Небесная механика. Общий курс

Глава 13. Задача трех тел 13.1. Уравнения задачи Рассмотрим движение трех материальных точек P0, P1, P2, обладающих масс...

Author: Герасимов | Мушаилов

6 downloads 196 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Глава 13. Задача трех тел 13.1. Уравнения задачи Рассмотрим движение трех материальных точек P0, P1, P2, обладающих массами m0, m1 и m2 соответственно. Пусть P1 и P1 удалены от P0 на расстояния r1 и r2, а Δ — их взаимное расстояние (рис. 87). Введем систему координат Якоби: положение P1 будем описывать в прямоугольной системе ξ1η1ζ1, начало которой совмещено с P0 *) . Координаты точки P2 зададим в системе ξ2η2ζ2 с осями, параллельными осям системы ξ1η1ζ1 и m1 с началом в точке G, являющейся центром масс P0 и P1, так что | P0G |= | P0 P1 | . m0 + m1 Тогда, полагая ξ i = x3i−2 , ηi = x3i −1 , ζ i = x3i (i = 1, 2), можно записать уравнения движения точек P1 и P2 в виде системы 12-го порядка

νi

d 2 xk ∂U = , dt 2 ∂xk

(13.1.1)

в которой k = 1, 2, ..., 6, i = 1 при k ≤ 3, i = 2 при k > 3, U = f (m0 m1r1−1 + m0 m2 r2−1 + m2 m1Δ−1 ),

ν1 =

m0 m1 m (m + m1 ) , ν2 = 2 0 , m0 + m1 m0 + m1 + m2 3

3

j =1

j =1

r12 = ∑ x 2j , r22 = ∑ (ν 1m0−1 x j + x j +3 ) 2 , 3

Δ2 = ∑ (ν 1m1−1 x j − x j +3 ) 2 .

(13.1.2) (13.1.3) (13.1.4) (13.1.5)

j =1

Предположим теперь, что m0 >> m1 и m0 >> m2 (случай планетного варианта задачи). Тогда можно ввести малый параметр μ, полагая Следовательно, Здесь

β1 =

*)

m1/m0 = γ1μ, m2/m0 = γ2μ.

(13.1.6)

ν1 = μm0β1, ν2 = μm0β2.

(13.1.7)

γ1 γ (1 + μγ 1 ) , β2 = 2 . 1 + μγ 1 1 + μ (γ 1 + γ 2 )

(13.1.8)

В координатах Якоби, в отличие от относительной системы координат с центром в P0 (когда каждая гравитирующая материальная точка характеризуется собственной возмущающей функцией), возмущающая функция R формально является единой для всех гравитирующих материальных точек системы (см. (13.1.9)-(13.1.11)).

410

Часть III. Основные задачи небесной механики

ζ2 ζ1

G

η2

ξ η1 2

P0

P1

r r1

r Δ1

ξ1

r Δ

v r2

P2 Рис. 87. Вводя теперь функцию W = U/(μm0) и представляя ее в виде суммы W = fm0γ 1r1−1 + fm0γ 2 Δ−11 + R,

(13.1.9)

где Δ1 = ( x42 + x52 + x62 )1 / 2 — расстояние GP2, а R = fm0γ 2 ( μγ 1Δ−1 + r2−1 − Δ−11 ),

(13.1.10)

мы можем переписать уравнения (13.1.1) в виде

βi

d 2 xk ∂W = , dt 2 ∂xk

(13.1.11)

где k = 1, 6, i = 1 при k ≤ 3 и i = 2 при k > 3, а смысл величин β1 и β2 будет пояснен далее. Перейдем к сферическим координатам (см. раздел 1.6), которые будем обозначать через qk (k = 1,6) : x3i −2 = q3i −2 cos q3i cos q3i −1 ,

x3i −1 = q3i −2 sin q3i cos q3i −1 ,

(13.1.12)

x3i = q3i −2 sin q3i −1 , и введем соответствующие им импульсы dq3i −2 , dt dq = β i q32i −2 3i −1 , dt

p3 i − 2 = β i p3i −1

p3i = β i q32i −2 cos 2 q3i −1

(13.1.13) dq3i , dt

где i = 1, 2. Тогда уравнения движения точек P1 и P2 примут каноническую форму

dq ∂Φ = , dt ∂p

dp ∂Φ =− . dt ∂q

(13.1.14)

Глава 13. Задача трех тел

411

Здесь q и p — 6-мерные векторы, Ф = T − W, 2

T =∑ i =1

W =

Определим (см. раздел 2.1)

1 2β i

χ1 q1

теперь

⎧⎪ 1 ⎨ ∑ i =1 ⎪ 2 β i ⎩ 2

⎞ ⎛ 2 1 1 ⎜⎜ p3i −2 + 2 p32i −1 + 2 p32i ⎟⎟, 2 q 3i − 2 q3i −2 cos (q3i −1 ) ⎠ ⎝ +

χ2 q4

χ 1 = fm0γ 1 , χ 2 = fm0γ 2 .

+ R,

функцию

преобразования

⎡⎛ ∂S ⎞ 2 1 ⎟⎟ + 2 ⎢⎜⎜ q3 i − 2 ⎢⎣⎝ ∂q3i −2 ⎠ +

(13.1.15)

S

как

(13.1.16) решение

уравнения

2

⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ q ∂ 3 i − 1 ⎠ ⎝

q

2 3i − 2

⎛ ∂S 1 ⎜ 2 cos (q3i −1 ) ⎜⎝ ∂q3i

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ χ ⎫⎪ ⎥ − i ⎬ = C, ⎥⎦ q3i −2 ⎪⎭

(13.1.17)

где C — некоторая константа. Разыскивая S в виде S = S1(q1,q2,q3) + S2(q4,q5,q6), получим два уравнения

1 2β i

⎡⎛ ∂S ⎢⎜⎜ ⎢⎣⎝ ∂q3i − 2

2

⎞ 1 ⎟ + 2 ⎟ q 3i − 2 ⎠

2

⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ∂q ⎟ + q 2 cos 2 (q ) ⎜ ∂q 3i − 2 3i −1 ⎝ 3i ⎝ 3i −1 ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎤ χ ⎥ − i = Сi (13.1.18) ⎥⎦ q3i − 2

(i = 1, 2), каждое из которых эквивалентно уже решенному в главе 2 уравнению (2.3.7). Чтобы убедиться в этом, достаточно последовательно положить в нем i = 1, 2 и m = βi, χ = χi, K = Ci. Используя результаты раздела 2.3, можно ввести шесть постоянных Li, Gi, Hi (i = 1, 2) и с их помощью представить S в виде: 1/ 2 ⎧⎪ ⎛ 2 β χ β i2 χ i2 ⎞ Gi2 i i − 2 − 2 ⎟⎟ dq3i −2 + S = ∑ ⎨∫ ⎜⎜ q3i −2 Li ⎠ i =1 ⎪ ⎝ q3i − 2 ⎩ 2

1/ 2

⎛ ⎞ H ⎟ + ∫ ⎜⎜ Gi2 − 2 cos q3i −1 ⎟⎠ ⎝ 2 i

⎫⎪ dq3i −1 +H i q3i + Ψi ( Li , Gi , H i )⎬, ⎪⎭

(13.1.19)

где i = 1, 2, а Ψi — произвольные функции своих аргументов. Определив сопряженные переменные выражениями li =

∂S ∂S ∂S , gi = , hi = , i = 1, 2 ∂Li ∂Gi ∂H i

(13.1.20)

и представив функцию Гамильтона F в виде суммы где

F = F0 + R,

(13.1.21)

412


F0 =

β1 χ12 2 L12

+

β 2 χ 22 2 L22

,

(13.1.22)

на основании результатов раздела 2.7 (с учетом (2.3.44)) можно записать уравнения движения точек P1 и P2 в новых переменных dLi ∂F = , dt ∂li dl i ∂F =− , dt ∂Li

dGi ∂F = , dt ∂g i

dH i ∂F = , dt ∂hi

dg i ∂F =− , dt ∂Gi

dhi ∂F =− , i = 1, 2. dt ∂H i

(13.1.23)

Если положить R = 0 *) , то эти уравнения будут описывать кеплеровское движение точек с массами βi, происходящее по эллипсам, имеющим фокусы в точках P0 и G, размеры и форма которых характеризуются величинами ai и ei, а расположение в пространстве — углами ii, ωi, Ωi. Как следует из раздела 2.3, эти величины связаны с введенными элементами следующим образом: Li = β i χ i a i , Gi = L i 1 − ei2 , H i = Gi cos ii , li = ni (t − t 0 ), g i = ω i , hi = Ω i

(i = 1, 2),

(13.1.24)

причем средние движения ni равны ni =

β i χ i2 L3i

, i = 1, 2.

(13.1.25)

13.2. Первые интегралы Уравнения задачи трех тел (13.1.14) или (13.1.23) допускают существование нескольких простых интегралов. Прежде всего, ввиду автономности системы (13.1.14), мы имеем интеграл "живых сил" (интеграл энергии)

Ф = const.

(13.2.1)

Согласно разделу 1.6, преобразование от сферической к прямоугольной системе координат (а также обратное преобразование) не изменяет канонической формы уравнений движения. Поэтому далее перейдем от сферических координат qk (13.1.12) к прямоугольным координатам xk (k = 1,6), удовлетворяющим уравнениям вида (1.6.27), и заметим, что силовая функция U зависит только от взаимных расстояний тел P0, P1 и P2 (и не зависит от выбора осей координат). В этой связи сообщим системе координат xk бесконечно малое вращение ε вокруг оси x1. Тогда координаты x1 и x4 не изменятся, в то время как x2 и x5 превратятся в а x3 и x6 — в *)

x2 − x3ε, x5 − x6ε,

Функцию R вида (13.1.10) принято называть возмущающей функцией.


413

x3 + x2ε, x6 + x5ε . Но функция U не должна измениться (dU = 0), поэтому, учитывая, что T не зависит от координат xk (k = 1,6), получим x3

∂F ∂F ∂F ∂F − x2 + x6 − x5 = 0. ∂x2 ∂x3 ∂x5 ∂x6

Ввиду уравнений (1.6.27) и учитывая, что согласно (1.6.14), (1.6.15) y3i x&3i −1 − y3i −1 x&3i ≡ 0, имеем Hˆ 1 = x2 y3 − x3 y 2 + x5 y6 − x6 y5 = const , Hˆ = x y − x y + x y − x y = const , (13.2.3) 2

3 1

1 3

6

4

4

6

Hˆ 3 = x1 y 2 − x2 y1 + x4 y5 − x5 y 4 = const.

Последние два соотношения получены аналогично первому, и все они носят название интегралов площадей. Учитывая выражения (13.1.12), (13.1.13), приведенные интегралы площадей нетрудно выписать и в сферических переменных qk , pk (k = 1,6), но они при этом будут иметь менее компактный вид. 13.3. Понижение порядка Обратимся к интегралам площадей. Легко получить, что

{Hˆ , Hˆ }= Hˆ , {Hˆ , Hˆ } = Hˆ , {Hˆ , Hˆ } = Hˆ . 1

2

3

2

3

1

3

1

2

(13.3.1)

Поскольку эти скобки Пуассона (см. раздел 1.7) не равны нулю, то знание этих интегралов не позволяет понизить до трех число степеней свободы системы (1.6.27) (или системы (13.1.14)). Однако всегда можно найти две комбинации этих интегралов ϕ ( Hˆ 1 , Hˆ 2 , Hˆ 3 ), ψ ( Hˆ 1 , Hˆ 2 , Hˆ 3 ), такие, что {ϕ,ψ} = 0.

(13.3.2)

Действительно, в нашем случае достаточно взять Hˆ 1 и

ϕ = Hˆ 12 + Hˆ 22 + Hˆ 32 .

(13.3.3)

{ϕ , Hˆ 1} = 0

(13.3.4)

Тогда легко видеть, что и после соответствующих преобразований (см. раздел 2.10) рассматриваемую систему можно свести к системе с четырьмя степенями свободы. Далее, если воспользоваться интегралом (13.2.1), то мы придем к трем степеням свободы, и значит, к системе 6-го порядка. Несложно установить, что в случае плоских движений исходная система преобразуется лишь к системе 4-го порядка. Следовательно, проинтегрировать (в квадратурах) задачу трех тел в общем виде аналитически не удается [19, 42, 47].

414


13.4. Разложение возмущающей функции Рассмотрим структуру возмущающей функции R, входящей в гамильтониан (13.1.21) или (13.1.14)-(13.1.16). Согласно (13.1.10), R является голоморфной (то есть регулярной) функцией от μ. Кроме того, она не изменяется при увеличении любой из переменных li, gi, hi (i = 1, 2) на 2π, так что функцию R можно представить в виде ряда *) 2

R = R0 + μR1 + μ R2 + ...,

(13.4.1)

в котором все R1, R2, ... являются периодическими функциями от переменных li, gi, hi (i = 1, 2). Получим выражение для наиболее существенного (при μ q. Применение операторов Ньюкома к функции (13.4.22) сводится, таким образом, к необходимости вычисления сомножителей вида

[

]

D l α m L(nk ) (α ) , l = 0, q + q ′ (n = 1, 3, ...; k = 0, ± 1, ...; m = 0,1, ...).

