vm ) ®¡à §ãîâ ¡ §¨á «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ πU−1 (z) ∼ = V . ¨¦¥ (á¬. ¯. 11.7) ¡ã¤¥â ¯®ª § −®, ç⮠ᮢ®ªã¯−®áâì á¥ç¥−¨© ¯à®¨§¢®«ì−®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π − ¤ M ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−®© áâàãªâãன C ∞ (M)-¬®¤ã«ï, ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®© áâàãªâãன «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ ¢ á«®ïå πz . ®í⮬ã ᪠§ −−®¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ®§− ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢ë¡à −−®© − ¬¨ ª®®à¤¨− â−®© ®ªà¥áâ−®á⨠U ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨© à áá«®¥−¨ï π|U ᢮¡®¤¥− ¨ ej = sϕεj , 1  j  m, ¥áâì ¥£® ¡ §¨á. ãáâì ⥯¥àì z ∈ U ¨ (x1, . . . , xn) | ª®®à¤¨− â−ë¥ äã−ªæ¨¨ −  U. ‹î¡ ï â®çª  y ∈ πz ⊂ π −1 (U) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï − ¡®à®¬ ¨§ n + m ç¨á¥« (x1 , . . . , xn , u1 , . . . , um ), £¤¥ (x1 , . . . , xn) | ª®®à¤¨− âë â®çª¨ z,   (u1, . . . , um ) | ª®®à¤¨− âë â®çª¨ y ®â−®á¨â¥«ì−® ¡ §¨á  e1|z , . . . , em |z . ”ã−ªæ¨¨ (x1, . . . , xn, u1, . . . , um) ®¡à §ãîâ á¨á⥬㠪®®à¤¨− â −  π −1(U) ¨ − §ë¢ îâáï  ¤ ¯â¨à®¢ −−묨 ª®®à¤¨− â ¬¨ à áá«®¥−¨ï π. ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ª àâ  (π −1 (U), x1, . . . , xn , u1, . . . , um) −  ¬−®£®®¡à §¨¨ E − §ë¢ ¥âáï  ¤ ¯â¨à®¢ −−®© ª à⮩. ˆ − ª®−¥æ,  â« á, á®áâ®ï騩 ¨§  ¤ ¯â¨à®¢ −−ëå ª àâ, â ª¦¥ − §ë¢ ¥âáï  ¤ ¯â¨à®¢ −−ë¬. ¥âàã¤−® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¥á«¨ ª àâë (U, x) ¨ (U  , x) −  M ᮣ« á®¢ −ë, ⮠ᮣ« á®¢ −ë ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬  ¤ ¯â¨à®¢ −−ë¥ ª àâë −  E. (—¨â â¥«î ४®¬¥−¤ã¥âáï ᤥ« âì íâ㠯஢¥àªã á ¬®áâ®ï⥫ì−® ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¦−¥−¨ï.) â®, ¢ ç áâ−®áâ¨, ®§− ç ¥â, çâ® ª ¦¤®¬ã  â« áã −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì  ¤ ¯â¨à®¢ −−ë©  â« á −  ¯à®áâà −á⢥ à áá«®¥−¨ï E. 11.4. Œ®à䨧¬ë ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. Œ®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© α : π → η − ¤ M − §ë¢ ¥âáï £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ α : Eπ → Eη , ïî饥áï ¬®à䨧¬®¬ à áá«®¥−¨© ¨ ¯®á«®©−® R-«¨−¥©−®¥ (â. ¥. ®â®¡à ¦¥−¨¥ αx ¤®«¦−® ¡ëâì «¨−¥©−ë¬ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ ¡ §ë x ∈ M). Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬®à䨧¬®¬ ¨§ π ¢ η ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì Mor(π, η),   ®¯à¥¤¥«¥−−ãî â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª â¥£®à¨î ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ VBM .

236

ƒ« ¢  11

ਠ«®ª «ì−®¬ ¨§ãç¥−¨¨ ¬®à䨧¬®¢ 㤮¡−  â ª ï â®çª  §à¥−¨ï: ¬®à䨧¬ âਢ¨ «ì−ëå ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© − ¤ M ¥áâì −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª £« ¤ª ï ®¯¥à â®à−®§− ç− ï äã−ªæ¨ï −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M. ’®ç− ï ä®à¬ã«¨à®¢ª  í⮣® ã⢥ত¥−¨ï ᮤ¥à¦¨âáï ¢ á«¥¤ãî饩 ®ç¥¢¨¤−®© «¥¬¬¥. 11.5. ‹¥¬¬ .
ãáâì π : M × V → M ¨ η : M × W → M | âਢ¨ «ì−ë¥ à áá«®¥−¨ï. ‚á类¬ã ¯®á«®©−®¬ã ®â®¡à ¦¥−¨î ϕ : M × V → M × W , «¨−¥©−®¬ã −  á«®ïå, ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì ᥬ¥©á⢮ «¨−¥©−ëå ®¯¥à â®à®¢ ϕ : M → Hom(V, W ), ¯®« £ ï ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î §− ç¥−¨¥ ®¯¥à â®à  ϕ(x) −  ¢¥ªâ®à¥ v ∈ V à ¢−ë¬ W -á®áâ ¢«ïî饩 í«¥¬¥−â  ϕ(x, v) ∈ M × W . ’®£¤  á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥−â−ë: ( ) ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ £« ¤ª®¥ (â. ¥. ϕ | ¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨©), (¡) ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ £« ¤ª®¥ (¯à®áâà −á⢮ Hom(V, W ) − ¤¥«¥−® áâàãªâãன ¬−®£®®¡à §¨ï, ª ª ª®−¥ç−®¬¥à−®¥ ¢¥é¥á⢥−−®¥ «¨−¥©−®¥ ¯à®áâà −á⢮). 11.6. ਬ¥àë ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. I.  áá«®¥−¨¥ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  − ¤ ®ªàã¦−®áâìî, à áᬮâà¥−−®¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥ (¯à¨¬¥à 10.11 (III)), ¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥, ¥á«¨ áç¨â âì ¥£® á«®¨ ®¤−®¬¥à−묨 «¨−¥©−묨 ¯à®áâà −á⢠¬¨. ।áâ ¢«ïï  «£¥¡àã äã−ªæ¨© −  «¨á⥠Œñ¡¨ãá  ª ª ¯®¤ «£¥¡àã B ⊂ C ∞ (R2 ), ¢ë¤¥«¥−−ãî ãá«®¢¨¥¬ f(x + 1, y) = f(x, −y), ¬ë ¬®¦¥¬ § ¤ âì íâ® à áá«®¥−¨¥ ¢«®¦¥−¨¥¬  «£¥¡à A → B, ª®â®à®¥ ¯¥à¥¢®¤¨â äã−ªæ¨î f ¢ äã−ªæ¨î g, g(x, y) = f(x). ‡¤¥áì A = {f ∈ C ∞ (R) | f(x + 1) = f(x)} |  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  ®ªàã¦−®áâ¨. II. Š á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ πT : T M → M (á¬. ¯. 9.19). 祢¨¤−®, âਢ¨ «¨§ãî騥 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ë, ®¯¨á −−ë¥ ¢ ¯. 10.11 (VII), ¯®á«®©−® «¨−¥©−ë. ®í⮬㠪 á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ ï¥âáï ¢¥ªâ®à−ë¬. III. Š®ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ πT ∗ : T ∗M → M (á¬. ¯. 9.24). Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, âਢ¨ «¨§ãî騥 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ë, ®¯¨á −−ë¥ ¢ ¯. 10.11 (VIII), ®ç¥¢¨¤−®, «¨−¥©−ë.

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

237

IV. ’ਢ¨ «¨§ æ¨¨, ®¯¨á −−ë¥ ¢ ¯. 10.11 (IX), â ª¦¥ «¨−¥©−ë, â ª çâ® à áá«®¥−¨¥ l-¤¦¥â®¢ πJ l : J l M → M | ¢¥ªâ®à−®¥. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï âà¥å ¯®á«¥¤−¨å ¯à¨¬¥à®¢ ᯥ樠«ì−ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨− â, ®¯à¥¤¥«¥−−ë¥ ¢ ¯¯. 9.19, 9.24 ¨ 10.11 (IX) ᮮ⢥âá⢥−−®, ®ç¥¢¨¤−®, ïîâáï  ¤ ¯â¨à®¢ −−묨. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨ï πl,m : J lM → J m M,

[f]lz → [f]m z ,

l  m,

τl : J lM → T ∗M,

[f]lz → dz (f),

l  1,

ïîâáï ¢¥ªâ®à−묨 à áá«®¥−¨ï¬¨. 11.7. Œ®¤ã«ì á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï. ‡ ¬¥ç â¥«ì−®© ®á®¡¥−−®áâìî ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ï¥âáï â®, ç⮠ᮢ®ªã¯−®á⨠¨å á¥ç¥−¨© ïîâáï ¬®¤ã«ï¬¨ − ¤  «£¥¡à ¬¨ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¡ §¨á−ëå ¬−®£®®¡à §¨©. ‚®§−¨ª îé ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à−묨 à áá«®¥−¨ï¬¨ ¨ ¬®¤ã«ï¬¨, ª ¨§ãç¥−¨î ª®â®à®© ¬ë ¯à¨áâ㯠¥¬, ¨¬¥¥â äã−¤ ¬¥−â «ì−®¥ §− ç¥−¨¥. ‡ ¬¥â¨¬ á− ç « , çâ® ¬−®¦¥á⢮ á¥ç¥−¨© «î¡®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï −¥¯ãáâ® | ®−® ¢á¥£¤  ᮤ¥à¦¨â −ã«¥¢®¥ á¥ç¥−¨¥ s0 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ â ª: ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M §− ç¥−¨¥ s0 (z) ¥áâì −ã«ì «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ πz . ˆá¯®«ì§ãï «¨−¥©−ãî áâàãªâãàã ¢ á«®ïå πx , ¢ ¬−®¦¥á⢥ á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ¬®¦−® ¢¢¥á⨠®¯¥à æ¨¨ á«®¦¥−¨ï ¨ ã¬−®¦¥−¨ï −  äã−ªæ¨î: (s1 + s2 )(z) = s1 (z) + s2 (z),

(fs)(z) = f(z)s(z)

¤«ï «î¡ëå á¥ç¥−¨© s, s1 , s2 , «î¡®© £« ¤ª®© äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞ (M) ¨ «î¡®© â®çª¨ z ∈ M. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï −¥¬¥¤«¥−−® á«¥¤ã¥â, çâ® á㬬  ¤¢ãå á¥ç¥−¨© ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ á¥ç¥−¨ï −  £« ¤ªãî äã−ªæ¨î áãâì á−®¢  (£« ¤ª¨¥) á¥ç¥−¨ï. ⨠®¯¥à æ¨¨ ¯à¥¢à é îâ ᮢ®ªã¯−®áâì ¢á¥å £« ¤ª¨å á¥ç¥−¨© à áá«®¥−¨ï π ¢ C ∞ (M)-¬®¤ã«ì, ®¡®§− ç ¥¬ë© •(π). ‚ á«¥¤ãî饩 «¥¬¬¥ ¢ëïá−ï¥âáï á¢ï§ì ¬¥¦¤ã £«®¡ «ì−ë¬ ¨ ¯®â®ç¥ç−ë¬ ¯®¤å®¤®¬ ª à áᬮâà¥−¨î á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−®£®

238

ƒ« ¢  11

à áá«®¥−¨ï. Š ª ¨ à −ìè¥, ç¥à¥§ µz ¬ë ®¡®§− ç ¥¬ ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ «  «£¥¡àë C ∞(M), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© à ¢¥−á⢮¬ µz = {f ∈ C ∞ (M) f(z) = 0} ¨ − §ë¢ ¥¬ë© ¨¤¥ «®¬ â®çª¨ z. 11.8. ‹¥¬¬ .
ãáâì π | ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ¨ z ∈ M. ’®£¤  ( ) ¤«ï «î¡®© â®çª¨ y ∈ πz áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ á¥ç¥−¨¥ s ∈ •(π), çâ® s(z) = y; (¡) ¥á«¨ s ∈ •(π) ¨ s(z) = 0, â® áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ µz , si ∈ •(π), çâ® s ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ ª®−¥ç−®© á㬬ë fi ∈  s = fi si .
( ) „«ï âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï íâ® ã⢥ত¥−¨¥, ®ç¥¢¨¤−®, ¢¥à−®. ®í⮬㠢 ᨫ㠫®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠− ¤ −¥ª®â®à®© ∈ •(π ), ¤«ï ®ªà¥áâ−®áâìî U â®çª¨ z áãé¥áâ¢ã¥â á¥ç¥−¨¥ s U U ª®â®à®£® s U (z) = y. —â®¡ë ¯®«ãç¨âì ⥯¥àì £«®¡ «ì−®¥ (â. ¥. ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ − ¤ ¢á¥¬ M) á¥ç¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï π, ®¡« ¤ î饥 ⥬ ¦¥ ᢮©á⢮¬, ®áâ ¥âáï «¨èì ¤®¬−®¦¨âì s U −  £« ¤ªãî äã−ªæ¨î, −®á¨â¥«ì ª®â®à®© ᮤ¥à¦¨âáï ¢ U,   §− ç¥−¨¥ ¢ â®çª¥ z à ¢−® 1. (¡) ‘− ç «  à áᬮâਬ á«ãç © âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ (á¬. ¯. 11.3) áãé¥áâ¢ãîâ ¡ §¨á−ë¥ á¥ç¥−¨ï e1, . . . , em ∈ •(π), §− ç¥−¨ï ª®â®àëå ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ M ®¡à §ãîâ ¡ §¨á «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ mπz . „ −−®¥ á¥ç¥−¨¥ s ¬®¦−® à §«®¦¨âì ¯® ¡ §¨áã: s = i=1 fi ei . ˆ§ ⮣®, çâ® s(z) = 0, á«¥¤ã¥â, çâ® fi (z) = 0 ¤«ï ¢á¥å i = 1, . . . , m, ¯®í⮬ã fi ∈ µz , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. ‚ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì−®£® à áá«®¥−¨ï áãé¥áâ¢ãîâ â ª ï ®ªà¥áâ−®áâì U â®çª¨ z, â ª¨¥ á¥ç¥−¨ï ei ∈ •(π U ) ¨ â ª¨¥ äã−ªæ¨¨ fi ∈ C ∞(U), çâ® s U = m i=1 fi ei. ∞ ‚롥६ £« ¤ªãî äã−ªæ¨î f ∈ C (M) â ª, çâ® supp f ⊂ U ¨ f(z) = 1. த®«¦¨¢ äã−ªæ¨î ffi ∈ C ∞ (U) (á¥ç¥−¨¥ fei ∈ •(π U )) ⮦¤¥á⢥−−ë¬ −ã«¥¬ −  ¢á¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ M, ¬ë ¯®«ã稬, ®ç¥¢¨¤−®, £« ¤ªãî äã−ªæ¨î (ᮮ⢥âá⢥−−® á¥ç¥−¨¥) −  M. த®«¦ ï ®¡®§− ç âì í⨠¯à®¤®«¦¥−¨ï ffi ¨ fei

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

239

ᮮ⢥âá⢥−−®, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® m  2 f s= (ffi )(fei ) i=1

¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, s = (1 − f 2 )s +

m  (ffi )(fei ). i=1

áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® äã−ªæ¨¨ 1 − f 2 , ff1 , . . . , ffm ¯à¨− ¤«¥¦ â µz .  „®ª § −− ï «¥¬¬  ¤®¯ã᪠¥â á«¥¤ãîéãî ª®¬¯ ªâ−ãî ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ªã. ०¤¥ 祬 ¥¥ ¯à¨¢¥áâ¨, − ¯®¬−¨¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì A-¬®¤ã«¥© αi−1

α

i . . . → Pi−1 −→ Pi −→ Pi+1 . . .

− §ë¢ ¥âáï â®ç−®© ¢ ç«¥−¥ Pi , ¥á«¨ Ker αi = Im αi−1 . ’ ª ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì − §ë¢ ¥âáï â®ç−®©, ¥á«¨ â®ç−  ¢ ª ¦¤®¬ ç«¥−¥. 11.9. ‘«¥¤á⢨¥. „«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì 0 → µz •(π) → •(π) → πz → 0, £¤¥ ¯¥à¢ ï áâ५ª  | ¢ª«îç¥−¨¥,   ¢â®à ï ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¢á类¬ã á¥ç¥−¨î ¥£® §− ç¥−¨¥ ¢ â®çª¥ z ∈ M, â®ç− . ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, •(π)/µz •(π) ∼ = πz .   ¯®¬−¨¬, çâ® ¢á类¬ã í«¥¬¥−âã h ∈ |A| ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¨¤¥ « µh = ker h ⊂ A. ®«ãç¥−−ë© ¢ëè¥ à¥§ã«ìâ â ¬®â¨¢¨àã¥â á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥−¨¥: á«®¥¬ Ph A-¬®¤ã«ï P − ¤ â®çª®© h ∈ |A| ¬ë − §ë¢ ¥âáï ä ªâ®à¬®¤ã«ì P/µh P . ‡− ç¥−¨¥¬ ph í«¥¬¥−â  p ∈ P ¢ â®çª¥ h − §ë¢ ¥âáï ®¡à § p ¯à¨ £®¬®¬®à䨧¬¥ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ P → Ph . ‚ á«ãç ¥ A = C ∞ (M), h = hz ¤«ï def z ∈ M ¬ë ¯¨è¥¬ ¢ í⮬ ¦¥ á¬ëá«¥ Pz = P/µz P ¨ £®¢®à¨¬ ® §− ç¥−¨¨ pz í«¥¬¥−â  p ∈ P ¢ â®çª¥ z.

240

ƒ« ¢  11

“¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï á«ãç ï  «£¥¡àë £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© A = C ∞ (M) ¨ P = D(M), ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥−á⢮ D(M)z = Tz M ¨ §− ç¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï X ∈ D(M) ¢ â®çª¥ z ¥áâì −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ¯®«ï X ¢ í⮩ â®çª¥ (ᬠ¯. 9.39). (ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ¨á¯®«ì§®¢ −¨¥ ¤«ï ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ®¡®§− ç¥−¨ï Xz ¢ á¬ëá«¥ 㪠§ −−®£® ¯ã−ªâ  ¨ ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï −¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ª®««¨§¨¨ | íâ® ®¤−® ¨ â® ¦¥.) 11.10. ‘«¥¤ãî騩 䠪⠮ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§−ë¬ ¯à¨  − «¨§¥ áâàãªâãàë ¬®¤ã«¥© á¥ç¥−¨©. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì á¥ç¥−¨ï s1 , . . . , sl ∈ •(π) â ª®¢ë, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M ¢¥ªâ®àë s1 (z), . . . , sl (z) ¯®à®¦¤ îâ á«®© πz . ’®£¤  í⨠á¥ç¥−¨ï ¯®à®¦¤ îâ ¨ ¬®¤ã«ì •(π).
ãáâì k | à §¬¥à−®áâì à áá«®¥−¨ï π.  áᬮâਬ 㯮à冷ç¥−−ë© − ¡®à 楫ëå ç¨á¥« I = i1 , . . . , ik , 1  i1 < . . . < ik  l ¨ ¯®«®¦¨¬ UI = {z ∈ M | si1 (z), . . . , sik (z) ∈ πz «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ë}. , . . . , sik |UI 祢¨¤−®, çâ® ¬−®¦¥á⢮ UI ®âªàëâ® ¨ á¥ç¥−¨ï si1 |U I ∞ ¯®à®¦¤ îâ C (UI )-¬®¤ã«ì •(π|UI ). Šà®¬¥ ⮣®, I UI = M. „¥©á⢨⥫ì−®, ¤«ï ¢á类© â®çª¨ z ∈ M ¬®¦−® ¨§ á¥ç¥−¨© s1(z), . . . , sl (z), ¯®à®¦¤ îé¨å á«®© πz , ¢ë¡à âì −¥ª®â®àãî ¥£® ¡ §ã, ᪠¦¥¬ si1 (z), . . . , sik (z). â® ®§− ç ¥â, çâ® z ∈ UI . „«ï «î¡®£® á¥ç¥−¨ï s ∈ •(π), ®ç¥¢¨¤−®, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à §«®¦¥−¨¥ s|UI =

k 

λI,α siα |UI ,

λI,α ∈ C ∞ (UI ).

α=1

ãáâì ⥯¥àì äã−ªæ¨ï µI ∈ C ∞ (M), áâண® ¯®«®¦¨â¥«ì− ï ¢−ãâਠUI ¨ à ¢− ï −ã«î ¢−¥ í⮣® ¬−®¦¥á⢠, â ª®¢ , çâ® äã−ªæ¨¨  νI,i =

µI λI,i −  UI , 0 ¢−¥ UI

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

ïîâáï £« ¤ª¨¬¨ −  M. ’®£¤  äã−ªæ¨ï µ = ¯®«®¦¨â¥«ì−  −  M ¨  µI s = νI,i si .

241

 I

µI ¢áî¤ã

i

®í⮬ã s=

 νI,i 1 si .  µI s = µ I µ I,i

11.11. ƒ¥®¬¥âਧ æ¨ï ¬®¤ã«¥©. ‘® ¢á直¬ A-¬®¤ã«¥¬ P − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−®© K- «£¥¡à®© A ¬®¦−® á¢ï§ âì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¡ê¥ªâ ' ' |P | = Ph (¨«¨ |P | = Pz , ¥á«¨ A = C ∞ (M)), h∈|A|

z∈M

¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®¥ªâ¨àãî騩áï −  |A|: π

P h ∈ |A|. |P | ⊃ Ph  ph →

A-¬®¤ã«ì Ph = P/µh P ¬®¦−® ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ à áᬠâਢ âì ¨ ª ª ¬®¤ã«ì − ¤ A/µh , â. ¥. | ¢ ᨫ㠨§®¬®à䨧¬  A/µh = K | ª ª K-¬®¤ã«ì. ஥ªæ¨ï πP ®ç¥−ì ¯®å®¦  −  à áá«®¥−¨¥ ¨, ª ª ¡ã¤¥â ¯®ª § −® −¨¦¥, íª¢¨¢ «¥−â−  ¢¥ªâ®à−®¬ã à áá«®¥−¨î, ¥á«¨ A = C ∞ (M) ¨ ¬®¤ã«ì P ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥− ¨ ¯à®¥ªâ¨¢¥−. ®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ − §ë¢ âì ¥ñ ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨¥¬. ‚ á«ãç ¥ P = D(M) ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥−âã X ∈ D(M) ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì á¥ç¥−¨¥ sX : z → Xz ∈ Tz M = D(M)z ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï πT . 祢¨¤−®, çâ® íâ  ª®−áâàãªæ¨ï −®á¨â ®¡é¨© å à ªâ¥à ¨ ¯à¨£®¤−  ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−ëå ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨©: ¢á类¬ã í«¥¬¥−âã p ∈ P ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì ®â®¡à ¦¥−¨¥ sp : |A| → |P |,

h → ph .

â® ¯®§¢®«ï¥â − ¬ −¥ä®à¬ «ì−® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᥡ¥ í«¥¬¥−âë ¬®¤ã«ï P ª ª á¥ç¥−¨ï ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï |P | â®ç−® â ª ¦¥, ª ª í«¥¬¥−âë  «£¥¡àë A ¬ë ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äã−ªæ¨ï¬¨ −  ¥ñ ᯥªâॠ|A|. ¤−  ¨§ ®á−®¢−ëå § ¤ ç ¤ −−®© £« ¢ë ¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ¯®ª § âì, çâ® ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¯®«ãç îâáï

242

ƒ« ¢  11

¨§ ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© ¢ १ã«ìâ â¥ ®¯¨á −−®© ¯à®æ¥¤ãàë ¯®¤®¡−®, ⮬㠪 ª £« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ¯®«ãç îâáï ¨§ £« ¤ª¨å  «£¥¡à. ⮡ࠦ¥−¨ï ¢¨¤  sp : |A| → |P | − §ë¢ îâáï á¥ç¥−¨ï¬¨ ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP . (‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¬−®¦¥á⢮ |P | −¥ − ¤¥«¥−® −¨ª ª®© áâàãªâãன, ¯®§¢®«ïî饩 ¨− ç¥ ¢ë¤¥«¨âì à §ã¬−ë© ª« áá á।¨ ¢á¥å ®â®¡à ¦¥−¨© ¢¨¤  s : |A| → |P |, πP ◦ s = id|A| .) Œ−®¦¥á⢮ •(P ) ¢á¥å á¥ç¥−¨© ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP ¥áâì A-¬®¤ã«ì ®â−®á¨â¥«ì−® ¥áâ¥á⢥−−ëå ®¯¥à æ¨© (sp1 + sp2 ) = sp1 +p2 , (asp ) = sap ,

p1 , p2 ∈ P,

p ∈ P.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤®¬ã A-¬®¤ã«î P ¬ë ᮯ®áâ ¢¨«¨ A-¬®¤ã«ì •(P ) á¥ç¥−¨© ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP . ’¥¯¥àì ®¤−  ¨§ 楫¥© í⮩ £« ¢ë ¬®¦¥â ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ −  ¡®«¥¥ â®ç−®: ¬ë å®â¨¬ ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ A = C ∞ (M), â® ¤«ï «î¡®£® ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−®£® ¯à®¥ªâ¨¢−®£® A-¬®¤ã«ï P ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨¥ πP ï¥âáï ¢¥ªâ®à−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬,   ¬®¤ã«¨ P ¨ •(P ) ¥áâ¥á⢥−−® ¨§®¬®àä−ë. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, ç⮠ᮮ⢥âá⢨¥ P → •(P ) ¥áâì äã−ªâ®à ¢ ª â¥£®à¨¨ A-¬®¤ã«¥©. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ í«¥¬¥−â p C ∞ (M)-¬®¤ã«ï P ¯à¨− ¤«¥ ¦¨â z∈M µz P , â® ¥£® §− ç¥−¨¥ ¢ «î¡®© â®çª¥ z ∈ M à ¢−® −ã«î. ’ ª¨¥ í«¥¬¥−âë − §ë¢ îâáï −¥¢¨¤¨¬ë¬¨, å®âï â®ç−¥¥ ¡ë«® ¡ë − §ë¢ âì ¨å −¥− ¡«î¤ ¥¬ë¬¨. „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ p ∈ P , â® p mod µz ᮣ« á−® ¯à¨−樯ã − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨−â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª ª®¬¯®−¥−â  ¢−ãâà¥−−¥© áâàãªâãàë â®çª¨ z ∈ M  ¨ ¯à¨− ¤«¥¦−®áâì í«¥¬¥−â  p ¯¥à¥á¥ç¥−¨î z∈M µz P ®§− ç ¥â ¯à¨−樯¨ «ì−ãî −¥− ¡«î¤ ¥¬®áâì í⮩ ª®¬¯®−¥−âë. ∞  C (M)-¬®¤ã«ì P − §ë¢ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ z∈M µz P = 0, â. ¥. ¥á«¨ P −¥ ᮤ¥à¦¨â −¥− ¡«î¤ ¥¬ëå í«¥¬¥−⮢. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® £¥®¬¥âà¨ç−®áâì A-¬®¤ã«ï P à ¢−®á¨«ì−  ⮬ã, çâ® ¬®¤ã«¨ P ¨ •(P ) ¨§®¬®àä−ë.

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

243

«£¥¡à ¨ç¥áª ï ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ª  í⮣® ¬®¦¥â ¡ëâì ᤥ« −  á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ⮡ࠦ¥−¨¥ )  • = •P : P −→ P µz P = •(P ) z∈M

ú㡨¢ ¥âû −¥¢¨¤¨¬ë¥ í«¥¬¥−âë ¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª ¦¤®¬ã C ∞ (M)-¬®¤ã«î P £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¬®¤ã«ì •(P ), ª®â®àë© ¢ ¤ «ì−¥©è¥¬ ¡ã¤¥â − §ë¢ âìáï £¥®¬¥âਧ æ¨¥© ¬®¤ã«ï P . ‘®®â¢¥âá⢨¥ P → •(P ) ®¯à¥¤¥«ï¥â äã−ªâ®à ¨§ ª â¥£®à¨¨ Mod C ∞(M) ¢á¥å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© ¢ ª â¥£®à¨î GMod C ∞ (M) ¢á¥å £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥©. ‚ 楫®¬ à拉 § ¤ ç à áᬮâà¥−¨¥ ¯®¤ª â¥£®à¨¨ GMod C ∞ (M) ¢¬¥áâ® ¡®«ì襩 ª â¥£®à¨¨ Mod C ∞ (M) ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§−ë¬ ¨ íä䥪⨢−ë¬. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯®¤ª â¥£®à¨ï GMod C ∞ (M) ª â¥£®à¨¨ Mod C ∞ (M) ãá⮩稢  ®â−®á¨â¥«ì−® ®¯¥à æ¨¨ â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï ¨ äã−ªâ®à  Hom,   ¨¬¥−−® ¯®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ P, Q | £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ C ∞ (M)-¬®¤ã«¨, â® ¨ P ⊗ Q, Hom∞ C (M)(P, Q) ¡ã¤ãâ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ∞ C (M)-¬®¤ã«ï¬¨. ‡− −¨¥ ⮣®, ª ª ¢ àì¨àã¥âáï á«®© Ph ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â â®çª¨ h ∈ |A|, ¤ ¥â ¬−®£® ¯®«¥§−®© ¨−ä®à¬ æ¨¨ ® áâ஥−¨¨ ¨á室−®£® ¬®¤ã«ï P , ᪠¦¥¬ ¥£® ®á®¡¥−−®á⥩ ¨ â. ¯.  ¯à¨¬¥à, ¬ë ¬®¦¥¬ £®¢®à¨âì ® −®á¨â¥«¥ ¬®¤ã«ï P : supp P = {h ∈ |A| | Ph = 0} ⊂ |A|, £¤¥ ç¥àâ  ®§− ç ¥â § ¬ëª −¨¥ ¢ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£®. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. Š á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ Tz M ¥áâ¥á⢥−−® à áᬠâਢ âì ª ª C ∞ (M)-¬®¤ã«ì, ®¯à¥¤¥«¨¢ ®¯¥à æ¨î ã¬−®¦¥−¨ï ¯à ¢¨«®¬ (f, ξ) → f(z)ξ, f ∈ C ∞ (M), ξ ∈ Tz M. ®ª ¦¨â¥, çâ® −®á¨â¥«ì í⮣® ¬®¤ã«ï ¥áâì â®çª  z. 2. ®ª ¦¨â¥, çâ® −®á¨â¥«ì C ∞ (M)-¬®¤ã«ï D(M, N) (á¬. ¯. 9.46) ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¢¤®«ì ¯®¤¬−®£®®¡à §¨ï n ⊂ M ᮢ¯ ¤ ¥â á N.

244

ƒ« ¢  11

“ª § −− ï £¥®¬¥âਧ æ¨ï A-¬®¤ã«¥© ¯®§¢®«ï¥â «ãçè¥ ã¢¨¤¥âì ¨ ¯®−ïâì áâàãªâãàã à §«¨ç−ëå ª®−áâàãªæ¨© «¨−¥©−®©  «£¥¡àë − ¤ A ª ª ¢ ®¡é¥¬, â ª ¨ ¢ ª®−ªà¥â−ëå á«ãç ïå.  ¯à¨¬¥à, áâàãªâãàã −¥ª®â®à®£® £®¬®¬®à䨧¬  A-¬®¤ã«¥© f : P → Q ¬®¦−® 㢨¤¥âì, ú¢ëç¨á«¨¢û ¥£® §− ç¥−¨ï ¢ à §−ëå â®çª å ᯥªâà  |A|. ®¤ §− ç¥−¨¥¬ F ¢ â®çª¥ h ∈ |A| ¯®−¨¬ ¥âáï ®â®¡à ¦¥−¨¥ ä ªâ®à¬®¤ã«¥© Fh : Ph → Qh . ‚¢¨¤ã ⮣® çâ® F (µh P ) ⊂ µh Q, ¤ −−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ £®¬®¬®à䨧¬  Fh ª®à४â−®. ‚ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© á¨âã æ¨¨, ª®£¤  A = C ∞(M), ª ª ®¡ëç−®, ¨á¯®«ì§ãîâáï ®¡®§− ç¥−¨ï Fz , Pz , Qz ¢¬¥áâ® Fhz , Phz , Qhz . 11.12. |P | ª ª ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà −á⢮. ˆ§ ®¡é¨å á®®¡à ¦¥−¨© − ¬ å®â¥«®áì ¡ë à áᬠâਢ âì |P | −¥ ¯à®áâ® ª ª ¬−®¦¥á⢮,   ª ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¡ê¥ªâ. à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠á⨬㫨àã¥â − á ¯®¯ëâ âìáï ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì |P | ª ª K-ᯥªâà −¥ª®â®à®© K- «£¥¡àë. ®−ïâì, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï, ¬®¦−® ¨§ £« ¢ë 9, − ¤«¥¦ é¨¬ ®¡à §®¬ ®¡®¡é¨¢ ª®−áâàãªæ¨¨, ¨á¯®«ì§®¢ −−ë¥ ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⮣®, çâ® ª®ª á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ T ∗ M ï¥âáï R-ᯥªâ஬  «£¥¡àë ᨬ¢®«®¢ S∗. − «¨§ 㪠§ −−ëå â ¬ ª®−áâàãªæ¨© ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ª −¤¨¤ â®¬ −  ஫ì â ª®©  «£¥¡àë ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï  «£¥¡à  S(P ∗) ¬®¤ã«ï P ∗ = HomA (P, A). ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î  S(P ∗ ) = Sk (P ∗ ), k0

£¤¥ Sk (P ∗ ) | ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï â¥−§®à− ï á⥯¥−ì ¬®¤ã«ï P ∗ . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢á直© í«¥¬¥−â f ∈ P ∗ = S1 (P ∗ ) ¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª äã−ªæ¨î −  |P |, ¯®«®¦¨¢ def

f(ph ) = f(p)

mod µh ∈ A/µh = K,

h ∈ |A|, p ∈ P.

