Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 5–17 УДК 517.55+517.95
СУММИРУЕМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ c 2003 г.
В. БАЛСЕР
АННОТАЦИЯ. В работе изучаются свойства Жеврея и суммируемость степенных рядов с двумя переменными, представляющих формальные решения задачи Коши для общих линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Развиваются результаты, полученные ранее в двух работах Лутца, Мияке и Шефке и, соответственно, Балсера для комплексного уравнения теплопроводности, а также в работе Балсера и Мияке, которые исследовали аналогичные вопросы для некоторого класса линейных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами при некоторых ограничениях. Кроме того, рассматривается пример уравнения с частными производными, для которого формальное решение задачи Коши не является k-суммируемым ни при каком значении k, но при соответствующем ограничении на данные Коши является мультисуммируемым с двумя уровнями. Отметим, что подобная ситуация не была описана до настоящего времени.
СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . Формальные решения . . . . . . . . . . Суммируемость формальных степенных Нормализованное формальное решение Оценки типа Жеврея . . . . . . . . . . Свойства суммируемости . . . . . . . . Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
5 7 8 10 11 12 16 17
ВВЕДЕНИЕ В настоящей статье изучаются степенные ряды, представляющие формальные решения задачи Коши для общих однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных с двумя комплексными переменными t и z. Предполагается, что уравнение имеет постоянные коэффициенты, а начальные данные суть голоморфные функции переменной z в круге |z| < ρ, где ρ > 0 фиксировано. В первой части статьи мы полностью описываем семейство (вообще говоря, бесконечное) формальных решений такой задачи в виде степенных рядов. В случае когда имеется более одного решения, выбирается некоторое частное решение, которое называется нормированным формальным решением. Для него находится порядок Жеврея. В разделе 5 будет сформулировано условие (A), позволяющее (при соответствующих ограничениях на начальные данные) доказать k-суммируемость нормированного формального решения. В последнем разделе мы рассмотрим пример, в котором условие (A) нарушается, и покажем, что в этом случае необходимо использовать мультисуммируемость для вычисления соответствующего формального решения. Однако результаты более глубоких исследований в этом направлении будут опубликованы позднее. Данные результаты были представлены на Международной конференции по дифференциальным и функциональнодифференциальным уравнениям, Москва, 2002. Автор выражает глубокую признательность организаторам конференции, а также различным учреждениям за финансовую поддержку. c
2003 МАИ
5
6
В. БАЛСЕР
Будем пользоваться следующими обозначениями. Пусть ∂t , соответственно ∂z , есть производная по t, соответственно по z. Рассматриваемое уравнение будем обозначать p ∂t , ∂z u = 0, (0.1) где p ∈ C[∂t , ∂z ] — ненулевой полином с комплексными коэффициентами, зависящий от двух переменных. Далее нам будет удобна следующая запись: p(∂t , ∂z ) = ∂tκ p(∂z ) −
κ X
∂tκ−ν pν (∂z ),
(0.2)
ν=1
где • p ∈ C[∂z ] — полином степени g > 0, зависящий от одной переменной; без ограничения общности полагаем, что его старший коэффициент равен 1. Через R0 обозначим наименьшее неотрицательное вещественное число, такое, что все корни полинома p (в случае, когда g > 1) лежат внутри замкнутого круга DR0 радиуса R0 с центром в начале координат; • κ > 1 — целое, p1 , . . . , pκ ∈ C[∂z ] — некоторые полиномы, зависящие от одной переменной; • без ограничения общности полагаем, что pκ не равно тождественно нулю. Если последнее предположение нарушается, то u есть решение уравнения (0.1) тогда и только тогда, когда его частная производная по t удовлетворяетсоответствующему уравнению с полиномом, степень которого по t меньше чем степень p(∂t , ∂z . Отсюда, а также из того, что (см. [2]) формальный степенной ряд является k-суммируемым1 в направлении d тогда и только тогда, когда его формальная производная суммируема в том же смысле, следует, что мы действительно можем ограничиться случаем не равного тождественно нулю pκ . Рассмотрим следующие специальные случаи, которые были исследованы ранее и которые будут служить примерами, иллюстрирующими наш подход: 1. Пусть p(∂t , ∂z ) = ∂t − ∂z2 . Другими словами, рассматривается уравнение ut = uzz , являющееся комплексным уравнением теплопроводности. Данная ситуация впервые была исследована Лутцем, Мияке и Шефке [5], которые установили необходимые и достаточные условия 1-суммируемости степенного ряда, представляющего (единственное) формальное решение соответствующей задачи Коши. С точностью до некоторых технических деталей в данной работе мы заново установим их результат в части достаточности. При k > 1 k-суммируемость также изучалась в [1], но это выходит за рамки данной статьи. 2. Для κ, p ∈ N Мияке [8] исследовал более общее уравнение вида ∂tκ u = ∂zp u. Здесь соответствующая задача Коши снова имеет единственное формальное решение, которое представляется сходящимся рядом при 1 6 p 6 κ. В случае 1 6 κ < p Мияке были найдены необходимые условия, при выполнении которых формальное решение является k-суммируемым для 1/k = p/κ−1. Достаточность этих условий также будет получена заново в данной работе. 3. В качестве типичного примера, когда p(∂z ) 6≡ 1 (и, следовательно, его степень g > 1), мы рассмотрим уравнение (∂t ∂z − ∂zp + 1) u = 0, p ∈ N. Эта ситуация оказывается более сложной. Однако благодаря тому, что мы ограничиваемся так называемыми нормированным формальными решениями, вопрос суммируемости исследуется аналогично случаю g = 0. 4. В качестве последнего примера (который, как мы увидим, существенно отличается от предыдущих) рассмотрим уравнение ∂t2 − ∂t (∂z3 + ∂z2 ) + ∂z5 u = (∂t − ∂z2 ) (∂t − ∂z3 ) u = 0. Данный случай будет подробно изучен в последнем разделе и потребует применение мультисуммируемости для нахождения (единственного) формального решения. 1
Точное определение данного термина см. в разделе 2.
СУММИРУЕМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
7
Балсер и Мияке [3] изучили уравнение (0.1) в случае, когда p(∂t ) ≡ 1 — ситуация, охватывающая примеры 1, 2 и 4, но не включающая в себя пример 3. Как мы увидим, этот случай является особым, так как соответствующая задача Коши имеет единственное формальное решение, представимое степенным рядом. При некоторых дополнительных предположениях, которым удовлетворяют все примеры, кроме последнего, авторы установили достаточные условия суммируемости этого формального решения. В данной работе некоторые (но не все) предположения будут сняты за счет более тщательного анализа. Отметим, что исследования, аналогичные проведенным ниже, возможны и в случае уравнений с коэффициентами, голоморфно зависящими от t и z, скажем, в некотором поликруге с центром в начале координат в C2 . Кроме того, вместо задачи Коши, можно исследовать неоднородное уравнение. Некоторые результаты в данном и в смежных направлениях (в основном речь идет об изучении порядка Жеврея формальных решений) были получены такими авторами, как Мияке [6–8], Мияке и Хашимото [9], Мияке и Йошино [11], Мияке и Ишинобе [10], Хибино [4], Плис и Зимиан [15], Оучи [12–14]. В общем случае остается еще очень много нерешенных задач, однако в данной работе мы ограничимся уравнениями с постоянными коэффициентами. 1.
ФОРМАЛЬНЫЕ
РЕШЕНИЯ
В настоящей статье будем изучать формальные решения уравнения (0.1), представимые в виде степенных рядов по переменной t, коэффициенты которых суть голоморфные функции переменной z в круге Dρ = {z ∈ C : |z| < ρ}. Такие решения всегда будут записываться в виде ∞ X tj u ˆ(t, z) = uj (z). j!
(1.1)
j=0
Сейчас мы покажем, что (0.1) всегда имеет бесконечное семейство таких решений, зависящих от некоторых начальных данных, которые мы можем полностью описать. Утверждение 1 (существование и свобода выбора степенных решений). Формальный степенной ряд вида (1.1) является формальным решением уравнения (0.1) тогда и только тогда, когда коэффициенты uj (z) удовлетворяют соотношениям κ X p ∂z uj (z) = pν ∂z uj−ν (z)
∀z ∈ Dρ
(1.2)
ν=1
для каждого j > κ. В частности, первые коэффициенты u0 (z), . . . , uκ−1 (z) могут быть выбраны произвольным образом. Если предположить, что g = deg p = 0, то, очевидно, рекурсивное соотношение (1.2) определяет оставшиеся коэффициенты uj (z) единственным образом. Если же g > 1, предположим, что помимо первых коэффициентов мы также выбираем произвольным образом комплексные числа ujn для 0 6 n 6 g − 1 и j > κ. Тогда существует в точности одно формальное решение (1.1) уравнения (0.1) с коэффициентами uj (z), которые помимо (1.2) удовлетворяют соотношениям ∂zn uj (z) = ujn ∀j > κ, 0 6 n < g. (1.3) z=0
Доказательство. Подставим степенной ряд (1.1) в уравнение (0.1), приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и заметим, что (1.2) можно интерпретировать как неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка g относительно функции uj (z). Замечание 1. Как было показано выше, формальное решение уравнения (0.1), представимое степенным рядом, зависит не только от ujn при 0 6 n 6 g − 1 и j > κ, но и от начальных данный uj (z), j = 0, . . . , κ − 1. Для упрощения выкладок ограничимся изучением специальных формальных решений u ˆ(t, z) = u ˆ(t, z, φ), где u0 (z) = φ(z), с одной функцией φ, голоморфной в Dρ . При этом потребуем, чтобы рекурсивное соотношение (1.2) выполнялось для j > 1, полагая uj−ν (z) равным нулю для j < ν. Таким образом, определяется формальное решение в виде степенного ряда с точностью до выбора чисел ujn для 0 6 n 6 g − 1 и j > 1. При этом можно проверить, что ряды ∂t−ν u ˆ(t, z, φ), ν = 1, . . . , κ − 1, где ∂t−1 обозначает почленное интегрирование по t, также являются формальными решениями уравнения (0.1). Более того, любое формальное решение
8
В. БАЛСЕР
уравнения (0.1) в виде степенного ряда есть сумма решений вида ∂t−ν u ˆ(t, z, φν ), ν = 1, . . . , κ − 1, где φν — голоморфные в Dρ функции. Это означает, что результаты относительно k-суммируемости специальных формальных решений уравнения (0.1) в виде степенных рядов переносятся на общие решения. В примерах 1, 2 и 4 имеем g = 0. Следовательно, существует в точности одно специальное формальное решение u ˆ(t, z, φ). В примере 2 соответствующий ряд может быть выписан явно: ∞ X tκj (pj) u ˆ(t, z, φ) = φ (z). (κj)!
(1.4)
j=0
Для κ = 1 и p = 2 данный ряд совпадает с формальным решением комплексного уравнения теплопроводности. Очевидно, ряд (1.4) сходится при p 6 κ, тогда как в противном случае этот ряд, вообще говоря, расходится. В примере 3, так же как и в общей ситуации g > 1, весьма важно наличие свободы в выборе специальных формальных решений в виде степенных рядов: выбирая числа ujn неудачным образом, мы получим ряды, имеющие чрезмерно большие порядки Жеврея. Более того, даже если порядок Жеврея степенного ряда окажется равным k, может так получиться, что его формальное преобразование Бореля соответствующего порядка не будет иметь голоморфного продолжения. Более подробно, см. замечание 4 в следующем разделе. 2.