(13.4.23)

И так как d d2 ⎛ d ⎞ D012 = D01 ⎜α +α 2 , ⎟ =α dα dα 2 ⎝ dα ⎠ 3 d d2 3 d =α + 3α + α , ... , dα dα 2 dα 3

D01 = α

D010 = 1,

( )

3 D01 = D01 D012

d , dα

то проблема определения значений (13.4.23), а следовательно, и коэффициентов N pq,,qp′′ в степенном ряду (13.4.20), связана с нахождением коэффициентов Лапласа и их производных, вычисление которых уже было подробно рассмотрено в разделе 10.4. Если, в частности, выделить в разложении (13.4.20) для F1,2 часть, не зависящую

[

]

от средних аномалий, l1 и l2, и ограничиться слагаемыми порядка O e1q e1q′σ 2 m , для которых q + q′ +2m ≤ 2, то на основании (10.5.13), (13.4.18), (13.4.19), с учетом (10.6.25), (13.4.6) и (13.4.21), для рассматриваемого слагаемого возмущающей функции (13.4.1) будем иметь *) mγ γ ⎡ 1 μR1 = fμ 0 1 2 ⎢2 L1( 0 ) (α ) + αL(31) (α )(e12 + e 22 − 4σ 2 ) − 4a 2 ⎣ 2 (13.4.24)

]

− αL(32) (α )e1 e 2 cos(ω 2∗ − ω 1∗ ) , *)

Как следует из (10.3.6), при k = 0 и n = 1

αL(31) = 2α 2 L(30 ) − α 2

dL( 0 ) d 2 L1( 0 ) dL1( 0 ) d 2 L1( 0 ) , так что αL(31) = 2α 1 + α 2 . Аналогично + 2α 2 2 ∂α ∂α dα ∂α 2 d 2 L1(1) dL1(1) =α2 + 2 − 2 L1(1) . α ∂α 2 dα

но, согласно (10.3.8), 2α 2 L(30 ) = 2α нетрудно показать, что αL(32 )

d 2 L1( 0 ) , ∂α 2


419

где α = a1/a2. Таким образом, в системе координат Якоби возмущения, действующие на каждую из гравитирующих материальных точек P1 и P2, характеризуются единой (ненормированной) возмущающей функцией вида (13.1.10) и (13.4.1). При этом, ввиду определения коэффициентов Лапласа, выбор нумерации этих материальных точек должен производиться так, чтобы α = a1/a2 < 1, то есть P1 должна быть "внутренней планетой" *) . Как уже отмечалось в разделе 13.1, в случае выбора относительной системы координат с центром в точке P0 ("центральное тело") каждая из гравитирующих материальных точек P1 и P2 будет уже характеризоваться, строго говоря, различной возмущающей функцией. Так возмущающая функция R12 для некоторой планеты (материальной точки) P1 с массой m1, обусловленная гравитационным воздействием со стороны "внешней планеты" P2 (для которой a2 > a1 ) с массой m2 будет иметь вид (см. (13.4.6), а также раздел 13.14) ⎛ 1 r cos H ⎞ R12 = fm2 ⎜⎜ − 1 2 ⎟⎟, (13.4.25) Δ r 2 ⎝ ⎠ а возмущающая функция R21 для "внешней планеты" P2, вызванная гравитационным влиянием со стороны "внутренней планеты" P1, будет определяться выражением

⎛ 1 r cos H ⎞ R21 = fm1 ⎜⎜ − 2 2 ⎟⎟ . r1 ⎝Δ ⎠

(13.4.26)

Первые слагаемые функций (13.4.25) и (13.4.26) с точностью до постоянного множителя совпадают, однако разложение в степенной ряд вторых слагаемых указанных функций приводит к различным результатам (нарушение симметрии связано с требуемым для коэффициентов Лапласа ограничением α < 1). Как следует из (10.5.1) и (10.5.12), в случае нулевых эксцентриситетов орбит P1 и P2 второе слагаемое в R12 имеет вид: fm2 (13.4.27) − α (1 − σ 2 ) cos(λ1 − λ2 ) + ασ 2 cos(λ1 + λ2 ) , a2

[

]

где α = a1/a2 < 1. А второе слагаемое в (13.4.26) при нулевых эксцентриситетах орбит равно fm (13.4.28) − 1 α −2 (1 − σ 2 ) cos(λ1 − λ 2 ) + α −2σ 2 cos(λ1 + λ 2 ) . a2

[

]

Здесь также α = a1/a2 < 1. И для получения искомых разложений вторых слагаемых возмущающих функций (13.4.25) и (13.4.26) необходимо применить рассмотренные выше операторы Ньюкома к выражениям (13.4.27) и (13.4.28).

*)

Следует заметить, что если в (10.5.2), (10.5.11), (13.4.7) и далее в качестве α выбрать α = a2/a1, то получающаяся в итоге возмущающая функция вида (13.4.1), (13.4.6), (13.4.20) будет отвечать случаю a2/a1 < 1, то есть когда P2 — "внутренняя планета".

420


13.5. Теоремы Брунса и Пуанкаре Покажем теперь, что в абсолютной системе координат уравнения движения задачи трех тел допускают существование десяти первых интегралов, называемых классическими: шести интегралов движения центра масс, трех интегралов площадей и интеграла энергии (см. раздел 13.2). Эти интегралы являются следствиями физических принципов: сохранения движения центра масс, сохранения кинетического момента и сохранения полной энергии системы. Рассмотрим движение трех материальных точек P1, P2 и P3, взаимодействующих по ньютоновскому закону, в прямоугольной инерциальной системе координат ξηζ. Координаты точек Pi ( i = 1,3 ) обозначим через ξi, ηi, ζi, а массы — через mi. Производную по времени t условимся обозначать точкой над соответствующей переменной. Тогда кинетическая энергия системы представится формулой [24]: T=

(

)

1 3 mi ξ&i2 + η&i2 + ζ&i2 , ∑ 2 i =1

(13.5.1)

а потенциальная функция примет вид

⎡m m m m m m ⎤ U = f ⎢ 1 2 + 1 3 + 2 3 ⎥, Δ13 Δ 23 ⎦ ⎣ Δ12

(13.5.2)

где Δ2kj = (ξ k − ξ j ) 2 + (η k − η j ) 2 + (ζ k − ζ j ) 2 ,

f — гравитационная постоянная (k = 1, 2; j = 2, 3). Уравнения движения материальных точек в рассматриваемом случае имеют вид mi

d 2ξ i ∂U d 2ηi ∂U d 2ζ i ∂U = , m = , m = i i dt 2 ∂ξ i dt 2 ∂ηi dt 2 ∂ζ i

Если ввести обозначения

z3i −2 = ξ i ,

z3i −1 = ηi ,

(i = 1,3).

z3i = ζ i

(13.5.3)

(13.5.4)

и условиться, что l = 3i + j − 3, когда индексы i и j принимают значения 1, 2, 3, то уравнения движения (13.5.3) запишутся более кратко: mi &z&l =

∂U . ∂z l

(13.5.5)

Из вида функции U, как легко видеть, следуют соотношения 3

∂U

∑ ∂z i =1

= 0,

j = 1, 2, 3 (l = j + 3i − 3),

(13.5.6)

l

при помощи которых из (13.5.5) находим три уравнения 3

∑ m z& i =1

где aj ( j = 1,3 ) — постоянные.

i l

= aj,

(13.5.7)


421

Интегрируя полученные соотношения, имеем 3

∑m z

= a jt + b j

i l

i =1

(l = j + 3i − 3).

(13.5.8)

Здесь bj ( j = 1,3 ) — также постоянные величины. Найденные шесть соотношений (13.5.7), (13.5.8) носят название интегралов движения центра масс *) . Из первых двух уравнений (13.5.3) имеем 3 && − ξ η&& ) = ⎛⎜η ∂U − ξ ∂U m ( η ξ ∑ ∑ i i i i i i ⎜ i ∂ξ ∂ηi i =1 i =1 ⎝ i 3

⎞ ⎟⎟, ⎠

но последнее выражение равно нулю в силу (13.5.2), так что 3

∑ m (η ξ&& − ξ η&& ) = 0. i

i =1

i i

i

(13.5.9)

i

Аналогично можно выписать еще два равенства. Но поскольку

η iξ&&i − ξ iη&&i = (η iξ&&i + η& iξ&i ) − (ξ&iη&i + ξ iη&&i ) =

(

)

d η iξ&i − ξ iη& i , dt

то интегрируя с учетом этого соотношения указанные равенства, будем иметь 3

3

∑ m (η ξ& − ξ η& ) = c , ∑ m (η ζ& i =1

i

i i

i

i

1

i

i =1

i

i

− ζ iη&i ) = c2 ,

3

∑ m (ξ ζ& i =1

i

i

i

− ζ iξ&i ) = c3 . (13.5.10)

Полученные интегралы носят название интегралов площадей, или интегралов моментов количества движения. Наконец, из уравнений (13.5.3) найдем

⎛ ∂U & ∂U ∂U & ⎞ ξi + η&i + ζ i ⎟⎟, ∂ ∂ η ζ i =1 ⎝ i i i ⎠

3

3

∑ m (ξ& ξ&& + η& η&& + ζ& ζ&& ) = ∑ ⎜⎜ ∂ξ i =1

i

i i

i

i

i

i

или d d T = U, dt dt то есть мы приходим к интегралу энергии T − U = h,

(13.5.11)

где h — постоянная. Таким образом, мы вывели все десять классических интегралов задачи трех тел. *)

*

Из (13.5.7), (13.5.8) и определения центра масс G системы материальных точек P1, P2, P3: 3

Zj =

∑m z i =1

i

l

m1 + m 2 + m3

( j = 1,3, l = j + 3i − 3),

где Z 1 = ξ G , Z 2 = η G , Z 3 = ζ G , следует, что в прямоугольной инерциальной системе координат ξηζ ба∗

*

∗

∗

рицентр G движется равномерно (с постоянной скоростью) и прямолинейно.

422


Уравнения движения материальных точек P1, P2, P3 с массами m1, m2 и m3, соответственно, в переменных Якоби (позволяющих формально за счет шести интегралов движения понизить порядок системы до двенадцатого) согласно разделу 13.1 могут быть записаны в виде dqi ∂F dpi ∂F (13.5.12) = , =− , i = 1,6. dt ∂pi dt ∂qi Если центр масс тел P0, P1 обозначить через G, то компоненты вектора q1 = (q1 , q2 , q3 ) есть проекции отрезка P0P1 на неподвижные оси ξ1, η1, ζ1 (см. рис. 87), а

компоненты вектора q2 = (q4 , q5 , q6 ) — соответствующие проекции на оси координат ξ2, η2, ζ2 с центром в точке G отрезка GP2. Обобщенные импульсы в прямоугольных координатах определяются (в отличие от (13.1.13)) соотношениями p1 = ν 1

dq1 , dt

p2 = ν 2

dq2 , dt

(13.5.13)

где ν1 и ν2 определяются (13.1.3), а система (13.5.12) формально представляет собой уравнения движения материальных точек с массами ν1 и ν2 в потенциальном поле (см. рис. 87) ⎡ ⎤ mm 2m1 m12 (q1 , q2 ) + | q1 |2 ⎥ U = 0 1 + m0 m2 ⎢| q2 |2 + 2 | q1 | (m0 + m1 ) m0 + m1 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 2m0 m02 (q1 , q2 ) + | q1 |2 ⎥ + m1m2 ⎢| q2 |2 − 2 (m0 + m1 ) m0 + m1 ⎣ ⎦

−1 / 2

−1 / 2

+

(13.5.14)

с кинетической энергией T=

1 1 | p1 |2 + | p2 |2 2ν 1 2ν 2

(13.5.15)

и гамильтонианом F = T – U.

(13.5.16)

В (13.5.14) (q1 , q2 ) — скалярное произведение векторов q1 и q2 . Левые части десяти классических интегралов являются алгебраическими функциями от времени, координат и скоростей. Поэтому эти интегралы называют алгебраическими интегралами задачи трех тел. Более того, все интегралы, за исключением интеграла энергии, — рациональные функции от указанных величин, а интеграл энергии содержит иррациональность относительно координат. Было предпринято много попыток найти другие алгебраические интегралы этой задачи, не зависящие от десяти классических. Однако в 1887 году Г. Брунс доказал теорему о том, что классические интегралы являются единственными независимыми алгебраическими интегралами задачи трех тел. А значит, любой, не зависящий от времени алгебраический интеграл задачи трех тел есть алгебраическая комбинация классических интегралов [51]. Следует отметить, что теорема Брунса утверждает, что не существуют, кроме классических, интегралы, алгебраические относительно канонических переменных. От-


423

сюда, строго говоря, не следует отсутствие вообще алгебраических интегралов. П. Пенлеве в 1898 году обобщил теорему Брунса, доказав ее для N > 3 тел. Рассмотрим несколько модифицированный вариант теоремы Брунса, доказанный А. Пуанкаре в 1889 году. Ограничимся случаем, когда одна из трех материальных точек P2 ничтожно малой массы пассивно гравитирует в поле центрального тела (материальной точки) P0 единичной массы (m0 = 1) и возмущающего P1, движущегося по окружности единичного радиуса с центром в P0 и массой m1 = μ x1 > x0 (рис. 90а). Тогда, выбирая единицу времени так, чтобы гравитационная постоянная была равна единице, условия вращения с постоянной угловой скоростью n * материальных точек P0, P1 и P2 относительно центра масс G будут иметь вид *) − n 2 x0 =

m1 m2 , + 2 ( x1 − x0 ) ( x 2 − x0 ) 2

n 2 x1 =

m0 m2 , − 2 ( x1 − x0 ) ( x2 − x1 ) 2

n 2 x2 =

m0 m1 . + 2 ( x2 − x1 ) ( x 2 − x0 ) 2

(13.7.2)

Полагая z=

x2 − x1 , x1 − x0

(13.7.3)

из (13.7.2) получим ⎡ m2 ⎤ , − n 2 x0 = ( x1 − x0 ) −2 ⎢m1 + (1 + z ) 2 ⎥⎦ ⎣ m ⎤ ⎡ n 2 x1 = ( x1 − x0 ) −2 ⎢m0 − 22 ⎥, z ⎦ ⎣

(13.7.4)

⎡m m0 ⎤ . n 2 x2 = ( x1 − x0 ) −2 ⎢ 21 + (1 + z ) 2 ⎥⎦ ⎣z Складывая затем почленно первые два уравнения (13.7.4) и вычитая из третьего уравнения второе, найдем n2 (x1 − x0 ) = (x1 − x0 )−2 { m0 + m1 − m2 [z−2 − (1+ z)−2 ] } , ⎫ ⎧m + m n2 (x2 − x1 ) = (x1 − x0 )−2 ⎨ 1 2 2 − m0 [1− (1+ z)−2 ]⎬ , ⎭ ⎩ z или, с учетом (13.7.3), m0 z 2 [(1 + z ) 3 − 1] + m1 (1 + z ) 2 ( z 3 − 1) + m2 [ z 3 − (1 + z ) 3 ] = 0.