‚¢¨¤ã ⮣® çâ® f | £®¬®¬®à䨧¬, íâ® ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ª®à४â−®. „ «¥¥, ¤«ï í«¥¬¥−â  f1 ⊗ . . . ⊗ fk ∈ (P ∗ )⊗k , £¤¥ ç¥à¥§ (P ∗ )⊗k

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

245

®¡®§− ç¥−  k-ï â¥−§®à− ï á⥯¥−ì A-¬®¤ã«ï P ∗ , ¯®«®¦¨¬ def

(f1 ⊗ . . . ⊗ fk )(ph ) = f1 (ph ) · . . . · fk (ph ). ∈ K â  ä®à¬ã«  ¯®§¢®«ï¥â à áᬠâਢ âì í«¥¬¥−âë â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï (P ∗)⊗k ª ª äã−ªæ¨¨ −  |P |. ‡ ¬¥â¨¬, ®¤− ª®, çâ® ¥á«¨ í«¥¬¥−â ω ∈ (P ∗ )⊗k ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥−, â® ω(ph ) = 0 ¤«ï «î¡®£® ph ∈ |P |. ˆ− ç¥ £®¢®àï, â ª®¬ã í«¥¬¥−âã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â äã−ªæ¨ï −  |P |, ⮦¤¥á⢥−−®  à ¢− ï −ã«î. à®ä ªâ®à¨§®¢ ¢ â¥−§®à−ãî  «£¥¡àã (P ∗ )⊗ = k0 (P ∗ )⊗k ¯® ¥¥ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª®© ¯®¤ «£¥¡à¥, ¬ë ª ª à § ¨ ¯à¨¤¥¬ ª ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡à¥ S(P ∗ ) ¨ ª ¨−â¥à¯à¥â æ¨¨ ¥¥ í«¥¬¥−⮢, ª ª äã−ªæ¨© −  |P |. ¨¦¥ íâ  ¨¤¥ï ¡®«¥¥ ¤¥â «ì−® ®¡á㦤 ¥âáï ¤«ï ¬®¤ã«¥© − ¤  «£¥¡à®© £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© C ∞ (M). ’ ¬, ¢ ç áâ−®áâ¨, ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π ¯à®áâà −á⢠ |•(π)| ¨ Eπ ᮢ¯ ¤ îâ. ¡®§− ç¨¬ ⥯¥àì ç¥à¥§ F (|P |) K- «£¥¡àã äã−ªæ¨© −  |P |, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í«¥¬¥−â ¬  «£¥¡àë S(P ∗ ). ”¨ªá æ¨ï í⮩  «£¥¡àë ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¢à â¨âì |P | ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà −á⢮, § ¤ ¢ −  −¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⮯®«®£¨î ‡ à¨á᪮£®, â. ¥. áç¨â ï ¡ §¨á−묨 § ¬ª−ãâ묨 ¬−®¦¥á⢠¬¨ ¬−®¦¥á⢠ −ã«¥© äã−ªæ¨© ¨§ F (|P |). “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨ï πP : |P | → |A| ¨ sp : |A| → |P |, p ∈ P , −¥¯à¥àë¢−ë ¢ í⮩ ⮯®«®£¨¨.  «¨ç¨¥ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£® −  |P | ¯®§¢®«ï¥â à áè¨à¨âì ª« áá á¥ç¥−¨© ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP . ˆ¬¥−−®, −¥¯à¥àë¢−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ s : |A| → |P | − §ë¢ ¥âáï −¥¯à¥àë¢−ë¬ á¥ç¥−¨¥¬ ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP , ¥á«¨ πP ◦ s = id|A| . Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å á¥ç¥−¨© ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP ®¡®§− ç ¥âáï •0 (P ). “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® áâàãªâãà  «¨−¥©−®£® − ¤ K ¯à®áâà −á⢠ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ á«®¥¢ Ph ⊂ |P | ¨−¤ãæ¨àã¥â áâàãªâãàã A-¬®¤ã«ï ¢ •0 (P ). 11.13. ”ã−ªâ®à á¥ç¥−¨©. ‘®¯®áâ ¢«¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®¬ã à áá«®¥−¨î ¥£® ¬®¤ã«ï á¥ç¥−¨© π → •(π) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ äã−ªâ®à. ãáâì α ∈ Mor(π, η). ®«®¦¨¬

246

ƒ« ¢  11

•(α)(s) = α ◦ s ¤«ï «î¡®£® s ∈ •(π). ‹¥£ª® ¯®−ïâì, çâ® •(a) : •(π) → •(η) ¥áâì £®¬®¬®à䨧¬ C ∞ (M)-¬®¤ã«¥©,   ᮮ⢥âá⢨¥ α → •(α) ®¡« ¤ ¥â −¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨: (i) •(idπ ) = id•(π) ¤«ï «î¡®£® π, (ii) •(α ◦ β) = •(α) ◦ •(β) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−®© ¯ àë ¬®à䨧β α ¬®¢ ζ → π → η. “¯à ¦−¥−¨¥. ãáâì P = •(π), Q = •(η), α ∈ Mor(π, η) ¨ F = •(α). ®ª ¦¨â¥, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ Fz : Pz → Qz (á¬. ¯. 11.11) ª −®−¨ç¥áª¨ ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á αz : πz → ηz ¯à¨ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨ïå Pz = πz , Qz = ηz , ®¯¨á −−ëå ¢ «¥¬¬¥ 11.8. ˆ§ãç¥−¨¥ äã−ªâ®à  •, á¢ï§ë¢ î饣® £¥®¬¥âà¨î ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© á  «£¥¡à®© ª®«¥æ ¨ ¬®¤ã«¥©, á®áâ ¢«ï¥â ®¤¨− ¨§ ®á−®¢−ëå ¯à¥¤¬¥â®¢ − áâ®ï饩 £« ¢ë. ®á।á⢮¬ í⮣® äã−ªâ®à  £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠ à áá«®¥−¨© ¨ ®¯¥à æ¨¨ − ¤ −¨¬¨ ¨áç¥à¯ë¢ î騬 ®¡à §®¬ ¢ëà ¦ îâáï −  ï§ëª¥  «£¥¡àë. à®á⥩襩 ¨««îáâà æ¨¥© í⮬ã á«ã¦¨â á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥−¨¥. ।«®¦¥−¨¥. ‚¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ π âਢ¨ «ì−® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¬®¤ã«ì •(π) ᢮¡®¤¥−.
‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ϕ : Eπ → M × V | âਢ¨ «¨§ãî騩 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬,   v1, . . . , vn | ¡ §¨á «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ V . ®«®¦¨¬ ei (x) = ϕ−1 (x, vi). ’®£¤  e1 , . . . , em | ¡ §¨á ¬®¤ã«ï •(π). …᫨, − ®¡®à®â, ¨§¢¥áâ−®, çâ® ¬®¤ã«ì •(π) ᢮¡®¤¥− ¨ e1, . . . , em | ¥£® ¡ §¨á, â® ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ϕ : Eπ → M × Rn ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì â ª: m  ϕ( λi ei (x)) = (x; λ1 , . . . , λm ).  i=1

‡ ¬¥ç −¨¥. „«ï ¢á类£® ᢮¡®¤−®£® C ∞ (M)-¬®¤ã«ï ª®−¥ç−®£® ⨯  P , â. ¥. ¬®¤ã«ï, ®¡« ¤ î饣® ª®−¥ç−®© á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å, áãé¥áâ¢ã¥â à áá«®¥−¨¥, ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨© ª®â®à®£® ¥¬ã ¨§®¬®àä¥−. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ᢮¡®¤−ë© C ∞(M)-¬®¤ã«ì

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

247

à −£  m ¨§®¬®àä¥− •(π), £¤¥ π | à áá«®¥−¨¥-¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ M × Rm → M. 11.14. ஥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨. Ÿá−®, çâ® ¬®¤ã«¨ á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ¤®«¦−ë ®¡« ¤ âì −¥ª®â®à®© ᯥæ¨ä¨ª®©, ¯à®¨á⥪ î饩 ¨§ ⮣®, çâ® ¢á¥ á«®¨ ª ¦¤®£® ®â¤¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï ®¤¨− ª®¢ë. …ñ − ¤® ãáâ −®¢¨âì, ¯®áª®«ìªã ¨¬¥−−® ®−  ä®à¬ «¨§ã¥â áâ®«ì ¢ ¦−ãî ¤«ï − á £¨¯®â¥§ã ¨¤¥−â¨ç−®á⨠¢−ãâà¥−−¨å áâàãªâãà â®ç¥ª (á¬. ¯. 10.1). − , ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢¯®á«¥¤á⢨¨,  ¤¥ª¢ â−® ®¯¨á뢠¥âáï ¯®−ï⨥¬ ¯à®¥ªâ¨¢−®áâ¨, ª ¨§ãç¥−¨î ª®â®à®£® ¬ë ᥩç á ¯¥à¥å®¤¨¬. Œ®¤ã«ì P − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¬ ª®«ì殬 A − §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢−ë¬, ¥á«¨ ®− ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬: ¤«ï «î¡®£® í¯¨¬®à䨧¬  A-¬®¤ã«¥© ϕ : Q → R ¨ «î¡®£® £®¬®¬®à䨧¬  ψ : P → R áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ χ : P → Q, çâ® ϕ ◦ χ = ψ, â. ¥. ¤¨ £à ¬¬  P χ  ψ 





Q ϕ /R

/

0

ª®¬¬ãâ â¨¢− . ƒ®¬®¬®à䨧¬ χ − §ë¢ ¥âáï ¯®¤−ï⨥¬ ψ ¢¤®«ì ϕ. ਬ¥àë ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥−ë −¨¦¥, ¯®á«¥ ¤®ª § â¥«ìá⢠ á«¥¤ãî饣® ¯à¥¤«®¦¥−¨ï, ¢ ª®â®à®¬ ᮡà −ë ¢ ¦−¥©è¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥©. 11.15. ।«®¦¥−¨¥. ‘«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠ A-¬®¤ã«ï P íª¢¨¢ «¥−â−ë: ( ) P ¯à®¥ªâ¨¢¥−; (¡) «î¡®© í¯¨¬®à䨧¬ ϕ : Q → P ¯à®¨§¢®«ì−®£® A-¬®¤ã«ï −  P ®¡« ¤ ¥â à á饯«¥−¨¥¬, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ χ : P → Q, çâ® ϕ ◦ χ = idP ; (¢) P ¨§®¬®àä¥− ¯àאַ¬ã á« £ ¥¬®¬ã −¥ª®â®à®£® ᢮¡®¤−®£® A-¬®¤ã«ï;

248

ƒ« ¢  11

(£) äã−ªâ®à HomA(P, ·) : Q → HomA(P, Q) −  ª â¥£®à¨¨ A-¬®¤ã«¥© â®ç¥−, â. ¥. ¯¥à¥¢®¤¨â â®ç−ë¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠¢ â®ç−ë¥.
„®ª ¦¥¬, çâ® ( ) ⇒ (¡). „®áâ â®ç−® ¢ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨ ¯à®¥ªâ¨¢−®á⨠¯®«®¦¨âì R = P ¨ ψ = idP . „®ª ¦¥¬, çâ® (¡) ⇒ (¢). ãáâì ϕ : Q → P | í¯¨¬®à䨧¬ −¥ª®â®à®£® ᢮¡®¤−®£® A-¬®¤ã«ï −  P (â ª®© í¯¨¬®à䨧¬ ¬®¦−® ¯®áâநâì, ¢§ï¢, − ¯à¨¬¥à, ¢ ª ç¥á⢥ Q ᢮¡®¤−ë© ¬®¤ã«ì á ¡ §¨á®¬ {ep }p∈P , à ¢−®¬®é−ë¬ ¬−®¦¥áâ¢ã P , ¨ ¯®«®¦¨¢ ϕ(ep ) = p). ‚ ᨫã (¡) áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ χ ∈ Hom(P, Q), çâ® χ ◦ ϕ = idP . ’®£¤  P ∼ = Im χ,   Q = Im χ ⊕ Ker ϕ. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, «î¡®© í«¥¬¥−â a ∈ Q ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª á㬬  χ(ϕ(a)) + [a − χ(ϕ(a))]; §¤¥áì ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¯à¨− ¤«¥¦¨â Im χ,   ¢â®à®¥ | Ker ϕ. …᫨ ¦¥ a ∈ Im χ∩Ker ϕ, â® a = χ(p), p ∈ P , ¨ 0 = ϕ(a) = ϕ(χ(p)) = p. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, a = 0. „®ª ¦¥¬, çâ® (¢) ⇒ (£). ‡ ¬¥â¨¬ á− ç « , çâ® ¤«ï ᢮¡®¤−®£® ¬®¤ã«ï R äã−ªâ®à HomA(R, ·) â®ç¥−. â® á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ᢮¡®¤−®£® ¬®¤ã«ï: £®¬®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ ¤à㣮© ¬®¤ã«ì ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨ §− ç¥−¨ï¬¨ −  ¡ §¨á−ëå í«¥¬¥−â å, ¯à¨ç¥¬ í⨠§− ç¥−¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì «î¡ë¬¨. ãáâì ⥯¥àì R = P ⊕ Q,   ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì ϕ

S = {· · · → Sk →k Sk+1 → . . . } A-¬®¤ã«¥© â®ç− . ’®£¤  â®ç−  ¨ á«¥¤ãîé ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì HomA (R, S): · · · → HomA (R, Sk ) → HomA (R, Sk+1 ) → . . . , ïîé ïáï ¯àאַ© á㬬®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠HomA (P, S) ¢¨¤  · · · → HomA(P, Sk ) → HomA (P, Sk+1 ) → . . . , ¨ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠HomA(Q, S), ¨¬¥î饩 ¢¨¤ · · · → HomA (Q, Sk ) → HomA (Q, Sk+1 ) → . . .

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

249

ˆ− ç¥ £®¢®àï, ª ¦¤ë© ç«¥− ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠HomA(R, S) ¥áâì ¯àﬠï á㬬  ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç«¥−®¢ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⥩ HomA (P, S) ¨ HomA(Q, S) ¨ ª ¦¤ë© £®¬®¬®à䨧¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠HomA (R, S) ¥áâì ¯àﬠï á㬬  ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å £®¬®¬®à䨧¬®¢ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⥩ HomA (P, S) ¨ HomA(Q, S). áâ ¥âáï ¯à¨¬¥−¨âì á«¥¤ãî饥 ¯à®á⮥ ã⢥ত¥−¨¥: ¯àﬠï á㬬  ¤¢ãå ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⥩ ¬®¤ã«¥© â®ç−  ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  â®ç−ë ®¡¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâ¨á« £ ¥¬ë¥.  ª®−¥æ, ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¨¬¯«¨ª æ¨¨ (£) ⇒ ( ) ¤®áâ â®ç−® ¯à¨¬¥−¨âì ᢮©á⢮ (£) ª â®ç−®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®á⨠ϕ

0 −→ Ker ϕ −→ Q −→ R −→ 0.



“¯à ¦−¥−¨¥. ।¯®«®¦¨¬, çâ® P ⊂ R, £¤¥ P | ¯à®¥ªâ¨¢−ë©,   R | ᢮¡®¤−ë© ¬®¤ã«ì. Œ®¦−® «¨ ®âá § ª«îç¨âì, çâ® R = P ⊕ Q, £¤¥ Q ⊂ R | ¯®¤å®¤ï騩 ¯®¤¬®¤ã«ì? 11.16. ਬ¥àë ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥©. I.  ¤ ¯®«¥¬ ¢á¥ A-¬®¤ã«¨ ᢮¡®¤−ë ¨, §− ç¨â, ¢á¥ ¯à®¥ªâ¨¢−ë. II.  ¤ ª®«ì殬 楫ëå ç¨á¥« Z ⮦¥ −¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤àã£¨å ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥©, ªà®¬¥ ᢮¡®¤−ëå (å®âï ¢ í⮬ á«ãç ¥ −¥ ¢á¥ ¬®¤ã«¨ ᢮¡®¤−ë). ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, Z-¬®¤ã«ì | íâ® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ®  ¡¥«¥¢  £à㯯 ,   «î¡ ï ¯®¤£à㯯  ᢮¡®¤−®©  ¡¥«¥¢®© £à㯯ë ᢮¡®¤− . III. à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ¯à®¥ªâ¨¢−®£®, −® −¥ ᢮¡®¤−®£® ¬®¤ã«ï ¬®¦¥â á«ã¦¨âì £à㯯  Z, à áᬠâਢ ¥¬ ï ª ª ¬®¤ã«ì − ¤ ª®«ì殬 Z ⊕ Z á ã¬−®¦¥−¨¥¬ (a, b) · x = ax. IV. ƒ« ¢−ë¬ ¯à¨¬¥à®¬ ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© ¤«ï − á ¡ã¤ãâ ¬®¤ã«¨ á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. ¡ í⮬ £®¢®à¨âáï −¨¦¥ (⥮६  11.32). “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨ − ¤ ª®«ìæ ¬¨ ¢ëç¥â®¢ Z/mZ ¨ − ¤ ª®«ì殬 ¬ âà¨æ.

250

ƒ« ¢  11

11.17. ®¤à áá«®¥−¨ï. ƒ®¢®àïâ, çâ® ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ η : Eη → M ï¥âáï ¯®¤à áá«®¥−¨¥¬ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π : Eπ → M (®¡®§− ç¥−¨¥ η ⊂ π), ¥á«¨ 1. Eη | ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¢ Eπ ; 2. ®â®¡à ¦¥−¨¥ η ¥áâì ®£à −¨ç¥−¨¥ π −  Eη ; 3. ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ M á«®© ηx ¥áâì «¨−¥©−®¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢮ á«®ï πx. ਬ¥àë. I. ã«¥¢®¥ ¯®¤à áá«®¥−¨¥: ¯à®áâà −á⢮ à áá«®¥−¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡à §®¬ −ã«¥¢®£® á¥ç¥−¨ï. II. „®ª ¦¥¬, çâ® ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ ¤¢ã¬¥à−®© áä¥àë −¥ ¨¬¥¥â ®¤−®¬¥à−ëå ¯®¤à áá«®¥−¨©. „«ï í⮣® ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® â ª®¥ à áá«®¥−¨¥ ξ áãé¥áâ¢ã¥â. ’®£¤  ¤«ï £« ¤ª®© ®à¨¥−â¨à㥬®© § ¬ª−ã⮩ ªà¨¢®© • ⊂ S 2 ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì 楫®ç¨á«¥−−ë© ¨−¢ à¨ −â ν(•), à ¢−ë© ç¨á«ã ¯®«ã®¡®à®â®¢, ª®â®àë¥ ¤¥« ¥â ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ª ªà¨¢®© ¯® ®â−®è¥−¨î ª á«®î ξ. —¨á«® ν(•) −¥ ¬¥−ï¥âáï ¯à¨ £« ¤ª®© ¤¥ä®à¬ æ¨¨ ªà¨¢®© •, ¨ ¬¥−ï¥â §− ª ¯à¨ ¨§¬¥−¥−¨¨ ®à¨¥−â æ¨¨ ªà¨¢®©. ãáâì •+ | ¬ «¥−ìª ï ¯®«®¦¨â¥«ì−® ®à¨¥−â¨à®¢ −− ï ªà¨¢ ï ¨ •− | â  ¦¥ á ¬ ï ªà¨¢ ï á ®âà¨æ â¥«ì−®© ®à¨¥−â æ¨¥©. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, ν(•+ ) = 2 ¨ ν(•− ) = −2. ® −  áä¥à¥ ªà¨¢ ï •+ ¬®¦¥â ¡ëâì £« ¤ª® ¯à®¤¥ä®à¬¨à®¢ −  ¢ •− . â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â − è¥ ã⢥ত¥−¨¥. 11.18. ‹®ª «ì−®¥ ãáâனá⢮ ¯®¤à áá«®¥−¨©. ãáâì ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ M § ¤ −® «¨−¥©−®¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ηz á«®ï πz . „«ï ⮣® ç⮡ë â ª®¥ à á¯à¥¤¥«¥−¨¥ § ¤ ¢ «® −¥ª®â®à®¥ ¯®¤à áá«®¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï π, −ã¦−®, ç⮡ë, ¢®-¯¥à¢ëå, ¬−®¦¥á⢮  η ¡ë«® ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬ ¢ Eπ ¨, ¢®-¢â®àëå, ¢ë¯®«z z∈M −ï«®áì ãá«®¢¨¥ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠¤«ï ᥬ¥©á⢠ {ηz }. ‚ á«ãç ¥ âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï π í⨠âॡ®¢ −¨ï ¬®¦−® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 −¥á«®¦−®© «¥¬¬ë. 11.19. ‹¥¬¬ .
ãáâì π : M → Rn → M | ¯à®¥ªæ¨ï −  ¯¥à¢ë© ᮬ−®¦¨â¥«ì ¨ ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ M § ¤ −® k-¬¥à−®¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ηz ⊂ πz ∼ = Rn. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ η : M →

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

251

Gn,k ®â®¡à ¦¥−¨¥ η (z) = ηz . ’®£¤  á«¥¤ãî騥 ¤¢  ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥−â−ë: ( ) ᥬ¥©á⢮ {ηz }z∈M § ¤ ¥â ¯®¤à áá«®¥−¨¥ η ⊂ π; (¡) ®â®¡à ¦¥−¨¥ η £« ¤ª®¥.
„®ª ¦¥¬, çâ® (¡) ⇒ ( ). ãáâì a ∈ M ¨ e1, . . . , ek | ¡ §¨á ¯à®áâà −á⢠ ηa . ® «¥¬¬¥ 11.8, áãé¥áâ¢ãîâ á¥ç¥−¨ï s1, . . . , sk ∈ •(η) â ª¨¥, çâ® si (a) = ei. ‚ ᨫã −¥¯à¥àë¢−®á⨠á¥ç¥−¨© si − ©¤¥âáï â ª ï ®ªà¥áâ−®áâì U â®çª¨ a, çâ® ¢¥ªâ®àë s1 (z), . . . , sk (z) «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ë ¯à¨ «î¡®¬ z ∈ U. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¢¥ªâ®àë s1 (z), . . . , sk (z) á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á ¯à®áâà −á⢠ ηz . ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥ η (¢ ®ªà¥áâ−®á⨠U) ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¤¢ãå £« ¤ª¨å ®â®¡à ¦¥−¨©     U  z → s1(z), . . . , sk (z) → L s1 (z), . . . , sk (z) ∈ Gn,k ,   £¤¥ L s1(z), . . . , sk (z) | ¯à®áâà −á⢮, − âï−ã⮥ −  ¢¥ªâ®àë s1(z), . . . , sk (z). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ®â®¡à ¦¥−¨¥ η £« ¤ª®¥. „®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ( ) ⇒ (¡). ãáâì ηz ∈ Gn,k £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â z. ®«ì§ãïáì áâ −¤ àâ−®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨− â−ëå ®ªà¥áâ−®á⥩ −  Gn,k (á¬. 10.11 (VI)), «¥£ª® ¢ë¡à âì ¡ §¨á s1(z), . . . , sk (z) ¯à®áâà −á⢠ ηz , £« ¤ª® § ¢¨áï騩 ®â â®çª¨ z, ¥á«¨ z − å®¤¨âáï ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U â®çª¨ a ∈ M. ¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : U × Rk → U × Rn ¯® ä®à¬ã«¥ k    λi si (z) . ϕ(z, λ1 , . . . λk ) = z, i=1

ˆ§ «¨−¥©−®© −¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ s1 (z), . . . , sk (z) á«¥¤ã¥â, çâ® ϕ ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ «ì−ë© à −£.® ⮣¤  ¯® ⥮६¥ ® −¥ï¢−®© äã−ªæ¨¨ (á¬. ⥮६ã 6.23 ¨ § ¬¥ç −¨¥ 6.24) ®¡à § Im ϕ ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ ¢ ¯à®áâà −á⢥ U × Rn ï¥âáï ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥¬. ® íâ® §− ç¨â (¯® ¯®áâ஥−¨î ϕ), çâ® {ηz }z∈M § ¤ ¥â ¯®¤à áá«®¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï π.   áªà뢠ï áâàãªâãàã ¯®¤à áá«®¥−¨© âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï, «¥¬¬  ⥬ á ¬ë¬ ¯®ª §ë¢ ¥â «®ª «ì−®¥ ãáâனá⢮ ¯®¤à áá«®¥−¨© «î¡®£® à áá«®¥−¨ï. ‘¥©ç á ¬ë ¯à¨¬¥−¨¬ ¥¥ ¤«ï

252

ƒ« ¢  11

¨áá«¥¤®¢ −¨ï ¢®¯à®á  ®¡ ãá«®¢¨ïå, ¯à¨ ª®â®àëå ï¤à® ¨ ®¡à § ¬®à䨧¬  ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ϕ ∈ Mor(π, η) ïîâáï ¯®¤à áá«®¥−¨ï¬¨ ¢ π ¨ η ᮮ⢥âá⢥−−®. ®¤ ï¤à®¬  (ᮮ⢥âá⢥−−® ®¡à §®¬) ¬ë ¯®−¨¬ ¥¬ §¤¥áì ¬−®¦¥á⢮ z∈M Ker ϕz ⊂ Eπ ¢¬¥áâ¥ á ®£à −¨ç¥−¨¥¬  −  íâ® ¬−®¦¥á⢮ ¯à®¥ªæ¨¨ π (ᮮ⢥âá⢥−−® ¬−®¦¥á⢮ z∈M Im ϕz ⊂ Eη ¢¬¥áâ¥ á ®£à −¨ç¥−¨¥¬ ¯à®¥ªæ¨¨ η). 11.20. ।«®¦¥−¨¥. ‘«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï −  ¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ϕ : π → η − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M íª¢¨¢ «¥−â−ë: ( ) dim Ker ϕx −¥ § ¢¨á¨â ®â x; (¡) dim Im ϕx −¥ § ¢¨á¨â ®â x; (¢) Ker ϕ | ¯®¤à áá«®¥−¨¥ π; (£) Im ϕ | ¯®¤à áá«®¥−¨¥ η.
ˆ¬¯«¨ª æ¨¨ (¢) ⇒ ( ) ¨ (£) ⇒ (¡) ®ç¥¢¨¤−ë. ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ( ) ⇔ (¡) ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® á㬬  dim Ker ϕx + dim Im ϕx ¢á¥£¤  ¯®áâ®ï−−  (¨ à ¢−  à §¬¥à−®á⨠᫮ï π). „®ª ¦¥¬, çâ® ¨§ (¡) á«¥¤ã¥â (£). ®áª®«ìªã ã⢥ত¥−¨¥ (£) «®ª «ì−®, ¤®áâ â®ç−® ¤®ª § âì ¥£® ¢ ®ªà¥áâ−®á⨠ª ¦¤®© â®çª¨ ¡ §ë. ‚롥६ â ªãî ®ªà¥áâ−®áâì U ⊂ M ¤ − −®© â®çª¨, çâ® à áá«®¥−¨ï π U ¨ η U âਢ¨ «ì−ë ¨, §− ç¨â, ¬®¦−® áç¨â âì, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¬®à䨧¬®¬ ϕU âਢ¨ «ì−ëå à áá«®¥−¨©, ¤¥©áâ¢ãî騬 ¨§ πU : U × V → U ¢ ηU : U × W → U. ⮬㠬®à䨧¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ U : U → Hom(V, W ), ᮯ®áâ ¢«ïî饥 â®çª¥ x ®¯¥à â®à ϕ(x), §− ç¥−¨¥ ª®â®à®£® −  ¢¥ªâ®à¥ v ∈ V à ¢−® W á®áâ ¢«ïî饩 í«¥¬¥−â  ϕ(x, v) ∈ M × W . ® ãá«®¢¨î ®¯¥à â®à ϕ x ¨¬¥¥â −¥ § ¢¨áï騩 ®â x à −£, à ¢−ë©, ᪠¦¥¬ r. ãáâì ¢ ¤ −−®© â®çª¥ a ∈ U ¢¥ªâ®àë v1, . . . , vr â ª®¢ë, çâ® ¨å ®¡à §ë ¯à¨ ϕa «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ë. ’®£¤  ¨§ á®®¡à ¦¥−¨© −¥¯à¥àë¢−®á⨠¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ a ¢¥ªâ®àë ϕx (v1), . . . , ϕx (vr ) ®¡à §ãîâ ¡ §¨á Im ϕx , £« ¤ª® § ¢¨áï騩 ®â x. ® «¥¬¬¥ 11.19 ((¡) ⇒ (a)) Im ϕ | ¯®¤à áá«®¥−¨¥ η.

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

253

’¥¯¥àì ¯à¨¬¥−¨¬ ¯à¥¤ë¤ã騥 à áá㦤¥−¨ï ª ¢ë¢®¤ã ¨¬¯«¨ª æ¨¨ ( ) ⇒ (¢). …᫨ ᥬ¥©á⢮ ®¯¥à â®à®¢ ϕx ∈ Hom(V, W ) £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â x ¨ ¨¬¥¥â ¯®áâ®ï−−ë© à −£ r, â® Im ϕx , ª ª í«¥¬¥−â £à áᬠ−¨ −  GW,r , £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â x (¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 11.19, ( ) ⇒ (¡)). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® Ker ϕx = Ann Im ϕ∗x (− ¯®¬−¨¬, çâ® Ann Im ϕ∗x ®¡®§− ç ¥â  −−ã«ïâ®à ®¡à §  ϕ∗x , â. ¥. ¬−®¦¥á⢮ ᮢ¬¥áâ−ëå −ã«¥© ¢á¥å äã−ªæ¨®− «®¢ ¨§ Im ϕ∗x ). ƒ« ¤ª®áâì ᥬ¥©á⢠ ϕ∗x á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® ª®¬¯®−¥−âë í⮣® ®¯¥à â®à  à ¢−ë ª®¬¯®−¥−â ¬ ϕx (¢ ¯®¤å®¤ïé¨å ¡ §¨á å). ®í⮬ã Im ϕ∗x £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â x. áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ Ann: GV ∗ ,r → GV,dim V −r , ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®¬ã ¯®¤¯à®áâà −áâ¢ã ¥£®  −−ã«ïâ®à, £« ¤ª®¥.  11.21. àﬠï á㬬  ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. ‚ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ª®−áâàãªæ¨î ¯àאַ© á㬬ë (¯. 10.14) −ã¦−® ᮣ« á®¢ë¢ âì á «¨−¥©−®© áâàãªâãன −  á«®ïå. ƒ®¢®àïâ, çâ® ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ π ¥áâì ¯àﬠï á㬬  ¤¢ãå ᢮¨å ¯®¤à áá«®¥−¨© η ¨ ζ (®¡®§− ç¥−¨¥: π = η ⊕ ζ), ¥á«¨ á«®© − ¤ ª ¦¤®© â®çª®© ¡ §ë x ∈ M ¥áâì ¯àﬠï á㬬  ¤¢ãå ¯®¤¯à®áâà −áâ¢: πx = ηx ⊕ ζx . …᫨ § ¤ −ë ¤¢  ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨ï η ¨ ζ − ¤ ®¤−¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M, â® ¢á¥£¤  ¬®¦−® ¯®áâநâì à áá«®¥−¨¥ π, à á¯ ¤ î饥áï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠤¢ãå ᢮¨å ¯®¤à áá«®¥−¨©, ¨§®¬®àä−ëå η ¨ ζ. ’ ª®¥ à áá«®¥−¨¥ π ®¯à¥¤¥«¥−® ®¤−®§− ç−® á â®ç−®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ; ®−® − §ë¢ ¥âáï ¢−¥è−¥© ¯àאַ© á㬬®© ¨«¨ á㬬®© “¨â−¨ à áá«®¥−¨© η ¨ ζ ¨ ®¡®§− ç ¥âáï â ª¦¥ η⊕ζ. Š ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì−ëå à áá«®¥−¨©, ¯à®áâà −á⢮ à áá«®¥−¨ï η ⊕ ζ ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Eη⊕ζ = {(y, z) ∈ Eη × Eζ | η(y) = ζ(z)},   ¯à®¥ªæ¨î | ª ª ®â®¡à ¦¥−¨¥, ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ¯ à¥ (y, z) â®çªã η(y). ‘«®© áã¬¬ë “¨â−¨ − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®© â®çª®© ¡ §ë x − å®¤¨âáï ¢ ¥áâ¥á⢥−−®© ¡¨¥ªæ¨¨ á ¯à®áâà −á⢮¬ ηx ⊕ ζx ; á ¯®¬®éìî í⮩ ¡¨¥ªæ¨¨ á«®¨ (η ⊕ ζ)x − ¤¥«ïîâáï «¨−¥©−®© áâàãªâãன.

