Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления Монография

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

А. В. Никитин, В. Ф. Шишлаков

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Монография Под редакцией В. Ф. Шишлакова

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2003

УДК 681.511.01 ББК 32.965 Н62 Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Н62 Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления: Монография / Под ред. В. Ф. Шишлакова; СПбГУАП. СПб., 2003. 358 с.: ил. ISBN 5-8088-0096-Х В монографии рассматриваются методы параметрического синтеза непрерывных, импульсных, дискретных, дискретно-непрерывных линейных и нелинейных систем автоматического управления, математическую основу которых составляет обращение прямого вариационного метода анализа (обобщенного метода Галеркина) на решение поставленной задачи, а также получение аналитических соотношений «вход–выход», определяющих интегралы Галеркина для широкого спектра нелинейных характеристик как в случае идеального АИМ, так и при учете конечной длительности замыкания модуляторов типа I и II. Приведен алгоритм программного комплекса, реализующий обобщенный метод Галеркина для синтеза параметров САУ.

Рецензенты: Институт проблем машиноведения Российской Академии наук; заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук, профессор А. В. Тимофеев

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве монографии

ISBN 5-8088-0096-Х

2

© ©

ГОУ ВПО СПбГУАП, 2003 А. В. Никитин, В. Ф. Шишлаков, 2003

ПРЕДИСЛОВИЕ Хорошо известно, что эффективность реализации любых технических решений зачастую не может достигать ожидаемого уровня из-за отсутствия в достаточной степени развитой теоретической базы. Именно это происходит в области создания современных нелинейных систем автоматического управления как непрерывных, так и содержащих импульсные модуляторы различных типов (амплитудные, широтные и частотные). Вместе с тем системы управления такого рода нашли чрезвычайно широкое применение в системах управления роботов и манипуляторов, в станкостроении, в транспортной, авиационной, оборонной, ракетостроительной и других отраслях промышленности. Проблема синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ высокого порядка, содержащих несколько нелинейных элементов, чрезвычайно сложна и многообразна. Она включает в себя как структурный, так и параметрический синтез систем управления отмеченных классов в рамках общепринятых критериев качества систем для регулярных и для случайных сигналов и помех, для стационарных и нестационарных САУ и т. п. При этом под критериями (показателями) качества систем автоматического управления понимаются: устойчивость, перерегулирование, время переходного процесса, точность, быстродействие, робастность и т. д. Современное состояние теории автоматического управления показывает, что успешного решения данной проблемы по всему комплексу показателей качества и для всего многообразия систем с единых математических и методологических позиций не найдено. Поэтому предпринимаются довольно успешные попытки создания общих теоретических подходов по отдельным направлениям проблемы. Все внимание в данной книге сосредоточено на разработке действенных универсальных методов, имеющих единую математическую и методологическую основу для параметрического синтеза нелинейных САУ высокого порядка с различными видами модуляции. Синтез параметров систем управления различных классов, содержащих в общем случае r 3

нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочнолинейную или степенную (алгебраическую) аппроксимацию, проводится с целью обеспечения в системе заданных показателей качества переходного процесса: перерегулирования, колебательности, времени затухания при безусловном обеспечении устойчивости и грубости САУ в пределах вариации искомых параметров и технических ограничений на их реализуемость. В качестве математического аппарата для решения поставленной задачи применяется обращение одного из прямых вариационных методов анализа – обобщенного метода Галеркина – на решение задачи синтеза. Следует отметить, что основы данного научного направления были заложены работами И. А. Орурка. Значительный вклад в становление научного направления внесен Л. А. Осиповым и В. Ф. Шишлаковым.

4

От редактора Настоящее издание продолжает и развивает научные идеи, нашедшие свое отражение в моей монографии «Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции», вышедшей в начале 2000 года. Материал монографии, который был переработан, существенно дополнен, а также по-иному скомпонован, включен в данную работу. Кроме того, в монографии обобщены и изложены новые научные результаты, полученные за последние несколько лет, которые распространяют обобщенный метод Галеркина на новые классы как нелинейных характеристик, так и систем автоматического управления. Компоновка как отдельных глав, так и книги в целом, на мой взгляд, является логически верной и удобной для восприятия читателями. Сначала излагаются теоретические вопросы, связанные с разработкой методов параметрического синтеза стационарных систем управления различных классов, математическую основу которых составляет обращение прямого вариационного метода анализа – обобщенного метода Галеркина (метода ортогональных проекций) – на решение поставленной задачи. При этом особое внимание сосредоточено на особенностях применения обобщенного метода Галеркина к синтезу САУ различных классов, которые недостаточно полно и подробно были рассмотрены в предыдущей монографии. После изложения теоретического материала подробно рассматривается алгоритм программного комплекса, основу которого составляют разработанные методы параметрического синтеза. В последней главе сосредоточены примеры, иллюстрирующие практическое использование программного комплекса к решению задач синтеза параметров систем управления различных классов: непрерывных, импульсных, дискретных, дискретно-непрерывных как линейных, так и нелинейных, в том числе содержащих звенья чистого запаздывания. В первой главе дается достаточно полный обзор методов анализа устойчивости и синтеза нелинейных импульсных систем управления, который показывает современное состояние теории автоматического управления в решении вопросов, рассматриваемых в книге. Обсуждаются достоинства и 5

недостатки точных и приближенных методов синтеза САУ различных классов. Отмечаются недостатки, ограничивающие область применения существующих подходов к решению задачи синтеза (в том числе, и параметрического) систем управления, связанные с ограничением на порядок дифференциальных уравнений, описывающих динамику САУ; с числом, видом и местоположением нелинейных элементов; с видом импульсного модулятора, используемого в системе. Несмотря на то, что область научных интересов авторов книги не связана с разработкой критериев устойчивости систем управления, вполне уместным и даже необходимым представляется наличие в данной главе обзора методов исследования устойчивости нелинейных импульсных САУ. Поскольку обеспечение устойчивости любой системы управления является первоочередной задачей, неотъемлемо связанной с синтезом регулятора, позволяющего реализовать в САУ заданные показатели качества ее работы в переходном и установившемся режимах. Во второй главе рассматриваются математические модели амплитудно-импульсных (АИМ), широтно-импульсных (ШИМ) и частотно-импульсных (ЧИМ) модуляторов, построенных во временной области, применение которых в дискретно-непрерывных моделях систем, определяет их описание на каждом из интервалов дискретности. Показано, что без перехода к разностным уравнениям, требующим получения аналитических решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, удается решать задачу синтеза обобщенным методом Галеркина с единых математических позиций для САУ широкого класса. Это в полной мере показано в общей схеме решения задачи параметрического синтеза стационарных (в общем случае нелинейных) систем, содержащих импульсные модуляторы различного вида обобщенным методом Галеркина. На основе общей схемы решения в последующих главах книги разрабатываются методы синтеза параметров САУ различных классов, учитывающие их определенные специфические особенности. Значительное внимание уделено вопросу задания желаемого программного движения в САУ произвольно высокого порядка, его аппроксимации основными (двумя – тремя) составляющими и установления взаимосвязи между показателями качества работы синтезируемой системы управления и параметрами ряда программных движений. Данный вопрос является крайне важным, поскольку при решении задачи синтеза любым методом, в том числе и методом ортогональных проекций, результат решения во многом зависит от грамотного задания желаемого 6

программного движения, параметры которого должны быть физически реализуемы синтезируемой системой управления. В третьей главе на основе общей схемы решения задачи синтеза осуществляется детальная проработка метода параметрического синтеза амплитудно-импульсных САУ, содержащих как однозначные, так и неоднозначные кусочно-линейные характеристики. Рассматривается получение аналитических соотношений «вход – выход», определяющих интегралы Галеркина как в случае идеального АИМ, так и при учете конечной длительности замыкания модуляторов типа I и II. На основе теории пределов доказана взаимосвязь рекуррентных соотношений, определяющих интегралы Галеркина, для непрерывных и амплитудно-импульсных систем управления при стремлении периода квантования к нулю. Показано эквивалентное преобразование кусочно-линейных характеристик, применение которого позволило распространить обобщенный метод Галеркина на САУ с нелинейностями произвольного вида, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию. В этой главе излагается принцип интервальной суперпозиции, использование которого дает возможность синтезировать методом ортогональных проекций нелинейные непрерывные и импульсные системы управления при программных движениях произвольного вида. Кроме того, в данной главе обобщенный метод Галеркина распространяется на новый класс систем – нестационарные САУ с амплитудноимпульсной модуляцией сигнала. В четвертой главе на основе общей схемы решения задачи синтеза разрабатывается метод синтеза параметров систем управления с ШИМ и ЧИМ как с линейными, так и нелинейными объектами управления. Рассматриваются специфические особенности применения метода к САУ указанных классов, обусловленные принципиально нелинейным характером преобразования сигнала широтно- и частотно-импульсными модуляторами. Приводятся алгоритмы программ, реализующие математические модели некоторых типов частотно-импульсных модуляторов, позволяющие определять значения периода следования импульсов на выходе ЧИМ, что необходимо для решения задачи синтеза. В пятой главе обобщенный метод Галеркина распространяется на линейные и нелинейные дискретные системы автоматического управления, содержащие несколько АИМ, которые могут работать как синхронно, так и несинхронно с одним и различными значениями периодов 7

прерывания. Показано, что метод позволяет при решении задачи синтеза учитывать особенности дискретных систем с цифровыми регуляторами, реализованными в виде последовательного импульсного фильтра, импульсного фильтра в цепи обратной связи, импульсного фильтра комбинированного типа, а также при реализации цифрового регулятора на микропроцессорах и микроЭВМ. В шестой главе обобщенный метод Галеркина развивается на системы управления со степенными (алгебраическими) нелинейными характеристиками, а также на САУ с несимметричными как кусочно-линейными, так и степенными нелинейностями. Рассматриваются подходы к решению вопроса аппроксимации нелинейных характеристик реальных элементов и устройств систем автоматического управления. Приводятся примеры, показывающие целесообразность и допустимость различных подходов к идеализации нелинейной характеристики в зависимости от задач исследования. Значительное внимание уделено вопросу представления гладких нелинейных характеристик кусочно-линейной аппроксимацией и связанной с этим задаче обеспечения необходимой точности в определении моментов переключения кусочно-линейной характеристики при непрерывном и импульсном входных сигналах. Даются рекомендации по согласованию величины периода прерывания АИМ с частотой желаемого программного движения, обеспечивающие достаточную для инженерных расчетов точность в определении значений моментов переключения. Показана возможность применения разработанного метода к решению задачи синтеза параметров различных видов систем экстремального регулирования как со стационарными, так и нестационарными экстремальными нелинейными характеристиками объекта управления. Рассмотрено решение задачи параметрического синтеза многорежимной экстремальной системы автоматического управления торможением колес транспортного средства. В седьмой главе подробно рассматривается логика работы как алгоритма программного комплекса, построенного на базе разработанных методов параметрического синтеза в целом, так и отдельных наиболее важных его составных частей. Программный комплекс может применяться для решения задачи синтеза параметров по заданным показателям качества переходного процесса линейных и нелинейных САУ, содержащих как идеальный импульсный элемент, так и модуляторы типов 8

I и II (в том числе, при наличии экстраполятора нулевого порядка), дискретных САУ при синхронной и несинхронной работе АИМ (с одной и несколькими частотами прерывания), широтно- и частотно-импульсных САУ как с линейными, так и нелинейными объектами управления, а также непрерывных систем и систем с запаздывающим аргументом. В восьмой главе приводятся примеры решения задач параметрического синтеза систем управления различных классов с помощью разработанного программного комплекса, показывающие его эффективность и достаточную для инженерных расчетов точность получаемых результатов. Материал книги написан мной, кроме подразд. 2.4, 3.6, 3.7, 8.5 и гл. 6, 7, которые были написаны совместно с А. В. Никитиным. В заключение хочу сказать слова благодарности моей жене Елене, которая в течение двадцатилетней совместной жизни оказывает мне неоценимую помощь и поддержку, без которых реализация научных идей была бы просто невозможна. Также благодарю своего старшего сына Дмитрия студента 3-го курса Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения, который взял на себя труд получения аналитических рекуррентных соотношений для ряда степенных нелинейных характеристик. Я признателен моему младшему сыну Андрею, доставлявшему мне в процессе работы над книгой радость и удовольствие своим музыкальным талантом. Особых слов благодарности заслуживает мой аспирант и соавтор Алексей Владимирович Никитин, упорство, кропотливый и добросовестный труд которого позволили за достаточно короткий срок реализовать целый ряд весьма интересных и перспективных научных идей. В. Ф. Шишлаков, доктор технических наук

9

Глава 1 ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В настоящем разделе дается обзор методов исследования устойчивости и решения задачи синтеза нелинейных импульсных систем управления с амплитудной, широтной и частотной модуляцией сигналов. 1.1. Исследование устойчивости нелинейных импульсных систем управления Одной из основных задач, решаемых при разработке систем управления, является исследование устойчивости САУ. Мощными инструментами анализа нелинейных систем автоматического управления являются метод функций Ляпунова и частотные методы. Они позволяют получать эффективные критерии устойчивости систем управления разных классов. В работе [1] А. М. Ляпунов исследовал асимптотические свойства (при неограниченном возрастании времени) непрерывных динамических систем, и сформулировал весьма общее определение одного из фундаментальных понятий теории таких систем, как понятие устойчивости движения. Метод Ляпунова основывается на исследовании некоторой функции (получила название функции Ляпунова), наличие которой определяет факт устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения системы управления. В дальнейшем понятие устойчивости движения было обобщено на дискретные динамические системы, описываемые разностными уравнениями. Первой работой, в которой строго сформулированы и доказаны дискретные аналоги теорем Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости, была монография П. В. Бромберга [2]. Основываясь на работах Н. Н. Красовского [3, 4], относительно нелинейной разностной системы Р. Е. Калман и Ж. Е. Бертрам [5] 10

предложили алгебраический критерий устойчивости систем управления с амплитудно-импульсной модуляцией, базирующийся на прямом методе Ляпунова. В монографии [6] В. И. Зубов для непрерывных систем свел задачу отыскания функций Ляпунова к нахождению решения дифференциального уравнения в частных производных, с помощью которого можно выбрать функцию, удовлетворяющую определенным условиям. Решение этого уравнения позволяет получить желаемую функцию Ляпунова. Результаты, полученные В. И. Зубовым, были обобщены на случай разностных уравнений Р. О. Шеа, который предложил несколько теорем, базирующихся на втором методе Ляпунова и обратном преобразовании. Каждый из критериев, предложенных на основе второго метода Ляпунова, используется для определенного класса нелинейных САУ, что является неизбежным из-за произвольного выбора функций Ляпунова. Обзор ряда аналитических критериев устойчивости амплитудно-импульсных систем управления: Р. О. Шеа, Н. Н. Пури и Р. Л. Дрейка, Р. Е. Калмана, основывающихся на втором методе Ляпунова, дан в монографии П. Видаля [7]. В большинстве работ, посвященных приложению метода Ляпунова к исследованию устойчивости импульсных систем, рассматривается амплитудно-импульсная САУ без запоминающего устройства, содержащая один нелинейный элемент [8, 9]. При этом используется функция Ляпунова в виде квадратичной формы, либо в форме А. И. Лурье [10], который предложил дополнить квадратичную форму интегралом от нелинейности. Различные аспекты применения прямого метода Ляпунова к дискретным системам управления как с одним, так и несколькими нелинейными элементами рассмотрены в работах [11–21] и др. Так в [18], рассматриваются дискретные САУ с несколькими нелинейными нестационарными элементами, для которых получены необходимые и достаточные условия существования функций Ляпунова из класса квадратичных форм с отрицательно определенной первой разностью. В работах [19, 20–22] для систем того же класса формулируются необходимые и достаточные условия абсолютной неустойчивости в случае расположения характеристики нелинейного звена в секторе. В работах Е. С. Пятницкого предлагаются итерационный [16] и градиентный [23] методы построения функций Ляпунова, допускающие реализацию на ЭВМ. Суть итерационного подхода состоит в том, что задача построения функций Ляпунова сводится к эквивалентной 11

минимаксной задаче математического программирования, что позволило получить критерий устойчивости в форме численных процедур и разработать алгоритмы численного построения областей абсолютной устойчивости непрерывных и дискретных САУ. При градиентном методе задача построения функций Ляпунова из класса квадратичных форм сводится к задаче отыскания седловых точек функции, которая не является выпукло-вогнутой. Данный поход разработан для непрерывных САУ с несколькими нелинейностями и развит на дискретные системы управления. В работе А. М. Родионова [24] условия абсолютной устойчивости дискретных уравнений получаются вторым методом Ляпунова с помощью нестандартных дискретных функционалов [25–27], которые позволяют получить простые достаточные условия абсолютной устойчивости коэффициентного типа. В [28] дано развитие теорем Векслера и Халаная [29] и предложены более жесткие требования к функциям Ляпунова, позволяющие найти притягивающие множества для нелинейных дискретных уравнений. Исследованию устойчивости больших систем с помощью метода Ляпунова посвящены работы В. М. Матросова [30–36] в которых предлагается использовать векторные функции Ляпунова. Метод сравнения с векторными функциями Ляпунова в [35] распространен на дискретные системы, динамика которых описывается конечно-разностными уравнениями. Обзор работ по методу векторных функций Ляпунова дан в статьях А. А. Воронова [37] и В. М. Матросова [36]. Исследования, распространяющие метод Ляпунова на нелинейные системы управления с широтной и частотной модуляцией, связаны с широким использованием систем указанных классов к задачам управления роботами и манипуляторами, различными подвижными объектами и т. д. Этому вопросу посвящены циклы работ В. М. Кунцевича, Ю. Н. Чехового [9, 38–43], в которых прямой метод Ляпунова применяется к одномерным и многомерным системам управления, содержащим широтные и частотные модуляторы. Таким образом, исследование устойчивости нелинейных импульсных САУ, основывающееся на втором методе Ляпунова, имеет весьма широкое распространение. Однако основная трудность в использовании данного подхода состоит в нахождении функций Ляпунова, поскольку в настоящее время не существует простого, надежного и хорошо разработанного ал12

горитма, обеспечивающего их построение для систем управления с модуляторами различных видов. Для исследования абсолютной устойчивости систем управления наряду с прямым методом Ляпунова широкое развитие и распространение в теории автоматического управления получили частотные методы, которые позволяют рассматривать САУ произвольно высокого порядка с нелинейностями довольно общего вида. В работе [44] В.М. Попов сформулировал критерий, позволяющий исследовать абсолютную устойчивость нелинейной непрерывной системы по частотным характеристикам ее линейной части. В последующих работах [45, 46] В. М. Попов предложил геометрическую интерпретацию аналитического критерия. Значительный вклад в развитие частотных критериев абсолютной устойчивости импульсных систем управления внесен работами Я. З. Цыпкина, Е. И. Джури, А. Х. Гелига, В. А. Якубовича. Так в работах [47–50], В. А. Якубович распространил метод исследования устойчивости В. М. Попова на системы автоматического управления с гистерезисными нелинейностями, с ограниченной производной нелинейной характеристики, с неединственным положением равновесия, а также на импульсные САУ с несколькими нелинейными и линейными нестационарными блоками. Е. И. Джури и Б. У. Ли [51, 52] получили частотный критерий устойчивости дискретных САУ со многими нелинейными элементами, математическую основу которого составляет частотный метод Попова. Показано, что при стремлении периода квантования к нулю критерий абсолютной устойчивости Джури–Ли переходит в критерий В. М. Попова. В работе [53] Е. И. Джури получил робастные модификации классических частотных критериев абсолютной устойчивости дискретных систем. В статье сформулированы критерии абсолютной устойчивости системы Лурье (САУ, состоящей из дискретного линейного стационарного объекта и статической безынерционной нелинейности в цепи обратной связи) при параметрической и непараметрической неопределенности линейной части, а также неопределенности стационарного запаздывания в цепи обратной связи. Для импульсных САУ Я. З. Цыпкиным [54–56] был получен аналог частотного критерия Попова. В дальнейшем критерий устойчивости Цыпкина был распространен на нелинейные дискретные системы управления с нейтральной и неустойчивой линейной частью 13

[57], на случай нестационарной нелинейной характеристики [58], а в [59] Я.З. Цыпкин предложил учитывать крутизну характеристики нелинейного элемента. Различные условия робастной абсолютной устойчивости дискретных САУ были разработаны Я.З. Цыпкиным в [60, 61]. В ряде работ [18, 62–64] критерий Цыпкина распространен на дискретные системы с нестационарными нелинейными характеристиками. Так А. П. Молчановым [63], для данного класса нелинейностей вариационным методом [62, 64] получены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых частотное неравенство Я. З. Цыпкина обеспечивает экспоненциальную устойчивость в заданном классе нелинейностей. В работе [65] предложен точный метод исследования периодических колебаний в САУ с различными видами модуляции, который является развитием метода, предложенного Я. З. Цыпкиным для релейных систем [66]. Метод дополнен графо-аналитическими методиками исследования колебаний в системах с наиболее распространенными видами модуляции. В работе А. Х. Гелига [67] предложен частотный критерий устойчивости импульсных систем с различными видами модуляции, основанный на методе усреднения сигнала на выходе модулятора [68]. Этот метод позволяет в рамках единого подхода рассматривать различные виды модуляции, при которых частота модуляции ограничена снизу (широтно-импульсная модуляция, некоторые разновидности частотно-импульсной модуляции, системы с комбинированной и фазовой модуляцией). Основная идея метода, предложенного А. Х. Гелигом близка к известному принципу эквивалентных площадей [69] и заключается в рассмотрении специальных локальных квадратичных связей: среднее значение сигнала на выходе модулятора связывается со значением модулирующего сигнала в некоторые дискретные моменты (частота следования которых совпадает с частотой модуляции). Метод усреднения нашел широкое применение при разработке частотных критериев устойчивости импульсных САУ различных классов [70–81]. А. Х. Гелигом и его учениками получены достаточные частотные условия существования простейших периодических режимов в САУ с ЧИМ как при отсутствии внешнего воздействия [72–74], так и при постоянном внешнем воздействии [75, 76]. В [77] получены доста14

точные частотные условия устойчивости в целом систем автоматического управления, включающих в свой состав несколько импульсных элементов, осуществляющих комбинированную широтно-частотную модуляцию. В работах [79, 80] на основе метода усреднения рассматривается абсолютная устойчивость САУ с интегральной широтно-импульсной модуляцией и однополярными ШИМ и ЧИМ. На примере последних показано, что описанные в [69, 70] локальные связи, могут быть сведены к традиционным интегральным квадратичным связям в рамках общей теории устойчивости [82]. Это дает возможность расширить область параметров САУ, для которой гарантируется устойчивость по сравнению с аналогичным критерием [70]. Системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией эффективно работают вблизи границ области устойчивости, поэтому важное значение имеют работы, посвященные методам, отыскивающим точные границы этих областей. Решение этой задачи рассматривается в статьях [83 – 86] применительно к САУ с ШИМ I, II и интегральным ШИМ. Для описания периодического режима используется импульсно-частотная характеристика [86, 87], что позволяет свести проблему устойчивости к проблеме расположения корней некоторой функции комплексного переменного. В [88] предложен алгебраический алгоритм определения точной границы области абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных импульсных систем, который применим к САУ произвольно высокого порядка с любым числом «секторных» нестационарных нелинейных характеристик. Как отмечается в [53] недостатком некоторых частотных критериев устойчивости нелинейных импульсных систем (в частности, критерий Джури–Ли) является то, что они не допускают графической интерпретации и требуют численной оптимизации на интервале от нуля до бесконечности. Поэтому с ростом числа неопределенных параметров затраты на вычисления оказываются неприемлемыми даже для мощных современных компьютеров. Однако некоторые методики исследования абсолютной устойчивости непрерывных и дискретных систем [89, 90] на основе критерия В. М. Попова с использованием схемы Рауса достаточно эффективны, в том числе для САУ произвольно высокого порядка со многими нелинейностями.

15

1.2. Синтез нелинейных импульсных систем автоматического управления При решении большинства практических задач по разработке систем автоматического управления различными объектами недостаточно обеспечить только устойчивость САУ, а также важно обеспечить заданные показатели качества их функционирования. Точным методом синтеза нелинейных систем управления является метод фазового пространства, предложенный применительно к непрерывным САУ А. А. Андроновым [91–95]. В монографии [7], а также в работах [96, 97], указанный метод синтеза распространен на нелинейные системы с амплитудно-импульсной модуляцией сигнала, описываемые двумя конечно-разностными уравнениями (метод дискретной фазовой плоскости). Этот метод дает возможность проводить качественный и количественный анализ переходных процессов, протекающих в системе при различных значениях параметров и при различных начальных условиях, а также производить выбор параметров оператора управления (регулятора). К методу дискретной фазовой плоскости тесно примыкает метод разделения движений [97, 98], использующий понятие фазового пространства. Основой данного метода синтеза является разделение полного движения импульсной САУ на быстрые и медленные составляющие, которым соответствуют системы уравнений более низкого порядка, чем исходные. Условием применимости этого подхода является так называемое «условие фильтра», предложенное в [97] и определяющее возможность расщепления исходной системы уравнений на две подсистемы меньшего порядка. Однако, как отмечается в [99, 100], методы фазовой плоскости, фазового пространства и их дискретные аналоги могут эффективно работать лишь для сравнительно простых систем, динамика которых описывается уравнениями невысокого порядка. В [101] А. С. Востриковым к решению задач синтеза дискретных САУ применяется принцип локализации. Основная идея принципа локализации близка к методу разделения движений [97, 98] и заключается в следующем: система строится так, чтобы всевозможные отклонения параметров возмущения отрабатывались в быстром контуре, который как бы локализует все возмущения, а требуемый вид переходного процесса обеспечивается медленным контуром. 16

Широкое распространение для решения задачи синтеза линейных импульсных систем получил метод z-преобразования [102–105]. Благодаря работам Е. И. Джури [106, 107], на основе метода z-преобразования был разработан метод корневых годографов, в котором используется свертка z-преобразований, позволяющая определять решение для дискретных САУ с нелинейными элементами определенного вида. Указанный метод применяется для исследования импульсных систем со слабонелинейными звеньями и позволяет найти выходной сигнал в дискретные моменты времени как функцию входного сигнала. Недостатком метода, предложенного Е. И. Джури, является необходимость представления нелинейности в виде разложения в конечный ряд, что приводит к линеаризации релейных характеристик. Ввиду сложности и трудоемкости точных методов исследования нелинейных непрерывных и дискретных САУ широкое распространение в инженерной практике получили приближенные методы. Большинство приближенных методов исследования систем указанных классов основывается на идеях гармонического баланса. Фундаментальные работы по этим подходам принадлежат Л. С. Гольдфарбу [108, 109], Е. П. Попову [110, 111] и ряду других ученых. В монографии [112] Б. С. Куо на основе z-преобразования, распространил метод гармонического баланса на импульсные системы. Необходимо отметить, что метод гармонического баланса и его дискретный аналог предназначены, в основном, для исследования нелинейных непрерывных и импульсных САУ, процессы в которых близки к синусоидальным. Поэтому данный подход особенно эффективен при исследовании периодических режимов в нелинейных системах [113–115]. Применению данного метода для исследования непрерывных систем посвящены работы Е. П. Попова, Ю. И. Топчеева, И. П. Пальтова, Е. И. Хлыпало [116–118], а для дискретных – М. М. Симкина [119, 120], Я. З. Цыпкина [121, 122], предложившего вариант метода гармонического баланса, основанный на использовании импульсных частотных характеристик линейной части системы. В работах [123–129] метод гармонического баланса распространен на системы с ЧИМ 2-го рода, поскольку данные САУ не допускают математического описания в терминах нелинейных разностных уравнений. Однако следует отметить, что метод имеет ограниченное применение почти исключительно для САУ, устойчивых в разомкнутом со17

стоянии [99, 130] и содержащих нелинейные элементы с характеристиками релейного типа [131]. Кроме того, точность данного метода связана главным образом с возможностью синусоидальной аппроксимации входных сигналов нелинейных элементов. При использовании метода гармонического баланса для дискретных систем существенно возрастает его сложность и трудоемкость вследствие необходимости учета влияния квантования по времени [114]. Трудность в использовании данного метода вызывает и постоянное смещение начальных точек отсчета на нелинейных статических характеристиках входных и выходных преобразователей, вызванное изменяющимися внешними условиями [99]. Применению частотных методов исследования как непрерывных, так и дискретных САУ посвящен целый ряд работ, в том числе работы В. В. Солодовникова [133–135]. В работе [133] дается обзор развития частотных методов и обоснование метода ортогональных спектров, рассматриваемого как обобщение классического частотного метода на основе понятия интегральных преобразований и ортогональных функций, позволяющего получить удобные для программирования на ЭВМ алгоритмы расчета систем управления. В работе [134] предлагается метод ортогональных моментов, базирующийся на идеях совместного применения ортогонального разложения и классической проблемы моментов, отмечается связь метода с положениями частотного подхода к анализу и синтезу САУ, а также показано его применение к исследованию линейных САУ с распределенными параметрами и дискретных систем. На идеях ортогонального разложения основываются методы расчета и проектирования САУ [136–139]. В работах [138, 139] излагаются особенности спектрального подхода к решению задач обработки информации и исследования САУ, указываются направления его развития, получившие свое отражение в обобщенной теории ортогональных преобразований. Как отмечается в монографии В. А. Бесекерского [99], аналитические методы исследования импульсных систем, предложенные в [140, 141] мало эффективны. Поэтому широкое распространение получили методы синтеза нелинейных импульсных САУ, основанные на рассмотрении линеаризованных систем с учетом влияния квантования по уровню в виде шумов квантования. Работы С. М. Федорова, Е. П. Попова, В. А. Бесекерского [142–152] и некоторые другие 18

посвящены синтезу импульсных систем управления с использованием логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ). Метод заключается в переходе от передаточных функций элементов системы, записанных в виде преобразования Лапласа, к z-преобразованию, а от него с помощью билинейного преобразования – в область псевдочастот. При этом наилучшее приближение ЛАЧХ нескорректированной САУ к желаемой достигается путем подбора соответствующего корректирующего устройства. В настоящее время указанная процедура алгоритмизирована и синтез частотным методом ведется с использованием ЭВМ [150]. При этом процедура синтеза формулируется как задача аппроксимации желаемой частотной характеристики разомкнутой импульсной САУ в выбранных частотах по критерию минимума средних квадратов. В [65] предлагается обобщающий закон время-импульсной модуляции, позволяющий проводить расчеты импульсных систем с позиций теории нелинейных САУ, а также разрабатывать методы и методики пригодные, как для всего класса время-импульсных систем, так и для отдельных подклассов (однополярные и двухполярные модуляторы). Предлагается осуществлять синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции графо-аналитически с использованием специального графического материала и логарифмических частотных характеристик. Методы исследования импульсных систем, основанные на частотном анализе, алгебре передаточных функций, преобразовании Лапласа и z преобразовании, играют значительную роль в теории автоматического управления вследствие их простоты и ясной связи с физической реализацией. Однако несмотря на широкую популярность частотного метода, которая обусловлена его наглядностью и простотой, а также тем, что с помощью данного подхода можно решать задачи структурного синтеза систем, ему присущи достаточно серьезные недостатки. Прежде всего – это сложность, а иногда и невозможность практической реализации (особенно для импульсных систем), получаемых в результате решения задачи синтеза передаточных функций корректирующих устройств, что существенно снижает эффективность частотного метода. Кроме того, метод применим к нелинейным системам лишь в случае гармонической или обобщенной линеаризации характеристик нелинейных элементов, что, несомненно, сказывается на точности получаемых результатов. 19

Более гибким методом, предназначенным для постановки задачи синтеза многомерных САУ на ЭВМ, является использование уравнений состояний, позволяющих осуществить четкую формализацию вычислительных процедур [153, 154]. Применение метода пространства состояний было стимулировано появлением работ Л. С. Понтрягина [155, 156], метода динамического программирования Р. Беллмана [157–159] и общей теорией фильтрации и управления, разработанной Р. Е. Калманом [160]. В настоящее время имеется значительное число работ, использующих метод пространства состояний для синтеза дискретных систем управления [161–171 и др.]. Матричное описание динамики систем управления приводит к тому, что САУ описываются дифференциальными или разностными уравнениями первого порядка, решение которых достаточно легко найти. Необходимо отметить, что разностные уравнения широко используются для описания динамики импульсных систем с различными видами модуляции сигнала. В монографиях В. Стрейца [153], Б. С. Куо [166], Ю. Т. Ту [167] показано, что метод эффективен для синтеза многомерных систем, систем со сложными законами прерывания и с большим числом переменных. Данный подход дает возможность найти путь к систематическому и планомерному решению задачи, что связано со значительными трудностями при использовании классических методов. Описание в пространстве состояний позволяет унифицировать описание одномерных и многомерных систем с различными типами квантования, может применяться к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем, а также является естественным и удобным для решения задач на ЭВМ. Вопросам синтеза систем управления методом пространства состояний с использованием ЭВМ посвящен ряд работ [167, 170, 171] и др., в которых достаточно подробно и обстоятельно рассматриваются достоинства и недостатки присущие данному подходу. Из последних следует отметить существенное увеличение объема вычислений при исследовании нелинейных дискретных САУ, что снижает эффективность метода. В монографии [167] говорится о значительных трудностях в использовании метода пространства состояний при наличии в дискретной САУ даже одного нелинейного звена и невозможности использования данного метода при нескольких нелинейностях. 20

Существенный прогресс в вопросах исследования динамики систем с частотно- и широтно-импульсной модуляцией связан с работами В. М. Кунцевича [38–40], которые положили начало теоретическим исследованиям частотно-импульсных систем с законом импульсной модуляции I-го рода. Дальнейшее развитие данного направления связано с работами Ю. Н. Чехового [41–43]. В работе [9] разрабатывается теория систем с ШИМ и ЧИМ на основе использования разностных уравнений и приводится значительное число примеров решения практических задач, иллюстрирующих предлагаемые авторами подходы. Вопросам обращения прямых вариационных методов анализа на решение задачи синтеза нелинейных систем управления посвящены работы И. А. Орурка [89, 90, 172] и П. Д. Крутько [173, 174], в которых дается высокая оценка перспективам решения задачи синтеза САУ данного класса во временной области. В работах [89, 90] Л. А. Осиповым показана возможность обращения метода наименьших квадратов, метода Галеркина, обобщенного метода Галеркина (метода ортогональных проекций) на решение задачи синтеза непрерывных нелинейных САУ. В дальнейшем под руководством И. А. Орурка обобщенный метод Галеркина был распространен его учениками на импульсные линейные и нелинейные САУ с идеальным амплитудно-импульсным модулятором и системы со звеньями запаздывания [90]. Решение сложных практических задач синтеза систем управления указанных классов, описываемых нелинейными уравнениями высокого порядка, показало высокую эффективность метода ортогональных проекций. В последнее время большое внимание уделяется моделям и методам исследования систем, содержащих дискретные и непрерывные компоненты [175–179], что связано с массовым внедрением вычислительной техники в системы управления непрерывными объектами. Как отмечается в [175] использование классических методов теории дискретных систем, опирающихся на дискретные операционные преобразования, применительно к непрерывно-импульсным системам (даже в линейном плане) малоэффективно. Поэтому в ряде работ [65, 175, 177] предпринимаются попытки создания универсального математического аппарата, описывающего динамику непрерывно-импульсных систем (в зарубежной литературе называемых гибридными). 21

В работах зарубежных авторов, обзор которых приведен в [176], предлагается применять к непрерывно-импульсным системам подход, связанный с переходом в гибридное пространство состояний с помощью специального математического аппарата, который отличается значительной громоздкостью. Для систем управления данного класса Е. Н. Розенвассер [175] предлагает использовать метод, являющийся обобщением подхода, изложенного в [180, 181]. Основная идея предлагаемого метода заключается в использовании переходных передаточных функций, что дает возможность построить единое математическое описание непрерывных, импульсных и непрерывно-импульсных систем. В работах [177–179, 182–186] обсуждается описание дискретно-непрерывных САУ в виде дискретных моделей. Так в [182–186], рассматриваются вопросы сохранения качественных свойств систем автоматического управления непрерывными процессами, использующими ЭВМ, при их дискретизации по методам Эйлера, Рунге–Кута, Адамса и др. В [187] рассматривается построение моделей импульсных модуляторов различных типов во временной области. Это дало возможность разработки дискретно-непрерывных моделей систем, определяющих их описание на каждом из интервалов дискретности. Данные модели позволяют без перехода к разностным уравнениям, требующим получения аналитических решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, решать задачу параметрического синтеза обобщенным методом Галеркина с единых математических позиций для широкого класса стационарных САУ. Таким образом, обобщенный метод Галеркина получил свое дальнейшее развитие. В [187] В. Ф. Шишлаковым обобщенный метод Галеркина был распространен на системы с различными видами модуляции сигнала и САУ с неоднозначными нелинейными характеристиками и нелинейностями произвольного вида, допускающими кусочно-линейное представление, а также системы с дискретными регуляторами при синхронной и несинхронной работах импульсных элементов с одинаковыми и разными значениями периодов прерывания. Этот материал в несколько переработанном и дополненном виде представлен в настоящей монографии. На рис. 1.1 показаны классы стационарных систем автоматического управления, параметрический синтез которых может осуществляться с помощью обобщенного метода Галеркина. 22

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫЕ

НЕЛИНЕЙНЫЕ

без звеньев запаздывания

Импульсные

со звеньями запаздывания

Непрерывные

с идеальным АИМ с идеальным АИМ и экстраполятором нулевого порядка

Дискретные

прерывание синхронное одинаковая частота прерывания

прерывание несинхронное различные частоты прерывания

с АИМ типа I с АИМ типа II с ШИМ с ЧИМ

Рис. 1.1

Результаты совместной работы авторов данной книги позволили расширить границы применимости метода ортогональных проекций, распространив подход на непрерывные и импульсные системы управления с алгебраическими (степенными) нелинейными характеристиками, несимметричными алгебраическими и кусочно-линейными характеристиками. Кроме того, соавторами сделаны шаги в вопросе решения обобщенным методом Галеркина задачи параметрического синтеза нестационарных систем управления с амплитудно-импульсной модуляцией, что представляется весьма перспективным с точки зрения существенного расширения класса САУ, синтезируемых с единых математических и алгоритмических позиций. 23

Глава 2 ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА В данном разделе рассматривается общая схема решения задачи параметрического синтеза нелинейных систем автоматического управления с различными видами модуляции сигнала обобщенным методом Галеркина, а также вопрос построения желаемого программного движения при решении задачи синтеза параметров САУ произвольно высокого порядка и рекомендации по аппроксимации данного движения основными составляющими. 2.1. Математические модели импульсных элементов Импульсной системой автоматического управления (САУ) называется любая динамическая система, в которой информация передается с помощью определенной временной последовательности стандартных импульсов. Данная последовательность может быть получена с помощью импульсного модулятора, входной сигнал которого является носителем информации (модулирующая функция). Несущая импульсная последовательность может состоять из импульсов различной формы (δ-функция, прямоугольные импульсы и т. д.). Как правило, при модуляции форма несущих импульсов постоянна, а изменяется какой-либо параметр, характеризующий размеры импульса (амплитуду, длительность) или его местоположение в импульсной последовательности (фазу, интервал между импульсами). В теории импульсных систем автоматического управления [9, 142, 143, 169] существуют различные способы классификации видов импульсной модуляции. Приведем здесь тот из них, который представляется наиболее удобным для последующего изложения. В зависимости от вида модулируемого параметра различают амплитудно-импульсную (импульсная дискретная и импульсная цифровая) 24

(рис. 2.1, а, б, в), широтно-импульсную (рис. 2.1, г) и частотно-импульсную (рис. 2.1, д) модуляцию. При амплитудно-импульсной модуляции модулируется амплитуда (высота) импульса, при широтно-импульсной модуляции – длительность (ширина) импульса, при частотноимпульсной модуляции – интервал между импульсами (величина обратная частоте), а размеры импульса (его амплитуда и длительность) остаются неизменными. При рассмотрении САУ с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) импульсный элемент (модулятор) обычно считают идеальным. При этом понятие импульсного элемента можно вводить двояко. Если предположить, что импульсный элемент генерирует решетчатую функцию с периодом T, образованную из входного непрерывного сигнала, то сигнал на выходе импульсного элемента определяется выражением вида [169] x ∗ (t ) = x (t )

t =nT

,

где T – период квантования. Можно представить, что идеальный импульсный элемент генерирует с периодом T последовательность бесконечно коротких импульсов типа δ-функции, площадь которых пропорциональна непрерывному сигналу на входе импульсного элемента в моменты времени t = nT [169] x ∗ (t ) =

∞

∑ x (nT ) δ (t − nT ),

n =0

(2.1)

здесь ∞

x (nT ) = x (t ) δ (t − nT ) dt,

∫ 0

величина n-го дискретного значения; δ (t − nT ) – задержанная импульсная функция, существующая при t = nT ; T – период прерывания, интервал времени между соседними импульсами. Таким образом, импульсный элемент эквивалентен модулятору, в котором в качестве модулирующего сигнала используется входной сигнал x(t), а в качестве несущего – последовательность единичных им∞

пульсов

∑ δ (t − nT ) .

n =0

25

Необходимо отметить, что представление импульсного элемента в виде (2.1) не соответствует действительности, так как никакой реальный импульсный элемент не может генерировать бесконечно короткие импульсы бесконечной амплитуды [142, 169]. Однако такой подход к представлению импульсного элемента позволяет упростить математическое описание систем управления с АИМ и поэтому широко используется в теории дискретных систем управления. Принятое допущение об идеальности импульсного элемента справедливо для дискретных импульсных и цифровых САУ в случае малой длительности замыкания, а также, если в системе стоит экстраполятор определенного порядка. В целом ряде реальных импульсных систем замыкание АИМ происходит не мгновенно, что приводит к необходимости учета ширины импульса при решении задач синтеза и исследования динамики САУ. Сигналы на выходе реальных амплитудно-импульсных модуляторов могут быть двух типов [142] (рис. 2.1, б, в). В качестве импульсного элемента может использоваться аналог падающей дужки гальванометра, генерирующей прямоугольные импульсы (рис. 2.1, б), высота которых пропорциональна амплитуде входного непрерывного сигнала в моменты квантования. Кроме того, в качестве импульсного элемента может использоваться звено типа ключа, которое по какой-либо внешней причине производит замыкание цепи короткими импульсами через равные промежутки времени. Отличие импульсного элемента типа «ключ» от импульсного элемента типа «падающая дужка» заключается в том, что он как бы вырезает отдельные участки из непрерывного входного сигнала (рис. 2.1, в). В дальнейшем будем называть импульсный элемент типа «падающая дужка» – импульсным элементом типа I, а импульсный элемент типа «ключ» – импульсным элементом типа II. Тогда сигнал на выходе импульсного элемента типа I описывается следующим образом:

x ∗ (t ) =

∞

∑ x (nT ) 1(t − nT ) − 1(t − (nT + τ )) ,

(2.2)

n =0

где τ = γT – ширина импульса, здесь γ < 1. Сигнал на выходе импульсного элемента типа II описывается уравнением 26

а)

x

t

0

б)

τ

0

A – var; T – const; τ – const t

T x* τ

в)

0

τ1

τ2 A – const; T – const; τ – var

0

0

t

T x*

д)

t

T x*

г)

A – var; T – const; τ – const

τ A – const; T – var; τ – const

T1 T2 T3

t

Рис. 2.1

27

x ∗ (t ) = x (t )

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (nT + τ )) ,

n =0

(2.3)

где x(t) – сигнал на входе модулятора. В большинстве импульсных САУ высокочастотные составляющие, появляющиеся в полезном сигнале в результате процесса прерывания должны быть отфильтрованы. Несмотря на то, что большая часть нежелательных дополнительных сигналов фильтруется элементами системы, часто на выходе модулятора ставятся формирующие элементы, осуществляющие экстраполяцию сигнала. В результате данной операции на выходе модулятора с запоминающим устройством воспроизводится огибающая функция сигнала. Как показано в [169], значение экстраполирующей временной функции в промежутке между последующими моментами прерывания nT и (n+1)T зависит от значений функции в предыдущие моменты nT, (n–1)T,..., и поэтому сигнал на выходе экстраполятора k-го порядка можно представить следующим образом: x∗ (t ) = x (nT ) + x (1) (nT )(t − nT ) + +

k 2 x ( ) ( nT ) x ( ) ( nT ) (t − nT )2 +
+ (t − nT )k , k! 2!

где x(nT) – значение x(t) при t = nT; x(1)(nT), x(2)(nT),..., x(k)(nT) – значения производных x(1)(t), x(2)(t),..., x(k)(t), найденных при t = nT. Запоминающие элементы высокого порядка дают лучшее воспроизведение временной функции по ее дискретным значениям. Вместе с тем они вносят в систему значительный фазовый сдвиг, поэтому на практике используются, как правило, экстраполяторы нулевого (реже первого и второго) порядка. Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка −T   T −Tp  1 − e e 0  T0 p  Wэ ( p ) =  , p (T0 p + 1)

(2.4)

где T0 – постоянная времени разряда запоминающего элемента. Во временной области сигнал на выходе запоминающего элемента нулевого порядка может быть записан [169] 28

x (t ) = ∗

−(t −nT )

где e

T0

∞

∑ x (nT )e

−(t −nT )

T0

n =0

1(t − nT ) − 1(t − (n + 1)T ) ,

(2.5)

– функция, описывающая кривую разряда запоминающе-

го элемента за время хранения. Известно, что постоянная времени T0 обычно настолько велика, что могут быть приняты следующие допущения: e

−T

T0

≈ 1;

T0 p ≈ 1, T0 p + 1

тогда выражения (2.4) и (2.5) принимают вид Wэ ( p ) = x ∗ (t ) =

1 − e −Tp , p

∞

∑ x (nT ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + 1)T ) .

(2.6)

n =0

Рассмотренный модулятор является линейным в том смысле, что входной и выходной сигналы подчинены принципу суперпозиции, в то время как широтно-импульсный и частотно-импульсный модуляторы необходимо рассматривать как нелинейные элементы, для которых принцип суперпозиции неприменим. Так для импульсного элемента с ШИМ состояние САУ в конце периода квантования является суммой вектора, зависящего от состояния системы в начале периода, и вектора, длина и направление которого – нелинейные функции ширины импульса. Полагаем, что импульсный модулятор типа ШИМ генерирует последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды A = const, знак которых совпадает со знаком квантуемого сигнала. Тогда, для n-го периода регулирования сигнал на выходе модулятора описывается следующим образом [187–189]:  Asignxn , nT ≤ t ≤ nT + T jn ; x ∗ (t ) =  nT + T jn < t < (n + 1)T ,  0,

(2.7) 29

где T – период квантования; Tj – длительность j-го импульса; Tjn = kjT – ширина j-го импульса, когда nT ≤ t ≤ (n+1)T, здесь kj изменяется в пределах от 0 до 1. Из соотношения (2.7) следует, что система с широтно-импульсным модулятором обладает двумя видами нелинейностей: нелинейность, обусловленная ограничением максимальной ширины импульса, и нелинейность, свойственная самому принципу управления в САУ с ШИМ. Поскольку модулятор формирует последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды A, то систему уравнений (2.7), описывающую сигнал x*(t), вид которого показан на рис. 2.1, г, можно записать в виде одного уравнения x (t ) = A ∗

∞

∑ signxn 1(t − nT ) − 1(t − (nT + T jn )) ,

n =0

(2.8)

где sign xn – знак сигнала x(t) на входе модулятора в моменты квантования. С учетом соотношения Tjn = kjT, связывающего ширину j-го импульса с длительностью периода квантования T, формула (2.8) будет x ∗ (t ) = A

∞

∑ signxn 1(t − nT ) − 1(t − (n + k j )T ) ,

n =0

(2.9)

Системы управления, содержащие частотно-импульсные модуляторы, являются непериодическими и существенно нелинейными (подобно релейным и релейно-импульсным САУ). Во многих режимах САУ с ЧИМ не допускают линеаризацию даже при малых глубинах модуляции [9], что существенно осложняет решение задачи синтеза параметров подобных систем. Будем полагать, что сигнал на выходе модулятора представляет собой последовательность прямоугольных импульсов амплитуды A = const, период следования которых Tn зависит от сигнала на входе ЧИМ (рис. 2.1, д). Сигнал на выходе ЧИМ может быть в общем виде описан следующим выражением: ∞

x∗ (t ) = A∑ signx (Tn ) 1(t − Tn ) − 1(t − Tn − τ ) , n =0

30

(2.10)

где τ – длительность импульса на выходе модулятора; Tn – период следования импульсов на выходе модулятора, величина которого зависит от сигнала x(t) на входе модулятора. 2.2. Постановка задачи синтеза и общая схема ее решения Задача синтеза систем автоматического управления, содержащих модуляторы различного вида, рассматривается в следующей постановке. Предполагается, что известна структура синтезируемой САУ и параметры объекта управления. Параметры регулятора (оператора управления), структура которого задана в самом общем виде, определяются из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества работы САУ в переходном режиме (времени переходного процесса – Tп.п; перерегулирования – σ; колебательности – µ). При этом, безусловно, должна обеспечиваться устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам. Ввиду того, что число искомых параметров может быть любым, оператор управления структурно может быть задан со значительной избыточностью. В этом случае после определения значений искомых параметров в результате применения методов теории чувствительности, определяющих координаты системы, чувствительные к варьируемым параметрам, часть этих параметров может быть принята равной нулю (бесконечности), что приводит к упрощению оператора управления и выявлению тем самым наиболее целесообразной его структуры. Как правило, задача синтеза решается при технических ограничениях, которые накладываются на значения варьируемых параметров: ck− ≤ ck ≤ ck+

k =,

…m

(2.11)

где ck+ – максимально допустимые значения варьируемых параметров; ck– – минимально допустимые значения варьируемых параметров. Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют следующий вид: δc ∆ = , k ≤ ∆0 ck

(2.12)

где ∆0 – заданное значение грубости системы; δck – вариации параметров, в пределах которых обеспечивается устойчивость системы. 31

Для определенности задачу синтеза рассмотрим при внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = H1(t) и нулевых начальных условиях для момента времени t = –0, т. е. до приложения к системе воздействия амплитудой H x −0 =

( n −1)  x−0, 0 = … x0, −0 , =

x −0, 0 =

(2.13)

Так как при синтезированных параметрах система должна быть устойчива, то x(∞) = H , x (∞) = 0,  x(∞) = 0,…, x ( n −1) = 0.

(2.14)

Выбираем систему из m непрерывно дифференцируемых линейнонезависимых координатных функций ϕ1 (t ) , ϕ2 (t ) ,…, ϕ q (t ) ,…, ϕm (t ).

(2.15)

В соответствии с требуемыми показателями качества работы синтезируемой системы управления в переходном режиме зададимся желаемым программным движением x 0 (t ) = Ω 0 (t ) +

l

∑ ai Ωi (t ),

i = 1,2,…, l ,

(2.16)

i =1

где Ω0(t) = ω0(t)1(t) – функция, удовлетворяющая заданным граничным (начальным (2.13) и конечным (2.14)) условиям; Ωi(t) = ωi(t)1(t) – функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям; ai – известные коэффициенты. Анализ структурных схем импульсных систем автоматического управления, содержащих один нелинейный элемент, которые представлены на рис. 2.2, показывает следующее: – уравнение движения системы, структура которой показана на рис. 2.2, а, записанное относительно координаты входа нелинейного элемента, имеет вид N (ck , D ) x (t ) + M (ck , D ) F  x ∗ (t ) , x
∗ (t ) = N (ck , D ) f (t );  

– динамика САУ, приведенной на рис. 2.2, б, относительно входа нелинейного элемента описывается уравнением N (ck , D ) x ∗ (t ) + M (ck , D ) F  x ∗ (t ) , x ∗ (t ) = N (ck , D ) f ∗ (t );  

32

а)

f(t)

x*(t)

ИЭ

F(x,px)

– б)

f(t)

ИЭ

f*(t)

x*(t)

M (ck , p ) N (ck , p )

M (ck , p ) z(t) N (ck , p )

F(x,px)

– z*(t)

в)

f(t)

z(t)

ИЭ

ИЭ

M (ck , p ) x(t) N (ck , p )

ИЭ

M (ck , p ) N (ck , p )

F(x,px)

L (ck , p ) K (ck , p )

z(t)

–

г)

f(t)

L (ck , p ) K (ck , p )

–

x(t)

– F(x,px)

д)

f(t)

x(t)

F(x,px)

ИЭ

-

M (ck , p ) N (ck , p )

z(t)

Рис. 2.2

– для структурной схемы рис. 2.2, в уравнение движения будет следующим: N (ck , D ) K (ck , D ) x (t ) + L (ck , D ) M (ck , D ) F  x ∗ (t ) , x
∗ (t ) =   = L (ck , D ) M (ck , D ) f ∗ (t );

33

– в том случае, если структура системы управления имеет вид, показанный на рис. 2.2, г, динамика САУ относительно входа нелинейного звена описывается следующим образом:

N (ck , D) K (ck , D) x (t ) + L (ck , D) M (ck , D) x∗ (t ) + +L (ck , D) N (ck , D) F  x (t ) , x
(t ) = L (ck , D) M (ck , D) f ∗ (t ); – наконец для САУ, показанной на рис. 2.2, д, уравнение движения будет N (ck , D ) x (t ) + M (ck , D ) F  x∗ (t ) , x
∗ (t ) = N (ck , D ) f (t ).  

Обобщение результатов анализа частных случаев структур систем управления, приведенных на рис. 2.2, показывает, что система автоматического управления, содержащая модулятор и нелинейный элемент, в общем виде описывается следующим дифференциальным уравнением:

Q (ck , D ) x (t ) + Q ∗ (ck , D ) x∗ (t ) + + R (ck , D ) y (t ) + R∗ (ck , D ) y ∗ (t ) = S (ck , D ) f (t ) + S ∗ (ck , D ) f ∗ (t ) , y (t ) = F  x (t ) , x
(t ) , y ∗ (t ) = F  x∗ (t ) , x
∗ (t ) ,  

(2.17)

где x(t), x*(t) – исследуемая координата на входе и выходе модулятора, соответственно, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ; f(t), f*(t) – внешнее входное воздействие на входе и выходе модулятора соответственно; y (t ) = F  x (t ) , x
(t ) , y ∗ (t ) = F  x ∗ (t ) , x
∗ (t ) – нелинейные функции;   Q (ck , D ) = R (ck , D ) = S (ck , D ) =

34

n

∑ ai (ck )D ; i

i =0 u

∑ bi (ck )Di ; i =0 v

∑ ei (ck ) D ; i

i =0

Q (ck , D ) = ∗

R∗ (ck , D ) = S (ck , D ) = ∗

u

n∗

∑ ai∗ (ck )Di ; i =0

∗

∑ bi∗ (ck )Di ; i =0 v∗

∑ ei∗ (ck ) Di i =0

– полиномы оператора обобщенного дифференцирования D с вещественными постоянными коэффициентами степеней n, n*, u, u*, v, v* соответственно. Очевидно, что при описании динамики импульсных САУ с одним нелинейным элементом в частных случаях часть слагаемых уравнения (2.17) может отсутствовать. Также необходимо отметить, что запись уравнения движения относительно координаты входа нелинейного звена, которая впервые была предложена И. А. Орурком, дает несомненные преимущества при реализации метода синтеза систем на основе обобщенного метода Галеркина. Это связано с упрощением процедуры определения соотношений вида «вход – выход» интегралов Галеркина, что будет подробно показано в следующих главах книги. В уравнении (2.17) применяется универсальная координата времени. Это дает возможность использовать дискретно-непрерывные модели систем, определяющих их описание на каждом из интервалов дискретности, и позволяет без перехода к разностным уравнениям, которые требуют получения аналитических решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, решать задачу синтеза обобщенным методом Галеркина с единых математических позиций для САУ широкого класса. Поставим желаемое программное движение (2.16) в уравнение движения системы (2.17) и образуем невязку ψ (ck , t ) = Q (ck , D ) x 0 (t ) + Q ∗ (ck , D ) x 0* (t ) +

{ } + R∗ (ck , D ) F  x 0∗ (t ) , D {x 0∗ (t )} −   + R (ck , D ) F  x 0 (t ) , D x 0 (t )  +  

− S (ck , D ) f (t ) − S ∗ (ck , D ) f ∗ (t ).

(2.18)

Если предположить, что система с синтезированными параметрами заведомо устойчива, то значения искомых параметров определяются из условия ортогональности невязки (2.18) координатным функциям (2.13) ∞

∫ ψ (ck , t )ϕq (t ) dt = 0,

k , q = 1,2,…, m,

(2.19)

0

что приводит к следующей системе алгебраических уравнений: 35

∞

∞

∗ 0 0∗ ∫ Q (ck , D )x (t ) ϕq (t ) dt + ∫ Q (ck , D )x (t ) ϕq (t ) dt +

0

0

∞

{

}

{

}

+ ∫ R (ck , D )F  x 0 (t ) , D x 0 (t )  ϕ q (t ) dt +   0 ∞

+ ∫ R∗ (ck , D )F  x 0∗ (t ) , D x 0∗ (t )  ϕ q (t ) dt −   0 ∞

∞

− ∫ S (ck , D ) f (t ) ϕ q (t ) dt − ∫ S ∗ (ck , D ) f ∗ (t ) ϕ q (t ) dt = 0, 0 0 k , q = 1,2,…, m.

(2.20)

Решая систему из m алгебраических уравнений (2.20), определяем значения варьируемых параметров оператора управления. Так как задача синтеза решается при ограничениях на значения искомых параметров, наложенных исходя из возможности их технической реализации, ограничениях на устойчивость и грубость САУ с синтезированными параметрами, а также в силу того, что имеет место нелинейная зависимость между варьируемыми параметрами, то строго равенство (2.19) выполняться не будет. Поэтому задача синтеза параметров обобщенным методом Галеркина в вычислительном плане представляет собой задачу нелинейного программирования с целевой функцией, построенной на основе уравнений (2.20) и имеющей вид 2

 ∞  J =  ψ (ck , t ) ϕ q (t ) dt  , min ck J → 0, q =1  0  m

∑ ∫

(2.21)

оптимум которой определяется при ограничениях, отмеченных выше, путем использования известных методов поиска экстремума функционала [89, 90]. 2.3. Построение математической модели желаемого программного движения произвольно высокого порядка Проблема обеспечения заданных показателей качества функционирования систем управления при решении задачи параметрического синтеза вари36

ационными методами, в том числе и обобщенным методом Галеркина, непосредственно связана с необходимостью решения следующих вопросов: – задание желаемого программного движения произвольно высокого порядка, в общем случае соответствующего порядку синтезируемой системы; – установление взаимосвязи между параметрами программного движения и показателями качества работы синтезируемой системы в переходном и установившемся режимах. При синтезе нелинейных САУ обобщенным методом Галеркина в первом приближении целесообразно задавать желаемое программное движение для гармонически линеаризованной системы, поскольку задать в нелинейной системе управления заведомо реализуемый процесс достаточно сложно. В этом случае динамика системы будет описываться уравнением Q (ck , p ) x (t ) = S (ck , p ) f (t ) ,

(2.22)

где p = d/dt – оператор дифференцирования. Характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения (2.22) в случае известных значений параметров ck будет λ n + an −1λ n −1 + … + a1λ + a0 = 0,

(2.23)

где λ – корни уравнения; an −1 – коэффициенты уравнения. Уравнение (2.23) имеет n корней, часть которых может быть вещественными, часть – комплексно-сопряженными. Для устойчивой системы, как известно, вещественные корни и вещественные части комплексно-сопряженных корней должны быть отрицательными, т. е. быть расположенными в левой части комплексной плоскости. Тогда можно записать следующее: λ1,2 = −α1 ± jβ1; λ 3,4 = −α 2 ± jβ2 ;








λ k −1,k = −α k ± jβ k ; 2

2

λ k +1 = −α k ; 2

+1










λ i = −α i ; λ j = λ j +1 =
= λ j + r = −α m ,

(2.24) 37

где k – четные числа. Корни, которые имеют наименьшее (наибольшее) абсолютное значение вещественной части, в дальнейшем будем называть младшими (старшими). Решением уравнения вида (2.22) будет следующее выражение [190]: k   x 0 (t ) = e −αit  C i cosβ i t + C i sinβ i t  +   +1 i =2 2 2 2   2

∑

+

j

∑ Cl e−α t + e−α t (C j+1 + C j+2t +
+ C j+r+1t r ), l

m

(2.25)

l =k +1

где i – ряд четных чисел от двух до k; l – ряд натуральных чисел; αi,...,αm – вещественные части корней характеристического уравнения (коэффициенты затухания составляющих); β1,..., βk/2 – частоты собственных колебаний системы управления; Ci/2,..., Cj+r+1 – постоянные, определяемые начальными условиями. Таким образом, в уравнении (2.25) первая сумма от i = 2 до i = k определяется комплексно-сопряженными корнями λ1,2,..., λk–1,k; вторая сумма от l = k+1 до l = j определяется вещественными корнями λk+1,..., λj; последняя сумма определяется вещественными кратными корнями λj+1,..., λj+r (рис. 2.3). В ряде работ [191–197] предлагается оценивать качество переходного процесса интегральными критериями качества вида t

t

I = t x (t ) dt , либо I = t n  x (t ) dt ,

∫ 0

n

n

∫

n

0

где n у различных авторов принимает значение 0, 1, 2. Однако обратный переход от показателей интегральной оценки к параметрам желаемого программного движения достаточно сложен, а подчас невозможен. Как показывает практика проектирования систем автоматического управления различных по своему назначению и функциональным возможностям, затруднительно дать общие рекомендации по заданию желаемого программного движения при решении задачи синтеза оператора управления. В то же время, учитывая специфику работы проектируемой системы, можно задавать квазиоптимальные переходные процессы, т. е. про38

λ4

−α 2

+j λ2

+jβ2 λm

λi

−α 1

+jβ

λk+1

0

−jβ2

−jβ1 λ λ2

λk/2+1

1

λi λm −j

Рис. 2.3

цессы, оптимальные по одному из показателей качества работы САУ в переходном режиме: величине перерегулирования, длительности переходного процесса, быстродействию [190]. Известно, что, чем меньше величина перерегулирования σ, тем качество переходного процесса лучше ( при выполнении требований к другим показателям качества). Перерегулирование зависит от корней уравнения (2.23) и начальных условий. Причем в случае внешнего скачкообразного воздействия f = H1(t) перерегулирование в системе будет лишь в случае комплексно-сопряженных корней при достаточно больших значениях собственных частот β. Как показано в [190, 195], при вещественных корнях, комплексносопряженных корнях с малыми значениями β, а также при смешанных корнях, когда младшими являются вещественные корни, переходный процесс протекает монотонно. Для многих САУ длительность переходного процесса Tп.п (промежуток времени, в течение которого регулируемая величина с заданной точностью достигает установившегося значения x является одним из важнейших показателей их оптимальности. При этом минимальная длительность переходного процесса при f(t) = H1(t) достигается при малых 39

мнимых частях комплексно-сопряженных корней, либо при смешанных корнях, при которых σ ≈ (1–4)% [195]. При увеличении мнимых частей (собственных частот колебаний β) комплексно-сопряженных корней возрастают как Tп.п, так и σ. Поэтому с точки зрения скорейшего затухания желаемого программного движения необходимо, чтобы вещественные части всех корней (коэффициенты затухания составляющих) были, возможно, большими. Однако наилучшие результаты получаются при равенстве вещественных частей всех корней уравнения (2.23), поскольку их сумма численно равна первому коэффициенту a0 характеристического уравнения. В случае только вещественных корней САУ становится более устойчивой, однако при этом существенно возрастает длительность переходного процесса, причем тем больше, чем значительнее различие в коэффициентах затухания α отдельных составляющих процесса. Под быстродействием САУ будем понимать скорость нарастания переходного процесса, что характеризует способность системы управления за минимальное время достигнуть первого согласованного с задающим устройством положения. В работах [190, 192] быстродействие характеризуется максимальной скоростью x max и средним ускорением xср изменения регулируемой величины x во времени. Как отмечается в [190], максимальные значения характеристик быстродействия x max и xср могут быть получены при комплексно-сопряженных корнях уравнения (2.23) с большими значениями β и малыми α, т. е. при больших перерегулированиях. Малым быстродействием будет обладать САУ, характеристическое уравнение которой дает лишь вещественные составляющие процесса (2.23) при выполнении условия α1 αi должны удовлетворять условию αi ≥ 2αi−1,

(2.44)

где i – ряд четных чисел от двух до n. Следует отметить, что условию (2.44) должны удовлетворять и чисто вещественные корни, для которых i-ряд натуральных чисел от 1 до n; – частоты собственных колебаний составляющих процесса (2.25) должны удовлетворять условию βi = 2αi , что соответствует показателю колебательности µ ≤ 2. Наконец, при разработке маломощных систем управления произвольно высокого порядка, малочувствительных к случайным изменениям параметров, характер программного движения определяется степенью успокоения колебаний γ за цикл основной колебательной составляющей [192] −τ   γ =  1 − e T 100% ,    

где T = 1/α1 – постоянная времени затухания процесса; τ = 2π/β1 – период собственных колебаний; здесь α1, β1 – коэффициент затухания и собственная частота колебаний основной гармоники программного движения. 49

Как отмечается в [192], степень успокоения маломощных САУ должна быть в пределах (85–90)%, а при увеличении мощности системы γ увеличивается до (95–98)%. Исходя из этого можно определить значения α и β основной гармоники, аппроксимирующей движение в системе высокого порядка. Таким образом, при выполнении рекомендаций, изложенных выше, программное движение САУ любого порядка (в общем случае n-го) будет в основном определяться двумя–тремя экспоненциальными составляющими (в случае чисто вещественных корней), либо двумя составляющими (в случае смешанных и комплексно-сопряженных корней) уравнения (2.25). Покажем применение рекомендаций, изложенных выше, на примере некоторых программных движений. Как показывает опыт проектирования систем управления [89, 90, 187, 189], движение которых описывается дифференциальными уравнениями (в том числе, и нелинейными) высокого порядка, во многих случаях вполне допустимо задание желаемого программного движения в виде решения дифференциального уравнения второго порядка x 0 (t ) =  x у + H ∗ cos (β t − ϕ0 ) e −α t 1(t ) ,  

(2.45)

где xy – значение желаемого процесса x0(t) при t = ∞; а H* и ϕ0 определяются соотношениями вида H∗ =

( x0 − x у )

2

(

)

2

 α x0 − x у + x0  +  ; β  

(

)

(2.46)

 α x0 − x у + x0  ϕ0 = arctg  , (2.47)  β x0 − x у  здесь x0 , x0 – начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ, и ее производной, соответственно, в момент времени t = +0. В случае задания желаемого движения вида (2.44) показатель затухания процесса α, определяется исходя из соотношения α=

50

(

[3; 4] , Tп.п

)

(2.48)

а связь перерегулирования σm с показателем колебательности µ = β/α, устанавливается выражением вида

σm =

0 xmax

H*

 π    2 + ϕ0 + arctgµ   = exp  − , µ µ2 + 1     µ

(2.49)


где xmax – первый экстремум процесса (2.44), определяется формулой

0 xmax = −H ∗

  π + ϕ + arctgµ    0    . exp  −  2  µ µ2 + 1     µ

(2.50)

В частном случае (при x0 = 0) выражение (2.49) существенно упрощается и принимает вид σm =

µ µ2 + 1

−

e

π µ

,

(2.51)

который показывает, что выражение (2.51) с точностью до множителя, стоящего перед экспонентой совпадает с предложенным в [197, 199] соотношением (2.41). Однако в более общем случае, необходимо учитывать влияние на величину перерегулирования не только значения колебательности процесса, но и начального значения скорости изменения программного движения. Таким образом, при построении желаемого процесса вида (2.45) по координате ошибки в формулах (2.46), (2.47) следует положить x0 = H, xy = 0, а x0 < 0. Если же процесс строится по координате выхода системы, то – x0 = 0, xy = H, x0 > 0. Следовательно, для рассмотренных случаев соотношение (2.47) принимает вид

 α H − x0  ϕ0 = arctg    βH 

(2.52)

либо 51

ϕ0 = arctg

1 − xотн , µ

(2.53)

где xотн = x0 α H – относительное значение скорости изменения желаемого процесса. С учетом (2.53) выражение (2.49) принимает вид  π  1 − xотн   2 + arctg µ + arctgµ   µ  . σm = exp  −  2   µ µ +1    

(2.54)

На рис. 2.5, 2.6 построены (в соответствии с соотношением (2.54)) семейства кривых σm = σm(µ, xотн ) при фиксированных значениях xотн и µ соответственно. 0,5

σm

1

2

3

4 5

0,5

σm

5 4 3 2

0,3

0,3

1

0,1

0,1 µ 0

1,0

3,0 Рис. 2.5

5,0

0

1,0

3,0

x'отн 5,0

Рис. 2.6

На рис. 2.5 приняты следующие обозначения: кривая 1 – xотн → ∞; кривая 2 – xотн = 4; кривая 3 – xотн = 2; кривая 4 – xотн = 1; кривая 5 – xотн = 0. На рис. 2.6 приняты следующие обозначения: кривая 1 – µ = 1,0; кривая 2 – µ = 1,5; кривая 3 – µ = 2,0; кривая 4 – µ = 2,5; кривая 5 – µ = 3,0. 52

Решая уравнение (2.53) относительно xотн получаем аналитическую зависимость xотн = xотн (σm, µ), которая имеет следующий вид: xотн =

1 + µ2 .     µ ln σ m   1 + µctg  ln µ    2 µ + 1  

(2.55)

В соответствии с соотношениµ ем (2.55) построено семейство 5,0 кривых µ = µ( xотн ) при фиксированных значениях перерегулирования σ m, приведенное на 3,0 5 рис. 2.7, где приняты следующие обозначения: кривая 1 – σm = 0,1; 4 кривая 2 – σm = 0,2; кривая 3 – 3 σm= 0,3; кривая 4 – σm = 0,4; кри- 1,0 2 вая 5 – σm = 0,5. 1 x'отн Применение графиков, пред5,0 1,0 3,0 0 ставленных на рис. 2.5–2.7 позволяет существенно упростить задаРис. 2.7 ние параметров желаемого программного движения (2.45) в зависимости от показателей качества работы проектируемой САУ. Используя соотношения (2.48), (2.53), (2.55), получим выражение, определяющее действительное начальное значение скорости изменения желаемого процесса (2.45)

x
0 =

[3; 4] H (1 + µ 2 )       µ ln σ m     Tп.п 1 + µctg   ln µ     µ 2 + 1    

.