(13.7.5)

Левая часть получившегося уравнения пятой степени относительно z = ( x2 − x1 ) ( x1 − x0 ), принимает отрицательное значение при z → 0 (когда x2 → x1) и

*)

Если обе части каждого из уравнений (13.7.2) умножить соответственно на (−m0), m1 и m2 и сложить все три получившихся равенства, то мы получим уравнение (13.7.1) для барицентрических координат * x0, x1 и x2, отсчитываемых от центра масс G системы, совпадающего с началом координат (точка O).

436


положительное — при z → ∞ (x1 → x0). Следовательно, уравнение (13.7.5) имеет по меньшей мере один положительный вещественный корень zˆ *) . Так как (13.7.2) является системой из трех уравнений (при этом уравнение (13.7.1) не является независимым) относительно четырех переменных (n, x0, x1, x2), то положительному корню zˆ соответствует бесчисленное множество частных решений, при которых три материальные точки P0, P1 и P2 будут располагаться на фиксированных (постоянных) расстояниях друг от друга на одной прямой, вращающейся равномерно вокруг общего центра масс системы. Если зафиксировать величину x1 ≠ 0 **) , то по значению положительного корня zˆ уравнения (13.7.5) из (13.7.1) и (13.7.3) однозначно можно определить m (1 + zˆ ) + m1 zˆ m + m2 (1 + zˆ ) (13.7.6) x0 = x1 1 , x2 = x1 0 , m2 zˆ − m0 m0 − m2 zˆ а также из второго уравнения (13.7.4) угловую скорость n: n2 =

(m0 zˆ 2 − m2 )(m2 zˆ − m0 ) 2 . x13 zˆ 2 (m0 + m1 + m2 ) 2

(13.7.7)

Если же считать угловую скорость n заданной величиной, то из (13.7.6), (13.7.7) однозначно вычисляются расстояния между точками P0, P1 и P2. Изменяя порядок расположения материальных точек на оси OX (так что "внутренними точками" будут последовательно P2 и P0), мы таким образом получим еще два семейства частных (коллинеарных) решений (см. рис. 90б, в). При m0 > m1 >> m2 (так называемый ограниченный вариант задачи трех тел) точку P2 на рис. 90а принято называть коллинеарной точкой либрации L2, в случае, изображенном на рис. 90б — точкой либрации L1, а точку P2 на рис. 90в — точкой либрации L3. В случае частных решений задачи трех тел, при которых гравитирующие материальные точки P0, P1 и P2 образуют равносторонние треугольники, равномерно вращающиеся в плоскости своего движения, как было показано в предыдущем разделе, выполняется условие (13.6.16): m0 + m1 + m2 = n 2 a 3 , позволяющееся по угловой скорости вращения n определить расстояние между материальными точками P0, P1, P2 указанного движения. При этом поскольку размеры равно*)

Поскольку коэффициенты уравнения (13.7.5) (m0 + m1 ) z 5 + (3m0 + 2m1 ) z 4 + (3m0 + m1 ) z 3 − (m1 + 3m 2 ) z 2 − (2m1 + 3m 2 ) z − (m1 + m 2 ) = 0 "изменяют знак" лишь один раз (коэффициенты при старших степенях до z3 включительно — положительны, а все остальные коэффициенты — отрицательны), то, согласно теореме Декарта, рассматриваемое уравнение имеет только один положительный корень при любых положительных значениях масс m0, m1 и m2. При x1 = 0 (точка P1 располагается в центре масс системы), очевидно, что m0 = m2 и x0 = − x2 ( zˆ = 1) , так что из (13.7.2) получим 1 − n 2 x 03 = m1 + m0 . 4

**)


437

стороннего треугольника на плоскости (x,y) однозначно определяются заданием координат двух точек, например, (x0,y0) и (x1,y1), то для "треугольных частных решений" задачи трех тел четыре переменные (например x0, y0, x1, y1) являются произвольными постоянными. Если в начальный момент времени t0 выбрать y0 = y1 = 0 и x1 > 0 > x0, то материальная точка P2 с массой m2 может занимать одно из двух положений L4 или L5 на рис. 91. Координаты этих точек в момент времени t0, очевидно, будут равны x2 =

1 ( x0 + x1 ), 2

y2 = ±

3 ( x1 − x0 ). 2

В системе координат XOY точки P0, P1 и P2 будут равномерно вращаться вокруг *

центра масс G с угловой скоростью n = a −3 / 2 m0 + m1 + m2 . *

*

А в системе координат ξG η с центром в точке G (в центре масс системы), равномерно вращающейся с угловой скоростью n, материальные точки P0, P1 и P2 рассматриваемого решения будут образовывать неподвижный равносторонний треугольник, стороны которого будут равны a = x1 − x0 *) . y P2(x2,y2)

L4 *

P0(x0,0)

P1(x1,0)

G 0

x

*

G

L5 P2(x2,−y2)

Рис. 91. Исследуем на устойчивость рассмотренные выше частные решения задачи трех тел. Пусть в невозмущенном движении материальные точки P0, P1 и P2 все время располагаются в вершинах равностороннего треугольника, двигаясь вокруг их общего центра масс по круговым орбитам. Тогда эти "треугольные решения" будем считать устойчивыми, если в "возмущенном движении" треугольник, образованный точками P0, P1 и P2 при t → ∞ будет сколь угодно мало отличаться от равностороннего. Согласно результатам предыдущего раздела, "треугольные решения" канонической системы (13.6.9) имеют вид (см. (13.6.11)-(13.6.15))

*)

Если m2 0,

(13.7.13)

которое, с учетом того, что α1 = 3λ − 2, α2 = 1 − 3λ равносильно следующему неравенству: (13.7.14) 1 − 36λ (1 − λ ) > 0. При выполнении условий (13.7.12)-(13.7.14) гамильтониан системы (13.7.9) в новых переменных ξ j , η j ( j = 1,4) будет иметь вид: F=

Здесь

β1 =

ε 11 2 1

2c

, ε 11 = 1 +

γ 1 = c12ε 12 , ε 12 = β2 =

ε 21 2c12

, ε 21

(

)

1 4 β j ξ j2 + γ jη j2 . ∑ 2 j =1

c1 [4 − (α1 − α 2 )] , 2

1+

c1 [4 + α1 − α 2 ] 2 ,

ε 11

(13.7.16)

c = 1 − 1 [4 + α1 − α 2 ] , 2

γ 2 = c12ε 22 , ε 22 =

(13.7.15)

1−

c1 [4 − (α1 − α 2 )] 2 ,

ε 21

β 3 = β 4 = 1, γ 3 = γ 4 = 1.

Коэффициенты γ1 и γ2 являются положительными величинами, так как *)

*)

Величины ε11 и ε21 отличны от нуля, поскольку, согласно (13.7.12), при i = 1, 2

ε i1 = 1 ± 2c1 −

α1 − α 2 m 4 c1 (α 1 − α 2 ) = 1 ± , 2 γ (α 1 + α 2 ) + (α 1 − α 2 ) 2

и равенство εi1 нулю возможно, лишь когда

(α 1 − α 2 m 4) 2 = 8(α 1 + α 2 ) + (α 1 − α 2 ) 2 , или 2 m (α 1 − α 2 ) = α 1 + α 2 , то есть одна из величин α1, α2 равняется единице (или одновременно

α1 = α2 = 1). Но ввиду того, что α1 =3λ − 2, α2 = 1 − 3λ и, согласно (13.7.10), λ ≠ 0 и 1, то в рассматриваемом случае величины α1 и α2 не могут быть равны единице, а значит, ε11 и ε21 не обращаются в

нуль.

440


⎤ ⎡ c12 2 ε i 2 = ε ⎢(1 ± 2c1 ) − (α1 − α 2 ) 2 ⎥ (i = 1,2), 4 ⎦ ⎣ −2 i1

и с учетом (13.7.12),

ε i2 =

{

}

8ε i−12 α1 + α 2 + 2 ± 8(α1 + α 2 ) + (α1 − α 2 ) 2 . 8(α1 + α 2 ) + (α1 − α 2 ) 2

Поэтому, поскольку α1 + α2 + 2 = 1 > 0 и

(α1 + α 2 + 2) 2 − [8(α1 + α 2 ) + (α1 − α 2 ) 2 ] = (α1 + α 2 − 2) 2 − (α1 − α 2 ) 2 = 4(1 − α1 )(1 − α 2 ), при этом, согласно (13.7.10),

(1 − α1 )(1 − α 2 ) = 9λ (1 − λ ) > 0,

то заключаем, что в рассматриваемом случае ε12 и ε22, а следовательно, и γ 1 = с12ε 12 ,

γ 2 = с12ε 22

(c1 ≠ 0) действительно являются положительными величинами. Если теперь произвести еще одну каноническую замену переменных, то есть перейти от ξ j , η j к переменным ξ ∗j , η ∗j ( j = 1,4) вида (1.4.6):

ξ j = γ 1j / 4 2ξ ∗j cosη ∗j , η j = γ −j 1 / 4 2ξ ∗j sin η ∗j ,

(13.7.17)

то получившаяся каноническая система

dξ ∗j

∂F = ∗, dτ ∂η j

dη ∗j dτ

=−

∂F ∂ξ ∗j

с гамильтонианом 4

F = ∑ ω jξ ∗j

( j = 1,4),

j =1

в котором | ω j |=| β j γ 1j / 2 | — соответствующие частоты, легко интегрируется в виде

ξ ∗j = const j , η ∗j − η ∗j 0 = −ω j (τ − τ 0 ). Таким образом, на основании (13.7.11), (13.7.16) и (13.7.17) для решения исходной ("возмущенной") системы (13.7.9) получим следующие выражения: ⎛ ξ i ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1/ 4 ⎛c ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟γ i Ai cos(ω iτ + τ 0,i ) − ⎜⎜ 1 ⎟⎟γ 3−−1i/ 4 A3−i sin(ω 3−iτ + τ 0,3−i ), ⎝η3−i ⎠ ⎝ c2 ⎠ ⎝ c3 ⎠ ξ l = Al cos(τ + τ 0,l ), ηl = − Al sin(τ + τ 0,l ); i = 1,2, l = 3,4,

(13.7.18)

где A j , τ 0, j ( j = 1,4) — произвольные постоянные. Из вида полученных решений (13.7.18) непосредственно следует, что для устойчивости нулевого решения канонической системы (13.7.9), а следовательно, и устойчивости по первому приближению "треугольных решений" (13.7.8) задачи трех тел, необходимо, чтобы коэффициенты (частоты) ω i = β iγ i1 / 2 (i = 1, 2) были вещественными ве-


441

личинами, так как в противном случае решения (13.7.18) будут "экспоненциально расходящимися" при τ → ∞. Согласно (13.7.16), частоты ωi (i= 1, 2) будут вещественными величинами, если будет выполняться неравенство (13.7.13), или (13.7.14) (при этом коэффициент c1 является вещественной конечной величиной) 36λ(1 − λ) < 1, из которого, с учетом (13.7.10), получим искомое условие устойчивости частных решений (13.7.8) задачи трех тел в виде *) (m0 + m1 + m2 ) 2 > 27. m0 m1 + m1m2 + m0 m2

(13.7.19)

Приведенное неравенство является условием устойчивости "круговых треугольных решений" (13.7.8) по первому приближению и, строго говоря, из него не следует устойчивость рассматриваемых решений при учете возмущений высших порядков **) . Аналогичные исследования приводят к выводу о том, что "коллинеарные решения" вида (13.7.6), (13.7.7) оказываются неустойчивыми. 13.8. Периодические решения первого сорта Первыми из обнаруженных в задаче трех тел периодических решений были рассмотренные ранее "коллинеарные и треугольные" частные решения, соответствующие периодическим движениям с постоянной угловой скоростью n в неизменной плоскости трех материальных точек P0, P1, P2 по коническим сечениям (в частности, по круговым орбитам) относительно их общего центра масс, так что P0, P1 и P2 либо все время располагаются в вершинах равностороннего треугольника, либо находятся на одной прямой, равномерно вращающейся с периодом T = 2π/n. На основе метода малого параметра (см. главы 3 и 4) А. Пуанкаре установил существование также еще трех сортов (типов) периодических решений в планетном варианте задачи трех тел, когда масса одного из тел (например, материальной точки P0) существенно превышает массы двух других гравитирующих материальных точек, то есть mi = μαi (i = 1, 2), μ 0, где μ = m1/(m0 + m1). В частности, влияние невыписанных слагаемых более высоких порядков гамильтониана "возмущенной системы" (13.7.9) на устойчивость (или неустойчивость) нулевого решения полной (точной) сиcтемы становится существенным при наличии резонансного соотношения между частотами ω1 и ω2:

**)

k1ω1 + k2ω2 = 0, где k1, k2 — целые числа. Наиболее значимыми оказываются случаи резонансов низших порядков, когда |k1| + |k2| ≤ 4.