СУММИРУЕМОСТЬ
ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Изучая степенные ряды вида (1.1), будем пользоваться понятием суммируемости рядов с коэффициентами, принадлежащими банахову пространству. При этом мы будем существенно опираться на работу [2]. Рассмотрим при фиксированном r > 0 банахово пространство Er , состоящее из функций, голоморфных в круге Dr и непрерывных вплоть до границы, с обычной нормой kf kr = sup |f (z)|. Будем |z|6r
говорить, что при некоторых k > 0 и d ∈ R ряд (1.1) является k-суммируемым в направлении d, если существует r ∈ (0, ρ), такое, что выполняются следующие два свойства. • Формальное преобразование Бореля по переменной t порядка k, т. е. степенной ряд w(t, z) =
∞ X
uj (z)
j=0
tj , j! Γ(1 + j/k)
(2.1)
сходится абсолютно при |z| 6 r и |t| < R, где R > 0 и может зависеть от r, но не зависит от z. • Существует δ > 0, такое, что для каждого z ∈ Dr функция w(t, z) может быть продолжена по переменной t в угол Sd, δ = {t : |d − arg t| < δ}. Более того, для каждого δ1 < δ существуют константы C, K > 0, такие, что kw(t, ·)k = sup |w(t, z)| 6 C exp[K|t|k ]
∀t ∈ Sd, δ1 .
|z|6r
(2.2)
Если эти два свойства выполняются, то преобразование Лапласа порядка k функции w(t, z), т. е. функция u(t, z) = t−k
∞(γ) Z
k
w(τ, z) e−(τ /t) dτ k ,
0
где интегрирование проводится вдоль луча arg τ = γ, (|d − γ| < δ), называется k-суммой формального ряда u ˆ(t, z). Из общей теории (см. [2]) следует, что эта сумма голоморфна в Gr × Dr , где Gr — угол раствора больше, чем π/k, бисектриса которого задается направлением arg t = d; далее, функция u(t, z) непрерывна по z вплоть до границы круга Dr . Заметим, что наше определение k-суммируемости согласуется с определением Рамиса [16], когда все функции uj (z) постоянны.
СУММИРУЕМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
9
Замечание 2. Из общей теории (см. [2], в частности, упражнение 4 на с. 109) следует, что формальный ряд u ˆ(t, z) является k-суммируемым в направлении d тогда и только тогда, когда k-суммируем в направлении d ряд u ˇ(t, z) =
∞ X j=0
uj (z)
Γ(1 + j/k) j t , Γ(1 + sj)
s = 1 + 1/k.
Следовательно, доказательство того, что функция (2.1) может быть продолжена в малый угол и удовлетворяет (2.2), эквивалентно доказательству аналогичного утверждения для связанной с (2.1) функции ∞ X tj . (2.3) v(t, z) = uj (z) Γ(1 + sj) j=0
Далее будет удобно использовать эту модифицированную функцию, связанную с u ˆ(t, z), вместо формального преобразования Бореля (2.1) порядка k. Параллельно рассмотрим следующие две последовательности формальных степенных рядов, являющихся функциями одной переменной t: x ˆn (t) =
∂zn u ˆ(t,
∞ X tj z) z=0 = ujn j!
vn (t) = ∂zn v(t, z) z=0 =
j=0 ∞ X j=0
ujn
∀n > 0,
tj Γ(1 + sj)
∀n > 0.
(2.4)
(2.5)
Будем называть эти последовательности связанными с формальным рядом u ˆ(t, z). В качестве другой интерпретации суммируемости рядов с двумя переменными в терминах рядов с одной переменной докажем следующий результат. Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны. (a) Формальный ряд (1.1) k-суммируем в направлении d. (b) Все формальные ряды (2.4) k-суммируемы в направлении d. Более того, существует не зависящий от n угол G раствора больше, чем π/k, бисектриса которого определяется направлением d, такой, что в нем все суммы xn (t) рядов x ˆn (t), n > 0, голоморфны. Наконец, для каждого замкнутого угла S, содержащегося в G, существуют не зависящие от n константы C, K > 0, такие, что для всех n, ` > 0 и t ∈ S `−1 X tj −` |rn (t, `)| = |t| xn (t) − ujn 6 C K n+` n! Γ(1 + `/k). j! j=0
(c) Все формальные ряды (2.4) k-суммируемы в направлении d. Более того, существует не зависящий от n угол G раствора больше, чем π/k, бисектриса которого определяется направлением d, такой, что в нем все суммы xn (t) рядов x ˆn (t) голоморфны. Наконец, для любого замкнутого угла S, содержащегося в G, существуют не зависящие от n константы C, K > 0, такие, что для всех n, ` > 0 и t ∈ S |∂t` xn (t)| 6 C K n+` n! Γ(1 + s `). (d) Все ряды (2.5) сходятся при |t| < r1 , где r1 > 0 не зависит от n. Более того, существует такое δ > 0, что все функции vn (t) голоморфно продолжаются в угол Sd, δ . Наконец, для каждого δ1 < δ существуют не зависящие от n константы C, K > 0, такие, что |vn (t)| 6 C n n! exp[K |t|k ]
∀t ∈ Sd, δ1 ,
∀n > 0.
Доказательство. Предположим, что (a) выполнено. Пусть u(t, z) есть сумма ряда (1.1). Тогда существует r ∈ (0, ρ), такое, что u(t, z) голоморфно в Gr × Dr , где Gr — угол раствора больше, чем π/k, бисектриса которого определяется направлением d. Согласно общей теории (см. [2]) для каждого замкнутого угла S, содержащегося в G, существуют константы C, K > 0, такие, что для всех ` > 0, z ∈ Dr и t ∈ S |∂t` u(t, z)| 6 C K ` Γ(1 + s `).