(2.56)

53

Теперь рассмотрим процесс, имеющий две экспоненциальные составляющие: x 0 (t ) =  x y 

+ H1e −α1 t + H 2e −α2 t  1(t ) ,

(2.57)



где H1, H2 – амплитуды составляющих, которые определяются следующими соотношениями: H1 =

α 2  x0 − x y  + x
0 α 2 − α1

, H2 =

α1  x0 − x y  + x
0 α1 − α 2

,

(2.58)

здесь x0 , x0 – начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ, и ее производной соответственно, в момент времени t = +0; xy – значение желаемого процесса x0(t) при t = ∞. Установим взаимосвязь параметров движения вида (2.57) и времени переходного процесса Tп.п. Приведем формулы (2.58) к виду

H1 =

( x0 − x y ) + α1 1− γ

2

x0

, H2 =

(

)

γ x0 − x y + γ −1

1  x0 α2

( 2.59)

где γ = α1/α2 – отношение меньшего по величине коэффициента затухания α1 к большему – α2. Как следует из общих рекомендаций по аппроксимации процесса в системах управления произвольного порядка основными составляющими, коэффициенты затухания для процесса (2.57) должны быть связаны соотношением (2.56), следовательно, величина γ лежит в диапазоне от нуля до единицы. Тогда, в соответствии с соотношениями (2.59), можно построить семейства зависимостей H1 = H1(γ, x0 ); H2 = H2(γ, x0 ), вид которых при x0 = 1 и xy = 0 показан на рис. 2.8, где приняты следующие обозначения: кривая 1 – x0 = 0; кривая 2 – x0 /α2 = 1; кривая 3 – x0 /α2 = 2; кривая 4 – x0 /α2 = 4. Определим взаимосвязь показателей качества работы САУ и параметров программного движения вида (2.57). Поскольку задание начального значения изменения производной x0 достаточно сложно, то для простоты рассмотрения будем полагать x0 = 0. Так же будем 54

полагать, что переходный проH1 20,0 цесс заканчивается, когда регулируемая величина достигает установившегося значения, 15,0 т. е. выполняется строгое равенство x(t) = xy при t = Tп.п. 10,0 Тогда можно записать следующее уравнение: H1e

− α1Tп.п

+ H 2e

− α 2Tп.п

4

32 1

5,0

= 0,

0,2

0

0,4

0,6

0,8

1,0

из которого определяется коэффициент затухания первой составляющей процесса (2.57) α1 –5,0 по заданному времени переходного процесса и значению γ –10,0 α1 =

ln γ . 1  Tп.п  − 1  γ 

γ

–15,0 –20,0

H2

4

3 2 1

Затем определяется значение коэффициента затухания Рис. 2.8 второй составляющей процесса α2 и находятся амплитуды составляющих желаемого программного движения (2.57). Полученные таким образом параметры программного движения вида (2.57), оказываются связанными с показателями качества работы САУ (временем переходного процесса). Установим связь между показателями качества работы системы управления и параметрами процесса, имеющего три экспоненциальных составляющих: x 0 (t ) =  x y + H1e −α1 t + H 2 e −α 2 t + H 3e −α 3 t 1(t ) ,  

(2.60)

где H1, H2, H3 – амплитуды составляющих определяются следующими соотношениями: 55

H1 =

α1α 2  x0 − x y  + (α 2 + α 3 ) x
0 +

x0

;

(α 2 − α1 )(α 3 − α1 ) α1α 3  x0 − x y  + (α1 + α 3 ) x
0 +

x0 H2 = ; (α1 − α 2 )(α3 − α 2 ) α1α 2  x0 − x y  + (α1 + α 2 ) x
0 +

x0 H3 = , (α1 − α3 )(α 2 − α3 )

(2.61)

здесь x0 , x0 ,  x0 – начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ, и ее первой и второй производных, соответственно, в момент времени t = +0. Будем полагать, что начальные значения первой и второй производных процесса (2.60) равны нулю. В этом случае соотношения (2.61) можно несколько упростить и представить в виде H1 =

( x0 − x y ) ; (1 − γ1 )(1 − γ1γ 2 )

H2 =

H3 =

γ1( x0 − x y )

( γ1 − 1)(1 − γ 2 ) γ1γ 22 ( x0 − x y )

;

(1 − γ 2 )(1 − γ1γ 2 )

,

(2.62)

где γ1 = α1/α2, γ2 = α2/α3. Причем в соответствии с соотношением (2.56) величины γ1 и γ2 должны лежать в пределах от нуля до единицы. Поскольку переходная характеристика САУ определяется тремя меньшими по абсолютному значению вещественными корнями, в случае их распределения по арифметической или геометрической прогрессии, величины γ1 и γ2 будут представлять собой члены соответствующей прогрессии распределения корней (коэффициентов затухания составляющих процесса). На рис. 2.9 показан вид графических зависимостей амплитуд составляющих процесса (2.60) от величин γ1 и γ2 для x0 = 1, построенных в соответствии с (2.62). 56

H1, H2, H3

H1 (γ1, γ2)

H3 (γ1, γ2) 0

0,4 0,5

0,2 0,3

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6 γ2

0,1

0,6 γ1

H2 (γ1, γ2)

Рис. 2.9

Будем полагать, что γ1 = γ2 = γ и переходный процесс заканчивается, когда регулируемая величина достигает установившегося значения, т. е. выполняется строгое равенство x(t) = xy при t = Tп.п. Тогда можно записать следующее уравнение: H1e

− α1Tп.п

+ H 2e

− α 2Tп.п

+ H 3e

− α3Tп.п

= 0,

(2.63)

где H1 =

1 ; H 2 = − γ (1 − γ ) H1; H 3 = γ 3 H1. 2 (1 − γ ) 1 − γ

(

)

(2.64) 57

Тогда с учетом (2.64), приводим уравнение (2.63) к виду −α T e 1 п.п

− γ (1 − γ ) e

αT − 1 п.п γ

αT − 1 п.п 3 γ2

+γ e

= 0.

(2.65)

Так как γ < 0,5 (как следует из (2.56)), то третьим слагаемым уравнения (2.65) можно пренебречь и решить уравнение относительно коэффициента затухания первой составляющей процесса (2.60). В результате имеем ln γ (1 − γ )

α1 ≈

1  Tп.п  − 1  γ 

.

(2.66)

Таким образом, зная время переходного процесса и коэффициент γ из (2.66), можно найти коэффициент затухания первой составляющей α1 процесса (2.60). Затем определяются значения коэффициентов затухания второй и третьей составляющих процесса (α2 и α3) и в соответствии с выражениями (2.62) или (2.64) находятся амплитуды составляющих желаемого программного движения. Полученные таким образом параметры программного движения вида (2.60) оказываются связанными со временем переходного процесса Tп.п. Наконец, рассмотрим процесс, представляющий собой решение дифференциального уравнения третьего порядка при смешанных корнях, имеющий колебательную и экспоненциальную составляющие

 −α t −α t  x 0 (t ) =  x y + H1e 1 cos  βt −ϕ  + H 2 e 2  1(t ) , 0   

(2.67)

где H1, H2 – амплитуды составляющих определяются следующими соотношениями:

H2 = здесь 58

(α

2 1

H1 = A12 + A22 + β2

)

(

;

   x0 − x y  + 2α1 x
0   2 α1 − α 2 + β2

)

+

x0

,

α 2 (α 2 − 2α1 )  x0 − x y  + 2α1 x
0 −

x0 A1 = ; 2 2 (α1 − α 2 ) + β

A2 =

(

α 2 β 2 − α12 + α1α 2

)

   x0 − x y    2

 (α − α ) + β β 2  1  2

(α +

2 2

)

x0 − α12 + β 2 x
0 + (α 2 − α1 )

 (α − α )2 + β 2  β 2  1 

;

либо полагая x0 =  x0 = 0 и α1 = γα 2 , имеем H1 =

x0 − x y µγ (1 − γ ) + µ 2 γ 2    H2 =

(1 − 2γ )2 µ 2 γ 2 + (1 − γ + µ 2 γ )

2

2

(

γ2 1 + µ 2

)( x

0

− xy

(1 − γ )2 + µ 2 γ 2

),

;

(2.68)

где µ = β/α1 – показатель колебательности. Фазовый сдвиг колебательной составляющей процесса (2.67) с учетом x0 =  x0 = 0 и α1 = γα 2 определяется следующим соотношением: ϕ0 = arctg

 1 − γ + γµ 2  A2 = arctg  . A1  (1 − 2γ )µγ 

Определим связь показателей качества программного движения вида (2.67) и его параметров. Полагаем, что в момент времени t = Tп.п отклонение установившегося значения процесса x0(t) от заданного не превышает (3–5)%, тогда

H1e

−α1Tп.п

−α T cos  βT −ϕ  + H 2e 2 п.п = [0,03; 0,05].  п.п 0 

(2.69)

Как следует из (2.68), амплитуды составляющих процесса (2.67) H1 и H2 имеют один знак. В этом случае уравнение (2.69) будет иметь решение, если, например, каждая составляющая достигнет значения [0,015; 0,025]. Поскольку затухание процесса определяется экспонентами, можно записать следующее: 59

 H1e −α1Tп.п = [0,015; 0,025];   −α T  H 2 e 2 п.п = [0,015; 0,025], 

либо

H1 −α1Tп.п e H2

( ) = 1. 1−

1 γ

(2.70)

Из уравнения (2.70) следует ln α1 ≈

H2 H1

1  Tп.п  − 1  γ 

.

(2.71)

Определение параметров программного движения осуществляется следующим образом. По заданному значению перегулирования σm определяется колебательность процесса µ (аналогично программному движению (2.45)), в соответствии с соотношением (2.51), поскольку перерегулирование процесса (2.67) зависит от колебательной составляющей. Затем задается коэффициент γ и определяются значения амплитуд составляющих H1 и H2 программного движения, а также значение ϕ0. Далее в соответствии с формулой (2.71) находится значение коэффициента затухания колебательной составляющей процесса α1, затем определяются значения собственной частоты колебаний процесса β и коэффициента затухания экспоненциальной составляющей α2. Таким образом, все параметры желаемого программного движения вида (2.67) оказываются связанными с показателями качества синтезируемой системы управления. Систему из m непрерывно дифференцируемых линейно-независимых координатных функций выбираем в виде ряда вещественных экспонент [89, 90, 189, 203–208], представляющих собой полную систему функций e −ρ1t , e −ρ2t ,…, e

60

−ρ q t

,…, e −ρmt , q =

…m, 1,2,

(2.72)

Опыт проектирования САУ показывает, что для наилучшего приближения желаемого программного движения x0(t) к реальному процессу, протекающему в системе с синтезированными параметрами, коэффициент затухания ρ1 координатных функций целесообразно выбрать ρ1 = α,

(2.73)

где α – коэффициент затухания составляющей желаемого программного движения, которая оказывает наибольшее влияние на длительность переходного процесса. Остальные коэффициенты затухания ряда ρm–1 следует выбрать в виде геометрической прогрессии (со знаменателем прогрессии r = 2), т. е. ρ q = ρ1r q−1 = ρ1 2 q−1, q = 1,2,…, m,

(2.74)

что обеспечивает меньшее время затухания каждой из m–1 экспонент по сравнению со временем затухания первой координатной функции. 2.5. Синтез импульсных САУ с несколькими нелинейными элементами Рассмотренный выше метод ортогональных проекций может использоваться для решения задачи параметрического синтеза систем управления с различными видами модуляции сигнала, содержащих несколько (в общем случае r) нелинейных звеньев. Задача синтеза параметров в данном случае решается в постановке аналогичной решению задачи синтеза САУ с одним нелинейным элементом. Особенности применения метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина) в случае синтеза САУ с несколькими нелинейностями заключается в следующем: – необходимо определять желаемые программные движения xi0(t) (i = 1, 2, ..., r) на входах всех нелинейных элементов Fi  xi (t ) , xi (t ) , Fi  xi∗ (t ) , xi∗ (t ) ;   – необходимо минимизировать r невязок из условия обеспечения заданных показателей качества работы синтезируемой САУ при ограничениях на грубость и абсолютную устойчивость системы, а также технических ограничениях, наложенных на значения искомых параметров. Динамика импульсной системы управления с нелинейными элементами r описывается в матричной форме уравнением вида

Qx + Q∗x∗ + Ry + R∗y∗ = Sf (t ) + S* f ∗ (t ) ,

(2.75) 61

где x = x1(t), x2(t),..., xr(t)т; x* = x*1(t), x*2(t),..., x*r(t)т – векторыстолбцы непрерывных и импульсных процессов на входах нелинейных т * * элементов соответственно; y = y1(t), y2(t),..., yr(t) ; y = y 1(t), y*2(t),..., y*r(t)т – векторы столбцы непрерывных и импульсных процессов на выходах нелинейных элементов; f(t), f*(t) – внешнее воздействие на входе и выходе импульсного элемента; Q, Q* – диагональные матрицы порядка r вида Q1 0 0 0 Q2 0 Q= 0 0 Q3


0



Q1∗ 0 0 ∗ 0 Q2 0 ∗ ; = 0 Q 0 Q3∗


0




0
0
0 ;


Qr


0
0
0


Qr∗

R, R* – квадратные матрицы порядка r вида; R11 R21 R = R31
Rr1

R12 R22 R32
Rr 2

R13 R23 R33
Rr 3








R1r R2 r R3r ;
Rrr

∗ R11 ∗ R21 ∗ R ∗ = R31
Rr∗1

∗ R12 ∗ R22 ∗ R32
Rr∗2

∗ R13 ∗ R23 ∗ R33
Rr∗3








R1∗r R2∗r R3∗r ;
∗ Rrr

S, S* – векторы-столбцы, содержащие r строк, вида S = S1, S2 ,
, Sr

T

;

T

∗ ∗ ∗ S∗ = S1 , S2 ,
, Sr .

Матрицы Q, Q*, R, R*, S, S* являются функциями оператора обобщенного дифференцирования D и в общем случае функциями варьируемых параметров C = ckт, k = 1, 2,..., m. Подставим вектор желаемого программного движения в уравнение (2.74) и образуем вектор невязки

Ψ (C,t ) = Q (C,D ) x 0 + Q∗ (C,D ) x 0∗ + R (C,D ) y 0 + +R ∗ (C,D ) y 0∗ − S (C,D ) f (t ) + S∗ (C,D ) f ∗ (t ) , где Ψ(C,t) – вектор-столбец невязки, определяемый следующим образом: 62

T

Ψ (C,t ) = ψ1 (C,t ) , ψ 2 (C,t ) , ... , ψ r (C,t ) .

а x0 = x01(t), x02(t),..., x0r(t)т; x0* = x0*1(t), x0*2(t),..., x0*r(t)т – векторы столбцы непрерывных и импульсных желаемых процессов на входах нелинейных элементов соответственно; y0 = y01(t), y02(t),..., y0r(t)т; y0* = y0*1(t), y0*2(t),..., y0*r(t)т – векторы-столбцы непрерывных и импульсных процессов на выходах нелинейных элементов при наличии на их входах желаемых программных движений. Ортогональность невязки системе координатных функций приводит к следующей системе алгебраических уравнений: ∞

∫ ψi (C,t ) ϕq (t ) dt = 0,

i = 1,2,…, r.

0

В общем случае при нелинейной зависимости между варьируемыми параметрами и вследствие необходимости введения ограничений на устойчивость и грубость импульсной САУ безусловная ортогональность невязки координатным функциям выполняться не будет. Поэтому задача синтеза импульсных САУ произвольно высокого порядка с различными видами модуляции сигнала и произвольным числом нелинейных элементов в вычислительном плане сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией, построенной на основе уравнений Галеркина, и имеющей следующий вид 2

 ∞  J=  ψ i (C,t ) ϕ q (t ) dt  , i =1 q =1   0 r

m

∑∑ ∫

i = 1,2,…, r;

q = 1,2,…, m.

(2.76)

Варьируемые параметры оператора управления (регулятора) определяются путем минимизации функционала (2.76) с помощью известных [89, 90] методов поиска экстремума целевой функции. На каждом шаге поиска параметров проверяется ограничение на устойчивость нелинейной импульсной системы по частотному критерию абсолютной устойчивости В. М. Попова [45], представленному в алгебраической форме [89, 90]. Процедура определения вектора желаемых программных движений на входах нелинейных элементов по желаемому программному движению, задаваемому на выходе синтезируемой САУ, была предложена И. А. Орурком [89], поэтому ниже рассмотрим ее примене63

ние на примере конкретной структурной схемы САУ с несколькими нелинейными элементами. Для определения вектора желаемых программных движений записываются уравнения связи между входными координатами нелинейных элементов и желаемым программным движением на выходе системы

x 0 = M1z 0 (t ) + M 2 y + M3 f (t ) ,

(2.77)

где M1 = M1i– векторный оператор преобразований координаты выхода системы управления z0(t) в координаты входов нелинейностей xi0(t); M2 = M2i– векторный оператор преобразований координаты выхода нелинейных элементов yi(t) в координаты входов нелинейностей xi0(t); M3 = M3i– векторный оператор преобразований координаты f(t) в координаты входов нелинейностей xi0(t). В частных случаях x0 может не зависеть от отдельных составляющих уравнения связи (2.77). Рекомендуется следующая процедура определения желаемых процессов на входах нелинейных элементов, которая для наглядности иллюстрируется структурой системы управления приведенной на рис. 2.10, где приняты следующие обозначения: Wk (k = 1,..., 5) – передаточные функции линейных звеньев; Fi (i = 1,..., 5) – функциональные операторы нелинейных звеньев yi = Fi(xi, x
i ). f(t)

W1(p)

F1

W2(ck,p)

F2

–

W3(p)

F3

W4(p)

F4

z(t)

–

F5

W5(ck,p)

Рис. 2.10

При этом возможны следующие случаи: – пересчет процессов через линейные звенья от входа к выходу и наоборот; – пересчет процессов через нелинейное звено от входа к выходу; – пересчет процессов через нелинейное звено от выхода ко входу; – пересчет процессов через линейные звенья, содержащие варьируемые параметры. 64

В первом случае применяется символический метод подробно рассмотренный [89] и показанный ниже применительно к линейным САУ с несколькими частотами прерывания сигналов. Во втором случае применяется кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента, процесс на выходе которого, как показано ниже, для САУ с различными видами модуляции сигнала записывается с использованием теории обобщенных функций. Сложнее обстоит дело в третьем случае, когда необходим обратный пересчет процесса от выхода нелинейного элемента к ее входу. Если по характеристике нелинейного звена можно построить обратную однозначную зависимость, то дальнейший расчет не будет отличаться от второго случая, отмеченного выше. Если же исходная нелинейная характеристика дает неоднозначность в определении обратной характеристики (имеет место при релейных характеристиках и характеристиках гистерезисного типа), то следует использовать итерационную процедуру, которая заключается в следующем. В начале определяется стартовая точка путем обобщенной линеаризации нелинейности секущей или касательной [89], и определяется процесс на входе нелинейного элемента x0 нулевого приближения. Затем по полученному процессу нулевого приближения вычисляются коэффициенты обобщенной линеаризации первого приближения, после чего определяется желаемый процесс x0 на входе нелинейности первого приближения и т. д. Итерационная процедура считается законченной в том случае, когда коэффициенты обобщенной линеаризации вычислены с заданной степенью точности. Четвертый случай является наиболее сложным, поскольку определить процессы x и y в результате однократного расчета не представляется возможным, так как они должны определяться в каждой точке n-мерного пространства искомых параметров методом последовательных приближений, суть которого заключается в следующем. В начале необходимо задаться вероятными значениями всех или части параметров ck так, чтобы уравнения связи не содержали неизвестных значений. Далее после нахождения процессов на входах нелинейных элементов определяются значения варьируемых параметров. Решение задачи повторяется до тех пор, пока значения параметров i-го приближения не будут отличаться от значений параметров (i–1)-го приближения с требуемой погрешностью. Теперь в качестве примера, иллюстрирующего предложенный выше подход, рассмотрим систему управления, структурная схема которой 65

приведена на рис. 2.10. Для данной САУ процессы на входах четвертого F4 и пятого F5 нелинейных элементов по процессу z0(t) определяются непосредственно, так как процесс на входе F4 совпадает с z0(t), а процесс на входе F5 определяется символическим методом. Желаемые процессы y0(t) на выходах F4 и F5 могут быть определены либо с помощью кусочно-линейной аппроксимации, либо с помощью обобщенной линеаризации. Выходная координата третьего нелинейного элемента F3 совпадает с сигналом z0(t). Следовательно, для определения желаемого процесса на входе данной нелинейности необходимо построить обратную нелинейную характеристику. Если полученная обратная характеристика однозначна, то дальнейшие вычисления не отличаются от рассмотренного выше для F4. В случае неоднозначности обратной нелинейной характеристики необходимо осуществить итерационную процедуру, описанную выше. К нелинейному элементу F1 можно подойти с двух сторон. Более рациональным является движение слева, поскольку в начале будет определен желаемый сигнал на входе нелинейности при линеаризации лишь одного нелинейного звена F5. При движении справа в начале необходимо определять процесс на выходе нелинейного звена F1. Для этого требуется осуществить линеаризацию трех нелинейных элементов F2, F3, F4 и определять искомый процесс в каждой точке пространства варьируемых параметров. Кроме того, дальнейшее определение желаемого сигнала на входе F1 с помощью обратной нелинейной характеристики может дать неоднозначность решения. К нелинейному элементу F2 также можно подойти с двух сторон, причем в обоих случаях необходимо предварительно линеаризовать два нелинейных звена. Однако, движение справа предпочтительнее, поскольку в этом случае в уравнение связи не будет входит передаточная функция оператора управления, содержащая искомые параметры. Таким образом, при движении последовательно от выхода САУ для двух нелинейных элементов F4 и F5 желаемые процессы на их входах определены точно, а для остальных – приближенно с точностью до погрешности метода обобщенной линеаризации. В то же время при движении от входа системы необходима одновременная линеаризация всех нелинейных элементов, что требует достаточно трудоемкой итерационной процедуры, при этом определение процессов на входах всех нелинейностей должно производиться в каждой точке пространства варьируемых параметров. 66

Глава 3 СИНТЕЗ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С АМПЛИТУДНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ В данном разделе проводится детальная проработка общей схемы решения задачи синтеза импульсных САУ, изложенная в предыдущей главе, применительно к нелинейным системам с амплитудно-импульсными модуляторами. Рассматривается получение рекуррентных аналитических выражений, определяющих интегралы Галеркина амплитудно-импульсных систем как с однозначными, так и неоднозначными характеристиками нелинейных элементов, для идеального импульсного элемента и с учетом конечной длительности замыкания ключа. Полученные соотношения позволили полностью алгебраизировать решение поставленной задачи и построить унифицированный алгоритм синтеза нелинейных амплитудно-импульсных систем произвольно высокого порядка. 3.1. Системы автоматического управления с идеальным импульсным модулятором В теории импульсных систем, как было отмечено выше, импульсный элемент обычно считают идеальным, т. е. сигнал на его выходе может быть представлен в виде (2.1). Рассмотрим решение задачи синтеза параметров САУ, содержащей идеальный АИМ и нелинейный элемент, характеристика которого допускает кусочно-линейную аппроксимацию. Необходимо отметить, что впервые обращение обобщенного метода Галеркина на решение задачи синтеза САУ с идеальным импульсным элементом было рассмотрено в ряде совместных работ В. Ф. Шишлакова и Л. А. Осипова. Уравнение движения САУ, записанное относительно координаты входа нелинейности (исследуемая координата) x(t), имеет вид (2.17), либо с учетом выражений для полиномов оператора обобщенного дифференцирования D 67

n

n∗

u

∑ ai (ck ) D x (t ) + ∑ ai∗ (ck ) Di x∗ (t ) + ∑ bi (ck ) Di y (t ) + i

i =0 u∗

+∑ i =0

i =0

bi∗

(ck ) D

i =0

v

v∗

y (t ) = ∑ ei ( ck ) D f (t ) + ∑ ei∗ (ck ) D i f ∗ (t );

i ∗

i

i =0

y (t ) = F  x (,t )( x)
t ,

i =0

y (t ) = F  x∗ (,t ) (x
∗) t;    ∗

(3.1)

∗ ∗ ∗ где y (t ) = F  x (t ) , x
(t )  , y (t ) = F  x (t ) x
t  – сигналы на выходе нелинейного элемента при непрерывном x(t) и импульсном x*(t) входном сигнале соответственно. В соответствии с общей схемой решения задачи параметрического синтеза нелинейных САУ методом ортогональных проекций (обобщенным методом Галеркина), изложенной выше, необходимо задаться желаемым программным движением. При синтезе нелинейных САУ n-го порядка (в соответствии с рекомендациями, изложенными во второй главе программное движение целесообразно (в первом приближении) задать в виде

x 0 (t ) =  x у + H ∗e − α t cos (β t− ϕ0 ) 1(t ).  

(3.2)

Тогда сигнал на выходе идеального АИМ, согласно выражению (2.1), будет x

0∗

∞

(t ) = ∑  x у + H ∗e−α nT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT ).

(3.3)

n =0

Для определенности задачу синтеза рассмотрим при заданных граничных (начальных (2.13) и конечных (2.14)) условиях и внешнем воздействии вида f(t) = H1(t), которое на выходе импульсного элемента (в соответствии с (2.1)) будет описываться следующим образом: f ∗ (t ) = H 1∗ (t ) =

∞

∑ Hδ (t − nT ).

n =0

(3.4)

Подставляя желаемое программное движение (3.2) в уравнение движения САУ (3.1), образуем невязку, а из условия ортогональности не68

вязки координатным функциям (2.19), выбранным в виде (2.72), получаем систему из m линейных алгебраических уравнений n

n∗

u

i =0

i =0

i =0

v

v∗

i =0

i =0

∑ai (ck )Aqi + ∑ai∗ (ck )Aqi∗ + ∑bi (ck )Bqi + ∗

u

+∑

bi∗

i =0

( )

∗ ck Bqi

∗ − ∑ei (ck )Cqi − ∑ei∗ (ck )Cqi = 0,

q = 1,2,…, m, ∞

где Aqi ∗ Aqi

= ∫ Di {x 0 (t )} e

Bqi ∗ Bqi

∗ Cqi

dt, i = 0,1,…, n;

= ∫ Di {x 0∗ (t )} e

−ρ q t

dt, i = 0,1,…, n∗;

= ∫ Di

{F  x (t ), x
(t) } e

= ∫ Di

{F  x

0 ∞

0 ∞

Cqi

−ρ q t

0 ∞

0 ∞

0

0∗

0

(t ), x
0∗ (t ) 

= ∫ Di { f (t )} e 0 ∞

(3.5)

−ρ q t

}e

dt, i = 0,1,…, u;

−ρ q t

dt, i = 0,1,…, u∗;

−ρ q t

= ∫ Di { f ∗ (t )} e

dt, i = 0,1,…, v;

−ρ q t

dt, i = 0,1,…, v∗.

(3.6)

0

В работах [90, 187, 201–204] подробно рассмотрена методика вычисления интегралов Галеркина (3.6) импульсных САУ, содержащих идеальный модулятор. Поэтому ниже приводятся лишь окончательные рекуррентные аналитические выражения, определяющие данные интегралы для процессов вида (3.2), (3.3) ∞

∫

Aqi = D i 0

{  x

у

}

−ρ t + H ∗e −α t cos (β t − ϕ0 ) 1(t ) e q dt = Aqρiq−1, 

i = 1,2,…, n,

(3.7) 69

где Aq = x у +

(

)

H ∗  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  ρ q

(α + ρ q )

2

+ β2

,

q = 1,2,…, m. ∞  ∞  −ρ t ∗ Aqi = D i   x у + H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )e q dt = Aq∗ρiq ,    n =0  0

∑

∫

i = 1,2,…, n∗ ,

где Aq∗ =

xу 1− e

−ρqT

(3.8)

(α +ρq )T cos (βT + ϕ )  2(α +ρq )T H ∗ e cos ϕ0 − e 0   , + 2(α +ρ q )T α +ρ q )T ( e − 2e cosβT + 1 q = 1,2,…, m; ∞

Cqi = ∫ D i {H 1(t )}e

−ρ qt

dt = Cqρiq−1,

0

i = 1,2,…, v, q = 1,2,…, m;

(3.9)

где Cq = H; ∗ Cqi

где Cq∗ =

∞



0

 n =0

∞



= ∫ Di  ∑ δ (t − nT ) e

−ρ qt



dt = Cq∗ρiq

,

i = 1,2,…, v∗ ,

(3.10)

H

; q = 1,2, …, m. −ρ T 1− e q Для вычисления интегралов B qi и B qi – нелинейные функции F  x (t ) , x
(t )  , F  x∗ (t ) , x
∗ (t )  необходимо представить в виде обобщенных функций [205] r

(

)

F  x 0 (t ) , x
0 (t )  = F+0 (t )1(t ) + ∑  F+ j (t ) − F− j (t ) 1 t − t j ,   j =0

70

(3.11)

где tj – моменты переключения нелинейности; F+j(t) и F–j(t) – аналитические выражения нелинейной функции, соответственно, до и после момента переключения tj; F+0(t) = F–1(t) – аналитическое выражение нелинейной функции в момент времени t = +0; r – число переключений нелинейной функции, зависящее от вида характеристики нелинейного 0 элемента F  x (t ) , x
(t )  и желаемого программного движения x (t). Производная i-го порядка обобщенной функции (3.11) определяется следующим образом:

{

}

i i −1 i −1 Di F  x 0 (t ) , x
0 (t )  = F+(0) (t )1(t ) + F+(0 ) (0 ) δ (t ) + … + F+0 (0 ) δ( ) (t ) +   r

(

r i −1

)

(

)

i i i −l −1) t −tj , + ∑  F+( j) (t ) − F−( j) (t ) 1 t − t j + ∑∑ Rl δ(   j =1 j =1 l =0

(3.12)

где F+0 (0 ) ,..., F+(0 ) (0 ) – значения нелинейной функции и ее производных до (i–1)-го порядка включительно в момент времени t = +0; i −1

( )

( )

Rl = F+( j) t j − F−( j) t j , l

l

() () здесь F− j (t j ) и F+ j (t j ) значения производных F–j(t) и F+j(t) порядка l в l

l

момент времени t = tj слева и справа соответственно; δ(t), δi(t) (i = 1, 2,... ) – дельта-функция Дирака и ее производные порядка i соответственно. Аналогично функции F  x (t ) , x
(t )  запишем в виде обобщенной функции нелинейную функцию F  x∗ (t ) , x
∗ (t )  [90, 187]   ∞

F  x 0∗ (t ) , x
0∗  = ∑ F+0 (nT )δ (t − nT ) +   n =0

r

+∑

∞

∑  F+ j (nT ) − F− j (nT ) δ (t − nT ),

(3.13)

j =1 n =σ j

где F+j(nT),F–j(nT) – величины n дискретных значений функций F+j(t), F–j(t) до и после момента переключения tj, соответственно, определяемые выражениями вида ∞

F− j (nT ) = ∫ F− j (t ) δ (t − nT ) dt, 0

∞

F+ j (nT ) = ∫ F+ j (t ) δ (t − nT ) dt, 0

71

σj = E(tj/T) – символ E означает целую часть числа; r – число переключений нелинейной функции, зависящее от характеристики нелинейного элемента и вида желаемого программного движения; F+0(nT) – величина n-го дискретного значения функции F+0(t), являющейся выражением нелинейной функции в момент времени t = +0 ∞

F+0 (nT ) = F+0 (t )δ (t − nT ) dt.

∫ 0

Производная i-го порядка обобщенной функции (3.13) определяется следующим образом:

{

}

∞

D i F  x 0∗ (t ) , x
0∗  = ∑ F+0 (nT ) δ( ) (t − nT ) +   r

+∑

i

n =0

∞

∑  F+ j (nT ) − F− j (nT ) δ(i ) (t − nT ) ,

(3.14)

j =1 n =σ j

где δ(i)(t–nT) – производные дельта-функции Дирака порядка i. Таким образом, использование соотношений (3.11)–(3.14) позволило вычислить интегралы Галеркина Bqi и B*qi [90,187] ∞

{

}

Bqi = ∫ Di F  x 0 (t ) , x
0 (t )  e   0

i = 0,1,…, u,

−ρ qt

dt = Bqρiq−1,

q = 1,2,…, m,

(3.15)

где Bq = f  F ( x, x
) , x 0 (t ) , x
0 (t ) ,ρ q  ;   ∗ Bqi

∞

{

}

−ρ t = D i F  x 0∗ (t ) , x
0∗ (t ) e q dt = Bq∗ρiq ,  

∫ 0

i = 0,1,…, u∗,

q = 1,2,…, m,

(3.16)

где Bq∗ = f  F ( x, x
) , x 0∗ (t ) , x
0∗ (t ) ,ρ q  .   Аналитические выражения, определяющие Bq и Bq* для типовых нелинейностей при различных процессах на их входах в случае САУ с идеальным импульсным элементом приведены в таблицах Приложения. 72

Как было отмечено выше, в общем случае задача параметрического синтеза САУ решается при ограничениях на значения варьируемых параметров, устойчивость и грубость системы. Поэтому значения искомых параметров оператора управления, удовлетворяющие заданным ограничениям и обеспечивающие приближенное выполнение условия (2.19), определяются с помощью нелинейного программирования путем минимизации целевой функции n∗ u  n ∗ J =  ai (ck ) Aqi + ai∗ (ck ) Aqi + bi (ck ) Bqi + q =1  i =0 i =0  i =0 m

∑ ∑

+

u∗

∑

∑ ( ) i =0

bi∗

∗ ck Bqi

−

∑

v

v∗

i =0

i =0



∗  ck Cqi 

∑ ei (ck )Cqi − ∑ ( ) ei∗

2



min ck J

,

(3.17)

поиск оптимума функционала (3.17) осуществляется с помощью процедуры направленного случайного поиска [89, 90, 206]. Рассмотрим синтез импульсной САУ, содержащей идеальный импульсный модулятор с экстраполятором нулевого порядка. Уравнение динамики такой системы, содержащей нелинейное звено с кусочно-линейной характеристикой, имеет вид (3.1). Однако как следует из (2.6), внешнее входное воздействие (3.4) и желаемое программное движение (3.2) на выходе импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка будут определяться следующим образом: f1∗ (t ) =

∞

∑ f (nT ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + 1)T );

n =0

x10∗ (t ) =

(3.18)

∞

∑  x у + H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) ×

n =0

× 1(t − nT ) − 1(t − (n + 1)T ) .

(3.19)

Поэтому для решения задачи параметрического синтеза импульсной САУ с экстраполятором нулевого порядка методом ортогональных проекций необходимо минимизаровать функционал вида (3.17), в котором 73

интегралы Aqi*, Bqi*, Cqi* будут определяться следующими выражениями [90, 187]: ∞

{

0 ∞

−ρ qT

} −ρ t dt = 1 − ρeq

∗ Aqi = ∫ D i x10∗ (t ) e

q

{

Aq∗ρiq ;

}

−ρ t 1− e ∗ Bqi = ∫ D i F  x10∗ (t ) , x
10∗ (t ) e q dt =   ρ 0 ∞

{

0

−ρqT

} −ρ t dt = 1 − ρeq

∗ Cqi = ∫ D i f1∗ (t ) e

q

Cq∗ρiq ;

i= −ρ qT q

… 0,1, n∗

Bq∗ρiq ; i = 0,1,…, u∗; i = 0, … 1 v,∗ (3.20)

Таким образом, использование рекуррентных аналитических выражений (3.8), (3.10), (3.16), (3.20), определяющих интегралы Галеркина Aq*, Bq*, Cq*, позволяет полностью алгебраизировать решение задачи синтеза нелинейных импульсных систем управления, в том числе с запоминающим элементом нулевого порядка. При этом решение задачи синтеза сводится к выполнению простых алгебраических операций, единообразных для САУ любых структур произвольно высокого порядка. Необходимо отметить, что обобщенный метод Галеркина может эффективно использоваться применительно к синтезу непрерывных нелинейных систем управления [89, 202, 204]. При этом в уравнении движения системы (3.1) будут отсутствовать полиномы, а в функционале (3.17) интегралы с индексом «*». В остальном схема решения задачи синтеза параметров регулятора полностью соответствует вышеизложенной схеме для импульсных САУ. Кроме того, такой подход может быть применен и для решения более простой задачи – параметрического синтеза линейных как непрерывных, так и импульсных систем управления. В этом случае в уравнении движения САУ будут отсутствовать полиномы, относящиеся к нелинейному звену, а в целевой функции соответствующие им интегралы. 3.2. Взаимосвязь интегральных соотношений амплитудно-импульсных и непрерывных систем управления Решение практических задач синтеза импульсных систем управления обобщенным методом Галеркина показывает, что с уменьшением периода квантования процесс в САУ с синтезированными параметрами стремится к 74

желаемому программному движению, заданному в виде непрерывной функции времени. Следовательно, возможен предельный переход при T→0 от соотношений Aqi*, Bqi*, Cqi*, определяющих интегралы Галеркина импульсных систем к соотношениям Aqi, Bqi, Cqi, определяющим соответствующие интегралы непрерывных систем управления. Докажем выдвинутое предположение, используя теорию пределов [207]. Рассмотрим предельный переход при T→0 от соотношений Aqi* к соотношениям Aqi. В соотношениях (3.7), (3.20) Aq и Aq* определяются следующими формулами: Aq = x у +

Aq∗ = x у +

(

)

H ∗  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  ρ q

(α + ρ q )

2

(

H∗ 1− e

−ρ qT

) e (

+ β2

, q=

1,2, …m

(3.21)

) cos ϕ − e(α +ρq )T cos (βT + ϕ ) 0 0 

2 α +ρ q T

( e

,

) − e(α +ρq )T cosβT + 1

2 α +ρ q T

q = 1,2,…, m.

(3.22)

Введем следующие обозначения:

(

M = H∗ 1− e

−ρ qT

N = 1 − 2e

) cos ϕ (

0

−e

(

) cos (βT + ϕ ) ; 0 

− α +ρ q T



) cosβT + e −2(α +ρq )T ,

− α +ρ q T

(3.23)

(3.24)

тогда соотношение (3.22) примет вид Aq∗ = x у +

M . N

(3.25)

Таким образом, чтобы доказать, что lim Aq∗ = Aq , необходимо опреT →0

делить предел соотношения (3.25) при T→0 M lim Aq∗ = lim  x у +  . T →0 T →0  N 

(3.26)

75

Используя теорему о пределе суммы функций [207]: если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при x→a, то предел этой алгебраической суммы при x→ a существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых, т. е. lim  f ( x ) + g ( x ) − h ( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) − lim h ( x ).

x →a

x →a

x →a

x →a

(3.27)

Следовательно, с учетом (3.27) соотношение (3.26) принимает вид M lim Aq∗ = x у + lim  T →0  N

T →0

.  

(3.28)

Затем, используя теорему о пределе частного от деления функций [207]: если делимое f(x) и делитель g(x) имеют предел при x→a и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при x→a равен частному пределов делимого и делителя lim

x →a

f (x) f ( x ) xlim = →a ; g ( x ) lim g ( x )

lim g ( x ) ≠ 0,

x →a

x →a

(3.29)

получаем следующее lim M lim Aq∗ = x у + T →0 . T →0 lim N

(3.30)

T →0

Однако предел функций M и N при T→0 равен нулю. Поэтому для определения предела соотношения (3.30) необходимо воспользоваться правилом Лопиталя [208]: если при подстановке x → a (a = ±0) в функцию f(x) возникают неопределенности вида 0 / 0, либо ∞ / ∞, то для вычисления такого предела можно использовать следующее: lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0, а первая производная от функции, стоящей в

x →a

x →a

знаменателе, не равна нулю, то предел частного от деления функций будет равен пределу частного от деления первых производных исходных функций, т. е. lim f ′ ( x )

x →a

lim g ′ ( x )

x →a

76

= A⇒

lim f ( x )

x →a

lim g ( x )

x →a

= A.

Если же и предел первых производных вновь дает неопределенность, то необходимо определить предел отношения производных тех порядков исходных функций (если производная соответствующего порядка функции, стоящей в знаменателе не равна нулю), которые не будут давать неопределенности. Так для рассматриваемого соотношения (3.30), необходимо определить предел отношения вторых производных функций M и N lim f ′′ ( x )

x →a

lim g ′′ ( x )

lim f ( x )

x →a

= A⇒

lim g ( x )

x →a

= A.

(3.31)

x →a

Запишем соотношение (3.23) в виде M = H ∗ cos ϕ0 − e ax cos ( x + ϕ0 ) − e cx cos ϕ0 + ebx cos ( x + ϕ0 ) , (3.32)  

где приняты следующие обозначения: x = βT ; a =

(

− α + ρq β

);

b1 =

(

− α + 2ρ q β

);

c=

−ρ q β

.

(3.33)

В соответствии с этим, определим предел второй производной соотношения (3.32)

(

)

lim M ′′ = H ∗  −a 2 − c 2 + b12 cos ϕ0 + 2 (a − b1 ) sin ϕ0  ,  

x →0

(3.34)

либо с учетом принятых обозначений (3.33) получаем следующее: lim M ′′ =

x →0

(

)

2 ∗ H  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  ρ q . β2

(3.35)

Аналогично определим предел второй производной соотношения (3.24). В результате получаем следующее: lim N " = T →0

(

2  α + ρq β2 

)

+ β2  . 

2

(3.36)

Используя соотношения (3.35), (3.36), с учетом формулы (3.31) окончательно имеем lim Aq∗ = x у +

T →0

(

)

H ∗  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  ρ q

(

α + ρq

)

2

+ β2

.

(3.37) 77

Таким образом, полученное соотношение тождественно равно соотношению (3.21), т. е. lim Aq∗ = Aq , что и требовалось доказать. T →0

По аналогии с изложенным выше, рассмотрим предельный переход при T→0 от Bq* к Bq. Вид данных соотношений зависит от вида нелинейной характеристики и процесса на ее входе. Поэтому в качестве примера рассмотрим предельный переход для соотношений, полученных для нелинейности типа «переменный коэффициент усиления» и процесса вида x 0 (t ) =  x у − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t ) ,  

(3.38)

соответствующего записи уравнения движения САУ относительно выхода системы. Данные рекуррентные выражения для указанной нелинейности и процесса (3.38) имеют следующий вид:

Bq =

(

k1 x у  α + ρ q 

)

2

(

)

+ β2  − H ∗ρ q k1  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  

(

α + ρq

)

2

+ β2 r

+

(k2 − k1 ) ( x у − b ) α (α + ρq ) + β2  ∑ ( −1) j −1 e

( r

+

α + ρq

H ∗ρ qβ (k2 − k1 ) ∑ ( −1)

)

+β

(

) sin βt − ϕ ( j 0)

j −1 − α +ρ q t j

e

(α + ρ q )

2

− αt j

+

2

j =1

где x у − b = H ∗e

−ρ qt j

j =1

2

+

(

,

+ β2

)

cos βt j − ϕ0 ;

(3.39)

(3.40)

k1, k2, b – параметры нелинейной характеристики, имеющей в общем случае r переключений при наличии процесса (3.38) на ее входе;

(

Bq∗ = (k2 − k1 ) x у − b

78

r

) ∑ (−1) j−1 e−ρ σ T + k1 × q j

j =1

)

(

−(α +ρ q )T  −ρ T   H ∗ 1 − e q  cos ϕ0 − e cos (βT + ϕ0 )     + × xу − −(α +ρ q )T −2(α +ρ q )T   1 − 2e cosβT + e  

(

+ ( k1 − k2 ) 1 − e

−ρ qT

)∑ (−1) r

j −1

×

j =1

−(α +ρ q )(1−σ j )T −ρ σ T  x у − b e q j − H ∗e cos βT + ϕ0 − βσ jT  ×  −(α +ρq )T −2(α +ρq )T 1 − 2e cosβT + e 

(

)

(

)  ,

(3.41)

 

где σj = E(tj/T), здесь E – целая часть числа. Будем полагать, что моменты времени переключения нелинейной характеристики при импульсном сигнале на ее входе, определяются без погрешности, т. е. σj = tj/T. Используя данное допущение, а также, принимая во внимание, что выражение, стоящее в первых квадратных скобках, соответствует Aq*, приводим формулу (3.41) к виду

(

Bq∗ = k1 Aq∗ + ( k1 − k2 ) x у − b

r

×∑ ( −1)



j −1 

 

j =1

r

) ∑ (−1) j−1 e−ρ t

q j

j =1

−ρ qT

)×

) cos βT + ϕ − βt  ( 0 j ) .  (3.42) −(α +ρq )T −2(α +ρq )T 1 − 2e cosβT + e

( x у − b) e−ρ t

q j

− H ∗e

(

(

+ (k2 − k1 ) 1 − e

)e(

− α +ρq T − α +ρq t j



Поскольку предел соотношения Aq* был определен ранее, а второе слагаемое формулы (3.42) не зависит от T, то для решения поставленной задачи – нахождения предела аналитического выражения (3.41) следует лишь определить предел от соотношения:

 −ρ T lim (k1 − k2 ) 1 − e q T →0 

(

)∑ (−1) r

j −1

×

j =1

−(α +ρ q )T −(α +ρ q )t j −ρ qt j   − H ∗e e cos βT + ϕ0 − βt j    x у − b e  . ×  −(α +ρ q )T −2(α +ρ q )T  1 − 2e cosβT + e 

(

)

(

)

79

Обозначим числитель и знаменатель дроби через M и N соответственно. Тогда с учетом обозначений, введенных ранее (3.33), предел второй производной числителя данной дроби будет r

lim M ′′ = (k1 − k2 ) ∑ ( −1)

T →0

(

j −1 −ρ qt j

e

j =1

) (

)

∗ −αt j  ×  − H e

(

)

(

)

×  a 2 − b12 cos ϕ0 − βt j − 2 (a − b1 ) sin ϕ0 − βt j  − c 2 x у − b  . (3.43)   

По аналогии с учетом (3.33) и (3.40), приводим соотношение (3.43) к виду lim M ′′ =

T →0 r

∑ (−1)

×

j −1 −ρ qt j

e

j =1

2 (k1 − k2 ) × β2

(

)(

) (

)

 H ∗ρ βe −αt j sin ϕ − βt + x − b αρ + ρ2 , (3.44) q j у q q  0  

Учитывая полученные ранее соотношения (3.36), (3.37) и проводя простые математические преобразования можно окончательно записать следующее:

lim

T →0

Bq∗

=

(

k1 x у  α + ρ q 

)

2

(

)

+ β2  − H ∗ρ q k1  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  

(

α + ρq

)

2

+ β2 r

+

(k2 − k1 ) ( x у − b ) α (α + ρq ) + β2  ∑ ( −1) j −1 e

(

α + ρq

r

+

80

H ∗ρ qβ (k2 − k1 ) ∑ ( −1)

j =1

)

2

+β

2

(

+

) sin βt − ϕ ( j 0)

j −1 − α +ρq t j

j =1

(

−ρ qt j

α + ρq

e

)

2

+ β2

.

+

Полученный результат показывает, что lim Bq∗ = Bq , что и требоваT →0 лось доказать. 3.3. Синтез импульсных систем управления с однозначными кусочно-линейными характеристиками произвольного вида В работах, посвященных решению задачи параметрического синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ обобщенным методом Галеркина [89, 90, 206 и др. ], приводятся рекуррентные аналитические выражения, полученные для типовых нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию. Следует отметить целесообразность такой аппроксимации, поскольку точный учет характеристик нелинейных звеньев существенно усложняет расчеты и вместе с тем не приводит к возрастанию точности получаемых результатов. Это обусловлено тем, что применяемый для решения задачи синтеза подход является приближенным в силу обстоятельств, изложенных ранее. При использовании кусочно-линейной аппроксимации (характеристики нелинейных звеньев заменяются прямолинейными отрезками) кусочно-линейные САУ рассматриваются как линейные модели с предысторией [209] и для получения надежных результатов применяется теория обобщенных функций [205]. В тех случаях, когда рассматривается нелинейная САУ с характеристикой нелинейного элемента отличной от типовой возможны следующие пути решения данной проблемы: – получение рекуррентных аналитических выражений Bq, Bq*, определяющих интегралы Галеркина для рассматриваемой характеристики нелинейного элемента; – получение рекуррентных аналитических выражений Bq, Bq*, определяющих интегралы Галеркина для характеристики произвольного вида, представленной набором произвольного (в общем случае n) числа отрезков прямых на плоскости; данный подход предложен и реализуется Л. А. Осиповым и Т. Г. Поляковой; – применение эквивалентного представления характеристик нелинейных звеньев набором типовых, для которых соответствующие соотношения получены ранее [187, 208]. В первом случае требуется выполнять достаточно сложные операции интегрирования и дифференцирования обобщенных функций, что само по себе является весьма трудоемкой задачей. 81

Во втором случае рекуррентное аналитическое выражение необходимо получать лишь один раз, поскольку характеристика нелинейного звена представлена в общем виде произвольным набором отрезков прямых на плоскости. Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что задача из математической области переходит в алгоритмическую. Это обусловлено тем, что получить рекуррентное соотношение в общем виде для произвольной нелинейной характеристики и произвольного программного движения на ее входе (представленного суммой комплексных экспонент) не сложно. Вместе с тем составить алгоритм и написать соответствующую программу (так как метод ориентирован на использование вычислительной техники) весьма непросто из-за того, что в них необходимо предусматривать процедуры определения моментов переключения нелинейности, которые зависят как от вида характеристики, так и от вида процесса на ее входе (заранее неизвестны). Поэтому представляется целесообразным применять на практике третий подход, сводящий решение данной задачи к эквивалентным преобразованиям нелинейности произвольного вида (эквивалентная замена нелинейности произвольного вида набором типовых характеристик). Рассмотрим это положение на примере ряда нелинейных элементов, которые соответствуют характеристикам устройств, широко применяемых в непрерывных и импульсных системах управления [197]. На рис. 3.1, 3.2 представлены эквивалентные преобразования некоторых нелинейных характеристик: характеристики золотников гидро- и пневмосервомоторов (рис. 3.1, а); зависимости коэффициента сцепления от величины относительного проскальзывания (рис. 3.1, б); статической многоступенчатой характеристики квантователя-экстраполятора (рис. 3.1, в); нелинейности типа холостой ход (рис. 3.2, а); нелинейности типа начальный скачок и ограничение (рис. 3.2, б); нелинейности типа отрицательный дефект (рис. 3.2, в). Как видно из рис. 3.1, 3.2, исходные характеристики структурно преобразованы с использованием параллельного включения комбинаций типовых нелинейных и линейных элементов. При таком структурном преобразовании процесс на входе исходного нелинейного звена совпадает с процессом на входах нескольких параллельно включенных элементов, т. е. не возникает необходимости пересчета процесса на входы типовых нелинейных звеньев, что представляет собой достаточно сложную задачу. Так, например пересчет процесса, неизбежен при последовательном включении нелинейных звеньев или 82

F(x)

c

arctgk

–b2 –b1

x 0

b1

F1

–b1

b1 arctgk

0 x(t)

b2

x

F[x(t)]

F2 b2

x

–b2 0 arctgk F(x)

c

arctgk2

–b 0

b

x

x(t)

arctgk2

0

c

–b/2 b/2 –c

–c

x x(t)

F1(x)

–3b/2

F[x(t)]

F2

–b

F(x)

c

x

0 b arctgk1

arctgk1

–b/2

F2(x)

F1 c –b

–c

F1(x)

c

b

F1 b/2 F2 –c

c

x

Fg

x

x 3b/2

F2(x)

F1(x)

F2(x)

F[x(t)]

x

–c

Рис. 3.1

83

охвате нелинейного звена обратной связью другим нелинейным звеном. Обобщая показанные на рис. 3.1, 3.2 эквивалентные преобразования, можно записать следующее аналитическое выражение [187]: F  x 0 (t ) =  

l

∑ Fg  x 0 (t ) ,

(3.45)

g =1

либо при наличии импульсного процесса на входе нелинейного элемента F  x 0∗ (t ) =  

l

∑ Fg  x 0∗ (t ) ,

(3.46)

g =1

где Fg[x0(t)], Fg[x0*(t)] – типовые нелинейные характеристики: переменный коэффициент усиления; зона нечувствительности; насыщение (ограничение); релейная характеристика, в том числе с зоной нечувствительности. С учетом (3.45), (3.46) интегралы Bqi, Bqi* принимают вид ∞ l  l  −ρ t Bqi = D i  Fg  x 0 (t ) e q dt = Bqig ,   = = g g 1 1   0   i = 0,1,…, u, q = 1,2, 1,2, … m , g, = …l ,

∫

∗ Bqi

∞

∑

∑

l  l  −ρ t ∗ = D i  Fg  x 0∗ (t ) e q dt = Bqig ,   g =1 0  g =1 

∫

∑

i = 0,1,…, u∗ , q =

∑

1,2, … m , g, =

1,2, …l ,

(3.47)

где Bqig, Bqig* – рекуррентные аналитические выражения, определяющие интегралы Галеркина типовых нелинейных элементов, представленные в таблицах приложения; g – число типовых нелинейных звеньев, включенных параллельно друг другу. Таким образом, соотношения вида (3.45)–(3.47), представляющие собой аналитическое выражение принципа эквивалентных преобразований нелинейных характеристик, позволяют использовать обобщенный метод Галеркина к системам, содержащим нелинейные зве84

F(x)

F1

–b

–b

arctgk

c 0

x

F1(x)

b

0

c

x(t)

x

F[x(t)]

b –c

F2

–b

x b

0

F2(x)

arctgk

F(x)

0 –b

B

c 0

x –c

F(x)

B1

x

b B1 = B–c

arctgk

F1

c 0

0

-c

F2

x

F1(x) F[x(t)]

b

arctgk

x

x(t)

arctgk

c

F1

c

x

F2(x)

F1(x)

–c F[x(t)]

x(t)

–c

arctgk

x1 x 0

x1

Рис. 3.2

нья с характеристикой произвольного вида, допускающей кусочнолинейную аппроксимацию. 85

3.4. Синтез импульсных САУ с учетом конечной длительности замыкания импульсного элемента Проектирование реальных систем с амплитудно-импульсным модулятором часто приводит к необходимости учета влияния длительности замыкания ключа на динамику синтезируемой системы. Поэтому ниже рассматриваются некоторые особенности метода ортогональных проекций применительно к параметрическому синтезу реальных САУ с АИМ. Необходимо отметить, что данные особенности связаны, прежде всего, с получением рекуррентных соотношений, определяющих соответствующие интегралы вида (3.6), поскольку, изложенная общая схема решения поставленной задачи остается неизменной для САУ любого класса из числа детерминированных. В соответствии с терминологией, принятой во второй главе, исследуемая координата, относительно которой записано уравнение движения САУ (в случае нелинейных систем – координата входа нелинейного элемента) и входное воздействие на выходе импульсного элемента типа I описываются следующим образом: x ∗ (t ) = f ∗ (t ) =

∞

∑ x (nT ) 1(t − nT ) − 1(t − (nT − τ ));

n =0

(3.48)

∞

∑ f (nT ) 1(t − nT ) − 1(t − (nT − τ )),

n =0

(3.49)

либо в случае импульсного элемента типа II x ∗ (t ) = x (t )

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (nT − τ ));

n =0

f ∗ (t ) = f (t )

(3.50)

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (nT − τ )),

n =0

(3.51)

где τ = γT – ширина импульса на выходе модулятора, здесь γ < 1. Рассмотрим получение аналитических выражений, определяющих интегралы Aqi*, Bqi*, Cqi* для импульсных элементов типа I и II. Следует отметить, что данные интегралы вычисляются в соответствии с пра86

вилами действия над обобщенными функциями [205] и функциональными рядами [210]. Воспользуемся следующими соотношениями: ∞ b  ∞  = f x dx f k ( x ) dx, ( )   k   = = 0 0 k k   a a b

∫ ∑

∑∫

[a ≤ x ≤ b];

(3.52)

∞ ∞   D f k ( x ) dx  = D { f k ( x ) dx}, k = 0,1,… ;  k =0  k =0

∑

∑

(3.53)

∞

k (k ) (k ) ∫ f (t )δ (t − τ ) dt = (−1) f (τ ),

k = 0,1,… ,

(3.54)

0

последнее из которых описывает фильтрующее свойство δ-функции, существующей в момент времени t = τ. Если на вход синтезируемой системы действует скачкообразное воздействие амплитудой H, то на выходе импульсного элемента как типа I, так и типа II, в соответствии с (3.49), (3.51), имеем процесс вида f ∗ (t ) =

∞

∑ H 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) .

(3.55)

n =0

Тогда с учетом (3.55) выражение Cqi* принимает вид ∗ Cqi

∞

 ∞  −ρ t = D  H 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) e q dt.  n =0  0

∫

i

∑

Далее, используя соотношения (3.52) – (3.54), получаем следующее при i = 0: ∞  ∞  −ρ t Cq∗0 = D i  H 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) e q dt =  n =0  0

∫

∑

∞  ∞  ∞ −ρ t −ρ t = H ∑  ∫ e q dt − ∫ e q dt  =   n =0 nT (n + γ )T  

 e −ρqnT e −ρq (n + γ )T = H ∑ −  ρq ρq n =0  ∞

(

−ρ q γT

 H 1− e =  ρq 

)

∞

∑e

−ρ q nT

.

(3.56)

n =0

87

Сомножитель, стоящий под знаком суммы, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = e –ρ qT , сумма членов которой может быть определена по формуле ∞

∑ aqn = 1 −a q ,

при q < 1,

(3.57)

n =0

т. е. ∞

∑e

−ρ q nT

=

n =0

1 1− e

.

−ρ qT

(3.58)

С учетом (3.58) окончательно получаем Cq∗0 =

)ρ ( (1 − e )

H 1− e

−ρ q γT

−ρ qT

−1 q ;

при i = 1, рассуждая аналогично, получаем следующее: ∞

∞

∫ n∑=0 δ (t − nT ) − δ (t − (n + γ )T )e

Cq∗1 = H 0

=

−ρ q t

dt =

)ρ ; ( (1 − e )

H 1− e

−ρ q γT

0 q

−ρ qT

………………………………………………………………………

при i = v* имеем ∗ Cqv ∗

∞

∞



∫ n∑=0 δ

= H

(v∗−1) (t − nT ) − δ(v∗−1) (t − (n + γ )T )e−ρqt dt =

0

=

88

) ρ( ( (1 − e )

H 1− e

−ρ q γT

−ρ qT

 

).

v∗ −1 q

Обобщая полученные результаты, окончательно получаем следующее: ∗ Cqi

где

Cq∗

∞

 ∞  −ρ t = D i  H 1(t − nT ) − (t − ( n + γ )T ) e q dt = Cq∗ρiq−1,  n =0  0

∑

∫

=

(

H 1− e

−ρ q γT

−ρ T

(3.59)

).

1− e q Теперь перейдем к вычислению интегралов A*qi. В случае импульсного элемента типа I процесс на выходе модулятора (при сигнале вида (3.2) на входе) будет иметь вид ∞

x∗ (t ) = ∑  x у + H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) . (3.60)   n =0

Тогда, с учетом (3.60) выражение A*qi принимает вид ∞  ∞ ∗ Aqi = ∫ D i  ∑  x у + H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) ×    n =0 0  −ρ t × 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )  e q dt.    Далее в результате выкладок, аналогичных вычислению данного интеграла в случае идеального импульсного элемента [90, 215, 231], получаем рекуррентное аналитическое соотношение следующего вида: ∗ Aqi

∞

 ∞  = Di   x у + H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  ×    n =0  0

∑

∫

×e

−ρ qt

dt =

−ρ γT

1− e q ρq

Aq∗ρiq , i = 0,1,…, n∗; q = 1,2,…, m,

(3.61)

где Aq*– было определено ранее (3.8). В случае импульсного элемента типа II имеем x∗ (t ) =  x у + H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )  

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) . (3.62)

n =0

89

С учетом (3.62) выражение Aqi* принимает вид ∞  ∗ Aqi = ∫ D i   x у + H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×    0 ∞



n =0



∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  × e

−ρ qt

dt ,

либо ∗ Aqi

∞

∞   −ρ t = D i  x у 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  e q dt +  n =0  0

∫

∑

∞

∞   −ρ t + D i  H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  e q dt. (3.63)   n =0 0

∑

∫

Следует отметить, что первый интеграл формулы (3.63) аналогичен соотношению (3.59), поэтому рекуррентное выражение для его определения будет следующим: ∞

 ∞  −ρqt i D  ∫  x у n∑=0 1(t − nT ) − (t − (n + γ )T ) e dt = 0 =

(

xу 1− e 1− e

− ρ q γT

−ρ qT

)ρ

i −1 q .

(3.64)

Для вычисления второго интеграла соотношения (3.63) необходимо определить обобщенную производную i-го порядка от непрерывной на интервале от (t–nT) до (t–(n+γ)T) функции x(t). Обобщенная производная i-го порядка от данной функции определяется следующим выражением: i i −1 Di {x (t )1(t − nT )} = x( ) (t )1(t − nT ) + x( ) (nT ) δ (t − nT ) + … i −1 + x (nT ) δ( ) (t − nT ).

90

(3.65)

Используя соотношение (3.65), можно записать

{

}

D 0 H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1(t − nT ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1(t − nT ) ,

{

}

D1 H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1(t − nT ) = = H ∗e −αt  −α cos (βt − ϕ0 ) − βsin (βt − ϕ0 ) 1(t − nT ) + + H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT ).

(3.66)

Используя полученные соотношения (3.66), вычислим соответствующие интегралы. В результате имеем ∞ ∞

∑ ∫ D0 {H ∗e−αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )}e

−ρ qt

dt =

n =0 0

=

∞ ∞  −(α +ρ q )t  H ∗e −(α +ρq )t cos (βt − ϕ0 ) dt − H ∗e cos (βt − ϕ0 ) dt  =   n =0 nT (n + γ )T   ∞

∑ ∫

∫

 ∗ −(α +ρq )nT   H e   α + ρ q cos (βnT − ϕ0 ) − βsin (βnT − ϕ0 ) − = ∑ 2 α + ρq + β2 n =0  

(

∞

) (

)

(

) e(

(

)

) ×

   α + ρ q cos (βnT + βγT − ϕ0 ) − βsin (βnT + βγT − ϕ0 )  .  × 2  2 α + ρq + β 

(

)

− H ∗e

− α +ρ q γT − α +ρ q nT

После упрощения получаем следующее: ∞ ∞

∑ ∫ D0 {H ∗e−αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )}e

−ρ qt

dt =

n =0 0

=

(

  α + ρq 2 α + ρ q + β2  H∗

)

(

∞

) ∑ e−(α+ρ )nT cos (βnT − ϕ0 ) − q

n =0

91

∞

−β ∑ e

) sin (βnT − ϕ ) −e −(α +ρq )γT  α + ρ × ( q) 0

(

− α +ρ q nT



n =0

∞

×∑e

) cos βnT − ϕ∗ + β ∞ e −(α +ρq )nT sin βnT − ϕ∗   , ( ( 0) 0 ) ∑

(

− α +ρ q nT

n =0

(3.67)

 

n =0

где ϕ0* = –βγT+ϕ0. Преобразуя последнее соотношение с учетом формулы (3.57), а также формул Эйлера для тригонометрических функций:

cos (βnT ) =

e jβnT + e − jβnT , 2

sin (βnT ) =

e jβnT − e − jβnT , 2j

(3.68)

получаем следующее: ∞

∞  −ρqt  ∗ − αt 0 cos β − ϕ D H e t ( ) 0 ∑ ∫  1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  e dt = n =0  0

=

(

 α+ρ q 

)

2

 ( + β2   e 

H∗

) − 2e(α +ρq )T cosβT + 1 ( 

2 α +ρ q T



)

M ∗ − M ∗∗ ,

(3.69)



2 α +ρ T α +ρ T где M ∗ = α + ρ q  e ( q ) cos ϕ0 − e( q ) cos (βT + ϕ0 ) +  

(

)

(α +ρq )T sin (βT + ϕ ) ,  2(α +ρq )T +β  e sin ϕ0 − e 0   

(α +ρq )T cos βT + ϕ∗  +  2(α +ρq )T M ∗∗ = α + ρ q  e cos ϕ∗0 − e 0   

(

(

)

(α +ρq )T sin βT + ϕ∗  2(α +ρq )T +β  e sin ϕ∗0 − e 0 

(

92

)

) .