254

ƒ« ¢  11

11.22. ਬ¥àë ¯àï¬ëå á㬬. I. ãáâì M | ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢  ¯à®áâà −á⢠ E. ’®£¤  âਢ¨ «ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ E × M → M à á¯ ¤ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠤¢ãå ¯®¤à áá«®¥−¨©: ª á â¥«ì−®£® πT : T M → M ¨ −®à¬ «ì−®£® ν : NM → M. ‘«®© νz −®à¬ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ â®çª®© z ∈ M ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î ï¥âáï ®à⮣®− «ì−ë¬ ¤®¯®«−¥−¨¥¬ ¯®¤¯à®áâà −á⢠ Tz M ¯à®áâà −á⢠ Tz E, £¤¥ ¯®á«¥¤−¥¥ ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï á E. ‹î¡®¯ëâ−® ®â¬¥â¨âì, çâ®, − ¯à¨¬¥à, ¤«ï áä¥àë S 2 ⊂ R3 à áá«®¥−¨¥ ν âਢ¨ «ì−®,   à áá«®¥−¨¥ πT −¥âਢ¨ «ì−® (¨¡® ®−® −¥ ¨¬¥¥â −¨ ®¤−®£® á¥ç¥−¨ï, −¨£¤¥ −¥ ®¡à é î饣®áï ¢ −ã«ì | á¬. ¯à¨¬¥à 10.11 (III)), â ª çâ® ¯àﬠï á㬬  âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï á −¥âਢ¨ «ì−ë¬ ¬®¦¥â ¡ëâì âਢ¨ «ì−®© | ä ªâ, −  ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ 㤨¢¨â¥«ì−ë©. II. ‘㬬  “¨â−¨ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  á âਢ¨ «ì−ë¬ ®¤−®¬¥à−ë¬ (¥¤¨−¨ç−ë¬) à áá«®¥−¨¥¬ −¥âਢ¨ «ì− . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à®áâà −á⢮ í⮩ áã¬¬ë ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ [0, 1] × R2 ⊂ R3 á ®â®¦¤¥á⢫¥−−묨 â®çª ¬¨ (0, y, z) ¨ (1, −y, z) ¤«ï «î¡ëå y, z ∈ R. â® ¬−®£®®¡à §¨¥ −¥®à¨¥−â¨à㥬® ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, −¥ ¤¨ä䥮¬®àä−® S 1 × R2 . 11.23. ।«®¦¥−¨¥. …᫨ π = η ⊕ ζ, â® •(π) = •(η) ⊕ •(ζ) (¯àﬠï á㬬  ¯®¤¬®¤ã«¥©).
’ॡ㥬®¥ ã⢥ত¥−¨¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ (10.6) ¢¢¨¤ã ¥áâ¥á⢥−−®£® ®â®¦¤¥á⢫¥−¨ï •(η) × •(ϕ) ¨ •(η) ⊕ •(ϕ).  ਠ¨áá«¥¤®¢ −¨¨ ᢮©á⢠¯à®¥ªâ¨¢−®á⨠¬®¤ã«¥© á¥ç¥−¨© áãé¥á⢥−−ãî à®«ì ¨£à ¥â á«¥¤ãî饥 11.24. ।«®¦¥−¨¥. ‚á类¥ ¯®¤à áá«®¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ¢ë¤¥«ï¥âáï ¯àï¬ë¬ á« £ ¥¬ë¬.
„®ª § â¥«ìá⢮ ®á−®¢ë¢ ¥âáï −  ®¤−®¬ áâ −¤ àâ−®¬ â¥å−¨ç¥áª®¬ ¯à¨¥¬¥ | ¢¢¥¤¥−¨¨ ᪠«ïà−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï. ‡ ¤ âì ᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ −  à áá«®¥−¨¨ π | íâ® §− ç¨â, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, § ¤ âì ᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ¢ á«®¥ − ¤ ª ¦¤®© â®çª®© x ∈ M, ¯à¨ç¥¬ â ª, çâ®¡ë ®−® £« ¤ª® § ¢¨á¥«® ®â í⮩

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

255

â®çª¨. ’ॡ®¢ −¨¥ £« ¤ª®á⨠᪠«ïà−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï ¬®¦−® ä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: ᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ «î¡ëå ¤¢ãå £« ¤ª¨å á¥ç¥−¨© ¤®«¦−® ¡ëâì £« ¤ª®© äã−ªæ¨¥©. ‡ ¬¥ç −¨¥. ˆ§ã稢 ª®−áâàãªæ¨î â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© (¯. 11.35), ç¨â â¥«ì ¯®©¬¥â, ç⮠᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ −  ¢¥ªâ®à−®¬ à áá«®¥−¨¨ π ¥áâì −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï −  ¬−®£®®¡à §¨¨ Eπ⊗π , ®£à −¨ç¥−¨¥ ª®â®à®© −  ª ¦¤ë© á«®© ¥áâì ¯®«®¦¨â¥«ì−® ®¯à¥¤¥«¥−− ï ¡¨«¨−¥©− ï ä®à¬ . ਬ¥à. ‘ª «ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ −  ª á â¥«ì−®¬ à áá«®¥−¨¨ | í⮠ਬ −®¢  ¬¥âਪ  −  ¬−®£®®¡à §¨¨. 11.25. ‹¥¬¬ .   «î¡®¬ ¢¥ªâ®à−®¬ à áá«®¥−¨¨ ¬®¦−® ¢¢¥á⨠᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥.  „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ «¥¬¬ë § ¬¥â¨¬, ¢®-¯¥à¢ëå, çâ® −  âਢ¨ «ì−®¬ à áá«®¥−¨¨ § ¤ ç  à¥è ¥âáï âਢ¨ «ì−®: ¤®áâ â®ç−® ¢ ª ¦¤®¬ á«®¥ ¢§ïâì ®¤−® ¨ â® ¦¥ ᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥. ãáâì, ¤ «¥¥, {Ui }i∈I | ¯®ªàë⨥ ¬−®£®®¡à §¨ï M ®âªàëâ묨 ¬−®¦¥á⢠¬¨, − ¤ ª ¦¤ë¬ ¨§ ª®â®àëå à áá«®¥−¨¥ π âਢ¨ «ì−®, ¨ ¯ãáâì gi | −¥ª®â®à®¥ ᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ −  à áá«®¥−¨¨ π Ui . ‚롥६ à §¡¨¥−¨¥ ¥¤¨−¨æë {ei}i∈I , ¯®¤ç¨−¥−−®¥ ¯®ªàëâ¨î {Ui }i∈I (á¬. 4.18), ¨ ¯®«®¦¨¬ ¤«ï y1 , y2 ∈ πx  g(y1 , y2) = ei (x)gi (y1, y2 ), £¤¥ á㬬¨à®¢ −¨¥ à á¯à®áâà −ï¥âáï −  ¢á¥ ¨−¤¥ªáë i, ¤«ï ª®â®àëå x ∈ Ui . ‚ᥠ−¥®¡å®¤¨¬ë¥ ᢮©á⢠ äã−ªæ¨¨ g ¯à®¢¥àïîâáï −¥¯®á।á⢥−−®.  த®«¦¨¬ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï. ãáâì π | à áá«®¥−¨¥ − ¤ M ¨ η ⊂ π. ‚롥६ −  π −¥ª®â®à®¥ ᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ g.  áᬮâਬ ¢ á«®¥ − ¤ ª ¦¤®© â®çª®© x ∈ M ¯à®áâà −á⢮ ηx⊥ | ®à⮣®− «ì−®¥ ¤®¯®«−¥−¨¥ ª η ¢ π ¢ á¬ëá«¥ ᪠«ïà−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï g. ã¦−® ¯à®¢¥à¨âì

256

ƒ« ¢  11

«¨èì £« ¤ªãî § ¢¨á¨¬®áâì ηx⊥ ®â x. ®áª®«ìªã í⮠᢮©á⢮ «®ª «ì−®¥, §¤¥áì ¬®¦−® áç¨â âì à áá«®¥−¨¥ π âਢ¨ «ì−ë¬, π : M × V → M. ’®£¤  ¨¬¥¥¬ £« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï η : M → GV,k (á¬. ¯. 11.19) ¨ g : M → (V ⊗ V )∗ (᪠«ïà−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥). ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ N ⊂ (V ⊗ V )∗ ¬−®¦¥á⢮ ¢á¥å ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯®«®¦¨â¥«ì−® ®¯à¥¤¥«¥−−ëå ¡¨«¨−¥©−ëå ä®à¬. ‘¯ à¨¢ −¨¥ GV,k × N → GV,n−k , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¯ à¥ (L, ϕ) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ®à⮣®− «ì−®¥ ¤®¯®«−¥−¨¥ ª L ¢ á¬ëá«¥ ᪠«ïà−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï ϕ, ¥áâì £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥.  ª®−¥æ, ®â®¡à ¦¥−¨¥ x → ηx⊥ ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ M → M × M → GV,k × N → GV,n−k , £¤¥ ¯¥à¢ ï áâ५ª  | ¤¨ £®− «ì−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ x → (x, x), ¢â®à ï | ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨© η ¨ g ,   âà¥âìï | ®¯¨á −−®¥ ¢ëè¥ á¯ à¨¢ −¨¥. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ᪢®§−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ £« ¤ª®¥, ¨ ¢¢¨¤ã «¥¬¬ë 11.19, ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¤®ª § −®.  11.26. ˆ−¤ãæ¨à®¢ −−ë¥ ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï. ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ª®−áâàãªæ¨ï ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï ¤«ï ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© −¨ç¥¬ −¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®−áâàãªæ¨¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ (á¬. 10.16). ਢ¥¤¥¬ ®¤¨− å à ªâ¥à−ë© ¯à¨¬¥à ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï. ãáâì π : E → M | −¥ª®â®à®¥ à áá«®¥−¨¥ ¨ πT ∗ : T ∗M → M | ª®ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ ¥£® ¡ §ë. ’®£¤  á¥ç¥−¨ï ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï π ∗(λ) − §ë¢ îâáï £®à¨§®−â «ì−묨 1-ä®à¬ ¬¨ −  ¯à®áâà −á⢥ à áá«®¥−¨ï E (á¬. ¯. 11.41). ¡à â¨â¥ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, çâ® •(π ∗ (λ)) ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¬®¤ã«ì 1-ä®à¬ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ E. ‘«¥¤ãî騩 ä ªâ ï¥âáï ®¤−¨¬ ¨§ æ¥−âà «ì−ëå ¢ ⥮ਨ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. 11.27. ’¥®à¥¬ . ‚á类¥ ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ á® á¢ï§−®© ¡ §®© ¨−¤ãæ¨àã¥âáï ⠢⮫®£¨ç¥áª¨¬ − ¤ − ¤«¥¦ é¨¬ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ ƒà áᬠ−− .

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

257


ãáâì η : Eη → M, dim M = n, dim Eη = n + k. ¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ oz : ηz → Tz (ηz ) ⊂ Tz (Eη ) ª −®−¨ç¥áª®¥ ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® ¯à®áâà −á⢠ ηz ᮠ᢮¨¬ ª á â¥«ì−ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ¢ −ã«¥ ¨ à áᬮâਬ áãé¥áâ¢ãî饥 ᮣ« á−® í«¥¬¥−â à−®© ⥮६¥ “¨â−¨ ¯®£à㦥−¨¥ φ : Eη → R2(n+k) ¬−®£®®¡à §¨ï Eη ¢ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà −á⢮. â® ®§− ç ¥â, çâ® ¢á¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ë dy φ : Ty (Eη ) → Tφ(y)R2(n+k) , y ∈ Eη , ¨−ꥪ⨢−ë.

R2(n+k)

Eη

M

φ

G2(n+k),k ¨á. 11.1. ¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ƒ ãáá  g : M → G2(n+k),k , ᮯ®áâ ¢¨¢ â®çª¥ z ∈ M k-¬¥à−®¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ª á â¥«ì−®£® ¯à®áâà −á⢠ TO (R2(n+k) ) ∼ = R2(n+k) , O = (0, . . . , 0), ïî饥áï ®¡à §®¬ ¯®¤¯à®áâà −á⢠ Tz (ηz ) ⊂ Tz (Eη ) ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ dz (rφ(z) ◦ φ) : Tz (Eη) → TO (R2(n+k) ). ‡¤¥áì z ¯®−¨¬ ¥âáï ª ª â®çª  ¬−®£®®¡à §¨ï Eη | −ã«¥¢®© í«¥¬¥−â á«®ï ηz ,   ra : v → v − a, a, v, ∈ R2(n+k) , ï¥âáï ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ᤢ¨£  ¯à®áâà −á⢠ R2(n+k) −  ¢¥ªâ®à −a. ⮡ࠦ¥−¨¥ g − ªà뢠¥âáï ¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© γ : η → —2(n+k),k ,

γz = dz (rφ(z) ◦ φ) ◦ oz .

258

ƒ« ¢  11

祢¨¤−®, çâ® ¤«ï «î¡®£® z ∈ M ®â®¡à ¦¥−¨¥ γz ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ á«®ï ηz −  á«®© ¢ â®çª¥ g(z) ∈ G2(n+k),k . ’¥®à¥¬  10.19 ⥯¥àì ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® à áá«®¥−¨ï η ¨ g ∗ (—2(n+k),k ) ¨§®¬®àä−ë.  11.28. ‘«¥¤á⢨¥. C ∞ (M)−¬®¤ã«ì •(π), π : Eπ → M, ¯®à®¦¤ ¥âáï −¥ ¡®«¥¥ 祬 N á¥ç¥−¨ï¬¨ à áá«®¥−¨ï π, £¤¥ N = N(n, k) | −¥ª®â®à®¥ − âãà «ì−®¥ ç¨á«®, § ¢¨áï饥 ⮫쪮 ®â à §¬¥à−®á⥩ á«®ï ¨ ¡ §ë (k ¨ n ᮮ⢥âá⢥−−®) à áá«®¥−¨ï π.
‡ ¬¥â¨¬, çâ® á¥ç¥−¨ï sI,i ⠢⮫®£¨ç¥áª®£® à áá«®¥−¨ï —m,l , ®¯¨á −−ë¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ V ¯. 10.12, 㤮¢«¥â¢®àïî⠯।¯®( I,i ) «î¡®£® á뫪 ¬ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.10. ®í⮬ã á¥ç¥−¨ï f(s ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï f ∗ (—m,l ) (á¬. ª®−¥æ ¯. 10.16) â ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⨬ ¯à¥¤¯®á뫪 ¬ ¨, §− ç¨â, ¯®à®¦¤ îâ ¬®¤ã«ì •(f ∗ (—m,l )). ® ¢¢¨¤ã ⥮६ë 11.27 ¢á类¥ k-¬¥à−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ n-¬¥à−®© ¡ §®© ¨−¤ãæ¨àã¥âáï −¥ª®â®àë¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥¬ ƒ ãáá  g ¨§ â ¢â®g (sI,i ), «®£¨ç¥áª®£® à áá«®¥−¨ï —2(n+k),k . ®í⮬ã á¥ç¥−¨ï ( 1  i  k, I = {i1, . . . , ik } ⊂ {1, . . . , 2(n + k)}, ᮣ« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 11.10 ¯®à®¦¤ îâ ¬®¤ã«ì •(π). ˆå ç¨á«® à ¢−®, ®ç¥k , ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®«®¦¨âì N(n, k) à ¢−ë¬ í⮬㠢¨¤−®, kC2(n+k) ç¨á«ã.  Œë ¯®¤£®â®¢¨«¨ ¢á¥ −¥®¡å®¤¨¬®¥, ç⮡ë áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¤®ª § âì ¤¢¥ ®á−®¢−ë¥ â¥®à¥¬ë í⮩ £« ¢ë (11.29 ¨ 11.32), ¢ ª®â®àëå ¤ ¥âáï ¨áç¥à¯ë¢ î騩 ®â¢¥â −  ¢®¯à®á ®¡  «£¥¡à ¨ç¥áª®© ¯à¨à®¤¥ ¬®¤ã«¥© á¥ç¥−¨© £« ¤ª¨å ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. 11.29. ’¥®à¥¬ . „«ï «î¡®© ¯ àë π, η ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M äã−ªâ®à á¥ç¥−¨© • ®áãé¥á⢫ï¥â ¢§ ¨¬−®-®¤−®§− ç−®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ Mor(π, η) ∼ = HomC ∞ (M )(•(π), •(η)).

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

259


ã¦−® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® C ∞ (M)-£®¬®¬®à䨧¬  ¬®¤ã«¥© F : •(π) → •(η) áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨−á⢥−−ë© ¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨© ϕ : π → η, ¤«ï ª®â®à®£® •(ϕ) = F . „®ª ¦¥¬ ¢− ç «¥ ¥¤¨−á⢥−−®áâì. ãáâì ϕ, ψ ∈ Mor(π, η) ¨ •(ϕ) = •(ψ). â® ®§− ç ¥â, çâ® ϕ, ψ : Eπ → Eη , ¯à¨ç¥¬ ϕ◦s = ψ◦s ¤«ï «î¡®£® á¥ç¥−¨ï s ∈ •(π), â. ¥. ϕ(s(x)) = ψ(s(x)) ¤«ï «î¡ëå s ∈ •(π) ¨ x ∈ M.  ¯®áª®«ìªã ¯® «¥¬¬¥ 11.8( ) «î¡ ï â®çª  ¯à®áâà −á⢠ E𠬮¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥−  ¢ ¢¨¤¥ s(x), ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® ϕ = ψ. ãáâì ⥯¥àì ¤ − £®¬®¬®à䨧¬ F : •(π) → •(η) ¨ âॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ : Eπ → Eη , â. ¥. ®¯à¥¤¥«¨âì ¥£® §− ç¥−¨¥ ϕ(y) ∈ Eη ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ y ∈ Eπ . ’®çª  y «¥¦¨â ¢ −¥ª®â®à®¬ á«®¥: y ∈ πx. ‚롥६ ᮣ« á−® «¥¬¬¥ 11.8( ) â ª®¥ á¥ç¥−¨¥ s ∈ •(π), çâ® s(x) = y, ¨ ¯®«®¦¨¬: ϕ(y) = F (s)(x). ਠí⮬ −ã¦−® ¯à®¢¥à¨âì: ( ) ª®à४â−®áâì ®¯à¥¤¥«¥−¨ï, (¡) â®â ä ªâ, çâ® ϕ | ¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨©, (¢) à ¢¥−á⢮ •(ϕ) = F . ( ) ãáâì s1 ¨ s2 | ¤¢  â ª¨å á¥ç¥−¨ï à áá«®¥−¨ï π, çâ® s1(x) = s2(x). ˆ§ «¥¬¬ë 11.8(¡) ¢ë⥪ ¥â, çâ® s1 − s2 ∈ µx •(π). ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, F (s1 − s2 ) ∈ µx •(η) ¨ F (s1)(x) = F (s2)(x). (¡) ‡¤¥áì § á«ã¦¨¢ ¥â ¯à®¢¥àª¨ «¨èì £« ¤ª®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ : Eπ → Eη . „®áâ â®ç−® ¤®ª § âì £« ¤ª®áâì ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕU = ϕ π−1 (U ) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® ®âªàë⮣® ¬−®¦¥á⢠ U ⊂ M, − ¤ ª®â®àë¬ π ¨ η âਢ¨ «ì−ë. „«ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ϕU (t(x)) = FU (t)(x), (11.1) £¤¥ t ∈ •(π U ),   FU : •(π U ) → •(η U ) | «®ª «¨§ æ¨ï £®¬®¬®à䨧¬  F −  ¯®¤¬−®¦¥á⢥ U (â. ¥. ¯® ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®© á¨á⥬¥ äã−ªæ¨©, −¥ ®¡à é îé¨åáï ¢ −ã«ì ¢ â®çª å U; á¬. ¯. ¢ë¡à ¢ ¡ §¨áë ᢮¡®¤−ëå C ∞ (U)-¬®¤ã«¥© 10.6). „ «¥¥, •(π U ) ¨ •(η U ), ¬ë ᬮ¦¥¬ § ¯¨á âì £®¬®¬®à䨧¬ FU á ¯®¬®éìî ¬ âà¨æë − ¤ ª®«ì殬 C ∞ (U). ‚ ᨫã à ¢¥−á⢠ (11.1) íâ 

260

ƒ« ¢  11

¦¥ ¬ âà¨æ  ¥áâì § ¯¨áì ¢ ª®®à¤¨− â å ¬®à䨧¬  ϕU (á¬. «¥¬¬ã 11.5). ®áª®«ìªã í«¥¬¥−âë í⮩ ¬ âà¨æë ¯à¨− ¤«¥¦ â C ∞ (U), ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕU £« ¤ª®¥. (¢) „«ï «î¡®£® s ∈ •π ¨¬¥¥¬ (•(ϕ)(s))(x) = (ϕ ◦ s)(x) = ϕ(s(x)) = F (s)(x), â. ¥. •(ϕ)(s) = F (s).



11.30. ‹¥¬¬ . …᫨ ϕ : ζ → π | ¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©, ¯à¨ç¥¬ ϕx ¥áâì ¨§®¬®à䨧¬ «¨−¥©−ëå ¯à®áâà −á⢠ζx ∼ = πx − ¤ «î¡®© â®çª®© x ∈ M, â® ϕ | ¨§®¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨©.
„«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ «¥¬¬ë ¤®áâ â®ç−® ¯à®¢¥à¨âì £« ¤ª®áâì ®¡à â−®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ−1 : Eπ → Eζ (¢á¥ ®áâ «ì−®¥ ®ç¥¢¨¤−®). „«ï í⮣® ¯® ⥮६¥ ®¡ ®¡à â−®© äã−ªæ¨¨ (¯. 6.21) ¤®áâ â®ç−® ¯®ª § âì, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠« dy ϕ ¢ «î¡®© â®çª¥ y ∈ Eζ ¥áâì ¨§®¬®à䨧¬ ª á â¥«ì−ëå ¯à®áâà −áâ¢. ’ ª ª ª à §¬¥à−®á⨠¬−®£®®¡à §¨© Eζ ¨ Eπ à ¢−ë, â® à ¢−ë à §¬¥à−®á⨠ª á â¥«ì−ëå ¯à®áâà −á⢠Ty Eζ ¨ Tϕ(y) Eπ . ‡− ç¨â ¤¨ää¥à¥−樠« dy ϕ ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ ®− ¨−ꥪ⨢¥−. —⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ ¯®á«¥¤−¥¬ § ¬¥â¨¬, çâ® dϕ(y) π ◦ dy ϕ = dy ζ â ª ª ª π ◦ ϕ = ζ. ®í⮬ã v ∈ ker dy ϕ ⇒ v ∈ ker dy ζ ⇔ v ∈ Ty (ζz ), z = ζ(y). ® ϕ ζz = ϕz ¥áâì ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ᫮ﬨ ζz ¨ πz , â ª çâ® v = 0.  11.31. ‘«¥¤á⢨¥. …᫨ F ∈ HomC ∞ (M )(•(ζ), •(π)) ¨ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ M ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ Fx : •(ζ)/µx •(ζ) → •(π)/µx •(π) ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ «¨−¥©−ëå ¯à®áâà −áâ¢, â® F | ¨§®¬®à䨧¬ ¬®¤ã«¥©.
„¥©á⢨⥫ì−®, ç⮡ë ᢥá⨠íâ® ã⢥ত¥−¨¥ ª ⮫쪮 çâ® ¤®ª § −−®© «¥¬¬¥, ¤®áâ â®ç−® § ¬¥â¨âì, çâ® F = •(ϕ) ¤«ï

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

261

−¥ª®â®à®£® ϕ ∈ Mor(ζ, π), ¯à¨ç¥¬ Fx = ϕx ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ x ∈ M.  11.32. ’¥®à¥¬ . …᫨ M | á¢ï§−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, â® C ∞ (M)-¬®¤ã«ì P ¨§®¬®àä¥− ¬®¤ã«î á¥ç¥−¨© •(π) £« ¤ª®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π − ¤ M ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  P ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥− ¨ ¯à®¥ªâ¨¢¥−.
. ०¤¥ ¢á¥£® ¢á¯®¬−¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ¬®¤ã«ì •(π) ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥− (á«¥¤á⢨¥ 11.28).
. ®ª ¦¥¬, çâ® ¬®¤ã«ì •(π) ¯à®¥ªâ¨¢¥−.  ‚¢¨¤ã  áãé¥áâ¢ã¥â ª®−¥ç− ï á¨á⥬  á¥ç¥−¨© s1 , . . . , sN , ¯®à®¦¤ îé ï •(ξ).  áᬮâਬ ᢮¡®¤−ë© ¬®¤ã«ì Q à −£  N, ¯®à®¦¤¥−−ë© í«¥¬¥−â ¬¨ e1, . . . , eN , ¨ â ª®© ¥£® £®¬®¬®à䨧¬ F : Q → •(ξ), çâ® F (ei) = si , i = 1, . . . , N. ® ¯®áâ஥−¨î F | í¯¨¬®à䨧¬. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® Q = •(η) ¤«ï −¥ª®â®à®£® âਢ¨ «ì−®£® à áá«®¥−¨ï η, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¯® ⥮६¥ 11.29 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¬®à䨧¬ ϕ ∈ Mor(π, η), çâ® F = •(ϕ). ® «¥¬¬¥ 11.8 ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ M ®â®¡à ¦¥−¨¥ φz áîàꥪ⨢−®, â ª ª ª F | í¯¨¬®à䨧¬. ®í⮬㠯ਬ¥−¨¬® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 11.20, ¨§ ª®â®à®£® ¬ë § ª«îç ¥¬, çâ® Ker ϕ ï¥âáï ¯®¤à áá«®¥−¨¥¬ ¢ η. ‚ ᨫ㠯।«®¦¥−¨ï 11.24 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯àאַ¥ à §«®¦¥−¨¥ η = Ker ϕ⊕ζ, £¤¥ ζ | −¥ª®â®à®¥ ¯®¤à áá«®¥−¨¥ ¢ π. âá ¯® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 11.23 •(η) = •(Ker ϕ)⊕•(ζ), â. ¥. ¬®¤ã«ì •(ζ) ï¥âáï ¯àï¬ë¬ á« £ ¥¬ë¬ ᢮¡®¤−®£® ¬®¤ã«ï. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−® (á¬. ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 11.15), ¬®¤ã«ì •(ζ) ¯à®¥ªâ¨¢¥−. ஢¥à¨¬ ⥯¥àì, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ϕ, ®£à −¨ç¥−−®¥ −  ¯à®áâà −á⢮ à áá«®¥−¨ï ζ, ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§®¬®à䨧¬ ζ −  π. „¥©á⢨⥫ì−®, ϕz : ζz → πz | «¨−¥©−ë© ¨§®¬®à䨧¬ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M, ¨ ®áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© 11.30. ˆ§ ⮣®, çâ® ζ ∼ = π, ¢ë⥪ ¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¬®¤ã«¥© •(ζ) ∼ = •(π) ¨, ⥬ á ¬ë¬, ¨áâ¨−−®áâì ã⢥ত¥−¨ï
. 

262

ƒ« ¢  11

‚. „®ª ¦¥¬, çâ® ¢á直© ¯à®¥ªâ¨¢−ë© ¬®¤ã«ì ª®−¥ç−®£® ⨯  ¨§®¬®àä¥− ¬®¤ã«î á¥ç¥−¨© £« ¤ª®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï.  ãáâì P | ¯à®¥ªâ¨¢−ë© C ∞ (M)-¬®¤ã«ì ª®−¥ç−®£® ⨯ . ’®£¤  (á¬. ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 11.15 ¨ § ¬¥ç −¨¥ ¢ ¯. 11.13) ¬®¦−® − ¯¨á âì •(η) = P  ⊕ Q, £¤¥ η | −¥ª®â®à®¥ âਢ¨ «ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ M,   P  ¨ Q | ¯®¤¬®¤ã«¨ ¬®¤ã«ï á¥ç¥−¨© •(η), ¯à¨ç¥¬ P  ∼ = P . ®áª®«ìªã ¬®¤ã«ì P ¨−â¥à¥áã¥â − á ⮫쪮 á â®ç−®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ¢ ¤ «ì−¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì P ¢¬¥áâ® P  . ¡®§− ç¨¬ Pz = {p(z) | p ∈ P }. â® R-«¨−¥©−®¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢮ ¢ ηz . − «®£¨ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®áâà −á⢮ Qz . Œë ã⢥ত ¥¬, çâ® ηz = Pz ⊕ Qz . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì y ∈ ηz . ‚®§ì¬¥¬ â ª®¥ á¥ç¥−¨¥ s ∈ •(η), çâ® s(z) = y, ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¥£® ¢ ¢¨¤¥ p + q, £¤¥ p ∈ P , q ∈ Q. ’®£¤  y = p(z) + q(z) ∈ Pz + Qz . ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® y ∈ Pz ∩ Qz , â. ¥. çâ® y = p(z) = q(z), £¤¥ p ∈ P , q ∈ Q. ’®£¤  (p − q)(z) = 0 ¨ ¯® «¥¬¬¥ 11.8(¡)    fi si = fi pi + fi qi p−q = i

i

i

¤«ï −¥ª®â®àëå fi ∈ µz , pi ∈ P , qi ∈ Q. ˆ§ ¯®á«¥¤−¥£® à ¢¥−á⢠  ¢¢¨¤ã á®®â−®è¥−¨ï P ∩ Q = 0 § ª«îç ¥¬, çâ® p = i fi pi . ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, p(z) = 0, â. ¥. y = 0. ˆâ ª, ηz = Pz ⊕ Qz . Œë å®â¨¬ ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ®¡ê¥¤¨−¥−¨¥ ¯®¤¯à®áâà −á⢠Pz ®¡à §ã¥â ¯®¤à áá«®¥−¨¥ ¢ η,   ¬®¤ã«ì P á®á⮨⠨§ ¥£® £« ¤ª¨å á¥ç¥−¨©. ®ª ¦¥¬ á− ç « , çâ® dim Pz −¥ § ¢¨á¨â ®â z. ãáâì dim Pz = r ¢ −¥ª®â®à®© â®çª¥ z ∈ M ¨ §− ç¥−¨ï á¥ç¥−¨© p1 , . . . , pr ∈ P ¢ í⮩ â®çª¥ ¯®à®¦¤ îâ Pz . ˆ§ £« ¤ª®á⨠(¤ ¦¥ ¨§ −¥¯à¥àë¢−®áâ¨) á¥ç¥−¨© á«¥¤ã¥â «¨−¥©− ï −¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¢¥ªâ®à®¢ p1 (y), . . . , pr (y) ¤«ï â®ç¥ª y, «¥¦ é¨å ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U â®çª¨ z. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, dim Py  dim Pz . ®áª®«ìªã â ª®¥ ¦¥ à áá㦤¥−¨¥ ¯à¨¢®¤¨â ª −¥à ¢¥−áâ¢ã dim Qy  dim Qz ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z,   ¢ ᨫã ᪠§ −−®£® ¢ëè¥ á㬬  dim Py + dim Qy ¯®áâ®ï−− , ¬ë § ª«îç ¥¬,

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

263

çâ® dim Py ¥áâì «®ª «ì−® ¯®áâ®ï−− ï äã−ªæ¨ï ¯¥à¥¬¥−−®© y, â. ¥. ¢¢¨¤ã á¢ï§−®á⨠M íâ® ¯à®áâ® ª®−áâ −â . ˆ¬¥ï ¢ ¢¨¤ã «¥¬¬ã 11.5, ¤®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¯®¤¯à®áâà −á⢮ Pz , ª ª â®çª  ¢ GV,r , £¤¥ V | á«®© à áá«®¥−¨ï η, £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â z (§¤¥áì ¢¢¨¤ã «®ª «ì−®£® å à ªâ¥à  § ¤ ç¨ ¬®¦−® áç¨â âì à áá«®¥−¨¥ η âਢ¨ «ì−ë¬). ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ë¡¥à¥¬ ¡ §¨á p1 (a), . . . , pr (a) ¯à®áâà −á⢠ Pa ¢ −¥ª®â®à®© â®çª¥ a ∈ M. ’®£¤  ¢¥ªâ®àë p1 (z), . . . , pr (z) á®áâ ¢ïâ ¡ §¨á ¯à®áâà −á⢠ Pz ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª z, ¯à¨− ¤«¥¦ é¨å −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ a. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᥬ¥©á⢮ Pz «®ª «ì−® ®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬, £« ¤ª® § ¢¨áï騬 ®â z, ¨, §− ç¨â, ï¥âáï £« ¤ª¨¬ ᥬ¥©á⢮¬ ¢ £à áᬠ−¨ −¥ GV,r . ¡®§− ç¨¬ à áá«®¥−¨¥, ᫮ﬨ ª®â®à®£® ïîâáï ¯à®áâà −á⢠ Pz , ¡ãª¢®© π. ® ¯®áâ஥−¨î P ⊂ •(π). „®ª ¦¥¬ ®¡à â−®¥ ¢ª«îç¥−¨¥. ãáâì s ∈ •(π) ⊂ •(η).  ©¤ãâáï â ª¨¥ í«¥¬¥−âë p ∈ P ¨ q ∈ Q, çâ® s = p + q. ®áª®«ìªã Pz ∩ Qz = 0, ¨§ à ¢¥−á⢠ p(z)+q(z) = s(z) á«¥¤ã¥â, çâ® q(z) = 0 ¤«ï «î¡®£® z ∈ M. ®í⮬ã q = 0 ¨ s = p ∈ P .  ˆâ ª, P = •(π), ¨ ⥮६  ¯®«−®áâìî ¤®ª § − .  ‡ ¬¥ç −¨¥. ਢ¥¤¥−−®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬®¤ã«ì •(ξ) ¯à®¥ªâ¨¢¥− ¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  ¡ §¨á−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ −¥á¢ï§−®. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¢á直© ¯à®¥ªâ¨¢−ë© ¬®¤ã«ì − ¤ C ∞ (M) ®ç¥¢¨¤−ë¬ ®¡à §®¬ ᢮¤¨âáï ª ¯àאַ© á㬬¥ ¬®¤ã«¥© ¢¨¤  •(πα ), £¤¥ πα | −¥ª®â®à®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ á¢ï§−®© ª®¬¯®−¥−⮩ Mα ¬−®£®®¡à §¨ï M. ਠí⮬ à §¬¥à−®áâì à áá«®¥−¨ï πα ¬®¦¥â ¬¥−ïâìáï ®â ª®¬¯®−¥−âë ª ª®¬¯®−¥−â¥. 11.33. ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ¤¢ãå ª â¥£®à¨©. ‚ ᮢ®ªã¯−®á⨠¤¢¥ ⥮६ë 11.29 ¨ 11.32 ãáâ − ¢«¨¢ îâ íª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª â¥£®à¨¨ VBM ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M ¨ ª â¥£®à¨¨ Modpf C ∞(M) ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−ëå ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© − ¤ £« ¤ª®©  «£¥¡à®© C ∞ (M). â®â १ã«ìâ â ¯®«−®áâìî  − «®£¨ç¥− १ã«ìâ âã ¯. 7.19 ®¡ íª¢¨¢ «¥−â−®á⨠ª â¥£®à¨¨ ¬−®£®®¡à §¨© ¨ ª â¥£®à¨¨ £« ¤ª¨å R- «£¥¡à. …£® ¬®¦−® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ ®¡¥ áâ®à®−ë, â® ¥áâì ¯à¨¬¥−ïâì  «£¥¡àã ª £¥®¬¥âਨ ¨ £¥®¬¥âà¨î ª  «£¥¡à¥.

264

ƒ« ¢  11

‚®â ¯à¨¬¥à: ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ η, çâ® à áá«®¥−¨¥ π ⊕ η âਢ¨ «ì−®. â®â 㤨¢¨â¥«ì−ë© á â®çª¨ §à¥−¨ï £¥®¬¥âਨ 䠪⠯®á«¥ ¯à¨¬¥−¥−¨ï ⥮६ë 11.32 ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥−¨î ¯à®¥ªâ¨¢−®£® ¬®¤ã«ï. ¨¦¥ (á¬. ¯. 11.38) ¡ã¤¥â ¯à¨¢¥¤¥− ¯à¨¬¥à ã⢥ত¥−¨ï (â¥−§®à−ë© ª¢ ¤à â ®¤−®¬¥à−®£® ¯à®¥ªâ¨¢−®£® ¬®¤ã«ï − ¤ C ∞ (M) ¨§®¬®àä¥− C ∞ (M)), ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ª®â®à®£®, − ®¡®à®â, 㬥áâ−® ¨á¯®«ì§®¢ âì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥  à£ã¬¥−âë (¢¢¥¤¥−¨¥ ᪠«ïà−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï −  ¯à®áâà −á⢥ à áá«®¥−¨ï). ‚ á«¥¤ãîé¨å ¯ã−ªâ å ¬ë ®¡á㦤 ¥¬ ¤¢¥ ®¯¥à æ¨¨ − ¤ ¢¥ªâ®à−묨 à áá«®¥−¨ï¬¨ | â¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ¨ ¨−¤ãæ¨à®¢ −¨¥ | ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à æ¨¨ − ¤ ¯à®¥ªâ¨¢−묨 ¬®¤ã«ï¬¨. 11.34. ।«®¦¥−¨¥. ’¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ¤¢ãå ¯à®¥ªâ¨¢−ëå ¬®¤ã«¥© − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−ë¬ ª®«ì殬 ï¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢−ë¬ ¬®¤ã«¥¬.
Š ª ¨§¢¥áâ−®, ¤«ï «î¡ëå A-¬®¤ã«¥© P , Q, R ¢ë¯®«−ï¥âáï ⮦¤¥á⢮ HomA(P ⊗A Q, R) ∼ = HomA(P, HomA (Q, R)), â. ¥. äã−ªâ®à HomA (P ⊗ Q, ·) ï¥âáï ª®¬¯®§¨æ¨¥© äã−ªâ®à®¢ HomA (P, ·) ¨ HomA(Q, ·). áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï íª¢¨¢ «¥−â−®áâìî ã⢥ত¥−¨© ( ) ¨ (£) ¨§ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.15.  11.35. ’¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ à áá«®¥−¨©. ãáâì η ¨ ζ | ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M. ‘«®¥¬ à áá«®¥−¨ï π = η ⊗ ζ (â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï η ¨ ζ) − ¤ â®çª®© z ∈ M á«ã¦¨â, ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, «¨−¥©−®¥ ¯à®áâà −á⢮ πz = ηz ⊗ ζz . ‘âàãªâãà   £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï −  ¯à®áâà −á⢥ à áá«®¥−¨ï Eπ = z∈M πz ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ®ªà®¥¬ ¬−®¦¥á⢮ E ª®®à¤¨− â−묨 ®ªà¥áâ−®áâﬨ ¢¨¤  −1 π (U), £¤¥ U | ª®®à¤¨− â− ï (â. ¥. ¤¨ä䥮¬®àä− ï Rn) ®¡« áâì ¢ M, − ¤ ª®â®à®© ®¡  à áá«®¥−¨ï η ¨ ζ âਢ¨ «ì−ë. ãáâì V | ú¢−¥è−¨©û á«®© à áá«®¥−¨ï η, W | ú¢−¥è−¨©û

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

265

á«®© à áá«®¥−¨ï ζ, a ϕ : η −1 (U) → U × V ¨ ψ : ζ −1 (U) → U × W | âਢ¨ «¨§ãî騥 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ë. Š àâã χ : π −1 (U) → U × (V ⊗ W ) ¯®áâந¬ â ª. ãáâì u ∈ π −1 (U). ’®£¤  u ∈ ηz ⊗ ζz ¤«ï −¥ª®â®à®© â®çª¨ z ∈ M. ⮡ࠦ¥−¨ï ϕ ¨ ψ, ®£à −¨ç¥−−ë¥ −  á«®© − ¤ z, ¤ îâ ¨§®¬®à䨧¬ë ηz → V ¨ ζz → W ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¨§®¬®à䨧¬ ηz ⊗ ζz → V ⊗ W . ¡®§− ç ï ®¡à § í«¥¬¥−â  u ¯à¨ í⮬ ¨§®¬®à䨧¬¥ ç¥à¥§ v, ¯®«®¦¨¬ χ(u) = (z, v). “¯à ¦−¥−¨¥. ஢¥àìâ¥, ç⮠ᮢ®ªã¯−®áâì ¢á¥å ª àâ ®¯¨á −−®£® ¢¨¤  ®¡à §ã¥â £« ¤ª¨©  â« á −  Eπ . ˆâ ª, à áá«®¥−¨¥ η ⊗ ζ ®¯à¥¤¥«¥−®. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®  ªá¨®¬  «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®á⨠¢ë¯®«−ï¥âáï ¤«ï −¥£® ¯® ¯®áâ஥−¨î. —¥à¥§ η ⊗k 㤮¡−® ®¡®§− ç âì k-î â¥−§®à−ãî á⥯¥−ì à áá«®¥−¨ï η. ਬ¥à. πT⊗k ⊗ πT⊗l∗ ¥áâì à áá«®¥−¨¥ k à § ª®−âà ¢ à¨ −â−ëå ¨ l à § ª®¢ à¨ −â−ëå â¥−§®à®¢. 11.36. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì P ¨ Q | ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨ − ¤ ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡à®© A, ⮣¤  ¬®¤ã«ì HomA(P, Q) â ª¦¥ ¯à®¥ªâ¨¢¥−. − ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−, ¥á«¨ ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−ë P ¨ Q.
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ R ¨ S | (ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−ë¥) ᢮¡®¤−ë¥ ¬®¤ã«¨, â® HomA(R, S) â ª¦¥ (ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−) ¨ ᢮¡®¤¥−. „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ {ri } ¨ {sj } | ᢮¡®¤−ë¥ ®¡à §ãî騥 ¬®¤ã«¥© R ¨ S ᮮ⢥âá⢥−−®, â® A-£®¬®¬®à䨧¬ë hi,j ∈ HomA (R, S), ®¯à¥¤¥«¥−−ë¥ ¯® ¯à ¢¨«ã hi,j (ri ) = δi,j sj , £¤¥ δi,j | ᨬ¢®« Šà®−¥ª¥à , áãâì ᢮¡®¤−ë¥ ®¡à §ãî騥 HomA (R, S). ãáâì ⥯¥àì R ¨ S | ᢮¡®¤−ë¥ A-¬®¤ã«¨, ¯àï¬ë¬¨ á« £ ¥¬ë¬¨ ª®â®àëå ïîâáï P ¨ Q ᮮ⢥âá⢥−−®. ãáâì αP : P → R