10
В. БАЛСЕР
Полагая xn (t) =
I
n! 2πi
u(t, z) dz z n+1
∀n > 0,
|z|=r
мы видим, что оценка в (c) выполняется с некоторыми константами C, K, вообще говоря, отличными от введенных выше. Далее, снова используя общие результаты из [2], получаем, что каждая из функций xn (t) является k-суммой в направлении d для ряда x ˆn (t); таким образом, (c) доказано. При помощи формулы Тейлора выводим (b) из (c); более подробно см. [2, с. 67]. Пусть выполняется (b). Тогда при t → 0 имеем |ujn | 6 C K n+j n! Γ(1 + j/k) при всех n, j > 0. Отсюда следует первая часть утверждения (d). Так как vn (t) представляет собой интегральное преобразование функции xn (t), ядро которого есть один из общих интегральных операторов в [2, с. 87], то можно также доказать и вторую часть утверждения (d). Наконец, если выполнено (d), то ряд v(t, z) =
∞ X
vn (t)
n=0
zn n!
∀ |z| < 1/C,
t ∈ Dr1 ∪ Sd, δ1 ,
равномерно сходится при t ∈ Sd, δ и |z| 6 r, где r > 0 достаточно мало. Таким образом, v(t, z) голоморфна в Sd, δ × Dr и удовлетворяет оценке, аналогичной (2.2). Отсюда вытекает (a). Замечание 3. Каждое из условий (b), (c) или (d) леммы 1 означает, что последовательность формальных рядов u ˆn (t) равномерно k-суммируема в направлении d. Таким образом, k-суммируемость степенного ряда с двумя переменными эквивалентна равномерной k-суммируемости счетного множества рядов с одной переменной. Замечание 4. Из леммы 1, в частности, следует, что для k-суммируемости в направлении d степенного ряда, представляющего формальное решение уравнения (0.1) необходимо выбрать чис∞ P ла ujn (0 6 n 6 g − 1, j > κ) так, чтобы ряды x ˆn (t) = ujn tj /j! (0 6 n 6 g − 1) также j=κ
были k-суммируемы в направлении d. Очевидно, этого можно добиться, полагая ujn = 0. Однако в следующем разделе мы выберем числа ujn иначе, что позволит получить явные формулы для функций uj (z). 3.
НОРМАЛИЗОВАННОЕ
ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
В данном разделе мы определим некоторое частное формальное решение уравнения (0.1), представимое степенным рядом. Затем мы исследуем его порядок Жеврея и суммируемость. Всюду далее будем считать фиксированной некоторую голоморфную в Dρ функцию φ(z). Рассмотрим ∞ P соответствующее формальное разложение в ряд φ(z) = φn z n , сходящийся в круге |z| < ρ. n=0
Перепишем это разложение в виде φ(z) =
∞ X n=0
n! φn 2πi
I
ewz dw , wn+1
|z| < ρ,
|w|=R
где интеграл берется по (положительно ориентированной) окружности произвольного радиуса R > 0 с центром в начале координат. Вообще, если r(w) есть некоторая рациональная функция, рассмотрим следующий аналогичный ряд: I ∞ X r(w) ewz dw n! u(z) = φn . (3.1) 2πi wn+1 n=0
|w|=R
Здесь радиус R > 0 выбирается настолько большим, чтобы все полюса функции r(w) лежали внутри окружности (контура интегрирования). В отличие от особого случая r(w) ≡ 1, когда можно явно вычислить интегралы и убедиться в сходимости ряда, в общем случае не исключено, что ряд (3.1) будет расходиться. Однако, если мы рассмотрим радиус R, зависящий от n (а это возможно в силу интегральной теоремы Коши), то сможем показать, что ряд (3.1) будет сходится.
СУММИРУЕМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
11
Лемма 2. Ряд (3.1) сходится абсолютно и локально равномерно по z в круге |z| < ρ. Следовательно, функция u(z) голоморфна при z ∈ Dρ . Доказательство. Случай z = 0 очевиден. Пусть z 6= 0. В силу интегральной теоремы Коши мы можем при достаточно больших n заменить R на Rn = n/|z| и далее оценить интеграл стандартным образом, завершив доказательство применением формулы Стирлинга для n!. Используя такой ряд, мы определим специальное формальное решение уравнения (0.1), соответствующее начальному условию φ(z): полагая r0 (w) ≡ 1 и считая rj (w) ≡ 0 при j < 0, определим последовательность рациональных функций при помощи рекурсивного соотношения κ X p(w)rj (w) = pν (w)rj−ν (w) ∀ j > 1. (3.2) ν=1
В случае когда g = 0, все функции rj (w) оказываются полиномами: rj (w) = w2j в примере 1 (комплексное уравнение теплопроводности). В примере 2 получаем rj (w) = wjp/κ , если j кратно κ, и rj (w) ≡ 0 для остальных j. Однако, если g > 1, функции rj (w) имеют полюса (порядки которых, вообще говоря, возрастают), совпадающие с конечным множеством корней полинома p(w). В частности, в примере 3 получаем rj (w) = (wp − 1)j w−j . Функции rj (w) для последнего примера будут вычислены в последнем разделе 6. Рассмотрим R > R0 , где R0 настолько велико, что все корни полинома p(w) расположены внутри замкнутого круга DR0 , и положим I ∞ X rj (w) ewz dw n! uj (z) = φn . (3.3) 2πi wn+1 n=0
|w|=R
Тогда из леммы 2 следует, что все функции uj (z) голоморфны в круге |z| < ρ. Более того, вычисляя производную функции uj (z) по z, мы можем вначале продифференцировать соответствующий ряд почленно, а затем внести производную под знак интеграла. Отсюда следует, что функции uj (z) удовлетворяют (1.2) при j > 1. Следовательно, полученный ряд (1.1) есть частное решение уравнения (0.1). Именно это решение мы и будем далее называть нормированным частным решением. Если rj (w) = wν , где ν = ν(j) — целое неотрицательное число, то, как нетрудно проверить, uj (z) = ∂zν φ(z). Следовательно, для примеров 1 и 2 мы заново получаем формальные решения, которые уже были определены ранее. В примере 3 уже не удается так просто найти нормированное формальное решение. Тем не менее в разделе 5 мы получим одну весьма полезную формулу для представления функций uj (z). Для того чтобы сравнить нормированное формальное решение для случая g > 1 с более общими решениями из предыдущего раздела, заметим, что при n ∈ N имеем I ∞ X ν! ∂zn uj (z) z=0 = φν rj (w)wn−ν−1 dw. 2πi ν=0
|w|=R
При этом сумма в правой части содержит в действительности конечное число слагаемых, так как соответствующие интегралы равны нулю при достаточно больших ν. Таким образом, нормированное формальное решение получается путем выбора в утверждении 1 констант ujn равными конечным линейным комбинациям коэффициентов φν , соответствующих начальному условию φ(z). 4.