(3.70)

Для i = 1 получаем следующее: ∞

∞  ∗ − αt  −ρ t 1 cos β − ϕ D H e t ( )  0 ∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  e q dt = ∫  n =0  0

=

(

 α+ρ q 

H∗

) − 2e(α +ρq )T cosβT + 1 ( 

( + β e  

2   2 α +ρ q T

)

2

)

M ∗ − M ∗∗ ρ q , (3.71)



затем, обобщая соотношения (3.69), (3.71) на случай i = n*, окончательно ∞

∞  −ρ t  ∗ −αt n∗  1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )  e q dt = cos β − ϕ D H e t ( ) 0 ∑ ∫  n =0  0

=

(

 α+ρ q 

)

2

H∗

( + β e   2

) − 2e (

2 α +ρ q T

M ∗ − M ∗∗ ) ρiq . ( 

) cosβT + 1 

α +ρ q T

(3.72)



Таким образом, с учетом формул (3.64), (3.72) получаем рекуррентное выражение, определяющее интеграл Aqi* ∞

{

∗ Aqi = ∫ D i  x у + H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×   0

∞

} −ρ t dt = Aq∗ρiq ,

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) e n =0

i = 0,1,…, n∗,

Aq∗

где

+

(

 α+ρ q 

)

2

 + β2   e  

(

=

(

−ρ q γT

(1 − e )

) − 2e (

2 α +ρ q T

(3.73)

q = 1,2,…, m,

xу 1 − e

H∗

q

−ρ qT

)+ (M 

) cosβT + 1 

α +ρ q T

∗

)

− M ∗∗ .

(3.74)



93

Необходимо отметить, что при γ = 1 соотношения (3.59) и (3.61) принимают вид рекуррентных выражений Aqi*, Cqi*, определяющих соответствующие интегралы Галеркина для импульсных САУ с идеальным импульсным элементом и экстраполятором нулевого порядка (3.20). Соотношение (3.73) при γ = 1 принимает вид аналитического выражения, определяющего интеграл Aqi. Наконец, рассмотрим вычисление интегралов Bqi* для импульсных элементов типа I и II. Поскольку аналитические выражения, определяющие данные интегралы зависят от вида нелинейной характеристики и процесса на ее входе, то покажем вычисление данного интеграла для нелинейности общего вида – переменный коэффициент усиления (рис. 3.3), описываемой следующей системой уравнений k2 x − c = bk1 + k2 ( x − b ) , при x > b;  F ( x ) = k1 x, при x ≤ b ;  k2 x + c = −bk1 + k2 ( x + b ) , при x < −b.

(3.75)

Получение соотношения рассмотрим для процесса вида

x 0 (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1(t ) ,

(3.76)

который на выходе импульсного элемента типа I в соответствии с (3.48) принимает вид x 0∗ (t ) =

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) .

(3.77)

n =0

Прохождение процесса вида (3.77) через рассматриваемый нелинейный элемент показано на рис. 3.3. Будем полагать, что колебательность программного движения такова, что переключение нелинейности F(x) происходит в трех точках: t1, t2, t3, т. е. число моментов переключения r = 3, тогда F+0 (nT ) = F−1 (nT ) = k2 H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) − c; F+1 (nT ) = F−2 (nT ) = k1H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ); F+2 (nT ) = F−3 (nT ) = k2 H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) + c; F+3 (nT ) = k1H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ).

94

Запишем функцию F[x0*(t)] в виде обобщенной (3.13). Поскольку r = 3, то процесс на выходе нелинейности будет ∞  F  ∑ H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T )  =  n =0  ∞

= ∑ k2 H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) − n =0

∞

− ∑ c 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) + n =0

∞

+ ∑ ( k1 − k2 ) H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T ) + n =σ1

∞

+ ∑ c 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) − n =σ1

∞

− ∑ (k1 − k2 ) H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) + n =σ 2

∞

+ ∑ c 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) + n =σ 2

∞

+ ∑ (k1 − k2 ) H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) − n =σ 3

∞

− ∑ c 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) ,

(3.78)

n =σ 3

где σj = E(tj/T), здесь символ E – целая часть числа; tj – моменты переключения нелинейной функции F[x0(t)]. Используя подход аналогичный вычислению интегралов Aqi*, Bqi*, * Cqi [187, 201] получаем ∗ Bqi

∞

  ∞   = D i  F  H ∗e −αnT cos (βnT − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )   ×     n =0 0

∑

∫

×e

−ρ qt

dt =

−ρ γT

1− e q ρq

Bq∗ρiq ,

∗ i = 0, … 1 u,,,

q =1,

2… ,m,,

(3.79) 95

F(x)

F[x0*(t)]

arctgk2

F+0(t) = F–1(t)

arctgk1 –b

0

t2

x b

t3

F+3(t) t

t1

0

–c F+1(t) = F–2(t) 0

F+3(t) = F–3(t)

x

T t1

x0(t) t2

x0*(t)

t3

τ t

Рис. 3.3

где Bq* были определены ранее [187] для нелинейных характеристик различного вида при различных процессах на их входах. Таким образом, полученное соотношение отличается от рекуррентного выражения, определяющего соответствующий интеграл для САУ с идеальным модулятором лишь множителем, стоящим перед Bq*. Если в формуле (3.79) положить γ = 1, то она принимает вид соотношения 96

(3.20), определяющего аналогичный интеграл для импульсной системы с экстраполятором нулевого порядка. Покажем вычисление интеграла Bqi* в случае импульсного элемента типа II для нелинейности, описываемой уравнениями (3.75), и процесса вида (3.76), который на входе нелинейности (выходе модулятора типа II) описывается следующим образом: x 0∗ (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ).

n =0

(3.80)

Прохождение процесса (3.80) через нелинейность типа переменный коэффициент усиления показано на рис. 3.4. Если переключение нелинейной характеристики происходит в точках, соответствующих моментам времени t1, t2, t3, то функция, описывающая сигнал на выходе нелинейного звена в случае процесса (3.80) на его входе, может быть записана по аналогии с соотношением (3.78) ∞   F  H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )  =   n =0

∑

= k2 H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) −

n =0

∞

−c

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) + (k1 − k2 ) H ∗e−αt cos (βt − ϕ0 ) ×

n =0

×

∞

∑

n =σ1

1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T ) + c

− (k1 − k2 ) H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) +c

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) −

n =σ1

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) +

n =σ 2

∞

∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) + (k1 − k2 ) H ∗e−αt cos (βt − ϕ0 ) ×

n =σ 2

∞

× ∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T ) − n =σ 3

∞

−c ∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ).

(3.81)

n =σ 3

97

F(x)

arctgk2

F[x*0(t)]

arctgk1

–b

0

F+0(t) = F–1(t) t2

x

b

0

F+3(t) t

t1

–c

F+1(t) = F–2(t)

0

t3

F+2(t) = F–3(t)

x

T t1

x0(t) x*0(t)

t2 t3

τ

t

Рис. 3.4

Далее в результате выкладок аналогичных вычислению интегралов Bqi и Aqi* (для импульсного элемента типа II) получаем ∗ Bqi

∞

∞     = ∫ D i  F  H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )   × n =0     0

×e

−ρ qt

dt = Bq∗ρiq ,

i = 0,1,…, u∗ ,

98

q=

… m1

(3.82)

где Bq* при r = j имеет вид Bq∗ =

H∗

(

 α+ρ q 

)

2

(α +ρq )T cosβT + 1  2(α +ρq )T + β2  e − 2e   

×

  −(α +ρ q )γT −(α +ρ q )γT ∗      M ∗  + β N − e N  + ×  k2  α + ρ q  M − e      

(

)

r

+ ( k1 − k2 ) ∑ ( −1)

(

)

j −1 − α +ρ q σ jT

e

×

j =1

−(α +ρ q )γT −(α +ρ q )γT ∗        M 1∗  + β  N1 − e N1    − ×  α + ρq  M1 − e      

−

(

)

(

−ρ q γT

c 1− e

(

1− e

−ρ qT

)

) 1− e ( ρ

−ρ qσ1T

−e

−ρ qσ 2T

+e

−ρ qσ 3T

+e

q

−ρ qσ 4T

)

−… ,

(3.83)

где приняты следующие обозначения:

) cos ϕ − e(α +ρq )T cos (βT + ϕ ); 0 0 2(α +ρ q )T α +ρ q )T ( N =e sin ϕ − e sin (βT + ϕ );

M =e

(

2 α +ρ q T

0

M∗ = e N∗ = e

) cos ϕ∗ − e(α +ρq )T cos βT + ϕ∗ ; ( 0) 0

2 α +ρ q T

(

) sin ϕ∗ − e(α +ρq )T sin βT + ϕ∗ ; ( 0) 0

2 α +ρ q T

M1 = e N1 = e

(

0

(

) cos ϕ − βσ T − e(α +ρq )T cos βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j )

2 α +ρ q T

(

) sin ϕ − βσ T − e(α +ρq )T sin βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j )

2 α +ρ q T

M 1∗ = e N1∗ = e

(

) cos ϕ∗ − βσ T − e(α +ρq )T cos βT + ϕ∗ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j )

2 α +ρ q T

(

) sin ϕ∗ − βσ T − e(α +ρq )T sin βT + ϕ∗ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j )

2 α +ρ q T

(3.84)

99

здесь ϕ∗0 = −βγT + ϕ0 ; c = b (k2 − k1 ).

(3.85)

Если в соотношениях (3.83)–(3.85) положить γ = 1, то интеграл (3.82) принимает вид аналитических выражений Bqi. Покажем это на примере формулы (3.83). При γ = 1 соотношения (3.84) принимают вид

) cos ϕ − e(α +ρq )T cos(ϕ + βT ); 0 0 2(α +ρ q )T (α +ρq )T sin(ϕ + βT ); N =e sin ϕ − e

M =e

(

2 α +ρ q T

0

0

) cos (ϕ − βT ) − e( ) cos ϕ ; 0 0 2 α ρ α ρ + + T T ( q ) sin (ϕ − βT ) − e( q ) sin ϕ ; N∗ = e

M∗ = e

(

2 α +ρ q T

α +ρ q T

0

M1 = e N1 = e

(

0

) cos ϕ − βσ T − e(α +ρq )T cos βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j )

2 α +ρ q T

(

) sin ϕ − βσ T − e(α +ρq )T sin βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j )

2 α +ρ q T

M 1∗ = e N1∗ = e

(

) cos ϕ − βT − βσ T − e(α +ρq )T cos ϕ − βσ T ; (0 (0 j ) j )

2 α +ρ q T

(

) sin ϕ − βT − βσ T − e(α +ρq )T sin ϕ − βσ T . (0 (0 j ) j )

2 α +ρ q T

Затем, подставляя данные соотношения в выражение (3.83) и осуществляя простые математические преобразования, получаем

Bq∗

=

(

)

H ∗k2  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0 

(

 α+ρ q 

j −1 − α +ρ σ T ∑ (−1) e ( q ) j

×

r

j =1

−

100

c ρq

( −e

(

)

2

+β

2

+ H ∗ (k1 − k2 ) ×



) (

)

(

)

 α + ρ q cos ϕ0 − βσ jT + βsin ϕ0 − βσ jT   −  α + ρ 2 + β2  q  

(

−ρ qσ1T

−e

−ρ qσ 2T

+e

)

−ρ qσ 3T

+e

−ρqσ 4T

)

−…

1

Учитывая, что при γ = 1 на выходе импульсного элемента типа II будет иметь место непрерывный сигнал (следовательно σjT = tj ), тогда окончательно

Bq∗ r

=

∑ (−1)

×

(

)

H ∗k2  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0 

(

 α+ρ q 

)

2

+ H ∗ (k1 − k2 ) ×

+ β2  

) (α + ρq ) cos (ϕ0 − βt j ) + βsin (ϕ0 − βt j ) −

(

j −1 − α +ρ q t j

e

(

j =1

−

(

 α+ρ q 

)

2

+ β2  

)

−ρ t −ρ t −ρ t −ρ t c 1− e q 1 − e q 2 + e q 3 + e q 4 −… , ρq

что полностью соответствует аналогичному соотношению, полученному для непрерывных САУ [90, 204]. Принимая в соотношениях Bqi*, полученные для нелинейной характеристики (3.75) k1 либо k2, равными нулю, можно получить рекуррентные соотношения, определяющие интегралы Галеркина в случае нелинейных характеристик типа зона нечувствительности и ограничение (насыщение) соответственно. В результате выкладок получены рекуррентные выражения для интегралов Bq* для нелинейностей различного вида и различных желаемых процессов на их входах как в случае идеального импульсного элемента, так и с учетом конечной длительности замыкания АИМ (импульсные элементы типа I и II), приведенные в таблицах Приложения. Необходимо отметить, что в случае нелинейного звена типа идеального трехпозиционного реле, выражение, определяющее интегралы Галеркина при наличии в САУ как импульсного элемента типа I, так и типа II, будет одно и то же (при одинаковом виде процессов на входе нелинейности). Это обстоятельство объясняется тем, что данная нелинейная характеристика преобразует входной сигнал любой (произвольной) формы в последовательность импульсов фиксированной амплитуды. Таким образом, применение рекуррентных аналитических выражений, полученных выше, позволяет учитывать конечную длительность замыкания амплитудно-импульсного модулятора при решении задачи параметрического синтеза обобщенным методом Галеркина. 101

3.5. Синтез импульсных САУ с неоднозначными нелинейными элементами Во многих электромеханических системах используются устройства, для которых характерна неоднозначная зависимость между сигналами входа и выхода. Как отмечается в [197], нелинейности типа люфт и его различные вариации (люфт с ограничением; люфт с зоной нечувствительности; люфт с ограничением и зоной нечувствительности), приведенные в табл. 3.1. типичны для механических цепей передачи сигнала. В релейных системах управления также имеют место неоднозначные нелинейные элементы, к которым относятся реальные релейные характеристики двухпозиционного поляризованного реле и трехпозиционного реле или усилительного каскада из фазового дискриминатора и электромагнитных реле, характеристики которых показаны в табл. 3.1. При поиске оптимума функционала (3.17) в случае систем управления с неоднозначными нелинейными характеристиками необходимо проверять ограничение на устойчивость по критерию абсолютной устойчивости В. М. Попова, который был распространен на системы с неоднозначными нелинейностями в работах В. А. Якубовича. Алгебраическая форма данного критерия устойчивости нелинейных непрерывных и импульсных систем управления приведена в [89]. В отличие от гистерезисных нелинейностей F  x ( τ ) t0 , t  , характе  ристики нелинейностей типа люфт не лежат в фиксированном секторе F=kFx(t), однако угловой коэффициент касательной в каждой точке графика гистерезисной функции не меняет своего знака и лежит в пределах от 0 до kF. В этом случае гистерезисная функция удовлетворяет следующему условию: 2 dF  x ( τ ) 0t , t  dx dx   ≤ k F   при k F ≤. ∞ 0≤ dt dt  dt  Условие абсолютной устойчивости положения равновесия для таких систем, как показано в работе [89], имеет вид 1 > 0. ReW ( jω) + kF Геометрически это означает, что частотная характеристика линейной части системы W(jω) должна быть для всех ω ≥ 0 расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку (–1/kF , j0).

102

Таблица 3.1 Графическое представление и математическое описание неоднозначных нелинейных характеристик Вид нелинейной характеристики

характеристики

F(x,px) c –b

b

xвых = C , xвых = −C ,

x

xвых = C , xвых = −C ,

–c

xвых = C ,

F(x,px) c –b2 –b1

xвых

b1 b2

x

xвых xвых xвых

–c

xвых

xвх ≥ b  ,  при x
вх > 0; xвх ≤, b  xвх ≥, −b   при x
вх < 0 xвх ≤ −b  , xвх ≥ b2

,   = 0, b2 ≥ xвх ≥ −b1  при x
вх , > 0;  xвх ≤ −b1  , = −C , xвх ≥ b1  , = C,  = 0, b1 ≥ xвх ≥ −b2  при x
вх, < 0 xвх ≤ −b2 , = −C ,

F(x,px) –b

c b –c

xвых = −C + kxвх ,

x

xвых = const,

при x
вх > 0; при x
вх = 0;

xвых = C + kxвх ,

при x
вх < 0

xвых = −C , F(x,px) –b –B

c b –c

xвых B x

xвых xвых

xвх ≤ −b1   = −C + kxвх , b2 ≥ xвх ≥ −b1  при x
,вх > 0; xвх ≥ b2  = C, при x
вх = 0; = const,

xвых = −C , xвых = C + kxвх , xвых = C ,

xвх ≤ −b2   b1 ≥ xвх ≥ −b2  при x
вх < 0; xвх ≥ b1 

103

Окончание табл. 3.1 Вид нелинейной характеристики

характеристики

xвых = C1 + kxвх ,

F(x,px) c2 –b2 –b1

xвых xвых

c1 b1 –c1

b2

x

xвых

–B

b1 b2 –c1 –c2

xвх ≤ −b2 ,   = 0, b,1 ≥ xвх ≥ −b2  при x
вх < 0; xвх ≥ b1  , = −C1 + kxвх ,

xвых = − B,

F(x,px) c2 –b2 –b1

xвых = C2 + kxвх , xвых

–c2

c1

xвых

xвх ≤ −b1  ,  ,b2 ≥ xвх ≥ −b1  при x
вх > 0; = 0, xвх ≥ b2 , = −C2 + kxвх , при x
вх = 0; = const,

xвых xвых B x

xвых xвых xвых

xвх ≤ −b2  = C1 + kxвх , − b1 ≥ xвх ≥ −b2 ;   b;3 ≥ xвх ≥ −b1  при x
вх > 0; = 0, = −C2 + kxвх , b4 ≥ xвх ≥ b3   xвх ≥ b4  = B, = const, при x
вх = 0;

xвых = − B, xвых xвых xвых xвых

xвх ≤ −b4  = C2 + kxвх , − b3 ≥ xвх ≥ −b4 ;   b1 ≥ xвх ≥ −b3  при x
вх < 0; = 0, = −C1 + kxвх , b2 ≥ xвх ≥ b1   = B, xвх ≥ b4 

Для исследования устойчивости систем с релейными гистерезисными характеристиками необходимо реальную систему в результате эквивалентного преобразования свести к системе, содержащей нелинейный элемент с однозначной релейной характеристикой [89]. Аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина Bq* для неоднозначных нелинейностей как для непрерывных, так и импульсных САУ, получены в соответствии с вышеизложенной методикой и представлены в таблицах Приложения. Необходимо отметить, что соотношения Bq* для характеристик типа «двухпозиционные и трехпозиционные реле» тождественны, приведен104

ным в [189] рекуррентным аналитическим выражениям, определяющим аналогичные интегралы в случае идеальных релейных характеристик (при отсутствии гистерезиса). Однако в ходе решения задачи синтеза параметров соответствующих САУ следует иметь в виду, что при определении моментов переключения в случае идеальной и реальной релейных характеристик, получаемые числовые значения tj будут различны для одного и того же сигнала на входе нелинейного звена. Это связано с наличием гистерезиса в характеристиках реальных устройств. Работа модулей алгоритма подпрограммы POINTS, определяющих точки переключения неоднозначных нелинейных характеристик, подробно рассмотрена в гл. 7. Таким образом, получение рекуррентных аналитических выражений, определяющие интегралы Галеркина для неоднозначных нелинейных характеристик, в случае непрерывных и импульсных сигналов на их входах, позволило существенно расширить возможности метода ортогональных проекций. Использование данных соотношений дает возможность синтезировать параметры как непрерывных, так и импульсных САУ с нелинейностями гистерезисного типа, содержащих как идеальные АИМ, так и модуляторы типов I и II. 3.6. Синтез кусочно-линейных САУ при программных движениях произвольного вида Рассмотрим решение задачи параметрического синтеза нелинейных систем управления (в общем случае с кусочно-линейными характеристиками произвольного вида) в случае задания желаемого программного движения произвольно высокого порядка n

x 0 (t ) = ∑ xi0 (t ) , i =1

(3.86)

где xi0 (t ) =  x у + H ∗ cos ( βi t − ϕ0i ) e −α t  1(t ) – колебательные составляю  щие желаемого программного движения. Используя соотношение (3.86), можно задавать желаемые программные движения произвольно высокого порядка, состоящие из колебательных и экспоненциальных (при β = 0) элементарных составляющих, что соответствует комплексно-сопряженным и вещественным разным корням дифференциального уравнения. Попытки распространить метод ортогональных проекций на непрерывные и импульсные (с идеальным амплитудно-импульсным модуля105

тором) системы управления с нелинейными характеристиками произвольного вида, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию, при программном движении произвольно высокого порядка предпринимались в работах [211, 212] Л. А. Осиповым и Т. Г. Поляковой. Однако кроме аналитических выражений довольно общего вида, ни алгоритмов программ, способных реализовать предлагаемые математические формулы, ни рекомендаций по заданию параметров программного движения произвольно высокого порядка, ни результатов решения тестовых или иных примеров в данных работах приведено не было. Подход, предлагаемый в [211, 212], при всей кажущейся простоте и математическом изяществе, предполагает перенос основной тяжести решения задачи синтеза на разработку и реализацию довольно сложного алгоритма программы. Программа должна работать в условиях неопределенностей: при неизвестном заранее виде программного движения и количестве участков аппроксимации исходной нелинейной характеристики практически невозможно построить алгоритм, определяющий точки переключения неоднозначных нелинейных характеристик. Особые (на взгляд авторов данной книги) непреодолимые сложности возникают с реализацией подхода [211, 212] для люфта и его разновидностей. Для данных типов гистерезисных характеристик при переходе с одного кусочно-линейного участка на другой (при изменении знака производной входного сигнала) необходимо не только определять числовое значение времени переключения, но и параметры самой характеристики, числовые значения которых используются в соответствующих аналитических выражениях. В настоящей работе авторы развивают идеи В. Ф. Шишлакова по применению принципа эквивалентных преобразований (в случае кусочно-линейных характеристик произвольного вида) в сочетании с принципом, названным авторами интервальной суперпозиции. Это позволяет использовать для решения задачи синтеза методом ортогональных проекций (обобщенным методом Галеркина) как непрерывных САУ, так и систем управления с модуляторами различного вида простой, понятный и легко алгоритмизируемый подход. Суть принципа интервальной суперпозиции заключается в следующем. Для систем управления с кусочно-линейными характеристиками в пределах каждого кусочно-линейного участка выполняется принцип суперпозиции, как в случае линейных САУ. Следовательно, на каждом участке кусочно-линейной характеристики прохождение всех составля106

ющих программного движения (3.86) можно рассматривать независимо друг от друга. Вместе с тем время переключения нелинейной характеристики, т. е. переход с одного кусочно-линейного участка на другой, должно быть единым для всех составляющих желаемого процесса, представляющего собой сумму составляющих и определяться по процессу общего вида (3.86). Это позволяет сделать вывод о том, что применительно к нелинейной характеристике в целом принцип суперпозиции не используется. Геометрическая интерпретация иллюстрируется рис. 3.5, из которого следует, что фактически при переходе на очередной кусочно-линейный участок характеристики начало отсчета для каждой составляющей желаемого процесса переносится в новую точку пространства. Как видно из рис. 3.5, на интервале от 0 до t1 процесс на выходе нелинейного звена определяется следующим образом: F  x (t ) = k1 x (t )1(t ) ,

либо с учетом (3.86) F  x (t ) = k1  x1 (t )1(t ) − x2 (t )1(t ) − x3 (t )1(t ) − x4 (t )1(t ) .

Затем, в момент времени t1 происходит переключение коэффициента передачи нелинейной характеристики, что определяется видом процесса x(t). Следовательно, все элементарные составляющие процесса x(t) с момента времени t1 должны воспроизводиться на выходе нелинейного звена с коэффициентом передачи k2.Таким образом, процесс на выходе нелинейности на интервале от t1 до t2 будет

F  x (t ) = k2 x (t )1(t − t1 ) =

= k2  x1 (t )1(t − t1 ) − x2 (t )1(t − t1 ) − x3 (t )1(t − t1 ) − x4 (t )1(t − t1 ) . В момент времени t2 вновь происходит переключение коэффициента передачи нелинейной характеристики, что, по-прежнему, определяется видом процесса x(t). Тогда, начиная с момента времени t2, процесс на выходе нелинейного звена будет

F  x (t ) = k1 x (t )1(t − t2 ) =

= k1  x1 (t )1(t − t2 ) − x2 (t )1(t − t2 ) − x3 (t )1(t − t2 ) − x4 (t )1(t − t2 ) . 107

F(x)

F(x)

k2

k1 x

0

0

x2(t)

t1

t2

x k1

t1

x3(t)

x4(t)

t

0

k2 t2

x1(t)

x(t)

k1

t

Рис. 3.5

Таким образом, главное, что связано с практическим применением принципа интервальной суперпозиции, – моменты переключения нелинейной характеристики должны определяться только в зависимости от вида желаемого программного движения x(t). Это обеспечивает единое значение момента переключения для всех i составляющих движения x(t), т. е. одновременный переход для всех составляющих процесса на участок с новым коэффициентом передачи, что, безусловно, невоз108

можно в случае применения принципа суперпозиции. Для движения вида (3.86) использование принципа суперпозиции необходимо только при рассмотрении линейных звеньев и систем. Для решения задачи синтеза параметров САУ при программном движении (3.86) требуется минимизировать целевую функцию вид которой определен в общей схеме решения задачи синтеза обобщенным методом Галеркина 2

n∗ u n  ∗ ∗  a c A a c A bi (ck ) Bqi + + + ( ) ( ) i k qi i k qi m   i =0 i =0 J = i=0 ∗ , u v v∗ q=1  ∗ ∗ ∗ ∗   + bi (ck ) Bqi − ei (ck ) Cqi − ei (ck ) Cqi  i =0 i =0  i=0  minck J

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

(3.87)

Однако вычисление аналитических соотношений, определяющих интегралы Галеркина Aqi, Aqi* в случае процесса (3.86), должно осуществляться с учетом принципа суперпозиции, а Bqi, Bqi* – интервальной суперпозиции. В этом случае получаем ∞ z ∞ z  z  −ρ t −ρ t Aqi = ∫ D i  ∑ xi01 (t )  e q dt = ∑ ∫ D i xi01 (t ) e q dt = ∑ Aqi ρiq−1, 1 i1 =1 0 i1 =1  i1 =1  0 i = 0,1,…, n,

{

∗ Aqi



∞



= ∫ Di  ∑ xi01∗ (t )  z

 i1 =1

0



e

−ρ q t

dt =

}

z ∞

∑ ∫ Di {xi01∗ (t )} e

i1 =1 0

−ρ q t

dt =

z

∑ Aqi∗ 1ρiq ,

i1 =1

i = 0,1,…, n∗ , ∞   z z   −ρ t Bqi = ∫ D i  F  ∑ xi0 (t )   e q dt = ∑ Bqi ρiq−1, 1 1 i1 =1 0     i1 =1 ∗ Bqi

∞

 



= ∫ Di  F  ∑ xi01∗ (t )  0

z

  i1 =1

 

e

−ρ q t

dt =

z

∑ Bqi∗ 1ρiq ,

i1 =1

i = 0,1,…, u, i = 0,1,…, u∗.

109

* здесь Aqi1, Aqi 1 – рекуррентные аналитические соотношения, полученные ранее для процесса вида (3.2) и математических моделей амплитуд* но-импульсных модуляторов (2.1)–(2.3); Bqi1, Bqi 1 – рекуррентные аналитические соотношения, полученные ранее для процессов вида (3.38), (3.76) на входах типовых однозначных кусочно-линейных характеристик и математических моделей амплитудно-импульсных модуляторов (2.1)–(2.3). Применяя принцип интервальной суперпозиции при решении задачи синтеза САУ с однозначными типовыми кусочно-линейными характеристиками (переменный коэффициент усиления, ограничение (насы* щение), зона нечувствительности) в рекуррентные выражения Bqi1, Bqi 1 следует подставлять параметры (αi, βi, ϕ0i, Hi, x0i, xуi) соответствующие каждой i-й составляющей (3.38) общего программного движения (3.86). Кроме того, как было сказано выше, значение времени переключения определяется по заданному желаемому программному движению вида * (3.86). Следовательно, во все соотношения Bqi1, Bqi 1 должно быть одновременно подставлено одинаковое значение времени переключения нелинейной характеристики, определяемое по процессу вида (3.86), в противном случае принцип интервальной суперпозиции, как было показано, будет сведен к принципу суперпозиции, что даст для нелинейных систем автоматического управления принципиально неверный результат. Решение задачи синтеза параметров нелинейных САУ с типовыми однозначными нелинейными элементами, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию, в случае программного движения вида (3.86) не представляет никаких алгоритмических и программных трудностей, так как программа определения точек переключения характеристик нелинейных элементов (детальное описание которой приведено в гл. 7) тестировалась для различных видов процессов на входе нелинейного элемента (монотонные, колебательные затухающие и незатухающие, с постоянными составляющими и т. д. ) и показала свою полную работоспособность. Задача параметрического синтеза систем автоматического управления, содержащих нелинейные элементы с релейными характеристиками (как однозначными, так и гистерезисными), в случае программного движения вида (3.86) обобщенным методом Галеркина решается также просто. Релейная характеристика преобразует процесс любого вида на своем входе в сигнал прямоугольной формы. Поэтому в рекуррентные 110

* соотношения, определяющие интегралы Bqi1, Bqi 1 , для данных нелинейных характеристик не входят параметры желаемого программного движения, а лишь времена переключения релейного элемента, которые определяются по заданному проектировщиком процессу вида (3.86). Не представляет особых сложностей и решение задачи параметрического синтеза нелинейных САУ с кусочно-линейными характеристиками произвольного вида в случае программного движения вида (3.86). В этом случае, наряду с изложенным принципом интервальной суперпозиции, требуется использовать принцип эквивалентных преобразований исходной нелинейности. Таким образом, в случае программного движения общего вида и произвольного вида характеристики кусочно-линейного звена аналитичес* (с учетом применения принципа интервалькие соотношения Bqi, Bqi ной суперпозиции и эквивалентных преобразований) будут

Bqi

∗ Bqi

=

=

 l l z  z   −ρ t  i −1 0 q ∫ D  ∑ Fg  ∑ xi1 (t )  e dt = ∑∑ Bqi1g ρq ,   0 g =1 i1 =1  g =1 i1 =1 … u , , i1 = … z 1 ,,, g = … l i= 0,1,

∞

i

 l l z  z   −ρ t  0* * i q   ∫ D  ∑ Fg ∑ xi1 (t )  e dt = ∑∑ Bqi1g ρq ,   0 g =1 i1 =1  g =1 i1 =1

∞

i

i = 0,1,…, u∗ ,

i1 = 1,…, z,

g =1,,.… l

* где Bqi1g, Bqi 1g – рекуррентные аналитические соотношения, полученные ранее для процессов вида (3.38) или (3.76) на входах типовых однозначных кусочно-линейных характеристик и математических моделей амплитудно-импульсных модуляторов (2.1)–(2.3); g – число типовых нелинейных звеньев, включенных параллельно друг другу; i1 – число элементарных составляющих процесса x0(t). Таким образом, обобщенный метод Галеркина может применяться при решении задачи синтеза нелинейных систем автоматического управления различных классов (как непрерывных, так и с модуляторами различных видов) в случае не только произвольных нелинейных характеристик, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию, но и в случае произвольного вида желаемого программного движе-

111

ния. Причем данная задача может быть эффективно решена с помощью разработанных авторами алгоритмов и программ, зарегистрированных в информационно-библиотечном фонде Российской Федерации [213–215], объединенных в программный комплекс, алгоритм которого описан в гл. 7. 3.7. Синтез систем управления с АИМ при не стационарности параметров объекта управления Теория систем автоматического управления с постоянными параметрами получила существенное развитие и широкую область применения. Для данного класса систем разработаны методы анализа и синтеза, обладающие, с одной стороны, достаточной общностью, а с другой – удобные для инженерных расчетов. Однако допущения о постоянстве параметров во времени далеко не всегда приемлемы. В частности, ограничения стационарной теории управления оказываются неприемлемыми в ряде областей ее применения, к которым, например, можно отнести высокоточные следящие приводы для прокатных станов, системы стабилизации и управления ракетами, а также системы, осуществляющие слежение за движущимися объектами при наличии помех. В системах пространственного слежения, к которым, например, относится следящая локационная станция с коническим сканированием [216], в явном виде можно выделить каналы дальности, азимута и угла места. Обычно канал дальности является независимым и не влияет на работу двух других каналов. Каналы угла места и азимута взаимосвязаны между собой и их влияние друг на друга определяется спецификой работы каждой конкретной системы пространственного слежения. Основными требованиями, предъявляемыми к системам пространственного слежения, является обеспечение надежного захвата и высокая точность слежения за объектом в режиме сопровождения, поэтому для синтеза такой САУ необходимо учитывать нестационарность ее параметров. Анализ и синтез нестационарных систем связан с более серьезными трудностями, чем анализ и синтез стационарных систем, что обусловлено с некоторыми специфическими особенностями нестационарных САУ [217]: – понятие асимптотической устойчивости для них почти не представляет интереса, так как они обычно рассматриваются на конечном интервале времени; 112

– понятие установившегося и переходного процессов для многих из них не имеет смысла, так как они могут находиться в нестационарном режиме в течение всего времени наблюдения; – в зависимости от закона изменения параметров системы возможны различные подходы к решению задач синтеза и анализа. В настоящее время для решения задачи синтеза нестационарных САУ можно применить следующие подходы: – аналитические или графоаналитические методы исследования, применимые лишь к определенным классам систем; – методы математического моделирования и экспериментального исследования при помощи средств вычислительной техники, основанные на воспроизведении или структурных преобразованиях исходных уравнений системы, если они известны, или на их экспериментальном получении, если, например, объект представляет собой «черный ящик», а также создание интеллектуальных систем управления на базе экспертных оценок; – общие методы исследования, представляющие собой обобщение и дальнейшее развитие классических методов математического анализа, которые также требуют применения вычислительной техники. Рассмотрим нелинейную нестационарную систему автоматического управления, содержащую амплитудно-импульсный модулятор, движение которой в общем виде описывается дифференциальным уравнением Q(ck1, ck 2 , D) x(t ) + Q* (ck1, ck 2 , D) x* (t ) + + R(ck1, ck 2 , D) y(t ) + R*(ck1, ck 2 , D) y* (t ) = = S (ck1, ck 2 , D) f (t ) + S * (ck1, ck 2 , D) f * (t ), y(t ) = ∗ ∗ = F  x (t ) , x
(t )  , y∗ (t ) = F  x (t ), x
(t )  ,  

где x(t), x *(t) – исследуемая координата на входе и выходе модулятора соответственно, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ; f(t), f *(t) внешнее входное воздействие на входе и выходе модулятора соответственно; y (t ) = F  x (t ) , x
(t ) , y ∗ (t ) = F  x ∗ (t ) , x
∗ (t ) – нелинейные функции;   Q ( ck1, ck 2 , D ) =

n

n∗

∑ ai ( ck1, ck 2 )D ; Q ( ck1, ck 2 , D ) = ∑ ai* ( ck1, ck 2 )Di ;

i =0

i

∗

i =0

113

u∗

u

R ( ck1, ck 2 , D ) = ∑ bi ( ck1, ck 2 )D i ; R∗ ( ck1, ck 2 , D ) = ∑ bi* ( ck1, ck 2 )D i ; i =0

S ( ck1, ck 2 , D ) =

v

i =0 v∗

i =0

i =0

∑ ei ( ck1, ck 2 ) Di ; S ∗ ( ck1, ck 2 , D ) = ∑ ei* ( ck1, ck 2 ) Di

– полиномы оператора обобщенного дифференцирования D с вещественными коэффициентами степеней n, n*, u, u*, v, v* соответственно; ck1 – варьируемые параметры (k1=0, 1, 2, ..., m1); ck2 – нестационарные параметры объекта управления (k2=0, 1, 2, ..., m2). В соответствии с общей схемой решения задачи синтеза параметров систем управления обобщенным методом Галеркина, рассмотренной в гл. 2, задача синтеза параметров нестационарных импульсных САУ, так же, как и стационарных, в вычислительном плане представляет собой задачу нелинейного программирования с целевой функцией вида n* u  n ∗ J = ∑  ai (сk1, сk 2 ) Aqi + ai∗ (сk1, сk 2 ) Aqi + bi (сk1, сk 2 ) Bqi + q =1  i =0 i =0  i =0 m1

∑

∑

∑

2

 ∗ ∗  + bi∗ (сk1, сk 2 ) Bqi − ei (сk1, сk 2 )Cqi − ei∗ (сk1, сk 2 )Cqi  , min c J k1 i =0 i =0 i =0  u*

∑

v

∑

v*

∑

оптимум которой определяется при ограничениях (2.11), (2.12) и ограничениях на устойчивость САУ с синтезированными параметрами, путем использования известных методов поиска экстремума функционала. Решение поставленной задачи будем рассматривать с учетом следующих допущений: – полагаем, что значения нестационарных параметров объекта управления определяются мгновенно в момент замыкания амплитудно-импульсного модулятора; – если АИМ представляет собой АИМ типа I или II полагаем, что значения нестационарных параметров остаются постоянными в течение всего времени замыкания модулятора. Очевидно, что для осуществления параметрического синтеза импульсной нестационарной САУ со случайным законом изменения нестационарных параметров объекта управления, задачу синтеза параметров необходи114

мо решать в каждый момент съема информации о состоянии объекта, т. е. с частотой работы импульсного элемента. Однако при решении практических задач часто оказывается, что изменения во времени нестационарных параметров объекта управления имеют определенную периодичность. В этом случае решение задачи синтеза параметров системы управления существенно облегчается, причем большое значение имеет отношение периода квантования импульсного элемента к периоду повторяемости параметров нестационарного объекта управления. Рассмотрим возможные варианты. Вариант А Нестационарная импульсная САУ, в которой изменение нестационарных параметров имеет случайный (непериодический) характер, показанный на рис 3.6 ck2

0

T

2T

(n–1)T

3T

nT

t

Рис. 3.6

Данный случай является наиболее общим, поскольку параметры объекта управления изменяются не периодически (в общем случае случайным образом), следовательно, необходимо осуществлять синтез k регуляторов, где k – число сработок импульсного элемента, за время затухания переходного процесса Тп.п. Основная сложность рассматриваемого случая состоит в том, что значения нестационарных параметров n-го момента замыкания должны быть известны заранее, в момент времени n–1. Получение подобной информации о состоянии объекта вполне возможно, если известен характер воздействий, приводящих к нестационарности параметров объекта управления, которые могут быть описаны математически, либо создана (на основе натурных или модельных экспериментов) база данных изменения нестационарных параметров во времени. При этом задача построения системы управления с учетом влияния нестационарности параметров объекта на динамику САУ будет считаться решенной, если время синтеза параметров регулятора (при решении задачи синтеза в реальном времени) и его перенастройки меньше периода прерывания импульсного элемента. Очевидно, что в данном случае регулятор должен быть реализован в виде управляю115

щей программы ЦВМ или в виде блока управления с электронным коммутатором. Также возможно определить группу значений параметров регулятора, которые обеспечивают удовлетворительное качество работы системы управления при всех вариантах не стационарности параметров объекта. Вариант Б Импульсная нестационарная система автоматического управления, значения нестационарных параметров объекта управления которой имеют период повторяемости Тп, равный периоду квантования импульсного элемента Т, т. е. Тп = Т, что показано на рис. 3.7. ck2

0

T

2T

(n–1)T nT

3T

t

Рис. 3.7

Как видно из рис. 3.7, в данном случае систему можно рассматривать как квазистационарную импульсную САУ. Поскольку значения нестационарных параметров в моменты времени t = nT, будут неизменными, так как значение периода повторяемости нестационарных параметров во времени равно периоду прерывания амплитудно-импульсного модулятора. Таким образом, при Тп = Т, решение задачи параметрического синтеза нестационарной импульсной системы с АИМ будет полностью аналогично решению подобной задачи для стационарной САУ. Вариант В Импульсная нестационарная система автоматического управления, в которой значения нестационарных параметров имеют период повторяемости, кратный периоду квантования импульсного элемента (Тп = kТ, k = 1, 2, 3, ...), что показано на рис. 3.8 для k = 2. ck2

0

T

2T

(n–1)T

3T

Рис. 3.8

116

nT

t

При k = 1 имеет место случай, рассмотренный выше (вариант Б), если k отличается от единицы, то решение задачи синтеза следует проводить для k групп сочетаний параметров объекта управления. После этого необходимо, либо проектировать регулятор с адаптацией к соответствующей группе параметров (для случая на рис. 3.8 перенастройка должна происходить каждый период квантования), либо должна быть определена группа параметров, обеспечивающая удовлетворительное качество работы системы для всех состояний нестационарности объекта управления. Вариант Г Импульсная нестационарная система автоматического управления, в которой значения нестационарных параметров имеют период повторяемости равный Тп = Т/k, k = 1, 2, 3, .... На рис. 3.9 показан вариант изменения параметров объекта управления при Тп = Т/3. ck2

t Tп T

Рис. 3.9

Данный случай аналогичен варианту Б, так как в моменты замыкания импульсного модулятора значения нестационарных параметров одинаковы. Для любого из случаев Б, В, Г возможна определенная несинхронность моментов замыкания АИМ и периода повторяемости параметров, что показано на рис. 3.10. ck2 Tп t T

∆τ Рис. 3.10

117

Однако это не создает каких-либо дополнительных трудностей в решении задачи параметрического синтеза САУ рассматриваемого класса, поскольку необходимая синхронность достигается включением звена опережения на ∆τ перед АИМ и звена запаздывания на ∆τ после него. Таким образом, обобщенный метод Галеркина распространен на новый класс систем управления – нестационарные линейные и нелинейные САУ, содержащие амплитудно-импульсные модуляторы.

118

Глава 4 СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ С ШИРОТНО- И ЧАСТОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ В данной главе проводится детальная проработка общей схемы решения задачи синтеза импульсных САУ применительно к системам управления с широтно- и частотно-импульсной модуляцией, содержащим как линейные, так и нелинейные объекты управления. Рассматривается получение рекуррентных аналитических выражений, определяющих интегралы целевых функций САУ с ШИМ и ЧИМ, позволяющих алгебраизировать решение задачи параметрического синтеза систем указанных классов произвольных структур и порядков. 4.1. САУ с широтно-импульсной модуляцией Системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией нашли широкое применение в технике, в частности системы данного класса, используются в электроприводах различного назначения. Системы управления с широтно-импульсной модуляцией напряжения, подаваемого на якорь исполнительного двигателя, представляют собой одну из широко применяемых на практике реализаций генераторного метода регулирования скорости вращения изменением среднего напряжения якоря путем регулирования длительности импульсов напряжения. Такой способ управления дает возможность использовать исполнительные двигатели с большим моментом вращения в течение короткого промежутка времени, что явно предпочтительнее применения двигателей с малым моментом вращения в течение более длительного времени. Кроме того, в электроприводах с ШИМ легко ограничить величину момента вращения, развиваемую исполнительным двигателем, причем это требование подчас является определяющим для многих систем, поскольку в противном случае может произойти разрушение элементов САУ. Также следует отметить высокую помехоустойчивость систем рассматриваемого класса. Влияние помех на САУ с ШИМ менее 119

существенно, чем в классических системах, так как случайные вариации амплитуды мало влияют на информацию передаваемую в виде широтно-модулированного сигнала. Наряду с отмеченными выше достоинствами систем с ШИМ, им присущи и некоторые недостатки. Исполнительный двигатель, работающий в режиме широтно-импульсного управления (за исключением импульсного двигателя), имеет пульсирующий момент вращения, и его перегрев, так же, как и механические напряжения элементов достаточно высок. Кроме того, как отмечалось выше, синтез параметров регуляторов систем с ШИМ представляет собой сложную задачу в силу нелинейного характера преобразования сигнала модулятором. Поэтому, как правило, при решении практических задач традиционными методами синтеза широтно-импульсный характер сигнала не учитывается, что несомненно сказывается на достоверности исследуемой математической модели реальной САУ и точности получаемого решения. Во второй главе была рассмотрена общая схема решения задачи параметрического синтеза систем, содержащих в своем составе модуляторы различных типов, обращением прямого вариационного метода – метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина). Из рассмотренной схемы решения следует принципиальная возможность синтеза САУ с ШИМ обобщенным методом Галеркина. Поэтому рассмотрим особенности применения метода, связанные с нелинейным характером преобразования сигнала широтно-импульсным модулятором. Структурная схема рассматриваемой САУ и характер сигнала на выходе ШИМ показаны на рис. 4.1. Полагаем, что модулятор генерирует последовательность прямоугольных импульсов амплитуды A, совпадающих по знаку со знаком квантуемого сигнала в моменты квантования. Поскольку модулятор формирует последовательность прямоугольных импульсов, то сигнал на его выходе может быть записан ∞

( (

) )

x∗ (t ) = A ∑ sign ( xn ) 1(t − nT ) − 1 t − n + k j T  ,   n =0

(4.1)

где kj ≤ 1 – параметр, связывающий ширину j-го импульса с длительностью периода квантования. Предположение о прямоугольном характере импульсов на выходе модулятора не является определяющим, поскольку, как показано в 120

f(x)

x(t)

ШИМ

–

x*(t)

W(ck,p)

θ(t)

x

t

0 x* τ1 = k1T τ2 = k2T A

0

t

T

–A

Рис. 4.1

[7, 9], включив последовательно с импульсным элементом линейный формирующий элемент с необходимой передаточной функцией, несущим импульсам всегда можно придать любую, в том числе и прямоугольную форму. В общем виде уравнение движения САУ с ШИМ записывается следующим образом: Q (ck , D ) x (t ) + Q ∗ (ck , D ) x ∗ (t ) = S (ck , D ) f (t ) + S ∗ (ck , D ) f ∗ (t ) , (4.2)

где x(t), x*(t) – сигналы на входе и выходе широтно-импульсного модулятора, соответственно, относительно которых записано уравнение дина* мики синтезируемой системы управления; f(t), f (t) – внешнее входное воздействие на входе и выходе ШИМ, соответственно; Q(ck,D), Q*(ck,D), S(ck,D), S*(ck,D) – полиномы оператора обобщенного дифференцирования D соответствующих степеней с вещественными постоянными коэффициентами [см. формулу (2.17)]. 121

В соответствии с общей схемой решения задачи синтеза систем управления, рассмотренной во втором разделе, исходя из уравнения (4.2) получаем целевую функцию 2

n∗ n n∗  n  ∗ ∗ ∗  J =  ai (ck ) Aqi + ai (ck ) Aqi − ei (ck ) Cqi + ei∗ (ck ) Cqi  , (4.3) = = = = 0 0 0 0 q =1  i i i i   min ck J → 0, m

∑∑

∑

∑

∑

где ∗ Aqi

∞

 ∞  −ρ t = D i  A sign xn0 1(t − nT ) − 1(t − (n + kn )T ) e q dt ,  n =0  0

∫

∑

( )

i = 0,1,…, n∗, q = 1,2,…, m,

∗ Cqi

∞

(4.4)

 ∞  −ρ t = D i  A sign f n0 1(t − nT ) − 1(t − (n + kn )T ) e q dt,  n =0  0

∫

∑

( )

i = 0,1,…, v∗, q = 1,2,…, m,

(4.5)

а интегралы Aqi, Cqi были определены ранее. Таким образом, для решения задачи параметрического синтеза САУ с ШИМ необходимо определить интегралы вида (4.4), (4.5) и далее минимизировать функционал J в соответствии с общей схемой решения поставленной задачи. Прежде чем рассматривать вычисление интегралов (4.4), (4.5) необходимо отметить следующее. Интегралы Aqi, Cqi вычислялись при определенном (заданном) виде программного движения и внешнего входного воздействия, поскольку вид аналитических рекуррентных соотношений непосредственно связан с видом желаемого процесса и входного воздействия. В случае САУ с ШИМ модулятор преобразует входной сигнал любого вида в последовательность прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды, следовательно, вид аналитических выражений, определяющих Aqi*, Cqi*, будет одинаковым. Поэтому рассмотрим лишь вычисление интеграла Aqi*. 122

При i = 0 получаем Aq∗0

∞

 ∞  −ρ t =  A sign xn0 1(t − nT ) − 1(t − ( n + kn )T ) e q dt =   n =0 0

( )

∫ ∑

∞ ∞  −ρ t −ρ t sign xn0  e q dt − e q dt  =   n =0 (n + kn )T  nT 

=A

∞

( )∫

∑

=A

∫

− ρ q k nT

∞

∑ sign ( xn0 ) 1 − eρq

e

−ρ q nT

.

(4.6)

n =0

Далее, применяя к полученному соотношению (4.6), формулу (3.58), определяющую сумму членов геометрической прогрессии, получим ∞  ∞  −ρ t Aq∗0 = ∫  A∑ sign xn0 1(t − nT ) − 1(t − ( n + kn )T ) e q dt =  n =0  0

( ) ∞

− ρ q k nT

( ) ρ1 −1e− e−ρ T

= A∑ sign xn0 n =0

q

(

q

.

)

(4.7)

Применяя аналогичные выкладки, определим интеграл Aqi* при i = 1 Aq∗1

∞

 ∞  −ρ t =  A sign xn0 δ (t − nT ) − δ (t − (n + kn )T ) e q dt.   n =0 0

∫ ∑

( )

(4.8)

Преобразуя соотношение (4.8), аналогично вычисленному ранее (4.6), и используя фильтрующее свойство δ-функции ∞

k (k ) (k ) ∫ f (t )δ (t − τ ) dt = (−1) f (τ ), 0

получаем следующее: Aq∗1

=A

∞

− ρ q k nT

∑ sign ( ) 1 − e−ρ T

n =0

xn0

1− e

q

.

(4.9) 123

В случае i = n* получаем ∞ ∞  −ρ T  ∗ n∗  Aqn D A sign xn0 1(t − nT ) − 1(t − (n + kn )T ) e q dt = = ∗   n =0  0

∫

( )

∑

∞  ∞ n∗ −1)  (n∗ −1)   −ρ T =  A sign xn0 δ (t − nT ) − δ( (t − (n + kn )T ) e q dt. (4.10)  n =0    0

∫ ∑

( )

Далее, приводим соотношение (4.10) к виду ∗ Aqn ∗

∞

∞  −ρ T ∗   = D n  A sign xn0 1(t − nT ) − 1(t − ( n + kn )T ) e q dt =  n =0  0

∫

( )

∑

=A

∞

∑

n =0

− ρ q k nT

( ) 1− e

sign xn0

1− e

−ρ qT

ρnq

∗

−1

.

(4.11)

Таким образом, обобщая полученные результаты, получаем следующее рекуррентное выражение, определяющее интеграл Галеркина Aqi* при наличии в САУ широтно-импульсного модулятора [188, 189] ∞ ∞   −ρ T ∗ Aqi = D i  A sign xn0 1(t − nT ) − 1(t − (n + kn )T ) e q dt = Aq∗ρiq ,  n =0  0

∫

∑

( )

i = 0,1,…, n∗;

q = 1,2…, m,

(4.12)

где

Aq∗ = A

∞

∑

n =0

− ρ q k nT

( ) 1 − e −ρ T

sign xn0

(

1− e

q

)

ρq

⋅

(4.13)

здесь A – амплитуда импульса на выходе модулятора; sign (xn0) – знак сигнала на входе модулятора в n моменты квантования. Очевидно, что полученное соотношение справедливо при любом виде сигнала на входе широтно-импульсного модулятора, в том числе и при типовых внешних воздействиях. Однако если в качестве такого воздей124

ствия будет использоваться скачкообразное или линейно нарастающее, т. е. функции постоянные по своему знаку, то формулы (4.12), (4.13) могут быть упрощены ∞  ∞  −ρ T ∗ Cqi = D i  A sign f n0 1(t − nT ) − 1(t − (n + kn )T ) e q dt = Cq∗ρiq ,  n =0  0

∫

∑

( )

i = 0,1,…, v∗ ,

q=

1,2m …

(4.14)

где ∞

Cq∗ = A∑

n =0

(

1− e

1− e

− ρ q k nT

−ρ qT

)

ρq

⋅

(4.15)

Применение соотношений (4.12), (4.14) связано с необходимостью определения знаков амплитуд сигнала на входе модулятора и значений коэффициента kn, определяющего ширину импульса в моменты квантования. Задача определения sign(xn0) может быть решена довольно просто. Поскольку известно желаемое программное движение x0(t), время переходного процесса Tп.п и период квантования, то для моментов времени, соответствующих n-ым периодам квантования в интервале от 0 до Tп.п определяются значения процесса. По найденным числовым значениям процесса x0(t) формируется массив sign(xn0) в моменты коммутации входного сигнала. Ширина импульса на выходе широтно-импульсного модулятора определяется значением kn, которое нелинейно зависит от соотношения величин входного x0(t) и опорного y(t)=sign (xn0) t сигналов (рис. 4.1). В качестве опорного необходимо использовать тот сигнал, который применяется в реальном ШИМ проектируемой системы управления. Как правило, в схемах широтно-импульсных модуляторов опорным является сигнал пилообразной формы с периодом T. Исходя из этого, процедура определения массива значений kn может быть следующей: в начале задается приращение ∆t координаты t и определяется значение разности процессов x0(t) и y(t): ε = x 0 (t ) − y (t ) , когда указанная разность не будет превышать заданное значение ε0, соответствующее значение tj, tj запоминается и по нему определяется kn = . Далее происходит обнуT 125

Начало Ввод исходных данных Вычисление 0 x (t j ),  x (t j )  0

Нет

Вычисление * * y(t j ) = k t j

Да

t j+ 1 ≤ T п.п

Вычисление ε =  x 0 (t j )  − y(t j )

t j+ 1 = t j + ∆t *

t j = tj + ∆ t Нет

ε ≤ ε0 Да Формирование масси ва значений kj Формирование массива знаков амплитуд *

tj = 0

t j+ 1 = t j + ∆ t Нет

t j+ 1 ≤ T п.п Да Печать массива знаков амплитуд и kj Конец

Рис. 4.2.

ление опорного сигнала, и вычисления повторяются до тех пор, пока текущее значение координаты t не превысит заданную длительность 126

переходного процесса. Таким образом, формируется массив значений kn на интервале от 0 до Tп.п. Блок-схема алгоритма программы, реализующей данную процедуру, представлена на рис. 4.2. 4.2. САУ с частотно-импульсной модуляцией Область применения систем автоматического управления с частотноимпульсными модуляторами (ЧИМ) весьма широка. Модуляторы данного вида используются как в системах регулирования инерционных технологических процессов, так и в системах ориентации и стабилизации летательных аппаратов [9]. Системы управления данного класса являются непериодическими и существенно нелинейными в силу принципа частотного управления, и во многих режимах работы не допускают линеаризации даже при малых глубинах модуляции. Отмеченные особенности САУ с ЧИМ затрудняют решение задачи синтеза параметров операторов управления традиционными методами. Поэтому подробно рассмотрим применение обобщенного метода Галеркина к системам данного класса, общая схема которого для решения задачи синтеза импульсных САУ с различными видами модуляции сигнала была показана во втором разделе. Задача синтеза решается в традиционной для обобщенного метода Галеркина постановке: известна структура САУ с ЧИМ, формирующим сигналы, частота следования которых зависит от сигнала на входе модулятора, и параметры объекта управления. Требуется определить параметры регулятора, структура которого задана в общем виде, исходя из условия приближенного обеспечения в синтезируемой системе заданных показателей качества ее работы в переходном режиме, абсолютной устойчивости и грубости САУ по варьируемым параметрам. Уравнение движения САУ n-го порядка с ЧИМ, структурная схема которой показана на рис. 4.3, а и б имеет вид (4.2). Следовательно, в соответствии с общей схемой решения задачи синтеза САУ с различными видами модуляции сигнала, получаем целевую функцию 2

n∗ v v∗  n  ∗ ∗ ∗  J =  ai (ck ) Aqi + ai (ck ) Aqi − ei (ck ) Cqi − ei∗ (ck ) Cqi  , (4.16) i =0 i =0 i =0  i =0 

∑

∑

∑

∑

min ck J → 0,

127

а)

f (t)

*

x (t)

ЧИМ

x (t)

W ( c k, p )

θ( t )

–

б)

x

0

t x

*

A

0

t T1 T2 T3

–A

Рис. 4.3 ∞

∫ {

}

∗ где Aqi = D i x 0∗ (t ) e

−ρ qt

dt, i = 0,1,…, n∗; q = 1,2,…, m;

(4.17)

0

∞

∫ {

}

∗ Cqi = D i f ∗ (t ) e

−ρ q t

dt, i = 0,1,…, v∗; q = 1,2,…, m,

(4.18)

0

здесь x0*(t) и f*(t) – процессы на выходе частотно-импульсного модулятора, определяемые в соответствии с (2.10) x 0∗ (t ) = A

∞

∑ sign ( x0 (Tn )) 1( t − Tn ) − 1( t − Tn − τ ) ;

n =0

128

(4.19)

f ∗ (t ) = A

∞

∑ sign ( f (Tn ) ) 1( t − Tn ) − 1( t − Tn − τ ) ,

(4.20)

n =0

где A = const – амплитуда импульса, длительностью τ = const на выходе модулятора; Tn – период следования импульсов, величина которого зависит от сигнала на входе модулятора; sign(x0(Tn)), sign(f(Tn)) – знаки желаемого программного движения x0(t) и внешнего воздействия f(t) на входе модулятора в момент формирования n-го импульса (длительностью Tn) соответственно. Интегралы Aqi, Cqi уравнения (4.16) были определены ранее, поэтому для решения поставленной задачи требуется лишь определить интегралы вида (4.17), (4.18). При этом следует отметить, что, как и в случае систем управления с ШИМ (см. формулы (4.3)–(4.5)), вид данных интегралов не зависит от вида сигнала на входе частотноимпульсного модулятора, поскольку последний преобразует сигнал любой формы в последовательность прямоугольных импульсов равной амплитуды. Поэтому рассмотрим только лишь вычисление соотношения вида (4.17). С учетом соотношения (4.19) интеграл (4.17) принимает вид ∗ Aqi

∞



∞



0



n =0



= ∫ Di  A∑ sign ( x 0 ( Tn )) 1( t − Tn ) − 1( t − Tn − τ )  e ∗

i = 0,1,…, n ;

q = 1,2,…, m.

−ρ qt

dt,

(4.21)

Рассуждая аналогично вычислению соответствующего интеграла для САУ с ШИМ, получаем следующее ∗ Aqi

∞



∞



0



n =0



= ∫ Di  A∑ sign ( x 0 (Tn ) ) 1( t − Tn ) − 1( t − Tn − τ )   e −ρqt dt = Aq∗ρiq , i = 0,1,…, n∗;

q = 1,2 …, m,

(4.22)

где

Aq∗ =

(

A 1− e ρq

−ρ q τ

)

∞

∑ sign ( x0 (Tn )) e

−ρqTn

.

(4.23)

n =0

129

Для вычисления соотношения (4.23), а, следовательно, и интеграла вида (4.22), необходимо рассмотреть вопрос определения периода следования импульсов Tn на выходе модулятора, как функции входного сигнала ЧИМ. Решение данного вопроса непосредственно связано с конкретными схемными реализациями ЧИМ. 4.3. Частотно-импульсные модуляторы 1-го рода При импульсной модуляции 1-го рода, как показано в [9], значения модулируемого параметра определяются мгновенными значениями модулирующей функции в моменты срабатывания импульсного элемента, причем между обеими величинами существует функциональная зависимость вида an = f ( xn ) , где an = a (tn ) – модулируемый параметр; xn = x(tn ) – модулирующая функция; tn (n = 0, 1, 2,...) – моменты срабатывания импульсного элемента. Рассмотрим функциональные и принципиальные электрические схемы некоторых двухполярных частотно-импульсных модуляторов [9]. Двухполярный ЧИМ 1-го рода на базе аналоговых микросхем

Функциональная схема рассматриваемого модулятора и диаграммы сигналов, поясняющих работу ЧИМ, показаны на рис. 4.4, где приняты следующие обозначения: 1 – блок вычисления абсолютной величины входного сигнала; 2 – запоминающее устройство, реализованное в виде интегратора с коэффициентом интегрирования K1; 3 – времязадающий блок, в состав которого входят интегратор с коэффициентом интегрирования K2 и релейный элемент с зоной нечувствительности ∆1; 4 – блок выдержки времени, в состав которого входят интегратор с коэффициентом интегрирования K3 и релейный элемент с зоной нечувствительности ∆2; 5 – блок формирования импульсов, реализованный на релейном элементе с зоной нечувствительности ∆. Модулятор работает следующим образом. В исходном состоянии сигналы на выходе всех трех интеграторов равны нулю. После подачи на вход модулятора воздействия x(t), величина которого превышает значение зоны нечувствительности ∆ релейного элемента, замыкается ключ SA5 и интеграторы (блоки 2 и 4) начинают интегрировать до тех пор, пока сигнал y3(t) не достигнет значения ∆2, которое определяется следующим образом: ∆ 2 = E0 K 3τ.

130

После срабатывания релейного элемента (блок 4) размыкаются ключи SA1 и SA2, отключающие входы интеграторов (блоки 2 и 4), и замыкается ключ SA3, через который сигнал y1(t) поступает на вход интегратора (блок 3). Сигнал y1(t) определяется следующим выражением: τ

y1 ( τ ) = K1 x (t ) dt = K1τ xср ,

∫ 0

где xср – среднее значение величины x(t) на интервале от 0 до τ. В том случае, если τ мало можно полагать, что xср ≈ x(0) =x0 и выражение (4.24) принимает вид y1 ( τ ) ≈ K1τ x0 . Далее интегратор (блок 3) интегрирует сигнал y1(τ) до тех пор, пока сигнал на его выходе не достигнет порога ∆1, при котором срабатывает релейный элемент (блок 3). Это происходит в момент времени T0 = τ +

∆1 , K 2 x0

(4.25)

что приводит к обнулению всех интеграторов и схема переводится в исходное состояние. Далее рассмотренный процесс повторяется. В рассмотренной схеме выходной сигнал x*(t) представляет собой последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по частоте и знаку, следовательно, справедливо математическое описание процесса на выходе модулятора

 Asign ( x (t )) , при x > ∆, tn < t ≤ tn + τ; x ∗ (t ) =  (4.26) при x ≤ ∆, tn + τ < t ≤ tn +1, 0, где tn – момент появления n-го импульса; ∆ – зона нечувствительности нелинейного элемента типа «идеальное трехпозиционное реле». В соответствии с выражением (4.25), для рассматриваемого ЧИМ, получаем следующий закон частотно-импульсной модуляции: Tn = tn +1 − tn = τ +

1 где xn = τ

tn + τ

∫ x (t )dt = xср

n

∆1 , K 2 xn

(4.27)

≈ x ( tn ) .

tn

131

1

y

x(t)

x

0 5

F1 −∆

SA 1

K1 p

K2 p

y 1(t) SA 3

y2

∆1

0

Сброс интеграторов

x

x *(t)

SA 4

K3 p

E 0(t) SA 5

x

3

F2

y 2(t)

Управление ключами ∆

0

x(t) 

2

SA 4

F3

y 3(t) 0

4

y3

∆2

∆ 0 −∆

t

y1

y2

y3

t

0

t

0

t

0 x* T4 0 T1

T2

t T3

Рис. 4.4

132

τ

На рис. 4.5 построены графические зависимости периода следования импульсов Tn на выходе ЧИМ от значений модулирующего сигнала x0(t) для различных значений длительности импульсов τ, полученные в соответствии с соотношением (4.27). Используя показанные на рис. 4.5 графики, можно определять значения Tn для процесса любого вида на входе модулятора в любой момент времени t. Tn

10,0 1 – T n (x n) при τ = 1, ∆1 /K 2 = 1 2 – T n (x n) при τ = 0, ∆1 /K 2 = 1 3 – T n (x n) при τ = 1, ∆1 /K 2 = 0,1 4 – T n (x n) при τ = 0, ∆1 /K 2 = 0,1 6,0

1

2

3

4

2,0

x n  0

0,2

0,6

1,0

Рис. 4.5

Определение периода следования импульсов Tn можно осуществить с помощью программы, моделирующей работу рассматриваемого ЧИМ, алгоритм которой показан на рис. 4.6. Исходными данными для работы программы являются: – параметры желаемого программного движения x0(t) на входе ЧИМ; – значения коэффициентов K1, K3, величина опорного напряжения E и порога срабатывания ∆2, задающие длительность импульса τ на выходе модулятора; 133

Начало Ввод исходных данных

t :=0

Вычисление x0(tj),x0(tj), signx Нет

Да

x ≥ ∆

t1 : = 0

t := t + ∆t

y1 := xK 1t1 y3 := EK 3t1

t1 := t1 + ∆t Да t ≤ T п.п

Нет

Нет

Печать массива знаков амплитуд x *i, T i t := Ti + t

Конец

Ti := t1 + t2 x*i := A sign x

t2 := t2 + ∆t

y3 ≥ ∆2 Да

t2 : = 0

y2 := y1 K2t2 Нет

y2 ≥ ∆ 1 Да

Рис. 4.6

134

– значения коэффициента K2 и порога срабатывания ∆1 релейного элемента, определяющие закон частотно-импульсной модуляции; – время переходного процесса x0(t) – Tп.п и шаг ∆t, с которым будет происходить изменение текущего значения координаты времени t, величина которого определяет точность вычисления значений периода следования импульсов Tп; – величина зоны нечувствительности частотно-импульсного модулятора ∆. В соответствии с разработанной схемой алгоритма программа работает следующим образом: 1. Вычисляется значение процесса x0(t), его модуль и знак в момент времени t (исходное значение t = 0); 2. Проверяется выполнение условия x≥ ∆. В случае его выполнения значение x запоминается и осуществляется переход к п. 3, невыполнения – к п. 6. 3. Вычисляются значения линейно-нарастающих функций y1 и y3 для фиксированных значений x и E соответственно. Вычисление указанных функций, при соответствующем изменении промежуточной координаты времени t1 с шагом ∆t, происходит до тех пор, пока не будет выполняться условие y3 ≥ ∆2. В случае его выполнения, текущие значения t1 и y1 запоминаются и осуществляется переход к п. 4. 4. Вычисляется значение линейно-нарастающей функции y2 при фиксированном значении y1. Вычисление данной функции при соответствующем изменении промежуточной координаты t2 с шагом ∆t происходит до тех пор, пока не будет выполняться условие y2 ≥ ∆2. В этом случае запоминается текущее значение t2 и осуществляется переход к п. 5. 5. Вычисляется значение периода следования i-го импульса определенного знака, т. е. формируются массивы значений Ti и xi*, и осуществляется переход к п. 6. 6. Задается новое значение t, увеличенное по сравнению с предыдущим на величину Ti и проверяется условие t ≤ Tп.п. В случае его выполнения осуществляется переход к п. 1, невыполнения – к п. 7. 7. Распечатываются массивы значений периодов следования импульсов и знаков их амплитуд на выходе ЧИМ. После этого программа заканчивает свою работу. Рассмотренная программа может использоваться как самостоятельно, так и в качестве модуля общей программы решения задачи параметрического синтеза САУ с частотно-импульсной модуляцией. 135

Двухполярный ЧИМ 1-го рода на транзисторе

Рассмотрим ЧИМ, принципиальная электрическая схема и диаграммы напряжений, иллюстрирующие работу которой, представлены на рис. 4.7, а и б. Функцию блока вычисления абсолютной величины входного сигнала x0(t) в данной схеме выполняет диодный мост VD1 – VD4. Напряжение x открывает транзистор VT1, в силовую цепь которого включена обмотка реле P1, имеющего пару нормально разомкнутых контактов. После того, как обмотка реле оказывается запитанной, его контакты замыкаются. При этом конденсатор C быстро заряжается до Uоп. Поскольку напряжение на емкости Uс заведомо превышает x, транзистор VT1 запирается и конденсатор начинает разряжаться через резистор R1. Когда разность напряжений Uс и x достигнет заданного значения ∆1, транзистор вновь открывается и на выходе модулятора появляется импульс. Таким образом, импульс на выходе ЧИМ будет иметь место лишь при выполнении следующего условия: ∆1 = U с (t ) − x (tn +1 ) , либо с учетом экспоненциального характера изменения Uс(t)  t −t  ∆1 = U оп exp  − n +1 n  − x (tn +1 ) . R1C  

(4.28)

Далее процесс формирования импульсов повторяется. В результате работы данного частотно-импульсного модулятора образуется последовательность импульсов, модулированная по частоте. Из соотношения (4.28) следует закон частотно-импульсной модуляции, реализуемый рассмотренной схемой Tn = tn +1 − tn = R1C ln

U оп , ∆1 xn +1

(4.29)

где xn+1= x(tn+1). Как следует из соотношения (4.29), интервал Tn определяется значением модулирующей функции x(t) не в момент времени tn [см. формулу (4.27)], а в последующий момент tn+1. Графические зависимости Tn(xn), построенные в соответствии с соотношением (4.29) для различных значений ∆1, показаны на рис. 4.8. Из графиков следует, что при  xn+1 = Uоп –∆1 функция (4.29) переходит через координатную ось и меняет свой знак. Физически это означает, что при  xn+1= Uоп – ∆1 напряжения Uоп недостаточно для запирания 136

а)

+ P1

VD 1 – VD 4

VD 5 U ип

VT

x(t)

R2

R1

–

C



P 11

U оп –

−∆

P 12

+

*

x (t)

∆

x

б)

U оп

∆ 0

x

t

*

0

t

Рис. 4.7

137

транзистора и модулятор переходит в режим насыщения, при котором Tn = 0, т. е. все импульсы на выходе сливаются. Tn 1,2

1 – T n ( x n + 1 ) при R 1 C = 1; U оп = 1; ∆ 1 = 0; 2 – T n ( x n + 1 ) при R 1 C = 1; U оп = 1; ∆ 1 = 0,2; 3 – T n ( x n + 1 ) при R 1 C = 1; U оп = 1; ∆ 1 = 0,5.