¨ βP : R → P,

αP ◦ βP = idP ,

¨  − «®£¨ç−® αQ , βQ ¤«ï Q, | ¨−ꥪæ¨ï ¨ ¯à®¥ªæ¨ï, ॠ«¨§ãî騥 ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à §«®¦¥−¨ï ¬®¤ã«¥© R ¨ S ¢ ¯àï¬ë¥

266

ƒ« ¢  11

á㬬ë. ’®£¤  A-£®¬®¬®à䨧¬ HomA (P, Q)  h → αQ ◦ h ◦ βP ∈ HomA(R, S) ¥áâì ¢«®¦¥−¨¥ HomA(P, Q) ¢ ᢮¡®¤−ë© ¬®¤ã«ì HomA (R, S), ®¡à § ª®â®à®£® ¢¬¥á⥠á ï¤à®¬ ¯à®¥ªæ¨¨ HomA (R, S)  H → βQ ◦ H ◦ αP ∈ HomA (P, Q) ॠ«¨§ãîâ HomA(P, Q) ª ª ¯àאַ¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ᢮¡®¤−®¬ A-¬®¤ã«¥ HomA(R, S).  ˆ¬¥¥âáï ¥áâ¥á⢥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ι : P ∗ ⊗A Q → HomA (P, Q),

£¤¥ P ∗ = HomA(P, A), (11.2)

®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ à ¢¥−á⢮¬ ι(p∗ ⊗ q)(p) = p∗ (p)q. ‚ á«ãç ¥ ª®£¤  ¬®¤ã«¨ P ¨ Q ¯à®¥ªâ¨¢−ë ¨ ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−ë, ι ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬. â®â 䠪⠮祢¨¤−ë¬ ®¡à §®¬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¤«ï ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−ëå ᢮¡®¤−ëå ¬®¤ã«¥©.   ¯à®¨§¢®«ì−ë¥ ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−ë¥ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ A-¬®¤ã«¨ ®− ¯¥à¥−®á¨âáï à áá㦤¥−¨¥¬, ¯®¤®¡−ë¬ ¨á¯®«ì§®¢ −−®¬ã ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.36. 11.37. ‘® ¢á直¬ ¢¥ªâ®à−ë¬ à áá«®¥−¨¥¬ ζ ¬®¦−® á¢ï§ âì ¤¢®©á⢥−−®¥ à áá«®¥−¨¥ ζ ∗ , á«®© ζz∗ ¢ â®çª¥ z ∈ M ª®â®à®£® ¥áâì ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮, ¤¢®©á⢥−−®¥ ª ζz . ªªãà â−®¥  ¯®áâ஥−¨¥ ᯥ樠«ì−®£® £« ¤ª®£®  â« á  −  Eζ ∗ = z∈M ζz∗ ¨ âਢ¨ «¨§ãîé¨å ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ¯®¢â®àï¥â ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¤®á«®¢−® ¯®áâ஥−¨¥ ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï ¯® ª á â¥«ì−®¬ã ¯à®áâà −áâ¢ã (á¬. ¯. 9.24) ¨ ¯®í⮬㠮¯ã᪠¥âáï. ਬ¥à. πT∗ = πT ∗ . „«ï ¢á类£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ζ ®¯à¥¤¥«¥−® ¥áâ¥á⢥−−®¥ ᯠਢ −¨¥ (•(ζ), •(ζ ∗ )) → C ∞ (M),

(s, s∗)(z) = (s(z), s∗(z)), s ∈ •(ζ), s∗ ∈ •(ζ ∗ ), z ∈ M. def

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

267

“¯à ¦−¥−¨¥. ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ãá«®¢¨¥¬ «®ª «ì−®© âਢ¨ «ì−®áâ¨, ¢å®¤ï騬 ¢ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï, ¯®ª ¦¨â¥, çâ® (s, s∗)(z) ¤¥©á⢨⥫ì−® ¥áâì £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï. ⮠ᯠਢ −¨¥ ¢ á«ãç ¥ ζ = πT M ¯à¥¢à é ¥âáï, ¢ ᨫã à ¢¥−á⢠ (πT M )∗ = πT ∗M , ¢ ᯠਢ −¨¥ (•(πT M ), •(πT ∗M )) → C ∞ (M). Œ¥âਪ  −  ζ ¯®§¢®«ï¥â ®â®¦¤¥á⢨âì ζ ¨ ζ ∗ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M. ‹¥¬¬  11.30 ¯®§¢®«ï¥â ¢¢¨¤ã í⮣® ã⢥ত âì, çâ® ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ζ ¨ ζ ∗ ¨§®¬®àä−ë. „¥©áâ¢ãï  ¡á®«îâ−® ¢ í⮬ ¦¥ ¤ãå¥, ¤«ï ¯ àë ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© η ¨ ζ ¬®¦−® ¯®áâநâì à áá«®¥−¨¥ Hom(η, ζ), á«®© ª®â®à®£® ¢ â®çª¥ z ∈ M ¥áâì HomR (ηz , ζz ). Š®−áâàãªæ¨ï ¯®¢â®àï¥â  − «®£¨ç−ãî ¤«ï â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï à áá«®¥−¨© (¯. 11.35). …᫨ ¦¥ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à−ëå ¯à®áâà −á⢠HomR (ηz , ζz ) = ηz∗ ⊗ ζz , â® áãé¥á⢮¢ −¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï Hom(η, ζ) ¬®¦−® ¤®ª § âì ¨áå®¤ï ¨§ áãé¥á⢮¢ −¨ï à áá«®¥−¨ï η ∗ ⊗ ζ, ¢ë⥪ î饣® ¨§ ᪠§ −−®£® ¢ëè¥ ¨ ¨§ ¯. 11.35. 11.38. ਬ¥à. ’¥−§®à−ë© ª¢ ¤à â «¨áâ  Œñ¡¨ãá , à áᬠâਢ ¥¬®£® ª ª ®¤−®¬¥à−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ ®ªàã¦−®áâìî (¯à¨¬¥à 11.6 (III)), ¥áâì IS1 | âਢ¨ «ì−®¥ ®¤−®¬¥à−®¥ à áá«®¥−¨¥. â®â १ã«ìâ â ¬®¦−® ¨«¨ −¥¯®á।á⢥−−® ¯®«ãç¨âì ¨§ ª®−áâàãªæ¨¨ «¨áâ  Œñ¡¨ãá  ¨ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï (४®¬¥−¤ã¥¬ ç¨â â¥«î íâ® ¯à®¤¥« âì), ¨«¨ ¢ë¢¥á⨠¨§ á«¥¤ãî饣® ¡®«¥¥ ®¡é¥£® ä ªâ : â¥−§®à−ë© ª¢ ¤à â «î¡®£® ®¤−®¬¥à−®£® à áá«®¥−¨ï ¨§®¬®àä¥− ¥¤¨−¨ç−®¬ã à áá«®¥−¨î. „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ −ã¦−® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï 㯮¬ï−ãâ묨 ¢ëè¥ ¨§®¬®à䨧¬ ¬¨ ζ ⊗ζ ∼ = ζ∗ ⊗ ζ ∼ = Hom(ζ, ζ). ® à áá«®¥−¨¥ Hom(ζ, ζ) ¤«ï ®¤−®¬¥à−®£® ζ âਢ¨ «ì−®: ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ϕ−1 : M × R → EHom(ζ,ζ), ®¡à â−ë© âਢ¨ «¨§ãî饬ã, ¬®¦−® § ¤ âì ä®à¬ã«®© ϕ−1 (a, λ)y = λy ¤«ï ¢á¥å a ∈ M, λ ∈ R, y ∈ Eπ .

268

ƒ« ¢  11

‡ ¬¥â¨¬, − ª®−¥æ, çâ® â¥−§®à−®¥ ã¬−®¦¥−¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â −  ¬−®¦¥á⢥ ª« áᮢ ¨§®¬®àä−ëå ®¤−®¬¥à−ëå ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© V 1(M) − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M áâàãªâãàã £à㯯ë. ®à冷ª «î¡®£® −¥¥¤¨−¨ç−®£® í«¥¬¥−â  í⮩ £à㯯ë à ¢¥− 2. ’ ª, − ¯à¨¬¥à, V 1 (S 1) = Z2 , ¯à¨ç¥¬ ¤¢  í«¥¬¥−â  í⮩ £à㯯ë ॠ«¨§ãîâáï 樫¨−¤à®¬ ¨ «¨á⮬ Œñ¡¨ãá . ‚ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥ ãáâ − ¢«¨¢ ¥âáï ¥áâ¥á⢥−− ï á¢ï§ì äã−ªâ®à  • á äã−ªâ®à ¬¨ ⊗ ¨ Hom. 11.39. ’¥®à¥¬ . ”ã−ªâ®à • á®åà −ï¥â â¥−§®à−®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ ¨ äã−ªâ®à Hom, â. ¥. •(π ⊗ η) ∼ = •(π) ⊗ •(η), •(Hom(π, η)) ∼ = HomC ∞ (M )(•(π), •(η))

¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© π ¨ η − ¤ ¬−®£®®¡à §¨¥¬ M (§¤¥áì ¨ −¨¦¥ â¥−§®à−ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© ¡¥àãâáï − ¤ ª®«ì殬 C ∞ (M)).
…áâ¥á⢥−−ë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë Hom(π, η) ∼ = •(π ∗ ⊗ •(η) = π ∗ ⊗ η, HomC ∞ (M )(•(π), •(η)) ∼ (á¬. ¯. 11.36) ¢¬¥áâ¥ á ¥áâ¥á⢥−−묨 ®â®¦¤¥á⢫¥−¨ï¬¨ π ∗∗ = π, •(π)∗∗ = •(π), ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ã⢥ত¥−¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®áâ â®ç−® ¤®ª § âì ⮫쪮 ¤«ï â¥−§®à−®£® ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï. Œë ¯®áâந¬ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ •(π) ⊗ •(η) ¢ •(π ⊗ η) ¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®−® ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬. ãáâì s ∈ •(π), t ∈ •(η). ¯à¥¤¥«¨¬ á¥ç¥−¨¥ s⊗t ∈ •(π⊗η) ä®à¬ã«®© (s ⊗ t)(x) = s(x) ⊗ t(x). ˆ§ ª®−áâàãªæ¨¨ à áá«®¥−¨ï π ⊗ η «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® â ª¨¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ s ⊗ t ¥áâì £« ¤ª®¥ á¥ç¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï π ⊗ η. 祢¨¤−®, ç⮠ᮯ®áâ ¢«¥−¨¥ ¯ à¥ (s, t) á¥ç¥−¨ï s ⊗ t £®¬®¬®àä−® ¯® ®¡®¨¬  à£ã¬¥−â ¬ ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ C ∞(M)¬®¤ã«¥© ι : •(π) ⊗ •(η) → •(π ⊗ η).  áᬮâਬ §− ç¥−¨¥ í⮣® £®¬®¬®à䨧¬  ¢ −¥ª®â®à®© â®çª¥ x ∈ M ‚¥à−¥¬áï ª £®¬®¬®à䨧¬ã ι,   ιx : •(π) ⊗ •(η)/µx •(π) ⊗ •(η) → πx ⊗ ηx ,

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

269

¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®− ï¥âáï  ¨§®¬®à䨧¬®¬  «¨−¥©−ëå ¯à®áâà −áâ¢. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ιx ([ si ⊗ ti]) = si (x) ⊗ ti (x), £¤¥ ª¢ ¤à â−ë¥ áª®¡ª¨ ®¡®§− ç îâ ª« áá í«¥¬¥−â  ¢ ä ªâ®à¯à®áâà −á⢥. . ‘îàꥪ⨢−®áâì  ιx . ந§¢®«ì−ë© í«¥¬¥−â ¯à®áâà −á⢠ πx ⊗ ηx ¨¬¥¥â ¢¨¤ yi ⊗ zi , yi ∈ πx , zi ∈ ηx . ® «¥¬¬¥ 11.8( ) áãé¥áâ¢ãîâ á¥ç¥−¨ï si ∈ •(π), ti ∈ •(η), §− ç¥−¨ï  ª®â®àëå ¢â®çª¥ x áãâì ᮮ⢥âá⢥−−® yi ¨ zi . ’®£¤  ιx ([ si ⊗ ti ]) = yi ⊗ z i .
. ˆ−ꥪ⨢−®áâì ιx . ã¦−® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ si ∈ •(π),  ti ∈ •(η) ¨ si (x) ⊗ ti (x) = 0 ¢ ¯à®áâà −á⢥ πx ⊗ ηx , â® − ©¤ãâáïâ ª¨¥ á¥ç¥−¨ï  pi ∈ •(π), qi ∈ •(η) ¨ äã−ªæ¨¨ fi ∈ µx , çâ® si ⊗ ti = fi pi ⊗ qi ¢ •(π) ⊗ •(η). ‚ á«¥¤ãî饩 «¥¬¬¥ ¢ëïá−ï¥âáï áâàãªâãà  −ã«¥¢ëå í«¥¬¥−⮢ ¢ â¥−§®à−®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¨ «¨−¥©−ëå ¯à®áâà −áâ¢. 11.40. ‹¥¬¬ .
ãáâì V ¨ W | «¨−¥©−ë¥ ¯à®áâà −á⢠ − ¤ ®¤−¨¬  ¨ ⥬ ¦¥ ¯®«¥¬, vi ∈ V , wi ∈ W | −¥−ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ m i=1 vi ⊗ wi = 0 ¢ V ⊗ W . ’®£¤  − ©¤ãâáï â ª®¥ − âãà «ì−®¥ ç¨á«® k, 1  k  m, ¨ â ª¨¥ í«¥¬¥−âë ¯®«ï aij , 1  i  k, k < j  m, çâ® ¯®á«¥ −¥ª®â®à®© ¯¥à¥−㬥à æ¨¨ {1, . . . , m} → {1, . . . , m}, ®¤−®© ¨ ⮩ ¦¥ ¤«ï vi ¨ wi , ¡ã¤ãâ á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥−á⢠ vj =

k 

aij vi ,

j = k + 1, . . . , m;

i=1

wi = −

m 

aij wj ,

i = 1, . . . , k.

j=k+1

 „¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨  í«¥¬¥−âë v1,. . . , vm «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ë, â® ¨§ à ¢¥−á⢠ vi ⊗ wi = 0 á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á¥ wi à ¢−ë 0. ‚ ¯à®â¨¢−®¬ á«ãç ¥ ¢ë¡¥à¥¬ ¨§ v1,. . . , vm ¬ ªá¨¬ «ì−ãî «¨−¥©−® −¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬ã. ãáâì íâ® ¡ã¤¥â v1,. . . , vk . „«ï j = k + 1, . . . , m § ¯¨è¥¬ à §«®¦¥−¨¥ ¯® í⮬㠡 §¨áã:

270

vj =

ƒ« ¢  11

k i=1 m 

aij vi . ’®£¤  vi ⊗ wi =

i=1

k 

vi ⊗ wi +

i=1

= m

k 

m  k  i=1

j=k+1

 vi ⊗ wi +

i=1

m 

 aij vi ⊗ wj

 aij wj .

j=k+1

âá wi = − j=k+1 aij wi , ¨ «¥¬¬  ¤®ª § − .  ਬ¥−¨¬ «¥¬¬ã ¢ á¨âã æ¨¨, á«®¦¨¢è¥©áï ã − á ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë. ®«ã稬 sj =

k 

aij si + sj ,

j = k + 1, . . . , m;

sj ∈ µx •(π);

i=1 m 

ti = −

aij ti + ti ,

i = 1, . . . , k;

ti ∈ µx •(η).

j=k+1

âá m k m m k          si ⊗ ti = si ⊗ − aij tj + ti + aij si + sj ⊗ tj i=1

i=1

=

k  i=1

j=k+1

si ⊗ ti +

m 

j=k+1 i=1

  sj ⊗ tj ∈ µx •(π) ⊗ •(η) ,

j=k+1

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ˆâ ª, ι | ¨§®¬®à䨧¬ ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ x ∈ M. ˆ§ í⮣® ¬ë å®â¨¬, ¯®«ì§ãïáì «¥¬¬®© 11.30, § ª«îç¨âì, çâ® ι | ¨§®¬®à䨧¬ ¬®¤ã«¥©. ® ®¡  ¬®¤ã«ï, 䨣ãà¨àãî騥 ¢ í⮬ á«¥¤á⢨¨, ¤®«¦−ë ¡ëâì ¬®¤ã«ï¬¨ á¥ç¥−¨© −¥ª®â®àëå ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. ‚ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨âã æ¨¨ ᮬ−¨â¥«ì−ë© ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¬®¤ã«ì •(π) ⊗ •(η), ®ç¥¢¨¤−®, ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥− ¨ ¢ ᨫã ⥮६ë 11.32 ¨ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.34 ¯à®¥ªâ¨¢¥−. ‘«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¯® ®á−®¢−®© ⥮६¥ 11.32 ®− ¨§®¬®àä¥− −¥ª®â®à®¬ã ¬®¤ã«î á¥ç¥−¨©, ¨ 㯮¬ï−ã⮥ á«¥¤á⢨¥ ª −¥¬ã ¯à¨¬¥−¨¬®. â® § ¢¥à蠥⠤®ª § â¥«ìá⢮ ⥮६ë. 

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

271

11.41. „¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ 1-ä®à¬ë. ‡ ä¨ªá¨à㥬 ¬−®£®®¡à §¨¥ M. Œ®¤ã«ì £« ¤ª¨å á¥ç¥−¨© •(πT ∗ ) à áá«®¥−¨ï πT ∗ = πT ∗M − §ë¢ ¥âáï ¬®¤ã«¥¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå 1-ä®à¬ ¬−®£®®¡à §¨ï M ¨ ®¡®§− ç ¥âáï ˜1 (M). «¥¬¥−âë í⮣® ¬®¤ã«ï, â. ¥. £« ¤ª¨¥ á¥ç¥−¨ï à áá«®¥−¨ï πT ∗ , − §ë¢ îâáï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−묨 1-ä®à¬ ¬¨ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M. ‘®£« á−® ¯. 9.25 ¢á类© äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞ (M) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¥ç¥−¨¥ sdf : M → T ∗ M,

sdf (z) = dz (f).

‘¥ç¥−¨ï â ª®£® த  − §ë¢ îâáï ¤¨ää¥à¥−樠« ¬¨ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨©, ¨ íâ® ¯à®á⥩訥 ¯à¨¬¥àë ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ä®à¬.   ¢á直© í«¥¬¥−â C ∞ (M)-¬®¤ã«ï ˜1 (M) ¬®¦−® ᬮâà¥âì á ¤¢ãå â®ç¥ª §à¥−¨ï | £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©, à áᬠâਢ ï ¥£® ª ª ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¨§ M ¢ T ∗ M, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ®¯à¥¤¥«¥−−ë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¨«¨ áã£ã¡®  «£¥¡à ¨ç¥áª®©, § ¡ë¢ ï ¯à® íâã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¯à¨à®¤ã. —â®¡ë ¯®¤ç¥àª−ãâì 䨪á æ¨î â®çª¨ §à¥−¨ï, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤«ï ¤¨ää¥à¥−樠«  äã−ªæ¨¨ f ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§− ç¥−¨¥ sdf , à áᬠâਢ ï ¥£® ª ª á¥ç¥−¨¥, ¨ ®¡®§− ç¥−¨¥ df, à áᬠâਢ ï ¥£® ª ª í«¥¬¥−â ¬®¤ã«ï ˜1(M). Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ã¯à ¦−¥−¨ï ¯. 9.22, ®â®¡à ¦¥−¨¥ d : C ∞ (M) → ˜1(M),

f → df,

ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬  «£¥¡àë C ∞ (M) á® §− ç¥−¨ï¬¨ ¢ C ∞ (M)-¬®¤ã«¥ ˜1 (M). −® − §ë¢ ¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬. ‘¬ëá« í⮩ â¥à¬¨−®«®£¨¨ áâ −¥â ïá¥− ¨§ ¤ «ì−¥©è¥£®. ãáâì ⥯¥àì (U, x) | −¥ª®â®à ï ª àâ  −  M ¨ (πT−1∗ (U), T ∗x) | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© ᯥ樠«ì− ï ª àâ  −  T ∗M.  ¯®¬−¨¬ (á¬. ¯. 9.24), çâ® ç¥à¥§ T ∗x ®¡®§− ç ¥âáï á¨á⥬  ª®®à¤¨− â−ëå äã−ªæ¨© {xi , pj }, £¤¥ xi ¤«ï (z, θ) ∈ T ∗U ¥áâì i-ï ª®®à¤¨− â  â®çª¨ z,   pj | j-ï ª®¬¯®−¥−â  ¢ à §«®¦¥−¨¨ ª®¢¥ªâ®à  θ ¯® ¡ §¨áã dxi . ‚ ¯à¥¤¥« å í⮩ ᯥ樠«ì−®© ª àâë ¢á类¥

272

ƒ« ¢  11

£« ¤ª®¥ á¥ç¥−¨¥ s ¨¬¥¥â ª®®à¤¨− â−®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¥ xi = xi ,

i = 1, . . . , n,

pj = pj (x),

j = 1, . . . , n,

£¤¥ pj (x) ∈ C ∞ (U). ‘¥ç¥−¨¥ sdxi ∈ •(T ∗U) = ˜1 (U), ª ª ¨ ¢ëè¥, ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì ç¥à¥§ dxi . ˆ§ ᪠§ −−®£® á«¥¤ã¥â, çâ® á¥ç¥−¨ï dxi , i = 1, . . . , n ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ᢮¡®¤−®£® C ∞ (U)-¬®¤ã«ï ˜1(U). ‚ ç áâ−®áâ¨, ¯®áª®«ìªã ®£à −¨ç¥−¨¥ «î¡®© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®© ä®à¬ë ω ∈ ˜1 (M) −  U ¥áâì ¤¨ää¥à¥−樠«ì− ï ä®à¬  ¨§ ˜1(U), â® ¢ ¯à¥¤¥« å í⮩ ª àâë ¥¥ ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ω = i pi (x)dxi . „«ï ¤¨ää¥à¥−樠«  df, ®ç¥¢¨¤−®, ¨¬¥¥¬  ∂f df = dxi ∂xi (á¬. ã¯à ¦−¥−¨¥ ¨§ ¯. 9.25). ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï ¬®¦−® ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª á¥ç¥−¨ï ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï (á¬. ¯. 9.40), ⮠ᮣ« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î ¬®¤ã«ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ä®à¬ ᯠਢ −¨¥ (•(πT M ), •(πT ∗ M )) → C ∞ (M) ¬®¦−® ¯®−¨¬ âì ª ª ᯠਢ −¨¥ (D(M), ˜1 (M)) → C ∞ (M).

(11.3)

‚®§¢à é ïáì ª «®ª «ì−ë¬ ª®®à¤¨− â ¬, − ¯®¬−¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ U ⊂ M ¡ §¨á dz x1 , . . . , dz xn «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ Tz∗M ¯® ®¯à¥¤¥«¥−¨î ï¥âáï ¤¢®©á⢥−−ë¬ ª ¡ §¨áã ∂ ∂ ,..., ∂x1 z ∂xn z «¨−¥©−®£® ¯à®áâà −á⢠ Tz M. ®í⮬㠥᫨ ¢ ᯥ樠«ì−ëå «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å   ∂ X= αi (x) , ω= pi (x)dxi , ∂x i i i

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

273

â® ®£à −¨ç¥−¨¥ (X, ω) U १ã«ìâ â  ᯠਢ −¨ï (11.3) ä®à¬ë ω ¨ ¢¥ªâ®à−®£® ¯®«ï X −  ®¡« áâì U ¥áâì äã−ªæ¨ï  ∞ i αi pi (x) ∈ C (U). ‚ ç áâ−®áâ¨, ¤«ï ω = df ¨¬¥¥¬  ∂f (X, df) U = αi = X(f) U . ∂xi i 11.42. “−¨¢¥àá «ì−®¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥. ‚ëè¥ ¬ë ¨§¬¥−¨«¨ − è¨¬ ¯à¨−樯 ¬, ¤ ¢ ®¯¨á â¥«ì−®¥,   −¥ ª®−楯âã «ì−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¬®¤ã«ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå 1-ä®à¬ ˜1 (M). ‘¥©ç á íâ® ¯à¥£à¥è¥−¨¥ ¡ã¤¥â ¨á¯à ¢«¥−®. ãáâì M | −¥ª®â®à ï ª â¥£®à¨ï ¬®¤ã«¥© − ¤  «£¥¡à®© A.  à  (δ, ˜), £¤¥ ˜ | ®¡ê¥ªâ M ¨ δ ∈ D(˜), − §ë¢ ¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬ ¢ ª â¥£®à¨¨ M, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¬®¤ã«ï P ¨§ M ᮮ⢥âá⢨¥ HomA(˜, P )  h → h ◦ δ ∈ D(P ) ãáâ − ¢«¨¢ ¥â ¨§®¬®à䨧¬ A-¬®¤ã«¥© HomA(˜, P ) ¨ D(P ). ।«®¦¥−¨¥. “−¨¢¥àá «ì−®¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ ®¤−®§− ç−® á â®ç−®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , â. ¥. ¥á«¨ (δ  , ˜) | ¤à㣮¥ ã−¨¢¥àá «ì−®¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥, â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¨§®¬®à䨧¬ A-¬®¤ã«¥© γ : ˜ → ˜ , çâ® δ  = γ ◦ δ.
‚¢¨¤ã ã−¨¢¥àá «ì−®á⨠δ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ γ : ˜ → ˜ , çâ® δ  = γ ◦ δ. − «®£¨ç−®, δ = γ  ◦ δ  ¤«ï −¥ª®â®à®£® γ  ∈ HomA(˜ , ˜). ®í⮬ã δ = γ  ◦ γ ◦ δ ¨ Im δ ⊂ ˜0 , £¤¥ ˜0 = {ω ∈ ˜ | γ  (γ(ω)) = ω} ⊂ ˜. ãáâì α : ˜ → ˜/˜0 | ¥áâ¥á⢥−− ï ¯à®¥ªæ¨ï. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, 0 = α ◦ δ ∈ D(˜/˜0 ). ®í⮬ã α = 0 ¢¢¨¤ã ã−¨¢¥àá «ì−®á⨠δ. ® â ª ª ª α | áîàꥪæ¨ï, ¯®á«¥¤−¥¥ ®§− ç ¥â, çâ® ˜ = ˜0 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, γ  ◦ γ = id˜. ‘¨¬¬¥âà¨ç−®, γ  ◦ γ  = id˜
, ¨, §− ç¨â, γ ¨ γ  | ¢§ ¨¬−® ®¡à â−ë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë. 

274

ƒ« ¢  11

11.43. ’¥®à¥¬ .
 à  (d, ˜1(C ∞ (M))) ï¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬ ¢ ª â¥£®à¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥©.
 áᬮâਬ ¥áâ¥á⢥−−ë© £®¬®¬®à䨧¬ ηP : HomC ∞ (M )(˜1(M), P ) → D(P ),

h → h ◦ d,

¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®− ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ ¬®¤ã«ì P £¥®¬¥âà¨ç¥−. ®áâந¬ á í⮩ 楫ìî ®¡à â−ë© £®¬®¬®à䨧¬ νP : D(P ) → HomC ∞ (M )(˜1 (M), P ),

X → hX .

„«ï í⮣® − ¬ ¯®− ¤®¡¨âáï â®â ä ªâ,  çâ® ¢á猪ï ä®à¬  ω ∈ ˜1(M) ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ ω = i fi dgi , ª®â®àë© −¥§ ¢¨á¨¬® ¤®ª §ë¢ ¥âáï −¨¦¥ (á«¥¤á⢨¥ 11.49). ®«®¦¨¬  def fi X(gi ) hX (ω) = i

¨ ¤®ª ¦¥¬ ª®à४â−®áâì í⮣®  ®¯à¥¤¥«¥−¨ï. ãáâì z ∈ M  ¨ f = i ci gi , £¤¥ ci = fi (z) ∈ R. ’®£¤ , ®ç¥¢¨¤−®, ωz = i ci dz gi = dz f.Šà®¬¥ ⮣®,   hX (ω)(z) = fi (z)Xz (gi ) = Xz ( ci gi ) = Xz (f). i

i X

‡¤¥áì Xz ®¡®§− ç ¥â ª®¬¯®§¨æ¨î C ∞ (M) → P → Pz (á¬. ª®−¥æ ¯. 11.11), ¯®í⮬㠧− ç¥−¨¥ hX (ω) ¢ ¯à®¨§¢®«ì−®© â®çª¥ z ∈ M ®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−®, â. ¥. −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨ï  ω = i fi dgi . ’ ª ª ª ¬®¤ã«ì P £¥®¬¥âà¨ç¥−, ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® hX (ω) ®¯à¥¤¥«¥−® ª®à४â−®. …᫨ ω = dg, â®, ᮣ« á−® ®¯à¥¤¥«¥−¨î, hX (dg) = X(g), â. ¥. X = hX ◦ d ⇔ ηP ◦ νP = idD(P ). …᫨ ¦¥ X = h ◦ d, â®   hX (ω) = fi h(dgi ) = h( fi dgi ) = h(ω), i

i

â. ¥. hX = h ⇔ νP ◦ ηP = idD(P ) .  „®ª § −− ï ⥮६  ®¯à¥¤¥«ï¥â ᯠਢ −¨¥   1 ˜ (M), D(P ) → P, (ω, X) → hX (ω).

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

275

…£® १ã«ìâ â 㤮¡−® § ¯¨á뢠âì ¢ ¢¨¤¥ ω(X) = hX (ω). “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï P = C ∞(M) í⮠ᯠਢ −¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¢¥¤¥−−ë¬ ¢ ¯. 11.41. 11.44. „¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ä®à¬ë ª®−楯âã «ì−®. „®ª § −− ï ⥮६  ¯®ª §ë¢ ¥â, ª ª¨¬ ¤®«¦¥− ¡ëâì ú¯à ¢¨«ì−ë©û, â. ¥. ª®−楯âã «ì−ë© ¯®¤å®¤ ª ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ä®à¬ − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®©  «£¥¡à®© A. ˆ¬¥−−®, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ 1-ä®à¬ë á«¥¤ã¥â ¯®−¨¬ âì ª ª í«¥¬¥−âë A-¬®¤ã«ï ˜, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ®¡« áâìî §− ç¥−¨© ã−¨¢¥àá «ì−®£® ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï δ : A → ˜. â®â ¬®¤ã«ì, ¨ íâ® ®ç¥−ì ¢ ¦−® ¯®¤ç¥àª−ãâì, § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  ª â¥£®à¨¨ M A-¬®¤ã«¥© (á¬. ¯. 11.42) ¨ − §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬 ®¡ê¥ªâ®¬ ¤«ï äã−ªâ®à  D ¢ í⮩ ª â¥£®à¨¨. “¯à ¦−¥−¨¥. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥à ª â¥£®à¨¨ C ∞(M)-¬®¤ã«¥©, ¢ ª®â®à®© äã−ªâ®à D −¥¯à¥¤áâ ¢¨¬, â. ¥. −¥ ¤®¯ã᪠¥â ã−¨¢¥àá «ì−®£® ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï. ‚ ª â¥£®à¨¨ ¢á¥å A-¬®¤ã«¥© − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®© K- «£¥¡à®© A äã−ªâ®à D ¯à¥¤áâ ¢¨¬. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ã−¨¢¥àá «ì−®¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥ ®¡®§− ç¨¬ dalg : A → ˜alg(A). „®ª § â¥«ìá⢮ ¥£® áãé¥á⢮¢ −¨ï | ⨯¨ç−®¥ ⥮à¥â¨ª®ª â¥£®à−®¥ à áá㦤¥−¨¥. ˆ¬¥−−®, à áᬮâਬ ᢮¡®¤−ë© ¯®à®¦¤¥−−ë© ¢á¥¢®§¬®¦−묨 ᨬ¢®« ¬¨ da, A-¬®¤ã«ì ˜, 0 | ¥£® ¯®¤¬®¤ã«ì, ¯®à®¦¤¥−−ë© ¢á¥¢®§¬®¦a ∈ A. ãáâì ˜ −묨 í«¥¬¥−â ¬¨ ¢¨¤  d(ka) − k da,

− bda, d(ab) − adb

k ∈ K, a, b ∈ A.

’®£¤  ˜ 0 ˜alg (A) = ˜/

mod ˜ 0, ¨ dalg a = da

a ∈ A.

…᫨ A = C ∞ (M), â® ˜alg (A) = ˜1 (M).  ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ M = R, â® dalg ex − ex dalg x = 0. Œ®¦−®, ®¤− ª®, ¤®ª § âì, çâ® ˜1(M) ï¥âáï £¥®¬¥âਧ æ¨¥© ¬®¤ã«ï ˜alg(A).

276

ƒ« ¢  11

− «®£¨ç−ë¥ ä ªâë ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ¤à㣨å äã−ªâ®à®¢ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï. „«ï äã−ªâ®à  Di¨ l ®−¨ ®¡á㦤 îâáï −¨¦¥. 11.45. ®¢¥¤¥−¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ä®à¬ ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ ¬−®£®®¡à §¨©. ãáâì F : M → N | −¥ª®â®à®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨©. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ª®¬¯®§¨æ¨ï d ◦ F ∗ : C ∞ (N) → ˜1 (M) ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥¬  «£¥¡àë C ∞ (N) ¢ C ∞ (N)-¬®¤ã«¥ ˜1 (M).  ¯®¬−¨¬, çâ® áâàãªâãà  C ∞ (N)-¬®¤ã«ï ¢ ˜1(M) ®¯à¥¤¥«¥−  ã¬−®¦¥−¨¥¬ (f, ω) → F ∗(f)ω,

f ∈ C ∞ (N), ω ∈ ˜1(M).

“¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ®â−®á¨â¥«ì−® â ª ¢¢¥¤¥−−®£® ã¬−®¦¥−¨ï ˜1(M) ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ C ∞ (N)-¬®¤ã«¥¬. ®í⮬ã ᮣ« á−® ⥮६¥ 11.43 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ C ∞(N)-¬®¤ã«¥© hd◦F ∗ : ˜1 (N) → ˜1 (M), çâ® hd◦F ∗ ◦ d = d ◦ F ∗. „«ï ªà âª®á⨠¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì hd◦F ∗ â ª¦¥ ç¥à¥§ F ∗. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥−® R-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ F ∗ : ˜1(N) → ˜1(M), ®¡« ¤ î饥 á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨: (i) F ∗ ◦ d = d ◦ F ∗; (ii) F ∗(fω) = F ∗(f)F ∗(ω), ¥á«¨ f ∈ C ∞ (N), ω ∈ ˜1 (N). ‘®£« á−® (i) ¨ (ii)   F ∗(ω) = F ∗(fi )dF ∗(gi ), ¥á«¨ ω = fi dgi . i

i

“¯à ¦−¥−¨ï. ®ª ¦¨â¥, çâ® G F 1. G∗ ◦ F ∗ = (F ◦ G)∗ , ¥á«¨ L → M → N; 2. (F ∗)−1 = (F −1 )∗ ; 3. F ∗(ω)z (ξ) = ωF (z) (dz F (ξ)), ¨«¨, çâ® íª¢¨¢ «¥−â−®, F ∗(ω)z = (dz F )∗(ωF (z) ), £¤¥ z ∈ M ¨ ω ∈ ˜1(N).

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

277

11.46. «£¥¡àë ¤¦¥â®¢ J l (M). ’¥¯¥àì ¬ë ¢¥à−¥¬áï ª á«ãç î A = C ∞ (M) ¨ ¯®  − «®£¨¨ á ¤¨ää¥à¥−樠«ì−묨 1-ä®à¬ ¬¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï ª ¦¤®£® − âãà «ì−®£® l C ∞ (M)-¬®¤ã«ì J l (M) ª ª ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï πJ l : J l M → M (á¬. ¯à¨¬¥à IX ¯. 10.11). «¥¬¥−âë í⮣® ¬®¤ã«ï − §ë¢ îâáï l-¤¦¥â ¬¨ −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M. ‘®£« á−® ¯. 9.65 ¢á类© äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞ (M) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¥ç¥−¨¥ sjl (f ) : M → J lM, z → [f]lz . ‘¥ç¥−¨ï â ª®£® த  − §ë¢ îâáï l-¤¦¥â ¬¨ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨©. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ®¯¥à æ¨ï ã¬−®¦¥−¨ï ¢  «£¥¡à¥ C ∞ (M) ¨−¤ãæ¨àã¥â áâàãªâãàã  «£¥¡àë ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ á«®¥¢ à áá«®¥−¨ï πJ l . „¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì z ∈ M, f, g ∈ C ∞ (M) ¨ h ∈ µl+1 z . ’®£¤  def l+1 l fg = f(g + h) mod µz . ®í⮬ã ä®à¬ã«  [f]z · [g]lz = [fg]lz ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ í«¥¬¥−⮢ á«®ï Jz1M. â® ã¬−®¦¥−¨¥ ¨−¤ãæ¨àã¥â ¢ J l (M) = •(πJ l ) áâàãªâãàã C ∞ (M)- «£¥¡àë.  «¨ç¨¥ ã¬−®¦¥−¨ï ¯®§¢®«ï¥â, ¢ ç áâ−®áâ¨, ¤ âì ¡®«¥¥ ¯à®áâãî ¨ − £«ï¤−ãî ¨−â¥à¯à¥â æ¨î § ¯¨á¨ ¤¦¥â®¢ ¢ ª®®à¤¨− â å. ®«®¦¨¬ δxi = jl (xi ) − xi jl (1) ¨ δ σ = δxi1 · . . . · δxik , ¥á«¨ σ = (i1, . . . , ik ), 0 < |σ|  l. ®«®¦¨¬ â ª¦¥ δx∅ = jl (1). ’®£¤  á¥ç¥−¨ï δ σ , σ|  l, ®¡à §ãîâ ¡ §¨á à áá«®¥−¨ï πJ l − ¤ U. â® áࠧ㠦¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® l-¤¦¥âë ¯®«¨−®¬®¢ (x − z)σ , σ|  l, ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ Jzl M. ˆâ ª, ¢á直© ¤¦¥â ¯®à浪  l −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M ¢ ᯥ樠«ì−®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨− â, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å «®ª «ì−®© ª à⥠(U, x), ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á −  ¢ ¢¨¤¥ |σ|
l ασ δxσ . 11.47. «£¥¡àë ¤¦¥â®¢ J l (M) ª ª ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ®¡ê¥ªâë. ® ®â−®è¥−¨î ª ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à ¬ −   «£¥¡à¥ C ∞ (M)  «£¥¡àë ¤¦¥â®¢ J l (M) ¨£à îâ ஫ì,  − «®£¨ç−ãî ஫¨ ¬®¤ã«ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ä®à¬ ˜1 (M) ¯® ®â−®è¥−¨î ª ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨ï¬. ‘奬  à áá㦤¥−¨©, ¨á¯®«ì§ã¥¬ ï ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ í⮣® ä ªâ , ¯®ç⨠¤®á«®¢−® ¯®¢â®àï¥â ¨á¯®«ì§®¢ −−ãî − ¬¨ ¢ ¯. 11.41.

278

ƒ« ¢  11

‡ ¡ë¢ ï ® ⮬, çâ® ¬®¤ã«ì J l (M) ®¯à¥¤¥«¥− − ¬¨ ª ª ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨© à áá«®¥−¨ï J l M, ¨ à áᬠâਢ ï ¥£® í«¥¬¥−âë á ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥−¨ï, ¡ã¤¥¬ ®¡®§− ç âì ¤¦¥â äã−ªæ¨¨ f ∈ C ∞ (M) ç¥à¥§ jl (f). 11.48. ’¥®à¥¬ . ‘ãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ª®−¥ç−ë© − ¡®à äã−ªæ¨© f1 , . . . , fm ∈ C ∞ (M), çâ® l-¤¦¥âë jl (f1), . . . , jl (fm ) ¯®à®¦¤ îâ C ∞ (M)-¬®¤ã«ì J l (M).
…᫨ M = Rk , â® ¢ ª ç¥á⢥ â ª¨å äã−ªæ¨© ¬®¦−® ¢§ïâì ¢á¥ ¬®−®¬ë ¢¨¤  xσ , |σ|  l, £¤¥ x | áâ −¤ àâ− ï ¤¥ª à⮢  ª àâ  ¢ Rk . ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ à áᬮâਬ ¤«ï ¯®¤å®¤ï饣® k ª ª®¥-−¨¡ã¤ì ¯®£à㦥−¨¥ F : M → Rk (⥮६  “¨â−¨). ’®£¤  á¨á⥬  äã−ªæ¨© F ∗(xσ ), |σ|  l, ®¡« ¤ ¥â âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬. „¥©á⢨⥫ì−®, ¢¢¨¤ã á«¥¤á⢨ï 11.28 ¤®áâ â®ç−® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ M l-¤¦¥âë [F ∗(xσ )]lz ¯®à®¦¤ îâ Jzl M. ® ¯®áª®«ìªã F | ¯®£à㦥−¨¥, ¤¨ää¥à¥−樠« dz F ¨−ꥪ⨢¥−, â ª çâ® (dz F )∗ | áîàꥪæ¨ï. ®í⮬ã á।¨ ¤¨ää¥à¥−樠«®¢ dz F ∗ (xi), i = 1, . . . , k, − ©¤¥âáï n = dim M −¥§ ¢¨á¨¬ëå, ᪠¦¥¬ dz F ∗(x1), . . . , dz F ∗(xn). ®í⮬ã äã−ªæ¨¨ F ∗ (x1), . . . , F ∗(xn ) ¡ã¤ãâ ®¡à §®¢ë¢ âì á¨á⥬㠫®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â ¢¡«¨§¨ â®çª¨ z. Š ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤á⢨¥ 2.9 ¨§ ®¡®¡é¥−−®© «¥¬¬ë ¤ ¬ à , ¨å ¬®−®¬ë á⥯¥−¨  l ¯®à®¦¤ îâ Jzl M.  11.49. ‘«¥¤á⢨¥. ‘ãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ª®−¥ç−ë© − ¡®à äã−ªæ¨© f1 , . . . , fm ¨§ C ∞ (M), çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ë df1 , . . . , dfm ¯®à®¦¤ îâ C ∞ (M)-¬®¤ã«ì ˜1 (M).
 áᬮâਬ äã−ªæ¨¨ â ª¨¥ f1 , . . . , fm , çâ® ¨å ¤¨ää¥à¥−樠«ë ¯®à®¦¤ îâ J 1 (M). ’®£¤  ¨å ¤¨ää¥à¥−樠«ë ¯®à®¦¤ îâ ˜1 (M). „¥©á⢨⥫ì−®, ª −®−¨ç¥áª®¥ ¯àאַ¥ à §«®¦¥−¨¥ Jz1M = R ⊕ T ∗M (á¬. á«¥¤á⢨¥ 9.27) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® à áá«®¥−¨¥ πJ 1 ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© “¨â−¨ à áá«®¥−¨ï IM : M × R → M ¨ πT ∗ . ®í⮬ã, ¯¥à¥å®¤ï ª ¬®¤ã«ï¬ ¨å á¥ç¥−¨©, ¬ë ¢¨¤¨¬, ᮣ« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 11.23, çâ® J 1(M) = C ∞ (M) ⊕ ˜1 (M).

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

279

‘«¥¤®¢ â¥«ì−® ®¡à §ë í«¥¬¥−⮢, ¯®à®¦¤ îé¨å J 1 (M), ¯à¨ ¯à®¥ªæ¨¨ J 1 (M) → ˜1(M) ¯®à®¦¤ îâ ˜1 (M). áâ «®áì § ¬¥â¨âì, çâ® ®¡à §®¬ j1(f) ¯à¨ í⮩ ¯à®¥ªæ¨¨ ï¥âáï df.  11.50. ।«®¦¥−¨¥. R-£®¬®¬®à䨧¬ jl : C ∞ (M) → J l (M), f → jl (f), ï¥âáï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪  l, â. ¥. 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥−¨î 9.57.
 ¬ −ã¦−® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡ëå äã−ªæ¨© g0 , . . . , gl ¢ë ¯®«−¥−® à ¢¥−á⢮ δg0 ◦ . . . ◦ δgl (jl ) = 0. ãáâì θ ∈ J l (M) ¨ – = θ · jl : C ∞ (M) → J l (M),

–(f) = θ · jl (f).

’®£¤  δg (–)(f) = θ · jl (gf) − gθ · jl (f) = θ · jl (g) · jl (f) − θ · gjl (f)   = jl (g) − gjl (1) · θ · jl (f) = δl(g) · θ · jl (f) = δl (g) · –(f), £¤¥ δl(g) = [jl (g) − gjl (1)]. ®í⮬ã    δg0 ◦ . . . ◦ δgl (jl ) (f) = δl(g0 ) · . . . · δl(gl ) · jl (f). ˆáª®¬ë© १ã«ìâ â ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® δl(g0 ) · . . . · δl(gl ) = 0. „«ï ¥£® ¤®ª § â¥«ìá⢠ § ¬¥â¨¬, çâ® ®¡à § í«¥¬¥−â  δl(g) ¯à¨ ¥áâ¥á⢥−−®© ¯à®¥ªæ¨¨ J l (M) → J 0 (M) = C ∞ (M),

jl (f) → j0 (f),

à ¢¥− δ0(g) = 0. â® ®§− ç ¥â, çâ® §− ç¥−¨¥ á¥ç¥−¨ï δl(g) ¢ «î¡®© â®çª¥ z ∈ M ¯à¨− ¤«¥¦¨â µz Jzl M = µz /µl+1 z . ®í⮬ã l l+1 l+1 δl (g0 ) · . . . · δl (gl ) ∈ µl+1 z Jz M = µz /µz .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, δl (g0 ) · . . . · δl(gl ) | −ã«¥¢®¥ á¥ç¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï πJ l , â. ¥. −ã«¥¢®© í«¥¬¥−â ¬®¤ã«ï J l (M).  ¯¥à â®à jl : C ∞ (M) → J l (M) − §ë¢ ¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   l −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M. ‘¬ëá« á«®¢  úã−¨¢¥àá «ì−ë©û áâ −¥â ïá¥− ¨§ ¤ «ì−¥©è¥£®.

280

ƒ« ¢  11

…᫨ P | £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© C ∞ (M)-¬®¤ã«ì, â® ®¯à¥¤¥«¥−® ¥áâ¥á⢥−−®¥ ᯠਢ −¨¥ (Di¨ l P, J l (M)) → P. „¥©á⢨⥫ì−®, ¯ãáâì – ∈ Di¨ l P , — ∈ J l (M), z ∈ M ¨ f ∈ C ∞ (M) | â ª ï £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï, çâ® —(z) = [f]lz . ®«®¦¨¬ (–, —)(z) = –(f)(z) ∈ Pz . ‚ ᨫã á«¥¤á⢨ï 9.64 (–, —)(z) −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  äã−ªæ¨¨ f. “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, ¯®¤®¡−® ⮬㠪 ª í⮠ᤥ« −® ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë 11.43, ç⮠ᮢ®ªã¯−®áâì –(f)(z) ∈ Pz ®¯à¥¤¥«ï¥â í«¥¬¥−â (–, —) ∈ P . ந§¢®«ì−®¬ã ®¯¥à â®àã – ∈ Di¨ l P ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì £®¬®¬®à䨧¬ C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© h– : J l (M) → P , ¯®«®¦¨¢ h– (—) = (–, —). Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ᯠਢ −¨ï, (–, jl(f)) = –(f). ®í⮬ã, ®ç¥¢¨¤−®, jl ◦ h– = –. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¥á«¨ h : J l (M) → P | ¯à®¨§¢®«ì−ë© C ∞ (M)-£®¬®¬®à䨧¬, â® ª®¬¯®§¨æ¨ï –h = h ◦ jl : C ∞(M) → P ¡ã¤¥â, ᮣ« á−® 9.59, 9.67, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   l. ਠí⮬, ®ç¥¢¨¤−®, h–h = h. ˆâ ª, − ¬¨ ¤®ª § −® á«¥¤ãî饥 ¢ ¦−®¥ 11.51. ।«®¦¥−¨¥. „«ï «î¡®£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® C ∞ (M)¬®¤ã«ï P ᮮ⢥âá⢨¥ HomC ∞ (M )(J l (M), P )  h → h ◦ jl ∈ Di¨ l P ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥áâ¥á⢥−−ë© ¨§®¬®à䨧¬ C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© HomC ∞ (M )(J l (M), P ) ∼ = Di¨ l P . ˆ− ç¥ £®¢®àï, äã−ªâ®à Di¨ l ¢ ª â¥£®à¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞(M)-¬®¤ã«¥© ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© C ∞ (M)-¬®¤ã«ì J l (M) ï¥âáï ¤«ï −¥£® ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬 ®¡ê¥ªâ®¬.  â® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ®¡êïá−ï¥â, ¯®ç¥¬ã ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à jl : C ∞ (M) → J l (M) − §ë¢ ¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬.

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

281

‡ ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì, ¯® ⥬ ¦¥ ¯à¨ç¨− ¬, çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ä®à¬, ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨¥ ® £¥®¬¥âà¨ç−®á⨠P ¢¥á쬠 ¯® áãé¥áâ¢ã ¨ ¡¥§ −¥£® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 11.51 −¥ ¢¥à−®. ‡− ç¥−¨¥ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.51 á®áâ®¨â ¥é¥ ¨ ¢ ⮬, çâ® ®−® 㪠§ë¢ ¥â, ª ª ¯à ¢¨«ì−® ¢¢¥á⨠¯®−ï⨥ ¤¦¥â  ¢ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ ¨áç¨á«¥−¨¨ − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®© K- «£¥¡à®© A. „«ï í⮣®, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, − ¤® ¢ë¡à âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ª â¥£®à¨î A-¬®¤ã«¥©, ᪠¦¥¬ M (á¬. ¯. 11.42) ¨ § â¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ¬®¤ã«ì l-¤¦¥â®¢ J l () MA “¯à ¦−¥−¨¥. ¯¨è¨â¥ ¬®¤ã«¨ ¤¦¥â®¢ −  ªà¥á⥠J l (K). 11.52. ‡ ¬¥−  ª®«¥æ. „«ï ⮣® çâ®¡ë ¯¥à¥¢¥á⨠−   «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ï§ëª ª®−áâàãªæ¨î ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®£® à áá«®¥−¨ï, −¥®¡å®¤¨¬® ¯®−ïâì, ª ª¨¥ á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã ¬®¤ã«ï¬¨ − ¤ ¤¢ã¬ï à §«¨ç−묨  «£¥¡à ¬¨ ¨−¤ãæ¨àãîâáï −¥ª®â®àë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã −¨¬¨. ãáâì ϕ : A → B | £®¬®¬®à䨧¬ ª®«¥æ ¨ P | ¬®¤ã«ì − ¤ A. ƒ®¬®¬®à䨧¬ ϕ ¯®§¢®«ï¥â à áᬠâਢ âì B ª ª A-¬®¤ã«ì á ã¬−®¦¥−¨¥¬ a · b = ϕ(a)b ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ®¯à¥¤¥«¨âì A-¬®¤ã«ì ϕ∗(P ) = B ⊗A P . ®« £ ï b1 (b2 ⊗ p) = b1b2 ⊗ p, ¬ë ¯à¥¢à é ¥¬ ϕ∗ (P ) ¢ B-¬®¤ã«ì. ‘®¯®áâ ¢«¥−¨¥ P → ϕ∗ (P ) «¥£ª® ¤®áâà ¨¢ ¥âáï ¤® äã−ªâ®à  ¨§ Mod A ¢ Mod B, − §ë¢ ¥¬®£® äã−ªâ®à®¬ § ¬¥−ë ª®«¥æ. ।«®¦¥−¨¥. ”ã−ªâ®à § ¬¥−ë ª®«¥æ á®åà −ï¥â ¯à®¥ªâ¨¢−®áâì.
®ª ¦¥¬, çâ® ¨§ ¯à®¥ªâ¨¢−®á⨠A-¬®¤ã«ï P á«¥¤ã¥â ¯à®¥ªâ¨¢−®áâì B-¬®¤ã«ï ϕ∗ (P ), ¯®«ì§ãïáì ᢮©á⢮¬ (£) ¨§ ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.15. „«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® B-¬®¤ã«ï Q ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨§®¬®à䨧¬  ¡¥«¥¢ëå £à㯯 HomA (P ⊗A B, Q) ∼ = HomA (P, HomA (B, Q)).

(11.4)

’®ç−¥¥, í«¥¬¥−âë γ ∈ HomA (P ⊗A B, Q) ¨ δ ∈ HomA(P, HomA(B, Q)),

282

ƒ« ¢  11

ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ í⮬ ¨§®¬®à䨧¬¥, á¢ï§ −ë á®®â−®è¥−¨ï¬¨ γ(p ⊗ b) = δ(p)(b),

p ∈ P, b ∈ B.

…᫨, ¢ ç áâ−®áâ¨, γ ∈ HomB (P ⊗A B, Q), â® ¤«ï «î¡ëå p ∈ P , b1, b2 ∈ B ¨¬¥¥¬ γ(p ⊗ b1 b2) = b1γ(p ⊗ b2) ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, δ(p)(b1b2 ) = b1 · δ(p)(b2), â. ¥. δ(p) ∈ HomB (B, Q) ∼ = Q. â® à áá㦤¥−¨¥ ¯à®å®¤¨â ¨ ¢ ®¡à â−ãî áâ®à®−ã. ‡− ç¨â, ¨§®¬®à䨧¬ (11.4) ¨−¤ãæ¨àã¥â ¨§®¬®à䨧¬ HomB (P ⊗A B, Q) ∼ = HomA (P, Q). â®â ¨§®¬®à䨧¬ ¥áâ¥á⢥− ¯® Q, â. ¥. ¤®áâà ¨¢ ¥âáï ¤® ¨§®¬®à䨧¬  äã−ªâ®à®¢ −  ª â¥£®à¨¨ B-¬®¤ã«¥© á® §− ç¥−¨ï¬¨ ¢ ª â¥£®à¨¨  ¡¥«¥¢ëå £à㯯 HomB (P ⊗A B, ·) ∼ = HomA (P, ·), ¨§ ª®â®à®£® ¯® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 11.15 á«¥¤ã¥â ¯à®¥ªâ¨¢−®áâì B¬®¤ã«ï P ⊗A B.  11.53. «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¯ à äà § ¨−¤ãæ¨à®¢ −−ëå à áá«®¥−¨©. “áâ −®¢¨¬ ⥯¥àì  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¯à®æ¥¤ãàë ¨−¤ãæ¨à®¢ −¨ï ¤«ï ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©. ãáâì ϕ : N → M | £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨©,
= ϕ∗ : C ∞ (M) → C ∞ (N) | ᮮ⢥âáâ¢ãî騩£®¬®¬®à䨧¬ ª®«¥æ äã−ªæ¨© ¨
∗ | äã−ªâ®à § ¬¥−ë ª®«¥æ. ‘®£« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 11.52 äã−ªâ®à
∗ á®åà −ï¥â ᢮©á⢮ ¯à®¥ªâ¨¢−®áâ¨; ªà®¬¥ ⮣®, ®−, ®ç¥¢¨¤−®, á®åà −ï¥â ᢮©á⢮ ª®−¥ç−®© ¯®à®¦¤¥−−®áâ¨. ®í⮬㠬®¦−® à áᬮâà¥âì ®£à −¨ç¥−¨¥
∗ −  ¯®¤ª â¥£®à¨î ¯à®¥ªâ¨¢−ëå C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© ª®−¥ç−®£® ⨯ 
∗ : Modpf C ∞ (M) → Modpf C ∞ (N).

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

283

11.54. ’¥®à¥¬ . „«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π − ¤ M ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨§®¬®à䨧¬ C ∞ (N)-¬®¤ã«¥© •(ϕ∗ (π)) ∼ =
∗ (•(π)). â®â ¨§®¬®à䨧¬ ¬®¦−® ¢ë¡à âì ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ¯® π, â ª çâ® äã−ªâ®àë • ◦ ϕ∗ ¨
∗ ◦ • ¨§®¬®àä−ë, ¨ ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ª®¬¬ãâ â¨¢−  á«¥¤ãîé ï äã−ªâ®à− ï ¤¨ £à ¬¬ : VBM • 

ϕ∗

∞

Modpf C (M)


∗

/

/

VBN 

•

Modpf C ∞ (N)


¨¦¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ááë« âìáï −  ¯®¤−ï⨥ á¥ç¥−¨© ϕ,  ®¯à¥¤¥«¥−∞ ∞ −®¥ ¢ ¯. 10.18. ãáâì A = C (M), B = C (N). ⮡ࠦ¥−¨¥ B × •(π) → •(ϕ∗ (π)), ª®â®à®¥ ¯ à¥ (f, s) áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á¥ç¥−¨¥ f · ϕ(s),  £®¬®¬®àä−® − ¤ A ¯® ª ¦¤®¬ã  à£ã¬¥−âã (§¤¥áì B-¬®¤ã«ì •(ϕ∗ (π)) à áᬠâਢ ¥âáï ª ª A-¬®¤ã«ì: ã¬−®¦¥−¨¥ ¢¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî £®¬®¬®à䨧¬  ª®«¥æ ϕ). â® ®â®¡à ¦¥−¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, A-£®¬®¬®à䨧¬ ν : B ⊗A •(π) → •(ϕ∗ (π)). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ν ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ −¥ ⮫쪮 − ¤ A, −® ¨ − ¤ B. „¥©á⢨⥫ì−®, ¤«ï f, g ∈ B ¨ s ∈ •(π) ¢ë¯®«−ï¥âáï à ¢¥−á⢮ ν(fg ⊗ s) = fg ϕ(s)  = fν(g ⊗ s), £¤¥ ϕ | ¯®¤−ï⨥ á¥ç¥−¨©, ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ ¢ ¯. 10.18. „®ª ¦¥¬, çâ® ν | ¨§®¬®à䨧¬. Œ®¤ã«ì B ⊗A •(π) ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥− ¨ ¯à®¥ªâ¨¢¥−, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¯® ⥮६¥ 11.32 ®− ¨§®¬®àä¥− ¬®¤ã«î á¥ç¥−¨© −¥ª®â®à®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ N ¨ ª −¥¬ã ¯à¨¬¥−¨¬  «¥¬¬  11.30. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï í⨬ ¨ à áᬮâਬ §− ç¥−¨¥ £®¬®¬®à䨧¬  ν ¢ −¥ª®â®à®© â®çª¥ w ∈ N νw : B ⊗A •(π)/µw ⊗A •(π) → (ϕ∗ (π))w ∼ = πϕ(w).

284

ƒ« ¢  11

“ç¨âë¢ ï ®â®¦¤¥á⢫¥−¨¥ (ϕ∗(π))w á πϕ(w) ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥−á⢮ νw ([g ⊗ s]) = g(w)s(ϕ(w)). ⮡ࠦ¥−¨¥ νw í¯¨¬®àä−®, ¨¡® ¤«ï «î¡®£® z ∈ πϕ(w) ¬®¦−® ¯® «¥¬¬¥ 11.8( ) − ©â¨ â ª®¥ s, çâ® s(ϕ(w) = z, ¨ ⮣¤  ¬ë ¯®«ã稬 νw ([1 ⊗ s]) = z.  ஢¥à¨¬ ¬®−®¬®àä−®áâì i gi ⊗ si | â ª®©  νw . ãáâì g (w)s (ϕ(w)) = 0. ¡®§− ç¨¬ í«¥¬¥−â B ⊗A •(π), çâ® i i i gi (w) = βi ∈ R ¨ ¯®«®¦¨¬ g i = g i − βi. ’®£¤  ¯à¥¤ë¤ã饥 à ¢¥−á⢮ ¬®¦−® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ i βi si ∈ µϕ(w) •(π), â. ¥.   βisi = fj tj , £¤¥ fj ∈ µϕ(w) , i

j

ti ∈ •(π). ® ®¯à¥¤¥«¥−¨î A-¬®¤ã«ì−®© áâàãªâãàë ¢ B g ⊗ ft = ϕ∗(f)g ⊗ t ¤«ï «î¡ëå g ∈ B, f ∈ A, t ∈ •(π), ¯®í⮬㠬®¦−® ¯à®¤¥« âì á«¥¤ãî騥 ⮦¤¥á⢥−−ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ −¨ï: 

gi ⊗ si =

i



g i ⊗ si +

i

=



 i

g i ⊗ si + 1 ⊗

i

=

  i



bi si

i

g i ⊗ si + 1 ⊗

i

=

βi ⊗ si

g i ⊗ si +





fj tj

j

ϕ∗(fj ) ⊗ tj ∈ µw ⊗ •(π)

j

(¯®á«¥¤−¥¥ á¯à ¢¥¤«¨¢®, ¯®áª®«ìªã ϕ∗ (fj ) ∈ ϕ∗ (µϕ(w) ) ⊂ µw ). ˆâ ª, νw | ¨§®¬®à䨧¬ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ w ∈ N, ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ν | ¨§®¬®à䨧¬ B-¬®¤ã«¥©. …£® ¥áâ¥á⢥−−®áâì ¯® π ®ç¥¢¨¤− . ’¥®à¥¬  ¤®ª § − . 

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

285

“¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® C ∞ (N)-¬®¤ã«ì Dϕ (M) ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ : N → M (á¬. ¯. 9.47) ¥áâ¥á⢥−−® ¨§®¬®àä¥− ¬®¤ã«î •(ϕ∗ (πT ∗ )). ’¥¯¥àì 㬥áâ−® á¯à®á¨âì, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®¤ê¥¬ á¥ç¥−¨© −   «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ ï§ëª¥, â. ¥. ª ª ®â®¡à ¦¥−¨¥ •(π) → B ⊗A •(π)? ‹¥£ª® ãᬮâà¥âì ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨©, çâ® ¯®¤ê¥¬ á¥ç¥−¨© ¥áâì ®â®¡à ¦¥−¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ¢á直© í«¥¬¥−â s ∈ •(π) ¢ 1 ⊗ s. 11.55. ‚¥ªâ®à−ë¥ ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¬®¤ã«¨. ãáâì M | £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥ ¨ F = C ∞ (M). ’¥®à¥¬  11.32 ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¤ âì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¯®−ïâ¨î ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−®£® ¯à®¥ªâ¨¢−®£® F -¬®¤ã«ï. ‘¥©ç á ¬ë, ¯à®¤®«¦ ï ⥬㠯¯. 11.11{11.12, å®â¨¬ ¢ëïá−¨âì, − áª®«ìª® ¯®¤¤ îâáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¨á⮫ª®¢ −¨î ¯à®¨§¢®«ì−ë¥ ¬®¤ã«¨ − ¤ F . ‚ ¯. 11.11 ¯à®¨§¢®«ì−®¬ã ¬®¤ã«î P − ¤ ¯à®¨§¢®«ì−®© ª®¬¬ãâ â¨¢−®© K- «£¥¡à®© A ¡ë«® ᮯ®áâ ¢«¥−® ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨¥ πP . ਠí⮬ ¢ ª ç¥á⢥  «£¥¡àë äã−ªæ¨© F (|P |) −  â®â «ì−®¬ ¯à®áâà −á⢥ à áá«®¥−¨ï à áᬠâਢ « áì ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï  «£¥¡à  S(P ∗ ), ª®â®à ï ¨ § ¤ ¢ «  −  −¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ⮯®«®£¨î ‡ à¨á᪮£®. ¤− ª® ¢ á«ãç ¥ A = C ∞ (M), ¥á«¨ ¬ë −¥ å®â¨¬ ã©â¨ ᫨誮¬ ¤ «¥ª® ®â ª â¥£®à¨¨ £« ¤ª¨å ¬−®£®®¡à §¨©, ¥áâ¥á⢥−−® à áᬮâà¥âì £« ¤ª®¥ § ¬ëª −¨¥ F (|P |) = S(P ∗ ) ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡àë S(P ∗ ) | â ª ¦¥, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« −® ¢ á«ãç ¥ ª®ª á â¥«ì−®£® à áá«®¥−¨ï ¨  «£¥¡àë ᨬ¢®«®¢. ‚®§−¨ª ¥â ¯à¥¤¯®«®¦¥−¨¥, çâ® à áᬮâॢ, ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−®£®, −® −¥ ®¡ï§ â¥«ì−® ¯à®¥ªâ¨¢−®£® C ∞ (M)-¬®¤ã«ï P ¯ àã |P |, F (|P |), ¬ë ¯®«ã稬 £« ¤ª®¥ ¬−®¦¥á⢮ (á¬. ¯. 7.13), −® ®¡á㦤¥−¨¥ í⮣® −¥ ¢å®¤¨â ¢ − è¨ ¯« −ë. 11.56. “¯à ¦−¥−¨ï. 1. ®ª ¦¨â¥, çâ® ®¯à¥¤¥«¥−−ë¥ ¢ ¯. 11.11 ®â®¡à ¦¥−¨ï πP : |P | → |A| ¨ sp : |A| → |P |, p ∈ P , −¥¯à¥àë¢−ë ¢ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£®, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩  «£¥¡à¥ äã−ªæ¨© S(P ∗ ).

286

ƒ« ¢  11

2. ãáâì P = D(C ∞ (K)) | ¬®¤ã«ì ¢¥ªâ®à−ëå ¯®«¥© −  ªà¥á⥠(á¬. ã¯à ¦−¥−¨ï 7.14, 9.35, 9.45, 9.78).  ©¤¨â¥ |P |. ’¥¯¥àì ¯®¤ −¥¯à¥àë¢−묨 á¥ç¥−¨ï¬¨ ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï πP ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®−¨¬ âì á¥ç¥−¨ï, −¥¯à¥àë¢−ë¥ ¢ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£®, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¬ëª −¨î F (|P |) = S(P ∗ ) ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡àë. Œ−®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å −¥¯à¥àë¢−ëå á¥ç¥−¨© ®¡à §ã¥â ¬®¤ã«ì − ¤ ª®«ì殬 C ∞ (M), ª®â®àë© ¬ë ®¡®§− ç¨¬ ç¥à¥§ •c (π). ‘®®â¢¥âá⢨¥ p → sp ®¯à¥¤¥«ï¥â £®¬®¬®à䨧¬ C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© S : P → •c (π). ‚ ᨫã ⥮६ë 11.32 ¤«ï ¯à®¥ªâ¨¢−®£® ª®−¥ç−® ¯®à®¦¤¥−−®£® ¬®¤ã«ï P íâ®â £®¬®¬®à䨧¬ ï¥âáï ¬®−®¬®à䨧¬®¬ ¨ ¥£® ®¡à § ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¤¬®¤ã«¥¬ £« ¤ª¨å á¥ç¥−¨© ¢ •c (π). ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áᬮâà¥−¨î ¯à¨¬¥à®¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨ −¥£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬®¤ã«¥© − ¤  «£¥¡à ¬¨ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨©. 11.57. ਬ¥àë. . ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ −¥¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨. I. ƒ« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ ¬−®£®®¡à §¨© ϕ : M → N ¯®à®¦¤ ¥â £®¬®¬®à䨧¬ ª®«¥æ £« ¤ª¨å äã−ªæ¨© −  −¨å ϕ∗ : B → A ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì−®, ¯à¥¢à é ¥â A ¢ B-¬®¤ã«ì. à®áâ ï ¯à®¢¥àª  ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íâ®â ¬®¤ã«ì ¢á¥£¤  £¥®¬¥âà¨ç¥−. ¤− ª® ¯à®¥ªâ¨¢−ë¬ ®− ï¥âáï «¨èì ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì−ëå á«ãç ïå (− ¯à¨¬¥à, ª®£¤  ϕ | ¤¨ä䥮¬®à䨧¬). à®á⥩訩 ¯à¨¬¥à £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® −¥¯à®¥ªâ¨¢−®£® ¬®¤ã«ï â ª®£® á®àâ  ¬®¦−® ¯®«ãç¨âì, ¢§ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ M ¬−®£®®¡à §¨¥, á®áâ®ï饥 ¨§ ®¤−®© â®çª¨. ‡ ¤ ç . ¯¨á âì ¢á¥ £« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï ϕ, ¤«ï ª®â®àëå B-¬®¤ã«ì A ¯à®¥ªâ¨¢¥−. II. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¨¤¥ « µa «î¡®© â®çª¨ a ∈ M, à áᬠâਢ ¥¬ë© ª ª C ∞ (M)-¬®¤ã«ì, ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®− ¯à®¥ªâ¨¢¥− ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  dim M = 1.