ОЦЕНКИ
ТИПА
ЖЕВРЕЯ
Для нахождения порядка Жеврея нормированного формального решения обозначим через m наименьшее неотрицательное рациональное число, такое, что степень полиномов pν (w) в (3.2) не превосходит g + mν, ν = 1, . . . , κ. Напомним, что R0 есть наименьшее неотрицательное вещественное число, такое, что все корни полинома p расположены внутри замкнутого круга DR0 . Далее, для каждого ε > 0 из (3.2) при помощи индукции по j выводим существование константы c = c(ε) > 0, такой, что |rj (w)| 6 cj |w|mj Из оценки (4.1) получим следующий результат.
∀j > 0,
|w| > R0 + ε.
(4.1)
12
В. БАЛСЕР
Теорема 1. Для каждого ρ1 ∈ (0, ρ) существуют константы C, K, такие, что |uj (z)| 6 C K j Γ(1 + mj)
∀j > 0,
|z| 6 ρ1 .
(4.2)
Доказательство. Из (4.1) получаем, что при |z| 6 ρ1 и R = Rn > R0 + ε, которое будет выбрано позже, справедлива оценка I n! rj (w) ewz dw ∀n > 0. 6 n! cj Rnmj−n exp[Rn ρ1 ] 2πi wn+1 |w|=R Для произвольного x > 0 отсюда и из (3.3) следует ∞ X j=0
∞
∞
m
X |φn | n! exp[Rn ρ1 ] X (x c R )j xj n |uj (z)| 6 . n Γ(1 + mj) Γ(1 + mj) R n n=0 j=0
Внутренняя сумма в правой части неравенства в точности совпадает с функцией Миттага— Леффлера [2, с. 233] порядка m и оценивается через exp[(xc)1/m Rn ]. Полагая Rn = n/ρ1 при ∞ P достаточно большом n и используя формулу Стирлинга, видим, что ряд xj |uj (z)|/Γ(1 + mj) j=0
сходится при достаточно малых x, что эквивалентно (4.2). ∞ P
Из теоремы 1 следует, что нормированное формальное решение u ˆ(t, z) =
uj (z) tj /j! сходится
j=0
при m 6 1 и, вообще говоря, расходится в противном случае. Таким образом, в случае m > 1 естественно исследовать k-суммируемость при k = (m − 1)−1 . Этим мы и займемся в следующем разделе. 5.
СВОЙСТВА
СУММИРУЕМОСТИ
Всюду в данном разделе будем считать, что m > 1. По определению m функции rj (w) имеют следующее разложение в окрестности w = ∞: rj (w) = w
`j
∞ X
rjµ w−µ ,
|w| > R0 ,
µ=0
где `j есть наибольшее целое число, не превосходящее mj; R0 обозначает то же, что и выше. Подставляя это разложение в (3.3), интегрируя почленно и вычисляя получившиеся интегралы при помощи формула Ганкеля для обратных гамма-функций [2, с. 228], получаем ∞ X
uj (z) =
rjµ φn
n, µ=0
n! z µ+n−`j Γ(1 + µ + n − `j )
∀z ∈ Dρ ,
(5.1)
причем слагаемые, для которых n + µ < `j , обращаются в ноль. Данное разложение функции uj (z) будет использовано для получения еще одной формулы представления. Положим gj (z) =
∞ X µ=0
rjµ
z µ+ξj , Γ(1 + µ + ξj )
ξj = mj − `j ∈ [0, 1).
(5.2)
Данный ряд, очевидно, сходится при каждом z ∈ C. Таким образом, gj (z) голоморфна всюду, кроме, быть может, единственной точки ветвления в начале координат в случае дробных значений m. Согласно определению ξj , а также в силу разложения функции gj (z) в ряд, функция −mj−1
Zw
(w − z)
φ(w − u)gj (u) du 0
(которая будет использована в следующей теореме), как нетрудно проверить, является однозначной функцией переменной w (z) на окружности (в круге) с центром в начале координат. При помощи данных функций получим следующее представление для uj (z).
СУММИРУЕМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Теорема 2. Для каждого j > 0 и z ∈ Dρ имеет место тождество I Zw Γ(mj + 1) dw uj (z) = ∂z φ(w − u) gj (u) du , 2πi (w − z)mj+1 |w|=ρ1
13
(5.3)
0
где |z| < ρ1 < ρ, а для многозначных функций gj и (w − z)mj выбираются соответствующие ветви. Доказательство. Почленно интегрируя разложения функций gj (u) и φ(w − u), для всех j > 0 и w ∈ Dρ получим Zw ∞ X wn+µ+ξj +1 . φ(w − u)gj (u) du = rjµ φn n! Γ(2 + n + µ + ξj ) n, µ=0
0
Подставим полученное выражение в (5.3) и принтегрируем почленно. Теперь остается показать, что I I 1 wn+µ+ξj +1 1 wn+µ−`j dw = dw = 2πi (w − z)mj+1 2πi (1 − z/w)mj+1 |w|=ρ1
|w|=ρ1
Γ(2 + n + µ + ξj ) z n+µ−`j +1 . Γ(1 + mj)(n + µ − `j + 1)!