0,8

1

2

3

0,4

x n +1  0

U оп – ∆ 1

0,4

0,8

1,2

–0,4

Рис. 4.8

Алгоритм программы, моделирующей работу рассмотренного ЧИМ, приведен на рис. 4.9. 138

Hачало Ввод исходных данных

t := 0; t 1 := 0; t 2 := 0 Вычисление x ( t j ),  x ( t j )  , sign x 0

Нет

0

Да

x  ≥ ∆

t 2 := t 2 + ∆t

x 1 := E e Нет

–αt

x – x 1 ≥ ∆ Да T i := t 1 + t 2 x *i := A sign x

t 1 := t 1 + ∆t

t 1 := 0; t 2 := 0

t := t + ∆ t Печать массива знаков амплитуд x *i, T i

Да

t ≤ T

п.п

Нет

Конец

Рис. 4.9

139

Исходными данными для работы программы являются: – параметры желаемого программного движения x0(t)на входе ЧИМ; – параметры эталонного процесса x1(t) ( коэффициент затухания α, начальное значение E), а также ε – величина отклонения процесса на выходе ЧИМ от эталонного, определяющие закон частотно-импульсной модуляции; – величина зоны нечувствительности ЧИМ – ∆; – время переходного процесса Tп.п и шаг по времени ∆t, величина которого определяет точность вычисления периода следования импульсов на выходе ЧИМ. Программа работает следующим образом: 1. В начале работы программы обнуляются текущие значения координаты времени t, а также промежуточных координат t1, t2. 2. Вычисляется значение процесса x0(t), его знак и модуль в момент времени t. 3. Проверяется условие x≥ ∆. В случае его невыполнения задается следующее значение промежуточной координаты t2 и осуществляется переход к п.6. При выполнении условия x≥ ∆ значение x запоминается и осуществляется переход к п.4. 4. Вычисляется значение эталонного процесса x1(t) в момент времени t1 и проверяется выполнение условия x– x1 ≥ ε. В случае его невыполнения задается следующее значение промежуточной координаты t1 и осуществляется переход к п. 6. Если же данное условие выполняется, то текущее значение промежуточной координаты t1 запоминается и осуществляется переход к п.5. 5. Формируется массив значений периодов следования импульсов и знаков их амплитуд, с последующим обнулением промежуточных координат t1, t2, что обеспечивает дальнейшую работу программы, т. е. переход к п. 6. 6. Вычисляется следующее значение координаты времени t. Если t ≤ Tп.п, то осуществляется переход к п.2, в противном случае – к п.7. 7. Распечатываются массивы значений периодов следования импульсов и знаков их амплитуд на выходе ЧИМ. После этого программа заканчивает свою работу. Аналогично предыдущей данная программа также включена в состав программного комплекса синтеза САУ с ЧИМ методом ортогональных проекций в качестве отдельного модуля. 140

4.4. Частотно-импульсные модуляторы 2-го рода При импульсной модуляции 2-го рода значения модулируемого параметра определяются некоторым функционалом от модулирующей функции x(t), который определен на конечном интервале времени. Как отмечается в [9], в наиболее распространенном случае, когда границы этого интервала совпадают с моментами срабатывания импульсного элемента t = tn (n = 0, 1, 2,...), функционал будет an = Φ  x (t ) t ∈ (tn −1, tn ) .

(4.30)

Таким образом, дискретные значения параметра an = a(tn) представляют собой функционал от модулирующей функции x(t), определенный на интервале tn–1 ≤ t ≤ tn. Если модулирующая функция на рассматриваемом интервале постоянна (x(t) = xn = const), то выражение (4.30) принимает вид an = Φ  xn t ∈ (tn −1, tn ) = ψ ( xn ) , и представляет собой закон импульсной модуляции 2-го рода, характеризующий работу модулятора в установившемся режиме. Двухполярные ЧИМ 2-го рода с фильтрами первого порядка.

Рассмотрим частотно-импульсный модулятор 2-го рода, структурная схема которого показана на рис. 4.10, где приняты следующие обозначения: ВЗФ – времязадающий фильтр с передаточной функцией Wв(p); РЭ – релейный элемент; ИУ – импульсное устройство; ФЭ – формирующий элемент с передаточной функцией Wф(p). Следует отметить, что в зависимости от вида характеристики РЭ (двухпозиционное реле, либо трехпозиционное реле) рассматриваемый модулятор может быть либо однополярным, либо двухполярным соответственно. Причем в первом случае (однополярный модулятор) на вход РЭ должно подаваться абсолютное значение сигнала x(t). Рассмотрим работу модулятора 2-го рода, структурная схема которого приведена на рис. 4.10. Сброс x (t)

ВЗФ

z(t)

РЭ

ИУ

ФЭ

x * (t)

Рис. 4.10

141 =

Модулирующее воздействие x(t) пропускается через ВЗФ, в качестве которого могут использоваться устройства с передаточными функциями Wв ( p ) =

1 1 , Wв ( p ) = p Tp + 1

(либо произвольный линейный фильтр) и поступает на вход РЭ. В том случае, когда сигнал z(t) превышает заданное пороговое значение ±∆, релейный элемент срабатывает. Каждое срабатывание РЭ приводит к тому, что ИУ генерирует единичный δ-импульс, совпадающий по знаку с сигналом z(t), и на выходе ФЭ появляется очередной импульс стандартной формы. Одновременно с этим РЭ обнуляет сигнал z(t), подготавливая ВЗФ к началу следующего интервала работы. Определим в общем виде закон частотно-импульсной модуляции соответствующий двухполярному ЧИМ 2-го рода. Как показано в [9], выходной сигнал линейного фильтра при нулевых начальных условиях определяется

z (t ) =

t −tn

∫ x (τ + tn ) gв (t − tn − τ ) dτ,

tn < t ≤ tn +1,

(4.31)

0

где g в (t ) = L−1 {Wв ( p )} – весовая функция времязадающего фильтра. Из принципа работы ЧИМ следует, что в момент времени t=tn+1 должно выполняться следующее условие: z (t ) = ∆, с учетом которого соотношение (4.31) принимает вид t − tn

∫ x (τ + t ) gв (t − tn − τ ) dτ = ∆.

(4.32)

0

Как отмечается в [9], наименьший корень уравнения (4.32) представляет собой значение t = tn+1, при котором ЧИМ генерирует (n+1)-й импульс. В том случае, когда на интервале t ∈ (tn, tn+1) модулирующая функция x(t) постоянна и равна x(t) = xn+1 = const, закон частотно-импульсной модуляции 2-го рода будет T   Tn = min  xn +1 g в (T − τ ) dτ = ∆  .   0

∫

142

(4.33)

Используя соотношение (4.33), получим закон частотно-импульсной модуляции интегрального модулятора. Весовая функция интегратора имеет вид 1 g в (t ) = L−1   = 1(t ) ,  p

тогда с учетом (4.33) Tn =

∆ xn +1

.

(4.34)

В случае апериодического времязадающего фильтра первого порядка, весовая функция будет следующей:  1  − αt g в (t ) = L−1   = e 1 (t ) , α + p  

затем, используя формулу (4.33), получаем закон частотно-импульсной модуляции Tn =

xn +1 1 ln . α xn +1 − α∆

(4.35)

Следует иметь в виду, что при xn+1< α∆, величина, стоящая под знаком логарифма, становится отрицательной, следовательно, формула (4.35) теряет смысл. Это означает, что сигнал z(t) на выходе ВЗФ будет меньше пороговой величины ∆ и релейный элемент не сработает. Таким образом, как следует из (4.35), данный модулятор имеет зону нечувствительности x ∈ [–α∆; α∆], что отличает его от интегральных ЧИМ, рассмотренных ранее. При xn+1→ ∞ величина, стоящая под знаком логарифма, стремиться к единице и, следовательно, T → 0. В этом случае импульсы на выходе модулятора сливаются, и ЧИМ переходит в режим насыщения. Графические зависимости, соответствующие закону модуляции (4.35), приведены на рис. 4.11 для различных значений α и ∆. Как видно из приведенных графиков, все характеристики при xn+1→ α∆ стремятся к своей асимптоте, проходящей через точку с координатами (α∆, 0), наглядно показывающей зону нечувствительности модулятора α∆ = const. 143

Tn

1,2

1,0 1 – T n (  x n + 1  ) при α = 1; 2 – T n (  x n + 1  ) при α = 2; 3 – T n (  x n + 1  ) при α = 4;

0,8

4 – T n (  x n + 1  ) при α = 8; 0,6

1

2

3

4

0,4

0,2

0

α∆

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x n + 1  1,2

Рис. 4.11

Блок-схема алгоритма программы, моделирующей работу интегрального ЧИМ, показана на рис. 4.12. Данная программа позволяет определить значения периода следования импульсов на выходе ЧИМ при сигнале произвольного вида на его входе. Исходными данными для работы программы являются: – параметры желаемого программного движения x0(t) на входе модулятора; – значение ∆, определяющее величину зоны нечувствительности ЧИМ; – время переходного процесса x0(t) и шаг по времени ∆t, величина которого определяет точность вычисления значений периода следования импульсов на выходе ЧИМ. 144

Программа работает следующим образом: 1. В начале работы программы обнуляются текущее значение координаты t и вспомогательной координаты t2. 2. Вычисляются значения процесса x0(t) (знак и модуль) в момент времени t. 3. Проверяется условие x= 0. В случае его выполнения задаются следующие значения t и t2 с шагом ∆t и осуществляется переход к п. 6. В случае не выполнения данного условия, текущее значение xзапоминается и осуществляется переход к п. 4. 4. Вычисляется значение линейно-нарастающей функции z(t) для фиксированного значения x. Вычисление функции z(t) происходит при соответствующем изменении вспомогательной координаты t1 с шагом ∆t, до тех пор, пока не будет выполняться условие z ≥ ∆. Текущее значение координаты t1, при котором выполняется условие z ≥ ∆, запоминается и осуществляется переход к п. 5. 5. Вычисляется значение периода следования i-го импульса определенного знака, т. е. формируются массивы значений Ti и xi*. После этого задается новое значение координаты t, увеличенное по сравнению с предыдущим на величину найденного периода Ti, и обнуляется вспомогательная координата t2. Далее осуществляется переход к п. 6. 6. Проверяется условие t ≤ Tп.п и в случае его выполнения осуществляется переход к п.2., не выполнения – к п. 7. 7. Распечатываются массивы значений периодов следования импульсов и знаков их амплитуд на выходе ЧИМ. После этого программа заканчивает свою работу. Рассмотренный алгоритм является универсальным, поскольку позволяет определять закон частотно-импульсной модуляции ЧИМ 2-го рода при любой передаточной функции фильтра, реализующего ВЗФ. Так в случае реализации ВЗФ в виде апериодического звена первого порядка, в исходных данных необходимо ввести величину коэффициента затухания α процесса на выходе фильтра. Кроме того, вычисление координаты z(t) следует проводить в соответствии с выражением

(

)

z (t ) = x 1 − e −αt1 ,

где x = const – фиксированное значение процесса на входе ЧИМ в момент времени t. 145

Начало Ввод исходных данных t := 0; t 2 := 0 Вычисление 0 0 x ( t j ), x ( t j ) , sign x Да

Нет

x = 0

t := t + ∆t

t 1 := 0

t 2 := t 2 + ∆t

z :=  x  t 1 Нет

Да T i := t 1 + t 2 * x i := A sign x

t 1 := t 1 + ∆ t

t 1 > T п.п

z ≥∆

Нет

t := t + T i

Да Печать массива знаков амплитуд x i*, T i

t 2 := 0 Да

Конец

t ≤ T п.п Нет

Рис. 4.12

Интегральные ЧИМ с переменным порогом срабатывания релейного элемента.

В ряде работ [9, 214] рассматриваются интегральные частотно-импульсные модуляторы, релейный элемент которых имеет порог срабатывания, зависящий от величины сигнала x0(t). Это дает возможность 146

проектировщику желаемым образом менять закон частотно-импульсной модуляции. Рассмотрим ЧИМ с переменным порогом срабатывания релейного элемента, структурная схема которого приведена на рис. 4.13. В рассматриваемом ЧИМ времязадающий фильтр состоит из блока, определяющего абсолютное значение сигнала x0(t), двух интеграторов и нелинейного элемента. Характеристика нелинейного звена в частном случае имеет вид, показанный на рис. 4.13, и описывается следующим образом: ∆1 − ∆0  ;  ∆ 0 + kγ, при γ < k ∆= ∆ − ∆0  ∆1, при γ ≥ 1 . k 

0

Uоп

K p

Сброс

ВЗФ

y

x(t)

(4.36)

x(t)  x

z(t)

K p

F1

∆1 ∆0 0

∆

–

НЭ ∆ 1–∆ 0 kγ

0

x

ИУ

*

x (t)

∆ (t) Сброс

Рис. 4.13

Как показано в [9], закон модуляции рассматриваемого ЧИМ

Tn =

∆ (γ ) , xn +1

(4.37)

где γ = UопTn – входной сигнал нелинейного элемента, здесь Uоп = const – величина опорного напряжения. 147

С учетом (4.36) приводим формулу (4.37) к виду kU оп ∆1 ∆1  , при xn +1 < ;  xn +1 ∆1 − ∆0 Tn =  ∆0 kU оп ∆1  , при xn +1 ≥ . ∆1 − ∆0  xn +1 − kU оп

(4.38)

Графическая зависимость периода следования импульсов на выходе ЧИМ с переменным порогом срабатывания, построенная в соответствии с (4.38), показана на рис. 4.14. Данная зависимость получена при Uоп = 1 и следующих параметрах нелинейной характеристики: ∆0 = 0,01; ∆1 = 0,11; k = 0,5. Как видно из графика, Tn при xn+1 > 0,55 (для данных па1,0 раметров нелинейной характеристики при Uоп = 1) существенно уменьшаются значения T n, по 0,6 сравнению с ЧИМ, имеющим фиксированный порог срабатывания ∆1 (рис. 4.14 – кривая, по0,2 казанная пунктиром), что ускоряет реакцию системы управле0 0,2 0,6 1,0  x n+1  ния на большие величины сигнала ошибки x0(t). Таким обраРис. 4.14 зом, наличие в схеме частотноимпульсного модулятора нелинейного элемента, обеспечивающего переменную величину порога срабатывания, позволяет увеличить быстродействие системы управления при больших величинах сигнала ошибки. Очевидно, что характер графика Tn(xn+1) не измениться и при других параметрах нелинейной характеристики того же вида и величинах опорного сигнала Uоп. Блок-схема алгоритма программы, позволяющей определять период следования импульсов на выходе рассмотренного ЧИМ, показана на рис. 4.15. Исходными данными для работы данной программы являются: – параметры желаемого программного движения x0(t) на входе модулятора; – параметры нелинейного элемента и величина опорного сигнала, определяющая момент переключения нелинейной характеристики; 148

– время переходного процесса x0(t) и шаг по времени ∆t, величина которого определяет точность вычисления значений периода следования импульсов. Программа работает следующим образом: 1. В начале работы программы обнуляются текущие значения координаты времени t и вспомогательной координаты t2. 2. Вычисляются значение процесса x0(t), его знак и модуль в момент времени t. 3. Проверяется условие x = 0. В случае его выполнения задаются следующие значения t и t2 с шагом ∆t и осуществляется переход к п.7. В случае невыполнения данного условия текущее значение x запоминается, и осуществляется переход к п.4. 4. Вычисляются значения линейно-нарастающих функций z(t) и y(t) для того же момента времени. После этого проверяется условие y ≤ (∆1–∆0)/k, определяющее величину порога срабатывания ∆ и осуществляется переход к п. 5. 5. Проверяется условие z ≥ ∆. Если данное условие не выполняется, то вспомогательная координата t1 увеличивается на ∆t и осуществляется переход к п. 4. Если же рассматриваемое условие выполняется, то текущее значение t1 запоминается и осуществляется переход к п. 6. 6. Вычисляется значение периода следования i-го импульса определенного знака, т. е. формируются массивы значений Ti и xi*. После этого задается новое значение координаты t, увеличенное по сравнению с предыдущим на величину найденного периода Ti, и обнуляется вспомогательная координата t2. Далее осуществляется переход к п. 7. 7. Проверяется условие t ≤Tп.п и в случае его выполнения осуществляется переход к п. 2., невыполнения – к п. 8. 8. Распечатываются массивы значений периодов следования импульсов и знаков их амплитуд на выходе ЧИМ. После этого программа заканчивает свою работу. Таким образом, используя разработанные алгоритмы, определяющие законы модуляции различный ЧИМ, можно определять интегралы Галеркина вида (4.17), (4.18), а, следовательно, осуществлять параметрический синтез САУ с частотно-импульсной модуляцией методом ортогональных проекций. Как было отмечено выше, все программы, моделирующие работу ЧИМ, представляют самостоятельный интерес, а также могут работать в качестве подгрузочных модулей программ, реализующих метод ортогональных проекций для систем управления с ШИМ и 149

Начало Ввод исходных данных

t := 0; t 2 := 0 Вычисление 0

0

x ( t j ),  x ( t j ) , sign x Да

Нет

x  = 0

t := t + ∆ t

t 1 := 0 z :=  x  t 1 y := U оп t 1

t 2 := t 2 + ∆ t Да

y ≤ ( ∆ 1 −∆ 0 ) K

−1

Нет ∆ := ∆ 0 + y K

∆ := ∆ 1 Да

z ≥ ∆ Нет

T i := t 1 + t 2 x i* := A sign x

t1 : = t1 + ∆t

Печать массива знаков амплитуд

t := t + T i t 2 :=0

*

x , Ti Да

t ≤ T п.п

Нет

i

Конец

Да

t 1 > T п.п

Нет

Рис. 4.15

ЧИМ, зарегистрированных в информационно-библиотечном фонде Российской Федерации [215, 216]. 150

4.5. Синтез систем управления с широтно- и частотно-импульсной модуляцией, содержащих нелинейные объекты управления Как было отмечено выше, САУ содержащие широтно- и частотноимпульсные модуляторы, являются принципиально нелинейными в силу самого характера импульсного преобразования сигнала. Однако наряду с линейными объектами управления в системах данных классов могут быть и нелинейные объекты. В этом случае при решении задачи синтеза необходимо учитывать не только нелинейность, вносимую модулятором, но и характеристики нелинейных звеньев объекта управления. Тогда уравнение движения САУ n-го порядка, содержащей один нелинейный элемент описывается уравнением (2.17) или (3.1), а целевая функция минимизация которой позволит решить задачу синтеза параметров САУ с ШИМ и ЧИМ, содержащих нелинейные объекты управления будет определяться соотношением (3.17). Необходимо отметить, что в этом случае в соотношении (3.17) рекуррентные аналитические выражения, определяющие интегралы Галеркина Aq, Bq, Cq были определены ранее в разд. 3 [соотношения (3.7), (3.9), 3.15)], а интегралы Aq*, Cq* – в настоящем разделе [для САУ с ШИМ – соотношения (4.12)–(4.15), для САУ с ЧИМ – соотношения (4.22), (4.23))]. Таким образом, для решения задачи синтеза параметров оператора управления САУ с ШИМ и ЧИМ, содержащих объекты управления с нелинейными звеньями, необходимо лишь определить интегралы Bqi*. Как было отмечено выше, сигнал на выходе рассматриваемых модуляторов (как широтно-импульсного, так и частотно-импульсного) представляет собой последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды, которая является входной для нелинейного элемента. Следовательно, на вход нелинейного элемента поступает импульсный сигнал постоянной амплитуды. Это значит, что нелинейная характеристика произвольного вида преобразует входной сигнал (при его постоянной амплитуде) так же, как и линейное звено с соответствующим коэффициентом передачи. Таким образом, в данном случае нелинейное звено может быть заменено эквивалентным линейным, коэффициент передачи которого определяется положением рабочей точки на нелинейной характеристике, соответствующей амплитуде входной последовательности прямоугольных импульсов, поступающих с ШИМ или ЧИМ. 151

Учитывая отмеченные выше особенности нелинейных систем управления с ШИМ и ЧИМ, запишем интеграл Галеркина Bqi*: ∗ Bqi

∞

∫ {

}

= D i K э x 0∗ (t ) e

−ρ qt

dt , i =

0,1, … u∗ , q, =

1,2, … m,

(4.39)

0

где Kэ – коэффициент передачи линейного звена, эквивалентного исходному нелинейному; x0*(t) – входной сигнал нелинейного элемента, определяемый соотношением (4.1) – в случае широтно-импульсного модулятора и соотношением (4.19) – в случае частотно-импульсного модулятора. Вид соотношения (4.39) полностью соответствует виду интеграла * Aqi , которые для систем с ШИМ и ЧИМ определяются выражениями (4.12), (4.22) соответственно. Таким образом, при наличии нелинейного объекта управления в системах с ШИМ и ЧИМ получаем ∗ Bqi

∞

= ∫ Di {K э x 0∗ (t )}e

−ρ qt

dt = Bq∗ρiq , i = 0,1,…, u∗ , q = 1,2,…, m, (4.40)

0

Bq∗

= K э Aq∗ , здесь Aq* – соотношение, определяемое формулами (4.13), где (4.23) в случае ШИМ и ЧИМ соответственно. Очевидно, что в случае импульсов двух полярностей, поступающих с выхода модулятора на вход нелинейного элемента, соотношение (4.40) справедливо для симметричных относительно оси y характеристик нелинейных элементов, поскольку для данных нелинейностей эквивалентный коэффициент передачи нелинейного звена Kэ при смене полярности прямоугольного импульса на входе сохранит свою величину. В тех случаях, когда характеристика нелинейного звена не симметрична относительно оси y, в соотношении (4.40) следует использовать два значения коэффициента Kэ для двух полярностей входных прямоугольных импульсов. Кроме того, в данном случае требуется определять время переключения полярности импульсного сигнала на входе нелинейного звена для формирования правильной последовательности чередования значений Kэ. Последнее не представляет никакой сложности, поскольку, как было отмечено выше, для вычисления интегрального соотношения Aqi* [(4.13) – для ШИМ; (4.23) – для ЧИМ], входящего в состав выражения (4.40), формируются массивы знаков амплитуд сигнала на выходе соответствующего модулятора. 152

Таким образом, для несимметричной нелинейной характеристики получаем ∗ Bqi

∞

 r  −ρ t = D i  K эj x 0∗ (t ) e q dt = 0  j =1 

∫

∑

∗

r

∑ Bqj∗ ρiq , j =1

i = 0,1,…, u , q = 1,2,…, m,

(4.41)

где Bqj∗ = K эj Aq∗ , здесь j – число переключений полярности импульсного сигнала на входе нелинейного звена. Применяя полученные рекуррентные аналитические выражения (4.40) и (4.41), можно использовать обобщенный метод Галеркина для решения задач параметрического синтеза систем с широтно- и частотно-импульсной модуляцией при наличии нелинейных элементов в объекте управления как с симметричными, так и несимметричными относительно оси y нелинейными характеристиками.

153

Глава 5 СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В настоящем разделе обобщенный метод Галеркина распространяется на решение задач параметрического синтеза линейных и нелинейных дискретных систем автоматического управления, содержащих несколько импульсных элементов, которые могут работать как синхронно, так и несинхронно. Развитие метода на данный класс систем управления позволяет получить унифицированный подход к решению задачи синтеза сложных линейных и нелинейных САУ с импульсными корректирующими цепями, реализованными в аналоговом, цифровом и комбинированном видах. 5.1. Параметрический синтез дискретных регуляторов линейных САУ В третьем разделе рассматривалось решение задачи параметрического синтеза импульсных САУ на основе прямого вариационного метода – обобщенного метода Галеркина (метода ортогональных проекций) при наличии в системе управления аналогового регулятора. Рассмотрим решение данной задачи для систем управления с импульсными корректирующими цепями. Импульсная корректирующая цепь – это цепь, выход которой прерывается синхронно со входом с постоянной частотой. Наиболее часто для коррекции динамических свойств дискретных САУ используются устройства, служащие для обработки импульсной информации. В цифровых системах управления эквивалентом такого импульсного блока является корректирующая программа, реализованная на микропроцессоре или микроЭВМ [142, 166]. Следует отметить, что как устройство обработки импульсной информации, реализованное на базе аналоговых элементов, так и компьютерная программа выполняют одинаковые функции. Однако, как отмечается в [145], цифровой регулятор позволяет 154

обеспечивать лучшее качество работы САУ в динамическом режиме по сравнению с аналоговыми регуляторами. Существует достаточно много способов реализации цифрового регулятора (импульсной корректирующей цепи) [142, 166, 167, 187]. Регулятор может представлять собой пассивный четырехполюсник, расположенный между двумя устройствами выборки и хранения (реализация цифрового регулятора в аналоговом виде). Так же возможна реализация цифрового регулятора на основе микропроцессора или микроЭВМ, т. е. регулятор реализуется в программном виде. В этом случае при разработке регулятора необходимо учитывать определенные лимитирующие факторы, присущие компьютерам: разрядность, объем памяти и скорость обработки информации. Последнее обстоятельство особенно важно учитывать при проектировании систем управления быстропротекающими процессами, когда допустимое время переходного процесса соизмеримо со временем транспортного запаздывания ЭВМ (время работы программы реализующей требуемый закон управления). Дискретные САУ с импульсными корректирующими фильтрами

Цифровой регулятор может быть реализован в виде последовательного импульсного фильтра (рис. 5.1, а, б), импульсного фильтра в цепи обратной связи (рис. 5.1, в), импульсного фильтра комбинированного типа (рис. 5.1, г). Рассмотрим линейную дискретную систему управления, структурная схема которой показана на рис. 5.1, а, где Wр(ck,D) – передаточная функция оператора управления, реализованного в виде электрической цепи произвольного вида. Из соображений дешевизны и простоты, как правило, данная электрическая цепь представляет собой пассивный RC-четырехполюсник. Динамика системы, представленной на рис. 5.1, а, описывается относительно координаты ошибки следующим образом: W0 ( D ) θ∗ (t ) + x (t ) = f (t );  ∗ Wр (ck , D ) x (t ) = θ (t ) ,

(5.1)

где x(t), x*(t) – сигнал ошибки на входе и выходе 1-го импульсного элемента соответственно; θ(t), θ*(t) – координата входа и выхода 2-го импульсного элемента соответственно; f(t) – внешнее входное воздействие; 155

а) f(t)

x * (t)

x (t) T

−

W р(c k ,p )

б) x * (t)

f(t) T

θ(t)

θ* (t)

W 0 (p )

z(t)

T

θ(t) W р(c k ,p )

θ*(t)

z(t)

W 0 (p )

T

−

в)

T f(t) −

z(t)

ЭП

T

W 0 (p )

− H (c k ,p )

г) f(t)

ЭП

x (t)

ЭП

W р(c k ,p )

T −

θ* (t)

θ(t)

*

z (t) W 0 (p )

T

− H (c k ,p )

Рис. 5.1

W0(D) – передаточная функция неизменяемой части системы; Wр(ck,D) – передаточная функция регулятора. Если движение САУ описывается относительно координаты выхода системы, то в этом случае уравнения движения будут Wр (ck , D ) z∗ (t ) + θ (t ) = Wр (ck , D ) f ∗ (t );  ∗  z (t ) = W0 ( D ) θ (t ) ,

156

(5.2)

где z(t), z*(t) – координата выхода системы до и после импульсного элемента соответственно; f *(t) – внешнее входное воздействие на выходе импульсного элемента. Необходимо отметить, что система уравнений (5.2) описывает САУ, структурная схема которой приведена на рис. 5.1, б. Данная схема получена путем эквивалентного преобразования структуры системы, показанной на рис. 5.1, а, где импульсный элемент в цепи ошибки заменен двумя импульсными элементами, стоящими в цепи сигнала обратной связи и входного воздействия соответственно. Анализ уравнений (5.1) и (5.2) показывает следующее: – динамика линейной дискретной системы с импульсной коррекцией в общем виде не может быть описана одним дифференциальным уравнением, поскольку в этом случае будет иметь место операция перемножения δ-функций, результат которой является неопределенным; – динамика линейной дискретной системы с несколькими импульсными корректирующими цепями (в общем случае s) описывается системой из s уравнений относительно входов s импульсных элементов. Обобщая полученные результаты, запишем следующую систему дифференциальных уравнений, описывающих движение САУ n-го порядка с импульсным фильтром [187]: Q0 (ck , D ) x (t ) + Q0∗ ( ck , D ) x∗ (t ) + G0 (ck , D ) θ (t ) + G0∗ (ck , D ) θ∗ (t ) =   = S0 (ck , D ) f (t ) + S0∗ (ck , D ) f ∗ (t ); (5.3)  ∗ ∗ ∗ ∗ Q1 ( ck , D ) x (t ) + Q1 (ck , D ) x (t ) = G1 ( ck , D ) θ (t ) + G1 (ck , D ) θ (t ) ,

где x(t), x*(t) – исследуемая координата на входе и выходе 1-го импульсного элемента соответственно; θ(t), θ*(t) – исследуемая координата на входе и выходе 2-го импульсного элемента соответственно; f(t), f*(t) – внешнее входное воздействие на входе и выходе импульсного элемента соответственно; Q0 (ck , D ) =

Q1 (ck , D ) =

n0

∑ a0i (ck ) D ; i

Q0∗

i =0 n1

∑ a1i (ck ) D ; i =0

i

Q1∗

(ck

n0∗

∑

D ) = , a0∗i (ck ) D i i =0 n1∗

(ck , D ) = ∑ a1∗i (ck ) Di ; i =0

157

G0 (ck , D ) =

w0

∑ g0i (ck ) D ; i

G0∗

i =0 w1

w0∗

(ck , D ) = ∑ g0∗i (ck ) Di ; i =0 w1∗

G1 (ck , D ) = ∑ g1i (ck ) D i ; G1∗ (ck , D ) = ∑ g1∗i (ck ) D i ; i =0

i =0

v0

S0 (ck , D ) = ∑ e0i (ck ) D ; i

i =0

S0∗

v0∗

(ck , D ) = ∑ e0∗i (ck ) Di i =0

– полиномы оператора обобщенного дифференцирования D с вещественными постоянными коэффициентами a0i(ck), a0i*(ck), a1i(ck), a1i*(ck), g0i(ck), g0i*(ck), g1i(ck), g1i*(ck), e0i(ck), e0i*(ck) степеней n, n*, n1, n1*, w, w*, w1, w1*, v, v* соответственно. В соответствии с общей схемой решения задачи синтеза систем управления обобщенным методом Галеркина зададимся желаемым программным движением и системой координатных функций в виде (2.44) и (2.72) соответственно. Подставляя желаемое программное движение в уравнение (5.3) образуем систему невязок

 ψ1 (ck , t ) = Q0 (ck , D ) x 0 (t ) + Q0∗ (ck , D ) x 0∗ (t ) + G0 (ck , D ) θ0 (t ) +  +G0∗ (ck , D ) θ0∗ (t ) − S0 (ck , D ) f (t ) − S0∗ (ck , D ) f ∗ (t ) ,   ∗ 0 0∗ (5.4)  ψ 2 (ck , t ) = Q1 (ck , D ) x (t ) + Q1 (ck , D ) x (t ) −  −G1 (ck , D ) θ0 (t ) − G1∗ (ck , D ) θ0∗ (t ) ,  где θ0(t), θ0*(t) – желаемое программное движение на входе и выходе 2-го импульсного элемента. Вопрос определения параметров данных процессов по желаемому программному движению x0(t), задаваемому на выходе САУ, рассматривается ниже. Далее из условия ортогональности невязок (5.4) координатным функциям (2.19), получаем систему алгебраических уравнений ∞ −ρ t  ψ1 (ck , t ) e q dt = 0; 0 ∞  ψ c , t e −ρqt dt = 0.  2( k ) 0

∫ ∫

158

(5.5)

Однако условия ортогональности (5.5) строго выполняться не будут в силу причин, отмеченных выше во второй главе. Поэтому, как и в случае импульсных САУ с аналоговыми регуляторами, поставленная задача в вычислительном плане сводится к решению задачи нелинейного программирования с целевой функцией, построенной на основе уравнений (5.5) 2

2

 ∞  m2  ∞  −ρ t  −ρ t  J = ∑  ∫ ψ1 (ck , t ) e q dt  + ∑  ∫ ψ 2 (ck , t ) e q dt  , min ck J → 0, (5.6) q =0   q=0  0  0 m1

здесь m1 и m2 – число искомых параметров, входящих в каждое из системы уравнений (5.3), описывающих динамику рассматриваемой САУ. Следует иметь в виду, что в частных случаях одно из слагаемых целевой функции может отсутствовать, поэтому суммирование начинается от q = 0, а не от единицы, как было в предыдущих случаях при рассмотрении систем, содержащих один амплитудно-импульсный модулятор. Такая ситуация возможна, если варьируемые параметры входят лишь в одно из двух уравнений, описывающих динамику системы, которая содержит два амплитудно-импульсных модулятора. Так при решении задачи синтеза САУ (рис. 5.1, а), описываемой уравнениями (5.1), варьируемые параметры входят только во второе уравнение. Следовательно, в формуле (5.6) необходимо положить m1 = 0. Если же уравнение движения той же системы управления (рис. 5.1, б) записано относительно координаты выхода [формула (5.2)], то в целевой функции (5.6) следует принять m2 = 0, поскольку искомые параметры входят лишь в первое дифференциальное уравнение. Раскрывая интегралы Галеркина (5.5), аналогично рассмотренному выше для систем с аналоговым регулятором, приводим целевую функцию (5.6) к следующему виду: ∗

∗

n0 w0 w0  n0 ∗ ∗ ∗ ∗ J=  a0i (ck ) Axqi + a0i (ck ) Axqi + g0i (ck ) Aθqi + g0i (ck ) Aθqi − q =0  i =0 i =0 i =0  i =0 m1

∑ ∑

∑

∑

∑

2

m2  n1   ∗  − ei (ck ) Cqi − ei∗ (ck ) Cqi  +  a1i (ck ) Axqi + i =0 i =0  q=0  i =0 v∗

v

∑

+

n1∗

∑ (ck ) i =0

a1∗i

∑

∗ Axqi

−

∑ ∑

w1

w1∗

i =0

i =0

∑ g1i (ck ) Aθqi − ∑ (ck ) g1∗i



 Aθ∗qi  

2

,

(5.7) 159

где интегралы Axqi, A*xqi, Aθqi, A*θqi, Cqi, C*qi были определены ранее [см. формулы (3.7)–(3.10)]. Необходимо отметить следующее. Вид соотношений Aqi, A*qi, определяемых формулами (3.7), (3.8) для САУ с идеальным импульсным элементом, либо формулами (3.61), (3.73) при учете длительности замыкания амплитудно-импульсного модулятора, не зависит от величин параметров желаемого программного движения. Поэтому указанные выше формулы могут быть использованы при синтезе САУ с цифровыми фильтрами. Индексы x и θ в обозначениях выражений Aqi, A*qi означают лишь то, что в случае сигнала x0(t) в соответствующие формулы следует подставлять параметры этого процесса (α, β, ϕ0, H*, x0, xу), а в случае сигнала θ0(t) в те же соотношения – параметры процесса θ0(t). Таким образом, параметры последовательного регулятора (фильтра) дискретной системы управления, реализованного в непрерывном виде, определяются путем минимизации функционала (5.7) при ограничениях на устойчивость, грубость САУ и технических ограничениях на значения варьируемых параметров. Программное движение θ0(t) может быть определено по выбранному желаемому процессу x0(t) символическим методом, как показано в [89]. При этом необходимо учитывать следующее допущение: – полагаем, что как объект управления, так и регулятор, реализованный в виде импульсного фильтра, обладают достаточными фильтрующими свойствами, т. е. сигналы на выходе объекта управления и входе второго импульсного элемента являются непрерывными. Рассмотрим процедуру определения параметров процесса θ0(t) по известному программному движению x0(t) на примере системы управления структурная схема которой показана на рис. 5.1, а. Связь между процессами x(t) и θ(t) в случае, показанном на рис. 5.1, а, будет определяться соотношением θ (t ) = Wр (ck , p ) x∗ (t ) ,

где x (t ) = ∗

(5.8)

∞

∞

n =0

0

∑ x (nT ) δ (t − nT ), здесь x (nT ) = ∫ x (t )δ (t − nT ) dt.

В соответствии с предположениями о достаточных фильтрующих свойствах регулятора и объекта управления, перейдем в уравнении (5.8) от сигнала x*(t) к огибающей его дискретных значений x(t), тогда 160

θ (t ) = Wр (ck , p ) x (t ).

(5.9)

Далее, в соответствии с методом, изложенным в [89], предположим, что процессу вида x (t ) = H 0e −αt cos (βt − ϕ0 ) ,

на входе звена с любой передаточной функцией соответствует следующий процесс на выходе звена: θ (t ) = H 1e −αt cos (βt − ϕ1 ).

Тогда для системы, представленной на рис. 5.1, а, можно в соответствии с (5.9) записать выражения, связывающие амплитуду и фазовый сдвиг процессов x(t) и θ(τ) H1 =

H0 ; ϕ1 = arg Wр (ck , (α + jβ )) − ϕ0, mod Wр (ck , (α + jβ ))

(5.10)

где Wр(ck,( α+jβ )) – смещенная передаточная функция, получаемая в результате подстановки в передаточную функцию Wр(ck,p) значения p = α+jβ. Таким образом, формулы (5.10) позволяют определять параметры процесса θ(t) по известным параметрам x(t). Однако в рассматриваемом случае уравнение связи (5.9) содержит варьируемые параметры ck, значения которых определяются в ходе решения задачи синтеза. Поэтому задача определения параметров процесса θ(t) должна решаться методом последовательных приближений. В начале следует задаться вероятными значениями параметров ck, чтобы уравнение связи (5.9) не содержало неизвестных величин. Затем, после нахождения параметров процесса θ(t) первого приближения, решается задача синтеза параметров регулятора. Данная итерационная процедура повторяется до тех пор, пока параметры i-го приближения не будут отличаться от параметров (i–1)-го приближения с требуемой погрешностью. При движении от выхода САУ к ее входу можно записать уравнение связи θ1 (t ) =

z (t ) , W0 ( p )

(5.11)

где θ1(t) – возможная огибающая дискретных значений функции θ*(t). 161

Предположение о достаточных фильтрующих свойствах объекта управления позволяет допустить, что θ1(t) = θ(t). Тогда задача определения процесса θ(t) может быть решена без использования итерационной процедуры, так как все параметры уравнения связи (5.11) известны. Таким образом, из соотношений (5.10) определяются значения амплитуды и фазового сдвига процесса θ(t). При этом в формулах (5.10) необходимо использовать передаточную функцию объекта управления W0(p). Однако если неизменяемая часть системы управления содержит нелинейные звенья, то избежать итерационной процедуры при определении параметров θ(t) не удается [89], поскольку в этом случае будет иметь место нелинейная зависимость между параметрами H1, ϕ1 и коэффициентами линеаризации нелинейности (нелинейностей) объекта, т. е. в случае нелинейных дискретных САУ с цифровыми фильтрами, синтез которых будет рассмотрен ниже, может оказаться предпочтительнее использование соотношения (5.9). Коррекция динамических характеристик дискретной системы может быть осуществлена с помощью импульсного фильтра в цепи обратной связи и импульсного фильтра комбинированного типа. Структурная схема САУ с импульсным фильтром в цепи обратной связи показана на рис. 5.1, в. Как показано в [187], задача синтеза параметров системы, представленной на рис. 5.1, в, идентична случаю коррекции дискретных САУ с помощью аналогового регулятора в цепи обратной связи. Структурная схема системы, содержащей импульсный фильтр комбинированного типа, показана на рис. 5.1, г. Уравнение движения, описывающее динамику данной системы относительно координаты выхода, будет иметь следующий вид: Wр (ck , p ) z ∗ (t ) + H (ck , p ) θ∗ (t ) + θ (t ) = Wр (ck , p ) f ∗ (t );  ∗  z (t ) = W0 ( p ) θ (t ) , либо относительно сигнала ошибки

(5.12)

 x (t ) + H (ck , p ) x∗ (t ) + W0 ( p ) θ∗ (t ) = f (t );  (5.13) ∗ Wр (ck , p ) x (t ) = θ (t ) , где H(ck,p) – передаточная функция звена коррекции в цепи местной обратной связи. Вид уравнений (5.12), (5.13) показывает, что они являются частным случаем системы (5.3). Следовательно, общая схема решения задачи 162

параметрического синтеза САУ с импульсным регулятором последовательного типа методом ортогональных проекций (обобщенным методом Галеркина) применима и к решению аналогичной задачи в случае реализации цифрового регулятора в виде импульсного фильтра комбинированного типа. Дискретные САУ с цифровыми регуляторами, реализованными на микропроцессорах и микроЭВМ

Наиболее универсальным способом построения цифровых регуляторов является их реализация в виде программ работы микропроцессоров и микроЭВМ. Применение ЦВМ в контуре управления позволяет: – одновременно обрабатывать большое число входных информационных сигналов; – использовать одну ЦВМ для управления несколькими объектами, т. е. появляется возможность одновременной реализации нескольких законов управления; – достаточно быстро перенастраивать регулятор (менять закон управления), что создает возможность его адаптации к режиму работы объекта управления; – изменять параметры регулятора в процессе работы системы управления, что особенно важно при коррекции динамических свойств нелинейных САУ и многорежимных систем как линейных, так и нелинейных [187]. Рассмотрим линейную дискретную САУ с цифровым регулятором, реализованным на ЦВМ. Структурная схема рассматриваемой системы управления эквивалентна САУ с цифровым регулятором, реализованным в виде последовательного импульсного фильтра (см. рис. 5.1, а, б). Следовательно, движение данной системы управления может быть описано уравнениями вида (5.3). Поэтому метод синтеза, справедлив и в случае реализации оператора управления на ЦВМ. Однако при использовании обобщенного метода Галеркина к САУ данного класса, необходимо учитывать некоторые особенности, связанные с описанием передаточной функции ЦВМ. Как показано в [141], передаточная функция ЦВМ может быть представлена в виде дискретного преобразования Лапласа WЦВМ =

{ }, L {x∗ (t )} L θ∗ (t )

(5.15) 163

где x*(t), θ*(t) – процессы на входе и выходе ЦВМ, соответственно, определяемые соотношениями вида (2.1). Тогда с учетом (5.15) получаем следующее: ∞ ∞ ∞   L x∗ (t ) = ∫ x∗ (t ) e − pt dt = ∫  ∑ x (nT ) δ (t − nT ) e − pt dt =  n =0  0 0

{

}

∞

= ∑ x (nT ) e − pnT ; n =0

∞ ∞   L θ∗ (t ) = ∫ θ∗ (t ) e − pt dt = ∫  ∑ θ (nT ) δ (t − nT ) e − pt dt =  n =0  0 0

{

}

∞

∞

= ∑ θ (nT ) e − pnT , n =0

окончательно имеем ∞

WЦВМ =

∑ θ (nT ) e− pnT

n =0 ∞

∑ x (nT ) e

. − pnT

(5.16)

n =0

Если в полученном соотношении ввести обозначение epT = z, получаем передаточную функцию ЦВМ в виде z-преобразования k

WЦВМ =

∑ an z − n

n =0 l

∑ bn z

θ(z) . x (z)

=

−n

(5.17)

n =0

Из последнего выражения получаем следующее: x (z)

164

k

∑

n =0

an z − n = θ ( z )

l

∑ bn z −n .

n =0

(5.18)

Далее, используя обратное z-преобразование, переходим к разностному уравнению b0θ (t ) + ∗

l

k

∑ bnθ (t − nT ) = ∑ an x∗ (t − nT ). ∗

n =1

(5.19)

n =0

Таким образом, в соответствии с уравнением (5.19), выходной сигнал ЦВМ определяется k

θ∗ (t ) =

l

∑ an x∗ (t − nT ) − ∑ bnθ∗ (t − nT )

n =0

n =1

b0

.

(5.20)

Запишем выражение (5.20)

θ∗ (t ) =

a0 x∗ (t ) +

k

l

∑ an x∗ (t − nT ) − ∑ bnθ∗ (t − nT ) n =1

n =1

b0

.

(5.21)

Из соотношения (5.21) следует, что сигнал на выходе ЦВМ θ*(t) зависит как от настоящей информации о входном сигнале ( a0 x ∗ (t ) ), так и k

от прошедшей (накопленной) информации о входном (

∑ an x∗ (t − nT ) ) n =1

l

и выходном (

∑ bnθ∗ (t − nT ) ) сигналах. n =1

Если же b0 = 0, то разностное уравнение (5.19) преобразуется b1θ∗ (t − T ) +

l

k

n =2

n =0

∑ bnθ∗ (t − nT ) = ∑ an x∗ (t − nT ),

откуда следует

θ∗ (t − T ) =

a0 x∗ (t ) +

k

∑

n =1

an x∗ (t − nT ) − b1

l

∑ bnθ∗ (t − nT )

n =2

.

(5.22) 165

Уравнение (5.22) показывает, что в данном случае сигнал на выходе ЦВМ θ*(t – T) зависит не только от настоящей информации о входном сигнале и прошлой информации о входном и выходном сигналах, но также и от будущей информации о входном сигнале ( a0 x∗ (t ) ), которая к моменту вычисления выходного сигнала неизвестна. Поэтому, как показано в [141], необходимым и достаточным условием физической реализуемости функции (5.21) является не равенство нулю коэффициента b0. Поскольку передаточная функция ЦВМ может быть представлена в виде (5.16) – (5.18), то для использования обобщенного метода Галеркина к решению задачи синтеза параметров данных систем управления необходимо действовать следующим образом. Если передаточная функция ЦВМ задана в виде z-преобразования, то сначала следует перейти во временную область с помощью обратного z-преобразования, а затем от полученной функции времени определить преобразование Лапласа. В результате будет получена передаточная функция регулятора Wр(ck,p). После этого обобщенным методом Галеркина определяются значения варьируемых параметров регулятора ck, в соответствии с общей схемой решения задачи синтеза. Далее необходимо осуществить обратный переход от Wр(ck,p) к функции времени с помощью обратного преобразования Лапласа, а от нее с помощью z-преобразования к WЦВМ. Полученная таким образом передаточная функция ЦВМ может быть реализована в виде программы с помощью непосредственного, последовательного или параллельного методов программирования [141, 166, 167]. Все указанные методы программирования, в конечном счете, сводятся к непосредственному программированию, которое заключается в следующем. Программируется система конечноразностных уравнений, описывающих необходимый закон управления. Следовательно, передаточная функция WЦВМ должна быть представлена в виде конечно-разностного уравнения (5.20). Следует отметить, что по известным параметрам желаемого программного движения x0*(t), и значениям коэффициентов an, bn, которые были определены в ходе решения задачи синтеза, с помощью уравнения (5.20) можно определять значения процесса θ0*(t) на выходе ЦВМ в дискретные моменты времени. Таким образом, реализация цифрового регулятора на микропроцессоре или микроЭВМ сводится к непосредственному программированию системы уравнений 166

a0 0∗  0∗ t = 0,θ (0 ) = b x (0 ); 0  t = T ,θ0∗ (T ) = a0 x 0∗ (T ) + a1 x 0∗ (0 ) − b1 θ0∗ (0 );  b0 b0 b0  a a a t = 2T ,θ0∗ (2T ) = 0 x 0∗ (2T ) + 1 x 0∗ (T ) + 2 x 0∗ (0 ) − b0 b0 b0   (5.23) b b  − 1 θ0∗ (T ) − 2 θ0∗ (0 );  b0 b0 



























 t = nT ,θ0∗ (nT ) = a0 x 0∗ (nT ) + a1 x 0∗ (n − 1)T +
+ an x 0∗ (0 ) − ( )  b0 b0 b0  b b  − 1 θ0∗ ((n − 1)T ) −
− 2 θ0∗ (0 ).  b0 b0  Таким образом, с помощью обобщенного метода Галеркина (метода ортогональных проекций) может быть решена задача синтеза дискретных линейных САУ с импульсной коррекцией, реализованной как в виде импульсного фильтра, так и в виде программ для микропроцессоров и микроЭВМ. Дискретные САУ с несколькими частотами прерывания

В предыдущих разделах данной главы рассматривались дискретные САУ с импульсными элементами, работающими синхронно с одной частотой. Большинство дискретных систем управления принадлежит к отмеченному типу. Однако в некоторых случаях импульсные элементы могут работать синхронно, но иметь разные частоты прерывания сигнала. Это используется тогда, когда требуется уменьшить пульсации выходного сигнала и увеличить скорость реакции САУ [141, 167]. Кроме того, введение в систему управления высокочастотного импульсного звена обеспечивает ее большую устойчивость. Рассмотрим дискретную систему автоматического управления, структурная схема которой представлена на рис. 5.2. f( t)

θ(t)

x * (t)

x (t)

θ* (t)

W 1 (c k ,p ) –

z (t) W 2 (c k ,p )

T 2 = T1 /k

T1

Рис. 5.2

167

В рассматриваемой системе импульсные элементы работают синхронно, но 1-й имеет период квантования T1, а 2-й – T2. Движение САУ n-го порядка в общем виде описывается системой дифференциальных уравнений (5.3). В уравнениях (5.3) сигналы x*(t), f*(t), θ*(t) на выходах 1-го и 2-го импульсных элементов, соответственно, будут определяться x ∗ (t ) = f ∗ (t ) = θ∗ (t ) =

∞

∑ x (nT1 ) δ (t − nT1 );

n =0 ∞

∑ f (nT1 ) δ (t − nT1 );

n =0 ∞

∑ θ (nT2 ) δ (t − nT2 ),

n =0

(5.24)

где T1 и T2 – периоды квантования 1-го и 2-го импульсных элементов соответственно, связанные между собой следующим соотношением: T2 = T1/k, здесь k – любое целое число отличное от нуля. Схема решения задачи синтеза дискретных САУ с несколькими частотами прерывания сводится к поиску варьируемых параметров путем минимизации функционала (5.7). При этом следует иметь в виду, что вид соотношений A*qi, C*qi не зависит от величины периода квантования. Поэтому при синтезе параметров САУ с несколькими частотами прерывания в данные соотношения [см. формулы (3.8), (3.10), (3.59), (3.61), (3.73)] необходимо подставлять значение периода квантования, соответствующее такту работы рассматриваемого импульсного элемента. Так в данной системе в случае сигнала x*(t) в выражение, определяющее A*qi, следует подставлять значение периода квантования T1, а в случае сигнала θ*(t) – T2 = T1/k. Использование обобщенного метода Галеркина к решению задачи параметрического синтеза САУ с несколькими частотами прерывания дает возможность включить в число варьируемых параметров значение коэффициента k, определяющего период квантования высокочастотного импульсного элемента. Тогда в процессе синтеза можно определить значение периода квантования T2, оптимальное в смысле улучшения динамики синтезируемой системы автоматического управления. 168

5.2. Синтез несинхронных дискретных САУ Рассмотрим использование изложенного выше метода к синтезу несинхронных систем управления, содержащих импульсные элементы, которые работают с одинаковой частотой, но несинхронные по фазе. Как отмечается в [141], несинхронное прерывание является либо свойством самой системы, либо вводится преднамеренно для улучшения устойчивости САУ. В работе [141] показано, что 2-й импульсный элемент можно представить в виде основного (1-го) импульсного элемента перед которым включено звено опережения, а после звено запаздывания (рис. 5.3). f(t)

x* ( t )

x (t) –

W p( c k,p )

e

∆Tp

θ( t )

T

θ* ( t )

e

−∆ T p

Wo ( p )

z (t)

T

Рис. 5.3

С учетом проведенного эквивалентного преобразования исходной структурной схемы, динамика САУ описывается уравнением вида  Q0 (ck , D ) x (t ) + Q0∗ (ck , D ) x∗ (t + τ ) + G0 (ck , D ) θ (t ) +  ∗ ∗ ∗ ∗ G0 (ck , D ) θ (t − τ ) = S0 (ck , D ) f (t ) + S0 (ck , D ) f (t + τ ) ,  ∗ ∗  Q1 (ck , D ) x (t ) + Q1 (ck , D ) x (t + τ ) =  ∗ ∗  = G1 (ck , D ) θ (t ) + G1 (ck , D ) θ (t − τ ) ,

(5.25)

где τ = ∆T – сдвиг моментов замыкания 2-го импульсного элемента относительно 1-го. В данные уравнения входят сигналы с запаздывающим (опережающим) аргументом. Следовательно, при решении задачи синтеза несинхронных систем управления данная особенность динамики системы должна быть учтена при задании желаемого программного движения. Очевидно, что программное движение может быть задано в виде (2.44). При этом в аргумент t функций x0(t) вносится время запаздывания (опережения), определяемое структурой системы

xτ0 (t ) = x 0 (t ∓ τ )1(t ∓ τ ) ,

(5.26) 0*

тогда сигнал на выходе идеального импульсного элемента x (t) будет xτ0∗ (t ) =

∞

∑ x0 (nT ∓ τ )δ (t − nT ),

n =0

(5.27) 169

∞

где x (nT ∓ τ ) = ∫ x 0 (t ∓ τ )δ (t − nT ) , при этом формуле (5.27) аргумент 0

0

δ-функции не меняет своего значения поскольку замыкание импульсного элемента по-прежнему происходит в моменты времени t = nT. Если при синтезе САУ учитывается длительность замыкания импульсного элемента, то в случае импульсного модулятора типа I для сигнала с запаздывающим (опережающим) аргументом имеем xτ0∗ (t ) =

∞

∑ x 0 (nT ∓ τ ) 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ) ,

n =0

(5.28)

а в случае модулятора типа II xτ0∗

∞

(t ) = x (t ∓ τ ) ∑ 1(t − nT ) − 1(t − (n + γ )T ), 0

n =0

(5.29)

При наличии в системе импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка в соотношениях (5.28), (5.29) необходимо принять γ = 1. В результате соотношение (5.28) будет определять процесс на выходе идеального импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка, а соотношение (5.29) – непрерывный сигнал с запаздывающим (опережающим) аргументом. Дальнейшее решение задачи синтеза полностью соответствует общей схеме. В результате получаем функционал следующего вида, построенный на основе уравнений Галеркина n0∗ w0  n0  ∗ ∗τ+ + + J= a c A a c A g0i (ck ) Aθqi + ( ) ( )  0i k xqi 0i k xqi = = = q =0  i i i 0 0 0  m1

∑ ∑

+

∑

w0∗

−

∑

v0

v0∗

i =0

i =0

2

∑ g0∗i (ck ) Aθ∗τqi −∑ e0i (ck )Cqi − ∑ e0∗i (ck )Cqi∗τ i =0

+

   + 

n1∗ w1  n1  ∗τ + +  a1i (ck ) Axqi + a1∗i (ck ) Axqi − g1i (ck ) Aθqi − q =0  i =0 i =0  i =0 m2

∑ ∑

∑

−

w1∗

2

−

∑ g1∗i (ck ) Aθ∗τqi i =0

170

∑

   , min ck J , 

(5.30)

±

∗τ ∗τ где Aqi, Cqi – были определены ранее, а соотношения Aqi , Cqi щем виде записываются следующим образом: ±

∞

∫ {

}

−ρ qt

∞

}

−ρ qt

∗τ = D i xτ0∗ (t ) e Aqi

dt, i = 0,1,…, n0∗ ,

±

в об-

(5.31)

0

∗τ ± Cqi

∫ {

= D i f τ0∗ (t ) e

0,1, … v0∗ ,

dt, i =

(5.32)

0

Рассмотрим вычисление интегралов (5.31), (5.32) на примере соот∗τ ± при наличии в САУ идеального импульсного элемента. ношения Aqi Тогда с учетом (5.27), соотношение (5.31) принимает вид ∞  ∞  −ρ t ∗τ ± = ∫ D i  ∑ x 0 (nT ± τ ) δ (t − nT ) e q dt, i = 0,1,…, n0∗ , Aqi  n =0  0

(5.33)

±

∗τ здесь и далее в обозначениях интеграла Aqi знак «–» относится к процессу с запаздывающим аргументом, а знак «+» – к процессу с опережающим аргументом. Далее, рассуждая аналогично вычислению интегралов Aqi*, получаем следующее:

∗τ ± Aqi

∞

∞ ±   −ρ t = D i  x 0 (nT ± τ ) δ (t − nT ) e q dt = Aq∗τ ρiq ,  n =0  0

∫

∑

i = 0,1,…, n0∗ ,

q = 1,2,… m,

(5.34)

где ±

Aq∗τ =

∞

∑ x 0 (nT ± τ ) e

±ρ q nT

,

(5.35)

n =0

здесь τ = λT, λ – коэффициент запаздывания (опережения), который может быть в общем случае целым числом, правильной и неправильной дробью. С учетом принятого обозначения, запишем выражение (5.35) ±

∞

Aq∗τ = ∑ x 0 ((n ± λ )T ) e n =0

±ρ q nT

,

(5.36) 171

и рассмотрим все указанные варианты значений коэффициента λ. В соотношениях вида (5.36), определяющих интеграл Aqτ± знак «±» необходимо воспринимать следующим образом. Верхним знаком в формулах, приведенных ниже, может быть либо «+», либо «–», однако, знак *τ+ «+» всегда относится к соотношению Aq , определяющему интеграл *τ Aq для процесса с опережающим аргументом, в то время как нижний знак «–» всегда относится к соотношению Aq*τ, определяющему интеграл Aq*τ для процесса с запаздывающим аргументом. Случай А. λ – целое число. Введем следующее обозначение n ± λ = k, тогда соотношение (5.36) примет вид ∞

±

Aq∗τ =

∑ x 0 (kT ) e

−ρ qkT ±ρ q λT

e

,

(5.37)

k =± λ

поскольку исходная решетчатая функция x0(nT – λT) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то для сигнала с запаздывающем аргументом имеем −

Aq∗τ = e

∞

∑ x 0 (kT ) e

− ρ q λT

−ρ q kT

,

(5.38)

.

(5.39)

k =0

а для сигнала с опережающим аргументом +

Aq∗τ = e

ρ q λT

∞

∑ x0 (kT ) e

−ρ q kT

k =λ

Случай Б. λ – правильная дробь. Пусть mT ± λT = T, причем m лежит между 0 и 1, тогда уравнение (5.36), аналогично случаю А, преобразуем к виду ±

Aq∗τ =

∞

∑ x 0 nT ∓ (m + 1)T  e

−ρ qnT

,

(5.40)

n =0

либо, обозначив n ± 1 = k, приводим соотношение (5.40) ± Aq∗τ

172

=e

±ρ qT

∞

∑ x 0 (k ∓ m )T  e

k =±1

−ρ q nT

,

(5.41)

далее, учитывая то, что исходная решетчатая функция равна нулю при отрицательных значениях аргумента, получаем для сигнала с запаздывающим аргументом следующее выражение: ±

Aq∗τ = e

±ρ qT

∞

∑ x0 (k ∓ m )T  e

−ρ q nT

,

k =±1

(5.42)

а для сигнала с опережающим аргументом +

Aq∗τ = e

ρ qT

∞

∑ x 0 (k − m )T  e

−ρ q nT

.

(5.43)

k =1

Случай В. λ – неправильная дробь. Предположим, что выполняется следующее условие: (h – 1) < λ < h, а значение λ = h – m, причем h – целое число; m – правильная дробь. Тогда интеграл Aq*τ± будет ±

Aq∗τ =

∞

∑ x0 (n ± h )T ∓ mT  e

−ρ q nT

.

n =0

(5.44)

Если в формуле (5.43) ввести обозначение k = n ± h, то она принимает вид ±

Aq∗τ = e

∞

±ρ q hT

∑ x0 [kT ∓ mT ]e

−ρ q kT

.

k =± h

(5.45)

Затем, по аналогии с предыдущими соотношениями (5.37), (5.40), из формулы (5.45) для сигнала с запаздывающим аргументом получаем соотношение −

Aq∗τ = e

−ρ q hT

∞

∑ x 0 [kT + mT ]e

−ρ q kT

,

(5.46)

.

(5.47)

k =0

а для сигнала с опережающим аргументом имеем +

Aq∗τ = e

ρ q hT

∞

∑ x0 [kT − mT ]e

k =h

−ρ q kT

Если в соотношении (5.45) положить m = 0, то формула (5.45) сводится к формуле (5.37) (случай А). При h = 1 соотношение (5.45) сводится к формуле (5.40) (случай Б). Следовательно, соотношение (5.45) 173

является более общим, поэтому вычисление рекуррентных аналитических выражений, определяющих интегралы Aqi*τ± для процесса вида (3.44), покажем на примере формулы (5.45). Рекуррентные аналитические выражения для интеграла вида (5.31), в случае импульсных и непрерывных САУ со звеньями чистого запаздывания и нелинейными элементами были получены ранее [202 – 204]. Поэтому ниже приводится только окончательное выражение, определяющее интеграл Aq*τ– для САУ с идеальным импульсным элементом −

Aq∗τ = e

−ρqhT

 xу +  −ρ T 1 − e q

(α+ρ )T  2(α +ρq )T  cos (βmT − ϕ0 ) − e q cos (βmT − βT − ϕ0 )  H ∗e −αmT  e    . (5.48) + 2(α +ρq )T α +ρq )T (  − 2e cosβT + 1 e  Как правило, в системах управления рассматриваемого типа амплитудно-импульсный модулятор представляют в виде идеального импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка. В этом случае, как показано в [202–204], для вычисления интеграла Галеркина Aq*τ– −ρ T

1− e q соотношение (5.48) необходимо умножить на дробь . ρq + Рассмотрим получение соотношения Aq*τ для сигнала с опережающим аргументом в случае процесса вида (3.44). Представим формулу (5.47) +

Aq∗τ = e =e

ρ q hT

ρ q hT

∞

∑ x0 [kT − mT ]e

−ρ q kT

=

k =h

h −1 ∞ 0 −ρ q kT −ρ kT  x kT − mT e − x 0 [kT − mT ]e q  , ] ∑ [ ∑  k =0  k =0

(5.49)

далее учитывая выражение, определяющее решетчатую функцию программного движения x0(t) −α kT −mT ) x 0 [kT − mT ] = x у + H ∗e ( cos β (kT − mT ) − ϕ0  ,

174

приводим (5.49) к виду +

Aq∗τ = e

ρ q hT

 ∞ −ρ kT ∗ − α(kT −mT ) cos β (kT − mT ) − ϕ0   e q −   x у + H e   k =0

∑

 h −1 −ρ kT   − α kT −mT ) cos β (kT − mT ) − ϕ0   e q  . −   x у + H ∗e (    k =0 

∑

(5.50)

Затем, используя формулу Эйлера: e jβkT + e − jβkT , 2 а также выражения, определяющие сумму членов сходящейся геометрической прогрессии cosβkT =

∞

∑ aqk = 1 −a q ,

k =0 n −1

∑ aq

k

=

(

 q < 1 ;

a 1 − qn 1− q

k =0

),

 q < 1 ,

окончательно получаем следующее:

xy

+

Aq∗τ =

1− e

−ρqT

−α h −m T + H ∗e ( ) ×

(α +ρq )T cos β (h − m − 1)T − ϕ   2(α +ρq )T cos (β (h − m )T − ϕ0 ) − e ( 0 )  e  . (5.51) × e

(

) − 2e(α +ρq )T cosβT + 1

2 α +ρ q T

Если в соотношениях (5.48), (5.51) положить H* = 0, а xу = H, то в ∗τ ± в слурезультате получаем выражения, определяющие интегралы Cqi чае внешнего воздействия f(t) = H1(t) ∞  ∞  −ρ t ± ∗τ ± Cqi = D i  Hδ (t − nT ) e q dt =Cq∗τ ρiq ,  n =0  0

∫

∑

i = 0,1,…, v0∗ ,

(5.52)

q = 1,2,… m, 175

где −

Cq∗τ =

He

1− e

−

Cq∗τ = +

Cq∗τ =

−ρ qT

He

−ρ qT

−ρ q hT −ρ qT

1− e H 1− e

−ρ qT

, при τ < T ; τ , при τ ≥ T , здесь h = E   ; T  .

Таким образом, полученные рекуррентные аналитические выраже∗τ ± ∗τ ± , Cqi , позволяют синтезировать ния, определяющие интегралы Aqi параметры несинхронных систем управления с амплитудно-импульсными модуляторами обобщенным методом Галеркина. ∗τ − ∗τ − , Cqi исКак показано в [202–204], аналитические выражения Aqi пользуются для решения задачи синтеза линейных непрерывных и импульсных САУ, содержащих звенья чистого запаздывания. В отличие от несинхронных САУ, в системах управления с запаздывающим аргументом местоположение звена чистого запаздывания может быть любым. Поэтому в данном случае для вычисления соответствующей целевой функции требуется применять рекуррентные аналитические выражения, определяющие интегралы Галеркина: −

∞

∫ {

}

−ρ qt

dt, i = 0,1,…, n0 ;

−ρ qt

dt, i = 0,1,…, v0 .

*τ Aqi = D i x 0 (t − τ )1(t − τ ) e 0

−

∞

∗τ Cqi = D i { f (t − τ )1(t − τ )}e

∫ 0

−

−

Как показано в [202–204], интегральные соотношения Aqiτ , Cqiτ связаны с соотношениями Aqi, Cqi следующим образом: −

−ρ q τ

−

−ρ q τ

Aqiτ = e Cqiτ = e 176

Aqi ; Cqi .