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

287

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, §− ç¥−¨¥ ¬®¤ã«ï µa ¢ â®çª¥ b ∈ M | íâ® ä ªâ®à¯à®áâà −á⢮ µa /µa µb . …£® à §¬¥à−®áâì  dim M, ¥á«¨ b = a, dim µa /µa µb = 1, ¥á«¨ b = a. (¥à¢ë© 䠪⠢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® µa /µ2a ¥áâì −¥ çâ® ¨−®¥, ª ª ª®ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ª ¬−®£®®¡à §¨î M ¢ â®çª¥ a (á¬. ¯. 9.27. ‚â®à®© «¥£ª® ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ «¥¬¬ë 2.11.) ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à §¬¥à−®áâì á«®ï ¢¥ªâ®à−®£® á«®¥−¨ï, ®â¢¥ç î饣® ¨¤¥ «ã µa , ¯®áâ®ï−−  ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  dim M = 1, ¨ −¥¯®áâ®ï−− , ¥á«¨ dim M > 1. ‚ ¯à¨à®¤¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢  à §«¨ç−ëå á¢ï§−ëå ®¤−®¬¥à−ëå ¬−®£®®¡à §¨ï ¡¥§ ªà ï: ¯àﬠï R1 ¨ ®ªàã¦−®áâì S 1. Š ª¨¥ ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ®â¢¥ç îâ ¬®¤ã«î µa ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ íâ¨å ¤¢ãå á«ãç ¥¢? ¥®¦¨¤ −−ë© −  ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ®â¢¥â § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬: ¤«ï ¯àאַ© íâ® âਢ¨ «ì−®¥ à áá«®¥−¨¥ IR1 ,   ¤«ï ®ªàã¦−®á⨠íâ® à áá«®¥−¨¥ ¢ ¢¨¤¥ «¨áâ  Œñ¡¨ãá , ®¯¨á −−®¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 11.6 (I). „®ª ¦¥¬ íâ®. ãáâì F = C ∞ (R1) ¨ a ∈ R1 | ¯à®¨§¢®«ì− ï â®çª . ˆ§ ¯. 2.10 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ®â®¡à ¦¥−¨¥ F → µa , ¯¥à¥¢®¤ï饥 ¢áïªãî äã−ªæ¨î f ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ (x − a)f, ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¬®¤ã«¥© F → µa . ®í⮬㠵a ∼ =F ∼ = •(IR1 ). ∞ 1 1 „«ï F = C (S ) ¨ a ∈ S íâ® à áá㦤¥−¨¥ −¥ ¯à®å®¤¨â, ¨¡® −  ®ªàã¦−®á⨠¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ « µa −¥ ï¥âáï £« ¢−ë¬ (−¥â £« ¤ª®© äã−ªæ¨¨, ª®â®à ï ®¡à é ¥âáï ¢ −ã«ì ஢−® ¢ ®¤−®© â®çª¥ ¨ ¨¬¥¥â ¢ −¥© −¥−ã«¥¢ãî ¯à®¨§¢®¤−ãî). ˆ§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã µa ¨ ¬®¤ã«¥¬ á¥ç¥−¨© −¥âਢ¨ «ì−®£® ®¤−®¬¥à−®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï π, ¯à®áâà −á⢮ ª®â®à®£® Eπ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© «¨áâ Œñ¡¨ãá , ¬®¦−® ¯®áâநâì â ª. ®áª®«ìªã á«®¨ à áá«®¥−¨ï Eπ áãâì ¯àï¬ë¥, −  ¬−®¦¥á⢥ á¥ç¥−¨© ¥áâì ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¥−−®¥ ã¬−®¦¥−¨¥. ‡ ä¨ªá¨à㥬 á¥ç¥−¨¥ f0 ∈ •(π), ¨¬¥î饥 ¯à®á⮩ −ã«ì ¢ â®çª¥ a ¨ −¥ ¨¬¥î饥 ¤à㣨å −ã«¥©. ’®£¤  ®â®¡à ¦¥−¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ¢áïªãî äã−ªæ¨î f ∈ •(π) ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥ f0 f, § ¤ ¥â ¨áª®¬ë© ¨§®¬®à䨧¬ •(π) → F .

288

ƒ« ¢  11

. ¥£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¬®¤ã«¨. III. C ∞(M)-¬®¤ã«ì ¤¦¥â®¢ ¯®à浪  l-th Jzl M = (á¬. ¯. 9.64) −¥ ï¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬, ¥á«¨ C ∞ (M)/µl+1 z l  1. à¨ç¨−  í⮣® ¢ ⮬, çâ®: (i) µz
· Jzl M = Jzl M, ¥á«¨ z  = z; (ii) µz · Jzl M = µz /µl+1 z . áâ ¢«ïï ¤®ª § â¥«ìá⢮ í⮣® ç¨â â¥«î ¬ë § ª«îç ¥¬ ®âá, çâ®  µz
· Jzl M = µz /µl+1 z . z
∈M

®á«¥¤−¨© ¬®¤ã«ì á®á⮨⠨§ ¢á¥å −¥¢¨¤¨¬ëå í«¥¬¥−⮢ Jzl M (á¬. 11.11) ¨ −¥ âਢ¨ «¥− ¯à¨ l  1.  ¯à®â¨¢, C ∞(M)-¬®¤ã«¨ Tz M = D(M)/µz D(M) (á¬. «¥¬¬ã 9.75) ¨ Tz∗M = ˜1 (M)/µz ˜1(M) ïîâáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ P | ®¤¨− ¨§ −¨å, â® µz
· P = P ¤«ï  z = z ¨ µz · P = 0 (¤®ª ¦¨â¥ íâ®) ¨ ¯®í⮬ã z
∈M µz
· P = 0. IV. ãáâì A = C ∞ (R) ¨ I | ¨¤¥ « ¢ A, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢á¥å äã−ªæ¨© á ª®¬¯ ªâ−ë¬ −®á¨â¥«¥¬. —¨â â¥«ì ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¦−¥−¨ï¬®¦¥â ¤®ª § âì, çâ® ¬®¤ã«ì P = A/I ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ P = x∈R µx P ¨, áâ «® ¡ëâì, ®â®¡à ¦¥−¨¥ S (á¬. ¯. 11.56) ¤«ï −¥£® ¥áâì ⮦¤¥á⢥−−ë© −ã«ì. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯®á«¥¤−¥¬ ¯à¨¬¥à¥ ¬®¤ã«ì P 楫¨ª®¬ á®á⮨⠨§ −¥¢¨¤¨¬ëå (−¥− ¡«î¤ ¥¬ëå) í«¥¬¥−⮢. 11.58. ‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ª ª ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï. ’¥¯¥àì ¬ë ¢ á®áâ®ï−¨¨ ¢ë¯®«−¨âì ¤ −−®¥ à −¥¥ ®¡¥é −¨¥ ¨ ®¡êïá−¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã  «£¥¡à ¨ç¥áª®© âࠪ⮢ª®© ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ª ª ¬®¤ã«ï ¨ âࠪ⮢ª®© ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï ª ª ¢«®¦¥−¨ï £« ¤ª¨å  «£¥¡à. ।«®¦¥−¨¥. «£¥¡à  äã−ªæ¨© −  â®â «ì−®¬ ¯à®áâà −á⢥ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï 𠨧®¬®àä−  £« ¤ª®¬ã § ¬ëª −¨î ¯®«−®© ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡àë ¬®¤ã«ï á¥ç¥−¨© •(π).
®áª®«ìªã ¬®¤ã«¨ á¥ç¥−¨© ¤ −−®£® à áá«®¥−¨ï π ¨ á®¯à殮−−®£® π ∗ ¨§®¬®àä−ë (á¬. § ¬¥ç −¨¥ ¢ ¯. 11.38), ¤®áâ â®ç−®

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

289

¯®áâநâì ¨§®¬®à䨧¬  «£¥¡àë C ∞(Eπ ) ¨ £« ¤ª®£® § ¬ëª −¨ï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©  «£¥¡àë ¬®¤ã«ï •(π ∗). ’ ª®© ¨§®¬®à䨧¬ áâநâáï ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢á类¥ á¥ç¥−¨¥ s ∈ •(π ∗ ) = S 1(•(π ∗ )) § ¤ ¥â «¨−¥©−ãî äã−ªæ¨î −  á«®ïå à áá«®¥−¨ï Eπ . «¥¬¥−âë S 2(•(π ∗ )) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ äã−ªæ¨ï¬ −  Eπ , ª¢ ¤à â¨ç−ë¬ −  á«®ïå, í«¥¬¥−âë S 3 (•(π ∗)) | äã−ªæ¨ï¬ −  Eπ , ªã¡¨ç−ë¬ −  á«®ïå, ¨ â. ¤. â®, ®ç¥¢¨¤−®, £« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨. ‚áî ᨬ¬¥âà¨ç¥áªãî  «£¥¡àã S(•(π ∗ )) ¬®¦−® à áᬠâਢ âì ª ª  «£¥¡àã äã−ªæ¨©, ¯®«¨−®¬¨ «ì−ëå −  á«®ïå à áá«®¥−¨ï Eπ .  ª®−áâàãªæ¨ï £« ¤ª®£® § ¬ëª −¨ï (á¬. ¯. 3.37) ¤®¯®«−¨â ¯®«¨−®¬¨ «ì−ë¥ äã−ªæ¨¨ ¤® ¬−®¦¥á⢠ ¢á¥å £« ¤ª¨å äã−ªæ¨©.  Œë § ¢¥à訬 íâã £« ¢ã, ¤®ª § ¢ íª¢¨¢ «¥−â−®áâì ¤¢ãå ®¯à¥¤¥«¥−¨© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à , áâ −¤ àâ−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® (á¬. ¯. 9.67) ¢ ª« áᥠ¯à®¥ªâ¨¢−ëå C ∞(M)-¬®¤ã«¥© ¨ ¯®áâந¢ ¤«ï äã−ªâ®à  Q → Di¨ l (P, Q), £¤¥ ¬®¤ã«ì P | ¯à®¥ªâ¨¢¥−, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ®¡ê¥ªâ ¢ ª â¥£®à¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥©. 11.59.  áá«®¥−¨ï ¤¦¥â®¢ J lP . ãáâì P | ¯à®¥ªâ¨¢−ë© C ∞ (M)-¬®¤ã«ì, â. ¥. ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨© −¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï πP : E → M, ¨ µz ∈ C ∞ (M) | ¬ ªá¨¬ «ì−ë© ¨¤¥ «, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 â®çª¥ z ∈ M. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® µl+1 z P ¥áâì ¯®¤¬®¤ã«ì ¬®¤ã«ï P , ¯®í⮬㠮¯à¥¤¥«¥− ä ªâ®à¬®¤ã«ì def Jzl P = P/µl+1 z P . ¡à § í«¥¬¥−â  p ∈ P ¯à¨ ®â®¡à ¦¥−¨¨ ä ªâ®à¨§ æ¨¨ ®¡®§− ç ¥âáï [p]lz ∈ Jzl P . ®«¥§−® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ Jzl P ï¥âáï â ª¦¥ ¨ Jzl M-¬®¤ã«¥¬ ®â−®á¨â¥«ì−® ®¯¥à æ¨¨ ã¬−®¦¥−¨ï def

[f]lz [p]lz = [fp]lz ,

f ∈ C ∞ (M), p ∈ P.

“¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥ ª®à४â−®áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï. def  ®«®¦¨¬ J l P = z∈M Jzl P .  è  ¡«¨¦ ©è ï 楫ì á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë á− ¡¤¨âì J l P áâàãªâãன £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï â ª, çâ®¡ë ¥áâ¥á⢥−− ï ¯à®¥ªæ¨ï πJ l P : J l P → M,

Jzl P → z ∈ M,

290

ƒ« ¢  11

§ ¤ ¢ «  −  £« ¤ª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ J lP áâàãªâãàã ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï − ¤ M. â® ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − §ë¢ ¥âáï à áá«®¥−¨¥¬ ¤¦¥â®¢ ¯®à浪  l (¨«¨ l-¤¦¥â®¢) à áá«®¥−¨ï πP .  áᬮâਬ −  â®â «ì−®¬ ¯à®áâà −á⢥ E à áá«®¥−¨ï πP  ¤ ¯â¨à®¢ −−ë©  â« á (á¬. ¯. 11.3). …£® ª àâë ¨¬¥îâ ¢¨¤ (π −1(U), x, u), £¤¥ (U, x) | ª àâ  á®®â¢¥âáâ¢ãî饣®  â« á  −  M ¨ u = u1 , . . . , um , m = dim πP , | ¯®á«®©−ë¥ ª®®à ¤¨− âë. ’®£¤  ᮣ« á−® ¯. 11.13 «®ª «¨§ æ¨ï PU = •(πP U ) ¥áâì ᢮¡®¤−ë© C ∞ (U)-¬®¤ã«ì. ãáâì e1, . . . , em | ¥£® ¯à®¨§¢®«ì−ë© ¡ §¨á. ’®£¤  ®£à −¨ç¥−¨¥ «î¡®£® í«¥¬¥−â  q ∈ P −  U ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ m  qU= f i ei , £¤¥ f i ∈ C ∞(U). i=1

ˆ− ç¥ £®¢®àï, ¢  ¤ ¯â¨à®¢ −−ëå ª®®à¤¨− â å á¥ç¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥ªâ®à-äã−ªæ¨¥© (f 1 , . . . , f m ) ®â ¯¥à¥¬¥−−ëå (x1 , . . . , xn). âá áࠧ㠦¥ á«¥¤ã¥â, çâ® [q]lz ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï m-¢¥ªâ®à®¬ ([f 1 ]lz , . . . , [f m ]lz ) ¨ ¯®í⮬ã − ¡®à ç¨á¥« ç¨á¥« (x1, . . . , xn , u1, . . . , um , . . . , piσ , . . . ),

|σ|  l,

£¤¥ (uj , . . . , pjσ , . . . ) | ᯥ樠«ì−ë¥ «®ª «ì−ë¥ ª®®à¤¨− âë l¤¦¥â  äã−ªæ¨¨ f j in J lM (á¬. ¯. 10.11, IX), ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥â â®çªã [q]lz ∈ πJ−1l P (U). 祢¨¤−®, äã−ªæ¨¨ xi , uj , pjσ ,

1  i  n, 1  j  m, 0 < |σ|  l,

®¡à §ãîâ á¨á⥬㠪®®à¤¨− â ¢ ®¡« á⨠πJ−1l P (U) ⊂ J lP , § ¤ ¢ ï ⥬ á ¬ë¬ −  −¥© áâàãªâãàë ª àâë. Š àâë â ª®£® த  − §ë¢ îâáï ᯥ樠«ì−묨 ª àâ ¬¨ ¢ J lP . “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, ç⮠ᯥ樠«ì−ë¥ ª àâë −  J l P , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᮣ« á®¢ −−ë¬ ª àâ ¬ −  M, ᮣ« á®¢ −ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, í⨠ª àâë ®¡à §ãîâ  â« á, ®¯à¥¤¥«ïï ⥬ á ¬ë¬ áâàãªâãàã £« ¤ª®£® ¬−®£®®¡à §¨ï −  J lP . 祢¨¤−®, ¯à®¥ªæ¨ï πJ l P : J l P → M,

Jzl P → z ∈ M,

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

291

ï¥âáï £« ¤ª®©. ‘¯¥æ¨ «ì−ë¥ ª àâë, ®¯¨á −−ë¥ ¢ëè¥, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨ï ¢¨¤  U × RmN , £¤¥ N | ç¨á«® à §«¨ç−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå ¯®à浪   l (á¬. ¯à¨¬¥à IX ¨§ ¯. 10.11). ®í⮬ã πJ l P ï¥âáï à áá«®¥−¨¥¬.
®«¥¥ ⮣®, âਢ¨ «¨§ãî騥 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ë πJ−1l P (U) → U × RmN «¨−¥©−ë −  ª ¦¤®¬ á«®¥, â ª çâ® πJ l P | ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤ M. 11.60. ãáâì, ¯®-¯à¥¦−¥¬ã, A = C ∞ (M), z ∈ M ¨ P, Q | ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ C ∞ (M)-¬®¤ã«¨, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï πP ¨ πQ − ¤ M ᮮ⢥âá⢥−−®. ˆ¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 ®¡®¡é¥−¨¥ á«¥¤á⢨ï 9.61. 11.61. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì p1 , p2 ∈ P , – ∈ Di¨ l (P, Q) ¨ p1 − p2 ∈ µl+1 z P . ’®£¤  –(p1 )(z) = –(p2 )(z). ‚ ç áâ−®áâ¨, ¥á«¨ í«¥¬¥−âë p1 , p2 ∈ P ᮢ¯ ¤ îâ ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U  z, â® ¤«ï «î¡®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  – ∈ Di¨(P, Q) ¨¬¥¥¬ –(p1 )(z) = –(p2 )(z). ˆ− ç¥ £®¢®àï, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë, ¤¥©áâ¢ãî騥 −  á¥ç¥−¨ï ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©, â ª¦¥ ïîâáï «®ª «ì−묨.
„¥©á⢨⥫ì−®, ¥á«¨ p1 − p2 ∈ µl+1 z P , ⮠ᮣ« á−® ¯à¥¤«®¦¥−¨î 9.67 –(p1 − p2 ) ∈ µz Q. …᫨ ¦¥ í«¥¬¥−âë p1 , p2 ∈ P ᮢ¯ ¤ îâ ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U  z, â® p1 − p2 ∈ µl+1 z P ¤«ï «î¡®£® l.  â® ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ¤«ï «î¡®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  – ∈ Di¨(P, Q) ¨ ¯à®¨§¢®«ì−®© ®âªàë⮩ ®¡« á⨠U ⊂ M ª®à४â−® ®¯à¥¤¥«¨âì ®£à −¨ç¥−¨¥ – U : P U → Q U , ¯®«®¦¨¢ – U ( p)(z) = –(p)(z), p ∈ P U , p ∈ P, z ∈ U, £¤¥ p | ¯à®¨§¢®«ì−ë© í«¥¬¥−â ¬®¤ã«ï P , ᮢ¯ ¤ î騩 á p ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠â®çª¨ z. ‘®£« á−® í⮬㠮¯à¥¤¥«¥−¨î –U (p U )(z) = –(p) U (z), ¥á«¨ p ∈ P . 祢¨¤−®, ®¯¥à â®à – ®¤−®§− ç−® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮢ®ªã¯−®áâìî ᢮¨å ®£à −¨ç¥−¨© −  ª àâë ¯à®¨§¢®«ì−®£®  â« á  −  ¬−®£®®¡à §¨¨ M.

292

ƒ« ¢  11

‡ ä¨ªá¨à㥬 ⥯¥àì á¨á⥬㠫®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â x1, . . . , xn ¢ −¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ−®á⨠U ⊂ M, â ª®©, çâ® ¢¥ª ãáâì e1, . . . , em â®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï πP U ¨ πQ U âਢ¨ «ì−ë. ¨ ε1, . . . , εk | ¡ §¨áë ¬®¤ã«¥© P U ¨ Q U ᮮ⢥âá⢥−−®. ’®£¤  ®£à −¨ç¥−¨¥ «î¡ëå í«¥¬¥−⮢ Q −  U ¯à¥¤m p i∈ P ¨ q ∈  k r áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ p U = i=1 f ei ¨ q U = r=1 g εr , £¤¥ f i , g r ∈ C ∞(U). ”¨ªá æ¨ï ¡ §¨á®¢ e1, . . . , em ¨ ε1, . . . , εr ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì C ∞ (U)-«¨−¥©−ë¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï αi : C ∞(U) → P U , f → fei , 1  i  m βj : Q U → C ∞(U),

k 

g r εr → g j ,

1  j  r.

r=1 def

Š®¬¯®§¨æ¨ï –i,j = βj ◦–◦αi : C ∞ (U) → C ∞ (U) ï¥âáï, ᮣ« á−® 9.67, 9.59 ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   l. „«ï ᪠«ïà−ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ ¬ë 㦥 ¤®ª § «¨, çâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ 9.57 ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡ëç−ë¬. ’¥¯¥àì ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à  – U −  p U , â. ¥. −  ¢¥ªâ®à-äã−ªæ¨î (f 1 , . . . , f m ), ®¯¨á뢠¥âáï ä®à¬ã«®© 

    –1,1 . . . –1,m f1 –1,1(f1 ) + . . . + –1,m (fm ) ..   ..  =  .. ...  ... . . . . –k,1 . . . –k,m fm –k,1(f1 ) + . . . + –k,m (fm ) ˆ§ −¥¥ á«¥¤ã¥â, çâ® áâ −¤ àâ−®¥ ¯®−ï⨥ ¬ âà¨ç−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  ï¥âáï ç áâ−ë¬ á«ãç ¥¬ ®¡é¥£®  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨ï 9.67, ¯®áª®«ìªã ¤«ï ᪠«ïà−ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ (¢ ¤ −−®¬ ª®−⥪á⥠¤«ï –i,j ) íâ®â ä ªâ ¡ë« ãáâ −®¢«¥− à −¥¥ (á¬. ¯. 9.62). Œ âà¨ç−ë¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯¨á −¨¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï 9.67 − ¤ ®á−®¢−®©  «£¥¡à®© A = C ∞(M), ®â®¡à ¦ îé¨å á¥ç¥−¨ï ®¤−®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï ¢ á¥ç¥−¨ï ¤à㣮£®.

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

293

11.62. Œ®¤ã«¨ ¤¦¥â®¢ J l (P ). Œ®¤ã«ì £« ¤ª¨å á¥ç¥−¨© ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï πJ l P − §ë¢ ¥âáï ¬®¤ã«¥¬ l-¤¦¥â®¢ à áá«®¥−¨ï πP ¨ ®¡®§− ç ¥âáï J l (P ). «¥¬¥−âë í⮣® ¬®¤ã«ï − §ë¢ îâáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ l-¤¦¥â ¬¨ ¬®¤ã«ï P ¨«¨ ¯à®áâ® l-¤¦¥â ¬¨. ®«¥§−® ®â¬¥â¨âì, çâ® J l (P ) ï¥âáï J l (M)-¬®¤ã«¥¬ ®â−®á¨â¥«ì−® ®¯¥à æ¨¨ ã¬−®¦¥−¨ï def

(θ · —)(z) = θ(z)—(z),

θ ∈ J l (M), — ∈ J l (P ),

£¤¥ áâ®ï饥 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ã¬−®¦¥−¨¥ Jzl M × Jzl P → Jzl P ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥−® ¢ ¯. 11.59. Š ª ¨ ¢ ᪠«ïà−®¬ á«ãç ¥, ¢á类¬ã í«¥¬¥−âã ¬®¤ã«ï P ¬®¦−® ᮯ®áâ ¢¨âì á¥ç¥−¨¥ jl (p) à áá«®¥−¨ï πJ l P , ¯®«®¦¨¢ jl (p)(z) = [p]lz . ãáâì ¢  ¤ ¯â¨à®¢ −−ëå «®ª «ì−ëå ª®®à¤¨− â å p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥ªâ®à-äã−ªæ¨¥© (f 1 , . . . , f m ). ’®£¤  ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᯥ樠«ì−ëå ª®®à¤¨− â å −  J l P á¥ç¥−¨¥ jl (p) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥ªâ®à-äã−ªæ¨¥© (f 1 , . . . , f m , . . . ,

∂ |σ| f i , . . . ), |σ|  l. ∂xσ

ˆ§ ª®®à¤¨− â−®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨ï á¥ç¥−¨ï jl (p) ¢¨¤−®, ¢®¯¥à¢ëå, çâ® íâ® á¥ç¥−¨¥ £« ¤ª®¥, â. ¥. jl (p) ∈ J l (P ), ¨, ¢®¢â®àëå, çâ® R-«¨−¥©−®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥ jl : P → J l (P ),

p → jl (p),

¥áâì ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¯®à浪   l. “¯à ¦−¥−¨¥. „®ª ¦¨â¥ íâ®, −¥ ¯à¨¡¥£ ï ª ª®®à¤¨− â ¬. ¯¥à â®à jl − §ë¢ ¥âáï ã−¨¢¥àá «ì−ë¬ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪  l ¢ à áá«®¥−¨¨ πP . 11.63. ।«®¦¥−¨¥.
ãáâì P | ¯à®¥ªâ¨¢−ë© C ∞ (M)-¬®¤ã«ì. ‘ãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ª®−¥ç−ë© − ¡®à p1 , . . . , pm ∈ P , çâ® l-¤¦¥âë jl (p1 ), . . . , jl (pm ) ¯®à®¦¤ îâ C ∞ (M)-¬®¤ã«ì J l (P ).

294

ƒ« ¢  11


 áᬮâਬ ª ªãî-−¨¡ã¤ì ª®−¥ç−ãî á¨á⥬ã p1 , . . . , pk ∈ P , ¯®à®¦¤ îéãî P (á«¥¤á⢨¥ 11.28), ¨ −¥ª®â®àãî á¨á⥬ã äã−ªæ¨© f1 , . . . , fs , l-¤¦¥âë ª®â®àëå ¯®à®¦¤ îâ J l (M) (¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 11.48). ’®£¤  l-¤¦¥âë jl (fi pj ), 1  i  s, 1  j  k, ¯®à®¦¤ îâ J l (P ). —⮡ë ã¡¥¤¨âáï ¢ í⮬, ¤®áâ â®ç−®, ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥−¨ï 11.10, ¯®ª § âì, çâ® l-¤¦¥âë [fipj ]lz ¯®à®¦¤ îâ á«®© Jzl P ¤«ï «î¡®£® z ∈ M. ® «î¡®© í«¥¬¥−â í⮣® á«®ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ [p]lz ¤«ï −¥ª®â®à®£® p ∈ P . ãáâì   gj pj , gj ∈ C ∞ (M), ¨ [gj ]lz = λji [fj ]lz , λji ∈ R. p= j

’®£¤  [p]lz =

i

  [gj pj ]lz = [gj ]lz [ pj ]lz j

j

=



λji [fi]lz [ pj ]lz =

i,j



λji [fi pj ]lz .



i,j

ãáâì Q | ¯à®¨§¢®«ì−ë© £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© C ∞(M)-¬®¤ã«ì. ®«ì§ãïáì ¯à¨¢¥¤¥−−®© ¢ ¯. 11.50 á奬®©, ®¯à¥¤¥«¨¬ ᯠਢ −¨¥   Di¨ l (P, Q), J l (P ) → Q.  áᬮâਬ â®çªã z ∈ M ¨ ¤«ï ¤¦¥â  — ∈ J l (M) ¢ë¡¥à¥¬ â ª®© í«¥¬¥−â p ∈ P , çâ® —(z) = [p]lz . „«ï ¯à®¨§¢®«ì−®£® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à  – ∈ Di¨ l (P, Q) ¯®«®¦¨¬ (–, —)(z) = –(p)(z) ∈ Qz . ‚ ᨫ㠯।«®¦¥−¨ï 11.61 (–, —)(z) −¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï ¢ ª« áᥠ[p]lz .  …᫨ — = i hi jl (pi ) (á¬. ¯à¥¤«®¦¥−¨¥ 11.63), â® ¢ ª ç¥ á⢥ p ¬®¦−®, ®ç¥¢¨¤−®, ¢§ïâì i λi pi , £¤¥ λi = hi (z) ∈ R. ®í⮬ã " #  –(p)(z) = λi –(pi )(z) = hi –(pi ) (z). i

i

‚¢¨¤ã £¥®¬¥âà¨ç−®á⨠¬®¤ã«ï Q ®âá á«¥¤ã¥â, çâ®  (–, —) = hi –(pi ) ∈ Q. i

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨

295

â® ¤®ª §ë¢ ¥â áãé¥á⢮¢ −¨¥ ᯠਢ −¨ï. „¥©áâ¢ãï, ª ª ¨ ¢ ¯. 11.50, ᮯ®áâ ¢¨¬ ¯à®¨§¢®«ì−®¬ã ®¯¥à â®àã – ∈ Di¨ l (P, Q) £®¬®¬®à䨧¬ C ∞(M)-¬®¤ã«¥© h– : J l (P ) → Q,

h– (—) = (–, —).

Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥−¨ï ᯠਢ −¨ï, (–, jl(p)) = –(p). ®í⮬ã, ®ç¥¢¨¤−®, jl ◦ h– = –. ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¥á«¨ h : J l (P ) → Q | ¯à®¨§¢®«ì−ë© C ∞ (M)-£®¬®¬®à䨧¬, â® ª®¬¯®§¨æ¨ï –h = h ◦ jl : P → Q ¡ã¤¥â, ᮣ« á−® ¯¯. 9.59, 9.67, ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¯®à浪   l. ਠí⮬, ®ç¥¢¨¤−®, h–h = h. ˆâ ª, − ¬¨ ãáâ −®¢«¥− á«¥¤ãî騩 ¢ ¦−ë© ä ªâ. 11.64. ’¥®à¥¬ . ‡ ä¨ªá¨à㥬 ¯à®¥ªâ¨¢−ë© C ∞ (M)-¬®¤ã«ì P . „«ï «î¡®£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® C ∞ (M)-¬®¤ã«ï Q ᮮ⢥âá⢨¥ HomC ∞ (M )(J l (P ), Q)  h → h ◦ jl ∈ Di¨ l (P, Q) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥áâ¥á⢥−−ë© ¨§®¬®à䨧¬ C ∞(M)-¬®¤ã«¥© HomC ∞ (M )(J l (P ), Q) ∼ = Di¨ l (P, Q). ˆ− ç¥ £®¢®àï, ®â−®á¨â¥«ì−ë© äã−ªâ®à ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï Q → Di¨ l (P, Q) ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ª â¥£®à¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥© ¨ C ∞ (M)-¬®¤ã«ì J l (P ) ï¥âáï ¤«ï −¥£® ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬 ®¡ê¥ªâ®¬.  „®ª § −− ï ⥮६  ¯®§¢®«ï¥â ¨§¬¥−¨âì â®çªã §à¥−¨ï ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¬®¤ã«ì J l (P ) (¢¬¥áâ¥ á ®¯¥à â®à®¬ jl : P → J l (P )) ª ª ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ®¡ê¥ªâ äã−ªâ®à  Q → Di¨ l (P, Q) −  ª â¥£®à¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å C ∞ (M)-¬®¤ã«¥©. ’ ª®© ¯®¤å®¤ ï¥âáï ª®−楯âã «ì−ë¬, ¨ ¥£® ¯®«ì§  á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ®− −¥¬¥¤«¥−−® ¯¥à¥−®á¨âáï −  ¯à®¨§¢®«ì−ë¥  «£¥¡àë ¨ ª â¥£®à¨¨ ¬®¤ã«¥© − ¤ −¨¬¨.  §ã¬¥¥âáï, ¢®¯à®á áãé¥á⢮¢ −¨ï ¯à¨ í⮬ ª ¦¤ë© à § ¤®«¦¥− à¥è âìáï ®â¤¥«ì−®. ¤− ª® ¤«ï â ª − §ë¢ ¥¬ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−® § ¬ª−ãâëå ª â¥£®à¨©, ªã¤  ¢å®¤ïâ

296

ƒ« ¢  11

− ¨¡®«¥¥ ¨−â¥à¥á−ë¥ ª â¥£®à¨¨ ¬®¤ã«¥©, ®− ¤®¯ã᪠¥â ã−¨¢¥àá «ì−®¥ à¥è¥−¨¥. ‚ ç áâ−®áâ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¦−® ®¯à¥¤¥«¨âì J l (P ) ¤«ï «î¡®£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£®, −¥ ®¡ï§ â¥«ì−® ¯à®¥ªâ¨¢−®£® ¬®¤ã«ï P . “¯à ¦−¥−¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® A-¬®¤ã«ì Di¨ l (P, Q) £¥®¬¥âà¨ç¥−, ¥á«¨ £¥®¬¥âà¨ç¥− ¬®¤ã«ì Q. 11.65. ‚ í⮩ ª−¨£¥ ¬ë ¨¬¥«¨ ¤¥«® á £« ¤ª¨¬¨ ¬−®£®®¡à §¨ï¬¨, £« ¤ª¨¬¨ äã−ªæ¨ï¬¨, £« ¤ª¨¬¨ ¢¥ªâ®à−묨 ¯®«ï¬¨, £« ¤ª¨¬¨ á¥ç¥−¨ï¬¨ ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨© ¨ â. ¯.  ª ª ¦¥ ¡ëâì á  − «®£¨ç−묨 ®¡ê¥ªâ ¬¨, ᪠¦¥¬, ª« áá  C m ? ⨠¨ ¤à㣨¥ ¯®−ïâ¨ï áâ −¤ àâ−®£®  − «¨§  −¥âàã¤−® ¢¢¥á⨠¢ à ¬ª¨ à §¢¨â®£® ¢ëè¥ ¯®¤å®¤ , ¯¥à¥å®¤ï ª ¤à㣨¬ äã−ªæ¨®− «ì−ë¬  «£¥¡à ¬ ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à®æ¥¤ãàã § ¬¥−ë ª®«¥æ.
®«¥¥ ⮣®, −  í⮬ ¯ã⨠⥮à¨î ¬®¦−® ᤥ« âì ¡®«¥¥ â®ç−®© ¨ £¨¡ª®©, 祬 ¯à¨ âà ¤¨æ¨®−−®¬ ¯®¤å®¤¥. “¯à ¦−¥−¨¥. 1. ãáâì P | ¬®¤ã«ì £« ¤ª¨å, â. ¥. ª« áá  C ∞ , á¥ç¥−¨© −¥ª®â®à®£® £« ¤ª®£® ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï πP . „ ©â¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥ ¬®¤ã«ï á¥ç¥−¨© í⮣® à áá«®¥−¨ï ª« áá  C m (− ¯à¨¬¥à, −¥¯à¥àë¢−ëå). 2. ¯à¥¤¥«¨â¥ ç¨áâ®  «£¥¡à ¨ç¥áª¨ ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï (¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ®¯¥à â®àë) ª« áá  C m −  £« ¤ª®¬ ¬−®£®®¡à §¨¨ M.