442


шений второго сорта эксцентриситеты уже не пропорциональны μ и при μ = 0 отличны от нуля. Для решений первого и второго сорта (соответственно, почти круговых и почти эллиптических решений) все движения происходят в одной плоскости. Решения же третьего сорта являются пространственными периодическими решениями *) . В случае μ ≠ 0 в плоском варианте задачи трех тел при отсутствии соизмеримостей средних движений P1 и P2 взаимные расстояния между тремя телами (материальными точками) оказываются периодическими функциями времени, а координаты трех тел в неподвижной системе координат, строго говоря, уже не являются периодическими функциями времени. Поэтому указанные решения являются, вообще говоря, условно-периодическими. Когда три материальные точки в процессе движения остаются все время в одной плоскости, то, как следует из (13.1.24), Hi = Gi (i = 1, 2), так что в (13.1.23) остаются независимыми только четыре пары канонически сопряженных переменных Делоне Li , G i , li , gi + hi

(i = 1, 2).

(13.8.1)

При этом, как показано в разделе 13.4, гамильтониан F рассматриваемой канонической системы (13.1.23) может быть представлен рядом по степеням μ вида F = F0 + μF1 + μ 2 F2 + ...,

(13.8.2)

в котором все F1, F2, … будут являться периодическими функциями от переменных li , gi, hi (i = 1, 2). Если далее в рассматриваемом случае плоского варианта задачи от элементов Делоне (13.8.1) перейти к каноническим переменным Пуанкаре (2.5.6) Λ i = Li , λi = li + g i + hi ,

ξ i = 2( Li − Gi ) cos( g i + hi ), ηi = − 2( Li − Gi ) sin( g i + hi ) (i = 1,2),

(13.8.3)

то гамильтониан (13.8.2), как следует из (13.4.20), можно будет представить в виде ряда по степеням переменных Пуанкаре ξ1, ξ2, η1, η2, и по синусам и косинусам углов, кратных λ1 и λ2, причем коэффициенты этих рядов будут функциями от Λ1, Λ2. Рассмотрим более подробно периодические решения первого сорта. Будем предполагать, в согласии с вышеприведенной классификацией Пуанкаре, что при μ → 0 две материальные точки P1 и P2 движутся вокруг P0 по компланарным окружностям. Обозначим средние движения P1 и P2 соответственно через n1 и n2 (ni = 2π/Ti, i = 1, 2; Ti — период обращения Pi). Для определенности предположим также, что n2 > n1 и движения P1 и P2 происходят в одном направлении. Пусть в начальный момент времени t0 система находится в соединении (долготы P1 и P2 совпадают). Спустя время 2π/(n2 − n1) долготы P1 и P2 возрастут на 2πn1/(n2 − n1) и 2πn2/(n2 − n1) соответственно. Их разность будет равна 2π, то есть взаимные расстояния трех тел будут теми же, что и в начальный момент t0, а вся система повернется на угол 2πn1/(n2 − n1). Следовательно, в системе координат, вращающейся с угловой скоростью n1, координаты трех указанных тел будут периодическими функциями времени с периодом T = 2π /(n2 − n1). T

*)

При этом множество периодических решений второго сорта является всего лишь подмножеством периодических решений третьего сорта.


443

Поэтому при μ → 0 рассматриваемая задача имеет периодическое решение. Для установления возможности существования периодических решений с тем же периодом T при малых (конечных) значениях μ ≠ 0 воспользуемся переменными (13.8.3). Взаимные расстояния между тремя телами P0, P1 и P2 и их скорости, как нетрудно показать, являются функциями от переменных

Λ i , ξ i cos λi − ηi sin λi , ξ i sin λi + ηi cos λi , λ2 − λ1

(i = 1,2).

(13.8.4)

Если величины (13.8.4) в момент t = T принимают свои первоначальные значения (в момент t = 0), а λ2 − λ1 увеличивается на величину 2π, то, очевидно, движение рассматриваемой системы будет иметь периодический (с периодом T) характер. Предположим, что при μ = 0 начальные значения λi, ξ i, ηi (i = 1, 2) равны нулю (см. (13.1.24), (13.8.3)), тогда движения P1 и P2 будут, согласно (13.1.22), (13.1.24), равномерными с круговыми частотами ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ (13.8.5) , n2 = −⎜⎜ 0 ⎟⎟ . n1 = −⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ ∂Λ 2 ⎠ Λ =Λ( 0 ) ⎝ ∂Λ1 ⎠ Λ =Λ( 0 ) 1

2

1

2

Рассмотрим теперь произвольное решение при μ ≠ 0, для которого в начальный момент времени переменные (13.8.3) принимают значения Λ(i0 ) + β i , ξ i( 0 ) , η i( 0 ) , λ(i 0 ) = 0 (i = 1,2).

(13.8.6)

В конце периода T эти переменные становятся равными

λ2 − λ1 = 2π + Ψ0 , Λ1 = Λ(10 ) + β1 + Ψ1 , Λ 2 = Λ(20) + β 2 + Ψ2 ,

ξ1 = ξ1( 0) + Ψ3 ,

η1 = η1( 0 ) + Ψ4 ,

ξ 2 = ξ 2( 0) + Ψ5 ,

η 2 = η 2( 0) + Ψ6 .

(13.8.7)

Тогда условие периодичности можно записать следующим образом (см. раздел 3.2): Ψj = 0

( j = 1,6) .

(13.8.8)

В этой системе два уравнения, например, Ψ1 = Ψ2 = 0, являются зависимыми (удовлетворяются непосредственно) ввиду существования двух интегралов: энергии и площадей. Поэтому остается разрешить систему пяти уравнений Ψ0 = Ψ3 = Ψ4 = Ψ5 = Ψ6 = 0,

(13.8.9)

дополненную, например, интегралом энергии

F = C,

(13.8.10)

относительно шести переменных β1 , β 2 , ξ1( 0) , η1( 0) , ξ 2( 0) , η 2( 0) и показать, что якобиан этой системы не обращается в нуль при

β1 = β 2 = ξ1( 0) = η1( 0) = ξ 2( 0) = η 2( 0) = μ = 0.

444


При составлении якобиана системы (13.8.9), (13.8.10) нет, очевидно, необходимости выписывать слагаемые, зависящие от μ. Достаточно рассмотреть члены, не обращающиеся в нуль вместе с μ. При μ = 0, согласно (13.1.22), (13.8.3), (13.8.7), имеем F = F0 =

γ1 2( Λ

(0) 1

+ β1 )

2

+

γ2 2( Λ

(0) 2

(13.8.11)

,

+ β 2 )2

где γ1, γ2, — константы, зависящие от системы единиц и масс тел P0, P1, P2, а для Ψj получим следующие выражения (см. (13.8.4), (13.8.7)):

Ψ0 = λ2 − λ1 − 2π , Ψ3 = ξ1( 0 ) (cos λ1 − 1) − η1( 0 ) sin λ1 , Ψ4 = ξ1( 0) sin λ1 + η1( 0) (cos λ1 − 1), Ψ5 = ξ 2( 0 ) (cos λ2 − 1) − η 2( 0) sin λ2 ,

(13.8.12)

Ψ6 = ξ 2( 0) sin λ2 + η 2( 0) (cos λ2 − 1). Значения средних движений в момент t = T = 2π/(n2 − n1), которые, согласно (13.8.5), представимы в виде −3

⎛ β ⎞ N1 = n1 ⎜⎜1 + ( 01) ⎟⎟ , ⎝ Λ1 ⎠ позволяют определить долготы

−3

⎛ β ⎞ N 2 = n2 ⎜⎜1 + ( 02) ⎟⎟ , ⎝ Λ2 ⎠

−3

(13.8.13)

−3

2πn1 ⎛ 2πn2 ⎛ β ⎞ β ⎞ ⎜⎜1 + ( 02) ⎟⎟ . ⎜⎜1 + ( 01) ⎟⎟ , λ2 = N 2T = λ1 = N1T = n2 − n1 ⎝ Λ1 ⎠ n2 − n1 ⎝ Λ 2 ⎠

(13.8.14)

Поскольку при μ = 0 величины F и Ψ0 из шести указанных переменных зависят

только от β1 и β2, Ψ3 и Ψ4 — от β1, ξ1( 0) и η1( 0) , Ψ5 и Ψ6 — от β2, ξ 2( 0) и η2( 0) , то искомый функциональный определитель, как нетрудно показать, может быть представлен в виде произведения трех других: (13.8.15) Δ = Δ1Δ2Δ3, где Δ1 — якобиан от F0 и Ψ0 по β1 и β2, Δ2 — якобиан от Ψ3 и Ψ4 по ξ1( 0) и η1( 0) и Δ3 —

якобиан от Ψ5 и Ψ6 по ξ 2( 0) и η 2( 0) . Для этих якобианов преобразований из (13.8.11)(13.8.14) получаются следующие выражения:

Δ1 =

6πn1n2 1 Λ(10) + 1 Λ(20 ) , n2 − n1

(

)

Δ i +1 = (cos λi − 1) 2 + sin 2 λi

(13.8.16)

(i = 1, 2).

Первый из этих определителей обращается в нуль лишь в случае Λ(10) = −Λ(20) , то есть при n1 = −n2 (при n1 = n2 следует, что T → ∞, а n1(2) < 0 отвечает случаю противоположного вращения, который изначально был исключен из рассмотрения). Второй и третий определители могут обращаться в нуль лишь при λi (i = 1, 2), кратных 2π. Так как из соотношений (13.8.14) при βi = 0 имеем

λi =

2πni n2 − n1

(i = 1, 2),


445

то Δ i +1 = 0, когда величины ni (i = 1, 2) кратны разности n2−n1. Последнее условие может быть записано в виде n2 1 + j (13.8.17) = , j = 1, 2, ... n1 j Таким образом, для любой постоянной энергии C (см. (13.8.10)), согласно (13.8.11), равной при μ = 0 1 C = (n12γ 1 )1 / 3 + (n22γ 2 )1 / 3 , 2 и малых значениях μ, если средние движения n1 и n2 не удовлетворяют условию соизмеримости (13.8.17), то рассматриваемая задача трех тел допускает периодическое решение первого сорта с конечным периодом 2π /(n2 − n1). Для достаточно малого μ при построении периодического решения первого сорта, очевидно, можно произвольно выбирать период T, постоянную энергии C , момент со4 единения и долготу соединения, то есть существует четырехпараметрическое (∞ множество) семейство периодических решений первого сорта.

[

]

13.9. Решения Пуанкаре второго сорта Как было установлено в разделах 13.1 и 13.8 для плоского варианта задачи трех тел в канонических переменных Делоне, которые для упрощения дальнейших записей переобозначим в виде x j = L j , x j + 2 = G j , y j = l j , y j + 2 = g j + h j ( j = 1,2),

уравнения движения материальных точек P1 и P2 , имеющих массы m1(2) = μα1(2), относительно тела P0 с массой m0 >> m1(2) представимы в виде: dyi ∂F =− dt ∂xi

dxi ∂F , = dt ∂yi

(i = 1,4),

где F = F0 + μF1 + μ 2 F2 + ...,

F0 =

γ1 2 1

2x

+

(13.9.1)

γ2 2 x22

.

(13.9.2)

Постоянные γ1, γ2 определяются из (13.8.11), а все Fk (k = 1, 2, …) являются периодическими функциями от угловых переменных yi, в частности (см. раздел 13.4), F1 =

∞

∑ A( x ,x , x , x ) cos( j y

j1 , j2

j3 , j4

1

2

3

4

1 1

+ j2 y 2 + j3 y3 + j4 y 4 ).

(13.9.3)

= −∞

При μ = 0 имеет место невозмущенное движение. Будем считать, что P1 и P2 в этом случае обращаются вокруг P0 по неизменным эллипсам. Тогда из уравнений (13.9.1) получим xi = ai , yi = ni t + ω i (i = 1,4), (13.9.4) где ni = − ∂F0 ∂xi (согласно (13.9.2), n3 = n4 = 0, а ai и ωi — произвольные постоянные.

446


Очевидно, что в этом случае периодические движения могут происходить только в случае соизмеримости средних движений, то есть когда выполняется следующее соотношение: n1 p (13.9.5) = , n2 q в котором p и q — натуральные числа. Если обозначить через N наибольший общий делитель n1 и n2, так что n1 = pN, n2 = qN, то период T порождающего движения будет равен

T = 2π N .

(13.9.6)

Пусть теперь μ ≠ 0. Будем искать решения уравнений (13.9.1) с периодом (1+α)T, где α ≠ 0. С этой целью, как и в разделе 3.6 главы 3, перейдем к независимой переменной 1 t. (13.9.7) τ= 1+α Тогда уравнения (13.9.1) примут вид dyi ∂F = −(1 + α ) dτ ∂xi

dxi ∂F , = (1 + α ) dτ ∂yi

(i = 1,4).