5.3. Синтез нелинейных дискретных САУ В предыдущих разделах рассматривался синтез линейных систем, содержащих несколько амплитудно-импульсных модуляторов. Однако при решении практических задач, как правило, приходится иметь дело с дискретными системами, в состав которых входят одно или несколько нелинейных звеньев. Динамика импульсной САУ n-го порядка с несколькими импульсными элементами, работающими синхронно, и с одним нелинейным элементом описывается уравнением Q0 (ck , D ) x (t ) + Q0∗ (ck , D ) x∗ (t ) + G0 (ck , D ) θ (t ) +  G0∗ (ck , D ) θ∗ (t ) + R0 (ck , D ) y (t ) + R0∗ (ck , D ) y ∗ (t ) =   = S0 (ck , D ) f (t ) + S0∗ (ck , D ) f ∗ (t );   Q ( c , D ) x (t ) + Q ∗ (c , D ) x∗ (t ) ± R (c , D ) y (t ) ± 1 k 1 k  1 k ∗ ∗  ± R (c , D ) y (t ) = G (c , D ) θ (t ) + G ∗ (c , D ) θ∗ (t ) , 1 k 1 k  1 k

(5.53)

где x(t), x*(t) – исследуемая координата на входе и выходе 1-го импульсного элемента соответственно; θ(t), θ*(t) – исследуемая координата на входе и выходе 2-го импульсного элемента соответственно; f(t), f*(t) – внешнее входное воздействие на входе и выходе импульсного элемента соответственно; u0

R0 ( ck , D ) = ∑ b0i (ck ) D ; i

R0∗

i =0 u1

R1 (ck , D ) = ∑ b1i (ck ) D ; i =0

i

u0∗

(ck , D ) = ∑ b0∗i (ck ) Di ; i =0

R1∗

u1∗

(ck , D ) = ∑ b1∗i (ck ) Di i =0

– полиномы оператора обобщенного дифференцирования D; остальные полиномы были определены ранее [см. формулу(5.3)]; y(t), y*(t) – нелинейные функции, которые в зависимости от структуры рассматриваемой системы могут быть функциями процессов x(t), x*(t), либо процессов θ(t), θ*(t) соответственно. Поэтому во втором уравнении системы (5.53) перед полиномами R1(ck,D), R1*(ck,D) стоит знак «±», т. е., полиномы могут входить 177

либо в левую, либо в правую часть уравнения со знаком «+» в зависимости от структуры синтезируемой САУ. Очевидно, что последнее обстоятельство оказывает существенное влияние на вид системы уравнений (5.53), описывающих динамику конкретной системы управления. Дальнейший ход решения задачи синтеза полностью соответствует рассмотренному ранее для линейных дискретных САУ (см. п. 5.1). В случае нелинейных САУ с несколькими импульсными элементами целевая функция будет ∗

∗

n0 w0 w0  n0 ∗ ∗ + + + J= a c A a c A g c A g0∗i (ck ) Aθ∗qi + ( ) ( ) ( )  xqi xqi 0i k 0i k 0i k θqi q =0  i =0 i =0 i =0  i =0 m1

∑ ∑

+

∑

u0

u0∗

i =0

i =0

∑

∑ b0i (ck ) Bxθqi +∑ ( ) +

b0∗i

ck Bx∗θqi n1∗

−

∑

v

v∗

i =0

i =0



∗  ck Cqi 

∑ ei (ck )Cqi − ∑ ( ) ei∗

2



u0  n1 ∗ ∗ + ± a c A a c A b0i (ck ) Bxθqi ±  1i ( k ) xqi 1i ( k ) xqi  q =0  i =0 i =0 i =0 m2

∑ ∑

±

u0∗

∑

∑ ( ) i =0

b0∗i

ck Bx∗θqi

−

∑

w1

w1∗

i =0

i =0

∑ g1i (ck ) Aθqi − ∑ (ck ) g1∗i



 Aθ∗qi  

2

,

(5.54)

где интегралы Галеркина Axqi, A*xqi, Aθqi, A*θqi, Bxθqi, B*xθqi, Cqi, C*qi были получены ранее. Необходимо отметить, что индекс xθ в обозначении рекуррентных выражений Bxθqi, B*xθqi, определяющих интегралы Галеркина для нелинейных САУ, означает, что их вид и параметры зависят от вида и параметров процесса на входе нелинейности (x(t), x*(t), либо θ(t), θ*(t)). Минимизация функционала (5.54) при ограничениях на значения параметров регулятора, грубость и абсолютную устойчивость системы позволяет определить значения варьируемых параметров, приближенно обеспечивающих заданные при синтезе показатели качества желаемого программного движения. Если же амплитудно-импульсные модуляторы работают несинхронно, то движение нелинейных систем в этом случае будет описываться уравнениями 178

 Q0 ( ck , D ) x (t ) + Q0∗ ( ck , D ) x∗ (t + τ ) + R0 ( ck , D ) y (t ) +   + R0∗ (ck , D ) y ∗ (t ± τ ) + G0 (ck , D ) θ (t ) + G0∗ (ck , D ) θ∗ (t − τ ) =   = S0 ( ck , D ) f (t ) + S0∗ (ck , D ) f ∗ (t + τ );   Q (c , D ) x (t ) + Q ∗ (c , D ) x∗ (t + τ ) ± R (c , D ) y (t ) ± 1 k 1 k  1 k  ± R∗ (c , D ) y ∗ (t ± τ ) = G (c , D ) θ (t ) + G ∗ (c , D ) θ∗ (t − τ ) , 1 k 1 k  1 k

(5.55)

где τ = ∆T – сдвиг моментов замыкания 2-го импульсного элемента относительно 1-го; знак «±» в аргументе нелинейной функции y*(t±τ) означает, что на входе нелинейного звена может быть как процесс с запаздывающим, так и с опережающим аргументом, в зависимости от конкретной структуры САУ. Смысл знака «±», стоящего перед полино* мами R1(ck,D), R1 (ck,D) тот же, что и в случае нелинейной синхронной системы [см. формулу (5.53)]. Дальнейшее решение задачи синтеза нелинейных несинхронных САУ осуществляется в соответствии с общей схемой решения, изложенной для аналогичных линейных САУ. Таким образом, решение задачи сводится к поиску минимума функционала вида n0∗ w0  n0  ∗τ + + ∑ g0i (ck ) Aθqi + J = ∑  ∑ a0i (ck ) Axqi + ∑ a0∗i (ck ) Axqi q =0  i =0 i =0  i =0 m1

w0∗

+∑ i =0

g0∗i

(ck )

τ− Aθ∗qi

u0∗

u0

±

+ ∑ b0i (ck ) Bxθqi + ∑ b0∗i (ck ) Bx∗θτqi − i =0

i =0

2

m2  n1   ∗τ +  −∑ e0i (ck ) Cqi − ∑ e0∗i (ck ) Cqi +  ∑  ∑ a1i (ck ) Axqi + i =0 i =0  q=0  i =0 v0∗

v0

n1∗

+∑ i =0

a1∗i

(ck )

∗τ + Axqi

u1∗

u1

i =0

i =0 2

 − −∑ g1i ( ck ) Aθqi − ∑ g1∗i (ck ) Aθ∗τqi  , min ck J , i =0 i =0  w1

±

± ∑ b1i (ck ) Bxθqi ± ∑ b1∗i (ck ) Bx∗θτ qi − w1∗

(5.56) 179

где ∞

±

{

}

∗τ Bqi = D i F  x 0∗ (t ± τ ) , x
0∗ (t ± τ ) e  

∫ 0

−ρ qt

dt ,

i = 0,1,…, u∗; q = 1,2,…, m,

(5.57)

здесь и далее в обозначениях интеграла Bqi*τ± знак «–» относится к процессу с запаздывающим аргументом, а знак «+» – к процессу с опережающим аргументом; интегралы Aqi, Bqi, Cqi, Aqi*τ±, Cqi*τ± – были определены ранее. Покажем вычисление интеграла Bqi*τ± для импульсной САУ с идеальным импульсным элементом. Запишем нелинейную функцию F  x 0∗ (t ± τ ) , x
0∗ (t ± τ ) в виде обобщенной, как показано в [204], ∞

F  x 0∗ (t ± τ ) , x
0∗ (t ± τ ) = ∑ F± τ (nT ± τ ) δ (t − nT ) +   n =0

r

+∑

∞

∑  F+ j (nT ± τ ) − F− j (nT ± τ ) δ (t − nT ),

(5.58)

j =1 n =σ j

где σj = E(tj*/T) – символ E означает целую часть числа; tj* = tj ± τ, здесь tj – моменты переключения нелинейного элемента в САУ без запаздывания и опережения; F±τ(nT ± τ) – величина n-го дискретного значения функции F±τ(t), являющейся аналитическим выражением нелинейной функции в момент времени t = ±τ ∞

F± τ (nT ± τ ) = ∫ F± τ (t ) δ (t − nT ) dt, 0

здесь F±τ(t) = F(t ± τ)1(t ± τ); F±j(nT ± τ) – величины n дискретных значений функций F±j(τ ± τ) до и после момента переключения, соответственно, ∞

определяемые выражением F± j ( nT ± τ ) = F± j (t ± τ ) δ (t − nT ) dt; r – чис-

∫ 0

ло переключений нелинейности, зависящее от вида характеристики нелинейного элемента и желаемого программного движения на ее входе. 180

Производная i-го порядка от обобщенной функции (5.58) определяется выражением

{

}

∞

i D i F  x 0∗ (t ± τ ) , x
0∗ (t ± τ ) = ∑ F± τ (nT ± τ ) δ( ) (t − nT ) +   r

+∑

n =0

∞

∑  F+ j (nT ± τ ) − F− j (nT ± τ )δ(i ) (t − nT ),

(5.59)

j =1 n =σ j

где δ(i)(t–nT) – производная δ-функции Дирака порядка i. Подставим формулу (5.59) в выражение (5.57), в результате ∗τ ± Bqi

+

∞

∞

 = D i  F± τ (nT ± τ ) δ (t − nT ) +  n =0 0

∫

∑

  −ρ t  + F+ j (nT ± τ ) − F− j (nT ± τ ) δ (t − nT ) e q dt, j =1 n =σ j  ∞

r

∑∑

(5.60) i = 0,1,…, u∗; q = 1,2 …, , m . С учетом (5.59), (3.52) – (3.54) выражение (5.60) принимает следующий вид: ±

±

∗τ Bqi = Bq∗τ ρiq , i = 0,1,…, u∗;

q = 1,2,…, m.

(5.61)

где ± Bq∗τ

+

r

∞

∑∑

j =1 n =σ j

∞ −ρ nT =  F± τ (nT ± λT ) e q +  n =0

∑

 F+ j (nT ± λT ) − F− j (nT ± λT ) e

−ρqnT

 .  

(5.62)

При рассмотрении линейных несинхронных САУ (см. п. 5.2) коэффициент запаздывания λ, определяющий значение τ через длительность периода прерывания T, может быть целым числом, правильной и неправильной дробью. Причем последний случай является наиболее общим. Поэтому вычисление аналитического выражения, определяющего интеграл (5.61), рассмотрим для случая, когда λ является неправильной дробью. 181

Предположим, что выполняется следующее условие (h – 1) < λ < h, а значение λ = h – m, причем h – целое число, m – правильная дробь. ± Тогда соотношение (5.62), определяющее интеграл Bq∗τ , будет

∞ ± −ρ nT Bq∗τ =  ∑ F± τ (n ± h )T ∓ mT  e q +  n =0 r

+∑

∞

∑

j =1 n =σ j

 F+ j (n ± h )T ∓ mT  − F− j (n ± h )T ∓ mT   e

−ρ q nT

 .  

(5.63)

Если в формуле (5.62) ввести обозначение k = n ± h, то она принимает вид ∞ ± ±ρ hT  −ρ kT Bq∗τ = e q  F±τ [kT ∓ mT ]e q + k =±h

∑

+

r

∞

∑ ∑

j =1 k =σ j ±h

 F+ j [kT ∓ mT ] − F− j [kT ∓ mT ] e

−ρqkT

 .  

(5.64)

Если в соотношении (5.63) положить m = 0, то получаем выражение, определяющее интеграл, когда коэффициент запаздывания является целым числом. При h = 1 соотношение (5.62) сводится к случаю, когда коэффициент запаздывания представляет собой правильную дробь. По аналогии с предыдущими соотношениями (5.37), (5.40), (5.45) для сигнала с запаздывающим аргументом ∞ − −ρ hT  −ρ kT Bq∗τ = e q  ∑ Fτ [kT + mT ]e q +  k =0 r ∞  −ρ kT (5.65) + ∑ ∑  F+ j [kT + mT ] − F− j [kT + mT ] e q  ,  j =1 k =σ j −h  а для сигнала с опережающим аргументом +

ρqhT

Bq∗τ = e r

+∑

∞

∑

j =1 k =σ j +h

182

∞ −ρqkT +  ∑ Fτ [kT − mT ]e k =h

 F+ j [kT − mT ] − F− j [kT − mT ] e

−ρqkT

 .  

(5.66)

Далее, используя выкладки аналогичные вычислению интегралов ∗τ ± ∗τ ± , Bqi, Bqi*, получены соотношения, определяющие интегралы Bqi , Aqi для различных нелинейных характеристик при различных процессах на их входах. Соотношения (5.65) используются для синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ с запаздывающим аргументом методом ортогональных проекций. При этом наряду с аналитическими соотноше− − ∗τ − ∗τ − ∗τ − , Bqi , Cqi , Aqiτ , Cqiτ при вычислении функниями Aqi, Bqi, Cqi, Aqi − ционала требуется применять выражения, определяющие интегралы Bqiτ . − − − Аналогично Aqiτ , Cqiτ , интегральные соотношения Bqiτ связаны с Bqi следующим образом: −

Bqiτ = e

−ρ q τ

Bqi .

Таким образом, разработанный в данной главе метод синтеза параметров дискретных несинхронных систем автоматического управления может применяться к решению более простой задачи – синтеза параметров линейных и нелинейных непрерывных и импульсных САУ, содержащих звенья чистого запаздывания.

183

Глава 6 СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В данном разделе рассматриваются различные способы аппроксимации нелинейных характеристик устройств систем управления, и на основе общей схемы решения задачи синтеза нелинейных САУ разрабатываются методы синтеза непрерывных и амплитудно-импульсных систем, содержащих степенные нелинейные характеристики. Особое внимание уделяется специфике применения обобщенного метода Галеркина к решению задачи синтеза параметров регуляторов экстремальных САУ. Приводятся результаты решения задачи синтеза многорежимной системы экстремального регулирования торможением колес транспортного средства. 6.1. Методы аппроксимации нелинейных характеристик Качество синтезируемой системы управления непосредственно связано с правильной идеализацией существующих в ней зависимостей, т. е. с построением адекватной математической модели. Как следует из научно-технической литературы, в решении данного вопроса невозможно указать какие-либо стандартные правила, следуя которым можно безошибочно идеализировать систему управления. Можно лишь отметить, что при построении математической модели должны сохраняться все характерные черты и свойства изучаемой САУ, и в то же время определенная идеализация состоит в том, чтобы по возможности абстрагироваться от всех несущественных, нехарактерных для исследуемой системы явлений, т. е. уравнения динамики всякой реальной системы всегда записываются с какой-то степенью идеализации, причем пренебрегают второстепенными факторами, мало влияющими на решение данной конкретной задачи. Поэтому при построении математических моделей сис184

тем управления, содержащих эле- M менты для которых характерны нелинейные зависимости входных и выходных величин, как правило, M 0 стремятся по возможности упростить реальные характеристики. 0 ω Примером различных подходов к ω = ω хх ω=0 идеализации нелинейной характеРис. 6.1 ристики в зависимости от задач исследования может служить асинхронный двигатель, вал которого соединен с пружиной (т. е. вся система совершает колебания) [218], вид реальной характеристики которого показан на рис. 6.1. В тех случаях, когда угловая скорость движения выходного вала невелика приближенно связь момента на валу M с угловой скоростью ω может быть установлена соотношением [218] M = M 0 + αω + βω3.

(6.1)

Подобное упрощение дает возможность учитывать все характерные черты явления – устойчивую конечную амплитуду колебаний. В случае больших упрощений исходной нелинейной характеристики, в частности соотношением M = M 0 + αω ,

определить амплитуду автоколебаний становиться невозможно, следовательно, данная идеализация представляется чрезмерной. Вместе с тем в реальной системе наблюдаются колебания со второй устойчивой амплитудой, определить значения которой можно путем использования существенно более сложного математического описания реальной нелинейной характеристики M = M 0 + αω + βω3 + γω5 + υω7 .

(6.2)

Кроме того, характеристики асинхронного двигателя в области экстремума могут быть аппроксимированы и параболой M = βω2 .

(6.3)

Зависимость коэффициента сцепления µ тормозящегося колеса транспортного средства с опорной поверхностью от величины относительного проскальзывания S имеет вид, показанный на рис. 6.2 (кривая 1). 185

µ µэ

µб

2

0

3

1

Sэ

1

S

Рис. 6.2

Как видно из рис. 6.2, форма приведенной характеристики µ(S) аналогична рассмотренной выше зависимости момента на валу M асинхронного двигателя от угловой скорости ω (рис. 6.1). Следовательно, в основу аппроксимации характеристики µ = µ(S) могут быть положены те же принципы, что и для аппроксимации характеристики M(ω). При малых изменениях величины относительного проскальзывания колеса (в интервале от 0 до точки экстремума характеристики) справедливо соотношение аналогичное формуле (6.1)

(

)

µ = k1 1 − kS 2 S ,

где S = 1 −

(6.4)

ωк пос , здесь ωк (0) = ωпос к = ωс – угловая скорость тормоωс − ωст

зящегося колеса в начале процесса торможения; ωс (0) = ωспос – угловая скорость свободно катящегося колеса в начале процесса торможения; ωст – скорость продольных колебаний оси колеса, определяемая уравнением вида ωст =

lст + rк d ϕст , rк dt

где lст – длина стойки; rст – радиус колеса; ϕст – угол колебаний стойки. Зависимость, построенная в соответствии с формулой (6.4), показана на рис. 6.2 (кривая 2). 186

Аппроксимация вида (6.4) может использоваться в тех случаях, когда необходимо изучить динамику выхода системы торможения в экстремум характеристики µ(S). При необходимости рассмотрения режима устойчивых автоколебаний рабочей точки в окрестности экстремума характеристики µ(S), происходящих с малой амплитудой, целесообразно использовать параболическую зависимость вида (6.3) µ = µ э − k1 ( S − S э ) ,

в соответствии с которой построена кривая 3 (рис. 6.2). Данный режим соответствует торможению транспортного средства с постоянным значением угловой скорости свободно катящегося колеса ωс = const и достаточно часто используется при исследованиях динамики антиблокировочных систем торможения транспортных средств на этапе их разработки. При моделировании процесса торможения, когда ωc изменяется от максимального значения ωс (0) = ωспос до минимального, величина угловой скорости свободно катящегося колеса ωк также может меняться в широких пределах. В каждый момент времени ωк может принимать любое значение от ωк = ωс при полном растормаживании колеса, до ωк = 0 – при возникновении состояния глубокого юза. Следовательно, величина относительного проскальзывания S также будет меняться в пределах от 0 (при полном растормаживаниии) до 1 (при юзе). В данном случае для аппроксимации характеристики µ(S) можно использовать соотношение аналогичное формуле (6.2). Еще одним примером различных аппроксимаций одной и той же реальной нелинейной зависимости может служить сила вязкого трения, которую при малых скоростях течения в F (x) жидкостях и газах можно считать пропорa1 циональной скорости и направленной наb1 встречу последней. Однако при больших x скоростях абсолютную величину силы вязкого трения можно принять пропорциоb нальной квадрату скорости. Наконец, что касается силы сухого треa ния, то его зависимость от скорости двиРис. 6.3 жения v имеет вид, показанный на рис. 6.3. 187

F

В тех случаях, когда спад характеристики (участок a – b) не играет существенного значения при рассмотрении динамики конb1 x кретной системы управления, то обычно зависимость упрощают, полагая силу треb ния постоянной при v ≠ 0 (рис. 6.4). Такая аппроксимация справедлива, когда в проa цессе движения не имеется конечных интервалов времени, в течение которых скоРис. 6.4 рость v = 0. Рассмотренные примеры показывают, что каждая нелинейная характеристика может быть аппроксимирована различными способами, в зависимости от поставленных задач исследования конкретной системы управления. Достаточно часто качество аппроксимации оценивается по точности воспроизведения реальной характеристики нелинейного звена. Безусловно, малое отклонение кривой, построенной по формуле от аппроксимируемой характеристики, является достоинством. Однако, как отмечается в [218], нередко не соображения точности воспроизведения реальной нелинейной характеристики являются определяющими при выборе способа аппроксимации. Часто требуется невысокая точность получаемых результатов, а правильный их порядок, правильное воспроизведение основных физических закономерностей, типично нелинейных черт явления. Поэтому основным критерием достоинства аппроксимации при решении той или иной задачи является достижение достаточно точного и в то же время простого по форме и доступного простому анализу результата. Удачная аппроксимация позволяет проинтегрировать дифференциальное уравнение и получить уравнение движения системы в конечном виде, т. е. осуществляется алгебраизация задачи, что достаточно часто ее облегчает. А. А. Фельдбаум [218] делает по вопросу аппроксимации характеристик нелинейных элементов следующий основной вывод – универсальной аппроксимации не существует и вместе с тем определяющими критериями удачной аппроксимации являются: – пригодность во всей исследуемой области изменения переменных; – интегрируемость, точная или приближенная, либо возможность простого исследования уравнения движения системы; – относительно простой пригодный для исследования вид решения. 188 a1

Нелинейные явления сами по себе в достаточной степени сложны и усложнение аппроксимирующих выражений может создать значительные затруднения при исследовании. Известны ряд классов аппроксимации нелинейных характеристик, классификация которых проведена в [218] по типу аналитических выражений, положенных в основу аппроксимации. Рациональная функция

Примером такой аппроксимации служит математическое выражение следующего вида: x + F ( x) =

aF ( x ) , b + cF ( x )

либо относительно выхода нелинейного элемента a + b − cx ± 2c a+b , введя обозначение, d = − 2c F ( x) = −

F ( x ) = −d +

x ± 2

2

 a + b − cx  + 4bcx ,   2c  

получаем x2  d b  − − x + d2 . 4 2 c

Аналитическое выражение характеристики скольжения S от момента асинхронного двигателя µд, выраженного в относительных единицах, является частным случаем данного вида аппроксимации µд =

2 S+

1 S

,

где S – скольжение; µд – момент в относительных единицах. Алгебраическая (степенная) функция

Примером может служить аппроксимация F ( x ) = kx 2 , –∞ < x < +∞.

либо F ( x ) = kx 3 , –∞ < x < +∞,

189

которые обобщаются соотношением F ( x ) = kx n , –∞ < x < +∞,

где n = 2, 3, 4, ..., – любое целое положительное число. К алгебраической аппроксимации, безусловно, относятся математические выражения для параболической характеристики общего вида F ( x ) = k ( x − a ) − c , –∞ < x < +∞, 2

где k, a, c – любые как положительные, так и отрицательные числа. С помощью данного соотношения могут описываться системы с экстремальными характеристиками (параболического вида) объекта управления при любом ее расположении на F (x) плоскости. Кроме того, к аппроксимации данного вида относятся разнообразные мате2 F ( x ) = kx , матические соотношения, содержащие при x > 0 ; квадратичную и кубичную формы. НаF ( x ) = 0, пример, нелинейная характеристика при x ≤ 0 x

kx 2 , x > 0; F ( x) =  0, 0, x ≤

0

Рис. 6.5

показанная на рис. 6.5. Аналитическая аппроксимация

В некоторых случаях целесообразно представление характеристики нелинейного звена в виде конечной комбинации аналитических функций [218] x F ( x ) = a ln  1 +  , x >  b

F ( x ) = a arctg bx + cx, − ∞ ≤ x ≤ +∞; x

F ( x ) = e a +bx − 1, x > F ( x ) = a tgx 3.

190

(6.5)

Возможно также представление аппроксимируемых функций в виде разложения по экспонентам F ( x) =

n

∑ ai eb x i

i =1

или разложения в ряд Фурье, если область изменения одной из переменных ограничена с двух сторон. Интегралы и пределы

В тех случаях, когда реальная нелинейная характеристика имеет разрывы применяется аппроксимация и виде интегральных или предельных соотношений [218]. F (x) Например, нелинейная зависимость, показанная на рис. 6.6 (пунктиром показаны формы кривой при изменении нагрузки) может быть апx проксимирована как соотношением 0 (6.5), так и интегралом вида x

∫

F ( x) = a e

(

) dx,

2 − x 2 −b

Рис. 6.6

0

поскольку производная функции dF ( x ) при увеличении х увеличиdx вается до максимального значения a, а затем начинает уменьшаться, стремясь к нулю при x → ∞ . Характеристика, показанная на рис. 6.7, может быть аппроксимирована следующим образом F ( x ) = lim

ax

n →+∞ 1 + e − nx

F (x) F ( x ) = kx , при x > 0; F ( x ) = 0, при x ≤ 0.

arctg k x 0

, Рис. 6.7

191

что представляется более сложным по сравнению с кусочно-линейной аппроксимацией, которая является наиболее простой. Наиболее часто применяется кусочно-линейная аппроксимация, которая обладает наибольшей степенью универсальности, что, было показано в предыдущих главах книги, либо аппроксимация степенными функциями, в том числе в случае несимметричных нелинейных характеристик, либо сочетание кусочно-линейной и степенной аппроксимаций. 6.2. Синтез параметров систем управления при алгебраической (степенной) аппроксимации характеристик нелинейных элементов Общая схема решения задачи параметрического синтеза систем автоматического управления, содержащих различного типа импульсные элементы, является универсальной в том смысле, что не ограничивает семейство нелинейных характеристик лишь кусочно-линейными, или теми характеристиками нелинейных элементов, которые допускают кусочно-линейную аппроксимацию. Поэтому данная схема решения задачи синтеза параметров регуляторов систем управления может эффективно использоваться для разработки методов синтеза САУ, содержащих нелинейные элементы, характеристики которых допускают различные виды аппроксимации, что безусловно является весьма ценным, поскольку, как было отмечено в предыдущем параграфе, универсального способа аппроксимации нелинейных характеристик реальных элементов систем управления не существует. Однако разработка методов параметрического синтеза систем на основе общей схемы решения задачи, математическую базу которой составляет обращение обобщенного метода Галеркина требует выполнения следующего основного условия: любая аппроксимация исходной нелинейной характеристики является допустимой, если ее использование не приводит к получению неберущихся на множестве элементарных функций интегральных соотношений вида «вход – выход», определяющих интегралы Галеркина минимизируемых целевых функций. В настоящем разделе рассматриваются системы управления, содержащие нелинейные характеристики, построенные на основе степенных функций, вид и математическое описание которых приведены в табл. 6.1. 192

Таблица 6.1 Графическое представление и математическое описание алгебраических (степенных) нелинейных характеристик Вид нелинейной характеристики

Математическое описание нелинейной характеристики

F(x)

1

xвых = kx 2signx = k x x либо xвых = kx 3

x 0

F(x)

2

xвых = kx 2 либо xвых = kx3signx x

0 F(x)

3

2

xвых = k ( x + a ) + c,

c 0

a

x

a, c, k – могут быть как положительными, так и отрицательными

F(x)

4

c −b

xвых = k1 (1 − kx ) x, 2

k1 0

x b

xвых = c sign x,

x ≤b x >b

−c

Для решения задачи параметрического синтеза САУ, содержащих степенные (алгебраические) характеристики, обобщенным методом Галеркина требуется минимизировать целевую функцию вида 193

n∗ u  n J = ∑∑ai (ck ) Aqi + ∑ai∗ (ck ) Aqi∗ + ∑bi (ck ) Bqi + q=1  i=0 i=0 i=0 m

u∗

+∑ i=0

bi∗

( )

ck Bqi∗

v

v∗

i=0

i=0

2

− ∑ei (ck ) Cqi − ∑

ei∗



 ck Cqi∗ 

( )



,

minck J .

где рекуррентные соотношения, определяющие интегралы Aq, Aq*, Cq, Cq* были получены ранее. Поэтому для распространения обобщенного метода Галеркина на новый класс нелинейных элементов, характеристики которых целесообразно аппроксимировать степенными (алгебраическими) функциями, необходимо вычислить аналитические соотношения, определяющие интегралы Bq, Bq*, для характеристик представленных в табл. 6.1. Аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина Bq, Bq* для алгебраических нелинейностей как для непрерывных, так и импульсных САУ получены в соответствии с методикой, изложенной выше, и представлены в табл. П1–П3. Применительно к обобщенному методу Галеркина кусочно-линейная аппроксимация при всех ее несомненных преимуществах, связанных с универсальностью, т. е. возможностью кусочно-линейного представления широкого спектра реальных нелинейных характеристик звеньев систем управления, имеет и определенный недостаток. Недостаток заключается в не точном определении моментов времени переключения кусочно-линейной характеристики, значения которых используются при вычислении соответствующих рекуррентных аналитических соотношений, определяющих интегралы Галеркина целевых функций. При решении задачи синтеза параметров непрерывных систем управления с помощью прикладного программного обеспечения, значения моментов времени переключения для любой кусочно-линейной характеристики можно определить с точностью до половины величины приращения координаты времени, т. е. наибольшее значение погрешности будет составлять ∆t . Погрешность в определении моментов переключения нелинейных 2 характеристик, особенно если число переключений велико, приводит к возδ=

194

растанию погрешности вычисления соответствующих рекуррентных аналитических соотношений, а следовательно, к определенному снижению точности решения задачи синтеза параметров САУ. При решении задачи синтеза систем с амплитудно-импульсной модуляцией сигнала, погрешность в определении значений времени переключения будет возрастать по сравнению с непрерывными системами управления. Для импульсных САУ время переключения кусочно-линейных характеристик определяется по непрерывному входному сигналу, а затем осуществляется дискретизация полученных значений. Дискретное значение момента времени переключения определяется t ∗j = σ jT ,

t  где σ j = E  j  , здесь символ E означает целую часть числа. T  Очевидно, что ошибка в определении дискретного значения точки переключения будет тем больше, чем больше значение периода прерывания, в соответствии с которым осуществляется дискретизация. Кроме того, при использовании большого числа кусочно-линейных участков для аппроксимации гладких нелинейных функций, возможно получение принципиально неверного результата решения задачи синтеза. Такая ситуация возможна, если число участков принятой аппроксимирующей характеристики не согласовано с периодом прерывания импульсного элемента. Допустим, что период прерывания имеет достаточно большое значение по сравнению с длительностью времени работы САУ на текущем участке характеристики. В этом случае в течение одного периода прерывания может произойти несколько переключений нелинейной характеристики, т. е. несколько переходов с одного кусочно-линейного участка на другой. Следовательно, нескольким значениям моментов времени переключения, определенным по непрерывному входному сигналу будет соответствовать одно и то же значение времени переключения, полученное в результате дискретизации, т. е. исходная математическая модель синтезируемой системы управления не будет соответствовать фактически синтезируемой САУ. На рис. 6.8 показано прохождение процесса x(t), а также процесса * x (t), полученного при амплитудно-импульсной модуляции исходного движения x(t) идеальным АИМ, через нелинейную характеристику F(x) = kx2, 1 – процесс на выходе нелинейности F(x) = kx2 при непре195

F

F

k2 3

2

1

k1 x

t T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T

x t1 t2 t3 t4

x(t) x*(t)

t5 t6 t7 t

Рис. 6.8

196

рывном входном сигнале x(t); 2 – дискретные значения процесса на выходе нелинейности F(x) = kx2 при модулированном по амплитуде входном сигнале x*(t); 3 – дискретные значения процесса на выходе нелинейной характеристики F(x) = kx2, аппроксимированной двумя кусочно-линейными участками при модулированном по амплитуде входном сигнале x*(t). Очевидно, что аппроксимация исходной нелинейности двумя кусочно-линейными участками вносит существенную погрешность в результат преобразования входного сигнала, что видно по разнице амплитуд импульсов на первых семи периодах (графики 2 и 3). Однако для рассматриваемого сигнала на входе нелинейности подобная аппроксимация не вносит погрешности в определение точек переключения кусочно-линейной характеристики, поскольку на каждом периоде прерывания имеет место лишь одно переключение. Следовательно, дискретизация моментов переключения данной кусочно-линейной характеристики, определенных по непрерывному входному сигналу будет осуществлена с точностью до очередного периода, т. е. величина σj в формулах, определяющих интегралы B*qi (Прил. 1), будет последовательно принимать значения 1, 2, 3, ..., n. Более точные варианты кусочно-линейной аппроксимации характеристики F(x) = kx2 показаны на рис. 6.9 (рис. 6.9, а – три кусочно-линейных участка; рис. 6.9, б – пять кусочно-линейных участков). Очевидно, что увеличение числа кусочно-линейных участков аппроксимирующей характеристики снижает ошибку в преобразовании входного как непрерывного, так и амплитудно-импульсного сигналов. Вместе с тем, увеличение числа кусочно-линейных участков вносит неопределенность в результат вычисления величины σj. Из рис. 6.9, а видно, что дискретизация значений моментов переключения t1 и t2 будет давать одинаковые значения σj, т. е. σ1 = σ2, такая же ситуация будет и для моментов переключения t6 и t7. Увеличение числа кусочно-линейных участков (рис. 6.9, б) усугубляет описанную ситуацию, так как одинаковые значения σj будут давать моменты переключения t1 – t3; t4 – t6; t7 и t8; t9 и t10. Эти примеры показывают следующее: – аппроксимация степенных нелинейных характеристик двумя кусочно-линейными участками, как правило, неприемлема из-за вносимой подобным представлением погрешности в преобразование входного сигнала; – при решении задачи параметрического синтеза САУ с АИМ, содержащей нелинейные характеристики, состоящие из двух кусочно-линей197

а)

б) F

F k5

k3 k4

k2

k3

k2 k1

k1 x

x

0

0 x

t1 t2

x t1 t2 t3 t4

t3 t4 t5

t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11

t6 t7 t8 t9

t12 t13

t

t Рис. 6.9

198

ных участков, программное обеспечение позволяет однозначно осуществлять дискретизацию моментов переключения нелинейности; величина σj будет последовательно принимать значения 1, 2, 3, ..., n, если значение периода прерывания импульсного модулятора согласовано с частотой процесса x(t) на входе кусочно-линейного звена; – при решении задачи параметрического синтеза САУ с АИМ, содержащих нелинейные характеристики с большим числом кусочно-линейных участков, программное обеспечение, реализующего обобщенный метод Галеркина (без принятия специальных мер), будет (с большой долей вероятности) формировать некую случайную модель синтезируемой системы, степень приближения которой к заданной будет определяться вероятностью получения различных (для каждого момента переключения) значений σj, используемых в расчете соотношений B*qi. Избежать возникновения неоднозначности в определении значений σj можно путем согласования периода прерывания амплитудно-импульсного модулятора и частоты сигнала на входе нелинейности, чтобы между соседними импульсами было не более одного переключения нелинейной характеристики. Добиться этого можно одним из двух способов построения алгоритма программы определения точек переключения для систем управления, содержащих амплитудно-импульсные модуляторы. Первый подход состоит в согласовании величины периода прерывания импульсного элемента и частоты желаемого программного движения путем определения максимально возможного (максимально допустимого) значения периода прерывания, соответствующего однозначному определению величин σj при дискретизации значений моментов переключения нелинейной характеристики tj. Для случая, показанного на рис. 6.9, а. Tmax ≤ t1. − t2

Таким образом, для установления T = Tmax необходимо определить моменты переключения tj кусочно-линейной характеристики в случае непрерывного процесса на ее входе, а затем на интервале от 0 до Tп.п определить все разности ∆ti = t j − t j −1

и найти наименьшее значение ∆ti, которое и будет соответствовать максимально допустимому периоду прерывания. 199

Найденное значение периода прерывания будет оптимальным в смысле однозначности нахождения величины σj, поскольку в данном случае между двумя соседними импульсами всегда будет лишь одна точка переключения нелинейной характеристики. Подобный подход целесообразно использовать в тех случаях, когда период прерывания может быть включен в число параметров варьируемых при синтезе системы управления. Второй подход имеет более широкую область практического применения, поскольку рассчитан на общий случай решения задачи параметрического синтеза систем с АИМ, когда значение периода прерывания и частота желаемого процесса жестко заданы условиями проектирования САУ. Чтобы избежать неоднозначности в определении σj, необходимо при реализации алгоритма определения точек переключения, после дискретизации соответствующих моментов переключения, т. е. определения последовательности значений σj исключить из сформированной последовательности все одинаковые значения σj, кроме одного. Это означает, что все значения моментов переключения tj (определенные по непрерывному входному сигналу), между двумя соседними импульсами, заменяются одним значением σj. Тогда динамика синтезируемой математической модели будет верно отражать физику ее функционирования. Несомненное достоинство алгебраической (степенной) аппроксимации нелинейных характеристик, которую целесообразно использовать для различных электронных схем выпрямления и преобразования сигнала, состоит в том, что для подобных нелинейных характеристик точки переключения будут отсутствовать [в случае симметричных степенных характеристик 1–3 (табл. 6.1)]. Исключение составляют зависимости вида 4 (табл. 6.1), которые получены путем одновременного применения степенной (алгебраической) и кусочно-линейной аппроксимации, для которых точки переключения определяются аналогично кусочнолинейным характеристикам. 6.3. Синтез параметров систем управления, содержащих нелинейные элементы с несимметричными характеристиками При решении задачи синтеза нелинейных систем управления достаточно часто приходится иметь дело с САУ, в состав которых входят звенья, имеющие несимметричные нелинейные характеристики. Несимметричность характеристик, как правило, связана с физическими особенностями функционирования устройств. Так несимметричные кусочно-линейные харак200

теристики часто встречаются в нелинейных задачах при учете силы реакции контактных пружин или других упругих элементов, при наличии в системах управления магнитных усилителей и т. д. [116] Примерами подобных характеристик являются: – двусторонняя реакция упругого элемента с различной жесткостью (табл. 6.2, характеристика 1); – характеристика магнитных усилителей (табл. 6.2., характеристика 2); – зависимость момента сил реакции неподвижного контакта на подвижный контакт (табл. 6.2, характеристики 3,4); – релейные характеристики, когда релейный элемент работает на включение и отключение следующего за ним звена (табл. 6.2, характеристики 5, 6)(если же релейный элемент работает на включение и переключение следующего за ним звена, то в этом случае характеристика будет симметричной); – характеристики электронных и преобразовательных устройств (табл. 6.2, характеристики 7,8). Характеристики двусторонней реакции упругого элемента с различной жесткостью и магнитных усилителей (табл. 6.2, характеристики 1, 2) могут быть представлены эквивалентными преобразованиями с помощью нелинейных зависимостей характеристик 3, 4, табл. 6.2. Все отмеченные нелинейные характеристики допускают кусочнолинейное представление, однако несимметричные характеристики нелинейных элементов могут быть аппроксимированы и степенными (алгебраическими) функциями (табл. 6.2, характеристики 7, 8). Распространение метода ортогональных проекций на системы с несимметричными нелинейными характеристиками имеет ряд особенностей: – если уравнение движения синтезируемой системы записано относительно координаты выхода, то все аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина для соответствующих симметричных характеристик, справедливы и в данном случае; так обстоит дело с характеристиками 1, 2, 4–7; на выходе нелинейных характеристик 3, 8 процесс отсутствует, следовательно, интегральное соотношение равно нулю; – если уравнение движения синтезируемой системы записано относительно координаты ошибки, то аналитические соотношения должны быть определены с учетом особенностей преобразования входного сигнала несимметричной характеристикой (см. рис. 6.9); рекуррентные соотношения для нелинейных характеристик, показанных в табл. 6.2., приведены в Приложении. 201

Таблица 6.2 Графическое представление и математическое описание несимметричных нелинейных характеристик Вид нелинейной характеристики 1

Математическое описание нелинейной характеристики

F(x)

xвых = k1 x, при x ≥ 0 arctg k 1 x

xвых = k2 x , при x < 0

arctg k2 2

F(x)

xвых = k1 x, при b1 > x ≥ 0

arctg k2 B

arctg k 1 –b2

xвых = B,

при b1 > x > −b2

xвых = k2 x , при 0 > x > −b2

x b1

3 F(x)

arctg k

4

x

xвых = 0 ,

при x > 0

F(x) arctg k x

202

xвых = kx , при x ≤ 0

xвых = kx, при x ≥ 0 xвых = 0 , при x < 0

Окончание табл. 6.2 Вид нелинейной характеристики 5

Математическое описание нелинейной характеристики

F(x) c

xвых = c, при x ≥ b 0

6

b

F(x,px) c

xвых = C , xвых = 0,

b1 b2

7

xвых = 0 , при x < b

x

xвых = C ,

x

xвых = 0,

F(x) k >0 x 0

8

k 0; x < b2  x ≥ b1   при x
< 0 x < b1 

xвых = kx 2 , при x ≥ 0 при x < 0 xвых = 0 , либо xвых = kx 2sign x = k x x , при x ≥ 0 при x < 0 xвых = 0 , либо xвых = kx 3 , при x ≥ 0 при x < 0 xвых = 0 ,

xвых = kx 2 , при x ≥ 0 при x < 0 xвых = 0 , либо xвых = kx 2sign x = k x x , при x ≤ 0 при x > 0 xвых = 0 , либо xвых = kx 3 , при x ≤ 0 при x > 0 xвых = 0 ,

203

– для характеристик 1, 3, 4, 7, 8 моменты переключения сигнала ошибки могут быть определены аналитически, поскольку переключения будут происходить только в моменты пересечения входным сигналом оси абсцисс, т. е. при нулевом сигнале на входе нелинейного звена. Таким образом, если на входе нелинейного звена рассматриваемого типа будет процесс вида x
(t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1(t ) ,

прохождение которого через несимметричную нелинейность показано на рис. 6.10, то моменты переключения определяются решением уравнения H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) = 0 ,

откуда tj =

π (k + 0,5) + ϕ0 , k = 0, 1, 2, ...; j = 1, 2, 3, ... β F

(6.6)

F

x 0

0

x

0 t1

t2

t

Рис. 6.10

204

t1

t2

t

Из соотношения (6.6) следует, что соседние точки переключения отстоят друг от друга на величину π, тогда для САУ с амплитудноимпульсной модуляцией можно установить такое соотношение между максимально допустимой величиной периода прерывания и частотой желаемого программного движения, которое будет исключать неоднозначность в определении значений σj Tmax ≤ t j − t j −1 =

π . β

(6.7)

При выполнении условия (6.7) между соседними импульсами не будет более одного переключения нелинейной характеристики. Таким образом, если условия проектирования системы управления позволяют варьировать значение периода прерывания при жестко заданных показателях качества работы САУ, то, определив значение частоты желаемого программного движения, можно найти Tmax, исключающее неоднозначность в определении σj. Если же задан период прерывания, а показатели качества работы системы управления в переходном режиме допускают вариации, то в пределах этих вариаций можно определить ограничение на частоту программного движения, обеспечивающую выполнение условия (6.7). Наиболее сложной представляется ситуация, когда и период прерывания, и параметры желаемого движения жестко заданы. При этом условие (6.7) может как выполняться (неоднозначность в определении σj будет отсутствовать), так и не выполняться. В последнем случае разрешение вопроса возможно лишь программное. Если на входе нелинейного элемента будет процесс вида x 0 (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t ) ,  

т. е. уравнение движения системы управления записано относительно координаты выхода системы, переключения нелинейной характеристики будут отсутствовать для характеристик 1, 3, 4, 7, 8 (табл. 6.1). Для остальных несимметричных нелинейностей моменты переключения будут определяться также как и для симметричных.

205

6.4. Параметрический синтез систем, содержащих объекты управления с экстремальными характеристиками Экстремальные системы автоматического управления получили весьма широкое распространение, поскольку обладают свойством автоматически поддерживать оптимальное значение регулирующего воздействия, обеспечивающее экстремальное значение координат, параметров объекта или какого-либо показателя эффективности процесса (минимум расхода некоторого материала или вещества, максимум мощности или коэффициента полезного действия и т. д.) при неконтролируемых и заранее неизвестных изменениях как свойств самого объекта управления, так и условий его функционирования. Таким образом, с математической точки зрения для любой САУ экстремального регулирования должна существовать некоторая функция качества U = F ( x1, x2 ,..., xi , f1, f 2 ,..., fi ),

(6.8)

где xi – регулирующее воздействие; fi – возмущающее воздействие. При этом система должна выбрать значения xiэ, которые соответствуют экстремальному значению U = Uэ. Условием экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю градиента этой функции gradU =

n

, ∑ K i dU dx i =1

i

(6.9)

где K i – единичные векторы осей по которым отсчитываются величины xi. Задача поиска экстремума функционала (6.8) состоит в определении градиента (6.9) и организации движения к экстремуму. В более простом случае, когда функция U является функцией одной переменной U = F ( x ) , имеем gradU =

dU . dx

Классификацию систем экстремального регулирования целесообразно проводить в соответствии с тем принципом, который используется в САУ для определения градиента: 206

– САУ с непосредственным дифференцированием; – шаговые системы; – системы с модулирующим (пробным) сигналом и синхронным детектированием; – системы с запоминанием экстремума. Как было показано, общая схема решения задачи синтеза параметров систем управления различных классов обобщенным методом Галеркина справедлива для САУ различных структур и порядков, в том числе и для систем экстремального регулирования. Вместе с тем для любой конкретной структурной схемы нелинейной системы управления, уравнение движения должны учитывать местоположение и количество нелинейных элементов. Так основы физики функционирования систем экстремального регулирования непосредственно связаны с наличием в САУ данного класса нелинейного звена, характеристика которого имеет экстремум, а структура системы определяется способом нахождения градиента и организации движения к экстремуму. При рассмотрении систем, объекты управления которых имеют экстремальную, чаще всего параболическую характеристику, целесообразность алгебраической аппроксимации является очевидной, поскольку любое кусочно-линейное представление подобной характеристики будет вносить существенную погрешность в динамику процессов, происходящих в САУ. Данное утверждение иллюстрируется довольно простым примером анализа динамики системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 6.11. f

1( t ) t

y (t) W ( p ) = 1 /(0,2 p +1)

f( t)

–

F ( x )= kx , либо F ( x )= k sign( x ) x 3 2

Рис. 6.11

Анализ динамических процессов в рассматриваемой системе управления осуществлялся при внешнем единичном скачкообразном входном воздействии как при кусочно-линейной, так и при степенной аппроксимациях исходных нелинейных характеристик. Причем 207

степенная аппроксимация принята за эталонное воспроизведение исходной нелинейной характеристики. Исследовалось влияние числа участков кусочно-линейной аппроксимирующей характеристики на точность воспроизведения процесса на выходе системы управления по сравнению с эталонным процессом, полученным при степенной аппроксимации. Число и параметры аппроксимирующих кусочно-линейных участков для нелинейностей F(x) = x2 и F(x) = sign(x)x3 представлены в табл. 6.3 и 6.4 соответственно. На рис. 6.12 показаны графики переходных процессов в системе с нелинейной характеристикой F(x) = x2 (1, 2, 3 – переходные процессы в системе при кусочно-линейной аппроксимации нелинейности двумя, четырьмя и десятью участками соответственно; 4 – переходной процесс в системе со степенной аппроксимацией нелинейности). Таблица 6.3 Кусочно-линейная аппроксимация F(x) = x2 Число участков аппроксимации, n

Абсцисса, b

Коэффициент наклона, k

2

0,5 1,0 0,1 0,2 0,5 1,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,5 1,0 0,1 0,2 0,5 1,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

4

10

208

Таблица 6.4 Кусочно-линейная аппроксимация F(x) = sign(x)x

3

Число участков аппроксимации, n

Абсцисса, b

Коэффициент наклона, k

2

0,5 1,0 0,1 0,2 0,5 1,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,25 1,00 0,01 0,04 0,25 1,00 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1,00

4

10

y(t) 0,4 1 2 3 4

0,3

0,2

0,1

0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7 t, c

Рис. 6.12

209

На рис. 6.13 показаны графики переходных процессов в системе с нелинейной характеристикой F(x)=sign(x)x3 (1, 2, 3 – переходные процессе в системе при кусочно-линейной аппроксимации нелинейности двумя, четырьмя и десятью участками соответственно; 4 – переходной процесс в системе со степенной аппроксимацией нелинейности). y(t)

1 2 3 4

0,4

0,3 0,2

0,1

0 0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7 t, c

Рис. 6.13

Как видно из рис. 6.12, 6.13, малое число участков кусочно-линейной аппроксимирующей характеристики вносит довольно существенную погрешность в динамические свойства системы управления. Причем возникает не только существенная динамическая ошибка, но и значительная статическая, что, безусловно, будет сказываться на результатах решения задачи синтеза параметров САУ. Увеличение числа кусочно-линейных участков до десяти и более дает вполне удовлетворительный с точки зрения анализа динамики системы результат, т. е. такая модель нелинейности в принципе может быть использована при решении задачи синтеза непрерывных систем управления. Однако это приводит к сложностям в решении задачи синтеза систем, содержащих амплитудно-импульсные модуляторы. Следовательно, при решении задачи синтеза систем экстремального регулирования, в которых определяющую роль играет нелинейная экстремальная характеристика, необходимо применять степенную (алгебраическую) аппроксимацию нелинейности во избежание неточностей и ошибок получаемых результатов как синтеза, так и анализа динамических свойств САУ. 210

Рассмотрим применение метода ортогональных проекций к синтезу параметров некоторых систем экстремального регулирования. САУ со стационарной экстремальной характеристикой объекта управления

В системах управления данного класса положение экстремальной характеристики и ее параметры (следовательно, вид и математическое описание) остаются неизменными в течение всего времени работы САУ. Следовательно, известны и неизменны: y взаимно однозначное соответствие межyэ ду координатой входа x(t) и выхода y(t) экстремальной характеристики объекта y0 управления; экстремальное значение yэ и соответствующее ему значение координаты входа xэ, что показано на рис. 6.14. Эти обстоятельства существенно упрощают построение подобных систем управления в целом. В регуляторе САУ может испольxэ x э– ∆x x э+ ∆x x зоваться информация об отклонении сигРис. 6.14 нала x(t) от значения xэ, поскольку заданному отклонению регулируемой величины y(t) от экстремального значения ∆y = y0 – y(t), соответствует отклонение координаты x(t) от значения xэ на величину ±∆x, т. е. нет необходимости в постоянном отслеживании экстремального значения, как это имеет место в экстремальных системах с запоминанием экстремума. Один из вариантов структурной схемы экстремальной системы со стационарной экстремальной характеристикой объекта управления показан на рис. 6.15, а, б, где представлены диаграммы сигналов, поясняющие работу системы и приняты следующие обозначения: 1 – объект управления с экстремальной (параболической) характеристикой, инерционные свойства которого учитываются звеньями с передаточными функциями W1 ( p) =

K1 K2 ; W2 ( p) = ; T1 p + 1 T2 p + 1

2 – регулятор, состоящий из элемента сравнения текущего значения сигнала x(t) со значением xэ, соответствующим экстремальному значению yэ; сигнум-реле, реализованного на основе нелинейного звена с харак211

а)

y(t)

x(t)

W1

W им

-–

xэ

Kу

1

yэ

3

W2

xэ

2

z(t)

∆x(t)

y

б)

2

yэ

y0

1

4

3 (3*)

5 (5*) t

∆x 3 (3*)

∆x 0

2 – ∆ x0 C

1

t

4 5 (5 *)

z

t

–C

Рис. 6.15

212

θ(t)

теристикой типа «реальное двухпозиционное реле» и усилителя мощности с коэффициентом передачи Kу; 3 – исполнительный механизм с постоянной скоростью перемещения, динамические свойства которого описываются передаточной функцией вида

Wим ( p) =

K им . p

Работа системы происходит следующим образом. При движении из точки 1 в точку 3 (один полупериод колебаний сигнала y(t)), сигнал разности ∆x(t) = xэ – x(t) изменяется от –∆x0 до +∆x0. Как видно из рис. 6.16, когда сигнал разности ∆x(t) 1 (5*) 2 z 3 достигает значения +∆x0 при ∆x
> 0 происходит переключение нелинейного элеC мента, т. е. изменение знака сигнала z(t) с плюса на минус. Это соответствует изменению полярности напряжения пода0 – ∆x 0 ∆x 0 ∆x ваемого на исполнительный двигатель, что приводит к его реверсу. После этого –C меняется направление движения рабочей точки и за следующий полупериод 5 4 3* колебаний сигнала y(t) она перемещаРис. 6.16 ется из положения 3* в положение 5. В точке 5 вновь происходит переключение нелинейного элемента (знака сигнала z(t)), вызывающее реверс исполнительного механизма и далее процесс повторяется. Покажем применение обобщенного метода Галеркина к решению задачи параметрического синтеза экстремальной САУ, структурная схема которой показана на рис. 6.15. Динамика рассматриваемой системы управления описывается следующими уравнениями относительно координат входов нелинейных элементов  p (T1 p + 1) ∆x (t ) + K им K1K у F1  ∆x (t ) = p (T1 p + 1) xэ (t );   K 2 F2  x (t ) = (T2 p + 1) θ (t ) ,

где ∆x(t), x(t) – координаты входов нелинейных элементов; xэ(t) – внешнее ступенчатое входное воздействие, выводящее рабочую точку в экстремум 213

характеристики объекта управления; θ(t) – координата выхода системы управления; K1 = K2 = Kим = 1; T1 = 1с; T2 = 1с – параметры неизменяемой части системы управления; Kу > 0 – варьируемый параметр. Характеристики нелинейных элементов, входящих в состав рассматриваемой САУ, имеют следующие значения: F1(x) – релейная характеристика, вид которой показан на рис. 6.15, ∆x0= 1; С = 27В; F2(x) = –x2. Система должна обеспечивать выход рабочей точки в экстремум параболической характеристики объекта управления, который достигается при xэ = 0 за время, не превышающее 5с, и колебания координаты выхода системы управления θ(t) в окрестности экстремума с частотой β = 8,37 рад/с и амплитудой ∆θ = 2. Исходя из требований, предъявляемых к динамике САУ, задано желаемое программное движение:

(

)

θ0 (t ) =  θ у 1 − e −αt − ∆θcos (βt − ϕ0 ) 1(t ) ,  

(6.10)

где θу = 21 – значение желаемого программного движения, соответствующее нахождению рабочей точки в экстремуме параболической характеристики объекта управления; α = 0,5 – коэффициент затухания экспоненциальной составляющей, обеспечивающей выход рабочей точки в экстремум нелинейной экстремальной характеристики за заданное время. Программное движение вида (6.10) имеет две составляющие. Это дает возможность учитывать специфические особенности системы экстремального регулирования, которые заключаются в том, что при достижении точки экстремума система переходит в режим автоколебаний. Наличие в процессе двух составляющих приводит к следующему. При решении задачи синтеза параметров данной САУ обобщенным методом Галеркина в интегральных соотношениях Aqi, полученных для затухающей косинусоиды необходимо положить β = 0 и α = 0, для первой и второй составляющих процесса (6.10) соответственно. Кроме того, необходимо вычислить интегралы Bqi для параболической нелинейности при процессе вида (6.10) на ее входе. Так как в случае гладких нелинейных характеристик, в отличие от кусочно-линейных, коэффициент передачи меняется постоянно и принцип интервальной суперпозиции неприменим. Интегральные соотношения Bqi для рассматриваемой системы управления Bqi = Bqρiq−1,

214

где   2ρ q ρq  + Bq = k θ2у  1 − −   α + ρ q 2α + ρ q 

(

)

 ρ cos ϕ + βsin ϕ α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0  q 0 0 + −2θ у ∆θρ q  − 2 2 2 2   ρq + β α + ρq + β   +

(

)

∆θ2  ρ q ρ q cos ( 2ϕ0 ) + βsin ( 2ϕ0 )  1 + , 2 2 2  + ρ 4β  q 

(6.11)

при записи уравнения движения системы относительно координаты выхода, либо при записи уравнения движения относительно сигнала ошибки, когда на входе нелинейного элемента будет процесс θ0 (t ) = θ0e −αt + ∆θcos (βt − ϕ0 ) 1(t ) ,   получаем следующее

( (

) )

2θ у∆θρ q  α + ρ q cos ϕ0 + βsin ϕ0   θ02ρ q Bq = k  + + 2  2α + ρ q α + ρq + β2 +

r r −1  ∆θ2  ρ q ρ q cos ( 2ϕ0 ) + βsin (2ϕ0 ) 
q − B
q , 1 +  + B ∑ ∑ 2  ρ2q + 4β 2  j =1  j =1 

(6.12)

где 2
q = θ0ρ q e −(2α +ρq )t j + B 2α + ρ q

+

(

) ( ) ( ) ( ) ρ q ρ q cos (2 (βt j − ϕ0 )) + βsin (2 (βt j − ϕ0 ))   

2θ у∆θρ q  α + ρ q cos βt j − ϕ0 + βsin βt j − ϕ0  −(α +ρ )t 0 q j  + e 2 2 α + ρq + β

 ∆θ2  + 1+ 2  

ρ2q

+ 4β

2

 

e

−ρ qt j

,

215

здесь tj – моменты переключения нелинейной характеристики, происходящие, когда сигнал на ее входе достигает нулевого значения; r – число переключений нелинейной характеристики. Таким образом, применение соотношений (6.11) и (6.12) позволяет решать задачу синтеза систем экстремального регулирования методом ортогональных проекций. Поскольку система уравнений, описывающих динамику САУ, записана относительно координат входов нелинейных элементов, то необходимо осуществить пересчет программного движения θ0(t) на входы нелинейностей. Пересчет процесса θ0(t) на входы нелинейных элементов, осуществлялся символическим методом, рассмотренным в гл. 5, с использованием гармонической линеаризации характеристики F2(x) в соответствии с [116]. В рассматриваемом случае экстремальная характеристика объекта управления представляет собой параболу, экстремум которой совпадает с началом координат, т. е. xэ = 0. Следовательно, процессы ∆x(t), x(t) на входах нелинейных элементов F1(x) и F2(x), соответственно, совпадают. Тогда, расчетная структурная схема САУ приобретает вид, показанный на рис. 6.17. F2 W им

Kу

F 1[x(t)]

x(t)

W1

x

F 2[x(t)]

F1 x

Рис. 6.17

Динамика САУ описывается следующим образом:  p (T1 p + 1) x 0 (t ) + K им K1K у F1  x 0 (t ) = 0;     0 0  K 2 F2  x (t ) = (T2 p + 1) θ (t ). 

216

W2

θ (t)

В результате решения задачи синтеза определено значение коэффициента усиления Kу = 2,71, обеспечивающее в синтезируемой экстремальной системе процесс, показанный на рис. 6.18 (кривая 2), на том же рисунке показан вид желаемого программного движения (кривая 1), построенного в соответствии с формулой (6.10). 0

θ

2

4

6

8

t,с

–5

–10 –15

1

–20 2

–25

Рис. 6.18

Как видно из рис. 6.18, в синтезированной системе экстремального регулирования, обеспечивается выход рабочей точки в экстремум нелинейной характеристики объекта управления за заданное время и колебания в районе экстремума с заданным значением амплитуды и частоты. Системы экстремального регулирования с запоминанием экстремума

Структура систем экстремального регулирования значительно усложняется, если в ходе работы САУ экстремальная характеристика объекта управления меняет свои параметры и положение в пространстве, т. е. является параметрически нестационарной. В этом случае, как правило, применяются САУ с запоминанием экстремума. Один из вариантов структурной схемы подобной системы показан на рис. 6.19, где приняты следующие обозначения: 1 – объект управления (ОУ) с экстремальной характеристикой, вид которой показан на рис. 6.20; 2 – запоминающее устройство (ЗУ); 3 – сигнум-реле (СР); 4 – исполнительный механизм (ИМ). Как следует из рис. 6.20, зависимость U = f(x) – неоднозначна. Значению регулируемой величины U соответствуют два значения управляю217

щей величины x. Например, значение U1 может быть получено как при x = x1*, так и при x = x1**. Следовательно, чтобы решить задачу поддержания экстремума f(x) (при параметрически нестационарной экстремальной характеристике объекта управления) в системе должен непрерывно происходить поиск максимального значения U = Uэ. Процесс поиска начинается с подачи кратковременного импульса прямоугольной формы, который описывается следующим математическим выражением: f (t ) = H [1(t ) − 1(t − τ)],

где τ – длительность импульса. f (t ) x(t)

ИМ

ОУ

U Uэ

1 U (t)

U1

4

ЗУ z(t)

СР

3 ∆U(t)

–

2

U 0 (t)

Сброс (обнуление)

Рис. 6.19

0

x 1*

xэ

x 1* *

x

Рис. 6.20

Внешнее воздействие f(t) приводит к изменению регулируемой величины U(t) в случайном направлении. В том случае, если происходит увеличение U (grad U > 0), то направление движения выбрано верно и его необходимо поддерживать до достижения регулируемой величиной экстремума Uэ. При достижении экстремального значения (в рассматриваемом случае максимального) данное значение запоминается ЗУ и градиент функции U(x) определяется по разности текущего и экстремального значений, т. е. ∆ = U − Uэ,

(6.13)

где U, Uэ – текущее и экстремальное значения регулируемой величины соответственно. Если же внешнее воздействие привело к уменьшению величины U по сравнению с исходным значением (grad U < 0), необходимо осуществить реверс исполнительного механизма. 218

После нахождения экстремума при уменьшении регулируемой величины необходимо изменить направления движения, т. е. вновь осуществить реверс ИМ. Таким образом, регулятор рассматриваемой системы управления должен осуществлять непрерывное изменение сигнала x(t) на входе объекта управления (в зависимости от результатов воздействия x(t) на объект) с целью достижения регулируемой величиной U(t) экстремального значения Uэ. Диаграммы сигналов, иллюстрирующие работу системы экстремального регулирования с запоминанием экстремума, показаны на рис. 6.21. Рассмотрим работу экстремальной САУ. При подаче внешнего входного воздействия f(t) рабочая точка, характеризующая процессы в системе, находится на левом склоне экстремальной зависимости (точка 1) и пеdx > 0 . При достижении dt точки 2 экстремальное значение сигнала U(t) запоминается и фактически становится новой точкой отсчета, поскольку сигнал рассогласования определяется соотношением (6.13). Когда величина ∆ достигнет порогового значения ∆0, определенного техническим заданием, изменяется знак сигнала на выходе СР, что приводит к реверсу ИМ. Таким образом, условие реверса можно записать, как не соблюдение следующего условия:

ремещается в направлении экстремума, т. е.

dx sign(z ) = sign( ∆ + ∆ 0 )sign   ,  dt 

что иллюстрируется табл. 6.5. Таблица 6.5 Зависимость работы ИМ от выполнения условия реверса Знаки сигналов

dU/dx + – + –

∆ 0 – 0 –

Характер работы ИМ

dx/dt

z

+ + – –

+ – – +

Устойчивое движение к экстремуму Реверс Устойчивое движение к экстремуму Реверс

219

U 4

2

Uэ

3

5

1 t

∆

t

∆0 x

3

2

t

4 5

1 z

t

Рис. 6.21

Одновременно с реверсом ИМ с выхода СР подается сигнал на обнуление ЗУ. После этого рабочая точка начинает устойчивое движение от точки 3 к экстремуму (точка 4), значение которого в общем случае может отличаться от достигнутого в первый полупериод, и далее к точке 5. Затем процесс повторяется. Таким образом, рабочая точка совершает 220

колебания заданной амплитуды ∆0 в районе экстремума статической характеристики объекта управления. Синтез параметров регулятора рассматриваемой системы экстремального регулирования представляет собой крайне сложную задачу, поскольку характеристика объекта управления является нестационарной. Однако определенные пути решения поставленной задачи могут быть предложены. Так систему управления с нестационарной экстремальной характеристикой можно представить в виде совокупности стационарных САУ, каждая из которых соответствует определенному положению нестационарной характеристики. Очевидно, что полная адекватность множества стационарных САУ одной нестационарной может быть достигнута при стремлении данного множества к бесконечности. Вместе с тем практика решения технических задач показывает, что при синтезе САУ с нестационарными параметрами или характеристиками объекта управления, оказывается достаточным решение задачи синтеза для конечного числа стационарных моделей, построенных на основе исходной нестационарной системы управления. Применение данного положения позволяет свести решение задачи параметрического синтеза САУ с запоминанием экстремума к решению задачи для системы со стационарной экстремальной характеристикой. Полученные в ходе решения задачи синтеза параметры регулятора, обеспечивающие заданные показатели качества работы каждой стационарной модели в заданном режиме, могут быть: – обобщены и определенным образом усреднены, так, что полученный регулятор будет обеспечивать удовлетворительное качество работы во всем диапазоне нестационарности экстремальной характеристики объекта управления или его параметров; – либо регулятор может быть построен путем объединения (с помощью, например, электронного коммутатора) регуляторов, полученных в результате решения задач синтеза для всего набора стационарных моделей. Таким образом, будет создана система управления, регулятор которой обеспечивает адаптацию к нестационарности объекта управления. Синтез параметров экстремальной системы автоматического управления торможением колес транспортного средства

Здесь рассматривается решение задачи параметрического синтеза оператора управления сложной, существенно нелинейной, многорежим221

ной системы автоматического управления торможением колес (САУ ТК) транспортного средства. В процессе проектирования систем автоматического управления торможением колес важное место занимает решение задачи синтеза регулятора данной системы, реализующего требуемый закон управления. Задача синтеза, как правило, решается несколькими этапами, поскольку одного опыта проектирования аналогичных систем при создании новых оказывается явно недостаточно для построения регулятора наилучшим образом удовлетворяющего качеству регулирования в данной конкретной системе. На первом (начальном) этапе проектирования рассматриваются несколько вариантов структурных схем регуляторов, для каждого из которых может быть определено несколько групп сочетаний варьируемых параметров, обеспечивающих требуемое качество работы САУ ТК в различных режимах торможения. Данный этап представляется наиболее важным, поскольку именно на этом этапе проектирования из всего возможного многообразия структур (концепций, положенных в основу того или иного регулятора) должен быть выбран регулятор наилучшим образом удовлетворяющий требованиям, предъявляемым к САУ ТК. На этом этапе проектирования должны быть определены приближенные значения параметров в заданном диапазоне, либо границы их изменений. Как показывает практика разработки систем управления торможением колес тяжелых самолетов, решение задачи синтеза на первом этапе целесообразно осуществлять с использованием относительно простой математической модели процесса торможения, учитывающей основы физических процессов функционирования рассматриваемой системы торможения. На втором этапе проектирования полученные на первом этапе значения параметров регулятора необходимо уточнить решением задачи оптимизации с использованием полной математической модели процесса торможения с максимально высокой степенью достоверности, воспроизводящей динамику САУ ТК, а также на основании данных первого этапа можно изготовить натурный макет регулятора и произвести уточнение его параметров с использованием аналоговых моделей систем торможения, воспроизводящих с максимальной степенью достоверности процесс торможения в реальном масштабе времени. Заключительный этап разработки регулятора связан с оценкой качества его работы на испытательном стане и натурных испытаний, коли222

чество которых может быть существенно сокращено за счет качественной проработки возможных вариантов регуляторов на начальном этапе проектирования. Сократить затраты времени и вместе с тем повысить качество разрабатываемых САУ ТК дает возможность применение на начальном этапе алгоритмов и программ, реализующих обобщенный метод Галеркина, поскольку данный подход алгебраизирует решение задачи синтеза и свести все вычисления к выполнению простых единообразных операций для систем различных структур и порядков. Это позволяет за минимальное время рассмотреть большое число возможных структур регуляторов САУ ТК при различных условиях процесса торможения. В противном случае процесс проектирования будет связан с многократными доработками и модификациями разработанного регулятора, которые неизбежно будут осуществляться и после начала серийного выпуска той или иной системы. Вопрос выбора определенной структуры модели системы торможения при решении задачи синтеза регулятора крайне важен, так как необходимо найти приемлемое сочетание относительной простоты модели объекта управления и адекватности модели реальным физическим процессам функционирования САУ ТК. Опыт исследования систем торможения показывает, что данные САУ являются многорежимными, поскольку характер работы САУ ТК и характер движения объекта управления принципиально различен для режимов торможения на сухом и мокром покрытиях. Это различие обусловлено тем, что момент сцепления тормозящегося колеса с опорной поверхностью Mсц представляет собой существенно нелинейную функцию из-за его зависимости от коэффициента сцепления µ. Коэффициент сцепления µ не линейно зависит от величины относительного проскальзывания (скольжения) S эластичной шины колеса, а также от скорости движения транспортного средства, состояния опорной поверхности, давления воздуха в шине, усадки пневматика, рисунка протектора шины и ее эластичных свойств, и многих других факторов [219]. За время торможения наиболее существенно изменяются скорость движения транспортного средства, состояние опорной поверхности, а также величина относительного проскальзывания колеса S. Поэтому коэффициент сцепления µ обычно оценивают по семейству характеристик сцепления µ = µ(S), зависящих также от указанных выше факторов и показанных на рис. 6.22 (кривая 1 – зависимость µ(S) 223

µ

для сухой опорной поверхности; кривая 2 – зависимость µ(S) для мокрой опорной поверхности). На рис. 6.22 показан качественный вид зависимостей µ = µ(S), который лишь отражает экстремаль0,6 ный характер этих кривых, по1 скольку для каждого состояния опорной поверхности, скорости движения транспортного средства, 2 давления в шине и т. д. имеется 0,2 своя зависимость µ(S). Таким образом, экстремальная характерисS тика является параметрически не0 0,2 0,6 1,0 стационарной. По этой причине всегда сложно оценить динамику Рис. 6.22 торможения конкретного колеса транспортного средства, так как даже для одного и того же транспортного средства в зависимости от степени изношенности протектора шины можно получить совершенно различные кривые µ = µ(S) и, соответственно, динамику торможения. Cущественное влияние на количественное значение коэффициента сцепления, а следовательно, и динамику системы, оказывает состояние опорной поверхности. При торможении объекта на сухом покрытии САУ ТК работает так, что рабочая точка постоянно находится на левом склоне характеристики вблизи ее экстремума, тем самым обеспечивается экспоненциальное уменьшение скорости тормозящегося колеса. При торможении объекта на мокром покрытии (малые значения коэффициента сцепления) САУ ТК работает так, что рабочая точка выходит в экстремум характеристики и совершает автоколебания в районе экстремума. При этом амплитуда колебаний относительного проскальзывания охватывает значение, которому соответствует максимальное значение коэффициента сцепления в данном режиме работы системы. Отмеченные обстоятельства создают определенные трудности при решении задачи синтеза параметров регулятора САУ ТК, поскольку не представляется возможным задать заведомо реализуемое программное движение объекта управления для широкого спектра амплитуд входных воздействий и различных режимов работы системы. Кроме того, в результате ре224 1,0

шения поставленной задачи, требуется определить такие значения параметров оператора управления, которые должны обеспечивать удовлетворительное качество работы системы во всех режимах ее работы. Необходимо отметить, что синтез параметров регулятора САУ ТК возможен лишь при рассмотрении режима торможения объекта при постоянной угловой скорости свободнокатящегося колеса ωс = const. В данном режиме торможения возможна аппроксимация характеристики µ = µ(S) зависимостью коэффициента сцепления µ от разности угловых скоростей свободнокатящегося и тормозящегося колес ∆ω = ωс – ωк, поскольку при ωс = const экстремумы указанных характеристик совпадают. Следовательно, реализация в САУ с синтезированными параметрами желаемого программного движения ∆ω0(t) будет означать, что такой же характер будет носить изменение во времени величины относительного проскальзывания S. Кроме того, рассмотрение режима торможения с постоянной скоростью приводит к упрощению модели САУ ТК, поскольку в данном случае в ней будет отсутствовать звено моделирующее уменьшение сигнала ωс в процессе торможения. В качестве математической модели синтезируемой экстремальной системы управления рассматривается экспериментально полученная упрощенная модель САУ ТК, структурная схема которой показана на рис. 6.23.

f( t)

– Регулятор

Uу

W 1(p )

ωk

Mт

W 2(p ) –

M сц

K2

K1

W3(p ) – µ

F ( ∆ω)

∆ω

Рис. 6.23

Передаточные функции звеньев неизменяемой части системы:

W1 ( p ) =

K т e −τp 1 + Tт p 225

– передаточная функция исполнительной части, где Kт = 3582 Н·м·В–1 – коэффициент передачи исполнительной части САУ ТК; τ = 0,01 с – запаздывание, обусловленное движением жидкости в гидравлической системе передачи давления; Тт = 0,06 c – постоянная времени тормоза; W2 ( p ) =

1 Jк p

– передаточная функция объекта управления, где Jк = 26,5 Н·м·с2 – приведенный момент инерции тормозящегося колеса в плоскости перпендикулярной направлению качения; W3 ( p ) =

K ст p 1 + 2T1ξ1 p + T12 p 2

– передаточная функция стойки, где Kст = 0,485814·10–6 (Н·м)–1 – коэффициент передачи модели стойки; Т1 = 0,0176 с – постоянная времени стойки; ξ1 = 0,04544 – показатель колебательности стойки. На рис. 6.23 обозначены: K1 = Pк Rк, здесь Pк – нагрузка, приведенная к тормозящемуся колесу; Rк – радиус тормозящегося колеса; F = µ(∆ω) – характеристика сцепления; f(t) = ∆ωэ1(t) – внешнее воздействие, амплитуда которого соответствует ∆ωэ; Uу – сигнал управления, поступающий с выхода регулятора в исполнительную часть системы; Mт – тормозной момент, создаваемый на колесо тормозным приводом; Mсц – момент сцепления тормозящегося колеса с опорной поверхностью. В качестве синтезируемого регулятора рассматривается оператор управления структура которого показана на рис. 6.24, где b0, b1, a1, a2, c0, c1, c2 – варьируемые параметры. f ( t ) – ωk ( t )

Uу

b 0 (1+ b 1 p ) p (1+ a 1p + a 2p )

1

c 0 (1+ c 1 p ) p (1+ c 2 p )

–1 Рис. 6.24

226

В рассматриваемой математической модели используется характеристика µ = µ(∆ω), аппроксимированная степенной функцией вида

µ = µ э − k1 ( ∆ω − ∆ω э )2 .