=
Для этого следует разложить знаменатель во втором интеграле в ряд Тейлора и затем почленно проинтегрировать. После этого получим, что правая часть в равенстве (5.3) совпадает с разложением в степенной ряд (5.1). Отметим, что интегральное представление (5.3) может быть использовано для другого доказательства (4.2), но в данной работе мы не будем на этом останавливаться. Вместо этого изучим k-суммируемость в направлении d нормированного формального решения при k = (m − 1)−1 и произвольном d ∈ R (напомним, что мы считаем m > 1). Для этого мы рассмотрим функцию, определяемую разложением в ряд v(t, z) =
∞ X j=0
tj uj (z), Γ(1 + mj)
(5.4)
который в силу теоремы 1 сходится малых |t|. Как уже говорилось в замечании 2, k-суммируемость нормированного формального решения эквивалентна тому, что функция v(t, z) может быть голоморфно продолжена в малый угол Sd, δ , когда z принадлежит достаточно малому кругу с центром в начале координат и выполняется оценка вида (2.2). Для проверки последнего утверждения введем следующее ядро, которое связано с функцией, имеющей то же название в [3] (но не равно ей): Z 1 ezu du pν (u) k(t, z) = , qν (u) = mν . (5.5) κ P 2πi u u p(u) ν qν (u)t γ(R, z) 1 − ν=1
Интеграл берется по контуру Ганкеля γ(R, z) из бесконечности вдоль луча arg(zu) = −π к точке u0 , |u0 | = R > R0 , затем вдоль положительно ориентированной окружности радиуса R с центром в начале координат и снова вдоль луча arg(z u) = π в бесконечность; при этом t выбирается настолько малым, чтобы знаменатель на пути интегрирования не обращался в ноль — такое t существует, так как по определению m все функции qν ограничены на бесконечности. В примере 1 имеем κ = 1, m = 2, q1 (u) ≡ 1, откуда следует k(t, z) = 1/(1 − t). В примере 2, как нетрудно проверить, m = p/κ и k(t, z) = 1/(1 − tκ ). Таким образом, в этих двух случаях ядро есть функция, зависящая от t и не зависящая от z. В примере 3 имеем κ = 1, m = p, q1 (u) = 1 − u−p ; следовательно, Z 1 up−1 ezu k(t, z) = du. 2πi up (1 − t) + t γ(R, z)
14
В. БАЛСЕР
В последнем примере 4 имеем κ = 2, m = 3 и 1−q1 (u)t−q2 (u)t2 = (1−t)(1−t/u). В данном разделе мы исключим этот случай из рассмотрения, сделав ниже одно дополнительное предположение, и рассмотрим его более подробно в последнем разделе. Вернемся к общей ситуации. Заметим, что из (3.2) получается соответствующее рекурсивное соотношение для величин rj (u)/umj . Отсюда имеем ∞ X
tj
j=0
rj (u) = umj
1 , κ P 1− qν (u)tν ν=1
причем данный ряд сходится равномерно для u ∈ γ(R, z) и достаточно малого |t|. Почленное интегрирование дает ∞ X k(t, z) = tj gj (z), j=0
причем ряд сходится абсолютно и локально равномерно для достаточно малых |t| и всех z ∈ C. Следовательно, из (5.3) заключаем, что I
∂z v(t, z) = 2πi
|w|=ρ1
Zw
dw t φ(w − u)k , u du . (w − z)m w−z
(5.6)
0
Для того чтобы исследовать вопрос о продолжении функции v(t, z) по переменной t, необходимо вначале рассмотреть аналогичный вопрос для ядра. Из интегрального представления (5.5) видно, κ P что важную роль здесь играют корни уравнения 1 − qν (u)tν = 0. Для изучения расположения ν=0
этих корней в зависимости от различных u сделаем следующее дополнительное предположение (которое справедливо для всех примеров из введения, за исключением последнего): (A) Далее будем предполагать, что deg pκ = mκ и, в частности, число mκ целое. Данное предположение в силу определения функций qν (u) выполняется тогда и только тогда, когда κ P qκ (∞) 6= 0. В этом случае корни уравнения 1 − qν (u) tν = 0 аппроксимируются при u, ν=1
стремящемся к бесконечности, корнями более простого характеристического уравнения 1−
κ X
qν tν = 0,
ν=1
(5.7)
qν = lim qν (u). u→∞
Заметим, что qν = 0, если ν m нецелое. Таким образом, если m = p/q, где p, q ∈ N взаимно просты, то (5.7) есть уравнение относительно tq , и, следовательно, множество корней замкнуто относительно умножения на e2mπi . Обозначим корни уравнения (5.7) через a1 , . . . , aκ . Подчеркнем, что все эти значения отличны от нуля, но необязательно различны. Для малых δ > 0 обозначим через Gδ (a1 , . . . , aκ ) наибольшую звездную относительно начала координат область, не содержащую замкнутых кругов радиуса δ с центрами в точках a1 , . . . , aκ . В частности, обозначим через G(a1 , . . . , aκ ) = G0 (a1 , . . . , aκ ) наибольшую звездную относительно начала координат область, не содержащую ни одну из точек a1 , . . . , aκ . В силу общего вида уравнения (5.7) эти области инвариантны относительно поворота на угол 2πm вокруг начала координат. Докажем следующий результат о глобальном поведении ядра k(t, z). Утверждение 2. Пусть выполнено предположение (A). Тогда при каждом фиксированном z ∈ C ядро k(t, z) может быть голоморфно продолжено по переменной t в область G(a1 , . . . , aκ ). Более того, для каждого δ > 0 существуют константы C, K > 0, такие, что |k(t, z)| 6 C eK|z|
∀t ∈ Gδ (a1 , . . . , aκ ),
z ∈ C.
СУММИРУЕМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
15
Доказательство. Зафиксируем некоторое δ > 0. Тогда в (5.5) мы можем выбрать R настолько κ P большим, что 1 − qν (u)tν 6= 0 для каждого t ∈ Gδ (a1 , . . . , aκ ) и каждого u ∈ γ(R, z). Теперь ν=1
необходимые утверждения следуют из непосредственной оценки функции (5.5). Теперь зафиксируем d = arg t и предположим, что в (5.6) |t| достаточно велико: если |z| мало по сравнению с |w| = ρ1 , то t/(w − z)m ≈ t/wm . Тогда наличие значений w, для которых arg(t/wm ) = arg t − m arg w близок к аргументу одного из корней aj характеристического уравнения (5.7), вызовут определенные трудности. Как мы увидим, при некотором предположении относительно функции φ(z) этих трудностей можно будет избежать, выбирая |w − z| и |t| одновременно настолько большими, что |t/(w − z)m | остается при этом малым. Рассуждения такого рода делают естественным следующее определение. При достаточно малых δ > 0 будем обозначать через Gd, δ объединение Dρ и всех углов Sd(j, ν), δ , таких, что d(j, ν) = (d − arg aj + 2 ν π)/m,
1 6 j 6 κ,
06ν 6p−1
(здесь m = p/q, причем p, q ∈ N взаимно просты). Сформулируем наш основной результат в терминах областей Gd, δ . Теорема 3. Пусть m > 1. Положим k = (m − 1)−1 . Допустим, что выполняется (A). Наконец, предположим, что для d ∈ R и достаточно малых δ > 0 функция φ(z) голоморфно продолжается в Gd, δ и удовлетворяет с некоторыми константами C и K оценке |φ(z)| 6 C exp[K|z|1+k ]
∀z ∈ Gd, δ .
Тогда нормированное формальное решение u ˆ(t, z) является k-суммируемым в направлении d. Доказательство. Рассмотрим формулу (5.6), дающую представление функции v(t, z) и справедливую, скажем, для |z| 6 ε < ρ и |t| 6 ρ2 ; здесь ε > 0 будет выбрано позже, ρ2 > 0 достаточно мало. По предположению, функция φ голоморфна в области Gd, δ , являющейся объединением круга Dρ и углов Sd(j, ν), δ . Выбирая достаточно малые ρ и δ, мы можем считать, что φ непрерывна вплоть до границы области Gδ, ρ . При больших значениях R обозначим через γR положительно ориентированную кривую, ограничивающую Gd, δ ∩ DR . Тогда в силу интегральной теоремы Коши мы можем заменить контур интегрирования |w| = ρ1 на контур γR . Далее, пусть |d − arg t| 6 δ/2. Тогда при достаточно малых ε аргумент точки w − z оказывается настолько близок к arg w, что для w, лежащего вне углов Sd(j, ν), δ , мы можем голоморфно продолжить k(t(w − z)−m , u) по переменной t радиально сколь угодно далеко. Если же w лежит в одном из углов, то модуль w равен R, и поэтому при |t| 6 ρ2 (R − ε)m выполняется неравенство |t|/|w − z|m 6 ρ2 . Следовательно, выбирая R достаточно большим, получаем, что для |z| 6 ε функция v(t, z) может быть продолжена в угол Sd, δ/2 . Более того, к интегральному представлению могут быть применены стандартные оценки, которые показывают, что v(t, z) имеет в Sd, δ/2 экспоненциальный порядок, не превышающий k. Отметим, что для упомянутых оценок важен тот факт, что m k = 1 + k > 1, и поэтому во внутреннем интеграле в (5.6) функция φ(w − u) мажорирует ядро при w → ∞. Замечание 5. В примере 1 характеристическое уравнение имеет вид 1 − t = 0. Следовательно, оно имеет единственный корень a1 = 1. Так как в этом случае m = 2, из основной теоремы следует, что нормированное формальное решение 1-суммируемо в направлении d, если только функция φ(z) голоморфно продолжается в малые углы, бисектрисы которых определяются направлениями d/2 и d/2 + π, и имеет в этих углах экспоненциальный порядок, не превышающий 2. Данный результат, а также обратный к нему впервые были доказаны Лутцем, Мияке и Шефке [5]. Для примера 2 наша основная теорема также повторяет с точностью до обозначений часть результата (а именно — достаточность), полученного Мияке [8]. Замечание 6. В работе [3] результат, соответствующий нашей основной теореме, был получен в случае, когда, во-первых, g = 0 и, во-вторых, a1 , . . . , aκ различны. В настоящей статье это предположение удалось снять, применив другой способ доказательства. Однако, как мы увидим в следующем разделе, предположение (A) является существенным. Замечание 7. Грубо говоря, мы нашли достаточное условие на функцию φ(z), при выполнении которого нормированное формальное решение соответствующей задачи Коши является
16
В. БАЛСЕР
k-суммируемым в направлении d (предположение (A) считается также выполненным). Известно, что в примерах 1 и 2 это условие на φ(z) является также и необходимым. По мнению автора, необходимость этого условия можно доказать во всех случаях, однако до сих пор этого не сделано. В общем случае может оказаться затруднительным проверка того, что заданная функция φ(z) удовлетворяет предположениям предыдущей теоремы. Однако в случае, если φ(z) — рациональная функция, это не так. Имеет место следующее очевидное утверждение. Следствие из теоремы 3. Предположим, что m > 1, и положим k = (m − 1)−1 . Кроме того, будем считать, что (A) выполнено. Пусть φ(z) — рациональная функция. Тогда нормированное формальное решение k-суммируемо во всех, кроме конечного множества, направлениях. Еще одна особая ситуация возникает, когда функция φ(z) является целой и имеет экспоненциальный порядок, не превосходящий mk = 1 + 1/(m − 1). В этом случае из основной теоремы следует, что нормированное формальное решение k-суммируемо в каждом направлении d. Согласно общей теории это возможно тогда и только тогда, когда нормированное формальное решение сходится. 6.