(13.9.8)

Начальные условия (13.9.4) при τ = 0 (μ ≠ 0) запишутся следующим образом: xi = a i + β i ,

yi = ω i + γ i

(i = 1,4),

(13.9.9)

где βi и γi — новые постоянные. Введем при τ ≠ 0 переменные ϕi и ψi соотношениями (см. (3.6.4))

xi = ai + β i + ϕ i ,

yi = niτ + ω i + γ i + ψ i ,

(13.9.10)

так что ϕi = ψi = 0 при τ = 0. Уравнения для этих переменных следуют из выражений (13.9.8) и имеют вид: dϕ i dψ i ∂F ∂F (13.9.11) , = −(1 + α ) − ni (i = 1,4). = (1 + α ) dτ dτ ∂yi ∂xi При этом из начальных условий (13.9.9) очевидно, что ϕi(0) = ψi(0) = 0. Таким образом, условия периодичности сводятся к выполнению уравнений

ϕ i (T ) = ψ i (T ) = 0 (i = 1,4), которые, с учетом (13.9.11), можно представить в виде: T ∂F ϕ i (T ) = (1 + α ) ∫ dτ = 0, ∂yi 0 T

ψ i (T ) = −(1 + α ) ∫ 0

∂F dτ − Tni = 0 (i = 1,4). ∂xi

(13.9.12)

(13.9.13)

(13.9.14)


447

Попытаемся теперь удовлетворить эти уравнения соответствующим выбором постоянных βi и γi. Для начала рассмотрим уравнения (13.9.14). В исследуемой задаче, как видно из (13.9.2), функция F0 зависит лишь от части переменных xi (i ≤ 2), поэтому в данном случае оказываются справедливыми рассуждения, приведенные в разделе 3.5 главы 3. Однако, поскольку α ≠ 0, число определяемых неизвестных превышает число уравнений, поэтому, как и в разделе 3.6, можно свободно распорядиться одной из переменных, положив, например, β2 = 0. Далее, поскольку, как уже указывалось в предыдущем разделе, существуют два интеграла (энергии и площадей) системы (13.9.1), то два из уравнений (13.9.14) удовлетворяются непосредственно, а следовательно, учитывая, что ∂F ∂x3 ≠ 0, ∂F ∂x4 ≠ 0, выберем величины β3 и β4 также равными нулю. Таким образом, из (13.9.14) осталось определить только α и β1. Раскладывая гамильтониан F по степеням величин μ, β1, α и ограничиваясь их первыми степенями, получим T ∂F ∂ 2 F μ ∂F α 0 + β1 20 + ∫ 1 dτ + ... = 0, T 0 ∂a1 ∂a1 ∂a1 (13.9.15) T ∂F0 μ ∂F1 α + dτ + ... = 0. ∂a 2 T ∫0 ∂a 2 Следовательно, (см. (13.9.2) и (13.9.4)),

α=

μ ∂[ F1 ] n2 ∂a2

+ ...,

a1 a14 ∂[ F1 ] β1 = α − μ + ..., 3 3γ 1 ∂a1

(13.9.16)

где, как и в разделе 3.2 главы 3, использовано обозначение Пуанкаре T

[ F1 ] =

1 F1dτ . T ∫0

Обратимся теперь к уравнениям ϕ i (T ) = 0 (i = 1,4). Учитывая независимость от τ правых частей уравнений (13.9.11), в начальный момент τ = 0 предположим, что y1 = 0, то есть согласно (13.9.10), ω1 = γ1 = 0. (13.9.17) Кроме того, поскольку начало отсчета долгот перицентров ω может быть выбрано произвольно, будем считать, что ω4 = γ4 = 0. (13.9.18) Так как F0 не зависит от yi (i = 1,4), то уравнения (13.9.13) можно представить в виде, аналогичном (3.2.14) (см. главу 3): T ⎤ ⎡ 3 T ∂ 2 F1 ϕi ∂F dτ + ∫ 1 dτ + ...⎥ = 0 (i = 2,3). = (1 + α ) ⎢∑ γ j ∫ μ ∂yi ⎥⎦ ⎢⎣ j =2 0 ∂yi ∂y j 0

(13.9.19)

448


Для того чтобы искомое решение было аналитическим продолжением порождающего, необходимо, согласно (13.9.4) и (13.9.9), обращение в нуль всех значений γ1, …, γ4 вместе с μ. Однако в уравнениях (3.9.19) есть слагаемые, не зависящие от γ2, γ3 (по предположению γ1 = γ4 = 0), поэтому необходимо потребовать выполнения условий ∂[ F1 ] ∂[ F1 ] (13.9.20) = = 0. ∂y 2 ∂y3 Рассмотрим теперь возможность выполнения последних условий. Проводя рассуждения, аналогичные разделу 3.3, и полагая на основании (13.9.5) j1 = sq, j2 = −sp,

(13.9.21)

где s — любое целое число, с учетом (13.9.3) получим ∞

∑ A cos[s(qω

[ F1 ] =

s =0

1

− pω 2 ) + j3ω 3 + j4ω 4 ] .

(13.9.22)

j3 , j4 = −∞

Следовательно, учитывая (13.9.17) и (13.9.18), из уравнений (13.9.20) будем иметь

∑ sA sin(− spω

2

+ j3ω 3 ) = 0,

∑ j A sin(−spω 3

2

+ j3ω 3 ) = 0.

(13.9.23)

Для удовлетворения этих уравнений достаточно потребовать выполнения следующих начальных условий:

ω 3 − ω 4 = 0 (ω 4 = 0), ω 2 = r или

ω3 − ω4 = π , ω 2 = r

π p

π

p

,

где r — любое целое число. Иначе говоря (см. (13.9.4)), в начальный момент времени линии апсид орбит материальных точек P1 и P2 должны совпадать. Решение неоднородных уравнений (13.9.19) относительно γ2 и γ3 будет однозначным, если ∂ 2 [ F1 ] ∂ 2 [ F1 ] ∂y 22 ∂y 2 ∂y3 (13.9.24) ≠ 0. 2 ∂ [ F1 ] ∂ 2 [ F1 ] ∂y3∂y 2 ∂y32 Но F1 является периодической функцией от y2 и y3, поэтому в области 0 < yl ≤ 2π

(l = 2, 3) она имеет, по крайней мере, один максимум и один минимум. Пусть yl = yl отвечает экстремуму функции F1. Тогда в окрестности yl имеем 2

1⎡ ∂ ∂ ⎤ F1 ( y 2 , y3 ) − F1 ( y 2 , y3 ) = ⎢( y 2 − y 2 ) + ( y 3 − y3 ) ⎥ F1 ( y 2 , y3 ) + ..., (13.9.25) 2⎣ ∂y 2 ∂y3 ⎦


449

причем квадратичная форма в правой части (13.9.25) ввиду существования экстремума должна быть определенной и, следовательно, условие (13.9.24) всегда выполняется *) . Таким образом, в плоском варианте задачи трех тел всегда существуют периодические решения второго сорта с периодом (1+α)T, отличным от порождающего. Очевидно, случай α = 0 (решение с порождающим периодом) не является существенно отличным. Различие чисто формальное, необходимо вместо α в предыдущих рассуждениях рассматривать β2 Тогда вместо (13.9.15) будем иметь ∂ 2 F0 ∂[ F1 ] β1 2 + μ + ... = 0, ∂a1 ∂a1

∂ 2 F0 ∂[ F1 ] β2 +μ + ... = 0, 2 ∂a2 ∂a2

(13.9.26)

и, следовательно, величины β1 и β2 могут быть получены в виде рядов по степеням μ

βi = μ

ai4 ∂[ F1 ] + ... (i = 1, 2). 3γ i ∂ai

(13.9.27)

13.10. Периодические решения третьего сорта Обратимся теперь к пространственному варианту задачи трех тел. Если аналогично предыдущему разделу переобозначить элементы Делоне через xj = Lj ,

x j+2 = G j ,

x j+4 = H j ,

yj = lj,

y j +2 = g j ,

y j+4 = h j

( j = 1, 2),

то уравнения задачи примут вид (см. (13.1.23)) dxk ∂F , = dt ∂y k

dy k ∂F =− dt ∂xk

(k = 1, 6).

(13.10.1)

Здесь по-прежнему F = F0 + μF1 + …; F0 и F1 определяются соответственно (13.9.2) и (13.9.3), за исключением того, что коэффициенты A теперь являются функциями не только от x1, …, x4, но также и x5, x6. Система (13.10.1) допускает, как было показано в разделах 13.2 и 13.6, три интеграла площадей, связанных с инвариантностью F относительно вращения системы координат, вида (см. (13.6.7) и (13.6.8)): *)

Пусть в окрестности точки ( x10 , x 20 ) функция

f ( x1 , x 2 ) представляется рядом Тейлора вида

f ( x1 , x 2 ) − f ( x , x ) = K (ξ 1 , ξ 2 ) + ..., 1 A = (∂ 2 f ∂x12 )0 , B = (∂ 2 f ∂x1 ∂x 2 )0 , где K (ξ 1 , ξ 2 ) = ( Aξ 12 + 2 Bξ 1ξ 2 + Cξ 22 ), ξ 1, 2 = x1, 2 − x10, 2 , 2 C = (∂ 2 f ∂x 22 )0 . Тогда, поскольку при A ≠ 0 (если A = 0, то необходимо произвести замену A на C) 1 [( Aξ1 + Bξ 2 ) 2 + ( AC − B 2 )ξ 22 ] , то при AC − B2 > 0 и A > 0 (форма K строго определенно полоK= 2A 2 жительна) функция f будет иметь в точке ( x10 , x 20 ) минимум, а если A < 0 и AС − B > 0 — максимум. В 0 1

0 2

2

случае же AС − B = 0, когда K ≥ 0 (форма K является определенной, но не строго) в окрестности точки 2 ( x10 , x 20 ) всегда найдется такая точка, для которой AС − B < 0 (так что для нее экстремум не реализуется; при ξ2 = 0 и ξ1 > 0 имеем K > 0, а при Aξ1 + Bξ2 = 0 и ξ2 ≠ 0 получим K < 0), а следовательно, 2

AС − B ≠ 0.

450

Часть III. Основные задачи небесной механики x5 + x6 = const ,

y5 − y 6 = π ,

x52 − x62 = x32 − x42 .

(13.10.2)

Эти интегралы позволяют, очевидно, выразить x5 и x6 через x3 и x4. Поэтому уравнения (13.10.1) сводятся к системе dyi ∂F =− dt ∂xi

dxi ∂F , = dt ∂yi

в

случае

разрешения

которой

(k = 1,4),

переменная

y5

определится

(13.10.3) квадратурой

y5 = − ∫ (∂F ∂x5 )dt , а y6 найдется из второго соотношения (13.10.2). Следует отметить, что существование двух первых интегралов (13.10.2) обусловлено независимостью гамильтониана F и, в частности, F1 от y5 и y6 (h1 и h2). Действи∂F ∂F тельно, из первого соотношения (13.10.2) следует, что =− , то есть F зависит ∂y6 ∂y5 лишь от разности y5 − y6, которая постоянна и равна π. Далее, как и в предыдущем разделе, при μ = 0 получим xi = a i ,

yi = ni t + ω i

(i = 1,4),

(13.10.4)

так что средние движения материальных точек P1 и P2 в случае периодического движения удовлетворяет условию n1q = n2 p, (13.10.5) а новые переменные ϕi и ψi определим соотношениями xi = ai + β i + ϕ i ,

yi = ni t + ω i + γ i + ψ i

(i = 1,4),

(13.10.6)

Ниже ограничимся отысканием решений с периодом T, поскольку, как и для периодических решений второго сорта (см. раздел 13.9), это решение (порождающее) и решение с периодом (1+α)T, α ≠ 0 не являются существенно различными. Условия периодичности, как и прежде, запишутся в виде

ϕ i (T ) = ψ i (T ) = 0 (i = 1,4).

(13.10.7)

Рассмотрим первые из них. Ввиду автономности системы (13.10.3) F = const, поэтому будем считать β1 = 0, тогда, если воспользоваться результатами раздела 3.5, получим следующую систему уравнений (см. выражения (3.5.3), (3.5.4) главы 3)

β2

∂ 2 F0 ∂[ F1 ] + ... = 0, +μ 2 ∂a 2 ∂a 2 T

T

T

∂F ∂ 2 F1 ∂ 2 F1 β 3 ∫ 2 dt + β 4 ∫ dt + ∫ 1 dt +... = 0, ∂a3 ∂a3 ∂a 4 ∂a3 0 0 0 T

T

T

∂F ∂2F ∂ 2 F1 dt + β 4 ∫ 21 dt + ∫ 1 dt +... = 0. ∂a 4 ∂a 4 ∂a3 ∂a4 0 0 0

β3 ∫

Из (13.10.8) следует, что при выполнении условий

(13.10.8)


451

∂ 2 [ F1 ] det ≠ 0 (m, l = 3, 4) ∂am ∂al

(13.10.9)

∂[ F1 ] ∂[ F1 ] = =0 ∂a3 ∂a4

(13.10.10)

и

β2, β3, β4 могут быть найдены в виде рядов по степеням μ. Рассмотрим теперь вторые условия (13.10.7): ψ i (T ) = 0 (i = 1,4). Ввиду независимости от t правых частей уравнений (13.10.3), как и ранее (см. (13.9.17)), будем считать, что γ1 = 0, и тогда, согласно результатам раздела 3.5, данные условия запишутся в виде

det

∂[ F1 ] ∂[ F1 ] ∂[ F1 ] = = = 0, ∂y 2 ∂y3 ∂y 4

(13.10.11)

∂ 2 [ F1 ] ≠ 0 (m, l = 2, 3, 4). ∂y m ∂yl

(13.10.12)

Нетрудно видеть, что обоснование справедливости (13.10.12) проводится аналогично случаю периодических решений второго сорта (см. (13.9.24), (13.9.25)), поскольку структура F1 имеет один и тот же вид. Уравнения (13.10.11), если учесть, что как и в предыдущем разделе j1 = sq, j2 = −sp, можно представить в виде:

∑ sA sin(− spω + j ω + j ω ) = 0, ∑ j A sin(−spω + j ω + j ω ) = 0, ∑ j A sin(− spω + j ω + j ω ) = 0. 2

3

3

4

4

3

2

3

3

4

4

4

2

3

3

4

4

(13.10.13)

Для их удовлетворения, очевидно, достаточно считать, что

π ω 2 = r , ω 3 = (0,π ), ω 4 = (0,π ), p

(13.10.14)

где r = 0, 1, … Рассмотрим теперь более подробно условия (13.10.10) в случае малых наклонов и эксцентриситетов орбит P1 и P2. Запишем эти условия в кеплеровских элементах орбиты (см. выражения (13.1.24)) G j = L j 1 − e 2j ,

H j = G j cos i j

( j = 1, 2).