(6.14)

Значения коэффициентов аппроксимации k1 и параметров аппроксимирующей степенной функции (6.14) для различных режимов торможения приведены в табл. 6.6. Таблица 6.6 Значения коэффициентов аппроксимации характеристики сцепления Параметры

ωс µэ

∆ωэ K1

Сухая опорная поверхность

Мокрая опорная поверхность

96,3

64,2

32,1

96,3

64,2

32,1

0,66

0,64

0,63

0,22

0,285

0,325

7,223

5,393

2,889

17,72

11,47

5,85

0,01265

0,022

0,0755

0,000702

0,00216

0,00949

В соответствии с соотношением (6.14) на рис. 6.25 и 6.26 изображены зависимости µ = µ(∆ω) в виде семейства характеристик, построенных для двух состояний опорной поверхности (сухая и мокрая) и трех значений ωс = const. Сухая опорная поверхность (рис. 6.25): кривая 1 – ωс = 96,3 рад/с; кривая 2 – ωс = 64,2 рад/с; кривая 3 – ωс = 32,1 рад/с; мокрая опорная поверхность (рис. 6.26): кривая 1 – ωс = 96,3 рад/с; кривая 2 – ωс = 64,2 рад/с; кривая 3 – ωс = 32,1 рад/с. Применение данных семейств характеристик позволяет при решении задачи синтеза перейти от нестационарной модели САУ ТК к ограниченному множеству стационарных моделей, в рассматриваемом случае состоящему из шести математических моделей, которые охватывают весь диапазон изменения угловой скорости объекта управления и два граничных состояния опорной поверхности. Принятая аппроксимация достаточно точно воспроизводит реальную экстремальную характеристику объекта управления ее левый склон и область экстремума. Что касается правого склона, то параболическая аппроксимация зависимости µ(S) также вполне допустима, если отклонение значения коэффициента сцепления µ от экстремального значения не превышает 20% (рабочая область характеристики показана на рис. 6.25 и 6.26 жирной линией). Это полностью соответствует требованиям, предъяв227

ляемым к антиблокировочным системам торможения колес транспортных средств. µ 0,8 3

2

1

0,4

∆ ω, рад/с 0

4

8

12

Рис. 6.25 µ 0,4 3

2

1

0,2

∆ωэ3 0

8

∆ωэ2

∆ωэ1 16

∆ω, рад/с 24

Рис. 6.26

228

32

40

В соответствии со структурной схемой математической модели САУ ТК минимальной реализации, приведенной на рис. 6.23, уравнение движения, записанное относительно входных координат нелинейностей

(

)

(

)

U ε (t ) 1 + W1 (p)W2 (p)Wр1 (ck , p) +   + F2 U ε (t ) W1 (p)W2 (p)Wр2 (ck , p) −  − K1W2 (p)F1 ∆ω (t ) = f (t ) ,  U ε (t ) 1 + W1 (p)W3 (p)Wр1 (ck , p) +   + F2 U ε (t ) W1 (p)W3 (p)Wр2 (ck , p) +   +∆ω (t ) + K1K 2W3 (p)F1 ∆ω (t ) = f (t ) ,

(6.15)

где W p1 (ck , p),W p 2 (ck , p) – передаточные функции оператора управле-

ния; F2 U ε (t ) – нелинейное звено, стоящее в операторе управления; U ε (t ) – сигнал на входе оператора управления. С учетом выражений, определяющих полиномы числителей и знаменателей передаточных функции W1(p),W2(p),W3(p),Wр1(ck, p), Wр2(ck, p), приводим уравнение (6.15) к виду Q1 (ck , D )U ε (t ) + Q2 (ck , D )U ε (t − τ ) + R1 (ck , D )F2 U ε (t − τ ) −   − R2 (ck , D )F1 ∆ω (t ) = S1 (ck , D )f (t ) ,  Q3 (ck , D )U ε (t ) + Q4 (ck , D )U ε (t − τ ) + Q5 (ck , D ) ∆ω (t ) +   + R3 (ck , D )F2 U ε (t − τ ) + R4 (ck , D )F1 ∆ω (t ) = S2 (ck , D )f (t ) ,

где Q1 (ck , D ) = 8

7

∑ i =0

a1i (ck ) Di ; Q2 (ck , D ) = 2

1

∑ a2i (ck ) Di ; i =0

Q3 (ck , D ) =

∑ a3i (ck ) Di ; Q4 (ck , D ) = ∑ a4i (ck ) Di ;

Q5 (ck , D ) =

∑ a5i (ck ) Di ;

i =0 8 i =0

R1 (ck , D ) =

i =0 4

∑ b1i (ck ) Di ; i =0

229

6

5

( )

R2 (ck , D ) = ∑ b2i ck D i ; R3 (ck , D ) = ∑ b3i (ck ) D i ; i =0 7

i =0 7

R4 (ck , D ) = ∑ b4i (ck ) D i ; S1 (ck , D ) = ∑ e1i (ck ) D i ; i =0 8

i =0

S2 (ck , D ) = ∑ e2i (ck ) D i , i =0

здесь a10 = a11 = a12 = e10 = e11 = e12 = 0; a13 = e13 = J k ;

a14 = e14 = J k ( a1 + c2 + T1 ); a15 = e15 = J k ( a1c2 + c2Tт + a1T1 + a2 ); a16 = e16 = J k (a1c2Tт + a2 c2 + a2T1 );

a17

= e17 = J k a2c2Tт ; a20 = b0 ; a21 = b0b1;

a30 = a31 = a50 = a51 = e20 = e21 = 0; a32 = a52 = e22 = J k ; a33 = a53 = e23 = J k (a1 + 2T1ξ1 );

(

)

a34 = a54 = e24 = J k a2 + c2 + 2a1T1ξ1 + T12 ;

(

a35 = a55 = e25 = J k a c + 2T ξ (a1 + c2 ) + a T a36 = a56 = e26 =

(

1 2

1 1

J k a2 c2 + 2a1c2T1ξ1 + T12

a37 = a57 = e27 = J k (a1c2 + 2a2 c2T1ξ1 );

2

);

(a2 + c2 )); 1 1

a38 = a58 = e28 = J k a2 c2T12 ; a40 = 0; a41 = b0 K т K ст ; a42 = b0b1K т Kст ; b10 = 0; b11 = c0 ; b12 = c0 (a1+c1 ) ;

b13 = c0 (a1c1 + c2 ) ; b14 = c0c1a2 ; b20 = b21 = 0; b22 = K1;

b23 = K1 (a1 + c2 + Tт ); b24 = K1 (a1 + a1c2 + a1Tт + c2 ); b25 = K1 (a1 + a2 )c2 ; b26 = K1a2 c2Tт ; b30 =b31 =0; b32 = K ст c0 ;

b33 = K ст c0 (a1 + c1 ); b34 = Kст c0 (a1c1 + a2 ); b35 = K ст c0c1a2 ;

b40 = b41 = b42 = b43 = 0; b44 = K1K 2 Kст J k ;

b45 = K1K 2 K ст J k (a1 + c2 ); b46 = K1K 2 K ст J k (a1c2 + a2 );

b47 = K1K 2 Kст J k a2c2 ; 230

Для решения задачи параметрического синтеза САУ ТК обобщенным методом Галеркина необходимо задаться желаемым программным движением. В соответствии с физикой работы, система управления торможением колес (при фиксированном значении скорости свободно катящегося колеса и мокрой опорной поверхности) должна выводить рабочую точку в экстремум характеристики µ(∆ω), где она совершает автоколебания заданной амплитуды и частоты, охватывающие экстремальное значение ∆ωэ. Поэтому при решении задачи синтеза регулятора САУ ТК для мокрой опорной поверхности, в качестве желаемого программного движения ∆ω0(t) был принят процесс вида

(

)

∆ω0 (t ) =  ∆ω0у 1 − e −αt + ∆ω∗cos (βt − ϕ0 ) 1(t ) ,  

(6.16)

где ∆ω0у = ∆ωэ – значение желаемого программного движения, соответствующее нахождению рабочей точки в экстремуме параболической характеристики объекта управления; α – коэффициент затухания экспоненциальной составляющей, обеспечивающей выход рабочей точки в экстремум нелинейной экстремальной характеристики за заданное вре* мя; ∆ω – амплитуда автоколебаний рабочей точки в районе экстремума; β – частота автоколебаний. В случае торможения на сухой опорной поверхности движение рабочей точки к экстремуму характеристики µ(∆ω) носит экспоненциальный характер, поскольку при торможении на сухой опорной поверхности момент сцепления всегда превышает максимально реализуемую системой величину тормозного момента. Таким образом, при решении задачи для сухой опорной поверхности был принят следующий вид желаемого программного движения: ∆ω0 (t ) = ∆ω0у e −αt 1(t ).

(6.17)

В соответствии с требованиями, предъявляемыми к системам данного класса, время выхода САУ ТК в экстремум характеристики µ = µ(S) (подача максимально возможного давления в конкретном режиме работы системы) не должно превышать (1,5–2) с. Минимально возможное время выхода в экстремум µ(S) определяется техническими характеристиками исполнительной части САУ ТК и соответствует ≈ 0,3 с. Однако, быстрая подача давления не всегда целесообразна, поскольку это может приводить к возникновению юзовой ситуации и автоматическому сбросу 231

давления, что в целом может лишь увеличить время торможения объекта. Амплитуда колебаний в районе экстремума характеристики µ(∆ω) (на мокрой опорной поверхности), не должна превышать (10–20)% от значения ∆ωэ, соответствующего µэ, поскольку большая амплитуда колебаний будет вызывать больший износ пневматика при нахождении рабочей точки на правом склоне характеристики сцепления. Как было отмечено выше, рассматриваемая САУ является многорежимной, поэтому решение задачи синтеза необходимо провести для трех значений ωс = const, каждому из которых соответствует своя зависимость µ = µ(∆ω) для мокрой и сухой опорных поверхностей. Значения параметров процесса (6.16) и (6.17) для каждого из принятых значений ωс приведены в табл. 6.7, причем установившееся значение процесса (6.17) ∆ωу0 для сухой опорной поверхности принято равным 0,7∆ωэ, что соответствует физике функционирования реальных САУ ТК в данном режиме торможения. Таблица 6.7 Значения параметров желаемого программного движения Параметры

ωс ∆ω

0 у

Сухая опорная поверхность

Мокрая опорная поверхность

96,3

64,2

32,1

96,3

64,2

32,1

5,2

4,0

2,0

17,72

11,47

5,85

2,5

1,7

0,87

∆ω

–

α

1,7

1,7

β

–

12,56

*

При решении задачи синтеза использовались рекуррентные аналитические соотношения (6.11), (6.12), полученные для параболической нелинейной характеристики в случае процесса вида (6.16), (6.17). Синтез параметров регулятора осуществлялся для всех перечисленных выше режимов работы. В результате решения задачи синтеза были определены значения параметров регулятора (табл. 6.8), обеспечивающие требуемое качество работы САУ ТК во всех режимах торможения. Однако для обеспечения требуемых показателей качества работы системы управления при торможении на сухом покрытии потребовалось упрощение структуры регулятора, связанное с исключением из его состава нелинейного звена с релейной характеристикой. 232

Таблица 6.8 Значения параметров регулятора САУ ТК Параметры

Мокрая опорная поверхность

Сухая опорная поверхность

ωс

96,3

64,2

32,1

96,3

64,2

32,1

b0

0,57

0,75

1,4

8

10

40

b1 a1 a2 c0 c1 c2

0,061 0,023 0,004 0,5 0,036 0,024

0,031 0,02 0,004 0,7 0,04 0,024

0 0,02 0,004 0,7 0,04 0,024

0,08 0,3 0,03 0,02 0,04 0,024

0,07 0,3 0,03

0,07 0,7 0,1

0,03 0,04 0,024

0,7 0,04 0,024

Анализ динамики системы с синтезированными параметрами показывает, что в режиме торможения с фиксированной скоростью свободно катящегося колеса на мокрой опорной поверхности (рис. 6.27, кривая 1 – ωс = 96,3 рад/с; рис. 6.28, кривая 1 – ωс = 64,2 рад/с; рис. 6.29 кривая 1 – ωс = 32,1 рад/с) система выходит в экстремум характеристики µ(∆ω) за (1–1,5)с и работает в режиме незатухающих колебаний частотой 2с–1. Амплитуда колебаний охватывает заданное для каждой из величин ωс значение ∆ωэ. ∆ω , рад/с 21,0 18,0 15,0 1

12,0 9,0

2

6,0 3,0

t, с 0

0,91

1,82

2,73

3,64

Рис. 6.27

233

∆ω , рад/с 12,4 10,8 9,0 1 7,2 2 5,4 3,6 1,8

t, с 0

0,91

1,82

2,73

3,64

Рис. 6.28

∆ω , рад/с 6,02 5,16 1

4,30 3,44

2

2,58 1,72 0,86

t, с 0

0,91

1,82

2,73

3,64

Рис. 6.29

Анализ динамики при сухом опорном покрытии (рис. 6.27, кривая 2 – ωс = 96,3 рад/с; рис. 6.28, кривая 2 – ωс = 64,2 рад/с; рис. 6.29 кривая 2 – ωс = 32,1 рад/с) показывает, что процесс в системе носит монотонный характер, а разность угловых скоростей ∆ω возрастает до заданного значения, т. е. САУ ТК работает в районе экстремума характеристики сцепления на ее левом склоне. 234

Полученные процессы полностью соответствуют физическим закономерностям работы САУ ТК в рассматриваемых режимах. Таким образом, определенные в результате решения задачи синтеза параметры регулятора САУ ТК обеспечивают удовлетворительное качество работы многорежимной нелинейной системы управления во всех режимах ее работы. Анализ значений варьируемых параметров, приведенных в табл. 6.8, показывает, что при данной структуре регулятора система автоматического управления торможением колес транспортного средства будет иметь желаемое качество работы во всех режимах торможения в случае адаптации параметров регулятора к режиму работы и значению скорости свободно катящегося колеса.

235

Глава 7 АЛГОРИТМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА В настоящем разделе рассматривается логика работы программного комплекса, реализующего обобщенный метод Галеркина применительно к системам автоматического управления различных классов: непрерывные и импульсные САУ как линейные, так и нелинейные; системы управления с дискретными корректирующими устройствами, содержащие как линейные, так и нелинейные объекты управления; системы управления со звеньями сосредоточенного запаздывания. 7.1. Алгоритм программного комплекса, реализующего обобщенный метод Галеркина для САУ различных классов В отдельных случаях (заведомо устойчивые САУ невысокого порядка, содержащие один–два варьируемых параметра) решение задачи синтеза может быть осуществлено путем решения системы уравнений вида (3.5). Однако, в общем случае метод решения задачи параметрического синтеза САУ ориентирован на применение ЭВМ, поскольку для определения значений варьируемых параметров требуется осуществлять минимизацию функционала (3.17). Поиск минимума функционала (3.17) осуществляется с помощью процедуры сжимающего случайного поиска [90]. В процессе работы данной процедуры случайным образом задается стартовая точка [в пределах допустимых вариаций (2.9)], которой соответствует определенное сочетание значений варьируемых параметров. Затем проверяется ограничение на устойчивость САУ с заданными значениями параметров ck и в случае его выполнения вычисляется значение целевой функции J. Далее значения параметров изменяются с заданным шагом в окрестностях стартовой точки и для устойчивых решений определяются новые значения функционала. Таким образом, в ходе работы процедуры поиска накапливается информация об изменениях значений функ236

ционала при различных сочетаниях значений искомых параметров и выбирается то из них, которое доставляет минимум целевой функции на первом этапе поиска. Сочетание значений варьируемых параметров, минимизирующее функционал на первом этапе, принимается в качестве стартовой точки n-мерного пространства на втором этапе поиска. Поисковая процедура повторяется до тех пор, пока вся область n-мерного пространства, ограниченная возможными пределами вариаций значений искомых параметров (2.9), не будет исследована заданными пользователем шагом и точностью. В результате определяются значения варьируемых параметров, доставляющие целевой функции глобальный минимум. Определенные таким образом параметры можно считать оптимальными в смысле наилучшего воспроизведения в синтезируемой системе управления заданных показателей качества ее работы в динамическом режиме. Программный комплекс, реализующий обобщенный метод Галеркина, построен по блочно-модульному принципу, что делает его универсальным и дает возможность использовать основной блок комплекса для синтеза систем управления различных классов и структур, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями произвольного (в общем случае n-го) порядка. Программный комплекс построен на основе алгоритмов и программ, зарегистрированных авторами в информационно-библиотечном фонде Российской Федерации [213, 215, 216, 220]. Входящие в его состав программы объединены общим интерфейсом, с помощью которого на этапе ввода информации о синтезируемой системе формируется уникальное программное обеспечение для решения задачи синтеза конкретной САУ. Рассмотрим алгоритм, в соответствии с которым реализована универсальная программа синтеза параметров линейных и нелинейных непрерывных систем управления, а также линейных и нелинейных САУ с различными видами модуляции сигнала, блок-схема которого приведена на рис. 7.1. Описываемая программа представляет собой главную программу NLS и модули следующих подпрограмм: SEARC – процедура сжимающего случайного поиска, алгоритм которой представлен на рис. 7.2, где приняты следующие обозначения: DELTA – процедура определения текущих координат точек n-мерного единичного гиперкуба; DATA – датчик псевдослучайных чисел; RAND – процедура определения границ интер237

Начало Вызов RAUS (POPOV) Нет САУ устойчива ?

Ввод исходных данных Вычисление µ,ϕ0 ,H*

Да Вызов FUNC

Номер этапа поиска i :=1

Номер этапа поиска i:= i +1

i>i

Да

max

Нет

Да J > J max Нет Решения нет Вывод c k

Вызов SEARC Вычисление c k Вызов DIFUR, DDIF

Конец

Рис. 7.1 Начало Исходные дан ные Да 1-й вызов SEARC

Вызов DELTA Да

Нет

Да Q J min Нет

Включение датчика случайных чисел

Переприсвоение значений c k , J

Вызов RAND

Новый этап внутреннего цикла i1:= i1+1

J =10

30

Да

Нет

Этап внутреннего цикла поиска i 1:= 1 Подготовка данных к вып олнению цикла по i1

Да

i1< i1max

Печать результатов поиска

Нет Переход к циклу по Q следующему

Конец

Рис. 7.2

238

Вычисление текущих значений c k

вала интенсивного поиска, вероятности и плотности вероятности выбора точек внутри и вне указанного интервала; RAUS (POPOV) – процедура проверки устойчивости линейных (нелинейных) САУ, математическую основу которой составляют алгебраические формы критериев устойчивости Рауса и В. М. Попова [90] для линейных и нелинейных систем управления соответственно; FUNC – процедура вычисления функционала (3.17), алгоритм которой представлен на рис. 7.3.

Начало

Число НЭ в САУ(NZ)

Исходные данные

i 1 :=1 to NZ

Вычисление значения J шаг по ρq

Обнуление текущего значения J

Вызов POINTS

Вызов WS

Да

САУ линейная ? Нет

N P > N P max

Нет

Вычисление текущего значения J

Да Число переключений НЭ больше NPm a x

Конец

Рис. 7.3

На рис. 7.3. приняты следующие обозначения: WS – функция, вычисляющая промежуточные значения функционала (3.17) на один шаг по ρq; POINTS – процедура вычисления точек переключения характеристик нелинейных элементов; DIFUR – процедура вычисления коэффициентов полиномов дифференциального уравнения, описывающего динамику синтезируемой системы; DDIF – процедура вычисления коэффициентов характеристического уравнения для анализа устойчивости системы на каждом этапе поиска. Необходимо отметить, что модули DIFUR и DDIF представляют собой подгрузочные подпрограммы, которые составляются пользователем, исходя из заданной структуры синтезируемой системы управления. Таким образом, для адаптации общего алгоритма под решение задачи па239

раметрического синтеза конкретной системы управления пользователю достаточно написать тексты двух подгрузочных модулей, описывающих динамику синтезируемой САУ в виде системы коэффициентов полиномов (2.17). Затем в диалоговом режиме по запросам программы требуется: – задать класс рассматриваемой системы (линейная или нелинейная); – определить тип модулятора, стоящего в САУ (или в случае непрерывной системы указать на его отсутствие); – задать вид и параметры внешнего входного воздействия и желаемого программного движения; – из каталога нелинейных характеристик выбрать требуемые и задать их параметры; – задать количество варьируемых параметров и границы изменения их возможных значений (2.11); – определить число этапов и точность поиска значений варьируемых параметров, а также количество шагов на каждом этапе. Логическая структура программы может быть описана следующим образом. После ввода исходных данных главная программа NLS обращается к подпрограмме SEARC, которая формирует исходные данные для начала поиска. Поиск начинается с центральной точки n-мерного гиперкуба, размерность которого определяется числом искомых параметров. При выходе из процедуры SEARC текущие значения варьируемых параметров, нормированные в интервале от 0 до 1, пересчитываются в их фактические значения, которые передаются в подгрузочные модули DIFUR и DDIF. Подпрограммы DIFUR и DDIF используются для вычисления коэффициентов дифференциальных уравнений движения (в том числе и в случае r нелинейностей) и коэффициентов характеристических уравнений для проверки устойчивости синтезируемой САУ. Затем осуществляется проверка устойчивости САУ с текущими значениями варьируемых параметров в процедуре RAUS (POPOV). В случае получения устойчивого решения программа NLS обращается к процедуре вычисления функционала FUNC, которая при синтезе нелинейных САУ вызывает процедуру POINTS для определения точек переключения нелинейных характеристик. Необходимо отметить, что модуль POINTS является крайне важным, поскольку в ходе его работы формируется массив значений моментов переключения нелинейностей, используемый в аналитических выражениях Bq и Bq* для однозначных и неоднозначных нели240

нейных характеристик. Алгоритм и программа, реализующая данный модуль зарегистрированы в информационно-библиотечном фонде Российской Федерации [220]. После формирования массива моментов переключения нелинейных звеньев осуществляется вызов функции WS, которая вычисляет значение функционала J на один шаг по ρq и для одного нелинейного элемента. Необходимо отметить, что число повторений цикла по ρq зависит от числа искомых параметров, а число повторений внешнего цикла с подключением процедуры POINTS зависит от количества нелинейных элементов, содержащихся в синтезируемой системе управления. Следует иметь ввиду, что при решении задачи синтеза линейных САУ процедура FUNC минуя POINTS обращается непосредственно к функции WS. По окончании работы процедуры FUNC осуществляется передача информации в вызывающую подпрограмму SEARC, которая сравнивает текущее значение целевой функции с минимальным значением, полученным ранее, и запоминает наименьшее из двух, а также соответствующие ему значения варьируемых параметров. Далее подпрограмма SEARC вызывает процедуру DELTA, которая определяет новую точку n-мерного единичного гиперкуба. Рассмотренный процесс вычислений повторяется до тех пор, пока число шагов внутреннего цикла поиска не достигнет значения заданного пользователем. После этого подпрограмма SEARC пересчитывает границы интервала интенсивного поиска, вероятность и плотности вероятности выбора точек внутри и вне указанного интервала. Новое обращение к процедуре DELTA начитает новый этап поиска параметров. Программа заканчивает свою работу, когда будет выполнено заданное пользователем число этапов поиска значений варьируемых параметров. В результате работы программы определяются значения варьируемых параметров, доставляющие минимум соответствующей целевой функции, что является косвенной оценкой степени приближения процесса в САУ с синтезированными параметрами к заданному желаемому программному движению. Таким образом, полученные в результате решения задачи синтеза параметры будут обеспечивать в системе управления приближенное воспроизведение заданных показателей качества ее работы в переходном режиме. Если же в области заданных ограничений на значения параметров ck не будет найдено ни одного сочетания искомых параметров, обеспечи241

вающего выполнение условий устойчивости или минимизации целевой функции, то программа выдаст соответствующую информацию. В этом случае пользователю программного комплекса следует повторить решение задачи после выполнения следующих рекомендаций: – изменить ограничения на значения варьируемых параметров; – изменить параметры желаемого программного движения; – усложнить структуру синтезируемого регулятора. Все указанные рекомендации возможно выполнить, если это допускается условиями проектирования. Обоснованность подобных рекомендаций обусловлена следующим. При проектировании нелинейных САУ достаточно сложно задать заведомо реализуемое при заданной структуре системы и регулятора программное движение. Поэтому изменение параметров программного движения или структуры регулятора, равно, как и технических ограничений на значения искомых параметров может позволить решить задачу параметрического синтеза проектируемой системы управления 7.2. Алгоритм программы определения точек переключения типовых кусочно-линейных характеристик Как было отмечено в третьем разделе, представление реальных нелинейных характеристик элементов системы управления с помощью кусочно-линейной аппроксимации или для несимметричных нелинейных характеристик и с помощью алгебраической (степенной) аппроксимации требует определения точек переключения нелинейностей при использовании рекуррентных аналитических выражений, определяющих соответствующие интегралы Галеркина. Данная операция выполняется при решении задачи синтеза нелинейных непрерывных САУ, САУ с амплитудно-импульсной модуляцией, САУ с ШИМ и ЧИМ при нелинейных объектах управления и дискретных систем управления с помощью подпрограммы POINTS, зарегистрированной в Информационнобиблиотечном фонде Российской Федерации [220], блок-схема алгоритма которой, показана на рис. 7.4. Программа определяет массив значений моментов переключения по непрерывному сигналу заданного вида на входе нелинейной характеристики. В случае импульсного сигнала на входе нелинейности осуществляется дискретизация полученных значений моментов переключения, что подробно обсуждалось в гл. 6. Для всех процедур, определяющих моменты переключений нелинейных характеристик, общим, является ввод параметров желаемого про242

граммного движения x0(t) на входе нелинейного элемента и параметров нелинейной характеристики. Обращение подпрограммы к той или иной процедуре зависит от типа нелинейного звена, содержащегося в синтезируемой САУ. Начало Исходные данные Выбор нелинейной характеристики Вызов POINT

Вызов POINT1

Вызов POINT2

Вызов POINT3

Вызов POINT4

Вызов POINT5

Вызов POINT6

Конец Рис. 7.4

При параметрическом синтезе системы с однозначными кусочно-линейными и несимметричными степенными характеристиками (например: переменный коэффициент усиления, зона нечувствительности, ограничение, идеальная релейная характеристика и т. д.) работа программы продолжается с процедуры POINT, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.5. Исходными данными для работы программы являются: – параметры нелинейной характеристики; – Tп.п – заданная длительность переходного процесса x0(t); – шаг по времени ∆t, величина которого определяет точность вычислен моментов переключения. Процедура работает следующим образом: 1. В начале работы обнуляются значения координаты времени t и вспомогательных переменных i, j. 2. Вычисляется текущее значение процесса xi(t) и его производной в момент времени t. 3. Проверяется условие i = 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 4, если не выполняется – к п. 6. 4. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется 243

Начало Ввод исходных данных t = 0; i = 0; j = 0 Вычисление x i (t) Да

Нет

i =0 Да

i := i +1 t := t + ∆ t Да

xi > b Нет

Нет xk 1 < b

xi < b Да

Нет xk 1 > b Нет j := j +1 tj := t –∆t/2

Да t := t + ∆ t xk 1 := xi ; j:=j+ 1 Нет t > T п.п

Да

Да

t > T п.п

Нет

Печать массива моментов переключения tj Конец

Рис. 7.5

условие t >Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае происходит переход к п. 5. 5. Происходит формирование массивов данных, соответствующих точкам переключения нелинейности, с последующей их распечаткой. 244

6. Проверяется условие xi < b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 8, если не выполняется – к п. 7. Проверяется условие xk1 > b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 8, если не выполняется – к п. 10. 7. Проверяется условие xi > b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 9, если не выполняется – к п. 11. 8. Проверяется условие xk1 < b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 11, если не выполняется – к п. 10. 9. Значение переменной j (порядковый номер момента переключения нелинейности) увеличивается на единицу; определяется время tj = t – ∆t/2, соответствующее моменту переключения. Затем происходит переход к п. 11. 10. Значение переменной i увеличивается на единицу, вспомогательной переменной xk1 присваивается значение xi, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае с п. 5. В случае синтеза системы с нелинейной характеристикой типа двухпозиционное реле работа программы продолжается с процедуры POINT1, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.6. Логика работы данного алгоритма существенно сложнее, чем в случае однозначных характеристик, поскольку моменты переключения нелинейности зависят как от величины сигнала на ее входе, так и от знака его производной. Программа работает следующим образом: 1. В начале работы обнуляются значения координаты времени t и вспомогательных переменных i, j; вспомогательной переменной xk1 присваивается значение x0. 2. Вычисляется текущее значение процесса xi(t) и его производной в момент времени t. 3. Проверяется условие i = 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 4, если не выполняется – к п. 6. 4. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае происходит переход к п. 5. 5. Происходит формирование массивов данных, соответствующих точкам переключения нелинейности, с последующей их распечаткой. 245

Начало Ввод исходных данных t = 0; i = 0; j = 0 Вычисление xi (t ), x′i (t) Да

Нет

i =0 Да

i := i +1 t := t + ∆ t Да

t > Tп.п Да

Нет

Да

 xi  < b

′ signx′i ≠ signx i–1 Нет

Нет

xi > 0 Да

x i > –b Нет

Нет

xk 1 < –b

Нет

Нет

xk 1 > b да

Да Да

Нет Нет

xk1 > –b Печать массива моментов переключения tj

Да

xk1 < b Нет j := j +1 tj := t – ∆ t/ 2 t := t + ∆ t

Конец

xk 1 :=x i ; i :=i+ 1

Рис. 7.6

246

Да

xi > b

x i < –b Нет

Да

xi < b

Да

6. Сравниваются знаки производных сигнала xi(t), определенные на данном и предыдущем шагах работы программ. Если производная не меняла свой знак, то происходит переход к п. 8, если же производная изменила знак на противоположный, то выполняется п. 7. 7. Проверяется условие abs(xi) < b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 5, если не выполняется – к п. 8. 8. Проверяется условие x
i > 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 13, если не выполняется – к п. 9. 9. Проверяется условие xi > –b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 11, если не выполняется – к п. 10. 10. Проверяется условие xk1 < –b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 11, если не выполняется – к п. 17. 11. Проверяется условие xi < –b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 18, если не выполняется – к п. 12. 12. Проверяется условие xk1 > –b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 18, если не выполняется – к п. 17. 13. Проверяется условие xi < b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 15, если не выполняется – к п. 14. 14. Проверяется условие xk1 > b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 15, если не выполняется – к п. 17. 15. Проверяется условие xi > b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 18, если не выполняется – к п. 16. 16. Проверяется условие xk1 < b, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 18, если не выполняется – к п. 17. 17. Значение номера момента переключения нелинейности j увеличивается на единицу; определяется время, соответствующее моменту переключения tj = t – ∆t/2. Затем происходит переход к п. 18. 18. Вспомогательной переменной xk1 присваивается значение xi, переменная i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае происходит переход к п. 5. При решении задачи синтеза системы с нелинейной характеристикой типа трёхпозиционное реле работа программы продолжается с процедуры POINT2, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.7. Программа работает следующим образом: 247

A

Начало 1

Ввод исходных данных

2

t = 0; i = 0; j = 0; g :=0

3

Да

Вычисление x i ( t ), x′i ( t ) Нет

4 i =0

32

8 i := i + 1

g : =1

t := t + ∆ t 31

5 sign x ′i ≠ sign x ′i–1

33

Нет

t > T п.п Да

34

Печать массива моментов переключения t j

Да

6

Да

7

Да

Нет xi < b 1 Нет xi < b 2

Конец Да

Нет

B 20

10

x′i > 0

Да

Да

B 24

Рис. 7.7

248

B 16

Нет 9

11

xi > 0 Нет x ′i < 0

Нет

B 12

В A 10

A 10 Да

20 21

Да

нет

Да

22 23

24 25

A 11 12

xi < b2 Нет xk 1 > b 2

Нет

Да

14

xi > b2 Нет

Да

xk 1 < b 2

Да

26 27

15

Да

16

xi > b1 Нет

18

x i > –b 1 xk 1 < –b 1 Да

Нет 28

Да xk 1 > –b 1 да

Да

x i > –b 1 Нет xk 1 < –b 1

Нет Да

x i > –b 2 Нет xk 1 < –b 2

Нет

Нет

Нет

x i < –b 1

17

Да

Да

xk 1 < b 1 Да

13

Нет

A 11

19

Нет

Да

Да

x i < –b 2 Нет xk 1 > –b 2

Да

g : =1 Нет

30 g : =0

29

j : = j +1; t j := t– ∆ t/2

31

xk 1 := x i t := t + ∆ t 33

Рис. 7.7 (окончание)

249

1. В начале работы обнуляются значения координаты времени t и вспомогательных переменных i, j, вспомогательной переменной xk1 присваивается значение x0. 2. Вычисляется текущее значение процесса xi(t) и его производной в момент времени t. 3. Проверяется условие i = 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 4, если не выполняется – к п. 6. 4. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае происходит переход к п. 5. 5. Происходит формирование массивов данных, соответствующих точкам переключения нелинейности, с последующей их распечаткой. 6. Сравниваются знаки производных сигнала xi(t), определенных на данном и предыдущем шагах работы программ. Если производная не меняла свой знак, то происходит переход к п. 7, если же производная изменила знак на противоположный, то выполняется п. 9. 7. Проверяется условие abs(xi) < b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 5, если не выполняется – к п. 8. 8. Проверяется условие abs(xi) < b2, если оно выполняется, то переменной g присваивается единичное значение и осуществляется переход к п. 4, если не выполняется – к п. 9. 9. Проверяется условие xi > 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 19, если не выполняется – к п. 10. 10. Проверяется условие x
i < 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 15, если не выполняется – к п. 11. 11. Проверяется условие xi < –b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 13, если не выполняется – к п. 12. 12. Проверяется условие xk1 > –b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 13, если не выполняется – к п. 28. 13. Проверяется условие xi > –b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 14. 14. Проверяется условие xk1 < –b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 28. 15. Проверяется условие xi > –b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 17, если не выполняется – к п. 16. 16. Проверяется условие xk1 < –b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 17, если не выполняется – к п. 28. 250

17. Проверяется условие xi < –b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 18. 18. Проверяется условие xk1 > –b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 28. 19. Проверяется условие x
i < 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 24, если не выполняется – к п. 20. 20. Проверяется условие xi < b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 22, если не выполняется – к п. 21. 21. Проверяется условие xk1 > b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 22, если не выполняется – к п. 28. 22. Проверяется условие xi > b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 23. 23. Проверяется условие xk1 < b2, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 28. 24. Проверяется условие xi > b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 26, если не выполняется – к п. 25. 25. Проверяется условие xk1 < b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 26, если не выполняется – к п. 28. 26. Проверяется условие xi > –b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 27. 27. Проверяется условие xk1 < –b1, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 29, если не выполняется – к п. 28. 28. Проверяется условие g = 1, если оно выполняется, то значение переменной g обнуляется и осуществляется переход к п. 30, если не выполняется – к п. 29. 29. Значение номера момента переключения нелинейности j увеличивается на единицу; определяется время, соответствующее моменту переключения tj = t – ∆t/2. Затем происходит переход к п. 30. 30. Вспомогательной переменной xk1 присваивается значение xi, переменная i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае происходит переход к п. 5. При синтезе системы с нелинейной характеристикой типа люфт работа программы продолжается с процедуры POINT3, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.8. Программа работает следующим образом: 251

Начало Ввод исходных данных t = 0; i = 0; j = 0 Вычисление x i (t ), x′i (t) Да

Нет

i =0 Да

sign x ′i ≠ sign x′i – 1 Нет j := j+1; t j := t –∆ t/2; 30 30 z 1:= –10 ; z 2:=10

i := i +1 t := t + ∆ t Нет Нет

t > T п.п Да

Да

C j := c ; B j := kx i–1 + c

Да C j := – c ; B j := kx i–1 – c

z1 := x i–1 + b

z2 := x i–1 + b

i := i +1

i := i +1

t := t + ∆ t

t := t + ∆ t Да

t > T

t > T п.п

п.п

Нет x i > z1 Печать массивов tj , Cj, Bj

x′ i–1 > 0

Да

Нет

Нет

Нет

x i < z2 Да

j := j+1; t j := t –∆ t/2; Конец

C j : = –C j–1 ; B j := B j–1

Рис. 7.8

252

1. В начале работы обнуляются значения координаты времени t и вспомогательных переменных i, j. 2. Вычисляется текущее значение процесса xi(t) и его производной в момент времени t. 3. Проверяется условие i = 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 4, если не выполняется – к п. 6. 4. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 2, в противном случае происходит переход к п. 5. 5. Происходит формирование массивов данных, соответствующих точкам переключения нелинейности, с последующей их распечаткой. 6. Сравниваются знаки производных сигнала xi(t), определенных на данном и предыдущем шагах работы программ. Если производная не меняла свой знак, то происходит переход к п. 4, если же производная изменила знак на противоположный, то выполняется п. 7. 7. Значение переменной j (порядковый номер момента переключения нелинейности) увеличивается на единицу; определяется время tj, соответствующее моменту переключения; переменным z1 и z2 присваиваются значения ±1030 соответственно, а затем проверяется выполнение условия xi–1 > 0. В случае его выполнения значения Cj и Bj (параметры формул Bq, Bq*), соответствующие j-му моменту переключения, вычисляются по формулам: Cj = –с; Bj = kxi–1 – с, здесь с, k – параметры нелинейности. После этого вычисляется очередное значение z2 = xi–1 – b, здесь b – величина люфта. Затем происходит переход к п. 8. 8. Если же условие x
i–1 > 0 не выполняется, то значения Cj и Bj, соответствующие j-му моменту переключения, вычисляются по формулам: Cj = +с; Bj = kxi–1 + с, здесь с, k – параметры нелинейности. После этого вычисляется очередное значение z1 = xi–1 + b, здесь b – величина люфта. Затем происходит переход к п. 9. 9. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу. При x
i–1>0 осуществляется проверка условия xi < z2, когда же x
i–1 < 0 проверяется условие xi > z1 в случае их выполнения происходит переход к п. 9. 10. Значение номера момента переключения нелинейности j увеличивается на единицу; определяется время, соответствующее моменту 253

переключения tj = t, а величинам Cj и Bj присваиваются следующие значения: Cj = – Cj–1 и Bj = Bj–1. Затем происходит переход к п. 4. При синтезе параметров системы с нелинейной характеристикой типа люфт с ограничением работа программы продолжается с процедуры POINT4, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.9. Принцип работы данной процедуры при определении моментов переключения аналогичен рассмотренному выше для нелинейности типа люфт. При решении задачи синтеза системы с нелинейной характеристикой типа люфт с зоной нечувствительности работа программы продолжается с процедуры POINT5, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.10. Программа работает следующим образом: 1. В начале работы обнуляются значения координаты времени t и вспомогательных переменных i, j. 2. Вычисляется текущее значение процесса xi(t) и его производной в момент времени t. Проверяется условие x
i > 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 4, если не выполняется – к п. 10. 3. Проверяется условие i = 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 5, если не выполняется – к п. 6. 4. Проверяется условие нахождения xi в интервале [–b1, b2], если оно выполняется, то происходит переход к п. 6, в противном случае программа продолжает свою работу с п. 7. 5. Проверяется условие x
i > 0, при его выполнении программа продолжает свою работу с п. 9, если условие не выполняется, то происходит переход к п. 15. 6. Значение переменной j увеличивается на единицу, определяется время tj и величина Cj = c1, (здесь c1 – параметр нелинейности) соответствующие моменту переключения. Далее программа продолжает свою работу с п. 16. 7. Проверяется условие нахождения xi в интервале [–b1, b2], если оно выполняется значение переменной j увеличивается на единицу, определяется время tj и величина Cj = c1, соответствующие моменту переключения. Далее программа продолжает свою работу с п. 9. 8. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 5, в противном случае происходит переход к п. 30. 254

А

Начало 1

Ввод исходных данных

2

t := 0; i := 0; j := 0; g :=0

3

Да

–b 2 < xi < b 3

8

Нет

x′i– 1 < 0

Да

Нет

Да 21

Нет

Да

–b 3 < x i < b 2

22

Да

–b 3 < xi < b 2

Да

11

f =1 10

B 13

Да –b 2 < x i < b 3

9

20 i =0

7 B 15

Нет

x′ i > 0

i =0

Нет

Да

Нет

4

5

Да 6

Вычисление x i ( t ), x ′ i ( t )

Да

C 47 26

23 Да

Да x′i – 1 > 0

24 g := 1

g := 1

Нет

B 30

Да

25 f := 0

f := 0

255

Рис. 7.9

Нет

f =1

B 27

256

В A6 12

27

j := j+1; t j:= t – ∆ t/2; Cj:= –c; B j:= kxi–c 13

14

15 –b 2 < x i < b 3 Нет g =1

18 Нет j := j+1; t j:= t –∆ t/2; Cj:= –c; Bj:= kxi–c C 47

t>T

п.п

Да 16

x′i > 0

Да

28

Да

Да

C 49 Да

C 49 Да

g :=0

i := i +1 t := t + ∆ t 29

Нет

36 x ′i–1 > 0

C 37

Рис. 7.9 (продолжение)

Нет

t > Tп.п Да

31

x ′i < 0 Нет

Нет

34 Да C 41

30 –b 3 < x i < b 2 Нет

Да

35 j := j+1; t j:= t –∆ t/2; 30 30 z 1:=–10 ; z 2:=10

19

A 21

j := j+1; t j:= t – ∆ t/2; Cj:= c; B j:= kxi+c

i := i+1 t := t + ∆ t

Нет

17

A 24

A9

32

g =1 Нет

33 g :=0

j := j+1; t j:= t –∆ t/2; Cj:= c; Bj:= kxi+c C 47

С

B 36

37

C j := c; B j := kx i +c ; z 1:= x i–1 + b 38 i := i +1 t := t + ∆ t 39

t > T п.п Да

41 Нет 40

C j := – c; B j := kx i – c; z 2:= x i–1 – b

Нет Да

x i– 1 > z1

Да

44

42

x i– 1 < z2

45 j := j +1; t j := t – ∆ t/2

Нет A 7

A 22

B 18

46

C j := c; B j := kx i +c ; f := 1

47 A 14

A 29

Нет

i := i +1 t := t + ∆ t 48

t > T п.п

Нет

Да 49

Печать массивов tj ; B j ; C j

Конец

257

Рис. 7.9 (окончание)

B 19

A 4

B 33

B 36

B 34

i := i +1 t := t + ∆ t 43

t > T п.п Да

258

Начало

А

1 Ввод исходных данных 2

t := 0; i := 0; j := 0; g :=0

3

Вычисление x i (t ), x′ i (t)

Да 5

Да 6

Да

–b 1 < x i < b 2

Нет 7

Да

8 j := j +1; t j := t ; C j := c 1 9

4

i =0

i =0

Нет – b 1 < xi < b 2

B 24

Нет

x′ i > 0

B 12

Нет B 25

17

15

Нет 16

Нет

18

i := i +1 t := t + ∆ t

t := t + ∆ t Нет 10 B 11

t > T п.п

Да

j := j +1; t j := t ; C j := – c 1

B 22 19

i := i +1

– b 2 < xi < b 1

Да

– b 2 < xi < b 1 B 14

Да

Да

Да С 51

Рис. 7.10

20

t > Tп.п

Нет B 21

В

A 6 11

A 8 Да

–b 1 < x i < b 2

13 Нет

Нет

14

A 19

13 x′i > 0 Нет  xi  < b 2 Да C 51

A 9

26

Да

C 32

Нет

Нет

24

 xi  < b 2 Да C 51

27 sign xi′ –1= sign x′i

j := j +1; t j := t –∆ t/2; z 1:= –10 30 ; z 2:=10

Нет

25

A 9 Да A4

30

Да

x ′i–1 > 0

Да

Нет C 33

Нет j := j +1; t j := t ; C j := c 2

x′i < 0

Нет

t > T п.п

28

Нет 30 x i–1 > 0

A 19

25

–b 2 < x i < b 1

23

Да 22

i := i+1 t := t + ∆ t

29

31

23

Да

C 51

Нет

21

Да 12

j := j +1; t j := t ; C j := –c 2 25

A 16

C 39

259

Рис. 7.10 (продолжение)

32

x i–1 > 0

Да C 40

260

С

B 31

32

33

C j := c 2 B j := kx i–1 + c 2 34

C j := – c 1 B j := kx i–1 –c 1

46

t > T п.п

x i–1 > z1

Да Да

51

Нет

xi > 0

Да

51

48 C j := –Cj–1 + c 1 + c 2 i := i +1; t := t + ∆ t A 10

A 20

B 14

B 24

B 26

36

z 2:= x i–1 –b i := i +1 t := t + ∆ t

42

B j := B i–1 47

Да 43 Да 49

43

Нет

50

t > T п.п

A 4

C j := – c 2 B j := kx i–1 – c 2

41

j := j +1; t j := t

t > Tп.п 44

Нет x i–1 < z 2

C j := –Cj–1 – c 1 – c 2 i := i +1; t := t + ∆ t

Да Печать массивов tj ; Bj; Cj

Конец

Рис. 7.10 (окончание)

B 33

40

C j := c 1 B j := kx i–1 + c 1 45

i := i +1 t := t + ∆ t

Нет 36

B 33

39

z 1:= x i–1 + b

35

Нет 37

B 31

51

Нет

9. Проверяется условие i = 0, если оно выполняется, то осуществляется переход к п. 11, если не выполняется – к п. 14. 10. Проверяется условие нахождения xi в интервале [–b2, b1], если оно выполняется, то происходит переход к п. 12, в противном случае программа продолжает свою работу с п. 13. 11. Проверяется условие x
i < 0, при его выполнении программа продолжает свою работу с п. 15, если условие не выполняется, то происходит переход к п. 9. 12. Значение переменной j увеличивается на единицу, определяется время tj и величина Cj = c2, соответствующие моменту переключения. Далее программа продолжает свою работу с п. 16.. 13. Проверяется условие нахождения xi в интервале [–b2, b1], если оно выполняется значение переменной j увеличивается на единицу, определяется время tj и величина Cj = –c1, соответствующие моменту переключения. Далее программа продолжает свою работу с п. 15. 14. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 11, в противном случае происходит переход к п. 30. 15. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 17, в противном случае происходит переход к п. 30. 16. Сравниваются знаки производных сигнала xi(t), определенных на данном и предыдущем шагах работы программы. Если производная не меняла свой знак, то происходит переход к п. 3, если же производная изменила знак на противоположный, то выполняется п. 18. 17. Значение переменной j (порядковый номер момента переключения нелинейности) увеличивается на единицу; определяется время tj, соответствующее моменту переключения; переменным z1 и z2 присваиваются значения ±1030, соответственно, а затем проверяется выполнение условия xi–1 > 0. Если оно выполняется, то происходит переход к п. 19, в противном случае – к п. 20. 18. Проверяется условие x
i–1 > 0. В случае его выполнения значения Cj и Bj, соответствующие j-му моменту переключения, вычисляются по формулам: Cj = –c2, Bj = kxi–1 – c2, здесь c2, k – параметры нелинейности. Затем происходит переход к п. 21. 261

19. Если же условие x
i −1 > 0 не выполняется, то значения Cj и Bj, соответствующие j-му моменту переключения, вычисляются по формулам: Cj = c1; Bj = kxi–1 + c1, здесь c1, k – параметры нелинейности. Затем происходит переход к п. 21. 20. Проверяется условие xi–1 > 0. В случае его выполнения значения Cj и Bj, соответствующие j-му моменту переключения, вычисляются по формулам: Cj = –c1; Bj = kxi–1 – c1, здесь c1, k – параметры нелинейности. Затем происходит переход к п. 23. 21. Если же условие xi–1 > 0 не выполняется, то значения Cj и Bj, соответствующие j-му моменту переключения, вычисляются по формулам: Cj = c2; Bj = kxi–1 + c2, здесь c2, k – параметры нелинейности. Затем происходит переход к п. 23. 22. Вычисляется очередное значение z2 = xi–1 – b, здесь b – величина люфта. 23. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 25, в противном случае происходит переход к п. 30. 24. Вычисляется очередное значение z1 = xi–1 + b, здесь b – величина люфта. 25. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 26, в противном случае происходит переход к п. 30. 26. Проверяется условие xi–1 < z2. При его выполнении происходит переход к п. 27, в противном случае программа продолжает свою работу с п. 22. 27. Проверяется условие xi–1 > z1. При его выполнении происходит переход к п. 27, в противном случае программа продолжает свою работу с п. 24. 28. Значение номера момента переключения нелинейности j увеличивается на единицу; определяется время, соответствующее моменту переключения tj = t, а величине Bj присваивается значение Bj–1. Затем происходит переход к п. 28. 29. Проверяется условие xi > 0. При его выполнении значение Cj, соответствующее j-му моменту переключения, вычисляется по формуле: Cj = –Cj–1 – c1 – c2. В противном случае Сj = –Cj–1 + c1 + c2. Затем происходит переход к п. 29. 262

А

Начало 1

2

Ввод исходных данных t := 0; i := 0;

j := 0; g := 0; f := 0 Вычисление x i(t), x ′i(t)

3

Нет B 36

4

Да

x′i > 0

6

Да Да

7

–b 3 < x i < b 1 9

Да 10 11

x ′i–1 < 0 Да f =1

8

5

Нет

21

23

Нет

b 3 < xi < b 1

Нет

E 86

13 Нет

Нет

xi > 0

i =0

Нет Да

B 16

Да

g := 1

j := j+1; t j := t –∆ t/2; Cj:=c1; Bj:=kxi+c1

22

Нет b 2< xi < b4

Да Нет 24

26 g := 1

Да 25

27

12 f := 0

Да

i =0

263

Рис. 7.11

B 29

Да B 31

x ′i–1 < 0 Да f =1

Нет

28 f := 0

B 14

–b 2 < xi < b 4

j := j+1; t j := t –∆ t/2; Cj:=c2; Bj:=0

264

В

A 7

A 11 14

Нет 16 Нет g =1

19

17 Нет

i := i+1 t := t +∆ t Да

Да 30

E 86

E 86

x′i > 0

Да

Да

A 27

A 28

t > T п.п

32

Нет

x′i > 0

Нет

Нет Да

31

Нет

33

34

D 67

j := j+1; t j:= t – ∆ t/2; Cj :=c 1; B j :=kx i +c1

A 22

i := i+1 t := t +∆ t

29

t > T п.п

Да Да 37

b 1 < xi < b3 Да

Нет Да 39 C 40

36

xi > 0

Нет b 1 < xi < b 3

E 86

Рис. 7.11 (продолжение)

Да

E 86

Нет 54

Нет

g =1

g := 0

Нет 52

i =0

b 2 < xi < b4

35

j := j+1; t j:= t –∆ t/2; C j:=c2; B j :=kx i+c2

A 4

E 86

C 47

A 26

20

Да g := 0

38

A 13

Да

–b 3 < x i < b 1 18

15

A 12

i =0 Нет –b 4 < x i < –b 2

Да Нет 53

–b 4 < x i < –b 2

Да C 55

Да C 62

С

B 39

40

Да

41

43

45

Нет

50

57

f=1

b 1< xi < b 3 Нет g=1 Нет

j := j+1; t j := t –∆ t/2; C j :=–c 1 ; B j := kx i–c 1

Да

48 Да

60

Да

Да

t > T п.п

E 88 Да

x ′i < 0

61

t > T п.п

x ′i < 0

Нет

51 E 86

D 67

g := 1

58 f := 0

i := i+1 t := t +∆ t

E 88 63 Да

Нет

g:= 0

Нет

j := j+1; t j:= t – ∆ t/2; C j:=c2; B j:=0

i := i+1 t := t +∆ t 46

56 Да

f=1

59

Нет j := j+1; t j:= t –∆ t/2; C j := –c1 ; Bj := kxi –c 1

B 38

49

Нет

42

Да

x ′i–1 > 0 Нет

44

f := 0

47

55

x ′i–1 > 0

g := 1 Да

B 54

66 E 86

265

Рис. 7.11 (продолжение)

B 53 Нет Да 62 Да 64

65 g:= 0

–b 4< x i < –b 2 Нет g=1 Нет

j := j+1; t j:= t – ∆ t/2; C j:=–c2 ; B j:=kx i–c 2

D

B 17

B 32

C 46

C 63

67 j := j+1; t j:= t –∆ t/2; 30 30 z1:= –10 ; z2 :=10 68

Нет C j := C j–1; B j := kx i – C j; z1 := xi +b

69

70

x′i–1 > 0

72

Да

t > T п.п

E 88 Нет

Нет xi–1 > z1

E 88 Нет

Нет

Нет

78

 Cj–1  > c1

:=

Да

82 Cj := c2

83

Cj :=– c1 84

–c2

Cj–1 > 0 Нет Cj := c1

85 Bj:=kxi+ Cj ; f:= 1 E 86

Рис. 7.11 (продолжение)

266

xi–1 < z2

Да

80 Cj

Нет

j := j+1; t j:= t –∆ t/2

Да 81

76

t > T п.п

Да 77

Cj–1 > 0

i := i+1 t := t +∆ t

Да 75

Да

79

C j := C j–1 ; B j := kx i– C j ; z2 := x i +b

73

74

i := i+1 t := t +∆ t 71

Да

E A8

A 23

B 19

B 20

B 34

B 35

B 39

C 54

D 50

D 51

D 65

D 66

D 85

86 i := i+ 1 t := t + ∆ t Нет

87 t > T п.п

A 4 B 15

B 30

D 46

D 61

Да D 75

D 71

88

Вывод на печать j, t j , B j , C j

Конец

Рис. 7.11 (окончание)

30. Значение переменной i увеличивается на единицу, задается приращение координаты t на величину выбранного шага ∆t и проверяется условие t > Tп.п. Если оно не выполняется, то программа продолжает свою работу с п. 3, в противном случае происходит переход к п. 30. 31. Происходит формирование массивов данных, соответствующих точкам переключения нелинейности, с последующей их распечаткой. При синтезе системы с нелинейной характеристикой типа люфт с ограничением и зоной нечувствительности работа программы продолжается с процедуры POINT6, блок-схема алгоритма которой представлена на рис. 7.11. Принцип работы данной процедуры при определении моментов переключения аналогичен рассмотренному выше для других разновидностей люфта. Тестирование программы (результаты приведены в [221]) показало, что разработанный программный продукт обеспечивает необходимую 267

точность вычисления моментов переключения нелинейных элементов в случае процесса произвольного вида на их входах. Опыт проектирования нелинейных систем управления обобщенным методом Галеркина показывает, что при синтезе систем с амплитудно-импульсными модуляторами приращение координаты времени при определении моментов переключения нелинейностей целесообразно принимать равным периоду прерывания, поскольку в соответствующих интегралах Галеркина моменты переключения будут округляться с точностью до значения кратного периоду прерывания. Программа также позволяет определять для различных видов люфта параметры Cj и Bj, входящие в соответствующие рекуррентные выражения.

268

Глава 8 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА В данном разделе приводятся примеры решения прикладных задач параметрического синтеза стационарных систем управления различных классов с помощью прикладного программного обеспечения, разработанного авторами на основе методов синтеза САУ, изложенных в предыдущих разделах книги, математическую основу которых составляет обобщенный метод Галеркина. 8.1. Примеры синтеза параметров непрерывных систем управления Пример 1. Рассмотрим решение задачи синтеза нелинейной непрерывной САУ, структурная схема которой приведена на рис. 8.1, а и б. При решении задачи синтеза требуется учесть влияние ограничения в статической характеристике усилителя мощности, стоящего в цепи сигнала ошибки. Уравнение движения рассматриваемой системы управления, записанное относительно координаты входа нелинейного звена

T T p3 + (T1 + T3 ) p2 + p x (t ) + Kу Kдв (T2 p + 1) F  x (t ) = 13  = T1T3 p3 + (T1 + T3 ) p2 + p f (t ) ,   где T1 = 100 c; T3 = 3,46 с; Kдв = 0,2, а T2 и Kу – варьируемые параметры. Требуется определить значения варьируемых параметров при ограничениях 1,25 < Kу < 50, 35c < T2 < 100 c, удовлетворяющих следующим требованиям: – при внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = 1(t) время переходного процесса Tп.п ≈ 3,0 с, а перерегулирование σ ≈ 20%. В результате решения задачи синтеза нелинейной непрерывной САУ были получены следующие значения варьируемых параметров: Kу = 1,27, 269

а)

НЭ x(t)

f(t) Параметры НЭ b= 0,2 с= 0,8

c –b

F(x) b

K дв

Kу(T2 p+1)

x

–c

–

z(t)

p(T1p+1) (T3p+1)

z

б)

1

2

1,0

0,6

0,2 0

1,0

t,c 5,0

3,0 Рис. 8.1

T2 = 35,14 с. На рис. 8.1, б приведены графики программного движения (кривая 1) и процесса, протекающего в системе с синтезированными параметрами (кривая 2). Из рисунка видно, что между процессами имеется погрешность, что объясняется довольно простой схемой оператора управления. Пример 2. Рассмотрим синтез параметров непрерывной системы с запаздыванием, описанной в [222], структурная схема которой приведена на рис. 8.2, а, б. Система состоит из объекта управления и пропорционально-интегрально-дифференциального регулятора (ПИД-регулятор) и описывается относительно координаты выхода следующим уравнением:

(T T p 0 1

2

)

(

)

+ T1 p z (t ) + K 0 K1 T1T2 p 2 + T1 p + 1 z (t − τ ) =

(

)

= K 0 K1 T1T2 p 2 + T1 p + 1 f (t − τ ) ,

270

а)

x(t) K 1 (T 1 T2 p 2 + T 1 p+1)

f(t)

T1 p

K0 e – τp (T 0 p+1)

z(t)

– z

б) 1,4

1,0

0,6

0,2 0 2,0

6,0

10,0

t,c

Рис. 8.2

где K0 = 5; T0 = 1с – коэффициент передачи и постоянная времени объекта управления соответственно; τ =1с – запаздывание, вносимое объектом управления; T1, T2, K1 – параметры ПИД-регулятора. В ходе решения задачи синтеза необходимо определить положительные значения варьируемых параметров, обеспечивающих в системе при f(t) = 1(t) переходный процесс с перерегулированием σ ≤ 50% и временем затухания Tп.п ≤ 15с, при выполнении требований устойчивости. В результате решения задачи синтеза обобщенным методом Галеркина были получены следующие значения параметров ПИД-регулятора: K1 = 0,244; T1 = 051с; T2 = 0,12с, обеспечивающие в САУ процесс удовлетворяющий заданным показателям качества, приведенный на рис. 8.2. 271

Пример 3. Рассмотрим синтез параметров регулятора нелинейной непрерывной системы автоматического управления бортовой антенной летательного аппарата. Структурная схема САУ представлена на рис. 8.3, а, б. а) f(t)

K (T 1 p +1)(T 2 p +1)(T 3 p + 1 ) –

(T 4 p +1)(T 5 p+ 1 )

2

435,91 p (0,0108 p 2 + 0 , 1 0 2 p +1)(0,0217 p + 1 ) F (x ) –b

x b

б)

x (t)

b = 0,1 рад k =1

x 1,0 1

0,6

2

0,2 0

0,1

0,3

t,с

Рис. 8.3

На рис. 8.3 приняты следующие обозначения: Wk (ck , p) =

K (T1 p + 1)(T2 p + 1)(T3 p + 1) . (T4 p + 1)(T5 p + 1)2

(8.1)

– передаточная функция регулятора, здесь K, T1,..., T5 – варьируемые параметры; 435,91 . (8.2) p(0,0108 p + 0,102 p + 1)(0,0217 p + 1) – передаточная функция неизменяемой части системы управления; F [ x(t ), x
(t )] – неоднозначная нелинейная характеристика типа «люфт без ограничения», параметры которой указаны на рис. 8.3. Уравнение движения, описывающее динамику рассматриваемой САУ, имеет следующий вид: W ( p) =

2

Q (ck , p ) x(t ) + R(ck , p) F [ x(t ), x
(t )] = S (ck , p ) f (t ),

272

где x(t ), x
(t ) – координата входа нелинейного звена и ее первая производная соответственно; f(t) = 1(t) – внешнее входное воздействие; Q(ck,p), R(ck,p), S(ck,p) – полиномы оператора дифференцирования p = d/dt, определяемые выражениями Q (ck , p ) =

7

∑

ai (ck ) pi ; R(ck , p ) =

i =0

3

∑

bi (ck ) pi ; S (ck , p) =

i =0

3

∑ ei (ck ) pi ; (8.3) i =0

здесь a0 = 0; a1 = 1; a2 = 0,124 + Y1; a3 = 1,3 ⋅ 10−2 + 0,124Y1 + Y2 ; a4 = 2,34 ⋅ 10−4 + 1,3 ⋅ 10−2 Y1 + 0,124Y2 + Y3;

a5 = 2,34 ⋅ 10−4 Y1 + 1,3 ⋅ 10−2 Y2 + 0,124Y3; a6 = 2,34 ⋅ 10−4 Y2 + 1,3 ⋅ 10−2 Y3;

a7 = 2,34 ⋅ 10−4 Y3; b0 = e0 = 435,91K ; b1 = e1 = 435,91K (T1 + T2 + T3 ); b2 = e2 = 435,91K (T1T2 + T2T3 + T1T3 ); b3 = e3 = 435,91KT1T2T3. Через Y1, Y2, Y3 обозначены следующие выражения Y1 = T4 + 2T5 ; Y2 = T52 + 2T4T5 ; Y3 = T4T52 .