®á«¥á«®¢¨¥ …᫨ ¯à®¤®«¦¨âì ¯ãâì, − ¬¥ç¥−−ë© ¢ í⮩ ª−¨£¥, ¨ ¯à® − «¨§¨à®¢ âì, ¢ ª ª®© ¬¥à¥ ᮢ६¥−− ï ¬ â¥¬ â¨ª  ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯à¨−樯ã − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, ¬®¦−® ¯à¨©â¨ ª ¢ë¢®¤ã, çâ® ¬−®£®¥ ¢ −¥© ¯®¯à®áâã ª®−楯âã «ì−® −¥á®áâ®ï⥫ì−®. â® −¥¨§¡¥¦−® ¯à¨¢®¤ïâ ª âàã¤−®áâï¬, ¯à¨−樯¨ «ì−®áâì ª®â®àëå ¯® ¯à¨¢ë窥 ¨£−®à¨àã¥âáï ¢á直© à §, ª®£¤  áâ «ª¨¢ îâáï á íªá¯¥à¨¬¥−â «ì−®© ¯à®¢¥àª®©. …᫨, − ¯à¨¬¥à, ⥮à¨ï ¬¥àë ï¥âáï ¯à ¢¨«ì−®© ⥮ਥ© ¨−⥣à¨à®¢ −¨ï, â® ¯®ç¥¬ã ¦¥ −¨ ª 祬ã 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì−®¬ã −¥ ¯à¨¢®¤ï⠢ᥠ¯®¯ë⪨ ¯®áâநâì −  ¥ñ ®á−®¢¥ ⥮à¨î ª®−â¨−ã «ì−®£® ¨−⥣ࠫ , áãé¥á⢮¢ −¨¥ ª®â®à®£® ¢¯®«−¥ ¯®¤â¢¥à¦¤¥−® íªá¯¥à¨¬¥−â «ì−®? ¥¨§¡¥¦−ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ ¢á¥£® í⮣® ï¥âáï â®â ä ªâ, ç⮠䨧¨ª ¬ ¢ ᢮¨å ⥮à¨ïå ¯à¨å®¤¨âáï ¯®«ì§®¢ âìáï ú−¥− ¡«î¤ ¥¬®©û ¬ â¥¬ â¨ª®©, çâ® ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¢¥áâ−ë¬ âàã¤−®áâï¬, ᪠¦¥¬, ¢ ª¢ −⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï, ª®â®àë¥ −¥ª®â®àë¥ ¤ ¦¥ ®¡êïîâ ¥ñ ¨¬¬ −¥−â−®© å à ªâ¥à¨á⨪®©. à¨−ïâ® áç¨â âì, çâ® ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ ®á−®¢ −¨¥¬ ª¢ −⮢®© ¬¥å −¨ª¨ ï¥âáï ⥮à¨ï á ¬®á®¯à殮−−ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà −á⢥. ®ç¥¬ã ¦¥ ⮣¤ , ª ª ¢ëà §¨â¥«ì−® ¯¨á « . „¨à ª, ú䨧¨ç¥áª¨ áãé¥á⢥−−ë¥ ¢ ª¢ −⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï − á⮫쪮 ᨫì−ë, çâ® ¢ë¡¨¢ îâ ¢á直© èàñ¤¨−£¥à®¢áª¨© ¢¥ªâ®à á®áâ®ï−¨ï ¨§ £¨«ì¡¥à⮢  ¯à®áâà −á⢠ ¢ − ¨¬¥−ì訩 ¢®§¬®¦−ë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥−¨û? Š®−áâ â¨à®¢ ¢ íâ®, á«¥¤ã¥â «¨¡® ®âª § âìáï ®â ¯®¯ë⮪ − ¯¨á âì ãà ¢−¥−¨¥ ˜àñ¤¨−£¥à  ¢ ª®−⥪á⥠⥮ਨ ¯®«ï, «¨¡® ãᮬ−¨âìáï ¢ ¯à ¢®¬¥à−®á⨠áç¨â âì £¨«ì¡¥àâ®¢ë ¯à®áâà −á⢠ ®á−®¢®© ª¢ −⮢®© ¬¥å −¨ª¨. ‘ ¬ „¨à ª á ¡®«ì让 −¥®å®â®©, ª ª ®− á ¬ íâ® ¯à¨§− ¥â, ¯à¨−¨¬ ¥â 297

298

®á«¥á«®¢¨¥

¯¥à¢ãî  «ìâ¥à− â¨¢ã, ¨ íâ®â ®âª § | ¢ë−㦤¥−−ë©, ¯®áª®«ìªã ¬ â¥¬ â¨ª  ⮣® ¢à¥¬¥−¨ ¯à¥¤®áâ ¢«ï«  ¥¬ã ¢®§¬®¦−®áâì à §¬ëè«ïâì ® à¥è¥−¨ïå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨©, ¯®«ì§ãïáì «¨èì ®£à −¨ç¥−−ë¬ ¨ −¥ «®ª «¨§ã¥¬ë¬ ï§ëª®¬ £¨«ì¡¥à⮢ëå ¯à®áâà −á⢠(á¬. í¯¨£à ä ª ¯à¥¤¨á«®¢¨î). ‘ ¤à㣮© áâ®à®−ë, ¯®áª®«ìªã ä®à¬ «¨§¬ £¨«ì¡¥à⮢ëå ¯à®áâà −á⢠−¥ ᮤ¥à¦¨â −¨ª ª®£® ¬¥å −¨§¬ , ¯®§¢®«ïî饣® ®â«¨ç¨âì ®¤¨− £¨«ì¡¥à⮢ ¢¥ªâ®à ®â ¤à㣮£®, −¨ ® ª ª®¬ ᮡ«î¤¥−¨¨ ¯à¨−樯  − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¢ ¥£® à ¬ª å −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ à¥ç¨. ®í⮬㠡®«¥¥ ¯à¨−樯¨ «ì−ë¬ ¡ë« ¡ë ¢ë¡®à ¢â®à®©  «ìâ¥à− â¨¢ë. â  ¯®á«¥¤−ïï, ®¤− ª®, âॡã¥â ¢ëïá−¥−¨ï ¬−®£¨å ¤àã£¨å ¢¥é¥©, á।¨ ª®â®àëå, − ¯à¨¬¥à ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª ¬®¦−® − ¡«î¤ âì à¥è¥−¨ï ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨© ¢ ç áâ−ëå ¯à®¨§¢®¤−ëå,   íâ® ª ª à § ¬¥−ìè¥ ¢á¥£® ¨−â¥à¥áã¥â ᯥ樠«¨á⮢, ¨§ãç îé¨å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ ãà ¢−¥−¨ï. ®¤®¡− ï ¯®áâ −®¢ª  ¢®¯à®á  ¯®ª § « áì ¡ë ¨¬ ¯à®áâ® ªãà쥧−®©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì− ï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª ï ä®à¬ «¨§ æ¨ï ¬¥å −¨§¬  − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¢ ⮬ ¨«¨ ¨−®¬ ¥£®  á¯¥ªâ¥ § ç áâãî âॡã¥â ¯¥à¥á¬®âà  â¥å à §¤¥«®¢ ¬ â¥¬ â¨ª¨, ª®â®àë¥, ª § «®áì ¡ë, ãáâ −®¢«¥−ë à § ¨ − ¢á¥£¤ . á−®¢− ï âàã¤−®áâì, ª®â®àãî − ¤® ¯à¥®¤®«¥âì á í⮩ 楫ìî, á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë − ©â¨ âॡ㥬®¥ à¥è¥−¨¥ ¢ à ¬ª å ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ¨§¡¥£ ï ᮡ« §−®¢ äã−ªæ¨®− «ì−®£®  − «¨§ , ⥮ਨ ¬¥àë ¨  − «®£¨ç−ëå ç¨á⮠⥮à¥â¨ª®-¬−®¦¥á⢥−−ëå ¯®áâ஥−¨©.  ¯à¨¬¥à, ¬ë ¤®«¦−ë ®âª § âìáï ®â ⥮ਨ ¬¥àë ª ª ⥮ਨ ¨−⥣à¨à®¢ −¨ï ¢ ¯®«ì§ã ç¨áâ® ª®£®¬®«®£¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ . á−®¢−ë¥ ¯®−ïâ¨ï ⥮ਨ ¬¥àë ¬®¦−® ¨§«®¦¨âì −  ®¤−®© áâà −¨æ¥. —â®¡ë ®¡êïá−¨âì, çâ® â ª®¥ ª®£®¬®«®£¨¨ ¤¥  ¬ , ¨å (áâà −¨æ) ¯®âॡã¥âáï £®à §¤® ¡®«ìè¥. Š®−楯âã «ì− ï ¤¨áâ −æ¨ï, à §¤¥«ïîé ï ®á−®¢ë íâ¨å ¤¢ãå ⥮਩, ¤ ¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¥ ® ⮬, ᪮«ì −¥¯à®á⮩ ¬®¦¥â ®ª § âìáï â ª®£® த  ¯à®¡«¥¬ . Š ª, ®â¯à ¢«ïïáì ®â ¯®¤®¡−®£® ¯¥à¥á¬®âà , ¬®¦−® ¯à¨©â¨ ª 㯮¬¨− ¢è¥¬ãáï 㦥 ¢® ¢¢¥¤¥−¨¨ ¢â®à¨ç−®¬ã ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¬ã ¨áç¨á«¥−¨î ¨ ¥£® ®á−®¢−ë¬ ¯à¨«®¦¥−¨ï¬, â ª¨¬, ª ª

®á«¥á«®¢¨¥

299

ª®£®¬®«®£¨ç¥áª ï 䨧¨ª , â. ¥. ª« áá¨ç¥áª ï ¨ ª¢ −⮢ ï ⥮à¨ï ¯®«ï, ¨§«®¦¥−− ï −  í⮬ ¥áâ¥á⢥−−®¬ ¤«ï −¥ñ ï§ëª¥,  ¢â®à ¯à¥¤¯®« £ ¥â ¯®á⥯¥−−® à áᬮâà¥âì ¢ á¥à¨¨ ª−¨£, − ¤ ª®â®à®© ®− − ç « à ¡®â âì. ।áâ ¢«¥−¨¥ ® ⮬, ç⮠㦥 ᤥ« −® ¨ çâ® ¥éñ ¯à¥¤á⮨â, ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¯®«ãç¨âì ¨§ ¯à¨¢®¤¨¬®© −¨¦¥ ¡¨¡«¨®£à ä¨¨. ‹¨â¥à âãà  1. . Œ. ‚¨−®£à ¤®¢, ˆ. C. Šà á¨«ì騪, —â® â ª®¥ £ ¬¨«ìâ®−®¢ ä®à¬ «¨§¬? | “Œ, 30 (1975), 177{202. 2. . Œ. ‚¨−®£à ¤®¢, ƒ¥®¬¥âà¨ï −¥«¨−¥©−ëå ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨©. ˆâ®£¨ − ãª¨ ¨ â¥å−¨ª¨. ஡«¥¬ë £¥®¬¥âਨ. ’. 11 | Œ. ‚ˆˆ’ˆ, 1980, 89{134. 3. A. M. Vinogradov, Local symmetries and conservation laws, | Acta Appl. Math., vol. 2, ü 1 (1984), 21{78. 4. I. S. Krasil'shchik, A. M. Vinogradov, Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and B acklund transformations, | Acta Appl. Math., 15 (1989) 1{2, 161{209. 5. A. M. Vinogradov, From symmetries of partial differential equations towards secondary (úquantizedû) calculus, | J. Geom. and Phys., 14 (1994), 146{194. 6. M. Henneaux, I. S. Krasil'shchik, A. M. Vinogradov (Eds.), Secondary Calculus and Cohomological Physics, | Contemporary Mathematics, vol. 219, American Mathematical Society, 1998. 7. . Œ. ‚¨−®£à ¤®¢, ˆ. C. Šà á¨«ì騪, ‚. ‚. ‹ëç £¨−, ‚¢¥¤¥−¨¥ ¢ £¥®¬¥âà¨î −¥«¨−¥©−ëå ¤¨ä¥à¥−樠«ì−ëå ãà ¢−¥−¨©, | Œ. ú ãª û, 1986. 8. ‘¨¬¬¥âਨ ¨ § ª®−ë á®åà −¥−¨ï ãà ¢−¥−¨© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ¯®¤ ।. . Œ. ‚¨−®£à ¤®¢  ¨ ˆ. C. Šà á¨«ì騪 , | Œ., ú” ªâ®à¨ «û, 1997. 9. I. S. Krasil'shchik and A. M. Verbovetsky, Homological methods in equations of mathematical physics, Open Education, Opava, 1998. C¬. â ª¦¥ Diffiety Inst. Preprint Series, DIPS 7/98 http://ecfor.rssi.ru/“diffiety/preprint/98/08 98abs.htm.

300

®á«¥á«®¢¨¥

10. A. M. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, | Translations of Mathematical Monographs, vol. 204, American Mathematical Society, 2001.

. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢ ˆ
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ਢ®¤¨¬ë¥ −¨¦¥ § ¬¥ç −¨ï ®¡é¥£® å à ªâ¥à  ¯à¨§¢ −ë ¢¯¨á âì à áᬮâà¥−−ë¥ ¢ í⮩ ª−¨£¥ ¢®¯à®áë ¢ ®¡éãî ¯¥àᯥªâ¨¢ã − ¡«î¤ ¥¬®© ¬ â¥¬ â¨ª¨.

ய®§¨æ¨®− «ì−ë¥ ¨ ¡ã«¥¢ë  «£¥¡àë. …᫨ 䨧¨ª ®¯¨á뢠¥â ¯à¨à®¤ã ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¨¡®à®¢, ¨¬¥îé¨å R-§− ç−ë¥ èª «ë, â® ú®¡ëç−ë© ç¥«®¢¥ªû ¤¥« ¥â íâ® ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¢ë᪠§ë¢ −¨©. ˆá¯®«ì§ãï í«¥¬¥−â à−ë¥ ®¯¥à æ¨¨ ª®−êî−ªæ¨¨, ¤¨§êî−ªæ¨¨ ¨ ®âà¨æ −¨ï, ¨§ § ¤ −−ëå ¢ë᪠§ë¢ −¨© ¬®¦−® ®¡à §®¢ âì −®¢ë¥. ‘¨á⥬  ¢ë᪠§ë¢ −¨©, § ¬ª−ãâ ï ®â−®á¨â¥«ì−® íâ¨å ®¯¥à æ¨©, − §ë¢ ¥âáï ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−®©  «£¥¡à®©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á।á⢠ − ¡«î¤¥−¨ï −¥ ¢®®àã¦ñ−−®£® ¤®¯®«−¨â¥«ì−묨 ¯à¨¡®à ¬¨ ¨−¤¨¢¨¤ã㬠 ä®à¬ «¨§ãîâáï ¯®−ï⨥¬ ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−®©  «£¥¡àë. ®áª®«ìªã ¢á直© −®à¬ «ì−ë© ç¥«®¢¥ª §− ¥â, çâ® −  á ¬®¬ ¤¥«¥ ®− − ¡«î¤ ¥â, â. ¥. ¯®«ã砥⠨−ä®à¬ æ¨î ®¡ ®ªà㦠î饩 − á ¯à¨à®¤¥, ¯à¨ ¯®¬®é¨ ᢮¨å £« §, ã襩 ¨ ¤àã£¨å ®à£ −®¢ çã¢áâ¢, íâ® ¯®á«¥¤−¥¥ ã⢥ত¥−¨¥ −㦤 ¥âáï ¢ à §êïá−¥−¨¨. 301

302

. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢

‚®-¯¥à¢ëå, ®¡à § ¨−¤¨¢¨¤ã㬠, ¨¬¥î饣® ¢ ª ç¥á⢥ á।á⢠− ¡«î¤¥−¨ï «¨èì ᮡá⢥−−ë¥ ®à£ −ë çã¢áâ¢, ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨, çâ®¡ë ¯®¤ç¥àª−ãâì −¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢¢¥á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥−¨¥ ®¡ ®á−®¢−®¬, ¨§− ç «ì−®¬ ¬¥å −¨§¬¥ ®¡à ¡®âª¨ ¨−ä®à¬ æ¨¨, ª®â®àë© ¢ ¤ «ì−¥©è¥¬ ¡ã¤¥â − §ë¢ âìáï ¯à¨¬¨â¨¢−ë¬. ‘â «® ¡ëâì, ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−ë¥  «£¥¡àë ¬ë ®â®¦¤¥á⢫塞 á ¯à¨¬¨â¨¢−묨 á।á⢠¬¨ − ¡«î¤¥−¨ï. „ «¥¥, − ¯®¬−¨¬, çâ® ¢áïªãî ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−ãî  «£¥¡àã A, ª ª ¨§¢¥áâ−®, ¬®¦−® ¯à¥¢à â¨âì ¢ ã−¨â à−ãî ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî  «£¥¡àã − ¤ ¯®«¥¬ Z2 ¢ëç¥â®¢ ¯® ¬®¤ã«î 2, á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¢¢¥¤ï ®¯¥à æ¨¨ á«®¦¥−¨ï ¨ ã¬−®¦¥−¨ï: def

pq = p ∧ q, def

p + q = (p ∧ q) ∨ ( p ∧ q), £¤¥ ∨ ¨ ∧ | ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−ë¥ á¢ï§ª¨, ª®−êî−ªæ¨ï ¨ ¤¨§êî−ªæ¨ï ᮮ⢥âá⢥−−®,   ç¥àâ  ®§− ç ¥â ®âà¨æ −¨¥. ‚á¥ í«¥¬¥−âë ¯®«ãç¥−−®© â ª¨¬ ®¡à §®¬  «£¥¡àë ¨¤¥¬¯®â¥−â−ë, â. ¥. a2 = a.  §®¢¥¬ ¡ã«¥¢®© ¢áïªãî ã−¨â à−ãî ª®¬¬ãâ â¨¢−ãî Z2  «£¥¡àã, ¢á¥ í«¥¬¥−âë ª®â®à®© ¨¤¥¬¯®â¥−â−ë. ¡à â−®, ¢áïªãî ¡ã«¥¢ã  «£¥¡àã ¬®¦−® ¯®−¨¬ âì ª ª ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−ãî ®â−®á¨â¥«ì−® ®¯¥à æ¨© def

p ∧ q = pq, def

p ∨ q = p + q + pq, def

p = 1 + p. â® ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯® áãé¥áâ¢ã −¥â −¨ª ª®£® à §«¨ç¨ï ¬¥¦¤ã ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−묨 ¨ ¡ã«¥¢ë¬¨  «£¥¡à ¬¨, ¨ 㯮âॡ«¥−¨¥ ®¤−®£® ¨§ íâ¨å ¤¢ãå â¥à¬¨−®¢ ¯à¨§¢ −® «¨èì ¯®¤ç¥àª−ãâì, ® ª ª¨å ®¯¥à æ¨ïå ¨¤¥â à¥çì ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ª®−⥪áâ¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᤥ« −−®¥ ¢ëè¥ ã⢥ত¥−¨¥ ¬®¦−® íª¢¨¢ «¥−â−ë¬ ®¡à §®¬ ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: ¡ã«¥¢ë  «£¥¡àë ïîâáï ¯à¨¬¨â¨¢−묨 á।á⢠¬¨ − ¡«î¤¥−¨ï.

à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨ ú®á−®¢ −¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨û

303

ã«¥¢ë ᯥªâàë. २¬ãé¥á⢮ ¯®á«¥¤−¥© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¢ ⮬, çâ® ®−  ¯®§¢®«ï¥â áࠧ㠦¥ ãᬮâà¥âì ¯®à §¨â¥«ì−ãî  − «®£¨î á ¬¥å −¨§¬®¬ − ¡«î¤¥−¨ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ ¢ ⮬ ¢¨¤¥, ª ª ®− ¨−â¥à¯à¥â¨à®¢ − ¢ í⮩ ª−¨£¥. ˆ¬¥−−®, ¢ ¯®á«¥¤−¥¬ R-§− ç−ë¥ èª «ë −ã¦−® § ¬¥−¨âì −  Z2 -§− ç−ë¥ (â. ¥. −  â¥, ª®â®àë¥ ú¯®ª §ë¢ îâû ⮫쪮 ú¤ û ¨ ú−¥âû) ¨ ¤®¡ ¢¨âì ãá«®¢¨¥ ¨¤¥¬¯®â¥−â−®áâ¨. â   − «®£¨ï ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® â®, çâ® ¬®¦−® − ¡«î¤ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ −¥ª®â®à®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë A, ï¥âáï ¥ñ Z2-ᯥªâ஬, â. ¥. ᮢ®ªã¯−®áâìî ¢á¥å ¥ñ £®¬®¬®à䨧¬®¢ ª ª ã−¨â à−®© Z2 - «£¥¡àë ¢ ã−¨â à−ãî Z2 - «£¥¡àã Z2. ¡®§− ç¨¬ 㯮¬ï−ãâë© á¯¥ªâà SpecZ2 ¨ § ¬¥â¨¬, çâ® ®− ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−®© ⮯®«®£¨¥© | ⮯®«®£¨¥© ‡ à¨á᪮£®. ®í⮬ã â®ç−¥¥ ¡ë«® ¡ë ᪠§ âì, çâ® ¡ã«¥¢ë  «£¥¡àë ¯®§¢®«ïîâ − ¡«î¤ âì ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà −á⢠ ¢¨¤  SpecZ2 , ª®â®àë¥ ¯® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ ¡ã¤ãâ ¤ «¥¥ − §ë¢ âìáï ¡ã«¥¢ë¬¨ ¯à®áâà −á⢠¬¨. ‚ á¢ï§¨ á ¯®á«¥¤−¨¬ ¥áâ¥á⢥−−® á¯à®á¨âì, ®¡« ¤ îâ «¨ ᯥªâàë ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à ¤à㣨¬¨, ®â«¨ç−묨 ®â ⮯®«®£¨ç¥áª®©, áâàãªâãà ¬¨, − ¯à¨¬¥à ¤¨ää¥à¥−æ¨à㥬®©, ª ª íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ᯥªâ஢ R- «£¥¡à. —¨â â¥«ì, á¯à ¢¨¢è¨©áï á ã¯à ¦−¥−¨¥¬ 4 ¨§ ¯. 9.45, 㦥 §− ¥â, çâ® ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ − ¤ ¡ã«¥¢ë¬¨  «£¥¡à ¬¨ âਢ¨ «ì−® ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¢á直© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à − ¤ â ª®©  «£¥¡à®© ¨¬¥¥â −ã«¥¢®© ¯®à冷ª, â. ¥. ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ ¬®¤ã«¥© − ¤ í⮩  «£¥¡à®©. â® ®§− ç ¥â, ¢ ç áâ−®áâ¨, çâ® ä¥−®¬¥− ¤¢¨¦¥−¨ï −¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨  ¤¥ª¢ â−® ®¯¨á − ¨ ¨áá«¥¤®¢ − ç¨áâ® «®£¨ç¥áª¨¬¨ á।á⢠¬¨, ¨«¨, £®¢®àï ¯®¯à®áâã, −  ¯®¢á¥¤−¥¢−®¬ ï§ëª¥ (á¬. ª« áá¨ç¥áª¨¥ «®£¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¤®ªáë −  íâã ⥬ã). ਢ®¤¨¬ ï −¨¦¥ æ¥−âà «ì− ï ¢ ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à ⥮६  ‘â®ã−  ¯®ª §ë¢ ¥â, ç⮠ᯥªâàë ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à ®¡« ¤ îâ «¨èì ®¤−®© −¥§ ¢¨á¨¬®© áâàãªâãன | ⮯®«®£¨ç¥áª®©. ‚ ¥ñ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯®«¥ Z2 á− ¡¦¥−® ¤¨áªà¥â−®© ⮯®«®£¨¥©.

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. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢

’¥®à¥¬  ‘â®ã− . ‚á类¥ ¡ã«¥¢® ¯à®áâà −á⢮ ï¥âáï  ¡á®«îâ−® −¥á¢ï§−ë¬ ª®¬¯ ªâ−ë¬ å ã᤮àä®¢ë¬ ¯à®áâà −á⢮¬ ¨ ®¡à â−®. ‚áïª ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à  ᮢ¯ ¤ ¥â á  «£¥¡à®© ®âªàëâ®-§ ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥á⢠᢮¥£® ᯥªâà  ®â−®á¨â¥«ì−® ⥮à¥â¨ª®-¬−®¦¥á⢥−−ëå ®¯¥à æ¨© ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© à §−®á⨠¨ ¯¥à¥á¥ç¥−¨ï.  ¯®¬−¨¬, çâ®  ¡á®«îâ− ï −¥á¢ï§−®áâì −¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ®§− ç ¥â, çâ® ¬−®¦¥á⢠, ïî騥áï ¢ −¥© ®¤−®¢à¥¬¥−−® ®âªàëâ묨 ¨ § ¬ª−ãâ묨, ®¡à §ãîâ ¡ §ã í⮩ ⮯®«®£¨¨. ®ï¢«¥−¨¥ íâ¨å ®¤−®¢à¥¬¥−−® ®âªàëâëå ¨ § ¬ª−ãâëå ¬−®¦¥á⢠¢ ¡ã«¥¢ëå ¯à®áâà −áâ¢ å ®¡êïá−ï¥âáï ⥬, çâ® ¢áïª ï ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì− ï  «£¥¡à  ®¡« ¤ ¥â ¥áâ¥á⢥−−®© ¤¢®©á⢥−−®áâìî. ˆ¬¥−−®, ®¯¥à æ¨ï ®âà¨æ −¨ï ®â®¡à ¦ ¥â ¥ñ −  ᥡï, ¯¥à¥áâ ¢«ïï ¯à¨ í⮬ ®¯¥à æ¨¨ ª®−êî−ªæ¨¨ ¨ ¤¨§êî−ªæ¨¨. ¡à â¨¬ â ª¦¥ ¢−¨¬ −¨¥ −  â®, ç⮠⥮६  ‘â®ã−  ï¥âáï ¡«¨§−¥æ®¬ â¥®à¥¬ë ® ᯥªâॠ(á¬. ¯¯. 7.2, 7.7). ˆå ¤®ª § â¥«ìá⢠ íªá¯«ã â¨àãîâ ®¤−ã ¨ âã ¦¥ ¨¤¥î, ®â«¨ç ïáì «¨èì ¢ â¥å â¥å−¨ç¥áª¨å ¤¥â «ïå, ª®â®àë¥ ®âà ¦ îâ ᯥæ¨ä¨ªã à áᬠâਢ ¥¬ëå ª« áᮢ  «£¥¡à. —¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¯®¯à®¡®¢ âì ¤®ª § âì íâã ⥮६㠢 ª ç¥á⢥ ã¯à ¦−¥−¨ï, § ¬¥â¨¢, çâ® í«¥¬¥−âë ¨á室−®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë ¥áâ¥á⢥−−® ®â®¦¤¥á⢫ïîâáï á ®âªàëâ®-§ ¬ª−ãâ묨 ¯®¤¬−®¦¥á⢠¬¨ ᢮¥£® ᯥªâà ,   ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à æ¨¨ ª®−êî−ªæ¨¨, ¤¨§êî−ªæ¨¨ ¨ ®âà¨æ −¨ï áâ −®¢ïâáï ¯à¨ í⮬ ⥮à¥â¨ª®-¬−®¦¥á⢥−−묨 ®¯¥à æ¨ï¬¨ ¯¥à¥á¥ç¥−¨ï, ®¡ê¥¤¨−¥−¨ï ¨ ¤®¯®«−¥−¨ï ᮮ⢥âá⢥−−®. ¥âàã¤−® ¢¨¤¥âì, ç⮠ᯥªâ஬ ª®−¥ç−®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë ï¥âáï ª®−¥ç−®¥ ¬−®¦¥á⢮, á− ¡¦¥−−®¥ ¤¨áªà¥â−®© ⮯®«®£¨¥©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢áïª ï ª®−¥ç− ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à  ®ª §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®àä−®©  «£¥¡à¥ ¢á¥å ¯®¤¬−®¦¥á⢠−¥ª®â®à®£® ¬−®¦¥á⢠. úƒ« § û ¨ úãè¨û. ®á«¥ ¢á¥å íâ¨å ¯à¨£®â®¢«¥−¨© ஫ì ú£« §û ¨ úã襩û ¢ ¯à®æ¥áᥠ− ¡«î¤¥−¨ï ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ०¤¥ ¢á¥£® úáëà ïû ¨−ä®à¬ æ¨ï, 䨪á¨à㥬 ï ®¤−¨¬ ¨§ − è¨å ®à£ −®¢ çã¢áâ¢, § ¯¨á뢠¥âáï − è¨¬ ¬®§£®¬ ¨ § â¥¬ ®â¯à ¢«ï¥âáï ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 à §¤¥« ¯ ¬ïâ¨. Œ®¦−®

à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨ ú®á−®¢ −¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨û

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¤ã¬ âì, çâ® ¢ ¯à®æ¥áᥠ§ ¯¨á¨ úáëà ïû ¨−ä®à¬ æ¨ï à §¡¨¢ ¥âáï −  í«¥¬¥−â à−ë¥ ¡«®ª¨, ú¬ ªà®áëû ¨ â. ¯., ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¬ àª¨àãîâáï á।á⢠¬¨ ¯®¢á¥¤−¥¢−®£® ï§ëª . ⨠¬ àª¨à®¢ª¨ −¥®¡å®¤¨¬ë ¤«ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¬ −¨¯ã«¨à®¢ −¨ï ¯®áâ㯨¢è¥© ¨−ä®à¬ æ¨¥©. ‘¨á⥬  ¯à¥¤«®¦¥−¨©, ®¡à §ãîé ï −¥ª®â®à®¥ ®¯¨á −¨¥, ¯®à®¦¤ ¥â ¨¤¥ « ã¯à ¢«ïî饩 ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë, ¢ë¤¥«ïî騩 ¢ ¥ñ ᯥªâॠᮮ⢥âáâ¢ãî饥 § ¬ª−ã⮥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮. ।áâ ¢¨¢, çâ® á ª ¦¤®© â®çª®© í⮣® ᯥªâà  á¢ï§ − í«¥¬¥−â à−ë© ¡«®ª, ¬ àª¨à®¢ −−ë©  áá®æ¨¨à®¢ −−ë¬ á −¥© ¬ ªá¨¬ «ì−ë¬ ¨¤¥ «®¬, ¬®¦−® ¯à¨©â¨ ª ¢ë¢®¤ã, çâ® ¢á类¬ã § ¬ª−ã⮬㠯®¤¬−®¦¥áâ¢ã ᯥªâà  á®®â¢¥âáâ¢ã¥â −¥ª®â®àë© ®¡à §, ¯®¤®¡−® ⮬㠪 ª ªà¨¬¨− «¨áâ ᮧ¤ ¥â ä®â®à®¡®â −  ®á−®¢ −¨¨ ࠧ஧−¥−−ëå ¤¥â «¥©, á®®¡é¥−−ëå ¥¬ã ᢨ¤¥â¥«ï¬¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,  ¡áâà £¨àãïáì ®â ú¬ â¥à¨ «ì−®£®û ᮤ¥à¦ −¨ï í«¥¬¥−â à−ëå ¡«®ª®¢ (íâ® ¬®¦¥â ¡ëâì úä®â®£à ä¨ïû  â®¬¨ç¥áª®£® äà £¬¥−â  §à¨â¥«ì−®£® ¨«¨ §¢ãª®¢®£® ®¡à §  ¨ â. ¯.), ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᮣ« á−® ®¯¨á −−®© á奬¥ â®çª ¬ ᯥªâà  ã¯à ¢«ïî饩 ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë, ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, çâ® ¢á¥, çâ® ¬®¦−® − ¡«î¤ âì −  ¯à¨¬¨â¨¢−®¬ ã஢−¥, ⠢⮫®£¨ç¥áª¨ ¨áç¥à¯ë¢ ¥âáï â®çª ¬¨ í⮣® ᯥªâà . ã«¥¢ë  «£¥¡àë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯à¨¬¨â¨¢−®¬ã ã஢−î. Ÿá−®, çâ® ¢áïª ï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨ áâண ï ª®−楯æ¨ï − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¤®«¦−  ¨á室¨âì ¨§ −¥ª®â®à®© ª®−楯樨 − ¡«î¤ â¥«ï, ¯®−¨¬ ¥¬®£® ª ª ᢮¥£® த  ¬¥å −¨§¬ ¯®«ãç¥−¨ï ¨ ¯¥à¥à ¡®âª¨ ¨−ä®à¬ æ¨î. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, ¯®−ï⨥ − ¡«î¤ â¥«ï ¤®«¦−® ¡ëâì ä®à¬ «¨§®¢ −® ¯à¨¬¥à−® ¢ â ª®¬ ¦¥ ¤ãå¥, ª ª, ᪠¦¥¬, ¯®−ï⨥  «£®à¨â¬  ä®à¬ «¨§ã¥âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¬ è¨−ë ’ìîà¨−£ . —⮡ë −¥ ®ª § âìáï  ¯à¨®à−®© ¬¥â ä¨§¨ç¥áª®© á奬®©, ¢á猪ï â ª ï ä®à¬ «¨§ æ¨ï, ®ç¥¢¨¤−®, ¤®«¦−  ãç¨â뢠âì úíªá¯¥à¨¬¥−â «ì−ë¥ ¤ −−ë¥û. ’ ª®¢ë¥ ¬®¦−® − ©â¨ ¢ ¯à ªâ¨ª¥ ª®−áâàã¨à®¢ −¨ï ¨ í¢®«î樨 ᮢ६¥−−ëå ª®¬¯ìîâ¥à−ëå á¨á⥬ ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å ¨¤¥ïå, áâ®ïé¨å §  −¨¬¨. ®í⮬ã á í⮩ 楫ìî ¯®«¥§−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ®â¤¥«ì−®£® ¬ â¥¬ â¨ª  ¨«¨, ¥éñ «ãçè¥, ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¥ á®®¡é¥á⢮, ¯®−¨¬ ¥¬®¥ ¢ ¤ãå¥ −®®áä¥àë ‚¥à− ¤áª®£®, ª ª ᢮¥£® த  ª®¬¯ìîâ¥à. ’®£¤ , ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã,

306

. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢

çâ® ®¯¥à æ¨®−− ï á¨á⥬  ¢á类£® ᮢ६¥−−®£® ª®¬¯ìîâ¥à  ï¥âáï ¯à®£à ¬¬®©, − ¯¨á −−®© −  ï§ëª¥ ¤¢®¨ç−ëå ª®¤®¢, ¬®¦−® ᪠§ âì, çâ® −¨ª ª®©  «ìâ¥à− â¨¢ë ª®−¥ç−®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¬¥å −¨§¬ , ®¯¨á뢠î饣® ¨−ä®à¬ æ¨î −  í⮬ ¯à¨¬¨â¨¢−®¬ ã஢−¥, −¥ áãé¥áâ¢ã¥â. Š ª ¨§ ç¨áâ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥−¨©, â ª ¨ ¨§ á®®¡à ¦¥−¨© ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¯à®áâ®âë ¡ë«® ¡ë −¥ã¤®¡−® ®£à −¨ç¨âì à §¬¥àë í⮩  «£¥¡àë ⥬ ¨«¨ ¨−ë¬ ç¨á«®¬, ᪠¦¥¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥−â à−ëå ç áâ¨æ ¢® ¢á¥«¥−−®©. ®í⮬㠥áâ¥á⢥−−® ¢§ïâì ᢮¡®¤−ãî ¡ã«¥¢ã  «£¥¡àã á® áç¥â−ë¬ ç¨á«®¬ ®¡à §ãîé¨å. ®−ï⨥ ã஢−ï − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ï¥âáï ¢ ¦−ë¬ ¢ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¬  − «¨§¥ á ¬®£® ¯®−ïâ¨ï − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, ¨ ¬ë ¥éñ à § ¥£® ®¡á㤨¬ −¨¦¥. Š ª ⥮à¨ï ¬−®¦¥á⢠®ª § « áì ¢ ®á−®¢ −¨ïå ¬ â¥¬ â¨ª¨. Š ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¢áïª ï ª®−¥ç− ï ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì− ï  «£¥¡à  ª −®−¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä−   «£¥¡à¥ ¢á¥å ¯®¤¬−®¦¥á⢠ᯥªâà   áá®æ¨¨à®¢ −−®© á −¥© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë. â®â ᯥªâà ª®−¥ç¥−, ¨ ¥£® ⮯®«®£¨ï ¤¨áªà¥â− . ® í⮩ ¯à¨ç¨−¥ ® ⮯®«®£¨¨ ¬®¦−® § ¡ëâì, −¨ç¥£® ¯à¨ í⮬ −¥ ¯®â¥àï¢.
®«¥¥ ⮣®, ª ¦¤ë© ª®−ªà¥â−ë© ¨−¤¨¢¨¤ãã¬, ®á®¡¥−−® ¥á«¨ ®− −¥ §− ª®¬ á ⥮ਥ© ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à, 㢥à¥− ¨ ï¢−® çã¢áâ¢ã¥â ú¢á¥¬¨ ᢮¨¬¨ ¯®à ¬¨û, çâ® − ¡«î¤ ¥â ¨¬¥−−® ¯®¤¬−®¦¥á⢠,   â®ç−¥¥ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¨¬¨ úä®â®à®¡®âëû. ®í⮬ã â ª®¥ −¥¯®á।á⢥−−®¥ ú¬ â¥à¨ «ì−®¥û ®éãé¥−¨¥ ï¥âáï ¨áâ®ç−¨ª®¬ ⮩ ¬ë᫨, çâ® ¯¥à¢¨ç−묨 ª¨à¯¨ç¨ª ¬¨ â®ç−®£®  ¡áâà ªâ−®£® ¬ëè«¥−¨ï ïîâáï úâ®çª¨û (úí«¥¬¥−âëû), á£à㯯¨à®¢ −−ë¥ ¢ úá®®¡é¥á⢠û | ¬−®¦¥á⢠. à¨−ï¢,   â®ç−¥¥ ®éã⨢ íâã ¨¤¥î ¯¥à¢¨ç−®á⨠ª®−楯樨 ¬−®¦¥á⢠ ¯®¤ ¤ ¢«¥−¨¥¬ ¤¨ªâ â  − è¨å −¥¯®á।á⢥−−ëå ®éãé¥−¨©, ¬ë ®ª §ë¢ ¥¬áï ¢ë−㦤¥−ë ¯®«®¦¨âì ⥮à¨î ¬−®¦¥á⢠¢ ®á−®¢ −¨¥ â®ç−®£® §− −¨ï, â. ¥. ¬ â¥¬ â¨ª¨.   ¯à¨¬¨â¨¢−®¬ ã஢−¥ ª®−¥ç−ëå ¬−®¦¥á⢠íâ®â ¢ë¡®à, ¢¢¨¤ã ᪠§ −−®£® ¢ëè¥, −¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î á ¯à¨−樯®¬ − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, â ª ª ª ¢á类¥ ª®−¥ç−®¥ ¬−®¦¥á⢮ ¥¤¨−á⢥−−ë¬ ¨ ¥áâ¥á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬ ¨−â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª ᯥªâà −¥ª®¥© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë. ¤− ª® ¥á«¨ ¬ë ¢ë室¨¬ §  ¯à¥¤¥«ë ª« áá  ª®−¥ç−ëå ¬−®¦¥áâ¢, á¨âã æ¨ï १ª® ¬¥−ï¥âáï:

à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨ ú®á−®¢ −¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨û