Указанные условия тогда, с учетом (13.10.1) и (13.10.4), примут следующий вид 1 − e 2j ∂[ F1 ] cos 2 i j 1 ∂[ F1 ] − = 0. L j e j ∂e j L j 1 − e 2j sin i j ∂ sin i j

(13.10.15)

452

чим

Часть III. Основные задачи небесной механики *)

Так как из (13.10.2) следует, что h1 − h2 = π, то вводя обозначение J = i1 + i2, полуcos i j

∂[ F1 ] ∂[ F1 ] = . ∂J ∂ sin i j

Тогда (13.10.15) можно представить в виде

1 − e 2j ∂[ F1 ] ∂[ F1 ] − ctg i j =0 ∂J e j ∂e j

(13.10.16)

или, учитывая, что наклоны ij (j = 1, 2) малы —

1 − e 2j ∂[ F1 ] 1 ∂[ F1 ] − = 0 ( j = 1, 2). e j ∂e j i j ∂J

(13.10.17)

В то же время для случая малых наклонов последний из интегралов (13.10.2) может быть записан в виде G1i1 ~ − G 2 i2 , так что G G J J (13.10.18) = 1 + 1 + ..., = 1 + 2 + ... i1 G2 i2 G1 Не нарушая общности, предположим, что ω3 − ω4 = 0 (см. (13.10.14)), тогда в рассматриваемом случае малых наклонов и эксцентриситетов для [F1] из (13.9.22) и (13.4.24) получим следующее выражение (см. также главу 4):

(

)

[ F1 ] = A e12 + e22 − J 2 − 2 Be1e2 + Φ,

(13.10.19)

где Φ = o[e 2j , J 2 ] является функцией, разложение которой по степеням ej и J начинается с членов третьего и высших порядков; A и B — постоянные коэффициенты, определенные в (13.4.24). Подставляя в этом случае (13.10.19) в (13.10.17), с учетом (13.10.18) будем иметь A(2 + G1 G 2 )e1 − Be2 = Φ1 ,

− Be1 + A(2 + G2 G 1 )e2 = Φ 2 .

(13.10.20)

Здесь функции Φ1, Φ2 не содержат слагаемых с e1, e2 и J ниже второго порядка. Поэтому, выбирая величину J (см. (13.10.18)) так, чтобы определитель системы (13.10.20) *)

Из сферического треугольника Ω′OΩ, приведенного на рис. 36 в разделе 10.5, если обозначить i1 = i,

i2 = i′, h1 − h2 = Ω − Ω′, следует, что

cos I = cos i1 cos i 2 + sin i1 sin i 2 cos(h1 − h2 ),

поэтому при h1 − h2 = π для σ = sin 2 ( I / 2) получим 2

1 [1 − cos(i1 + i2 )] . 2 Следовательно, в гамильтониан F углы наклонов i1 и i2 будут входить лишь в виде суммы J = i1+ i2 (см. (13.4.6), (13.4.8)).

σ2 =


453

был бы отличен от нуля, можно (с рассматриваемой точностью) однозначно определить e1 и e2, тем самым удовлетворив условиям (13.10.10). Таким образом, для периодических решений третьего сорта имеет место совпадение линии апсид точек P1 и P2 с общей линией узлов. Собственно решение определяется заданием пяти величин, например, p, q, J, i1, L1. Тогда L2 определится из условия соизмеримости средних движений (13.10.5), G1 и G2 — по e1 и e2 , которые, в свою очередь, из (13.10.20) определяются величиной J. Угловые элементы в начальный момент времени могут быть найдены из выражений (13.10.14), а i2 = J − i1. Анализ условий (13.10.9) может быть осуществлен численными методами. 13.11. Численные методы нахождения периодических решений Применение численных методов позволяет в некоторых случаях довольно просто разрешать проблемы, представляющие существенные трудности для аналитических исследований. Для иллюстрации сказанного обратимся к периодическим решениям третьего сорта. Как указывалось в предыдущем разделе, основная сложность в этом случае заключается в разрешении уравнений (13.10.9), (13.10.10), а также уравнения вида (13.10.16) 1 − e 2 ∂R ∂R = 0. − ctg i (13.11.1) ∂i e ∂e

Однако эти уравнения и, в частности, уравнение (13.11.1) можно решать и численно. Так, Ю. Козаи при e2 ≡ 0 (так называемый круговой вариант задачи трех тел), используя разложение возмущающей функции R вида (13.4.20), численно получал зависимости i(e) для соизмеримостей (p,q) различных порядков. В результате было показано, что для резонансов вида |p − q| = 2k + 1 (k = 1, 2) существуют решения уравнения (13.11.1) в области малых значений e и i. Для соизмеримостей же первого и второго порядков уравнения (13.11.11) имели решения только для "обратных движений", то есть в окрестности i = π [53]. Аналогичные исследования, показавшие возможность существования решений уравнений вида (13.11.1), но уже для эллиптического ограниченного варианта задачи, когда e2 = const ≠ 0, были проделаны И. А. Герасимовым и С. Г. Журавлевым для соизмеримостей 2/1, 4/1 и 5/2 [54]. Поискам конкретных периодических (условно-периодических) решений посвящено значительное количество работ. В частности, решения второго сорта с движущейся линией апсид были впервые построены К. Шварцшильдом для случая соизмеримости 2/1. И хотя на их существование в общей задаче указал А. Пуанкаре, их обычно называют решениями Шварцшильда [55]. Позднее также были получены решения для соизмеримостей 5/3, 3/2 и 3/1, а в работе [56] в пространственном случае построена численно аналитическая теория для соизмеримостей низших порядков применительно к резонансным астероидам (см. раздел 15.3). Значительные результаты по выявлению и классификации периодических орбит для плоских движений равных масс были установлены в результате обширных численных исследований, выполненных в период 1913-1939 гг. в Копенгагенской обсервато-

454


рии группой сотрудников под руководством Элиса Стремгрена [57]. Сами результаты были представлены в 39 докладах, опубликованных обсерваторией. В этих исследованиях предполагалось, что два тела P1, P2 с равными массами m1 = m2 = 1/2 движутся в одной плоскости вокруг их общего центра масс под действием взаимного притяжения, причем условия движения выбирались таким образом, чтобы оно происходило по круговым орбитам (с радиусами q01, q02 соответственно) с постоянной скоростью n. Изучалось движение в той же плоскости третьей точки P3 бесконечно малой массы (так называемый ограниченный вариант задачи) в поле ньютоновского притяжения P1, P2. Естественно, в этом случае нет малого параметра, и исследования проводились численными методами интегрирования дифференциальных уравнений движения (см. раздел 13.13) dqi ∂F dpi ∂F (13.11.2) , =− (i = 1,2), = dt ∂pi dt ∂qi в которых 1 1⎤ 1⎡ F = ⎢ p12 + p22 + 2n( p1q2 − p2 q1 ) − − ⎥ , r1 r2 ⎦ 2⎣ r1 = (q1 − q01 ) 2 + q22 , r2 = (q1 + q02 ) 2 + q22 ,

p1 = q&1 − nq2 , p2 = q& 2 + nq1 — обобщенные импульсы (точка над символом обозначает производную по времени), q1, q2 — координаты пассивно гравитирующей точки P3; единица времени выбрана так, чтобы гравитационная постоянная f равнялась единице. Из (13.11.2) очевидно, что эти уравнения инвариантны относительно замен вида q1 → q1 ,

p1 → − p1 , q2 → −q2 ,

p2 → p2 , t → −t.

(13.11.3)

Ввиду симметрии (13.11.3) , для искомых периодических решений с периодом T предполагалось выполнение следующих условий

p1 (0) = 0,

p1 (T / 2) = 0, q2 (0) = 0, q2 (T / 2) = 0,

(13.11.4)

то есть если в начальный момент времени точка P3 находится на оси Oq1 и проекция ее обобщенного импульса на ось Op1 равна нулю (скорость этой точки направлена перпендикулярно оси Oq1), то при следующем пересечении оси Oq1 проекция обобщенного импульса на ось Op1 также должна быть равной нулю (скорость материальной точки P3 также должна быть перпендикулярна оси Oq1). Следовательно, расположив точку P3 на оси Oq1 и сообщив ей некоторую начальную скорость по оси Oq2, можно численно рассчитать угол ϕ, под которым она вновь пересечет ось Oq1. Если окажется, что ϕ ≷ 90° тогда с измененной начальной скоро-

стью процесс вычислений повторяется до тех пор, пока не получится, что ϕ ≶ 90°. А затем путем интерполяции можно найти начальные условия, отвечающие ϕ = 90°, то есть периодической орбите. Аналогично могут быть найдены периодические орбиты, проходящие через различные начальные координаты q03 точки P3, Тем самым удается


455

построить целый класс орбит. Естественно, реальные вычисления оказываются заметно сложнее указанного выше простого алгоритма. В частности, это связано с тем, что некоторые орбиты, как будет видно далее, отвечают случаям соударений с основными телами P1, P2, поэтому интегрирование уравнений (13.11.2) проводилось в специальных регуляризованных переменных *) [58]. Заметим также, что в некоторых случаях интегрирование осуществлялось и для различных (неравных) масс m1, m2 материальных точек P1 и P2. Основными отправными точками при поиске периодических орбит были, прежде всего, точки P1 и P2, отвечающие гравитирующим массам, а также пять либрационных точек Лагранжа (L1, …, L5), являющихся при определенных начальных условиях точными решениями исходных дифференциальных уравнений движения. В результате проведенных вычислений была получена классификация периодических орбит, которая приводится ниже с некоторыми комментариями. 1-3) Попятные (обратные) периодические орбиты вблизи точек либрации L3, L1, L2 соответственно. Здесь и далее имеется ввиду вращающаяся система координат, причем в этой системе прямых орбит вблизи коллинеарных точек либрации (L1, L2, L3) не существует. Термин "вблизи" относится только к порождающим бесконечно малым эллиптическим орбитам. 4-5) Периодические орбиты вблизи треугольных точек либрации L4, L5. При m1 = m2 периодических орбит вблизи треугольных точек либрации, строго говоря, не существует. Однако имеют место асимптотические орбиты, стремящиеся к этим точкам по спирали. Некоторые из этих орбит пересекают ось Oq1 под прямым углом. Э. Стрёмгрен нашел пять таких орбит и назвал их асимптотически-периодическими. Так что, выбирая любые две из найденных орбит, можно с их помощью образовать семейство периодических орбит, для которого указанные орбиты будут предельными. 6-7) Попятные периодические орбиты вблизи каждой из точек P1 и P2. 8-9) Прямые периодические орбиты вблизи каждой из точек P1 и P2. 10) Прямые периодические движения вблизи обеих точек P1, P2. 11) Обратные периодические движения вблизи обеих точек P1, P2 (в неподвижной системе координат движение является прямым). 12) Асимптотические к точкам L1, L2, L3 орбиты. Они могут быть периодическими для некоторых значений отношения m1/m2. Для случая m1 = m2 эти орбиты не являются периодическими. *)

Переход от переменной t к новой независимой переменной w на основании соотношения 3

dt = ∏ [1 − exp(− d i / l )]dw, i =1

где d1 = Δ12, d2 = Δ23, d3 = Δ13 — взаимные расстояния между материальными точками Pi (i = 1,3) , при котором преобразованные уравнения движения уже не имеют особенностей в момент парных соударений тел, когда их взаимные расстояния обращаются в нуль, принято называть регуляризацией уравнений движения задачи трех тел. При этом координаты гравитирующих тел могут быть вычислены для всех значений времени −∞ < t < ∞ и для взаимных расстояний между телами уже будет существовать положительная нижняя граница l.