Требуется определить значения параметров регулятора, обеспечивающие в системе устойчивый переходный процесс, имеющий перерегулирование σ ≤ 20% и затухающий за время Tп.п ≤ 0,4с. Исходя из заданных значений показателей качества работы САУ в переходном режиме в соответствии с методикой, изложенной в гл. 2, были определены параметры желаемого программного движения вида x 0 (t ) = x у − H1e −αt cos(βt − ϕ0 ) ,

(8.4)

где xу = 1; H1 = 1,12; α = 12; β = 24 рад/с; ϕ0 = 0,464 рад. График желаемого программного движения, построенный в соответствии с (8.4), приведен на рис. 8.3 (кривая 1). Задача синтеза была решена при следующих ограничениях на значения искомых параметров: K T1 T2 T3 T4 T5 ck−

0 0 0 0 0 0

ck+ 1 2 2 2 2 2 ,

(8.5)

где ck–, ck+ – минимально и максимально допустимые значения варьируемых параметров соответственно. 273

В ходе решения задачи были определены следующие значения параметров регулятора: K = 0,2; T1 = 0,02 с; T2 = 0,125 с; T3 = 0,1 с; T4 = 2,0 с; T5 = 0,0025 с, которые обеспечивают в системе управления процесс, показанный на рис. 8.3 (кривая 2). Как видно из рис. 8.3, найденные значения параметров регулятора приближенно обеспечивают заданные показатели качества работы САУ в переходном режиме. 8.2. Примеры синтеза систем управления с АИМ Пример 1. Рассмотрим линейную САУ, содержащую идеальный амплитудно-импульсный модулятор, структурная схема которой показана на рис. 8.4, а, б. а)

x(t)

f(t) –

x *(t)

K дв p ( T дв p +1)

Kу

T

–

z(t) K ред

K 1p z

б) 1,4

1 1,0

2 3

0,6 0,2 t,c

0 0,2

0,6

1,0

Рис. 8.4

Уравнение движения данной системы, записанное относительно координаты выхода z(t), имеет следующий вид:

(

)

Tдв p 2 + 1 + K у K дв K1 p  z (t ) + K у K дв K ред z ∗ (t ) =   = K у K дв K ред f ∗ (t ) ,

где параметры неизменяемой части системы: постоянная времени и коэффициент передачи двигателя – Tдв = 0,4 с; Kдв = 450 град/В соответственно; коэффициент передачи редуктора – Kред = 0,005. 274

Требуется определить значения варьируемых параметров системы: коэффициента усиления усилителя – Kу > 0 и коэффициента передачи тахогенератора – K1 > 0, которые будут обеспечивать в синтезируемой системе заданные показатели качества. При внешнем входном воздействии f(t) = 1(t) время переходного процесса в системе должно составлять Tп.п ≈ 1,0с, а перерегулирование σ ≈ 50%, при этом очевидно, что САУ должна быть устойчива. Программное движение было задано в виде (3.2), при этом его параметры (α = 3, β = 13,5) были определены в соответствии с рекомендациями, приведенными в гл. 2. Значения варьируемых параметров были определены для двух значений периода квантования 0,05 с (0,1 с) и составили K1 = 0,00346 (0,00235); Kу = 1,288 (1,764) соответственно. На рис. 8.4, б построены кривая желаемого программного движения (кривая 1) и огибающие дискретных значений выходной координаты импульсной САУ с синтезированными параметрами для периода квантования 0,05 с (кривая 2) и 0,1 с (кривая 3). Как видно из рис. 8.4, качество работы системы управления с синтезированными значениями искомых параметров удовлетворяет требованиям задания. Если же в рассмотренную систему наряду с идеальным импульсным элементом введен экстраполятор нулевого порядка (рис. 8.5, а, б), то в а) f(t)

1– e –T p x*(t) p

x(t) –

T

K дв p (T двp + 1 )

Kу

Kред

z(t)

– K 1p

б)

z

1,4 2

1,0

3 1

0,6 0,2 t,c

0 0 ,2

Рис. 8.5

0,6

1,0

275

результате решения задачи синтеза методом ортогональных проекций, получаем значения параметров K1 > 0, Kу > 0, из условий, аналогичных требованиям, которые предъявляются к процессу. Так для периода квантования 0,05 с были получены следующие значения: K1 = 0,00021; Kу = 39,486, а для T = 0,1 с – K1 = 0,00036; Kу = 56,953. Для проверки достоверности полученного решения на рис. 8.5. приведены кривые желаемого программного движения (кривая 1) и огибающие дискретных значений процессов в САУ с синтезированными значениями параметров при величинах периода квантования 0,05 с (кривая 2) и 0,1 с (кривая 3). Как видно из рис. 8.4, 8.5, наилучшее приближение к программному движению обеспечивается при уменьшении величины периода квантования и наличии в САУ экстраполятора. Пример 2. В данном примере рассматривается синтез параметров регулятора импульсной САУ, структурная схема которой представлена на рис. 8.6, а, б. а)

x (t)

f(t)

T

1 – e – Tp p

K эму K дв K ред

K1

z(t)

p (T 1 p +1) ( T двp + 1 )

–

– K 2p

z

б)

1 1,0 2

0,6

0,2 0

t,c 0,4

276

1,2 Рис. 8.6

2,0

Динамический процесс в системе (относительно координаты выхода САУ) описывается дифференциальным уравнением: T1Tдв p 3 + (T1 + Tдв ) p 2 + (1 + K э K 2 ) p  z (t ) + K э K1 z ∗ (t ) = K э K1 f ∗ (t ) ,  

где Tдв = 0,5с; Kэ = KэмуKдвKред = 240. С учетом известных параметров получаем следующее: 0,5T1 p 3 + (0,5 + T1 ) p 2 + (1 + 240 K 2 ) p  z (t ) + 240 K1 z ∗ (t ) = 240 K1 f ∗ (t ).  

Параметры регулятора K1 > 0, T1 > 0, K2 > 0 должны обеспечивать в синтезируемой САУ при T = 0,2 c и внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = 1(t) переходный процесс с перерегулированием σ ≈ 5% и временем затухания Tп.п ≈ 2 с. Следует отметить, что исходными данными для решения задачи являются: – порядки полиномов Q(ck,D), Q*(ck,D), S*(ck,D) дифференциального уравнения – n = 3, n* = 0, v* = 0 соответственно; – массивы коэффициентов полиномов Q(ck,D), Q*(ck,D), S*(ck,D), выраженных через неизвестные параметры, которые задаются в виде матриц

0 D Q (ck , D ) = D2 D3

Свободный член K1 K 2 K 3 0 0 0 0 1 0 240 0 , 0,5 0 0 1 0 0 0 0,5

Q ∗ (ck , D ) = 0

Свободный член K1 K 2 T1 , 0 240 0 0

S * (ck , D ) = 0

Свободный член K1 K 2 T1 . 0 240 0 0

В результате решения поставленной задачи были получены следующие значения параметров регулятора: K1 = 0,0306; K2 = 0,105; T1 = 0,0039 с, обеспечивающие в САУ процесс, показанный на рис. 8.6, б (1 – желаемый процесс; 2 – огибающая дискретных значений процесса в системе с синтезированными параметрами). 277

Пример 3. Рассмотрим задачу параметрического синтеза импульсной САУ, описанной в [170]. Данная система содержит идеальный амплитудно-импульсный модулятор с экстраполятором нулевого порядка, элемент чистого запаздывания и обладает характеристиками фильтра низких частот, Уравнение движения синтезируемой системы имеет вид T1T2T3 p 3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3 ) p 2 + (T1 + T2 + T3 ) p + 1 z (t ) =   = K (T4 p + 1) f ∗ (t − τ ) ,

где τ = 4с – время запаздывания; K = 1; T1, T2, T3, T4 – варьируемые параметры. Требуется определить положительные значения искомых параметров для двух значений периода квантования – 1 и 4 с, обеспечивающих в САУ при f(t) = 1(t) монотонный переходный процесс, заканчивающийся к моменту времени 60 с. В результате решения задачи синтеза получены следующие значения варьируемых параметров: T1 = 17,2 с; T2 = 0,547 с; T3 = 0,216 с; T4 = 2,31 с (для периода квантования 1 с); T1 = 14,7 с; T2 = 0,182 с; T3 = 0,451 с; T4 = = 0,997 с (для периода квантования 4 с). Огибающие дискретных значений переходных процессов в САУ с синтезированными параметрами приведены на рис. 8.7 (кривая 1 – для T = 1 с, кривая 2 – для T = 4 с). z 1,0

2 1

0,6

0,2 0

t,c 20

60 Рис. 8.7

278

Пример 4. В данном примере при решении задачи синтеза применяются эквивалентные преобразования кусочно-линейной характеристики отличной от типовой. Рассмотрим параметрический синтез следящей системы стабилизации изображения на индикаторе радиолокационной станции с идеальным импульсным модулятором и экстраполятором нулевого порядка, структурная схема которой приведена на рис. 8.8, а, б. На рис. 8.8, б приняты следующие обозначения: 1 – датчик рассогласования с преобразователем код-напряжение, статическая характеристика которого соответствует статической многоступенчатой характеристике квантователя-экстраполятора; 2 – усилитель мощности; 3 – двигатель; 4 – редуктор; 5 – тахогенератор; 6 – жесткая отрицательная обратная связь по скорости двигателя; 7 – положительная обратная связь по скорости двигателя. Для обеспечения высоких показателей качества работы при одновременном обеспечении устойчивости процессов в рассматриваемой системе используется коррекция в виде положительной и отрицательной обратных связей по скорости. Жесткая отрицательная обратная связь по скорости уменьшает ошибку системы, обусловленную нестабильностью усилителя и двигателя, и позволяет повысить их линейность и стабильность. Динамика САУ описывается следующим дифференциальным уравнением: Q (ck , D ) x (t ) + R∗ (ck , D ) F  x∗ (t ) = S (ck , D ) f (t ) ,  

где Q (ck , D ) =

7

∑ ai (ck )Di ; i =0

S ( ck , D ) =

R∗ (ck , D ) =

1

∑ bi∗ (ck )Di ; i =0

7

∑ ei (ck )Di ; i =0

здесь a0 = e0 = 0; a1 = e1 = K ( K1 − K 2 ) + 1; a2 = e2 = 2ξTр  K ( K1 − K 2 ) + 1 + Y4 + KK1Tф ;

(

)

a3 = e3 = Tр2  K ( K1 − K 2 ) + 1 + 2ξTр Y4 + KK1Tф + Y3;

279

280

а)

f (t)

x (t) –

1

1– e –Tp p

2 Kу T у p +1

F (x) +

3 K дв p(T1p+1)(T2p+1)

Tр2

4 Kр p +2ξTрp+1 2

– K1

6

K тг p

5

7 K2 T ф p +1

б)

1,0

x

0 ,6

0 ,2 0 –0 ,2

0 ,3

0 ,1

Рис. 8.8

t ,c

(

)

a4 = e4 = Tр2 Y4 + KK1Tф + 2ξTрY3 + Y2 ; a5 = e5 = Tр2Y3 + 2ξTрY2 + Y1; a6 = e6 = Tр2Y2 + 2ξTрY1; a7 = e7 = Tр2Y1; a0∗ = K дв K у K р ; a1∗ = K дв K у K рTф ;

(

)

(

)

K = K дв K у K тг ; Y1 = T1T2TуTф ; Y2 = T2Tф T1 + Tу + T1Tу T2 + Tф ;

(

)(

)

Y3 = T2Tф + T1Tу + T2 + Tф T1 + Tу ; Y4 = T1 + T2 + Tу + Tф .

Заданы следующие значения параметров неизменяемой части системы: T1 = 0,028 c; T2 = 2·10–4 c; Tу = 10–4 с; Tр = 10–3 с; K = 0,3; Kдв = 3,94 рад⋅В/с; Kтг = 0,0382 В⋅с/град; Kр = 0,045. Требуется определить параметры системы управления Kу, K1, K2, Tф из следующих условий: – при внешнем воздействии f(t) = 1(t) переходный процесс в системе может иметь допустимое перерегулирование σ ≈ 25% и время затухания Tп.п ≈ 0,4 с; – должна обеспечиваться абсолютная устойчивость по искомым параметрам; – период квантования импульсного модулятора T = 0,05 с. При решении поставленной задачи было проведено эквивалентное преобразование статической многоступенчатой характеристики нелинейного элемента. Синтез САУ проводился при ограничениях на значения варьируемых параметров Kу, K1, K2, Tф из условия их физической и технической реализуемости Tф сk− = 10−4 сk+ = 1,0 –

Kу

K1

K2

5,0 10−6 10−6 ; 10,0 1,0

1,0 ,

+

где сk , сk – минимально и максимально возможные значения искомых параметров соответственно. В результате решения задачи синтеза параметров импульсной нелинейной САУ были получены следующие значения: Kу = 9,0; K1 = 0,225; K2 = 0,722; Tф = 0,282 с, удовлетворяющие заданным ограничениям и 281

обеспечивающие в системе требуемые показатели качества переходного процесса, огибающая дискретных значений которого приведена на рис. 8.8. Пример 5. Рассмотрим синтез параметров САУ подвижной платформой, содержащей импульсный элемент типа II, длительность замыкания которого τ = 0,002 с при величине периода квантования T = 0,05 с. Структурная схема синтезируемой системы управления представлена на рис. 8.9, а, б. а)

x(t) x *( t) τ K ир – T,

f(t)

Wр

Kу

–

Kн

iη

Kп

i

1/ p

б) 1,0

–

1/ J д p

–

1/ J н p

С у /p

x(t)

0,6

0,2

2

1

t,с

0 –0,2

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

Рис. 8.9

На рис. 8.9 приняты следующие обозначения: Kир – коэффициент передачи первичного измерителя-преобразователя; Kу – коэффициент усиления усилительно-преобразовательного устройства; Kм – коэффициент пропорциональности исполнительного двигателя, устанавливающий взаимосвязь напряжения управления и момента: Kп – коэффициент пропорциональности исполнительного двигателя, устанавливающий взаимосвязь скорости вращения вала и ЭДС; Jд = 23 кг·м2 – момент инерции исполнительного двигателя и передаточного механизма; i = 410 – передаточное отношение редуктора; η = 0,9 – коэффициент полезного действия редуктора; Cу = 103 Н·м/рад – коэффициент упругого скручи282

вания; Jн = 36 кг·м2 – момент инерции нагрузки; Wр(ck,p) – передаточная функция звена коррекции, которая имеет следующий вид: W р (ck , p ) =

K (T1 p + 1)(T2 p + 1)

(T3 p + 1)3

,

здесь K,T1, T2, T3 – варьируемые параметры. Уравнение динамики данной системы (с учетом значений параметров неизменяемой части САУ), записанное относительно координаты ошибки x(t) имеет следующий вид: 7

∑ i =0

ai ( ck ) D i x (t ) +

2

∑ i =0

ai∗ ( ck ) D i x∗ (t ) =

7

∑ ei ( ck ) Di f (t ), i =0

где a0 = e0 = 0; a1 = e1 = 1; a2 = e2 = 3T3 + 0,14; a3 = e3 = 3T32 + 0,42T3 + 0,04; a4 = e4 = T33 + 0,42T32 + 0,12T3 + 0,00144; a5 = e5 = 0,14T33 + 0,12T32 + 0,00432T3; a6 = e6 = 0,04T33 + 0,00432T32 ; a7 = e7 = 0,00144T33; a0∗ = 534 K ; a1∗ = 534 K (T1 + T2 ); a2∗ = 534 KT1T2 .

Требуется определить параметры регулятора, обеспечивающие в САУ, при внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = 1(t), перерегулирование σ ≤ 20% и время переходного процесса Tп.п ≤ 0,6 с. Задача синтеза решалась при следующих ограничениях на значения варьируемых параметров K

T1

T2

T3

сk− = 0 0,5 1,0 0 ; сk+ = 1 2,0 2,0 1 ,

где сk–, сk+ (i = 1, 2, 3, 4) – минимально и максимально допустимые значения искомых параметров. 283

В результате решения задачи синтеза данной САУ с учетом конечной длительности замыкания АИМ были получены следующие значения параметров звена коррекции: K = 0,007; T1 = 0,6 c; T2 = 1,2 c; T3 = 0,007 c, обеспечивающие в системе управления процесс, приведенный на рис. 8.9, б (кривая 1). Дополнительные исследования динамики системы с теми же значениями параметров регулятора, но при наличии в ней экстраполятора нулевого порядка, показывают некоторое улучшение качества ее работы в переходном режиме (рис. 8.9, б, кривая 2). Пример 6. Рассмотрим синтез параметров регулятора нелинейной приборной следящей системы, содержащей импульсный элемент типа I, длительность замыкания которого τ составляет 0,01 с, а период квантования – 0,1 с. Структурная схема рассматриваемой САУ приведена на рис. 8.10, где приняты следующие обозначения: F(x) – нелинейный элемент, характеристика которого приведена на рис. 8.10, а, б (c = 5,4; b = 0,314); Wk(ck,p) – передаточная функция регулятора, имеющая вид W ( ck , p ) =

K (T1 p + 1)(T2 p + 1) , (T3 p + 1)(T4 p + 1)

где K, T1,..., T4 – искомые параметры; а) f(t)

x(t) –

б) 1,0

0,6

x* (t)

c F –b

(x)

b –c

T, τ

x

K(T 1 p+1) (T2 p+1)

K1

(T 3p+1) (T4 p+1)

p(T5 p+1) (T6 p+1)

x T =0,1c; 1

2

τ 1 = 0,01c;

3

τ 2 = 0,02c; τ 3 = 0,005c

0,2 0

1,0

2,0

– 0,2

Рис. 8.10

284

3,0 t,c

W(p) – передаточная функция неизменяемой части системы управления, имеющая вид W ( p) =

K1 , p(T5 p + 1)(T6 p + 1)

здесь T5 = 0,005 с – постоянная времени усилителя мощности; T6 = 0,139 с – постоянная времени исполнительного двигателя; K1 = KуKдKр = 57,29 – коэффициент передачи неизменяемой части системы, здесь Kу – коэффициент усиления усилителя мощности; Kд – коэффициент передачи исполнительного двигателя; Kр – коэффициент передачи редуктора. Дифференциальное уравнение, описывающее динамику рассматриваемой нелинейной импульсной САУ относительно координаты входа нелинейного элемента (в данном случае совпадает с координатой ошибки), имеет вид Q (ck , D ) x(t ) + R∗ (ck , D ) F  x∗ (t )  = S (ck , D ) f (t ),  

где Q (ck , D ) =

5

∑ ai (ck )Di ; i =0

S ( ck , D ) =

R∗ (ck , D ) =

2

∑ bi∗ (ck )Di ; i =0

5

∑ ei (ck )Di ; i =0

здесь a0 = e0 = 0; a1 = e1 = 1; a2 = e2 = 0,144 + T3 + T4 ; a3 = e3 = 6,95 ⋅ 10−4 + 0,144(T3 + T4 ) + T3T4 ; a4 = e4 = 6,95 ⋅ 10−4 (T3 + T4 ) + 0,144T3T4 ; a5 = e5 = 6,95 ⋅ 10−4 T3T4 ; b0∗ = 57,29; b1∗ = 57,29(T1 + T2 ); b2∗ = 57,29T1T2 .

Требуется определить параметры регулятора, обеспечивающие в системе управления [при внешнем воздействии f(τ) = 1(t)] устойчивый переходный процесс, имеющий следующие показатели качества: перерегулирование σ ≤ 30%, Tп.п ≤ 2,5 с. Исходя из заданных показателей качества работы САУ в переходном режиме были определены параметры желаемого программного движения вида (3.2). 285

Задача синтеза решалась при следующих ограничениях на значения варьируемых параметров K сk− = 0

T1

T2

T3

T4

0

0

0

0 ;

сk+ = 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 ,

где сk–, сk+ (i = 1, 2, 3, 4, 5) – минимально и максимально допустимые значения искомых параметров. В результате решения задачи синтеза определены следующие значения параметров регулятора: K = 0,185; T1 = 0,27 с; T2 = 0,139 с; T3 = 1,27 с; T4 = 0,045 c, обеспечивающие в нелинейной системе с импульсным элементом типа I процесс, показанный на рис. 8.10 (кривая 1). На рис. 8.10 также показаны процессы в исследуемой САУ, полученные при тех же значениях параметров регулятора и периоде квантования 0,1 с для τ = 0,02 с (кривая 2) и τ = 0,005 с (кривая 3). Как следует из графиков, увеличение длительности замыкания импульсного элемента приводит к уменьшению времени переходного процесса при той же величине перерегулирования. Следовательно, включив длительность замыкания импульсного элемента в число варьируемых параметров (если это допускается техническим заданием), проектировщик имеет возможность улучшать динамику синтезируемых систем управления при относительно простых структурах корректирующих устройств. Пример 7. Рассмотрим синтез САУ, структурная схема которой показана на рис. 8.11, а, где введены следующие обозначения: Wk(ck,p) – передаточная функция регулятора, определяемая соотношением (8.1); W(p) – передаточная функция неизменяемой части системы, определяемая формулой (8.2); F [ x(t ), x
(t )] – нелинейность типа люфт, вид и параметры которой показаны на рис. 8.3. Система управления содержит в цепи сигнала ошибки импульсный элемент типа I с периодом квантования T = 0,01 с и длительностью замыкания τ = 0,002 с. Путем эквивалентных преобразований исходная структура САУ приведена к виду, показанному на рис. 8.11, б, для которой дифференциальное уравнение движения, записанное относительно входа нелинейности будет следующим Q (ck , D ) x(t ) + R∗ (ck , D ) F  x∗ (t ), x
∗ (t )  = S ∗ (ck , D ) f ∗ (t ),  

286

(8.6)

а)

θ(t)

f(t)

θ* (t) W k (c k ,p)

x(t)

W (p)

T ,τ

–

F (x,px)

б)

θ

*

f(t)

f (t)

* (t)

W k (c k ,p)

T ,τ –

F (x,px)

x(t)

W (p) x * (t) T ,τ

в)

x 1,2 1,0 0,8 1

0,6

2

0,4 0,2

t,c

0 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Рис. 8.11

где x(t), x*(t) – сигнал на входе и выходе импульсного модулятора, определяемый соотношениями (3.2) и (3.48) соответственно; f*(t) – входное воздействие на выходе импульсного модулятора, определяемое соотно∗ ∗ шением (3.49); F  x (t ), x
(t )  – нелинейная функция; полиномы оператора обобщенного дифференцирования D определяются соотношениями (8.4). Требуется определить значения искомых параметров [при ограничениях (8.5)], обеспечивающие в синтезируемой САУ при внешнем воздействии f(t) = 1(t) приближенное воспроизведение следующих показателей качества работы в переходном режиме: σ ≤ 20% и Tп.п ≤ 0,4 с. Поскольку требуемые показатели качества аналогичны примеру 1, то желаемое движение может быть задано в виде (8.4) [см. рис. 8.11, в (кривая 1)]. В результате решения задачи параметрического синтеза были определены следующие значения искомых параметров: K = 0,69; T1 = 0,0152 с; T2 = 0,13 с; T3 = 0,091 с; T4 = 2,54 с; T5 = 0,0021 с. Анализ динамики системы с синтезированными параметрами регулятора показывает, что 287

в САУ имеет место устойчивый переходный процесс с перерегулированием σ ≈ 18%, длительностью Tп.п ≈ 0,4с, график которого приведен на рис. 8.11, в (кривая 2). Пример 8. Рассмотрим параметрический синтез системы управления, показанной на рис. 8.11, а, где Wk(ck,p) и W(p), определяются соотношениями (8.1), (8.2), соответственно, а нелинейное звено имеет характеристику типа «люфт без ограничения», показанную на рис. 8.3. В данной САУ имеется амплитудно-импульсный модулятор, представляющий собой идеальный импульсный элемент с экстраполятором нулевого порядка (период квантования T = 0,01 с). Эквивалентные преобразования структуры системы позволяют представить ее в виде, показанном на рис. 8.11, б. Уравнение движения, описывающее динамику рассматриваемой нелинейной САУ, полностью соответствует уравнению (8.6). При этом следует иметь в виду, что сигналы на выходе модулятора x*(t) и f*(t) будут определяться соотношениями вида (3.18), (3.19). Требования, предъявляемые к качеству работы данной системы управления, аналогичны отмеченным в примерах 3, 7 пп. 8.1 и 8.2 соответственно. Таким образом, для синтеза параметров рассматриваемой САУ, желаемое программное движение может быть задано в виде (8.4) [см. рис. 8.12, в (кривая 1)]. x 1,0 1

0,6

2

0,2 0

t,c 0,1

0,3

0,5

Рис. 8.12

В ходе решения задачи были определены следующие значения искомых параметров [при ограничениях (3.90)]: K = 0,0943; T1 = 0,0325 с; T2 = 0,123 с; T3 = 0,0951 с; T4 = 4,54 с; T5 = 0,00251 с. Как видно из графика переходного процесса САУ с синтезированными параметрами регулятора [см. рис. 8.12, в (кривая 2)], показатели качества работы системы соответствуют заданным. 288

Пример 9. В данном примере рассматривается нелинейная импульсная система, содержащая звено чистого запаздывания, структурная схема которой показана на рис. 8.13, а и б. а) x ( t)

f(t )

T

1– e –T p p

K э e –τp p ( T 1 p +1) ( T 2 p +1)

K1 + K2 p

–

–

z ( t)

F (x)

–b

K 3p

x 0

b

z

б)

1

1,0 2

0,6

0,2 t,c

0 0,2

0,6

1,0

1,4

Рис. 8.13

Динамика системы описывается уравнением вида T1T2 p 3 + (T1 + T2 ) p 2 + p  x (t ) + K э ( K1 + K 2 p ) x∗ (t − τ ) +   + K э K 3 pF  x (t − τ ) = K э ( K1 + K 2 p ) f ∗ (t − τ ) ,

где T1 = 0,165 c; T2 = 0,5 c; Kэ = 240; τ = 0,05 с – параметры объекта управления; K1, K2, K3 – варьируемые параметры. 289

Характеристика нелинейного элемента типа «зона нечувствительности» изображена на рис. 8.13 и имеет следующие параметры: b = 0,4; K = 1,0. Требуется определить положительные значения искомых параметров, обеспечивающие в синтезируемой системе с периодом квантования 0,05 с (при внешнем входном воздействии f(t) = 1(t)) переходный процесс с перерегулированием не более 20% и временем затухания не более 1 с. В результате решения поставленной задачи были определены следующие значения параметров регулятора: K1 = 0,01; K2 = 0,02; K3 = 0,000168. На рис. 8.13 приведены: желаемый переходной процесс, построенный в соответствии с (3.44) (кривая 1) и процесс в САУ с синтезированными значениями параметров регулятора (кривая 2), которые показывают, что в системе управления приближенно обеспечиваются заданные показатели качества работы в переходном режиме. 8.3. Примеры синтеза систем управления с ШИМ и ЧИМ Пример 1. Рассмотрим синтез параметров звена коррекции системы автоматического управления антенной установкой, содержащей широтноимпульсный модулятор, структурная схема которой приведена на рис. 8.14, а. а) f(t)

x(t)

ШИМ

–

б)

K(T1p+1)(T2p+1) (T3p+1)(T4p+1)(T3p+1)

397 p(0,0576p+1)(0,0295p2+0,08621p+1)

z(t)

x(t) 1,0

0,6

0,2 1 t, c 0 2 –0,2 –0,4 0,1

0,3

0,5

Рис. 8.14

290

0,7

0,9

Период работы модулятора T = 0,1 с, а амплитуда импульсов на выходе усилителя мощности с ШИМ составляет 27 В. Передаточная функция неизменяемой части системы с учетом значений известных параметров имеет вид W ( p) =

397 , p (0,00576 p + 1) 0,0295 p 2 + 0,0862 p + 1

(

)

а передаточная функция звена коррекции принята в виде Wк (ck , p ) =

K (T1 p + 1)(T2 p + 1) , (T3 p + 1)(T4 p + 1)(T5 p + 1)

где K, T1, T2, T3, T4, T5 – искомые параметры. Уравнение движения рассматриваемой САУ, записанное относительно координаты ошибки будет следующим: Q (ck , D ) x (t ) + Q ∗ (ck , D ) x∗ (t ) = S (ck , D ) f (t ) ,

где Q (ck , D ) = S (ck , D ) =

7

2

i =0

i =0

∑ ai (ck )Di ; Q∗ (ck , D ) = ∑ ai∗ (ck )Di ;

7

∑ ei (ck )Di , i =0

здесь a0 = e0 = 0; a1 = e1 = 1; a2 = e2 = 0,092 + Y3;

a3 = e3 = 0,03 + 0,092Y3 + Y2 ; a4 = e4 = 0,00017 + 0,03Y3 + 0,092Y2 + Y1; a5 = e5 = 0,00017Y3 + 0,03Y2 + 0,092Y1; a6 = e6 = 0,00017Y2 + 0,03Y1; a7 = e7 = 0,00017Y3; a0∗ = 397 K ; a1∗ = 397 K (T1 + T2 ); a2∗ = 397 KT1T2 . Через Y1, Y2, Y3 – обозначены следующие выражения: Y1 = T3T4T5 ;

Y2 = T3T4 + T4T5 + T3T5 ;

Y3 = T3 + T4 + T5.

Требуется определить параметры звена коррекции, обеспечивающие в САУ с ШИМ необходимые показатели качества переходного режима: Tп.п ≤ 1 с, перерегулирование σ ≤ 30%, при внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = 1(t), при безусловном обеспечении устойчивости системы с синтезированными параметрами. 291

Исходя из заданных показателей качества работы САУ, были определены параметры желаемого программного движения: x 0 (t ) = 1,064e −3t cos (8,25t − 0,35) 1(t ) ,  

α = 3; β = 8,25 рад/с; ϕ0 =0,35рад график которого представлен на рис. 8.14, б (кривая 1). Задача синтеза решалась при следующих ограничениях на значения искомых параметров: K T1 ck− = 0

0

T2 T3

T4

T5

0

0

0 ,

0

ck+ = 1 0,2 1 0,1 0,1 0,1 .

В результате решения задачи синтеза системы управления с ШИМ методом ортогональных проекций были получены следующие значения параметров регулятора: K = 0,001; T1 = 0,095 с; T2 = 0,4 с; T3 = 0,0052 с; T4 = T5 = 0,005 с. Процесс в синтезированной системе при внешнем единичном скачкообразном входном воздействии показан на рис. 8.14 (кривая 2). Как видно из рис. 8.14, переходный процесс удовлетворяет требованиям задания. Пример 2. Рассмотрим синтез параметров регулятора нелинейной системы управления, содержащей частотно-импульсный модулятор I-го рода, длительность импульсов на выходе которого τ = 0,006 с. Структурная схема системы приведена на рис. 8.15. На рис. 8.15, а и б приняты следующие обозначения: F(x) – нелинейный элемент, учитывающий насыщение первичного измерителя-преобразователя, характеристика которого приведена на рис. 8.15 (c = 5,4; b = 0,134); Wк(cк,p) – передаточная функция регулятора, имеющая вид Wk (ck , p) =

K (T1 p + 1)(T2 p + 1) , (T3 p + 1)(T4 p + 1)

где K, T1,..., T4 – искомые параметры; W(p) – передаточная функция неизменяемой части системы, имеющая вид W ( p) =

292

K1 , p(T5 p + 1)(T6 p + 1)

а) f(t)

c

x* ( t )

x (t)

–b

ЧИМ

x b –c

–

б)

F (x) K (T 1 p +1)( T 2 p + 1 ) (T 3 p +1)( T 4 p + 1 )

K1 p (T 5 p +1)( T 6 p + 1 )

z( t )

x (t) 1,0 0,8 0,6

1

2

0,4 0,2 t, c 0 – 0,2

1,0

2,0

3,0

Рис. 8.15

где T5 = 0,005 с – постоянная времени усилителя; T6 = 0,139 с – постоянная времени двигателя; K1 = 57,29 – коэффициент передачи неизменяемой части системы. Уравнение движения системы, записанное относительно координаты входа нелинейного звена, имеет вид Q (ck , D ) x(t ) + R∗ (ck , D ) F  x∗ (t )  = S (ck , D ) f (t ),  

где Q (ck , D ) =

5

∑ i =0

ai (ck )D i ; R∗ (ck , D ) =

2

∑ bi∗ (ck ) Di ; i =0

5

S ( ck , D ) = ∑ ei ( ck )D i ; i =0

здесь a0 = e0 = 0; a1 = e1 = 1; a2 = e2 = 0,144 + T3 + T4 ; a3 = e3 = 6,95 ⋅ 10−4 + 0,144(T3 + T4 ) + T3T4 ; a4 = e4 = 6,95 ⋅ 10−4 (T3 + T4 ) + 0,144T3T4 ; a5 = e5 = 6,95 ⋅ 10−4 T3T4 ; b0∗ = 57, 29 K ; b1∗ = 57, 29 K (T1 + T2 ); b2∗ = 57, 29 KT1T2 . 293

Требуется определить параметры регулятора, обеспечивающие в системе (при внешнем скачкообразном воздействии f(t) = 1(t)) устойчивый переходный процесс с перерегулированием не более 20% и временем затухания не более 2 с. Исходя из заданных показателей качества работы САУ, были определены параметры желаемого программного движения вида x 0 (t ) = H1e −αt cos(βt − ϕ0 ),

где H1=1,1075; α=1,5; β= 3,15 рад/с; ϕ0=0,444 рад. График желаемого процесса представлен на рис. 8.15 (кривая 1). Необходимо отметить, что задача синтеза решалась при ограничениях на значения варьируемых параметров сk− сk+

= =

K

T1

0

0

T2 0

T3 0

T4 0 ,

2,0 2,0 2,0 2,0 2,0

.

В результате решения задачи синтеза были получены следующие значения параметров регулятора: K = 0,51; T1 = 0,5 с; T2 = 1,5 с; T3 = 1,27 с; T4 = 0,86 с. Анализ динамики САУ с синтезированными значениями параметров регулятора показывает, что переходный процесс в системе удовлетворяет требуемым показателям качества [см. рис. 8.15 (кривая 2)]. 8.4. Примеры синтеза САУ с дискретной коррекцией Пример 1. В данном примере рассматривается синтез параметров регулятора синхронной линейной импульсной САУ, структурная схема которой представлена на рис. 8.16, а и б. Периоды прерывания идеальных амплитудно-импульсных модуляторов с экстраполяторами нулевого порядка имеют следующие значения: T1 = T2 = 0,2 с. Динамический процесс в рассматриваемой системе автоматического управления относительно координат входов импульсных элементов описывается следующей системой дифференциальных уравнений Q0 (ck , D ) x (t ) + G0∗ (ck , D ) θ∗ (t ) = S0 (ck , D ) f (t ) ,  ∗ ∗ ∗ ∗ Q1 (ck , D ) x (t ) = G1 (ck , D ) θ (t ) + G1 (ck , D ) θ (t ) ,

где 294

(8.7)

Q0 (ck , D ) =

2

∑

i =0 2

S0 (ck , D ) = G1 (ck , D ) =

a0i (ck ) D i ;

G0∗ (ck , D ) =

0

∑ g0∗i (ck ) Di ;

i =0 1

∑ e0i (ck ) Di ; Q1∗ (ck , D ) = ∑ a1∗i (ck ) Di ; i =0 2

∑ g1i (ck ) Di ; i =0

здесь a00 = e00 = 0; a01 = e01 =

G1∗ (ck , D ) =

i =0 0

∑ g1∗i (ck ) Di ; i =0

∗ = Kэ = g00

a02 = e02 1; = Tдв =

∗ ∗ = K1; a11 = Tдв K1 = 0,5K1; g10 = 1; g11 = T + Tдв = T + a10 ∗ = K э K 2 = 240K 2 ; g12 = TTдв = 0,5T ; g10

а) f(t)

x(t) T1

–

1–e –T1 p p

K1 –

1 θ(t) Tp +1 T2

1– e –T2 p p

z( t) Kэ p (Tдв p + 1 )

K 2p

x

б) 0,8

0,4 1

2 t, с

0 0 ,25

0,5

0,75

1,0

Рис. 8.16

Параметры регулятора K1 > 0; K2 > 0; T > 0 должны обеспечивать в синтезируемой системе управления при внешнем единичном скачкообразном воздействии монотонный переходный процесс с коэффициентом затухания α = 4,5, что обеспечивает его окончание за 0,7 с. График желаемого процесса представлен на рис. 8.16 (кривая 1). 295

В результате решения поставленной задачи были получены следующие значения параметров регулятора: K1 = 0,512; K2 = 0,151; T = 0,011 с, обеспечивающие в САУ при синхронной работе импульсных элементов процесс, показанный на рис. 8.16 (кривая 2). Пример 2. Рассмотрим синтез параметров регулятора комбинированного типа той же импульсной системы управления (структура показана на рис. 8.16). При этом импульсные элементы рассматриваются как идеальные и имеют следующие периоды квантования сигнала T1 = 0,03 с и T2 = 0,015 с (коэффициент кратности – 2). Динамика системы описывается системой уравнений (8.7). Параметры регулятора K1 > 0; K2 > 0; T > 0 должны обеспечивать в синтезируемой системе управления при внешнем единичном скачкообразном воздействии монотонный переходный процесс с коэффициентом затухания α = 4, заканчивающийся за 0,75 с. График желаемого процесса представлен на рис. 8.17 (кривая 1). В результате решения поставленной задачи были получены следующие значения параметров регулятора: K1 = 0,342; K2 = 0,152; T = 0,0297 с, обеспечивающие в синтезируемой САУ процесс, показанный на рис. 8.17 (кривая 2). 1,0

x

0,6

1

2

0,2 0

t, с 0,4

1,2

Рис. 8.17

Пример 3. Рассмотрим решение задачи синтеза нелинейной синхронной импульсной системы, структурная схема которой приведена на рис. 8.18, а и б. При решении задачи синтеза параметров регулятора необходимо учесть влияние на динамику системы идеальных импульсных модуляторов с экстраполяторами нулевого порядка, работающими синхронно с периодами прерывания T1 = T2 = 0,2 с, и нелинейной характеристики типа ограничение со следующими параметрами: K = 4, b = 0,2. Система уравне296

ний, описывающая динамику рассматриваемой нелинейной импульсной САУ, имеет следующий вид  T3T4 p 3 + (T3 + T4 ) p 2 + p  x (t ) + K двθ∗ (t ) =     3 2  = T3T4 p + (T3 + T4 ) p + p  f (t ),   F  x∗ (t ) ( KTp + K ) = θ (t ).   

(8.8)

где T3 = 0,1с; T4 = 3,46с; Kдв = 0,2; K и T – варьируемые параметры. а)

F (x )

f(t)

–b –

б) 1,0

y (t) x

b

T1

1– e –T 1 p p

θ(t) K(T 3 p + 1 ) T2

1– e –T2 p p

z( t)

K дв p (T 1 p +1)( T 2 p + 1 )

x

0,6

0,2 3

1

2

t,c

0 4 –0,2 1,0

2,0

3,0

4,0

Рис. 8.18

Требуется определить значения варьируемых параметров при ограничениях 1 < K < 2; 0 < T < 0,2 c, удовлетворяющих следующим требованиям: – система с синтезированными параметрами должна быть абсолютно устойчива; – при внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = 1(t) время переходного процесса Tп.п ≈ 3,0 с, а перерегулирование σ ≈ 5%. Требованиям, предъявляемым к качеству работы САУ в переходном режиме, удовлетворяет следующее желаемое программное движение: 297

x 0 (t ) = 1,387e −t cos (1,04t − 0,766 ) 1(t ) ,  

т. е. процесс соответствует уравнению (3.44), в котором H* = 1,387; α = 1; β = 1,04 рад/с; ϕ0 = 0,766 рад. График программного движения приведен на рис. 8.18, а (кривая 1). В результате решения задачи синтеза нелинейной импульсной САУ при синхронной работе импульсных элементов были получены следующие значения параметров регулятора: K = 1,55; T = 0,054 с, обеспечивающие в системе процесс удовлетворяющий заданным требованиям. [см. рис. 8.18, б (кривая 2)]. Пример 4. В данном примере рассматривается решение задачи синтеза параметров регулятора САУ, динамика которой описывается уравнениями (8.8). В отличие от предыдущего примера, в данной системе управления импульсные элементы имеют разные периоды прерывания: T1 = 0,2 с; T2 = 0,05 с, т.е. коэффициент кратности равен четырем. В качестве желаемого программного движения в рассматриваемой системе принят процесс вида x 0 (t ) = 1,387e −1,5t cos (1,56t − 0,766 ) 1(t ) ,  

который имеет время переходного процесса Tп.п ≈ 2,0 с, а перерегулирование σ ≈ 5%. График программного движения приведен на рис. 8.18 (кривая 3). Остальные требования к синтезируемой системе аналогичны приведенным в предыдущем примере. В результате решения задачи синтеза нелинейной импульсной САУ при синхронной работе импульсных элементов с разными частотами прерывания были получены следующие значения параметров регулятора: K = 1,97; T = 0,0245 с, обеспечивающие в системе процесс удовлетворяющий заданным требованиям [см. рис. 8.18, б (кривая 4)]. 8.5. Примеры синтеза непрерывных и импульсных систем управления, содержащих алгебраические нелинейности Пример 1. Рассмотрим решение задачи параметрического синтеза системы управления, содержащей идеальный амплитудно-импульсный модулятор без экстраполятора (период прерывания 0,1 с) и два нелинейных элемента: нелинейный объект управления, который имеет параболическую характеристику F(x) = –x2 и нелинейный регулятор, в 298

состав которого входит двухпозиционное реле с петлей гистерезиса ±1, дающее ограничение на уровне 27 В. Структурная схема синтезируемой САУ приведена на рис. 8.19. F2 K им p

T

K1 T 1 p+ 1

x(t)

x

K2 T2 p + 1

θ(t)

F1 F 1 [x(t)]

x

Kу

–

Рис. 8.19

Параметры неизменяемой части САУ имеют следующие значения: K1 = 10; K2 = 10–3; Kим = 1; T1 = 1с; T2 = 1 с. В результате решения задачи синтеза требуется определить значение коэффициента усиления усилителя, обеспечивающее выход рабочей точки в экстремум нелинейной характеристики объекта управления в течение 3,5 с и колебания в точке экстремума с амплитудой 4,5 и частотой 5 рад/с. В соответствии с требованиями, предъявляемыми к динамике САУ, построено желаемое программное движение вида (6.10)

(

)

θ0 (t ) =  23 1 − e −t − 4,5cos (5t + 1,57 ) 1(t ).  

Динамика рассматриваемой системы управления описывается следующими уравнениями относительно координат входов нелинейных элементов  p (T1 p + 1) x 0 (t ) + K им K1K у F1  x 0* (t ) = 0;     0 0  K 2 F2  x (t ) = (T2 p + 1) θ (t ). 

Поскольку система уравнений, описывающих динамику САУ, записана относительно координат входов нелинейных элементов, то для ре299

шения поставленной задачи был проведен пересчет программного движения θ0(t) на входы нелинейностей. Пересчет процесса θ0(t) на входы нелинейных элементов, осуществлялся символическим методом, рассмотренным в гл. 5, с использованием гармонической линеаризации характеристики F2(x) в соответствии с [116]. Также при решении задачи синтеза использовались аналитические рекуррентные соотношения вида (6.11), (6.12), полученные для параболической характеристики при входном сигнале вида (6.10). В результате решения задачи синтеза определено значение коэффициента усиления Kу = 19,3, обеспечивающее в синтезируемой экстремальной системе процесс, показанный на рис. 8.20 (кривая 2), на том же рисунке показан вид желаемого программного движения (кривая 1). θ

1

3

5

7

t,с

–5

– 15 1

– 25 2 – 30

Рис. 8.20

Как видно из рис. 8.20, в синтезированной системе экстремального регулирования обеспечивается выход рабочей точки в экстремум нелинейной характеристики объекта управления за заданное время и колебания в районе экстремума с заданными значениями амплитуды и частоты. Пример 2. В данном примере рассматривается решение задачи синтеза САУ, структурная схема которой приведена на рис. 8.19. Однако в отличие от предыдущего примера на выходе импульсного элемента стоит экстраполятор нулевого порядка, кроме того, коэффициенты передачи объекта управления имеют следующие значения: K1 = 0,1; K2 = 1. 300

Поскольку параметры объекта управления отличаются от предыдущего примера, то иные требования предъявляются и к динамике системы управления. В данном случае выход САУ в экстремум должен осуществляться за 6 с, частота колебаний – 2,3 рад/с, а амплитуда колебаний – 4,8. В соответствии с изложенными требованиями построено желаемое программное движение

(

)

θ0 (t ) = 12,5 1 − e −t − 4,8cos (2,3t − 1,25) 1(t ).  

В результате решения задачи синтеза определено значение коэффициента усиления Kу = 1,4, обеспечивающее в синтезируемой экстремальной системе процесс, показанный на рис. 8.21, (кривая 2) – огибающая дискретных значений. На том же рисунке показан вид желаемого программного движения (кривая 1). Как видно из рис. 8.21, в синтезированной системе экстремального регулирования обеспечивается требуемые показатели качества работы: выход рабочей точки в экстремум нелинейной характеристики объекта управления за заданное время и колебания в районе экстремума с заданными значениями амплитуды и частоты. 0

θ 1

3

5

7

9

11

t,с

– 2,5 – 5,0 – 7,5

1

– 10,0 – 12,5 – 15,0 2

– 17,5

Рис. 8.21

Пример 3. В данном примере рассматривается решение задачи синтеза параметров непрерывной системы управления, содержащей нелинейное звено с характеристикой F(x) = sign(x)x2. Структурная схема синтезируемой САУ приведена на рис. 8.22. 301

x(t)

f(t)

F x

θ(t)

K1

K2 T 2 p +1

p (T 1 p +1)

–

Рис. 8.22

Динамика системы описывается следующим дифференциальным уравнением  p (T1 p + 1)(T2 p + 1) x 0 (t ) + K1K 2 F  x 0* (t ) =  p (T1 p + 1)(T2 p + 1) f (t ) ,

где T1 = 0,05 с; K1 = 100 – неизменяемые параметры системы управления; T2; K2 – параметры регулятора. Рассматриваемая САУ при внешнем единичном скачкообразном воздействии должна обеспечивать переходный процесс с перерегулированием не более 25%, заканчивающийся за 1с. В качестве желаемого программного движения был задан процесс: x 0 (t ) = 1,02e −3,5t cos (7,5t − 0,2 )1(t ) ,

график которого приведен на рис. 8.23 (кривая 1). В результате решения задачи синтеза были определены значения варьируемых параметров: T2 = 0,06 с; K2 = 0,11, обеспечивающих в САУ процесс, показанный на рис. 8.23 (кривая 2). x 0,8

0,4 1 t,с

0 2

– 0, 2 – 0, 4

0, 1 8

0, 3 6

0, 5 4

Рис. 8.23

302

0, 7 2

0, 9 0

Рассмотренные в данной главе примеры решения задач параметрического синтеза стационарных систем управления различных классов показывают, что разработанные методы синтеза, математическую основу которых составляет обобщенный метод Галеркина, дают достаточную для инженерных расчетов точность получаемого результата.

303

ВЫВОДЫ По материалам книги можно сделать следующие выводы: 1. На основе обобщенного метода Галеркина разработаны методы параметрического синтеза систем управления различных классов, содержащих элементы, характеристики которых допускают кусочно-линейную или степенную (алгебраическую) аппроксимацию, а также импульсные модуляторы различных типов (амплитудные, широтные, частотные), позволяющие на основе параметрической оптимизации с использованием интегралов Галеркина обеспечивать требуемые показатели качества переходного процесса. 2. Для алгебраизации процедуры решения задачи параметрического синтеза получены интегралы Галеркина в виде аналитических рекуррентных соотношений «вход–выход» для типовых кусочно-линейных и ряда степенных нелинейных характеристик в случае непрерывных и импульсных входных сигналов заданного вида. 3. Для решения задачи параметрического синтеза предложено использовать дискретно-непрерывные модели систем, определяющие их описание на каждом из интервалов дискретности, что позволяет без перехода к разностным уравнениям, требующих получения аналитических решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, решать задачу синтеза обобщенным методом Галеркина с единых математических позиций для САУ широкого класса. 4. Для линейных и нелинейных САУ с синхронной и несинхронной работой модуляторов разработан метод параметрического синтеза дискретных регуляторов по заданным динамическим свойствам процессов проектируемых систем. 5. Разработаны методики синтеза регуляторов: – амплитудно-импульсных систем управления при нестационарности параметров объектов управления; – непрерывных и импульсных систем экстремального регулирования в случае параболической характеристики объекта управления. 304

6. На основе применения принципа интервальной суперпозиции и методики эквивалентных преобразований характеристик нелинейных звеньев показана возможность решения задачи синтеза параметров САУ с кусочно-линейными характеристиками произвольного вида в случае программных движений произвольного вида. 7. Дано подробное описание логики работы программного комплекса, реализующего обобщенный метод Галеркина применительно к системам автоматического управления различных классов: непрерывные и импульсные САУ как линейные, так и нелинейные; системы управления с дискретными корректирующими устройствами, содержащие, как линейные, так и нелинейные объекты управления; системы управления со звеньями сосредоточенного запаздывания.

305

Библиографический список 1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 472 с. 2. Бромберг П. В. Устойчивость и автоколебания импульсных систем регулирования. М.: Оборонгиз, 1953. 224 с. 3. Красовский Н. Н. Об устойчивости решения двух дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 17. Вып. 6. С. 636–648. 4. Красовский Н. Н. Об устойчивости в целом решения нелинейной системы дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 18. Вып. 6. С. 240–242. 5. Kalman R. E., Bertram J. E. Control Systems Analysis and Design via the second method of Ljapunov// Trans. ASME. J. Basic Eng. 1960. Р. 20–23. 6. Зубов В. И. Задача, касающаяся второго метода Ляпунова // Прикладная математика и механика, 1955. Т. 19. С. 179–212. 7. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974. 336 с. 8. Рахимов Г. Г. Аналог метода Лурье для анализа устойчивости нелинейных импульсных систем автоматического регулирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1964. № 2. С. 37–43. 9. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970. 339 с. 10. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. Л.: Гостехиздат, 1951. 216 с. 11. Рахимов Г. Г. Устойчивость импульсных систем со многими нелинейностями// Изв. АН УзССР. Сер. технических наук. 1966. № 2. С. 15–22. 12. Михайлов Ф. А., Теряев Е. Д., Буляков В. П. Динамика нестационарных дискретных систем. М.:Наука, 1967. 368 с. 13. Косякин А. А., Шамриков Б. М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 336 с. 14. Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с. 15. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с. 16. Пятницкий Е. С., Скородинский В. И. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика. 1986. № 9. С. 31–40.

306

17. Пятницкий Е. С., Скородинский В. И. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика. 1983. № 1. С. 52–63. 18. Каменецкий В. А. Абсолютная устойчивость дискретных систем управления с нестационарными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1985. № 8. С. 172–176. 19. Андрусевич В. В. Условия абсолютной неустойчивости положительных нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 12. С. 155–158. 20. Андрусевич В. В. Абсолютная неустойчивость монотонных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 7. С. 40–47. 21. Молчанов А. П. Функции Ляпунова для нелинейных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1987. № 6. С. 26–35. 22. Молчанов А. П., Пятницкий Е. С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нестационарных систем управления I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63– 73; № 4. С. 5–15; № 5. С. 38–49. 23. Каменецкий В. А., Пятницкий Е. С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1987. № 1. С. 3–12. 24. Родионов А. М. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 86–93. 25. Родионов А. М. О достаточных условиях абсолютной устойчивости дискретных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1998. № 12. С. 127–131. 26. Колмановский В. Б., Родионов А. М. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтера // Автоматика и телемеханика. 1995. № 2. С. 3–13. 27. Колмановский В. Б. О применении второго метода Ляпунова к уравнениям Вольтерра // Автоматика и телемеханика. 1995. № 11. С. 50–64. 28. Родионов А. М. Притяжение для дискретных уравнений, приложение к динамике популяций // Автоматика и телемеханика. 2000. № 2. С. 76–85. 29. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 309 с. 30. Матросов В. М. К теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. № 6. С. 992–1002. 31. Метод функций Ляпунова и его приложения / Под ред. В. М. Матросова, С. Н. Васильева. Новосибирск: Наука, 1984. 258 с. 32. Вектор-функции Ляпунова и их построение / Под ред. В. М. Матросова, Л. Ю. Анапольского. Новосибирск: Наука, 1980. 287 с. 33. Функции Ляпунова и их применение / Под ред. В. М. Матросова, А. И. Маликова. Новосибирск: Наука, 1986. 247 с. 34. Дифференциальные уравнения и численные методы / Под ред. В. М. Матросова, Ю. И. Баяринцева. Новосибирск: Наука, 1986. 280 с.

307

35. Анапольский Л. Ю. Метод сравнения в динамике дискретных систем // Вектор-функции Ляпунова и их построение. Новосибирск: Наука, 1980. С. 92–129. 36. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе устойчивости динамических свойств нелинейных систем // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск: Наука, 1986. С. 5–14. 37. Воронов А. А. О некоторых новых направлениях в теории моделей сравнения // Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука, 1984. С. 6–16. 38. Кунцевич В. М. Анализ нелинейных и экстремальных импульсных систем на разностной фазовой плоскости // Автоматика и телемеханика. 1965. № 5. С. 30–39. 39. Кунцевич В. М. Исследование переходных и установившихся процессов в релейно-импульсных и экстремальных системах с постоянным и переменным периодом регулирования // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1961. № 5. С. 113–123. 40. Кунцевич В. М. Импульсные самонастраивающиеся и экстремальные системы автоматического управления. Киев.: Техника, 1966. 282 с. 41. Чеховой Ю. Н. Динамика импульсных систем с частотно-импульсной модуляцией // Теория автоматического управления. Киев.: Наукова думка, 1966. Вып. 1. С. 21–29. 42. Чеховой Ю. Н. Нелинейный частотно-импульсный регулятор // Энергетика и электротехническая промышленность. 1967. № 3. С. 61–70. 43. Чеховой Ю. Н. Динамика импульсных систем с частотно-импульсной модуляцией // Теория автоматического управления. Киев.: Наукова думка, 1967. Вып. 3. С. 38–47. 44. Popov V. M. Criterii de stabilitate pentru sistemele neliniare de reglare automame bazate pe utilirea trasformatei Laplace // Studii si cerctari de energetica. Academia R. P. R. 1959. Аnel IX. nr. 1. 45. Попов В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. XXII. № 8. С. 961–979. 46. Попов В. М., Халанай А. Об устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с запаздывающим аргументом // Автоматика и телемеханика. 1962. Т. XXIII. № 7. С. 849–851. 47. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисными нелинейностями // Доклад АН СССР. 1963. Т. 149. № 2. С. 288–291. 48. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. Абсолютная устойчивость в классе нелинейностей с условиями на производную. // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. XXVI. № 4. С. 577–590.

308

49. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. XXVI. № 5. С. 753–757. 50. Якубович В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. № 9. С. 59–72. 51. Джури Е. И., Ли Б. У. Абсолютная устойчивость систем со многими нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. № 6. С. 5–15. 52. Джури Е. И., Ли Б. У. Теория устойчивости автоматических систем со многими нелинейностями // Дискретные самонастраивающиеся и обучающиеся системы. М.: Наука, 1971. 444 с. 53. Джури Е. И., Премаратне К., Эканайаке М. М. Робастная абсолютная устойчивость дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. С. 97–118. 54. Цыпкин Я. З. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных автоматических систем // Доклад АН СССР. 1962. Т. 145. № 1. С. 52–55. 55. Цыпкин Я. З. Критерий абсолютной устойчивости импульсных автоматических систем с монотонными характеристиками нелинейного элемента // Доклад АН СССР. 1964. Т. 155. № 5. С. 1029–1032. 56. Цыпкин Я. З. Устойчивость процессов в нелинейных импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1963. № 2. С. 37–46. 57. Цыпкин Я. З. Частотные критерии абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1964. № 3. С. 281–289. 58. Цыпкин Я. З. Абсолютная устойчивость положения равновесия в нелинейных импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1963. № 12. С. 1601–1615. 59. Цыпкин Я. З. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1967. № 7. С. 46–54. 60. Цыпкин Я. З. Круговые критерии робастной устойчивости нелинейных дискретных систем // Доклад РАН. 1992. Т. 322. № 4. С. 656–661. 61. Цыпкин Я. З., Кербелев А. М. Робастные нелинейные дискретные системы управления // Доклад РАН. 1992. Т. 327. № 4–6. С. 450–454. 62. Молчанов А. П. Условия равномерной абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1983. № 3. С. 40–49. 63. Молчанов А. П. Критерий абсолютной устойчивости импульсных систем с нестационарной нелинейностью I, II // Автоматика и телемеханика. 1983. № 5. С. 73–82, № 6. С. 42–52. 64. Пятницкий Е. С. Абсолютная устойчивость нелинейных импульсных систем с нестационарной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1970. № 8. С. 50–58.

309

65. Время-импульсные системы автоматического управления / Под ред. И. М. Макарова. М.: Машиностроение, 1991. 228 с. 66. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1973. 416 с. 67. Гелиг А. Х. Стабилизация нелинейных систем с частотно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1967. № 6. С. 75–82. 68. Гелиг А. Х. Метод усреднения в теории устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1983. № 5. С. 55–64. 69. Резцов В. П., Саликов Л. М. Об оценке погрешности принципа эквивалентных площадей в теории автоматических систем с ШИМ // Труды МАИ, 1978. Вып. 449. С. 19–23. 70. Гелиг А. Х., Льянова Н. И. Круговой критерий устойчивости нелинейных импульсных систем с новым видом квадратичных связей // Автоматика и телемеханика. 1988. № 6. С. 33–39. 71. Гелиг А. Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 191 с. 72. Антонова Н. А. Существование и устойчивость периодических режимов частотно-импульсных систем первого порядка // Автоматика и телемеханика. 1976. № 11. С. 52–62. 73. Антонова Н. А. Существование периодических режимов частотно-импульсных систем второго порядка // Автоматика и телемеханика. 1976. № 12. С. 58–66. 74. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во СПбГУ, 1993. 264 с. 75. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Периодические режимы в частотно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1995. № 7. С. 91–99. 76. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Периодические режимы в системах с частотно-импульсной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1995. № 10. С. 86–93. 77. Айвазян Э. Ю., Гелиг А. Х. Устойчивость асинхронных систем с комбинированной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1993. № 4. С. 108–114. 78. Чурилов А. Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1991. № 6. С. 95–104. 79. Чурилов А. Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем с четным законом импульсации // Автоматика и телемеханика. 1992. № 4. С. 93–100. 80. Чурилов А. Н. Устойчивость систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1993. № 6. С. 142–151. 81. Гелиг А. Х. Устойчивость асинхронных импульсных систем со случайными возмущениями параметров // Автоматика и телемеханика. 1998. № 5. С. 181–185.

310

82. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 83. Кипнис М. М. Локальная устойчивость импульсных систем и устойчивость нулевого решения квазилинейных дискретных уравнений в свертках // Автоматика и телемеханика. 1992. № 3. С. 92–100. 84. Кипнис М. М. Применение дискретных уравнений в свертках для проверки устойчивости периодических процессов в широтно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1992. № 4. С. 86–93. 85. Каретный О. Я., Кипнис М. М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления I,II // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 46–54, № 12. С. 42–48. 86. Каретный О. Я., Кипнис М. М., Петрова Ю. Б. Применение импульсно-частотных характеристик для исследования периодических режимов в системах с интегральным широтно-импульсным модулятором // Автоматика и телемеханика. 1988. № 8. С. 59–68. 87. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969. 576 с. 88. Герасимов О. И., Юнгер И. Б. Матричный критерий абсолютной устойчивости импульсных систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. 1993. № 2. С. 134–140. 89. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под ред. А. А. Воронова и И. А. Орурка. М.: Наука, 1984. 340 с. 90. Алгоритмы динамического синтеза нелинейных автоматических систем / Под ред. А. А. Воронова и И. А. Орурка. СПб.: Энергоатомиздат, 1992. 334 с. 91. Андронов А. А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний // Доклады VI съезда русских физиков. М., 1928. С. 23–24. 92. Андронов А. А., Баутин Н. Н. Об одном вырожденном случае задачи прямого регулирования // Доклад АН СССР. 1945. Т. 46. № 7. С. 304–306. 93. Андронов А. А., Баутин Н. Н., Горелик Г. С. Автоколебания простейшей схемы, содержащей винт изменяемого шага // Доклад АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 265–268. 94. Андронов А. А., Баутин Н. Н., Горелик Г. С. Теория непрямого регулирования при учете кулоновского трения в чувствительном элементе // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7, 31. С. 15–41. 95. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с. 96. Эйзелтайн Дж. А. Исследование нелинейных импульсных систем при помощи фазовой плоскости // Тр. I–го Конгресса ИФАК. 1961. Т. 2. С. 85–108. 97. Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления / Под ред. С. М. Федорова. М.: Машиностроение, 1970. 416 с. 98. Геращенко Е. И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975. 296 с. 99. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.

311

100. Бесекерский В. А., Изранцев В. В. Системы автоматической управления с микроЭВМ. М.: Наука, 1987. 319 с. 101. Востриков А. С. Дискретные системы автоматического управления на основе метода локализации: Учеб. пособие / Новосибирский электротехнический ин-т. Новосибирск, 1990. 74 с. 102. Джури Е. И. Анализ и синтез импульсных систем регулирования // Электротехническая промышленность за рубежом. Пер. № 5044 / Центральное бюро техн. информации НИИ электропром. М., 1959. 49 с. 103. Джури Е. И. Синтез и исследование импульсных систем регулирования // Электротехническая промышленность за рубежом. Пер. № 5081 / Центральное бюро техн. информации НИИ электропром. М., 1959. 60 с. 104. Джури Е. И. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963. 445 с. 105. Цыпкин Я. З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963. 968 с. 106. Jury E. I., Pai M. A. Convolution z-transforms methods applied to certain nonlinear discrete systems // IRE Trans. PGAC. 1963. P. 138–142. 107. Jury E. I. A contribution to modified z-transforms theory / J. Franclin Ins. 1960. Vol. 270. № 3. P. 96–102. 108. Гольдфарб Л. С. О некоторых нелинейностях в системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1947. № 5 С. 349–383. 109. Гольдфарб Л. С. Метод исследования нелинейных систем, основанный на принципе гармонического баланса // Основы автоматического регулирования. Теория. М.: Машгиз, 1954. С. 887–923. 110. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Е. П. Попова и Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение. 1970. 576 с. 111. Попов Е. П. Динамика систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1954. 199 с. 112. Kuo B. C. The z-transform describing function for non-linear sampled data control systems. // Proc. of the I. R. E. 1960. № 43, 5. P. 941–962. 113. Симкин М. М. Периодические режимы в системах с нелинейными импульсными элементами // Доклад АН СССР. 1961. Т. 131. № 6. С. 308–311. 114. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 583 с. 115. Попов Е. П., Хлыпало Е. И. Синтез нелинейных систем на основе диаграммы качества переходных процессов // Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1970. С. 141–187. 116. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960. 729 с. 117. Пальтов И. П. Применение показателя колебательности к синтезу нелинейных систем // Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1970. С. 259–311.

312

118. Пальтов И. П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных автоматических системах. М.: Наука, 1975. 368 с. 119. Хлыпало Е. И. Нелинейные системы автоматического регулирования. Л.: Энергия, 1967. 451 с. 120. Хлыпало Е. И. Метод гармонической линеаризации // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 228–258. 121. Симкин М. М. Метод гармонического баланса в нелинейных импульсные системах // Автоматика и телемеханика. 1961. № 1. С. 41–50. 122. Симкин М. М. Распространение метода Гольдфарба на нелинейные импульсные и цифровые системы // Метод Гольдфарба в теории регулирования. М.: Гостехиздат, 1962. 224 с. 123. Цыпкин Я. З. Элементы теории цифровых автоматических систем // Тр. 1-го конгресса ИФАК, 1961. Т. 2 С. 63–85. 124. Цыпкин Я. З. Метод Гольдфарба и его применение для синтеза периодических режимов в нелинейных импульсных автоматических системах // Метод Гольдфарба в теории регулирования. М.: Гостехиздат, 1962. 224 с. 125. Ли С. С., Джонс Р. В. Интегральные системы управления с частотноимпульсной модуляцией // Дискретные и самонастраивающиеся системы / Тр. II Международного конгресса ИФАК, М.: Наука, 1965. С. 33–41. 126. Jury E. I., Blanchard Y. G. A nonlinear discrete system equivalence of integral pulse frequency modulation systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. AC-12. № 4. P. 83–100. 127. Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems // Information and Control. 1966. Vol. 9. № 3. P. 18–26. 128. Pavlidis T. Stability of a systems described by differential equations containing impulses // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. AC12. № 1. P. 24–33. 129. Pavlidis T., Jury E. I. Analysis of a new class of pulse-frequency modulated feedback systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1965. Vol. AC-10. № 1. P. 42–57. 130. Косякин А. А., Шамриков Б. М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 336 с. 131. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. 575 с. 132. Аналитические и самонастраивающиеся системы автоматического управления / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1965. 326 с. 133. Солодовников В. В. Метод частотных характеристик в теории регулирования // Автоматика и телемеханика. 1947. Т. 8. № 2. С. 187–201. 134. Солодовников В. В. Частотный метод в теории автоматического регулирования // Автоматическое управление и вычислительная техника. М.: Машиностроение, 1968. Вып. 8. С. 5–29.

313

135. Солодовников В. В., Дмитриев А. Н., Егупов Н. Д. Ортогональный метод анализа и синтеза линейных систем автоматического управления на основе понятия моментов // Автоматическое управление и вычислительная техника. М.: Машиностроение, 1969. Вып. 8. С. 30–68. 136. Солодовников А. И., Канатов И. И., Спиваковский А. М. Методы спектральных преобразований в обработке сигналов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. 89 с. 137. Солодовников А. И., Канатов И. И., Спиваковский А. М. Прикладные методы спектральной обработки информации. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 74 с. 138. Солодовников А. И., Спиваковский А. М. Основы теории и методы спектральной обработки информации. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 272 с. 139. Солодовников В. В., Дмитриев А. Н., Егупов Н. Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 440 с. 140. Джури Е. И., Цыпкин Я. З. Теория дискретных автоматических систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1970. № 6. С. 57–81. 141. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. 704 с. 142. Федоров С. М., Литвинов А. П. Автоматические системы с цифровыми управляющими машинами. М. -Л.: Энергия, 1965. 224 с. 143. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с 144. Бесекерский В. А., Федоров С. М. Синтез следящих систем методом логарифмических амплитудных характеристик // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1961. № 3. С. 73–81. 145. Федоров С. М. Методы коррекции следящих систем с цифровыми машинами // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1962. № 2. С. 83–92. 146. Федоров С. М. Об учете квантования по уровню при синтезе цифровых автоматических систем // Изв. АН СССР. ОТН. Техническая кибернетика. 1963. № 1. С. 181–189. 147. Федоров С. М., Пальтов И. П. Исследование замкнутых систем с цифровой вычислительной машиной при учете квантования по уровню // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1961. № 3. С. 82–91. 148. Федоров С. М., Альтшулер В. Н. Алгоритм синтеза систем автоматического управления частотными методами // Изв. АН СССР. ОТН. Техническая кибернетика. 1973. № 6. С. 167–177. 149. Лучко С. В., Федоров С. М. О синтезе псевдолинейных корректирующих устройств // Изв. АН СССР. ОТН. Техническая кибернетика. 1974. № 5. С. 187–193. 150. Дискретные нелинейные системы / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1982. 312 с. 151. Системы цифрового управления самолетом / Под ред. А. Д. Александрова и С. М. Федорова. М.: Машиностроение, 1983. 223 с.