ПРИМЕР
В данном разделе будет показано, что предположение (A) существенно для k-суммируемости нормированного формального решения. Для этого рассмотрим более подробно пример 4. Легко проверить, что рекурсивное соотношение (3.2) в данном случае имеет вид rj (w) = (w3 + w2 ) rj−1 (w) − w5 rj−2 (w), откуда получаем rj (w) = rj1 (w) − rj2 (w), где w2j w3j+1 , rj2 (w) = . w−1 w−1 Отсюда получаем следующее представление нормированного формального решения: rj1 (w) =
u ˆ(t, z) = u ˆ1 (t, z) − u ˆ2 (t, z),
u ˆν (t, z) =
∞ X
uνj (z) tj /j!,
j=0
где u1j (z) =
∞ X n=0
u2j (z) =
∞ X n=0
φn
n! 2πi
I
w3j ewz dw , (w − 1) wn
|w|=R
n! φn 2πi
I
w2j ewz dw . (w − 1) wn+1
|w|=R
Таким образом, u ˆ1 (t, z), соответственно u ˆ2 (t, z) есть нормированное формальное решение уравнения первого порядка (∂t − ∂z3 )u1 = 0, соответственно (∂t − ∂z2 )u2 = 0 с начальными условиями I ∞ X n! ewz dw φ1 (z) = φn , 2πi (w − 1) wn n=0
|w|=R
соответственно φ2 (z) =
∞ X n=0
n! φn 2πi
I
ewz dw . (w − 1) wn+1
|w|=R
Следуя схеме раздела 5, мы можем явно вычислить эти функции: Zz z φ2 (z) = e e−u φ(u) du, φ1 (z) = φ2 (z) + φ(z). 0
СУММИРУЕМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
17
Таким образом, из основной теоремы предыдущего раздела вытекает, что u ˆ1 (t, z) является 1/2-суммируемой, соответственно u ˆ2 (t, z) является 1-суммируемой в каждом направлении d, для которого φ1 (z), соответственно φ2 (z) обладает нужными свойствами. Отсюда следует, что если функция φ(z) рациональна, то нормированное формальное решение u ˆ(t, z) будет (1, 1/2)-суммируемым в смысле Экалле во всех мультинаправлениях (d1 , d2 ), за исключением конечного множества направлений. Следовательно, из общей теории мультисуммируемости вытекает, что в этом случае k-суммируемость функции u ˆ(t, z) не имеет места ни при каких значениях k > 0, за исключением случая, когда формальное решение сходится. По мнению автора, приведенный выше пример характеризует общую ситуацию, когда предположение (A) нарушается. Общая ситуация такого рода будет исследована в одной из последующих статей. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Balser W. Divergent solutions of the heat equation: on an article of Lutz, Miyake and Sch¨afke// Pac. J. Math. — 1999. — 188. — С. 53–63 2. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. — New York: Springer–Verlag, 2000 3. Balser W., Miyake M. Summability of formal solutions of certain partial differential equations// Acta Sci. Math. — 1999. — 65. — С. 543–551 4. Hibino M. Divergence property of formal solutions for singular first order linear partial differential equations// Publ. Res. Inst. Math. Sci. — 1999. — 35. — С. 893–919 5. Lutz D. A., Miyake M., Schafke R. On the Borel summability of divergent solutions of the heat equation// ¨ Nagoya Math. J. — 1999. — 154. — С. 1–29 6. Miyake M. Newton polygons and formal Gevrey indices in the Cauchy–Goursat–Fuchs type equations// J. Math. Soc. Japan. — 1991. — 43. — С. 305–330 j+α and its nature in Gevrey functions// Tsukuba − d−j 7. Miyake M. An operator l = ai − djt d−j−α t dx x J. Math. — 1993. — 17. — C. 83–98 8. Miyake M. Borel summability of divergent solutions of the Cauchy problem to non-Kovaleskian equations// In: Hua C., Rodino L. (Eds.) Partial differential equations and their applications. — Singapore: World Scientific Publ., 1999. — С. 225–239 9. Miyake M., Hashimoto Y. Newton polygons and Gevrey indices for linear partial differential operators// Nagoya Math. J. — 1992. — 128. — С. 15–47 10. Miyake M., Ichinobe K. On the Borel summability of divergent solutions of parabolic type equations and Barnes generalized hypergeometric functions// RIMS Kokyuroku. — 2000. — 1158. — C. 43–57 11. Miyake M., Yoshino M. Toeplitz operators and an index theorem for differential operators on Gevrey spaces// Funkc. Ekvacioj. Ser. Int. — 1995. — 38. — C. 329–342 12. Ouchi S. Asymptotic expansion of singular solutions and the characteristic polygon of linear partial differential equations in the complex domain// Manuscript 13. Ouchi S. Formal solutions with Gevrey type estimates of nonlinear partial differential equations// J. Math. Sci., Tokyo. — 1994. — 1. — C. 205–237 14. Ouchi S. Singular solutions with asymptotic expansion of linear partial differential equations in the complex domain// RIMS Kokyuroku. — 1998. — 34. — С. 291–311 15. Plis´ M. E., Ziemian B. Borel resummation of formal solutions to nonlinear Laplace equations in 2 variables// Ann. Pol. Math. — 1997. — 67. — С. 31–41 16. Ramis J.-P. Les s´eries k-sommable et leurs applications// Lect. Notes Phys. — 1980. — 126. — С. 178–199.
Werner Balser Abteilung Angewandte Analysis, Universit¨at Ulm, 89069 Ulm, Germany E-mail:
[email protected] 