456


В частности, с удалением от либрационной точки L3 бесконечно малые попятные орбиты, окружающие эту точку, имеют продолжения, отвечающие сначала столкновению с P1, а затем приводящие к образованию петли, огибающей P1, и появлению двух петель, трансформирующихся в овальную орбиту, пересекающую ось Oq1 в окрестности L3. После этого точки P1 и L3 как бы меняются местами и в дальнейшем повторяется первоначальная конфигурация; то есть данный класс орбит оказывается замкнутым. Критерий окончания класса, очевидно, может быть построен на основе предельных характеристических величин, таких как минимальное расстояние d орбиты от "особых" точек (P1, P2 и L1, …, L5), максимальный размер D орбиты класса, ее период T. В качестве подобного критерия может быть выбран следующий: lim(1 / d + D + T ) = ∞. Примеры построения конкретных периодических орбит различных классов, полученных в Копенгагенской обсерватории, можно найти в прекрасно иллюстрированной книге В. Себехея [58]. В заключение следует отметить, что к результатам Копенгагенской обсерватории весьма тесно примыкают работы Дж. Дарвина [59], в которых отношение масс m1/m2 полагалось равным 1/10, а также работа В. А. Егорова [60] для системы Земля—Луна (m2/m1 = 1/81). Однако и при этих отношениях основные классы орбит, выделенные Э. Стрёмгреном, сохранялись. 13.12. Финальные движения Если уравнения движения динамической системы являются интегрируемыми, то легко может быть построена полная классификация всех возможных типов движений в этой системе. Так, в задаче двух тел *) (глава 2), а также в задаче двух неподвижных центров (глава 12) имеется полная классификация всех типов финальных движений — предельных движений исследуемых тел системы при t → ±∞. Однако поскольку общий интеграл уравнений движения классической задачи трех тел неизвестен, то построение классификации ее финальных движений представляет собой весьма сложную задачу. Классификация типов финальных движений базируется на идее разделения всего множества финальных решений на подмножества ограниченных и неограниченных движений. Это предполагает проведение в трехмерном координатном или конфигурационном пространстве асимптотических оценок поведения решений при достаточно больших значениях времени |t|. Среди методов, позволяющих устанавливать существование ограниченных решений, наиболее разработанными являются методы отыскания периодических (условнопериодических) решений, уже рассмотренные нами ранее (глава 3, а также разделы 13.8-13.11). Методы Пуанкаре и Ляпунова, а также численные методы построения пе*)

В задаче двух тел в зависимости от начальных условий существуют следующие типы орбит: эллиптическая, когда эксцентриситет e орбиты не превосходит единицы, круговая (e = 0), параболическая (e = 1), гиперболическая (e > 1) и прямолинейная (вырожденное эллиптическое или вырожденное гиперболическое движение).


457

риодических решений позволяют находить классы (семейства) периодических решений, зависящие от произвольных параметров системы. В планетном варианте задачи трех тел, как было показано в разделах 13.8-13.10, можно выделить три типа (сорта) периодических решений. Плоские "почти круговые" периодические решения, названные Пуанкаре решениями первого сорта, образуют четырехпараметрическое множество решений (см. раздел 13.8). Периодическими решениями второго сорта являются также плоские периодические решения задачи трех тел, но которые при стремлении малого параметра μ, пропорционального массам двух планет, к нулю вырождаются в "почти эллиптические" орбиты. Периодические решения третьего сорта — пространственные периодические решения (при этом множество периодических решений второго сорта является подмножеством периодических решений третьего сорта). Различные классы периодических орбит в случае плоских движений пассивно гравитирующей материальной точки в ограниченной задаче трех тел были выявлены Э. Стрёмгреном (см. предыдущий раздел). Но для рассмотренных классов периодических решений, характеризуемых вектоr r r ром z (t ) = {q (t ), p(t )}, не существует lim z (t ), так что, строго говоря, для них "финальt →±∞

*)

ные" решения (точки) не определены . Полная классификация финальных движений в задаче трех тел была получена в 1930 г. Ж Шази. Согласно этой классификации, в задаче трех тел возможны 7 типов финальных движений. Пусть постоянная h интеграла энергии (см. (13.5.11)) является положительной величиной (h > 0), а расстояния между материальными точками P0, P1, P2 равны соответственно Δ01, Δ12, Δ20 (см. рис. 92), тогда возможны следующие финальные движения. 1) Гиперболические движения, когда

lim Δ 01 = lim Δ12 = lim Δ 20 = +∞

t →+∞

{

t →∞

t →∞

(13.12.1)

}

r r r r и при этом lim | V01 |, | V12 |, | V20 | ≠ 0, где | Vij | — скорость материальной точки Pi отноt →∞

сительно Pj (i, j = 0,2) . 2) Гиперболо-параболические движения, при которых также выполняются условия (13.12.1), но здесь уже при t → ∞ относительная скорость удаления двух (например, P0 и P1) из трех материальных точек уже равна нулю, то есть r r r lim | V01 |= 0, lim | V20 |, | V12 | ≠ 0. t →∞

t →∞

{

}

3) Гиперболо-эллиптические движения, когда при t → ∞ расстояние между двумя точками (например, P0 и P1) уже является конечной величиной

lim Δ 01 < C , lim Δ12 = lim Δ 20 = ∞ t →∞

t →∞

t →∞

(13.12.2)

(С — некоторая постоянная), и при этом *)

Исключение составляют изолированные периодические решения (предельные циклы). Согласно теореме Пуанкаре о предельных циклах (см. раздел 5.8) решения асимптотически стремятся при t → ±∞ к устойчивым изолированным периодическим решениям.

458


{

}

r r lim | V12 |, | V20 | ≠ 0. t →∞

Если h = 0, то помимо третьего типа движения (гиперболо-эллиптического) возможны также в зависимости от начальных условий: ζ

r V1 Δ01

P1(ξ1,η 1,ζ 1)

P0(ξ0,η 0,ζ 0)

r V0

Δ20

Δ12

*

η

G

r V2

ξ

P2(ξ2,η 2,ζ 2)

Рис. 92. 4) Параболические движения, при которых выполняются условия (13.12.1), но для r достаточно больших значений t все относительные скорости | Vij | (i, j = 0,2) обращаются в нуль. В случае h < 0 кроме гиперболо-эллиптического движения еще возможны три следующих типа движений. 5) Параболо-эллиптические движения, при которых реализуются условия (13.12.2), но при достаточно большом значении t относительные скорости удаления точки P2 от P0 и P1 обращаются в нуль. 6) Ограниченные движения, когда

lim {Δ 01 , Δ12 , Δ 20 } < C.

t → +∞

7) Осциллирующие движения, при которых расстояния между двумя точками (например, P0 и P1) при t → ∞ ограничены, а два других расстояния (Δ12 и Δ20) хоть и являются неограниченными, но не стремятся к бесконечности при t → ∞. Аналогичная классификация справедлива и при t → −∞. 13.13. Ограниченная задача трех тел Ранее уже отмечалось, что ограниченная задача трех тел является предельным случаем общей задачи и состоит в исследовании движения материальной точки ничтожно малой массы в поле притяжения двух других массивных материальных точек *) . *)

Материальную точку, которая притягивается другими материальными точками, но сама практически не оказывает на них гравитационного влияния, принято называть пассивно гравитирующей материальной точкой.


459

В Солнечной системе существует значительное число малых тел, для которых модельное описание на основе ограниченной задачи трех тел является достаточно обоснованным. Это, прежде всего, астероиды или кометы, эволюционирующие в поле притяжения Солнца и Юпитера, астероиды, находящиеся в орбитальной соизмеримости с Марсом (система Солнце—Марс—астероид), некоторые спутниковые системы, например, система Сатурн—Титан—Гиперион. В этих случаях масса пассивно гравитирующего тела P2 практически не оказывает какого-либо ощутимого влияния на две конечные массы P0 и P1. Уравнения ограниченной задачи трех тел формально можно получить непосредственно из уравнений планетного варианта задачи (13.1.14) или (13.1.23) путем предельного перехода в них к m2 → 0. При этом, как нетрудно видеть, уравнения для P1 и P2 "расщепляются" на две отдельные системы, одна из которых определяет движение пассивно гравитирующей материальной точки P2 под действием гравитационного притяжения P0 и P1, а другая — кеплеровское движение (в рамках задачи двух материальных точек) P1 относительно P0 или относительно центра масс G материальных точек P0 и P1 *) . В зависимости от типа кеплеровской орбиты материальной точки P1 (относительно P0) различают ограниченную гиперболическую (эксцентриситет e1 > 1), параболическую (e1 = 1), эллиптическую (0 < e1 < 1) и круговую (e1 = 0) задачи трех тел **) . Рассмотрим подробнее ограниченный круговой вариант задачи трех тел, то есть предположим, что материальные точки P0 и P1 с массами, соответственно, m0 и m1, совершают равномерное круговое движение относительно центра масс G тел P0 и P1. Будем считать также для упрощения рассмотрения, что P2 движется в плоскости орбит P0 и P1 (так называемый плоский вариант ограниченной круговой задачи трех тел). В плоскости движения выберем неподвижные прямоугольные оси координат Gx и Gy, выходящие из точки центра масс G (рис. 93). Пусть материальная точка P2 имеет координаты x, y, тогда ньютоновские уравнения движения P2 будут иметь вид: d 2 x ∂U , = dt 2 ∂x

d 2 y ∂U , = dt 2 ∂y

(13.13.1)

где

⎛m m ⎞ U = f ⎜⎜ 0 + 1 ⎟⎟, ⎝ Δ 02 Δ12 ⎠

*)

При m2 → 0 центр масс G трех материальных точек P0, P1 и P2 совпадает с центром масс двух точек P0 и P1. Поскольку движение P2 обусловлено притяжением двух "силовых центров", движущихся относительно их общего центра масс G по фиксированным кеплеровским орбитам, то ограниченная задача трех тел в определенной степени является обобщением задачи двух неподвижных центров, рассмотренной в предыдущей главе. **) Возможна также еще и ограниченная прямолинейная задача трех тел, когда материальная точка P1 движется по прямой, проходящей через точку P0.

460


f — гравитационная постоянная, Δ202 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 , Δ212 = ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 , а x0, y0 и x1, y1 — соответствующие координаты точек P0 и P1 (в системе xGy), которые определяются из следующих соотношений *) : (m0 + m1 ) x0 = −m1a cos(nt ), (m0 + m1 ) y0 = −m1a sin(nt ),

(13.13.2)

(m0 + m1 ) x1 = m0 a cos(nt ), (m0 + m1 ) y1 = m0 a sin(nt ). Здесь n =

f (m0 + m1 ) a −3 / 2 — угловая скорость равномерного вращения отрезка

a = |P0P1| . y q2

P2

q1

Δ12 y1

Δ02

P1(m1) nt

x0

G

x1

x

r0 y0

P0(m0)

Рис. 93. Вводя обобщенные импульсы u = x& , v = y& , аналогично разделу 1.2, представим (13.13.1) в канонической форме.

dx ∂F ∗ , = dt ∂u dy ∂F ∗ , = dt ∂v

du ∂F ∗ , =− dt ∂x dv ∂F ∗ , =− dt ∂y

(13.13.3)

где

F∗ =

1 2 (u + v 2 ) − U . 2

*

Так как гамильтониан F , согласно (13.13.1), (13.13.2), в явном виде зависит от переменной t, то перейдем к новым переменным qi, pi (i = 1, 2) на основании функции преобразования вида (2.1.17)

S (u, v ; q1 , q2 ) = u[q1 cos(nt ) − q2 sin(nt )] + v [q1 sin(nt ) + q2 cos(nt )] ,

*)

Из рис. 93 очевидно, что m0r0 = m1(|P0P1| − r0), то есть (m0+ m1)r0 = m1|P0P1|. Но учитывая, что r0cos(π + nt) = x0, в частности, получим (m0+ m1) x0 = тальные соотношения (13.13.2).

− m1|P0P1|cos(nt). Аналогично получаются и ос-


так что *)

461

∂S , ∂u

x=

y=

∂S ; ∂v

p1 =

∂S , ∂q1

p2 =

∂S . ∂q 2

(13.13.4)

Тогда, согласно разделу 1.8 (см. также (2.1.22)), вместо (13.13.3) будем иметь **) dqi ∂F , = dt ∂pi

dpi ∂F =− ∂qi dt

(i = 1, 2),

(13.13.5)

где

⎛ ∂S ∂S ⎞ ∂S , ,t ⎟ − , F = F ∗ ⎜⎜ q1 , q2 , ∂q1 ∂q2 ⎟⎠ ∂t ⎝ или, поскольку из (13.13.4) следует, что p1 = u cos(nt ) + v sin(nt ),

p2 = −u sin(nt ) + v cos (nt),

то 1 F = ( p12 + p22 ) + n( p1q2 − p2 q1 ) − U . (13.13.6) 2 Силовая функция здесь также выражается в виде (13.13.1), но теперь она не будет зависеть явно от времени t, так как уже из (13.13.2) и (13.13.4) получим (см. также рис. 93) Δ202 = (q1 − q10 ) 2 + q22 , Δ212 = (q1 − q11 ) 2 + q22 ,

где q10 = −

m0 a m1a , q11 = , q 20 = q 21 = 0. m0 + m1 m0 + m1

Таким образом, гамильтониан F уже является интегралом задачи: F = const, или

[

]

n2 2 1 ( p1 + nq2 ) 2 + ( p2 − nq1 ) 2 − (q1 + q22 ) − U (q1 , q2 ) = const. 2 2

(13.13.7)

Этот интеграл ограниченной круговой задачи трех тел называется интегралом Якоби. Он позволяет произвести качественный анализ типов движений. Учитывая, что согласно (13.13.4)

p1 + nq2 = q&1 ,

p2 − nq1 = q& 2 ,

интеграл Якоби можно также представить в виде: *)

Из (13.13.4) следует, что q1 = x cos(nt ) + y sin( nt ), q 2 = − x sin( nt ) + y cos(nt ), p1 = x& cos(nt ) + y& sin( nt ) = q& 1 − nq 2 , p 2 = − x& sin( nt ) + y& cos(nt ) = q& 2 + nq1 . Данное преобразование означает переход от неподвижной системы осей координат xGy к равномерно вращающейся относительно точки центра масс G, с угловой скоростью n системе координат q1Gq2, так что точки P0 и P1 все время располагаются на оси Gq1.