314

152. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами / Под ред. М. С. Хитрука и С. М. Федорова. М.: Машиностроение, 1976. 272 с. 153. Стрейц В. Методы пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. 294 с. 154. Друссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970. 620 с. 155. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М.: Физматгиз, 1969. 384 с. 156. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 408 с. 157. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с. 158. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 458 с. 159. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 119 с. 160. Kalman R. E., Bertram J. E. General synthesis procedure for comruter control of signale and multiloop linear systems // Trans. AIEE, 1959. Р. 49–72. 161. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с. 162. Григорьев В. В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, 1983. 245 с. 163. Цифровые системы судовой автоматики / А. А. Батоврин, П. Г. Дашевский, В. Д. Лебедев, Б. А. Марков, Н. И. Чечерин. Л.: Судостроение, 1972. 448 с. 164. Цифровые системы управления электроприводами / А. А. Батоврин и др. Л.: Энергия, 1977. 256 с. 165. Цифровые электроприводы с транзисторными преобразователями / С. Г. Герман-Галкин и др. Л.: Энергоатомиздат,1986. 248 с. 166. Куо Б. С. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 447 с 167. Ту Ю. Т. Современная теория управления. М.: Машиностроение, 1971. 472 с. 168. Шамриков Б. М. Основы теории цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1985. 296 с. 169. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1981. 396 с. 170. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 541 с. 171. Методы синтеза систем управления: матрично-структурные преобразования и алгоритмы управляющих ЦВМ / Под ред. А. С. Шаталова. М.: Машиностроение, 1981. 277 с. 172. Орурк И. А. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. М. -Л.: Наука, 1965. 207 с.

315

173. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с. 174. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1989. 326 с. 175. Розенвассер Е. Н. Математическое описание и анализ многомерных систем в непрерывном времени I, II // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 88–106, № 5. С. 86–103. 176. Anderson B. D. O. Controller Design Moving from Theory to Practice // IEEE Control Systems, 1993. Vol. 13. № 4. P. 16–25. 177. Асарин Е. А., Малер О. Дискретно-непрерывные системы: алгоритмический аспект // Автоматика и телемеханика. 1995. № 5. С. 124–137. 178. Maler O, Mauna Z, Pnueli A. From timed to hybrid systems // Proceedings of the REX Workshop «Real-Time: Theory in Practice», Lect. Notes in Comp. Sci. 600, Springer-Verlag, 1992. P. 447–484. 179. Nicjllin X., Olivero A., Sifakis J., Yovine S. An approach to the description and analysis of hybrid systems // Workshop on Hybrid Systems, Lect. Notes in Comp. Sci. 736. Springer-Verlag, 1992. P. 149–178. 180. Розенвассер Е. Н. Линейная теория цифрового управления в непрерывном времени. М.: Наука, 1994. 181. Розенвассер Е. Н. Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973. 182. Фишман Л. З. Условие сохранения границы области устойчивости непрерывной системы при замене ее дискретной, построенной по методу Рунге– Кута // Доклад РАН. 1992. Т. 327. С. 32–36. 183. Фишман Л. З. Условие сохранения области устойчивости непрерывной системы при замене ее дискретной // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 186–189. 184. Фишман Л. З. О дискретной системе, построенной по методу Штремера // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9. С. 64–71. 185. Фишман Л. З. О дискретизации непрерывных систем, имеющих состояние равновесия типа фокус // Автоматика и телемеханика. 1998. № 4. С. 64-70. 186. Фишман Л. З. О дискретных системах, построенных по методу Адамса и Нистрема // Автоматика и телемеханика. 1997. № 8. С. 110–118. 187. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции: Монография / СПбГУАП. СПб., 1999. 268 с. 188. Шишлаков В. Ф., Полякова Т. Г. Параметрический синтез САУ с учетом конечной длительности замыкания ключа / СПбГУАП. СПб., 1997. Деп. в ВИНИТИ 30. 04. 97. № 1478-В97. 15 с. 189. Шишлаков В. Ф., Полякова Т. Г. Параметрический синтез САУ с ШИМ прямым вариационным методом. Информатика и управление / СПбГУАП. СПб., 1998. С. 84–90.

316

190. Яворский В. Н. и др. Проектирование инвариантных следящих приводов. М.: Высш. шк., 1963. 476 с. 191. Попов Е. П. Динамика систем авторегулирования. М.: Гостехиздат, 1954. 798 с. 192. Соколов Т. Н. Электромеханические системы автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1952. 252 с. 193. Graham D., Lathrop R. The syntheses of optimum transiens respons. Crieteria and standart form // AJEE, tech. 1953. P. 53–249. 194. Butterworth S. On the theory of filter amplifiers // Wireless engineer. London, England. 1930. Vol. 7. P. 536–541. 195. Яворский В. Н., Павлова М. Я., Калинина М. В. Выбор оптимальных корней характеристических уравнений следящих приводов: Сб. науч. тр. / ЛМИ. Л., 1961. Вып. 22. С. 18–25. 196. Соколов Н. И. Аналитический метод синтеза линеаризованных систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1966. 328 с. 197. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962. 600 с. 198. Шишлаков В. Ф. Построение математической модели желаемого программного движения / СПбГУАП. СПб., 1998. Деп. В ВИНИТИ 13. 05. 98. № 1472–В98. 24 с. 199. Фельдбаум А. А. Электрические системы автоматического регулирования. М.: Оборонгиз, 1957. 806 с. 200. Баранчук Е. И., Коварская Е. Л. Теория и проектирование следящих систем переменного тока. Л.: Энергия, 1966. 384 с. 201. Осипов Л. А., Шишлаков В. Ф. Синтез дискретных систем автоматического управления во временной области // Проблемы передачи и обработки информации / ЛИАП. Л., 1988. С. 110–116. 202. Осипов Л. А., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез линейных САУ с запаздыванием во временной области // Информационно-измерительные системы и их использование в управлении летательным аппаратом / ЛИАП. Л., 1988. С. 122–128. 203. Шишлаков В. Ф., Грибков В. Н. Синтез дискретных САУ с запаздыванием методом ортогональных проекций // Методы исследований и проектирования автоматических систем и приборов / ЛИАП. Л., 1990. С. 35–41. 204. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с запаздыванием прямым вариационным методом // Методы и средства обработки и получения данных в информационно-управляющих системах / ЛИАП. Л., 1990. С. 30–37. 205. Розенфельд А. С., Яхинсон Б. И. Переходные процессы и обобщенные функции. М.: Наука, 1966. 440 с. 206. Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Сов. радио, 1975. 216 с.

317

207. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1978. 575 с. 208. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с. 209. Смольников Л. П., Бычков Ю. А. Расчет кусочно-линейных систем. Л.: Энергия, 1972. 161 с. 210. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз., 1963. 1100 с. 211. Осипов Л. А., Полякова Т. Г. Численный метод синтеза непрерывных нелинейных САУ/ СПбГААП. СПб., 1997. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 30. 04. 97. № 1478– В97. 212. Осипов Л. А., Полякова Т. Г. Синтез импульсных систем управления по динамическим показателям качества /СПбГУАП. СПб., 1997. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 27. 11. 97. № 3462–В97. 213. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез нелинейных САУ // Алгоритм программы: информационно-библиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000015. 10 с. 214. Bombi F., Ciscato D. A modified integral pulse frequency modulator in control systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. AC-12. № 6. P. 151–203. 215. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез нелинейных САУ с ШИМ // Алгоритм программы: информационно-библиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000057. 10 с. 216. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез нелинейных САУ с ЧИМ // Алгоритм программы: информационно-библиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000058. 10 с. 217. Бушуев А. Б. и др. Проектирование регуляторов для систем с периодически изменяющимися коэффициентами // Приборостроение, 1998. № 77. С. 19–22. 218. Фельдбаум А. А. Введение в теорию нелинейных цепей. М.: Энергоиздат, 1948. 324 с. 219. Зверев И. И., Коконин С. С. Проектирование авиационных колес и тормозных систем. М.: Машиностроение, 1972. 224 с. 220. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Расчет точек переключения нелинейных звеньев // Алгоритм программы: Информационно-библиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000014. 10 с. 221. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных систем автоматического управления с амплитудно-импульсной модуляцией // СПбГУАП. СПб., 1999. Деп. в ВИНИТИ 08.12.99. № 3647–В99. 64 с. 222. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 326 с.

318

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Таблица П1 Аналитические соотношения вида «вход-выход», определяющие интегралы Bq для непрерывных САУ при кусочно-линейной и степенной аппроксимациях характеристик нелинейных элементов Вид нелинейной характеристики F(x)

x (t ) = H e

Bq =

c

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t )  

Bq для процесса вида ∗ −αt

0

0

cos (βt − ϕ0 )1(t )

Bq =

V ; W1

arctg k2 V = H ∗k2ρ q M 0 − b (k2 − k1 )  (α + ρ q )α + β2  × x

–b

b arctg k1

–c

(

× e

−ρq t1

+e

− ρ q t2

−e

+ H ∗ρ qβ ( k2 − k1 )

F(x)

Bq =

c –b

x

b arctg k –c

−ρq t3

−e

r

∑ (−1)

−ρq t4

)

+… +

j −1 − (α +ρq )t j

e

j =1

(

× e

−ρq t1

r

× (α + ρ q )α + β2  ∑ ( −1)

−ρq t2

r

−e

319

∑ (−1) j =1

−ρq t3

−e

− ρ q t4

j −1 − (α +ρq ) t j

e

j −1 −ρq t j

e

+

j =1

Bq =

+e

+ H ∗kρ qβ

V = k1 xуW1 − H ∗k1ρ q M 0 + ( xу − b ) (k2 − k1 ) ×

sin (βt j − ϕ0 ) + H ∗ρ β k − k q ( 2 1)

V ; W1

V = bkW1 − bk  (α + ρ q ) α + β2  ×

V ; W1

r

∑ (−1)

j −1 − (α +ρ q )t j

e

j =1

sin (βt j − ϕ0 )

V ; W1

V = xу kW1 − H ∗kρ q M 0 −

)

+… +

sin (βt j − ϕ0 )

−( xу − b)k (α + ρ q ) α + β2  − H ∗kρ qβ

r

∑ (−1) j =1

r

∑ (−1)

e

j =1

j −1 − (α +ρq )t j

e

j −1 −ρq t j

sin (βt j − ϕ0 )

−

320

Продолжение табл. П1 Вид нелинейной характеристики F(x) c x

–b –c

b arctg k

x (t ) = H e

∗ − αt

b

x

cos (βt − ϕ0 )1(t )

Bq =

V = H ∗kρ q M 0 − bkW1 + bk (α + ρq ) α + β 2  ×

(

× e

−ρq t1

+e

F(x)

–b

0

V ; Bq = W1

+ H ∗ kρ q β c

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )  

Bq для процесса вида

0

(

Bq = c 1 − e

− ρ q t2

r

−e

∑ (−1)

−ρq t3

−e

− ρ q t4

j −1 − (α + ρ q ) t j

e

j =1

−ρq t1

−e

− ρ q t2

+e

− ρ q t3

V = ( xу − b)k (α + ρq ) α + β 2 

)

+… +

+ H ∗kρ qβ

sin (βt j − ϕ0 )

+e

− ρ q t4

−e

− ρ q t5

V ; W1

)

−…

r

∑ (−1)

j −1 − (α + ρ q )t j

e

j =1

r

Bq = c∑ ( −1)

r

∑ (−1)

sin (βt j − ϕ0 )

j −1 − ρq t j

e

j =1

F(x,px) c b –c

x

r  j −1 − ρ t  Bq = c  1 − 2∑ ( −1) e q j    j =1  

e

j =1

–c

–b

j −1 −ρ q t j

r  j −1 − ρ t  Bq = −c  1 − 2∑ ( −1) e q j    j =1  

+

Продолжение табл. П1 Вид нелинейной характеристики

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )  

Bq для процесса вида

0

cos (βt − ϕ0 )1(t )

x (t ) = H e 0

∗ − αt

F(x,px) c –b2 –b1

x

(

Bq = c 1 − e

−ρq t1

−e

−ρq t2

+e

−ρq t3

+e

− ρ q t4

−e

−ρ qt5

)

−…

r

Bq = c ∑ ( −1)

j −1 − ρq t j

j =1

–b1 –b2 –c F(x) arctg k x F(x) = |kx |

F(x) = 0, при x < 0,

r

r −1

j =1

j =1

j j ∑ (−1) G j +∑ (−1) G j ; r

∑ (−1)

H ∗ρ q

r

∑ (−1)

j

j =1

H ∗ρ q Gj =

e

− (α +ρ q )t j

Bq = Aq

M 0*

W1

Bq = Aq + arctg k x

j

j =1

Gj =

F(x) F(x)=kx, при x ≥ 0,

Bq = Aq +

r

∑ (−1)

Bq = Aq

Gj; j

e

j =1

321

W1

− (α + ρq )t j

M 0*

e

322

Продолжение табл. П1 Вид нелинейной характеристики

x (t ) = H e

F(x) F(x )=|kx |, при x ≤ 0, x F(x ) = 0, при x > 0,

arctg k

F( x,px)

–b

c b –c

x

–B

–b

–c

b

∗ − αt

r

∑ (−1)

j

j =1

H ∗ρ q Gj =

B x

0

cos (βt − ϕ0 )1 (t )

Gj;

r

∑ (−1)

j

e

− (α + ρq )t j

j =1

0

M 0*

W1

Bq = L +

V ; W1

 L = c − 

j −1 −ρ t ∑ (−1) (C j − B j ) e  ;

Bq = L +

r

q j

Bq = L +

V ; W1

 L = B + 

r

r

∑ (−1)

(

) M* 0

j −1 − α + ρq t j

e

j =1

q j

j =1

V = kH ∗ M 0 − kH ∗ρ q

r

∑ (−1) j =1

(

) M* 0

j −1 − α + ρq t j

e

q j

 

j =1

r

∑ (−1)

(

) M* 0

j −1 − α + ρq t j

e

j =1

V ; W1

 L = (kxу − c) − 

 ; 

r

j −1 −ρ t ∑ (−1) (kxу + C j − B j ) e  ;

V = kH ∗ M 0 − kH ∗ρ q Bq = L +

j −1 −ρ t ∑ (−1) (C j − B j ) e

V ; W1

 L = (kxу − c) − 

 

j =1

V = kH ∗ M 0 − kH ∗ρ q

F( x,px) c

Bq =

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e−αt cos (βt − ϕ0 ) 1 (t )  

Bq для процесса вида

0

r



j −1 −ρ t ∑ (−1) (kxу + C j − B j ) e  ; q j



j =1

V = kH ∗ M 0 − kH ∗ρ q

r

∑ (−1) j =1

(

) M* 0

j −1 − α + ρ q t j

e

Продолжение табл. П1 Вид нелинейной характеристики F( x,px ) c2 –b2 –b1

c1 b1 b 2 –c1

x

F( x,px ) c2 –b2 –b1 –B

c1 b1 b2 –c1 –c2

∗ − αt

Bq = L +

V ; W1

 L = c1 − 

r

B x

Bq = L +

−ρ t j −1 ∑ ( −1) (C j − B j ) e

q j

j =1

Bq = L +

V ; W1

 L = B − 

r

r

∑ (−1)

e

(

j =1

j −1 − α + ρ t ∑ (−1) e ( ) j =1

∑

V = kH ∗ρ q

Bq = L +

q

j

M 0*

 ; 

V ; W1

 r −ρ t  j −1 L =  ( −1) (kxу + C j − B j ) e q j  ;  j =1 

) M* 0

j =1

q j

r

 ; 

j −1 − α + ρq t j

−ρ t j −1 ∑ (−1) (C j − B j ) e

V = kH ∗ρ q

0

cos (βt − ϕ0 )1(t )

V = kH ∗ M 0 − kH ∗ρ q

–c2

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )  

Bq для процесса вида

x (t ) = H e 0

r

∑ (−1)

(

) M* 0

j −1 − α + ρ q t j

e

j =1

V ; W1

 r −ρ t  j −1 L =  ( −1) (kxу + C j − B j ) e q j  ;  j =1 

∑

V = kH ∗ρ q

r

∑ (−1) j =1

(

) M* 0

j −1 − α +ρ q t j

e

323

324

Продолжение табл. П1 Вид нелинейной характеристики F(x)

∗ − αt

x L= F(x)

1 ;G j = 2 (2α + ρ q )

F(x )= k sign( x)x 2

Bq = kH ∗2ρq

F(x) = 0, при x >0, L = x

r

∑ (−1)

j

j =1

H ∗2ρ q

r

Gj +

r −1

∑ (−1) j =1

∑ (−1) e ( j =1

W2

r

∑ (−1) e ( j =1

1 2 (2α + ρ q )

j

G j;

) M* 02

j − 2α + ρq t j

  M  Bq = k  xу2 − 2 x у ( Aq − xу ) + H ∗2ρq  L + 02   ; 2W2     1 L= 2 (2α + ρ q )   M  Bq = k  xу2 − 2 x у ( Aq − xу ) + H ∗2ρq  L + 02   ; 2W2     1 L= 2 (2α + ρ q )

 M  Bq = kH ∗2ρq  L + 02  ; 2W2   1 L= 2 (2α + ρ q )

x

F(x) F(x)=kx 2, при x ≤ 0,

0

cos (βt − ϕ0 )1 (t )

 M  Bq = kH ∗2ρ q  L + 02  + 2W2  

F(x)=kx 2

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )  

Bq для процесса вида

x (t ) = H e 0

*  )  L + M 02  ;

j − 2α + ρq t j



2W2 

0

Продолжение табл. П1 Bq для процесса вида

Вид нелинейной характеристики F(x)

x 0 (t ) = H ∗e− αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )

r  j −(2α + ρq )t j *  M 02 + ∑ ( −1) e M 02   B = k  x 2 − 2 x A − x + H ∗2ρ  L + M 02   ;  у  q у( q у) j =1  ; q ∗2 2W2   Bq = kH ρq  L +    2W2 1     L = 2 2α + ρ ( q)

F(x )= kx 2 , при x ≥ 0, F (x ) = 0, при x < 0,

r

x

L= F(x) c

a

x

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )   0

1 + ∑ ( −1) e

(

)

j − 2α + ρq t j

j =1

2 (2α + ρ q )



Bq = (ka 2 + c)Cq + 2kaAq + kBq, здесь Bq – рекуррентное соотношение, полученное для нелинейной 2 характеристики F ( x ) = sing( x ) x (t ) , при соответствующем виде процесса на ее входе

F(x )= k( x+a ) 2 +c

  M  Bq = k  xу3 − 3xу2 ( Aq − xу ) + 3xу H ∗2ρq  L + 02  − 2W1   

F(x) F(x)= kx 3 x

 3M 01 M 03  Bq = kH ∗3ρ q  +   4W3 4W4 

325

 3M M  −kH ∗3ρq  01 + 03  ;  4W3 4W4  1 L= 2 (2α + ρq )

326

Окончание табл. П1 Вид нелинейной характеристики

Bq для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 )1 (t )  

Bq для процесса вида

x (t ) = H e 0

∗ − αt

0

cos (βt − ϕ0 )1(t )



F ( x ) = ax(t ) + bx 3 (t ) Bq = aAq + bBq , здесь Bq – рекуррентное соотношение, полученное для нелинейной характеристики F ( x ) = x 3 (t ) , при соответствующем виде процесса на ее входе F (x) F(x)= kx 3 , при x ≥ 0, F(x ) = 0, при x < 0,

   3  M 01 +   ∗3 Bq = kH ρq     x  M 03 + +

r

r

∑ (−1)

j

e

(

) M *  01

− 3α +ρ q t j

j =1

4W3

∑ (−1)

j

e

j =1

(

) M*  03 

− 3α + ρ q t j

4W4

   

 3  M 02   ∗2 2   −  + Bq = k  xу − 3xу ( Aq − xу ) + 3xу H ρq  L + 2W1      3M 01 M 03  −kH ∗3ρ q  + ;  4W3 4W4  1 L= 2 (2α + ρ q )

F (x) F (x )= kx 3 , при x ≤ 0, x F(x ) = 0, при x > 0,

 3M 01 M 03  Bq = kH ∗3ρq  +   4W3 4W4 

0

Примечание. В табл. П1 приняты следующие обозначения: M 0 = (α + ρ q )cos ϕ0 + βsin ϕ0 ;

( ) ( ) ( ) M 01 = (3α + ρ q ) cos ϕ0 + βsin ϕ0 ; * = (3α + ρ q ) cos (ϕ0 − βt j ) + βsin (ϕ0 − βt j ); M 01 M 02 = (2α + ρ q ) cos 2ϕ0 + 2βsin 2ϕ0 ; * = (2α + ρ q ) cos 2 (ϕ0 − βt j ) + 2βsin 2 (ϕ0 − βt j ); M 02 M 03 = (3α + ρ q ) cos3ϕ0 + 3βsin 3ϕ0 ; * = (3α + ρ q ) cos3 (ϕ0 − βt j ) + 3βsin 3 (ϕ0 − βt j ); M 03 2 W1 = (α + ρ q )2 + β2 ; W2 = (2α + ρ q ) + 4β2 ; 2 2 W3 = (3α + ρ q ) + β2 ; W4 = (3α + ρ q ) + 9β2 . M 0* = α + ρ q cos ϕ0 − βt j + βsin ϕ0 − βt j ;

327

328

Таблица П2 *

Аналитические соотношения вида «вход-выход», определяющие интегралы Bq для САУ, содержащих идеальный импульсный элемент Вид нелинейной характеристики F(x)

x (t ) = H e

Bq =

c

Bq для процесса вида

Bq для процесса вида ∗ − αt

0

x 0 (t ) =  xу − H ∗e−αt cos (βt − ϕ0 ) 1 (t )  

cos (βt − ϕ0 )1(t )

Bq =

V ; W1

arctg k2 V = H ∗k2ρ q M 0 − b ( k2 − k1 )  (α + ρ q )α + β2  × x

–b

b arctg k1

–c

(

× e

−ρq t1

+e

− ρ q t2

−e

+ H ∗ρ qβ ( k2 − k1 )

F(x)

Bq =

c –b

x

b arctg k –c

−ρq t3

−e

r

∑ (−1)

− ρ q t4

)

+… +

j −1 − (α + ρ q )t j

e

j =1

(

× e

−ρ q t1

× (α + ρq )α + β2 

Bq =

+e

+ H ∗kρ qβ

V = k1 xуW1 − H ∗k1ρ q M 0 + ( xу − b ) ( k2 − k1 ) ×

sin (βt j − ϕ0 ) + H ∗ρ β k − k 1) q ( 2

V ; W1

V = bkW1 − bk (α + ρq ) α + β2  × − ρ q t2

r

−e

∑ (−1) j =1

−ρ q t3

−e

− ρ q t4

j −1 − (α + ρq ) t j

e

V ; W1

r

∑ (−1)

j −1 −ρ q t j

e

+

j =1

r

∑ (−1)

j −1 − (α + ρ q ) t j

e

j =1

sin (βt j − ϕ0 )

V ; W1

V = xу kW1 − H ∗kρ q M 0 −

)

+… +

sin (βt j − ϕ0 )

−( xу − b)k (α + ρq ) α + β2  − H ∗ kρ q β

r

∑ (−1) j =1

r

∑ (−1)

e

j =1

j −1 − (α + ρq )t j

e

j −1 −ρ q t j

sin (βt j − ϕ0 )

−

Продолжение табл. П2 Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x 0* (t ) =

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 )δ (t − nT )

n =0

Bq∗

F(x) c

V = kH ∗ x

–b

b arctg k

–c

r

c 1− e

− ρ qT

Bq∗

V = − L; W

∑ (−1)

j −1 − (α + ρ q )σ jT

e

j =1

L=

x 0* (t ) =

M 1;

 1 − e −ρqσ1T − e −ρqσ2T + e −ρqσ 3T +     + e −ρq σ4T − e −ρqσ5T − …   

Bq* для процесса вида

∞

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

= kAq∗ +

V =k

r

V − L; W

∑ (−1)

− H ∗e

(

j −1 

j =1

Aq∗ =

xу − b ) e

–b

b –c

x

F(x,px) c –b

b

329

–c

x

Bq∗

=

c 1− e

− ρ qT

r  j −1 − ρ σ T c  1 − 2∑ ( −1) e q j  j =1 Bq∗ =  −ρ T 1− e q

   

(

−

H ∗M W

) e

2 α + ρ q T − ρ q σ jT



k ( xу − b )

r

∑ (−1) j =1

1− e

F(x)

 1 − e −ρqσ1T − e −ρqσ 2T + e −ρqσ 3T +    −ρ qσ 4T −ρqσ 5T   … e e + − −  

1− e

− ρ qT

(α +ρq )T cos βσ T − βT − ϕ  ; ( j 0 )

L=

c

xу

r

с Bq∗

=

j −1 − ρq σ jT

e

− ρ qT

∑ (−1)

j −1 −ρ qσ j T

j =1

1− e

e

− ρ qT

r  j −1 −ρ σ T c  1 − 2∑ ( −1) e q j  j =1 Bq∗ = −  −ρ T 1− e q

   

−

330

Продолжение табл. П2 Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x 0* (t ) =

F(x,px) c –b2 –b1

b1 b2

x

Bq∗

=

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

 1 − e −ρqσ1T − e −ρqσ 2T + e −ρqσ3T +    −ρ q σ 4T − ρ qσ 5T   … + − − e e  

c 1− e

− ρ qT

x 0* (t ) =

Bq* для процесса вида

∞

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

r

с Bq∗

=

∑ (−1) j =1

1− e

–c F(x)

Bq* = Aq* + arctg k x F(x )=| kx|

r

∑ (−1)

j

j =1

Gj =

kH ∗e

Gj +

r −1

∑ (−1) j =1

− (α + ρq )σ jT

j

Gj;

Bq* = Aq*

M1

W

F(x) r

F(x)= kx, при x ≥ 0, F(x ) = 0, при x < 0,

arctg k x

Bq* = Aq* + ∑ ( −1) G j ; j

j =1

Gj =

∗ − (α + ρq )σ jT

kH e

W

M1

j −1 −ρ qσ jT

Bq* = Aq*

e

− ρ qT

Продолжение табл. П2 Вид нелинейной характеристики F(x) F (x )=| kx |, arctg k при xx≤ 0, F (x ) = 0, при x > 0,

Bq* для процесса вида x 0* (t ) =

Bq* =

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

r

∑ (−1)

j

j =1

–b

c b –c

x

 c −  L= 

r

∑ j =1

–b –B

b –c

 B +  L= 

0

−ρ qσ jT

− ρ qT

   ;

  ( xу − c ) −  L= 

q

j



j =1

V ; W q

j

  ;

j =1

331

V = kH ∗

∑ (−1) j =1

− ρ qT

(

)

j −1 − α + ρq σ jT

e

r

q

M1

L=

  ( xу − c ) − 

j

 ;

j =1

1− e

− ρ qT

r

∑ (−1)

(

)

j −1 − α + ρq σ jT

e

j =1

Bq∗ = L −

j −1 −ρ σ T ∑ ( −1) (C j − B j ) e 

V ; W

j −1 −ρ σ T ∑ (−1) ( xу k + C j − B j ) e 

 V = kH ∗  M − 

 j −1 − α +ρ σ T ∑ (−1) e ( ) M1 

1− e

n =0

Bq∗ = L −

V ; W

r

r

∞

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

M1

W

r

Bq∗ = L + B x

− (α + ρq )σ jT

(C j − B j ) e

1− e

F(x,px) c

j −1

(−1)

 V = kH ∗  M − 

kH ∗e

Gj =

G j;

Bq∗ = L + F(x,px)

x 0* (t ) =

Bq* для процесса вида

 M1  

V ; W

r



j −1 −ρ σ T ∑ (−1) ( xу k + C j − B j ) e  q

;

j =1

1− e  V = kH ∗  M − 

r

− ρ qT

∑ (−1) j =1

j

(

)

j −1 − α + ρq σ jT

e

 M1  

332

Продолжение табл. П2 Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x 0* (t ) =

F( x,px ) с2 с1

–b2 –b1

b1 b2

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

Bq∗ = L + x

–с1

  c1 −  L= 

r

F( x,px ) с2 –b2 –b1 –B

с1 b1 b2 –с1 –с2

− ρ qT

r

∑ (−1)

 B +  L= 

( e

)

j −1 − α + ρ q σ jT

j =1

Bq∗ = L + B x

−ρ qσ j T

j =1

 V = kH  M − 

–с2

Bq∗ = L −

∑ (−1) (C j − B j ) e

∗

   ;

 M1  

V ; W

r

q

j

V = kH ∗

r

∑ (−1) j =1

− ρ qT

(

)

j −1 − α +ρ q σ jT

e

L=

j −1 −ρ σ T ∑ (−1) (kxу + C j − B j ) e q

j =1

1− e

V = kH ∗

M1

r

∑ (−1)

;

(

)

j −1 − α + ρ q σ jT

e

M1

V ; W

r

L=

j

− ρ qT

j =1

 ;

j =1

V ; W

r

Bq∗ = L −

−ρ σ T j −1 ∑ (−1) (C j − B j ) e 

1− e

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

V ; W

j −1

1− e

x 0* (t ) =

Bq* для процесса вида

∞

−ρ σ T j −1 ∑ (−1) (kxу + C j − B j ) e q

j =1

V = kH ∗

1− e r

∑ (−1) j =1

;

− ρ qT

(

)

j −1 − α + ρq σ jT

e

j

M1

Продолжение табл. П2 Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x 0* (t ) =

F(x) F(x)=kx2

Bq∗ =

kH 2

L=

x F(x)

∗2

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

M2    L + W *  + 1

( 1− e

)

− 2α + ρ q T

*2

r

∑ (−1)

j

j =1

;G j =

Gj +

r −1

∑ (−1) j =1

( kH e

)

∗2 − 2α +ρ q σ jT

M2  kH   L + * ; 2  W  1 L= −(2α + ρ q )T 1− e

Bq∗ = x

x 0* (t ) =

2W

*

j

Gj;

∞

Bq* для процесса вида

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

 xу2 M 2  M H *2  Bq∗ = k  − 2 xу H * +  L + *  ; − ρ qT 2  W W    1 − e

M3

L=

Bq∗

1

( 1− e

)

− 2α +ρ q T

 xу2 M 2  H *2  * M x H L 2 =k − + + у   ; −ρ T W 2  W *    1 − e q 1 L= −(2α + ρq )T 1− e

F(x)=ksign(x)x2 F(x)

c a

x

333

F(x)=k( x+a ) 2 +c



Bq* = (ka 2 + c)Cq* + 2kaAq* + kBq* , здесь Bq* – рекуррентное соотношение, полученное для нелинейной характеристики F ( x ) = sing( x ) x 2 (t ), при процессе соответствующего вида на ее входе

334

Продолжение табл. П2 Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x 0* (t ) =

F(x) F(x)=kx 2, при x ≥ 0,

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 )δ (t − nT )

n =0

  Bq∗ = k   H *2 +  2

F(x) = 0, при x < 0, x

*2

M2  H  L+ * + 2  W  r

∑ (−1)

x

Bq∗ =

j

e

(

)

− 2α +ρ q σ jT

j =1

L=

F(x) F(x )= kx 2 , при x ≤ 0, F(x ) = 0, при x > 0,

kH *2 2

1

1− e

r

(

  ; M 3    L + *  W   

∑ (−1)

j

(

)

− 2α +ρ q σ jT

j =1

L=

1

1− e

(

F(x )= kx

x

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

L=

)

e

Bq* для процесса вида

 xу2 M 2  H *2  * M Bq∗ = k  x H 2 − + у  L + *  ; − ρ qT W 2  W    1 − e

− 2α +ρ q T

M3    L + * ; W  

1

( 1− e

)

− 2α + ρ q T

0

)

− 2α +ρ q T

F(x) 3

x 0* (t ) =

∞

 H *3  3M M 4  Bq∗ = k   ** + ***   4 W W   

 xу3 3xу H *2  M2  2 * M Bq∗ = k  6 x H − + у L+ * − − ρ qT W 2  W   1 − e −

M  H *3  3M 1 + 4  ; L =  −(2α + ρq )T 4  W ** W ***   1− e

Окончание табл. П2 Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x 0* (t ) =

∞

∑ H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0

x 0* (t ) =

∞

Bq* для процесса вида

∑  xу − H ∗e−αnT cos (βnT − ϕ0 ) δ (t − nT )

n =0


*
F ( x ) = ax(t ) + bx (t ) = + bBq* , здесь Bq – рекуррентное соотношение, полученное для нелинейной 3 характеристики F ( x ) = x (t ) , при процессе соответствующего вида на ее входе (см.выше) Bq*

3

aAq*

F(x) F(x)=kx 3, при x ≥ 0,

x

Bq∗ =

kH *3 4

F(x ) = 0, при x < 0,

 xу3 3xу H *2  M2  2 * M M4    Bq∗ = k   3M − + 6 x H у L+ * − − ρ qT  ** + ***  +   W 2 W   W   1 − e W    r M 4  M 5  H *3  3M j −(3α + ρ q )σ jT  3M 1 −  + ( −1) e  ** + ***  ;  ** + ***   4 W W  W   W  j =1 1 L= −(2α + ρq )T 1− e

∑

F(x) F(x )= kx 3 , при x≤ 0, x F ( x ) = 0, при x > 0,

Bq∗ =

r

j − 3α + ρ σ T kH *3 ∑ (−1) e ( q ) j 4 j =1

 3M 1 M 5   ** + ***  W  W

0

335

Примечание. В табл. П2 приняты следующие обозначения:

(

) cos ϕ − e(α+ρq )T cos (βT + ϕ ); 0 0 2(α+ρq )T (α+ρ )T M1 = e cos (ϕ0 − βσ jT ) − e q cos (βT + ϕ0 − βσ jT ); 2 α+ρq T

M =e

(

) cos2ϕ − e(2α+ρq )T cos2 (βT + ϕ ); 0 0 2(2α+ρq )T (2α+ρq )T cos2 βT + ϕ − βσ T ; M3 = e cos2 (ϕ0 − βσ jT ) − e ( 0 j ) 2 2α+ρq T

M2 = e

(

) cos3ϕ − e(3α+ρq )T cos3(βT + ϕ ); 0 0 2(3α+ρq )T (3α+ρq )T cos3 βT + ϕ − βσ T ; M5 = e cos 3(ϕ0 − βσ jT ) − e ( 0 j ) 2 3α+ρq T

M4 = e

(

) − 2e(α+ρq )T cosβT + 1; 2(2α+ρq )T (2α+ρq )T cos2βT + 1; W* = e − 2e 2 α+ρq T

W =e

(

) − 2e(3α+ρq )T cosβT + 1; 2(3α+ρq )T (3α+ρq )T cos3βT + 1. W *** = e − 2e 2 3α+ρq T

W ** = e

При решении задачи синтеза параметров нелинейных импульсных систем автоматического управления, содержащих АИМ типа I, или идеальный АИМ с экстраполятором нулевого порядка, рекуррентные аналитические соотношения, приведенные в табл. П 2 следует умножить −ρ γT

на

336

1− e q ρq

.

Таблица П3 *

Аналитические соотношения вида «вход-выход», определяющие интегралы Bq для САУ, содержащих импульсный элемент типа II Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Bq* для процесса вида 0* x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − ( n + γ )T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )

n =0

n =0

Bq∗

F(x) c arctg k2 x

–b –c

b arctg k1

V = − L; W1W

Bq∗ = L −

− (α + ρ q )γT    M ∗  +  (α + ρ q )  M − e  × V =  +β  N − e − (α + ρq )γT N ∗        

− (α + ρ q )γT    M ∗  +  (α + ρ q )  M − e  × V = − (α + ρ q )γT ∗    N  +β  N − e     r

×k2 H ∗ + (k1 − k2 ) H ∗ ∑ ( −1)

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

×

− (α + ρ q )γT    M 1∗  +  (α + ρ q )  M 1 − e  ; × − (α + ρ q )γT ∗    +β  N1 − e N1     

L=

(

(

− ρ q γT

ρq 1 − e

− ρ qT

)  1 − e )  +e

− ρq σ1T

− ρ q σ 3T

r

×k1H ∗ + ( k2 − k1 ) H ∗ ∑ ( −1)

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

×

j =1

j =1

c 1− e

V ; W1W

−e

+e

− ρ q σ 2T

− ρ q σ 4T

+  − … 

− (α + ρq )γT    M 1∗  +  (α + ρ q )  M 1 − e  ; × − (α + ρ q )γT ∗    +β  N1 − e N1     

 k x + (k − k ) ( x 1− e  ) ( L=  ρ (1 − e )  ×∑ (−1) e − ρ q γT

q

− ρ qT

1 у

r

j =1

2

1

j −1

− b ) ×  − (α + ρ q )σ j T    у

337

338

Продолжение табл. П3

Вид нелинейной характеристики

x

Bq∗ =

(

× 1− e

− ρq σ1T

−e

− ρ γT

1− e q ρq

− ρ q σ 2T

+e

Bq∗ =

n =0

r

c × −ρ T 1− e q

−ρ q σ3T

+e

−ρq σ4T

−e

− ρq σ5T

r

) Bq∗

j −1 − (α + ρ q )σ j T

e

×

j =1

c x

b arctg k –c

− ( α + ρ q ) γT − (α + ρq )γT ∗    × (α + ρ q )  M 1 − e M 1∗  + β  N1 − e N1   ;     

(1 − e L=

− ρ q σ1T

−e

− ρq σ 2 T

(

+e

ρq 1 − e

(

×c 1 − e

− ρq σ 3T

) )

− ρ qT

− ρ q γT

Bq∗

−…

V − L; W1W

V = kH ∗ ∑ ( −1)

F(x) –b

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

n =0

c b –c

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )

F(x) –b

Bq* для процесса вида x 0* (t ) =  x у − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

+e

− ρq σ 4T

)×

−…

− ρq γT

1− e = ρq

с ∑ ( −1)

j −1 − ρ q σ j T

j =1

1− e

e

− ρ qT

− (α + ρq )γT    M ∗  +  (α + ρ q )  M − e  V × ; V = =L− − (α + ρq )γT ∗  W1W   N  +β  N − e     r

×kH ∗ − kH ∗ ∑ ( −1)

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

×

j =1

− (α + ρq )γT − (α + ρq )γT ∗    M 1∗  + β  N1 − e N1   ; × (α + ρ q )  M 1 − e     

(

k 1− e L=

− ρq γT



)  x

r

у

− ( xу − b ) ∑ ( −1)

(

ρq 1 − e

j =1

− ρ qT

)

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

  

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

0*

0*

Вид нелинейной характеристики

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

n =0

n =0

F(x) c –b

V − L; W1W

Bq∗ =

Bq∗ = L −

− (α + ρ q )γT − (α + ρ q )γT ∗     M ∗  + β  N − e N  × x V =  (α + ρ q )  M − e      b arctg k r j −1 − (α + ρq )σ j T –c ×kH ∗ + kH ∗ ∑ ( −1) e × j =1

− (α + ρ q )γT − (α + ρ q )γT ∗    × (α + ρq )  M 1 − e M 1∗  + β  N1 − e N1   ;     

L=

(

c 1− e

− ρ q γT

)(1 − e

− ρ q σ1T

b –c

x

(

ρq 1 − e

F(x,px) c –b

−e

− ρ q σ 2T

Bq∗ =

− ρq γT

1− e ρq

+e

− ρ qT

)

− ρq σ3 T

+e

r  j −1 − ρ σ T  c  1 − 2∑ ( −1) e q j    j =1   − ρ qT 1− e

− ρq σ 4 T

r

V = kH ∗ ∑ ( −1)

)

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

×

j =1

− (α + ρ q )γT − (α + ρq )γT ∗    × (α + ρ q )  M 1 − e M 1∗  + β  N1 − e N1   ;     

L=



(1 − e ) k ( x − ρ q γT

−…

V ; W1W

Bq∗ =

r

у

− b ) ∑ ( −1)

(

j =1

ρq 1 − e

− ρq γT

1− e ρq

− ρ qT



r



j =1

j −1 − (α + ρ q )σ j T 

e

 

)

( −c )  1 − 2∑ ( −1) j −1e− q 1− e

ρ σ jT

− ρ qT

   

339

340

Продолжение табл. П3 Вид нелинейной характеристики

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

n =0

n =0

F(x,px)

Bq∗ =

c –b2 –b1

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

b1 b2

x

(

× 1− e

−ρ q σ1T

−e

− ρ q γT

1− e ρq

− ρ q σ 2T

+e

c 1− e

−ρq σ3T

− ρ qT

+e

r

×

−ρ q σ4T

−e

− ρ qσ5T

)

−…

Bq∗

− ρ q γT

1− e = ρq

c∑ ( −1) j =1

1− e

–c F(x)

Bq* = Aq* + arctg k x

F(x)=|kx|

r

∑ (−1)

j

j =1

Gj =

Gj +

r −1

∑ (−1) j =1

− (α + ρ )σ jT

q kH ∗e W1W

F(x ) = 0 при x < 0,

Gj;

Bq* = Aq*

×

−(α +ρq )γT −(α + ρ q )γT ∗    × (α + ρ q )  M 1 − e M1∗  + β  N1 − e N1       

F(x) F(x) = kx при x ≥ 0,

j

r

arctg k x

Bq* = Aq* + ∑ ( −1) G j ; j =1

j

Gj =

− (α + ρ )σ j T

q kH ∗e W1W

×

− (α + ρq )γT − (α + ρq )γT ∗    M 1∗  + β  N1 − e N1   × (α + ρ q )  M 1 − e     

j −1 − ρqσ jT

Bq* = Aq*

e

− ρ qT

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

Bq* для процесса вида x 0* (t ) =  x у − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

n =0

F(x) F(x) = |kx | arctg k при xx≤ 0, F(x ) = 0, при x > 0,

r

Bq* = ∑ ( −1) G j ; j =1

Gj =

∗ − (α + ρq )σ j T

kH e W1W

–b

–c

b

x

V − L; W1W

Bq∗ = L −

− (α + ρ q )γT  V = kH ∗ (α + ρ q )  M − e M ∗  +    r

− (α + ρq )γT ∗   j −1 − (α + ρq )σ j T + β  N − e × N   − kH ∗ ∑ ( −1) e   j =1 − (α + ρ q )γT − (α + ρq )γT ∗    × (α + ρ q )  M 1 − e M 1∗  + β  N1 − e N1   ;     



(1 − e ) c − ∑ (−1) (C L= ρ (1 − e ) − ρ q γT

0

− (α + ρ q )γT    M 1∗  +  (α + ρ q )  M 1 − e    − (α + ρ q )γT ∗    +β  N1 − e N1     

Bq∗ =

F(x,px) c

n =0

j

r

j −1

j =1 q

− ρ qT

j

− Bj )e

−ρq σ jT

  

− (α + ρq )γT V  ; V = kH ∗ (α + ρ q )  M − e M ∗  + W1W   

β  N − e 

(

) N ∗   − kH ∗ r −1 j −1 e −(α +ρq )σ jT ×  ∑( ) 

− α + ρq γT

j =1

− (α + ρq )γT − (α + ρq )γT ∗    × (α + ρ q )  M 1 − e M 1∗  + β  N1 − e N1   ;     

L=

r  −ρq σ j T  j −1 (kxу − c ) − ∑ ( −1) (kxу + C j − B j ) e  j =1  

(

ρq 1 − e

(

× 1− e

− ρ qT

− ρ q γT

)

)

×

341

342

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )

n =0

F( x,px )

–B

–b

c –c

b

Bq∗ = B x

V = kH

∗

n =0

Bq∗ = L −

V − L; W1W

r

∑ (−1)

j −1 − (α + ρ q )σ j T

e

− (α + ρq )γT  V = kH ∗ (α + ρ q )  M − e M ∗  +   

×

j =1

+β  N − e − (α + ρq )γT − (α + ρq )γT ∗     × (α + ρ q )  M 1 − e M 1∗  + β  N1 − e N1   ;     

(1 − e ) − ρ q γT

L=

(

− ρ qT

(

) N ∗   − kH ∗ r −1 j −1 e −(α +ρq )σ jT ×  ∑( )

− α + ρq γT



j =1

( ) M ∗  +   1  (α + ρ q )  M 1 − e  ; × − (α + ρq )γT ∗     N1  +β  N1 − e    

r  −ρqσ j T  j −1  B + ∑ ( −1) (C j − B j ) e  j =1  

ρq 1 − e

V ; W1W

)

L=

− α + ρq γT

r  −ρqσ j T  j −1 (kxу − c ) − ∑ ( −1) ( kxу + C j − B j ) e  j =1  

(

ρq 1 − e

(

× 1− e

− ρ qT

− ρ q γT

)

)

×

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

0*

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) n =0

F( x,px ) c2 –b2 –b1

Bq∗ =

b1 b 2 –c1 –c2

x

+β  N − e 

(

) N ∗   − kH ∗ r −1 j −1 e −(α +ρq )σ jT ×  ∑( ) 

j =1

− (α + ρq )γT − (α + ρq )γT ∗    M 1∗  + β  N1 − e N1   ; × (α + ρ q )  M 1 − e     

(

L=

− ρ q γT

)

n =0

Bq∗ = L −

− α + ρ q γT

1− e

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )

V − L; W1W

− (α + ρ q )γT  V = kH ∗ (α + ρ q )  M − e M ∗  +   

c1

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

r  − ρ q σ jT  j −1  c1 − ∑ ( −1) (C j − B j ) e    j =1 − ρ qT ρq 1 − e

(

)

r

V = kH ∗ ∑ ( −1)

V ; W1W

j −1 − ( α+ρ q ) σ j T

e

×

j =1

− ( α+ρq )γT    M 1∗  +  (α + ρ q )  M 1 − e  ; ×  +β  N − e − (α+ρq )γT N ∗     1 1    

(1 − e ) ∑ (−1) (kx + C L= ρ (1 − e ) −ρ q γT

r

j −1

j =1

q

у

−ρ qT

j

− B j )e

−ρ q σ j T

343

344

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) n =0

F( x,px ) c2 –b2 –b1 –B

c1 b1 b 2 –c1 –c2

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )

V = kH

∗

r

∑ (−1)

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

j =1

×  M 1 − e 

(

Bq∗ = L −

V − L; W1W

Bq∗ = B x

n =0

r

V = kH ∗ ∑ ( −1)

 (α + ρq ) × 

) M ∗  + β  N − e −(α +ρq )γT N ∗   ;  1 1 1 







(1 − e )  B + ∑ (−1) (C L= ρ (1 − e ) − ρ q γT

r

j −1

j =1 q

− ρ qT

j

− Bj )e

j −1 − (α + ρq )σ j T

e

j =1

− α + ρ q γT



V ; W1W

−ρqσ jT

  

×  M 1 − e 

(

(α + ρ q ) × 

) M ∗  + β  N − e−(α +ρq )γT N ∗   ;  1 1 1 

− α + ρq γT







(1 − e ) ∑ (−1) (kx + C L= ρ (1 − e ) − ρq γT

r

j −1

j =1

q

у

− ρ qT

j

− B j )e

−ρq σ j T

Продолжение табл. П3 Bq* 0*

для процесса вида x (t ) = H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) n =0

F(x) F (x) = kx

 (2α + ρq )  M 2 − e−(2α +ρq )γT M 2∗  kH ∗2  ∗ + Bq = L + 2  W2W * 

2

(

) N∗  2 

2β  N 2 − e +  W2W *

− 2α + ρ q γT

x

L=

Gj =

r −1

r

 + ( −1) j G + ( −1) j G ;  ∑ j ∑ j j =1  j =1 

(

− 2α + ρ

) γT

q 1− e ; (2α + ρq )  1 − e−(2α +ρq )T 

kH ∗2 − (2α + ρq )σ j T e 2

 (2α + ρq )  M 3 − e−(2α +ρq )γT M 3∗   + L + W2W *  

(

2β  N 3 − e +  W2W *

) N∗  3  

− 2α + ρ q γT

  

Bq*

для процесса вида x 0* (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × ∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T ) n =0

Bq∗ =

(

kx у2 1 − e

(

1− e

− ρ q γT

− ρ qT

)−

) (

)

(α + ρq ) M 1 − M 1∗ + β N1 − N1∗  + −2kx у H *  W1W  (2α + ρq )  M 2 − e−(2α+ρq )γT M 2∗  kH ∗2  + + L + 2  W2W * 

(

2β  N 2 − e +  W2W *

) N∗  2 

− 2α + ρq γT

L=

(

− 2α + ρ



)γT

  

q 1− e (2α + ρq )  1 − e−(2α+ρq )T 

345

346

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x 0* (t ) = H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) n =0

 (2α + ρq )  M 2 − e−(2α+ρq )γT M 2∗  kH ∗2  ∗ + Bq = L + 2  W2W * 

F(x) 2

F(x) = kx при x ≥ 0, F(x ) = 0 при x < 0,

( 2β  N 2 − e

) N∗  2  

− 2α + ρq γT

+

x



W2W L=

Gj =

kH ( e 2 ∗2

)

*

(

− 2α + ρ

r

 + ∑ ( −1) G j ;  j =1  j

)γT

q 1− e ; (2α + ρq )  1 − e−(2α +ρq )T 

− 2α + ρ q σ j T

 (2α + ρq )  M 3 − e−(2α+ρq )γT M 3∗   + L + W2W *  

(

2β  N 3 − e +  W2W *

) N∗  3 

− 2α + ρq γT



  

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T ) n =0

Bq∗ =

(

kx у2 1 − e

(

1− e

− ρ q γT

− ρ qT

)−

) (

)

(α + ρq ) M 1 − M 1∗ + β N1 − N1∗  + −2kx у H *  W1W − (2α + ρ q )γT  2α + ρ q )  M 2 − e M 2∗  (  kH  + + L + 2  W2W *  ∗2

(

2β  N 2 − e +  W2W *

) N∗  2 

− 2α + ρ q γT

L=

(

− 2α + ρ



)γT

  

q 1− e (2α + ρq )  1 − e−(2α +ρq )T 

Продолжение табл. П3 Вид нелинейной характеристики

x

Bq* 0*

Bq*

для процесса вида

для процесса вида x 0* (t ) =  x у − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

(t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) F(x) F(x )= kx 2 при x≤ 0, F(x ) = 0 при x > 0, x

n =0

r

Bq∗ = ∑ ( −1) G j ; L = j =1

j

( 1− e

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ )T ) n =0

)

− 2α + ρ q γT

(2α + ρq ) 1 − e−(2α +ρ )T  q

;

 (2α + ρq )  M 3 − e−(2α +ρq )γT M 3∗  kH ∗2 − (2α + ρq )σ j T  Gj = e + L + 2 W2 ⋅ W *  

(

2β  N 3 − e +  W2W *

0

) N∗ 3 

− 2α + ρq γT



  

F(x)

c

a

x

F(x )= k( x+a ) 2 + c



Bq* = ( ka 2 + c)Cq* + 2kaAq* + kBq* , здесь Bq* – рекуррентное соотношение, полученное для нелинейной 2 характеристики F ( x) = sing( x) x (t ) , при процессе соответствующего вида на ее входе

347

348

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x 0* (t ) = H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) n =0

F(x)

x

F(x)=k sign( x)x 2

− (2α + ρ q )γT  2α + ρ q )  M 2 − e M 2∗  ( ∗2  kH ∗  + Bq = L + 2  W2W *  − (2α + ρ q )γT ∗   2β  N 2 − e N2     ; +  W2W *  

L=

(

− 2α + ρ

)γT

q 1− e − (2α + ρq )  1 − e (2α +ρq )T 

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) × 0*

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T ) n =0

Bq∗

=

1− e

− ρ q γT

) − 2kx H у

− ρ qT

(

*

) (

×

)

(α + ρ q ) M 1 − M 1∗ + β N1 − N1∗  + × W1W  (2α + ρq )  M 2 − e−(2α +ρq )γT M 2∗  kH ∗2  + + L + 2  W2W * 

(

2β  N 2 − e  W2W *

) N∗  2 

− 2α + ρ q γT

L= F ( x ) = ax (t ) + bx 3 (t )

(

kx у2 1 − e

(

− 2α + ρ

)γT

 ;   

q 1− e (2α + ρq )  1 − e−(2α +ρq )T 



Bq* = aAq* + bBq* , здесь Bq* – рекуррентное соотношение, полученное для нелинейной характеристики 3 F ( x ) = x (t ) , при процессе соответствующего вида на ее входе

Продолжение табл. П3 Bq*

Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

для процесса вида x 0* (t ) =  x у − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T ) n =0

F(x)

Bq∗ =

F(x)= kx 3 x

 kH ∗3  L+ 4  

Bq∗ =

(3α + ρ q )  M 4 − e−(3α +ρ )γT M 4∗ 

kx у3

(1 − e

1− e

W4W ***

(

q 3β  N 4 − e  + W4W ***

− 3α + ρ

+

)γT N ∗  4

 +

− (3α + ρq )γT 3 (3α + ρ q )  M − e M *   + + W3W **

(

q 3β  N − e +  W3W **

− 3α + ρ

L=

(

+

(

2β N 2 − e

− 3α + ρ

)γT

2 у

− ρ qT

*

(

) (

)

(α + ρ q ) M 1 − M 1∗ + β N1 − N1∗   + W1W

(

(

+

(

  

*

3β N 4 − e

  ;   

) − kH

) N∗  2

− 2α + ρ q γT

W2W

)γT N *  

q 1− e (3α + ρ q ) 1 − e−(3α +ρq )T 

) − 6kx H

)

 (2α + ρq ) M 2 − e−(2α +ρq )γT M 2∗ kx у H ∗2  + + L+ 2  W2W *  

q

+

n =0

− ρ q γT

(

) N∗ 4

− 3α + ρ q γT

W4W

***

+

L=

1− e

(

(

)

 (3α + ρq ) M 4 − e−(3α +ρq )γT M 4∗  + L1 + 4  W4W ***   ∗3

) + 3(3α + ρ )(M − e ( W3W

(

( 3β N − e

)

− 2α + ρ q γT

(2α + ρq ) (1 − e−(2α +ρ )T ) q

**

)+

) ;

) N* 

− 3α + ρ q γT

W3W

) M*

− 3α + ρ q γT

q

**

; L1 =

  

1− e

(

)

− 3α + ρq γT

(3α + ρq ) (1 − e−(3α +ρ )T ) q

349

350

Продолжение табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e − αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Bq* для процесса вида

Вид нелинейной характеристики

x

0*

(t ) = H

∗ − αt

e

0*

cos (βt − ϕ0 ) ×

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1 (t − (n + γ )T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

F(x)=kx3, при x ≥ 0, F(x) = 0, при x < 0,

n =0

n =0

F(x)

x

 − (3α + ρ q )γT (3α + ρ q ) × 1− e kH ∗3  Bq∗ = +  − + 3α ρ T 4 (3α + ρ ) 1 − e ( q ) W4W ***  q

(

(

× M4 e +

− (3α + ρq )γT

(

)

( M )+ ∗ 4

3 (3α + ρ q ) M e

3β N 4e

− (3α + ρ q )γT

− (3α + ρ q )γT

N 4∗

W4W *** M

W3W **

*

)+

Bq∗ =

(

× M5 − e

− (3α + ρq )γT

M 5∗

)+ (

3β N 5 − e

− (3α + ρ q )γT

W4W

***

N 5∗

)+

×

) (

)

(

3β × W3W **

)

*

)

 (2α + ρ q ) M 2 − e−(2α +ρq )γT M 2∗ kxу H ∗2  + + L+ 2  W2W *  

)

(

) − 6kx H 2 у

− ρ qT

(

)+

 − (3α + ρ q )γT (3α + ρ q ) ×  1− e × + − (3α + ρ q )T W4W ***  (3α + ρ q ) 1 − e

1− e

− ρ q γT

(α + ρ q ) M 1 − M 1∗ + β N1 − N1∗  + × W1W

 r − (3α +ρ q )γT *  − 3α + ρ σ T kH ∗3 × N e N + (1) j e ( q ) j × ∑ 4 j =1  

(

(

kx у3 1 − e

+

(

2β N 2 − e

(

W2W

*

(

+

(

) − kH

) N∗  2

− 2α + ρq γT

  

∗3

4

×

)

 (3α + ρ q ) M 4 − e−(3α +ρq )γT M 4∗  ×  L1 + + W4W ***  

3β N 4 − e

(

) N∗ 4

− 3α + ρ q γT

W4W ***

) + 3(3α + ρ )(Me ( q

) M*

− 3α + ρ q γT

W3W **

)+

Окончание табл. П3 Bq* для процесса вида x (t ) = H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

Вид нелинейной характеристики

Bq* для процесса вида x (t ) =  xу − H ∗e −αt cos (βt − ϕ0 ) ×

0*

0*

∞

∞

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

×∑ 1(t − nT ) − 1(t − ( n + γ ) T )

n =0

+

(

3 (3α + ρq ) M 1 − e

− (3α + ρ q )γT

M 1∗

W3W **

n =0

) + 3β (N − e ( 1

− 3α + ρ q )γT

W3W **

)

N1∗    

+

L=

L1 = F(x) Bq∗ =

(

(

)

(

) (

(

3 (3α + ρ q ) M 1 − e W3W

(

) M∗ 1

− 3α + ρ q γT

**

) + 3β (N − e ( 1

)

) N∗  1

− 3α + ρq γT

W3W

)

**

351

  

) ;

) N* 

− 3α + ρq γT

  

W3W ** 1− e

(

)

− 2α + ρq γT

(2α + ρ q ) (1 − e (

)

− 2α + ρq T

( 1− e

)

− 3α + ρq γT

)

;

(3α + ρ q ) (1 − e−(3α +ρ )T ) q

 − (3α + ρ q )γT r kH ∗3 1− e j − (3α + ρq )σ j T  1 e − + ( ) ∑  − (3α + ρq )T 4 j =1  (3α + ρ q ) 1 − e 

F(x)= kx 3 , при x ≤ 0, x F(x ) = 0, (3α + ρq ) M 5 − e−(3α +ρq )γT M 5∗ 3β N 5 − e−(3α +ρq )γT N 5∗ при x > 0, + + + W4W *** W4W *** +

(

3β N − e

0

Примечание. В табл. П3 приняты следующие обозначения:

) cos ϕ − e(α +ρq )T cos (βT + ϕ ); 0 0 2(α +ρ q )T α +ρ q )T ( ∗ ∗ cos ϕ − e cos βT + ϕ∗ ; M =e M =e

(

2 α +ρ q T

(

0

(

0

)

) cos ϕ − βσ T − e( ) cos βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j ) 2(α +ρ q )T α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ cos ϕ − βσ T − e cos βT + ϕ − βσ T ; M =e M1 = e

2 α +ρ q T

1

(

)

j

0

(

)

j

0

) cos 2ϕ − e(2α +ρq )T cos 2 (βT + ϕ ); 0 0 2(2α +ρq )T 2α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ cos 2ϕ − e cos 2 βT + ϕ ; M =e M2 = e

(

α +ρ q T

2 2α +ρ q T

2

(

0

(

)

0

) cos 2 ϕ − βσ T − e( ) cos 2 βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j ) 2(2α +ρ q )T 2α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ M =e cos 2 ϕ − βσ T − e cos 2 βT + ϕ − βσ T ; M3 = e

2 2α +ρ q T

2α +ρ q T

(

3

j

)

(

0

)

j

) cos3ϕ − e(3α +ρq )T cos3 (βT + ϕ ); 0 0 2(3α +ρ q )T 3α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ M =e cos3ϕ − e cos3 βT + ϕ ; M4 = e

(

0

2 3α +ρ q T

4

(

0

(

0

)

) cos3 ϕ − βσ T − e( ) cos 3 βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j ) 2(3α +ρ q )T 3α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ cos3 ϕ − βσ T − e cos3 βT + ϕ − βσ T ; M =e M5 = e

2 3α +ρ q T

3α +ρ q T

(

5

)

(

) sin ϕ − e(α +ρq )T sin (βT + ϕ ); 0 0 2(α +ρq )T α +ρq )T ( ∗ ∗ sin ϕ − e sin βT + ϕ∗ ; N =e N =e

(

j

0

j

0

)

2 α +ρ q T

(

0

(

0

)

) sin ϕ − βσ T − e( ) sin βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j ) 2(α +ρ q )T α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ sin ϕ − βσ T − e sin βT + ϕ − βσ T ; N =e N1 = e

2 α +ρ q T

1

(

j

0

)

(

j

0

) sin 2ϕ − e(2α +ρq )T sin 2 (βT + ϕ ); 0 0 2(2α +ρ q )T 2α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ N =e sin 2ϕ − e sin 2 βT + ϕ ; N2 = e 2

(

α +ρ q T

)

2 2α +ρ q T

(

0

(

0

)

) sin 2 ϕ − βσ T − e( ) sin 2 βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j ) 2(2α +ρ q )T 2α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ N =e sin 2 ϕ − βσ T − e sin 2 βT + ϕ − βσ T ;

N3 = e

2 2α +ρ q T

3

(

0

j

)

(

) sin 3ϕ − e(3α +ρq )T sin 3 (βT + ϕ ); 0 0 2(3α +ρ q )T 3α +ρ q )T ( ∗ ∗ ∗ sin 3ϕ − e sin 3 βT + ϕ ; N =e N4 = e 4

352

(

2α +ρ q T

2 3α +ρ q T

0

(

0

)

0

j

)

) sin 3 ϕ − βσ T − e(3α +ρq )T sin 3 βT + ϕ − βσ T ; (0 j ) ( 0 j ) 2(3α +ρq )T (3α +ρq )T sin 3 βT + ϕ∗ − βσ T ; sin 3 ϕ∗ − βσ T − e N∗ = e N5 = e

(

2 3α +ρ q T

(

5

j

0

)

(

0

j

)

ϕ∗0 = −βγT + ϕ0 ;

) − 2e(α +ρq )T cosβT + 1; 2(2α +ρ q )T (2α +ρq )T cos 2βT + 1; W* = e − 2e W =e

(

2 α +ρ q T

) − 2e(3α +ρq )T cosβT + 1; 2(3α +ρ q )T (3α +ρq )T cos3βT + 1. W *** = e − 2e W ** = e

(

2 3α +ρ q T

(

W1 = (α + ρ q )2 + β2 ; W2 = 2α + ρ q

(

W3 = 3α + ρ q

)

2

(

)

2

+ β2 ; W4 = 3α + ρ q

+ 4β2 ;

)

2

+ 9β2 .

353

Оглавление Предисловие ...................................................................................................... 3 От редактора ...................................................................................................... 5 Глава 1. Обзор методов исследования нелинейных импульсных систем автоматического управления ............................................... 10 1.1. Исследование устойчивости нелинейных импульсных систем управления ............................................................................. 10 1.2. Синтез нелинейных импульсных систем автоматического управления ............................................................ 16 Глава 2. Общая схема решения задачи параметрического синтеза систем автоматического управления обобщенным методом Галеркина .. 24 2.1. Математические модели импульсных элементов ........................... 24 2.2. Постановка задачи синтеза и общая схема ее решения ................. 31 2.3. Построение математической модели желаемого программного движения произвольно высокого порядка .......................... 36 2.4. Аппроксимация программного движения высокого порядка основными составляющими и выбор системы координатных функций ............................................................................................... 48 2.5. Синтез импульсных САУ с несколькими нелинейными элементами ......................................................................................... 61 Глава 3. Синтез кусочно-линейных систем управления с амплитудноимпульсной модуляцией .................................................................... 67 3.1. Системы автоматического управления с идеальным импульсным модулятором ................................................................ 67 3.2. Взаимосвязь интегральных соотношений амплитудно-импульсных и непрерывных систем управления .................................. 74 3.3. Синтез импульсных систем управления с однозначными кусочнолинейными характеристиками произвольного вида ........................ 81 3.4. Синтез импульсных САУ с учетом конечной длительности замыкания импульсного элемента .................................................... 86 3.5. Синтез импульсных САУ с неоднозначными нелинейными элементами ......................................................................................... 102 3.6. Синтез кусочно-линейных САУ при программных движениях произвольного вида ........................................................ 105 3.7. Синтез систем управления с АИМ при не стационарности параметров объекта управления ....................................................... 112 Глава 4. Синтез нелинейных сау с широтно- и частотно-импульсной модуляцией ......................................................................................... 119 4.1. САУ с широтно-импульсной модуляцией ........................................ 119 4.2. САУ с частотно-импульсной модуляцией ........................................ 127

354

4.3. Частотно-импульсные модуляторы 1-го рода ................................ 4.4. Частотно-импульсные модуляторы 2-го рода ................................ 4.5. Синтез систем управления с широтно- и частотно-им-пульсной модуляцией, содержащих нелинейные объекты управления ......... Глава 5. Синтез параметров дискретных систем управления ........................ 5.1. Параметрический синтез дискретных регуляторов линейных САУ .................................................................................... 5.2. Синтез несинхронных дискретных САУ ........................................... 5.3. Синтез нелинейных дискретных САУ ............................................... Глава 6. Синтез параметров систем автоматического управления с алгебраическими нелинейными характеристиками ...................... 6.1. Методы аппроксимации нелинейных характеристик ....................... 6.2. Синтез параметров систем управления при алгебраической (степенной) аппроксимации характеристик нелинейных элементов ..... 6.3. Синтез параметров систем управления, содержащих нелинейные элементы с несимметричными характеристиками ..... 6.4. Параметрический синтез систем, содержащих объекты управления с экстремальными характеристиками .......................... Глава 7. Алгоритм программного комплекса ................................................. 7.1. Алгоритм программного комплекса, реализующего обобщенный метод Галеркина для САУ различных классов ........ 7.2. Алгоритм программы определения точек переключения типовых кусочно-линейных характеристик ..................................... Глава 8. Примеры решения прикладных задач с помощью программного комплекса ............................................................................................ 8.1. Примеры синтеза параметров непрерывных систем управления .......................................................................................... 8.2. Примеры синтеза систем управления с АИМ .................................. 8.3. Примеры синтеза систем управления с ШИМ и ЧИМ ................... 8.4. Примеры синтеза САУ с дискретной коррекцией ........................... 8.5. Примеры синтеза непрерывных и импульсных систем управления, содержащих алгебраические нелинейности ............... Выводы .............................................................................................................. Библиографический список .............................................................................

130 141 151 154 154 169 177 184 184 192 200 206 236 236 242 269 269 274 290 294 298 304 306

Приложение ............................................................................................. 319

355

Научное издание

Никитин Алексей Владимирович Шишлаков Владислав Федорович

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Монография

Редактор А. В. Семенчук Компьютерная верстка А. Н. Колешко Сдано в набор 25.03.03. Подписано к печати 02.12.03. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л.20,69. Усл. кр.-отт. 20,82. Уч. -изд. л. 23,33. Тираж 150 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67