307

¯®−ï⨥ − ¡«î¤ ¥¬®£® ¬−®¦¥á⢠, â. ¥. ¡ã«¥¢  ¯à®áâà −á⢠, ¯¥à¥áâ ¥â ᮢ¯ ¤ âì á ¯®−ï⨥¬ ¬−®¦¥á⢠ ¢®®¡é¥. ®í⮬ã 㢠¦¥−¨¥ ¯à¨−樯  − ¡«î¤ ¥¬®á⨠§ áâ ¢«ï¥â − á ®âª § âìáï ®â ¨¤¥¨ à áᬠâਢ âì ⥮à¨î ¬−®¦¥á⢠ª ª ä®à¬ «ì−®«®£¨ç¥áª®¥ ®á−®¢ −¨¥ ¬ â¥¬ â¨ª¨ ¨ ¯®ª¨−ãâì íâ®â ¢®á¯¥âë© ƒ¨«ì¡¥à⮬ à ©. «®¤®â¢®à−®áâì í⮣® è £ , ¯®¬¨¬® ¯à®ç¥£®, ¢¨¤−  ¨§ ⮣®, çâ® ¯®§¢®«ï¥â áࠧ㠦¥ ¨§¡¥¦ âì ¬−®£¨å ¨¬¬ −¥−â−ëå ¯ à ¤®ªá®¢ ⥮ਨ ¬−®¦¥áâ¢.  ¯à¨¬¥à,  − «®£®¬ ú¬−®¦¥á⢠ ¢á¥å ¬−®¦¥áâ¢û ¢ − ¡«î¤ ¥¬®© ¬ â¥¬ â¨ª¥ ï¥âáï ú¡ã«¥¢® ¯à®áâà −á⢮ ¢á¥å ¡ã«¥¢ëå ¯à®áâà −áâ¢û. ®á«¥¤−ïï ¦¥ ª®−áâàãªæ¨ï ®ç¥¢¨¤−ë¬ ®¡à §®¬ −¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« , â ª ª ª −¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â −¨ª ª®© ⮯®«®£¨¨ ¢ ú¡ã«¥¢®¬ ¯à®áâà −á⢥ ¢á¥å ¡ã«¥¢ëå ¯à®áâà −áâ¢û. ˆ«¨ ¦¥ ú− ¡«î¤ ¥¬ë©û ¢ à¨ −â ú¬−®¦¥á⢠, (−¥) ᮤ¥à¦ é¥£® á¥¡ï ª ª í«¥¬¥−âû, â. ¥. ú¡ã«¥¢  ¯à®áâà −á⢠, (−¥) ᮤ¥à¦ é¥£® á¥¡ï ª ª í«¥¬¥−âû, − á⮫쪮 ªà á−®à¥ç¨¢, çâ® −¥ âॡã¥â ¤ «ì−¥©è¨å ª®¬¬¥−â à¨¥¢. ‚ á¢ï§¨ á í⨬ ¬®¦−® ¤®¯®«−¨â¥«ì−® § ¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï ⮣®, ç⮡ë − ¡«î¤ âì (−  ¯à¨¬¨â¨¢−®¬ ã஢−¥!) ¡ã«¥¢ë ¯à®áâà −á⢠ ª ª á ¬®áâ®ï⥫ì−ë¥ ®¡ê¥ªâë, −¥®¡å®¤¨¬  ®â¤¥«ì− ï, à §«¨ç îé ï ¨å ¡ã«¥¢   «£¥¡à .
 ¡«î¤ ¥¬ë¥ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥ áâàãªâãàë (£à㯯ë ã«ï). ’¥¯¥àì 㬥áâ−® á¯à®á¨âì, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© − ¡«î¤ ¥¬ë¥ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥ áâàãªâãàë. …᫨, − ¯à¨¬¥à, à¥çì ¨¤ñâ ® − ¡«î¤ ¥¬®© ¢ ú¡ã«¥¢®¬û á¬ëá«¥ £à㯯¥, â® ¯®¤ â ª®¢®© ¥áâ¥á⢥−−® ¯®−¨¬ âì ⮯®«®£¨ç¥áªãî £à㯯ã, −®á¨â¥«¥¬ ª®â®à®© ï¥âáï −¥ª®â®à®¥ ¡ã«¥¢® ¯à®áâà −á⢮. ’ ªãî £à㯯ã 㬥áâ−® − §¢ âì ¡ã«¥¢®©. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, £à㯯 
ã«ï | íâ® £à㯯®¢ ï áâàãªâãà  −  ᯥªâॠ−¥ª®â®à®©  «£¥¡àë
ã«ï. ˆ§¬¥−¨¢ ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥−¨¨ ª®−楯æ¨î − ¡«î¤ ¥¬®á⨠á ú¡ã«¥¢®©û −  ª« áá¨ç¥áªãî, ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ¯®−ïâ¨î £àã¯¯ë ‹¨, â. ¥. £à㯯®¢®© áâàãªâãàë −  ᯥªâॠª« áá¨ç¥áª®©  «£¥¡àë − ¡«î¤ ¥¬ëå.
 ¡«î¤¥−¨¥ − ¡«î¤ ¥¬ëå: à §«¨ç−ë¥ ã஢−¨ − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. ®¤®¡−® ⮬㠪 ª ®¯¥à æ¨®−− ï á¨á⥬  ª®¬¯ìîâ¥à  ¬ −¨¯ã«¨àã¥â ¯à®£à ¬¬ ¬¨ á«¥¤ãî饣® ã஢−ï, ¬®¦−® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ¡ã«¥¢ã  «£¥¡à㠯ਬ¨â¨¢−®£® ã஢−ï (á¬. ¢ëè¥),

308

. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢

â®çª¨ ᯥªâà  ª®â®à®© ¬ àª¨àãîâ ¤à㣨¥ â ª¨¥ ¦¥  «£¥¡àë. ˆ−묨 á«®¢ ¬¨, à¥çì ¨¤¥â ® ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à¥, − ¡«î¤ î饩 ¤à㣨¥ ¡ã«¥¢ë  «£¥¡àë. ˆâ¥à¨àãï íâã ¯à®æ¥¤ãàã, ¬®¦−® ¯à¨©â¨ ª ú− ¡«î¤ ¥¬ë¬ ®¡ê¥ªâ ¬û, ª®â®àë¥, ¥á«¨ § ¡ëâì ® ¬−®£®áâ㯥−ç â®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© á奬ë − ¡«î¤¥−¨ï, − ¨¢−® ¢®á¯à¨−¨¬ îâáï ª ª ¬−®¦¥á⢠, ¡®«¥¥ ¬®é−ë¥, 祬 ª®−¥ç−ë¥ ¨«¨ áçñâ−ë¥.  ¯à¨¬¥à, ®â¯à ¢«ïïáì ®â ¯à¨¬¨â¨¢−®£® ã஢−ï, ¬®¦−® ¢¢¥á⨠¢ − ¡«î¤ ¥¬ãî ¬ â¥¬ â¨ªã â®, çâ® ¢ ú−¥− ¡«î¤ ¥¬®©û á¢ï§ −® á ¨á¯®«ì§®¢ −¨¥¬ ¬−®¦¥á⢠ª®−â¨−ã «ì−®© ¬®é−®áâ¨. Œ®¦−® − ¤¥ïâìáï, çâ® −  í⮬ ¯ã⨠®ª ¦¥âáï ¢®§¬®¦−ë¬, ¢ ç áâ−®áâ¨, ª®−áâàãªâ¨¢−® ä®à¬ «¨§®¢ âì − ¡«î¤ ¥¬®áâì £« ¤ª¨å R- «£¥¡à, ª®â®àë¥, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ä®à¬ «¨§ãîâ ¯à®æ¥¤ãàã − ¡«î¤¥−¨ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥. „®«®© ⥮à¨î ¬−®¦¥áâ¢? ¥ã¤ ç  ¬−®£®ç¨á«¥−−ëå ¯®¯ë⮪ ¯®«®¦¨âì ⥮à¨î ¬−®¦¥á⢠¢ ä®à¬ «ì−®-«®£¨ç¥áª¨¥ ®á−®¢ −¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨,   â ª¦¥ á®®¡à ¦¥−¨ï − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, ¯à¨¢¥¤¥−−ë¥ ¢ëè¥, ¯®§¢®«ïîâ á 㢥à¥−−®áâìî ®â¢¥à£−ãâì íâã ¨¤¥î. Œë ¬®¦¥¬ â ª¦¥ § ¬¥â¨âì, çâ® ®−  − àãè ¥â 䨧¨®«®£¨ç¥áª¨¥ ®á−®¢ë 祫®¢¥ç¥áª®£® ¬ëè«¥−¨ï, ª®â®à®¥ ¡ §¨àã¥âáï −  £ à¬®−¨ç−®¬ (¢ ¨¤¥ «¥) ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ «¥¢®£® ¨ ¯à ¢®£® ¯®«ãè à¨© £®«®¢−®£® ¬®§£ . Š ª ¨§¢¥áâ−®, «¥¢®¥ ¨§ −¨å ï¥âáï ¡«®ª®¬ à æ¨®− «ì−®£® ¬ëè«¥−¨ï, ª®â®àë© ¢ëç¨á«ï¥â, à áá㦤 ¥â «®£¨ç¥áª¨ ¨ ¯à¨−¨¬ ¥â ¯à £¬ â¨ç−ë¥ à¥è¥−¨ï. „¢®©á⢥−−ë¬ ®¡à §®¬, ú¨àà æ¨®− «ì−®¥û ¬ëè«¥−¨¥, â. ¥. ¨−âã¨æ¨ï, ¯à¥¤çã¢á⢨ï, í¬®æ¨¨, ¢®®¡à ¦¥−¨¥ ¨ £¥®¬¥âà¨ï, ï¥âáï ¯à®¤ãªæ¨¥© ¯à ¢®£® ¯®«ãè à¨ï. …᫨ ¨−â¥à¥áãîé ï − á ¯à®¡«¥¬  ¤®áâ â®ç−® á«®¦−  ¤«ï ¯àאַ£® «®£¨ç¥áª®£®  − «¨§ , ¬ë ®¡à é ¥¬áï ª − è¥© ¨−âã¨æ¨¨ á ¢®¯à®á®¬, çâ® ¦¥ ¤¥« âì. Œë â ª¦¥ §− ¥¬, çâ® ¤«ï ¯®«ãç¥−¨ï 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì−®£® १ã«ìâ â  ¨−âã¨â¨¢−®¥ à¥è¥−¨¥ ¤®«¦−® ¡ëâì ¯®¤¢¥à£−ãâ® «®£¨ç¥áª®¬ã ª®−âà®«î ¨, ¢®§¬®¦−®, ®âª®à४â¨à®¢ −® −  í⮩ ®á−®¢¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯à¨−ïâ¨ï à¥è¥−¨ï, ¯®¨áª  à¥è¥−¨ï −¥ª®â®à®© ¯à®¡«¥¬ë ¨ â. ¯. ¯à®¨á室¨â ú¯¥à¥¤ ç  ã¯à ¢«¥−¨ïû ®â ®¤−®£® ¯®«ãè à¨ï ª ¤à㣮¬ã, ¨ ¯®¤®¡−ë¥ ¨â¥à æ¨¨ ¬®£ãâ

à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®á⨠¨ ú®á−®¢ −¨ï ¬ â¥¬ â¨ª¨û

309

®ª § âìáï ¬−®£®ªà â−묨. ‚áñ íâ®, ࠧ㬥¥âáï, ¢ ¯®«−®© ¬¥à¥ ª á ¥âáï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨å ¯à®¡«¥¬. ‹¥¢®¥ ¯®«ãè à¨¥, â. ¥.  «£¥¡à®- − «¨â¨ç¥áª¨© ¡«®ª − è¥£® ¬®§£ , −¥ ¢ á®áâ®ï−¨¨ − ©â¨ à¥è¥−¨¥ ¯à®¡«¥¬ë, á«®¦−®áâì ª®â®à®© ¯à¥¢ëè ¥â, ᪠¦¥¬, ¢®§¬®¦−®á⨠− è¥© ¯ ¬ïâ¨. „¥©á⢨⥫ì−®, ¨§ ¢á类© ¯à¥¤¯®á뫪¨ ¬®¦−® ¨§¢«¥çì ®ç¥−ì ¬−®£® «®£¨ç¥áª¨ ¯à ¢¨«ì−ëå ¢ë¢®¤®¢. ®í⮬㠯ਠç¨áâ® «®£¨ç¥áª¨-ä®à¬ «ì−®¬ ¯®¤å®¤¥ ç¨á«® 楯®ç¥ª, á®áâ ¢«¥−−ëå ¨§ §¢¥−쥢 ⨯  ¯®á뫪 -¢ë¢®¤, à áâ¥â á ¨å ¤«¨−®© ¯® ¬¥−ì襩 ¬¥à¥ íªá¯®−¥−樠«ì−®, ⮣¤  ª ª ⥠¨§ −¨å, ª®â®àë¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª à¥è¥−¨î, ®¡à §ãîâ ¨á祧 îé¥ ¬ «ãî ¤®«î ®â í⮣® ç¨á« . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¯à ¢¨«ì−ë¥ á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ ¯à ¢¨«ì−ëå ¯à¥¤¯®áë«®ª ¨§¢«¥ª îâáï − ã£ ¤,   −¨ç¥£® «ãç襣® «¥¢®¥ ¯®«ãè à¨¥ ¤¥« âì −¥ 㬥¥â, à á¯à®áâà −¥−¨¥ í⮩ ú«®£¨ç¥áª®© ¢®«−ëû ¢® ¢á¥ áâ®à®−ë ¯¥à¥¯®«−ï¥â − èã ¯ ¬ïâì áãé¥á⢥−−® à −ìè¥, 祬 ®−  ¤®á⨣−¥â à §ë᪨¢ ¥¬®£® − ¬¨ ®áâ஢ . …¤¨−á⢥−−ë¬ ¢ë室®¬ ¨§ í⮩ á¨âã æ¨¨ ï¥âáï − ¯à ¢«¥−¨¥ í⮩ ¢®«−ë ¢ − ¤«¥¦ é¥¥ àãá«®, â. ¥. ¢ë¡®à −  ª ¦¤®¬ è £¥ â¥å «®£¨ç¥áª¨å 室®¢, ª®â®àë¥ ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥−¥¥ − ¯àï¬ãî ¬®£ãâ ¢¥á⨠ª à¥è¥−¨î. ® çâ® ®§− ç ¥â ú− ¯àï¬ãîû? â® §− ç¨â, çâ® ¤®«¦−  ¡ëâì ¯®áâ஥−  ¯ −®à ¬  ¯à®¡«¥¬ë, −  ª®â®à®© ¬®¦−® ¯à®ç¥àâ¨âì ¢®§¬®¦−ë¥ ¯ã⨠¥ñ à¥è¥−¨ï. ‘âந⥫ìá⢮ â ª®© ¯ −®à ¬ë, ¨− ç¥ £®¢®àï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¡à §  ¯à®¡«¥¬ë, ¯à®¨á室¨â 㦥 ¢ ¯à ¢®¬ ¯®«ãè à¨¨, ª®â®à®¥ ¨ ᮧ¤ −® ¯à¨à®¤®© ¤«ï ¢ë¯®«−¥−¨ï ¯®¤®¡−®£® த  à ¡®â.
 §®¢ë¬ áâந⥫ì−ë¬ ¬ â¥à¨ «®¬, ¢ ⮬ çâ® ª á ¥âáï ¬ â¥¬ â¨ª¨, á«ã¦ â ¬−®¦¥á⢠. â® | ¬−®¦¥á⢠ ¢ − ¨¢−®¬ á¬ëá«¥, â ª ª ª ®−¨ ®¡¨â îâ ¢ ¯à ¢®¬ ¯®«ãè à¨¨. ®í⮬㠢áïª ï ¯®¯ë⪠ ä®à¬ «¨§®¢ âì ¨å, ¯¥à¥¬¥é ï ¨§ ¯à ¢®£® ¯®«ãè à¨ï ¢ «¥¢®¥, ï¥âáï − ¤à㣠⥫ìá⢮¬ − ¤ ¯à¨à®¤®© ¨ ª ª â ª®¢ ï ¤®«¦−  ¡ëâì ®â¢¥à£−ãâ . ˆâ ª, ®áâ ¢¨¬ ⥮à¨î ¬−®¦¥á⢠¢ ¯à ¢®¬ ¯®«ãè à¨¨, ¢ ⮩ ¥ñ − ¨¢−®© ä®à¬¥, ¡« £®¤ àï ª®â®à®© ®−  ®ª § « áì áâ®«ì ¯®«¥§−®©. ˆ−ä¨−¨â¥§¨¬ «ì− ï − ¡«î¤ ¥¬®áâì. ‚ëè¥ ¡ã«¥¢ë  «£¥¡àë ¡ë«¨ à áᬮâà¥−ë ª ª  − «®£¨ £« ¤ª¨å  «£¥¡à. ® ¬ë ¬®¦¥¬ ®¡à â¨âì ¯à¨®à¨â¥âë ¨ ᤥ« âì ¢áñ − ®¡®à®â. ‚ â ª®¬ à ªãàá¥

310

. Œ. ‚¨−®£à ¤®¢

®¯¥à æ¨¨, ¨«¨, «ãçè¥ áª § âì, äã−ªâ®àë ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï, ¯à¥¤áâ −ãâ  − «®£ ¬¨ «®£¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨©,   ®−® á ¬® | ¬¥å −¨§¬®¬ ¬ −¨¯ã«¨à®¢ −¨ï ¨−ä¨−¨â¥§¨¬ «ì−묨 ®¯¨á −¨ï¬¨. ⨬ ¬ë å®â¥«¨ ¡ë ¯®¤ç¥àª−ãâì ¨−ä¨−¨â¥§¨¬ «ì−ë©  á¯¥ªâ, á¢ï§ −−ë© á ¯à®¡«¥¬®© − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. ¥ª®â®àë¥ ú¯¥à¢¨ç−ë¥û äã−ªâ®àë ¡ë«¨ ®¯¨á −ë ¢ í⮩ ª−¨£¥. ®«−ë© ¨å ᯨ᮪ ¢¬¥áâ¥ á ¯à ¢¨« ¬¨ á®ç¥â −¨ï ¥áâ¥á⢥−−® ¯®−¨¬ âì ª ª  «£¥¡àã «®£¨ª¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ¨áç¨á«¥−¨ï.  ¡®âã, á¢ï§ −−ãî á ¯®«−®© ä®à¬ «¨§ æ¨¥© í⮩ ¨¤¥¨, ¥éñ ¯à¥¤á⮨⠧ ¢¥àè¨âì. ‚ § ª«îç¥−¨¥ á⮨⠮⬥â¨âì, çâ®, ¢ëà ¦ ïáì −¥ä®à¬ «ì−®, ¢ ¢®®¡à ¦ ¥¬®¬ ª®¬¯ìîâ¥à¥, ª®â®àë© ®¯¥à¨àã¥â á − ª®¯«¥−−ë¬ ¤® á¨å ¯®à ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ §− −¨¥¬, ¯à®£à ¬¬  ú„¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥û § ¢¥¤®¬® −¥ á®áâ ¢«ï¥â ç áâì ¥£® ®¯¥à æ¨®−−®© á¨áâ¥¬ë ¨, áâ «® ¡ëâì, − å®¤¨âáï −  ¡®«¥¥ ¢ë᮪®¬ ¯® áà ¢−¥−¨î á ¯à¨¬¨â¨¢−ë¬ (á¬. ¢ëè¥) ã஢−¥. â® ®§− ç ¥â, çâ® ¯®áâ஥−−ë¥ −  ¥£® ®á−®¢¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¡à §ë −¥«ì§ï âࠪ⮢ âì ᫨誮¬ ¬ â¥à¨ «ì−®. ‡  −¨¬¨ á«¥¤ã¥â ®áâ ¢¨âì â®â áâ âãá − ¨¢−®áâ¨, ® ª®â®à®¬ ¬ë £®¢®à¨«¨ ¢ëè¥. Š®−áâàãªâ¨¢−®¥ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥, à §¢¨â®¥ ¢ à ¬ª å ª®−áâàãªâ¨¢−®© «®£¨ª¨, ¨««îáâà¨àã¥â, çâ® ¬®¦¥â ¯à®¨§®©â¨, ¥á«¨ ¯à®¨£−®à¨à®¢ âì íâ® ¯à¥¤®áâ¥à¥¦¥−¨¥.

ˆ−¤¥ªá

C ∞ -§ ¬ª−ãâ ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R «£¥¡à , 54

¡ã«¥¢® ¯à®áâà −á⢮, 303 ¡ã«¥¢ë  «£¥¡àë, 301 ¡ã«¥¢ë £à㯯ë, 307 ¡ãâ뫪  Š«¥©− , 65 à áá«®¥−− ï − ¤ ®ªàã¦−®áâìî, 207

f-¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨©, 228 ॣã«ïà−ë©, 230 •-¨−¢ à¨ −â−ë¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï, 102 •-¨−¢ à¨ −â−ë¥ äã−ªæ¨¨, 72, 102

 ¤ ¯â¨à®¢ −−ë¥ ª®®à¤¨− âë, 234, 290  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨©, 61 −  ¤¥ª à⮢®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥−¨¨, 77  «£¥¡à  ᨬ¢®«®¢, 191 ª®¬¬ãâ â¨¢−®áâì, 191 ª®®à¤¨− âë, 198 áâàãªâãà   «£¥¡àë ‹¨, 193  â« á, 85 à §¬¥à−®áâì, 85 ᮣ« á®¢ −−®áâì, 85 ãá«®¢¨¥ • ã᤮àä , 87 ãá«®¢¨¥ áç¥â−®áâ¨, 87

¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥, 166 ¢¤®«ì ®â®¡à ¦¥−¨ï, 173 ƒ ¬¨«ìâ®−®¢®, 201 ª ª £« ¤ª®¥ á¥ç¥−¨¥, 167 −  ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¨, 172 ®â®¡à ¦¥−¨ï, 169 ã−¨¢¥àá «ì−®¥, 175 ¢¥ªâ®à−®¥ à áá«®¥−¨¥, 234 IM , 234 OM , 234  ¤ ¯â¨à®¢ −−ë¥ ª®®à¤¨− âë, 234 ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨©, 237 ¯àﬠï á㬬 , 253 à §¬¥à−®áâì, 234 á㬬  “¨â−¨, 253 ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¬®à䨧¬ë, 235 ¢à é î饥áï ⢥म¥ ⥫®, 11, 91

¡ §  ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï, 206 ¡¨«ìïठ−  ¤¨áª¥, 15

ƒ ¬¨«ìâ®−®¢ ä®à¬ «¨§¬ ¢ T ∗ M , 200

K-â®çª¨ k- «£¥¡àë, 126 R-â®çª¨, 39

311

312

£¥®¬¥âਧ æ¨ï ¬®¤ã«¥©, 241 £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à  C ∞ -§ ¬ª−ãâ ï, 54 £« ¤ª ï, 60 á ªà ¥¬, 61 £« ¤ª ï ®¡®«®çª , 57 ®£à −¨ç¥−¨¥, 50 ¯®«− ï, 52 à §¬¥à−®áâì, 60 £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à , 41 £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥C ∞ (M )-¬®¤ã«¨ ¨ ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï, 285 £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© C ∞ (M )-¬®¤ã«ì, 242 £« ¤ª ï  «£¥¡à , 60 à §¬¥à−®áâì, 66, 148 á ªà ¥¬, 61 £« ¤ª ï ®¡®«®çª , 57 £« ¤ª ï äã−ªæ¨ï  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 60 ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 94 £« ¤ª®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 60 ª®®à¤¨− â−®¥ ¬−®£®®¡à §¨ï, 88 á ªà ¥¬, 92 £« ¤ª®¥ ¬−®¦¥á⢮, 119 ª á â¥«ì−ë¥ ¢¥ªâ®àë, 164 £« ¤ª®¥ ®â®¡à ¦¥−¨¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 96 ¤¨ää¥à¥−樠«, 146, 148 ª®®à¤¨− â−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 105 £®¬®¬®à䨧¬ ®£à −¨ç¥−¨ï, 51 ƒà áᬠ−®¢® ¯à®áâà −á⢮, 90 ⠢⮫®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤, 217 ª ª ¯®¤à áá«®¥−¨¥ âਢ¨ «ì−®£®, 222 á¥ç¥−¨ï, 221 £à㯯  GL(n), 91 SO(3), 15, 108, 109

ˆ−¤¥ªá

SO(4), 109 SO(n), 91 ¤¥©á⢨¥, 71, 102 ¤¢®©−®© ¬ ïâ−¨ª, 83, 84, 91 ¤¢®©á⢥−−®¥ ¯à®áâà −á⢮ |F|, 39 ⮯®«®£¨ï, 43 ¤¦¥âë  «£¥¡à  Jz1 M , 158 Jzl M , 184 J l (M ), 277 ¢¥ªâ®à−®¥ ¯à®áâà −á⢮ Jzl P , 289 ¬−®£®®¡à §¨¥ J 1 M , 158 J l M , 185 ¬®¤ã«ì J l (P ), 293 à áá«®¥−¨¥ J 1 M , 159 J l P , 289 J l M , 186, 219 äã−ªæ¨©, 186 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬, 101 ¤¨ää¥à¥−樠« £« ¤ª®£® ®â®¡à ¦¥−¨ï, 146 ª®®à¤¨− âë, 148 äã−ªæ¨¨, 271 ¢ â®çª¥, 154 ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë¥ 1-ä®à¬ë, 271 ®â®¡à ¦¥−¨ï, 276 ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à ¢  «£¥¡à¥, 180 ¢ ¬®¤ã«¥, 189 ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥  «£¥¡àë, 169 ¢ ¬®¤ã«¥, 176 ¢ â®çª¥ ᯥªâà , 159 § ¬¥−  ª®«¥æ, 214, 281

ˆ−¤¥ªá

‡ à¨á᪮£® ⮯®«®£¨ï, 128 ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®¥ à áá«®¥−¨¥, 226  «£¥¡à ¨ç¥á ï ä®à¬ã«¨à®¢ª , 282 ¨−¤ãæ¨à®¢ −−ë¥ ¢¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï, 256 ª àâ , 82 ᮣ« á®¢ −−®áâì, 84 ª á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, 149 ᯥ樠«ì−ë©  â« á, 152 ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮, 141 ¡ §¨á, 145 § ¬¥−  ª®®à¤¨− â, 146 ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥, 152, 218, 236 á¥ç¥−¨ï, 220, 221 ª á â¥«ì−ë© ¢¥ªâ®à ¢ â®çª¥ ᯥªâà , 159 ¢ â®çª¥, 141 ª â¥£®à¨ï Modpf C ∞ (M ), 263 VBM ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©, 235 ª¢ §¨à áá«®¥−¨©, 209 ¬−®£®®¡à §¨© ª ª £« ¤ª¨å R- «£¥¡à, 100 ª ª £« ¤ª¨å  â« á®¢, 110 ª¢ §¨à áá«®¥−¨¥, 206 ª®ª á â¥«ì−®¥ ¬−®£®®¡à §¨¥, 153, 156 ᯥ樠«ì−ë©  â« á, 155 ª®ª á â¥«ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 157 ¢ â®çª¥, 153 ¬−®£®®¡à §¨ï, 153 ᯥªâà , 160 ª®ª á â¥«ì−®¥ à áá«®¥−¨¥, 156, 219, 236

313

á¥ç¥−¨ï, 221 ªà¥áâ, 120  «£¥¡à  £« ¤ª¨å äã−ªæ¨©, 120  «£¥¡à  ᨬ¢®«®¢, 198 ¢¥ªâ®à−ë¥ ¯®«ï, 171 £ ¬¨«ìâ®−®¢  ¬¥å −¨ª , 202 ª á â¥«ì−ë¥ ¯à®áâà −á⢠, 163 ¬®¤ã«¨ ¤¦¥â®¢, 281 ¬®¤ã«¨ ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ëå ®¯¥à â®à®¢, 184 ªà¨â¥à¨© âਢ¨ «ì−®á⨠à áá«®¥−¨©, 227 «¥¬¬  ¤ ¬ à , 33 «¨áâ Œñ¡¨ãá , 63, 97, 216, 227, 254 ¯àﬠï á㬬 , 225 «®ª «¨§ æ¨ï, 211 «®ª «ì−ë¥ ª®®à¤¨− âë, 83 ¬ ªá¨¬ «ì−ë© á¯¥ªâà, 132 ¬ âà¨æ  Ÿª®¡¨, 146 ¬−®£®®¡à §¨¥ ¤¦¥â®¢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , 158 ¯®à浪  l, 185 ¬®¤ã«ì ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨©, 170 á® §− ç¥−¨ï¬¨ ¢ ¬®¤ã«¥, 176 áâàãªâãà   «£¥¡àë ‹¨, 178 ¬®¤ã«ì á¥ç¥−¨©, 237 ¬ã«ì⨯«¨ª â¨¢−®¥ ¯®¤¬−®¦¥á⢮, 211 − ¡«î¤ ¥¬ë¥ ¨ ¯à¨−樯 − ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, 4, 138, 202, 297, 301 − ªàë⨥, 216 −¥¢¨¤¨¬ë¬ë© í«¥¬¥−â, 242 −®á¨â¥«ì ¬®¤ã«ï, 243 ®£à −¨ç¥−¨¥ R- «£¥¡àë, 50 ®£à −¨ç¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï, 226 ®â®¡à ¦¥−¨¥ ƒ ãáá , 231, 257

314

¯ à ««¥«¨§ã¥¬ë¥ ¬−®£®®¡à §¨ï, 219 ¯®¤¬−®£®®¡à §¨¥, 67 ¯®¤à áá«®¥−¨¥ ¢¥ªâ®à−®£® à áá«®¥−¨ï, 250 ¯®¤à áá«®¥−¨¥ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï, 210 ¯®¤à áá«®¥−¨ï, 222 ¯®¤ê¥¬ á¥ç¥−¨©, 229 ¯®«− ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï R- «£¥¡à , 52 ¯à ¢¨«® ‹¥©¡−¨æ , 141, 160, 166, 169, 176 ¯à¨§à ª¨, 133 ¯à®¥ªâ¨¢−®¥ ¯à®áâà −á⢮ RP 3 , 14, 108 RP n , 75, 89 ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨, 247 ¯à®¥ªæ¨ï ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï, 206 ¯à®¯®§¨æ¨®− «ì−ë¥  «£¥¡àë, 301 ¯à®á⮩ ᯥªâà, 126, 130 ¯à®áâà −á⢮ ƒà áᬠ−  ⠢⮫®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥ − ¤, 256 ¯àï¬ ï ¤¨áªà¥â− ï, 87 ¤«¨−− ï, 87 á ¤¢®©−®© â®çª®©, 87 ¯àﬠï á㬬  ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©, 253 ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨¥, 241 ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨ï ¨ ¬®¤ã«¨, 285 à §¬¥à−®áâì  â« á , 85 £« ¤ª®© R- «£¥¡àë, 60 ª àâë, 82 à áá«®¥−¨¥  «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 214

ˆ−¤¥ªá

£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 215 f-¬®à䨧¬, 228 ¢¥ªâ®à−®¥, 234 ¨−¤ãæ¨à®¢ −−®¥, 226, 282 ªà¨â¥à¨© âਢ¨ «ì−®áâ¨, 227 ®£à −¨ç¥−¨¥, 226 ¯®¤ê¥¬ á¥ç¥−¨©, 229 ॣã«ïà−ë© f-¬®à䨧¬, 230 à áá«®¥−¨¥ l-¤¦¥â®¢, 186, 219 á¥ç¥−¨ï, 221 à áá«®¥−¨¥ •®¯ä , 217 à áá«®¥−¨¥-¯à®¨§¢¥¤¥−¨¥, 206 ॣã«ïà−ë© f-¬®à䨧¬ à áá«®¥−¨©, 230 àï¤ ’¥©«®à , 34 á¥ç¥−¨¥ à áá«®¥−¨ï, 220 á¥ç¥−¨ï ¯á¥¢¤®à áá«®¥−¨©, 242 ᨬ¢®« ¤¨ää¥à¥−樠«ì−®£® ®¯¥à â®à , 191 ᪮¡ª  ã áá®− , 201 ᯥªâà ¬ ªá¨¬ «ì−ë©, 132 ¯à®á⮩, 126, 130 á㬬  “¨â−¨, 223 ¢¥ªâ®à−ëå à áá«®¥−¨©, 253 ⠢⮫®£¨ç¥áª®¥ à áá«®¥−¨¥, 217, 256 ª ª ¯®¤à áá«®¥−¨¥ âਢ¨ «ì−®£®, 222 á¥ç¥−¨ï, 221 ⥮६  ® ª á â¥«ì−®¬ ¢¥ªâ®à¥, 142 ® −¥ï¢−®© äã−ªæ¨¨, 110 ®¡ ®¡à â−®© äã−ªæ¨¨, 110 ⥮६  ‘â®ã− , 303

ˆ−¤¥ªá

â¥à¬®¤¨− ¬¨ª  ¨¤¥ «ì−®£® £ § , 22 ⮯®«®£¨ï ¢ |P |, 244 ‡ à¨á᪮£®, 128 −  ¤¢®©á⢥−−®¬ ¯à®áâà −á⢥ M = |F|, 43 â®â «ì−®¥ ¯à®áâà −á⢮ ª¢ §¨à áá«®¥−¨ï, 206 â®ç− ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì−®áâì, 239 ã−¨¢¥àá «ì−®¥ ¢¥ªâ®à−®¥ ¯®«¥, 175 ã−¨¢¥àá «ì−®¥ ¤¨ää¥à¥−æ¨à®¢ −¨¥  «£¥¡à ¨ç¥áª¨© á«ãç ©, 275 £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á«ãç ©, 273 ¤¥áªà¨¯â¨¢−®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥, 271 ã−¨¢¥àá «ì−ë© ¤¨ää¥à¥−樠«ì−ë© ®¯¥à â®à, 186, 279 ãá«®¢¨¥ • ã᤮àä , 87 áç¥â−®áâ¨, 87 ä ªâ®à¬−®£®®¡à §¨¥, 73 äã−ªâ®à D, 176 ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ®¡ê¥ªâ, 275 S −1 , 212 Di¨ l , 187, 189 ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ®¡ê¥ªâ, 280, 295 •, 242, 245 HomA (P, ·), 248  ¡á®«îâ−ë©, 190 § ¬¥−ë ª®«¥æ, 281 â®ç−ë©, 248 •®¯ä  ®â®¡à ¦¥−¨¥, 109 à áá«®¥−¨¥, 217

315

£« ¢«¥−¨¥ ।¨á«®¢¨¥

3

ƒ« ¢  1. ‚¢¥¤¥−¨¥

11

ƒ« ¢  2. ƒ« ¤ª¨¥ äã−ªæ¨¨ ¢ Rn

28

ƒ« ¢  3. «£¥¡àë ¨ â®çª¨

37

ƒ« ¢  4. ƒ« ¤ª¨¥ ¬−®£®®¡à §¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥−¨¥)

60

ƒ« ¢  5. Š àâë ¨  â« áë

82

ƒ« ¢  6. ƒ« ¤ª¨¥ ®â®¡à ¦¥−¨ï

96

ƒ« ¢  7. ª¢¨¢ «¥−â−®áâì ª®®à¤¨− â−®£® ¨  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥−¨© ƒ« ¢  8. ‘¯¥ªâàë ¨ ¯à¨§à ª¨

113 124

ƒ« ¢  9. „¨ää¥à¥−樠«ì−®¥ ¨áç¨á«¥−¨¥ ª ª  á¯¥ªâ ª®¬¬ãâ â¨¢−®©  «£¥¡àë ƒ« ¢  10. ƒ« ¤ª¨¥ à áá«®¥−¨ï ƒ« ¢  11.

137 204

‚¥ªâ®à−ë¥ à áá«®¥−¨ï ¨ ¯à®¥ªâ¨¢−ë¥ ¬®¤ã«¨ 233

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316

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317

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301 311