**)

В (13.13.4), в отличие от (2.1.17), в качестве функции преобразования выбрана функция S = −S3, по-

этому в соотношении (2.1.22) раздела 2.1 в слагаемом ∂S/∂ t следует осуществить замену S на −S . Уравнениям движения в ограниченном круговом варианте задачи трех тел можно также придать и иную форму (см. (13.5.20), (13.5.21)).

462


V 2 = 2(W + h),

(13.13.8)

где V = q&12 + q& 22 — скорость материальной точки P1 относительно центра масс G,

W=

⎛m m ⎞ f ⎜⎜ 0 + 1 ⎟⎟, ⎝ Δ 02 Δ12 ⎠

n2 2 (q1 + q22 ) + 2

Δ 02 = (q1 + μa) 2 + q22 , Δ12 =

(13.13.9)

[q1 − (1 − μ )a]2 + q22 ,

μ = m1 (m0 + m1 ), h = const — произвольная постоянная, определяемая начальным положением и скоростью пассивно гравитирующей материальной точки P2. Соотношение (13.13.8) позволяет определить скорость точки P2 относительно центра масс P0 и P1, если известны ее координаты, то есть задано ее положение на плоскости q1G q2 (см. рис. 93). С другой стороны, если скорость V задана (определена), то уравнение (13.13.8) представляет собой геометрическое множество точек плоскости q1Gq2 (вращающейся относительно начала координат плоскости xGy с угловой скоростью n), в которых может находиться пассивно гравитирующая точка P2. Поскольку для 2

всякого действительного движения V есть величина неотрицательная, то в течение всего времени движения точки P2 должно выполняться неравенство

W + h ≥ 0,

(13.13.10)

которое определяет те области (зоны) плоскости q1Gq2, где может двигаться точка P2. Из (13.13.8) и (13.13.9) очевидно, что при h ≥ 0, то есть когда начальная скорость 2 точки P2 достаточно велика: V (t = 0) ≥ 2W(t = 0), неравенство (13.13.10) будет выполняться для всех точек плоскости q1Gq2, а следовательно, областью возможного движения в этом случае будет являться вся плоскость q1Gq2. 2

При h < 0, когда V (0) < 2W(0), пассивно гравитирующая материальная точка P2 может находиться лишь в тех областях плоскости q1Gq2, где выполняется неравенство

W ≥ |h|. Границей области возможного движения точки P2 в этом случае будет являться кривая, определяемая уравнением *) ⎡ 1− μ μ q12 + q 22 + ν 2 ⎢ + 2 2 ⎢⎣ ( q1 + μa ) + q 2 ( q1 + μa − a ) 2 + q 22

где ν 2 = 2a 3 , C =

(13.13.11)

| h |ν 2 , a — радиус круговой орбиты материальной точки P1 отf (m0 + m1 )

носительно P0. *)

⎤ ⎥ = C, ⎥⎦

Здесь учтено, что n 2 =

f (m0 + m1 ) , a3

μ=

m0 m1 , 1− μ = . m0 + m1 m0 + m1


463

Кривую нулевой скорости, определяемую уравнением (13.13.11), принято называть кривой Хилла *) . Так как левая часть (13.13.11) при замене q2 на −q2 не изменяется, то все линии, вычисляемые при различных значениях C > 0 семейства решений (13.13.11), симметричны относительно оси Gq1. Особыми точками на плоскости q1Gq2 будут являться стационарные точки (решения) канонической системы (13.13.5), определяемые уравнениями ∂F ∂F = = 0 (i = 1, 2). ∂qi ∂pi

(13.13.12)

В каждом из стационарных решений точка P2 будет занимать на плоскости q1Gq2 неизменное положение (см. рис. 94). Как следует из (13.13.6) и результатов раздела 13.7, стационарными решениями (13.13.12) будут являться пять точек либрации: три коллинеарных L1, L2, L3 и две "треугольные" L4 и L5 (см. рис. 90 и 91 раздела 13.7). Указанные точки либрации определяются теми же формулами, что и в случае общей (неограниченной) задачи трех тел, рассмотренном в разделе 13.7, если считать в них m2 = 0. Каждой точке либрации Li (μ,a) будет соответствовать определенное значение постоянной C(Li) (i = 1,5) . При достаточно больших значениях постоянной C = C1 → ∞ уравнение (13.13.11) будет удовлетворяться либо за счет достаточно больших величин q1 и q2

(q12 + q22 → C ), либо при тех значениях q1 и q2, для которых расстояния Δ 02 = (q1 − q10 ) 2 + q 22

(q10 = − μa),

Δ12 = (q1 − q11 ) 2 + q22

(q11 = a − μa)

будут малы. Поэтому при C = C1 кривая Хилла будет состоять из трех ветвей, близких к окружностям: "внешней" с центром в начале координат G и двух "внутренних" с центрами в точках P0 (q1 = q10, q2 = 0) и P1 (q1 = q11, q2 = 0). С уменьшением величины C из (13.13.11) очевидно, что внешняя ветвь будет также уменьшаться в размерах, а две внутренние — увеличиваться (см. рис. 94). При C = C(L1) кривая (13.13.11) проходит через особую точку либрации L1, так что две внут-

ренние ветви пересекаются в этой точке. В случае C3 ≲ C(L1) внутренние ветви вырождаются в одну замкнутую кривую, уже не имеющую особой точки (на рис. 94 ввиду симметрии относительно оси Gq1 приведена лишь полуплоскость q2 ≥ 0). *)

В пространственном случае в системе координат Gq1q2q3, как нетрудно показать, уравнение, определяющее граничную поверхность (а при различных значениях C — поверхности) нулевой относительной скорости (поверхность относительного равновесия), имеет вид ⎡ ⎤ 1− μ μ ⎥ = C. q12 + q 22 + ν 2 ⎢ + ⎢⎣ (q1 + μa) 2 + q 22 + q 32 (q1 + μa − a) 2 + q 22 + q32 ⎥⎦ Поверхность, определяемая данным уравнением (относительно q1, q2, q3), называется поверхностью Хилла. Она симметрична относительно координатных плоскостей q1Gq2 и q1Gq3 , а при μ = 1/2 (m0 = m1) поверхность Хилла обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.

464

Часть III. Основные задачи небесной механики q2 C1

C(L2) C5 C(L3)

L4 C3

C4 C(L2) C3 C(L1) C1

C1 L3

P0

G

L1

P1

L2

q1

Рис. 94. Если C = C(L2), то (13.13.11) будет иметь особую точку L2, в которой соединяются внешняя и внутренняя ветви кривой Хилла. При дальнейшем уменьшении значения C кривая (13.13.11) будет состоять уже из одной замкнутой ветви, охватывающей точки либрации L3 и L4, L5 (C = C4 на рис. 94). В случае C = C(L3) кривая Хилла будет проходить через точку либрации L3, а при C5 < C(L3) эта кривая "разрывается" на две ветви (петли), симметричные относительно оси Gq1 и охватывающие, соответственно, "треугольные" точки либрации L4 и L5. При еще меньших значениях постоянной C размеры этих двух ветвей уменьшаются, и когда C = C(L4) = C(L5) каждая из них вырождается в точки либрации L4 и L5 (см. рис. 94). Каждая из рассмотренных кривых Хилла, соответствующих различным начальным условиям (различным значениям интеграла h или C), как уже отмечалось ранее, определяет на плоскости q1Gq2, вращающейся с угловой скоростью n, области, в которых может происходить движение пассивно гравитирующей материальной точки P2. Если, например, при начальных условиях, отвечающих значению C1 постоянной C, точка P2 располагалась в начальный момент времени в окрестности точки P0 (или в малой окрестности точки P1, см. рис. 94), то поскольку во время движения пассивно гравитирующая точка P2 не может пересекать кривую нулевой скорости Хилла (соответствующую значению C1), она всегда будет двигаться внутри области, которую ограничивает эта кривая Хилла, представляя собой устойчивый по Хиллу (см. раздел 5.3) спутник тела P0 (или, соответственно, P1). Если при начальных условиях, отвечающих той же величине C = C1 точка P2 располагалась на рис. 94 за внешней ветвью, соответ-


465

ствующей значению C1, то она всегда будет оставаться в этой внешней области и никогда не сможет приблизиться к P0 или P1 *) . В случае начальных условий, для которых C = C3, как следует из вышеприведенного анализа, пассивно гравитирующая материальная точка P2, при начальном ее расположении во внутренней области кривой Хилла, будет все время находиться в этой области и может двигаться по орбитам, охватывающим оба тела (материальные точки) P0 и P1. А если в начальной момент времени точка P2 находилась во внешней области кривой Хилла, отвечающей значению C = C3, то она так и останется в этой области и не сможет приблизиться к точкам P0 и P1. Таким образом, наличие интеграла Якоби (13.13.8) в ограниченном круговом варианте задачи трех тел позволяет определить (при h < 0) конкретную область возможного движения исследуемой пассивно гравитирующей точки P2 и в ряде случаев разрешить вопрос об устойчивости движения P2 по Хиллу **) . 13.14. Спутниковый вариант задачи Рассмотрим движение спутника P под действием гравитационного притяжения центральной планеты P0 с массой m0 и некоторого внешнего тела P′ (см. раздел 11.6) с массой m′. Будем предполагать, как и в случае ограниченного варианта задачи, что масса спутника m пренебрежимо мала в сравнении с массами m0 и m′.

z

P(x,y,z) Δ

rr rr H

P'(x',y',z')

r r′ y

P0 x Рис. 95.

*)

2

2

Из (13.13.10) и (13.13.11) следует, что для внешней ветви кривой Хилла, когда q1∗ + q 2∗ ~ C , положи2

2

тельным (допустимым) значениям скорости V соответствует условие q12 + q 22 > q1∗ + q 2∗ , то есть область за кривой Хилла (внешняя область, не содержащая начало координат G). В то время как для внутренних ветвей в окрестности точек P0 и P1 положительным скоростям V отвечают меньшие, чем

граничные, значения расстояний Δ02 и Δ12, то есть внутренние области соответствующих ветвей. Мы ограничились рассмотрением плоского кругового варианта задачи трех тел, однако нетрудно обобщить полученные результаты и на пространственный случай [52] . Аналогичное исследование движений, устойчивых по Хиллу, может быть также проведено и в общей (неограниченной) задаче трех тел [61] (см. также раздел 13.15).

**)

466


Выберем прямоугольную систему координат с началом в центре масс тела P0 и фиксированным направлением осей (рис. 95). Тогда абсолютное ускорение материальной точки P, обусловленное гравитационными возмущениями от P0 и P′, будет равно → r r PP′ r a P = − fm0 r 3 + fm′ 3 , Δ |r | где f — гравитационная постоянная, Δ — взаимное расстояние между точками P и P′, r r — радиус-вектор точки P. Ускорение же начала системы координат (то есть тела P0) определяется выражением r r r′ r a P0 = fm r 3 + fm′ r 3 , |r | | r′| r в котором r ′ — радиус-вектор точки P′. Поэтому ньютоновское уравнение относительного движения спутника P в векторной форме будет иметь вид r r r ⎞ ⎛ →′ r d 2r r r PP r′ ⎟ ⎜ = a P − a P0 = − f (m0 + m) r 3 + fm′⎜ 3 − r 3 ⎟. (13.14.1) dt 2 |r | | r′| ⎟ ⎜ Δ ⎝ ⎠ *) Если ввести в рассмотрение возмущающую функцию ⎛ 1 xx′ + yy ′ + zz ′ ⎞ (13.14.2) R = fm′⎜ − ⎟, r ′3 ⎝Δ ⎠ где

Δ = ( x′ − x) 2 + ( y ′ − y ) 2 + ( z ′ − z ) 2 , r ′ = x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 , то для уравнения движения P в координатной форме получим d 2 x μ ∗ x ∂R , + 3 = dt 2 r ∂x

d 2 y μ ∗ y ∂R , + 3 = dt 2 r ∂y

d 2 z μ ∗ z ∂R . + 3 = dt 2 r ∂z

(13.14.3)

Здесь μ ∗ = f (m0 + m) или поскольку по исходному предположению m 3) существенно больше, чем в случае задачи трех тел. В частности, число "коллинеарных решений", соответствующих расположению всех материальных точек системы на одной прямой, равно N!/2. Например, для задачи четырех тел коллинеарных решений 12, а в задаче пяти тел их число уже равно 60. *)

При h′ > 0, поскольку U ≥ 0, из (13.15.9) имеем I&&c ≥ 4h ′ > 0, откуда, дважды интегрируя, получим, что lim I c (t ) = ∞. t → ±∞

Следовательно, в этом случае система материальных точек практически распадается (хотя бы частично), как при t → +∞, так и при t → −∞, так как взаимные расстояния между некоторыми материальными точками системы (хотя бы попеременно) должны становиться бесконечно большими. r **) Заметим, что плоскость, ортогональная вектору С = {C1 , C 2 , C 3 } называется неизменяемой плоскоr стью Лапласа (C1 C2, C3 — соответствующие проекции вектора C на оси барицентрической системы координат). ***) Неравенство (13.15.10) оказывается наиболее эффективным для проведения качественных исследований лишь для случая N = 3, так как уже в задаче четырех тел ограничения на движения гравитирующих тел, следующие из этого неравенства, настолько несущественны, что не позволяют получить скольнибудь значимых результатов.

Небесная механика. Общий курс

Recommend Documents